Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2023, том 214, номер 6, страницы 110–135
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9736
(Mi sm9736)
 

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Теоремы сравнения для эволюционных включений с максимально монотонными операторами. $L^2$-теория

А. А. Толстоногов

Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск
Список литературы:
Аннотация: В сепарабельном гильбертовом пространстве изучается эволюционное включение с зависящим от времени семейством максимально монотонных операторов. Если элементы минимальной нормы семейства максимально монотонных операторов удовлетворяют условиям роста, то области определения семейства максимально монотонных операторов являются замкнутыми выпуклыми множествами. Поэтому будет определен процесс выметания, значениями которого являются нормальные конусы областей определения максимально монотонных операторов. Доказывается, что если процесс выметания при любом однозначном возмущении из пространства интегрируемых функций имеет решение, то этим свойством обладает и эволюционное включение с максимально монотонными операторами и однозначными возмущениями из пространства интегрируемых функций. В терминах свойств семейства максимально монотонных операторов даны самые общие условия, обеспечивающие существование решений процесса выметания.
Все полученные результаты, а также предлагаемый подход являются новыми. Они используются для доказательства теоремы существования решений эволюционного включения с многозначным возмущением, значениями которого являются замкнутые невыпуклые множества.
Библиография: 19 названий.
Ключевые слова: процесс выметания, $\rho$-псевдополуотклонение максимально монотонных операторов.
Поступила в редакцию: 18.02.2022 и 09.01.2023
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages 853–877
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9736e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 34A60; Secondary 49J53

§ 1. Основные результаты

Пусть $T=[0,a]$, $a>0$, – отрезок числовой полупрямой ${\mathbb R}^+=[0,+\infty )$ с мерой Лебега $\mu$ и с $\sigma$-алгеброй $\Sigma$ измеримых подмножеств из $T$, $H$ – сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot\,, \cdot \rangle$, порожденной им нормой $\| \cdot \|$ и с нулевым элементом $\Theta $.

Целью работы является изучение вопросов существования решений эволюционного включения

$$ \begin{equation} -\dot{x}(t)\in A(t) x(t) + f(t), \end{equation} \tag{1.1} $$
$$ \begin{equation*} x(0) = x_0 \in D(A(0)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H). \end{equation*} \notag $$
Здесь $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов с областями определения $D(A(t))\subset H$.

Под решением включения (1.1) при фиксированных $x_0$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ понимается абсолютно непрерывная функция $x_A(f)\colon T\to H$, $x_A(0) = x_0$, производная $\dot{x}_A(f)(t)$ которой удовлетворяет включению

$$ \begin{equation*} -\dot{x}_A(f)(t)\in A(t) x_A(f)(t) + f(t) \quad \text{п.в.} \end{equation*} \notag $$

Сделаем следующие предположения $H(A)$:

1) семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, является измеримым;

2) существуют функция $m(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$ и неубывающая функция $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$ такие, что

$$ \begin{equation} \| A^0(t) x \|\leqslant m(t)(1+l(\|x\|)), \qquad t\in T, \quad x \in D(A(t)), \end{equation} \tag{1.2} $$
где $A^0(t) x$ – элемент минимальной нормы множества $A(t)x\subset H$, которое, как известно (см. [1]), является замкнутым и выпуклым.

Если неравенство (1.2) имеет место, то для любого $t\in T$ множество $D(A(t))$ является замкнутым и выпуклым (см. [2; предложение 2.1]).

Положим

$$ \begin{equation} D(A(t))=D(t), \qquad t\in T, \end{equation} \tag{1.3} $$
и рассмотрим процесс выметания (см. [3])
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, -\dot{x}(t)\in N(D(t))x(t) + \varphi (t), \\ x(0)=x_0 \in D(0), \qquad \varphi (\cdot )\in L^1(T,H), \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{1.4} $$
где $N(D(t))x$ – нормальный в смысле выпуклого анализа конус множества $D(t)$ в точке $x\in D(t)$.

Решение процесса выметания (1.4) при фиксированных $x_0$ и $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ – это абсолютно непрерывная функция $x_N(\varphi )\colon T\to H$, $x_N(\varphi )(0) = x_0$, производная $\dot{x}_N(\varphi )(t)$ которой удовлетворяет включению (1.4) почти всюду.

В дальнейшем мы считаем, что $x_0 \in D(A(0))$ фиксировано. Основной результат работы составляет

Теорема 1.1. Пусть выполняются предположения $H(A)$. Если для любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )\colon T\to H$, $ x_N(\varphi )(0) = x_0$, то для любого $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ эволюционное включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)\colon T\to H$, $x_A(f)(0) = x_0$. При этом для любого $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, при котором имеет место равенство

$$ \begin{equation} x_N(\varphi )(t)= x_A(f)(t), \qquad t\in T. \end{equation} \tag{1.5} $$
Если для любого $r_N(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество
$$ \begin{equation*} \bigl\{x_N(\varphi )(\cdot );\,\| \varphi (t) \|\leqslant r_N(t) \textit{ п.в.}\bigr\} \end{equation*} \notag $$
равностепенно непрерывно, то для любого $r_A(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество
$$ \begin{equation*} \bigl\{x_A(f)(\cdot );\, \| f(t) \|\leqslant r_A(t)\textit{ п.в.}\bigr\} \end{equation*} \notag $$
является равностепенно непрерывным подмножеством пространства $C(T,H)$ всех непрерывных функций из $T$ в $H$ с $\sup$-нормой.

Даны априорные оценки для решений $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$ и их производных $\dot{x}_A(f)(\cdot )$.

Введено понятие $\rho$-псевдополуотклонения между максимально монотонными операторами, $\rho \in [0,+\infty]$. При $\rho =+\infty$ псевдополуотклонение между максимально монотонными операторами совпадает с псевдорасстоянием $\operatorname{dis}(\cdot ,\cdot )$ по А. Владимирову (см. [4]) между максимально монотонными операторами $A_1$ и $A_2$, которое определяется равенством

$$ \begin{equation} \operatorname{dis}(A_1,A_2)= \sup \biggl\{\frac{\langle x_1-x_2,\,y_2-y_1\rangle}{1+ \| y_1\| +\| y_2\| };\, y_i\in Ax_i,\, x_i \in D(A_i),\, i=1,2\biggr\}. \end{equation} \tag{1.6} $$
В терминах $\rho$-псевдополуотклонений сформулированы условия, при которых процесс выметания (1.4) при фиксированных $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0) = x_0$. Приведем один из таких результатов при $\rho =+\infty $.

Следствие 1.1. Пусть выполняется неравенство (1.2) и существует абсолютно непрерывная функция $b\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что

$$ \begin{equation} \operatorname{dis}(A(s),A(t))\leqslant |b(t)-b(s)|,\qquad s\leqslant t,\quad s,t\in T. \end{equation} \tag{1.7} $$
Тогда для любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.4) имеет единственное решение $x(\varphi )\colon T\to H$, $x(\varphi )(0) = x_0$, и
$$ \begin{equation*} \| \dot x(\varphi )(t) \|\leqslant |\dot{b}(t)|+2|\varphi (t)| \quad \textit{п.в.} \end{equation*} \notag $$
Поэтому справедливы все утверждения теоремы 1.1 и для любого $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ имеют место неравенства
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \| x_A(f)(t) \|\leqslant \|x_0\|+\|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1} +\int_0^t \bigl[m(\tau )(1+l(\|x_0\| + \|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1}))+\|f(\tau )\|\bigr]\,d\tau , \\ t\in T, \end{gathered} \end{equation} \tag{1.8} $$
$$ \begin{equation} \|\dot{x}_A(f)(t) \|\leqslant \|\dot{b}(t)\|+2 \bigl(m(t)(1+l(N))+\|f(t)\|\bigr), \end{equation} \tag{1.9} $$
где
$$ \begin{equation} N=\| x_0 \|+ \|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1} + (1+l(\| x_0 \|+ \|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1}))\cdot \|m(\cdot )\|_{L^1}+\|f(\cdot )\|_{L^1}. \end{equation} \tag{1.10} $$

Здесь $\|\dot{b}(\cdot )\|_{L^1}$ – норма элемента $\dot{b}(\cdot)$ в пространстве $L^1(T,{\mathbb R})$, а $\|f(\cdot )\|_{L^1}$ – норма элемента $f(\cdot )\in L^1(T,H)$.

Отметим, что в формулировке следствия 1.1 не фигурирует предположение $H(A)$, 1). Оно автоматически вытекает из неравенств (1.2) и (1.7).

Полученные результаты используются для изучения эволюционного включения

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, -\dot{x}(t)\in A(t)x(t) + F(t,x(t)), \\ \notag x(0) = x_0 \in D(A(0)), \end{gathered} \end{equation} \tag{1.11} $$
где $F\colon T\times H\rightrightarrows H$ – многозначное отображение с замкнутыми (не обязательно выпуклыми) значениями.

Сделаем следующие предположения $H(F)$:

1) отображение $t\to F(t,x)$ измеримо;

2) имеет место неравенство

$$ \begin{equation} \operatorname{haus}(F(t,x),F(t,y))<k(t)\| x-y\| \quad \text{п.в.}, \end{equation} \tag{1.12} $$
$k(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, $k(t)>0$, $t\in T$, $x,y\in H$, где $\operatorname{haus}(\cdot,\cdot)$ – расстояние по Хаусдорфу между множествами;

3) при некотором $n(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, $n(t)>0$, $t\in T$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation} \| F(t,\Theta )\|= \sup \bigl\{\| y\|;\, y\in F(t,\Theta)\bigr\}\leqslant n(t), \qquad t\in T; \end{equation} \tag{1.13} $$

3$^*$) справедливо неравенство

$$ \begin{equation} d(\Theta,F(t,\Theta))=\inf\bigl\{\|y\|;\, y\in F(t,\Theta)\bigr\} \leqslant n(t), \qquad t\in T_0. \end{equation} \tag{1.14} $$

Под решением включения (1.11) понимается пара $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))$, где $x(v)$: $T\to H$ – абсолютно непрерывная функция, $x(v)(0) = x_0$, $v(\cdot )\in L^1(T,H)$, такая, что

$$ \begin{equation} -\dot{x}(v)(t)\in A(t)x(v)(t) + v(t) \quad \text{п.в.}, \end{equation} \tag{1.15} $$
$$ \begin{equation} v(t)\in F(t,x(v)(t)) \quad \text{п.в.} \end{equation} \tag{1.16} $$
При этом функцию $x(v)(\cdot )$ мы будем называть траекторией включения (1.11). Множество решений включения (1.11) мы будем обозначать $\mathcal R_F(x_0)$, а множество траекторий $\mathcal Tr_F(x_0)$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$$ \begin{equation} \dot{r}(t)=n(t)+k(t)r(t), \qquad r(0)=r_0, \end{equation} \tag{1.17} $$
которое имеет решение
$$ \begin{equation} r(t)=e^{\alpha (t)}\biggl(r_0+\int_0^t e^{-\alpha (\tau )} n(\tau )\,d\tau \biggr), \end{equation} \tag{1.18} $$
где
$$ \begin{equation} \alpha (t)= \int_0^t k(\tau )\,d\tau . \end{equation} \tag{1.19} $$

Теорема 1.2. Пусть выполняются предположения $H(F)$, 1), 2), 3$^*$). Предположим, что для любых $x_0 \in D(A(0))$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет решение $x(f)(\cdot )$, $x(f)(0)=x_0$. Тогда множество $\mathcal R(x_0)$ не пусто. Если выполняются предположения $H(F)$, 1)–3), то любое решение $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R(x_0)$ удовлетворяет неравенствам

$$ \begin{equation} \| x(v)(t)\| \leqslant r(t), \end{equation} \tag{1.20} $$
$$ \begin{equation} \| v(t)\| \leqslant \dot{r}(t), \end{equation} \tag{1.21} $$
где $r(t)$ – решение уравнения (1.17) с $r(0)=\| x_A(\Theta )\|_C$. При этом если множество $\{x_A(f)(\cdot );\, \| f(t)\| \leqslant \dot{r}(t)\}$ равностепенно непрерывно, то множество $\mathcal Tr_F(x_0)$ равностепенно непрерывно.

