| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оценки Соломяка для оператора Бирмана–Швингера Ф. А. Сукочев, Д. В. Занин School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales, Sydney, Australia
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9732e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОценки для оператора $M_fg(\nabla)$ (здесь $M_f$ – оператор умножения, а $g(\nabla)$ – функция градиента) берут свое начало в изучении связанных состояний1 операторов Шрёдингера. Проблема описания функций $f$ и $g$ таких, что $M_fg(\nabla)$ принадлежит некоторому (слабому) классу Шаттена $\mathcal{L}_{p,\infty}$, была сформулирована Саймоном (см. [34; гипотеза 1], а также [35; гл. 4]). Первый значительный результат в этом направлении принадлежит Цвикелю (см. [13]; также см. [9; теорема 6.5]). Он гласит, что
$$
\begin{equation*}
\|M_fg(\nabla)\|_{p,\infty}\leqslant c_p\|f\|_p\,\|g\|_{p,\infty}, \qquad f\in L_p(\mathbb{R}^d), \quad g\in L_{p,\infty}(\mathbb{R}^d), \quad 2<p\leqslant\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь квазинорма слабого шаттеновского идеала слева задается формулой
$$
\begin{equation*}
\|T\|_{p,\infty}=\sup_{k\geqslant0}(k+1)^{1/p}\mu(k,T),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\mu(k,T))_{k\geqslant0}$ – (убывающая) последовательность сингулярных чисел оператора $T$ (см. [35], [24]). Мы называем оценки такого вида оценками Цвикеля (здесь функция $g$ градиента произвольна). Оценки Цвикеля были усилены Вейдлем (см. [43]) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|M_fg(\nabla)\|_{p,\infty}\leqslant c_p\|f\otimes g\|_{p,\infty}, \qquad f\otimes g\in L_{p,\infty}(\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d), \quad 2<p\leqslant\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [22] дан более общий вариант этой оценки, пригодный для “некоммутирующих переменных” $f$ и $g$. Постановка задачи, рассмотренная в [22], взята из так называемого “квантованного исчисления” и применима к конкретным проблемам в некоммутативной геометрии. В частности, оценки Цвикеля, полученные в [22], применимы к некоммутативным евклидовым пространствам (пространствам Мойяла) и к магнитным лапласианам. Следующий частный случай оценок Цвикеля наиболее важен в различных приложениях (как в математической физике, так и в некоммутативной геометрии). Определим и зафиксируем функцию $g$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
g(t)=(1+|t|^2)^{-d/(2p)}, \qquad t\in\mathbb{R}^d, \quad p>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим оператор $M_fg(\nabla)=M_f(1-\Delta)^{-d/(2p)}$. Нас интересует критическая экспонента, т.е. $p=2$. Физики были бы рады рассматривать функцию $g(t)=|t|^{-d/p}$, однако соответствующий оператор $M_fg(\nabla)$ (в критическом случае, $p=2$) неограничен (это показано, например, в доказательстве предложения 7.4 в [35]) и потому выпадает из рассмотрения в настоящей работе. Наилучшие оценки для оператора $M_f(1-\Delta)^{-d/4}$ (как на $\mathbb{R}^d$, так и на $d$-мерном торе $\mathbb{T}^d$) содержатся в фундаментальной работе Соломяка [37]. Эти оценки в [37] не сформулированы явно и даны только в случае четных размерностей. Статья [37] основана на длинной серии предшествующих работ Бирмана и Соломяка и их сотрудников (см. [5]–[7], [30], [8]), также мотивированных изучением дискретного спектра операторов Шрёдингера. Общая схема получения оценок квазинорм для оператора $M_f(1-\Delta)^{-d/4}$, сформулированная в этих работах, была в дальнейшем адаптирована в последующих работах Соломяка [38] и Шаргородского [33] к случаю четных размерностей и подходящих норм Орлича. Недавний препринт Розенблюма [31] основан на тех же идеях. Мы показываем следующую оценку для оператора $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}$ на $d$-мерном торе $\mathbb{T}^d$ и идеала $\mathcal{L}_{1,\infty}$. Теорема 1.1 реконструирует результаты Соломяка (см. [37; лемма 2.1 и теорема 2.1]) в явной форме и одновременно распространяет их на случай произвольной размерности. Ее доказательство хотя и смоделировано на основе работы [37], но