| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Алгебра долей, полные двудольные графы и П. А. Зиноваa, М. Э. Казарянab a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Центр перспективных исследований, Сколковский институт науки и технологий, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9795e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВесовые системы – функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющие так называемым четырехчленным соотношениям, – играют важную роль при изучении инвариантов узлов. Инварианты узлов конечного порядка, введенные около 1990 г. В. А. Васильевым в [1], могут быть выражены в терминах весовых систем. В свою очередь, как показал М. Концевич в [2], над полем характеристики нуль всякая весовая система порождается некоторым инвариантом конечного порядка. Имеется несколько основных источников весовых систем. К числу наиболее богатых из них относится предложенная Д. Бар-Натаном в [3] и М. Концевичем в [2] конструкция весовой системы, связанной с конечномерной алгеброй Ли, наделенной невырожденной инвариантной билинейной формой. Такая весовая система принимает значения в центре универсальной обертывающей алгебры этой алгебры Ли. Простейшая нетривиальная такая весовая система строится по алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$. Инвариант узлов, которому она соответствует, – крашеный многочлен Джонса. Значение такой весовой системы на хордовой диаграмме порядка $n$ представляет собой многочлен степени $n$ от элемента Казимира алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$; старший коэффициент этого многочлена равен единице. Для этой весовой системы имеются рекуррентные соотношения Чмутова–Варченко (см. [4]), однако даже в этом простейшем случае вычисление значения весовой системы на конкретной хордовой диаграмме оказывается сложной задачей, в которой долго не было существенных продвижений, и они достигнуты лишь в самое последнее время. Согласно теореме Чмутова–Ландо (см. [5]), значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовой диаграмме зависит только от ее графа пересечений, поэтому можно говорить о значениях $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графах пересечений. Недавний результат П. Е. Закорко (см. [6]) доказывает явную формулу для значений этой весовой системы на полных графах, высказанную в качестве гипотезы С. К. Ландо. Цель настоящей статьи – дать явные формулы для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы еще на одном обширном классе графов – на полных двудольных графах. Хордовая диаграмма представляет собой ориентированную окружность с конечным набором хорд на ней, рассматриваемую с точностью до сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности. Доля (share) в хордовой диаграмме – это пара непересекающихся дуг окружности таких, что если один из концов хорды лежит на одной из этих дуг, то это же справедливо и для второго конца этой хорды. Всевозможные доли порождают (бесконечномерное) векторное пространство, и мы определяем $\mathfrak{sl}_2$-весовую систему на нем. Эта весовая система принимает значения в коммутативной подалгебре тензорного квадрата $U(\mathfrak{sl}_2) \otimes U(\mathfrak{sl}_2)$ универсальной обертывающей алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, порожденной тремя элементами, которые мы обозначаем через $c_1$, $c_2$, $\xi$. Для этой весовой системы справедливы аналоги четырехчленных соотношений и рекуррентных шестичленных соотношений Чмутова–Варченко. Мы рассматриваем факторпространство векторного пространства долей по этим соотношениям. Оно также наделяется структурой ассоциативной алгебры, если задать умножение долей как конкатенацию долей. Для каждого элемента такого пространства есть представление в виде линейной комбинации долей более простого вида, значение весовой системы на которых имеет вид $ (c_1-1)^{k_1}(c_2- 1)^{k_2}c_1^{n_1}c_2^{n_2}\xi^N$, $k_1, k_2, n_1, n_2, N \in \mathbb N \cup \{ 0 \}$. Из наличия такого представления следует, что $\mathfrak{sl}_2$-весовая система задает гомоморфизм из алгебры долей в алгебру многочленов от $\xi$ с коэффициентами, представляющими собой многочлены от $c_1$, $c_2$. Мы вводим, следуя Закорко (см. [6]), операторы $S_1$ и $X$ на алгебре долей и соответствующие им (в смысле указанного гомоморфизма) операторы на алгебре многочленов. Пользуясь шестичленными соотношениями Чмутова–Варченко и четырехчленными соотношениями, мы выводим рекуррентные формулы для действия операторов $X$ и $S_1$. С помощью этих рекуррентных формул мы получаем производящую функцию для матричных коэффициентов $s_{i,m}$, $m=0,1,2,\dots$, $i=0,1,2,\dots,m$, оператора $S_1$ в базисе $1,\xi,\xi^2,\dots$ . Кроме этого, мы вычисляем явно старшие матричные коэффициенты $s_{m,m}$. Оказывается, что $s_{m,m}=c-m(m+1)/2$. Для вывода явных формул мы вводим специализацию – отображение из алгебры долей в алгебру производящих функций, мономы в которой отвечают полным двудольным графам. Пользуясь этой специализацией, мы получаем формулу, которая выражает обыкновенную производящую функцию $G_m$ для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах $K_{0,m}, K_{1,m},\dots$ через производящие функции $G_0, G_1, \dots, G_{m-1,m}$ и матричные коэффициенты оператора $S_1$. Для $m=0,1,2,3,4$ производящие функции $G_m$ были ранее вычислены первым автором (см. [7], [8]). Разработанные в настоящей статье методы вычисления этих функций для всех значений $m$ гораздо более универсальны и могут применяться в значительном количестве других ситуаций. Знание производящих функций $G_m$ позволяет рекуррентно вычислить значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на любом полном двудольном графе. Более того, из наших вычислений следует, что производящие функции $G_m$ представляют собой некоторые линейные комбинации явно заданных геометрических прогрессий. Отсюда мы выводим, что значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекции