| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников С. А. Александровa, Н. В. Богачевba, А. Ю. Веснинcde, А. А. Егоровd a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл. b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва c Национальный исследовательский Томский государственный университет d Новосибирский национальный исследовательский государственный университет e Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9740e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзучение объемов гиперболических многогранников и гиперболических многообразий является фундаментальной проблемой геометрии и топологии. Мы рассматриваем многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского $\mathbb{H}^n$ размерности $n$, все двугранные углы которых равны $\pi/2$. Такие многогранники будем называть прямоугольными. Известно, что в $\mathbb{H}^n$ не существует компактных прямоугольных многогранников при $n>4$, а прямоугольных многогранников конечного объема – при $n>12$ (см. [8]), однако примеры известны только при $n< 9$ (см. [17]). Отметим, что в последнее время изучение объемов идеальных прямоугольных многогранников становится все более важным ввиду теоремы о максимальном объеме обобщенного гиперболического многогранника с заданным одномерным скелетом (см. [4]), задачи о минимальном идеальном прямоугольном четырехмерном гиперболическом многограннике (см. [15]), а также гипотезы о гиперболических прямоугольных узлах (см. [6]). В настоящей работе рассматриваются прямоугольные гиперболические многогранники в $\mathbb{H}^3$. В [11] приведен список наименьших по объему идеальных прямоугольных многогранников, а в [12] – список наименьших по объему компактных прямоугольных многогранников. Построение трехмерных гиперболических многообразий из прямоугольных, как компактных, так и идеальных, многогранников подробно обсуждается в недавнем обзоре [21]. В компактном случае такие многообразия связаны с малыми накрытиями (см., например, [7], [5]). Также прямоугольные многогранники используются при построении трехмерных гиперболических многообразий, ограничивающих геометрически (см. [14]). Отметим работы [13], [16], в которых изучается взаимосвязь между арифметичностью гиперболических групп отражений и арифметичностью гиперболических зацеплений. Существенную роль играет тот факт, что фундаментальные группы дополнений некоторых гиперболических зацеплений соизмеримы с гиперболическими группами отражений прямоугольных многогранников. Это позволяет применить теорию Э. Б. Винберга групп отражений (см. [22]). В 1970 г. Е. М. Андреев (см. [1], [2], а также [18]) получил известное описание трехмерных гиперболических остроугольных (все двугранные углы не превосходят $\pi/2$) многогранников конечного объема. Для прямоугольных многогранников теоремы Андреева дают простые необходимые и достаточные условия того, что заданный комбинаторный многогранник может быть реализован как многогранник в $\mathbb{H}^3$, который является компактным, идеальным или имеет конечный объем. Такая реализация единственна с точностью до изометрии пространства $\mathbb{H}^3$. Таким образом, естественно ожидать, что геометрические инварианты таких многогранников могут быть оценены через комбинаторные. Нижние и верхние оценки объемов прямоугольного гиперболического многогранника, использующие число его вершин, были получены К. Аткинсоном (см. [3]). В настоящей работе получены новые верхние оценки объемов идеальных прямоугольных многогранников (см. теорему 1.1), компактных прямоугольных многогранников (см. теорему 1.2) и прямоугольных многогранников конечного объема, которые содержат как конечные вершины, так и идеальные (см. теорему 1.3). Напомним, что объем гиперболического многогранника размерности $3$ обычно можно выразить через функцию Лобачевского (см. [23]) Для более удобной формулировки полученных результатов определим две константы, связанные со значениями функции Лобачевского, вычисленными в некоторых точках. Первая, $v_8=8 \Lambda(\pi/4)$, равна объему правильного идеального гиперболического октаэдра. С точностью до шести знаков после запятой $v_8 =3.663862$. Вторая, $v_3=3 \Lambda (\pi/3)$, равна объему правильного идеального гиперболического тетраэдра. С точностью до шести знаков после запятой $v_3 =1.014941$.1.1. Идеальные прямоугольные трехмерные гиперболические многогранникиНапомним, что если $P \subset \mathbb{H}^3$ является идеальным прямоугольным многогранником с $V$ вершинами, то $V \geqslant 6$. Более того, $V=6$ тогда и только тогда, когда $P$ является октаэдром, который можно рассматривать как антипризму $A(3)$ с треугольными основаниями. Таким образом, $\operatorname{Vol}(A(3))=v_8$. Формулы объемов антипризм $A(n)$ (т.е. идеальных прямоугольных многогранников с $V=2n$ вершинами, двумя $n$-угольными основаниями и $2n$ боковыми треугольниками), где $n \geqslant 3$, были получены У. Тёрстоном (см. [19; гл. 6, 7]):
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol} (A(n))=2n \biggl[ \Lambda \biggl(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2n} \biggr)+\Lambda \biggl(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2n} \biggr) \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Например, с точностью до шести знаков после запятой $\operatorname{Vol}(A(4))=6.023046$. В 2009 г. К. Аткинсон доказал (см. [3; теорема 2.2]) следующие верхние и нижние оценки объемов многогранников через число вершин. Рассмотрим идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник $P$ с $V \geqslant 6$ вершинами. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{v_8}{4} V-\frac{v_8}{2} \leqslant\operatorname{Vol} (P) \leqslant\frac{v_{8}}{2} V -2 v_{8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует отметить, что оба равенства достигаются тогда, когда $P$ является правильным идеальным октаэдром, т.е. при $V=6$. Более того, верхняя оценка асимптотически точна в следующем смысле: существует такая последовательность идеальных прямоугольных многогранников $P_i$ с $V_i$ вершинами, что $\operatorname{Vol}(P_i) / V_i \to v_8/2$ при $i \to +\infty$. Идеальных прямоугольных многогранников с $V=7$ вершинами не существует. Кроме того, $V=8$ тогда и только тогда, когда $P$ является антипризмой $A(4)$ с четырехугольными основаниями. Следующая верхняя оценка была получена в [9; теорема 2.2]. Рассмотрим идеальный прямоугольный гиперболический многогранник $P \subset \mathbb{H}^3$ с $V \geqslant 9$ вершинами. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol} (P) \leqslant\frac{v_{8}}{2}V-\frac{5v_{8}}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство достигается тогда, когда $P$ является многогранником, склеенным из двух правильных идеальных октаэдров вдоль одной из граней, т.е. при $V= 9$. Сравнение указанных выше нижних и верхних оценок с объемами идеальных прямоугольных многогранников, имеющих не более $21$ вершины, приведено на графике в [9; рис. 1]. Теорема 1.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами. Тогда имеют место следующие неравенства. (1) Если $V>24$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V-3 v_8.
