| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Сходимость песочной кучи на треугольной решетке при ремасштабировании А. А. Алиевa, Н. С. Калининb a Факультет математики и компьютерных наук, Санкт-Петербургский государственный университет b Guangdong Technion Israel Institute of Technology, Shantou, Guangdong Province, P. R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9789e 
Реферативные базы данных:
     Мы начнем с постановки задачи в § 1, в § 2 дадим план доказательства вместе с обзором близких результатов, в § 3 и § 4 мы дадим оценки на порядок роста области, занятой песком. В § 5 и § 6 мы покажем существование предела в $^*$-слабой топологии. Параграф 7 посвящен напоминанию различных фактов о дискретных гармонических функциях на решетках. § 1. Введение и обозначенияРассмотрим следующую динамическую модель, известную как песочная модель (sandpile model) или dollar game. Пусть $G=(V,E)$ – бесконечный регулярный связный граф без петель и кратных ребер, и пусть степень $\mathrm{deg}(z)$ каждой вершины $z\in V$ равна $d=6$. Состоянием песочной модели на $G$ называется функция $\phi\colon V\to\mathbb Z_{\geqslant 0}$. Про $\phi(z)$ можно думать как про число песчинок в вершине $z$. Если $\phi(z)\geqslant d$, разрешено сделать обвал в вершине $z$, а именно, в каждую соседнюю с $z$ вершину положить одну песчинку из $z$. Формально мы строим новое состояние $\phi'=T_z\phi$ по следующему правилу: $\phi'(z)=\phi(z)-d$, $\phi'(z')=\phi(z')+1$, если $z'\sim z$ (так мы обозначаем тот факт, что $z,z'$ соединены ребром), $\phi'(z')=\phi(z')$ иначе. Определение 1.1. Пусть $\triangle$ – треугольная решетка, нарисованная на плоскости и составленная из правильных треугольников со стороной $1$. Рассмотрим ее как граф, степень каждой вершины которого равна $6$.  Рис. 1.Треугольная решетка $\triangle$, состояние $(n\delta_0)^\circ$: $n=2^{13}$ (a), $n=2^{18}$ (b). Белый цвет соответствует нулю песчинок, черный – максимальному количеству песчинок в вершине в стабильном состоянии, т.е. $5$, оттенки серого – промежуточные количества песчинок. Около границы области видны треугольные области, замощенные некоторыми периодичными паттернами. Некоторые области подразбиваются на части линейными графами, тоже составленными из повторяющихся паттернов. Рисунок приведен по [1]. Рассмотрим состояние $n\delta_0$, т.е. состояние, равное $n\in\mathbb N$ в точке $(0,0)$ и равное нулю во всех остальных точках. Начнем делать обвалы для этого состояния; процесс совершения обвалов, покуда это возможно, называется релаксацией. Несложно показать, что любая релаксация состояния $n\delta_0$ конечна и ее результат $(n\delta_0)^\circ$ не зависит от порядка, в котором выполнялись обвалы в точках (см. [2], [3]). Определение 1.2. Обозначим через $u_n\colon \triangle\to\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ число обвалов в соответствующей вершине во время релаксации состояния $n\delta_0$ на $\triangle$. Определение 1.3. Пусть $T_{n}=\{ z\mid u_{n}(z)>0\} \subset \triangle$ – множество тех точек решетки, в которых произошел хотя бы один обвал при релаксации $n\delta_{0}$ на $\triangle$. Целью настоящей работы является оценка роста $T_n$ с ростом $n$ и доказательство существования предела множеств $T_n$ при ремасштабировании. То есть если $T_n$ сжать в $\sqrt n$ раз, то рис. 1 будет иметь предел в $^*$-слабой топологии, т.е. для почти любой точки среднее количество песка в достаточно малой ее окрестности будет стабилизироваться при стремлении $n\to\infty$. Заметим, что поточечной сходимости ожидать не стоит: количество песчинок в каждой вершине равно $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, а на рис. 1 видны повторяющиеся паттерны, которые сохраняются при ремасштабировании. Наши методы параллельны работе [4], но отличаются в деталях, и местами мы даем более подробное изложение. Литературы на русском языке о песочных моделях практически не существует, наша работа призвана отчасти заполнить этот пробел. Отметим, что несмотря на то, что предел ремасштабированных множеств $T_n$ существует, очень мало известно про границу полученного множества (см. рис. 1) – показано лишь то, что она липшицева (см. [5]), доказательство основано на монотонности функции обвалов в любом фиксированном направлении “от начала координат”. В этой статье мы рассматриваем аспекты песочной модели, связанные с ремасштабированием, однако имеются и другие магистральные темы в изучении песочной модели. Например, песочная динамика на конечных графа связана с так называемой песочной группой (sandpile group; см. [6], называемой также критической группой графа (см. [7]), или якобианом графа (по аналогии с римановыми поверхностями, см. [8]). Порядок этой группы равен числу остовных деревьев графа. На русском языке имеется недавний обзор на эту тему [9]. Вопросы поведения песочной группы при ремасштабировании графа обсуждаются в [10]–[15]. § 2. План доказательства и обзор смежных результатовДля $u\colon \triangle \to \mathbb{R}$ определим дискретный оператор Лапласа как Вместо изучения (сложной) песочной динамики удобнее изучать так называемую функцию обвалов. Заметим, что применение $\Delta$ к функции числа обвалов рассчитывает баланс приходящих и уходящих во время релаксации песчинок, особенно явно это видно, если записать Обвал в каждой соседней с $x$ вершиной добавляет песчинку в $x$, при обвале в $x$ вершина $x$ теряет $d$ (степень вершины) песчинок. Получаем Так называемый принцип наименьшего действия говорит, что функция обвалов является поточечно минимальной целозначной неотрицательной функцией с таким свойством (см. [16]). Заметим, что $T_n$ – это в точности носитель функции обвалов состояния $n\delta_0$.Для квадратной решетки (каждая целая точка соединена ребрами с четырьмя ближайшими соседями) можно показать, что если при релаксации $n\delta_0$ в точке $(k,0)$ был обвал, то и во всех вершинах $(i,j)$, $|i|+|j|\leqslant k$, были обвалы. А если в $(i,j)$ случился обвал, то и в $(i,0)$ тоже случился. Таким образом доказывается следующая теорема. Теорема 2.1 (см. [17]). На квадратной решетке множество вершин $T_n$ удовлетворяет следующему условию: существует $r>0$ такой, что где $J_r=\{(x,y)\mid |x|+|y|\leqslant r\}$, $I_r=\{(x,y)\mid \max(|x|,|y|)\leqslant r\}$. Теперь несложно показать, что порядок скорости роста $r$ равен $\sqrt n$. Лемма 2.2 (см. [17]). Если $\Omega$ – множество вершин, в каждой из которых произошел обвал во время релаксации, то число песчинок, оставшихся в $\Omega$, не меньше количества внутренних ребер в $\Omega$, т.