| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Комплекс Кузeна на дополнении к дивизору со строго нормальными пересечениями в локальной существенно гладкой схеме над полем А. Э. Дружинин Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9762e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВсюду в статье, кроме введения, мы работаем со схемами над полем $k$. Комплекс Кузeна $\mathrm{Cous}^{n,l}(V,E)$ на схеме $V$, ассоциированный с биградуированной теорией когомологий $E^{*,*}$, – это комплекс абелевых групп
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dots &\to 0\to E^{n,l}(V) \to \bigoplus_{z\in V^{(0)}} E^{n,l}(z)\to \bigoplus_{z\in V^{(1)}} E^{n+1,l}_z(V)\to \dotsb \\ &\to\bigoplus_{z\in V^{(c)}} E^{n+c,l}_z(V)\to\dots\to \bigoplus_{z\in V^{(d)}} E^{n+d,l}_z(V)\to 0\to \dotsb, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $d=\dim V$ – это размерность Крулля, $V^{(c)}$ обозначает множество точек коразмерности $c$, $E^{n+c,l}_z(V)=E^{n+c,l}_z(V_z)$ – когомологии с носителями в $z$ локальной схемы $V_z$ точки $z$, а дифференциалы комплекса канонически определены граничными отображениями, т.е. дифференциалами, теории когомологий. Для теории когомологий $E^{*}$, имеющей один индекс градуировки, индекс $l$ в комплексе (1.1) просто отсутствует. Главный вопрос, обсуждаемый в настоящей статье, таков. Для какого достаточно широкого запаса регулярных схем над полем и каких теорий когомологий $E^*$ комплекс Кузена $\mathrm{Cous}^n(V,E)$ точен для всех целых $n$? Если схема $V$ локальная регулярная, а $E^*$ – это алгебраическая $K$-теория Квиллена, то вопрос был поставлен С. М. Герстеном в [1] и известен как гипотеза Герстена. Гипотеза Герстена была доказана Д. Квилленом в его фундаментальной статье [2] для локальных схем вида $X_x$, где $x$ – это точка гладкой схемы $X \in \mathrm{Sm}_k$ над полем $k$. И она была доказана И. Паниным в [3] для всех локальных регулярных равно-характеристических схем $V$. Для удобства назовем геометрической $E^*$-версией гипотезы Герстена вопрос о том, является ли комплекс Кузена $\mathrm{Cous}^n(X_x,E)$ точным для всех схем вида $X_x$, как выше, и всех целых $n$. После пионерских работ Квиллена [2], С. Блоха и А. Огуса [4] и революционной работы Воеводского [5] геометрическая $E^*$-версия гипотезы Герстена была доказана в работе Панина [6; § 9] для произвольной теории когомологий $E^*$ в смысле Панина–Смирнова [7; определение 2.1] (основное поле $k$ произвольно). Отметим, что работе [1] предшествовали работы Мореля [8], [9]. В них геометрическая $E^*$-версия гипотезы Герстена доказана для всех $\mathbf{SH}^{S^1}(k)$-представимых теорий (неявно предполагается бесконечность поля $k$). В работе Г. Гаркуши и И. Панина [10], дополненной работой автора и И. Панина [11], и в работе автора и Дж. И. Киллинга [12] результаты работы [5] перенесены на раддитивные $\mathbb{A}^1$-инвариантные предпучки абелевых групп с оснащенными трансферами. Отметим, что предпучки с оснащенными трансферами были введены в основополагающей работе Воеводского [5]. А раддитивные $\mathbb{A}^1$-инвариантные предпучки абелевых групп с оснащенными трансферами были введены и систематически изучены в [10]. Используя подход работ [6], [8], [9], в настоящей статье нами получено обобщение приведенных выше утверждений на более широкий класс схем над полем. Чтобы сформулировать основной результат настоящей статьи (теорема 4), обозначим через $\mathrm{Sm}_k$ категорию гладких схем конечного типа над полем $k$. Пусть $X\in \mathrm{Sm}_k$, $x\in X$, $D$ – дивизор со строго нормальными пересечениями в $X_x$ и $Z_\alpha$, где $\alpha\in A$, – это конечное семейство собственных замкнутых подмножеств $\mathbb{A}^1_k$. Пусть
$$
\begin{equation*}
V=(X_x-D)\times\prod_\alpha(\mathbb{A}^1_k-Z_\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любой теории когомологий $E$ в смысле определения 1 комплекс Кузeна $\mathrm{Cous}^n(V,E)$, описанный формулой (1.1), является точным. В частности (следствие 7), утверждение теоремы выполняется для теорий когомологий представимых в $S^1$-стабильной мотивной гомотопической категории Мореля $\mathbf{SH}^{S^1}(k)$ (см. [13]), и биградуированных теорий когомологий представимых в стабильной мотивной гомотопической категории Воеводского $\mathbf{SH}(k)$ (см. [14]). Схема $V$ вида, описанного в теореме 4, является когомологически тривиальной в смысле определения [15; определение 2.9]. Ранее для теории когомологий ассоциированной с произвольным $\mathbb A^1$-инвариантным раддитивным