| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Критерий сходимости квантовой относительной энтропии и его использование М. Е. Широков Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9794e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеКвантовая относительная энтропия – важная характеристика квантовых состояний, фундаментальная роль которой в описании информационных и статистических свойств квантовых систем и каналов хорошо известна и достаточно полно описана в литературе (см. обзоры [1]–[3] и соответствующие главы в [4]–[6]). Математически, квантовая относительная энтропия $D(\rho\mathbin{\|}\sigma)$ – это функция пары $(\rho,\sigma)$ квантовых состояний (или, в более общей постановке, положительных ядерных операторов) с достаточно сложным поведением: она не является непрерывной и может принимать бесконечные значения даже в случае конечномерных квантовых систем. Одно из основных аналитических свойств квантовой относительной энтропии – это (совместная) полунепрерывность снизу, что означает
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)\geqslant D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для любых последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ положительных ядерных операторов, сходящихся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ (с возможным значением $+\infty$ в одной или обеих частях). Естественно возникает вопрос об условиях, при которых вместо (1.1) имеет место предельное соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Этот важный для приложений вопрос рассматривался в литературе, см. [3], [4], [7]–[9]. По видимому, первый результат в этом направлении – это лемма 4 в [7], которая утверждает, в частности, что предельное соотношение (1.2) имеет место для последовательностей операторов где $\{P_n\}$ – любая неубывающая последовательность проекторов, сходящаяся к единичному оператору в сильной операторной топологии при условии, что $D(\rho_0\mathbin{\|} \sigma_0)<+\infty$. Настоящее исследование было мотивировано следующим вопросом. Предположим, что предельное соотношение (1.2) имеет место для некоторых последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ состояний составной квантовой системы $AB$, сходящихся соответственно к состояниям $\rho_0$ и $\sigma_0$. Что можно сказать о выполнимости (1.2) для последовательностей $\{[\rho_n]_A\}$ и $\{[\sigma_n]_A\}$ маргинальных состояний системы $A$? Поиск ответа на данный вопрос привел к необходимости получения необходимых и достаточных условий выполнимости предельного соотношения (1.2). В настоящей статье эти условия получены и использованы для доказательства ряда конкретных результатов о выполнимости предельного соотношения (1.2) в некоторых специальных случаях. В частности, получено достаточное условие сходимости квантовой относительной энтропии для счетных сумм последовательностей положительных ядерных операторов, которое усиливает результат о сходимости для конечных сумм, полученный в [9]. Главное, эти условия позволили дать положительный ответ на поставленный выше вопрос в более общей форме, установив следующее свойство (расширенной) квантовой относительной энтропии: из выполнимости (1.2) для последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ положительных ядерных операторов, сходящихся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\Phi(\rho_n)\mathbin{\|} \Phi(\sigma_n)\bigr) =D\bigl(\Phi(\rho_0)\mathbin{\|}\Phi(\sigma_0)\bigr)<+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного вполне положительного линейного отображения $\Phi$. Это свойство можно трактовать как сохранение локальной непрерывности квантовой относительной энтропии при действии вполне положительных линейных отображений. Оно, как оказалось, является следствием (частным случаем) более общего результата, утверждающего, что (1.2) влечет выполнимость предельного соотношения
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(\varrho_n\mathbin{\|} \varsigma_n)=D(\varrho_0\mathbin{\|} \varsigma_0)<+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любых последовательностей $\{\varrho_n\}$ и $\{\varsigma_n\}$ положительных ядерных операторов, сходящихся соответственно к операторам $\varrho_0$ и $\varsigma_0$, таких, что $\varrho_n=\Phi_n(\rho_n)$ и $\varsigma_n=\Phi_n(\sigma_n)$ для всех $n\neq0$, где $\{\Phi_n\}$ – некоторая последовательность вполне положительных линейных отображений с ограниченной операторной нормой (в частности, последовательность квантовых операций).
§ 2. Предварительные сведения2.1. Основные обозначенияПусть $\mathcal{H}$ – сепарабельное гильбертово пространство, $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ – алгебра ограниченных операторов в $\mathcal{H}$ с операторной нормой $\|\cdot\|$ и $\mathfrak{T}( \mathcal{H})$ – банахово пространство ядерных операторов в $\mathcal{H}$ со следовой нормой $\|\cdot\|_1$. Пусть $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ – множество квантовых состояний (положительных операторов в $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ с единичным следом); см. [5], [6], [10]. Единичный оператор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и тождественное преобразование банахового пространства $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ обозначим $I_{\mathcal{H}}$ и $\mathrm{Id}_{\mathcal{H}}$ соответственно. Ядерные операторы (не только состояния) будем обозначать греческими буквами $\rho,\sigma,\omega,\dots$ . Другие линейные операторы (в частности, неограниченные операторы) будем обозначать латинскими буквами $A, B, H,\dots$ . Для векторов и операторов единичного ранга в гильбертовом пространстве будем использовать дираковские обозначения $|\phi\rangle$, $|\chi\rangle\langle\psi|$ (в которых действие оператора $|\chi\rangle\langle\psi|$ на вектор $|\phi\rangle$ дает вектор $\langle\psi|\phi\rangle|\chi\rangle$); см. [5], [6]. Говоря о сходимости последовательности $\{\rho_n\}\,{\subset}\,\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ к оператору $\rho_0\in\mathfrak{T}(\mathcal{H})$, мы всегда имеем ввиду сходимость по следовой норме. Будем использовать неравенство Мирского
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{+\infty}|\lambda^{\rho}_i-\lambda^{\sigma}_i|\leqslant \|\rho-\sigma\|_1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
которое имеет место для любых положительных операторов $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$, где $\{\lambda^{\rho}_i\}_{i=1}^{+\infty}$ и $\{\lambda^{\sigma}_i\}_{i=1}^{+\infty}$ – последовательности собственных значений $\rho$ и $\sigma$, расположенных в невозрастающем порядке с учетом кратности (см. [11]). Неравенство (2.1) прямо следует из результата в [11] в случае, когда $\rho$ и $\sigma$ – операторы конечного ранга, их выполнимость в общем случае можно доказать с помощью аппроксимации операторов $\rho$ и $\sigma$ последовательностями операторов $P_n\rho$ и $Q_n\sigma$, где $P_n$ и $Q_n$ – спектральные проекторы $\rho$ и $\sigma$, соответствующие $n$ максимальным собственным значениям. Пусть $H$ – положительный оператор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ (мы будем всегда предполагать, что положительные операторы являются самосопряженными). Область определения оператора $H$ обозначим $\mathcal{D}(H)$. Для любого положительного оператора $\rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ величину $\operatorname{Tr} H\rho$ определим с помощью правила
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} H\rho= \begin{cases} \sup_n \operatorname{Tr} P_n H\rho, &\text{ если }\operatorname{supp}\rho\subseteq \operatorname{cl}(\mathcal{D}(H)), \\ +\infty &\text{ в противном случае}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $P_n$ – спектральный проектор оператора $H$, соответствующий отрезку $[0,n]$, $\operatorname{cl}(\mathcal{D}(H))$ – замыкание $\mathcal{D}(H)$, а $\operatorname{supp}\rho$ – носитель оператора $\rho$ – замкнутое подпространство, порожденное собственными векторами $\rho$, соответствующими положительным собственным значениям. Любой ненулевой оператор $\rho$ из положительного конуса $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ имеет спектральное разложение
$$
\begin{equation*}
\rho=\sum_{i=1}^{+\infty}\lambda_i^{\rho}|\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\varphi_i\}$ – ортонормированная система собственных векторов оператора $\rho$, а $\{\lambda_i^{\rho}\}$ – соответствующая последовательность собственных значений, которую можно считать невозрастающей. Данное разложение неединственно, если оператор $\rho$ имеет кратные собственные значения. Эту неоднозначность можно устранить, если собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, выбирать по определенному правилу, например, используя следующий алгоритм построения упорядоченного базиса $\{\psi_i\}$ в любом заданном конечномерном подпространстве $\mathcal{H}_0$ в $\mathcal{H}$: пусть $\{\tau_i\}$ – некоторый фиксированный базис в $\mathcal{H}$ и $\psi_1$ – вектор $P_0\tau_j/\|P_0\tau_j\|$, где $P_0$ – проектор на $\mathcal{H}_0$, а $\tau_j$ – первый вектор в базисе $\{\tau_i\}$ такой, что $P_0\tau_i\neq0$. Пусть $\psi_2$ – вектор, полученный по тому же правилу при замене $\mathcal{H}_0$ на $\mathcal{H}_0\ominus\{c\psi_1\}$, и т.д. Замечание 1. Говоря о спектральном проекторе ненулевого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H})$, соответствующем $m$ максимальным собственным значениям, мы всегда будем иметь ввиду проектор где $\{\varphi_i\}$ – ортонормированная система собственных векторов $\rho$, построенная по указанному выше правилу. Энтропия фон Неймана квантового состояния $\rho \in \mathfrak{S}(\mathcal{H})$, определяемая формулой $S(\rho)=\operatorname{Tr}\eta(\rho)$, где $\eta(x)=-x\ln x$, если $x>0$, и $\eta(0)=0$, является вогнутой полунепрерывной снизу функцией на множестве $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$, принимающей значения в $[0,+\infty]$; см. [3], [5], [7]. Энтропия фон Неймана удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
S(p\rho+(1-p)\sigma)\leqslant pS(\rho)+(1-p)S(\sigma)+h_2(p)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для любых состояний $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ и $p\in(0,1)$, где $h_2(p)=\eta(p)+\eta(1-p)$ – бинарная энтропия; см. [4], [6], [12]. Будем использовать однородное расширение энтропии фон Неймана на положительный конус $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, определяемое формулой
$$
\begin{equation}
S(\rho)\doteq(\operatorname{Tr}\rho)S\biggl(\frac{\rho}{\operatorname{Tr}\rho}\biggr) =\operatorname{Tr}\eta(\rho)-\eta(\operatorname{Tr}\rho)
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для любого ненулевого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, и равное $0$ в нулевом операторе (см. [7]). Используя вогнутость энтропии и неравенство (2.3), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
S(\rho)+S(\sigma)\leqslant S(\rho+\sigma)\leqslant S(\rho)+S(\sigma)+H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\})
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
для любых $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, где $H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\}) =\eta(\operatorname{Tr}\rho)+\eta(\operatorname{Tr}\sigma)-\eta(\operatorname{Tr}(\rho+\sigma))$ – однородное расширение бинарной энтропии на положительный конус в $\mathbb{R}^2$. Неоднократно будем использовать следующую версию леммы Дини (см. [13]). Лемма 1. Пусть $\{a_n\}_{n>0}\subset\mathbb{R}$ – последовательность, сходящаяся к числу $a_0\in\mathbb{R}$. Пусть $\{a_m^n\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность в $\mathbb{R}$ такая, что $a_m^n\leqslant a_{m+1}^n$ для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$, Тогда Доказательство. Пусть $\varepsilon>0$. Из предположения леммы следует существование $n^1_{\varepsilon}>0$ и $m^1_{\varepsilon}>m_0$ таких, что $a_n\leqslant a_0+\varepsilon$ для всех $n\geqslant n^1_{\varepsilon}$ и $a^m_0\geqslant a_0-\varepsilon$ для всех $m\geqslant m^1_{\varepsilon}$. Поскольку $\liminf_{n\to+\infty}a^{m^1_{\varepsilon}}_n\geqslant a^{m^1_{\varepsilon}}_0$, существует $n^2_{\varepsilon}$ такое, что $a^{m^1_{\varepsilon}}_n\geqslant a^{m^1_{\varepsilon}}_0-\varepsilon$ для всех $n\geqslant n^2_{\varepsilon}$. Следовательно, Поскольку $\lim_{m\to+\infty}a^m_n= a_n$ для всех $n$, существует такое $m^2_{\varepsilon}$, что $a^{m}_n\geqslant a_n-3\varepsilon$ для всех $n< n_\varepsilon$ и $m\geqslant m^2_{\varepsilon}$. Поэтому $\sup_{n\geqslant0}|a_n-a^m_n|\leqslant 3\varepsilon$ для всех $m\geqslant \max\{m^1_{\varepsilon},m^2_{\varepsilon}\}$. Лемма доказана. 2.2. Расширение Линдблада квантовой относительной энтропииКвантовая относительная энтропия двух состояний $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ определяется выражением
$$
\begin{equation*}
D(\rho\mathbin{\|}\sigma)=\sum_i\langle \varphi_i|\rho\ln\rho-\rho\ln\sigma|\varphi_i\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\varphi_i\}$ – ортонормированный базис из собственных векторов состояния $\rho$ и считается, что $D(\rho\mathbin{\|}\sigma)=+\infty$, если $\operatorname{supp}\rho$ не содержится $\operatorname{supp}\sigma$; см. [14], [3], [7]. Будем использовать расширение Линдблада квантовой относительной энтропии, определяемое для любых положительных операторов $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H})$ выражением
$$
\begin{equation*}
D(\rho\mathbin{\|}\sigma)=\sum_i\langle\varphi_i|\rho\ln\rho -\rho\ln\sigma|\varphi_i\rangle+\operatorname{Tr}\sigma-\operatorname{Tr}\rho,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\varphi_i\}$ – ортонормированный базис из собственных векторов оператора $\rho$ и считается, что $D(0\mathbin{\|}\sigma)=\operatorname{Tr}\sigma$ и $D(\rho\mathbin{\|}\sigma)=+\infty$, если $\operatorname{supp}\rho$ не содержится в $\operatorname{supp}\sigma$ (в частности, если $\rho\neq0$ и $\sigma=0$); см. [7]. Если расширенная энтропия фон Неймана $S(\rho)$ оператора $\rho$ (определенная в (2.4)) конечна, то
$$
\begin{equation}
D(\rho\mathbin{\|}\sigma)=\operatorname{Tr}\rho(-\ln\sigma)-S(\rho) -\eta(\operatorname{Tr}\rho)+\operatorname{Tr}\sigma-\operatorname{Tr}\rho,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где величина $\operatorname{Tr}\rho(-\ln\sigma)$ определяется в соответствии с правилом (2.2). Функция $(\rho,\sigma)\mapsto D{(\rho\mathbin{\|}\sigma)}$ неотрицательна, полунепрерывна снизу и совместно выпукла на $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})\times\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. Будем использовать следующие свойства этой функции: – для любых $\rho,\sigma\in\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ и $c\geqslant0$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
