| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об одном классе интерполяционных неравенств на сфере С. В. Зеликab, А. А. Ильинc a Department of Mathematics, University of Surrey, Guildford, UK b School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou, P. R. China c Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9786e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеНа сфере $\mathbb{S}^d$ справедливо следующее интерполяционное неравенство (см. [1], а также [2]):
$$
\begin{equation}
\frac{q-2}d\int_{\mathbb{S}^d}|\nabla\varphi|^2\,d\mu+ \int_{\mathbb{S}^d}|\varphi|^2\,d\mu\geqslant \biggl(\int_{\mathbb{S}^d}|\varphi|^q\,d\mu\biggr)^{2/q}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $d\mu$ – нормализованная мера Лебега на $\mathbb{S}^d$:
$$
\begin{equation*}
d\mu=\frac{d\sigma}{\sigma_d}=\frac{d\sigma}{\frac{2\pi^{(d+1)/2}}{\Gamma((d+1)/2)}},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mu(\mathbb{S}^d)=1$ (градиент вычисляется по отношению к естественной метрике). Далее, $q\in[2, \infty)$ при $d=1,2$ и $q\in[2, 2d/(d-2)]$ при $d\geqslant 3$. Замечательным свойством неравенства (1.1) является тот факт, что постоянная $(q-2)/d$ является точной для всех допустимых $q$. Неравенство очевидным образом вырождается и превращается в равенство на константах. Тот факт, что постоянная $(q-2)/d$ является точной, устанавливается с помощью минимизирующей последовательности $\varphi_\varepsilon(s)=1+\varepsilon v(s)$ при $\varepsilon\to0$, где $v(s)$ – собственная функция оператора Лапласа на $\mathbb{S}^d$, соответствующая первому положительному собственному значению $d$; см. [3] и цитированную там литературу. Однако в приложениях (например, для уравнений Навье–Стокса на двумерной сфере) функции $\varphi$ обычно играют роль функций тока бездивергентных вектор-функций $u$, $u=\nabla^\perp\varphi$, и поэтому без ограничения общности $\varphi$ могут быть выбраны ортогональными константам. В настоящей работе рассматривается только двумерная сфера $\mathbb{S}^2$, и мы заинтересованы в представлении вложения Соболева $H^1(\mathbb{S}^2)\hookrightarrow L^q(\mathbb{S}^2)$ в виде мультипликативного неравенства типа Гальярдо–Ниренберга с $L^2$-нормами $\varphi$ и $\nabla\varphi$ в правой части: $\|\varphi\|_{L^2(\mathbb{S}^2)}=:\|\varphi\|$ и $\|\nabla \varphi\|_{L^2(\mathbb{S}^2)}=:\|\nabla\varphi\|$. Также хорошо известно, что в случае $\mathbb{R}^d$ интерполяционные неравенства в аддитивной форме и в мультипликативной форме эквивалентны, и переход от первой формы ко второй реализуется введением параметра $m$ в неравенство (путем масштабирования $x\to mx$) и последующей минимизацией по $m$. В обратную сторону можно использовать неравенство Юнга (с параметром) для произведений и получить интерполяционное неравенство в аддитивной форме. Эта схема, очевидно, не работает на многообразии из-за отсутствия масштабирования. Один из возможных способов введения параметра в неравенство Соболева – рассмотреть пространства Соболева $H^1$ с нормой и скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{H^1}^2:=m^2\|\varphi\|^2+\|\nabla\varphi\|^2, \qquad (\varphi_1,\varphi_2)_{H^1}:=m^2(\varphi_1,\varphi_2)+ (\nabla\varphi_1,\nabla\varphi_2),
\end{equation*}
\notag
$$