содержит несколько технических модификаций, которые помогут читателю в ее освоении. Везде в статье символ $c_d$ обозначает константу, зависящую только от размерности $d$. Пространство Орлича $L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$, определенное посредством функции Орлича $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$, введено Зигмундом в 1928 г. (см. [3; п. 4.6]) и зачастую обозначается в литературе как $L\log L(\mathbb{T}^d)$. Интересно следующее сравнение результата теоремы 1.1 с теоремой 1.2 из недавней работа С. Лорда и авторов [23]. Там с использованием техники тензорных мультипликаторов, взятой из теории банаховых пространств, показано, что если $f \in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$, то
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \in\mathcal{M}_{1,\infty}(L_2(\mathbb{R}^d)),
\end{equation*}
\notag
$$
где идеал (Диксмье–Мацаева) $\mathcal{M}_{1,\infty}$, определяемый как замыкание $\mathcal{L}_{1,\infty}$ относительно субмажоризации, строго шире, чем $\mathcal{L}_{1,\infty}$ (см., например, [12]). В настоящей работе мы применяем совсем иной подход и получаем более сильную оценку в теореме 1.1 для меньшего идеала $\mathcal{L}_{1,\infty}$. Наш подход основан на идеях Соломяка из [36], [37], примененных там для случая четных размерностей. Г. Розенблюм (в частной переписке) задал вопрос о возможности продолжения теоремы 1.1 на случай евклидова пространства. Мы показываем разительный контраст между оценками для идеала Диксмье–Мацаева $\mathcal{M}_{1,\infty}$ и слабого идеала Шаттена–фон Неймана $\mathcal{L}_{1,\infty}$. Утверждение теоремы 1.1 становится ложным, если заменить $\mathbb{T}^d$ на $\mathbb{R}^d$, для любого симметричного пространства функций на $\mathbb{R}^d$. Этот неожиданный результат установлен в теореме 1.2. Теорема 1.2. Для любого симметричного квазибанахова пространства функций $E(\mathbb{R}^d)$ на $\mathbb{R}^d$ существует $0\leqslant f\in E(\mathbb{R}^d)$ такая, что Наш третий основной результат, теорема 1.3, содержит альтернативную оценку и дает подходящее продолжение результата теоремы 1.1 для случая евклидова пространства $\mathbb{R}^d$. Эта оценка покрывает все известные в литературе результаты для слабых идеалов в критическом случае. Она также доставляет наилучшую (на сегодняшний день) оценку Соломяка для $\mathbb{R}^d$ и слабого шаттеновского класса $\mathcal{L}_{1,\infty}$. Теорема 1.3. Пусть $d\in\mathbb{N}$. Пусть $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$, и $f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$. Имеем при условии, что интеграл справа конечен. Как установлено в [23; п. 2.5], оператор, рассмотренный в теореме 1.3, ограничен для любой функции $f$ из пространства Орлича2 $L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$. В частном случае, когда $d=2$, $f\geqslant0$, выражение в правой части неравенства в теореме 1.3 может быть усмотрено в работе Шаргородского [33], где оно было использовано для получения точных оценок числа отрицательных собственных значений оператора Шрёдингера (плодотворная идея использовать инверсию, примененная в [33], восходит к [4]). Отметим, что оценки Соломяка не рассматривались в [33]. Доказательство теоремы 1.3 демонстрирует конформную инвариантность оценок Соломяка. В докритическом случае эта идея восходит к работе [16]. Франк (см. [14]) исследовал конформную инвариантность (для неравенства Рюмина, которое на самом деле эквивалентно оценкам Соломяка) в докритическом случае. Мы доказываем инвариантность оценок Соломяка в критическом случае в отношении инверсии (это по существу единственное нелинейное конформное отображение при $d>2$). Теорема 1.3 является новой в случае размерности $d\neq 2$. Если $d=2$, то ее результат с некоторыми усилиями может быть выведен из результатов Соломяка [36] и Шаргородского [33]. Доказательство, данное в § 8, принадлежит профессору Франку. В § 7 мы даем альтернативное описание величины, стоящей в правой части формулы из теоремы 1.3 (см. утверждение 5.1). 1.1. Стратегия доказательстваНаш подход к доказательству теоремы 1.1 базируется на теореме вложения Соболева и следует канону, разработанному в процитированных работах Бирмана и Соломяка с решающим улучшением, предложенным Соломяком (см. [36], [37]). Следует отметить, что даже ограниченность (в равномерной норме) оператора