D(c\rho\mathbin{\|} c\sigma)=cD(\rho\mathbin{\|}\sigma),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
D(\rho\mathbin{\|}c\sigma)=D(\rho\mathbin{\|}\sigma)-\operatorname{Tr}\rho\ln c+(c-1)\operatorname{Tr}\sigma;
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
– для любых $\rho,\sigma$ и $\omega$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ имеют место неравенства (с возможными значением $+\infty$ в одной или обеих частях)
$$
\begin{equation}
D(\rho\mathbin{\|}\sigma+\omega)\leqslant D(\rho\mathbin{\|}\sigma)+\operatorname{Tr}\omega,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
$$
\begin{equation}
D(\rho+\sigma\mathbin{\|}\omega)\geqslant D(\rho\mathbin{\|}\omega)+D(\sigma\mathbin{\|}\omega)-\operatorname{Tr}\omega,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
D(\rho+\sigma\mathbin{\|}\omega)\leqslant D(\rho\mathbin{\|}\omega)+D(\sigma\mathbin{\|}\omega)+ H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\})-\operatorname{Tr}\omega,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $H(\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\})$ – расширенная бинарная энтропия пары чисел $\{\operatorname{Tr}\rho,\operatorname{Tr}\sigma\}$, определенная в (2.5); – для любых $\rho$, $\sigma$, $\omega$ и $\vartheta$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
D(\rho+\sigma\mathbin{\|} \omega+\vartheta)\leqslant D(\rho\mathbin{\|}\omega)+D(\sigma\mathbin{\|} \vartheta)
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
с возможным значением $+\infty$ в одной или обеих частях, если $\rho\sigma=\rho\vartheta=\sigma\omega=\omega\vartheta=0$, то
$$
\begin{equation}
D(\rho+\sigma\mathbin{\|}\omega+\vartheta)=D(\rho\mathbin{\|} \omega)+D(\sigma\mathbin{\|} \vartheta).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Неравенства (2.9), (2.10) и (2.11) легко доказываются с использованием представления (2.6), если расширенная энтропия фон Неймана операторов $\rho$, $\sigma$ и $\omega$ конечна. Действительно, неравенство (2.9) следует из операторной монотонности логарифма, неравенства (2.10) и (2.11) следуют из неравенств в (2.5). В общем случае эти неравенства можно доказать с помощью аппроксимации, используя лемму 4 из [7]. Неравенство (2.12) – прямое следствие совместной выпуклости относительной энтропии и тождества (2.7). Равенство (2.13) следует из определения; см. [7]. 2.3. Сильная сходимость квантовых операцийКвантовая операция $\Phi$ из системы $A$ в систему $B$ – это вполне положительное неувеличивающее след линейное отображение из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$. Сохраняющая след квантовая операция называется квантовым каналом; см. [5], [6]. Если $\Phi$ – квантовая операция (канал) из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$, то отображение $\Phi^*\colon \mathfrak{B}(\mathcal{H}_B)\to\mathfrak{B}(\mathcal{H}_A)$, определяемое соотношением
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr} \Phi(\rho)B=\operatorname{Tr}\Phi^*(B)\rho \quad\forall\, B\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_B),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
называется двойственной операцией (каналом) к $\Phi$; см. [5], [15], [16]. При изучении бесконечномерных квантовых систем широко используется понятие сильной сходимости квантовых операций; см. [17], [18]. Последовательность $\{\Phi_n\}$ квантовых операций из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ сильно сходится к квантовой операции $\Phi_0$, если
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\Phi_n(\rho)=\Phi_0(\rho) \quad \forall\, \rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Используя результат из [19] (который показывает, что сходимость по следовой норме в (2.15) равносильна сходимости последовательности $\{\Phi_n(\rho)\}$ к оператору $\Phi_0(\rho)$ в слабой операторной топологии при условии, что $\operatorname{Tr}\Phi_n(\rho)$ сходится к $\operatorname{Tr}\Phi_0(\rho)$), нетрудно видеть, что соотношение (2.15) равносильно соотношению
$$
\begin{equation}
\operatorname*{\textit{w}\,-\,lim}_{n\to+\infty}\Phi_n^*(B)=\Phi_0^*(B) \quad \forall\, B\in\mathfrak{B}(\mathcal{H}_B),
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $\Phi_n^*$ – двойственная операция к операции $\Phi_n$, определенная в (2.14) и $\operatorname*{\textit{w}\,-\,lim}$ обозначает предел в слабой операторной топологии1. Сильная сходимость бесконечномерных квантовых каналов и операций имеет очевидные преимущества перед равномерной сходимостью, описанные в [17], [21]. Характеризации сильной сходимости квантовых каналов, представленные в [18], можно обобщить (с необходимыми модификациями) на случай квантовых операций, используя следующую лемму. Лемма 2. Последовательность $\{\Phi_n\}$ квантовых операций из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ сильно сходится к квантовой операции $\Phi_0$ тогда и только тогда, когда существуют система $C$ и последовательность $\{\widetilde{\Phi}_n\}$ квантовых каналов из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B\oplus\mathcal{H}_C)$, сильно сходящаяся к квантовому каналу $\widetilde{\Phi}_0$, такая, что где $P_B$ – проектор на подпространство $\mathcal{H}_B$ в $\mathcal{H}_{B}\oplus\mathcal{H}_{C}$. Доказательство. Если имеет место представление (2.17), то выполнимость (2.15) следует из выполнимости этого соотношения для последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n\}$.
Предположим, что $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых операций из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$. Тогда представление (2.17) имеет место для последовательности квантовых каналов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Phi}_n(\rho)=\Phi_n(\rho)\oplus [\operatorname{Tr}(I_A-\Phi_n^*(I_B))\rho]\tau
\end{equation*}
\notag
$$
из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B\oplus\mathcal{H}_C)$, где $\tau$ – чистое состояние в одномерном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_C$. Из (2.16) следует, что $\Phi_n^*(I_B)$ сходится к $\Phi_0^*(I_B)$ в слабой операторной топологии. Поэтому из выполнимости (2.15) следует выполнимость этого соотношения для последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n\}$. Лемма доказана. Используя лемму 2, из теоремы 7 и следствия 8 в [18] нетрудно получить следующую характеризацию сильной сходимости квантовых операций в терминах представлений Стайнспринга и Крауса. Предложение 1. Последовательность $\{\Phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ квантовых операций из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ сильно сходится к квантовой операции $\Phi_0$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие равносильные условия: – существуют квантовая система $E$ и последовательность $\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ сжимающих операторов из $\mathcal{H}_{A}$ в $\mathcal{H}_{BE}$, сильно сходящаяся к сжимающему оператору $V_0$ такие, что $\Phi_n(\rho)=\operatorname{Tr}_E V_n\rho V^*_n$ для всех $n\geqslant0$; – существует такое множество последовательностей $\{\{A^n_i\}_{n\geqslant0}\}_{i\in I}$ операторов из $\mathcal{H}_{A}$ в $\mathcal{H}_{B}$, что $\Phi_n(\rho)\,{=}\sum_{i\in I} A^n_i\rho [A^n_i]^*$ для всех $n\geqslant0$, $\operatorname*{\textit{s}\,-\,lim}_{n\to+\infty} A^n_i=A^0_i$ при каждом $i\in I$ и2 $\operatorname*{\textit{w}\,-\,lim}_{n\to+\infty} \sum_{i\in I} [A^n_i]^*A^n_i=\sum_{i\in I}[A^0_i]^*A^0_i$. § 3. Критерий сходимости квантовой относительной энтропии3.1. Общий случайПолунепрерывность снизу (расширения Линдблада) квантовой относительной энтропии означает, что
$$
\begin{equation}
\liminf_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)\geqslant D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для любых последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящихся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$. В этом параграфе будет получен критерий (необходимое и достаточное условие) выполнимости предельного соотношения
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
для таких последовательностей. Мы также установим полезное необходимое условие выполнимости (3.2), которое вместе с указанным критерием позволяет получать конкретные результаты о сходимости квантовой относительной энтропии. Основную идею представленного ниже критерия сходимости можно просто объяснить, считая, что $\rho_n$ и $\sigma_n$ – квантовые состояния, диагонализируемые в некотором ортонормированном базисе $\{|i\rangle\}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\rho_n=\sum_{i=1}^{+\infty} p_i^n |i\rangle\langle i|, \quad \sigma_n=\sum_{i=1}^{+\infty} q_i^n|i\rangle\langle i| \quad \forall\, n\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{p_i^n\}_{i=1}^{+\infty}$ и $\{q_i^n\}_{i=1}^{+\infty}$ – распределения вероятностей при каждом $n\geqslant0$. В этом случае сходимость последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ к состояниям $\rho_0$ и $\sigma_0$ означает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty} |p_i^n-p_i^0|=0, \qquad \lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty} |q_i^n-q_i^0|=0,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
а предельное соотношение (3.2) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{+\infty} a_i^n=\sum_{i=1}^{+\infty} a_i^0<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $a_i^n=p_i^n\ln(p_i^n/q_i^n)+q_i^n-p_i^n$ – неотрицательные числа при всех $i$ и $n$. Предположим для простоты, что распределение $\{q_i^0\}$ невырождено, т.е. $q_i^0>0$ для всех $i$. Тогда нетрудно видеть, что из соотношений в (3.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{m} a_i^n=\sum_{i=1}^{m} a_i^0<+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $m\in\mathbb{N}$. Поэтому, используя лемму Дини, заключаем, что (3.4) имеет место тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0}\sum_{i>m} a_i^n=0
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором $n_0>0$ (если (3.4) выполнено, то $n_0$ – такое число, что ряд $\sum_{i=1}^{+\infty}a_i^n$ конечен при $n\geqslant n_0$). Основная трудность доказательства критерия сходимости для квантовой относительной энтропии состоит в поиске возможности реализации приведенных выше аргументов в общем случае, когда все состояния последовательностей $\{\rho_n\}$ и $\{\sigma_n\}$ не коммутируют друг с другом. Немного модифицируя3 терминологию из [9], будем говорить, что двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$, $m_0\in\mathbb{N}$, проекторов конечного ранга4 согласована с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, если
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{n\geqslant0}\operatorname{rank} P^n_{m}<+\infty, \qquad P^n_{m}\leqslant P^n_{m+1}, \\ \bigvee_{m\geqslant m_0}P^n_m\geqslant Q_n, \qquad \operatorname*{\textit{s}\,-\,lim}_{n\to+\infty}P^n_m=P^0_m \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
для всех $m\geqslant m_0$ и $n\geqslant0$, где $Q_n$ – проектор на носитель состояния $\sigma_n$ и $\operatorname*{\textit{s}\,-\,lim}$ обозначает предел в сильной операторной топологии. Следующая лемма легко доказывается с помощью леммы 1. Лемма 3. Если $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов, которая согласованна с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, то $\sup_{n\geqslant0}\operatorname{Tr}(I_{\mathcal{H}}-P^n_{m})\sigma_n\to0$ при $m\to+\infty$. Будем использовать усиленную версию свойства согласованности. Определение 1. Двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$, $m_0\in\mathbb{N}$, проекторов конечного ранга вполне согласована с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, если выполнены условия в (3.5) и для всех $m\geqslant m_0$ и $n\geqslant0$, где $\operatorname{\textit{n}\,-\,lim}$ обозначает предел в топологии операторной нормы. Для дальнейшего важно следующее утверждение. Лемма 4. Для любой последовательности $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к оператору $\sigma_0$, существует двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Доказательство. Существование последовательности $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ проекторов, вполне согласованной с любой заданной последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ненулевых операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящейся к ненулевому оператору $\sigma_0$, показана в [9; лемма 2] (свойство $\operatorname{rank} P^n_m\sigma_n=\operatorname{rank} P^n_m$ следует из конструкции, используемой в доказательстве этой леммы). Если мы допустим, что некоторые из проекторов $P^n_m$ могут быть нулевыми операторами, то, используя ту же самую конструкцию, можно доказать требуемое утверждение для любой сходящейся последовательности $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. Лемма доказана. Теперь мы можем сформулировать основной результат этого параграфа. Теорема 1. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$. A) Предельное соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
имеет место тогда и только тогда, когда существуют двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m>m_0}$ проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, и $n_0\in\mathbb{N}_{n\in\mathbb{N}}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0} D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n \overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n\overline{P}^{\,n}_m)=0, \qquad \overline{P}^{\,n}_m=I_{\mathcal{H}}-P^n_m.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
B) Если имеет место (3.7), то (3.8) выполнено для любой двойной последовательности $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m>m_0}$ проекторов конечного ранга, согласованной с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, при $n_0=\min\{n\in\mathbb{N}\mid D(\rho_k\mathbin{\|}\sigma_k)<+\infty\ \forall\, k\geqslant n\}$. В утверждении A) условие (3.8) можно заменить формально более слабым условием
$$
\begin{equation}
\forall\,\varepsilon>0 \quad \exists\, m_{\varepsilon}>m_0, \ n_{\varepsilon}>0\colon \qquad \sup_{n\geqslant n_\varepsilon} D(\overline{P}^{\,n}_{m_{\varepsilon}}\rho_n\overline{P}^{\,n}_{m_{\varepsilon}} \mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_{m_{\varepsilon}}\sigma_n \overline{P}^{\,n}_{m_{\varepsilon}})<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Замечание 2. Часть А) теоремы 1 содержит критерий выполнимости соотношения (3.7), в то время как часть В) теоремы дает необходимое условие для (3.7), которое сильнее, чем соответствующая часть данного критерия. Именно комбинация частей А) и В) теоремы 1 позволяет получать конкретные результаты о сходимости квантовой относительной энтропии (см. п. 3.3 и § 4). Доказательство теоремы 1. A) Необходимость условия (3.8) для выполнимости (3.7) следует из части B) теоремы 1 и леммы 4.