которые зависят от параметра $m>0$, а затем проследить явную зависимость константы вложения от $m$. В настоящей работе это делается в рамках более общих неравенств для $H^1$-ортонормированных семейств, которые были впервые доказаны в [4]. Теперь можно сформулировать и обсудить основной результат. Теорема 1. Пусть семейство функций $\{\varphi_j\}_{j=1}^n\in\dot{H}^1(\mathbb{S}^2)$ с нулевым средним значением является ортонормированным по отношению к скалярному произведению Тогда для $1\leqslant p<\infty$ функция удовлетворяет неравенству где Эти неравенства были доказаны в случае $\mathbb{R}^d$ в [4] для $p=\infty$ при $d=1$, для $1\leqslant p<\infty$ при $d=2$ и для критического $p=d/(d-2)$ при $d\geqslant3$. Выражения для констант не приводились, зависимость от $m$ однозначно определялась масштабированием и основной интерес представляла зависимость правой части от $n$. При $p=2$ неравенство (1.4) сыграло важную роль в нахождении явных оптимальных оценок размерности аттрактора для диссипативной регуляризованной системы Эйлера–Бардина–Войта при различных граничных условиях как в двумерном, так и в трехмерном случае; см. [5]–[7]. Точнее, в [5], [7] показано, что $\mathrm{B}_2\leqslant(4\pi)^{-1/2}$ для $\mathbb{T}^2$, $\mathbb{S}^2$ и $\mathbb{R}^2$ на основе следующих двух неравенств для ряда по двумерной решетке $\mathbb{Z}^2_0=\mathbb{Z}^2\setminus\{0,0\}$ и ряда по спектру лапласиана на $\mathbb{S}^2$, которые там были доказаны для частного случая, когда $p=2$:
$$
\begin{equation}
J_p(m):= \frac{(p-1)m^{2(p-1)}}\pi\sum_{n\in{\mathbb Z}_0^2}\frac1{(m^2+|n|^2)^p}<1,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
$$
\begin{equation}
I_p(m):=m^{2(p-1)}(p-1)\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{\bigl(m^2+n(n+1)\bigr)^p}<1.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Случай $p=2$ вовсе не является специфическим в общей схеме доказательства теоремы 1, и общий случай в теореме как для $\mathbb{T}^2$, так и для $\mathbb{S}^2$ сразу следует, если в нашем распоряжении имеются неравенства (1.5), (1.6) для всех $1< p< \infty$. Неравенство (1.5) и теорема 1 для тора $\mathbb{T}^2$ недавно были доказаны в [8], а основным результатом настоящей работы является доказательство (1.6) и теоремы 1 для сферы. Заметим, что для $\mathbb{R}^2$ вместо (1.5) и (1.6) мы имеем равенство
$$
\begin{equation}
\frac{(p-1)m^{2(p-1)}}\pi\int_{\mathbb {R}^2}\frac{dx}{(m^2+|x|^2)^p}=1.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Для одной функции ($n=1$) теорема 1 переходит в неравенство Соболева с параметром для вложения $H^1\hookrightarrow L^q$, $q=2p\in [2,\infty)$, которое эквивалентно неравенству Гальярдо–Ниренберга
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^q}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\|f\|^{2/q}\|\nabla f\|^{1-2/q},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
которое выполнено в $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{T}^2$ и $\mathbb{S}^2$; см. следствие. Для случая тора $\mathbb{T}^2$ неравенство (1.8) может быть доказано непосредственно (см. [8]) с помощью неравенства Хаусдорфа–Юнга для ряда Фурье и оценки (1.5). В случае $\mathbb{R}^2$ этот подход хорошо известен и с дополнительным использованием неравенства Бабенко–Бекнера (см. [9], [10]) для преобразования Фурье (и равенства (1.7)) дает неравенство (1.8) для $\mathbb{R}^2$ с наилучшей на сегодняшний день оценкой константы (см. [11]):
$$
\begin{equation}
\|\varphi\|_{L^q(\mathbb{R}^2)}\leqslant\biggl(\frac1{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \frac{q^{(q-2)/q}}{(q-1)^{(q-1)/q}} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2} \|\varphi\|^{2/q}\|\nabla\varphi\|^{1-2/q}, \qquad q\geqslant2;
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