полного двудольного графа на пространство примитивных представляет собой многочлен степени не выше чем количество вершин в меньшей из долей полного двудольного графа. Это доказывает в частном случае полных двудольных графов гипотезу С. К. Ландо о том, что в случае произвольного графа пересечений эта степень не превышает половину окружения (длины максимального цикла, circumference) графа. Статья имеет следующую структуру. В § 2 мы напоминаем основные понятия, связанные с хордовыми диаграммами и весовыми системами. Параграф 3 посвящен описанию $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы и ее свойств. В § 4 вводится алгебра долей и $\mathfrak{sl}_2$-весовая система на ней. В § 5 мы выводим явные формулы для производящих функций для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах. § 2. Алгебры Хопфа графов и хордовых диаграммВ этом параграфе мы напоминаем структуры алгебры Хопфа на пространствах графов и хордовых диаграмм. Затем мы обсуждаем пространство примитивных элементов, с которым связана гипотеза, частный случай которой мы доказываем. Коассоциативной коалгеброй с коединицей над полем $\mathbb K$ называется векторное пространство $C$ над полем $\mathbb K$ с отображениями
$$
\begin{equation*}
\mu \colon C\to C\otimes C, \qquad \varepsilon \colon C\to \mathbb K,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющими условиям
$$
\begin{equation*}
(\mathrm{id}_C\otimes \mu)\circ \mu=(\mu \otimes \mathrm{id}_C)\circ \mu, \qquad (\mathrm{id}_C\otimes \varepsilon)\circ \mu=\mathrm{id}_C=(\varepsilon \otimes \mathrm{id}_C)\circ \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Биалгеброй над полем $\mathbb K$ называется векторное пространство $B$ над $\mathbb K$, являющееся одновременно ассоциативной алгеброй с умножением $m$ и единицей $\eta$ и коассоциативной коалгеброй с коумножением $\mu$ и коединицей $\varepsilon$, для которых выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu \circ m=(m \otimes m) \circ (\mathrm{id}\otimes \tau \otimes \mathrm{id}) \circ (\mu \otimes \mu), \\ \varepsilon \otimes \varepsilon=\varepsilon \circ m, \qquad \eta \otimes \eta=\mu \circ \eta, \qquad \mathrm{id}=\varepsilon \circ \eta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\tau \colon B\otimes B\to B\otimes B$ обозначено отображение, меняющее сомножители местами. Алгебра Хопфа над полем $\mathbb K$ – ассоциативная и коассоциативная биалгебра $H$ с единицей, коединицей и антиподом – таким $\mathbb K$-линейным отображением $S \colon H \to H$, что (в прежних обозначениях) выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
m \circ (S \otimes \mathrm{id}) \circ \mu=\eta \circ \varepsilon=m \circ (\mathrm{id} \otimes S) \circ \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
В контексте настоящей статьи антипод не играет никакой роли, так что мы имеем дело в действительности с биалгебрами. Тем не менее, следуя традиции, мы будем использовать термин “алгебры Хопфа”. Впрочем, мы предполагаем всюду ниже, что характеристика основного поля $\mathbb{K}$ равна нулю. Кроме этого, все используемые нами алгебры Хопфа коммутативны и кокоммутативны. В этом случае имеется естественный выбор антипода, так что использование термина “алгебра Хопфа” вполне оправдано. 2.1. Алгебра Хопфа графовПод графом мы понимаем класс изоморфизма простых (т.е. не имеющих кратных ребер и петель) конечных графов. Формальные линейные комбинации графов образуют векторное пространство, градуированное количеством вершин графа. Произведение графов $G_1$ и $G_2$ – это их несвязное объединение: $G_1 G_2:=G_1 \sqcup G_2$. Такое умножение продолжается на пространство графов по линейности. Оно согласовано с градуировкой и задает на пространстве графов структуру градуированной алгебры. Обозначим через $V(G)$ множество вершин графа $G$. Действие коумножения $\mu$ на графе $G$ определено так:
$$
\begin{equation*}
\mu(G):=\sum_{U\subset V(G)} G|_{U}\otimes G|_{V(G)\setminus U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $G|_U$ обозначен подграф в $G$, индуцированный подмножеством $U\subset V(G)$ множества его вершин. Здесь и ниже под термином “подграф” мы будем понимать подграф, индуцированный заданным подмножеством вершин. Как и умножение, коумножение продолжается на линейные комбинации графов по линейности и согласовано с градуировкой, т.е. мы ввели на пространстве графов структуру градуированной коалгебры. Более того, справедливо Утверждение 1. Введенные выше умножение и коумножение, вместе с естественно определяемыми единицей, коединицей и антиподом, задают на пространстве графов структуру градуированной коммутативной и кокоммутативной алгебры Хопфа. Эта структура алгебры Хопфа на пространстве графов введена в [9]. Обозначим через $\mathscr G$ алгебру Хопфа графов, а через $\mathscr G_n$ – однородное векторное подпространство в ней, натянутое на графы с $n$ вершинами, $n=0,1,2,\dots$, так что
$$
\begin{equation*}
\mathscr G=\mathscr G_0\oplus \mathscr G_1 \oplus \mathscr G_2 \oplus \dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
Четырехчленным элементом в пространстве графов называется линейная комбинация вида где $A$, $B$ – какие-то две вершины графа, $G'_{AB}$ – граф $G$, в котором инцидентность вершин $A$ и $B$ изменена на противоположную; $\widetilde G_{AB}$ – граф $G$, в котором для каждой вершины, соединенной с $B$, ее инцидентность с вершиной $A$ изменена на противоположную. Отметим, что все графы, входящие в четырехчленный элемент, имеют одинаковое число вершин. Обозначим через $\mathscr F_n$ факторпространство векторного пространства $\mathscr G_n$ по векторному подпространству, натянутому на четырехчленные элементы с $n$-вершинными графами. Пространство
$$
\begin{equation*}
\mathscr F=\mathscr F_0\oplus \mathscr F_1 \oplus \mathscr F_2 \oplus \dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
