| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Дальнодействие малых спектральных возмущений граничных условий Неймана для эллиптической системы дифференциальных уравнений в трехмерной области С. А. Назаров Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9733e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Постановка задачиНа гладкой (класса $C^\infty$ для простоты; ср. п. 4.1) границе $\partial\Omega$ области $\Omega\subset{\mathbb R}^3$ с компактным замыканием ${\overline{\Omega}}=\Omega\cup\partial\Omega$ выделим попарно различные точки $P^1,\dots,P^J$. Для каждого $j=1,\dots,J$ в окрестности ${\mathcal V}^j\ni P^j$ введем локальную декартову систему координат $x^j=(x^j_1,x^j_2,x^j_3)$ с центром $P^j$, причем ось $x^j_3$ направим вдоль внешней нормали к поверхности $\partial\Omega$, а оси $x^j_1$ и $x^j_2$ – в касательной плоскости $\Pi^j$. Кроме того, $(s^j_1,s^j_2,n^j)$ – криволинейные координаты внутри ${\mathcal V}^j$, привязанные к поверхности $\partial\Omega$: $n^j$ – ориентированное расстояние до нее, $n^j<0$ в ${\Omega\cap{\mathcal V}^j}$, а $s^j_k$ – ориентированное расстояние до точки $P^j$, измеренное вдоль проекции оси $x^j_k$ на поверхность $\partial\Omega$. Определим еще множества
$$
\begin{equation}
\omega^\varepsilon_j=\bigl\{x\in\Omega\cap{\mathcal V}^j\colon \eta^{j\prime}:= \varepsilon^{-1}s^j\in\varpi_j\bigr\}, \qquad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\varepsilon$ – малый положительный параметр, $\varpi_j$ – область на плоскости ${\mathbb R}^2$ с гладкой границей и компактным замыканием, а $s^j=(s^j_1,s^j_2)$ и $\eta^{j\prime}=(\eta^j_1,\eta^j_2)$. Указанные множества и координаты изображены на рис. 1. Рассмотрим формально самосопряженную систему дифференциальных уравнений в частных производных
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}(\nabla_x) u^\varepsilon(x):={\mathcal D}(-\nabla_x)^\top {\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
с краевыми условиями Неймана
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(x,\nabla_x) u^\varepsilon(x):={\mathcal D}(n(x))^\top {\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial \Omega\setminus \overline{\omega^\varepsilon},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и спектральными условиями на малых множествах (1.1), подобными классическим условиям Стеклова,
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(x,\nabla_x) u^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon{\mathcal Q}(x)u^\varepsilon(x), \qquad x\in\omega^\varepsilon:=\omega^\varepsilon_1\cup\dots\cup \omega^\varepsilon_J.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Здесь ${\mathcal A}$ – симметричная положительно определенная вещественная числовая матрица размером $N\times N$, а ${\mathcal D}(\nabla_x)$ – ($N\times K$)-матрица дифференциальных операторов первого порядка с постоянными вещественными коэффициентами, причем ${\mathcal D}(0)= {\mathbb O}_{N\times K}$ – нулевая матрица, $\nabla_x=\operatorname{grad}$ и $\top$ – знак транспонирования. Кроме того, $n(x)$ – единичный вектор внешней нормали в точке $x\in\partial\Omega$, а ${\mathcal Q}(x)$ – нетривиальный ортогональный проектор в ${\mathbb R}^3$, гладко зависящий от $x\in\partial\Omega$. Наконец, $\lambda^\varepsilon$ – спектральный проектор, а $u^\varepsilon=(u^\varepsilon_1,\dots,u^\varepsilon_K)^\top$ – собственная вектор-функция. Вариационная постановка задачи (1.2)–(1.4) апеллирует к интегральному тождеству (см. [1], [2])
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u^\varepsilon,\psi;\Omega):= \bigl({\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)u^\varepsilon,{\mathcal D}(\nabla_x)\psi\bigr)_\Omega =\lambda^\varepsilon({\mathcal Q}u^\varepsilon,\psi)_{\omega^\varepsilon} \quad \forall \,\psi \in H^1(\Omega)^K,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $(\cdot,\cdot)_\Xi$ – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2(\Xi)$ и $H^1(\Omega)$ – пространство Соболева, а последний верхний индекс $K$ в (1.5) указывает количество компонент у пробной вектор-функции $\psi=(\psi_1,\dots,\psi_K)^\top$, однако этот индекс отсутствует в обозначениях скалярных произведений и норм. Пусть области (1.1) и проектор ${\mathcal Q}$ подобраны так, что выполнено неравенство Корна
$$
\begin{equation}
\|u^\varepsilon;H^1(\Omega)\|^2\leqslant C_\varepsilon\bigl({\mathcal E}(u^\varepsilon,u^\varepsilon;\Omega) +\|{\mathcal Q}u^\varepsilon;L^2(\omega^\varepsilon)\|^2\bigr) \quad \forall \,u^\varepsilon \in H^1(\Omega)^K
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
с множителем $C_\varepsilon$, не зависящим от вектор-функции $u^\varepsilon \in H^1(\Omega)^K$. Пространство Соболева ${\mathcal H}^\varepsilon :=H^1(\Omega)^K$ снабдим скалярным произведением
$$
\begin{equation}
\langle u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle_\varepsilon= {\mathcal E}(u^\varepsilon,\psi^\varepsilon;\Omega)+\varepsilon^{-1} ({\mathcal Q}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Положительный, симметричный и непрерывный, а значит, самосопряженный оператор ${\mathcal K}^\varepsilon$ зададим при помощи тождества
$$
\begin{equation}
\langle {\mathcal K}^\varepsilon u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle_\varepsilon= ({\mathcal Q}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon} \quad \forall\,u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\in {\mathcal H}^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Благодаря компактности вложения $H^1(\Omega)\subset L^2(\Omega)$ существенный спектр оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$ состоит из единственной точки $\kappa=0$, а дискретный спектр образует бесконечно малую положительную последовательность
$$
\begin{equation}
\kappa^\varepsilon_1\geqslant\kappa^\varepsilon_2\geqslant\dots\geqslant \kappa^\varepsilon_m\geqslant\dotsb\to+0
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
(см., например, [3; теоремы 10.1.5 и 10.2.2]). В силу определений (1.7) и (1.8) интегральное тождество (1.5) эквивалентно абстрактному уравнению
$$
\begin{equation}
{\mathcal K}^\varepsilon u^\varepsilon=\kappa^\varepsilon u^\varepsilon \quad\text{в }\ {\mathcal H}^\varepsilon
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
со спектральным параметром
$$
\begin{equation}
\kappa^\varepsilon=\varepsilon (1+\varepsilon \lambda^\varepsilon)^{-1}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Формула (1.11) переделывает последовательность (1.9) в неограниченную монотонную последовательность собственных чисел задачи (1.5) (или (1.2)–(1.4))
$$
\begin{equation}
0\leqslant\lambda^\varepsilon_1\leqslant\lambda^\ell_2\leqslant\dots\leqslant \lambda^\varepsilon_m\leqslant\dotsb\to+\infty.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Первое неравенство в (1.12) выполнено, потому что в силу соотношений (1.7) и (1.8) норма оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$ не превосходит единицы. Собственные вектор-функции $u^\varepsilon_{(1)},u^\varepsilon_{(2)},\dots, u^\varepsilon_{(m)},\ldots\in {\mathcal H}^\varepsilon$ задачи (1.5) подчиним условиям ортогональности и нормировки
$$
\begin{equation}
\langle u^\varepsilon_{(m)},u^\varepsilon_{(n)}\rangle_\varepsilon=\delta_{m,n}, \qquad m,n\in {\mathbb N}:=\{1,2,3,\dots\},
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
где $\delta_{m,n}$ – символ Кронекера. Основная цель статьи – построить асимптотику собственных чисел (1.12) задачи (1.5) (или (1.2)–(1.4)), которые по нескольким причинам, поясняемым далее, следует искать в виде
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_m=\varepsilon^{-1}\mu^\varepsilon_m=\varepsilon^{-1}(\mu^0_m+o(1)).
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
1.2. Требования к задачеСчитаем, что матрица $\mathcal D$ алгебраически комплектна (см. [4; гл. 3]), т.е. существует такое натуральное число $\varrho_{\mathcal D}\in{\mathbb N}$, что для любой строки $p(\zeta)=(p_1(\zeta),\dots,p_K(\zeta))$ однородных полиномов переменных $\zeta=(\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)^\top\in {\mathbb R}^3$ степени $\deg p_k=\varrho\geqslant\varrho_{\mathcal D}$ найдется полиномиальная строка $q(\zeta)=(q_1(\zeta),\dots,q_N(\zeta))$, для которой
$$
\begin{equation}
p(\zeta)={\mathcal D}(\zeta)q(\zeta) \quad \forall\, \zeta\in{\mathbb R}^3.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Отметим, что должно быть выполнено неравенство $N\geqslant K$. При соблюдении (1.15) оператор ${\mathcal L}(\nabla_x)$ системы (1.2) называется формально положительным, и в любой ограниченной области $\Xi$ с липшицевой границей $\partial\Xi$ выполнено неравенство Корна
$$
\begin{equation}
\|u;H^1(\Xi)\|\leqslant C_\Xi\bigl({\mathcal E}(u,u;\Xi)+\|u;L^2(\Xi)\|\bigr) \quad \forall \,u \in H^1(\Xi)^K
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
со множителем $C_\Xi$, не зависящим от вектор-функции $u$ (см. [4; п. 3.7.4]). Кроме того, билинейной форме ${\mathcal E}$ из интегрального тождества (1.5) присуще полиномиальное свойство (см. [5], [6]), а именно справедливо высказывание
$$
\begin{equation}
u \in H^1(\Xi)^K,\quad \mathcal E(u,u;\Xi)=0 \quad \Longleftrightarrow\quad u\in {\mathcal P},
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
где ${\mathcal P}$ – конечномерное подпространство векторных полиномов. Нетрудно усмотреть, что
$$
\begin{equation}
{\mathcal P} =\bigl\{p=(p_1,\dots,p_K)^\top\colon {\mathcal D}(\nabla )p(x)=0,\, x\in {\mathbb R}^3\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
и $\deg p_k\leqslant\varrho_{\mathcal D}-1$. Полиномиальное свойство предоставляет разнообразную полезную информацию о разрешимости возникающих далее задач и поведении их решений. Подробности можно найти в обзоре [6]. В частности, понятно, что первые $\mathbf d:=\dim{\mathcal P}$ чисел в последовательности (1.12) нулевые, а в качестве соответствующих собственных вектор-функций можно взять какой-либо базис $\mathbf p^1,\dots,\mathbf p^{\mathbf d}$ в подпространстве (1.18). Поскольку постоянные столбцы содержатся в $\mathcal P$, имеем $\mathbf d\geqslant K$. Спектр (1.12) будет изучаться при дополнительном, ключевом в данной работе ограничении
$$
\begin{equation}
p\in {\mathcal P}, \qquad {\mathcal Q}(P^j)p(P^j)=0\in{\mathbb R}^K, \quad j=1,\dots,J \quad \Longleftrightarrow\quad p=0.
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Лемма 1. При выполнении требований (1.17) и (1.19) справедливо неравенство Корна где множитель $C_{\Omega {\mathcal Q}}$ не зависит от вектор-функции $u^\varepsilon\in H^1(\Omega)^K$ и параметра $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ при некотором $\varepsilon_0>0$. Доказательство. Представим вектор-функцию $u^\varepsilon\in H^1(\Omega)^K$ в виде
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=\mathbf p(x)a^\varepsilon+u^{\varepsilon\bot}(x),
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
где $\mathbf p(x)=(\mathbf p^1(x),\dots,\mathbf p^{\mathbf d}(x))$ – ($K\times\mathbf d)$-матрица, образованная элементами базиса в подпространстве $\mathcal P$,
$$
\begin{equation}
a^\varepsilon=\mathbf P^{-1}\int_\Omega\mathbf p(x)^\top u^\varepsilon(x)\,dx \in {\mathbb R}^{\mathbf d},
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
а $\mathbf P$ – матрица Грама размером $\mathbf d\times\mathbf d$, построенная по линейно независимым вектор-функциям $\mathbf p^1,\dots,\mathbf p^{\mathbf d}$ при помощи скалярного произведения в $L^2(\Omega)^K$,
$$
\begin{equation}
\mathbf P=\int_\Omega\mathbf p(x)^\top \mathbf p(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
Матрица (1.23) симметричная и положительно определенная. Наконец, выполнены условия ортогональности
$$
\begin{equation}
\int_\Omega\mathbf p(x)^\top u^{\varepsilon\bot}(x)\,dx\in {\mathbb R}^{\mathbf d},
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
и поскольку в силу полиномиального свойства (1.17) квадратичная форма ${\mathcal E}$ вырождается только на подпространстве (1.18), соотношения (1.24) и лемма об эквивалентных нормировках показывают, что неравенство Корна (1.16) в области $\Xi=\Omega$ принимает вид
Итак,
$$
\begin{equation}
\|u^\varepsilon;H^1(\Omega)\|^2\leqslant c\bigl({\mathcal E}(u^\varepsilon,u^\varepsilon;\Omega) +\|a^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2\bigr),
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
т.е. осталось обработать столбец (1.22). Сначала посредством растяжения координат проверяем элементарные следовые неравенства
$$
\begin{equation}
\|u^{\varepsilon\bot};L^2(\omega^\varepsilon_j)\|^2 \leqslant c_j\varepsilon\|u^{\varepsilon\bot};H^1(\Omega)\|^2, \qquad j=1,\dots,J.
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\omega^\varepsilon_j}|{\mathcal Q}(x)u^\varepsilon(x)|^2\,ds_x &\geqslant\frac{1}{2} \int_{\omega^\varepsilon_j}|{\mathcal Q}(x)\mathbf p(x)a^\varepsilon|^2\,ds_x - \int_{\omega^\varepsilon_j}|{\mathcal Q}(x)u^{\varepsilon\bot}(x)|^2\,ds_x \\ &=:\frac{1}{2}I^\varepsilon_a-I^\varepsilon_\bot, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем $I^\varepsilon_\bot\leqslant c\varepsilon{\mathcal E}(u^\varepsilon,u^\varepsilon;\Omega)$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl|I^\varepsilon_a-\sum_{j=1}^J|\omega^\varepsilon_j|\,|{\mathcal Q}(P^j) \mathbf p(P^j)a^\varepsilon|^2 \biggr| \leqslant c\varepsilon^3\|a^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\omega^\varepsilon_j|=\varepsilon^2|\varpi_j|+O(\varepsilon^3)$ и $|\varpi_j|$ – площади фигур $\omega^\varepsilon_j\subset\partial\Omega$ и $\varpi_j\subset{\mathbb R}^2$ соответственно. В итоге получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathbf Q(a^\varepsilon):=\sum_{j=1}^J|\omega^\varepsilon_j|\,|{\mathcal Q}(P^j) \mathbf p(P^j)a^\varepsilon|^2\leqslant c\biggl(\varepsilon\|a^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2 +\frac{1}{\varepsilon}{\mathcal E}(u^\varepsilon,u^\varepsilon;\Omega)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Убедимся в том, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|a^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2\leqslant\mathbf c\mathbf Q(a^\varepsilon)
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
с некоторым общим для всех столбцов $a^\varepsilon$ множителем $\mathbf c$, и тем самым установим оценку
$$
\begin{equation}
\|a^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2\leqslant c \varepsilon^{-1} \bigl({\mathcal E}(u^\varepsilon,u^\varepsilon;\Omega)+\varepsilon^{-1}\|{\mathcal Q} u^\varepsilon;L^2(\omega^\varepsilon;)\|^2\bigr),
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
влекущую за собой искомую оценку (1.20). Если неравенство (1.28) нарушено для некоторого ненулевого столбца $a^\varepsilon$, то выполнены формулы
$$
\begin{equation*}
\mathbf Q(a^\varepsilon)=0, \qquad {\mathcal Q}(P^j)\mathbf p(P^j)a^\varepsilon=0, \quad j=1,\dots,J.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, полином $p(x)=\mathbf p(x)a^\varepsilon\in {\mathcal P}$ удовлетворяет равенствам ${\mathcal Q}(P^j)p(P^j)=0$, $j=1,\dots,J$, а следовательно, $p=0$ в силу требования (1.19). Обнаруженное противоречие заканчивает проверку леммы. Введенные ограничения, в частности, обеспечивают неравенство Корна (1.6) (см. формулу (1.20)), а вместе с ним и операторную постановку (1.10) задачи (1.2)–(1.4). Замечание 1. Представление (1.21) и оценки (1.26), (1.29) его ингредиентов более точно отражают зависимость вектор-функции $u^\varepsilon$ от малого параметра $\varepsilon$, нежели само неравенство (1.20). Именно поэтому в § 3 при обработке невязок придется использовать промежуточные выкладки из доказательства леммы 1. 1.3. Примеры$1^\circ.$ Поверхностные волны. Пусть ${\mathcal A}={\mathbb I}_3$ – единичная матрица размером $3\times3$, ${\mathcal D}(\nabla_x)=\nabla_x$ – столбец высотой 3 и ${\mathcal Q}=1$. Скалярная задача, включающая уравнение Лапласа (1.2), а также краевые условия Неймана (1.3) и Стеклова (1.4), имеет прямое отношение к линейной теории волн на поверхности весомой жидкости (см. монографии [7], [8] и др.). Физически осмысленной является ситуация, в которой область $\Omega$ ограничена связной компактной частью $\Gamma$ плоскости $\{x\colon x_3=0\}$ и гладкой поверхностью $\Sigma\subset {\mathbb R}^3_-=\{x\colon x_3<0\}$, которые встречаются вдоль гладкого одномерного ребра $\Upsilon=\Gamma\cap{\overline{\Sigma}}$ (рис. 2, a). Малые множества (1.1) расположены внутри области $\Gamma\setminus\Upsilon$ (рис. 2, b). Требование (1.19) выполнено для любого набора точек $P^1,\dots,P^J\in\Gamma\setminus\Upsilon $. В конкретизированной таким образом задаче (1.2)–(1.4)
$$
\begin{equation}
\partial_n u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\Sigma\cup(\Gamma\setminus(\Upsilon\cup{\overline{\omega^\varepsilon}})),
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial x_3}(x)=\lambda^\varepsilon u^\varepsilon(x), \qquad x\in\omega^\varepsilon,
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
фигурируют потенциал скоростей $u^\varepsilon$ и спектральный параметр $\lambda^\varepsilon=g^{-1}\varsigma_\varepsilon^2$, где $\varsigma_\varepsilon>0$ – частота колебаний и $g>0$ – ускорение свободного падения. Задача (1.30)–(1.32) описывает поверхностные волны в прорубях $\omega^\varepsilon_1,\dots,\omega^\varepsilon_J$, вырезанных в ледяном покрове $\Gamma$ водоема $\Omega$ с дном $\Sigma$. Полученная далее асимптотическая формула (1.14) для собственных чисел (1.12) задачи (1.30)–(1.32) показывает, что волновые процессы в нескольких прорубях связаны в главном вне зависимости от того, насколько далеко отверстия расположены друг от друга. $2^\circ.$ Задачи теории упругости. Пусть $K=3$, $N=6$ и
$$
\begin{equation}
{\mathcal D}(\eta)^\top= \begin{pmatrix} \eta_1&0&0&0&2^{-1/2}\eta_3&2^{-1/2}\eta_2 \\ 0&\eta_2&0&2^{-1/2}\eta_3&0&2^{-1/2}\eta_1 \\ 0&0&\eta_3&2^{-1/2}\eta_2&2^{-1/2}\eta_1&0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
Тогда систему (1.2) следует интерпретировать как уравнения равновесия упругого тела $\Omega$ при отсутствии массовых сил, причем $u=(u_1,u_2,u_3)^\top$ – вектор смещений, а $u_k$ – его проекция на ось $x_k$. Матрица ${\mathcal A} $ размером $6\times6$ – это матрица упругих постоянных материала. В случае изотропии она задана формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal A}=\begin{pmatrix} {\mathcal A}_{11}&{\mathbb O}_3 \\ {\mathbb O}_3&{\mathcal A}_{22} \end{pmatrix}, \\ {\mathcal A}_{11}= \begin{pmatrix} \boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu&\boldsymbol\lambda &\boldsymbol\lambda \\ \boldsymbol\lambda&\boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu &\boldsymbol\lambda \\ \boldsymbol\lambda&\boldsymbol\lambda& \boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu \end{pmatrix}, \qquad {\mathcal A}_{11}=\begin{pmatrix} \boldsymbol\mu&0&0 \\ 0&\boldsymbol\mu&0 \\ 0&0&\boldsymbol\mu \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
где $\boldsymbol \lambda\geqslant0$ и $\boldsymbol\mu>0$ – постоянные Ламе, а ${\mathbb O}_3$ – нулевая ($3\times3$)-матрица. Описание других частных случаев, а именно ортотропии и трансверсальной изотропии, можно найти, например, в [9; гл. 2, § 2], а сведение некоторых анизотропий к ортотропии – в статье [10]. Краевые условия (1.3) означают, что поверхность $\partial\Omega\setminus{\overline{\omega^\varepsilon}}$ свободна от внешних воздействий, и включают вектор нормальных напряжений ${\mathcal N}(x,\nabla_x)u(x)$, рассчитанный по столбцу напряжений
$$
\begin{equation}
{\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)u=\bigl(\sigma_{11}(u),\sigma_{22}(u),\sigma_{33}(u), \sqrt{2}\sigma_{23}(u),\sqrt{2}\sigma_{31}(u),\sqrt{2}\sigma_{12}(u)\bigr)^\top,
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