е. ребер, оба конца которых лежат в $\Omega$. Доказательство леммы основано на том, что каждому внутреннему ребру $\Omega$ можно однозначно сопоставить песчинку, которая последней “прошла” по этому ребру. Итак, в $J_{r}$ в каждой вершине случился обвал. Из леммы 2.2 следует, что $n$ (изначальное число песчинок, лежащее в начале координат) не меньше чем число внутренних ребер в $J_{r}$, т.е. $n\geqslant 4r^2$ и $r\leqslant\sqrt n/2$. С другой стороны, в финальном состоянии $(n\delta_{0})^\circ$ в каждой вершине не более трех песчинок, и поэтому $n \leqslant 3 (2r+1)^2$ (утроенное количество вершин в $I_{r+1}$). Получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\sqrt n}{\sqrt{12}}-1\leqslant r\leqslant \frac{\sqrt n}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти рассуждения несложно обобщить на случай треугольной решетки, но полученные оценки дают очень приблизительное представление о форме $T_n$ (хотя и показывают, что $T_n$ растет со скоростью $\sqrt n$). Мы докажем, что граница носителя $u_n$, функции обвалов состояния $n\delta_0$, лежит между двумя кругами близких радиусов $\approx0.23\sqrt n$ и $\approx0.303\sqrt n$. Основная идея заключается в двусторонней оценке
$$
\begin{equation}
c_1 |x|^2-c'n\ln|x|+C_1\leqslant u(x)\leqslant c_2 |x|^2-c'n\ln|x|+C_2
\end{equation}
\tag{2}
$$
на множестве $T_n$. Участие $\ln |x|$ объясняется следующим образом. На каждой из решеток (квадратной, треугольной, гексагональной, …) существует дискретная функция Грина, т.е. такая функция $g$, что $\Delta g=\delta_0$. Такая функция растет как $c'\ln|x|$ (где $c'$ – константа, своя для каждой решетки). Имеем и естественным является предположение, что $u_n+ng$ растет квадратично. Оценка снизу на $u_n$ получается следующим образом. Будем считать песок делимым и вместо совершения обвала раздавать соседям вершины избыток песка свыше $d-1$ (можно представлять себе вафлю, на которую наливают сгущенку, и если сгущенки в клеточке больше $d-1$, то избыток переливается в соседние клетки, см. [18]). Расползшаяся куча песка из $n$ песчинок, очевидно, должна быть больше расплывшейся лужи сгущенки из $n$ капель. Аналитически это соответствует выбору константы $c_1$ в (2) так, чтобы $\Delta c_1|x|^2=d-1$. Оценку на $u_n$ сверху получить сложнее, потому что даже внутри $T_n$ бывают вершины, где $\Delta u_n$ равно нулю. Однако в среднем значение $\Delta u_n$ (равное количеству песчинок в финальном состоянии после релаксации) отделено от нуля в силу леммы 2.2 и равно среднему числу ребер на вершину, т.е. $d/2$. То есть внутри расползшейся кучи песка в среднем на вершину приходится не менее трех песчинок. Чтобы поймать этот эффект, мы усредняем все функции по кругам достаточно большего радиуса и в (2) выбираем $c_2=3=d/2$. Ключевым элементом доказательства является дискретный принцип максимума (утверждение 7.4): дискретная субгармоническая на конечном подмножестве решетки функция $f$ (т.е. $\Delta f\geqslant 0$) достигает максимума на “границе” этого подмножества, т.е. на вершине, один из соседей которой лежит вне рассматриваемого подмножества. Дополнительно в обеих оценках нужно аккуратно оценивать то, что происходит около границы $T_n$ (про которую, напомним, в общем-то ничего не известно). Аккуратным оценкам, следующим этим идеям (взятым из [18], где они применяются к квадратной решетке), посвящена первая половина статьи. Константы $3=d/2$ и $5=d-1$ появляются в формулировке теоремы 3.7 и объяснены выше. Вторая половина статьи следует [4] и посвящена вопросу сходимости функций обвалов В § 5 рассуждениями типа теоремы Арцела–Асколи мы доказываем, что существует сходящаяся подпоследовательность таких функций (наши функции ограничены и имеют ограниченный дискретный лапласиан, в то время как шаг решетки стремится к нулю). Затем стандартными методами функционального анализа мы показываем, что предельная функция почти везде дважды дифференцируема.Затем мы показываем в § 6, что возможна только одна предельная функция, т.е. пределы по всем подпоследовательностям совпадают. Если бы предельных функций было хотя бы две, то можно было бы взять приближающие их функции на решетках и уменьшить (срезать) одну из них с помощью другой, что противоречило бы принципу наименьшего действия. Основная идея здесь заключается в том, что если предельная функция дважды дифференцируема в какой-то точке, то существует целозначная функция на всей решетке с почти таким же гессианом “в среднем”, и именно такой функцией можно осуществлять “срезание”, упомянутое выше. Искомая целозначная функция строится как минимум из нужным образом перенесенных функций в окрестности точки, в которой гессиан предела нам известен. Реализовав эти идеи для квадратной решетки, У. Пежден и Ч. К. Смарт уже совместно с Л. Левиным классифицировали, какие именно матрицы $2\times 2$ могут быть реализованы как гессианы предельной функции, т.е. описали возможные “квадратичные” паттерны, встречающиеся при релаксации большой кучи песка в начале координат (см. [19], [20]). Оказывается, паттерны кодируются окружностями из аполлониевой упаковки плоскости окружностями (затем это соображения были применены для описания нейтрального элемента песочной группы для некоторых эллипсов, см. [21]). Однако остается открытым вопрос, какая часть картинки описывается этими паттернами. В [22] Пежден и Смарт показывают, что размерность дополнения до паттернов строго меньше двух. Как видно на рис. 1, дополнение до паттернов является на самом деле одномерным (некоторым графом, составленном из прямых отрезков). Это еще не доказано. Подобные результаты для других решеток, кроме квадратной, получить крайне затруднительно, граф $\Gamma$, кодирующий структуру возникающих паттернов, выглядит гораздо сложнее (см. [23]). Впрочем, это получилось сделать для $F$-решетки у А. Бу-Раби в [24] . Вероятно, вместо окружностей Аполлония, в случае произвольной решетки песочные паттерны кодируются клейновыми замощениями (Kleinian bugs) (см. [25]). Связанный с ремасштабированием результат получен Бу-Раби в [26]: сечения нейтрального элемента песочной группы для куба большой размерности похожи на нейтральный элемент песочной группы куба меньшей размерности, т.