| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Чем отличается граф от многообразия? А. А. Айзенбергa, М. Масудаba, Г. Д. Соломадинa a Факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва b Osaka City University Advanced Mathematical Institute, Osaka, Japan
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9798e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеТорическая топология изучает действия компактного тора $T^k$ на гладких замкнутых многообразиях $X^{2n}$ в терминах комбинаторных конструкций, ассоциированных с действием. Классическими примерами являются гладкие торические многообразия, классифицируемые симплициальными веерами, и их топологические аналоги – квазиторические многообразия, классифицируемые характеристическими парами. В этих двух классах примеров тор $T^n$ действует на многообразии $X^{2n}$, удовлетворяющем условию $H^{\mathrm{odd}}(X^{2n})=0$, и в обоих случаях оказывается, что частично упорядоченное множество $S(X)$ тор-инвариантных подмногообразий в многообразии $X^{2n}$ изоморфно некоторому клеточному разбиению топологического диска. Частично упорядоченное множество $S(X)$ обладает хорошими свойствами ацикличности: не только само $S(X)$ ациклично (что очевидно из того факта, что в нем есть наибольший элемент), но также ацикличны его остовы, линки его симплексов и другие естественно ассоциированные с ним объекты. Эти свойства ацикличности тесно связаны со свойством Коэна–Маколея алгебры Стенли–Райснера, которая возникает как алгебра эквивариантных когомологий многообразия $X$. В этой работе изучаются действия тора произвольной сложности. Для действия тора $T=T^k$ на многообразии $X=X^{2n}$ с изолированными неподвижными точками мы рассматриваем частично упорядоченное множество (далее ч.у. множество) гранных подмногообразий многообразия $S(X)$. В препринте [7] изучалась локальная структура множества $S(X)$: было доказано, что верхний порядковый идеал $S(X)_{\geqslant s}$ для любого элемента $s\in S(X)$ является геометрической решеткой. В частности, такое “локальное” ч.у. множество ациклично согласно результату Бьорнера (см. [8]). Настоящая работа посвящена глобальной топологической структуре ч.у. множества $S(X)$, однако мы ограничиваем класс изучаемых действий. Предполагается, что действия тора удовлетворяют следующим условиям. 1. Множество неподвижных точек $X^T$ конечно и не пусто. 2. Действие эквивариантно формально. Если выполнено условие 1, то эквивариантная формальность эквивалентна условию $H^{\mathrm{odd}}(X)=0$. 3. Зафиксируем натуральное число $j$. Назовем действие $j$-независимым, если в каждой неподвижной точке $x\in X^T$ любой набор из $\leqslant j$ касательных весов линейно независим. В предыдущих работах [5], [6] использовалась другая терминология: мы называли такие действия действиями в $j$-общем положении. При описанных условиях имеет место следующий результат. Теорема 1.1. Допустим, что действие $T$ на $X$ эквивариантно формально и $j$-независимо. Тогда выполнены следующие условия ацикличности. 1. Для любого целого числа $r>0$ $r$-остов $S(X)_r=\{t\in S(X)\mid \operatorname{rk} t\leqslant r\}$ является $\min(r-1,j+1)$-ацикличным. 2. Для любого элемента $s\in S(X)$ нижний порядковый идеал $S(X)_{<s}=\{t\in S(X)\mid t<s\}$ является $\min(\dim S(X)_{<s}-1,j+1)$-ацикличным. Эта теорема доставляет необходимое условие, при котором ГКМ-граф является ГКМ-графом некоторого (эквивариантно формального) ГКМ-многообразия при достаточно больших значениях $j$. Действительно, если $\Gamma$ является $j$-независимым ГКМ-графом, то любые $j-1$ ребер инцидентных заданной вершине, порождают грань, см., например, работу [7]. Следовательно, ч.у. множество $S(X)_{j-1}$ можно восстановить только по данным ГКМ-графа. Если это ч.у. множество граней не является $(j-2)$-ацикличным, то граф не соответствует никакому эквивариантно формальному многообразию. Стоит отметить, что задача восстановления многообразия с заданными касательными представлениями в неподвижных точках, в частности с заданным 1-остовом, известна в эквивариантной топологии, см. [13]. Классический подход к этой задаче основан на формуле Атьи–Бредона–Берлинь–Вернь (формуле локализации в когомологиях). Иногда оказывается возможным восстановить многообразие с действием тора геометрически, индуктивно продолжая действия с маломерных стратов на высшие размерности. Однако такой подход не гарантирует, что итоговое многообразие будет эквивариантно формальным, и что к нему в принципе будет применима ГКМ-теория. В нашей работе мы хотели бы подчеркнуть этот важный нюанс. В качестве приложения теоремы 1.1 мы описываем алгебру эквивариантных когомологий некоторых действий сложности 1 в общем положении. Действие тора $T^{n-1}$ на многообразии $X^{2n}$ называется действием в общем положении, если оно $(n-1)$-независимо. При помощи доказанных условий ацикличности мы развиваем теорию эквивариантно формальных действий сложности 1 в общем положении, начатую первыми двумя авторами в работе [5]. Теорема 1.2. Рассмотрим эквивариантно формальное действие тора $T^{n-1}$ на многообразии $X^{2n}$ в общем положении. Допустим, что $n\geqslant 5$, $\pi_1(X)=1$, и пусть ГКМ-граф действия двудолен. Тогда существуют симплициальное частично упорядоченное множество $S(\Gamma(X))$ и регулярный линейный элемент $\eta$ в кольце граней $\mathbb Q[S(\Gamma(X))]$ такие, что имеет место изоморфизм $H^*(BT;\mathbb Q)$-алгебр Ч.у. множество $S(\Gamma(X))$ строится из $S(X)$ путем добавления дополнительных элементов и обращения порядка. Ч.у. множество $S(\Gamma(X))$ является горенштейновым*: это следует из свойства горенштейновости алгебры $H^*_T(X;\mathbb Q)$, см. подробности в утверждении 6.8. В некотором смысле теорема 1.2 утверждает, что при определенных условиях действия сложности 1 в общем положении похожи на ограничение $T^n$-действия на $X^{2n}$ на подтор $T^{n-1}\subset T^n$ коразмерности 1 в общем положении. По крайней мере, такое сходство проявляется на уровне эквивариантных когомологий. Работа устроена следующим образом. В § 2 приведены основные определения: эквивариантная формальность, гранные подмногообразия и грани торического действия. В § 3 доказаны несколько технических утверждений о гомологических свойствах пространств орбит торических действий. Бо́льшая часть рассуждений этого параграфа повторяет рассуждения из работы [5], однако мы напоминаем ключевые идеи для удобства читателя. В § 4 доказана теорема 1.1. В § 5 приведены необходимые определения и конструкции из ГКМ-теории и доказано комбинаторное утверждение о том, что при $n\geqslant 5$ $n$-валентный ГКМ-граф сложности 1 в общем положении является двудольным в том и только том случае, когда его ребра допускают правильную раскраску в $n$ цветов. Это утверждение является расширением результата Йосвига (см. [22]), доказавшего аналогичный факт для реберных остовов простых многогранников (т.е. по сути для ГКМ-графов сложности 0). Из существования правильной раскраски ГКМ-графа следует, что по графу можно построить симплициальное ч.у. множество аналогично сложности 0. В § 6 приводится определение кольца граней симплициального ч.