| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Бирациональная жесткость трехмерных многообразий дель Пеццо степени 2 А. А. Авилов Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9787e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ этой статье мы работаем над алгебраически замкнутым полем $\operatorname{k}$ характеристики 0. Напомним, что $G$-многообразие – это пара $(X, \rho)$, где $X$ – алгебраическое многообразие, а $\rho\colon G\to \operatorname{Aut}(X)$ – инъективный гомоморфизм групп. Будем говорить, что $G$-многообразие $X$ имеет $G\mathbb{Q}$-факториальные особенности, если любой $G$-инвариантный дивизор Вейля на $X$ является дивизором $\mathbb{Q}$-Картье. Пусть $X$ – $G$-многообразие с не более чем $G\mathbb{Q}$-факториальными терминальными особенностями, и $\pi\colon X\to Y$ – $G$-эквивариантный морфизм. Тогда $\pi$ называется $G$-расслоением Мори, если $\pi_{*}\mathcal{O}_{X}=\mathcal{O}_{Y}$, $\dim X>\dim Y$, относительное инвариантное число Пикара $\rho^{G}(X/Y)$ равно $1$ (в этом случае мы говорим, что $G$ минимальная) и антиканонический класс $-K_{X}$ является $\pi$-обильным. Если $Y$ – точка, тогда $X$ называется $G\mathbb{Q}$-многообразием Фано. Если к тому же антиканонический класс является дивизором Картье, то $X$ называется $G$-многообразием Фано. Пусть $X$ – произвольное нормальное проективное $G$-многообразие размерности 3. Разрешив особенности $X$ (см., например, [1]) и применив $G$-эквивариантную программу минимальных моделей (см., например, [28]), мы приводим $X$ либо к $G$-многообразию с численно эффективным антиканоническим классом, либо к $G$-расслоению Мори (см., например, [20; § 3]). Поэтому такие расслоения (и, в частности, $G\mathbb{Q}$-многообразия Фано) образуют очень важный класс в бирациональной классификации. В этой работе мы рассматриваем конкретный класс $G$-многообразий Фано. Определение 1. Проективное $n$-мерное многообразие $X$ называется многообразием дель Пеццо, если оно имеет не более чем терминальные горенштейновы особенности, а антиканонический класс $-K_{X}$ обилен и делится на $n-1$ в группе Пикара $\operatorname{Pic}(X)$. Если $G$-многообразие Фано $X$ является многообразием дель Пеццо, мы будем говорить, что $X$ – $G$-многообразие дель Пеццо. Многообразия дель Пеццо произвольной размерности были классифицированы Т. Фуджитой ([15]–[17], см. также [19]). $G\mathbb{Q}$-факториальные $G$-минимальные трехмерные $G$-многообразия дель Пеццо были частично классифицированы Ю. Прохоровым в статье [22]. Главным инвариантом трехмерного многообразия дель Пеццо $X$ является степень $d=(-\frac{1}{2}K_{X})^{3}$, это целое число в интервале от 1 до 8. В этой работе мы рассматриваем случай $d=2$. В этом случае $X$ является двойным накрытием $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в поверхности степени $4$. Если $d=8$, то $X$ является проективным пространством. В этом случае эквивариантная бирациональная геометрия была изучена И. Чельцовым и К. Шрамовым в статье [12]. Случаи $d=4$ и $d=3$ были изучены в предыдущих работах автора [2] и [3] (см. также [6]). Если $d>4$, то $X$ является гладким (см. [22]), в то время как гладкие многообразия дель Пеццо и их группы автоморфизмов изучены очень хорошо. Для других типов $G$-многообразий Фано имеются только некоторые частичные результаты, см., например, [24], [27]. Классификация конечных подгрупп в группе Кремоны $\operatorname{Cr}_{3}(\operatorname{k})$ является одной из мотиваций этой работы. Группа Кремоны $\operatorname{Cr}_{n}(\operatorname{k})$ – это группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства $\mathbb{P}^{n}_{\operatorname{k}}$. Конечные подгруппы $\operatorname{Cr}_{2}(\operatorname{k})$ были полностью классифицированы И. Долгачёвым и В. Исковских в работе [13]. Суть их метода состоит в следующем. Пусть $G$ – конечная подгруппа в группе Кремоны $\operatorname{Cr}_{2}(\operatorname{k})$. Действие $G$ можно регуляризовать в следующем смысле: существуют гладкое проективное $G$-многообразие $Z$ и бирациональный морфизм $Z\to \mathbb{P}^{2}$, коммутирующий с действием $G$. Затем мы применяем эквивариантную программу минимальных моделей к $Z$ и получаем $G$-расслоение Мори, которое является либо $G$-расслоением на коники над $\mathbb{P}^{1}$, либо $G$-минимальной поверхностью дель Пеццо. Долгачёв и Исковских классифицировали все минимальные подгруппы в группах автоморфизмов поверхностей дель Пеццо и расслоений на коники, и, как следствие, получили полный список конечных подгрупп в $\operatorname{Cr}_{2}(\operatorname{k})$. Но довольно часто две подгруппы в этом списке сопряжены в $\operatorname{Cr}_{2}(\operatorname{k})$, поэтому естественно их отождествить. Несложно видеть, что $G$-многообразия $Z_{1}$ и $Z_{2}$ дают нам сопряженные подгруппы в том и только том случае, когда существует $G$-эквивариантное бирациональное отображение $Z_{1}\dashrightarrow Z_{2}$. Так что нам нужно классифицировать все рациональные $G$-расслоения Мори и бирациональные отображения между ними. Следуя этой программе в трехмерном случае, можно свести вопрос классификации всех конечных подгрупп в $\operatorname{Cr}_{3}(\operatorname{k})$ к вопросу классификации всех рациональных $G\mathbb{Q}$-расслоений Мори и эквивариантных отображений между ними. Эта программа была реализована только в нескольких частных случаях: простые неабелевы группы, которые можно вложить в $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{C})$ (см. [26], см. также [8]–[11]) и $p$-элементарные подгруппы $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{C})$ (см. [25], [23]). Определение 2. Нодом мы будем называть изолированную обыкновенную двойную особую точку на многообразии произвольной размерности. Многообразие называется нодальным, если все его особые точки являются нодами. Для приложений к группам Кремоны мы в основном интересуемся классификацией рациональных многообразий дель Пеццо. Имеется результат И. Чельцова, В. Пржиялковского и К. Шрамова, который гласит, что почти все нодальные не-$\mathbb{Q}$-факториальные двойные накрытия $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике рациональны с одним семейством исключений (см. [7; теорема 1.5]). Также они предположили, что нодальные $\mathbb{Q}$-факториальные двойные накрытия $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике нерациональны (см. [7; гипотеза 1.9]). Это является причиной, почему мы рассматриваем только не-$\mathbb{Q}$-факториальные двойные накрытия $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике. В этой работе мы рассматриваем следующую проблему: классифицировать нодальные не-$\mathbb{Q}$-факториальные рациональные $G$-многообразия дель Пеццо степени $2$, которые не имеют $G$-эквивариантных бирациональных отображений в “более простые” $G$-многообразия Фано (например, $\mathbb{P}^{3}$ или квартику в $\mathbb{P}^{4}$) или $G$-расслоения Мори с базой положительной размерности. В настоящей работе мы даем частичный ответ на этот вопрос. Главным результатом этой работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть $X$ – нодальное не-$\mathbb{Q}$-факториальное трехмерное многообразие дель Пеццо степени $2$, а $G$ – конечная подгруппа $\operatorname{Aut}(X)$ такая, что $X$ – рациональное $G$-многообразие Фано. Предположим, что $X$ является $G$-бирационально жестким. Тогда имеются следующие возможности. Замечание 1. Эта теорема дает только необходимые условия для многообразия $X$, за исключением случаев $16$ и $15$ особых точек. Мы в большинстве случаев не знаем, является ли многообразие $X$ $G$-бирационально жестким в других случаях. БлагодарностиАвтор благодарит Юрия Прохорова, Константина Шрамова и Андрея Трепалина за полезные обсуждения. § 2. Геометрия нодальных накрытий $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартикеДалее везде $X$ – нодальное рациональное не-$\mathbb{Q}$-факториальное трехмерное многообразие дель Пеццо степени 2. Хорошо известно, что в этом случае имеется полуантиканоническое двойное накрытие $\pi\colon X\to \mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в нодальной квартике $Q\subset \mathbb{P}^{3}$ (заметим, что особенности квартики $Q$ являются образами особенностей многообразия $X$). Обозначим через $\theta\colon X\to X$ инволюцию Гейзера, которая возникает естественным образом из двойного накрытия. Также мы используем следующие обозначения:
Трехмерные $G$-многообразия дель Пеццо были частично классифицированы Ю. Прохоровым в работе [22], и следующая теорема является частью ее главного результата. Теорема 2. Пусть $X$ – трехмерное $G$-многообразие дель Пеццо степени 2. Тогда имеются следующие возможности, представленные в табл. 1. Здесь $r$ – ранг группы классов дивизоров, $\widehat{X}/Z$ – примитивная бирациональная модель многообразия $X$ (см. [22; теорема 3.9]), $\Delta'$ и $\Delta''$ – системы корней, канонически связанные с $X$, $p$ – число плоскостей на $X$ (см. определение 3 ниже), $s$ – число особых точек, если все они являются нодами, и $h:=h^{1,2}(\widehat X)$, где $\widehat X$ – стандартное разрешение особенностей $X$ (детали см. в [22; введение]). Таблица 1
Мы будем рассматривать эти случаи по отдельности. Мы ищем $G$-бирационально жесткие многообразия, и следующая простая, но очень полезная лемма поможет нам исключить большинство возможностей. Лемма 1. Предположим, что многообразие $X$ является $G$-бирационально жестким. Тогда $G$-орбита особой точки не может иметь длину 1, 2, 3 или 5. Также не существует $\widetilde{G}$-инвариантных прямых в $\mathbb{P}^{3}\supset Q$. Доказательство. Пусть $p$ – особая точка многообразия $X$. Если $p$ является $G$-инвариантной особой точкой, то проекция из образа этой точки в $\mathbb{P}^{3}$ дает нам эквивариантный линк между $X$ и расслоением на коники. Если $G$-орбита точки $p$ состоит из двух точек, то проекция из прямой, проходящей через их образы, дает нам эквивариантный линк с расслоением на рациональные поверхности, которое можно переделать в расслоение Мори с базой положительной размерности. То же самое верно, если мы имеем $\widetilde{G}$-инвариантную прямую в $\mathbb{P}^{3}$.
Если $G$-орбита точки $p$ состоит из трех точек, имеются несколько возможностей. Если их образы в $\mathbb{P}^{3}$ коллинеарны, то мы снова можем применить проекцию из прямой, проходящей через них. Если их образы не коллинеарны, но прямые, проходящие через пары этих точек, лежат на квартике $Q$, то пересечение $Q$ и плоскости, проходящей через орбиту точки $p$, состоит из четырех прямых, поэтому мы имеем $\widetilde{G}$-инвариантную прямую и снова можем применить проекцию из нее. Если же прямые, проходящие через пары этих точек, не лежат на квартике $Q$, то имеется линк из $X$ в другое расслоение Мори согласно [4; предложение 3.4]. Если $G$-орбита точки $p$ состоит из пяти точек, то их образы в $\mathbb{P}^{3}$ лежат в общем положении. Действительно, если они лежат в одной плоскости, то пересечение этой плоскости и квартики $Q$ является кривой степени $4$ с пятью особыми точками одного типа. Следовательно, либо эта кривая является объединением четырех прямых в общем положении, либо это двойная коника. В первом случае шестая особая точка является $G$-инвариантной точкой, и поэтому группа $G$ не может действовать транзитивно на пяти особых точках (более того, одна из них $G$-инвариантна). Во втором случае имеется шестая $G$-инвариантная особая точка $Q$, лежащая на нашей двойной конике (см. предложение 1 ниже), поэтому мы можем применить проекцию из этой точки. Таким образом, эти точки лежат в общем положении, и мы можем рассмотреть семейство скрученных кубик, проходящих через них. Хорошо известно, что через шесть точек в общем положении проходит единственная скрученная кубика. Поскольку $C\cdot Q=12$, общая скрученная кубика пересекает квартику $Q$ в пяти нодах и двух дополнительных точках. Таким образом, прообраз общей скрученной кубики является рациональной кривой, и мы имеем структуру $G$-эквивариантного расслоения на рациональные кривые на $X$, и оно не может быть $G$-бирационально жестким. Лемма доказана. Следствие 1. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ не может содержать циклическую подгруппу индекса $1$ или $2$. В частности, она не может быть циклической или диэдральной. Доказательство. Если $g$ – элемент конечного порядка в $\operatorname{PGL}_{4}(\operatorname{k})$, то имеются по крайней мере четыре $g$-фиксированных точки в $\mathbb{P}^{3}$ в общем положении. В любом случае мы можем найти пару $\widetilde{G}$-фиксированных точек или $\widetilde{G}$-орбиту длины 2, так что мы имеем $\widetilde{G}$-инвариантную прямую для любой группы $G$. Замечание 2. Допустим, что $[p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}]$ образуют $G$-орбиту из особых точек в общем положении. Мы можем считать, что их образы в $\mathbb{P}^{3}$ имеют координаты $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$. Тогда уравнение квартики $Q$ имеет степень не выше $2$ по любой переменной. Таким образом, имеется бирациональное отображение $\mathbb{P}(2, 1, 1, 1, 1)\dashrightarrow \mathbb{P}(2, 1, 1, 1, 1)$, которое можно явно задать следующей формулой: Легко проверить, что в общем случае это отображение преобразует двойное накрытие $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике в другое двойное накрытие $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике. Таким образом, $G$-бирациональная жесткость $X$ дает нам сильное ограничение на коэффициенты уравнения квартики $Q$. Но если уравнение $X$ симметрично относительно переменных $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, то это преобразование автоматически является бирациональным преобразованием $X$. Определение 3. Под плоскостью на многообразии дель Пеццо $X$ мы понимаем неприводимую поверхность $\Pi\subset X$ такую, что $(-\frac{1}{2}K_{X})^{2}\cdot\Pi=1$. Предложение 1. Пусть $H\subset\mathbb{P}^{3}$ – плоскость такая, что $H\cap Q$ является двойной коникой (мы будем называть такие плоскости тропами). Тогда прообраз $\pi^{-1}(H)$ состоит из двух плоскостей на $X$, и любая плоскость на $X$ может быть получена таким способом. Любая плоскость на $X$ содержит ровно шесть нодов, и любая пара тропов содержит ровно два общих нода. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе утверждение легко получается прямыми вычислениями в координатах. Действительно, мы можем считать, что $H$ задано уравнением $x_{0}=0$, а $Q$ имеет уравнение вида Особенности на $H$ задаются уравнением $x_{0}=F_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3})=G_{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3})=0$, и их ровно шесть (если пересечение соответствующих поверхностей не трансверсально в какой-то точке, то она является более сложной особенностью, чем нод). Предложение доказано. Следствие 2. Многообразие $X$ типа $21^{\circ}$ в теореме 2 никогда не является $G$-бирационально жестким. Действительно, в этом случае имеются ровно два тропа. Пересечение этих тропов является $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантной прямой, что невозможно по лемме 1. Все остальные типы мы изучим по отдельности в следующих параграфах. § 3. Случай $26^{\circ}$Многообразия этого типа были недавно изучены И. Чельцовым. В работе [5] он доказал, что все эти многообразия $\operatorname{Aut}(X)$-бирационально сверхжесткие. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{4}\rtimes H$, где $H$ – подгруппа в $\mathfrak{S}_{6}$ и $\operatorname{PGL}_{2}(\operatorname{k})$, которая сохраняет шестерку точек на $\mathbb{P}^{1}$ (см. [5; лемма 10]). Более точно, И. Чельцов доказал следующую теорему. Теорема 3 (см. [5; теорема 17]). Пусть $X$ – двойное накрытие $\mathbb{P}^{3}$ с ветвлением в квартике с $16$ нодами, а $G\,{\subset}\operatorname{Aut}(X)$ – подгруппа такая, что $\operatorname{Cl}^{G}(X){\kern1pt}{\simeq}{\kern1pt}\mathbb{Z}$ и $\mathfrak{C}_{2}^{4}\subset \widetilde{G}$. Тогда многообразие $X$ $G$-бирационально сверхжесткое. Замечание 3. Условие $\mathfrak{C}_{2}^{4}\subset \widetilde{G}$ не является обязательным, поэтому вопрос классификации всех подгрупп $G\subset\operatorname{Aut}(X)$ таких, что многообразие $X$ является $G$-бирационально жестким, все еще открыт. § 4. Случай $25^{\circ}$Этот случай был полностью изучен в прошлой работе автора [4]. Главный результат [4] состоит в следующем. Предложение 2. Многообразие $X$ является $G$-бирационально жестким только в следующей ситуации: многообразие можно задать уравнением в $\mathbb{P}(2, 1, 1, 1, 1, 1)$, а $G$ изоморфна $\mathfrak{S}_{5}\times \mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{A}_{5}\times \mathfrak{C}_{2}$ или $\mathfrak{S}_{5}$ (подкрученная подгруппа в $\mathfrak{S}_{5}\times \mathfrak{C}_{2}$, не совпадающая с первым сомножителем). Более того, в этом случае $X$ является $G$-бирационально сверхжестким. § 5. Случай $24^{\circ}$В этом случае $X$ имеет малую $\mathbb{Q}$-факториализацию $\widetilde{X}$, которая является раздутием особого трехмерного многообразия дель Пеццо $Y$ степени $5$ в трех точках $p_{1}$, $p_{2}$ и $p_{3}$. Многообразие $Y$ имеет группу классов дивизоров ранга 2. Более того, $Y$ имеет ровно один нод и встраивается в следующую диаграмму: где $\xi$, $\xi^+$ – малые $\mathbb{Q}$-факториализации, $\widehat Y \dashrightarrow \widehat Y^+$ – флоп, $f$ – $\mathbb{P}^{1}$-расслоение и $f^+$ – расслоение на квартики (см. [22; теорема 5.2]; см. также [18; теоремы 3.5 и 3.6] для детального описания $\widehat Y$ и $\widehat Y^+$).Многообразие $X$ имеет $14$ нодов и содержит $12$ плоскостей, поэтому квартика $Q$ также имеет $14$ нодов и шесть тропов. Лемма 2. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ действует на конфигурации особых точек и тропов, и это действие точное. Доказательство. Очевидно, группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ переставляет особые точки и тропы и сохраняет отношение “особенность лежит на тропе”. Если элемент $g\in\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ сохраняет все особые точки, то существует плоскость в $\mathbb{P}^{3}$, содержащая $13$ особых точек или прямая, содержащая как минимум семь особых точек (поскольку множество неподвижных точек элемента $\operatorname{PGL}_{4}(\operatorname{k})$ является проективизацией собственных подпространств соответствующего элемента в $\operatorname{GL}_{4}(\operatorname{k})$), что невозможно. Лемма доказана. Пусть $\sigma\colon \widetilde{Y}\to Y$ – раздутие единственной особой точки. Тогда $\widetilde{Y}$ – гладкое трехмерное многообразие Фано ранга Пикара $3$. Действительно, поскольку $-K_{\widetilde{Y}}=-\sigma^{*}(K_{Y})-E$, антиканоническая линейная система является собственным прообразом системы квадрик в $\mathbb{P}^{6}$, проходящих через особую точку (здесь мы рассматриваем полуантиканоническое вложение $Y\subset\mathbb{P}^{6}$). Очевидно, эта линейная система разделяет точки и касательные векторы в особой точке, поэтому является очень обильной. Несложно вычислить, что $(-K_{\widetilde{Y}})^{3}=38$. Согласно [21] имеются три семейства многообразий с такими свойствами: раздутие гладкой квартики в двух точках в общем положении; раздутие квартики в двух скрещивающихся прямых; раздутие $\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{2}$ с гладкой кривой $C$ бистепени $(2, 1)$. В первых двух случаях нет поверхности $S\subset \widetilde{Y}$, изоморфной $\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ с $\mathcal{O}_{S}(S)\simeq \mathcal{O}(-1, -1)$. В последнем случае $S$ является собственным прообразом единственного дивизора $D$ бистепени $(0, 1)$, который содержит $C$. Пусть $E$ – исключительный дивизор раздутия $C$. Тогда точки $p_{i}$ не лежат на собственном прообразе $E$, поскольку иначе прямая на $E$, проходящая через $p_{i}$, имеет отрицательно пересечение с $-K_{\widetilde{Y}}$, что невозможно. Таким образом, мы имеем последовательность морфизмов
$$
\begin{equation*}
X\leftarrow \widetilde{X}\leftarrow \widetilde{Y}'\to \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{2},
\end{equation*}
\notag
$$
где первый морфизм – стягивание 13 кривых, имеющих нулевое пересечение с каноническим классом, второй морфизм – стягивание собственного прообраза дивизора $D$ и последний морфизм – раздутие кривой $C$ и трех точек $p_{i}'$. Лемма 3. Особые точки $X$ являются образами следующих подмногообразий в $\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{2}$: Плоскости на $X$ являются собственными прообразами следующих поверхностей: Доказательство. Легко проверить, что описанные выше многообразия дают нам особые точки и плоскости. Поскольку имеется ровно 14 нодов и 12 плоскостей, мы описали их все. Лемма доказана. Следствие 3. Ноды на квартике $Q$ и тропы образуют конфигурацию, которую можно получить из $(15_{4}, 10_{6})$-конфигурации (см., например, [16]) нодов и тропов на квартике с $15$ нодами (детали см. в [4]), удалив один нод и четыре тропа, которые его содержат. Будем называть эту конфигурацию $(14, 6_{6})$-конфигурацией: каждый троп содержит шесть нодов, восемь нодов лежат на трех тропах, а оставшиеся шесть нодов лежат на двух тропах. Замечание 4. Можно визуализировать эту конфигурацию следующим способом: тропы – грани куба, ноды – вершины куба и центры граней, каждый троп содержит пять нодов, лежащих на соответствующей грани, и центр противоположной грани. Лемма 4. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ является подгруппой $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$ (группы симметрий куба). Доказательство. Из прошлого замечания мы имеет естественный гомоморфизм из $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ в группу симметрий куба. Теперь нам нужно показать, что этот гомоморфизм инъективен. Допустим, что автоморфизм $g\in \widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ фиксирует четыре нода, соответствующие четырем вершинам куба, лежащих на трех ребрах с общей вершиной. Без ограничения общности мы можем считать, что эти ноды имеют координаты $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$. Действие автоморфизма $g$ диагонально в этих координатах: $g(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})=(\alpha_{0}x_{0}:\alpha_{1}x_{1} :\alpha_{2}x_{2}:\alpha_{3}x_{3})$. Все тропы $g$-инвариантны. Три из них имеют уравнения вида $x_{i}=0$, $i=1, 2, 3$, они $g$-инвариантны автоматически. Оставшиеся три тропа имеют уравнения $a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=0$, $a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{23}x_{3}=0$ и $a_{30}x_{0}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=0$, и они $g$-инвариантны, если $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}$, $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{3}$ и $\alpha_{0}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$ соответственно. Таким образом, все $\alpha_i$, $i=0,1,2,3$, равны и $g$ – тривиальный автоморфизм. Лемма доказана. Лемма 5. Нормальная подгруппа $\mathfrak{C}_{2}^{3}\subset \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$ действует на множестве тропов с тремя орбитами длины $2$. Нод, лежащий на двух тропах в одной орбите, не лежит ни на каком другом тропе. Как следствие, если $X$ является $G$-бирационально жестким, то имеется $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная тройка скрещивающихся или копланарных прямых в $\mathbb{P}^{3}$. Доказательство. Первые два утверждения – простые наблюдения. Таким образом, мы имеем три $\mathfrak{C}_{2}^{3}$-инвариантные прямые $l_{1}$, $l_{2}$ и $l_{3}$ (пересечения двух тропов), которые образуют $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантную тройку прямых. Поскольку многообразие $X$ является $G$-бирационально жестким, нет $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантных прямых по лемме 1, и имеются три возможности: прямые могут быть скрещивающимися, копланарными или пересекающимися в одной точке.
Если эти три прямые пересекаются в одной точке, то эта точка – общая для всех тропов и не является нодом. Рассмотрим три тропа, имеющие общий нод. Эти тропы имеют две общие точки, а значит, пересекаются по прямой и, следовательно, имеют второй общий нод, что невозможно в нашем случае (это легко видеть из следствия 3). Лемма доказана. Доказательство. Допустим, что прямые скрещиваются. В этом случае мы имеем $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантную квадрику такую, что наши прямые лежат в одном семействе прямых на ней. Мы знаем, что группа $\mathfrak{C}_{2}^{3}\cap\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ сохраняет каждую прямую в нашей тройке, поэтому она сохраняет каждую прямую в семействе. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)/(\mathfrak{C}_{2}^{3} \cap\widetilde{\operatorname{Aut}}(X))$ является подгруппой $\mathfrak{S}_{3}$. Если это циклическая группа, то мы имеем две $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантные прямые в семействе, но это невозможно по лемме 1. Следовательно, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)/(\mathfrak{C}_{2}^{3} \cap\widetilde{\operatorname{Aut}}(X))\simeq \mathfrak{S}_{3}$ и $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq\mathfrak{S}_{4}$ (имеются две такие подгруппы) или $\mathfrak{S}_{4}\times\mathfrak{C}_{2}$. Если $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq\mathfrak{S}_{4}\times\mathfrak{C}_{2}$, то имеется вложение группы $\mathfrak{S}_{4}\times\mathfrak{C}_{2}$ в $\operatorname{PGL}_{2}(\operatorname{k})$ (оно происходит из действия группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ на втором семействе прямых на инвариантной квадрике), но это невозможно. Таким образом, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq\mathfrak{S}_{4}$ и действует следующим образом: она действует на $\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ как $\mathfrak{S}_{3}$ на первом сомножителе и как $\mathfrak{S}_{4}$ на втором сомножителе.
Прямая $l_{j}$ $\mathfrak{D}_{8}$-инвариантна, и имеется единственная $\mathfrak{D}_{8}$-инвариантная пара точек на $l_{j}$. Эти точки должны быть особыми точками квартики $Q$ (обозначим их через $p_{j, 1}$ и $p_{j, 2}$). Также можно легко описать тропы $P_{j, 1}$ и $P_{j, 2}$, которые содержат $l_{j}$: они порождены $l_{j}$ и прямыми в другом семействе прямых на квартике, проходящих через $p_{j, 1}$ или $p_{j, 2}$ соответственно. Таким образом, мы можем вычислить оставшиеся восемь нодов – это пересечения $P_{1, k}\cap P_{2, l}\cap P_{3, m}$, где $k, l, m\in\{1, 2\}$. Теперь мы явно вычислим эти точки. Предположим, что наша квадрика является образом вложения $\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}\to \mathbb{P}^{3}, ((x:y), (p:q))\mapsto (xp:yp:xq:yq)$. Допустим, что группа $\mathfrak{S}_{4}$ действует на втором сомножителе $\mathbb{P}^{1}$ с порождающими, заданными матрицами Также мы допустим, что $l_{1}$ – образ $(1:0)\times \mathbb{P}^{1}$, $l_{2}$ – образ $(0:1)\times \mathbb{P}^{1}$ и $l_{3}$ – образ $(1:1)\times \mathbb{P}^{1}$ (теперь несложно вычислить, как $\mathfrak{S}_{4}$ действует на первой $\mathbb{P}^{1}$, но нам не потребуется это вычисление). Теперь мы можем вычислить все тропы и координаты всех особых точек. Например, троп $P_{1, 1}$ имеет уравнение $x_{2}=x_{3}$ и содержит особые точки с координатами $(1:1:0:0)$, $(1:-1:0:0)$, $(1+i:0:1:1)$, $(0:1-i:1:1)$, $(1+i:0:1:1)$, $(0:1-i:1:1)$. Можно проверить, что эти точки не лежат на конике, противоречие. Лемма доказана.Теперь мы предположим, что прямые $l_{j}$ копланарны. Обозначим через $P$ плоскость, проходящую через прямые $l_{j}$. Поскольку она содержит шесть нодов квартики $Q$ и пересечение $P\cap Q$ – не двойная коника, это пересечение является объединением четырех прямых в общем положении. Таким образом, мы имеем естественное отображение из $\widetilde{G}$ в группу перестановок четырех прямых. Лемма 7. Или это отображение инъективно, или его ядро изоморфно $\mathfrak{C}_{2}$. Если $X$ $G$-бирационально жестко, то образ этого отображения изоморфен или $\mathfrak{A}_{4}$, или $\mathfrak{S}_{4}$. Действие $\widetilde{G}$ на $P$ является проективизацией неприводимого трехмерного представления. Доказательство. Очевидно, только тривиальное преобразование плоскости $P$ сохраняет все прямые в $P\cap Q$. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ является подгруппой в $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, и только $\mathfrak{C}_{2}$ может действовать тривиально на множестве $P\cap\operatorname{Sing}(Q)$ и, следовательно, на $P$ (это легко видеть, посмотрев на действие группы автоморфизмов на $(14, 6_{6})$-конфигурации). Это доказывает первое утверждение. Если образ этого отображения не совпадает с $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$, то мы имеем $\widetilde{G}$-инвариантную прямую ($l_{j}$ или прямую в $P\cap Q$).