е. структура паттернов сохраняется не только при ремасштабировании, но и при изменении размерности задачи. Описание упомянутых выше линейных паттернов дается в серии статей [27]–[30], где показано, что линейные паттерны в песочных моделях при ремасштабировании сходятся к тропическим кривым. Без технических деталей основные идеи этой серии статей описаны в [31]. Многомерные аналоги упомянутых линейных паттернов описаны в [32], [33]. § 3. Порядок роста области, занятой песком: оценка снизуЛемма 3.1 (см. [34]–[36]). Существует дискретная функция Грина для треугольной решетки $g\colon \triangle \to \mathbb{R}$, т.е. функция со свойством $\Delta g(x)=\delta_{0}$, $g(0,0)=0$, удовлетворяющая для некоторой константы $C_0$ асимптотическому разложению Представим $\triangle$ как целочисленные комбинации двух векторов $(1,0)$, $(1/2, \sqrt 3/2)$. Утверждение 3.2. Рассмотрим функцию $x\mapsto|x|^2$ как функцию из $\triangle$. Тогда $\Delta |x|^2=6$. Дальше мы следуем [18]. Зафиксируем $c$ и рассмотрим Функция $\widetilde\gamma_n$ имеет колоколообразный вид: локальный максимум в нуле, затем, по мере удаления от нуля, убывает, затем возрастает. Пусть $r_0$ таково, что $n=4\pi\sqrt3\, cr_0^2$. Окружность радиуса $r_0$ окажется “основанием” вышеописанного колокола. Определим
$$
\begin{equation}
\gamma_{n}(x)=\widetilde{\gamma}_{n}(x)-\widetilde{\gamma}_{n}(\lfloor r_0 \rfloor,0).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Лемма 3.3. Существует $\varepsilon>0$, при котором для достаточно больших $r_0$ имеем (для любого $x$) В статье [18] присутствует похожая лемма, однако в ней $\varepsilon=0$. Доказательство леммы 3.3. Определим главную часть $\widetilde{\gamma}_n$ Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde{\gamma}_{n}(x)=\Psi_{n}(|x|)-C_0n+O(n|x|^{-2}).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Разложим $\Phi_{n}$ в ряд Тейлора около $r=r_0$:
$$
\begin{equation}
\Psi_{n}(r)=\Psi_{n}(r_0)+\Psi_{n}'(r_0)(r-r_0)+\frac{1}{2}\Psi_{n}''(t)(r-r_0)^2
\end{equation}
\tag{9}
$$
для некоторого $t\in [r_0,r]$. Заметим, что из соотношения $n=4\sqrt3\, \pi c r_0^2$ следует $\Psi_{n}'(r_0)=0$ ($r_0$ было выбрано именно из этих соображений). Тогда для $\gamma_{n}$ имеем для некоторых $t_{1}$ между $r=|x|$ и $r_0$, $t_{2}$ между $r_0$ и $\lfloor r_0 \rfloor$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \gamma_{n}(x) &=\widetilde{\gamma}_{n}(x)-\widetilde{\gamma}_{n}(\lfloor r_0 \rfloor,0)=\Psi_{n}(|x|)-\Psi_{n}(\lfloor r_0 \rfloor )+O(n|x|^{-2}) \\ \notag &=\biggl(c+\frac{n}{2\sqrt3\, \pi t_{1}^{2}}\biggr)(r-r_0)^2 -\biggl(c+\frac{n}{2\sqrt3\, \pi t_{2}^{2}}\biggr)(r_0-\lfloor r_0 \rfloor)^2+O(n|x|^{-2}) \\ &\geqslant c(r_0-|x|)^2+O(n|x|^{-2})-\biggl(c+\frac{n}{2\sqrt3\, \pi t_{2}^{2}}\biggr)(r_0-\lfloor r_0\rfloor)^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Лемма доказана. Обозначим через $B_{R}$ шар радиуса R с центром в нуле в евклидовой метрике на плоскости. Лемма 3.4. Существует абсолютная константа $C$ такая, что при фиксированном $c$ и $n=4\sqrt3\, \pi c r_0^2$ для любого $x\in B_{r_0+1}\setminus B_{r_0-1}$ Доказательство следует из разложения 10. Доказательство. Так как $\Delta (\gamma_{n}(x)-c|x|^2)\leqslant0$, то минимум $\gamma_{n}(x)-c|x|^2$ в $B_{r_0/4}$ достигается на границе этого шара в точке $z\in \partial B_{r_0/4}$. То есть для любого $x\in B_{r_0/4}$ по лемме 3.3 имеем: Лемма доказана. Лемма 3.6. Существует абсолютная константа $C$ (не зависящая от $n$) такая, что для любого $n$ верно $\gamma_{n}\geqslant C$ всюду. Доказательство. Лемма 3.3 влечет существование такого $C$ вне любого шара с центром в нуле. Лемма 3.5 показывает, что в окрестности нуля константа тоже найдется. Лемма доказана. Теорема 3.7. Пусть $n=({2\pi}/{\sqrt3}) r^2$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $c_{\triangle}$, не зависящая от $n$, такая, что где $k_{1}=\sqrt{1/5}$, $k_{2}=\sqrt{1/3}+\varepsilon$. Доказательство. Линия рассуждений следует [18]. Выбор $r$ происходит из выбора $c=1/6$ в лемме 3.3. Перенормировка для $c=5/6$ дает константу $k_{1}=\sqrt{1/5}$.
Определим
$$
\begin{equation}
\xi_n(x) :=\widetilde{\xi}_n(x)-\widetilde{\xi}_n(\lfloor {k_{1}r}\rfloor,0).
\end{equation}
\tag{15}
$$
По лемме 3.4 имеем: для всех $x \in \partial B_{k_{1}r}$
$$
\begin{equation}
u_{n}(x)-\widetilde{\xi}_{n}(x)\geqslant-\widetilde{\xi}_{n}(x)\geqslant -5C
\end{equation}
\tag{16}
$$
для некоторого $C$, не зависящего от $n$. Имеем $\Delta(u_{n}-\xi_{n})=\Delta u_{n}+n\delta_{0}-5\leqslant 0$, поэтому из дискретного принципа максимума следует, что $u_{n}-\xi_{n}\geqslant-5 C$ во всем $B_{k_{1}r}$. Далее, по лемме 3.3 для $x \in B_{k_{1}r}$
$$
\begin{equation}
u_n(x)\geqslant\xi_{n}(x)-5C\geqslant 5\biggl(\frac{1}{6}(k_{1}r-|x|)^{2}-C\frac{(k_{1}r)^2}{|x|^2}-C-\varepsilon\biggr)
\end{equation}
\tag{17}
$$
для некоторой абсолютной константы $C$, некоторого $\varepsilon$ и достаточно больших $n$ и $r$. Теперь пусть ${k_{1}r}/{4}\leqslant|x|\leqslant k_{1}r-c_{2}$. Выберем $c_{2}$ так, чтобы было верно
$$
\begin{equation}
u_n(x)\geqslant5\biggl(\frac{1}{6}\,c_{2}^{2}-\frac{C}{16}-C-\varepsilon\biggr)>0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
При $|x|\leqslant{k_{1}r}/{4}$ по лемме 3.5 имеем Таким образом, мы доказали первое включение $B_{k_{1}r-c}\subset T_{n}$.
§ 4. Порядок роста области, занятой песком: оценка сверхуМы продолжаем доказательство теоремы 3.7. Докажем следующую несложную, но полезную лемму. Лемма 4.1. Для любой вершины $x \in T_n$, смежной с вершиной вне $T_n$, существует путь от $x$ до начала координат, т.е. $x=x_{0} \thicksim x_{1} \thicksim x_{2} \thicksim\dots \thicksim x_{m}=0$ в $T_{n}$, для которого верно $u_{n}(x_{i+1})\geqslant u_{n}(x_{i})+1$ для всех $i=0,\dots, m-1$. Доказательство аналогично лемме 4.2 в [18]. Будем строить последовательность вершин, которая закончится в начале координат. Заметим, что при $y\neq 0$ имеем $\Delta u_n(y)\geqslant 0$. Напомним, что $u_n$ – это функция количества обвалов и $n\delta_0+\Delta u_n$ является финальным состоянием после релаксации кучи песка в нуле.
