| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Свойство Жордана для групп бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств размерности 3 А. С. Голотаab a Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет ''Высшая школа экономики'', г. Москва b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9743e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеИзучение конечных подгрупп в различных группах, происходящих из геометрии, является областью активных и плодотворных исследований. Так, хорошо изучены с этой точки зрения группы автоморфизмов алгебраических (в частности, проективных) многообразий. Более сложно устроены конечные подгруппы в группах бирациональных автоморфизмов, например, в группе Кремоны $\mathrm{Cr}_n(\mathbb{C})= \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}})$ (см. обзорную работу [1] и ссылки в ней). Классическая теорема К. Жордана, доказанная в статье [2], описывает конечные подгруппы в полной линейной группе. Согласно этой теореме существует функция $J \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такая, что любая конечная подгруппа в $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ получается расширением группы порядка не более $J(n)$ с помощью конечной абелевой группы. В работе [3] В. Л. Попов предложил термин “жордановы группы” для групп с данным свойством. Для проективного многообразия $X$ любой размерности над алгебраически замкнутым полем $\Bbbk$ характеристики 0 свойство Жордана для группы $\operatorname{Aut}(X)$ было доказано Ш. Менгом и Д. Чжаном в [4]. Дж. Ким в [5] обобщил этот результат на группы автоморфизмов компактных кэлеровых пространств, а Ш. Менг, Ф. Перрони и Д. Чжан в [6] – на группы автоморфизмов компактных комплексных пространств из класса $\mathcal{C}$ Фуджики. Также В. Л. Попов в [7] доказал жордановость вещественных групп Ли; в частности, для любого компактного комплексного пространства $X$ связная компонента единицы в группе $\operatorname{Aut}(X)$ жорданова. Что касается групп бирациональных автоморфизмов, то свойство Жордана группы $\mathrm{Cr}_2(\mathbb{C})=\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}})$ было доказано Ж.-П. Серром в работе [8]. В. Л. Попов в [3] установил жордановость групп бирациональных автоморфизмов комплексных проективных поверхностей, не бирациональных поверхностям вида $\mathbb{P}^1 \times E$, где $E$ – эллиптическая кривая. Позднее Ю. Г. Зархин в [9] показал, что группа $\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^1 \times E)$ не является жордановой, а также построил аналогичные примеры в высших размерностях. Важные результаты о жордановости группы $\mathrm{Bir}(X)$ для проективного многообразия $X$ над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 принадлежат Ю. Г. Прохорову и К. А. Шрамову. Они доказали, что свойство Жордана выполнено для группы $\mathrm{Bir}(X)$ в случае, когда $X$ неунилинейчато (см. [10]), и в случае, когда $X$ рационально связно (см. [11]). Для произвольного компактного комплексного пространства $X$ естественно рассматривать группу $\operatorname{Bim}(X)$ бимероморфных отображений из $X$ в себя. Ю. Г. Прохоров и К. А. Шрамов в [12] изучили жордановость этой группы для случая компактной комплексной поверхности. Они доказали, что группа автоморфизмов любой компактной комплексной поверхности обладает свойством Жордана и что тем же свойством обладают группы бимероморфных автоморфизмов компактных комплексных поверхностей, не бимероморфных $\mathbb{P}^1 \times E$. В серии работ [13]–[15] Ю. Г. Прохоров и К. А. Шрамов изучили группы бимероморфных автоморфизмов компактных кэлеровых пространств размерности $3$. В случае унилинейчатого пространства они доказали, что группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова, если $X$ не бимероморфно пространству, принадлежащему одному из конечного числа явно описанных авторами семейств; см. [14; теоремы 1.3, 1.4]. Для случая неунилинейчатого компактного кэлерова пространства они доказали жордановость в дополнительных предположениях. Напомним, что размерностью Кодаиры $\kappa(X)$ компактного кэлерова пространства $X$ называется размерность Кодаиры любого гладкого комплексного многообразия $X'$, бимероморфного $X$. Аналогично, иррегулярность пространства $X$ определяется как $q(X)=H^1(X', \mathscr{O}_{X'})$ для любого