Здесь $\| x_A(\Theta )\|_C$ – норма в пространстве $C(T,H)$ решения $x_A(\Theta )(t)$ включения (1.15) при $v(t)\equiv \Theta $, $t\in T$.

Существование решения включения (1.1) мы получаем из существования решения включения (1.4). Аналогично существование решения включения (1.11) мы получаем из его сравнения с включением (1.1). Поэтому теоремы 1.1 и 1.2 называются теоремами сравнения. Термин “$L^2$-теория” указывает на то, что при доказательстве используется гильбертово пространство $L^2(T,H)$.

Все результаты нашей работы, как и предлагаемый подход, являются новыми. Из теорем 1.1 и 1.2 как следствие вытекают результаты недавно опубликованной и единственной на сегодняшний день работы [5] о существовании абсолютно непрерывного решения включения

$$ \begin{equation*} -\dot{x}(t)\in A(t)x(t) + f(t,x(t)), \qquad x(0) = x_0 \in D(A(0)). \end{equation*} \notag $$
Сравнение результатов работы [5] с нашими будет дано в § 7.

Работа состоит из семи параграфов. В § 1 приводится ряд основных результатов. В § 2 приводятся основные обозначения и определения. В § 3 приводятся сведения, необходимые для доказательства основных результатов. В § 4 приводится доказательство теоремы 1.1. В § 5 дается конкретизация условий в терминах свойств семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, при которых включение (1.4) имеет решение. В § 6 приводится доказательство теоремы 1.2. В § 7 дается анализ полученных результатов и сравнение их с известными.

§ 2. Основные обозначения и определения

Пусть $X$ – сепарабельное банахово пространство с нормой $\| \cdot \|$ и порожденной ею метрикой $d(\cdot ,\cdot )$, $\Theta$ – нулевой элемент пространства $X$, $B$ и $\overline{B}$ – единичные открытый и замкнутый шары с центром в нуле $\Theta$. Через $d(y,C)$ мы обозначаем расстояние от точки $y$ до множества $C\subset X$ и

$$ \begin{equation*} \| C\| =\sup \bigl\{\| y\| ;\, y\in C\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Для множества $C\subset X$ через $\operatorname{\overline{co}}C$ обозначаем замкнутую выпуклую оболочку множества $C$. Пространство $X$, наделенное слабой топологией, мы обозначаем $\omega$-$X$. Пространство всех непрерывных функций $x\colon T\to X$ с топологией равномерной сходимости на $T$ обозначается через $C(T,X)$ с нормой $\| x\|_C$.

Пространство $L^1(T,X)$ всех интегрируемых по Бохнеру функций $f\colon T\to X$ наделяется нормой

$$ \begin{equation*} \| f(\cdot )\|_{L^1}=\int_T \| f(\tau )\| \,d\tau . \end{equation*} \notag $$
Многозначное отображение $F\colon T\rightrightarrows X$ – это отображение, значениями которого являются непустые подмножества из пространства $X$.

Пусть $F\colon T\rightrightarrows X$ – многозначное отображение. Обозначим через $F^{-1}(U)$, $U\subset X$, множество

$$ \begin{equation*} F^{-1}(U)=\bigl\{t\in T;\, F(t) \cap U \ne \varnothing\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Многозначное отображение $F\colon T\rightrightarrows X$ называется измеримым (слабо измеримым) (см. [6]), если $F^{-1}(U)\in \Sigma$ для любого замкнутого (открытого) множества $U\subset X$.

Если значениями многозначного отображения $F\colon T\rightrightarrows X$ являются замкнутые множества, то измеримость и слабая измеримость эквивалентны (см. [6]).

Замечание 2.1. Отметим, что в работе [7], результаты которой мы будем использовать, измеримость понимается как слабая измеримость в терминологии работы [6].

Пусть $C(t)$, $t\in T$, – семейство операторов $C(t)\colon D(C(t))\subset X\rightrightarrows X$ с областью определения $D(C(t))$. Через $\operatorname{gr}C(t)$ мы обозначим график оператора $C(t)$

$$ \begin{equation*} \operatorname{gr}C(t)=\bigl\{(x,y)\in X\times X;\, x\in D(C(t)),\,y\in C(t)x\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Семейство $C(t)\colon D(C(t))\subset X\rightrightarrows X$ называется измеримым (слабо измеримым), если таковым является многозначное отображение $t\to \operatorname{gr}C(t)$.

Пусть $\mathcal T=[0,a)$ – полуинтервал Зоргенфрея (см. [8]). База топологии полуинтервала Зоргенфрея состоит из всех полуинтервалов $[x,r)$, $x\in [0,a)$, $x<r<a$, и $r$ – рациональное число. Всякое непустое открытое множество интервала Зоргенфрея является конечным или счетным объединением полуинтервалов $[x,c)$, $c$ – вещественное число (см. [8]).

Пусть $\rho \in [0,+\infty ]$ и $C$, $D$ – непустые подмножества из $X$. Число

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}_{\rho}(C,D)= \sup \bigl\{d(x,D);\, x\in C\cap \rho \overline{B}\bigr\} \end{equation} \tag{2.1} $$
называется $\rho$-полуотклонением множества $C$ от $D$. При этом считается $\operatorname{exc}_{\rho}(C,D)=0$, если $C\cap \rho \overline{B}=\varnothing $.

Определим $\rho$-псевдорасстояние по Хаусдорфу (см. [9]) между $C$ и $D$ как

$$ \begin{equation} \operatorname{haus}_{\rho}(C,D)= \max \bigl\{\operatorname{exc}_{\rho}(C,D),\operatorname{exc}_{\rho}(D,C)\bigr\}. \end{equation} \tag{2.2} $$
Так как $\rho \overline{B}=X$ при $\rho =+\infty $, то
$$ \begin{equation*} \operatorname{exc}_{\infty}(C,D)= \sup \bigl\{d(x,D);\, x\in C\bigr\} =\operatorname{exc}(C,D), \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation} \operatorname{haus}_{\infty}(C,D)=\operatorname{haus}(C,D) =\max \bigl\{\operatorname{exc}(C,D),\operatorname{exc}(D,C)\bigr\}, \end{equation} \tag{2.3} $$
где $\operatorname{exc}(C,D)$ – полуотклонение множества $C$ от множества $D$, а $\operatorname{haus}(C,D)$ – расстояние по Хаусдорфу между множествами $C$ и $D$.

В дальнейшем $H=X$ – сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Оператор $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ называется монотонным, если для любых $(x_i,y_i)\in \operatorname{gr}A$, $ i=1,2$, выполняется неравенство $\langle x_1-x_2,\,y_1-y_2\rangle \geqslant 0$.

Монотонный оператор называется максимально монотонным, если его график не является собственным подмножеством графика другого монотонного оператора. Если $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор, то множество $Ax$, $x\in D(A)$, является замкнутым, выпуклым подмножеством пространства $H$, его график $\operatorname{gr}A$ является замкнутым подмножеством пространства $H\times H$ и замыкание $\overline{D(A)}$ в $H$ множества $D(A)$ является замкнутым, выпуклым подмножеством пространства $H$ (см. [1]).

Для любого $x\,{\in}\, D(A)$ существует элемент $A^0x\,{\in}\, Ax$ минимальной нормы, т.е.

$$ \begin{equation} \| A^0x\| =\min \bigl\{\| y\| ;\, y\in Ax\bigr\}. \end{equation} \tag{2.4} $$
Монотонный оператор $A$ имеет максимально монотонное продолжение $\widehat{A}$ с $D(\widehat{A})\subset \operatorname{\overline{co}} D(A)$ (см. [1]).

Если $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор, то для любого $\lambda >0$ существуют однозначные операторы, определенные на $H$

$$ \begin{equation} J_{\lambda}(A)=(I+\lambda A)^{-1}, \qquad A_{\lambda}=\frac{1}{\lambda}(I-J_{\lambda}(A)), \end{equation} \tag{2.5} $$
которые называют резольвентой и аппроксимацией Иосиды оператора $A$ с показателем $\lambda >0$. В (2.5) $I\colon H\to H$ – тождественный оператор.

Приведем основные свойства (см. [1]) максимально монотонного оператора, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Лемма 2.1. Пусть $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор. Тогда

1) справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \| J_{\lambda}(A)x - J_{\lambda}(A)y\| \leqslant \| x-y\| , \qquad x,y\in H, \quad \lambda >0; \end{equation} \tag{2.6} $$

2) справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \| A_{\lambda}x - A_{\lambda}y\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x-y\| , \qquad x,y\in H, \quad \lambda >0; \end{equation} \tag{2.7} $$

3)

$$ \begin{equation} A_{\lambda}x \in A (J_{\lambda}(A)x), \qquad x\in H, \quad \lambda >0; \end{equation} \tag{2.8} $$

4) $A_{\lambda}$, $\lambda >0$, является максимально монотонным оператором и

$$ \begin{equation} \| A_{\lambda}x\| \leqslant \| A^0x\| , \qquad x\in D(A), \quad \lambda >0; \end{equation} \tag{2.9} $$

5) если $(x_n,y_n)\in \operatorname{gr}A$, $n\geqslant 1$, и последовательность $x_n$, $n\geqslant 1$, сходится к $x$ в пространстве $H$, а последовательность $y_n$, $n\geqslant 1$, сходится к $y$ в пространстве $\omega$-$H$, то $(x,y)\in \operatorname{gr}A$.

Пусть $C\subset H$ – замкнутое выпуклое множество. Нормальным в смысле выпуклого анализа конусом $N(C)x$ множества $C$ в точке $x\in C$ называется множество

$$ \begin{equation} N(C)x=\bigl\{y\in H;\, \langle y,z-x\rangle \leqslant 0 \ \forall\, z\in C\bigr\}. \end{equation} \tag{2.10} $$
Известно, что оператор $N(C)\colon C\subset H\rightrightarrows H$ является максимально монотонным оператором.

