| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Конечные группы бимероморфных автоморфизмов неунилинейчатых трехмерных кэлеровых многообразий Ю. Г. Прохоровab, К. А. Шрамовab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9751e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПри изучении групп автоморфизмов комплексных многообразий важную роль играет следующее определение. Определение 1.1 (см. [1; определение 2.1]). Группа $\Gamma$ называется жордановой (также говорят, что $\Gamma$ удовлетворяет свойству Жордана), если существует такая константа $J=J(\Gamma)$, что любая конечная подгруппа $G\subset\Gamma$ содержит нормальную абелеву подгруппу $A\subset G$ индекса не больше $J$. Оказывается, что свойство Жордана выполняется для многих групп геометрического происхождения, включая группы автоморфизмов и бимероморфных автоморфизмов многих компактных комплексных многообразий. Например, если $X$ – компактная комплексная поверхность, то ее группа автоморфизмов всегда жорданова (см. [2; теорема 1.6]), в то время как группа бимероморфных автоморфизмов жорданова тогда и только тогда, когда $X$ не бимероморфна произведению $\mathbb{P}^1$ на эллиптическую кривую (см. [2; теорема 1.7]). Для многообразий бóльших размерностей известно не так много. В частности, не ясно, является ли жордановой группа автоморфизмов произвольного компактного комплексного многообразия; положительный ответ известен только для связной компоненты единицы в такой группе (см. [3; теорема 5]). С другой стороны, имеются важные результаты в этом направлении для кэлеровых многообразий. Следующая теорема была доказана в [4]. Теорема 1.2. Пусть $X$ – компактное кэлерово многообразие. Тогда группа автоморфизмов $X$ жорданова. Теорема 1.2 была недавно обобщена в [5] на случай групп автоморфизмов компактных комплексных многообразий класса $\mathcal{C}$ по Фуджики (ср. [6]). В [7] с точки зрения жордановости изучались группы бимероморфных автоморфизмов трехмерных унилинейчатых компактных кэлеровых многообразий. Для многообразий бóльших размерностей частичные результаты для $\mathbb{P}^1$-расслоений над подходящими базами были получены в [8] и [9] (ср. [10]). В частности, в статье [11] можно найти много примеров унилинейчатых компактных кэлеровых многообразий с нежордановыми группами бимероморфных автоморфизмов. Обозначим через $\varkappa(X)$ кодаирову размерность компактного комплексного многообразия $X$, а через $\operatorname{q}(X)$ – его иррегулярность (подробности см. в § 2). Напомним, что трехмерное компактное кэлерово многообразие является унилинейчатым, если и только если его кодаирова размерность отрицательна (см. [12; следствие 1.4]); этот глубокий факт следует из результатов, доказанных в [13], [14] и [12]. Цель настоящей статьи – доказать следующую теорему о группах бимероморфных автоморфизмов неунилинейчатых трехмерных компактных кэлеровых многообразий; обозначения и соглашения читатель может найти в § 2. Теорема 1.3. Пусть $X$ – трехмерное компактное кэлерово многообразие с $\varkappa(X)\geqslant 0$ и $\operatorname{q}(X)>0$. Тогда группа бимероморфных автоморфизмов $X$ жорданова. Для неунилинейчатого алгебраического многообразия $X$ произвольной размерности выполняется намного более сильное утверждение, чем теорема 1.3: группа бирациональных автоморфизмов $X$ всегда жорданова без каких-либо ограничений на размерность и иррегулярность; см. [15; теорема 1.8, (ii)]. Доказательство этого результата в [15] использует эквивариантную программу минимальных моделей (короткое введение в которую можно найти, например, в [16]). Доказательства в настоящей статье также используют программу минимальных моделей для трехмерных компактных кэлеровых многообразий, которая доступна благодаря [12]. Мы ожидаем, что аналог теоремы 1.3 выполняется в произвольной размерности и может быть доказан независимо от программы минимальных моделей. Далее, доказательство свойства Жордана для групп псевдоавтоморфизмов основывается на результате Фуджики из [17] (см. ниже теорему 4.4), который известен только для гладких кэлеровых многообразий. Было бы интересно обобщить его на кэлеровы многообразия с терминальными особенностями. Это позволило бы избавиться от предположения $\operatorname{q}(X)>0$ в теореме 1.3 и значительно упростить наши рассуждения1. Содержание статьи следующее. В § 2 собраны основные определения и вспомогательные факты, относящиеся к компактным комплексным многообразиям. В § 3 мы изучаем группы бимероморфных автоморфизмов, которые сохраняют расслоения на компактных комплексных многообразиях. В § 4 мы рассматриваем группы псевдоавтоморфизмов гладких компактных кэлеровых многообразий. В частности, в предложении 4.5 показано, что группа псевдоавтоморфизмов гладкого компактного кэлерова многообразия всегда жорданова; аналогичный результат для проективных многообразий хорошо известен специалистам. В § 5 собрана информация об отображении Альбанезе компактных комплексных многообразий. В § 6 обсуждаются некоторые вспомогательные факты о множествах неопределенностей псевдоавтоморфизмов. В § 7 мы делаем несколько дополнительных наблюдений о компактных комплексных поверхностях и их группах автоморфизмов. Наконец, в § 8 мы завершаем доказательство теоремы 1.3. БлагодарностиМы благодарны К. Хэйкону, который указал на неточность в первой версии настоящей работы. Мы также благодарим анонимного рецензента за полезные замечания. § 2. Предварительные условияВ этом параграфе мы представим некоторые вспомогательные факты о компактных комплексных многообразиях. Мы отсылаем читателя к книге [19], где он может найти основные факты и определения. В частности, под комплексным многообразием мы подразумеваем (не обязательно гладкое) неприводимое приведенное комплексное пространство2. Морфизм комплексных многообразий – это голоморфное отображение между ними. Комплексная поверхность – это гладкое комплексное многообразие размерности $2$. Для данного компактного комплексного многообразия $X$ через $\operatorname{a} (X)$ мы обозначим его алгебраическую размерность $X$, т.е. степень трансцендентности поля мероморфных функций на $X$. Через $\operatorname{q}(X)$ обозначим иррегулярность $X$, т.е. размерность пространства $H^1 (X', \mathscr{O}_{X'})$, где $X'$ – произвольное гладкое компактное комплексное многообразие, бимероморфное $X$. Аналогично, кодаирова размерность $\varkappa(X)$ определяется как кодаирова размерность ее гладкой компактной модели $X'$; см. [19; определение 6.5]. Через $\operatorname{Bim}(X)$ мы обозначаем группу биголоморфных отображений $X$ в себя. Открытое по Зарисскому подмножество в $X$ – это подмножество вида $X\setminus\Sigma$, где $\Sigma$ – замкнутое (аналитическое) подмножество в $X$. Типичная точка $X$ – это точка некоторого непустого открытого по Зарисскому подмножества $X$; типичный слой (мероморфного) отображения $\phi\colon X\dashrightarrow Y$ – это слой над типичной точкой $Y$. Для мероморфного отображения $\chi\colon X \dashrightarrow Y$ мы обозначаем через $\operatorname{Ind} (\chi)$ множество неопределенности $\chi$, т.е. минимальное замкнутое аналитическое подмножество $V\subset X$ такое, что ограничение $\chi$ на $X\setminus V$ является голоморфным. Напомним, что каноническим классом нормального комплексного многообразия $X$ является рефлексивный пучок ранга $1$ где $X_0\subset X$ – множество гладких точек, а $j\colon X_0 \hookrightarrow X$ – вложение; см. [20; § 1, A]. Заметим, что в отличие от проективного случая канонический класс $\boldsymbol{\omega}_X$ не обязательно должен быть представлен дивизором Вейля. Однако $\boldsymbol{\omega}_X$ всегда представляется дивизором Вейля локально, в малой аналитической окрестности любой точки. Таким образом, иногда мы будем злоупотреблять обозначениями и писать $K_X$ вместо $\boldsymbol{\omega}_X$. Отметим также, что на протяжении всей статьи мы рассматриваем многообразия неотрицательной кодаировой размерности; для такого многообразия $X$ рефлексивный пучок
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\omega}_X^{[n]}=(\boldsymbol{\omega}_X^{\otimes n})^{\vee\vee}
\end{equation*}
\notag
$$