Пусть $x_{0}:=x\in T_{n}$ смежна с вершиной вне $T_n$, т.е. существует $x_{-1}\notin T_{n}$ такая, что $x_{0}\thicksim x_{-1}$. Если $x_{0}=(0,0)$, то доказывать нечего. Заметим, что $u_{n}(x_{0}) > 0=u_{n}(x_{-1})$. Также известно, что поэтому существует $z\thicksim x$ такой, что $u_{n}(z)>u_{n}(x_{0})$. Имеем $u_{n}(z)>0$, поэтому $z\in T_{n}$. Положим $x_{1}:=z$; если $x_{1}=0$, доказательство окончено. Иначе повторим процедуру. Таким образом, на $k$-м шаге будем иметь $x_{0} \thicksim x_{1} \thicksim x_{2} \thicksim \dots \thicksim x_{k}$ – путь в $T_{n}$, в котором выполняется $u_{n}(x_{i})>u_{n}(x_{i-1})$ для $i=1,\dots,k$. Заметим, что все построенные таким образом точки различны, а в $T_{n}$ точек конечное число. Значит, мы достигнем точки $(0,0)$ на каком-то шаге. Лемма доказана.Для $x\in \triangle$ положим $Q_{k}(x)$ – множество всех вершин в $\triangle$, находящихся на расстоянии (под расстоянием здесь понимается длина кратчайшего пути в $\triangle$) не более $k$ от $x$, и ребер в $\triangle$ между ними. Таким образом в $Q_{k}(x)$ $3k^{2}+3k+1$ вершин и $9k^2+3k$ ребер. Определим
$$
\begin{equation}
u^{(k)}_{n}(x):=\frac{1}{3k^{2}+3k+1}\sum_{y\in Q_{k}(x)}u_{n}(y).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Тогда нетрудно видеть, что общее число песчинок в $Q_{k}(x)$ после релаксации равно
$$
\begin{equation}
(3k^{2}+3k+1)\Delta u^{(k)}_{n}(x)+n\chi_{Q_{k}(0)}(x),
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $\chi_{Q_{k}(0)}(x)$ – характеристическая функция множества $Q_k(0)$, т.е. равна $1$, если $x\in Q_k(0)$, и нулю иначе. Таким образом, по лемме 2.2 имеем
$$
\begin{equation}
\Delta u^{(k)}_{n}(x)\,{\geqslant}\, \frac{9k^2+3k}{3k^{2}+3k+1}-\frac{n}{3k^{2}+3k+1}\chi_{Q_{k}(0)}(x) \quad \forall\, x\,{\in}\, T^{(k)}_{n}\,{:=}\,\{x\mid Q_{k}(x)\,{\subset}\, T_{n}\}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Далее продолжаем делать то же самое, что в [18]: определим Заметим, что $c_k$ стремится к $\sqrt{1/3}<k_2$, когда $k\to\infty$. Положим
$$
\begin{equation}
\widehat{\psi}^{(k)}_{n}(x) :=c_{k}^{-2}\frac{1}{6}|x|^2-ng(x),
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\psi}^{(k)}_{n}(x) :=\frac{1}{3k^{2}+3k+1}\sum_{y\in Q_{k}(x)}\widehat{\psi}^{(k)}_{n}(y),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\psi^{(k)}_{n}(x) :=\widetilde{\psi}^{(k)}_{n}(x)-\widetilde{\psi}^{(k)}_{n}(\lfloor c_{k}r\rfloor,0).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Из (22) следует, что $\Delta (u^{(k)}_{n}-\psi^{(k)}_{n})\geqslant0$. Подставляя в лемму 3.6 $c_{k}^{2}n$, получаем, что существует $a_{k}$ такое, что
$$
\begin{equation}
\widehat{\psi}^{(k)}_{n}(x)-\widehat{\psi}^{(k)}_{n}(\lfloor c_{k}r\rfloor,0)\geqslant-a_{k}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
То есть Лемма 4.2. Если $Q_{k}(x)\setminus T_{n}$ не пусто, то $u^{(k)}_{n}(x)\leqslant l_k$ для некоторой константы $l_{k}$, не зависящей от $n$. Доказательство. Пусть $y\in Q_{k}(x)\setminus T_{n}$. Тогда в точке $y$ не было ни одного обвала, т.е. в точку $y$ из соседей, лежащих в $Q_{k}(x)$, пришло не более пяти песчинок, далее в каждого из этих соседей пришло не более 20 песчинок и т.д. Применяя это рассуждение необходимое (зависящее только от $k$) число раз, получаем нужную константу (довольно большую). Лемма доказана. Продолжим доказательство теоремы 3.7. По лемме 4.2 знаем:
$$
\begin{equation}
u^{(k)}_{n}(x)-\psi^{(k)}_{n}(x)\leqslant l_{k}+a_{k} \quad \text{для }\ x\in\partial T^{(k)}_{n}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
То есть из дискретного принципа максимума получаем, что
$$
\begin{equation}
u^{(k)}_{n}(x)-\psi^{(k)}_{n}(x)\leqslant l_{k}+a_{k} \quad \text{для }\ x\in T^{(k)}_{n}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Теперь по лемме 3.4
$$
\begin{equation}
u^{(k)}_{n}(x)\leqslant\psi^{(k)}_{n}(x)+l_{k}+a_{k}\leqslant \widetilde{c_2} \quad \text{для }\ c_{k}r-1\leqslant x \leqslant c_{k}r,
\end{equation}
\tag{31}
$$
тогда $u_{n}(x)\leqslant c_{2}':=c_{2}(3k^{2}+3k+1)$. Тогда по лемме 4.1 получаем $T_{n}\subset B_{c_{k}r+c_{2}'}$. Выбор достаточно большого $k$ завершает доказательство теоремы 3.7.
§ 5. Вспомогательные утверждения для доказательства сходимостиДалее мы следуем [4] в рассуждениях. Обозначение 5.1. Для $x\in \mathbb{R}^2$ положим $\lfloor x \rceil$ – ближайшая к $x$ точка из $\triangle$. Когда таких точек несколько, выбираем любую. Выполнено следующее неравенство: $|\lfloor x \rceil - x|\leqslant {1}/{\sqrt{3}}$. Любую функцию на решетке можно продолжить до функции на плоскости с помощью ближайших соседей: Обозначим $s_n \colon \triangle \to \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ – финальная конфигурация после релаксации $n\delta_{0}$ на треугольной решетке. Продолжим $s_n$ до функции на всей плоскости с помощью ближайших соседей. Следующее предложение является прямым следствием теоремы 3.7. Утверждение 5.2. При некотором $R>0$ для всех натуральных $n$ верно $\{s_{n}>0\}\subset B_{R n^{1/2}} $. Напомним, что функция $u_{n}\colon \triangle\to\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ – число обвалов в каждой вершине за все время релаксации $n\delta_{0}$. Расширим ее до функции на всей плоскости с помощью ближайших соседей. Определение 5.3. Положим $h\,{:=}\,n^{-1/2}$, $y\,{\thicksim^{h}}\,x$, если $|y\,{-}\,x|\,{=}\,h$ и $y\,{-}\,x\,{\in}\,h\triangle$, Утверждение 5.5. Справедливо равенство $s_{n}(x)=\Delta^{1} u_{n} (x)+n\delta_{0}$, $0\leqslant \Delta^{1} u_{n} (x)+n\delta_{0}\leqslant 5$. Функция обвалов $u_n$ является поточечно минимальной функцией, дающей стабильное состояние, это можно доказать индукцией по количеству обвалов. Утверждение 5.6 (принцип наименьшего действия, см. [16]). Пусть функция $u\colon\triangle \to \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ и выполнено неравенство $\Delta^{1} u (x)+n\delta_{0}\leqslant 5$, тогда $u_{n}\leqslant u$. Утверждение 5.7. Пусть $u\in C^{\infty}$. Из разложения функции $u$ в ряд Тейлора следует, что $\Delta^{h} u \to \frac{3}{2}\Delta u$ локально равномерно (т.е. равномерно на каждом компакте) при $h\to 0$. Утверждение 5.8. Если $u, v\colon h\triangle\to\mathbb{R}$, $w :=\min\{u, v\}$ и $w(x)=u(x)$, то $\Delta^{h}w(x) \leqslant \Delta^{h}u(x)$. Утверждение 5.9. Для $h=n^{-1/2}$ существует фундаментальное решение $\Phi_{n}\colon h\triangle \to \mathbb{R}$ для лапласиана на треугольной решетке: При этом $\Phi_{n} \to (2\sqrt{3}\,\pi)^{-1}\ln|x|$ в $C^{\infty}(\mathbb{R}^{2}\setminus{0})$ локально равномерно. Возьмем $\Phi_{n}(x):=g(\sqrt n x)-C_0$ для дискретной функции Грина $g$. Определение 5.10. Функция $u\in C(\mathbb{R}^{2})$ дважды дифференцируема в точке $x\in\mathbb{R}^2$, если существуют вектор $Du(x)\in \mathbb{R}^2$ и симметричная $2 \times 2$ матрица $D^2u(x)\in\mathbb{R}^{2 \times 2}$ такие, что выполнено Определение 5.11. Пусть $s\in L^\infty(B_{1})$. Будем говорить, что $u\in L^\infty(B_{1})$ является слабым решением уравнения $\Delta u=s$ в $B_{1}$, если для любой $\phi \in C_{0}^{\infty}(B_{1})$ верно Положим $\overline{\omega}_{n}:=\overline{u}_{n}+\Phi_{n}$. Тогда $\Delta^{h}\overline{\omega}_{n}=\overline{s}_{n}$. Утверждение 5.12. Пусть $\overline{\omega}_{n}\colon h\triangle=n^{-1/2}\triangle\to\mathbb{R}$ – последовательность функций, удовлетворяющих условию Тогда из любой последовательности $n_{k}\to\infty$ можно выбрать подпоследовательность $n_{k_{j}}\to\infty$ такую, что $\overline{\omega}_{n_{k_{j}}}\to \omega$ локально равномерно в $B_{1}$ для некоторой $\omega\in C(B_{1})$. Доказательство. Заменив, если необходимо, $\overline{\omega}_{n}$ на $\overline{\omega}_{n}+C$, можно считать все $\overline{\omega}_{n}$ неотрицательными. Продолжим $\overline{\omega}_{n}$ до непрерывных функций так: на каждом треугольнике решетки продолжим функцию по линейности. Дальнейшее доказательство состоит в проверке того факта, что продолженные функции $\overline{\omega}_{n}$ удовлетворяют условию теоремы Арцела–Асколи. Равномерную ограниченность гарантирует условие. Проверим равностепенную непрерывность.