Пусть $\rho \in [0,+\infty ]$ и $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$, $i=1,2$, – максимально монотонные операторы. Число

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2) &= \sup \biggl\{\frac{\langle x_1-x_2,\,y_2-y_1\rangle}{1+ \| y_1\| +\| y_2\| }; \notag \\ &\qquad\qquad x_1\in D(A_1)\cap \rho \overline{B},\, y_1\in A_1x_1,\,x_2\in D(A_2), \,y_2\in A_2x_2\biggl\} \end{aligned} \end{equation} \tag{2.11} $$
мы назовем $\rho$-псевдополуотклонением оператора $A_1$ от оператора $A_2$. Если $D(A_1)\cap \rho \overline{B}=\varnothing $, то считается, что $\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2)=0$.

Величина

$$ \begin{equation} \operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2)= \max \bigl\{\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2),\operatorname{exc\,dis}_{\rho} (A_2,A_1)\bigr\} \end{equation} \tag{2.12} $$
называется $\rho$-псевдорасстоянием между операторами $A_1$ и $A_2$.

При $\rho =+\infty$ псевдорасстояние $\operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2)$ совпадает с псевдорасстоянием $\operatorname{dis}(A_1,A_2)$ по Владимирову (см. [4]) между максимально монотонными операторами, определяемому равенством (1.6).

§ 3. Предварительные сведения и вспомогательные результаты

В этом параграфе мы приведем ряд вспомогательных утверждений и известных результатов, которые нам понадобятся при доказательстве основных результатов. В дальнейшем, если не оговорено противное, $X$ – сепарабельное банахово пространство.

Лемма 3.1. Однозначное отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно справа тогда и только тогда, когда оно непрерывно на полуинтервале Зоргенфрея $[0,a)$.

Доказательство. Пусть отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно на полуинтервале $[0,a)$ Зоргенфрея. Возьмем произвольное $t_0\in [0,a)$ и последовательность $t_n\in [0,a)$, $t_n\downarrow t_0$, $n\geqslant 1$, сходящуюся к $t_0$. Нам нужно показать, что последовательность $x_n=F(t_n)$, $n\geqslant 1$, сходится к $x_0=F(t_0)$.

Обозначим

$$ \begin{equation*} B(x_0,\varepsilon )=\bigl\{x\in X;\, \| x-x_0\| < \varepsilon \bigr\}, \qquad \varepsilon >0. \end{equation*} \notag $$
Возьмем произвольную последовательность $\varepsilon_n\downarrow 0$, $ n\geqslant 1$. Так как $x_0\in B(x_0,\varepsilon )$, то существует последовательность $\delta (\varepsilon_n)>0$, $t_0+\delta (\varepsilon_n)< a$, такая, что
$$ \begin{equation} F(t)\in B(x_0,\varepsilon_n) \quad \forall\, t\in [t_0,t_0+\delta (\varepsilon_n)). \end{equation} \tag{3.1} $$
Из (3.1) непосредственно вытекает, что последовательность $x_n=F(t_n)$ сходится к $x_0$.

Докажем обратное. Пусть отображение $F\colon [0,a)\to X$ непрерывно справа. Предположим, что оно не является непрерывным на полуинтервале Зоргенфрея $[0,a)$. Тогда существует точка $t_0\in [0,a)$ и $\varepsilon >0$ такие, что для любого $\delta_n>0$, $t_0+\delta_n < a$, $n\geqslant 1$, $ \delta_n\downarrow 0$, найдется точка $t_n\in [t_0,t_0+\delta_n)$, $n\geqslant 1$, такая, что

$$ \begin{equation} F(t_n)\notin B(x_0,\varepsilon ). \end{equation} \tag{3.2} $$
Так как $t_n\downarrow t_0$, $n\geqslant 1$, то последовательность $x_n=F(t_n)$, $n\geqslant 1$, сходится к $x_0=F(t_0)$. Но это противоречит (3.2). Следовательно, отображение $F\colon [0,a)\to X$ является непрерывным на полуинтервале Зоргенфрея. Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть однозначное отображение $F\colon [0,a]\to X$ непрерывно справа на $[0,a)$. Тогда отображение $F\colon [0,a]\to X$ является борелевским.

Доказательство. Возьмем произвольное открытое множество $U\subset X$ и рассмотрим множество
$$ \begin{equation*} F^{-1}(U)=\bigl\{t\in [0,a);\, F(t)\in U\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Из леммы 3.1 вытекает, что $F^{-1}(U)$ является открытым множеством полуинтервала $[0,a)$ Зоргенфрея. Как следует из [8], множество $F^{-1}(U)$ является объединением не более счетного числа полуинтервалов $[t,t+r)$, $t\in [0,a)$, $t+r<a$. Поэтому множество $F^{-1}(U)$ является борелевским. Так как одноточечное множество $\{a\}$ является борелевским, то множество
$$ \begin{equation*} {\widetilde F}^{-1}(U)=\bigl\{t\in [0,a];\, F(t)\in U\bigr\} \end{equation*} \notag $$
является борелевским. Лемма доказана.

Лемма 3.3 (см. [10; лемма 2.1]). Пусть $V$ – гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$ и нормой $\| \cdot \|_V$. Предположим, что множество $\{v_{\lambda};\, 0<\lambda \leqslant 1\}\subset V$ ограничено и

$$ \begin{equation*} \langle v_{\lambda}-v_{\mu},\,\lambda v_{\lambda}-\mu v_{\mu}\rangle_V\leqslant 0 \quad \forall\, \lambda ,\mu \in (0,1]. \end{equation*} \notag $$
Тогда функция $\lambda \to \| v_{\lambda}\|_V$ не убывает и $v_{\lambda}$ сходится в пространстве $V$ при $\lambda \downarrow 0$.

Лемма 3.4. Пусть $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$, $ i=1,2$, – максимально монотонные операторы. Тогда

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}_{\rho}(D(A_1),D(A_2))\leqslant \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2). \end{equation} \tag{3.3} $$

Доказательство. Если $D(A_1)\cap \rho \overline{B}=\varnothing $, то $\operatorname{exc}_{\rho}(D(A_1),D(A_2))=0$ и $\operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2)=0$ согласно определению. Поэтому неравенство (3.3) выполняется автоматически.

Пусть $x_1\in D(A_1)\cap \rho \overline{B}\ne \varnothing$ и $y_1\in A_1x_1$. Воспользовавшись (2.5) и (2.8), мы получим, что для любого $\lambda >0$ существует точка

$$ \begin{equation} x_2^{\lambda}=J_{\lambda}(A_2)x_1, \qquad x_2^{\lambda}\in D(A_2) \end{equation} \tag{3.4} $$
такая, что
$$ \begin{equation*} \frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}\in A_2x_2^{\lambda}. \end{equation*} \notag $$
Из этого включения и (2.11) вытекает неравенство
$$ \begin{equation} \biggl\langle x_1-x_2^{\lambda},\frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}-y_1\biggr\rangle \leqslant \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2) \biggl(\biggl\|\frac{x_1-x_2^{\lambda}}{\lambda}\biggr\|+\| y_1\| +1\biggr). \end{equation} \tag{3.5} $$
Обозначим через $\operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})$ проекцию точки $x_1$ на замкнутое выпуклое множество $\overline{D(A_2)}$, где черта сверху означает замыкание множества $D(A_2)$. Известно (см. [1]), что $J_{\lambda}(A_2)x_1\to \operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})$ при $\lambda \downarrow 0$. Воспользовавшись (3.4) и переходя к пределу в (3.5) при $\lambda \downarrow 0$, мы получим неравенство
$$ \begin{equation*} \| x_1-\operatorname{pr}(x_1,\overline{D(A_2)})\| \leqslant \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A_1,A_2). \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (2.1) непосредственно вытекает неравенство (3.3). Лемма доказана.

Следствие 3.1. Пусть $A_i\colon D(A_i)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонные операторы. Тогда

$$ \begin{equation} \operatorname{haus}(D(A_1),D(A_2))\leqslant \operatorname{dis}(A_1,A_2). \end{equation} \tag{3.6} $$

Следствие вытекает из леммы 3.4, (2.2), (2.3) и (2.12), (1.6) при $\rho =+\infty $.

Теорема 3.1. Пусть $\Gamma (t)$, $t\in T$, – слабо измеримое семейство монотонных операторов $\Gamma (t)\colon D(\Gamma (t))\subset H\rightrightarrows H$. Тогда существует единственное измеримое семейство $\widehat{\Gamma}(t)$, $t\in T$, максимально монотонных операторов $\widehat{\Gamma}(t)$: $D(\widehat{\Gamma}(t))\subset H\rightrightarrows H$ такое, что $\widehat{\Gamma}(t)$ для каждого $t\in T$ является максимально монотонным продолжением оператора $\Gamma(t)$.

С учетом замечания 1.1 теорема вытекает из [7; теорема 3.1, с. 100].

Теорема 3.2. Пусть $A(t)$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) семейство $A(t)$, $t\in T$, является измеримым;

2) для любых $\lambda >0$ и $x\in H$ отображение $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ измеримо.

Так как многозначное отображение $t\to \operatorname{gr}A(t)$ имеет своими значениями замкнутые множества, то понятия измеримости и слабой измеримости совпадают. Теперь утверждения теоремы с учетом замечания 2.1 вытекают из [7; теорема 2.1, с. 83].

Пусть $C\colon T\rightrightarrows H$ – многозначное отображение с замкнутыми выпуклыми значениями. Рассмотрим процесс выметания

$$ \begin{equation} -\dot{x}(t)\in N(C(t))x(t) + \varphi (t), \end{equation} \tag{3.7} $$
$$ \begin{equation*} x(0)=x_0 \in C(0), \qquad \varphi (\cdot )\in L^1(T,H). \end{equation*} \notag $$
Пусть $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ и
$$ \begin{equation} S^1(r_C)=\bigl\{\varphi (\cdot )\in L^1(T,H);\, \| \varphi (t)\| \leqslant r_C(t) \ \text{ п.в.}\bigr\}. \end{equation} \tag{3.8} $$

Теорема 3.3. Предположим, что для любого $\rho \in [0,+\infty )$ существует абсолютно непрерывная функция $b_{\rho}\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что для любых $s,t\in T$, $s\leqslant t$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}_{\rho}(C(s),C(t))\leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|. \end{equation} \tag{3.9} $$
Тогда для любого $x_0\in C(0)$ и любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ существует единственное решение $x_C(\varphi )(\cdot )$, $x_C(\varphi )(0)=x_0$, процесса выметания (3.7), удовлетворяющее неравенству
$$ \begin{equation} \| x_C(\varphi )(t)\| \leqslant \| x_C(\Theta )(t)\| +\int_0^t \| \varphi (\tau )\| \,d\tau . \end{equation} \tag{3.10} $$

Для любого $x_0$ и $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_C\|_{L^1}$, такое, что

$$ \begin{equation} \| \dot{x}_C(\varphi )(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2r_C(t) \quad \textit{п.в.} \end{equation} \tag{3.11} $$
при $\varphi (\cdot )\in S^1(r_C)$ и множество
$$ \begin{equation} \bigl\{x_C(\varphi )(\cdot );\, \varphi (\cdot )\in S^1(r_C)\bigr\}\subset C(T,H) \end{equation} \tag{3.12} $$
равностепенно непрерывно.

