| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Комбинаторный инвариант градиентно-подобных потоков на связной сумме В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Нижний Новгород
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9761e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение и формулировка результатовНапомним, что поток $f^t$, заданный на гладком замкнутом многообразии $M^n$, называется градиентно-подобным, если его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия, а инвариантные многообразия состояний равновесия пересекаются трансверсально. С. Смейл в работе [1] доказал, что градиентный поток функции Морса (гладкой функции, все критические точки которой не вырождены) при некотором выборе метрики является градиентно-подобным. Так как функции Морса существуют на любых многообразиях, то и градиентно-подобные потоки существуют на любых многообразиях. В [2], [3] доказано, что для градиентно-подобных потоков верны неравенства Морса, связывающие структуру неблуждающего множества потока с топологией несущего многообразия. В частности, верно следующее соотношение. Пусть $c_i$ – число состояний равновесия потока, размерность неустойчивого многообразия (индекс Морса) которых равна $i\in \{0,\dots, n\}$, $\chi(M^n)$ – эйлерова характеристика многообразия $M^n$. Тогда Отметим, что в силу формулы (1.1) число $|\chi(M^n)|$ дает нижнюю оценку числа состояний равновесия. Если $n=2$, а $M^2$ ориентируемо, то, как известно, $M^2$ гомеоморфно связной сумме
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^2\,\sharp\,\mathbb{T}^2\,\sharp\,\dotsb \,\sharp\, \mathbb{T}^2
\end{equation*}
\notag
$$
двумерной сферы $\mathbb{S}^2$ и $g\geqslant 0$ торов $\mathbb{T}^2=\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1$, и, кроме того, $\chi(M^2)=2-2g$. В этом случае из формулы (1.1) следует, что род $g$ многообразия $M^2$ выражается через число узловых состояний равновесия $\nu_{f^t}=c_0+c_2$ и число седловых состояний равновесия $\mu_{f^t}=c_1$ следующим образом: В случае $n>2$ эйлерова характеристика уже не является полным топологическим инвариантом, более того, если $n$ нечетно, то $\chi(M^n)=0$ для любого многообразия $M^n$, поэтому формула (1.1) в общем случае становится малоинформативной, однако приведенное ниже утверждение 1 позволяет ее значительно усилить. Пусть $G(M^n)$ – класс градиентно-подобных потоков, заданных на связном замкнутом ориентируемом многообразии $M^n$ размерности $n\geqslant 3$, такой, что для любого $f^t\in G(M^n)$ инвариантные многообразия различных седловых состояний равновесия не пересекаются. Обозначим через $\mathcal{S}^n_g$ многообразие, гомеоморфное связной сумме
$$
\begin{equation*}
\mathbb{S}^n\, \sharp\, \mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1\, \sharp\, \dotsb\, \sharp \, \mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1
\end{equation*}
\notag
$$
сферы $\mathbb{S}^n$ и $g$ копий прямых произведений $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^1$. Пусть $f^t\in G(M^n)$, $n\geqslant 3$, а $\nu_{f^t}$, $\mu_{f^t}$ – число узловых и седловых состояний равновесия потока $f^t$ соответственно и $g_{f^t}=(\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2)/2$. Тогда справедливо следующее утверждение. Утверждение 1. 1. Если все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индексы Морса, равные $1$ или $n-1$, то $g_{f^t}$ является целым неотрицательным числом и несущее многообразие $M^n$ есть $\mathcal{S}^n_{g_{f^t}}$. 2. Если несущее многообразие $M^n$ есть $\mathcal{S}^n_{g}$, то все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индексы Морса, равные $1$ и $n-1$, и, кроме того, $g=g_{f^t}$. Пункт 1 утверждения 1 вытекает из работ [4], [5], где доказаны аналогичные факты для каскадов Морса–Смейла. Пункт 2 для случая $g=0$ доказан в работе [6], а для случая $g>0$ – в работе [7]. В работе [6] показано, что полным топологическим инвариантом для потоков из класса $G(S^n)$ для $n>3$ является фазовая диаграмма – комбинаторный инвариант, который представляет собой обобщение схемы динамической системы Леонтович–Майера и графа Пейшото, применявшихся в [8; гл. 11], [9] для топологической классификации двумерных потоков Морса–Смейла. Фазовая диаграмма потока $f^t$ представляет собой ориентированный граф, множество вершин которого изоморфно множеству состояний равновесия потока, множество ребер – множество сепаратрис седловых состояний равновесия, при этом ребро соединяет вершины $p$, $q$ и ориентировано от $p$ к $q$ (от $q$ к $p$) в том и только том случае, когда вершина $p$ соответствует седловому, а вершина $q$ – стоковому (источниковому) состоянию равновесия (рис. 1). Настоящая работа посвящена решению проблемы топологической классификации для потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ при $g>0$ и $n\geqslant 3$. Отметим, что при $n=3$ топологическая классификация потоков из класса $G(\mathcal{S}^3_g)$ следует из более общих результатов Уманского (см. [10]), который также использовал инвариант, аналогичный схеме динамической системы Леонтович–Майера. Рис. 2 показывает, что фазовая диаграмма не является полным топологическим инвариантом для потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ в случае $g>0$ (для любого $n\geqslant 3$). На рис. 2 приведены фазовые портреты двух потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_1)$ и их фазовые диаграммы. Индекс Морса седловых состояний равновесия $\sigma_1$, $\sigma_3$, $\sigma_4$ (соответственно $\sigma'_1$, $\sigma'_3$, $\sigma'_4$) равен $1$, индекс Морса седла $\sigma_2$ ($\sigma'_2$) равен $n\,{-}\,1$. Множество $\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cup \operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_2}$ ($\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma'_1}\cup \operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma'_2}$) делит несущее многообразие $\mathcal{S}^n_1=\mathbb S^{n-1}\times \mathbb S^1$ на две компоненты связности, $D_1$, $D_2$ ($D'_1$, $D'_2$). Состояния равновесия $\sigma_3$, $\sigma_4$ потока $f^t$ лежат в одной компоненте связности $D_1$, а седловые состояния равновесия $\sigma'_3$, $\sigma'_4$ потока ${f'}^t$ лежат в разных компонентах связности $D_1'$, $D_2'$ соответственно. Поэтому не существует гомеоморфизма $\mathcal{S}^n_1$ на себя, переводящего траектории потока $f^t$ в траектории потока ${f'}^t$. Ниже мы покажем, что классификация потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ при $g>0$ в комбинаторных терминах возможна, если привлечь в качестве инварианта двухцветный граф, аналогичный графу, введенному в работе [11] А. А. Ошемковым и В. В. Шарко для классификации потоков Морса–Смейла на поверхностях. Отметим, что двухцветный граф также использовался в работе [12] для классификации каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$ размерности $n\geqslant 4$. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ и $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$ ($\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$). Из [13; теорема 2.3] следует, что замыкание устойчивого (соответственно неустойчивого) многообразия седлового состояния равновесия потока $f^t$ содержит, кроме самого этого многообразия, единственную точку, являющуюся источниковым (стоковым) состоянием равновесия. Поэтому множество $L^{\mathrm s}_{\sigma_1}=\operatorname{cl}W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ ($L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=\operatorname{cl}W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}$) является сферой размерности $n-1$. Обозначим через $\mathcal{L}_{f^t}$ множество всех сфер $\{L^{\mathrm s}_{\sigma_1}, L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}, \sigma_1\in \Omega_{f^t}^1, \sigma_{n-1}\in \Omega_{f^t}^{n-1}\}$ и через $\mathcal{D}_{f^t}$ множество всех компонент связности многообразия $\mathcal{S}^n_g\setminus \bigl(\bigcup_{\sigma_1\in \Omega^{1}_{f^t}} L^{\mathrm s}_{\sigma_1} \cup \bigcup _{\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}} L^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\bigr)$. Определение 1. Двухцветным графом потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ назовем граф $\Gamma_{f^t}$ со следующими свойствами: Определение 2. Графы $\Gamma_{f^t}, \Gamma_{{f'}^t}$ потоков $f^t,{f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ называются изоморфными, если существует биекция $\zeta\colon V(\Gamma_{f^t})\to V(\Gamma_{{f'}^t})$, сохраняющая отношение смежности и цвет ребер. Сравнение рис. 2 с рис. 3 показывает, что двухцветные графы, в отличие от фазовых диаграмм, различают взаимное расположение замыканий сепаратрис топологически не эквивалентных потоков $f^t$, ${f'}^t$. Теорема 1. Потоки $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, ${f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_{g'})$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их графы $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ изоморфны. § 2. Вспомогательные утверждения2.1. Вложения сфер в многообразие и продолжение локальных гомеоморфизмовПоложим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{B}^{n}=\{(x_1,\dots, x_n)\in \mathbb{R}^n\mid x_1^2+\dots + x_n^2\leqslant 1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаром или диском размерности $n\geqslant 1$ будем называть многообразие $B^n$, гомеоморфное $\mathbb{B}^n$. Сферой размерности $n-1$ (открытым шаром размерности $n$) будем называть многообразие, гомеоморфное границе $\mathbb{S}^{n-1}$ (внутренности $\operatorname{int} \mathbb{B}^n$) стандартного шара $\mathbb{B}^n$. Непрерывное отображение $f\colon X\to M^n$ называется топологическим вложением, если отображение $f\colon X\to f(X)$ является гомеоморфизмом (при этом $f(X)$ рассматривается с топологией, индуцированной из $M^n$). Многообразие $f(X)$ будем называть топологически вложенным. Пусть $f\colon \mathbb{S}^{n-1}\to M^n$ – топологическое вложение. Сфера $S^{n-1}=f(\mathbb{S}^{n-1})$ называется локально плоской, если для любой точки $x\in S^{n-1}$ существуют окрестность $U_x\subset M^n$ и гомеоморфизм $\psi\colon U_x\to \mathbb{R}^n$ такие, что $\psi ({S^{n-1}}\cap U_x)$ является линейным подпространством $\mathbb{R}^n$ размерности $n-1$. Следующая классическая теорема, доказанная Л. Е. Дж. Брауэром в [14], обобщает известную теорему Жордана (утверждающую, что любая простая замкнутая кривая на плоскости делит ее на две компоненты связности; см., например, доказательство этого факта в [15]). Утверждение 2 (теорема Жордана–Брауэра). Пусть $\varphi\colon \mathbb{S}^{n-1}\to S^n$ – топологическое вложение, $S^{n-1}=\varphi(\mathbb{S}^{n-1})$, $n>0$. Тогда множество $S^n\setminus S^{n-1}$ имеет две компоненты связности. Следствие 1. Пусть $S^{n-1}_1, \dots, S^{n-1}_m\subset {S}^n$ – попарно не пересекающиеся топологически вложенные сферы, $m\geqslant 1$. Тогда множество ${S}^n\setminus \bigcup _{i=1}^m S^{n-1}_i$ имеет в точности $m+1$ компонент связности. Доказательство.
Докажем утверждение индукцией по числу сфер. Для $m=1$ оно верно в силу теоремы Жордана–Брауэра. Предположим, что утверждение верно для всех $m\in \{1,\dots,i\}$, и докажем его справедливость для случая $m=i+1$.