где $\sigma_{pq}(u)$ – декартовы компоненты тензора напряжений. Множители $2^{\pm1/2}$ введены в определения (1.33) и (1.35) для того, чтобы уравнять естественные нормы тензора второго ранга и изображающего его столбца высотой 6. Краевые условия (1.4) суть условия упругой заделки, называемые также условиями Винклера–Стеклова (ср. [11]), и физически осмысленными являются две ситуации. В первой присоединение тела к абсолютно жесткому профилю реализуется посредством густых семейств мелких пружинок, реагирующих только на растяжение в нормальном направлении, и в этом случае проектор принимает вид Во второй ситуации крепеж осуществляется при помощи клеевых пятнышек, которые противодействуют смещению тела $\Omega$ в любом направлении, а значит,
$$
\begin{equation}
{\mathcal Q}(x)u(x)=u(x), \qquad {\mathcal Q}(x)={\mathbb I}_3.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
В обоих случаях интенсивность $\gamma>0$ внешних воздействий считается постоянной, и поэтому спектральный параметр имеет вид $\lambda^\varepsilon=\gamma\varsigma^2_\varepsilon$, где $\varsigma_\varepsilon>0$ – частота колебаний. Подчеркнем, что тело $\Omega$ изготовлено из “невесомого” материала и в уравнениях (1.2) спектрального параметра нет (ср. п. 4.4). Функционал упругой энергии $\frac{1}{2}{\mathcal E}(u,u;\Omega)$ обладает полиномиальным свойством (1.17) (см. [6; пример 1.12]), в котором ${\mathcal P}=\{p(x)=d(x)c \mid c\in{\mathbb R}^6\}$ – шестимерный линеал жестких смещений; здесь
$$
\begin{equation}
d(x)=(d^t,d^r(x))= \begin{pmatrix} 1&0&0&0&2^{-1/2}x_3&-2^{-1/2}x_2 \\ 0&1&0&-2^{-1/2}x_3&0&2^{-1/2}x_1 \\ 0&0&1&2^{-1/2}x_2&-2^{-1/2}x_1&0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
а $d^t={\mathbb I}_3$ (единичная матрица размером $3\times3$) и $d^r$ – поступательный и вращательный ($3\times3$)-блоки ($3\times6$)-матрицы жестких смещений $d$.  Рис. 3.Множества $\omega^\varepsilon_1,\dots,\omega^\varepsilon_6$ и нормали к поверхности параллелепипеда, обеспечивающие геометрическое ограничение (1.39). Как показано в [12; п. 2.2], в случае (1.37) для соблюдения ограничения (1.19) достаточно, чтобы среди точек $P^1,\dots,P^J$ нашлись три вершины невырожденного треугольника, но в случае (1.36) линейная оболочка столбцов должна совпасть с пространством ${\mathbb R}^6$, т.е., в частности, $J\geqslant6$. Один из примеров подходящего расположения крепежа изображен на рис. 3. 1.4. Содержание статьиВ § 2 строится формальная асимптотика при $\varepsilon\to+0$ спектральных пар $\{\lambda^\varepsilon_m,u^\varepsilon_{(m)}\}$ задачи (1.5) (или (1.2)–(1.4)) и выводится предельная задача, предоставляющая (ненулевые) пределы $\mu_m=\mu^0_{m-\mathbf d}$ из формулы (1.14) и содержащая $J$ экземпляров краевых задач в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$. Неожиданным обстоятельством оказывается то, что каждая из этих задач включает алгебраические составляющие – средние собственных вектор-функций по множествам $\varpi_j\subset\partial {\mathbb R}^3_-$ для всех индексов $j=1,\dots,J$, т.е. предельные задачи в полупространствах становятся связанными и образуют единую спектральную задачу. Иными словами, обнаружено взаимодействие спектральных краевых условий (1.4), которые назначены на малых, удаленных один от другого участках (1.1) границы. Подчеркнем, что при постановке условий Дирихле на множестве ${\overline{\gamma}}\subset \partial\Omega\setminus{\overline{\omega^\varepsilon}}$ положительной площади эффект взаимодействия исчезает (см. п. 4.3), так как предельная ($\varepsilon=0$) смешанная краевая задача (2.18), (4.13), (4.14) в области $\Omega$ становится однозначно разрешимой. Это наблюдение подсказывает, что первопричиной обсуждаемого эффекта является взаимовлияние корневых подпространств, порожденных собственным числом $\lambda=0$ предельной задачи Неймана в ограниченной области $\Omega$ и малыми собственными числами $\varepsilon\mu$ семейства ($j=1,\dots,J$) предельных задач в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$, описывающих феномен пограничного слоя. При этом важно, что точка $\mu=0$ лежит вне спектров последних краевых задач. Читатель, желающий ознакомиться с результатом асимптотического анализа в простейшей ситуации (скалярной) задачи Стеклова–Неймана для оператора Лапласа, упомянутой в п. 1.3, $1^\circ$, может обратиться к материалу п. 2.5, $1^\circ$, где приведена совокупность связанных предельных задач и обсуждаются соотношения между ее спектром и спектрами отдельных задач в полупространстве. В частности, продемонстрировано, что при наличии симметрии эффект взаимодействия демпфируется. Более сложный пример – (векторная) задача теории упругости в п. 1.3, $2^\circ$ и п. 2.5, $2^\circ$. Обнаруженное свойство главных асимптотических членов отличает рассмотренную задачу от многочисленных исследований сингулярно возмущенных скалярных задач со спектральными условиями Стеклова или векторных задач теории упругости со спектральными условиями Винклера–Стеклова (см. [13]–[27] и [11], [28] соответственно). Б\’ольшая часть исследований в приведенном списке, разумеется, неполном, посвящена задачам с густыми периодическими семействами малых множеств, на которых поставлены спектральные условия Стеклова, – в этой серии исследований реализуется техника так называемого пограничного осреднения, существенно разнящаяся с подходами, используемыми в настоящей работе. Вместе с тем в нескольких статьях из приведенного списка рассмотрены “изолированные” возмущения, родственные описанным в п. 1.1: условия Стеклова назначались на границах малых внутренних полостей (см. [17], [26]) или на тонком тороидальном подмножестве (см. [25] и ср. рис. 2, c). В [17] и [26] построены асимптотики1 собственных чисел и функций смешанных краевых задач для оператора Лапласа при различных расположениях условий Дирихле, Неймана и Стеклова. Отличительная черта асимптотических конструкций в публикации [25] – возникновение дополнительной предельной задачи, а именно интегрального уравнения на оси тороидального множества. Выделим еще работы [18], [24], в которых установлена аналитическая зависимость от параметра $\varepsilon$ собственных чисел задачи с условиями Стеклова на малом множестве. Отметим, что аналогичный изучаемому в настоящей статье эффект “дальнодействия” сингулярных возмущений был изначально обнаружен в статье [29] (см. также [30] и [31]) для скалярной задачи Неймана в многомерной области с концентрированными массами, а на формальном уровне всевозможные асимптотические конструкции для частот собственных колебаний упругого тела с мелкими тяжелыми включениями и границей, свободной от внешних воздействий, были описаны в публикации [32], однако обоснование асимптотических конструкций в подобных задачах теории упругости по-прежнему остается открытым вопросом. В § 3 представлены оценки асимптотических остатков, которые выводятся по стандартной схеме: доказательство теоремы 3 о сходимости, обработка невязок построенного асимптотического решения и применение леммы 4 о “почти собственными” числах и векторах. Впрочем, некоторые особенности выкладок, вызванные общностью постановки задачи, основаны на геометрическом ограничении (1.19) и полиномиальном свойстве (1.17), которое, в частности, предоставляет всю необходимую информацию о решениях предельных задач (см. обзор [6] и пп. 2.1, 2.2). Многие из требований, предъявленных в п. 1.1 к границам областей $\Omega$, $\varpi_j$ и коэффициентам дифференциальных операторов $\mathcal L$, $\mathcal N$, нужны исключительно для упрощения изложения, и в п. 4.1 обсуждаются способы их устранения. Вместе с тем некоторые обобщения, а именно постановка условий Дирихле на подмножествах границы $\partial\Omega$, введение спектрального параметра в систему (1.2), частный случай $J=1$ или увеличение порядков дифференциальных операторов, оказывают существенное влияние как на асимптотическую процедуру, так и на строение самой предельной спектральной задачи. Соответствующие изменения прокомментированы в § 4 на конкретных примерах. Попутно сформулированы многочисленные открытые вопросы. Материал из § 4 никак не претендует на полноту анализа и служит для единственной цели – привлечь внимание к широкому пласту задач, в которых даже асимптотические конструкции остаются неизвестными в том случае, когда нарушено геометрическое ограничение (4.36). Это требование выполнено всегда только для простейшей скалярной задачи Стеклова (см. п. 1.3, $1^\circ$ и п. 4.5), но для имеющих прикладное значение пространственных задач теории упругости или плоских задач теории пластин и оболочек отказ от упомянутого ограничения провоцирует существенные изменения в финальных асимптотических формулах (ср. п. 4.5 и п. 4.6). § 2. Вывод предельной задачи2.1. Задача Неймана в полупространствеСделаем растяжение локальных координат2
$$
\begin{equation}
x\mapsto \xi^j=\varepsilon^{-1}x^j=\varepsilon^{-1}\Theta^j(x-P^j),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где ортогональная ($3\times3$)-матрица $\Theta^j$ нужна для того, чтобы ось $x^j_3$ была направлена вдоль внешней нормали $n(P^j)$ (см. п. 1.1). Замена (2.1) и формальный переход к $\varepsilon=0$ спрямляет поверхность ${\partial\Omega\cap{\mathcal V}^j}$, трансформируя область $\Omega$ в полупространство ${\mathbb R}^3_-=\{\xi^j\colon \xi^j_3<0\}$, а множество $\omega^\varepsilon_j$ – в множество $\varpi_j$ на границе ${\mathbb R}^2=\partial {\mathbb R}^3_-$ (ср. определение (1.1)). Кроме того, благодаря гладкости поверхности $\partial\Omega$ выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
\nabla_{(s^j_1,s^j_2,n^j)}=({\mathbb I}_3 +\phi(x))\nabla_{x^j}, \quad |\nabla_x\phi(x)|+|x-P^j|^{-1}|\phi(x)|\leqslant c_j, \qquad x\in{\mathcal V}^j,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
а значит, дифференциальные операторы $\varepsilon^2{\mathcal L}(\nabla_x)$ и $\varepsilon{\mathcal N}(x,\nabla_x)$ в результате указанных подстановок принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}^j(\nabla_{\xi^j})={\mathcal D}^j(-\nabla_{\xi^j})^\top {\mathcal A}{\mathcal D}^j(\nabla_{\xi^j}), \\ {\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})={\mathcal D}^j(e_{(3)})^\top {\mathcal A}{\mathcal D}^j(\nabla_{\xi^j}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где ${\mathcal D}^j(\nabla_{\xi^j})={\mathcal D}(\Theta^j\nabla_{\xi^j})$ и $e_{(3)}=(0,0,1)^\top$. Забудем на время о спектральном параметре в краевом условии (1.4). После растяжения координат, спрямления границы и заморозки коэффициентов получим из (1.2)–(1.4) следующую задачу:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}^j(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^j)=0, \qquad \xi^j\in{\mathbb R}^3_-,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^{j\prime},0)=g^j(\xi^{j\prime}), \qquad \xi^{j\prime}=(\xi^j_1,\xi^j_2)\in{\mathbb R}^2.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Здесь $g^j\in L^2({\mathbb R}^2)^K$ – вектор-функция с компактным носителем (только такие понадобятся в п. 2.3). Из-за недостаточной гладкости данных Неймана задача (2.4), (2.5) нуждается в обобщенной постановке, причем ввиду неограниченности области она осуществляется на весовых пространствах Соболева. Широко используемое пространство Кондратьева $V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)$ с весовым показателем $\beta\in {\mathbb R}$ (см. [33] и, например, [34]) определим как пополнение линейного множества $C^\infty_c({\overline{{\mathbb R}^3_-}})$ (бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями) по норме
$$
\begin{equation}
\|w;V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)\|=\biggl(\sum_{p=0}^\ell\|(1+\rho_j)^{\beta -\ell+p}\nabla_{\xi^j}^pw;L^2({\mathbb R}^3_-)\|^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Подчеркнем, что пространство $V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)$ состоит из функций $w\in H^1_{\mathrm{loc}}({\overline{{\mathbb R}^3_-}})$, для которых конечна норма (2.6). Весовое пространство Лебега $V^0_\gamma({\mathbb R}^3_-)=L^2_\gamma({\mathbb R}^3_-)$ имеет норму $\|(1+\rho_j)^\gamma\,\cdot\,;L^2({\mathbb R}^3_-)\|$. В этом параграфе востребован случай $\ell=1$, но пространство $V^2_0({\mathbb R}^3_-)$ используется в п. 4.6. Под обобщенным решением задачи (2.4), (2.5) понимаем вектор-функцию $w^j\in V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)^K$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(w^j,\psi^j):=({\mathcal A}{\mathcal D}^j(\nabla_{\xi^j})w^j, {\mathcal D}^j(\nabla_{\xi^j})\psi^j)_{{\mathbb R}^3_-}=(g^j,\psi^j)_{{\mathbb R}^2} \quad \forall\, \psi^j\in V^1_{-\beta}({\mathbb R}^3_-)^K.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Согласно определению (2.6) в средней части формулы (2.7) стоит расширение скалярного произведения в $L^2({\mathbb R}^3_-)$ до двойственности между подходящими весовыми классами Лебега. В замечании 2 приведем пояснения к следующему простому утверждению. Предложение 1. Пусть и у вектор-функции $g^j\in L^2({\mathbb R}^2)^K$ носитель компактен. Тогда задача (2.7) имеет единственное решение $w^j\in V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)^K$. Благодаря финитности данных в задаче (2.7) справедливо представление
$$
\begin{equation}
w^j(\xi^j)=\chi^\infty(\xi^j)\Phi^j(\xi^j)b^j+{\widetilde{w}}^{j}(\xi^j),
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $\chi^\infty$ – гладкая срезающая функция, равная нулю на шаре ${\mathbb B}_R=\{\xi^j\colon \rho_j:=|\xi^j|<R\}$, содержащем множество $\varpi_j$ (см. (1.1)), и единице при $\rho_j>2R$, $b^j\in{\mathbb R}^K $ – постоянный столбец, остаток ${\widetilde{w}}^{j}$ принадлежит пространству $V^1_{1+\beta}({\mathbb R}^3_-)^K$, а $\Phi^j$ – матрица Грина задачи Неймана (2.4), (2.5) на полупространстве с особенностью в начале координат. Для этой матрицы верны соотношения
$$
\begin{equation}
\Phi^j(\xi^j)=\rho_j^{-1}\Phi^j(\rho_j^{-1}\xi^j), \qquad \xi^j\in {\mathbb R}^3,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
-\int_{{\mathbb S}^-_R}{\mathcal N}_\cup(\xi^j,\nabla_{\xi^j})\Phi^j(\xi^j)\,ds_{\xi^j} ={\mathbb I}_K,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где ${\mathbb I}_K$ – единичная ($K\times K$)-матрица, ${\mathbb S}^-_R=\{\xi^j\colon \rho_j=R,\,\xi^j_3<0\}$ – нижняя полусфера и в согласии с формулами (2.3) оператор краевых условий Неймана на сфере имеет вид
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}_\cup(\xi^j,\nabla_{\xi^j})={\mathcal D}(\rho_j^{-1}\xi^j)^\top {\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_{\xi^j}).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Замечание 2. 1) В силу неравенства Корна (1.16) и одномерного неравенства Харди 2) Ограничение $\beta>-1/2$ в (2.8) гарантирует, что постоянные векторы лежат вне пространства $V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)^K$. Другое ограничение $\beta<1/2$ показывает, что отделенное в (2.9) слагаемое $\chi^\infty\Phi^jb^j$ попадает в это пространство (но не принадлежит $V^1_{1+\beta}({\mathbb R}^3_-)^K$). Именно эти наблюдения вместе с теоремой Кондратьева об асимптотике обеспечивают предложение 1 при всех $\beta\in(-1/2,1/2)$ (ср. [6; § 2, п. 1]). Предложение 2. В условиях предложения 1 справедливо представление (2.9), в котором столбец коэффициентов вычисляется по формуле Доказательство. Представление (2.9) вытекает из теоремы Кондратьева об асимптотике (см. [33] и [34; гл. 3, § 5]), а проверка формулы (2.15) опирается на соотношение (2.11) (ср. [35] и [34; гл. 4, § 3]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{{\mathbb R}^2} g^j(\xi^{j\prime})\,d\xi^{j\prime} &=\int_{{\mathbb R}^2} {\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^{j\prime},0)\,d\xi^{j\prime} \\ \notag &=-\lim_{R\to+\infty}\int_{{\mathbb S}^-_R} {\mathcal N}^j_\cup(\xi^j,\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^j)\,ds_{\xi^j} \\ &=-\lim_{R\to+\infty}\int_{{\mathbb S}^-_R} {\mathcal N}^j_\cup(\xi^j,\nabla_{\xi^j})\Phi^j(\xi^j)\,ds_{\xi^j}b^j=b^j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Подчеркнем, что теорема Кондратьева о повышении гладкости решений эллиптических краевых задач приводит к включению $\nabla_{\xi^j}{\widetilde{w}}^{j}\in V^1_{2+\beta}({\mathbb R}^3_-)^K$ и способствует предельному переходу в выкладке (2.16). Иными словами, остаток ${\widetilde{w}}^{j}$ быстро затухающий и бесконечно дифференцируемый вне шара ${\mathbb B}_{R}$, содержащего носитель правой части краевого условия (2.5).
Предложение доказано. Замечание 3. Гёльдеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе (см. [36], а также, например, [34; гл. 3, § 6]) приводят к поточечным оценкам 2.2. Задача Неймана в области $\Omega$Несмотря на гладкость границы $\partial\Omega$ потребуется и обобщенная постановка задачи
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}(\nabla_x)v(x)=f(x), \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(x,\nabla_x)v(x)=g(x), \qquad x\in\partial\Omega.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Как обычно (см. [33] и [34; гл. 2 и 4]), пространство Кондратьева $V^1_\beta(\Omega)$ получается пополнением линейного множества $C^\infty_c({\overline{\Omega}}\setminus\{P^1,\dots,P^J\})$ по весовой норме
$$
\begin{equation}
\|v;V^\ell_\beta(\Omega)\|=\biggl(\sum_{p=0}^\ell \|\nabla_x^p v;L^2_{\beta-\ell+p}(\Omega)\|^2\biggr)^{1/2},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где $L^2_\gamma(\Omega)=V^0_\gamma(\Omega)$ – весовое пространство Лебега с нормой
$$
\begin{equation}
\|f;L^2_\gamma(\Omega)\|=\|r^\gamma f;L^2(\Omega)\|,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
а $r=\min\{r_1,\dots,r_J\}$ и $r_j=|x-P^j|$. Пространство $V^\ell_\beta(\Omega)$ состоит из функций $v\in H^\ell_{\mathrm{loc}}({\overline{\Omega}}\setminus\{P^1,\dots,P^J\})$, для которых конечна норма (2.20). Далее востребован случай $\ell=1$. Под обобщенным решением задачи (2.18), (2.19) с правыми частями
$$
\begin{equation}
f\in L^2_{\beta+1}(\Omega), \qquad g\in L^2_{\beta+1/2}(\partial\Omega)
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
понимаем вектор-функцию $v\,{\in}\, V^1_\beta(\Omega)^K$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(v,\psi;\Omega)=(f,\psi)_\Omega+(g,\psi)_{\partial\Omega} \quad \forall \,\psi\in V^1_{-\beta}(\Omega)^K,
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
в котором $(\cdot,\cdot)_\Omega$ и $(\cdot,\cdot)_{\partial\Omega}$ – расширения скалярных произведений в $L^2(\Omega)$ и $L^2(\partial\Omega)$ до двойственности между подходящими парами весовых классов Лебега. Отметим, что благодаря включениям (2.22), определениям (2.20), (2.21) и простому следовому неравенству (см., например, [34; гл. 2])
$$
\begin{equation}
\|\psi;L^2_{-\beta-1/2}(\partial\Omega)\|\leqslant c_\Omega\|\psi;V^1_{-\beta}(\Omega)\|
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
правая часть равенства (2.23) – непрерывный функционал на пространстве $V^1_{-\beta}(\Omega)\ni\psi$. Предложение 3. Пусть для правых частей (2.22) с показателем (2.8) выполнены равенства Доказательство. Сначала подчеркнем, что в согласии с замечанием 2 требование $\beta>-1/2$ помещает гладкие в $\overline\Omega$ вектор-функции в пространство $V^1_\beta(\Omega)^K$, а требование $\beta\,{<}\,1/2$ исключает из него сингулярные решения $\Phi^j(x^j)b^j$ (см. (2.10)). Кроме того, одномерное неравенство Харди (2.13), примененное в окрестностях точек $P^j$ после перехода к сферическим координатам $r_j\in{\mathbb R}_+$ и $\theta^j\in{\mathbb S}^2$ (единичная сфера), показывает, что пространства $V^1_0(\Omega)$ и $H^1(\Omega)$ неразличимы алгебраически и топологически. Следовательно, при $\beta=0$ утверждение очевидно, так как в силу полиномиального свойства (1.17) симметричная положительная квадратичная форма ${\mathcal E}(\cdot,\cdot;\Omega)$ вырождается только на векторных полиномах $p\in{\mathcal P}$. Наконец, теорема Кондратьева об асимптотике (см. [33] и [34; теорема 4.2.1]) позволяет варьировать весовой показатель $\beta$ внутри указанного в (2.8) интервала.