см. также [12; теорема 8.5], где эквивалентный результат получен для неравенства в аддитивной форме. Конечно, неравенство (1.9) для $\mathbb{R}^2$ и неравенство (2.4) для $\mathbb{T}^2$ являются частными случаями неравенства Гальярдо–Ниренберга. Для $\mathbb{R}^2$ наилучшая константа известна для каждого $q\geqslant2$ и выражается через норму основного состояния соответствующего нелинейного уравнения Эйлера–Лагранжа (см. [13]). Однако не в явном виде. Как указано выше, неравенство (1.9) было известно ранее, а неравенство (2.4) (точнее, оценка константы в нем) для тора $\mathbb{T}^2$ было недавно получено в [8]. Что же касается случая сферы $\mathbb{S}^2$, то мы не знаем, как доказать (1.8) иначе как в виде следствия общей теоремы 1 для одной функции $n=1$. Основное отличие от случая тора $\mathbb{T}^2$ заключается в том, что ортонормированные сферические функции не ограничены равномерно в $L^\infty$. Наш подход позволяет доказать аналогичные неравенства в векторном случае. А именно, доказано, что для $u\in\mathbf{H}^1_0(\Omega)\cap\{\operatorname{div} u=0\}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{L_q(\mathbb{S}^2)}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\|u\|^{2/q}\|\operatorname{rot} u\|^{1-2/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\Omega\subseteq\mathbb{S}^2$ – произвольная область на $\mathbb{S}^2$. Это неравенство похоже на (1.8), важным отличием является то, что, в отличие от скалярного случая, векторный лапласиан на всей сфере $\mathbb{S}^2$ положительно определен, и мы можем использовать продолжение нулем в случае $\Omega\varsubsetneq\mathbb{S}^2$. Наконец, естественно сравнить неравенства (1.1) с $d=2$ и (1.8) для функций с нулевым средним значением. Для этого перейдем к естественной мере на $\mathbb{S}^2$ в (1.1), а затем используем неравенство Пуанкаре $\|\varphi\|^2\leqslant2^{-1}\|\nabla\varphi\|^2$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varphi\|_{L^q(\mathbb{S}^2)} &\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac{q-2}2\|\nabla\varphi\|^2+\|\varphi\|^2\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant \biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac{q-1}2\biggr)^{1/2}\|\nabla\varphi\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L_q(\mathbb{S}^2)}\leqslant\biggl(\frac{1}{4\pi}\biggr)^{(q-2)/(2q)} \biggl(\frac q2\biggr)^{1/2}\frac1{2^{1/q}}\|\nabla \varphi\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Постоянная во втором неравенстве меньше, так как Поскольку неравенство (1.1) превращается в равенство на константах, оно может не быть точным на подпространстве функций с нулевым средним на $\mathbb{S}^2$, и константа в (1.8) неточная. Однако, с учетом (1.8) и (1.9) для $\mathbb{T}^2$, $\mathbb{S}^2$ и для $\mathbb{R}^2$ соответственно можно предположить, что точная постоянная $\mathrm{c}_q$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation*}
\mathrm{c}_q\sim\biggl(\frac1{8\pi}\biggr)^{1/2}q^{1/2} \quad\text{при }\ q\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в правой части здесь любопытным образом совпадает с точной константой в неравенстве Соболева для предельного показателя (см. [14], [15])
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^q({\mathbb{R}^d})}\leqslant \frac{\sqrt{q}}{d\sqrt{2\pi}}\biggl[\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/2)}\biggr]^{1/d} \|\nabla\varphi\|_{L^2({\mathbb{R}^d})}, \qquad\frac1q=\frac12-\frac1d,
\end{equation*}
\notag
$$
если формально положить $d=2$. Конечно, это неравенство не выполняется в $\mathbb{R}^2$, поскольку в нем $d\geqslant3$. Теорема 1 и аналогичный результат в векторном случае доказываются в § 2, а ключевая оценка для ряда (1.6) доказана в § 3. § 2. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1. Сначала напомним основные факты о спектре скалярного оператора Лапласа $\Delta=\operatorname{div}\nabla$ на сфере $\mathbb{S}^{2}$ (см., например, [16]): Здесь $Y_n^k$ – ортонормированные действительные сферические гармоники и каждое собственное значение $\Lambda_n:=n(n+1)$ имеет кратность $2n+1$.
