| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Теоремы сравнения для эволюционных включений с максимально монотонными операторами. А. А. Толстоногов Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9736e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Основные результатыПусть $T=[0,a]$, $a>0$, – отрезок числовой полупрямой ${\mathbb R}^+=[0,+\infty )$ с мерой Лебега $\mu$ и с $\sigma$-алгеброй $\Sigma$ измеримых подмножеств из $T$, $H$ – сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot\,, \cdot \rangle$, порожденной им нормой $\| \cdot \|$ и с нулевым элементом $\Theta $. Целью работы является изучение вопросов существования решений эволюционного включения
$$
\begin{equation*}
x(0) = x_0 \in D(A(0)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов с областями определения $D(A(t))\subset H$. Под решением включения (1.1) при фиксированных $x_0$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ понимается абсолютно непрерывная функция $x_A(f)\colon T\to H$, $x_A(0) = x_0$, производная $\dot{x}_A(f)(t)$ которой удовлетворяет включению
$$
\begin{equation*}
-\dot{x}_A(f)(t)\in A(t) x_A(f)(t) + f(t) \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем следующие предположения $H(A)$: 1) семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, является измеримым; 2) существуют функция $m(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$ и неубывающая функция $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$ такие, что
$$
\begin{equation}
\| A^0(t) x \|\leqslant m(t)(1+l(\|x\|)), \qquad t\in T, \quad x \in D(A(t)),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $A^0(t) x$ – элемент минимальной нормы множества $A(t)x\subset H$, которое, как известно (см. [1]), является замкнутым и выпуклым. Если неравенство (1.2) имеет место, то для любого $t\in T$ множество $D(A(t))$ является замкнутым и выпуклым (см. [2; предложение 2.1]). Положим и рассмотрим процесс выметания (см. [3])
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\dot{x}(t)\in N(D(t))x(t) + \varphi (t), \\ x(0)=x_0 \in D(0), \qquad \varphi (\cdot )\in L^1(T,H), \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $N(D(t))x$ – нормальный в смысле выпуклого анализа конус множества $D(t)$ в точке $x\in D(t)$. Решение процесса выметания (1.4) при фиксированных $x_0$ и $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ – это абсолютно непрерывная функция $x_N(\varphi )\colon T\to H$, $x_N(\varphi )(0) = x_0$, производная $\dot{x}_N(\varphi )(t)$ которой удовлетворяет включению (1.4) почти всюду. В дальнейшем мы считаем, что $x_0 \in D(A(0))$ фиксировано. Основной результат работы составляет Теорема 1.1. Пусть выполняются предположения $H(A)$. Если для любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )\colon T\to H$, $ x_N(\varphi )(0) = x_0$, то для любого $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ эволюционное включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)\colon T\to H$, $x_A(f)(0) = x_0$. При этом для любого $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, при котором имеет место равенство Если для любого $r_N(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество равностепенно непрерывно, то для любого $r_A(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество является равностепенно непрерывным подмножеством пространства $C(T,H)$ всех непрерывных функций из $T$ в $H$ с $\sup$-нормой. Даны априорные оценки для решений $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$ и их производных $\dot{x}_A(f)(\cdot )$. Введено понятие $\rho$-псевдополуотклонения между максимально монотонными операторами, $\rho \in [0,+\infty]$. При $\rho =+\infty$ псевдополуотклонение между максимально монотонными операторами совпадает с псевдорасстоянием $\operatorname{dis}(\cdot ,\cdot )$ по А. Владимирову (см. [4]) между максимально монотонными операторами $A_1$ и $A_2$, которое определяется равенством
$$
\begin{equation}
\operatorname{dis}(A_1,A_2)= \sup \biggl\{\frac{\langle x_1-x_2,\,y_2-y_1\rangle}{1+ \| y_1\| +\| y_2\| };\, y_i\in Ax_i,\, x_i \in D(A_i),\, i=1,2\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
В терминах $\rho$-псевдополуотклонений сформулированы условия, при которых процесс выметания (1.4) при фиксированных $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0) = x_0$. Приведем один из таких результатов при $\rho =+\infty $. Следствие 1.1. Пусть выполняется неравенство (1.2) и существует абсолютно непрерывная функция $b\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что Здесь $\|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1}$ – норма элемента $\dot{b}(\cdot)$ в пространстве $L^1(T,{\mathbb R})$, а $\|f(\cdot )\|_{L^1}$ – норма элемента $f(\cdot )\in L^1(T,H)$. Отметим, что в формулировке следствия 1.1 не фигурирует предположение $H(A)$, 1). Оно автоматически вытекает из неравенств (1.2) и (1.7). Полученные результаты используются для изучения эволюционного включения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -\dot{x}(t)\in A(t)x(t) + F(t,x(t)), \\ \notag x(0) = x_0 \in D(A(0)), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $F\colon T\times H\rightrightarrows H$ – многозначное отображение с замкнутыми (не обязательно выпуклыми) значениями. Сделаем следующие предположения $H(F)$: 1) отображение $t\to F(t,x)$ измеримо; 2) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}(F(t,x),F(t,y))<k(t)\| x-y\| \quad \text{п.в.},
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
$k(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, $k(t)>0$, $t\in T$, $x,y\in H$, где $\operatorname{haus}(\cdot,\cdot)$ – расстояние по Хаусдорфу между множествами; 3) при некотором $n(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, $n(t)>0$, $t\in T$, выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\| F(t,\Theta )\|= \sup \bigl\{\| y\|;\, y\in F(t,\Theta)\bigr\}\leqslant n(t), \qquad t\in T;
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
3$^*$) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
d(\Theta,F(t,\Theta))=\inf\bigl\{\|y\|;\, y\in F(t,\Theta)\bigr\} \leqslant n(t), \qquad t\in T_0.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Под решением включения (1.11) понимается пара $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))$, где $x(v)$: $T\to H$ – абсолютно непрерывная функция, $x(v)(0) = x_0$, $v(\cdot )\in L^1(T,H)$, такая, что
$$
\begin{equation}
-\dot{x}(v)(t)\in A(t)x(v)(t) + v(t) \quad \text{п.в.},
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
При этом функцию $x(v)(\cdot )$ мы будем называть траекторией включения (1.11). Множество решений включения (1.11) мы будем обозначать $\mathcal R_F(x_0)$, а множество траекторий $\mathcal Tr_F(x_0)$. Рассмотрим дифференциальное уравнение которое имеет решение
$$
\begin{equation}
r(t)=e^{\alpha (t)}\biggl(r_0+\int_0^t e^{-\alpha (\tau )} n(\tau )\,d\tau \biggr),
