| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О единственности рядов Франклина со сходящейся подпоследовательностью частичных сумм Г. Г. Геворкян Ереванский государственный университет, Республика Армения
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9741e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВопросы единственности некоторых классических ортогональных рядов занимают важное место в исследованиях рядов по этим системам. В исследовании единственности тригонометрических рядов основополагающее значение имеет теорема Кантора (см. [1], а также [2; гл. 1, § 70]) о том, что если тригонометрический ряд всюду сходится к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Далее многие авторы занимались исследованием вопросов единственности тригонометрических рядов. Отметим, что эти исследования продолжаются по сей день (см., например, [3]–[6]). С работ [7]–[9] начались исследования вопросов единственности рядов по системе Хаара. В этих работах была доказана теорема типа Кантора для рядов Хаара. Г. Фабер (см. [10]) показал, что даже одноточечное множество $\{1/2\}$ не является множеством единственности для рядов Хаара, т.е. существует нетривиальный ряд по системе Хаара, который всюду вне этого множества сходится к нулю. Оказалось (см., например, [11]), что для рядов Хаара любое одноточечное множество не является множеством единственности. В работе [11] доказаны также аналоги теоремы Валле-Пуссена для рядов по системам Хаара и Уолша, коэффициенты которых удовлетворяют некоторым необходимым условиям. Исследование вопросов единственности рядов по системам Хаара, Уолша и их обобщений продолжаются до сих пор (см., например, [12]–[15]). Исследования вопросов единственности для рядов по системе Франклина начались недавно. Определение ортонормированной системы Франклина $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ будет дано ниже. В работе [16] анонсирована, а в работе [17] доказана следующая теорема. Теорема 1. Если ряд по системе Франклина всюду сходится к нулю, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Далее в работе [18] была доказана следующая теорема. Теорема 2. Если ряд (1.1) всюду сходится к всюду конечной интегрируемой функции $f$, то является рядом Фурье–Франклина этой функции. В работе [19] указано, что любое одноточечное множество не является множеством единственности для рядов Франклина, т.е. для любого $x_0\in[0,1]$ существует нетривиальный ряд (1.1), который всюду кроме точки $x_0$ сходится к нулю. Коэффициенты этих рядов удовлетворяют соотношению В связи с этим отметим следующую теорему (см. [18; теорема 2.5])Теорема 3. Если ряд (1.1) с коэффициентами сходится по мере к интегрируемой функции $f$ и всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, выполняется то ряд является рядом Фурье–Франклина функции $f$. З. Вронич (см. [20]) построил нетривиальный ряд Франклина (1.1), для которого выполняется
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^{2^k}a_nf_n(x)=0 \quad\text{для любого }\ x\in[0,1].
