|
Об одном классе интерполяционных неравенств на сфере
С. В. Зеликab, А. А. Ильинc a Department of Mathematics, University of Surrey, Guildford, UK
b School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou, P. R. China
c Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
Доказываются оценки $L^p$ норм систем функций и систем бездивергентных вектор-функций, которые ортонормированы в пространстве Соболева $H^1$ на двумерной сфере. Как следствие получены оптимальные по скорости роста постоянные в неравенствах Гальярдо–Ниренберга для вложения $H^1\hookrightarrow L^q$, $q<\infty$.
Библиография: 25 названий.
Ключевые слова:
неравенства Гальярдо–Ниренберга, сфера, ортонормированные системы.
Поступила в редакцию: 25.04.2022
§ 1. Введение На сфере $\mathbb{S}^d$ справедливо следующее интерполяционное неравенство (см. [1], а также [2]):
$$
\begin{equation}
\frac{q-2}d\int_{\mathbb{S}^d}|\nabla\varphi|^2\,d\mu+ \int_{\mathbb{S}^d}|\varphi|^2\,d\mu\geqslant \biggl(\int_{\mathbb{S}^d}|\varphi|^q\,d\mu\biggr)^{2/q}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $d\mu$ – нормализованная мера Лебега на $\mathbb{S}^d$:
$$
\begin{equation*}
d\mu=\frac{d\sigma}{\sigma_d}=\frac{d\sigma}{\frac{2\pi^{(d+1)/2}}{\Gamma((d+1)/2)}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mu(\mathbb{S}^d)=1$ (градиент вычисляется по отношению к естественной метрике). Далее, $q\in[2, \infty)$ при $d=1,2$ и $q\in[2, 2d/(d-2)]$ при $d\geqslant 3$. Замечательным свойством неравенства (1.1) является тот факт, что постоянная $(q-2)/d$ является точной для всех допустимых $q$. Неравенство очевидным образом вырождается и превращается в равенство на константах. Тот факт, что постоянная $(q-2)/d$ является точной, устанавливается с помощью минимизирующей последовательности $\varphi_\varepsilon(s)=1+\varepsilon v(s)$ при $\varepsilon\to0$, где $v(s)$ – собственная функция оператора Лапласа на $\mathbb{S}^d$, соответствующая первому положительному собственному значению $d$; см. [3] и цитированную там литературу. Однако в приложениях (например, для уравнений Навье–Стокса на двумерной сфере) функции $\varphi$ обычно играют роль функций тока бездивергентных вектор-функций $u$, $u=\nabla^\perp\varphi$, и поэтому без ограничения общности $\varphi$ могут быть выбраны ортогональными константам. В настоящей работе рассматривается только двумерная сфера $\mathbb{S}^2$, и мы заинтересованы в представлении вложения Соболева $H^1(\mathbb{S}^2)\hookrightarrow L^q(\mathbb{S}^2)$ в виде мультипликативного неравенства типа Гальярдо–Ниренберга с $L^2$-нормами $\varphi$ и $\nabla\varphi$ в правой части: $\|\varphi\|_{L^2(\mathbb{S}^2)}=:\|\varphi\|$ и $\|\nabla \varphi\|_{L^2(\mathbb{S}^2)}=:\|\nabla\varphi\|$. Также хорошо известно, что в случае $\mathbb{R}^d$ интерполяционные неравенства в аддитивной форме и в мультипликативной форме эквивалентны, и переход от первой формы ко второй реализуется введением параметра $m$ в неравенство (путем масштабирования $x\to mx$) и последующей минимизацией по $m$. В обратную сторону можно использовать неравенство Юнга (с параметром) для произведений и получить интерполяционное неравенство в аддитивной форме. Эта схема, очевидно, не работает на многообразии из-за отсутствия масштабирования. Один из возможных способов введения параметра в неравенство Соболева – рассмотреть пространства Соболева $H^1$ с нормой и скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{H^1}^2:=m^2\|\varphi\|^2+\|\nabla\varphi\|^2, \qquad (\varphi_1,\varphi_2)_{H^1}:=m^2(\varphi_1,\varphi_2)+ (\nabla\varphi_1,\nabla\varphi_2),
\end{equation*}
\notag
$$
которые зависят от параметра $m>0$, а затем проследить явную зависимость константы вложения от $m$. В настоящей работе это делается в рамках более общих неравенств для $H^1$-ортонормированных семейств, которые были впервые доказаны в [4]. Теперь можно сформулировать и обсудить основной результат. Теорема 1. Пусть семейство функций $\{\varphi_j\}_{j=1}^n\in\dot{H}^1(\mathbb{S}^2)$ с нулевым средним значением является ортонормированным по отношению к скалярному произведению
$$
\begin{equation}
m^2(\varphi_i,\varphi_j)+(\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j)=\delta_{ij}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Тогда для $1\leqslant p<\infty$ функция
$$
\begin{equation*}
\rho(x):=\sum_{j=1}^n|\varphi_j(x)|^2
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\|\rho\|_{L^p}\leqslant\mathrm{B}_pm^{-2/p}n^{1/p},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathrm{B}_p\leqslant\biggl(\frac{p-1}{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Эти неравенства были доказаны в случае $\mathbb{R}^d$ в [4] для $p=\infty$ при $d=1$, для $1\leqslant p<\infty$ при $d=2$ и для критического $p=d/(d-2)$ при $d\geqslant3$. Выражения для констант не приводились, зависимость от $m$ однозначно определялась масштабированием и основной интерес представляла зависимость правой части от $n$. При $p=2$ неравенство (1.4) сыграло важную роль в нахождении явных оптимальных оценок размерности аттрактора для диссипативной регуляризованной системы Эйлера–Бардина–Войта при различных граничных условиях как в двумерном, так и в трехмерном случае; см. [5]–[7]. Точнее, в [5], [7] показано, что $\mathrm{B}_2\leqslant(4\pi)^{-1/2}$ для $\mathbb{T}^2$, $\mathbb{S}^2$ и $\mathbb{R}^2$ на основе следующих двух неравенств для ряда по двумерной решетке $\mathbb{Z}^2_0=\mathbb{Z}^2\setminus\{0,0\}$ и ряда по спектру лапласиана на $\mathbb{S}^2$, которые там были доказаны для частного случая, когда $p=2$:
$$
\begin{equation}
J_p(m):= \frac{(p-1)m^{2(p-1)}}\pi\sum_{n\in{\mathbb Z}_0^2}\frac1{(m^2+|n|^2)^p}<1,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
$$
\begin{equation}