представлен дивизором Вейля $nK_X$ для некоторого положительного целого числа $n$. Действительно, для такого дивизора можно взять $nK_X = f_* D $, где $f\colon \widetilde X \to X$ – разрешение особенностей, а $ D $ – эффективный дивизор из непустой линейной системы $|nK_{\widetilde X}|$. За информацией о терминологии, определениях и фактах, касающихся кэлеровой программы минимальных моделей, мы отсылаем читателя к работе [12]. Подчеркнем только следующие различия. Поскольку канонический класс $\boldsymbol{\omega}_X$ не обязательно должен быть представлен дивизором Вейля, в случае неалгебраических комплексных многообразий определение нормальной $\mathbb{Q}$-факторной особенности включает в себя требование, чтобы пучок $\boldsymbol{\omega}_X^{[n]}$ был обратимым для некоторого $n$. Мы напоминаем читателю, что терминальная особенность – это нормальная $\mathbb{Q}$-горенштейнова особенность комплексного многообразия такая, что все ее дискрепантности положительны. В частности, если многообразие $X$ имеет только терминальные (или просто нормальные $\mathbb{Q} $-горенштейновы) особенности, то индексы пересечений $\boldsymbol{\omega}_X$ со всеми кривыми на $X$ корректно определены. Каноническая особенность – это нормальная $\mathbb{Q}$-горенштейнова особенность комплексного многообразия такая, что все ее дискрепантности неотрицательны. Все канонические (и, в частности, терминальные) особенности рациональны; см., например, [21; теорема 5.22]. Говорят, что группа $\Gamma $ имеет ограниченные конечные подгруппы, если существует константа $B = B(\Gamma)$ такая, что каждая конечная подгруппа $\Gamma$ имеет порядок не более $B$. Лемма 2.1. Пусть – точная последовательность групп. Предположим, что группа $\Gamma''$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $\Gamma$ является жордановой тогда и только тогда, когда жордановой является группа $\Gamma'$. Доказательство очевидно. Группа $\Gamma $ называется сильно жордановой, если она является жордановой и существует константа $ r = r (\Gamma)$ такая, что каждая конечная подгруппа в $\Gamma $ порождается не более чем $ r$ элементами. Лемма 2.2 (см. [15; лемма 2.8]). Пусть – точная последовательность групп. Предположим, что группа $\Gamma''$ сильно жорданова, а группа $\Gamma'$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $\Gamma$ жорданова. Следующая классическая теорема была доказана Г. Минковским. Теорема 2.3 (см., например, [22; теорема 1]). Для каждого положительного целого числа $n$ группа $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Следствие 2.4. Пусть $\Lambda$ – конечно порожденная абелева группа. Тогда группа $\operatorname{Aut}(\Lambda)$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Следующее утверждение хорошо известно; см., например, [23; предложение 1.2.1] или [2; теорема 8.4]. Теорема 2.5. Пусть $T$ – комплексный тор размерности $n$. Тогда где $\Gamma$ – подгруппа в $\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{Z})$. Следующий результат следует из [19; лемма 9.11] и [24; лемма 3.5]. Предложение 2.6. Пусть $X$ – компактное комплексное многообразие с рациональными особенностями, а $T$ – комплексный тор. Пусть $\zeta\colon X\dashrightarrow T$ – мероморфное отображение. Тогда $\zeta$ голоморфно. Следствие 2.7. Пусть $T$ – комплексный тор размерности $n$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(T)$ является жордановой. Более того, существует положительное целое число $ r = r (n)$, которое зависит только от $ n $, но не от $T$, такое, что каждая конечная подгруппа $\operatorname{Bim} (T)$ порождается не более чем $ r$ элементами. В частности, $\operatorname{Bim}(T)$ сильно жорданова. Доказательство. Согласно предложению 2.6 имеем $\operatorname{Bim} (T) = \operatorname{Aut} (T)$. Таким образом, первое утверждение следует из теорем 2.5 и 2.3 и леммы 2.1 (также оно может быть получено из теоремы 1.2). Второе утверждение непосредственно вытекает из теорем 2.5 и 2.3. Следствие доказано. Теорема 2.8 (см. [19; следствие 14.3]). Пусть $X$ – компактное комплексное многообразие с $\dim(X)=\varkappa(X)$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ конечна. Лемма 2.9. Пусть $X$ и $Y$ – компактные комплексные многообразия, и пусть $\phi\colon X\dashrightarrow Y$ – доминантное мероморфное отображение. Предположим, что $\varkappa(X)\geqslant 0$. Пусть $F$ – типичный слой $\phi$, и пусть $F'$ – неприводимая компонента $F$. Тогда $\varkappa(F')\geqslant 0$. Доказательство. Применяя разрешение особенностей и неопределенностей, мы можем считать, что многообразия $X$ и $Y$ являются гладкими, а отображение $\phi$ является голоморфным. В частности, это означает, что $F$ – гладкое компактное комплексное многообразие, а $F'$ – связная компонента $F$. По формуле присоединения Отсюда получаем, что поскольку $\boldsymbol{\omega}_X^{\otimes n}$ представлено эффективным дивизором для некоторого положительного целого числа $ n$, то же самое справедливо и для $\boldsymbol{\omega}_{F'}$. Таким образом, мы имеем $\varkappa(F')\geqslant 0$.
Лемма доказана. Для большинства компактных комплексных поверхностей их группы бимероморфных преобразований являются жордановыми. Точнее, известно следующее. Теорема 2.10 (см. [2; теорема 1.7]). Пусть $X$ – компактная комплексная поверхность такая, что $\varkappa(X)\geqslant 0$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ является сильно жордановой. Замечание 2.11. Пусть $X$ – (гладкая связная) компактная комплексная кривая. Легко видеть, что группа $\operatorname{Bim}(X) =\operatorname{Aut}(X)$ сильно жорданова. Если группа действует на гладком компактном кэлеровом многообразии неотрицательной кодаировой размерности с неподвижной точкой, то она имеет ограниченные конечные подгруппы. Теорема 2.12 (см. [25; теорема 1.5]). Пусть $X$ – гладкое компактное кэлерово многообразие неотрицательной кодаировой размерности, и пусть $P$ – точка на $X$. Тогда стабилизатор $P$ в $\operatorname{Aut}(X)$ имеет ограниченные конечные подгруппы. § 3. Эквивариантные расслоенияВ этом параграфе мы представим несколько замечаний о группах бимероморфных преобразований комплексных многообразий, сохраняющих некоторые расслоения. Для данного доминантного мероморфного отображения $\alpha\colon X\dashrightarrow Y$ компактных комплексных многообразий через $\operatorname{Bim} (X; \alpha)$ обозначим подгруппу в $\operatorname{Bim}(X)$, состоящую из всех бимероморфных собственных отображений $X$, которые слои $\alpha$ отображают снова в слои $\alpha$. Другими словами, если $\chi\in\operatorname{Bim}(X;\alpha)$, то для каждых двух точек $P, Q\in X\setminus\operatorname{Ind}(\chi)$ таких, что $\alpha(P)=\alpha(Q)$, мы имеем $\alpha(\chi(P))=\alpha(\chi(Q))$. Существует естественный гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
h_\alpha\colon \operatorname{Bim}(X;\alpha)\to \operatorname{Bim}(Y)
\end{equation*}
\notag
$$
и отображение $\alpha$ эквивариантно относительно $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$. Обозначим через $\operatorname{Bim}(X)_\alpha$ ядро гомоморфизма $h_\alpha$. Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 4.1 в статье [7]. Лемма 3.1. Пусть $X$ и $Y$ – компактные комплексные многообразия, и пусть $\alpha \colon X \dashrightarrow Y$ – доминантное мероморфное отображение. Тогда существует константа $I=I(\alpha)$ со следующим свойством. Пусть $G_i$, $i\in\mathbb{N}$, – счетное семейство конечных подгрупп в $\operatorname{Bim}(X)_{\alpha}$. Тогда существуют приведенный слой $F$ отображения $\alpha$ и его неприводимая компонента $F'$ размерности $\dim (X)-\dim (Y)$ такая, что в каждой группе $G_i$ существует подгруппа индекса не более $I$, изоморфная подгруппе в $\operatorname{Bim}(F')$. Более того, если $\dim(Y)>0$ и задано счетное объединение $\Xi$ собственных замкнутых аналитических подмножеств в $Y$, то слой $F$ может быть выбран так, чтобы точка $\alpha (F)$ не лежала в $\Xi$. Доказательство. Пусть $\Delta \subset Y$ – минимальное замкнутое подмножество $Y$ такое, что каждая точка $P$ из $Y\setminus \Delta $ является гладкой, слой $\alpha^{-1}(P)$ приведен и каждая неприводимая компонента слоя $\alpha^{-1}(P)$ имеет размерность $\dim(X)-\dim(Y)$. Тогда $Y\setminus \Delta$ – плотное открытое подмножество $Y$. Увеличивая $\Delta$ при необходимости, мы можем считать, что слои над всеми точками из $Y\setminus\Delta$ имеют одинаковое количество $N$ неприводимых компонент. Обозначим таким образом, $\mathcal{G}$ – счетный набор элементов в $\operatorname{Bim}(X)_\alpha$.