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где Теорема 1.2. Пусть выполняются предположения $H(F)$, 1), 2), 3$^*$). Предположим, что для любых $x_0 \in D(A(0))$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет решение $x(f)(\cdot )$, $x(f)(0)=x_0$. Тогда множество $\mathcal R(x_0)$ не пусто. Если выполняются предположения $H(F)$, 1)–3), то любое решение $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R(x_0)$ удовлетворяет неравенствам где $r(t)$ – решение уравнения (1.17) с $r(0)=\| x_A(\Theta )\|_C$. При этом если множество $\{x_A(f)(\cdot );\, \| f(t)\| \leqslant \dot{r}(t)\}$ равностепенно непрерывно, то множество $\mathcal Tr_F(x_0)$ равностепенно непрерывно. Здесь $\| x_A(\Theta )\|_C$ – норма в пространстве $C(T,H)$ решения $x_A(\Theta )(t)$ включения (1.15) при $v(t)\equiv \Theta $, $t\in T$. Существование решения включения (1.1) мы получаем из существования решения включения (1.4). Аналогично существование решения включения (1.11) мы получаем из его сравнения с включением (1.1). Поэтому теоремы 1.1 и 1.2 называются теоремами сравнения. Термин “$L^2$-теория” указывает на то, что при доказательстве используется гильбертово пространство $L^2(T,H)$. Все результаты нашей работы, как и предлагаемый подход, являются новыми. Из теорем 1.1 и 1.2 как следствие вытекают результаты недавно опубликованной и единственной на сегодняшний день работы [5] о существовании абсолютно непрерывного решения включения
$$
\begin{equation*}
-\dot{x}(t)\in A(t)x(t) + f(t,x(t)), \qquad x(0) = x_0 \in D(A(0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнение результатов работы [5] с нашими будет дано в § 7. Работа состоит из семи параграфов. В § 1 приводится ряд основных результатов. В § 2 приводятся основные обозначения и определения. В § 3 приводятся сведения, необходимые для доказательства основных результатов. В § 4 приводится доказательство теоремы 1.1. В § 5 дается конкретизация условий в терминах свойств семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, при которых включение (1.4) имеет решение. В § 6 приводится доказательство теоремы 1.2. В § 7 дается анализ полученных результатов и сравнение их с известными. § 2. Основные обозначения и определенияПусть $X$ – сепарабельное банахово пространство с нормой $\| \cdot \|$ и порожденной ею метрикой $d(\cdot ,\cdot )$, $\Theta$ – нулевой элемент пространства $X$, $B$ и $\overline{B}$ – единичные открытый и замкнутый шары с центром в нуле $\Theta$. Через $d(y,C)$ мы обозначаем расстояние от точки $y$ до множества $C\subset X$ и Для множества $C\subset X$ через $\operatorname{\overline{co}}C$ обозначаем замкнутую выпуклую оболочку множества $C$. Пространство $X$, наделенное слабой топологией, мы обозначаем $\omega$-$X$. Пространство всех непрерывных функций $x\colon T\to X$ с топологией равномерной сходимости на $T$ обозначается через $C(T,X)$ с нормой $\| x\|_C$.Пространство $L^1(T,X)$ всех интегрируемых по Бохнеру функций $f\colon T\to X$ наделяется нормой Многозначное отображение $F\colon T\rightrightarrows X$ – это отображение, значениями которого являются непустые подмножества из пространства $X$.Пусть $F\colon T\rightrightarrows X$ – многозначное отображение. Обозначим через $F^{-1}(U)$, $U\subset X$, множество
$$
\begin{equation*}
F^{-1}(U)=\bigl\{t\in T;\, F(t) \cap U \ne \varnothing\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Многозначное отображение $F\colon T\rightrightarrows X$ называется измеримым (слабо измеримым) (см. [6]), если $F^{-1}(U)\in \Sigma$ для любого замкнутого (открытого) множества $U\subset X$. Если значениями многозначного отображения $F\colon T\rightrightarrows X$ являются замкнутые множества, то измеримость и слабая измеримость эквивалентны (см. [6]). Замечание 2.1. Отметим, что в работе [7], результаты которой мы будем использовать, измеримость понимается как слабая измеримость в терминологии работы [6]. Пусть $C(t)$, $t\in T$, – семейство операторов $C(t)\colon D(C(t))\subset X\rightrightarrows X$ с областью определения $D(C(t))$. Через $\operatorname{gr}C(t)$ мы обозначим график оператора $C(t)$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}C(t)=\bigl\{(x,y)\in X\times X;\, x\in D(C(t)),\,y\in C(t)x\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство $C(t)\colon D(C(t))\subset X\rightrightarrows X$ называется измеримым (слабо измеримым), если таковым является многозначное отображение $t\to \operatorname{gr}C(t)$. Пусть $\mathcal T=[0,a)$ – полуинтервал Зоргенфрея (см. [8]). База топологии полуинтервала Зоргенфрея состоит из всех полуинтервалов $[x,r)$, $x\in [0,a)$, $x<r<a$, и $r$ – рациональное число. Всякое непустое открытое множество интервала Зоргенфрея является конечным или счетным объединением полуинтервалов $[x,c)$, $c$ – вещественное число (см. [8]). Пусть $\rho \in [0,+\infty ]$ и $C$, $D$ – непустые подмножества из $X$. Число
$$
\begin{equation}
\operatorname{exc}_{\rho}(C,D)= \sup \bigl\{d(x,D);\, x\in C\cap \rho \overline{B}\bigr\}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
называется $\rho$-полуотклонением множества $C$ от $D$. При этом считается $\operatorname{exc}_{\rho}(C,D)=0$, если $C\cap \rho \overline{B}=\varnothing $. Определим $\rho$-псевдорасстояние по Хаусдорфу (см. [9]) между $C$ и $D$ как
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}_{\rho}(C,D)= \max \bigl\{\operatorname{exc}_{\rho}(C,D),\operatorname{exc}_{\rho}(D,C)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Так как $\rho \overline{B}=X$ при $\rho =+\infty $, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{exc}_{\infty}(C,D)= \sup \bigl\{d(x,D);\, x\in C\bigr\} =\operatorname{exc}(C,D),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}_{\infty}(C,D)=\operatorname{haus}(C,D) =\max \bigl\{\operatorname{exc}(C,D),\operatorname{exc}(D,C)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\operatorname{exc}(C,D)$ – полуотклонение множества $C$ от множества $D$, а $\operatorname{haus}(C,D)$ – расстояние по Хаусдорфу между множествами $C$ и $D$. В дальнейшем $H=X$ – сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Оператор $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ называется монотонным, если для любых $(x_i,y_i)\in \operatorname{gr}A$, $ i=1,2$, выполняется неравенство $\langle x_1-x_2,\,y_1-y_2\rangle \geqslant 0$. Монотонный оператор называется максимально монотонным, если его график не является собственным подмножеством графика другого монотонного оператора. Если $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор, то множество $Ax$, $x\in D(A)$, является замкнутым, выпуклым подмножеством пространства $H$, его график $\operatorname{gr}A$ является замкнутым подмножеством пространства $H\times H$ и замыкание $\overline{D(A)}$ в $H$ множества $D(A)$ является замкнутым, выпуклым подмножеством пространства $H$ (см. [1]). Для любого $x\,{\in}\, D(A)$ существует элемент $A^0x\,{\in}\, Ax$ минимальной нормы, т.е. Монотонный оператор $A$ имеет максимально монотонное продолжение $\widehat{A}$ с $D(\widehat{A})\subset \operatorname{\overline{co}} D(A)$ (см. [1]).Если $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор, то для любого $\lambda >0$ существуют однозначные операторы, определенные на $H$
