| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Реализация геодезических потоков с линейным интегралом биллиардами с проскальзыванием В. В. Ведюшкина, В. Н. Завьялов Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9772e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзучению геодезических потоков на двумерных замкнутых поверхностях, обладающих полиномиальным по компонентам импульса дополнительным интегралом, посвящено большое количество работ (достаточно подробно история вопроса освещена в [1; т. 2, гл. 2–3]). Отметим важный результат В. В. Козлова (см. [2], [3]) о несуществовании (в аналитической категории) дополнительных интегралов у геодезического потока на компактном римановом 2-многообразии, если многообразие имеет род 2 и выше. При этом условие аналитичности многообразия избыточно, если речь идет о полиномиальной интегрируемости, т.е. ведется поиск полиномиального по компонентам импульса интеграла (см. [1; т. 2, комментарий 2 к теореме 2.1]). В случае интегралов степени 1 и 2 (т.е. линейно или квадратично интегрируемых геодезических потоков) был полностью решен ряд задач о классификации таких потоков. Напомним, что такие потоки можно классифицировать с точки зрения канонического вида метрики, топологии слоения Лиувилля (лиувиллевой эквивалентности), траекторной и геодезической эквивалентностей (см. [4]). В случае интегралов более высоких чем 2 степеней вопрос остается открыт (имеются примеры геодезических потоков на 2-многообразиях с интегралом степени 3 или 4.). Важные результаты В. Н. Колокольцова (см. [5]) затем были развиты и дополнены в работах И. К. Бабенко, Н. Н. Нехорошева, В. С. Матвеева (см. [1], а также [5], [6]). В частности, Матвееву удалось получить топологическую классификацию линейно интегрируемых геодезических потоков на неориентируемых поверхностях путем изучения инволюции, действующей на фазовом пространстве такого потока, заданного на соответствующей ориентируемой поверхности. В настоящей работе мы промоделируем геодезические потоки с линейным интегралом на проективной плоскости и бутылке Клейна с помощью биллиардов из недавно введенного А. Т. Фоменко (см. [7], а также [8]) класса биллиардов с проскальзыванием (и введения проскальзывания вдоль граничных дуг топологических биллиардов, введенных В. В. Ведюшкиной в [9]). Построенные В. В. Ведюшкиной классы топологических биллиардов и их обобщений – биллиардных книжек (см. [10]) – позволяют промоделировать многие интегрируемые системы из приложений и их особенности. Столы-комплексы, по которым движется биллиардный шар, состоят из элементарных биллиардов (см. [11]) (двумерные клетки), склеенных по ребрам с некоторыми перестановками, описывающими правило перехода по ребрам склейки (одномерные клетки). Дальнейшие обобщения биллиардов на столах-комплексах возникают, например, при введении на их плоских листах дополнительных структур: потенциала (см. [12]), магнитного поля (см. [13]), метрики Минковского (см. [14]), проскальзывания вдоль границ, а также их комбинации (см., например, [15]). Также активно изучаются слоения биллиардов на трехмерных софокусных столах (см. [16] и [17]). С помощью биллиардных книжек получены существенные продвижения в доказательстве гипотезы Фоменко о биллиардах (см. [7]), которая ставит вопрос о реализации гладких и вещественно-аналитических интегрируемых гамильтоновых систем (ИГС) подходящими интегрируемыми биллиардами с точки зрения топологии их слоений Лиувилля. Инвариант Фоменко–Цишанга, т.е. граф-молекула с числовыми метками, классифицирует интегрируемые гамильтоновы системы с невырожденными особенностями на трехмерных уровнях энергии относительно лиувиллевой эквивалентности. В разделах A и B гипотезы был поставлен вопрос о реализации атомов-бифуркаций и грубых молекул, который был положительно решен В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой. Их алгоритм построения биллиардной книжки, моделирующей данный 3-атом и данную грубую молекулу описан в работах [18] и [19] соответственно, см. также [20]. Раздел C гипотезы Фоменко является наиболее общим. В нем ставится вопрос о реализации любого инварианта Фоменко–Цишанга биллиардами. Полный ответ на данный вопрос пока неясен, но имеются следующие существенные продвижения, помимо реализации произвольных атомов и грубых молекул. Так при изучении “локальной” версии этой гипотезы в [21] удалось реализовать произвольное значение числовой метки (подробнее об этом см. [22] и [23], а также [24], где доказана некоторая комбинация локальной гипотезы и пункта B общей гипотезы). Раздел D гипотезы посвящен проблеме реализации трехмерных многообразий как поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых биллиардов. Ведюшкиной удалось алгоритмически задать биллиардную книжку, чье многообразие $Q^3$ гомеоморфно произвольной связной сумме линзовых пространств и произведений $S^1 \times S^2$, см. [25]. Отсюда, в частности, следует, что реализуемое биллиардом $Q^3$ может не быть многообразием Зейферта: связная сумма трех экземпляров $\mathbb{R}P^3=L(1,2)$ таковым не является (см. [26]). В работе [27] с помощью топологических биллиардов и биллиардных книжек были реализованы произвольные геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях – сфере и торе – обладающие линейным или квадратичным по импульсам