Предложение доказано. Сохраним ограничения (2.22) и (2.8), но будем искать решение задачи (2.18), (2.19) в классе $V^1_{1+\beta}(\Omega)^K$, т.е. сделаем в интегральном тождестве (2.23) подстановку $\beta\mapsto1+\beta$. Теорема 1. В условиях предложения 3 всякое решение $v\in V^1_{1+\beta}(\Omega)^K$ задачи (2.18), (2.19) допускает представление Доказательство. Заметим, что в силу соотношений (2.3), (2.4) и (2.8) матрицы-функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Omega\ni x\mapsto F^j(x)=\bigl[{\mathcal L}(\nabla_x),\chi_j(x)\bigr]\Phi^j(x^j), \\ \partial\Omega\ni x\mapsto G^j(x)=\bigl[{\mathcal N}(x,\nabla_x),\chi_j(x)\bigr]\Phi^j(x^j), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
содержащие коммутаторы дифференциальных операторов ${\mathcal L}$ и ${\mathcal N}$ со срезкой $\chi_j$, принадлежат пространствам $V^0_{\beta+1}(\Omega)^K$ и $V^0_{\beta+1/2}(\partial\Omega)^K$ соответственно. Таким образом, для остатка ${\widehat{v}}$ в представлении (2.27) получаем задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}(\nabla_x){\widehat{v}}(x)=f(x)-\sum_{j=1}^JF^j(x)b^j, \qquad x\in\Omega, \\ {\mathcal N}(x,\nabla_x){\widehat{v}}(x)=g(x)-\sum_{j=1}^JG^j(x)b^j, \qquad x\in \partial\Omega\setminus\{P^1,\dots,P^J\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
с правыми частями из пространств, указанных в предложении 3. Условия ортогональности (2.25), необходимые и достаточные для разрешимости этой задачи в классе $V^1_\beta(\Omega)^K$, принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(f,p)_\Omega+(g,p)_{\partial\Omega}+\sum_{j=1}^J\bigl((F^jb^j,p)_\Omega+(G^jb^j,p)_{\partial\Omega}\bigr) \\ \notag &\qquad =\sum_{j=1}^J\lim_{R\to+0}\biggl(\int_{\Omega\setminus{\mathbb B}_R(P^j)} p(x)^\top{\mathcal L}(\nabla_x)\bigl(\chi_j(x)\Phi^j(x^j)\bigr)\,dx \\ \notag &\qquad\qquad +\int_{\partial\Omega\setminus{\mathbb B}_R(P^j)} p(x)^\top{\mathcal N}(x,\nabla_x)\bigl(\chi_j(x)\Phi^j(x^j)\bigr)\,ds_x\biggr)b^j \\ &\qquad =\sum_{j=1}^J \lim_{R\to+0}\int_{\partial{\mathbb B}_R(P^j)\cap\Omega} p(x)^\top{\mathcal N}_\cup(x,\nabla_x)\Phi^j(x^j)\,ds_x\,b^j \notag \\ &\qquad=-\sum_{j=1}^J p(P^j)^\top b^j \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
и превращаются в соотношения (2.28).
Обратим внимание на несколько обстоятельств. Во-первых, в отличие от выкладки (2.16) оператор (2.12) в формуле Грина из (2.31) берется со знаком минус ввиду смены направления внешней нормали на сфере $\partial{\mathbb B}_R(P^j)\,{=}\,\{x\colon r_j\,{=}\,R\}$. Во-вторых, любой векторный полином $p\in{\mathcal P}$ уничтожается дифференциальными операторами ${\mathcal L}(\nabla_x)$ и ${\mathcal N}(x,\nabla_x)$, ${\mathcal N}_\cup(x,\nabla_x)$, причем при вычислении последнего интеграла использовано соотношение $p(x)=p(P^j)+O(r_j)$. Наконец, по причине искривленности гладкой поверхности $\partial\Omega$ контур $\partial{\mathbb B}_R(P^j)\cap\partial\Omega$ может не совпасть с экватором сферы $\partial{\mathbb B}_R(P^j)$, однако множества $\partial{\mathbb B}_R(P^j)\cap\partial\Omega$ и $\{x\colon r_j=R,\, x^j_3<0\}$ различаются только внутри тонкой – шириной $O(R^2)$ – полоски, что и позволило в конце выкладки (2.31), заканчивающей проверку формулы (2.28), применить соотношение (2.11). Осталось отметить, что само представление (2.27) гарантировано теоремой Кондратьева об асимптотике решений эллиптических краевых задач около конических точек на границе (см. [33], а также [34; теорема 4.2.1]). Теорема 1 доказана. 2.3. Предельная спектральная задачаПусть вектор-функции $w^1, \dots,w^J\in V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)^K$ допускают представление (2.9) со столбцами коэффициентов $b^1,\dots,b^J\in {\mathbb R}^K$ и удовлетворяют однородным ($f^j=0$) системам уравнений (2.4), а также краевым условиям (2.5) с правыми частями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g^j(\xi^{j\prime})=\mu {\mathcal Q}(P^j) \bigl(w^j(\xi^{j\prime},0)+p(P^j)\bigr), \qquad \xi^{j\prime}\in\varpi_j, \\ g^j(\xi^{j\prime})=0, \qquad \xi^{j\prime}\in{\mathbb R}^2\setminus{\overline{\varpi_j}}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
где $\mu\in{\mathbb R}$ и $p\in{\mathcal P}$ – собственное число и векторный полином, подлежащие определению. Иными словами, имеет место интегральное тождество
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}^j(w^j,\psi^j)=\mu(w^j+p(P^j),{\mathcal Q}(P^j)\psi^j)_{\varpi_j}\ \quad \forall\, \psi^j\in V^1_{-\beta}({\mathbb R}^3_-)^K.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Соотношение (2.32) – результат принятия асимптотического анзаца для (ненормированной) собственной вектор-функции
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=\sum_{j=1}^J \chi_j(x)w^j(\xi^j)+p(x)+\varepsilon{\widehat{v}}(x)+\dotsb,
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
замены (1.14) спектрального параметра, растяжения координат (2.1) и формального перехода к $\varepsilon=0$. В (2.34) многоточием обозначены младшие асимптотические члены, несущественные для предпринимаемого анализа (ср. п. 4.2 по поводу построения полных асимптотических разложений). При помощи предложения 2 находим столбец
$$
\begin{equation}
b^j=\mu{\mathcal Q}(P^j)\int_{\varpi_j}\bigl(w^j(\xi^{j\prime},0)+p(P^j)\bigr)\,d\xi^{j\prime}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
у решения $w^j$ задачи (2.33). Подставим анзац (2.34) в соотношения (1.2)–(1.4) и, заметив, что
$$
\begin{equation}
w^j(\xi^j)=\Phi^j(\xi^j) b^j+\dots=\varepsilon\Phi^j(x^j) b^j+\dotsb,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
соберем множители при $\varepsilon$. В итоге получим для поправочного слагаемого ${\widehat{v}}$ задачу (2.30), в которой $f=0$ и $g=0$. Ее вариационная формулировка выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}({\widehat{v}},\psi;\Omega)=\sum_{j=1}^J {\mathcal F}^j(\psi)b^j \quad \forall\, \psi\in H^1(\Omega)^K.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Здесь фигурируют ($K\times K$)-матрицы функционалов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal F}^j(\psi) &=(F^j,\psi)_\Omega+(G^j,\psi)_{\partial\Omega} \\ &=\bigl({\mathcal A}({\mathcal D}(\nabla_x)\chi_j)\Phi^j,{\mathcal D}(\nabla_x)\psi\bigr)_\Omega -\bigl({\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)\Phi^j,({\mathcal D}(\nabla_x)\chi_j)\psi\bigr)_\Omega, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
построенные по выражениям (2.29) при помощи дополнительного интегрирования по частям. Согласно теореме 1 условия (2.28) разрешимости полученной задачи принимают вид
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^J q(P^j)^\top b^j=0 \quad \forall\, q\in{\mathcal P}.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Ищем векторный полином $p$ из анзаца (2.34) как линейную комбинацию
$$
\begin{equation}
p(x)=\sum_{k=1}^{\mathbf d}\mathbf p^k(x)\mathbf a_k=:\mathbf p(x)\mathbf a,
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
где ($k\times\mathbf d$)-матрица $\mathbf p(x) =(\mathbf p^1(x),\dots,\mathbf p^{\mathbf d}(x))$ составлена из элементов базиса в линейном подпространстве $\mathcal P$ векторных полиномов (см. п. 1.2) и $\mathbf a= (\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_\mathbf d)^\top$ – неизвестный столбец. При учете соотношения (2.35) переписываем связи (2.39) с $q=\mathbf p^\ell$ в виде системы линейных алгебраических уравнений
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^J\mathbf p^\ell(P^j)^\top {\mathcal Q}(P^j)\biggl(\int_{\varpi_j} w^j(\xi^{j\prime},0)\,d\xi^{j\prime}+|\varpi_j|\,\sum_{k=1}^{\mathbf d}\mathbf p^k(x)\mathbf a_k \biggr)=0, \qquad \ell=1,\dots,\mathbf d.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
{\overline{w}}^{j} =\frac{1}{|\varpi_j|}\int_{\varpi_j} w^j(\xi^{j\prime},0)\,d\xi^{j\prime}, \qquad \mathbf M^j_{\ell k}=|\varpi_j| \mathbf p^\ell(P^j)^\top{\mathcal Q}(P^j)\mathbf p^k(P^j),
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf M_{\ell k}= \mathbf M^1_{\ell k}+\dots+ \mathbf M^J_{\ell k} .
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Лемма 2. В силу ограничения (1.19) матрица $\mathbf M=(\mathbf M_{\ell k})_{\ell,\, k=1}^{\mathbf d}$ с элементами (2.43) симметричная и положительно определенная. Доказательство. Очевидно, что по определению (2.42) каждая из матриц $\mathbf M^j$ симметричная и положительная. Допустим, что суммарная матрица $\mathbf M$ вырожденная, т.е. для некоторого столбца $\mathbf a\in{\mathbb R}^{\mathbf d}\setminus\{0\}$ и векторного полинома $p=\mathbf p\mathbf a$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0=\mathbf a^\top\mathbf M\mathbf a &\quad \Longleftrightarrow\quad 0=\mathbf a^\top\mathbf M^j\mathbf a, \qquad j=1,\dots,J \\ &\quad \Longleftrightarrow\quad 0={\mathcal Q}(P^j)\sum_{k=1}^{\mathbf d}\mathbf a_k\mathbf p(P^j) ={\mathcal Q}(P^j)p(P^j), \qquad j=1,\dots,J. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $p=0$ согласно требованию (1.19). Обнаруженное противоречие заканчивает проверку леммы. Используя матричную форму записи и формулы (2.42), выводим из (2.41), что
$$
\begin{equation}
\mathbf a=-\mathbf M^{-1}\sum_{n=1}^J|\varpi_n| \mathbf p(P^n)^\top{\mathcal Q}(P^n){\overline{w}}^{n}.
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
В итоге после суммирования совокупность ($j=1,\dots,J$) интегральных тождеств (2.6) переписываем как следующую единую спектральную задачу для строки вектор-функций $\overrightarrow{w}=(w^1,\dots,w^J)$:
$$
\begin{equation}
{\mathfrak E}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi})= \mu{\mathfrak Q}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}) \quad\forall \, \overrightarrow{\psi}=(\psi^1,\dots,\psi^J)\in{\mathfrak H}:= V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{K\times J}.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Здесь билинейные формы $ {\mathfrak E}$ и ${\mathfrak Q}$ заданы равенствами
$$
\begin{equation}
{\mathfrak E}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}) =\sum_{j=1}^J {\mathcal E}^j(w^j,\psi^j),
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &{\mathfrak Q}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}) =\sum_{j=1}^J \biggl(w^j-\mathbf p(P^j)\mathbf M^{-1}\sum_{n=1}^J |\varpi_n|\mathbf p(P^n)^\top{\mathcal Q}(P^n){\overline{w}}^{n}, {\mathcal Q}(P^j)\psi^j\biggr)_{\varpi_j} \\ &\quad=\sum_{j=1}^J (w^j,\psi^j)_{\varpi_j}- \sum_{j=1}^J |\varpi_j|(\mathbf p(P^j)^\top{\mathcal Q}(P^j){\overline{\psi}}^{j})^\top \mathbf M^{-1}\sum_{n=1}^J \mathbf p(P^n)^\top{\mathcal Q}(P^n){\overline{w}}^{n}|\varpi_n| \\ &\quad=:{\mathfrak Q}_{\mathrm{int}}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi})- {\mathfrak Q}_{\mathrm{alg}}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Выделение в билинейной форме (2.47) “алгебраической составляющей”, обеспечивающей связь изначальных интегральных тождеств с номерами $j=1,\dots,J$, произведено при учете определения среднего функции по области $\varpi_j$ (см. (2.42)). 2.4. Спектр предельной задачиФиксация $\beta=0$ весового индекса сделала задачу (2.45) вариационной. Кроме того, как упоминалось в замечании 2, весовая норма в пространстве ${\mathfrak H}=V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{K\times J}$ эквивалентна энергетической норме
$$
\begin{equation*}
\|\overrightarrow{w};{\mathfrak H}\|=\biggl(\sum_{j=1}^J \bigl({\mathcal E}^j(w^j,w^j)+\|w^j;L^2(\varpi_j)\|^2\bigr)\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
а само пространство ${\mathfrak H}$ можно получить пополнением линейного множества $C^\infty_c({\overline{{\mathbb R}^3_-}})^{K\times J}$ по этой норме. Лемма 3. Симметричные билинейные формы (2.46) и (2.45) соответственно положительная компактная и положительно определенная на пространстве ${\mathfrak H}$. Доказательство. Следствие (2.14) неравенства Харди (2.13) дает соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|w_j;V^1_0({\mathbb R}_-^3)\|^2\leqslant 5\|\nabla_{\xi^j}w^j;L^2({\mathbb R}_-^3)\|^2, \\ \|w_j;L^2(\varpi_j)\|^2\leqslant C_j\|\nabla_{\xi^j}w^j;L^2({\mathbb R}_-^3)\|^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что положительность формы $\mathfrak H$ вытекает из оценок
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|{\overline{w}}^{j};{\mathbb R}^K\|^2\leqslant|\varpi_j|\,\|w^j;L^2(\varpi_j)\|^2, \\ {\mathfrak Q}_{\mathrm{alg}}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{w})\leqslant\sum_{j=1}^J |\varpi_j|\,\|{\overline{w}}^{j};{\mathbb R}^K\|^2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
которые являются не чем иным, как вариантами неравенства Коши–Буняковского, интегральным и алгебраическим. Второе соотношение (2.48), пожалуй, нуждается в пояснении. Обозначив $M^{1/2}$ положительный квадратный корень из симметричной положительно определенной матрицы $M$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\mathfrak Q}_{\mathrm{alg}}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{w})= \sum_{j=1}^J\bigl\|M^{-1/2}\mathbf p(P^j)^\top {\mathcal Q}(P^j) {\overline{w}}^{j}|\varpi_j|;{\mathbb R}^{\mathbf d}\bigr\|^2 \\ &\ \ \leqslant \sum_{n=1}^J\bigl\||\varpi_n|^{1/2}{\mathcal Q}(P^n)^\top\mathbf p(P^n)M^{-1/2}; {\mathbb R}^{K\times\mathbf d}\bigr\|^2\,\sum_{j=1}^J\bigl\|{\overline{w}}^{j}|\varpi_j|^{1/2}; {\mathbb R}^K\bigr\|^2 \\ &\ \ =\biggl\|M^{-1/2}\biggl(\sum_{n=1}^J \mathbf p(P^n)^\top {\mathcal Q}(P^n)|\varpi_n| {\mathcal Q}(P^n)^\top\mathbf p(P^n)\biggr)M^{-1/2}; {\mathbb R}^{\mathbf d\times \mathbf d}\biggr\| \sum_{j=1}^J|\varpi_j|\,|{\overline{w}}^{j}|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно определениям (2.43) и (2.42) первый сомножитель в правой части – норма единичной ($\mathbf d\times\mathbf d$)-матрицы, т.е. единица.
Лемма доказана. В гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ введем скалярное произведение ${\mathfrak E}(\cdot,\cdot)$ и оператор ${\mathfrak K}$ при помощи тождества
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak E}({\mathfrak K}\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi})= {\mathfrak Q}(\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}) \quad \forall\,\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi}\in{\mathfrak H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду компактности вложения ${\mathfrak H}\subset L^2(\varpi_1)^K\times\dots\times L^2(\varpi_J)^K$ существенный спектр этого оператора, самосопряженного, непрерывного и компактного, состоит из единственной точки ${\mathfrak k}=0$, а дискретный спектр образует бесконечно малую положительную последовательность (см. [3; теоремы 10.1.5 и 10.2.2])
$$
\begin{equation}
{\mathfrak k}_1\geqslant{\mathfrak k}_2\geqslant\dots\geqslant{\mathfrak k}_m\geqslant\dotsb\to+0.
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Теорема 2. Собственные числа задачи (2.45) образуют положительную монотонную неограниченную последовательность Соответствующие собственные векторы $\overrightarrow{w}_{(1)},\overrightarrow{w}_{(2)},\dots,\overrightarrow{w}_{(m)}, \ldots\in {\mathfrak H}$ можно подчинить условиям ортогональности и нормировки Доказательство. Достаточно упомянуть, что задача (2.45) эквивалентна абстрактному уравнению
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak K}\overrightarrow{w}={\mathfrak k}\overrightarrow{w} \quad\text{в }\ {\mathfrak H},
\end{equation*}
\notag
$$
а последовательность (2.50) получается инвертированием последовательности (2.49). Отметим, что при $\mu=0$ из формул (2.45) и (2.46) c $\overrightarrow{\psi}=\overrightarrow{w}$ выводим, что
$$
\begin{equation*}
{\mathcal E}^j(w^j,w^j)=0 \quad \Longrightarrow\quad w^j\in{\mathcal P} \quad \Longrightarrow\quad w^j=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала мы применили полиномиальное свойство (1.17), а затем заметили, что ни один полином не попадает в пространство $V^1_0({\mathbb R}^3_-)$: для него расходятся интегралы по полупространству из нормы (2.6) при $\beta=0$.
Теорема доказана. 2.5. Примеры$1^\circ.$ Поверхностные волны. Изложенная схема ставит в соответствие задаче (1.30)–(1.32) о поверхностных волнах в полыньях (см. рис. 2, b) совокупность ($j=1,\dots,J$) задач
$$
\begin{equation}
-\Delta_{\xi^j}w^j(\xi^j)=0, \qquad \xi^j\in{\mathbb R}^3_-,
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w^j}{\partial\xi^j_3}(\xi^{j\prime},0)=0, \qquad \xi^{j\prime} \in{\mathbb R}^2\setminus{\overline{\varpi_j}},
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w^j}{\partial\xi^j_3}(\xi^{j\prime},0)=\mu\biggl(w^j(\xi^{j\prime},0) -\biggl(\sum_{n=1}^J|\varpi_n|\biggr)^{-1}\sum_{n=1}^J \int_{\varpi_k}w^n(\xi^{n\prime},0)\,d\xi^{n\prime} \biggr), \qquad \xi^{j\prime}\in\varpi_j.
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Вариационная формулировка единой задачи (2.52)–(2.54) выглядит так:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \sum_{j=1}^J(\nabla_{\xi^j}w^j,\nabla_{\xi^j}\psi^j)_{{\mathbb R}^3_-}= \mu\sum_{j=1}^J\biggl((w^j,\psi^j)_{\varpi_j}-\sum_{k=1}^J \frac{|\varpi_j|\,|\varpi_k|}{|\varpi_1|+\dots+|\varpi_J|} {\overline{w}}^{k}{\overline{\psi}}^{j}\biggr) \\ \forall \, \overrightarrow{\psi}=(\psi^1,\dots,\psi^J)\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^J. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
При этом ${\overline{w}}^{j}$ – среднее функции $w^j$ на множестве $\omega_j=\varpi_j\times\{0\}$ (ср. (2.42)). Последние суммы по $k=1,\dots,J$ в (2.54) и (2.55) отражают взаимодействие волн на водяной поверхности внутри прорубей в ледяном поле, покрывающем водоем $\Omega$. Вместе с тем, если собственная функция $w^j_\#$ одиночной задачи Стеклова в ${\mathbb R}^3_-$, содержащей соотношения (2.52), (2.53) и
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w^j_\#}{\partial\xi^j_3}(\xi^{j\prime},0)=\mu_\#^jw^j_\#(\xi^{j\prime},0), \qquad \xi^{j\prime}\in\varpi_j,
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
исчезает на бесконечности со скоростью $O(|\xi^j|^{-2})$ (равен нулю коэффициент при $(2\pi|\xi^j|)^{-1}$ в представлении (2.57)), то $\mu_\#^j$ – собственное число задачи (2.55) с собственным вектором ${\overrightarrow{w}}_\#= (\delta_{j,1} w^1_\#,\dots,\delta_{j,J} w^J_\#)$. Первая собственная функция задачи (2.52), (2.53), (2.56), положительная в ${\mathbb R}^3_-$, нужной скоростью затухания не обладает, но при наличии геометрической симметрии главный член асимптотики
$$
\begin{equation}
w^j_\#(\xi^j)=(2\pi|\xi^j|)^{-1}b^j_\# +O(|\xi^j|^{-2}), \qquad |\xi^j|\to+\infty,
\end{equation}
\tag{2.57}
$$
последующих собственных функций действительно может аннулироваться, т.е. $b^j_\#=0$. Например, для круга $\varpi_j=\{\xi^{j\prime}\colon |\xi^{j\prime}|<\mathbf r_j\}$ указанное свойство присуще второй и третьей собственным функциям обычной задачи Стеклова (2.52), (2.53), (2.56), которые можно считать нечетными относительно переменных $\xi^j_1$ и $\xi^j_2$. Даже в случае одной ($J=1$) полыньи предельная задача отличается от обычной задачи Стеклова–Неймана, так как к соотношениям (2.52), (2.53) при $j=1$ присоединяется интегро-дифференциальное спектральное условие
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w^1}{\partial\xi^1_3}(\xi^{1\prime},0)=\mu\biggl(w^1(\xi^{1\prime},0) -\frac{1}{|\varpi_1|}\int_{\varpi_1}w^1(\xi^{1\prime},0)\,d\xi^{1\prime} \biggr), \qquad \xi^{1\prime}\in\varpi_1.
