| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Стабилизатор геометрической прогрессии в общей метрике С. А. Богатый Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9782e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРабота посвящена геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа (см. [1]–[3]), определенного на классе всех непустых метрических пространств. Для метрического пространства $(X,\varrho )$ и $r>0$ под открытой $r$-окрестностью подмножества $A\subset X$ понимается $U_r(A)=\bigl\{x\in X\colon \varrho (x,A)<r\bigr\}$. Под расстоянием Хаусдорфа между $A,B\subset X$ понимается
$$
\begin{equation*}
d_H(A,B)=\inf\bigl\{r\colon A\subset U_r(B),\,B\subset U_r(A)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Расстояние Хаусдорфа является обобщенной псевдометрикой. То есть расстояние Хаусдорфа может быть бесконечным и может быть нулевым между несовпадающими подмножествами. Для любых двух метрических пространств $X$ и $Y$ определено расстояние Громова–Хаусдорфа
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{GH}}(X,Y)=\inf\bigl\{d_H(X',Y')\colon X',Y'\subset Z,\, X'\approx X,\,Y'\approx Y\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где для метрических пространств $X$ и $X'$ под $X\approx X'$ понимается их изометричность. Теорема 1.1. Расстояние Громова–Хаусдорфа является обобщенной псевдометрикой, зануляющейся на парах изометричных пространств. Пусть $X$ и $Y$ – произвольные множества. Многозначное отображение $R$: $X\to Y$ однозначно определяется своим графиком, для которого мы сохраним обозначение Ясно, что графики многозначных отображений – это в точности такие подмножества $R\subset X\times Y$, что для всякой точки $x\in X$ существует такая точка $y\in Y$, что $(x,y)\in R$. Такое множество $R\subset X\times Y$ будем также называть полным отношением. Для упрощения обозначений для точки из $R(x)$ будем использовать и обозначение $y_x$. В метрической геометрии сюръективное многозначное отображение называется соответствием. Для соответствия $R$ график обратного отображения $R^{-1}$ является подмножеством произведения $Y\times X$, поэтому мы будем обозначать его через $R^*$. Множество всех соответствий $X$ в $Y$ обозначается через $\mathcal R(X,Y)$.Для полного отношения $R\subset X\times Y$ метрических пространств $(X,\varrho_X)$ и $(Y,\varrho_Y)$ искажением называется
$$
\begin{equation}
\operatorname{dis} R=\sup\bigl\{|\varrho_X(x,x')-\varrho_Y(y,y')|\colon (x,y),\,(x',y')\in R\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Расстояние Громова–Хаусдорфа удобно оценивать в терминах искажения соответствий (см. [3]). Напомним (см. [4], [5]), что под облаком $[X]$ метрического пространства понимается
$$
\begin{equation*}
[X]=\bigl\{Y\colon d_{\mathrm{GH}}(X,Y)<\infty \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для метрического пространства $(X,\varrho )$ и положительного числа $\lambda >0$ под $\lambda X$ понимается подобное пространство $(X,\lambda \varrho )$, т.е. множество $X$, расстояния на котором умножены на $\lambda $. Группа подобий $(\mathbb R_+,\times )$ действует на классе всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, с точностью до нулевого расстояния и с точностью до конечного расстояния. В [4], [5] показано, что пространство $\lambda X$ может быть на бесконечном расстоянии Громова–Хаусдорфа от первоначального пространства $X$. Таким образом, для заданного метрического пространства $X$ определены три разных стабилизатора. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{St}X=\{\lambda\in\mathbb R_+\colon \lambda X\ \text{изометрично }X\}, \\ \operatorname{St}_0X=\bigl\{\lambda\in\mathbb R_+\colon d_{\mathrm{GH}}(X,\lambda X)=0\bigr\}, \\ \operatorname{St}[X]=\bigl\{\lambda\in\mathbb R_+\colon d_{\mathrm{GH}}(X,\lambda X)<\infty\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, преобразование подобия определено на нормированном векторном пространстве $V$. Соответствующий стабилизатор множества $X\subset V$, т.е. элемента $X\in 2^V$, обозначим $\operatorname{St}_V X$. Таким образом, $\operatorname{St}_V X=\{\lambda\in\mathbb R_+\colon \lambda X=X\}$. Очевидно, что все четыре стабилизатора являются подгруппами и имеют место включения
$$
\begin{equation*}
\operatorname{St}_VX\subseteq \operatorname{St}X\subseteq \operatorname{St}_0X\subseteq \operatorname{St}[X]\subseteq (\mathbb R_+,\times ).
\end{equation*}
\notag
$$
Также важно отметить, что:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \text{если метрические пространства }X\text{ и }Y\text{ изометричны, то }\operatorname{St}X=\operatorname{St}Y; \\ \text{если }d_{\mathrm{GH}}(X,Y)=0,\quad\text{то }\operatorname{St}_0X=\operatorname{St}_0Y; \\ \text{если }d_{\mathrm{GH}}(X,Y)<\infty,\quad\text{то }\operatorname{St}[X]=\operatorname{St}[Y]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\operatorname{St}[X]\ne \{1\}$, то корректно определен (см. [5; следствие 12]) центр облака
$$
\begin{equation*}
Z[X]=\bigl\{Y\in [X]\colon (Y \text{ полно и })\operatorname{St}_0Y=\operatorname{St}[X]\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\operatorname{St}[X]\ne \{1\}$, то $Z[X]\ne \varnothing $ и $d_{\mathrm{GH}}(Y_1,Y_2)=0$ для любых $Y_1,Y_2\in Z[X]$. И обратно, если $d_{\mathrm{GH}}(Y_1,Y_2)=0$ и $Y_1\in Z[X]$, то $Y_2\in Z[X]$. Центр облака может быть описан как семейство всех пространств облака с нетривиальным стабилизатором $\operatorname{St}_0Y$. Стабилизатор $\operatorname{St}_0Y$ всякого такого пространства $Y$ является максимально возможным для пространств из облака: он равен $\operatorname{St}[Y]=\operatorname{St}[X]$. Для всякого $\lambda \in \operatorname{St}[X]$ построено такое пространство $X_\lambda $, что пространства $X_\lambda $ и $\lambda X_\lambda $ изометричны, но для разных $\lambda,\mu \in \operatorname{St}[X]$ пространства $X_\lambda $ и $X_\mu $ могут быть не изометричны. Более того, изометрический стабилизатор $\operatorname{St}Y$ любого пространства $Y\in [(\mathbb Q_+,\varrho_1)]$ облака ежа положительных рациональных чисел (т.е. множества положительных рациональных чисел с метрикой из (4) при $\alpha=1$) не более чем счетен (см. [5; следствие 26]), поэтому строго меньше стабилизатора $\operatorname{St}[Y]=\operatorname{St}[(\mathbb Q_+,\varrho_1)]=\mathbb R_+$ этого облака. Далее мы будем предполагать, что $X,Y\,{\subset}\, [0,\infty )$ и $0\,{\in}\, X$, $0\,{\in}\, Y$. Точку $0$ в множестве $X$ будем обозначать через $0_X$. Так как на этих множествах мы будем рассматривать разные метрики, то в случае необходимости будем пользоваться обозначением $\operatorname{dis}_{\varrho_X,\varrho_Y}R$. В соответствии с традицией в геометрии метрики Громова–Хаусдорфа расстояние $\varrho(x,x')$ между точками обычно обозначается через $|xx'|$. Нас интересуют нормированные метрики, т.e. такие метрики $\varrho $ на $X$, что
$$
\begin{equation}
\varrho(x,0_X)=x \quad\text{для всякой точки }\ x\in X.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Такое пространство будем обозначать через $X_{\varrho}$, а множество всех нормированных метрик на $X$ обозначим через $\mathcal M_X$ или $\mathcal M$ при фиксированном множестве $X$. Из неравенства треугольника вытекает, что для любых двух точек $x,x'\geqslant 0$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
x-x'=\varrho(x,0_X)-\varrho(x',0_X)\leqslant \varrho(x,x')\leqslant \varrho(x,0_X)+\varrho(0_X,x')=x+x'.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Оба крайних случая дают интересные примеры. Случай левого равенства (для всех $x>x'$) соответствует тому, что на множестве $X$ взята метрика из прямой. Случай правого равенства (для всех $x\ne x'$) соответствует дискретному ежу $\widehat{X}$ (см. [5]). Промежуточные “линейные” метрики также дают важные примеры. Для всякого $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ определим на множестве неотрицательных чисел, а значит, и на всяком рассматриваемом нами множестве $X$, метрику
$$
\begin{equation}
\varrho_\alpha (x,x')=x+\alpha x'=\frac{1-\alpha}{2}|x-x'|+\frac{1+\alpha}{2}(x+x') \quad\text{при }\ x'<x.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Ясно, что формула (4) задает метрику на множестве неотрицательных действительных чисел. Неравенства (3) можно сформулировать в виде утверждения, что для всякой метрики $\varrho\,{\in}\,\mathcal M_X$ справедливы неравенства $\varrho_{-1}\,{\leqslant}\,\varrho\,{\leqslant}\,\varrho_1$. Метрика $\varrho_{0}$ также выделяется своими особыми свойствами. Напомним, что метрика $\varrho $ называется ультраметрикой или неархимедовой метрикой, если
$$
\begin{equation*}
\varrho (x,y)\leqslant \max\{\varrho (x,z),\varrho (z,y)\} \quad\text{для любых трех точек }\ x,y,z.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.3. Метрика $\varrho_0\in \mathcal{M}_X$ является единственной ультраметрикой в $\mathcal{M}_X$. Доказательство. Пусть $\varrho $ является нормированной ультраметрикой на $X$. Тогда Аналогично, Так как $x'<x$, то $x\leqslant \max\{\varrho (x,x'),x'\}=\varrho (x,x')$.