Так как число $m$ конечно, то найдется такое $j\in \{1,\dots, m\}$, что сфера $S^{n-1}_j$ делит ${S}^{n}$ на две компоненты связности $V_j$, $W_j$ такие, что все сферы из множества $\mathcal L= \bigcup _{k=1}^m S^{n-1}_k\setminus S^{n-1}_j$ лежат только в одной из компонент. Пусть это будет компонента $V_j$. По предположению индукции множество ${S}^n\setminus \mathcal L$ имеет в точности $(m-1)+1=m$ компонент $X_1,\dots, X_{m}$. Множество $W_j\cup S^{n-1}_j=\operatorname{cl} W_j$ связно, поэтому оно целиком лежит в одной из компонент связности множества $\mathbb{S}^n\setminus \mathcal L$. Обозначим эту компоненту $X_{m}$. Множество $X_{m}\setminus S^{n-1}_j$ имеет в точности две компоненты связности $V_j\,{\cap}\, X_{m}$ и $W_j$. Следовательно, множество $\mathbb{S}^n\,{\setminus}\, \bigcup _{k=1}^m S^{n-1}_k$ имеет в точности $m+1$ компонент связности $X_1, \dots, X_{m-1}$, $V_j\cap X_{m}$, $W_{j}$. Напомним, что теорема Шенфлиса (см. [16], [17]) утверждает, что любая простая замкнутая кривая на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ (или на сфере ${S}^2$) является границей 2-диска в $\mathbb{R}^{2}$ (в $S^{2}$). Согласно [18] справедливо следующее утверждение. Утверждение 3 (обобщенная теорема Шенфлиса). Пусть сфера $S^{n-1}$ локально плоско вложена в сферу $S^n$, $n \geqslant 3$. Тогда замыкания дополнительных к $S^{n-1}$ областей являются $n$-шарами. Утверждение 4 (теорема о кольце). Пусть $S_{0}^{n-1}$, $S^{n-1}_{1}$ – непересекающиеся локально плоские $(n-1)$-сферы в $S^{n}$ и $K^{n}$ – открытая область в $S^{n}$, ограниченная сферами $S_{0}^{n-1}$ и $S^{n-1}_{1}$. Тогда замыкание области $K^{n}$ гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$. М. Браун и Х. Глюк показали в [19; теорема 9.4] (см. также [20; гл. 5, теорема 3.2]), что теорема о кольце тесно связана с гипотезой $\mathrm{SHC}_n$ о стабильных гомеоморфизмах сферы ${S}^n$. Гомеоморфизм $f\colon {S}^n\to {S}^n$ называется стабильным, если его можно представить как конечную суперпозицию гомеоморфизмов, каждый из которых является тождественным на некотором открытом множестве. Гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ (ныне уже доказанная, см. ссылки ниже) состоит в том, что каждый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм сферы ${S}^n$ является стабильным. Браун и Глюк показали, что из гипотезы $\mathrm{SHC}_n$ следует теорема о кольце для размерности $n$, а из теоремы о кольце для размерностей $k\leqslant n$ следует гипотеза $\mathrm{SHC}_n$. Для $n\leqslant 3$ гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ доказана в работе [21], откуда следует справедливость теоремы о кольце для размерностей $2,3$ (двумерная теорема о кольце, впрочем, легко может быть получена из теоремы Шенфлиса; см. [22; гл. 2, § A]). Для случая $n>4$ гипотеза $\mathrm{SHC}_n$ была доказана Р. Кирби в 1969 г. (см. [23]). Теорема о кольце для случая $n=4$ доказана Ф. Квинном в 1984 г. (см. [24] и разъяснения этой работы в [25], а также обзор [26]), что доказывает справедливость гипотезы $\mathrm{SHC}_4$. Из гипотезы $\mathrm{SHC}_n$, в частности, вытекает справедливость следующего утверждения (см. [19; § 4]). Утверждение 5. Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм сферы $ S^{n}$, $n\geqslant 1$, изотопен тождественному1. Пусть $M$, $N$ – $n$-мерные замкнутые ориентируемые многообразия с краем, $n\geqslant 1$, $X\subset \partial M$, $Y\subset \partial N$ – замкнутые гомеоморфные подмногообразия размерности $n-1$ и $g\colon X\to Y$ – обращающий естественную ориентацию края гомеоморфизм. Введем на объединении $M\cup N$ следующее отношение эквивалентности: если $x\in M\cup N\setminus (X\cup Y)$, то $x\sim x$; если $x\in X$, $y\in Y$, то $x\sim g(x)$, $y\sim g^{-1}(y)$. Факторпространство по этому отношению эквивалентности является топологическим многообразием. Будем говорить, что это многообразие получено склейкой многообразий $M$, $N$ по гомеоморфизму $g\colon X\to Y$.Следующая классическая теорема, иногда называемая трюком Александера в честь американского математика У. Александера, имеет обширную область приложений. Утверждение 6 (продолжение гомеоморфизма сферы на шар). Пусть $B^n_1$, $B^n_2$ – шары размерности $n$ и $h\colon \partial B^n_1 \to \partial B^n_2$ – произвольный гомеоморфизм. Тогда существует гомеоморфизм $H\colon B^n_1\to B^n_2$ такой, что $H|_{\partial B^n_1}=h|_{\partial B^n_1}$. Доказательство. Пусть $h_1\colon B^n_1\to \mathbb{B}^n$, $h_2\colon B^n_2\to \mathbb{B}^n$ – произвольные гомеоморфизмы. Определим гомеоморфизм $\widetilde h\colon \partial \mathbb{B}^n\,{\to}\, \partial \mathbb{B}^n$ формулой $\widetilde{h}=h_2 h h_1^{-1}|_{\partial \mathbb B^n}$ и гомеоморфизм $\widetilde{H}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$, положив $\widetilde{H}(rx)=r\widetilde{h}(x)$ для каждого радиус-вектора $x\in \partial \mathbb{B}^n$ и $r\in [0,1]$. Тогда искомый гомеоморфизм $H$ определяется формулой $H=h_2^{-1}\widetilde{H}h_1$.
Утверждение доказано. Следствие 2. Пусть $ B^n_1$, $B^n_2$ – два шара размерности $n\geqslant 1$, $g\colon \partial B^n_1\to \partial B^n_2$ – обращающий естественную ориентацию края гомеоморфизм и $M^n$ – многообразие, полученное из объединения $ B^n_1\cup B^n_2$ склейкой по $g$. Тогда $M^n$ гомеоморфно сфере $\mathbb S^n$. Доказательство. Пусть $D^n_1=\{(x_1,\dots, x_{n+1})\in \mathbb{S}^n\mid x_{n+1}\geqslant 0\}$, $D^n_2=\{(x_1,\dots, x_{n+1})\in \mathbb{S}^n\mid x_{n+1}\leqslant 0\}$ и $h_1\colon B^n_1\to D^n_1$ – произвольный гомеоморфизм. Из утверждения 6 следует, что существует гомеоморфизм $h_2\colon B^n_2\to D^n_2$ такой, что $h_2|_{\partial B^n_2}=h_1g^{-1}|_{\partial B^n_2}$. Непрерывное отображение $H\colon B^n_1\cup B^n_2\to \mathbb{S}^n$ определим формулой Отображение $H$ является гомеоморфизмом на множестве $\operatorname{int} B^n_1\cup \operatorname{int} B^n_2$, а для точек $x\in \partial B^n_1$, $g(x)\in \partial B^n_2$ удовлетворяет равенству $H(x)=h_1(x)=h_2(g(x))=H(g(x))$. Следовательно, $H$ индуцирует гомеоморфизм $B^n_1\cup_g B^n_2\to \mathbb{S}^{n}$.
Следствие доказано. Предложение 1. Пусть $M$ – топологическое многообразие с краем, $X$ – компонента связности края, $N$ – многообразие, гомеоморфное $X\times [0,1]$ и такое, что $M\cap N=\partial M\cap \partial N=X$. Тогда многообразие $M\cup N$ гомеоморфно $M$. Доказательство. В силу [28; теорема 2] существует топологическое вложение $h_0\colon X\times [0,1]\to M$ такое, что $h_0(X\times \{1\})=X$. Положим $M_0=h_0(X\times [0,1])$. Пусть $h_1\colon X\times [0,1]\to N$ – гомеоморфизм такой, что $h_1(X\times \{0\})=X=h_0(X\times \{1\})$.
Определим гомеоморфизмы $g\colon X\times [0,1]\to X\times [0,1]$ , $\widetilde{h}_1\colon X\times [0,1]\to N$, $h\colon X\times [0,1]\to M_0\cup N$ формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g(x,t)=(h_1^{-1}(h_0(x,1)),t), \qquad \widetilde{h}_1=h_1g, \\ h(x,t)=\begin{cases} h_0(x,2t),&t\in\biggl[0,\dfrac12\biggr], \\ \widetilde{h}_1(x,2t-1),&t\in\biggl(\dfrac12,1\biggr], \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и гомеоморфизм $H\colon M\cup N\to M$ формулой
$$
\begin{equation*}
H(x)=\begin{cases} h_0(h^{-1}(x)),&x\in Y=M_0\cup N, \\ x,&x\in M\setminus M_0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Из предложения 1 и следствия 2 непосредственно вытекает справедливость следующего утверждения. Следствие 3. Связное многообразие, полученное приклеиванием к кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$ дизъюнктного объединения шаров $B^n_+$, $B^n_-$, гомеоморфно сфере $\mathbb{S}^n$. Предложение 2 (продолжение гомеоморфизма с границы на внутренность кольца). Пусть $K^{n}=\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$ и $\psi_{0}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\psi_{1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы. Тогда существует гомеоморфизм $\Psi\colon K^{n}\to K^{n}$ такой, что: 1) $\Psi|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}=\psi_{0}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}$, $\Psi|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}=\psi_{1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}$; 2) $\Psi(\mathbb{S}^{n-1}\times \{1/2\})=\mathbb{S}^{n-1}\times \{1/2\}$. Доказательство. В силу утверждения 5 существуют изотопии $H_{0}\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$, $H_{1}\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$ такие, что:
1) $H_{0}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{0\}}=\psi_{0}$, $H_{0}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{1\}}=\mathrm{id}$; 2) $H_{1}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{ 0 \}}=\psi_1$, $H_{1}|_{\mathbb S^{n-1}\times \{1\}}=\mathrm{id}$. Определим гомеоморфизм $\Psi\colon \mathbb S^{n-1}\times [0,1] \to \mathbb S^{n-1}\times [0,1]$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Psi(x,t)= \begin{cases} H_{0}(x,2t),&\text{если }t\in \biggl[0,\dfrac{1}{2}\biggr], \\ H_{1}(x,2(1-t)),&\text{если }t\in \biggl(\dfrac{1}{2},1\biggr]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. Предложение 3. Пусть $e_i, e'_i\colon \mathbb{B}^n\to \operatorname{int}\mathbb{B}^n$, $i\in \{1,\dots,k\}$, – сохраняющие ориентацию топологические вложения такие, что: 1) сферы $e_{i}(\partial \mathbb{B}^n), e'_i(\partial \mathbb{B}^n)$ являются локально плоскими в $\mathbb{B}^n$ для всех $i\in \{1,\dots,k\}$; 2) $e_i(\mathbb{B}^n)\cap e_j(\mathbb{B}^n)=\varnothing$, $e'_i(\mathbb{B}^n)\cap e'_j(\mathbb{B}^n)=\varnothing$ для любых $i,j\in \{1,\dots,k\}$, $i\neq j$. Тогда существует гомеоморфизм $h\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что: 1) $h|_{\partial\mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$; 2) $he_i=e_i'$, $i\in \{1,\dots,k\}$. Доказательство. В случае, когда вложения $e_i$, $e'_i$ являются гладкими, справедливость предложения следует из [29; гл. 8, теоремы 3.1, 3.2]. Здесь мы приведем доказательство, не использующее гладкую технику. Будем доказывать предложение индукцией по $k$.