Здесь $x_C(\Theta )(\cdot )$, $x_C(\Theta )(0)=x_0$, – решение процесса выметания (3.7) при $\varphi (t)\equiv \Theta$, $t\in T$. Теорема вытекает из [11; следствие 1.1].

Следствие 3.2. Предположим, что существует абсолютно непрерывная функция $b\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}(C(s),C(t))\leqslant |b(t)-b(s)|, \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T. \end{equation} \tag{3.13} $$
Тогда для любых $x_0\in C(0)$ и $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ существует единственное решение $x_C(\varphi )(\cdot )$, $x_C(\varphi )(0)=x_0$, процесса выметания, удовлетворяющее неравенству (3.10), и для любого $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$
$$ \begin{equation} \| \dot{x}_C(\varphi )(t)\| \leqslant |\dot{b}(t)| + 2r_C(t) \quad \textit{п.в.} \end{equation} \tag{3.14} $$
при $\varphi (\cdot )\in S^1(r_C)$, а множество (3.12) равностепенно непрерывно.

Следствие вытекает из теоремы 3.3, если учесть, что $b_{\infty}(t)\,{=}\,b(t)$ и $\operatorname{exc}_{\infty}(C(s)$, $C(t))=\operatorname{exc}(C(s),C(t))$.

Замечание 3.1. В (3.11) и (3.14) в качестве $r_C(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ можно взять $r_C(t)=\| \varphi (t)\| $.

§ 4. Основной результат

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос существования решения включения (1.1). Решение включения (1.1) мы будем обозначать $x_A(f)(\cdot )$.

Следующая теорема является основополагающей в наших исследованиях.

Теорема 4.1. Пусть $A\colon D(A)\subset H\rightrightarrows H$ – максимально монотонный оператор. Предположим, что

$$ \begin{equation} \| A^0 x \|\leqslant m(1+l(\|x\|)), \qquad x \in D(A), \end{equation} \tag{4.1} $$
$m>0$, $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$ – неубывающая функция. Тогда $D(A)$ является замкнутым выпуклым множеством и
$$ \begin{equation} A=N(D(A))+A. \end{equation} \tag{4.2} $$

Доказательство. Известно (см. [1]), что замыкание $\overline{D(A)}$ множества $D(A)$ является выпуклым множеством. Замкнутость множества $D(A)$ при выполнении неравенства (4.1) доказана в [2]. Так как значениями максимально монотонного оператора $N(D(A))$ являются конусы, то
$$ \begin{equation*} \Theta \in N(D(A))x, \qquad x\in D(A). \end{equation*} \notag $$
Из этого включения следует, что
$$ \begin{equation} A\subset N(D(A))+A. \end{equation} \tag{4.3} $$
Очевидно, что оператор $N(D(A))+A$ с областью определения $D(A)$ является монотонным. Так как оператор $A$ является максимально монотонным, то его график $\operatorname{gr} A$ не может быть собственным подмножеством графика другого монотонного оператора. Теперь равенство (4.2) вытекает из включения (4.3). Теорема доказана.

Если $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, – семейство максимально монотонных операторов, то для любого $\lambda >0$ через $A_{\lambda}(t)$ мы обозначаем аппроксимацию Иосиды оператора $A(t)$, которая является максимально монотонным оператором из $H$ в $H$.

В дальнейшем мы считаем, что для семейства максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, выполняются предположения $H(A)$. Из неравенства (1.2) и теоремы 4.1 вытекает, что для любого $t\in T$ множество $D(A(t))$ является замкнутым и выпуклым. Поэтому мы можем рассмотреть включение

$$ \begin{equation} -\dot{x}_{\lambda}(t)\in N(D(t)) x_{\lambda}(t) + A_{\lambda}(t)x_{\lambda}(t)+f(t), \end{equation} \tag{4.4} $$
$$ \begin{equation*} x_{\lambda}(0) = x_0 \in D(A(0)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H), \end{equation*} \notag $$
где $D(t)=D(A(t))$, $t\in T$.

Теорема 4.2. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любого $x_0\in D(0)$ и любого $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Тогда для любых $\lambda >0$, $x_0\in D(0)$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (4.4) имеет единственное решение $x_{\lambda}(f)\colon T\to H$, $x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству

$$ \begin{equation} \| x_{\lambda}(f)(t)\| \leqslant \| x_N(\Theta )\|_C +\int_0^t [m(\tau )(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)+ \| f(\tau )\| )]\,d\tau , \end{equation} \tag{4.5} $$
где $x_N(\Theta )(\cdot )$, $x_N(\Theta )(0)=x_0$, – решение процесса выметания (1.4) при $\varphi (t)\equiv \Theta $, $t\in T$, с нормой $\| x_N(\Theta )\|_C$ в пространстве $C(T,H)$.

Доказательство. Хорошо известно, что решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, процесса выметания (1.4), если оно существует, единственно и для любых решений $x_N(\varphi_i)(\cdot )$, $x_N(\varphi_i)(0)=x_0$, $ \varphi_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, $i=1,2$, имеет место неравенство
$$ \begin{equation} \| x_N(\varphi_1)(t) - x_N(\varphi_2)(t)\| \leqslant \int_0^t \| \varphi_1(\tau ) -\varphi_2(\tau ) \| \,d\tau . \end{equation} \tag{4.6} $$
Обозначим через $\mathcal T\colon L^1(T,H)\to C(T,H)$ оператор, который каждому $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ ставит в соответствие единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $ x_N(\varphi )(0)=x_0$, процесса выметания (1.4), т.е.
$$ \begin{equation} x_N(\varphi )(\cdot )=\mathcal T(\varphi ). \end{equation} \tag{4.7} $$
Из предположения $H(A)$, 1), теоремы 3.2 и (2.5) вытекает, что для любых $\lambda >0$, $x\in H$ отображение $t\to A_{\lambda}(t)x$ измеримо и
$$ \begin{equation} \| A_{\lambda}(t)x - A_{\lambda}(t)y\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x-y\| ,\qquad x,y\in H. \end{equation} \tag{4.8} $$
Так как $x_N(\Theta )(t)\in D(t)$, $t\in T$, то воспользовавшись (4.8), (1.2) и (2.9), мы получим неравенство
$$ \begin{equation} \| A_{\lambda}(t)x\| \leqslant \frac{1}{\lambda}\| x\| + \frac{1}{\lambda}\| x_N(\Theta )\|_C+m(t)(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)). \end{equation} \tag{4.9} $$
Из (4.8) следует, что для любой непрерывной функции $x\colon T\to H$ функция $t\to A_{\lambda}(t)x(t)$ измерима. Тогда согласно (4.9) эта функция является элементом пространства $L^1(T,H)$. Поэтому при фиксированном $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ будет определен оператор $\mathcal A_{\lambda}\colon L^1(T,H)\to L^1(T,H)$
$$ \begin{equation} \mathcal A_{\lambda}(\varphi )(t)= A_{\lambda}(t) \mathcal T(\varphi )(t)+f(t). \end{equation} \tag{4.10} $$
Из (4.6)(4.8) и (4.10) вытекает неравенство
$$ \begin{equation} \| \mathcal A_{\lambda}(\varphi_1)(t) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2)(t)\| \leqslant \frac{1}{\lambda} \int_0^t \| \varphi_1(\tau ) - \varphi_2(\tau ) \| \,d\tau . \end{equation} \tag{4.11} $$
На пространстве $L^1(T,H)$ введем норму
$$ \begin{equation} P(\varphi )=\int_T \exp \biggl(- \frac{2}{\lambda}\, t\biggr) \| \varphi(\tau )\| \,d\tau , \end{equation} \tag{4.12} $$
которая эквивалентна стандартной норме пространства $L^1(T,H)$. Пространство $L^1(T,H)$ с нормой (4.12) будем обозначать $L^1_P(T,H)$. Из (4.11), (4.12) вытекает неравенство
$$ \begin{equation*} P(\mathcal A_{\lambda}(\varphi_1) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2))\leqslant \int_T \frac{1}{\lambda} \exp \biggl(- \frac{2}{\lambda}\, t\biggr)\biggl(\int_0^t \| \varphi_1(\tau )-\varphi_2(\tau )\| \,d\tau \biggr)\,dt, \qquad t\in T. \end{equation*} \notag $$
Проинтегрировав правую часть этого неравенства по частям, мы получим
$$ \begin{equation*} P(\mathcal A_{\lambda}(\varphi_1) - \mathcal A_{\lambda}(\varphi_2))\leqslant \frac{1}{2}P(\varphi_1-\varphi_2). \end{equation*} \notag $$
Следовательно, оператор $\mathcal A_{\lambda}\colon L^1_P(T,H)\to L^1_P(T,H)$ является сжимающим в банаховом пространстве $L^1_P(T,H)$. Поэтому существует неподвижная точка $\varphi_*(\cdot )\in L^1_P(T,H)$ этого оператора, т.е.
$$ \begin{equation} \varphi_*(\cdot )= \mathcal A_{\lambda}(\varphi_*). \end{equation} \tag{4.13} $$
Из (4.10), (4.13) мы получаем равенство
$$ \begin{equation} \varphi_*(t)= A_{\lambda}(t) \mathcal T(\varphi_*)(t)+f(t). \end{equation} \tag{4.14} $$
Тогда согласно (1.4), (4.7)
$$ \begin{equation*} -\dot{x}_N (\varphi_*)(t)\in N(D(t))x_N (\varphi_*)(t) + \varphi_*(t) \quad \text{п.в.} \end{equation*} \notag $$
Из этого включения и (4.14) вытекает включение
$$ \begin{equation} -\dot{x}_N (\varphi_*)(t)\in N(D(t))x_N (\varphi_*)(t) + A_{\lambda}(t)x_N (\varphi_*)(t) +f(t). \end{equation} \tag{4.15} $$
Обозначим $x_{\lambda}(f)(t)=x_N (\varphi_*)(t)$. Тогда согласно (4.15)
$$ \begin{equation} -\dot{x}_{\lambda}(f)(t)\in N(D(t))x_{\lambda}(f)(t) + A_{\lambda}(t)x_{\lambda}(f)(t) +f(t). \end{equation} \tag{4.16} $$
Следовательно, $x_{\lambda}(f)(\cdot )$, $x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, является решением включения (4.4).

Докажем единственность этого решения.

Пусть $y_{\lambda}(f)(\cdot )$, $y_{\lambda}(f)(0)=x_0$, – другое решение включения (4.4). Воспользовавшись (4.4) и монотонностью операторов $N(D(t))$ и $A_{\lambda}(t)$, $t\in T$, мы получим неравенство

$$ \begin{equation*} \langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{y}_{\lambda}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t) -y_{\lambda}(f)(t)\rangle \leqslant 0, \end{equation*} \notag $$
проинтегрировав это неравенство, мы придем к неравенству
$$ \begin{equation*} \| x_{\lambda}(f)(t)-y_{\lambda}(f)(t)\|^2 \leqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $x_{\lambda}(f)(t)=y_{\lambda}(f)(t)$, $t\in T$, и единственность решения включения (4.4) доказана.

