| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Топологический анализ псевдоевклидова волчка Эйлера при особых значениях параметров М. К. Алтуев, В. А. Кибкало Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9771e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзучение гамильтоновых систем (в частности, свойств их особых движений – периодических траекторий и положений равновесия) с помощью топологических методов и подходов теории Морса было в значительной степени мотивировано известной работой С. Смейла [1]. Рассмотрим некоторый уровень энергии $H$ в фазовом пространстве гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad}H$ (также зафиксируем значения параметров системы, например, для многих механических систем такими параметрами являются значения геометрического интеграла и интеграла площадей). Наличие у системы особых движений на данном уровне энергии зачастую связано с наличием критических точек функции $H$ в соответствующих изоэнергетических поверхностях $Q^3_h$, инвариантных относительно гамильтонова векторного поля $\operatorname{sgrad}H$. Как оказалось, переход через бифуркационные значения энергии часто отражается на изменении топологического типа этих трехмерных многообразий, т.е. класса их гомеоморфности. Если гамильтонова система оказалась интегрируемой по Лиувиллю (подробнее см. [2]), то ее фазовое пространство разбивается на совместные уровни первых интегралов, т.е. обладает структурой слоения Лиувилля. Из теоремы Лиувилля следует, что в предположении нерезонансности системы почти все слои этого слоения являются замыканиями фазовых траекторий. Иными словами, послойная гомеоморфность двух систем означает возможность одновременно перевести почти все замыкания траекторий одной системы в замыкания траекторий другой. Аналог теории Морса для интегрируемых гамильтоновых систем был построен в работах А. Т. Фоменко [3], [4]. В предположении боттовости (невырожденности) дополнительного первого интеграла $F$ системы на ее неособой ($d H \ne 0$) изоэнергетической 3-поверхности $Q^3_h$ и ряда других условий А. Т. Фоменко и его научной школой затем была построена теория топологической классификации интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем; см. подробнее работы [5], [6] и монографию [2]. Сравнение двух систем относительно лиувиллевой эквивалентности (с точностью до послойного гомеоморфизма между системами, ограниченными на $Q^3$) или грубой лиувиллевой эквивалентности (гомеоморфизма баз их слоений Лиувилля, ограниченных на $Q^3$, поднимаемого в окрестности произвольной точки базы до послойного гомеоморфизма самих слоений) можно выполнить путем сравнения их соответствующих классифицирующих инвариантов. Для грубой лиувиллевой эквивалентности таковым оказывается инвариант Фоменко (грубая молекула), а для лиувиллевой эквивалентности – инвариант Фоменко–Цишанга (молекула с числовыми метками). Указанными инвариантами являются графы Риба функции $F$, ограниченной на $Q^3$ системы, оснащенные дополнительной информацией. Напомним, что ребра такого графа соответствуют семействам регулярных торов Лиувилля, а вершины – особым слоям (в случае компактности $Q^3$ прообраз бифуркационного значения $F$ содержит критические точки). Классы таких особенностей относительно послойной гомеоморфности называют атомами. Числовые метки инварианта Фоменко–Цишанга определяются по диффеоморфизмам склейки граничных торов атомов, смежных по ребру. Поскольку настоящая работа в значительной мере посвящена нахождению типов бифуркаций (возможно, не имеющих критических точек в прообразе бифуркационного значения отображения момента) и аналогов инвариантов Фоменко для конкретных систем с некомпактными слоениями Лиувилля, то более подробно напомним известные факты об этих инвариантах для компактного случая. Каждый боттовский 3-атом системы (а именно его особый слой) содержит хотя бы одну окружность, состоящую из критических точек. Считаем далее их невырожденными. Если эта окружность является