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}
\end{equation*}
\notag
$$
нетривиальна (для неограниченной измеримой функции $f$ на $\mathbb{T}^d$). Действительно, оценка равномерной нормы этого оператора эквивалентна (см., например, [23; теорема 2.3]) критическому случаю в теореме вложения Соболева. В § 4 мы переформулируем теорему 1.1 следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty}\leqslant c_d\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}^{1/2}, \qquad 0\leqslant f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим что $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}$ посылает $L_2(\mathbb{T}^d)$ в пространство Соболева $W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)$. Нетрудно проверить, что вложение $\operatorname{id}\colon W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ является компактным оператором. Следовательно, хотя бы для ограниченной функции $f$ оператор умножения $M_{f^{1/2}}$ из $W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)$ в $L_2(\mathbb{T}^d)$ также компактен. Мы перенимаем точку зрения Соломяка на теорему 1.1 как на оценку аппроксимационных чисел оператора $M_{f^{1/2}}$ из $W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)$ в $L_2(\mathbb{T}^d)$ (эта точка зрения объяснена ниже в лемме 4.3). Соломяк применяет методы, развитые Бирманом и Соломяком и изложенные, например, в книге [8] (см. теоремы 1.1–1.4 в [8] и последующие объяснения). Ключевыми инструментами в нашем доказательстве являются однородные неравенства Соболева на кубе (теорема 2.3) и лемма Безиковича о покрытиях (лемма 3.4). Использование покрытий вместо разбиений, применяемых ранее при построении аппроксимирующих операторов конечного ранга, было впервые предложено Розенблюмом; см. также комментарии, предшествующие доказательству теоремы 3.1. Решающее значение теоремы 2.3 становится очевидным в доказательстве леммы 4.1. Лемма Безиковича о покрытиях позволяет выбрать линейный оператор заданного ранга $n$, приближающий $M_{f^{1/2}}$ с нужной точностью. Теорема вложения Соболева в критическом случае была доказана Ханссоном, Брезисом и Вайнгером, Цвикелем и Пустыльником и подвергнута дальнейшему анализу в работе [41], где оценки на норму заменены оценками на функцию распределения. Такой подход позволяет вычислять операторную норму оператора $(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}$ и является незаменимым инструментом в доказательстве теоремы 1.2. Техника, использованная в доказательстве теоремы 1.3, основывается на инверсионном трюке, приписываемом в [33] Григоряну и Надирашвили (см. [18]; см. также [4] и [16]). Эта техника позволяет сравнивать операторы
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}, \qquad (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{Vf}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4},
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $Vf$ определена в лемме 5.3. Решающее значение имеет тот факт, что если носитель функции $f$ лежит вне единичного шара, то носитель функции $Vf$ содержится в единичном шаре. Это наблюдение позволяет свести задачу к случаю, когда носитель функции $f$ содержится в единичном шаре, т.е. к оценкам Соломяка на торе $\mathbb{T}^d$. Насколько нам известно, это первый случай использования инверсии в изучении оценок Соломяка. БлагодарностиАвторы благодарят профессоров Н. Трудингера и Э. Вальдиночи за полезные обсуждения теоремы вложения Соболева и профессора Г. Розенблюма за его интерес, проявленный к настоящей работе, и за обсуждения, приведшие к многочисленным улучшениям в изложении материала (как в математическом, так и в историческом плане). Авторы признательны профессору Р. Франку за доказательство, изложенное в § 8, и за его сообщение о работе [14]. § 2. Предварительные сведенияНа протяжении статьи считаем, что константы $c_{x,y}$ зависят только от $x$, $y$. Точные значения этих констант могут меняться от строчки к строчке. Запись $A\approx B$ означает, что существует абсолютная константа $c>1$ такая, что $c^{-1}A\leqslant B\leqslant cA$. Интеграл, записанный без точно указанной меры, означает, что интегрирование ведется относительно меры Лебега. 