гладкого многообразия $X'$, бимероморфного $X$. Теорема 1.1 (см. [15; теорема 1.3]). Пусть $X$ – компактное кэлерово пространство размерности $3$. Предположим, что $\kappa(X) \geqslant 0$ и $q(X) > 0$. Тогда группа $\operatorname{Bim}(X)$ жорданова. Цель настоящей статьи – доказать следующую теорему. Теорема 1.2. Группа $\operatorname{Bim}(X)$ является жордановой для любого неунилинейчатого компактного кэлерова пространства $X$ размерности $3$. Чтобы доказать эту теорему, мы обобщаем результаты из [16; следствие 3.3] и [15; предложение 4.5] на случай компактных кэлеровых пространств с особенностями (см. теорему 4.5 и теорему 5.1 соответственно). Вместе с теоремой о существовании минимальных моделей для $\mathbb{Q}$-факториальных терминальных кэлеровых пространств размерности 3, доказанной в работе [17], это позволяет доказать утверждение теоремы 1.2. В случае пространства $X$ размерности больше 3 мы показываем, что это же утверждение верно в предположении существования квазиминимальной модели (теорема 5.2). БлагодарностиАвтор благодарен К. А. Шрамову за постановку задачи, а также Ю. Г. Прохорову за полезные замечания. § 2. Свойство Жордана: определенияСледующее определение было предложено В. Л. Поповым в статье [3]. Определение 2.1. Пусть $G$ – группа. Будем говорить, что $G$ жорданова (или обладает свойством Жордана), если существует натуральное число $J(G)$ такое, что для любой конечной подгруппы $H \subset G$ найдется нормальная абелева подгруппа $A \subset H$ индекса, не превосходящего $J(G)$. Известная теорема К. Жордана утверждает, что данное свойство выполнено для группы $G= \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ (современное доказательство см., например, в [18; теорема 36.13]). Ясно, что подгруппа жордановой группы также жорданова; таким образом, все линейные алгебраические группы над полем $\mathbb{C}$ жордановы. С другой стороны, факторгруппы и расширения жордановых групп могут не обладать этим свойством. Поэтому полезно рассматривать класс групп, удовлетворяющих более сильному условию ограниченности конечных подгрупп. Напомним, что группа $G$ имеет ограниченные конечные подгруппы, если существует натуральное число $B(G)$ такое, что для любой конечной подгруппы $H \subset G$ выполнено $|H| \leqslant B(G)$ (см. [3; определение 2.7]). Несложное, но весьма важное предложение (доказательство см. в [3; лемма 2.9]) состоит в том, что расширение группы с ограниченными конечными подгруппами с помощью жордановой группы является жордановым. Предложение 2.2. Рассмотрим точную последовательность групп Предположим, что группа $G_1$ жорданова, а группа $G_3$ имеет ограниченные конечные подгруппы. Тогда группа $G_2$ жорданова. Примеры групп, для которых выполнено свойство ограниченности конечных подгрупп, даются теоремой Минковского (см., например, [8; теорема 1]). Теорема 2.3. Порядки конечных подгрупп $G=\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$ ограничены натуральным числом $M(n)$, зависящим только от $n$. В дальнейшем нам понадобится следующая теорема (см. [5; теорема 1.1]). Определение компактного кэлерова пространства с особенностями см. ниже (определение 3.1). Теорема 2.4. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ биголоморфных автоморфизмов пространства $X$ жорданова. § 3. Компактные кэлеровы пространства с особенностямиВ этом параграфе мы приведем основные определения, относящиеся к теории компактных кэлеровых пространств с особенностями. В основном мы следуем статье [17]. Определение 3.1. Пусть $X$ – приведенное и неприводимое комплексное пространство. Обозначим множества его особых и неособых точек через $X_{\mathrm{sing}}$ и $X_{\mathrm{ns}}$ соответственно. Кэлеровой формой на $X$ называется замкнутая вещественная положительная $(1,1)$-форма $\omega$ на $X_{\mathrm{ns}}$, для которой выполнено условие существования локальных потенциалов: для любой точки $x \in X_{\mathrm{sing}}$ существуют открытая окрестность $x \in U \subset X$ и замкнутое вложение $i_U \colon U \subset V$ в открытое подмножество $V \subset \mathbb{C}^N$ такие, что для гладкой строго плюрисубгармонической функции $f \colon V \to \mathbb{C}$. Кэлерова форма $\omega$ представляет класс $[\omega] \in H^{1,1}_{BC}(X, \mathbb{R})$ в $\partial\overline\partial$-когомологиях. Неприводимое и приведенное комплексное