у. множества и на основе ГКМ описания кольца $H^*_T(X)$ доказывается теорема 1.2. § 2. Основные определения и конструкции2.1. Фильтрация по типу орбитВ этом параграфе определяются грани действия тора и приводятся их основные свойства. Пусть компактный тор $T=T^k$ действует на топологическом пространстве $X$, которое в дальнейшем предполагается связным. Обозначим через $\operatorname{Sgr}(T)$ множество всех замкнутых подгрупп в $T$. Для точки $x\in X$ обозначим через $T_x\in \operatorname{Sgr}(T)$ ее стабилизатор (стационарную подгруппу), а через $Tx\subset X$ – орбиту точки $x$. Далее предполагается, что $X$ – это $T$-CW-комплекс (см. [1; определение 1.1]). В частности, это выполнено для гладких действий тора на гладких компактных многообразиях. Конструкция 2.1. Для действия тора $T$ на пространстве $X$ определим подробное подразбиение пространства $X$ по типу орбит: где $H$ – замкнутая подгруппа тора $T$, а $X^{(H)}=\{x\in T\mid T_x=H\}$. Далее, для $H\in \operatorname{Sgr}(T)$ определим множество Таким образом, $X^H$ является множеством $H$-неподвижных точек пространства $X$. Любая замкнутая подгруппа компактного тора $T\cong T^k$ изоморфна прямому произведению тора (непрерывной компоненты) и конечной абелевой группы (конечная компонента). Скажем, что действие $T$ на $X$ имеет связные стабилизаторы, если все стабилизаторы $T_x$ связны. Иными словами, конечные компоненты тривиальны. Далее при работе с гомологиями используется следующее соглашение. Если действие имеет связные стабилизаторы, то коэффициенты в гомологиях берутся в $\mathbb Z$ (или в любом поле). Без ограничения на стабилизаторы кольцом коэффициентов предполагается $\mathbb Q$. Конструкция 2.2. Для действия тора $T$ на топологическом пространстве $X$ рассмотрим фильтрацию где $X_i$ есть объединение орбит действия, имеющих размерность $\leqslant i$. Другими словами, что следует из естественного гомеоморфизма $Tx\cong T^k/T_x$. Фильтрация (2.1) называется фильтрацией по типу орбит, а $X_i$ – эквивариантными $i$-остовами пространства $X$. Каждое пространство $X_i$ сохраняется (как множество) действием $T$. Фильтрация по типу орбит индуцирует фильтрацию на пространстве орбит $Q=X/T$: Замечание 2.3. Если $y\in Q$ – орбита действия, то стабилизатор $T_y$ можно определить как $T_x$ для любого представителя $x\in y$. Корректность такого определения следует из коммутативности тора. В дальнейшем, говоря о неподвижных точках действия, мы обозначаем одной буквой как неподвижную точку, так и ее (одноточечную) орбиту в пространстве орбит, надеясь, что это не вызовет путаницы. 2.2. Гладкие действияОпределение 2.4. Решетка $N=\operatorname{Hom}(T^k,S^1)\cong \mathbb Z^k$ называется решеткой весов, а двойственная решетка $N^*=\operatorname{Hom}(S^1,T^k)$ называется решеткой одномерных подгрупп. Имеются естественные изоморфизмы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname{Hom}(T^k,S^1) &\cong H^1(T^k;\mathbb Z)\cong H^2(BT^k;\mathbb Z), \\ \operatorname{Hom}(S^1,T^k) &\cong H_1(T^k;\mathbb Z)\cong H_2(BT^k;\mathbb Z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $X$ – гладкое замкнутое связное ориентируемое многообразие, а тор $T$ действует на $X$ гладко и эффективно. Если $x\in X^T$ – неподвижная точка, то возникает индуцированное представление тора $T$ в касательном пространстве $\tau_xX$, которое называется касательным представлением. Пусть $\alpha_{x,1},\dots, \alpha_{x,n}\in \operatorname{Hom}(T^k,S^1)\cong \mathbb Z^{k}$ – веса касательного представления в точке $x$. По определению это означает, что
$$
\begin{equation*}
\tau_xX\cong V(\alpha_{x,1})\oplus\dots\oplus V(\alpha_{x,n})\oplus \mathbb R^{\dim X-2n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $V(\alpha)$ – стандартные 1-мерные комплексные представления, задающиеся формулой $tz=\alpha(t)\cdot z$, $z\in \mathbb C$, а действие на $\mathbb R^{\dim X-2n}$ тривиально (см. [20; следствие I.2.1]). Предполагается, что все весовые векторы $\alpha_{x,i}$ ненулевые, поскольку иначе соответствующее слагаемое давало бы вклад в $\mathbb R^{\dim X-2n}$. При отсутствии $T$-инвариантной комплексной структуры на $X$ возникает неоднозначность в выборе знака векторов $\alpha_i$. В утверждениях нашей работы выбор знака не играет роли. Также можно считать, что весовые векторы $\alpha_{x,1},\dots,\alpha_{x,n}$ линейно порождают весовую решетку $\operatorname{Hom}(T^k,S^1)$ (иначе существовал бы элемент $\lambda$ двойственной решетки $\operatorname{Hom}(S^1,T^k)$ такой, что $\langle\alpha_{x,1},\lambda\rangle=0$, откуда следовало бы, что соответствующая одномерная подгруппа $\lambda$ лежит в ядре неэффективности). Это наблюдение показывает, что существование неподвижных точек влечет неравенство Каждая неподвижная точка $x\in X^T$ имеет окрестность эквивариантно диффеоморфную касательному представлению $\tau_xX$. В частности, $x\in X^T$ в том и только том случае, когда $\dim X=2n$ и все касательные веса $\alpha_{x,1},\dots,\alpha_{x,n}$ ненулевые. Определение 2.5. Пусть $T$ действует эффективно на гладком многообразии $X$, а множество неподвижных точек $X^T$ конечно и непусто. Неотрицательное число $\operatorname{compl} X=\frac{1}{2}\dim X-\dim T$ называется сложностью действия. Если действие неэффективно, то $\operatorname{compl} X$ обозначает сложность соответствующего эффективного действия, т.е. действия фактора по ядру неэффективности. Конструкция 2.6. Для каждой замкнутой подгруппы $H\subset T$ подмножество $X^H$ является замкнутым гладким подмногообразием в $X$. Это подмногообразие сохраняется (как множество) действием тора $T$, что следует из его коммутативности. Компоненты связности множества $X^H$ называются инвариантными подмногообразиями. Конструкция 2.7. Для гладкого действия тора $T$ на многообразии $X$ рассмотрим каноническую проекцию $p\colon X\to Q$ на пространство орбит и фильтрацию (2.2) на пространстве орбит. Замыкание $F$ любой связной компоненты множества $Q_i\setminus Q_{i-1}$ называется гранью, если оно содержит хотя бы одну неподвижную точку. При этом число $i$ называется рангом грани $F$, оно равно размерности общей $T$-орбиты из $F$. Замечание 2.8. В случае локально стандартного действия тора $T=T^n$ на многообразии $X=X^{2n}$ пространство орбит $Q=X/T$ является хорошим многообразием с углами, и в нем канонически определено понятие грани. Прообразами граней пространства $Q$ являются все инвариантные подмногообразия в $X$. Гранями множества $Q$ (в смысле торического действия) являются только те из граней $Q$ (в смысле многообразия с углами), у которых есть вершины. Замечание 2.9. В общем случае понятие грани пространства орбит определяется действием, поэтому разбиение на грани является дополнительной структурой на $Q$. Сама по себе топология пространства $Q$ недостаточна для определения граней. Даже в случае сложности $0$ пространство $Q$ является топологическим многообразием с границей, на котором можно отличить лишь свободные орбиты в пространстве $Q$ от несвободных орбит в зависимости от того, лежит ли точка внутри или на границе многообразия. Существуют примеры положительной сложности, в которых даже свободные и несвободные орбиты невозможно различить на основе исключительно топологии пространства орбит (см. [3]). Тем не менее мы используем термин “грань пространства орбит”, как если бы это множество было определено топологией пространства $Q$. Следующая лемма доказана в работе [7]. Лемма 2.10. Для действия $T$ на многообразии $X$ полный прообраз $X_F=p^{-1}(F)$ любой грани $F\subset Q$ является инвариантным подмногообразием. В частности, это подмножество является замкнутым гладким подмногообразием в $X$. Определение 2.11. Пусть $F$ – грань пространства $Q=X/T$. Подмногообразие $X_F=p^{-1}(F)\subset X$ называется гранным подмногообразием, соответствующим грани $F$. Из определения следует, что каждое гранное подмногообразие имеет $T$-неподвижную точку. Недостающие формальные подробности о понятиях грани и гранного подмногообразия можно найти в работе [7]. Конструкция 2.12. Известно (см. [14; теорема 5.11]), что гладкое действие тора $T$ на компактном многообразии имеет лишь конечное число различных стабилизаторов. Отсюда следует конечность множества граней. Множество граней пространства $Q$ (эквивалентно, множество гранных подмногообразий в $X$) частично упорядочено по включению и градуировано рангами граней. Обозначим это ч.