| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Короткие Р. О. Стасенкоab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9788e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ теории алгебр Ли известна классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера, позволяющая по простой йордановой алгебре $J$ построить простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$, имеющую следующий вид:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{g}=\mathfrak{der}(J)\oplus\mathfrak{sl}_2(J).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В этой конструкции коммутатор элементов второго слагаемого определяется как обычный коммутатор матриц плюс определенная добавка из первого слагаемого. Более точно, если отождествить $\mathfrak{sl}_2(J)$ с $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\otimes J$, то коммутатор элементов второго слагаемого вычисляется по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
[X\otimes a, Y\otimes b]=2(X, Y)[L_a, L_b]+[X, Y]\otimes ab \qquad\forall\, X, Y\in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}), \quad a, b\in J,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $L_c$ обозначен линейный оператор умножения на элемент $c\in J$ и
$$
\begin{equation*}
(X, Y)=\operatorname{tr}(XY) \quad\forall\, X, Y\in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}).
\end{equation*}
\notag
$$
Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное представление группы $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ автоморфизмами алгебры $\mathfrak{g}$, которое разлагается на неприводимые представления размерностей 1 и 3. Равенство (1.1) является не чем иным, как изотипным разложением данного представления. Естественным обобщением данного линейного представления является следующее понятие. Определение 1. Пусть $S$ – редуктивная алгебраическая группа. $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ называется гомоморфизм $\Phi\colon S\to \operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$. В этой терминологии конструкцию Титса-Кантора-Кёхера будем называть очень короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой. Полный анализ данной конструкции можно найти в [1; § 3]. Некоторые частные случаи $S$-структур были изучены в работах [1] и [2]. Мы же рассмотрим еще один случай $S$-структур, а именно – короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры. Наиболее естественно рассматривать короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры на полупростых алгебрах Ли в связи с замечательными алгебраическими свойствами последних. Однако очевидно, что рассмотрение короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на полупростой алгебре Ли сводится к рассмотрению таких структур на каждой простой компоненте этой алгебры. Поэтому далее везде будем считать алгебру $\mathfrak{g}$ простой и $S= \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$. Дифференциал отображения $\Phi$ задает линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ дифференцированиями алгебры Ли $\mathfrak{g}$:
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}\Phi\colon \mathfrak{sl}_2\to\mathfrak{der(g)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как алгебра $\mathfrak{g}$ проста, то $\mathfrak{der(g)}\simeq\mathfrak{inn(g)}\simeq\mathfrak{g}$. Следовательно, образ алгебры $\mathfrak{sl}_2$ под действием отображения $\mathrm{d}\Phi$ в $\mathfrak{g}$ состоит из присоединенных операторов алгебры $\mathfrak{g}$. Изотипное разложение данного представления имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus \bigoplus_{i=1}^lV_i\otimes J_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой формуле $V_i$ обозначает пространство $(i+1)$-мерного неприводимого представления алгебры $\mathfrak{sl}_2$, а $J_i$ – векторное пространство, на котором алгебра $\mathfrak{sl}_2$ действует тривиально и которое отвечает за кратность вхождения неприводимого представления $V_i$ в $\mathfrak{g}$ (а именно, размерность $J_i$ равна этой кратности). Подпространство $\mathfrak{g}_0$ – это изотипная компонента, отвечающая одномерному представлению алгебры $\mathfrak{sl}_2$. Определение 2. $\mathrm{SL}_2$-структура называется короткой, если представление $\mathrm{d}\Phi$ разлагается на неприводимые представления размерностей $1$, $2$ и $3$. Неприводимое представление алгебры $\mathfrak{sl}_2$ размерности 2 есть ее тавтологическое представление, а неприводимое представление размерности 3 – присоединенное представление. Таким образом, для коротких $\mathrm{SL}_2$–структур изотипное разложение будет иметь вид
$$
\begin{equation}
\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1\oplus \mathfrak{g}_2, \qquad\mathfrak{g}_1= \mathbb{C}^2\otimes J_1, \quad\mathfrak{g}_2=\mathfrak{sl}_2\otimes J_2.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Важно отметить, что случаи $J_1=0$ (который соответствует очень короткой $\mathrm{SL}_2$-структуре) и $J_1\neq0$ существенно отличаются друг от друга. Далее везде будем предполагать, что $J_1\neq0$. С помощью операции коммутирования на алгебре Ли $\mathfrak{g}$, а также инвариантного скалярного умножения векторное пространство $J_1$ наделяется структурой симплектического пространства, а пространство $J_2$ – структурой йордановой алгебры симметрических операторов в $J_1$. Также алгебра $\mathfrak{g}_0$ является подалгеброй Ли алгебры $\mathfrak{sp}(J_1)$. Оказывается, что среди коротких $\mathrm{SL}_2$-структур с данным $J_1$ есть максимальная в том смысле, что пространство $J_2$ и алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ в ней максимально возможные по включению. А именно, для этой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}(J_1)$ а в качестве пространства $J_2$ выступает йорданова алгебра всех симметрических операторов симплектического пространства $J_1$. Будем называть данную йорданову алгебру канонической. Мы опишем максимальную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру в § 3 настоящей статьи. В § 4 мы построим соответствие между простыми алгебрами Ли с короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли–Йордана вида $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$, где $J_2$ – простая йорданова подалгебра алгебры всех симметрических операторов пространства $J_1$, $\mathfrak{g}_0$ – редуктивная подалгебра в алгебре всех симплектических операторов на пространстве $J_1$, а $\delta_0$ – некоторое симметрическое билинейное отображение, которое мы опишем ниже. В этом и заключается основной результат работы, сформулированный в теореме 8 п. 4.2. В § 5 будет проведена полная классификация коротких $\mathrm{SL}_2$-структур на простых алгебрах Ли с указанием простой симплектической структуры Ли–Йордана, которая соответствует каждой $\mathrm{SL}_2$-структуре. Автор выражает большую благодарность за постановку задачи и научное руководство Э. Б. Винбергу, без советов и рекомендаций которого эта статья не увидела бы свет, Д. А. Тимашеву, чьи четкие указания по редактированию позволили настоящему тексту принять стройный и законченный вид, а также Д. И. Панюшеву, давшему точную ссылку на один из результатов Б. Костанта, необходимый для текста настоящей статьи. § 2. Изотипное разложениеВ этом параграфе и везде далее все алгебры, алгебраические группы и линейные представления рассматриваются над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. 2.1. Коммутационные формулыРассмотрим произвольную редуктивную алгебраическую группу $S$. Для ее неприводимого представления $\rho$ обозначим через $V_{\rho}$ пространство этого представления. Следующие леммы можно найти в [1; § 1, п. 1.2]. Лемма 1. Пусть $\rho$, $\sigma$ и $\tau$ – неприводимые представления группы $S$. Предположим, что $\rho\otimes\sigma$ содержит $\tau$ с кратностью 1, и пусть – фиксированное ненулевое $S$-эквивариантное билинейное отображение (определенное с точностью до скалярного множителя). Пусть $U_{\rho}$, $U_{\sigma}$ и $U_{\tau}$ – векторные пространства, на которых группа $S$ действует тривиально. Тогда любое $S$-эквивариантное билинейное отображение задается формулой где – некоторое билинейное отображение. Лемма 2. Пусть $\rho$ и $\tau$ – неприводимые представления группы $S$. Предположим, что $\operatorname{Sym}^2\rho$ и $\Lambda^2\rho$ содержат $\tau$ с кратностью не больше чем 1, и пусть Сохраняя предположения и обозначения введения, рассмотрим короткую $\mathrm{SL}_2$структуру на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$. В этом пункте мы выведем основные коммутационные формулы, возникающие при коммутировании двух произвольных элементов из изотипных компонент алгебры $\mathfrak{g}$. Коммутатор на $\mathfrak{g}$ дает $\mathrm{SL}_2$-эквивариантные билинейные отображения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}_i\times\mathfrak{g}_j\longrightarrow\mathfrak{g}_i \otimes\mathfrak{g}_j\longrightarrow\mathfrak{g}, \qquad i\neq j, \\ \mathfrak{g}_i\times\mathfrak{g}_i\longrightarrow \bigwedge^2\mathfrak{g}_i\longrightarrow\mathfrak{g}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно формуле Клебша–Гордана для тензорного произведения неприводимых представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ имеем
$$
\begin{equation}
V_i\otimes V_j\simeq V_{i+j}\oplus V_{i+j-2}\oplus\dots \oplus V_{|i-j|}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Поэтому для коммутаторов изотипных компонент алгебры $\mathfrak{g}$ выполнены следующие коммутационные соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lbrack\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_i\rbrack \subseteq\mathfrak{g}_i,\quad i=0,1,2,\qquad [\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_1]\subseteq\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2, \\ [\mathfrak{g}_2, \mathfrak{g}_2]\subseteq\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2, \qquad [\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2]\subseteq \mathfrak{g}_1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В частности, $\mathfrak{g}_0$ и $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ – подалгебры, причем на подалгебре $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ индуцируется очень короткая $\mathrm{SL}_2$-структура. Введем на пространстве $\mathbb{C}^2$ $\mathrm{SL}_2$-инвариантную кососимметрическую билинейную форму $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\, \rangle$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
\langle u, v\rangle :=\det(u, v) \quad\forall\, u, v\in \mathbb{C}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Также определим $\mathrm{SL}_2$-инвариантную симметрическую билинейную форму на $\mathfrak{sl}_2$ по правилу
$$
\begin{equation*}
(X, Y) :=\operatorname{tr}(XY) \quad\forall\, X, Y\in \mathfrak{sl}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, зададим симметрическое билинейное отображение $S\colon \mathbb{C}^2\times \mathbb{C}^2 \to \mathfrak{sl}_2$ с помощью следующей формулы:
$$
\begin{equation*}
S(u, v)w=\langle w, u\rangle v+\langle w, v\rangle u.
\end{equation*}
\notag
$$
Для полноты изложения материала докажем одно вспомогательное предложение, хорошо известное специалистам. Оно нам понадобится для дальнейших рассуждений. Рассмотрим произвольную простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$, на которой задан инволютивный нетождественный автоморфизм $\theta$. Собственными значениями автоморфизма $\theta$ являются $1$ и $-1$, поэтому будет иметь место разложение где
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}=\{\xi\in\mathfrak{g}\colon \theta(\xi)=\xi\}, \qquad \mathfrak{v}=\{\eta\in\mathfrak{g}\colon \theta(\eta)=-\eta\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Подпространство $\mathfrak{h}$ является подалгеброй Ли и ее присоединенное действие на подпространстве $\mathfrak{v}$ точно. Доказательство. В силу определения инволютивного автоморфизма выполнены следующие соотношения: Откуда видно, что $\mathfrak{h}$ является подалгеброй Ли и присоединенно действует на подпространстве $\mathfrak{v}$. Докажем, что заданное действие точно.
Для этого рассмотрим ядро неэффективности данного действия Заметим, что поскольку $\theta\neq\mathrm{id}$, то $\mathfrak{h}\neq \mathfrak{g}$. Очевидно, что $\mathfrak{k}\triangleleft\mathfrak{h}$, а так как $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{v}$ и $\mathfrak{k}$ коммутирует с $\mathfrak{v}$, то $\mathfrak{k}$ является идеалом алгебры Ли $\mathfrak{g}$, откуда заключаем, что $\mathfrak{k}=0$ или $\mathfrak{k}=\mathfrak{g}$, но по определению $\mathfrak{k}\subset\mathfrak{h}\neq\mathfrak{g}$, поэтому $\mathfrak{k}=0$. Тем самым присоединенное действие $\mathfrak{h}$ на $\mathfrak{v}$ точно. Предложение доказано.Теперь пусть на $\mathfrak{g}$ задана короткая $\mathrm{SL}_2$-структура. Отметим, что действие элемента $-\operatorname{id}$ группы $\mathrm{SL}_2$ на алгебре $\mathfrak{g}$ задает на ней инволютивный автоморфизм, для которого подалгебра $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ является пространством неподвижных точек, а $\mathfrak{g}_1$ – подпространством, на котором этот автоморфизм действует умножением на $-1$. Из доказанного выше предложения следует, что присоединенное действие алгебры $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ на пространстве $\mathfrak{g}_1$ точно. Имея это в виду, элементы пространства $J_2$, а также алгебры $\mathfrak{g}_0$, можно отождествить с соответствующими им операторами в $J_1$. Начиная с этого момента, договоримся обозначать элементы пространства $J_1$ маленькими латинскими буквами $a, b, c,\dots $, а элементы пространства $J_2$ и алгебры $\mathfrak{g}_0$ – большими латинскими буквами $A, B, C,\dots$ . Используя лемму 1, а также представление элементов пространства $J_2$ и алгебры $\mathfrak{g}_0$ операторами в $J_1$, нетрудно вывести следующие коммутационные формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [D, u\otimes a]=u\otimes Da \quad\forall\, D\in \mathfrak{g}_0, \quad u\in \mathbb{C}^2, \quad a\in J_1; \\ [D, X\otimes A]=X\otimes\nu(D, A) \quad\forall\, D\in \mathfrak{g}_0, \quad X\in \mathfrak{sl}_2, \quad A\in J_2; \\ [X\otimes A, v\otimes b]=Xv\otimes Ab \quad\forall\, v\in \mathbb{C}^2, \quad X\in\mathfrak{sl}_2, \quad b\in J_1, \quad A\in J_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\nu\colon \mathfrak{g}_0\times J_2 \to J_2$ – билинейное отображение. Чтобы вычислить отображение $\nu$, необходимо рассмотреть действие оператора $\nu(D, A)\in J_2$ на произвольный вектор $b\in J_1$. Для этого рассмотрим тождество Якоби для $X\otimes A\in \mathfrak{g}_2$, $v\otimes b\in\mathfrak{g}_1$ и $D\in\mathfrak{g}_0$:
$$
\begin{equation*}
[[D, X\otimes A], v\otimes b]+[[X\otimes A, v\otimes b], D]+[[v\otimes b , D], X\otimes A]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь коммутационными соотношениями, указанными выше, нетрудно заключить, что
$$
\begin{equation}
\nu(D, A)=[D, A] \quad\forall\, D\in\mathfrak{g}_0, \quad A\in J_2.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Таким образом, с помощью формулы (2.3) задано действие алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ на пространстве $J_2$. Коммутирование двух элементов из $\mathfrak{g}_2$ согласно лемме 2 осуществляется по формуле
$$
\begin{equation*}
[X\otimes A, Y\otimes B]=[X, Y]\otimes(A\circ B)+\frac{1}{2}(X, Y)\Delta(A, B) \quad\forall\, X, Y\in \mathfrak{sl}_2, \quad A, B\in J_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\circ$ обозначена коммутативная бинарная операция, которая наделяет пространство $J_2$ структурой коммутативной алгебры, а $\Delta\colon J_2\times J_2 \to \mathfrak{g}_0$ – кососимметрическое билинейное отображение. Коэффициент $1/2$ взят для удобства дальнейших вычислений. Таким образом, мы имеем векторное пространство $J_1$, на котором действует алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$, а также коммутативная алгебра $J_2$ линейных операторов пространства $J_1$ (относительно умножения $\circ$). В дальнейшем мы покажем, что пространство $J_1$ есть симплектическое пространство, алгебра $J_2$ – подалгебра в йордановой алгебре всех симметрических операторов пространства $J_1$, а алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ – подалгебра в алгебре Ли $\mathfrak{sp}(J_1)$. Пользуясь всеми вышеописанными договоренностями, можно выписать полный список коммутационных формул:
$$
\begin{equation}
[D, u\otimes a]=u\otimes Da \quad\forall\, D\in \mathfrak{g}_0, \quad u\in \mathbb{C}^2, \quad a\in J_1;
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
[D, X\otimes A]=X\otimes [D, A] \quad\forall\, D\in \mathfrak{g}_0, \quad X\in \mathfrak{sl}_2, \quad A\in J_2;
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
[u\otimes a, v\otimes b]=S(u, v)\otimes\varphi(a, b)+\langle u, v\rangle\delta(a, b) \quad\forall\, u, v\in \mathbb{C}^2, \quad a, b\in J_1;
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
[X\otimes A, v\otimes b]=Xv\otimes Ab \quad\forall\, v\in \mathbb{C}^2, \quad X\in\mathfrak{sl}_2, \quad A\in J_2, \quad b\in J_1;
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
[X\otimes A, Y\otimes B]=[X, Y]\otimes(A\circ B)+\frac{1}{2}(X, Y)\Delta(A, B) \quad\forall\, X, Y\in \mathfrak{sl}_2, \quad A, B\in J_2.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Здесь: $\bullet$ $\varphi\colon J_1\times J_1 \to J_2$ – кососимметрическое билинейное отображение; $\bullet$ $\delta\colon J_1\times J_1 \to \mathfrak{g}_0$ – симметрическое билинейное отображение; $\bullet$ $\Delta\colon J_2\times J_2 \to \mathfrak{g}_0$ – кососимметрическое билинейное отображение; $\bullet$ $\circ$ – коммутативная билинейная бинарная операция на $J_2$. 2.2. Свойства изотипных компонентРассмотрим произвольную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Выпишем тождества Якоби на алгебре Ли $\mathfrak{g}$, из которых выведем необходимые нам для дальнейших рассуждений тождества. Для любого вектора $u\in\mathbb{C}^2$ будем обозначать через $u^*$ такой элемент пространства $(\mathbb{C}^{2})^*$, что $u^*(v)=\langle v, u\rangle$ $\forall\, v\in\mathbb{C}^2$. Тогда будет верна следующая формула для отображения $S$ (здесь тензоры типа $(1,1)$ интерпретируются как линейные операторы):
$$
\begin{equation*}
S(u, v)=u\otimes v^*+v\otimes u^* \quad\forall\, u, v\in\mathbb{C}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем одну вспомогательную лемму, упрощающую дальнейшие выкладки. Лемма 3. Для любых трех векторов $u, v, w\in\mathbb{C}^2$ и оператора $X\in\mathfrak{sl}_2$ выполнены следующие равенства: a) $\langle Xu, v\rangle=-\langle u, Xv\rangle$; b) $u\otimes (Xv)^*=-(u\otimes v^*)\cdot X$, $Xv\otimes u^*=X\cdot(v\otimes u^*)$; c) $(X, S(u,v))=2\langle Xu, v\rangle$; d) $\langle u, v\rangle w+\langle v, w\rangle u+\langle w, u\rangle v=0$; e) $u\otimes v^*-v\otimes u^*=\langle u, v\rangle\operatorname{id}$; f) $[X, S(u, v)]=2(S(u, Xv)+\langle u, v\rangle X)$; g) $S(Xu, v)-S(u, Xv)=2\langle u, v\rangle X$. Доказательство. a) Очевидно, что $\langle Bu, Bv\rangle=\langle u, v\rangle$ $\forall\, B\in \mathrm{SL}_2$, $u, v\in\mathbb{C}^2$. Дифференцируя в единице это равенство, получим требуемое.
b) Так как данные равенства представляют из себя операторные равенства, то проверим их применительно к произвольному вектору $w\in\mathbb{C}^2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (Xv\otimes u^*)w=\langle w, u\rangle Xv=X(\langle w, u\rangle v)=(X\cdot(v\otimes u^*))w, \\ (u\otimes (Xv)^*)w=\langle w, Xv\rangle u=-\langle Xw, v\rangle u=(-(u\otimes v^*)\cdot X)w. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
c) Справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (X, S(u,v)) &=\operatorname{tr}(X\cdot(u\otimes v^*+v\otimes u^*))=\operatorname{tr}((u\otimes v^*)\cdot X)+\operatorname{tr}((v\otimes u^*)\cdot X) \\ &=-\operatorname{tr}(u\otimes (Xv)^*)-\operatorname{tr}(v\otimes (Xu)^*)=\langle Xv, u\rangle+ \langle Xu, v\rangle \\ &=\langle Xu, v\rangle+\langle Xu, v\rangle=2\langle Xu, v\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
d) Левая часть этого тождества представляет собой трилинейное кососимметрическое отображение на пространстве $\mathbb{C}^2$. Следовательно, оно равно нулю. e) Докажем это операторное тождество для произвольного $w\in\mathbb{C}^2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
(u\otimes v^*-v\otimes u^*)w=\langle w, v\rangle u-\langle w, u\rangle v=-\langle v, w\rangle u- \langle w, u\rangle v=\langle u, v\rangle w.