пространство $X$ называется кэлеровым, если на $X$ существует кэлерова форма. Замечание 3.2. В настоящей статье мы ограничиваемся рассмотрением компактных кэлеровых пространств, которые нормальны и имеют рациональные особенности. Последнее условие гарантирует, что пространство $N^1(X)=H^{1,1}_{BC}(X, \mathbb{R})$, определенное через $\partial\overline\partial$-когомологии, вкладывается в $H^2(X, \mathbb{R})$ (см. [17; замечание 3.7]). Терминальные особенности компактных кэлеровых пространств определяются точно так же, как и в случае проективных многообразий. Терминальные особенности рациональны согласно [19] (см. также [20; теорема 5.22]). Чтобы дать определения минимальных и квазиминимальных моделей компактных кэлеровых пространств, мы определим понятия численной эффективности и численной эффективности в коразмерности 1 для непроективных кэлеровых пространств (подробности см. в [21], [17]). Определение 3.3. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями. Будем говорить, что класс $\alpha\,{\in}{\kern1pt} H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ является численно эффективным, если он лежит в замыкании конуса кэлеровых классов. Также будем называть класс $\alpha$ неотрицательным, если существует гладкая неотрицательная форма, представляющая класс $\alpha$. Определение 3.4. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями. Будем говорить, что класс $\alpha\,{\in}{\kern1pt}H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ является численно эффективным в коразмерности 1, если он лежит в замыкании конуса, порожденного классами вида $\mu_*\omega$, где $\mu \colon Y \to X$ – произвольный бимероморфный морфизм из гладкого кэлерова многообразия $Y$, а $\omega$ – кэлеров класс на $Y$. Напомним, что класс $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ называется псевдоэффективным, если он содержит замкнутый положительный $(1,1)$-поток с локальными потенциалами. Для любого псевдоэффективного класса на гладком многообразии $X$ С. Буксом определил так называемое дивизориальное разложение Зарисского (см. [21; определение 3.7]). Предложение 3.5. Пусть $X$ – компактное кэлерово многообразие, а $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ – псевдоэффективный класс. Тогда существует дивизориальное разложение Зарисского такое, что: Замечание 3.6. Для нормального компактного кэлерова пространства $X$ с рациональными особенностями также можно определить дивизориальное разложение Зарисского псевдоэффективного класса $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$. Для этого нужно рассмотреть разрешение особенностей $\mu \colon Y \to X$, применить предложение 3.5 к классу $\mu^*\alpha$ и получить разложение Затем можно определить положительную часть $P(\alpha)=\mu_*P(\mu^*\alpha)$ и отрицательную часть $N(\alpha)=\mu_*N(\mu^*\alpha)$. Так как $X$ неособо в коразмерности 1, для полученного разложения $\alpha=P(\alpha) + N(\alpha)$ выполнены все условия из предложения 3.5. Более того, это разложение не зависит от выбора разрешения особенностей $\mu \colon Y \to X$, так как для любых двух разрешений особенностей $X$ можно найти доминирующее их третье. Теперь мы можем определить минимальные модели особых компактных кэлеровых пространств, следуя соглашениям, принятым в работе [17]. Отметим, что $\mathbb{Q}$-факториальные особенности определены в [17] следующим образом: любой дивизор Вейля является дивизором $\mathbb{Q}$-Картье, а также некоторая рефлексивная степень дуализирующего пучка $K_X$ является линейным расслоением. Определение 3.7. Компактное кэлерово пространство $X$ с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями называется: Пусть $X$ – компактное кэлерово пространство размерности $3$ с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями. Предположим, что $X$ не унилинейчато; тогда канонический класс $K_X$ псевдоэффективен. Этот факт следует из [22; теорема 2.6] для случая проективного многообразия $X$ произвольной размерности и из [23] для $X$ непроективного размерности $3$. В [17; теорема 1.1] А. Хёринг и Т. Петернелл доказали существование минимальных моделей для компактных кэлеровых пространств размерности $3$ с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями и псевдоэффективным каноническим классом. Таким образом, любое неунилинейчатое компактное кэлерово пространство