Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2023, том 214, номер 5, страницы 97–127
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9761
(Mi sm9761)
 

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Комбинаторный инвариант градиентно-подобных потоков на связной сумме $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$

В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Список литературы:
Аннотация: Получены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений, заданных на связной сумме конечного числа многообразий, гомеоморфных $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$, $n\geqslant 3$. Для случая $n>3$ этот результат существенно расширяет класс многообразий, для которых известна топологическая классификация заданных на них структурно устойчивых систем.
Библиография: 36 названий.
Ключевые слова: топологическая классификация, градиентно-подобные потоки, потоки Морса–Смейла.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 21-11-00010
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2019-1931
Исследование (кроме доказательства леммы 1) выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-11-00010, https://rscf.ru/project/21-11-00010/. Доказательство леммы 1 выполнено в Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-15-2019-1931).
Поступила в редакцию: 28.03.2022 и 09.12.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages 703–731
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9761e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

§ 1. Введение и формулировка результатов

Напомним, что поток $f^t$, заданный на гладком замкнутом многообразии $M^n$, называется градиентно-подобным, если его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия, а инвариантные многообразия состояний равновесия пересекаются трансверсально. С. Смейл в работе [1] доказал, что градиентный поток функции Морса (гладкой функции, все критические точки которой не вырождены) при некотором выборе метрики является градиентно-подобным. Так как функции Морса существуют на любых многообразиях, то и градиентно-подобные потоки существуют на любых многообразиях.

В [2], [3] доказано, что для градиентно-подобных потоков верны неравенства Морса, связывающие структуру неблуждающего множества потока с топологией несущего многообразия. В частности, верно следующее соотношение. Пусть $c_i$ – число состояний равновесия потока, размерность неустойчивого многообразия (индекс Морса) которых равна $i\in \{0,\dots, n\}$, $\chi(M^n)$ – эйлерова характеристика многообразия $M^n$. Тогда

$$ \begin{equation} c_0-c_1+c_2-\dots + (-1)^nc_n=\chi(M^n). \end{equation} \tag{1.1} $$

Отметим, что в силу формулы (1.1) число $|\chi(M^n)|$ дает нижнюю оценку числа состояний равновесия.

Если $n=2$, а $M^2$ ориентируемо, то, как известно, $M^2$ гомеоморфно связной сумме

$$ \begin{equation*} \mathbb{S}^2\,\sharp\,\mathbb{T}^2\,\sharp\,\dotsb \,\sharp\, \mathbb{T}^2 \end{equation*} \notag $$
двумерной сферы $\mathbb{S}^2$ и $g\geqslant 0$ торов $\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1$, и, кроме того, $\chi(M^2)=2-2g$. В этом случае из формулы (1.1) следует, что род $g$ многообразия $M^2$ выражается через число узловых состояний равновесия $\nu_{f^t}=c_0+c_2$ и число седловых состояний равновесия $\mu_{f^t}=c_1$ следующим образом:
$$ \begin{equation} g=\frac{\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2}{2}. \end{equation} \tag{1.2} $$

В случае $n>2$ эйлерова характеристика уже не является полным топологическим инвариантом, более того, если $n$ нечетно, то $\chi(M^n)=0$ для любого многообразия $M^n$, поэтому формула (1.1) в общем случае становится малоинформативной, однако приведенное ниже утверждение 1 позволяет ее значительно усилить. Пусть $G(M^n)$ – класс градиентно-подобных потоков, заданных на связном замкнутом ориентируемом многообразии $M^n$ размерности $n\geqslant 3$, такой, что для любого $f^t\in G(M^n)$ инвариантные многообразия различных седловых состояний равновесия не пересекаются. Обозначим через $\mathcal{S}^n_g$ многообразие, гомеоморфное связной сумме

$$ \begin{equation*} \mathbb{S}^n\, \sharp\, \mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1\, \sharp\, \dotsb\, \sharp \, \mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1 \end{equation*} \notag $$
сферы $\mathbb{S}^n$ и $g$ копий прямых произведений $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$.

Пусть $f^t\in G(M^n)$, $n\geqslant 3$, а $\nu_{f^t}$, $\mu_{f^t}$ – число узловых и седловых состояний равновесия потока $f^t$ соответственно и $g_{f^t}=(\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2)/2$. Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. 1. Если все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индексы Морса, равные $1$ или $n-1$, то $g_{f^t}$ является целым неотрицательным числом и несущее многообразие $M^n$ есть $\mathcal{S}^n_{g_{f^t}}$.

2. Если несущее многообразие $M^n$ есть $\mathcal{S}^n_{g}$, то все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индексы Морса, равные $1$ и $n-1$, и, кроме того, $g=g_{f^t}$.

Пункт 1 утверждения 1 вытекает из работ [4], [5], где доказаны аналогичные факты для каскадов Морса–Смейла. Пункт 2 для случая $g=0$ доказан в работе [6], а для случая $g>0$ – в работе [7].

В работе [6] показано, что полным топологическим инвариантом для потоков из класса $G(S^n)$ для $n>3$ является фазовая диаграмма – комбинаторный инвариант, который представляет собой обобщение схемы динамической системы Леонтович–Майера и графа Пейшото, применявшихся в [8; гл. 11], [9] для топологической классификации двумерных потоков Морса–Смейла. Фазовая диаграмма потока $f^t$ представляет собой ориентированный граф, множество вершин которого изоморфно множеству состояний равновесия потока, множество ребер – множество сепаратрис седловых состояний равновесия, при этом ребро соединяет вершины $p$, $q$ и ориентировано от $p$ к $q$ (от $q$ к $p$) в том и только том случае, когда вершина $p$ соответствует седловому, а вершина $q$ – стоковому (источниковому) состоянию равновесия (рис. 1).

Настоящая работа посвящена решению проблемы топологической классификации для потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ при $g>0$ и $n\geqslant 3$. Отметим, что при $n=3$ топологическая классификация потоков из класса $G(\mathcal{S}^3_g)$ следует из более общих результатов Уманского (см. [10]), который также использовал инвариант, аналогичный схеме динамической системы Леонтович–Майера.

Рис. 2 показывает, что фазовая диаграмма не является полным топологическим инвариантом для потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ в случае $g>0$ (для любого $n\geqslant 3$). На рис. 2 приведены фазовые портреты двух потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_1)$ и их фазовые диаграммы. Индекс Морса седловых состояний равновесия $\sigma_1$, $\sigma_3$, $\sigma_4$ (соответственно $\sigma'_1$, $\sigma'_3$, $\sigma'_4$) равен $1$, индекс Морса седла $\sigma_2$ ($\sigma'_2$) равен $n\,{-}\,1$. Множество $\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cup \operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_2}$ ($\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma'_1}\cup \operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma'_2}$) делит несущее многообразие $\mathcal{S}^n_1=\mathbb S^{n-1}\times \mathbb S^1$ на две компоненты связности, $D_1$, $D_2$ ($D'_1$, $D'_2$). Состояния равновесия $\sigma_3$, $\sigma_4$ потока $f^t$ лежат в одной компоненте связности $D_1$, а седловые состояния равновесия $\sigma'_3$, $\sigma'_4$ потока ${f'}^t$ лежат в разных компонентах связности $D_1'$, $D_2'$ соответственно. Поэтому не существует гомеоморфизма $\mathcal{S}^n_1$ на себя, переводящего траектории потока $f^t$ в траектории потока ${f'}^t$.

Ниже мы покажем, что классификация потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ при $g>0$ в комбинаторных терминах возможна, если привлечь в качестве инварианта двухцветный граф, аналогичный графу, введенному в работе [11] А. А. Ошемковым и В. В. Шарко для классификации потоков Морса–Смейла на поверхностях. Отметим, что двухцветный граф также использовался в работе [12] для классификации каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$ размерности $n\geqslant 4$.

Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ и $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$ ($\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$). Из [13; теорема 2.3] следует, что замыкание устойчивого (соответственно неустойчивого) многообразия седлового состояния равновесия потока $f^t$ содержит, кроме самого этого многообразия, единственную точку, являющуюся источниковым (стоковым) состоянием равновесия. Поэтому множество $L^{\mathrm s}_{\sigma_1}=\operatorname{cl}W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ ($L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=\operatorname{cl}W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}$) является сферой размерности $n-1$. Обозначим через $\mathcal{L}_{f^t}$ множество всех сфер $\{L^{\mathrm s}_{\sigma_1}, L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}, \sigma_1\in \Omega_{f^t}^1, \sigma_{n-1}\in \Omega_{f^t}^{n-1}\}$ и через $\mathcal{D}_{f^t}$ множество всех компонент связности многообразия $\mathcal{S}^n_g\setminus \bigl(\bigcup_{\sigma_1\in \Omega^{1}_{f^t}} L^{\mathrm s}_{\sigma_1} \cup \bigcup _{\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}} L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\bigr)$.

Определение 1. Двухцветным графом потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ назовем граф $\Gamma_{f^t}$ со следующими свойствами:

Определение 2. Графы $\Gamma_{f^t}, \Gamma_{{f'}^t}$ потоков $f^t,{f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ называются изоморфными, если существует биекция $\zeta\colon V(\Gamma_{f^t})\to V(\Gamma_{{f'}^t})$, сохраняющая отношение смежности и цвет ребер.

Сравнение рис. 2 с рис. 3 показывает, что двухцветные графы, в отличие от фазовых диаграмм, различают взаимное расположение замыканий сепаратрис топологически не эквивалентных потоков $f^t$, ${f'}^t$.

Теорема 1. Потоки $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, ${f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_{g'})$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их графы $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ изоморфны.

§ 2. Вспомогательные утверждения

2.1. Вложения сфер в многообразие и продолжение локальных гомеоморфизмов

Положим

$$ \begin{equation*} \mathbb{B}^{n}=\{(x_1,\dots, x_n)\in \mathbb{R}^n\mid x_1^2+\dots + x_n^2\leqslant 1\}. \end{equation*} \notag $$

Шаром или диском размерности $n\geqslant 1$ будем называть многообразие $B^n$, гомеоморфное $\mathbb{B}^n$. Сферой размерности $n-1$ (открытым шаром размерности $n$) будем называть многообразие, гомеоморфное границе $\mathbb{S}^{n-1}$ (внутренности $\operatorname{int} \mathbb{B}^n$) стандартного шара $\mathbb{B}^n$.

Непрерывное отображение $f\colon X\to M^n$ называется топологическим вложением, если отображение $f\colon X\to f(X)$ является гомеоморфизмом (при этом $f(X)$ рассматривается с топологией, индуцированной из $M^n$). Многообразие $f(X)$ будем называть топологически вложенным.

Пусть $f\colon \mathbb{S}^{n-1}\to M^n$ – топологическое вложение. Сфера $S^{n-1}=f(\mathbb{S}^{n-1})$ называется локально плоской, если для любой точки $x\in S^{n-1}$ существуют окрестность $U_x\subset M^n$ и гомеоморфизм $\psi\colon U_x\to \mathbb{R}^n$ такие, что $\psi ({S^{n-1}}\cap U_x)$ является линейным подпространством $\mathbb{R}^n$ размерности $n-1$.

Следующая классическая теорема, доказанная Л. Е. Дж. Брауэром в [14], обобщает известную теорему Жордана (утверждающую, что любая простая замкнутая кривая на плоскости делит ее на две компоненты связности; см., например, доказательство этого факта в [15]).

Утверждение 2 (теорема Жордана–Брауэра). Пусть $\varphi\colon \mathbb{S}^{n-1}\to S^n$ – топологическое вложение, $S^{n-1}=\varphi(\mathbb{S}^{n-1})$, $n>0$. Тогда множество $S^n\setminus S^{n-1}$ имеет две компоненты связности.

Следствие 1. Пусть $S^{n-1}_1, \dots, S^{n-1}_m\subset {S}^n$ – попарно не пересекающиеся топологически вложенные сферы, $m\geqslant 1$. Тогда множество ${S}^n\setminus \bigcup _{i=1}^m S^{n-1}_i$ имеет в точности $m+1$ компонент связности.

Доказательство. Докажем утверждение индукцией по числу сфер. Для $m=1$ оно верно в силу теоремы Жордана–Брауэра. Предположим, что утверждение верно для всех $m\in \{1,\dots,i\}$, и докажем его справедливость для случая $m=i+1$.