Докажем неравенство (4.5). Из (1.4) и (4.4), учитывая монотонность оператора $N(D(t))$, $t\in T$, мы получаем неравенство

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_N(\Theta )(t),\,x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\rangle \\ &\qquad \leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)-f(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_N(\Theta )(t)\rangle . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и монотонности оператора $A_{\lambda}(t)$, $t\in T$,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_N(\Theta )(t),\,x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\rangle \\ &\qquad \leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )(t)-f(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_N(\Theta )(t)\rangle . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Проинтегрировав это неравенство, мы получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\| x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\|^2 \\ &\qquad\leqslant 2\int_0^t (\| f(\tau )\| + \| A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )\| )(\| x_{\lambda}(f)(\tau )-x_N(\Theta )(\tau )\| )\,d\tau , \qquad t\in T. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Воспользовавшись леммой A5 из [1; с. 157], мы придем к неравенству
$$ \begin{equation*} \| x_{\lambda}(f)(t)-x_N(\Theta )(t)\| \leqslant \int_0^t (\| f(\tau )\| + \| A_{\lambda}(t) x_N(\Theta )(\tau )\| )\,d\tau , \qquad t\in T. \end{equation*} \notag $$
Так как $x_N (\Theta )(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, то из (2.9), (1.2) и последнего неравенства вытекает неравенство (4.5). Теорема 4.2 доказана.

Для $r_A(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ обозначим

$$ \begin{equation} S^1(r_A)=\bigl\{f(\cdot )\in L^1(T,H);\, \| f(t)\| \leqslant r_A(t)\text{ п.в.}\bigr\}. \end{equation} \tag{4.17} $$

Теорема 4.3. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любых $x_0\in D(A(0))$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ процесс выметания (1.4) имеет решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Тогда для любых $x_0\in D(A(0))$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)(\cdot )$, $ x_A(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству

$$ \begin{equation} \| x_A(f)(t)\| \leqslant \| x_N(\Theta )\|_C +\int_0^t \bigl[m(\tau )\bigl(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)\bigr)+\| f(\tau )\| \bigr]\,d\tau . \end{equation} \tag{4.18} $$
При этом если $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, то существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$
$$ \begin{equation} \| \varphi (t)\| \leqslant m(t)(1+l(M_A))+r_A(t), \end{equation} \tag{4.19} $$
при котором имеет место равенство
$$ \begin{equation} x_A(f)(t)= x_N(\varphi )(t), \qquad t\in T, \end{equation} \tag{4.20} $$
где
$$ \begin{equation} M_A=\| x_N(\Theta )\|_C +(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)) \| m(\cdot )\|_{L^1}+\| r_A(\cdot )\|_{L^1}. \end{equation} \tag{4.21} $$
Если для любого $r_N(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество $\bigl\{x_N(\varphi )(\cdot );\, \varphi (\cdot )\in S^1(r_N)\bigr\}$ равностепенно непрерывно, то для любого $r_A(\cdot )\,{\in}{\kern1pt}L^1(T,{\mathbb R}^+)$ множество $\bigl\{x_A(f)(\cdot ); f(\cdot ) \in S^1(r_A)\bigr\}$ равностепенно непрерывно.

Доказательство. Пусть $x_{\lambda}(f)(\cdot )$, $ x_{\lambda}(f)(0)=x_0$, $\lambda >0$, – решение включения (4.4) и
$$ \begin{equation} v_{\lambda}(t)=A_{\lambda}(t)x_{\lambda}(f)(t). \end{equation} \tag{4.22} $$
Обозначим
$$ \begin{equation} M=\| x_N(\Theta )\|_C +(1+l(\| x_N(\Theta )\|_C)) \| m(\cdot )\|_{L^1}+\| f(\cdot )\|_{L^1}. \end{equation} \tag{4.23} $$
Так как $x_{\lambda}(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, то из (2.9), (4.5) и (4.22), (4.23) мы получим
$$ \begin{equation} \| v_{\lambda}(t)\| \leqslant m(t)(1+l(M)), \qquad \lambda >0. \end{equation} \tag{4.24} $$
Так как $m(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$, то из последнего неравенства вытекает, что множество $\bigl\{v_{\lambda}(\cdot );\, 0<\lambda \leqslant 1\bigr\}$ ограничено в гильбертовом пространстве $L^2(T,H)$. Из монотонности оператора $N(D(t))$, $t\in T$, и (4.4) вытекает неравенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\langle \dot{x}_{\lambda}(f)(t)-\dot{x}_{\mu}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t) -x_{\mu}(f)(t)\rangle \\ &\qquad\leqslant \langle - A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)+A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t),\,x_{\lambda}(f)(t)- x_{\mu}(f)(t)\rangle . \end{aligned} \end{equation} \tag{4.25} $$
Согласно (2.5) имеют место равенства
$$ \begin{equation} x_{\lambda}(f)(t)= \lambda A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)+J_{\lambda}(A(t))x_{\lambda}(f)(t), \end{equation} \tag{4.26} $$
$$ \begin{equation*} x_{\mu}(f)(t)=\mu A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t)+J_{\mu}(A(t))x_{\mu}(f)(t). \end{equation*} \notag $$
Из этих равенств, (2.8), (4.25) и монотонности оператора $A(t)$, $t\in T$, мы получаем неравенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\| x_{\lambda}(f)(t)-x_{\mu}(f)(t)\|^2 \\ &\qquad +2\int_T \langle A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(t)-A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t),\, \lambda A_{\lambda}(t) x_{\lambda}(f)(t)-\mu A_{\mu}(t)x_{\mu}(f)(t)\rangle \,dt \leqslant 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Воспользовавшись (4.22), мы получим
$$ \begin{equation*} \langle v_{\lambda}(\cdot )-v_{\mu}(\cdot ),\,\lambda v_{\lambda}(\cdot )-\mu v_{\mu}(\cdot )\rangle_{L^2(T,H)}\leqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства, ограниченности множества $\bigl\{v_{\lambda}(\cdot );\, \lambda \in (0,1]\bigr\}\subset L^2(T,H)$ и леммы 3.3 вытекает, что
$$ \begin{equation} v_{\lambda}(\cdot )\to v(\cdot ) \quad \text{в }\ L^2(T,H) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0. \end{equation} \tag{4.27} $$
Пусть $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, – решение включения
$$ \begin{equation} -x_A(f)(t)\in N(D(t))x_A(f)(t) + v(t)+f(t). \end{equation} \tag{4.28} $$
Воспользовавшись (4.4), (4.6), (4.22) и (4.28), мы получим
$$ \begin{equation*} \| x_{\lambda}(f)(t)-x_A(f)(t)\| \leqslant \int_0^t \| v(\tau )-v_{\lambda}(\tau )\| \,d\tau . \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (4.27) вытекает, что
$$ \begin{equation} x_{\lambda}(f)(\cdot )\to x_A(f)(\cdot ) \quad \text{в }\ C(T,H) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0. \end{equation} \tag{4.29} $$
Не нарушая общности, мы можем считать
$$ \begin{equation} v_{\lambda}(t)\to v(t) \quad \text{п.в. при }\ \lambda \downarrow 0. \end{equation} \tag{4.30} $$
Тогда из (4.26), (4.22), (4.24), (4.29) и (4.30) мы получаем
$$ \begin{equation} J_{\lambda}(A(t))x_{\lambda}(f)(t)\to x_A(f)(t) \quad \text{при }\ \lambda \downarrow 0. \end{equation} \tag{4.31} $$
Воспользовавшись (2.8), (4.22), (4.30), (4.31) и свойством 5) в лемме 2.1, мы придем к включению
$$ \begin{equation} v(t)\in A(t)x_A(f)(t) \quad \text{п.в.} \end{equation} \tag{4.32} $$
Следовательно, согласно (4.28)
$$ \begin{equation} -\dot{x}_A(f)(t)\in N(D(t))x_A(f)(t) + A(t)x_A(f)(t) +f(t). \end{equation} \tag{4.33} $$
Воспользовавшись равенством (4.2), мы получим включение
$$ \begin{equation*} -\dot{x}_A(f)(t)\in A(t)x_A(f)(t) + f(t) \quad \text{п.в.} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, является решением включения (1.1). Единственность решения $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, вытекает из хорошо известного неравенства (см. [2], [5] и др.)
$$ \begin{equation*} \| x(f_1)(t)-x(f_2)(t)\| \leqslant \int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau , \qquad t\in T, \end{equation*} \notag $$
для решений $x(f_i)(\cdot )$, $x(f_i)(0)=x_0$, $f_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, включения (1.1). Неравенство (4.18) непосредственно вытекает из (4.5) и (4.29).

Так как включение (1.4) при фиксированном $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ имеет единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$, то воспользовавшись (4.28), мы получим равенство

$$ \begin{equation} x_A(f)(t)=x_N(\varphi )(t), \qquad t\in T, \end{equation} \tag{4.34} $$
при
$$ \begin{equation} \varphi (t)=v(t)+f(t). \end{equation} \tag{4.35} $$
Воспользовавшись (4.23), (4.24), (4.27) и (4.35), мы получим, что равенство (4.20) имеет место при $\varphi (t)$, удовлетворяющей неравенству (4.19).

Пусть

$$ \begin{equation*} r_N(t)= m(t)(1+l(M_A))+r_A(t). \end{equation*} \notag $$
Тогда из (4.17) мы получим
$$ \begin{equation} S^1(r_A)\subset S(r_N). \end{equation} \tag{4.36} $$
Теперь последнее утверждение теоремы вытекает из (4.36) и (4.19), (4.20). Теорема 4.3 доказана. Тем самым доказана и теорема 1.1.

§ 5. Конкретизация результатов

В этом параграфе мы в терминах свойств семейства максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$ дадим конкретизацию теоремы 4.3.

Теорема 5.1. Пусть для семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, выполняется неравенство (1.2). Предположим, что для любого $\rho \in [0,+\infty )$ существует абсолютно непрерывная функция $b_{\rho}\colon T\to {\mathbb R}$ такая, что

$$ \begin{equation} \operatorname{exc\,dis}_{\rho}(A(s),A(t))\leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|, \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T. \end{equation} \tag{5.1} $$
Тогда семейство максимально монотонных операторов $A(t)\colon D(A(t))\,{\subset}\, H\,{\rightrightarrows}\, H$ является измеримым и для любых $x_0\in D(A(0))$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.4) имеет единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $ x_N(\varphi )(0)=x_0$.

