| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Геометрические прогрессии в пространствах с расстоянием, приложения к неподвижным точкам и точкам совпадения отображений Е. С. Жуковский Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9773e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ ряде известных утверждений нелинейного анализа существенно используется построение в полном метрическом пространстве $(X,\rho_X)$ специальной (в частности, итерационной) последовательности $\{x_i\}$, удовлетворяющей при некотором $\gamma < 1$ условию
$$
\begin{equation}
\rho_X(x_{i+1},x_i)\leqslant \gamma \rho_X(x_i,x_{i-1}), \quad i=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В силу выполнения для метрики неравенства треугольника такая последовательность оказывается фундаментальной и поэтому сходится. Затем при соответствующих условиях устанавливается, что предел построенной последовательности является искомым решением рассматриваемой задачи (неподвижной точкой, точкой совпадения отображений, точкой минимума или нулем функционала и т.д.). Эта идея лежит в основе теоремы Банаха о неподвижной точке (см. [1]), ее многозначного аналога – теоремы Надлера (см. [2]), теорем Арутюнова о точках совпадения однозначных и многозначных отображений (см. [3; теоремы 1, 2]), их многочисленных уточнений и распространений (см. [4]–[9]). С использованием такого подхода Т. Н. Фоменко получены итерационные алгоритмы приближения к искомым множествам, в частности множествам совместных неподвижных точек и точек совпадения отображений (см. [10], [11]), доказано несколько версий принципа существования нуля $(\alpha,\beta)$-поисковых функционалов (см. [12], [13]), из которых выводятся классические теоремы [1]–[3], другие известные и новые условия существования точек совпадения и неподвижных точек. Если расстояние $\rho_X$ в пространстве $X$ не является метрикой и вместо “обычного” неравенства треугольника удовлетворяет обобщенному $f$-неравенству треугольника (т.е. $\rho_X (x,v)\leqslant f\bigl(\rho_X (x,u), \rho_X (u,v)\bigr)$, $ x,u,v\in X$, где заданная функция $f\colon {\mathbb{R}_+}^{2} \to \mathbb{R}_+$ непрерывна в точке $(0,0)$ и $f(0,0)\,{=}\,0$), то свойство (1.1) может оказаться недостаточным для сходимости в пространстве $(X,\rho_X)$ последовательности $\{x_i\}$. В таких пространствах, называемых $f$-квазиметрическими, при доказательстве сходимости итераций требуются иные подходы, использующие соотношения для расстояний между любыми элементами последовательности $\{x_i\}$, а не только между соседними. Разработке таких подходов посвящена статья [14], в ней доказан аналог теоремы Красносельского–Браудера о неподвижной точке обобщенного сжатия в $f$-квазиметрическом пространстве. Аналогичная идея позволила в работе [15] для $f$-квазиметрического пространства получить принцип существования нуля $\lambda$-обобщенно-поискового функционала и вывести из него теорему (см. [14]) о существовании неподвижной точки обобщенного сжатия (за исключением утверждения о единственности), а также аналог теоремы Надлера. Отметим, что если функция $f$ является линейной: $f(r_1,r_2)=q_1 r_1 + q_2 r_2$, $r_1,r_2\in \mathbb{R}_+$, то любая обладающая свойством (1.1) последовательность оказывается фундаментальной. Это установлено при доказательствах теорем о неподвижных точках, точках совпадения (однозначных и многозначных) отображений и нулях $(\alpha, \beta)$-поисковых функционалов в соответствующем пространстве (называемом $(q_1, q_2)$-квазиметрическим) в работах А. В. Арутюнова, А. В. Грешнова [16]–[19] и Т. Н. Фоменко [20]. Таким образом, возникают следующие естественные вопросы. Во-первых, действительно ли в любом пространстве с обобщенным расстоянием (не обязательно удовлетворяющем даже $f$-неравенству треугольника при какой-либо функции $f$), в котором “геометрические прогрессии” – последовательности вида (1.1) – сходятся, справедливы аналоги цитируемых выше результатов о неподвижных точках, точках совпадения, нулях поисковых функционалов? И во-вторых, какие условия на расстояние $\rho_X$, типа обобщенного неравенства треугольника, обеспечивают сходимость в пространстве $X$ последовательностей вида (1.1) в случае $\gamma<1$? Ответам на эти два вопроса посвящена настоящая работа. Структура работы следующая. В § 2 исследуется пространство с расстоянием общего вида, а также его важные частные случаи. В § 3 рассмотрены геометрические прогрессии и их свойства, необходимые для утверждений о неподвижных точках и точках совпадения. В этом параграфе для пространства $(X,\rho_X)$ определены: множество $\mathcal{B}_X $ чисел $\gamma \geqslant 0$ таких, что любая геометрическая прогрессия $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}\subset X$ со знаменателем $\gamma$ является фундаментальной, а также функция $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}$, сопоставляющая числу $r_0 \geqslant 0$ значение $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}(r_0):=\sup\bigl\{\varlimsup_{i\to \infty}\rho(x_0, x_i)\bigr\}$, где супремум вычисляется по всем геометрическим прогрессиям со знаменателем $\gamma$ таким, что $r_0=\rho_X(x_0,x_1)$. В § 4 дается ответ на первый из поставленных вопросов: доказано существование точки совпадения $\alpha$-накрывающего и $\beta$-липшицева многозначных отображений в предположении, что $\gamma:=\beta^{-1}\alpha \in \mathcal{B}_X$, и получены оценки точки совпадения, использующие функцию $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}$. Из этих результатов выведено утверждение о неподвижной точке многозначного отображения. Заключительные два параграфа посвящены второй из рассматриваемых проблем – определению условий на расстояние, обеспечивающих сходимость геометрических прогрессий. В § 5 исследуются свойства множества $\mathcal{B}_{X}$ в случае, когда пространство $X$ является $f$-квазиметрическим. На основании этих результатов в § 6 определено множество $\mathcal{B}_X$ для $f$-квазиметрических пространств при конкретных функциях $f$ (в том числе для линейной и степенной функций) и получены оценки значений функции $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}$ (где $\gamma \in \mathcal{B}_{X}$). Кроме того, в этом параграфе доказано, что для достаточно широкого класса функций $f$ в соответствующих $f$-квазиметрических пространствах имеет место “правило $0$ или $1$”, т.е. множество $\mathcal{B}_X$ может быть либо минимальным, содержащим только $0$, либо максимальным, т.е. интервалом $[0,1)$. § 2. Простейшие свойства пространств, наделенных расстояниемПусть определено множество $X\neq \varnothing$. Отображение $\rho_X\colon X^2\to \mathbb{R}_+ $ называют расстоянием в $X$, если имеет место аксиома тождества
$$
\begin{equation}
\forall\, x,u \in X \quad \rho_X (x,u)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=u.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Пару $X:=(X,\rho_X)$ будем называть пространством с расстоянием или просто пространством. Расстояние $\rho_X$ называют метрикой (а пространство $X$ – метрическим), если это отображение симметрично, и удовлетворяет неравенству треугольника
$$
\begin{equation}
\forall\, x,u,v\in X \quad \rho_X(x,v)\leqslant \rho_X(x,u)+\rho_X(u,v).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Напомним определения некоторых известных обобщений понятия метрики. Расстояние, удовлетворяющее неравенству треугольника (2.3) (но не являющееся симметричным), называют квазиметрикой, соответствующее пространство – квазиметрическим. Квазиметрические пространства исследованы в работах П. С. Александрова, В. А. Вилсона, В. В. Немыцкого (см. [21], [22]). Пусть задана функция $f\colon {\mathbb{R}_+}^{2} \to \mathbb{R}_+$ такая, что имеет место сходимость
$$
\begin{equation}
f(r_1,r_2)\to 0 \quad\text{при } \ (r_1,r_2)\to (0,0).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При выполнении соотношения
$$
\begin{equation}
\exists\, \sigma >0 \quad \forall\, x,u,v \in X \left. \begin{array}{l} \rho_X (x,u)<\sigma, \\ \rho_X (u,v)<\sigma \end{array}\right\}\quad \Longrightarrow \quad \rho_X (x,v)\leqslant f\bigl(\rho_X (x,u), \rho_X (u,v)\bigr)
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
говорят, что выполнено $f$-неравенство треугольника. В этом случае расстояние $\rho_X$ называют $f$-квазиметрикой, а пространство $X$ – $f$-квазиметрическим (см. [23], [14]). Такие пространства были введены М. Фреше в [24; с. 18]. Необходимым и достаточным условием существования отвечающей требованию (2.4) функции $f$, для которой выполнено соотношение (2.5), является (см. [25; теорема 2]) асимптотическое неравенство треугольника:
$$
\begin{equation}
\forall\, \{x_i\}, \{u_i\}, \{v_i\}\subset X \left. \begin{array}{l} \rho_X(x_i,u_i)\to 0, \\ \rho_X(u_i,v_i)\to 0 \end{array}\right\}\quad \Longrightarrow\quad \rho_X(x_i,v_i)\to 0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Если имеет место соотношение (2.5), в котором $\sigma=\infty$, а функция $f$ линейная, т.е. справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\forall\, x,u,v \in X \quad \rho_X (x,v)\leqslant q_1 \rho_X (x,u)+q_2\rho_X (u,v),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
причем $q_1,q_2 \geqslant 1$, то пространство $X$ называют $(q_1,q_2)$-квазиметрическим пространством, соответственно, расстояние $\rho_X $ – $(q_1,q_2)$-квазиметрикой. Свойства $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространств исследованы в [16]–[18], в [26] показано, что для произвольного $(q_1,q_2)$-квазиметрического пространства существует функция $f$, для которой $f$-неравенство треугольника (2.5) точнее, чем неравенство (2.7). Если дополнительно расстояние $\rho_X $ симметрично, то в терминах “квазиметрика” и “квазиметрическое пространство”, “$f$-квазиметрика” и “$f$-квазиметрическое пространство”, “$(q_1,q_2)$-квазиметрика” и “$(q_1,q_2)$-квазиметрическое пространство” приставку “квази” будем опускать. Вернемся к рассмотрению пространства $(X,\rho_X)$ без дополнительных предположений на расстояние $\rho_X$ и определим на нем “естественную” топологию, предложенную и исследованную С. Й. Недевым (см. [27]). Для этого топологического пространства также сформулируем необходимые для настоящего исследования определения, аналогичные определениям, данным в [14], [23], [28] для конкретных классов $f$-квазиметрических пространств. Пусть заданы $x_0\in X$, $r\geqslant 0$. Определим шары
$$
\begin{equation*}
O_X (x_0, r)=\{x\in X\colon \rho_X(x_0, x)<r \}, \quad B_X (x_0, r)=\{x\in X\colon \rho_X(x_0, x)\leqslant r \}
\end{equation*}
\notag
$$
(при $r=0$ получаем $O_X (x_0, 0)=\varnothing$, $B_X (x_0, 0)=\{x_0\}$). Множество $V\subset X$ будем называть открытым, если для каждого $v\in V$ существует такое $\delta>0$, что $O_X (v, \delta) \subset V$. Совокупность таких открытых множеств образует топологию на $X$. Отметим, что шар $O_X (x_0, r)$ не обязан принадлежать этой топологии, т.е. может не быть открытым множеством даже в $(q_1,q_2)$-метрическом пространстве, где $q_1 > 1$ и $q_2 > 1$ (см. [18; пример 3.4]). Множество называем замкнутым, если его дополнение открыто. Очевидно, без каких-либо дополнительных предположений на расстояние $\rho_X$ в рассматриваемом топологическом пространстве каждое одноточечное множество замкнуто, т.е. выполнена аксиома отделимости $T_1$. Аксиома $T_2$ может нарушаться даже для квазиметрических пространств. Будем говорить, что последовательность $\{ x_i\}_{i=1}^{\infty}\subset X$ сходится к элементу $x\in X $ и писать $\lim_{i\to \infty}x_i=x$ или $x_i \to x$, если $\lim_{i\to \infty}\rho_X(x,x_i)=0$, т.е. если выполнено любое из следующих равносильных соотношений:
$$
\begin{equation*}
\forall\, \varepsilon\,{>}\, 0 \quad \exists\, I \ \ \forall\, i \,{>}\,I \quad \rho_X(x,x_i)\,{<}\,\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad \forall\, \varepsilon\,{>}\, 0 \quad \exists\, I \ \ \forall\, i \,{>}\,I \quad x_i\,{\in}\, O_X (x, \varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Конечно, предел $x$ последовательности не обязательно будет единственным (даже в $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространствах предел может быть неединственным и обладать рядом других “необычных” свойств, соответствующие примеры приведены в [14], [18], [29]). Если в пространстве $X$ из сходимости $\rho_X(x,x_i) \to 0$ следует сходимость $\rho_X(x_i,x) \to 0$, то расстояние $\rho_X$ называет слабо симметрическим и само такое пространство называют слабо симметрическим. Как и для “обычных метрических” пространств, через сходящие последовательности определяется свойство замкнутости множеств, а именно имеет место следующее утверждение. Предложение 2.1. Множество $U\subset X$ является замкнутым тогда и только тогда, когда для произвольной сходящейся последовательности элементов из $U$ любой ее предел принадлежит $U$. Доказательство. Пусть множество $U$ замкнуто и пусть последовательность $\{ x_i\}_{i=1}^{\infty}\subset U$ сходится к $x\in X$. Если $x\in X\setminus U$, то вследствие открытости дополнения $X\setminus U$ существует такое $\delta>0$, что $O_X (x, \delta) \subset X\setminus U$. Но это противоречит тому, что в силу сходимости $x_i \to x$ для всех $i$ начиная с некоторого номера выполнено $x_i \in O_X (x, \delta)$.
