| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Элементарный подход к локальным комбинаторным формулам для класса Эйлера кусочно линейного сферического расслоения Г. Ю. Панина Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9737e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеКомбинаторная формула для характеристического класса – это алгоритм, выходом которого служит симплициальная коцепь, представляющая данный класс. Предполагается, что база расслоения – триангулированное многообразие или симплициальный комплекс. Имеется (относительно простая) комбинаторная формула для классов Штифеля–Уитни касательного расслоения, а также существует интересная длинная история открытия комбинаторных формул для классов Понтрягина триангулированных многообразий, начатая А. Габриеловым, И. Гельфандом и М. Лосиком и завершенная А. Гайфуллиным. Локальная комбинаторная формула для расслоения со слоем окружность появилась независимо в работах Н. Мнёва и Г. Шарыгина [1] и К. Игусы [2]. Мы обсудим эту формулу в § 6, где покажем, что она укладывается в общий случай расслоений со слоем $S^n$. Недавно Н. Мнёв предложил локальную комбинаторную формулу для класса Эйлера послойно ориентированного кусочно линейного сферического расслоения в терминах комбинаторной скручивающей коцепи модели Ги Хирша (Guy Hirsch) расслоения (см. [3]). В настоящей статье мы предлагаем элементарный подход (т.е. с минимальными пререквизитами) к локальным комбинаторным формулам для класса Эйлера. Пусть $S^n\to E \xrightarrow[\text{}]{\pi} B$ – локально тривиальное расслоение со слоем ориентированная сфера $S^n$. Мы предполагаем, что $B$ и $E$ – конечные симплициальные комплексы и что $\pi$ – симплициальное отображение, т.е. $\pi$ отображает симплексы в симплексы линейно на каждом симплексе. Кроме того, мы предполагаем, что $\pi^{-1}(x)$ – комбинаторная сфера для любого $x \in B$. В частности, это означает, что для нее определено двойственное клеточное разбиение. Локальная комбинаторная формула для рационального класса Эйлера $e(E \xrightarrow[\text{}]{\pi} B)$ – это алгоритм, ставящий каждому ориентированному $(n+1)$-мерному симплексу $\sigma^{n+1} $ из базы в соответствие некоторое рациональное число. Выходом алгоритма служит коцепь $\mathcal{E}$, представляющая класс Эйлера. Значение коцепи на симплексе $\sigma^{n+1}$ зависит только от комбинаторики ограничения расслоения $\pi^{-1}(\sigma^{n+1}) \to \sigma^{n+1}$. Мы приводим две формулы. Первая из них (см. § 3) совпадает с формулой Н. Мнёва. Вторая (см. § 4) содержит некоторое упрощение последнего шага алгоритма. Алгоритм можно менять (как именно, мы объясняем в § 6) и тем самым получать различные локальные комбинаторные формулы. В § 6 мы покажем, что при $n=1$ формула из § 4 совпадает с комбинаторной формулой для расслоений со слоем окружность Игусы–Мнёва–Шарыгина; см. [2] и [1]. Вкратце основная идея вывода формулы такова (она восходит к мультисечениям М. Казаряна из [4], которые использовалась также в [5]). Имеется следующий способ вычисления класса Эйлера. Предложение 1 (см. [6], [7]). Пусть $E \to B$ – послойно ориентированное сферическое расслоение над триангулированной базой $B$. Пусть непрерывное частичное сечение $s$ задано над $n$-остовом базы $B$. Выберем ориентацию каждого $(n+1)$-мерного симплекса $\sigma^{n+1}\in B$ и положим $\mathcal{E}(s,\sigma^{n+1})$ равным степени отображения $s\colon\partial \sigma^{n+1} \to S^n$. Тогда целочисленная коцепь $\mathcal{E}(s, \sigma^{n+1})$ – это коцикл, представляющий класс Эйлера $e(E \xrightarrow[]{\pi} B)$. Для сферических расслоений, порожденных векторными расслоениями ранга $n+1$ над базой $ B$, предложение доказано в [6]. Общий случай рассмотрен в А. Фоменко и Д. Фукс (см. [7; п. 23.5]). Далее, если имеется несколько частичных сечений $s_1,\dots,s_r$, положим $\mathcal{E}_i(\sigma^{n+1})=\mathcal{E}(s_i,\sigma^{n+1})$. Очевидно, среднее $\frac{1}{r}\sum_i \mathcal{E}_i(\sigma^{n+1})$ – это рациональная коцепь, представляющая класс Эйлера. Если же имеются два набора частичных сечений $s_1,\dots,s_M$ и $s_1',\dots,s_N'$, то усреднение