наделено индуцированной из $\mathscr G$ структурой градуированной алгебры Хопфа, см. [10]. 2.2. Алгебра Хопфа хордовых диаграммОпределение 1. Хордовая диаграмма порядка $n$ – ориентированная окружность с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ непересекающихся пар, рассматриваемая с точностью до диффеоморфизмов окружности, сохраняющих ее ориентацию. Для наглядности на рисунках точки, образующие одну пару, мы соединяем отрезком прямой или кривой, который и называем хордой. Векторное пространство, образованное линейными комбинациями хордовых диаграмм, градуировано. Каждая компонента градуировки – векторное пространство, порожденное хордовыми диаграммами одного порядка. Четырехчленным элементом в пространстве хордовых диаграмм называется линейная комбинация диаграмм, приведенная на рис. 1. В этой линейной комбинации все четыре диаграммы содержат одинаковый набор хорд, отличных от двух изображенных, причем концы хорд этого набора могут лежать только на участках окружности, изображенных штриховой линией. Обыкновенной толстой линией обозначены участки, на которых нет концов других хорд. Если на таком участке лежат два конца хорд, мы будем называть такие концы соседними. Такие обозначения будут использоваться и в дальнейшем. Приравнивая нулю четырехчленные элементы в пространстве хордовых диаграмм, мы получаем четырехчленные соотношения. Определение 2. Дуговая диаграмма порядка $n$ – ориентированная прямая с выбранными на ней $2n$ попарно различными точками, разбитыми на $n$ пар, рассматриваемая с точностью до диффеоморфизмов прямой, сохраняющих ориентацию. Каждая из этих $n$ пар точек изображается дугой в верхней полуплоскости, соединяющей точки. Если выбрать на хордовой диаграмме точку, отличную от концов хорд, и “разрезать” хордовую диаграмму в этой точке, получится представление хордовой диаграммы в виде дуговой диаграммы (см. пример на рис. 2). У хордовой диаграммы порядка $n$ может быть до $2n$ различных представлений в виде дуговой диаграммы. Напротив, дуговая диаграмма однозначно определяет соответствующую хордовую диаграмму. Произведение хордовых диаграмм $C_1$ и $C_2$ – это хордовая диаграмма, соответствующая дуговой диаграмме, полученной последовательным соединением двух произвольных дуговых представлений диаграмм $C_1$ и $C_2$ (рис. 3). Произведение хордовых диаграмм корректно определено (т.е. результат не зависит от выбора точек разрыва) по модулю четырехчленных соотношений. Обозначим через $V(C)$ множество хорд диаграммы $C$. Коумножение $\mu$ хордовых диаграмм определено так:
$$
\begin{equation*}
\mu(C):=\sum_{U\subset V(C)} C|_{U}\otimes C|_{V(C)\setminus U}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $C|_{U}$ обозначена хордовая диаграмма, состоящая из подмножества $U\subset V(C)$ множества хорд хордовой диаграммы $C$. Умножение и коумножение продолжаются на линейные комбинации хордовых диаграмм по линейности и согласованы с градуировкой. Утверждение 2 (см. [2]). Определенные выше операции умножения и коумножения задают на факторпространстве пространства хордовых диаграмм по подпространству, порожденному четырехчленными элементами, с определенными выше операцией умножения и коумножения структуру алгебры Хопфа. Обозначим эту алгебру Хопфа через $\mathscr C$. Будем называть ее алгеброй Хопфа хордовых диаграмм, подразумевая, что хордовые диаграммы рассматриваются с точностью до четырехчленного соотношения. 2.3. Граф пересеченийГраф пересечений $\gamma(C)$ хордовой диаграммы $C$ – это граф, вершины $V(\gamma(C))$ которого соответствуют хордам $V(C)$ диаграммы $C$ и вершины $v_a$ и $v_b$ в котором соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие хорды $a$ и $b$ пересекаются (т.е. их концы $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$ расположены вдоль окружности в следующем порядке: $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$). Утверждение 3 (см. [10]). Отображение, сопоставляющее хордовой диаграмме ее граф пересечений, продолжается до градуированного гомоморфизма алгебр Хопфа $\mathscr C\to \mathscr F$. Существуют графы, не являющиеся графами пересечений никакой хордовой диаграммы. Кроме этого, отметим, что у двух разных хордовых диаграмм может быть один и тот же граф пересечений. 2.4. Проекция на пространство примитивных элементовКак нетрудно видеть, примитивные элементы образуют векторное подпространство в биалгебре. Поскольку всякая однородная составляющая примитивного элемента примитивна, в градуированной биалгебре это векторное подпространство также градуировано. Утверждение 4 (теорема Милнора–Мура; см. [11]). Над полем характеристики нуль всякая связная коммутативная и кокоммутативная градуированная биалгебра изоморфна полиномиальной биалгебре, порожденной ее примитивными элементами. Условие связности биалгебры состоит в том, что ее нулевая однородная компонента изоморфна самому полю. Разложимые элементы (т.е. произведения однородных элементов меньшей градуировки) порождают векторное подпространство во всяком однородном пространстве градуированной биалгебры. Из теоремы Милнора–Мура вытекает, что каждое однородное подпространство раскладывается в прямую сумму подпространства, порожденного разложимыми элементами, и подпространства примитивных элементов. Поэтому корректно определена проекция $\pi$ каждого однородного подпространства на подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых. Утверждение 5 (см. [10], [12]). Проекция $\pi(G)$ произвольного графа $G$ на подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых элементов в алгебре Хопфа $\mathscr G$ имеет вид где $V_1, V_2, V_3, \dots$ – непересекающиеся непустые подмножества множества вершин $V(G)$ графа $G$. § 3. $\mathfrak{sl}_2$-весовая система на хордовых диаграммахВ этом параграфе мы напоминаем необходимые сведения о весовой системе, связанной с алгеброй Ли $\mathfrak{sl}_2$. Наше изложение в целом следует [13]. 