Следующее тождество играет ключевую роль: для любого $s\in\mathbb{S}^{2}$ Поскольку неравенство (1.3) с (1.4) очевидно выполняется при $p=1$, ниже предполагается, что $1<p<\infty$. Рассмотрим два оператора
$$
\begin{equation}
\mathbb{H}= V^{1/2}(m^2-{\Delta})^{-1/2}\Pi, \qquad \mathbb{H}^*=\Pi(m^2-{\Delta})^{-1/2}V^{1/2},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $V\in L^p$ – неотрицательная скалярная функция, а $\Pi$ – проектор на пространство функций с нулевым средним значением:
$$
\begin{equation*}
\Pi\varphi=\varphi-\frac1{4\pi}\int_{\mathbb{S}^2}\varphi(s)\,d\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbf K=\mathbb{H}^*\mathbb{H}$ – компактный самосопряженный положительно определенный оператор в ${L}^2({\mathbb{S}}^2)$ и для $r=p'=p/(p-1)\in(1,\infty)$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Tr} \mathbf{K}^r &=\operatorname{Tr}\bigl(\Pi(m^2-{\Delta})^{-1/2}V(m^2-{\Delta})^{-1/2}\Pi\bigr)^r \\ &\leqslant\operatorname{Tr}\bigl(\Pi(m^2-{\Delta})^{-r/2}V^r(m^2-{\Delta})^{-r/2}\Pi\bigr) =\operatorname{Tr}\bigl(V^r(m^2-{\Delta})^{-r}\Pi\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где использовано неравенство Араки–Либа–Тирринга для следов (см. [17]–[19])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}(BA^2B)^p\leqslant\operatorname{Tr}(B^pA^{2p}B^p), \qquad p\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
циклическое свойство следа, перестановочность проектора $\Pi$ с лапласианом и тот факт, что $\Pi$ – проектор: $\Pi^2=\Pi$. Используя ортонормированный собственный базис (2.1) и тождество (2.2), а также основную доказываемую ниже оценку (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Tr} \mathbf{K}^r &\leqslant \operatorname{Tr}\bigl(V^r(m^2-{\Delta})^{-r}\Pi\bigr) \\ &=\int_{\mathbb{S}^2}V(s)^r\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2n+1} \frac1{(m^2+n(n+1))^r}Y_n^k(s)^2\,d\sigma \\ &=\frac1{4\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{2n+1}{(m^2+n(n+1))^r} \int_{\mathbb{S}^2}V(s)^r\,d\sigma\leqslant \frac1{4\pi}\,\frac{m^{-2(r-1)}}{{r-1}}\|V\|^r_{L^r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем закончить доказательство, как в [4]. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{S}^2}\rho(s)V(s)\,d\sigma=\sum_{i=1}^n\|\mathbb{H}\psi_i\|^2_{L^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\psi_j=(m^2-{\Delta})^{1/2}\varphi_j, \qquad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.2) следует, что $\psi_j$ ортонормированы в $L^2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\psi_i,\psi_j) &=\bigl((m^2-\Delta)^{1/2}\varphi_i,(m^2-\Delta)^{1/2}\varphi_j\bigr) =(\varphi_i,(m^2-\Delta)\varphi_j) \\ &=m^2(\varphi_i,\varphi_j)+(\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j)=\delta_{ij}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а из вариационного принципа следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n\|\mathbb{H}\psi_i\|^2_{L^2}=\sum_{i=1}^n(\mathbf{K}\psi_i,\psi_i) \leqslant\sum_{i=1}^n\lambda_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_i>0$ – собственные значения оператора $\mathbf{K}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{S}^2}\rho(s)V(s)\,d\sigma &\leqslant\sum_{i=1}^n\lambda_i\leqslant n^{1/p}(\operatorname{Tr} K^r)^{1/r} \\ &\leqslant n^{1/p}\biggl(\frac{p-1}{4\pi m^{2/(p-1)}}\biggr)^{(p-1)/p}\|V\|_{L^{p/(p-1)}} \\ &=n^{1/p}m^{-2/p}\biggl(\frac{p-1}{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}\|V\|_{L^{p/(p-1)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, полагая $V(x)=\rho(x)^{p-1}$, получаем (1.3), (1.4).
Теорема 1 доказана. Следствие. Для $\varphi\,{\in}\, \dot{H}^1(\mathbb {S}^2)$ справедливо следующее интерполяционное неравенство: Доказательство. При $n=1$ неравенство (1.3) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^{2p}}^2\leqslant\mathrm{B}_p \bigl(m^{2-2/p}\|\varphi\|^2+m^{-2/p}\|\nabla\varphi\|^2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Минимизируя правую часть по $m$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L^{2p}}^2 \leqslant\mathrm{B}_p\frac p{(p-1)^{(p-1)/p}}\|\varphi\|^{2/p}\|\nabla\varphi\|^{2-2/p} =\biggl(\frac1{4\pi}\biggr)^{(p-1)/p}p\|\varphi\|^{2/p}\|\nabla\varphi\|^{2-2/p},
\end{equation*}
\notag
$$
что и есть (2.4).
Следствие доказано. Неравенства для $H^1$-ортонормированных систем бездивергентных векторфункций на $\mathbb{S}^2$ и соответствующие интерполяционные неравенства аналогичны скалярному случаю. Теорема 2. Пусть $\Omega\subseteq\mathbb{S}^2$ – произвольная область на сфере, и пусть система вектор-функций $\{u_j\}_{j=1}^n\in\mathbf{H}^1_0(\Omega)\cap\{\operatorname{div} u_j=0\}$ ортонормирована в $\mathbf{H}^1$: Тогда для $1\leqslant p<\infty$ функция удовлетворяет неравенству где Доказательство. Случай $p=2$ рассмотрен в [7]. Поскольку теперь мы имеем (3.1) для всех $1<p<\infty$, доказательство теоремы совершенно аналогично разобранному случаю $p=2$. Чтобы сделать работу замкнутой, мы приведем некоторые детали.