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
При помощи максиминимального принципа (см., например, [3; теорема 10.2.2]) нетрудно убедиться в том, что собственные числа $\mu^\#_m$ и $\mu^\bullet_m$ обычной задачи Стеклова (2.52), (2.53), (2.56) и задачи (2.52), (2.53), (2.58), возмущенной интегральным оператором, находятся в отношении При $J>1$ рассмотрим частный случай $\varpi_1=\dots=\varpi_J$, в котором все проруби имеют одну и ту же форму (например, сделаны одним буравом). Обозначим $\{\mu^\#_1,w^\#_1\}$ и $\{\mu^\bullet_1,w^\bullet_1\}$ первые собственные пары упоминавшихся одиночных задач (2.52), (2.56) и (2.52), (2.58). Непосредственные вычисления показывают, что у связанной задачи (2.52)–(2.54) (или (2.55) в вариационной форме) первые собственные пары выглядят следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\mu^\#_1,(\alpha_1^pw^\#_1(\xi^1),\dots,\alpha_J^pw^\#_1(\xi^J))\bigr\}\in {\mathbb R}_+\times V^1_0({\mathbb R}^3_-)^J, \qquad p=1,\dots,J-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\alpha^p=(\alpha_1^p,\dots,\alpha_J^p)^\top$ и $\alpha^1,\dots,\alpha^{J-1}$ – базис в подпространстве $\{\alpha\in{\mathbb R}^J$: $\alpha_1+\dots+\alpha_j=0\}$. Укажем еще одну собственную пару
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\mu^\bullet_1,(w^\bullet_1(\xi^1),\dots,w^\bullet_J(\xi^J))\bigr\}\in {\mathbb R}_+\times V^1_0({\mathbb R}^3_-)^J,
\end{equation*}
\notag
$$
у которой согласно (2.59) собственное число расположено выше $\mu^\#_1$. Из-за наличия нескольких собственных функций, отвечающих ($J-1$)-кратному собственному числу $\mu^\#_1$, взаимодействие поверхностных волн в прорубях $\omega^\varepsilon_1,\dots,\omega^\varepsilon_j$ становится хаотичным. Иными словами, рассчитывать на проявление эффекта взаимодействия в полном объеме можно разве лишь при разных формах прорубей. $2^\circ.$ Задачи теории упругости. Поскольку вектор $\Theta^jn(P^j)$ является ортом $e^j_{(3)}$ оси $\xi_3^j$ (см. комментарии к формуле (2.1)), в случае проектора (1.36) предельная задача (2.45) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{j=1}^J {\mathcal E}^j(w^j,\psi^j) &=\mu\sum_{j=1}^J \biggl((w^j,\psi^j)_{\varpi_j} \\ \notag &\qquad -\sum_{k=1}^J |\varpi_j|{\overline{\psi}}^{j}_3n(P^j)^\top d(P^j)\mathbf M^{-1} d(P^k)^\top n(P^k){\overline{w}}_3^{k}|\varpi_k|\biggr) \\ &\qquad \forall\, \overrightarrow{\psi}=(\psi^1,\dots,\psi^J)\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{3\times J}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
где фигурирует матрица
$$
\begin{equation*}
\mathbf M=\sum_{j=1}^J |\varpi_j|d(P^j)^\top n(P^j) n(P^j)^\top d(P^j),
\end{equation*}
\notag
$$
имеющая размер $6\times6$ и являющаяся положительно определенной в силу ограничения, наложенного в п. 1.3 на линейную оболочку столбцов (1.39) (см. пример на рис. 3). Для единичного проектора (1.37) правая часть интегрального тождества (2.60) заменяется таким выражением:
$$
\begin{equation*}
\mu\sum_{j=1}^J \biggl((w^j,\psi^j)_{\varpi_j}-\sum_{k=1}^J |\varpi_j| ({\overline{\psi}}^{j})^\top n(P^j)^\top d(P^j)\Theta^j\mathbf M^{-1} (d(P^k)\Theta^k)^\top n(P^k){\overline{w}}^{k}|\varpi_k|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь симметричная ($6\times6$)-матрица становится положительно определенной при наличии среди точек $P^1,\dots,P^J$ трех вершин невырожденного треугольника.
§ 3. Обоснование асимптотики3.1. Теорема о сходимостиВ замечании 4 будет показано, что члены последовательности (1.12) удовлетворяют соотношению
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_m\leqslant C^\unicode{8224}_m\varepsilon^{-1} \quad \text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon_m^\unicode{8224}],
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $m\in{\mathbb N}$, а $C^\unicode{8224}_m$ и $\varepsilon^\unicode{8224}_m$ – некоторые положительные числа. Таким образом, при фиксированном индексе $m$ имеет место сходимость вдоль некоторой бесконечно малой положительной последовательности $\{\varepsilon_m^{(p)}\}_{p\in{\mathbb N}}$. Далее индексы у параметра $\varepsilon$ не пишем для краткости. Ясно, что Цель этого параграфа – подтвердить, что при $m>\mathbf d$ величина $\mu^\bullet_m$ – это собственное число $\mu_{m-\mathbf d}$ из последовательности (2.50) и верна асимптотическая формула (1.14), а также получить информацию о собственных вектор-функциях. Собственную вектор-функцию $u^\varepsilon_{(m)}$, нормированную согласно (1.13), представим как сумму (1.21), ингредиенты $a^\varepsilon_{(m)}\in{\mathbb R}^{\mathbf d}$ и $u^{\varepsilon\bot}_{(m)}\in{\mathcal H}^\varepsilon$ которой удовлетворяют соотношениям (1.22), (1.28) и (1.24)–(1.27) соответственно, т.е., в частности,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|a^\varepsilon_{(m)};{\mathbb R}^{\mathbf d}\|^2\leqslant c\varepsilon^{-1}\bigl( {\mathcal E}(u^\varepsilon_{(m)},u^\varepsilon_{(m)};\Omega)+\varepsilon^{-1} \|{\mathcal Q}u^\varepsilon;L^2(\omega^\varepsilon)\|^2\bigr)\leqslant c\varepsilon^{-1}, \\ \|u^{\varepsilon\bot}_{(m)};H^1(\Omega)\|^2+ \varepsilon^{-1}\|u^{\varepsilon\bot}_{(m)};L^2(\omega^\varepsilon_j)\|^2\leqslant c {\mathcal E}(u^\varepsilon_{(m)},u^\varepsilon_{(m)};\Omega)\leqslant c. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
При этом учтены формулы (1.7) и (1.13). Одномерное неравенство Харди (2.13), примененное в окрестностях точек $P^1,\dots,P^J$, дает весовые оценки
$$
\begin{equation}
\|(\varepsilon+r)^{-1}u^{\varepsilon\bot}_{(m)};L^2(\Omega)\|\leqslant \|r^{-1}u^{\varepsilon\bot}_{(m)};L^2(\Omega)\|\leqslant c\|u^{\varepsilon\bot}_{(m)};H^1(\Omega)\|.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)=\sqrt{\varepsilon}\, \chi_j(x) u^{\varepsilon\bot}_{(m)}(x), \qquad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\chi_j$ – использованные в (2.27) срезающие функции, а в окрестности ${\mathcal V}^j$ введены отличающиеся от $\xi^j=(\xi^{j\prime},\xi^j_3)$ растянутые координаты
$$
\begin{equation}
\eta^j=(\eta^{j\prime},\eta^j_3)=(\varepsilon^{-1}s^j,\varepsilon^{-1}n^j)
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
(ср. п. 1.1 и формулу (2.1)). При этом вектор-функции $w^{\varepsilon 1}_{(m)}, \dots, w^{\varepsilon J}_{(m)}$ из (3.5) определены в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$. Поскольку и выполнены соотношения (2.2), а также простые вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|w^{\varepsilon j}_{(m)};V^1_0({\mathbb R}^3_-)\|^2 &\leqslant \frac{c}{\varepsilon}\,\int_{\Omega\cap{\mathcal V}^j}\bigl(|\nabla_x w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)|^2+\varepsilon^{-2}(1+\varepsilon^{-1}r_j)^{-2} |w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)|^2\bigr)\,dx \\ &\leqslant c\|u^{\varepsilon\bot}_{(m)};H^1(\Omega)\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь приняты во внимание формулы (2.6), $\beta=0$, и (3.3), (3.4). Таким образом, имеют место сходимости
$$
\begin{equation}
\sqrt{\varepsilon}a^\varepsilon_{(m)}\to a^\bullet_{(m)} \quad\text{в }\ {\mathbb R}^{\mathbf d},
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
w^{\varepsilon j}_{(m)}\to w^{\bullet j}_{(m)} \quad\text{слабо в }\ V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K \text{ и сильно в } L^2(\varpi_j)^K.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Итак, взяв пробную вектор-функцию $\psi^j\in C^\infty_c({\mathbb R}^3_-)^K$, умножим интегральное тождество (1.5) на $\varepsilon^{-1/2}$, сделаем подстановки (1.14) и (1.21), заметим, что $u^{\varepsilon\bot}_{(m)}= \varepsilon^{-1/2}w^{\varepsilon j}_{(m)}$ на множестве $\operatorname{supp}\psi^j\cap\Omega$, и перейдем к пределу при $\varepsilon\to+0$. При учете сходимостей (3.10), (3.9) и неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl|\varepsilon\nabla_{x^j}w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)- \nabla_{\eta^j}w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)\bigr|\leqslant cr_j| \nabla_{\eta^j}w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)|, \\ \bigl|{\mathcal Q}(x)w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)- {\mathcal Q}(P^j)w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)\bigr|\leqslant cr_j|w^{\varepsilon j}_{(m)}(\eta^j)| \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
находим, что пределом служит интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\bigl({\mathcal A}{\mathcal D}^j(\nabla_{x^j})w^{\bullet j}_{(m)}, {\mathcal D}^j(\nabla_{x^j})\psi^j\bigr)_{{\mathbb R}^3_-}= \mu^\bullet_j\bigl(w^{\bullet j}_{(m)}+\mathbf p(P^j)a^\bullet_{(m)} , {\mathcal Q}(P^j)\psi^j\bigr)_{\varpi_j}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Теперь укажем, что аналогичный предельный переход в условиях ортогональности (1.13) с $u^\varepsilon_{(n)}=\mathbf p^n$ при $n=1,\dots,\mathbf d$ приводит в силу (1.7) и (3.9), (3.10) к равенствам
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^J\bigl(w^{\bullet j}_{(m)}+\mathbf p(P^j)a^\bullet_{(m)},{\mathcal Q}(P^j) \mathbf p^n(P^j)\bigr)_{\varpi_j}=0, \qquad n=1,\dots,\mathbf d.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Кроме того, благодаря сильной сходимости (3.10) условие нормировки (1.13) для $u^\varepsilon_{(m)}$ в пределе обеспечивает формулу
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^J\bigl({\mathcal Q}(P^j)(w^{\bullet j}_{(m)}+\mathbf p(P^j)a^\bullet_{(m)}), w^{\bullet j}_{(m)}+\mathbf p(P^j)a^\bullet_{(m)}\bigr)_{\varpi_j}=1.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В силу определений (2.42), (2.43) и (2.47) выводим из системы (3.12) аналогичное (2.44) соотношение
$$
\begin{equation*}
a^\bullet_{(m)} =-\mathbf M^{-1}\sum_{k=1}^J|\varpi_k|\mathbf p(P^k)^\top {\mathcal Q}(P^k){\overline{w}}^{\bullet j}_{(m)},
\end{equation*}
\notag
$$
которое превращает сумму интегральных тождеств (3.11) в предельную задачу (2.45) и формулу (3.13) – в условие нормировки (2.51). Итак, установлено следующее утверждение. Теорема 3. Для любого $m>\mathbf d$ предельные переходы (3.2) и (3.10) предоставляют собственную пару $\bigl\{\mu^\bullet_m,{\overrightarrow{w}}^{\bullet}_{(m)}\bigr\} \in{\mathbb R}_+\times V^1_0({\mathbb R}_-^3)^{K\times J}$ задачи (2.45), причем собственный вектор ${\overrightarrow{w}}^{\bullet}_{(m)}=(w^{\bullet 1}_{(m)}, \dots,w^{\bullet J}_{(m)})$ подчинен условию нормировки (2.51). 3.2. Асимптотические приближения к собственной пареВ этом пункте будет применено следующее утверждение, известное как лемма о “почти собственных” числе и векторе (см. первоисточник [37]) и обеспеченное спектральным разложением резольвенты (см., например, [3; гл. 6]). Используем обозначения из п. 1.1. Лемма 4. Пусть $\mathbf u^\varepsilon\in{\mathcal H}^\varepsilon$ и $\mathbf k^\varepsilon\in{\mathbb R}_+$ таковы, что Пусть $\mu_m$ – собственное число задачи (2.45) с кратностью $\varkappa_m$, т.е.
$$
\begin{equation}
\mu_{m-1}<\mu_m=\dots=\mu_{m+\varkappa_m-1}<\mu_{m+\varkappa_m}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
В качестве почти собственных чисел возьмем $\varkappa_m$ экземпляров величины а почти собственные векторы определим формулами
$$
\begin{equation}
\mathbf u^\varepsilon_{(q)}=\|\mathbf v^\varepsilon_{(q)};{\mathcal H}^\varepsilon\|^{-1} \mathbf v^\varepsilon_{(q)}, \qquad q=m,\dots,m+\varkappa_m-1,
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf v^\varepsilon_{(q)}(x)=\mathbf p(x)\mathbf a_{(q)}+\sum_{j=1}^J \chi_j(x)w^j_{(q)}(\eta^j)+\varepsilon{\widehat{v}}_{(q)}(x).
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Здесь ${\overrightarrow{w}}_{(q)}=(w^1_{(q)},\dots,w^J_{(q)})$ – собственные векторы предельной задачи (2.45), отвечающие ее собственному числу $\mu_m$ и подчиненные соотношениям (2.51), и ${\widehat{v}}_{(q)}\in V^1_\beta(\Omega)^K$ – решения задач (2.30), в которых $f=0$, $g=0$, а $b^j=b^j_{(q)}$ – столбцы коэффициентов в разложениях (2.9) вектор-функций $w^j_{(q)}$. Подчеркнем, что $\beta$ – любой показатель из интервала (2.8), а условия разрешимости (2.30) задачи для ${\widehat{v}}_{(q)}$ выполнены согласно построениям из п. 2.3, причем произвол в выборе ее решения устранен условиями ортогональности (2.26). Лемма 5. Для вектор-функций (3.20) верны оценки где $p,q=m,\dots,m+\varkappa_m-1$, $\beta\in(-1/2,1/2)$, $\varepsilon\in(0,\varepsilon_m(\beta)]$, а $\varepsilon_m(\beta)$ и $c_m(\beta)$ – некоторые положительные числа. Доказательство. Как уже пояснялось, при замене координат $x^j\mapsto\eta^j$ искривленность поверхности $\partial\Omega$ привносит в скалярные произведения малые искажения. Поэтому при учете формул (2.2) и (3.7), (3.8) получаем соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal E}(\chi_jw^j_{(p)},\chi_jw^j_{(q)};\Omega)=\varepsilon {\mathcal E}^j(w^j_{(p)},w^j_{(q)})+O(\varepsilon^2), \qquad {\mathcal E}(\mathbf p\mathbf a_{(p)},\mathbf v^\varepsilon_{(q)};\Omega)=0, \\ |{\mathcal E}(\varepsilon{\widehat{v}}_{(p)},\mathbf v^\varepsilon_{(q)};\Omega)| \leqslant c\varepsilon \|{\widehat{v}}_{(p)};V^1_{-\beta}(\Omega)\|\, \|\mathbf v^\varepsilon_{(q)};V^1_\beta(\Omega)\|\leqslant C\varepsilon\varepsilon^{\beta+1/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом учтено, что оба показателя, $\beta$ и $-\beta$, попадают на интервал $(-1/2,1/2)$ и использованы неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\chi_jw^j_{(p)};V^1_\beta(\Omega)\|^2\leqslant c\varepsilon^{1+2\beta} \|\eta^j\mapsto\chi_j(x)w^j_{(p)}(\eta^j);V^1_\beta({\mathbb R}^3_-)\|^2\leqslant C\varepsilon^{1+2\beta}, \\ |w^j_{(p)}(\eta^j)|\leqslant c_p|\eta^j|^{-1}\leqslant C_p\varepsilon \quad\text{при }\ x\in \sigma_j=\operatorname{supp}|\nabla_x\chi_j|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а также тот факт, что ${\mathcal D}(\nabla_x)\mathbf p^\ell=0$ (см. (1.18)). По тем же причинам имеем
$$
\begin{equation*}
({\mathcal Q}\mathbf v^\varepsilon_{(p)},\mathbf v^\varepsilon_{(q)})_{\omega^\varepsilon_j} =\varepsilon^2\bigl({\mathcal Q}(P^j)(w^j_{(p)}+\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(p)}),\, w^j_{(q)}+\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(q)}\bigr)_{\varpi_j}+O(\varepsilon^3).
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря выражениям (4.4) и интегральному тождеству (2.45) приведенные соотношения дают нужные оценки (3.21).