предпучком абелевых групп с оснащенными трансферами над произвольным полем $k$ в работе автора [16] был доказан случай теоремы 4 для схемы $X_x - D$ и гладкого дивизора $D$. То обстоятельство, что точность комплексов $\mathrm{Cous}^n(X_x - D,E)$ выполняется для дивизора со строго нормальными пересечениями $D$ в гладкой схеме над полем, естественно подводит к предположению о точности данного комплекса для определенных теорий когомологий для случая регулярной схемы $X$ и дивизора со строго нормальными пересечениями $D$ в $X$. Мы имеем ввиду приводимое ниже обобщение гипотезы Герстена для $\mathrm{K}$-теории Томасона–Тробо (см. [17]), эрмитовой $\mathrm{K}$-теории Шлихтинга (см. [18]), а также аналогичного утверждения для стабильных мотивных гомотопические групп, и алгебраических кобордизмов $\mathrm{MGL}$ Воеводского [14]. Чтобы сформулировать аккуратно п. (2)–(4) указанной гипотезы, надо использовать стабильную мотивную гомотопическую категорию $\mathbf{SH}(U)$ Воеводского (см. [14]) локальной регулярной схемы $U$ и биградуированные предпучки $\mathbb A^1$-гомотопических групп на категории гладких схем конечного типа над $U$. (1) $E^*$ обозначает $\mathrm{K}$-теорию Томасона–Тробо $E^n = K^{TT}_{-n}$ или (2) $E^{*,*}$ обозначает эрмитову $\mathrm{K}$-теорию $\mathbf {BO}^{n,l}(-) = \text{KO}^{[l]}_{2l-n}(-)$, заданную $T$-спектром $\mathbf {BO}$ из [19], или (3) $E^{*,*}$ – это стабильные мотивные гомотопические группы сферического $T$-спектра над схемой $U$: $E^{n,l}(-) = \pi^{\mathbb A^1}_{-n,-l}(\mathbf T_U)(-)$, или (4) $E^{*,*}$ – это алгебраические кобордизмы Воеводского, т.е. в терминах мотивных спектров $E^{n,l}(-) = \pi^{\mathbb A^1}_{-n,-l}(\mathbf {MGL})(-)$. Тогда для любой локальной регулярной схемы $U$ и дивизора $D$ со строго нормальными пересечениями в $U$, любого целого $l$ и любых целых $n$ комплекс $\mathrm{Cous}^{n,l}(V,E)$ точен для схемы $V = U - D$. Замечание 1. Более того, мы предполагаем, что теорема 4 и сформулированная гипотеза 1 справедливы для дивизоров с нормальными пересечениями, и даже для более широкого класса дивизоров, однако этот и более общие случаи не обсуждается в статье. Родственным утверждению о точности комплекса Кузена $\mathrm{Cous}^n(U,E)$ на локальных регулярных схемах является гипотеза Гротендика–Серра (см. [20], [21]) о торсорах над редуктивными групповыми схемами, утверждающая тривиальность ядра отображения пунктированных множеств
$$
\begin{equation*}
H^1_{\mathrm{et}}(U,G) \to H^1_{\mathrm{et}}(\eta,G),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta$ – общая точка локальной регулярной схемы $U$. Сопряженная с ней гипотеза Нисневича (см. [22]) утверждает справедливость аналогичного свойства для схемы $V = U - D$, где $D$ – регулярный дивизор. Гипотеза Гротендика–Серра доказана в равнохарактеристическом случае: в работе Панина и Фёдорова [23] для схем над бесконечным полем и в работе Панина [24] для схем над произвольным полем. См. подробнее в докладе Панина [25] на конгрессе. Гипотеза Нисневича доказана Р. Фёдоровым в [26] в равнохарактеристическом случае. Приведем формулировку естественного вопроса в контексте теоремы 4, сопутствующего гипотезе 1. Автор не знает, положителен ли ответ на этот вопрос даже для групповых схем $\mathrm{GL}_n$ ($n\geqslant 2$), $\mathrm{SO}_n$ ($n\geqslant 3$), $\mathrm{PGL}_n$ ($n\geqslant 2$). Поэтому термин вопрос нам кажется предпочтительнее термина гипотеза. Вопрос 1. Пусть $U$ – локальная регулярная схема и $D$ – дивизор со строго пересечениями в $U$. Пусть $G$ – редуктивная групповая схема над $U$. Верно ли, что ядро отображения пунктированных множеств $H^1_{\mathrm{et}}(V,G) \to H^1_{\mathrm{et}}(\eta,G)$ тривиально, где $\eta$ – общая точка $U$, а $V = U - D$? И гипотеза, и вопрос приведены в иллюстративных целях и для демонстрации более широкого контекста обсуждения. Настоящая статья содержит доказательство теоремы 4, дающей формальную аналогию с гипотезой и c вопросом, однако относящуюся к значительно более простому случаю. Обозначим $\mathrm{Sm}_S$, $\mathrm{SmAff}_S$ и $\mathrm{EssSm}_S$ категории гладких, гладких аффинных и существенно гладких схем над схемой $S$. Следуя [27], мы называем существенно гладкими схемы, являющиеся фильтрованными пределами гладких схем по отношению к классу аффинных этальных морфизмов. На протяжении большей части текста, т.