Пусть для любой сходящейся последовательности элементов из $U$ любой ее предел принадлежит множеству $U$, а тем не менее множество $U$ не замкнуто. Тогда его дополнение $ X\setminus U$ не является открытым, т.е. существует $x\in X\setminus U$ такой, что при любом $i$ существует $x_i\in O_X (x, i^{-1})$, $x_i \notin X \setminus U$. Определенная таким образом последовательность $\{ x_i\}_{i=1}^{\infty}\subset U$ сходится к $x\in X\setminus U$, что противоречит исходным предположениям. Предложение доказано. Определим также следующее “ослабление” свойства замкнутости множеств. Будем называть множество $U\subset X$ квазизамкнутым, если для произвольной сходящейся последовательности элементов из $U$ по крайней мере один ее предел принадлежит $U$. Последовательность $\{ x_i\}_{i=1}^{\infty}$ будем называть фундаментальной, если
$$
\begin{equation*}
\forall\, \varepsilon >0 \quad \exists\, I \quad \forall\, j >i>I \quad \rho_X(x_i,x_j)<\varepsilon \quad(\text{т.е. } \ x_j \in O_X(x_i,\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение фундаментальности использовалось в работах [18], [23], а в определении статьи [14] выполнение неравенства $\rho_X(x_i,x_j)<\varepsilon$ требовалось для любых $j$, $i$, б\’ольших $I$, а не только при $j >i$. Отметим, что сходящаяся в пространстве $(X,\rho_X)$ последовательность может не быть фундаментальной (условия фундаментальности сходящихся последовательностей в $f$-квазиметрических пространствах см. [14]). Пространство $(X,\rho_X)$ называем полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Множество $U\subset X$ называем полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится и все ее пределы принадлежат $U$. Множество $U\subset X$ называем квазиполным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится и хотя бы один ее предел принадлежит $U$. § 3. Геометрическая прогрессия в пространстве с расстояниемПусть в пространстве $(X,\rho_X)$ задана последовательность $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}$. Эту последовательность будем называть геометрической прогрессией со знаменателем $\gamma \geqslant 0$, если справедливо соотношение (1.1). Обозначим через $\mathrm{GP}_X [\gamma]$ множество всех геометрических прогрессий пространства $X$ со знаменателем $\gamma $, а его подмножество сходящихся последовательностей обозначим через $\mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma]$. Оба эти множества не пусты, так как для $x_0 \in X$ постоянная последовательность $x_i=x_0$, $i\in \mathbb{N}$, является сходящейся геометрической прогрессией со знаменателем $\gamma$. Легко видеть, что для любых $\gamma',\gamma \in \mathbb{R}_+$ имеет место импликация
$$
\begin{equation*}
\gamma' < \gamma \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{GP}_X [\gamma'] \subset \mathrm{GP}_X [\gamma], \quad \mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma'] \subset \mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma].
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь определим множество $\mathcal{B}_X$ всех таких чисел $\gamma \geqslant 0$, что любая последовательность $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_X [\gamma]$ является фундаментальной. Так как $0 \in \mathcal{B}_X$, множество $\mathcal{B}_X$ не пусто. Отметим, что, если пространство $X$ полное, то при любом $\gamma \in \mathcal{B}_X$ выполнено $\mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma]=\mathrm{GP}_X [\gamma]$. Из определения множества $\mathcal{B}_X$ легко выводится следующее его свойство:
$$
\begin{equation}
\forall\, \gamma',\gamma \in \mathbb{R}_+ \quad \gamma' < \gamma, \quad \gamma \in\mathcal{B}_X \quad\Longrightarrow\quad \gamma' \in\mathcal{B}_X.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Определим $\Lambda_X :=\sup \mathcal{B}_X$. В силу свойства (3.1) для любого $\gamma \in [0, \Lambda_X )$ любая геометрическая прогрессия в $X$ со знаменателем $\gamma$ является фундаментальной. А если $\gamma > \Lambda_X$, то найдется последовательность $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_X [\gamma]$, не являющаяся фундаментальной. Очевидно, в любом пространстве $X$ не является фундаментальной последовательность $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}$, у которой расстояние от каждого элемента до следующего постоянно, т.е. $\rho_X(x_i,x_{i+1})=\rho_X(x_{i-1},x_{i})$ при любом $i$. Но это равенство означает, что $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma=1$. Поэтому для пространства $X$, содержащего такую последовательность, $\Lambda_X \leqslant 1$. Ниже в § 5 в предложении 5.2 показано, что для любой функции $f$ существует $f$-квазиметрическое пространство $X$, содержащее соответствующую геометрическую прогрессию, т.е. для класса $f$-квазиметрических пространств выполнено $\Lambda_X \leqslant 1$. Из результатов [16]–[18] прямо следует, что в $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространствах, как и в “обычных” метрических пространствах, любая геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma\in [0,1)$ является фундаментальной, т.е. для класса $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространств выполнено равенство $\Lambda_X=1$. В § 6 будет получено условие на функцию $f$, при выполнении которого для класса $f$-квазиметрических пространств справедливо “правило $0$ или $1$”, означающее, что $\Lambda_X $ может принимать только эти два значения $0$, $1$. В пространствах с расстоянием общего вида (в том числе и в некоторых конкретных $f$-квазиметрических пространствах) это правило не верно и $\Lambda_X $ может принимать любые промежуточные значения. Пример 3.1. Определим на множестве $X:=\{ x_i\}_{i\in \mathbb{Z}}$ симметричное расстояние соотношениями (2.2) и Покажем, что для определяемого соотношениями (3.2) расстояния выполнено асимптотическое неравенство треугольника (2.6), т.е. рассматриваемое здесь пространство является $f$-метрическим. Рассмотрим всевозможные последовательности элементов $x_i$, $u_i$, $v_i$ из $X$, для которых $\rho_X(x_i,u_i)\to 0$ и $ \rho_X(u_i,v_i)\to 0$. 1. Пусть $u_i=x_{i+1}$, $v_i=x_{i+2}$. Тогда $ \rho_X(x_i,v_i)=(i+1)^{-1}+(i+2)^{-1} \to 0$ при $i\to \infty$. 2. Пусть $u_i=x_{i+j_i}$, $v_i=x_{i+j_i+1}$, $j_i\geqslant 2$. Тогда если при $i\to \infty$ имеет место сходимость $\rho_X(x_i,u_i)=(i+1)^{-1}+\dots +(i+j_i)^{-1} \to 0$, то очевидно выполнено $ (i+1)^{-1}+\dots +(i+j_i+1)^{-1} \to 0$, и, таким образом, получаем $ \rho_X(x_i,v_i)\to 0$. 3. Пусть $u_i=x_{i+j_i}$, $v_i=x_{i+j_i+m_i}$, $j_i,m_i\geqslant 2$. В этом случае из соотношений $ \rho_X(x_i,u_i)=(i+1)^{-1}+\dots +(i+j_i)^{-1} \to 0$ и $ \rho_X(u_i,v_i)=(i+j_i+1)^{-1}+\dots +(i+j_i+m_i)^{-1} \to 0$ прямо следует $ \rho_X(x_i,v_i)=(i+1)^{-1}+\dots +(i+j_i+m_i)^{-1}=\rho_X(x_i,u_i)+ \rho_X(u_i,v_i) \to 0$. Для последовательности $\{x_{-i} \}_{i=0}^{\infty}$ проверка соотношений (2.6) очевидна. Определим еще некоторые характеристики пространства $(X,\rho_X)$, связанные со свойствами содержащихся в них геометрических прогрессий. Положим
$$
\begin{equation}
{\mathcal{D}}_{X}:=\bigl\{\rho_X(x_0,x_1)\colon x_0,x_1\in X \bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть задано $\gamma \in \mathcal{B}_X$. При любом $r_0 \in {\mathcal{D}}_{X}$ существует геометрическая прогрессия $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}$ со знаменателем $\gamma$, для которой $\rho_X(x_0,x_1)=r_0$ (чтобы определить такую прогрессию достаточно выбрать любую пару $(x_0,x_1)$ элементов из $ X$, “расположенных” на требуемом расстоянии, и задать прогрессию $x_0,x_1,x_1,\dots$, постоянную со второго элемента). Определим функцию $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}\colon {\mathcal{D}}_{X} \to \overline{\mathbb{R}}_+ $, $\overline{\mathbb{R}}_+:=\mathbb{R}_+\cup \{+\infty \}$, которая каждому $r_0 \in {\mathcal{D}}_{X}$ ставит в соответствие значение
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma} (r_0) :=\sup \Bigl\{\varlimsup_{i\to \infty}\rho(x_0, x_i) \colon \{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_X [\gamma],\, \rho_X(x_0, x_1)=r_0 \Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим произвольную сходящуюся последовательность $\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma]$ такую, что $\rho_X(x_0,x_1)\in {\mathcal{D}}_{X}$ (очевидно, что такая последовательность существует). Обозначим множество ее пределов через $\operatorname{Lim}x_i$ и определим отклонение точки $x_0$ от этого множества формулой
$$
\begin{equation*}
\rho_X(x_0,\operatorname{Lim}x_i):=\sup_{x\in\operatorname{Lim}x_i} \rho_X(x_0, x).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\mathcal{P}_{X,\gamma}\colon \mathcal{D}_{X} \to \overline{\mathbb{R}}_+ $, сопоставляющую каждому $r_0 \in \mathcal{D}_{X}$ значение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{X,\gamma} (r_0) :=\sup \bigl\{\rho_X(x_0,\operatorname{Lim}x_i)\colon \{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}^{\mathrm{con}}_X [\gamma],\, \rho_X(x_0, x_1)=r_0 \bigr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Определенные здесь характеристики пространства $X$ будут использованы в приводимой ниже теореме о точках совпадения многозначных отображений. § 4. Точки совпадения накрывающего и липшицева многозначных отображенийПусть в пространствах $X$, $Y$ определены расстояния $\rho_X$, $\rho_Y$ соответственно. В произведении $X \times Y$ будем полагать расстояние $\rho_{X \times Y}$ равным
$$
\begin{equation*}
\forall\, (x,y), (u,z)\in X \times Y \quad \rho_{X \times Y}((x,y), (u,z))=\rho_{X}(x,u) + \rho_{Y}(y,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольных непустых множеств $U,V \subset Y$ определим расстояние “стандартным” соотношением
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}_Y(U,V):=\inf \bigl\{ \rho_Y(u,v)\colon u\in U,\, v\in V \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть заданы многозначные отображения $\Psi,\Phi\colon X\rightrightarrows Y$ такие, что для любого $x\in X$ образы $\Psi(x),\Phi(x)\subset Y$ являются непустыми множествами. Рассмотрим задачу о существовании точки совпадения этих отображений – элемента $\xi \in X$ такого, что Обозначим $\mathrm{Coin}(\Psi,\Phi):=\{\xi \in X\colon \Psi(\xi)\cap\Phi(\xi) \neq \varnothing \}$ – множество точек совпадения отображений $\Psi,\Phi$. Итак, нас интересуют условия, при которых это множество не пусто.В частном случае, если $Y=X$ а отображение $\Psi\colon X\to X$ тождественное, т.е. $\Psi(x)=x$ при любом $x\in X$ (такое отображение можно считать многозначным, имеющим одноточечные образы), точка совпадения совпадает с “классической” неподвижной точкой – решением включения Сформулируем определения свойств накрывания и липшицевости, аналогичные определениям, известным для отображений метрических пространств (см. [3]). На отображения $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространств соответствующие определения распространены в [18]. Будем обозначать через $\operatorname{gph}(\Psi):=\bigl\{(x,y)\in X\times Y\colon y\in \Psi(x) \bigr\}$ график отображения $\Psi$. Пусть $\alpha>0$. Отображение $\Psi\colon X\rightrightarrows Y$ будем называть $\alpha$-накрывающим, если
$$
\begin{equation*}
\forall\, x\in X \quad\forall\, r \geqslant 0 \quad \bigcup_{y\in \Psi(x)} B_Y (y,\alpha r) \subset \Psi (B_X (x, r)).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\Psi$ является $\alpha$-накрывающим тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\forall\, x\,{\in}\, X \quad\forall\, y\,{\in}\, \Psi(x) \quad\forall\, y'\,{\in}\, Y \quad\exists\, x'\,{\in}\, X \quad y'\,{\in}\, \Psi(x'), \quad\rho_X(x,x')\,{\leqslant}\, \frac{1}{\alpha}\rho_Y(y,y').