I_p(m):=m^{2(p-1)}(p-1)\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{\bigl(m^2+n(n+1)\bigr)^p}<1.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Случай $p=2$ вовсе не является специфическим в общей схеме доказательства теоремы 1, и общий случай в теореме как для $\mathbb{T}^2$, так и для $\mathbb{S}^2$ сразу следует, если в нашем распоряжении имеются неравенства (1.5), (1.6) для всех $1< p< \infty$. Неравенство (1.5) и теорема 1 для тора $\mathbb{T}^2$ недавно были доказаны в [8], а основным результатом настоящей работы является доказательство (1.6) и теоремы 1 для сферы. Заметим, что для $\mathbb{R}^2$ вместо (1.5) и (1.6) мы имеем равенство
$$
\begin{equation}
\frac{(p-1)m^{2(p-1)}}\pi\int_{\mathbb {R}^2}\frac{dx}{(m^2+|x|^2)^p}=1.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Для одной функции ($n=1$) теорема 1 переходит в неравенство Соболева с параметром для вложения $H^1\hookrightarrow L^q$, $q=2p\in [2,\infty)$, которое эквивалентно неравенству Гальярдо–Ниренберга
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^q}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\|f\|^{2/q}\|\nabla f\|^{1-2/q},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
которое выполнено в $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{T}^2$ и $\mathbb{S}^2$; см. следствие. Для случая тора $\mathbb{T}^2$ неравенство (1.8) может быть доказано непосредственно (см. [8]) с помощью неравенства Хаусдорфа–Юнга для ряда Фурье и оценки (1.5). В случае $\mathbb{R}^2$ этот подход хорошо известен и с дополнительным использованием неравенства Бабенко–Бекнера (см. [9], [10]) для преобразования Фурье (и равенства (1.7)) дает неравенство (1.8) для $\mathbb{R}^2$ с наилучшей на сегодняшний день оценкой константы (см. [11]):
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|_{L^q(\mathbb{R}^2)}\leqslant\biggl(\frac1{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \frac{q^{(q-2)/q}}{(q-1)^{(q-1)/q}} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2} \|\varphi\|^{2/q}\|\nabla\varphi\|^{1-2/q}, \qquad q\geqslant2;
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
см. также [12; теорема 8.5], где эквивалентный результат получен для неравенства в аддитивной форме. Конечно, неравенство (1.9) для $\mathbb{R}^2$ и неравенство (2.4) для $\mathbb{T}^2$ являются частными случаями неравенства Гальярдо–Ниренберга. Для $\mathbb{R}^2$ наилучшая константа известна для каждого $q\geqslant2$ и выражается через норму основного состояния соответствующего нелинейного уравнения Эйлера–Лагранжа (см. [13]). Однако не в явном виде. Как указано выше, неравенство (1.9) было известно ранее, а неравенство (2.4) (точнее, оценка константы в нем) для тора $\mathbb{T}^2$ было недавно получено в [8]. Что же касается случая сферы $\mathbb{S}^2$, то мы не знаем, как доказать (1.8) иначе как в виде следствия общей теоремы 1 для одной функции $n=1$. Основное отличие от случая тора $\mathbb{T}^2$ заключается в том, что ортонормированные сферические функции не ограничены равномерно в $L^\infty$. Наш подход позволяет доказать аналогичные неравенства в векторном случае. А именно, доказано, что для $u\in\mathbf{H}^1_0(\Omega)\cap\{\operatorname{div} u=0\}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_q(\mathbb{S}^2)}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\|u\|^{2/q}\|\operatorname{rot} u\|^{1-2/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\Omega\subseteq\mathbb{S}^2$ – произвольная область на $\mathbb{S}^2$. Это неравенство похоже на (1.8), важным отличием является то, что, в отличие от скалярного случая, векторный лапласиан на всей сфере $\mathbb{S}^2$ положительно определен, и мы можем использовать продолжение нулем в случае $\Omega\varsubsetneq\mathbb{S}^2$. Наконец, естественно сравнить неравенства (1.1) с $d=2$ и (1.8) для функций с нулевым средним значением. Для этого перейдем к естественной мере на $\mathbb{S}^2$ в (1.1), а затем используем неравенство Пуанкаре $\|\varphi\|^2\leqslant2^{-1}\|\nabla\varphi\|^2$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varphi\|_{L^q(\mathbb{S}^2)} &\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac{q-2}2\|\nabla\varphi\|^2+\|\varphi\|^2\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant \biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac{q-1}2\biggr)^{1/2}\|\nabla\varphi\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L_q(\mathbb{S}^2)}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\frac1{2^{1/q}}\|\nabla \varphi\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Постоянная во втором неравенстве меньше, так как
$$
\begin{equation*}
2^{-2/q}\leqslant1-\frac 1q, \qquad q\geqslant2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку неравенство (1.1) превращается в равенство на константах, оно может не быть точным на подпространстве функций с нулевым средним на $\mathbb{S}^2$, и константа в (1.8) неточная. Однако, с учетом (1.8) и (1.9) для $\mathbb{T}^2$, $\mathbb{S}^2$ и для $\mathbb{R}^2$ соответственно можно предположить, что точная постоянная $\mathrm{c}_q$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
\mathrm{c}_q\sim\biggl(\frac1{8\pi}\biggr)^{1/2}q^{1/2} \quad\text{при }\ q\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в правой части здесь любопытным образом совпадает с точной константой в неравенстве Соболева для предельного показателя (см. [14], [15])
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^q({\mathbb{R}^d})}\leqslant \frac{\sqrt{q}}{d\sqrt{2\pi}}\biggl[\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/2)}\biggr]^{1/d} \|\nabla\varphi\|_{L^2({\mathbb{R}^d})}, \qquad\frac1q=\frac12-\frac1d,
\end{equation*}
\notag
$$
если формально положить $d=2$. Конечно, это неравенство не выполняется в $\mathbb{R}^2$, поскольку в нем $d\geqslant3$. Теорема 1 и аналогичный результат в векторном случае доказываются в § 2, а ключевая оценка для ряда (1.6) доказана в § 3.