минимальной или максимальной (имеет эллиптический тип), то особый слой совпадает с этой окружностью, а его инвариантная окрестность (3-атом) представляется как $S^1$-расслоение над диском, расслоенным на окружности и особую морсовскую точку типа центр. Такой 3-атом обозначается символом $A$, как и его база – расслоенный таким образом диск. Если одна из критических окружностей 3-атома имеет седловой тип, то все остальные критические точки на особом слое (при наличии таковых) также будут седловыми и будут образовывать седловые окружности. В этом случае особый слой содержит не только критические, но и регулярные точки. Сам 3-атом при этом обладает структурой $S^1$-расслоения Зейферта, особые слои которого имеют тип $(1,2)$; подробнее см. [2], [7]. Иными словами, каждый боттовский 3-атом имеет структуру $S^1$-расслоения над компактной 2-базой. Последняя является окрестностью особого слоя некоторой гамильтоновой системы с одной степенью свободы и морсовскими критическими точками. На рис. 1 изображены расслоенные окрестности особых точек типа центр и седло (последнюю обозначим $B''$, как и в работах [8]–[10]) и примеры седловых 2-атомов: атом $B$ (слоение в инвариантной окрестности “восьмерки”) и атом типа $C_2$, который встретится нам в дальнейшем. Обозначение $B''$ для морсовского седла отражает тот факт, что атом $B$ получается из такого седла путем склейки по двум парам отрезков. 1.1. Слоения с некомпактными слоями и неполными потокамиУсловие интегрируемости по Лиувиллю накладывает на систему серьезные ограничения помимо инволютивности первых интегралов, т.е. их попарного коммутирования относительно симплектической структуры или скобки Пуассона. Первым таким условием является полнота гамильтоновых потоков первых интегралов, т.е. возможность выполнить сдвиг вдоль траекторий этих векторных полей на любое время $t \in \mathbb{R}$. Иначе говоря, за конечное время система не должна удаляться сколь угодно далеко вдоль какой-либо фазовой траектории. Если это свойство нарушается для некоторого первого интеграла системы, то говорят о неполноте соответствующего гамильтонова векторного поля. Изучение систем с неполными потоками часто представляет серьезные трудности, как и само доказательство полноты или неполноты потока. Тем не менее для некоторых систем эти вопросы удается успешно разрешить; см. [11]–[13]. Отметим также несколько более общих результатов, связанных с обобщением теоремы Лиувилля на случай систем с неполными потоками (см. [14], [15]). Весьма удобным достаточным условием полноты гамильтоновых векторных полей на некотором слое слоения Лиувилля является компактность этого слоя. Ее проверка для систем с полиномиальными интегралами уже не требует работы с системой дифференциальных уравнений, но сводится зачастую к изучению совместного уровня нескольких функций с точки зрения его ограниченности или отделимости от некоторых точек. Отметим, что на некомпактных слоях система может иметь как полные, так и неполные потоки гамильтоновых полей первых интегралов. Одной из основных трудностей при топологическом анализе систем с некомпактными слоями является наличие некритических бифуркаций слоений Лиувилля. Иначе говоря, отображение момента такой системы может иметь значение, прообраз окрестности которого не является тривиальным расслоением над этой окрестностью, но критические точки (точки падения ранга дифференциала отображения момента) в прообразе этого значения отсутствуют. В частности, такие особенности невозможно обнаружить путем проверки линейной зависимости гамильтоновых полей первых интегралов; см. [12], [13]. Недавний обзор, посвященный явлению некомпактности в интегрируемых системах, был сделан Д. А. Федосеевым и А. Т. Фоменко; см. [16]. В работе перечислены примеры механических систем различной природы, имеющие в своем слоении Лиувилля некомпактные слои и их перестройки. В частности, отметим недавние работы по классификации и топологическому анализу различных обобщений классических систем