у. множество через $S(X)$. Конструкция 2.13. Пусть $F$ – грань, а $X_F$ – соответствующее гранное подмногообразие. Действие тора $T$ на $X_F$ имеет ядро неэффективности которое мы также называем общим стабилизатором точек грани $F$. Число $\dim T/T_F$ равно рангу грани $F$. Эффективное действие тора $T/T_F$ на $X_F$ удовлетворяет общему условию из определения 2.5: множество неподвижных точек не пусто (по определению грани) и конечно (потому что это подмножество множества $X^T$, которое предполагается конечным). Значит, определено понятие индуцированной сложности $\operatorname{compl} X_F$ грани: Заметим, что каждая грань $F$ ранга $r$ является подмножеством остова $Q_r$ в эквивариантной фильтрации. Хочется сказать, что остов $Q_r$ – это и есть объединение всех граней ранга $r$. Однако в общем случае это не так: пример, когда $Q_r$ не есть объединение $r$-мерных граней, можно найти в [7; рис. 1]. Тем не менее эта проблема исчезает у эквивариантно формальных действий, см. замечание 3.5 ниже. § 3. Ацикличность независимых действий3.1. Эквивариантная формальностьОпределения и утверждения этого пункта хорошо известны и приводятся для удобства читателя. Для тора $T=T^k$ рассмотрим универсальное главное $T$-расслоение $ET\to BT$, $BT\simeq (\mathbb{C}P^\infty)^k$. Для действия тора $T$ на $X$ определены конструкция Бореля $X_T=X\times_T ET$, расслоение Серра $p\colon X_T\stackrel{X}{\to} BT$, и кольцо эквивариантных когомологий $H^*_T(X;R)=H^*(X_T;R)$, являющееся модулем над кольцом многочленов $H^*(BT;R)\cong R[k]=R[v_1,\dots,v_k]$ (структура модуля задается индуцированным гомоморфизмом $p^*\colon H^*(BT;R)\to H^*_T(X;R)$). Расслоение $p$ индуцирует спектральную последовательность Серра:
$$
\begin{equation}
E_2^{p,q}\cong H^p(BT^k;R)\otimes H^q(X;R)\Rightarrow H^{p+q}_T(X;R).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определение 3.1. Действие тора $T$ на $X$ называется когомологически эквивариантно формальным (над $R$) в смысле Горески–Коттвица–МакФерсона, если спектральная последовательность (3.1) вырождается в члене $E_2$. Мы называем такие действия и пространства просто эквивариантно формальными. Определение эквивариантной формальности было дано Горески, Коттвицем и МакФерсоном в [18] в случае кольца коэффициентов $\mathbb R$. Для удобства приведем лемму, доказанную в [17], которая дает эквивалентные условия эквивариантной формальности. Лемма 3.2 (см. [17]). Следующие условия эквивалентны (кольцо коэффициентов – $\mathbb Z$ или поле). 1. Действие тора $T$ на $X$ эквивариантно формально. 2. Включение $\iota\colon X\to X_T$ слоя в конструкцию Бореля индуцирует сюръективный гомоморфизм $\iota^*\colon H^*_T(X)\to H^*(X)$. 3. Гомоморфизм $H^*_T(X)\otimes_{H^*(BT)}R\to H^*(X)$, индуцированный гомоморфизмом $\iota^*$, является изоморфизмом. 4. $\operatorname{Tor}^j_{H^*(BT)}(H^*_T(X);R)=0$ при всех $j>0$. 5. $\operatorname{Tor}^1_{H^*(BT)}(H^*_T(X);R)=0$. Если коэффициенты в поле, то эти условия эквивалентны свободности модуля $H^*_T(X)$ над алгеброй $H^*(BT)$. Если коэффициенты в $\mathbb Z$, то свободность $H^*(BT)$-модуля эквивариантных когомологий является строго более сильным условием, чем эквивариантная формальность (см. [16]). Мы рассматриваем только действия с изолированными неподвижными точками. В этом случае характеризация эквивариантной формальности существенно упрощается. Лемма 3.3 (см. [24; лемма 2.1]). Рассмотрим гладкое действие тора $T$ на $X$ такое, что множество $X^T$ конечно и не пусто. Следующие условия эквивалентны. 1. Действие $T$ когомологически эквивариантно формально. 2. $H^{\mathrm{odd}}(X)=0$. 3. $H^*_T(X)$ является свободным $H^*(BT)$-модулем. Если выполнены эти условия, то имеет место изоморфизм градуированных $H^*(BT)$-модулей $H^*_T(X)\cong H^*(BT)\otimes H^*(X)$. Другое важное для нас утверждение гарантирует, что эквивариантная формальность наследуется инвариантными подмногообразиями. Лемма 3.4 (см. [24; лемма 2.2]). Пусть тор $T$ действует на $X$ и $Y$ – инвариантное подмногообразие (связная компонента пространства $X^H$ для некоторой замкнутой подгруппы $H\in \operatorname{Sgr}(T)$). Тогда из условия $H^{\mathrm{odd}}(X)=0$ следует $H^{\mathrm{odd}}(Y)=0$ и $Y^T\neq\varnothing$. Замечание 3.5. Гранные подмногообразия выделяются среди инвариантных подмногообразий наличием неподвижных точек. Лемма 3.4 в частности означает, что это условие автоматически выполнено в эквивариантно формальном случае. Это, в свою очередь, означает, что в эквивариантно формальном случае эквивариантный $r$-остов $Q_r$ является объединением всех граней $F$ ранга $r$. 3.2. $j$-независимые действияОпределение 3.6. Действие тора $T$ на многообразии $X$ называется $j$-независимым1 если в любой неподвижной точке $x\in X^T$ любые $\leqslant j$ касательных весов $\alpha_{x,1},\dots,\alpha_{x,n}\in \operatorname{Hom}(T,S^1)\cong \mathbb Z^k$ линейно независимы над $\mathbb Q$. Замечание 3.7. Если $\operatorname{compl} X=0$, т.е. $T=T^n$ действует на $X=X^{2n}$, в любой неподвижной точке $x\in X^T$ имеется $n$ весов $\alpha_{x,1},\dots,\alpha_{x,n}\in \operatorname{Hom}(T,S^1)\cong \mathbb Z^n$, линейно порождающих $\mathbb Q^n$. Следовательно, эти действия $n$-независимы. Также верно, что такое действие $\infty$-независимо, поскольку любое подмножество касательных весов линейно независимо. Поскольку мы изучаем конечномерные многообразия, подобное обозначение имеет исключительно формальный смысл. Однако некоторые утверждения о $j$-независимых действиях сохраняют смысл и при $j=\infty$. В работе [5] доказаны несколько технических утверждений о $j$-независимых действиях. Лемма 3.8 (см. [5; лемма 3.1]). Рассмотрим $j$-независимое действие тора $T$ на пространстве $X$, $j\geqslant 1$. Пусть $X_F$ – гранное подмногообразие. Тогда 1) $\operatorname{compl} X_F\leqslant \operatorname{compl} X$; 2) если $\operatorname{rk} F<j$, то $\operatorname{compl} X_F=0$; 3) если $\operatorname{rk} F\geqslant j$, то действие тора $T/T_F$ на $X_F$ является $j$-независимым. Конструкция 3.9. Пусть $F$ – грань пространства орбит $Q$ для действия тора $T$ на $X$. Для удобства обозначим через $F_{-1}$ объединение собственных подграней грани $F$. В случае эквивариантно формальных действий множество $F_{-1}$ можно также определить условием Действительно, любая $r$-мерная орбита содержится в некотором инвариантном подмногообразии ранга $r$ (следовательно, – в гранном подмногообразии, поскольку действие эквивариантно формально и понятия инвариантных и гранных подмногообразий совпадают). Аналогично определим $(X_F)_{-1}$ как объединение всех собственных гранных подмногообразий. В эквивариантно формальном случае это подмножество совпадает с $\{x\in X_F\mid \dim T_x>\operatorname{rk} F\}$. В следующих утверждениях предполагается, что $R=\mathbb Z$ (или любое поле), если все стабилизаторы связны, и $R=\mathbb Q$ в противном случае. Предложение 3.10 (см. [24]). Рассмотрим эквивариантно формальное действие тора $T$ на многообразии $X$ сложности $0$. Тогда для любой грани $F$ (включая само пространство орбит $Q$), верны следующие утверждения: 1) $\dim F=\operatorname{rk} F$; 2) $\widetilde{H}^*(F;R)=0$; 3) $H^i(F,F_{-1};R)=0$ при $i\neq \operatorname{rk} F$, и $H^{\operatorname{rk} F}(F,F_{-1};R)\cong R$. Иными словами, каждая грань $F$ является гомологической клеткой, а фильтрация $\{Q_i\}$ – гомологическим клеточным комплексом. Используя лемму 3.8, предложение 3.10 и индуктивные рассуждения, получаем следующее утверждение. Предложение 3.11. Допустим, что действие тора $T=T^k$ на $X=X^{2n}$ эквивариантно формально и $j$-независимо, $j\geqslant 1$. Грани $F$ пространства орбит $Q=X/T$ обладают следующими гомологическими свойствами. 1. $H^i(F,F_{-1})=0$ при $i<\operatorname{rk} F$. 2. Если $\operatorname{rk} F<j$, то $H^*(F,F_{-1})\cong H^*(D^{\operatorname{rk} F}, \partial D^{\operatorname{rk} F})$. Если $\operatorname{rk} F=j$, то модуль $H^i(F,F_{-1})$ тривиален при $i<j$ и $i=j+1$. 3. Пространство $Q$ является $(j+1)$-ацикличным (т.е. $\widetilde{H}^i(Q)=0$ при $i\leqslant j+1$). 4. $Q_r$ является $\min(r-1,j+1)$-ацикличным. Доказательство. Пункт 1 доказан в [5; лемма 3.3], п. 2 доказан в [5; лемма 3.2], п. 3 см. [5; теорема 2]. Пункт 4 явно в работе [5] не сформулирован, однако его доказательство аналогично доказательству п. 3. Приведем это доказательство.