первым интегралом. Настоящая работа повящена развитию этого результата на случай неориентируемых поверхностей и линейного интеграла. Также Ведюшкиной и Фоменко удалось реализовать слоения многих известных интегрируемых систем из механики и математической физики в подходящих зонах энергии (см. [28]–[30]). Дальнейшие обобщения интегрируемых биллиардов позволили перейти к реализации биллиардами слоений Лиувилля на четырехмерных подмножествах фазового пространства. Так, недавно введенный А. Т. Фоменко класс силовых эволюционных биллиардов (геометрии стола разрешается меняться при изменении энергии шара) позволил моделировать интегрируемые системы сразу в нескольких неособых зонах энергии, см. [31]–[33]. В то же время добавление потенциала Гука к топологическим биллиардам и биллиардным книжкам позволило получить существенные продвижения в задаче моделирования биллиардами невырожденных локальных и полулокальных особенностей ранга 0, т.е. окрестностей положения равновесия системы и содержащего ее слоя слоения (см. [34]–[36]). § 2. Топологические биллиарды с проскальзыванием и основной результатСтандартные биллиардные системы описывают движение точки внутри области с естественным отражением на границе, допускающей конечное число изломов с углом ${\pi}/{2}$. Фиксируем координаты $(x, y)$ на проскости $\mathbb{R}^2$. Рассмотрим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат Биллиард, ограниченный концентрическими окружностями, является интегрируемым, поскольку вдоль траектории сохраняется угол $\varphi$ между отрезками траектории и касательной к граничной окружности. Далее будем работать с областями, которые ограничены окружностями.Пусть $F$ – изометрия границы, переводящая точку $x$ в диаметрально противоположную ей точку $y$. С точки зрения самой окружности это означает поворот радиус-вектора точки $x$ на угол $\pi$. Биллиард в круге с введенной изометрией на окружности будем называть биллиардом с проскальзыванием (рис. 1). Как показано в статье [8], такая биллиардная система будет также интегрируема с тем же дополнительным интегралом: поворот на угол $\pi$ сохранит касание траектории концентрической окружности, отвечающей данному значению интеграла. Также в этой статье были рассмотрены случаи диска, который моделирует склейку двух полноторий в линзовое пространство $L_{4,1}$ на изоэнергетическом уровне, для случая проективной плоскости и двух колец, склеенных по внутренней окружности для бутылки Клейна. Как оказалось, указанные биллиарды с проскальзыванием моделируют примеры геодезических потоков на проективной плоскости и бутылке Клейна, имеющих линейный или квадратичный по импульсам дополнительный интеграл. Напомним конструкцию склейки двух биллиардов вдоль общей границы, введенную Ведюшкиной в работе [9]. Пусть два биллиарда имеют общую границу и на плоскости располагаются относительно этой границы с одной стороны. Склеим области биллиардов вдоль этой общей границы. Материальная точка при движении по одному листу биллиарда после удара о границу склейки продолжит двигаться в области другого биллиарда. В случае, если склеиваемые биллиарды – плоские биллиардные области, а результат склейки – ориентируемое многообразие, то это определение склейки топологического биллиарда, введенное Ведюшкиной. Рассмотрим на плоскости $\mathbb{R}^2$ области, ограниченные одной или двумя концентрическими окружностями. Область, гомеоморфную диску, и заданный в ней биллиард обозначим через $D$. Радиус внешней окружности будем считать всегда равным единице. Рассмотрим область, ограниченную двумя концентрическими окружностями (обозначим ее через $C$), причем меньшая окружность пусть задается уравнением $x^2+y^2=\lambda$, $0<\lambda\leqslant1$. Определение 1. Если на граничной окружности области $C$ задано проскальзывание, то такой биллиард назовем “инволютивным $A_\lambda$”, а если проскальзывание задано на меньшей (невыпуклой по отношению к биллиардному столу типа $C$) окружности, то биллиардом “$A_\lambda^*$”. Область $C$ без проскальзывания назовем промежуточной $B_\lambda$. Четыре перечисленные выше области $C$, $D$, $A_\lambda$, $A_\lambda^*$ показаны на рис. 2, где буквами $a$ и $b$ показано проскальзывание. Утверждение 1 (В. С. Матвеев; см. [1; т. 2, гл. 3]). Пусть на бутылке Клейна задана $(L,g)$-метрика $g(y)(dx^2+dy^2)$, где гладкая функция $g$ не постоянна. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока на изоэнергетической поверхности $Q$ задается молекулой, изображенной на рис. 3, b. Теперь пусть на проективной плоскости задана метрика $ds^2= d\theta^2+f(\theta)\,d\varphi^2$. Отвечающая геодезическому потоку молекула $\widetilde{W}$ для случая проективной плоскости показана на рис. 3, a. В данных графах-молекулах присутствуют только атомы $B_n$, $B^*_n$ и $B^{**}_n$. Эти графы-инварианты обладают следующими числовыми метками. – На внутренних ребрах графов $\widetilde{W}(f)$ и $\widetilde{W}(g)$ метки таковы. На ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. Между седловыми атомами и атомами $A$ метки $r$ равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом $A$ (т.