е. в § 3–§ 5, § 7, $S = \operatorname{Spec} k$ для поля $k$. В § 2 и § 6 формально $S$ – произвольная схема и аффинная нётеровая схема, и в действительности в тексте введенные и сформулированные в указанных параграфах определения и утверждения применяются к случаю $S\in \mathrm{SmAff}_k$ или $S\in \operatorname{EssSm}_k$ для некоторого поля $k$. БлагодарностьБудучи лауреатом-получателем конкурса-гранта “Молодая Математика России”, автор признателен его жюри и спонсорам. § 2. Теории когомологийПонятие теории когомологий, определенной на алгебраических многообразиях или схемах, введенное в работах Панина и Смирнова [28], [7] и [29], аккумулирует ряд стандартных свойств, общих для многих известных примеров и выполненных, в частности, для теорий представимых в $S^1$-стабильной мотивной гомотопической категории Мореля–Воеводского $\mathbf{SH}^{S^1}(S)$ над нётеровой схемой $S$ конечной размерности Крулля. Нижеприведенное определение формально применимо к произвольной базовой схеме $S$ и применяется в § 6, § 7 к схемам $S$, являющимся, в свою очередь, гладкими аффинными над некоторым полем $k$, в остальных параграфах $S = \operatorname{Spec} k$. Сначала напомним определение категории открытых пар. Категория гладких открытых пар $\mathrm{SmOP}_S$ над схемой $S$, как она определена в [19; § 2], – это категория с объектами $(X,U)$, где $X$ – гладкая схема над $S$ и $U$ – открытая подсхема. Морфизмы $(X_1,U_1) \to (X_2,U_2)$ – это $S$-морфизмы $X_1\to X_2$, индуцирующие морфизм $U_1\to U_2$. Для замкнутого подмножества $Z$ в $X$ и произвольного предпучка $E$ на $\mathrm{SmOP}_S$ положим $E_Z(X)=E((X,X-Z))$. Определение 1 ( см. [29; определение 2.1] и [19; § 2]). Теория когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_S$ – это контравариантный функтор из $\mathrm{SmOP}_S$ в категорию абелевых групп $\mathrm{Ab}$, снабженный естественными гомоморфизмами дифференциалов для всех $X\in \mathrm{Sm}_S$ и замкнутых подмножеств $Z\subset X$ и удовлетворяющий следующим аксиомам локализации, вырезания, и гомотопической инвариантности. – (Локализация.) Для любой схемы $X\in \mathrm{Sm}_S$ и замкнутого подмножества $Z$ последовательность абелевых групп
$$
\begin{equation}
\dots\to E_Z(X)\to E(X)\to E(U)\xrightarrow{\partial} E_Z(X)\to\dotsb
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
точна. – (Вырезание.) Для морфизма пар $(X',X'-Z')\to (X,X-Z)$, который индуцирован этальным морфизмом $X'\to X$, индуцирующим изоморфизм замкнутых редуцированных подсхем $Z'\stackrel{\simeq}{\to} Z$, индуцированный морфизм является изоморфизмом абелевых групп.– (Гомотопическая инвариантность.) Для любого $X\in \mathrm{Sm}_S$ каноническая проекция $\mathbb{A}^1\times X\xrightarrow{p} X$ индуцирует изоморфизм абелевых групп Обозначим $E_{\mathrm{Zar}}$ и $E_{\mathrm{Nis}}$ пучки Зарисского и Нисневича, ассоциированные с предпучком $E(-)$ на категории $\mathrm{Sm}_S$. Замечание 2. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_S$, тогда для всякого $X\in \mathrm{Sm}_S$ и замкнутых подмножеств $Z\subset W\subset X$ имеет место естественный гомоморфизм дифференциалов равный $\partial_{(X,X-Z)}$ при $W=X$ и равный в общем случае композиции морфизмов Лемма 1 (см. [28; 2.2.3, 2.2.6, 2.2.1]). Пусть $S$ – схема, и пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_S$. Тогда для всякого $X\in \mathrm{Sm}_S$ и замкнутых подмножеств $Z\subset W\subset X$ имеет место длинная точная последовательность абелевых групп а также изоморфизм индуцированный проекцией $\mathbb{A}^1\times X\to X$. § 3. Комплекс Кузeна и строгая гомотопическая инвариантностьПусть $k$ – некоторое поле. Определение 2. Пусть $X\in \mathrm{Sm}_k$, $Z$ – замкнутая подсхема $X$ и $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$. Обозначим $\mathrm{C}_Z(X,E)$ комплекс абелевых групп Определение 3. Заметим, что $\mathrm{C}_Z(-,E)$ и $\mathrm{Cous}_Z(-,E)$ задают комплексы предпучков на малых сайтах Зарисского и Нисневича над схемой $X$. Обозначим $\mathrm{C}_Z(-,E)_{\mathrm{Zar}}$ и $\mathrm{Cous}_Z(-,E)_{\mathrm{Zar}}$ комплексы ассоциированных пучков Зарисского и Нисневича. Для любого предпучка $F$ на $\mathrm{Sm}_k$ обозначим $F_{\mathrm{Zar}}$ и $F_{\mathrm{Nis}}$ ассоциированные пучки по отношению к топологиям Зарисского и Нисневича соответственно. Теорема 1 (см. [6; теорема 9.1, следствие 9.2]). Пусть $k$ – поле, $X\in \mathrm{Sm}_k$ и $x\in X$. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$. Тогда комплекс $\mathrm{Cous}(X_x,E)$ является точным. Кроме того, морфизм – это вялая резольвента пучка $E_{\mathrm{Zar}}$ на малом сайте Зарисского $X$. Теорема 2 (расширенная версия [6; теорема 10.2]). Пусть $k$ – поле, и пусть $X\in \mathrm{Sm}_k$. Морфизм является вялой резольвентой $E_{\mathrm{Nis}}$ на малом сайте Нисневича $X$ для всякой $E$ как выше. Имеют место изоморфизмы $E_{\mathrm{Nis}}\cong E_{\mathrm{Zar}}$ и $H^l_{\mathrm{Nis}}(-,E_{\mathrm{Nis}})\cong H^l_{\mathrm{Zar}}(-,E_{\mathrm{Zar}})$, где $l> 0$. Напомним теорему о строгой гомотопической инвариантности из [6]. Теорема 3 (см. [6; теорема 1.1]). Пусть $k$ – поле, $X\in \mathrm{Sm}_k$ и $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$. Для каждого $X\in \mathrm{Sm}_k$ гомоморфизм индуцированный морфизмом проекции $p\colon X\times\mathbb{A}^1\to X$, является изоморфизмом. Соберем и переформулируем ряд упомянутых выше результатов в эквивалентной форме, используемой в следующих параграфах. Следствие 1. Пусть $k$ – поле. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$. Имеют место изоморфизмы Доказательство. Теорема 2 влечет, что когомологии комплекса $\mathrm{C}(X,E)$ изоморфны $H_{\mathrm{Nis}}^*(X,E_{\mathrm{Nis}})$. Второе утверждение следует из теоремы о строгой гомотопической инвариантности [6; теорема 1.1], см. теорему 3. Сформулируем также еще одно следствие. Следствие 2. Для всякой $X$ в $\mathrm{Sm}_k$ и теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$ имеет место инъективность канонического гомоморфизма ограничения $E_{\mathrm{Nis}}^n(X)\to E^n(X^{(0)})$, где $X^{(0)}$ – копроизведение общих точек схемы $X$. Доказательство. Поскольку $\bigoplus_{x\in X^{(0)}}E^n(x)\cong E^n(X^{(0)})$, утверждение является следствием изоморфизма
$$
\begin{equation*}
E_{\mathrm{Nis}}^n(X)\simeq \ker\biggl(\bigoplus_{x\in X^{(0)}}E^n(x)\to \bigoplus_{x\in X^{(1)}} E^n_x(X) \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
который справедлив в силу теоремы 2. § 4. Когомологии на $\mathbb{G}_m^{\times l}$Пусть $k$ – некоторое поле. В то время как лемма 2 сформулирована над произвольной базовой схемой $S$, все остальные утверждения параграфа относятся к категории гладких схем над $k$. Напомним следующий факт, основанный на принципах рассуждений из работ [9] и [6]. Лемма 2. Пусть $X$ – гладкая схема над схемой $S$ и $Z$ – замкнутая подсхема в $\mathbb{A}^1\times X$, конечная над $X$. Тогда канонический морфизм композиции нулевой для любой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_S$, где $W = p(Z)\subset X$, $p\colon \mathbb{A}^1\times X\to X$ – каноническая проекция. Доказательство. Рассмотрим последовательность морфизмов
$$
\begin{equation}
E_{Z}(\mathbb P^1\times X)\to E_{Z}(\mathbb{A}^1\times X)\to E_{\mathbb{A}^1\times W}(\mathbb{A}^1\times X) \stackrel{p^*}{\cong} E_W(X),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где первый морфизм является изоморфизмом согласно аксиоме вырезания определения 1, а последний изоморфизм выполнен в силу $\mathbb{A}^1$-инвариантности теории когомологий $E$ в смысле (2.2). Более того, упомянутая $\mathbb{A}^1$-инвариантность теории когомологий $E$ влечет, что композиция (4.1) равна композиции
$$
\begin{equation}
E_{Z}(\mathbb P^1\times X)\to E_{Z\cap (\infty\times X)}(\infty\times X)\to E_{W}(\infty\times X)\cong E_{W}(X),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
поскольку некоммутативный треугольник в категории пар схем переходит в коммутативный треугольник абелевых групп под действием $E$. Поскольку пересечение замкнутых подсхем $Z$ и $(\infty\times X)$ в $\mathbb P^1\times X$ пусто, то левый морфизм в последовательности (4.2) нулевой. Следовательно, композиция морфизмов (4.2) равна нулю. Лемма доказана. Лемма 3. Пусть $V$ – открытое подмножество $\mathbb{A}^1_k$ над полем $k$ и $Z$ – собственное замкнутое подмножество в $V$. Пусть $X$ – локальная существенно гладкая схема над $k$ и $x\in X$ – замкнутая точка. Тогда канонический морфизм $E_{Z\times x}(V\times X)\to E_{V\times x}(V\times X)$ нулевой для всякой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$. Доказательство. Имеет место коммутативная диаграмма Правая вертикальная стрелка нулевая по лемме 2. Следовательно, левая вертикальная стрелка тоже нулевая. Лемма доказана. Сформулируем следующее обобщение [6; следствие 9.5]. Лемма 4. Для всякого открытого вложения $V\hookrightarrow \mathbb{A}^1_k$ и теории когомологий $E$ над полем $k$ комплекс $\mathrm{Cous}(V,E)$ ацикличен. Более того, для любой схемы $X\in \mathrm{Sm}_k$ и точки $x\in X$ $\mathrm{Cous}_{V\times x}(V\times X_x,E)$ ацикличен. Утверждение следует из [6; следствие 9.5], поскольку по лемме 3 для любой замкнутой подсхемы $Z$ схемы $V\times x$ последовательность
$$
\begin{equation*}