$$
\begin{equation}
J_{\lambda}(A)=(I+\lambda A)^{-1}, \qquad A_{\lambda}=\frac{1}{\lambda}(I-J_{\lambda}(A)),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
которые называют резольвентой и аппроксимацией Иосиды оператора $A$ с показателем $\lambda >0$. В (2.5) $I\colon H\to H$ – тождественный оператор. Приведем основные свойства (см. [1]) максимально монотонного оператора, которые мы будем использовать в дальнейшем. Лемма 2.1. Пусть $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор. Тогда 1) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\| J_{\lambda}(A)x - J_{\lambda}(A)y\| \leqslant \| x-y\| , \qquad x,y\in H, \quad \lambda >0;
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
2) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\| A_{\lambda}x - A_{\lambda}y\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x-y\| , \qquad x,y\in H, \quad \lambda >0;
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
3)
$$
\begin{equation}
A_{\lambda}x \in A (J_{\lambda}(A)x), \qquad x\in H, \quad \lambda >0;
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
4) $A_{\lambda}$, $\lambda >0$, является максимально монотонным оператором и
$$
\begin{equation}
\| A_{\lambda}x\| \leqslant \| A^0x\| , \qquad x\in D(A), \quad \lambda >0;
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
5) если $(x_n,y_n)\in \operatorname{gr}A$, $n\geqslant 1$, и последовательность $x_n$, $n\geqslant 1$, сходится к $x$ в пространстве $H$, а последовательность $y_n$, $n\geqslant 1$, сходится к $y$ в пространстве $\omega$-$H$, то $(x,y)\in \operatorname{gr}A$. Пусть $C\subset H$ – замкнутое выпуклое множество. Нормальным в смысле выпуклого анализа конусом $N(C)x$ множества $C$ в точке $x\in C$ называется множество
$$
\begin{equation}
N(C)x=\bigl\{y\in H;\, \langle y,z-x\rangle \leqslant 0 \ \forall\, z\in C\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Известно, что оператор $N(C)\colon C\subset H\rightrightarrows H$ является максимально монотонным оператором. Пусть $\rho \in [0,+\infty ]$ и $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$, $i=1,2$, – максимально монотонные операторы. Число
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2) &= \sup \biggl\{\frac{\langle x_1-x_2,\,y_2-y_1\rangle}{1+ \| y_1\| +\| y_2\| }; \notag \\ &\qquad\qquad x_1\in D(A_1)\cap \rho \overline{B},\, y_1\in A_1x_1,\,x_2\in D(A_2), \,y_2\in A_2x_2\biggl\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
мы назовем $\rho$-псевдополуотклонением оператора $A_1$ от оператора $A_2$. Если $D(A_1)\cap \rho \overline{B}=\varnothing $, то считается, что $\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2)=0$. Величина
$$
\begin{equation}
\operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2)= \max \bigl\{\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2),\operatorname{exc\,dis}_{\rho} (A_2,A_1)\bigr\}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
называется $\rho$-псевдорасстоянием между операторами $A_1$ и $A_2$. При $\rho =+\infty$ псевдорасстояние $\operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2)$ совпадает с псевдорасстоянием $\operatorname{dis}(A_1,A_2)$ по Владимирову (см. [4]) между максимально монотонными операторами, определяемому равенством (1.6). § 3. Предварительные сведения и вспомогательные результатыВ этом параграфе мы приведем ряд вспомогательных утверждений и известных результатов, которые нам понадобятся при доказательстве основных результатов. В дальнейшем, если не оговорено противное, $X$ – сепарабельное банахово пространство. Лемма 3.1. Однозначное отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно справа тогда и только тогда, когда оно непрерывно на полуинтервале Зоргенфрея $[0,a)$. Доказательство. Пусть отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно на полуинтервале $[0,a)$ Зоргенфрея. Возьмем произвольное $t_0\in [0,a)$ и последовательность $t_n\in [0,a)$, $t_n\downarrow t_0$, $n\geqslant 1$, сходящуюся к $t_0$. Нам нужно показать, что последовательность $x_n=F(t_n)$, $n\geqslant 1$, сходится к $x_0=F(t_0)$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
B(x_0,\varepsilon )=\bigl\{x\in X;\, \| x-x_0\| < \varepsilon \bigr\}, \qquad \varepsilon >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем произвольную последовательность $\varepsilon_n\downarrow 0$, $ n\geqslant 1$. Так как $x_0\in B(x_0,\varepsilon )$, то существует последовательность $\delta (\varepsilon_n)>0$, $t_0+\delta (\varepsilon_n)< a$, такая, что
$$
\begin{equation}
F(t)\in B(x_0,\varepsilon_n) \quad \forall\, t\in [t_0,t_0+\delta (\varepsilon_n)).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из (3.1) непосредственно вытекает, что последовательность $x_n=F(t_n)$ сходится к $x_0$.
Докажем обратное. Пусть отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно справа. Предположим, что оно не является непрерывным на полуинтервале Зоргенфрея $[0,a)$. Тогда существует точка $t_0\in [0,a)$ и $\varepsilon >0$ такие, что для любого $\delta_n>0$, $t_0+\delta_n < a$, $n\geqslant 1$, $ \delta_n\downarrow 0$, найдется точка $t_n\in [t_0,t_0+\delta_n)$, $n\geqslant 1$, такая, что Так как $t_n\downarrow t_0$, $n\geqslant 1$, то последовательность $x_n=F(t_n)$, $n\geqslant 1$, сходится к $x_0=F(t_0)$. Но это противоречит (3.2). Следовательно, отображение $F\colon [0,a)\to X$ является непрерывным на полуинтервале Зоргенфрея. Лемма доказана.Лемма 3.2. Пусть однозначное отображение $F\colon [0,a]\to X$ непрерывно справа на $[0,a)$. Тогда отображение $F\colon [0,a]\to X$ является борелевским. Доказательство. Возьмем произвольное открытое множество $U\subset X$ и рассмотрим множество Из леммы 3.1 вытекает, что $F^{-1}(U)$ является открытым множеством полуинтервала $[0,a)$ Зоргенфрея. Как следует из [8], множество $F^{-1}(U)$ является объединением не более счетного числа полуинтервалов $[t,t+r)$, $t\in [0,a)$, $t+r<a$. Поэтому множество $F^{-1}(U)$ является борелевским. Так как одноточечное множество $\{a\}$ является борелевским, то множество является борелевским. Лемма доказана. Лемма 3.3 (см. [10; лемма 2.1]). Пусть $V$ – гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$ и нормой $\| \cdot \|_V$. Предположим, что множество $\{v_{\lambda};\, 0<\lambda \leqslant 1\}\subset V$ ограничено и Тогда функция $\lambda \to \| v_{\lambda}\|_V$ не убывает и $v_{\lambda}$ сходится в пространстве $V$ при $\lambda \downarrow 0$. Лемма 3.4. Пусть $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$, $ i=1,2$, – максимально монотонные операторы. Тогда Доказательство. Если $D(A_1)\cap \rho \overline{B}=\varnothing $, то $\operatorname{exc}_{\rho}(D(A_1),D(A_2))=0$ и $\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2)=0$ согласно определению. Поэтому неравенство (3.3) выполняется автоматически.