е. локальный максимум функции) отвечает неподвижной точке инволюции. В этом случае $r$-метка равна $1/2$. – На единственном центральном ребре, соединяющем два экземпляра молекулы $\widetilde{W}(f)$ или $\widetilde{W}(g)$, метка $r$ равна бесконечности, а метка $\varepsilon$ равна $-1$. Здесь имеется ровно одна семья, совпадающая со всей молекулой $\widetilde{W}$, из которой выброшены все концевые атомы $A$. Метка $n$ на этой семье равна $-2$. – Количество звезд и меток $1/2$ в сумме равно двум для геодезического потока на проективной плоскости и четырем в случае бутылки Клейна. Основной результат нашей работы составляет следующую теорему. Теорема 1. Любой геодезический поток на двумерном неориентируемом многообразии (бутылке Клейна или проективной плоскости), обладающий линейным по импульсам дополнительным интегралом, лиувиллево эквивалентен биллиарду с проскальзыванием, состоящему из плоских биллиардов, ограниченных концентрическими окружностями. При этом линейный интеграл такого потока сводится к каноническому на биллиарде, которым является угол между траекторией и границей любого биллиардного стола. 2.1. Алгоритмическое построение стола для случая $\mathbb{R}P^2$Обозначим через $R$ следующий биллиард, полученный последовательной склейкой одной области с проскальзыванием (области $A_{\lambda_0}$ или области $A^*_{\lambda_0}$), области $D$ и некоторого числа $n$ промежуточных областей $B_{\lambda_i}$, $i=1,\dots,n$. Проведем анализ траекторий таких биллиардов. Значению интеграла $\varphi=0$ сопоставим движение материальной точки по дугам окружностей радиуса $1$, т.е. по выпуклым дугам склейки биллиардов, входящих в состав биллиарда $R$. Пусть при этом траектории обходят начало координат по часовой стрелке. Значениям интеграла $0<\varphi<\pi/2$ соответствует движение по часовой стрелке. Значениям интеграла $\pi/2<\varphi\leqslant\pi$ соответствует движение против часовой стрелки, причем значению $\varphi=\pi$ – движение по дугам окружностей радиуса $1$. Наконец, траектории на уровне интеграла $\varphi=\pi/2$ состоят из отрезков прямых, проходящих через начало координат. При этом ясно, что топологические описания совместных уровней интеграла при значениях $\varphi<\pi/2$ и $\varphi>\pi/2$ совпадают: при обращении траектории первого типа переходят в траектории второго. Построим по биллиарду $R$ кусочно линейную функцию $\widehat{f}$. Если $R$ содержит инволютивную $A_{\lambda_0}$, то рассмотрим точки с координатами $(i+1/2,\lambda_i)$, где числа $\lambda_i$ суть радиусы меньших граничных окружностей областей с проскальзыванием и промежуточных областей $B_{\lambda_i}$. Дополним их точкой $(n+3/2,0)$. Назовем эти точки минимальными. Рассмотрим точки с координатами $(i,1)$, расположенные между минимальными точками. Соединим последовательно точки в ломаную, так чтобы минимальные точки были бы минимумами возникающего графика функции. Добавим к этой ломаной ее отражение вдоль оси $Oy$. Функцию, график которой есть полученная симметричная ломаная, обозначим через $\widehat{f}$. Для области $A^*_{\lambda_0}$ точки минимума расположим в точках $(i,\lambda_i)$, а точки максимума – в точках $(i/2,1)$, дополняя минимальной точкой $(n+1,0)$. Ломаную, построенную по данным точкам с ее отражением, также назовем $\widehat{f}$. График этой функции фактически является профилем биллиарда, который произвольная прямая с центром в начале координат высекает в биллиардах, входящих в биллиард $R$. Более того, по любому графику функции можно однозначно восстановить биллиард $R$. Рассмотрим интегрируемый геодезический поток на проективной плоскости. Тогда он однозначно задается гладкой четной функцией $f$, которая обращается в нуль на концах интервала – своей области определения – и имеет некоторые условия сглаживания в концах. Рассмотрим график этой функции и заменим его ломаной, соединив точки минимума и максимума. Далее, сохраняя взаимное расположение минимумов и максимумов, изменим график так, чтобы – либо все минимумы оказались бы в целых ненулевых точках, максимумы – в половинных вида $i/2$, и значения в максимумах стали бы равными $1$; – либо наоборот минимумы – в половинных точках, а максимумы со значением равным $1$ в целых. В результате мы получим функцию $\widehat{f}$ (см. пример на рис. 4). По данной функции можно построить биллиард с проскальзыванием $R$. Это и будет биллиард, лиувиллево эквивалентный исходному геодезическому потоку. Для этого осталось показать, что инвариант Фоменко–Цишанга, вычисленный по биллиарду $R$, совпадает после замены $f$ на $\widehat{f}$ с инвариантом, изображенным на рис. 3. Замечание 2. Построение функции $\widehat{f}$ имеет более наглядную геометрическую интерпретацию. Возьмем график нашей функции $\widehat{f}$ и склеим точки, симметричные относительно оси $Oy$. Точка на оси $Oy$ останется неподвижной при данной склейке. Далее совершим вращение графика нашей половинчатой функции вокруг оси $Ox$. На окружности, соответствующей неподвижной точке склейки, склеим диаметрально противоположные точки. Полученная поверхность вращения (гармошка) будет изометрична биллиарду $R$, по которому была построена функция $\widehat{f}$. Предложение 1. Биллиардный стол $R$, построенный по данной конструкции, после отождествления всех стрелок на границах инволютивных областей окажется гомеоморфен проективной плоскости. Доказательство. Промежуточными областями являются кольца, каждое из которых гомеоморфно цилиндру. Инволютивные области $A_\lambda$ и $A_\lambda^*$ после отождествления обозначающих проскальзывание стрелок на границе (см. рис. 2), гомеоморфны лентам Мёбиуса. Тогда полученный биллиардный стол $R$ гомеоморфен цилиндру (из промежуточных областей $B_\lambda$), вдоль одной граничной окружности которого приклеена лента Мёбиуса, а вдоль другой – диск $D$. Очевидно, что тогда биллиардный стол $R$ гомеоморфен проективной плоскости. Предложение доказано.