Пусть $\gamma$ – элемент группы $\operatorname{Bim}(X)_{\alpha}$. Рассмотрим множество $\nabla_\gamma\subset Y$, состоящее из всех точек $P$, для которых $\operatorname{Ind}(\gamma)$ содержит неприводимую компоненту слоя $\alpha^{-1}(P)$. Таким образом, отображение $\gamma$ определяется в типичной точке каждой неприводимой компоненты слоя $\alpha^{-1}(P)$ над каждой точкой $P\in Y\setminus \nabla_\gamma$. Более того, для любой точки
$$
\begin{equation*}
P\in Y\setminus(\Delta\cup\nabla_\gamma\cup\nabla_{\gamma^{-1}})
\end{equation*}
\notag
$$
ограничение $\gamma|_{F'}$ отображения $\gamma$ на каждую неприводимую компоненту $F'$ слоя $\alpha^{-1}(P)$ является бимероморфным отображением $F'$ на его образ $\gamma(F')$ и образ $\gamma(F')$ не совпадает с образом любой другой неприводимой компоненты слоя $\alpha^{-1}(P)$.
Рассмотрим подмножество $D_\gamma\subset Y\setminus (\Delta\cup\nabla_\gamma)$, состоящее из всех точек $P$ таких, что для типичной точки $Q$ некоторой неприводимой компоненты слоя $\alpha^{-1} (P)$ мы имеем $\gamma (Q) = Q$. Пусть $\overline{D_\gamma}$ – замыкание $D_\gamma$ в $Y$. Тогда для любой точки
$$
\begin{equation*}
P\in Y\setminus(\Delta\cup\nabla_\gamma\cup\nabla_{\gamma^{-1}} \cup\overline{D_\gamma})
\end{equation*}
\notag
$$
ограничение $\gamma|_{F'}$ отображения $\gamma$ на каждую неприводимую компоненту $F'$ слоя $\alpha^{-1} (P)$ не является тождественным отображением $F'$ при условии, что само $\gamma $ не является тождественным отображением многообразия $X$.
Множества $\Delta$, $\nabla_\gamma$ и $\overline {D_\gamma}$ являются собственными замкнутыми аналитическими подмножествами в $Y$. Если $\dim(Y)>0$, зафиксируем также подмножество $\Xi$, которое является счетным объединением собственных замкнутых аналитических подмножеств в $Y$. Поскольку поле $\mathbb{C}$ несчетно, то $Y$ не может быть представлено как счетное объединение собственных замкнутых подмножеств. Следовательно, дополнение
$$
\begin{equation*}
U=Y\setminus\biggl(\Xi\cup\Delta\cup\bigcup_{\gamma\in\mathcal{G} \setminus\{\mathrm{id}\}}(\nabla_\gamma\cup\overline{D_\gamma})\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
не является пустым.
Пусть $P$ – точка $U$, а $F$ – слой $\alpha$ над $P$. Каждый элемент $\gamma\in \mathcal{G}$ определяет перестановку множества $N$ неприводимых компонент $F$. Таким образом, для каждого $i$ мы имеем гомоморфизм $G_i\to \mathfrak{S}_N$ в симметрическую группу степени $N$. Обозначим через $K_i\subset G_i$ ядро этого гомоморфизма. Тогда индекс $K_i$ в $G_i$ не более чем $N!=|\mathfrak{S}_N|$. Более того, каждый элемент $K_i $ отображает каждую неприводимую компоненту $F'$ слоя $F$ саму в себя и каждый нетривиальный элемент $K_i $ ограничивается нетривиальным бимероморфным преобразованием $F'$. Следовательно, все группы $K_i$ вкладываются в группу $\operatorname{Bim}(F')$. Лемма 3.2. Пусть $X$ и $ Y$ – компактные комплексные многообразия, и пусть $\alpha\colon X \dashrightarrow Y $ – доминантное мероморфное отображение. Пусть $F$ – типичный слой $\alpha$. Предположим, что для любой неприводимой компоненты $F'$ слоя $F$ группа $\operatorname{Bim}(F')$ жорданова. Предположим также, что образ $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))\subset\operatorname{Bim}(Y)$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ также является жордановой. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то и $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой. Доказательство. Предположим, что группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ не является жордановой. По лемме 2.1 это означает, что группа $\operatorname{Bim}(X)_\alpha$ также не является жордановой. Следовательно, $\operatorname{Bim}(X)_\alpha$ содержит счетное семейство подгрупп $G_i$, $i\in\mathbb {N}$, таких, что минимальные индексы $J_i$ нормальных абелевых подгрупп $G_i$ образуют неограниченную последовательность. С другой стороны, по лемме 3.1 существуют константа $I$, типичный слой $F$ отображения $\alpha$ и неприводимая компонента $F'$ слоя $F$ такие, что каждая группа $G_i$ содержит подгруппу $K_i$ индекса не более $I$, которая может быть вложена в группу $\operatorname{Bim}(F')$. Поскольку $\operatorname{Bim} (F')$ является жордановой группой, то мы приходим к выводу, что минимальный индекс абелевой подгруппы $K_i$ ограничен константой $J$, не зависящей от $i$. Следовательно, минимальный индекс абелевой подгруппы $G_i$ ограничен константой $IJ$ и, следовательно, минимальный индекс нормальной абелевой подгруппы $G_i $ также ограничен. Это противоречит неограниченности индексов $J_i$.
Лемма доказана. Следствие 3.3. Пусть $X$ – трехмерное компактное комплексное многообразие, пусть $Z$ – компактная комплексная поверхность, и пусть $\alpha\colon X\dashrightarrow Z$ – доминантное мероморфное отображение. Предположим, что образ $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))\subset\operatorname{Aut}(Z)$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ является жордановой. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой. Доказательство. Пусть $F$ – типичный слой $\alpha$, и пусть $F'$ – неприводимая компонента $F$. Тогда $F'$ – гладкая проективная кривая. Следовательно, группа $\operatorname{Bim}(F') =\operatorname{Aut}(F')$ жорданова; см. замечание 2.11. Поэтому требуемое утверждение следует из леммы 3.2. Следствие доказано. Следствие 3.4. Пусть $X$ – трехмерное компактное комплексное многообразие с $\varkappa (X) \geqslant 0$, пусть $ B$ – кривая, и пусть $\alpha\colon X\dashrightarrow B$ – доминантное мероморфное отображение. Предположим, что образ $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))\subset\operatorname{Aut}(B)$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ является жордановой. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. Пусть $F$ – типичный слой $\alpha$, и пусть $F'$ – неприводимая компонента $F$. Тогда $\varkappa(F')\geqslant 0$ по лемме 2.9. Следовательно, группа $\operatorname{Bim} (F')$ жорданова по теореме 2.10. Поэтому требуемое утверждение получается из леммы 3.2. Следствие доказано. Следствие 3.5. Пусть $X$ – трехмерное компактное комплексное многообразие с $\varkappa (X) \geqslant 0$, пусть $ A$ – гладкая проективная кривая, и пусть $\alpha\colon X \dashrightarrow A $ – доминантное мероморфное отображение. Предположим, что либо род $A$ равен по крайней мере $2$, либо кривая $A$ является эллиптической, а образ $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))\subset\operatorname{Aut}(A)$ сохраняет непустое конечное подмножество $A$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ является жордановой. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Из предположений мы видим, что группа $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$ конечна. Следовательно, утверждение получается из следствия 3.4. Следствие 3.6. Пусть $X$ – трехмерное компактное кэлерово многообразие с $\varkappa (X) \geqslant 0$, и пусть $\alpha\colon X\dashrightarrow T $ – доминантное мероморфное отображение на двумерный комплексный тор $T$. Предположим, что существует подмногообразие $V\subsetneq T$, инвариантное относительно $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ жорданова. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то эта группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. Напомним, что действие $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$ на $T$ является регулярным согласно предложению 2.6. Если группа $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$ имеет ограниченные конечные подгруппы, то $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ является жордановой согласно следствию 3.3.