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В работе [18] была поставлена задача: будут ли все коэффициенты ряда (1.1) равны нулю, если частичные суммы этого ряда с номерами $2^k$ всюду сходятся к нулю и выполняется условие (1.2)? В работе [21] Вронич дал положительный ответ на этот вопрос. Здесь мы докажем более общую теорему методами, отличными от методов, примененных Вроничем в [21]. Пусть $n_i$ – некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел с условием $\sup_in_{i+1}/{n_{i}}<\infty$. Тогда для некоторого натурального числа $\kappa$ будет выполняться Частичные суммы ряда (1.1) с номерами $n_i$ обозначим через $S^{(i)}(x)$, т.е. Теорема 5. Пусть частичные суммы (1.5) ряда (1.1) с коэффициентами (1.2) сходятся по мере к нулю и удовлетворяют условию Из теоремы 5 немедленно следует Теорема 6. Пусть частичные суммы (1.5) ряда (1.1) с коэффициентами (1.2) всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества, сходятся к нулю. Тогда все коэффициенты этого ряда равны нулю. Известно, что ряд Фурье–Франклина интегрируемой функции почти всюду сходится к этой функции (см. [22]), а коэффициенты этого ряда удовлетворяют (1.2). С учетом этого, из теоремы 5 получим следующую теорему. Теорема 7. Пусть частичные суммы (1.5) ряда (1.1) с коэффициентами (1.2) сходятся по мере к ограниченной функции $f$ и удовлетворяют условию (1.6). Тогда ряд (1.1) является рядом Фурье–Франклина функции $f$. В работе пользуемся следующими обозначениями:
§ 2. Определение системы Франклина и некоторые вспомогательные леммыДля $n=2^{\mu}+\nu,$ где $\mu=0, 1, 2, \dots$, $1\leqslant \nu\leqslant 2^{\mu}$, обозначим
$$
\begin{equation*}
s_{n,i}=\begin{cases} \dfrac{i}{2^{\mu+1}}, & 0\leqslant i\leqslant 2\nu, \\ \dfrac{i-\nu}{2^{\mu}}, & 2\nu<i\leqslant n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $s_{n,-1}=s_{n,0}=0$, $s_{n,n+1}=s_{n,n}=1$. Через $\mathbf S_n$ обозначим пространство непрерывных и кусочно линейных на $[0,1]$ функций с узлами $\{s_{n,i}\}_{i=0}^n$, т.е. $f\in \mathbf S_n$, если $f$ является непрерывной и линейной функцией на каждом отрезке $[s_{n,i-1}, s_{n,i}]$, $i=1, 2, \dots, n.$ Ясно, что $\dim \mathbf S_n=n+1$ и множество $\{s_{n,i}\}_{i=0}^n$ получается добавлением точки $s_{n,2\nu-1}$ к множеству $\{s_{n-1,i}\}_{i=0}^{n-1}.$ Следовательно, существует единственная с точностью до знака функция $f_n\in \mathbf S_n$, которая ортогональна $\mathbf S_{n-1}$ и $\|f_n\|_2=1.$ Полагая $f_0(x)=1,$ $f_1(x)=\sqrt{3}\,(2x-1),$ $x\in [0,1]$, получим ортонормированную систему $\{f_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$, которая эквивалентным образом определена Ф. Франклином в работе [23]. В работах, посвященных исследованию системы Франклина, важную роль играют следующие неравенства, доказанные З. Чисельским (см. [22]). Если $n=2^{\mu}+\nu,$ где $\mu=0, 1, 2, \dots$, $1\leqslant \nu\leqslant 2^{\mu}$, то
$$
\begin{equation}
|f_n(x)|\leqslant C_1 2^{\mu/2}q^{2^{\mu}|x-t_n|}, \quad\text{где }\ q=\sqrt{2-\sqrt{3}}<1, \quad t_n:=s_{n,2\nu-1}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Нетрудно заметить, что из (2.1) следует
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=2^{\mu}+1}^{2^{\mu+1}}|f_n(x)|\leqslant C_2 2^{\mu/2}, \qquad x\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда стандартными методами получим, что если коэффициенты $a_n$ ряда (1.1) удовлетворяют условию (1.2), то Пусть $\delta_{jk}$ – символ Кронекера, т.е. $\delta_{jk}=1$, если $j=k$, и $\delta_{jk}=0$, если $j\neq k$. Для $n\geqslant 2$ определим функции $\{N_{n,j}(t)\}_{j=0}^n$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