§ 2. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1. Сначала напомним основные факты о спектре скалярного оператора Лапласа $\Delta=\operatorname{div}\nabla$ на сфере $\mathbb{S}^{2}$ (см., например, [16]):
$$
\begin{equation}
-\Delta Y_n^k=n(n+1) Y_n^k, \qquad k=1,\dots,2n+1, \quad n=0,1,2,\dotsc\,.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $Y_n^k$ – ортонормированные действительные сферические гармоники и каждое собственное значение $\Lambda_n:=n(n+1)$ имеет кратность $2n+1$.
Следующее тождество играет ключевую роль: для любого $s\in\mathbb{S}^{2}$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{2n+1}Y_n^k(s)^2=\frac{2n+1}{4\pi}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Поскольку неравенство (1.3) с (1.4) очевидно выполняется при $p=1$, ниже предполагается, что $1<p<\infty$. Рассмотрим два оператора
$$
\begin{equation}
\mathbb{H}= V^{1/2}(m^2-{\Delta})^{-1/2}\Pi, \qquad \mathbb{H}^*=\Pi(m^2-{\Delta})^{-1/2}V^{1/2},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $V\in L^p$ – неотрицательная скалярная функция, а $\Pi$ – проектор на пространство функций с нулевым средним значением:
$$
\begin{equation*}
\Pi\varphi=\varphi-\frac1{4\pi}\int_{\mathbb{S}^2}\varphi(s)\,d\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbf K=\mathbb{H}^*\mathbb{H}$ – компактный самосопряженный положительно определенный оператор в ${L}^2({\mathbb{S}}^2)$ и для $r=p'=p/(p-1)\in(1,\infty)$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Tr} \mathbf{K}^r &=\operatorname{Tr}\bigl(\Pi(m^2-{\Delta})^{-1/2}V(m^2-{\Delta})^{-1/2}\Pi\bigr)^r \\ &\leqslant\operatorname{Tr}\bigl(\Pi(m^2-{\Delta})^{-r/2}V^r(m^2-{\Delta})^{-r/2}\Pi\bigr) =\operatorname{Tr}\bigl(V^r(m^2-{\Delta})^{-r}\Pi\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где использовано неравенство Араки–Либа–Тирринга для следов (см. [ 17]–[ 19])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}(BA^2B)^p\leqslant\operatorname{Tr}(B^pA^{2p}B^p), \qquad p\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
циклическое свойство следа, перестановочность проектора $\Pi$ с лапласианом и тот факт, что $\Pi$ – проектор: $\Pi^2=\Pi$. Используя ортонормированный собственный базис (2.1) и тождество (2.2), а также основную доказываемую ниже оценку (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Tr} \mathbf{K}^r &\leqslant \operatorname{Tr}\bigl(V^r(m^2-{\Delta})^{-r}\Pi\bigr) \\ &=\int_{\mathbb{S}^2}V(s)^r\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2n+1} \frac1{(m^2+n(n+1))^r}Y_n^k(s)^2\,d\sigma \\ &=\frac1{4\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{(m^2+n(n+1))^r} \int_{\mathbb{S}^2}V(s)^r\,d\sigma\leqslant \frac1{4\pi}\,\frac{m^{-2(r-1)}}{{r-1}}\|V\|^r_{L^r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем закончить доказательство, как в [ 4]. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{S}^2}\rho(s)V(s)\,d\sigma=\sum_{i=1}^n\|\mathbb{H}\psi_i\|^2_{L^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_j=(m^2-{\Delta})^{1/2}\varphi_j, \qquad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.2) следует, что $\psi_j$ ортонормированы в $L^2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\psi_i,\psi_j) &=\bigl((m^2-\Delta)^{1/2}\varphi_i,(m^2-\Delta)^{1/2}\varphi_j\bigr) =(\varphi_i,(m^2-\Delta)\varphi_j) \\ &=m^2(\varphi_i,\varphi_j)+(\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j)=\delta_{ij}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а из вариационного принципа следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n\|\mathbb{H}\psi_i\|^2_{L^2}=\sum_{i=1}^n(\mathbf{K}\psi_i,\psi_i) \leqslant\sum_{i=1}^n\lambda_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_i>0$ – собственные значения оператора $\mathbf{K}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{S}^2}\rho(s)V(s)\,d\sigma &\leqslant\sum_{i=1}^n\lambda_i\leqslant n^{1/p}(\operatorname{Tr} K^r)^{1/r} \\ &\leqslant n^{1/p}\biggl(\frac{p-1}{4\pi m^{2/(p-1)}}\biggr)^{(p-1)/p}\|V\|_{L^{p/(p-1)}} \\ &=n^{1/p}m^{-2/p}\biggl(\frac{p-1}{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}\|V\|_{L^{p/(p-1)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, полагая $V(x)=\rho(x)^{p-1}$, получаем (1.3), (1.4).