\end{equation*}
\notag
$$
“Стандартное” определение липшицевости многозначных отображений использует понятие расстояния по Хаусдорфу. Такое определение в [18] распространено на $(q_1,q_2)$-квазиметрические пространства. На рассматриваемые здесь пространства с расстоянием также можно перенести понятие расстояния по Хаусдорфу и, используя его, описать свойство липшицевости многозначных отображений. Однако мы дадим равносильное определение, не требующее дополнительно определять расстояние по Хаусдорфу. И доказательство предлагаемого ниже утверждения о точках совпадения отображений будет использовать именно такое определение. Итак, пусть задано $\beta \geqslant 0$. Отображение $\Phi\colon X\rightrightarrows Y$ будем называть $\beta$-липшицевым, если
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \forall\, x\in X \quad\forall\, x'\in X \quad\forall\, y\in \Psi(x) \quad\forall\, \varepsilon>0 \\ & \exists\, y'\in Y \quad y'\in \Phi(x'), \quad \rho_Y(y,y')\leqslant (\beta+\varepsilon)\rho_X(x,x'). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.1. Пусть $\alpha>0$, $\beta\geqslant 0$, отображение $\Psi\colon X\rightrightarrows Y$ является $\alpha$-накрывающим, а отображение $\Phi\colon X\rightrightarrows Y$ – $\beta$-липшицевым. Тогда для произвольных $x_0 \in X$ и $\varepsilon > 0$ существуют геометрические прогрессии $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_{X}[\gamma]$, $\{y_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_Y[\gamma]$ со знаменателем $\gamma=\varepsilon+{\alpha}^{-1}{\beta}$, удовлетворяющие соотношениям Доказательство. Пусть $x_0 \in X$, $\varepsilon > 0$. Определим положительное $\varepsilon_0 $, для которого выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_0 \leqslant \varepsilon, \qquad \varepsilon_1:=\frac{\varepsilon_0}{\alpha}(\varepsilon_0 + \beta + \operatorname{dist}_Y (\Psi(x_0),\Phi(x_0))) \leqslant \varepsilon, \qquad \frac{\varepsilon_0}{\alpha} \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $y\in \Psi(x_0)$ и $y_0\in \Phi(x_0)$ так, что $\rho_Y(y,y_0)< \varepsilon_0+ \operatorname{dist}_Y (\Psi(x_0),\Phi(x_0))$. Так как отображение $\Psi$ $\alpha$-накрывающее, существует $x_1\in X$, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation*}
y_0\in \Psi(x_1), \qquad \rho_X(x_0,x_1)\leqslant \frac{1}{\alpha} \rho_Y(y,y_0) \leqslant\frac{\varepsilon_0}{\alpha}+\frac{1}{\alpha} \operatorname{dist}_Y (\Psi(x_0),\Phi(x_0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенство (4.1) выполнено. Далее, так как отображение $\Phi$ $\beta$-липшицево, существует $y_1\in Y$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_1 \in \Phi(x_1), \\ \begin{split} \rho_Y(y_0,y_1) &\leqslant (\varepsilon_0 + \beta)\rho_X(x_0,x_1) \leqslant (\varepsilon_0 + \beta) \biggl(\frac{\varepsilon_0}{\alpha}+\frac{1}{\alpha} \operatorname{dist}_Y (\Psi(x_0),\Phi(x_0))\biggr) \\ &=\varepsilon_1+\frac{\beta}{\alpha}\operatorname{dist}_Y (\Psi(x_0),\Phi(x_0)). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (4.2) также выполнено.
Покажем по индукции, что при любом $i=1,2,\dots$ существуют $x_i \in X$, $y_i \in Y $, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
y_i\in \Psi(x_{i+1})\cap \Phi(x_i), \qquad y_{i+1} \in \Phi(x_{i+1}),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_X(x_i,x_{i+1})\leqslant\biggl(\frac{\varepsilon_0}{\alpha} + \frac{\beta}{\alpha}\biggr) \rho_X(x_{i-1},x_i),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\rho_Y(y_i,y_{i+1})\leqslant\biggl(\frac{\varepsilon_0}{\alpha} + \frac{\beta}{\alpha}\biggr) \rho_Y(y_{i-1},y_i).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
В силу $\alpha$-накрывания отображения $\Psi$ существует $x_2\in X$, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_1\in \Psi(x_2) \quad\Longrightarrow\quad y_1\in \Psi(x_2)\cap \Phi(x_1), \\ \rho_X(x_1,x_2)\leqslant \frac{1}{\alpha} \rho_Y(y_0,y_1) \leqslant \frac{1}{\alpha} (\varepsilon_0 + \beta)\rho_X(x_0,x_1) . \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А вследствие $\beta$-липшицевости отображения $\Phi$ для некоторого $y_2\in Y$ выполнено включение $y_2 \in \Phi(x_2)$ и неравенства
$$
\begin{equation*}
\rho_Y(y_1,y_2)\leqslant (\varepsilon_0 + \beta)\rho_X(x_1,x_2) \leqslant (\varepsilon_0 + \beta)\frac{1}{\alpha} \rho_Y(y_0,y_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, при $i=1$ соотношения (4.4)–(4.6) доказаны.
Предположим, что при всех $i\leqslant j$ найдены элементы $x_i$, $y_i$, удовлетворяющие условиям (4.4)–(4.6). Из свойства $\alpha$-накрывания отображения $\Psi$ следует, что существует $x_{j+1}\in X$, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_j\in \Psi(x_{j+1}) \quad\Longrightarrow\quad y_j\in \Psi(x_{j+1})\cap \Phi(x_j), \\ \rho_X(x_j,x_{j+1})\leqslant \frac{1}{\alpha} \rho_Y(y_{j-1},y_j) \leqslant \frac{1}{\alpha} (\varepsilon_0 + \beta)\rho_X(x_{j-1},x_j). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А из свойства $\beta$-липшицевости отображения $\Phi$ следует, что для некоторого $y_{j+1}\in Y$ выполнено включение $y_{j+1} \in \Phi(x_{j+1})$ и неравенства
$$
\begin{equation*}
\rho_Y(y_j,y_{j+1})\leqslant (\varepsilon_0 + \beta)\rho_X(x_j,x_{j+1}) \leqslant (\varepsilon_0 + \beta)\frac{1}{\alpha} \rho_Y(y_{j-1},y_j) .
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, при $i=j+1$ соотношения (4.4)–(4.6) доказаны.
