| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболических полициклов А. В. Дуков Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9747e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $\mathcal{M}$ – бесконечно гладкое двумерное ориентируемое многообразие. Обозначим через $\operatorname{Vect}^{\infty}(\mathcal{M})$ пространство бесконечно гладких векторных полей на многообразии $\mathcal{M}$. Определение 1. Полициклом векторного поля называется любой конечный ориентируемый граф $\Gamma$, удовлетворяющий следующим требованиям: – вершинами графа $\Gamma$ являются особые точки поля; – ребрами графа $\Gamma$ являются фазовые кривые поля, не являющиеся особыми точками; ориентация задается временем; – граф $\Gamma$ эйлеров (существует цикл, обходящий каждое ребро по одному разу). Определение 2. Коразмерностью полицикла $\gamma$ поля $v_0$ называется коразмерность банахова подмногообразия пространства $\operatorname{Vect}^\infty(\mathcal{M})$, образованного близкими к $v_0$ полями с полициклом $\gamma$. Пусть поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^\infty(\mathcal{M})$ имеет некоторый полицикл $\gamma$. Рассмотрим $k$-параметрическое семейство $V=\{v_\delta\}$, $\delta\in B=(\mathbb{R}^k, 0)$, возмущающее поле $v_0$. Напомним, что предельный цикл имеет кратность $m$, если росток отображения Пуанкаре вдоль этого цикла (см. п. 2.1) имеет неподвижную точку кратности $m$. Определение 3. Будем говорить, что при разрушении полицикла $\gamma$ поля $v_0$ в семействе $V$ рождается предельный цикл (кратности $m$), если существует такая стремящаяся к нулю (которому соответствует поле $v_0$) последовательность значений параметров $\{\delta_\alpha\}_{\alpha \in \mathbb{N}}$, что для любого $\alpha$ поле $v_{\delta_\alpha}$ имеет предельный цикл $\operatorname{LC}(\delta_\alpha)$ (кратности $m$), причем последовательность предельных циклов $\operatorname{LC}(\delta_\alpha)$ при $\delta_\alpha \to 0$ стремится в метрике Хаусдорфа к полициклу $\gamma$. Определение 4. Пусть полицикл $\gamma$ поля $v_0$ возмущается внутри конечно параметрического семейства $V=\{v_\delta\}$, $\delta\in B=(\mathbb{R}^k, 0)$. Пусть $\mu$ – минимальное из всех таких чисел, при которых существуют такие окрестности $U$ и $W$, что $\gamma \subset U$, $0 \in W \subset B$ и для любого $\delta \in W$ поле $v_\delta$ имеет не более $\mu$ предельных циклов внутри окрестности $U$. Тогда число $\mu$ называется цикличностью полицикла $\gamma$ в семействе $V$. Обращаем внимание, что в определении цикличности учитываются не только те предельные циклы, которые рождаются из всего полицикла $\gamma$, но и из меньших полициклов, т.е. из тех, что являются подграфами полицикла $\gamma$ в смысле определения 1. Определение 5. Полицикл называется элементарным, если он образован лишь элементарными особыми точками, т.е. только особыми точками с хотя бы одним ненулевым собственным значением. Максимальная цикличность, которую может иметь нетривиальный (отличный от особой точки) элементарный полицикл, возмущаемый в типичном $k$-параметрическом семействе, обозначается через $E(k)$ или же $E(n,k)$, где $n$ – число особых точек, образующих полицикл. В 30-х гг. А. А. Андронов и Е. А. Леонтович (см. [1]) доказали равенство $E(1)=1$. С 1970-х гг. по 1993 г. в результате трудов целого ряда математиков (см. работы Муртада, Р. Руссари, С. Руссо, Ф. Дюмортье [2], Т. М. Грозовского [3], В. Ш. Ройтенберга [4], С. И. Трифонова [5]) было получено равенство $E(2)=2$. Подробнее об истории исследования цикличности полициклов коразмерности 1 и 2 (см. [2]). В 1997 г. Трифоновым доказано равенство $E(3)=3$ (см. [5]). На рубеже веков были предприняты попытки оценить цикличность элементарных полициклов для произвольного числа параметров $k$. В 1995 г. Ю. Ильяшенко и С. Яковенко доказали, что для любого $k$ число $E(k)$ конечно (см. [6]). В 2003 г. в работе [7] В. Калошиным получена оценка Чуть позже, в 2010 г., П. И. Каледа и И. В. Щуров (см. [8]) доказали неравенство где $C(n)=2^{5n^2+20n}$, $n$ – число вершин полицикла.Как видно из приведенного обзора, ранние оценки были точны, но относились лишь к полициклам малой коразмерности. Поздние оценки, полученные Калошиным, Каледой и Щуровым, распространяются на произвольное число параметров, но при этом вряд ли являются точными. Это объясняется тем, что вопрос об оценке цикличности достаточно сложен. В связи с этим возникает идея рассмотреть заведомо более простую задачу: какова максимальная кратность предельного цикла, рождающегося при разрушении полицикла в конечно параметрическом семействе? Обратим внимание, что в работе речь пойдет не об элементарных, а лишь о гиперболических полициклах, т.е. образованных лишь гиперболическими седлами. Оказывается, что поставленная задача легко решается для произвольного числа параметров, причем оценка кратности зависит от количества седел полицикла не более чем линейно. Основные результатыПусть поле $v_0$ содержит полицикл $\gamma$, образованный $n$ сепаратрисными связками гиперболических седел $S_1, \dots, S_n$ (некоторые из седел могут совпадать). Обозначим характеристические числа седел $S_1, \dots, S_n$ через $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ соответственно. Напомним, что характеристическим числом седла называется модуль отношения собственных чисел, причем отрицательное стоит в числителе. Основной результат работы представлен следующими двумя теоремами. Теорема 1. Для любого натурального $n$ существует такой нетривиальный многочлен $\mathcal{L}_n$ от $n$ переменных, что для любого поля $v_0$ с гиперболическим полициклом $\gamma$, характеристические числа $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ седел которого удовлетворяют неравенству верно следующее: при возмущении поля $v_0$ внутри $C^\infty$-гладкого конечно параметрического семейства кратность любого рождающегося из полицикла $\gamma$ предельного цикла не превосходит $n$. Как будет видно далее в п. 2.6, из наличия кратного предельного цикла следует, что некоторая полиномиальная система однородных уравнений, коэффициенты которой зависят от характеристических чисел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, имеет нетривиальное решение. Забегая вперед, отметим, что многочлен $\mathcal{L}_n$ выражается через результант этой полиномиальной системы. В случае полицикла малой коразмерности многочлен $\mathcal{L}_n$ можно выписать явно. Для этого нам потребуется определить несколько многочленов. Для любого натурального $n$ обозначим через $\Lambda_n$ следующий многочлен от характеристических чисел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$:
$$
\begin{equation*}
\Lambda_n(\lambda_1, \dots, \lambda_n)=\prod_{I\neq (0, \dots, 0)} (\lambda^I-1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $I=(i_1, \dots, i_n)$ – мультииндекс. Через $\lambda^I$ мы обозначили произведение $\lambda_1^{i_1}\dotsb\lambda_n^{i_n}$. Для любого $j=1, \dots, n$ компонента мультииндекса $i_j \in \{0, 1\}$ определяет, входит ли число $\lambda_j$ в произведение $\lambda^I$ или нет. Например, $\Lambda_2(\lambda_1, \lambda_2)=(\lambda_1-1)(\lambda_2-1)(\lambda_1\lambda_2-1)$. Помимо этого, через $M(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ обозначим следующий многочлен:
$$
\begin{equation*}