Определим $\widetilde{\omega}_{n}(x):=\overline{\omega}_{n}(h^{-1}x)$. Тогда для $x\in\triangle$ имеем
$$
\begin{equation*}
|\Delta^{1} \widetilde{\omega}_{n}(x)|=h^2|\Delta^{h} \overline{\omega}_{n}(h^{-1}x)|\leqslant \frac{C}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x_{1},y_{1}\in B_{1}$, $|x_{1}-y_{1}|<\delta/2$. Считаем $n$ достаточно большим, чтобы для некоторых $x,y\in B_{1}\cap h\triangle$ было верно $|x-y|<\delta$. Тогда $|h^{-1}x-h^{-1}y|<\delta n^{1/2}$. Таким образом, по лемме 7.15 имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\overline{\omega}_{n}(x)-\overline{\omega}_{n}(y)| &=|\widetilde{\omega}_{n}(h^{-1}x)-\widetilde{\omega}_{n}(h^{-1}y)| \\ &\leqslant\Bigl |\max_{B_{\delta n^{1/2}}(h^{-1}x)}\widetilde{\omega}_{n}-\min_{B_{\delta n^{1/2}}(h^{-1}x)}\widetilde{\omega}_{n}\Bigr| \leqslant \frac{C_{1}\delta^2 n}{n}=C_{1}\delta^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого нетрудно следует, что нужное $\delta$ для равностепенной непрерывности подобрать можно. Утверждение доказано. Утверждение 5.13. Пусть $u \in C(B_{4})$ – слабое решение уравнения $\Delta u=s$ для некоторой $s\in L^{\infty}(B_{4})$. Тогда функция $u$ дважды дифференцируема почти везде в $B_{1}$. Доказательство. Поскольку $s\,{\in}\, L^{p}(B_{4})$ при всех $p\,{>}\,1$, имеем $u \,{\in}\, W^{2,p}(B_{2})$ при любом $p>1$ (напомним, что $W^{2,p}(B_2)$ – это пространство функций в $L^p$ со слабыми первыми и вторыми производными, тоже лежащими в $L^p$). Поэтому $Du\in W^{1,p}(B_{1})$. Тогда по теореме 5 из [37; секция 5.8.3] получаем, что функция $Du$ дифференцируема почти везде, а значит, $u$ дважды дифференцируема почти везде. Утверждение доказано. Утверждение 5.14. Пусть $s\,{\in}\, L^{\infty}(B_1)$, $f\,{\in}\, C(B_{1\,{+}\,\varepsilon})$ и $f(x)\,{=}\,0$ при $|x|\,{\geqslant}\,1$. Тогда если $f$ – слабое решение уравнения $\Delta f=s\geqslant 0$ и $\sup_{B_{1}}f>0$, то множество имеет положительную меру. Доказательство. Положим в теореме 3.2 из1 [38] $d=\lambda=\Lambda=1$, $f\equiv c$ для достаточно большого $c$ и возьмем в качестве $u$ функцию $-f$. Обозначим через $\Gamma_{u}$ выпуклую оболочку функции $-u^{-}$ на $B_{2}$. Поскольку $\sup u^{-}>0$, из положительности интеграла в теореме 3.2 в [38] получаем, что множество $\{u= \Gamma_{u}\}$ имеет положительную меру. Далее, очевидно, что $u(x)<0$ при $x\in\{u=\Gamma_{u}\}$. Из доказательства теоремы 3.2 из [38] следует, что для $u$ верна лемма 3.5 из [38]. То есть $D^2\Gamma_{u}>0$ на подмножестве $A\subset\{u=\Gamma_{u}\}$ положительной меры. Далее, поскольку $u$ дважды дифференцируема почти везде, получаем, что при почти всех $x\in A$ верно $D^2u\geqslant D^2\Gamma_{u}>0$. Утверждение доказано.
§ 6. Доказательство сходимостиМы следуем линии рассуждений из [4]. Вначале доказываем сходимость по подпоследовательностям, затем единственность предела. Лемма 6.1. В любой последовательности $n_{k}\to\infty$ существует подпоследовательность $n_{k_{j}}\to\infty$ такая, что $\overline{\omega}_{n_{k_{j}}}\to u$ локально равномерно для некоторой $u\in C(\mathbb{R}^2)$, и $\overline{s}_{n_{k_{j}}}\to s$ сходится $^*$-слабо в $L^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ для некоторой $s$. При этом $\omega$ – слабое решение уравнения $\Delta\omega=\frac{2}{3}s$. Доказательство. По утверждению 5.2 $\{\overline{u}_{n}>0\}\subset B_{R}$, кроме того, $\overline{u}_{n}\geqslant0$. Поэтому имеем
$$
\begin{equation}
\overline{\omega}_{n}\geqslant \Phi_{n}, \qquad x\in h\triangle,
\end{equation}
\tag{35}
$$
Далее пусть где $\partial^{h}E$ – это множество $(B_{R+1}\setminus B_{R-1})\cap h\triangle$. Тогда имеем: $\phi\leqslant\overline{\omega}_{n}\leqslant\psi$ на $\partial^{h}E$ и $6=\Delta^{h}\phi\geqslant\Delta^{h}\overline{\omega}_{n}\geqslant\Delta^{h}\psi=0$ (так как $\Delta^{h}\overline{\omega}_{n}=\overline{s}_{n}$ и $0\leqslant\overline{s}_{n}\leqslant 5$).
По принципу максимума имеем
$$
\begin{equation}
|x|^2-(R+h)^2+\inf_{\partial^{h}E}\Phi_{n} \leqslant\overline{\omega}_{n}\leqslant\sup_{\partial^{h}E}\Phi_{n} \quad\text{для }\ x\in B_{R}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Для любого $R'>R$ мы знаем, что $\Phi_{n}\to\Phi$ равномерно в $B_{R'}\setminus B_{R}$ ($\Phi$ из утверждения 5.9). Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
\|\overline{\omega}_{n}\|_{L^{\infty}(R')}\leqslant C(R').
\end{equation}
\tag{41}
$$
Кроме того, знаем, что $|\Delta^{h}\overline{\omega}_{n}|\leqslant d-1$. Поэтому, предварительно выбрав достаточно большое $R$, из утверждения 5.12 делаем вывод, что существуют последовательность $n_{j}$ и функция $\omega\in C(\mathbb{R}^{2})$ такие, что $\overline{\omega}_{n_{j}} \to \omega$ локально равномерно. Поскольку любая равномерно ограниченная последовательность функций имеет $^*$-слабо сходящуюся подпоследовательность (факт из функционального анализа), можно выделить дальнейшую подпоследовательность $n_{k_{j}}$ и функцию $s\in L^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, так что имеем $^*$-слабую сходимость $s_{n_{k_{j}}}\to s$. Обозначим эту последовательность снова через $s_{n_{j}}$, чтобы не перегружать обозначения.