Пусть $V_1$ – неприводимая компонента $V$, и пусть $\Gamma_1\subset h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$ – стабилизатор $V_1$. Тогда $\Gamma_1$ – подгруппа конечного индекса в $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))$. Если группа $\Gamma_1 $ действует на $V_1$ с неподвижной точкой, то она имеет ограниченные конечные подгруппы согласно теореме 2.12 (или по теоремам 2.5 и 2.3). Следовательно, $h_\alpha(\operatorname{Bim} (X; \alpha))$ также имеет ограниченные конечные подгруппы. В частности, это относится к случаю, когда многообразие $V_1$ само является точкой. Предположим, что $V_1$ – кривая. Тогда она нерациональна. Если $V_1$ особа, то подгруппа конечного индекса в $\Gamma_1$ действует на $T$ с неподвижной точкой, и поэтому группы $\Gamma_1$ и $h_\alpha(\operatorname{Bim} (X; \alpha))$ имеют ограниченные конечные подгруппы. Таким образом, мы можем предполагать, что кривая $V_1$ является гладкой. Если $\operatorname{g}(V_1)>1$, то группа $\operatorname{Aut}(V_1)$ конечна. Это означает, что подгруппа конечного индекса в $\Gamma_1$ действует на $V_1$ тривиально и, в частности, имеет неподвижную точку. Как и выше, мы приходим к выводу, что $\Gamma_1$ и $h_\alpha(\operatorname{Bim} (X; \alpha))$ в этом случае имеют ограниченные конечные подгруппы. Следовательно, мы можем считать, что $V_1$ – эллиптическая кривая. Рассмотрим фактортор $T_1= T/V_1$, в котором структура группы на $T$ выбрана таким образом, что $V_1$ является подгруппой в $T$ (т.е. нейтральный элемент $T$ содержится в $V_1$). Заметим, что $T_1$ и отображение факторизации $T\to T_1$ не зависят от этого выбора, и, следовательно, отображение $T\to T_1 $ является $\Gamma_1$-эквивариантным. Таким образом, композиция $X \to T\to T_1$ эквивариантна относительно прообраза $\widetilde{\Gamma}_1$ группы $\Gamma_1$ в $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$. Более того, образ $\widetilde{\Gamma}_1$ (или $\Gamma_1$) в $\operatorname{Aut}(T_1)$ сохраняет точку на эллиптической кривой $T_1$. Следовательно, группа $\widetilde {\Gamma}_1$ жорданова согласно следствию 3.5. Поскольку $\widetilde {\Gamma}_1$ имеет конечный индекс в $\operatorname{Bim} (X; \alpha)$, то последняя группа также жорданова. Следствие доказано. Лемма 3.7. Пусть $X$ и $ Y$ – компактные комплексные многообразия, и пусть $\alpha\colon X \dashrightarrow Y $ – доминантное мероморфное отображение. Пусть $F$ – типичный слой $\alpha$. Предположим, что для любой неприводимой компоненты $F'$ слоя $F$ группа $\operatorname{Bim} (F')$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Предположим также, что образ $h_\alpha(\operatorname{Bim}(X;\alpha))\subset\operatorname{Bim}(Y)$ является сильно жордановым. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ жорданова. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то и $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой. Доказательство. Как и в доказательстве леммы 3.2, предположим, что группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ не является жордановой. По лемме 2.2 это означает, что группа $\operatorname{Bim} (X)_\alpha $ имеет неограниченные конечные подгруппы. Другими словами, группа $\operatorname{Bim}(X)_\alpha$ содержит счетное семейство подгрупп $G_i$, $i\in\mathbb{N}$, таких, что порядки $G_i$ неограниченны. С другой стороны, по лемме 3.1 существуют константа $I$, типичный слой $F$ отображения $\alpha$ и неприводимая компонента $F'$ слоя $F$ такие, что каждая группа $G_i$ содержит подгруппу $K_i$ индекса не более $I$, которая может быть вложена в группу $\operatorname{Bim}(F')$. Поскольку $\operatorname{Bim} (F')$ имеет ограниченные конечные подгруппы, то мы видим, что порядки $K_i$ ограниченны. Это противоречит неограниченности порядков групп $G_i$.
Лемма доказана. Лемма 3.7 сразу влечет следующее Следствие 3.8. Пусть $X$ и $ Y$ – компактные комплексные многообразия, и пусть $\alpha\colon X \dashrightarrow Y $ – доминантное мероморфное отображение такое, что типичный слой $\alpha$ конечен. Предположим, что группа $\operatorname{Bim}(Y)$ сильно жорданова. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X;\alpha)$ жорданова. В частности, если при этих предположениях отображение $\alpha$ эквивариантно относительно всей группы $\operatorname{Bim}(X)$, то и $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой. § 4. ПсевдоавтоморфизмыВ этом параграфе мы рассмотрим группы псевдоавтоморфизмов гладких компактных кэлеровых многообразий и установим свойство Жордана для групп бимероморфных преобразований трехмерных компактных кэлеровых многообразий нулевой кодаировой размерности. Напомним, что собственное биголоморфное отображение $f\colon X\dashrightarrow X$ компактного комплексного многообразия $X$ называется псевдоавтоморфизм, если существуют непустые открытые по Зарисскому подмножества $U_1,U_2 \subset X$ такие, что $\operatorname{codim}_X(X\setminus U_i)\geqslant 2$ и $f$ ограничивается изоморфизмом Псевдоавтоморфизмы $X$ образуют подгруппу в $\operatorname{Bim}(X)$, которую мы обозначаем через $\operatorname{PAut}(X)$.Лемма 4.1 (лемма об отрицательности [26; п. 1.1], [27; лемма 1.3]). Пусть $f\colon \widetilde V \to V $ – собственный бимероморфный морфизм между нормальными комплексными многообразиями. Пусть $D$ – дивизор Картье на $\widetilde V$ такой, что $-D$ $f$-численно эффективен. Тогда $D$ является эффективным тогда и только тогда, когда эффективным является $f_*D$. Следующее утверждение хорошо известно специалистам (см., например, [28; лемма 4.3]). Мы приводим его доказательство для удобства читателя. Лемма 4.2. Пусть $\chi\colon X\dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение компактных комплексных многообразий с терминальными особенностями такое, что класс $\boldsymbol{\omega}_{X'}$ численно эффективен. Тогда $\chi^{-1}$ не стягивает дивизоров. Доказательство. По определению терминальных особенностей для достаточно делимого положительного целого числа $m$ пучки $\boldsymbol{\omega}_X^{[m]}$ и $\boldsymbol{\omega}_{X'}^{[m]}$ обратимы. Пусть – общее разрешение, т.е. коммутативная диаграмма, где $Y$ – гладкое компактное комплексное многообразие, а $ p $ и $ q$ – собственные бимероморфные морфизмы. Делая дополнительные раздутия, если это необходимо, мы можем считать, что исключительные множества $\operatorname{Exc} (p)$ и $\operatorname{Exc} (q)$ имеют чистую коразмерность $1$. Положим $\Upsilon_p=p(\operatorname{Exc}(p))$ и $\Upsilon_q=q(\operatorname{Exc}(q))$. Тогда $p$ индуцирует изоморфизм открытых подмножеств $Y\setminus\operatorname{Exc}(p)$ и $X\setminus \Upsilon_p$; аналогично, $q$ индуцирует изоморфизм $Y\setminus\operatorname{Exc}(q)$ и $X'\setminus \Upsilon_q$. Это показывает, что мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{\omega}_Y^{\otimes m} &\cong p^*(\boldsymbol{\omega}_X^{[m]})\otimes \mathscr{O}_Y\Bigl(m\Bigl(\sum a_i E_i +\sum b_j F_j\Bigr)\Bigr) \\ &\cong q^*(\boldsymbol{\omega}_{X'}^{[m]}) \otimes\mathscr{O}_Y\Bigl(m\Bigl(\sum c_iE_i +\sum d_k G_k\Bigr)\Bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_i$ (соответственно $F_j$; соответственно $G_k$) являются исключительными дивизорами относительно как $p$, так и $q$ (соответственно $p$-исключительными, но не $q$-исключительными; соответственно $q$-исключительными, но не $p$-исключительными). Таким образом, ни один из трех дивизоров $\sum E_i$, $\sum F_j$ и $\sum G_k$ не имеет общих неприводимых компонент ни с одним из двух других. Поскольку $X$ и $X'$ имеют только терминальные особенности, то рациональные числа $a_i$, $b_j$, $c_i$ и $d_k$ строго положительны.