Теорема 1 доказана. Следствие. Для $\varphi\,{\in}\, \dot{H}^1(\mathbb {S}^2)$ справедливо следующее интерполяционное неравенство:
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|_{L^q(\mathbb{S}^2)}\leqslant\biggl(\frac1{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2} \|\varphi\|^{2/q}\|\nabla\varphi\|^{1-2/q}, \qquad q\geqslant2.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Доказательство. При $n=1$ неравенство (1.3) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^{2p}}^2\leqslant\mathrm{B}_p \bigl(m^{2-2/p}\|\varphi\|^2+m^{-2/p}\|\nabla\varphi\|^2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Минимизируя правую часть по $m$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^{2p}}^2 \leqslant\mathrm{B}_p\frac p{(p-1)^{(p-1)/p}}\|\varphi\|^{2/p}\|\nabla\varphi\|^{2-2/p} =\biggl(\frac1{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}p\|\varphi\|^{2/p}\|\nabla\varphi\|^{2-2/p},
\end{equation*}
\notag
$$
что и есть (2.4).
Следствие доказано. Неравенства для $H^1$-ортонормированных систем бездивергентных векторфункций на $\mathbb{S}^2$ и соответствующие интерполяционные неравенства аналогичны скалярному случаю. Теорема 2. Пусть $\Omega\subseteq\mathbb{S}^2$ – произвольная область на сфере, и пусть система вектор-функций $\{u_j\}_{j=1}^n\in\mathbf{H}^1_0(\Omega)\cap\{\operatorname{div} u_j=0\}$ ортонормирована в $\mathbf{H}^1$:
$$
\begin{equation*}
m^2(u_i,u_j)+(\operatorname{rot} u_i,\operatorname{rot} u_j)=\delta_{ij}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для $1\leqslant p<\infty$ функция
$$
\begin{equation*}
\rho(x):=\sum_{j=1}^n|u_j(x)|^2
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\|\rho\|_{L^p}\leqslant\mathrm{B}_pm^{-2/p}n^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathrm{B}_p\leqslant\biggl(\frac{p-1}{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Случай $p=2$ рассмотрен в [7]. Поскольку теперь мы имеем (3.1) для всех $1<p<\infty$, доказательство теоремы совершенно аналогично разобранному случаю $p=2$. Чтобы сделать работу замкнутой, мы приведем некоторые детали.
В векторном случае тождество (2.2) заменяется на его векторный аналог (см. [22])
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{2n+1}|\nabla Y_n^k(s)|^2=n(n+1)\frac{2n+1}{4\pi}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Действительно, подставим $\varphi(s)=Y_n^k(s)$ в равенство
$$
\begin{equation*}
\Delta\varphi^2=2\varphi\Delta\varphi+2|\nabla\varphi|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и просуммируем по $k=1,\dots,2n\,{+}\,1$. Ввиду (2.2) левая часть обращается в нуль, и мы получаем (2.5), поскольку $Y_n^k(s)$ – собственные функции, отвечающие $n(n+1)$.
Далее, под векторным оператором Лапласа, действующим на (касательные) векторные поля на $\mathbb{S}^2$, мы имеем в виду оператор Лапласа–де Рама $-d\delta-\delta d$, отождествляя $1$-формы и векторы. Тогда для двумерного многообразия имеем (см. [23])
$$
\begin{equation*}
\mathbf{\Delta} u=\nabla\operatorname{div} u-\operatorname{rot}\operatorname{rot} u,
\end{equation*}
\notag
$$
где операторы $\nabla=\operatorname{grad}$ и $\operatorname{div}$ имеют обычный смысл. Оператор $\operatorname{rot} u$ вектора $u$ есть скаляр, а для скаляра $\psi$ оператор $\operatorname{rot}\psi$ является вектором:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rot} u:=\operatorname{div}(u^\perp), \qquad \operatorname{rot}\psi:=\nabla^\perp\psi,
\end{equation*}
\notag
$$
где в локальном базисе $u^\perp=(u_2,-u_1)$, т.е. происходит поворот на $\pi/2$ по часовой стрелке $u$ в локальной касательной плоскости. Интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation*}
(-\mathbf{\Delta} u,u)=\|{\operatorname{rot} u}\|^2_{L^2}+\|{\operatorname{div} u}\|^2_{L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственному значению $\Lambda_n=n(n+1)$, где $n=1,2,\dots$, отвечает семейство $2n+1$ ортонормированных векторнозначных собственных функций $w_n^k(s)$ векторного оператора Лапласа на инвариантном пространстве бездивергентных вектор-функций, т.е. оператора Стокса на $\mathbb{S}^2$:
$$
\begin{equation*}
w_n^k(s)=(n(n+1))^{-1/2}\nabla^\perp Y_n^k(s), \qquad -\mathbf{\Delta}w_n^k=n(n+1)w_n^k, \quad \operatorname{div} w_n^k=0;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $k=1,\dots,2n+1$, и из (2.5) вытекает следующее тождество:
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{2n+1}|w_n^k(s)|^2=\frac{2n+1}{4\pi}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Наконец, отметим также, что векторный оператор $-\mathbf{\Delta}$ положительно определен: $-\mathbf{\Delta}\geqslant \Lambda_1I=2I.$
Возвращаясь к доказательству, сначала рассмотрим случай, когда $\Omega=\mathbb{S}^2$, и, как в (2.3), положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}= V^{1/2}(m^2-\mathbf{\Delta})^{-1/2}\mathbf{\Pi}, \qquad \mathbb{H}^*=\mathbf{\Pi}(m^2-\mathbf{\Delta})^{-1/2}V^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{\Pi}$ – ортогональный проектор Гельмгольца–Лере на подпространство $\{u\in \mathbf{L}^2(\mathbb{S}^2),\operatorname{div} u=0\}$. Теперь, пользуясь (2.6), можно закончить доказательство, как и в скалярном случае.