M(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)=4(\lambda_1\lambda_2\lambda_3 -1)- (\lambda_1-1)(\lambda_2-1)(\lambda_3-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. При $n=1,2,3,4$ в качестве многочлена $\mathcal{L}_n$, фигурирующего в теореме 1, можно взять следующие многочлены: Если характеристические числа таковы, что многочлен $\mathcal{L}_n$ равен нулю, то могут возникать дополнительные вырождения, а именно предельные циклы кратности большей $n$. Например, в работе [4] показано, что при $n=1$ и $\mathcal{L}_1(\lambda_1)=\lambda_1-1=0$ при возмущении петли сепаратрисы в типичном двупараметрическом семействе рождается двукратный предельный цикл. Вся работа разбита на шесть параграфов. Основная задача § 2 – свести вопрос о наличии кратного предельного цикла к вопросу о наличии решения некоторой полиномиальной системы уравнений. В оставшейся части статьи применяются алгебраические методы, которые позволяют исследовать полученную полиномиальную систему. При помощи этих методов и доказываются обе теоремы. § 2. От векторных полей к многочленам2.1. Отображения соответствия седелПусть произвольное конечно параметрическое семейство $V=\{v_\delta\}$, $\delta \in B=(\mathbb{R}^k, 0)$, возмущает поле $v_0$, содержащее гиперболический полицикл $\gamma$ с характеристическими числами седел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. К каждой сепаратрисной связке полицикла $\gamma$ поля $v_0$ проведем $C^\infty$-гладкую трансверсаль: для любого $i=1, \dots, n$ трансверсаль к связке седел $S_i$ и $S_{i+1}$ обозначим через $\Gamma_i$ (рис. 1, a). Считаем, что для любого $i=1, \dots, n$ трансверсаль $\Gamma_i$ не зависит от параметра $\delta$ и параметр $\delta$ выбирается настолько малым, что каждая из трансверсалей $\Gamma_i$ остается трансверсальной возмущенному векторному полю $v_\delta$. В невозмущенном поле $v_0$ рассмотрим произвольное седло $S_i$ и две соседние к нему трансверсали $\Gamma_{i-1}$ и $\Gamma_i$ (полагаем, что $\Gamma_0=\Gamma_n$). Точку пересечения трансверсали $\Gamma_{i-1}$ и входящей сепаратрисы седла $S_i$ обозначим через $s_i$ (от слова “stable”). Точку пересечения трансверсали $\Gamma_i$ и выходящей сепаратрисы седла $S_i$ обозначим через $u_i$ (от слова “unstable”). Поскольку сепаратрисы невозмущенного поля $v_0$ не разомкнуты, то для любого $i=1, \dots, n$ точки $u_{i-1}$ и $s_i$ на трансверсали $\Gamma_{i-1}$ совпадают. Для любого $i=1, \dots, n$ седло $S_i$ имеет ровно один гиперболический сектор, ограниченный частями трансверсалей $\Gamma_{i-1}$ и $\Gamma_i$. Обозначим эти части через $\Gamma_{i-1}^-$ и $\Gamma_i^+$. Тогда для любого $i=1, \dots, n$ определено отображение соответствия $\Delta_i\colon \Gamma_{i-1}^- \to \Gamma_i^+$ седла $S_i$. Теперь рассмотрим возмущенное поле $v_\delta$. По аналогии для любого седла $S_i=S_i(\delta)$ вводятся точки $s_i(\delta)$, $u_i(\delta)$, полутрансверсали $\Gamma_{i-1}^-(\delta)$, $\Gamma_i^+(\delta)$, а также отображение соответствия $\Delta_i(\delta, \cdot)\colon \Gamma_{i-1}^-(\delta) \to \Gamma_i^+(\delta)$. При этом, вообще говоря, точки $s_i(\delta)$ и $u_{i-1}(\delta)$ на трансверсали $\Gamma_{i-1}$ могут не совпадать, что означает размыкание связки седел $S_{i-1}(\delta)$ и $S_i(\delta)$. Рассмотрим на многообразии $\mathcal{M}$ произвольную риманову метрику. Тогда любую гладкую кривую можно параметризовать натуральным параметром (выбрать карту): разность координат любых двух точек в этой карте по модулю будет равна длине отрезка кривой между этими двумя точками. Выберем на трансверсали $\Gamma_{i-1}$ такой натуральный параметр (карту), что точка $s_i(\delta)$ имеет в этой карте координату $0$, а любая точка полутрансверсали $\Gamma_{i-1}^-(\delta)$ имеет положительную координату. В то же время на трансверсали $\Gamma_i$ выберем такой натуральный параметр (карту), что точка $u_i(\delta)$ имеет в этой карте координату $0$, а любая точка полутрансверсали $\Gamma_i^+(\delta)$ имеет положительную координату. Таким образом, на каждой трансверсали $\Gamma_i$ нами выбраны две карты. Обозначим координату точки $u_i(\delta)$ в карте, соответствующей полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$, через $\tau_i(\delta)$. Тогда переход из карты, соответствующей полутрансверсали $\Gamma_i^+(\delta)$, в карту, соответствующую полутрансверсали $\Gamma_i^-(\delta)$, осуществляется отображением Если в невозмущенном поле $v_0$ рассматриваемые гиперболические секторы седел $S_i(0)$ и $S_{i+1}(0)$ располагаются по одну сторону от общей сепаратрисной связки этих седел, то в формуле (2) будет стоять знак “$+$” (рис. 2, a), а если по разные – то знак “$-$” (рис. 2, b). В выбранных выше координатах на полутрансверсалях $\Gamma_{i-1}^-(\delta)$ и $\Gamma_i^+(\delta)$ отображение $\Delta_i(\delta, \cdot)$ принимает вид $\Delta_i(\delta, \cdot)\colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$. Это отображение является $C^\infty$-гладким по аргументу $x$. Более того, любая его производная по $x$ непрерывно (на самом деле гладко) зависит от параметра $\delta$. Для любого $i=1, \dots, n$ введем следующее отображение:
$$
\begin{equation}
f_i(\delta, \cdot)\colon \Gamma_{i-1}^-(\delta) \to \Gamma_i, \qquad f_i(\delta, x)=\tau_i(\delta) \pm \Delta_i(\delta, x).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Оно является композицией отображения соответствия $\Delta_i(\delta, \cdot)$ и отображения (2). Помимо этого рассмотрим отображение Пуанкаре $\Delta(\delta, \cdot)\colon \Gamma_n^-(\delta) \to \Gamma_n$ заданного полицикла (рис. 1, b). Оно представимо в виде
$$
\begin{equation}
\Delta(\delta, \cdot)=f_n(\delta, \cdot) \circ \dots \circ f_1(\delta, \cdot),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $f_i$, $i=1, \dots, n$, задаются формулой (3). 2.2. Уравнения на кратные предельные циклыПусть при некотором значении $\delta$ поле $v_\delta$ имеет предельный цикл $\operatorname{LC}(\delta)$, родившийся при разрушении исходного полицикла $\gamma$. Пусть этот цикл пересекает полутрансверсаль $\Gamma_n^-(\delta)$ в точке с координатой $x_0=x_0(\delta)$. Тогда отображение Пуанкаре имеет неподвижную точку, т.е. пара $(\delta, x_0(\delta))$ является решением уравнения Если же предельный цикл имеет кратность $n+1$ или более, то при $x=x_0(\delta)$ также выполнены следующие равенства:На протяжении всей статьи под производными $(\cdot)'$ и $(\cdot)^{(l)}$ будем понимать производные по переменной $x$. Рассмотрим функцию и связанную с ней следующую систему уравнений:
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{(l)}(\delta, x)=0, \qquad l=0, \dots, n-1.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Поскольку векторное поле рассматривается на ориентируемом многообразии, то отображение Пуанкаре $\Delta(\delta, \cdot)$ есть сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, заданный на полутрансверсали $\Gamma_n^-(\delta)$. Следовательно, его производная всегда положительна, что позволяет в определении функции $\mathcal{D}$ применить к функции $\Delta'$ логарифм. Заметим, что если $x=x_0(\delta)$ – неподвижная точка кратности $n+1$ функции $\Delta$, то $x_0(\delta)$ также удовлетворяет системе (9). Это следует из того факта, что в малой окрестности точки $x_0(\delta)$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}(\delta, x)=\ln \Delta'(\delta, x)=\ln \bigl(1+ o((x-x_0)^{n-1})\bigr)=o((x-x_0)^{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Общий вид производных большого порядка отображения ПуанкареПредыдущий параграф наводит на мысль, что достаточно исследовать не само отображение Пуанкаре, а функцию $\mathcal{D}(\delta, x)$. Оказывается, что сколь угодно большие производные функции $\mathcal{D}(\delta, x)$ могут быть записаны в некоторой удобной форме. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
F_i=f_i \circ \dots \circ f_0, \qquad f_0=\mathrm{id}, \quad i=0, \dots, n,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где функции $f_i$ определяются формулой (3). В частности, $F_0(\delta, x)=x$ и $Z_1(\delta, x)={1}/{x}$. Здесь и далее под композицией двух произвольных функций $g(\delta, x)$ и $h(\delta,x)$ понимается следующее: $g \circ h(\delta,x)=g(\delta, h(\delta,x))$. Коротко такую композицию мы будем обозначать $g \circ h=g(h)$. В новых обозначениях равенство $\mathcal{D}(\delta, x)=0$ переписывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}(\delta, x)=\sum_{i=1}^n \ln |f_i'(F_{i-1})|=0.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Помимо этого, введем еще одно обозначение
$$
\begin{equation}
\mu_{iq}(\delta, x)=y^q\frac{d^q}{dy^q}\ln |f_i'(y)| \bigg|_{y=F_{i-1}(\delta, x)}, \qquad i=1,\dots,n, \quad q \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
В дальнейшем зависимость от переменной $x$ и параметра $\delta$ будем опускать и писать $\mu_{iq}$ и $F_{i-1}$. Предложение 1. Для любого $l \in \mathbb{N}$ существует такой многочлен $P_{nl}$ c целыми коэффициентами, что $l$-я производная функции $\mathcal{D}$ (см. формулу (8)) имеет вид Многочлен $P_{nl}$ является однородным многочленом степени $l$ по переменным $Z_1, \dots, Z_n$. Доказательство. Докажем утверждение индукцией по $l$.