Остается заметить, что построенные здесь по индукции последовательности $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ и $\{y_i\}_{i=0}^{\infty}$ являются геометрическими прогрессиями со знаменателем $\gamma={\alpha}^{-1}{\beta}+\varepsilon$ и удовлетворяют условиям (4.1)–(4.3). Лемма доказана. Теорема 4.1. Пусть для некоторых $\alpha> 0$, $\beta \geqslant 0$ выполнены неравенства ${\alpha}^{-1}{\beta}<\Lambda_X$ и ${\alpha}^{-1}{\beta}<\Lambda_Y$. Пусть отображение $\Psi\colon X\rightrightarrows Y$ является $\alpha$-накрывающим, отображение $\Phi\colon X\rightrightarrows Y$ – $\beta$-липшицевым и для графиков этих отображений $\operatorname{gph}(\Psi)$, $\operatorname{gph}(\Phi)$ выполнено: один из графиков является полным, а другой – квазизамкнутым множеством в $X \times Y$ или один из графиков является квазиполным, а другой – замкнутым множеством в $X \times Y$. Тогда $\mathrm{Coin}(\Psi,\Phi)\neq \varnothing $ и, более того, для произвольных $x_0 \in X$ и $\varepsilon > 0$ определенная в лемме 4.1 геометрическая прогрессия $\{x_i\}_{i=0}^{\infty} \in \mathrm{GP}_{X}[\gamma]$ со знаменателем $\gamma={\alpha}^{-1}{\beta}+\varepsilon$ сходится к точке совпадения $\xi\in X$ отображений $\Psi,\Phi$ и выполнены неравенства Доказательство. Пусть заданы $x_0 \in X$ и $\varepsilon > 0$. Определим $\varepsilon_0 \in (0, \varepsilon]$ так, чтобы
Сначала рассмотрим ситуацию, когда множество $\operatorname{gph}(\Psi)$ является полным, а множество $\operatorname{gph}(\Phi)$ – квазизамкнутым. Рассмотрим определенные леммой 4.1 последовательности $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_{X}[\gamma]$, $\{y_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_Y[\gamma]$, где $\gamma=\varepsilon_0+{\alpha}^{-1}{\beta}$, удовлетворяющие соотношениям (4.1)–(4.3). Из неравенств (4.9) следует, что эти последовательности фундаментальные. Поэтому последовательность $\{(x_{i+1},y_i)\}_{i=0}^{\infty}\subset X \times Y$ также является фундаментальной. В силу (4.3) эта последовательность принадлежит полному множеству $\operatorname{gph}(\Psi)\subset X \times Y$, и поэтому для множества ее пределов выполнено
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lim} (x_{i+1},y_i) \neq \varnothing, \qquad \operatorname{Lim} (x_{i+1},y_i)\subset \operatorname{gph}(\Psi).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Очевидно, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Lim} (x_{i+1},y_i)=\operatorname{Lim} (x_{i},y_i),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
а последовательность $\{(x_{i},y_i)\}_{i=0}^{\infty}$ принадлежит множеству $\operatorname{gph}(\Phi)$. Вследствие квазизамкнутости отображения $\Phi$ существует пара $(\xi,\mathfrak{y})\in \operatorname{Lim} (x_{i},y_i)$ такая, что $(\xi,\mathfrak{y})\in \operatorname{gph}(\Phi)$. В силу (4.10) также выполнено $(\xi,\mathfrak{y})\in \operatorname{gph}(\Psi)$. Итак, $\xi$ – точка совпадения отображений $\Psi,\Phi$. Для $\xi$ имеет место оценка $\rho_X(x_0,\xi)\leqslant \mathcal{P}_{X,\gamma}(\rho_X(x_0,x_1))$, из которой согласно лемме 4.1 следует оценка (4.7). Также справедливо неравенство $\lim_{i \to \infty}\rho_X(x_0,x_i) \leqslant\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma} ( \rho_X(x_0,x_1) )$, из которого в силу леммы 4.1 получаем оценку (4.8).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда множество $\operatorname{gph}(\Psi)$ является квазиполным, а множество $\operatorname{gph}(\Phi)$ – замкнутым. В этом случае фундаментальная последовательность $\{(x_{i+1},y_i)\}_{i=0}^{\infty}$ принадлежит квазиполному множеству $\operatorname{gph}(\Psi)$. Следовательно, эта последовательность сходится и среди ее пределов существует точка $(\xi,\mathfrak{y})\in \operatorname{gph}(\Psi)$. Последовательность $\{(x_{i},y_i)\}_{i=0}^{\infty}$ принадлежит замкнутому множеству $\operatorname{gph}(\Phi)$, и для ее множества пределов выполнены включение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lim} (x_{i},y_i) \subset \operatorname{gph}(\Phi)
\end{equation*}
\notag
$$
и равенство (4.11). Таким образом, $(\xi,\mathfrak{y})\in \operatorname{gph}(\Phi)$. Итак, $\xi$ – точка совпадения отображений $\Psi$, $\Phi$. Для этой точки также выполнены неравенства (4.7), (4.8).
Доказательство в ситуациях, когда множество $\operatorname{gph}(\Psi)$ замкнуто (квазизамкнуто), а множество $\operatorname{gph}(\Phi)$ квазиполно (полно), с точностью до перестановки отображений $\Psi$ и $\Phi$ повторяет приведенное выше доказательство. Теорема доказана. Замечание 4.1. В теореме 4.1 установлено, что для любых $\varepsilon > 0$, $x_0 \in X$ существует точка совпадения $\xi$ отображений $\Psi,\Phi$, удовлетворяющая неравенствам (4.7), (4.8). Для этой точки $\xi$ можно получить аналогичную оценку расстояния от $y_0$ до элемента $\mathfrak{y}\in \Psi(\xi) \cap \Phi(\xi)$. Этот элемент является пределом последовательности $\{y_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_Y[\gamma]$, $\gamma=\varepsilon+{\alpha}^{-1}{\beta}$. Поэтому справедливы неравенства Замечание 4.2. В теореме 4.1 ослаблены использовавшиеся в [3; теорема 2] и [18; теорема 5.7] требования замкнутости отображения $\Phi$ и полноты по крайней мере одного из графиков отображений $\Psi$ и $\Phi$. Соответствующее предположение заменено условием квазизамкнутости и квазиполноты. Это ослабление существенно. Например, если хотя бы одна последовательность в $X$ имеет неединственный предел, то график тождественного отображения $I_X\colon X\to X$, $x\mapsto I_X(x)=x$, не будет замкнутым и полным. В то же время график тождественного отображения является квазизамкнутым и квазиполным. Это, в частности, позволяет применить теорему 4.1 к исследованию неподвижных точек многозначных отображений. Необходимо отметить, что несмотря на существенные уточнения и ослабления в теореме 4.1 предположений [3; теорема 2] и [18; теорема 5.7], а также максимальную общность рассматриваемых пространств с расстоянием, используемые при ее доказательстве рассуждения близки рассуждениям [3; теорема 2] и [18; теорема 5.7]. Следствие 4.1. Пусть при некотором $\gamma\,{\in}\, [0,\Lambda_X)$ отображение $\Phi\colon X\,{\rightrightarrows}\, X$ является $\gamma$-липшицевым и его график $\operatorname{gph}(\Phi)$ является замкнутым множеством в $X \times X$. Тогда для произвольных $x_0 \in X$ и $\varepsilon > 0$ существует неподвижная точка $\xi\in X$ отображения $\Phi$, удовлетворяющая оценкам § 5. Геометрические прогрессии в $f$-квазиметрических пространствахДля применения теоремы 4.1 к исследованию точек совпадения многозначных отображений необходимо определить характеристики соответствующего пространства $X$: число $\Lambda_X$ и функции $\mathcal{P}_{X,\gamma}$, $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}$, где $\gamma \in [0,\Lambda_X)$. Здесь мы обсудим полезные для вычисления этих характеристик свойства множества $\mathcal{B}_{X}$, предполагая, что пространство $X$ является $f$-квазиметрическим. А далее в § 6 на основании этих результатов будут получены требуемые характеристики конкретных $f$-квазиметрических пространств. Пусть $\mathbf{F}$ – совокупность функций $f\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$, удовлетворяющих условию (2.4). Любые две функции $f,\varphi\in \mathbf{F}$ будем считать эквивалентными и писать $f\sim \varphi$, если для них существует такое $\delta > 0$, что $f(r_1,r_2)=\varphi(r_1,r_2)$ при всех $r_1,r_2\in (0,\delta)$. Обозначим через $\mathcal{F}$ факторпространство $\mathbf{F}/ \sim $ . Через $f\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ будем обозначать и функцию, удовлетворяющую (2.4), и ее класс эквивалентности. Определим в $\mathcal{F}$ отношение порядка, полагая для $f,\varphi\in \mathcal{F}$ справедливым неравенство $f\leqslant \varphi$, если существует такое $\delta > 0$, что $f(r_1,r_2)\leqslant \varphi(r_1,r_2)$ при всех $r_1,r_2\in (0,\delta)$. Обозначим через $\varphi_{\infty}, \varphi_1\in \mathcal{F}$ функции
$$
\begin{equation}
\varphi_{\infty}(r_1,r_2)=\max\{r_1,r_2\}, \qquad \varphi_1(r_1,r_2)=r_1+ r_2.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Для каждого $f \in \mathcal{F}$ определим множество всех пространств $\mathrm{Sp}[f]$, в которых расстояние удовлетворяет неравенству (2.5) с такой функцией $f$. Отметим, что в пространствах, принадлежащих $\mathrm{Sp}[\varphi_1]$, для любых достаточно близких трех точек выполнено “обычное” неравенство треугольника (2.3). Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]} :=\bigcap_{X \in \mathrm{Sp}[f]} \mathcal{B}_{X}; \qquad \Lambda_{\mathrm{Sp}[f]} :=\inf_{X \in \mathrm{Sp}[f]} \Lambda_{X} .
\end{equation*}
\notag
$$
В силу этого определения для заданной функции $f$ при любом $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ (в частности при $\gamma\in [0,\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]})$) в любом $f$-квазиметрическом пространстве геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma$ является фундаментальной. Если же $\gamma \notin \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ (в частности, если $\gamma >\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}$), то существует $f$-квазиметрическое пространство, в котором найдется геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma$, не являющаяся фундаментальной. Для любых $\gamma \in \mathcal{B}_X$ и $r_0 \geqslant 0$ существует пространство $X\in \mathrm{Sp}[f]$, содержащее геометрическую прогрессию $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_X [\gamma]$, для которой $\rho_X(x_0,x_1)=r_0$. Необходимым и достаточным условием существования в пространстве $X$ такой геометрической прогрессии является включение $r_0 \in \mathcal{D}_X $, где множество $\mathcal{D}_X $ определено формулой (3.3), т.е. $X$ должно содержать хотя бы одну пару таких точек $x_0,x_1$, что $\rho_X(x_0,x_1)=r_0$. Определим функцию $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}\colon \mathbb{R}_+ \to \overline{\mathbb{R}}_+,$ которая каждому $r_0 \geqslant 0$ ставит в соответствие значение
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma} (r_0) := \sup \bigl\{ \overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma} (r_0) \colon X\in \mathrm{Sp}[f], \mathcal{D}_X \ni r_0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(ниже в следствии 5.1 мы покажем, что определенная здесь для класса $\mathrm{Sp}[f]$ пространств функция $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma} $ не может принимать значение $+\infty$, в отличие от рассмотренной выше для произвольного пространства $X$ функции $\overline{\mathcal{P}}_{X,\gamma}$). Аналогично для любых $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ и $r_0 \geqslant 0$ существует пространство $X\in \mathrm{Sp}[f]$, в которое вложена сходящаяся геометрическая прогрессия $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}\in \mathrm{GP}_X^{\mathrm{con}} [\gamma]$ такая, что $\rho_X(x_0,x_1)=r_0$. Для такого пространства выполнено включение $r_0 \in \mathcal{D}_X $. Это позволяет определить функцию $\mathcal{P}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}\colon \mathbb{R}_+ \to \overline{\mathbb{R}}_+$ соотношением
$$
\begin{equation*}
\forall\, r_0 \in \mathbb{R}_+ \quad {\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma} (r_0) :=\sup \bigl\{ {\mathcal{P}}_{X,\gamma} (r_0) \colon X\in \mathrm{Sp}[f], \mathcal{D}_X \ni r_0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим также совокупность $\mathrm{Sp}^s[f]$ всех слабо симметрических пространств, в которых расстояние удовлетворяет неравенству (2.5) с функцией $f\in \mathcal{F}$, и для этой совокупности аналогично введенным выше понятиям определим $\mathcal{B}_{Sp^s}[f]$, $\Lambda_{\mathrm{Sp^s}[f]}$, ${\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}^s[f],\gamma}$ и $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}^s[f],\gamma}$ (в частности, $\mathcal{B}_{Sp^s}[f]:=\bigcap_{X \in \mathrm{Sp^s}[f]} \mathcal{B}_{X}$). Очевидно, справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{Sp}^s[f] \subset \mathrm{Sp}[f], \qquad \mathcal{B}_{Sp^s}[f]\supset \mathcal{B}_{Sp}[f], \qquad \Lambda_{\mathrm{Sp^s}[f]} \geqslant \Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}, \\ \forall\, r_0 \geqslant 0 \quad {\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}^s[f],\gamma}(r_0) \leqslant {\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0), \qquad \overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}^s[f],\gamma} (r_0) \leqslant \overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[\varphi]} $. Рассмотрим произвольное пространство $X\in \mathrm{Sp}[f]$ и в нем – любую геометрическую прогрессию $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ со знаменателем $\gamma$. Для расстояния в $X$ и функции $f$ выполнено неравенство (2.5), а поскольку $f \leqslant \varphi$, то в $X$ справедливо такое же неравенство с функцией $\varphi$. Следовательно, $X\in \mathrm{Sp}[\varphi]$ и последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ является фундаментальной. Таким образом, $\gamma \in \mathcal{B}_{ X }$. Так как это включение верно для произвольного пространства $X\in \mathrm{Sp}[f]$, получаем $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$.