Рассмотрим дивизор Картье
$$
\begin{equation*}
D= m\Bigl(\sum (c_i-a_i) E_i+\sum d_k G_k-\sum b_j F_j\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что прямой образ $p_* D$ эффективен. Так как
$$
\begin{equation*}
\mathscr{O}_Y(-D)\cong q^* \boldsymbol{\omega}_{X'}^{[m]}\otimes p^*\boldsymbol{\omega}_X^{[-m]},
\end{equation*}
\notag
$$
то мы видим, что дивизор $-D$ $p$-численно эффективен. Таким образом, $D$ эффективен по лемме 4.1. Следовательно, мы имеем $\sum F_j =0$, т.е. отображение $\chi^{-1}$ не стягивает никаких дивизоров.
Лемма доказана. Следствие 4.3. Пусть $X$ – компактное комплексное многообразие с терминальными особенностями такое, что класс $\boldsymbol{\omega}_X$ численно эффективен. Тогда $\operatorname{Bim}(X)$ действует на $X$ псевдоавтоморфизмами. Следующий результат принадлежит А. Фуджики. Теорема 4.4 (см. [17; следствие 3.3]). Пусть $X$ – гладкое компактное кэлерово многообразие, а $g$ – его псевдоавтоморфизм. Предположим, что для кэлерова класса $\alpha$ на $X$ его прямой образ $g_* \alpha $ снова равен кэлерову классу. Тогда $g^{-1}$ – морфизм. Теорема 4.4 позволяет изучать группу псевдоавтоморфизмов гладких компактных кэлеровых многообразий. Предложение 4.5. Пусть $X$ – гладкое компактное кэлерово многообразие. Тогда группа его псевдоавтоморфизмов жорданова. Доказательство. Группа $\operatorname{PAut}(X)$ естественным образом действует на $H^2(X,\mathbb{Z})$. Пусть $\operatorname{PAut}'(X)$ – ядро этого действия. Тогда $\operatorname{PAut}'(X)$ сохраняет кэлеров класс. По теореме 4.4 группа $\operatorname{PAut}'(X)$ состоит из биголоморфных автоморфизмов. Следовательно, группа $\operatorname{PAut}'(X)$ является жордановой по теореме 1.2. С другой стороны, коэффициент $\operatorname {PAut}(X) /\operatorname {PAut}'(X)$ действует точно на конечно порожденной абелевой группе $H^2 (X, \mathbb{Z})$ и, таким образом, имеет ограниченные конечные подгруппы согласно следствию 2.4. Следовательно, группа $\operatorname{PAut}(X)$ жорданова по лемме 2.1.
Предложение доказано. Замечание 4.6. В работе [17] теорема 4.4 доказана только для гладких многообразий. Мы не знаем, можно ли обобщить этот результат и, следовательно, предложение 4.5 на случай особых кэлеровых многообразий. Применяя предложение 4.5 вместе со следствием 4.3, мы получаем Следствие 4.7. Пусть $X$ – гладкое компактное кэлерово многообразие такое, что класс $\boldsymbol{\omega}_X$ численно эффективен. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. § 5. Отображение АльбанезеВ этом параграфе мы собираем информацию об отображениях Альбанезе гладких компактных комплексных многообразий. Пусть $X$ – гладкое компактное комплексное многообразие. Мы обозначаем через морфизм Альбанезе $X$; см. [19; определение 9.6]. Отображение $\boldsymbol{\alpha}$ обладает следующим универсальным свойством. Если $\zeta\colon X \to T$ – морфизм в произвольный комплексный тор $T$, то существует единственный гомоморфизм комплексных торов $\xi\colon \operatorname{Alb}(X) \to T$, который встраивается в коммутативную диаграммуЗамечание 5.1. Морфизм Альбанезе также корректно определен (и обладает вышеуказанным универсальным свойством) для компактных комплексных многообразий с рациональными особенностями; см. [24; теорема 3.3, замечание 3.4]. Следующее утверждение хорошо известно специалистам, но мы приводим его доказательство для удобства читателя. Мы будем использовать его несколько раз ниже без подробных ссылок. Предложение 5.2. Пусть $X$ – гладкое компактное комплексное многообразие. Существует естественное бирегулярное действие группы $\operatorname{Bim} (X)$ на $\operatorname{Alb} (X)$ такое, что морфизм $\boldsymbol{\alpha}$ эквивариантен. Доказательство. Пусть $\varphi\colon X\dashrightarrow X$ – произвольное бимероморфное отображение. Композиция $\boldsymbol{\alpha} \mathbin{\circ}\,\varphi$ голоморфна согласно предложению 2.6. Согласно универсальному свойству $\boldsymbol{\alpha}$ существуют единственный сдвиг
$$
\begin{equation*}
\mathrm{t}_a\colon \operatorname{Alb}(X) \to \operatorname{Alb}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
на элемент $a\in \operatorname{Alb}(X)$ и единственный гомоморфизм комплексных торов
$$
\begin{equation*}
\psi\colon \operatorname{Alb}(X) \to\operatorname{Alb}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}\mathbin{\circ} \varphi= \mathrm{t}_a\mathbin{\circ} \psi \mathbin{\circ}\boldsymbol{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, существует единственный морфизм абстрактных многообразий
$$
\begin{equation*}
\theta_{\varphi}= \mathrm{t}_a\mathbin{\circ} \psi\colon \operatorname{Alb}(X) \to\operatorname{Alb}(X),
\end{equation*}
\notag
$$
который соответствует следующей коммутативной диаграмме: Легко видеть, что это соответствие является функториальным: для любых двух бимероморфных отображений $\varphi'\colon X\dashrightarrow X$ и $\varphi''\colon X\dashrightarrow X$ мы имеем В частности, соответствие $\varphi \longmapsto \theta_{\varphi}$ определяет групповой гомоморфизм Замечание 5.3. Если $X$ является нормальным компактным комплексным многообразием с рациональными особенностями и $\operatorname{q} (X) = 1 $, то слои отображения Альбанезе $\boldsymbol{\alpha}\colon X\to A=\operatorname{Alb}(X)$ связны. Действительно, в противном случае $\boldsymbol{\alpha}$ допускает нетривиальную факторизацию Штейна Пусть $\beta$ – композиция $\boldsymbol{\alpha}'$ с вложением кривой $A'$ в ее якобиан $J(A')$. Тогда отображение $\beta\colon X\to J(A')$ должно пропускаться через $\boldsymbol{\alpha}$ по универсальному свойству отображений Альбанезе, что, очевидно, невозможно. Напомним, что компактное комплексное подмногообразие $Y$ комплексного тора $T$ порождает $T$, если для некоторого целого положительного числа $n$ каждая точка $T$ может быть представлена в виде суммы $n$ точек $Y$; см. [19; определение 9.13]. Например, собственный подтор $T$ (содержащий нейтральный элемент группы $T$) не порождает $T$. Предложение 5.4. Пусть $T$ – комплексный тор, а $Y\subset T$ – компактное комплексное подмногообразие. Тогда существует канонически определенное расслоение $ Y \to Z$, типичным слоем которого является подтор $T_1 \subset T $, а база $Z$ является (возможно, особым) компактным комплексным многообразием таким, что $\dim(Z)=\varkappa(Z)$. Более того, $Z$ – точка тогда и только тогда, когда $Y$ является сдвигом подтора $T_1\subset T$. Для доказательства нужно взять максимальный подтор $T_1\subset T$ такой, что многообразие $Y$ инвариантно относительно сдвигов на элементы $T_1$ и положить $Z =Y / T_1$. Подробнее см. теорему 10.9 в [19] и ее доказательство. Лемма 5.5. Пусть $X$ – трехмерное гладкое компактное комплексное многообразие с $\varkappa(X)\geqslant 0$. Предположим, что отображение $\boldsymbol{\alpha}$ не является сюръективным. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. Пусть $Y=\boldsymbol{\alpha}(X)\subsetneq\operatorname{Alb}(X)$. По предложению 5.4 существует канонически определенное расслоение где $\dim(Z)=\varkappa(Z)$. Группа $\operatorname{Bim} (Z)$ конечна по теореме 2.8. Напомним, что $Y$ порождает $\operatorname{Alb}(X)$; см. [19; лемма 9.14]. Поскольку $Y$ содержит нейтральный элемент группы $\operatorname{Alb}(X)$, это означает, что он не содержится в соответствующем подторе $\operatorname{Alb}(X)$. Следовательно, $Z$ не является точкой согласно предложению 5.4.