В векторном случае тождество (2.2) заменяется на его векторный аналог (см. [22])
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{2n+1}|\nabla Y_n^k(s)|^2=n(n+1)\frac{2n+1}{4\pi}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Действительно, подставим $\varphi(s)=Y_n^k(s)$ в равенство
$$
\begin{equation*}
\Delta\varphi^2=2\varphi\Delta\varphi+2|\nabla\varphi|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и просуммируем по $k=1,\dots,2n\,{+}\,1$. Ввиду (2.2) левая часть обращается в нуль, и мы получаем (2.5), поскольку $Y_n^k(s)$ – собственные функции, отвечающие $n(n+1)$.
Далее, под векторным оператором Лапласа, действующим на (касательные) векторные поля на $\mathbb{S}^2$, мы имеем в виду оператор Лапласа–де Рама $-d\delta-\delta d$, отождествляя $1$-формы и векторы. Тогда для двумерного многообразия имеем (см. [23])
$$
\begin{equation*}
\mathbf{\Delta} u=\nabla\operatorname{div} u-\operatorname{rot}\operatorname{rot} u,
\end{equation*}
\notag
$$
где операторы $\nabla=\operatorname{grad}$ и $\operatorname{div}$ имеют обычный смысл. Оператор $\operatorname{rot} u$ вектора $u$ есть скаляр, а для скаляра $\psi$ оператор $\operatorname{rot}\psi$ является вектором:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rot} u:=\operatorname{div}(u^\perp), \qquad \operatorname{rot}\psi:=\nabla^\perp\psi,
\end{equation*}
\notag
$$
где в локальном базисе $u^\perp=(u_2,-u_1)$, т.е. происходит поворот на $\pi/2$ по часовой стрелке $u$ в локальной касательной плоскости. Интегрируя по частям, получаем
$$
\begin{equation*}
(-\mathbf{\Delta} u,u)=\|{\operatorname{rot} u}\|^2_{L^2}+\|{\operatorname{div} u}\|^2_{L^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственному значению $\Lambda_n=n(n+1)$, где $n=1,2,\dots$, отвечает семейство $2n+1$ ортонормированных векторнозначных собственных функций $w_n^k(s)$ векторного оператора Лапласа на инвариантном пространстве бездивергентных вектор-функций, т.е. оператора Стокса на $\mathbb{S}^2$:
$$
\begin{equation*}
w_n^k(s)=(n(n+1))^{-1/2}\nabla^\perp Y_n^k(s), \qquad -\mathbf{\Delta}w_n^k=n(n+1)w_n^k, \quad \operatorname{div} w_n^k=0;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $k=1,\dots,2n+1$, и из (2.5) вытекает следующее тождество: Наконец, отметим также, что векторный оператор $-\mathbf{\Delta}$ положительно определен: $-\mathbf{\Delta}\geqslant \Lambda_1I=2I.$
Возвращаясь к доказательству, сначала рассмотрим случай, когда $\Omega=\mathbb{S}^2$, и, как в (2.3), положим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}= V^{1/2}(m^2-\mathbf{\Delta})^{-1/2}\mathbf{\Pi}, \qquad \mathbb{H}^*=\mathbf{\Pi}(m^2-\mathbf{\Delta})^{-1/2}V^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{\Pi}$ – ортогональный проектор Гельмгольца–Лере на подпространство $\{u\in \mathbf{L}^2(\mathbb{S}^2),\operatorname{div} u=0\}$. Теперь, пользуясь (2.6), можно закончить доказательство, как и в скалярном случае.