Пусть $x_1\in D(A_1)\cap \rho \overline{B}\ne \varnothing$ и $y_1\in A_1x_1$. Воспользовавшись (2.5) и (2.8), мы получим, что для любого $\lambda >0$ существует точка
$$
\begin{equation}
x_2^{\lambda}=J_{\lambda}(A_2)x_1, \qquad x_2^{\lambda}\in D(A_2)
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}\in A_2x_2^{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого включения и (2.11) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\langle x_1-x_2^{\lambda},\frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}-y_1\biggr\rangle \leqslant \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2) \biggl(\biggl\|\frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}\biggr\|+\| y_1\| +1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Обозначим через $\operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})$ проекцию точки $x_1$ на замкнутое выпуклое множество $\overline{D(A_2)}$, где черта сверху означает замыкание множества $D(A_2)$. Известно (см. [1]), что $J_{\lambda}(A_2)x_1\to \operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})$ при $\lambda \downarrow 0$. Воспользовавшись (3.4) и переходя к пределу в (3.5) при $\lambda \downarrow 0$, мы получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\| x_1-\operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})\| \leqslant \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и (2.1) непосредственно вытекает неравенство (3.3). Лемма доказана. Следствие 3.1. Пусть $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонные операторы. Тогда Следствие вытекает из леммы 3.4, (2.2), (2.3) и (2.12), (1.6) при $\rho =+\infty $. Теорема 3.1. Пусть $\Gamma (t)$, $t\in T$, – слабо измеримое семейство монотонных операторов $\Gamma (t)\colon D(\Gamma (t))\subset H\rightrightarrows H$. Тогда существует единственное измеримое семейство $\widehat{\Gamma}(t)$, $t\in T$, максимально монотонных операторов $\widehat{\Gamma}(t)$: $D(\widehat{\Gamma}(t))\subset H\rightrightarrows H$ такое, что $\widehat{\Gamma}(t)$ для каждого $t\in T$ является максимально монотонным продолжением оператора $\Gamma(t)$. С учетом замечания 1.1 теорема вытекает из [7; теорема 3.1, с. 100]. Теорема 3.2. Пусть $A(t)$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) семейство $A(t)$, $t\in T$, является измеримым; 2) для любых $\lambda >0$ и $x\in H$ отображение $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ измеримо. Так как многозначное отображение $t\to \operatorname{gr}A(t)$ имеет своими значениями замкнутые множества, то понятия измеримости и слабой измеримости совпадают. Теперь утверждения теоремы с учетом замечания 2.1 вытекают из [7; теорема 2.1, с. 83]. Пусть $C\colon T\rightrightarrows H$ – многозначное отображение с замкнутыми выпуклыми значениями. Рассмотрим процесс выметания
$$
\begin{equation*}
x(0)=x_0 \in C(0), \qquad \varphi (\cdot )\in L^1(T,H).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ и
$$
\begin{equation}
S^1(r_C)=\bigl\{\varphi (\cdot )\in L^1(T,H);\, \| \varphi (t)\| \leqslant r_C(t) \ \text{ п.в.}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Теорема 3.3. Предположим, что для любого $\rho \in [0,+\infty )$ существует абсолютно непрерывная функция $b_{\rho}\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что для любых $s,t\in T$, $s\leqslant t$, выполняется неравенство Для любого $x_0$ и $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_C\|_{L^1}$, такое, что при $\varphi (\cdot )\in S^1(r_C)$ и множество равностепенно непрерывно.Здесь $x_C(\Theta )(\cdot )$, $x_C(\Theta )(0)=x_0$, – решение процесса выметания (3.7) при $\varphi (t)\equiv \Theta$, $t\in T$. Теорема вытекает из [11; следствие 1.1]. Следствие 3.2. Предположим, что существует абсолютно непрерывная функция $b\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что Следствие вытекает из теоремы 3.3, если учесть, что $b_{\infty}(t)\,{=}\,b(t)$ и $\operatorname{exc}_{\infty}(C(s)$, $C(t))=\operatorname{exc}(C(s),C(t))$. Замечание 3.1. В (3.11) и (3.14) в качестве $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ можно взять $r_C(t)=\| \varphi (t)\| $. § 4. Основной результатВ этом параграфе мы рассмотрим вопрос существования решения включения (1.1). Решение включения (1.1) мы будем обозначать $x_A(f)(\cdot )$. Следующая теорема является основополагающей в наших исследованиях. Теорема 4.1. Пусть $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор. Предположим, что $m>0$, $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$ – неубывающая функция. Тогда $D(A)$ является замкнутым выпуклым множеством и Доказательство. Известно (см. [1]), что замыкание $\overline{D(A)}$ множества $D(A)$ является выпуклым множеством. Замкнутость множества $D(A)$ при выполнении неравенства (4.1) доказана в [2]. Так как значениями максимально монотонного оператора $N(D(A))$ являются конусы, то Из этого включения следует, что Очевидно, что оператор $N(D(A))+A$ с областью определения $D(A)$ является монотонным. Так как оператор $A$ является максимально монотонным, то его график $\operatorname{gr} A$ не может быть собственным подмножеством графика другого монотонного оператора. Теперь равенство (4.2) вытекает из включения (4.3). Теорема доказана. Если $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов, то для любого $\lambda >0$ через $A_{\lambda}(t)$ мы обозначаем аппроксимацию Иосиды оператора $A(t)$, которая является максимально монотонным оператором из $H$ в $H$. В дальнейшем мы считаем, что для семейства максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, выполняются предположения $H(A)$. Из неравенства (1.2) и теоремы 4.1 вытекает, что для любого $t\in T$ множество $D(A(t))$ является замкнутым и выпуклым. Поэтому мы можем рассмотреть включение
$$
\begin{equation}
-\dot{x}_{\lambda}(t)\in N(D(t)) x_{\lambda}(t) + A_{\lambda}(t)x_{\lambda}(t)+f(t),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation*}
x_{\lambda}(0) = x_0 \in D(A(0)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H),
\end{equation*}
\notag
$$
где $D(t)=D(A(t))$, $t\in T$. Теорема 4.2. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любого $x_0\in D(0)$ и любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Тогда для любых $\lambda >0$, $x_0\in D(0)$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (4.4) имеет единственное решение $x_{\lambda}(f)\colon T\to H$, $x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству Доказательство. Хорошо известно, что решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, процесса выметания (1.4), если оно существует, единственно и для любых решений $x_N(\varphi_i)(\cdot )$, $x_N(\varphi_i)(0)=x_0$, $ \varphi_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, $i=1,2$, имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\| x_N(\varphi_1)(t) - x_N(\varphi_2)(t)\| \leqslant \int_0^t \| \varphi_1(\tau ) -\varphi_2(\tau ) \| \,d\tau .
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Обозначим через $\mathcal T\colon L^1(T,H)\to C(T,H)$ оператор, который каждому $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ ставит в соответствие единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $ x_N(\varphi )(0)=x_0$, процесса выметания (1.4), т.е. Из предположения $H(A)$, 1), теоремы 3.2 и (2.5) вытекает, что для любых $\lambda >0$, $x\in H$ отображение $t\to A_{\lambda}(t)x$ измеримо и
$$
\begin{equation}
\| A_{\lambda}(t)x - A_{\lambda}(t)y\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x-y\| ,\qquad x,y\in H.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Так как $x_N(\Theta )(t)\in D(t)$, $t\in T$, то воспользовавшись (4.8), (1.2) и (2.9), мы получим неравенство
$$
\begin{equation}
\| A_{\lambda}(t)x\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x\| + \frac{1}{\lambda}\| x_N(\Theta )\|_C+m(t)(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из (4.8) следует, что для любой непрерывной функции $x\colon T\to H$ функция $t\to A_{\lambda}(t)x(t)$ измерима. Тогда согласно (4.9) эта функция является элементом пространства $L^1(T,H)$. Поэтому при фиксированном $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ будет определен оператор $\mathcal A_{\lambda}\colon L^1(T,H)\to L^1(T,H)$
$$
\begin{equation}
\mathcal A_{\lambda}(\varphi )(t)= A_{\lambda}(t) \mathcal T(\varphi )(t)+f(t).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Из (4.6)–(4.8) и (4.10) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\| \mathcal A_{\lambda}(\varphi_1)(t) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2)(t)\| \leqslant \frac{1}{\lambda} \int_0^t \| \varphi_1(\tau ) - \varphi_2(\tau ) \| \,d\tau .