N_{n,j}(x)=\begin{cases} \delta_{jk}, & \text{когда } x=s_{n,k}, \ k=0,\dots,n; \\ \text{линейная} & \text{на }[s_{n,k-1}, s_{n,k}], \ k=1,\dots, n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $\{N_{n,j}(t)\}_{j=0}^n$ нормированы в пространстве $C[0,1]$ и из $N_{n,j}(s_{n,k})=\delta_{jk}$ следует, что система $\{N_{n,j}(t)\}_{i=0}^n$ образует базис в $\mathbf S_n$. Обозначив получим другой базис в $\mathbf S_n$, который уже нормирован в $L[0,1].$ Обозначим Очевидно, что
$$
\begin{equation}
\Delta_{n,j}=\operatorname{supp}N_{n,j}=\operatorname{supp}M_{n,j}, \qquad \frac{1}{2n}\leqslant \operatorname{mes}(\Delta_{n,j})<\frac{2}{n}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Чтобы немного упростить обозначения, с учетом фиксированности $n_i$, удовлетворяющей (1.4), введем следующие обозначения. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta^i_j:=\Delta_{n_i,j}, \qquad s^i_{j}:=s_{n_i,j}, \\ N_j^i(x):=N_{n_i,j}(x), \qquad M^i_j(x):=M_{n_i,j}(x), \qquad S^{(i)}(x):=S_{n_i}(x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [17] введено понятие скалярного произведения ряда (1.1) на функцию $g\in \mathbf S_n$. Это понятие успешно применялось в исследованиях единственности рядов по системе Франклина. Из определения системы Франклина для $m>n$ имеем $f_m\bot \mathbf S_{m-1}$ и $\mathbf S_n\subset \mathbf S_{m-1}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt=0, \quad\text{когда }\ m>n, \quad g\in \mathbf S_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, для любого ряда (1.1) и функции $g\in \mathbf S_n$ можем определить их скалярное произведение по правилу
$$
\begin{equation*}
(\mathcal S, g):=\sum_{m=0}^{\infty}a_m\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt= \sum_{m=0}^{n}a_m\int_0^1f_m(t)g(t)\,dt=\int_0^1S_n(t)g(t)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и в дальнейшем через $\mathcal S$ формально обозначен ряд (1.1). Нетрудно заметить, что для любых $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $g_1, g_2\in \mathbf S_n$ имеет место
$$
\begin{equation*}
(\mathcal S, \alpha g_1+\beta g_2)= \alpha(\mathcal S, g_1)+\beta(\mathcal S, g_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Для любого $M^i_j$ и $i_1>i$ имеет место причем $0\leqslant \alpha_k\leqslant 4{n_{i_1}}/{n_i}$ и $\sum\alpha_k=1$ . Действительно, для этого достаточно заметить, что
$$
\begin{equation*}
M^{i}_{j}(t)=\sum_{k\colon \operatorname{supp}M^{i_1}_k\subset \operatorname{supp}M^{i}_{j}}\alpha_kM^{i_1}_k(t), \quad\text{причем } \ \alpha_k= \frac{M^{i}_{j}(s^{i_1}_k)}{M^{i_1}_k(s^{i_1}_k)},
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользоваться тем, что интегралы функций $M^{i}_{j}$ и $M^{i_1}_k$ равны единице. Следующая лемма доказана в работе [24] (см. [24; лемма 2.3]). Лемма 3. Пусть для некоторого $M^{i_0}_{j_0}$ ряд (1.1) с коэффициентами (1.2) удовлетворяет условию Тогда для любого $x_0\in[0,1]$ существуют такие $i$ и $j$, что Доказательство. В силу леммы 1 для каждого $i>i_0$ имеем
$$
\begin{equation*}
M^{i_0}_{j_0}(x)=\sum_{j\colon \operatorname{supp}M^i_j\subset\operatorname{supp}M^{i_0}_{j_0}}\alpha^i_jM^i_j(x),
\end{equation*}
\notag
$$
причем (см. (2.3)) Тогда