§ 3. Доказательство основной теоремы в случае $\mathbb{R}P^2$3.1. Шаг 1. Вычисление грубой молекулыРассмотрим график непрерывной неотрицательной функции $f$ на отрезке $[a,b]$, принимающей на концах этого отрезка равные значения. Дополнительно положим, что нулевые значения могут приниматься функцией только на концах того же отрезка. Если значения на концах отрезка нулевые, то расслоим область под графиком функции на отрезки, образованные пересечением $y=\mathrm{const}$ с областью под графиком функции. Стянем каждый отрезок в точку. В результате область, расположенная между графиком и прямой $y=0$, превратится в дерево. Сопоставим вершинам полученного графа следующие атомы. Точкам, прообразы которых были максимумами функции $f$, сопоставим атомы $A$. Всем остальным вершинам сопоставим атомы $B_k$, где $k$ – это количество минимумов, через которые проходит соответствующий горизонтальный отрезок (см. рис. 5 для произвольной положительной функции $f$). Назовем такой граф $W(f)$. Если значения на концах отрезка ненулевые, то склеим область под графиком функции в цилиндр по отрезкам $[(a,0),(a,f(a))]$ и $[(b,0),(b,f(b))]$, которые параллельны оси $Oy$. Пересечение уровня $y=\mathrm{const}$ с областью под графиком функции расслаивает область на окружности и отрезки. Если линия $y=\mathrm{const}$ лежит ниже минимума функции $f$ или прямой, проходящей через концевые точки функции $f$, то в пересечении будут получаться окружности. В остальных случаях в пересечении будут отрезки. Стянем каждый отрезок и каждую окружность в точку. Максимумам функции сопоставим атомы $A$. Перестройкам отрезка в отрезки сопоставим атомы $B_k$, где $k$ – это количество минимумов, через которые проходит соответствующий горизонтальный отрезок. Перестройкам окружности в отрезки сопоставим атомы $C_k$, где $k$ – это количество отрезков, в которые перестраивается окружность. Назовем такой граф $W_2(f)$. Теперь рассмотрим график функции $\widehat{f}$. Так как значения нашей функции $\widehat{f}$ нулевые только на концах отрезка, то построим по $\widehat{f}$ граф $W(\widehat{f})$. В нашем случае полученный граф $W(\widehat{f})$ является симметричным, так как функция $f$ была симметричной. Перейдем, наконец, к графу $\widetilde{W}(\widehat{f})$, профакторизовав полученную молекулу по имеющейся симметрии. Пусть ось симметрии проходит через атом $B_{k}$. a. Пусть она проходит через максимум (рис. 6, a), лежащий на оси $Oy$, т.е. при факторизации она переходит в себя. В этом случае имеем атом $B_{2k}$, так как минимум не лежит на оси симметрии, то получаем, что число минимумов четно. При факторизации число минимумов уменьшится вдвое и перейдет в атом $B_{k}$. b. Пусть она проходит через минимум (рис. 6, b), лежащий на оси $Oy$. Исходя из четности числа минимумов вне оси, получаем, что ось проходит через атом $B_{2k+1}$. При данной симметрии это точка на оси симметрии неподвижна, а число минимум вне оси уменьшается вдвое, следовательно, атом факторизуется в атом $B_k^*$. Это построение совпадает с построением графа $\widetilde{W}( f )$ для геодезического потока на проективной плоскости, характеризующегося функцией $f$. Фиксируем уровень интеграла $\varphi_0<\pi/2$. Ему будет соответствовать некоторая горизонтальная прямая $y=c<1$, где $c$ – радиус окружности, которой на данном уровне интеграла касаются траектории. Рассмотрим соответствующую этому значению интеграла поверхность уровня и спроецируем ее на биллиард. Проекция поверхности уровня может быть получена удалением из каждого биллиарда в составе биллиарда $R$ внутренности окружности радиуса $c$. В результате такого удаления биллиард $R$ распадается на несколько компонент связности. Все они (быть может, кроме одной) гомеоморфны цилиндрам, полученным склейками из областей типа $C$, которые остаются при удалении внутренности окружности из областей $D$, $B_\lambda$ и $A_\lambda^*$ (в случае, если $\lambda<c$). Оставшаяся область (при наличии таковой) будет гомеоморфна листу Мёбиуса. Она получается при удалении внутренности окружности радиуса $c$ из инволютивных областей $A_\lambda$ или $A_\lambda^*$ (в случае, если мы должны вырезать окружность меньшего радиуса, чем радиус граничных окружностей области $A_\lambda^*$). Отметим, что число компонент связности совпадает с количеством отрезков, высекаемых прямой $y=c$ под графиком функции $\widehat{f }$ при $x>0 $ (поскольку в этой части график функции $\widehat{f}$ есть профиль биллиарда). Пусть прямая $y=c$ не проходит через минимумы функции $\widehat{f }$. Тогда прообраз каждого цилиндра и каждой ленты Мёбиуса есть некоторый двумерный тор (по аналогии с топологическими биллиардами и простейшими биллиардами с проскальзыванием, см. работы [8], [9]). Пусть прямая $y=c$ проходит через несколько минимумов функции, но при этом не проходит через возможный минимум, лежащий на оси $Oy$. Тогда, как и в топологических биллиардах, бифуркация