Далее, имеется морфизм
$$
\begin{equation*}
\lambda=\gamma\mathbin{\circ}\boldsymbol{\alpha}\colon X \to Z,
\end{equation*}
\notag
$$
который является эквивариантным относительно группы $\operatorname{Bim}(X)$. Пусть $F$ – типичный слой $\lambda$, а $F'$ – его компонента связности. Тогда $F'$ является гладким компактным комплексным гладким многообразием размерности не более $2$ и $\varkappa (F') \geqslant 0$ по лемме 2.9. Таким образом, группа $\operatorname{Bim} (F')$ жорданова по теореме 2.10 и замечанию 2.11. Следовательно, группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова по лемме 3.2.
Лемма доказана. Следствие 5.6. Пусть $X$ – трехмерное гладкое компактное комплексное многообразие с $\varkappa(X)\geqslant 0$. Предположим, что группа $\operatorname{Bim}(X)$ не является жордановой. Тогда $\dim(\operatorname{Alb}(X))<\dim(X)$. В частности, если $X$ кэлерово, то $\operatorname{q}(X)<\dim(X)$. Доказательство. Из леммы 5.5 следует, что морфизм $\boldsymbol{\alpha} $ является сюръективным. В частности, это влечет, что $\dim(\operatorname{Alb}(X))\leqslant \dim(X)$. Предположим, что $\dim(\operatorname{Alb}(X))=\dim(X)$. Тогда типичный слой $\boldsymbol{\alpha}$ конечен. Применяя следствия 3.8 и 2.7, мы получаем, что группа $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой, а это не так по нашему предположению.
Если $X$ – гладкое компактное кэлерово многообразие, то $\dim(\operatorname{Alb}(X))=\operatorname{q}(X)$. Следствие доказано. § 6. Множества неопределенностиВ этом параграфе мы делаем некоторые замечания относительно множеств неопределенности бимероморфных отображений трехмерных компактных комплексных многообразий. Лемма 6.1. Пусть $X$ – нормальное трехмерное компактное комплексное многообразие, а $\chi\colon X\dashrightarrow X$ – псевдоавтоморфизм. Пусть $\beta\colon X\to Z$ – морфизм на кривую $Z$ такой, что $\chi$ отображает слои $\beta $ снова в слои $\beta $. Тогда множество неопределенности $\operatorname{Ind}(\chi)$ содержится в конечном наборе слоев $\beta$. Доказательство. Предположим противное, т.е. существует неприводимая кривая $C\subset\operatorname{Ind}(\chi)$, доминирующая $Z$. Пусть $\widetilde Y$ – нормализация графика $\chi$. Таким образом, имеется коммутативная диаграмма Поскольку отображение $\chi$ не определено в типичной точке $C$, существует двумерная компонента $E$ $p$-исключительного множества, доминирующая $ C$. Поскольку отображение $\widetilde Y\to X\times X$ является конечным на свой образ, никакие кривые на $\widetilde Y$ не стягиваются обоими отображениями, $ p$ и $ q$. Следовательно, $C'=q(E)$ – кривая и типичный слой $\Gamma$ морфизма $q_E\colon E\to C'$ доминирует $C$. Таким образом, $\Gamma$ пересекает собственный прообраз $\widetilde F$ любого слоя $F=\beta^{-1}(z)$, и поэтому $q(\widetilde F)$ содержит $C'$. Другими словами, $C'$ содержится в каждом слое $\beta$, что приводит к противоречию.
Лемма доказана. Следующее предложение является относительным аналогом хорошо известного утверждения о разложении некоторых отображений на флопы; см., например, [28; теорема 4.9]. Доказательство в нашем случае следует той же схеме. Мы изложим его в общих чертах для удобства читателя. Предложение 6.2. Пусть $f\colon X \to S$ и $f'\colon X'\to S$ – собственные морфизмы с одномерными слоями, где $X$ и $X'$ – трехмерные кэлеровы многообразия с терминальными $\mathbb{Q}$-факторными особенностями, а $S$ – гладкая поверхность. Предположим, что оба дивизора, $K_X$ и $K_{X'}$, численно эффективны над $S$. Пусть $\chi\colon X\dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение такое, что оно является изоморфизмом в коразмерности $1$, а множества неопределенности $\operatorname{Ind}(\chi)$ и $\operatorname{Ind}(\chi^{-1})$ содержатся в конечном наборе слоев морфизмов $f$ и $f'$ соответственно. Предположим, что имеется коммутативная диаграмма где $\zeta$ – бимероморфное отображение $S$. Тогда $\zeta $ – изоморфизм, а $\chi$ – композиция флопов в кривых, которые содержатся в конечном наборе слоев над $S$. Набросок доказательства. По предположению $\chi$ является автоморфизмом вне конечного объединения слоев $ f $. Это означает, что $\zeta $ индуцирует автоморфизм гладкого открытого подмножества $ S^{\mathrm{o}} \subset S $, которое является дополнением к конечному подмножеству $ S $. Следовательно, по теореме продолжения Хартогса $\zeta$ является изоморфизмом на всем $ S $. Чтобы доказать, что $\chi$ – композиция флопов в кривых, стягиваемых $f$, мы можем считать, что $S$ – малая аналитическая окрестность точки $s \in S$. Таким образом, мы можем считать, что $ f'$ является проективным морфизмом, поскольку он имеет одномерные слои. Другими словами, существует дивизор $D'$ на $X'$, который очень обилен над $S$: можно взять в качестве $D'$ объединение дисков, пересекающих слой $f'^{-1}(s)$ трансверсально. Аналогично, мы можем считать, что морфизм $f$ также проективен. Пусть $D\subset X$ – собственный прообраз $D'$. Для малого положительного числа $\varepsilon$ применим $(K_X+\varepsilon D)$-ПММ над $S$. Это возможно, потому что $f$ является проективным; см. [29; § 4]. Каждый шаг этой ПММ – флоп, а в результате перестроек мы получим $X'$. Следствие 6.3. В обозначениях предложения 6.2 положим $\Theta\,{=}\,f(\operatorname{Sing}(X))$. Тогда $\zeta(\Theta)=\Theta$. Действительно, флопы сохраняют аналитические типы особенностей соответствующего многообразия; см. [28; теорема 2.4]. Таким образом, требуемое утверждение следует из предложения 6.2. Хорошо известен следующий факт. Лемма 6.4 (см., например, [30; лемма 1.8]). Пусть $X$ – трехмерное компактное комплексное многообразие с не хуже чем терминальными особенностями, и пусть $\chi\colon X\dashrightarrow X$ – псевдоавтоморфизм. Тогда любая неприводимая компонента множества неопределенности $\operatorname{Ind}(\chi)$ является рациональной кривой. § 7. Подробнее о компактных комплексных поверхностяхВ этом параграфе мы сделаем некоторые дополнительные наблюдения над компактными комплексными поверхностями и их группами автоморфизмов. Лемма 7.1. Пусть $S$ – гладкая компактная кэлерова поверхность с $0 \leqslant \varkappa (S) \leqslant 1$ и $\operatorname{q}(S)>0$. Тогда $\chi_{\mathrm{top}}(S)=0$ тогда и только тогда, когда $S$ не содержит рациональных кривых. Доказательство. Мы можем считать, что поверхность $S$ минимальна. Действительно, согласно классификации Энрикеса–Кодаиры (см., например, [31; гл. VI, § 1]) каждая минимальная поверхность неотрицательной кодаировой размерности имеет неотрицательную топологическую эйлерову характеристику. Таким образом, любая неминимальная компактная комплексная поверхность неотрицательной кодаировой размерности имеет положительную топологическую эйлерову характеристику (и содержит рациональные кривые).