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{M-N}\biggl(\sum_i \mathcal{E}_i-\sum_j \mathcal{E}_j'\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– тоже рациональная коцепь, представляющая класс Эйлера, при условии, что $M \neq N$. Комбинаторика триангуляции расслоения диктует способ задания набора частичных сечений. Мы построим этот набор пошагово, начиная с $0$-остова и продолжая сечения далее. Мы пользуемся при этом гармоническими цепями и числами вращения. Гармонические цепи канонически обращают граничный оператор, т.е. решают следующую задачу: для данного регулярного клеточного комплекса $\Gamma$, являющегося комбинаторной сферой $S^n$, и замкнутой цепи $a\in C_k(\Gamma, \mathbb{Q})$, каноническим образом найти такую цепь $b\in C_{k+1}(\Gamma, \mathbb{Q})$, что $\partial b =a$. Указание. Для быстрого перехода к первому основному результату (§ 3) необходимо прочесть п. 2.1 и определение 2. Для быстрого перехода ко второму основному результату (§ 4) потребуются также определения 3 и 4. БлагодарностиАвтор благодарит Александра Гайфуллина, Максима Казаряна, Николая Мнёва, Ивана Панина и анонимного рецензента за полезные замечания. § 2. ИнструментарийОбозначим симплициальные комплексы базы и тотального пространства расслоения через $K_B$ и $K_E$ соответственно. 2.1. Комбинаторика прообраза симплексаЗафиксируем ориентированный симплекс $\sigma^{n+1} \in K_B$ в базе. Обозначим его вершины через $v_0,\dots,v_{n+1}$ так, чтобы порядок был согласован с ориентацией симплекса $\sigma^{n+1}$. Полезно представлять себе, что вершины окрашены, скажем, $v_0$ красная, $v_1$ синяя, $v_2$ зеленая и т.д. Проанализируем $(2n+1)$-мерные симплексы, лежащие в прообразе $\pi^{-1}(\sigma^{n+1})$. У каждого такого симплекса $\Delta^{2n+1}\in \pi^{-1}(\sigma^{n+1})$ есть $2n+2$ вершин, которые мы красим в соответствии с цветом их проекций. Очевидно, для каждого цвета $i$ у симплекса $\Delta^{2n+1}$ есть вершина этого цвета $i$. Будем говорить, что $\Delta^{2n+1}$ принадлежит $\mathcal{A}_i(\sigma^{n+1})$, если
$$
\begin{equation*}
|{\operatorname{Vert}(\Delta^{2n+1})\cap \pi^{-1}(v_i)}|=n+1,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. у симплекса $\Delta^{2n+1}$ имеется $n+1$ вершин цвета $i$, тогда как прочие цвета участвуют лишь единожды. Отметим, что классы $\mathcal{A}_i$ не исчерпывают все симплексы прообраза. Теперь проанализируем $\pi^{-1}(v_i)$. Это триангулированная ориентированная сфера $S^n$. Максимальные симплексы триангуляции соответствуют симплексам из $\mathcal{A}_i(\sigma^{n+1})$. Обозначим двойственный к этой триангуляции клеточный комплекс через $\Gamma_i$. Это регулярный клеточный комплекс, и мы представляем его окрашенным в цвет $i$. Теперь возьмем точку $x$, лежащую строго внутри некоторого ребра, скажем, внутри $v_0v_1$. Ее прообраз $\pi^{-1}(x)$ (независимо от выбора $x$) – разбиение сферы $S^n$, двойственный комплекс к которому есть суперпозиция комплексов $\Gamma_0$ и $\Gamma_1$, т.е. общее подразбиение, порожденное $\Gamma_0$ и $\Gamma_1$ (рис. 1). Обобщая, можно заключить, что справедливо Предложение 2. 1. Для каждой точки $x\in \sigma^{n+1}$ комбинаторика прообраза $\pi^{-1}(x)$ зависит только от прообраза той грани $F$ симплекса $\sigma^{n+1} $, которая содержит $x$ как внутреннюю точку. 2. Пусть $\{v_{i_1},\dots,v_{i_k}\}$ – множество вершин $F$. Тогда двойственный комплекс $\Gamma_{i_1,\dots,i_k}$ прообраза $\pi^{-1}(x)$ – это суперпозиция комплексов $\Gamma_i$, где $i$ пробегает множество $\{i_1,\dots,i_k\}$. 3. В частности, для внутренней точки $x$ симплекса $\sigma^{n+1}$ мы имеем суперпозицию $n+2$ цветных комплексов $\Gamma_0,\dots,\Gamma_{n+2}$. Удаление одного из них (или нескольких) соответствует перемещению точки $x$ на соответствующую грань. Некоторые из вершин комплекса $\Gamma_{i_1,\dots,i_k}$ являются вершинами $\Gamma_i$ для некоторого $i$. Будем говорить, что эти вершины окрашены в цвет $i$. Оставшиеся (неокрашенные) вершины – пересечения клеток комплексов $\Gamma_i$ для разных $i$, см. рис. 1 для примера. Лемма 1. Пусть $V$ – вершина $\Gamma_{i}$. Тогда: 1) $V$ также является вершиной $\Gamma_I$, если $i\in I$; 2) у $V$ имеется ровно $n+1$ инцидентных клеток максимальной размерности в комплексе $\Gamma_I$. 2.2. $s$-цепи, пленки и $s$-пленкиПусть $\Gamma$ – регулярный клеточный комплекс, являющийся комбинаторной сферой $S^n$. Обозначим через $C_{k+1}(\Gamma, \mathbb{Q})$ группу рациональных цепей комплекса $\Gamma$. Пусть $k<n$, и пусть $a\in C_k(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая $k$-мерная цепь. Цепь $c\in C_{k}(\Gamma, \mathbb{Q})$ называется пленкой цепи $a$, если $\partial c=a$. Пусть имеется отображение из ориентированной $k$-сферы в $k$-остов Оно индуцирует отображение
$$
\begin{equation*}