Для доказательства достаточности сначала предположим, что последовательность $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ состоит из состояний и сходится к состоянию $\rho_0$ и что $\sigma_n\neq0$ для всех $n\geqslant0$. Рассмотрим последовательность функций $f_n(\varrho)\doteq D(\varrho\mathbin{\|}\sigma_n)$, $n\geqslant0$, на $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$. Аргументы из доказательства предложения 2 в [9] показывают выполнимость всех условий следствия 1 из [9] для последовательности $\{f_n\}_{n\geqslant 0}$ с $\mathfrak{S}_0=\mathfrak{S}(\mathcal{H})$. Используя (2.7), мы видим, что однородное расширение функции $f_n$ на конус $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}_n(\varrho)=D(\varrho\mathbin{\|} (\operatorname{Tr}\varrho)\sigma_n), \qquad \varrho\in \mathfrak{T}_+(\mathcal{H}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ такая, что выполнено условие (3.8). Мы можем считать, что $n_0=1$. Заметим, что из условия (3.8) и полунепрерывности снизу функции $(\varrho,\varsigma)\mapsto D(\varrho\mathbin{\|}\varsigma)$ следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}D(\overline{P}^{\,0}_m\rho_0\overline{P}^{\,0}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,0}_m\sigma_0)=0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
В силу первого условия в (3.6) имеем $\sigma_n=P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n=P^n_m\sigma_nP^n_m +\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n\overline{P}^{\,n}_m$ для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$. Поэтому, используя тождества (2.7), (2.8) и (2.13) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widetilde{f}_n(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m)&=D(0\mathbin{\|} x_m^n P^n_m\sigma_n)+D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} x_m^n\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n) \\ \notag &=D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} x_m^n\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)+x_m^n\operatorname{Tr} P^n_m\sigma_n \\ &=D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)-x_m^n\ln x_m^n-y_m^n+x_m^n\operatorname{Tr}\sigma_n \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$, где $x_m^n=\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\rho_n$ и $y_m^n=\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n$.
Условия (3.8), (3.10) и монотонность квантовой относительной энтропии при действии квантовой операции $\varrho\mapsto\operatorname{Tr}\varrho$ показывают, что
$$
\begin{equation*}
x_m^n\ln\biggl(\frac{x_m^n}{y_m^n}\biggr)+y_m^n-x_m^n =D(\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\mathbin{\|}\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)\leqslant D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)\leqslant\varepsilon_m
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$, где $\{\varepsilon_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ – последовательность, сходящаяся к нулю при $m\to+\infty$. Лемма 3 и приведенное выше неравенство показывают, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant0} x_m^n=\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant0} y_m^n=0.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Поэтому из (3.11) следует, что условие (3.8) при $n_0=1$ гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant 1} \widetilde{f}_n(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу следствия 1 из [9] (применимость которого к последовательности $\{f_n\}_{n\geqslant 0}$ отмечена выше) для доказательства (3.7) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\widetilde{f}_n(P^n_m\rho_nP^n_m)=\widetilde{f}_0(P^0_m\rho_0P^0_m)<+\infty
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
для всех $m\geqslant m_0$. Замечая, что $\sigma_n=P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n=P^n_m\sigma_nP^n_m +\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n\overline{P}^{\,n}_m$ и используя тождества (2.7), (2.8) и (2.13), нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{f}_n(P^n_m\rho_nP^n_m)=D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_n)-(1-x_m^n)\ln(1-x_m^n)+y_m^n-x_m^n\operatorname{Tr}\sigma_n
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$. Поскольку $x_m^n$, $y_m^n$ и $\operatorname{Tr}\sigma_n$ сходятся соответственно к $x_m^0$, $y_m^0$ и $\operatorname{Tr}\sigma_0$ при $n\to+\infty$, заключаем, что (3.13) равносильно соотношению
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_n)=D(P^0_m\rho_0 P^0_m\mathbin{\|} P^0_m\sigma_0)<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Поскольку $P^n_m\rho_n P^n_m$ сходится к $P^0_m\rho_0 P^0_m$ при $n\to+\infty$ и $\sup_{n\geqslant0}\operatorname{rank} P^n_m\rho_n P^n_m< +\infty$ в силу условий в (3.5), представление (2.6) показывает, что для доказательства (3.14) достаточно установить, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\|P^n_m \ln (P^n_m\sigma_n)-P^0_m \ln (P^0_m\sigma_0)\|=0
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
для любого заданного $m\geqslant m_0$. В силу второго условия в (3.6) мы имеем $\operatorname{rank} P^n_m\sigma_n=\operatorname{rank} P^n_m$ для всех $n\geqslant0$. Следовательно, последовательность $\{P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\}_{n\in\mathbb{N}}$ состоит из ограниченных невырожденных операторов и сходится к невырожденному оператору $P^0_m\sigma_0+\overline{P}^{\,0}_m$ по операторной норме в силу последнего условия в (3.6). Следовательно, $P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m\geqslant\epsilon I_{\mathcal{H}}$ для всех $n\geqslant0$ и некоторого $\epsilon>0$. Поэтому предложение VIII.20 из [16] показывает, что последовательность $\{\ln (P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m)\}_{n\in\mathbb{N}}$ сходится к оператору $\ln (P^0_m\sigma_0+\overline{P}^{\,0}_m)$ по операторной норме. Из этой сходимости и последнего условия в (3.6) следует (3.15), поскольку
$$
\begin{equation*}
P^n_m \ln (P^n_m\sigma_n)=P^n_m\ln (P^n_m\sigma_n+\overline{P}^{\,n}_m) \quad \forall\, n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя результат первого этапа доказательства (включая соотношения в (3.12)) и тождества (2.7) и (2.8), нетрудно показать достаточность условия (3.8) для выполнимости (3.7) в случае $\rho_0\neq0$ и $\sigma_0\neq0$. Предположим теперь, что $\rho_0=0$ и $\sigma_0$ произвольно. Нам надо показать, что из условия (3.8) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)=D(0\mathbin{\|}\sigma_0)=\operatorname{Tr}\sigma_0.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Пусть $\varepsilon>0$ и $m$ – такое число, что $D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n) \leqslant\varepsilon$ для всех $n\geqslant n_0$. В силу приведенной ниже леммы 5 имеем
$$
\begin{equation*}
D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)\leqslant D(P^n_m\rho_nP^n_m\mathbin{\|}P^n_m\sigma_n)+D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m \mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)+\operatorname{Tr}\rho_n\ln2.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что соотношение (3.15) выполнено в этом случае в силу тех же аргументов (если $\sigma_0=0$, то мы имеем $P_m^0=0$ для всех $m\geqslant m_0$ и, следовательно, для любого заданного $m\geqslant m_0$ существует $n_m$ такое, что $P^n_m=P^n_m\ln (P^n_m\sigma_n)=P^0_m\ln (P^0_m\sigma_0)=0$ для всех $n\geqslant n_m$, поскольку мы считаем, что $0\ln 0=0$). Из соотношения (3.15) следует (3.14), что означает, что $D(P^n_m\rho_nP^n_m\mathbin{\|}P^n_m\sigma_n)$ сходится к $D(0\mathbin{\|}P^0_m\sigma_0)=\operatorname{Tr} P^0_m\sigma_0$ при $n\to+\infty$. Следовательно, приведенное выше неравенство показывает, что
$$
\begin{equation*}
\limsup_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)\leqslant \operatorname{Tr}\sigma_0+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varepsilon$ произвольно, из этого следует (3.16) в силу полунепрерывности снизу относительной энтропии.
B) Предположим, что имеет место (3.7) и $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов, согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Можно считать, что $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Поскольку $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$, то $\operatorname{supp}\rho_n\subseteq\operatorname{supp}\sigma_n$. Поэтому из второго и третьего условий в (3.5) следует в силу [7; лемма 4], что $D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_n P^n_m)$ монотонно сходится к $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)$ при $m\to+\infty$ для всех $n\geqslant0$. Поскольку последовательности $\{P^n_m\rho_n P^n_m\}_n$ и $\{P^n_m\sigma_nP^n_m\}_n$ сходятся соответственно к операторам $P^0_m\rho_0 P^0_m$ и $P^0_m\sigma_0P^0_m$ в силу последнего условия из (3.5), мы имеем
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to+\infty}D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_nP^n_m)\geqslant D(P^0_m\rho_0 P^0_m\mathbin{\|} P^0_m\sigma_0P^0_m)
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $m$ в силу полунепрерывности снизу относительной энтропии. Поэтому лемма 1 показывает, что $D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_n P^n_m)$ сходится к $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)$ при $m\to +\infty$ равномерно по $n\geqslant0$. Это гарантирует выполнимость (3.8) при $n_0=1$, поскольку
$$
\begin{equation}
D(P^n_m\rho_n P^n_m\mathbin{\|} P^n_m\sigma_nP^n_m)+D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n \overline{P}^{\,n}_m)\leqslant D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
для всех $n\geqslant0$ и $m\geqslant m_0$ в силу [7; лемма 3].
Для доказательства последнего утверждения теоремы предположим, что имеет место (3.9). Возьмем $\varepsilon=1$ и выберем соответствующие $m_1$ и $n_1$. Поскольку $D(P^{n}_{m}\rho_{n}P^n_m\mathbin{\|}P^n_m\sigma_n)<+\infty$ для всех $m$ и $n$ в силу условия $\operatorname{rank} P^n_m\sigma_n=\operatorname{rank} P^n_m$, из приведенной ниже леммы 5 следует, что $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n\geqslant n_1$. Следовательно, неравенство (3.17) и [7; лемма 4] показывают, что величина $D(\overline{P}^{\,n}_m\rho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)$ монотонно стремится к нулю при $m\to+\infty$ при каждом $n\geqslant n_1$. Поэтому из (3.9) следует выполнимость (3.8) при $n_0=n_1$. Теорема 1 доказана. Лемма 5. Пусть $\rho$ и $\sigma$ – операторы из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, а $P$ – проектор из $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ такой, что $P\sigma=\sigma P$. Тогда Доказательство. Мы можем считать, что операторы $\rho$ и $\sigma$ ненулевые, поскольку в противном случае равенство в (3.18) очевидно.