Допустим, лемма не верна и если $(\mathcal S, M^i_j)\neq 0$, то $x_0\in\Delta^i_j$. Но для каждого $i>i_0$ максимум для трех $j$ может выполняться $x_0\in\Delta^i_j$. Это означает, что при всех $i>i_0$ в сумме (2.6) не более трех слагаемых отличны от нуля. Тогда с учетом (2.5) и (2.2) получим
$$
\begin{equation*}
|(\mathcal S, M^{i_0}_{j_0})|\leqslant 12\,\frac{n_{i_0}}{n_i}\, o(n_i)=o(1), \qquad i\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречит (2.4). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть выполняется (2.4). Тогда для любого положительного $M$ найдутся такие $i$ и $j$, чтобы выполнялись Доказательство. Допустим обратное:
$$
\begin{equation*}
|(\mathcal S, M^i_j)|\leqslant M, \quad\text{если }\ \Delta^i_j\subset\Delta^{i_0}_{j_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon$ – любое положительное число. Обозначим
$$
\begin{equation}
G^i_1 :=\bigl\{j\colon \Delta^i_j\subset\Delta^{i_0}_{j_0},\ |(\mathcal S, M^i_j)|>\varepsilon,\ j\text{ - нечетное}\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
G^i_2 :=\bigl\{j\colon \Delta^i_j\subset\Delta^{i_0}_{j_0},\ |(\mathcal S, M^i_j)|>\varepsilon, \ j\text{ - четное}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В силу леммы 2, если $j\in G^i_1$,
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^i_j\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{\varepsilon}{2}\biggr\}\geqslant \frac{\operatorname{mes}(\Delta^i_j)}{9}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Учитывая, что $\operatorname{mes}(\Delta^i_{j_1}\cap\Delta^i_{j_2})=0$, если $j_1\neq j_2$, $j_1,j_2\in G^i_1$, из (2.9) получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{\varepsilon}{2}\biggr\} \geqslant\frac{\operatorname{mes}(\bigcup_{j\in G^i_1}\Delta^i_j)}{9}\geqslant\frac{1}{18n_i}\operatorname{card}(G^i_1).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Аналогично получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{\varepsilon}{2}\biggr\} \geqslant\frac{1}{18n_i}\operatorname{card}(G^i_2).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Из (2.10), (2.11) следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{card}(G^i_1\cup G^i_2)\leqslant 36n_i\operatorname{mes} \biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{\varepsilon}{2}\biggr\}=o(n_i),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
поскольку ряд (1.1) сходится по мере к нулю.
Применяя лемму 1, из (2.7), (2.8) и (2.12) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(\mathcal S, M^{i_0}_{j_0})| &\leqslant\sum_{j\colon \operatorname{supp}M^{i}_j\subset \operatorname{supp}M^{i_0}_{j_0}}\alpha_j |(\mathcal S, M^{i}_j)|\leqslant \varepsilon+M\frac{n_{i_0}}{n_i}\operatorname{card}(G^i_1\cup G^i_2) \\ &=\varepsilon+M\frac{n_{i_0}}{n_i}\, o(n_i)=\varepsilon+Mn_{i_0}o(1), \qquad i\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречит условию леммы, т.е. (2.4). Лемма доказана. § 3. Доказательство основной леммыЛемма 5 (основная лемма). Пусть ряд (1.1) с коэффициентами (1.2) сходится по мере к нулю на $\Delta^{i_0}_{j_0}$ и Тогда найдутся такие $i$ и $j$, чтобы выполнялись Доказательство. Обозначим Очевидно, что множество $A_m$ является открытым множеством и $A_m\subset A_{m+1}$. Положим Множество $A$ тоже открытое и, как любое открытое множество, является объединением непересекающихся открытых интервалов, т.е.
