| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Диофантовы экспоненты решеток и рост многомерных аналогов неполных частных Э. Р. Бигушевab, О. Н. Германab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9746e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЭкспонента иррациональностиПусть $\theta$ – вещественное число. Экспонентой иррациональности этого числа называется величина
$$
\begin{equation}
\mu(\theta)=\sup\biggl\{\gamma\in\mathbb{R}\biggm|\biggl|\theta-\frac pq\biggr|\leqslant|q|^{-\gamma}\text{ имеет $\infty$ решений в }(q,p)\in\mathbb{Z}^2 \biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Для рациональных чисел экспонента иррациональности, очевидно, равна $\infty$, для иррациональных она не меньше $2$ ввиду теоремы Дирихле о приближении вещественного числа рациональными. Если $\theta$ иррационально, оно раскладывается в бесконечную (обыкновенную) цепную дробь $\theta=[a_0;a_1,a_2,\dots]$. Для каждой подходящей дроби $p_n/q_n=[a_0;a_1,\dots,a_n]$ справедливы неравенства (см. [1]–[3])
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{q_n^2(a_{n+1}+2)}<\biggl|\theta-\frac{p_n}{q_n}\biggr|\leqslant\frac{1}{q_n^2a_{n+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая, что для иррационального $\theta$ равенство (1.1) равносильно равенству
$$
\begin{equation}
\mu(\theta)=\sup\biggl\{\gamma\in\mathbb{R}\biggm|\forall\, n_0>0\ \exists\,n>n_0\colon \biggl|\theta-\frac{p_n}{q_n}\biggr|\leqslant|q_n|^{-\gamma} \biggr\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
получаем классическое соотношение, связывающее $\mu(\theta)$ с ростом неполных частных,
$$
\begin{equation}
\mu(\theta)=2+\limsup_{n\to\infty}\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $q_0,q_1,q_2,\dots$ – последовательность знаменателей подходящих дробей $\theta$. Многие утверждения о цепных дробях имеют многомерные аналоги. В настоящей работе мы исследуем с этой точки зрения соотношение (1.3), интерпретируем его геометрически и доказываем трехмерный аналог неравенства
$$
\begin{equation*}
\mu(\theta)\leqslant 2+\limsup_{n\to\infty}\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве многомерного обобщения цепных дробей мы рассмотрим полиэдры Клейна. В двумерном случае, соответствующем обыкновенным цепным дробям, полиэдры Клейна принято называть полигонами Клейна. Полигоны КлейнаЦепные дроби имеют весьма изящную геометрическую интерпретацию, восходящую к работе Ф. Клейна [4]. Мы будем работать с ее естественным “расширением”, требующим два числа. Такой подход позволяет достаточно эффективно использовать методы геометрии чисел и линейной алгебры. Пусть $\theta_1$, $\theta_2$ – различные вещественные числа. Рассмотрим линейные формы $L_1$, $L_2$ от двух переменных с коэффициентами, записанными в строчках матрицы
$$
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix} \theta_1 & -1 \\ \theta_2 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Рассмотрим выпуклые оболочки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{K}_1=\operatorname{conv}\bigl(\bigl\{\mathbf z\in\mathbb{Z}^2\setminus\{\mathbf 0\}\bigm|L_1(\mathbf z)\geqslant0,\ L_2(\mathbf z)\leqslant0 \bigr\}\bigr), \\ \mathcal{K}_2=\operatorname{conv}\bigl(\bigl\{\mathbf z\in\mathbb{Z}^2\setminus\{\mathbf 0\}\bigm|L_1(\mathbf z)\leqslant0,\ L_2(\mathbf z)\leqslant0 \bigr\}\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти выпуклые оболочки (рис. 1), равно как и $-\mathcal{K}_1$, $-\mathcal{K}_2$, называются полигонами Клейна. Целочисленно-комбинаторная структура границ $\partial\mathcal{K}_1$ и $\partial\mathcal{K}_2$ тесно связана с цепными дробями чисел $\theta_1$ и $\theta_2$. Подробное описание этой связи можно найти, к примеру, в работах [5], [6] (см. также книгу [7]). Здесь же мы лишь укажем на следующий ключевой факт. Допустим, справедливо Именно такой случай изображен на рис. 1. Тогда координаты вершин полигонов $\mathcal{K}_1$ и $\mathcal{K}_2$ равны (с точностью до знаков) знаменателям и числителям подходящих дробей чисел $\theta_1$ и $\theta_2$, а целочисленные длины ребер равны соответствующим неполным частным этих чисел. Напомним, что целочисленной длиной целочисленного отрезка (т.е. отрезка, концы которого имеют целые координаты) называется количество пустых целочисленных отрезков, в нем содержащихся. Таким образом, каждому ребру полигона Клейна “приписывается” соответствующее ему неполное частное. При этом если $\mathbf v=(q_n,p_n)$, где $p_n/q_n$ – подходящая дробь числа $\theta_1$, то ребра, сходящиеся в этой вершине, имеют целочисленные длины, равные неполным частным $a_n$ и $a_{n+2}$ числа $\theta_1$. Неполные частные можно также приписать и всем вершинам. Причина этого в том, что существует биекция (рис. 2) между вершинами полигона $\mathcal{K}_1$ и ребрами полигона $\mathcal{K}_2$, при которой вершина $\mathbf v$ соответствует ребру целочисленной длины