Так как число $m$ конечно, то найдется такое $j\in \{1,\dots, m\}$, что сфера $S^{n-1}_j$ делит ${S}^{n}$ на две компоненты связности $V_j$, $W_j$ такие, что все сферы из множества $\mathcal L= \bigcup _{k=1}^m S^{n-1}_k\setminus S^{n-1}_j$ лежат только в одной из компонент. Пусть это будет компонента $V_j$. По предположению индукции множество ${S}^n\setminus \mathcal L$ имеет в точности $(m-1)+1=m$ компонент $X_1,\dots, X_{m}$. Множество $W_j\cup S^{n-1}_j=\operatorname{cl} W_j$ связно, поэтому оно целиком лежит в одной из компонент связности множества $\mathbb{S}^n\setminus \mathcal L$. Обозначим эту компоненту $X_{m}$. Множество $X_{m}\setminus S^{n-1}_j$ имеет в точности две компоненты связности $V_j\,{\cap}\, X_{m}$ и $W_j$. Следовательно, множество $\mathbb{S}^n\,{\setminus}\, \bigcup _{k=1}^m S^{n-1}_k$ имеет в точности $m+1$ компонент связности $X_1, \dots, X_{m-1}$, $V_j\cap X_{m}$, $W_{j}$.

Напомним, что теорема Шенфлиса (см. [16], [17]) утверждает, что любая простая замкнутая кривая на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ (или на сфере ${S}^2$) является границей 2-диска в $\mathbb{R}^{2}$ (в $S^{2}$).

Согласно [18] справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3 (обобщенная теорема Шенфлиса). Пусть сфера $S^{n-1}$ локально плоско вложена в сферу $S^n$, $n \geqslant 3$. Тогда замыкания дополнительных к $S^{n-1}$ областей являются $n$-шарами.

Утверждение 4 (теорема о кольце). Пусть $S_{0}^{n-1}$, $S^{n-1}_{1}$ – непересекающиеся локально плоские $(n-1)$-сферы в $S^{n}$ и $K^{n}$ – открытая область в $S^{n}$, ограниченная сферами $S_{0}^{n-1}$ и $S^{n-1}_{1}$. Тогда замыкание области $K^{n}$ гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$.

М. Браун и Х. Глюк показали в [19; теорема 9.4] (см. также [20; гл. 5, теорема 3.2]), что теорема о кольце тесно связана с гипотезой $\mathrm{SHC}_n$ о стабильных гомеоморфизмах сферы ${S}^n$. Гомеоморфизм $f\colon {S}^n\to {S}^n$ называется стабильным, если его можно представить как конечную суперпозицию гомеоморфизмов, каждый из которых является тождественным на некотором открытом множестве. Гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ (ныне уже доказанная, см. ссылки ниже) состоит в том, что каждый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм сферы ${S}^n$ является стабильным. Браун и Глюк показали, что из гипотезы $\mathrm{SHC}_n$ следует теорема о кольце для размерности $n$, а из теоремы о кольце для размерностей $k\leqslant n$ следует гипотеза $\mathrm{SHC}_n$.

Для $n\leqslant 3$ гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ доказана в работе [21], откуда следует справедливость теоремы о кольце для размерностей $2,3$ (двумерная теорема о кольце, впрочем, легко может быть получена из теоремы Шенфлиса; см. [22; гл. 2, § A]). Для случая $n>4$ гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ была доказана Р. Кирби в 1969 г. (см. [23]). Теорема о кольце для случая $n=4$ доказана Ф. Квинном в 1984 г. (см. [24] и разъяснения этой работы в [25], а также обзор [26]), что доказывает справедливость гипотезы $\mathrm{SHC}_4$. Из гипотезы $\mathrm{SHC}_n$, в частности, вытекает справедливость следующего утверждения (см. [19; § 4]).

Утверждение 5. Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм сферы $ S^{n}$, $n\geqslant 1$, изотопен тождественному1.

Пусть $M$, $N$ – $n$-мерные замкнутые ориентируемые многообразия с краем, $n\geqslant 1$, $X\subset \partial M$, $Y\subset \partial N$ – замкнутые гомеоморфные подмногообразия размерности $n-1$ и $g\colon X\to Y$ – обращающий естественную ориентацию края гомеоморфизм. Введем на объединении $M\cup N$ следующее отношение эквивалентности: если $x\in M\cup N\setminus (X\cup Y)$, то $x\sim x$; если $x\in X$, $y\in Y$, то $x\sim g(x)$, $y\sim g^{-1}(y)$. Факторпространство

$$ \begin{equation*} M\cup_{g} N=(M\cup N)/_{\sim} \end{equation*} \notag $$
по этому отношению эквивалентности является топологическим многообразием. Будем говорить, что это многообразие получено склейкой многообразий $M$, $N$ по гомеоморфизму $g\colon X\to Y$.

Следующая классическая теорема, иногда называемая трюком Александера в честь американского математика У. Александера, имеет обширную область приложений.

Утверждение 6 (продолжение гомеоморфизма сферы на шар). Пусть $B^n_1$, $B^n_2$ – шары размерности $n$ и $h\colon \partial B^n_1 \to \partial B^n_2$ – произвольный гомеоморфизм. Тогда существует гомеоморфизм $H\colon B^n_1\to B^n_2$ такой, что $H|_{\partial B^n_1}=h|_{\partial B^n_1}$.

Доказательство. Пусть $h_1\colon B^n_1\to \mathbb{B}^n$, $h_2\colon B^n_2\to \mathbb{B}^n$ – произвольные гомеоморфизмы. Определим гомеоморфизм $\widetilde h\colon \partial \mathbb{B}^n\,{\to}\, \partial \mathbb{B}^n$ формулой $\widetilde{h}=h_2 h h_1^{-1}|_{\partial \mathbb B^n}$ и гомеоморфизм $\widetilde{H}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$, положив $\widetilde{H}(rx)=r\widetilde{h}(x)$ для каждого радиус-вектора $x\in \partial \mathbb{B}^n$ и $r\in [0,1]$. Тогда искомый гомеоморфизм $H$ определяется формулой $H=h_2^{-1}\widetilde{H}h_1$.

Утверждение доказано.

Следствие 2. Пусть $ B^n_1$, $B^n_2$ – два шара размерности $n\geqslant 1$, $g\colon \partial B^n_1\to \partial B^n_2$ – обращающий естественную ориентацию края гомеоморфизм и $M^n$ – многообразие, полученное из объединения $ B^n_1\cup B^n_2$ склейкой по $g$. Тогда $M^n$ гомеоморфно сфере $\mathbb S^n$.

Доказательство. Пусть $D^n_1=\{(x_1,\dots, x_{n+1})\in \mathbb{S}^n\mid x_{n+1}\geqslant 0\}$, $D^n_2=\{(x_1,\dots, x_{n+1})\in \mathbb{S}^n\mid x_{n+1}\leqslant 0\}$ и $h_1\colon B^n_1\to D^n_1$ – произвольный гомеоморфизм. Из утверждения 6 следует, что существует гомеоморфизм $h_2\colon B^n_2\to D^n_2$ такой, что $h_2|_{\partial B^n_2}=h_1g^{-1}|_{\partial B^n_2}$. Непрерывное отображение $H\colon B^n_1\cup B^n_2\to \mathbb{S}^n$ определим формулой
$$ \begin{equation*} H(x)=\begin{cases} h_1(x), &x\in B^n_1, \\ h_{2}(x), &x\in B^n_2. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Отображение $H$ является гомеоморфизмом на множестве $\operatorname{int} B^n_1\cup \operatorname{int} B^n_2$, а для точек $x\in \partial B^n_1$, $g(x)\in \partial B^n_2$ удовлетворяет равенству $H(x)=h_1(x)=h_2(g(x))=H(g(x))$. Следовательно, $H$ индуцирует гомеоморфизм $B^n_1\cup_g B^n_2\to \mathbb{S}^{n}$.

Следствие доказано.

Предложение 1. Пусть $M$ – топологическое многообразие с краем, $X$ – компонента связности края, $N$ – многообразие, гомеоморфное $X\times [0,1]$ и такое, что $M\cap N=\partial M\cap \partial N=X$. Тогда многообразие $M\cup N$ гомеоморфно $M$.

Доказательство. В силу [28; теорема 2] существует топологическое вложение $h_0\colon X\times [0,1]\to M$ такое, что $h_0(X\times \{1\})=X$. Положим $M_0=h_0(X\times [0,1])$. Пусть $h_1\colon X\times [0,1]\to N$ – гомеоморфизм такой, что $h_1(X\times \{0\})=X=h_0(X\times \{1\})$.

Определим гомеоморфизмы $g\colon X\times [0,1]\to X\times [0,1]$ , $\widetilde{h}_1\colon X\times [0,1]\to N$, $h\colon X\times [0,1]\to M_0\cup N$ формулами

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, g(x,t)=(h_1^{-1}(h_0(x,1)),t), \qquad \widetilde{h}_1=h_1g, \\ h(x,t)=\begin{cases} h_0(x,2t),&t\in\biggl[0,\dfrac12\biggr], \\ \widetilde{h}_1(x,2t-1),&t\in\biggl(\dfrac12,1\biggr], \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и гомеоморфизм $H\colon M\cup N\to M$ формулой
$$ \begin{equation*} H(x)=\begin{cases} h_0(h^{-1}(x)),&x\in Y=M_0\cup N, \\ x,&x\in M\setminus M_0. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Предложение доказано.

Из предложения 1 и следствия 2 непосредственно вытекает справедливость следующего утверждения.

Следствие 3. Связное многообразие, полученное приклеиванием к кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$ дизъюнктного объединения шаров $B^n_+$, $B^n_-$, гомеоморфно сфере $\mathbb{S}^n$.

Предложение 2 (продолжение гомеоморфизма с границы на внутренность кольца). Пусть $K^{n}=\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$ и $\psi_{0}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\psi_{1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы. Тогда существует гомеоморфизм $\Psi\colon K^{n}\to K^{n}$ такой, что:

1) $\Psi|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}=\psi_{0}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}$, $\Psi|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}=\psi_{1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}$;

2) $\Psi(\mathbb{S}^{n-1}\times \{1/2\})=\mathbb{S}^{n-1}\times \{1/2\}$.

Доказательство. В силу утверждения 5 существуют изотопии $H_{0}\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$, $H_{1}\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$ такие, что:

1) $H_{0}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{0\}}=\psi_{0}$, $H_{0}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{1\}}=\mathrm{id}$;

2) $H_{1}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{ 0 \}}=\psi_1$, $H_{1}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{1\}}=\mathrm{id}$.

Определим гомеоморфизм $\Psi\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$ следующим образом:

$$ \begin{equation*} \Psi(x,t)= \begin{cases} H_{0}(x,2t),&\text{если }t\in \biggl[0,\dfrac{1}{2}\biggr], \\ H_{1}(x,2(1-t)),&\text{если }t\in \biggl(\dfrac{1}{2},1\biggr]. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Предложение доказано.

Предложение 3. Пусть $e_i, e'_i\colon \mathbb{B}^n\to \operatorname{int}\mathbb{B}^n$, $i\in \{1,\dots,k\}$, – сохраняющие ориентацию топологические вложения такие, что:

1) сферы $e_{i}(\partial \mathbb{B}^n), e'_i(\partial \mathbb{B}^n)$ являются локально плоскими в $\mathbb{B}^n$ для всех $i\in \{1,\dots,k\}$;

2) $e_i(\mathbb{B}^n)\cap e_j(\mathbb{B}^n)=\varnothing$, $e'_i(\mathbb{B}^n)\cap e'_j(\mathbb{B}^n)=\varnothing$ для любых $i,j\in \{1,\dots,k\}$, $i\neq j$.

Тогда существует гомеоморфизм $h\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что:

1) $h|_{\partial\mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$;

2) $he_i=e_i'$, $i\in \{1,\dots,k\}$.

Доказательство. В случае, когда вложения $e_i$, $e'_i$ являются гладкими, справедливость предложения следует из [29; гл. 8, теоремы 3.1, 3.2]. Здесь мы приведем доказательство, не использующее гладкую технику. Будем доказывать предложение индукцией по $k$.

Пусть $k=1$. Из утверждения 4 следует, что множества $K_1=\mathbb{B}^n\setminus e_1(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$, $K'_1=\mathbb{B}^n\setminus e'_1(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$ гомеоморфны стандартному кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$. Пусть $\varphi_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K_1$, $\varphi'_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K'_1$ – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы такие, что $\varphi_1(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\varphi'_1(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\partial \mathbb{B}^n.$

Определим отображения $\psi_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\eta_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ соотношениями

$$ \begin{equation*} \psi_1(x)=\varphi'_1\varphi_1^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}},\qquad \eta_1(x)=\varphi'_1 e'_1 e^{-1}_1\varphi_1^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}. \end{equation*} \notag $$
По определению оба отображения $\psi_1$, $\eta_1$ являются сохраняющими ориентацию, поэтому существуют изотопии $\psi_{1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $\eta_{1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $t\in [0,1]$, соединяющие эти отображения с тождественным. Пусть $\varepsilon\in (0,1/3)$. Определим гомеоморфизмы $ G_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$, $h_1\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ соотношениями
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, G_1(x,t)=\begin{cases} \biggl(\psi_{1,t/\varepsilon}(x), \dfrac{t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [0,\varepsilon], \\ (x,t), &t\in [\varepsilon, 1-\varepsilon], \\ \biggl(\eta_{1,(1- t)/\varepsilon}(x), \dfrac{1- t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [1-\varepsilon,1], \end{cases} \\ h_1(x)=\begin{cases} {\varphi'_1}^{-1}(G_1(\varphi_1(x))),& x\in K_1, \\ x, &x\in e_1(\mathbb{B}^n). \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Непосредственно проверяется, что для случая $k=1$ гомеоморфизм $h_1$ является искомым. Предположим теперь, что построен гомеоморфизм $h_j\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что:

1) $h_j|_{\partial \mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$;

2) $h_je_i=e_i'$, $1\leqslant i\leqslant j$.

