| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Асимптотики для задач в перфорированных областях с третьим нелинейным краевым условием на границах полостей Д. И. Борисовa, А. И. Мухаметрахимоваba a Институт математики с вычислительным центром, Уфимский научный центр Российской академии наук, г. Уфа b Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9739e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеЭллиптические задачи в областях с мелкой перфорацией вдоль некоторого многообразия являются классическим примером задач теории граничного усреднения. Они исследовались во многих работах, для примера упомянем лишь некоторые статьи [1]–[11] и монографии [12], [13]. Целью исследований в работах о мелкой перфорации было доказательство сходимости решений рассматриваемых задач к решениям некоторых усредненных задач, которые отличались от исходных тем, что перфорация заменялась на некоторое усредненное условие на поверхности, вдоль которой она располагалась. Сходимость обычно устанавливалась в нормах пространств $L_2$ или $W_2^1$. С операторной точки зрения эти результаты соответствуют наличию сильной или слабой резольвентной сходимости. В последние годы в теории граничного усреднения появились работы, где для классических постановок была доказана более сильная, равномерная резольвентная сходимость и были установлены так называемые операторные оценки, в которых разность решений возмущенной и усредненной задач оценивалась малой величиной, умноженной на $L_2$-норму правой части. Такие результаты были получены для операторов с частой сменой краевых условий в [14]–[22] и для задач в областях с быстро осциллирующей границей в [19]. В [23] такие результаты были установлены для эллиптического оператора второго порядка общего вида в плоской полосе, перфорированной вдоль заданной кривой малыми полостями, на границах которых произвольно задавалось первое или третье краевое условие и допускалось одновременное задание краевых условий разных типов на разных полостях. Помимо разнообразных результатов о сходимости, имеется большое число работ и об асимптотических разложениях резольвент решений таких задач, а также об асимптотических разложениях их различных спектральных характеристик. Не ставя целью и не имея возможности перечислить все такие работы, мы упомянем лишь некоторые работы об асимптотиках для частой смены [9], [20]–[22], [24], близкие работы о концентрированных массах [25], [26], о быстро осциллирующей границе [27], а также недавнюю работу [28] о модели с мелкими заклепками, см. также списки литературы в цитированных работах. Во всех таких работах на основе различных комбинаций методов асимптотического анализа строились асимптотические разложения решений задач из теории граничного усреднения. В подавляющем большинстве случаев предполагалась строго периодическая либо локально периодическая структура распределения возмущений, что дает возможность построить подходящие анзацы. В настоящей работе мы рассматриваем эллиптическую краевую задачу в многомерной области с мелкой и частой перфорацией вдоль заданной гиперплоскости; на границе полостей ставится третье нелинейное краевое условие. Остановимся чуть подробнее на предшествующих статьях, которые послужили мотивацией для настоящей работы. В [29] изучалась краевая задача для общего эллиптического уравнения второго порядка в многомерной области, непериодически перфорированной малыми полостями вдоль заданного многообразия. На границах полостей ставилось условие Дирихле либо третье нелинейное граничное условие. На размеры полостей, расстояния между ними и на распределение полостей с краевым условием Дирихле накладывались ограничения, которые гарантировали, что при усреднении на многообразии возникает условие Дирихле. Было показано, что решение возмущенной задачи сходится к решению усредненной в норме $W_2^1$ равномерно по $L_2$-норме правой части уравнения и была получена неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости. В случае строго периодического чередования полостей вдоль заданной гиперплоскости и периодической расстановки условий Дирихле и третьего нелинейного краевого условия на границах этих полостей было построено полное асимптотическое разложение решения возмущенной задачи. В [30] вновь рассматривалась модель из [29], но уже без полостей с первым краевым условием и без существенных ограничений на размеры полостей и расстояний между ними. В этом случае при усреднении многообразие либо полностью пропадает, либо на нем возникает краевое условие типа нелинейного дельта-взаимодействия. Была доказана сходимость решения возмущенной задачи к решению усредненной в норме $W_2^1$ равномерно по правой части уравнения и получена неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости. Также было показано, что если разность решений оценивать в норме $L_2$, то скорость сходимости увеличивается. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [29], [30]. Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в области, периодически перфорированной вдоль заданной гиперплоскости. На границах полостей ставится третье нелинейное граничное условие; первое краевое условие не ставится. Расстояния между полостями пропорциональны малому параметру $\varepsilon$, а линейные размеры полостей пропорциональны $\varepsilon\eta(\varepsilon)$, где $\eta=\eta(\varepsilon)$ – некоторая заданная функция со значениями в отрезке $[0,1]$. В отличие от работы [29], никаких ограничений на поведение этой функции не накладывается. Основным результатом работы является построение асимптотического разложения решения возмущенной задачи. Разложение строится в виде комбинации внешнего и внутреннего разложений на основе метода согласования асимптотических разложений (см. [31]) и метода многих масштабов (см. [32]). Внутреннее разложение строится в окрестности гиперплоскости, вдоль которой сделана перфорация, и оно используется для учета микроструктуры перфорации. Внешнее разложение аппроксимирует решение вне малой окрестности перфорации. Внешнее и внутреннее разложения строятся по степеням параметра $\varepsilon$ с коэффициентами, зависящими от параметра $\eta$. Зависимость коэффициентов от параметра $\eta$ существенно отличается от случая, рассмотренного в работе [29]: здесь эти коэффициенты бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ и равномерно ограничены при $\eta\to+0$. Таким образом, построенное нами асимптотическое разложение является двупараметрическим. Главный член построенной асимптотики является решением усредненных задач из работы [30] для рассматриваемой здесь перфорации. Опишем структуру статьи. В § 2 дается постановка задачи и формулируются основные результаты. В § 3 приводится общая схема формального построения решения рассматриваемой задачи: постулируется анзац в виде внешнего и внутреннего разложений, выводятся краевые задачи для коэффициентов, выписываются условия согласования. Параграф § 4 посвящен исследованию разрешимости частного случая модельной задачи для функций внутреннего разложения, а § 5 – получению равномерных оценок для них и для их пространственных производных. В § 6 эти результаты применяются для исследования разрешимости общей модельной задачи для функций внутреннего разложения и получения равномерных оценок решения. В § 7 доказывается бесконечная дифференцируемость по параметру $\eta$ решений модельных задач для функций внутреннего и внешнего разложений. В § 8 полученные общие результаты уже переносятся на коэффициенты формальной асимптотики, построенной в § 3. В заключительном § 9 эти формальные асимптотические разложения строго обосновываются, а именно, выводятся оценки остатков в асимптотиках. § 2. Постановка задачи и формулировка результатовПусть $x=(x',x_n)$ и $x'=(x_1,\dots,x_{n-1})$ – декартовы координаты в $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^{n-1}$ соответственно, $n\geqslant3$. Через $\Omega$ обозначим произвольную область в $\mathbb{R}^n$ с границей класса $C^2$. Также будем считать, что существует число $\tau>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\tau}:=\{x\colon |x_n|<\tau\}\subseteq \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\varepsilon$ малый положительный параметр, а через $\eta=\eta(\varepsilon)$ – функцию, удовлетворяющую неравенству $0<\eta(\varepsilon)\leqslant1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Pi:=\square\times\mathbb{R}, \qquad \square:=\bigl\{x\colon - b_i <x_i< b_i,\,i=1,\dots,n-1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_i>0$ – некоторые числа. Пусть $\omega$ – некоторое фиксированное ограниченное множество с бесконечно дифференцируемой границей. Будем предполагать, что для всех $\eta\in(0,1]$ выполнены вложения $\overline{\omega^\eta}\subset\Pi$, $\omega^\eta:=\bigl\{x\colon \eta^{-1}x\in\omega\bigr\}$. Определим множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega_k^\varepsilon:=\bigl\{x\colon (x-\varepsilon M_k)\varepsilon^{-1}\eta^{-1}(\varepsilon)\in \omega\bigr\}, \qquad \theta^\varepsilon:=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}\omega_k^\varepsilon, \\ M_k:=(2b_1k_1,\dots,2b_{n-1}k_{n-1}), \qquad k:=(k_1,\dots,k_{n-1})\in\mathbb{Z}^{n-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из области $\Omega$ вырежем полости $\omega_k^\varepsilon$, $k\in\mathbb{M}^\varepsilon$, и обозначим полученную область через $\Omega^\varepsilon$, т.е. $\Omega^\varepsilon:=\Omega\setminus\overline{\theta^\varepsilon}$, рис. 1. В области $\Omega$ зададим функции $A_{ij}=A_{ij}(x)$, $A_i=A_i(x)$, $A_0=A_0(x)$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{ij}, A_i\in W_\infty^1(\Omega), \qquad A_0\in L_\infty(\Omega), \qquad A_{ij}=A_{ji}, \quad i,j=1,\dots,n, \\ \sum_{i,j=1}^n A_{ij}(x)z_i \overline{z_j}\geqslant c_0|z|^2, \qquad x\in\Omega, \quad z=(z_1\dots,z_n)\in\mathbb{C}^n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0>0$ – некоторая константа, не зависящая от $x$ и $z$. Функции $A_{ij}$ являются вещественнозначными, а функции $A_j$, $A_0$ – комплекснозначными. Через $a=a(x,u)$ обозначим некоторую комплекснозначную функцию, заданную для $u\,{\in}\,\mathbb{C}$ и $|x_n|\leqslant \tau$, бесконечно дифференцируемую по $x$, $u_{\mathrm{r}}:=\operatorname{Re} u$ и $u_{\mathrm{i}}:=\operatorname{Im} u$, и удовлетворяющую условиям
$$
\begin{equation}
a(u,0)=0, \qquad \biggl|\frac{\partial a}{\partial u_{\mathrm{r}}}(x,u)\biggr|+\biggl|\frac{\partial a}{\partial u_{\mathrm{i}}}(x,u)\biggr|\leqslant a_1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^{|\beta|}a}{\partial x^\beta}(x,u)\biggr|\leqslant a_{\beta,0}|u|, \qquad \biggl|\frac{\partial^{|\beta|+\gamma_1+\gamma_2}a}{\partial x^\beta \, \partial u_{\mathrm{r}}^{\gamma_1}\, \partial u_{\mathrm{i}}^{\gamma_2}} (x,u)\biggr|\leqslant a_{\beta,\gamma},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\beta\in\mathbb{Z}_+^n$, $\gamma:=(\gamma_1,\gamma_2)\in\mathbb{Z}_+^2\setminus\{0\}$, а $a_1$, $a_{\beta,\gamma}$ обозначают некоторые константы, не зависящие от $x$ и $u$. Пусть $f\in L_2(\Omega)$ – некоторая функция, $\lambda$ – вещественное число. В работе рассматривается следующая краевая задача:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\mathcal{L}-\lambda) u_\varepsilon=f \quad\text{в }\ \Omega^\varepsilon, \\ u_\varepsilon=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega, \qquad \frac{\partial u_\varepsilon}{\partial\mathrm{n}}+a(\cdot,u_\varepsilon)=0 \quad\text{на }\ \partial\theta^\varepsilon, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где дифференциальное выражение $\mathcal{L}$ и производная по конормали заданы соотношениями
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}:= -\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j\frac{\partial}{\partial x_j} +A_0, \qquad \frac{\partial}{\partial\mathrm{n}}=\sum_{i,j=1}^n A_{ij}\nu_i\frac{\partial}{\partial x_j},
\end{equation*}
\notag
$$
$\nu_i$ – компоненты единичной нормали $\nu$ к $\partial\theta^\varepsilon$, направленной внутрь множества $\theta^\varepsilon$. Основной целью настоящей работы является построение асимптотического разложения решения этой краевой задачи при $\varepsilon\to0$. Обозначим через $\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega)$ подпространство функций из $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$, обращающихся в нуль на $\partial\Omega$. Решение краевой задачи (2.3) будем понимать в обобщенном смысле: это функция $u_\varepsilon$, принадлежащая пространству $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ и удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}_a(u_\varepsilon,v)-\lambda (u,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}=(f,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $v_\varepsilon\in\mathring{W}_2^1(\Omega^\varepsilon,\partial\Omega)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{h}_a(u,v) &:=\mathfrak{h}_0(u,v)+(a(\cdot,u),v)_{L_2(\partial\theta^\varepsilon)}, \\ \mathfrak{h}_0(u,v) &:=\sum_{i,j=1}^n\biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j},\frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +\sum_{j=1}^n\biggl( A_j\frac{\partial u}{\partial x_j},v\biggr)_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(A_0 u,v)_{L_2(\Omega^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь интеграл по границе полостей $\partial\theta^\varepsilon$ понимается в смысле следов. В работе [30] было доказано, что существует $\lambda_0$, не зависящее от $\varepsilon$, такое, что при $\lambda<\lambda_0$ задача (2.3) имеет единственное решение для всех $f\in L_2(\Omega)$. Согласно результатам работы [30] решение задачи (2.3) сходится к обобщенному решению усредненной задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\mathcal{L}-\lambda)u_0=f \quad\text{в }\ \Omega\setminus S, \qquad u_0=0 \quad \text{на }\ \partial\Omega, \\ [u_0]_0=0, \qquad\biggl[\frac{\partial u_0}{\partial \mathrm{n}}\biggr]_0 +\alpha a(x,u_0)=0 \quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $[u]_0=u|_{x_n=+0}-u|_{x_n=-0}$ и $S:=\{x\colon x_n=0\}$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha:=0, & \quad \text{если }\ \eta(\varepsilon)\to0, \quad \varepsilon\to+0, \quad\text{или }\ a\equiv 0, \\ \alpha:=\eta_0^{n-1}\frac{|\partial\omega|}{|\square|}, &\quad\text{если }\ \eta(\varepsilon)\to\eta_0, \quad \varepsilon\to+0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно результатам работы [30] задача (2.4) однозначно разрешима при $\lambda\,{<}\,\lambda_0$. Отметим еще, что граничное условие в (2.4) описывает нелинейное дельта- взаимодействие на поверхности $S$. Асимптотика решения краевой задачи (2.3) строится в настоящей работе при некоторых дополнительных ограничениях. А именно, пусть для всех $p\in\mathbb{N}$. Также предполагаем, что
$$
\begin{equation*}
A_{ij}=1, \qquad A_j=0, \qquad A_0=0 \quad \text{при }\ |x_n|\leqslant\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим систему краевых задач
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi v_m=f_m \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\theta_\eta, \qquad \frac{\partial v_m}{\partial \nu_\xi}=\psi_m \quad\text{на }\ \partial\theta_\eta, \\ f_0=0, \qquad \psi_0=0, \qquad \theta_\eta=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \bigl\{\xi\colon \eta^{-1}(\xi-M_k)\in\omega\bigr\}, \nonumber \\ f_m:=\frac{ \xi_n^{m-2}}{(m-2)!} \,\frac{\partial^{m-2} f}{\partial x_n^{m-2}}(x',0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial^2 v_{m-1}}{\partial \xi_i\, \partial x_i}+(\Delta_{x'}+\lambda)v_{m-2}, \nonumber \\ \psi_m:=-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial v_{m-1}}{\partial x_i}\nu_i- T_{m-1}(v_1,\dots,v_{m-1}), \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\nu_\xi$ – единичная нормаль к $\theta_\eta$, направленная внутрь $\theta_\eta$, $\nu_i$ – компоненты вектора $\nu_\xi$, а функции $T_m$ возникают как коэффициенты в следующем асимптотическом равенстве:
$$
\begin{equation}
a\biggl(x',\varepsilon\xi_n,\sum_{m=0}^{\infty} \varepsilon^j v_m\biggr)=T_0(x',v_0)+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^m T_m(x',v_1,\dots,v_m)
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и $T_0(x',v_0)=a(x',0,v_0)$. Для произвольного положительного числа $R$ обозначим $\Pi_R:=\square\times(-R,R)$. Пусть $\chi=\chi(x_n)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная нулю при $|x_n|<1$ и единице при $|x_n|>2$ и
$$
\begin{equation*}
\chi^\varepsilon(x_n) = \begin{cases} \chi(x_n\varepsilon^{-1/2}), &|x_n|>\tau \\ 0, &|x_n|\leqslant\tau. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 2.1. Асимптотика решения задачи (2.3) в норме $W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ имеет вид Функция $u_0$ является решением задачи (2.4) с $\alpha=\eta^{n-1}$, а функции $u_m$ – решения задач
$$
\begin{equation}
(\mathcal{L}-\lambda) u_m=0 \quad\textit{в }\ \Omega\setminus S, \qquad u_m=0 \quad\textit{на }\ \partial\Omega, \quad m\geqslant1,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
с краевыми условиями
$$
\begin{equation*}
[u_m]_0=U_{m,0}^+-U_{m,0}^-, \qquad \biggl[\frac{\partial u_m}{\partial x_n}\biggr]_0=U_{m,1}^+-U_{m,1}^- \quad\textit{на }\ S.
\end{equation*}
\notag
$$
Верна оценка где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$ и $\eta$, но зависит от $m$.Кратко обсудим полученные результаты. Уравнение в задаче (2.3) является линейным эллиптическим уравнением второго порядка, причем коэффициенты в младших членах – комплекснозначные. Перфорация строго периодическая и расположена вдоль гиперплоскости $S$. На границах полостей $\theta^\varepsilon$ ставится третье нелинейное граничное условие, описываемое функцией $a$. Эта функция комплекснозначная, а основные условия (2.1), (2.2) означают, что она имеет не более чем линейный рост по $u_\mathrm{r}$ и $u_\mathrm{i}$. Как функция комплексной переменной $u$ функция $a$ не предполагается обладающей каким-либо свойством аналитичности. Отметим, что даже в случае линейной по $u$ функции $a$ мы будем иметь дело с несамосопряженным оператором, соответствующим задаче (2.3). Правая часть в уравнении в (2.3) обладает повышенной гладкостью, см. условие (2.5). Эта гладкость и строгая периодичность перфорации являются ключевым моментом, обеспечивающим возможность построить именно полные асимптотические разложения решения задачи (2.3). Асимптотика решения задачи (2.3) строится на основе комбинации метода согласования асимптотических разложений (см. [31]) и метода многих масштабов (см. [32]) в виде комбинации внешнего разложения с коэффициентами $u_m$ и внутреннего разложения с коэффициентами $v_m$. Данная комбинация такая же, как и в работе [29]. Однако здесь, во-первых, отсутствуют полости с первым краевым условием, во-вторых, не накладываются никакие условия на параметр $\eta$. Это существенно меняет структуру внутреннего разложения по сравнению с работой [29]. А именно, в задачах (2.6) для функций внутреннего разложения возникают условия разрешимости, что связано с условием Неймана на границах полостей. Так как теперь параметр $\eta$ может меняться произвольно, возникает необходимость отслеживать зависимость коэффициентов как внутреннего, так и внешнего разложений от всех значений параметра $\eta$ из отрезка $[0,1]$. Наша основная теорема 2.1 утверждает бесконечную дифференцируемость по $\eta\in(0,1]$ и равномерную ограниченность по $\eta\in[0,1]$ коэффициентов внешнего и внутреннего разложений, причем в весьма сильных нормах. Это существенное отличие от работы [29], где были выписаны лишь оценки норм аналогичных функций при $\eta\to+0$, которые обеспечили свойство асимптотичности построенного в [29] разложения решения. В нашем случае асимптотика решения из (2.8) фактически является двупараметрической: асимптотика строится по степеням параметра $\varepsilon$, а коэффициенты оказываются гладкими по $\eta>0$ и равномерно ограниченными при $\eta\to+0$. В частности, выбрав $\eta_0>0$, при $\eta\to\eta_0$ можно разложить коэффициенты внутреннего и внешнего разложений в соответствующие ряды Тейлора и получить тем самым асимптотику решения $u_\varepsilon$ по двум параметрам $\varepsilon$ и $\eta-\eta_0$. Исследование зависимости функций внутреннего и внешнего разложений от параметра $\eta$ составляют основную часть работы. Так как исходная задача содержит нелинейное краевое условие на границах полостей, это приводит к тому, что правые части в краевых условиях на $\partial\theta_\eta$ оказываются нелинейно зависящими от предыдущих функций внутреннего разложения. Как и в [29], это требует дополнительных равномерных оценок модулей функций $v_m$ и их производных, однако здесь приходится проводить гораздо более тонкий анализ, что связано с отсутствием априорных ограничений на поведение параметра $\eta$. Доказательство бесконечной дифференцируемости функций $u_m$ и $v_m$ основано на совершенно другой технике. В случае функций $v_m$ это построение специального диффеоморфизма на области $\Pi$ в комбинации с оценками Шаудера. В случае функций $u_m$, $m\geqslant 1$, свойство бесконечной дифференцируемости по $\eta\in(0,1]$ легко наследуется из аналогичного свойства правых частей в задачах для $u_m$. Проверка такого же свойства для решения задачи (2.4) достаточно неожиданно оказалась весьма нетривиальной задачей ввиду нелинейного дельта-взаимодействия на $S$, которую в итоге удалось решить на основе подходящей адаптации ряда техник и подходов для анализа линейных и нелинейных задач из книги [33]. § 3. Формальное построение асимптотикВ этом параграфе с помощью комбинации метода согласования асимптотических разложений (см. [31]) и метода многих масштабов (см. [32]) будет проведено формальное построение асимптотики решения краевой задачи (2.3). Введем в окрестности полостей $\theta^\varepsilon$ растянутые переменные $\xi=(\xi',\xi_n)=(x'\varepsilon^{-1},x_n\varepsilon^{-1})$. Асимптотическое разложение решения краевой задачи (2.3) будем искать в виде комбинации внешнего $u_\varepsilon^{\mathrm{ex}}$ и внутреннего $u_\varepsilon^{\mathrm{in}}$ разложений:
$$
\begin{equation*}
u_\varepsilon(x,\xi,\eta)=\chi^\varepsilon(x_n) u_\varepsilon^{\mathrm{ex}}(x,\eta)+(1-\chi^\varepsilon(x_n))u_\varepsilon^{\mathrm{in}}(\xi,x',\eta).