S^k \to \operatorname{Skel}_k(\Gamma)/\operatorname{Skel}_{k-1}(\Gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Факторпространство $\operatorname{Skel}_k(\Gamma)/\operatorname{Skel}_{k-1}(\Gamma)$ – букет $k$-сфер, соответствующих $k$-клеткам комплекса $\Gamma$. Мы заключаем, что $s$ индуцирует некоторую замкнутую цепь $|s|\in C_k(\Gamma, \mathbb{Z})$, представляющую прямой образ фундаментального класса $S^k$. Пусть отображение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{s}\colon D^{k+1}\to \operatorname{Skel}_{k+1}(\Gamma)
\end{equation*}
\notag
$$
таково, что граница $D^{k+1}$ отображается на $\operatorname{Skel}_k(\Gamma)$. Тогда $\widetilde{s}$ индуцирует $(k+1)$-цепь $|\widetilde{s}|\in C_{k+1}(\Gamma, \mathbb{Z}).$ Действительно, в этом случае $s$ порождает отображение
$$
\begin{equation*}
D^{k+1}/\partial D^{k+1}\to \operatorname{Skel}_{k+1}(\Gamma)/\operatorname{Skel}_{k}(\Gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Если цепь $a$ совпадает с $|s|$ для некоторого $s$, мы говорим, что $a$ – носитель $s$. В этом случае $a$ мы называем $s$-цепью. Пусть $a=|s|$ для некоторого $s\colon S^k \to \operatorname{Skel}_k(\Gamma)$. Пленка $c$ называется $s$-пленкой для цепи $a$, если $c=|\widetilde{s}|$ для некоторого продолжения $\widetilde{s}\colon D^{k+1}\to \operatorname{Skel}_{k+1}(\Gamma)$ отображения $s$. Пример 1. Пусть $k=0$, и пусть $a$ – упорядоченная пара вершин $V_0,V_1$, на которую мы смотрим как на $s$-цепь. Каждый путь на остове $\operatorname{Skel}_1$, соединяющий вершины, задает $s$-пленку цепи $a$. Однако не каждая пленка цепи $a$ является $s$-пленкой. Например, цепь, усредняющая два разных пути, не является $s$-пленкой. Лемма 2. 1. Если $c=|\widetilde{s}|$ – носитель $\widetilde{s}\colon D^{k+1} \to \operatorname{Skel}_{k+1}(\Gamma)$ и $a$ – носитель то $\partial c =a$. 2. Каждая рациональная замкнутая $k$-цепь есть некоторая рациональная линейная комбинация $s$-цепей, носителей некоторых $s_i\colon S^{k} \to \operatorname{Skel}_{k}(\Gamma)$. 3. Пусть $k<n$. Пусть $a=|s|$ – носитель некоторого отображения $s\colon S^{k} \to \operatorname{Skel}_{k}$. Пусть $b$ – рациональная цепь такая, что $\partial b =a$. Тогда $b$ есть усреднение цепей-носителей некоторых продолжений отображения $s$. А именно, существуют такие что ограничения всех отображений $\widetilde{s}_i$ и $\widetilde{s}^{\,\prime}_j$ на $\partial D^{k+1}$ совпадают с $s$, и Доказательство. 1. Утверждение очевидно.
2. Пусть $k<n$. Пусть $\tau$ пробегает все $(k+1)$-клетки комплекса $\Gamma$. Тогда $\{\partial \tau \}$ порождают пространство всех замкнутых $k$-цепей. Действительно, для всякой замкнутой цепи $p \in C_k(\Gamma)$ и для некоторого $r\in C_{k+1}(\Gamma)$ верно $p=\partial r=\partial (\sum a_i \tau_i)= \sum a_i \,\partial \tau_i$. Если $k=n$, то доказательство еще проще, так как все замкнутые цепи различаются на некоторый множитель. 3. Пусть $k<n-1$. Возьмем любое продолжение $s$ до отображения $\widetilde{s}$ из диска $D^{k+1}$ в $k$-остов, т.е. $\widetilde{s}_{|_{\partial D}}=s$. Тогда $b-|\widetilde{s}|$ есть замкнутая рациональная $(k+1)$-цепь и, следовательно, рациональная линейная комбинация $ \partial \tau_i$, где $\tau_i$ пробегает $(k+2)$-клетки. Докажем, что для каждой $(k+2)$-клетки $\tau$ цепь $\partial (\tau)$ есть разность некоторых $|\widetilde{s}|$ и $|\widetilde{s}^{\,\prime}|$, для которых ограничения $\widetilde{s}$ и $\widetilde{s}^{\,\prime}$ на границу диска совпадают с $s$. Зафиксируем какой-нибудь подкомплекс $\partial \tau$, обозначаемый $Equator$, гомеоморфный сфере $S^{k-1}$. $Equator$ делит $\partial \tau$ на две полусферы, $B_1$ и $B_2$. Точнее, обозначим через $B_1$ и $B_2$ такие цепи, что $B_1+B_2=\partial \tau$. Рассмотрим такое отображение цилиндра $S^k\times[0,1]$ в $k$-остов, что ограничение отображения на $S^k \times 0$ совпадает с $s$, а ограничение на $S^k \times 1$ есть гомеоморфизм на $Equator$. Такое отображение существует, так как любые два отображения из $k$-сферы в $(k+1)$-остов гомотопны. Мы смотрим на цилиндр как на диск $D^{k+1}$ с удаленным меньшим $(k+1)$-диском. Продолжим отображение на весь диск $D^{k+1}$двумя способами, пользуясь $B_1$ и $B_2$. Обозначим продолжение через $\widetilde{s}$ и $\widetilde{s}^{\,\prime}$. В результате имеем $\partial \tau= |\widetilde{s}|-|\widetilde{s}^{\,\prime}|$. Для $k=n-1$ доказательство опять упрощается. В этом случае любые две рациональные пленки для $a$ отличаются на рациональное кратное фундаментального класса $S^n$. Каждая целая пленка для $a$ есть $s$-пленка. Лемма 2 доказана. В лемме 2 члены $s_i$ (соответственно члены $s'_j$) будем называть положительными (соответственно отрицательными) членами усреднения. 