База индукции. При $l=1$ из соотношения (12) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}'=\sum_{i=1}^n \frac{d}{dx} \ln |f_i'(F_{i-1})|=\sum_{i=1}^n y\frac{d}{dy} \ln |f_i'(y)| \bigg|_{y=F_{i-1}} \frac{F_{i-1}'}{F_{i-1}}=\sum_{i=1}^n \mu_{i1} Z_i.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Обозначим полученный многочлен через $P_{n1}(\mu_{i1}, Z_i)$, $i=1,\dots,n$.
Шаг индукции. Пусть для некоторого $l$ утверждение верно. Тогда получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{(l+1)}=\frac{d}{dx} P_{nl}(\mu_{iq},Z_i) =\sum_{\substack{ 1 \leqslant i \leqslant n\\ 1 \leqslant q \leqslant l}} \frac{\partial P_{nl}}{\partial \mu_{iq}} \mu_{iq}'+\sum_{i=1}^n \frac{\partial P_{nl}}{\partial Z_i} Z_i'.
\end{equation}
\tag{16}
$$
С учетом обозначений (11) и (13) производная функции $\mu_{iq}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mu_{iq}'=\biggl(q y^{q-1}\frac{d^q}{dy^q}+y^q\frac{d^{q+1}}{dy^{q+1}}\biggr)\ln |f_i'(y)| \bigg|_{y=F_{i-1}}F_{i-1}'=(q\mu_{iq}+\mu_{i,q+1})Z_i.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Чтобы вычислить производную $Z_i'$, найдем выражение ${F_{i-1}''}/{F_{i-1}'}$. Из равенств (10) и (13) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{F_{i-1}''}{F_{i-1}'} &=(\ln |F_{i-1}'|)'=\sum_{j=1}^{i-1}(\ln |f_j'(F_{j-1})|)' \nonumber \\ &=\sum_{j=1}^{i-1}y\frac{d}{dy}\ln |f_j'(F_{j-1}(y))|\bigg|_{y=F_{j-1}}\frac{F_{j-1}'}{F_{j-1}}=\sum_{j=1}^{i-1}\mu_{j1}Z_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Пользуясь равенством (11) и соотношением (18), найдем производную $Z_i'$:
$$
\begin{equation}
Z_i'=\biggl(\frac{F_{i-1}'}{F_{i-1}} \biggr)'=\frac{F_{i-1}''}{F_{i-1}}- \frac{F_{i-1}'^2}{F_{i-1}^2}=\frac{F_{i-1}''}{F_{i-1}'}Z_i-Z_i^2=-Z_i^2+ Z_i\sum_{j=1}^{i-1}\mu_{j1}Z_j.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Подставляем формулы (17) и (19) в выражение (16). Получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{(l+1)}=\sum_{\substack{ 1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant q \leqslant l}} (q\mu_{iq}+ \mu_{i,q+1})Z_i \frac{\partial P_{nl}}{\partial \mu_{iq}} +\sum_{i=1}^n \biggl(-Z_i+ \sum_{j=1}^{i-1}\mu_{j1}Z_j\biggr) Z_i \frac{\partial P_{nl}}{\partial Z_i}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из предположения индукции следует, что полученное выражение есть однородный по переменным $Z_i$ многочлен степени $l+1$ с целыми коэффициентами, который мы обозначим через $P_{n,l+1}(\mu_{iq}, Z_i)$, где $i=1, \dots, n$, $q=1, \dots, l+1$. Предложение 1 доказано. 2.4. Предельный переход при $\delta, x \to 0$. O-символикаВ этом и следующих двух пунктах мы изучим предельные свойства производных отображения $\mathcal{D}$, фигурирующих в системе уравнений (9). Оказывается, что предельные значения производных функции $\mathcal{D}$ при $\delta, x \to 0$ описываются некоторыми однородными многочленами от переменных $Z_1, \dots, Z_n$, коэффициенты которых зависят лишь от характеристических чисел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Чтобы найти предел при $\delta, x \to 0$ функции $\mu_{iq}(\delta,x)$, задаваемой формулой (13), нам потребуется следующая лемма. Лемма 1. Рассмотрим $C^\infty$-гладкое конечно параметрическое семейство $V=\{v_\delta\}$, $\delta \in (\mathbb{R}^k, 0)$, $C^\infty$-гладких векторных полей на двумерной плоскости. Пусть $\Delta_S(\delta, x)$ – отображение соответствия гиперболического седла $S(\delta)$ поля $v_\delta$ с характеристическим числом $\lambda(\delta)$, $\lambda(0)=\lambda$. Тогда для любого натурального $q$ выполнено следующее соотношение: Для доказательства этой леммы введем два полезных класса функций, предложенных Трифоновым в работе [5]. Пусть $\lambda\in \mathbb{R}$, $r \in \mathbb{N}$ и функция $f_\delta(x) \in C^r(\mathbb{R}, 0)$ непрерывно в топологии $C^r(\mathbb{R}, 0)$ зависит от параметра $\delta$. 1. Будем говорить, что функция $f_\delta$ принадлежит классу $\widetilde{o}_r^\lambda$, если для любого $m=0, \dots, r$ имеет место предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta,x \to 0} x^{m-\lambda}f_\delta^{(m)}(x)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Будем говорить, что функция $f_\delta$ принадлежит классу ${\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r$, если для любого малого $\varepsilon > 0$ функция $x^\varepsilon f_\delta(x)$ принадлежит классу $\widetilde{o}_r^\lambda$. Как и в случае классов $o(1)$ и $O(1)$, мы будем вместо знака принадлежности классу использовать обычный знак равенства, например, $f_\delta(x)=x+\widetilde{o}^\lambda_r$, подразумевая под этим, что $f_\delta(x)-x \in \widetilde{o}_r^\lambda$. Классы $\widetilde{o}_r^\lambda$ и ${\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r$ являются более удобным инструментом, чем стандартные классы функций $o(x^\lambda)$ и $O(x^\lambda)$, поскольку допускают дифференцирование. Большой перечень их свойств приведен в работе [5; п. 2.2]. Нам же потребуются лишь следующие из них:
$$
\begin{equation}
\forall\, \lambda, \mu \quad {\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r \cdot {\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\mu_r={\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^{\lambda+\mu}_r,
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, \lambda \quad \bigl({\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r\bigr)'={\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^{\lambda-1}_{r-1},
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, \lambda > \mu > 0 \quad \forall\, f_\delta \in {\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r \quad\Longrightarrow\quad f_\delta \in \widetilde{o}^\mu_r \quad\Longrightarrow \quad f_\delta \to 0 \quad\text{при }\ \delta,x \to 0,
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, \lambda, \quad\forall\, g\in C^r(\mathbb{R},0) \quad g\bigl({\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r\bigr)=g(0)+{\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_r,
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, \lambda \quad x^\lambda={\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^\lambda_\infty.