Для слабосимметрических пространств доказательство полностью повторяет приведенные рассуждения. Предложение доказано. Далее будем рассматривать $f$-квазиметрические пространства, предполагая, что выполнено следующее условие: $\mathbf{(\mathfrak{F})}$ функция $f$ удовлетворяет соотношениям (2.4), возрастает (нестрого) по обоим аргументам и
$$
\begin{equation}
f(r_1,r_2)\geqslant \varphi_{\infty}(r_1,r_2) \quad\textit{при всех } \ (r_1,r_2)\in \mathbb{R}_+^{2},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где функция $\varphi_{\infty}$ задана формулой (5.1). Замечание 5.1. Неравенство (5.2) вполне естественно, если оно нарушено, то $f$-метрическое пространство $X$ (с симметричным расстоянием $\rho_X$) не может содержать более двух элементов. Действительно, пусть существуют $d_1\geqslant d_2 > 0$ такие, что $f(d_1,d_2)< \varphi_{\infty}(d_1,d_2)=d_2$, и существуют $x,u,v\in X$ такие, что $\rho_X(x,u)=\rho_X(u,x)=d_1$, $\rho_X(u,v)=\rho_X(v,u)=d_2$. Тогда получаем но последнее неравенство означает $d_1<d_1$, что невозможно. Предложение 5.2. Для любой функции $f$, удовлетворяющей условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$, выполнено $1\notin \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$, $1\notin \mathcal{B}_{\mathrm{Sp^s}[f]}$ (и поэтому $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}\leqslant 1$, $\Lambda_{\mathrm{Sp^s}[f]}\leqslant 1$). Доказательство. Определим на счетном множестве $X$ расстояние между любыми разными элементами равным 1. Любая последовательность элементов этого пространства есть геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma=1$ и не является фундаментальной. Следовательно, $1\notin \mathcal{B}_{X}$. Но рассмотренное пространство $X$ является $\varphi_{\infty}$-метрическим пространством, и поэтому для любой функции $f$, удовлетворяющей условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$, выполнено $X\in \mathrm{Sp}[f]$ и $X\in \mathrm{Sp^s}[f]$. Отсюда получаем требуемое утверждение. Замечание 5.2. При доказательстве предложения 5.2 определено пространство $X$ такое, что $X\in \mathrm{Sp}[f]$ и $X\in \mathrm{Sp^s}[f]$ для любой удовлетворяющей условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$ функции $f$. Следовательно, $\mathrm{Sp}[f] \neq \varnothing$ и $\mathrm{Sp^s}[f]\neq \varnothing$, причем в $\mathrm{Sp}[f]$ и $\mathrm{Sp^s}[f]$ содержатся в том числе и пространства со счетным множеством элементов. Другие “не столь тривиальные” $f$-метрические пространства со счетным множеством элементов будут рассмотрены ниже. Пусть заданы функция $f\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ и числа $\gamma\geqslant 0$, $r_0>0$. Определим пространство, которое будем далее использовать при проверке включения $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ для конкретных $f$, $\gamma $. Рассмотрим счетное множество $X=\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$. Будем обозначать расстояние $\rho_X$ от элемента $x_i$ до элемента $x_{i+k}$ через $d_{i,k}$ ($i=0,1,\dots$, $k=1,2,\dots$), а от элемента $x_i$ до элемента $x_{i-j}$ – через $d_{i,-j}$ ($i=1,2,\dots$, $j=1,\dots,i$). Для любых $i=0,1,\dots$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d_{i,1}:=r_0 \gamma^i, \qquad d_{i,2}:=f(d_{i,1}, d_{i+1,1}), \\ d_{i,k}:=\min\bigl\{ f(d_{i,1}, d_{i+1,k-1}),f(d_{i,2}, d_{i+2,k-2}),\dots, f(d_{i,k-1}, d_{i+k-1,1}) \bigr\}, \\ k=3,4,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Аналогично определим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, d_{i,-1}:=r_0 \gamma^i, \quad i=1,2,\dots, \qquad d_{i,-2}:=f(d_{i,-1}, d_{i-1,-1}), \quad i=2,3,\dots, \\ d_{i,-k}:=\min\bigl\{ f(d_{i,-1}, d_{i-1,-k+1}), f(d_{i,-2}, d_{i-2,-k+2}), \dots,f(d_{i,-k+1}, d_{i-k+1,-1}) \bigr\}, \\ i=3,4,\dots, \quad k=-1,-2,\dots, -i. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Пространство $(X,\rho_X)$ с расстоянием
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho_X (x_i,x_{i+k}):=d_{i,k}, \qquad i=0,1,\dots, \quad k=1,2,\dots, \\ \rho_X (x_i,x_{i-k}):=d_{i,-k}, \qquad i=1,2,\dots, \quad k=1,\dots,i , \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где числа $d_{i,k}$, $d_{i,-k}$ заданы рекуррентными соотношениями (5.3), (5.4), обозначим через $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$. Ниже будет показано, что включение $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ равносильно включению $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]}$ при любом $r_0\in \mathbb{R}_+. $ Это позволит в исследовании фундаментальности геометрических прогрессий использовать пространство $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$ как модельное для всего класса $\mathrm{Sp}[f]$. Для доказательства соответствующих утверждений о множестве $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ нам потребуется следующее свойство последовательностей, определенных соотношениями (5.3) и (5.4). Лемма 5.1. Пусть функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$. Тогда при любом $i=0,1,\dots$ последовательность $\{d_{i,k}\}_{k=1}^{\infty}$ возрастает; при любом $i=1,2,\dots$ конечные последовательности $\{d_{i,-k}\}_{k=1}^{i}$, $\{d_{i-k,k}\}_{k=1}^{i}$ также возрастают. Доказательство. Вначале докажем, что при любом фиксированном $i=0,1,\dots$ последовательность $\{d_{i,k}\}_{k=1}^{\infty}$ возрастает. Используем индукцию по $k$.
В силу определения $d_{i,2}$ получаем
$$
\begin{equation*}
d_{i,2}=f(d_{i,1}, d_{i+1,1})\geqslant \varphi_{\infty}(d_{i,1}, d_{i+1,1})\geqslant d_{i,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что любом $i$ для некоторого натурального $k>2$ выполнено
$$
\begin{equation*}
d_{i,1}\leqslant d_{i,2} \leqslant \dots \leqslant d_{i,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что $d_{i,k}\leqslant d_{i,k+1}$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_{i,k+1} &=\min\bigl\{ f(d_{i,1}, d_{i+1,k}), f(d_{i,2}, d_{i+2,k-1}), \\ &\qquad\qquad \dots, f(d_{i,k-1}, d_{i+k-1,2}), f(d_{i,k}, d_{i+k,1}) \bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Если минимум в (5.6) достигается на значении $f(d_{i,k}, d_{i+k,1})$, то
$$
\begin{equation*}
d_{i,k+1}=f(d_{i,k}, d_{i+k,1})\geqslant \varphi_{\infty}(d_{i,k}, d_{i+k,1})\geqslant d_{i,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть минимум в (5.6) достигается на любом из значений $f(d_{i,j}, d_{i+j,k+1-j})$, где $j<k$. Сравним в этом случае значение (5.6) со значением $d_{i,k}$, определяемым формулой (5.3). В силу возрастания функции $f$ из предположений индукции следуют неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(d_{i,1}, d_{i+1,k})\geqslant f(d_{i,1}, d_{i+1,k-1}), \\ f(d_{i,2}, d_{i+2,k-1}) \geqslant f(d_{i,2}, d_{i+2,k-2}), \\ \dots, \\ f(d_{i,k-1}, d_{i+k-1,2}) \geqslant f(d_{i, k-1}, d_{i+k-1,1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, и в этом случае выполнено $d_{i,k+1} \geqslant d_{i,i+k}$.
Теперь покажем, что при любом $i=1,2, \dots $ конечная последовательность $\{d_{i,-k}\}_{k=1}^i$ является возрастающей. Используем индукцию по $k$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_{i,-2}=f(d_{i,-1}, d_{i-1,-1}) \geqslant \varphi_{\infty} (d_{i,-1}, d_{i-1,-1})\geqslant d_{i,-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что при любом $i> 2$ для некоторого натурального $k\in[2,i-1]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
d_{i, -1}\leqslant d_{i, -2} \leqslant \dots \leqslant d_{i, -k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что выполнено неравенство $d_{i, -k-1} \geqslant d_{i,-k}$. Согласно (5.4) имеем
$$
\begin{equation}
d_{i,-k-1}=\min\bigl\{ f(d_{i,-1}, d_{i-1,-k}), f(d_{i,-2}, d_{i-2,-k+1}),\dots, f(d_{i,-k}, d_{i-k,-1}) \bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Если минимум в (5.7) достигается на значении $f(d_{i,-k}, d_{i-k,-1}) $, то это неравенство очевидно:
$$
\begin{equation*}
d_{i, -k-1}=f(d_{i,-k}, d_{i-k,-1}) \geqslant \varphi_{\infty}(d_{i,-k}, d_{i-k,-1})\geqslant d_{i,-k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь минимум в (5.7) совпадает с $f(d_{i,-j}, d_{i-j,-k-1+j})$ при некотором $j<k$. Сравним в этом случае значение $d_{i,-k-1}$ со значением $d_{i,-k}$ (которое, напомним, определяется формулой (5.4)). Из предположений индукции вследствие возрастания функции $f$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(d_{i,-1}, d_{i-1,-k}) \geqslant f(d_{i,-1}, d_{i-1,-k+1}), \\ f(d_{i,-2}, d_{i-2,-k+1}) \geqslant f(d_{i,-2}, d_{i-2,-k+2}), \\ \dots , \\ f(d_{i,-k+1}, d_{i-k+1,-2}) \geqslant f(d_{i,-k+1}, d_{i-k+1,-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, и в этом случае неравенство $d_{i, -k-1}\geqslant d_{i,-k}$ выполнено. Итак, конечная последовательность $\{d_{i,-k}\}_{k=1}^i$ является возрастающей.