2.3. Гармоническое продолжениеГармоническое продолжение предлагает способ канонического обращения граничного оператора $\partial$. Мы заимствуем следующие базовые факты о гармонических цепях из [8]. Будем считать, что для заданного клеточного комплекса $K$ пространство $C_{k}(K, \mathbb{Q})$ снабжено таким скалярным произведением, что все $k$-клетки соответствуют ортонормированному базису. Пусть $\partial$ обозначает стандартный граничный оператор, и пусть (кограничный оператор) $\partial^*$ – его сопряженный относительно этого скалярного произведения. Определение 1. Цепь $a\in C_{k}(K, \mathbb{Q})$ называется гармонической, если и ее граница, и ее кограница обнуляются: $\partial a=0$ и $\partial^* a=0$. Эквивалентно, $a$ – гармоническая цепь, если она принадлежит ядру дискретного лапласиана Известно (и это легко доказать), что в каждом гомологическом классе существует единственный гармонический представитель. Если оператор $\Delta\colon C_k(K, \mathbb{Q})\to C_k(K,, \mathbb{Q})$ обратим (т.е. если $H_k(K, \mathbb{Q})$ обнуляется), то существует обратный оператор $\Delta^{-1}\colon C_k(K, \mathbb{Q})\to C_k(K, \mathbb{Q})$, называемый оператором Грина. Пусть $\Gamma$ – регулярный клеточный комплекс, являющийся комбинаторной сферой $S^n$. Возьмем конус над $\operatorname{Skel}_k(\Gamma)$. Он является клеточным комплексом $\operatorname{Cone}(\operatorname{Skel}_k(\Gamma))=\operatorname{Skel}_k(\Gamma)* O$, где $*$ обозначает операцию джойн, а $O$ – вершина конуса. Приклеим конус к комбинаторной сфере $\Gamma$ с помощью естественного вложения $\operatorname{Skel}_k \subset \operatorname{Cone}(\operatorname{Skel}_k)$. Также приклеим диск $D^{n+1}$ к $\Gamma$ с помощью гомеоморфизма, связывающего $\Gamma$ и $\partial D^{n+1}$. Мы получим клеточный комплекс, который обозначим через $\operatorname{PC}_k(\Gamma)$. Пусть $k<n-1$, и пусть $a\in C_k(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая цепь. Рассмотрим (однозначно определенную) $(k+1)$-цепь $\overline{a}\in C_{k+1}(\operatorname{Cone}(\operatorname{Skel}_k(\Gamma))$, обладающую свойством $\partial \overline{a}=-a$. Иными словами, $\overline{a}$ присваивает коэффициент $-a(\sigma^k)$ клетке $\sigma^k\,{*}\,O$. Теперь продолжим эту цепь, сохраняя коэффициенты при клетках типа $\sigma^k\,{*}\,O$ и присваивая некоторые коэффициенты $(k+1)$-клеткам комплекса $\Gamma$. Цепь $\overline{a}$ можно разными способами продолжить до замкнутой цепи комплекса $\operatorname{PC}_k(\Gamma)$. При этом все замкнутые продолжения представляют один и тот же гомологический класс комплекса $\operatorname{PC}_k(\Gamma)$. Обозначим единственного гармонического (по отношению к $\operatorname{PC}_k(\Gamma)$) представителя этого гомологического класса через $h(a)$. Разложим $h(a)$ в сумму $h(a)=\overline{a}+\mathcal{H}(a)$. По построению $\mathcal{H}(a)\in C_{k+1}(\Gamma)$. Поскольку $\Delta h(a)=0$, имеем $\Delta \overline{a} +\Delta \mathcal{H}(a)=0$ и, следовательно, $\Delta \mathcal{H}(a) =\partial^* a$ (здесь оператор $\partial^*$ относится к комплексу $\Gamma$, а не к $\operatorname{PC}_k(\Gamma)$). Поскольку $h(a)$ замкнута, $\partial h(a)= 0$, значит, $\partial \overline{a}+\partial \mathcal{H}(a)=0$ и $\partial \mathcal{H}(a) =a$. Таким образом, мы получили Определение 2. Пусть $k\leqslant n-1$, и пусть $a\in C_k(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая $k$-мерная цепь. Гармоническое продолжение цепи $a$ – это цепь Мы только что описали (уже существующую, см., например, [8]) конструкцию гармонической цепи с предписанной границей. Лемма 3. 1. Гармоническое продолжение однозначно определяется условиями 2. Гармоническое продолжение $s$-цепи $a$ представимо в виде где $M \neq N$ – некоторые натуральные числа, $\partial c_i=\partial c_j' =a$ и каждая из цепей $c_i$ и $c_j'$ – $s$-пленка для $a$.Приведем важные замечания. Замечание 1. Гармоническое продолжение зависит от комплекса $\Gamma$, а не только от цепи $a$. В частности, если подразбить $\Gamma$, сохраняя $a$, гармоническое продолжение изменится. Замечание 2. Хотя гармоническое продолжение работает для всех $k\leqslant n-1$, в размерности $n-1$ мы будем использовать упрощенную технологию обращения граничного оператора (см. ниже). Замечание 3. Каноническое обращение граничного оператора $\partial$ – полезный прием. В качестве примера упомянем так называемые минимальные евклидовы цепи, использованные в [9]. Коротко говоря, среди всех цепей с предписанной границей берется цепь с минимальной евклидовой нормой. 