$$
\begin{equation}
\operatorname{ang}(\mathbf v)=|{\det(\mathbf r_1,\mathbf r_2)}|,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ суть примитивные целочисленные векторы, параллельные ребрам, инцидентным вершине $\mathbf v$. На рис. 2 имеем $\mathbf r_1=\mathbf w-\mathbf v$, $\mathbf r_2=\mathbf u-\mathbf v$. Величину $\operatorname{ang}(\mathbf v)$ называют целочисленным углом при вершине $\mathbf v$. При этом если $\mathbf v=(q_n,p_n)$, то $\operatorname{ang}(\mathbf v)=a_{n+1}$ (см. рис. 1). Таким образом, полигоны Клейна, оснащенные целочисленными длинами ребер и целочисленными углами при вершинах, можно рассматривать как геометрическую интерпретацию цепных дробей. Если быть точным – пар цепных дробей. При выполнении условия (1.5) цепная дробь числа $\theta_1$ соответствует части описанной конструкции, заключенной в первом квадранте. Если условие (1.5) не выполняется, указанное выше соответствие между вершинами и подходящими дробями может нарушаться, но лишь в некоторой (возможно, большой) окрестности начала координат. Если, допустим, $\theta_1>1$, но $0<\theta_2<\theta_1$, то рассмотрим произвольное число $\theta'_2$, удовлетворяющее условию $-1<\theta'_2<0$, и соответствующие числам $\theta_1$, $\theta'_2$ полигоны Клейна $\mathcal{K}'_1$, $\mathcal{K}'_2$. Тогда множества $\partial\mathcal{K}_1\cap\partial\mathcal{K}'_1$ и $\partial\mathcal{K}_2\cap\partial\mathcal{K}'_2$ будут бесконечными в одну сторону ломаными, на которых будет “записана” последовательность неполных частных числа $\theta_1$, начиная с некоторого индекса. Вершины же этих ломаных будут соответствовать подходящим дробям числа $\theta_1$ с индексами, большими некоторой границы. Итак, если $\mathbf v$ – достаточно далекая вершина одного из полигонов Клейна, то $\mathbf v=(\pm q_n,\pm p_n)$, где $p_n/q_n$ – подходящая дробь одного из чисел $\theta_1$, $\theta_2$. Кроме того, $\operatorname{ang}(\mathbf v)=a_{n+1}$, где $a_{n+1}$ – неполное частное этого же числа. Получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}\asymp\frac{\log(\operatorname{ang}(\mathbf v))}{\log|\mathbf v|} \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, если обозначить через $\mathcal{V}=\mathcal{V}(\pm\mathcal{K}_1,\pm\mathcal{K}_2)$ множество вершин полигонов Клейна $\mathcal{K}_1$, $-\mathcal{K}_1$, $\mathcal{K}_2$, $-\mathcal{K}_2$, то равенство (1.3) (точнее, его аналог для двух чисел) можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\max\bigl(\mu(\theta_1),\mu(\theta_2)\bigr) =2+\displaystyle\limsup_{\substack{ \mathbf v\in \mathcal{V},\ |\mathbf v|>1 \\ |\mathbf v|\to\infty }} \frac{\log(\operatorname{ang}(\mathbf v))}{\log|\mathbf v|}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Здесь и везде далее $|\cdot|$ обозначает sup-норму. Диофантова экспонента решеткиДля решеток в произвольной размерности определено понятие диофантовой экспоненты. Положим для каждого $\mathbf x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ Определение 1. Пусть $\Lambda$ – произвольная решетка в $\mathbb{R}^n$ полного ранга. Диофантовой экспонентой этой решетки называется величина Из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что $\omega(\Lambda)\geqslant0$ (см. также [8], [9]). Вернемся к цепным дробям чисел $\theta_1$, $\theta_2$ и полигонам Клейна $\mathcal{K}_1$, $\mathcal{K}_2$. Пусть, как и прежде, $\mathcal{V}$ – множество вершин полигонов $\pm\mathcal{K}_1$, $\pm\mathcal{K}_2$. Пусть матрица $A$ задается равенством (1.4). Рассмотрим решетку
$$
\begin{equation*}
\Lambda=A\mathbb{Z}^2=\bigl\{(L_1(\mathbf z),L_2(\mathbf z))\bigm|\mathbf z\in\mathbb{Z}^2 \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При каждом $\gamma\geqslant0$ множество
$$
\begin{equation}
\bigl\{\mathbf x\in\mathbb{R}^2\bigm|\Pi(\mathbf x)\geqslant|\mathbf x|^{-\gamma} \bigr\}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