размерности $3$ имеет минимальную модель. Теорема 3.8. Пусть $X$ – терминальное $\mathbb{Q}$-факториальное компактное кэлерово пространство размерности $3$. Предположим, что $X$ не унилинейчато. Тогда существует бимероморфное отображение $\varphi \colon X \dashrightarrow X'$ такое, что $X'$ является минимальной моделью. Заметим, что минимальная модель, очевидно, является и квазиминимальной. В случае, когда $X$ проективно, наше определение квазиминимальной модели равносильно определению 4.2 из [10]. Существование квазиминимальных моделей для неунилинейчатых проективных многообразий с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями было доказано в [10; лемма 4.4]. § 4. Бимероморфные отображения квазиминимальных моделейВ этом параграфе мы изучим бимероморфные отображения между нормальными компактными кэлеровыми пространствами с рациональными особенностями. В частности, мы рассматриваем достаточные условия голоморфности таких отображений. Напомним, что для любого бимероморфного отображения $f \colon X \dashrightarrow X'$ приведенных комплексных пространств можно построить разрешение неопределенностей Здесь $Y$ – гладкое многообразие, а $p$ и $q$ – бимероморфные морфизмы.Следующий факт хорошо известен. Мы приведем доказательство для удобства читателя. Лемма 4.1. Пусть $f \colon X \dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение приведенных комплексных пространств. Предположим также, что $X'$ нормально. Пусть существует разрешение неопределенностей вида (4.1) такое, что любой слой морфизма $q$ отображается морфизмом $p$ в точку. Тогда обратное отображение $f^{-1}$ голоморфно. Доказательство. Предположим, что найдется точка $x$ во множестве неопределенности $\mathrm{Ind}(f^{-1})$. По предположению отображение $f^{-1}$ можно продолжить до непрерывного (но не обязательно голоморфного) отображения $X'\,{\to}\,X$. Выберем открытое множество $U \subset X$, содержащее точку $f^{-1}(x)$ и такое, что $U$ вкладывается как открытое подмножество в $\mathbb{C}^N$. Иными словами, найдем окрестность $V \subset X'$ такую, что отображение $f^{-1}$ задается в этой окрестности набором из $N$ функций, голоморфных вне подмножества $V \cap \mathrm{Ind}(f^{-1})$ коразмерности как минимум 2 в $V$. Так как пространство $X'$ (а значит, и окрестность $V$) является нормальным, по теореме о продолжении (см. [24; с. 144]) отображение $f^{-1}$ продолжается до голоморфного отображения в точке $x$.
Лемма доказана. Следующее предложение было доказано М. Ханамурой (см. [25; лемма 3.4]) и Я. Колларом (см. [26; лемма 4.3]) для случая минимальных алгебраических многообразий. Используя дивизориальные разложения Зарисского, мы докажем более общую версию этого предложения. Предложение 4.2. Пусть $f \colon X \dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение между компактными кэлеровыми пространствами с терминальными особенностями. Предположим, что $K_X$ и $K_{X'}$ численно эффективны в коразмерности $1$. Тогда $f$ является изоморфизмом в коразмерности $1$. Доказательство. Рассмотрим разрешение неопределенностей вида (4.1). Обозначим через $E_i \subset Y$ (соответственно через $F_j \subset Y$) неприводимые $p$-исключительные (соответственно $q$-исключительные) дивизоры. Выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
p^*K_{X} + \sum_ia_iE_i=K_Y=q^*K_{X'} + \sum_jb_jF_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где все коэффициенты $a_i$, $b_j$ положительны, поскольку пространства $X$ и $X'$ имеют терминальные особенности. В частности, канонический класс $K_Y$ псевдоэффективен, поэтому по предложению 3.5 для него существует дивизориальное разложение Зарисского Так как классы $p_*K_Y=K_X$ и $q_*K_Y=K_{X'}$ численно эффективны в коразмерности $1$, любая неприводимая компонента отрицательной части $N(K_Y)$ является $p$- и $q$-исключительной. С другой стороны, исключительные дивизоры $E=\sum_ia_iE_i$ и $F=\sum_jb_jF_j$ морфизмов $p$ и $q$ также являются исключительными в смысле предложения 3.5, поэтому $E_i$ и $F_j$ для всех индексов $i$, $j$ являются компонентами отрицательной части $N(K_Y)$. Следовательно, отображение $f$ задает изоморфизм между открытыми подмножествами $X\setminus p\bigl(\bigcup_{i,j}E_i \cup F_j\bigr)$ и $X'\setminus q\bigl(\bigcup_{i,j}E_i \cup F_j\bigr)$, дополнения которых имеют коразмерность не менее $2$.