Пусть $k=1$. Из утверждения 4 следует, что множества $K_1=\mathbb{B}^n\setminus e_1(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$, $K'_1=\mathbb{B}^n\setminus e'_1(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$ гомеоморфны стандартному кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$. Пусть $\varphi_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K_1$, $\varphi'_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K'_1$ – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы такие, что $\varphi_1(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\varphi'_1(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\partial \mathbb{B}^n.$ Определим отображения $\psi_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\eta_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}\to \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ соотношениями
$$
\begin{equation*}
\psi_1(x)=\varphi'_1\varphi_1^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}},\qquad \eta_1(x)=\varphi'_1 e'_1 e^{-1}_1\varphi_1^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению оба отображения $\psi_1$, $\eta_1$ являются сохраняющими ориентацию, поэтому существуют изотопии $\psi_{1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $\eta_{1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $t\in [0,1]$, соединяющие эти отображения с тождественным. Пусть $\varepsilon\in (0,1/3)$. Определим гомеоморфизмы $ G_1\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$, $h_1\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_1(x,t)=\begin{cases} \biggl(\psi_{1,t/\varepsilon}(x), \dfrac{t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [0,\varepsilon], \\ (x,t), &t\in [\varepsilon, 1-\varepsilon], \\ \biggl(\eta_{1,(1- t)/\varepsilon}(x), \dfrac{1- t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [1-\varepsilon,1], \end{cases} \\ h_1(x)=\begin{cases} {\varphi'_1}^{-1}(G_1(\varphi_1(x))),& x\in K_1, \\ x, &x\in e_1(\mathbb{B}^n). \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что для случая $k=1$ гомеоморфизм $h_1$ является искомым. Предположим теперь, что построен гомеоморфизм $h_j\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что: 1) $h_j|_{\partial \mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$; 2) $h_je_i=e_i'$, $1\leqslant i\leqslant j$. И построим гомеоморфизм $h_{j+1}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ такой, что: 1) $h_{j+1}|_{\partial \mathbb{B}^n}=\mathrm{id}$; 2) $h_{j+1}e_i=e_i'$, $1\leqslant i\leqslant j+1$. Положим $K_{j+1}=\mathbb{B}^n\setminus e_{j+1}(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$, $K'_{j+1}=\mathbb{B}^n\setminus e'_{j+1}(\operatorname{int} \mathbb{B}^n)$ и обозначим через $\varphi_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K_{j+1}$, $\varphi'_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to K'_{j+1}$ сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы такие, что $\varphi_{j+1}(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\varphi'_{j+1}(\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\})=\partial \mathbb{B}^n$. Определим отображения $\psi_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}$, $\eta_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}$ соотношениями
$$
\begin{equation*}
\psi_{j+1}(x)=\varphi'_{j+1}\varphi_{j+1}^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{0\}}, \qquad \eta_{j+1}(x)=\varphi'_{j+1} e'_{j+1} e^{-1}_{j+1}\varphi_{j+1}^{-1}|_{\mathbb{S}^{n-1}\times \{1\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению оба отображения $\psi, \eta$ являются сохраняющими ориентацию, поэтому существуют изотопии $\psi_{j+1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $\eta_{j+1,t}\colon \mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{S}^{n-1}$, $t\in [0,1]$, соединяющие эти отображения с тождественным. Выберем $\varepsilon\in (0,1/3)$ такое, что множество $C=\{(x,t)\mid x\in \mathbb{S}^{n-1},\, t\in [0,\varepsilon]\cup [1-\varepsilon, 1]\}$ не пересекается с шарами $\varphi_{j+1}(e_i(\mathbb{B}^n)), \varphi'_{j+1}(e'_i(\mathbb{B}^n))$ для всех $i\in \{1,\dots,j\}$. Определим гомеоморфизмы $ G_{j+1}\colon \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]\to \mathbb{S}^{n-1}\times [0,1]$, $h_{j+1}\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{B}^n$ соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{j+1}(x,t)= \begin{cases} \biggl(\psi_{j+1,t/\varepsilon}(x), \dfrac{t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [0,\varepsilon], \\ (x,t), &t\in [\varepsilon, 1-\varepsilon], \\ \biggl(\eta_{j+1,(1- t)/\varepsilon}(x), \dfrac{1- t}{\varepsilon}\biggr), &t\in [1-\varepsilon,1], \end{cases} \\ h_{j+1}(x)=\begin{cases} {\varphi'_{j+1}}^{-1}(G_{j+1}(\varphi_{j+1}(x))), &x\in K_{j+1}, \\ x, &x\in e_{j+1}(\mathbb{B}^n). \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что $h_{j+1}$ является искомым гомеоморфизмом. Предложение 3 доказано. Пусть $e_i\colon \mathbb{B}^{n}\to \operatorname{int} \mathbb{B}^n$, $i\in \{1,\dots,k\}$, – топологические вложения, удовлетворяющие условиям предложения 3. Будем называть многообразие с краем, гомеоморфное многообразию $\mathbb{B}^n\setminus \bigcup _{i=1}^k e_i(\operatorname{int}\mathbb{B}^n)$, $n$-шаром с $k$ дырами или $n$-сферой с $k+1$ дырами. Непосредственно из предложения 3 вытекает следующее утверждение. 2.2. Ручечные телаРучкой размерности $n$ индекса $k$ называется прямое произведение $H^n_k=\mathbb{B}^k\times \mathbb{B}^{n-k}$. Говорят, что $n$-многообразие $M$ получено из $n$-многообразия $N$ c краем $\partial N$ приклеиванием ручки $H^n_k$, если существует вложение $\psi\colon \partial {\mathbb B}^k\times \mathbb{B}^{n-k} \to \partial N$ такое, что $M=N\bigcup_{\psi} H^n_k$. Многообразие $Q^n_k$, полученное из шара $\mathbb{B}^n$ приклеиванием ручек индексов, меньших или равных $k$, называется $(n,k)$-ручечным телом. Особо выделяется случай $k=1$. Число $g$ ручек индекса $1$ ручечного тела $Q^n_1$ называется родом этого тела. 2.3. Необходимые сведения из теории графовГрафом называется совокупность $\Gamma$ двух конечных множеств – множества вершин $V(\Gamma)$ и множества ребер $E(\Gamma)$. Элементами множества ребер графа являются некоторые пары его вершин (возможно, совпадающих). Если вершины $v, w\in V(\Gamma)$ образуют ребро $e=(v,w)$, то они называются смежными; при этом говорят, что ребро $e$ инцидентно вершинам $v$, $w$, а вершины $v$, $w$ инцидентны ребру $e$. Можно изобразить множество вершин графа как множество точек в евклидовом пространстве (или на каком-нибудь его подмножестве), а множество ребер как множество дуг, соединяющих смежные вершины. Поэтому говорят, что ребро $(v,w)$ соединяет вершины $v$, $w$, а вершины $v$, $w$ являются концевыми вершинами ребра $(v,w)$. Граф $\Gamma$ называется простым, если для любого его ребра концевые вершины не совпадают. В дальнейшем мы будем рассматривать только простые графы, не оговаривая этого специально. Простым путем или маршрутом, соединяющим вершины $v$, $w$, называется последовательность попарно различных вершин $v_0=v,v_1,\dots,v_k=w$, в которой каждая последующая вершина соединена ребром с предыдущей. Простым циклом называется маршрут, соединяющий вершину $v$ с самой собой. Граф $\Gamma$ называется связным, если любые его две вершины можно соединить маршрутом. Граф, не имеющий циклов, называется aциклическим. Связный ациклический граф называется деревом. Следующее утверждение устанавливает основные свойства деревьев (см. [30; теорема 13.1]). Утверждение 7. Пусть $\Gamma$ – граф с $r$ ребрами и $b$ вершинами. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) $\Gamma$ – дерево; 2) $\Gamma$ – связный граф и $b=r+1$; 3) $\Gamma$ – ациклический граф и $b=r+1$; 4) любые две несовпадающие вершины соединяет единственный простой маршрут; 5) $\Gamma$ – ациклический граф такой, что если к любой паре его различных вершин добавить ребро, соединяющее их, то полученный граф будет иметь ровно один цикл. Число всех ребер, для которых вершина $v$ является концевой, называется степенью вершины. Вершина степени 1 называется листом. Для дерева $\Gamma$ определим ранг каждой вершины следующим образом. Поставим в соответствие дереву $\Gamma$ последовательность деревьев $\Gamma_0=\Gamma, \Gamma_1,\dots, \Gamma_r$ такую, что для любого $i\in \{1,\dots, r\}$ дерево $\Gamma_i$ получается из дерева $\Gamma_{i-1}$ удалением всех листьев и инцидентных им ребер, а дерево $\Gamma_r$ состоит либо из одной вершины, либо из двух вершин, соединенных ребром. В первом случае дерево $\Gamma$ называется центральным, во втором – бицентральным. Вершины и ребро (если таковое имеется) дерева $\Gamma_r$ называются центральными вершинами и ребром графа $\Gamma$. Рангом вершины $v\in V(\Gamma)$ называется число
$$
\begin{equation*}
\operatorname{rank}(v)=\max\{i\mid v\in V(\Gamma_{i}), \, i\in \{0,\dots,r\}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения следует, что если ребро $(v,w)$ не является центральным, то $|{\operatorname{rank}(v)-\operatorname{rank}(w)}|=1$, а центральные вершины бицентрального дерева имеют одинаковые ранги, равные $r$. На рис. 4 приведены центральное и бицентральное деревья и указаны ранги каждой из их вершин. Два графа $\Gamma$, $\Gamma'$ называются изоморфными, если существует биекция $\xi$: $V(\Gamma)\to V(\Gamma')$, называемая изоморфизмом, такая, что для любых смежных вершин $v, w\in V(\Gamma)$ вершины $\xi(u),\xi(v)\in V(\Gamma')$ также являются смежными. § 3. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$3.1. Схема потока как топологический инвариантПусть $\varphi\colon M^n\to\mathbb{R}$ – $C^r$-гладкая функция, заданная на многообразии $M^n$, $r\geqslant 2$. Точка $p\in M^n$ называется критической точкой функции $\varphi$, если
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}_1}(p)=\dots=\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}_n}(p)=0
\end{equation*}
\notag
$$
в локальных координатах в окрестности точки $p$. Точка $q\in M^n$, не являющаяся критической, называется регулярной точкой функции $\varphi$. Критическая точка $p$ функции $\varphi$ называется невырожденной, если матрица Гессе $\biggl(\dfrac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}_i\, \partial{x}_j}\biggr)\bigg|_p$ не вырождена. Функция $\varphi\colon M^n\to\mathbb R$ называется функцией Морса, если все ее критические точки невырожденны. Следующее утверждение, вытекающее из работ [1], [31], определяет самоиндексирующуюся энергетическую функцию – один из эффективных инструментов исследования градиентно-подобных потоков. Утверждение 8. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Тогда существует функция Морса $\varphi \colon M^n\to [0,n]$ такая, что: 1) $\varphi(f^t(x))<\varphi(x)$ для любой блуждающей точки $x$ и любого положительного $t$; 2) любая незамкнутая траектория потока $f^t$ пересекает поверхности уровня функции $\varphi$ трансверсально; 3) множество критических точек функции $\varphi$ совпадет с множеством состояний равновесия потока $f^t$; 4) $\varphi(p)=\operatorname{dim}W^{\mathrm u}_p$ для любого состояния равновесия $p$. Положим Обозначим через $\Omega^i_{f^t}$ множество состояний равновесия потока $f^t$, индекс Морса которых равен $i\in \{0,1, n-1, n\}$. Пусть $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$, $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ – произвольные точки. В силу [13; теорема 2.3] найдутся точки $\omega\in \Omega^0_{f^t}$, $\alpha\in \Omega^n_{f^t}$ такие, что $\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cup \alpha$, $\operatorname{cl} W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cup \omega$. Поскольку функция $\varphi$ убывает вдоль траекторий потока $f^t$, то множества $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t}$, $W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t}$ непусты. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}=\bigcup_{\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}}(W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t}), \qquad \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}=\bigcup_{\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}}(W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t}).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3. Тройку $S_{f^t}=\{\Sigma_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}\}$ будем называть схемой потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, а множество $\Sigma_{f^t}$ – его характеристической секущей. Ниже в лемме 1 мы покажем, что топология секущей $\Sigma_{f^t}$ и взаимное расположение на ней компонент связности множества $\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}$ полностью определяют класс топологической эквивалентности потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, а в п. 3.3 докажем, что двухцветный граф однозначно описывает взаимное расположение этих компонент связности. Определение 4. Схемы $S_{f^t}=\{\Sigma_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}\}$, $S_{{f'}^t}=\{\Sigma'_{{f'}^t}, \mathcal{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}, \mathcal{C}^{\mathrm u}_{{f'}^t}\}$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{f'}^t}$ такой, что Лемма 1. Потоки $f^t, {f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их схемы $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$ эквивалентны. Доказательство. Положим $A_{f^t}=\Omega^0_{f^t}\cup W^{\mathrm u}_{\Omega^1_{f^t}}$, $R_{f^t}=\Omega^n_{f^t}\cup W^{\mathrm s}_{\Omega^{n-1}_{f^t}}$, $V_{f^t}=\mathcal{S}^n_g\setminus (A_{f^t}\cup R_{f^t})$ и обозначим через $A_{{f'}^t}$, $R_{{f'}^t}$, $V_{{f'}^t}$ аналогичные объекты для потока ${f'}^t$.