на данном уровне описывает склейку нескольких торов в один вдоль критических окружностей, соответствующих невыпуклым склейкам вдоль окружностей с радиусом $c$. Несложно убедиться, что эта бифуркация описывается атомом $B_k$, где $k$ – это количество положительных минимумов, которых касается прямая $y=c$. Пусть прямая $y=c$ проходит через несколько минимумов функции, в том числе через минимум, лежащий на оси $Oy $ (в этом случае биллиард $R$ обязан содержать инволютивную $A_\lambda^*$, причем в этом случае $\lambda=c$). Тогда можно показать, что бифуркация описывается атомом $B_k^*$, где $k$ – это количество положительных минимумов, в которых прямая $y=c$ касается графика функции. Отменим проскальзывание на внутренней окружности инволютивной $A_c^*$. Тогда соответствующая бифуркация описывается атомом $B_k. $ На особом слое атома $B_k$ выделим особую окружность – прообраз внутренней граничной окружности области $A_c^*$. Она будет единственной, так как на особом слое траектории касаются окружности с радиусом $c$. При значениях интеграла, меньших чем $c$, этот прообраз будет пустым, а при больших – состоять из двух окружностей. Разрежем 3-атом по прообразу этой окружности, а затем вернем проскальзывание на этой окружности. В результате получим, что эта выделенная окружность на особом слое атома $B_k$ склеится с собой дважды. Эта склейка, будучи распространена на весь атом (т.е. и на неособые слои), приводит к образованию атома $B_k^*$, как склейка тора по выделенному циклу (так что цикл обходит себя дважды) приводит к образованию особого слоя атома $A^*$. Полученная в результате грубая молекула имеет вид $\widetilde W(\widehat{f})$, что и требовалось показать. 3.2. Шаг 2. Вычисление меток меченой молекулыПредложение 2. На ребрах между седловыми атомами стоят метки $r=\infty$. Между седловыми атомами и атомами $A$ – метки $r=0$, за исключением тех случаев, когда атом $A$ отвечает неподвижной точке инволюции (см. [1]) (в построении выше это означает, что отвечающий этому атому $A$ максимум лежит на оси $Oy$). В этом случае метка $r=1/2$. Доказательство. При выборе циклов на граничных торах 3-атомов мы будем изображать их с помощью проекции на биллиард $R$. Изобразим на столе биллиарда получаемые кривые и оснастим их подходящими векторами скорости.
Напомним правила выбора циклов. На граничных торах атомов $A$ в качестве однозначно выбранного цикла $\lambda$ выбирается цикл, который стягивается в точку внутри полнотория $A$. В качестве цикла $\mu$ выбирается любой цикл, дополняющий его до базиса. При стремлении к особому слою цикл $\mu$ переходит в критическую окружность. Это позволяет однозначно определить на нем ориентацию (она должна совпасть с ориентацией критической окружности). На граничных торах седловых атомов циклы $\lambda$ выбираются гомологичными слоям расслоения Зейферта. Для атомов без звездочек это означает, что они должны быть гомологичны (и сонаправлены) критическим окружностям при достижении торами особого слоя. Циклы $\mu$ для атомов без звездочек выбираются как граничные окружности двумерного атома – трансверсального критической окружности сечения 3-атома. Если так поступить для атома со звездочкой, то может возникнуть (и как правило в реальных задачах возникает) следующая ситуация. Возникающие циклы $\widehat{\mu}$ могут пересекать цикл $\lambda$ в двух точках. В нашем случае атома $B_{k}^*$ на одном торе цикл $\widehat{\mu}$ пересечет $\lambda$ в одной точке, а на другом в двух. Тогда на том торе, где пересечение есть одна точка, в качестве базисного цикла $\mu_s$ берем $\widehat{\mu}$, а на другом – $(\widehat{\mu}+\lambda)/2$ (см. подробнее в книге А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [1]). Пусть биллиард $R$ содержит только инволютивную область $A_\lambda$. Тогда проекции циклов на плоские биллиарды, входящие в состав биллиарда $R$, и векторы скоростей циклов изображены на рис. 7. Стрелки, которыми снабжены точки кривых, показывают, как выглядит вектор скорости в прообразе проекции тора на биллиард. Поясним выбор цикла $\mu$ на верхнем торе для атома $B_k$ (считаем что молекула ориентирована сверху вниз). При прохождении по инволютивной области $A_\lambda$ цикл переходит на промежуточные биллиарды $B_\lambda$ ровно в тот момент, когда кривая в его проекции достигает ребра склейки столов. Заметим еще один факт. Пусть радиус окружности меньше радиусов всех внутренних окружностей инволютивной области $A_\lambda $ и областей $B_\lambda$. Тогда на этом слое лежит один тор. Можно показать, что цикл $\mu$ гомологичен циклу, переходящему в движение по диаметру окружности при значении интеграла $\varphi=\pi/2$. Пусть биллиард $R$ содержит только инволютивную область $A_\lambda^*$. Тогда проекции циклов на биллиарды, входящие в состав биллиарда $R$, и векторы скоростей циклов изображены на рис. 8. Стрелками снабжены точки кривых, которые показывают, как выглядит вектор скорости в прообразе проекции тора на биллиард. Для атомов $B_k$, расположенных в молекуле ниже уровня атома со звездочкой, циклы выбираются так же, как и в предыдущем случае. Поясним выбор циклов на граничных торах атома со звездочкой. В качестве циклов $\widehat{\mu}$ можно взять прообраз отрезков прямой, проходящей через начало координат. На нижнем уровне интеграла таких