И построим гомеоморфизм $h_{j+1}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что:

1) $h_{j+1}|_{\partial \mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$;

2) $h_{j+1}e_i=e_i'$, $1\leqslant i\leqslant j+1$.

Положим $K_{j+1}=\mathbb{B}^n\setminus e_{j+1}(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$, $K'_{j+1}=\mathbb{B}^n\setminus e'_{j+1}(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$ и обозначим через $\varphi_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K_{j+1}$, $\varphi'_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K'_{j+1}$ сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы такие, что $\varphi_{j+1}(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\varphi'_{j+1}(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\partial \mathbb{B}^n$.

Определим отображения $\psi_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\eta_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ соотношениями

$$ \begin{equation*} \psi_{j+1}(x)=\varphi'_{j+1}\varphi_{j+1}^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}, \qquad \eta_{j+1}(x)=\varphi'_{j+1} e'_{j+1} e^{-1}_{j+1}\varphi_{j+1}^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}. \end{equation*} \notag $$
По определению оба отображения $\psi, \eta$ являются сохраняющими ориентацию, поэтому существуют изотопии $\psi_{j+1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $\eta_{j+1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $t\in [0,1]$, соединяющие эти отображения с тождественным. Выберем $\varepsilon\in (0,1/3)$ такое, что множество $C=\{(x,t)\mid x\in \mathbb{S}^{n-1},\, t\in [0,\varepsilon]\cup [1-\varepsilon, 1]\}$ не пересекается с шарами $\varphi_{j+1}(e_i(\mathbb{B}^n)), \varphi'_{j+1}(e'_i(\mathbb{B}^n))$ для всех $i\in \{1,\dots,j\}$. Определим гомеоморфизмы $ G_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$, $h_{j+1}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ соотношениями
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, G_{j+1}(x,t)= \begin{cases} \biggl(\psi_{j+1,t/\varepsilon}(x), \dfrac{t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [0,\varepsilon], \\ (x,t), &t\in [\varepsilon, 1-\varepsilon], \\ \biggl(\eta_{j+1,(1- t)/\varepsilon}(x), \dfrac{1- t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [1-\varepsilon,1], \end{cases} \\ h_{j+1}(x)=\begin{cases} {\varphi'_{j+1}}^{-1}(G_{j+1}(\varphi_{j+1}(x))), &x\in K_{j+1}, \\ x, &x\in e_{j+1}(\mathbb{B}^n). \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Непосредственно проверяется, что $h_{j+1}$ является искомым гомеоморфизмом.

Предложение 3 доказано.

Пусть $e_i\colon \mathbb{B}^{n}\to \operatorname{int} \mathbb{B}^n$, $i\in \{1,\dots,k\}$, – топологические вложения, удовлетворяющие условиям предложения 3. Будем называть многообразие с краем, гомеоморфное многообразию $\mathbb{B}^n\setminus \bigcup _{i=1}^k e_i(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$, $n$-шаром с $k$ дырами или $n$-сферой с $k+1$ дырами. Непосредственно из предложения 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 4. $n$-шары ($n$-сферы) с одним и тем же числом дыр гомеоморфны.

2.2. Ручечные тела

Ручкой размерности $n$ индекса $k$ называется прямое произведение $H^n_k=\mathbb{B}^k\times \mathbb{B}^{n-k}$. Говорят, что $n$-многообразие $M$ получено из $n$-многообразия $N$ c краем $\partial N$ приклеиванием ручки $H^n_k$, если существует вложение $\psi\colon \partial {\mathbb B}^k\times \mathbb{B}^{n-k} \to \partial N$ такое, что $M=N\bigcup_{\psi} H^n_k$.

Многообразие $Q^n_k$, полученное из шара $\mathbb{B}^n$ приклеиванием ручек индексов, меньших или равных $k$, называется $(n,k)$-ручечным телом. Особо выделяется случай $k=1$. Число $g$ ручек индекса $1$ ручечного тела $Q^n_1$ называется родом этого тела.

2.3. Необходимые сведения из теории графов

Графом называется совокупность $\Gamma$ двух конечных множеств – множества вершин $V(\Gamma)$ и множества ребер $E(\Gamma)$. Элементами множества ребер графа являются некоторые пары его вершин (возможно, совпадающих). Если вершины $v, w\in V(\Gamma)$ образуют ребро $e=(v,w)$, то они называются смежными; при этом говорят, что ребро $e$ инцидентно вершинам $v$, $w$, а вершины $v$, $w$ инцидентны ребру $e$. Можно изобразить множество вершин графа как множество точек в евклидовом пространстве (или на каком-нибудь его подмножестве), а множество ребер как множество дуг, соединяющих смежные вершины. Поэтому говорят, что ребро $(v,w)$ соединяет вершины $v$, $w$, а вершины $v$, $w$ являются концевыми вершинами ребра $(v,w)$.

Граф $\Gamma$ называется простым, если для любого его ребра концевые вершины не совпадают. В дальнейшем мы будем рассматривать только простые графы, не оговаривая этого специально.

Простым путем или маршрутом, соединяющим вершины $v$, $w$, называется последовательность попарно различных вершин $v_0=v,v_1,\dots,v_k=w$, в которой каждая последующая вершина соединена ребром с предыдущей. Простым циклом называется маршрут, соединяющий вершину $v$ с самой собой.

Граф $\Gamma$ называется связным, если любые его две вершины можно соединить маршрутом. Граф, не имеющий циклов, называется aциклическим. Связный ациклический граф называется деревом.

Следующее утверждение устанавливает основные свойства деревьев (см. [30; теорема 13.1]).

Утверждение 7. Пусть $\Gamma$ – граф с $r$ ребрами и $b$ вершинами. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) $\Gamma$ – дерево;

2) $\Gamma$ – связный граф и $b=r+1$;

3) $\Gamma$ – ациклический граф и $b=r+1$;

4) любые две несовпадающие вершины соединяет единственный простой маршрут;

5) $\Gamma$ – ациклический граф такой, что если к любой паре его различных вершин добавить ребро, соединяющее их, то полученный граф будет иметь ровно один цикл.

Число всех ребер, для которых вершина $v$ является концевой, называется степенью вершины. Вершина степени 1 называется листом.

Для дерева $\Gamma$ определим ранг каждой вершины следующим образом. Поставим в соответствие дереву $\Gamma$ последовательность деревьев $\Gamma_0=\Gamma, \Gamma_1,\dots, \Gamma_r$ такую, что для любого $i\in \{1,\dots, r\}$ дерево $\Gamma_i$ получается из дерева $\Gamma_{i-1}$ удалением всех листьев и инцидентных им ребер, а дерево $\Gamma_r$ состоит либо из одной вершины, либо из двух вершин, соединенных ребром. В первом случае дерево $\Gamma$ называется центральным, во втором – бицентральным. Вершины и ребро (если таковое имеется) дерева $\Gamma_r$ называются центральными вершинами и ребром графа $\Gamma$. Рангом вершины $v\in V(\Gamma)$ называется число

$$ \begin{equation*} \operatorname{rank}(v)=\max\{i\mid v\in V(\Gamma_{i}), \, i\in \{0,\dots,r\}\}. \end{equation*} \notag $$
Из определения следует, что если ребро $(v,w)$ не является центральным, то $|{\operatorname{rank}(v)-\operatorname{rank}(w)}|=1$, а центральные вершины бицентрального дерева имеют одинаковые ранги, равные $r$. На рис. 4 приведены центральное и бицентральное деревья и указаны ранги каждой из их вершин.

Два графа $\Gamma$, $\Gamma'$ называются изоморфными, если существует биекция $\xi$: $V(\Gamma)\to V(\Gamma')$, называемая изоморфизмом, такая, что для любых смежных вершин $v, w\in V(\Gamma)$ вершины $\xi(u),\xi(v)\in V(\Gamma')$ также являются смежными.

§ 3. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$

3.1. Схема потока как топологический инвариант

Пусть $\varphi\colon M^n\to\mathbb{R}$ – $C^r$-гладкая функция, заданная на многообразии $M^n$, $r\geqslant 2$. Точка $p\in M^n$ называется критической точкой функции $\varphi$, если

$$ \begin{equation*} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}_1}(p)=\dots=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}_n}(p)=0 \end{equation*} \notag $$
в локальных координатах в окрестности точки $p$. Точка $q\in M^n$, не являющаяся критической, называется регулярной точкой функции $\varphi$. Критическая точка $p$ функции $\varphi$ называется невырожденной, если матрица Гессе $\biggl(\dfrac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}_i\, \partial{x}_j}\biggr)\bigg|_p$ не вырождена.

Функция $\varphi\colon M^n\to\mathbb R$ называется функцией Морса, если все ее критические точки невырожденны.

Следующее утверждение, вытекающее из работ [1], [31], определяет самоиндексирующуюся энергетическую функцию – один из эффективных инструментов исследования градиентно-подобных потоков.

Утверждение 8. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Тогда существует функция Морса $\varphi \colon M^n\to [0,n]$ такая, что:

1) $\varphi(f^t(x))<\varphi(x)$ для любой блуждающей точки $x$ и любого положительного $t$;

2) любая незамкнутая траектория потока $f^t$ пересекает поверхности уровня функции $\varphi$ трансверсально;

3) множество критических точек функции $\varphi$ совпадет с множеством состояний равновесия потока $f^t$;

4) $\varphi(p)=\operatorname{dim}W^{\mathrm u}_p$ для любого состояния равновесия $p$.

Положим

$$ \begin{equation*} \Sigma_{f^t}=\varphi^{-1}\biggl(\frac n2\biggr). \end{equation*} \notag $$

Обозначим через $\Omega^i_{f^t}$ множество состояний равновесия потока $f^t$, индекс Морса которых равен $i\in \{0,1, n-1, n\}$. Пусть $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$, $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ – произвольные точки. В силу [13; теорема 2.3] найдутся точки $\omega\in \Omega^0_{f^t}$, $\alpha\in \Omega^n_{f^t}$ такие, что $\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cup \alpha$, $\operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cup \omega$. Поскольку функция $\varphi$ убывает вдоль траекторий потока $f^t$, то множества $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t}$, $W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t}$ непусты.

Положим

$$ \begin{equation*} \mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}=\bigcup_{\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}}(W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t}), \qquad \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}=\bigcup_{\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}}(W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t}). \end{equation*} \notag $$

Определение 3. Тройку $S_{f^t}=\{\Sigma_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}\}$ будем называть схемой потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, а множество $\Sigma_{f^t}$ – его характеристической секущей.

Ниже в лемме 1 мы покажем, что топология секущей $\Sigma_{f^t}$ и взаимное расположение на ней компонент связности множества $\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}$ полностью определяют класс топологической эквивалентности потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, а в п. 3.3 докажем, что двухцветный граф однозначно описывает взаимное расположение этих компонент связности.

Определение 4. Схемы $S_{f^t}=\{\Sigma_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}\}$, $S_{{f'}^t}=\{\Sigma'_{{f'}^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{{f'}^t}\}$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{f'}^t}$ такой, что

$$ \begin{equation*} h(\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}, \qquad h(\mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm u}_{{f'}^t}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 1. Потоки $f^t, {f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их схемы $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$ эквивалентны.

Доказательство. Положим $A_{f^t}=\Omega^0_{f^t}\cup W^{\mathrm u}_{\Omega^1_{f^t}}$, $R_{f^t}=\Omega^n_{f^t}\cup W^{\mathrm s}_{\Omega^{n-1}_{f^t}}$, $V_{f^t}=\mathcal{S}^n_g\setminus (A_{f^t}\cup R_{f^t})$ и обозначим через $A_{{f'}^t}$, $R_{{f'}^t}$, $V_{{f'}^t}$ аналогичные объекты для потока ${f'}^t$.