Проверка леммы закончена. 3.3. Обработка невязокОценим величины $\delta_q$, найденные согласно второй формуле (3.14) по вектор-функциям (3.19). В силу определений (1.7) и (1.8) обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \delta_q &=\sup\bigl|\langle{\mathcal K}^\varepsilon\mathbf u^\varepsilon_{(q)}- \mathbf k^\varepsilon_m\mathbf u^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon \rangle_\varepsilon\bigr| \\ \notag &=\|\mathbf v^\varepsilon_{(q)};{\mathcal H}^\varepsilon\|^{-1} \mathbf k^\varepsilon_m\sup\bigl|\varepsilon^{-1}(1+\mu_m)({\mathcal Q} \mathbf v^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon} \\ \notag &\qquad -{\mathcal E}^\varepsilon(\mathbf v^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon;\Omega)-\varepsilon^{-1}({\mathcal Q} \mathbf v^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}\bigr| \\ &=\|\mathbf v^\varepsilon_{(q)};{\mathcal H}^\varepsilon\|^{-1} \mathbf k^\varepsilon_m\sup\bigl| {\mathcal E}^\varepsilon(\mathbf v^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon ;\Omega)-\varepsilon^{-1}\mu_m({\mathcal Q} \mathbf v^\varepsilon_{(q)},\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}\bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Здесь супремум вычисляется по единичному шару в пространстве ${\mathcal H}^\varepsilon$, т.е. $\|\psi;{\mathcal H}^\varepsilon\|\leqslant1$, а значит, проведенные при проверке леммы 1 вычисления предоставляют следующие оценки (ср. (1.25), (1.27) и (1.29)) для ингредиентов $\alpha^\varepsilon$ и $\psi^{\varepsilon\bot}$ представления (1.21) пробной вектор-функции $\psi^\varepsilon$:
$$
\begin{equation}
\|\psi^{\varepsilon\bot};H^1(\Omega)\|+ \varepsilon^{-1/2}\|\psi^{\varepsilon\bot};L^2(\omega^\varepsilon)\|\leqslant C, \qquad \|\alpha^\varepsilon;{\mathbb R}^{\mathbf d}\|\leqslant C\varepsilon^{-1/2}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Ближайшая цель – обработать выражение ${\mathcal J}^\varepsilon(\psi^\varepsilon)$ между последними знаками модуля в (3.22), а именно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal J}^\varepsilon(\psi^\varepsilon) &=\sum_{j=1}^J\biggl( {\mathcal E}(\chi_j w^j_{(q)},\psi^\varepsilon;\Omega)-\frac{\mu_m}{\varepsilon} ({\mathcal Q}(w^j_{(q)}+\mathbf p\mathbf a_{(q)}),\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon_j} \biggr) \\ &\qquad+\varepsilon{\mathcal E}({\widehat{v}}_{(q)},\psi^\varepsilon;\Omega) +\mu_m({\mathcal Q}{\widehat{v}}_{(q)},\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Члены первой суммы
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(\chi_jw^j_{(q)},\psi^\varepsilon;\Omega)-\varepsilon^{-1}\mu_m\bigl( {\mathcal Q}(w^j_{(q)}+\mathbf p\mathbf a_{(q)}),\psi^\varepsilon\bigr)_{\omega^\varepsilon_j}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
преобразуем следующим образом. Сначала перенесем срезку $\chi_j$ от $w^j_{(q)}$ к $\psi^\varepsilon$. Затем перейдем к криволинейным координатам $s^j$ и $\eta^j$, после чего заморозим коэффициенты в точке $P^j$ и оценим возникшие погрешности для того, чтобы получить интегральное тождество (2.33) с пробной вектор-функцией $\chi_j\psi^\varepsilon$, а также (2.37) для ${\widehat{v}}_{(q)}$. Наконец, примем во внимание, что $\bigl\{\mu_m,{\overrightarrow{w}}_{(q)}\bigr\}$ – собственная пара задачи (2.45) и, что важно, столбец $\mathbf a_{(q)}$ найден по формуле (4.4). В первую очередь запишем неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl| {\mathcal E}(\chi_jw^j_{(q)},\psi^{\varepsilon\bot};\Omega)- {\mathcal E}( w^j_{(q)},\chi_j\psi^{\varepsilon\bot};\Omega) \\ \notag &\ \ \qquad +({\mathcal A}({\mathcal D}(\nabla_x) \chi_j)\Phi^jb^j_{(q)}, {\mathcal D}(\nabla_x)\psi^{\varepsilon\bot};\Omega) -({\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)\Phi^jb^j_{(q)}, ({\mathcal D}(\nabla_x) \chi_j)\psi^{\varepsilon\bot};\Omega)\bigr| \\ \notag &\ \ =\bigl|\bigl({\mathcal A}({\mathcal D}(\nabla_x)\chi_j){\widetilde{w}}^{j}_{(q)}, {\mathcal D}(\nabla_x)\psi^{\varepsilon\bot}\bigr)_\Omega- ({\mathcal A}({\mathcal D}(\nabla_x){\widetilde{w}}^{j}_{(q)},( {\mathcal D}(\nabla_x)\chi_j)\psi^{\varepsilon\bot})_\Omega\bigr| \\ &\ \ \leqslant c\Bigl(\sup_{x\in\sigma_j} |{\widetilde{w}}^{j}_{(q)}(\eta^j)|+\varepsilon^{-1}\sup_{x\in\sigma_j} |\nabla_{\eta^j}{\widetilde{w}}^{j}_{(q)}(\eta^j)| \Bigr)\|\psi^{\varepsilon\bot};H^1(\Omega)\| \leqslant c\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Здесь помимо первого соотношения (3.23) учтены скорости $O(\rho_j^{-2})$ и $O(\rho_j^{-3})$ затухания остатка ${\widetilde{w}}^{j}_{(q)}(\eta^j)$ и его градиента (см. замечание 3): на носителе $\sigma_j={\operatorname{supp}}|\nabla_x\chi_j|$ матрицы-функции ${\mathcal D}(\nabla_x)\chi_j$, удаленном от точки $P^j$, эти бесконечно малые превращаются в $O(\varepsilon^2)$ и $O(\varepsilon^3)$ соответственно. Кроме того, в силу соотношений (2.2) и (3.8) замена координат $\eta^j\mapsto \xi^j$, обеспечивающая спрямление границы, приводит к погрешностям $O(r_j)$, которые благодаря затуханию вектор-функции $w^j_{(q)}$ на бесконечности становятся бесконечно малыми $O(\varepsilon)$. Сохранив обозначения $w^j_{(q)}$ и $\chi_j\psi^{\varepsilon\bot}$ после перезаписи в новых координатах, обнаруживаем, что
$$
\begin{equation}
\bigl|{\mathcal E}( w^j_{(q)},\chi_j\psi^{\varepsilon\bot};\Omega)- \varepsilon{\mathcal E}^j( w^j_{(q)},\chi_j\psi^{\varepsilon\bot})\bigr| \leqslant c\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Во-вторых, аналогичные действия с третьим и четвертым слагаемыми между знаками модуля в правой части формулы (3.26) при учете соотношения (2.36) показывают, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl|({\mathcal A}({\mathcal D}(\nabla_x) \chi_j)\Phi^jb^j_{(q)}, {\mathcal D}(\nabla_x)\psi^{\varepsilon\bot};\Omega) \\ &\qquad\qquad -({\mathcal A}{\mathcal D}(\nabla_x)\Phi^jb^j_{(q)},({\mathcal D} (\nabla_x) \chi_j)\psi^{\varepsilon\bot};\Omega) -\varepsilon{\mathcal F}^j (\psi^{\varepsilon\bot})\bigr| \leqslant c\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Таким образом, благодаря интегральному тождеству (2.37) и формулам (2.38) последнее вычитаемое в (3.28) совпадает со слагаемым ${\mathcal E}({\widehat{v}}_{(q)},\psi^\varepsilon; \Omega)$ из (3.24), т.е. они вместе исчезают из выражения ${\mathcal J}^\varepsilon(\psi^\varepsilon)$. Осталось заметить, что ${\widehat{v}}_{(q)}\in H^2(\Omega)^K$, и при помощи неравенств (3.23) вывести оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mu_m\bigl|({\mathcal Q}{\widehat{v}}_{(q)},\psi^{\varepsilon\bot}+ \mathbf p\alpha^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}\bigr| \\ &\qquad \leqslant c|\omega^\varepsilon|^{1/2} \max_{x\in\partial\Omega}|{\widehat{v}}_{(q)}(x)|\,\bigl(\|\psi^{\varepsilon\bot} ;L^2(\omega^\varepsilon)\|+|\omega^\varepsilon|^{1/2}|\alpha^\varepsilon|\bigr) \leqslant c\varepsilon^{3/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Наихудшая (по сравнению с (3.26)–(3.28)) мажоранта возникла в (3.29); в п. 4.2 будет пояснено, что последнее слагаемое из формулы (3.24) принимает участие в формировании поправочного слагаемого $\varepsilon\mu'$ в асимптотическом анзаце (1.14) для собственного числа задачи (1.5). Подведем итог. В силу формул (3.21) и (3.18) множители при последнем cупремуме в (3.22) не превосходят $c_m\varepsilon^{-1/2}\varepsilon=c_m\varepsilon^{1/2}$, а значит, установлены неравенства
$$
\begin{equation*}
\delta_q\leqslant C_m\varepsilon^{1/2}\varepsilon^{3/2}=C_m \varepsilon^2, \qquad q=m,\dots,m+\varkappa_m-1,
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторым множителем $C_m$. Теперь согласно лемме 4 в $C_m\varepsilon^2$-окрестности точки (3.18) найдутся собственные числа $\kappa^\varepsilon_{Q^\varepsilon_m(m)}, \dots, \kappa^\varepsilon_{Q^\varepsilon_m(m+\varkappa_m-1)}$ оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$, т.е. для них выполнены соотношения
$$
\begin{equation}
|\mathbf k^\varepsilon_m-\kappa^\varepsilon_{Q^\varepsilon_m(q)}|\leqslant C_m\varepsilon^2, \qquad q=m,\dots,m+\varkappa_m-1.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
3.4. Теорема об асимптотике собственных чиселСначала проверим, что найденные собственные числа различны. С этой целью воспользуемся второй частью леммы 4 и возьмем в ней $\delta_\ast=\tau C_m\varepsilon^2$, где $\tau>0$ – параметр, который сначала подчиним простому условию $\tau>1$, но далее зафиксируем достаточно большим. Проверим, что количество $\mathbf X^\varepsilon$ собственных чисел оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$ на сегменте
$$
\begin{equation*}
[\mathbf k^\varepsilon_m-\tau C_m\varepsilon^2,\mathbf k^\varepsilon_m+\tau C_m\varepsilon^2]
\end{equation*}
\notag
$$
не меньше $\varkappa_m$. Обозначим через $\Sigma_{(q)}^\varepsilon$ суммы по $l=\mathbf N^\varepsilon,\dots, \mathbf N^\varepsilon+\mathbf X^\varepsilon-1$ из первой формулы (3.16), а через $\mathbf C^\varepsilon_{(q)}$ – соответствующие ортонормированные столбцы коэффициентов линейных комбинаций собственных векторов ${\mathcal U}^\varepsilon_{\mathbf N^\varepsilon}, \dots, {\mathcal U}^\varepsilon_{\mathbf N^\varepsilon+\mathbf X^\varepsilon-1}$. В силу условий (1.13), а также неравенств (3.16) и (3.21) получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|(\mathbf C^\varepsilon_{(p)})^\top \mathbf C^\varepsilon_{(q)}- \delta_{p,q}|= |\langle(\Sigma^\varepsilon_{(q)},\Sigma^\varepsilon_{(p)}\rangle_\varepsilon- \delta_{p,q}| \\ \notag &\qquad\leqslant|\langle \Sigma^\varepsilon_{(q)}-\mathbf u^\varepsilon_{(q)}, \Sigma^\varepsilon_{(q)}\rangle_\varepsilon| +|\langle\mathbf u^\varepsilon_{(q)},\Sigma^\varepsilon_{(p)}-\mathbf u^\varepsilon_{(p)}\rangle_\varepsilon| +|\langle\mathbf u^\varepsilon_{(q)},\mathbf u^\varepsilon_{(p)}\rangle_\varepsilon- \delta_{p,q}| \\ &\qquad \leqslant4\tau^{-1}+c_m\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
которое при малом $\varepsilon$ и большом $\tau$ означает, что столбцы $\mathbf C^\varepsilon_{(m)},\dots, \mathbf C^\varepsilon_{(m+\varkappa_m-1)} \in{\mathbb R}^{\mathbf X^\varepsilon}$ “почти ортонормированы”, что возможно лишь в случае $\mathbf X^\varepsilon\geqslant\varkappa_m$. Таким образом, зафиксировав подходящее $\tau>1$, можно считать, что в формуле (3.30), где произведена замена фигурируют собственные числа $\kappa^\varepsilon_{Q^\varepsilon_m}, \dots,\kappa^\varepsilon_{Q^\varepsilon_m+\varkappa_m-1}$ с некоторым начальным номером $Q_m$. Далее в (3.30) увеличиваем множитель $C_m$ согласно (3.32). Замечание 4. Для каждого члена $\mu_m$ последовательности (3.30), подчиненного условию (3.17), при $\varepsilon\in(0,\varepsilon_m]$ с некоторым $\varepsilon_m>0$ найдены не менее $\varkappa_m$ собственных чисел оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$ в окрестности точки $(1+\mu_m)^{-1}$. Таким образом, в случае $\varepsilon\leqslant \min\{\varkappa_1,\dots,\varkappa_m\}$ на сегменте $[\varepsilon(1+m_m)^{-1}-C_m\varepsilon^2,1]$ обнаружены не менее $\mathbf d+m+\varkappa_m-1$ членов последовательности (1.9), а значит, $\kappa^\varepsilon_m\geqslant c_m\varepsilon$. Кроме того, для $q=m,\dots,m+\varkappa_m-1$ при помощи формул (1.11), (3.18) и (3.30) выводим, что Теорема 4. Для каждого $m\in{\mathbb N}$ найдутся такие положительные величины $\varepsilon_m$ и $c_m$, что при $\varepsilon\in(0,\varepsilon_m]$ члены последовательностей (1.12) и (2.50) собственных чисел задач (1.5) и (2.45) соответственно связаны соотношениями Доказательство. Осталось убедиться в том, что $Q^\varepsilon_m=m\,{+}\,\mathbf d$ при малом $\varepsilon$. В замечании 4 упоминалось, что $Q^\varepsilon_m\geqslant m\,{+}\,\mathbf d$. Предположим, что $Q^{\varepsilon_{mk}}_m>m\,{+}\,\mathbf d$ для некоторой бесконечно малой положительной последовательности $\{\varepsilon_{mk}\}_{k\in{\mathbb N}}$. Тогда на полуинтервале $(0,\varepsilon^{-1}(\mu_m+\delta)]$, где $\delta>0$ и $\mu_m+\delta<\mu_{m+\varkappa_m}$, найдется собственное число $\lambda^{\varepsilon_{mk}}_{N_{mk}^\varepsilon}$, у которого собственная вектор-функция $u^{\varepsilon_{mk}}_{N_{mk}^\varepsilon}$ удовлетворяет равенствам $({\mathcal Q}u^{\varepsilon_{mk}}_{N_{mk}^\varepsilon}, u^{\varepsilon_{mk}}_\ell)_{\omega^\varepsilon}=0$, причем индекс $\ell$ принимает $m+\varkappa_m-1$ разных значений. По теореме 3 пределы (3.2) и (3.9), (3.10) определяют собственную пару $\{\mu^\bullet,{\overrightarrow{w}}^\bullet\}$ задачи (2.45), причем сильная сходимость в пространстве $L^2(\omega^\varepsilon)^K$ приводит к нелепому выводу: собственный вектор ${\overrightarrow{w}}^{\bullet}$, нормированный согласно условиям (2.51) и отвечающий собственному числу $\mu^\bullet<\mu_{m+\varkappa_m}$, ортогонален в том же смысле собственным векторам задачи (2.45) в количестве $m+\varkappa_m-1$ штук.
Теорема доказана. 3.5. Асимптотика собственных вектор-функцийСначала рассмотрим простое собственное число $\mu_m$ задачи (2.45), т.е. $\varkappa_m=1$ в формуле (3.17). Теорема 5. Пусть $\mu_m$ – простое собственное число задачи (2.45), а $\overrightarrow{w}_{(m)}$ – соответствующий собственный вектор, подчиненный условию нормировки (2.51). Тогда собственное число $\lambda^\varepsilon_{\mathbf d+m}$ задачи (1.5) простое, а для соответствующей собственной вектор-функции $u^\varepsilon_{(\mathbf d+m)}$, удовлетворяющей условию нормировки (1.13), выполнено неравенство Доказательство. Воспользуемся второй частью леммы 4, в которой величину $\delta_\ast=\varepsilon\tau$ выберем так, чтобы сегмент $[\mathbf k^\varepsilon_m\,{-}\,\varepsilon\tau,\mathbf k^\varepsilon_m\,{+}\,\varepsilon\tau]$ содержал собственное число $\kappa^\varepsilon_m$ оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$, но не числа $\kappa^\varepsilon_{m\pm1}$ – это можно сделать при достаточно малом $\varepsilon>0$ благодаря теореме 4. В результате обнаруживаем, что $\mathbf N^\varepsilon=m$ и $\mathbf X^\varepsilon=1$, а первое неравенство (3.16) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf u_{(m)}^\varepsilon-\mathbf c^\varepsilon_mu^\varepsilon_{(\mathbf d+m)}; {\mathcal H}^\varepsilon\| \leqslant C_m\tau^{-1}\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $|\mathbf c^\varepsilon_m|=1$, т.е. можно считать, что $\mathbf c^\varepsilon_m=1$. Вспомним формулу (3.19) и соотношение
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf v^\varepsilon_{(m)};{\mathcal H}^\varepsilon\|^2 =\varepsilon(1+\mu_m)+O(\varepsilon^{\beta+3/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
обеспеченное леммой 5, и придем к неравенству (3.35).
Теорема доказана. Замечание 5. Согласно определению (1.7) скалярного произведения в пространстве ${\mathcal H}^\varepsilon$ соответствующие нормы слагаемых $\mathbf p(x)\mathbf a_{(m)}$ и $\chi_j(x)w^j_{(m)}(\eta^j)$ в асимптотической конструкции $\mathbf v^\varepsilon_{(m)}(x)$ приобретают порядок $\sqrt{\varepsilon}$, а норма слагаемого $\varepsilon{\widehat{v}}_{(m)}(x)$ – порядок $\varepsilon$. Поэтому из формулы (3.19) можно удалить последний член $\varepsilon{\widehat{v}}_{(m)}$, заменив мажоранту в неравенстве (3.35) величиной $C'_m\sqrt{\varepsilon}$. В случае $\varkappa_m$-кратного собственного числа $\mu_m$ ход рассуждений остается прежним, однако финальная асимптотическая формула становится не столь явной, так как базис в соответствующем корневом подпространстве задачи (2.45) определен неоднозначно (ср. конец п. 4.2). Приведем асимптотические формулы для набора собственных вектор-функций задачи (1.5). Теорема 6. Пусть $\mu_m$ – собственное число задачи (2.45) из соотношения (3.17), а собственные векторы $\overrightarrow{w}_{(m)},\dots,\overrightarrow{w}_{(m+\varkappa_m-1)}$ подчинены условиям ортогональности и нормировки (2.51). Тогда найдутся такие коэффициенты $\mathbf a^{\varepsilon\ell}_q$, образующие ортогональную ($\varkappa_m\times\varkappa_m$)-матрицу $\mathbf a^\varepsilon$, что для собственных вектор-функций $u^\varepsilon_{\mathbf d+m},\dots,u^\varepsilon_{\mathbf d+m +\varkappa_m-1}$ задачи (1.5), удовлетворяющих соотношениям (1.13), выполнены неравенства Доказательство. Проверка оценок (3.36) производится следующим образом: лемма 4 предоставляет столбцы $\mathbf c^{\varepsilon\ell}= (\mathbf c^{\varepsilon\ell}_m, \dots,\mathbf c^{\varepsilon\ell}_{m+\varkappa_m-1})^\top$, обеспечивающие соотношения (3.16) для вектор-функций $\mathbf u^\varepsilon_{(\ell)}$, $\ell=m,\dots,m+\varkappa_m-1$, из (3.19), выкладка (3.31) показывает, что ($\varkappa_m\times\varkappa_m$)-матрица $\mathbf c^\varepsilon=(\mathbf c^{\varepsilon m}, \dots, \mathbf c^{\varepsilon m+\varkappa_m-1})$ оказывается “почти ортогональной” и, наконец, лемма 7.1.7 из [9] позволяет превратить обратную матрицу $(\mathbf c^\varepsilon)^{-1}$ в ортогональную матрицу $\mathbf a^\varepsilon$ коэффициентов линейных комбинаций из финальной формулы (3.36).