Поэтому для любых $x_0\in D(A(0))$, $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.1) имеет единственное решение $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, удовлетворяющее неравенству (4.18). Если $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, то существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, удовлетворяющее неравенству (4.19), при котором имеет место равенство (4.20). Кроме того, существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_A(\cdot )\|_{L^1}$, такое, что

$$ \begin{equation} \| \dot{x}_A(f)(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2(m(t)(1+l(M_A))+r_A(t)) \quad \textit{п.в.} \end{equation} \tag{5.2} $$
при любом $f(\cdot )\in S^1(r_A)$, где константа $M_A>0$ определяется равенством (4.21).

Доказательство. Покажем, что в рамках сделанных предположений семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, является измеримым.

Из (5.1) и (3.3) вытекает неравенство

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}_{\rho}(D(A(s)),D(A(t)))\leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|, \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T. \end{equation} \tag{5.3} $$
Воспользовавшись (5.3), мы получим неравенство
$$ \begin{equation*} d(x_0,A(t))\leqslant |b_{\| x_0\|}(t)-b_{\| x_0\|}(0)|, \qquad t\in T. \end{equation*} \notag $$
Поэтому существует функция $y_*(t)\in D(A(t))$, $t\in T$, такая, что
$$ \begin{equation*} \| x_0-y_*(t)\| \leqslant |b_{\| x_0\|}(t)-b_{\| x_0\|}(0)|, \qquad t\in T. \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства следует, что
$$ \begin{equation} \| y_*(t)\| \leqslant C, \qquad t\in T, \end{equation} \tag{5.4} $$
при некотором $C>0$.

Возьмем произвольное $\varepsilon >0$. Тогда существует компактное множество $T_{\varepsilon}\subset [0,a)$ такое, что $\mu (T\setminus T_{\varepsilon})\leqslant \varepsilon$ и сужение функции $m(t)$ на $T_{\varepsilon}$ непрерывно.

Пусть $x\in H$ и $s\in T_{\varepsilon}$ произвольны. Воспользовавшись (2.5)(2.7), мы получим

$$ \begin{equation*} \| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \| x\| + 2 \| y_*(s)\| + \lambda \| A_{\lambda}(s)y_*(s)\| . \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (2.9), (1.2), (5.4) вытекает неравенство
$$ \begin{equation*} \| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \| x\| + 2 C + \lambda m(s)(1+l(C)). \end{equation*} \notag $$
Пусть
$$ \begin{equation} C_{\varepsilon}=\sup \bigl\{m(\tau);\, \tau\in T_{\varepsilon}\bigr\}. \end{equation} \tag{5.5} $$
Тогда $\| J_{\lambda}(A(s))x\| \leqslant \rho $, где $\rho = \| x\| + 2 C + \lambda C_{\varepsilon} (1+l(C))$. Воспользовавшись (2.11), (5.3), мы получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\langle J_{\lambda}(A(s))x-J_{\lambda}(A(t))x,\,A_{\lambda}(t)x-A_{\lambda}(s)x\rangle \\ &\qquad \leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|(1+\| A_{\lambda}(t)x\| + \| A_{\lambda}(s)x\| ), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (2.5) вытекает неравенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\| J_{\lambda}(A(s))x - J_{\lambda}(A(t))x\|^2 \\ &\qquad \leqslant \lambda |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|(1+\| A_{\lambda}(t)x\| + \| A_{\lambda}(s)x\| ), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Воспользовавшись (2.5), (2.9), (1.2) и (5.5), мы получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\| J_{\lambda}(A(s))x - J_{\lambda}(A(t))x\|^2 \\ &\qquad \leqslant \lambda |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|\biggl(1 + \frac{2}{\lambda}\| x\| + 2 C_{\varepsilon}(1 + l(C))\biggr), \qquad s\leqslant t, \quad s,t\in T_{\varepsilon}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства вытекает, что функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ непрерывна справа в точке $s$. Тогда согласно лемме 3.1 она непрерывна в точке $s$ в топологии, индуцированной топологией полуинтервала Зоргенфрея. Так как точка $s\in T_{\varepsilon}$ произвольна, то функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$, $t\in T_{\varepsilon}$, непрерывна на $T_{\varepsilon}$ в этой топологии. Поэтому согласно лемме 3.2 функция $t\to J_{\lambda}(A(t))x$ является борелевской на $T_{\varepsilon}$ и, следовательно, измеримой на $T$. Теперь измеримость семейства $A(t)$, $t\in T$, максимально монотонных операторов вытекает из теоремы 3.2.

Из неравенства (5.1) и (3.3) вытекает неравенство (5.3) при $\rho \in [0,+\infty )$. Поэтому согласно теореме 3.3 для любых $x_0\in D(A(0))$, $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$ включение (1.4) имеет единственное решение $x_N(\varphi )(\cdot )$, $x_N(\varphi )(0)=x_0$. Теперь существование и единственность решения $x(f)(\cdot )$, $x(f)(0)=x_0$, включения (1.1) при любых $x_0\in D(A(0))$ и $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ вытекает из теоремы 4.3. Это решение удовлетворяет неравенству (4.18) и для любого $f(\cdot )\in S^1(r_A)$ существует $\varphi (\cdot )\in L^1(T,H)$, удовлетворяющее неравенству (4.19), при котором имеет место равенство (4.20). Согласно теореме 3.3 существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| r_N(\cdot )\|_{L^1}$, такое, что

$$ \begin{equation} \| \dot{x}_N(\varphi )(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2 r_N(t). \end{equation} \tag{5.6} $$
Возьмем
$$ \begin{equation} r_N(t) = m(t)(1+l(M_A))+r_A(t). \end{equation} \tag{5.7} $$
Из (4.19) следует, что для любого $f(\cdot )\in S^1(r_A)$ существует $\varphi (\cdot )\in S^1(r_N)$, для которой имеет место равенство (4.20). Из этого равенства и (5.6), (5.7) мы получаем неравенство (5.2). Из (5.7) и (4.21) вытекает, что $\rho_*$ зависит от $\| x_0\| $ и $\| r_A(\cdot )\|_{L^1}$. Теорема 5.1 доказана.

Теперь следствие 1.1 вытекает из теоремы 5.1 при $\rho =+\infty$ и следствия 3.2, в котором нужно положить $b_{\infty}(t)=b(t)$. Из (3.11) вытекает неравенство

$$ \begin{equation} \| x_N(\Theta )\|_C \leqslant \| x_0\| + \| \dot{b}\|_{L^1}. \end{equation} \tag{5.8} $$
Теперь неравенства (1.8), (1.9) и равенство (1.10) вытекают из неравенств (4.18), (5.2), (5.8) и монотонности функции $l\colon {\mathbb R}^+\to {\mathbb R}^+$. Таким образом, теорема 1.1 и следствие 1.1 доказаны.

Теорема 5.2. Пусть выполняются предположения $H(A)$ и для любого $\rho\in [0,+\infty)$ существует абсолютно непрерывная функция $b_\rho \colon T\to R$ такая, что для любых $s,t\in T$, $s\leqslant t$, выполняется неравенство

$$ \begin{equation} \operatorname{exc}_{\rho}(D(A(s)),D(A(t)))\leqslant |b_{\rho}(t)-b_{\rho}(s)|. \end{equation} \tag{5.9} $$
Тогда справедливы все утверждения теоремы 5.1, относящиеся к включению (1.1).

Теорема вытекает из теорем 3.3 и 4.3.

§ 6. Приложения

В этом параграфе мы докажем теорему 1.2.

Доказательство теоремы 1.2. Если для любых $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ и $x_0\in D(A(0))$ включение (1.1) имеет решение $x_A(f)(\cdot )$, $x_A(f)(0)=x_0$, то решение единственно, и для любых решений $x_A(f_i)(\cdot )$, $x_A(f_1)(0)=x_A(f_2)(0)=x_0$, $ f_i(\cdot )\in L^1(T,H)$, будет иметь место неравенство
$$ \begin{equation} \| x_A(f_1)(t)-x_A(f_2)(t)\| \leqslant \int_0^t |f_1(\tau )-f_2(\tau )|\,d\tau . \end{equation} \tag{6.1} $$
Из предположений $H(F)$, 1), 2) вытекает, что для любого $x(\cdot )\in C(T,H)$ отображение $t\to F(t,x(t))$ будет измеримым с замкнутыми значениями. Если выполняется неравенство (1.14), то из (1.12) мы получим неравенство
$$ \begin{equation*} d(\Theta ,F(t,x(t)))< n(t)+k(t)\| x(t)\| \quad \text{п.в.} \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и свойств измеримых многозначных отображений вытекает, что существует $f(\cdot )\in L^1(T,H)$ такой, что $f(t)\in F(t,x(t))$ почти всюду и
$$ \begin{equation} \| f(t)\| \leqslant n(t)+k(t)\| x(t)\| \quad \text{п.в.} \end{equation} \tag{6.2} $$
Для любого $x(\cdot )\in C(T,H)$ обозначим через $\mathcal F(x)$ множество
$$ \begin{equation} \mathcal F(x)=\bigl\{f(\cdot )\in L^1(T,H);\, f(t)\in F(t,x(t)) \text{ п.в.}\bigr\}. \end{equation} \tag{6.3} $$
Как следует из (6.2), множество $\mathcal F(x)$ является непустым, замкнутым, разложимым подмножеством пространства $L^1(T,H)$. Тем самым будет определен многозначный оператор $\mathcal F\colon C(T,H)\rightrightarrows L^1(T,H)$, значениями которого будут замкнутые, разложимые множества из пространства $L^1(T,H)$.

На пространстве $L^1(T,H)$ введем норму

$$ \begin{equation} \Pi(f)=\int_T e^{-2\alpha (t)}\| f(t)\| \,dt, \end{equation} \tag{6.4} $$
где
$$ \begin{equation} \alpha (t)=\int_0^t k(\tau )\,d\tau , \end{equation} \tag{6.5} $$
которая очевидно эквивалентна стандартной норме пространства $L^1(T,H)$. Пространство $L^1(T,H)$ с нормой (6.4) мы будем обозначать $L^1_{\Pi}(T,H)$.

Расстояние по Хаусдорфу между замкнутыми множествами из пространства $L^1_{\Pi}(T,H)$ мы будем обозначать через $\operatorname{haus}_{\Pi}(\cdot ,\cdot )$.