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
На пространстве $L^1(T,H)$ введем норму
$$
\begin{equation}
P(\varphi )=\int_T \exp \biggl(- \frac{2}{\lambda}\, t\biggr) \| \varphi(\tau )\| \,d\tau ,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
которая эквивалентна стандартной норме пространства $L^1(T,H)$. Пространство $L^1(T,H)$ с нормой (4.12) будем обозначать $L^1_P(T,H)$. Из (4.11), (4.12) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
P(\mathcal A_{\lambda}(\varphi_1) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2))\leqslant \int_T \frac{1}{\lambda} \exp \biggl(- \frac{2}{\lambda}\, t\biggr)\biggl(\int_0^t \| \varphi_1(\tau )-\varphi_2(\tau )\| \,d\tau \biggr)\,dt, \qquad t\in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав правую часть этого неравенства по частям, мы получим
$$
\begin{equation*}
P(\mathcal A_{\lambda}(\varphi_1) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2))\leqslant \frac{1}{2}P(\varphi_1-\varphi_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, оператор $\mathcal A_{\lambda}\colon L^1_P(T,H)\to L^1_P(T,H)$ является сжимающим в банаховом пространстве $L^1_P(T,H)$. Поэтому существует неподвижная точка $\varphi_*(\cdot )\in L^1_P(T,H)$ этого оператора, т.е.
$$
\begin{equation}
\varphi_*(\cdot )= \mathcal A_{\lambda}(\varphi_*).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Из (4.10), (4.13) мы получаем равенство
$$
\begin{equation}
\varphi_*(t)= A_{\lambda}(t) \mathcal T(\varphi_*)(t)+f(t).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Тогда согласно (1.4), (4.7)
$$
\begin{equation*}
-\dot{x}_N (\varphi_*)(t)\in N(D(t))x_N (\varphi_*)(t) + \varphi_*(t) \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого включения и (4.14) вытекает включение
$$
\begin{equation}
-\dot{x}_N (\varphi_*)(t)\in N(D(t))x_N (\varphi_*)(t) + A_{\lambda}(t)x_N (\varphi_*)(t) +f(t).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Обозначим $x_{\lambda}(f)(t)=x_N (\varphi_*)(t)$. Тогда согласно (4.15)
$$
\begin{equation}
-\dot{x}_{\lambda}(f)(t)\in N(D(t))x_{\lambda}(f)(t) + A_{\lambda}(t)x_{\lambda}(f)(t) +f(t).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Следовательно, $x_{\lambda}(f)(\cdot )$, $x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, является решением включения (4.4).
Докажем единственность этого решения. Пусть $y_{\lambda}(f)(\cdot )$, $y_{\lambda}(f)(0)=x_0$, – другое решение включения (4.4). Воспользовавшись (4.4) и монотонностью операторов $N(D(t))$ и $A_{\lambda}(t)$, $t\in T$, мы получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{y}_{\lambda}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t) -y_{\lambda}(f)(t)\rangle \leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
проинтегрировав это неравенство, мы придем к неравенству
$$
\begin{equation*}
\| x_{\lambda}(f)(t)-y_{\lambda}(f)(t)\|^2 \leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $x_{\lambda}(f)(t)=y_{\lambda}(f)(t)$, $t\in T$, и единственность решения включения (4.4) доказана.
Докажем неравенство (4.5). Из (1.4) и (4.4), учитывая монотонность оператора $N(D(t))$, $t\in T$, мы получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_N(\Theta )(t),\,x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\rangle \\ &\qquad \leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)-f(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_N(\Theta )(t)\rangle . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и монотонности оператора $A_{\lambda}(t)$, $t\in T$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_N(\Theta )(t),\,x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\rangle \\ &\qquad \leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )(t)-f(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_N(\Theta )(t)\rangle . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав это неравенство, мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\|^2 \\ &\qquad\leqslant 2\int_0^t (\| f(\tau )\| + \| A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )\| )(\| x_{\lambda}(f)(\tau )-x_N(\Theta )(\tau )\| )\,d\tau , \qquad t\in T. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись леммой A5 из [1; с. 157], мы придем к неравенству
$$
\begin{equation*}
\| x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\| \leqslant \int_0^t (\| f(\tau )\| + \| A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )(\tau )\| )\,d\tau , \qquad t\in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $x_N (\Theta )(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, то из (2.9), (1.2) и последнего неравенства вытекает неравенство (4.5). Теорема 4.2 доказана. Для $r_A(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ обозначим
$$
\begin{equation}
S^1(r_A)=\bigl\{f(\cdot )\in L^1(T,H);\, \| f(t)\| \leqslant r_A(t)\text{ п.в.}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Теорема 4.3. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любых $x_0\in D(A(0))$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Тогда для любых $x_0\in D(A(0))$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)(\cdot )$, $ x_A(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству При этом если $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, то существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ при котором имеет место равенство где Если для любого $r_N(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество $\bigl\{x_N(\varphi )(\cdot );\, \varphi (\cdot )\in S^1(r_N)\bigr\}$ равностепенно непрерывно, то для любого $r_A(\cdot )\,{\in}{\kern1pt}L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество $\bigl\{x_A(f)(\cdot ); f(\cdot ) \in S^1(r_A)\bigr\}$ равностепенно непрерывно. Доказательство. Пусть $x_{\lambda}(f)(\cdot )$, $ x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, $\lambda >0$, – решение включения (4.4) и Обозначим
$$
\begin{equation}
M=\| x_N(\Theta )\|_C +(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)) \| m(\cdot )\|_{L^1}+\| f(\cdot )\|_{L^1}.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Так как $x_{\lambda}(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, то из (2.9), (4.5) и (4.22), (4.23) мы получим
$$
\begin{equation}
\| v_{\lambda}(t)\| \leqslant m(t)(1+l(M)), \qquad \lambda >0.
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Так как $m(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$, то из последнего неравенства вытекает, что множество $\bigl\{v_{\lambda}(\cdot );\, 0<\lambda \leqslant 1\bigr\}$ ограничено в гильбертовом пространстве $L^2(T,H)$. Из монотонности оператора $N(D(t))$, $t\in T$, и (4.4) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_{\mu}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t) -x_{\mu}(f)(t)\rangle \\ &\qquad\leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)+A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_{\mu}(f)(t)\rangle . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Согласно (2.5) имеют место равенства
$$
\begin{equation}
x_{\lambda}(f)(t)= \lambda A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)+J_{\lambda}(A(t))x_{\lambda}(f)(t),
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
$$
\begin{equation*}
x_{\mu}(f)(t)=\mu A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t)+J_{\mu}(A(t))x_{\mu}(f)(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств, (2.8), (4.25) и монотонности оператора $A(t)$, $t\in T$, мы получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| x_{\lambda}(f)(t)-x_{\mu}(f)(t)\|^2 \\ &\qquad +2\int_T \langle A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(t)-A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t),\, \lambda A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)-\mu A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t)\rangle \,dt \leqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись (4.22), мы получим
$$
\begin{equation*}
\langle v_{\lambda}(\cdot )-v_{\mu}(\cdot ),\,\lambda v_{\lambda}(\cdot )-\mu v_{\mu}(\cdot )\rangle_{L^2(T,H)}\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства, ограниченности множества $\bigl\{v_{\lambda}(\cdot );\, \lambda \in (0,1]\bigr\}\subset L^2(T,H)$ и леммы 3.3 вытекает, что
$$
\begin{equation}
v_{\lambda}(\cdot )\to v(\cdot ) \quad \text{в }\ L^2(T,H) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Пусть $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, – решение включения Воспользовавшись (4.4), (4.6), (4.22) и (4.28), мы получим
$$
\begin{equation*}
\| x_{\lambda}(f)(t)-x_A(f)(t)\| \leqslant \int_0^t \| v(\tau )-v_{\lambda}(\tau )\| \,d\tau .
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и (4.27) вытекает, что
$$
\begin{equation}
x_{\lambda}(f)(\cdot )\to x_A(f)(\cdot ) \quad \text{в }\ C(T,H) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Не нарушая общности, мы можем считать
$$
\begin{equation}
v_{\lambda}(t)\to v(t) \quad \text{п.в. при }\ \lambda \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Тогда из (4.26), (4.22), (4.24), (4.29) и (4.30) мы получаем
$$
\begin{equation}
J_{\lambda}(A(t))x_{\lambda}(f)(t)\to x_A(f)(t) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Воспользовавшись (2.8), (4.22), (4.30), (4.31) и свойством 5) в лемме 2.1, мы придем к включению Следовательно, согласно (4.28)
$$
\begin{equation}
-\dot{x}_A(f)(t)\in N(D(t))x_A(f)(t) + A(t)x_A(f)(t) +f(t).