\end{equation*}
\notag
$$
f) Пользуясь определением отображения $S$ и доказанными ранее равенствами, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2S(u, Xv)+2\langle u, v\rangle X=2(u\otimes (Xv)^*+(Xv)\otimes u^*)+2\langle u, v\rangle X \\ &\qquad =-2(u\otimes v^*)\cdot X+2X\cdot(v\otimes u^*)+2(u\otimes v^*)\cdot X-2(v\otimes u^*)\cdot X \\ &\qquad =[X, 2(v\otimes u^*)]=[X, u\otimes v^*+v\otimes u^*+v\otimes u^*-u\otimes v^*] \\ &\qquad =[X, S(u,v)]+[X, v\otimes u^*-u\otimes v^*] =[X, S(u,v)]+[X, \langle v, u\rangle\operatorname{id}] \\ &\qquad=[X, S(u,v)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
g) Пользуясь определением отображения $S$ и доказанными ранее равенствами, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S(Xu, v)-S(u, Xv)=Xu\otimes v^*+v\otimes (Xu)^*-u\otimes (Xv)^*-Xv\otimes u^* \\ &\qquad =X\cdot(u\otimes v^*-v\otimes u^*)+(u\otimes (v)^*-v\otimes (u)^*)\cdot X \\ &\qquad=\langle u, v\rangle X+\langle u, v\rangle X=2\langle u, v\rangle X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Перейдем непосредственно к выводу необходимых нам для дальнейших рассуждений тождеств. Для этого нам понадобятся некоторые факты из теории йордановых алгебр, краткое изложение которых будет приведено ниже. Все эти факты можно найти в [3]. Определение 3. Алгебра $J$, в которой для произвольных $a, b\in J$ справедливы тождества $ab=ba$, $(a^2b)a= a^2(ba)$ называется йордановой алгеброй. Пусть $A$ – произвольная ассоциативная алгебра. Векторное пространство $A$ с операцией йорданова умножения
$$
\begin{equation*}
a\circ b=\frac{1}{2}(ab+ba) \quad \forall\, a, b\in A
\end{equation*}
\notag
$$
образует алгебру $A^{+}$, которая является йордановой. Йорданова алгебра, вкладывающаяся в алгебру $A^{+}$ для некоторой ассоциативной алгебры $A$, называется специальной йордановой алгеброй. Обозначим через $L_c$ оператор умножения на элемент $c\in J$ некоторой йордановой алгебры $J$. Тогда преобразования вида $[L_a, L_b]$, где $a, b\in J$, являются дифференцированиями алгебры $J$. Их линейные комбинации называются внутренними дифференцированиями. Они образуют идеал, который обозначают $\mathfrak{inn}(J)$, в алгебре Ли $\mathfrak{der}(J)$ всех дифференцирований. Определение 4. Йорданова алгебра $J$ называется полупростой, если на алгебре $J$ задано невырожденное скалярное умножение $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, обладающее свойством ассоциативности: Определение 5. Йорданова алгебра $J$ называется простой, если она не содержит нетривиальных (отличных от $0$ и $J$) идеалов. Простая йорданова алгебра является полупростой. Если йорданова алгебра $J$ полупроста, то, во-первых, она является прямой суммой своих простых идеалов, во-вторых, $J$ содержит единицу, а, в-третьих, $\mathfrak{der}(J)=\mathfrak{inn}(J)$. Также для полупростых йордановых алгебр верна следующая Теорема 1. Если $J$ – конечномерная полупростая йорданова алгебра над полем $\mathbb{C}$, то алгебра $\mathfrak{der}(J)$ полупроста. Доказательство. Из [4; гл. VIII, п. 4] следует, что для полупростой йордановой алгебры $J$ над $\mathbb{C}$ алгебра дифференцирований $\mathfrak{der}(J)$ редуктивна. Согласно теории очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур, построенной в [1; § 3], для простой йордановой алгебры $J$ алгебра ее дифференцирований $\mathfrak{der}(J)$ совпадает с подпространством $\mathfrak{g}_0\subset\mathfrak{g}$, где $\mathfrak{g}$ – простая алгебра Ли с очень короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой (т.е. имеющая вид (1.1)), которая однозначно соответствует данной йордановой алгебре $J$. Из классификации всех таких структур следует, что компонента $\mathfrak{g}_0$ для очень короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры полупроста. Для полупростой йордановой алгебры все дифференцирования внутренние, значит, алгебра Ли $\mathfrak{der}(J)$ будет также полупроста. Теорема доказана. Вернемся к рассмотрению короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Ясно, что на редуктивной подалгебре Ли $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ индуцируется очень короткая $\mathrm{SL}_2$-структура. Из теории очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур в частности следует, что алгебра $J_2$ наделяется структурой йордановой алгебры и алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ действует на $J_2$ дифференцированиями. Для удобства в дальнейшем будем называть йорданову алгебру $J_2$ йордановой алгеброй короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на $\mathfrak{g}$. Наконец, с помощью тождества Якоби полностью определяется умножение на алгебре $J_2$: Теорема 2. Йорданова алгебра $J_2\subset \mathfrak{gl}(J_1)$ короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ является специальной с классическим умножением, определенным по формуле причем отображение $\Delta\colon J_2\times J_2 \to \mathfrak{g}_0$ удовлетворяет следующему соотношению: где равенство выше понимается как равенство линейных операторов на $J_1$. Доказательство. Рассмотрим тождество Якоби для двух элементов из $\mathfrak{g}_2$ и одного элемента из $\mathfrak{g}_1$ ($w\in\mathbb{C}^2$, $X, Y\in\mathfrak{sl}_2, A, B\in J_2, c\in J_1$):
$$
\begin{equation*}
[[X\otimes A, Y\otimes B], w\otimes c]+[[Y\otimes B, w\otimes c], X\otimes A]+ [[w\otimes c, X\otimes A], Y\otimes B]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя коммутаторные соотношения (2.4)–(2.8), из этого равенства получим
$$
\begin{equation}
YXw\otimes BAc+[X, Y]w\otimes(A\circ B)c+\frac{1}{2}(X, Y)w\otimes\Delta(A, B)c-XYw\otimes ABc=0.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В равенстве (2.10) поменяем местами $A$ и $B$, воспользовавшись коммутативностью умножения на $J_2$ и кососимметричностью $\Delta$. Получим
$$
\begin{equation}
YXw\otimes ABc+[X, Y]w\otimes(A\circ B)c-\frac{1}{2}(X, Y)w\otimes\Delta(A, B)c-XYw\otimes BAc=0.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Сложив тождество (2.11) с (2.10), получим откуда получим первое утверждение теоремы.
Нетрудно проверить, что Откуда и следует второе утверждение теоремы. Теорема доказана. В связи с только что доказанной теоремой 2, в последующих рассуждениях везде, где употребляется йорданова алгебра, по умолчанию будем считать, что эта алгебра специальная с классическим умножением, определенным по формуле (2.9). Для простоты дальнейших рассуждений мы будем понимать под образом произвольного билинейного отображения $\psi\colon U\times V\to W$ образ однозначно соответствующего ему отображения из $U\otimes V$ в $W$. Из теории очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур следует, что образ отображения $\Delta$ действует на йордановой алгебре $J_2$ внутренними дифференцированиями, причем данное действие точное. Тогда из теоремы 2 и тождества (2.5) следует, что данное действие вычисляется по следующей формуле для произвольных $A, B, C\in J_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [[A, B], C] &=ABC+CBA-BAC-CAB \\ &=4(A\circ(B\circ C)-B\circ (A\circ C))=4[L_{A}, L_{B}](C). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{inn}(J_2)=[J_2, J_2]=\langle[A, B]\colon A,B\in J_2\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Инвариантное скалярное умножениеНа простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ существует единственное с точностью до пропорциональности инвариантное скалярное умножение. Зафиксируем его и в дальнейшем будем обозначать это умножение круглыми скобками $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$. Из леммы Шура следует, что относительно данного скалярного умножения на $\mathfrak{g}$ векторные пространства $\mathfrak{g}_i$, где $i\in\{0, 1, 2\}$, попарно ортогональны друг другу, т.е. выполнены следующие соотношения: С помощью зафиксированного скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ введем на пространстве $J_1$ и алгебре $J_2$ скалярное умножение следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (u\otimes a, v\otimes b)=\langle u, v\rangle\alpha(a, b); \\ (X\otimes A, Y\otimes B)=\frac{1}{2}(X, Y)\beta(A, B), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$ – кососимметрическая билинейная форма на $J_1$, a $\beta$ – симметрическая билинейная форма на $J_2$. Коэффициент $1/2$ в последней формуле необходим для удобства дальнейших вычислений. Очевидно,что обе полученные формы невырождены. Форму $\alpha$ назовем кососкалярным умножением на $J_1$, а форму $\beta$ – скалярным умножением на $J_2$. Для краткости в дальнейшем будем обозначать форму $\beta$ с помощью круглых скобок $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, а форму $\alpha$ с помощью угловых скобок $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle $. Для введенных скалярного и кососкалярного умножений верно следующее Предложение 2. Скалярные умножения на симплектическом пространстве $J_1$ и алгебрах $\mathfrak{g}_0$ и $J_2$ обладают следующими свойствами: 1) $(A, \varphi(a, b))=\langle Aa, b\rangle=\langle a, Ab\rangle$ $\forall\, a, b\in J_1$, $A\in J_2$; 2) $(D, \delta(a, b))=\langle Da, b\rangle=-\langle a, Db\rangle$ $\forall\, a, b\in J_1$, $D\in\mathfrak{g}_0$; 3) $(D, [A, B])=([D, A], B)=-(A, [D, B])$ $\forall\, A, B\in J_2$, $D\in\mathfrak{g}_0$; 4) $(A\circ B, C)=(A, B\circ C)$ $\forall\, A, B, C\in J_2$. Доказательство. 1) Рассмотрим $X\in\mathfrak{sl}_2, u, v\in\mathbb{C}^2, a, b\in J_1, A\in J_2$. Тогда из инвариантности скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ следует, что
$$
\begin{equation}
(X\otimes A, [u\otimes a, v\otimes b])=([X\otimes A, u\otimes a], v\otimes b).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Используя соотношения (2.4)–(2.8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (X\otimes A, [u\otimes a, v\otimes b])=(X\otimes A, S(u, v)\otimes\varphi(a, b)), \\ ([X\otimes A, u\otimes a], v\otimes b)=(Xu\otimes Aa, v\otimes b). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, пользуясь введенным выше определением скалярного умножения на пространствах $J_1$ и $J_2$, получим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}(X, S(u, v))(A, \varphi(a, b))=\langle Xu, v\rangle\langle Aa, b\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3 $(X, S(u, v))=2\langle Xu, v\rangle$, откуда и следует первое равенство п. 1).
Второе равенство п. 1) легко следует из первого с заменой $a$ на $b$, a $b$ на $a$ и кососимметричности отображения $\varphi$. 2) Рассмотрим $D\in\mathfrak{g}_0, u, v\in\mathbb{C}^2, a, b\in J_1$. Тогда из инвариантности скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ следует, что
$$
\begin{equation}
(D, [u\otimes a, v\otimes b])=([D, u\otimes a], v\otimes b).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Используя соотношения (2.4)–(2.8) и (2.12), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (D, [u\otimes a, v\otimes b])=\langle u, v\rangle(D, \delta(a, b)), \\ ([D, u\otimes a], v\otimes b)=(u\otimes Da, v\otimes b). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, пользуясь введенным выше определением кососкалярного умножения на пространстве $J_1$, получим
$$
\begin{equation*}
\langle u, v\rangle(D, \delta(a, b))=\langle u, v\rangle\langle Da, b\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Разделив полученное равенство на $\langle u, v\rangle$, мы получим первое равенство п. 2). Второе равенство п. 2) легко следует из первого с заменой $a$ на $b$, a $b$ на $a$ и симметричности отображения $\delta$.
3) Рассмотрим $D\in\mathfrak{g}_0$, $X, Y\in\mathfrak{sl}_2$, $A, B\in J_2$. Тогда из инвариантности скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ следует, что
$$
\begin{equation}
(D, [X\otimes A, Y\otimes B])=([D, X\otimes A], Y\otimes B).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Используя соотношения (2.4)–(2.8) и теорему 2, из (2.15) получим
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2}(X, Y)(D, [A, B])=(X\otimes[D, A], Y\otimes B)= \frac{1}{2}(X, Y)([D, A], B).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда и следует первое равенство п. 3). Второе равенство п. 3) легко следует из первого с заменой $A$ на $B$, a $B$ на $A$. 4) Рассмотрим $X, Y, Z\in\mathfrak{sl}_2, A, B, C\in J_2$. Тогда из инвариантности скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ следует, что
$$
\begin{equation}
(X\otimes A, [Y\otimes B, Z\otimes C])=([X\otimes A, Y\otimes B], Z\otimes C).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Используя соотношения (2.4)–(2.8), из (2.16) получим Так как $(X, [Y, Z])=([X, Y], Z)$, то из равенства выше можно получить равенство п. 4). Предложение доказано. Из предложения 2 и теоремы 2 в частности следует, что $J_2$ является полупростой йордановой алгеброй и $\mathfrak{der}(J_2)=\mathfrak{inn}(J_2)=[J_2, J_2]\subset\mathfrak{g}_0$. Также из предложения 2 следует, что алгебра $J_2$ состоит из симметрических операторов симплектического пространства $J_1$, в то время как $\mathfrak{g}_0\subset \mathfrak{sp}(J_1)$. 2.4. Короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры и $\mathbb{Z}$-градуировкиРассмотрим произвольную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$. С помощью отображения $\mathrm{d}\Phi$ алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2$ вкладывается в $\mathfrak{der}(\mathfrak{g})=\mathfrak{inn}(\mathfrak{g})\simeq\mathfrak{g}$. Обозначим через $e$, $f$, $h$ базисные элементы алгебры $\mathrm{d}\Phi(\mathfrak{sl}_2)$, которые удовлетворяют следующим соотношениям: Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde{e}=\mathrm{d}\Phi^{-1}(e), \qquad\widetilde{f}= \mathrm{d}\Phi^{-1}(f), \qquad\widetilde{h}=\mathrm{d}\Phi^{-1}(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим оператор $\operatorname{ad}(h)$. Так как размерности неприводимых представлений $\Phi$ не превосходят 3, то собственные значения оператора $\operatorname{ad}(h)$ не превосходят по модулю 2. Тогда относительно оператора $\operatorname{ad}(h)$ алгебра $\mathfrak{g}$ разлагается в прямую сумму собственных подпространств:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{g}= \mathfrak{g}^{-2}\oplus\mathfrak{g}^{-1}\oplus\mathfrak{g}^{0} \oplus\mathfrak{g}^{1}\oplus\mathfrak{g}^2, \qquad\mathfrak{g}^{k}= \{\xi\in\mathfrak{g}\colon [h,\xi]=k\xi\}.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}^0=\mathfrak{g}_0\oplus(\widetilde{h}\otimes J_2), \qquad \mathfrak{g}^{-1}=e_{-1}\otimes J_1, \qquad \mathfrak{g}^1=e_{1}\otimes J_1, \\ \mathfrak{g}^{-2}=\widetilde{f}\otimes J_2, \qquad \mathfrak{g}^{2}=\widetilde{e}\otimes J_2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{e_{-1}, e_{1}\}$ – собственный базис пространства $\mathbb{C}^2$ относительно оператора $\widetilde{h}$. Разложение (2.18) является $\mathbb{Z}$-градуировкой, т.е. $[\mathfrak{g}^{k},\mathfrak{g}^{l}]\subset\mathfrak{g}^{k+l}$, где $\mathfrak{g}^m=0$ при $|m| > 2$. Без ограничения общности можно считать, что элемент $h$ принадлежит фиксированной подалгебре Картана $\mathfrak{t}$ алгебры $\mathfrak{g}$ и даже положительной камере Вейля по отношению к некоторому выбору положительных корней. Таким образом, если $\Pi=\{\alpha_1,\dots ,\alpha_{n}\}$ – система простых корней алгебры $\mathfrak{g}$, то Обозначим $p_i=\alpha_i(h)\in\mathbb{Z_{+}}$. Ясно, что $\mathbb{Z}$-градуировка (2.18) полностью определяется набором $\{p_1,\dots ,p_n\}$. Каждое из подпространств $\mathfrak{g}^k$ есть сумма корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\alpha}$, отвечающих корням $\alpha=k_1\alpha_1+\dots + k_n\alpha_n$ с условием и подалгебры Картана $\mathfrak t$ в случае $k=0$.Обозначим через $\alpha_{\operatorname{\max}}$ старший корень алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Так как максимальное собственное значение оператора $\operatorname{ad}(h)$ равно 2, то $\alpha_{\operatorname{\max}}(h)=2$. Если $\alpha_{\operatorname{\max}}=l_1\alpha_1+\dots+l_n\alpha_n$, то из условия, что $\alpha_{\operatorname{\max}}(h)=2$, получим, что Рассмотрим подпространство $\mathfrak{g}^0$. Очевидно, что $\mathfrak{g}^{0}$ является подалгеброй Ли. Имеет место разложение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}^{0}=\widetilde{\mathfrak{g}}^{0}\oplus\langle h\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{\mathfrak{g}}^{0}$ – ортогональное дополнение к $h$. Рассмотрим представление $\widetilde{\mathfrak{g}}^{0}$ на пространстве $\mathfrak{g}^{2}$, являющееся ограничением присоединенного представления. Обозначим Ясно, что $\Pi_0$ – система простых корней полупростой части $\mathfrak{\widetilde{g}}^{0}$. Рассмотрим подпространство $\mathfrak{g}^k$ для $k\neq 0$. Разложим его в прямую сумму подпространств $\mathfrak{g}^k_{(\nu)}$, где каждое $\mathfrak{g}^k_{(\nu)}$ есть сумма корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\alpha}$, отвечающих корням с фиксированными коэффициентами при простых корнях $\alpha_i\not\in \Pi_0$ (и с условием (2.19)). Очевидно, что каждое из подпространств $\mathfrak{g}^k_{(\nu)}$ инвариантно относительно $\mathfrak{g}^0$. Верно следующее утверждение, доказательство которого можно найти в [5; гл. 3, § 3, п. 3.5]. Из данной теоремы немедленно следует, что и представление $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$ в каждом $\mathfrak{g}^k_{(\nu)}$ неприводимо. Заметим, что в нашем случае представление $\widetilde{\mathfrak{g}}^0\colon \mathfrak{g}^2$ всегда неприводимо, так как, вообще говоря, возможны лишь три случая. 1. Существует ровно один простой корень $\alpha_i$ с ненулевым значением $p_i=2$, и в разложении старшего корня по простым корням этот корень стоит с коэффициентом 1. 2. Существует ровно два простых корня $\alpha_i$ и $\alpha_j$ с ненулевыми значениями $p_i= p_j=1$, в разложении старшего корня по простым корням коэффициенты при этих корнях равны 1. 3. Существует ровно один простой корень $\alpha_i$ с ненулевым значением $p_i=1$, и в разложении старшего корня по простым корням этот простой корень стоит с коэффициентом 2. Случай 1 не реализуется, так как при нем $\mathfrak{g}^1=\mathfrak{g}^{-1}=0$, что не так для коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. В случае 3 простой корень один, поэтому $\mathfrak{g}^2= \mathfrak{g}^2_{(\nu)}$, а значит, представление неприводимо. В случае 2 в разложении старшего корня по простым корням коэффициенты при корнях с ненулевыми значениями на $h$ равны $1$, значит, и во всех положительных корнях коэффициенты при этих корнях не превосходят $1$, т.е. $\mathfrak{g}^2= \mathfrak{g}^2_{(\nu)}$, и, опять же, представление неприводимо. 2.5. Простота йордановой алгебры короткой $\mathrm{SL}_2$-структурыТеорема 4. Пусть на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ задана короткая $\mathrm{SL}_2$-структура и $J_2$ – йорданова алгебра этой структуры. Тогда $J_2$ проста. Доказательство. Данный факт несложно доказать для очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. Действительно, в этом случае алгебра Ли $\mathfrak{g}$ имеет разложение $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\,{\oplus}\,\mathfrak{sl}_2\,{\otimes}\, J_2$, где $J_2$ – йорданова алгебра, а $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{der}(J_2)=\mathfrak{inn}(J_2)$. Если йорданова алгебра $J_2$ имеет какой-либо нетривиальный идеал $I$, то подпространство $\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{sl}_2\otimes I$ является нетривиальным идеалом в алгебре $\mathfrak{g}$, что несложно следует из коммутационных формул.