2.4. Число вращения. Продолжение размерности $n$В этом пункте $\Gamma$ – регулярный клеточный комплекс, являющийся комбинаторной сферой $S^n$. Пусть $\Sigma \in C_{n-1}(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая цепь, а $x,y\in S^n\setminus \operatorname{Skel}_{n-1}(\Gamma)$ – некоторые точки. Определение 3. Число вращения $\mathcal{W}(x,y,\Sigma)$ определим как алгебраическое число пересечений $\Sigma$ и $[x,y]$, где $[x,y]$ – гладкий или кусочно линейный ориентированный путь из $x$ в $y$, пересекающий $(n-1)$-остов комплекса $\Gamma$ трансверсально. Если концы $x$ и $y$ фиксированны, то число вращения не зависит от выбора пути $[xy]$. Заимствуя обозначения из теории пересечений, и смотря на $[x,y]$ как на $1$-цепь, пишем Пример 2. 1. Если $\Sigma$ – образ фундаментального класса для некоторого отображения $\psi\colon S^1\to S^{2}$ и $S^2$ представляется как плоскость $\mathbb{R}^2$, компактифицируемая точкой $\infty=y$, то $\mathcal{W}(x,y,\Sigma)$ – в точности число вращения кривой $\Sigma$ относительно точки $x$ (рис. 2). 2. Если $\Sigma$ – усреднение циклов, представленных некоторыми подмногообразиями, то $\mathcal{W}(x,y,\Sigma)$ – усреднение чисел вращения. Лемма 4. Пусть $\Sigma\in C_{n-1}(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая цепь. 1. Для всякой клетки $\sigma_1^n\in \Gamma$ существует единственная цепь $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{\Sigma,\sigma^n_1}\in C_{n}(\Gamma, \mathbb{Q})$, коэффициент которой $\mathcal{C}(\sigma_1^n)$ при $\sigma_1^n$ обнуляется и для которой $\partial \mathcal{C}= \Sigma$. 2. Коэффициенты $\mathcal{C}$ при прочих клетках суть числа вращения, т.е. для $\sigma_2^n \in \Gamma$ где $x\in \sigma_1$, $y \in \sigma_2$.3. Если $\Sigma$ – $s$-цепь, то $\mathcal{C}$ – $s$-пленка. Замечание 4. Пусть $\Sigma \in C_{n-1}(\Gamma, \mathbb{Q})$. Чтобы вычислить гармоническое продолжение $\mathcal{H}(\Sigma)$, надо проделать следующее: пользуясь леммой 4, найти любую цепь $b$, для которой $\partial b=\Sigma$. Гармоническое продолжение равно $b+c$, где $c$ – такая цепь с постоянными коэффициентами, что сумма всех коэффициентов цепи $b+c$ по всем $n$-клеткам обнуляется. Действительно, в этом случае $\partial^*(b+c)=0$. Поскольку $\partial (b+c)=\partial b=\Sigma$, по лемме 3 $b+c$ – гармоническое продолжение. Определение 4. Пусть $\Sigma \in C_{n-1}(\Gamma, \mathbb{Q})$ – замкнутая цепь, пусть $y\in S^n\setminus \operatorname{Skel}_{n-1}(\Gamma)$ – некоторая точка, а $V$ – вершина $\Gamma$. Предположим также, что $V$ инцидентна ровно $n+1$ клеткам старшей размерности комплекса $\Gamma$. Число вращения, или продолжение размерности $n$, зададим как усреднение где суммирование идет по всем точкам $x_i$, по одной точке из каждой $n$-клетки, инцидентной вершине $V$. С этого момента для фиксированных $V$ и $\Sigma$ будем смотреть на $\mathcal{W}(V, \Sigma)$ как на $n$-цепь, такую линейную комбинацию $n$-клеток, что коэффициент при клетке равен числу вращения внутренней точки этой клетки.Лемма 5. 1. Справедливо равенство $\partial \mathcal{W}(V,y,\Sigma)=\Sigma$. 2. Оператор $ \mathcal{W}(V,y,\Sigma)$ линеен относительно $\Sigma$. 3. Если $\Sigma$ – это $s$-цепь, то $ \mathcal{W}(V,\Sigma)$ – усреднение ее $s$-пленок. § 3. Первая формулаПусть имеется послойно ориентированное триангулированное кусочно линейное расслоение. 1. Зафиксируем симплекс $\sigma^{n+1}$ в базе $B$. Обозначим его вершины через $v_0,\dots,v_{n+1}$ и рассмотрим комплекс $\Gamma_{01\dots n+1}=\Gamma_{01\dots n+1}(\sigma^{n+1})$. Переберем все имеющиеся $(n+2)$-наборы вершин комплекса $V_0,\dots,V_{n+1}$, по одной каждого цвета, т.е. $V_i\in \pi^{-1}(v_i)$. Для каждого такого набора проделаем нижеизложенное. 2. Для каждого ориентированного ребра $V_iV_j$ возьмем $0$-цепь $-V_i+V_j\in C_0(\Gamma_{ij}, \mathbb{Q})$ и вычислим ее гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{ij}$: 3. Для каждой ориентированной тройки вершин $V_iV_jV_k$ вычислим следующее гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{ijk}$:
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{ijk}=\mathcal{H}( \Sigma_{jk}-\Sigma_{ik}+\Sigma_{ij}).