Докажем необходимость условий леммы. Пусть потоки $f^t, {f'}^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны посредством некоторого гомеоморфизма $\widetilde h$. Так как $\Sigma'_{{f'}^t}$ – поверхность уровня энергетической функции потока, строго убывающей на множестве $V_{{f'}^t}$, то для каждой точки $y\in V_{{f'}^t}$ найдется единственное $t_y\in \mathbb{R}$ такое, что ${f'}^{t_y}(x)\subset \Sigma'_{{f'}^t}$. Определим гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{{f'}^t}}$, положив для точки $x\in \Sigma_{f^t}$ Пусть точка $x$ принадлежит многообразию $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ некоторой седловой точки $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$. Тогда $\widetilde h(\sigma_1)\in \Omega^1_{{f'}^t}$, $\widetilde h(W^{\mathrm s}_{\sigma})=W^{\mathrm s}_{h(\sigma_1)}$ и $h(W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\cap \Sigma_{f^t})=W^{\mathrm s}_{\widetilde h(\sigma_1)}\cap \Sigma'_{{{f'}^t}}$. Аналогично доказывается, что $h(W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\cap \Sigma_{f^t})=W^{\mathrm u}_{\widetilde h(\sigma_{n-1})}\cap \Sigma'_{{{f'}^t}}$ для любой точки $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$. Таким образом, схемы $S_{f^t}, S_{{f'}^t}$ эквивалентны. Докажем достаточность условий леммы. Пусть схемы $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$ эквивалентны и $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma'_{{{f'}^t}}$ – гомеоморфизм такой, что $h(\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, $h(\mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t})=\mathcal{C}^{\mathrm u}_{{f'}^t}$. Для любой точки $x\in \Sigma_{f^t}$ положим $x'=h(x)$ и обозначим через $\mathcal O_x$, $\mathcal O'_{x'}$ траектории потоков $f^t$, ${f'}^t$, проходящие через точки $x$, $x'$ соответственно. Пусть $\varphi, \varphi'\colon \mathcal{S}^n_g\to [0,n]$ – самоиндексирующиеся энергетические функции потоков $f^t$, ${f'}^t$ соответственно. Для любой точки $y\in V_{f^t}$ найдутся единственная точка $x\in \Sigma_{f^t}$ и единственное число $c_y\in (0, n)$ такие, что $y=\mathcal O_x\cap \varphi^{-1}(c_y)$. Определим гомеоморфизм $H\colon V_{f^t}\to V_{{f'}^t}$, положив Поскольку гомеоморфизм $h$ переводит множество $C^{\mathrm s}_{f^t}$ $(C^{\mathrm u}_{f^t})$ в множество $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$ $(C^{\mathrm u}_{{f'}^t})$, то построенный гомеоморфизм $H$ переводит все устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы размерности $n-1$ седловых состояний равновесия потока $f^t$ в устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы размерности $n-1$ седловых состояний равновесия потока ${f'}^t$. Поэтому гомеоморфизм $H$ однозначно продолжается на множество всех седловых состояний равновесия. Сохраним обозначение $H$ для полученного гомеоморфизма и продолжим его на одномерные сепаратрисы седловых состояний равновесия. Для этого заметим, что для любого $c\in (0,1)$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
H\biggl(\varphi^{-1}(c)\setminus \bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}} W^{\mathrm u}_{\sigma}\biggr)={\varphi'}^{-1}(c)\setminus \bigcup_{\sigma'\in \Omega^1_{{f'}^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma'}
\end{equation*}
\notag
$$
и множества $\bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma}\cap\varphi^{-1}(c)$, $\bigcup_{\sigma'\in \Omega^1_{{f'}^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma'}\cap {\varphi'}^{-1}(c)$ являются конечными объединениями одинакового количества точек. Поэтому гомеоморфизм $H$ продолжается по непрерывности на множество $\bigcup_{\sigma\in \Omega^1_{f^t}}W^{\mathrm u}_{\sigma}$. Аналогично гомеоморфизм $H$ продолжается и на множество $\bigcup_{\sigma\in \Omega^{n-1}_{f^t}}W^{\mathrm s}_{\sigma}$ и далее на множество $\Omega^0_{f^t}\cup \Omega^{n}_{f^t}$.
Лемма 1 доказана. 3.2. Топология характеристической секущей $\Sigma_{f^t}$ и компонент связности множества $\mathcal{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup \mathcal{C}^{\mathrm u}_{f^t}$Напомним, что для потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ мы обозначили через $\nu_{f^t}$, $\mu_{f^t}$ число узловых и седловых состояний равновесия соответственно и определили число $g_{f^t}$ формулой В силу утверждения 1 верно равенство $g=g_{f^t}$. Лемма 2. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Характеристическая секущая $\Sigma_{f^t}$ является границей $(n,1)$-ручечного тела рода $g$. 2. Для любых $\sigma_1\subset \Omega^1_{f^t}, \sigma_{n-1}\subset \Omega^{n-1}_{f^t}$ каждая компонента связности $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$, $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}=W^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$ множества $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$ является гладко вложенной в $\Sigma_{f^t}$ сферой размерности $n-2$. 3. Если $g>0$, то существуют два набора седловых состояний равновесия $\sigma_1^1, \dots,\sigma_{1}^{g}\in \Omega^1_{f^t}$, $\sigma_{n-1}^1, \dots,\sigma_{n-1}^{g}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ и наборы $\{T^{\mathrm s}_i\subset \Sigma_{f^t}\}$, $\{T^{\mathrm u}_j \subset \Sigma_{f^t}\}$ попарно не пересекающихся трубчатых окрестностей сфер $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$, $\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\}$ соответственно такие, что множества $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t} \setminus \bigcup _{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i)$, $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t} \setminus \bigcup _{j=1}^{g} T^{\mathrm u}_j)$ гомеоморфны сфере с $2{g}$ дырами. Доказательство. Докажем п. 1. Положим $Q_a=\varphi^{-1}([0,n/2])$, где $\varphi$ – самоиндексирующаяся энергетическая функция потока $f^t$. По определению $\Sigma_{f^t}=\partial Q_a$. Докажем вначале, что $Q_a$ связно.
Так как $\varphi$ убывает вдоль траекторий потока $f^t$, то $Q_a\subset \bigcup_{p\in \Omega^0_{f^t}\cup \Omega^1_{f^t}} W^{\mathrm s}_{p}$. Положим $U_a=\bigcup_{i\in \mathbb{Z}}f^i(Q_a)$, $R_{f^t}=\Omega^n_{f^t}\cup W^{\mathrm s}_{\Omega^{n-1}_{f^t}}$. В силу [13; теорема 2.3] многообразие $\mathcal{S}^{n}_g$ представляется в виде $\mathcal{S}^{n}_g=\bigcup_{p\in \Omega^0_{f^t}\cup \Omega^1_{f^t}}{W^{\mathrm s}_p}\cup R_{f^t}$. Тогда $U_a=\mathcal{S}^{n}_g\setminus R_{f^t}$. Так как $n\geqslant 3$, а размерность множества $R_{f^t}$ не превышает 1, то множество $U_a$ связно (см. [32; гл. 4, теорема 4]). Отсюда следует связность $Q_a$. Действительно, если $Q_a$ несвязно, то его можно представить в виде объединения непересекающихся непустых замкнутых подмножеств $E_1$, $E_2$ таких, что если $x\in E_i$, то $f^t(x)\in E_i$ для любого $t\geqslant 0$. Тогда и множество $U_a=\bigcup_{t\in \mathbb{R}} (f^t(E_1)\cup f^t(E_2))$ будет несвязным (если пересечение $\bigcup_{t\in \mathbb{R}} f^t(E_1)\cap \bigcup_{t\in \mathbb{R}} f^t(E_2)$ непусто, то для любой точки $x$, принадлежащей этому пересечению, найдется $t_x$ такое, что $f^{t_x}(x)\in E_1\cap E_2$, а это противоречит предположению, что $E_1\cap E_2=\varnothing$). Из леммы Морса следует, что для любого $\varepsilon\in (0,1)$ многообразие $M_\varepsilon=\varphi^{-1}([0,\varepsilon])$ гомеомофно дизъюнктному объединению $k^0=|\Omega_{f^t}^0|$ шаров размерности $n$. Из [33; теорема 3.4]) (см. также теорему 3.2 и замечание к ней в [34]) следует, что многообразие $Q_a=\varphi^{-1}([0,n/2])$ получается из многообразия $M_\varepsilon$ приклеиванием к нему $k^1=|\Omega_{f^t}^1|$ ручек $H_1,\dots,H_{k^1}$ индекса $1$, каждая из которых содержит в точности одно седловое состояние равновесия, индекс Морса которого равен $1$ (на рис. 5 изображен фазовый портрет потока $f^t$, секущая $\Sigma_{f^t}$ и ручечное тело $Q_a$ для случая $g=0$, $k_1=1$). Так как $Q_a$ связно, то $k^1\geqslant k^0-1$. Положим $g_a=k^1-k^0+1$. Покажем, что $Q_a$ – $(n,1)$-ручечное тело рода $g_a$. Рассмотрим по отдельности два случая: $g_a=0$ и $g_a>0$. Пусть $g_a=0$. Покажем индукцией по числу $k^0$, что связное компактное многообразие, полученное из $k^0$ экземпляров замкнутых $n$-шаров приклеиванием $(k^0-1)$ ручек индекса $1$, гомеоморфно $n$-шару. Отсюда будет следовать, что $Q_a$ в случае $g_a=0$ гомеоморфно $n$-шару (т.е. ручечному телу рода $0$). При $k^0=1$ имеется один шар и нуль ручек, и утверждение верно. Предположим, что при $k^0=i\geqslant 1$ утверждение доказано, и рассмотрим случай $k^0=i+1$. Тогда $Q_a$ является объединением двух шаров с приклеенной ручкой. Имеется два способа приклеивания ручки: при первом в результате получаем несвязное многообразие (рис. 6, a), при втором – связное (рис. 6, b). Рассмотрим случай $g_{a}>0$. Тогда $Q_a$ связно и получено приклеиванием к $k^0$ шарам $k^1=k^0-1+g_a$ ручек. Как было доказано ранее, связное многообразие, являющееся результатом приклеивания $k^0-1$ ручек к $k_0$ шарам, гомеоморфно шару. Тогда в результате приклеивания к нему еще $g_a$ ручек получим $(n,1)$-ручечное тело рода $g_a$. Таким образом, $Q_a$ является ручечным телом рода $g_a= k^1-k^{0}+1$. Аналогично, рассматривая поток $f^{-t}$ и его энергетическую функцию $\psi=n-\varphi$, получаем, что многообразие $Q_r=M^n\setminus \operatorname{int} Q_a$ является $(n,1)$-ручечным телом рода $g_r=k^{n-1}-k^n+1$, где $k^n=|\Omega^n_{f^t}|$, $k^{n-1}=|\Omega^{n-1}_{f^t}|$. Поскольку многообразия $Q_a$ и $Q_r$ имеют общую границу, то $g_a=g_r$. Из определения чисел $g_{f^t}$, $g_a$, $g_r$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{g_a+g_r}2=g_{a}=\frac{k^{n-1}+k^{1}-k^0-k^{n}+2}2 =\frac{\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2}2=g_{f^t}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу утверждения 1 $g_{f^t}=g$. Таким образом, $g_a=g$. Докажем п. 2. Из утверждения 8 следует, что для любой точки $\sigma_1\in \Omega^1_{f^t}$ пересечение $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ и $\Sigma_{f^t}$ трансверсально, поэтому множество $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\,{\cap}\, \Sigma_{f^t}$ является гладким замкнутым многообразием размерности $n\,{-}\,1\,{+}\,n\,{-}\,1\,{-}\,n=n-2$. Так как $\Sigma_{f^t}$ является секущей для траекторий потока $f^t$, то подмногообразие $l^{\mathrm s}_{\sigma_1}$ является секущей для всех траекторий ограничения потока $f^t$ на множество $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus \sigma_1$. Определим ретракцию