Теорема доказана. Очевидно, что для $\lambda \ne 1$ и метрики $\varrho \in \mathcal{M}_X$ метрика $\lambda \varrho $ уже не является нормированной. Для рассматриваемого нами типа метрических пространств $X\subset [0,\infty )$ метрику $\lambda \varrho_X$ на $X$ естественно отождествить с метрикой $\varrho_{Y}(y,y')=\lambda \varrho_X(\lambda^{-1}y,\lambda^{-1}y')$ на $Y=\lambda X$, где $\lambda X$ обозначает результат умножения множества $X\subset [0,\infty )$ на число $\lambda $. То есть под символом $\lambda X$ удобно понимать не столько новую метрику $\lambda \varrho $ на старом множестве $X$, сколько метрику на новом множестве $\lambda X$. Предложение 1.4. Отображение $\lambda \colon X\to Y$ является изометрией метрического пространства $\lambda X=(X,\lambda \varrho_{X})$ на метрическое пространство $Y=\bigl(Y=\lambda X,\varrho_Y(y,y')=\lambda\varrho_X(\lambda^{-1}y,\lambda^{-1}y')\bigr)$ и $\varrho_Y\in \mathcal{M}_Y$. Доказательство. Так как то $\varrho_{Y}\in \mathcal{M}_{Y}$. Так как то отображение $\lambda\colon X\to Y$ является изометрией пространства $(X,\lambda \varrho_X)$ на пространство $(Y,\varrho_Y)$.
Предложение доказано. Предложение 1.4 позволяет с помощью сформулированной ниже теоремы 2.1 сводить “подобие” метрик к подобию подмножеств прямой. Всякая нормированная метрика $\varrho_X$ определяет функцию $\alpha \colon X\times X\to \mathbb R$ такую, что $\varrho_X(x,x')=\max\{x,x'\}+\alpha (x,x')\min\{x,x'\}$. В однозначно понимаемой ситуации эту метрику мы обозначаем $\varrho_\alpha $. Функции $\alpha (x,x')$ дают удобную параметризацию множества $\mathcal M_X$. Все эти функции в $\sup $-норме лежат (предложение 3.5) в замкнутом шаре радиуса $1$, что позволяет говорить о топологии и метрике на множестве $\mathcal M_X$ даже в том случае, когда расстояние Громова–Хаусдорфа между некоторыми метриками в $\mathcal M_X$ бесконечно. Следующее утверждение представляет несомненный интерес, но мы не будем им пользоваться, поэтому приводим его без доказательства. Предложение 1.5. Множество нормированных метрик $\mathcal M$ выпукло и замкнуто в линейном пространстве всех отображений $\operatorname{Map}(X\times X,\mathbb R)$. Оно замкнуто как в топологии равномерной сходимости, так и в топологии поточечной сходимости на $\operatorname{Map}(X\times X,\mathbb R)$. Особый интерес для нас представляет случай геометрической прогрессии. Замкнутые подгруппы группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$ являются стабилизаторами геометрической прогрессии, на которой разумно рассматривать не только линейные метрики (4), но и более общие инвариантные метрики. Для числа $p>1$ пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_p=\bigl\{p^n\colon n\in \mathbb Z\bigr\}\subset (\mathbb R_+,\times ), \\ X_p=\overline {G_p}=\{0\}\cup G_p=\bigl\{p^n\colon n\in \{-\infty \}\cup \mathbb Z\bigr\}\subset [0,\infty ). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal M_{X_p}$ обозначим через $\mathcal M_p$. В геометрии Громова–Хаусдорфа важное значение имеют инвариантные нормированные метрики. Метрику $\varrho \in \mathcal M_p$ называем инвариантной нормированной метрикой, если
$$
\begin{equation*}
\varrho (p^m,p^n)=p\varrho (p^{m-1},p^{n-1}) \quad\text{для любых }\ n,m\in \{-\infty \}\cup \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество всех инвариантных нормированных метрик на $X_p$ обозначим через $\mathcal{IM}_p$. Очевидно, что все метрики $\varrho_\alpha $, $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$, являются инвариантными. Предложение 1.6. Множество инвариантных нормированных метрик $\mathcal{IM}_p$ выпукло и замкнуто в пространстве всех нормированных метрик $\mathcal M_p$. Оно замкнуто как в топологии равномерной сходимости, так и в топологии поточечной сходимости на $\mathcal M_p$. § 2. Основные результатыСледующая теорема показывает, что метрика $\varrho_{-1}$ не только наименьшая, но и задает с точки зрения “несущих” множеств “самое большое” облако. Теорема 2.1. Если $\varrho_{X}\in \mathcal{M}_X$, $\varrho_{Y}\in \mathcal{M}_Y$ и $d_{\mathrm{GH}}((X,\varrho_{X}),(Y,\varrho_{Y}))<\infty $, то Полные метрические пространства на нулевом расстоянии Громова–Хаусдорфа друг от друга не обязательно являются изометричными и даже гомеоморфными. Следующая теорема показывает, что множество $\mathcal{M}_p$ “замкнуто” в классе Громова–Хаусдорфа. Теорема 2.2. Если для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ и полного метрического пространства $Z$ имеет место равенство $d_{\mathrm{GH}}((X_p,\varrho ),(Z,\varrho_{Z}))=0$, то пространства $(X_p,\varrho )$ и $(Z,\varrho_{Z})$ изометричны. Следствие 2.3. Если для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ и неполного метрического пространства $Z$ имеет место равенство $d_{\mathrm{GH}}((X_p,\varrho ),(Z,\varrho_{Z}))=0$, то пространство $(Z,\varrho_{Z})$ изометрично пространству $(X_p,\varrho )$ с удаленной нулевой точкой. Из теоремы 2.2 и следствия 2.3 очевидным образом вытекает, что центр геометрической прогрессии с нетривиальным стабилизатором состоит из двух пространств: одного полного и одного неполного, а именно из пополнения геометрической прогрессии $X_p=\overline G_p$ и самой этой геометрической прогрессии $G_p$. Центры облаков $\mathbb Q_+$ и $\mathbb R_+$ с наибольшей метрикой $\varrho_1$ содержат $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ и $2^\mathfrak{c}=2^{2^{\aleph_0}}$ полных пространств соответственно (см. [5; теоремы 27 и 29]). Недавно авторы работы [5] показали, что стабилизатор сильно разреженного облака является минимально возможным – он тривиален. Ниже мы показываем, что стабилизатор облака геометрической прогрессии является минимально возможной (нетривиальной) подгруппой группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$. Известно, что всякая нетривиальная замкнутая собственная подгруппа группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$ – это $G_p$ для некоторого $p>1$. Теорема 2.5. Для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $\varrho \in \mathcal{IM}_p$; 2) метрические пространства $(X_p,p\varrho )$ и $(X_p,\varrho )$ изометричны; 3) $p\in \operatorname{St}_0(X_p,\varrho)$. С учетом теоремы 2.4 условие 2) можно сформулировать в виде равенства $\operatorname{St}(X_p,\varrho )=G_p$, а условие 3) – в виде равенства $\operatorname{St}_0(X_p,\varrho)=G_p$. Теорема 2.6. Для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $\operatorname{St}[(X_p,\varrho )]=G_p$; 2) $d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\varrho ),(X_p,p\varrho )\bigr)<\infty $; 3) имеется такая метрика $\rho \in \mathcal{IM}_p$, что $d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\varrho),(X_p,\rho )\bigr)<\infty $. Следующая теорема позволяет строить примеры нормированных метрик на геометрической прогрессии, которые реализуют меньшие стабилизаторы. Теорема 2.7. Для натурального $k$ и метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $p^k\in \operatorname{St}[(X_p,\varrho )]$; 2) существуют такие числа $n_0$ и $M>0$, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{k}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|<M
\end{equation*}
\notag
$$
для всех целых $m,n\geqslant n_0$; 3) существует такое число $M>0$, что для всех целых $m$, $n$.В терминах функции $\alpha $ удобно описывать метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$, которые инвариантны. Предложение 2.8. Для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $\varrho \in \mathcal{IM}_p$; 2) существует такая функция $\alpha \colon N\to \mathbb R$, что Для множества $X\subset [0,\infty )$, ясно понимаемого из контекста, под $\varrho $ мы будем понимать метрику из $\mathcal M_X$. Для метрик $\varrho $ и $\rho $ на фиксированном множестве $X$ под $d_{\mathrm{GH}}(\varrho,\rho )$ мы будем понимать $d_{\mathrm{GH}}((X,\varrho ),(X,\rho ))$. Показано, что метрики из $\mathcal{IM}_p$ обладают свойством “жесткости” – из существования вложения с конечным искажением следует изометричность. Теорема 2.9. Если для полного отношения $R$ метрик $\varrho,\rho \in \mathcal{IM}_p$ справедливо неравенство $\operatorname{dis} R<\infty $, то $\varrho =\rho $. Следствие 2.10. Для метрик $\varrho,\rho \in \mathcal{IM}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $\varrho =\rho $; 2) $d_{\mathrm{GH}}(\varrho,\rho )<\infty $. Теорема 2.11. Для чисел $p,q>1$, $\lambda,\mu >0$ и метрик $\varrho \in \mathcal{IM}_p$, $\rho \in \mathcal{IM}_q$ следующие условия эквивалентны: 1) $p=q$, $\lambda =\mu p^k$ для некоторого целого $k\in \mathbb Z$ и $\varrho =\rho $; 2) метрические пространства $(X_p,\lambda \varrho )$ и $(X_q,\mu \rho )$ изометричны; 3) $d_{\mathrm{GH}}((X_p,\lambda \varrho ),(X_q,\mu \rho ))<\infty $. Отсюда, в частности, вытекают два следствия. Следствие 2.12. Для чисел $p>1$, $\lambda >0$ и метрики $\varrho \in \mathcal{IM}_p$ имеет место равенство Следствие 2.13. Для чисел $p,q>1$, $\lambda,\mu >0$ и метрик $\varrho \in \mathcal{IM}_p$, $\rho \in \mathcal{IM}_q$ следующие условия эквивалентны: 1) $p=q$ и $\varrho =\rho $; 2) метрические пространства $(X_p,\lambda \varrho )$ и $(X_q,\mu \rho )$ лежат в одной орбите действия группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$. Здесь под орбитой можно понимать самую “грубую” орбиту – при действии на облаках. Полученный в работе критерий метрики (предложение 3.5) позволяет привести на геометрической прогрессии примеры метрик с небольшим (и даже тривиальным) стабилизатором, что, в частности, показывает, что некоторые функции $\varrho \in \mathcal{M}_p$ находятся на бесконечном расстоянии от множества $\mathcal{IM}_p$. Напомним (следствие 2.10), что расстояние Громова–Хаусдорфа между разными метриками из $\mathcal{IM}_p$ бесконечно. Теорема 2.14. Пусть $-1\leqslant a\leqslant b\leqslant 1$ и $b\leqslant 1+2a$. Тогда для всякой функции $\alpha \colon X\times X\to [a,b]$ формула задает нормированную метрику на $X$. Следствие 2.15. Для всякой функции $\alpha \colon X\times X\to\bigl[-\frac13,\frac13\bigr]$ формула задает нормированную метрику на $X$. Следствие 2.16. Для всякой функции $\alpha \colon X\times X\to [0,1]$ формула задает нормированную метрику на $X$. Теорема 2.17. Пусть $-1\leqslant a\leqslant b\leqslant 1$ и $b\leqslant \min\bigl\{1+\frac{2}{p}a,p+(p+1)a\bigr\}$. Тогда для всякой функции $\alpha \colon X_p\times X_p\to [a,b]$ формула задает нормированную метрику на $X_p$. Следствие 2.18. Для всякой функции $\alpha \colon X_p\times X_p\to \bigl[-\frac{p}{p+2},\frac{p}{p+2}\bigr]$ формула задает нормированную метрику на $X_p$. Следствие 2.19. Для всякой функции $\alpha \colon \mathbb N\to \bigl[-\frac{p}{p+2},\frac{p}{p+2}\bigr]$ формула задает инвариантную нормированную метрику на $X_p$. Следствие 2.20. Для всякой функции $\alpha \colon \mathbb N\to [0,1]$ формула задает инвариантную нормированную метрику на $X_p$. Следствия 2.16 и 2.20 описывают бесконечномерные выпуклые множества метрик в $\mathcal{IM}_p$. Следствие 2.21. Для $p>1$ и $k\in \mathbb N$ имеется такая метрика $\varrho^{(k)}\in \mathcal{M}_p$, что Следствие 2.21 показывает, что на геометрической прогрессии разумно рассматривать и нормированные метрики с ослабленным свойством инвариантности. Скажем, что метрика $\varrho \in \mathcal{M}_p$ является $k$-инвариантной нормированной, если
$$
\begin{equation*}