\end{equation}
\tag{26}
$$
В работе [5] в п. 3.1 доказана следующая асимптотика отображения соответствия гиперболического седла. Предложение 2. Рассмотрим $C^\infty$-гладкое семейство $V\,{=}\,\{v_\delta\}$, $\delta\,{\in}\, (\mathbb{R}^k, 0)$, $C^\infty$-гладких векторных полей на двумерной плоскости. Пусть $\Delta_S(\delta, x)$ – отображение соответствия гиперболического седла $S(\delta)$ поля $v_\delta$ с характеристическим числом $\lambda(\delta)$. Тогда выполнено соотношение где $C(\delta)$, $\lambda(\delta)$ – $C^1$-гладкие функции, причем $C(0) > 0$ и $r$ – некоторое сколь угодно большое натуральное число. Доказательство леммы 1. Пользуясь свойствами (22), (23) и (26), продифференцируем равенство (27):
$$
\begin{equation*}
\Delta_S'(\delta,x)=C(\delta)\lambda(\delta) x^{\lambda(\delta)-1}\bigl(1+{\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^1_{r-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Логарифмируя полученное выражение, в силу свойства (25) имеем
$$
\begin{equation}
\ln\Delta_S'(\delta, x)=\ln C(\delta)+\ln \lambda(\delta)+(\lambda(\delta)-1)\ln x+{\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^1_{r-1}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Дифференцируем еще $q$ раз. Из соотношения (23) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{d^q}{dx^q}\ln\Delta_S'(\delta, x)=(-1)^{q-1}(q-1)!\,(\lambda(\delta)-1)x^{-q}+ {\underset{\widetilde{\,\,\,}}{\,O}}{}^{1-q}_{r-q-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Домножим на $x^q$ и устремим $\delta, x \to 0$. Пользуясь свойствами (22), (24) и (26), приходим к требуемому равенству. Лемма доказана. Согласно формуле (3) для функций $f_i$ выполнено равенство $|f_i'|=\Delta_i'$. Следовательно, по лемме 1 существует предел:
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta,x\to 0} \mu_{iq}(\delta,x)=(-1)^{q-1}(q-1)!\,(\lambda_i-1),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $\lambda_i$ – характеристическое число седла $S_i$ невозмущенного полицикла $\gamma$. 2.5. Предельный переход при $\delta, x \to 0$. Производные отображения ПуанкареЧерез $\mu_{iq}^0$ обозначим выражение в правой части равенства (29). Рассмотрим следующие многочлены:
$$
\begin{equation}
Q_{nl}(Z_1, \dots, Z_n)=P_{nl}(\mu_{iq}^0, Z_i), \qquad i=1, \dots, n, \quad q=1, \dots, l,
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $P_{nl}$ – многочлены из формулы (14). Предложение 3. В условиях предложения 1 для любых натуральных чисел $n$ и $l$ многочлены $Q_{nl}$ обладают следующими свойствами. 1. $Q_{nl} (Z_1, \dots, Z_n)$ – однородный многочлен степени $l$. 2. $Q_{nl} (Z_1, \dots, Z_n) \in \mathbb{Z}[\lambda_1,\dots,\lambda_n][Z_1, \dots, Z_n]$. 3. Многочлены $Q_{nl}(Z_1, \dots, Z_n)$ задаются рекуррентно следующим образом: где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{D}_n=(Z_1, \dots, Z_n) \begin{pmatrix} -1 & \lambda_1-1 & \lambda_1-1 & \dots & \lambda_1-1 \\ 0 & -1 & \lambda_2-1 & \dots & \lambda_2-1 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & -1 & \lambda_{n-1}-1 \\ 0 & \dots & & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_1\dfrac{\partial}{\partial Z_1} \\ \vdots \\ Z_n \dfrac{\partial}{\partial Z_n} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Доказательство. Свойство 1 следует из предложения 1, свойство 2 – из леммы 1.
Докажем свойство 3. Из соотношения (29) получаем, что для любого $i=1,\dots,n$ и любого $q=1, \dots, l$ выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\mu_{i1}^0=\lambda_i-1, \qquad q\mu_{iq}^0+\mu_{i,q+1}^0=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из них и формула (15) для многочлена $P_{n1}$ влечет формулу (31). Второе вместе с рекуррентным соотношением (20) для многочленов $P_{nl}$ влечет рекуррентное соотношение
$$
\begin{equation}
Q_{n,l+1}(Z_1, \dots, Z_n)=\sum_{i=1}^n \biggl(-Z_i+ \sum_{j=1}^{i-1}(\lambda_i-1)Z_j\biggr)Z_i \frac{\partial Q_{nl}}{\partial Z_i}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Нетрудно видеть, что выражение справа от знака равенства в формуле (34) есть многочлен $Q_{nl}$, к которому применили оператор (33). Предложение доказано. В силу свойства 2 на многочлены $Q_{nl}$ можно смотреть как на многочлены $Q_{nl}(\lambda, Z)$ от $2n$ переменных $\lambda=\lambda_1, \dots, \lambda_n$, $Z=Z_1, \dots, Z_n$. Следствие 1. Для любых натуральных $n$ и $l$, а также для любого $j=1,\dots,n$ многочлены $Q_{nl}$ обладают следующим свойством: где $\lambda'=\lambda_1, \dots, \widehat{\lambda}_j, \dots, \lambda_n$ и $Z'=Z_1, \dots, \widehat{Z}_j, \dots, Z_n$. Здесь через $\widehat{\phantom{a}}$ обозначены отсутствующие в перечислении переменные. Доказательство. Докажем индукцией по $l$. При $l=1$ утверждение очевидно следует из формулы (31) для многочлена $Q_{n1}$. Пусть утверждение выполнено для некоторого $l$. При подстановке $z_j=0$ из формулы (34) получаем, что опертор $\mathfrak{D}_n\big|_{z_j=0}$ переходит в оператор, аналогичный оператору $\mathfrak{D}_{n-1}$, но действующий на многочленах от переменных $z_1, \dots, \widehat{z}_j, \dots, z_n$, откуда и следует утверждение. Что касается подстановки $\lambda_j=1$, то согласно предположению индукции многочлен $Q_{nl}(\lambda, Z)\big|_{\lambda_j=0}$ зависит от переменной $Z_j$ фиктивно. Следовательно, ${\partial Q_{nl}}/{\partial z_j}=0$ и из равенства (34) вновь получаем требуемое утверждение. 2.6. Предельный переход при $\delta, x \to 0$. Кратные предельные циклыПоскольку и многочлены $P_{nl}$, и многочлены $Q_{nl}$ по переменным $Z_1, \dots, Z_n$ являются однородными (см. предложения 1 и 3), то можно считать, что они заданы на проективном пространстве $\mathbb{R}P^{n-1}$. Точки пространства $\mathbb{R}P^{n-1}$ будем обозначать через $Z=(Z_1 : \dots : Z_n)$. Рассмотрим следующее отображение:
$$
\begin{equation}
\mathcal{Z}\colon (\delta, x) \mapsto \bigl(Z_1(\delta, x) : \dots : Z_n(\delta, x)\bigr),
\end{equation}
\tag{36}
$$
где функции $Z_i(\delta,x)$ определяются формулой (11). В силу предложения 1 уравнения на $(n+1)$-кратный предельный цикл принимают вид
$$
\begin{equation}