2.1. Симметричные пространства функцийПусть $(\Omega,\omega)$ – это $\sigma$-конечное пространство с мерой. Пусть $S(\Omega,\omega)$ – это множество всех $\omega$-измеримых функций на $\Omega$ таких, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ ($n$ зависит от $f$) носитель функции $|f|\chi_{\{|f|>n\}}$ имеет конечную меру. Для каждого $f\in S(\Omega,\omega)$ функция распределения принимает конечные значения для всех достаточно больших $t$. Для каждой $f\in S(\Omega,\omega)$ мы определяем понятие убывающей перестановки $f$ (обозначаемой $\mu(f)$): это неотрицательная функция на $\mathbb{R}_+$, равноизмеримая с $|f|$. Свойства перестановок можно найти в [21].Пусть $E(\Omega,\omega)\subset S(\Omega,\omega)$, и пусть $\|\cdot\|_E$ – это квазибанахова норма на $E(\Omega,\omega)$ такая, что:
Мы говорим, что $(E(\Omega,\omega),\|\cdot\|_E)$ (или просто $E$) – симметричное квазибанахово пространство функций (для краткости – симметричное пространство). Если $\Omega=\mathbb{R}_+$, то функция называется фундаментальной функцией пространства $E$. Фундаментальная функция может быть определена аналогично, когда $\Omega$ – это интервал или произвольное $\sigma$-конечное безатомное пространство с мерой (хотя мы будем использовать только простейшие случаи типа $\mathbb{T}^d$). Конкретные примеры пространств с мерой $(\Omega, \omega)$, рассматриваемые в настоящей работе, – это $\mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/(2\pi\mathbb{Z})^d$ (снабженные нормализованной мерой Хаара $\nu$), $\mathbb{R}_+$, $\mathbb{R}^d$ (снабженные мерой Лебега $\nu$) и их измеримые подмножества.Среди конкретных симметричных пространств, использованных в настоящей работе, находятся $L_p$-пространства и пространства Орлича. Для данной выпуклой функции $\Phi$ на $[0,\infty)$ такой, что $\Phi(0)=0$, пространство Орлича $L_{\Phi}(\Omega,\omega)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
L_{\Phi}(\Omega,\omega)=\bigl\{f\in S(\Omega,\omega)\colon \Phi(\lambda|f|)\in L_1(\Omega,\omega) \text{ для любого }\lambda>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы снабдим это пространство нормой
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_{\Phi}}=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \biggl\|\Phi\biggl(\frac{|f|}{\lambda}\biggr)\biggr\|_1\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В книге [20] можно найти дополнительную информацию о пространствах Орлича. Для функции $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$, имеем $f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$, если и только если $\mu(f)\chi_{(0,1)}\in L_{\Phi}(0,1)$ и $f\in L_1(\mathbb{R}^d)$. Мы также определим операторы растяжения $\sigma_r$, $r>0$, которые действуют на $S(\mathbb{R},\nu)$ (или на $S(\mathbb{R}^d,\nu)$), по формуле
$$
\begin{equation*}
(\sigma_rf)(t)=f\biggl(\frac{t}{r}\biggr), \qquad f\in S(\mathbb{R},\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
Иногда удобно рассматривать растяжение функции $f$, определенной a priori только на некотором подмножестве (обычно на интервале или на кубе) $\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}^d$. В таком случае мы сначала продолжаем $f$ до функции на $\mathbb{R}$ (или $\mathbb{R}^d$), полагая $f=0$ вне начальной области определения $f$. 2.2. Следовые идеалыМатериал этого пункта стандартен; за деталями мы отсылаем читателя к [24], [35]. Пусть $H$ – комплексное сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство; $B(H)$ обозначает множество всех ограниченных операторов на $H$; $K(H)$ – идеал всех компактных операторов на $H$. Для данного $T\in K(H)$ последовательность сингулярных чисел $\mu(T) = (\mu(k,T))_{k=0}^\infty$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\mu(k,T) = \inf\bigl\{\|T-R\|_{\infty}\colon \mathrm{rank}(R) \leqslant k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\|\cdot\|_{\infty}$ обозначает операторную норму. Зачастую удобно ассоциировать $(\mu(k,T))_{k\geqslant0}$ со ступенчатой функцией $\sum_{k\geqslant0}\mu(k,T)\chi_{[k,k+1)}$ на полуоси $(0,\infty)$. Неравенства вида $\mu(S)\leqslant\mu(T)$ далее следует понимать поточечно, т.