\end{equation*}
\notag
$$
Внешнее и внутреннее разложения вводятся следующим образом:
$$
\begin{equation}
u^{\mathrm{ex}}_\varepsilon(x,\eta) =u_0(x,\eta)+\sum_{m=1}^{\infty}\varepsilon^m u_m(x,\eta),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
u^{\mathrm{in}}_\varepsilon(\xi,x',\eta) =v_0(\xi,x',\eta)+\sum_{m=1}^{\infty}\varepsilon^m v_m(\xi,x',\eta).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Целью формального построения асимптотик является определение коэффициентов внутреннего и внешнего разложений. Выпишем задачи для коэффициентов внешнего разложения. Для этого подставим разложение (3.1) в задачу (2.3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. Тогда для функции $u_0$ получим уравнение и краевое условие на $\partial\Omega$ из (2.4), а для остальных функций $u_m$ – из задачи (2.10). Теперь выпишем задачи на коэффициенты внутреннего разложения. В силу теорем вложения соболевских пространств в пространства непрерывно дифференцируемых функций условие (2.5) означает, что функция $f$ бесконечно дифференцируема при $|x_n|<\tau_0$. Разложим функцию $f$ в ряд Тейлора при $x_n\to 0$, а затем сделаем замену $x_n=\varepsilon\xi_n$:
$$
\begin{equation}
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\,\frac{\partial^m f}{\partial x_n^m}(x',0)x_n^m =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\varepsilon^m}{m!}\,\frac{\partial^m f}{\partial x_n^m}(x',0)\xi_n^m.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Разлагая функцию $a(x',\varepsilon\xi_n,u^{\mathrm{in}}_\varepsilon)$ в асимптотический ряд по степеням $\varepsilon$, получаем соотношение (2.7), где $T_m$ – некоторые фиксированные полиномы по $\operatorname{Re} v_1,\,\dots,\,\operatorname{Re} v_m$ и $\operatorname{Im} v_1,\dots,\operatorname{Im} v_m$ с коэффициентами, бесконечно дифференцируемыми по $x'$ и $v_0$, такие, что для каждого монома вида
$$
\begin{equation*}
C(x',v_0) (\operatorname{Re} v_1)^{p_1}(\operatorname{Im} v_1)^{q_1}(\operatorname{Re} v_2)^{p_2}(\operatorname{Im} v_2)^{q_2}\dotsb (\operatorname{Re} v_m)^{p_m}(\operatorname{Im} v_m)^{q_m}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено В частности,
$$
\begin{equation*}
T_1(v_1)=\frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{r}}(x',0,v_0)\operatorname{Re} v_1+\frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{i}}(x',0,v_0)\operatorname{Im} v_1+\frac{\partial a}{\partial x_n}a(x',0,v_0)\xi_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя последнее разложение, (3.3) и (3.2) в задачу (2.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим задачи (2.6) для функций внутреннего разложения. Проведем согласование внешнего и внутреннего разложений. Для этого выпишем (асимптотические) ряды Тейлора при $x_n\to\pm0$ для функций $u_m$ и сделаем замену $x_n=\varepsilon\xi_n$:
$$
\begin{equation}
u_m(x,\eta)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\,\frac{\partial^j u_m}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) x_n^j =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^j}{j!}\,\frac{\partial^j u_m}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) \xi_n^j.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Согласно методу согласования асимптотических разложений, эти равенства означают, что функции $v_m$ должны иметь следующие асимптотики при $\xi_n\to \pm\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_m(\xi,x',\eta)=P_m^\pm(x',\xi_n,\eta)+\frac{\partial u_{m-1}}{\partial x_n}(x',\pm 0,\eta)\xi_n+u_m(x',\pm 0,\eta)+o(1), \\ P_m^\pm:=\sum_{j=2}^{m}\frac{1}{j!}\,\frac{\partial^j u_{m-j}}{\partial x_n^j}(x',\pm 0,\eta)\xi_n^j. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Краевые задачи (2.6), (3.5) обладают $\square$-периодической структурой по $\xi'$. Поэтому и решения этих задач будем строить периодическими. Для этого достаточно заменить краевые задачи (2.6), (3.5) на аналогичные задачи в $\Pi\setminus\overline{\omega^\eta}$ с периодическими граничными условиями на боковых гранях $\Pi$. Построив подходящие решения задач в $\Pi\setminus\overline{\omega^\eta}$, решения задач (2.6), (3.5) получим затем простым $\square$-периодическим продолжением по $\xi'$. Решения упомянутых задач в $\Pi\setminus\overline{\omega^\eta}$ зависят от параметра $\eta$. Поэтому, помимо разрешимости этих задач, необходимо исследовать также характер зависимости их решений от параметра $\eta$. Для этого в следующих параграфах мы вначале исследуем модельную краевую задачу в $\Pi\setminus\overline{\omega^\eta}$, а затем применим полученные результаты к полученным выше задачам для $v_m$. Это исследование составляет одну из основных трудностей в настоящей работе. § 4. Модельная задача для коэффициентов внутреннего разложенияВ этом параграфе рассматривается модельная краевая задача в области $\Pi\setminus\overline{\omega^\eta}$ для функций внутреннего разложения. Исследуется разрешимость рассматриваемой задачи и устанавливаются предварительные факты о зависимости ее решения от параметра $\eta$. 4.1. Формулировка задачиРассмотрим модельную краевую задачу
$$
\begin{equation}
-\Delta_\xi v=F \quad\text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad\frac{\partial v}{\partial\nu_\xi}=\phi \quad\text{на} \quad\partial\omega^\eta,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
v|_{\xi_i=- b_i}=v|_{\xi_i= b_i}, \qquad\frac{\partial v}{\partial\xi_i}\bigg|_{\xi_i=- b_i}=\frac{\partial v}{\partial \xi_i}\bigg|_{\xi_i=b_i}, \quad i=1,\dots,n-1,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $F\in L_2(\Pi\setminus\omega^\eta)$, $\phi\in L_2(\partial\omega^\eta)$ – некоторые функции. Решение краевой задачи (4.1), (4.2) мы понимаем в обобщенном смысле. Обобщенным решением задачи (4.1), (4.2) называется функция $v$, принадлежащая пространству $W_2^1(\Pi_R\setminus\omega^\eta)$ для каждого $R>0$ и удовлетворяющая следующему интегральному тождеству:
$$
\begin{equation*}
(\nabla_\xi v,\nabla_\xi w)_{L_2(\Pi_R\setminus\omega^\eta)}-(\phi,w )_{L_2(\partial\omega^\eta)}=(F,w)_{L_2(\Pi_R\setminus\omega^\eta)}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех функций $w\in C^2(\overline{\Pi\setminus\omega^\eta})$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям на боковых гранях $\Pi$ и тождественно равных нулю при $|\xi_n|>d>0$ для некоторого $d>0$, зависящего от выбора функции $w$. Поведение решения задачи (4.1), (4.2) на бесконечности мы уточним далее в процессе исследования ее разрешимости. 4.2. Операторное уравнениеВ этом пункте мы рассматриваем краевую задачу (4.1), (4.2) с финитной правой частью $F$ и с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$. Будем считать, что функция $F$ равна нулю вне области $\Pi_{R_0}$ для некоторого фиксированного числа $R_0>1$ такого, что для всех $\eta\in (0,1]$ выполнено вложение: $\overline{\omega^\eta}\subset \Pi_{R_0-1}$. Решение такой задачи будем искать ограниченным на бесконечности, а именно:
$$
\begin{equation}
v(\xi,\eta)=D_\pm(\eta)+o(1), \qquad\xi_n\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Наша дальнейшая цель состоит в сведении краевой задачи (4.1)–(4.3) к подходящему операторному уравнению. Схема сведения краевой задачи (4.1)–(4.3) к операторному уравнению повторяет аналогичную схему, применявшуюся для задачи (7.1)–(7.3) в [29; § 7.2], но имеются и некоторые отличия. Они связаны с тем, что в работе [29] в области $\Pi$ вырезалась еще одна полость, на границе которой ставилось условие Дирихле. Это гарантировало однозначную разрешимость модельной задачи для любых правых частей в уравнениях и граничных условиях. В нашем случае полость с краевым условием Дирихле отсутствует, что приводит к возникновению определенных условий разрешимости. Кроме того, по сравнению с работой [29], здесь мы гораздо детальнее анализируем зависимость решения от параметра $\eta$. Далее мы кратко описываем общую схему рассуждений, применявшуюся в [29], детально останавливаясь только на основных необходимых модификациях. Для произвольного $R>0$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\Pi_R^\pm:=\bigl\{\xi\colon \xi'\in\square,\,0<\pm\xi_n<R\bigr\}, \qquad \Pi^\eta:=\Pi_{R_0}\setminus\overline{\omega^\eta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольную функцию $g\in L_2(\Pi_{R_0})$, продолжим ее нулем в $\Pi\setminus\Pi_{R_0}$ и рассмотрим вспомогательную задачу
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi V_1^\pm=g \quad\text{в }\ \Pi^\pm_0, \qquad V_1^\pm=0 \quad\text{на }\ \square\times\{0\},
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (4.2). Данная задача была решена в [29] методом разделения переменных:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V_1^\pm(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} X_k^\pm(\xi_n)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \\ X_k^\pm(\xi_n):= \int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm} J_k^\pm(\xi',\xi_n\mp (R_0-1),t)g(t)\, dt, \qquad k\ne0, \\ X_0^+(\xi_n):=\int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm}J_0^\pm(\xi_n\mp (R_0-1),t_n)g(t)\,dt, \\ J_0^+(\xi_n,t_n):=-\min\{\xi_n,t_n\}, \qquad J_0^-(\xi_n,t_n):=\max\{\xi_n,t_n\}, \\ \begin{aligned} \, J_k^\pm(\xi',\xi_n,t) &:=\frac{1}{4 \pi |k_b|}\bigl(\exp(\mp 2\pi |k_b|(\xi_n+t_n)) \\ &\qquad-\exp(-2\pi |k_b||\xi_n-t_n|)\bigr) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot t'), \qquad k\ne0, \end{aligned} \\ k=(k_1,k_2,\dots,k_{n-1}), \qquad k_b:= \biggl(\frac{k_1}{2b_1},\frac{k_2}{2b_2},\dots, \frac{k_{n-1}}{2b_{n-1}}\biggr), \\ t=(t',t_n), \qquad t'=(t_1,t_2,\dots, t_{n-1}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\cdot$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n-1}$. В силу финитности функции $g$ при $\pm\xi_n>R_0$ функции $X_0^\pm$ постоянны:
$$
\begin{equation*}
X_0^\pm(\xi_n)\equiv D_\pm, \qquad \pm\xi_n>R_0, \qquad D_\pm:= \int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm}|t_n| g(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Также несложно убедиться, что при $|\xi_n|\geqslant R_0$ функции $X_k^\pm$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_k^\pm(\xi)=D_k^\pm \exp(-2\pi |k_b|(\xi_n-R_0)), \qquad \pm\xi_n \geqslant R, \\ D_k^\pm:=-\frac{1}{2\pi |k_b|}\int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm} g(t)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot t') \operatorname{sh} 2\pi |k_b| t_n \,dt, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и для констант $D_k^\pm$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
|D_k^\pm|\leqslant \frac{C \exp(2\pi |k_b| R_0)}{ |k_b|^{3/2}}\|g\|_{L_2(\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $k$ и $g$. Определим функцию $V_1(\xi):=V_1^\pm(\xi)\Pi\cap\{\xi\colon \pm\xi_n>0\}$. Согласно [29; лемма 7.1] функцию $V_1$ можно представить как $V_1=\mathcal{B}_1 g$, где $\mathcal{B}_1 $ – линейный ограниченный оператор, действующий из $L_2(\Pi_{R_0})$ в $W_2^2(\Pi_R^+)\oplus W_2^2(\Pi_R^-)$ для каждого $R>0$. Введем еще одну вспомогательную задачу
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi V_2=g \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad V_2=V_1^\pm\quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_0\}, \qquad \frac{\partial V_2}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta,
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (4.2). Аналогично тому, как это было сделано в [29; § 7.2], показывается, что эта задача однозначно разрешима и функция $V_2$ представима в виде $V_2=\mathcal{B}_2(\eta) g$, где $\mathcal{B}_2(\eta)$ – линейный ограниченный оператор, действующий из $L_2(\Pi_{R_0})$ в $W_2^2(\Pi^\eta)$. Справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|V_2\|_{W_2^2(\Pi^\eta)}\leqslant C\|g\|_{L_2(\Pi_{R_0})},
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где константа $C$ не зависит от $V_2$ и $g$, но зависит от $R_0$ и $\eta$. Пусть $\chi_1=\chi_1(\xi_n)$ – четная бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная нулю при $|\xi_n|<R_0-2/3$ и единице при $|\xi_n|>R_0-1/3$. Решение задачи (4.1), (4.2) строится в виде
$$
\begin{equation}
v(\xi)=(\mathcal{B}_3(\eta) g)(\xi)=\chi_1(\xi_n)V_1(\xi) +(1-\chi_1(\xi_n))V_2(\xi),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $\mathcal{B}_3(\eta)$ – линейный ограниченный оператор, действующий из $L_2(\Pi_{R_0})$ в $W_2^2(\Pi^\eta)$ для всех $R_0>0$. Аналогично выводу уравнения (7.12) из [29] показывается, что функция $v$ является решением краевой задачи (4.1), (4.2), если функция $g$ является решением следующего уравнения: где $\mathcal{I}$ – тождественное отображение, оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ задается формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_4(\eta) g=2 \frac{\partial(V_2-V_1)}{\partial\xi_n} \chi_1'+(V_2-V_1)\chi_1''
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и действует из $L_2(\Pi_{R_0})$ в $L_2(\Pi^\eta)$, а функция $F$ считается продолженной нулем внутрь $\omega^\eta$. Отметим, что в силу определения (4.7) оператора $\mathcal{B}_4$, результат его действия отличен от нуля только в $\Pi_{R_0-1/3}\setminus \Pi_{R_0-2/3}$. Поэтому далее мы продолжим этот результат нулем внутрь $\omega^\eta$ и будем считать, что оператор $\mathcal{B}_4$ действует в пространстве $L_2(\Pi_{R_0})$. Также в силу продолжения функции $F$ нулем внутрь $\omega^\eta$ решения уравнения (4.6) необходимо равны нулю в $\omega^\eta$. Следующая лемма утверждает эквивалентность исходной краевой задачи (4.1)–(4.3) операторному уравнению (4.6) и доказывается аналогично [29; лемма 7.2]. Лемма 4.1. Уравнение (4.6) эквивалентно задаче (4.1)–(4.3): для каждого решения $g$ уравнения (4.6) существует решение задачи (4.1)–(4.3), определенное равенством (4.5), и для каждого решения $v$ задачи (4.1)–(4.3) существует единственное решение $g$ уравнения (4.6), связанное с $v$ равенством (4.5). Доказательство следующей леммы дословно воспроизводит доказательство [29; лемма 7.3]. Лемма 4.2. $\mathcal{B}_4(\eta)$ является линейным компактным оператором в $L_2(\Pi_{R_0})$ для всех $\eta\geqslant 0$. Так как оператор $\mathcal{B}_4(\eta)$ компактен, то к уравнению (4.6) применимы альтернативы Фредгольма. В частности, уравнение (4.6) разрешимо лишь при условии ортогональности правой части этого уравнения всем линейно независимым решениям соответствующего сопряженного однородного уравнения Лемма 4.3. Однородное уравнение (4.8) и соответствующее однородное уравнение (4.6) с $F=0$ имеют ровно по одному нетривиальному решению, которые даются формулами Доказательство. Обозначим $h_0=h_0(x)\equiv 1$ в $\Pi^\eta$. Для любой функции $g\in L_2(\Pi^\eta)$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
((\mathcal{I}+\mathcal{B}_4(\eta))g,h_0)_{L_2(\Pi^\eta)}=-\int_{\Pi^\eta} \Delta_\xi \mathcal{B}_3(\eta)g\,d\xi=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $h_0\equiv 1$ является решением уравнения (4.8). Покажем, что других решений нет.
Согласно альтернативам Фредгольма уравнение (4.6) с $F=0$ и сопряженное с ним однородное уравнение (4.8) имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений. Уравнение (4.6) с $F=0$ эквивалентно краевой задаче (4.1)–(4.3) с однородной правой частью и однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$. Такая задача имеет единственное решение – константу. Поэтому уравнения (4.8) и (4.6) с $F=0$ имеют ровно по одному решению. Решение уравнения (4.8) уже было найдено выше. Решение уравнения (4.6) с $F=0$ соответствует функции $u\equiv 1$ по формуле (4.5). На основе рассуждений из доказательства леммы 7.2 в [29] несложно проверить, что это решение дается формулой из (4.9). Лемма доказана. Пусть $\chi_2=\chi_2(\xi)$ – некоторая бесконечно дифференцируемая функция, равная единице в фиксированной окрестности полости $\omega^\eta$ для всех $\eta\in[0,1]$ и нулю вне некоторой большей окрестности, лежащей строго внутри $\Pi_{R_0-1}$. Определим вектор-функцию где $t$ – положительный вещественный параметр. Ясно, что эта вектор-функция бесконечно дифференцируемая и является диффеоморфизмом области $\overline{\Pi}$ на себя при $t\in[1-t_0,1+t_0]$ для некоторого фиксированного достаточно малого $t_0>0$. В окрестности полостей $\omega^\eta$ диффеоморфизм $\Xi$ действует как локальное растяжение в $t$ раз. Поэтому для произвольных $\eta_1,\eta_2\in(0,1)$ таких, что $\eta_2\eta_1^{-1}\in[1-t_0,1+t_0]$, диффеоморфизм $\Xi(\eta_2\eta_1^{-1},\xi)$ переводит область $\Pi\setminus\omega^{\eta_1}$ в $\Pi\setminus\omega^{\eta_2}$, а область $\Pi^{\eta_1}$ – в область $\Pi^{\eta_2}$. Через $\Xi^{-1}(t,\xi)$ обозначим обратный диффеоморфизм к $\Xi$.Выберем теперь произвольно $\eta_0\in(0,1]$ и в области $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ введем новые переменные $\widetilde{\xi}=\Xi( \eta_0 \eta^{-1},\xi)$, где $\eta\in(0,1]$ – произвольное число такое, что $ \eta_0\eta^{-1}\in[1-t_0,1+t_0]$. В силу свойств диффеоморфизма $\Xi$ переменные $\widetilde{\xi}$ изменяются в $\Pi\setminus\omega^{\eta_0}$. Через $\Upsilon=\Upsilon(\xi,\eta)$ обозначим соответствующий якобиан замены, а именно
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\xi,\eta):= {\det}^{-1} \biggl( \frac{\partial\Xi}{\partial\xi_1} ( \eta_0\eta^{-1},\xi) \ \dotsb \ \frac{\partial\Xi}{\partial\xi_n} ( \eta_0 \eta^{-1},\xi) \biggr).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
В силу определения (4.10) диффеоморфизма $\Xi$ функция $\Upsilon$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\xi,\eta)=1+(\eta-\eta_0)\Upsilon_1(\widetilde{\xi},\eta),
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
где функция $\Upsilon_1$ бесконечно дифференцируема по $(\xi,\eta)\in \overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0}\times[\eta_0-\delta(\eta_0), \eta_0+\delta(\eta_0)]$ с некоторым $\delta(\eta_0)>0$ и обращается в нуль вне носителя функции $\chi_2$ для всех рассматриваемых значений $\eta$. Выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\xi,\eta)=\frac{\eta^n}{\eta_0^n}\quad \text{на множестве} \quad \{\xi\colon \chi_2(\xi)=1\}.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Отметим еще очевидную формулу
$$
\begin{equation}
\Upsilon \Delta_\xi=\Delta_{\widetilde{\xi}}+(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta),
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $\mathcal{B}_5$ – некоторый дифференциальный оператор второго порядка с финитными коэффициентами, не равными нулю только на носителе функции $\chi_2$. Эти коэффициенты бесконечно дифференцируемы по $(\widetilde{\xi},\eta)$, где $\widetilde{\xi}$ меняется по носителю функции $\chi_2$ и $\eta\in[\eta_0-\delta(\eta_0),\eta_0+\delta(\eta_0)]$, и равномерно ограничены вместе со всеми своими производными по пространственным переменным и параметру $\eta$. Оператор $\mathcal{B}_5$ удовлетворяет равенству
$$
\begin{equation}
(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)=\Upsilon \Delta_{\xi} \Upsilon^{-1}-\Delta_{\widetilde{\xi}}.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Следующая лемма описывает зависимость оператора $\mathcal{B}_4$ от параметра $\eta$. Доказательство. Для заданной функции $g\in L_2(\Pi_{R_0})$ через $V_2^0$ обозначим решение задачи
$$
\begin{equation*}
-\Delta_\xi V_2^0=g \quad\text{в }\ \Pi_{R_0}, \qquad V_2^0=V_1^\pm \quad\text{на }\ \square\times\{\pm R_0\},
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (4.2) и примем его в качестве функции $V_2$ для $\eta=0$. Это позволяет доопределить оператор $\mathcal{B}_4$ для $\eta=0$ прежней формулой (4.7). Из этой общей формулы также немедленно следует, что для любой пары значений $\eta_1,\eta_2\in[0,1]$ верно равенство
$$
\begin{equation}
\bigl(\mathcal{B}_4(\eta_2)-\mathcal{B}_4(\eta_1)\bigr)=2\chi_1' \, \frac{\partial}{\partial \xi_n}(\widetilde{V}_{\eta_2}-\widetilde{V}_{\eta_1}) + ( \widetilde{V}_{\eta_2}-\widetilde{V}_{\eta_1})\chi_1'',
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
\widetilde{V}_\eta(\xi):=V_2(\xi,\eta) - \chi_1(\xi_n) V_1(\xi,\eta).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\widetilde{V}_\eta$ является решением уравнения
$$
\begin{equation}
\mathcal{B}_6(\eta) \widetilde{V}_\eta=\widetilde{g}, \qquad \widetilde{g}:=(1-\chi_1) g - 2\chi_1'\, \frac{\partial V_1}{\partial\xi_n} - \chi_1'' V_1,
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где $\mathcal{B}_6(\eta)$ – оператор $-\Delta_{\xi}$ в области $\Pi^\eta$ с краевым условием Дирихле на $\square\times\{\pm R_0\}$, краевым условием Неймана на $\partial\omega^\eta$ и периодическими краевыми условиями (4.2). Такой оператор самосопряжен и полуограничен снизу на области определения, состоящей из функций из $W_2^2(\Pi^\eta)$, удовлетворяющих указанным краевым условиям. Из [34; теорема 1.1, лемма 2.1] сразу следует, что при достаточно малых $\eta$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{V}_\eta-\widetilde{V}_0\|_{W_2^1(\Pi_{R_0}\setminus \Pi_{R_0-2/3})}\leqslant C\eta \|\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_0})}
\end{equation*}
\notag
$$
с константой $C$, не зависящей от $\eta$ и $\widetilde{g}$. Отсюда, из (4.16) и ограниченности оператора $\mathcal{B}_1$ вытекает непрерывность оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$ в точке $\eta=0$.