\end{equation*}
\notag
$$
4. Будем действовать аналогичным образом для всех $k\leqslant n$. Рассмотрим $(k+1)$-набор вершин, скажем, $V_0,\dots,V_{k}$. Полагая, что $\Sigma_{0\dots \widehat{i}\dots k}$ определены на предыдущем шаге, вычислим гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{0\dots k}$:
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{0\dots k}=\mathcal{H}\biggl(\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\Sigma_{0\dots \widehat{i}\dots k}\biggr)\in C_k(\Gamma_{0\dots k}, \mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
5. В конце мы получим набор цепей $\Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots n+1}$. Цепь
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i\Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots n+1}\in C_{n}(\Gamma_{01\dots n+1}, \mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
является замкнутой $n$-цепью, и, следовательно, представляет некоторое рациональное число $\mathfrak{e}=\mathfrak{e}(\sigma^{n+1}).$ Теорема 1. 1. Число $\mathfrak{e}(\sigma^{n+1})$ зависит только от комбинаторики $\pi^{-1}(\sigma^{n+1})$ и выбора $V_1,\dots,V_n$. 2. Изменение ориентации симплекса $\sigma^{n+1}$ меняет знак $\mathfrak{e}(V_0,\dots,V_{n+1}; \Gamma_{01\dots n+1})$. 3. Функция, присваивающая каждому $(n+1)$-мерному симплексу $\sigma^{n+1}$ усреднение чисел $\mathfrak{e}(V_0,\dots,V_{n+1};\Gamma_{01\dots n+1})$ по всем $(n+2)$-наборам вершин $(V_0,\dots, V_{n+1})$, по одной вершине каждого цвета, есть замкнутая коцепь, представляющая рациональный класс Эйлера данного расслоения.Замечание 5. Детальный анализ (который мы опускаем ради краткости и сохранения элементарного уровня изложения) показывает, что коцепь из теоремы 1 совпадает с коцепью, полученной Мнёвым (см. [3; теорема 8]). § 4. Вторая формула: упрощение последнего шага1. Зафиксируем симплекс $\sigma^{n+1}$ в базе $B$. Обозначим его вершины через $v_0,\dots,v_{n+1}$ и рассмотрим комплекс $\Gamma_{01\dots n+1}=\Gamma_{01\dots n+1}(\sigma^{n+1})$. Переберем все имеющиеся $(n+2)$-наборы вершин комплекса $V_0,\dots,V_{n+1}$, по одной каждого цвета, т.е. $V_i\in \pi^{-1}(v_i)$. Для каждого такого набора проделаем нижеизложенное. 2. Для каждого ориентированного ребра $V_iV_j$ возьмем $0$-цепь $-V_i+V_j\in C_0(\Gamma_{ij}, \mathbb{Q})$ и вычислим ее гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{ij}$: 3. Для каждой ориентированной тройки вершин $V_iV_jV_k$ вычислим следующее гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{ijk}$:
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{ijk}=\mathcal{H}( \Sigma_{jk}-\Sigma_{ik}+\Sigma_{ij}).
\end{equation*}
\notag
$$
4. Будем действовать аналогичным образом для всех $k< n$, как в § 3. 5. Последний шаг $k=n$ выглядит иначе: предполагая, что $\Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots \widehat{j}\dots n+1}$ уже известны, положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{\widehat{i}}=\Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots n+1}=\sum_{j\neq i} (-1)^{j+(\operatorname{sign}(j-i)+1)/2} \Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots \widehat{j}\dots n+1}
\end{equation*}
\notag
$$
и зададим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}_i=\frac{1}{n+1}\sum_{k\neq i}\mathcal{W}(V_i,V_k,\Sigma_{\widehat{i}})\in C_n(\Gamma_{0\dots n+1}, \mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. 1. Цепь $\mathfrak{E}_i$ не зависит от $i$. 2. Цепь $\mathfrak{E}_i$ замкнута и, следовательно, равна фундаментальному классу, умноженному на некоторое рациональное число $\mathfrak{e}=\mathfrak{e}(V_0,\dots,V_{n+1};\Gamma_{01\dots n+1})$, зависящее только от комбинаторики $\pi^{-1}(\sigma^{n+1})$ и выбора $V_1,\dots,V_n$. 3. Изменение ориентации симплекса $\sigma^{n+1}$ меняет знак $\mathfrak{e}(V_0,\dots,V_{n+1}; \Gamma_{01\dots n+1})$. 4. Функция, присваивающая каждому $(n+1)$-мерному симплексу $\sigma^{n+1}$ усреднение чисел $\mathfrak{e}(V_0,\dots,V_{n+1};\Gamma_{01\dots n+1})$, взятое по всем $(n+2)$-наборам вершин $(V_0,\dots,V_{n+1})$, по одной вершине каждого цвета, есть замкнутая коцепь, представляющая класс Эйлера данного расслоения.§ 5. Доказательство теорем 1 и 2. Построение частичных сеченийРуководствуясь комбинаторикой триангулированного расслоения, мы пошагово построим набор частичных сечений. Начнем с построения частичных сечений над нульмерным остовом $\operatorname{Skel}_0(K_B)$ и постепенно продолжим их на остовы больших размерностей вплоть до $\operatorname{Skel}_n(K_B)$. Предположим, что для всех симплексов комплекса $K_B$ задана некоторая ориентация. Возьмем ориентированный симплекс $\sigma^{n+1} \in K_B$, занумеруем его вершины согласованно с ориентацией и зафиксируем локальную тривиализацию расслоения над $\sigma^{n+1}$. Шаг 0. Возьмем вершину симплекса $\sigma^{n+1}$, скажем, $v_0$. Ее прообраз $\pi^{-1}(v_0)$ – триангулированная сфера. Положим значение частичного сечения $s$ над $v_0$ равным некоторой вершине $V_0$ двойственного клеточного комплекса $\Gamma_0$ этой триангуляции. Проделаем то же для всех вершин комплекса $K_B$. Мы получим набор частичных сечений над остовом $\operatorname{Skel}_0(K_B)$. Иначе говоря, для симплекса $\sigma^{n+1}$ частичное сечение фиксирует набор $V_0, \dots, V_{n+1}$ из $n+2$ разноцветных вершин комплекса $\Gamma_{012\dots n+1}$, по одной вершине каждого цвета. Шаг 1. Возьмем ребро $\sigma^{n+1}$, скажем, $(v_iv_j)$, и рассмотрим комплекс $\Gamma_{ij}$. Напомним, что он является суперпозицией $\Gamma_{i}$ и $\Gamma_{j}$. Мы уже задали частичные сечения над вершинами $v_i$ и $v_j$, зафиксировав $V_i$ и $V_j$, вершины комплекса $\Gamma_{ij}$. Цепь