Третье утверждение легко выводится из того факта, что группа $\operatorname{PGL}_{3}(\operatorname{k})$ действует транзитивно на множестве четверок прямых в общем положении, а проективизация трехмерного представления группы $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$ имеет инвариантную четверку прямых. Лемма доказана. Доказательство. Пусть $\widehat{G}\subset \operatorname{SL}_{4}(\operatorname{k})$ – прообраз группы $\widetilde{G}\subset \operatorname{PGL}_{4}(\operatorname{k})$. Это конечная группа, и стандартное представление $\widehat{G}$ содержит трехмерное подпредставление, соответствующее плоскости $P$. Таким образом, оно содержит также одномерное подпредставление, которому соответствует точка $p$. Лемма доказана. Лемма 9. $\mathbb{P}^{3}$ как $\widetilde{G}$-многообразие изоморфно проективизации четырехмерного представления группы $\widetilde{G}$. Доказательство. Построим это представление явно. Пусть $\mathbb{P}^{3}=\mathbb{P}(V)$, $P=\mathbb{P}(U)$ и $p=\mathbb{P}(W)$, где $U, W\subset V$ – соответствующие векторные подпространства размерностей $3$ и $1$ соответственно. Как мы заметили выше, мы можем рассматривать $U$ как стандартное трехмерное представление $\widetilde{G}$. Затем мы можем определить единственным образом действие $\widetilde{G}$ на $W$ и, следовательно, на $V$ так, чтобы оно было согласовано с действием на $\mathbb{P}^{3}$. Очевидно, это действие является представлением. Лемма доказана. Доказательство. Тензорное произведение единственного трехмерного неприводимого представления группы $\mathfrak{A}_{4}$ с любым одномерным представлением изоморфно исходному представлению. Таким образом, $V$ как представление группы $\mathfrak{A}_{4}$ является тензорным произведением стандартного четырехмерного представления с некоторым одномерным представлением. Но все такие представления имеют одну и ту же проективизацию. Доказательство. Допустим, что $P$ имеет уравнение $x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$. Из предыдущей леммы мы можем предположить, что одна прямая в $P\cap Q$ имеет уравнение $x_{0}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,{=}\,0$, а прямая $l_{1}$ имеет уравнение $x_{0}+x_{1}=x_{2}+x_{3}\,{=}\,0$. Следовательно, троп $P_{1, 1}$ имеет уравнение $x_{0}+x_{1}+\alpha(x_{2}+x_{3})=0$, $\alpha\neq\pm 1$. Теперь мы можем легко вычислить уравнения всех остальных тропов и координаты особых точек $Q$. Троп $P_{1, 1}$ содержит особые точки квартики $Q$ с координатами $(0:0:1:-1)$, $(1:-1:0:0)$, $(-1-2\alpha:1:1:1)$, $(1:1:-(2+\alpha)/\alpha:1)$, $(1:-1-2\alpha:1:1)$ и $(-\alpha/(2+\alpha):-\alpha/(2+\alpha):-\alpha/(2+\alpha):1)$. Несложно проверить, что единственная кривая степени $2$, проходящая через них, является объединением двух прямых, противоречие. Лемма доказана. Как следствие из лемм 5, 6 и 11 мы получаем следующее предложение. Доказательство. Если многообразие $X$ $G$-бирационально жесткое, то прямые $l_{i}$ не могут пересекаться в одной точке по лемме 5, не могут быть скрещивающимися по лемме 6 и не могут быть копланарными по лемме 11. Противоречие. Предложение доказано.
§ 6. Случай $23^{\circ}$В этом случае $X$ имеет малую $\mathbb{Q}$-факториализацию $\widetilde{X}$, которая является раздутием $V_{5}$ в трех точках $p_{1}$, $p_{2}$ и $p_{3}$, где $V_{5}$ – гладкое многообразие дель Пеццо степени $5$. Эти точки должны быть в общем положении, т.е. никакие две из них не лежат на одной прямой на $V_{5}$, и все они не лежат на конике на $V_{5}$. Доказательство. В этом случае есть ровно три тропа. Каждый из них содержит шесть нодов, и любые два содержат два общих нода. Если их единственная общая точка является нодом, то этот нод автоматически $\widetilde{G}$-инвариантен. Если их общая точка не является нодом, то тропы содержат $12$ нодов, в то время как всего имеется $13$ нодов на квартике $Q$, следовательно, оставшийся нод $\widetilde{G}$-инвариантен. В любом случае многообразие $X$ не $G$-бирационально жестко. Предложение доказано. Замечание 5. На самом деле можно показать, что тропы содержат общую особую точку (даже если мы разрешим более сложные особенности). Тропы являются образами исключительных дивизоров раздутия $\widetilde{X}\to V_{5}$. Известно, что схема Гильберта подсхем $C\subset V_{5}$ с полиномом Гильберта $3t+1$ изоморфна $\operatorname{Gr}(2, 5)$ (см. [29; предложение 2.46]), а поэтому она шестимерна. Затем можно показать, что имеется (возможно, приводимая) кривая в этом семействе, проходящая через $p_{1}$, $p_{2}$ и $p_{3}$. Отображение $\widetilde{X}\to X$ стягивает собственный прообраз этой кривой в особую точку многообразия $X$, и ее образ в $\mathbb{P}^{3}$ лежит на всех тропах. § 7. Случай $22^{\circ}$В этом случае имеется ровно восемь плоскостей на $X$, следовательно, есть ровно четыре тропа. Обозначим их через $P_{i}$, $i=0,\dots, 3$. Поскольку не существует $\widetilde{G}$-инвариантных прямых, имеются ровно две возможности: или все тропы имеют общую точку, и никакие три из них не имеют общей прямой, или они находятся в общем положении. 7.1. Случай четырех тропов, имеющих общую точкуДалее все леммы, которые не имеют доказательств, доказываются аналогично леммам из § 5 (изучение случая $24^{\circ}$). Лемма 12. Предположим, что все тропы $P_{i}$ имеют общую точку $p$. Тогда существует $\widetilde{G}$-инвариантная плоскость $P$, не содержащая точку $p$. Имеется короткая точная последовательность где группа $G'$ действует тривиально на плоскости $P$, а $G''$ действует точно на $P$. Доказательство. Прямая $P_{0}\cap P_{1}$ $G'$-инвариантна. Она содержит две $G'$-неподвижные точки ($p$ и $P_{0}\cap P_{1}\cap P$) и два нода квартики $Q$. Следовательно, $G'\simeq \mathfrak{C}_{2}$ или $G'$ тривиальна. Лемма доказана. Лемма 14. Группа $G''$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$. Действие $G''$ на $P$ является проективизацией неприводимого трехмерного представления. Лемма 15. $\mathbb{P}^{3}$ как $\widetilde{G}$-многообразие изоморфно проективизации четырехмерного представления группы $\widetilde{G}$. Следствие 4. $G$ изоморфна одной из следующих групп: $\mathfrak{A}_{4}$, $\mathfrak{S}_{4}$, $\mathfrak{A}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$ или $\mathfrak{A}_{4}\rtimes \mathfrak{C}_{4}$. Доказательство. Если $G'\simeq \mathfrak{C}_{2}$, то $G$ является центральным расширением $G''$ с помощью $\mathfrak{C}_{2}$, причем $\mathfrak{C}_{2}$ не лежит в коммутаторе $G$, поскольку иначе $G'$ действовала бы тривиально на $V$. Все возможные варианты таких групп перечислены в формулировке леммы. Лемма 17. В некоторых координатах квартика $Q$ имеет симметричное уравнение относительно группы $\mathfrak{S}_{4}$, действующей перестановкой координат. Доказательство. Уравнение квартики порождает одномерное подпредставление группы $\mathfrak{A}_{4}$ (которая действует перестановкой координат) в пространстве квадратичных форм. Таким образом, оно либо симметрично, либо имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & A\bigl(x_{0}^{3}x_{1}+x_{1}^{3}x_{0}+x_{2}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{2} +\xi(x_{0}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{0}+x_{1}^{3}x_{3} +x_{3}^{3}x_{1}) \\ &\qquad\qquad+\xi^{2}(x_{0}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{0} +x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{1})\bigr) \\ &\qquad+B\bigl(x_{0}^{2}x_{1}x_{2} +x_{1}^{2}x_{0}x_{3}+x_{2}^{2}x_{0}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2} +\xi(x_{0}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3} \\ &\qquad\qquad+x_{2}^{2}x_{0}x_{1}+x_{3}^{2}x_{0}x_{1}) +\xi^{2}(x_{0}^{2}x_{1}x_{3} +x_{1}^{2}x_{0}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{0}x_{2})\bigr) \\ &\qquad+C\bigl(x_{0}^{2}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}^{2} \\ &\qquad\qquad+\xi(x_{0}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}) +\xi^2(x_{0}^{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2})\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi$ – примитивный кубический корень из единицы. Мы знаем, что пересечение $Q$ с $P_{0}$ – двойная коника. Поскольку плоскость $P_{0}$ $\mathfrak{C}_{3}$-инвариантна и проходит через точку $(1:1:1:1)$, мы можем считать, что ее уравнение имеет вид $x_{0}=\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})$, $x_{1}+\xi x_{2}+\xi^{2} x_{3}=0$ или $x_{1}+\xi^2 x_{2}+\xi x_{3}=0$. Можно проверить, что во втором случае уравнение $Q\cap P_{0}$ имеет вид $(x_{3}-x_{2})^{2}F_{A, B, C}(x_{0}, x_{2}, x_{3})$, а в третьем случае оно имеет вид $(x_{3}-x_{2})G_{A, B, C}(x_{0}, x_{2}, x_{3})$, где $F_{A, B, C}$ и $G_{A, B, C}$ – некоторые квадратичная и кубическая формы соответственно, зависящие от $A$, $B$ и $C$. Таким образом, в этих случаях $Q\cap P_{0}$ не является двойной коникой.
В первом случае мы имеем $Q(\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}), x_{1}, x_{2}, x_{3})=R(x_{1}, x_{2}, x_{3})^2$. Очевидно, $R$ – это полуинвариантный многочлен относительно действия $\mathfrak{C}_{3}\subset \mathfrak{A}_{4}$, поэтому мы можем считать, что Выписывая явно уравнения на коэффициенты $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, которые мы получаем из равенства $Q(\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}), x_{1}, x_{2}, x_{3})=R(x_{1}, x_{2}, x_{3})^2$, мы видим, что $C=\frac{1}{2}(5A+\xi B)$ и либо $A=0$, либо $B=2A$. В первом случае $R=D(x_{1}+\xi x_{2}+\xi^2 x_{3})^2$, а во втором случае $R=D(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}+\xi^2 x_{2}+\xi x_{3})$, что невозможно. Лемма доказана.Предложение 5. В некоторых координатах квартика $Q$ имеет уравнение где $e=-5b-7d$, $c=\frac{1}{36}(-59b-37d)$, $a=\frac{1}{72}(-29b+5d)$. Доказательство. Мы знаем, что плоскость $P_{0}$ задается уравнением $x_{0}=\frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3})$. Также мы знаем, что квартика $Q$ особа в некоторой точке прямой $P_{0}\cap P_{1}$. Заметим, что мы можем применить преобразование которое по сути является заменой базисного вектора в $W$. Такие преобразование действуют транзитивно на прямой $P_{0}\cap P_{1}$ без двух точек $p$ и $P_{0}\cap P_{1}\cap P$, так что мы можем считать без потери общности, что квартика $Q$ особа в точке $(1/2:1/2:0:1)$. Теперь мы можем решить соответствующую систему уравнений и получить требуемые условия на коэффициенты. Затем с помощью прямых вычислений можно проверить, что для этих коэффициентов $Q\cap P_{0}$ является двойной коникой. Предложение доказано. Это единственное многообразие, которое может быть $G$-бирационально жестким в этом случае. 7.2. Случай четырех плоскостей в общем положенииМожно считать, что $P_{i}$ задано уравнением $x_{i}=0$. Доказательство. Предположим, что $(1:0:0:0)\in Q$. Напомним, что любые два тропа $T_{1}$ и $T_{2}$ имеют две общие особые точки и эти точки в точности $Q\cap T_{1}\cap T_{2}$, поэтому точка $(1:0:0:0)$ – особая точка квартики $Q$. Поскольку орбита особой точки имеет длину как минимум $4$, точки $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$ тоже являются нодами. Каждые два тропа содержат три другие особенности (поскольку каждый из них содержит ровно шесть нодов). Это дает нам всего $16$ особых точек. Поскольку $13$ – максимально возможное число особенностей в данном случае, мы приходим к противоречию. Лемма доказана. Доказательство. Мы знаем, что уравнение квартики $Q$, ограниченной на $P_{0}$, – полный квадрат, а точки $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$ не лежат на $Q$. Без ограничения общности мы можем считать, что коэффициенты при мономах $x_{i}^{4}$ равны $1$ (иначе мы можем сделать диагональную замену координат). Таким образом, мы можем считать, что
Ограничивая на $P_{1}$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) &=(x_{0}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+a_{02}x_{0}x_{2}+a_{03}x_{0}x_{3} +b_{23}x_{2}x_{3})^{2} \\ &\qquad+x_{1}F_{2}(x_{0},x_{1}, x_{2}, x_{3}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что $(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+a_{23} x_{2}x_{3})^{2}=Q|_{P_{0}\cap P_{1}}=(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+b_{23} x_{2}x_{3})^{2}$, поэтому $b_{23}=a_{23}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) &=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+a_{02}x_{0}x_{2} +a_{03}x_{0}x_{3}+a_{12}x_{1}x_{2}+a_{13}x_{1}x_{3} \\ &\qquad+a_{23}x_{2}x_{3})^{2}+x_{0}x_{1}F_{3}(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ограничивая на $P_{2}$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) &=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{3}^{2}+a_{01}x_{0}x_{1} +b_{03}x_{0}x_{3}+b_{13}x_{1}x_{3})^{2} \\ &\qquad+x_{2}F_{4}(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из $Q|_{P_{0}\cap P_{2}}$ мы видим, что $b_{13}=a_{13}$, а из $Q|_{P_{1}\cap P_{2}}$ мы видим, что $b_{03}=a_{03}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) &=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+a_{01}x_{0}x_{1} +a_{02}x_{0}x_{2}+a_{03}x_{0}x_{3}+a_{12}x_{1}x_{2} \\ &\qquad+a_{13}x_{1}x_{3}+a_{23}x_{2}x_{3})^{2}+x_{0}x_{1}x_{2}F_{5}(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $Q|_{P_{3}}$ – полный квадрат, мы легко получаем, что $F_{5}(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3})=ax_{3}$, откуда следует требуемая формула.