Допустим, существуют такие $i$ и $j$, что $\Delta^i_j\subset A$ и $(\mathcal S, M^i_j)\neq 0$. Учитывая, что $A_m$ – открытые множества, $A_m\subset A_{m+1}$ и $\Delta^i_j$ – замкнутые множества, получим, что $\Delta^i_j\subset A_m$ для некоторого $m$. Очевидно, что тогда $i$ и $j$ будут искомыми. Теперь допустим, что
$$
\begin{equation}
(\mathcal S, M^i_j)=0, \quad\text{если }\ \Delta^i_j\subset A.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Найдем $q_0$ такое, что (см. (1.4))
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl(\bigcup_{q\geqslant q_0}I_q\biggr)< 2^{-\kappa-9}(n_{i_0+1})^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
A^{q_0}:=\bigcup_{q<q_0}I_q, \qquad B:=\bigcup_{q\geqslant q_0}I_q, \qquad D:=\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon \mathcal M(\chi_B,x)>2^{-\kappa-4}\},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\mathcal M(\chi_B,x)$ – максимальная функция характеристической функции множества $B$ по сегментам $[s^i_j,s^i_{j+1}]$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal M(\chi_B,x):=\sup_{x\in[s^i_j,s^i_{j+1}]} \frac{\operatorname{mes}(B\cap[s^i_j,s^i_{j+1}])}{s^i_{j+1}-s^i_{j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
По индукции построим представления
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag M^{i_0}_{j_0}(x) &=\sum_{\nu=i_0}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset A^{q_0}}\alpha^{(\nu)}_jM^{\nu}_j(x)+ \sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_jM^{\nu}_j(x) \\ &\qquad +\sum_{\substack{\Delta^i_j\not\subset A^{q_0}\\ \Delta^i_j\not\subset D}} \alpha^{(i)}_jM^i_j(x)=:\Sigma^i_1(x)+\Sigma^i_2(x)+\Sigma^i_3(x), \qquad i>i_0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
с коэффициентами
$$
\begin{equation}
\alpha^{(\nu)}_j\geqslant 0, \qquad\sum_{\nu=i_0}^i\sum_j\alpha^{(\nu)}_j=1.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Для $i=i_0+1$ из леммы 1 имеем
$$
\begin{equation}
M^{i_0}_{j_0}(x)=\sum_{j\colon \Delta^{i_0+1}_j\subset\Delta^{i_0}_{j_0}}\alpha^{(i_0+1)}_jM^{i_0+1}_j(x).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Заметим, что при любом $j$ имеет место $\Delta^{i_0+1}_j\not\subset D$. Действительно, если бы имело место $\Delta^{i_0+1}_j\subset D$, выполнялось бы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}(B)\geqslant \operatorname{mes}(\Delta^{i_0+1}_j\cap B)\geqslant 2^{-\kappa-4}\operatorname{mes}(\Delta^{i_0+1}_j)>\frac{2^{-\kappa-4}}{2n_{i_0+1}},
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречило бы (3.3) (см. также (3.4)).
Те слагаемые в сумме (3.7), для которых $\Delta^{i_0+1}_j\subset A^{q_0}$, отнесем к сумме $\Sigma^{i_0+1}_1(x)$, остальные слагаемые отнесем к сумме $\Sigma^{i_0+1}_3(x)$. Таким образом завершим первый шаг индукции. Допустим, для $i$ имеем представление (3.5). Получим (3.5) для $i+1$. Применив лемму 1 к слагаемым $M^i_j$, входящим в $\Sigma^i_3$, и складывая подобные слагаемые, получим некую сумму Слагаемые в сумме (3.8), для которых $\Delta_j^{i+1}\subset A^{q_0}$, отнесем к сумме $\Sigma^{i+1}_1(x)$, а если $\Delta_j^{i+1}\,{\subset}\, D$ и $\Delta_j^{i+1}\,{\not\subset}\, A^{q_0}$, то соответствующие