циклов будет два, каждый из них пересечет цикл $\lambda$ в одной точке (см. рис. 8). Для выбора цикла $\mu_s$ берем один из них. На нижнем уровне интеграла этот цикл будет пересекать циклы $\lambda$ дважды. Поэтому в качестве цикла $\mu_s$ берем полусумму $\widehat{\mu}$ и $\lambda$. Итоговый цикл изображен на рис. 8, g, h, i. При этом его проекция на промежуточные биллиарды $B_\lambda$ выглядит так же, как и ранее, и лежит на фиксированном радиусе семейства окружностей. Эти же пары $\lambda$ и $\mu_s$ необходимо выбирать в качестве циклов на граничных торах атомов $B_k$, расположенных выше уровня атома со звездочкой. Вычислим метки. Если проекция тора не затрагивает областей $A_\lambda$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r\,{=}\,0$, $\varepsilon\,{=}\,1$, вклада в метку $n$ здесь нет. Если проекция затрагивает инволютивную область $A_\lambda$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r=1/2$, $\varepsilon=1$. Эта матрица вносит вклад в семью, равный $[-1/2]=-1$. Если же проекция затрагивает $A_\lambda^*$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r=0$, $\varepsilon=1$. Эта матрица вносит вклад в семью, равный $[-1/2]=-1$. Матрица склейки на ребре между седловыми атомами имеет вид $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ – все циклы $\lambda$ гомологичны и одинаково ориентированы. Это приводит к тому, что метки $r=\infty$, $\varepsilon=1$. Вклада в метку $n$ эти внутренние ребра семьи не дают. Предложение 3. На единственном центральном ребре молекулы $\widetilde W(f)$ метка $r=-\infty$, а метка $\varepsilon= -1$. В данной молекуле имеется ровно одна семья, метка на которой равна $-2$. Доказательство. Мы описали движение по и против часовой стрелки, переходящие друг в друга через значение $\varphi=\pi/2$. Циклы $\lambda$ имеют противоположную ориентацию, а циклы $\mu$ переходят друг в друга. Тем самым, получаем матрицу склейки $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и метки на ребре $r=\infty$, $\varepsilon=-1$. Образуется одна семья, причем в метку $n$ идут только значения от входящих ребер областей $A_{\lambda}$. Следовательно, метка $n=-2$. Предложение доказано. Замечание 3. Поясним теперь названия введенных нами областей. Инволютивная область $A_{\lambda}$ названа так, потому что 3-атом $A$, проекция которого лежит в данной области, имеет нетривиальную метку на исходящем из него ребре. Область $A^*_{\lambda}$, очевидно, моделирует на особом слое атом-бифуркацию, имеющий звезду. Теорема 1 для случая проективной плоскости доказана. § 4. Доказательство основной теоремы в случае $\mathrm{KL}^2$Обозначим через $K$ биллиард, полученный последовательной склейкой двух (не обязательно одинаковых) областей с проскальзыванием (областей $A_{\lambda_0}$ или областей $A^*_{\lambda_0}$) и некоторого числа $n$ промежуточных областей $B_{\lambda_i}$, $i\,{\in}\,\{1,\dots,n\}$. Построим по биллиарду $K$ кусочно линейную функцию $\widehat{g}$, которая является профилем биллиарда. Если в биллиарде $K$ присутствует хотя бы одна инволютивная область $A_{\lambda_0}$, то поставим минимумы в точках с координатами $(i+1/2,\lambda_i)$, причем последняя точка будет соответствовать другой области с проскальзыванием. Точки с координатами $(i,1)$ будут максимальными. Если вторая область с проскальзыванием – это область типа $A_{\lambda_0}$, то последняя точка будет максимальной. Если же это область типа $A^*_{\lambda}$, то минимальной. Если в составе биллиарда $K$ обе области с проскальзыванием – это области $A^*_{\lambda}$, то точки минимума расположим в точках $(i,\lambda_i)$, а точки максимума в $(i/2,1)$. Уточним, что последняя точка будет минимальной. Соединим последовательно точки в ломаную, так чтобы минимальные точки были бы минимумами возникающего графика функции. Добавим к этой ломаной ее отражение вдоль оси $Oy$. Функцию, график которой есть полученная симметричная ломаная, обозначим через $\widehat{g}$. Интегрируемый геодезический поток на бутылке Клейна однозначно задается гладкой четной периодичной функцией $g$. Рассмотрим график этой функции и заменим его ломаной, соединив точки минимума и максимума. Затем, сохраняя взаимное расположение минимумов и максимумов, изменим график так, чтобы: – либо все минимумы оказались бы в целых ненулевых точках, максимумы – в половинных вида $i/2$, и значения в максимумах стали бы равными 1; – либо наоборот минимумы оказались в половинных точках, а максимумы со значением равным 1 в целых. Функция может явно не совпасть с $\widehat{g}$, но после сдвига функции $g$ на половину периода, функция, построенная описанным выше способом, совпадет с $\widehat{g}$ (см. [1; теорема 2.17]). В результате, мы получим функцию $\widehat{g}$, по которой можно построить биллиард $K$ с проскальзыванием. Это и будет биллиард, лиувиллево эквивалентный исходному геодезическому потоку. Для этого осталось показать, что инвариант Фоменко–Цишанга, вычисленный по биллиарду $K$, совпадает после замены $g$ на $\widehat{g}$ с инвариантом, изображенным на рис. 3. Предложение 4. Биллиардный стол $K$, построенный по данной конструкции, после отождествления всех стрелок на границах инволютивных областей окажется гомеоморфен бутылке Клейна. Доказательство. Биллиардный стол $K$ получается из биллиардного стола $R$ удалением области $D$, гомеоморфной диску, и склейкой по границе с областью, гомеоморфной ленте Мёбиуса, что и есть бутылка Клейна. Предложение доказано. 