3.1. Определение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммахПусть $A$ – алгебра над полем $\mathbb{K}$. Линейная функция $w \colon \mathscr C\to A$ называется весовой системой на $\mathscr C$. Другими словами, весовая система – функция на хордовых диаграммах, равная нулю на всяком четырехчленном элементе. Весовая система называется мультипликативной, если ее значение на произведении любых двух хордовых диаграмм равно произведению ее значений на сомножителях, т.е. если она является гомоморфизмом алгебр. Далее мы рассматриваем только случай $\mathbb{K}={\mathbb C}$, $A={\mathbb C}[c]$ – кольцо многочленов от одной переменной. Пусть $\mathfrak g$ – конечномерная комплексная алгебра Ли размерности $m$. Пусть $(\cdot , \cdot)$ – невырожденная билинейная инвариантная форма на $\mathfrak g$. Инвариантность означает, что для любых $x,y,z \in \mathfrak g$ выполнено равенство $([x,y], z)=(x,[y,z ])$. Пусть $X=\lbrace x_1, x_2, \dots, x_m \rbrace$ – ортонормированный базис в $\mathfrak g$. Обозначим через $U(\mathfrak g)$ универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли $\mathfrak g$. Рассмотрим отображение $w_{\mathfrak g} \colon \mathscr C\to U(\mathfrak g)$, которое строится следующим образом. Пусть $C$ – хордовая диаграмма, $A$ – какое-то ее представление в виде дуговой диаграммы, $V(A)$ – множество дуг этой дуговой диаграммы, $\nu \colon V(A) \to \lbrace 1, 2, \dots, m \rbrace$ некоторая расстановка индексов от $1$ до $m$ на дугах диаграммы. Поставим в соответствие диаграмме $A$ и разметке $\nu$ элемент $w_X(A,\nu) \in U(\mathfrak g)$ следующим образом: для каждой дуги $v \in V(A)$ напишем на обоих ее концах элемент $x_{\nu(v)} \in X$ и обозначим через $w_X(A, \nu)$ результат перемножения этих элементов слева направо. Обозначим через $w_X(A)$ сумму по всем возможным разметкам:
$$
\begin{equation}
w_X(A):=\sum_{\nu\colon V(A)\to\{1,\dots,m\}} w_X(A,\nu).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Так, значение весовой системы, отвечающей алгебре Ли с ортонормированным базисом $x_1,\dots, x_m$, на дуговой диаграмме с рис. 4 равно
$$
\begin{equation*}
\sum_{i_1=1}^m\sum_{i_2=1}^m \sum_{i_3=1}^m \sum_{i_4=1}^m \sum_{i_5=1}^m x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}x_{i_2}x_{i_4}x_{i_1}x_{i_5}x_{i_3}x_{i_4}x_{i_5}.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 6 (см. [2]). 1) Для любого элемента $C\in \mathscr C$ результат такой операции определен однозначно и не зависит от выбора представления хордовой диаграммы $C$ в виде дуговой диаграммы. 2) Для любой дуговой диаграммы $A$ элемент $w_X(A)$ лежит в центре универсальной обертывающей алгебры: $w_X(A) \in Z(U(\mathfrak g))$. 3) Значение $w_X(A)$ с точностью до умножения на одну и ту же константу для всех хордовых диаграмм не зависит от выбора ортонормированного базиса. 4) Полученное таким образом отображение хордовых диаграмм в $ Z(U(\mathfrak g))$ удовлетворяет четырехчленным соотношениям и продолжается тем самым до гомоморфизма коммутативных алгебр. Поскольку произведение хордовых диаграмм задается конкатенацией соответствующих дуговых диаграмм, весовая система, отвечающая алгебре Ли, мультипликативна. Отметим, что описанная конструкция легко модифицируется на случай произвольного, не обязательно ортонормированного, базиса в $\mathfrak g$: нужно лишь ставить на левом конце дуги с индексом $i$ элемент базиса $x_i$, а на правом ее конце – элемент $x_i^*$ двойственного базиса. В таком виде мы и будем ее применять для алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Для алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ – простейшей некоммутативной полупростой алгебры Ли – эта конструкция принимает следующий вид. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2$ порождается тремя элементами $x,y,z$, для которых выполняются соотношения Билинейная форма задается соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (x,x)=(y,y)=(z,z)=-1, \\ (x,y)=(y,z)=(z,x)=0. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Центр универсальной обертывающей алгебры этой алгебры Ли $Z(U(\mathfrak{sl}_2))$ изоморфен алгебре $\mathbb C[c ]$ полиномов от элемента Казимира $c=-x^2-y^2-z^2$. Поэтому формула (3.1) задает отображение $w_{\mathfrak{sl}_2} \colon \mathscr C \to \mathbb C[c ]$. Оно является гомоморфизмом алгебр и называется $\mathfrak{sl}_2$-весовой системой на $\mathscr C$. Из определения сразу вытекает важное для вычислений Следствие 1. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме с одной хордой равно $c$. В [5] доказано следующее нетривиальное утверждение, которое связывает весовую систему $w_{\mathfrak{sl}_2}$ с полиномиальными инвариантами графов. Отметим, что его аналог для более сложных алгебр Ли, например, для $\mathfrak{sl}_3$, уже оказывается неверным. Утверждение 7. Значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на хордовой диаграмме зависит только от ее графа пересечений. Это утверждение позволяет говорить о значениях весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на графах пересечений. 3.2. Свойства $\mathfrak{sl}_2$-весовой системыУтверждение 8 ( соотношения Чмутова–Варченко; см. [4]). Предположим, что граф пересечений хордовой диаграммы $D$ связен, т.е. $D$ не представляется в виде произведения двух хордовых диаграмм меньшего порядка. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Если в диаграмме $D$ есть лист (хорда, пересекающая только одну хорду), то
$$
\begin{equation}