\end{equation*}
\notag
$$
(2) Если $P$ имеет $k$-угольную грань, где $k \geqslant 3$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V -\frac{k+5}{4} v_8.
\end{equation*}
\notag
$$
(3) Если $P$ имеет только треугольные и четырехугольные грани, причем $V \geqslant 73$, то Доказательство теоремы 1.1 приведено в § 3. 1.2. Компактные прямоугольные трехмерные гиперболические многогранникиИзвестно, что число вершин $V$ любого компактного прямоугольного многогранника в $\mathbb{H}^3$ четно, причем $V=20$ или $V \geqslant 24$. Более того, если $V=20$, то $P$ является правильным прямоугольным додекаэдром. Формула объема известна, например, для бесконечного семейства компактных прямоугольных многогранников $L(n)$, $n \geqslant 5$, называемых многогранниками Лёбелля. Каждый многогранник $L(n)$ имеет $V=4n$ вершин, два $n$-угольных основания (верхнее и нижнее) и $2n$ боковых пятиугольных граней. В частности, $L(5)$ является правильным додекаэдром. Согласно [20] формула объема для $L(n)$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(L(n))=\frac{n}{2} \biggl[ 2 \Lambda (\theta)+\Lambda \biggl( \theta+\frac{\pi}{n} \biggr)+\Lambda \biggl( \theta-\frac{\pi}{n} \biggr)-\Lambda \biggl( 2 \theta-\frac{\pi}{2} \biggr) \biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta={\pi}/{2}-\arccos \bigl({1}/(2 \cos (\pi/n))\bigr)$. Двусторонние оценки объемов компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников были получены Аткинсоном (см. [3; теорема 2.3]). А именно, если $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами, то
$$
\begin{equation*}
\frac{v_8}{32} V-\frac{v_8}{4} \leqslant \operatorname{Vol}(P)<\frac{5v_3}{8} V -\frac{25}{4} v_3.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом существует такая последовательность компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников $P_i$ с числом вершин $V_i$, что $\operatorname{Vol}(P_i)/V_i \to 5v_3/8$ при $i \to +\infty$. Верхняя оценка может быть улучшена, если мы исключим из рассмотрения додекаэдр. В [9; теорема 2.4] доказано, что если $P \subset \mathbb{H}^3$ – компактный прямоугольный многогранник с $V \geqslant 24$ вершинами, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{5v_3}{8} V-\frac{35}{4} v_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.2. Пусть $P$ – компактный прямоугольный многогранник в $\mathbb{H}^3$ с $V$ вершинами. Тогда имеют место следующие неравенства. (1) Если $V>80$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{5v_3}{8} V-10 v_3.
\end{equation*}
\notag
$$
(2) Если $P$ имеет $k$-угольную грань, где $k \geqslant 5$, то Доказательство теоремы 1.2 приведено в § 4. 1.3. Прямоугольные трехмерные гиперболические многогранники с конечными и идеальными вершинамиКак и в случаях идеальных и компактных многогранников, Аткинсон получил (см. [3; теорема 2.4]) оценки объемов прямоугольных гиперболических многогранников, которые содержат вершины обоих типов: конечные и идеальные. А именно, если $P$ является прямоугольным многогранником конечного объема с $V_\infty>0$ идеальными и $V_F$ конечными вершинами, то
$$
\begin{equation}
\frac{v_8}{4} V_\infty+\frac{v_8}{32} V_F-\frac{v_8}{4} \leqslant \operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5 v_3}{8} V_F-\frac{v_8}{2}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Используя больше информации о комбинаторном строении многогранника $P$, можно улучшить верхнюю оценку следующим образом. Теорема 1.3. Пусть $P$ – прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник конечного объема с $V_\infty>0$ идеальными и $V_F$ конечными вершинами. Если $V_\infty+V_F>17$, то Доказательство теоремы 1.3 приведено в § 5. § 2. Комбинаторика прямоугольных гиперболических многогранников2.1. Гиперболические многогранникиОбозначим через $\mathbb{R}^{n, 1}$ векторное пространство $\mathbb{R}^{n+1}$, снабженное скалярным произведением $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\, \rangle$ сигнатуры $(n, 1)$, а через $f_n$ – ассоциированную с этим произведением квадратичную форму. В подходящем базисе эта форма выражается следующим образом: Пространством Лобачевского $\mathbb{H}^n$ размерности $n$ называется верхняя связная компонента гиперболоида, заданного уравнением $f_n(x)=-1$:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}^{n}=\bigl\{ x \in \mathbb{R}^{n, 1} \mid f_n (x)=-1,\,x_{0}>0 \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В данной модели точки на абсолюте соответствуют изотропным векторам:
$$
\begin{equation*}