является объединением четырех выпуклых множеств. Если $\omega(\Lambda)=\infty$, то ни при каком $\gamma\in\mathbb{R}$ множество (1.9) не содержит $A(\mathcal{K}_1\,{\cup}\,\mathcal{K}_2)$. Если же $\omega(\Lambda)\,{<}\,\infty$, то
$$
\begin{equation*}
\omega(\Lambda)=\inf\bigl\{\gamma\in\mathbb{R}\bigm| A(\mathcal{K}_1\cup\mathcal{K}_2)\text{ содержится в множестве (1.9)} \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку же каждый полигон $\mathcal{K}_i$ является выпуклой оболочкой своих вершин, то выполнение условия $\Pi(\mathbf x)\geqslant|\mathbf x|^{-\gamma}$ для всех точек множества $A(\mathcal{V})$ влечет выполнение этого условия и для всех ненулевых точек решетки $\Lambda$. Следовательно, в определении $\omega(\Lambda)$ (см. (1.8)) множество всех точек решетки $\Lambda$ можно заменить на множество $A(\mathcal{V})$:
$$
\begin{equation}
\omega(\Lambda)=\sup\bigl\{\gamma\in\mathbb{R}\bigm|\exists\,\infty\ \mathbf x\in A(\mathcal{V})\colon \Pi(\mathbf x)\leqslant|\mathbf x|^{-\gamma} \bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Далее, если $\mathbf v=(q,p)$ – точка из $\mathcal{V}$, то для $\mathbf w=A\mathbf v=\bigl(L_1(\mathbf v),L_2(\mathbf v)\bigr)$ имеем при достаточно большом $|q|$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} \Pi(\mathbf w)^2 &=|q\theta_1-p|\cdot|q\theta_2-p| \\ &\asymp|q|\min\bigl(|q\theta_1-p|,|q\theta_2-p|\bigr) =q^2\min\biggl(\biggl|\theta_1-\frac pq\biggr|,\biggl|\theta_2-\frac pq\biggr|\biggr), \end{split} \\ |\mathbf w|\asymp|\mathbf v|\asymp|q|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, при достаточно большом $|q|$
$$
\begin{equation}
\Pi(\mathbf w)\asymp|\mathbf w|^{-\gamma} \quad\Longleftrightarrow\quad \min\biggl(\biggl|\theta_1-\frac pq\biggr|,\biggl|\theta_2-\frac pq\biggr|\biggr)\asymp q^{-2-2\gamma}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Эквивалентность (1.11) ввиду (1.10) и (1.2) приводит к равенству
$$
\begin{equation}
\max\bigl(\mu(\theta_1),\mu(\theta_2)\bigr)=2+2\omega(\Lambda).
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Комбинируя (1.7) и (1.12), получаем геометрическую интерпретацию равенства (1.3)
$$
\begin{equation*}
\omega(\Lambda)= \frac12\limsup_{\substack{ \mathbf v\in \mathcal{V},\ |\mathbf v|>1 \\ |\mathbf v|\to\infty }}\frac{\log(\operatorname{ang}(\mathbf v))}{\log|\mathbf v|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно целью настоящей работы является обобщение на трехмерный случай неравенства
$$
\begin{equation*}
\omega(\Lambda)\leqslant\frac12\limsup_{\substack{ \mathbf v\in \mathcal{V},\ |\mathbf v|>1 \\ |\mathbf v|\to\infty }}\frac{\log(\operatorname{ang}(\mathbf v))}{\log|\mathbf v|}.
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Формулировка основного результатаПусть $L_1$, $L_2$, $L_3$ – линейно независимые линейные формы от трех переменных. Нулевые подпространства форм $L_1$, $L_2$, $L_3$ разбивают $\mathbb{R}^3$ на восемь симплициальных (замкнутых) конусов. В каждом из них рассмотрим выпуклую оболочку ненулевых целых точек. Обозначим их $\mathcal{K}_i$, $i=1,\dots,8$ (в произвольном порядке). Эти выпуклые оболочки называются полиэдрами Клейна (соответствующими линейным формам $L_1$, $L_2$, $L_3$). Если формы $L_1$, $L_2$, $L_3$ не обращаются в нуль в ненулевых целых точках, то, как показано в [10], все $\mathcal{K}_i$ суть обобщенные многогранники (т.е. их пересечения с любыми компактными многогранниками также являются многогранниками). В частности, в этом случае в каждой вершине полиэдра Клейна сходится конечное число ребер. Стало быть, мы можем определить для реберной звезды вершины полиэдра Клейна многомерный аналог целочисленного угла. Вообще говоря, такой многомерный аналог можно определять по-разному. Мы воспользуемся понятием определителя реберной звезды, введенным в работах [11], [12]. Пусть $\mathcal{K}$ – один из полиэдров $\mathcal{K}_i$ и пусть $\mathbf v$ – какая-то его вершина. Пусть $\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_k$ – примитивные целочисленные векторы, параллельные ребрам полиэдра $\mathcal{K}$, инцидентным вершине $\mathbf v$. Обозначим через $\operatorname{St}_{\mathbf v}$ реберную звезду вершины $\mathbf v$. Поскольку векторы $\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_k$ имеют целые координаты и все слагаемые в (2.1) отличны