\varrho (p^m,p^n)=p^k\varrho (p^{m-k},p^{n-k}) \quad\text{для любых }\ n,m\in \{-\infty \}\cup \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество всех $k$-инвариантных нормированных метрик на $X_p$ обозначим через $\mathcal{IM}_p^{(k)}$. Очевидно, что $\mathcal{IM}_p\subset \mathcal{IM}_p^{(k)}\subset \mathcal{IM}_p^{(kr)}$ для любых $k,r\in \mathbb N$. Многие результаты о метриках из $\mathcal{IM}_p$ можно перенести на метрики из $\mathcal{IM}_p^{(k)}$. Теорема 2.22. Для метрики $\varrho \in \mathcal{M}_p$ следующие условия эквивалентны: 1) $\varrho \in \mathcal{IM}_p^{(k)}$; 2) метрические пространства $(X_p,p^k\varrho )$ и $(X_p,\varrho )$ изометричны; 3) $p^k\in \operatorname{St}_0(X_p,\varrho)$. С учетом теоремы 2.4 условие $2)$ можно сформулировать в виде включения $G_{p^k}\subset \operatorname{St}(X_p,\varrho)$, а условие $3)$ – в виде включения $G_{p^k}\subset \operatorname{St}_0(X_p,\varrho)$. Следствие 2.23. Для метрик $\varrho,\rho \in \mathcal{IM}_p^{(k)}$ следующие условия эквивалентны: 1) $\varrho =\rho $; 2) $d_{\mathrm{GH}}(\varrho,\rho )<\infty $. Из включений $\mathcal{IM}_p^{(k)},\mathcal{IM}_p^{(r)}\subset \mathcal{IM}_p^{(kr)}$ следует, что множество метрик $\mathcal{IM}_p^{(\infty )}=\bigcup_{i=1}^\infty \mathcal{IM}_p^{(i)}\subset \mathcal{M}_p$ выпукло и любые две метрики в нем находятся на бесконечном расстоянии друг от друга. Это в точности множество всех нормированных метрик на $X_p$, для которых стабилизатор $\operatorname{St}_0$ нетривиален. Из представления $\mathbb N=\bigsqcup_{r=0}^{k-1}(r+k\mathbb N)$ возникают естественные отображения
$$
\begin{equation*}
\Pi \colon \mathcal{M}_p\to (\mathcal{M}_p)^{k}, \qquad \Pi_k\colon \mathcal{IM}_p^{(k)}\to (\mathcal{IM}_p)^{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти отображения не являются эпиморфизмами. Вопрос о “соединении” $k$ штук метрик в одну может быть решен с помощью предложений 3.5 и 3.6. Подчеркнем, что всякая такая метрика находится на бесконечном расстоянии от множества $\mathcal{IM}_p^\infty $. В терминах функции $\alpha $ дается описание нормированных (предложение 3.5) и инвариантных нормированных (предложение 3.6) метрик, что позволило конструктивно описать более широкий, чем (4), класс инвариантных метрик, в котором константа $\alpha $ заменяется на экспоненциальную функцию. Следующая теорема дает много новых примеров инвариантных нормированных метрик на геометрической прогрессии. Теорема 2.25. Функция является метрикой на $X_p$ тогда и только тогда, когда При $\delta =0$ мы получаем, что условие $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ является в (4) не только достаточным, но и необходимым. Функции $p^{-\delta i}$ линейно независимы при различных значениях $\delta $, поэтому из теоремы 2.25 также следует бесконечномерность выпуклого множества $\mathcal{IM}_p$. Следствие 2.26. Для чисел 1) $p=q$, $\delta =\theta $, $\alpha =\beta $ и $\lambda =\mu p^k$ для некоторого целого $k\in \mathbb Z$; 2) метрические пространства $(X_p,\lambda \varrho_{\delta,\alpha})$ и $(X_q,\mu \varrho_{\theta,\beta})$ изометричны; 3) $d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\lambda \varrho_{\delta,\alpha}),(X_q,\mu \varrho_{\theta,\beta})\bigr)<\infty $. Следствие 2.27. Для чисел 1) $p=q$, $\delta =\theta $ и $\alpha =\beta $; 2) метрические пространства $(X_p,\lambda \varrho_{\delta,\alpha})$ и $(X_q,\mu \varrho_{\theta,\beta})$ лежат в одной орбите действия группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$. § 3. ДоказательстваСледующие технические результаты в той или иной степени известны. Но так как самые сложные из этих результатов опубликованы для подмножеств прямой, параметризованных натуральными числами, и чисто формально не могут быть применены к подмножествам, параметризованным целыми числами, то для полноты изложения мы формулируем и доказываем их. Суть этих утверждений заключается в оценке “смещения” произвольной (или только начальной $0_X$) точки при соответствии с заданным конечным искажением. Предложение 3.1. Если для полного отношения $R$ пространств $X_{\varrho_X}$ и $Y_{\varrho_Y}$ справедливо неравенство $\operatorname{dis} R<M$, то для всякой точки $x\in X$ и всякой точки $y_x\in R(x)$ справедливо неравенство $|x-y_x|<K$, где $K=M+y_0$. Доказательство. Условие $\operatorname{dis} R<M$ означает, что
$$
\begin{equation*}
\sup\bigl\{|\varrho_X(x,x')-\varrho_Y(y_x,y_{x'})|\bigr\}<M.
\end{equation*}
\notag
$$
Выписанное условие можно переписать в виде двух неравенств:
$$
\begin{equation}
\varrho_Y(y_x,y_{x'})-M<\varrho_X(x,x')<\varrho_Y(y_x,y_{x'})+M,
\end{equation}
\tag{5}
$$
которые справедливы для любых двух точек $x,x'\in X$ и любых $y_x\in R(x)$, $y_{x'}\in R(x')$. Запишем неравенства (5) с фиксированной точкой $x'=0$ и с учетом неравенств (2): Полученные неравенства означают, что $|x-y_x|<y_{0}+M$.
Предложение доказано. Следствие 3.2. Если для полного отношения $R$ пространств $X_{\varrho_X}$ и $Y_{\varrho_Y}$ справедливо неравенство $\operatorname{dis} R<M$, то $X\subset U_K(Y)$, где $K=M+y_0$. Здесь $U_K(Y)$ обозначает открытую окрестность радиуса $K$ в обычной метрике $\varrho_{-1}$ на прямой. Доказательство теоремы 2.1. Пусть $R\subset X\times Y$ – такое соответствие метрических пространств $(X_p,\varrho_X)$ и $(X,\varrho_Y)$, что $\operatorname{dis} R<\infty $. Фиксируем такое число $M>0$, что $\operatorname{dis} R<M$. Согласно следствию 3.2 для чисел $K_1=M+y_0$ и $K_2=M+x_0$, где $x_0\in R^{-1}(0)=R^*(0)$, справедливы включения
Теорема доказана. Предложение 3.3. Если для полного отношения $R$ метрик $\varrho,\rho \in \mathcal{M}_p$ справедливо неравенство $\operatorname{dis} R<M$, то Доказательство. Для точки $y\in G_p$ из $y\ne y_0$ следует
Возьмем такую точку $x\in X_p$, что $x\leqslant \frac{p-1}{p}y_0-M$. Тогда поэтому $y_x=y_0$.Теперь возьмем такую точку $x\in X_p$, что $x\geqslant M$. Тогда поэтому $y_x\ne y_0$.Таким образом, мы доказали, что в множестве $\bigl(0,\frac{p-1}{p}y_0-M\bigr]\cap [M,\infty )$ не могут содержаться точки из $X_p$. Отсюда не следует, что $\frac{p-1}{p}y_0-M<M$. Полученное ограничение на $y_0$ равносильно отсутствию такого целого числа $n$, что
$$
\begin{equation*}
\log_p \biggl(\frac{p-1}{p}y_0-M\biggr)\geqslant n\geqslant \log_p M.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее условие влечет неравенство Потенцирование дает неравенство $(p-1)y_0-pM<M$, т.е. $y_0<\frac{p+1}{p-1}M$.