Выберем и зафиксируем число $\eta_0\in(0,1]$ и возьмем произвольное $\eta\in(0,1]$, достаточно близкое к $\eta_0$. В уравнении (4.17) затем перейдем к переменным $\widetilde{\xi}=\Xi(\eta_0\eta^{-1},\xi)$ и учтем формулу (4.14). Тогда получим следующее уравнение для функции $\widetilde{V}_\eta$, выраженной в переменных $\widetilde{\xi}$:
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathcal{B}_6(\eta_0)+(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)\bigr) \widetilde{V}_\eta(\Xi^{-1}) =\Upsilon \widetilde{g}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом описанных выше свойств коэффициентов оператора $\mathcal{B}_5$ сразу заключаем, что данное уравнение можно решить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{V}_\eta (\Xi^{-1})=\bigl(\mathcal{B}_6(\eta_0)+(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)\bigr)^{-1} \Upsilon \widetilde{g}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой формулы, (4.12) и равномерной ограниченности коэффициентов оператора $\mathcal{B}_5$ следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{V}_\eta(\Xi^{-1})-\widetilde{V}_{\eta_0}\|_{W_2^2(\Pi^{\eta_0})} \leqslant C|\eta-\eta_0|\|\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_0})},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$ и $\widetilde{g}$. Учитывая теперь определения диффеоморфизма $\Xi$, немедленно получаем
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{V}_\eta-\widetilde{V}_{\eta_0}\|_{W_2^1(\Pi_{R_0}\setminus \Pi_{R_0-1})}\leqslant C|\eta-\eta_0|\|\widetilde{g}\|_{L_2(\Pi_{R_0})},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$ и $\widetilde{g}$. Отсюда и из (4.16) уже вытекает непрерывность оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$ в точке $\eta_0$. Лемма доказана. Так как уравнение (4.8) имеет единственное решение – константу, то уравнение (4.6) разрешимо, если выполнено условие Тогда в силу теоремы Банаха об обратном операторе существует ограниченный обратный оператор $(\mathcal{I}+\mathcal{B}_4(\eta))^{-1}\colon \mathfrak{L}_*\to \mathfrak{L}$, где обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{L}_*&:=\{g\in L_2(\Pi_{R_0})\colon (g,h_0)_{L_2(\Pi^\eta)}=0,\ g=0\ \text{в }\omega^\eta\}, \\ \mathfrak{L}&:=\{g\in L_2(\Pi_{R_0})\colon (g,g_0)_{L_2(\Pi^\eta)}=0, \ g=0\ \text{в } \omega^\eta\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу непрерывности оператора $\mathcal{B}_4(\eta)$, установленной в лемме 4.4, обратный оператор $(\mathcal{I}+\mathcal{B}_4(\eta))^{-1}$ ограничен равномерно по $\eta\in[0,1]$. Решение операторного уравнения (4.6) имеет вид
$$
\begin{equation}
g=\widehat{g}+c g_0, \qquad \widehat{g}:=(\mathcal{I}+\mathcal{B}_4(\eta))^{-1}F,
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $c$ – произвольная константа, функция $g_0$ определяется формулой (4.9). Верно неравенство
$$
\begin{equation}
\|\widehat{g}\|_{L_2(\Pi^\eta)}\leqslant C\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где константа $C$ не зависит от $F$. В силу (4.18) решение краевой задачи (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$ имеет вид где $\widehat{v}$ – решение задачи (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$, соответствующее решению $\widehat{g}$ операторного уравнения (4.6) в смысле леммы 4.1, а константа $c$ та же, что и в (4.18). Функция $\widehat{v}$ имеет следующую асимптотику на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\widehat{v}(\xi,\eta)=\widehat{D}_\pm(\eta)+o(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где константы $\widehat{D}_\pm$ определяются формулой
$$
\begin{equation}
\widehat{D}_\pm= \int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm}|t_n| \widehat{g}(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
При $|\xi_n|>R_0$ функция $\widehat{v}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{v}(\xi,\eta)=\widehat{D}_\pm(\eta)+ \sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}\widehat{D}_k^\pm(\eta) \exp(-2\pi |k_b||\xi_n|) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \qquad \pm \xi_n> R_0, \\ \widehat{D}_k^\pm:=-\frac{1}{2\pi |k_b|} \int_{\Pi_{R_0}^\pm\setminus\Pi_{R_0-1}^\pm} \widehat{g}(t) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot t') \operatorname{sh} 2\pi |k_b| t_n \,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу последнего равенства и неравенства (4.19) выполнено
$$
\begin{equation*}
|\widehat{D}_k^\pm|\leqslant \frac{C \exp(2\pi |k_b| R_0)}{ |k_b|^{3/2}}\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $k$, $F$, $\eta$. Из формулы (4.5), неравенств (4.4), (4.19) и ограниченности оператора $\mathcal{B}_1$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{v}\|_{W_2^1(\Pi^\eta)}\leqslant C\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F$ и $\eta$. Теперь к решению $\widehat{v}$ задачи (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$ добавим константу $(\widehat{D}_++\widehat{D}_-)/2$ и полученную функцию обозначим через $\widetilde{v}$. Тогда функция $\widetilde{v}$ имеет следующую асимптотику на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}(\xi,\eta)=\widetilde{D}_\pm(\eta)+o(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty, \qquad\widetilde{D}_\pm=\widehat{D}_\pm-\frac{1}{2}(\widehat{D}_++\widehat{D}_-).
\end{equation*}
\notag
$$
Для констант $\widetilde{D}_\pm$ выполнено равенство $\widetilde{D}_++\widetilde{D}_-=0$. Из равенства (4.20) и неравенства (4.19) выводим
$$
\begin{equation*}
|\widehat{D}_++\widehat{D}_-|\leqslant C\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F$. В силу формулы (4.5), неравенств (4.4), (4.19) и ограниченности оператора $\mathcal{B}_1$ тогда получаем
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{v}\|_{W_2^1(\Pi^\eta)}\leqslant C\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F$ и $\eta$. Таким образом, доказана следующая лемма. Лемма 4.5. Пусть функция $F\in L_2(\Pi^\eta)$ обращается в нуль вне $\Pi_{R_0}$ и выполнено равенство Тогда краевая задача (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$ разрешима. Существует единственное решение $v$ задачи (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$, имеющее при $\xi_n\to\pm\infty$ асимптотику (4.3), где константы $D_\pm$ удовлетворяют равенству $D_++D_-=0$. Общее решение задачи (4.1), (4.2) с однородным граничным условием на $\partial\omega^\eta$ отличается от данного решения на произвольную константу. При $|\xi_n|>R_0$ функция $v$ имеет вид Верны оценки где константа $C$ не зависит от $F$ и $\eta$.4.3. Разрешимость модельной задачиВ этом пункте исследуется разрешимость модельной задачи (4.1), (4.2). Лемма 4.6. Пусть функция $F\in L_2(\Pi^\eta)$ обращается в нуль вне $\Pi_{R_0}$. Краевая задача (4.1), (4.2) разрешима, если и только если выполнено равенство При $|\xi_n|>R_0$ функция $v$ имеет вид (4.21). Верны неравенства где константа $C$ не зависит от $F$, $\phi$ и $\eta$. Доказательство. Рассмотрим задачу Сделаем замену $\widetilde{\xi}:=\xi\eta^{-1}$ и перепишем эту задачу в виде где $\widetilde{u}(\widetilde{\xi}):=u(\widetilde{\xi}\eta)$, $\widetilde{\phi}(\widetilde{\xi}):=\eta \phi(\widetilde{\xi}\eta)$.
Функция Грина задачи (4.25) имеет вид
$$
\begin{equation}
G(\widetilde{\xi},y)=\frac{1}{\sigma_n(n-2)|\widetilde{\xi}-y|^{n-2}}+G_1(\widetilde{\xi},y),
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
где $G_1$ – функция, принадлежащая по переменной $\widetilde{\xi}$ пространству $C^1(\mathbb{R}^n)$ и удовлетворяющая уравнению $\Delta_{\widetilde{\xi}} G_1(\widetilde{\xi}, y)=0$ и равенству $G_1(\widetilde{\xi},y)= O( |\widetilde{\xi}\,{-}\,y|^{-n+1})$ при $\xi_n\to\infty$. Функция $G$ обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
G(\widetilde{\xi},y)=G(y, \widetilde{\xi}),\quad \widetilde{\xi},y\in\mathbb{R}^n\setminus\overline{\omega}, \qquad \frac{\partial G}{\partial \nu_{\widetilde{\xi}}}(\widetilde{\xi},y)=0, \quad \widetilde{\xi}\in\partial\omega, \quad y\in\mathbb{R}^n\setminus\overline{\omega}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Решение задачи (4.25) можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}(\widetilde{\xi})=\int_{\partial\omega} G(\widetilde{\xi},y)\widetilde{\phi}(y)\,ds.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
В силу [35; гл. I, § 1.6] функция $\widetilde{u}$ принадлежит пространству $C^1(\mathbb{R}^n)$.
Решение задачи (4.1), (4.2) будем искать в виде $v=\chi_2 u+\widetilde{v}$. Функция $\widetilde{v}$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\Delta_{\xi} \widetilde{v}=\widetilde{F} \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial \widetilde{v}}{\partial \nu_{\xi}}=0 \quad\text{на }\ \partial \omega^{\eta}, \qquad \widetilde{F}:=F -2 \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial \xi_i}\, \frac{\partial \chi_2}{\partial \xi_i} - u \Delta_{\xi}\chi_2,
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2). В силу свойств функций $\chi_2$ и $G$ верно
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{F}\|_{L_2(\Pi^\eta)}\leqslant C \bigl(\|F\|_{L_2(\Pi^\eta)} +\eta^{n-1}\|\phi\|_{L_2(\partial\omega^\eta)}\bigr),
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
где константа $C$ не зависит от $F$, $\phi$ и $\eta$.
Согласно лемме 4.5 задача (4.29), (4.2) разрешима, если выполнено условие $\displaystyle\int _{\Pi^\eta} \widetilde{F}\,d\xi=0$. Проинтегрируем теперь по частям следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi^\eta}\widetilde{F}\,d\xi=\int_{\Pi^\eta} (F-\Delta_{\xi}(\chi_2 u))\, d\xi=\int_{\Pi^\eta}F\,d\xi +\int_{\partial\omega^\eta} \phi \, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие (4.22) гарантирует разрешимость задачи (4.29), (4.2). При его выполнении существует единственное решение $\widetilde{v}$ этой задачи, имеющее при $\xi_n\to\pm\infty$ асимптотику (4.3), где константы $D_\pm$ удовлетворяют равенству $D_++D_-=0$. При $|\xi_n|>R_0$ данное решение имеет вид (4.21). Верны оценки
$$
\begin{equation*}
\sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \exp(-2\pi |k_b|)|D_k^\pm(\eta)|\leqslant C\|\widetilde{F}\|_{L_2(\Pi^\eta)}, \qquad \|\widetilde{v}\|_{W_2^1(\Pi^\eta)}\leqslant C\|\widetilde{F}\|_{L_2(\Pi^\eta)},
\end{equation*}
\notag
$$
где константы $C$ не зависят от $F$, $\phi$ и $\eta$. Возвращаясь теперь к функции $v$ и учитывая оценку (4.30), приходим к утверждению леммы. Лемма доказана. § 5. Оценки максимума решения модельной задачи и его производныхЦель этого параграфа – оценка максимума модуля решения задачи (4.1), (4.2) и модуля его производных. Будем предполагать, что функции $F$ и $\phi$ принадлежат пространствам $C^{\vartheta}(\overline{\Pi^\eta})$ и $C^{1+\vartheta}(\partial\omega^\eta)$ соответственно, где $\vartheta\in(0,1)$ – фиксированное число. Тогда в силу оценок Шаудера (см. [33; гл. III, § 2, § 3]) модельная краевая задача (4.1), (4.2) разрешима и ее решение принадлежит пространству $C^{2+\vartheta}(\overline{\Pi})$. Классические оценки Шаудера не позволяют выяснить зависимость нормы решения этой задачи в пространстве $C^{2+\vartheta}$ от параметра $\eta$ при малых $\eta$. Применение подхода, описанного в [29; § 7.5], дает слишком грубую оценку, в первую очередь, для производных. Поэтому в настоящем параграфе мы доказываем более тонкие оценки по сравнению с полученными в [29; § 7.5] с использованием другой техники. 5.1. Оценка максимума решенияВ этом пункте оценивается максимум модуля решения задачи (4.1), (4.2). Лемма 5.1. Для единственного решения задачи (4.1), (4.2), существование которого было доказано в лемме 4.6, верно неравенство где константа $C$ не зависит от функций $F$, $\phi$ и параметра $\eta$. Доказательство. Доказательство этой леммы в целом проводится по той же схеме, что и доказательство [29; неравенство (7.49)] для случая $\eta<\eta_0$.
Функция $\widetilde{v}=(1-\chi_1)v$, где, напомним, срезающая функция $\chi_1$ была введена перед равенством (4.5), является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi \widetilde{v}=G \quad\text{в }\ \Pi_{2R_0}\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial \widetilde{v}}{\partial\nu_\xi}=\phi \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta, \\ \widetilde{v}=0 \quad\text{на }\ \square\times\{-2R_0,\, 2R_0\}, \\ G=(1-\chi_1)F + 2\nabla_\xi\chi_1\cdot \nabla_\xi v + v\Delta_\xi \chi_1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (4.2).
Пусть $\widetilde{\xi}=(\widetilde{\xi}_1,\dots,\widetilde{\xi}_n)$ – декартовы координаты в $\mathbb{R}^n$. Рассмотрим внешние краевые задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_{\widetilde{\xi}} Y_i=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^n\setminus\overline{\omega}, \qquad i=0,1,2, \\ \frac{\partial Y_0}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=1, \qquad \frac{\partial Y_1}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=\frac{\partial \widetilde{\xi}_n}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}, \qquad \frac{\partial Y_2}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=\widetilde{\xi}_n\, \frac{\partial \widetilde{\xi}_n}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}} \quad\text{на } \ \partial\omega, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_{\widetilde{\xi}}$ – единичная нормаль к $\partial\omega$, направленная внутрь $\omega$. Существуют классические решения этих задач, принадлежащие пространству $C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\omega)\cap C^{2+\vartheta}(\overline{B_R(0)})$, где $R$ – достаточно большое фиксированное число, со следующими асимптотиками на бесконечности:
$$
\begin{equation*}
Y_i(\widetilde{\xi})=O(|\widetilde{\xi}|^{-n+2}), \qquad \widetilde{\xi}\to\infty, \quad i=0,1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для функций $Y_i$, $i=0,1,2$, выполнены следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\bigl|\chi_2(\xi) Y_i ( \xi \eta^{-1}) \bigr|\leqslant C, \qquad \bigl|\Delta_\xi\eta \chi_2(\xi)Y_i (\xi \eta^{-1})\bigr| \leqslant C\eta^{n-1},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\xi$ и $\eta$, а $\chi_2$ – срезающая функция, введенная после леммы 4.3.
Введем функции
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y_3(\xi,\eta)&:=(\xi_n^2-4R_0^2)-\chi_2(\xi) \bigl(2\eta^2 Y_2( \xi \eta^{-1}) +2\eta \xi_n Y_1( \xi \eta^{-1})\bigr), \\ Y_4(\xi,\eta)&:=\eta \chi_2(\xi) Y_0 ( \xi \eta^{-1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу определения функций $Y_i$, $i=0,1,2$, и неравенств (5.2) функции $Y_3$ и $Y_4$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi Y_3\geqslant 1 \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial Y_3}{\partial\nu_\xi}=0 \quad\text{на } \ \partial\omega^\eta, \\ |\Delta_\xi Y_4|\leqslant C\eta^{n-1} \quad\text{в }\ \Pi^\eta, \qquad \frac{\partial Y_4}{\partial\nu_\xi}=1 \quad\text{на } \ \partial\omega^\eta, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
c периодическими граничным условиями (4.2), где $C$ – некоторая константа, не зависящая от $\xi$ и $\eta$. Рассматривая функции
$$
\begin{equation*}
u\pm 2\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} Y_4 + 2\bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} +C\eta^n\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr) Y_3,
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично выводу неравенств (7.53) и (7.54) из [29] можно показать, что
$$
\begin{equation*}
|u|\leqslant 2\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} Y_4 + 2\bigl(\|G\|_{C(\Pi^\eta)} +C\eta^n\|\phi\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\bigr) Y_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства, (5.2) и определения функций $Y_3$, $Y_4$ следует
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{v}\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}\leqslant C \bigl(\|G\|_{C(\overline{\Pi^\eta})}+\eta\|\phi\|_{C(\partial\omega^\eta)}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F$, $\phi$ и $\eta$. Отсюда уже вытекает (5.1). Лемма доказана. 5.2. Оценка максимума производных решенияВ этом пункте будут получены оценки максимума модуля производных единственного решения задачи (4.1), (4.2), существование которого доказано в лемме 4.6. Обозначим: $\breve{v}(\xi):=(1-\chi_2(\xi))v(\xi)$, где, напомним, $\chi_2$ – срезающая функция из доказательства леммы 4.6. Продолжим функции $F$ и $\breve{v}$ нулем внутрь полостей $\omega^\eta$. В силу определения срезки $\chi_2$ функция $\breve{v}$ равна нулю в окрестности полости $\omega^\eta$. Поэтому продолжение функции $\breve{v}$ нулем внутрь $\omega^\eta$ не ухудшает ее гладкость, а именно, $\breve{v}\in C^{2+\vartheta}(\overline{\Pi})$. Функция $\breve{v}$ является решением следующей задачи:
$$
\begin{equation}
-\Delta_{\xi}\breve{v}=F_1 \quad \text{в }\ \Pi, \qquad F_1:=(1-\chi_2)F+2\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \chi_2}{\partial \xi_i}\,\frac{\partial v}{\partial \xi_i}+v\Delta_{\xi}\chi_2,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2), где функция $F_1$ считается продолженной нулем внутрь полости $\omega^\eta$. Функция $F_1$ равна нулю в окрестности полости $\omega^\eta$ и принадлежит пространству $C^\vartheta({\overline{\Pi}})$. Отметим, что задача (5.3), (4.2) рассматривается во всей области $\Pi$ без полости. Для такой задачи удается явно построить функцию Грина, а именно на основе идей из [24; § 3.1] можно доказать следующую лемму. Лемма 5.2. Функция Грина задачи (5.3), (4.2) дается равенством Так как решение задачи (5.3), (4.2) принадлежит $C^{2+\vartheta}(\overline{\Pi})$, то оно представимо в виде
$$
\begin{equation}
\breve{v}(\xi)=\int_{\Pi_{R_0}} G_{\Pi}(\xi-y) F_1(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Доказательство. В силу формулы (5.6) и определения функции $F_1$ в (5.3) выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{v}(\xi)&\,{=}\int_{\Pi_{R_0}}(1\,{-}\,\chi_2(y))(y)F(y)G_{\Pi}(\xi\,{-}\,y)\,dy \,{+}\, 2\sum_{i=1}^n \int_{\Pi_{R_0}} \frac{\partial v}{\partial y_i}(y) \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y) G_{\Pi}(\xi\,{-}\,y)\,dy \\ &\qquad +\int_{\Pi_{R_0}} v(y) G_{\Pi}(\xi-y)\Delta_y \chi_2(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем однократно по частям во втором интеграле в правой части этого равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \breve{v}(\xi)&=\int_{\Pi_{R_0}}\bigl((1-\chi_2(y))F(y)-v(y)\Delta_y \chi_2(y)\bigr) G_{\Pi}(\xi-y)\,dy \\ &\qquad +2\sum_{i=1}^n \int_{\Pi_{R_0}} v(y) \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y) \, \frac{\partial G_{\Pi}}{\partial \xi_i}(\xi-y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя формулу (1.24) из [33; гл. III, § 1], выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial\breve{v}}{\partial\xi_j}(\xi) &=\int_{\Pi_{R_0}}\bigl((1-\chi_2(y))F(y)- v(y)\Delta_y \chi_2(y)\bigr) \frac{\partial G_{\Pi}}{\partial\xi_j}(\xi-y)\,dy \\ \notag &\qquad-2\lim_{\rho\to+0} \int_{\Pi\cap\{y\colon |\xi-y|\geqslant\rho\}}v(y) \sum_{i=1}^n\frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi-y)\,dy \\ &\qquad-\frac{2\delta_{ij}}{n} v(\xi)\, \frac{\partial\chi_2}{\partial\xi_i}(\xi), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $j=1,\dots,n$, $\delta_{ij}$ – символ Кронекера–Капелли. Так как функция $\widetilde{G}_\Pi$ бесконечно дифференцируема в $\overline{\Pi}$, то из формулы для $G_\Pi$ в (5.4) и асимптотики (5.5) сразу следует, что все производные функции $\widetilde{G}_\Pi$ равномерно ограничены в $\overline{\Pi}$. С учетом этого факта и $\square$-периодичности функции $G_\Pi$ по $\xi'$ оценим первый интеграл в правой части последнего равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\int_{\Pi_{R_0}}\bigl((1-\chi_2(y))F(y)- v(y)\Delta_y \chi_2(y)\bigr)\, \frac{\partial G_{\Pi}}{\partial\xi_j}(\xi-y)\,dy \biggr| \\ \notag &\qquad \leqslant C \Bigl(\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|F| +\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v|\Bigr) \int_{\Pi_{R_0}}\biggl( \frac{1}{|\xi-y|^{n-1}} +\biggl|\frac{\partial\widetilde{G}_\Pi}{\partial\xi_j}(\xi-y)\biggr|\biggr)\,dy, \\ &\qquad \leqslant C \Bigl(\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|F| +\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v|\Bigr) \int_{\Pi_{R_0}}\biggl( \frac{1}{|\xi-y|^{n-1}} + 1 \biggr)\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где $C$ – константа, не зависящая от $F$ и $\xi$. Пусть $\xi\notin\Pi_{2R_0}$, тогда верно неравенство $|\xi-y|\geqslant R_0>1$, из которого сразу следует, что
При $\xi\in\Pi_{2R_0}$, $y\in\Pi_{R_0}$ верно
$$
\begin{equation*}
|\xi-y|<\rho_1, \qquad \rho_1:=3R_0+2\biggl(\sum_{i=1}^{n-1}b_i^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_{R_0}} \frac{1}{|\xi-y|^{n-2}} \,dy < \int_{B_{\rho_1}(0)} \frac{dt}{|t|^{n-1}} \leqslant \rho_1^n |B_1(0)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное неравенство и (5.10) позволяют продолжить оценки в (5.9):
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\Pi_{R_0}}\bigl((1-\chi_2(y))F(y)- v(y)\Delta_y \chi_2(y)\bigr) \, \frac{\partial G_{\Pi}}{\partial\xi_j}(\xi-y)\,dy \biggr| \leqslant C \Bigl(\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|F| +\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v|\Bigr),
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где константа $C$ не зависит от $\xi$, $y$, $j$ и $F$.