Из (2.13) следует что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D\biggl(\frac{1}{2}\rho +\frac{1}{2}U\rho U^*\biggm\| \sigma\biggr) &=D(P\rho P+\overline{P}\rho \overline{P}\mathbin{\|}\sigma) \\ &=D(P\rho P\mathbin{\|} P\sigma)+D(\overline{P}\rho \overline{P}\mathbin{\|}\overline{P}\sigma), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{P}=I_{\mathcal{H}}-P$ и $U=2P-I_{\mathcal{H}}$ – унитарный оператор. В силу предложения 5.24 из [4] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D\biggl(\frac{1}{2}\rho+\frac{1}{2}U\rho U^*\biggm\| \sigma\biggr) &=rD\biggl(\frac{1}{2}\biggl(\frac{\rho}{r}\biggr)+\frac{1}{2}U\biggl(\frac\rho r\biggr) U^*\biggm\| \frac \sigma r\biggr) \\ &\geqslant \frac{1}{2}D(\rho\mathbin{\|} \sigma)+\frac{1}{2}D(U\rho U^*\mathbin{\|} \sigma)-rh_2\biggl(\frac{1}{2}\biggr) \\ &=D(\rho\mathbin{\|} \sigma)-r\ln2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$r=\operatorname{Tr}\rho>0$, где было использовано (2.7) и учитывалось, что $U\sigma U^*=\sigma$. Лемма доказана. 3.2. Функция $\rho\mapsto D(\rho\mathbin{\|}\sigma)$В этом пункте представлены критерий и необходимое условие сходимости квантовой относительной энтропии, рассматриваемой как функция первого аргумента. Для формулировки соответствующего следствия теоремы 1 нам потребуются следующие два определения. Определение 2. Последовательность $\{P_m\}_{m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга согласована с ненулевым оператором $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, если В соответствии с этим определением произвольная неубывающая последовательность $\{P_m\}_{m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга, сильно сходящаяся к единичному оператору, согласована с любым оператором $\sigma$. Определение 3. Последовательность $\{P_m\}_{m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга вполне согласована с ненулевым оператором $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, если выполнены условия в (3.19), Простейший пример последовательности проекторов конечного ранга, вполне согласованной с ненулевым оператором $\sigma$, это последовательность $\{P_m\}_{m\geqslant 1}$, где $P_m$ – спектральный проектор оператора $\sigma$, соответствующий $m$ максимальным собственным значениям (с учетом кратности), и предполагается, что $P_m$ – проектор на носитель оператора $\sigma$, если $m>\operatorname{rank}\sigma$. Применение теоремы 1 в случае, когда последовательность $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ состоит из одного ненулевого оператора $\sigma$, дает следующие утверждения. Следствие 1. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящаяся к оператору $\rho_0$, а $\sigma$ – произвольный ненулевой оператор из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$. A) Предельное соотношение
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma)<+\infty
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
имеет место тогда и только тогда, когда существуют последовательность $\{P_m\}_{m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга, вполне согласованная с оператором $\sigma$, и $n_0\in\mathbb{N}$ такие, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0} D(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m\mathbin{\|}\overline{P}_m\sigma\overline{P}_m)=0, \qquad \overline{P}_m=I_{\mathcal{H}}-P_m.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
B) Если имеет место (3.20), то (3.21) выполнено для любой последовательности $\{P_m\}_{m\geqslant m_0}$ проекторов конечного ранга, согласованной с оператором $\sigma$, при $n_0=\min\{n\in\mathbb{N}\mid D(\rho_k\mathbin{\|}\sigma)<+\infty\ \forall\, k\geqslant n\}$. В утверждении A) условие (3.21) можно заменить формально более слабым условием
$$
\begin{equation*}
\forall\,\varepsilon>0 \quad \exists m_{\varepsilon}>m_0, \ n_{\varepsilon}>0\colon \qquad \sup_{n\geqslant n_\varepsilon }D(\overline{P}_{m_{\varepsilon}}\rho_n\overline{P}_{m_{\varepsilon}} \mathbin{\|}\overline{P}_{m_{\varepsilon}}\sigma \overline{P}_{m_{\varepsilon}})<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
3.3. Примеры использования критерия сходимостиРассмотрим примеры использования условий сходимости из теоремы 1 и следствия 1. Пример 1. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ соответственно, такие, что $c\rho_n\leqslant\sigma_n$ для всех $n\geqslant0$ и некоторого $c>0$. Предположим, что $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ (ее существование следует из леммы 4). Поскольку $c \overline{P}^{\,n}_m\rho_n \overline{P}^{\,n}_m\leqslant \overline{P}^{\,n}_m\sigma_n$ для всех $n$ и $m$, с помощью неравенства (2.10) получаем
$$
\begin{equation*}
D(c\overline{P}^{\,n}_m\rho_n \overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)\leqslant D(\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n\mathbin{\|}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n)+\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n=\operatorname{Tr}\overline{P}^{\,n}_m\sigma_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это неравенство, тождества (2.7) и (2.8) и лемму 3 нетрудно показать выполнимость условия (3.8) в данном случае. Таким образом, соотношение (3.7) выполнено для данных последовательностей в силу части А) теоремы 1. Пример 2. Следствие 3 из [9; п. 5.1.3] утверждает, что Теорема 1 будет использована в § 4 для обобщения приведенного выше утверждения на случай счетных сумм операторов (при определенном условии). С помощью теоремы 1 можно также получить простые доказательства предложений 2 и 3 из [9]. Пример 3. Пусть $H$ – положительный плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ такой, что $\operatorname{Tr} e^{-\beta H}<+\infty$ при некотором $\beta>0$. Если считать, что $H$ – гамильтониан (наблюдаемая энергии) квантовой системы, описываемой пространством $\mathcal{H}$, то величина $\operatorname{Tr} H\rho$ (определяемая правилом (2.2)) – это средняя энергия состояния $\rho$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$. Условие $\operatorname{Tr} e^{-\beta H}<+\infty$ может быть выполнено, только если $H$ – неограниченный оператор с дискретным спектром конечной кратности. Это означает, в дираковских обозначениях, что С помощью следствия 1 можно получить условия локальной непрерывности функции $\rho\mapsto D(\rho\mathbin{\|}\gamma_{\beta})$, где $\gamma_{\beta}=e^{-\beta H}/\operatorname{Tr} e^{-\beta H}$ – состояние Гибсса при обратной температуре $\beta$ (см. [3], [4]). Предложение 2. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$, сходящаяся к состоянию $\rho_0$. Пусть $H$ – оператор, определенный в (3.27), такой, что $\operatorname{Tr} e^{-\beta H}<+\infty$ для некоторого $\beta>0$. A) Если существует неубывающая последовательность $\{c_k\}_{k=0}^{+\infty}$ положительных чисел, стремящаяся к $+\infty$, такая, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant n_0} \operatorname{Tr} H_{\{c_k\}}\rho_n<+\infty, \quad \textit{где } \ H_{\{c_k\}}=\sum_{k=0}^{+\infty} c_kE_k |\tau_k\rangle\langle\tau_k|,
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
при некотором $n_0\in\mathbb{N}$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho_n\mathbin{\|}\gamma_{\beta})=D(\rho_0\mathbin{\|}\gamma_{\beta})<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
B) Если $\operatorname{Tr} e^{-\beta' H}<+\infty$ при любом $\beta'>0$, $\sup_{n\in\mathbb{N}} \operatorname{Tr} H\rho_n<+\infty$ и имеет место предельное соотношение (3.29), то существует неубывающая последовательность $\{c_k\}_{k=0}^{+\infty}$ положительных чисел, сходящаяся к $+\infty$, такая, что (3.28) выполнено при $n_0=0$. Доказательство. Нетрудно видеть, что последовательность проекторов
$$
\begin{equation*}
P_m=\sum_{k=0}^{m-1} |\tau_k\rangle\langle\tau_k|, \qquad m\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
вполне согласована с состоянием $\gamma_{\beta}$ (определение 3).
Поскольку $\operatorname{Tr} e^{-\beta H}<+\infty$, из условия $\sup_{n} \operatorname{Tr} H\rho_n<+\infty$ (которое слабее, чем условие (3.28)) следует, что $S(\rho_n)<+\infty$ для всех $n\geqslant0$ в силу предложения 1 из [22]. Следовательно, $S(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m)<+\infty$, где $\overline{P}_m=I_{\mathcal{H}}-P_m$, для всех $m$ и $n\geqslant0$ в силу леммы 3 из [7]. Поэтому из (2.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m\mathbin{\|}\overline{P}_m\gamma_{\beta}) &= \operatorname{Tr}\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m(-\ln \overline{P}_m\gamma_{\beta})-S(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m) \\ &\qquad-\eta(\operatorname{Tr}\overline{P}_m\rho_n) +\operatorname{Tr}\overline{P}_m(\gamma_{\beta}-\rho_n) \\ &=\beta\sum_{k=m}^{+\infty}E_k\langle\tau_k|\rho_n|\tau_k\rangle -S(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m)-\eta(\operatorname{Tr}\overline{P}_m\rho_n) \\ &\qquad+(\ln C_\beta-1)\operatorname{Tr}\overline{P}_m\rho_n + \operatorname{Tr}\overline{P}_m\gamma_{\beta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_\beta=\operatorname{Tr} e^{-\beta H}=\sum_{k=0}^{+\infty}e^{-\beta E_k}$. Поскольку величины $\sup_n\operatorname{Tr}\overline{P}_m\rho_n$ и $\operatorname{Tr}\overline{P}_m\gamma_{\beta}$ стремятся к нулю при $m\to+\infty$, условие (3.21) в этом случае равносильно условию
$$
\begin{equation}
\limsup_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0} \biggl(\beta\sum_{k=m}^{+\infty}E_k\langle\tau_k|\rho_n|\tau_k\rangle -S(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m)\biggr)\leqslant0.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
A) Если условие (3.28) выполнено, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sup_{n\geqslant n_0} \sum_{k=m}^{+\infty}E_k\langle\tau_k|\rho_n|\tau_k\rangle &\leqslant c_m^{-1}\sup_{n\geqslant n_0} \sum_{k=m}^{+\infty}c_kE_k\langle\tau_k|\rho_n|\tau_k\rangle \\ &\leqslant c_m^{-1}\sup_{n\geqslant n_0} \operatorname{Tr} H_{\{c_k\}}\rho_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому условие (3.30) выполнено и (3.29) имеет место в силу части А) следствия 1.
B) Поскольку $\operatorname{Tr} e^{-\beta' H}<+\infty$ для любого $\beta'>0$, из условия $\sup_{n} \operatorname{Tr} H\rho_n<+\infty$ следует, что $S(\rho_n)\to S(\rho_0)<+\infty$ при $n\to+\infty$ (см. [3],[22; предложение 1]). В силу замечания в начале доказательства $S(\rho_n)<+\infty$ для всех $n\geqslant0$. Поэтому часть В следствия 5 из [9] показывает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant0}S(\overline{P}_m\rho_n\overline{P}_m)=0.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Если имеет место (3.29), то из части В) следствия 1 следует выполнимость соотношения (3.21), которое в данном случае равносильно (3.30). Поэтому, используя (3.31), получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0}\sum_{k=m}^{+\infty}E_k\langle\tau_k|\rho_n|\tau_k\rangle=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это соотношение гарантирует существование последовательности $\{c_k\}_{k=0}^{+\infty}$ с требуемыми свойствами.
Предложение доказано. Предложение 2 показывает, в частности, что предельное соотношение (3.29) имеет место при условии, что $\sup_{n} \operatorname{Tr} H^\alpha\rho_n<+\infty$ при некотором $\alpha>1$. Заметим, что из последнего условия при $\alpha=1$ не следует выполнимость соотношения (3.29). Действительно, рассмотрим последовательность состояний $\rho_n=(1-1/E_n)|\tau_0\rangle\langle\tau_0|+1/E_n|\tau_n\rangle\langle \tau_n|$, сходящуюся к состоянию $\rho_0=|\tau_0\rangle\langle\tau_0|$. Тогда $\operatorname{Tr} H\rho_n=E_0(1-1/E_n)+1\leqslant E_0+1$ и
$$
\begin{equation*}
D(\rho_n\mathbin{\|}\gamma_{\beta})=\beta\biggl(E_0\biggl(1-\frac{1}{E_n}\biggr)+1\biggr)+\ln C_{\beta}-h_2\biggl(\frac{1}{E_n}\biggr) \quad \forall\, n>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_{\beta}=\operatorname{Tr} e^{-\beta H}$. Ясно, что $D(\rho_n\mathbin{\|}\gamma_{\beta})$ не сходится к $D(\rho_0\mathbin{\|}\gamma_{\beta})=\beta E_0+\ln C_{\beta}$.
§ 4. Сохранение сходимости квантовой относительной энтропии для счетных суммСледствие 3 из [9; п. 5.1.3] показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to+\infty}D(\rho^1_n+\dots +\rho^N_n\mathbin{\|} \sigma^1_n+\dots +\sigma^N_n) \\ &\qquad=D(\rho^1_0+\dots +\rho^N_0\mathbin{\|} \sigma^1_0+\dots +\sigma^N_0)<+\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых последовательностей $\{\rho^1_n\}_{n\in\mathbb{N}},\dots,\{\rho^N_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, $\{\sigma^1_n\}_{n\in\mathbb{N}},\dots,\{\sigma^N_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящихся соответственно к операторам $\rho^1_0,\dots,\rho^N_0$, $\sigma^1_0,\dots,\sigma^N_0$, при условии, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\rho^k_n\mathbin{\|}\sigma^k_n)=D(\rho^k_0\mathbin{\|}\sigma^k_0)<+\infty
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для всех $k=1,2,\dots ,N$. Это свойство можно трактовать как сохранение сходимости квантовой относительной энтропии для конечных сумм. Нетрудно видеть, что приведенное выше утверждение не обобщается на случай $N=+\infty$ даже при условии, что ряды $\sum_{k}\rho^k_n$ и $\sum_{k}\sigma^k_n$ корректно определяют ядерные операторы, сходящиеся при $n\to+\infty$ к ядерным операторам $\sum_{k}\rho^k_0$ и $\sum_{k}\sigma^k_0$ соответственно. Теорема 1 позволяет получить достаточное условие сохранения сходимости квантовой относительной энтропии для счетных сумм. Это условие – важный ингредиент доказательства теоремы 2 в следующем параграфе. Предложение 3. Пусть $\{\{\rho^k_n\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{k=1}^{+\infty}$ и $\{\{\sigma^k_n\}_{n\in\mathbb{N}}\}_{k=1}^{+\infty}$ – счетные множества сходящихся последовательностей операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ такие, что для всех $k\in\mathbb{N}$ имеют место предельные соотношения (4.1), Если
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to+\infty}\sup_{n\geqslant n_0}D\biggl(\sum_{k>m}\rho^k_n\biggm\| \sum_{k>m}\sigma^k_n\biggr)=0
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
при некотором $n_0\in\mathbb{N}$, то
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D\biggl(\sum_{k=1}^{+\infty}\rho^k_n\biggm\| \sum_{k=1}^{+\infty}\sigma^k_n\biggr) =D\biggl(\sum_{k=1}^{+\infty}\rho^k_0\biggm\| \sum_{k=1}^{+\infty}\sigma^k_0\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Если $\rho_n^k\rho_n^j=\rho_n^k\sigma_n^j=\sigma_n^k\sigma_n^j=0$ при каждом $n\in\mathbb{N}$ и всех $k\neq j$, то условие (4.3) необходимо для выполнения соотношения (4.4). Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что $\sum_{k=1}^{+\infty}\operatorname{Tr} \rho^k_n<+\infty$ и $\sum_{k=1}^{+\infty}\operatorname{Tr} \sigma^k_n<+\infty$ для всех $n\geqslant 0$. Можно также считать, что условие (4.3) выполнено при $n_0=1$.
При каждом $n\geqslant0$ операторы $\sum_{k=1}^{+\infty}\rho^k_n$ и $\sum_{k=1}^{+\infty}\sigma^k_n$ обозначим $\varrho_n$ и $\varsigma_n$ соответственно. Условие (4.2) гарантирует, что последовательности $\{\varrho_n\}$ и $\{\varsigma_n\}$ операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ сходятся соответственно к операторам $\varrho_0$ и $\varsigma_0$ (это следует из того, что сходимость последовательности $\{\varrho_n\}\subset\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ к оператору $\varrho_0$ в слабой операторной топологии влечет сходимость по следовой норме при условии, что $\operatorname{Tr}\varrho_n$ сходится к $\operatorname{Tr}\varrho_0$; см. [19]). Пусть $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность проекторов конечного ранга, вполне согласованная с последовательностью $\{\varsigma_n\}_{n\geqslant 0}$ (такая последовательность существует в силу леммы 4). Для заданного произвольного $\varepsilon>0$ условие (4.3) показывает существование натурального $u$ такого, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant1}D\biggl(\sum_{k>u}\rho^k_n\biggm\| \sum_{k>u}\sigma^k_n\biggr)<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
При каждом $n\geqslant0$ операторы $\sum_{k=1}^{u}\rho^k_n$, $\sum_{k>u}\rho^k_n$, $\sum_{k=1}^{u}\sigma^k_n$ и $\sum_{k>u}\sigma^k_n$ обозначим $\varrho^u_n$, $\eta^u_n$, $\varsigma^u_n$ и $\theta^u_n$ соответственно. В силу следствия 3 из [9] (которое было передоказано в примере 2) из предельных соотношений в (4.1) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(\varrho^u_n\mathbin{\|} \varsigma^u_n)=D(\varrho^u_0\mathbin{\|} \varsigma^u_0)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку двойная последовательность $\{P^n_m\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ согласована с последовательностью $\{\varsigma^u_n\}_{n\geqslant 0}$, часть В) теоремы 1 гарантирует существование таких $m_{\varepsilon}$ и $n_{\varepsilon}$, что
$$
\begin{equation}
\sup_{n\geqslant n_\varepsilon} D(\overline{P}^{\,n}_{m}\varrho^u_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\varsigma^u_n\overline{P}^{\,n}_m)<\varepsilon
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
для всех $m\geqslant m_{\varepsilon}$, где $\overline{P}^{\,n}_m=I_{\mathcal{H}}-P^n_m$ ($n_{\varepsilon}$ зависит от $\varepsilon$, поскольку $u$ зависит от $\varepsilon$).