Докажем необходимость условий леммы. Пусть потоки $f^t, {f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны посредством некоторого гомеоморфизма $\widetilde h$. Так как $\Sigma'_{{f'}^t}$ – поверхность уровня энергетической функции потока, строго убывающей на множестве $V_{{f'}^t}$, то для каждой точки $y\in V_{{f'}^t}$ найдется единственное $t_y\in \mathbb{R}$ такое, что ${f'}^{t_y}(x)\subset \Sigma'_{{f'}^t}$. Определим гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{{f'}^t}}$, положив для точки $x\in \Sigma_{f^t}$

$$ \begin{equation*} h(x)={f'}^{t_{\widetilde h(x)}}(\widetilde h(x)). \end{equation*} \notag $$

Пусть точка $x$ принадлежит многообразию $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ некоторой седловой точки $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$. Тогда $\widetilde h(\sigma_1)\in \Omega^1_{{f'}^t}$, $\widetilde h(W^{\mathrm s}_{\sigma})=W^{\mathrm s}_{h(\sigma_1)}$ и $h(W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t})=W^{\mathrm s}_{\widetilde h(\sigma_1)}\cap \Sigma'_{{{f'}^t}}$. Аналогично доказывается, что $h(W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t})=W^{\mathrm u}_{\widetilde h(\sigma_{n-1})}\cap \Sigma'_{{{f'}^t}}$ для любой точки $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$. Таким образом, схемы $S_{f^t}, S_{{f'}^t}$ эквивалентны.

Докажем достаточность условий леммы. Пусть схемы $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$ эквивалентны и $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{{f'}^t}}$ – гомеоморфизм такой, что $h(\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, $h(\mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm u}_{{f'}^t}$.

Для любой точки $x\in \Sigma_{f^t}$ положим $x'=h(x)$ и обозначим через $\mathcal O_x$, $\mathcal O'_{x'}$ траектории потоков $f^t$, ${f'}^t$, проходящие через точки $x$, $x'$ соответственно. Пусть $\varphi, \varphi'\colon \mathcal{S}^n_g\to [0,n]$ – самоиндексирующиеся энергетические функции потоков $f^t$, ${f'}^t$ соответственно.

Для любой точки $y\in V_{f^t}$ найдутся единственная точка $x\in \Sigma_{f^t}$ и единственное число $c_y\in (0, n)$ такие, что $y=\mathcal O_x\cap \varphi^{-1}(c_y)$. Определим гомеоморфизм $H\colon V_{f^t}\to V_{{f'}^t}$, положив

$$ \begin{equation*} H(y)=\mathcal O'_{x'}\cap {\varphi'}^{-1}(c_y). \end{equation*} \notag $$

Поскольку гомеоморфизм $h$ переводит множество $C^{\mathrm s}_{f^t}$ $(C^{\mathrm u}_{f^t})$ в множество $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$ $(C^{\mathrm u}_{{f'}^t})$, то построенный гомеоморфизм $H$ переводит все устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы размерности $n-1$ седловых состояний равновесия потока $f^t$ в устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы размерности $n-1$ седловых состояний равновесия потока ${f'}^t$. Поэтому гомеоморфизм $H$ однозначно продолжается на множество всех седловых состояний равновесия. Сохраним обозначение $H$ для полученного гомеоморфизма и продолжим его на одномерные сепаратрисы седловых состояний равновесия.

Для этого заметим, что для любого $c\in (0,1)$ справедливо равенство

$$ \begin{equation*} H\biggl(\varphi^{-1}(c)\setminus \bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}} W^{\mathrm u}_{\sigma}\biggr)={\varphi'}^{-1}(c)\setminus \bigcup_{\sigma'\in \Omega^1_{{f'}^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma'} \end{equation*} \notag $$
и множества $\bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma}\cap\varphi^{-1}(c)$, $\bigcup_{\sigma'\in \Omega^1_{{f'}^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma'}\cap {\varphi'}^{-1}(c)$ являются конечными объединениями одинакового количества точек. Поэтому гомеоморфизм $H$ продолжается по непрерывности на множество $\bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma}$. Аналогично гомеоморфизм $H$ продолжается и на множество $\bigcup_{\sigma\in \Omega^{n-1}_{f^t}}W^{\mathrm s}_{\sigma}$ и далее на множество $\Omega^0_{f^t}\cup \Omega^{n}_{f^t}$.

Лемма 1 доказана.

3.2. Топология характеристической секущей $\Sigma_{f^t}$ и компонент связности множества $\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}$

Напомним, что для потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ мы обозначили через $\nu_{f^t}$, $\mu_{f^t}$ число узловых и седловых состояний равновесия соответственно и определили число $g_{f^t}$ формулой

$$ \begin{equation*} g_{f^t}=\frac{\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2}{2}. \end{equation*} \notag $$

В силу утверждения 1 верно равенство $g=g_{f^t}$.

Лемма 2. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Характеристическая секущая $\Sigma_{f^t}$ является границей $(n,1)$-ручечного тела рода $g$.

2. Для любых $\sigma_1\subset \Omega^1_{f^t}, \sigma_{n-1}\subset \Omega^{n-1}_{f^t}$ каждая компонента связности $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$, $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$ множества $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$ является гладко вложенной в $\Sigma_{f^t}$ сферой размерности $n-2$.

3. Если $g>0$, то существуют два набора седловых состояний равновесия $\sigma_1^1, \dots,\sigma_{1}^{g}\in \Omega^1_{f^t}$, $\sigma_{n-1}^1, \dots,\sigma_{n-1}^{g}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ и наборы $\{T^{\mathrm s}_i\subset \Sigma_{f^t}\}$, $\{T^{\mathrm u}_j \subset \Sigma_{f^t}\}$ попарно не пересекающихся трубчатых окрестностей сфер $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$, $\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\}$ соответственно такие, что множества $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t} \setminus \bigcup _{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i)$, $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t} \setminus \bigcup _{j=1}^{g} T^{\mathrm u}_j)$ гомеоморфны сфере с $2{g}$ дырами.

Доказательство. Докажем п. 1. Положим $Q_a=\varphi^{-1}([0,n/2])$, где $\varphi$ – самоиндексирующаяся энергетическая функция потока $f^t$. По определению $\Sigma_{f^t}=\partial Q_a$. Докажем вначале, что $Q_a$ связно.

Так как $\varphi$ убывает вдоль траекторий потока $f^t$, то $Q_a\subset \bigcup_{p\in \Omega^0_{f^t}\cup \Omega^1_{f^t}} W^{\mathrm s}_{p}$. Положим $U_a=\bigcup_{i\in \mathbb{Z}}f^i(Q_a)$, $R_{f^t}=\Omega^n_{f^t}\cup W^{\mathrm s}_{\Omega^{n-1}_{f^t}}$. В силу [13; теорема 2.3] многообразие $\mathcal{S}^{n}_g$ представляется в виде $\mathcal{S}^{n}_g=\bigcup_{p\in \Omega^0_{f^t}\cup \Omega^1_{f^t}}{W^{\mathrm s}_p}\cup R_{f^t}$. Тогда $U_a=\mathcal{S}^{n}_g\setminus R_{f^t}$. Так как $n\geqslant 3$, а размерность множества $R_{f^t}$ не превышает 1, то множество $U_a$ связно (см. [32; гл. 4, теорема 4]). Отсюда следует связность $Q_a$. Действительно, если $Q_a$ несвязно, то его можно представить в виде объединения непересекающихся непустых замкнутых подмножеств $E_1$, $E_2$ таких, что если $x\in E_i$, то $f^t(x)\in E_i$ для любого $t\geqslant 0$. Тогда и множество $U_a=\bigcup_{t\in \mathbb{R}} (f^t(E_1)\cup f^t(E_2))$ будет несвязным (если пересечение $\bigcup_{t\in \mathbb{R}} f^t(E_1)\cap \bigcup_{t\in \mathbb{R}} f^t(E_2)$ непусто, то для любой точки $x$, принадлежащей этому пересечению, найдется $t_x$ такое, что $f^{t_x}(x)\in E_1\cap E_2$, а это противоречит предположению, что $E_1\cap E_2=\varnothing$).

Из леммы Морса следует, что для любого $\varepsilon\in (0,1)$ многообразие $M_\varepsilon=\varphi^{-1}([0,\varepsilon])$ гомеомофно дизъюнктному объединению $k^0=|\Omega_{f^t}^0|$ шаров размерности $n$. Из [33; теорема 3.4]) (см. также теорему 3.2 и замечание к ней в [34]) следует, что многообразие $Q_a=\varphi^{-1}([0,n/2])$ получается из многообразия $M_\varepsilon$ приклеиванием к нему $k^1=|\Omega_{f^t}^1|$ ручек $H_1,\dots,H_{k^1}$ индекса $1$, каждая из которых содержит в точности одно седловое состояние равновесия, индекс Морса которого равен $1$ (на рис. 5 изображен фазовый портрет потока $f^t$, секущая $\Sigma_{f^t}$ и ручечное тело $Q_a$ для случая $g=0$, $k_1=1$).

Так как $Q_a$ связно, то $k^1\geqslant k^0-1$. Положим $g_a=k^1-k^0+1$. Покажем, что $Q_a$ – $(n,1)$-ручечное тело рода $g_a$. Рассмотрим по отдельности два случая: $g_a=0$ и $g_a>0$. Пусть $g_a=0$. Покажем индукцией по числу $k^0$, что связное компактное многообразие, полученное из $k^0$ экземпляров замкнутых $n$-шаров приклеиванием $(k^0-1)$ ручек индекса $1$, гомеоморфно $n$-шару. Отсюда будет следовать, что $Q_a$ в случае $g_a=0$ гомеоморфно $n$-шару (т.е. ручечному телу рода $0$).

При $k^0=1$ имеется один шар и нуль ручек, и утверждение верно. Предположим, что при $k^0=i\geqslant 1$ утверждение доказано, и рассмотрим случай $k^0=i+1$. Тогда $Q_a$ является объединением двух шаров с приклеенной ручкой. Имеется два способа приклеивания ручки: при первом в результате получаем несвязное многообразие (рис. 6, a), при втором – связное (рис. 6, b).

Рассмотрим случай $g_{a}>0$. Тогда $Q_a$ связно и получено приклеиванием к $k^0$ шарам $k^1=k^0-1+g_a$ ручек. Как было доказано ранее, связное многообразие, являющееся результатом приклеивания $k^0-1$ ручек к $k_0$ шарам, гомеоморфно шару. Тогда в результате приклеивания к нему еще $g_a$ ручек получим $(n,1)$-ручечное тело рода $g_a$. Таким образом, $Q_a$ является ручечным телом рода $g_a= k^1-k^{0}+1$.

Аналогично, рассматривая поток $f^{-t}$ и его энергетическую функцию $\psi=n-\varphi$, получаем, что многообразие $Q_r=M^n\setminus \operatorname{int} Q_a$ является $(n,1)$-ручечным телом рода $g_r=k^{n-1}-k^n+1$, где $k^n=|\Omega^n_{f^t}|$, $k^{n-1}=|\Omega^{n-1}_{f^t}|$. Поскольку многообразия $Q_a$ и $Q_r$ имеют общую границу, то $g_a=g_r$. Из определения чисел $g_{f^t}$, $g_a$, $g_r$ следует, что

$$ \begin{equation*} \frac{g_a+g_r}2=g_{a}=\frac{k^{n-1}+k^{1}-k^0-k^{n}+2}2 =\frac{\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2}2=g_{f^t}. \end{equation*} \notag $$

В силу утверждения 1 $g_{f^t}=g$. Таким образом, $g_a=g$.

Докажем п. 2. Из утверждения 8 следует, что для любой точки $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$ пересечение $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ и $\Sigma_{f^t}$ трансверсально, поэтому множество $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$ является гладким замкнутым многообразием размерности $n\,{-}\,1\,{+}\,n\,{-}\,1\,{-}\,n=n-2$. Так как $\Sigma_{f^t}$ является секущей для траекторий потока $f^t$, то подмногообразие $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ является секущей для всех траекторий ограничения потока $f^t$ на множество $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus \sigma_1$. Определим ретракцию

$$ \begin{equation*} r\colon W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}\to l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}, \end{equation*} \notag $$
поставив каждой точке $x\in W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$ в соответствие точку $y=f^{t_x}(x)\in l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$, являющуюся точкой пересечения траектории потока $f^t$, проходящей через точку $x$, с множеством $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$. Ретракция $r$ соединяется с тождественным отображением $\mathrm{id}\colon W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}\to W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$ гомотопией
$$ \begin{equation*} h_\tau(x)=f^{\tau t_x}(x), \qquad \tau\in [0,1], \end{equation*} \notag $$
следовательно, $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$ имеет тот же гомотопический тип, что и $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$. Так как многообразие $W^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}\setminus {\sigma_1}$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{n-1}\setminus O$, то оно имеет гомотопический тип сферы размерности $n-2$. Тогда в силу теоремы Пуанкаре многообразие $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$ гомеоморфно $(n-2)$-сфере. Рассуждения для точки $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ аналогичны.

Докажем п. 3. Пусть $g>0$.