Если же $\Omega\varsubsetneq\mathbb{S}^2$ – собственная область на $\mathbb{S}^2$, продолжим нулем $u_j$ вне $\Omega$ и результат обозначим через $\widetilde{u}_j$, так что $\widetilde{u}_j\in \mathbf H^1(\mathbb{S}^2)$ и $\operatorname{div}\widetilde{u}_j=0$. Также проложим $\widetilde\rho(x):=\sum_{j=1}^n|\widetilde{u}_j(x)|^2$. Полагая $\widetilde{\psi}_i:=(m^2-\mathbf{\Delta})^{1/2}\widetilde{u}_i$, получаем, что система $\{\widetilde\psi_j\}_{j=1}^n$ ортонормирована в $\mathbf L^2(\mathbb{S}^2)$ и $\operatorname{div}\widetilde\psi_j=0$. Поскольку $\|\widetilde\rho\|_{ L^2(\mathbb{S}^2)}=\|\rho\|_{ L^2(\Omega)}$, то доказательство сводится к уже разобранному случаю всей сферы. Теорема 2 доказана. Замечание 1. При $q=4$ неравенство (2.4) есть неравенство Ладыженской на сфере $\mathbb{S}^2$ Замечание 2. Скорость роста постоянной при $q\to\infty$ в неравенствах (2.4) и (1.9) в степенной шкале, а именно $q^{1/2}$, является оптимальной. Для неравенства (2.4) на сфере это бы сразу следовало из (1.1) при $d=2$, если бы не было условия нулевого среднего. В общем случае, если бы в (2.4), (1.9) показатель роста был меньше $1/2$, то пространство Соболева $H^1$ в размерности 2 было бы вложено в пространство Орлича с функцией Орлича $e^{t^{2+\varepsilon}}-1$, $\varepsilon>0$, чего быть не может (см. [21]). Кроме того, в то время как при каждом фиксированном $q<\infty$ постоянная в (2.4) и (1.9) не является точной, тем не менее, как было упомянуто выше, мы предполагаем, что точная постоянная $\mathrm{c}_q$ ведет себя как § 3. Доказательство оценки (1.6) Доказательство. Сначала заметим, что из асимптотического разложения рядов такого типа следует, что (1.6) выполнено для всех достаточно больших $m$. Действительно, запишем $I_p(m)$ в виде
$$
\begin{equation*}
I_p(m)=\frac{p-1}{m^2}\sum_{n=1}^\infty (2n+1)g\biggl(\frac{n(n+1)}{m^2}\biggr), \qquad g(t)=\frac1{(1+t)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее асимптотическое разложение при $m\to \infty$ (см. [25; лемма 3.5]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_p(m) &=(p-1)\biggl[\int_0^\infty g(t)\,dt-\frac1{m^2}\,\frac23 g(0)+O(m^{-4})\biggr] \\ &=1-\frac1{m^2}\,\frac{2(p-1)}3+O(m^{-4}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для каждого фиксированного $p>1$ существует достаточно большое $m=m_p$ такое, что неравенство (3.1) выполнено для всех $m\geqslant m_p$.
Доказательство того, что неравенство при $p>1$ выполнено для всех $m\geqslant0$, требует дополнительных усилий. Мы будет использовать формулу суммирования Эйлера–Маклорена (см., например, [24]). А именно, будем использовать формулу четвертого порядка
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty f(n)=\int_0^\infty f(x)\,dx-\frac12 f(0)-\frac1{12}f'(0)+\frac1{720}f'''(0)+R_4
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
с остаточным членом где $B_4(x)$ – периодическая функция (полином) Бернулли. Остаточный член $R_4$ здесь оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation}
|R_4|\leqslant\frac{2\zeta(4)}{(2\pi)^4}\int_0^\infty|f''''(x)|\,dx= \frac1{720}\int_0^\infty|f''''(x)|\,dx,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\zeta(4)={\pi^4}/{90}$ и $\zeta(s)$ есть дзета-функция Римана.