Бертрана; см., например, [17], [18]. Изучению особенностей с некомпактными слоениями также посвящены недавние работы С. С. Николаенко [9], [19]. Примером явного решения вопроса о компактности совместного уровня первых интегралов механической системы может служить недавняя работа В. А. Кибкало [20], где критерий компактности был построен для псевдоевклидова аналога известного волчка Ковалевской. Удалось также показать, что слоение Лиувилля этой системы обладает некомпактными некритическими бифуркациями, хотя точный вид этих особенностей пока не вполне ясен. Ранее для той же системы в работе [21] было построено разделение переменных. Класс псевдоевклидовых аналогов интегрируемых систем классической динамики (волчки Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, системы Горячева–Чаплыгина, Гесса) был введен в работе А. В. Борисова и И. С. Мамаева [22]. Отметим также сборник [23], содержащий как классические, так и современные работы, посвященные задачам механики в неевклидовых пространствах. Одной из причин обращения к исследованию топологии псевдоевклидова волчка Эйлера стал более простой по сравнению с волчком Ковалевской вид гамильтониана и первого интеграла. Как ожидалось, это позволит явным и геометрическим образом описать возникающие бифуркации слоений. На рис. 2 приведем примеры баз некомпактных атомов-бифуркаций, происходящих без наличия критических точек (а возможно, и без наличия особого слоя) и встречающихся в псевдоевклидовых аналогах системы Эйлера для разных значений параметров системы. 1.2. Псевдоевклидовы аналоги систем динамикиРассмотрим однопараметрический пучок скобок $P$ Ли–Пуассона на $\mathbb{R}^6(J_1, J_2, J_3, x_1, x_2, x_3)$, соответствующих при $\varkappa <0$, $\varkappa=0$, $\varkappa >0$ алгебрам Ли $\mathrm{so}(3,1)-\mathrm{e}(3)-\mathrm{so}(4)$,
$$
\begin{equation*}
\{J_i, J_j\}=\varepsilon_{ijk} J_k, \qquad \{J_i, x_j\}=\varepsilon_{ijk} x_k, \qquad \{x_i, x_j\}=\varkappa \varepsilon_{ijk} J_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $g$ псевдоевклидово скалярное произведение $g=\mathrm{diag}(1, 1, \sigma)$ на некотором $\mathbb{R}^3$ для $\sigma < 0$. Здесь и далее рассматривается случай $\sigma=-1$ (данный параметр не является существенным). Теперь рассмотрим преобразование $\Phi\colon \mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$ вида
$$
\begin{equation*}
\widetilde{J_i}=\frac{J_j}{i}, \quad \widetilde{J_j}=\frac{J_j}{i} \quad \text{для }\ j=1, 2, \qquad \widetilde{J_3}=J_3, \quad \widetilde{x_3}=x_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Оно переводит скобки Пуассона пучка $P$ в скобки следующего пучка $P_{\mathrm{ps}}=P_{\mathrm{ps}}(\varkappa)$, причем алгебре Ли $\mathrm{e}(3)$ группы движений трехмерного евклидова пространства (при этом $\varkappa=0$) соответствует алгебра Ли $\mathrm{e}(2,1)$ группы движений псевдоевклидова пространства:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_{\mathrm{ps}}=\begin{pmatrix} 0 & \sigma \widetilde{J}_3 & -\widetilde{J}_2 & 0 & \sigma \widetilde{x}_3 & -\widetilde{x}_2 \\ -\sigma \widetilde{J}_3 & 0 & \widetilde{J}_1 & -\sigma \widetilde{x}_3 & 0 & \widetilde{x}_1 \\ \widetilde{J}_2 & -\widetilde{J}_1 & 0 & \widetilde{x}_2 & -\widetilde{x}_1 & 0 \\ 0 & \sigma \widetilde{x}_3 & -\widetilde{x}_2 & 0 & \varkappa \sigma \widetilde{J}_3 &-\varkappa \widetilde{J}_2 \\ -\sigma \widetilde{x}_3 & 0 & \widetilde{x}_1 & -\varkappa \sigma \widetilde{J}_3 & 0 & \varkappa \widetilde{J}_1 \\ \widetilde{x}_2 & -\widetilde{x}_1 & 0 & \varkappa \widetilde{J}_2 & -\varkappa \widetilde{J}_1 & 0 \\ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее опустим символы “волн” при обозначениях координат. Отметим, что закон движения динамической системы с гамильтонианом $H$ можно также переписать в векторной форме в виде псевдосферических уравнений Эйлера:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{\vec{J}}=(g \vec{J}) \times \frac{\partial H}{\partial \vec{J}}+(g \vec{x}) \times \frac{\partial