Интеграл под пределом в правой части (5.8) представим в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon |\xi-y|\geqslant\rho\}}v(y)\, \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy \\ \notag &\qquad =\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon \rho\leqslant|\xi-y|\leqslant \rho_2\}}v(y)\, \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy \\ &\qquad\qquad +\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon |\xi-y|\geqslant \rho_2\}}v(y)\, \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где $\rho_2>0$ – некоторое достаточно малое фиксированное число, не зависящее от $\xi$ и $y$. Оценим второе слагаемое в правой части этого равенства:
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon |\xi-y|\geqslant \rho_2\}}v(y)\, \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\, dy\biggr|\leqslant \frac{C}{\rho_2^n}\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v|,
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где константа $C$ не зависит от $\xi$, $y$ и $j$.
Аналогично доказательству неравенства (1.27) из [33; гл. III, § 1] проверяется, что
$$
\begin{equation}
\biggl| \int_{\Pi\cap\{y\colon \rho\leqslant|\xi-y|\leqslant \rho_3\}}\frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy\biggr|\leqslant C,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
где константа $C$ не зависит от $\xi$, $y$ и $\rho_2$. При $|\xi-y|<\rho_2$ выполнено
$$
\begin{equation*}
|v(y)-v(\xi)|\leqslant C |\xi-y|\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|\nabla v|,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $v$, $\xi$ и $y$. Тогда в силу последнего неравенства и неравенства (5.14) верно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon \rho\leqslant|\xi-y|\leqslant \rho_2\}} v(y)\, \frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy\biggr| \\ \notag &\qquad=\biggl|v(\xi)\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon \rho\leqslant|\xi-y|\leqslant \rho_2\}} \frac{\partial \chi_3}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy\biggr| \\ \notag &\qquad\qquad +\biggl|\sum_{i=1}^n \int_{\Pi\cap\{y\colon \rho\leqslant|\xi-y|\leqslant \rho_2\}}(v(y)-v(\xi))\frac{\partial \chi_2}{\partial y_i}(y)\, \frac{\partial^2 G_{\Pi}}{\partial \xi_i\, \partial\xi_j}(\xi,y)\,dy\biggr| \\ &\qquad \leqslant C \Bigl( \max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v| + \rho_2\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|\nabla v| \Bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
где константы $C$ и $C_5$ не зависят от $\rho_2$, $v$, $j$, $\xi$ и $y$.
В силу (5.8), (5.11)–(5.13) и (5.15) выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|\nabla\breve{v}|\leqslant C \Bigl(\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|F| +\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|v|\Bigr) +C\rho_2\max_{\overline{\Pi_{R_0}}}|\nabla v|,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F$, $\rho_2$, $v$ и $\xi$. Перенося последнее слагаемое в левую часть неравенства и выбрав $\rho_2$ достаточно малым, получим оценку (5.7). Лемма 5.3 доказана. Обозначим $\check{v}(\xi):=v(\xi)\chi_3(\xi)$, где $\chi_3=\chi_3(\xi)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице на носителе функции $1-\chi_2$ и нулю вне некоторой окрестности этого носителя, лежащей строго внутри $\Pi$. Функция $\check{v}$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_{\xi} \check{v}=F_2 \quad \text{в}\quad \mathbb{R}^n\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial \check{v}}{\partial \nu_{\xi}}=\phi \quad\text{на }\ \partial \omega^{\eta}, \\ F_2:=\chi_3 F - 2 \sum_{i=1}^n \frac{\partial v}{\partial \xi_i}\,\frac{\partial \chi_3}{\partial \xi_i} - v\Delta_{\xi}\chi_3. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Доказательство. В задаче (5.16) сделаем замену $\widetilde{\xi}:=\xi\eta^{-1}$. Тогда эта задача перепишется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\Delta_{\widetilde{\xi}} \widetilde{v}=\widetilde{F}_2 \quad \text{в}\quad \mathbb{R}^n\setminus\overline{\omega}, \qquad \frac{\partial \widetilde{v}}{\partial \nu_{\widetilde{\xi}}}=\widetilde{\phi} \quad\text{на }\ \partial \omega, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где $\widetilde{v}(\widetilde{\xi}):=\check{v}(\widetilde{\xi}\eta)$, $\widetilde{F}_2(\widetilde{\xi}):=\eta^2 F_2(\widetilde{\xi}\eta)$, $\widetilde{\phi}(\widetilde{\xi}):=\eta \phi(\widetilde{\xi}\eta)$. Отметим, что по своему определению функция $\widetilde{v}$ финитна.
Решение задачи (5.18) представим в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{v}(\widetilde{\xi})= \widetilde{v}_1(\widetilde{\xi}) + \widetilde{v}_2(\widetilde{\xi}), \\ \widetilde{v}_1(\widetilde{\xi}):=\int_{\mathbb{R}^n\setminus\omega} G(\widetilde{\xi},y)\widetilde{F}_2(y)\,dy, \qquad \widetilde{v}_2(\widetilde{\xi}):= \int_{\partial\omega} G(\widetilde{\xi},y)\widetilde{\phi}(y)\,ds, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
где $G$ – функция Грина задачи (5.18), имеющая вид (4.26). В силу [35; гл. I, § 1.6] функция $\widetilde{v}$ принадлежит пространству $C^1(\mathbb{R}^n)$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}_1(\widetilde{\xi}):=\int_{\mathbb{R}^n\setminus\omega} G(\widetilde{\xi},y)\widetilde{F}_2(y)\,dy, \qquad \widetilde{v}_2(\widetilde{\xi}):=\int_{\partial\omega} G(\widetilde{\xi},y)\widetilde{\phi}(y)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим производные функции $\widetilde{v}_1$. Из формулы (4.26) следует оценка
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial \widetilde{v}_1}{\partial \widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi})\biggr|\leqslant C\max_{B^\eta}|\widetilde{F}_2| \biggl(\biggl|\int_{B^\eta}\frac{\partial}{\partial\widetilde{\xi}_i} \,\frac{1}{|\widetilde{\xi}-y|^{n-2}}\,dy\biggr| +\biggl|\int_{B^\eta}\frac{\partial G_1}{\partial\widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi}, y)\,dy\biggr|\biggr),
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где $B^\eta:=B_{R_2\eta^{-1}}(0)\setminus\omega$, $C$ – константа, не зависящая от $\widetilde{F}_2$, $\widetilde{\xi}$ и $y$. В первом интеграле в правой части (5.20) произведем замену переменных $z=\widetilde{\xi}-y$ и затем перейдем к сферической системе координат. В результате получим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{B^\eta}\frac{\partial}{\partial\widetilde{\xi}_i}\, \frac{1}{|\widetilde{\xi}-y|^{n-2}}\,dy\biggr|\leqslant \biggl|\int_{\mathbb{S}^{n-1}}\,d\varphi \int_{0}^{\eta^{-1}}\,dr\biggr|\leqslant C\eta^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{S}^{n-1}$ – единичная сфера $\mathbb{R}^n$, $C$ – константа, не зависящая от $\eta$, $\widetilde{\xi}$, $y$ и $i$. В силу свойств функции $G_1$ верно
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{B^\eta}\frac{\partial G_1}{\partial \widetilde{\xi_i}}(\widetilde{\xi},y)\,dy\biggr|\leqslant C,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\widetilde{\xi}$, $y$ и $i$. Из последних двух неравенств и (5.20) вытекает
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial \widetilde{v}_1}{\partial \widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi})\biggr|\leqslant C\eta^{-1}\max_{B^\eta}|\widetilde{F}_2|, \qquad \widetilde{\xi}\in\mathbb{R}^n\setminus\omega,
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$, $\widetilde{\xi}$, $y$ и $i$.
Пусть $\widetilde{\xi}\notin\partial\omega$. Тогда верно равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\widetilde{v}_2}{\partial\widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi})=\int_{\partial\omega} \frac{\partial G}{\partial \widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi},y)\widetilde{\phi}(y)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем гладкие локальные координаты $s=(s_1,\dots,s_{n-1})$ на $\partial\omega$, тогда якобиан замены $J=J(s)$, возникающий при переходе от переменных $y$ к $s$, является функцией класса $C^1$, ограниченной равномерно вместе со своими производными. В силу свойств (4.27) выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\partial\omega} \widetilde{\phi}\, \frac{\partial\widetilde{G}}{\partial\widetilde{\xi}_i}\,ds &=\int_{\partial\omega} \widetilde{\phi}\, \frac{\partial\widetilde{G}}{\partial y_i}\,ds \\ &=\int_{\partial\omega} J\phi\biggl(\frac{\partial s_1}{\partial y_i}\,\frac{\partial G}{\partial s_1}+\dots+\frac{\partial s_{n-1}}{\partial y_i}\,\frac{\partial G}{\partial s_{n-1}}\biggr) \,ds, \qquad \widetilde{\xi}\notin\partial\omega. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial\omega} J\phi\biggl(\frac{\partial s_1}{\partial y_i}\,\frac{\partial G}{\partial s_1}+\dots+\frac{\partial s_{n-1}}{\partial y_i}\,\frac{\partial G}{\partial s_{n-1}}\biggr)\,ds \\ &\qquad =-\int_{\partial\omega}G \biggl(\frac{\partial}{\partial s_1}\,\frac{\partial s_1}{\partial y_i}\, J\phi+\dots+\frac{\partial}{\partial s_{n-1}}\,\frac{\partial s_{n-1}}{\partial y_i}\, J\phi\biggr)\,ds, \qquad \widetilde{\xi}\notin\partial\omega. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу ограниченности $J$ получим неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial\widetilde{v}_2}{\partial\widetilde{\xi}_i}(\widetilde{\xi})\biggr| \leqslant C\biggl(\max_{\partial \omega}|\widetilde{\phi}| +\max_{\partial \omega}\biggl|\frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial y_i}\biggr|\biggr), \qquad \widetilde{\xi}\notin\partial\omega,
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
где константа $C$ не зависит от $\widetilde{\phi}$, $i$, $\widetilde{\xi}$ и $y$.
Пусть $\widetilde{\xi}_0\in\partial\omega$. Переходя в последнем неравенстве к пределу при $\widetilde{\xi}\to\widetilde{\xi}_0$, в силу непрерывности ${\partial\widetilde{v}_2}/{\partial\xi_i}$ получим, что неравенство (5.22) верно для всех $\widetilde{\xi}\in \mathbb{R}^n\setminus\omega$. Возвращаясь обратно к переменным $\xi$ и используя (5.19), (5.21) и (5.22), выводим
$$
\begin{equation*}
\max_{\overline{\Pi^\eta}}|\nabla \breve{v} |\leqslant C\Bigl( \max_{\overline{\Pi^\eta}} |F_2|+\max_{\partial \omega}|\phi|+\max_{\partial \omega}|\nabla \phi|\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $F_2$, $\phi$, $\xi$ и $y$. Неравенство (5.17) следует из последней оценки и лемм 5.1, 5.3. Лемма 5.4 доказана. Из лемм 5.1, 5.3 и 5.4 вытекает следующее утверждение. Лемма 5.5. Для единственного решения задачи (4.1), (4.2), существование которого доказано в лемме 4.6, верно неравенство где константа $C$ не зависит от $\eta$, $F$, $\phi$. § 6. Разрешимость модельных задачВ этом параграфе результаты предыдущего параграфа применяются для исследования разрешимости модельной задачи (4.1), (4.2) с правой частью общего вида и описания зависимости решения от параметра $\eta$. Аналогичные вопросы изучаются и для модельной задачи для коэффициентов внешнего разложения, постановка которой также приводится в этом параграфе. Пусть $\mathfrak{P}$ – пространство функций $f=f(\xi)$, заданных на $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ таких, что ряд Фурье функции $f$ при $|\xi_n|>R_0$ имеет вид
$$
\begin{equation}
f(\xi)= \sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} T_k^\pm(\xi_n)\exp(-2\pi |k_b| |\xi_n|)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $T_k^\pm(\xi_n)$ – полиномы, степени которых ограничены равномерно по $k$. Предполагаем, что для коэффициентов этих полиномов выполнено следующее условие:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{p}(f):= \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \exp(-2\pi |k_b| R_0)|\!|\!| T_k^+|\!|\!| + \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \exp(-2\pi |k_b| R_0)|\!|\!| T_k^-|\!|\!| < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь для произвольного многочлена $L$ величина $|\!|\!| L|\!|\!|$ обозначает максимум из абсолютных значений его коэффициентов. Лемма 6.1. Пусть Доказательство. Задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\Delta_\xi v_F^\pm=F_0 + \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial F_j}{\partial\xi_j} \quad\text{в }\ \Pi_{R_0-1}^\pm \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими граничными условиями (4.2) были решены методом разделения переменных в [29; § 7.6]:
$$
\begin{equation*}
v_F^\pm(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}\widetilde{Q}^\pm_k(\xi_n) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'),
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $\widetilde{Q}_k^\pm$ определяются из уравнений
$$
\begin{equation*}
-\frac{\partial^2\widetilde{Q}^\pm_k}{\partial\xi_n^2} \pm 4\pi| k_b| \, \frac{\partial \widetilde{Q}^\pm_k}{\partial\xi_n}=\widetilde{T}_{k,0}^\pm+ \pi \mathrm{i}\sum_{j=1}^{n-1}\frac{k_j}{b_j}\widetilde{T}_{k,j},
\end{equation*}
\notag
$$
а функции $\widetilde{T}_{k,j}^\pm=\widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n)$ определяются как коэффициенты разложений функций $F_j$ в ряды Фурье:
$$
\begin{equation*}
F_j(\xi)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \qquad \widetilde{T}_{k,j}^\pm(\xi_n)=T_{k,j}^\pm(\xi_n) \quad\text{при }\ \pm\xi_n>R_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказательству [36; лемма 3.1] несложно показать, что $v_F^\pm\in W_2^2(\Pi_R^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)$ для любого $R>R_0$ и справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|v_F^\pm\|_{W_2^2(\Pi_R^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)} &\leqslant C(R) \biggl(\|F_0\|_{L_2(\Pi_{R_0}^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)} + \sum_{j=1}^{n-1}\|\nabla F_j\|_{L_2(\Pi_{R_0}^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)} \\ &\qquad\qquad +\sum_{j=0}^{n-1}\mathfrak{p}(F_j)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
где $C(R)$ – некоторая константа, не зависящая от функций $F_j$, $j=0,\dots,n-1$.
Решение задачи (4.1), (4.2) будем искать в виде
$$
\begin{equation*}
v=\widetilde{v}+ \chi_1 v_F, \qquad v_F(\xi):=v_F^\pm(\xi) \quad\text{при }\ \pm \xi_n>R_0-1,
\end{equation*}
\notag
$$
где срезающая функция $\chi_1$ была введена перед равенством (4.5). Функция $\widetilde{v}$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi\widetilde{v}=\widetilde{F} \quad\text{в }\ \Pi_R\setminus\omega^\eta, \qquad \frac{\partial\widetilde{v}}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta, \\ \widetilde{F}:=F\chi_1 -2 \frac{\partial v_F}{\partial \xi_n} \chi_1'- v_F\chi_1', \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2).
Используя неравенства (4.30) и (6.4), выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widetilde{F}\|_{L_2(\Pi_{R_0})} &\leqslant C \biggl(\eta^{n-1}\|\phi\|_{L_2(\partial\omega^\eta)}+ \|F_0\|_{L_2(\Pi_{R_0}^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)} \\ &\qquad\qquad+ \sum_{j=1}^{n-1}\|\nabla F_j\|_{L_2(\Pi_{R_0}^\pm\setminus \Pi_{R_0-1}^\pm)} +\sum_{j=0}^{n-1}\mathfrak{p}(F_j) \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$, $\phi$, $F_j$, $j=0,\dots,n-1$.
Проверим условие разрешимости для задачи (6.5), (4.2), указанное в лемме 4.5. Для этого проинтегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi^\eta}\widetilde{F}\,d\xi+\int_{\partial\omega^\eta}\phi \,ds=\int_{\Pi^\eta}(F-\Delta_{\xi} \chi_1 v_F)\,d\xi =\int_{\Pi^\eta} Fd\,\xi+\int_{\partial\omega^\eta}\phi \,ds=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, согласно лемме 4.5 существует единственное решение задачи (6.5), (4.2), имеющее при $\xi_n\to\pm\infty$ асимптотику (4.3), где константы $D_\pm$ удовлетворяют равенству $D_++D_-=0$. При $|\xi_n|>R_0$ данное решение представляется в виде (4.21), где для коэффициентов $\widehat{D}_k^{\pm}(\eta)$ верны оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}\exp(-2\pi |k_b|)|\widehat{D}_k^\pm(\eta)| &\leqslant \frac{C}{|k_b|}\biggl(\eta^{n-1}\|\phi\|_{C(\partial\omega^\eta)} +\|F_0\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} \\ &\qquad\qquad+ \sum_{j=1}^{n-1} \|\nabla_\xi F_j\|_{C(\overline{\Pi^\eta})} +\sum_{j=0}^{n-1}\mathfrak{p}(F_j)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$, $\phi$, $F_j$, $j=0,\dots,n-1$. Поэтому задача (4.1), (4.2) также разрешима и имеет единственное решение, имеющее при $\xi_n\to\pm\infty$ асимптотику (4.3), где константы $D_\pm$ удовлетворяют равенству $D_++D_-=0$. При $|\xi_n|>R_0$ данное решение имеет вид (6.1) с $T_k^\pm=Q_k^\pm$, $Q_k^\pm(\xi,\eta):=\widetilde{Q}_k^{\pm}(\xi_n)+\widehat{D}_k^{\pm}(\eta)$. Неравенство (6.2) для этого решения является прямым следствием (6.6).
Пусть $\chi_4=\chi_4(\xi_n)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при $|\xi_n|<R_0+4/3$ и нулю при $|\xi_n|>R_0+5/3$. Функция $\chi_4 v$ является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi\chi_4 v=\chi_4 F-2\nabla_\xi\chi_4\cdot \nabla_\xi v - v\Delta_\xi \chi_4 \quad\text{в }\ \Pi_{R_0+2}\setminus\overline{\omega^\eta}, \\ \frac{\partial\chi_4 v}{\partial \nu_\xi}=\phi \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta, \qquad \chi_4v =0 \quad\text{на }\ \square\times\{\pm (R_0+2)\} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2). Применяя к этой функции лемму 5.5 и учитывая оценки (6.2), получим оценку (6.3). Лемма 6.1 доказана. § 7. Бесконечная дифференцируемость по параметру $\eta$В настоящем параграфе мы исследуем гладкость по параметру $\eta\in(0,1]$ решения задачи (4.1), (4.2), существование которого доказано в лемме 4.6, а также гладкость по $\eta\in[0,1]$ решения пары модельных задач в $\Omega\setminus S$ для функций внешнего разложения. 7.1. Гладкость решения модельной задачи для коэффициентов внутреннего разложенияВ этом пункте мы исследуем гладкость по $\eta$ решения задачи (4.1), (4.2). Всюду в пункте считаем, что функция $F$ обращается в нуль вне $\Pi_{R_0}$ и является бесконечно дифференцируемой вместе с $\phi$, а именно: $F\in C^\infty(\overline{\Pi_{R_0}}\setminus\omega^\eta)$, $\phi\in C^\infty(\partial\omega^\eta)$. С учетом поведения решения задачи (4.1), (4.2) на бесконечности, описанного в лемме 6.1, решение бесконечно дифференцируемо по $\xi$ в $\overline{\Pi}\setminus\Pi_{R_0+1}$. Функция $\widetilde{v}=v\chi_4$ является решением задачи (6.7) с периодическими граничными условиями на боковых гранях. Правая часть уравнения в этой задаче очевидно бесконечно дифференцируемая в $\overline{\Pi_{R_0+2}}\setminus\omega^\eta$, а потому в силу стандартных оценок Шаудера сразу заключаем, что $\widetilde{v}\in C^\infty(\overline{\Pi_{R_0+2}}\setminus\omega^\eta)$. С учетом бесконечной дифференцируемости $v$ в $\overline{\Pi}\setminus \Pi_{R_0+1}$ отсюда немедленно следует, что $v\in C^\infty(\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta)$. Отметим еще очевидные оценки:
$$
\begin{equation}
\|v\|_{C^{k+2+1/2}(\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta)} \leqslant C_k(\eta) \bigl(\|F\|_{C^{k+1/2}(\overline{\Pi_{R_0}}\setminus\omega^\eta)} +\|\phi\|_{C^{k+1+1/2}(\partial\omega^\eta)}\bigr),
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где $C_k(\eta)$ – некоторые константы, не зависящие от $F$ и $\phi$, а параметр $\eta$ строго положителен. Далее всюду предполагаем, что для всех $\eta\in(0,1]$ функция $\phi$ в граничном условии на $\partial\omega^\eta$ в (4.1) является следом некоторой гладкой функции $\Phi=\Phi(\xi,\eta)$, заданной в $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ и обращающейся в нуль вне множества $\{\xi\colon \chi_2(\xi)=1\}$. Основное утверждение настоящего пункта выглядит следующим образом. Лемма 7.1. Пусть функции $\Phi=\Phi(\xi,\eta)$, $F=F(\xi,\eta)$ определены и бесконечно дифференцируемы по $\xi$ в $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ для каждого $\eta\in(0,1]$, функция $F$ обращается в нуль вне $\Pi_{R_0}$, функция $\Phi$ обращается в нуль вне множества $\{\xi\colon \chi_2(\xi)=1\}$ для всех $\eta\in(0,1]$ и выполнены равенства Оставшаяся часть пункта посвящена доказательству этой леммы. В силу леммы 6.1 второе равенство в (7.2) гарантирует разрешимость задачи (4.1), (4.2) для каждого $\eta\in(0,1]$. Бесконечная дифференцируемость решения по $\xi$ была установлена выше, а также были доказаны оценки (7.1). Выберем $\eta_0\in(0,1]$ и $k\in\mathbb{N}$ и пусть $\eta\in[\eta_0-\delta_k(\eta_0), \eta_0+\delta_k(\eta_0)]$. Рассмотрим краевую задачу
$$
\begin{equation*}
\Delta_\xi v_\phi=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^d\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial v_\phi}{\partial\nu_\xi}=\Phi(\xi,\eta) \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta.