Предложение доказано. Пусть $f \colon X \dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение, и пусть $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ – класс на $X$. Чтобы определить прямой образ $f_*\alpha \in H^{1,1}(X', \mathbb{R})$, построим разрешение вида (4.1) и положим $f_*\alpha=q_*p^*\alpha$. Стандартное рассуждение показывает, что класс $f_*\alpha$ не зависит от выбора разрешения неопределенностей. Если класс $\alpha$ псевдоэффективен, то класс $f_*\alpha$ также псевдоэффективен. Напомним, что особым множеством замкнутого положительного $(1,1)$-потока $T$ называется множество точек, в окрестности которых локальный плюрисубгармонический потенциал потока $T$ неограничен снизу. Определение 4.3. Пусть $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ – псевдоэффективный класс. Особым множеством $S(\alpha)$ называется пересечение особых множеств всех замкнутых положительных $(1,1)$-потоков $T \in \alpha$. Если класс $\alpha$ неотрицательный (например, если $\alpha$ – кэлеров класс), то ясно, что $S(\alpha)=\varnothing$. В дальнейшем нам понадобится следующая техническая лемма, доказанная в [16; лемма 2.4] для случая гладких многообразий $Y$ и $X$. Тем не менее доказательство работает и в случае особого $X$; мы приведем его здесь для удобства читателя. Напомним, что замкнутое подмножество $S \subset X$ является тонким в $X$, если любая точка $x \in X$ имеет открытую окрестность $U$ такую, что пересечение $S \cap U$ содержится в нигде не плотном аналитическом подмножестве $U$. Лемма 4.4. Пусть $f \colon Y \to X$ – бимероморфный морфизм между гладким кэлеровым многообразием $Y$ и нормальным компактным кэлеровым пространством $X$. Пусть $E$ – исключительное множество морфизма $f$. Пусть $\alpha \in H^{1,1}(Y, \mathbb{R})$ – псевдоэффективный класс. Если $E \cap S(\alpha)$ является тонким подмножеством $E$, то имеет место равенство где $E_i$ – неприводимые компоненты исключительного множества $E$, а $r_i$ – неотрицательные вещественные числа. Доказательство. Выберем замкнутый положительный $(1,1)$-поток $T$, представляющий класс $\alpha$. Задача является локальной по $X$, поэтому мы можем заменить $X$ на открытую окрестность $U \subset \mathbb{C}^N$ такую, что $f_*T=i\partial\overline\partial\varphi$ для некоторой плюрисубгармонической функции $\varphi$ на $U$. Тогда класс $f^*f_*\alpha$ представляется замкнутым положительным $(1,1)$-потоком $i\partial\overline\partial (\varphi \circ f)$. Зафиксируем произвольную точку $y \in Y$. Найдется открытая окрестность $V$ точки $y$, на которой выполнено равенство $T= i\partial\overline\partial \psi$ для плюрисубгармонической функции $\psi$. Тогда функция $\varphi \circ f - \psi$ является плюригармонической на множестве $V \setminus (V \cap E)$. Так как многообразие $Y$ гладкое, а подмножество $S(\alpha) \cap E$ является тонким в $E$ по предположению, функцию $\varphi \circ f - \psi$ можно продолжить до плюрисубгармонической функции на $V$ (см. [16; лемма 2.6]). Тогда мы можем применить предложение 3.1.3 из [27] (см. также [16; с. 744, 745]) и получить следующее равенство потоков на $V$:
$$
\begin{equation}
i\partial\overline\partial(\varphi \circ f) - i\partial\overline\partial\psi=\sum_ir_i(V \cap E_i),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $r_i$ – неотрицательные вещественные числа. Выберем покрытие $Y$ окрестностями, на которых выполнены равенства вида (4.2). Так как при голоморфной замене координат плюригармоническая функция переходит в плюригармоническую, мы получаем требуемое равенство $(1, 1)$-классов.