4.1. Шаг 1. Вычисление грубой молекулыРассмотрим график функции $\widehat{g}$. Так как наша функция $\widehat{g}$ всюду положительна на отрезке, то построим по функции $\widehat{g}$ граф $W_2(\widehat{g})$. В нашем случае полученный граф $W(\widehat{g})$ является симметричным, так как функция $g$ была четной. Перейдем, наконец, к графу $\widetilde{W_2}(\widehat{g})$, профакторизовав полученную молекулу по имеющейся симметрии. Отличие в факторизации в случае $W(f)$ и в случае $W_2(g)$ состоит в том, что область под графиком функции $f$ была гомеоморфна диску и мы факторизовали по одной оси симметрии. В случае $W_2(g)$ область под графиком функции $g$ склеена в цилиндр и мы имеем две оси симметрии (ось $Oy$ и прямая, проходящая через точку функции $g$ на конце отрезка, параллельная оси $Oy$). Поэтому мы факторизуем не по прямой, а по плоскости, проходящей через оси симметрии цилиндра. Опишем факторизацию атома $B_k$ графа $\widetilde{W_2}(f)$. a. Пусть факторизация атома $B_k$ происходит на уровне, который не содержит минимумов на осях симметрии. Тогда число минимумов четно, и оси симметрии перейдут в себя. Получаем факторизацию атома $B_{2k}$ в атом $B_k$. b. Пусть факторизация атома $B_k$ происходит на уровне, который содержит один минимум на одной из осей симметрии. Исходя из четности числа минимумов вне оси, получаем, что ось проходит через атом $B_{2k+1}$. При данной симметрии эта точка на оси симметрии неподвижна, а число минимум вне оси уменьшается вдвое, следовательно, атом факторизуется в атом $B_k^*$. Нам остается описать факторизацию атомов $C_k$. c. Пусть какой-то $\lambda_{i}$, $0 < i < n+1$, является минимальным среди значений $\lambda_{i}$, $0 \leqslant i \leqslant n+1$, тогда на осях симметрии на этом уровне нет минимумов, а общее количество минимумов четно. Следовательно, количество минимумов уменьшается вдвое, а ось переходит в себя. Поэтому наш атом $C_{2k}$ факторизуется в $B_k$. Далее возможны только случаи a или b, так как совершается переход отрезков в отрезки. Рассмотрим случай, когда $\lambda_{i}$, $0 < i < n+1$, не являются минимальными среди значений $\lambda_{i}$, $0 \leqslant i \leqslant n+1$. Пусть ось симметрии $Oy$ проходит через минимум. Тогда вторая ось симметрии тоже проходит через минимум. d. Пусть $\lambda_{n+1}$ и $\lambda_0$ различаются, значит, количество точек минимума нечетно. Тогда на уровне $\min(\lambda_{n+1},\lambda_0)$ будет атом $C_{2k+1}$, переходящий в $B_{k}^*$ (рис. 6, d), так как будет всего одна неподвижная точка. На уровне, который соответствует большему значению из $\lambda_{n+1}$ и $\lambda_0$, будет случай b, так как будет совершаться переход отрезков в отрезки. Также рис. 6, d реализует случай, когда ось симметрии $Oy$ проходит через максимум, а вторая ось симметрии проходит через минимум. В этом случае количество минимумов на уровне $\lambda_{n+1}$ нечетно. Следовательно, на уровне $\lambda_{n+1}$ имеем атом $C_{2k+1}$, который факторизуется в атом $B_{k}^*$. В остальных случаях будет переход отрезков в отрезки по случаю a. e. Пусть значения $\lambda_{n+1}$ и $\lambda_0$ совпадают, значит, количество точек минимума четно. Следовательно, в $W_2(\widehat{g})$ на этом уровне будет стоять атом $C_{2k}$. Так как два минимума стоят на осях симметрии, то они оба будут неподвижны при действии факторизации, следовательно, атом $C_{2k}$ факторизуется в $B_k^{**}$ (рис. 6, e). Это построение совпадает с построением графа $\widetilde{W_2}(g)$ для геодезического потока на проективной плоскости, характеризующегося функцией $g$. Фиксируем уровень интеграла $\varphi_0<\pi/2$. Ему будет соответствовать некоторая горизонтальная прямая $y=c<1$, где $c$ – радиус окружности, которой на данном уровне интеграла касаются траектории. Рассмотрим соответствующую этому значению интеграла поверхность уровня и спроецируем ее на биллиард. Проекция поверхности уровня может быть получена удалением из каждого биллиарда в составе биллиарда $K$ внутренности окружности радиуса $c$. В результате такого удаления биллиард $K$ распадается на несколько компонент связности. Все они (быть может, кроме двух) гомеоморфны цилиндрам, полученным склейками из областей типа $C$, которые остаются при удалении внутренности окружности из областей $A_\lambda$, $B_\lambda$ и $A_\lambda^*$ (в случае, если $\lambda<c$). Оставшиеся области (при наличии таковых) будут гомеоморфны листам Мёбиуса. Они получаются при удалении внутренности окружности радиуса $c$ из инволютивных областей $A_\lambda$ или $A_\lambda^*$ (в случае если мы должны вырезать окружность меньшего радиуса чем радиус граничных окружностей области $A_\lambda^*$). Отметим, что число компонент связности совпадает с количеством отрезков, высекаемых прямой $y=c$ под графиком функции $\widehat{g }$ при $x>0 $ (поскольку в этой части график функции $\widehat{g}$ есть профиль биллиарда). Пусть прямая $y=c$ не проходит через минимумы функции $\widehat{g }$. Тогда прообраз каждого цилиндра и каждой ленты Мёбиуса есть некоторый двумерный тор. Пусть прямая $y=c$ проходит через несколько минимумов функции, но при этом не проходит через минимумы, лежащие на осях симметрии. Тогда, как