w_{\mathfrak{sl}_2}(D)=(c-1)w_{\mathfrak{sl}_2}(D'),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где через $D'$ обозначена хордовая диаграмма, полученная из $D$ удалением листа. 2. Если в хордовой диаграмме нет листа, то в ней есть тройка хорд, расположенных, как изображено в левой части одного из двух рисунков (3.4), (3.5). 3. Для расположенных таким образом хорд выполняются равенства Соотношения Чмутова–Варченко позволяют рекуррентно вычислить значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на произвольной хордовой диаграмме. Однако их непосредственное применение чрезвычайно трудоемко: шестичленное соотношение заменяет данную хордовую диаграмму пятью более простыми, и предсказать окончательный ответ зачастую весьма непросто. § 4. $\mathfrak{sl}_2$-весовая система на доляхВ этом параграфе мы вводим алгебру долей, описываем ее структуру и определяем $\mathfrak{sl}_2$-весовую систему на долях. 4.1. Доли и обобщенное четырехчленное соотношениеОпределение 4. Доля (share) – это часть хордовой диаграммы, состоящая из таких двух непересекающихся дуг окружности, что если конец хорды лежит на одной из этих дуг, то и другой ее конец лежит на одной из этих дуг. На рис. 5 приведен пример доли в хордовой диаграмме и пример пары дуг, не образующих доли. Дополнение к доле в хордовой диаграмме тоже является долей. Разрезав окружность хордовой диаграммы в произвольной паре точек, отличных от концов хорд, мы получаем долю, дополнение к которой – пустая доля. Замыкание доли (добавление отсутствующих дуг) превращает долю в хордовую диаграмму. Пример такой хордовой диаграммы приведен на рис. 5, c. В литературе (см, например, [14]) известна близкая алгебра $\mathcal A(2)$ хордовых диаграмм на двух нитях. Однако умножение долей устроено иначе, чем в алгебре $\mathcal A(2)$: оно отличается выбором ориентации на одной из двух нитей. Ниже мы будем рассматривать доли с точностью до четырехчленных соотношений, которые получаются из четырехчленного соотношения для хордовых диаграмм “разрезанием” окружности в двух точках, не являющихся концами хорд и не находящихся между соседними концами хорд. Самый важный для нас пример такого соотношения приведен на рис. 6. Утверждение 9 (обобщенное четырехчленное соотношение). Четырехчленное соотношение для долей, приведенное на рис. 6, продолжает выполняться, если “неподвижную” хорду $B$ в нем заменить произвольным набором хорд, образующих одну долю (при этом “подвижная” хорда $A$ остается одиночной хордой). Доказательство. Запишем все четырехчленные соотношения для хорды $A$ и каждой из хорд, входящих в долю $B$, и сложим их. В полученную сумму войдет большое количество слагаемых, которые отличаются лишь одной хордой, полученной из исходной хорды $A$ изменением положения ее “подвижного” конца. Этот конец по очереди пробегает соседние дуги с концами всех хорд, входящих в долю B. При этом на каждой из внутренних дуг, ограниченных концами хорд, входящих в $B$, подвижный конец хорды $A$ войдет дважды с противоположными знаками. Поэтому после сокращения останутся только те четыре слагаемых, которые и входят в доказываемое обобщенное четырехчленное соотношение. Утверждение доказано. 4.2. $\mathfrak{sl}_2$-весовая система на доляхПусть $S$ – доля, $V(S)$ – множество ее хорд, $\nu \colon V(S) \to \lbrace 1, 2, 3\rbrace$ – расстановка индексов $1$, $2$, $3$ на хордах доли $S$. Поставим в соответствие диаграмме $S$ и данной разметке $\nu$ элемент $w(S,\nu)\in U(\mathfrak{sl}_2) \otimes U(\mathfrak{sl}_2)$ следующим образом: для каждой дуги $v\in V(S)$ напишем на одном ее конце элемент $x_{\nu(v)}$ базиса $X=\{x_1, x_2, x_3\}$ алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, а на другом элемент $x_{\nu}^*$ двойственного базиса. Обозначим через $w_X(S,\nu)$ тензорное произведение двух мономов, первый из которых является результатом перемножения элементов, стоящих на нижней дуге, слева направо, а второй – результатом перемножения элементов, стоящих на верхней дуге доли, справа налево. Обозначим через $w_X(S)$ сумму таких элементов по всем возможным разметкам $\nu$. Аналогично утверждению для хордовых диаграмм доказывается Утверждение 10. 1. Значение $w_X(S)$ не зависит от выбора базиса. 2. Полученное таким образом отображение долей в $U(\mathfrak{sl}_2) \otimes U(\mathfrak{sl}_2)$ удовлетворяет четырехчленным соотношениям. Обозначим это отображение через $w_{\mathfrak{sl}_2}$. Его значения на долях  равны соответственно $c_1=c\otimes 1$, $c_2=1\otimes c$, $\xi=-(x\otimes x+y\otimes y+z\otimes z)$ относительно введенного ранее базиса $x,y,z$ в $\mathfrak{sl}_2$, $c=-(x^2+y^2+z^2)$. Утверждение 11. Элементы $c_1,c_2,\xi$ порождают коммутативную подалгебру в алгебре $U(\mathfrak{sl}_2) \otimes U(\mathfrak{sl}_2)$. Из определений весовой системы на хордовых диаграммах и на долях следует, что верно следующее утверждение. Теорема 1. Значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на замыкании доли равно результату подстановки $c_1=c_2=\xi=c$ в значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на этой доле. 4.3. “Нормальная форма” долиФормальные линейные комбинации долей образуют векторное пространство. Обозначим через $\Xi^n$ долю, образованную $n$ попарно непересекающимися хордами с концами на разных дугах; в частности, обозначим через $\mathbf 1=\Xi^0$ долю вида Утверждение 12. 1. Пусть в доле $S$ есть хорда, концы которой лежат на одной и той же дуге, не пересекающая ни одну из хорд доли. Обозначим через $S'$ результат удаления этой хорды из доли $S$. Тогда 2. (Удаление листа.) Пусть в доле $S$ есть лист – хорда, пересекающая только одну хорду, и концы листа лежат на одной и той же дуге. Обозначим через $S'$ результат удаления этой хорды из доли $S$. Тогда
$$
\begin{equation}
w_{\mathfrak{sl}_2}(S) = \begin{cases} (c_1-1)w_{\mathfrak{sl}_2}(S'), &\textit{если оба конца удаляемого листа} \\ &\textit{лежат на нижней дуге}, \\ (c_2-1)w_{\mathfrak{sl}_2}(S'), &\textit{если оба конца удаляемого листа} \\ &\textit{лежат на верхней дуге}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Доказательство. Рассмотрим только случай, когда концы хорды, лежащие на одной дуге, лежат на нижней дуге. Ниже мы обозначаем через $e_1$, $e_2$ произвольные элементы базиса $\lbrace x, y, z \rbrace$, а через $A$, $B$, $C$, $D$ – некоторые мономы от этих элементов, отвечающие выбранной разметке хорд доли. Напомним, что, как следует из (3.2), двойственный базис равен $\lbrace -x, -y, -z\rbrace$. Зафиксируем разметку всех хорд доли, отличных от рассматриваемой.