H}{\partial \vec{x}}, \\ \dot{\vec{J}}=(g \vec{x}) \times \frac{\partial H}{\partial \vec{J}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Основной идеей является поиск линейных преобразований координат в $\mathbb{C}^6$ (систему можно рассматривать и для комплексных значений $J_i$, $x_i$), оставляющих гамильтониан $H$ и скобку Пуассона $P$ вещественными: $\widetilde{H}$ и $\widetilde{P}$. Отметим, что для получаемой системы может не существовать вещественной замены переменных $\mathbb{R}^6 \to \mathbb{R}^6$, возвращающих интеграл и скобку к исходному виду. Если исходная система обладала интегралом $K$, то результат применения данного преобразования к $K$ сохраняет инволютивность: $\widetilde{P}(\widetilde{H}, \widetilde{K})=0$. В частности, если косые градиенты $H$ и $K$ были линейно зависимы в некоторой точке (т.е. эта точка критическая), то косые градиенты их образов также остаются линейно зависимыми в образе данной точки. Для многих известных систем механики описанное выше преобразование $\Phi$ оставляет интеграл $K$ вещественным. Например, это оказалось верно для волчков Эйлера, Лагранжа, Ковалевской (требуется также домножить на $i$ коэффициент при $x_1$ в гамильтониане и соответствующие коэффициенты в интеграле Ковалевской), системы Гесса, Горячева–Чаплыгина. Отметим, что для семейства систем Ковалевской на алгебрах Ли $\mathrm{so}(3, 1)-\mathrm{e}(3)-\mathrm{so}(4)$, включающего классический волчок, данный факт верен при произвольных $\varkappa \in \mathbb{R}$. При указанном выше преобразовании $\Phi$ гамильтониан и первый интеграл волчка Эйлера переходят в следующие функции:
$$
\begin{equation}
H=\frac{J_1^2}{2A_1}+\frac{J_1^2}{2A_2}-\frac{J_3^2}{2A_3}=h,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $A_i >0$ – главные моменты инерции системы. Здесь и далее считаем их попарно различными. Функции Казимира получаемой скобки $P_{\mathrm{ps}}$ имеют вид Тем самым задача об исследовании фазовой топологии системы Эйлера сводится к описанию совместных уровней четырех первых интегралов, выписанных выше, а также к описанию их бифуркаций:
§ 2. Основные результатыВ настоящей работе мы главным образом опишем топологию слоения Лиувилля псевдоевклидова аналога случая Эйлера при следующих особых значениях функций Казимира: положим $a \cdot b=0$, исключая случай $a=b=0$. Лемма 1. Пусть значение $(a, b)$ пары функций $f_1$, $f_2$ отлично от пары $(0, 0)$. Тогда $M^4_{a, b}$ является гладким четырехмерным многообразием и симплектическим листом скобки Пуассона (1.2). Поскольку в случае $(J_1, J_2, -J_3) \ne (0, 0, 0)$ векторы $\operatorname{d}f_1$ и $\operatorname{d}f_2$ линейно независимы, а иначе имеем $f_1=f_2=0$, то совместный уровень $M^4_{a, b}$ является гладким четырехмерным многообразием для каждой пары $(f_1, f_2)=(a, b)$, исключая пару $(0, 0)$. В следующей теореме мы опишем топологический тип слоев слоения Лиувилля псевдоевклидова случая Эйлера при различных значениях моментов инерции и указанных выше значениях функций Казимира. Теорема 1. 1. Слоения Лиувилля псевдоевклидова аналога волчка Эйлера на совместных уровнях $M_{a, b}^4$ в случае $a b=0$ и $(a, b) \ne (0, 0)$ имеют следующие двумерные регулярные слои: каждый такой слой гомеоморфен либо 2-тору $T^2$, либо цилиндру $\mathrm{Cyl}^2$, либо плоскости $R^2$ (слои, гомеоморфные тору, встречаются в случае $A_3<A_2<A_1$, а гомеоморфные плоскости – в случае $A_2<A_3<A_1$). 2. В случае $A_3<A_2<A_1$ слоения Лиувилля той же системы при тех же значениях $a, b$ имеют следующие особенности – аналоги 3-атомов Фоменко. Перестройки регулярных слоев системы, происходящие в прообразе малого отрезка, трансверсально пересекающего дугу $\Sigma_{a, b}$, имеют тип прямого произведения расслоенной 2-базы на слой, гомеоморфный окружности $S^1$ или интервалу $I$. В последнем случае обозначение особенности ниже содержит “шапочку”. На рассматриваемых уровнях $M^4_{a, b}$ система содержит следующие особенности, принадлежащие к одному из трех типов.