Пусть $x_1(\cdot ),x_2(\cdot )\in C(T,H)$ и $f_1(\cdot )\in \mathcal F(x_1)$ произвольны. Из (1.12) и (6.3) вытекает неравенство

$$ \begin{equation*} d(f_1(t),F(t,x_2(t)))< k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| . \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и свойств измеримых многозначных отображений мы получаем, что существует элемент $f_2(\cdot )\in \mathcal F(x_2)$ такой, что
$$ \begin{equation*} \| f_1(t)-f_2(t)\| \leqslant k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \quad \text{п.в.} \end{equation*} \notag $$
Воспользовавшись этим неравенством и (6.4), мы получим
$$ \begin{equation} \Pi(f_1-f_2)\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \,dt. \end{equation} \tag{6.6} $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \operatorname{haus}_\Pi(\mathcal F(x_1),\mathcal F(x_2))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\| x_1(t)-x_2(t)\| \,dt. \end{equation*} \notag $$
Согласно (6.1)
$$ \begin{equation} \operatorname{haus}_\Pi(\mathcal F(x_A(f_1)),\mathcal F(x_A(f_2)))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau \,dt. \end{equation} \tag{6.7} $$
Пусть
$$ \begin{equation} \Phi (f)= \mathcal F(x_A(f)), \qquad f(\cdot )\in L^1(T,H). \end{equation} \tag{6.8} $$
Тогда будет определен многозначный оператор $\Phi \colon L^1(T,H)\rightrightarrows L^1(T,H)$ с замкнутыми, разложимыми значениями. Из (6.7), (6.8) вытекает, что этот оператор удовлетворяет неравенству
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{haus}_\Pi (\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \int_T e^{-2\alpha (t)}k(t)\int_0^t \| f_1(\tau )-f_2(\tau )\| \,d\tau \,dt, \\ f_1(\cdot ),f_2(\cdot )\in L^1(T,H). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Проинтегрировав правую часть этого неравенства по частям, мы получим
$$ \begin{equation*} \operatorname{haus}_\Pi(\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \frac{1}{2}\int_T e^{-2\alpha (t)} \| f_1(t)-f_2(t)\| \,dt. \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (6.4) вытекает неравенство
$$ \begin{equation*} \operatorname{haus}_\Pi(\Phi (f_1),\Phi (f_2))\leqslant \frac{1}{2} \text{П}(f_1-f_2), \end{equation*} \notag $$
т.е. оператор является сжимающим в банаховом пространстве $L^1_{\Pi}(T,H)$. Тогда согласно [12; теорема 3.1] существует неподвижная точка этого оператора, т.е.
$$ \begin{equation} v(\cdot )\in \Phi (v). \end{equation} \tag{6.9} $$
Воспользовавшись (6.8), (6.3), (6.9) и (1.1), мы получим
$$ \begin{equation} -x_A(v)(t)\in A(t)x_A(v)(t)+v(t), \end{equation} \tag{6.10} $$
$$ \begin{equation} v(\cdot )\in F(t,x_A(v)(t)). \end{equation} \tag{6.11} $$
Положим $x_A(v)(\cdot )=x(v)$. Тогда из (6.10), (6.11) вытекает, что $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$. Тем самым множество $\mathcal R_F(x_0)$ не пусто.

Если выполняется неравенство (1.13), то для любой функции $x(\cdot )\in C(T,H)$ будет иметь место неравенство

$$ \begin{equation*} \| F(t,x(t))\| \leqslant n(t)+k(t)\| x(t)\| . \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства и (6.1) вытекает, что для любых $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$ будут иметь место неравенства
$$ \begin{equation*} \| x(v)(t)\| \leqslant \| x_A(\Theta )\|_C+\int_0^t \| v(\tau )\| \,d\tau ,\qquad t\in T, \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation} \| v(t)\| \leqslant n(t)+k(t)\| x(v)(t)\| \quad \text{п.в.} \end{equation} \tag{6.12} $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \| x(v)(t)\| \leqslant \| x_A(\Theta )\|_C+\int_0^t (n(\tau )+k(\tau )\| x(v)(\tau )\| )\,d\tau . \end{equation*} \notag $$
Из этого неравенства, (1.17) и теорем о дифференциальных неравенствах вытекает
$$ \begin{equation} \| x(v)(t)\| \leqslant r(t), \end{equation} \tag{6.13} $$
где $r(t)$ – решение дифференциального уравнения (1.17) с $r(0)=\| x_A(\Theta )\|_C$. Из (6.11), (6.12) и (1.17) мы получаем
$$ \begin{equation} \| v(t)\| \leqslant \dot{r}(t) \quad \text{п.в.} \end{equation} \tag{6.14} $$
Тем самым неравенства (1.20) и (1.21) доказаны.

Из (6.13) вытекает, что $\mathcal Tr_F(x_0)\subset \bigl\{x_A(f);\, \| f(t)\| \leqslant\dot{r}(t)\text{ п.в.}\bigr\}$. Поэтому если множество $\bigl\{x_A(f);\, \| f(t)\| \leqslant \dot{r}(t)\text{ п.в.}\bigr\}$ равностепенно непрерывно, то множество $\mathcal Tr_F(x_0)$ равностепенно непрерывно. Теорема 1.2 доказана.

Лемма 6.1. Пусть выполняются предположения теоремы 5.1. Тогда множество $\mathcal R_F(x_0)$ не пусто. Для любого $(x(v)(\cdot ),v(\cdot ))\in \mathcal R_F(x_0)$ будут выполняться неравенства (1.20) и (1.21) с $r(0)$, удовлетворяющим неравенству

$$ \begin{equation} r(0)=\| x_A(\Theta )\|_C \leqslant \| x_N(\Theta )\|_C +\| m(\cdot )\|_{L^1}(1+l \| x_N(\Theta )\|_C). \end{equation} \tag{6.15} $$
Более того, существует $\rho_*>0$, зависящее от $\| x_0\| $ и $\| \dot{r}(\cdot )\|_{L^1}$, $r_A(t)=\dot{r}(t)$, $t\in T$, такое, что
$$ \begin{equation} \| \dot{x}(v)(t)\| \leqslant |\dot{b}_{\rho_*}(t)| + 2(m(t)(1+l(M_A))+\dot{r}(t)), \end{equation} \tag{6.16} $$
где константа $M_A>0$ определяется равенством (4.21) при $r_A(t)=\dot{r}(t)$. При этом
$$ \begin{equation} \| x_N(\Theta )\|_C \leqslant \| x_0\| + \| b_{\rho}\|_{L^1} \end{equation} \tag{6.17} $$
при некотором $\rho >0$.

Лемма вытекает из теорем 1.2, 4.3 и 5.1, а неравенство (6.16) – из (3.11).

Следствие 6.1. Пусть выполняются предположения следствия 1.1. Тогда справедливы утверждения леммы 6.1, в которой в неравенствах (6.16), (6.17) функции $b_{\rho_*}(t)$ и $b_{\rho}(t)$ следует заменить на $b(t)$.

Следствие вытекает из следствия 1.1, теоремы 1.2 и 5.1 и леммы 6.1.

§ 7. Комментарии

Первая попытка доказать теорему существования абсолютно непрерывного решения включения (1.1) при $f(t)\equiv \Theta $, $t\in T$, была предпринята в работе [13; теорема 3]. В этой работе предполагалось, что семейство $A(t)\colon D(A(t))\subset H\rightrightarrows H$, $t\in T$, максимально монотонных операторов обладает свойствами:

1) справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \| A^0(t)x\| \leqslant c(t)(1+\| x\| ), \qquad t\in T, \quad x\in D(A(t)); \end{equation} \tag{7.1} $$

2) справедливо неравенство

$$ \begin{equation} \operatorname{dis}(A(t),A(s))\leqslant |a(t)-a(s)|, \qquad t,s\in T, \end{equation} \tag{7.2} $$
где $c(\cdot )\in L^1(T,{\mathbb R}^+)$, а $a(\cdot )\in W^{1,2}(T,{\mathbb R})$.

Полного доказательства [13; теорема 3] авторы не приводят. Была только намечена схема ее доказательства. Полное доказательство теоремы существования абсолютно непрерывного решения включения (1.1) с $f(\cdot )\in L^2(T,H)$ было приведено в работе [5; теорема 3.1]. В ней предполагалось, что семейство максимально монотонных операторов удовлетворяет неравенствам (7.1) и (7.2), в которых $c(t)\equiv\mathrm{const}$, а $a(\cdot )\in W^{1,2}(T,{\mathbb R})$ и $a(t)$ является неотрицательной и неубывающей на $T$ с $a(0)=0$. Было доказано существование и единственность решения $x(\cdot )\in W^{1,2}(T,H)$ и приведены априорные оценки для $x(\cdot )$ и $\dot{x}(\cdot )$. Для доказательства был использован так называемый catching-up алгоритм, разработанный в [3] для доказательства существования решений процессов выметания.

В работе [14; теорема 1] была доказана теорема существования абсолютно непрерывного решения $x(\cdot )\in W^{1,2}(T,H)$ включения

$$ \begin{equation*} \dot{x}(t)\in A(t) x(t) + f(t,x(t)), \qquad x(0) = x_0, \end{equation*} \notag $$
в котором семейство максимально монотонных операторов $A(t)\colon H\rightrightarrows H$, $t\in T$, обладает свойствами $H(A)$:

(a) для всех $x\in H$ отображение $t\to A(t)x$ измеримо;

(b) для всех $t\in T$ и $x\in H$

$$ \begin{equation} \| A^0(t)x\| \leqslant \alpha (t)\| x\| +\beta (t), \end{equation} \tag{7.3} $$
где $\alpha ,\beta \in L^2(T,{\mathbb R}^+)$.

Отображение $f\colon T\times H\to H$ обладает свойствами $H(f)$:

(a) для всех $x\in H$ отображение $t\to f(t,x)$ измеримо;

(b) для почти всех $t\in T$ и всех $x,y\in H$

$$ \begin{equation*} \| f(t,x)-f(t,y)\| \leqslant k(t)\| x-y\| , \end{equation*} \notag $$
где $k(\cdot )\in L^2(T,{\mathbb R}^+)$;

(c) для почти всех $t\in T$ и всех $x,y\in H$

$$ \begin{equation*} \| f(t,x)\| \leqslant \gamma (t)\| x\| +\delta (t), \end{equation*} \notag $$
где $\gamma ,\delta \in L^2(T,{\mathbb R}^+)$.

Для доказательства теоремы 1 использовалась регуляризация семейства $A(t)\colon H\rightrightarrows H$, $t\in T$, максимально монотонных операторов с помощью аппроксимации Иосиды.

Теорема 3.1 в [5] вытекает из следствия 1.1, а теорема 1 в [14] вытекает из теорем 4.3 и 5.1, так как в случае $D(A(t))=H$, $t\in T$, имеет место равенство $N(D(t))\equiv \Theta $, $t\in T$. Поэтому вместо включения (1.4) мы имеем равенство

$$ \begin{equation*} -\dot{x}(t)=\varphi (t). \end{equation*} \notag $$
Отметим принципиально новые условия роста (1.2), отличные от традиционных условий роста (7.1) и (7.3). В (1.2) функция $l\colon {\mathbb R}^+ \to {\mathbb R}^+$ может иметь вид $l(r)=r^{\alpha}$, $0<\alpha <+\infty $.

Так как

$$ \begin{equation*} \operatorname{dis}_{\rho}(A_1,A_2) \leqslant \operatorname{dis}(A_1,A_2), \qquad \rho \in [0,\infty), \end{equation*} \notag $$
то использование неравенства (5.1) вместо неравенства (1.8) является более предпочтительным. С другой стороны, использование неравенства (5.9) позволяет расширить класс максимально монотонных операторов, для которых неравенство (1.8) не выполняется, однако включение (1.1) имеет решение.

Приведем один из примеров.

Пусть $v\colon T\to H$, $l\colon T\to R$ – абсолютно непрерывные функции, $\|v(t)\|=1$, $t\in T$.