Лемма доказана. Следующий шаг в доказательстве является обобщением результата, доказанного А. Фуджики (см. [16; следствие 3.3]) для гладких многообразий. Теорема 4.5. Пусть $f \colon X \dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение нормальных компактных кэлеровых пространств с рациональными особенностями. Предположим, что отображение $f$ не стягивает дивизоров. Если существует кэлеров класс $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ такой, что прямой образ $\alpha'= f_*\alpha$ является неотрицательным, то обратное отображение $f^{-1}$ голоморфно. Доказательство. Как и ранее, рассмотрим разрешение неопределенностей вида (4.1). Мы можем предполагать, что морфизм $q$ проективен. Кроме того, мы можем предполагать, что исключительные множества $\mathrm{Exc}(p)=\sum_iE_i$ и $\mathrm{Exc}(q)=\sum_jF_j$ являются дивизорами. По определению прямого образа имеем $\alpha'=f_*\alpha=q_*p^*\alpha$; рассмотрим класс
$$
\begin{equation*}
q^*q_*p^*\alpha - p^*\alpha \in H^{1,1}(Y, \mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как класс $p^*\alpha$ является неотрицательным, выполнено условие $S(\alpha)=\varnothing$, поэтому мы можем применить лемму 4.4 и получить равенство
$$
\begin{equation}
q^*q_*p^*\alpha - p^*\alpha=q^*\alpha' - p^*\alpha=\sum_jr_j[F_j]
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для некоторых вещественных чисел $r_j \geqslant 0$. Так как класс $\alpha'$ является неотрицательным по предположению, класс $q^*\alpha'$ тоже неотрицателен, поэтому выполнено условие $S(q^*\alpha')=\varnothing$. Заметим, что по предположению отображение $f$ не стягивает дивизоров, поэтому любой $q$-исключительный дивизор является также и $p$-исключительным. Таким образом, из равенства (4.3) следует
$$
\begin{equation*}
p_*q^*\alpha'=p_*\biggl(p^*\alpha + \sum_jr_j[F_j]\biggr)=\alpha + \sum_jr_jp_*[F_j]=\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 4.4 к морфизму $p$, мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
p^*p_*q^*\alpha' - q^*\alpha'=p^*\alpha - q^*\alpha'=\sum_is_i[E_i]
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
для некоторых вещественных чисел $s_i \geqslant 0$. Складывая выражения (4.3) и (4.4), мы получаем равенство
Если $q$ является изоморфизмом, то ясно, что отображение $f^{-1}$ голоморфно. Поэтому предположим, что $q$ не изоморфизм. Тогда из проективности морфизма $q$ следует, что каждый его слой проективен и поэтому покрывается кривыми. Если любая неприводимая кривая в любом слое морфизма $q$ стягивается в точку морфизмом $p$, то отображение $f^{-1}$ голоморфно по лемме 4.1. Значит, мы можем предположить, что существует неприводимая кривая $\widetilde{C} \subset Y$, которая стягивается в точку морфизмом $q$ и такая, что $p(\widetilde{C})$ является кривой. Запишем $p_*\widetilde{C}= mC$ для некоторого числа $m > 0$. Из формулы проекции и равенства (4.5) получаем
$$
\begin{equation*}
0 < \alpha \cdot mC=\alpha \cdot p_*\widetilde{C}=p^*\alpha \cdot \widetilde{C}= q^*\alpha'\cdot \widetilde{C}=\alpha' \cdot q_*\widetilde{C}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к противоречию. Значит, множество $\mathrm{Ind}(f^{-1})$ пусто, т.е. отображение $f^{-1}$ голоморфно.