Теперь перейдем к описанию грубой топологии псевдоевклидова волчка Эйлера на неособых изоинтегральных поверхностях $Q^3_k$ и неособых изоэнергетических поверхностях $Q^3_h$. Утверждение 1. Пусть псевдоевклидова система Эйлера задана тремя попарно различными моментами инерции $A_1$, $A_2$, $A_3$. Каждая неособая ($h\,{\ne}\, 0$) поверхность $Q^3_h$ на симплектическом листе $M^4_{a, b}$ с условиями $(a, b) \ne (0 ,0)$ и $a \cdot b=0$ данной системы принадлежит не более чем к одному из шести классов послойной гомеоморфности. Аналогичное верно для неособых ($k \ne 0$) изоинтегральных поверхностей. Данное утверждение следует из следующего соображения. Напомним, что $f_1$ и $H$ (или $K$) являются квадратичными полиномами по переменным $\vec{x}=(x_1, x_2, x_3)$ и $\vec{J}=(J_1, J_2, J_3)$, а функция $f_2$ есть скалярное произведение $\vec{x}$ и $\vec{J}$ относительно метрики $(1, 1, -1)$. Тем самым при условии $a \cdot b=0$ сжатие-растяжение координат переводит множество уровня $Q_{a, b, h}$ в множество уровня $Q_{\operatorname{sgn}a,\operatorname{sgn}b,\operatorname{sgn}h}$. Условие $(a, b) \ne (0 ,0)$ означает, что $M^4_{a, b}$ является гладким многообразием в $\mathbb{R}^6$ и симплектическим листом скобки Пуассона. Поскольку $a \cdot b \ne 0$, то с точностью до сжатия-растяжения троек $\vec{J}$ и $\vec{x}$ возможны три следующие случая:
$$
\begin{equation*}
a=1, \quad b=0; \qquad a=-1, \quad b=0; \qquad a=0, \quad b=\pm 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому из них соответствует два класса изоэнергетических поверхностей $Q_h$ в зависимости от выбора знака $h \ne 0$ (или знака $k$ для изоинтегральных поверхностей $Q_k$). Замечание 1. У двух систем с разными тройками значений главных моментов инерции $A_1$, $A_2$, $A_3$ наборы из этих шести классов могут различаться. В настоящей работе рассматривается случай попарно различных главных моментов инерции $A_i$, причем один из них, $A_3$, направлен вдоль “отрицательной” оси псевдоевклидова пространства. Следующее соображение показывает, что достаточно изучить лишь два случая: когда $A_3$ является наибольшим/наименьшим среди $A_1$, $A_2$, $A_3$ либо когда является средним из трех, например, $A_1>A_3 >A_2$. Лемма 2. Гамильтониан $H$ c попарно различными главными моментами инерции $0<A_3<A_1<A_2$ задает то же слоение Лиувилля, что и гамильтониан $\widetilde{H}$ с некоторыми другими моментами инерции $0< \widetilde A_1<\widetilde{A_2}<\widetilde A_3$. Если $A_3$ является наибольшим, то вычтем из дополнительного интеграла $K=J_1^2+J_2^2-J_3^2$ гамильтониан $H$ c нужным коэффициентом $\alpha >0$ и получим гамильтониан следующего вида:
$$
\begin{equation*}
H=\biggl( 1 -\frac{\alpha}{2A_1}\biggr) J_1^2 +\biggl(1 -\frac{\alpha}{2A_2}\biggr) J_2^2 -\biggl(1 -\frac{\alpha}{2A_3}\biggr) J_3^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где все коэффициенты неотрицательны и попарно различны, причем коэффициент при третьей “отрицательной” оси является наибольшим из трех. Аналогичным образом система с моментами инерции $A_1<A_3<A_2$ переводится в таковую с моментами инерции $A_2<A_3<A_1$. В следующей теореме 2 мы опишем устройство базы слоения Лиувилля на неособых уровнях $Q^3_h=Q^3_{a, b, h}$ и $Q^3_k=Q^3_{a, b, k}$ в случае $A_3<A_2<A_1$. Обозначим возникающие $12$ типов неособых уровней символом $h$ или $k$ (для изоэнергетических и изоинтегральных поверхностей соответственно) и