Рассмотрим многозначное отображение $C\colon T\rightrightarrows H$,

$$ \begin{equation} C(t)=\bigl\{x\in H;\, \langle x,v(t)\rangle -l(t)=0\bigr\}, \qquad t\in T, \end{equation} \tag{7.4} $$
значениями которого являются гиперплоскости. Пусть
$$ \begin{equation} A(t)=\mathcal{N}(C(t)), \quad D(A(t))=C(t), \qquad t\in T, \end{equation} \tag{7.5} $$
– семейство максимально монотонных операторов. Известно (см. [15]), что расстояние от точки $x\in H$ до множества $C(t)$ определяется по формуле
$$ \begin{equation} d(x,C(t)) = |\langle x, v(t)\rangle -l(t)|, \qquad t\in T. \end{equation} \tag{7.6} $$
Из (7.6) вытекает, что для любого $x\in H$ функция $t\to d(x,C(t))$ является измеримой. Поэтому многозначное отображение $t\to C(t)$ с замкнутыми выпуклыми значениями является измеримым (см. [6]). Поэтому, как следует из [16; лемма 2.7], семейство максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, определенных равенством (7.5), является измеримым. Так как $A^0(t)=\Theta$, $t\in T$, то семейство $A(t)$, $t\in T$, удовлетворяет предположениям $H(A)$.

Сделаем замену переменных при $s\in T$, $s\ne t$, полагая $y=x-l(s)v(s)$. Из (7.4) мы получаем гиперплоскости

$$ \begin{equation} C_1(s)=\bigl\{y\in H;\, \langle y,v(s)\rangle =0\bigr\}, \end{equation} \tag{7.7} $$
$$ \begin{equation} C_1(t)=\bigl\{y\in H;\, \langle y+l(s)v(s),\,v(t)\rangle - l(t)=0\bigr\}, \end{equation} \tag{7.8} $$
Из (7.7) вытекает, что
$$ \begin{equation} \lambda y \in C_1(s) \quad \text{при любых }\ y\in C(s) \quad \text{и }\ \lambda\in R. \end{equation} \tag{7.9} $$

Пусть $y\in C_1(s)$. Тогда

$$ \begin{equation} d(y,C_1(t))=|\langle y+l(s)v(s),\,v(t)\rangle - l(t)|. \end{equation} \tag{7.10} $$
Предположим, что при $s\ne t$ векторы $v(s)$ и $v(t)$ линейно независимы. Из (7.7) вытекает, что $\langle y,v(t)\rangle \ne 0$.

Воспользовавшись (7.9), (7.10), мы получим, что

$$ \begin{equation*} (\operatorname{exc}C_1(s), C_1(t))=+\infty, \qquad s\ne t, \quad s,t\in T. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \operatorname{haus}(C_1(s),C_1(t))= +\infty, \qquad s\ne t. \end{equation*} \notag $$

Следовательно,

$$ \begin{equation} \operatorname{haus}(C(s),C(t))= +\infty, \qquad s\ne t. \end{equation} \tag{7.11} $$
Согласно [4; лемма 3.5]
$$ \begin{equation} \operatorname{haus}(C(s),C(t))= \operatorname{dis}(N(C(s)),N(C(t))), \qquad s,t\in T. \end{equation} \tag{7.12} $$
Тогда из (7.11), (7.12) и (7.5) вытекает, что для семейства максимально монотонных операторов $A(t)$, $t\in T$, неравенство (1.8) не выполняется для любой абсолютно непрерывной функции $b(t)$.

Воспользовавшись (7.6), мы получим

$$ \begin{equation} |d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant \|v(t)-v(s)\|\, \|x\| + |l(t)-l(s)|, \end{equation} \tag{7.13} $$
$s\ne t$, $s,t \in T$.

Из (7.13) вытекает, что

$$ \begin{equation} |d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant \int_s^t (\rho\|\dot v(\tau)\|+|\dot b(\tau)|)\,d\tau \end{equation} \tag{7.14} $$
при $x\in H$, $\|x\|\leqslant \rho$, $\rho \geqslant 0$.

Положим

$$ \begin{equation*} b_\rho(t)=\int_0^t (\rho\|\dot v(\tau)\|+|\dot b(\tau)|)\,d\tau, \qquad \rho \geqslant 0. \end{equation*} \notag $$
Функции $b\rho \colon T\to R$, $\rho \geqslant 0$, являются абсолютно непрерывными, и согласно (7.14) имеет место неравенство
$$ \begin{equation} \sup_{\|x\|\leqslant \rho} |d(x,C(t))-d(x,C(s))| \leqslant |b_\rho (t)-b_\rho (s)|. \end{equation} \tag{7.15} $$
Так как
$$ \begin{equation*} \operatorname{exc}_\rho(C(s),C(t)) \leqslant \sup_{\|x\|\leqslant \rho} |d(x,C(s))-d(x,C(t))|, \end{equation*} \notag $$
то из (7.15) и (7.5) мы получаем
$$ \begin{equation*} \operatorname{exc}_\rho(D(A(s)),D(A(t))) \leqslant |b_\rho (t)-b_\rho (s)|, \qquad s\leqslant t, \quad \rho\in[0,\infty). \end{equation*} \notag $$

Из этого неравенства и теоремы 5.2 вытекает, что включение (1.1) имеет решение.

Другими примерами максимально монотонных операторов $A(t)=\mathcal{N}(C(t))$, $t\in T$, которые не удовлетворяют условиям теоремы 3.1 из [5], являются операторы, у которых значениями многозначного отображения $C\colon T \rightrightarrows H$ являются полупространства (см. [17]) и полиэдры (см. [18], [19]). Поэтому теорема 5.2 позволяет расширить по сравнению с теоремой 3.1 из [5] класс максимально монотонных операторов, для которых включение (1.1) имеет решение.

Список литературы

1. H. Brézis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Math. Stud., 5, Notas Mat., 50, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–London; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1973, vi+183 pp.  mathscinet  zmath
2. A. A. Tolstonogov, “BV continuous solutions of an evolution inclusion with maximal monotone operator and nonconvex-valued perturbation. Existence theorem”, Set-Valued Var. Anal., 29:1 (2021), 29–60  crossref  mathscinet  zmath
3. J. J. Moreau, “Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space”, J. Differential Equations, 26:3 (1977), 347–374  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
4. A. A. Vladimirov, “Nonstationary dissipative evolution equations in a Hilbert space”, Nonlinear Anal., 17:6 (1991), 499–518  crossref  mathscinet  zmath
5. D. Azzam-Laouir, W. Belhoula, C. Castaing, M. D. P. Monteiro Marques, “Perturbed evolution problems with absolutely continuous variation in time and applications”, J. Fixed Point Theory Appl., 21:2 (2019), 40, 32 pp.  crossref  mathscinet  zmath
6. C. J. Himmelberg, “Measurable relations”, Fund. Math., 87 (1975), 53–72  crossref  mathscinet  zmath
7. H. Attouch, “Familles d'opérateurs maximaux monotones et measurabilité”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 120 (1979), 35–111  crossref  mathscinet  zmath
8. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, 2-е изд., НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2006, 679 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, Measure theory, т. II, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xiv+575 с.  crossref  mathscinet  zmath
9. H. Attouch, R. J.-B. Wets, “Quantitative stability of variational systems. I. The epigraphical distance”, Trans. Amer. Math. Soc., 328:2 (1991), 695–729  crossref  mathscinet  zmath
10. M. G. Crandall, A. Pazy, “Semi-groups of nonlinear contractions and dissipative sets”, J. Funct. Anal., 3:3 (1969), 376–418  crossref  mathscinet  zmath
11. A. A. Tolstonogov, “BV solutions of a convex sweeping process with local conditions in the sense of differential measures”, Appl. Math. Optim., 84, suppl. 1 (2021), S591–S629  crossref  mathscinet  zmath
12. А. А. Толстоногов, “$L_p$-непрерывные селекторы неподвижных точек многозначных отображений с разложимыми значениями. I. Теоремы существования”, Сиб. матем. журн., 40:3 (1999), 695–709  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Tolstonogov, “$L_p$-continuous selections of fixed points of multifunctions with decomposable values. I. Existence theorems”, Siberian Math. J., 40:3 (1999), 595–607  crossref
13. M. Kunze, M. D. P. Monteiro Marques, “BV solutions to evolution problems with time-dependent domains”, Set-Valued Anal., 5:1 (1997), 57–72  crossref  mathscinet  zmath
14. E. Vilches, Bao Tran Nguyen, “Evolution inclusions governed by time-dependent maximal monotone operators with a full domain”, Set-Valued Var. Anal., 28:3 (2020), 569–581  crossref  mathscinet  zmath
15. I. Singer, Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces, Grundlehren Math. Wiss., 171, Publishing House of the Academy of the Socialist Republic of Romania, Bucharest; Springer-Verlag, New York–Berlin, 1970, 415 pp.  crossref  mathscinet  zmath
16. А. А. Толстоногов, “Максимальная монотонность оператора Немыцкого”, Функц. анализ и его прил., 55:3 (2021), 51–61  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Tolstonogov, “Maximal monotonicity of a Nemytskii operator”, Funct. Anal. Appl., 55:3 (2021), 217–225  crossref
17. A. A. Tolstonogov, “Sweeping process with unbounded nonconvex perturbation”, Nonlinear Anal., 108 (2014), 291–301  crossref  mathscinet  zmath
18. A. A. Tolstonogov, “Polyhedral sweeping processes with unbounded nonconvex-valued perturbation”, J. Differential Equations, 263:11 (2017), 7965–7983  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
19. А. А. Толстоногов, “Полиэдральные многозначные отображения: свойства и приложения”, Сиб. матем. журн., 61:2 (2020), 428–452  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Tolstonogov, “Polyhedral multivalued mappings: properties and applications”, Siberian Math. J., 61:2 (2020), 338–358  crossref

Образец цитирования: А. А. Толстоногов, “Теоремы сравнения для эволюционных включений с максимально монотонными операторами. $L^2$-теория”, Матем. сб., 214:6 (2023), 110–135; A. A. Tolstonogov, “Comparison theorems for evolution inclusions with maximal monotone operators. $L^2$-theory”, Sb. Math., 214:6 (2023), 853–877
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tol23}
\by А.~А.~Толстоногов
\paper Теоремы сравнения для эволюционных включений с~максимально монотонными операторами. $L^2$-теория
\jour Матем. сб.
\yr 2023
\vol 214
\issue 6
\pages 110--135
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9736}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9736}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4670386}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1541.34078}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..853T}
\transl
\by A.~A.~Tolstonogov
\paper Comparison theorems for evolution inclusions with maximal monotone operators. $L^2$-theory
\jour Sb. Math.
\yr 2023
\vol 214
\issue 6
\pages 853--877
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9736e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001109406900005}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85178278549}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9736
  • https://doi.org/10.4213/sm9736
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i6/p110
  • Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:278
    PDF русской версии:32
    PDF английской версии:36
    HTML русской версии:110
    HTML английской версии:133
    Список литературы:29
    Первая страница:1
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024