Мы будем использовать эту формулу для сравнительно больших $m$ и Непосредственные вычисления дают
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^\infty f_m(x)\,dx=1, \\ f_m(0)=\frac{p-1}{m^2}, \qquad f_m'(0)=\frac{(p-1)(2m^2-p)}{m^4}, \\ f_m'''(0)=-\frac{(p - 1)p(12m^4 - 12m^2p - 12m^2 + p^2 + 3p + 2)}{m^8}, \\ \begin{split} f_m''''(x) &=32p(p^2 - 1)m^{2p - 2} \biggl(\frac{(x + 1/2)^5(p + 2)(p + 3)}{(m^2 + x^2 + x)^{p + 4}} \\ &\qquad-\frac{5(x + 1/2)^3(p + 2)}{(m^2 + x^2 + x)^{p +3}} + \frac{15(x+1/2)}{4(m^2 + x^2 + x)^{p+2}}\biggr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Изменим теперь знак второго слагаемого в последнем выражении на плюс и положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g(x) &=32p(p^2 - 1)m^{2p - 2} \biggl(\frac{(x + 1/2)^5(p + 2)(p + 3)}{(m^2 + x^2 + x)^{p + 4}} \\ &\qquad+\frac{5(x + 1/2)^3(p + 2)}{(m^2 + x^2 + x)^{p +3}} + \frac{15(x+1/2)}{4(m^2 + x^2 + x)^{p+2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, очевидно, $|f_m''''(x)|\leqslant g(x)$ для всех $x$. С другой стороны, интеграл от $g(x)$ можно получить в явном виде (поскольку $g(x)$ содержит нечетные степени $(x-1/2)$ в числителях, то соответствующие первообразные выражаются в элементарных функциях):
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty g(x)\,dx=\frac{p(p-1)\bigl(172m^4+28(p+1)m^2+p^2+3p+2\bigr)}{m^8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, формула Эйлера–Маклорена (3.2) дает оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_p(m) &<1-\frac23(p-1)m^{-2}+\frac{11}{36}p(p-1)m^{-4}+\frac1{18}p(p^2-1)m^{-6} \\ &=1-\frac1{36}(p-1)m^{-6}\bigl(24m^4-11pm^2-2p(p+1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Поэтому если $24m^4-11pm^2-2p(p+1)>0$, т.е. если
$$
\begin{equation}
m>\frac{\sqrt{3\sqrt{313p^2 + 192p} + 33p}}{12}=:m_0(p).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Рассмотрим теперь два случая: $p\in(1,2]$ и $p>2$. Итак, пусть $p\in(1,2]$. Максимум функции $m_0(p)$ на $p\in(1,2]$ достигается при $p=2$, так что неравенство (3.1) доказано для всех $p\in (1,2]$ и
$$
\begin{equation*}
m>m_0:=\frac{\sqrt{66 + 6\sqrt{409}}}{12}\approx1.1406.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать неравенство для $m<m_0$. Выделим первый член в ряде и отбросим зависимость от $m$ во всех остальных. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_p(m) &=m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+ \sum_{n=2}^\infty\frac{2n+1}{(m^2+n^2+n)^p}\biggr) \\ \notag &<m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+\sum_{n=2}^\infty\frac{2n+1}{(n^2+n)^p}\biggr) \\ &=m^{2(p-1)}(p-1)\biggl(\frac3{(m^2+2)^p}+ R(p)\biggr)=:G(m,p), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где
Для завершения доказательства надо доказать неравенство для всех $p\in[1,2]$ и всех $m\in[0,m_0]$.Мы снова применим формулу Эйлера–Маклорена для ряда $R(p)$ (учитывая теперь, что суммирование начинается с $n=2$). Обозначая находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_1^\infty f(x)\,dx=\frac{2^{1-p}}{p-1}, \qquad f(1)=\frac3{2^p}, \qquad f'(1)=\frac1{2^p}\biggl(2-\frac{9p}2\biggr), \\ \begin{split} f''''(n) &=\frac{(2n+1)p(p+1)}{(n^2+n)^{p+4}}\bigl((16p^2-4)n^4+(32p^2-8)n^3 \\ &\qquad+(24p^2+20p+4)n^2+(8p^2+20p+8)n+p^2+5p+6\bigr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $f''''(n)>0$, из (3.3) следует, что последние два слагаемых в формуле Эйлера–Маклорена в сумме дают $0$:
$$
\begin{equation*}
\frac1{720}f'''(1)+R_4\leqslant\frac1{720}\biggl(f'''(1)+\int_1^\infty f''''(x)\,dx\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
R(p)\leqslant\int_1^\infty f(x)-\frac12f(1)-\frac1{12}f'(1)= \frac1{2^p(p-1)}\,\frac{9p^2-49p+88}{24}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим это в (3.6) и положим $z:=m^2/2$. Кроме того, предположим, что $z\leqslant1$. Поскольку $e^{-x}\leqslant1/(1+x)$, $x\geqslant0$, то учитывая, что $\ln z\leqslant0$, получаем Используя последнее соотношение и неравенство Бернулли $(1+z)^p>1+pz$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag G(m,p)-1 &=\frac12z^{p-1}\biggl(\frac{3(p-1)}{(1+z)^p}+2^p(p-1)R(p)\biggr)-1 \\ \notag &<\frac12\frac1{(1-(p-1)\ln z)}\biggl(\frac{3(p-1)}{1+pz}+\frac{9p^2-49p+88}{24}\biggr)-1 \\ \notag &=\frac{p-1}{48(pz+1)(1-(p-1)\ln z)} \\ &\qquad\times\bigl(9zp^2+(48 z\ln z-40 z+9)p+48 \ln z+32\bigr) \notag \\ &=:A(z,p)\phi(z,p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Заметим, что неравенство (3.7) выполняется для всех $m\leqslant\sqrt{2}$ (и тогда $z\leqslant1$) и всех $p>1$ (и тогда $A(z,p)>0$). Поэтому знак $G(m,p)-1$ совпадает со знаком квадратного трехчлена $\phi(z,p)$: Для фиксированного $p$ функция $\phi(z,p)$ монотонно возрастает по $z$. Действительно, поскольку $p\ln z+1/z\geqslant p(1-\ln p)$, то для $p>1$
$$
\begin{equation}
\partial_z\phi(z,p)=9p^2+8p+48\biggl(p\ln z+\frac1z\biggr)\geqslant 9p^2+56p-48p\ln p>0.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Возвращаясь к случаю $p\in (1,2]$, заметим, что для $z=m_0^2/2=0.6504<1$ имеем $\ln z<0$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\phi\biggl(\frac{m_0^2}2,p\biggr)=5.854p^2-30.446p+11.358<0 \quad \text{при }\ p\in[1,2].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\phi\biggl(\frac{m^2}2,p\biggr)<0 \quad\text{для всех }\ m\in[0,m_0], \quad p\in[1,2].