Предложение доказано. Предложение 3.4. Если для полного отношения $R$ метрик $\varrho,\rho \in \mathcal{M}_p$ справедливо неравенство $\operatorname{dis} R<M$, то $R(x)=x$ для всех $x\in X_p$ таких, что Доказательство. Согласно предложениям 3.1 и 3.3 для всякого $x\in X_p$ и всякого $y_x\in R(x)$ справедливы неравенства Для $x'\ne x$ справедлива оценка При $x\geqslant \frac{2p^2}{(p-1)^2}M$ и $y_x\ne x$ получается неравенство
$$
\begin{equation*}
|x-y_x|\geqslant \frac{p-1}{p}x\geqslant \frac{2p}{p-1}M.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное неравенство противоположно неравенству (6). Следовательно, $y_x= x$.
Предложение доказано. Доказательство теоремы 2.2. Для всякого $n\geqslant 1$ фиксируем такие соответствия $R_n\in \mathcal R(X_p,Z)$, что $\operatorname{dis} R_n<\frac{(p-1)^2}{2p^2n}$. Рассмотрим соответствие $R=R_m^*\circ R_n\in \mathcal R(X_p,X_p)$. Согласно неравенству треугольника
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dis} R\leqslant \operatorname{dis} R_n+\operatorname{dis} R_m<\frac{(p-1)^2}{2p^2}\frac{n+m}{nm}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предложению 3.4 для всякого $x\in X_p$ из $x\geqslant \frac{n+m}{nm}$ следует равенство $R(x)=x$. Это означает, что
Положив $x=x'$ в определении искажения (1), мы получим, что для всякого соответствия $R\in \mathcal R(X,Z)$ и всякой точки $x\in X$ диаметр множества $\operatorname{diam}R(x)$ не превосходит $\operatorname{dis} R$. Следовательно, $\operatorname{diam}R_m(x)\leqslant \frac{(p-1)^2}{2p^2m}$. Устремляя $m$ к бесконечности в (7), мы получаем, что для всех точек $x\in X_p$ из $x\geqslant \frac1{n}$ следует, что множество $R_n(x)$ одноточечно и $R_n(x)=R_m(x)=y_x$ для всех $m\geqslant n$. Таким образом, корректно определено полное отношение $X_p\setminus \{0\}$ в $Z$. Для точек $x,x'\in X_p\setminus \{0\}$ выберем такое натуральное число $n$, что $x,x'\geqslant \frac{1}{n}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (x,x')-\varrho_Z(y_x,y_{x'})\bigr|<\operatorname{dis} R_n<\frac{(p-1)^2}{2p^2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $n$ к бесконечности, получаем, что $\varrho (x,x')=\varrho_Z(y_x,y_{x'})$ для всех $x,x'>0$. Доопределив отношение (отображение) $R$ в точке $0$, $R(0)=\lim_{n\to -\infty}R(p^n)$, получаем требуемую изометрию.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.4. Пусть $\lambda \in \operatorname{St}[(X_p,\varrho )]$. Согласно предложению 1.4
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{GH}}\bigl((\lambda X_p,\varrho_{\lambda X_p}),(X_p,\varrho_{X_p})\bigr)=d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\lambda \varrho_{X_p}),(X_p,\varrho_{X_p})\bigr)<\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2.1 Отсюда следует, что $\lambda =\mu p^k$ для некоторого $k\in \mathbb Z$, т.е. $\lambda \in G_p$.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.5. $1)\Rightarrow 2)$. Согласно предложению 1.4 пространства $(X_p,p\varrho_{X_p})$ и $(pX_p,\varrho_{pX_p})$ изометричны. С другой стороны $pX_p=X_p$ и $\varrho_{pX_p}=\varrho $ по условию $\varrho \in \mathcal{IM}_p$.
Импликация $2)\Rightarrow 3)$ очевидна: $p\in \operatorname{St}(X_p,\varrho)\subset \operatorname{St}_0(X_p,\varrho)$. $3)\Rightarrow 1)$. Возьмем две произвольные точки $x=p^m,x'=p^n\in X_p$. Возьмем такое $\varepsilon >0$, что Пусть $R$ – это такое соответствие, что $\operatorname{dis} R_{p\varrho,\varrho}<\varepsilon $. Согласно предложению 1.4 вместо метрики $p\varrho $ на $X_p$ мы можем взять метрику $\varrho_{pX_p}$ на $pX_p\,{=}\,X_p$. Так как $\varrho_{pX_p}\in \mathcal{M}_p$, то применимо предложение 3.4. Следовательно, $R(x)\,{=}\,x$ и $R(x')=x'$. Поэтому Отсюда следует, что справедливо $\varrho (x,x')-\varrho_{pX_p}(x,x')=0$ для любых двух точек $x,x'\in X_p$. Вспомнив определение метрики $\varrho_{pX_p}$, получаем, что для любых $x,x'\in X_p$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\varrho (x,x')=\varrho_{pX_p}(x,x')=p\varrho (p^{-1}x,p^{-1}x'),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\varrho \in \mathcal{IM}_p$.
Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.6. С учетом теоремы 2.4 эквивалентность $1)\Leftrightarrow 2)$ – это просто определение стабилизатора облака $\operatorname{St}[(X_p,\varrho )]$.
Импликация $3)\Rightarrow 2)$ вытекает из цепочки неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_{\mathrm{GH}}(p\varrho,\varrho ) &\leqslant d_{\mathrm{GH}}(p\varrho,p\rho )+d_{\mathrm{GH}}(p\rho,\rho )+d_{\mathrm{GH}}(\rho,\varrho ) \\ &=d_{\mathrm{GH}}(p\varrho,p\rho )+d_{\mathrm{GH}}(\rho,\varrho )= (p+1)d_{\mathrm{GH}}(\varrho,\rho )<\infty . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$2)\Rightarrow 3)$. Определим на $X_p$ новую метрику
$$
\begin{equation}
\rho (p^m,p^n)=\lim_{k\to \infty}p^{-k}\varrho (p^{m+k},p^{n+k}).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Докажем, что в (8) существует конечный предел. Для этого покажем, что последовательность чисел $x_k=x_k(m,n)=p^{-k}\varrho (p^{m+k},p^{n+k})$ является фундаментальной. Пусть $R$ – это такое соответствие, что $\operatorname{dis} R_{\varrho,p\varrho}<M<\infty $. Предложение 1.4 позволяет вместо метрики $p^{-k}\varrho (p^{m},p^{n})$ на $X_p$ рассматривать метрику $\varrho_{p^{-k}X_p}=p^{-k}\varrho (p^{m+k},p^{n+k})\in \mathcal{M}_p$ на $p^{-k}X_p=X_p$. Согласно предложению 3.4 для любых $n<m$ существует такое $k_0$, что $R(p^{m+k})=p^{m+k}$ и $R(p^{n+k})=p^{n+k}$ для всех $k\geqslant k_0$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{-1}\varrho (p^{m+k+1},p^{n+k+1})\bigr|<M
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $k\geqslant k_0$. Для $k\geqslant k_0$ и $r\geqslant 1$ оценим разность $|x_{k}-x_{k+r}|$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |x_{k}-x_{k+r}| &=\biggl|\sum_{i=0}^{r-1}(x_{k+i}-x_{k+i+1})\biggr|\leqslant \sum_{i=0}^{r-1}|x_{k+i}-x_{k+i+1}| \\ \notag &=p^{-k}\sum_{i=0}^{r-1}p^{-i}\bigl|\varrho (p^{m+k+i},p^{n+k+i})-p^{-1}\varrho (p^{m+k+i+1},p^{n+k+i+1})\bigr| \\ &<p^{-k}\sum_{i=0}^{r-1}p^{-i}M=p^{-k}\frac{1-p^{-r}}{1-p^{-1}}M<p^{-k}\frac{1}{1-p^{-1}}M=p^{-k}\frac{p}{p-1}M. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Следовательно, при достаточно большом $k$ разность $|x_{k}-x_{k+r}|$ может быть сделана сколь угодно малой для любого $r\geqslant 1$.