0\to E_Z(V\times X_x)\to E(V\times X_x)\to E(V\times X_x-Z)\to 0
\end{equation*}
\notag
$$
точна. Лемма 5. Для любого множества открытых вложений $V_b\hookrightarrow \mathbb{A}^1_k$, где $b=1,\dots, l$, над полем $k$ и теории когомологий $E$ имеет место квази-изоморфизм $\mathrm{C}(V\times X,E)\simeq \mathrm{C}(X,E^V)$, где $V=V_1\times \dots V_l$, и $E^V(-)\cong E(-\times V)$. Доказательство. Лемма доказывается аналогично [6; теорема 10.1]. Кратко повторим аргумент. Предположим $l=1$, тогда по лемме 4 для каждого $x\in X$ канонические морфизмы $E_{V\times x}(V\times X)\to \mathrm{C}_{V\times x}(V\times X,E)$ являются квази-изоморфизмами комплексов. Следовательно, морфизм является квази-изоморфизмом, и также является, поскольку $E^V(X) = E(V\times X)$. Утверждение в общем случае следует по индукции по отношению к $l$. Лемма доказана. Следствие 3. Пусть $V_b\subset \mathbb{A}^1_k$, где $b=1,\dots, l$, – открытые подмножества над полем $k$, пусть $V=V_1\times \dots \times V_l$. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$ в смысле определения 1. Тогда $\mathrm{Cous}(V,E)\simeq 0$. Утверждение справедливо в силу $\mathrm{Cous}(V)\simeq \mathrm{Cous}(V)\simeq 0$, где первый квази-изоморфизм является следствием леммы 5. Лемма 6. Пусть $V_b\subset \mathbb{A}^1_k$, где $b=1,\dots, l$, – открытые подмножества над полем $k$, пусть $V=V_1\times \dots \times V_l$. Тогда $H^*(V\times X,E_{\mathrm{Nis}})\simeq H^*(X,(E^V)_{\mathrm{Nis}})$ для любой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$, где $E^V(-)\cong E(-\times V)$. Утверждение является следствием леммы 5 и следствия 1. § 5. Когомологии $X_x-D$Пусть $k$ – некоторое поле. Определение 4. Говорят, что для некоторого $n\in \mathbb Z$ выполнено утверждение $\mathbf{Cou}^{n}$ над полем $k$, если для любой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$, $X\in \mathrm{Sm}_k$, $x\in X$, приведенного дивизора $D$ со строго нормальными пересечениями в $X_x$ такого, что $D=D_0\cup\dots \cup D_{l}$, где $D_0, \dots, D_l$ – неприводимые компоненты и $l<n$, имеют место изоморфизмы Лемма 7. Предположим $\mathbf{Cou}^{n}$ выполнено для некоторого $n\in \mathbb Z$. Тогда для любой теории когомологий $E$, схемы $X\in \mathrm{Sm}_k$, точки $x\in X$ и приведенного дивизора со строго нормальными пересечениями имеющего $n$ неприводимых компонент морфизм $E(X_x-D) \to E(V)$ инъективен для любого плотного открытого подмножества $V$ в $X_x-D$. Доказательство. Поскольку по предположению $E(X_x-D)\,{\cong}\, E_{\mathrm{Nis}}(X_x- D)$, в силу следствия 2 имеет место инъективность гомоморфизма что влечет инъективность $E(X_x-D) \to E(V)$ для плотного открытого $V$ в $X_x- D$. Лемма доказана. Определение 5. Для всякого абелевого предпучка $F$ на $\mathrm{Sm}_k$ и $X\in\mathrm{Sm}_k$ мы обозначим Аналогичное обозначение мы используем в случае предпучков на категории $\mathrm{SmOP}_k$. Лемма 8. Предположим $\mathbf{Cou}^{n}$ выполнена для некоторого $n\in \mathbb Z$. Тогда для любой теории когомологий $E$, $X\in \mathrm{Sm}_k$, $x\in X$ и приведенного дивизора $D$ со строго нормальными пересечениями, имеющего $n$ неприводимых компонент, справедливы изоморфизмы где Доказательство. Поскольку по теореме 3 $E^{\mathbb{G}_m^{\wedge 1}}$ – это теория когомологий, то по предположению $\mathbf{Cou}^{n}$, примененному к дивизору ${\widetilde D}$ и вышеуказанной теории когомологий, имеют место изоморфизмы
$$
\begin{equation*}
H^v({\widetilde D},E^{\mathbb{G}_m^{\wedge 1}})\cong 0,\quad H^0({\widetilde D},E^{\mathbb{G}_m^{\wedge 1}})\cong E({\widetilde D}\wedge\mathbb{G}_m)
\end{equation*}
\notag
$$
для $v>0$. Следовательно, по лемме 6 для всякого $v>0$. Отсюда следует утверждение леммы в силу последовательности изоморфизмов для всякого $v\in \mathbb Z$. Лемма доказана. Доказательство. Докажем требуемое индукцией по $n$. Случай $n=0$ доказан теоремой 1. Предположим, что утверждение справедливо для всех целых чисел, меньших заданного $n>0$. Обозначим
Согласно теореме 3 предпучек на категории $\mathrm{SmOP}_k$
$$
\begin{equation}
(X,X-Z)\mapsto \bigoplus_{l}H^l_{Z}(X,E_{\mathrm{Nis}})
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
является теорией когомологий на $\mathrm{Sm}_k$. Следовательно, для всякого $v\in \mathbb Z$ по индукционному предположению, примененному к теории когомологий (5.2) и схеме $U^{-1}$, согласно лемме 7 имеет место инъективность морфизма
$$
\begin{equation*}
H^v(U,E_{\mathrm{Nis}}) \leftarrow H^v(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}}) .