В случае коротких $\mathrm{SL}_2$-структур такой прямой способ доказательна неприменим, так как при коммутировании с самим собой слагаемого $\mathbb{C}^2\otimes J_1$ возникает слагаемое из $\mathfrak{sl}_2\otimes J_2$, что препятствует описанному выше способу конструирования идеала в $\mathfrak{g}$. Однако случай коротких $\mathrm{SL}_2$-структур можно свести к уже разобранному случаю очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. Для этого заметим, что при ограничении короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ на подалгебру Ли $\mathfrak{h}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ получается очень короткая $\mathrm{SL}_2$-структура, заданная на алгебре Ли $\mathfrak{h}$. Данная алгебра Ли, вообще говоря, не является простой, однако она редуктивна в связи с невырожденностью скалярного умножения. Так как полупростой элемент $h$ (как в целом и вся алгебра $\mathfrak{sl}_2$) тривиально действует на центр алгебры $\mathfrak{h}$, то, заменяя алгебру на ее коммутант $[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}]$, можно считать алгебру $\mathfrak{h}$ полупростой. Для удобства выберем систему простых корней для $\mathfrak{h}$ следующим образом. Очевидно, что системой корней алгебры $\mathfrak{h}$ являются корни алгебры $\mathfrak{g}$, принимающие значения $0$, $2$ или $-2$ на элементе $h$. Будем считать положительными корнями алгебры $\mathfrak{h}$ положительные корни алгебры $\mathfrak{g}$, принимающие значение $0$ на элементе $h$, также корни алгебры $\mathfrak{g}$, принимающие значение $-2$ на $h$. Тогда ясно, что простыми корнями полупростой алгебры $\mathfrak{h}$ являются все простые корни алгебры Ли $\mathfrak{g}$, принимающие нулевое значение на элементе $h$, а также младший корень алгебры $\mathfrak{g}$. Очевидно, что, вообще говоря, алгебра Ли $\mathfrak{h}$ содержит несколько простых компонент, однако ровно в одной из них содержится подпространство $\mathfrak{sl}_2\otimes J_2$ (а именно в той, простым корнем которой является младший корень алгебры $\mathfrak{g}$). Поэтому можно считать алгебру $\mathfrak{h}$ простой, что полностью сводит вопрос к случаю очень коротких $\mathrm{SL}_2$-структур, а для него уже доказано, что йорданова алгебра $J_2$ проста. Теорема доказана. Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{g}_0$. В связи с коммутационными соотношениями (2.2) подпространство $[J_2, J_2]\subset\mathfrak{g}_0$ является идеалом алгебры $\mathfrak{g}_0$. Обозначим через $\mathfrak{i}_0$ ортогональное дополнение к $[J_2, J_2]$ в $\mathfrak{g}_0$ относительно введенного выше скалярного умножения. Подпространство $\mathfrak{i}_0\subset\mathfrak{g}_0$ также является идеалом алгебры $\mathfrak{g}_0$ и в силу невырожденности скалярного умножения на $\mathfrak{g}_0$ сумма размерностей идеалов $\mathfrak{i}_0$ и $[J_2, J_2]$ равна размерности алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$. Рассмотрим действие идеала $\mathfrak{i}_0\triangleleft\mathfrak{g}_0$ на йорданову алгебру $J_2$. Используя доказанное выше предложение 2, имеем для любых $A, B\in J_2$, $D\in \mathfrak{i}_0$ Следовательно, $[D, A]=0$ для любого $A\in J_2$, т.е. $D$ – элемент ядра действия $\mathfrak{g}_0$ на $J_2$. Обратно, если $[D, A]=0$ для любого $A\in J_2$, то из равенства (2.20) следует, что $(D, [A, B])=0$ для любых $A, B\in J_2$, т.е. $D\in\mathfrak{i}_0$. Откуда немедленно следует, что $\mathfrak{i}_0$ – это в точности ядро действия $\mathfrak{g}_0$ на $J_2$. Из того, что алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ действует на $J_2$ коммутированием, а умножение на $J_2$ является классическим, нетрудно вывести, что алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ действует на йордановой алгебре $J_2$ дифференцированиями. Тогда, так как $\mathfrak{i}_0$ – это ядро этого действия, то $\mathfrak{g}_0/\mathfrak{i}_0\subset\mathfrak{der}(J_2)$. Но из простоты алгебры $J_2$ следует, что т.е. Тогда имеется разложение алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ в прямую сумму двух идеалов:Из классификации всех коротких $\mathrm{SL}_2$-структур, описанной в § 5 настоящей статьи, будет, в частности, следовать, что, вообще говоря, $\mathfrak{i}_0\neq 0$, т.е. алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ полностью не определяется йордановой алгеброй $J_2$, что отличает случай коротких $\mathrm{SL}_2$-структур от очень коротких. Более того, алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ не определяется полностью даже парой $(J_1; J_2)$, что также будет видно из классификации всех коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. Заметим, что из простоты йордановой алгебры Ли $J_2$ следует, что $J_2$ содержит единицу. Более того, верна следующая Теорема 5. Пусть на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ задана короткая $\mathrm{SL}_2$-структура, причем $J_1$ – симплектическое пространство, а $J_2$ – йорданова алгебра данной структуры. Обозначим единичный элемент $J_2$ через $\mathbb{I}$. Тогда $\mathbb{I}=\operatorname{id},$ т.е. Доказательство. Для начала выведем необходимые нам для доказательства тождества. Рассмотрим тождество Якоби для произвольных $X\in\mathfrak{sl}_2$, $u,v\in\mathbb{C}^2$, $A\in J_2$, $a, b\in J_1$:
$$
\begin{equation*}
[[X\otimes A, u\otimes a], v\otimes b]+[[u\otimes a, v\otimes b], X\otimes A]+ [[v\otimes b, X\otimes A], u\otimes a]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись равенствами (2.4)–(2.8), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S(Xu, v)\otimes\varphi(Aa, b)+\langle Xu, v\rangle\delta(Aa, b) \\ \notag &\qquad +[S(u, v), X]\otimes(\varphi(a, b)\circ A)+\frac{1}{2}(S(u, v), X)[\varphi(a, b), A] \\ &\qquad +\langle u, v\rangle X\otimes[\delta(a, b), A]-S(Xv, u)\otimes\varphi(Ab, a)- \langle Xv, u\rangle\delta(Ab, a)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Откуда
$$
\begin{equation*}
\langle Xu, v\rangle\delta(Aa, b)+\frac{1}{2}(S(u, v), X)[\varphi(a, b), A]- \langle Xv, u\rangle\delta(Ab, a)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя к полученному равенству лемму 3, получим первое из необходимых нам тождеств: Далее, из (2.22) также следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S(Xu, v)\otimes\varphi(Aa, b)+[S(u, v), X]\otimes(\varphi(a, b)\circ A) \\ &\qquad\qquad+ \langle u, v\rangle X\otimes[\delta(a, b), A]-S(Xv, u)\otimes\varphi(Ab, a)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
В полученном равенстве поменяем местами элементы $a$ и $b$ и воспользуемся кососимметричностью отображения $\varphi$ и симметричностью отображения $\delta$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S(Xu, v)\otimes\varphi(Ab, a)-[S(u, v), X]\otimes(\varphi(a, b)\circ A) \\ &\qquad\qquad+ \langle u, v\rangle X\otimes[\delta(a, b), A]-S(Xv, u)\otimes\varphi(Aa, b)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Сложив равенства (2.24) и (2.25), получим
$$
\begin{equation*}
(S(Xu, v)-S(Xv, u))\otimes (\varphi(Ab, a)+\varphi(Aa, b))+2\langle u, v\rangle X\otimes[\delta(a, b), A]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 3 следует, что $S(Xu, v)-S(Xv, u)=2\langle u, v\rangle X$, откуда получим второе из необходимых нам тождеств: Рассмотрим тождество Якоби для произвольных $D\in\mathfrak{g}_0, u,v\in\mathbb{C}^2, a, b\in J_1$:
$$
\begin{equation*}
[[D, u\otimes a], v\otimes b]+[[u\otimes a, v\otimes b], D]+[[v\otimes b, D], u\otimes a]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись равенствами (2.4)–(2.8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S(u, v)\otimes\varphi(Da, u)+\langle u, v\rangle\delta(Da, b) -S(u, v)\otimes [D, \varphi(a, b)]-\langle u, v\rangle[D, \delta(a, b)] \\ &\qquad\qquad+S(u, v)\otimes\varphi(a, Db)+\langle u, v\rangle\delta(a, Db)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда Поделив полученное равенство на $\langle u, v\rangle$, получим Теперь у нас есть все необходимое для доказательства утверждения теоремы.
Рассмотрим оператор $\mathbb{I}\in J_2$. Так как $\mathbb{I}^2=\mathbb{I}$, то $J_1=J_1^0\oplus J_1^1$, где
$$
\begin{equation*}
J_1^0=\operatorname{Ker}\mathbb{I}, \qquad J_1^1=\operatorname{Im}\mathbb{I}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы докажем, что $J_1^0=0$, откуда и будет следовать утверждение теоремы.
Ясно, что $J_2=J_2 \circ \mathbb{I}$, а значит, вся йорданова алгебра $J_2$ тривиально действует на $J_1^0$. Докажем, что $J_1^0$ – инвариантное подпространство для всей алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$. В силу тривиальности действия йордановой алгебры $J_2$ на $J_1^0$ коммутант $[J_2, J_2]\subset\mathfrak{g}_0$ также тривиально действует на $J_1^0$, поэтому в силу разложения (2.21) достаточно доказать, что $J_1^0$ инвариантно относительно действия идеала $\mathfrak{i}_0$. Имеем для любых $D\in\mathfrak{i}_0$, $a\in J_1^0$
$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}(Da)=[\mathbb{I},D]a+D(\mathbb{I}a)=0 \implies Da\in J_1^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым доказана инвариантность $J_1^0$ под действием $\mathfrak{g}_0$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0^1=\langle\delta(a, b)\colon a\in J_1^0, b\in J_1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим $\mathfrak{i}=\mathfrak{g}_0^1\oplus(\mathbb{C}^2\otimes J_1^0)$. Докажем, что $\mathfrak{i}\triangleleft\mathfrak{g}$, откуда в силу простоты $\mathfrak{g}$ и будет следовать, что $J_1^0=0$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
(A, \varphi(a, b))=\langle Aa, b\rangle=0 \quad\forall\, A\in J_2, \quad a\in J_1^0, \quad b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\varphi(a, b)=0 \quad\forall\, a\in J_1^0, \quad b\in J_1.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Из инвариантности подпространства $J_1^0$ относительно действия алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$, используя равенство (2.27), нетрудно получить, что подпространство $\mathfrak{i}$ инвариантно относительно коммутирования с элементами из $\mathfrak{g}_0$. Также, пользуясь полученными равенствами (2.28) и (2.26) и тривиальностью действия $J_2$ на $J_1^0$, можно получить, что подпространство $\mathfrak{i}$ коммутирует с $\mathfrak{g}_2$. Остается доказать, что подпространство $\mathfrak{i}$ инвариантно относительно коммутирования с элементами из $\mathfrak{g}_1$. Так как выполнено равенство (2.28), то для этого достаточно показать, что операторы из $\mathfrak{g}_0^1$ отображают произвольный элемент из $J_1$ в $J_1^0$.
Применяя равенство (2.23) к $a\in J_1^0$ и $A=\mathbb{I}$ и учитывая (2.28), можно получить, что
$$
\begin{equation*}
\delta(a, \mathbb{I}b)=\delta(\mathbb{I}a, b)=0 \quad\forall\, a\in J_1^0, \quad b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом получим, что
$$
\begin{equation}
\delta(a, b)=0 \quad\forall\, a\in J_1^0, \quad b\in J_1^1.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Поэтому достаточно рассматривать операторы $\delta(a,b)$ для $a,b\in J_1^0$.
Покажем, что $\delta(a,b)c=0$ для любых $a,b\in J_1^0$, $c\in J_1^1$. Тогда из инвариантности $J_1^0$ относительно действия $\mathfrak{g}_0$ будет следовать, что операторы из $\mathfrak{g}_0^1$ отображают произвольный элемент из $J_1$ в $J_1^0$. Рассмотрим тождество Якоби для произвольных $u,v,w\in\mathbb{C}^2$, $a, b\in J_1^0$, $c\in J_1^1$:
$$
\begin{equation*}
[[u\otimes a, v\otimes b], w\otimes c] +[[v\otimes b, w\otimes c], u\otimes a]+ [[w\otimes c, u\otimes a], v\otimes b]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись равенствами (2.4)–(2.8), а также равенствами (2.28) и (2.29), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [[u\otimes a, v\otimes b], w\otimes c]=\langle u, v\rangle w\otimes \delta(a, b)c, \\ [[v\otimes b, w\otimes c], u\otimes a]=[[w\otimes c, u\otimes a], v\otimes b]=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из тождества Якоби выше и следует, что $\delta(a, b)c=0$ для любых $a, b\in J_1^0$, $c\in J_1^1$.