и в топологических биллиардах, бифуркация на данном уровне описывает склейку нескольких торов в один вдоль критических окружностей, соответствующих невыпуклым склейкам вдоль окружностей с радиусом $c$. Несложно убедиться, что эта бифуркация описывается атомом $B_k$, где $k$ – это количество положительных минимумов, которых касается прямая $y=c$. Пусть прямая $y=c$ проходит через несколько минимумов функции, в том числе через один минимум, лежащий на оси $Oy$ или на прямой $(n+1,y)$ (в этом случае биллиард $K$ обязан содержать одну инволютивную область $A_\lambda^*$, причем в этом случае $\lambda=c$). Тогда можно показать, что бифуркация описывается атомом $B_k^*$, где $k$ – это количество положительных минимумов, в которых прямая $y=c$ касается графика функции. Отменим проскальзывание на внутренней окружности инволютивной $A_c^*$. Тогда соответствующая бифуркация описывается атомом $B_k$. На особом слое атома $B_k$ выделим особую окружность – прообраз внутренней граничной окружности области $A_c^*$. Она будет единственной, так как на особом слое траектории касаются окружности с радиусом $c$. При значениях интеграла, меньших чем $c$, этот прообраз будет пустым, а при больших – состоять из двух окружностей. Разрежем 3-атом по прообразу этой окружности, а затем вернем проскальзывание на этой окружности. В результате получим, что эта выделенная окружность на особом слое атома $B_k$ склеится с собой дважды. Эта склейка, будучи распространена на весь атом (т.е. и на неособые слои), приводит к образованию атома $B_k^*$, как склейка тора по выделенному циклу (так что цикл обходит себя дважды) приводит к образованию особого слоя атома $A^*$. Пусть прямая $y=c$ проходит через несколько минимумов функции, в том числе через минимумы, лежащие на оси $Oy$ и на прямой $(n+3/2,y)$ (в этом случае биллиард $K$ обязан содержать две области $A_c^*$). Тогда бифуркация описывается атомом $B_k^{**}$. Полученная в результате грубая молекула имеет вид $\widetilde W_2(\widehat{g})$, что и требовалось показать. 4.2. Шаг 2. Вычисление меток меченой молекулыПредложение 5. На ребрах между седловыми атомами стоят метки $r=\infty$. Между седловыми атомами и атомами $A$ – метки $r=0$, за исключением тех случаев, когда атом $A$ отвечает неподвижной точке инволюции (см. [1]) (в построении выше это означает, что отвечающий этому атому $A$ максимум лежит на оси $Oy$). В этом случае метка $r=1/2$. Доказательство. Проекции циклов на биллиардные столы, входящие в состав биллиарда $K$, полностью описаны в предложении 2, так как биллиард $K$ состоит из биллиардных столов серий, используемых в биллиарде $R$. Поэтому метки вне центрального ребра будут идентичны. Если проекция тора не затрагивает областей $A_\lambda$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r=0$, $\varepsilon=1$, вклада в метку $n$ здесь нет. Если проекция затрагивает инволютивную область $A_\lambda$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r=1/2$, $\varepsilon=1$. Эта матрица вносит вклад в семью, равный $[-1/2]=-1$. Если же проекция затрагивает $A_\lambda^*$, то на ребрах между седловыми атомами и атомами $A$ матрицы склейки имеют вид $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Метки здесь $r=0$, $\varepsilon=1$. Эта матрица вносит вклад в семью, равный $[-1/1]=-1$. Матрица склейки на ребре между седловыми атомами имеет вид $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ – все циклы $\lambda$ гомологичны и одинаково ориентированы. Это приводит к тому, что метки $r=\infty$, $\varepsilon=1$. Вклада в метку $n$ эти внутренние ребра семьи не дают. Предложение доказано. Предложение 6. На единственном центральном ребре молекулы $\widetilde{W_2}(g)$ метка $r=-\infty$, а метка $\varepsilon=-1$. В данной молекуле имеется ровно одна семья, метка на которой равна $-2$. Доказательство. Нам нужно описать переход циклов через $\Lambda=\pi/2$. Циклы $\lambda$ также будут переходить друг в друга сменой ориентации. Возьмем цикл $\delta$, показанный на рис. 9. При устремлении угла отражения от границы к нулю, циклы $\delta$ движения по часовой стрелке и против часовой стрелке перейдут друг в друга. Причем $\delta=\lambda - \mu$. Исходя из полученных соотношений, имеем $\lambda_++\mu_+=\lambda_-+\mu_-$. Следовательно, $\mu_+= 2\lambda_-+\mu_-$. Значит матрица склейки будет равна $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Вклад в метку $n$ равен $2$. Сложив все вклады ребер, получаем $n=-4+2=-2$. Метки на центральном ребре соответственно равны $r=\infty$, $\varepsilon=-1$. Предложение доказано. Теорема 1 для случая бутылки Клейна доказана. Замечание 4. Продемонстрируем еще одно существенное отличие граф-молекул интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости и бутылке Клейна. При изменении ориентации изоэнергетического многообразия $Q^3$ метка $n$ преобразуется в метку $n'=-n -l -\sum s$, где $l$ – число ребер, несущих на себе нецелую метку $r$ и являющихся выходящими ребрами данной семьи, а $s$ – суммарное количество звездочек у атомов, входящих в состав данной семьи. Тем самым метка $n=-2$ для случая проективной плоскости преобразуется в $n'=0$, а для случая бутылки Клейна $n'=-2$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VedZav22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|