1. Вклад всех возможных разметок ребра $e_1$ в значение весовой системы $w_{\mathfrak{sl}_2}(S')$ равен сумме $-\sum_{e_1=x, y, z} Ae_1^2B\otimes C$, так как при вычислении получаются разметки следующего вида: $-(Ax^2B\otimes C+Ay^2B\otimes C+Az^2B\otimes C)=-A(x^2+y^2+z^2)B\otimes C$. Поскольку $-(x^2+y^2+z^2)=c$ – центральный элемент в $U(\mathfrak{sl}_2)$, это выражение равно $cAB\otimes C=(c\otimes 1)AB\otimes C$, что и требовалось.2. Из предыдущего пункта следует, что вклад разности $w_{\mathfrak{sl}_2(S)}-c_1 w_{\mathfrak{sl}_2}(S')$ равен вкладу в значение $w_{\mathfrak{sl}_2}$ на следующей линейной комбинации долей: Вычислим соответствующее значение весовой системы, учитывая, что $e_1^*=-e_1$, $e_2^*=-e_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{e_1, e_2 \in \lbrace x, y, z \rbrace} Ae_1 e_2 e_1^* B\otimes C e_2^* D-Ae_1 e_1^* e_2 B\otimes Ce_2^* D \\ &\qquad =\sum_{e_1, e_2 \in \lbrace x, y, z \rbrace} Ae_1 [e_2, e_1^* ] B\otimes Ce_2^* D \\ &\qquad =Ax[y,x] B\otimes CyD+ Ay[x,y] B\otimes CxD+ Ax[z,x] B\otimes Cz D \\ &\qquad\qquad +Az[x,z ] B\otimes CxD+ Ay[z,y] B\otimes Cz D+ Az[y,z] B\otimes CyD \\ &\qquad =Ax(-z) B\otimes CyD+ Ayz B\otimes CxD+ AxyB\otimes Cz D \\ &\qquad\qquad +Az (-y) B\otimes CxD+ Ay(-x) B\otimes Cz D+ Az xB\otimes CyD \\ &\qquad =AyB\otimes CyD+AxB\otimes CxD+Az B\otimes Cz D. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили значение весовой системы на доле вида
т.е. на доле $-S'$. Утверждение доказано. Утверждение 13. Для $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы верны шестичленные соотношения для долей, получающиеся из шестичленных соотношений Чмутова–Варченко для хордовых диаграмм (3.4), (3.5) “разрезанием” окружности в двух точках, не являющихся концами хорд и не находящихся между соседними концами хорд. (Аналогично тому, как из четырехчленного соотношения для хордовых диаграмм, см. рис. 1, были получены четырехчленные соотношения для долей, см. рис. 6.) Обозначим через $\mathscr S$ факторпространство пространства долей по модулю четырехчленных, шестичленных соотношений и следующих соотношений. 1. Пусть в доле $S$ есть хорда, концы которой лежат на одной и той же дуге, не пересекающая ни одну из хорд доли $S$. Обозначим через $S'$ результат удаления этой хорды из доли $S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S =\begin{cases} c_1 \cdot S', &\text{если оба конца удаляемой хорды} \\ & \text{лежат на нижней дуге}, \\ c_2 \cdot S', &\text{если оба конца удаляемой хорды} \\ &\text{лежат на верхней дуге}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
2. (Удаление листа.) Пусть в доле $S$ есть лист – хорда, пересекающая только одну хорду доли $S$, и концы листа лежат на одной и той же дуге. Обозначим через $S'$ результат удаления этой хорды из доли $S$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S =\begin{cases} (c_1-1)\cdot S', &\text{если оба конца удаляемого листа} \\ &\text{лежат на нижней дуге}, \\ (c_2-1) \cdot S', &\text{если оба конца удаляемого листа} \\ & \text{лежат на верхней дуге}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 14. Доли $\Xi^n$ для $n\,{=}\,0, 1, 2, \dots$ порождают пространство $\mathscr S$ как алгебру над кольцом многочленов от переменных $c_1$, $c_2$. Доказательство. Произвольная доля выражается в виде многочлена от $\Xi$, $c_1$, $c_2$ в пространстве $\mathscr S$ с помощью следующей процедуры. Пусть имеется некоторая доля и выбрана хорда этой доли, оба конца которой принадлежат одной дуге доли. Назовем длиной такой хорды количество концов других хорд, лежащих между концами выбранной. Скажем, что доля $S'$ проще доли $S$, если выполнено одно из следующих условий:
1) у доли $S'$ меньше хорд, чем у доли $S$; 2) доли $S$ и $S'$ имеют одинаковое количество хорд, но у доли $S$ имеются хорды с концами на одной дуге, у доли $S'$ нет таких хорд; 3) доли $S$ и $S'$ имеют одинаковое количество хорд, у доли $S$ имеются хорды с концами на одной дуге, но минимальная длина таких дуг у доли $S'$ меньше аналогичной величины для доли $S$; 4) у обеих долей нет хорд с концами на одной дуге, но у доли $S'$ меньшее количество пар пересекающихся хорд. Мы хотим доказать, что всякая доля в пространстве $\mathscr S$ представима в виде многочлена от переменной $\Xi$, коэффициенты которого зависят от переменных $c_1$, $c_2$. Доказательство состоит в том, чтобы, применяя соотношения в пространстве $\mathscr S$, выразить долю в виде линейной комбинации более простых с помощью упрощающих преобразований. 1. Если у доли имеются хорды длины 0 или 1, то такая доля упрощается при помощи соотношений утверждения 12. 2. Если у доли имеются хорды с концами на одной дуге и минимальная длина таких хорд больше 1, то такая доля упрощается при помощи подходящего шестичленного соотношения. 3. Если у доли нет хорд с концами на одной дуге, но есть пары пересекающихся хорд, то такая доля упрощается при помощи подходящего четырехчленного соотношения. Упрощающие преобразования неприменимы, если у доли все хорды имеют концы на разных дугах и попарно не пересекаются, т.е. доля имеет вид $\Xi^n$ для некоторого $n$. Таким образом, описанная процедура выражает всякую долю в пространстве $\mathscr{S}$ в виде линейной комбинации долей $\Xi^n$ для различных $n$. Утверждение доказано. Тем самым построено отображение из пространства долей с $n$ хордами с точностью до четырехчленного соотношения и соотношений Чмутова–Варченко в модуль многочленов степени $n$ от $\Xi$ над кольцом многочленов от $c_1$, $c_2$. Обозначим это отображение через $f$. 4.4. Операторы добавления хордОпределим в пространстве $\mathscr S$ операторы $X$ и $S_1$, действующие на произвольную долю добавлением одной хорды по следующим правилам (серым отрезком обозначена произвольная доля): Добавление хорды слева эквивалентно добавлению хорды справа, так как это верно для долей вида $\Xi^n$, а любая доля представляется в виде линейной комбинации таких долей. Введем на пространстве многочленов оператор $\widetilde X$ так, чтобы диаграмма была коммутативной. Поскольку $X$ переводит долю $\Xi^n$ в долю $\Xi^{n+1}$, оператор $\widetilde X$ действует в пространстве многочленов умножением на переменную $\xi$. Введем оператор $\widetilde S_1$ так, чтобы была коммутативной аналогичная диаграмма, в верхней строчке которой оператор $X$ заменен оператором $S_1$.