Если же $\Omega\varsubsetneq\mathbb{S}^2$ – собственная область на $\mathbb{S}^2$, продолжим нулем $u_j$ вне $\Omega$ и результат обозначим через $\widetilde{u}_j$, так что $\widetilde{u}_j\in \mathbf H^1(\mathbb{S}^2)$ и $\operatorname{div}\widetilde{u}_j=0$. Также проложим $\widetilde\rho(x):=\sum_{j=1}^n|\widetilde{u}_j(x)|^2$. Полагая $\widetilde{\psi}_i:=(m^2-\mathbf{\Delta})^{1/2}\widetilde{u}_i$, получаем, что система $\{\widetilde\psi_j\}_{j=1}^n$ ортонормирована в $\mathbf L^2(\mathbb{S}^2)$ и $\operatorname{div}\widetilde\psi_j=0$. Поскольку $\|\widetilde\rho\|_{ L^2(\mathbb{S}^2)}=\|\rho\|_{ L^2(\Omega)}$, то доказательство сводится к уже разобранному случаю всей сферы.
Теорема 2 доказана. Замечание 1. При $q=4$ неравенство (2.4) есть неравенство Ладыженской на сфере $\mathbb{S}^2$
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^4}^4\leqslant \mathrm{c}_\mathrm{Lad}\|\varphi\|^2\|\nabla\varphi\|^2
\end{equation*}
\notag
$$
с оценкой константы $\mathrm{c}_\mathrm{Lad}\leqslant1/\pi$. Недавняя оценка этой постоянной в [20] в терминах неравенства Либа–Тирринга несколько лучше: $\mathrm{c}_\mathrm{Lad}\leqslant3\pi/32$. С другой стороны, неравенство (2.4) работает для всех $q\geqslant2$ и дает простое выражение для константы. Замечание 2. Скорость роста постоянной при $q\to\infty$ в неравенствах (2.4) и (1.9) в степенной шкале, а именно $q^{1/2}$, является оптимальной. Для неравенства (2.4) на сфере это бы сразу следовало из (1.1) при $d=2$, если бы не было условия нулевого среднего. В общем случае, если бы в (2.4), (1.9) показатель роста был меньше $1/2$, то пространство Соболева $H^1$ в размерности 2 было бы вложено в пространство Орлича с функцией Орлича $e^{t^{2+\varepsilon}}-1$, $\varepsilon>0$, чего быть не может (см. [21]). Кроме того, в то время как при каждом фиксированном $q<\infty$ постоянная в (2.4) и (1.9) не является точной, тем не менее, как было упомянуто выше, мы предполагаем, что точная постоянная $\mathrm{c}_q$ ведет себя как
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{c}_q}{\sqrt{q}}\to \frac1{\sqrt{8\pi}} \quad \text{при } \ q\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 3. Доказательство оценки (1.6) Предложение. При $p>1$ и $m\geqslant0$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
I_p(m):=m^{2(p-1)}(p-1)\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{(m^2+n^2+n)^p}<1.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Доказательство. Сначала заметим, что из асимптотического разложения рядов такого типа следует, что (1.6) выполнено для всех достаточно больших $m$. Действительно, запишем $I_p(m)$ в виде
$$
\begin{equation*}
I_p(m)=\frac{p-1}{m^2}\sum_{n=1}^\infty (2n+1)g\biggl(\frac{n(n+1)}{m^2}\biggr), \qquad g(t)=\frac1{(1+t)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее асимптотическое разложение при $m\to \infty$ (см. [25; лемма 3.5]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_p(m) &=(p-1)\biggl[\int_0^\infty g(t)\,dt-\frac1{m^2}\,\frac23 g(0)+O(m^{-4})\biggr] \\ &=1-\frac1{m^2}\,\frac{2(p-1)}3+O(m^{-4}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для каждого фиксированного $p>1$ существует достаточно большое $m=m_p$ такое, что неравенство (3.1) выполнено для всех $m\geqslant m_p$.
Доказательство того, что неравенство при $p>1$ выполнено для всех $m\geqslant0$, требует дополнительных усилий. Мы будет использовать формулу суммирования Эйлера–Маклорена (см., например, [24]). А именно, будем использовать формулу четвертого порядка
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty f(n)=\int_0^\infty f(x)\,dx-\frac12 f(0)-\frac1{12}f'(0)+\frac1{720}f'''(0)+R_4
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
с остаточным членом
$$
\begin{equation*}
R_4=-\frac1{4!}\int_0^\infty f''''(x)B_4(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_4(x)$ – периодическая функция (полином) Бернулли. Остаточный член $R_4$ здесь оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation}
|R_4|\leqslant\frac{2\zeta(4)}{(2\pi)^4}\int_0^\infty|f''''(x)|\,dx= \frac1{720}\int_0^\infty|f''''(x)|\,dx,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\zeta(4)={\pi^4}/{90}$ и $\zeta(s)$ есть дзета-функция Римана.