\end{equation*}
\notag
$$
Растяжение $\widehat{\xi}=\eta_0\eta^{-1}\xi$ переводит эту задачу в аналогичную:
$$
\begin{equation}
\Delta_{\widehat{\xi}} v_\phi=0 \quad\text{в }\ \mathbb{R}^d\setminus\overline{\omega^{\eta_0}}, \qquad \frac{\partial v_\phi}{\partial\nu_{\widehat{\xi}}}=\eta_0\eta^{-1} \Phi\bigl(\eta_0{\eta}^{-1}\xi,\eta\bigr) \quad\text{на }\ \partial\omega^{\eta_0}.
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
В силу определения функции $\Phi$ и диффеоморфизма $\Xi$ на носителе функции $\Phi$ диффеоморфизм $\Xi$ действует как простое растяжение в $t-1$ раз, а потому
$$
\begin{equation*}
\Phi(\eta_0\eta^{-1} \xi,\eta) =\Phi(\Xi( \eta_0\eta^{-1},\xi),\eta)
\end{equation*}
\notag
$$
и данная функция является элементом пространства, указанного в первой принадлежности в (7.3). Еще одним растяжением в $\eta_0$ раз задача (7.5) сводится к задаче (4.25), решение которой уже дается сверткой с фиксированной функцией Грина, см. (4.28). В результате заключаем, что функция $v_\phi=v_\phi(\xi,\eta)$ бесконечно дифференцируема по $\xi$ в $\mathbb{R}^n\setminus\omega^\eta$ для каждого $\eta\in(0,1]$, а функция $v_\phi(\xi,\eta)\chi_2(\xi)$, рассматриваемая как заданная в $\Pi\setminus\omega^\eta$, удовлетворяет условию (7.4). Решение задачи (4.1), (4.2) представим в виде $v=v_\phi\chi_2+v_F$ и на функцию $v_F$ тогда получаем следующую краевую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta v_F=F_1 \quad \text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial v_F}{\partial\nu_\xi}=0 \quad \text{на } \ \partial\omega^\eta, \\ F_1:=F+2\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial v_\phi}{\partial \xi_j} \, \frac{\partial\chi_2}{\partial\xi_j} +v_\phi \Delta_\xi \chi_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
с периодическими краевыми условиями на боковых границах. В силу установленных выше свойств функции $v_\phi$ функция $F_1$ обладает теми же свойствами, что и функция $F$, с единственным исключением, что второе равенство в (7.2) заменяется на
$$
\begin{equation}
\int_{\Pi\setminus\omega^\eta} F_1(\xi,\eta)\,d\xi=0, \qquad \eta\in(0,1].
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Определим пространство функций
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{C}^k:=\biggl\{f\in C^{k+1/2}(\overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0})\colon \int_{\Pi^{\eta_0}} f(\xi)\,d\xi=0, \ f=0 \text{ вне } \Pi_{R_0}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой пространства $C^{k+1/2}(\overline{\Pi^{\eta_0}})$. С такой нормой пространство $\mathfrak{C}^k$ оказывается банаховым. В области $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ введем новые переменные $\widetilde{\xi}=\Xi( \eta_0\eta^{-1},\xi)$. В силу свойств диффеоморфизма $\Xi$ переменные $\widetilde{\xi}$ изменяются в $\Pi\setminus\overline{\omega^{\eta_0}}$. Напомним, что соответствующий якобиан замены $\Upsilon=\Upsilon(\xi,\eta)$ был введен в (4.11) и для него верны соотношения (4.12), (4.13). Учитывая эти соотношения и гладкость функций $F_1$ и $\Upsilon$, в интеграле (7.7) перейдем к переменным $\widetilde{\xi}$ и сразу получим, что функция $\Upsilon F_1$, выраженная в переменных $\widetilde{\xi}$, принадлежит пространству $\mathfrak{C}^k$. Далее перейдем к переменным $\widetilde{\xi}$ в задаче (7.6) и введем новую неизвестную функцию по правилу $\widetilde{v}_F(\widetilde{\xi},\eta):=v_F(\xi,\eta)\Upsilon(\xi,\eta)$. Тогда ввиду равенств (4.12)–(4.15) получим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
-(\Delta_{\widetilde{\xi}}+ (\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)) \widetilde{v}_F=\Upsilon F_1 \quad \text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^{\eta_0}}, \qquad \frac{\partial v_F}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=0 \quad \text{на } \ \partial\omega^{\eta_0},
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
с периодическими краевыми условиями на боковых границах. В силу свойств оператора $\mathcal{B}_5$, описанных после (4.14), этот оператор является ограниченным равномерно по $\eta\in[\eta_0-\delta_k(\eta_0), \eta_0+\delta_k(\eta_0)]$ как действующий из $C^{k+2+1/2}(\overline{\Pi_{R_0}}\setminus\omega^{\eta_0})$ в $C^{k+1/2}(\overline{\Pi_{R_0}}\setminus\omega^{\eta_0})$. Пусть $v\in C^{k+1/2}(\overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0})$ – произвольная функция, удовлетворяющая краевому условию Неймана на $\partial\omega^{\eta_0}$. Тогда с учетом определения диффеоморфизма $\Xi$ и соотношения (4.13) интегрированием по частям получаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\Pi\setminus\omega^{\eta_0}} (\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta) v\,d\widetilde{\xi}=\int_{\Pi_{R_0}\setminus\omega^{\eta_0}} (\Upsilon \Delta_{\xi} \Upsilon^{-1}-\Delta_{\widetilde{\xi}})v\,d\widetilde{\xi} \\ &\ =\int_{\Pi_{R_0}\setminus\omega^{\eta}} \Delta_{\xi} \Upsilon^{-1} v\,d\xi - \int_{\Pi_{R_0}\setminus\omega^{\eta_0}} \Delta_{\widetilde{\xi}}v\,d\widetilde{\xi} =\frac{\eta_0^n}{\eta^n}\int_{\partial\omega^\eta} \frac{\partial v}{\partial\nu_\xi}\,ds-\int_{\partial\omega^{\eta_0}} \frac{\partial v}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}\,ds=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Для произвольной функции $f\in\mathfrak{C}^k$ рассмотрим краевую задачу
$$
\begin{equation}
-\Delta_{\widetilde{\xi}} v=f \quad \text{в }\ \Pi\setminus\omega^{\eta_0}, \qquad \frac{\partial v}{\partial\nu_{\widetilde{\xi}}}=0 \quad \text{на } \ \partial\omega^{\eta_0},
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
с периодическими краевыми условиями на боковых границах. В силу леммы 6.1 эта задача разрешима, а в силу доказанного выше ее решение попадает в пространство $\mathfrak{C}^{k+2}$. Пусть $\mathcal{B}_7\colon \mathfrak{C}^k\to C^{k+2+1/2}(\overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0}) $ – линейный оператор, отображающий функции $f$ в решение задачи (7.10). В силу оценок (7.1) данный оператор является ограниченным. Так как функция $\Upsilon F_1$ является элементом пространства $\mathfrak{C}^k$ и выполнены соотношения (7.9), то из задачи (7.8) следует, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{v}_F=\mathcal{B}_7 f, \qquad f=\Upsilon F_1+(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta) \widetilde{v}_F\in \mathfrak{C}^k.
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Подставляя это равенство в задачу (7.8), приходим к операторному уравнению
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathcal{I}-(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta) \mathcal{B}_7\bigr)g=\Upsilon F_1
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $\mathfrak{C}^k$, где $\mathcal{I}$ – единичный оператор. Ограниченность оператора $\mathcal{B}_7$ гарантирует малость нормы оператора $(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)\mathcal{B}_7$ при $\eta$, достаточно близких к $\eta_0$. Это гарантирует существование обратного оператора $\bigl(\mathcal{I}-(\eta- \eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)\mathcal{B}_7\bigr)^{-1}$, что позволяет определить функцию $g$ и затем функцию $\widetilde{v}_F$ по формуле (7.11):
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}_F\mathcal{B}_7=\bigl(\mathcal{I}-(\eta-\eta_0)\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta) \mathcal{B}_7\bigr)^{-1} \Upsilon F_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой формулы и бесконечной дифференцируемости коэффициентов оператора $\mathcal{B}_5(\eta_0,\eta)$ по $\eta$ и пространственным переменным теперь легко выводим, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}_F\in C^{k+1/2}\bigl(\overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0} \times[\eta_0-\widetilde{\delta}_k(\eta_0),\eta_0+\widetilde{\delta}_k(\eta_0)]\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Возвращаясь теперь к функции $v$ и учитывая установленные выше свойства функции $v_\phi$, приходим к утверждению леммы 7.1. Лемма доказана. 7.2. Гладкость решения по параметру задачи для функций внешнего разложенияВ настоящем пункте мы исследуем гладкость по параметру решений двух модельных задач для внешнего разложения. Обозначим $\Omega^\pm:=\{x\colon \pm x_n>0\}\cap \Omega$, $\Omega_r^\pm:=\{x\colon 0<\pm x_n<r\}$. Лемма 7.2. Существует $\lambda_0$ такое, что при $\lambda<\lambda_0$ задача Доказательство. Пусть $\chi_5=\chi_5(x_n)$ – функция, равная нулю при $x_n\geqslant{2\tau}/{3}$ и $x_n<0$ и единице при $0<x_n\leqslant{\tau}/{3}$. Решение задачи (7.12) будем искать в виде Функция $\widetilde{u}$ является решением задачи где $\widetilde{f}=f-(\mathcal{L} -\lambda)(\chi_5(x_n) \phi_1(x')+x_n \chi_5(x_n)\phi_2(x'))$ при $x_n>0$, $\widetilde{f}=f$ при $x_n<0$.
Через $\mathcal{H}$ обозначим оператор в $L_2(\Omega)$ с дифференциальным выражением $\mathcal{L}$ и краевым условием Дирихле на $\partial\Omega$. Соответствующая полуторалинейная форма – это форма $\mathfrak{h}_0$, рассматриваемая на пространстве $\mathring{W}_2^1(\Omega,\partial\Omega)$. Такой оператор является $m$-секториальным, а потому его спектр содержится в некотором угле в комплексной плоскости с вершиной на вещественной оси и раствором вдоль положительного направления на этой оси. Выберем теперь число $\lambda_0$ так, чтобы оно лежало левее вершины упомянутого конуса. Тогда при $\lambda<\lambda_0$ определена резольвента $(\mathcal{H}-\lambda)^{-1}$, и, следовательно, задача (7.15) разрешима. Поэтому задача (7.12) тоже разрешима. Ясно, что оператор $(\mathcal{H}-\lambda)$ ограничен как действующий из $\mathring{W}_2^2(\Omega,\partial\Omega)$ в $L_2(\Omega)$. И так как по доказанному выше у него существует обратный $(\mathcal{H}-\lambda)^{-1}$, то по теореме Банаха об обратном операторе немедленно заключаем, что оператор $(\mathcal{H}-\lambda)^{-1}\colon L_2(\Omega)\to\mathring{W}_2^2(\Omega,\partial\Omega)$ ограничен. Это означает справедливость оценки
$$
\begin{equation}
\|\widetilde{u}\|_{W_2^2(\Omega)}\leqslant C\|\widetilde{f}\|_{L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Здесь и всюду далее в доказательстве через $C$ обозначаем различные несущественные константы, не зависящие от $\widetilde{f}$, $\widetilde{u}$, $x\in\Omega$, а также индекса $k$, который будет введен ниже.
Докажем оценку (7.13). В пространстве $\mathbb{R}^{n-1}$ выберем разбиение единицы бесконечно дифференцируемыми финитными функциями $\zeta_k=\zeta_k(x')$, $k\in\mathbb{N}$, удовлетворяющими следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \zeta_k\leqslant 1, \qquad \biggl|\frac{\partial \zeta_k}{\partial x_i}\biggr|+\biggl|\frac{\partial^2 \zeta_k}{\partial x_i\, \partial x_j}\biggr|\leqslant C, \qquad \sum_{k=1}^\infty \zeta_k =1.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительно предполагаем, что носитель каждой функции $\zeta_k$ с помощью некоторого сдвига можно вложить в фиксированное ограниченное множество $Q$, не зависящее от $k$. Также предполагаем, что в каждой точке $x\in\Omega$ пересекается конечное число носителей функции $\zeta_k$, при этом число пересечений ограничено некоторой константой, не зависящей от $x$ и $k$. Обозначим $\Omega^{(k)}:=\operatorname{supp}\zeta_k \times \mathbb{R}$, $\Omega_\tau^{(k)}:=\operatorname{supp}\zeta_k \times (-\tau,\tau)$.
Функцию $\widetilde{u}$ представим в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}(x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(x), \quad \text{где }\ u_k(x)=\widetilde{u}(x)\zeta_k(x').
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
Каждая из функций $u_k$ является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathcal{L} -\lambda) u_k=\zeta_k \widetilde{f}+\widetilde{F}_k, \quad x\in\Omega_\tau^{(k)}, \qquad u_k=0, \quad x\in\partial\Omega_\tau^{(k)}, \\ \widetilde{F}_k=\widetilde{u}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-1} \frac{\partial}{\partial x_i}\, A_{ij}\, \frac{\partial \zeta_k}{\partial x_j}+2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n-1} A_{ij}\, \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial x_i}\, \frac{\partial\zeta_k}{\partial x_j} -\sum_{j=1}^{n-1} A_j \widetilde{u}\, \frac{\partial \zeta_k}{\partial x_j}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу гладкости функций $f$, $\widetilde{u}$ и теорем повышения гладкости [37; гл. 4, § 2] выполнены априорные оценки
$$
\begin{equation}
\|u_k\|^2_{W_2^p(\Omega_{\tau_0}^{(k)})}\leqslant C \bigl(\|\zeta_k \widetilde{f}\|^2_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1}^{(k)})} +\|\widetilde{F}_k\|^2_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1}^{(k)})} +\|u_k\|^2_{L_2(\Omega^{(k)})}\bigr),
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
где $p\geqslant 2$, $p\in\mathbb{N}$, $\tau_0<\tau_1<\tau$.
Используя определение функций $\zeta_k$ и неравенство $0\leqslant\zeta_k\leqslant1$, для произвольной функции $w\in L_2(\Omega)$ и произвольного $\tau$ выводим
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty \|\zeta_k w\|_{L_2(\Omega_\tau^{(k)})}^2\leqslant C \sum_{k=1}^\infty \int_{\Omega_\tau^{(k)}} \zeta_k^2 |w|^2\,dx=\|w\|_{L_2(\Omega_\tau)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу последнего неравенства, предполагаемых равномерных оценок для производных $\zeta_k$ и (7.16) выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{k=1}^\infty \|u_k\|_{L_2(\Omega^{(k)})}^2\leqslant C \|\widetilde{f}\|_{L_2(\Omega)}^2, \\ \sum_{k=1}^\infty \|\zeta_k \widetilde{f}\|^2_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1}^{(k)})}+\sum_{k=1}^\infty \| \widetilde{F}_k\|^2_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1}^{(k)})}\leqslant C \bigl( \|\widetilde{f}\|_{W_2^{p-2}(\Omega_\tau)}^2+\|\widetilde{u}\|_{W_2^{p-1}(\Omega)}^2\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних двух неравенств и (7.17), (7.18) следует
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{u}\|_{W_2^p(\Omega_{\tau_0})}^2\leqslant \sum_{k=1}^\infty \|u_k\|_{W_2^p(\Omega_{\tau_0}^{(k)})}^2\leqslant C \bigl(\|\widetilde{f}\|_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1})}^2 +\|\widetilde{u}\|_{W_2^{p-1}(\Omega_{\tau_1})}^2\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя полученное неравенство по индукции для $p\geqslant2$ на подходящей монотонной последовательности $\tau'\to\tau_0$, c учетом неравенства (7.16) получаем
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde{u}\|_{W_2^p(\Omega_{\tau_0})}\leqslant C\bigl( \|\widetilde{f}\|_{W_2^{p-2}(\Omega_{\tau_1})} + \|\widetilde{f}\|_{L_2(\Omega)}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных $\tau_0<\tau_1<\tau$. Неравенство (7.13) следует из последней оценки и (7.14). Лемма 7.2 доказана. Следующее утверждение является прямым следствием доказанной леммы. Лемма 7.3. Пусть $\lambda<\lambda_0$, где $\lambda_0$ – из утверждения леммы 7.2, а функции $f=f(x,\eta)$, $\phi_1=\phi_1(x',\eta)$, $\phi_2=\phi_2(x',\eta)$ являются элементами пространств $L_2(\Omega)\cap (W_2^p(\Omega_{\tau_1}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_1}^-))$, $ W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$ c некоторым $0<\tau_1<\tau$, бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ и ограничены равномерно по $\eta\in[0,1]$ в нормах указанных пространств. Тогда решение задачи (7.12) принадлежит $\mathring{W}_2^1(\Omega)$ и $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$ и $0<\tau_0<\tau_1$, бесконечно дифференцируемо по $\eta\in(0,1]$ и ограничено равномерно по $\eta\in[0,1]$ в нормах указанных пространств. Действительно, линейный оператор, сопоставляющий тройкам $(f,\phi_1,\phi_2)$ решение задачи (7.12), является ограниченным из пространств $L_2(\Omega)\cap (W_2^p(\Omega_{\tau_1}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_1}^-))\times W_2^{p+2}(S) \times W_2^{p+2}(S)$ в $(W_2^1(\Omega^+)\oplus W_2^1(\Omega^-))\cap (W_2^{p+2}(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^{p+2}(\Omega_{\tau_0}^-))$ согласно лемме 7.2. Поэтому бесконечная дифференцируемость и равномерная ограниченность по параметру его аргументов немедленно влечет аналогичные свойства для результата действия этого оператора. Остальная часть параграфа посвящена изучению гладкости решения задачи (2.4) по пространственным переменным и параметру $\alpha$. Начнем с рассмотрения вспомогательной задачи, свойства решения которой далее будут играть ключевую роль:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (-\Delta-\lambda)u=0 \quad\text{в }\ \Omega_{\tau_0}\setminus S, \qquad u=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega_{\tau_0}\setminus S, \\ [u]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial u}{\partial x_n}\biggr]_0+\mathrm{a}(x,u)=h \quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
где $\tau_0<\tau$ – некоторое фиксированное число, $\mathrm{a}$ – комплекснозначная функция, заданная для тех же значений аргументов, что и функция $a$, и удовлетворяющая условиям (2.1), $h=h(x')$ – некоторая заданная функция, относительно которой пока предполагаем, что $h\in L_2(S)$. Сразу же отметим, что существует фиксированное число $\lambda_0$, зависящее от $\mathrm{a}$, но не зависящее от $h$ такое, что задача (7.19) однозначно разрешима в $W_2^1(\Omega_{\tau_0})$ для любой функции $h\in L_2(S)$. Этот факт проверяется аналогично тому, как была доказана разрешимость задачи (2.3) в [30; § 4, лемма 8] для произвольной функции $\mathrm{a}(x,u)$, удовлетворяющей условиям (2.1). Всюду далее считаем, что $\lambda<\lambda_0$. Из постановки задачи (7.19) немедленно вытекает, что решение этой задачи четно по $x_n$ и в силу стандартных теорем о внутренней гладкости решений линейных эллиптических задач верны принадлежности
$$
\begin{equation}
u\in W_2^p(\Omega_{\tau_0}\setminus\Omega_{\tau_1}) \quad\text{для любых }\ \tau_1<\tau_0,\quad p\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
u_\mathrm{r}:=\operatorname{Re} u, \quad u_\mathrm{i}:=\operatorname{Im} u, \quad h_\mathrm{r}:=\operatorname{Re} h,\quad h_\mathrm{i}:=\operatorname{Im} h, \quad a_\mathrm{r}:=\operatorname{Re} \mathrm{a}, \quad a_\mathrm{i}:=\operatorname{Im} \mathrm{a}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий (2.1) для функции $\mathrm{a}$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |a_\mathrm{r}(x,u)u_\mathrm{r} + a_\mathrm{i}(x,u) u_\mathrm{i}| & \leqslant |u_r|^2 \sup_{x,u} \biggl|\frac{\partial a_\mathrm{r}}{\partial u_\mathrm{r}}\biggr| + |u_i|^2 \sup_{x,u} \biggl|\frac{\partial a_\mathrm{i}}{\partial u_\mathrm{r}}\biggr| \\ \notag &\qquad+ |u_r||u_i| \biggl( \sup_{x,u} \biggl|\frac{\partial a_\mathrm{r}}{\partial u_\mathrm{i}}\biggr|+ \sup_{x,u} \biggl|\frac{\partial a_\mathrm{i}}{\partial u_\mathrm{r}}\biggr|\biggr) \\ &\leqslant a_1 (|u_\mathrm{r}| +|u_\mathrm{i}|)^2\leqslant 2a_1 (|u_\mathrm{r}|^2 +|u_\mathrm{i}|^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
Лемма 7.4. Пусть $h\in L_2(S)\cap L_\infty(S)$. Существует абсолютная константа $\widetilde{\lambda}_0$, не зависящая от $\mathrm{a}$ и $h$, такая, что при $\lambda<\widetilde{\lambda}_0$ обобщенное решение задачи (7.19) необходимо принадлежит пространству $L_\infty(\Omega_{\tau_0})\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$, где $\vartheta$ – некоторая абсолютная константа, не зависящая от $h$ и $\mathrm{a}$. Верно неравенство Доказательство. Для доказательства мы воспользуемся техникой из [33; гл. VII, § 2]. В цитированном разделе монографии рассматривалась задачи для линейной эллиптической системы с краевым условием Дирихле и по сути, мы воспроизводим часть вычислений из цитированной монографии с учетом имеющегося нелинейного третьего краевого условия, производя оценки слагаемых, возникающих из-за этого краевого условия.