\partial \mathbb{H}^n=\bigl\{x \in \mathbb{R}^{n, 1} \mid f_n (x)=0,\,x_{0}>0\bigr\} / \mathbb R_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Выпуклым гиперболическим многогранником размерности $n$ называется пересечение конечного семейства замкнутых полупространств в $\mathbb{H}^n$, которое содержит непустое открытое множество. Выпуклый гиперболический многогранник называется гиперболическим многогранником Кокстера, если все его двугранные углы являются целыми частями $\pi$, т.е. имеют вид $\pi/ m$ для некоторого целого $m \geqslant 2$. Гиперболический многогранник Кокстера называется прямоугольным, если все его двугранные углы равны $\pi/2$. Если все двугранные углы обобщенного1 многогранника не превосходят $\pi/2$, то говорят, что этот многогранник является остроугольным. Известно, что обобщенные многогранники Кокстера являются естественными фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями в пространствах постоянной кривизны (см. [22]). Выпуклый $n$-мерный многогранник имеет конечный объем тогда и только тогда, когда он является выпуклой оболочкой конечного числа точек в компактификации $\overline{\mathbb{H}^n}=\mathbb{H}^n \cup \partial \mathbb{H}^n$. Многогранник размерности $n$ компактен тогда и только тогда, когда он является выпуклой оболочкой конечного числа точек пространства $\mathbb{H}^n$, которые называются конечными. Выпуклый многогранник называется идеальным, если все его вершины лежат на абсолюте $\partial \mathbb{H}^n$ (такие вершины называются идеальными). Известно, что компактные остроугольные многогранники (в частности, многогранники Кокстера) в $\mathbb{H}^n$ являются простыми, т.е. каждая вершина принадлежит ровно $n$ граням коразмерности $1$ (и, следовательно, $n$ ребрам). Говорят, что два многогранника $P$ и $P'$ в евклидовом пространстве $\mathbb{E}^n$ комбинаторно эквивалентны, если существует биекция между множествами их граней, которая сохраняет отношение инцидентности. Класс комбинаторно эквивалентных многогранников называется комбинаторным многогранником. Отметим, что если гиперболический многогранник $P \subset \mathbb{H}^n$ имеет конечный объем, то его замыкание $\overline{P} \subset \overline{\mathbb{H}^n}$ комбинаторно эквивалентно некоторому компактному многограннику в $\mathbb{E}^n$. Следующая теорема является частным случаем теоремы Андреева (см. [1], [2]). Теорема 2.1. Комбинаторный многогранник $\mathcal{P}$ может быть реализован как прямоугольный многогранник $P \subset \overline{\mathbb{H}^3}$ конечного объема тогда и только тогда, когда (1) $\mathcal{P}$ не является тетраэдром или треугольной призмой; (2) каждая вершина $\mathcal{P}$ принадлежит не более чем четырем граням; (3) если $f$, $f'$ и $f''$ – грани $\mathcal{P}$, причем ребра $e'=f \cap f'$ и $e''=f \cap f''$ не пересекаются, то грани $f'$ и $f''$ не пересекаются; (4) не существует граней $f_1$, $f_2$, $f_3$ и $f_4$ таких, что $e_i := f_i \cap f_{i+1}$ (индексы по модулю $4$) – попарно непересекающиеся ребра многогранника $\mathcal{P}$. Вершина $v$ прямоугольного многогранника $P \subset \overline{\mathbb{H}^3}$ лежит в $\mathbb{H}^3$ (т.е. является конечной) тогда и только тогда, когда она лежит ровно в трех гранях многогранника $P$. Если вершина $v$ лежит в четырех гранях многогранника $P$, то $v \in \partial \mathbb{H}^3$. 2.2. Комбинаторика идеальных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранниковПусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник. Обозначим через $V$ число его вершин, через $E$ – число ребер, а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна $V-E+F=2$. Каждая идеальная вершина прямоугольного гиперболического многогранника конечного объема инцидентна ровно четырем ребрам, откуда $4V=2E$, а значит, $F=V+2$. Обозначим через $p_k$ число $k$-угольных граней многогранника $P$. Из предыдущих тождеств следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k \geqslant 3} p_k=F, \qquad \sum_{k \geqslant 3} k p_k=4V, \qquad p_3=8+ \sum_{k \geqslant 5} (k-4) p_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что две вершины многогранника $P$ смежны, если они соединены ребром. Две вершины квазисмежны, если они лежат в одной грани, но не смежны. Пример 2.1. На рис. 1 приведены два идеальных прямоугольных многогранника с $24$ вершинами из работы [11]. Каждая вершина этих многогранников лежит ровно в одной треугольной и трех четырехугольных гранях. Таким образом, каждая вершина этих многогранников квазисмежна ровно трем другим вершинам. Лемма 2.