Поскольку $\varrho_n=\varrho^u_n+\eta^u_n$ и $\varsigma_n=\varsigma^u_n+\theta^u_n$, совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (в форме неравенства (2.12)) вместе с (4.5) и (4.6) показывает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\overline{P}^{\,n}_m\varrho_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\varsigma_n\overline{P}^{\,n}_m) & \leqslant D(\overline{P}^{\,n}_m\varrho^u_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\varsigma^u_n\overline{P}^{\,n}_m)+ D(\overline{P}^{\,n}_m\eta^u_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\theta^u_n\overline{P}^{\,n}_m) \\ & \leqslant D(\overline{P}^{\,n}_m\varrho^u_n\overline{P}^{\,n}_m\mathbin{\|} \overline{P}^{\,n}_m\varsigma^u_n\overline{P}^{\,n}_m)+ D(\eta^u_n\mathbin{\|} \theta^u_n)< 2\varepsilon \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $m\geqslant m_{\varepsilon}$ и $n\geqslant n_\varepsilon$, где второе неравенство следует из [7; лемма 3].
Таким образом, условие (3.9) выполнено при $\rho_n=\varrho_n$ и $\sigma_n=\varsigma_n$. В силу части А) теоремы 1 это гарантирует выполнимость (4.4). Последнее утверждение предложения нетрудно показать, используя лемму Дини, поскольку если $\rho_n^k\rho_n^j=\rho_n^k\sigma_n^j=\sigma_n^k\sigma_n^j=0$ при каждом $n$ и всех $k\neq j$, то из равенства (2.13) следует, что Предложение доказано.§ 5. Сохранение сходимости квантовой относительной энтропии при действии вполне положительных линейных отображений5.1. Случай одного отображенияВажнейшее свойство квантовой относительной энтропии – это ее невозрастание при действии квантовых операций (вполне положительных неувеличивающих след линейных отображений). Это означает, что
$$
\begin{equation}
D(\Phi(\rho)\mathbin{\|} \Phi(\sigma))\leqslant D(\rho\mathbin{\|}\sigma)
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
для произвольной квантовой операции $\Phi\colon \mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)\to\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ и любых операторов $\rho$ и $\sigma$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$ (см. [23]). Свойство монотонности (5.1) является необходимым ингредиентом доказательства следующей теоремы, которая утверждает, в частности, что локальная непрерывность квантовой относительной энтропии сохраняется при действии квантовых операций. Теорема 2. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ такие, что Тогда для любого вполне положительного линейного отображения $\Phi$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$, где $\mathcal{H}_B$ – произвольное сепарабельное гильбертово пространство. Доказательство. Можно считать, что $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n\,{\in}\,\mathbb{N}$. Можно также считать в силу соотношения (2.7), что отображение $\Phi$ не увеличивает след. Это означает, что где $\{V_k\}$ – множество операторов из $\mathcal{H}_A$ в $\mathcal{H}_B$ такое, что $\sum_{k=1}^{+\infty}V_k^*V_k\leqslant I_{A}$.
Если $\sigma_0=0$, то (5.2) может иметь место, только если $\rho_0=0$ и предел в (5.2) равен нулю. В этом случае выполнимость (5.3) прямо следует из свойства монотонности (5.1). Поэтому будем считать, что $\sigma_0\neq0$. Пусть $M^*_{\sigma_0}$ – множество всех индексов $i$ таких, что $\lambda^{\sigma_0}_{i+1}< \lambda^{\sigma_0}_i$, где $\{\lambda^{\sigma_0}_i\}_{i=1}^{+\infty}$ – последовательность собственных значений оператора $\sigma_0$ в порядке невозрастания (с учетом кратности). Пусть $m_0$ – кратность $\lambda^{\sigma_0}_1$. Для каждого $m\geqslant m_0$ пусть $P_m^n$ – спектральный проектор оператора $\sigma_n$, соответствующий его максимальным $\widehat{m}$ собственным значениям5, где $\widehat{m}$ – максимальное число из $M^*_{\sigma_0}$, не превосходящее $m$ (если $\widehat{m}>\operatorname{rank}\sigma_n$, то считаем, что $P^n_m$ – проектор на $\operatorname{supp}\sigma_n$). Аргументы, используемые в конце п. 4.2.1 в [24] (основанные на теореме VIII.23 из [16] и неравенстве Мирского (2.1)), показывают, что
$$
\begin{equation}
P_m^0=\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}_{n\to+\infty} P_m^n \quad \forall\, m\geqslant m_0,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}$ обозначает предел в топологии операторной нормы.
Сначала мы докажем теорему, предполагая, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{rank}\sigma_n\leqslant\operatorname{rank}\sigma_0\leqslant+\infty \quad \forall\, n.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Если $r=\operatorname{rank}\sigma_0<+\infty$, то из этого предположения следует, что $P_m^n\sigma_n=\sigma_n$ для всех $n$ и $m\geqslant r$.
В силу представления (5.4), приведенной ниже леммы 6 и предложения 3 для доказательства (5.3) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to+\infty} \sup_{n\in\mathbb{N}} D\bigl(\Delta_j(\rho_n)\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n)\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\Delta_j(\varrho)=\sum_{k>j}V_k\varrho V_k^*$ – квантовая операция для любого натурального $j$.
Пусть $U_m^n=2P_m^n-I_{\mathcal{H}}$ и $\overline{P}_m^{\,n}=I_{\mathcal{H}}-P_m^n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
P_m^n\rho_n P_m^n+\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n}=\frac{1}{2}(\rho_n+U_m^n\rho_n[U_m^n]^*) \quad \forall\, n,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, используя неравенство (2.10) и тождества (2.7) и (2.8), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D\bigl(\Delta_j(P_m^n\rho_n P_m^n+\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n})\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n)\bigr) \\ &\qquad \geqslant \frac{1}{2}D\bigl(\Delta_j(\rho_n)\mathbin{\|} 2\Delta_j(\sigma_n)\bigr)-\operatorname{Tr}\Delta_j(\sigma_n) \\ &\qquad=\frac{1}{2}\bigl(D(\Delta_j(\rho_n)\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n))-\operatorname{Tr}\Delta_j(\rho_n)\ln2 -\operatorname{Tr}\Delta_j(\sigma_n)\bigr) \quad \forall\, n,m,j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
D(\Delta_j(\rho_n)\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n))\leqslant 2 D(\Delta_j(P_m^n\rho_n P_m^n+\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n})\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n))+\varepsilon_j,
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $\varepsilon_j=\sup_{n\geqslant0}(\operatorname{Tr}\Delta_j(\rho_n)\ln2 +\operatorname{Tr}\Delta_j(\sigma_n))$. Поскольку величины $\operatorname{Tr}\Delta_j(\rho_n)$ и $\operatorname{Tr}\Delta_j(\sigma_n)$ стремятся соответственно к $\operatorname{Tr}\Delta_j(\rho_0)$ и $\operatorname{Tr}\Delta_j(\sigma_0)$ при $n\to+\infty$ для каждого $j$ и монотонно убывают к нулю при $j\to+\infty$ для каждого $n\,{\geqslant}\,0$, используя лемму 1, заключаем, что $\varepsilon_j$ стремится к нулю при $j\to+\infty$. Поскольку $\sigma_n=P_m^n\sigma_n+\overline{P}_m^{\,n}\sigma_n=P_m^n\sigma_nP_m^n+\overline{P}_m^{\,n}\sigma_n\overline{P}_m^{\,n}$, из неравенства (2.12) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &D\bigl(\Delta_j(P_m^n\rho_n P_m^n+\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n})\mathbin{\|} \Delta_j(\sigma_n)\bigr) \\ &\qquad\leqslant D\bigl(\Delta_j(P_m^n\rho_n P_m^n)\mathbin{\|} \Delta_j(P_m^n\sigma_n)\bigr) +D\bigl(\Delta_j(\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n})\mathbin{\|} \Delta_j(\overline{P}_m^{\,n}\sigma_n)\bigr) \notag \\ &\qquad\leqslant \|\Delta^{m,n}_j\|D(\rho_n\mathbin{\|} \sigma_n) +D(\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n}\mathbin{\|} \overline{P}_m^{\,n}\sigma_n) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
для всех $n$, $m$ и $j$, где $\|\Delta^{m,n}_j\|$ – операторная норма отображения $\varrho\mapsto \Delta^{m,n}_j(\varrho)\doteq \Delta_j(P_m^n\varrho P_m^n)$. Последнее неравенство следует из монотонности относительной энтропии при действии квантовых операций $\|\Delta^{m,n}_j\|^{-1}\Delta^{m,n}_j$ и $\Delta_j$ (см. [23]).
Поскольку $\{P_m^n\}_{n\geqslant0,\,m\geqslant m_0}$ – двойная последовательность, согласованная с последовательностью $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ в силу предположения (5.6), из условия (5.2) и предположения $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n$ следует, в силу части В) теоремы 1, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to+\infty} \sup_{n\in\mathbb{N}}D(\overline{P}_m^{\,n}\rho_n \overline{P}_m^{\,n}\mathbin{\|} \overline{P}_m^{\,n}\sigma_n)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, из (5.8) и (5.9) следует, что для доказательства (5.7) надо показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to+\infty} \sup_{n\in\mathbb{N}} \|\Delta^{m,n}_j\|=0
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
для любого заданного $m\geqslant m_0$. Для доказательства (5.10) заметим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{j\to+\infty}\|P_m^nT_jP_m^n\|=0\quad \forall\, n\geqslant0,\quad m\geqslant m_0,
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где $T_j=\sum_{k>j}V_k^*V_k$, поскольку $T_j\to0$ при $j\to+\infty$ в сильной операторной топологии и $P_m^n$ – проектор конечного ранга. Заметим также, что
$$
\begin{equation}
\|P_m^nT_jP_m^n\|\leqslant \bigl(\|P_m^nT_j\|+\|T_j P_m^0 \|\bigr)\|P_m^n-P_m^0\|+\|P_m^0T_jP_m^0\|.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Из (5.5) следует, что первое слагаемое в правой части (5.12) можно сделать сколь угодно малым для любого заданного $m$ и всех $j$, выбирая достаточно большое $n$. Поэтому из (5.11) и (5.12) следует (5.10).
Для завершения доказательства необходимо “снять” предположение (5.6). Пусть $r=\operatorname{rank}\sigma_0<+\infty$ и $P_r^n$ – спектральный проектор оператора $\sigma_n$, определенный перед (5.5). В силу предельного соотношения (5.5) при $m=r$ и приведенной ниже леммы 6 из (5.2) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(P_r^n\rho_n P_r^n\mathbin{\|} P_r^n\sigma_n)=D(P^0_r\rho_0 P^0_r\mathbin{\|} P^0_r\sigma_0)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\overline{P}_r^{\,n}\rho_n \overline{P}_r^{\,n}\mathbin{\|} \overline{P}_r^{\,n}\sigma_n)=D(\overline{P}^{\,0}_r\rho_0 \overline{P}^{\,0}_r\mathbin{\|} \overline{P}^{\,0}_r\sigma_0)=D(0\mathbin{\|}0)=0.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
В силу первого этапа доказательства (с предположением (5.6)) из соотношения (5.13) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\Phi(P_r^n\rho_n P_r^n)\bigm\| \Phi(P_r^n\sigma_n)\bigr)=D\bigl(\Phi(\rho_0)\bigm\|\Phi(\sigma_0)\bigr)<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как соотношение (5.14) и свойство монотонности (5.1) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\Phi(\overline{P}_r^{\,n}\rho_n \overline{P}_r^{\,n})\bigm\|\Phi(\overline{P}_r^{\,n}\sigma_n)\bigr)=D(0\mathbin{\|}0)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу следствия 3 из [9] (которое было передоказано в примере 2) из этих предельных соотношений следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\Phi(P_r^n\rho_n P_r^n+\overline{P}_r^{\,n}\rho_n \overline{P}_r^{\,n})\bigm\|\Phi(\sigma_n)\bigr) =D\bigl(\Phi(\rho_0)\bigm\|\Phi(\sigma_0)\bigr)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\frac{1}{2}\rho_n\leqslant\frac{1}{2}(\rho_n+U_r^n\rho_n[U_r^n]^*)=P_r^n\rho_n P_r^n+\overline{P}_r^{\,n}\rho_n \overline{P}_r^{\,n}$, где $U_r^n=2P_r^n-I_{\mathcal{H}}$, из последнего предельного соотношения и предложения 2 в [9] следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D\biggl(\frac{1}{2}\Phi(\rho_n)\biggm\| \Phi(\sigma_n)\biggr) =D\biggl(\frac{1}{2}\Phi(\rho_0)\biggm\|\Phi(\sigma_0)\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Используя тождества (2.7) и (2.8), нетрудно показать, что из (5.15) следует (5.3).