от нуля, $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}$ является положительным целым числом. Нетрудно доказать, что определяемый таким образом $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}$ равняется объему суммы Минковского отрезков $[\mathbf 0,\mathbf r_1],\dots,[\mathbf 0,\mathbf r_k]$. Ясно также, что аналогичная величина в двумерном случае в точности совпадает с целочисленным углом при вершине (см. (1.6)). Следующее утверждение являются основным результатом настоящей работы. Теорема. Рассмотрим решетку Пусть формы $L_1$, $L_2$, $L_3$ не обращаются в нуль в ненулевых целых точках. Пусть $\mathcal{K}_1,\dots,\mathcal{K}_8$ – полиэдры Клейна, соответствующие этим линейным формам, и пусть $\mathcal{V}$ – множество всех их вершин. Тогда § 3. Доказательство теоремыПо аналогии с двумерным случаем обозначим через $A$ матрицу разиера $3\times3$, в строках которой записаны коэффициенты линейных форм $L_1$, $L_2$, $L_3$. Не ограничивая общности, можно считать, что $\det A=1$, ибо обе части неравенства (2.2) не меняются при гомотетии с центром в начале координат. Действительно, если неравенство $\Pi(\mathbf x)\leqslant|\mathbf x|^{-\gamma}$ имеет бесконечно много решений в $\mathbf x\,{\in}\,\Lambda$, то и при любых фиксированных положительных $\lambda$ и $\varepsilon$ неравенство $\Pi(\lambda\mathbf x)\leqslant|\lambda\mathbf x|^{-\gamma+\varepsilon}$ также имеет бесконечно много решений в $\mathbf x\in\Lambda$, ибо $\Pi(\lambda\mathbf x)=\lambda\Pi(\mathbf x)$. Аналогично, если неравенство $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}\geqslant|\mathbf v|^{-\gamma}$ имеет бесконечно много решений в $\mathbf v\in\mathcal{V}$, то и при любых фиксированных положительных $\lambda$ и $\varepsilon$ неравенство $\lambda^3\det\operatorname{St}_{\mathbf v}\geqslant|\lambda\mathbf v|^{-\gamma-\varepsilon}$ также имеет бесконечно много решений в $\mathbf v\in\mathcal{V}$. Итак, считаем, что $\det A=1$. Тогда Положим Тогда $\mathcal{K}_1',\dots,\mathcal{K}_8'$ суть выпуклые оболочки ненулевых точек решетки $\Lambda$ в каждом из восьми ортантов. Они называются полиэдрами Клейна решетки $\Lambda$. Рассмотрим $\mathcal{W}=A(\mathcal{V})$ – множество всех их вершин. Как и в двумерном случае, воспользуемся тем, что точки множества $\mathcal{W}$ являются локальными минимумами функции $\Pi(\mathbf x)$ (рассматриваемой на объединении полиэдров $\mathcal{K}_1',\dots,\mathcal{K}_8'$). Тогда
$$
\begin{equation}
\omega(\Lambda) =\limsup_{\substack{\mathbf x\in\Lambda,\ |\mathbf x|>1 \\ |\mathbf x|\to\infty}}\frac{\log\bigl(\Pi(\mathbf x)^{-1}\bigr)}{\log|\mathbf x|} =\limsup_{\substack{\mathbf w\in\mathcal{W},\ |\mathbf w|>1 \\ |\mathbf w|\to\infty}}\frac{\log\bigl(\Pi(\mathbf w)^{-1}\bigr)}{\log|\mathbf w|}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Для каждой точки $\mathbf w\in\mathcal{W}$ обозначим через $\operatorname{St}_{\mathbf w}$ ее реберную звезду, т.е. объединение ребер полиэдра $\mathcal{K}_i'$, вершиной которого она является. Определитель $\det\operatorname{St}_{\mathbf w}$ этой реберной звезды определяется аналогично (2.1). Каждой точке $\mathbf w\in\mathcal{W}$ соответствует точка $\mathbf v\in\mathcal{V}$ такая, что $\mathbf w=A\mathbf v$. При таком соответствии $\operatorname{St}_{\mathbf w}=A(\operatorname{St}_{\mathbf v})$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\det\operatorname{St}_{\mathbf w}=\det\operatorname{St}_{\mathbf v}, \qquad |\mathbf w|\asymp|\mathbf v| \quad\text{при }\ |\mathbf v|\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\det\operatorname{St}_{\mathbf w}$ так же, как и $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}$, является положительным целым числом. Таким образом, ввиду (3.1) для доказательства (2.2) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\frac{\log\bigl(\Pi(\mathbf w)^{-1}\bigr)}{\log|\mathbf w|} \leqslant\frac23\cdot\frac{\log(\det\operatorname{St}_{\mathbf w})}{\log|\mathbf w|}+o(1)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
при $\mathbf w\in\mathcal{W}$, $|\mathbf w|\to\infty$. На самом деле мы докажем нечто большее. Справедливо следующее локальное утверждение. Лемма. Существует такая положительная константа $c$, что для любой точки $\mathbf w\in\mathcal{W}$ справедливо Доказательство. Положим $\varepsilon$ равным произвольному достаточно малому положительному числу, например, Если $\Pi(\mathbf w)\geqslant\varepsilon$, то при $c_1=\varepsilon^{3/2}$ справедливо $\det\operatorname{St}_{\mathbf w}\geqslant1\geqslant c_1\Pi(\mathbf w)^{-3/2}$. Будем далее считать, что