P_{nl}(\mu_{iq}(\delta, x), Z)=0, \quad l=1, \dots, n-1.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Определение 6. Мы будем говорить, что последовательность точек $(\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0$ в пространстве $B \times (\mathbb{R}_{>0}, 0)$ соответствует предельному циклу (кратности $m$), если для любого $\alpha$ поле $v_{\delta_\alpha}$ содержит предельный цикл (кратности $m$), пересекающий полутрансверсаль $\Gamma_n^-$ в точке с координатой $x_\alpha$ (см. п. 2.1). Пусть существует последовательность $(\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0$, соответствующая предельному циклу кратности $n+1$ или более. Тогда система (37)–(39) имеет решение $\delta_\alpha, x_\alpha, \mathcal{Z}(\delta_\alpha, x_\alpha)$. Предложение 4. Пусть при возмущении полицикла $\gamma$ внутри $C^\infty$-гладкого семейства $V=\{v_\delta\}$, $\delta \in B=(\mathbb{R}^k,0)$ рождается предельный цикл кратности $n+1$ или более. Пусть $\{(\delta_\alpha, x_\alpha)\}_{\alpha=1}^\infty$, $(\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0$, – соответствующая этому циклу последовательность в пространстве $B \times (\mathbb{R}_{>0},0)$. Пусть задаваемое формулой (36) отображение $\mathcal{Z}$ на этой последовательности стремится к некоторой точке $\widetilde{Z} \in \mathbb{R}P^{n-1}$. Тогда точка $\widetilde{Z}$ удовлетворяет следующей системе уравнений: где многочлены $Q_{nl}$ задаются равенствами (31)–(33). Доказательство. Утверждение очевидным образом следует из равенства (39) и определения многочленов $Q_{nl}$ (см. формулу (30)). Предложение 4 можно сформулировать в более общем виде, который может оказаться полезным. Предложение 5. Пусть при возмущении полицикла $\gamma$ внутри $C^\infty$-гладкого семейства $V=\{v_\delta\}$, $\delta \in B=(\mathbb{R}^k,0)$ рождается предельный цикл кратности $m+2$ или более. Пусть $\{(\delta_\alpha, x_\alpha)\}_{\alpha=1}^\infty$, $(\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0$, – соответствующая этому циклу последовательность в пространстве $B \times (\mathbb{R}_{>0},0)$. Пусть задаваемое формулой (36) отображение $\mathcal{Z}$ на этой последовательности стремится к некоторой точке $\widetilde{Z} \in \mathbb{R}P^{n-1}$. Тогда точка $\widetilde{Z}$ удовлетворяет следующей системе уравнений: где многочлены $Q_{nl}$ задаются равенствами (31)–(33). Доказательство аналогично доказательству предложения 4. Лемма 2. Пусть поле $v_0 \in \operatorname{Vect}^\infty(\mathcal{M})$ имеет полицикл $\gamma$, образованный гиперболическими седлами $S_1, \dots, S_n$, $n \geqslant 2$, с характеристическими числами $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, которые удовлетворяют неравенству $\lambda_1 \dots \lambda_n \neq 1$. Пусть $C^\infty$-гладкое семейство $V=\{v_\delta\}$ возмущает поле $v_0$. Обозначим через $C$ множество таких пар $(\delta, x)$, что поле $v_\delta$ имеет имеет предельный цикл кратности как минимум 2, проходящий через точку с координатой $x$. Пусть $\mathfrak{Z}=\{ Z \in \mathbb{R}P^{n-1}\mid \exists\, \{(\delta_\alpha, x_\alpha)\}_{\alpha=1}^\infty \subset C, \ \mathcal{Z}(\delta_\alpha, x_\alpha) \to Z \text{ при } (\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0\}$, где отображение $\mathcal{Z}$ задается формулой (36). Тогда $\mathfrak{Z} \subset \bigcup_{j=1}^n \mathbb{C}P^{n-2}_j$, где $\mathbb{C}P^{n-2}_j=\{ Z=(Z_1 : \dots : Z_n) \in \mathbb{R}P^{n-1} \mid Z_j=0 \}$. Доказательство. Предположим, что существует такая точка $\widetilde{Z}=(\widetilde{Z}_1 : \dots : \widetilde{Z}_n) \in \mathfrak{Z}$, что для любого $i=1, \dots, n$ координата $\widetilde{Z}_i$ отлична от нуля. По определению множества $\mathfrak{Z}$ существует такая последовательность $(\delta_\alpha, x_\alpha) \to 0$, соответствующая предельному циклу кратности два или более, что на этой последовательности отображение $\mathcal{Z}$ стремится к точке $\widetilde{Z}$.
Докажем индукцией по $i=0, \dots, n$, что выполнено следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
F_i(\delta_\alpha, x_\alpha)=x_\alpha^{\lambda_1(\delta_\alpha) \dotsb \lambda_i(\delta_\alpha)} * \quad \text{при }\ \delta_\alpha, x_\alpha \to 0,
\end{equation}
\tag{42}
$$
где функции $F_i$ определяются формулой (10). Здесь и на протяжении всего доказательства $*$ означает умножение на некоторую функцию, отделенную от нуля и бесконечности.
База индукции $i=0$ очевидна: $F_0(\delta_\alpha, x_\alpha)=x_\alpha$. Для произвольной функции $g(\delta, x)$ под $g\big|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}$ будем подразумевать, что функция берется в точке $(\delta_\alpha, x_\alpha)$. Пусть утверждение выполнено для $i-1$. Поскольку мы предположили, что для любого $i=1, \dots, n$ компоненты $\widetilde{Z}_i$ точки $\widetilde{Z}$ ненулевые, то имеем ${Z_{i+1}}/{Z_i}\big|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}=*$. С другой стороны, из формулы (11) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{Z_{i+1}}{Z_i}\bigg|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}=\frac{f_i'(F_{i-1})F_{i-1}}{F_i}\bigg|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выразив из этого равенства $F_i$, приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
F_i\big|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}=f_i'(F_{i-1}) F_{i-1}*\big|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)} \quad \text{при }\ \delta_\alpha, x_\alpha \to 0.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Из формул (3) и (28) следует, что
$$
\begin{equation}
|f_i'(\delta, x)|=\Delta_i'(\delta, x)=x^{\lambda_i(\delta)-1} * \quad \text{при }\ \delta, x \to 0.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Подставляя это выражение в равенство (43), получаем рекуррентное соотношение $F_i(\delta_\alpha, x_\alpha)=F_{i-1}(\delta_\alpha, x_\alpha)^{\lambda_i(\delta_\alpha)}*$, что влечет формулу (42).
Снова индукцией по $i=1, \dots, n$ докажем следующую формулу:
$$
\begin{equation}
F_i'(\delta_\alpha, x_\alpha)=x^{\lambda_1(\delta_\alpha)\dotsb\lambda_i(\delta_\alpha)-1}*.