Теорема 2 доказана. Лемма 6. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, такие, что Доказательство. Предположим сначала, что $V_n=P$ для всех $n\geqslant0$, где $P$ – (ортогональный) проектор из $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
P\omega P+\overline{P}\omega \overline{P}=\frac{1}{2}(\omega+U\omega U^*), \quad \forall\,\omega\in\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}),
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $\overline{P}=I_{\mathcal{H}}-P$ и $U=2P-I_{\mathcal{H}}$. Поскольку $U$ – унитарный оператор, из (5.16) следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(U\rho_nU^*\mathbin{\|} U\sigma_nU^*)=D(U\rho_0U^*\mathbin{\|} U\sigma_0U^*)<+\infty.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
В силу следствия 3 из [9] из соотношений (5.16) и (5.20) с учетом (2.7) и (5.19) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to+\infty}D(P\rho_nP+\overline{P}\rho_n\overline{P}\mathbin{\|} P\sigma_nP+\overline{P}\sigma_n\overline{P}) \\ &\qquad=D(P\rho_0P+\overline{P}\rho_0\overline{P}\mathbin{\|} P\sigma_0P+\overline{P}\sigma_0\overline{P})<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $D(P\rho_nP+\overline{P}\rho_n\overline{P}\mathbin{\|} P\sigma_nP+\overline{P}\sigma_n\overline{P})=D(P\rho_n P\mathbin{\|} P\sigma_n P)+D(\overline{P}\rho_n\overline{P}\mathbin{\|} \overline{P}\sigma_n\overline{P})$ для всех $n\geqslant0$ (в силу равенства (2.13)), используя это предельное соотношение и полунепрерывность снизу относительной энтропии нетрудно показать, что (5.17) выполнено при $V_n=P$.
Предположим теперь, что $\{V_n\}$ – последовательность сжимающих операторов из $\mathcal{H}$ в $\mathcal{H}'$ (общий случай сводится к этому с помощью равенства (2.7), поскольку из условия (5.18) следует, что $\sup_n\|V_n\|<+\infty$ в силу принципа равномерной ограниченности [16; теорема III.9]). Рассмотрим последовательность $\{\widehat{V}_n\}$ изометрий из $\mathcal{H}$ в $\mathcal{H}'\oplus\mathcal{H}$, определенных формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat{V}_n|\varphi\rangle=V_n|\varphi\rangle\oplus\sqrt{I_{\mathcal{H}}-V_n^*V_n}|\varphi\rangle, \quad \varphi\in\mathcal{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (5.18) следует сходимость последовательности $\{\widehat{V}_n\}$ к изометрии $\widehat{V}_0$ в сильной операторной топологии. Следовательно, операторы $\widehat{V}_n\rho_n\widehat{V}_n^*$ и $\widehat{V}_n\sigma_n\widehat{V}_n^*$ сходятся соответственно к операторам $\widehat{V}_0\rho_0\widehat{V}_0^*$ и $\widehat{V}_0\sigma_0\widehat{V}_0^*$ при $n\to+\infty$ по следовой норме.
Из (5.16) следует, что (5.17) выполнено при $V_n=\widehat{V}_n$. Поскольку $V_n\omega V_n^*=P\widehat{V}_n\omega \widehat{V}_n^*P$ для любого оператора $\omega$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, где $P$ – проектор на подпространство $\mathcal{H}'$ в $\mathcal{H}'\oplus\mathcal{H}$, выполнимость (5.17) следует в силу первой части доказательства из выполнимости (5.17) с $V_n=\widehat{V}_n$. Лемма доказана. 5.2. Случай последовательности вполне положительных линейных отображенийУтверждение теоремы 2 можно существенно усилить. Теорема 3. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ такие, что Если $\{\varrho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\varsigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_B)$, сходящиеся соответственно к операторам $\varrho_0$ и $\varsigma_0$, такие, что $\varrho_n=\Phi_n(\rho_n)$ и $\varsigma_n=\Phi_n(\sigma_n)$ при каждом $n\neq0$, где $\Phi_n$ – квантовая операция из $A$ в $B$, то Существенно, что в теореме 3 не предполагается каких-либо свойств последовательности $\{\Phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. В силу тождества (2.7) в условии теоремы 3 можно считать, что $\{\Phi_n\}$ – последовательность вполне положительных линейных отображений из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$ с ограниченной операторной нормой. Доказательство. Будем считать, что $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n\in\mathbb{N}$.
Если $\sigma_0=0$, то (5.21) может иметь место только в случае $\rho_0=0$. В этом случае предел в (5.21) равен нулю и выполнимость (5.22) следует из свойства монотонности (5.1) и полунепрерывности снизу относительной энтропии. Поэтому далее будем считать, что $\sigma_0\neq0$. Доказательство будет состоять из трех логически связанных шагов. На первом шаге предположим, что $\varrho_n=\Phi_n(\rho_n)$ и $\varsigma_n=\Phi_n(\sigma_n)$ при каждом $n\neq0$, где $\{\Phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность квантовых операций из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B)$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Phi_0$ (см. п. 2.3). При этом из равномерной ограниченности операторных норм отображений $\Phi_n$ следует, что $\varrho_0=\Phi_0(\rho_0)$ и $\varsigma_0=\Phi_0(\sigma_0)$. В силу леммы 2 существуют квантовая система $C$ и последовательность $\{\widetilde{\Phi}_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ квантовых каналов из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B\oplus\mathcal{H}_C)$, сильно сходящаяся к квантовому каналу $\widetilde{\Phi}_0$, такая, что
$$
\begin{equation*}
\Phi_n(\rho)=P_B\widetilde{\Phi}_n(\rho)P_B \quad \forall\, \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A), \quad \forall\, n\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_B$ – проектор на подпространство $\mathcal{H}_B$ в $\mathcal{H}_{B}\oplus\mathcal{H}_{C}$.
Поэтому в силу леммы 6 достаточно доказать (5.22), считая, что $\{\Phi_n\}$ – последовательность квантовых каналов, сильно сходящаяся к квантовому каналу $\Phi_0$ такому, что $\varrho_0=\Phi_0(\rho_0)$ и $\varsigma_0=\Phi_0(\sigma_0)$. В этом случае существуют квантовая система $E$ и последовательность $\{V_n\}$ изометрий из $\mathcal{H}_{A}$ в $\mathcal{H}_{BE}$, сильно сходящаяся к изометрии $V_0$, такая, что $\Phi_n(\varrho)=\operatorname{Tr}_E V_n\varrho V^*_n$ для всех $n\geqslant0$ (см. [18; теорема 7]). Ясно, что операторы $V_n\rho_nV_n^*$ и $V_n\sigma_nV_n^*$ сходятся соответственно к операторам $V_0\rho_0V_0^*$ и $V_0\sigma_0V_0^*$ при $n\to+\infty$. Поскольку все операторы $V_n$ изометричны, из (5.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(V_n\rho_nV_n^*\mathbin{\|} V_n\sigma_nV_n^*)=D(V_0\rho_0V_0^*\mathbin{\|} V_0\sigma_0V_0^*)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 2 из этого соотношения следует (5.22), поскольку частичный след по пространству $\mathcal{H}_E$ – это квантовый канал.
На втором шаге мы докажем утверждение теоремы при условии
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} \sigma_n \subseteq \operatorname{supp} \sigma_0 \quad \forall\, n.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
В силу конечности $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)$ из этого условия следует, что $\operatorname{supp} \rho_n\subseteq \operatorname{supp} \sigma_0$ для всех $n\geqslant0$. Поэтому в этом случае можно считать, что $\sigma_0$ – невырожденное состояние, т.е. $\ker\sigma_0=\{0\}$.
Для доказательства предельного соотношения (5.22) достаточно показать, что предположение
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\varrho_n\mathbin{\|} \varsigma_n)=a\neq D(\varrho_0\mathbin{\|} \varsigma_0)
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
приводит к противоречию.
Из условия $\varsigma_n=\Phi_n(\sigma_n)$ в силу равномерной ограниченности операторных норм отображений $\Phi_n$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}\Phi_n(\sigma_0)=\lim_{n\to+\infty}\varsigma_n +\lim_{n\to+\infty}\Phi_n(\sigma_0-\sigma_n)=\varsigma_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, критерий компактности для множеств квантовых операций в топологии сильной сходимости, представленный в предложении 5 в Приложении, позволяет показать, что последовательность $\{\Phi_n\}$ относительно компактна в этой топологии. Поэтому существует подпоследовательность $\{\Phi_{n_k}\}$, сильно сходящаяся к квантовой операции $\Psi$.
В силу первого шага доказательства из предельного соотношения (5.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{k\to+\infty}D(\varrho_{n_k}\mathbin{\|}\varsigma_{n_k}) &=\lim_{k\to+\infty}D(\Phi_{n_k}(\rho_{n_k})\mathbin{\|} \Phi_{n_k}(\sigma_{n_k})) \\ &=D(\Psi(\rho_0)\mathbin{\|} \Psi(\sigma_0))<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит (5.24), поскольку в силу равномерной ограниченности операторных норм отображений $\Phi_{n_k}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi(\rho_0) &=\lim_{k\to+\infty}\Phi_{n_k}(\rho_{n_k})=\varrho_0, \\ \Psi(\sigma_0) &=\lim_{k\to+\infty}\Phi_{n_k}(\sigma_{n_k})=\varsigma_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На третьем шаге мы “снимем” условие (5.23). Предположим, что оператор $\sigma_0$ имеет конечный ранг $r$. Без ограничения общности можно считать, что $\operatorname{rank}\sigma_n\geqslant r$ для всех $n$. Пусть $P^n_r$ – спектральный проектор оператора $\sigma_n$, соответствующий его $r$ максимальным собственным значениям6 (с учетом кратности). Тогда $P^0_r$ – проектор на носитель $\sigma_0$, который содержит носитель $\rho_0$ (поскольку в противном случае $D(\rho_0 \mathbin{\|}\sigma_0)=+\infty$). Аргументы, используемые в конце п. 4.2.1 в [24] (основанные на теореме VIII.23 из [16] и неравенстве Мирского (2.1)), показывают, что
$$
\begin{equation}
P^0_r=\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}_{n\to+\infty} P^n_r,
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
где $\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}$ обозначаетпредел в топологии операторной нормы.
Поэтому можно считать, что $\|P^n_r-P^0_r\|<1$ для всех $n$. При каждом $n\neq0$ рассмотрим унитарный оператор в пространстве $\mathcal{H}_A$, где $W(P^n_r,P^0_r)$ – частичная изометрия, определенная в приведенной ниже лемме 7, а $V_n$ – любая частичная изометрия такая, что $V_n^*V_n=I_{A}-P^0_r$ и $V_nV_n^*=I_{A}-P^n_r$. Рассмотрим последовательности операторов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\rho}_n=U^*_n\rho_nU_n, \qquad \widetilde{\sigma}_n=U^*_n\sigma_nU_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (5.25) и часть В) приведенной ниже леммы 7, нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\widetilde{\rho}_n=\rho_0, \quad \lim_{n\to+\infty}\widetilde{\sigma}_n=\sigma_0,\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Поскольку из (5.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(\widetilde{\rho}_n\mathbin{\|}\widetilde{\sigma}_n)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
лемма 6 показывает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(P^0_r\widetilde{\rho}_nP^0_r\mathbin{\|} P^0_r\widetilde{\sigma}_n)=D(P^0_r\rho_0P^0_r\mathbin{\|} P^0_r\sigma_0)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty,
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D(\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\rho}_n\overline{P}^{\,0}_r\mathbin{\|} \overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\sigma}_n)=D(\overline{P}^{\,0}_r\rho_0\overline{P}^{\,0}_r\mathbin{\|} \overline{P}^{\,0}_r\sigma_0)=D(0\mathbin{\|}0)=0,
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
где $\overline{P}^{\,0}_r=I_A-P^0_r$ и было использовано, что $P^0_r\widetilde{\sigma}_n=\widetilde{\sigma}_nP^0_r$ по построению.
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\varrho_n=\widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\rho}_n), \qquad \varsigma_n=\widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\sigma}_n) \quad \forall\, n\neq0,
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где $\widetilde{\Phi}_n$ – квантовая операция $\Phi_n(U_n(\cdot)U_n^*)$. Рассмотрим последовательности операторов
$$
\begin{equation*}
\varrho'_n=\widetilde{\Phi}_n(P^0_r\widetilde{\rho}_n P^0_r), \quad \varsigma'_n=\widetilde{\Phi}_n(P^0_r\widetilde{\sigma}_n),\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $P^0_r\sigma_0=\sigma_0 P^0_r=\sigma_0$ и $P^0_r\rho_0P_r^0=\rho_0$, из (5.26) и (5.29) c учетом равномерной ограниченности операторных норм отображений $\widetilde{\Phi}_n$ следует, что последовательности $\{\varrho'_n\}$ и $\{\varsigma'_n\}$ сходятся соответственно к операторам $\varrho_0$ и $\varsigma_0$.
Поскольку условие (5.23) выполнено при $\sigma_n=P^0_r\widetilde{\sigma}_n$, из предельного соотношения (5.27) следует в силу второго шага доказательства, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{n\to+\infty}D(\varrho'_n \mathbin{\|}\varsigma'_n) &=\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\widetilde{\Phi}_n(P^0_r\widetilde{\rho}_nP^0_r)\bigm\| \widetilde{\Phi}_n(P^0_r\widetilde{\sigma}_n)\bigr) \notag \\ &=D(\varrho_0\mathbin{\|}\varsigma_0)<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Предельное соотношение (5.28) и свойство монотонности (5.1) показывают, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\widetilde{\Phi}_n(\overline{P}^{\,0}_r \widetilde{\rho}_n\overline{P}^{\,0}_r)\bigm\| \widetilde{\Phi}_n(\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\sigma}_n)\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
причем последовательности $\{\widetilde{\Phi}_n(\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\rho}_n\overline{P}^{\,0}_r)\}_{n \in\mathbb{N}}$ и $\{\widetilde{\Phi}_n(\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\sigma}_n)\}_{n \in\mathbb{N}}$ сходятся к нулевому оператору в силу равномерной ограниченности операторных норм отображений $\widetilde{\Phi}_n$.