В заключение покажем, что конечная последовательность $\{d_{i-k,k}\}_{k=1}^{i}$ также возрастает. Вновь используем индукцию по $k$. Имеем
$$
\begin{equation*}
d_{i-2,2}=f(d_{i-2,1}, d_{i-1,1}) \geqslant \varphi_{\infty} (d_{i-2,1}, d_{i-1,1})\geqslant d_{i-1,1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что при любом $i> 2$ для некоторого натурального $k\in[2,i-1]$ выполнено
$$
\begin{equation*}
d_{i-1, 1}\leqslant d_{i-2,2} \leqslant \dots \leqslant d_{i-k, k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что выполнено неравенство $d_{i-k-1, k+1} \geqslant d_{i-k,k}$. Напомним,
$$
\begin{equation}
d_{i-k ,k} =\min\bigl\{ f(d_{i-k,1}, d_{i-k+1,k-1}), f(d_{i-k,2}, d_{i-k+2,k-2}), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\dots, f(d_{i-k,k-1}, d_{i-1,1}) \bigr\},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
$$
\begin{equation}
d_{i-k-1,k+1} =\min\bigl\{ f(d_{i-k-1,1}, d_{i-k,k}), f(d_{i-k-1,2}, d_{i-k+1,k-1}), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad \dots, f(d_{i-k-1,k}, d_{i-1,1}) \bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Покажем, что выполнено неравенство $d_{i-k-1, k+1} \geqslant d_{i-k,k}$. Если минимум в (5.9) достигается на значении $f(d_{i-k-1,1}, d_{i-k,k}) $, то это неравенство следует из соотношений
$$
\begin{equation*}
d_{i-k-1, k+1}=f(d_{i-k-1,1}, d_{i-k,k}) \geqslant \varphi_{\infty} (d_{i-k-1,1}, d_{i-k,k})\geqslant d_{i-k,k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть минимальным значением в (5.9) является $f(d_{i-k-1,j}, d_{i-k-1+j,k+1-j})$ при некотором $j<k$. Из предположений индукции вследствие возрастания функции $f$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f(d_{i-k-1,2}, d_{i-k+1,k-1}) \geqslant f(d_{i-k,1}, d_{i-k+1,k-1}), \\ f(d_{i-k-1,3}, d_{i-k+2,k-2}) \geqslant f(d_{i-k,2}, d_{i-k+2,k-2}), \\ \dots , \\ f(d_{i-k-1,k}, d_{i-1,1}) \geqslant f(d_{i-k,k-1}, d_{i-1,1}) \bigr\} . \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая эти неравенства, из соотношений (5.8), (5.9) получаем $d_{i-k-1, k+1} \geqslant d_{i-k,k}$, и, таким образом, конечная последовательность $\{d_{i-k, k}\}_{k=1}^i$ является возрастающей. Лемма 5.1 доказана. Предложение 5.3. Пусть функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$. Тогда $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]\in {\mathrm{Sp}[f]}$ при любых $\gamma \geqslant 0$ и $r_0>0$. Доказательство. Проверим, что для расстояния (5.5) выполнено неравенство (2.5) с заданной функцией $f$.
Для произвольных точек $x_i, x_{i+j}, x_{i+k}$, если $0 < j < k$, то в силу определения значений $d_{i,i+k}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\rho_X(x_i,x_{i+k}) \leqslant f(\rho_X(x_i,x_{i+j}), \rho_X(x_{i+j},x_{i+k})).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $j > k$, то вследствие монотонности при фиксированном $i$ последовательности $\{d_{i,k}\}_{k=1}^{\infty}$ (см. лемму 5.1) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f (\rho_X(x_i,x_{i+j}), \rho_X(x_{i+j},x_{i+k})) &=f(d_{i,j},d_{i+j,-j+k})\geqslant \varphi_{\infty}(d_{i,j},d_{i+j,-j+k}) \\ &\geqslant d_{i,j} \geqslant d_{i,k}=\rho_X(x_i,x_{i+k}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для точек $x_i, x_{i-j}, x_{i+k}$ при $0<j\leqslant i$ в силу леммы 5.1 справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f (\rho_X(x_i,x_{i-j}), \rho_X(x_{i-j},x_{i+k}))=f(d_{i,-j},d_{i-j,j+k})\geqslant \varphi_{\infty}(d_{i,-j},d_{i-j,j+k}) \\ &\qquad \geqslant d_{i-j,j+k}=d_{i+k-j-k, j+k} \geqslant d_{i+k-k,k}=d_{i,k}=\rho_X(x_i,x_{i+k}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично с использованием леммы 5.1 доказывается, что при всех $i$, $j$, $k$ выполнено Итак, $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]\in {\mathrm{Sp}[f]}$. Предложение доказано.Следующее утверждение показывает, что $f$-квазиметрика (5.5) максимальна в случае, когда числа $d_{i,k}$ заданы соотношением (5.3), т.е. при увеличении этих чисел $f$-неравенство треугольника (2.5) нарушается. Чтобы сформулировать это утверждение, определим отношения эквивалентности и порядка на всевозможных расстояниях фиксированного множества $X$. Итак, пусть на произвольном множестве $X$ заданы два расстояния $\rho_X,\varrho_X$: $X^2 \to \mathbb{R}_+$. Будем полагать эти расстояния эквивалентными $\varrho_X \sim \rho_X$, если существует такое $\sigma>0$, что при всех $x,u \in X$ таких, что $\varrho_X(x,u)<\sigma $ или $\rho_X(x,u)<\sigma$, выполнено $\varrho_X(x,u)=\rho_X(x,u)$. Класс расстояний, эквивалентных заданному расстоянию $\rho_X$, будем обозначать также через $\rho_X$. Будем считать $\varrho_X \leqslant \rho_X $, если существует такое $\sigma>0$, что при всех $x,u \in X$ таких, что $\rho_X(x,u)<\sigma $, выполнено $\varrho_X(x,u)\leqslant \rho_X(x,u)$. Предложение 5.4. Пусть функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$. Пусть числа $d_{i,k}$, $d_{i,-k}$ заданы рекуррентными соотношениями (5.3), (5.4) и $f$-квазиметрика $\rho_X$ на пространстве $X=\{ x_i\}_{i=0}^{\infty}$ определена формулами (5.5). Если на $X$ задано еще одно расстояние $\varrho_X\colon X^2 \to \mathbb{R}_+$ такое, что $\varrho_X \nleq \rho_X$ и $\varrho_X(x_i,x_{i+1}) \leqslant d_{i,1}$, $\varrho_X(x_{i+1},x_{i})\leqslant d_{i+1,-1}$ при всех $i=0,1, \dots$, то это расстояние не удовлетворяет $f$-неравенству треугольника (2.5). Доказательство. Неравенство $\varrho_X \nleq \rho_X$ означает, что
$$
\begin{equation*}
\forall\, \sigma >0 \quad \exists\, x,u \in X \quad \rho_X(x, u)< \sigma, \quad \varrho_X(x, u) > \rho_X(x, u).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $X=\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$, то можно выбрать натуральные $k,i$ такие, что
$$
\begin{equation}
\rho_X(x_i, x_{i+k})< \sigma, \quad \varrho_X(x_i, x_{i+k}) > \rho_X(x_i, x_{i+k})
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
или
$$
\begin{equation*}
\rho_X(x_i, x_{i-k})< \sigma, \quad \varrho_X(x_i, x_{i-k}) > \rho_X(x_i, x_{i-k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для определенности будем полагать, что выполнены соотношения (5.10). Зафиксируем наименьшее $k=k_0$, для которого найдется натуральное $i$ такое, что выполнено (5.10). Заметим, что $k_0\geqslant 2$, так как при всех $i=0,1, \dots$ по условию доказываемого утверждения выполнено $\varrho_X(x_i,x_{i+1})\leqslant \rho_X(x_i,x_{i+1})$.
Поскольку последовательность $\{d_{i,k}\}_{k=1}^{\infty} $ является возрастающей (см. лемму 5.1), при всех $k<k_0$ выполнено $d_{i,k}\leqslant d_{i,k_0}$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\rho_X(x_{i}, x_{i+k}) \leqslant \rho_X(x_{i}, x_{i+k_0})< \sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
А так как $k_0$ – наименьшее из значений $k$, обеспечивающих выполнение (5.10), для всех $k<k_0$ имеет место еще и неравенство
$$
\begin{equation*}
\varrho_X(x_{i}, x_{i+k}) \leqslant \rho_X(x_{i}, x_{i+k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно формуле (5.3) выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\rho_X(x_{i}, x_{i+k_0})=d_{i, k_0} \\ &\qquad =\min\bigl\{ f(d_{i,1}, d_{i+1,k_0-1}), f(d_{i,2}, d_{i+2,k_0-2}),\dots,f(d_{i,k_0-1}, d_{i+k_0-1,1}) \bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому существует $k\in [1, k_0-1]$ такое, что $ d_{i, k_0}=f(d_{i,k}, d_{i+k,k_0-k})$. Следовательно, в силу (5.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\varrho_X (x_{i}, x_{i+k_0}) > d_{i, k_0}=f(d_{i,k}, d_{i+k,k_0-k}) \geqslant f(\varrho_X(x_i, x_{i+k}), \varrho_X(x_{i+k},x_{i+k_0})).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, для любого $\sigma>0$ найдены элементы $x_{i},x_{i+k}, x_{i+k_0}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varrho_X(x_{i}, x_{i+k_0})> f( \varrho_X(x_{i}, x_{i+k}),\varrho_X(x_{i+k}, x_{i+k_0}), \\ \varrho_X(x_{i}, x_{i+k})\leqslant \rho_X(x_{i}, x_{i+k})\leqslant \rho_X(x_{i}, x_{i+k_0}) <\sigma, \\ \begin{aligned} \, \varrho_X(x_{i+k}, x_{i+k_0}) &\leqslant \rho_X(x_{i+k}, x_{i+k_0}) =d_{(i+k_0)-(k_0 -k),k_0 -k} \\ &\leqslant d_{(i+k_0)-k_0,k_0}=\rho_X(x_{i}, x_{i+k_0}) <\sigma \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее третье соотношение следует из возрастания при любом $i$ конечной последовательности $\{d_{i-n,n}\}_{n=1}^{i}$, см. лемму 5.1). Таким образом, расстояние $\varrho_X $ не удовлетворяет $f$-неравенству треугольника (2.5). Предложение доказано. Замечание 5.3. В доказательстве предложения 5.4 существенно используется следующее свойство расстояния $\varrho_X$: Иначе можно было бы определить отображение $\varrho_X\colon X^2 \to \mathbb{R}_+$, $\varrho_X \nleq \rho_X$, удовлетворяющее $f$-неравенству треугольника. Действительно, достаточно для $x_0 \in X$ положить $\varrho_X (x_0,x_0)=1$, а для любой пары $(x,u)\in X^2$, отличной от пары $(x_0,x_0)$, положить $\varrho_X (x,u)=\rho_X(x,u)$. Однако в доказательстве предложения 5.4 не используется вторая часть аксиомы расстояния: если $\varrho_X (x,u)=0$, то $x=u$. Таким образом, утверждение предложения 5.4 остается верным, если отображение $\varrho_X\colon X^2 \to \mathbb{R}_+$ удовлетворяет не всей аксиоме тождества (2.1), а лишь соотношению (5.11) (т.е. является “полурасстоянием”, а не расстоянием). Следствие 5.1. Если функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$, то при любых $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ и $r_0 \geqslant 0$ выполнено $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0)< \infty$. Доказательство. Для $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ и $r_0 \geqslant 0$ рассмотрим произвольное пространство $(U,\varrho_U)\in \mathrm{Sp}[f]$, содержащее последовательность $\{u_i\}_{i=0}^{\infty}\subset \mathrm{GP}_U [\gamma]$ такую, что $\varrho_U(u_0,u_1)=r_0$. Рассмотрим также пространство $X=\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]=\{x_i\}_{i=0}^{\infty} $ с $f$-квазиметрикой $\rho_X$, заданной формулами (5.5). Так как последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ фундаментальная относительно расстояния $\rho_X$, существует натуральное $I$ такое, что для любого натурального $k$ справедливо неравенство $\rho_X(x_I, x_{I+k})\leqslant 1$.