$$
\begin{equation*}
r\colon W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}\to l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}},
\end{equation*}
\notag
$$
поставив каждой точке $x\in W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$ в соответствие точку $y=f^{t_x}(x)\in l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$, являющуюся точкой пересечения траектории потока $f^t$, проходящей через точку $x$, с множеством $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$. Ретракция $r$ соединяется с тождественным отображением $\mathrm{id}\colon W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}\to W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$ гомотопией следовательно, $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$ имеет тот же гомотопический тип, что и $W^{\mathrm s}_{\sigma_1}\setminus {\sigma_1}$. Так как многообразие $W^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}\setminus {\sigma_1}$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{n-1}\setminus O$, то оно имеет гомотопический тип сферы размерности $n-2$. Тогда в силу теоремы Пуанкаре многообразие $l^{\mathrm s}_{{\sigma_1}}$ гомеоморфно $(n-2)$-сфере. Рассуждения для точки $\sigma_{n-1}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ аналогичны. Докажем п. 3. Пусть $g>0$. Так как $Q_a$ – ручечное тело рода $g$, то существуют гладкие вложения $e_i$: $[-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1}\to Q_a$, $i\in \{1,\dots, g\}$, со следующими свойствами:
Положим $H_i=e_i([-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1})$, $B_i^-=e_i(\{-1\}\times \mathbb{B}^{n-1})$, $B_i^+=e_i(\{1\}\times \mathbb{B}^{n-1})$, $i\in \{1, \dots, g\}$. Из построения $Q_a$, описанного при доказательстве п. 1, следует, что каждое подмножество $H_i$ имеет непустое пересечение с устойчивым многообразием по крайней мере одного седлового состояния равновесия $\sigma_1^i\in \Omega^1_{f^t}$. Из утверждения 3 следует, что сфера $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ ограничивает шар $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\in W^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$, содержащий точку $\sigma_1^i$, следовательно, $\operatorname{int} B^{\mathrm s}_{\sigma^i_1}\subset \operatorname{int} H_i$ и $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}=W^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\cap H_i$. Поскольку шары $\{B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$ гладко вложены в $Q_a$, то для каждого $i\in \{1,\dots, g\}$ существует гладкое вложение $\psi_i\colon [-1,1]\times \mathbb{B}^{n-1}\to H_i$ со следующими свойствами:
Так как диск $B^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ делит $H_i$ на две компоненты связности, то и множество $\operatorname{cl} (H_i\setminus N_i)$ состоит из двух компонент связности $H_i^+$, $H_i^-$. Из свойств 1)–3) следует, что граница каждой из этих компонент гомеоморфна сфере. Действительно, пусть $B_i^+\cup \widetilde{B}_i^+\subset H_i^+$. Из утверждения 4 следует, что множество $\partial H_i^+\setminus (\operatorname{int} B_i^+\cup \operatorname{int} \widetilde{B}_i^+)$ (принадлежащее также границе шара $H_i$) гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-2}\times [0,1]$. Тогда из следствия 3 вытекает, что $\partial H_i^+$ гомеоморфно сфере $S^{n-1}$, а из утверждения 2 следует, что $H_i^+$ гомеоморфно шару $B^n$. Аналогично получаем, что $H_i^-$ гомеоморфно шару $B^n$. По определению множество $\operatorname{cl} (Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}H_{i})$ гомеоморфно $n$-шару. Тогда множество
$$
\begin{equation*}
P_a=\operatorname{cl} \biggl(Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}N_{i}\biggr) =\operatorname{cl} \biggl(Q_a\setminus \bigcup_{i=1}^{g}H_{i}\biggr) \cup \bigcup_{i=1}^{g}(H^-_i\cup H^+_i)
\end{equation*}
\notag
$$
также гомеоморфно $n$-шару. Положим $T^{\mathrm s}_i=N_i\cap \Sigma_{f^t}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cl} \biggl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i\biggr) =\partial P_a\setminus \biggl(\bigcup_{i=1}^{g}\operatorname{int}\widetilde{B}_i^-\cup \operatorname{int}\widetilde{B}^+_i\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\operatorname{cl} (\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^{g} T^{\mathrm s}_i)$ гомеоморфно сфере, из которой удалено $2g$ открытых дисков размерности $n-1$, что и требовалось доказать. Лемма 2 доказана. Существование набора $\sigma_{n-1}^1, \dots,\sigma_{n-1}^{g}\in \Omega^{n-1}_{f^t}$ следует из того факта, что приведенные выше рассуждения остаются справедливыми для потока $f^{-t}$ и его энергетической функции $n-\varphi$. Непосредственно из п. 3 леммы 2 вытекает следующее утверждение. Следствие 5. Если $g>0$, то множества $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$ содержат по крайней мере по одному набору $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\}$, $\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^1}, \dots, l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^g}\}$ такому, что многообразия $ \bigl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^k l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\bigr)$, $\bigl(\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^k l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^i}\bigr)$ связны для любого $k\in [1, g]$. При этом любые $g+1$ сфер из множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ делят $\Sigma_{f^t}$ на несколько компонент связности. Определение 5. Набор седловых состояний равновесия $\{\sigma_1^1,\dots,\sigma_1^g\}$ ($\{\sigma_{n-1}^1,\dots,\sigma_{n-1}^g\}$) и набор сфер $\{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\}$ ($\{l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\}$), соответствующие пересечению их устойчивых (соответственно неустойчивых) многообразий с секущей $\Sigma_{f^t}$, описанные в п. 3 леммы 2, будем называть максимальным неразбивающим $\mathrm s$-набором (соответственно $\mathrm u$-набором). 3.3. Взаимосвязь двухцветного графа и схемы потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$Пусть $\eta_{f^t}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to \mathcal{D}_{f^t}\cup \mathcal{L}_{f^t}$ – биекция такая, что $\eta_{f^t}(V(\Gamma_{f^t}))=\mathcal{D}_{f^t}$, $\eta_{f^t}(E(\Gamma_{f^t}))=\mathcal{L}_{f^t}$, и ребро $e\in E(\Gamma_{f^t})$ инцидентно вершинам $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{f^t}(e)\in \mathcal{L}_{f^t}$ входит в границу областей $\eta_{f^t}(v), \eta_{f^t}(w)\in \mathcal{D}_{f^t}$. Множество компонент связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$ обозначим через $d_{f^t}$. Из леммы 2 следует, что каждая сфера $L\in \mathcal{L}_{f^t}$ (а следовательно, и каждая область $D\in \mathcal{D}_{f^t}$) пересекает характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ в точности по одной компоненте связности. Поэтому биекция $\eta_{f^t}$ индуцирует биекцию $\eta_{*}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to d_{f^t}\cup (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$ с аналогичными свойствами. В дальнейшем граф $\Gamma_{f^t}$ будем отождествлять с одномерным полиэдром, вложенным в характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ так, как описано в следующем предложении (рис. 8). Предложение 4. Граф $\Gamma_{f^t}$ вкладывается в характеристическую секущую $\Sigma_{f^t}$ таким образом, что каждой вершине $v\in V(\Gamma_{f^t})$ соответствует точка $\widetilde{v}$, лежащая в области $\eta_{*}(v)\in d_{f^t}$, а ребру $e\in E(\Gamma_{f^t})$, соединяющему вершины $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$, соответствует гладкая дуга $\widetilde{e}\subset \Sigma_{f^t}$, соединяющая точки $\widetilde{v}, \widetilde{w}$ и пересекающая сферу $l=\eta_*(e)\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ в единственной точке. Всюду далее точку $\widetilde{v}$ и дугу $\widetilde{e}$ будем называть вершиной и ребром графа $\Gamma_{f^t}$ соответственно и опускать знак $\sim$ в обозначениях. Будем говорить, что ребро $e$ разбивает граф $\Gamma_{f^t}$, если граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ имеет большее число компонент связности, чем граф $\Gamma_{f^t}$. Предложение 5. 1. Граф $\Gamma_{f^t}$ связен. 2. Ребро $e\in \Gamma_{f^t}$ разбивает граф $\Gamma_{f^t}$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{*}(e)=l$ разбивает секущую $\Sigma_{f^t}$. Доказательство. Докажем п. 1. Пусть $v$, $w$ – вершины графа $\Gamma_{f^t}$. Из леммы 2 следует, что секущая $\Sigma_{f^t}$ связна. Тогда точки $v$, $w$ можно соединить путем $\gamma\colon [0,1]\to \Sigma_{f^t}$. Так как точки $v$, $w$ лежат в разных компонентах связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$, то образ $\gamma([0,1])$ пути $\gamma$ пересекает какие-то сферы $l_1,\dots, l_k\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ и проходит по компонентам связности $d_1,\dots, d_{k+1}$ множества $\Sigma_{f^t}\setminus (C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$. Будем считать, что $\gamma(0)=v\in d_1$, $\gamma(1)=w\in d_k$. Тогда в графе $\Gamma_{f^t}$ найдется маршрут $\mathcal{M}$, составленный из вершин $v_1=v, v_2,\dots, v_{k+1}=w$ и ребер $e_1,\dots,e_k$ таких, что $v_i\in d_i$, а ребро $e_i$ пересекает сферу $l_i$, $i\in \{1,\dots,k\}$ (рис. 9). Таким образом, граф $\Gamma_{f^t}$ связен.