Следовательно, $\mathfrak{i}\triangleleft\mathfrak{g}$, и тем самым утверждение теоремы доказано. Отметим, что из доказательства теоремы выше следует, что для произвольной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры отображение $\delta\colon J_1\times J_1\to\mathfrak{g}_0$, как и отображение $\varphi\colon J_1\times J_1\to J_2$, эквивариантно относительно действия $\mathfrak{g}_0$ (тождество (2.27)), а также выполнены тождества (2.23) и (2.26). Так как имеет место разложение (2.21), то
$$
\begin{equation*}
\delta=\delta_0+\delta_c, \qquad\delta_0=\pi_{0,0}\delta, \qquad\delta_c=\pi_{0,c}\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi_{0,0}\colon \mathfrak{g}_0\to \mathfrak{i}_0$ и $\pi_{0,c}\colon \mathfrak{g}_0\to [J_2, J_2]$ – ортогональные проекции на $\mathfrak{i}_0$ и $[J_2, J_2]$ соответственно. Так как отображение $\delta$ $\mathfrak{g}_0$-эквивариантно, то же верно и для $\delta_0$. Так как выполнено тождество (2.23), левая часть которого принадлежит $[J_2, J_2]$, то
$$
\begin{equation*}
\delta_0(Aa, b)=\delta_0(a, Ab) \quad\forall\, A\in J_2, \quad a, b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Максимальная короткая $\mathrm{SL}_2$-структураЦелью этого параграфа является построение примера короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры, которая будет максимальной в том смысле, что для этой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры компоненты $J_2$ и $\mathfrak{g}_0$ наибольшие по включению при заданной компоненте $J_1$. 3.1. Построение максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структурыВ этом пункте будем рассматривать алгебру $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{4n+1}$ в базисе, в котором ее элементы представляют собой матрицы размера $(4n+1)\times(4n+1)$, кососимметричные относительно побочной диагонали. В качестве инвариантного скалярного умножения на $\mathfrak{so}_{4n+1}$ зафиксируем следующее:
$$
\begin{equation*}
(A, B)=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A, B\in\mathfrak{so}_{4n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим на $\mathfrak{so}_{4n+1}$ короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру, заданную с помощью вложения алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ в $\mathfrak{so}_{4n+1}$, при котором базисные элементы $e,f$ и $h$ алгебры $\mathfrak{sl}_2\subset\mathfrak{so}_{4n+1}$, удовлетворяющие соотношениям (2.17), представляют из себя матрицы следующего вида:
$$
\begin{equation*}
e=\begin{pmatrix} 0&I_{2n}\\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad f=\begin{pmatrix} 0&0\\ I_{2n}&0 \end{pmatrix}, \qquad h=\operatorname{diag}\{\underbrace{1,\dots,1}_{2n}, 0, \underbrace{-1,\dots,-1}_{2n}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $I_{2n}$ обозначена ($2n\times 2n$)-матрица следующего вида:
$$
\begin{equation*}
I_{2n}=\operatorname{diag}\{\underbrace{1,\dots,1}_{n}, \underbrace{-1,\dots,-1}_{n}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{so}_{4n+1}=\mathfrak{so}_{4n}\oplus\mathbb{C}^{4n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это разложение легко получить, рассмотрев произвольный элемент алгебры $\mathfrak{so}_{4n+1}$ в указанном выше базисе, который имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \begin{matrix} C \end{matrix} &\begin{matrix} \overline{a}_1 \\ \overline{a}_2 \end{matrix} &\begin{matrix} A \end{matrix} \\ \begin{matrix}\overline{b}_{2}^{\,\mathsf{s}}&-\overline{b}_{1}^{\,\mathsf{s}} \end{matrix} &0& \begin{matrix} -\overline{a}_{2}^{\,\mathsf{s}}&-\overline{a}_{1}^{\,\mathsf{s}} \end{matrix} \\ \begin{matrix} B \end{matrix} &\begin{matrix} \overline{b}_{1} \\ -\overline{b}_{2} \end{matrix} &\begin{matrix} -C^{\mathsf{s}}& \end{matrix} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\overline{a}_1=\begin{pmatrix} a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{pmatrix}, \qquad\overline{a}_2=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ \vdots\\ a_{2n} \end{pmatrix}, \qquad\overline{b}_1=\begin{pmatrix} b_{1}\\ \vdots\\ b_{n} \end{pmatrix}, \qquad\overline{b}_2=\begin{pmatrix} b_{n+1}\\ \vdots\\ b_{2n} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $A$, $B$ – матрицы размера $2n\times 2n$, кососимметричные относительно побочной диагонали, $C$ – матрица размера $2n\times 2n$, а $C^{\mathsf{s}}$ – матрица, транспонированная к $C$ относительно побочной диагонали. Прямое слагаемое вида $\mathfrak{so}_{4n}$ образуют матрицы, у которых $a_i=b_i=0$, $i=1,\dots, 2n$. Прямое слагаемое вида $\mathbb{C}^{4n}$ образуют матрицы, у которых блоки $A$, $B$, $C$ и $C^{\mathsf{s}}$ нулевые, причем матрицы из первого прямого слагаемого естественным образом действуют на втором прямом слагаемом. Также имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{so}_{4n}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2, \qquad\mathbb{C}^{4n}=\mathfrak{g}_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, квадратичное пространство $\mathbb{C}^{4n}$ разлагается в тензорное произведение симплектических пространств $\mathbb{C}^2$ и $\mathbb{C}^{2n}=J_1$. А именно, вектору из $\mathbb{C}^{4n}$, представляющему из себя матрицу типа “крест” (т.е. матрицу размера $(4n+1)\times(4n+1)$, ненулевые элементы которой принадлежат только центральному столбцу и центральной строке)
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} &&\overline{a}_1&& \\ &&\overline{a}_2&& \\ \overline{b}_{2}^{\,\mathsf{s}}&-\overline{b}_{1}^{\,\mathsf{s}} &0&-\overline{a}_{2}^{\,\mathsf{s}}&-\overline{a}_{1}^{\,\mathsf{s}} \\ &&\overline{b}_{1}&& \\ &&-\overline{b}_{2}&& \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
сопоставляется элемент пространства $\mathbb{C}^2\otimes J_1$, имеющий вид
$$
\begin{equation*}
e_1\otimes(a_1,\dots ,a_{2n})+e_{-1}\otimes(b_1,\dots ,b_{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая два произвольных элемента пространства $\mathfrak{g}_1$ и скалярно их перемножая, нетрудно вывести, что матрица кососкалярного умножения на пространстве $J_1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Omega= \begin{pmatrix} &\Omega_n \\ -\Omega_n& \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\Omega_n$ обозначена матрица размера $n\times n$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\Omega_n=\begin{pmatrix} &&1\\ &\cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}}&\\ 1&& \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство кососимметрических операторов в $\mathbb{C}^{4n}$ разлагается в прямую сумму двух тензорных произведений: пространства кососимметрических операторов в $\mathbb{C}^2$ и пространства симметрических операторов в $J_1$ и, наоборот, пространства симметрических операторов в $\mathbb{C}^2$ и пространства кососимметрических операторов в $J_1$. Первое из этих произведений есть $\mathfrak{sl}_2\otimes J_2=\mathfrak{g}_2$, а так как пространство симметрических операторов в $\mathbb{C}^2$, очевидно, одномерно, то можно считать, что второе слагаемое представляет из себя алгебру $\mathfrak{sp}(J_1)=\mathfrak{g}_0$. Обозначим йорданову алгебру симметрических операторов симплектического пространства $J_1$ через $\mathfrak{sym}(J_1)$. Таким образом, $J_2= \mathfrak{sym}(J_1)$. Исходя из вида матрицы кососкалярного умножения на $J_1$ нетрудно получить матричное описание алгебры $\mathfrak{sym}(J_1)$ в базисе пространства $J_1$, в котором кососкалярное умножение имеет указанную выше матрицу $\Omega$. А именно:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{sym}(J_1)=J_2=\biggl\{\begin{pmatrix} X&Y\\ Z&X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}_{2n}\colon X, Y,Z\in\mathfrak{gl}_n,\,Y^{\mathsf{s}}=-Y,\,Z^{\mathsf{s}}= -Z\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично матричное описание алгебры $\mathfrak{sp}(J_1)$ в том же базисе имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{sp}(J_1)=\mathfrak{g}_0 =\biggl\{\begin{pmatrix} X&Y\\ Z&-X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}_{2n}\colon X, Y, Z\in\mathfrak{gl}_n,\,Y^{\mathsf{s}}=Y,\,Z^{\mathsf{s}}= Z\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем явно, как тензорные произведения элементов йордановой алгебры $J_2=\mathfrak{sym}(J_1)$ на элементы алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ соответствуют элементам алгебры Ли $\mathfrak{so}_{4n+1}$. Переобозначим через $e$, $f$ и $h$ стандартный базис абстрактной алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, удовлетворяющий соотношениям (2.17). Матрице $M\in\mathfrak{sym}(J_1)$, имеющей вид
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} X&Y\\ Z&X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}, \quad \text{где }\ X, Y, Z\in\mathfrak{gl}_n, \quad Y^{\mathsf{s}}=-Y, \quad Z^{\mathsf{s}}=-Z,
\end{equation*}
\notag
$$
и базисному элементу $h\in\mathfrak{sl}_2$ соответствует матрица $\widehat{M}_{h}\in h\otimes J_2\subset\mathfrak{so}_{4n+1}$, которая имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_{h}=\begin{pmatrix} &&0&&\\ &M&\vdots&&\\ 0&\dots&0&\dots&0\\ &&\vdots&-M^{\mathsf{s}}&\\ &&0&& \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее на пустых местах в матрицах стоят нули. Аналогично, матрице $M$ и базисному элементу $e\in\mathfrak{sl}_2$ соответствует матрица $\widehat{M}_{e}\in e\otimes J_2\subset\mathfrak{so}_{4n+1}$, имеющая вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_{e}=\begin{pmatrix} &&0&&\\ &&\vdots&M_{c}&\\ 0&\dots&0&\dots&0\\ &&\vdots&&\\ &&0&& \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M_{c}=M \cdot I_{2n}=\begin{pmatrix} X&-Y\\ Z&-X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, матрице $M$ и базисному элементу $f\in\mathfrak{sl}_2$ соответствует матрица $\widehat{M}_{f}\in f\otimes J_2\subset\mathfrak{so}_{4n+1}$, имеющая вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{M}_{f}=\begin{pmatrix} &&0&&\\ &&\vdots&&\\ 0&\dots&0&\dots&0\\ &M_{r}&\vdots&&\\ &&0&& \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
M_{r}=I_{2n} \cdot M=\begin{pmatrix} X&Y\\ -Z&-X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Явное вложение $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}(J_1)\subset\mathfrak{so}_{4n+1}$ устроено следующим образом. Матрице $N\in\mathfrak{sp}(J_1)$, имеющей вид
$$
\begin{equation*}
N=\begin{pmatrix} X&Y\\ Z&-Z^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}, \quad\text{где }\ X, Y, Z\in\mathfrak{gl}_n, \quad Y^{\mathsf{s}}=Y, \quad Z^{\mathsf{s}}=Z,
\end{equation*}
\notag
$$
ставится в соответствие матрица $\widehat{N}_{0}\in\mathfrak{so}_{4n+1}$, которая имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widehat{N}_{0}=\begin{pmatrix} &&0&&\\ &N&\vdots&&\\ 0&\dots&0&\dots&0\\ &&\vdots&-N^{\mathsf{s}}&\\ &&0&& \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим скалярное умножение на $J_2$ через $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_2$. Рассматривая два произвольных элемента пространства $\mathfrak{g}_2$ и скалярно их перемножая, нетрудно получить, что скалярное умножение на алгебре $J_2 \simeq\mathfrak{sym}(J_1)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
(A, B)_2=\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A, B\in \mathfrak{sym}(J_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим скалярное умножение на $\mathfrak{g}_0$ через $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_0$. Действуя аналогично с элементами алгебры $\mathfrak{g}_0\simeq\mathfrak{sp}(J_1)$, получим, что скалярное умножение на ней имеет вид
$$
\begin{equation*}
(D_1, D_2)_0=\operatorname{tr}(D_1D_2) \quad\forall\, D_1, D_2\in \mathfrak{sp}(J_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, подытоживая вышесказанное, имеем, что для рассматриваемой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры выполнено, что
$$
\begin{equation*}
J_1=\mathbb{C}^{2n}, \qquad J_2=\mathfrak{sym}(J_1), \qquad\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}(J_1),
\end{equation*}
\notag
$$
причем скалярное умножение на $\mathfrak{g}_0$ и на $J_2$ есть стандартное скалярное умножение линейных операторов. Построенную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру будем называть максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой. Так как для любой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры с симплектическим пространством $J_1$ выполнены включения $J_2\subset\mathfrak{sym}(J_1)$ и $\mathfrak{g}_0\subset\mathfrak{sp}(J_1)$, то для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры с симплектическим пространством $J_1$ алгебры $J_2$ и $\mathfrak{g}_0$ наибольшие по включению, что и оправдывает такое название. 3.2. Анализ максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структурыРассмотрим на симплектическом пространстве $J_1$ линейные операторы $R(a, b)$ ранга $1$ $(a, b\in J_1)$, определяемые по формуле
$$
\begin{equation*}
R(a, b)c=\langle c, a\rangle b \quad\forall\, a, b, c\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что введенный оператор $R$ обладает следующим свойством: где $R^*(a, b)\colon J_1\to J_1$ – оператор, сопряженный оператору $R(a, b)$. Теперь введем на $J_1$ следующие отображения. 1. Отображение $\varphi_m\colon J_1\times J_1\to\mathfrak{gl}(J_1)$, действующее по формуле 2. Отображение $\delta_m\colon J_1\times J_1\to\mathfrak{gl}(J_1)$, действующее по формуле Ясно, что для произвольных $a, b\in J_1$ оператор $\delta_m(a, b)$ кососимметричен, а оператор $\varphi_m(a, b)$ симметричен относительно кососимметрического скалярного умножения пространства $J_1$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\varphi_m(a, b)\in\mathfrak{sym}(J_1), \quad \delta_m(a, b)\in\mathfrak{sp}(J_1) \quad\forall\, a, b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из доказанного в п. 3.1 для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры $J_2\,{=}\, \mathfrak{sym}(J_1)$ и $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}(J_1)$. Из определения отображений $\delta_m$ и $\varphi_m$ нетрудно заключить, что для произвольных $a, b \in J_1$, $A\in J_2$, $D\in\mathfrak{g}_0$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\varphi_{m}(a, b), A)_2=\langle Aa, b\rangle, \\ (\delta_{m}(a, b), D)_0=\langle Da, b\rangle. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу предложения 2, невырожденности скалярного умножения на $J_2$ и $\mathfrak{g}_0$ и указанных выше равенств получаем, что отображения $\delta_m$ и $\varphi_m$ совпадают с отображениями $\delta$ и $\varphi$, возникающими в коммутационных формулах для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры. Рассмотрим произвольную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру на алгебре $\mathfrak{g}$, для которой $\mathfrak{g}_1=\mathbb{C}^2\otimes J_1$. Пусть $\mathfrak{g}_0$ – изотипная компонента тривиального представления $\mathfrak{sl}_2$, а $J_2$ – йорданова алгебра этой $\mathrm{SL}_2$-структуры. В силу простоты йордановой алгебры $J_2$ ограничение инвариантного скалярного умножения $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_2$ йордановой алгебры $\mathfrak{sym}(J_1)$ на простую подалгебру $J_2$ невырожденно, а значит, пропорционально инвариантному скалярному умножению на $J_2$, полученному из скалярного умножения на $\mathfrak{g}$. Таким образом, скалярное умножение на $J_2$ пропорционально следу произведения операторов на $J_1$. Выбирая подходящий коэффициент для скалярного умножения на $\mathfrak{g}$, можем считать, что скалярное умножение на $J_2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
(A, B)=(A, B)_2=\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A, B\in J_2.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Воспользуемся равенством 3) предложения 2. Для произвольных $D\in\mathfrak{g}_0$ и $A, B\in J_2$ имеем
$$
\begin{equation*}
(D, [A,B])=([D, A], B)=\operatorname{tr}([D,A]B)=\operatorname{tr}(D[A,B]).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, на подпространстве $[J_2, J_2]\subset\mathfrak{g}_0$ скалярное умножение определено по формуле
$$
\begin{equation}
(D_1, D_2)=(D_1, D_2)_0=\operatorname{tr}(D_1D_2) \quad\forall\, D_1, D_2\in [J_2, J_2].
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Заметим, что в силу разложения (2.21) и невырожденности скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}_0$ вычисленное выше скалярное умножение невырожденно на $[J_2, J_2]$. Для удобства далее везде будем считать, что на простой йордановой алгебре $J_2$, а также на алгебре ее дифференцирований $\mathfrak{der}(J_2)=\mathfrak{inn}(J_2 )=[J_2, J_2]$ скалярное умножение по умолчанию задано по формулам (3.1) и (3.2) соответственно. Теорема 6. Для любой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры с симплектическим пространством $J_1$ отображения $\varphi\colon J_1\times J_1\to J_2$ и $\delta\colon J_1\times J_1\to\mathfrak{g}_0$, возникающие в коммутационных формулах, сюръективны (как линейные отображения из $J_1\otimes J_1$), причем $\varphi=\pi_{2}\varphi_m$, $\delta_c=\pi_{c}\delta_m$, где $\pi_{2}\colon \mathfrak{sym}(J_1)\to J_2$ и $\pi_{c}\colon \mathfrak{sp}(J_1)\to [J_2, J_2]$ – ортогональные проекции на алгебры $J_2$ и $[J_2, J_2]$ соответственно. Для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры $\varphi=\varphi_m$ и $\delta=\delta_m$. Доказательство. Для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры равенства $\varphi=\varphi_m$ и $\delta=\delta_m$ уже доказаны.