Если $a=0$, то $Q$ является двойной квадрикой, что невозможно. Лемма доказана. Следствие 5. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ встраивается в точную последовательность где $G'$ – подгруппа $\mathfrak{C}_{2}^{2}$, действующая сменой знаков у четного числа координат, а $G''$ – подгруппа $\mathfrak{S}_{4}$. Предложение 6. Если $G'\simeq \mathfrak{C}_{2}^{2}$, то все $a_{ij}=0$, и $\operatorname{Aut}(X)\simeq \mathfrak{C}_{2}^{2}\rtimes \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. Если $G'\simeq \mathfrak{C}_{2}$, то $X$ не $G$-бирационально жестко. Если $G'$ тривиальна, то $X$ может быть $G$-бирационально жестким, только если в некоторых координатах все $a_{ij}$ равны и $\operatorname{Aut}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть $G'\simeq \mathfrak{C}_{2}$. Тогда мы можем считать без ограничения общности, что $G'$ порождена элементом, меняющим знаки у переменных $x_{2}$ и $x_{3}$. Поэтому все $a_{ij}=0$, кроме $a_{01}$ и $a_{23}$. Если $a_{01}=\pm a_{23}$, то $\widetilde{G}\simeq \mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{2}$, иначе $\widetilde{G}\simeq \mathfrak{C}_{2}^{3}$. В любом случае есть $\widetilde{G}$-инвариантная прямая $x_{0}=x_{1}, x_{2}=x_{3}$, поэтому $X$ не может быть $G$-бирационально жестким. Если $G'$ тривиальна, то $\widetilde{G}$ является подгруппой $\mathfrak{S}_{4}$ и $X$ может быть $G$-бирационально жестким, только если $\widetilde{G}$ содержит $\mathfrak{A}_{4}$. Легко проверить, что это возможно, только если в некоторых координатах все $a_{ij}$ равны. Утверждение, что $\operatorname{Aut}(X)$ является прямым произведением $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ и $\mathfrak{C}_{2}$, очевидно. Предложение доказано. Следовательно, имеется $2$-параметрическое семейство многообразий, которые могут быть $G$-бирационально жесткими. § 8. Случай $20^{\circ}$В этом случае $X$ имеет малую $\mathbb{Q}$-факториализацию $\widetilde{X}$, которая является раздутием нодального трехмерного кубического многообразия $Y$ ранга Пикара $2$ в общей гладкой точке $p$. Такая кубика имеет ровно шесть нодов и две структуры $\mathbb{P}^{1}$-расслоения. По лемме 1 соответствующие особые точки $X$ образуют одну $G$-орбиту (обозначим их образы на $\mathbb{P}^{3}$ через $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_{4}$, $p_{5}$, $p_{6}$). Оставшиеся особые точки многообразия $X$ происходят из прямых, проходящих через точку $p$. Их образы лежат на единственном тропе и образуют $\widetilde{G}$-орбиту, лежащую на конике. Обозначим эти троп и конику через $P$ и $C$ соответственно. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству леммы 8. Имеется короткая точная последовательность где группа $G'$ действует тривиально на $P$, а $G''$ действует точно на $P$. Доказательство. Если группа $G'$ не тривиальна и не циклическая порядка $2$, то либо все точки $p_{i}$ лежат на одной прямой, проходящей через $q$ (в этом случае $G'\simeq \mathfrak{C}_{6}$), либо они лежат на двух прямых, проходящих через $q$ (и в этом случае $G'\simeq \mathfrak{C}_{3}$). В любом случае мы имеем $\widetilde{G}$-инвариантную прямую: в первом случае это прямая, проходящая через точки $p_i$, а во втором случае это пересечение плоскости, проходящей через точки $p_i$ и плоскости $P$. Лемма доказана. Доказательство. Естественное отображение $G''\to\operatorname{PGL}_{2}(\operatorname{k})$ является вложением, поскольку каждый морфизм, действующий тривиально на кривой $C$, действует тривиально на плоскости $P$. Также мы знаем, что группа $G''$ имеет орбиту длины $6$ на конике $C$. Поэтому $G''$ изоморфна $\mathfrak{C}_{6}$, $\mathfrak{S}_{3}$, $\mathfrak{D}_{12}$, $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$. Но если $G''$ изоморфна $\mathfrak{C}_{6}$, $\mathfrak{S}_{3}$ или $\mathfrak{D}_{12}$, то существует $G$-инвариантная пара точек на $C$, поэтому есть $\widetilde{G}$-инвариантная прямая. Лемма доказана. С точностью до сопряжения в $\operatorname{PGL}_{3}(\operatorname{k})$ имеются единственные подгруппы, изоморфные $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$. Их можно построить следующим способом: если $U$ – неприводимое трехмерное представление $G''\simeq\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$, то $\mathbb{P}(U)$ содержит единственную $G''$-инвариантную конику $\widetilde{C}$. Пара $(P, C)$ с действием группы $G''$ изоморфна $(\mathbb{P}(U), \widetilde{C})$. Лемма 23. Проективное пространство $\mathbb{P}^{3}$ с действием группы $\widetilde{G}$ является проективизацией четырехмерного представления группы $\widetilde{G}$. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству леммы 9. Следствие 6. $\widetilde{G}$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$, $\mathfrak{S}_{4}$, $\mathfrak{A}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$ или $\mathfrak{A}_{4}\rtimes \mathfrak{C}_{4}$. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству следствия 4. Лемма 24. В некоторых координатах квартика $Q$ имеет симметричное уравнение относительно перестановки координат. Как следствие, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. Доказательство. По лемме 10 мы можем предположить, что $\mathfrak{A}_{4}\subset\widetilde{G}$ действует на $V$ перестановкой координат. Если уравнение квартики $Q$ не симметрично, то оно имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A\bigl(x_{0}^{3}x_{1}+x_{1}^{3}x_{0}+x_{2}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{2} +\xi(x_{0}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{0}+x_{1}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{1}) \\ &\qquad\qquad+\xi^{2}(x_{0}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{0}+x_{1}^{3}x_{2} +x_{2}^{3}x_{1})\bigr) \\ &\qquad+B\bigl(x_{0}^{2}x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}x_{0}x_{3} +x_{2}^{2}x_{0}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}x_{2}+\xi(x_{0}^{2}x_{2}x_{3} +x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{0}x_{1} \\ &\qquad\qquad+x_{3}^{2}x_{0}x_{1})+\xi^{2}(x_{0}^{2}x_{1}x_{3} +x_{1}^{2}x_{0}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}x_{0}x_{2})\bigr) \\ &\qquad+C\bigl(x_{0}^{2}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}^{2}+\xi(x_{0}^{2}x_{2}^{2} +x_{1}^{2}x_{3}^{2}) +\xi^2(x_{0}^{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2})\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi$ – примитивный корень из единицы степени $3$. Мы также знаем, что квартика $Q$ особа в $G$-орбите длины $6$, следовательно, $Q$ особа в точке $(a:a:b:b)$ для некоторых $a\neq\pm b$. Заметим, что мы можем применить преобразование которое соответствует выбору другого базисного вектора в $1$-мерном подпредставлении $W$. Таким образом, мы можем считать, что квартика $Q$ особа в точке $(1:1:0:0)$. Решая соответствующую систему уравнений, мы видим, что $C=-\xi B$, $A=2\xi B$. Но пересечение такой квартики с плоскостью $P$ не является двойной коникой $2C$. Лемма доказана. Лемма 25. Многообразие $X$ можно задать уравнением для некоторого $A\neq 1$, где $s_{j}=\sum_{i=0}^{3} x_{i}^{j}$. Группа $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. Доказательство. Мы знаем, что пересечение многообразия $X$ с гиперплоскостью $\sum_{i=0}^{3} x_{i}=0$ является двойной коникой. Поэтому уравнение квартики $Q$ имеет вид где $s_{j}=\sum_{i=0}^{3} x_{i}^{j}$. Как и в прошлой лемме, мы можем считать, что квартика $Q$ особа в точке $(1:1:0:0)$. Решая соответствующую систему уравнений, мы получаем требуемую формулу (8.1).
Предположим, что $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. Поскольку $G'$ действует нетривиально на $W$, $\mathfrak{C}_{2}$ действует как $-\operatorname{Id}$ на $W$. Образующая $\mathfrak{C}_{2}$ действует как Можно легко проверить, что такое отображение не сохраняет квартику $Q$. Лемма доказана.Из доказанных лемм мы выводим следующее утверждение. Предложение 7. Многообразие $X$ можно задать уравнением (8.1), группа $\operatorname{Aut}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, а $G\simeq \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{S}_{4}$ (та подгруппа, которая переставляет плоскости на $X$, иначе $X$ не $G$-минимально) или $\mathfrak{A}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$. § 9. Случай $19^{\circ}$В этом случае $X$ является примитивным (т.е. не содержащим плоскостей) трехмерным многообразием дель Пеццо с $\operatorname{rk}\operatorname{Cl}(X)=3$. Теорема 4 (см. [22; теорема 4.2]). В этом случае имеется ровно шесть полных одномерных систем дивизоров Вейля без неподвижных компонент на $X$. Каждая из них определяет структуру расслоения на квадрики на некоторой малой $\mathbb{Q}$-факториализации $X$. Они образуют следующий граф: где две системы соединены отрезком в том и только том случае, если соответствующие расслоения на квадрики пропускаются через общее $\mathbb{P}^{1}$-расслоение. Таким образом, мы имеет следующую естественную короткую точную последовательность: где $G'$ сохраняет все системы $\mathcal{F}_{i}$, а $G''$ – подгруппа в $\mathfrak{D}_{12}$.Замечание 6. Инволюция Гейзера действует на шестиугольнике, как центральная симметрия, поскольку $\mathcal{F}+\theta(\mathcal{F})$ должно быть кратно $-\frac{1}{2}K_{X}$. Пусть $F\in \mathcal{F}_{1}$ – общий член линейной системы, а $\theta(F)$ – соответствующий член линейной системы $-K_{X}-\mathcal{F}_{1}$. Тогда $F+\theta(F)$ является прообразом квадрики относительно двойного накрытия $\pi$. Таким образом, системы $\mathcal{F}_{1}$ и $-K_{X}-\mathcal{F}_{1}$ дают нам семейство квадрик, параметризованное коникой в пространстве всех квадрик, поскольку общая точка $t\in \mathbb{P}^{3}$ лежит на двух квадриках в нашем семействе (две точки в прообразе $\pi^{-1}(t)$ лежат на двух разных элементах линейной системы $\mathcal{F}_{1}$). Мы можем явно задать это семейство следующий образом: где $(p:q)$ параметризует точку в $\mathbb{P}^{1}$, а $Q_{i}=Q_{i}(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})$ – квадратичные формы. Уравнение квартики $Q$ в этом случае всего лишь дискриминант (9.1):Лемма 26. Три квадрики, заданные уравнениями $Q_{i}=0$, пересекаются трансверсально в восьми точках (мы будем обозначать квадрики теми же буквами, что используются в их уравнениях). Эти точки являются нодами квартики $Q$. Доказательство. Очевидно, общие точки квадрик $Q_{i}$ являются особыми точками $Q$, поэтому их конечное число. Пусть $p$ – одна из этих точек. Если $Q_{i}$ особа в точке $p$ для некоторого $i$, тогда локально уравнение $Q_{i}$ в этой точке не содержит линейного члена, поэтому уравнение квартики $Q$ не может иметь квадратичную часть максимального ранга. То же самое верно, если касательные плоскости к квадрикам $Q_{i}$ не находятся в общем положении. Лемма доказана. Теперь мы рассмотрим уравнение (9.1) как квадратичную форму от переменных $x_{i}$, чьи коэффициенты являются квадратичными многочленами от $p$, $q$. Пусть $M(p:q)$ – соответствующая симметричная матрица. Ее определитель является многочленом степени $8$ (мы обозначим этот многочлен $D(p:q)$), поэтому в общей ситуации в нашем семействе есть восемь особых членов. Но в нашем случае ситуация другая. Лемма 27. Пусть $s$ – нод квартики $Q$, не являющийся точкой пересечения квадрик $Q_{i}$. Тогда эта точка является вершиной особого члена системы (9.1), который соответствует корню многочлена $D(p:q)$ кратности как минимум $2$. Более того, если $Q_{1}$ является этим членом, то $s\in Q_{2}$. Доказательство. Поскольку $s$ – точка квартики $Q$, она лежит только на одном члене семейства (9.1). Можно считать, что это квадрика $Q_{1}$, поэтому $(p:q)=(1:0)$. Так как $s\in Q$, а уравнение $Q$ – это $Q_{2}^{2}-4Q_{1}Q_{3}=0$, мы видим, что $s\in Q_{2}$ и $s\notin Q_{3}$. Следовательно, если $s$ – гладкая точка квадрики $Q_{1}$, то она является гладкой точкой $Q$, поскольку линейные члены уравнения $Q$ и $Q_{1}$ пропорциональны с ненулевым коэффициентом в окрестности $s$. Предположим, что $Q_{1}$ особа вдоль прямой. Если $Q_{1}$ – двойная плоскость, то $Q$ особа вдоль кривой $Q_{1}\cap Q_{2}$. Если $Q_{1}$ – пара плоскостей, то пересечение одной из них с $Q$ является двойной коникой, поэтому многообразие $X$ содержит плоскости, что неверно в нашем случае.
Можно считать, что $s=(1:0:0:0)$. Поскольку $Q_{1}$ особа в точке $s$, ее уравнение не содержит мономов $x_{0}^{2}$ и $x_{0}x_{i}$. Также мы знаем, что $Q_{2}$ содержит $s$, поэтому ее уравнение не содержит монома $x_{0}^2$. Следовательно, левый верхний угол матрицы $M(p:q)$ делится на $q^{2}$, а все элементы в верхней строке и левом столбце делятся на $q$. Это влечет, что $D(p:q)$ делится на $q^{2}$, поэтому $(1:0)$ – кратный корень этого многочлена. Лемма доказана. Следствие 7. $D(p:q)$ имеет ровно четыре различных корня кратности $2$, а вершины соответствующих квадрик являются четырьмя недостающими нодами квартики $Q$. Доказательство. Предположим, что три вершины коллинеарны. Мы можем считать, что квадрики $Q_{1}$, $Q_{3}$ и $Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}$ особы в точках $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$ и $(1:1:0:0)$ соответственно. Можно решить систему уравнений на коэффициенты квадрик, которая получается из этих особенностей, и увидеть, что все квадрики $Q_{i}$ содержат прямую $x_{0}=x_{1}=0$, поэтому квартика $Q$ особа вдоль этой прямой.