В силу [9; следствие 3 ] из (5.30) и (5.31) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D\bigl(\widetilde{\Phi}_n(P^0_r\widetilde{\rho}_nP^0_r +\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\rho}_n\overline{P}^{\,0}_r)\bigm\| \widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\sigma}_n)\bigr)=D(\varrho_0\mathbin{\|}\varsigma_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\frac{1}{2}\widetilde{\rho}_n\leqslant P^0_r\widetilde{\rho}_nP^0_r+\overline{P}^{\,0}_r\widetilde{\rho}_n\overline{P}^{\,0}_r$ (см. конец доказательства теоремы 2), из последнего предельного соотношения и предложения 2 в [9] следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{n\to+\infty}D\biggl(\frac{1}{2}\varrho_n\biggm\| \varsigma_n\biggr) &=\lim_{n\to+\infty}D\biggl(\widetilde{\Phi}_n\biggl(\frac{1}{2}\widetilde{\rho}_n\biggr) \biggm\| \widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\sigma}_n)\biggr) \\ &=D\biggl(\frac{1}{2}\varrho_0\biggm\|\varsigma_0\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает в силу (2.7) и (2.8) выполнимость (5.22).
Предположим, что оператор $\sigma_0$ имеет бесконечный ранг. Рассмотрим последовательности операторов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\rho}_n \doteq W^*_n\rho_nW_n, \quad \widetilde{\sigma}_n \doteq W^*_n\sigma_nW_n,\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
определенных с помощью последовательности $\{W_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ частичных изометрий со свойствами, описанными в приведенной ниже лемме 8. Поскольку $\operatorname{supp}\rho_n\subseteq\operatorname{supp}\sigma_n$ в силу предполагаемой конечности ${D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\widetilde{\rho}_n \subseteq \operatorname{supp}\widetilde{\sigma}_n \subseteq \mathcal{H}_0\doteq\operatorname{supp}\sigma_0
\end{equation*}
\notag
$$
и $D(\widetilde{\rho}_n\mathbin{\|}\widetilde{\sigma}_n)=D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)$ для всех $n\in\mathbb{N}$.
Из соотношения (5.21) и предположения $D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty$ для всех $n\in\mathbb{N}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{n\in\mathbb{N}} D(\widetilde{\rho}_n\mathbin{\|}\widetilde{\sigma}_n)=\sup_{n\in\mathbb{N}} D(\rho_n\mathbin{\|}\sigma_n)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это показывает, что последовательность $\{\widetilde{\rho}_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ относительно компактна в силу приведенной ниже леммы 9, поскольку множество $\{\widetilde{\sigma}_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{\sigma_0\}$ компактно благодаря второму предельному соотношению в (5.32). Предположим, что $\rho_*$ – частичный предел последовательности $\{\widetilde{\rho}_n\}$, т.е. что существует подпоследовательность $\{\widetilde{\rho}_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}$, сходящаяся к $\rho_*$. Тогда первое предельное соотношение в (5.32) показывает, что
$$
\begin{equation*}
\rho_0=\lim_{k\to+\infty}\rho_{n_k}=\lim_{k\to+\infty} W_{n_k}\widetilde{\rho}_{n_k}W_{n_k}^*=R_0\rho_*R_0=\rho_*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_0$ – проектор на $\mathcal{H}_0$ и последнее равенство следует из того, что носитель $\rho_*$ лежит в $\mathcal{H}_0$ (поскольку носители всех операторов $\widetilde{\rho}_n$ содержатся в $\mathcal{H}_0$). Поэтому все частичные пределы относительно компактной последовательности $\{\widetilde{\rho}_n\}$ совпадают с $\rho_0$.
Таким образом, последовательности $\{\widetilde{\rho}_n\}$ и $\{\widetilde{\sigma}_n\}$ сходятся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$ и
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}D(\widetilde{\rho}_n\mathbin{\|}\widetilde{\sigma}_n)=D(\rho_0\mathbin{\|}\sigma_0)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\varrho_n=\widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\rho}_n)$ и $\varsigma_n=\widetilde{\Phi}_n(\widetilde{\sigma}_n)$ при каждом $n\neq0$, где $\widetilde{\Phi}_n$ – квантовая операция $\Phi_n(W_n(\cdot)W_n^*)$. Более того, последовательность $\{\widetilde{\sigma}_n\}$ удовлетворяет условию (5.23). Следовательно, второй шаг доказательства показывает выполнимость соотношения (5.22). Теорема 3 доказана. Лемма 7. Пусть $P$ и $Q$ – проекторы конечного ранга в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, а $W(P,Q)$ – частичная изометрия из полярного разложения оператора $PQ$, т.е. $W(P,Q)$ – единственный оператор такой, что $W(P,Q)W(P,Q)^*$ и $W(P,Q)^*W(P,Q)$ – проекторы на множества значений операторов $PQ$ и $\sqrt{QPQ}$ соответственно и $PQ=W(P,Q)\sqrt{QPQ}$. A) Если $\|P-Q\|<1$, то $W(P,Q)W(P,Q)^*=P$ и $W(P,Q)^*W(P,Q)=Q$. B) Если $\{P_n\}$ – последовательность проекторов, сходящаяся к проектору $P_0$ по операторной норме, то последовательность $\{W(P_n,P_0)\}$ сходится к проектору $P_0$ по операторной норме. Доказательство. A) Ясно, что $\mathrm{R} (PQ)\subseteq\mathrm{R} (P)$, где $\mathrm{R}(X)$ – множество значений оператора $X$. Предположим, что $\varphi$ – единичный вектор в $\mathrm{R}(P)\ominus\mathrm{R} (PQ)$. Тогда для любого вектора $\psi$ в $\mathcal{H}$ имеем $\langle\varphi |Q\psi\rangle=\langle P\varphi |Q\psi\rangle=\langle\varphi |PQ\psi\rangle=0$, т.е. $\varphi$ лежит в $[\mathrm{R}(Q)]^\perp$. Это противоречит условию $\|P-Q\|<1$.
Таким образом, $\mathrm{R} (PQ)=\mathrm{R} (P)$. Заметим, что $\mathrm{R} (\sqrt{QPQ})=\mathrm{R}(QPQ)\subseteq\mathrm{R} (Q)$. Предположим, что $\varphi$ – единичный вектор в $\mathrm{R} (Q)\ominus\mathrm{R} (QPQ)$. Тогда для любого вектора $\psi$ в $\mathcal{H}$ имеем $\langle\varphi |PQ\psi\rangle=\langle Q\varphi |PQ\psi\rangle=\langle\varphi |QPQ\psi\rangle=0$, т.е. $\varphi$ лежит в $[\mathrm{R}(PQ)]^\perp=[\mathrm{R}(P)]^\perp$. Это противоречит условию $\|P-Q\|<1$. Следовательно, $\mathrm{R}(\sqrt{QPQ})=\mathrm{R}(Q)$. B) Поскольку последовательности $\{P_nP_0\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sqrt{P_0P_nP_0}\}_{n\in\mathbb{N}}$ сходятся к проектору $P_0$ по операторной норме [16], нетрудно показать, что последовательность $\{W(P_n,P_0)\}_{n\in\mathbb{N}}$ также сходится к проектору $P_0$ по операторной норме. Лемма доказана. Лемма 8. Пусть $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, сходящаяся к оператору $\sigma_0$ бесконечного ранга. Тогда существует последовательность $\{W_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ частичных изометрий такая, что $W_n^*W_n\,{=}\,R_0$, $W_nW_n^*\,{\geqslant}\, R_n$ при всех $n$, где $R_0$ и $R_n$ – проекторы на носители операторов $\sigma_0$ и $\sigma_n$, а $\operatorname*{\textit{s}\,-\,lim}$ обозначает предел в сильной операторной топологии. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что последовательность $\{\sigma_n\}$ состоит из состояний и сходится к состоянию бесконечного ранга $\sigma_0$.
Пусть $\{\lambda^{n}_i\}_{i=1}^{+\infty}$ – последовательность собственных значений состояния $\sigma_n$ в невозрастающем порядке (с учетом кратности). В силу неравенства Мирского (2.1) имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{+\infty}|\lambda^{n}_i-\lambda^{0}_i|\leqslant \|\sigma_n-\sigma_0\|_1 \quad \forall\, n.
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
При каждом натуральном $j\leqslant\operatorname{rank}\sigma_n$ и $n\geqslant0$ пусть $P^n_j$ – спектральный проектор состояния $\sigma_n$, соответствующий собственным значениям7 $\lambda^{n}_1,\dots,\lambda^{n}_j$. Если $\operatorname{rank}\sigma_n< j$, то $P^n_j=R_n$. Пусть $\{\mu_k\}_{k=1}^{+\infty}$ – последовательность различных собственных значений оператора $\sigma_0$ в невозрастающем порядке. Кратность собственного значения $\mu_k$ обозначим $m_k$. При каждом $n\geqslant0$ введем проекторы
$$
\begin{equation*}
Q^n_1=P^n_{m_1}, \qquad Q^n_k=P^n_{m_1+m_2+\dots +m_k}-P^n_{m_1+m_2+\dots +m_{k-1}}, \quad k=2,3,\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\lim_{p\to+\infty}\min_{n\geqslant p}\operatorname{rank}\sigma_n=\operatorname{rank}\sigma_0=+\infty.
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Используя теорему VIII.23 из [16] и неравенство (5.33), нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}_{n\to+\infty} Q_k^n=Q_k^0 \quad\forall\, k\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
где $\operatorname*{\textit{n}\,-\,lim}$ обозначает предел в топологии операторной нормы.
Для любых двух проекторов $P$ и $Q$ одного и того же конечного ранга будем обозначать через $W(P,Q)$ частичную изометрию из $Q(\mathcal{H})$ в $P(\mathcal{H})$, введенную в лемме 7, при условии $\|P-Q\|<1$, и любую заданную частичную изометрию из $Q(\mathcal{H})$ в $P(\mathcal{H})$ в противном случае. Если для заданного $n$ состояние $\sigma_n$ имеет бесконечный ранг, то оба проектора $Q_k^n$ и $Q_k^0$ имеют один и тот же ранг $m_k$ для всех $k$, и мы определим оператор $W_n$ выражением в котором $W(Q_k^n,Q_k^0)$ – определенная выше частичная изометрия из $Q_k^0(\mathcal{H})$ в $Q_k^n(\mathcal{H})$. Нетрудно видеть, что $W_n$ – частичная изометрия такая, что $W_n^*W_n\,{=}\,R_0$ и $W_nW_n^*=R_n$.Если для заданного $n$ состояние $\sigma_n$ имеет конечный ранг $r_n>0$, то пусть $k_n$ – максимальное число в множестве $\{k\in\mathbb{N}\mid \operatorname{rank} Q_k^n=m_k\}$ при условии, что это множество непусто и $k_n=0$ в противном случае. Мы определим оператор $W_n$ выражением
$$
\begin{equation*}
W_n=\sum_{k=1}^{k_n}W(Q_k^n,Q_k^0)+W(Q'_n,Q_{k_{n}+1}^0)+V_{n},\qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$\bullet$ $Q'_n$ – любой проектор ранга $m_{k_{n}+1}$ такой, что $Q_{k_{n}+1}^n\leqslant Q'_n\leqslant I_{\mathcal{H}}-\sum_{k=1}^{k_n}Q_k^n$, если $r_n>m_1+\dots +m_{k_n}$, $\bullet$ $Q'_n$ – любой проектор ранга $m_{k_{n}+1}$ такой, что $Q'_{n}\leqslant I_{\mathcal{H}}-\sum_{k=1}^{k_n}Q_k^n$, если $r_n=m_1+\dots +m_{k_n}$, $\bullet$ $V_n$ – любая частичная изометрия такая, что $V_n^*V_n=R_0-\sum_{k=1}^{k_{n}+1}Q_k^0$ и $V_nV_n^*=I_{\mathcal{H}}-\sum_{k=1}^{k_n}Q_k^n-Q'_n$ (такой оператор существует, поскольку оба проектора $R_0-\sum_{k=1}^{k_{n}+1}Q_k^0$ и $I_{\mathcal{H}}-\sum_{k=1}^{k_n}Q_k^n-Q'_n$ имеют бесконечный ранг), и предполагается, что $\sum_{k=1}^{k_n}(\,\cdot\,)=0$ и $m_1+m_2+\dots +m_{k_n}=0$, если $k_n=0$. Нетрудно видеть, что $W_n$ – частичная изометрия такая, что $W_n^*W_n=R_0$ и $W_nW_n^*=I_{\mathcal{H}}$. Поскольку $W_nR_0=W_n$ для всех $n$, для доказательства первого предельного соотношения в (5.32) достаточно показать, что $\lim_{n\to+\infty} W_n|\varphi\rangle=|\varphi\rangle$ для любого вектора $\varphi$ такого, что $|\varphi\rangle=\sum_{k=1}^{k_\varphi}Q_k^0|\varphi\rangle$ при некотором конечном $k_\varphi$, зависящем от $\varphi$. Это можно сделать, заметив, что
$$
\begin{equation}
W_n|\varphi\rangle=\sum_{k=1}^{k_\varphi}W(Q_k^n,Q_k^0)|\varphi\rangle
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
для всех достаточно больших $n$ в силу (5.34). Из (5.35) и части В) леммы 7 следует, что правая часть (5.36) сходится к $|\varphi\rangle$ при $n\to+\infty$.
Для доказательства второго предельного соотношения в (5.32) достаточно заметить, что $\|W^*_n\sigma_nW_n-\sigma_0\|_1$ совпадает с левой часть неравенства (5.33) по построению. Лемма доказана. Лемма 9. Если $\mathfrak{C}$ – компактное подмножество в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$, то множество $\mathfrak{T}_{b,c}$ всех операторов $\rho$ из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ таких, что $\operatorname{Tr} \rho\leqslant b$ и $\inf_{\sigma\in\mathfrak{C}} D(\rho\mathbin{\|}\sigma)\leqslant c$, компактно (в топологии следовой нормы) для любых положительных чисел $b$ и $c$. Доказательство. Из полунепрерывности снизу относительной энтропии и компактности множества $\mathfrak{C}$ следует, что для любого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_{b,c}$ существует состояние $\sigma_{\rho}$ в $\mathfrak{C}$ такое, что $D(\rho\mathbin{\|}\sigma_{\rho})\leqslant c$. Поэтому, еще раз используя полунепрерывность снизу относительной энтропии и компактность множества $\mathfrak{C}$, нетрудно показать замкнутость множества $\mathfrak{T}_{b,c}$.