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Воспользовавшись равенством (4.2), мы получим включение
$$
\begin{equation*}
-\dot{x}_A(f)(t)\in A(t)x_A(f)(t) + f(t) \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, является решением включения (1.1). Единственность решения $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, вытекает из хорошо известного неравенства (см. [2], [5] и др.)
$$
\begin{equation*}
\| x(f_1)(t)-x(f_2)(t)\| \leqslant \int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau , \qquad t\in T,
\end{equation*}
\notag
$$
для решений $x(f_i)(\cdot )$, $x(f_i)(0)=x_0$, $f_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, включения (1.1). Неравенство (4.18) непосредственно вытекает из (4.5) и (4.29).
Так как включение (1.4) при фиксированном $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ имеет единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$, то воспользовавшись (4.28), мы получим равенство при Воспользовавшись (4.23), (4.24), (4.27) и (4.35), мы получим, что равенство (4.20) имеет место при $\varphi (t)$, удовлетворяющей неравенству (4.19).Пусть Тогда из (4.17) мы получим Теперь последнее утверждение теоремы вытекает из (4.36) и (4.19), (4.20). Теорема 4.3 доказана. Тем самым доказана и теорема 1.1.§ 5. Конкретизация результатовВ этом параграфе мы в терминах свойств семейства максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$ дадим конкретизацию теоремы 4.3. Теорема 5.1. Пусть для семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, выполняется неравенство (1.2). Предположим, что для любого $\rho \in [0,+\infty )$ существует абсолютно непрерывная функция $b_{\rho}\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что Поэтому для любых $x_0\in D(A(0))$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству (4.18). Если $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, то существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, удовлетворяющее неравенству (4.19), при котором имеет место равенство (4.20). Кроме того, существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_A(\cdot )\|_{L^1}$, такое, что
$$
\begin{equation}
\| \dot{x}_A(f)(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2(m(t)(1+l(M_A))+r_A(t)) \quad \textit{п.в.}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
при любом $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, где константа $M_A>0$ определяется равенством (4.21). Доказательство. Покажем, что в рамках сделанных предположений семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, является измеримым.
Из (5.1) и (3.3) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{exc}_{\rho}(D(A(s)),D(A(t)))\leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|, \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Воспользовавшись (5.3), мы получим неравенство
$$
\begin{equation*}
d(x_0,A(t))\leqslant |b_{\| x_0\|}(t)-b_{\| x_0\|}(0)|, \qquad t\in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому существует функция $y_*(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, такая, что
$$
\begin{equation*}
\| x_0-y_*(t)\| \leqslant |b_{\| x_0\|}(t)-b_{\| x_0\|}(0)|, \qquad t\in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства следует, что при некотором $C>0$.
Возьмем произвольное $\varepsilon >0$. Тогда существует компактное множество $T_{\varepsilon}\subset [0,a)$ такое, что $\mu (T\setminus T_{\varepsilon})\leqslant \varepsilon$ и сужение функции $m(t)$ на $T_{\varepsilon}$ непрерывно. Пусть $x\in H$ и $s\in T_{\varepsilon}$ произвольны. Воспользовавшись (2.5)–(2.7), мы получим
$$
\begin{equation*}
\| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \| x\| + 2 \| y_*(s)\| + \lambda \| A_{\lambda}(s)y_*(s)\| .
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и (2.9), (1.2), (5.4) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \| x\| + 2 C + \lambda m(s)(1+l(C)).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
C_{\varepsilon}=\sup \bigl\{m(\tau);\, \tau\in T_{\varepsilon}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Тогда $\| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \rho $, где $\rho = \| x\| + 2 C + \lambda C_{\varepsilon} (1+l(C))$. Воспользовавшись (2.11), (5.3), мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle J_{\lambda}(A(s))x-J_{\lambda}(A(t))x,\,A_{\lambda}(t)x-A_{\lambda}(s)x\rangle \\ &\qquad \leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|(1+\| A_{\lambda}(t)x\| + \| A_{\lambda}(s)x\| ), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и (2.5) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| J_{\lambda}(A(s))x - J_{\lambda}(A(t))x\|^2 \\ &\qquad \leqslant \lambda |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|(1+\| A_{\lambda}(t)x\| + \| A_{\lambda}(s)x\| ), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись (2.5), (2.9), (1.2) и (5.5), мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| J_{\lambda}(A(s))x - J_{\lambda}(A(t))x\|^2 \\ &\qquad \leqslant \lambda |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|\biggl(1 + \frac{2}{\lambda}\| x\| + 2 C_{\varepsilon}(1 + l(C))\biggr), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства вытекает, что функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ непрерывна справа в точке $s$. Тогда согласно лемме 3.1 она непрерывна в точке $s$ в топологии, индуцированной топологией полуинтервала Зоргенфрея. Так как точка $s\in T_{\varepsilon}$ произвольна, то функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$, $t\in T_{\varepsilon}$, непрерывна на $T_{\varepsilon}$ в этой топологии. Поэтому согласно лемме 3.2 функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ является борелевской на $T_{\varepsilon}$ и, следовательно, измеримой на $T$. Теперь измеримость семейства $A(t)$, $t\in T$, максимально монотонных операторов вытекает из теоремы 3.2.
Из неравенства (5.1) и (3.3) вытекает неравенство (5.3) при $\rho \in [0,+\infty )$. Поэтому согласно теореме 3.3 для любых $x_0\in D(A(0))$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.4) имеет единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Теперь существование и единственность решения $x(f)(\cdot )$, $x(f)(0)=x_0$, включения (1.1) при любых $x_0\in D(A(0))$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ вытекает из теоремы 4.3. Это решение удовлетворяет неравенству (4.18) и для любого $f(\cdot )\in S^1(r_A)$ существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, удовлетворяющее неравенству (4.19), при котором имеет место равенство (4.20). Согласно теореме 3.3 существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_N(\cdot )\|_{L^1}$, такое, что
$$
\begin{equation}
\| \dot{x}_N(\varphi )(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2 r_N(t).
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Возьмем Из (4.19) следует, что для любого $f(\cdot )\in S^1(r_A)$ существует $\varphi (\cdot )\in S^1(r_N)$, для которой имеет место равенство (4.20). Из этого равенства и (5.6), (5.7) мы получаем неравенство (5.2). Из (5.7) и (4.21) вытекает, что $\rho_*$ зависит от $\| x_0\| $ и $\| r_A(\cdot )\|_{L^1}$. Теорема 5.1 доказана. Теперь следствие 1.1 вытекает из теоремы 5.1 при $\rho =+\infty$ и следствия 3.2, в котором нужно положить $b_{\infty}(t)=b(t)$. Из (3.11) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\| x_N(\Theta )\|_C \leqslant \| x_0\| + \| \dot{b}\|_{L^1}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Теперь неравенства (1.8), (1.9) и равенство (1.10) вытекают из неравенств (4.18), (5.2), (5.8) и монотонности функции $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$. Таким образом, теорема 1.1 и следствие 1.1 доказаны. Теорема 5.2. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любого $\rho\in [0,+\infty)$ существует абсолютно непрерывная функция $b_\rho \colon T\to R$ такая, что для любых $s,t\in T$, $s\leqslant t$, выполняется неравенство Теорема вытекает из теорем 3.3 и 4.3. § 6. ПриложенияВ этом параграфе мы докажем теорему 1.2. Доказательство теоремы 1.2. Если для любых $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ и $x_0\in D(A(0))$ включение (1.1) имеет решение $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, то решение единственно, и для любых решений $x_A(f_i)(\cdot )$, $x_A(f_1)(0)=x_A(f_2)(0)=x_0$, $ f_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, будет иметь место неравенство
$$
\begin{equation}
\| x_A(f_1)(t)-x_A(f_2)(t)\| \leqslant \int_0^t |f_1(\tau )-f_2(\tau )|\,d\tau .