Мы будем использовать эту формулу для сравнительно больших $m$ и
$$
\begin{equation*}
f_m(x)=\frac{m^{2(p-1)}(p-1)(2x+1)}{(m^2+x^2+x)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственные вычисления дают
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^\infty f_m(x)\,dx=1, \\ f_m(0)=\frac{p-1}{m^2}, \qquad f_m'(0)=\frac{(p-1)(2m^2-p)}{m^4}, \\ f_m'''(0)=-\frac{(p - 1)p(12m^4 - 12m^2p - 12m^2 + p^2 + 3p + 2)}{m^8}, \\ \begin{split} f_m''''(x) &=32p(p^2 - 1)m^{2p - 2} \biggl(\frac{(x + 1/2)^5(p + 2)(p + 3)}{(m^2 + x^2 + x)^{p + 4}} \\ &\qquad-\frac{5(x + 1/2)^3(p + 2)}{(m^2 + x^2 + x)^{p +3}} + \frac{15(x+1/2)}{4(m^2 + x^2 + x)^{p+2}}\biggr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Изменим теперь знак второго слагаемого в последнем выражении на плюс и положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g(x) &=32p(p^2 - 1)m^{2p - 2} \biggl(\frac{(x + 1/2)^5(p + 2)(p + 3)}{(m^2 + x^2 + x)^{p + 4}} \\ &\qquad+\frac{5(x + 1/2)^3(p + 2)}{(m^2 + x^2 + x)^{p +3}} + \frac{15(x+1/2)}{4(m^2 + x^2 + x)^{p+2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, очевидно, $|f_m''''(x)|\leqslant g(x)$ для всех $x$. С другой стороны, интеграл от $g(x)$ можно получить в явном виде (поскольку $g(x)$ содержит нечетные степени $(x-1/2)$ в числителях, то соответствующие первообразные выражаются в элементарных функциях):
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty g(x)\,dx=\frac{p(p-1)\bigl(172m^4+28(p+1)m^2+p^2+3p+2\bigr)}{m^8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, формула Эйлера–Маклорена (3.2) дает оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_p(m) &<1-\frac23(p-1)m^{-2}+\frac{11}{36}p(p-1)m^{-4}+\frac1{18}p(p^2-1)m^{-6} \\ &=1-\frac1{36}(p-1)m^{-6}\bigl(24m^4-11pm^2-2p(p+1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
I_p(m)<1,
\end{equation*}
\notag
$$
если $24m^4-11pm^2-2p(p+1)>0$, т.е. если
$$
\begin{equation}
m>\frac{\sqrt{3\sqrt{313p^2 + 192p} + 33p}}{12}=:m_0(p).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Рассмотрим теперь два случая: $p\in(1,2]$ и $p>2$. Итак, пусть $p\in(1,2]$. Максимум функции $m_0(p)$ на $p\in(1,2]$ достигается при $p=2$, так что неравенство (3.1) доказано для всех $p\in (1,2]$ и
$$
\begin{equation*}
m>m_0:=\frac{\sqrt{66 + 6\sqrt{409}}}{12}\approx1.1406.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать неравенство для $m<m_0$. Выделим первый член в ряде и отбросим зависимость от $m$ во всех остальных. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_p(m) &=m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+ \sum_{n=2}^\infty\frac{2n+1}{(m^2+n^2+n)^p}\biggr) \\ \notag &<m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+\sum_{n=2}^\infty\frac{2n+1}{(n^2+n)^p}\biggr) \\ &=m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+ R(p)\biggr)=:G(m,p), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
R(p):=\sum_{n=2}^\infty\frac{2n+1}{(n^2+n)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства надо доказать неравенство
$$
\begin{equation*}
G(m,p)<1
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $p\in[1,2]$ и всех $m\in[0,m_0]$.
Мы снова применим формулу Эйлера–Маклорена для ряда $R(p)$ (учитывая теперь, что суммирование начинается с $n=2$). Обозначая
$$
\begin{equation*}
f(n):=\frac{2n+1}{(n^2+n)^p},
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_1^\infty f(x)\,dx=\frac{2^{1-p}}{p-1}, \qquad f(1)=\frac3{2^p}, \qquad f'(1)=\frac1{2^p}\biggl(2-\frac{9p}2\biggr), \\ \begin{split} f''''(n) &=\frac{(2n+1)p(p+1)}{(n^2+n)^{p+4}}\bigl((16p^2-4)n^4+(32p^2-8)n^3 \\ &\qquad+(24p^2+20p+4)n^2+(8p^2+20p+8)n+p^2+5p+6\bigr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f''''(n)>0$, из (3.3) следует, что последние два слагаемых в формуле Эйлера–Маклорена в сумме дают $0$:
$$
\begin{equation*}
\frac1{720}f'''(1)+R_4\leqslant\frac1{720}\biggl(f'''(1)+\int_1^\infty f''''(x)\,dx\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
R(p)\leqslant\int_1^\infty f(x)-\frac12f(1)-\frac1{12}f'(1)= \frac1{2^p(p-1)}\,\frac{9p^2-49p+88}{24}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим это в (3.6) и положим $z:=m^2/2$. Кроме того, предположим, что $z\leqslant1$. Поскольку $e^{-x}\leqslant1/(1+x)$, $x\geqslant0$, то учитывая, что $\ln z\leqslant0$, получаем
$$
\begin{equation*}
z^{p-1}=e^{(p-1)\ln z}<\frac1{1-(p-1)\ln z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнее соотношение и неравенство Бернулли $(1+z)^p>1+pz$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag G(m,p)-1 &=\frac12z^{p-1}\biggl(\frac{3(p-1)}{(1+z)^p}+2^p(p-1)R(p)\biggr)-1 \\ \notag &<\frac12\frac1{(1-(p-1)\ln z)}\biggl(\frac{3(p-1)}{1+pz}+\frac{9p^2-49p+88}{24}\biggr)-1 \\ \notag &=\frac{p-1}{48(pz+1)(1-(p-1)\ln z)} \\ &\qquad\times\bigl(9zp^2+(48 z\ln z-40 z+9)p+48 \ln z+32\bigr) \notag \\ &=:A(z,p)\phi(z,p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Заметим, что неравенство (3.7) выполняется для всех $m\leqslant\sqrt{2}$ (и тогда $z\leqslant1$) и всех $p>1$ (и тогда $A(z,p)>0$). Поэтому знак $G(m,p)-1$ совпадает со знаком квадратного трехчлена $\phi(z,p)$:
$$
\begin{equation*}
\phi(z,p)=9zp^2+(48 z\ln z-40 z+9)p+48 \ln z+32.