Рассмотрим спектральную последовательность в когомологиях, ассоциированную с фильтрацией
$$
\begin{equation}
Q_0\subset Q_1\subset\dots\subset Q_{r-1}\subset Q_r\subset\dots\subset Q_k=Q,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
имеем $E_1^{p,q}=H^{p+q}(Q_p,Q_{p-1})$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
H^*(Q_p,Q_{p-1})\cong \bigoplus_{F\mid \operatorname{rk} F=p}H^*(F,F_{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из пп. 1 и 2 следует, что определенные члены листа $E_1$ тривиальны, как изображено на рис. 1. 0-я строка $(E^{p,0}_1,d^1)$ совпадает с дифференциальным комплексом
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &\to H^0_T(X_0)\stackrel{\delta_0}{\to} H^{1}_T(X_1,X_0)\stackrel{\delta_1}{\to}\dotsb \\ &\dotsb\stackrel{\delta_{k-2}}{\to}H^{k-1}_T(X_{k-1},X_{k-2})\stackrel{\delta_{k-1}}{\to}H^{k}_T(X,X_{k-1})\to 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Этот комплекс есть компонента степени 0 неаугментированной версии последовательности Атьи–Бредона–Франца–Пуппе
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &\to H^*_T(X)\stackrel{i^*}{\to} H^*_T(X_0)\stackrel{\delta_0}{\to} H^{*+1}_T(X_1,X_0)\stackrel{\delta_1}{\to}\dotsb \\ &\dotsb\stackrel{\delta_{k-2}}{\to}H^{*+k-1}_T(X_{k-1},X_{k-2})\stackrel{\delta_{k-1}}{\to}H^{*+k}_T(X,X_{k-1})\to 0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
(см. подробности в [5]). Для эквивариантно формальных действий последовательность (3.4) точна согласно результатам Бредона [11] (случай рациональных коэффициентов) и Франца–Пуппе [17] (случай целых коэффициентов при условии связности стабилизаторов). Следовательно, при переходе от листа $E_1^{*,*}$ к листу $E_2^{*,*}=H(E_1^{*,*},d^1)$ вся 0-я строка зануляется, за исключением члена $E_2^{0,0}\cong H^0_T(X)\cong R$. Таким образом, второй лист спектральной последовательности имеет вид, изображенный на рис. 2. Отсюда следует, что $E_\infty^{p,q}=0$ при $0<p+q\leqslant j+1$, и, следовательно, $\widetilde{H}_i(Q)=0$ при $i\leqslant j+1$, что доказывает п. 3 предложения. Для доказательства п. 4 обрежем спектральную последовательность, ассоциированную с фильтрацией (3.2), в $r$-м члене. В этом случае при переходе от $E_1$ к $E_2$ образуется дополнительный нетривиальный член $E^{r,0}_2$ в самой правой позиции $0$-й строки. Если $r\geqslant j+2$, то мы по-прежнему имеем $E_\infty^{p,q}=0$ при $p+q\leqslant j+1$, и, следовательно, $\widetilde{H}_i(Q_r)=0$ при $i\leqslant j+1$. Иначе, если $r<j+2$, обнуление в спектральной последовательности гарантирует лишь $(r-1)$-ацикличность пространства $Q_r$. Это рассуждение завершает доказательство п. 4. Предложение доказано. Следствие 3.12. Если действие тора $T$ на $X$ эквивариантно формально и $j$-независимо, то каждая грань $F\subset Q=X/T$ является $(j+1)$-ацикличной. Доказательство. Если $\operatorname{rk} F<j$, то $\operatorname{compl} X_F=0$ согласно лемме 3.8, а значит, $F=X_F/T$ ациклично по предложению 3.10. Если $\operatorname{rk} F\geqslant j$, то индуцированное действие тора на гранном многообразии $X_F$ является $j$-независимым согласно лемме 3.8, а значит, $F=X_F/T$ является $(j+1)$-ацикличным по предложению 3.11.
§ 4. Топология множества гранейНапомним, что $S(X)$ обозначает ч.у. множество граней пространства орбит $Q$ (или ч.у. множество гранных подмногообразий в $X$), упорядоченных по включению. Пусть $S(X)_r$ – подмножество всех граней ранга $\leqslant r$. Через $|S|$ обозначена геометрическая реализация ч.у. множества $S$, т.е. геометрическая реализация порядкового комплекса $\operatorname{ord} S$ (симплициального комплекса, симплексами которого являются цепи в ч.у. множестве $S$). Следующее утверждение есть почти очевидное следствие предложения 3.11. Следствие 4.1. Пусть действие тора $T$ на $X$ эквивариантно формально и $j$-независимо. Тогда геометрическая реализация $|S(X)_{r}|$ является $(r-1)$-ацикличным пространством при $r<j$. Доказательство. Как отмечалось ранее, при $r<j$ фильтрация по типу орбит на $Q_r$ является фильтрацией гомологического клеточного комплекса с регулярными клетками (в основном благодаря предложению 3.10). Используя стандартные рассуждения с использованием спектральных последовательностей, можно доказать изоморфизм $H_*(|S(X)_{r}|)\cong H_*(Q_r)$ для регулярных гомологических клеточных комплексов (см., например, [24; предложение 5.14] или [2; предложение 2.7]). Доказательство завершается применением п. 4 предложения 3.11. Более сложным рассуждением доказывается более сильный результат. Теорема 4.2. Пусть действие тора $T$ на многообразии $X$ эквивариантно формально и $j$-независимо. Тогда геометрическая реализация $|S(X)_{r}|$ является $\min(r-1,j+1)$-ацикличной для любого $r>0$. Напомним несколько полезных утверждений из теории гомотопических копределов, необходимых для доказательства. Конструкция 4.3. Пусть $S$ – конечное ч.у. множество, а $\operatorname{cat}(S)$ – конечная категория, объектами которой являются элементы $s\in S$ и существует ровно один морфизм $s_1\to s_2$, если $s_1\leqslant s_2$ (в противном случае морфизмов нет). Топологическая диаграмма формы $S$ – это функтор $D\colon\operatorname{cat}(S)\to \mathrm{Top}$ в категорию топологических пространств. Любой топологической диаграмме $D$ можно сопоставить два топологических пространства: копредел $\operatorname{colim}_S D$ и гомотопический копредел $\operatorname{hocolim}_SD$. Копредел – это синоним словосочетания “прямой предел диаграммы” в категории топологических пространств. Гомотопический копредел – это модифицированная версия копредела, приспособленная для работы с гомотопическими эквивалентностями. Доступное изложение теории гомотопических копределов и их применения в комбинаторной топологии можно найти в работе [27]. Существует постоянная диаграмма $\ast\colon\operatorname{cat}(S)\to\mathrm{Top}$, которая сопоставляет любому элементу $s\in S$ одноточечное пространство $\operatorname{pt}$. Из определений следует, что $\operatorname{colim}_S\ast$ есть конечное множество точек, соответствующих связным компонентам множества $|S|$, в то время как $\operatorname{hocolim}_S\ast$ совпадает с самой геометрической реализацией $|S|$. Конструкция 4.4. Пусть тор $T$ действует на гладком многообразии $X$. Рассмотрим диаграмму $D_Q\colon \operatorname{cat}(S(X))\to\mathrm{Top}$, сопоставляющую каждой грани $F$ (как абстрактному элементу ч.у. множества $S(X)$) грань $F$ (как топологическое пространство) и имеющую в качестве морфизмов естественные включения граней. Поскольку ч.у. множество $S(X)$ имеет наибольший элемент (само пространство $Q$), имеем $\operatorname{colim}_{S(X)}D_Q=Q$. Гладкие торические действия обладают эквивариантной клеточной структурой (см. [21]). Отсюда следует, что включения подграней $F_1\hookrightarrow F_2$ в пространстве орбит $Q=X/T$ допускают согласованные клеточные структуры, т.е. являются корасслоениями. Более того, это же рассуждение доказывает, что диаграмма $D_Q$ кофибрантна. Следовательно, имеется гомотопическая эквивалентность
$$
\begin{equation}