Так как $Q_a$ – ручечное тело рода $g$, то существуют гладкие вложения $e_i$: $[-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1}\to Q_a$, $i\in \{1,\dots, g\}$, со следующими свойствами:

Положим $H_i=e_i([-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1})$, $B_i^-=e_i(\{-1\}\times \mathbb{B}^{n-1})$, $B_i^+=e_i(\{1\}\times \mathbb{B}^{n-1})$, $i\in \{1, \dots, g\}$.

Из построения $Q_a$, описанного при доказательстве п. 1, следует, что каждое подмножество $H_i$ имеет непустое пересечение с устойчивым многообразием по крайней мере одного седлового состояния равновесия $\sigma_1^i\in \Omega^1_{f^t}$. Из утверждения 3 следует, что сфера $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ ограничивает шар $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\in W^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$, содержащий точку $\sigma_1^i$, следовательно, $\operatorname{int} B^{\mathrm s}_{\sigma^i_1}\subset \operatorname{int} H_i$ и $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\cap H_i$. Поскольку шары $\{B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$ гладко вложены в $Q_a$, то для каждого $i\in \{1,\dots, g\}$ существует гладкое вложение $\psi_i\colon [-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1}\to H_i$ со следующими свойствами:

Так как диск $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ делит $H_i$ на две компоненты связности, то и множество $\operatorname{cl} (H_i\setminus N_i)$ состоит из двух компонент связности $H_i^+$, $H_i^-$. Из свойств 1)–3) следует, что граница каждой из этих компонент гомеоморфна сфере. Действительно, пусть $B_i^+\cup \widetilde{B}_i^+\subset H_i^+$. Из утверждения 4 следует, что множество $\partial H_i^+\setminus (\operatorname{int} B_i^+\cup \operatorname{int} \widetilde{B}_i^+)$ (принадлежащее также границе шара $H_i$) гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-2}\times [0,1]$. Тогда из следствия 3 вытекает, что $\partial H_i^+$ гомеоморфно сфере $S^{n-1}$, а из утверждения 2 следует, что $H_i^+$ гомеоморфно шару $B^n$. Аналогично получаем, что $H_i^-$ гомеоморфно шару $B^n$.

По определению множество $\operatorname{cl} (Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}H_{i})$ гомеоморфно $n$-шару. Тогда множество

$$ \begin{equation*} P_a=\operatorname{cl} \biggl(Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}N_{i}\biggr) =\operatorname{cl} \biggl(Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}H_{i}\biggr) \cup \bigcup_{i=1}^{g}(H^-_i\cup H^+_i) \end{equation*} \notag $$
также гомеоморфно $n$-шару. Положим $T^{\mathrm s}_i=N_i\cap \Sigma_{f^t}$. Тогда
$$ \begin{equation*} \operatorname{cl} \biggl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i\biggr) =\partial P_a\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^{g}\operatorname{int}\widetilde{B}_i^-\cup \operatorname{int}\widetilde{B}^+_i\biggr), \end{equation*} \notag $$
следовательно, $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i)$ гомеоморфно сфере, из которой удалено $2g$ открытых дисков размерности $n-1$, что и требовалось доказать.

Лемма 2 доказана.

Существование набора $\sigma_{n-1}^1, \dots,\sigma_{n-1}^{g}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ следует из того факта, что приведенные выше рассуждения остаются справедливыми для потока $f^{-t}$ и его энергетической функции $n-\varphi$.

Непосредственно из п. 3 леммы 2 вытекает следующее утверждение.

Следствие 5. Если $g>0$, то множества $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$ содержат по крайней мере по одному набору $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\}$, $\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^1}, \dots, l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^g}\}$ такому, что многообразия $ \bigl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^k l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\bigr)$, $\bigl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^k l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^i}\bigr)$ связны для любого $k\in [1, g]$. При этом любые $g+1$ сфер из множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ делят $\Sigma_{f^t}$ на несколько компонент связности.

Определение 5. Набор седловых состояний равновесия $\{\sigma_1^1,\dots,\sigma_1^g\}$ ($\{\sigma_{n-1}^1,\dots,\sigma_{n-1}^g\}$) и набор сфер $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$ ($\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\}$), соответствующие пересечению их устойчивых (соответственно неустойчивых) многообразий с секущей $\Sigma_{f^t}$, описанные в п. 3 леммы 2, будем называть максимальным неразбивающим $\mathrm s$-набором (соответственно $\mathrm u$-набором).

3.3. Взаимосвязь двухцветного графа и схемы потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$

Пусть $\eta_{f^t}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to \mathcal{D}_{f^t}\cup \mathcal{L}_{f^t}$ – биекция такая, что $\eta_{f^t}(V(\Gamma_{f^t}))=\mathcal{D}_{f^t}$, $\eta_{f^t}(E(\Gamma_{f^t}))=\mathcal{L}_{f^t}$, и ребро $e\in E(\Gamma_{f^t})$ инцидентно вершинам $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{f^t}(e)\in \mathcal{L}_{f^t}$ входит в границу областей $\eta_{f^t}(v), \eta_{f^t}(w)\in \mathcal{D}_{f^t}$.

Множество компонент связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$ обозначим через $d_{f^t}$. Из леммы 2 следует, что каждая сфера $L\in \mathcal{L}_{f^t}$ (а следовательно, и каждая область $D\in \mathcal{D}_{f^t}$) пересекает характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ в точности по одной компоненте связности. Поэтому биекция $\eta_{f^t}$ индуцирует биекцию $\eta_{*}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to d_{f^t}\cup (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$ с аналогичными свойствами.

В дальнейшем граф $\Gamma_{f^t}$ будем отождествлять с одномерным полиэдром, вложенным в характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ так, как описано в следующем предложении (рис. 8).

Предложение 4. Граф $\Gamma_{f^t}$ вкладывается в характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ таким образом, что каждой вершине $v\in V(\Gamma_{f^t})$ соответствует точка $\widetilde{v}$, лежащая в области $\eta_{*}(v)\in d_{f^t}$, а ребру $e\in E(\Gamma_{f^t})$, соединяющему вершины $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$, соответствует гладкая дуга $\widetilde{e}\subset \Sigma_{f^t}$, соединяющая точки $\widetilde{v}, \widetilde{w}$ и пересекающая сферу $l=\eta_*(e)\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ в единственной точке.

Всюду далее точку $\widetilde{v}$ и дугу $\widetilde{e}$ будем называть вершиной и ребром графа $\Gamma_{f^t}$ соответственно и опускать знак $\sim$ в обозначениях.

Будем говорить, что ребро $e$ разбивает граф $\Gamma_{f^t}$, если граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ имеет большее число компонент связности, чем граф $\Gamma_{f^t}$.

Предложение 5. 1. Граф $\Gamma_{f^t}$ связен.

2. Ребро $e\in \Gamma_{f^t}$ разбивает граф $\Gamma_{f^t}$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{*}(e)=l$ разбивает секущую $\Sigma_{f^t}$.

Доказательство. Докажем п. 1. Пусть $v$, $w$ – вершины графа $\Gamma_{f^t}$. Из леммы 2 следует, что секущая $\Sigma_{f^t}$ связна. Тогда точки $v$, $w$ можно соединить путем $\gamma\colon [0,1]\to \Sigma_{f^t}$. Так как точки $v$, $w$ лежат в разных компонентах связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$, то образ $\gamma([0,1])$ пути $\gamma$ пересекает какие-то сферы $l_1,\dots, l_k\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ и проходит по компонентам связности $d_1,\dots, d_{k+1}$ множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$. Будем считать, что $\gamma(0)=v\in d_1$, $\gamma(1)=w\in d_k$. Тогда в графе $\Gamma_{f^t}$ найдется маршрут $\mathcal{M}$, составленный из вершин $v_1=v, v_2,\dots, v_{k+1}=w$ и ребер $e_1,\dots,e_k$ таких, что $v_i\in d_i$, а ребро $e_i$ пересекает сферу $l_i$, $i\in \{1,\dots,k\}$ (рис. 9). Таким образом, граф $\Gamma_{f^t}$ связен.

Докажем п. 2. Пусть вершины $v$, $w$ инцидентны ребру $e$ такому, что $\Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен и $l=\eta_*(e)$. Покажем, что множество $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно. Предположим противное: пусть множество $\Sigma_{f^t}\setminus l$ связно. Тогда аналогично тому, как это было сделано при доказательстве п. 1, можно построить маршрут $\mathcal{M}$ в графе $\Gamma_{f^t}$, соединяющий точки $v$, $w$ и не проходящий через ребро $e$. Существование такого маршрута означает, что граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ связен, что противоречит условию. Следовательно, $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно.

Предположим теперь, что $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно, и покажем, что граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен. Предположим противное: пусть граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ связен, тогда в графе $\Gamma_{f^t}\setminus e$ найдется маршрут $\mathcal{M}$, соединяющий вершины $v$, $w$. Маршрут $\mathcal{M}$ не пересекает сферу $l$, следовательно, точки $v$, $w$ принадлежат одной компоненте связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus l$. Так как множества $\Sigma_{f^t}\setminus l$, $e\setminus l$ несвязны, то множество $\Gamma_{f^t}\setminus l$ несвязно и вершины $v$, $w$, инцидентные ребру $e$, принадлежат разным компонентам связности множества $\Gamma_{f^t}\setminus l$. Полученное противоречие доказывает, что ребро $e$ не может принадлежать циклу графа $\Gamma_{f^t}\setminus e$.

Предложение доказано.

Лемма 3. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Если $g=0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ является деревом. Если $g>0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ связен и имеет в точности $g$ простых попарно различных циклов таких, что:

1) никакое ребро не принадлежит одновременно двум циклам;

2) каждый цикл графа $\Gamma_{f^t}$ содержит как ребро, окрашенное в цвет $\mathrm s$, так и ребро, окрашенное в цвет $\mathrm u$, и эти ребра соответствуют сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$, $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\in C^{\mathrm u}_{f^t}$, принадлежащим максимальным неразбивающим $\mathrm s$- и $\mathrm u$-наборам соответственно.

Доказательство. Пусть $g=0$. Тогда в силу леммы 2 характеристическая секущая $\Sigma_{f^t}$ является сферой размерности $n-1$ и для любой сферы $l\in \mathcal{L}_{f^t}$ пересечение $l\cap \Sigma_{f^t}$ является сферой размерности $n-2$. Напомним, что $\mu_{f^t}$ обозначает число седел потока $f^t$ и равно числу сфер из множества $\mathcal{L}_{f^t}$. В силу следствия 1 множество $\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{l\in \mathcal{L}_{f^t}}l$ имеет в точности $\mu_{f^t}+1$ компонент связности. Следовательно, число вершин графа $\Gamma_{f^t}$ равно $\mu_{f^t}+1$ при числе ребер, равном $\mu_{f^t}$. Из предложения 5 следует, что граф $\Gamma_{f^t}$ является связным. Тогда в силу утверждения 7 граф $\Gamma_{f^t}$ является деревом.

Пусть $g>0$. Тогда в силу п. 3 леммы 2 существует максимальный неразбивающий $\mathrm s$-набор сфер $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1}, \dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$ такой, что множество $\widetilde\Sigma_{f^t}=\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^gl^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ связно, и для любой сферы $l\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^gl^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ множество $\widetilde \Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно. Пусть $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g, e$ – ребра графа $\Gamma_{f^t}$, соответствующие сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1}, \dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g},l$ соответственно. Из предложения 5 следует, что граф $\widetilde\Gamma_{f^t}=\Gamma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^{g}e^{\mathrm s}_i$ связен, а граф $\widetilde \Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен. Таким образом, граф $\widetilde \Gamma_{f^t}$ является связным и не имеет циклов, следовательно, является деревом. Тогда из утверждения 7 следует, что каждое ребро $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g$ лежит на простом цикле графа $\Gamma_{f^t}$. Никакие два ребра $e^{\mathrm s}_i$, $e^{\mathrm s}_j$, $i\neq j$, не лежат на одном и том же цикле, в противном случае граф $\Gamma_{f^t}\setminus (e^{\mathrm s}_i\cup e^{\mathrm s}_j)$ имел бы две компоненты связности. Кроме того, никакое ребро не принадлежит двум циклам одновременно, в противном случае граф $\widetilde{\Gamma}_{f^t}$ был бы несвязным (рис. 10). Таким образом, граф $\Gamma_{f^t}$ имеет по крайней мере $g$ попарно различных простых циклов, каждый из которых содержит ребро $e^{\mathrm s}_i$, окрашенное в цвет $\mathrm s$. Поскольку граф $\widetilde{\Gamma}_{f^t}$ ациклический, то граф $\Gamma_{f^t}$ содержит в точности $g$ циклов.