Рассмотрим произвольную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру и подпространство $\mathfrak{g}_1\oplus[\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_1]$. Из соотношений (2.2) следует, что $\mathfrak{g}_1\oplus[\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_1]\lhd \mathfrak{g}$, откуда $\mathfrak{g}_1\oplus[\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_1]\,{=}\,\mathfrak{g}$. Таким образом, в связи с коммутационной формулой (2.6) имеют место следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\langle\delta(a,b)\colon a, b\in J_1\rangle, \qquad J_2=\langle\varphi(a,b)\colon a, b\in J_1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, отображения $\delta$ и $\varphi$ сюръективны. Действуя аналогично случаю максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры, для произвольной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры согласно предложению 2 получаем, что для любых $a, b\,{\in}\, J_1$, $ A, B\,{\in}\, J_2$ В связи с невырожденностью скалярных умножений на $J_2$ и $[J_2, J_2]$ отображение $\varphi$ совпадает с отображением $\pi_2\varphi_{m}$, а отображение $\delta_c$ совпадает с отображением $\pi_{c}\delta_{m}$. Теорема доказана. § 4. Короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры и симплектические структуры Ли–Йордана4.1. Короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры и кривизна симметрического пространстваОтступим ненадолго от рассмотрения коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. Пусть $\mathfrak{h}$ – редуктивная алгебра Ли и $R\colon \mathfrak{h}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{v})$ – точное ортогональное линейное представление на линейном пространстве $\mathfrak{v}$. Определим коммутаторы элементов из $\mathfrak{h}$ с элементами из $\mathfrak{v}$ при помощи представления $R$ по формуле
$$
\begin{equation*}
[\xi, x]=R(\xi)x=-[x, \xi] \quad\forall\,\xi\in\mathfrak{h}, \quad\forall\, x\in\mathfrak{v}
\end{equation*}
\notag
$$
и коммутаторы двух элементов из $\mathfrak{v}$ как элементы из $\mathfrak{h}$, удовлетворяющие условию
$$
\begin{equation}
(\xi,[x,y])=([\xi,x],y) \quad\forall\,\xi\in\mathfrak{h}, \quad\forall\, x, y\in\mathfrak{v},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где круглые скобки обозначают $\mathfrak{h}$-инвариантные скалярные умножения в $\mathfrak{h}$ и $\mathfrak{v}$. На пространстве $\mathfrak{v}$ определим 4-линейную форму
$$
\begin{equation*}
K(x, y, z, u)=([x, y], [z, u]) \quad\forall\, x, y, z, u\in\mathfrak{v}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий результат восходит к Э. Картану и Б. Костанту (см., например, [6; § 1] и [7; § 1]). Теорема 7. Определенная выше операция в пространстве $\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{v}$ задает на нем структуру $\mathbb{Z}_2$-градуированной алгебры Ли тогда и только тогда, когда форма $K(x, y, z, u)$ обладает симметрией тензора кривизны, что, в свою очередь, эквивалентно выполнению тождества Бианки Для доказательства достаточно проверить истинность тождества Якоби в следующих четырех случаях: 1) для элементов $\xi, \eta, \zeta\in\mathfrak{h}$; 2) для элементов $\xi, \eta\in\mathfrak{h}$, $x\in\mathfrak{v}$; 3) для элементов $\xi\in\mathfrak{h}$, $x, y\in\mathfrak{v}$; 4) для элементов $x, y, z\in\mathfrak{v}$. В случае 1) тождество Якоби выполнено, поскольку $\mathfrak{h}$ – алгебра Ли. В случае 2) тождество Якоби следует из того факта, что $R$ – представление алгебры Ли $\mathfrak{h}$. Случай 3) можно свести к случаю 2), скалярно умножая левую часть доказываемого тождества Якоби на произвольный элемент $\kappa\in\mathfrak{h}$ и используя инвариантность скалярного умножения. В последнем случае тождество Якоби равносильно тождеству (4.2). Тождество Бианки в теореме выше фигурирует не случайным образом. Дело в том, что если $\mathfrak{g}= \mathfrak{h}\oplus\mathfrak{v}$ – $\mathbb{Z}_2$-градуированная алгебра Ли, то пространство $G/H$, где $G$ – такая комплексная группа Ли, что $\operatorname{Lie} G=\mathfrak{g}$, а $H$ – такая подгруппа Ли, что $\operatorname{Lie}H=\mathfrak{h}$, является комплексным симметрическим пространством, на котором есть $G$-инвариантный метрический тензор, индуцированный скалярным умножением на $\mathfrak{v}$, и симметрическая связность Леви–Чивита, его сохраняющая. Тензор Римана симметрического пространства $G/H$ в базисной точке $eH$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\rho(x, y)=-\operatorname{ad}([x, y])|_{\mathfrak{v}} \quad\forall\, x, y\in\mathfrak{v},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathfrak{v}$ отождествляется с касательным пространством $T_{eH}(G/H)$. Поэтому 4-линейная форма $K$ – это, с точностью до знака, ковариантный тензор кривизны на пространстве $G/H$ в точке $eH$. Более подробный анализ этой конструкции можно найти в [6; § 1]. Вернемся к рассмотрению коротких $\mathrm{SL}_2$-структур. Положим $\mathfrak{h}= \mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$, $\mathfrak{v}\,{=}\,\mathfrak{g}_1$, а в качестве представления $R$ рассмотрим присоединенное представление. Как ранее отмечалось, присоединенное представление $\mathfrak{h}$ на $\mathfrak{v}$ точно, а в силу инвариантности скалярного умножения на $\mathfrak{g}$ еще и ортогонально. Также в силу свойств инвариантного скалярного умножения на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ операция коммутирования удовлетворяет условию (4.1). Для указанных $\mathfrak{h}$ и $\mathfrak{v}$ рассмотрим 4-линейную форму $K$. По теореме 7 форма $K$ будет удовлетворять тождеству (4.2). В связи с равенствами (1.2) 4-линейную форму $K$ можно переписать в терминах пространства $J_1$. А именно, положим $x= u_1\otimes a$, $y=u_2\otimes b$, $z=u_3\otimes c$, $u=u_4\otimes d$, где $u_i\in\mathbb{C}^2$, $ i=1,\dots,4$, $\forall\, a, b, c, d\in J_1$. Тогда, пользуясь равенствами (2.4)–(2.8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(x, y, z, u) &=(S(u_1, u_2)\otimes \varphi(a, b) \\ &\qquad+\langle u_1, u_2\rangle\delta(a, b), S(u_3, u_4)\otimes \varphi(c, d)+\langle u_3, u_4\rangle\delta(c, d)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, пользуясь определением скалярного умножения и леммой 3, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag K(x, y, z, u) &=(\langle u_3, u_1\rangle\langle u_2, u_4\rangle+\langle u_3, u_2\rangle\langle u_1, u_4\rangle)(\varphi(a, b), \varphi(c, d)) \\ &\qquad +\langle u_1, u_2\rangle\langle u_3, u_4\rangle(\delta(a, b), \delta(c, d)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Теперь равенство (4.2) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle u_1, u_2\rangle\langle u_3, u_4\rangle\bigl((\varphi(b, c), \varphi(a, d))+ (\varphi(a, c), \varphi(b, d))+(\delta(a, b), \delta(c, d))\bigr) \\ \notag &\qquad +\langle u_2, u_3\rangle\langle u_1, u_4\rangle\bigl((\varphi(b, a), \varphi(c, d))+ (\varphi(c, a), \varphi(b, d))+(\delta(b, c), \delta(a, d))\bigr) \\ &\qquad +\langle u_3, u_1\rangle\langle u_2, u_4\rangle\bigl((\varphi(a, b), \varphi(c, d))+ (\varphi(c, b), \varphi(a, d))+(\delta(c, a), \delta(b, d))\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\overline{F}(a, b, c, d)=(\delta(a, b), \delta(c, d))+(\varphi(b, c), \varphi(a, d))+(\varphi(a, c), \varphi(b, d)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда равенство (4.4) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle u_1, u_2\rangle\langle u_3, u_4\rangle \overline{F}(a, b, c, d)+\langle u_2, u_3\rangle\langle u_1, u_4\rangle \overline{F}(b, c, a, d) \\ &\qquad\qquad +\langle u_3, u_1\rangle\langle u_2, u_4\rangle \overline{F}(c, a, b, d)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Докажем, что тождество (4.5) равносильно симметричности формы $\overline{F}$. Для этого воспользуемся хорошо известным тождеством Плюккера для $u_1, u_2, u_3, u_4\in\mathbb{C}^2$:
$$
\begin{equation*}
\langle u_1, u_2\rangle\langle u_3, u_4\rangle +\langle u_2, u_3\rangle\langle u_1, u_4\rangle+ \langle u_3, u_1\rangle\langle u_2, u_4\rangle=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Во-первых, (4.5) следует из симметричности $\overline{F}$ в силу тождества Плюккера. Во-вторых, из определения $\overline{F}$ сразу следует симметричность $\overline{F}$ относительно перестановки первых двух аргументов, а также относительно перестановки последних двух аргументов. Поэтому для доказательства обратной импликации достаточно убедиться в симметричности $\overline{F}$ относительно циклической перестановки первых трех аргументов. Для этого подставим в (4.5) $u_1=u_3=e_1$, $u_2=u_4=e_{-1}$. Тогда $\langle u_1, u_2\rangle\langle u_3, u_4\rangle=- \langle u_2, u_3\rangle\langle u_1, u_4\rangle=1$, а $\langle u_3, u_1\rangle\langle u_2, u_4\rangle=0$, откуда и будет следовать симметричность $\overline{F}$ относительно циклических перестановок первых трех аргументов. В качестве примера вычислим форму $\overline{F}_m$ для максимальной короткой $\mathrm{SL}_2$структуры. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{F}_m(a, b, c, d) &=(\delta_m(a, b), \delta_m(c, d))+(\varphi_m(b, c), \varphi_m(a, d))+(\varphi_m(a, c), \varphi_m(b, d)) \\ &=\langle\delta_m(a, b)c+\varphi_m(b, c)a+\varphi_m(a, c)b , d\rangle \\ &=\frac{1}{2} \bigl\langle-(\langle a, c\rangle b+\langle b, c\rangle a)+(\langle b, a\rangle c-\langle c, a\rangle b)\,{+}\,(\langle a, b\rangle c\,{-}\,\langle c, b\rangle a) ,d\bigr\rangle\,{=}\,0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае воспользуемся предложением 2:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{F}(a, b, c, d) &=(\delta(a, b), \delta(c, d))+(\varphi(b, c), \varphi(a, d))+(\varphi(a, c), \varphi(b, d)) \\ &=(\delta(a, b)c+\varphi(b, c)a+\varphi(a, c)b, d). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
F(a, b, c)=\delta(a, b)c+\varphi(b, c)a+\varphi(a, c)b.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с помощью формулы выше определено трилинейное отображение Так как для произвольной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры, как было показано выше, форма $\overline{F}$ симметрична, то и отображение $F$ также симметрично. 4.2. Основная теоремаТеперь пришло время сформулировать и доказать основную теорему настоящей работы. Для удобства формулировки введем следующие определения. Пусть $J_1$ – симплектическое пространство, $J_2\subset\mathfrak{sym}(J_1)$ – полупростая йорданова подалгебра, единицей которой является тождественный оператор пространства $J_1$ и $\mathfrak{g}_0\subset\mathfrak{sp}(J_1)$ – редуктивная подалгебра Ли, причем $[J_2, J_2]\subset \mathfrak{g}_0$ и $[\mathfrak{g}_0, J_2]\subset J_2$. Тогда имеет место следующее разложение: где $\mathfrak{i}_0$ – ядро присоединенного действия $\mathfrak{g}_0$ на $J_2$. Так как йорданова алгебра $J_2$ полупроста, то по теореме 1 алгебра Ли $[J_2, J_2]$ также полупроста. Будем считать, что на алгебрах $\mathfrak{sp}(J_1)$ и $\mathfrak{sym}(J_1)$, а также их подалгебрах $[J_2, J_2]$ и $J_2$ соответственно задано невырожденное инвариантное скалярное умножение, равное следу произведения операторов.Пусть задано билинейное симметрическое $\mathfrak{g}_0$-эквивариантное сюръективное отображение $\delta_0\colon J_1\times J_1\to \mathfrak{i}_0$, удовлетворяющее следующему тождеству:
$$
\begin{equation}
\delta_0(Aa, b)=\delta_0(a, Ab) \quad\forall\, A\in J_2, a, b\in J_1.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Зададим отображения $\delta\colon J_1\times J_1\to\mathfrak{g}_0$ и $\varphi\colon J_1\times J_1\to J_2$ с помощью формул
$$
\begin{equation}
\delta=\delta_0+\delta_c, \qquad\delta_c=\pi_{c}\delta_m, \qquad\varphi=\pi_2\varphi_m,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $\pi_{c}\colon \mathfrak{sp}(J_1)\to [J_2, J_2]$ – ортогональная проекция на $[J_2, J_2]$, а $\pi_2\colon \mathfrak{sym}(J_1)\to J_2$ – ортогональная проекция на $J_2$. Определение 6. Четверка $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$ называется симплектической структурой Ли–Йордана, если трилинейное отображение $F\colon J_1\times J_1\times J_1\to J_1$, заданное формулой симметрично. Замечание 1. Нетрудно заметить, что отображения $\delta_c$ (а значит, и $\delta$) и $\varphi$ $\mathfrak{g}_0$-эквивариантны. Действительно, $\delta_c=\pi_{c}\delta_m$, $\varphi= \pi_2\varphi_m$, причем отображения $\delta_m$ и $\varphi_m$ $\mathfrak{sp}(J_1)$-эквивариантны, а проекции $\pi_{c}$ и $\pi_2$ $\mathfrak{g}_0$-эквивариантны как ортогональные проекции на $\mathfrak{g}_0$-инвариантные подпространства относительно инвариантного скалярного умножения. Отображение $\delta_c$ является сюръективным как композиция сюръективных отображений $\pi_c$ и $\delta_m$. При присоединенном представлении $\mathfrak{g}_0$ на самой себе неприводимые слагаемые, входящие в $\mathfrak{i}_0$ и $[J_2, J_2]$, попарно неизоморфны друг другу. Поэтому, так как отображения $\delta_0$ и $\delta_c$ $\mathfrak{g}_0$-эквивариантны, то отображение $\delta= \delta_0+\delta_c$ будет также сюръективно как сумма двух сюръективных гомоморфизмов $\mathfrak{g}_0$-модулей. Определение 7. Симплектическая структура Ли–Йордана $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$ называется простой, если йорданова алгебра $J_2$ проста. Теорема 8. Существует взаимно однозначное соответствие между простыми симплектическими структурами Ли–Йордана и простыми алгебрами Ли с короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой, при котором простой симплектической структуре Ли–Йордана $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$ ставится в соответствие простая алгебра Ли $\mathfrak{g}$ c короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой, имеющая вид Доказательство. Для начала отметим, что по каждой простой алгебре Ли с короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой, как было показано выше, можно построить простую симплектическую структуру Ли–Йордана. Остается доказать, что по простой симплектической структуре Ли–Йордана $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$ можно построить простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$ с короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой. Обозначим $\mathfrak{g}_1= \mathbb{C}^2\otimes J_1$, $\mathfrak{g}_2=\mathfrak{sl}_2\otimes J_2$. В силу того, что формулы (4.10) и (4.13) идентичны соответствующим формулам для очень короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры, подпространство $\mathfrak{h}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_2$ наделяется структурой алгебры Ли.
Рассмотрим пространство $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{g}_1$. Определим на нем операцию коммутирования с помощью формул (4.9)–(4.13). Докажем, что с помощью этих формул пространство $\mathfrak{g}$ наделяется структурой алгебры Ли. Для этого достаточно доказать, что тождество Якоби истинно в следующих случаях: 1) для элементов $\xi, \eta, \zeta\in\mathfrak{h}$; 2) для элементов $\xi, \eta\in\mathfrak{h}$, $x\in\mathfrak{g}_1$; 3) для элементов $\xi\in\mathfrak{h}$, $x, y\in\mathfrak{g}_1$; 4) для элементов $x, y, z\in\mathfrak{g}_1$. В случае 1) тождество Якоби выполнено в связи с тем, что $\mathfrak{h}$ является алгеброй Ли. С помощью формул (4.9) и (4.12) можно определить линейное отображение $R\colon \mathfrak{h}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}_1)$ алгебры Ли $\mathfrak{h}$ в пространство линейных операторов на $\mathfrak{g}_1$. Данное отображение будет линейным представлением алгебры Ли $\mathfrak{h}$. Действительно, докажем определяющее соотношение линейного представления алгебры Ли для $R$, т.е. что
$$
\begin{equation}
R([\xi, \eta])x=[R(\xi), R(\eta)]x=R(\xi)R(\eta)x-R(\eta)R(\xi)x \quad\forall\, \xi,\eta\in\mathfrak{h}, \quad x\in\mathfrak{g}_1.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Положим $x=u\otimes a\in\mathfrak{g}_1$. В силу линейности достаточно доказать равенство (4.14) для следующих трех случаев:
$$
\begin{equation*}
R([\xi, \eta])x=u\otimes [D_1, D_2]a=u\otimes D_1D_2a-u\otimes D_2D_1a=[R(\xi), R(\eta)]x.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае 2) положим $\xi=D\in\mathfrak{g}_0$, $\eta=X\otimes A\in\mathfrak{g}_2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
R([\xi, \eta])x=Xu\otimes [D, A]a=[D, Xu\otimes Aa]-[X\otimes A, u\otimes Da]=[R(\xi), R(\eta)]x.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае 3) положим $\xi=X\otimes A$, $\eta=Y\otimes B\in\mathfrak{g}_2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R([\xi, \eta])x &=[X, Y]u\otimes (A\circ B)a+\frac{1}{2}(X, Y)u\otimes[A, B]a \\ &=[X, Y]u\otimes (A\circ B)a+\frac{1}{2}(XY+YX)u\otimes[A, B]a \\ &=XYu\otimes \biggl(A\circ B+\frac{1}{2}[A, B]\biggr)a -YXu\otimes \biggl(A\circ B-\frac{1}{2}[A, B]\biggr)a \\ &=XYu\otimes ABa-YXu\otimes BAa \\ &=[X\otimes A, Yu\otimes Ba]-[Y\otimes B, Xu\otimes Aa]=[R(\xi), R(\eta)]x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, отображение $R$ – линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{h}$. Истинность тождества Якоби в случае 2) следует из определяющего соотношения представления $R$. Остается доказать истинность тождества Якоби для случаев 3) и 4).
Рассмотрим случай 3). В этом случае тождество Якоби достаточно доказать для следующих двух подслучаев: 1) для элементов $\xi\in\mathfrak{g}_0$, $x, y\in\mathfrak{g}_1$; 2) для элементов $\xi\in\mathfrak{g}_2$, $x, y\in\mathfrak{g}_1$. В первом из представленных подслучаев случая 3) для $\xi=D\in\mathfrak{g}_0$, $x=u\otimes a$, $y= v\otimes b\in\mathfrak{g}_1$ тождество Якоби выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[[D, u\otimes a], v\otimes b]+[[u\otimes a, v\otimes b], D]+[[v\otimes b, D], u\otimes a]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя коммутационные формулы (4.9)–(4.13), равенство выше можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S(u, v)\otimes\varphi(Da, b)+\langle u, v\rangle\delta(Da, b) -S(u, v)\otimes [D, \varphi(a, b)]-\langle u, v\rangle[D, \delta(a, b)] \\ &\qquad\qquad+S(u, v)\otimes\varphi(a, Db)+\langle u, v\rangle\delta(a, Db)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Применяя $\mathfrak{g}_0$-эквивариантность $\delta$ для равенства (4.15), получим
$$
\begin{equation*}
S(u, v)\otimes\varphi(Da, b)- S(u, v)\otimes [D, \varphi(a, b)]+S(u, v)\otimes\varphi(a, Db)= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что полученное равенство равносильно $\mathfrak{g}_0$-эквивариантности отображения $\varphi$.