Очевидно, что предельные значения $\rho (p^m,p^n)$ задают метрику и $\rho \in \mathcal{M}_p$. Также очевидно, что $\rho (p^{m+1},p^{n+1})=p^{-1}\rho (p^m,p^n)$, т.е. $\rho \in \mathcal{IM}_p$. Из оценки (9) следует, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (x,x')-\rho (x,x')\bigr|<\frac{p}{p-1}M<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x>x'\geqslant \frac{2p^2}{(p-1)^2}M$. При $x>x'<\frac{2p^2}{(p-1)^2}M$ имеют место неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x-\frac{2p^2}{(p-1)^2}M<x-x'\leqslant \varrho (x,x')\leqslant x+x'<x+\frac{2p^2}{(p-1)^2}M, \\ x-\frac{2p^2}{(p-1)^2}M<x-x'\leqslant \rho (x,x')\leqslant x+x'<x+\frac{2p^2}{(p-1)^2}M, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (x,x')-\rho (x,x')\bigr|<2\frac{2p^2}{(p-1)^2}M<\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.7. Импликация $3)\Rightarrow 1)$ очевидна – достаточно положить $R(x)=p^{-k}x$ для всякой точки $x\in X_p$.
$1)\Rightarrow 2)$. Пусть $d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,p^k\varrho_{X_p}),(X_p,\varrho_{X_p})\bigr)<\infty $. Согласно предложению 1.4 $d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\varrho_{X_p}),(p^kX_p,\varrho_{p^kX_p})\bigr)<\infty $. Пусть $R$ – это такое соответствие двух последних метрических пространств, что $\operatorname{dis} R<M$ для некоторого $M<\infty $. Согласно предложению 3.4 существует такое целое $n_0$, что $R(p^n)=p^n$ для всех $n\geqslant n_0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{k}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|<M \quad\text{для всех }\ m>n\geqslant n_0.
\end{equation*}
\notag
$$
$2)\Rightarrow 3)$. Для $n<n_0$ из неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p^{m+k}-p^{n_0+k}<p^{m+k}-p^{n+k}\leqslant \varrho (p^{m+k},p^{n+k})\leqslant p^{m+k}+p^{n+k}<p^{m+k}+p^{n_0+k}, \\ p^{m+k}-p^{n_0+k}<p^{m+k}-p^{n+k}\leqslant \varrho (p^{m+k},p^{n+k})\leqslant p^k(p^{m}+p^{n})<p^{m+k}+p^{n_0+k} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{k}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|<2p^{n_0} \quad\text{для всех }\ m>n<n_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что всякая пара $m$ и $n$ является одной из рассмотренных или описанных в условии $2)$ пар.
Теорема доказана. Доказательство предложения 2.8. Импликация $2)\Rightarrow 1)$ очевидна.
$1)\Rightarrow 2)$. Рассмотрим функцию $\alpha (r)=\varrho (p^r,1)-p^r$, $r\geqslant 1$. Для метрики $\varrho \in \mathcal{IM}_p$ индукцией по $n$ доказывается равенство
$$
\begin{equation*}
\varrho (p^m,p^n)=p^n\varrho (p^{m-n},p^0)=p^n(p^{m-n}+\alpha (m-n))=p^m+\alpha (m-n)p^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Доказательство теоремы 2.9. Согласно предложению 3.4 для некоторого $N_0$ и всякого $m\geqslant N_0$ справедливо равенство $R(p^m)=p^m$. Следовательно, для всех $m,n\geqslant N_0$ справедливо неравенство $\bigl|\varrho (p^m,p^n)-\rho (p^m,p^n)\bigr|<M$. Согласно предложению 2.8 для некоторых функций $\alpha_1,\alpha_2\colon \mathbb N\to \mathbb R$. Таким образом, для всех $m,n\geqslant N_0$ справедливо неравенство $\bigl|\alpha_1(m-n)-\alpha_2(m-n)\bigr|p^n<M$. Фиксировав $j=m- n$ и устремив $n$ к бесконечности, получаем, что $\alpha_1(j)-\alpha_2(j)=0$ для всякого $j\geqslant 1$.
Теорема доказана. Доказательство следствия 2.10. Импликация $1)\Rightarrow 2)$ очевидна.
$2)\Rightarrow 1)$. Пусть $R$ – это такое соответствие, что $\operatorname{dis} R<\infty $. Согласно теореме 2.9 $\varrho =\rho $. Следствие доказано. Доказательство теоремы 2.11. Импликации $1)\Rightarrow 2)\Rightarrow 3)$ очевидны.
$3)\Rightarrow 1)$. Согласно предложению 1.4
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{GH}}\bigl((\lambda X_p,\varrho_{\lambda X_p}),(\mu X_q,\rho_{\mu X_q})\bigr)=d_{\mathrm{GH}}\bigl((X_p,\lambda \varrho ),(X_q,\mu \rho )\bigr)<\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2.1 $d_{\mathrm{GH}}\bigl((\lambda X_p,\varrho_{-1}),(\mu X_q,\varrho_{-1})\bigr)<\infty $. Отсюда следует, что $p=q$ и $\lambda =\mu p^k$ для некоторого $k\in \mathbb Z$. Согласно следствию 2.10 $\varrho =\rho $.
Теорема доказана. Доказательство следствия 2.13. Импликация $1)\Rightarrow 2)$ очевидна.
$2)\Rightarrow 1)$. Так как метрические пространства $(X_p,\lambda \varrho )$ и $(X_q,\mu \rho )$ лежат в одной орбите действия группы подобий $(\mathbb R_+,\times )$, то существует такое число $\nu $, что пространства $(X_p,\nu \lambda \varrho )$ и $(X_q,\mu \rho )$ лежат в одном облаке. Согласно следствию 2.11 $p=q$ и $\varrho =\rho $. Следствие доказано. Предложение 3.5. Для функции $\alpha \colon X\times X\to \mathbb R$ формула задает нормированную метрику тогда и только тогда, когда для любых $x''<x'<x$ справедливы неравенства: Доказательство. Проверим неравенство 0). Запишем условия того, что функция $\varrho_\alpha (x,x')=x+\alpha (x,x')x'$ удовлетворяет неравенству треугольника. Неравенства (3) (неравенства треугольника с $x''=0$) принимают вид Отсюда следуют неравенства $-1\leqslant \alpha(x,x')\leqslant 1$. Доказанные неравенства влекут положительность функции $\varrho_\alpha (x,x')$. Так как функция $\varrho_\alpha (x,0)$ не зависит от значений $\alpha (x,0)$, то на последние нельзя получить какие-либо условия. Но условие нормировки выполняется и можно считать, что требуемые неравенства $-1\leqslant \alpha (x,0)=\alpha (0,x)\leqslant 1$ верны.