\end{equation}
\tag{45}
$$
База индукции $i=1$ следует из равенства (44). Также из равенства (44) и доказанного соотношения (42) получаем шаг индукции:
$$
\begin{equation*}
F_i'(\delta_\alpha, x_\alpha)=f_n'(F_{i-1}) F_{i-1}' \big|_{(\delta_\alpha, x_\alpha)}=\bigl(x^{\lambda_1(\delta_\alpha) \dotsb\lambda_{i-1}(\delta_\alpha)}\bigr)^{\lambda_i(\delta_i)-1} x^{\lambda_1(\delta_\alpha)\dotsb\lambda_{i-1}(\delta_\alpha)-1}*.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для любого $\alpha$ пара $(\delta_\alpha, x_\alpha)$ соответствует предельному циклу кратности как минимум два, то согласно уравнению (6) выполнено равенство $\Delta'(\delta_\alpha, x_\alpha)=F_n'(\delta_\alpha, x_\alpha)=1$. Взяв от этого равенства логарифм и применив формулу (45), приходим к соотношению После деления на $\ln x_\alpha$ и взятия предела при $\alpha \to \infty$ получаем равенство $\lambda_1 \dotsb \lambda_n=1$, что противоречит условию. Следовательно, хотя бы одна из координат точки $\widetilde{Z}$ равна нулю. Лемма доказана. 2.7. План доказательства теоремы 1Рассмотрим случай $n=1$: полицикл образован одним седлом с характеристическим числом $\lambda_1$, т.е. является петлей сепаратрисы седла $S_1$. Для этого случая теорема 1 хорошо известна: это классический результат Андронова и Леонтович о разрешении грубого цикла из петли сепаратрисы (см. [1; гл. IX, § 29]). А именно, многочлен $\mathcal{L}_1(\lambda_1)=\lambda_1-1$. Перейдем к случаю $n \geqslant 2$. Предположим, что в семействе $V$ рождается предельный цикл кратности $n+1$. Тогда предложение 4 влечет, что заданная на проективном пространстве $\mathbb{R}P^{n-1}$ система однородных уравнений (40) имеет хотя бы одно решение. Более того, пусть выполнено следующее неравенство на характеристические числа: Тогда из леммы 2 следует, что для некоторого $j=1, \dots, n$ система имеет решение в подпространстве $\mathbb{R}P^{n-2}_j$. Согласно свойству (35) для некоторого $j=1, \dots, n$ следующая система уравнений имеет нетривиальное действительное решение:
$$
\begin{equation}
Q_{n-1,l}(\lambda_1, \dots, \widehat{\lambda}_j, \dots, \lambda_n,Z_1,\dots, \widehat{Z}_j, \dots, Z_n)=0, \qquad l=1, \dots, n-1.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Здесь через $\widehat{\phantom{a}}$ мы снова обозначили отсутствующие в перечислении переменные. Таким образом, для любых натуральных чисел $n$ и $l$ многочлен $Q_{nl}$ зависит от $2(n-1)$ переменных. Обозначим их через $\mu_1, \dots, \mu_{n-1}$ и $w_1, \dots, w_{n-1}$. Рассмотрим систему
$$
\begin{equation}
Q_{n-1,l}(\mu_1, \dots, \mu_{n-1}, w_1, \dots, w_{n-1})=0, \qquad l=1, \dots, n-1.
\end{equation}
\tag{49}
$$
При фиксированных значениях переменных $\mu_1, \dots, \mu_{n-1}$ мы имеем систему из $n-1$ уравнения на $(n-2)$-мерном проективном пространстве. Следовательно, существует такой многочлен $\mathcal{R}_{n-1}(\mu_1, \dots, \mu_{n-1})$, что система (49) имеет нетривиальное (вообще говоря, комплексное) решение тогда и только тогда, когда многочлен $\mathcal{R}_{n-1}(\mu_1, \dots, \mu_{n-1})$ равен нулю [9]. Многочлен $\mathcal{R}_{n-1}$ называется результантом системы уравнений. Нетривиальность результанта системы (49) следует из леммы. Эта лемма будет доказана в § 3. Рассмотрим следующий многочлен:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}_n(\lambda_1, \dots, \lambda_n)=(\lambda_1\dotsb\lambda_n-1)\prod_{j=1}^n \mathcal{R}_{n-1}(\lambda_1, \dots, \widehat{\lambda}_j, \dots, \lambda_n).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Пусть характеристические числа $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ таковы, что значение многочлена $\mathcal{L}_n(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ не равно нулю. Тогда выполнено неравенство (46), и лемма 2 применима. В силу этой леммы существует такое $j=1, \dots, n$, при котором система (48) разрешима. Отсюда следует, что $\mathcal{R}_{n-1}(\lambda_1, \dots, \widehat{\lambda}_j, \dots, \lambda_n)=0$, что противоречит неравенству $\mathcal{L}_n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \neq 0$. Следовательно, многочлен $\mathcal{L}_n$ искомый. Таким образом, без учета леммы 3 теорема 1 доказана. Замечание 1. Для любого семейства $V$, возмущающего полицикл $\gamma$ с характеристическими числами седел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, неравенство $\mathcal{L}_n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \neq 0$ задает условие типичности, накладываемое на исходное поле $v_0$. Действительно, пусть невозмущенный полицикл $\gamma$ исходного векторного поля $v_0$ образован седлами $S_1, \dots, S_n$ с характеристическими числами $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ соответственно, причем некоторые из седел могут совпадать. Если никакие два седла не совпадают, то все характеристические числа являются независимыми величинами, принимающими произвольные положительные значения. Поскольку из леммы 3 следует, что многочлен $\mathcal{L}_n$ не тождественно равен нулю, то множество значений характеристических чисел, задаваемых неравенством (1), открыто и всюду плотно в $\mathbb{R}_{>0}^n$. Предположим, что некоторые из седел совпали. Значит, совпали и их характеристические числа. Но в силу леммы 3 снова получаем, что результант $\mathcal{R}_{n-1}$ системы (47) при отождествлении некоторых характеристических чисел остается нетривиальным. Следовательно, неравенство (1) задает условие типичности. § 3. Нетривиальность результантаВ этом параграфе мы докажем лемму 3, что завершит доказательство теоремы 1. Доказательство леммы 3. От противного. Пусть многочлен $\mathcal{R}_{n-1}(\mu)$ тождественно равен нулю. Согласно равенству (31) многочлен $Q_{n-1,1}$ после подстановки $\mu_1=\dots=\mu_{n-1}=\mu$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
Q_{n-1,1}(w_1, \dots, w_{n-1})=(\mu-1) (w_1+\dots+w_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как порождающий многочлены $Q_{n-1,l}$ оператор $\mathfrak{D}_{n-1}$ линеен (см. формулу (33)), то каждый многочлен $Q_{n-1,l}$ можно сократить на множитель $\mu-1$.
Устремим $\mu$ к единице. Тогда согласно формуле (33) оператор $\mathfrak{D}_{n-1}=\mathfrak{D}_{n-1}(\mu, w_1, \dots, w_{n-1})$ в пределе перейдет в оператор
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathfrak{D}}_{n-1}=- \biggl( w_1^2\frac{\partial}{\partial w_1}+\dots+ w_{n-1}^2\frac{\partial}{\partial w_{n-1}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, после деления на $\mu-1$ и перехода к пределу $\mu \to 1$ многочлены $({1}/(\mu-1))Q_{n-1,l}$ перейдут в следующие многочлены:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{Q}_{n-1,1}&=\frac{1}{\mu-1} Q_{n-1,1}=w_1+\dots+w_{n-1}, \\ \overline{Q}_{n-1,l} &=\overline{\mathfrak{D}}_{n-1}^{\,l-1} \overline{Q}_{n-1,1} =\overline{\mathfrak{D}}_{n-1}^{\,l-1} (w_1+\dots+w_{n-1}) \\ &=(-1)^{l-1} (l-1)!\,(w_1^l+\dots+w_{n-1}^l), \qquad l=1, \dots, n-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из нашего предположения и свойства результанта следует, что для любого $\mu \neq 1$ система уравнений (49) имеет на пространстве $\mathbb{C}P^{n-2}$ хотя бы одно решение, которое мы обозначим через $w(\mu)$. Поскольку проективное пространство $\mathbb{C}P^{n-2}$ – компакт, то существует (не обязательно единственная) предельная точка $w(1) \in \mathbb{C}P^{n-2}$, к которой накапливаются точки $w(\mu)$ при $\mu \to 1$. Так как многочлены $({1}/(\mu-1)) Q_{n-1,l}$ непрерывно зависят от параметра $\mu$, то для любого $l=1,\dots,n-1$ многочлен $\overline{Q}_{nl}$ обращается в нуль в точке $w(1)$. Таким образом, чтобы придти к противоречию, нам достаточно показать, что система из симметрических многочленов
$$
\begin{equation}
p_l(w_1, \dots, w_{n-1})=w_1^l+\dots+w_{n-1}^l=0, \qquad l=1, \dots, n-1,
\end{equation}
\tag{51}
$$
не имеет решения в пространстве $\mathbb{C}P^{n-2}$. Отсутствие нетривиальных комплексных решений у системы (51) – хорошо известный факт. Докажем его для полноты.