е. $\mu(k,S)\leqslant\mu(k,T)$ для всех $k\geqslant0$. Пусть $p \in (0,\infty)$. Слабый класс Шаттена $\mathcal{L}_{p,\infty}$ – это множество всех операторов $T$ таких, что $\mu(T)$ попадает в слабое $L_p$-пространство $l_{p,\infty}$ с квазинормой:
$$
\begin{equation*}
\|T\|_{p,\infty} = \sup_{k\geqslant 0} (k+1)^{1/p}\mu(k,T) < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mathcal{L}_{p,\infty}$ – это идеал в $B(H)$. Мы также отметим вариант неравенства Гёльдера
$$
\begin{equation}
\|TS\|_{r,\infty} \leqslant c_{p,q}\|T\|_{p,\infty}\|S\|_{q,\infty},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $1/r=1/p+1/q$, для некоторой константы $c_{p,q}$. Это неравенство вытекает непосредственно из определения квазинорм и неравенства (см., например, [17; следствие 2.2])
$$
\begin{equation*}
\mu(2n,TS)\leqslant \mu(n,T)\mu(n,S), \qquad n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Идеал $\mathcal{L}_{1,\infty}$ представляет особый интерес. 2.3. Пространства Соболева на кубахПусть $m\in\mathbb{Z}_+$. Для каждого открытого куба $\Pi\subset\mathbb{R}^d$ мы определим пространство Соболева $W^{m,2}(\Pi)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
W^{m,2}(\Pi)=\bigl\{ u\in L_2(\Pi)\colon \nabla^{\alpha}u\in L_2(\Pi),\ |\alpha|_1\leqslant m \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $|\alpha|_1=\sum_{k=1}^d|\alpha_k|$ для всякого $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb{Z}^d_+$; смешанную производную $\nabla^{\alpha}f$ следует понимать в смысле распределений. Мы снабдим $W^{m,2}(\Pi)$ (неоднородной) нормой Соболева (см. [1]), заданной формулой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{m,2}(\Pi)}^2=\sum_{|\alpha|_1\leqslant m}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi)}^2
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой $u\in W^{m,2}(\Pi)$. Известно, что $(W^{m,2}(\Pi),\|\cdot\|_{W^{m,2}(\Pi)})$ – это гильбертово пространство (см., например, [1; теорема 3.5]). Пусть $s>0$, и пусть $m=\lfloor s\rfloor$. При $s\neq m$ пространство Соболева $W^{s,2}(\Pi)$ определяется так:
$$
\begin{equation*}
W^{s,2}(\Pi)=\biggl\{ u\in W^{m,2}(\Pi)\colon \int_{\Pi}\int_{\Pi}\frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x) -(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y)<\infty \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $|x|_2=(\sum_{k=1}^dx_k^2)^{1/2}$ для каждого $x\in\mathbb{R}^d$. Снабдим $W^{s,2}(\Pi)$ (неоднородной) нормой Соболева (см. [1; теорема 7.48]), заданной формулой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi)}^2=\|u\|_{W^{m,2}(\Pi)}^2+\sum_{|\alpha|_1\leqslant m}\int_{\Pi}\int_{\Pi} \frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x)-(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой $u\in W^{s,2}(\Pi)$. Известно, что $(W^{s,2}(\Pi),\|\cdot\|_{W^{s,2}(\Pi)})$ – это гильбертово пространство (см., например, [1; теорема 7.48] для доказательства полноты; равенство параллелограмма проверяется напрямую). 2.4. Пространства Соболева на $\mathbb{R}^d$ и на $\mathbb{T}^d$Напомним, что пространство Соболева $W^{s,2}(\mathbb{R}^d)$ допускает более простое описание (см., например, [1; теорема 7.63])
$$
\begin{equation*}
W^{s,2}(\mathbb{R}^d)=\bigl\{ u\in L_2(\mathbb{R}^d)\colon (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{s/2}u\in L_2(\mathbb{R}^d)\bigr\}, \qquad s>0,
\end{equation*}
\notag
$$
с эквивалентной нормой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{R}^d)}=\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{s/2}u\|_2,\qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\Delta_{\mathbb{R}^d}$ – это оператор Лапласа на $\mathbb{R}^d$. Нам также понадобится понятие пространства Соболева на торе