Докажем неравенство I). Выпишем неравенство треугольника для пары $(x,x'')$:
$$
\begin{equation*}
x+\alpha(x,x'')x''\leqslant x+\alpha(x,x')x'+x'+\alpha(x',x'')x'',
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\bigl(\alpha(x,x'')-\alpha(x',x'')\bigr)x''\leqslant x'+\alpha(x,x')x'.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем неравенство II). Выпишем неравенство треугольника для пары $(x,x')$:
$$
\begin{equation*}
x+\alpha(x,x')x'\leqslant x+\alpha(x,x'')x''+x'+\alpha(x',x'')x'',
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\alpha(x,x')x'-x'\leqslant \bigl(\alpha(x,x'')+\alpha(x',x'')\bigr)x''.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем неравенство III). Выпишем неравенство треугольника для пары $(x',x'')$:
$$
\begin{equation*}
x'+\alpha(x',x'')x''\leqslant x+\alpha(x,x')x'+x+\alpha(x,x'')x'',
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\bigl(\alpha(x',x'')-\alpha(x,x'')\bigr)x''\leqslant 2x-x'+\alpha(x,x')x'.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, все свойства метрики $\varrho_\alpha $ переформулированы в терминах свойств функции $\alpha (x,x')$. Предложение доказано. Доказательство теоремы 2.14. Запишем неравенства I)–III) для таких возможных значений функции $\alpha $ и положений точек $0\leqslant x''<x'<x$, при которых они становятся наиболее сомнительными.
Заменим в I) левую часть на ее наибольшее значение $(b-a)x''$, а правую часть на ее наименьшее значение $(1+a)x'$. С учетом неравенства $x''<x'$ мы получаем верное неравенство $(b-a)x''\leqslant (1+a)x'$. Заменим в II) первое слагаемое правой части на его наименьшее значение $2ax''$; наименьшее значение второго слагаемого есть $(1\,{-}\,b)x'$. Если $a\geqslant 0$, то неравенство II) очевидно. С учетом неравенства $x''<x'$ мы получаем верное неравенство $0<2ax''+(1-b)x'$ и в случае отрицательного $a$. Заменим в III) левую часть на ее наибольшее значение $(b-a)x''$, а правую часть на ее наименьшее значение $2x-x'+ax'$. С учетом неравенств $x''<x'<x$ мы получаем верное неравенство $(b-a)x''\leqslant x'+ax'$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2.17. Запишем неравенства I)–III) для таких возможных значений функции $\alpha $ и $l<n<m$, при которых они становятся наиболее сомнительными.
Заменим в I) левую часть на ее наибольшее значение $(b-a)p^l$, а правую часть на ее наименьшее значение $(1+a)p^n$. С учетом неравенства $l+1\leqslant n$ мы получаем верное неравенство $(b-a)p^l\leqslant (1+a)p^{l+1}$. Заменим в II) первое слагаемое правой части на его наименьшее значение $2ap^l$; наименьшее значение второго слагаемого есть $(1\,{-}\,b)p^n$. Если $a\geqslant 0$, то неравенство II) очевидно. С учетом неравенства $l+1\leqslant n$ мы получаем верное неравенство $0\leqslant 2ap^l+(1-b)p^{l+1}$ и в случае отрицательного $a$. Заменим в III) левую часть на ее наибольшее значение $(b-a)p^l$, а правую часть на ее наименьшее значение $2p^m\,{-}\,(1\,{-}\,a)p^n$. С учетом неравенств $l<n< m$ мы получаем при $m=n+1$ самое сильное неравенство которое при самом сильном своем условии $n=l+1$ принимает вид $b-a\leqslant 2p^2-p+pa$. Последнее неравенство верно в силу условияТеорема доказана. Предложение 3.6. Для функции $\alpha \colon \mathbb N\to \mathbb R$ формула задает (инвариантную) нормированную метрику тогда и только тогда, когда для любых $i,j\in \mathbb N$ справедливы неравенства: Доказательство. Напомним, что всегда предполагается, что $l<n<m$. Введем также новые обозначения $i=n-l\geqslant 1$ и $j=m-n\geqslant 1$.
Запишем условия 0)–III) предложения 3.5 для точек $x''\,{=}\,p^l$, $x'\,{=}\,p^n$, $x\,{=}\,p^m$. После сокращения соответствующих неравенств на $p^l$ получаются требуемые условия $\mathrm{0_I})$–$\mathrm{III_I})$. Предложение доказано. Доказательство следствия 2.21. Случай $k=1$ реализуется любой метрикой из $\mathcal{IM}_p$, поэтому будем считать, что $k\geqslant 2$. Рассмотрим функцию Утверждается, что метрика $\varrho_\alpha (p^m,p^n)=p^m+\alpha(m,n)p^n$ является искомой. Легко видеть, что $\varrho_\alpha (p^{m+k},p^{n+k})=p^k\varrho_\alpha (p^m,p^n)$, поэтому $p^k\in \operatorname{St}(X,\varrho_\alpha )\subset \operatorname{St}[(X,\varrho_\alpha )]$.
Согласно теореме 2.4 $\operatorname{St}[(X_p,\varrho_\alpha )]\subset G_p$. Поэтому достаточно показать, что никакое число $p^r$ при $1\leqslant r<k$ не лежит в стабилизаторе. Оценим $\bigl|\varrho (p^{m+r}, p^{n+r})-p^{r}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|$ при $1\leqslant r<k$. Числа $m$ и $m+r$ не могут одновременно делиться на $k$. Поэтому при $m\equiv 0\mod k$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\bigl|\varrho (p^{m+r},p^{n+r})-p^{r}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|=\bigl|p^{m+r}-p^{r}(p^{m}+p^{n})\bigr|=p^{n+r} \xrightarrow{n\to \infty}\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2.7 $p^r\notin \operatorname{St}[(X_p,\varrho_\alpha )]$ при $1\leqslant r<k$.
Следствие доказано. Доказательство следствия 2.24. Рассмотрим функцию Утверждается, что метрика $\varrho_\alpha (p^m,p^n)=p^m+\alpha(m,n)p^n$ является искомой.
Оценим $\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{k}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr|$ при $k\geqslant 1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\varrho (p^{m+k},p^{n+k})-p^{k}\varrho (p^{m},p^{n})\bigr| \\ &\qquad=\biggl|p^{m+k}+\biggl(1-\frac{1}{n+k}\biggr)p^{n+k}-p^{k} \biggl(p^{m}+\biggl(1-\frac{1}{n}\biggr)p^{n}\biggr)\biggr| \\ &\qquad = \biggl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\biggr)p^{n+k}=\frac{k}{n(n+k)}p^{n+k}\xrightarrow{n\to \infty}\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 2.7 $p^k\notin \operatorname{St}[(X_p,\varrho_\alpha )]$.
Следствие доказано. Доказательство теоремы 2.25. Запишем условия $\mathrm{0_I})$–$\mathrm{III_I})$ предложения 3.6 для функции $\alpha (j)=\alpha p^{-\delta j}$, где $\alpha $ – некоторая константа. Неравенство $\mathrm{0_I})$ означает, что для всякого $j\geqslant 1$ справедливо неравенство $-1\leqslant \alpha p^{-\delta j}\leqslant 1$. Предположим, что $\delta <0$. Устремляя $j$ к $\infty $, мы получим, что $p^{-\delta j}$ также стремится к $\infty $. Следовательно, $\alpha p^{-\delta j}$ стремится к $\operatorname{sign}(\alpha )\cdot \infty $, поэтому выходит за пределы единичного отрезка $[-1,1]$. Следовательно, $\delta \geqslant 0$. Число $j$ меняется от $1$ до $\infty $. Поэтому неравенство $\mathrm{0_I})$ равносильно неравенству т.е. $-p^{\delta}\leqslant \alpha \leqslant p^{\delta}$.