Предположим, что четыре вершины копланарны. Мы можем считать, что квадрики $Q_{1}$, $Q_{3}$, $Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}$ и $t^{2}Q_{1}+tQ_{2}+Q_{3}$ особы в точках $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(1:1:1:0)$ соответственно. Можно решить систему уравнений на коэффициенты квадрик, которая получается из этих особенностей, и увидеть, что $Q|_{x_{3}=0}$ – двойная коника, поэтому многообразие $X$ содержит плоскости, а это не наш случай. Лемма доказана. Предположим, что $(1:0)$, $(0:1)$, $(1:1)$ и $(t:1)$ – корни $D(p:q)$, а $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$ – вершины соответствующих квадрик. Мы будем называть эти точки базисными нодами квартики $Q$. Используя тот факт, что $Q_{1}$ особа в $(1:0:0:0)$, $Q_{3}$ особа в $(0:1:0:0)$, $Q_{2}$ содержит $(1:0:0:0)$ и $(0:1:0:0)$, $Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}$ особа в $(0:0:1:0)$ и $t^{2}Q_{1}+tQ_{2}+Q_{3}$ особа в $(0:0:0:1)$, мы получаем следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_{1}&=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{3}^{2} +a_{12}x_{1}x_{2}+a_{13}x_{1}x_{3}+a_{23}x_{2}x_{3}, \\ Q_{3}&=b_{0}x_{0}^{2}+b_{2}x_{2}^{2}+b_{3}x_{3}^{2} +b_{02}x_{0}x_{2}+b_{03}x_{0}x_{3}+ta_{23}x_{2}x_{3}, \\ Q_{2}&=(-a_{2}-b_{2})x_{2}^{2}-\biggl(ta_{3}+\frac{b_{3}}{t}\biggr)x_{3}^{2} +c_{01}x_{0}x_{1}-b_{02}x_{0}x_{2} \\ &\qquad-\frac{b_{03}}{t}x_{0}x_{3} -a_{12}x_{1}x_{2}-ta_{13}x_{1}x_{3} -(1+t)a_{23}x_{2}x_{3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
Теперь мы вводим новые координаты $p'=p-tq$, $q'=p-q$. В этих координатах точка $(p:q)=(1:1)$ становится точкой $(1:0)$, а точка $(p:q)=(t:1)$ – точкой $(0:1)$. В этих координатах уравнение нашей системы переписывается в виде Мы знаем, что $Q_{2}'$ содержит точки $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$. Это дает нам следующие условия на коэффициенты в уравнении (9.2): $a_{2}=b_{2}$, $b_{3}=t^{2}a_{2}$. Кроме того, мы можем применить диагональную замену координат и получить следующую систему:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_{1}&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+a_{13}x_{1}x_{3} +a_{23}x_{2}x_{3}, \\ Q_{3}&=x_{0}^{2}+x_{2}^{2}+t^2x_{3}^{2}+b_{02}x_{0}x_{2} +b_{03}x_{0}x_{3}+ta_{23}x_{2}x_{3}, \\ Q_{2}&=-2x_{2}^{2}-2tx_{3}^{2}+c_{01}x_{0}x_{1}-b_{02}x_{0}x_{2} \\ &\qquad -\frac{b_{03}}{t}x_{0}x_{3}-a_{12}x_{1}x_{2}-ta_{13}x_{1}x_{3} -(1+t)a_{23}x_{2}x_{3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
Обозначим эту систему уравнений через $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$. Теперь наша цель – описать ее группу автоморфизмов для разных параметров. Пусть $G'\subset \operatorname{Aut}(X)$ – подгруппа, которая сохраняет пару систем $\mathcal{F}_{1}$ и $-K_{X}-\mathcal{F}_{1}$. Мы можем считать, что либо $G'=\operatorname{Aut}(X)$, либо $G'$ – подгруппа $\operatorname{Aut}(X)$ индекса $3$ (если индекс равен $2$, то мы можем выбрать другую пару систем). Группа $G'$ содержит инволюцию Гейзера, пусть $H$ – фактор $G'/\mathfrak{C}_{2}$. Тогда $H$ – подгруппа $\operatorname{PGL}_{4}(\operatorname{k})$, которая сохраняет нашу систему квадрик. Имеется естественная короткая точная последовательность где $H'$ сохраняет все члены семейства, а $H''$ действует точно на $\mathbb{P}^{1}$. Группа $H''$ сохраняет четверку точек, соответствующих особым членам системы квадрик. В общей ситуации стабилизатор четверки точек в $\mathbb{P}^{1}$ – это $\mathfrak{C}_{2}\times \mathfrak{C}_{2}$, но если $t=-1, 1/2$ или $2$, то этот стабилизатор равен $\mathfrak{D}_{8}$, а если $t=(1\pm \sqrt{3}i)/2$, то он равен $\mathfrak{A}_{4}$. Группа $H'$ действует сменой знаков у переменных $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ и изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{n}$ для некоторого $0\leqslant n\leqslant 3$.9.1. Вычисление группы $H''$Лемма 29. Предположим, что $H''$ содержит элемент порядка $3$. Тогда верны следующие утверждения. 1. В некоторых координатах $t=(1+\sqrt{3}i)/2$, $a_{12}=a_{13}=a_{23}$, $c_{01}=-b_{02}=-{b_{03}}/{t}$. 2. Группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$ в том и только том случае, если $a_{12}=-c_{01}$, и $\mathfrak{C}_{3}$ иначе. Доказательство. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto \biggl(p+\frac{1}{t-1}q:\frac{1}{t-1}q\biggr), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto \biggl(\frac{x_{0}}{t}:x_{3}:x_{1}:x_{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathbb{P}^{1}$ оно сохраняет $(1:0)$ и переставляет циклически оставшиеся три точки. Оно переводит нашу систему $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$ в $\operatorname{Sys}(t; a_{23}, a_{12}, a_{13}, -b_{03}/{t}, tc_{01}, b_{02})$. После этого мы можем поменять знаки у переменных $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, чтобы получить исходную систему. На самом деле нам нужно проверить только два случая: поменять все знаки или не менять вообще, поскольку мы можем сопрячь наше отображение с диагональным отображением, которое меняет некоторые знаки (т.е. мы можем рассмотреть наше уравнение в другом базисе). В первом случае мы получаем систему которая дает нам $a_{12}=a_{13}=a_{23}$, $b_{02}=b_{03}=c_{01}=0$, а во втором случае мы получаем систему которая дает нам $a_{12}=a_{13}=a_{23}$, $c_{01}=-b_{02}=-{b_{03}}/{t}$. Это доказывает первое утверждение. Отметим, что первый случай является частным случаем второго.
Рассмотрим отображение На $\mathbb{P}^{1}$ оно переставляет $(1:0)$ с $(t:1)$, $(0:1)$ с $(1:1)$. Оно переводит нашу систему $\operatorname{Sys}(t; a, a, a, b, tb, -b)$ в $\operatorname{Sys}(t; a, b, b, a, tb, -a)$. Снова мы можем еще поменять знаки у $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$ во второй системе, но все смены знаков, кроме тривиальной, дают $a=b=0$. Тривиальная смена влечет $a=b$. Это доказывает второе утверждение. Лемма доказана.Замечание 7. Доказательство предыдущего утверждения также дает нам явную формулу для порождающих группы $H$. Лемма 30. Предположим, что $H''$ содержит элемент порядка $4$. Тогда верны следующие утверждения. 1. В некоторых координатах $t=-1$ и либо $a_{12}=a_{13}=b_{02}=b_{03}$, $a_{23}=c_{01}=0$, либо $a_{12}=a_{13}=b_{02}=-b_{03}$, $a_{23}=-c_{01}$. 2. Группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{D}_{8}$. Доказательство. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto (p+q:-p+q), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto\biggl(x_{2}:x_{3}: \frac{x_{1}}{2}:\frac{x_{0}}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathbb{P}^{1}$ оно циклически переставляет точки $(0:1)$, $(1:1)$, $(1:0)$ и $(-1:1)$. Оно преобразует нашу систему $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$ в $\operatorname{Sys}(t; b_{02}, a_{12}, -c_{01}, b_{03}, a_{13}, a_{23})$. Также мы можем поменять знаки у переменных $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ с целью получить исходную систему. Но нам нужно рассмотреть только два случая: поменять все знаки или не менять ничего, поскольку мы можем поменять базис, как в предыдущей лемме. В первом случае мы получаем систему а во втором случае мы получаем систему Это доказывает первое утверждение. Отметим, что первый случай не является частным случаем второго.
Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto (-p:q), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(-x_{0}:x_{1}:x_{3}:x_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathbb{P}^{1}$ оно сохраняет $(1:0)$ и $(0:1)$ и переставляет $(1:1)$ с $(-1:1)$. Оно сохраняет систему $\operatorname{Sys}(t; a, a, b, a, -a, -b)$. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto (-p:q), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{0}:x_{1}:x_{3}:x_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Оно сохраняет систему $\operatorname{Sys}(t; a, a, 0, a, a, 0)$. Это доказывает второе утверждение.
Лемма доказана. Лемма 31. Предположим, что $H''$ содержит элемент порядка $2$, который оставляет на месте два базисных нода, но не содержит элемента порядка $4$. Тогда верны следующие утверждения. 1. В некоторых координатах $t=-1$, и либо (A) $a_{12}=a_{13}$, $b_{02}=b_{03}\neq 0$, $c_{01}=0$, либо (B) $a_{12}=a_{13}$, $b_{02}=-b_{03}$. 2. Группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ в том и только том случае, когда $a_{12}=a_{23}=b_{02}=-b_{03}$. Доказательство. Рассмотрим отображение На $\mathbb{P}^{1}$ оно сохраняет $(1:0)$ и $(0:1)$ и переставляет $(1:1)$ с $(-1:1)$. Оно преобразует нашу систему $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$ в $\operatorname{Sys}(t; a_{13}, a_{12}, a_{23}, b_{03}, b_{02}, -c_{01})$. Мы также можем поменять знаки у переменных $x_{0}$ и $x_{2}$, и это дает нам четыре системы уравнений, которые дают нам два различных варианта из первого утверждения (остальные варианты являются их частными случаями).
Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto (q:p), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{1}:x_{0}:x_{2}:x_{3}).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathbb{P}^{1}$ оно сохраняет $(1:1)$ и $(-1:1)$ и переставляет $(0:1)$ с $(1:0)$. Оно преобразует систему $\operatorname{Sys}(t; a, a, b, c, c, 0)$ в $\operatorname{Sys}(t; c, c, -b, a, a, 0)$, а $\operatorname{Sys}(t; a, a, b, c, -c, d)$ в $\operatorname{Sys}(t; c, -c, -b, a, a, d)$. Также мы можем поменять знаки у переменных $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, и это дает нам восемь систем уравнений в каждом случае, которые дают нам единственный вариант из второго утверждения (все остальные варианты являются частными случаями этого или частными случаями первого утверждения прошлой леммы, т.е. в этом случае $H''$ содержит элемент порядка $4$). Лемма доказана. Лемма 32. Предположим, что $H''$ содержит элемент порядка $2$, который не оставляет неподвижными базисные ноды, а группа $H''$ не была описана в прошлых леммах. Тогда верны следующие утверждения. 1. В некоторых координатах либо (A) $b_{03}=ta_{12}$, $b_{02}=a_{13}$, либо (B) $b_{03}=-ta_{12}$, $b_{02}=a_{13}$, $a_{23}=0$, $c_{01}=0$. 2. Группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ в том и только том случае, если в некоторых координатах либо (A) $b_{03}=ta_{12}$, $b_{02}=a_{13}$, $a_{23}=-c_{01}$, либо (B) $b_{03}=-ta_{12}$, $b_{02}=a_{13}$, $a_{23}=0$, $c_{01}=0$. Доказательство. Рассмотрим отображение
На $\mathbb{P}^{1}$ оно переставляет $(1:0)$ с $(0:1)$ и $(1:1)$ с $(t:1)$. Оно преобразует нашу систему $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$ в $\operatorname{Sys}(t; {b_{03}}/{t}, b_{02}, a_{23}, a_{13}, ta_{12}, c_{01})$. Также мы можем поменять знаки у переменных $x_{0}$ и $x_{2}$, и это дает нам четыре системы уравнений, которые дают два разных варианта, описанных в первом утверждении (оставшиеся варианты являются их частными случаями): (A) имеет место, когда мы не меняем знаки, а (B) – когда мы меняем оба знака. Рассмотрим отображение
$$
\begin{equation*}
(p:q)\mapsto (tp-tq:p-tq), \qquad (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto\biggl(x_{3} :-\frac{x_{2}}{t}:-\frac{x_{1}}{t-1}:\frac{x_{0}}{t^2-t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathbb{P}^{1}$ оно переставляет $(1:1)$ с $(0:1)$, а $(t:1)$ с $(1:0)$. Оно преобразует систему $\operatorname{Sys}(t; a, b, c, b, ta, d)$ в $\operatorname{Sys}(t; a, b, -d, b, ta, -c)$ и сохраняет систему $\operatorname{Sys}(t; a, b, 0, b, -ta, 0)$. Также мы можем поменять знаки у переменных $x_{1}$, $x_{2}$ и $x_{3}$, и это дает нам восемь систем уравнений в первом случае, которые дают нам единственный вариант (А) из второго утверждения (все остальные варианты являются его частным случаем или могут быть сведены к нему заменой переменных). Лемма доказана. Предыдущие леммы дают нам полное описание группы $H''$. 9.2. Вычисление групп $H$ и $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ и бирациональная жесткостьПредложение 8. Предположим, что $H'\simeq \mathfrak{C}_{2}^{3}$. Тогда верны следующие утверждения. 1. $a_{12}=a_{13}=a_{23}=b_{02}=b_{03}=c_{01}=0$. 2. Группа $H''$ может быть изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$ (если $t=(1\pm \sqrt{3i})/{2}$), $\mathfrak{D}_{8}$ (если $t=-1, 2$ или ${1}/{2}$) или $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ (для других значений $t$). 3. Группа $H$ является подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. 4. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ изоморфна $(\mathfrak{C}_{2}^{2}\rtimes \mathfrak{S}_{4})\rtimes \mathfrak{C}_{3}$ ($\operatorname{GAPId} [288, 1025]$) для $t=(1\pm \sqrt{3i})/2$, $\mathfrak{C}_{2}^{3}\rtimes \mathfrak{S}_{4}$ ($\operatorname{GAPId} [192, 955]$) для $t\,{=}\,{-}1, 2$ или ${1}/{2}$ и $\mathfrak{C}_{2}^{2}\rtimes \mathfrak{S}_{4}$ ($\operatorname{GAPId} [96, 227]$) для других значений $t$. 5. Группа $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\times \mathfrak{C}_{2}$. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе утверждение следует из предыдущих лемм.
Явным вычислением можно проверить, что матрица
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\alpha}{2} & -\dfrac{\beta}{2} & \dfrac{\alpha\beta}{2} \\ \dfrac{1}{2\alpha} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\beta}{2\alpha} & -\dfrac{\beta}{2} \\ \dfrac{1}{2\beta} & -\dfrac{\alpha}{2\beta} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\alpha}{2} \\ \dfrac{1}{2\alpha\beta} & -\dfrac{1}{2\beta} & \dfrac{1}{2\alpha} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\sqrt{-t}$ и $\beta=\sqrt{t-1}$, сохраняет уравнение квартики $Q$, и очевидно, что это отображение не лежит в $H$, поскольку $H$ сохраняет четверку базисных нодов. Это доказывает третье утверждение. Четвертое утверждение можно легко доказать с помощью GAP, используя действие группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ на множестве нодов. Для доказательства пятого утверждения заметим, что матрицы порождающих элементов группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ вместе с $-\operatorname{Id}$ порождают подгруппу $\operatorname{GL}_{4}(\operatorname{k})$, которая является двойным расширением группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. Поэтому мы имеет вложение группы $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ в группу автоморфизмов $\mathbb{P}(2, 1, 1, 1, 1)$. Очевидно, образ этого вложения коммутирует с инволюцией Гейзера, поэтому группа $\operatorname{Aut}(X)$ является прямым произведением $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ и $\mathfrak{C}_{2}$. Предложение доказано. Предложение 9. Предположим, что $H'\simeq \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Тогда верны следующие утверждения. 1. Ровно одно число из $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{23}$, $b_{02}$, $b_{03}$, $c_{01}$ ненулевое. Мы можем считать, что $a_{23}\neq 0$ без ограничения общности. 2. Группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ (если $t=-1$) или $\mathfrak{C}_{2}$ (для других значений $t$). 3. Группа $H$ совпадает с $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. 4. Всегда есть $\operatorname{Aut}(X)$-инвариантная пара особых точек, поэтому многообразие $X$ не может быть $G$-бирационально жестким. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе утверждение следует из предыдущих лемм.