Определим отображение $\varrho_X\colon X^2 \to \mathbb{R}_+$ соотношением $\varrho_X(x_i,x_j)=\varrho_U(u_i,u_j)$, $i,j=0,1,\dots$ . Это отображение является “полурасстоянием” в $X$, т.е. для него справедливо (5.11), и для него также выполнено $f$-неравенство треугольника (2.5). В силу предложения 5.4 с учетом замечания 5.3 имеем
$$
\begin{equation*}
\varrho_U(u_0, u_{I+k})=\varrho_X(x_0, x_{I+k}) \leqslant \rho_X(x_0, x_{I+k})\leqslant f(\rho_X(x_0, x_{I}), 1 ), \qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\overline{\mathcal{P}}_{U}(r_0)\leqslant f(\rho_X(x_0, x_{I}), 1 )< \infty$ для любого пространства $U\in \mathrm{Sp}[f]$, содержащего требуемые геометрические прогрессии. Замечание 5.4. Из приведенного доказательства следствия 5.1 следует не только конечность значения $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0)$, но и формула для его нахождения Максимальность расстояния в пространстве $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$, установленная в предложении 5.4, позволяет использовать это пространство в качестве модельного не только для вычисления значения $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0)$, но также для нахождения множества $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Для формулировки соответствующего утверждения потребуется следующее свойство множества $\mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]}$. Лемма 5.2. Пусть функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$. Тогда для выполнения включения $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]}$ при всех $r_0 > 0 $ достаточно, чтобы это включение было выполненным при одном любом конкретном значении $r_0> 0 $. Доказательство. Выберем произвольное $r_0 > 0 $ и покажем, что включение $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]}$ выполнено тогда и только тогда, когда $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$ (и тем самым, очевидно, докажем требуемое утверждение).
Пусть вначале $r_0 \geqslant 1$. Рассмотрим пространства
$$
\begin{equation*}
X=\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]=\{x_i\}_{i=0}^{\infty}, \qquad \overline{X}=\mathcal{X}[f,\gamma,1]=\{\overline{x}_i\}_{i=0}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ фундаментальная (для этого необходимо, чтобы $\gamma < 1$, см. предложение 5.2). При любом $i=0,1,\dots$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\rho_{X}(x_i,x_{i+1})=r_0 \gamma^i \geqslant \gamma^i=\rho_{\overline{X}}(\overline{x}_i,\overline{x}_{i+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу возрастания функции $f$ из определения расстояний $\rho_{X}$ и $\rho_{\overline{X}}$ соотношениями (5.3)–(5.5) следует, что при любых $i=0,1,\dots$, $k=1,2,\dots$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\rho_X (x_i,x_{i+k}) \geqslant \rho_{\overline{X}} (\overline{x}_i,\overline{x}_{i+k}),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому последовательность $\{\overline{x}_i\}_{i=0}^{\infty}$ является фундаментальной.
Теперь пусть последовательность $\{\overline{x}_i\}_{i=0}^{\infty}$ фундаментальная. Тогда (см. предложение 5.2) $\gamma < 1$ и существует такое натуральное $I$, что $r_0 \gamma^{I}\leqslant 1$. При любом $i=0,1,\dots$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\rho_{X}(x_{i+I},x_{i+I+1})=r_0 \gamma^{i+I} \leqslant \gamma^i=\rho_{\overline{X}}(\overline{x}_i,\overline{x}_{i+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу возрастания функции $f$ из определения расстояний $\rho_{X}$ и $\rho_{\overline{X}}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\rho_X (x_{i+I},x_{i+I+k})\leqslant \rho_{\overline{X}} (\overline{x}_i,\overline{x}_{i+k}), \qquad i=0,1,\dots, \quad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ является фундаментальной.
В ситуации $r_0 < 1$ доказательство проводится аналогично. Лемма доказана. Теорема 5.1. Пусть функция $f$ удовлетворяет условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$. Тогда включение $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ равносильно включению $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$. Доказательство. Пусть $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Согласно определению совокупности $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ для любого пространства $X \in \mathrm{Sp}[f]$ выполнено $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]} \subset \mathcal{B}_{X}$, в частности $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]} \subset \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$ (напомним, что согласно предложению 5.3 имеет место включение $\mathcal{X}[f,\gamma,1] \in \mathrm{Sp}[f]$). Следовательно, $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$.
Пусть теперь $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$. Рассмотрим произвольное пространство $(U,\varrho_U)\in \mathrm{Sp}[f]$ и в нем любую геометрическую прогрессию $\{u_i\}_{i=0}^{\infty}\subset U$ со знаменателем $\gamma $ и некоторым $r_0=\varrho_U(u_0,u_1)$. Определим подпространство $V=\{u_i\}_{i=0}^{\infty} \subset U$ с индуцированным расстоянием $\varrho_V$. Так как $V\in \mathrm{Sp}[f]$, в силу предложения 5.4 для этого индуцированного расстояния имеем $\varrho_V \leqslant \rho_V$, где $\rho_V$ – это $f$-квазиметрика, определенная формулами (5.5) на том же множестве $V$. Пространство $(V,\rho_V)$ изометрично пространству $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$. Согласно лемме 5.2 $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathcal{X}[f,\gamma,1]}$, и поэтому $\gamma\in \mathcal{B}_{(V,\rho_V)}$. Так как геометрическая прогрессия $\{u_i\}_{i=0}^{\infty}$ является фундаментальной относительно расстояния $\rho_V$, то последовательность $\{u_i\}_{i=0}^{\infty}$ является фундаментальной и относительно расстояния $\varrho_V$. Итак, $\gamma\in \mathcal{B}_{U}$ для любого пространства $U\in \mathrm{Sp}[f]$, таким образом, $\gamma\in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Теорема доказана. Доказанная теорема в следующей равносильной формулировке дает удобный инструмент проверки фундаментальности геометрических прогрессий в $f$-квазиметрических пространствах. Теорема $5.1'$. Для заданной удовлетворяющей условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$ функции $f$ в любом $f$-квазиметрическом пространстве все геометрические прогрессии со знаменателем, не превосходящим $\gamma$, будут фундаментальными тогда и только тогда, когда фундаментальной является последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ в пространстве $\mathcal{X}[f,\gamma,1]= \{x_i\}_{i=0}^{\infty}$. § 6. Нахождение $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}$, $\mathcal{P}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}$ и $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}$ в конкретных классах $f$-квазиметрических пространствИспользуя результаты предыдущего параграфа, продемонстрируем на примерах, как можно определить $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}$, $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ при конкретных $f\in \mathcal{F}$ (в том числе для линейной и степенной функций). В приводимых примерах также будут даны оценки значений функций $\mathcal{P}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma} $ и $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}$ при $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Кроме того, мы покажем, что для достаточно широкого класса функций $f \in \mathcal{F}$ в соответствующих $f$-квазиметрических пространствах имеет место “правило 0 или 1”, т.е. значениями $\Lambda_X $ являются только 0 и 1. Пример 6.1. Рассмотрим линейную функцию $f\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ с коэффициентами $q_1\geqslant 1$, $q_2\geqslant 1$, определяемую соотношением Также из результатов [18] прямо следует, что для $(q_1,q_2)$-квазиметрического пространства справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0)\leqslant \frac{q_1^2 S(q_2\gamma, m_0 -1)+ q_1 (q_2\gamma)^{m_0 -1}}{1-q_2 \gamma^{m_0}}r_0,
\end{equation*}
\notag
$$
а для слабо симметрического $(q_1,q_2)$-квазиметрического пространства – еще и оценка где Пример 6.2. Пусть задана возрастающая функция $f_1\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ такая, что $f_1(r)\geqslant r$ при всех $r\in \mathbb{R}_+$ и $f_1(r)\to 0$ при $r\to 0$. Определим функцию $f\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ формулой Из неравенства (6.1) для пространства $(X,\rho_X)\in \mathrm{Sp}[f]$ следует оценка
$$
\begin{equation*}
\forall\, n \in \mathbb{N} \quad \rho_X (x_{0},x_{n})\leqslant f_1(r_0) \quad\Longrightarrow\quad \overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma }(r_0)\leqslant f_1(r_0).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае слабо симметрического пространства $X \in \mathrm{Sp}^s[f]$, если множество $\operatorname{Lim} x_i$ пределов рассматриваемой фундаментальной последовательности не пусто, для $\xi\in \operatorname{Lim} x_i$ имеем $\rho_X(\xi,x_i)\to 0$ и $\rho_X(x_i,\xi)\to 0$. Тогда из $f$-неравенства треугольника получаем Следовательно, Пример 6.3. Пусть функция $f_2\colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ возрастает, $f_2(r)\geqslant r$ при всех $r\in \mathbb{R}_+$ и $f_2(r)\to 0$ при $r\to 0$. Используя рассуждения, аналогичные приведенным в примере 6.2, покажем, что для функции Далее, при любом $i=3,4,\dots$ имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_X (x_{0},x_{i}) &\leqslant \max\bigl\{ \dots \max\{ \max\{ r_0,f_2(r_0\gamma)\}, f_2(r_0\gamma^2)\}, \dots , f_2(r_0\gamma^{i-1})\bigr\} \\ &=\max \bigl\{r_0, f_2(r_0\gamma), f_2(r_0\gamma^2) ,\dots, f_2(r_0\gamma^{i-1})\bigr\} =\max \{ r_0, f_2(r_0\gamma)\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует оценка
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0)\leqslant \max\{ r_0, f_2(r_0\gamma)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для произвольного $\xi\in \operatorname{Lim} x_i$ из $f$-неравенства треугольника получаем Следовательно, в случае $X \in {Sp^s}[f]$ выполнено $\rho_X(x_0,\xi)\leqslant \max\{ r_0, f_2(r_0\gamma)\}$, поэтому Пример 6.4. Покажем, что при любом $\eta\in (0,1]$ для функции Также из (6.4) для любого пространства $(X,\rho_X) \in {Sp}[f]$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\, n \in \mathbb{N} \quad \rho_X (x_{0},x_{n})\leqslant \frac{r_0^{\eta}}{1-\gamma^{\eta}} + r_0\gamma^{ n-1}, \\ \forall\, \xi\,{\in}\, X \quad \rho_X(x_0,\xi)\,{\leqslant}\, f(\rho_X(x_0,x_n),\rho_X(x_n,\xi))\,{\leqslant}\, \biggl(\frac{r_0^{\eta}}{1\,{-}\,\gamma^{\eta}} \,{+}\, r_0\gamma^{n-1}\biggr)^\eta \,{+}\, \rho_X(x_n,\xi). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Пример 6.5. Пусть $\eta\in (0,1]$ и функция $f$ задана формулой Согласно неравенству (6.5) для любого $X\in \mathrm{Sp}[f]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\forall\, i=3,4,\dots \quad \rho_X (x_{0},x_{i}) \leqslant r_0 + \frac{r_0^{\eta} \gamma^{\eta }}{1-\gamma^{\eta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует оценка
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}(r_0) \leqslant r_0 + \frac{r_0^{\eta} \gamma^{\eta }}{1-\gamma^{\eta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, из $f$-неравенства треугольника для произвольного $\xi\in X$ получаем Если $\xi\in \operatorname{Lim} x_i$, в случае $X \in \mathrm{Sp}^s[f]$ выполнено $\rho_X(x_i,\xi) \to 0$, следовательно, Полученные в примерах 6.1–6.5 оценки значений $\overline{\mathcal{P}}_{\mathrm{Sp}[f],\gamma}^{}(r_0)$ и $\mathcal{P}_{\mathrm{Sp^s}[f], \gamma}(r_0)$ для $f$-квазиметрических пространств при различных функциях $f$ представлены в табл. 1. Таблица 1.