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>24$ вершинами. Тогда в $P$ найдется вершина, которая квазисмежна не менее чем четырем вершинам. Доказательство. Обозначим через $q(v)$ число вершин, квазисмежных вершине $v$. Тогда среднее число квазисмежных вершин в многограннике $P$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\sum_v q(v)}{V} &=\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k (k-3) p_k =\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k^2 p_k-\frac{3}{V} \sum_{k \geqslant 3} k p_k \\ &=\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k^2 p_k-12 =\frac{1}{V} \biggl[3^2\,p_3+4^2\biggl(F- p_3-\sum_{k \geqslant 5} p_k\biggr) +\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]-12 \\ &=\frac{1}{V} \biggl[3^2\biggl(8+\sum_{k \geqslant 5} (k-4)p_k\biggr) +4^2\biggl(F-p_3- \sum_{k \geqslant 5} p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]-12 \\ &=\frac{1}{V}\biggl[3^2\biggl(8+\sum_{k \geqslant 5} (k-4)p_k\biggr) +4^2\biggl(V-6\,{-} \sum_{k \geqslant 5} (k-3) p_k\biggr){+}\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]{-}\,12 \\ &=4-\frac{24}{V}+\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 5} (k^2-7k+12) p_k \geqslant 4-\frac{24}{V}> 3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в многограннике $P$ найдется вершина, которая квазисмежна не менее чем четырем вершинам. Доказательство завершено. Замечание 2.1. Каждая вершина $k$-угольной грани квазисмежна не менее чем с $k-3$ другими вершинами. Поэтому если в многограннике есть $k$-угольная грань, где $k \geqslant 7$, то в нем существует вершина, которая квазисмежна не менее чем с четырьмя другими вершинами. Будем говорить, что грань $f$ и вершина $v$ инцидентны, если $v$ лежит в $f$. Будем говорить, что грань $f$ и вершина $v$ квазиинцидентны, если они не инцидентны, но у вершины $v$ есть инцидентная грань $f'$, которая имеет общее ребро с гранью $f$. Предложение 2.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V \geqslant 73$ вершинами, а все его грани являются треугольными или четырехугольными. Тогда в $P$ найдется вершина, которая не инцидентна и не квазиинцидентна ни одной треугольной грани (рис. 2). Доказательство. Пусть $F$ – число граней многогранника $P$. Поскольку $P$ имеет только треугольные и четырехугольные грани, то множество граней многогранника $P$ состоит из $8$ треугольников и $F-8$ четырехугольников. Каждая треугольная грань инцидентна или квазиинцидентна не более чем девяти вершинам (рис. 3, где инцидентные вершины помечены черным цветом, а квазиинцидентные – белым). Следовательно, не более чем $72$ вершины многогранника $P$ могут быть инцидентны или квазиинцидентны какой-либо треугольной грани. Это завершает доказательство. 2.3. Комбинаторика компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранниковПусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник. Обозначим через $V$ число его вершин, через $E$ – число ребер, а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна $V-E+F=2$. Каждая вершина компактного прямоугольного трехмерного гиперболического многогранника инцидентна ровно трем ребрам, откуда $3V=2E$ и $F=\frac{1}{2} V+2$. Обозначим через $p_k$ число $k$-угольных граней многогранника $P$. Из теоремы 2.1 следует, что $p_3=0$ и $p_4=0$, а из предыдущих тождеств, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k \geqslant 5} p_k=F, \qquad \sum_{k \geqslant 5} k p_k=3V, \qquad p_5=12+ \sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что ребро $e$ и вершина $v$ инцидентны, если вершина $v$ принадлежит $e$. Будем говорить, что ребро $e$ и вершина $v$ квазиинцидентны, если они не инцидентны, но хотя бы одна вершина ребра $e$ лежит в той же грани, что и вершина $v$. Поскольку каждая вершина компактного прямоугольного трехмерного гиперболического многогранника $P$ принадлежит трем граням, то каждое ребро $e$ многогранника $P$ окружено четырьмя гранями $f_1$, $f_2$, $f_3$ и $f_4$, как показано на рис. 4. Из теоремы 2.1 следует, что $f_2 \cap f_4=\varnothing$. Если грань $f_i$ является $k_i$-угольной, то число вершин, которые квазиинцидентны $e$, равно $\sum_{i=1}^4 k_i-10$. Пример 2.2. Рассмотрим многогранник, изображенный на рис. 5. Он имеет 80 вершин, и в структурной химии он известен как фуллерен C80. Каждое его ребро квазиинцидентно $13$ вершинам. В самом деле, каждое ребро в C80 окружено одним пятиугольником и тремя шестиугольниками. Лемма 2.2. Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>80$ вершинами. Тогда в нем найдется ребро, которое квазиинцидентно не менее чем $14$ вершинам. Доказательство. Обозначим через $q(e)$ число вершин, которые квазиинцидентны ребру $e$. Тогда среднее число квазиинцидентных вершин в многограннике $P$ равно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\sum_{e} q(e)}{E} =\frac{1}{E} \biggl[\sum_{k \geqslant 5} k (k-2) p_k+\sum_{k \geqslant 5} k (k-3) p_k\biggr] =\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k-\frac{5}{E} \sum_{k \geqslant 5} k p_k \\ &\quad=\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k-10 =\frac{2}{E} \biggl[5^2 p_5+6^2 p_6+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=\frac{2}{E}\biggl[5^2 \biggl(12+\sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k\biggr) +6^2\biggl(F-p_5- \sum_{k \geqslant 7} p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=\frac{2}{E}\biggl[5^2\biggl(12+\sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k\biggr) +6^2\biggl(\frac{E}{3}-10-\sum_{k \geqslant 7} (k-5) p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=14-\frac{120}{E}+\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 7} (k^2-11 k+30) p_k \geqslant 14-\frac{120}{E}=14-\frac{80}{V}>13. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в многограннике $P$ найдется ребро, которое квазиинцидентно не менее чем $14$ вершинам. Лемма доказана. Следствие 2.1. Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>80$ вершинами. Тогда найдется ребро, окруженное $k_i$-угольными гранями, $i=1, \dots, 4$, такое, что $\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$. 2.4. Комбинаторика прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников c конечными и идеальными вершинамиПусть $P$ – прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V_F$ конечными и $V_\infty$ идеальными вершинами. Обозначим через $E$ число ребер в $P$, а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна Поскольку каждая идеальная вершина инцидентна четырем ребрам, а конечная – трем, то $3 V_F+4 V_\infty=2E$. Значит, $F=\frac{1}{2} V_F+V_\infty+2$.Будем говорить, что две грани являются соседними, если у них есть общая вершина. Лемма 2.3. Для прямоугольного многогранника $P$ конечного объема с $V_F$ конечными и $V_\infty$ идеальными вершинами имеют место следующие утверждения. (1) Предположим, что $V_F+V_\infty>15$ и $V_\infty \geqslant 1$ или что $V_F+ V_\infty \geqslant 15$ и $V_\infty>1$. Тогда существует грань $f \in P$, у которой имеется не менее шести соседних. (2) Пусть $V_F+V_\infty>17$ и $V_\infty \geqslant 3$. Тогда если в $P$ нет грани не более чем с семью соседними, то в $P$ найдется не менее чем семь граней, каждая из которых имеет шесть соседних. (3) Если $V_\infty \geqslant 6$ и имеется грань $f \in P$, у которой не больше пяти соседних, то найдется грань $f' \in P$, у которой имеется не менее семи соседних. Доказательство. Обозначим число граней многогранника $P$ через $F$, а сами грани – через $f_i$, где $i=1, \dots, F$. Число конечных вершин грани $f_i$ обозначим через $V_F^i$, а бесконечных – через $V_\infty^i$. Тогда среднее число $A$ соседних граней в многограннике $P$ равно
(1) Покажем, что имеет место неравенство Это эквивалентно тому, что
$$
\begin{equation*}
8 V_\infty+3 V_F>5 V_\infty+\frac{5}{2} V_F+10, \quad \text{т.е. } \ 3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F> 10.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположив, что $V_F+V_{\infty}>15$, получаем
$$
\begin{equation*}
3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F> 3 V_\infty+\frac{15}{2}-\frac{1}{2} V_\infty=\frac{5}{2} V_\infty+\frac{15}{2} \geqslant 10
\end{equation*}
\notag
$$
при $V_\infty \geqslant 1$. Теперь предположим, что $V_F+V_{\infty} \geqslant 15$. Получаем
$$
\begin{equation*}
3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F \geqslant 3 V_\infty+\frac{15}{2}-\frac{1}{2} V_\infty=\frac{5}{2} V_\infty+\frac{15}{2}>10
\end{equation*}
\notag
$$
при $V_\infty>1$. Таким образом, в обоих случаях найдется грань $f \in P$, у которой есть не менее шести соседних.
(2) Запишем формулу (2.1) для среднего числа $A$ соседних граней в многограннике $P$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A &=\frac{8V_\infty+3V_F}{V_\infty+(1/2)V_F+2} =\frac{6(V_\infty+(1/2) V_F+ 2)+2V_\infty-12}{V_\infty+(1/2) V_F+2} \\ &\geqslant\frac{6(V_\infty+(1/2) V_F+2)-6}{V_\infty+(1/2) V_F+2}=6-\frac{6}{V_\infty+(1/2) V_F+2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались тем, что $2 V_\infty-6 \geqslant 0$. Поскольку $V_\infty+V_F>17$ и $V_\infty \geqslant 3$, получаем
$$
\begin{equation*}
V_\infty+\frac{1}{2} V_F+2 \geqslant 11+\frac{1}{2} V_\infty \geqslant\frac{25}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, среднее число соседних граней удовлетворяет неравенству
Поскольку $V_\infty+V_F>17$ и $V_\infty \geqslant 3$, то многогранник $P$ имеет
$$
\begin{equation*}
F=\frac{1}{2} V_F+V_\infty+2 \geqslant 11+\frac{1}{2} V_\infty>12
\end{equation*}
\notag
$$
граней. Но $F$ является целым числом, поэтому $F \geqslant 13$. Предположим от противного, что $P$ содержит $k \leqslant 6$ таких граней, у которых имеется не менее шести соседних. Тогда $P$ содержит $F- k$ граней, у каждой из который не более чем пять соседних, а среднее число $A$ соседних граней в $P$ удовлетворяет следующему неравенству:
$$
\begin{equation*}
A \leqslant\frac{6 k+5 (F-k)}{F}=5+\frac{k}{F} \leqslant 5+\frac{6}{13}=\frac{71}{13}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку ${71}/{13}<{138}/{25}$, мы пришли к противоречию. Следовательно, в $P$ есть хотя бы семь таких граней, которые имеют не менее шести соседних.