Операторы $\widetilde X$ и $\widetilde S$ существуют, поскольку отображение $f$ является изоморфизмом. Действительно, это сюръективный гомоморфизм относительно введенного умножения долей, а инъективность следует из линейной независимости $c_1, c_2, \xi \in U(\mathfrak{sl}_2)\otimes U(\mathfrak{sl}_2)$. Замечание 1. В работе Закорко [6] тоже доказывается, что это изоморфизм, но несколько другим способом. Доказательство. Первые два равенства напрямую следуют из утверждения 12. Для доказательства последнего равенства докажем соответствующее равенство для оператора $S_1$. Подействуем оператором $S_1X^2$ на данную долю и запишем шестичленное соотношение. Получаем Все доли из правой части, кроме последней, выражаются через действие операторов $X$ и $S_1$. Чтобы и последнюю долю выразить через действие этих двух операторов, дважды применим к ней четырехчленное соотношение (соотношения (4.7)–(4.10)), избавившись от лишних пересечений
Подставив (4.8)–(4.10) в (4.7) и затем в (4.6), получаем соотношение в пространстве $F$, которое переписывается в виде равенства операторов:
$$
\begin{equation*}
S_1X^2=2XS_1X-X^2S_1-(S_1X-c_1X+X^2)+(c_1X-c_1^2+c_1S_1)-(XS_1- c_2S_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Это и есть доказываемое равенство. Лемма доказана. Обозначим через $s_{i,m}$ матричные коэффициенты оператора $\widetilde S_1$ в мономиальном базисе, или, что то же самое, матричные коэффициенты оператора $S_1$ в базисе $\mathbf 1, \Xi, \Xi^2, \Xi^3, \dots$: Теорема 2. Матричные коэффициенты $s_{i,m}$ оператора $S_1$ задаются рациональной производящей функцией: Доказательство. Перепишем производящую функцию, используя соотношение (4.5):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{m=0}^{\infty} S_1(\xi^m)t^m=S_1(\mathbf 1)+S_1(\xi)t+t^2 \sum_{m=0}^{\infty}S_1(\xi^2\cdot \xi^m)t^m \\ &\qquad=S_1(\mathbf 1)+S_1(\xi)t +t^2\biggl(\sum_{m=0}^{\infty} \bigl((2\xi-1)S_1(\xi\cdot\xi^m)t^m \\ &\qquad\qquad+(c_1+c_2-\xi^2-\xi) S_1(\xi^m)t^m-(\xi-c_1)^2\xi^m t^m \bigr) \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем производящую функцию в следующем виде, сдвигая на 1 индексы суммирования у первой суммы в правой части:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{m=0}^{\infty} S_1(\xi^m)t^m &=c_1+(c_1-1)\xi t+(2\xi-1)t\biggl (\sum_{m=0}^{\infty} S_1(\xi^m)t^m-c_1 \biggr) \\ &\qquad+t^2(c_1+c_2-\xi^2-\xi)\biggl(\sum_{m=0}^{\infty} S_1(\xi^m)t^m \biggr)-\frac{t^2(\xi-c_1)^2}{1-\xi t}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что После очевидных алгебраических преобразований выражение для производящей функции принимает требуемый вид. Теорема доказана. Следствие 2. Старшие (диагональные) матричные коэффициенты оператора $S_1$ в мономиальном базисе равны Доказательство. Подставив $\xi t$ вместо $t$ и $\xi^{-1}$ вместо $\xi$ в производящий ряд, мы получаем Обе части равенства имеют корректно определенный предел при $\xi\to0$, и, положив $\xi=0$, мы получаем Разложив правую часть в ряд, мы получаем требуемое равенство.
§ 5. Производящие функции для значений $w_{\mathfrak{sl}_2}$-весовой системы на полных двудольных графахВ этом параграфе мы выводим явные формулы для производящих функций, коэффициенты в которых – значения весовой системы $\mathfrak{sl}_2$ на полных двудольных графах. Мы используем полученные результаты для изучения свойств значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях полных графов на пространство примитивных. 5.1. Вывод явных формул для производящих функцийСоединением (join) двух простых графов $G$ и $H$ называется граф, получаемый добавлением к несвязному объединению $G\sqcup H$ этих графов всех ребер, соединяющих вершины графа $G$ с вершинами графа $H$. Для $n=0,1,2,\dots$ будем обозначать через $(G,n)$ граф, являющийся соединением графа $G$ и дискретного графа на $n$ вершинах. Так, если $G$ – тоже дискретный граф на $m$ вершинах, то $(G,n)$ представляет собой полный двудольный граф $K_{m,n}$. Обозначим хордовую диаграмму, граф пересечений которой изоморфен полному двудольному графу $K_{m,n}$, через $B_{m,n}$. Обозначим через $G_m$ производящую функцию для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на диаграммах $B_{m,n}$, $n=0,1,2,\dots$:
$$
\begin{equation}
G_m(t):=\sum_{n=0}^{\infty} w_{\mathfrak{sl}_2}(B_{n,m}) t^n.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Обозначим через $\mathbb C[c][\![ t ]\!]$ алгебру формальных степенных рядов от переменной $t$, коэффициенты которых – многочлены от переменной $c$. Введем линейное отображение $\psi \colon \mathscr S \to \mathbb C[c][\![ t ]\!]$, которое действует на образующих следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi &\colon \Xi^m \mapsto G_m(t), \\ \psi &\colon c_1 \mapsto c, \\ \psi &\colon c_2 \mapsto c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\widehat{S}_1$ оператор $\widehat S_1 \colon \mathbb C[c][\![ t ]\!] \to \mathbb C[c][\![ t ]\!]$ такой, что диаграмма коммутативна. Тогда
$$
\begin{equation}
\widehat S_1 G_m(t)=\sum_{i=0}^{\infty} w_{\mathfrak{sl}_2}(B_{n+1,m}) t^n,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
так как действие оператора $S_1$ добавляет горизонтальную хорду. Существование оператора $\widehat S_1$ следует из линейной независимости производящих функций $G_m$ при различных $m$, которая, в свою очередь, следует из того, что значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовой диаграмме с $k$ вершинами представляет собой многочлен степени $k$. Положим $\widehat s_{i,m}:=s_{i,m}\bigr|_{c_1=c_2=c}$. Теорема 3. Для обыкновенных производящих функций $G_m(t)$ выполнено следующее рекуррентное соотношение: Доказательство.