Теорема доказана. § 4. Варианты, обобщения и открытые вопросы4.1. Сознательно упущенные возможности$1^\circ.$ Граница. Поскольку мы оперировали обобщенной постановкой (2.25) задачи (2.18), (2.19) в области $\Omega$, поверхность $\partial \Omega$ может быть кусочно гладкой или даже липшицевой (ср. рис. 2, b, и рис. 3), и только вблизи точек $P^1,\dots,P^J$ ее гладкость требуется для того, чтобы предельная система (2.4) была поставлена в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$. Вместе с тем точки $P^j$ могут быть коническими или лежать на гладком ребре – в этом случае предельные задачи (2.4), (2.5) формируются на конусе ${\mathbb K}^j$ или двугранном угле ${\mathbb D}^j$ (частный случай конуса с негладкой образующей), а множество $\varpi_j$ расположено на поверхности $\partial{\mathbb K}^j$ или $\partial {\mathbb D}^j$. Результаты из [6; § 2, п. 1 и § 5, п. 3] по-прежнему обеспечивают представление (2.9), однако скорость затухания остатка ${\widetilde{w}}^{j}$ в нем зависит от раствора конуса или двугранного угла, что, разумеется, сказывается на оценках асимптотических остатков в теоремах 4 и 5, 6. Подчеркнем, что в абсолютном большинстве публикаций считается, что граница уплощена около малых сингулярных возмущений краевых условий – это ограничение упрощает как схему обоснования асимптотики, так и сам асимптотический анализ (см., в частности, п. 4.2). $2^\circ.$ Коэффициенты дифференциальных операторов. Можно было бы иметь дело с матрицей-функцией $x\mapsto{\mathcal A}(x)$ при сохранении ее свойств всюду в $\overline \Omega$. Разумеется, элементы этой матрицы должны обладать подходящей гладкостью – при построении главного члена асимптотики достаточен класс $C^2$. Более того, в определении оператора
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}(x,\nabla_x)={\overline{{\mathcal D}(-\nabla_x)}}^\top {\mathcal A}(x){\mathcal D}(\nabla_x)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и всех других дифференциальных операторов в качестве ${\mathcal A}(x)$ дозволено выступать эрмитовой положительно определенной матрице, а коэффициенты дифференциального выражения ${\mathcal D}(\nabla_x)$ можно считать комплексными, обозначив в (4.1) комплексное сопряжение чертой. Вместе с тем подобные простые обобщения не нужны для приложений, упомянутых в п. 1.3, и потому избыточны. $3^\circ.$ Размерность пространства. При $d>3$ все рассуждения, вычисления и результаты сохраняются в целом для области $\Omega\subset{\mathbb R}^d$ с ($d-1$)-мерной границей (в случае подмногообразий с размерностью $d'\leqslant d-2$ возможны серьезные отклонения; ср. исследование [25]). Мы ограничились рассмотрением случая $d=3$ для укорочения выкладок и формул, а также, как и ранее, для согласования с прикладными задачами из п. 1.3. Асимптотические конструкции в двумерных задачах существенно отличаются от представленных в настоящей работе из-за присутствия логарифма в матрице (функции) Грина для задачи Неймана. Для скалярной задачи о поверхностных волнах (ср. п. 1.3, $1^\circ$ и п. 2.5, $1^\circ$) надлежащий асимптотический анализ представлен в статье [26]. Подчеркнем, что для плоской области эффект взаимодействия малых зон сингулярных возмущений исчезает в главном, но проявляется в основной асимптотической поправке порядка $|{\ln \varepsilon}|^{-1}$. $4^\circ.$ Порядки дифференциальных операторов. Из-за нового выражения для матрицы (функции) Грина алгоритм построения асимптотики в случае дифференциальных операторов высших порядков претерпевает существенные изменения, а его описание для общей формально самосопряженной эллиптической по Дуглису–Ниренбергу системы дифференциальных уравнений становится излишне громоздким. Простейший пример – бигармоническое уравнение – разобран в п. 4.6, где и обсуждаются необходимые нововведения, в частности, неожиданным обстоятельством оказывается то, что постоянные и функция Грина меняются ролями в асимптотических процедурах. 4.2. Полные асимптотические разложенияПри простом собственном числе $\mu_m$ (т.е. $\varkappa_m=1$ в формуле (3.17)) нетрудно построить бесконечные асимптотические ряды для собственной пары $\{\lambda^\varepsilon_{\mathbf d+m},u^\varepsilon_{(\mathbf d+m)}\}$ задачи (1.5) – нужные итерационные процессы подготовлены в [38; гл. 4 и 9, 10]. Покажем, как вычисляются основные поправочные члены в анзацах
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_{\mathbf d+m}=\varepsilon^{-1}\mu_m+\mu'_m+\dotsb,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} u^\varepsilon_{(\mathbf d+m)}(x) &=\sum_{j=1}^J\chi_j(x)\bigl(w^j_{(m)}(\eta^j)+\varepsilon w^{j\prime}_{(m)}(\eta^j)\bigr) +\mathbf p(x)(\mathbf a_{(m)}+\varepsilon \mathbf a_{(m)}') \\ &\qquad +\varepsilon{\widehat{v}}_{(m)}(x)+\varepsilon^2{\widehat{v}}_{(m)}'(x)+\cdots, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\mu'_m\in{\mathbb R}$, ${\widehat{a}}_{(m)}\in{\mathbb R}^{\mathbf d}$ и ${\widehat{v}}'_{(m)}\in H^2(\Omega)^K$ подлежат определению, а $\mathbf a_{(m)}$ и $\mathbf a_{(m)}'$ связаны с $\overrightarrow{w}_{(m)}$ и $\overrightarrow{w}_{(m)}'$ формулой (2.44), т.е. имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathbf a_{(q)}=-\mathbf M^{-1}\sum_{j=1}^J|\varpi_j|\mathbf p(P^j){\mathcal Q}(P^j) {\overline{w}}^{j}_{(q)}, \qquad \mathbf a_{(q)}'=-\mathbf M^{-1}\sum_{j=1}^J|\varpi_j|\mathbf p(P^j){\mathcal Q}(P^j) {\overline{w}}^{j\prime}_{(q)}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Наконец, ${\widehat{v}}_{(m)}$ – решение задачи (2.27) при $f=0$ и $g=0$, подчиненное условиям ортогональности (2.26). Для упрощения выкладок предположим, что участки $\partial\Omega\cap{\mathcal V}^j$ границы области $\Omega$ плоские, в частности, координаты (3.6) и (2.1) совпадают. Кроме того, считаем, что сужение проектора $\mathcal Q$ на участок $\partial\Omega\cap{\mathcal V}^j$ – постоянная ортогональная матрица ${\mathcal Q}(P^j)$. Изменения, нужные при отказе от перечисленных упрощений, можно найти, например, в [38; гл. 4]. Подставим анзацы (4.2) и (4.3) в задачу (1.2)–(1.4) и соберем слагаемые, записанные в растянутых координатах (2.1), а также следы на $\varpi^\varepsilon_j$ членов гладкого типа. Поскольку $\{\mu_m,\overrightarrow{w}_{(m)}\}$ – собственная пара задачи (2.45) и столбец $\mathbf a_{(m)}$ построен согласно формуле (2.44) по вектору $({\overline{w}}_{(m)}^{1},\dots,{\overline{w}}_{(m)}^{J}) \in{\mathbb R}^{K\times J}$, слагаемые порядка $\varepsilon^{-1}$ в краевом условии (1.4) взаимно уничтожаются, а слагаемые порядка $\varepsilon^0=1$ формируют соотношение3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})w^{j\prime}_{(m)}(\xi^{j\prime},0)- \mu_m \mathcal Q (P^j)\bigl(w^{j\prime}_{(m)}(\xi^{j\prime},0) +\mathbf p(P^j)\mathbf a'_{(m)}\bigr) \\ &\qquad =\mu_m \mathcal Q(P^j)\bigl(\widehat{v}_{(m)}(P^j) +\mathbf p(P^j)\widehat{\mathbf a}_{(m)}\bigr) \\ &\qquad\qquad +\mu'_m \mathcal Q(P^j)\bigl(w^j_{(m)}(\xi^{j\prime},0) +\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(m)}\bigr), \qquad \xi^{j\prime}\in\varpi_j, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которое вместе с однородными условием Неймана (2.5) на ${\mathbb R}^2\setminus \overline{\varpi_j}$ и системой дифференциальных уравнений (2.4) в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$ обеспечивает интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{j=1}^J\bigl( \mathcal E^j(w^{j\prime}_{(m)},\psi^j) -\mu_m(w^{j\prime}_{(m)}+\mathbf p(P^j)\mathbf a'_{(m)}, \mathcal Q(P^j)\psi^j)_{\varpi_j}\bigr) \\ \notag &\qquad =\mu_m\sum_{j=1}^J\bigl(\widehat{v} _{(m)}(P^j) +\mathbf p(P^j)\widehat{\mathbf a}_{(m)},{\mathcal Q}(P^j)\psi^j\bigr)_{\varpi_j} \\ &\qquad\qquad +\mu_m' \sum_{j=1}^J(w^j_{(m)}+\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(m)},{\mathcal Q}(P^j)\psi^j)_{\varpi_j} \quad \forall\, \overrightarrow{\psi}\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{J\times K}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Поскольку по предположению $\mu_m$ – простое собственное число, у задачи (4.5) имеется одно условие разрешимости, которое в силу условия нормировки (2.51) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mu_m' &=\mu_m'\sum_{j=1}^J(w^j_{(m)}+\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(m)}, {\mathcal Q}(P^j)w^j_{(m)})_{\varpi_j} \\ \notag &=-\mu_m\sum_{j=1}^J \bigl(\bigl({\widehat{v}}_{(m)}(P^j)+ \mathbf p(P^j)\widehat{\mathbf a}_{(m)},{\mathcal Q}(P^j)w^j_{(m)}\bigr)_{\varpi_j}\bigr) \\ \notag &\qquad +\sum_{j=1}^J\bigl({\mathcal E}^j(w^{j\prime}_{(m)},w^j_{(m)}) -\mu_m\bigl(w^{j\prime}_{(m)}+\mathbf p( P^j)\mathbf a_{(m)}',{\mathcal Q}(P^j)w^j_{(m)} \bigr)_{\varpi_j}\bigr) \\ &=-\mu_m\sum_{j=1}^J |\varpi_j|({\overline{w}}^{j}_{(m)})^\top {\mathcal Q}(P^j)\bigl({\widehat{v}}_{(m)}(P^j)+\mathbf p(P^j)\widehat{\mathbf a}_{(m)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Сумма по $j=1,\dots,J$, содержащая билинейные формы ${\mathcal E}^1,\dots,{\mathcal E}^J$, исчезла, потому что в ней фигурирует собственная пара $\{\mu_m,\overrightarrow{w}_{(m)}\}$ задачи (2.45) и справедливы соотношения (4.4). Осталось определить столбец $\widehat{\mathbf a}_{(m)}\in{\mathbb R}^{\mathbf d}$ – по нему матрица-функция $\overrightarrow{w}'_{(m)}\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{J\times K}$ и число $\mu_m'\in{\mathbb R}$, фигурирующие в анзацах (4.2) и (4.3), находятся из задачи (4.5) и условия ее разрешимости (4.6). Решения $w^{j\prime}_{(m)}$ допускают аналогичные (2.9) разложения
$$
\begin{equation}
w^{j\prime}_{(m)}(\xi^j)=\chi^\infty (\xi^j) \Phi^j(\xi^j)b^{j\prime}_{(m)}+{\widetilde{w}}^{j\prime}_{(m)}(\xi^j).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Также уточним разложение собственных вектор-функций:
$$
\begin{equation}
w^j_{(m)}(\xi^j)=\chi^\infty (\xi^j) (\Phi^j(\xi^j)b^j+\Phi^{j\prime}_{(m)}(\xi^j))+{\widetilde{w}}^{j}_{(m)}(\xi^j).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Для остатков верны соотношения ${\widetilde{w}}^{j}_{(m)}(\xi^j)=O(\rho_j^{-3})$ и ${\widetilde{w}}^{j\prime}_{(m)}(\xi^j)=O(\rho_j^{-2})$, причем оценки для них самих и их производных вне шара ${\mathbb B}_R$ выстраиваются по правилу (2.17) с соответствующими показателями (ср. замечание 3). Кроме того, слагаемое
$$
\begin{equation}
\Phi^{j\prime}_{(m)}(\xi^j)=\rho_j^{-2}\Phi^{j\prime}_{(m)}(\rho_j^{-1}\xi^j)
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
включает линейную комбинацию производных по переменным $\xi^j_1$ и $\xi^j_2$ столбцов матрицы $\Phi^j$ (ср. [6; § 2, п. 6]). Наконец, решение $\overrightarrow{w}'_{(m)}$ определено с точностью до слагаемого $c\overrightarrow{w}_{(m)}$, а значит, столбцы $b^{1\prime}_{(m)},\dots,b^{J\prime}_{(m)}\in{\mathbb R}^K$ в разложении (4.7) можно подчинить условию ортогональности а сами они согласно предложению 2 вычисляются по формулам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag b^{j\prime}_{(m)} &=\mu_m|\varpi_j|{\mathcal Q}(P^j) \bigl({\widehat{v}}_{(m)}(P^j)+\mathbf p(P^j)\widehat{\mathbf a}_{(m)}\bigr) \\ &\qquad+ \mu_m|\varpi_j|{\mathcal Q}(P^j)({\overline{w}}^{j\prime}_{(m)} +\mathbf p(P^j)\mathbf a'_{(m)}) +\mu'_m|\varpi_j|{\mathcal Q}(P^j)\bigl({\overline{w}}^{j}_{(m)} +\mathbf p(P^j)\mathbf a_{(m)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Теперь на основе разложений (4.8), (4.7) и соотношений (2.10), (4.9) образуем задачу для второй поправки регулярного типа. Подставив анзац (4.3) в систему (1.2), заметим, что сумма слагаемых порядка $\varepsilon$ обращается в нуль согласно построениям из п. 2.3, а слагаемые порядка $\varepsilon^2$ порождают для поправки ${\widehat{v}}_{(m)}'$ задачу (2.18), (2.19) с правыми частями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f^{j\prime}_{(m)}(x)=-\sum_{j=1}^J \bigl(F^j(x)b^{j\prime}_{(m)}+ F^{j\prime}(x)b^j_{(m)}\bigr), \\ g^{j\prime}_{(m)}(x)=-\sum_{j=1}^J \bigl(G^j(x)b^{j\prime}_{(m)}+ G^{j\prime}(x)b^j_{(m)}\bigr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F^j$ и $G^j$ определены формулами (2.19) и, кроме того,
$$
\begin{equation*}
F^{j\prime}_{(m)}(x)=\bigl[{\mathcal L}(\nabla_x),\chi_j(x)\bigr]\Phi^{j\prime}_{(m)}(x^j), \qquad G^{j\prime}_{(m)}(x)=\bigl[{\mathcal N}(x,\nabla_x),\chi_j(x)\bigr]\Phi^{j\prime}_{(m)}(x^j).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно вычислениям (2.31) условия (2.28) разрешимости упомянутой задачи принимают вид совокупности линейных связей
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^J \mathbf p(P^j)^\top b^{j\prime}_{(m)} +\sum_{j=1}^J \mathbf F^j_{(m)}b^j_{(m)}=0\in{\mathbb R}^{\mathbf d},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
в которых фигурируют ($\mathbf d\times K$)-матрицы
$$
\begin{equation*}
\mathbf F^j_{(m)}=\int_{\Omega}\mathbf p(x)^\top F^{j\prime}_{(m)}(x)\,dx+ \int_{\partial\Omega}\mathbf p(x)^\top G^{j\prime}_{(m)}(x)\,ds_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим выражения для $b^{j\prime}$ в равенство (4.11) и заметим, что в силу соотношений (4.4) последние два слагаемых из правой части (4.10) взаимно уничтожаются после суммирования, и в силу определения (2.43), (2.42) матрицы $\mathbf M$ переписываем систему (4.10) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mu_m\mathbf M\widehat{\mathbf a}_{(m)}=-\sum_{j=1}^J\mathbf F^j_{(m)}b^j_{(m)}+ \mu_m\,\sum_{j=1}^J|\varpi_j|\,\mathbf p(P^j)^\top {\mathcal Q}(P^j) {\widehat{v}}_{(m)}(P^j).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, столбец $\widehat{\mathbf a}_{(m)}\in {\mathbb R}^{\mathbf d}$ найден, так как $\mu_m>0$ и матрица $\mathbf M$ обратима благодаря лемме 2. Отметим, что решение ${\widehat{v}}_{(m)}$ задачи в $\Omega$ определено с точностью до слагаемого $p\in{\mathcal P}$ и становится единственным при соблюдении условий ортогональности, например, (2.26). В то же время выбор упомянутого слагаемого не сказывается на величине (4.6) благодаря присутствию в анзаце (4.3) члена $\varepsilon \mathbf p(x){\widehat{a}}_{(m)}$, вбирающего в себя полиномы $p\in\mathcal P$. На этом заканчиваем построение поправочных слагаемых из анзацев (4.2) и (4.3) в случае простого собственного числа $\mu_m$. В случае (3.17) кратного собственного числа предельной задачи (2.45) на первом шаге итерационного процесса зафиксировать однозначно матрицы-функции ${\overrightarrow{w}}_{(m)},\dots,{\overrightarrow{w}}_{(m+\varkappa_m-1)}$, входящие в анзац (4.3) (или (2.34)), не удается. Поэтому для их определения требуется построить младшие члены асимптотических разложений. Соответствующая процедура стандартна (ср. [38; гл. 9 и 10]), а именно, на втором шаге процедуры возникает новая алгебраическая задача, собственные числа которой позволяют найти поправки в разложениях (4.2) собственных чисел $\lambda^\varepsilon_{\mathbf d+m},\dots,\lambda^\varepsilon_{\mathbf d+m+\varkappa_m-1}$ и определить начальные члены разложений (4.3) собственных вектор-функций $u^\varepsilon_{(\mathbf d+m)},\dots, u^\varepsilon_{(\mathbf d+m+\varkappa_m-1)}$. Если оказалось, что новые собственные числа (4.12) простые, то на последующих шагах неоднозначность исчезает и реализация итерационного процесса препятствий не встречает. Если же среди собственных чисел (4.12) имеются кратные, то опять-таки остается произвол в выборе главных членов разложений собственных вектор-функций, а значит, приходится выстраивать очередные члены асимптотических разложений и пытаться “расцепить” собственные числа асимптотически. Вместе с тем до сих пор не создано алгоритмов, позволяющих узнать, расцепляются или нет кратные собственные числа за конечное количество шагов процедуры. Пример кратного собственного числа $\lambda^\varepsilon_m$ предоставляет задача Стеклова (1.30)–(1.32) в области $\Omega$ на рис. 2, b, которая вместе с с семейством $\omega^\varepsilon_1,\dots,\omega^\varepsilon_J$ обладает вращательной симметрией.Приводить намеченные вычисления и формулировать доступные результаты не будем. 4.3. Краевые условия ДирихлеЗафиксируем на поверхности $\partial\Omega$ область $\gamma$ положительной площади, замыкание которой не содержит точки $P^1, \dots,P^J$. Заменим условия Неймана (1.3) смешанными краевыми условиями
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(x,\nabla_x)u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega\setminus({\overline{\omega^\varepsilon\cup\gamma}}).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
В этом случае предельная задача в области $\Omega$ состоит из системы уравнений (2.18), снабженных краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v(x)=0, \qquad x\in\gamma, \\ {\mathcal N}(x,\nabla_x)v(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega\setminus {\overline{\gamma}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Задача (2.18), (4.15) однозначно разрешима и потому эффект дальнодействия спектральных краевых условий (1.4) исчезает в пределе: добавить какой-либо полином $p\in{\mathbb P}$ в анзац для собственной вектор-функции нельзя, а спектральные задачи в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$ приобретают вид систем (2.4) с краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^{j\prime},0)=\mu^j {\mathcal Q}(P^j)w^j(\xi^{j\prime},0), \qquad \xi^{j\prime}\in\varpi_j, \\ {\mathcal N}^j(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^{j\prime},0)=0, \qquad \xi^{j\prime}\in {\mathbb R}^2\setminus\varpi_j, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
и становятся независимыми, т.е. в соответствующих интегральных тождествах
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}^j(w^j,\psi^j)=\mu^j( {\mathcal Q}(P^j)w^j,\psi^j)_{\varpi_j}, \qquad \psi^j\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K,
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
отсутствуют средние ${\overline{w}}^{1},\dots,{\overline{w}}^{J}$ собственных вектор-функций (ср. (2.47) и (2.45)). Спектр
$$
\begin{equation}
0<\mu^j_1\leqslant\mu^j_2\leqslant\dots\leqslant\mu^j_m\leqslant\dots \to+\infty
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
каждой из задач (4.16) положительный и дискретный. Доказательство очередной теоремы об асимптотике следует схеме из § 3, но значительно упрощается. Теорема 7. Для собственных чисел (1.12) задачи (1.2), (4.13), (4.14), (1.4) верны представления Другие асимптотические конструкции возникают в том случае, если условия Дирихле назначены на одном или нескольких малых, диаметром $O(\varepsilon)$, подмножествах поверхности $\partial\Omega$. Ограничимся обсуждением случая одного множества $\gamma=\omega^\varepsilon_0$, определенного согласно правилу (1.1) по точке $P^0\not\in\{P^1,\dots,P^J\}$ и области $\varpi_0\subset{\mathbb R}^2$, ограниченной гладким контуром $\partial\varpi_0$. Спектр (1.12) задачи, образованной системой уравнений (1.2) и краевыми условиями (1.4), (4.13), (4.14), становится положительным даже в случае малой зоны Дирихле Далее понадобятся ограниченные решения $W^k\not\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K$, $k=1,\dots,K$, однородной ($h^k=0$) задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}^0(\nabla_x ) W^k(\xi^0)=0, \qquad \xi^0\in{\mathbb R}^3_-, \\ {\mathcal N}^0(\nabla_{\xi^0})W^k(\xi^{0\prime},0)=0, \qquad \xi^{0\prime}\in {\mathbb R}^2 \setminus{\overline{\omega_0}}, \\ W^k(\xi^{0\prime},0)=h^k(\xi^{0\prime}), \qquad \xi^{0\prime}\in\omega_0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
допускающее представление
$$
\begin{equation}
W^k(\xi^0)=\mathbf e_{(k)}+{\widehat{W}}^{k}(\xi^0) =\mathbf e_{(k)}-\chi^\infty(\xi^0)\Phi^0(\xi^0)\mathbf T^k+{\widetilde{W}}^{k}(\xi^0).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Здесь приняты обозначения, аналогичные использованным в п. 2.1. Кроме того, слагаемое ${\widetilde{W}}^{k}$ принадлежит пространству $V^1_1({\mathbb R}^3_-)^K$, $\mathbf T^k\in{\mathbb R}^K$ – некоторый столбец, $\mathbf e_{(k)}=(\delta_{1,k},\dots, \delta_{K,k})^\top$ – орт в евклидовом пространстве ${\mathbb R}^K$, а ${\widehat{W}}^{k} \in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K$ – решение задачи (4.20) с правой частью Предложение 4. Матрица $\mathbf T=(\mathbf T^1,\dots,\mathbf T^K)=(\mathbf T^k_\ell)_{k,\ell=1}^K$, составленная из столбцов коэффициентов разложений (4.21), симметричная и положительно определенная. Доказательство. В формулу Грина на полушаре большого радиуса подставим вектор-функции ${\widehat{W}}^{k}$ и ${\widehat{W}}^{\ell}$. При учете данного Дирихле для ${\widehat{W}}^{\ell}$ разложения (4.21) для ${\widehat{W}}^{k}$ и равенства (2.11) получаем аналогично выкладке (2.16), что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal E}^0({\widehat{W}}^{k},{\widehat{W}}^{\ell}) &= ({\mathcal N}^0(\nabla_{\xi^0}){\widehat{W}}^{k},{\widehat{W}}^{\ell})_{\varpi_0}= -({\mathcal N}^0(\nabla_{\xi^0}){\widehat{W}}^{k},\mathbf e_{(\ell)})_{\varpi_0} \\ &=\lim_{R\to+\infty}\int_{{\mathbb S}^-_R}\mathbf e_{(\ell)}^\top {\mathcal N}^0_{\cup}(\xi^0,\nabla_{\xi^0}){\widehat{W}}^{k}(\xi^0)\,ds_{\xi^0} \\ &=-\int_{{\mathbb S}^-_1}\mathbf e_{(\ell)}^\top {\mathcal N}^0_{\cup}(\xi^0,\nabla_{\xi^0})\Phi^0(\xi^0)\,ds_{\xi^0}\mathbf T^k =\mathbf T_\ell^k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\mathbf T$ – матрица Грама, построенная по линейно независимым вектор-функциям при помощи скалярного произведения ${\mathcal E}^0(\cdot,\cdot)$ в пространстве $V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K$.