Докажем п. 2. Пусть вершины $v$, $w$ инцидентны ребру $e$ такому, что $\Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен и $l=\eta_*(e)$. Покажем, что множество $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно. Предположим противное: пусть множество $\Sigma_{f^t}\setminus l$ связно. Тогда аналогично тому, как это было сделано при доказательстве п. 1, можно построить маршрут $\mathcal{M}$ в графе $\Gamma_{f^t}$, соединяющий точки $v$, $w$ и не проходящий через ребро $e$. Существование такого маршрута означает, что граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ связен, что противоречит условию. Следовательно, $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно. Предположим теперь, что $\Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно, и покажем, что граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен. Предположим противное: пусть граф $\Gamma_{f^t}\setminus e$ связен, тогда в графе $\Gamma_{f^t}\setminus e$ найдется маршрут $\mathcal{M}$, соединяющий вершины $v$, $w$. Маршрут $\mathcal{M}$ не пересекает сферу $l$, следовательно, точки $v$, $w$ принадлежат одной компоненте связности множества $\Sigma_{f^t}\setminus l$. Так как множества $\Sigma_{f^t}\setminus l$, $e\setminus l$ несвязны, то множество $\Gamma_{f^t}\setminus l$ несвязно и вершины $v$, $w$, инцидентные ребру $e$, принадлежат разным компонентам связности множества $\Gamma_{f^t}\setminus l$. Полученное противоречие доказывает, что ребро $e$ не может принадлежать циклу графа $\Gamma_{f^t}\setminus e$. Предложение доказано. Лемма 3. Пусть $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$. Если $g=0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ является деревом. Если $g>0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ связен и имеет в точности $g$ простых попарно различных циклов таких, что: 1) никакое ребро не принадлежит одновременно двум циклам; 2) каждый цикл графа $\Gamma_{f^t}$ содержит как ребро, окрашенное в цвет $\mathrm s$, так и ребро, окрашенное в цвет $\mathrm u$, и эти ребра соответствуют сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$, $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^j}\in C^{\mathrm u}_{f^t}$, принадлежащим максимальным неразбивающим $\mathrm s$- и $\mathrm u$-наборам соответственно. Доказательство. Пусть $g=0$. Тогда в силу леммы 2 характеристическая секущая $\Sigma_{f^t}$ является сферой размерности $n-1$ и для любой сферы $l\in \mathcal{L}_{f^t}$ пересечение $l\cap \Sigma_{f^t}$ является сферой размерности $n-2$. Напомним, что $\mu_{f^t}$ обозначает число седел потока $f^t$ и равно числу сфер из множества $\mathcal{L}_{f^t}$. В силу следствия 1 множество $\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{l\in \mathcal{L}_{f^t}}l$ имеет в точности $\mu_{f^t}+1$ компонент связности. Следовательно, число вершин графа $\Gamma_{f^t}$ равно $\mu_{f^t}+1$ при числе ребер, равном $\mu_{f^t}$. Из предложения 5 следует, что граф $\Gamma_{f^t}$ является связным. Тогда в силу утверждения 7 граф $\Gamma_{f^t}$ является деревом.
Пусть $g>0$. Тогда в силу п. 3 леммы 2 существует максимальный неразбивающий $\mathrm s$-набор сфер $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1}, \dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$ такой, что множество $\widetilde\Sigma_{f^t}=\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^gl^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ связно, и для любой сферы $l\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^gl^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ множество $\widetilde \Sigma_{f^t}\setminus l$ несвязно. Пусть $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g, e$ – ребра графа $\Gamma_{f^t}$, соответствующие сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1}, \dots, l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g},l$ соответственно. Из предложения 5 следует, что граф $\widetilde\Gamma_{f^t}=\Gamma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^{g}e^{\mathrm s}_i$ связен, а граф $\widetilde \Gamma_{f^t}\setminus e$ несвязен. Таким образом, граф $\widetilde \Gamma_{f^t}$ является связным и не имеет циклов, следовательно, является деревом. Тогда из утверждения 7 следует, что каждое ребро $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g$ лежит на простом цикле графа $\Gamma_{f^t}$. Никакие два ребра $e^{\mathrm s}_i$, $e^{\mathrm s}_j$, $i\neq j$, не лежат на одном и том же цикле, в противном случае граф $\Gamma_{f^t}\setminus (e^{\mathrm s}_i\cup e^{\mathrm s}_j)$ имел бы две компоненты связности. Кроме того, никакое ребро не принадлежит двум циклам одновременно, в противном случае граф $\widetilde{\Gamma}_{f^t}$ был бы несвязным (рис. 10). Таким образом, граф $\Gamma_{f^t}$ имеет по крайней мере $g$ попарно различных простых циклов, каждый из которых содержит ребро $e^{\mathrm s}_i$, окрашенное в цвет $\mathrm s$. Поскольку граф $\widetilde{\Gamma}_{f^t}$ ациклический, то граф $\Gamma_{f^t}$ содержит в точности $g$ циклов. В силу п. 3 леммы 2 наряду с максимальным неразбивающим $\mathrm s$-набором существует также и максимальный неразбивающий $\mathrm u$-набор сфер $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^1}, \dots, l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^g}$, принадлежащий множеству $C^{\mathrm u}_{f^t}$. Каждой сфере $l^{\mathrm u}_{\sigma_{n-1}^i}$ из этого набора соответствует ребро $e^{\mathrm u}_i$ графа $\Gamma_{f^t}$, окрашенное в цвет $\mathrm u$. Заменяя в предыдущих рассуждениях $\mathrm s$ на $\mathrm u$, получим, что каждый из $g$ простых циклов графа $\Gamma_{f^t}$ наряду с ребром $e^{\mathrm s}_i$, окрашенным в цвет $\mathrm s$, содержит ребро $e^{\mathrm u}_i$, окрашенное в цвет $\mathrm u$. Лемма 3 доказана. 3.4. Доказательство теоремы 1Необходимость условий теоремы следует непосредственно из определения топологической эквивалентности. Для доказательства достаточности покажем, что из существования изоморфизма $\xi$ графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует эквивалентность схем $S_{f^t}$, $S_{{f'}^t}$. Тогда в силу леммы 1 потоки $f^t$, ${f'}^t$ будут топологически эквивалентны. Пусть $\eta_{f^t}\colon V(\Gamma_{f^t})\cup E(\Gamma_{f^t})\to \mathcal{D}_{f^t}\cup \mathcal{L}_{f^t}$ – биекция такая, что ребро $e\in E(\Gamma_{f^t})$ инцидентно вершинам $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ тогда и только тогда, когда сфера $\eta_{f^t}(e)\in \mathcal{L}_{f^t}$ входит в границу областей $\eta_{f^t}(v), \eta_{f^t}(w)\in \mathcal{D}_{f^t}$ (см. п. 3.3). Обозначим через $\eta_{{f'}^t}\colon V(\Gamma_{{f'}^t})\cup E(\Gamma_{{f'}^t})\to \mathcal{D}_{{f'}^t}\cup \mathcal{L}_{{f'}^t}$ биекцию с аналогичными свойствами для потока ${f'}^t$. Изоморфизм $\xi\colon V(\Gamma_{f^t})\to V(\Gamma_{{f'}^t})$ индуцирует изоморфизм $\xi_*\colon \mathcal{D}_{f^t}\to \mathcal{D}_{{f'}^t}$ следующим образом: $\xi_*=\eta_{{f'}^t} \xi \eta_{f^t}^{-1}|_{\mathcal{D}_{f^t}}$. Так как изоморфизм $\xi$ сохраняет отношение смежности и цвет ребер, то изоморфизм $\xi_*$ естественным образом продолжается до изоморфизма между множествами $\mathcal{L}_{f^t}$, $\mathcal{L}_{{f'}^t}$, который также будем обозначать через $\xi_*$. Пусть $\mu_{f^t}$, $\nu_{f^t}$ ($\mu_{{f'}^t}$, $\nu_{{f'}^t}$) – число седловых и узловых состояний равновесия потока $f^t$ (${f'}^t$). Так как $\mu_{f^t}=|\mathcal{L}_{f^t}|=|E(\Gamma_{f^t})|$, $\mu_{{f'}^t}=|\mathcal{L}_{{f'}^t}|=|E(\Gamma_{{f'}^t})|$, то из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что $\mu_{f^t}=\mu_{{f'}^t}$. Покажем, что $\nu_{f^t}=\nu_{{f'}^t}$. Узловые состояния потока $f^t$ можно поделить на два подмножества: точки из первого подмножества принадлежат сферам из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, и тогда из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что эти множества для потоков $f^t$, ${f'}^t$ состоят из одного и того же количества точек. Точки из второго подмножества принадлежат областям из множества $\mathcal{D}_{f^t}$, причем в каждой области $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ может лежать не более одного стокового или источникового состояния равновесия. Кроме того, стоковое (источниковое) состояние равновесия $\omega (\alpha)$ принадлежит области $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ тогда и только тогда, когда в ее границу входят только устойчивые (неустойчивые) сепаратрисы седловых состояний равновесия, индекс Морса которых равен $1$ (равен $n\,{-}\,1$). Следовательно, в этом случае вершина, соответствующая области $D$, инцидентна только ребрам цвета $\mathrm{s} $ (цвета $\mathrm{u}$). Отсюда в силу изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что $\nu_{f^t}=\nu_{{f'}^t}$. Так как тип несущего многообразия потока $f^t$ определяется числом $g_{f^t}=(\mu_{f^t}-\nu_{f^t}+2)/2$, то получаем, что $g_{f^t}=g_{{f'}^t}$. Положим Пусть $\Sigma_{f^t}$, $\Sigma_{{f'}^t}$ – характеристические секущие потоков $f^t$, ${f'}^t$. Из определения следует, что каждая сфера $L\in \mathcal{L}_{f^t}$ ($L'\in \mathcal{L}_{{f'}^t})$ и каждая область $D\in \mathcal{D}_{f^t}$ ($D'\in \mathcal{D}_{{f'}^t})$ пересекается с $\Sigma_{f^t}$ (с $\Sigma_{{f'}^t}$) по единственной компоненте связности. Поэтому изоморфизм $\xi_*$ естественным образом индуцирует биекцию между элементами множеств $C^{\mathrm u}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$ и $C^{\mathrm s}_{{f}^t}$, $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, а также между компонентами связности множеств $\Sigma_{{f^t}}\setminus (C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t})$, $\Sigma_{{f'}^t}\setminus (C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t})$, который также будем обозначать через $\xi_*$. Из определения изоморфизма $\xi_*$ следует, что компонента связности $d\subset \Sigma_{{f^t}}\setminus (C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t})$ соответствует компоненте связности $d'=\xi_*(d)\subset \Sigma_{{f'}^t}\setminus (C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t})$ тогда и только тогда, когда для любой компоненты связности $l\subset C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}$, входящей в границу области $d$, найдется компонента связности $l'=\xi_*(l)\subset C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, входящая в границу области $d'$. Построим гомеоморфизм $h\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h(l)=l'$ для любой сферы $l\subset C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$. Рассмотрим по отдельности два случая: $g=0$ и $g>0$. Случай 1: $g=0$. В силу леммы 3 графы $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ являются деревьями, а в силу леммы 2 характеристические секущие $\Sigma_{f^t}$, $\Sigma_{{f'}^t}$ гомеоморфны сферам. Обозначим через $r$ максимальный ранг вершин графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{{f'}^t}}$. Возможны два случая:
Случай 1, a). Пусть $v_0$ – центральная вершина графа $\Gamma_{f^t}$. Если $r=0$, то граф $\Gamma_{f^t}$ состоит из единственной вершины $v_0$, а неблуждающее множество потока $f^t$ не содержит седловых состояний равновесия. В этом случае неблуждающее множество потока $f^t$ состоит в точности из двух состояний равновесия: источника и стока, и все такие потоки топологически эквивалентны. Пусть $r>0$. Тогда вершина $v_0$ имеет степень $\delta_0\geqslant 2$ (если $\delta_0=1$, то вершина $v_0$ представляет собой лист и является центральной только в случае, когда $r=1$ и граф $\Gamma_{f^t}$ бицентральный). Пусть $v_{0,1}, \dots, v_{0,\delta_0}$ – смежные с $v_0$ вершины. Обозначим через $l_{0,i}$ сферу из множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, соответствующую ребру $(v_0, v_{0,i})$, и положим $\mathfrak{l}_0=\bigcup _{i=1}^{\delta_0}l_{0,i}$. Тогда граница области $d\in \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{{f}^t}$, соответствующей вершине $v_0$, состоит в точности из всех сфер из множества $\mathfrak{l}_0$ (рис. 11). Обозначим через $\mathfrak{l}'_0$ подмножество сфер из множества $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$, соответствующих ребрам, инцидентным центральной вершине $v'_0\in V(\Gamma'_{f^t})$. Будем считать, что нумерация сфер из множества $\mathfrak{l}'_0$ выбрана так, что $l'_{0,i}=\xi_*(l_{0,i})$, $i\in \{1,\dots,\delta_0\}$. Из утверждения 3 следует, что каждая сфера $l_{0,i}\in \mathfrak{l}_0$ делит сферу $\Sigma_{{f}^t}$ на две компоненты связности, замыкание каждой из которых гомеоморфно шару размерности $n-1$. Поэтому множество $\mathfrak{b}_0=\Sigma_{f^t}\setminus \operatorname{cl} d$ является объединением попарно не пересекающихся открытых шаров, ограниченных сферами $\mathfrak{l}_0$. Обозначим через $\mathfrak{b}'_0$ дополнение до множества $\operatorname{cl}d'\in \mathcal{D}_{{f'}^t}\cap \Sigma_{{f'}^t}$, соответствующее вершине $v'_0$. Из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}, \Gamma_{{f'}^t}$ следует, что множество $\mathfrak{b}'_0$ состоит из того же числа шаров, что и множество $\mathfrak{b}_0$, и для каждого шара $b_{0,i}\in \mathfrak{b}_0$, ограниченного сферой $l_{0,i}\in \mathfrak{l}_0$, найдется шар $b'_{0,i}\in \mathfrak{b}'_0$, ограниченный сферой $l'_{0,i}\in \mathfrak{l}'_0$. Из следствия 4 и утверждения 6 вытекает существование гомеоморфизма $h_0\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такого, что $h_0(l_{0,i})=l'_{0,i}$ для каждого $i\in \{1,\dots, \delta_0\}$. Если $r=1$, то $h_0$ является искомым гомеоморфизмом. Пусть $r>1$. Тогда множество $C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \mathfrak{l}_0$ непусто и все сферы из этого множества лежат в множестве $\mathfrak{b}_0$. Из изоморфности двухцветных графов следует, что множество $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\setminus \mathfrak{l}'_0$ непусто и все сферы из этого множества лежат в $\mathfrak{b}'_0$. Пусть $\delta_{i}$ – степень вершины $v_{0,i}$. Так как $r>1$, то $\delta_{i}>1$ для любого $i\in \{1,\dots, \delta_0\}$. Обозначим через $v_{i,j}$ вершину графа $\Gamma_{f^t}$, смежную с вершиной $v_{0,i}$ и отличную от $v_0$, $j\in \{1,\dots, \delta_i\}$. Пусть $l_{i,j}$ – сфера из множества $C^{\mathrm u}_{f^t}\cup C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \mathfrak{l}_0$, соответствующая ребру $(v_i, v_{i,j})$, $l'_{i,j}$ – сфера из множества $C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\setminus \mathfrak{l}'_0$ такая, что $l'_{i,j}=\xi_*(l_{i,j})$. Положим $\mathfrak{l}_{1,i}=\bigcup_{j=1}^{\delta_i}l_{i,j}$, $\mathfrak{l}'_{1,i}=\bigcup_{j=1}^{\delta_i}l'_{i,j}$, $i\in \{1,\dots, \delta\}$. Из определения графа $\Gamma_{f^t}$ следует, что совокупность сфер $\mathfrak{l}_{1,i}$, $l_{0,i}$ является границей некоторой области $d_i\subset \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{f^t}$, соответствующей вершине $v_i$ и содержащейся в шаре $b_{0,i}\subset \mathfrak{b}_0$, ограниченном сферой $l_{0,i}$ (см. рис. 11). Обозначим через $\mathfrak{b}_{1,i}$ совокупность шаров, принадлежащих шару $\mathfrak{b}_{0,i}$ и ограниченных сферами из множества $\mathfrak{l}_{1,i}$. Тогда $h_0(\mathfrak{b}_{1,i})\subset {b}'_{0,i}$. Из предложения 3 следует, что для каждого $i\in \{1,\dots,\delta_0\}$ существует гомеоморфизм $h_i\colon \Sigma_{{f'}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h_i|_{\Sigma_{{f'}^t}\setminus \operatorname{int}{b}'_{0,i}}=\mathrm{id}$ и $h_i(h_0(l_{1,i}))=l'_{1,i}$ для любой сферы $l_{1,i}\in \mathfrak{l}_{1,i}$. Если $r=2$, то суперпозиция $h_\delta h_{\delta-1}\dotsb h_1h_0$ является искомым гомеоморфизмом $h\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$. В противном случае продолжим процесс и через конечное число шагов построим искомый гомеоморфизм. Случай 1, b). Дерево $\Gamma_{f^t}$ является бицентральным. Обозначим через $l_0$ сферу, соответствующую центральному ребру графа $\Gamma_{f^t}$, через $b_0$ – произвольную компоненту связности множества $\Sigma_{{{f}^t}}\setminus l_0$ и через $v$ – центральную вершину, соответствующую области $d\in \mathcal{D}_{f^t}\cap \Sigma_{{f}^t}$, принадлежащей $b_0$ (тогда в границу области $d$ входит сфера $l_0$). Обозначим через $l'_0$ сферу, соответствующую центральному ребру графа $\Gamma_{{f'}^t}$, через $b'_0$ – ту компоненту связности множества $\Sigma_{{{f'}^t}}\setminus l'_0$, которая содержит область $d'$. Из утверждения 6 следует, что существует гомеоморфизм $h_0\colon \Sigma_{f^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такой, что $h(l_0)=l'_0$, $h(b_0)=b'_0$. Если $r=0$, то гомеоморфизм $h$ является искомым. Если $r>0$, то продолжим процесс построения гомеоморфизма $h$ аналогично тому, как это описано для случая 1, a). Случай 2: $g>0$. Из п. 3 леммы 2 следует, что найдется в точности $g$ сфер $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots,l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}\in C^{\mathrm s}_{f^t}$ таких, что множество $\Sigma_{f^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ связно. В силу леммы 3 ребра $e^{\mathrm s}_1, \dots, e^{\mathrm s}_g$, соответствующие сферам $l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1},\dots,l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g}$, принадлежат попарно различным циклам графа $\Gamma_{f^t}$. Обозначим через $v_{i}, w_i$ вершины графа $\Gamma_{f^t}$, инцидентные ребру $e^{\mathrm s}_i$, $i\in \{1,\dots,g\}$. Из изоморфности графов $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{{f'}^t}$ следует, что ребра ${e'}^{\mathrm s}_1=\xi(e^{\mathrm s}_1)$, $\dots$, ${e'}^{\mathrm s}_g=\xi(e^{\mathrm s}_g)$ принадлежат попарно различным циклам графа $\Gamma_{{f'}^t}$. В силу предложения 5 множество сфер ${l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_{1}^1}=\xi_*(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^1})$, $\dots$, ${l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_{1}^g}=\xi_*(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^g})$, соответствующих этим ребрам, не делит секущую $\Sigma_{{f'}^t}$. Обозначим через $\{T_l,\, l\in C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}\}$, $\{T_{l'},\, l'\in C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}\}$ наборы попарно не пересекающихся трубчатых окрестностей сфер из множеств $C^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, $C^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$ соответственно. Из п. 3 леммы 2 следует, что каждое из многообразий $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$ и $\Sigma_{{f'}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{{l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_1^i}}$ гомеоморфно сфере размерности $n-1$ с $2g$ дырами. Приклеим к многообразию $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$ множество $\mathfrak B$, состоящее из $2g$ копий шара $\mathbb{B}^{n-1}$. Обозначим через $\widehat{\Sigma}_{{f}^t}$ полученную в результате сферу и через $p_{f^t}\colon \Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}} \cup \mathfrak B \to \widehat{\Sigma}_{{f}^t}$ – естественную проекцию. В дальнейшем множества $p_{f^t}(\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}})$, $p_{f^t}(C^{\mathrm s}_{f^t})$, $p_{f^t}(C^{\mathrm u}_{f^t})$, $p_{f^t}(\partial T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}})$, $p_{f^t}(\mathfrak B)$ будем обозначать $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $C^{\mathrm s}_{f^t}$, $C^{\mathrm u}_{f^t}$, $\partial T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $\mathfrak B$ соответственно. Удалим из графа $\Gamma_{f^t}$ ребра $e_1, \dots, e_g$ и к каждой вершине $v_i$, $w_i$ добавим по одной вершине $v_{i+}$, $w_{i+}$ и ребру $(v_i, v_{i+})$, $(w_i, w_{i+})$, окрашенному в цвет $\mathrm s$. Полученное дерево обозначим через $\widehat{\Gamma}_{f^t}$. С каждой новой вершиной $v_{i+}$, $w_{i+}$ свяжем добавленный к многообразию $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l_i}$ шар, а с каждым новым ребром свяжем границу этого шара. Обозначим через $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}$ множество сфер, являющееся объединением множества $C^{\mathrm s}_{f^t}\setminus \bigcup_{i=1}^g l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}$ и множества границ добавленных шаров. Тогда имеется естественная биекция $\widehat{\eta}_{f^t}$ между множеством ребер графа $\widehat{\Gamma}_{f^t}$ и элементами множества $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$, а также между множеством ребер графа $\widehat{\Gamma}_{f^t}$ и компонентами связности множества $\widehat{\Sigma}_{{f}^t}\setminus (\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t})$. Проделаем аналогичную процедуру для потока ${f'}^t$ и обозначим через $\widehat{\Gamma}_{{f'}^t}$, $\widehat{\Sigma}_{{f'}^t}$, $\widehat{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}$, $\mathfrak B'$ полученные объекты, соответствующие одноименным объектам для потока $f^t$. Изоморфизм $\xi\colon \Gamma_{f^t}\to \Gamma_{{f'}^t}$ естественным образом продолжается до изоморфизма $\widehat{\xi}\colon \widehat{\Gamma}_{f^t}\to \widehat{\Gamma}_{{f'}^t}$, который индуцирует биекцию $\widehat\xi_*$ между элементами множеств $\widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ и $\widehat{C}^{\mathrm s}_{{f'}^t}\cup C^{\mathrm u}_{{f'}^t}$. Действуя по алгоритму, приведенному для случая $g=0$, построим гомеоморфизм $\widehat{h}\colon \widehat{\Sigma}_{f^t}\to \widehat{\Sigma}_{{f'}^t}$ такой, что для любой сферы $l\in \widehat{C}^{\mathrm s}_{f^t}\cup C^{\mathrm u}_{f^t}$ выполняется условие $\widehat{h}(l)= \widehat \xi_*(l)$. Гомеоморфизм $\widehat h$ естественным образом индуцирует гомеоморфизм между множествами $\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l_i}$ и $\Sigma_{{f'}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l'_i}$, который также будем обозначать через $\widehat h$. В силу предложения 2 гомеоморфизм $\widehat{h}$ продолжается на каждое кольцо $T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}$, $i\in \{1,\dots,g\}$, до гомеоморфизма $h\colon \Sigma_{{f}^t}\to \Sigma_{{f'}^t}$ такого, что $h|_{\Sigma_{{f}^t}\setminus \bigcup _{i=1}^g \operatorname{int} T_{l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i}}}=\widehat h$ и $h(l^{\mathrm s}_{\sigma_1^i})={l'}^{\mathrm s}_{{\sigma'}_1^i}$ для любого $i\in \{1,\dots,g\}$. Таким образом, $h$ – искомый гомеоморфизм. Теорема 1 доказана. 3.5. Реализация классов топологической эквивалентностиОпределение 6. Простой связный граф $\Gamma$, ребра которого окрашены в цвета $\mathrm s$, $\mathrm u$, называется допустимым, если он имеет $g\geqslant 0$ попарно различных простых циклов, на каждом цикле имеется по крайней мере по одному ребру цвета $\mathrm s$ и по одному ребру цвета $ \mathrm u$, и никакое ребро не принадлежит двум циклам одновременно. Предложение 6. Для любого потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ граф $\Gamma_{f^t}$ является допустимым. Доказательство. По определению граф $\Gamma_{f^t}$ не имеет петель, т.е. является простым. Остальные условия, определяющие допустимый граф, выполнены для графа $\Gamma_{f^t}$ в силу леммы 3. Предложение доказано. Лемма 4. Пусть $\Gamma_{f^t}$ – двухцветный граф потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, $v, w\in V(\Gamma_{f^t})$ – вершины, соединенные единственным простым маршрутом $\mathcal{M}$, и $d_v$, $d_w$ – компоненты связности множества $\mathcal{D}_{f^t}$, соответствующие вершинам $v$, $w$. Если маршрут $\mathcal{M}$ содержит ребро $e^{\mathrm s}$, окрашенное в цвет $\mathrm s$, то замыкания множеств $d_v$, $d_w$ содержат два несовпадающих стоковых состояния равновесия $\omega_v$, $\omega_w$ потока ${f}^t$. Доказательство. Будем считать, что граф $\Gamma_{f^t}$ вложен в многообразие $\mathcal{S}^n_{g}$ таким образом, как это описано в предложении 4.
