| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Конформность по Громову и голоморфность В. А. Зорич Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9744e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ любом курсе комплексного анализа рассматривают связь голоморфности функции $w=f(z)$ и конформности осуществляемого ею отображения соответствующих областей комплексной плоскости. Выясняют геометрический смысл модуля и аргумента производной $f'(z)$, поясняя, что модуль производной дает коэффициент изотропного растяжения, а аргумент – угол поворота в рассматриваемой точке. Редко отмечают, что эти свойства не независимы в том смысле, что если гладкое отображение преобразует бесконечно малые круги в бесконечно малые круги, то это отображение уже сохраняет величины углов. М. Л. Громов следующим образом расширил понятие конформного отображения, сделав его пригодным для отображений пространств разных размерностей. Он предложил считать конформным такое отображение метрических пространств, например, отображение $F\colon {\mathbb R}^{m} \to {\mathbb R}^{n}$ (${m} \geqslant {n}$), при котором в каждой точке отображаемой области бесконечно малый шар преобразуется в образе в бесконечно малый шар (см. [1]). Например, любая целая голоморфная функция $f\colon {\mathbb C}^n \to {\mathbb C} $ задает отображение, конформное в смысле Громова. Тривиальным, но поясняющим примером отображения, конформного в смысле Громова, может служить прямая проекция евклидова пространства на плоскость. В связи с таким расширением понятия конформности отображения Громов естественно ставит вопрос о том, какие факты классической теории распространяются и на эти отображения? В частности, верно ли, что если отображение $F\colon {\mathbb R}^{n+1} \to {\mathbb R}^{n}$ конформно и ограничено, то при $n \geqslant 2$ оно постоянно? Статьи [2]–[4] были инициированы этим вопросом Громова. В настоящей работе мы укажем, когда отображение $w=f(z_1, \dots,z_n) $, действующее из области пространства ${\mathbb C}^n$ в комплексную плоскость ${\mathbb C}$ и конформное в смысле Громова, оказывается голоморфным. § 2. Формулировка основного утвержденияРассмотрим отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$, действующее из области $D_z$ пространства ${\mathbb C}^n$ в область $D_w$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$. Будем считать, что как действительное отображение из пространства ${\mathbb R}^{2n}$ в плоскость ${\mathbb R}^2$ отображение $f$ гладкое и нигде не вырожденное в том смысле, что его ранг всюду максимальный, равный 2. Пусть $w^0$, $z^0$ – пара точек таких, что $w^0=f(z^0)$. Здесь $w^0 \in D_w$, а $z^0=(z^0_1, \dots,z^0_n)$ – один из прообразов этой точки в области $D_z$. Рассмотрим отображение $f$ в малой окрестности $O_{z^0}$ точки $z^0$. Вещественный ранг отображения $f$ всюду равен 2, поэтому можно считать, что окрестность $O_{z^0}$ расслаивается на слои действительной размерности $2n - 2$, вдоль которых отображение $f$ действует как проектирование (каждый такой слой проектируется в точку). Трансверсальное и ортогональное такому слою вещественно двумерное направление, пересекающее слой по точке, назовем собственным направлением отображения $f$ в соответствующей точке. Малая площадка собственного направления гомеоморфно отображается в плоскость образа. Но это имеет место для любой площадки, трансверсальной слоям проектирования. Выделенность собственного направления состоит в том, что отображение конформно в смысле Громова точно тогда, когда его ограничение на собственное направление оказывается локально конформным в соответствующей точке. Точнее, дифференциал отображения, ограниченный на собственное направление в точке, переводит круги в круги, т.е. комплексно линеен или комплексно антилинеен. Как известно, в пространстве ${\mathbb C}^n$ не всякая вещественно двумерная плоскость является комплексной прямой. В том случае, когда собственное направление отображения идет вдоль комплексной прямой, будем говорить, что оно комплексно. Теорема 1. Пусть $w=f(z_1, \dots,z_n)$ – отображение, действующее из области $D_z$ пространства ${\mathbb C}^n$ в область $D_w$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$. Если это отображение голоморфно, то оно конформно в смысле Громова. А если оно конформно в смысле Громова, то оно голоморфно тогда и только тогда, когда его собственные направления комплексны. Разумеется, здесь отображение $f$ такое, как было описано выше, гладкое и вещественного ранга 2. Отметим еще, что конформность отображения в смысле Громова не следит за ориентацией, поэтому для точности формулировку теоремы следует дополнить указанием на то, что отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$ либо голоморфно, либо приводится к голоморфному заменой каких-то из переменных сопряженными величинами. В рассматриваемом случае, когда отображение $w=f(z)$ действует из области $D_z$ пространства ${\mathbb C}^n$ в область $D_w$ комплексной плоскости ${\mathbb C}$, критерий голоморфности можно переформулировать следующим образом: отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$, конформное в смысле Громова, голоморфно тогда и только тогда, когда прообразы точек являются комплексными многообразиями. § 3. Доказательство основного результата3.1.