Предложение доказано. Алгоритм построения асимптотики из п. 2.3 претерпевает малосущественные изменения, в частности, асимптотические анзацы (1.14) и (2.34) для собственных пар задачи (1.2), (4.13), (4.14), (1.4), (4.13) в случае (4.19) остаются без изменений, однако предельная спектральная задача (2.45) перестраивается в значительной степени. В правых частях задачи (2.30) для слагаемого ${\widehat{v}}$ регулярного типа из анзаца (2.34) появляются новые сингулярные составляющие
$$
\begin{equation*}
f(x)=F^0(x)\mathbf Tp(P^0), \qquad g(x)=G^0(x)\mathbf Tp(P^0),
\end{equation*}
\notag
$$
включающие неизвестный векторный полином $p\in{\mathcal P}$. Они порождены локализованным около точки $P^0$ пограничным слоем
$$
\begin{equation*}
{\widehat{W}}(\xi^0)p(P^0)=({\widehat{W}}^1(\xi^0),\dots,{\widetilde{W}}^K(\xi^0))p(P^0)
\end{equation*}
\notag
$$
и разложением (4.21) элементов ($K\times K$)-матрицы ${\widehat{W}}$, составленной из затухающих на бесконечности решений задачи (4.20) с правыми частями (4.22). При этом выражения $F^0$ и $G^0$ заданы формулами (2.29) при $j=0$. При учете представления (2.40) полинома $p\in{\mathcal P}$ условия разрешимости (2.28) полученной задачи превращаем в следующую систему уравнений для столбца $\mathbf a\in{\mathbb R}^{\mathbf d}$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf p(P^0)^\top\mathbf T\mathbf p(P^0)\mathbf a=\mu\sum_{j=1}^J( \mathbf M^j\mathbf a+\mathbf p(P^j)^\top{\mathcal Q}(P^j){\overline{w}}^{j}|\varpi_j|).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта система вместе с интегральными тождествами (2.34) образует предельную спектральную задачу, а именно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{j=1}^J{\mathcal E}^j(w^j,\psi^j)+\boldsymbol\alpha^\top\mathbf p(P^0)^\top \mathbf T\mathbf p(P^0)\mathbf a \\ \notag &\qquad =\mu\biggl(\sum_{j=1}^J({\mathcal Q}(P^j)w^j,\psi^j)_{\varpi_j} \sum_{j=1}^J|\varpi_j|({\overline{\psi}}^{j})^\top{\mathcal Q}(P^j) \mathbf p(P^j)\mathbf a \\ \notag &\qquad\qquad +\sum_{j=1}^J \boldsymbol\alpha^\top \mathbf p(P^j)^\top {\mathcal Q}(P^j){\overline{\psi}}^{j}|\varpi_j| + \boldsymbol\alpha^\top\mathbf M\mathbf a\biggr) \\ &\qquad \forall\,(\psi^1,\dots,\psi^J)\in V^1_0({\mathbb R}^3_-)^{K\times J}, \qquad \boldsymbol\alpha\in{\mathbb R}^{\mathbf d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Поскольку линеал $\mathcal P$ содержит все постоянные столбцы, ($\mathbf d\times\mathbf d$)-матрица ${\mathcal T}^0=\mathbf p(P^0)^\top \mathbf T\mathbf p(P^0)$ имеет ранг $K \leqslant\mathbf d$ в силу предложения 4. Следовательно, у задачи (4.23) есть собственное число $\mu=0$ с кратностью $\mathbf d-K$, которому отвечают собственные векторы с нетривиальными алгебраическими компонентами $\mathbf a\in\ker {\mathcal T}^0$ и нулевыми матрицами-функциями $\overrightarrow{w}$. Выкладки, аналогичные приведенным в п. 2.4, но становящиеся более громоздкие именно из-за присутствия алгебраических составляющих, показывают, что оставшийся спектр задачи (4.23) – положительная монотонная неограниченная последовательность. В итоге для собственных чисел задачи (1.2), (4.13), (4.14), (1.4) в ситуации (4.19) можно проверить утверждение, похожее на теоремы 7 и 4, которое не будем формулировать, так как положительные главные члены асимптотик первых $\mathbf d-K$ элементов последовательности (1.12) остались неизвестными. Разумеется, можно было бы поставить условия Дирихле на нескольких малых множествах $\omega^\varepsilon_{-J^\circ},\dots,\omega^\varepsilon_0$ и наложить на их центры $P^{-J^\circ},\dots,P^0$ похожее на (1.17) ограничение, обеспечивающее положительную определенность ($\mathbf d\times\mathbf d$)-матрицы ${\mathcal T}$ и положительность всего спектра предельной задачи (4.23). 4.4. Спектральный параметр в системе дифференциальных уравненийВключим в систему спектральный параметр:
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}(\nabla_x)u^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon {\mathcal B}u^\varepsilon(x), \qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Здесь ${\mathcal B}$ – симметричная положительно определенная ($K\times K$)-матрица. Задача (4.24), (1.3), (1.4) в вариационной постановке
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u^\varepsilon,\psi^\varepsilon;\Omega)=\lambda^\varepsilon \bigl(({\mathcal B} u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_\Omega+({\mathcal Q}u^\varepsilon, \psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}\bigr) \quad \forall\,\psi^\varepsilon\in H^1(\Omega)^K
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
сохраняет дискретный спектр – последовательность вида (1.12). Собственные числа предельной задачи в ограниченной области
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}(\nabla_x)u^0(x)=\lambda^0{\mathcal B}u^0(x), \qquad x\in\Omega, \\ {\mathcal N}(x,\nabla_x)u^0(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
тоже образуют монотонную неограниченную последовательность
$$
\begin{equation*}
0=\lambda^0_1=\dots =\lambda^0_\mathbf d<\lambda^0_{\mathbf d+1} \leqslant \lambda^0_{\mathbf d+2}\leqslant\dots\leqslant\lambda^0_m\leqslant\dots \to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В последовательности (1.12) первые $\mathbf d=\dim{\mathcal P}$ членов также равны нулю. Развитые в [38; гл. 4 и 9, 10] асимптотические методы позволяют убедиться в том, что остальные собственные числа задач (4.24), (1.3), (1.4) и (4.26) связаны неравенствами
$$
\begin{equation}
|\lambda^\varepsilon_m-\lambda^0_m| \leqslant c_m\varepsilon^{3/2} \quad\text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon_m],
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где $m>\mathbf d$, а $\varepsilon_m$ и $c_m$ – некоторые положительные величины. На первый взгляд кажется, что соотношение (4.27) описывает асимптотическое поведение всего спектра сингулярно возмущенной задачи. Покажем, что это впечатление ошибочно и спектры (4.18) предельных задач (4.17) все-таки сказываются на асимптотическом строении спектра (1.12). Придадим новый смысл обозначениям из п. 1.1, а именно, в пространстве ${\mathcal H}^\varepsilon= H^1(\Omega)^K$ введем скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle_\varepsilon= {\mathcal E}(u^\varepsilon,\psi^\varepsilon;\Omega)+({\mathcal B}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_\Omega +({\mathcal Q}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
и положительный самосопряженный оператор ${\mathcal K}^\varepsilon$,
$$
\begin{equation*}
\langle {\mathcal K}^\varepsilon u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\rangle_\varepsilon= ({\mathcal B}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_\Omega+ ({\mathcal Q}u^\varepsilon,\psi^\varepsilon)_{\omega^\varepsilon} \quad \forall\, u^\varepsilon,\psi^\varepsilon\in {\mathcal H}^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате интегральное тождество (4.25) принимает вид абстрактного уравнения (1.10), а спектр (1.9) оператора $ {\mathcal K}^\varepsilon$ связан со спектром (1.12) задачи (4.24), (1.3), (1.4) соотношением
$$
\begin{equation}
\kappa^\varepsilon_m=(1+\lambda^\varepsilon_m)^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Применим первую часть леммы 4. В формулу (3.14) подставим выражения
$$
\begin{equation*}
\mathbf k^\varepsilon=(1+\varepsilon^{-1}\mu^j_p)^{-1}, \qquad \mathbf u^\varepsilon=\|\mathbf v^\varepsilon;{\mathcal H}^\varepsilon\|^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf v^\varepsilon(x)=\chi_j(x)w^j_{(p)}(\eta^j)$. Кроме того, $\{\mu^j_p,w^j_{(p)}\}\in{\mathbb R}_+\times V^1_0({\mathbb R}^3_-)^K$ – собственная пара задачи (4.18) (или (2.4), (4.16) в дифференциальной форме), причем для дальнейшего важно, что в его представлении (2.9) столбец коэффициентов $b^j$ равен нулю, т.е.
$$
\begin{equation}
|w^j_{(p)}(\eta^j)|\leqslant c^j_p(1+\rho_j)^{-2}, \qquad \rho_j\geqslant R.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Как пояснялось в п. 2.5, $1^\circ$, где приведен простой пример, в этом случае число $\mu^j_p$ и вектор $\overrightarrow{w}$ с единственной ненулевой компонентой $w^j_{(p)}$ образуют собственную пару объединенной спектральной задачи (2.45). Обработаем выражение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \delta^j_p &=\|{\mathcal K}^\varepsilon\mathbf u^\varepsilon- \mathbf k^\varepsilon\mathbf u^\varepsilon;{\mathcal H}^\varepsilon\| \\ &=\|\mathbf v^\varepsilon;{\mathcal K}^\varepsilon\|^{-1}\mathbf k^\varepsilon \sup \bigl|{\mathcal E}(\mathbf v^\varepsilon,\psi;\Omega)-\varepsilon^{-1}\mu^j_p ({\mathcal B}\mathbf v^\varepsilon,\psi)_\Omega-({\mathcal Q} \mathbf v^\varepsilon,\psi)_{\omega^\varepsilon}\bigr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Здесь супремум вычисляется по вектор-функциям $\psi\in {\mathcal H}^\varepsilon$ с единичной нормой, причем согласно формулам (4.28) и (3.15) справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\|r_j^{-1}\psi; L^2(\Omega)\|\leqslant c_j\|\psi; H^1(\Omega)\|\leqslant C_j\|\psi; {\mathcal H}^\varepsilon\|=C_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка $\delta^j_p\leqslant C^j_p\varepsilon^2$ величины (4.31) может быть получена на основе следующих соображений. Прежде всего выкладка (3.26) и равенство $b^j_{(p)}=0$ (ср. (4.30)) показывают, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|{\mathcal E}(\chi_jw^j_{(p)},\psi;\Omega)-{\mathcal E}(w^j_{(p)},\chi_j\psi;\Omega) \bigr|\leqslant c\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, обычные замены координат и интегральное тождество (4.17), обслуживающее задачу (2.4), (4.16), обеспечивают неравенство
$$
\begin{equation*}
\bigl|{\mathcal E}(w^j_{(p)},\chi_j\psi;\Omega)-\varepsilon^{-1}\mu^j_p({\mathcal Q} w^j_{(p)},\chi_j\psi)_{\omega_j^\varepsilon} \bigr|\leqslant c\varepsilon^{3/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, ключевая оценка выводится на основе предположения (4.30) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|({\mathcal B}\chi_jw^j_{(p)},\psi)_\Omega|\leqslant \bigl|({\mathcal B}\chi_jw^j_{(p)},\psi)_{\Omega\cap{\mathbb B}_{\varepsilon R}(P^j)}\bigr|+ \bigl|({\mathcal B}\chi_jw^j_{(p)},\psi)_{\Omega\setminus{\mathbb B}_{\varepsilon R}(P^j)}\bigr| \\ \notag &\qquad\leqslant c\biggl(\varepsilon^5\|\rho_jw^j_{(p)};L^2({\mathbb R}^3_-\cap{\mathbb B}_R)\|^2+ \int_{\varepsilon R}^{R_j} (1+\varepsilon^{-1}r_j)^{-4}r_j^2\,dx\biggr)^{1/2} \|r_j^{-1}\psi;L^2(\Omega)\| \\ &\qquad \leqslant c_j(\varepsilon^5+\varepsilon^4)^{1/2}\leqslant C_j\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
В итоге нужная оценка величины $\delta^j_p$ получается при учете множителей $\|\mathbf v^\varepsilon; {\mathcal K}^\varepsilon\|^{-1}=O(\varepsilon^{-1/2})$ и $\mathbf k^\varepsilon=O(\varepsilon)$ в правой части формулы (4.31), а значит, согласно лемме 4 (см. соотношение (3.15)) находим собственное число $\kappa^\varepsilon_{N(\varepsilon)}$ оператора ${\mathcal K}^\varepsilon$, подчиненное неравенству
$$
\begin{equation}
\bigl|\kappa^\varepsilon_{N(\varepsilon)}-(1+\varepsilon^{-1}\mu^j_p)^{-1} \bigr|\leqslant c\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Аналогично преобразованиям (3.33) выводим из формул (4.33) и (4.29), что
$$
\begin{equation}
\bigl|\lambda^\varepsilon_{N(\varepsilon)}-\varepsilon^{-1}\mu^j_p\bigr|\leqslant C^j_p \quad\text{при }\ \varepsilon\in(0,\varepsilon^j_p] \quad\text{и некотором }\ \varepsilon^j_p>0.
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
Итак, при указанных предположениях в $C^j_p$-окрестности точки $\varepsilon^{-1}\mu^j_p$ имеется хотя бы одно собственное число задачи (4.24), (1.3), (1.4), однако его номер ${N(\varepsilon)}$ в упорядоченной последовательности (1.12) зависит от малого параметра $\varepsilon$ и неограниченно возрастает при $\varepsilon\to+0$. Размер найденной окрестности много меньше самой величины $\varepsilon^{-1}\mu^j_p$, т.е. формула (4.34) действительно оказывается асимптотической и устанавливает, что образы по крайней мере некоторых из собственных чисел (4.18) обнаруживаются в высокочастотном диапазоне спектра задачи (4.24), (1.3), (1.4). Пример собственных вектор-функций с быстрым затуханием приведен в п. 2.5, $1^\circ$. Замечание 6. 1) Построение младших членов асимптотики собственных чисел $\lambda^\varepsilon_{N(\varepsilon)}$ затруднено. Автор знает только одну публикацию [19], в которой для частной задачи построены полные асимптотические разложения собственных чисел из обоих, низко- и высокочастотного, диапазонов спектра сингулярно возмущенной задачи. 2) Если компоненты $w^j_{(m)}$ собственного вектора $\overrightarrow{w}_{(m)}$ задачи (2.45) затухают на бесконечности со скоростью $O(\rho_j^{-1})$, то новая мажоранта $C_j\varepsilon$ в оценке (4.32) становится недопустимо большой, т.е. сделать прежний вывод не удается. Между тем гипотеза об отражении всех ($j=1,\dots,J$) членов последовательностей (4.18) в высокочастотном диапазоне спектра (1.12) задачи (4.24), (1.3), (1.4) вполне правомерна, однако ее проверка – открытый вопрос. 4.5. Одно множество $\omega^\varepsilon_1$Как упоминалось в п. 2.5, $2^\circ$, для скалярной задачи о поверхностных волнах (1.30)–(1.32) переход к случаю $J=1$ не привносит сколько-нибудь существенных изменений в предельную задачу (1.30), (1.31), (2.58). Причина кроется в том, что соответствующий линеал полиномов $\mathcal P$ состоит из постоянных, т.е. ограничение (1.19) выполнено при любом $J\geqslant1$. Для задач теории упругости то же требование (1.19) выполнено разве лишь в случае $J\geqslant3$ (или даже $J\geqslant6$; см. п. 1.3, $2^\circ$). Продемонстрируем изменения в предельной задаче при наличии лишь одной контактной области $\omega^\varepsilon_1$. Для простоты считаем, что, во-первых, проектор $\mathcal Q$ – единичная матрица ${\mathbb I}_3$ и, во-вторых, $\Omega\cap{\mathcal V}^1$ – часть полупространства ${\mathbb R}_-^3$, причем точку $P^1$ совместим с началом координат $\mathcal O$. В отличие от п. 4.2 отказ от этих ограничений значительно усложняет асимптотический анализ. Для гладкого решения $v$ задачи теории упругости (2.18), (2.19) в ограниченной области $\Omega$ верна формула Тейлора
$$
\begin{equation*}
v(x)= a^t+ d'(x)^r a^r +d^\sigma(x)a^\sigma+O(|x|^2), \qquad x\to {\mathcal O},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a^t$ и $a^r$ – поступательные и вращательные смещения точки $\mathcal O$, $a=((a^t)^\top, (a^r)^\top)^\top\in {\mathbb R}^6$. Кроме того, $a^\sigma\in {\mathbb R}^3$ – вектор касательных напряжений, $d^r(x)$ – ($3\times3$)-блок матрицы (1.38), а $d^\sigma(x)$ – линейная ($3\times3$)-матрица, столбцы которой порождают единичные касательные напряжения $\sigma_{11}$, $\sigma_{22}$, $\sqrt{2}\,\sigma_{12}$ (ср. (1.35)). Для изотропного упругого материала с матрицей жесткости (1.34) матрица $d^\sigma$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
d^\sigma(x)= \frac{1}{2\boldsymbol\mu(3\boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu)}\, \begin{pmatrix} 2(\boldsymbol\lambda+\boldsymbol\mu)x_1& -\boldsymbol\lambda x_1&\sqrt{2}(3\boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu)x_2 \\ -\boldsymbol\lambda x_2&2(\boldsymbol\lambda+\boldsymbol\mu)x_2& \sqrt{2}(3\boldsymbol\lambda+2\boldsymbol\mu)x_1 \\ -\boldsymbol\lambda x_3&-\boldsymbol\lambda x_3&0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение задачи теории упругости (2.4), (2.5) в полупространстве ${\mathbb R}^3_-$ с финитной правой частью $g^1$ допускает представление
$$
\begin{equation}
w^1(\xi^1)=\chi^\infty(\xi^1)\bigl(\Phi^t(\xi^1)b^t+\Phi^r(\xi^1)b^r+ \Phi^\sigma(\xi^1)b^\sigma\bigr)+{\widetilde{ w}}^{1}(\xi^1),
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
где остаток ${\widetilde{w}}^{1}$ затухает на бесконечности со скоростью $O(\rho_1^{-3})$, $b^t,b^r\in{\mathbb R}^3$ – главный вектор и главный момент сил, приложенных на бесконечности, $b^\sigma\in \mathbb{R}^3$ – вектор диполей (см., например, учебник [39]). Кроме того, $\Phi^t=\Phi$ – прежняя ($3\times 3$)-матрица Грина (2.10), а $\Phi^r$ и $\Phi^\sigma$ – матрицы-функции того же размера, причем их элементы – это положительно однородные степени $-2$ функции переменных $\xi^1=(\xi^1_1,\xi^1_2,\xi^1_3)$. Справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
-\int_{{\mathbb S}^-_R} d^\tau(\xi^1){\mathcal N}_\cup(\xi^1,\nabla_{\xi^1})\Phi^\gamma(\xi^1)\, ds_{\xi^1}= \delta_{\tau,\gamma}{\mathbb I}_3, \qquad \tau,\gamma=t,r,\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Для изотропного материала перечисленные объекты могут быть найдены, например, в монографии [40]. В сингулярном поле смещений $v$, удовлетворяющем однородной задаче (2.18), (2.19), гладком в ${\overline{\Omega}}\setminus{\mathcal O}$ и подчиненном асимптотическому условию
$$
\begin{equation*}
v(x)=\Phi^t(x)b^t+\Phi^r(x)b^r+ \Phi^\sigma(x)b^\sigma+O(1),\qquad x\to{\mathcal O},
\end{equation*}
\notag
$$
столбец $b^\sigma$ может быть произвольным, но равенства $b^t=b^r=0\in{\mathbb R}^3$ обязательны для исполнения4. В соответствии со сказанным сохраним представление (1.14) для собственного числа, но асимптотический анзац (2.34) для собственной вектор-функции модифицируем следующим образом:
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}d^r(x)^\top a^r+ a^t+w^1(\varepsilon^{-1}x)+ {\widehat{v}}(x)+\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Множитель $\varepsilon^{-1}$ при первом члене анзаца (4.36) обусловлен соотношением $d^r(x)=\varepsilon d^r(\varepsilon^{-1}x)$. В результате получаем для слагаемого $w^1$ типа пограничного слоя систему уравнений (2.4) с краевыми условиями
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(\nabla_{\xi^1})w^1(\xi^{1\prime},0)= \mu \bigl(w^1(\xi^{1\prime},0)+d(\xi^{1\prime},0) a\bigr) , \qquad \xi^{1\prime}\in\varpi_1,
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(\nabla_{\xi^1})w^1(\xi^{1\prime},0)=0, \qquad \xi^{1\prime}\in{\mathbb R}^2\setminus{\overline{\varpi_1}}.
\end{equation}
\tag{4.38}
$$
Столбцы $b^t$ и $b^r$ в разложении (4.35) решения полученной задачи в полупространстве аннулируются в том и только том случае, когда составленный из $a^t$ и $a^r$ столбец $a\in{\mathbb R}^6$ удовлетворяет системе алгебраических уравнений
$$
\begin{equation*}
\mathbf Ma=- \underline{w}^1:= -\int_{\varpi_1}d(\xi^{1\prime},0)^\top w^1(\xi^{1\prime},0)\,d\xi^{1\prime}
\end{equation*}
\notag
$$
с симметричной положительно определенной ($6\times6$)-матрицей
$$
\begin{equation*}
\mathbf M=\int_{\varpi_1}d(\xi^{1\prime},0)^\top d(\xi^{1\prime},0)\,d\xi^{1\prime}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, краевое условие (4.37) на $\varpi_1$ принимает вид
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}(\nabla_{\xi^1})w^1(\xi^{1\prime},0)=\mu \bigl(w^1(\xi^{1\prime},0)-d(\xi^{1\prime},0)\mathbf M^{-1}\underline{w}^1\bigr).
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
Вариационная постановка задачи (2.4), (4.39), (4.38) выглядит так:
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(w^1,\psi^1)=\mu \bigl((w^1,\psi^1)_{\varpi_1}-(d(\cdot,0)\mathbf M^{-1}\underline{w}^1,d(\cdot,0)\underline{\psi}^1)_{\varpi_1}\bigr) \quad \forall\,\psi^1\in V^1_0({\mathbb R})^3.