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Из предположений $H(F)$, 1), 2) вытекает, что для любого $x(\cdot )\in C(T,H)$ отображение $t\to F(t,x(t))$ будет измеримым с замкнутыми значениями. Если выполняется неравенство (1.14), то из (1.12) мы получим неравенство
$$
\begin{equation*}
d(\Theta ,F(t,x(t)))< n(t)+k(t)\| x(t)\| \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и свойств измеримых многозначных отображений вытекает, что существует $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ такой, что $f(t)\in F(t,x(t))$ почти всюду и
$$
\begin{equation}
\| f(t)\| \leqslant n(t)+k(t)\| x(t)\| \quad \text{п.в.}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Для любого $x(\cdot )\in C(T,H)$ обозначим через $\mathcal F(x)$ множество
$$
\begin{equation}
\mathcal F(x)=\bigl\{f(\cdot )\in L^1(T,H);\, f(t)\in F(t,x(t)) \text{ п.в.}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Как следует из (6.2), множество $\mathcal F(x)$ является непустым, замкнутым, разложимым подмножеством пространства $L^1(T,H)$. Тем самым будет определен многозначный оператор $\mathcal F\colon C(T,H)\rightrightarrows L^1(T,H)$, значениями которого будут замкнутые, разложимые множества из пространства $L^1(T,H)$.
На пространстве $L^1(T,H)$ введем норму где которая очевидно эквивалентна стандартной норме пространства $L^1(T,H)$. Пространство $L^1(T,H)$ с нормой (6.4) мы будем обозначать $L^1_{\Pi}(T,H)$.Расстояние по Хаусдорфу между замкнутыми множествами из пространства $L^1_{\Pi}(T,H)$ мы будем обозначать через $\operatorname{haus}_{\Pi}(\cdot ,\cdot )$. Пусть $x_1(\cdot ),x_2(\cdot )\in C(T,H)$ и $f_1(\cdot )\in \mathcal F(x_1)$ произвольны. Из (1.12) и (6.3) вытекает неравенство Из этого неравенства и свойств измеримых многозначных отображений мы получаем, что существует элемент $f_2(\cdot )\in \mathcal F(x_2)$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\| f_1(t)-f_2(t)\| \leqslant k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись этим неравенством и (6.4), мы получим
$$
\begin{equation}
\Pi(f_1-f_2)\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \,dt.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{haus}_\Pi(\mathcal F(x_1),\mathcal F(x_2))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (6.1)
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}_\Pi(\mathcal F(x_A(f_1)),\mathcal F(x_A(f_2)))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau \,dt.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\Phi (f)= \mathcal F(x_A(f)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H).
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Тогда будет определен многозначный оператор $\Phi \colon L^1(T,H)\rightrightarrows L^1(T,H)$ с замкнутыми, разложимыми значениями. Из (6.7), (6.8) вытекает, что этот оператор удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{haus}_\Pi (\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau \,dt, \\ f_1(\cdot ),f_2(\cdot )\in L^1(T,H). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Проинтегрировав правую часть этого неравенства по частям, мы получим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{haus}_\Pi(\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \frac{1}{2}\int_T e^{-2\alpha (t)} \| f_1(t)-f_2(t)\| \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и (6.4) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{haus}_\Pi(\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \frac{1}{2} \text{П}(f_1-f_2),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. оператор является сжимающим в банаховом пространстве $L^1_{\Pi}(T,H)$. Тогда согласно [12; теорема 3.1] существует неподвижная точка этого оператора, т.е. Воспользовавшись (6.8), (6.3), (6.9) и (1.1), мы получим Положим $x_A(v)(\cdot )=x(v)$. Тогда из (6.10), (6.11) вытекает, что $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$. Тем самым множество $\mathcal R_F(x_0)$ не пусто.
Если выполняется неравенство (1.13), то для любой функции $x(\cdot )\in C(T,H)$ будет иметь место неравенство Из этого неравенства и (6.1) вытекает, что для любых $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$ будут иметь место неравенства
$$
\begin{equation*}
\| x(v)(t)\| \leqslant \| x_A(\Theta )\|_C+\int_0^t \| v(\tau )\| \,d\tau ,\qquad t\in T,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\| v(t)\| \leqslant n(t)+k(t)\| x(v)(t)\| \quad \text{п.в.}
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\| x(v)(t)\| \leqslant \| x_A(\Theta )\|_C+\int_0^t (n(\tau )+k(\tau )\| x(v)(\tau )\| )\,d\tau .
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства, (1.17) и теорем о дифференциальных неравенствах вытекает где $r(t)$ – решение дифференциального уравнения (1.17) с $r(0)=\| x_A(\Theta )\|_C$. Из (6.11), (6.12) и (1.17) мы получаем Тем самым неравенства (1.20) и (1.21) доказаны.
Из (6.13) вытекает, что $\mathcal Tr_F(x_0)\subset \bigl\{x_A(f);\, \| f(t)\| \leqslant\dot{r}(t)\text{ п.в.}\bigr\}$. Поэтому если множество $\bigl\{x_A(f);\, \| f(t)\| \leqslant \dot{r}(t)\text{ п.в.}\bigr\}$ равностепенно непрерывно, то множество $\mathcal Tr_F(x_0)$ равностепенно непрерывно. Теорема 1.2 доказана. Лемма 6.1. Пусть выполняются предположения теоремы 5.1. Тогда множество $\mathcal R_F(x_0)$ не пусто. Для любого $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$ будут выполняться неравенства (1.20) и (1.21) с $r(0)$, удовлетворяющим неравенству Лемма вытекает из теорем 1.2, 4.3 и 5.1, а неравенство (6.16) – из (3.11). Следствие 6.1. Пусть выполняются предположения следствия 1.1. Тогда справедливы утверждения леммы 6.1, в которой в неравенствах (6.16), (6.17) функции $b_{\rho_*}(t)$ и $b_{\rho}(t)$ следует заменить на $b(t)$. Следствие вытекает из следствия 1.1, теоремы 1.2 и 5.1 и леммы 6.1. § 7. КомментарииПервая попытка доказать теорему существования абсолютно непрерывного решения включения (1.1) при $f(t)\equiv \Theta $, $t\in T$, была предпринята в работе [13; теорема 3]. В этой работе предполагалось, что семейство $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, максимально монотонных операторов обладает свойствами: 1) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\| A^0(t)x\| \leqslant c(t)(1+\| x\| ), \qquad t\in T, \quad x\in D(A(t));
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
2) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{dis}(A(t),A(s))\leqslant |a(t)-a(s)|, \qquad t,s\in T,
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
где $c(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, а $a(\cdot )\in W^{1,2}(T,{\mathbb R})$. Полного доказательства [13; теорема 3] авторы не приводят. Была только намечена схема ее доказательства. Полное доказательство теоремы существования абсолютно непрерывного решения включения (1.1) с $f(\cdot )\in L^2(T,H)$ было приведено в работе [5; теорема 3.1]. В ней предполагалось, что семейство максимально монотонных операторов удовлетворяет неравенствам (7.1) и (7.2), в которых $c(t)\equiv\mathrm{const}$, а $a(\cdot )\in W^{1,2}(T,{\mathbb R})$ и $a(t)$ является неотрицательной и неубывающей на $T$ с $a(0)=0$. Было доказано существование и единственность решения $x(\cdot )\in W^{1,2}(T,H)$ и приведены априорные оценки для $x(\cdot )$ и $\dot{x}(\cdot )$. Для доказательства был использован так называемый catching-up алгоритм, разработанный в [3] для доказательства существования решений процессов выметания. В работе [14; теорема 1] была доказана теорема существования абсолютно непрерывного решения $x(\cdot )\in W^{1,2}(T,H)$ включения