\operatorname{hocolim}_{S(X)} D_Q\simeq \operatorname{colim}_{S(X)}D_Q.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Пусть $t$ – фиксированное натуральное число. Определение 4.5. Отображение $\psi\colon X\to Y$ топологических пространств называется $t$-эквивалентностью, если для любой отмеченной точки $b$ индуцированный гомоморфизм $\psi_*\colon \pi_r(X,b)\to\pi_r(Y,\psi(b))$ является изоморфизмом при $r<t$ и эпиморфизмом при $r=t$. Лемма 4.6 (лемма о сильной гомотопии; см. [9; лемма 2.8]). Пусть $D_1$, $D_2$ – две диаграммы формы $S$. Пусть $\alpha\colon D_1\to D_2$ – морфизм диаграмм такой, что для любого $s\in S$ отображение $\alpha_s\colon D_1(s)\to D_2(s)$ является $t$-эквивалентностью. Тогда индуцированное отображение из $\operatorname{hocolim}_SD_1$ в $\operatorname{hocolim}_SD_2$ также является $t$-эквивалентностью. Как и стоило ожидать, у этого утверждения имеется гомологический аналог. Определение 4.7. Отображение $\psi\colon X\to Y$ называется гомологической $t$-эквивалентностью (над кольцом $R$), если индуцированный гомоморфизм есть изоморфизм при $r<t$ и эпиморфизм при $r=t$. Лемма 4.8. Пусть $D_1$, $D_2$ – две диаграммы формы $S$. Пусть $\alpha\colon D_1\to D_2$ – морфизм диаграмм такой, что для каждого $s\in S$ отображение $\alpha_s\colon D_1(s)\to D_2(s)$ является гомологической $t$-эквивалентностью. Тогда индуцированное отображение из $\operatorname{hocolim}_SD_1$ в $\operatorname{hocolim}_SD_2$ также является гомологической $t$-эквивалентностью. Хотя рассуждения из работы [9], используемые в доказательстве леммы 4.6, работают и в ее гомологической версии, мы приводим альтернативное доказательство, опирающееся на спектральные последовательности. Напомним, что любая диаграмма пространств (CW-комплексов) задает спектральную последовательность. Предложение 4.9 (см. [15; предложение 15.12]). Пусть $D\colon I\to \mathrm{Top}$ – диаграмма над малой категорией $I$, а $h_*(\cdot)$ – обобщенная теория гомологий. Тогда имеется спектральная последовательность Дифференциалы последовательности имеют вид $d_r\colon E_{p,q}^r\to E^r_{p-r,q+r-1}$. Здесь $h_q(D)$ обозначает диаграмму абелевых групп, полученную почленным применением функтора $h_q(\cdot)$ к топологической диаграмме $D$. Модуль $H_p(I;\mathcal{A})$ обозначает гомологии малой категории $I$ с коэффициентами в функторе $\mathcal{A}$. Эти гомологии можно определить одним из двух эквивалентных способов, описанных ниже. 1. $H_p(I;\cdot)=\underrightarrow{\lim}_p(\cdot)$ есть $p$-й левый производный функтор функтора прямого предела
$$
\begin{equation*}
\underrightarrow{\lim}\colon \operatorname{Funct}(I,\mathrm{Ab})\to\mathrm{Ab},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{Ab}$ – категория абелевых групп, а $\operatorname{Funct}(I,\mathrm{Ab})$ – категория диаграмм формы $I$ абелевых групп. 2. $H_p(I;\mathcal{A})$ – есть гомологии цепного комплекса
$$
\begin{equation*}
C_p(I;\mathcal{A})=\bigoplus_{x_0\to\dots\to x_p}\mathcal{A}(x_0),
\end{equation*}
\notag
$$
определенного на нерве категории $I$. Эквивалентность этих двух конструкций доказана в [25]. Докажем лемму 4.8, используя предложение 4.9. Доказательство леммы 4.8. Морфизм диаграмм $\alpha\colon D_1\to D_2$ индуцирует морфизм спектральных последовательностей Поскольку $\alpha\colon D_1(s)\to D_2(s)$ является гомологической $t$-эквивалентностью для каждого элемента $s\in S$, индуцированный гомоморфизм $\alpha_*\colon E_{p,q}^r(D_1)\to E_{p,q}^r(D_2)$ является изоморфизмом при $p+q<t$ или $(p+q=t) \& (q<t)$ и эпиморфизмом при $(p,q)=(0,t)$. Это можно доказать индукцией по номеру листа $r$. Из описанных свойств следует, что гомоморфизм $\alpha_*\colon H_{p+q}(\operatorname{hocolim}_ID_1)\to H_{p+q}(\operatorname{hocolim}_ID_2)$ является изоморфизмом при $p+q<t$ и эпиморфизмом при $p+q=t$. Следовательно, $\alpha$ индуцирует $t$-эквивалентность гомотопических копределов. Лемма доказана. Теперь докажем теорему 4.2. Доказательство теоремы 4.2. Пусть $D_Q\colon\operatorname{cat}(S(X))_r\to\mathrm{Top}$ – диаграмма граней, определенная в конструкции 4.4, а $\ast\colon \operatorname{cat}(S(X))_r\to\mathrm{Top}$ – постоянная диаграмма (сопоставляющая каждому элементу одноточечное множество). Имеется естественный морфизм диаграмм $\alpha\colon D_Q\to\ast$. Каждая грань $F\in S(X)$ является $(j+1)$-ацикличной согласно следствию 3.12. Следовательно, $\alpha$ есть $(j+2)$-эквивалентность на каждом элементе диаграммы. Из леммы 4.8 следует, что индуцированное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{hocolim}_{S(X)_r}D_Q\to \operatorname{hocolim}_{S(X)_r}\ast
\end{equation*}
\notag
$$
является гомологической $(j+2)$-эквивалентностью. В силу того, что диаграмма $D_Q$ кофибрантна, имеем гомотопическую эквивалентность $\operatorname{hocolim}_{S(X)_r}D_Q\simeq \operatorname{colim}_{S(X)_r}D_Q$. Копредел $\operatorname{colim}_{S(X)_r}D_Q$ гомеоморфен $r$-остову $Q_r$ по определению. Пространство $Q_r$ является $\min(r-1,j+1)$-ацикличным согласно предложению 3.11. Следовательно, пространство $\operatorname{hocolim}_{S(X)_r}\ast \cong |S(X)_r|$ также является $\min(r-1,j+1)$-ацикличным. Теорема доказана. Эти рассуждения доказывают п. 1 теоремы 1.1. Пункт 2 следует из п. 1, поскольку подмножество $S(X)_{\leqslant s}$ естественно изоморфно множеству $S(Y)$, где $Y$ – это гранное подмногообразие, соответствующее элементу $s\in S(X)$. Доказательство теоремы 1.1 завершено. § 5. Действия сложности $1$ в общем положенииВ этом и следующем параграфах доказана теорема 1.2. Частный случай ацикличности используется для описания алгебры эквивариантных когомологий многообразия $X^{2n}$ с эквивариантно формальным $(n-1)$-независимым действием тора $T^{n-1}$ при $n\geqslant 5$. В этом частном случае описание сводится к теории горенштейновых алгебр граней аналогично действиям сложности 0, которые изучались в [24]. Как и для действий сложности 0, мы используем теорему Горески–Коттвица–МакФерсона для описания эквивариантных когомологий. Напомним основы ГКМ-теории (см. подробности в работах [18], [23]). Обычно под термином ГКМ-многообразие понимается комплексное алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора. Однако нам потребуется топологическая версия ГКМ-теории. Определение 5.1. $2n$-мерное (ориентируемое связное) компактное многообразие $X$ с действием тора $T=T^k$ называется ГКМ-многообразием (аббревиатура фамилий авторов: Горески, Коттвица, МакФерсона), если выполнены следующие условия: 1) $X$ эквивариантно формально; 2) множество $X_0=X^T$ неподвижных точек конечно и не пусто; 3) действие является 2-независимым. Следующее предложение довольно стандартно и часто берется за определение ГКМ-многообразия. Предложение 5.2. 1-мерный эквивариантный остов $X_1$ ГКМ-многообразия является объединением $T$-инвариантных 2-сфер. Каждая инвариантная 2-сфера соединяет две неподвижных точки. Следствие 5.3. 1-остов $Q_1=X_1/T$ пространства орбит является графом с множеством вершин $Q_0\cong X_0$, ребра которого соответствуют инвариантным 2-сферам между неподвижными точками. Обозначим через $\operatorname{star}(p)$ множество ребер, инцидентных данной вершине $p$ графа. Если $e\in\operatorname{star}(p)$ – ребро, соединяющее неподвижную точку $p$ с неподвижной точкой $q$, то определен вес $\alpha(pq)\in\operatorname{Hom}(T^k,T^1)$. Этот вес соответствует неприводимому слагаемому в касательном представлении $\tau_pX$, которое касается инвариантной 2-сферы, соответствующей ребру $e$. Легко видеть, что $\alpha(pq)=\pm\alpha(qp)$. Определение 5.4. ГКМ-граф $\Gamma$ – это конечный регулярный $n$-валентный граф $(V,E)$ вместе с функцией $\alpha\colon E\to \operatorname{Hom}(T^k,T^1)$, которая удовлетворяет условию $\alpha(pq)=\pm\alpha(qp)$ для всех ребер $e=(pq)$. Функция $\alpha$ называется осевой функцией. Числа $k$ и $n$ называются соответственно рангом и размерностью ГКМ-графа $\Gamma$. Определение 5.5. ГКМ-граф $\Gamma$ со связностью – это ГКМ-граф, оснащенный дополнительной структурой: связностью. Связность $\theta$ – это набор биекций $\theta_{(pq)}\colon \operatorname{star}(p)\to \operatorname{star}(q)$, определенных для всех ребер $e=(pq)$ графа и удовлетворяющих условиям: 1) $\theta_{e}e=e$ для любого ребра $e$; 2) $\theta_{(qp)}^{-1}=\theta_{(pq)}$; 