(3) Предполагая, что $V_\infty \geqslant 6$, мы получаем из формулы (2.1) следующее неравенство на среднее число соседних граней: Так как $A \geqslant 6$, а грань $f$ имеет не более пяти соседних граней, то найдется грань $f'$ многогранника $P$, у которой есть не менее семи соседних. Это завершает доказательство.§ 3. Доказательство теоремы 1.1Поскольку функция Лобачевского вогнута на отрезке $[0,{\pi}/{2}]$, то имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^m \Lambda(x_k) \leqslant m\Lambda\biggl(\frac{\sum_{k=1}^m x_k}{m}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник. Зафиксируем вершину $v$ многогранника $P$, которую далее будем называть базисной вершиной. Для каждой грани $f$ существует единственная точка $u$ – образ проекции $v$ на $f$. Если $f$ не пересекается ни с какой гранью, содержащей $v$, то проекция $u$ лежит внутри $f$. Проецируя точку $u$ на ребра грани $f$, мы получим разбиение многогранника $P$ на тетраэдры, известные как ортосхемы: гиперболический тетраэдр с вершинами $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $P_4$ называется ортосхемой, если ребро $P_1 P_2$ ортогонально плоскости $P_2 P_3 P_4$, а $P_1 P_2 P_3$ ортогональна $P_3 P_4$. Пример такого разбиения для грани, вершинами которой являются $v_1$, $v_2$, $v_3$ и $v_4$, а базисной вершиной – $v$, изображен на рис. 6. В результате получаем восемь тетраэдров с общим ребром $vu$. Рассмотрим тетраэдр, вершинами которого являются $v$, $u$, $w_4$ и $v_4$. Отметим, что вершины $v$ и $v_4$ являются идеальными, а $u$ и $w_4$ – конечными. Двугранные углы при ребрах $v w_4$, $w_4 u$ и $u v_4$ равны $\pi/2$. Если двугранный угол при ребре $vu$ равен $\alpha$, то двугранный угол при ребре $v v_4$ равен $\pi/2- \alpha$, а двугранный угол при ребре $v_4 w_4$ равен $\alpha$. Таким образом, тетраэдр определяется значением $\alpha$, которое мы назовем параметром этого тетраэдра. Согласно [19; гл. 7] объем тетраэдра, образованного вершинами $v$, $u$, $w_4$ и $v_4$, равен $\frac{1}{2} \Lambda(\alpha)$. Пример 3.1. Рассмотрим антипризму $A(4)$ с вершинами $V\,{=}\,\{v_1, v_2, \dots, v_8\}$. Антипризма и ее разбиение с базисной вершиной $v_1$ приведены на рис. 7. Определим тетраэдральный конус $C(v)$ вершины $v$ как объединение тетраэдров из разбиения многогранника, которые содержат вершину $v$. Таким образом, $A(4)$ разбивается на конусы и $\operatorname{Vol}(A(4))=\sum_{k=2}^8 \operatorname{Vol}(C(v_k))$. Вершины $v_2$, $v_4$, $v_5$ и $v_8$ смежны с $v_1$. Рассмотрим конус $C(v_4)$. Он состоит из двух тетраэдров с параметрами $\alpha$ и $\beta$. Так как двугранный угол при $v_1 v_4$ равен $\pi/2$, то сумма $(\pi/2-\alpha)+(\pi/2-\beta)$ равна $\pi/2$, а значит, $\alpha+\beta= \pi/2$. Из вогнутости функции $\Lambda(x)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(C(v_4))=\frac{1}{2} \Lambda(\alpha)+\frac{1}{2} \Lambda(\beta) \leqslant \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичное неравенство выполняется для любой вершины, смежной с $v_1$. Более подробные рассуждения приведены в [3; предложение 5.2]. Аналогичными рассуждениями можно показать, что $\operatorname{Vol}(C(v)) \leqslant 2\Lambda(\pi/4)$, если $v$ квазисмежна с $v_1$ (например, такой является вершина $v_3$), и $\operatorname{Vol}(C(v)) \leqslant 4\Lambda(\pi/4)$ для любой другой вершины $v$ (такими в рассматриваемом примере являются вершины $v_6$ и $v_7$). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(A(4)) \leqslant 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+1\cdot 2 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+2\cdot 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4} \biggr)=14 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 3.1 демонстрирует идею доказательства следующей леммы. Лемма 3.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник c $V$ вершинами. Если в $P$ есть вершина, имеющая $m$ квазисмежных вершин, то Доказательство. Каждая вершина многогранника $P$ смежна с четырьмя другими вершинами. Таким образом, Лемма доказана. Для доказательство п. (3) теоремы 1.1 мы будем суммировать объемы тетраэдров не по вершинам, а по граням. Тетраэдральным конусом $C(f)$ грани $f$ будем называть объединение тетраэдров разбиения многогранника, которые содержат грань, лежащую в $f$. Пример такого конуса изображен на рис. 6, c. Лемма 3.2. Рассмотрим разбиение идеального прямоугольного гиперболического многогранника $P$. Пусть $f$ – $k$-угольная грань, которая не содержит базисную вершину разбиения. (1) Если $f$ квазиинцидентна базисной вершине, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(C(f)) \leqslant (k-1)\,\Lambda\biggl(\frac{\pi}{2k-2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
(2) Если $f$ не квазиинцидентна базисной вершине, то $\operatorname{Vol}(C(f)) \leqslant k\Lambda({\pi}/{k}).$ Доказательство. Если $f$ квазиинцидентна базисной вершине, то ее проекция не лежит во внутренности $f$, а конус $C(f)$ состоит из $2k-2$ тетраэдров разбиения (см. грань $v_3 v_4 v_7$ на рис. 7) и
Если $f$ не квазиинцидентна базисной вершине, то ее проекция лежит внутри $f$, а конус $C(f)$ состоит из $2k$ тетраэдров разбиения (см. грань $v_3 v_6 v_7$ на рис. 7) и Лемма доказана.Перейдем к доказательству теоремы 1.1. Доказательство теоремы 1.1. Утверждения (1) и (2) теоремы 1.1 следуют из леммы 3.1, леммы 2.1 и замечания 2.1.