слагаемые отнесем к $\Sigma^{i+1}_2(x)$. Остальные отнесем к сумме $\Sigma^{i+1}_3(x)$. Таким образом, для каждого $i$ получим представление (3.5). Выполнение (3.6) очевидно. Тогда для каждого $i$ из представления (3.5) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\mathcal S, M^{i_0}_{j_0}) &=\sum_{\nu=i_0}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset A^{q_0}}\alpha^{(\nu)}_j(\mathcal S, M^{\nu}_j)+ \sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_j(\mathcal S, M^{\nu}_j) \\ &\qquad +\sum_{\substack{\Delta^i_j\not\subset A^{q_0}\\ \Delta^i_j\not\subset D}} \alpha^{(i)}_j(\mathcal S,M^i_j)=:\sigma^i_1+\sigma^i_2+\sigma^i_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Сумма $\sigma_1^i$ равна нулю по предположению (см. (3.2)). Докажем, что (см. (3.5))
$$
\begin{equation}
|(\mathcal S, M^i_j)|<d, \quad\text{если }\ M^i_j(x) \quad\text{входит в сумму }\ \sigma^i_2.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Если бы выполнялось $|(\mathcal S, M^i_j)|\geqslant d$, то в силу леммы 2 выполнялось бы
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^i_j\colon |S^{(i)}(x)|\geqslant\frac{d}{2}\biggr\} \geqslant\frac{\operatorname{mes}(\Delta^i_j)}{9}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Пусть $\Delta^{i-1}_{\nu}$ – некий интервал с условием $\Delta^i_j\subset\Delta^{i-1}_{\nu}$. Тогда из (3.11) следовало бы (см. также (1.4))
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i-1}_{\nu}\colon |S^{(i)}(x)|\geqslant\frac{d}{2}\biggr\} \geqslant\frac{\operatorname{mes}(\Delta^{i-1}_{\nu})}{9\cdot 2^{\kappa}},
\end{equation*}
\notag
$$
что означало бы $\Delta^{i-1}_{\nu}\subset D$. Но это невозможно по построению представления (3.5). Следовательно, выполняется (3.10). Из этого следует, что (см. (3.5) и (3.4))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\sigma_2^i| &\leqslant d\sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_j=d \int\sum_{\nu=i_0+1}^i\sum_{\Delta^{\nu}_j\subset D}\alpha^{(\nu)}_jM^{\nu}_j(x)\,dx \\ \notag &\leqslant d\int_DM^{i_0}_{j_0}(x)\,dx\leqslant \frac{d}{2} \|M^{i_0}_{j_0}\|_{\infty}\operatorname{mes}(D)= \frac{d}{\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}\operatorname{mes}(D) \\ &\leqslant d\frac{10\cdot 2^{\kappa+4}}{\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}\operatorname{mes}(B)\leqslant d\frac{5\cdot 2^{-4}}{n_{i_0+1}\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}\leqslant\frac{d}{3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Перейдем к оценке $\sigma_3^i$. В сумму $\Sigma^i_3(x)$ может входить не более $4q_0$ слагаемых с условием $\Delta^i_j\cap A^{q_0}\neq\varnothing$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^i_4 &:=\{j\colon \Delta^i_j\not\subset D,\ \Delta^i_j\not\subset A^{q_0},\ \Delta^i_j\cap A^{q_0}\neq\varnothing\}, \\ J^i_5 &:=\{j\colon \Delta^i_j\not\subset D,\ \Delta^i_j\cap A^{q_0}=\varnothing\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, положим
$$
\begin{equation}
J^i_6:=\biggl\{j\in J^i_5\colon |(\mathcal S, M^i_j)|<\frac{d}{3}\biggr\},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
$$
\begin{equation}