Проверим сначала, что если отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$ голоморфно, то оно конформно в смысле Громова. В самом деле, слои, вдоль которых невырожденное голоморфное отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$ осуществляет проектирование, оказываются комплексными многообразиями комплексной размерности $n-1$. Трансверсальное и ортогональное им собственное направление отображения $f$, тем самым, тоже оказывается комплексным (идущим вдоль комплексной прямой). Ограничение на него дифференциала функции $f$ комплексно линейное. 3.2.Перейдем к основному утверждению о том, что конформное в смысле Громова отображение $w=f(z_1, \dots,z_n)$ голоморфно, когда его собственные направления комплексны. Начнем с одного полезного напоминания. Если взять пару двумерных плоскостей общего положения в трехмерном евклидовом пространстве, то при прямом проектировании одной из плоскостей в другую круги исходной плоскости преобразуются в эллипсы, не в круги. Если же это плоскости в комплексном пространстве, идущие в комплексных направлениях (т.е. пара пересекающихся комплексных прямых), то при прямом проектировании из одной плоскости в другую круг преобразуется снова в круг (конформность) 1. Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 1. Вернемся к уже введенной выше паре точек $w^0$ и $z^0$ таких, что $w^0=f(z^0)$. Поскольку вещественный ранг отображения $f$ всюду равен $2$, как уже говорилось, можно считать, что малая окрестность $O_{z^0}$ точки $z^0$ расслаивается на слои действительной размерности $2n - 2$, вдоль которых отображение $f$ действует как проектирование (каждый такой слой проектируется в точку). В окрестности $O_{z^0}$ рассмотрим вещественно двумерную поверхность $S_{z^0}$, интегральную для собственных направлений отображения и проходящую через точку $z^0$. (Пока допустим, что такая интегральная поверхность имеется. Потом станет ясно, что это временное допущение несущественно, но облегчает изложение, делая его наглядным.) Поверхность $S_{z^0}$ под действием отображения $f$ преобразуется в некоторую область $S_{w^0}$, лежащую в плоскости $\mathbb C$ и содержащую точку $w^0$. Поскольку отображение $f$ конформно по Громову, сужение отображения $f$ на поверхность $S_{z^0}$ переводит бесконечно малые круги в круги. Учитывая гладкость отображения $f$, можно заключить, что отображение $S_{z^0}$ на $S_{w^0}$ либо голоморфно, либо антиголоморфно. Переходя, если нужно, к сопряженной переменной $\overline w$, будем считать, что это отображение голоморфно. Заметим, что если бы мы вместо поверхности $S_{z^0}$ взяли поверхность $\widetilde S_{z^0}$, не ортогональную, а просто трансверсальную слоению, вдоль которого отображение $f$ осуществляет проектирование, то из конформности отображения $f$ по Громову вовсе не следовало бы, что ограничение отображения $f$ на поверхность $\widetilde S_{z^0}$ переводит бесконечно малые круги в круги образа. В образе, вообще говоря, возникнет распределение эллипсов. Но если $\widetilde S_{z^0}$ – голоморфная кривая в пространстве $\mathbb C^n$, то ситуация меняется. Рассмотрим именно этот случай. По условию теоремы 1 поверхность $S_{z^0}$ в точке $z^0$ имеет направление комплексной прямой. Рассмотрим комплексные прямые, касательные к $\widetilde S_{z^0}$ и $S_{z^0}$ в точке $z^0$. Тогда (как мы напомнили) при прямом проектировании первой прямой (вещественной плоскости) на вторую круги переходят в круги. Итак, в условиях теоремы 1 дифференциал отображения $f$ обладает тем свойством, что его ограничение на любую комплексную прямую, проходящую через точку $z^0$, либо комплексно линейное отображение, либо ему комплексно сопряженное. Но $z^0$ – произвольная точка области определения функции $f$. Значит, отображение $w=f(z_1, \dots,z_n) $ либо голоморфно, либо антиголоморфно по каждой из своих комплексных переменных. Заменяя нужные переменные их сопряженными, можно считать, что в своей области определения функция $f(z_1, \dots,z_n) $ оказалась голоморфной по каждой из своих переменных. А это, как известно, уже означает, что функция $f(z_1, \dots,z_n)$ голоморфна. 3.3.