номером от $1$ до $6$. Номера $1$ и $2$ соответствуют случаю $a=1$, $b=0$, номера $3$ и $4$ – случаю $a=-1$, $b=0$, номера $5$ и $6$ – случаю $a=0$, $b \ne 0$. Внутри каждой пары номеров нечетный номер соответствует случаям $h < 0$ или $k<0$, а четный – случаям $h>0$ или $k>0$. Теорема 2. Аналоги грубых молекул (инвариантов Фоменко) для слоений Лиувилля псевдоевклидова волчка Эйлера c моментами инерции $A_3<A_2< A_1$, ограниченного на неособые уровни энергии $Q_h=Q_{a, b, h}$ или интеграла $Q_k=Q_{a, b, k}$, изображены на рис. 3–5 в зависимости от знаков $f_1=a, f_2=b$. Обозначения инвариантов $1k, \dots, 6k$ и $1h, \dots, 6h$ совпадают с введенными выше обозначениями неособых уровней. Приведенная информация позволяет однозначно восстановить как базу слоения (с точностью до гомеоморфизма), так и поднятие в окрестности каждого значения энергии $h$ (для изоинтегральной поверхности $Q^3_k$) или интеграла $k$ (для изоэнергетической поверхности $Q^3_h$). Если инвариант несвязен, то предполагается, что бифуркации происходят на всех связных компонентах одновременно, т.е. при тех же значениях функции (энергии или интеграла), расслаивающей данное $Q^3$. При топологическом анализе псевдоевклидовой системы Эйлера мы будем придерживаться следующей схемы:
Таким образом строятся бифуркационные диаграммы отображения момента
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{F}=(H, F)\colon M^4_{a, b} \to \mathbb{R}^2(h, k)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого из указанных перечисленных выше случаев. Приведем здесь итоговый результат. Теорема 3. Бифуркационные диаграммы $\Sigma_{a, b}$ и образ отображения момента $(H, F)$ системы (в ограничении на симплектические листы $M^4_{1, 0}$, $M^4_{-1, 0}$, $M^4_{0, 1}$) изображены на рис. 6–9. Диаграмма $\Sigma_{a, b}$ состоит из особой точки $(0, 0)$, трех лучей, $h=k/(2A_1)$, $h= k/(2A_2)$ для $k >0$ и $h=k/(2A_3)$ для $k <0$, а также одного луча $k=0$, $h< 0$ (при $A_3<A_2<A_1$) или двух лучей прямой $k=0$ с началом в нуле (при $A_2<A_3<A_1$). Для каждой страты (особой точки, открытого луча или двумерной компоненты, ограниченной двумя лучами) указано, произведение каких кривых образует соответствующий уровень слоения Лиувилля. Первая компонента соответствует топологическому типу пересечения уровней $H=h$, $K=k$ в пространстве $\mathbb{R}^3(J_1, J_2, J_3)$, а вторая – топологическому типу пересечения обобщенного гиперболоида $f_1=a$ и плоскости $f_2=b$ (c вектором коэффициентов $\vec{J}$ ) в пространстве $\mathbb{R}^3(x_1, x_2, x_3)$. Отметим, что критические атомы-бифуркации соответствуют лучам $h=k/(2A_i)$, а некомпактные некритические бифуркации – лучам оси $Oh$. § 3. Вспомогательные утверждения и их доказательстваВ этом параграфе приведем ряд вспомогательных утверждений, из которых будут следовать теоремы 1–3. 3.1. Топология совместных уровней $H=h$ и $K=k$ в $\mathbb{R}^3(J_1, J_2, J_3)$Рассмотрим гамильтониан и первый интеграл системы как квадрики в $\mathbb{R}^3(J_1, J_2, J_3)$. Выбрав один из уровней $K=J_1^2+J_2^2-J_3^2=k$, изучим слоение функции $H$ на нем. Переход от уровня функции $H=h$ к уровню функции $H-K/(2A_3)=h-k/(2A_3)$ существенно упрощает задачу: пересечение гиперболоида $K=k$ с цилиндром
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{2A1}-\frac{1}{2A_3}\biggr) J_1^2 +\biggl(\frac{1}{2A1}-\frac{1}{2A_3}\biggr) J_2^2=h-\frac{k}{2A_3}
\end{equation*}