J^i_7:=\biggl\{j\in J^i_5\colon |(\mathcal S, M^i_j)|\geqslant\frac{d}{3}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
|\sigma^i_3|\leqslant \sum_{j\in J^{i}_4}\alpha^{i}_j|(\mathcal S, M^i_j)|+\sum_{j\in J^{i}_6}\alpha^{i}_j|(\mathcal S, M^i_j)|+ \sum_{j\in J^{i}_7}\alpha^{i}_j|(\mathcal S, M^i_j)|=:\sigma^i_4+\sigma^i_6+\sigma^i_7.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Отдельно оценим $\sigma^i_4$, $\sigma^i_6$, $\sigma^i_7$. Для $\sigma^i_4$ из (2.2) и (2.3) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\sigma^i_4| &\leqslant o(n_i)\sum_{j\in J^i_4}\alpha^{(i)}_j=o(n_i)\sum_{j\in J^i_4}\alpha^{(i)}_j\int M^i_j(x)\,dx \\ &\leqslant o(n_i)\int_H M^{i_0}_{j_0}(x)\,dx\leqslant o(n_i)\frac{2}{\operatorname{mes}(\Delta^{i_0}_{j_0})}\frac{16q_0}{n_i}, \quad\text{где }\ H:=\bigcup_{j\in J^i_4}\Delta^i_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
|\sigma^i_4|\leqslant\frac{d}{10} \quad\text{при достаточно больших }\ i.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Для $\sigma^i_6$ имеем (см. (3.6), (3.13)) Аналогично доказательству (3.10) можно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
|(\mathcal S, M^i_j)|\leqslant d, \quad\text{когда }\ j\in J^i_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (см. (3.14))
$$
\begin{equation*}
|(\mathcal S, M^i_j)|\leqslant d, \quad\text{когда }\ j\in J^i_7.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно (см. (3.5)),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\sigma^i_7| &\leqslant d\sum_{j\in J^i_7}\alpha^{(i)}_j= d\sum_{j\in J^i_7}\alpha^{(i)}_j\int M^{i}_j(x)\,dx\leqslant d\int_EM^{i_0}_{j_0}(x)\,dx \\ &\leqslant d\|M^{i_0}_{j_0}\|_{\infty}\operatorname{mes}(E), \quad\text{где } \ E:=\bigcup_{j\in J^i_7}\Delta^i_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Аналогично доказательству (2.12) из (3.14) получим
$$
\begin{equation}
\operatorname{card}(J^i_7)\leqslant 36n_i\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{d}{6}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Поскольку ряд (1.1) сходится по мере к нулю, то при достаточно больших $i$ будет выполняться
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\biggl\{x\in\Delta^{i_0}_{j_0}\colon |S^{(i)}(x)|>\frac{d}{6}\biggr\}<\frac{1}{2000n_{i_0}}.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Из (3.19)–(3.21) получим
$$
\begin{equation}
\sigma^i_7<d4n_{i_0}\frac{4}{n_i}\operatorname{card}(J^i_7)\leqslant \frac{16n_{i_0}d}{n_i}\frac{36n_i}{2000n_{i_0}}<\frac{d}{3}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Из (3.9), (3.12), (3.15)–(3.18) и (3.22) получим
$$
\begin{equation*}
|(\mathcal S, M^{i_0}_{j_0})|<\frac{d}{3}+\frac{d}{10}+\frac{d}{10}+\frac{d}{3}<d.
\end{equation*}
\notag
$$
Но это противоречит (3.1). Следовательно, наше предположение (3.2) не верно. Лемма 5 доказана.
§ 4. Доказательство теорем Доказательство теоремы 5. Пусть $B=\{y_p\}_{p=1}^{\infty}$ и ряд (1.1) удовлетворяет требованиям теоремы 5. Допустим, ряд (1.1) не тривиальный, т.е. существует такое $k$, что $a_k\neq 0$. Для $i_0$ с условием $n_{i_0}>k$ существует такое $j_0$, что $(\mathcal S, M^{i_0}_{j_0})\neq 0$ (напомним, что $\{M^{i}_j\}_{j=0}^{n_i}$ – базис в $\mathbf S_{n_{i}})$.