Для дальнейших рассуждений нам понадобится вывести два вспомогательных тождества. Для произвольных $A, B\in J_2$, $a, b\in J_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ([A,\delta(a, b)], B) &=([A,\delta_c(a, b)], B) =(\delta_c(a, b), [B, A])=\langle[B, A]a, b\rangle \\ &=\langle BAa,b\rangle-\langle ABa, b\rangle=\langle BAa, b\rangle-\langle Ba, Ab\rangle \\ &= (\varphi(Aa, b)-\varphi(a, Ab), B). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как равенство выше выполнено для произвольного $B\in J_2$, то из невырожденности скалярного умножения на $J_2$ следует, что
$$
\begin{equation}
[A, \delta(a, b)]=\varphi(Aa, b)-\varphi(a, Ab) \quad\forall\, A\in J_2, \quad a, b\in J_1.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Это и есть одно из необходимых нам тождеств. Теперь выведем второе тождество. Для произвольных $A, B, C\in J_2$, $a, b\in J_1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & ([A,\varphi(a, b)], [B, C])=(\varphi(a, b), [[B, C], A]) =\langle[[B, C], A]a, b\rangle \\ &\qquad =\langle [B, C]Aa,b\rangle-\langle A[B, C]a, b\rangle= \langle [B, C]Aa,b\rangle-\langle[B,C]a, Ab\rangle \\ &\qquad =(\delta_c(Aa, b)-\delta_c(a, Ab), [B, C]). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как равенство выше выполнено для всех элементов, порождающих алгебру Ли $[J_2, J_2]$, то
$$
\begin{equation*}
[A, \varphi(a, b)]=\delta_c(Aa, b)-\delta_c(a, Ab) \quad\forall\, A\in J_2, \quad a, b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, воспользовавшись тождеством (4.6) и определением отображения $\delta$, получим
$$
\begin{equation}
[A, \varphi(a, b)]=\delta(Aa, b)-\delta(a, Ab) \quad\forall\, A\in J_2, \quad a, b\in J_1.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Это и есть второе из необходимых нам тождеств.
Рассмотрим тождество Якоби во втором из представленных выше подслучаев случая 3) для $\xi=X\otimes A\in\mathfrak{g}_2$, $x=u\otimes a$, $y=v\otimes b\in\mathfrak{g}_1$:
$$
\begin{equation*}
[[X\otimes A, u\otimes a], v\otimes b]+[[u\otimes a, v\otimes b], X\otimes A]+ [[v\otimes b, X\otimes A], u\otimes a]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя коммутационные формулы (4.9)–(4.13), равенство выше можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &S(Xu, v)\otimes\varphi(Aa, b)+\langle Xu, v\rangle\delta(Aa, b) \\ \notag &\qquad +[S(u, v), X]\otimes(\varphi(a, b)\circ A)+\frac{1}{2}(S(u, v), X)[\varphi(a, b), A] \\ &\qquad+\langle u, v\rangle X\otimes[\delta(a, b), A]-S(Xv, u)\otimes\varphi(Ab, a)-\langle Xv, u\rangle\delta(Ab, a)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Воспользовавшись доказанными выше тождествами (4.16) и (4.17) и леммой 3, равенство 4.18 можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
[X,S(u,v)]\otimes\biggl(\frac{1}{2}\varphi(Aa,b)+\frac{1}{2}\varphi(a,Ab)- \varphi(a,b)\circ A\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Чтобы доказать равенство (4.19), нам необходимо вывести еще одно вспомогательное тождество. Воспользовавшись свойствами скалярного умножения на йордановой алгебре $J_2$ и равенством $\varphi= \pi_2\varphi_m$, имеем для произвольных $A, B\in J_2$, $a, b\in J_1$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (A\circ\varphi(a, b), B)=(\varphi(a, b), A\circ B) \\ &\qquad=\frac{1}{2}(AB, \varphi(a, b))+ \frac{1}{2}(BA,\varphi(a, b))=\frac{1}{2}\langle ABa, b\rangle+\frac{1}{2}\langle BAa, b\rangle \\ &\qquad =\frac{1}{2}\langle Ba, Ab\rangle+\frac{1}{2}\langle BAa, b\rangle=\frac{1}{2}(B, \varphi(a, Ab))+\frac{1}{2}(B,\varphi(Aa, b)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда
$$
\begin{equation}
A\circ\varphi(a, b)=\frac{1}{2}(\varphi(Aa, b)+\varphi(a, Ab)) \quad\forall\, A\in J_2, \quad a, b\in J_1.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Воспользовавшись равенством (4.20), получим тождество (4.19), а вместе с ним и тождество Якоби в случае 3).
Рассмотрим случай 4). Для $x=u\otimes a$, $y=v\otimes b$, $z=w\otimes c\in\mathfrak{g}_1$ тождество Якоби выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[[u\otimes a, v\otimes b], w\otimes c] +[[v\otimes b, w\otimes c], u\otimes a] + [[w\otimes c, u\otimes a], v\otimes b]=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя коммутационные формулы (4.9)–(4.13), можно переписать его в виде
$$
\begin{equation}
\langle u, v\rangle w\otimes F(a, b, c)+\langle v, w\rangle u\otimes F(b, c, a)+\langle w, u\rangle v\otimes F(c, a, b)=0,
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
где
$$
\begin{equation*}
F(a, b, c)=\delta(a, b)c+\varphi(a, c)b+\varphi(b, c)a.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по определению симплектической структуры Ли–Йордана $(J_1; J_2; \mathfrak{g}_0; \delta_0)$ отображение $F\colon J_1\times J_1\times J_1\to J_1$ симметрично, то равенство (4.21) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
(\langle u, v\rangle w+\langle v, w\rangle u+\langle w, u\rangle v) \otimes F(a, b, c)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 3 $\langle u, v\rangle w+\langle v, w\rangle u+\langle w, u\rangle v=0$, а значит, отсюда следует тождество Якоби в случае 4).
Таким образом, векторное пространство $\mathfrak{g}$ наделяется структурой алгебры Ли c короткой $\mathrm{SL}_2$-структурой. Докажем, что построенная алгебра Ли проста. Пусть $\mathfrak{j}$ – идеал алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{j}= \mathfrak{j}_0\oplus\mathfrak{j}_1\oplus\mathfrak{j}_2, \quad \text{где }\ \mathfrak{j}_i= \mathfrak{g}_i\cap\mathfrak{j}, \quad i=0,1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим $\mathfrak{j}_2$. Ясно, что $\mathfrak{j}_2=\mathfrak{sl}_2\otimes I_2$, причем $I_2\triangleleft J_2$. Так как йорданова алгебра $J_2$ проста, то возможны два случая. 1. $I_2=0$. Тогда $\mathfrak{j}=\mathfrak{j}_0\oplus\mathfrak{j}_1$. Заметим, что $\mathfrak{j}_1= \mathbb{C}^2\otimes I_1$, где $I_1\subset J_1$. Так как $\mathfrak{j}$ инвариантен относительно коммутирования с $\mathfrak{g}_1$, то из тождества (4.11) следует, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(a, b)=0 \quad\forall\, a\in I_1, \quad b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\langle Aa, b\rangle=(A, \varphi(a, b))=0 \quad\forall\, A\in J_2, \quad a\in I_1, \quad b\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь невырожденностью скалярного умножения на $J_1$, из тождества выше можно вывести, что $Aa= 0$ для любых $A\in J_2$, $a\in I_1.$ Но тогда $I_1=0$ в связи с тем, что алгебра $J_2$ содержит тождественный оператор. Значит, $\mathfrak{j}=\mathfrak{j}_0$.
Так как $\mathfrak{j}$ инвариантен относительно коммутирования с $\mathfrak{g}_1$, то $Da= 0$ для любых $D\in\mathfrak{j}_0$, $a\in J_1$, откуда немедленно следует, что $\mathfrak{j}=0$. 2. $I_2=J_2$. Тогда $\mathfrak{j}=\mathfrak{j}_0\oplus\mathfrak{j}_1\oplus\mathfrak{g}_2$. Так как $\mathfrak{j}$ инвариантен относительно коммутирования с $\mathfrak{g}_1$, а алгебра $J_2$ содержит тождественный оператор, то $\mathfrak{j}_1= \mathfrak{g}_1$. Так как отображение $\delta$ сюръективно, то $\mathfrak{g}_0$ порождается операторами $\delta (a, b)$, где $a, b\in J_1$. Следовательно, так как идеал $\mathfrak{j}$ содержит все такие операторы, $\mathfrak{j}_0= \mathfrak{g}_0$, а значит, $\mathfrak{j}=\mathfrak{g}$. Таким образом, сконструированная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ проста, что и доказывает теорему 8. § 5. Классификация коротких $\mathrm{SL}_2$-структур5.1. Предварительные замечанияРассмотрим произвольную короткую $\mathrm{SL}_2$-структуру на простой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ и сохраним все обозначения предыдущих параграфов, причем через $e$, $f$, $h$ вновь обозначим базисные элементы алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2\subset\mathfrak{g}$, удовлетворяющие соотношениям (2.17). Заметим, что в связи с тем, что $\mathfrak{g}_1=\mathbb{C}^2\otimes J_1\neq 0$, единственно возможным ненулевым значением простого корня алгебры Ли $\mathfrak{g}$ на элементе $h$ является $1$. На диаграмме Дынкина алгебры Ли $\mathfrak {g}$ закрасим черным вершины, соответствующие простым корням, имеющим значение $1$ на элементе $h$, и будем называть такие вершины единичными вершинами. Вершины диаграммы, соответствующие корням, имеющим нулевое значение на элементе $h$, будем рисовать незакрашенными и называть нулевыми вершинами. Полученную диаграмму назовем диаграммой короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на алгебре Ли $\mathfrak{g}$. Простым примером такой диаграммы является диаграмма короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на простой алгебре ли $\mathfrak{g}=G_2$. Старший корень данной алгебры имеет вид где $\alpha_1$, $\alpha_2$ – простые корни. Тогда, так как $\alpha_{\max}(h)=2$, то единственно возможным здесь случаем является тот, при котором $\alpha_2(h)=1$, $\alpha_1(h)=0$. Тогда диаграмма Дынкина этого случая будет иметь вид По диаграмме короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры легко вычислять размерность центра $\mathfrak{z}^0$ алгебры $\mathfrak{g}^0$. Так как подалгебра Картана $\mathfrak{t}\subset\mathfrak{g}^0$, то размерность центра равна разности ранга алгебры Ли $\mathfrak{g}$ и ранга полупростой части алгебры $\mathfrak{g}^0$, т.е. количеству черных вершин. Теорема 8 позволяет утверждать, что, перечислив все существующие короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры на простых алгебрах Ли и указав простые симплектические структуры Ли–Йордана, соответствующие этим структурам, мы тем самым перечислим все возможные простые симплектические структуры Ли–Йордана, которые, вообще говоря, можно рассматривать сами по себе, не привязывая их к $\mathrm{SL}_2$-структурам. Для того чтобы это проделать, обозначим через $\widetilde{G}^0$ алгебраическую группу, касательной алгеброй которой является алгебра Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$, и воспользуемся следующим утверждением. Теорема 9. Для заданной $\mathbb{Z}$-градуировки, определенной полупростым элементом $h\in\mathfrak{g}$ следующие условия эквивалентны. 1. Элемент $h$ включается в $\mathfrak{sl}_2$-тройку. 2. Представление $\widetilde{G}^0\colon \mathfrak{g}^2$ не имеет открытых орбит. 3. На подпространстве $\mathfrak{g}^2$ имеется нетривиальный полиномиальный инвариант действия $\widetilde{G}^0\colon \mathfrak{g}^2$. Доказательство равносильности пп. 1 и 2 из теоремы 9 можно найти в [1; § 1, п. 1.4]. Из п. 3 очевидным образом следует п. 2. Доказательство же того, что из п. 1 следует п. 3 можно найти в [8; п.1, предложения 1.1 и 1.2]. Важно отметить, что $\mathfrak{sl}_2$-тройка, содержащая полупростой элемент $h$, определена однозначно с точностью до сопряжения с $G^0$, где $G^0$ – связная алгебраическая группа с касательной алгеброй $\mathfrak{g}^0$. А именно, в качестве элемента $e$ можно взять любой элемент из открытой $G^0$-орбиты в $\mathfrak{g}^2$, а элемент $f$ по элементам $h$ и $e$ определяется однозначно. Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы классифицировать все короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры на простых алгебрах Ли. 5.2. Классификация коротких $\mathrm{SL}_2$-структур на классических простых алгебрах ЛиВ случае классической простой алгебры Ли элемент $h$ представляет из себя диагональную матрицу, а элементы на диагонали могут быть вычислены по значениям этого элемента на простых корнях. Коммутируя этот элемент с произвольной матрицей из алгебры $\mathfrak{g}$ можно определить пространство представления $\mathfrak{g}^2$, а также группу $\widetilde{G}^0$. Этим способом полностью определяется действие $\widetilde{G}^0\colon \mathfrak{g}^2$, и, пользуясь теоремой 9, а точнее ее третьим пунктом, можно определить, существует ли короткая $\mathrm{SL}_2$-структура в данном случае и если существует, то при каких условиях. Далее везде будем обозначать старший корень алгебры $\mathfrak{g}$ через $\alpha_{\max}$, а простые корни через $\alpha_i$. Случай $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{n}$. Зависимость старшего корня от простых корней выражается формулой Так как $\alpha_{\max}(h)=2$ и множество единичных вершин диаграммы непусто, то возможен единственный случай:
$$
\begin{equation*}
\alpha_i(h)=1, \quad \alpha_j(h)=1, \quad\alpha_k(h)=0, \quad k=1,\dots, (n-1), \quad k\neq i,j, \quad i<j.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае элемент $h$ – диагональная матрица размера $n\times n$ следующего вида (далее везде через $E^{(i)}$ будем обозначать единичную $(i\times i)$-матрицу):
$$
\begin{equation*}
h=\begin{pmatrix} cE^{(i)} & 0 & 0 \\ 0 & (c-1)E^{(j-i)} & 0 \\ 0 & 0 & (c-2)E^{(n-j)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Числовой множитель $c\in\mathbb{C}$ в формуле выше однозначно определяется из условия $\operatorname{tr}(h)=0$. Алгебру $\mathfrak{g}$ можно условно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\begin{pmatrix} \mathfrak{g}^{0}_{(1)} & \mathfrak{g}^{1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{2} \\ \mathfrak{g}^{-1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{0}_{(2)} & \mathfrak{g}^{1}_{(2)} \\ \mathfrak{g}^{-2} & \mathfrak{g}^{-1}_{(2)} & \mathfrak{g}^{0}_{(3)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта запись означает, что алгебра $\mathfrak{g}$ представляется в виде прямой суммы подпространств $\mathfrak{g}^{k}$ для $k\neq 0$, представляющих собой пространства матриц из $\mathfrak{g}$, у которых ненулевые элементы могут стоять только на местах, соответствующих расположению блоков $\mathfrak{g}^k_{(m)}$ для $m=1, 2$ в формуле выше, и подпространства $\mathfrak{g}^0$, представляющего собой пространство блочно-диагональных матриц из $\mathfrak{sl}_n$, состоящих из блоков $\mathfrak{g}^0_{(m)}$ для $m=1, 2, 3$. Здесь блок $\mathfrak{g}^{0}_{(1)}$ размера $i\times i$, блок $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$ – размера $(j-i)\times(j-i)$, блок $\mathfrak{g}^{0}_{(3)}$ – размера $(n-j)\times(n-j)$. Верхний индекс каждого блока указывает на собственное пространство, к которому относится данный блок. Нижние индексы призваны различать разные блоки, относящиеся к одному собственному пространству. Изобразим диаграмму этого случая:  Заметим, что полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ совпадает с $\mathfrak{sl}_i\oplus\mathfrak{sl}_{j-i}\oplus\mathfrak{sl}_{n-j}$, а также $\dim\mathfrak{z}^0=2 $, откуда заключаем, что $\widetilde{G}^{0}=\mathrm{SL}_i\times \mathrm{SL}_{j-i}\times \mathrm{SL}_{n-j}\times Z$, где $Z$ – одномерный центр. Также несложно заключить, что $\mathfrak{g}^2= \mathbb{C}^i\otimes(\mathbb{C}^{n-j})^{*}$ как $\widetilde{G}^0$-модуль. Так как действие одномерного центра $Z$ на $\mathfrak{g}^2$ тривиально, то очевидно, что инвариант на $\mathfrak{g}^2$ для группы $\widetilde{G}^{0}$ существует тогда и только тогда, когда $i=n-j$, и равен определителю матрицы из $\mathfrak{g}^2$. Определим простую симплектическую структуру Ли–Йордана, которая соответствует данной структуре. Несложно понять, что элементы $e$, $f$, $h$ для данной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры представляют из себя матрицы размера $n\times n$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
h=\begin{pmatrix} E^{(i)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -E^{(i)} \end{pmatrix}, \qquad e=\begin{pmatrix} 0 & 0 & E^{(i)} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ E^{(i)} & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}^0}(\mathfrak{sl}_2), \mathfrak{g}^1= e_1\otimes J_1, \qquad\mathfrak{g}^2=e\otimes J_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}^0}(\mathfrak{sl}_2)=\{\xi\in\mathfrak{g}^{0}\colon [\xi, \eta]= 0, \ \forall\,\eta\in\mathfrak{sl}_2\subset\mathfrak{g}_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{c}_{i,n} &=\Bigl\{T\in\mathfrak{gl}_n\colon T=\operatorname{diag}\{\underbrace{c_1,\dots,c_1}_{i},\underbrace{c_2,\dots,c_2}_{n-2i}, \underbrace{c_1,\dots,c_1}_{i}\}, \\ &\qquad 2c_1i+c_2(n-2i)=0,\,c_1,c_2\in\mathbb{C}\Bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенств выше нетрудно заключить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_1=\mathfrak{g}^1_{(1)}\oplus\mathfrak{g}^1_{(2)} \cong (\mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{n-2i})^{*}) \oplus(\mathbb{C}^{n-2i}\otimes(\mathbb{C}^{i})^{*}), \\ \mathfrak{g}^0_{(1)}\oplus\mathfrak{g}^0_{(2)}\oplus\mathfrak{g}^0_{(3)}\supset\mathfrak{g}_0= \{(A, B, A),\text{ где }\ A\in\mathfrak{gl}_{i}, B\in\mathfrak{gl}_{n-2i},\,2\operatorname{tr}A+ \operatorname{tr}B=0\}, \\ \mathfrak{g}_0\cong\mathfrak{sl}_i\oplus\mathfrak{sl}_{n-2i}\oplus\mathfrak{c}_{i,n}, \\ J_2=\mathfrak{g}^{2}\cong\mathfrak{gl}_i. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Зададим скалярное умножение на $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
(A, B)=(n-2i)\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A,B\in\mathfrak{sl}_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Нормировочный множитель $n-2i$ в формуле выше выбран таким образом, чтобы в результате вычислений скалярное умножение на йордановой алгебре $J_2\cong\mathfrak{gl}_i$ равнялось бы следу произведения операторов на пространстве $J_1$. Проверим, что это действительно так. Действия алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и йордановой алгебры $J_2=\mathfrak{gl}_i$ на пространстве $J_1$ осуществляются по следующим формулам:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C(a, b)=(Ca, bC) \quad\forall\, C\in\mathfrak{gl}_i, \quad (a, b)\in J_1, \\ (D_1, D_2) (a, b)=(D_1a-aD_2, D_2b-bD_1) \quad\forall\, (D_1, D_2)\in\mathfrak{g}_0, \quad (a, b)\in J_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, след произведения операторов из $J_2$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}(\mathcal{A}_1\mathcal{B}_1)=2(n-2i)\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A,B\in\mathfrak{gl}_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\mathcal{C}_1$ обозначен линейный оператор на пространстве $J_1$, соответствующий матрице $C\in\mathfrak{gl}_i$. Рассматривая произвольный элемент $\widetilde{e}\otimes A\in\mathfrak{g}^2=\widetilde{e}\otimes J_2$ и скалярно умножая его на произвольный элемент $\widetilde{f}\otimes B\in\mathfrak{g}^{-2}= \widetilde{f}\otimes J_2$, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
(A, B)_2=2(n-2i)\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A, B\in\mathfrak{gl}_i,
\end{equation*}
\notag
$$
что подтверждает указанное выше соглашение. При данном выборе нормировочного множителя скалярного умножения на $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ симплектическая структура на пространстве $J_1$ задается с помощью кососкалярного умножения, которое имеет вид $\forall\, a_1, a_2\in\mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{n-2i})^{*}$, $b_1,b_2\in\mathbb{C}^{n-2i}\otimes(\mathbb{C}^{i})^{*}$
$$
\begin{equation*}
((a_1, b_1),(a_2, b_2))=(n-2i)\operatorname{tr}(b_1a_2-a_1b_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Операция умножения на йордановой алгебре $J_2$ выглядит стандартным образом, т.е.