Докажем утверждение (3). Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник, который содержит только треугольные и четырехугольные грани. Пусть число его вершин равно $V \geqslant 73$, а число граней – $F$. Из предложения 2.1 следует, что найдется вершина, которая квазисмежна с восемью попарно различными четырехугольными гранями. Тогда из леммы 3.2 следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P) &\leqslant 8\cdot 3\Lambda\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)+8 (4- 1)\Lambda\biggl(\frac{\pi}{2\cdot 4-2}\biggr)+(F-20) 4\Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &= (V-18) 4\Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr) +24\biggl[\Lambda\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)+ \Lambda\biggl(\frac{\pi}{6}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства напомним, что $v_8=8 \Lambda( \pi/4)$ и $v_3=3 \Lambda( \pi/3 )=2 \Lambda( \pi/6)$, поскольку функция $\Lambda (x)$ нечетная, $\pi$-периодическая и $\Lambda (2x) =2 \Lambda (x)+2 \Lambda (x+{\pi}/{2})$, см. [19; лемма 7.1.4]. § 4. Доказательство теоремы 1.24.1. Доказательство утверждения (1) теоремы 1.2Пронумеруем грани, окружающие ребро $e$, как показано на рис. 4, а именно, будем считать, что $f_1$ и $f_3$ – те грани, которые содержат ребро $e$. Так как $V> 80$, то в силу следствия 2.1 существует ребро $e$, окруженное такими $k_i$-угольными гранями $f_i$, где $i=1, \dots, 4$, что $\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$. Обозначим через $P'$ многогранник, полученный приклеиванием к $P$ его образа при отражении относительно плоскости, проходящей через $f_1$. Тогда многогранник $P'$ имеет $V'=2V-2k_1$ вершин. Через $f'_2$ обозначим $(2k_2-4)$-угольную грань многогранника $P'$, содержащую $f_2$, через $f'_3$ – $(2k_3-4)$-угольную грань многогранника $P'$, содержащую $f_3$, а через $f'_4$ – $(2k_4-4)$-угольную грань многогранника $P'$, содержащую $f_4$. Следующая верхняя оценка объема была доказана в [10]. Лемма 4.1 (см. [10; следствие 3.2]). Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами. Пусть $f_1$, $f_2$ и $f_3$ – такие три грани, что $f_2$ смежна как с $f_1$, так и с $f_3$. Путь грань $f_i$ является $k_i$-угольной, где $i=1, 2, 3$. Тогда Применяя лемму 4.1 к многограннику $P'$, получаем
$$
\begin{equation*}
2\operatorname{Vol}(P)=\operatorname{Vol}(P') \leqslant \bigl(2V-2k_1-(2k_2-4)-(2k_3-4)-(2k_4-4)+ 4\bigr)\frac{5 v_3}{8},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-k_1-k_2-k_3-k_4+8)\frac{5 v_3}{8} \leqslant (V-16)\frac{5 v_3}{8}=\frac{5 v_3}{8} V-10 v_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались тем, что $\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$. Утверждение (1) доказано. 4.2. Доказательство утверждения (2) теоремы 1.2Обозначим $k_1\,{=}\,k$. Поскольку каждая грань многогранника $P$ имеет не менее пяти сторон, то $k_i \geqslant 5$ при $i=2, 3, 4$. Тогда из предыдущего неравенства получаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-k-5-5-5+8)\frac{5 v_3}{8}=\frac{5 v_3}{8} V-\frac{5k+ 35}{8} v_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым теорема 1.2 доказана.
§ 5. Доказательство теоремы 1.3Применяя верхнюю оценку объема из формулы (1.1) к многограннику $P$, имеющему $V_\infty>0$ идеальных и $V_F$ конечных вершин, получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\frac{v_8}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $P^1$ многогранник $P$. Через $k^1_\infty$ и $k^1_F$ обозначим число идеальных и соответственно конечных вершин некоторой грани $f_1$ многогранника $P^1$. Рассмотрим многогранник $P^2$, который получается как объединение $P^1$ со своим отражением относительно плоскости, содержащей $f_1$. Многогранник $P^2$ является прямоугольным, он имеет $V^2_\infty=2V_\infty- k^1_\infty$ идеальных вершин и $V^2_F=2V_F-2k^1_F$ конечных вершин. Применяя к $P^2$ верхнюю оценку из (1.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P) &=\frac{\operatorname{Vol}(P^2)}{2}< \frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\biggl(\frac{v_8}{4} k^1_\infty+\frac{5v_3}{8} k^1_F+\frac{v_8}{4} \biggr) \\ &=\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-\frac{v_8}{4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где Обозначим через $k_\infty^2$ и $k_F^2$ число идеальных и соответственно конечных вершин некоторой грани $f^2$ многогранника $P^2$. Рассмотрим многогранник $P^3$, который получается как объединение $P^2$ со своим образом при отражении относительно плоскости, содержащей $f^2$. Многогранник $P^3$ является прямоугольным, он имеет $V^3_\infty=4V_\infty -2 k^1_\infty-k^2_\infty$ идеальных вершин и $V^3_F=4V_F-4k^1_F-2k^2_F$ конечных вершин. Применяя к $P^3$ верхнюю оценку из (1.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P)=\frac{\operatorname{Vol}(P^3)}{4}<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-c_2-\frac{v_8}{8},
\end{equation*}
\notag
$$
где Продолжая процесс индуктивно, получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-c_2-\dots-c_n-\frac{v_8}{2^{n+1}},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_i=\frac{v_8}{2^{i+1}} k^i_\infty+\frac{5v_3}{2^{i+2}} k^i_F
\end{equation*}
\notag
$$
для $i=1, \dots, n$. Предположим, что для каждого $i=1, 2, \dots$ грань $f^i$ не является идеальным треугольником и имеет не менее чем шесть соседних. Ниже в лемме 5.1 будет показано, что такую грань $f^i$ в многограннике $P^i$ можно выбрать для каждого $i$. Тогда величина $c_i$ будет иметь наименьшее значение при $k^i_\infty=2$ и $k^i_F=2$. Получаем, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n c_i \geqslant\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}\biggr) =\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr) \biggl(1-\frac{1}{2^n}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в (5.1) к пределу $n \to \infty$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оценка из теоремы 1.3 получена. Осталось доказать лемму 5.1. Обозначим через $N_6(P)$ множество граней многогранника $P$, которые имеют следующее свойство: $f \in N_6 (P)$, если $f$ имеет не менее чем шесть соседних. Из п. (1) леммы 2.3 следует, что это множество непусто. Лемма 5.1. Если $V_\infty+V_F>17$, то для каждого $i=1, 2, \dots$ множество $N_6(P^i)$ содержит хотя бы одну грань, которая не является идеальным треугольником. Доказательство. Заметим, что для всех $i \geqslant 1$ многогранник $P^i$ не является октаэдром. В самом деле, это верно для $P^1=P$, так как $V^1_\infty=V_\infty$, $V^1_F=V_F$ и $V_\infty^1+V_F^1>17$. Предположим от противного, что $P^2$ является октаэдром. Тогда $2 V_\infty^1 \geqslant V_\infty^2=6$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P^2) &=2 \operatorname{Vol}(P^1) \geqslant2\frac{4 V_\infty^1+V_F^1-8}{32} v_8 \\ &>\frac{4 V_\infty^1+17-V_\infty^1-8}{16} v_8 \geqslant\frac{18 v_8}{16}>v_8, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит предположению. Наконец, покажем, что $P^i$ при $i \geqslant 3$ не является октаэдром. Предположим от противного, что $P^i$ является октаэдром. Тогда в $P^1$ должна была быть хотя бы одна идеальная вершина, $V^1_\infty \geqslant 1$, и из неравенства (1.1) следует, что что опять приводит к противоречию.