Начнем с проверки принадлежностей
$$
\begin{equation}
|u|^2,\, |u||\nabla u|,\, |u||\nabla |u||\in L_2(\Omega_{\tau_0}).
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
Выберем произвольную вещественную неотрицательную локально интегрируемую функцию $\psi$, обладающую локально интегрируемыми первыми производными, такую, что функция $\psi(x) u(x)$ является элементом пространства $W_2^1(\Omega_{\tau_0})$ и имеет нулевой след на $\partial\Omega_{\tau_0}\setminus S$. Возьмем теперь реальные и мнимые части уравнений и краевых условий в задаче (7.19), получив тем самым систему краевых задач для пары функций $u_\mathrm{r}$ и $u_\mathrm{i}$. Для задачи для функции $u_\mathrm{r}$ выпишем интегральное тождество с пробной функцией $u_{\mathrm{r}} \psi$, а для задачи для функции $u_\mathrm{i}$ выпишем интегральное тождество с пробной функцией $u_{\mathrm{i}} \psi$. Сложим затем полученные тождества и после элементарных преобразований получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\Omega_{\tau_0}} \biggl(\psi|\nabla u|^2+ \frac{1}{2} \nabla |u|^2\cdot \nabla \psi - \lambda|u|^2\psi\biggr)\,dx= \int_{S} (a_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + a_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx' \\ &\qquad\qquad- \int_{S} (h_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + h_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Выберем произвольное число $r>0$ и положим
$$
\begin{equation}
\psi(x):=\min\{\mathrm{u}(x),r\}, \qquad \mathrm{u}(x):=|u(x)|^2.
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
Неравенство (7.21) позволяет оценить первый интеграл в правой части равенства (7.24) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{S} (a_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + a_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'\biggr| \leqslant 2a_1 \int_{S} \mathrm{u} \psi \,dx'= a_1\biggl|\int_{\Omega_{\tau_0}^+} \frac{\partial}{\partial x_n}\mathrm{u} \psi \,dx-\int_{\Omega_{\tau_0}^-} \frac{\partial}{\partial x_n}\mathrm{u} \psi \,dx\biggr|.
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
Из определения (7.25) функции $\psi$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl|\frac{\partial}{\partial x_n} \mathrm{u} \psi\biggr|= 4|u| \psi \biggl|\frac{\partial |u|}{\partial x_n}\biggr|\leqslant 4|u| \psi |\nabla u| \quad\text{при } \ |\mathrm{u}|\leqslant r, \\ \biggl|\frac{\partial}{\partial x_n} \mathrm{u} \psi\biggr|= 2 r\psi|u| \biggl|\frac{\partial |u|}{\partial x_n}\biggr|\leqslant 2\psi|u| \,|\nabla u| \quad \text{при } \ |\mathrm{u}|>r. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому соотношения (7.26) можно продолжить на основе неравенства Коши следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl|\int_{S} (a_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + a_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'\biggr| & \leqslant 4a_1 \int_{\Omega_{\tau_0}} \psi |u||\nabla u| \,dx' \\ &\leqslant \int_{\Omega_{\tau_0}} \biggl(\frac{1}{4} \psi|\nabla u|^2 +16a_1^2 |u|^2\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Аналогичным образом оценим и второй интеграл в правой части (7.24):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl| \int_{S} (h_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + h_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'\biggr| \leqslant \int_{S} |h| |u| \psi\,dx'\leqslant \|h\|_{L_\infty(S)} \int_{S} |u|\psi\,dx' \\ \notag &\qquad\leqslant \frac{1}{2} \|h\|_{L_\infty(S)}\biggl|\int_{\Omega_{\tau_0}} \operatorname{sgn} x_n \, \frac{\partial}{\partial x_n} |u|\psi\, dx\biggr| \leqslant \frac{3}{2}\|h\|_{L_\infty(S)} \int_{\Omega_{\tau_0}} |\nabla u|\psi\, dx \\ \notag &\qquad\leqslant \frac{3}{2}\|h\|_{L_\infty(S)} \biggl(\int_{\Omega_{\tau_0}} |\nabla u|^2\psi\,dx\biggr)^{1/2}\biggl(\int_{\Omega_{\tau_0}} \psi\,dx\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{4} \int_{\Omega_{\tau_0}} |\nabla u|^2\psi\,dx + \frac{9}{4} \|h\|_{L_\infty(S)}^2 \|u\|_{L_2(\Omega_{\tau_0})}^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
Подставляя эту оценку и (7.27) в (7.24) и без ограничения общности предполагая, что $\lambda < \lambda_0 <-1/2$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_{\tau_0}} ( \psi|\nabla u|^2+ |\nabla \psi|^2 + |u|^2\psi)\,dx \leqslant \frac{9}{2} \|h\|_{L_\infty(S)}^2 \|u\|_{L_2(\Omega_{\tau_0})}^2 +32 a_1^2 \|u\|_{L_2(\Omega_{\tau_0})}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя теперь в этом неравенстве к пределу при $r\to+\infty$, видим, что верны принадлежности (7.23) и
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_{\tau_0}} (|u|^2|\nabla u|^2+ |u|^4)\,dx \leqslant \frac{9}{2} \|h\|_{L_\infty(S)}^2 \|u\|_{L_2(\Omega_{\tau_0})}^2+32 a_1^2 \|u\|_{L_2(\Omega_{\tau_0})}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду очевидного неравенства $|\nabla |u||\leqslant |\nabla u|$ приходим к (7.23).
Переходим к доказательству ограниченности функции. Будем считать функцию $u$ продолженной нулем вне $\Omega_{\tau_0}$. Вновь выберем произвольное $r\,{>}\,0$, а также произвольный шар $B_\rho(x_0)$, где $x_0\in \Omega_{\tau_0}$, ${\tau_0}/{2}\leqslant \rho\leqslant \tau_0$. Через $\chi_6=\chi_6(x)$ обозначим бесконечно дифференцируемую срезающую функцию со значениями в отрезке $[0,1]$, равную единице в шаре $B_{{\rho}/{2}}(x_0)$, нулю вне шара $B_\rho(x_0)$ и удовлетворяющую оценке $|\nabla \chi_6|\leqslant C\rho^{-1}$ в $B_\rho(x_0)\setminus B_{{\rho}/{2}}(x_0)$ с некоторой константой $C$, не зависящей от $x$, $\rho$, $x_0$. Еще введем множества $E_{r,\rho}:=\{x\colon \mathrm{u}(x)> r\}\cap B_\rho(x_0)$. Возьмем $\psi:=\max\{2(\mathrm{u}(x)-r)\chi_6^2,0\}$ в (7.24). Тогда левая часть этого равенства допускает следующую оценку снизу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\Omega_{\tau_0}} \biggl(\psi|\nabla u|^2+ \frac{1}{2} \nabla |u|^2\cdot \nabla \psi - \lambda|u|^2\psi\biggr)\,dx \\ \notag &\qquad= \int_{E_{r,\rho}} \bigl(2(\mathrm{u}-r)|\nabla u|^2\chi_6^2+ |\nabla \mathrm{u}|^2\chi_6^2 + (\mathrm{u}-r)\chi_6 \nabla \mathrm{u} \cdot \nabla \chi_6 +|\lambda| (\mathrm{u}-r)\mathrm{u} \chi_6^2\bigr)\,dx \\ &\qquad\geqslant \int_{E_{r,\rho}} \biggl(2(\mathrm{u}-r)|\nabla u|^2\chi_6^2+ \frac{3}{4}|\nabla \mathrm{u}|^2\chi_6^2 - (\mathrm{u}-r)^2|\nabla\chi_6|^2 + |\lambda| (\mathrm{u}-r)^2 \chi_6^2\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
Интегралы в правой части (7.24) оценим аналогично (7.26), (7.27), (7.28). Для первого из них оценка выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\int_{S} (a_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + a_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'\biggr| \leqslant 2a_1 \int_{E_{r,\rho}} \biggl|\frac{\partial}{\partial x_n}(\mathrm{u}-r)\mathrm{u}\chi_6^2 \biggr|\,dx \\ \notag &\qquad\leqslant 2a_1 \int_{E_{r,\rho}} \bigl( 2 (\mathrm{u}-r)\mathrm{u} \chi_6|\nabla \chi_6|+(2\mathrm{u}-r)|\nabla \mathrm{u}|\chi_6^2 \bigr)\,dx \\ \notag &\qquad\leqslant \frac{1}{4} \int_{E_{r,\rho}} |\nabla \mathrm{u}|^2\chi_6^2\,dx + C \int_{E_{r,\rho}} \bigl((\mathrm{u}-r)^2(\chi_6^2+|\nabla \chi_6|^2) + \mathrm{u}^2\chi_6^2\bigr)\,dx \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{4} \int_{E_{r,\rho}} |\nabla \mathrm{u}|^2\chi_6^2\,dx + C \int_{E_{r,\rho}} (\mathrm{u}-r)^2(\chi_6^2+|\nabla \chi_6|^2) + C r^2 \operatorname{mes} E_{r,\rho}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
где $C$ – некоторые абсолютные константы, не зависящие от $\rho$, $x_0$, $r$, $\mathrm{u}$, $u$, $\chi_6$. Второй интеграл оценивается так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{S} (h_\mathrm{r} u_\mathrm{r} + h_\mathrm{i} u_\mathrm{i}) \psi\,dx'\biggr| \leqslant \int_{S} |h| |u| \psi\,dx' \leqslant \|h\|_{L_\infty(S)} \int_{E_{r,\rho}} \biggl|\frac{\partial}{\partial x_n} |u|(\mathrm{u}-r)\chi_6^2\biggr| \,dx \\ &\qquad\leqslant \int_{E_{r,\rho}} \biggl(|\nabla u|^2 (\mathrm{u}-r)+\frac{1}{4}|\nabla \mathrm{u}|^2\biggr)\chi_6^2\,dx + \int_{E_{r,\rho}} |\mathrm{u}-r|^2 |\nabla \chi_6|^2 \,dx \\ &\qquad \qquad + C \int_{E_{r,\rho}}\bigl((\|h\|_{L_\infty(S)}^2+1)\mathrm{u} + \|h\|_{L_\infty(S)}^2(\mathrm{u}-r)\bigr) \chi_6^2\,dx \\ &\qquad\leqslant \int_{E_{r,\rho}} \biggl(|\nabla u|^2 (\mathrm{u}-r)+\frac{1}{4}|\nabla \mathrm{u}|^2\biggr)\chi_6^2\,dx \\ &\qquad\qquad+ \int_{E_{r,\rho}}\bigl((\mathrm{u}-r)^2 (|\nabla \chi_6|^2+|\chi_6|^2)+ \mathrm{u}^2 \chi_6^2\bigr) \,dx + C (\|h\|_{L_\infty(S)}^4+1) \operatorname{mes} E_{r,\rho} \\ &\qquad\leqslant \int_{E_{r,\rho}} \biggl((\mathrm{u}-r)|\nabla u|^2 +\frac{1}{4}|\nabla \mathrm{u}|^2\biggr)\chi_6^2\,dx + 3\int_{E_{r,\rho}} (\mathrm{u}-r)^2 \bigl(|\nabla \chi_6|^2+|\chi_6|^2\bigr)\,dx \\ &\qquad\qquad+ C (r^2+\|h\|_{L_\infty(S)}^4+1) \operatorname{mes} E_{r,\rho}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ – некоторые абсолютные константы, не зависящие от $r$, $\rho$, $x_0$, $u$, $\mathrm{u}$, $h$. Подставляя эту оценку, (7.30), (7.29) в (7.24), учитывая, что
$$
\begin{equation*}
E_{r,\rho}\subseteq B_\rho(x_0), \qquad \rho\leqslant \tau_0, \qquad \operatorname{mes} E_{r,\rho}\leqslant \rho^n \operatorname{mes} B_1(0)\leqslant \tau_0^n \operatorname{mes} B_1(0),
\end{equation*}
\notag
$$
и предполагая затем, что модуль числа $\lambda_0$ больше подходящей абсолютной константы, окончательно получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{E_{r,\rho}}\bigl((\mathrm{u}-r)|\nabla u|^2\chi_6^2+ |\nabla \mathrm{u}|^2\chi_6^2+ (\mathrm{u}-r)^2 \chi_6^2 \bigr)\,dx \leqslant C \int_{E_{r,\rho}} (\mathrm{u}-r)^2 |\nabla \chi_6|^2 \,dx \\ &\qquad\qquad+ C (r^2+\|h\|_{L_\infty(S)}^4+1) \operatorname{mes}^{1-{1}/{n}} E_{r,\rho}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
где $C$ – некоторые абсолютные константы, не зависящие от $r$, $\rho$, $x_0$, $u$, $\mathrm{u}$, $h$. Эта оценка означает, что функция $\mathrm{u}$ попадает в класс $\mathfrak{A}_2(B_{\tau_0}(x_0)\cap \Omega_{\tau_0},c_1, 2,2,{1}/{n},c_2)$, введенный в [33; гл. II, § 5], с некоторыми фиксированными константами $c_1$, $c_2$, а потому в силу [33; гл. II, § 5, теорема 5.3] эта функция попадает и в $L_\infty(\Omega_{\tau_0})$.
Неравенство (7.31) означает, что $\mathrm{u}\in \mathfrak{B}_2(\Omega_{\tau_0},\|\mathrm{u}\|_{L_\infty(\Omega_{\tau_0})}, c_3,c_4,1,{1}/(2n))$, где указанный класс функций был введен в [33; гл. II, § 6]. Поэтому согласно [33; гл. II, § 6, теорема 6.1] функция $\mathrm{u}$ является элементом пространства Гёльдера $C^{2\vartheta}(\overline{\Omega_{\tau_0}})$ с некоторой абсолютной константой $\vartheta$, не зависящей от $h$ и $\mathrm{a}$. Далее следует рассмотреть задачу (7.19) как систему для функций $(u_\mathrm{r},u_\mathrm{i})$ и воспроизвести для нее рассуждения из [33; гл. VII, § 3] аналогично вычислениям выше для функции $\mathrm{u}$; фактически, требуется получить оценку типа (7.31) для функций $\pm u_\mathrm{r}-r$ и $\pm u_\mathrm{i}-r$, априорно зная, что $u\in L_\infty(\Omega_{\tau_0})$. В результате эти оценки позволяют применить теоремы 8.2, 8.3 и лемму 8.4 из [33; гл. II, § 8] и заключить, что $u\in C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$ с некоторым фиксированным показателем $\vartheta$. Лемма 7.4 доказана. Доказанная лемма вместе со стандартными теоремами о повышении гладкости для линейных задач позволит нам доказать следующее ключевое утверждение. Лемма 7.5. Пусть $\lambda<\min\{\lambda_0,\widetilde{\lambda}_0\}$ и $h\in W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Тогда решение задачи (7.19) является элементом пространства $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)$ для всех $p\in \mathbb{N}$ и некоторого $\tau_0<\tau$. Нормы решения $u$ в этих пространствах оцениваются константами, зависящими лишь от констант $a_1$ и $a_{\beta,\gamma}$ из (2.1), (2.2), нормы $\|u\|_{W_2^1(\Omega_{\tau_0})}$ и норм $\|h\|_{W_2^p(S)}$. Доказательство. В силу второй оценки в (2.1) для функции $\mathrm{a}$ функция $\mathrm{a}(x,u(x))$ является элементом пространства $W_2^1(\Omega_{\tau_0})$. След этой функции является одним из слагаемых в правой части граничного условия в (7.19) и согласно [38; § 25, теорема 25.1] существует функция из $W_2^2(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^2(\Omega_{\tau_0}^-)$, удовлетворяющая краевым условиям в задаче (7.19). Поэтому в силу стандартных теорем о повышении гладкости для линейных краевых задач сразу заключаем, что $u\in W_2^2(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^2(\Omega_{\tau_0}^-)$. Кроме того, применение леммы 7.4 позволяет утверждать, что функция $u$ также является элементом пространства $L_\infty(\Omega_{\tau_0})\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$.
С учетом установленной принадлежности для функции $u$ продифференцируем уравнение и краевые условия в (7.19) по $x_j$, $j=1,\dots,n-1$. Тогда видим, что функции $u_j:={\partial u}/{\partial x_j}$, $j=1,\dots,n-1$, являются обобщенными решениями краевой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (-\Delta-\lambda)u_j=0 \quad\text{в }\ \Omega_{\tau_0}\setminus S, \qquad u_j=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega_{\tau_0}\setminus S, \\ [u_j]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial u_j}{\partial x_n}\biggr]_0+\mathrm{a}_j(x,u_j)=h_j \quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathrm{a}_j(x,u_j):=\frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{r}}(x,u(x))\operatorname{Re} u_j + \mathrm{i} \, \frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{i}}(x,u(x))\operatorname{Im} u_j, \\ h_i(x):=\frac{\partial a}{\partial x_i}(x,u(x))+\frac{\partial h}{\partial x_i}(x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий (2.1), (2.2), принадлежности $u\in L_\infty(\Omega_{\tau_0})$ и предполагаемой гладкости функции $h$ легко видеть, что функции $\mathrm{a}_j$ также удовлетворяют условиям (2.1). Это позволяет применить лемму 7.4 к задачам (7.32) и заключить, что ${\partial u}/{\partial x_j}=u_j\in L_\infty(\Omega_{\tau_0})\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$.
С учетом четности функции $u$ по $x_n$ и принадлежностей (7.20), функция $u_n:={\partial u}/{\partial x_n}$ является решением того же уравнения из (7.19), нечетна по $x_n$, ее след на поверхности $\partial\Omega\setminus S$ является элементом пространств $W_2^p(\partial\Omega\setminus S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$ и выполнено краевое условие $u_n\big|_{x_n=\pm 0}=\pm a(x,u(x))\big|_{x_n=0}$. В силу предположений относительно функции $a$ и уже установленных свойств функции $u$ видим, что функции $\pm a(x,u(x))\big|_{x_n=0}$ являются элементами пространств $L_\infty(S)\cap C^\vartheta(S)$ с некоторым показателем $\vartheta$ и следами функций $a(x,u(x))$, принадлежащих $W_2^1(\Omega_{\tau_0}^\pm)$. Это позволяет применить к ней теорему 13.1 из [33; гл. III, § 13] и теорему 14.1 из [33; гл. III, § 13], из которых уже следует, что $u_n\in L_\infty(\Omega_{\tau_0}^\pm)\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$. Так как $u,{\partial u}/{\partial x_j}\in L_\infty(\Omega_{\tau_0}^\pm)\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$, $j=1,\dots,n$, то с учетом предполагаемой гладкости функции $a$ и условий (2.1), (2.2) теперь легко проверить, что функция $a(x,u(x))$ является элементом пространств $W_2^2(\Omega_{\tau_0}^\pm)$. Поэтому аналогично началу доказательства функция $u$ является элементом пространства $W_2^3(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^3(\Omega_{\tau_0}^-)$. Это позволяет уже дважды продифференцировать задачу (7.19) по пространственным переменным и установить в итоге, что вторые производные функции $u$ принадлежат $L_\infty(\Omega_{\tau_0}^\pm)\cap C^\vartheta(\overline{\Omega_{\tau_0}})$. Повторяя данный процесс по индукции, приходим к утверждению леммы. Лемма доказана. Лемма 7.6. Существует $\lambda_0$ такое, что при $\lambda<\lambda_0$ задача Доказательство. Пусть $\chi_7=\chi_7(x_n)$ – бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице при $|x_n|<{\tau_0}/{3}$ и нулю при $|x_n|>{2\tau_0}/{3}$. Замена функции $u=\widetilde{u}+\frac{1}{2}\chi_7(x_n) |x_n|h(x')$ сводит задачу (7.33), (7.34) к ее частному случаю $h=0$ с некоторой новой правой частью в уравнении, причем эта правая часть также удовлетворяет условию (2.5). Разрешимость задачи (7.33), (7.34) в случае $h=0$ была показана в [30; § 4, лемма 8] для произвольной функции $a(x,u)$, при этом величина параметра $\lambda_0$ фактически определялась лишь константой $a_1$ из условий (2.1). Поэтому для рассматриваемой задачи достаточно выбрать общую константу $a_1$ сразу для всех значений $\alpha\in[0,\alpha_*]$ и применить затем лемму 8 из [30; § 4].