Теорема доказана. Теорема 4.5 дает достаточное условие, при котором изоморфизм в коразмерности $1$ между особыми компактными кэлеровыми пространствами является биголоморфизмом. Следствие 4.6. Пусть $f \colon X \dashrightarrow X'$ – бимероморфное отображение между нормальными компактными кэлеровыми пространствами с рациональными особенностями. Предположим, что $f$ является изоморфизмом в коразмерности $1$. Если существует кэлеров класс $\alpha \in H^{1,1}(X, \mathbb{R})$ такой, что прямой образ $\alpha'=f_*\alpha$ также является кэлеровым классом, то отображение $f$ – биголоморфизм. Замечание 4.7. Ц. Цзя и Ш. Менг доказали, что теорема 4.5 верна при более слабом предположении, что класс $f_*\alpha$ численно эффективен (см. [28; предложение 2.1]). В этом случае приведенное выше доказательство равенства (4.5) не работает, так как мы не можем гарантировать, что подмножество $S(q^*\alpha') \cap \mathrm{Exc}(p)$ является тонким в $\mathrm{Exc}(p)$. Ц. Цзя и Ш. Менг преодолели эту трудность, используя лемму об отрицательности (см. [28; утверждение 2.2]). § 5. Доказательства основных теоремТеперь мы можем перейти к доказательству основных результатов настоящей статьи. Наш первый результат обобщает предложение 4.5 из [15] на случай особых пространств. Мы будем обозначать через $\operatorname{PsAut}(X)$ группу псевдоавтоморфизмов пространства $X$, т.е. бимероморфных отображений из $X$ в себя, являющихся изоморфизмами в коразмерности 1. Эта группа действует на $H^2(X, \mathbb{Q})$ с помощью прямого образа $f \to f_*=(f^{-1})^*$; будем также обозначать через
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PsAut}(X)_{\tau}=\bigl\{f \in \operatorname{PsAut}(X) \mid f_*|_{H^{2}(X, \mathbb{Q})}= \mathrm{id} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
ядро этого действия. Теорема 5.1. Пусть $X$ – нормальное компактное кэлерово пространство с рациональными особенностями. Тогда группа $\operatorname{PsAut}(X)$ жорданова. Доказательство. Действие группы $\mathrm{PsAut}(X)$ на $H^{2}(X, \mathbb{Q})$ дает точную последовательность групп
Любой элемент $f \in \mathrm{PsAut}(X)_{\tau}$ действует тривиально на пространстве $H^{2}(X, \mathbb{R})=H^{2}(X, \mathbb{Q}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R}$ и, в частности, сохраняет любой кэлеров класс. По следствию 4.6 группа $\operatorname{PsAut}(X)_{\tau}$ вкладывается в группу $\operatorname{Aut}(X)$. Поэтому она жорданова по теореме 2.4. Заметим, что факторгруппа $\operatorname{PsAut}(X)/\operatorname{PsAut}(X)_{\tau}$ вкладывается в линейную группу $\mathrm{GL}(H^{2}(X, \mathbb{Q}))$, поэтому по теореме 2.3 конечные подгруппы в ней имеют ограниченный порядок. Следовательно, по предложению 2.2 группа $\operatorname{PsAut}(X)$ также является жордановой. Теорема доказана. Предполагая, что пространство $X$ имеет квазиминимальную модель, мы можем вывести жордановость группы $\operatorname{Bim}(X)$. В частности, мы получаем другое доказательство теоремы 1.8, (ii) из [10]. Теорема 5.2. Пусть $X$ – компактное кэлерово пространство, для которого существует квазиминимальная модель. Тогда группа $\mathrm{Bim}(X)$ жорданова. Доказательство. По предположению существует бимероморфное отображение $\varphi \colon X \dashrightarrow X'$ такое, что $X'$ – компактное кэлерово пространство с терминальными $\mathbb{Q}$-факториальными особенностями, и канонический класс $K_{X'}$ численно эффективен в коразмерности 1. По предложению 4.2 выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Bim}(X) \simeq \mathrm{Bim}(X')= \mathrm{PsAut}(X'),
\end{equation*}
\notag
$$
а последняя группа является жордановой по теореме 5.1.
Теорема доказана. Теперь мы можем доказать теорему 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Заменим $X$ на его разрешение особенностей; тогда утверждение теоремы сразу следует из теоремы 5.2 и теоремы 3.8. Замечание 5.3. Теорему 1.2 также можно вывести из того, что любое бимероморфное отображение между трехмерными минимальными моделями представляется в виде композиции аналитических флопов (см. [26; теорема 4.9]). Замечание 5.4. Ожидается, что любое неунилинейчатое компактное кэлерово пространство $X$ имеет минимальную модель (или по крайней мере квазиминимальную модель). По теореме 5.2 это влекло бы за собой свойство Жордана для группы $\operatorname{Bim}(X)$ пространства произвольной размерности. В работе [29] Ю. Цао и А. Хёринг получили некоторые результаты в этом направлении.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|