Для доказательства относительной компактности множества $\mathfrak{T}_{b,c}$ заметим, что для любого (ортогонального) проектора $P$ из основных свойств относительной энтропии (см. [7], [23]) следует, что
$$
\begin{equation}
D(\operatorname{Tr} P\rho P\mathbin{\|}\operatorname{Tr} P\sigma_{\rho} P)\leqslant D(P\rho P\mathbin{\|}P\sigma_{\rho} P)\leqslant D(\rho\mathbin{\|}\sigma_{\rho})\leqslant c
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
для любого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_{b,c}$, где
$$
\begin{equation*}
D(\operatorname{Tr} P\rho P\mathbin{\|}\operatorname{Tr} P\sigma_{\rho} P)\doteq\operatorname{Tr} P\rho \ln (\operatorname{Tr} P\rho/\operatorname{Tr} P\sigma_{\rho})+\operatorname{Tr} P\sigma_{\rho}-\operatorname{Tr} P\rho
\end{equation*}
\notag
$$
– относительная энтропия неотрицательных чисел $\operatorname{Tr} P\rho$ и $\operatorname{Tr} P\sigma_{\rho}$ (которые можно считать операторами в одномерном гильбертовом пространстве).
В силу критерия компактности для ограниченных подмножеств в $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H})$ (см. [17; предложение 11]) из компактности множества $\mathfrak{C}$ следует, что для любого $\varepsilon\in(0,1)$ существует проектор конечного ранга $P_\varepsilon$ такой, что $\operatorname{Tr} (I_{\mathcal{H}}-P_\varepsilon)\sigma<\varepsilon$ для всех $\sigma$ из $\mathfrak{C}$. Поэтому из неравенства (5.37) следует, что для любого оператора $\rho$ из $\mathfrak{T}_{b,c}$. Поскольку правая часть этого неравенства может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малого $\varepsilon$, из упомянутого выше критерия компактности следует относительная компактность множества $\mathfrak{T}_{b,c}$.В первой части доказательства теоремы 3 установлен следующий результат, в котором используется понятие сильной сходимости последовательности квантовых операций, рассмотренное в п. 2.3. Следствие 2. Пусть $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательности операторов из $\mathfrak{T}_+(\mathcal{H}_A)$, сходящиеся соответственно к операторам $\rho_0$ и $\sigma_0$, такие, что имеет место (5.21). Тогда для произвольной последовательности $\{\Phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ квантовых операций из $A$ в $B$, сильно сходящейся к квантовой операции $\Phi_0$. Утверждение следствия 2 можно получить из теоремы 3, заметив, что сильная сходимость последовательности $\{\Phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ к операции $\Phi_0$ влечет сходимость последовательностей $\{\Phi_n(\rho_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ и $\{\Phi_n(\sigma_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ к операторам $\Phi_0(\rho_0)$ и $\Phi_0(\sigma_0)$ соответственно (в силу равномерной ограниченности операторных норм всех отображений $\Phi_n$). § 6. Заключительные замечанияХорошо известно, что использование квантовой относительной энтропии часто помогает преодолевать аналитические проблемы, возникающие при изучении бесконечномерных квантовых систем и каналов. Например, замена выражения для квантовой взаимной информации состояния $\omega$ двухчастичной системы $AB$ выражением
$$
\begin{equation*}
I(A:B)_{\omega}=D(\omega\mathbin{\|}\omega_A\otimes\omega_B)
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет корректно определить эту величину для всех состояний из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_{AB})$ в случае бесконечномерных систем $A$ и $B$ и установить ее ключевые свойства (см. [25]). Аналогичная ситуация имеет место для других важных характеристик квантовых систем и каналов, таких как информация Холево, взаимная и когерентная информация квантового канала и другие. Сохранение локальной непрерывности квантовой относительной энтропии при действии вполне положительных линейных отображений, установленное в настоящей статье, можно рассматривать как еще одно проявление указанного выше наблюдения. Действительно, достаточно заметить, что локальная непрерывность энтропии фон Неймана не сохраняется при действии вполне положительных линейных отображений (в частности, квантовых каналов), т.е. выполнимость предельного соотношения для последовательности $\{\rho_n\}\subset\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$, сходящейся к состоянию $\rho_0$, не гарантирует выполнимость предельного соотношения
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}S(\Phi(\rho_n))=S(\Phi(\rho_0))<+\infty
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
для квантового канала $\Phi\colon A\to B$ общего вида. Импликация (6.1) $\Rightarrow$ (6.2) имеет место тогда и только тогда, когда функция $\varrho\mapsto S(\Phi(\varrho))$ ограничена на множестве чистых входных состояний (см. [26; теорема 1]). Ясно, что последнее условие не выполнено для большинства бесконечномерных квантовых каналов, используемых в приложениях.
§ 7. Приложение: критерий компактности для множеств квантовых операций в топологии сильной сходимостиВ доказательстве теоремы 3 существенно использован критерий компактности для множеств квантовых операций в топологии сильной сходимости (см. п. 2.3), полученный в [17] как следствие обобщенного изоморфизма Чоя–Ямилковского (представленного в предложении 3 в [17]). К сожалению, в формулировке первой части следствия 2 в [17], где представлена нетривиальная часть этого критерия, есть неточность. Ниже будет дана корректная формулировка критерия компактности и более детально разобрано его доказательство. Пусть $\mathcal{H}_A$, $\mathcal{H}_B$ и $\mathcal{H}_R$ – бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства. Для заданного невырожденного состояния $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_R)$ со спектральным разложением $\sigma=\sum_{i=1}^{+\infty}\lambda_{i}|\psi_i\rangle\langle \psi_i|$ через $\mathfrak{T}(\sigma)$ обозначим подмножество множества
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{T}_{+,1}(\mathcal{H}_R)\doteq\{\rho\in \mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_R)|\operatorname{Tr}\rho\leqslant1\},
\end{equation*}
\notag
$$
состоящее из всех операторов $\rho$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j\geqslant1}\frac{\langle \psi_i|\rho|\psi_j\rangle}{\sqrt{\lambda_{i}\lambda_{j}}}|\psi_i\rangle\langle \psi_j|\leqslant I_{R}
\end{equation*}
\notag
$$
(это означает, что матрица $\{\langle \psi_i|\rho|\psi_j\rangle/\sqrt{\lambda_{i}\lambda_{j}}\}_{i,j\geqslant1}$ соответствует ограниченному положительному оператору в $\mathcal{H}_R$ в терминах теоремы 2 из [27; п. 29], который мажорируется (в смысле операторного неравенства “$\leqslant$”) единичным оператором $I_R$. Пусть $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ – множество всех квантовых операций из $A$ в $B$ с топологий сильной сходимости (см. п. 2.3). Пусть $\mathfrak{F}_{=1}(A,B)$ – подмножество в $\mathfrak{F}_{\leqslant1}(A,B)$, состоящее из квантовых каналов. Следующее предложение, полученное в [17], обобщает изоморфизм Чоя–Ямилковского (см. [28], [29]) на случай бесконечномерных квантовых каналов и операций. Предложение 4 (см. [17]). Пусть $\widetilde{\omega}$ – чистое состояние из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_R)$ такое, что $\widetilde{\omega}_A\doteq\operatorname{Tr}_{R}\widetilde{\omega}$ и $\widetilde{\omega}_R\doteq\operatorname{Tr}_{A}\widetilde{\omega}$ – невырожденные состояния в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ и $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_R)$ соответственно8. Тогда отображение – это топологический изоморфизм $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ в подмножество Сужение отображения $\mathfrak{Y}$ на множество $\mathfrak{F}_{=1}(A,B)$ – это топологический изоморфизм $\mathfrak{F}_{=1}(A,B)$ в подмножество Заметим, что замкнутость подмножества $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)\otimes\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B\otimes \mathcal{H}_R)$ в топологии следовой нормы следует из замкнутости подмножества $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_R)$, которая установлена в доказательстве приведенного ниже предложения 5 (в [17] это утверждение использовалось без доказательства). Следующее предложение содержит исправленную версию критерия компактности для подмножеств квантовых операций в топологии сильной сходимости. Предложение 5. A) Замкнутое подмножество $\mathfrak{F}_{0}\subseteq\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ компактно тогда и только тогда, когда существует невырожденное состояние $\sigma$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ такое, что $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ – компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)$. B) Если $\mathfrak{F}_{0}$ – компактное подмножество в $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$, то $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ – компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)$ для произвольного состояния $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$. Доказательство. A) Предположим, что $\sigma=\sum_{i}\lambda_{i}|\varphi_i\rangle\langle \varphi_i|$ – невырожденное состояние в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ такое, что $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ – компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)$ (здесь $\{\varphi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ – базис в $\mathcal{H}_A$). Тогда существует чистое состояние $\widetilde{\omega}$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_R)$ такое, что $\widetilde{\omega}_A=\sigma$ и $\widetilde{\omega}_R$ – невырожденное состояние в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_R)$ со спектральным разложением $\widetilde{\omega}_R=\sum_{i}\lambda_{i}|\psi_i\rangle\langle \psi_i|$, где $\{\psi_i\}$ – базис в $\mathcal{H}_R$ (см. [5], [6]).
Покажем сначала, что $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ – компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_R)$. Относительная компактность $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ следует из критерия компактности для подмножеств в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_R)$ (см. [17; предложение 11]). Действительно, если $P_{n}=\sum_{i=1}^{n}|\psi_i\rangle\langle \psi_i|$, то из определения множества $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}\rho(I_R-P_{n})=\sum_{i>n}\langle \psi_i|\rho|\psi_i\rangle\leqslant \sum_{i>n}\lambda_{i} \quad\forall\, \rho\in\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R).
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства замкнутости $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ предположим, что $\{\rho_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность из $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$, сходящаяся к оператору $\rho_0$. Пусть $A_n$ – ограниченный положительный оператор, определяемый матрицей $\{\langle \psi_i|\rho_n|\psi_j\rangle/\sqrt{\lambda_{i}\lambda_{j}}\}_{i,j}$ в базисе $\{\psi_i\}$. Поскольку $A_n\leqslant I_R$ для всех $n$, компактность единичного шара в $\mathfrak{B}(\mathcal{H}_R)$ в слабой операторной топологии (см. [15]) гарантирует существование подпоследовательности $\{A_{n_k}\}$, слабо сходящейся к положительному оператору $A_0\leqslant I_R$. Нетрудно видеть, что $\{\langle \psi_i|\rho_0|\psi_j\rangle/\sqrt{\lambda_{i}\lambda_{j}}\}_{i,j}$ – матрица оператора $A_0$ в базисе $\{\psi_i\}$. Следовательно, оператор $\rho_0$ принадлежит множеству $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$.
Из компактности множеств $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ и $\mathfrak{T}(\widetilde{\omega}_R)$ следует в силу следствия 6 в [17] относительная компактность множества $\{\Phi\otimes \mathrm{Id}_R(\widetilde{\omega})\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$. Следовательно, компактность замкнутого множества $\mathfrak{F}_{0}$ в топологии сильной сходимости следует из предложения 4. B) Поскольку компактность сохраняется при действии непрерывных отображений, это утверждение прямо следует из определения топологии сильной сходимости. Предложение доказано. Замечание 3. Предположение замкнутости множества $\mathfrak{F}_0$ в части А) предложения 5 существенно. Чтобы это показать возьмем любую последовательность $\{\sigma_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$, сходящуюся к невырожденному состоянию $\sigma_0$, и рассмотрим счетное множество $\mathfrak{F}_*=\{\Phi_n\}_{n\geqslant0}$ квантовых каналов из $A$ в $A$, где $\Phi_0=\mathrm{Id}_A$ – тождественный канал и $\Phi_n(\rho)=[\operatorname{Tr}\rho]\sigma_n$ при $n>0$. Тогда $\{\Phi(\sigma_0)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_*}$ – это компактное множество $\{\sigma_n\}_{n\geqslant0}$. Однако множество $\mathfrak{F}_*$ не является компактным в топологии сильной сходимости, поскольку оно не замкнуто: последовательность $\{\Phi_n\}$ сильно сходится к каналу $\Phi_*(\rho)=[\operatorname{Tr}\rho]\sigma_0$, не принадлежащему множеству $\mathfrak{F}_*$. Это показывает необходимость корректировки части А) следствия 2 в [17]. Аргументы, использованные в доказательстве предложения 5, позволяют получить следующую модификацию этого предложения. Следствие 3. A) Подмножество $\mathfrak{F}_{0}\subseteq\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$ относительно компактно тогда и только тогда, когда существует невырожденное состояние $\sigma$ в $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$ такое, что $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ – относительно компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)$. B) Если $\mathfrak{F}_{0}$ – относительно компактное подмножество в $\mathfrak{F}_{\leqslant 1}(A,B)$, то $\{\Phi(\sigma)\}_{\Phi\in\mathfrak{F}_{0}}$ – относительно компактное подмножество в $\mathfrak{T}_{+}(\mathcal{H}_B)$ при произвольном состоянии $\sigma$ из $\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)$. Автор благодарен профессору А. С. Холево и участникам семинара “Квантовая вероятность, статистика, информация” (МИАН им. В. А. Стеклова) за полезные обсуждения. Автор также благодарен Г. Г. Амосову за вопрос, который стимулировал настоящую работу, и А. Винтеру за важный комментарий, связанный с неравенством Мирского. Особая благодарность рецензенту за полезные замечания и рекомендации.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shi22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|