Рассмотрим следующие симметрические многочлены:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma_0 (w_1, \dots, w_{n-1})=1, \nonumber \\ \sigma_l (w_1, \dots, w_{n-1})=\sum_{1\leqslant i_1 < \dots < i_l\leqslant n-1} w_{i_1} \dots w_{i_l}, \qquad l=1, \dots, n-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{52}
$$
Как известно, симметрические многочлены выражаются друг через друга. В частности, многочлены $p_l$ и $\sigma_l$ связывает тождество Ньютона (см. [10; п. 11.1])
$$
\begin{equation*}
l \sigma_l=\sum _{i=1}^l (-1)^{i-1} \sigma_{l-i} p_i, \qquad l=1, \dots, n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу соотношения (51) приходим к системе Заметим, что если бы у системы (53) имелось хотя бы одно нетривиальное решение $(w_1, \dots, w_{n-1})$, то согласно теореме Виета многочлен имел бы хотя бы один отличный от нуля корень. Но это неверно, что приводит нас к противоречию. Следовательно, многочлен $\mathcal{R}_{n-1}(\mu)$ нетривиален. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1 немедленно следует из этой леммы (см. п. 2.7). § 4. Доказательство теоремы 2Случай $n=1$ рассмотрен в доказательстве теоремы 1. Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_1(\lambda_1)=\lambda_1-1=\Lambda_1(\lambda_1).
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$, $3$ и $4$ план доказательства следующий. Сначала находим результант $\mathcal{R}_{n-1}$, непосредственно решая систему (49). Искомый многочлен $\mathcal{L}_n$ будет выражаться через результант $\mathcal{R}_{n-1}$ посредством формулы (50). Случай $n=2$. Согласно равенству (31) в этом случае система (49) состоит из одного уравнения $(\mu_1-1)w_1=0$, которое имеет решение $w_1 \neq 0$ тогда и только тогда, когда равен нулю многочлен Из формулы (50) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}_2(\lambda_1, \lambda_2)=(\lambda_1\lambda_2-1)(\lambda_1-1)(\lambda_2-1)=\Lambda_1(\lambda_1, \lambda_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $n=3$. Воспользовавшись рекуррентным соотношением (32), получаем, что система (49) в этом случае имеет вид
$$
\begin{equation}
Q_{22}(w_1,w_2)=-(\mu_1-1)w_1^2+(\mu_1-1)(\mu_2-1)w_1w_2-(\mu_2-1)w_2^2=0.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Рассмотрим следующую линейную комбинацию:
$$
\begin{equation}
Q_{22}(w_1, w_2)+(w_1+w_2)Q_{21}(w_1, w_2)=(\mu_1\mu_2-1)w_1w_2=0.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Очевидно, что система (55), (57) эквивалентна системе (55), (56). Заметим, что система (55), (57) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда равен нулю многочлен
$$
\begin{equation}
\mathcal{R}_2(\mu_1, \mu_2)=(\mu_1\mu_2-1)(\mu_1-1)(\mu_2-1).
\end{equation}
\tag{58}
$$
Из формулы (50) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}_3(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)=(\lambda_1\lambda_2\lambda_3-1)(\lambda_1\lambda_2-1) (\lambda_1\lambda_3-1)(\lambda_2\lambda_3-1) \\ &\quad\qquad\times(\lambda_1-1)(\lambda_2-1)(\lambda_3-1) =\Lambda_3(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $n=4$. Чтобы выписать систему (48) при $n=4$, вычислим многочлены $Q_{31}$, $Q_{32}$ и $Q_{33}$. По формуле (31) имеем Согласно формуле (33) оператор $\mathfrak{D}_3$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}_3=(w_1, w_2, w_3) \begin{pmatrix} -1 & \mu_1-1 & \mu_1-1 \\ 0 & -1 & \mu_2-1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \, \dfrac{\partial}{\partial w_1} \\ w_2 \, \dfrac{\partial}{\partial w_2} \\ w_3 \, \dfrac{\partial}{\partial w_3} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из рекуррентной формулы (34) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_{32}=\mathfrak{D}_3 Q_{31}=- \sum _{i=1}^3 (\mu_i-1) w_i^2+\sum _{\substack{i,j=1 \\ i<j}}^3 (\mu_i-1)(\mu_j-1) w_i w_j, \\ Q_{33}=\mathfrak{D}_3 Q_{32}=- 2\sum _{i=1}^3 (\mu_i-1) w_i \mathfrak{D}_3 w_i\,{+}\sum _{\substack{i,j=1 \\ i<j}}^3 (\mu_i-1)(\mu_j-1) (w_i \mathfrak{D}_3 w_j+w_j \mathfrak{D}_3 w_i). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим идеал в кольце $\mathbb{Z}[\mu_1, \mu_2, \mu_3, w_1, w_2, w_3]$, образованный многочленами $Q_{31}$, $Q_{32}$ и $Q_{33}$, и упростим его образующие. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{Q}_{31}=Q_{31}=\sum _{i=1}^3 (\mu_i-1)w_i, \\ \widetilde{Q}_{32}=Q_{32}+(w_1+w_2+w_3)Q_{31} =\sum _{\substack{i,j=1 \\ i<j}}^3 (\mu_i \mu_j-1) w_i w_j, \\ \widetilde{Q}_{33}=\mathfrak{D}_3 \widetilde{Q}_{32} =Q_{33}+(w_1+w_2+w_3)Q_{32}+Q_{31} \mathfrak{D}_3 (w_1+ w_2+w_3). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим образующую $\widetilde{Q}_{33}$ на еще более простую:
$$
\begin{equation*}
\widehat{Q}_{33}=\widetilde{Q}_{33}-\bigl(-w_1+(\mu_3-2)w_2+(2\mu_3-3)w_3\bigr)\widetilde{Q}_{32}+ (\mu_2\mu_3-1)\widetilde{Q}_{31}.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямое вычисление, которое мы опускаем, показывает, что где
$$
\begin{equation*}
L(w_2, w_3)=w_2(\mu_1\mu_2\mu_3+\mu_1\mu_2+\mu_1\mu_3-\mu_1-2)-w_3(\mu_1\mu_3-1)(\mu_3-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 2. Можем считать, что все три переменные $w_1$, $w_2$ и $w_3$ не равны нулю. Действительно, если какая-то из этих переменных равна нулю, то в силу свойства (35) исходная система из трех уравнений $Q_{31}$, $Q_{32}$ и $Q_{33}$ превращается систему из двух многочленов $Q_{21}$ и $Q_{22}$ от двух других переменных. Следовательно, чтобы найти результант $\mathcal{R}_3$, ответ, полученный из предположения о неравенстве нулю указанных переменных, в конечном счете следует домножить на многочлены $\mathcal{R}_2$ от всевозможных пар переменных $\mu_1, \mu_2, \mu_3$. Рассмотрим систему, образованную многочленами $\widetilde{Q}_{31}$, $\widetilde{Q}_{32}$ и $L$, приравненными к нулю. Пользуясь линейностью многочлена $L$, исключим из полученной системы переменную $w_3$. Приходим к следующей системе из двух уравнений:
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +w_2(\mu_3-1)(2\mu_1\mu_2\mu_3+\mu_1\mu_2-\mu_1 -\mu_2-1)=0,
\end{equation}
\tag{59}
$$
$$
\begin{equation}
w_2 \bigl(w_1(\mu_1\mu_3-1)(2\mu_1\mu_2\mu_3+\mu_1\mu_3 -\mu_1-\mu_3-1) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +w_2(\mu_2\mu_3-1)(\mu_1\mu_2\mu_3+\mu_1\mu_2+\mu_1\mu_3-\mu_1 -2)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{60}
$$
С учетом замечания 2 разделим второе уравнение на $w_2$, перейдя таким образом к линейной системе. Полученная линейная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Выпишем этот определитель:
$$
\begin{equation*}