Разобьем наше рассуждение на несколько шагов. Шаг 1: гиперболический поворот. Пусть $\mathbf w=(w_1,w_2,w_3)$. Рассмотрим диагональный оператор
$$
\begin{equation*}
D=\operatorname{diag}\biggl(\frac{\Pi(\mathbf w)}{w_1},\frac{\Pi(\mathbf w)}{w_2},\frac{\Pi(\mathbf w)}{w_3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf u=D\mathbf w, \qquad \Lambda_{\mathbf w}=D\Lambda, \qquad \mathcal{K}_{\mathbf w}=D\mathcal{K}_i',
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{K}_i'$ – тот полиэдр, вершиной которого является $\mathbf w$. Тогда $\mathcal{K}_{\mathbf w}$ – полиэдр Клейна решетки $\Lambda_{\mathbf w}$, соответствующий положительному ортанту (т.е. конусу, состоящему из точек с неотрицательными координатами), и
$$
\begin{equation*}
\det\Lambda_{\mathbf w}=\det\Lambda=1, \qquad \det\operatorname{St}_{\mathbf u}=\det\operatorname{St}_{\mathbf w},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $|\det D|=1$. При этом все координаты точки $\mathbf u$ равны $\Pi(\mathbf w)$. В частности,
$$
\begin{equation*}
|\mathbf u|=\Pi(\mathbf u)=\Pi(\mathbf w)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2: короткие и длинные векторы. Покажем, что вектор $\mathbf u$ является кратчайшим вектором решетки $\Lambda_{\mathbf w}$ в sup-норме. Рассмотрим куб $\mathcal{B}$, являющийся замкнутым шаром радиуса $|\mathbf u|$ в sup-норме. Это куб с центром в начале координат $\mathbf 0$ и ребром $2|\mathbf u|$. Поскольку $\mathbf u$ – вершина полиэдра $\mathcal{K}_{\mathbf w}$, то существует опорная к $\mathcal{K}_{\mathbf w}$ гиперплоскость, пересекающаяся с $\mathcal{K}_{\mathbf w}$ по точке $\mathbf u$. Эта гиперплоскость делит куб $\mathbf u+\mathcal{B}$ на две симметричные относительно $\mathbf u$ части. В той части, которая содержит точку $\mathbf 0$, нет точек решетки $\Lambda_{\mathbf w}$, отличных от $\mathbf 0$ и $\mathbf u$. Стало быть, во всем кубе $\mathbf u+\mathcal{B}$ нет точек решетки, отличных от $\mathbf 0$, $\mathbf u$, $2\mathbf u$. Значит, и куб $\mathcal{B}$ не содержит точек $\Lambda_{\mathbf w}$, отличных от $\mathbf 0$, $\mathbf u$, $-\mathbf u$. Таким образом, $\mathbf u$ действительно является кратчайшим вектором решетки $\Lambda_{\mathbf w}$ в sup-норме. Пусть $\mathbf p_1,\dots,\mathbf p_k$ – примитивные векторы решетки $\Lambda_{\mathbf w}$, параллельные ребрам $\mathcal{K}_{\mathbf w}$, инцидентным вершине $\mathbf u$. Эти векторы – образы при действии оператора $DA$ векторов $\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_k$ из определения 2 и
$$
\begin{equation*}
\det\operatorname{St}_{\mathbf u}=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<i_3\leqslant k}|{\det(\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Упорядочим $\mathbf p_1,\dots,\mathbf p_k$ по возрастанию их евклидовой нормы, для которой будем использовать обозначение $|\,{\cdot}\,|_2$. Для любого $\mathbf p_i$ такого, что $\mathbf u$, $\mathbf p_1$, $\mathbf p_i$ линейно независимы, справедливо $|\mathbf u|_2\,|\mathbf p_i|_2^2\,{\geqslant}\,|\mathbf u|_2\,|\mathbf p_1|_2|\mathbf p_i|_2\,{\geqslant}\, |{\det(\mathbf u,\mathbf p_1,\mathbf p_i)}|\,{\geqslant}\det\Lambda_{\mathbf w}\,{=}\,1$, т.е. $|\mathbf p_i|_2\geqslant|\mathbf u|_2^{-1/2}$, откуда получаем
$$
\begin{equation}
|\mathbf p_i|\geqslant \frac{|\mathbf p_i|_2}{\sqrt3} \geqslant\frac{|\mathbf u|_2^{-1/2}}{\sqrt3}\geqslant\frac{(|\mathbf u|\sqrt3\,)^{-1/2}}{\sqrt3} =\frac{|\mathbf u|}{3^{3/4}|\mathbf u|^{3/2}}>\frac{|\mathbf u|}{3^{3/4}\varepsilon^{3/2}} >\frac{4|\mathbf u|}{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Отметим на будущее, что для такого $\mathbf p_i$ справедливо
$$
\begin{equation}
\mathbf u+\frac{4|\mathbf u|}{|\mathbf p_i|}\mathbf p_i\in(1-\varepsilon)\mathbf u+\mathcal{O}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Действительно, поскольку $\mathbf p_i\in-\mathbf u+\mathcal{O}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{4|\mathbf u|}{|\mathbf p_i|}\mathbf p_i \in-\frac{4|\mathbf u|}{|\mathbf p_i|}\mathbf u+\mathcal{O}\subset-\varepsilon\mathbf u+\mathcal{O},
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно (3.5).