Неравенство $\mathrm{I_I})$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
\alpha p^{-\lambda r-\lambda \delta}-\alpha p^{-\lambda r}\leqslant p^{r}+\alpha p^{r-\lambda \delta},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\alpha \bigl[p^{-\lambda r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r}-p^{r-\lambda \delta}\bigr]\leqslant p^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем максимум положительных чисел $\Delta(r,\delta )=p^{r-\lambda \delta}+p^{-\lambda r}-p^{-\lambda r-\lambda \delta}$. При возрастании $\delta $ число $\Delta=p^{-\lambda \delta}(p^{r}\,{-}\,p^{-\lambda r})\,{+}\,p^{-\lambda r}$ убывает (при фиксированном $r$), поэтому $\Delta(r,\delta )\leqslant \Delta(r,1)=p^{-\lambda}(p^{r}-p^{-\lambda r})+p^{-\lambda r}$. Запишем теперь требуемое неравенство $-a\Delta(r,1)\leqslant p^r$:
$$
\begin{equation*}
a(p^{r-\lambda}-p^{-\lambda r-\lambda}+p^{-\lambda r})\geqslant -p^r,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
a(p^{-\lambda}+p^{-(\lambda+1) r}(1-p^{-\lambda}))\geqslant -1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положительное число $p^{-\lambda}+p^{-(\lambda+1) r}(1-p^{-\lambda})$ убывает при возрастании числа $r$, поэтому самое сильное условие на число $a$ получается при $r=1$. Если это самое сильное неравенство
$$
\begin{equation*}
a(p^{-\lambda}+p^{-\lambda-1}-p^{-2\lambda -1})\geqslant -1
\end{equation*}
\notag
$$
умножить на $p^{2\lambda +1}$, то получается ограничение снизу из (5) на $\alpha $. Заметим, что полученное неравенство является более сильным, чем левое неравенство в (10) и является в точности неравенством I) при $r=\delta =1$.
Неравенство II) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\alpha p^{r-\lambda \delta}-p^{r}\leqslant \alpha p^{-\lambda r-\lambda \delta}+\alpha p^{-\lambda r},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\alpha [p^{r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r}]\leqslant p^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сверху и снизу числа $\Delta(r,\delta )=p^{r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r}$. Так как $p^{r}-p^{-\lambda r}>0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -p^{-\lambda r} &=\Delta(r,\infty )<\Delta(r,\delta )=p^{-\lambda \delta}(p^{r}-p^{-\lambda r})-p^{-\lambda r}\leqslant \Delta(r,1) \\ &=p^{r-\lambda}-p^{-\lambda r-\lambda}-p^{-\lambda r}= p^{r-\lambda}-p^{-\lambda r}(1+p^{-\lambda})<p^{r-\lambda} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и значения функции $\Delta(r,\delta )$ подходят сколь угодно близко к нижней и верхней оценкам (при достаточно большом $r$). С учетом полученных оценок основное неравенство $\alpha \Delta(r,\delta )\leqslant p^r$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
-p^{(1+\lambda )r}\leqslant -p^{1+\lambda}\leqslant \alpha \leqslant p^{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Совмещение всех полученных выше условий на коэффициент $\alpha $ дает неравенства, указанные в формулировке теоремы. В оставшемся случае проверки справедливости неравенства треугольника III) довольно сложно дать конструктивные условия на коэффициент $\alpha $, поэтому мы просто докажем, что в предположении уже полученных неравенств теоремы оставшаяся конфигурация трех точек удовлетворяет неравенству треугольника. Неравенство III) принимает вид
$$
\begin{equation*}
p^{r}-\alpha p^{r-\lambda \delta}\leqslant 2p^{r+\delta}+\alpha p^{-\lambda r-\lambda \delta}-\alpha p^{-\lambda r},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\alpha [p^{-\lambda r}-p^{r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r-\lambda \delta}]\leqslant 2p^{r+\delta}-p^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сверху числа $\Delta(r,\delta )=p^{-\lambda r}-p^{r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r-\lambda \delta}$. Так как $p^{r}+p^{-\lambda r}>0$, то получаем
$$
\begin{equation*}
\Delta(r,\delta )=p^{-\lambda r}-p^{-\lambda \delta}(p^{r}+p^{-\lambda r})<\Delta(r,\infty )=p^{-\lambda r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положительные значения $\Delta(r,\delta )$ дают верхнюю оценку $\alpha p^{-\lambda r}\leqslant 2p^{r+\delta}-p^{r}=p^{r}(2p^{\delta}-1)$, которая выполняется при всех $\alpha \leqslant p^{\lambda}$:
$$
\begin{equation*}
\alpha \Delta(r,\delta )\leqslant p^{\lambda}p^{-\lambda r}\leqslant 1<p^{r}(2p^{\delta}-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь исследуем нижнюю оценку на константу $\alpha $ при отрицательных значениях $\Delta(r,\delta )$. Итак, мы хотим рассмотреть неравенство $(-\alpha )\bigl(-\Delta(r,\delta )\bigr)\leqslant 2p^{r+\delta}-p^{r}$ для таких значений $r$ и $\delta $, что $-\Delta(r,\delta )>0$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\frac{p^{2\lambda +1}}{p^{\lambda +1}+p^{\lambda}-1}(p^{r-\lambda \delta}+p^{-\lambda r-\lambda \delta}-p^{-\lambda r})\leqslant 2p^{r+\delta}-p^{r}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
При возрастании $\delta $ левая часть убывает, а правая часть возрастает. Поэтому самым сильным неравенство (11) является при $\delta =1$:
$$
\begin{equation}
\frac{p^{2\lambda +1}}{p^{\lambda +1}+p^{\lambda}-1}(p^{r-\lambda}+p^{-\lambda r-\lambda}-p^{-\lambda r})\leqslant 2p^{r+1}-p^{r},
\end{equation}
\tag{12}
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p^{2\lambda +1}(p^{r-\lambda}+p^{-\lambda r-\lambda}-p^{-\lambda r})\leqslant (p^{\lambda +1}+p^{\lambda}-1)(2p^{r+1}-p^{r}), \\ \begin{aligned} \, &p^{r+\lambda +1}+p^{-\lambda r+\lambda +1}-p^{-\lambda r+2\lambda +1} \\ &\qquad\qquad\leqslant 2p^{r+\lambda +2}+2p^{r+\lambda +1}-2p^{r+1}-p^{r+\lambda +1}-p^{r+\lambda}+p^{r}, \end{aligned} \\ p^{-\lambda r+\lambda +1}-p^{-\lambda r+2\lambda +1}\leqslant 2p^{r+\lambda +2}-2p^{r+1}-p^{r+\lambda}+p^{r}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Число в левой части последнего неравенства отрицательное, поэтому если мы заменим его на $0$, то получим более сильное ограничение на параметры $r$ и $\lambda$. После сокращения на $p^r$ получается неравенство
$$
\begin{equation*}
0\leqslant 2p^{\lambda +2}-2p-p^{\lambda}+1=(p^{\lambda}-1)(2p^2-1)+2p^2-2p.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом условий $\lambda\geqslant 0$, $p>1$ справедливость неравенства очевидна.
Теорема 2.25 доказана. Доказательство следствия 2.26. Импликации $1)\Rightarrow 2)\Rightarrow 3)$ очевидны.
$3)\Rightarrow 1)$. Согласно теореме 2.11 $p=q$, $\lambda =\mu p^k$ для некоторого $k\in \mathbb Z$ и $\varrho_{\alpha,\delta}=\varrho_{\beta,\theta}$. Отсюда следуют равенства $\delta =\theta $ и $\alpha =\beta $. Следствие доказано. БлагодарностиАвтор благодарит С. И. Богатую и А. А. Тужилина за помощь в работе.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|