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{ij} =\mathcal{H}(-V_i +V_j)\in C_1(\Gamma_{ij},\mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
– однозначно определенная $1$-цепь, граница которой есть $-V_i +V_j$. По лемме 3 $\Sigma_{ij}$ – усреднение некоторого набора цепей с носителями в путях, ведущих из $V_i$ в $V_j$, т.е. усреднение цепей, поддерживаемых частичными сечениями над ребром $v_iv_j$. Проделав аналогичное для всех остальных ребер и остальных симплексов, мы получаем набор частичных сечений над остовом $\operatorname{Skel}_1(K_B)$. Шаг 2. Теперь наша цель – продолжить частичные сечения на $\operatorname{Skel}_2(K_B)$. Для каждой тройки вершин $v_i,v_j,v_k$ симплекса $\sigma^{n+1}$ рассмотрим замкнутую $1$-цепь $ \Sigma_{jk}-\Sigma_{ik}+\Sigma_{ij}$. Здесь мы по умолчанию предполагаем, что симплекс $v_iv_jv_k$ ориентирован и порядок $ijk$ отвечает ориентации. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{ijk}=\mathcal{H}( \Sigma_{jk}-\Sigma_{ik}+\Sigma_{ij}) \in C_2(\Gamma_{ijk}, \mathbb{Q})
\end{equation*}
\notag
$$
– гармоническое продолжение относительно комплекса $\Gamma_{ijk}$. Лемма 6. Цепь $\Sigma_{ijk}$ – усреднение цепей, носители которых – частичные сечения расслоения, заданные на грани $(v_iv_jv_k)$ симплекса $\sigma^{n+1}$. Доказательство. Мы уже знаем, что $\Sigma_{ij}$, $\Sigma_{jk}$ и $\Sigma_{ki}$ — усреднения цепей с носителями в некоторых путях. Можно считать, что в усредняющих выражениях из леммы 2 числа $M$ (соответственно $N$) одни и те же для всех трех цепей. Если это не так, можно добиться желаемого с помощью следующих приемов:
1) прибавим и тут же вычтем $s$-пленку, увеличив тем самым $N$ и $M$ на единицу; 2) для данного числа $T\in \mathbb{Z}$ возьмем каждое из сечений $T$ раз, а затем разделим общее выражение на $T$. Более того, ради согласованности будем считать, что эти числа одни и те же для всех ребер комплекса $K_B$. Это возможно по той же причине. Сгруппируем слагаемые, участвующие в разложениях $\Sigma_{ij}$, $\Sigma_{jk}$ и $-\Sigma_{ik}$, положительные с положительными, отрицательные с отрицательными, так что образуются замкнутые тройки путей. Применим лемму 3 к каждой тройке. Обработав подобным образом каждую из $2$-граней, мы получаем усреднение частичных сечений над остовом $\operatorname{Skel}_2(K_B)$. Будем действовать пошагово подобным образом. Общий шаг $k$ следующий. Шаг $k$. Продолжим каждое из частичных сечений на $\operatorname{Skel}_k(K_B)$. Для всякого $(k+1)$-набора вершин, скажем, для вершин $v_0,\dots,v_{k}$ симплекса $\sigma^{n+1}$, рассмотрим замкнутую $k$-цепь
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\Sigma_{0\dots \widehat{i}\dots k} \in C_{k-1}(\Gamma_{0\dots k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{0\dots k}=\mathcal{H}\biggl(\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\Sigma_{0\dots \widehat{i}\dots k}\biggr)\in C_k(\Gamma_{0\dots k}).
\end{equation*}
\notag
$$
Гармоническое расширение берется относительно комплекса $\Gamma_{0\dots k}$. Цепь $\Sigma_{0\dots k}$ есть усреднение цепей, носителей частичных сечений над симплексом $[v_0\dots v_k]$. Это доказывается способом, аналогичным доказательству леммы 6. Замечание 6. Один и тот же $k$-симплекс $v_0,\dots,v_{k}$ служит гранью нескольких $(n+1)$-симплексов. Однако наша конструкция опирается только на комплекс $\Gamma_{0\dots k}$, т.е. она не зависит от выбора симплекса $\sigma^{n+1}$, содержащего $v_0,\dots,v_{k}$. $\bullet$ Чтобы доказать теорему 1, мы применяем шаг $k$ для всех $k=1,2,\dots,n$, включая $k=n$. На шаге $n$ мы получаем замкнутую $n$-цепь, являющуюся усреднением цепей, носителей частичных сечений на границе $\sigma ^{n+1}$. Предложение 1 вместе с идеей усреднения завершает доказательство теоремы 1. $\bullet$ В доказательстве теоремы 2 последний шаг $n$ иной. Шаг $n$. Наша цель заключается в продолжении усреднения частичных сечений на $\operatorname{Skel}_n(K_B)$ с использованием продолжения размерности $n$ (числа вращения). На этом шаге мы еще раз усредняем продолжения сечений, но, к счастью, некоторые слагаемые сокращаются. Для каждого $i$ положим
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{\widehat{i}}= \sum_{j\in \{0,1,\dots,\widehat{i},\dots,n+1\}} \ (-1)^{j+(\operatorname{sign}(j-i)+1)/{2}} \Sigma_{012\dots \widehat{i}\dots \widehat{j}\dots n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению $\Sigma_{\widehat{i}}$ – замкнутая цепь, связанная с комплексом $\Gamma_{012\dots \widehat{i}\dots n+1}$. Зафиксируем $\Sigma_{\widehat{i}}$. Для каждого $V_j$, $j\neq i$, возьмем $\mathcal{W}(V_j,\Sigma_{\widehat{i}})$ – продолжения размерности $n$. Всего имеется $n+1$ продолжений $\Sigma_{\widehat{i}}$, каждое из них по лемме 2 есть усреднение некоторых $s$-пленок цепи $\Sigma_{\widehat{i}}$. Следовательно, цепь