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство неравенства (3.1) для $p\in(1,2]$.
Теперь мы готовы доказать неравенство (3.1) и для $p>2$. Основная идея состоит в том, чтобы использовать монотонное убывание $I_p(m)$ по $p$ для $m$, удовлетворяющих $0\leqslant m\leqslant m_1(p)$, где $m_1(p)$ указано ниже. Действительно, пусть
$$
\begin{equation*}
f(n)=f(m,n,p)=\frac{m^{2(p-1)}(p-1)(2n+1)}{(m^2+n^2+n)^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\partial_pf(n)=\frac{m^{2(p-1)}(2n+1)}{(m^2+n^2+n)^p} \biggl(1+(p-1)\ln\frac{m^2}{m^2+n^2+n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и производная отрицательна для всех $n\in\mathbb N$, если
Пусть $p>2$. Возможны два случая: В первом случае неравенство (3.1) выполнено для всех $m$, поскольку если $m>m_0(p)$, то оно выполнено ввиду (3.4), (3.5). Если же $m<m_0(p)<m_1(p)$, то оно выполнено в силу установленной монотонности по $p$ и того, что (3.1) верно для $p=2$. Во втором случае мы сначала укажем интервал значений $p$, в котором неравенство $m_0(p)\geqslant m_1(p)$ в действительности выполняется. А именно, оно выполнено при см. рис. 1, где единственное $p_*$, $m_1(p_*)=m_0(p_*)$, найдено численно.Таким образом, неравенство (3.1) выполнено для $p>p_*$, и нам осталось лишь рассмотреть интервал $p\in[2,p_*]$. Более того, поскольку $m_0(p)$ в (3.5) монотонно возрастает, то надо доказать неравенство (3.1) для
$$
\begin{equation*}
p\in[2,p_*], \qquad m\in[0,m_*], \quad m_*=m_0(p_*)=1.169\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.6)–(3.8) и замечания после (3.7) имеем следующую цепочку импликаций и эквивалентностей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\{I_p(m)<1\bigr\} &\Longleftarrow\bigl\{G(m,p)-1<0\bigr\}\Longleftarrow \bigl\{A(z,p)\phi(z,p)<0\bigr\} \\ &\Longleftrightarrow\bigl\{\phi(z,p)<0\bigr\}\Longleftarrow\bigl\{\phi(z_*,p)<0\bigr\} \\ &\Longleftrightarrow\bigl\{6.1495p^2-30.8222p+13.7197<0,\ p\in[2,p_*]\bigr\}=\{'\text{true}'\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=m^2/2\leqslant z_*=m_*^2/2=0.6832<1$ и $m_*=1.169<\sqrt{2}$. Неравенство (3.1) теперь доказано для всех $p>1$ и $m\geqslant0$. Предложение доказано. Замечание 3. Важный для приложений частный случай $p=2$ был ранее доказан более простым способом в [7]. Замечание 4. Численные результаты показывают, что для всех $p$ (для которых производились вычисления) функция $I_p(m)$ монотонно возрастает по $m$. Мы пока не может строго это обосновать. Однако, как недавно показано в [8], функция $J_p(m)$ в (1.5) монотонно возрастает по $m$, откуда немедленно следует неравенство (1.5), поскольку $J_p(\infty)=1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZelIly23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|