В силу п. 3 леммы 2 наряду с максимальным неразбивающим $\mathrm s$-набором существует также и максимальный неразбивающий $\mathrm u$-набор сфер $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^1}, \dots, l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^g}$, принадлежащий множеству $C^{\mathrm u}_{f^t}$. Каждой сфере $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^i}$ из этого набора соответствует ребро $e^{\mathrm u}_i$ графа $\Gamma_{f^t}$, окрашенное в цвет $\mathrm u$. Заменяя в предыдущих рассуждениях $\mathrm s$ на $\mathrm u$, получим, что каждый из $g$ простых циклов графа $\Gamma_{f^t}$ наряду с ребром $e^{\mathrm s}_i$, окрашенным в цвет $\mathrm s$, содержит ребро $e^{\mathrm u}_i$, окрашенное в цвет $\mathrm u$.

Лемма 3 доказана.

3.4. Доказательство теоремы 1

Необходимость условий теоремы следует непосредственно из определения топологической эквивалентности. Для доказательства достаточности покажем, что из существования изоморфизма $\xi$ графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует эквивалентность схем $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$. Тогда в силу леммы 1 потоки $f^t$, ${f'}^t$ будут топологически эквивалентны.

Пусть $\eta_{f^t}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to \mathcal{D}_{f^t}\cup \mathcal{L}_{f^t}$ – биекция такая, что ребро $e\in E(\Gamma_{f^t})$ инцидентно вершинам $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{f^t}(e)\in \mathcal{L}_{f^t}$ входит в границу областей $\eta_{f^t}(v), \eta_{f^t}(w)\in \mathcal{D}_{f^t}$ (см. п. 3.3). Обозначим через $\eta_{{f'}^t}\colon V(\Gamma_{{f'}^t})\cup E(\Gamma_{{f'}^t})\to \mathcal{D}_{{f'}^t}\cup \mathcal{L}_{{f'}^t}$ биекцию с аналогичными свойствами для потока ${f'}^t$. Изоморфизм $\xi\colon V(\Gamma_{f^t})\to V(\Gamma_{{f'}^t})$ индуцирует изоморфизм $\xi_*\colon \mathcal{D}_{f^t}\to \mathcal{D}_{{f'}^t}$ следующим образом: $\xi_*=\eta_{{f'}^t} \xi \eta_{f^t}^{-1}|_{\mathcal{D}_{f^t}}$. Так как изоморфизм $\xi$ сохраняет отношение смежности и цвет ребер, то изоморфизм $\xi_*$ естественным образом продолжается до изоморфизма между множествами $\mathcal{L}_{f^t}$, $\mathcal{L}_{{f'}^t}$, который также будем обозначать через $\xi_*$.

Пусть $\mu_{f^t}$, $\nu_{f^t}$ ($\mu_{{f'}^t}$, $\nu_{{f'}^t}$) – число седловых и узловых состояний равновесия потока $f^t$ (${f'}^t$). Так как $\mu_{f^t}=|\mathcal{L}_{f^t}|=|E(\Gamma_{f^t})|$, $\mu_{{f'}^t}=|\mathcal{L}_{{f'}^t}|=|E(\Gamma_{{f'}^t})|$, то из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что $\mu_{f^t}=\mu_{{f'}^t}$. Покажем, что $\nu_{f^t}=\nu_{{f'}^t}$. Узловые состояния потока $f^t$ можно поделить на два подмножества: точки из первого подмножества принадлежат сферам из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, и тогда из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что эти множества для потоков $f^t$, ${f'}^t$ состоят из одного и того же количества точек. Точки из второго подмножества принадлежат областям из множества $\mathcal{D}_{f^t}$, причем в каждой области $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ может лежать не более одного стокового или источникового состояния равновесия. Кроме того, стоковое (источниковое) состояние равновесия $\omega (\alpha)$ принадлежит области $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ тогда и только тогда, когда в ее границу входят только устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы седловых состояний равновесия, индекс Морса которых равен $1$ (равен $n\,{-}\,1$). Следовательно, в этом случае вершина, соответствующая области $D$, инцидентна только ребрам цвета $\mathrm{s} $ (цвета $\mathrm{u}$). Отсюда в силу изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что $\nu_{f^t}=\nu_{{f'}^t}$. Так как тип несущего многообразия потока $f^t$ определяется числом $g_{f^t}=(\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2)/2$, то получаем, что $g_{f^t}=g_{{f'}^t}$. Положим

$$ \begin{equation*} g=g_{f^t}=g_{{f'}^t}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\Sigma_{f^t}$, $\Sigma_{{f'}^t}$ – характеристические секущие потоков $f^t$, ${f'}^t$. Из определения следует, что каждая сфера $L\in \mathcal{L}_{f^t}$ ($L'\in \mathcal{L}_{{f'}^t})$ и каждая область $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ ($D'\in \mathcal{D}_{{f'}^t})$ пересекается с $\Sigma_{f^t}$ (с $\Sigma_{{f'}^t}$) по единственной компоненте связности. Поэтому изоморфизм $\xi_*$ естественным образом индуцирует биекцию между элементами множеств $C^{\mathrm u}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$ и $C^{\mathrm s}_{{f}^t}$, $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, а также между компонентами связности множеств $\Sigma_{{f^t}}\setminus (C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t})$, $\Sigma_{{f'}^t}\setminus (C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t})$, который также будем обозначать через $\xi_*$. Из определения изоморфизма $\xi_*$ следует, что компонента связности $d\subset \Sigma_{{f^t}}\setminus (C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t})$ соответствует компоненте связности $d'=\xi_*(d)\subset \Sigma_{{f'}^t}\setminus (C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t})$ тогда и только тогда, когда для любой компоненты связности $l\subset C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}$, входящей в границу области $d$, найдется компонента связности $l'=\xi_*(l)\subset C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, входящая в границу области $d'$.

Построим гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h(l)=l'$ для любой сферы $l\subset C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$. Рассмотрим по отдельности два случая: $g=0$ и $g>0$.

Случай 1: $g=0$. В силу леммы 3 графы $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ являются деревьями, а в силу леммы 2 характеристические секущие $\Sigma_{f^t}$, $\Sigma_{{f'}^t}$ гомеоморфны сферам. Обозначим через $r$ максимальный ранг вершин графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{{f'}^t}}$. Возможны два случая:

Случай 1, a). Пусть $v_0$ – центральная вершина графа $\Gamma_{f^t}$. Если $r=0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ состоит из единственной вершины $v_0$, а неблуждающее множество потока $f^t$ не содержит седловых состояний равновесия. В этом случае неблуждающее множество потока $f^t$ состоит в точности из двух состояний равновесия: источника и стока, и все такие потоки топологически эквивалентны. Пусть $r>0$. Тогда вершина $v_0$ имеет степень $\delta_0\geqslant 2$ (если $\delta_0=1$, то вершина $v_0$ представляет собой лист и является центральной только в случае, когда $r=1$ и граф $\Gamma_{f^t}$ бицентральный). Пусть $v_{0,1}, \dots, v_{0,\delta_0}$ – смежные с $v_0$ вершины. Обозначим через $l_{0,i}$ сферу из множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, соответствующую ребру $(v_0, v_{0,i})$, и положим $\mathfrak{l}_0=\bigcup _{i=1}^{\delta_0}l_{0,i}$. Тогда граница области $d\in \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{{f}^t}$, соответствующей вершине $v_0$, состоит в точности из всех сфер из множества $\mathfrak{l}_0$ (рис. 11). Обозначим через $\mathfrak{l}'_0$ подмножество сфер из множества $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$, соответствующих ребрам, инцидентным центральной вершине $v'_0\in V(\Gamma'_{f^t})$. Будем считать, что нумерация сфер из множества $\mathfrak{l}'_0$ выбрана так, что $l'_{0,i}=\xi_*(l_{0,i})$, $i\in \{1,\dots,\delta_0\}$. Из утверждения 3 следует, что каждая сфера $l_{0,i}\in \mathfrak{l}_0$ делит сферу $\Sigma_{{f}^t}$ на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно шару размерности $n-1$. Поэтому множество $\mathfrak{b}_0=\Sigma_{f^t}\setminus \operatorname{cl} d$ является объединением попарно не пересекающихся открытых шаров, ограниченных сферами $\mathfrak{l}_0$. Обозначим через $\mathfrak{b}'_0$ дополнение до множества $\operatorname{cl}d'\in \mathcal{D}_{{f'}^t}\cap \Sigma_{{f'}^t}$, соответствующее вершине $v'_0$. Из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}, \Gamma_{{f'}^t}$ следует, что множество $\mathfrak{b}'_0$ состоит из того же числа шаров, что и множество $\mathfrak{b}_0$, и для каждого шара $b_{0,i}\in \mathfrak{b}_0$, ограниченного сферой $l_{0,i}\in \mathfrak{l}_0$, найдется шар $b'_{0,i}\in \mathfrak{b}'_0$, ограниченный сферой $l'_{0,i}\in \mathfrak{l}'_0$. Из следствия 4 и утверждения 6 вытекает существование гомеоморфизма $h_0\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такого, что $h_0(l_{0,i})=l'_{0,i}$ для каждого $i\in \{1,\dots, \delta_0\}$. Если $r=1$, то $h_0$ является искомым гомеоморфизмом.

Пусть $r>1$. Тогда множество $C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \mathfrak{l}_0$ непусто и все сферы из этого множества лежат в множестве $\mathfrak{b}_0$. Из изоморфности двухцветных графов следует, что множество $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\setminus \mathfrak{l}'_0$ непусто и все сферы из этого множества лежат в $\mathfrak{b}'_0$.

Пусть $\delta_{i}$ – степень вершины $v_{0,i}$. Так как $r>1$, то $\delta_{i}>1$ для любого $i\in \{1,\dots, \delta_0\}$. Обозначим через $v_{i,j}$ вершину графа $\Gamma_{f^t}$, смежную с вершиной $v_{0,i}$ и отличную от $v_0$, $j\in \{1,\dots, \delta_i\}$. Пусть $l_{i,j}$ – сфера из множества $C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \mathfrak{l}_0$, соответствующая ребру $(v_i, v_{i,j})$, $l'_{i,j}$ – сфера из множества $C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\setminus \mathfrak{l}'_0$ такая, что $l'_{i,j}=\xi_*(l_{i,j})$. Положим $\mathfrak{l}_{1,i}=\bigcup_{j=1}^{\delta_i}l_{i,j}$, $\mathfrak{l}'_{1,i}=\bigcup_{j=1}^{\delta_i}l'_{i,j}$, $i\in \{1,\dots, \delta\}$.

Из определения графа $\Gamma_{f^t}$ следует, что совокупность сфер $\mathfrak{l}_{1,i}$, $l_{0,i}$ является границей некоторой области $d_i\subset \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{f^t}$, соответствующей вершине $v_i$ и содержащейся в шаре $b_{0,i}\subset \mathfrak{b}_0$, ограниченном сферой $l_{0,i}$ (см. рис. 11). Обозначим через $\mathfrak{b}_{1,i}$ совокупность шаров, принадлежащих шару $\mathfrak{b}_{0,i}$ и ограниченных сферами из множества $\mathfrak{l}_{1,i}$. Тогда $h_0(\mathfrak{b}_{1,i})\subset {b}'_{0,i}$. Из предложения 3 следует, что для каждого $i\in \{1,\dots,\delta_0\}$ существует гомеоморфизм $h_i\colon \Sigma_{{f'}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h_i|_{\Sigma_{{f'}^t}\setminus \operatorname{int}{b}'_{0,i}}=\mathrm{id}$ и $h_i(h_0(l_{1,i}))=l'_{1,i}$ для любой сферы $l_{1,i}\in \mathfrak{l}_{1,i}$. Если $r=2$, то суперпозиция $h_\delta h_{\delta-1}\dotsb h_1h_0$ является искомым гомеоморфизмом $h\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$. В противном случае продолжим процесс и через конечное число шагов построим искомый гомеоморфизм.

Случай 1, b). Дерево $\Gamma_{f^t}$ является бицентральным. Обозначим через $l_0$ сферу, соответствующую центральному ребру графа $\Gamma_{f^t}$, через $b_0$ – произвольную компоненту связности множества $\Sigma_{{{f}^t}}\setminus l_0$ и через $v$ – центральную вершину, соответствующую области $d\in \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{{f}^t}$, принадлежащей $b_0$ (тогда в границу области $d$ входит сфера $l_0$). Обозначим через $l'_0$ сферу, соответствующую центральному ребру графа $\Gamma_{{f'}^t}$, через $b'_0$ – ту компоненту связности множества $\Sigma_{{{f'}^t}}\setminus l'_0$, которая содержит область $d'$. Из утверждения 6 следует, что существует гомеоморфизм $h_0\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h(l_0)=l'_0$, $h(b_0)=b'_0$. Если $r=0$, то гомеоморфизм $h$ является искомым. Если $r>0$, то продолжим процесс построения гомеоморфизма $h$ аналогично тому, как это описано для случая 1, a).