Из равенства (5.2) и того, что
$$
\begin{equation}
\frac{G_m(t)-c^m}{t}=\sum_{n=0}^{\infty} w_{\mathfrak{sl}_2}(K_{m,n+1})t^n,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
вытекает следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\frac{G_m(t)-c^m}{t}=\sum_{i=0}^m \widehat s_{i,m} G_i, \qquad m=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Для доказательства равенства (5.4) перепишем (5.6) в виде
$$
\begin{equation}
G_m=\frac{1}{1-t\cdot \widehat s_{m,m}}\biggl( c^m+t\sum_{i=0}^{m-1}\widehat s_{i,m}G_i\biggr).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Подставляя значение из следствия 2, получаем требуемое утверждение. Отсюда следует Теорема 4. Обыкновенная производящая функция $G_m(t)$ для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах $K_{0,m}, K_{1,m}, K_{2,m},\dots$ представляет собой линейную комбинацию геометрических прогрессий вида где $p_{m,k}(c)$ – некоторые многочлены. Следствие 3. Экспоненциальная производящая функция для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах $K_{0,m}, K_{1,m}, K_{2,m},\dots$ представляет собой линейную комбинацию вида где $P_{m,k}(c)$ – некоторые многочлены. Из доказательства утверждения 14 и теоремы 4 следует, что верно и более сильное утверждение. Следствие 4. Пусть $\Gamma$ – такой граф, что для любого $n=0,1,2,\dots$ граф $(\Gamma,n)$ – граф пересечений. Тогда обыкновенная производящая функция $G_{\Gamma}(t)=\sum_{j=0}^{\infty} w_{\mathfrak{sl}_2}((\Gamma,m)) t^{n}$ – линейная комбинация геометрических прогрессий вида где $p_{\Gamma,k}(c)$ – некоторые многочлены степени не выше $|V(\Gamma)|$. Следствие 5. Пусть $\Gamma$ – такой граф, что для любого $n=0,1,2,\dots$ граф $(\Gamma,n)$ – граф пересечений. Тогда экспоненциальная производящая функция $\mathcal G_{\Gamma}(t)=\sum_{j=0}^{\infty} w_{\mathfrak{sl}_2}((\Gamma,m))t^{n}/n!$ – линейная комбинация вида где $P_{\Gamma,k}(c)$ – некоторые многочлены степени не выше $|V(\Gamma)|$. 5.2. Значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях полных двудольных графов на пространство примитивныхВ этом пункте мы выведем из следствия 3 важное утверждение про значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях полных двудольных графов на подпространство примитивных. Теорема 5. Экспоненциальная производящая функция $\mathcal P_m(t)$ для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях полных двудольных графов $K_{0,m}, K_{1,m}, K_{2,m},\dots$ представляет собой линейную комбинацию вида $\sum_{k=0}^m F_{m,k}(c)\exp(kt)$, где $F_{m,k}(c)$ – некоторый многочлен степени не выше $m$. Доказательство. Пространство линейных комбинаций графов вида $(H,k)$, где $H$ – подграф в данном графе $G$, образует подалгебру Хопфа в алгебре Хопфа графов. Введем экспоненциальные производящие функции
$$
\begin{equation*}
{\mathcal G}_G(t):=t^{|V(G)|}\sum_{n=0}^{\infty} (G,n)\frac{t^n}{n!}
\end{equation*}
\notag
$$
для графов вида $(G,n)$ и
$$
\begin{equation*}
{\mathcal P}_G(t):=t^{|V(G)|}\sum_{n=0}^{\infty} \pi((G,n))\frac{t^n}{n!}
\end{equation*}
\notag
$$
для их проекций на примитивные. В работе [8] первого автора получена следующая формула, выражающая производящую функцию для проекций на примитивные через производящие функции для самих таких графов:
В случае полных двудольных графов граф $G=K_{0,m}$ и все его подграфы представляют собой дискретные графы. Значение $w_{\mathfrak{sl}_2} (K_1)$ равно $c$, поэтому
$$
\begin{equation*}
w_{\mathfrak{sl}_2}(\mathcal G_{|V_i|}) \exp (-w_{\mathfrak{sl}_2}(K_1) t)=\sum_{k=0}^{|V_i|} P_{|V_i|,k}(c)\exp\biggl(-\frac{k(k+1)}{2}t\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что значение весовой системы на проекции графа $K_{j,m}$ представляет собой многочлен степени не выше чем сумма степеней многочленов $P_{|V_i|,k}$. Для доказательства того, что эта сумма не превышает $m$, достаточно доказать, что степень многочлена $P_{|V_i|,k}$ не превышает $|V_i|$, т.е. для каждого $m$ степень многочлена $P_{m,k}$ в выражении (5.8) не превышает $m$. Это действительно так, потому что в противном случае степень значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на графе с $m+n$ вершинами превышала бы $m+n$. Теорема доказана. Аналогичным образом из следствия 5 вытекает Следствие 6. Пусть $\Gamma$ – такой граф, что для любого $n=0,1,2,\dots$ граф $(\Gamma,n)$ – граф пересечений. Тогда экспоненциальная производящая функция $\mathcal P_{\Gamma}(t)$ $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекциях графов вида $(\Gamma,0), (\Gamma,1), (\Gamma,2), \dots$ представляет собой линейную комбинацию вида $\sum_{k=0}^{|V(\Gamma)|} F_{\Gamma,k}(c)\exp(kt)$, где $F_{\Gamma,k}(c)$ – некоторый многочлен степени не выше $|V(\Gamma)|$. Поскольку окружение полного двудольного графа $K_{n,m}$ равно удвоенной величине меньшей из его долей, а окружение графа $(\Gamma,n)$ при $n>|V(\Gamma)|$ не меньше чем $|V(\Gamma)|$ в частном случае полных двудольных графов и графов, приведенных в следствии 6, мы доказали следующую гипотезу. Гипотеза 1 (С. К. Ландо). Значение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекции хордовой диаграммы на пространство примитивных – многочлен степени не выше половины окружения (т.е. длины наибольшего цикла) ее графа пересечений. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZinKaz23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|