Предположим, что $t=-1$. Мы имеем $Q_{2}=-2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}=2(x_{3}-x_{2})(x_{3}+x_{2})$. Две плоскости $P_{1, 2}=\{x_{2}\pm x_{3}=0\}$ содержат шесть особых точек квартики $Q$ каждая (по четыре общие точки квадрик $Q_{i}$, $(1:0:0:0)$ и $(0:1:0:0)$). Четверка базисных нодов выделяется из других, поскольку каждый из них лежит на четном числе плоскостей. Если $H$ – подгруппа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$, то имеется другая пара таких плоскостей, поэтому мы имеем третью плоскость $P$, содержащую шесть особых точек. Эта плоскость содержит как минимум два базисных нода. Действительно, иначе $P$ и $P_{1}$ или $P_{2}$ содержат как минимум три общих небазисных нода, но это невозможно. Поэтому уравнение $P$ имеет вид $x_{i}=0$ или $x_{i}+\alpha x_{j}=0$. Можно проверить, что такая плоскость содержит шесть нодов в том и только том случае, если она совпадает с $P_{1}$ или $P_{2}$. Случай $t\neq -1$ рассматривается ровно таким же способом, но уравнения в этом случае выглядят менее красиво. Поскольку $H=\widetilde{G}$, $(1:0:0:0)$ и $(0:1:0:0)$ образуют $\operatorname{Aut}(X)$-инвариантную пару точек. Предложение доказано. Предложение 10. Предположим, что $H'\simeq \mathfrak{C}_{2}$. Тогда верны следующие утверждения. 1. Имеются два случая: (A) все коэффициенты в $\operatorname{Sys}(t; a_{12}, a_{13}, a_{23}, b_{02}, b_{03}, c_{01})$ с одним индексом равны нулю, и мы можем без ограничения общности считать, что $b_{02}=b_{03}=c_{01}=0$; (B) все коэффициенты равны нулю, кроме таких двух коэффициентов, что объединение их множеств индексов совпадает с $\{0, 1, 2, 3\}$, и мы можем считать без ограничения общности, что $a_{23}$ и $c_{01}\neq 0$. 2. В случае (A) группа $H''$ может быть изоморфна $\mathfrak{C}_{3}$ (мы можем считать без ограничения общности, что $t=(1+\sqrt{3i})/2$, $a_{12}=a_{13}=a_{23}\neq 0$), $\mathfrak{C}_{2}$ (мы можем считать без ограничения общности, что $t=-1$, $a_{12}=a_{13}\neq 0$) или тривиальной. 3. В случае (B) группа $H''$ изоморфна $\mathfrak{D}_{8}$, если $t=-1$ и $c_{01}=\pm a_{23}$ (мы можем считать без ограничения общности, что $c_{01}=a_{23}$), $\mathfrak{C}_{2}^{2}$, если либо $t=-1$ и $c_{01}\neq \pm a_{23}$, либо $a_{23}=\pm c_{01}$ при произвольном $t\neq -1$ (мы можем считать без ограничения общности, что $a_{23}=c_{01}$) или $\mathfrak{C}_{2}$ в остальных случаях. 4. В случае (A) мы всегда имеем $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантный нод или тройку нодов, поэтому $X$ никогда не $G$-бирационально жесткое. 5. В случае (B), если $c_{01}\neq \pm a_{23}$ или $t\neq -1$, то $X$ не $G$-бирационально жесткое. 6. В случае (B), если $c_{01}=a_{23}$ и $t=-1$, то $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$, если $c_{01}=\pm 2\sqrt{3}$, и $\mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$ иначе. Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе и третье утверждения следуют из предыдущих лемм.
В случае (A) точка $(1:0:0:0)$ всегда $H$-инвариантна. Если $H\subset\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ – подгруппа индекса $3$, то мы имеем либо $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантную особую точку, либо $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантную тройку точек. Допустим, что в случае (B) мы имеем $t=-1$ и $c_{01}\neq \pm a_{23}$. В этом случае группа $H$ порождена тремя отображениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (-x_{0}:-x_{1}:x_{2}:x_{3}), \\ \sigma\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (x_{1}:x_{0}:x_{2}:-x_{3}), \\ \tau\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (x_{0}:x_{1}:x_{3}:-x_{2}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{3}$. Предположим, что $H$ – подгруппа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. Тогда есть три варианта: $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ может быть изоморфна либо $\mathfrak{C}_{2}^{2}\times \mathfrak{C}_{6}$, либо $\mathfrak{C}_{2}\times \mathfrak{A}_{4}$, либо $\mathfrak{C}_{2}^{2}\times \mathfrak{S}_{3}$. Несложно вычислить, что $H$ действует на множестве особых точек с тремя орбитами длины $2$, $2$ и $8$. В двух первых случаях $H$ – нормальная подгруппа в $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$, поэтому любая $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-орбита из особых точек орбит состоит из одной или трех $H$-орбит одной длины. Поэтому мы имеем $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантную пару особых точек. В третьем случае мы можем рассмотреть нормальную подгруппу $\mathfrak{C}_{2}^{2}\subset \widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. Она действует либо с орбитами длины 1, 1, 2, 4, 4, либо 2, 2, 4, 4. В любом случае четверка базисных нодов выделена, поэтому $H$ не может быть подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. Таким образом, мы имеем, что $H=\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$, и всегда есть $G$-инвариантная пара особых точек.
Предположим, что в случае (B) мы имеем $t\neq -1$ и $c_{01}\neq \pm a_{23}$. В этом случае группа $H$ порождена двумя отображениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (-x_{0}:-x_{1}:x_{2}:x_{3}), \\ \sigma\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (-x_{0}:x_{1}:x_{3}:x_{2}) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{2}$. Легко проверить, что $\tau$ сохраняет четыре особые точки, в то время как $\sigma$ и $\tau\sigma$ не сохраняют особых точек. Поэтому если $H\subset\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ – подгруппа индекса $3$, то $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\not\simeq \mathfrak{A}_{4}$ (поскольку все элементы порядка $2$ в $\mathfrak{A}_{4}$ сопряжены), поэтому $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ изоморфна $\mathfrak{D}_{12}$ или $\mathfrak{C}_{6}\times \mathfrak{C}_{2}$. В любом случае $X$ не $G$-бирационально жесткое.
Предположим, что в случае (B) мы имеем $a_{23}=c_{01}=c$ (мы не делаем предположений о $t$ в этом месте). Тогда мы можем поменять координаты с помощью матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{2i\delta}{\alpha\beta\gamma} & -\dfrac{i\epsilon\beta}{2\alpha} & -\dfrac{\alpha\beta}{2\gamma} & -\dfrac{\epsilon\alpha}{2\beta\delta} \\ -\dfrac{i\epsilon\beta}{\alpha\gamma\delta} & \dfrac{i}{\alpha\beta} & \dfrac{-\alpha}{\beta\gamma\delta} & \dfrac{-\alpha\beta}{4\delta} \\ -\dfrac{i\beta}{\alpha\gamma} & \dfrac{i\epsilon}{\alpha\beta\delta} & \dfrac{\alpha}{\beta\gamma\delta} & \dfrac{\epsilon\alpha\beta}{4\delta^2} \\ \dfrac{2i}{\alpha\beta\gamma\delta} & -\dfrac{i\beta}{2\alpha\delta} & \dfrac{\alpha\beta}{2\gamma\delta\epsilon} & \dfrac{\alpha}{2\beta\delta^2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\sqrt[4]{tc^2-4}$, $\beta=\sqrt{-c\epsilon+\alpha^2}$, $\gamma=\sqrt{c^2-4}$, $\delta=\sqrt{1-t}$ и $\epsilon=\sqrt{t}$. Можно проверить, что уравнение $Q$ преобразуется в следующее:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{4(tc^2+4)}{c^2-4}x_{0}^2x_{1}^2 -4x_{0}^2x_{2}^2-4x_{0}^2x_{3}^2-4x_{1}^2x_{2}^{2} \\ &\qquad-\frac{(c^2-4)^{2}t^2}{4(t-1)^2}x_{1}^{2}x_{3}^{2} +\frac{(tc^2+4)^{3}}{4(c^{2}-4)(t-1)^2}x_{2}^{2}x_{3}^{2} +\frac{8\sqrt{1-t}c}{\sqrt{c^{2}-4}}x_{0}^{2}x_{2}x_{3} \\ &\qquad-\frac{2ct\sqrt{c^2-4}}{\sqrt{1-t}}x_{1}^{2}x_{2}x_{3} -\frac{8\sqrt{1-t}c}{\sqrt{c^{2}-4}}x_{2}^{2}x_{0}x_{1} \\ &\qquad +\frac{2ct\sqrt{c^2-4}}{\sqrt{1-t}}x_{3}^{2}x_{0}x_{1} -\frac{2c^2(tc^2+8t-4)}{c^2-4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что это уравнение соответствует квартике, полученной из системы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sys}\biggl(\frac{(c^2-4)t}{4(1-t)}; 0, 0, -2c\sqrt{\frac{1-t}{c^2-4}}, 0, 0, -2c\sqrt{\frac{1-t}{c^2-4}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система совпадает с исходной системой $\operatorname{Sys}(t; 0, 0, c, 0, 0, -c)$ в том и только том случае, когда $c=\pm 2\sqrt{2-t}$. Если $t=-1$, то группа $H$ является подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$, и последняя группа изоморфна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, и аналогично предложению 8 мы получаем, что $\operatorname{Aut}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Если $t\neq -1$, то группа $H$ является подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $2$, что неверно в нашей ситуации. Кроме того, мы можем применить отображение $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (x_{1}:x_{0}:x_{2}:x_{3}/t)$ и получить систему
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sys}\biggl(\frac{4(1-t)}{(c^2-4)t}; 0, 0, -2c\sqrt{\frac{1-t}{c^2-4}}, 0, 0, -2c\sqrt{\frac{1-t}{c^2-4}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
но эта система никогда не совпадает с исходной системой. Очевидно, все перестановки координат ведут либо к одной из этих двух систем, либо к системе с $a_{23}=0$ или $c_{01}=0$, поэтому в этой ситуации $H$ никогда не является подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. Но если $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq H\simeq \mathfrak{C}_{2}^{3}$, то имеется $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная прямая.
Предложение доказано. Предложение 11. Предположим, что $H'$ тривиальна. Тогда верны следующие утверждения. $\bullet$ $H''$ может быть тривиальна или изоморфна $\mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{C}_{3}$, $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ (два разных случая), $\mathfrak{D}_{8}$ или $\mathfrak{A}_{4}$. $\bullet$ Если $H''$ тривиальна или изоморфна $\mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{C}_{3}$, $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ или $\mathfrak{D}_{8}$, то $X$ никогда не $G$-бирационально жесткое. $\bullet$ Если $H''$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$ (напомним, что в этом случае мы можем считать, что $t=(1+\sqrt{3}i)/2$, $a_{12}=a_{13}=a_{23}=-c_{01}=b_{02}=b_{03}/t$), то $\operatorname{Aut}(X)\simeq \mathfrak{A}_{4}\times\mathfrak{C}_{6}$, если $a_{12}=1\pm\sqrt{3}$, и $\mathfrak{A}_{4}\times\mathfrak{C}_{2}$ в остальных случаях. Доказательство. Если $H''$ тривиальна, то группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ тоже тривиальна или изоморфна $\mathfrak{C}_{3}$. В любом случае мы имеем $\operatorname{Aut}(X)$-инвариантную особую точку или тройку особых точек. Если $H''\simeq \mathfrak{C}_{3}$, то $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{C}_{3}, \mathfrak{C}_{9}$ или $\mathfrak{C}_{3}^{2}$. В любом случае мы имеем $\operatorname{Aut}(X)$-инвариантную особую точку или тройку особых точек. Если $H''\simeq \mathfrak{C}_{2}$, то $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{C}_{2}, \mathfrak{C}_{6}$ или $\mathfrak{S}_{3}$. В любом случае $X$ не может быть $G$-бирационально жестким.
Предположим, что $H$ изоморфна $\mathfrak{C}_{2}^{2}$. Если $H=\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$, то $X$ не $G$-бирационально жесткое, поэтому мы должны проверить, когда $H$ – подгруппа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. Существуют три группы порядка $12$, содержащие $\mathfrak{C}_{2}^{2}$: $\mathfrak{D}_{12}$, $\mathfrak{C}_{6}\times \mathfrak{C}_{2}$ и $\mathfrak{A}_{4}$. В первых двух случаях $X$ не может быть $G$-бирационально жестким, поэтому нужно проверить только последний случай. Если $H$ действует на множестве базисных нодов с двумя орбитами, то нетривиальные элементы $H$ не могут быть сопряжены (можно проверить, что один из них действует на множестве особых точек как произведение шести транспозиций, в то время как оставшиеся элементы действуют как произведения пяти транспозиций), следовательно, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ не может быть изоморфно $\mathfrak{A}_{4}$. Поэтому осталось проверить только случай, когда $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ действует на базисных нодах транзитивно. Рассмотрим случай, когда $a_{12}=a\neq 0, b_{03}=-ta, b_{02}=a_{13}=b\neq 0, c_{01}=a_{23}=0$. В этом случае группа $H$ порождена двум отображениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma\colon(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto \biggl(\sqrt{t} x_{1}:-\frac{x_{0}}{\sqrt{t}}:\sqrt{t} x_{3}:-\frac{x_{2}}{\sqrt{t}}\biggr), \\ \tau\colon(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto \biggl(\sqrt{t}\sqrt{t-1} x_{3}:-\frac{\sqrt{t-1}x_{2}}{\sqrt{t}}:-\frac{\sqrt{t} x_{1}}{\sqrt{t-1}}:\frac{x_{0}}{\sqrt{t}\sqrt{t-1}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $\sigma$, $\tau$ и $\sigma\tau$ действуют на $\mathbb{P}^{3}$ с двумя прямыми неподвижных точек каждое, которые образуют тетраэдр с вершинами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} p_{1} &=\bigl(\sqrt{t}\sqrt{t-1}:-i\sqrt{t-1}:i\sqrt{t}:1\bigr), &\qquad p_{2} &=\bigl(-\sqrt{t}\sqrt{t-1}:i\sqrt{t-1}:i\sqrt{t}:1\bigr), \\ p_{3} &=\bigl(\sqrt{t}\sqrt{t-1}:i\sqrt{t-1}:-i\sqrt{t}:1\bigr), &\qquad p_{4} &=\bigl(-\sqrt{t}\sqrt{t-1}:-i\sqrt{t-1}:-i\sqrt{t}:1\bigr). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{A}_{4}$ и $\mathfrak{C}_{2}^{2}\subset \mathfrak{A}_{4}$ – нормальная подгруппа, элемент порядка $3$ должен сохранять одну из точек $p_{i}$ и переставлять по циклу оставшиеся три. Рассмотрим отображение, заданное матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \sqrt{t}\sqrt{t-1} & -\sqrt{t}\sqrt{t-1} & \sqrt{t}\sqrt{t-1} & -\sqrt{t}\sqrt{t-1} \\ -i\sqrt{t-1} & i\sqrt{t-1} & i\sqrt{t-1} & -i\sqrt{t-1} \\ i\sqrt{t} & i\sqrt{t} & -i\sqrt{t}& -i\sqrt{t} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В новых координатах уравнение $Q$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(ib-\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}\bigr)^2x_{0}^{4} +\bigl(-ib+\sqrt{t}a +2\sqrt{t-1}\bigr)^2x_{1}^{4} +\bigl(ib+\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}\bigr)^2x_{2}^{4} \\ &\qquad\qquad +\bigl(-ib-\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}\bigr)^2x_{3}^{4}+\text{другие члены.} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $ib-\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}=0$. Тогда можно проверить, что элемент порядка $3$, который действует как $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (x_{0}:\alpha x_{2}:\beta x_{3}: \gamma x_{1})$, сохраняет это уравнение, только если $a={2\sqrt{t}}/{\sqrt{t-1}}$, $b={-2i}/{\sqrt{t-1}}$, и квартика $Q$ является двойной квадрикой, то невозможно. То же самое верно, если $-ib+\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}=0$, $ib+\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}=0$ или $-ib-\sqrt{t}a+2\sqrt{t-1}$. Если же все эти коэффициенты ненулевые, мы можем применить диагональную замену координат и получить уравнение
$$
\begin{equation*}
x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4} +2x_{0}^{2}x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}x_{3}^{2}+\text{другие члены},
\end{equation*}
\notag
$$
а автоморфизм порядка $3$ действует в том и только том случае, когда $a^{2}+b^{2}=4$, но в этом случае $Q$ снова является двойной квадрикой, что невозможно.