Докажем гладкость решения по пространственным переменным. Выберем произвольно значение $\alpha_0\in[0,\alpha_*]$, через $u_0$ обозначим соответствующее решение задачи (7.33), (7.34) для некоторой заданной функции $f$. Тогда функция $\widetilde{u}_0:=u_0\chi_7$ является решением краевой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (-\Delta-\lambda)\widetilde{u}_0=\widetilde{f} \quad\text{в }\ \Omega_{\tau_0}, \qquad \widetilde{u}_0=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega_{\tau_0}, \\ [\widetilde{u}_0]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial\widetilde{u}_0}{\partial x_n}\biggr]_0+a(x,\widetilde{u}_0)=g\quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.36}
$$
где функция $\widetilde{f}:=\chi_7 f -2\chi_7'{\partial u_0}/{\partial x_n} - \chi_7'' u_0$ принадлежит $W_2^p(\Omega_{\tau_0})$ для всех $p\in\mathbb{N}$.
Пусть $u_f$ – решение уравнения в (7.36) с краевыми условиями Дирихле на $\partial\Omega_{\tau_0}\cup S$. Такая задача разрешима при $\lambda<0$, поэтому без ограничения считаем, что $\lambda_0<0$. В силу стандартных теорем о повышении гладкости линейных эллиптических задач выполнено $u_f\in W_2^p(\Omega_{\tau_0}^\pm)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Обозначим $u_a:=\widetilde{u}_0-u_f$. Тогда для $u_a$ получаем задачу (7.19), где $h=g+[{\partial u_f}/{\partial x_n}]_0$. В силу свойств функции $u_f$ выполнено $h\in W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Применяя теперь лемму 7.5, заключаем, что $u_a\in W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Возвращаясь теперь обратно к решению задачи (2.4) и учитывая гладкость функции $u_f$, приходим к утверждению леммы. Лемма 7.7. В условиях леммы 7.6 решение задачи (2.4) бесконечно дифференцируемо по $\alpha\in[0,\alpha_*]$ в нормах пространств $W_2^1(\Omega)$ и $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\cap W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Доказательство. Выберем теперь достаточно малое $\epsilon$ и через $u_\epsilon$ обозначим решение задачи (2.4) для $\alpha=\alpha_0+\epsilon\in[0,\alpha_*]$. Разностное отношение $w_\epsilon:=(u_\epsilon-u_0)\epsilon^{-1}$ является решением краевой задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\, A_{ij}\, \frac{\partial }{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j\, \frac{\partial}{\partial x_j} +A_0-\lambda \biggr)w_\epsilon=0 \quad\text{в }\ \Omega, \qquad w_\epsilon=0 \quad \text{на }\ \partial\Omega, \\ [w_\epsilon]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial w_\epsilon}{\partial \mathrm{n}}\biggr]_0+a_\epsilon(x,w_\epsilon) +a(x,u_0(x))=0 \quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
a_\epsilon(x,w):= ( \alpha_0+\epsilon) \epsilon^{-1}\bigl(a(x,u_0(x)+\epsilon w)-a(x,u_0(x))\bigr)\big|_{x_n=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в силу оценки $0\leqslant \alpha_0+\epsilon \leqslant \alpha_*$ и леммы Адамара для функции $a_\epsilon$ выполнены условия (2.1), (2.2), причем с теми же константами, что и для функции $a$. Согласно лемме 7.5 и теоремам о вложении пространств $W_2^p$ в $C^{p-[{n}/{2}]-1}$ след функции $u_0$ на $S$ принадлежит $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$, бесконечно дифференцируем и равномерно ограничен вместе со всеми своими производными. Это позволяет применить лемму 7.6 и получить равномерные по $\epsilon$ оценки
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|w_\epsilon\|_{W_2^1(\Omega)}\leqslant C, \qquad \|w_\epsilon\|_{W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)} + \|w_\epsilon\|_{W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)} \leqslant C, \\ \|w_\epsilon\|_{W_\infty^p(\Omega_{\tau_0}^+)} + \|w_\epsilon\|_{W_\infty^p(\Omega_{\tau_0}^-)} \leqslant C, \qquad \max_{\overline{\Omega_{\tau_0}^+}} |\partial^\beta w_\epsilon| + \max_{\overline{\Omega_{\tau_0}^-}} |\partial^\beta w_\epsilon| \leqslant C, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.37}
$$
где $p\in\mathbb{N}$, $\beta\in\mathbb{Z}_+^n$, а $C$ – некоторые константы, не зависящие от $\epsilon$.
Рассмотрим теперь еще одну задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\, A_{ij}\, \frac{\partial }{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j\, \frac{\partial}{\partial x_j} +A_0-\lambda \biggr)w_0=0 \quad\text{в }\ \Omega, \qquad w_0=0 \quad \text{на }\ \partial\Omega, \\ [w_0]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial w_0}{\partial \mathrm{n}}\biggr]_0 + a_0(x,w_0) +a(x,u_0(x)) =0 \quad\text{на }\ S, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.38}
$$
где обозначено
$$
\begin{equation*}
a_0(x,w ):= \alpha_0 \biggl( \frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{r}}(x,u_0) \operatorname{Re} w + \mathrm{i}\, \frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{i}}(x,u_0) \operatorname{Im} w \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для функции $a_0$ верны условия (2.1), (2.2), причем с теми же константами $a_1$, $a_{\beta,\gamma}$, что и для функции $a$. Поэтому, не меняя указанный выше выбор константы $\lambda_0$, для функции $w_0$ получаем оценки, аналогичные (7.37): достаточно лишь заменить $w_\epsilon$ на $w_0$.
Обозначим теперь: $\Theta_\epsilon:=w_\epsilon-w_0$. Эта функция является решением задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\, A_{ij}\, \frac{\partial }{\partial x_j}+\sum_{j=1}^n A_j\, \frac{\partial}{\partial x_j} +A_0-\lambda \biggr)\Theta_\epsilon=0 \quad\text{в }\ \Omega, \qquad \Theta_\epsilon=0\quad \text{на}\quad\partial\Omega, \\ [\Theta_\epsilon]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial \Theta_\epsilon}{\partial \mathrm{n}}\biggr]_0 + a_\epsilon(x,w_0+\Theta_\epsilon)=a_0(x,w_0) \quad\text{на }\ S. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.39}
$$
Несложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_\epsilon(x,w_0+\Theta_\epsilon)-a_0(x,w_0)=a^\epsilon(x,\Theta_\epsilon) + h^\epsilon(x), \\ a^\epsilon(x,\Theta):=(\alpha_0+\epsilon) \epsilon^{-1} \bigl(a(x,u_0(x)+\epsilon w_0(x)+ \epsilon \Theta)- a(x,u_0(x)+\epsilon w_0(x))\bigr), \\ \begin{split} h^\epsilon(x)&:=(\alpha_0+\epsilon) \epsilon^{-1} \bigl(a(x,u_0(x)+\epsilon w_0(x)) - a(x,u_0(x))\bigr) \\ &\qquad -\alpha_0 \biggl( \frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{r}}(x,u_0) \operatorname{Re} w_0(x) + \mathrm{i} \, \frac{\partial a}{\partial u_\mathrm{i}}(x,u_0) \operatorname{Im} w_0(x) \biggr). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом гладкости функций $u_0$ и $v_0$ и оценок типа (7.37) для этих функций сразу заключаем, что $h^\epsilon \in W_2^p(S)\cap W_\infty^p(S)\cap C^\infty(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$ и верны оценки
$$
\begin{equation}
\max_{S} |\partial^\beta h^\epsilon|\leqslant C\epsilon, \quad \|h^\epsilon\|_{W_2^p(S)} \leqslant C\epsilon, \qquad p\in\mathbb{N}, \quad \beta\in\mathbb{Z}_+^n,
\end{equation}
\tag{7.40}
$$
с некоторыми константами $C$, не зависящими от $\epsilon$. Функция $a^\epsilon$ удовлетворяет условиям (2.1), (2.2) с теми же константами, что и функция $a$. Используя этот факт, оценки (7.40) и оценку (7.35), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\Theta_\epsilon\|_{W_2^1(\Omega)} + \|\Theta_\epsilon\|_{W_2^2 (\Omega_{\tau_0}^+)} + \|\Theta_\epsilon\|_{W_2^2 (\Omega_{\tau_0}^-)}\leqslant C\epsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\epsilon$. Дифференцируя теперь задачу (7.39) по пространственным переменным, выписывая соответствующие краевые задачи для производных функции $\Theta_\epsilon$, на основе оценок (7.40), (7.35) по индукции несложно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\|\Theta_\epsilon\|_{W_2^p (\Omega_{\tau_0}^+)} + \|\Theta_\epsilon\|_{W_2^p (\Omega_{\tau_0}^-)}\leqslant C\epsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\epsilon$. Полученные оценки означают сходимость функции $w_\epsilon$ к $w_0$ при $\epsilon\to+0$ в нормах пространств $W_2^1(\Omega)$ и $W_2^p (\Omega_{\tau_0}^+) \oplus W_2^p (\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Следовательно, решение задачи (2.4) дифференцируемо по $\alpha$ в нормах указанных пространств, причем производная – это решение $w_0$ задачи (7.38). Эта задача такого же типа, что и исходная задача (2.4) и дифференцируемость ее решения по $\alpha$ доказывается аналогично. Продолжая этот процесс по индукции, приходим к утверждению леммы 7.7. § 8. Свойства коэффициентов внутреннего и внешнего разложенийВ настоящем параграфе мы устанавливаем разрешимость задач для коэффициентов внешнего и внутреннего разложений и исследуем их свойства. Начнем с задачи (2.6), (3.5) для $m=0$. Это однородная задача, которая в силу леммы 6.1 имеет единственное решение, ограниченное на бесконечности, – константу. С учетом асимптотик (3.5) это означает выполнение равенств
$$
\begin{equation}
u_0(x',+0,\eta)=u_0(x',-0,\eta), \qquad v_0(\xi, x', \eta)\equiv u_0(x',0,\eta).
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Для определения решения задачи (2.6), (3.5) с $m=1$ рассмотрим вспомогательные задачи
$$
\begin{equation}
\Delta_\xi Z_\pm=0 \quad\text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial Z_-}{\partial\nu_\xi}=0, \qquad \frac{\partial Z_+}{\partial\nu_\xi}=\frac{|\square|}{|\partial\omega|} \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2) и следующим поведением на бесконечности:
$$
\begin{equation}
Z_-(\xi)=\frac{1}{2}\xi_n+O(1), \qquad Z_+(\xi)=\frac{\eta^{n-1}}{2}|\xi_n|+O(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Решение задач (8.2), (8.3) будем искать в виде
$$
\begin{equation*}
Z_-(\xi)=\widetilde{Z}_-(\xi)+\frac{1}{2}\chi_1(\xi_n)\xi_n, \qquad Z_+(\xi)=\widetilde{v}_+(\xi)+\frac{\eta^{n-1}}{2}\chi_1(\xi_n)|\xi_n|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для функций $\widetilde{v}_\pm$ получаем задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta_\xi \widetilde{Z}_-=-\frac{1}{2}\Delta_\xi(\chi_1 \xi_n) \quad\text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad\frac{\partial\widetilde{Z}_-}{\partial \nu_\xi}=0 \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta, \\ \Delta_\xi \widetilde{Z}_+=-\frac{\eta^{n-1}}{2}\Delta_\xi(\chi_1 |\xi_n|) \quad\text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial\widetilde{Z}_+}{\partial \nu_\xi}=\frac{|\square|}{|\partial\omega|} \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2). Проверим, что для этих задач выполнено условие разрешимости из леммы 6.1. Для этого проинтегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial\omega^\eta} \frac{|\square|}{|\partial\omega^\eta|}\,ds -\frac{\eta^{n-1}}{2}\int_{\Pi\setminus\omega^\eta}\Delta_\xi (|\xi_n|\chi_1) \,d\xi \\ &\qquad =|\square|\eta^{n-1} -\frac{1}{2}\lim_{R\to+\infty}\int_{|\square|}\frac{\partial |\xi_n|}{\partial \xi_n}\bigg|_{\xi_n=-R}^{\xi_n=R}\,d\xi=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично проверяется выполнение условия разрешимости задачи для $Z_-$. Тогда в силу лемм 6.1, 7.1 сразу следует, что задачи (8.4), а следовательно, и задачи (8.2), (8.3) разрешимы и для каждого $\eta\in(0,1]$ имеют бесконечно дифференцируемые в $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ решения. Функции $Z_\pm$ при $|\xi_n|>R_0$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{split} Z_+(\xi,\eta) &=\frac{\eta^{n-1}}{2}|\xi_n| \\ &\qquad +\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} D^{+,\pm}_k(\eta) \exp(-2\pi |k_b| |\xi_n|)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'),\qquad \pm\xi_n>R_0, \end{split}
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
$$
\begin{equation}
Z_-(\xi,\eta)=\frac{1}{2}\xi_n +\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} D_k^{-,\pm}(\eta) \exp(-2\pi |k_b| |\xi_n|)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \qquad \pm\xi_n> R_0,
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
где $A_k^{+,\pm}$, $D_k^{-,\pm}$ – некоторые бесконечно дифференцируемые по $\eta\in(0,1]$ функции. Выполнены оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \exp(-2\pi |k_b| R_0)|D^{+,\pm}_k(\eta)| + \sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} \exp(-2\pi |k_b| R_0)|D^{-,\pm}_k(\eta)| \leqslant C, \\ \|v_\pm\|_{C^1(\overline{\Pi^\eta})}\leqslant C, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$. Для каждого $k\in\mathbb{N}$ и $\eta_0\in(0,1]$ существует $\delta_k(\eta_0)$ такое, что
$$
\begin{equation}
Z_\pm\bigl(\Xi^{-1}(\eta_0\eta^{-1},\xi),\eta\bigr) \in C^{k+1/2}\bigl(\overline{\Pi}\setminus\omega^{\eta_0} \times[\eta_0-\delta_k(\eta_0),\eta_0+\delta_k(\eta_0)]\bigr).
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Рассмотрим теперь краевые задачи
$$
\begin{equation*}
\Delta_\xi \varphi_{1j}=0 \quad\text{в }\ \Pi\setminus\omega^\eta, \qquad \frac{\partial \varphi_{1j}}{\partial \nu_\xi}=\nu_j \quad\text{на }\ \partial\omega^\eta
\end{equation*}
\notag
$$
с периодическими краевыми условиями на боковых границах. Для этих задач выполнены условия разрешимости из леммы 6.1, так как
$$
\begin{equation*}
0=\int_{\omega^\eta}\Delta_\xi \xi_j \,d\xi=\int_{\partial \omega^\eta} \frac{\partial \xi_j}{\partial \nu}\, ds= \int_{\partial\omega^\eta}\nu_j\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно леммам 6.1, 7.1, функции $\varphi_{1j}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\varphi_{1j}(\xi,\eta)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}}D^\pm_{1j,k}(\eta) \exp(-2\pi |k_b| |\xi_n|)\exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \qquad \pm\xi_n> R_0,
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
где $D_{1j,k}^\pm=D_{1j,k}^\pm(\eta)\in C^\infty(0,1]$ – некоторые функции. Имеют место оценки
$$
\begin{equation*}
\sup_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} e^{-2\pi |k_b| R_0}|D_{1j,k}^\pm| \leqslant C, \qquad \|\varphi_{1j}\|_{C^1(\overline{\Pi^\eta})}\leqslant C,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\eta$. Для функций $\varphi_{1j}$ верны принадлежности, аналогичные (8.7). Теперь решение задачи (2.6), (3.5) для $m=1$ можно найти явно:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag v_1(\xi, x', \eta) &=\biggl(\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0,\eta)+\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \biggr) Z_-(\xi,\eta) \\ \notag &\qquad+\eta^{-n+1} \biggl( \frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0,\eta)-\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \biggr)Z_+(\xi,\eta) \\ &\qquad- \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial u_0}{\partial x_j}(x',0,\eta)\, \varphi_{1j}(\xi,\eta)+v_1^{(0)}(x',\eta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
где $v_1^{(0)}$ – некоторая функция, которая будет определена ниже. Предъявленная функция удовлетворяет уравнению из (2.6) и периодическим краевым условиям на боковых границах и обладает поведением (3.5) при $m=1$. Выполнение для нее краевого условия из (2.6) для $m=1$ с учетом формулы для $T_0(x',v_0)$, равенств (8.1) и краевых условий для функций $Z_\pm$ из (8.2) приводит к следующему краевому условию для $u_0$:
$$
\begin{equation*}
[u_0]_0=0, \qquad \biggl[\frac{\partial u_0}{\partial x_n}\biggr]_0+\frac{\eta^{n-1}|\partial\omega|}{|\square|}a(x',0,u_0(x',0,\eta))=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое условие следует из первого равенства в (8.1). Второе краевое условие позволяет переписать формулу (8.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &v_1(\xi, x', \eta) =\biggl(\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0,\eta)+\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \biggr) Z_-(\xi,\eta) \\ &\quad-\frac{|\partial\omega|}{|\square|}a(x',0,u_0(x',0,\eta))Z_+(\xi,\eta) - \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial u_0}{\partial x_i}(x',0,\eta)\, \varphi_{1j}(\xi,\eta)+ v_1^{(0)}(x',\eta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая третий член в асимптотике (3.5) для $v_1$ с аналогичным членом, вытекающим из последней формулы и (8.5), (8.6), (8.8), приходим к следующим граничным условиям для $u_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber u_1(x',\pm 0,\eta) &=\biggl(\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0,\eta)+\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \biggr)D_0^{-,\pm}(\eta) \\ \nonumber &\qquad - \frac{|\partial\omega|}{|\square|}a(x',0,u_0(x',0,\eta)) D_0^{+,\pm}(\eta) \\ \nonumber &\qquad- \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial u_0}{\partial x_i}(x',0,\eta)\, D_{1j,0}^\pm(\eta) + v_1^{(0)}(x',\eta), \\ \nonumber [u_1]_0 &=\biggl(\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',+0,\eta)+\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',-0,\eta) \biggr)\bigl(D_0^{-,+}(\eta)-D_0^{-,-}(\eta)\bigr) \\ \nonumber &\qquad - \frac{|\partial\omega|}{|\square|}a(x',0,u_0(x',0,\eta)) \bigl(D_0^{+,+}(\eta)-D_0^{+,-}(\eta)\bigr) \\ &\qquad- \sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial u_0}{\partial x_j}(x',0,\eta)\bigl(D_{1j,0}^+(\eta)-D_{1j,0}^-(\eta)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Отметим, что в силу леммы 7.7 функции $\partial u_0/\partial x_n(\,\cdot\,,\pm 0,\eta)$ бесконечно дифференцируемы по $\eta\in[0,1]$ в нормах пространств $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Для определения скачка производной $[{\partial u_1}/{\partial x_n}]_0$ необходимо провести анализ разрешимости задачи для функции $v_2$. Зная данный скачок, с одной стороны далее можно построить функцию $u_1$, решив для нее соответствующую краевую задачу, а с другой стороны – решить задачу для функции $v_2$. Повторяя эту процедуру по индукции, удается определить все функции внешнего и внутреннего разложений. Такое построение и его результаты сформулируем в виде следующей леммы. Лемма 8.1. Задачи (2.6), (3.5) разрешимы. Для решений этих задач справедливы представления (2.9). При $|\xi_n|>R_0$ функции $v_{mj}$ представляются в виде где $K_{mj}^\pm$ – некоторые полиномы степени не выше $m$, причем $K_{mj}^\pm(0)=0$, а $Q_{mjk}^\pm$ – некоторые полиномы по $\xi_n$ степени не выше $(m-1)$ с коэффициентами, зависящими от $\eta$, $D_{mj}^\pm$ – некоторые функции. Функции $v_m^{(0)}$, $\varphi_{mj}$ принадлежат пространству $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$, бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ и равномерно ограничены по $\eta\in[0,1]$ в нормах указанных пространств. Функции $v_{mj}$ бесконечно дифференцируемы в $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ для каждого $\eta\in(0,1]$ и бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ в смысле соотношения (7.4). Справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\mathfrak{p}(v_{mj})+\|v_{mj}\|_{C^1(\overline{\Pi^\eta})}\leqslant C,
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
где константы $C$ не зависят от $\eta\in[0,1]$ и $j$, но зависят от $m$. На плоскости $S$ функции $u_m$ удовлетворяют краевым условиям
$$
\begin{equation}
[u_m]_0 =\sum_{j=1}^{N_m}\varphi_{mj}(x',\eta) (D_{mj}^+(\eta)-D_{mj}^-(\eta)),
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \biggl[\frac{\partial u_m}{\partial x_n}\biggr]_0 =-\frac{1}{|\square|}\int_{\partial\omega^\eta} \psi_{m+1}\,ds -\frac{1}{|\square|}\lim_{R\to+\infty}\biggl( \int_{\Pi_R\setminus \omega^\eta} f_{m+1}\,d\xi
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\int_{\square\times\{R\}}\frac{\partial P_{m+1}^+}{\partial \xi_n}\,d\xi' -\int_{\square\times\{-R\}}\frac{\partial P_{m+1}^-}{\partial \xi_n}\,d\xi'\biggr).
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Задачи (2.10) с данными краевыми условиями однозначно разрешимы. Функции $u_m$ принадлежат пространствам $W_2^1(\Omega)$ и $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$, $\tau_0<\tau$, бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ и равномерно ограничены по $\eta\in[0,1]$ в нормах указанных пространств. Доказательство. Доказательство леммы проведем по индукции. База индукции, случай $m=1$, разобрана выше: построены функции $u_0$, $v_1$ и для функции $u_1$ получено граничное условие (8.10).
Предположим, что построены решения задач (2.6), (3.5) до некоторого значения $m$, решения задач (2.10) построены до значения $m-1$ и получено граничное условие (8.13) для $[u_m]_0$. Функция $v_m$ имеет вид (2.9) с неизвестной пока функцией $v_m^{(0)}$. Для нахождения функции $v_m^{(0)}$ достаточно определить функцию $u_m$. Зная последнюю, в силу (3.5) мы можем найти $v_m^{(0)}$ по формуле
$$
\begin{equation}
v_m^{(0)}(x',\eta)=u_m(x',+0,\eta)-\sum_{j=1}^{N_m} \varphi_{mj}(x',\eta)D_{mj}^+(\eta).