Случай 2: $g>0$. Из п. 3 леммы 2 следует, что найдется в точности $g$ сфер $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots,l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$ таких, что множество $\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ связно. В силу леммы 3 ребра $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g$, соответствующие сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots,l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}$, принадлежат попарно различным циклам графа $\Gamma_{f^t}$. Обозначим через $v_{i}, w_i$ вершины графа $\Gamma_{f^t}$, инцидентные ребру $e^{\mathrm s}_i$, $i\in \{1,\dots,g\}$.

Из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что ребра ${e'}^{\mathrm s}_1=\xi(e^{\mathrm s}_1)$, $\dots$, ${e'}^{\mathrm s}_g=\xi(e^{\mathrm s}_g)$ принадлежат попарно различным циклам графа $\Gamma_{{f'}^t}$. В силу предложения 5 множество сфер ${l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_{1}^1}=\xi_*(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1})$, $\dots$, ${l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_{1}^g}=\xi_*(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g})$, соответствующих этим ребрам, не делит секущую $\Sigma_{{f'}^t}$.

Обозначим через $\{T_l,\, l\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}\}$, $\{T_{l'},\, l'\in C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\}$ наборы попарно не пересекающихся трубчатых окрестностей сфер из множеств $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$ соответственно.

Из п. 3 леммы 2 следует, что каждое из многообразий $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$ и $\Sigma_{{f'}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{{l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_1^i}}$ гомеоморфно сфере размерности $n-1$ с $2g$ дырами.

Приклеим к многообразию $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$ множество $\mathfrak B$, состоящее из $2g$ копий шара $\mathbb{B}^{n-1}$. Обозначим через $\widehat{\Sigma}_{{f}^t}$ полученную в результате сферу и через $p_{f^t}\colon \Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}} \cup \mathfrak B \to \widehat{\Sigma}_{{f}^t}$ – естественную проекцию. В дальнейшем множества $p_{f^t}(\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}})$, $p_{f^t}(C^{\mathrm s}_{f^t})$, $p_{f^t}(C^{\mathrm u}_{f^t})$, $p_{f^t}(\partial T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}})$, $p_{f^t}(\mathfrak B)$ будем обозначать $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$, $\partial T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $\mathfrak B$ соответственно.

Удалим из графа $\Gamma_{f^t}$ ребра $e_1, \dots, e_g$ и к каждой вершине $v_i$, $w_i$ добавим по одной вершине $v_{i+}$, $w_{i+}$ и ребру $(v_i, v_{i+})$, $(w_i, w_{i+})$, окрашенному в цвет $\mathrm s$. Полученное дерево обозначим через $\widehat{\Gamma}_{f^t}$. С каждой новой вершиной $v_{i+}$, $w_{i+}$ свяжем добавленный к многообразию $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l_i}$ шар, а с каждым новым ребром свяжем границу этого шара. Обозначим через $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}$ множество сфер, являющееся объединением множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^g l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ и множества границ добавленных шаров. Тогда имеется естественная биекция $\widehat{\eta}_{f^t}$ между множеством ребер графа $\widehat{\Gamma}_{f^t}$ и элементами множества $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, а также между множеством ребер графа $\widehat{\Gamma}_{f^t}$ и компонентами связности множества $\widehat{\Sigma}_{{f}^t}\setminus (\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$.

Проделаем аналогичную процедуру для потока ${f'}^t$ и обозначим через $\widehat{\Gamma}_{{f'}^t}$, $\widehat{\Sigma}_{{f'}^t}$, $\widehat{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, $\mathfrak B'$ полученные объекты, соответствующие одноименным объектам для потока $f^t$. Изоморфизм $\xi\colon \Gamma_{f^t}\to \Gamma_{{f'}^t}$ естественным образом продолжается до изоморфизма $\widehat{\xi}\colon \widehat{\Gamma}_{f^t}\to \widehat{\Gamma}_{{f'}^t}$, который индуцирует биекцию $\widehat\xi_*$ между элементами множеств $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ и $\widehat{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$. Действуя по алгоритму, приведенному для случая $g=0$, построим гомеоморфизм $\widehat{h}\colon \widehat{\Sigma}_{f^t}\to \widehat{\Sigma}_{{f'}^t}$ такой, что для любой сферы $l\in \widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ выполняется условие $\widehat{h}(l)= \widehat \xi_*(l)$.

Гомеоморфизм $\widehat h$ естественным образом индуцирует гомеоморфизм между множествами $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l_i}$ и $\Sigma_{{f'}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l'_i}$, который также будем обозначать через $\widehat h$. В силу предложения 2 гомеоморфизм $\widehat{h}$ продолжается на каждое кольцо $T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $i\in \{1,\dots,g\}$, до гомеоморфизма $h\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такого, что $h|_{\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}}=\widehat h$ и $h(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i})={l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_1^i}$ для любого $i\in \{1,\dots,g\}$. Таким образом, $h$ – искомый гомеоморфизм.

Теорема 1 доказана.

3.5. Реализация классов топологической эквивалентности

Определение 6. Простой связный граф $\Gamma$, ребра которого окрашены в цвета $\mathrm s$, $\mathrm u$, называется допустимым, если он имеет $g\geqslant 0$ попарно различных простых циклов, на каждом цикле имеется по крайней мере по одному ребру цвета $\mathrm s$ и по одному ребру цвета $ \mathrm u$, и никакое ребро не принадлежит двум циклам одновременно.

Предложение 6. Для любого потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ граф $\Gamma_{f^t}$ является допустимым.

Доказательство. По определению граф $\Gamma_{f^t}$ не имеет петель, т.е. является простым. Остальные условия, определяющие допустимый граф, выполнены для графа $\Gamma_{f^t}$ в силу леммы 3. Предложение доказано.

Лемма 4. Пусть $\Gamma_{f^t}$ – двухцветный граф потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ – вершины, соединенные единственным простым маршрутом $\mathcal{M}$, и $d_v$, $d_w$ – компоненты связности множества $\mathcal{D}_{f^t}$, соответствующие вершинам $v$, $w$. Если маршрут $\mathcal{M}$ содержит ребро $e^{\mathrm s}$, окрашенное в цвет $\mathrm s$, то замыкания множеств $d_v$, $d_w$ содержат два несовпадающих стоковых состояния равновесия $\omega_v$, $\omega_w$ потока ${f}^t$.

Доказательство. Будем считать, что граф $\Gamma_{f^t}$ вложен в многообразие $\mathcal{S}^n_{g}$ таким образом, как это описано в предложении 4.

Пусть $L^{\mathrm s}$ – сфера из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, соответствующая ребру $e^{\mathrm s}$, и $\sigma\in \Omega^1_{f^t}$ – состояние равновесия такое, что $L^{\mathrm s}=\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_\sigma$. Так как по условию $\mathcal{M}$ – единственный простой маршрут, соединяющий вершины $v$, $w$, то ребро $e^{\mathrm s}$ не принадлежит никакому циклу графа $\Gamma_{f^t}$. Тогда в силу предложения 5 сфера $L^{\mathrm s}\subset \mathcal{L}_{{f}^t}$ делит многообразие $\mathcal{S}^n_{g}$ на две компоненты связности $V$, $W$. Маршрут $\mathcal{M}$ также делится сферой $L^{\mathrm s}$ на две компоненты связности такие, что концевые вершины $v$, $w$ принадлежат разным компонентам связности. Поэтому и области $d_v$, $d_w$ принадлежат разным компонентам связности $V$, $W$. Пусть $d_v\subset V$, $d_w\subset W$. Возможны два случая:

В случае 1) обозначим через $e^{\mathrm u}_v$, $e^{\mathrm u}_w$ ребра, инцидентные вершинам $v$, $w$ соответственно и принадлежащие маршруту $\mathcal{M}$. По предположению они окрашены в цвет $\mathrm u$. Тогда сферы $L^{\mathrm u}_v, L^{\mathrm u}_w\subset \mathcal L_{f^t}$, соответствующие ребрам $e^{\mathrm u}_v$, $e^{\mathrm u}_w$, принадлежат множествам $\operatorname{cl} d_v$, $\operatorname{cl} d_w$ соответственно. Из определения множества $\mathcal{L}_{f^t}$ следует, что найдутся стоковые точки $\omega_v\in L^{\mathrm u}_v$, $\omega_w\in L^{\mathrm u}_w$. Так как сферы $L^{\mathrm u}_v$, $L^{\mathrm u}_w$ не могут иметь пересечений со сферой $L^{\mathrm s}$ и, следовательно, лежат в разных компонентах связности $V$, $W$, то стоковые точки $\omega_v$, $\omega_w$ не совпадают.

Рассмотрим случай 2). Одномерные неустойчивые сепаратрисы точки $\sigma\in \Omega^1_{{f}^t}$ такой, что $L^{\mathrm s}= \operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma}$, также лежат в разных множествах $V$, $W$, следовательно, найдутся стоковые точки $\omega_+\subset V$, $\omega_-\subset W$, принадлежащие замыканию множества $W^{\mathrm u}_{\sigma}$. Возможны три случая:

В случае (a) $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_v$, $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_w$, поэтому $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_v\neq \varnothing$, $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_w\neq \varnothing$ и $\omega_+ \subset \operatorname{cl} d_v$, $\omega_-\subset \operatorname{cl} d_w$. Положим $\omega_v=\omega_+$, $\omega_u=\omega_-$.

В случае (b) предположим для определенности, что ребро $e^{\mathrm s}$ инцидентно вершине $v$. Тогда существует ребро $e^{\mathrm u}\in \mathcal{M}$, инцидентное вершине $w$ и окрашенное в цвет $\mathrm u$. В этом случае $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_v$, поэтому $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_v\neq \varnothing$ и $\omega_+\subset \operatorname{cl} d_v\cap W$. Кроме того, найдется стоковое состояние равновесия $\omega$, принадлежащее сфере $L^{\mathrm u}\in \mathcal{L}_{{f}^t}$, которая соответствует ребру $e^{\mathrm u}$. Тогда $L^{\mathrm u}\subset \operatorname{cl} d_w$ и, следовательно, $\omega\subset \operatorname{cl} d_w$. Так как $L^{\mathrm s}\cap L^{\mathrm u}=\varnothing$, то $\omega_+\neq \omega$. Положим $\omega_v=\omega_+$, $ \omega_w=\omega$.

В случае (с) обозначим через $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ ребра, принадлежащие маршруту $\mathcal{M}$ и инцидентные вершинам $v$, $w$ соответственно. Оба ребра $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ окрашены в цвет $\mathrm s$. Обозначим через $L^{\mathrm s}_v$, $L^{\mathrm s}_w$ сферы из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, соответствующие ребрам $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ соответственно, и через $\sigma_v, \sigma_w\in \Omega^1_{f^t}$ – седловые состояния равновесия такие, что $L^{\mathrm s}_v=W^{\mathrm s}_{\sigma_v}$, $L^{\mathrm s}_w=W^{\mathrm s}_{\sigma_w}$. Объединение $L^{\mathrm s}_v\cup L^{\mathrm s}_w$ делит многообразие $\mathcal{S}^{n}_{g}$ на три компоненты связности $W$, $V$, $U$, каждая из которых содержит по крайней мере одну стоковую точку, принадлежащую замыканию множества $W^{\mathrm u}_{\sigma_v}\cup W^{\mathrm u}_{\sigma_w}$. Обозначим эти стоковые точки $\omega_w$, $\omega_v$, $\omega_u$ соответственно. Пусть $d_w\subset W$, $d_v\subset V$. В этом случае $\omega_v\subset \operatorname{cl} d_v$, $\omega_w\subset \operatorname{cl} d_w$ и $\omega_v\neq \omega_w$.

Лемма 4 доказана.

Теорема 2. Для любого допустимого графа $\Gamma$ существует поток $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, граф $\Gamma_{f^t}$ которого изоморфен графу $\Gamma$ посредством изоморфизма, сохраняющего раскраску ребер.

Доказательство. Применяем индукцию по числу $g$. В случае $g=0$ граф $\Gamma$ является деревом, и алгоритм реализации его потоком из класса $G(\mathcal{S}^n_0)$ описан в работе [35]. В частности, описано построение потока $f^t_0$ на сфере $\mathcal S^n_0$, неблуждающее множество которого состоит в точности из четырех состояний равновесия: двух источников, одного стока и седла индекса $n-1$. Фазовый портрет потока $f^t_0$ и его двухцветный граф приведены на рис. 12.

Пусть $\psi\colon \mathcal S^n_0\to [0,n]$ – энергетическая функция потока $f^t_0$. Положим $N=\psi^{-1}[0, n-0.5]$. Множество $N$ является многообразием с краем, полученным из $\mathcal S^n_0$ удалением двух непересекающихся открытых шаров с гладко вложенными границами. В силу утверждения 4 многообразие $N$ гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [-1,1]$. Из определения энергетической функции следует, что траектории потока $f^t_0$ трансверсальны краю многообразия $N$.