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного $p$ функция $\phi(z,p)$ монотонно возрастает по $z$. Действительно, поскольку $p\ln z+1/z\geqslant p(1-\ln p)$, то для $p>1$
$$
\begin{equation}
\partial_z\phi(z,p)=9p^2+8p+48\biggl(p\ln z+\frac1z\biggr)\geqslant 9p^2+56p-48p\ln p>0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Возвращаясь к случаю $p\in (1,2]$, заметим, что для $z=m_0^2/2=0.6504<1$ имеем $\ln z<0$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\phi\biggl(\frac{m_0^2}2,p\biggr)=5.854p^2-30.446p+11.358<0 \quad \text{при }\ p\in[1,2].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\phi\biggl(\frac{m^2}2,p\biggr)<0 \quad\text{для всех }\ m\in[0,m_0], \quad p\in[1,2].
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство неравенства (3.1) для $p\in(1,2]$.
Теперь мы готовы доказать неравенство (3.1) и для $p>2$. Основная идея состоит в том, чтобы использовать монотонное убывание $I_p(m)$ по $p$ для $m$, удовлетворяющих $0\leqslant m\leqslant m_1(p)$, где $m_1(p)$ указано ниже. Действительно, пусть
$$
\begin{equation*}
f(n)=f(m,n,p)=\frac{m^{2(p-1)}(p-1)(2n+1)}{(m^2+n^2+n)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial_pf(n)=\frac{m^{2(p-1)}(2n+1)}{(m^2+n^2+n)^p} \biggl(1+(p-1)\ln\frac{m^2}{m^2+n^2+n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и производная отрицательна для всех $n\in\mathbb N$, если
$$
\begin{equation*}
m<m_1(p):=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e^{1/(p-1)}-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $p>2$. Возможны два случая:
$$
\begin{equation*}
m_0(p)<m_1(p), \qquad m_0(p)\geqslant m_1(p).
\end{equation*}
\notag
$$
В первом случае неравенство (3.1) выполнено для всех $m$, поскольку если $m>m_0(p)$, то оно выполнено ввиду (3.4), (3.5). Если же $m<m_0(p)<m_1(p)$, то оно выполнено в силу установленной монотонности по $p$ и того, что (3.1) верно для $p=2$.
Во втором случае мы сначала укажем интервал значений $p$, в котором неравенство $m_0(p)\geqslant m_1(p)$ в действительности выполняется. А именно, оно выполнено при
$$
\begin{equation*}
p\in[2,p_*], \qquad p_*=2.10915\dots;
\end{equation*}
\notag
$$
см. рис. 1, где единственное $p_*$, $m_1(p_*)=m_0(p_*)$, найдено численно.
Таким образом, неравенство (3.1) выполнено для $p>p_*$, и нам осталось лишь рассмотреть интервал $p\in[2,p_*]$. Более того, поскольку $m_0(p)$ в (3.5) монотонно возрастает, то надо доказать неравенство (3.1) для
$$
\begin{equation*}
p\in[2,p_*], \qquad m\in[0,m_*], \quad m_*=m_0(p_*)=1.169\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.6)–(3.8) и замечания после (3.7) имеем следующую цепочку импликаций и эквивалентностей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\{I_p(m)<1\bigr\} &\Longleftarrow\bigl\{G(m,p)-1<0\bigr\}\Longleftarrow \bigl\{A(z,p)\phi(z,p)<0\bigr\} \\ &\Longleftrightarrow\bigl\{\phi(z,p)<0\bigr\}\Longleftarrow\bigl\{\phi(z_*,p)<0\bigr\} \\ &\Longleftrightarrow\bigl\{6.1495p^2-30.8222p+13.7197<0,\ p\in[2,p_*]\bigr\}=\{'\text{true}'\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=m^2/2\leqslant z_*=m_*^2/2=0.6832<1$ и $m_*=1.169<\sqrt{2}$. Неравенство (3.1) теперь доказано для всех $p>1$ и $m\geqslant0$. Предложение доказано. Замечание 3. Важный для приложений частный случай $p=2$ был ранее доказан более простым способом в [7]. Замечание 4. Численные результаты показывают, что для всех $p$ (для которых производились вычисления) функция $I_p(m)$ монотонно возрастает по $m$. Мы пока не может строго это обосновать. Однако, как недавно показано в [8], функция $J_p(m)$ в (1.5) монотонно возрастает по $m$, откуда немедленно следует неравенство (1.5), поскольку $J_p(\infty)=1$.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
W. Beckner, “Sharp Sobolev inequalities on the sphere and the Moser–Trudinger inequality”, Ann. of Math. (2), 138:1 (1993), 213–242 |
2. |
M. F. Bidaut-Veron, L. Veron, “Nonlinear elliptic equations on compact Riemannian manifolds and asymptotics of Emden equations”, Invent. Math., 106:3 (1991), 489–539 |
3. |
J. Dolbeault, M. J. Esteban, M. Kowalczyk, M. Loss, “Sharp interpolation inequalities on the sphere: new methods and consequences”, Chinese Ann. Math. Ser. B, 34:1 (2013), 99–112 |
4. |
E. H. Lieb, “An $L^p$ bound for the Riesz and Bessel potentials of orthonormal functions”, J. Funct. Anal., 51:2 (1983), 159–165 |
5. |
A. A. Ilyin, S. Zelik, “Sharp dimension estimates of the attractor of the damped 2D Euler–Bardina equations”, Partial differential equations, spectral theory, and mathematical physics, EMS Ser. Congr. Rep., EMS Press, Berlin, 2021, 209–229 |
6. |
A. Ilyin, A. Kostianko, S. Zelik, “Sharp upper and lower bounds of the attractor dimension for 3D damped Euler–Bardina equations”, Phys. D, 432 (2022), 133156, 13 pp. |
7. |