Пусть $L^{\mathrm s}$ – сфера из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, соответствующая ребру $e^{\mathrm s}$, и $\sigma\in \Omega^1_{f^t}$ – состояние равновесия такое, что $L^{\mathrm s}=\operatorname{cl} W^{\mathrm s}_\sigma$. Так как по условию $\mathcal{M}$ – единственный простой маршрут, соединяющий вершины $v$, $w$, то ребро $e^{\mathrm s}$ не принадлежит никакому циклу графа $\Gamma_{f^t}$. Тогда в силу предложения 5 сфера $L^{\mathrm s}\subset \mathcal{L}_{{f}^t}$ делит многообразие $\mathcal{S}^n_{g}$ на две компоненты связности $V$, $W$. Маршрут $\mathcal{M}$ также делится сферой $L^{\mathrm s}$ на две компоненты связности такие, что концевые вершины $v$, $w$ принадлежат разным компонентам связности. Поэтому и области $d_v$, $d_w$ принадлежат разным компонентам связности $V$, $W$. Пусть $d_v\subset V$, $d_w\subset W$. Возможны два случая:
В случае 1) обозначим через $e^{\mathrm u}_v$, $e^{\mathrm u}_w$ ребра, инцидентные вершинам $v$, $w$ соответственно и принадлежащие маршруту $\mathcal{M}$. По предположению они окрашены в цвет $\mathrm u$. Тогда сферы $L^{\mathrm u}_v, L^{\mathrm u}_w\subset \mathcal L_{f^t}$, соответствующие ребрам $e^{\mathrm u}_v$, $e^{\mathrm u}_w$, принадлежат множествам $\operatorname{cl} d_v$, $\operatorname{cl} d_w$ соответственно. Из определения множества $\mathcal{L}_{f^t}$ следует, что найдутся стоковые точки $\omega_v\in L^{\mathrm u}_v$, $\omega_w\in L^{\mathrm u}_w$. Так как сферы $L^{\mathrm u}_v$, $L^{\mathrm u}_w$ не могут иметь пересечений со сферой $L^{\mathrm s}$ и, следовательно, лежат в разных компонентах связности $V$, $W$, то стоковые точки $\omega_v$, $\omega_w$ не совпадают. Рассмотрим случай 2). Одномерные неустойчивые сепаратрисы точки $\sigma\in \Omega^1_{{f}^t}$ такой, что $L^{\mathrm s}= \operatorname{cl} W^{\mathrm s}_{\sigma}$, также лежат в разных множествах $V$, $W$, следовательно, найдутся стоковые точки $\omega_+\subset V$, $\omega_-\subset W$, принадлежащие замыканию множества $W^{\mathrm u}_{\sigma}$. Возможны три случая:
В случае (a) $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_v$, $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_w$, поэтому $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_v\neq \varnothing$, $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_w\neq \varnothing$ и $\omega_+ \subset \operatorname{cl} d_v$, $\omega_-\subset \operatorname{cl} d_w$. Положим $\omega_v=\omega_+$, $\omega_u=\omega_-$. В случае (b) предположим для определенности, что ребро $e^{\mathrm s}$ инцидентно вершине $v$. Тогда существует ребро $e^{\mathrm u}\in \mathcal{M}$, инцидентное вершине $w$ и окрашенное в цвет $\mathrm u$. В этом случае $L^{\mathrm s}\subset \operatorname{cl} d_v$, поэтому $W^{\mathrm u}_\sigma\cap d_v\neq \varnothing$ и $\omega_+\subset \operatorname{cl} d_v\cap W$. Кроме того, найдется стоковое состояние равновесия $\omega$, принадлежащее сфере $L^{\mathrm u}\in \mathcal{L}_{{f}^t}$, которая соответствует ребру $e^{\mathrm u}$. Тогда $L^{\mathrm u}\subset \operatorname{cl} d_w$ и, следовательно, $\omega\subset \operatorname{cl} d_w$. Так как $L^{\mathrm s}\cap L^{\mathrm u}=\varnothing$, то $\omega_+\neq \omega$. Положим $\omega_v=\omega_+$, $ \omega_w=\omega$. В случае (с) обозначим через $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ ребра, принадлежащие маршруту $\mathcal{M}$ и инцидентные вершинам $v$, $w$ соответственно. Оба ребра $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ окрашены в цвет $\mathrm s$. Обозначим через $L^{\mathrm s}_v$, $L^{\mathrm s}_w$ сферы из множества $\mathcal{L}_{f^t}$, соответствующие ребрам $e^{\mathrm s}_v$, $e^{\mathrm s}_w$ соответственно, и через $\sigma_v, \sigma_w\in \Omega^1_{f^t}$ – седловые состояния равновесия такие, что $L^{\mathrm s}_v=W^{\mathrm s}_{\sigma_v}$, $L^{\mathrm s}_w=W^{\mathrm s}_{\sigma_w}$. Объединение $L^{\mathrm s}_v\cup L^{\mathrm s}_w$ делит многообразие $\mathcal{S}^{n}_{g}$ на три компоненты связности $W$, $V$, $U$, каждая из которых содержит по крайней мере одну стоковую точку, принадлежащую замыканию множества $W^{\mathrm u}_{\sigma_v}\cup W^{\mathrm u}_{\sigma_w}$. Обозначим эти стоковые точки $\omega_w$, $\omega_v$, $\omega_u$ соответственно. Пусть $d_w\subset W$, $d_v\subset V$. В этом случае $\omega_v\subset \operatorname{cl} d_v$, $\omega_w\subset \operatorname{cl} d_w$ и $\omega_v\neq \omega_w$. Лемма 4 доказана. Теорема 2. Для любого допустимого графа $\Gamma$ существует поток $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, граф $\Gamma_{f^t}$ которого изоморфен графу $\Gamma$ посредством изоморфизма, сохраняющего раскраску ребер. Доказательство. Применяем индукцию по числу $g$. В случае $g=0$ граф $\Gamma$ является деревом, и алгоритм реализации его потоком из класса $G(\mathcal{S}^n_0)$ описан в работе [35]. В частности, описано построение потока $f^t_0$ на сфере $\mathcal S^n_0$, неблуждающее множество которого состоит в точности из четырех состояний равновесия: двух источников, одного стока и седла индекса $n-1$. Фазовый портрет потока $f^t_0$ и его двухцветный граф приведены на рис. 12.
Пусть $\psi\colon \mathcal S^n_0\to [0,n]$ – энергетическая функция потока $f^t_0$. Положим $N=\psi^{-1}[0, n-0.5]$. Множество $N$ является многообразием с краем, полученным из $\mathcal S^n_0$ удалением двух непересекающихся открытых шаров с гладко вложенными границами. В силу утверждения 4 многообразие $N$ гомеоморфно кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [-1,1]$. Из определения энергетической функции следует, что траектории потока $f^t_0$ трансверсальны краю многообразия $N$. Предположим, что для любого допустимого графа, число простых циклов которого равно $i\in \{0,1,\dots,g-1\}$, построен поток из класса $G(\mathcal{S}^n_i)$, граф которого изоморфен этому допустимому графу при помощи изоморфизма, сохраняющего цвета ребер. Построим поток $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ по допустимому графу $\Gamma$, имеющему ровно $g>0$ циклов, все вершины каждого из которых попарно различны. Пусть $(v,w)$ – ребро графа $\Gamma$, принадлежащее некоторому циклу. Для определенности будем считать, что это ребро окрашено в цвет $\mathrm u$ (для цвета $\mathrm s$ рассуждения аналогичны). По предположению индукции граф $\Gamma_*$, полученный удалением из $\Gamma$ ребра $(v,w)$, реализуется потоком $f_*^t\in G(\mathcal{S}^n_{g-1})$, граф $\Gamma_{f_*^t}$ которого изоморфен графу $\Gamma_*$. Так как вершины $v$, $w$ принадлежали циклу графа $\Gamma$, то в графе $\Gamma_*$ найдется единственный простой маршрут $\mathcal{M}$, соединяющий вершины $v$, $w$ и содержащий ребро $e^{\mathrm s}$, окрашенное в цвет $\mathrm s$. В силу леммы 4 замыкания областей $d_v, d_w\subset \mathcal{D}_{f_*^t}$, соответствующих вершинам $v$, $w$, содержат два несовпадающих стоковых состояния равновесия $\omega_v$, $\omega_w$ потока ${f}^t$. Пусть $\varphi\colon \mathcal{S}^n_{g-1}\to [0,n]$ – энергетическая функция потока $f_*^t$. Обозначим через $B_v$, $B_w$ компоненты связности множества $\varphi^{-1}([0, 0.5])$, содержащие точки $\omega_v$, $\omega_w$ соответственно. Удалим из многообразия $\mathcal{S}^n_{g-1}$ внутренности шаров $B_v$, $B_w$ и приклеим к полученному многообразию с краем многообразие $N$, гомеоморфное кольцу $\mathbb{S}^{n-1}\times [-1,1]$ с заданным модельным потоком $f^t_{0}$ на нем. Обозначим через $M^n$ многообразие, полученное из $\mathcal{S}^n_{g-1}$ удалением внутренностей шаров $B_v$, $B_w$ и приклеиванием к полученному многообразию с краем многообразия $N$ по диффеоморфизму $h\colon \partial (B_v\cup B_w)\to \partial N$ такому, что $h(\mathcal{L}_{{f'}^t})\cap W^{\mathrm u}_{\sigma_0}=\varnothing$, где $\sigma_0$ – седловое состояние равновесия потока $f^t_0$. В силу [36] многообразие $M^n$ гомеоморфно $\mathcal S^n_g$. Обозначим через $p$: $\mathcal{S}^n_{g-1}\setminus \operatorname{int} (B_v\cup B_w)\cup N\to M^n$ естественную проекцию. Сглаживая поток $f^t_0$ в окрестности края многообразия $N$, определим поток $f^t$ на $M^n$, совпадающий с $f_*^t$ на множестве $p(\mathcal{S}^n_{g-1}\setminus (B_v\cup B_w))$ и с $f^t_0$ на множестве $p(N)$. По построению двухцветный граф $\Gamma_{f^t}$ потока $f^t$ может быть получен из графа $\Gamma_*$ добавлением к $\Gamma_*$ ребра, соединяющего вершины $v$, $w$, и окрашенного в цвет $\mathrm u$ (см. рис. 12). Следовательно, графы $\Gamma_{f^t}$ и $\Gamma$ изоморфны. Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriGur23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|