Предположим, что для любого допустимого графа, число простых циклов которого равно $i\in \{0,1,\dots,g-1\}$, построен поток из класса $G(\mathcal{S}^n_i)$, граф которого изоморфен этому допустимому графу при помощи изоморфизма, сохраняющего цвета ребер. Построим поток $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ по допустимому графу $\Gamma$, имеющему ровно $g>0$ циклов, все вершины каждого из которых попарно различны.

Пусть $(v,w)$ – ребро графа $\Gamma$, принадлежащее некоторому циклу. Для определенности будем считать, что это ребро окрашено в цвет $\mathrm u$ (для цвета $\mathrm s$ рассуждения аналогичны). По предположению индукции граф $\Gamma_*$, полученный удалением из $\Gamma$ ребра $(v,w)$, реализуется потоком $f_*^t\in G(\mathcal{S}^n_{g-1})$, граф $\Gamma_{f_*^t}$ которого изоморфен графу $\Gamma_*$. Так как вершины $v$, $w$ принадлежали циклу графа $\Gamma$, то в графе $\Gamma_*$ найдется единственный простой маршрут $\mathcal{M}$, соединяющий вершины $v$, $w$ и содержащий ребро $e^{\mathrm s}$, окрашенное в цвет $\mathrm s$. В силу леммы 4 замыкания областей $d_v, d_w\subset \mathcal{D}_{f_*^t}$, соответствующих вершинам $v$, $w$, содержат два несовпадающих стоковых состояния равновесия $\omega_v$, $\omega_w$ потока ${f}^t$.

Пусть $\varphi\colon \mathcal{S}^n_{g-1}\to [0,n]$ – энергетическая функция потока $f_*^t$. Обозначим через $B_v$, $B_w$ компоненты связности множества $\varphi^{-1}([0, 0.5])$, содержащие точки $\omega_v$, $\omega_w$ соответственно. Удалим из многообразия $\mathcal{S}^n_{g-1}$ внутренности шаров $B_v$, $B_w$ и приклеим к полученному многообразию с краем многообразие $N$, гомеоморфное кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [-1,1]$ с заданным модельным потоком $f^t_{0}$ на нем.

Обозначим через $M^n$ многообразие, полученное из $\mathcal{S}^n_{g-1}$ удалением внутренностей шаров $B_v$, $B_w$ и приклеиванием к полученному многообразию с краем многообразия $N$ по диффеоморфизму $h\colon \partial (B_v\cup B_w)\to \partial N$ такому, что $h(\mathcal{L}_{{f'}^t})\cap W^{\mathrm u}_{\sigma_0}=\varnothing$, где $\sigma_0$ – седловое состояние равновесия потока $f^t_0$.

В силу [36] многообразие $M^n$ гомеоморфно $\mathcal S^n_g$. Обозначим через $p$: $\mathcal{S}^n_{g-1}\setminus \operatorname{int} (B_v\cup B_w)\cup N\to M^n$ естественную проекцию. Сглаживая поток $f^t_0$ в окрестности края многообразия $N$, определим поток $f^t$ на $M^n$, совпадающий с $f_*^t$ на множестве $p(\mathcal{S}^n_{g-1}\setminus (B_v\cup B_w))$ и с $f^t_0$ на множестве $p(N)$.

По построению двухцветный граф $\Gamma_{f^t}$ потока $f^t$ может быть получен из графа $\Gamma_*$ добавлением к $\Gamma_*$ ребра, соединяющего вершины $v$, $w$, и окрашенного в цвет $\mathrm u$ (см. рис. 12). Следовательно, графы $\Gamma_{f^t}$ и $\Gamma$ изоморфны.

Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. S. Smale, “On gradient dynamical systems”, Ann. of Math. (2), 74 (1961), 199–206  crossref  mathscinet  zmath
2. Л. Э. Эльсгольц, “Оценка числа особых точек динамической системы, заданной на многообразии”, Матем. сб., 26(68):2 (1950), 215–223  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. E. Èl'sgol'c, Estimate for the number of singular points of a dynamical system defined on a manifold, Amer. Math. Soc. Translation, 68, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1952, 14 с.  mathscinet
3. S. Smale, “Morse inequalities for a dynamical system”, Bull. Amer. Math. Soc., 66 (1960), 43–49  crossref  mathscinet  zmath
4. C. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pécou, “Three-manifolds admitting Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves”, Topology Appl., 117:3 (2002), 335–344  crossref  mathscinet  zmath
5. V. Z. Grines, E. A. Gurevich, O. V. Pochinka, “Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections”, J. Math. Sci. (N.Y.), 208:1 (2015), 81–90  crossref  mathscinet  zmath
6. С. Ю. Пилюгин, “Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса–Смейла без периодических траекторий на сферах”, Дифференц. уравнения, 14:2 (1978), 245–254  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: S. Ju. Piljugin, “Phase diagrams determining Morse–Smale systems without periodic trajectories on spheres”, Differential Equations, 14:2 (1978), 170–177
7. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Индекс Морса седловых состояний равновесия градиентно-подобных потоков на связной сумме $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$”, Матем. заметки, 111:4 (2022), 616-619  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. Z. Grines, E. Ya. Gurevich, “Morse index of saddle equilibria of gradient-like flows on connected sums of $\mathbb S^{n-1}\times \mathbb S^1$”, Math. Notes, 111:4 (2022), 624–627  crossref
8. А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Наука, М., 1967, 487 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, A. G. Maĭer, Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane, Halsted Press [John Wiley & Sons], New York–Toronto; Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem–London, 1973, xiv+482 с.  mathscinet
9. M. M. Peixoto, “On the classification of flows on 2-manifolds”, Dynamical systems (Univ. Bahia, Salvador, 1971), Academic Press, New York, 1973, 389–419  crossref  mathscinet  zmath
10. Я. Л. Уманский, “Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса–Смейла с конечным числом особых траекторий”, Матем. сб., 181:2 (1990), 212–239  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: Ya. L. Umanskiĭ, “Necessary and sufficient conditions for topological equivalence of three-dimensional Morse–Smale dynamical systems with a finite number of singular trajectories”, Math. USSR-Sb., 69:1 (1991), 227–253  crossref  adsnasa
11. А. А. Ошемков, В. В. Шарко, “О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях”, Матем. сб., 189:8 (1998), 93–140  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Oshemkov, V. V. Sharko, “Classification of Morse–Smale flows on two-dimensional manifolds”, Sb. Math., 189:8 (1998), 1205–1250  crossref  adsnasa
12. V. Grines, E. Gurevich, O. Pochinka, D. Malyshev, “On topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on the sphere $S^n$ ($n > 3$)”, Nonlinearity, 33:12 (2020), 7088–7113  crossref  mathscinet  zmath
13. S. Smale, “Differentiable dynamical systems”, Bull. Amer. Math. Soc., 73:6 (1967), 747–817  crossref  mathscinet  zmath
14. L. E. J. Brouwer, “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”, Math. Ann., 71:1 (1911), 97–115  crossref  mathscinet  zmath
15. А. Ф. Филиппов, “Элементарное доказательство теоремы Жордана”, УМН, 5:5(39) (1950), 173–176  mathnet  mathscinet  zmath
16. M. H. A. Newman, Elements of the topology of plane sets of points, Reprint of the 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1954, vii+214 pp.  mathscinet  zmath
17. E. E. Moise, Geometric topology in dimensions 2 and 3, Grad. Texts in Math., 47, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1977, x+262 pp.  crossref  mathscinet  zmath
18. M. Brown, “A proof of the generalized Schoenflies theorem”, Bull. Amer. Math. Soc., 66:2 (1960), 74–76  crossref  mathscinet  zmath
19. M. Brown, H. Gluck, “Stable structures on manifolds. I. Homeomorphisms of $S^{n}$”, Ann. of Math. (2), 79:1 (1964), 1–17  crossref  mathscinet  zmath
20. Л. В. Келдыш, “Топологические вложения в евклидово пространство”, Тр. МИАН СССР, 81, 1966, 3–184  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: L. V. Keldysh, “Topological imbeddings in Euclidean space”, Proc. Steklov Inst. Math., 81 (1966), 1–203  mathscinet  zmath
21. G. M. Fisher, “On the group of all homeomorphisms of a manifold”, Trans. Amer. Math. Soc., 97 (1960), 193–212  crossref  mathscinet  zmath
22. D. Rolfsen, Knots and links, AMS Chelsea Publishing Serias, 346, Reprint with corr. of the 1976 original, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, ix+439 pp.  mathscinet  zmath
23. R. C. Kirby, “Stable homeomorphisms and the annulus conjecture”, Ann. of Math. (2), 89:3 (1969), 575–582  crossref  mathscinet  zmath
24. F. Quinn, “The embedding theorems for towers”, Four-manifold theory (Durham, NH, 1982), Contemp. Math., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984, 461–471  crossref  mathscinet  zmath
25. R. D. Edwards, “The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)”, Four-manifold theory (Durham, NH, 1982), Contemp. Math., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984, 211–264  crossref  mathscinet  zmath
26. А. В. Чернавский, “О работах Л. В. Келдыш и ее семинара”, УМН, 60:4(364) (2005), 11–36  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. V. Chernavskii, “On the work of L. V. Keldysh and her seminar”, Russian Math. Surveys, 60:4 (2005), 589–614  crossref  adsnasa
27. В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, МЦНМО, М., 2006, 448 с.; англ. пер.: V. V. Prasolov, Elements of homology theory, Grad. Stud. Math., 81, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, x+418 с.  crossref  mathscinet  zmath
28. M. Brown, “Locally flat imbeddings of topological manifolds”, Ann. of Math. (2), 75:2 (1962), 331–341  crossref  mathscinet  zmath
29. М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: M. W. Hirsch, Differential topology, Grad. Texts in Math., 33, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1976, x+221 с.  crossref  mathscinet  zmath
30. В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич, Лекции по теории графов, Наука, М., 1990, 384 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: O. Melnikov, R. Tyshkevich, V. Yemelichev, V. Sarvanov, Lectures on graph theory, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1994, x+371 с.  mathscinet  zmath
31. K. R. Meyer, “Energy functions for Morse Smale systems”, Amer. J. Math., 90:4 (1968), 1031–1040  crossref  mathscinet  zmath
32. В. Гуревич, Г. Волмэн, Теория размерности, ИЛ, М., 1948, 232 с.; пер. с англ.: W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension theory, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1948, vii+165 с.  mathscinet  zmath
33. Y. Matsumoto, An introduction to Morse theory, Transl. from the 1997 Japan. original, Transl. Math. Monogr., 208, Iwanami Series in Modern Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xiv+219 pp.  crossref  mathscinet  zmath
34. J. Milnor, Lectures on the $h$-cobordism theorem, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965, v+116 pp.  crossref  mathscinet  zmath
35. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О реализации классов топологической сопряженности каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$”, Труды МИАН, 310, Избранные вопросы математики и механики (2020), 119–134  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. Z. Grines, E. Ya. Gurevich, V. S. Medvedev, “On realization of topological conjugacy classes of Morse–Smale cascades on the sphere $S^n$”, Proc. Steklov Inst. Math., 310 (2020), 108–123  crossref
36. В. С. Медведев, Я. Л. Уманский, “О разложении $n$-мерных многообразий на простые многообразия”, Изв. вузов. Матем., 1979, № 1, 46–50  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. S. Medvedev, Ya. L. Umanskii, “Decomposition of $n$-dimensional manifolds into simple manifolds”, Soviet Math. (Iz. VUZ), 23:1 (1979), 36–39

Образец цитирования: В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Комбинаторный инвариант градиентно-подобных потоков на связной сумме $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$”, Матем. сб., 214:5 (2023), 97–127; V. Z. Grines, E. Ya. Gurevich, “A combinatorial invariant of gradient-like flows on a connected sum of $\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{S}^1$”, Sb. Math., 214:5 (2023), 703–731
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriGur23}
\by В.~З.~Гринес, Е.~Я.~Гуревич
\paper Комбинаторный инвариант градиентно-подобных потоков на связной сумме $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$
\jour Матем. сб.
\yr 2023
\vol 214
\issue 5
\pages 97--127
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9761}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9761}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4662651}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..703G}
\transl
\by V.~Z.~Grines, E.~Ya.~Gurevich
\paper A~combinatorial invariant of gradient-like flows on a~connected sum of $\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{S}^1$
\jour Sb. Math.
\yr 2023
\vol 214
\issue 5
\pages 703--731
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9761e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001095751800004}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168507214}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9761
  • https://doi.org/10.4213/sm9761
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i5/p97
  • Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:310
    PDF русской версии:25
    PDF английской версии:46
    HTML русской версии:165
    HTML английской версии:96
    Список литературы:31
    Первая страница:3
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024