Предположим, что $\varkappa(S)=0$. Поскольку $\operatorname{q} (S) > 0$, то мы приходим к выводу, что $ S $ является либо комплексным тором, либо биэллиптической поверхностью. В обоих этих случаях $\chi_{\mathrm{top}}(S) =0$ и $S$ не содержит рациональных кривых. Предположим, что $\varkappa(S)=1$. Пусть $\boldsymbol{\pi}\colon S \to B$ – плюриканоническое отображение; таким образом, $\boldsymbol{\pi} $ – эллиптическое расслоение над кривой $ B$. Если род есть $\operatorname{g}(B)>0$, то все рациональные кривые на $S$ содержатся в конечном наборе слоев $\boldsymbol{\pi}$, а $\chi_{\mathrm{top}}(S)=\sum\chi_{\mathrm{top}}(F_i)$, где $F_i$ – вырожденные слои. Очевидно, что $\chi_{\mathrm{top}} (S)> 0$ тогда и только тогда, когда $\boldsymbol{\pi} $ имеет слой, который не является эллиптической кривой. Такой слой является объединением рациональных кривых. Предположим, что $B\cong \mathbb{P}^1$. Мы собираемся показать, что в этом случае $\chi_{\mathrm{top}}(S) = 0$ и $ S$ не содержит рациональных кривых. Действительно, отображение Альбанезе $\boldsymbol{\alpha}\colon S\to A$ не может быть постоянным на слоях $\boldsymbol{\pi} $, потому что в противном случае оно будет пропускаться через отображение Альбанезе для $\mathbb{P}^1$, что невозможно, поскольку $\operatorname{q}(S)>0$. Следовательно, любой слой $S_b $, $b \in B$, отображения $\boldsymbol{\pi}$ не содержит рациональных кривых; другими словами, он имеет тип ${}_m\mathrm{I}_0$ в классификации Кодаиры вырожденных слоев эллиптических расслоений (см., например, [31; гл. V, § 7]). Поэтому мы имеем
$$
\begin{equation*}
\chi_{\mathrm{top}}(S)=\sum_{b\in B}\chi_{\mathrm{top}}(S_b)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что $\operatorname{q}(S)=1$. Действительно, для типичного слоя $S_o$ отображения $\boldsymbol{\pi}$ образ $\boldsymbol{\alpha} (S_o)$ представляет собой эллиптическую кривую на $ A$. Рассмотрим отображение факторизации $A\to A'=A/\boldsymbol{\alpha}(S_o)$. Образ $\boldsymbol{\alpha}(S_o)$ является точкой в $A'$, и поэтому для любого слоя $S_b$ отображения $\boldsymbol{\pi}$ образ $\boldsymbol{\alpha}(S_b)$ на $A'$ также является точкой. Таким образом, образ $\boldsymbol{\alpha} (S)$ в $A'$ является кривой, которая доминируется (рациональной) базой расслоения $\boldsymbol{\pi}$. Поскольку $A'$ не содержит рациональных кривых, мы приходим к выводу, что образ $\boldsymbol{\alpha} (S)$ на $A'$ является точкой. Поэтому $\boldsymbol{\alpha}(S)=\boldsymbol{\alpha}(S_o)=A$. Следовательно, $A$ представляет собой эллиптическую кривую, а $\boldsymbol{\alpha}$ имеет связные слои; см. замечание 5.3. Поскольку $S$ – кэлерова поверхность, то $\operatorname{b}_1(S) =\operatorname{b}_3(S)=2\operatorname{q}(S)$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{b}_2(S)=\chi_{\mathrm{top}}(S)-2+4\operatorname{q}(S)=2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, все слои $\boldsymbol{\alpha}$ неприводимы.
Пусть $F_1, \dots, F_r$ – все особые слои $\boldsymbol{\alpha}$, пусть $m_1, \dots, m_r$ – их кратности, и пусть $F$ – типичный слой $\boldsymbol{\alpha}$. Таким образом, $F$ численно эквивалентен $m_iF_i$, а $\chi_{\mathrm{top}}(F)=2-2\operatorname{g}(F)=-K_S\cdot F$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\chi_{\mathrm{top}}(F_i)\geqslant 2-2\operatorname{p}_{\mathrm{a}}(F_i)=-K_S\cdot F_i=-\frac{1}{m_i}K_S\cdot F.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы имеем
$$
\begin{equation*}
0=\chi_{\mathrm{top}}(S)=\sum_{i}\bigl(\chi_{\mathrm{top}}(F_i)-\chi_{\mathrm{top}}(F)\bigr)\geqslant K_S\cdot F \cdot \sum_{i} \biggl(1-\frac 1{m_i}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $S$ не покрывается рациональными кривыми, то $K_S\cdot F>0$. Это показывает, что $m_i=1$ и $\chi_{\mathrm{top}}(F_i)= 2-2\operatorname{p}_{\mathrm{a}}(F_i)$ для всех $i$. Следовательно, $\boldsymbol{\alpha}$ является гладким морфизмом. Далее, если $S$ содержит рациональную кривую $C$, то $C$ должна быть (гладким) слоем $\boldsymbol{\alpha}$. Но тогда
$$
\begin{equation*}
-2=2\operatorname{g}(C)-2=K_S\cdot C=K_S\cdot F\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
что дает противоречие.
Лемма 7.1 доказана. Следующий результат был доказан в [25]. Предложение 7.2 (см. [25; следствие 4.1]). Пусть $S$ – компактная кэлерова поверхность с $\varkappa(S)\geqslant 0$. Предположим, что группа $\operatorname{Bim}(S)$ имеет неограниченные конечные подгруппы. Тогда либо $\varkappa (S) =1$, либо $S$ бимероморфна комплексному тору или биэллиптической поверхности. Следующий факт является версией предложения 7.2 для групп автоморфизмов. Предложение 7.3. Пусть $S$ – минимальная компактная кэлерова поверхность с $\varkappa(S) \geqslant 0$. Предположим, что группа $\operatorname{Aut} (S)$ имеет неограниченные конечные подгруппы. Тогда $\operatorname{q}(S)>0$ и $\chi_{\mathrm{top}}(S)=0$. Более того, $S$ – либо комплексный тор, либо биэллиптическая поверхность, либо поверхность с $\varkappa (S)=1$. Доказательство. Имеем $\varkappa (S) <2$ по теореме 2.8. Если $\varkappa (S) = 0 $, то по предложению 7.2 поверхность $ S$ является либо комплексным тором, либо биэллиптической поверхностью. В обоих этих случаях требуемые утверждения, очевидно, справедливы.