Для рассмотренных в примерах 6.1–6.5 $f$-квазиметрических пространств выполнено $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}=\mathcal{B}_{\mathrm{Sp^s}[f]}=[0,1)$. Приведем теперь пример такой функции $f$, что для соответствующего $f$-квазиметрического пространства множество $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ отлично от интервала $[0,1)$. Пример 6.6. Пусть функция $f$ задана формулой где показатель степени $\eta\in (0,2^{-1}]$. Покажем, что в этом случае $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}=\{0\}$. Возьмем произвольные $\gamma \in (0,1)$, $r_0>0$ и покажем, что геометрическая прогрессия $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ в пространстве $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$ не является фундаментальной. Так как $\gamma < 1$, начиная с некоторого номера выполнено $\rho_X(x_i,x_{i+1})<1$. Будем считать, что прогрессия начинается с этого номера, т.е. без ограничения общности полагаем, что $r_0 <1$. Докажем что при любых $i=0,1,\dots$, $m=1,2,\dots$, $k=2^{m-1}+1,\dots, 2^m$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\rho(x_i,x_{i+k})\geqslant r_0^{\eta^m}\gamma^{(i+k)\eta^{m}}.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Воспользуемся индукцией по $m$. Для любого $i$ при $m=1$ имеем $k=2$,
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2})=\max\bigl\{r_0^{\eta}\gamma^{i\eta},r_0^{\eta}\gamma^{(i+1)\eta} \bigr\} =r_0^{\eta}\gamma^{i\eta}>r_0^{\eta}\gamma^{(i+2)\eta},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. неравенство (6.7) выполнено. Пусть неравенство (6.7) выполнено при некотором натуральном $m=\widetilde{m}$ для всех $i$ и всех $k=2^{\widetilde{m}-1}+1, \dots, 2^{\widetilde{m}}$. Докажем справедливость этого неравенства для $m=\widetilde{m}+1$, всех $i$ и любых $k=2^{\widetilde{m}}+1,\dots, 2^{\widetilde{m}+1}$. Для $k=2^{\widetilde{m}}+1$ согласно определению расстояния в пространстве $\mathcal{X}[f,\gamma,r_0]$ существует натуральное $j\in [1, 2^{\widetilde{m}}]$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+1})=\bigl(\max\{ \rho(x_i,x_{i+j}), \rho(x_{i+j},x_{i+2^{\widetilde{m}}+1})\}\bigr)^\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Одно из чисел $j$, $2^{\widetilde{m}}+1-j$ превосходит $2^{\widetilde{m}-1}$, поэтому согласно предположению индукции выполнено
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+1})\geqslant\bigl(r_0^{\eta^{\widetilde{m}}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+1)\eta^{\widetilde{m}}}\bigr)^\eta =r_0^{\eta^{\widetilde{m}+1}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+1)\eta^{\widetilde{m}+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=2^{\widetilde{m}}+1$ неравенство (6.7) доказано. Далее, аналогично для $k=2^{\widetilde{m}}+2$ существует натуральное $j\in [1, 2^{\widetilde{m}}+1]$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+2})=\bigl(\max\{ \rho(x_i,x_{i+j}), \rho(x_{i+j},x_{i+2^{\widetilde{m}}+2})\}\bigr)^\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Одно из чисел $j$, $2^{\widetilde{m}}+2-j$ превосходит $2^{\widetilde{m}-1}$. Если это число не превосходит $2^{\widetilde{m}}$, то согласно предположению индукции выполнено
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+2})\geqslant\bigl(r_0^{\eta^{\widetilde{m}}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+2)\eta^{\widetilde{m}}}\bigr)^\eta =r_0^{\eta^{\widetilde{m}+1}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+2)\eta^{\widetilde{m}+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же это число есть $2^{\widetilde{m}}+1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+2}) & \geqslant \bigl(\max\{\rho(x_i,x_{i+2^{\widetilde{m}}+1}), \rho(x_{i+1},x_{i+2^{\widetilde{m}}+2})\}\bigr)^{\eta} \\ & \geqslant \bigl(r_0^{\eta^{\widetilde{m}+1}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+2)\eta^{\widetilde{m}+1}}\bigr)^\eta> r_0^{\eta^{\widetilde{m}+1}} \gamma^{(i+2^{\widetilde{m}}+2)\eta^{\widetilde{m}+1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=2^{\widetilde{m}}+1$ неравенство (6.7) доказано. Такими же рассуждениями доказывается справедливость неравенства (6.7) при всех $k$ вплоть до $k=2^{\widetilde{m}+1}$. Из неравенства (6.7) при $k=2^{m}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\rho(x_i,x_{i+2^{m}})\geqslant r_0^{\eta^m}\gamma^{(i+2^m)\eta^{m}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $\eta=2^{-1}$ при $k=2^{m}\to \infty$ имеем сходимости Следовательно, последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ не является фундаментальной. А в случае $\eta <2^{-1}$ выполнено и поэтому последовательность $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}$ также не является фундаментальной. Для функции $f \in \mathcal{F}$ вида (6.6) с показателем $\eta \in (2^{-1},1)$ в настоящей работе не удалось определить множество $\mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ знаменателей фундаментальных геометрических прогрессий. И тем не менее можно утверждать, что это множество либо минимально и состоит только из $0$, либо является максимальным интервалом $[0,1)$, а соответственно, $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}=0$ или $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}=1$. Данное “правило 0 или 1” прямо следует из приводимого ниже утверждения, которому удовлетворяет функция вида (6.6) с показателем $\eta \in (2^{-1},1)$ (а также многие функции из рассмотренных в этом параграфе примеров). Обозначим через $\varphi_{\eta}$ функцию вида (6.6), т.е.
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\eta}\colon \mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+, \qquad \varphi_{\eta}(r_1,r_2)=\max \{r_1^{\eta},r_2^{\eta}\}, \quad r_1,r_2 \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 6.1. Пусть для функции $f\in \mathcal{F}$, удовлетворяющей условию $\mathbf{(\mathfrak{F})}$, выполнено неравенство $f \leqslant \varphi_{\eta}$ при некотором $\eta\in (2^{-1},1)$. Тогда для $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}$ возможны лишь два значения: $0$ или $1$. Доказательство. Пусть для удовлетворяющей принятым предположениям функции $f\in \mathcal{F}$ выполнено $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}> 0$. Мы докажем, что в таком случае $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}=1$.
Поскольку $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}> 0$, существует положительное $\gamma \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Для этого $\gamma$ согласно лемме 5.2 элементы $x_i$ пространства $X:=\mathcal{X}[f,\gamma,1]$ образуют фундаментальную последовательность. Выберем любое $\nu \in (2^{-1}\eta^{-1},1 )$. Покажем, что последовательность элементов $u_i$ пространства $U:=\mathcal{X}[f,{\gamma}^{\nu},1]$ также является фундаментальной. Вначале для всех $i=0,1,\dots$, $k=1,2,\dots$ установим справедливость неравенства
$$
\begin{equation}
\rho_U (u_{2i}, u_{2i+2k}) \leqslant \rho_X (x_{i}, x_{i+k}).
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Доказательство этого неравенства проведем индукцией по $k$ (сразу для всех $i$).
При $k=1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_U (u_{2i}, u_{2i+2}) &=f(\rho_U (u_{2i}, u_{2i+1}),\rho_U (u_{2i+1}, u_{2i+2})) =f ({\gamma}^{\nu 2 i}, {\gamma}^{\nu(2i+1)} ) \\ &\leqslant \varphi_{\eta} ({\gamma}^{\nu 2i}, {\gamma}^{\nu(2i+1)} )={\gamma}^{\nu 2 i \eta} \leqslant {\gamma}^i=\rho_X (x_{i}, x_{i+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что неравенство (6.8) справедливо при всех $i=0,1,\dots$ и всех натуральных $k<k_0$. Для $k=k_0$ согласно определению расстояния в пространстве $\mathcal{X}[f,{\gamma},r_0]$ существует такой номер $l<k_0$, что
$$
\begin{equation*}
\rho_X (x_{i}, x_{i+k_0})=f(\rho_X (x_{i},x_{i+l}),\rho_X(x_{i+l}, x_{i+k_0})).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу предположений индукции выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\rho_X (x_{i}, x_{i+k_0}) \geqslant f(\rho_U (u_{2i},x_{2i+2l}), \rho_U(u_{2i+ 2l}, x_{2i+2 k_0})).
\end{equation*}
\notag
$$
И теперь окончательно согласно определению расстояния в пространстве $\mathcal{X}[f,{\nu}^{\eta},1]$ получаем
$$
\begin{equation*}
\rho_X (x_{i}, x_{i+k_0}) \geqslant \rho_U (u_{2i}, x_{2i+2k_0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя неравенство (6.8), покажем, что последовательность $\{u_i\}_{i=0}^{\infty}\subset U$ является фундаментальной. Для последовательности $\{x_i\}_{i=0}^{\infty}\subset X$ при любом $\varepsilon > 0$ существует значение $I$ такое, что при всех натуральных $i>I$ и всех натуральных $k$ выполнено $\rho_X(x_i, x_{i+k}) < \varepsilon$. Следовательно, $\rho_U(x_{2i}, x_{2i+2k})<\varepsilon$. Согласно лемме 5.1 также выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\rho_U(x_{2i+1}, x_{2i+2k}) < \varepsilon, \qquad \rho_U(x_{2i}, x_{2i+2k-1}) < \varepsilon, \qquad \rho_U(x_{2i+1}, x_{2i+2k-1}) < \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при всех натуральных $j>2I$ и всех натуральных $m$ справедливо неравенство $\rho_X(x_j, x_{j+m}) < \varepsilon$.
Итак, доказано, что $\gamma^\nu \in \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$. Повторяя приведенные рассуждения, получим, что $\gamma^{\nu^2}\,{\in}\, \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$, $\gamma^{\nu^4}\,{\in}\, \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$ и т.д., т.е. $\gamma^{\nu^{2^l}} \,{\in}\, \mathcal{B}_{\mathrm{Sp}[f]}$, $l=1,2,\dots$ . Из сходимости $\gamma^{\nu^{2^l}}\to 1$ (при $l\to \infty$) следует, что $\Lambda_{\mathrm{Sp}[f]}=1$. Предложение доказано. В заключение отметим, что если функция $f \in \mathcal{F}$ не удовлетворяет условиям предложения 6.1, вопрос о выполнении “правила 0 или 1” для соответствующего класса пространств $\mathrm{Sp}[f]$ остается открытым. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zhu23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|