\notag
$$
описывается так. Утверждение 2. Совместный уровень функций $H=h, K=k$ в пространстве $\mathbb{R}^3(J_1, J_2, J_3)$, обозначенный $\xi^1_{h, k}$, симметричен относительно отражений $J_1 \to-J_1$ и $J_2 \to-J_2$. В табл. 1 приведем класс его гомеоморфности для неособых значений $(h, k)$ или для $(h, k)=(0, 0)$, а также типы атомов-перестроек в прообразе малых отрезков $h=h_{\mathrm{crit}} \pm \varepsilon$ при $k \ne 0$. Таблица 1.Топология регулярных совместных уровней $H=h$ и $K=k$ в трехмерном пространстве скоростей различных $(h, k)$ и типы их бифуркаций (2-атомов) для лучей $h=k/(2A_i)$, входящих в бифуркационную диаграмму. Здесь $A$, $C_2$ – 2-атомы в обозначениях из [2], а $B''$ – морсовское седло (2-атом $B$ с двумя “разрезами”). Символы $4I_{-}$ и $4I_{+}$ обозначают гомеоморфные отрезку связные компоненты, пересекающие и не пересекающие плоскость $J_3=0$ соответственно. Символ $Z$ обозначает объединение четырех общих образующих двух номеров $K=0$ и $H=0$ в случае $A_2<A_3<A_1$
Доказательство. Рассмотрим пересечение цилиндра $H-\alpha K=h-\alpha k$ и обобщенного гиперболоида $K=k$.
При $A_3<A_2<A_1$ оно компактно, поскольку цилиндр имеет обобщенный эллиптический тип (знаки $1/A_3-1/A_1$ и $1/A_3-1/A_2$ совпадают). Тем самым, регулярные слои пусты или гомеоморфны окружности, а их перестройки являются 2-атомами (что следует из несложной проверки невырожденности). При $A_2<A_3<A_1$ цилиндр имеет обобщенный гиперболический тип (знаки $1/A_3-1/A_1$ и $1/A_3- 1/A_2$ различаются). Его образующая (прямая, параллельная оси $OJ_3$) либо пересекает обобщенный гиперболоид $K=k$ в двух точках, либо имеет с ним одну общую точку (при $J_3=0$), либо не имеет общих точек (если пересекает плоскость $OJ_1J_2$ внутри “горлышка” однополостного гиперболоида. Для доказательства последнего рассмотрим взаимное расположение сечения цилиндра плоскостью $OJ_1J_2$ (гиперболу или пару пересекающихся прямых) и проекции обобщенного гиперболоида $K=k$ на эту плоскость. Образом последней является вся плоскость при $k \leqslant 0$ или внешность круга $J_1^2+J_2^2 \geqslant k$ при $k >0$. Если сечение цилиндра достигает границы образа проекции, то на связной компоненте уровня $\xi_{h, k}$ координата $J_3$ принимает все вещественные значения. Такие компоненты обозначаем $I_{-}$. В противном случае (например, если обе квадрики $H=h$ и $K=k$ были двуполостными гиперболоидами) их пересечение не имеет общих точек с плоскостью $J_3=0$. Такие связные компоненты, гомеоморфные интервалу, обозначим $I_{+}$. Проверка морсовости возникающих критических точек, отличных от $(0, 0, 0)$, тривиальна. Тем самым на соответствующем уровне $H=h_{\mathrm{crit}}$ имеем несвязное объединение двух морсовских седел $B''$. Отметим, что критическим точкам соответствуют точки пересечения двуполостного гиперболоида с осью $OJ_3$ и точки пересечения однополостного гиперболоида с осями $OJ_1$ и $OJ_2$. Утверждение доказано. 3.2. Совместные уровни функций Казимира как функций от координат волчкаУсловие $a \cdot b=0$ существенно упрощает задачу об описании совместного уровня $f_1=a$, $f_2=b$ функций Казимира как квадрик в $\mathbb{R}^3(x_1, x_2, x_3)$ при фиксированном $\vec{J}=(J_1, J_2, J_3)$. Тогда интеграл площадей $f_2=b$ соответствует плоскости в $\mathbb{R}^3(\vec{x})$, а геометрический интеграл задает обобщенный гиперболоид $x_1^2+x_2^2-x_3^2=a$. Напомним, что вектор $\vec{n_e}$, нормальный в евклидовом смысле к плоскости $f_2=b$, будет параллелен вектору $(J_1, J_2, -J_3)$. В случае $b=0$ плоскость проходит через начало координат пространства $\mathbb{R}^3(\vec{x})$, содержит радиус-вектор $\vec{J}$ и перпендикулярна в евклидовом смысле вектору $(J_1, J_2, -J_3)$. В табл. 2 приведем информацию об устройстве совместного уровня $f_1=a$, $f_2=0$, $K(\vec{J})=k$ в зависимости от $a$ и $k$. Таблица 2.