Тогда для $\phi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^2}\phi \overline{s}_{n_{j}}\,dx =\int_{\mathbb{R}^2}\phi \Delta^{h_{j}}\overline{\omega}_{n_{j}}\,dx =\int_{\mathbb{R}^2}(\Delta^{h_{j}}\phi) \overline{\omega}_{n_{j}}\,dx,
\end{equation}
\tag{42}
$$
где первое равенство следует из определения, а второе из того, что $\overline{\omega}_{n_{j}}$ постоянна внутри правильных шестиугольников с вершинами в центрах треугольников решетки. Поскольку $\overline{\omega}_{n_{j}}\to \omega$ локально равномерно в $\mathbb{R}^2$, сходимость равномерная на любом компакте, в частности на замыкании некоторой окрестности носителя $\phi$. Кроме того, имеем $\Delta^{h_{j}} \phi \to \frac{3}{2}\Delta \phi$ равномерно. То есть правая часть (42) сходится к $\displaystyle\frac{3}{2}\int \Delta\phi\cdot\omega \,dx$. Левая часть сходится к $\displaystyle\int \phi s\, dx$ по определению $^*$-слабой сходимости. Тогда $\frac{2}{3}s=\Delta\omega$ по определению. Лемма доказана. Немедленное следствие: $\overline{v}_{n_{j}}\to v:=\omega-\Phi$ в $\mathbb{R}^{2}\setminus \{0\}$ локально равномерно. Теперь мы построим целозначную функцию на решетке с заданным гессианом $D^{2}v(x_{0})$, который реализуется у предельной функции $v$ в точке $x_0$. Строится такая функция следующим образом. Мы берем целозначную функцию на решетке, близкую к пределу, берем окрестность, где ее гессиан близок к предельному $D^{2}v(x_{0})$, и параллельными переносами распространяем ее на всю решетку, каждый раз добавляя линейную часть так, чтобы графики перенесенных функций лежали вблизи графика квадратичной функции c гессианом $D^{2}v(x_{0})$. Далее мы доказываем, что поточечный минимум всех перенесенных функций лежит вблизи упомянутой выше квадратичной функции. Пользуясь такими функциями, мы обходим ту трудность, что подпоследовательности в лемме 6.1 с разными пределами могут быть определены на разных решетках. Лемма 6.2. Пусть $v_{n}\colon \triangle\to\mathbb{Z}$ – любая последовательность функций с условием $\Delta v_{n}\leqslant K\in \mathbb{Z}$. Пусть $v \in C(B_{r}(x_{0}))$ для некоторого $r>0$, и пусть $\overline{v}_{n}(x):=h^2 v_{n}(h^{-1}x)$ сходятся равномерно к $v$ по некоторой последовательности $n_{k}\to\infty$. Если $v$ дважды дифференцируема в $x_{0}$, то для любого $\varepsilon$ существует функция $u\colon \triangle \to\mathbb{Z}$, для любого $x\in\triangle$ имеем Доказательство. Действуем практически дословно так же, как в [4]. Если необходимо, заменяем $v_{n}$ на
$$
\begin{equation*}
v_{n}'(x):=v_{n}(x+\lfloor h^{-1}x_{0}\rceil)-v_{n}(\lfloor h^{-1}x_{0}\rceil)-\lfloor h^{-1}Dv(x_{0})\rceil x,
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы считать $x_{0}=0$, $v(0)=0$, $Dv(0)=0$, $v_{n}(0)=0$. Положим $\phi(x)=\frac{1}{2}x^{\top}D^{2}v(0)x$. Функция $v$ дважды дифференцируема в нуле, поэтому можно уменьшить $r$ и выбрать большое $n=n_{k}$:
$$
\begin{equation}
\sup_{B_{r}}|\overline{v}_{n}-\phi|\leqslant \varepsilon r^2,
\end{equation}
\tag{44}
$$
что после перемасштабирования превращается в
$$
\begin{equation}
\sup_{B_{h^{-1}r}}|v_{n}-\phi|\leqslant\varepsilon h^{-2}r^2.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\psi(x):=\frac{1}{2}x^{\top}(D^2v(0)-\varepsilon I)x.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Для $x\in B_{h^{-1}r/4}$ имеем
$$
\begin{equation}
v_{n}(x)\leqslant\phi+\varepsilon h^{-2}r^2=\psi(x)+\frac{\varepsilon}{2}|x|^2+\varepsilon h^{-2}r^{2}\leqslant \psi(x)+\biggl(\frac{1}{32}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Для $x\in B_{h^{-1}r}\setminus B_{h^{-1}r/2}$ имеем
$$
\begin{equation}
v_{n}(x)\geqslant\phi+\varepsilon h^{-2}r^2=\psi(x)+\frac{\varepsilon}{2}|x|^2+\varepsilon h^{-2}r^{2}\geqslant \psi(x)+\biggl(\frac{1}{8}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Определим
$$
\begin{equation}
v_{n,y}(x):=v_{n}(x-y)+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
u(x):=\min\{v_{n,y}(x)\mid y\in\triangle\cap B_{h^{-1}r}(x)\}.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Далее, для $x\in B_{h^{-1}r/4}(y)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_{n,y}(x) &=v_{n}(x-y)+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil \\ & \leqslant \psi(x-y)+\biggl(\frac{1}{32}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^2+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil \\ &\leqslant\psi(x-y)+\biggl(\frac{1}{32}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^2+ D\psi(y)(x-y)+\psi(y)+\frac{h^{-1}r}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\leqslant \psi(x)+\biggl(\frac{1}{32}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}+\frac{h^{-1}r}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x\in B_{h^{-1}r}(y)\setminus B_{h^{-1}r/2}(y)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_{n,y}(x) &=v_{n}(x-y)+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil \\ &\geqslant \psi(x-y)+\biggl(\frac{1}{8}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^2+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil \\ &\geqslant\psi(x-y)+\biggl(\frac{1}{8}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^2+ D\psi(y)(x-y)+\psi(y)-\frac{h^{-1}r}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\geqslant \psi(x)+\biggl(\frac{1}{8}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}-\frac{h^{-1}r}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее выберем $n$ достаточно большое, чтобы
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{8}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}-\frac{h^{-1}r}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}} > \biggl(\frac{1}{32}+1\biggr)\varepsilon h^{-2}r^{2}+\frac{h^{-1}r}{4\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}},
\end{equation}
\tag{51}
$$
Из (51) и (52) следует, что
$$
\begin{equation}
u(x)=\min\{v_{n,y}(x)\mid y \in \triangle \cap B_{h^{-1}r/2}(x)\},
\end{equation}
\tag{53}
$$
корректно определена. Действительно, поскольку ${h^{-1}r}/{4}>1$, мы можем выбрать $y_{1}\in\triangle\cap B_{h^{-1}r/4}(x)$, а для любого $y_{2}\in B_{h^{-1}r}(x)\setminus B_{h^{-1}r/2}(x)$ в силу предыдущих вычислений и (51) имеем $v_{n,y_{1}}(x)<v_{n,y_{2}}(x)$. Далее, при $z\in B_{h^-1r/2}(x)$ имеем $B_{h^{-1}r/2}(z)\subset B_{3h^{-1}r/4}(x)\subset B_{h^{-1}r}(z)$. Поэтому имеем
$$
\begin{equation}
u=\min\{v_{n,y}\mid y \in \triangle \cap B_{3h^{-1}r/4}(x)\} \quad\text{в }\ B_{h^{-1}r/4}(x).
\end{equation}
\tag{54}
$$
Далее, поскольку $\Delta^{1}v_{n,y}\leqslant K$ и ${h^{-1}r}/{4}>1$, утверждение 5.8 позволяет заключить, что $\Delta^{1}u(x)\leqslant K$.