(\mu_3-1)(\mu_1\mu_3-1)(\mu_1\mu_2\mu_3-1) \bigl(4(\mu_1\mu_2\mu_3-1)-(\mu_1-1)(\mu_2-1)(\mu_3-1)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу замечания 2 этот многочлен следует домножить на результанты $\mathcal{R}_2(\mu_1, \mu_2)$, $\mathcal{R}_2(\mu_1, \mu_3)$ и $\mathcal{R}_2(\mu_2, \mu_3)$, найденные ранее (формула (58)). Выпишем полученный многочлен:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &R^*(\mu_1, \mu_2,\mu_3) =(\mu_1\mu_2\mu_3-1)(\mu_1\mu_2-1)(\mu_1\mu_3-1)^2(\mu_2\mu_3-1) \\ &\qquad\times (\mu_1-1)^2(\mu_2-1)^2(\mu_3-1)^3\bigl(4(\mu_1\mu_2\mu_3-1)-(\mu_1-1)(\mu_2-1)(\mu_3-1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если исходная система, составленная из многочленов $Q_{31}$, $Q_{32}$ и $Q_{33}$, имеет нетривиальное решение при некоторых значениях $\mu_1,\mu_2,\mu_3$, то многочлен $R^*$ равен нулю. Значит, многочлен $R^*$ делится на результант этой системы. Поскольку нам важен не столько сам результант, сколько его множество нулей, то вместо многочлена $R^*$ можно рассмотреть следующий многочлен:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal{R}_3(\mu_1, \mu_2,\mu_3)=(\mu_1\mu_2\mu_3- 1)(\mu_1\mu_2-1)(\mu_1\mu_3-1)(\mu_2\mu_3-1) \\ &\qquad\times (\mu_1-1)(\mu_2-1)(\mu_3-1)\bigl(4(\mu_1\mu_2\mu_3-1)-(\mu_1-1)(\mu_2-1)(\mu_3-1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Тем не менее, вычисления на компьютере показывают, что многочлен (61) и есть результант системы, образованной многочленами $Q_{31}$, $Q_{32}$ и $Q_{32}$. Подставляем многочлен $\mathcal{R}_3$ в формулу (50). Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}_4(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) =\Lambda_4(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) \\ &\qquad\qquad \times \bigl(4(\lambda_1\lambda_2\lambda_3-1)-(\lambda_1-1)(\lambda_2-1)(\lambda_3-1)\bigr) \\ &\qquad\qquad \times\bigl(4(\lambda_1\lambda_2\lambda_4-1)-(\lambda_1-1)(\lambda_2-1)(\lambda_4-1)\bigr) \\ &\qquad\qquad \times \bigl(4(\lambda_1\lambda_3\lambda_4-1)-(\lambda_1-1)(\lambda_3-1)(\lambda_4-1)\bigr) \\ &\qquad\qquad \times \bigl(4(\lambda_2\lambda_3\lambda_4-1)-(\lambda_2-1)(\lambda_3-1)(\lambda_4-1)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что совпадает с утверждением теоремы.
§ 5. Кратные неподвижные точки на действительной прямойЗаметим, что на протяжении большей части статьи мы не апеллировали к тому факту, что функция $\Delta$ есть отображение Пуанкаре некоторого полицикла. По сути мы искали неподвижные точки функции определенного вида, заданной на некотором интервале. Это позволяет переформулировать результат в терминах функций на действительной прямой. Пусть $f_i\colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$, $i=1, \dots, n$, – $C^r$-гладкие функции на действительной полуоси, $r\geqslant n$. Полагаем, что функции $f_i$ непрерывно зависят от параметра $\delta$, пробегающего произвольное топологическое пространство $B$ с некоторой фиксированной точкой $0$. Пусть существуют такие положительные числа $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, что имеют место следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \lim_{\delta, x \to 0} f_i(x)=0, \\ \lim_{\delta, x \to 0} x^q \frac{\partial^q}{\partial x^q}\ln|f_i'(x)|=(-1)^{q-1}(q-1)!\,(\lambda_i-1), \qquad q=1, \dots, r-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{62}
$$
Другими словами, функции $f_i$ ведут себя как степенные функции с показателем $\lambda_i$ (подробнее см. п. 2.4). По аналогии с формулами (10), (11) и (36) введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_i=f_i \circ \dots \circ f_0, \qquad f_0=\mathrm{id}, \\ Z_i=\frac{F_{i-1}'}{F_{i-1}}, \qquad i=1,\dots,n. \\ \mathcal{Z}\colon (\delta, x) \mapsto \bigl(Z_1(\delta, x) : \dots : Z_n(\delta, x)\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующую функцию: Тогда справедливы следующие теоремы.Теорема 3. Существует такой ненулевой многочлен $\mathcal{L}_n\in\mathbb{Z}[\lambda_1, \dots, \lambda_n]$, что для любых чисел $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, удовлетворяющих неравенству кратность любой близкой к нулю (при $\delta \to 0$) неподвижной точки отображения $\Delta$ не превосходит $n$. Теорема 4. Пусть $\mathcal{F}$ – множество всех пар $(\delta, x)$, соответствующих неподвижным точкам функции $\Delta$ кратности $m+2\leqslant r$. Тогда любая предельная при $\delta, x \to 0$ точка $Z$ функции $\mathcal{Z}\big|_{\mathcal{F}}$ удовлетворяет системе где многочлены $Q_{nl}$ задаются формулами (31)–(33). Теорема 5. При $n=1,2,3,4$ следующие многочлены удовлетворяют требованиям теоремы 3: Доказываются данные теоремы дословным повторением доказательств теоремы 1, предложения 5 и теоремы 2 соответственно. Разница состоит лишь в том, что вместо леммы 1 фигурирует данное по условию соотношение (62). Более того, все три теоремы справедливы для конечно гладких функций $f_i$, потому что единственное место в доказательстве основных теорем настоящей статьи, где используется бесконечная гладкость векторных полей, – это та самая лемма 1, которую заменяет формула (62). § 6. Открытые вопросыМы начали статью с описания имеющихся на сегодняшний день результатов, касающихся оценки цикличности полициклов. Может ли изучение кратных предельных циклов помочь в оценке цикличности? Да. Но лишь в оценке снизу. Это можно сформулировать в виде следующих двух гипотез. Пусть $\gamma$ – гиперболический полицикл поля $v_0$ на двумерном ориентируемом многообразии, образованный $n$ (возможно, совпадающими) седлами с характеристическими числами $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Гипотеза 1. Существует такое открытое подмножество $ U \subset \mathbb{R}^n_{>0}$, что для любого набора характеристических чисел $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in U$ в типичном $n$-параметрическом семействе, возмущающем полицикл $\gamma$, рождается предельный цикл кратности $n$ ($n$ предельных циклов). Гипотеза 2. Существует такое открытое (в индуцированной топологии) подмножество $W$ поверхности $\{(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n_{>0} \mid \lambda_1\dotsb\lambda_n=1\}$, что для любого набора характеристических чисел $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in W$ в типичном $(n+1)$-параметрическом семействе, возмущающем полицикл $\gamma$, рождается предельный цикл кратности $n+1$ ($n+1$ предельный цикл). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Duk23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|