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(n+1)} \sum_{j \neq i} \mathcal{W}(V_j,\Sigma_{\widehat{i}})
\end{equation*}
\notag
$$
также является усреднением некоторых $s$-пленок цепи $\Sigma_{\widehat{i}}$. Дальнейшее суммирование по $i$ дает замкнутую цепь, усреднение некоторых частичных сечений, заданных на $\partial \sigma^{n+1}$:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}= \frac{1}{(n+1)}\sum_i \sum_{j \neq i} \mathcal{W}(V_j,\Sigma_{\widehat{i}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Посмотрим на значение этой цепи в некоторой точке $x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{E}(x) &= \frac{1}{(n+1)}\sum_i \sum_{j \neq i} \mathcal{W}(V_j,x,\Sigma_{\widehat{i}}) \\ &=\frac{1}{(n+1)}\sum_i \sum_{j} \mathcal{W}(V_j,x,\Sigma_{\widehat{i}})- \frac{1}{(n+1)}\sum_i \mathcal{W}(V_i,x,\Sigma_{\widehat{i}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим $x=V_k$ и заметим, что по лемме 7 первая сумма обнуляется:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{E}(V_k)=- \frac{1}{(n+1)}\sum_i \mathcal{W}(V_i,V_k,\Sigma_{\widehat{i}})=\frac{1}{(n+1)}\sum_{i} \mathcal{W}(V_k,V_i,\Sigma_{\widehat{i}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, $\mathfrak{E}$ – замкнутая $n$-цепь, которая по построению и по леммам 5 и 2 является усреднением цепей, носителей некоторых частичных сечений, заданных на $\partial \sigma^{n+1}$, значения которых в вершинах $v_i$ суть $V_i$. Еще одно усреднение по всем возможным выборам $V_0,\dots,V_{n+1}$, $V_i\in \operatorname{Vert}(\Gamma_i)$, дает коцепь $\mathcal{E}(\sigma^{n+1})$, представляющую класс Эйлера. Доказательство теоремы 2 завершено. § 6. Заключительные замечания6.1. Расслоения со слоем окружностьПокажем, что для $n=1$ теорема 2 приводит к формуле из [2] и [1]. Для симплекса $ \sigma^{n+1}=\sigma^2$ из базы комплекс $\Gamma_{012}$ – это триангулированная окружность, на которую надо смотреть как на ожерелье с бусинами трех цветов, скажем, красными, синими и зелеными. В нашем алгоритме два шага. Шаг $0$ фиксирует разноцветную тройку бусин. С комбинаторной точки зрения имеется лишь два типа красно-сине-зеленых троек, положительно ориентированных и отрицательно ориентированных. Шаг $1$ есть также шаг $n$, поэтому можно не пользоваться гармоническими продолжениями1. Мы пользуемся продолжением размерности $n$. Цепь $\Sigma_{\widehat{0}}$ – это $0$-цепь, представленная парой бусин, $V_1$ и $V_2$. Она может быть заклеена одной из дуг окружности, соединяющих $V_1$ и $V_2$ (конечно, имеются и другие пленки, обходящие окружность дополнительно несколько раз, но в соответствии с нашей формулой мы используем только эти дуги). Продолжение размерности $n$ есть среднее между этими двумя пленками. Тем самым, для каждой тройки бусин мы усредняем восемь сечений; на рис. 3 представленно одно из них. В этом случае сечение вносит нулевой вклад в вычисление коцепи, так как степень соответствующего отображения $S^1\to S^1$ равна нулю. Простое вычисление показывает, что всякая положительно ориентированная тройка дает вклад ${-1}/{2}$, а вклад отрицательно ориентированной тройки равен ${1}/{2}$. Таким образом, коцепь, представляющая класс Эйлера, присваивает каждому симплексу $\sigma^2$ из базы число
$$
\begin{equation*}
\frac{\sharp(\mathrm{neg})-\sharp(\mathrm{pos})}{2\cdot \sharp(\mathrm{red})\cdot \sharp(\mathrm{blue})\cdot \sharp(\mathrm{green})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\sharp(\mathrm{pos})$ (соответственно $\sharp(\mathrm{neg})$) – число положительно (соответственно отрицательно) ориентированных разноцветных троек бусин; $\sharp(\mathrm{red})$ обозначает число красных бусин и т.д. 6.2. Другие локальные комбинаторные формулыНаш подход дает много свободы для вывода других локальных комбинаторных формул. Например, вместо гармонического продолжения можно использовать минимальные продолжения: на первом шаге соединим $V_i$ и $V_j$ наикратчайшим путем, лежащим в $1$-остове комплекса $\Gamma_{ij}$. Под длиной пути мы подразумеваем число ребер. Если имеется несколько кратчайших путей, необходимо усреднить. На следующем шаге выбирается пленка “минимальной площади”, т.е. подкомплекс $2$-остова $\Gamma_{ijk}$ с минимальным числом $2$-клеток, и т.д. Другой способ получения локальной комбинаторной формулы состоит в использовании деформированного лапласиана вместо обычного. Для этого надо зафиксировать иное скалярное произведение на $C_k(\Gamma)$, например, сделать длину вектора, ассоциированного с клеткой, зависящей от комбинаторики клетки (например, от числа вершин клетки). Можно ожидать, что будет получена формула для некоторой другой коцепи (представляющий тот же самый когомологический класс).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pan23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|