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря длинной точной последовательности
$$
\begin{equation*}
\dots\leftarrow H^{v+1}_{\widetilde D}(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}})\leftarrow H^v(U,E_{\mathrm{Nis}}) \leftarrow H^v(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}})\leftarrow\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
получаем короткие точные последовательности
$$
\begin{equation}
0\leftarrow H^{v+1}_{\widetilde D}(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}})\leftarrow H^v(U,E_{\mathrm{Nis}}) \leftarrow H^v(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}})\leftarrow 0.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Теперь, применяя индукционное предположение к схеме $U^{-1}$, получаем изоморфизмы для всех $v>0$. Далее по индукционному предположению, примененному вместе с леммой 8, для всякого $v>0$ имеет место изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^{v+1}_{\widetilde D}(U^{-1},E_{\mathrm{Nis}})\cong 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, второй изоморфизм в (5.1) доказан.
Применяя индукционное предположение к схеме $U^{-1}$ и теории когомологий $E$, согласно лемме 7 получим, что морфизмы $E(U^{-1})\to E(U)$ инъективны. Тогда длинная точная последовательность (2.1) дает короткие точные последовательности
$$
\begin{equation}
0\leftarrow E_{D}(U^{-1})\leftarrow E(U)) \leftarrow E(U^{-1})\leftarrow 0 .
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Комбинируя с короткой точной последовательностью (5.3), получаем морфизм коротких точных последовательностей Правая вертикальная стрелка является изоморфизмом по индукционному предположению, примененному к $U^{-1}$ и $E$. Левая вертикальная стрелка является изоморфизмом по лемме 8. Следовательно, средняя стрелка является изоморфизмом, что доказывает первый изоморфизм в (5.1). Предложение доказано. Теорема 4. Пусть $k$ – поле. Пусть $X\in \mathrm{Sm}_k$, $x\in X$, $D$ – дивизор со строго нормальными пересечениями в $X$. Пусть $V_\alpha$, $\alpha\in J$, – конечное множество открытых подсхем в $\mathbb{A}^1_k$. Положим $U=(X_x-D)\times \prod_{\alpha\in J}V_\alpha$. Тогда для любой теории когомологий $E$ в смысле определения 1 или [29] комплекс $\mathrm{Cous}(U,E)$, описанный формулой (1.1), является точным. В частности, утверждение выполняется для теорий когомологий, представимых в $S^1$-стабильной мотивной гомотопической категории Воеводского $\mathbf{SH}^{S^1}(k)$. Доказательство. Случай $J=\varnothing$, $U=X_x-D$ следует из следствия 1 и предложения 1. Случай $J\neq\varnothing$ следует из леммы 5. Теорема доказана.