Предположим от противного, что при $i=1$ все грани из $N_6(P^1)$ являются идеальными треугольниками. Тогда из п. (2) леммы 2.3 следует, что в $N_6(P^1)$ содержится не менее семи идеальных треугольников. Обозначим множество граней многогранника $P^1$ через $\mathcal{F}$, а число идеальных вершин грани $f$ через $I(f)$. Предположив, что $P^1$ содержит не более пяти идеальных вершин, получим противоречие:
$$
\begin{equation*}
21=3\cdot 7 \leqslant \sum_{f \in \mathcal{F}} I(f) \leqslant 4\cdot 5=20.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $P^1$ содержит хотя бы шесть идеальных вершин, $V_{\infty} \geqslant 6$. Так как $P^1$ не является октаэдром, то существует грань $f'$, не являющаяся идеальным треугольником. Значит, $f' \notin N_6(P^1)$, т.е. грань $f'$ имеет не более пяти соседних граней. Из п. (3) леммы 2.3 следует, что тогда существует грань $f''$, которая имеет не менее чем семь соседних граней. Следовательно, $f''$ не является идеальным треугольником. Но в то же время, $f'' \in N_6(P^1)$, что противоречит предположению о том, что все грани из $N_6(P^1)$ являются идеальными треугольниками. Предположим теперь от противного, что при некотором $i \geqslant 2$ все грани из $N_6(P^i)$ являются идеальными треугольниками. Многогранник $P^i$ является объединением двух копий $P^{i-1}$ вдоль грани $f^{i-1}$. Обозначим через $D^{i-1}$ множество тех граней многогранника $P^{i-1}$, которые имеют общее ребро с $f^{i-1}$. Через $S^i$ обозначим множество граней многогранника $P^i$, которые содержат грань из $D^{i-1}$. Другими словами, $S^i$ – это те новые грани, которые появились при склейке двух копий $P^{i-1}$ вдоль $f^{i-1}$. Из теоремы 2.1 следует, что каждая грань прямоугольного многогранника имеет не менее пяти соседних с ней. Значит, каждая грань из $S^i$ имеет хотя бы шесть соседних и $S^i \subset N_6(P^i)$. Из нашего предположения следует, что все грани из $S^i$ являются идеальными треугольниками. Тогда все грани из $D^{i-1}$ являются треугольниками с двумя идеальными и одной конечной вершиной. Более того, $f^{i-1}$ – грань с четным числом вершин, причем идеальные и конечные вершины чередуются. А именно, если $f^{i-1}$ содержит $2k$ вершин, то среди них $k$ идеальных и $k$ конечных, причем $k \geqslant 2$. Заметим, что в $P^{i-1}$ содержатся по крайней мере две идеальные вершины, которые не лежат в грани $f^{i-1}$. В самом деле, так как все грани из $D^{i-1}$ являются треугольниками с двумя идеальными вершинами, то у $P^{i-1}$ есть хотя бы одна идеальная вершина вне $f^{i-1}$. Предположим от противного, что $v$ – единственная такая вершина. Тогда $v$ смежна со всеми вершинами грани $f^{i-1}$. Если $k \geqslant 3$, то $v$ смежна с $2k$ вершинами, что невозможно по п. (2) теоремы 2.1. Если $k=2$, то $P^{i-1}$ является четырехугольной пирамидой с пятью гранями, но из п. (3) теоремы 2.1 следует, что четырехугольная пирамида не является прямоугольным многогранником. Из полученного противоречия следует, что $P^{i-1}$ должен иметь хотя бы две идеальные вершины, которые не содержатся в грани $f^{i-1}$. Значит, $P^i$ содержит не менее $k+4 \geqslant 6$ идеальных вершин. Так как $P^i$ не является октаэдром, то у него есть хотя бы одна грань $f'$, которая не является идеальным треугольником. Используя п. (3) леммы 2.3, получаем, что в $P^i$ есть грань $f''$, которая имеет не менее семи соседних граней, а значит, не может быть идеальным треугольником. Это противоречит нашему предположению о $N_6(P^i)$, что завершает доказательство леммы 5.1. БлагодарностиАвторы благодарят лабораторию Комбинаторных и геометрических структур МФТИ за организацию “Летней исследовательской программы студентов 2021”, во время которой было начато настоящее исследование.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AleBogVes23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|