Шаг 3: полигон Клейна. Рассмотрим двумерное подпространство $\pi$, порожденное векторами $\mathbf u$, $\mathbf p_1$ и решетку $\Gamma=\pi\cap\Lambda_{\mathbf w}$. Поскольку треугольник с вершинами $\mathbf 0$, $\mathbf u$, $\mathbf u+\mathbf p_1$ не содержит точек решетки $\Lambda_{\mathbf w}$, отличных от вершин, то векторы $\mathbf u$, $\mathbf p_1$ образуют базис решетки $\Gamma$. Обозначим через $\mathcal{C}$ пересечение $\pi$ с положительным ортантом и рассмотрим $\mathcal{K}_\pi=\operatorname{conv}(\mathcal{C}\cap\Gamma\setminus\{\mathbf 0\})$ – полигон Клейна решетки $\Gamma$, соответствующий конусу $\mathcal{C}$. Тогда $\mathbf p_1$ – примитивный вектор решетки $\Gamma$, параллельный одному из ребер $\mathcal{K}_\pi$, инцидентных вершине $\mathbf u$. Обозначим через $\mathbf p_1'$ примитивный вектор $\Gamma$, параллельный второму из этих ребер. Отметим, что $\mathbf p_1'$, вообще говоря, не обязательно является одним из $\mathbf p_2,\dots,\mathbf p_k$. Векторы $\mathbf u$, $\mathbf p_1'$ также образуют базис решетки $\Gamma$. Стало быть, точки $\mathbf p_1$ и $\mathbf p_1'$ находятся на одинаковых расстояниях (и по разные стороны) от прямой, порожденной $\mathbf u$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathbf p_1+\mathbf p_1'=t\mathbf u, \qquad t\in\mathbb{N}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
(ср. с рис. 2). Таким образом, если положить для $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)$ то ввиду (3.6) получим $M(\mathbf p_1+\mathbf p_1')\geqslant M(\mathbf u)=3|\mathbf u|$, откуда получаем либо $M(\mathbf u+\mathbf p_1)\geqslant\frac92|\mathbf u|$, либо $M(\mathbf u+\mathbf p_1')\geqslant\frac92|\mathbf u|$.
Учитывая (3.4), заключаем, что среди точек $\mathbf u+\mathbf p_i$, $i=1,\dots,k$, неравенству удовлетворяет не более чем одна, причем это или $\mathbf u+\mathbf p_1$, или $\mathbf u+\mathbf p_2$.Шаг 4: сечение и выпуклая оболочка. Положим
$$
\begin{equation*}
M_1(\mathbf x)=x_1+x_2+\frac94x_3, \qquad M_2(\mathbf x)=x_1+\frac94x_2+x_3, \qquad M_3(\mathbf x)=\frac94x_1+x_2+x_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой точки $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)$, удовлетворяющей неравенствам
$$
\begin{equation}
x_1,x_2,x_3\geqslant0, \qquad M_1(\mathbf x),M_2(\mathbf x),M_3(\mathbf x)\leqslant\frac92|\mathbf u|,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
справедливо $x_1,x_2,x_3\leqslant2|\mathbf u|$. Но, как мы заметили выше, в кубе $\mathbf u+\mathcal{B}$ нет точек решетки, отличных от $\mathbf 0$, $\mathbf u$, $2\mathbf u$. Стало быть, никакая из точек $\mathbf u+\mathbf p_i$, $i=1,\dots,k$, не удовлетворяет (3.8). Таким образом, если среди этих точек и существует такая, которая удовлетворяет (3.7), она будет удовлетворять хотя бы одному из неравенств
$$
\begin{equation*}
M_1(\mathbf x)>\frac92|\mathbf u|, \qquad M_2(\mathbf x)>\frac92|\mathbf u|, \qquad M_3(\mathbf x)>\frac92|\mathbf u|.
\end{equation*}
\notag
$$
Не ограничивая общности, можно считать, что эта точка удовлетворяет первому из неравенств. Тогда и для каждого $i=1,\dots,k$ справедливо
$$
\begin{equation*}
M_1(\mathbf u+\mathbf p_i)\geqslant\frac92|\mathbf u|,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку при неотрицательных $x_1$, $x_2$, $x_3$ справедливо $M_1(\mathbf x)\geqslant M(\mathbf x)$.
Обозначим через $\mathcal{O}$ положительный ортант – конус, состоящий из точек с неотрицательными координатами. Рассмотрим плоскость
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}=\biggl\{\mathbf x\in\mathbb{R}^3\biggm|M_1(\mathbf x)=\frac92|\mathbf u| \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и сечения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}=\mathcal{M}\cap\mathcal{O}, \qquad \mathcal{T}=\mathcal{M}\cap(\mathbf u+\mathcal{O}), \qquad \mathcal{P}=\mathcal{M}\cap\mathcal{K}_{\mathbf w}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathbf u+\mathcal{O}\subset\mathcal{K}_{\mathbf w}\subset\mathcal{O}$, то справедливо $\mathcal{T}\subset\mathcal{P}\subset\mathcal{S}$. При этом $\mathcal{T}$ непусто, ибо $M_1(\mathbf u)=\frac{17}4|\mathbf u|<\frac92|\mathbf u|$. Более того, $\mathcal{T}$ является треугольником с вершинами в точках
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac54|\mathbf u|,|\mathbf u|,|\mathbf u|\biggr), \qquad \biggl(|\mathbf u|,\frac54|\mathbf u|,|\mathbf u|\biggr), \qquad \biggl(|\mathbf u|,|\mathbf u|,\frac{10}9|\mathbf u|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal{S}$ является треугольником с вершинами в точках
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac92|\mathbf u|,0,0\biggr), \qquad \biggl(0,\frac92|\mathbf u|,0\biggr), \qquad \biggl(0,0,2|\mathbf u|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal{P}$ является многоугольником с вершинами в точках пересечения отрезков $[\mathbf u,\mathbf u+\mathbf p_i]$, $i=1,\dots,k$, с плоскостью $\mathcal{M}$. При этом из (3.5) следует, что вершины многоугольника $\mathcal{P}$, соответствующие $\mathbf p_i$, не лежащим в подпространстве $\pi$, т.е. линейно независимым с $\mathbf u$ и $\mathbf p_1$, содержатся в