§ 6. Функтор обратного образа с компактными носителямиПусть $S$ – аффинная нётеровая схема. Рассмотрим категорию гладких $S$-схем, имеющих тривиальное касательное расслоение, обозначим эту категорию $\mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ и обозначим $\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_S$ полную подкатегорию в $\mathrm{SmOP}_S$, состоящую из пар $(X,U)$ таких, что $X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$. Определение 6. Назовем теорией когомологий на категории $\mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ функтор $E\colon \mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_S\to \mathrm{Ab}$, удовлетворяющий таким же свойствам, как в определении 1. Обозначим для всякой схемы $S$ через $\mathfrak{C}(\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_S)$ категорию, объектами которой являются такие функторы. Замечание 3. Ограничение всякой теории когомологий на $\mathrm{Sm}_S$ задает теории когомологий на $\mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$. Процитируем следующее утверждение, используемое ниже. Лемма 9 (см. [30; лемма 6.3]). Для всякой схемы $X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_Z$ существует схема $\widetilde X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ такая, что $\widetilde X\times_S Z\cong X$. Также мы используем следующее утверждение, доказанное в различных источниках. Лемма 10 (см. [31; теорема I.8], [32]). Пусть $C\hookrightarrow U$ – аффинная гензелева пара, $s\colon V\to U$ – гладкий аффинный морфизм схем и $c\colon C\to V$ – морфизм схем такой, что имеет место коммутативность квадрата, состоящего из непунктированных стрелок диаграммы Тогда существует диагональный морфизм схем выше такой, что диаграмма коммутативна. Более того, если морфизм $s$ этален, то $l$ единственен. Отметим, что вторая часть приведенного выше утверждения является в сущности переформулировкой одного из определений гензелизации. Пусть $Z$ – замкнутая подсхема схемы $S$. Для всякой схемы $\widetilde X\in\mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ обозначим $\widetilde X_Z=\widetilde X\times_S Z$ и $(\widetilde X)^h_Z=(\widetilde X)^h_{X_Z}$, что означает гензелизацию $\widetilde X$ в подсхеме $X_Z$. Следствие 4. Для всякого морфизма схем $X\to Y\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_Z$ и схем $\widetilde X,\widetilde Y\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ таких, что $\widetilde X\times_S Z\cong X$, $\widetilde Y\times_S Z\cong Y$, существует морфизм $\widetilde f\colon (\widetilde X)^h_Z\,{\to}\, \widetilde Y$, который переходит в $f$ под действием замены базы вдоль $r$. Более того, если морфизм $f$ этален, то $\widetilde f$ единственен. Действительно, первое утверждение справедливо по лемме 10, примененной к гензелевой паре $X\to (\widetilde X)^h_Z$, морфизмам $V = \widetilde Y\times_S (\widetilde X)^h_Z\to (\widetilde X)^h_Z$ и морфизму $X\to V$, заданному морфизмами $X\to Y\to \widetilde Y$, $X\to (\widetilde X)^h_Z$. Лемма 11. Пусть $r\colon Z\to S$ – замкнутое вложение аффинных схем. Существует функтор такой, что для всех $X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_Z$, замкнутых подсхем $Z\subset X$ и $\widetilde X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_S$ таких, что $\widetilde X\times_S Z\cong X$, имеет место канонический изоморфизм $r^{!} E_{C}(X)\cong E_{C}(\widetilde{X})$. Доказательство. (1) Согласно лемме 9 для всякой $X\in \mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_{Z}$ существует $\widetilde X\in\mathrm{Sm}^{\mathrm{cci}}_{Z}$ такой, что $\widetilde X\times_S Z\cong X$. Более того, для любых двух таких $\widetilde X_1$, $\widetilde X_2$ имеет место канонический изоморфизм $(\widetilde X_1)^h_{\widetilde X_1\times_S Z}\cong (\widetilde X_2)^h_{\widetilde X_2\times_S Z}$. Таким образом, получаем корректно определенное отображение на множествах объектов категорий такое, что
(2) Пусть $f\colon X\to Y$ – морфизм в категории $\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_Z$, $C\subset X$, $B\subset Y$ – замкнутые подсхемы такие, что $C\,{\subset}\, f^{-1}(B)$, и пусть $\widetilde X,\widetilde Y{\in}\, \mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_S$, $\widetilde X\,{\times_S}\, Z\,{\cong}\, X$, $\widetilde Y\times_S Z\cong Y$. Согласно следствию 4 существует морфизм $\widetilde f\colon (\widetilde X)^h_Z\to \widetilde Y$ переходящий в $f$ под действием функтора замены базы вдоль $r$. Более того, если $\widetilde f_1,\widetilde f_2\colon (\widetilde X)^h_Z\to \widetilde Y$ – морфизмы, которые переходят в $f$ под действием функтора замены базы, то по тому же следствию 4 существует морфизм $\widetilde f\colon (\widetilde X\times\mathbb{A}^1)^h_Z \to \widetilde Y$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde f\big|_{(\widetilde X\times 0)^h_Z}=f_1, \widetilde f\big|_{(\widetilde X\times 1)^h_Z}=f_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу аксиом вырезания и гомотопической инвариантности из определения 1 гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
(\widetilde f_1)^*,(\widetilde f_2)^*\colon E((\widetilde X)^h_Z, (\widetilde X)^h_Z-C)\to E(Y-B)
\end{equation*}
\notag
$$
равны. Таким образом, получаем корректно определенное отображение на множествах морфизмов, которое переводит морфизм $f$ в гомоморфизм $\widetilde f^*$: $E(\widetilde Y,\widetilde Y- B)\to E(\widetilde X,\widetilde X-C)$. И получаем корректно определенный функтор
$$
\begin{equation*}
r^!\colon \mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_Z\to \mathrm{Ab}^\mathrm{op}; (X,X-C)\mapsto E(\widetilde X,\widetilde X-C).