Применяя лемму 3, найдем отрезок $\Delta^{i'_1}_{j'_1}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
y_1\notin\Delta^{i'_1}_{j'_1}\subset \Delta^{i_0}_{j_0}, \qquad (\mathcal S, M^{i_1'}_{j_1'})\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя лемму 4, найдем отрезок $\Delta^{i''_1}_{j''_1}$ со свойствами
$$
\begin{equation}
\Delta^{i''_1}_{j''_1}\subset \Delta^{i'_1}_{j'_1}, \qquad |(\mathcal S, M^{i_1''}_{j_1''})|>10.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Применяя лемму 5 к (4.1), найдем такие $i_1$, $j_1$, для которых выполняются
$$
\begin{equation}
y_1\notin\Delta^{i_1}_{j_1}\subset \Delta^{i''_1}_{j''_1}\subset \Delta^{i_0}_{j_0}, \qquad\max_{i_0\leqslant\nu\leqslant i_1} |S^{(\nu)}(x)|>1, \quad\text{когда }\ x\in\Delta^{i_1}_{j_1}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Допустим, уже найдены $i_1,\dots,j_p$, $j_1,\dots, j_p$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y_{\nu}\notin\Delta^{i_\nu}_{j_\nu}\subset \Delta^{i_{\nu-1}}_{j_{\nu-1}}, \qquad \nu=1,\dots,p, \\ \max_{i_{\nu-1}\leqslant \mu\leqslant i_{\nu}}|S^{{\mu}}(x)|>\nu, \quad\text{когда }\ x\in\Delta^{i_{\nu}}_{j_{\nu}}, \quad\nu=1,\dots,p. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 3, найдем такой отрезок $\Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}$, чтобы выполнялись
$$
\begin{equation*}
y_{p+1}\notin\Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}\subset \Delta^{i_p}_{j_p}, \qquad (\mathcal S, M^{i_{p+1}'}_{j_{p+1}'})\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя лемму 4, найдем отрезок $\Delta^{i''_{p+1}}_{j''_{p+1}}$, удовлетворяющий соотношениям
$$
\begin{equation}
\Delta^{i''_{p+1}}_{j''_{p+1}}\subset \Delta^{i'_{p+1}}_{j'_{p+1}}, \qquad |(\mathcal S, M^{i_{p+1}''}_{j_{p+1}''})|>10(p+1).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Применяя лемму 5 к (4.3), найдем такие числа $i_{p+1}$, $j_{p+1}$, для которых выполняются
$$
\begin{equation*}
y_{p+1}\notin\Delta^{i_{p+1}}_{j_{p+1}}\subset \Delta^{i''_{p+1}}_{j''_{p+1}}\subset \Delta^{i_p}_{j_p}, \qquad \max_{i_p\leqslant\nu\leqslant i_{p+1}} |S^{(\nu)}(x)|>p+1, \quad\text{когда }\ x\in\Delta^{i_{p+1}}_{j_{p+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом построим последовательность вложенных отрезков $\Delta^{i_p}_{j_p}$ со свойствами
$$
\begin{equation}
y_p\notin\Delta^{i_p}_{j_p}\subset\Delta^{i_{p-1}}_{j_{p-1}}, \qquad p=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
\max_{i_{p-1}\leqslant\nu\leqslant i_{p}}|S^{(\nu)}(x)|>p, \quad\text{когда }\ x\in\Delta^{i_p}_{j_p}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Из (4.4), (4.5) следует существование такого $z$, что
$$
\begin{equation*}
z\notin\{y_p\}_{p=1}^{\infty}=B, \qquad \sup_p|S^{(i_p)}(z)|=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречит (1.6). Теорема доказана. Доказательство теоремы 7. Действительно, пусть $\sum_{n=0}^{\infty}b_nf_n(x)$ является рядом Фурье–Франклина ограниченной функции $f$. Как уже отметили, в этом случае
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_i\biggl|\sum_{n=0}^{n_i}b_nf_n(x)\biggr|< C\|f\|_{\infty}, \qquad x\in[0,1], \\ \lim_{i\to\infty}\sum_{n=0}^{n_i}b_nf_n(x)=f(x) \quad\text{по мере на }\ [0,1]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_nf_n(x)$ с коэффициентами $c_n\,{:=}\,a_n-b_n$, $n\,{=}\,0, 1, 2, \dots$, удовлетворяет условиям теоремы 5. Поэтому $c_n=0$, $n=0,1,2,\dots$, т.е. $a_n=b_n$, $n=0,1,2,\dots$ . Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gev23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|