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}_\varepsilon=\mathcal{M}\cap\bigl((1-\varepsilon)\mathbf u+\mathcal{O}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Вершины же, соответствующие $\mathbf p_i$, лежащим в $\pi$, содержатся в отрезке Таким образом,
$$
\begin{equation}
\mathcal{T}\subset\mathcal{P}\subset\operatorname{conv}(\mathcal{T}_\varepsilon\cup\mathcal{I}).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Шаг 5: анализ сечения. Обозначим через $\mathbf a$ точку пересечения плоскости $\mathcal{M}$ с прямой, порожденной вектором $\mathbf u$. Тогда координаты точки $\mathbf a$ равны, эта точка принадлежит отрезку $\mathcal{I}$ и является центром гомотетии треугольников $\mathcal{T}$, $\mathcal{T}_\varepsilon$, $\mathcal{S}$. Выделим в $\mathcal{S}$ три зоны (рис. 3):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_1 & =\biggl\{\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathcal{S}\setminus\mathcal{T} \biggm|x_2<\frac{x_1+x_3}2,\ x_3\leqslant\frac{x_1+x_2}2 \biggr\}, \\ \Omega_2 & =\biggl\{\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathcal{S}\setminus\mathcal{T} \biggm|x_3<\frac{x_1+x_2}2,\ x_1\leqslant\frac{x_2+x_3}2 \biggr\}, \\ \Omega_3 & =\biggl\{\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathcal{S}\setminus\mathcal{T} \biggm|x_1<\frac{x_2+x_3}2,\ x_2\leqslant\frac{x_1+x_3}2 \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отрезок $\mathcal{I}$ имеет непустое пересечение ровно с одним из множеств $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$. На рис. 3 изображен случай пересечения с $\Omega_3$. Разберем подробно этот случай. Остальные два разбираются аналогично. Обозначим через $\mathbf b$ конец отрезка $\mathcal{I}$, не принадлежащий $\Omega_3$. Проведем из точки $\mathbf b$ прямые через нижние вершины треугольника $\mathcal{T}$. Эти прямые отсекают от $\mathcal{T}_\varepsilon$ треугольники $\Delta_1$ и $\Delta_2$. Каждый из них должен содержать хотя бы одну вершину многоугольника $\mathcal{P}$, ибо эти вершины содержатся в $\mathcal{T}_\varepsilon\cup\mathcal{I}$. Пусть $\Delta_1$ содержит вершину, соответствующую $\mathbf p_{i_1}$, и $\Delta_2$ содержит вершину, соответствующую $\mathbf p_{i_2}$. Покажем, что $\Omega_3$ также содержит вершину многоугольника $\mathcal{P}$. Если это не так, то в соотношении (3.9) отрезок $\mathcal{I}$ можно заменить отрезком $[\mathbf a,\mathbf b]$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}\subset\mathcal{P}\subset\operatorname{conv}(\mathcal{T}_\varepsilon\cup[\mathbf a,\mathbf b]).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из предположения, что $\Omega_3$ не содержит вершин многоугольника $\mathcal{P}$, следует, что верхняя вершина $\mathcal{T}$ не принадлежит $\mathcal{P}$, что противоречит включению $\mathcal{T}\subset\mathcal{P}$. Стало быть, в $\Omega_3$ найдется вершина многоугольника $\mathcal{P}$. Пусть она соответствует $\mathbf p_{i_3}$.
Шаг 6: непосредственная оценка. Поскольку $\varepsilon$ мало, найденные векторы $\mathbf p_{i_1}$, $\mathbf p_{i_2}$, $\mathbf p_{i_3}$ удовлетворяют следующим двум условиям: 1) любые два из них линейно независимы с вектором $\mathbf u$; 2) $|{\det(\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})}|\asymp|\mathbf p_{i_1}|\cdot|\mathbf p_{i_2}|\cdot|\mathbf p_{i_3}|$. Причем константы, подразумеваемые знаком $\asymp$, абсолютны, ибо
$$
\begin{equation*}
|\mathbf p_{i_1}|\cdot|\mathbf p_{i_2}|\cdot|\mathbf p_{i_3}|\geqslant |{\det(\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})}|= |\mathbf p_{i_1}\wedge\mathbf p_{i_2}\wedge\mathbf p_{i_3}|\gg_\varepsilon |\mathbf p_{i_1}|\cdot|\mathbf p_{i_2}|\cdot|\mathbf p_{i_3}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря этим свойствам получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Pi(\mathbf u)^3\det(\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})^2 &\asymp |\mathbf u|^3|\mathbf p_{i_1}|^2|\mathbf p_{i_2}|^2|\mathbf p_{i_2}|^2 \\ &\geqslant|{\det(\mathbf u,\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2})\cdot \det(\mathbf u,\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})\cdot \det(\mathbf u,\mathbf p_{i_3},\mathbf p_{i_1})}|\geqslant1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, существует константа $c_2>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\det\operatorname{St}_{\mathbf w}=\det\operatorname{St}_{\mathbf u}\geqslant|{\det(\mathbf p_{i_1},\mathbf p_{i_2},\mathbf p_{i_3})}|\geqslant c_2\Pi(\mathbf u)^{-3/2}=c_2\Pi(\mathbf w)^{-3/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что