\end{equation*}
\notag
$$
(3) Аксиомы вырезания и гомотопической инвариантности для $r^*(E)$ выполняются вследствие аналогичных свойств $E$; для доказательства аксиомы локализации мы пользуемся леммой 1. Лемма доказана. § 7. Когомологически тривиальные схемыПусть $k$ – некоторое поле. Определение 7. Схема $V$ над полем $k$ является когомологически тривиальной, если комплекс $\mathrm{Cous}(V, E)$ ацикличен для любой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$. Назовем схему $V$ универсально когомологически тривиальной, если для любого расширения полей $K/k$, где $K=k(X)$ для $X\in\mathrm{Sm}_k$, схема $V\times_k\operatorname{Spec} K$ когомологически тривиальна. Пример 1. (1) Согласно следствию 3 схема вида $\mathbb{A}^1_k-Z$, где $Z\subset \mathbb{A}^1_k$ – замкнутое подмножество, является универсально когомологически тривиальной. (2) Согласно теореме 4 схема вида $X_x-D$, где $X\in \mathrm{Sm}_k$, $x\in X$, $D$ – дивизор со строго нормальными пересечениями в $X_x$, является когомологически тривиальной. Лемма 12. Для всякой когомологически тривиальной схемы $V$ в смысле определения 7 и всякой теории когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$ для всех $l>0$ группы $H^l(V,E_{\mathrm{Nis}})$ нулевые, где $E_{\mathrm{Nis}}$ – пучкование предпучка $E$ на $\mathrm{Sm}_k$. Утверждение является следствием определения и следствия 1. Лемма 13. Всякая схема когомологически тривиальная в смысле определения 7 является когомологически тривиальная в смысле [15; определение 2.9]. Утверждение следует из леммы 12, поскольку всякий строго гомотопически инвариантный пучок $F$ задает теорию когомологий $E(-)=\bigoplus_{l} H^l(-,F)$. Лемма 14. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$ и $V$ – универсально когомологически тривиальная схема над полем $k$, тогда для любой существенно гладкой схемы $X$ над $k$ и точки $x\in X$ комплекс $\mathrm{Cous}_{x\times V}(X\times V, E)$ ацикличен. Доказательство. Поскольку схему $X$ в утверждении теоремы можно заменить на локальную схему $X_x$, без ограничения общности точка $x$ является замкнутой точкой аффинной схемы $X$. Отметим далее, что теория когомологий $E$ на $\mathrm{Sm}_k$ задает теорию когомологий над $X$ посредством функтора $\mathrm{Sm}_X\to \mathrm{Sm}_k$, и рассмотрим морфизм больших этальных сайтов, заданный функтором $x\colon \mathrm{Sm}_X\to \mathrm{Sm}_x\colon W\to W\times_X x$. Более того, комплекс $\mathrm{Cous}(U,E)$ для всякой $U\in \mathrm{Sm}_k$ однозначно определяются ограничением $E$ на $\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_k$, а $x$ индуцирует функтор $x\colon \mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_X\to \mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_x$. Указанный функтор $x$ индуцирует согласно лемме 11 функтор $x^!$ из категории теорий когомологий на $\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_X$ в категорию теорий когомологий на $\mathrm{SmOP}^{\mathrm{cci}}_x$, при этом имеет место эквивалентность Тогда и второй квази-изоморфизм является следствием определения, поскольку $x^!(E)$ – теория когомологий над $k(x)$, и $V\times x$ – когомологически тривиальная схема. Лемма доказана. Теорема 5. Пусть $E$ – теория когомологий на $\mathrm{Sm}_k$ и $V$ – универсально когомологически тривиальная схема над полем $k$, тогда для любой схемы $X$ над $k$ и точки $x\in X$ канонические морфизмы где $E^V(-)\cong E(-\times V)$, являются квази-изоморфизмами. Доказательство. Поскольку $E(X\times V)\cong E^V(X)$, два квази-изоморфизма выше эквивалентны. Согласно лемме 14 имеют место эквивалентности
$$
\begin{equation*}
\mathrm{C}_{x\times V}(X\times V, E) \simeq E_{x\times V}(X\times V)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех точек $x\in X$. Утверждение теоремы следует аналогично тому, как лемма 5 следует из леммы 4. Следствие 5. Пусть $V$ – когомологически тривиальная схема, $V_\alpha$, где $\alpha\in A$, $A$ – конечное множество, – семейство универсально когомологически тривиальных схем над полем $k$. Тогда схема $\prod_{\alpha\in A} V_\alpha$ является когомологически тривиальной, $V\times\prod_{\alpha\in A} V_\alpha$ является когомологически тривиальной. Утверждение следует по индукции из теоремы 5. Следствие 6. Пусть Утверждение является частным случаем предыдущего следствия согласно примеру 1. Следствие 7. Схема $V$ вида, описанного в теореме 4, является когомологически тривиальной в смысле определения [15; определение 2.9]. Утверждение следует из следствия 6 и леммы 13. Вопрос 2. 1) Являются ли схемы $X_x$ и $X_x-D$, где $X\in \mathrm{Sm}_k,$ $x\in X$, $D$ – дивизор со строго нормальными или нормальными пересечениями сильно когомологически тривиальными? 2) Совпадают ли классы когомологически тривиальных и универсально когомологически тривиальных схем? Вопрос 3. 1) Эквивалентны ли следующие условия: 2) Выполняются ли утверждения, аналогичные утверждениям вопроса 2, по отношению к классу схем заданному свойством точности комплексов $\mathrm{Cous}(X,E)$, см. условие (2) в п. 1)?
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dru23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|