Допустим, что $b_{03}=ta_{12}$, $b_{02}=a_{13}$, $c_{01}=-a_{23}$. В этом случае группа $H$ порождена двумя отображениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma:(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto \biggl(\sqrt{t} x_{1}:\frac{x_{0}}{\sqrt{t}}:\sqrt{t} x_{3}:\frac{x_{2}}{\sqrt{t}}\biggr), \\ \tau:(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto \biggl(\sqrt{t}\sqrt{t-1} x_{3}:-\frac{\sqrt{t-1}x_{2}}{\sqrt{t}}:-\frac{\sqrt{t} x_{1}}{\sqrt{t-1}}:\frac{x_{0}}{\sqrt{t}\sqrt{t-1}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Прямые в $\mathbb{P}^{3}$, сохраняемые группой $H$, образуют семейство, параметризованное прямой $\mathbb{P}^{1}$. Группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ действует на этой прямой с двумя неподвижными точками, поэтому есть две $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантные прямые, и $X$ не является $G$-бирационально жестким.
Допустим, что $H$ изоморфно $\mathfrak{D}_{8}$. Если $H=\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$, то $X$ не может быть $G$-бирационально жестким, поэтому нужно проверить, может ли группа $H$ быть подгруппой $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$. Существуют четыре группы порядка $24$, содержащие $\mathfrak{D}_{8}$: $\mathfrak{D}_{24}$, $\mathfrak{S}_{4}$, $\mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{3}$ и $\mathfrak{C}_{3}\rtimes \mathfrak{D}_{8}$. Если $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ изоморфна $\mathfrak{D}_{24}$ или $\mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{3}$, то $X$ не $G$-бирационально жестко. Поэтому нужно проверить две оставшиеся возможности. Мы можем считать, что $t=-1$, и есть два варианта: либо $a_{12}=a_{13}=b_{02}=b_{03}=a\neq 0$, $a_{23}=c_{01}=0$, либо $a_{12}=a_{13}=b_{02}=-b_{03}=a\neq 0$, $a_{23}=-c_{01}=b$. В первом случае мы можем явно вычислить все особенности $Q$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_{1}=(1:0:0:0),\qquad p_{2}=(0:1:0:0), \\ p_{3}=(0:0:1:0),\qquad p_{4}=(0:0:0:1), \\ p_{5}=(-a+\alpha:-a+\alpha:1:1), \qquad p_{6}=(-a+\alpha:-a-\alpha:1:1), \\ p_{7}=(-a-\alpha:-a+\alpha:1:1), \qquad p_{8}=(-a-\alpha:-a-\alpha:1:1), \\ p_{9}=(\sqrt{2}:-\sqrt{2}:-1:1), \qquad p_{10}=(-\sqrt{2}:\sqrt{2}:-1:1), \\ p_{11}=(-a+\alpha:-a+\alpha:-1-2a(-a+\alpha):1), \\ p_{12}=(-a-\alpha:-a-\alpha:2a(a+\alpha)-1:1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\sqrt{a^2-2}$. Две порождающие группы $H$ действуют на множестве нодов как перестановки $\sigma=(1, 4, 2, 3)(5, 8)(6, 12, 7, 11)(9, 10)$ и $\tau=(1,2)(6,7)(9,10)$. Если $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{C}_{3}\rtimes \mathfrak{D}_{8}$, то элемент $\sigma^{2}$ порождает ее центр, но он действует на множестве особых точек как $(1, 2)(3,4)(6,7)(11,12)$, поэтому есть выделенная четверка точек, что невозможно. Если $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\simeq \mathfrak{S}_{4}$, то имеется нормальная подгруппа $\sigma^{2}\in \mathfrak{C}_{2}^{2}\subset \mathfrak{D}_{8}\subset \mathfrak{S}_{4}$, и все элементы в порядка $2$ в $\mathfrak{C}_{2}^{2}$ сопряжены между собой, и, следовательно, имеют один тип разложения в независимые циклы. Но только $\sigma^{2}$ в $\mathfrak{D}_{8}$ из элементов порядка $2$ является произведением четырех транспозиций, остальные элементы являются произведениями трех или пяти транспозиций. Следовательно, этот случай невозможен.
Во втором случае мы снова имеем $1$-параметрическое семейство $H$-инвариантных прямых, параметризуемое $\mathbb{P}^{1}$, и даже если $H$ – подгруппа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ индекса $3$, то имеется $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная прямая в $\mathbb{P}^{3}$. Предположим, что $H$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$, т.е. $t=(1+i\sqrt{3})/2$ и $a_{12}=a_{13}=a_{23}=b_{02}={b_{03}}/{t}=-c_{01}=a$. Применим отображение, заданное матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{\beta}{\alpha} & \alpha^{3} & -\dfrac{1}{\alpha} & \dfrac{1}{t\alpha} \\ \dfrac{1}{\alpha} & \dfrac{\beta}{\alpha} & -\dfrac{i}{\alpha^{3}} & -\dfrac{1}{\alpha} \\ -\alpha^{3} & -\dfrac{1}{\alpha} & \dfrac{\beta}{\alpha} & \dfrac{1}{t^2\alpha} \\ t\alpha^{3} & -\alpha^{3} & -\dfrac{1}{\alpha} & \dfrac{\beta}{\alpha} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha=\sqrt[4]{t}$ и Можно проверить, что это отображение переводит нашу квартику в квартику с уравнением, соответствующим $\operatorname{Sys}(t; b, b, b, b, {b}/{t}, -b)$, где
$$
\begin{equation*}
b=\frac{2a(8-8a+4(3-i\sqrt{3})\beta}{24a^{2}-40a-32-4(3-i\sqrt{3})a\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система совпадает с исходной если $a=b$. Можно проверить, что это происходит в том и только том случае, когда $a=-1$ или $1\pm\sqrt{3}$. Но если $a=-1$, то квадрика $Q_{1}$ является объединением двух плоскостей, что невозможно.
Предложение 11 доказано. § 10. Случай $18^{\circ}$В этом случае $X$ имеет малую $\mathbb{Q}$-факториализацию $\widetilde{X}$, которая является раздутием особой факториальной трехмерной кубики $Y$ ранга Пикара $1$ в общей гладкой точке $p$. Количество нодов на $Y$ не превосходит пяти, но оно не может быть нулевым, поскольку $X$ рационально. По лемме 1 имеется ровно четыре такие точки, и соответствующие особые точки $X$ образуют одну $G$-орбиту (обозначим их через $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_{4}$). Оставшиеся особые точки многообразия $X$ получаются из шести прямых, проходящих через точку $p$. Их образы лежат на единственном тропе $P$ и образуют одну $G$-орбиту. Обозначим через $C$ конику $P\cap Q$. Следующие леммы 33–37 можно доказать аналогично соответствующим леммам в случае $20^\circ$ (см. леммы 20–24). Имеется естественная короткая точная последовательность где группа $G'$ действует тривиально на $P$, а $G''$ действует точно на $P$.Лемма 36. $\mathbb{P}^{3}$ с действием группы $\widetilde{G}$ является проективизацией четырехмерного представления группы $G$. Предложение 12. Квартику $Q$ можно задать уравнением для некоторого $A\neq 1$. Группа $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, а группа $G$ равна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$, $\mathfrak{A}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}$ или $\mathfrak{S}_{4}$ (та из двух изоморфных подгрупп, которая переставляет плоскости на $X$). Доказательство. Мы знаем из леммы 37, что квартика $Q$ имеет симметричное уравнение. Поскольку пересечение $Q\cap P$ является двойной коникой, уравнение $X$ имеет вид (8.2). Многообразие $Q$ особо в орбите длины $4$ вне плоскости $P$. Таким образом, $Q$ особа в точке $(a:a:a:b)$ для некоторых $a$ и $b$. Аналогично лемме 30 мы можем считать, что $a=0$ и $b=1$. Несложно явно вычислить, что квартика $Q$ имеет уравнение требуемого вида. Предложение доказано.
§ 11. Случай $17^{\circ}$ Доказательство. В этом случае $X$ содержит ровно $11$ нодов. По лемме 1 либо они образуют одну $G$-орбиту, или они образуют две $G$-орбиты длины $4$ и $7$ соответственно.
Предположим, что они образуют одну $G$-орбиту. Тогда группа $G$ содержит элемент порядка $11$, который действует транзитивно на множестве нодов. Можно считать, что он действует диагонально:
$$
\begin{equation*}
\sigma\colon (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto (x_{0}:\xi x_{1}:\xi^{a} x_{2}:\xi^{b} x_{3}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\xi$ – корень из единицы порядка $11$, а $0\leqslant a, b\leqslant 10$ – целые числа. Поскольку все ноды не могут быть копланарны, мы видим, что $a$ и $b\neq 0, 1$, и $a\neq b$, кроме того, мы можем считать, что одна из особых точек имеет координаты $(1:1:1:1)$. Заметим, что мы можем проделать следующие три операции:
1) выбрать другой корень из единицы; 2) умножить все координаты на одно и то же число; 3) переставить координаты. Используя эти три операции, мы можем свести задачу к изучению четырех случаев: $(a, b)=(2, 3),(2, 4),(2, 5)$ или $(3, 4)$. Далее в любом случае мы делаем следующее: для любого $0\leqslant c\leqslant 10$ мы выписываем все мономы от переменных $x_{i}$ такие, что $\sigma$ действует на них умножением на $\xi^{c}$, затем мы берем суммы этих мономов с неопределенными коэффициентами и решаем систему линейных уравнений на коэффициенты, которая получается из того факта, что $(1:1:1:1)$ – особая точка. Во всех случаях, кроме одного, либо полученная система не имеет ненулевых решений, либо полученная квартика приводима или неприведена. Единственное исключение – это случай $(a, b, c)=(2, 3, 6)$. В этом случае мы имеем следующие мономы: $x_{0}^{2}x_{3}^{2}$, $x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}$, $x_{0}x_{2}^{3}$, $x_{1}^{3}x_{3}$, $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$. Решая систему уравнений, мы получаем однопараметрическое семейство квартик
$$
\begin{equation*}
\alpha(x_{0}^{2}x_{3}^{2}+3x_{1}^{2}x_{2}^{2}-2x_{0}x_{2}^{3} -2x_{1}^{3}x_{3})+\beta(x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2})^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Но в этом случае квартика $Q$ особа вдоль всей скрученной кубики $(t^{3}:t^{2}s:ts^{2}:s^{3})$, так что и этот случай невозможен.
Допустим, что есть две орбиты длины $4$ и $7$. В этом случае группа $G$ содержит элемент порядка $7$, который действует транзитивно на второй орбите из нодов и тривиально на первой орбите. Можно считать, что этот элемент действует диагонально: где $\xi$ – корень из единицы степени $7$, а $0\leqslant a, b\leqslant 6$ – целые числа. Поскольку все ноды не могут быть копланарны, мы видим, что $a$ и $b\neq 0, 1$, и $a\neq b$, кроме того, мы можем считать, что одна особая точка имеет координаты $(1:1:1: 1)$. Поскольку оставшиеся ноды неподвижны относительно $\sigma$, они совпадают с точками $(1:0:0:0)$, $(0:1:0:0)$, $(0:0:1:0)$ и $(0:0:0:1)$. Таким образом, нас интересуют только мономы, имеющие степень не выше $2$ по любой переменной. Используя те же аргументы, что и в предыдущем случае, мы видим, что в любом случае либо система уравнений на коэффициенты не имеет ненулевых решений, либо полученная квартика приводима или неприведена. Предложение доказано.§ 12. Случай $16^{\circ}$Как и в случае $19^{\circ}$, мы знаем, что есть система квадрик параматризованная $\mathbb{P}_{1}$, такая, что квадрики $Q_{i}$ пересекаются трансверсально в восьми точках, а уравнение квартики $Q$ является дискриминантом $Q_{2}^{2}-4Q_{1}Q_{3}=0$, но в этом случае такая система квадрик единственна. Мы имеем восемь особых точек на квартике $Q$, которые являются точками пересечения квадрик $Q_{i}$, и как максимум три дополнительные особые точки. Следовательно, по лемме 1 дополнительных особых точек нет. Следовательно, есть ровно восемь особых членов в нашей системе квадрик. Обозначим через $(p_{i}: q_{i})$, $i=1,\dots, 8$, точки на $\mathbb{P}^{1}$, соответствующие особым квадрикам, а через $v_{i}$ – вершины соответствующих квадрик. Через $Q_{(p_{0}:q_{0})}$ мы будем обозначать квадрику в системе (12.1) для $(p:q)=(p_{0}:q_{0})$.Имеется естественная короткая точная последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to G'\to \widetilde{\operatorname{Aut}}(X)\to G''\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где группа $G'$ действует тривиально на $\mathbb{P}^{1}$, параметризующей систему квадрик, а $G''$ – подгруппа $\operatorname{PGL}_{2}(\operatorname{k})$. Лемма 38. Либо группа $G'$ тривиальна, либо существуют две скрещивающиеся прямые, каждая из которых содержит четыре точки $v_{i}$. Доказательство. Предположим, что группа $G'$ нетривиальна. Пусть $g\in G'$ – произвольный нетривиальный элемент. Тогда мы имеем следующие возможности для множества неподвижных точек $\operatorname{Fix}(g)$: (i) четыре точки; (ii) две точки и прямая; (iii) две скрещивающиеся прямые; (iv) точка и плоскость. Первый случай невозможен, поскольку все точки $v_{i}$ лежат в $\operatorname{Fix}(g)$. Второй случай невозможен, поскольку в этом случае есть $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная прямая.