это неравенство получено в предположении (3.3), остается положить $c=\min(c_1,c_2)$. Из леммы следует (3.2) и, стало быть, (2.2). Теорема доказана. § 4. Об обращении леммыОпишем пример, показывающий, что буквальное обращение нашей леммы невозможно. Возьмем произвольное целое $n\geqslant3$ и положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf e_1=(n,1,0), \qquad \mathbf e_2=(0,n,1), \qquad \mathbf e_3=(1,0,n), \qquad \mathbf v=(1,1,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим конус $\mathcal{C}$ с вершиной в начале координат и ребрами, порожденными векторами $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$, $\mathbf e_3$. Полиэдр Клейна $\mathcal{K}=\operatorname{conv}(\mathcal{C}\,{\cap}\,\mathbb{Z}^3\setminus\{\mathbf 0\})$ имеет три ограниченные грани и три неограниченные. Ограниченные грани суть треугольники $\mathbf v\mathbf e_1\mathbf e_2$, $\mathbf v\mathbf e_2\mathbf e_3$, $\mathbf v\mathbf e_3\mathbf e_1$. Действительно, тетраэдр $\mathbf 0\mathbf v\mathbf e_1\mathbf e_2$ пуст (в том смысле, что он не содержит целых точек, отличных от вершин), ибо он “зажат” между плоскостями $x_3=0$ и $x_3=1$, в то время как векторы $\mathbf e_1\,{-}\,\mathbf 0$ и $\mathbf e_2\,{-}\,\mathbf v$ примитивны. Аналогично, пусты тетраэдры $\mathbf 0\mathbf v\mathbf e_2\mathbf e_3$ и $\mathbf 0\mathbf v\mathbf e_3\mathbf e_1$. Стало быть, в вершине $\mathbf v$ сходятся три грани, $\mathbf v\mathbf e_1\mathbf e_2$, $\mathbf v\mathbf e_2\mathbf e_3$ и $\mathbf v\mathbf e_3\mathbf e_1$. Определитель реберной звезды $\operatorname{St}_{\mathbf v}$ равен
$$
\begin{equation*}
|{\det(\mathbf e_1-\mathbf v,\mathbf e_2-\mathbf v,\mathbf e_3-\mathbf v)}|= \left| \begin{matrix} n-1 & -1 & 0 \\ 0 & n-1 & -1 \\ -1 & 0 & n-1 \end{matrix} \right|= (n-1)^3-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим линейные формы $L_1$, $L_2$, $L_3$ строчками матрицы
$$
\begin{equation*}
A=(n^3+1)^{-2/3} \begin{pmatrix} n^2 & 1 & -n \\ -n & n^2 & 1 \\ 1 & -n & n^2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $L_i(\mathbf e_j)=0$ при $i\neq j$ и $\det A=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda=A\mathbb{Z}^3, \qquad\mathcal{K}'=A\mathcal{K}, \qquad\mathbf w=A\mathbf v.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mathbf w$ – вершина полиэдра $\mathcal{K}'$,
$$
\begin{equation}
\Pi(\mathbf w)^3=L_1(\mathbf v)L_2(\mathbf v)L_3(\mathbf v)=\frac{(n^2-n+1)^3}{(n^3+1)^2}\asymp1 \quad\text{при }\ n\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
\det\operatorname{St}_{\mathbf w}=\det\operatorname{St}_{\mathbf v}=(n-1)^3-1\asymp n^3 \quad\text{при }\ n\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Решетку $\Lambda$, разумеется, можно немного “подправить”, чтобы она не имела ненулевых точек на координатных плоскостях. Например, для малого положительного $\varepsilon$ можно взять вместо $A$ матрицу
$$
\begin{equation*}
A_\varepsilon=A+\begin{pmatrix} 0 & 0 & \varepsilon \\ \varepsilon & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при $\varepsilon$ достаточно малом точка $\mathbf v$ будет оставаться вершиной соответствующего полиэдра Клейна, треугольники $\mathbf v\mathbf e_1\mathbf e_2$, $\mathbf v\mathbf e_2\mathbf e_3$, $\mathbf v\mathbf e_3\mathbf e_1$ будут оставаться его гранями и, стало быть, будет сохраняться реберная звезда $\operatorname{St}_{\mathbf v}$. При этом ввиду (4.1) и (4.2) $\Pi(\mathbf w)$ будет отделено от нуля, в то время как $\det\operatorname{St}_{\mathbf w}$ может быть сколь угодно большим. Итак, буквальное обращение нашей леммы невозможно. Тем не менее уместно отметить, что в [12] доказано, что $\Pi(\mathbf x)$ отделено от нуля на ненулевых точках решетки $\Lambda$ тогда и только тогда, когда ограничены определители реберных звезд и граней полиэдра Клейна решетки $\Lambda$, соответствующего положительному ортанту. Чтобы доказать эту равносильность, необходимо рассматривать вершины как самого полиэдра $\mathcal{K}$, так и смежных с ним – соответствующих другим ортантам. Так мы приходим к двум вопросам, ответы на которые позволили бы обратить неравенство (2.2) (изменив, возможно, константу). Вопрос 1. Верно ли, что если $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}$ велик, то “вблизи” $\mathbf v$ найдется вершина $\mathbf v'$ одного из восьми полиэдров Клейна решетки $\Lambda$ с малым $\Pi(\mathbf v')$? Вопрос 2. Существует ли отличный от $\det\operatorname{St}_{\mathbf v}$ целочисленный аффинный инвариант реберной звезды, для которого справедлив “обратимый” аналог нашей леммы? БлагодарностиАвторы благодарят анонимного рецензента за внимательное чтение статьи и многочисленные полезные замечания, позволившие улучшить изложение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BigGer23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|