3) целочисленный вектор $\alpha(\theta_{(pq)}e)-\alpha(e)$ коллинеарен весу $\alpha(pq)$ для любого ребра $e\in\operatorname{star}(p)$. Предложение 5.6 (см. [10; теорема 3.4]). Если $X$ – ГКМ-многообразие, то его 1-остов $Q_1$ является ГКМ-графом. Если, кроме того, действие тора на $X$ является $3$-независимым, то $Q_1$ оснащен канонической связностью. Обозначим через $\Gamma(X)$ ГКМ-граф, соответствующий действию тора на многообразии $X$. Определения $j$-независимости и граней действия имеют следующие аналоги для абстрактных ГКМ-графов. Определение 5.7. ГКМ-граф $\Gamma$ называется $j$-независимым, если для любой вершины $p$ графа $\Gamma$ значения осевой функции на любых $\leqslant j$ ребрах из множества $\operatorname{star}(p)$ линейно независимы над $\mathbb Q$. Из предложения 5.6 (вернее, его аналога для абстрактных ГКМ-графов) следует, что при $j\geqslant 3$ на $j$-независимом ГКМ-графе однозначно определена связность $\theta$. Определение 5.8 (см. [19; определение 1.4.2]). Рассмотрим абстрактный ГКМ-граф $\Gamma$ со связностью. Связный подграф $\Gamma'\subset \Gamma$ называется вполне геодезической гранью ранга $r$, если он является ГКМ-графом ранга $r$ и для любого ребра $pq\in \Gamma'$ выполнено $\theta_{pq}(\operatorname{star}(p)\cap \Gamma')=\operatorname{star}(q)\cap \Gamma'$. В дальнейшем для простоты мы используем термин грань ГКМ-графа вместо словосочетания “вполне геодезическая грань”. Если грань имеет размерность $d$, то мы называем ее $d$-гранью. Если грань графа имеет коразмерность 1, назовем ее гипергранью. Конструкция 5.9. Если $Y$ – гранное подмногообразие в ГКМ подмногообразии $X$, то граф $\Gamma(Y)$ естественно является гранью графа $\Gamma(X)$. Грани такого типа мы называем геометрическими гранями ГКМ-графа $\Gamma(X)$. Не всякая грань графа $\Gamma(X)$ обязана быть геометрической. Простейший пример доставляет многообразие полных флагов $\mathrm{Fl}_3$: его ГКМ-граф имеет три негеометрических вполне геодезических грани, см. [7; рис. 2]. Обозначим через $S(\Gamma)$ ч.у. множество граней ГКМ-графа $\Gamma$, упорядоченных по включению. Хотя это ч.у. множество вообще говоря не совпадает с ч.у. множеством $S(X)$ геометрических граней, множество $S(X)$ можно восстановить по ГКМ-графу $\Gamma(X)$, см. [7]. Лемма 5.10. Рассмотрим $j$-независимое ГКМ действие на многообразии $X$, $j\geqslant 3$, и, как следствие, $\Gamma(X)$ – $j$-независимый ГКМ-граф со связностью. Тогда любые $\leqslant j-1$ ребер, выходящих из одной вершины, порождают единственную грань графа $\Gamma(X)$. Эта грань геометрическая. Доказательство см. в [7; предложение 5.7]. Определение 5.11. Ребро $e$ графа $\Gamma$, инцидентное вершине грани $H$, называется трансверсальным к $H$, если $e$ не является ребром графа $H$. Рассмотрим $n$-валентный $j$-независимый абстрактный ГКМ-граф $\Gamma$. Если $j\geqslant 3$, то любые два ребра, выходящие из одной вершины, определяют $2$-грань $\Xi$. Заметим, что с комбинаторной точки зрения $2$-грань является простым циклом. Имеем отображение монодромии: композицию отображений связности вдоль ребер цикла. Эта монодромия действует на множестве ребер, инцидентных (любой заданной) вершине грани $\Xi$. Лемма 5.12. Если ГКМ-граф $j$-независим и $j\geqslant 4$, то отображение монодромии вдоль любой 2-грани действует тождественно на множестве трансверсальных ребер. Доказательство. Рассмотрим произвольное трансверсальное ребро $e$ к грани $\Xi$ в вершине $p$. Это трансверсальное ребро вместе с двумя ребрами грани $\Xi$, инцидентными к вершине $p$, порождает 3-грань, поскольку $j\geqslant 4$. Следовательно, параллельный перенос вдоль грани $\Xi$ переводит ребро $e$ обратно в себя (поскольку это ребро должно оставаться в 3-грани в процессе переноса). Так как $e$ было выбрано произвольным, лемма доказана. Условие $j\geqslant 4$ в лемме 5.12 нельзя ослабить. Отображение монодромии $\mu_F$ может быть нетривиальным при $j=3$, как показывают следующие примеры. Пример 5.13. Рассмотрим естественное действие тора $T^3$ на комплексном многообразии Грассмана $\mathrm{Gr}_{4,2}$ всех $2$-плоскостей в $\mathbb C^4$. Это действие сложности 1 в общем положении. Его ГКМ-граф изображен на рис. 3, a. Сам граф вложен в $\mathbb R^3$ как остов правильного октаэдра, а значения его осевой функции соответствуют геометрическим направлениям прямых ребер октаэдра в $\mathbb R^3$. Треугольная грань октаэдра соответствует гранному подмногообразию $\mathbb{C}P^2$ в многообразии $\mathrm{Gr}_{4,2}$. Треугольная грань является 2-гранью в ГКМ смысле. Имеется ровно два трансверсальных ребра к этой грани к каждой вершине. Легко видеть, что отображение монодромии вдоль треугольной грани переставляет эти два трансверсальных ребра. Пример 5.14. Имеется естественное действие тора $T^3$ на кватернионной проективной плоскости $\mathbb{H}P^2$. Это действие сложности $1$ в общем положении, аналогично предыдущему примеру. Подробный анализ граней этого действия был проведен в работе [4]. ГКМ-граф схематично изображен на рис. 3, b: у него три вершины, каждые две соединены парой ребер. Как и раньше, монодромия вдоль любой треугольной грани переставляет трансверсальные ребра. Также верно, что монодромия вдоль любого двуугольника переставляет трансверсальные ребра. Лемма 5.12 утверждает, что монодромия тождественно действует на трансверсальных ребрах в случае действий с большой степенью независимости весов. Монодромия вдоль 2-грани тем не менее может не быть тождественной на ребрах самой этой грани. Следующее утверждение легко следует из определения связности. Лемма 5.15. Монодромия вдоль 2-грани тождественна на ребрах этой грани в том и только том случае, когда грань является циклом четной длины. Введем еще несколько комбинаторных определений. Определение 5.16. ГКМ-граф $\Gamma$ называется двудольным, если он двудолен как обычный граф (без осевой функции). Граф $\Gamma$ называется четным, если любая 2-грань графа $\Gamma$ является циклом четной длины. Граф двудолен в том и только том случае, когда его вершины можно правильно раскрасить в два цвета. Из двудольности графа очевидно следует его четность. Обратное также верно при условии, что любой замкнутый путь в графе $\Gamma$, рассматриваемый как элемент фундаментальной группы $\pi_1(\Gamma)$, является композицией 2-граней графа. Определение 5.17. $n$-валентный ГКМ-граф $\Gamma$ называется сбалансированным, если существует раскраска его ребер в $n$ цветов со следующими условиями. 1. Для любой вершины $p$ все ребра из $\operatorname{star}(p)$ покрашены в различные цвета. 2. Связность сохраняет цвет. Если граф $\Gamma$ сбалансирован, то любая его вполне геодезическая грань тоже сбалансирована. Таким образом, условие сбалансированности влечет четность. Цель оставшейся части параграфа – доказать обратное утверждение для действий сложности 1 в общем положении. Предложение 5.18. Пусть $X=X^{2n}$ – односвязное ГКМ-многообразие с гладким эффективным действием тора $T=T^{n-1}$ сложности 1 в общем положении, и пусть $n\geqslant 5$. Если ГКМ-граф $\Gamma(X)$ четный, то он сбалансированный. Доказательство. Граф $\Gamma(X)$ является $(n-1)$-независимым графом размерности $n$ и ранга $n-1$. Поскольку $n\geqslant 5$, можно применить лемму 5.12: ребро $e$ сохраняется монодромией вдоль любой $2$-грани, трансверсальной к $e$. С другой стороны, поскольку граф четный, также применима лемма 5.15, согласно которой монодромия вдоль любой 2-грани, содержащей ребро $e$, также переводит это ребро в себя. Таким образом, монодромия тривиальна вдоль любого замкнутого пути из подгруппы в $\pi_1(\Gamma(X))$, порожденной 2-гранями графа $\Gamma(X)$.