$$
\begin{equation*}
\dot{x}(t)\in A(t) x(t) + f(t,x(t)), \qquad x(0) = x_0,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором семейство максимально монотонных операторов $A(t)\colon H\rightrightarrows H$, $t\in T$, обладает свойствами $H(A)$: (a) для всех $x\in H$ отображение $t\to A(t)x$ измеримо; (b) для всех $t\in T$ и $x\in H$ где $\alpha ,\beta \in L^2(T,{\mathbb R}^+)$.Отображение $f\colon T\times H\to H$ обладает свойствами $H(f)$: (a) для всех $x\in H$ отображение $t\to f(t,x)$ измеримо; (b) для почти всех $t\in T$ и всех $x,y\in H$ где $k(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$;(c) для почти всех $t\in T$ и всех $x,y\in H$ где $\gamma ,\delta \in L^2(T,{\mathbb R}^+)$.Для доказательства теоремы 1 использовалась регуляризация семейства $A(t)\colon H\rightrightarrows H$, $t\in T$, максимально монотонных операторов с помощью аппроксимации Иосиды. Теорема 3.1 в [5] вытекает из следствия 1.1, а теорема 1 в [14] вытекает из теорем 4.3 и 5.1, так как в случае $D(A(t))=H$, $t\in T$, имеет место равенство $N(D(t))\equiv \Theta $, $t\in T$. Поэтому вместо включения (1.4) мы имеем равенство Отметим принципиально новые условия роста (1.2), отличные от традиционных условий роста (7.1) и (7.3). В (1.2) функция $l\colon {\mathbb R}^+ \to {\mathbb R}^+$ может иметь вид $l(r)=r^{\alpha}$, $0<\alpha <+\infty $.Так как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2) \leqslant \operatorname{dis}(A_1,A_2), \qquad \rho \in [0,\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
то использование неравенства (5.1) вместо неравенства (1.8) является более предпочтительным. С другой стороны, использование неравенства (5.9) позволяет расширить класс максимально монотонных операторов, для которых неравенство (1.8) не выполняется, однако включение (1.1) имеет решение. Приведем один из примеров. Пусть $v\colon T\to H$, $l\colon T\to R$ – абсолютно непрерывные функции, $\|v(t)\|=1$, $t\in T$. Рассмотрим многозначное отображение $C\colon T\rightrightarrows H$,
$$
\begin{equation}
C(t)=\bigl\{x\in H;\, \langle x,v(t)\rangle -l(t)=0\bigr\}, \qquad t\in T,
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
значениями которого являются гиперплоскости. Пусть
$$
\begin{equation}
A(t)=\mathcal{N}(C(t)), \quad D(A(t))=C(t), \qquad t\in T,
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
– семейство максимально монотонных операторов. Известно (см. [15]), что расстояние от точки $x\in H$ до множества $C(t)$ определяется по формуле
$$
\begin{equation}
d(x,C(t)) = |\langle x, v(t)\rangle -l(t)|, \qquad t\in T.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Из (7.6) вытекает, что для любого $x\in H$ функция $t\to d(x,C(t))$ является измеримой. Поэтому многозначное отображение $t\to C(t)$ с замкнутыми выпуклыми значениями является измеримым (см. [6]). Поэтому, как следует из [16; лемма 2.7], семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, определенных равенством (7.5), является измеримым. Так как $A^0(t)=\Theta$, $t\in T$, то семейство $A(t)$, $t\in T$, удовлетворяет предположениям $H(A)$. Сделаем замену переменных при $s\in T$, $s\ne t$, полагая $y=x-l(s)v(s)$. Из (7.4) мы получаем гиперплоскости
$$
\begin{equation}
C_1(s)=\bigl\{y\in H;\, \langle y,v(s)\rangle =0\bigr\},
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
$$
\begin{equation}
C_1(t)=\bigl\{y\in H;\, \langle y+l(s)v(s),\,v(t)\rangle - l(t)=0\bigr\},
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Из (7.7) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\lambda y \in C_1(s) \quad \text{при любых }\ y\in C(s) \quad \text{и }\ \lambda\in R.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Пусть $y\in C_1(s)$. Тогда
$$
\begin{equation}
d(y,C_1(t))=|\langle y+l(s)v(s),\,v(t)\rangle - l(t)|.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Предположим, что при $s\ne t$ векторы $v(s)$ и $v(t)$ линейно независимы. Из (7.7) вытекает, что $\langle y,v(t)\rangle \ne 0$. Воспользовавшись (7.9), (7.10), мы получим, что
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{exc}C_1(s), C_1(t))=+\infty, \qquad s\ne t, \quad s,t\in T.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{haus}(C_1(s),C_1(t))= +\infty, \qquad s\ne t.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}(C(s),C(t))= +\infty, \qquad s\ne t.
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Согласно [4; лемма 3.5]
$$
\begin{equation}
\operatorname{haus}(C(s),C(t))= \operatorname{dis}(N(C(s)),N(C(t))), \qquad s,t\in T.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Тогда из (7.11), (7.12) и (7.5) вытекает, что для семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, неравенство (1.8) не выполняется для любой абсолютно непрерывной функции $b(t)$. Воспользовавшись (7.6), мы получим
$$
\begin{equation}
|d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant \|v(t)-v(s)\|\, \|x\| + |l(t)-l(s)|,
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
$s\ne t$, $s,t \in T$. Из (7.13) вытекает, что
$$
\begin{equation}
|d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant \int_s^t (\rho\|\dot v(\tau)\|+|\dot b(\tau)|)\,d\tau
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
при $x\in H$, $\|x\|\leqslant \rho$, $\rho \geqslant 0$. Положим
$$
\begin{equation*}
b_\rho(t)=\int_0^t (\rho\|\dot v(\tau)\|+|\dot b(\tau)|)\,d\tau, \qquad \rho \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $b\rho \colon T\to R$, $\rho \geqslant 0$, являются абсолютно непрерывными, и согласно (7.14) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\sup_{\|x\|\leqslant \rho} |d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant |b_\rho (t)-b_\rho (s)|.
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{exc}_\rho(C(s),C(t)) \leqslant \sup_{\|x\|\leqslant \rho} |d(x,C(s))-d(x,C(t))|,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (7.15) и (7.5) мы получаем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{exc}_\rho(D(A(s)),D(A(t))) \leqslant |b_\rho (t)-b_\rho (s)|, \qquad s\leqslant t, \quad \rho\in[0,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства и теоремы 5.2 вытекает, что включение (1.1) имеет решение. Другими примерами максимально монотонных операторов $A(t)=\mathcal{N}(C(t))$, $t\in T$, которые не удовлетворяют условиям теоремы 3.1 из [5], являются операторы, у которых значениями многозначного отображения $C\colon T \rightrightarrows H$ являются полупространства (см. [17]) и полиэдры (см. [18], [19]). Поэтому теорема 5.2 позволяет расширить по сравнению с теоремой 3.1 из [5] класс максимально монотонных операторов, для которых включение (1.1) имеет решение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tol23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|