$$
\begin{equation*}
A\circ B=\frac{1}{2}(AB+BA) \quad\forall\, A, B\in\mathfrak{gl}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ на йорданову алгебру $J_2$ осуществляется по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
(D_1, D_2)(A)=[D_1, A] \quad\forall\, (D_1, D_2)\in\mathfrak{g}_0, A\in J_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{i}_0=\mathfrak{sl}_{n-2i}\oplus\mathfrak{c}_{i,n}, [J_2, J_2]=\mathfrak{sl}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $\varphi$ и $\delta$ в данном случае имеют следующий вид: $\forall\, a_1, a_2\in\mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{n-2i})^{*}$, $b_1,b_2\in\mathbb{C}^{n-2i}\otimes(\mathbb{C}^{i})^{*}$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi((a_1, b_1), (a_2, b_2))=\frac{1}{2}(a_2b_1-a_1b_2), \\ \delta((a_1, b_1), (a_2, b_2))=\biggl(-\frac{1}{2}(a_1b_2+a_2b_1), b_1a_2+ b_2a_1\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\delta_0((a_1, b_1), (a_2, b_2)) =\biggl(-\frac{1}{2i}\operatorname{tr}(a_1b_2+ a_2b_1)E^{(i)}, b_1a_2+b_2a_1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При разборе дальнейших случаев мы не будем так подробно описывать все действия и отображения, возникающие в той или иной короткой $\mathrm{SL}_2$-структуре. При желании все это можно проделать прямыми вычислениями. Случай $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$. Будем рассматривать алгебру $\mathfrak{g}= \mathfrak{so}_{2n+1}$ в базисе, в котором ее элементы представляют собой матрицы размера $(2n+1)\times(2n+1)$, кососимметричные относительно побочной диагонали. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\operatorname{\max}}=\alpha_1+2\alpha_2+\dots +2\alpha_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как множество единичных вершин на диаграмме короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры непусто, то единственно возможным случаем для этой алгебры Ли является следующий случай: В этом случае элемент $h$ есть матрица размера $(2n+1)\times(2n+1)$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
h=\begin{pmatrix} E^{(i)}&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-E^{(i)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ алгебру $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$ можно условно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\begin{pmatrix} \mathfrak{g}^{0}_{(1)} & \mathfrak{g}^{1} & \mathfrak{g}^{2} \\ \mathfrak{g}^{-1} & \mathfrak{g}^{0}_{(2)} & -(\mathfrak{g}^{1})^{\mathsf{s}} \\ \mathfrak{g}^{-2} & -(\mathfrak{g}^{-1})^{\mathsf{s}} & -(\mathfrak{g}^{0}_{(1)})^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь блок $\mathfrak{g}^{0}_{(1)}$ размера $i\times i$, блок $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$ размера $(2(n-i)+1)\times(2(n-i)+1)$, а остальные блоки имеют соответствующие размеры. Единственным отличием от предыдущего случая является то, что слагаемыми в разложении алгебры $\mathfrak{g}$ в прямую сумму c помощью формулы выше в данном случае являются: пространство блочно-диагональных матриц, состоящих из блоков $\mathfrak{g}^0_{(m)}$, пространство матриц, у которых ненулевые элементы могут стоять только на местах внутри блока $\mathfrak{g}^{1}$ и симметричного ему относительно побочной диагонали блока, в котором стоит матрица, антисимметричная матрице из блока $\mathfrak{g}^1$ относительно побочной диагонали, аналогичного ему слагаемого для блока $\mathfrak{g}^{-1}$, а также двух пространств матриц, у которых ненулевые элементы могут стоять только на местах внутри блоков $\mathfrak{g}^{2}$ и $\mathfrak{g}^{-2}$. Из этого сразу видно, что $\mathfrak{g}^2$ представляет собой пространство матриц размера $i\times i$, кососимметричных относительно побочной диагонали, т.е. можно условно записать, что $\mathfrak{g}^2=\bigwedge^{2}\mathbb{C}^{i}$. Теперь получим $\widetilde{G}^{0}$. Рассмотрим диаграмму  Она нам дает с одной стороны, что $\dim\mathfrak{z}^0=1$, и, значит, $\mathfrak{z}^0=\langle h\rangle$, а с другой стороны, что полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ равна $\mathfrak{sl}_i\oplus\mathfrak{so}_{2(n-i)+1}$, откуда заключаем, что $\widetilde{G}^{0}= \mathrm{SL}_{i}\times \mathrm{SO}_{2(n-i)+1}$, причем на $\mathfrak{g}^2$ действует только первый сомножитель. Инвариантом этого действия является определитель матриц из $\mathfrak{g}^{2}$, который не равен 0 тогда и только тогда, когда $i$ четно. Таким образом короткая $\mathrm{SL}_2$-структура возможна только при четном $i$. Определим простую симплектическую структуру Ли–Йордана, которая соответствует данной $\mathrm{SL}_2$-структуре. Зададим скалярное умножение на $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$ по следующей формуле:
$$
\begin{equation*}
(A, B)=\frac{1}{2}(2(n-i)+1)\operatorname{tr}(AB) \quad\forall\, A,B\in\mathfrak{so}_{2n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $i=2k$, то $\mathfrak{sl}_2$-тройка $e$, $f$, $h$ для данной структуры представляют собой матрицы размера $(2n+1)\times (2n+1)$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
h=\begin{pmatrix} E^{(i)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -E^{(i)} \end{pmatrix}, \qquad e=\begin{pmatrix} 0 & 0 & I_{i} \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ I_{i} & 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $I_{i}$ – матрица размера $i\times i$ вида
$$
\begin{equation*}
I_{i}=\begin{pmatrix} E^{(k)} & 0\\ 0 & -E^{(k)} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действуя аналогично случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$, нетрудно получить, что в данном случае
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}_i\oplus\mathfrak{so}_{2(n-i)+1}, \quad J_1= \mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{2(n-i)+1})^{*}, \quad J_2=\mathfrak{sym}^{-}_i, \qquad i=2k.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\mathfrak{sym}^{-}_i$ при $i=2k$ обозначена йорданова алгебра матриц порядка $i$ симметричных относительно кососимметрической невырожденной билинейной формы. Обозначим
$$
\begin{equation*}
a=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}\in J_1, \qquad b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}\in J_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_i$, $b_i$ – произвольные матрицы размера $k\times (2(n-i)+1)$. Симплектическая структура на пространстве $J_1$ задается с помощью кососкалярного умножения, которое имеет вид
$$
\begin{equation*}
(a,b)=(2(n-i)+1)\operatorname{tr}(a_1b_2^{\mathsf{s}}-a_2b_1^{\mathsf{s}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Операция умножения на йордановой алгебре $J_2$ выглядит стандартным образом, т.е.
$$
\begin{equation*}
A\circ B=\frac{1}{2}(AB+BA) \quad\forall\, A, B\in\mathfrak{sym}^{-}_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие йордановой алгебры $J_2=\mathfrak{sym}^{-}_i$ на пространстве $J_1$ осуществляются с помощью умножения слева матрицы из $J_1$ на соответствующую матрицу из $\mathfrak{g}^2$. Действие же алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ на пространстве $J_1$ осуществляется по формуле
$$
\begin{equation*}
(D_1, D_2)a=D_1a-aD_2 \quad\forall\, D_1\in\mathfrak{sp}_i, \quad D_2\in\mathfrak{so}_{2(n-i)+1}, \quad a\in J_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n}$. Будем рассматривать алгебру $\mathfrak{g}= \mathfrak{so}_{2n}$ в базисе, в котором ее элементы представляют собой матрицы размера $(2n)\times(2n)$, кососимметричные относительно побочной диагонали. Скалярное умножение на $\mathfrak{so}_{2n}$ зададим аналогично предыдущему случаю. Для этой алгебры зависимость старшего корня от простых выглядит так:
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}=\alpha_1+2\alpha_2+\dots +2\alpha_{n-2}+ \alpha_{n-1}+\alpha_{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь, вообще говоря, возможны четыре случая: 1) $\alpha_i(h)=1$, $\alpha_j(h)=0$, $j=1,\dots, n$, $i=2,\dots,(n-2)$, $j\neq i$; 2) $\alpha_n(h)=\alpha_{n-1}(h)=1$, $\alpha_i(h)=0$, $i=1,\dots,n$, $i\neq n, n-1$; 3) $\alpha_1(h)=\alpha_n(h)=1$, $\alpha_i(h)=0$, $i=1,\dots,n$, $i\neq 1, n$; 4) $\alpha_1(h)=\alpha_{n-1}(h)=1$, $\alpha_i(h)=0$, $i=1,\dots,n$, $i\neq 1, n-1$. Случаи 3) и 4) переводятся друг в друга с помощью автоморфизма диаграммы Дынкина, поэтому достаточно рассмотреть только один из них. Таким образом, осталось рассмотреть случаи 1), 2) и 3). В случае 1) матрица $h$ будет иметь такой же вид, что и в случае $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$, с тем лишь отличием, что центральная нулевая матрица здесь имеет размеры $2(n-i)\times2(n-i)$. Поэтому и ответ здесь будет такой же: инвариант (определитель) существует, тогда и только тогда, когда $i$ четно (здесь $\mathfrak{g}^2=\bigwedge^{2}\mathbb{C}^i, \widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_i\times \mathrm{SO}_{2(n-i)}$). Диаграмма этого случая выглядит так:  Здесь $\mathfrak{sl}_2$-тройка $e$, $f$, $h$ представляют собой матрицы размера $2n\times 2n$ аналогичного случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$. Поэтому действуя так же, как и для $\mathfrak{so}_{2n+1}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}_i\oplus\mathfrak{so}_{2(n-i)}, \quad J_1= \mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{2(n-i)})^{*}, \quad J_2=\mathfrak{sym}^{-}_i, \qquad i=2k\leqslant n-2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кососимметрическое скалярное умножение на пространстве $J_1$, а также действие алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и йордановой алгебры $J_2$ на пространстве $J_1$ в данном случае осуществляются по формулам аналогичным случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$. Рассмотрим случай 2). В этом случае
$$
\begin{equation*}
h=\operatorname{diag}\{1,\dots ,1,0,0,-1,\dots ,-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебру $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n}$ аналогично предыдущему случаю можно условно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\begin{pmatrix} \mathfrak{g}^{0}_{(1)} & \mathfrak{g}^{1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{2} \\ \mathfrak{g}^{-1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{0}_{(2)} & -(\mathfrak{g}^{1}_{(1)})^{\mathsf{s}} \\ \mathfrak{g}^{-2} & -(\mathfrak{g}^{-1}_{(1)})^{\mathsf{s}} & -(\mathfrak{g}^{0}_{(1)})^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь блок $\mathfrak{g}^{0}_{(1)}$ размера $(n-1)\times (n-1)$, блок $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$ размера $2\times 2$, а остальные блоки соответствующих размеров. Из формулы выше видно, что $\mathfrak{g}^2=\bigwedge^2\mathbb{C}^{n-1}$. Рассмотрим диаграмму этого представления:  Из диаграммы выводим, что полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ равна $\mathfrak{sl}_{n-1}$ и что $\dim\mathfrak{z}^0= 2$. Нетрудно убедится в том, что вектор, ортогональный вектору $h$ в $\mathfrak{z}^0$, соответствует блоку $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$ и в связи с расположениями блоков $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$ и $\mathfrak{g}^2$ действует на $\mathfrak{g}^2$ тривиально, откуда можно считать, что $\widetilde{G}^{0}=\mathrm{SL}_{n-1}$. Тем самым очевидно, что у этого представления есть инвариант (равный определителю матрицы из $\mathfrak{g}^2$) тогда и только тогда, когда $n$ нечетно. То есть при нечетном $n$ в этом случае существует короткая $\mathrm{SL}_2$-структура. Здесь матрицы $e$, $f$, $h$ выглядят аналогично предыдущему случаю. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}_{n-1}\oplus\mathfrak{so}_{2}, \quad J_1= \mathbb{C}^{n-1}\otimes(\mathbb{C}^{2})^{*}, \quad J_2=\mathfrak{sym}^{-}_{n-1}, \qquad n=2k+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кососимметрическое скалярное умножение на пространстве $J_1$, а также действие алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и йордановой алгебры $J_2$ на пространстве $J_1$ в данном случае осуществляются по формулам, аналогичным случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$. Перейдем к последнему случаю 3). Элемент $h$ в этом случае имеет вид
$$
\begin{equation*}
h= \operatorname{diag}\biggl\{\frac{3}{2},\frac{1}{2},\dots ,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\dots ,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично предыдущим случаям алгебру $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n}$ можно условно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\begin{pmatrix} \mathfrak{g}^{0}_{(1)} & \mathfrak{g}^{1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{2} & 0 \\ \mathfrak{g}^{-1}_{(1)} & \mathfrak{g}^{0}_{(2)} & \mathfrak{g}^{1}_{(2)} & -(\mathfrak{g}^{2})^{\mathsf{s}} \\ \mathfrak{g}^{-2} & \mathfrak{g}^{-1}_{(2)} & -(\mathfrak{g}^{0}_{(2)})^{\mathsf{s}} & -(\mathfrak{g}^{1}_{(1)})^{\mathsf{s}} \\ 0 & -(\mathfrak{g}^{-2})^{\mathsf{s}} & -(\mathfrak{g}^{-1}_{(1)})^{\mathsf{s}} &-(\mathfrak{g}^{0}_{(1)})^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathfrak{g}^{0}_{(2)}$, $\mathfrak{g}^{1}_{(2)}$, $\mathfrak{g}^{-1}_{(2)}$ – блоки размера $(n-1)\times(n-1)$, $\mathfrak{g}^{1}_{(1)}$, $\mathfrak{g}^{2}$ – строки длины $n-1$, а $\mathfrak{g}^{-2}$, $\mathfrak{g}^{-1}_{(1)}$ – столбцы высоты $n-1$. Откуда получим, что $\mathfrak{g}^2=\mathbb{C}^{n-1}$. Рассмотрим диаграмму этого случая:  Из диаграммы видно, что $\dim\mathfrak{z}^0=2$, а полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ равна $\mathfrak{sl}_{n-1}$. Тогда $\widetilde{G}^0=GL_{n-1}$, и мы получаем тавтологическое представление группы $GL_{n-1}$ на $(n-1)$-мерном векторном пространстве, которое, очевидно, не имеет нетривиальных инвариантов, т.е. в этом случае не существует короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры. Случай $\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}$. Будем рассматривать алгебру $\mathfrak{sp}_{2n}$ в базисе, в котором ее элементы задаются матрицами вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} X&Y\\ Z&-X^{\mathsf{s}} \end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}_{2n}, \qquad X, Y, Z\in\mathfrak{gl}_n, \quad Y^{\mathsf{s}}=Y, \quad Z^{\mathsf{s}}= Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Скалярное умножение на $\mathfrak{sp}_{2n}$ зададим аналогично предыдущему случаю. Для этой алгебры старший корень имеет вид
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}=2\alpha_1+\dots + 2\alpha_{n-1}+\alpha_{n},
\end{equation*}
\notag
$$
тем самым здесь возможен единственный случай:
$$
\begin{equation*}
\alpha_i(h)=1, \quad \alpha_j(h)=0, \qquad i=1,\dots,(n-1), \quad j=1,\dots,n, \quad j\neq i.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы $e$, $f$, $h$ представляют из себя матрицы размера $2n\times 2n$ аналогичного случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ вида, поэтому при коммутировании подпространству $\mathfrak{g}^2$ будет соответствовать верхний правый угловой блок размера $i\times i$, откуда ясно, что $\mathfrak{g}^2$ – пространство симметрических относительно побочной диагонали матриц размера $i\times i$. Рассмотрим диаграмму этого случая:  Исходя из нее, получим, что $\dim\mathfrak{z}^0=1$, а полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ совпадает с $\mathfrak{sl}_i\oplus\mathfrak{sp}_{2(n-i)}$, откуда $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_i\times \mathrm{Sp}_{2(n-i)}$. Тогда, так как $\mathrm{Sp}_{2(n-i)}$ действует на $\mathfrak{g}^2$ тривиально, то можно считать, что $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_i$, откуда ясно, что в этом случае инвариантом действия является определитель матрицы из $\mathfrak{g}^2$, т.е. в этом случае короткая $\mathrm{SL}_2$-структура существует при любом $i=1,\dots,(n-1)$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_{i}\oplus \mathfrak{sp}_{2(n-i)}, \quad J_1= \mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{2(n-i)})^{*}, \quad J_2=\mathfrak{sym}^{+}_{i}, \qquad i<n.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\mathfrak{sym}^{+}_i$ обозначена йорданова алгебра матриц порядка $i$ симметричных относительно симметрической невырожденной билинейной формы. Кососимметрическое скалярное умножение на пространстве $J_1$, а также действие алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ и йордановой алгебры $J_2$ на пространстве $J_1$ в этом случае также осуществляются по формулам аналогичным случаю $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$. 5.3. Классификация коротких $\mathrm{SL}_2$-структур на особых простых алгебрах ЛиХотя каждая из особых простых алгебр Ли имеет свою матричную модель, все эти модели довольно громоздки, поэтому исследование коротких $\mathrm{SL}_2$-структур на них описанным выше способом будет чересчур сложным. Рассмотрим неприводимое представление алгебры Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}^{0}$ на $\mathfrak{g}^2$. Оно однозначно определяется своим старшим весом, а именно его разложением по фундаментальным весам. Старший вес данного представления, очевидно, совпадает со старшим корнем алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Его разложение по фундаментальным весам получается с помощью вычисления произведений Картана между старшим корнем алгебры Ли $\mathfrak{g}$ и простыми корнями $\mathfrak{g}$, соответствующими нулевым вершинам диаграммы короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры. Поэтому, используя лишь расширенную диаграмму Дынкина, можно определить как саму группу $\widetilde{G}^0$, так и пространство представления $\mathfrak{g}^2$. Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее обозначение. Будем обозначать через $S^k$ пространство спинорного представления алгебры $\mathfrak{so}_k$, а через $S^k_{1/2}$ и $S^k_{-1/2}$ – пространства полуспинорных представлений соответствующей алгебры при четном $k$. При ограничении алгебры $\mathfrak{so}_{2l}$ на подалгебру $\mathfrak{so}_{2l-1}$ представление $S_{1/2}^{2l}$ превращается в $S^{2l-1}$, а при ограничении алгебры $\mathfrak{so}_{2l+1}$ на подалгебру $\mathfrak{so}_{2l}$ пространство $S^{2l+1}$ – в $S^{2l}=S_{1/2}^{2l}\oplus S_{-1/2}^{2l}$. Как будет следовать из классификации ниже, для симплектической структуры пространства $J_1$, получающейся из короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры на особой алгебре Ли, возможны два различных случая. 1. Если представление алгебры Ли $\mathfrak{g}_0$ на пространстве $J_1$ неприводимо, то согласно лемме Шура на $J_1$ существует единственная с точностью до скалярного множителя $\mathfrak{g}_0$-инвариантная невырожденная кососимметрическая форма. Значит, симплектическая структура пространства $J_1$ в этом случае полностью определяется представлением $\mathfrak{g}_0$ в $J_1$. Будем называть этот случай неприводимым случаем задания симплектической структуры на пространстве $J_1$. 2. Если же представление $\mathfrak{g}_0 \colon J_1$ приводимо, то пространство $J_1$ распадается в прямую сумму двойственных друг другу $\mathfrak{g}_0$-инвариантных лагранжевых подпространств, скалярное умножение между элементами которых определяется как спаривание. Этот случай будем называть лагранжевым случаем задания симплектической структуры на пространстве $J_1$. Положим $\alpha_0=-\alpha_{\max}$. Будем отмечать младший корень $\alpha_0$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ на диаграмме короткой $\mathrm{SL}_2$-структуры с помощью двойного кружочка, чтобы не путать его с нулевыми вершинами. Случай $\mathfrak{g}=G_2$. Как было отмечено ранее, для этой алгебры существует единственно возможный случай, при котором $\alpha_2(h)=1$, $\alpha_1(h)=0$. Рассмотрим расширенную диаграмму Дынкина  Ясно, что $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_2$. Так как $\langle\alpha_{\max}|\alpha_1\rangle=0$, то $\dim\mathfrak{g}^2=1$ и действие $\widetilde{G}^0\colon \mathfrak{g}^2$ тривиально, поэтому все многочлены на $\mathfrak{g}^2$ будут инвариантны, т.е. в этом случае короткая $\mathrm{SL}_2$-структура существует. Так как $\dim\mathfrak{g}^2=1$, то $\widetilde{\mathfrak{g}}^0=\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_2$. Из диаграммы видно, что представление алгебры $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_2$ на векторном пространстве $\mathfrak{g}^1$ неприводимо и младшим весом этого представления является $\alpha_2$. Из этого легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_2, \quad J_1=\operatorname{Sym}^3\mathbb{C}^2, \quad J_2=\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь реализуется неприводимый случай задания симплектической структуры пространства $J_1$. Случай $\mathfrak{g}=F_4$. В этой алгебре
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}=2\alpha_1+ 4\alpha_2+3\alpha_3+2\alpha_4,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому возможны всего два случая: 1) $\alpha_1(h)=1$, $\alpha_2(h)=\alpha_3(h)=\alpha_4(h)=0$; 2) $\alpha_4(h)=1$, $\alpha_1(h)=\alpha_2(h)=\alpha_3(h)=0$. В случае 1) диаграмма Дынкина выглядит следующим образом:  Здесь $\dim\mathfrak{z}^0=1$ и $\widetilde{G}^0=\operatorname{Spin}_7$. По диаграмме видно, что $\langle\alpha_{\max}|\alpha_4\rangle=1$, $\langle\alpha_{\max}|\alpha_2\rangle= \langle\alpha_{\max}|\alpha_3\rangle=0$, поэтому данное представление $\widetilde{G}^0$ – векторное представление спинорной группы, т.е. $\mathfrak{g}^2= \mathbb{C}^{7}$. Инвариантом действия данной группы очевидно является скалярный квадрат вектора, поэтому в данном случае короткая $\mathrm{SL}_2$-структура существует. При этом алгебра Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$ изоморфна $\mathfrak{so}_7$. Также по диаграмме видно, что представление алгебры $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$ на пространстве $\mathfrak{g}_1$ неприводимо и младшим весом этого представления является $\alpha_1$, откуда выводим, что данное представление является спинорным представлением алгебры $\mathfrak{so}_7$, т.е. $J_1=S^7$. Из рассуждений, описанных в предыдущих пунктах, следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}^0=\widetilde{\mathfrak{g}}^0\oplus\langle\widetilde{h} \otimes\mathbb{I}\rangle= \mathfrak{g}_0\oplus(\widetilde{h}\otimes J_2), \qquad \mathfrak{g}^2=\widetilde{e}\otimes J_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $\mathbb{I}$ обозначена единица йордановой алгебры $J_2$, а через $\widetilde{e}, \widetilde{f}, \widetilde{h}$ – базисные элементы абстрактной алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, удовлетворяющие соотношениям (2.17). Рассмотрим действие $\widetilde{\mathfrak{g}}^0\colon \mathfrak{g}^2$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\{D\in\widetilde{\mathfrak{g}}^0\colon [D,\widetilde{e}\otimes\mathbb{I}]=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
– стабилизатор элемента $\widetilde{e}\otimes\mathbb{I}\in\mathfrak{g}^2$ под действием алгебры $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$. Так как алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ редуктивна, то вектор $\widetilde{e}\otimes\mathbb{I}$ неизотропный, откуда несложно вывести, что $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_6$. При ограничении алгебры Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}^0=\mathfrak{so}_7$ на подалгебру Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_6$ пространство $S^7$ перейдет в $S^6$, значит, $J_1=S^6=S^6_{1/2}\oplus S^6_{-1/2}$. Симплектическая структура пространства $J_1$ соответствует лагранжевому случаю. Аналогично при ограничении алгебры Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}^0=\mathfrak{so}_7$ на подалгебру Ли $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_6$ пространство $J_2=\mathbb{C}^7$ распадается в прямую сумму двух ортогональных друг другу подпространств: одномерного, натянутого на единицу $\mathbb{I}$ алгебры $J_2$, на котором $\mathfrak{g}_0$ действует тривиально, и шестимерного, на котором $\mathfrak{g}_0$ действует тавтологически. Таким образом, $J_2=\mathbb{C}^6\oplus\mathbb{C}$. Определим йорданову операцию на алгебре $J_2$. Заметим, что достаточно определить йорданово умножение между элементами из $\mathbb{C}^6$, так как дополнительное к нему одномерное подпространство в $J_2$ натянуто на единицу алгебры $J_2$. Ясно, что йорданову операцию на $\mathbb{C}^6$ можно проинтерпретировать как симметричное $\mathfrak{g}_0$-эквивариантное билинейное отображение, образ которого лежит в $J_2$. Тогда оно пропускается через
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}^2(\mathbb{C}^6)=\operatorname{Sym}^2_0(\mathbb{C}^6)\oplus\mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
где первое слагаемое – неприводимое представление алгебры $\mathfrak{so}_6$, соответствующее удвоенному первому фундаментальному весу. Тогда очевидно, что результат применения йордановой операции для векторов из $\mathbb{C}^6$ принадлежит одномерному подпространству $J_2$, натянутому на единицу алгебры $J_2$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
A\circ B=\lambda_{A, B}\mathbb{I}, \qquad A, B\in\mathbb{C}^6\subset J_2.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Здесь $\lambda_{A, B}\in\mathbb{C}$ – коэффициент пропорциональности, однозначно определяемый по паре $A$, $B$. Вычислив след у левой и правой частей равенства (5.1), несложно вывести, что
$$
\begin{equation*}
\lambda_{A, B}=\frac{(A, B)}{\operatorname{dim} J_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формулы (5.1) и определяется операция йорданова умножения на алгебре $J_2$. Во всех последующих случаях коротких $\mathrm{SL}_2$-структур, в которых $J_2\neq\mathbb{C}$, йорданова структура будет определяться аналогичным образом, поэтому более не будем так подробно на ней останавливаться. Подытоживая сказанное выше, в этом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_6, \qquad J_1=S^6_{1/2}\oplus S^6_{-1/2}, \qquad J_2= \mathbb{C}^6\oplus\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае 2) диаграмма Дынкина имеет вид  В этом случае, очевидно, $\widetilde{G}^0=\mathrm{Sp}_6$, а $\dim\mathfrak{g}^2=1$, так как все числа Картана между старшим корнем и простыми корнями, соответствующими нулевым вершинам, равны 0. Аналогично предыдущим рассуждениям получаем, что в этом случае существует короткая $\mathrm{SL}_2$-структура, причем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sp}_6, \qquad J_1=\bigwedge_0^3(\mathbb{C}^6), \qquad J_2= \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $\bigwedge_0^3(\mathbb{C}^6)$ обозначено пространство кососимметрических тензоров третьего порядка, полная свертка которых с симплектической формой равна $0$. Симплектическая структура пространства $J_1$ здесь также соответствует неприводимому случаю. Случай $\mathfrak{g}=E_6$. Старший корень этой алгебры имеет вид
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3+2\alpha_4+\alpha_5+2\alpha_6.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь возможны четыре случая: 1) $\alpha_2(h)=1$, $\alpha_1(h)=\alpha_3(h)=\dots =\alpha_6(h)=0$; 2) $\alpha_4(h)=1$, $\alpha_1(h)=\dots =\alpha_3(h)=\alpha_5(h)=\dots =\alpha_6(h)=0$; 3) $\alpha_6(h)=1$, $\alpha_1(h)=\dots =\alpha_5(h)=0$; 4) $\alpha_1(h)=\alpha_5(h)=1$, $\alpha_2(h)=\dots =\alpha_4(h)=0$. Случаи 1) и 2) также эквивалентны, поэтому достаточно рассмотреть только случай 1). Рассмотрим его. Диаграмма Дынкина здесь имеет вид  Из диаграммы получим, что $\dim\mathfrak{z}^0=1$, поэтому $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_2\times \mathrm{SL}_5$. Так как старший корень $\alpha_{\max}$ имеет ненулевое число Картана только с крайним простым корнем алгебры $\mathfrak{sl}_5$ и это число равно 1, то $\mathfrak{g}^2=\mathbb{C}^5$, что говорит о том, что $\mathrm{SL}_2$ на $\mathfrak{g}^2$ действует тривиально и нетривиальных инвариантов в этом случае нет, а значит, и отсутствует короткая $\mathrm{SL}_2$-структура. Перейдем к случаю 3) и его диаграмме Дынкина  Действуя аналогично предыдущим случаям, получим, что $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_6$ и $\dim\mathfrak{g}^2= 1$, а значит, здесь есть инварианты, т.е. короткая $\mathrm{SL}_2$-структура существует, причем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_6,\qquad J_1=\bigwedge^3(\mathbb{C}^6),\qquad J_2= \mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическая структура пространства $J_1$ здесь соответствует неприводимому случаю. В последнем случае имеем следующую диаграмму Дынкина:  Очевидно, что полупростая часть $\mathfrak{g}^0$ равна $\mathfrak{so}_8$, однако в этом случае $\dim\mathfrak{z}^0\,{=}\,2$, т.е. $\widetilde{\mathfrak{g}}^0\,{=}\,\mathfrak{so}_8\,{\oplus}\,\langle h_1\rangle$, где $h_1\in\mathfrak{z}^0$, $h_1\bot h$. Рассмотрим инволютивный нетождественный автоморфизм диаграммы Дынкина, являющийся симметрией относительно центрального вертикального сегмента. Этот автоморфизм является автоморфизмом алгебры Ли $\mathfrak{g}$, при этом он оставляет на месте корни $\alpha_3, \alpha_6$ и меняет местами корни $\alpha_1$ и $\alpha_5$, а также меняет местами $\alpha_2$ и $\alpha_4$. Элементы $h$ и $h_1$, очевидно, задают двумерное пространство, ортогональное четырехмерному пространству, натянутому на простые корни, соответствующие нулевым вершинам. Рассматриваемый автоморфизм сохраняет это четырехмерное пространство, а значит, сохраняет и ортогональное дополнение. Так как отметки всех вершин под действием автоморфизма сохраняются, то данный автоморфизм сохраняет и элемент $h$. Значит, в силу инволютивности, автоморфизм действует на $h_1$ умножением на $-1$, поэтому можно считать, что $\alpha_1(h_1)=-\alpha_5(h_1)=1$, а все остальные корни на $h_1$ равны 0. Это значит, что $\alpha_{\max}(h_1)=0$, т.е. $h_1$ действует тривиально на $\mathfrak{g}^2$, поэтому можно считать, что $\widetilde{G}^0= \operatorname{Spin}_8$. Как видно из диаграммы, $\langle\alpha_{\max}|\alpha_6\rangle=1$, $\langle\alpha_{\max}|\alpha_2\rangle= \langle\alpha_{\max}|\alpha_3\rangle= \langle\alpha_{\max}|\alpha_4\rangle=0$, т.е. $\mathfrak{g}^2=\mathbb{C}^8$, что говорит о том, что короткая $\mathrm{SL}_2$-структура существует в этом случае. В этом случае представление алгебры $\widetilde{\mathfrak{g}}^0$ на пространстве $J_1$ приводимо, причем Аналогично предыдущим случаям имеем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_7, \quad J_1=S^7\oplus S^7, \quad J_2=\mathbb{C}^7\oplus\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическая структура пространства $J_1$ соответствует лагранжевому случаю. Случай $\mathfrak{g}=E_7$. Известно, что для этой алгебры
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}= \alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3+4\alpha_4+3\alpha_5+2\alpha_6+2\alpha_7,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому возможны три случая: 1) $\alpha_2(h)=1$, $\alpha_1(h)=\alpha_3(h)=\dots =\alpha_7(h)=0$; 2) $\alpha_6(h)=1$, $\alpha_1(h)=\dots =\alpha_5(h)=\alpha_7(h)=0$; 3) $\alpha_7(h)=1$, $\alpha_1(h)=\dots =\alpha_6(h)=0$. В случае 1) диаграмма Дынкина имеет вид  Исходя из нее, получим, что $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_2\times \operatorname{Spin}_{10}$. Так как старший корень имеет ненулевое число Картана только с первым простым корнем алгебры $\mathfrak{so}_{10}$, то $\mathfrak{g}^2=\mathbb{C}^{10}$, что означает, что у данного представления есть инвариант, причем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{sl}_2\oplus\mathfrak{so}_9, \qquad J_1=\mathbb{C}^2\otimes S^9, \qquad J_2= \mathbb{C}^9\oplus\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическая структура пространства $J_1$ соответствует неприводимому случаю. В случае 2) диаграмма Дынкина имеет вид  Здесь $\widetilde{G}^0=\operatorname{Spin}_{12}$, а $\dim\mathfrak{g}^2=1$, поэтому здесь есть инвариант и
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_{12}, \qquad J_1=S^{12}_{1/2}, \qquad J_2=\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическая структура пространства $J_1$ здесь соответствует неприводимому случаю. В случае 3) диаграмма Дынкина имеет вид  Здесь $\widetilde{G}^0=\mathrm{SL}_7$, а $\mathfrak{g}^2=\mathbb{C}^{7}$, поэтому нетривиальных инвариантов у этого действия нет. Случай $\mathfrak{g}=E_8$. У этой алгебры старший корень имеет вид
$$
\begin{equation*}
\alpha_{\max}=2\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3+5\alpha_4+6\alpha_5+4\alpha_6+ 2\alpha_7+3\alpha_8,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому здесь возможны всего два случая:
 В этом случае $\widetilde{G}^0=E_7$, а $\dim\mathfrak{g}^2=1$, т.е. у данного представления есть инвариант и
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=E_7, \qquad J_1=V(\pi_1), \qquad J_2=\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь через $V(\pi_1)$ обозначено пространство представления первого фундаментального веса алгебры $E_7$. Симплектическая структура пространства $J_1$ соответствует неприводимому случаю. Диаграмма Дынкина второго случая имеет вид  Аналогично предыдущим рассуждениям получим, что $\widetilde{G}^0=\operatorname{Spin}_{14}$, а $\mathfrak{g}^2$ – ее векторное представление, т.е. и у этого представления есть инвариант, причем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}_0=\mathfrak{so}_{13}, \qquad J_1=S^{13}, \qquad J_2=\mathbb{C}^{13}\oplus\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическая структура пространства $J_1$ соответствует неприводимому случаю. Таким образом, все существующие короткие $\mathrm{SL}_2$-структуры можно перечислить в табл. 1. Таблица 1.
Заметим, что алгебра Ли $\mathfrak{g}_0$ не определяется полностью по паре $(J_1, J_2)$. Например, в случае простой алгебры Ли $\mathfrak{g}=E_8$ при $J_1=V(\pi_1)$ йорданова алгебра $J_2$ одномерна, как и в случае алгебры $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ при $i=1$. Если подобрать $n$ так, чтобы $\dim V(\pi_1)=\dim J_1 (\mathfrak{sl}_n)$, где $J_1 (\mathfrak{sl}_n)= (\mathbb{C}^{i}\otimes(\mathbb{C}^{n-2i})^{*}) \oplus(\mathbb{C}^{n-2i}\otimes(\mathbb{C}^{i})^{*})$, то можно видеть, что алгебры $\mathfrak{g}_0$ в этих случаях различны, в то время как пары $(J_1, J_2)$ совпадают. Таким образом по паре $(J_1, J_2)$ невозможно однозначно построить простую симплектическую структуру Ли–Йордана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sta23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|