Оценим теперь $u$ снизу: зафиксируем точку $x\in\triangle$. Тогда для некоторого $y\in B_{h^{-1}r/2}(x)$ верно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(x) \notag &=v_{n,y}(x)=v_{n}(x-y)+\lfloor D\psi(y)\rceil(x-y)+\lfloor\psi(y)\rceil \\ &\geqslant \psi(x)-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{h^{-1}r}{2\sqrt{3}}+\min_{B_{h^{-1}r/2}}v_{n} \geqslant \psi(x)-C \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
$$
для некоторого $C\in\mathbb{Z}$. В качестве искомой функции подходит $u+C$. Лемма 6.2 доказана. Теорема 6.3. Функции $\overline s_{n}(x):=s_{n}(n^{1/2}x)$ сходятся $^*$-слабо к функции $s \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$. Кроме того, предел удовлетворяет следующим условиям: $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}s=1$, $0\leqslant s \leqslant d-1=5$, $s=0$ в $\mathbb{R}^{2}\setminus B_{R}$ для некоторого $R>0$. Докажем чуть более сильное утверждение ниже. Теорема 6.4. Существуют функции $s \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$ и $\omega\in C(\mathbb{R}^2)$ такие, что последовательность $\overline s_{n}(x)$ сходится $^*$-слабо к $s$, последовательность $\overline{\omega}_{n}$ сходится к $\omega$ локально равномерно в $\mathbb{R}^2$, $\omega$ – слабое решение уравнения $\Delta\omega=\frac{2}{3}s$. Кроме того, $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}s=1$, $0\leqslant s \leqslant d-1=5$, $s=0$ в $\mathbb{R}^{2}\setminus B_{R}$ для некоторого $R>0$. Доказательство. По лемме 6.1 есть сходимость по подпоследовательностям, поэтому достаточно доказать единственность $s$ и $\omega$. Из утверждения 5.13 следует, что $\Delta \omega= \frac{2}{3}s$ почти везде, поэтому достаточно доказать единственность $\omega$. Доказываем от противного.
Пусть $\overline{\omega}_{n_{k}}\to\omega$, $\overline{\omega}_{n'_{k}}\to\omega'$ – два различных предела. Поскольку $\omega=\omega'=\Phi$ вне $B_{R}$ для некоторого $R>0$, то можно считать
$$
\begin{equation*}
\sup_{B_R}(\omega - \omega') > 0=\sup_{\partial B_{R}}(\omega-\omega').
\end{equation*}
\notag
$$
По утверждению 5.14 можно выбрать точку $a\in\mathbb{R}^2\setminus 0$ такую, что $\omega$ и $\omega'$ дважды дифференцируемы в $a$ и $D^2\omega(a)\leqslant D^2\omega'(a)-2\varepsilon I$ для некоторого $\varepsilon>0$. Определим $v=\omega - \Phi$, $v'=\omega' - \Phi$. Поскольку $a\neq 0$, $\overline{v}_{n'_{k}}\to v'$ равномерно в малой окрестности $a$. Кроме того, $v'$ дважды дифференцируема в $a$, поэтому по лемме 6.2 мы можем найти $u\colon \triangle\to\mathbb{Z}$ такое, что для всех $x\in\triangle$ Поскольку $D^2 v(a)+\varepsilon I\leqslant D^2 v'(a)-\varepsilon I$, верно
С помощью следующей леммы мы придем к противоречию и закончим доказательство теоремы 6.3. Лемма 6.7. Для маленького $r>0$ и большого $n_{k}$ функция $\widetilde{v}:=\min\{v_{n_{k}},u_{n_{k}}\}$ противоречит принципу наименьшего действия для $v_{n_{k}}$. Доказательство. Прежде всего Поэтому теперь нужно выбором $r$ и $n_{k}$ обеспечить выполнение двух фактов: неотрицательность $\widetilde{v}$ и условие $n_{k}\delta_{0}+\Delta^{1}\widetilde{v}\leqslant 5$. Применение принципа наименьшего действия завершит доказательство.
Неотрицательность. Достаточно проверить, что $u_{n_{k}}\geqslant0$ в $B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})$. Функция $v$ дважды дифференцируема в $a$, $\overline{v}_{n_{k}}\to v$ в $B_{r}(a)$ равномерно, $\omega(a)>\omega'(a)$. Поэтому при малых $r>0$, больших $n_{k}$, $x\in B_{r}(a)$ имеем
$$
\begin{equation}
\overline{v}_{n_{k}}(a)+Dv(a)(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^{\top}D^2v(a)(x-a)\geqslant \frac{v(a)}{2}>\frac{v'(a)}{2}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Тогда для $x\in B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})$ вычисляем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_{n_{k}}(x)=u(x-a_{k})+\lfloor h_{k}^{-1}Dv(a)\rceil(x-a_{k})-u(0)+v_{n_{k}}(a_{k})-1 \\ &\geqslant \frac{1}{2}(x-a_{k})^\top D^2v(a)(x-a_{k}) +h_{k}^{-1}Dv(a)(x-a_{k})\,{-}\,u(0)\,{+}\,v_{n_{k}}(a_{k})\,{-}\,1\,{-}\,\frac{1}{\sqrt{3}}h_{k}^{-1}r \\ &\geqslant h_{k}^{-2}\frac{v(a)}{2}-u(0)-1-\frac{1}{\sqrt{3}}h_{k}^{-1}r-O(1)\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для больших $n_{k}$ и маленьких $r$. Первое неравенство в цепочке выше следует из (57), а предпоследнее из (59).
Проверим выполнение $n_{k}\delta_{0}+\Delta^{1}\widetilde{v}\leqslant 5$. Для этого по утверждению 5.8 достаточно показать, что: $v_{n_{k}}\leqslant u_{n_{k}}$ в $B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})\setminus B_{h_{k}^{-1}r/2}(a_{k})$ и $0\notin B_{h_{k}^{-1}r/2}(a_{k}) $ для больших $n_{k}$ и маленьких $r>0$. Поскольку $v$ дважды дифференцируема в $a$, для больших $n_{k}$ и маленьких $r>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\overline{v}_{n_{k}}(x)\leqslant \overline{v}_{n_{k}}(a)+Dv(a)(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^{\top}D^2v(a)(x-a)+\frac{\varepsilon}{8}r^2
\end{equation*}
\notag
$$
для $x\in B_{r}(a)$. После перемасштабирования получаем
$$
\begin{equation*}
v_{n_{k}}(x)\leqslant v_{n_{k}}(a_{k})+h_{k}^{-1}Dv(a)(x-a) +\frac{1}{2}(x-a)^{\top}D^2v(a)(x-a)+h_{k}^{-2}\frac{\varepsilon}{8}r^2
\end{equation*}
\notag
$$
для $x\in B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
u(x)\geqslant \frac{1}{2}x^{\top}D^2v(a)x+\frac{\varepsilon}{4}h_{k}^{-2}r^{2}
\end{equation*}
\notag
$$
для $x\in B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})\setminus B_{h_{k}^{-1}r/2}(a_{k})$, мы делаем вывод, что для $x\in B_{h_{k}^{-1}r}(a_{k})\setminus B_{h_{k}^{-1}r/2}(a_{k})$. При больших $n_{k}$ поправочный член положительный, из чего заключаем, что для больших $n_{k}$ и маленьких $r>0$, что завершает доказательство. § 7. Приложение: гармонические функции на треугольной решеткеНапомним следующие общеизвестные результаты, касающиеся дискретных гармонических функций, дискретного принципа Харнака и пр. Это необходимо, чтобы доказать, что положительная функция на $\triangle$ с ограниченным дискретным лапласианом растет не быстрее квадратичной (лемма 7.15). Все функции, рассматривающиеся в этом параграфе, определены только на решетках, а все множества – подмножества решетки $\triangle$. Определение 7.1. Пусть $\Omega\subset\triangle$ – конечное множество. Пусть $\partial_{\mathrm{out}}\Omega:=\{e_{\mathrm{out}}\mid e\in\partial\Omega\}$, $\overline{\Omega}:=\Omega\cup\partial_{\mathrm{out}}\Omega$. Определение 7.2. Функция $u\colon \triangle\to\mathbb{R}$ называется гармонической в $\Omega$, если $\Delta u \equiv 0$ в $\Omega$. Утверждение доказывается прямым вычислением. Утверждение 7.4 (дискретный принцип максимума). Пусть $\Omega$ – конечное подмножество $\triangle$, и пусть функция $u$ удовлетворяет $\Delta u\geqslant 0$ на $\Omega$. Тогда $\max_{\partial \Omega}u\geqslant\max_{\Omega}u$. В самом деле, если максимум $M=\max u$ достигается во внутренней вершине $x$, то значения $u$ в соседях $x$ в силу дискретной субгармоничности тоже должны быть равны $M$. Повторяя этот аргумент, получим, что $u$ – постоянная функция. Утверждение 7.5. Для данной $f\colon \partial_{\mathrm{out}}\Omega\to\mathbb{R}$ задача Дирихле, т.