Докажем, что 2-грани порождают всю группу $\pi_1(\Gamma(X))$. Рассмотрим пространство орбит $Q$ многообразия $X$ и его эквивариантные остовы $Q_0\,{\subset}\, Q_1\,{\subset}\, Q_2$. Пространство $Q_1$ гомеоморфно графу $\Gamma(X)$. Пространство $Q_2$ является гомологическим клеточным комплексом согласно предложению 3.11. Однако в размерностях 1 и 2 любая гомологическая клетка является настоящей клеткой. Из условия независимости действия следует, что пространство $Q_2$ является 1-ацикличным. Объединяя это условие с односвязностью, получаем $\pi_1(Q_2)=1$. Следовательно, любой замкнутый путь в $Q_1=\Gamma(X)$ порожден границами 2-клеток. Мы доказали, что монодромия действует тривиально. Теперь можно раскрасить ребра из $\operatorname{star}(p)$ в $n$ цветов произвольным образом и разнести эту раскраску на все прочие вершины при помощи отображений связности. Поскольку все монодромии тождественны, процедура корректно определяет правильную раскраску ребер. Предложение доказано. Определение 5.19. ГКМ-граф $\Gamma$ называется графом с гипергранями, если для каждой вершины $p$ и ребра $e\in\operatorname{star}(p)$ существует гипергрань графа $\Gamma$, порожденная ребрами $\operatorname{star}(p)\setminus\{e\}$. Доказательство. Если $\Gamma$ имеет размерность $n$ и правильную раскраску $c\colon E_\Gamma\to[n]=\{1,\dots,n\}$, то гипергранями являются связные компоненты подграфов вида $\Gamma_i=c^{-1}([n]\setminus\{i\})$, $i\in[n]$. Лемма доказана. Примеры 5.13 и 5.14 показывают, что ГКМ-графы $\Gamma(\mathrm{Gr}_{4,2})$ и $\Gamma(\mathbb{H}P^2)$ не являются графами с гипергранями. Однако из предложения 5.18 и леммы 5.20 получаем Следствие 5.21. В условиях теоремы 1.2 ГКМ-граф $\Gamma(X)$ является графом с гипергранями. Несложно видеть, что в описанном случае все грани графа $\Gamma(X)$ являются либо геометрическими (это грани размерностей $\leqslant n-2$ и весь граф целиком), либо гипергранями, чье существование утверждается следствием 5.21. Таким образом, ч.у. множество $S(\Gamma(X))$ является двойственно симплициальным в том смысле, что любой верхний порядковый идеал $S(\Gamma(X))_{\geqslant s}$ изоморфен булевой решетке. Пусть $S(\Gamma(X))^*$ обозначает ч.у. множество с обращенным порядком – это симплициальное ч.у. множество. Замечание 5.22. Кажется, что для действия $T^{n-1}$ на $X^{2n}$ в общем положении ГКМ-граф может обладать гипергранями и при более слабых условиях, чем описано выше. В первой версии этой работы наличие гиперграней доказывалось для случая $n\geqslant 5$ без требования двудольности ГКМ-графа. Однако в этом доказательстве обнаружилась ошибка, которую мы не смогли исправить. Нам не известны примеры графов сложности 1 в общем положении при $n\geqslant 5$, у которых нет гиперграней. § 6. Когомологии и кольца гранейНапомним основную теорему, которая применяется для описания кольца эквивариантных когомологий ГКМ-многообразия. Теорема 6.1 (теорема Горески, Коттвица и МакФерсона). Пусть $X$ – ГКМ-многообразие, а $\Gamma(X)$ – его ГКМ-граф с множеством вершин $V=X^T$, множеством ребер $E$ и осевой функцией $\alpha$. Рассмотрим $H^*(BT)$-алгебру где значение $\alpha(pq)$ рассматривается как элемент модуля $H^2(BT)$. Тогда имеет место естественный изоморфизм градуированных $H^*(BT)$-алгебр ГКМ-теорема дает явное описание кольца $H^*(BT)$ как подкольца в прямой сумме $\bigoplus_{p\in X^T}H^*(BT)$. Обычно нужны дополнительные рассуждения, если требуется описать кольцо $H_T^*(\Gamma(X))$ в терминах образующих и соотношений. Классическими примерами являются гладкие торические многообразия и квазиторические многообразия: их кольца эквивариантных когомологий описываются как алгебры Стенли–Райснера. Более общий класс примеров был описан в [24]: кольцо эквивариантных когомологий эквивариантно формального тор-многообразия изоморфно кольцу граней соответствующего симплициального ч.у. множества. В настоящей работе мы переносим некоторые идеи из работы [24] на случай действий сложности 1 в общем положении, ГКМ-графы которых обладают гипергранями. В дальнейшем кольца когомологий вычисляются с коэффициентами в $R\,{=}\,\mathbb Q$. В этом параграфе изучаются эквивариантно формальные действия тора $T=T^{n-1}$ на многообразии $X=X^{2n}$ сложности 1 в общем положении и предполагается, что у графа $\Gamma(X)$ есть гиперграни. Следовательно, $S(\Gamma(X))^*$ является симплициальным ч.у. множеством, см. § 5. Для симплициального ч.у. множества определено понятие кольца граней – обобщение кольца Стенли–Райснера. Определение 6.2. Кольцо граней $R[\Gamma(X)]$ симплициального ч.у. множества $S(\Gamma(X))^*$ – это факторкольцо где идеал $\mathcal{I}$ порожден соотношениями вида где $E$ пробегает по всем связным компонентам пересечения $F\cap H$, а $F\vee H$ обозначает наименьший элемент множества $S(\Gamma(X))^*$, содержащий оба элемента $F$ и $H$. Кольцо $R[\Gamma(X)]$ является градуированным коммутативным кольцом с градуировкой $\deg v_F=2\operatorname{codim} F=2(n-\dim F)$. Заметим, что элемент $F\vee H$ однозначно определен при условии $F\cap H\neq \varnothing$. В противном случае, при $F\,{\cap}\, H=\varnothing$ результат суммирования по пустому множеству предполагается нулевым, поэтому определять элемент $F\vee H$ не требуется. Элементы степени $2$ множества $R[\Gamma(X)]$ называются линейными. Градуированная компонента $R[\Gamma(X)]_2$ порождена элементами $v_F$, где $F$ – гипергрань. Теорема 6.3. Пусть $\Gamma(X)$ – ГКМ-граф, удовлетворяющий условиям выше. Тогда существует ненулевая линейная форма $\eta\in R[\Gamma(X)]_2$ такая, что кольцо $H^*_T(X)$ изоморфно факторкольцу $R[\Gamma(X)]/(\eta)$. Доказательство во многом повторяет рассуждения из работы [24] о действиях сложности 0. Ключевым инструментом доказательства является понятие класса Тома грани ГКМ-графа, мы вводим это понятие ниже. Для корректности определения требуется одно техническое замечание. Мы предполагаем, что на ГКМ-многообразии задана омниориентация (ориентация всех гранных подмногообразий), а также задана омниориентация ГКМ-графа. Последнее означает, что все ребра графа $\Gamma$ предполагаются ориентированными, а значения осевой функции чувствительны к смене ориентации, т.е. $\alpha(pq)=-\alpha(qp)$. Конструкция 6.4. Пусть $F$ – (вполне геодезическая) грань омниориентированного ГКМ-графа $\Gamma$ со связностью и множеством вершин $V$. Рассмотрим элемент кольца $\bigoplus_{p\in V}H^*(BT)$, который называется классом Тома грани $F$: Значением этого элемента в вершине $p$ грани $F$ является произведение всех трансверсальных к $F$ весов в вершине $p$. Элемент $\tau_F$ однородный, его степень равна $2(n-\dim F)$ – удвоенной коразмерности грани $F$. Из определения связности в графе $\Gamma$ легко следует, что $\tau_F$ принадлежит подмодулю $H_T^*(\Gamma)\subset \bigoplus_{p\in V}H^*(BT)$. Из общей конструкции и теоремы 6.1 следует, что если $X$ – ГКМ-многообразие, а $F$ – грань его ГКМ-графа, то класс Тома $\tau_F$ – это корректно определенный элемент модуля $H^{2(n-\dim F)}_T(X)$. Класс Тома определен даже в случае, когда грань $F$ не геометрическая. Однако если грань $F$ – это ГКМ-граф гранного подмногообразия $Y\subset X$, то элемент $\tau_F$ эквивариантно двойственен по Пуанкаре к подмногообразию $Y\subset X$. Иными словами, $\tau_F$ является образом единицы при эквивариантном гомоморфизме Гизина $H^0_T(Y)\to H^{2n-2\dim F}(X)$. Этот факт несложно доказать, поскольку локализация элемента $\tau_F$ в неподвижной точке $p\in X^T=V$ – это либо класс Эйлера нормального подпространства к $Y\subset X$ в точке $p$ (если $p\in Y$), либо нуль (если $p\notin Y$). Вернемся к действиям сложности 1 в общем положении, обладающим гипергранями. Можно заметить, что элементы $\tau_F$, определенные для всех граней $F$ графа $\Gamma(X)$, удовлетворяют алгебраическим соотношениям из определения 6.2 кольца граней. Лемма 6.5. Для действия сложности 1 в общем положении, обладающего гипергранями, классы Тома граней графа $\Gamma(X)$ удовлетворяют соотношениям Доказательство следует из локализации этого соотношения в каждой неподвижной точке $p$, см. [24; лемма 6.3]. Таким образом, сопоставление $v_F\mapsto \tau_F$ определяет гомоморфизм Доказательство. Рассуждение, аналогичное [24; предложение 7.4], показывает, что $H^*_T(X)$ порожден элементами $\tau_F$ как модуль над $H^*(BT)$, а модуль $H^2(BT)$ порожден над $R$ элементами вида $\tau_G$, где $G$ – гиперграни. Лемма следует из этих соображений. Предложение 6.7. Пусть $X$ – ГКМ-многообразие размерности $2n$ с эквивариантно формальным действием тора сложности 1 в общем положении, и допустим, что у графа $\Gamma(X)$ есть гиперграни. Тогда существует ненулевая линейная форма $\eta\in R[\Gamma(X)]$ такая, что $\varphi(\eta)=0$ и $\varphi$ индуцирует изоморфизм Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