В четвертом случае плоскость $P$ содержит семь или восемь точек $v_{i}$. Рассмотрим индуцированную систему квадрик $p^{2}Q_{1}|_{P}+pqQ_{2}|_{P}+q^{2}Q_{3}|_{P}=0$. Если ее детерминант является ненулевым многочленом, то он имеет степень $6$, поэтому эта система содержит максимум шесть особых членов, противоречие. Если детерминант тождественно равен нулю, то локус вырожденных коник в линейной системе $\alpha Q_{1}|_{P}+\beta Q_{2}|_{P}+\gamma Q_{3}|_{P}=0$ является объединением коники и прямой, следовательно, мы имеем $G''$-инвариантную конику или пару коник, следовательно, $G''$ – циклическая или диэдральная группа. Поскольку $G'$ действует тривиально на $P$ (иначе мы имеем слишком много точек $v_{i}$ на одной прямой, и эта прямая $\widetilde{G}$-инвариантна), есть $G''$-инвариантная (и, как следствие, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная) прямая на $P$. В третьем случае обе прямые содержат по четыре точки $v_{i}$, иначе они являются $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантными. Лемма доказана. Лемма 39. Предположим, что $G'$ тривиальна. Тогда группа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$ изоморфна $\mathfrak{A}_{4}$ или $\mathfrak{S}_{4}$. Доказательство. Мы знаем, что в этом случае $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)=G''$. Она не может быть циклической или диэдральной. Также она не может быть изоморфна $\mathfrak{A}_{5}$, поскольку на $\mathbb{P}^{1}$ нет $\mathfrak{A}_{5}$-орбит длины $8$ или меньше. Лемма доказана. Лемма 40. Предположим, что $G'$ тривиальна и $H\simeq \mathfrak{A}_{4}$ – подгруппа $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. Тогда точки $v_{i}$ образуют две $H$-орбиты длины $4$ и точки в одной орбите коллинеарны. Доказательство. Группа $\mathfrak{A}_{4}$ действует точно на $\mathbb{P}_{1}$, и есть только одно $\mathfrak{A}_{4}$-инвариантное множество из восьми элементов – объединение двух орбит длины $4$. Это доказывает первое утверждение.
Предположим, что точки $v_{i}$ из одной орбиты находятся в общем положении. Можно считать, что $(p_{1}:q_{1})=(1:0)$, $(p_{2}:q_{2})=(0:1)$, $(p_{3}:q_{3})=(1:1)$, $(p_{4}:q_{4})=(\alpha:1)$, $(p_{5}:q_{5})=(1:\beta+1)$, $(p_{6}:q_{6})=(\alpha+1:1)$, $(p_{7}:q_{7})=(\alpha^{2}:1)$, $(p_{8}:q_{8})=(\beta:1)$, $v_{1}=(1:0:0:0)$, $v_{2}=(0:1:0:0)$, $v_{3}=(0:0:1:0)$ и $v_{4}=(0:0:0:1)$, где $\alpha=(1+i\sqrt{3})/{2}$ и $\beta=(1-i\sqrt{3})/{2}$. В этом случае мы можем явно описать действие $H$ на $\mathbb{P}^{3}$. С точностью до сопряжения диагональным преобразованием, оно порождено следующими отображениями: где $\gamma^{4}=1$ (последнее равенство следует из того, что точки $v_{i}$ не лежат на $Q$, поэтому ее уравнение содержит мономы $x_{0}^{4}$, $x_{1}^{4}$, $x_{2}^{4}$ и $x_{3}^{4}$). В любом случае можно проверить все возможности для $v_{5}$, $v_{6}$, $v_{7}$ и $v_{8}$ (они образуют другую $\mathfrak{A}_{4}$-орбиту) и решить с помощью компьютера систему уравнений на коэффициенты квадрик $Q_{1}$, $Q_{2}$ и $Q_{3}$, которую мы получаем из того факта, что $Q_{(p_{i}:q_{i})}$ особа в точке $v_{i}$. Оказывается, что эта система либо не имеет ненулевых решений, либо дает уравнение квартики $Q$ вида $C(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})^{2}=0$, что запрещено. Лемма доказана.Следствие 9. Существуют две прямые (можно считать, что они имеют уравнения $x_{0}=x_{1}=0$ и $x_{2}=x_{3}=0$), содержащие по четыре точки $v_{i}$. Лемма 41. Предположим, что $(p_{1}:q_{1})=(1:0)$, $(p_{2}:q_{2})=(0:1)$, $(p_{3}: q_{3})=(1:1)$, $(p_{4}:q_{4})=(a:1)$, $v_{1}=(1:0:0:0)$, $v_{2}=(0:1:0:0)$, $v_{3}=(1:1:0:0)$ и $v_{4}=(b:1:0:0)$. Тогда $a\neq b$. Доказательство. Можно решить соответствующую систему уравнений на коэффициенты квадрик $Q_{i}$ и увидеть, что если $a=b$, то квартика $Q$ содержит $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$ и $v_{4}$, что невозможно. Лемма доказана. Доказательство. Пусть $H\subset G''$ – подгруппа индекса $2$, сохраняющая четверку точек $(p_{1}:q_{1})$, $(p_{2}:q_{2})$, $(p_{3}:q_{3})$, $(p_{4}:q_{4})$. Это подгруппа $\mathfrak{A}_{4}$, $\mathfrak{D}_{8}$ или $\mathfrak{C}_{2}^{2}$. Она автоматически действует на прямой $x_{0}=x_{1}=0$. Так как $a\neq b$, $H$ не может содержать элемента порядка $4$ или элемента порядка $2$, который сохраняет две точки $(p_{i}:q_{i})$. Кроме того, $H$ не может быть циклической группой, иначе есть $H$-инвариантная точка на прямой $x_{0}=x_{1}=0$ и, следовательно, $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$-инвариантная прямая в $\mathbb{P}^{3}$. Следовательно, $H\simeq \mathfrak{C}_{2}^{2}$ (в этом случае $G''\simeq \mathfrak{D}_{8}$) или $\mathfrak{A}_{4}$ (в этом случае $G''\simeq \mathfrak{S}_{4}$). Лемма доказана. Предложение 14. Если группа $G''$ изоморфна $\mathfrak{D}_{8}$, то имеется $2$-параметрическое семейство возможных многообразий и их группы автоморфизмов изоморфны $\mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Доказательство. Мы можем считать, что $(p_{1}:q_{1})=(1:0)$, $(p_{2}:q_{2})=(0: 1)$, $(p_{3}:q_{3})=(\alpha:1)$, $(p_{4}:q_{4})=(1:1)$, $(p_{5}:q_{5})=(\alpha:\alpha-\sqrt{\alpha-\alpha^2})$, $(p_{6}: q_{6})=(\alpha-\sqrt{\alpha-\alpha^2}:1)$, $(p_{7}:q_{7})=(\alpha:\alpha+\sqrt{\alpha-\alpha^2})$, $(p_{8}:q_{8})=(\alpha+\sqrt{\alpha-\alpha^2}:1)$, $v_{1}=(1:0:0:0)$, $v_{2}=(0:0:1:0)$, $v_{3}=(0:1:0:0)$, $v_{4}=(0:0:0:1)$, $v_{5}=(1:1:0:0)$, $v_{6}=(0:0:1:1)$, $v_{7}=(\beta:1:0:0)$ и $v_{8}=(0:0:\beta:1)$, где $\alpha\neq 0, 1, 1/2$, $\beta\neq 0, 1$ и $\beta\neq(2\sqrt{\alpha-\alpha^2}-1)/(2\sqrt{\alpha-\alpha^2}+1)$ (именно такие точки наиболее удобны для вычислений). Группа $\mathfrak{D}_{8}$, порожденная
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma\colon (p:q)\mapsto (\alpha q:p), \\ \tau\colon (p:q)\mapsto \bigl(\bigl(\alpha+\sqrt{\alpha-\alpha^2}\bigr)p-aq: p-\bigl(\alpha-\sqrt{\alpha-\alpha^2}\bigr)q\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
действует транзитивно на множестве точек $(p_{i}:q_{i})$. Есть индуцированное действие на точках $v_{i}$: $\sigma$ переставляет $v_{2i-1}$ с $v_{2i}$, а $\tau$ переставляет их следующим образом: $v_{1}\to v_{6}\to v_{3}\to v_{8}\to v_{1}$, $v_{2}\to v_{7}\to v_{4}\to v_{5}\to v_{2}$. Можно решить соответствующую систему уравнений и получить единственное решение с точностью до умножения на скаляр:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_{1} &=(2a-1)(b-1)bx_{1}^{2}+\frac{2a(a-1+b\sqrt{a-a^2}) -(b-1)\sqrt{a-a^2}}{a-\sqrt{a-a^2}}x_{2}^{2} \\ \notag &\qquad+b\bigl(a(b-1)+\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr)x_{3}^{2}-4b\sqrt{a-a^2}x_{2}x_{3}, \\ \notag Q_{2}&=-\bigl(2(a-a^2)(b-1)+\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr)x_{0}^{2}-b\bigl(2a^2(b-1)+\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr) x_{1}^{2} \\ \notag &\qquad-\bigl(2(a-a^2)(b-1)+\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr)x_{2}^{2}-b\bigl(2a^2(b-1) \\ \notag &\qquad+\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr)x_{3}^{2}-4b\sqrt{a-a^2}x_{0}x_{1} -4b\sqrt{a-a^2}x_{2}x_{3}, \\ \notag Q_{3} &=a\frac{2a(a-1+b\sqrt{a-a^2})-(b-1)\sqrt{a-a^2}} {a-\sqrt{a-a^2}}x_{0}^{2}+ab\bigl(a(b-1) \\ &\qquad +\sqrt{a-a^2}(b+1)\bigr)x_{1}^{2}+a(2a-1)(b-1)bx_{3}^{2} -4ab\sqrt{a-a^2}x_{0}x_{1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.2}
$$
Несложно видеть, что квартика $Q$ сохраняется отображениями $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{0}:x_{1}:-x_{2}:-x_{3})$ (которое порождает $G'$) и $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{2}:x_{3}:x_{0}:x_{1})$. Более сложное, но прямое вычисление показывает, что она сохраняется также отображением, заданным матрицей
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}} & -\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}} \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{b}\sqrt{b-1}} & -\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}} \\ \dfrac{i}{\sqrt{b-1}}& \dfrac{-ib}{\sqrt{b-1}} & 0 & 0 \\ \dfrac{i}{\sqrt{b-1}}& \dfrac{-i}{\sqrt{b-1}} & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, последние два отображения действуют на точках $v_{i}$ как образующие группы $\mathfrak{D}_{8}$, Поэтому эти три отображения порождают $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. Можно проверить, что они вместе с инволюцией Гейзера порождают группу $\mathfrak{D}_{8}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Предложение доказано. Предложение 15. Если группа $G''$ изоморфна $\mathfrak{S}_{4}$, то существует единственное такое многообразие, а его группа автоморфизмов изоморфна $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Доказательство. Мы можем считать, что $(p_{1}:q_{1})=(1:0)$, $(p_{2}:q_{2})=(\alpha^2:1)$, $(p_{3}:q_{3})=(0:1)$, $(p_{4}:q_{4})=(\alpha+1:1)$, $(p_{5}:q_{5})=(1:1)$, $(p_{6}: q_{6})=({1}/(2-\alpha):1)$, $(p_{7}:q_{7})=(\alpha:1)$, $(p_{8}:q_{8})=(\beta:1)$, $v_{1}=(1:0:0:0)$, $v_{2}=(0:0:1:0)$, $v_{3}=(0:1:0:0)$, $v_{4}=(0:0:0:1)$, $v_{5}=(1:1:0:0)$, $v_{6}=(0:0:1:1)$, $v_{7}=(\beta:1:0:0)$ и $v_{8}=(0:0:\beta:1)$, где $\alpha=(1\pm i\sqrt{3})/{2}$, $\beta={1}/{\alpha}$. Группа $\mathfrak{S}_{4}$, порожденная
$$
\begin{equation*}
\sigma\colon (p:q)\mapsto (\alpha^2 p+(1-\alpha^2)q:p-\alpha^2 q), \qquad \tau\colon(p:q)\mapsto ((\alpha-1)p+q:q),
\end{equation*}
\notag
$$
действует транзитивно на множестве точек $(p_{i}:q_{i})$. Мы имеем индуцированное действие на точках $v_{i}$: $\sigma$ переставляет $v_{2i-1}$ с $v_{2i}$, а $\tau$ переставляет их по следующему правилу: $v_{1}\to v_{1}$, $v_{3}\to v_{5}\to v_{7}\to v_{3}$, $v_{2}\to v_{8}\to v_{4}\to v_{2}$, $v_{6}\to v_{6}$. Можно решить соответствующую систему уравнений на коэффициенты и получить единственное решение с точностью до умножения на скаляр:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_{1}=x_{1}^{2}+(x_{3}-x_{2})(x_{3}+\beta x_{2}), \\ Q_{2}=\alpha^2 x_{0}^{2}+x_{2}((1+\alpha) x_{3}+\alpha x_{2}), \\ Q_{3}=-2\sqrt{3}\, ix_{0}^2-(1+\alpha)x_{1}^{2}+2\alpha x_{0}x_{1}+x_{2}^{2}-(1+\alpha)x_{3}^{2}+2\alpha^{2}x_{2}x_{3}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12.3}
$$
Легко видеть, что квартика $Q$ сохраняется отображением $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{0}:x_{1}:-x_{2}:-x_{3})$, которое порождает $G'$. Кроме того, уравнение $Q$ сохраняется при отображении $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})\mapsto(x_{2}:x_{3}:x_{0}:x_{1})$. Более сложное, но прямое вычисление показывает, что оно сохраняется при отображении, заданном матрицей
Очевидно, последние два отображения действуют на точках $v_{i}$ как порождающие $\tau, \sigma$ группы $\mathfrak{S}_{4}$, поэтому эти три отображения порождают $\widetilde{\operatorname{Aut}}(X)$. Можно проверить, что они вместе с инволюцией Гейзера порождают группу $\mathfrak{S}_{4}\times \mathfrak{C}_{2}^{2}$. Предложение доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Avi23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|