Теперь, когда все детали разъяснены, проведенное доказательство можно резюмировать так. Ограничение дифференциала отображения, конформного по Громову, на собственное направление конформно в классическом смысле конформности отображения вещественно двумерных объектов. Если собственное направление комплексно, то ограничение дифференциала отображения уже на любое комплексное в этой точке направление оказывается конформным. Тогда функция $w=f(z_1, \dots,z_n) $ голоморфна (или антиголоморфна) по каждой из своих независимых переменных. Значит, функция $w=f(z_1, \dots,z_n) $ голоморфна или становится голоморфной после замены некоторых своих переменных сопряженными величинами. Теорема 1 доказана. § 4. Небольшой комментарийЗаметим, что утверждение теоремы 1 локально, оно относится к дифференциалу отображения в точке, поэтому теорема 1, конечно, остается в силе и тогда, когда функция $f$ определена на произвольном комплексном многообразии, наделенном эрмитовой структурой, не обязательно на ${\mathbb C}^n$. Условие гладкости отображения, разумеется, можно по-разному ослаблять. Известно, например, что если отображение $w=\varphi (z)$ квазиконформно и почти всюду $\varphi_{ \overline z}=0$, то отображение $\varphi$ голоморфно. Можно требовать существования локально интегрируемых обобщенных производных и условия $\varphi_{ \overline z}=0$ (см., например, [5]). Выбор конкретных условий, заменяющих гладкость отображения, конечно, диктуется рассматриваемой задачей. Для информации читателя напомним еще, что в русском оригинале статьи [1] на первой же странице в сноске автор сообщает адрес, где представлен значительно более полный текст его работы на английском языке. В частности, там читатель может найти расширенное толкование конформности и квазиконформности, а также постановку вопроса о теореме Лиувилля для таких отображений. Сейчас этот текст доступен по адресу https://www.ihes.fr/~gromov/ wp-content/ uploads/ 2018/ 08/ problems-sept2014-copy.pdf. § 5. Заключительное замечаниеМы говорили об отображении $f$, действовавшем из области $D_z \subset {\mathbb C}^n$ в область $D_w \subset {\mathbb C}$. Простейшее отображение проектирования $P\colon {\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^2$, конформное в смысле Громова, формально не такое. Но если считать, что ${\mathbb C}={\mathbb R}^2 \subset {\mathbb R}^3 \subset {\mathbb C}^2$ и что конформное в смысле Громова отображение $P$ определено на подмногообразии ${\mathbb R}^3 \subset {\mathbb C}^2$, то все же собственное направление отображения $P$, ортогональное направлению проектирования, оказывается комплексным направлением в ${\mathbb C}^2$. Более того, в этом случае, очевидно, даже есть интегральная поверхность, ортогональная слоям, вдоль которых идет проектирование. Однако распределение комплексных направлений не всегда интегрируемо. Возьмем, например, отображение $H\colon {\mathbb S}^3 \to {\mathbb S}^2$, индуцированное расслоением Хопфа. Напомним, что в комплексной записи $H(z_1, z_2)=z_2/z_1$, если $(z_1, z_2) \in {\mathbb S}^3 \subset {\mathbb C}^2$. Это отображение конформно в смысле Громова. Окружности, на которые расслаивается сфера ${\mathbb S}^3 \subset {\mathbb C}^2$, под действием отображения $H$ переходят в точки сферы ${\mathbb S}^2=\overline{\mathbb C}$. Эрмитово ортогональные им собственные направления отображения $H$ образуют распределение комплексных касательных к сфере ${\mathbb S}^3 \subset {\mathbb C}^2$. Но это распределение не интегрируемо (у него нет интегральной поверхности, ортогональной слоям, вдоль которых отображение $H$ осуществляет проектирование). Отображение $H\colon {\mathbb S}^3 \to {\mathbb S}^2$ можно рассматривать как ограничение голоморфной функции $F\colon {\mathbb C}^2 \to \overline{\mathbb C}$ на сферу ${\mathbb S}^3$, если $F(z_1, z_2)=z_2/z_1$. Это ограничение, естественно, оказалось голоморфным (удовлетворяющим $\mathrm{CR}$-условию) на комплексных касательных к сфере ${\mathbb S}^3$. Ограничение голоморфной функции $F$ на вполне вещественную плоскость $\Pi \subset {\mathbb C}^2$, определяемую парой равенств $\operatorname{Im} z_1=0$, $\operatorname{Im} z_2=0$, формально тоже следует считать голоморфным отображением $f\colon \Pi \to \overline{\mathbb R} \sim {\mathbb S}^1$. Функция $f$ на многообразии $\Pi$ формально удовлетворяет $\mathrm{CR}$-условию на каждой комплексной касательной к $\Pi$, ибо множество комплексных касательных здесь пусто. Эти примеры подсказывают, следующее направление расширения изложенной теоремы 1. Пусть отображение $f\colon M \to {\mathbb C}$, конформное в смысле Громова, определено на подмногообразии $M$ пространства ${\mathbb C}^n$. Голоморфность такого отображения будем понимать как то, что оно является $\mathrm{CR}$-функцией на $M$, считая, однако, что на $M$ (в касательных пространствах к $M$) все же есть элементы комплексной структуры. При такой трактовке понятия голоморфности отображения на многообразии справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть отображение $f\colon M \to {\mathbb C}$, конформное в смысле Громова, определено на подмногообразии $M$ пространства ${\mathbb C}^n$. Если собственные направления отображения комплексны, то оно является $\mathrm{CR}$-отображением.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zor22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|