где гомоморфизм $\psi$ порожден отображением $v_F\to \tau_F(p)$ для всех неподвижных точек $p\in X^T$. Вертикальный гомоморфизм $r$ инъективен, поскольку действие эквивариантно формально (см., например, ГКМ модель из теоремы 6.1). Вертикальный гомоморфизм $s$ тоже инъективен: это следует из того факта, что алгебра граней является алгеброй с выпрямляющим правилом (см., например, [12; теорема 3.5.6] и замечание после этого утверждения). Заметим, что каждое слагаемое $R[\Gamma(X)]/(v_H\mid p\notin H)$ в выражении слева изоморфно алгебре многочленов от $n$ переменных (см. объяснение ниже). Поскольку $\dim T=n-1<n$, слагаемое $H^*(BT)$ справа является алгеброй многочленов от $n-1$ переменных. Таким образом, отображение $\psi$ сюръективно, но не инъективно, даже в градуировке 2. Из коммутативности диаграммы (6.2) следует, что ядро $\ker\varphi$ содержит ненулевую линейную форму $\eta=\sum_{i=1}^m c_i\tau_i$, где $c_i\in R$, а $\tau_i$ – классы Тома гиперграней графа $\Gamma(X)$. Получаем $r(\varphi(\eta))=0$ и, следовательно, $\sum_{i=1}^mc_i\tau_{i}(p)=0$ для любой неподвижной точки $p\in X^T$. Имеем $\tau_{i}(p)\neq0$ в том и только том случае, когда $p$ является вершиной гиперграни, соответствующей элементу $\tau_i$. Поскольку элементы $\tau_{i}(p)$ порождают модуль $H^2(BT)$, имеющий ранг $n-1$, вектор коэффициентов $(c_1,\dots,c_m)$ определен однозначно с точностью до общего множителя. Отсюда следует, что эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\overline{\varphi}\colon R[\Gamma(X)]/(\eta)\to H^*_T(X),
\end{equation*}
\notag
$$
индуцированный эпиморфизмом $\varphi$, – это изоморфизм в градуировке 2. Заметим, что все числа $c_i$ ненулевые. Действительно, с каждой неподвижной точкой $p\,{\in}\, X^T$ ассоциируются $n$ касательных весов $\alpha_{p,1},\dots,\alpha_{p,n}\,{\in} \operatorname{Hom}(T,T^1)\cong \mathbb Z^{n-1}$ в этой точке. Имеется единственное (с точностью до множителя) линейное соотношение на эти векторы: $\sum_{j\in [n]}c'_j\alpha_{p,j}=0$. Коэффициенты $c'_j$ ненулевые, поскольку любые $n-1$ касательных весов линейно независимы, см. подробности в [3]. Число $c'_j$ совпадает с числом $c_i$, соответствующим гиперграни, трансверсальной к весу $\alpha_{p,j}$ в точке $p$. Факторизуя идеалы, порожденные формой $\eta$ в коммутативной диаграмме (6.2), получаем новую коммутативную диаграмму Здесь $\overline{s}$ инъективен, поскольку инъективен $s$. Действительно, поскольку $\eta=\sum_{i=1}^mc_i\tau_i$ и $\tau_i(p)\neq0$ в том и только том случае, когда соответствующая гипергрань содержит $p$, мы получаем
$$
\begin{equation}
R[\Gamma(X)]/(\eta)/(v_H\mid p\notin H)=R[\tau_i\mid i\in I(p)]/\biggl(\sum_{i\in I(p)} c_i\tau_i\biggr),
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где $I(p)=\{i\mid \tau_i(p)\neq0\}$. Поскольку $|I(p)|=n$, а коэффициенты $c_i$ ненулевые, кольцо в выражении (6.4) изоморфно кольцу $H^*(BT)$. Из этого факта и сюръективности гомоморфизма $\overline{\psi}$ следует, что гомоморфизм $\overline{\psi}$ является изоморфизмом, откуда следует утверждение. Поскольку оба гомоморфизма $\overline{s}$ и $\overline{\psi}$ инъективны, из коммутативности диаграммы (6.3) следует, что эпиморфизм $\overline{\varphi}$ инъективен во всех градуировках, что завершает доказательство предложения. Из предложения 6.7 следует теорема 6.3. Объединяя ее со следствием 5.21, получаем доказательство теоремы 1.2. Замечание 6.9. Поскольку многообразие $X$ эквивариантно формально, алгебра эквивариантных когомологий $H^*_T(X)\cong R[\Gamma(X)]/(\eta)$ является свободным модулем над кольцом $H^*(BT)$. Это кольцо, в свою очередь, реализовано как подалгебра в $H^*_T(X)$, порожденная линейными формами $\theta_1,\dots,\theta_{n-1}$. Следовательно, $\theta_1,\dots,\theta_{n-1}$ – это регулярная последовательность в кольце $R[\Gamma(X)]/(\eta)$. Заметим, что $\eta$ – регулярный элемент в кольце $R[\Gamma(X)]$, поскольку его локализация в любой неподвижной точке $p\in X^T$ ненулевая. Таким образом, в кольце $R[\Gamma(X)]$ имеется регулярная последовательность $\eta,\widetilde{\theta}_1,\dots,\widetilde{\theta}_{n-1}$ длины $n$, в которой $\widetilde{\theta}_i$ – это некоторое поднятие элемента $\theta_i$ в кольце $R[\Gamma(X)]$. Поскольку фактор $R[\Gamma(X)]/(\eta,\widetilde{\theta}_1,\dots,\widetilde{\theta}_{n-1})\cong H^*(X)$ есть конечномерное векторное пространство, мы имеем максимальную регулярную последовательность. Таким образом, кольцо $R[\Gamma(X)]$ является кольцом Коэна–Маколея. Более того, поскольку фактор является алгеброй с двойственностью Пуанкаре, кольцо $R[\Gamma(X)]$ горенштейново. Следовательно, симплициальное ч.у. множество $S(\Gamma(X))^*$ тоже является горенштейновым (см. [26]). Более того, оно является горенштейновым* ч.у. множеством, поскольку элемент старшей градуировки в факторалгебре $R[\Gamma(X)]/(\eta,\widetilde{\theta}_1,\dots,\widetilde{\theta}_{n-1})\cong H^*(X)$ имеет степень в точности $2n$. Отсюда следует, что геометрические реализации ч.у. множества $S(\Gamma(X))^*$, а также линков всех его симплексов являются гомологическими сферами. Завершим работу одним наблюдением, которое связывает когомологии многообразия $X$ с когомологиями его гранных подмногообразий. Пусть $Y$ – гранное подмногообразие в $X$ такое, что пересечение любой грани графа $\Gamma(X)$ с подграфом $\Gamma(Y)$ либо пусто, либо связно. Из предложения 6.7 следует, что гомоморфизм ограничения сюръективен – если граф $\Gamma(X)$ обладает гипергранями. В общем случае это не верно. Пример 6.10. В качестве продолжения примера 5.13 рассмотрим многообразие $X=\mathrm{Gr}_{4,2}$. Пусть $Y$ – гранное подмногообразие в $\mathrm{Gr}_{4,2}$, диффеоморфное $\mathbb{C}P^1\times \mathbb{C}P^1$. Оно соответствует квадратному экваториальному циклу в октаэдре, изображенному на рис. 3, a. Гомоморфизм ограничения $\iota^*\colon H^2_T(\mathrm{Gr}_{4,2})\to H^2_T(\mathbb{C}P^1\times \mathbb{C}P^1)$ не сюръективен: просто потому что ранг модуля справа больше, чем ранг модуля слева. Заметим, однако, что в этом примере сюръективность гомоморфизма ограничения имеет место в старших градуировках. Предложение 6.11. Пусть $X$ – ГКМ-многообразие сложности 1 в общем положении. Если пересечение любой геометрической грани графа $\Gamma(X)$ с подграфом $\Gamma(Y)$ либо пусто, либо связно, то гомоморфизм ограничения $\iota^*$ в (6.5) сюръективен в градуировках $\geqslant 4$. Доказательство. Рассмотрим модули $H^*_T(X)$ и $H^*_T(Y)$ как когомологии ГКМ-графов $\Gamma(X)$ и $\Gamma(Y)$. Для любой грани $G$ подграфа $\Gamma(Y)$ коразмерности $\geqslant 2$ найдется грань $F$ графа $\Gamma(X)$ такая, что $F$ и $\Gamma(Y)$ трансверсально пересекаются в вершинах грани $G$. Поскольку $F$ тоже имеет коразмерность $\geqslant 2$ в $X$, она является геометрической гранью. Из условия следует, что $G=F\cap \Gamma(Y)$, поскольку такое пересечение состоит из одной компоненты связности. Получаем $\iota^*(\tau_F)=\tau_G$, откуда следует утверждение. БлагодарностиАвторы благодарят Федора Павутницкого, от которого узнали про работы Квиллена о спектральных последовательностях гомотопических копределов. Последний автор хотел бы поблагодарить Синтаро Куроки за многочисленные плодотворные обсуждения ГКМ-теории. Также авторы признательны Ивану Лимонченко, заметившему неточность в доказательстве второй теоремы, которая присутствовала в первой версии этой работы. Авторы благодарны анонимным рецензентам за множество полезных замечаний, которые помогли улучшить стиль изложения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AyzMasSol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|