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
По тем же причинам, что и в п. 2.3 при проверке леммы 2, билинейная форма, служащая множителем при $\mu$ в правой части интегрального тождества (4.40), положительно определена. Таким, образом, спектр полученной задачи является дискретным и образует последовательность (2.50). Приведем асимптотическую формулу для собственных чисел рассмотренной задачи, однако без оправдания порядка малости остатка, для выяснения которого требуется усовершенствование приемов из § 3. Теорема 8. В указанных условиях собственные числа (1.12) задачи теории упругости (1.5) (или (1.2)–(1.4) в дифференциальной форме с одиночным ($J=1$) контактным участком $\omega^\varepsilon_1=\varpi^\varepsilon_1$) удовлетворяют соотношениям $\lambda^\varepsilon_1=\dots=\lambda^\varepsilon_6=0$ и 4.6. Бигармоническое уравнениеПусть граница $\partial \Omega$ уплощена около точек $P^1,\dots,P^J$. Рассмотрим краевую задачу для уравнения четвертого порядка
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}_2(x,\nabla_x) u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega,
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}_3(x,\nabla_x) u^\varepsilon(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega\setminus{\overline{\omega^\varepsilon}},
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}_3(x,\nabla_x) u^\varepsilon(x)=\lambda^\varepsilon u^\varepsilon(x), \qquad x\in\omega^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.44}
$$
Здесь ${\mathcal N}_q(x,\nabla_x) $ – дифференциальные операторы порядков $q=2,3$, взятые из формулы Грина
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u,\psi;\Omega)=(\Delta^2_xu,\psi)_\Omega -({\mathcal N}_3u,\psi)_{\partial\Omega}+({\mathcal N}_2u, \partial_n\psi)_{\partial\Omega},
\end{equation}
\tag{4.45}
$$
где билинейная форма из левой части имеет вид
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u,\psi;\Omega)= \sum_{p,q}\biggl(\frac{\partial^2u}{\partial x_p\,\partial x_q} ,\frac{\partial^2\psi}{\partial x_p\,\partial x_q}\biggr)_\Omega
\end{equation}
\tag{4.46}
$$
и обладает полиномиальным свойством (1.17) с четырехмерным линеалом
$$
\begin{equation}
{\mathcal P}=\{p=c_0+c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3\mid c_\ell\in{\mathbb R}\}.
\end{equation}
\tag{4.47}
$$
Названное свойство обеспечивает эллиптичность задачи (4.41)–(4.44) и дискретность ее спектра (1.12) с четырьмя первыми нулевыми собственными числами (см. [6; § 1]). Замечание 7. Форме из левой части простейшей формулы Грина Предельная задача в области $\Omega$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}_q(x,\nabla_x) v(x)=g_q(x), \qquad x\in\partial\Omega, \quad q=2,3,
\end{equation}
\tag{4.50}
$$
в вариационной форме
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u,\psi;\Omega)= (f,\psi)_\Omega -(g_3,\psi)_{\partial\Omega}+(g_2, \partial_n\psi)_{\partial\Omega} \quad \forall\, \psi\in H^2(\Omega)
\end{equation}
\tag{4.51}
$$
имеет решение $v\in H^2(\Omega)$, определенное с точностью до линейной функции переменных $x=(x_1,x_2,x_3)$, только при выполнении четырех условий
$$
\begin{equation*}
(f,1)_\Omega-(g_3,1)_{\partial\Omega}=0, \qquad (f,x_k)_\Omega-(g_3,x_k)_{\partial\Omega}+(g_2, \partial_nx_k)_{\partial\Omega}=0, \quad k=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Для выяснения асимптотики собственных чисел $\lambda^\varepsilon_m$ при $m>4$ понадобится иная постановка задачи (4.49), (4.50), в которой требуется найти функцию $v\in V^2_0(\Omega)$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(u,\psi;\Omega)= (f,\psi)_\Omega -(g_3,\psi)_{\partial\Omega}+(g_2, \partial_n\psi)_{\partial\Omega} \quad \forall\, \psi\in V^2_0(\Omega).
\end{equation}
\tag{4.52}
$$
Здесь $V^2_0(\Omega)$ – пространство Кондратьева с нормой (2.20) при $\ell=2$, и в согласии со следовым неравенством (2.24) при $\beta=1,0$ правые части следует подчинить включениям
$$
\begin{equation}
f\in V^0_{-2}(\Omega), \qquad g_q\in V^0_{q-3/2}(\partial\Omega), \quad q=2,3.
\end{equation}
\tag{4.53}
$$
В силу теоремы Соболева о вложении $H^2\subset C$ в ${\mathbb R}^3$ и вариантов неравенства Харди пространство $V^2_0(\Omega)$ совпадает алгебраически и топологически с подпространством Нетрудно убедится в том, что пересечение множеств (4.47) и (4.54) состоит только из нулевого элемента при условии, что среди точек $P^1,\dots,P^J$ найдутся вершины невырожденной трехгранной пирамиды, т.е. $J\geqslant4$ и
$$
\begin{equation}
p\in{\mathcal P}, \quad p(P^1)=\dots=p(P^J)=0 \quad \Longleftrightarrow\quad p=0.
\end{equation}
\tag{4.55}
$$
Очередное утверждение – следствие теоремы 1.9 из [6]. Предложение 5. Пусть выполнены соотношения (4.53) и (4.55). Тогда задача (4.52) имеет единственное решение $v\in V^2_0(\Omega)$ и его норма не превосходит величины $cN$, где $N$ – сумма норм функций (4.53) в указанных весовых пространствах. Пространство Кондратьева $V^2_0({\mathbb R}^3_-)$ снабдим нормой (2.20) при $\ell=2$ и $\beta=0$. Ясно, что постоянные функции попадают в это пространство и тем самым являются решениями однородной ($f^j=0$ и $g^j_q=0$) задачи в полупространстве
$$
\begin{equation}
\Delta_{\xi^j}^2w^j(\xi^j)=f^j(\xi^j), \qquad \xi^j\in{\mathbb R}^3_-,
\end{equation}
\tag{4.56}
$$
$$
\begin{equation}
{\mathcal N}^j_q(\nabla_{\xi^j})w^j(\xi^{j\prime},0)=g^j_q(\xi^{j\prime}), \qquad \xi^{j\prime}\in{\mathbb R}^2, \quad q=2,3.
\end{equation}
\tag{4.57}
$$
Здесь операторы ${\mathcal N}^j_q(\nabla_{\xi^j})$ получены из операторов ${\mathcal N}_q(x,\nabla_x)$ при помощи замены координат (2.1) и замораживания коэффициентов в точке $P^j$. Итак, нулевому собственному числу предельной спектральной задачи в вариационной форме
$$
\begin{equation}
{\mathcal E}(w^j,\psi^j;{\mathbb R}^3_-)=\mu^j(w^j,\psi^j)_{\varpi_j} \quad \forall\, \psi^j\in V^2_0({\mathbb R}^3_-)
\end{equation}
\tag{4.58}
$$
отвечают постоянные собственные функции и только они, поскольку линейно растущие на бесконечности элементы подпространства (4.47), на котором вырождается билинейная форма (4.51), не попадают в $V^2_0({\mathbb R}^3_-)$. Предложение 6. Задача (4.58) имеет дискретный спектр а соответствующие собственные функции $|\varpi_j|^{1/2}=w^j_0,w^j_1, w^j_2,\dots, w^j_m,\ldots\in V^2_0({\mathbb R}^3_-)$ можно подчинить условиям ортогональности и нормировки Опишем поведение решений предельных задач в $\Omega$ и ${\mathbb R}^3_-$ соответственно около точек $P^1,\dots,P^J$ и на бесконечности. Заметим, что при $b_j\ne 0$ произведение $b_j\chi_j$ не принадлежит пространству $V^2_0(\Omega)$ с нормой (2.20), а функция Грина задачи Неймана в полупространстве выглядит так: При этом $\chi_j\Phi^j_0\in V^2_0(\Omega)$ и справедлива похожая на (2.11) формула
$$
\begin{equation}
-\int_{{\mathbb S}^-_R} {\mathcal N}^j_{3\cup}(x^j,\nabla_{x^j})\Phi^j_0(x^j)\,ds_{x^j}=1.
\end{equation}
\tag{4.61}
$$
Кроме того, тот же порядок неоднородности, что и функция Грина, имеют линейные функции $x^j_1$, $x^j_2$ и $x^j_3$. В результате согласно теореме Кондратьева об асимптотике (см. [33], а также [34; теорема 4.2.1]) решение задачи (4.49), (4.50) с гладкими правыми частями $f$ и $g_q$, обращающимися в нуль около точек $P^1,\dots,P^J$, принимает вид
$$
\begin{equation*}
v(x)=\sum_{j=1}^J \biggl(c^j_0\Phi^j_0(x^j)+\sum_{\ell=1}^3 c^j_\ell x^j_\ell\biggr)+{\widetilde{v}}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c^j_q$ – некоторые постоянные, а остаток ${\widetilde{v}}$ – гладкая в $\overline \Omega$ функция, которая вместе со своим градиентом $\nabla_x{\widetilde{v}}$ обращается в нуль в точках $P^1,\dots,P^J$. Свойство гладкости выполнено именно благодаря предположению о плоских участках поверхности $\partial\Omega$. Как уже упоминалось, постоянные функции попадают в пространство $V^2_0({\mathbb R}^3_-)$. Согласно вычислениям из [6; § 2, п. 6] тот же нулевой порядок однородности имеют еще три решения
$$
\begin{equation*}
\Phi^j_\ell(\xi^j)=\Phi^j_\ell(\rho_j^{-1}\xi^j), \qquad \ell=1,2,3,
\end{equation*}
\notag
$$
для которых верны формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_j(x_k,\Phi^j_\ell) &=-\int_{{\mathbb S}^-_R(P^j)} \biggl(\xi_k{\mathcal N}^j_{3\cup}(x^j,\nabla_{x^j})\Phi^j_\ell(x^j) \\ &\qquad\qquad - \frac{\partial\xi_k}{\partial \rho_j}{\mathcal N}^j_{2\cup}(x^j,\nabla_{x^j})\Phi^j_\ell(x^j) \biggr)\,ds_{x^j}=\delta_{\ell,k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k,\ell=1,2,3$. Подчеркнем, что из-за рассогласования порядков однородности у пар функций $\{1,\Phi^j_\ell\}$ и $\{x^j_k,\Phi^j_0\}$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
Q(1,\Phi^j_\ell)=0, \quad Q(x^j_\ell,\Phi^j_0)=0, \qquad \ell=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, в задаче (4.52) постоянная играет роль “иррегулярной” составляющей около точки $P^j$, и поэтому в силу предложения 5 для любого столбца $a=(a_1,\dots,a_J)^\top\in{\mathbb R}^J$ существует решение $\zeta(a;x)\in H^2(\Omega)$ однородной ($f=0$ и $g_q=0$) задачи (4.49), (4.50), представимое в виде
$$
\begin{equation}
\zeta(a;x)=\sum_{j=1}^J\chi_j(x)\biggl(a_j+M^0_j(a)\Phi^j(x^j)+\sum_{\ell=1}^3 M^\ell_j(a)x^j_\ell\biggr)+{\widetilde{\zeta}}(a;x).
\end{equation}
\tag{4.62}
$$
Здесь фигурируют гладкая в $\overline \Omega$ функция ${\widetilde{\zeta}}(a;\cdot)$ и линейные отображения
$$
\begin{equation}
{\mathbb R}^6\ni a\,\,\mapsto\,\, M^\ell_j(a)\in {\mathbb R}^6,\qquad \ell=0,1,2,3.
\end{equation}
\tag{4.63}
$$
Следующее утверждение показывает, в частности, что функции (4.51), принадлежащие пространству $H^2(\Omega)$, являются решениями однородной ($f=0$ и $g_q=0$) задачи (4.51) в исключительных случаях:
$$
\begin{equation}
p\in{\mathcal P}, \quad a^p=(p(P^1),\dots,p(P^J))^\top \quad\Longrightarrow\quad \zeta(a^p;x)=p(x).
\end{equation}
\tag{4.64}
$$
Предложение 7. При $\ell=0$ оператор (4.63) положительный, а его четырехмерное корневое подпространство приобретает вид (см. (4.64) и (4.47)) Доказательство. При $a\in {\mathbb R}^6$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal E}(\zeta(a;\cdot),\zeta(a;\cdot);\Omega) &=\lim_{R\to+0} {\mathcal E}\bigl(\zeta(a;\cdot),\zeta(a;\cdot);\Omega\setminus( {\mathbb B}_R(P^1)\cup\dots\cup{\mathbb B}_R(P^J)\bigr) \\ &=-\lim_{R\to+0}\sum_{j=1}^J\int_{{\mathbb S}^-_R(P^j)}\biggl( \zeta(a;x){\mathcal N}^j_{3\cup}(x^j,\nabla_{x^j})\zeta(a;x) \\ &\qquad+\frac{\partial \zeta}{\partial r_j}(a;x){\mathcal N}^j_{2\cup}(x^j,\nabla_{x^j})\zeta(a;x)\biggr)\,ds_x \\ &=\sum_{j=1}^J a_j M^0_j(a). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь приняты во внимание формулы (4.62) и (4.61). Таким образом, ($J\,{\times}\,J$)-матрица $M^0=(M^0_1,\dots,M^0_J)$, реализующая отображение (4.63) при $\ell=0$, является матрицей Грама. Для окончания проверки предложения осталось упомянуть полиномиальное свойство (1.17), (4.47) квадратичной формы (4.46), показывающее, что $M^0a=0$ лишь в случае $a\in {\mathbb R}^6({\mathcal P})$.
Предложение доказано. Приступим к построению главных членов формальной асимптотики
$$
\begin{equation}
\lambda^\varepsilon_p=\varepsilon^{-3}(\mu_p+\varepsilon\mu_p'+\cdots),
\end{equation}
\tag{4.65}
$$
$$
\begin{equation}
u^\varepsilon_p(x)=\sum_{j=1}^J\chi_j(x)(w^j_p(\xi^j)+\varepsilon w^{j\prime}_p(\xi^j))+ {\mathcal X}^\varepsilon(x) {\widehat{v}}(x)+\dotsb.
\end{equation}
\tag{4.66}
$$
Отметим, что показатель $-3$ степени малого параметра $\varepsilon$ в (4.65) обусловлен тем обстоятельством, что в спектральном краевом условии (4.44) фигурирует дифференциальный оператор третьего порядка, а срезающая функция ${\mathcal X}^\varepsilon\in C^\infty_c({\overline{\Omega}}\setminus\{P^1, \dots,P^J\})$, порожденная функцией $\chi^\infty$ из формулы (2.9),
$$
\begin{equation}
{\mathcal X}^\varepsilon(x)=1-\sum_{j=1}^J(1-\chi^\infty(\xi^j)),
\end{equation}
\tag{4.67}
$$
требуется, потому что сингулярности $O(r_j)$ функций Грина (4.60), присутствующих в разложении (4.60), не свойственны собственным функциям задачи (4.41)–(4.44), т.е. нуждаются в сглаживании. Сначала рассмотрим возмущения нулевого собственного числа задач (4.58), $j=1,\dots,J$. Положим $w^j_p(\xi^j)=b^j_{(p)}\in{\mathbb R}$. Подставим анзацы (4.65), (4.66) в соотношения (4.41)–(4.44), произведем коммутирование дифференциальных операторов со срезками $\chi_j$ и соберем слагаемые порядка $1=\varepsilon^0$, записанные в “медленных” координатах $x$. В результате получим для гладкого члена ${\widehat{v}}$ разложения (4.66) задачу (4.49), (4.50) с правыми частями
$$
\begin{equation*}
f(x)=-\sum_{j=1}^J[\Delta_x^2,\chi_j(x)]b^j_{(p)}, \qquad g_q(x)=-\sum_{j=1}^J[{\mathcal N}_q(x,\nabla_x),\chi_j(x)]b^j_{(p)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В согласии с определением (4.62) и ограничением (4.64) ее единственное решение из класса $V^2_0(\Omega)$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\widehat{v}}(x) &=\sum_{j=1}^J(\zeta(b_{(p)};x)-\chi_j(x)b^j_{(p)}) \\ &=\sum_{j=1}^J\chi_j(x)\biggl(M^0_j(b_{(p)})\Phi^j(x^j)+\sum_{\ell=1}^3 M^\ell_j(b_{(p)})x^j_\ell\biggr)+{\widetilde{v}}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.68}
$$
Теперь составим задачи в полупространстве для поправочных членов $w^{j\prime}$. Примем во внимание отделенные в (4.68) члены порядка $r_j$, перейдем к растянутым координатам (4.62), произведем коммутирование со срезающей функцией (4.67) и соберем слагаемые порядков $\varepsilon^{-3}$ в бигармоническом уравнении (4.41) и $\varepsilon^{1-q}$ в краевых условиях (4.44). В итоге приходим к задаче (4.56), (4.57) с финитными правыми частями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^j(\xi^j) &=[\Delta^2_{\xi^j},\chi^\infty(\xi^j)]\biggl(M^0_j(b_{(p)})\Phi^j(\xi^j)+\sum_{\ell=1}^3 M^\ell_j(b_{(p)})\xi^j_\ell\biggr), \\ g_q^j(\xi^{j\prime}) &=\delta_{3,q}\mu_p' \Psi_j(\xi^{j\prime})b^j_{(p)} \\ &\qquad +[{\mathcal N}^j_q(\nabla_{\xi^j}),\chi^\infty(\xi^j)]\biggl(M^0_j(b_{(p)})\Phi^j(\xi^j)+\sum_{\ell=1}^3 M^\ell_j(b_{(p)})\xi^j_\ell\biggr)\bigg|_{\xi^j_3=0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Psi_j$ – характеристическая функция множества $\varpi_j\subset{\mathbb R}^2= \partial{\mathbb R}^3_-$. Условие разрешимости полученной задачи – ортогональность в смысле формулы Грина правых частей единице (постоянной функции). Как обычно, при учете равенства (4.61) выполним предельный переход $R\to+\infty$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &=\lim_{R\to+\infty}\biggl( \int_{{\mathbb R}^3_-\cap{\mathbb B}_R}f^j(\xi^j)\,d\xi^j - \int_{\partial{\mathbb R}^3_-\cap{\mathbb B}_R}g^j_3(\xi^{j\prime})\,d\xi^{j\prime}\biggr) \\ &=-\mu_p' |\varpi_j|b^j_{(p)}-\lim_{R\to+\infty}\int_{{\mathbb S}^-_R}{\mathcal N}^j_{3\cup}(\xi^j,\nabla_{\xi^j})\biggl(M^0_j(b_{(p)})\Phi^j(\xi^j)+\sum_{\ell=1}^3 M^\ell_j(b_{(p)})\xi^j_\ell\biggr)\,ds_{\xi^j} \\ &\qquad-\mu_p' |\varpi_j|b^j_{(p)}-\lim_{R\to+\infty}\int_{{\mathbb S}^-_R}{\mathcal N}^j_{3\cup}(\xi^j,\nabla_{\xi^j})\Phi^j(\xi^j)\,ds_{\xi^j} M^0_j(b_{(p)}) \\ &=- \mu_p' |\varpi_j|b^j_{(p)}+M^0_j(b_{(p)}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, видим, что при $p=1,\dots,J$ в анзаце (4.65) главный член $\mu_0$ нулевой, а главные поправочные члены
$$
\begin{equation}
0=\mu'_1=\mu'_2=\mu'_3=\mu'_4<\mu'_5\leqslant\dots\leqslant\mu'_J
\end{equation}
\tag{4.69}
$$
суть собственные числа линейного пучка
$$
\begin{equation}
{\mathbb R}\ni\mu'\mapsto M^0\mu'-\operatorname{diag}\{|\varpi_1|,\dots,|\varpi_J|\} \mu'\in {\mathbb R}^J.
\end{equation}
\tag{4.70}
$$
Список (4.69) четырех нулевых и $J-4$ положительных собственных чисел пучка (4.70) предоставлен предложением 7. В низкочастотном диапазоне $\{\lambda^\varepsilon_m \leqslant C\varepsilon^{-2}\}$ спектра (1.12) сингулярные возмущения краевого условия в задаче (4.41)–(4.44) для бигармонического уравнения взаимодействуют, так как матрица $M^0$, реализующая линейный оператор (4.63) при $\ell=0$, построена по решениям (4.62) однородной задачи (4.49), (4.50) во всей области $\Omega$. Однако в высокочастотном диапазоне $\{\lambda^\varepsilon_m\geqslant c\varepsilon^{-3}\}$ подобное взаимодействие в главном отсутствует, так как при $p>J$ главный член $\mu_p$ асимптотики (4.65) берется из положительных частей последовательностей (4.59), а при условии (4.55) предельная задача (4.52) однозначно разрешима (ср. рассуждения в п. 4.3 для задачи (1.2), (4.13), (4.14), (1.4) с условиями Дирихле на $\gamma$). Сформулируем теорему об асимптотике собственных чисел; оценка асимптотических остатков проводится по привычной схеме из § 3, а особенности ее применения для уравнений высокого порядка приведены, например, в [38; гл. 5, § 2 и гл. 6, § 3]. Теорема 9. Первые четыре члена последовательности (1.12) собственных чисел задачи (4.41)–(4.44) нулевые. При выполнении условия (4.55) главные члены асимптотик суть положительные собственные числа (4.69) пучка (4.70), построенного по решениям (4.62) однородной задачи (4.49), (4.50). Для остальных собственных чисел верны формулы
$$
\begin{equation*}
\lambda^\varepsilon_\ell=\varepsilon^{-3} \mu^\ell+O(\varepsilon^{-5/2}), \qquad \ell=J+1,J+2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{\mu_{\ell-J}\}_{\ell\in{\mathbb N}}$ – упорядоченная последовательность положительных собственных чисел (4.59) независимых предельных задач (4.58), $j=1,\dots,J$. Как и в других рассмотренных задачах, осталось неизвестным асимптотическое строение спектра задачи при снятии требования (4.55). Наибольший прикладной интерес представляет аналогичная двумерная задача о пружинном креплении пластины Кирхгофа, однако ее асимптотический анализ не проводился. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Naz23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|