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
В задаче для $u_m$ на данный момент уже определена правая часть через функции $u_j, j\leqslant m-1$, известно граничное условие на $\partial\Omega$ и задан скачок самой функции на $S$, cм. (8.13). С учетом леммы 7.2 достаточно определить скачок нормальной производной $u_m$ на поверхности $S$, чтобы затем уже однозначно разрешить полученную задачу для $u_m$. Данный скачок мы найдем из анализа разрешимости задачи для функции $v_{m+1}$. Функции $f$, $u_j$, $j\leqslant m-1$, являются элементами пространств $W_2^1(\Omega)$ и $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $p\in\mathbb{N}$ и $0<\tau_0<\tau_1$. Поэтому в силу стандартных теорем вложения пространств Соболева в пространства непрерывно дифференцируемых функций приходим к выводу, что функции $u_j$, $j\leqslant m-1$, бесконечно дифференцируемы в $\overline{\Omega_{\tau_0}^+}$ и $\overline{\Omega_{\tau_0}^-}$. Поэтому справедливы формулы (3.4) и верна аналогичная формула для $f$. Подставим (3.4) и (3.3) в уравнения из (2.4) и (2.10) с учетом сделанных предположений относительно вида коэффициентов $A_{ij}$, $A_j$ при малых $x_n$. Тогда получим следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\frac{\partial u_0}{\partial x_n}(x',\pm0)=f(x',0), \\ -(\Delta_{x'}+\lambda)\, \frac{\partial^j u_0}{\partial x_n^j}(x',\pm0)-\frac{\partial^{j+2} u_0}{\partial x_n^{j+2}}(x',\pm 0)=\frac{\partial^j f}{\partial x_n^j}(x',0), \qquad j\geqslant 1, \\ -(\Delta_{x'}+\lambda)\, \frac{\partial^j u_p}{\partial x_n^j}(x',\pm0)-\frac{\partial^{j+2} u_p}{\partial x_n^{j+2}}(x',\pm 0)=0, \qquad j\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
Решение задачи (2.6), (3.5) для $v_{m+1}$ будем строить в виде
$$
\begin{equation*}
v_{m+1}=\widetilde{v}_{m+1}+\biggl(\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)\, \xi_n+\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\, \xi_n+P_{m+1}^++P_{m+1}^-\biggr)\chi_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_1$ – срезающая функция, введенная перед (4.5). Тогда для функции $\widetilde{v}_{m+1}$ получим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\Delta_\xi \widetilde{v}_{m+1}=\widetilde{F}_{m+1} \quad \text{в }\ \Pi\setminus\overline{\omega^\eta}, \qquad \frac{\partial \widetilde{v}_{m+1}}{\partial \nu_\xi}=\psi_{m+1} \quad \text{на }\ \partial\omega^\eta, \\ \widetilde{F}_{m+1}:=f_{m+1}+\Delta_\xi \biggl(\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)\, \xi_n+\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\, \xi_n+P_{m+1}^++P_{m+1}^-\biggr)\chi_1, \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
с периодическими граничными условиями (4.2).
Исследуем поведение функции $\widetilde{F}_{m+1}$ при $\xi_n\to\pm\infty$. Для этого в $\widetilde{F}_{m+1}$ вместо функций $v_{m-1}$ и $v_m$ подставим их асимптотики при $\xi_n\to\pm\infty$ и с учетом равенств (8.16) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{F}_{m+1} &=\frac{\xi_n^{m-1}}{(m-1)!}\biggl(\frac{\partial^{m-1}f}{\partial x_n^{m-1}}(x',0)+(\Delta_{x'}+\lambda)\, \frac{\partial^{m-1}u_0} {\partial x_n^{m-1}}(x',\pm0,\eta) \\ &\qquad+\frac{\partial^{m+1}u_0}{\partial x_n^{m+1}}(x',\pm0,\eta)\biggr) +(\Delta_{x'}+\lambda)\sum_{j=0}^{m-2} \frac{\xi_n^j}{j!}\, \frac{\partial^j u_{m-1-j}}{\partial x_n^j}(x',\pm0,\eta) \\ &\qquad+\sum_{j=2}^{m} \frac{\xi_n^{j-2}}{(j-2)!}\, \frac{\partial^{j-2} u_{m+1-j}}{\partial x_n^{j-2}}(x',\pm0,\eta) +o(1)=o(1), \qquad \xi_n\to\pm\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $o(1)$ обозначает члены, экспоненциально убывающие при $\xi_n\to\pm\infty$. Согласно лемме 6.1, задача (8.17) разрешима, если выполнено условие разрешимости
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_{\partial\omega^\eta} \psi_{m+1}\,ds+\int_{\Pi\setminus \omega^\eta} \Delta_\xi\biggl( \frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)\, \xi_n+\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\, \xi_n\biggr)\chi_1\,d\xi \\ &\qquad\qquad+\int_{\Pi\setminus \omega^\eta} \bigl( f_{m+1}+\Delta_\xi( P_{m+1}^+ + P_{m+1}^-)\chi_1 \bigr)\,d\xi=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Проинтегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Pi\setminus \omega^\eta} \Delta_\xi\biggl( \frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)\, \xi_n+\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\, \xi_n\biggr)\chi_1\,d\xi \\ &\qquad=\lim_{R\to+\infty} \int_{\Pi_R\setminus \omega^\eta } \Delta_\xi\biggl( \frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)\, \xi_n+\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\, \xi_n\biggr)\chi_1\,d\xi \\ &\qquad=|\square|\biggl(\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)-\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом представляя в виде предела третий интеграл в (8.18) и интегрируя по частям, перепишем это условие разрешимости в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial\omega^\eta} \psi_{m+1}\,ds+|\square|\biggl(\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',+0,\eta)-\frac{\partial u_m}{\partial x_n}(x',-0,\eta)\biggr) \\ &\qquad+\lim_{R\to+\infty}\biggl( \int_{\Pi_R\setminus \omega^\eta }f_{m+1}\,d\xi +\int_{\square\times\{R\}}\frac{\partial P_{m+1}^+}{\partial \xi_n}\,d\xi'-\int_{\square\times\{-R\}}\frac{\partial P_{m+1}^-}{\partial \xi_n}\,d\xi'\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что так как в исходном равенстве (8.18) все интегралы были сходящимися, то предел в полученным равенстве существует и конечен. Это позволяет выписать граничное условие (8.14) для функции $u_m$. В силу предположения индукции о гладкости функций $u_j$, $j\leqslant m$, и функций $v_j$, $j\leqslant m$, по пространственным переменным и формулы (2.9) для $v_j$, $j\leqslant m$, мы сразу заключаем, что правая часть (8.14), являясь функцией переменной $x'$, принадлежит пространствам $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Из индукционного предположения об ограниченности по $\eta\in[0,1]$ функций $v_j$, $j\leqslant m$, немедленно следует, что правая часть (8.14) равномерно ограничена по $\eta\in[0,1]$ в нормах пространств $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. С учетом индукционного предположения о бесконечно дифференцируемости по $\eta\in(0,1]$ функций $v_j$, $j\leqslant m$, и точной формулировки этого свойства в (7.4), для каждого $\eta_0\in(0,1]$ сделаем замену переменных $\xi\mapsto \Xi^{-1}(\eta_0\eta^{-1},\xi)$ в интеграле по $\partial\omega^\eta$ в правой части (8.14). Тогда из индукционного предположения относительно бесконечной дифференцируемости по $\eta\in(0,1]$ функций $u_j$, $v_{mj}$, $j\leqslant m$, и представлений (2.9) сразу заключаем, что интеграл по $\partial\omega^\eta$ в правой части (8.14) является бесконечно дифференцируемой функцией по $\eta\in(0,1]$ в нормах пространств $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Далее выпишем аналог представления (2.9) для функции $f_{m+1}$ и воспользуемся формулами (8.16). Тогда получим, что при $\pm \xi_n>R_0$ функция $f_{m+1}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_{m+1}(\xi,\eta)=-\frac{\partial^2\ }{\partial\xi_n^2} \bigl(P_{m+1}^+(\xi_n,\eta) + P_{m+1}^-(\xi_n,\eta)\bigr) + \widetilde{f}_{m+1}, \\ \widetilde{f}_{m+1}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^{n-1}} F_{(m+1)jk}^\pm(\xi_n,\eta)\exp(-2\pi |k_b|\,|\xi_n|) \exp(2\pi\mathrm{i} k_b\cdot\xi'), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{mjk}^\pm$ – некоторые полиномы по $\xi_n$ степени не выше $(m-1)$ с коэффициентами, бесконечно дифференцируемыми по $\eta\in(0,1]$, причем величина $\mathfrak{p}(f_{m+1})$ ограничена равномерно по $\eta\in[0,1]$. Такое представление позволяет переписать предел в (8.14) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{R\to+\infty} \biggl( \int_{\Pi_R\setminus \omega^\eta }f_{m+1}\,d\xi +\int_{\square\times\{R\}}\frac{\partial P_{m+1}^+}{\partial \xi_n}\,d\xi'-\int_{\square\times\{-R\}}\frac{\partial P_{m+1}^-}{\partial \xi_n}\,d\xi'\biggr) \\ &\qquad= \int_{\Pi_{2R_0}\setminus\omega^\eta} f_{m+1} \,d\xi + \int_{\Pi\setminus \Pi_{2R_0}} \widetilde{f}_{m+1}\,d\xi \\ &\qquad\qquad-\int_{\square\times\{2R_0\}}\frac{\partial P_{m+1}^+}{\partial \xi_n}\,d\xi' + \int_{\square\times\{-2R_0\}}\frac{\partial P_{m+1}^-}{\partial \xi_n}\,d\xi'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из индукционного предположения о бесконечной дифференцируемости по $\eta\in(0,1]$ функций $v_{mj}$ и $u_j$, $j\leqslant m$, и полученной формулы теперь следует, что предел в (8.14) является бесконечно дифференцируемой по $\eta\in(0,1]$ функцией в нормах пространств $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. С учетом сказанного выше найденное граничное условие (8.14) замыкает задачу для $u_m$ и в силу леммы 7.2 эта задача разрешима. Функция $v_m^{(0)}$ определяется формулой (8.15). В силу индукционного предположения о свойствах функций $u_j$, $j\leqslant m$, и леммы 7.3 функция $u_{m+1}$ является элементом пространств $W_2^1(\Omega)$ и $W_2^p(\Omega_{\tau_0}^+)\oplus W_2^p(\Omega_{\tau_0}^-)$ для всех $\tau_0<\tau$, а также равномерно ограничена по $\eta\in[0,1]$ и бесконечно дифференцируема по $\eta\in(0,1)$ в нормах этих пространств. В силу леммы 6.1 условие (8.14) обеспечивает разрешимость задачи (8.17). Так как в решениях задач (2.6), (3.5) для функций $v_{m-1}$ и $v_m$ имеется разделение переменных $(x',\eta)$ и $(\xi,\eta)$, то такое же разделение переменных присутствует и в $f_{m+1}$, $\psi_{m+1}$, $\widetilde{F}_{m+1}$. Следовательно, такое же разделение переменных имеется в решении задачи (2.6), (3.5) для функции $\widetilde{v}_{m+1}$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}_{m+1}(\xi,x',\eta)= \sum_{j=1}^{\widetilde{N}_m} \varphi_{m+1j}(x',\eta)\widetilde{v}_{m+1j}(\xi,\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde{N}_m$ – некоторые числа, $ \varphi_{m+1j}$ – некоторые функции из $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$, равномерно ограниченные по $\eta\in[0,1]$ и бесконечно дифференцируемые по $\eta\in(0,1]$ в нормах этих пространств. В силу индукционного предположения относительно функций $v_{ij}$, $i\leqslant m$, и леммы 7.1 функции $v_{mj}$ бесконечно дифференцируемы по $\xi$ в $\overline{\Pi}\setminus\omega^\eta$ для каждого $\eta\in(0,1]$ и бесконечно дифференцируемы по $\eta\in(0,1]$ в смысле соотношения (7.4) и справедливы оценки (8.12). Возвращаясь теперь к функции $v_{m+1}$, заключаем, что задача (2.6), (3.5) для этой функции также разрешима. Для функции $v_{m+1}$ справедливы представления (2.9), (8.11) и оценки (8.12), где для функций, участвующих в этих соотношениях, верны все свойства, указанные в формулировке леммы. Выписывая еще аналог представления (8.11) для функции $v_m$ и сравнивая его с асимптотиками (3.5), получаем равенство (8.13) с заменой $m$ на $m+1$, что завершает доказательство индукционного перехода. Лемма 8.1 доказана. Отметим, что из доказанной леммы сразу следует, что функции $u_m$ и $v_m$ обладают всеми свойствами, указанными в формулировке теоремы 2.1. § 9. Обоснование асимптотикиОбозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_{\varepsilon,N}(x,\eta):= \chi^\varepsilon(x_n)u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}(x,\eta) +(1-\chi^\varepsilon(x_n))u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(x\varepsilon^{-1},x',\eta), \\ u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}(x,\eta):=u_0(x)+\sum_{m=1}^N \varepsilon^m u_m(x,\eta), \\ u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(\xi,x',\eta):=v_0(x',\xi,\eta) +\sum_{m=1}^N\varepsilon^m v_m(x',\xi,\eta), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N\geqslant 3$ – натуральное число. Лемма 9.1. Функция $u_{\varepsilon,N}$ является решением задачи Доказательство. Однородное краевое условие Дирихле для функции $u_{\varepsilon,N}$ на $\partial\Omega$ сразу следует из такого же условия для функций внешнего разложения в задачах (2.4), (2.10).
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\phi_{\varepsilon,N}(x):= \frac{\partial u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}}{\partial \mathrm{n}}(x)+a(x,u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}(x))\quad\text{на }\ \partial\theta^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в силу леммы 8.1 для функций $v_j(x\varepsilon^{-1},x',\eta)$ верны равномерные по $\varepsilon$, $\eta$ и $x$ оценки на $\partial\theta^\varepsilon$: где $C$ – некоторые константы, не зависящие от $x$, $\varepsilon$, $\eta$, а $V_j(x')$ – некоторые функции из $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Этот факт, гладкость функции $a$ и условия (2.2) обеспечивают справедливость формулы Тейлора при $x\in\partial\theta^\varepsilon$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a(x,u^{\mathrm{in}}_\varepsilon(x)) &=a(x',\varepsilon\xi_n,u^{\mathrm{in}}_\varepsilon) \\ &= T_0(x',v_0(x',\xi,\eta))+\sum_{m=1}^{N-1} \varepsilon^m T_m\bigl(x',v_1(x',\xi,\eta),\dots,v_m(x',\xi,\eta)\bigr) \\ &\qquad+ \varepsilon^{N} T_{N,\varepsilon}\bigl(x',\xi_n,v_1(x',\xi,\eta),\dots,v_N(x',\xi,\eta)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $T_{N,\varepsilon}$ – некоторая функция, для которой верна равномерная оценка
$$
\begin{equation*}
\bigl| T_{N,\varepsilon}(x',\xi_n,v_1(x',\xi,\eta), \dots,v_N(x',\xi,\eta)) \bigr|\leqslant C \widetilde{T}_{N}(x'),
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$, $\eta$, $x$, $\xi$, а функция $\widetilde{T}_N$ принадлежит $W_2^p(S)$ для всех $p\in\mathbb{N}$. Учитывая теперь краевые условия на $\partial\theta_\eta$ из задач (2.6) и свойства функций $v_j$, установленные в лемме 8.1, немедленно получаем оценку для $\phi_{\varepsilon,N}$ из (9.1).
Обозначим $f_{\varepsilon,N}:= (\mathcal{L} -\lambda)u_{\varepsilon,N}-f$. С учетом уравнений из задач (2.4), (2.10), (2.6) непосредственно проверяем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_{\varepsilon,N}&=f_{\varepsilon,N}^{(1)}+f_{\varepsilon,N}^{(2)}+f_{\varepsilon,N}^{(3)}, \\ f_{\varepsilon,N}^{(1)}&:=(\chi^\varepsilon(x_n)-1)\biggl(f(x)-\sum_{j=1}^{N-2}\frac{x_n^j}{j!}\, \frac{\partial^j f}{\partial x_n^j}(x',0)\biggr), \\ f_{\varepsilon,N}^{(2)}&=\varepsilon^{N-1}(\chi^\varepsilon(x_n)-1)\biggl(\lambda (v_{N-1}+\varepsilon v_N)+2\sum_{j=1}^{n-1}\frac{\partial^2 v_N}{\partial\xi_j\, \partial x_j} \biggr), \\ f_{\varepsilon,N}^{(3)}&:=-2(\chi^\varepsilon)'\frac{\partial}{\partial x_n} (u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}-u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})-(u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}-u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}})(\chi^\varepsilon)''. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Гладкость функции $f$ позволяет сразу оценить $f_{\varepsilon,N}^{(1)}$ с помощью формулы Тейлора с остатком в форме Лагранжа:
$$
\begin{equation}
\|f_{\varepsilon,N}^{(1)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{N/2-1/4},
\end{equation}
\tag{9.2}
$$
где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$.
Функция $f_{\varepsilon,N}^{(2)}$ не равна нулю лишь при $|x_n|\leqslant 2\varepsilon^{1/2}$, что в терминах переменных $\xi$ соответствует слою $\{\xi\colon |\xi_n|<2\varepsilon^{-1/2}\}$. Лемма 8.1 дает требуемые оценки для функций $v_{mj}$, $\varphi_{mj}$, $v_m^{(0)}$, $K_{mj}^\pm$, $D_{mj}^\pm$, $Q_{mjk}^\pm$, $m=N-1,N$, и их производных, что сразу позволяет оценить функцию $f_{\varepsilon,N}^{(2)}$:
$$
\begin{equation}
\|f_{\varepsilon,N}^{(2)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{N/2-1/4}.
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
В силу определения срезки $\chi^\varepsilon$, функция $f_{\varepsilon,N}^{(3)}$ не равна нулю лишь при $\varepsilon^{1/2}<|x_n|<2\varepsilon^{1/2}$. Поэтому для оценки функции $f_{\varepsilon,N}^{(3)}$ следует учитывать условия согласования (3.5), обеспечивающие требуемую малость разности $u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{ex}}-u_{\varepsilon,N}^{\mathrm{in}}$, а также гладкость и оценки для функций $v_j$ и $u_j$, установленные в лемме 8.1. В итоге имеем
$$
\begin{equation*}
\|f_{\varepsilon,N}^{(3)}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C \varepsilon^{N/2-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (9.2), (9.3) вытекает первая оценка в (9.1).
Оценка (2.11) устанавливается аналогично доказательству приведенным выше оценкам функций $f_{\varepsilon,N}^{(i)}$. Лемма доказана. Обозначим $\widehat{u}_{\varepsilon,N}:=u_{\varepsilon,N}-u_\varepsilon$. Функция $\widehat{u}_{\varepsilon,N}$ является решением задачи
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathcal{L}-\lambda)\widehat{u}_\varepsilon=f_{\varepsilon,N} \quad\text{в }\ \Omega^\varepsilon, \qquad \widehat{u}_{\varepsilon,N}=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega, \\ \frac{\partial\widehat{u}_{\varepsilon,N}}{\partial N}+a(\,\cdot\,,u_{\varepsilon,N})-a(\,\cdot\,,u_\varepsilon)=\phi_{\varepsilon,N}\quad\text{на }\ \partial\theta^\varepsilon. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Решение этой задачи удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathfrak{h}_0(\widehat{u}_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N}) + (a(u_{\varepsilon,N}) -a(u_\varepsilon),\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial \theta^\varepsilon)} \\ &\qquad=(f_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(\phi_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial\theta^\varepsilon)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
Согласно [29; лемма 3.4] для любой функции $u\in W_2^1(\Omega^\varepsilon)$ с нулевым следом на $\partial\Omega$ верна оценка
$$
\begin{equation}
\|u\|_{L_2(\partial\theta^\varepsilon)}^2\leqslant (c\varepsilon+\delta)\|\nabla u\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2 + C(\delta) \|u\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2,
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
где $\delta>0$ – произвольное фиксированное число, $c$ – некоторая константа, не зависящая от $u$, $\varepsilon$, $\delta$, а константа $C(\delta)$ не зависит от $\varepsilon$ и $u$. Отметим еще очевидное неравенство, выполненное в силу условий (2.1):
$$
\begin{equation*}
|\mathfrak{h}_0(u,u)|\geqslant \frac{3c_0}{4} \|\nabla u\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2 - C\|u\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$ и $u$. Это неравенство и (2.1), (9.5) позволяют оценить левую часть равенства (9.4) для $\lambda<\lambda_0$, предполагая, что $\lambda_0$ отрицательно и достаточно велико по модулю:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\mathfrak{h}_0(\widehat{u}_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N}) + (a(u_{\varepsilon,N}) -a(u_\varepsilon),\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial \theta^\varepsilon)}-\lambda\|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2\bigr| \\ &\qquad\geqslant \bigl|\mathfrak{h}_0(\widehat{u}_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N}) -\lambda\|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)}^2\bigr|-2|a_1| \|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{L_2(\theta^\varepsilon)}^2 \geqslant \frac{c_0}{2} \|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а также оценить правую часть равенства (9.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl| (f,\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\Omega^\varepsilon)} +(\phi_{\varepsilon,N},\widehat{u}_{\varepsilon,N})_{L_2(\partial\theta^\varepsilon)} \bigr| \\ &\qquad\leqslant C\bigl(\|f_{\varepsilon,N}\|_{L_2(\Omega^\varepsilon)} + \|\phi_{\varepsilon,N}\|_{L_2(\partial\theta^\varepsilon)}\bigr) \|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C$ не зависит от $\varepsilon$. Из полученных оценок и (9.4) теперь следует, что
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{u}_{\varepsilon,N}\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)} = \|u_{\varepsilon,N}-u_\varepsilon\|_{W_2^1(\Omega^\varepsilon)}\leqslant C\varepsilon^{N/2-1/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим теперь в этой оценке $N$ на $N+2$ и учтем оценки (2.11) для $m=N+1, N+2$. Тогда получим равенство (2.8). Теорема 2.1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorMuk22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|