С. В. Зелик, А. А. Ильин, А. Г. Костянко, “Оценки размерности аттракторов регуляризированной системы Эйлера с диссипацией на сфере”, Матем. заметки, 111:1 (2022), 54–66 ; англ. пер.: S. V. Zelik, A. A. Ilyin, A. G. Kostyanko, “Estimates for the dimension of attractors of a regularized Euler system with dissipation on the sphere”, Math. Notes, 111:1 (2022), 47–57 |
8. |
A. Ilyin, A. Kostianko, S. Zelik, “Applications of the Lieb–Thirring and other bounds for orthonormal systems in mathematical hydrodynamics”, The physics and mathematics of Elliott Lieb. The 90th anniversary, v. I, EMS Press, Berlin, 2022, 583–608 |
9. |
К. И. Бабенко, “Об одном неравенстве в теории интегралов Фурье”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 25:4 (1961), 531–542 ; англ. пер.: K. I. Babenko, “An inequality in the theory of Fourier integrals”, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 44, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1965, 115–128 |
10. |
W. Beckner, “Inequalities in Fourier analysis”, Ann. of Math. (2), 102 (1975), 159–182 |
11. |
Ш. М. Насибов, “Об оптимальных константах в некоторых неравенствах Соболева и их приложении к нелинейному уравнению Шрёдингера”, Докл. АН СССР, 307:3 (1989), 538–542 ; англ. пер.: Sh. M. Nasibov, “On optimal constants in some Sobolev inequalities and their application to a nonlinear Schrödinger equation”, Soviet Math. Dokl., 40:1 (1990), 110–115 |
12. |
Э. Либ, М. Лосс, Анализ, Науч. кн., Новосибирск, 1998, 276 с. ; пер. с англ.: E. H. Lieb, M. P. Loss, Analysis, Grad. Stud. Math., 14, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, xxii+346 с. |
13. |
M. I. Weinstein, “Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates”, Comm. Math. Phys., 87:4 (1983), 567–576 |
14. |
G. Talenti, “Best constant in Sobolev inequality”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 110 (1976), 353–372 |
15. |
E. H. Lieb, “Sharp constants in the Hardy–Littlewood–Sobolev and related inequalities”, Ann. of Math. (2), 118:2 (1983), 349–374 |
16. |
И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974, 336 с. ; пер. с англ.: E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Math. Ser., 32, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, x+297 с. |
17. |
H. Araki, “On an inequality of Lieb and Thirring”, Lett. Math. Phys., 19:2 (1990), 167–170 |
18. |
E. Lieb, W. Thirring, “Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrödinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities”, Studies in mathematical physics. Essays in honor of Valentine Bargmann, Princeton Ser. Phys., Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1976, 269–303 |
19. |
B. Simon, Trace ideals and their applications, Math. Surveys Monogr., 120, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, viii+150 pp. |
20. |
A. Ilyin, A. Laptev, S. Zelik, “Lieb–Thirring constant on the sphere and on the torus”, J. Funct. Anal., 279:12 (2020), 108784, 18 pp. |
21. |
J. A. Hempel, G. R. Morris, N. S. Trudinger, “On the sharpness of a limiting case of the Sobolev imbedding theorem”, Bull. Austral. Math. Soc., 3:3 (1970), 369–373 |
22. |
A. A. Ilyin, “Lieb–Thirring inequalities on the $N$-sphere and in the plane, and some applications”, Proc. London Math. Soc. (3), 67:1 (1993), 159–182 |
23. |
А. А. Ильин, “Частично диссипативные полугруппы, порожденные системой Навье–Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы”, Матем. сб., 184:1 (1993), 55–88 ; англ. пер.: A. A. Ilyin, “Partly dissipative semigroups generated by the Navier–Stokes system on two-dimensional manifolds, and their attractors”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 78:1 (1994), 47–76 |
24. |
В. И. Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, М., 1959, 327 с. ; англ. пер.: V. I. Krylov, Approximate calculation of integrals, The Macmillan Co., New York–London, 1962, x+357 с. |
25. |
С. В. Зелик, А. А. Ильин, “Асимптотика функций Грина и точные интерполяционные неравенства”, УМН, 69:2(416) (2014), 23–76 ; англ. пер.: S. V. Zelik, A. A. Ilyin, “Green's function asymptotics and sharp interpolation inequalities”, Russian Math. Surveys, 69:2 (2014), 209–260 |
Образец цитирования:
С. В. Зелик, А. А. Ильин, “Об одном классе интерполяционных неравенств на сфере”, Матем. сб., 214:3 (2023), 120–134; S. V. Zelik, A. A. Ilyin, “On a class of interpolation inequalities on the 2D sphere”, Sb. Math., 214:3 (2023), 396–410
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm9786https://doi.org/10.4213/sm9786 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i3/p120
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 270 | PDF русской версии: | 24 | PDF английской версии: | 47 | HTML русской версии: | 123 | HTML английской версии: | 102 | Список литературы: | 34 | Первая страница: | 3 |
|