Совместный уровень функций $f_1=a$ и $f_2=0$ (при фиксированном векторе $\vec{J}=(J_1, J_2, J_3)$) в зависимости от знаков $a$ функции $f_1$ и знака интеграла $K=k$ на векторе $\vec{J}$
В случае $f_1=a=0$ и $f_2=b \ne 0$ имеем пересечение конуса с плоскостью, не проходящей через начало координат. Путем сжатия-растяжения координат $x_1$, $x_2$, $x_3$ перейдем к задаче для $a=0$, $b=1$ с теми же значениями $h$ и $k$ функций $H$ и $K$ на векторе $\vec{J}=(J_1, J_2, J_3)$. Если плоскость $f_2=1$ оказывается параллельна некоторой образующей конуса (т.е. вектор $\vec{J}$ светоподобен и $k=0$), то в пересечении плоскости и конуса имеем параболу (плоскость не проходит через начало координат). Если вектор $\vec{J}$ лежит внутри светового конуса, то имеем в пересечении плоскости и конуса эллипс, а если $\vec{J}$ лежит вне конуса, то имеем две ветви гиперболы. Тем самым мы показали истинность теоремы 3 в части того, какие дуги образуют бифуркационные диаграммы при различных $a$, $b$. 3.3. Двумерные слои и окрестности особых слоевИз полученного выше имеем, что каждый совместный уровень $f_1=a$, $f_2=b$, $H=h$, $K=k$ может быть представлен как расслоение без особенностей. Базой расслоения служит совместный уровень $\xi^1_{hk}=\{\vec{J}=(J_1, J_2, J_3)\mid H(\vec{J}\,)=h,\, K(\vec{J}\,)=k\}$ функций $H=h$ и $K=k$ в пространстве $\mathbb{R}^3(J_1, J_2, J_3)$. Класс гомеоморфности слоя этого расслоения не зависит от конкретной точки поверхности уровня $K=k$ (в частности, от значения $H=h$) при фиксированных значениях $a\,{\cdot}\, b=0$ функций Казимира и выбранном $k$. Если совместный уровень четырех функций на $\mathbb{R}^6$ не содержит критических точек отображения $(f_1, f_2, H, K)$, то он ориентируем. Отсюда, в частности, имеем гомеоморфность каждого регулярного слоя слоения Лиувилля тору, цилиндру или плоскости. Доказательство того, что прообраз каждой точки плоскости $Ohk$, исключая бифуркационную диаграмму, устроен именно так, как указано в теореме 3, следует для систем с $A_2<A_3<A_1$ из односвязности каждой связной компоненты множества $\xi^1_{hk}$ при всех рассматриваемых в работе значениях $a$, $b$. В случае $A_3<A_2<A_1$ связные компоненты множества $\xi^1_{h, k}$ бывают гомеоморфны окружности. Тем самым наличие несвязного слоя (пересечения $f_1=a$, $f_2=b$ в $\mathbb{R}^3(\vec{x})$) над каждой точкой базы $\xi^1_{h, k}$ не гарантирует, вообще говоря, несвязность совместного уровня четырех первых интегралов. Это тем не менее удается вывести, опираясь на невырожденность критических точек в прообразах лучей $h=k/(2A_2)$, $k >0$ и $h=k/(2A_3)$, $k<0$. Эти критические точки имеют эллиптический тип, т.е. в прообразе малого трансверсального отрезка (как $h=\mathrm{const}$, так и $k=\mathrm{const}$) мы имеем прямое произведение 2-атома на несвязное объединение окружностей и интервалов. Теорема 3 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AltKib23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|