Предположим, что $\varkappa(S)=1$. Пусть $\boldsymbol{\pi}\colon S\to B$ – плюриканоническое расслоение. Если слой $S_b=\boldsymbol{\pi}^{-1}(b)$ морфизма $\boldsymbol{\pi}$ над некоторой точкой $b\in B$ не имеет типа ${}_m\mathrm{I}_0$, то подгруппа $\Gamma\subset \operatorname{Aut}(S)$ конечного индекса оставляет неподвижной особую точку $F_{\mathrm{red}}$. Поскольку поверхность $S$ кэлерова, то это влечет, что $\operatorname{Aut} (S)$ имеет ограниченные конечные подгруппы по теореме 2.12. Таким образом, мы можем считать, что все слои $\boldsymbol{\pi}$ имеют тип ${}_m\mathrm{I}_0$. Следовательно, $\chi_{\mathrm{top}}(S)=0$. По формуле Нётера это дает $\chi(\mathscr{O}_S)=0$, отсюда $\operatorname{q}(S)=1+\operatorname{p}_{\mathrm{g}}(S)>0$. Предложение доказано. § 8. Доказательство основной теоремыВ этом параграфе мы завершаем доказательство теоремы 1.3. Лемма 8.1. Пусть $X$ – трехмерное компактное кэлерово многообразие с $\varkappa(X) \geqslant 0$. Предположим, что существует доминантное $\operatorname{Bim} (X)$-эквивариантное мероморфное отображение $f\colon X\dashrightarrow Z$ на гладкую проективную кривую $Z$ положительного рода. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. Применяя ПММ к $X$, мы можем считать, что $X$ имеет в худшем случае терминальные $\mathbb{Q}$-факториальные особенности, а класс $\boldsymbol{\omega}_X$ численно эффективен. Поскольку кривая $Z$ не является рациональной, то отображение $f$ голоморфно: в противном случае его композиция с вложением кривой $Z$ в ее якобиан является неголоморфным отображением на комплексный тор, что невозможно по предложению 2.6. Применяя факторизацию Штейна, мы можем считать, что слои $ f$ связны. Таким образом, любой гладкий слой $F$ морфизма $f$ является минимальной поверхностью неотрицательной кодаировой размерности; в частности, мы имеем $\operatorname{Bim}(F) = \operatorname{Aut}(F)$. Заметим также, что группа $\operatorname{Bim} (X)$ действует на $Z$ автоморфизмами.
Предположим, что $\operatorname{Bim}(X)$ не является жордановой. Тогда из леммы 3.7 и замечания 2.11 следует, что для типичного слоя $F$ морфизма $f$ группа $\operatorname{Aut}(F)$ имеет неограниченные конечные подгруппы. Следовательно, по предложению 7.3 получаем $0\leqslant \varkappa(F)\leqslant 1$, $\chi_{\mathrm{top}}(F)=0$ и $\operatorname{q}(F)>0$. Напомним, что топологическая эйлерова характеристика постоянна на гладких семействах компактных многообразий. Следовательно, для любого гладкого слоя $F$ морфизма $f$ мы имеем $\chi_{\mathrm{top}}(F)=0$. Кроме того, поскольку иррегулярность компактной комплексной поверхности однозначно определяется первым числом Бетти (см., например, [31; гл. IV, теорема 2.7]), она также постоянна на гладких семействах. Поэтому $\operatorname{q} (F)> 0$. Кроме того, мы видим, что $\varkappa(F)\geqslant 0$ по формуле присоединения и $K_F^2=0$, так что $\varkappa(F)\leqslant 1$. Это означает, что любой гладкий слой $f$ не содержит рациональных кривых по лемме 7.1. Пусть $F$ – гладкий слой $f$, и пусть $\gamma\in \operatorname{Bim}(X)$ – произвольный элемент. По лемме 6.4 любая неприводимая компонента $C$ множества неопределенности $\operatorname{Ind}(\gamma)$ является рациональной кривой. Поскольку $\operatorname{g}(Z)>0$, кривая $C$ не может доминировать $Z$. С другой стороны, мы уже знаем, что $C\not\subset F$. Следовательно, $ C$ не пересекается с $F$, т.е. отображение $\gamma $ голоморфно вблизи $F$. Тогда $\gamma (F)$ также не содержит рациональных кривых, и поэтому $\gamma^{-1} $ голоморфно вблизи $\gamma(F)$. Это означает, что $\gamma $ является изоморфизмом вблизи $F $. Следовательно, $\gamma (F)$ является гладким слоем, т.е. любой элемент $\gamma \in \operatorname{Bim} (X)$ отображает гладкие слои на гладкие слои (и наоборот, отображает особые слои на особые слои). Далее, пусть $F_1, \dots, F_r$, $r \geqslant 0$, – все особые слои $f$. Тогда $\operatorname{Bim}(X)$ действует биголоморфно на дополнении $X\setminus \bigcup F_i$. Если $r = 0$, то $\operatorname{Bim} (X)$ действует на всем многообразии $X$ автоморфизмами. В этом случае группа $\operatorname{Bim}(X)=\operatorname{Aut}(X)$ жорданова по теореме 1.2. Если $r>0$, то $\operatorname{Bim}(X)$ переставляет точки $f(F_1),\dots,f(F_r)$. Следовательно, $\operatorname{Bim} (X)$ жорданова согласно следствию 3.5. Лемма доказана. Лемма 8.2. Пусть $X$ – трехмерное компактное кэлерово многообразие с $\varkappa(X) \geqslant 0$. Предположим, что существует доминантное $\operatorname{Bim} (X)$-эквивариантное мероморфное отображение $f\colon X\dashrightarrow Z$ на компактную комплексную поверхность $Z$ с $\varkappa(Z) \geqslant 0$. Тогда $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. Применив ПММ, мы можем считать, что особенности $X$ в худшем случае являются терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными, а класс $\boldsymbol{\omega}_X$ численно эффективен. Тогда $\operatorname{Bim}(X)$ действует на $X$ псевдоавтоморфизмами; см. следствие 4.3. Кроме того, мы можем считать, что поверхность $Z$ минимальна. Тогда индуцированное действие $\operatorname{Bim}(X)$ на $Z$ является биголоморфным. Мы можем также считать, что группа $\operatorname{Aut} (Z)$ имеет неограниченные конечные подгруппы, потому что в противном случае $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова согласно следствию 3.3. Заметим, что поверхность $Z$ кэлерова согласно [32; теорема 5]. Таким образом, из предложения 7.3 следует, что $Z$ – либо комплексный тор, либо биэллиптическая поверхность, либо поверхность с $\varkappa(Z)=1$.
Предположим, что $\varkappa(Z)=1$. Пусть $\psi\colon X\dashrightarrow B$ – композиция $ f$ с плюриканоническим расслоением $Z\to B$. Образ группы $\operatorname{Bim}(X)$ в группе $\operatorname{Aut}(B)$ конечен; см. [25; предложение 1.2]. Следовательно, группа $\operatorname{Bim} (X)$ жорданова согласно следствию 3.4. Те же аргументы можно применить, если $Z$ является биэллиптической поверхностью: в этом случае существует $\operatorname{Aut} (Z)$-эквивариантное эллиптическое расслоение $Z\to \mathbb{P}^1$ (см. [31; гл. V, § 5]) и по формуле Кодаиры для канонического расслоения (см. [31; гл. V, теорема 12.1]) оно имеет три или четыре кратных слоя. Следовательно, образ $\operatorname{Bim}(X)$ в $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^1)$ конечен, а группа $\operatorname{Bim} (X)$ снова является жордановой. Наконец, предположим, что $Z$ – комплексный тор, а группа $\operatorname{Bim} (X)$ не является жордановой. Отображение $f$ в этом случае голоморфно; см. предложение 2.6. Предположим, что $f$ имеет двумерный слой. Обозначим через $\Sigma$ образ при отображении $f$ объединения всех двумерных слоев $f$. Тогда $\Sigma$ является конечным непустым подмножеством в $Z$. Поскольку псевдоавтоморфизм не может стягивать двумерных слоев, то мы приходим к выводу, что множество $\Sigma$ инвариантно относительно действия образа $\operatorname{Bim}(X)$ на $Z$. Таким образом, группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова согласно следствию 3.6. Наконец, предположим, что все слои $f$ одномерны. По лемме 6.1 множество неопределенности каждого бимероморфного отображения $X$ содержится в конечном наборе слоев $f$. Следовательно, из следствия 6.3 получается, что группа $\operatorname{Bim} (X)$ сохраняет образ особого множества $X$ на $Z$. Таким образом, $\operatorname{Bim} (X)$ сохраняет образ $\operatorname{Sing} (X)$ на $Z$, который по предположению является конечным непустым подмножеством $Z$. Опять же по следствию 3.6 это означает, что группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Лемма доказана. Теперь мы готовы доказать теорему 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Пусть $\boldsymbol{\alpha}\colon X\to A$ – отображение Альбанезе. Согласно следствию 5.6 мы можем считать, что $\operatorname{q} (X) \leqslant 2 $, а по лемме 5.5 мы можем считать, что $\boldsymbol{\alpha} $ является сюръективным. Теперь утверждение теоремы получается из леммы 8.1, если $\operatorname{q}(X) =1$, и леммы 8.2, если $\operatorname{q}(X) =2$.
Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ProShr22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|