е. система уравнений имеет единственное решение. Доказательство. Задача состоит в проверке разрешимости системы из $|\overline\Omega| $ линейных уравнений c $|\overline\Omega|$ неизвестными. Из принципа максимума следует, что для $f\equiv 0$ решение единственно (и тождественно равно нулю), а значит, для любого $f$ имеется не более одного решения. Из совпадения числа уравнений и неизвестных следует, что для любого $f$ решение существует и единственно. Утверждение доказано. Определение 7.6. Для данного $A\subset\partial_{\mathrm{out}}\Omega$ определим $\mathrm{hm}(\cdot, A)$ – решение задачи Дирихле с $f=\mathbb{I}_{A}$. Действительно, обе части являются гармоническими функциями и совпадают на границе. Значит, по принципу максимума они совпадают везде. Лемма 7.8. Для данного $x\,{\in}\,\Omega$ существует единственная функция $G_{\Omega}(\cdot,x)$: $\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющая $G_{\Omega}(y,x)\equiv0$ для $y\in\partial_{\mathrm{out}}\Omega$ и Более того, $G_{\Omega}(y,x)=G_{\Omega}(x,y)$. Существование и единственность доказываются так же, как в задаче Дирихле. Симметричность следует из формулы Грина. Значения на границе левой и правой частей совпадают, поэтому нужно проверить гармоничность правой. Это прямое вычисление. Доказательство. Достаточно доказать лемму для $z=0$ и достаточно большого $R$, поскольку для любого фиксированного $R$ можно взять $C=10R^2$ и по принципу максимума получить необходимую оценку. Положим
$$
\begin{equation*}
H(x):=g(x)+\frac{R^2-|x|^2}{4\sqrt{3}\,\pi R^2}-C_{0}-\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\ln R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_0$ – константа из асимптотического разложения функции Грина $g(v)$. Заметим, что если $x=e_{\mathrm{out}}$ или $x=e_{\mathrm{in}}$ для $e\in \partial B_{R}(0)$, то $|R-|x||\leqslant 1$, поэтому
$$
\begin{equation*}
H(x)=\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\ln\biggl(1+\frac{|x|-R}{R}\biggr) +\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\frac{R-|x|}{R}-\frac{(R-|x|)^2}{4\sqrt{3}\,\pi R^2}+O(R^{-2})=O(R^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применение утверждения 7.3 к $f_1=h$, $f_2=H$ завершает доказательство. Лемма 7.12. Существуют константы $C_{1},C_{2}>0$ такие, что для любой $x\in\partial_{\mathrm{out}}B_{R}(0)$ Доказательство. Если $h$ гармонична и неотрицательна, то $h(x)\geqslant \frac{1}{6}h(y)$ для любого $y \thicksim x$. Поэтому можно считать, что $R$ достаточно большое. По лемме 7.9 достаточно доказать
$$
\begin{equation*}
\frac{C_{1}}{R}\leqslant -G_{B_{R}(0)}(0,x)\leqslant\frac{C_{2}}{R}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $x$ такого, что $R-5<|x|<R-3$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -G_{B_{R}(0)}(0,x) &=\biggl(-g(x)+C_0+\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\ln R\biggr) \\ &\qquad +\biggl(g(x)-C_0-\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\ln R -G_{B_{R}(0)}(0,x) \biggr) :=H_{1}(x)+H_{2}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из асимптотики $g$ для $x$ на ограниченном расстоянии до границы мы знаем, что
$$
\begin{equation*}
H_{1}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\ln\biggl(1+\frac{|x|-R}{R}\biggr)+O(R^{-2}) =-\frac{1}{2\sqrt{3}\,\pi}\frac{|x|-R}{R}+O(R^{-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $H_{2}$ гармоническая, и на $\partial_{\mathrm{out}}B_{R}(0)$ имеем $H_{1}\equiv H_{2}$. Поэтому по принципу максимума для $x\in B_{R}(0)$ имеем Следовательно, что завершает доказательство. Лемма 7.13. Существует константа $C>0$ такая, что если $h\geqslant 0$ гармонична в круге $B_{R+1}(z)$, то Доказательство. По леммам 7.11 и 7.12 имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |h(z)-M_{R}h(z)| &\leqslant \frac{C}{R^2}\sum_{e\in\partial B_{R}(z)}(h(e_{\mathrm{out}})+h(e_{\mathrm{in}})) \leqslant 7 \frac{C}{R^2} \sum_{x\in\partial_{\mathrm{out}} B_{R}(z)}h(x) \\ &\leqslant \frac{7{C}}{R}\sum_{x\in\partial_{\mathrm{out}} B_{R}(z)}h(x)\mathrm{hm}_{B_{R}(z)}(z,\{x\})=\frac{7C}{R}h(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Константа $7$ возникает из-за неравенства $h(e_{\mathrm{out}})+h(e_{\mathrm{in}})\leqslant 7h(e_{\mathrm{out}})$. Лемма доказана. Лемма 7.14. Существуют константы $C_{1}, C_{2}>0$ такие, что если $h\geqslant 0$ дискретно гармоническая в $B_{R}(z)$ и $|z-w|\leqslant R/4$, то $C_{1}h(z)\leqslant h(w)\leqslant C_{2}h(z)$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
M_{R}h(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\pi R^{2}}\sum_{w\in B_{R}(z)}h(w)\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\pi R^{2}}\sum_{w\in B_{R/2}(z)}h(w)=4M_{R/2}h(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по лемме 7.13
$$
\begin{equation*}
h(z)\biggl(1-\frac{C}{R}\biggr)\leqslant M_{R/4}h(z) \leqslant\frac{1}{4}M_{R/2}h(w)\leqslant\frac{1}{4}h(w)\biggl(1+\frac{C}{R}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
То есть получили первое неравенство для достаточно больших $R$. Для маленьких $R$ оно следует из леммы 7.11. Второе неравенство получается аналогично из $M_{R/2}h(z)\geqslant 4M_{R/4}h(w)$. Лемма доказана. Лемма 7.15. Пусть $u\colon \triangle\to \mathbb{R}_{+}$, $\max_{B_{10R}(0)}|\Delta f|\leqslant \lambda$, $f(0)=0$. Тогда существует не зависящая от $f$ и $R$ константа $C$ такая, что Доказательство. Доказательство повторяет доказательство леммы 2.17 из [39]. Определим функции
Из условия леммы знаем, что $\Delta f_{+}\,{\geqslant}\,0$, $\Delta f_{-}\,{\leqslant}\,0$. Возьмем $x\,{\in}\, B_{R}(0)$ и $r\,{=}\,9|x|$. Далее пусть $h_{\pm}$ – гармонические функции в шаре $B=B_{r-1}(0)$, значения которых на границе совпадают с $f_{\pm}$. Тогда, прежде всего, $h_{+}\geqslant0$ на $B$, кроме того, в $B$ имеем
$$
\begin{equation*}
f_{+}\leqslant h_{+}\leqslant h_{-}+2\lambda r^2\leqslant f_{-}+2\lambda r^2.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 7.14 знаем, что существует $C_{2}$ такое, что $h_{+}(y)\leqslant C_{2}h_{+}(0)$ при $y\in B_{(r-1)/4}(0)$. Тогда, поскольку $f_{-}(0)=f(0)=0$, имеем А значит,
$$
\begin{equation*}
f(x)\leqslant h_{+}(x)-\lambda |x|^2\leqslant (162C_{2}-\lambda)|x|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliKal23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|