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^{s,2}(\mathbb{T}^d)=\bigl\{ u\in L_2(\mathbb{T}^d)\colon (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{s/2}u\in L_2(\mathbb{T}^d)\bigr\}, \\ \|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}=\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{s/2}u\|_2, \qquad u\in W^{s,2}(\mathbb{T}^d). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь, $\Delta_{\mathbb{T}^d}$ – это оператор Лапласа на $\mathbb{T}^d$. Мы идентифицируем $\mathbb{T}^d$ с кубом $(-\pi,\pi)^d$, противолежащие грани которого “склеены”. Снабдим $\mathbb{T}^d$ нормированной мерой Хаара $\nu$. Расстояние между точками $x,y\in\mathbb{T}^d$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(x,y)=|x-y|_2, \qquad x,y\in\mathbb{T}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x-y$ рассматривается как элемент из $(-\pi,\pi)^d$. Доказательство. Пусть $(e_n)_{n\in\mathbb{Z}^d}$ обозначает базис Фурье в $L_2(\mathbb{T}^d)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \\ &\qquad=\sum_{m,n\in\mathbb{Z}^d}\widehat{u}(n)\overline{\widehat{u}(m)} \int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}} =e_{n-m}(y)\frac{(e_n(x-y)-1)\overline{(e_m(x-y)-1)}}{\operatorname{dist}(x-y,0)^{d+2s}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-e_n(y))\overline{(e_m(x)-e_m(y))}}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \\ &\qquad=\delta_{n,m}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{(e_n(x)-1)\overline{(e_m(x)-1)}}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, В последней сумме член, соответствующий $n=0$, обнуляется. Поэтому мы оценим (как сверху, так и снизу) члены, соответствующие $n\neq0$.
Как легко видеть,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{T}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x) &=(2\pi)^{-d}\int_{(-\pi,\pi)^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x) \\ &=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)+O(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что именно в этом месте проявляется требование $0<s<1$ (иначе интеграл расходится). Положим $k=(1,0,\dots,0)$. Так как $n\neq0$, то существует такой элемент $U\in \operatorname{SO}(d)$, что $n=|n|_2\cdot Uk$. Заменяя переменную в интеграле по формуле $x=\dfrac1{|n|_2}Uy$, получаем
$$
\begin{equation*}
(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{|x|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)=c_{d,s}|n|_2^{2s}, \qquad 0\neq n\in\mathbb{Z}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}\frac{|e_n(x)-1|^2}{\operatorname{dist}(x,0)^{d+2s}}\,d\nu(x)\in (c_{d,s}'|n|_2^{2s},c_{d,s}''|n|_2^{2s}), \qquad 0\neq n\in\mathbb{Z}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}\int_{\mathbb{T}^d} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\operatorname{dist}(x,y)^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y) \in \biggl(c_{d,s}'\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}|n|_2^{2s}|\widehat{u}(n)|^2,c_{d,s}'' \sum_{n\in\mathbb{Z}^d}|n|_2^{2s}|\widehat{u}(n)|^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Этого достаточно чтобы завершить доказательство.
Теорема 2.1 доказана. 2.5. Пространства Соболева на торических кубахНапомним, что под торическим кубом мы всегда понимаем декартово произведение (открытых) дуг3 равных длин. Из этого определения следует, что различные кубы всегда параллельны друг другу. Когда тор идентифицирован с $(-\pi,\pi)^d$, куб зачастую4 совпадает с (правильно ориентированным) евклидовым кубом в $(-\pi,\pi)^d$. Если при такой идентификации торический куб $\Pi$ – это евклидов куб, то $W^{s,2}(\Pi)$ определяется так же, как в п. 2.3. Если же это не так, то выберем некоторое $t\in\mathbb{T}^d$ так, чтобы куб $t+\Pi$ совпадал при этой идентификации с евклидовым кубом. Положим
$$
\begin{equation*}
W^{s,2}(\Pi)=\{u\in L_2(\Pi)\colon u(\cdot-t)\in W^{s,2}(t+\Pi)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конечно же, это определение не зависит от выбранного $t\in\mathbb{T}^d$. Иными словами, предыдущее равенство выполнено для любого $t\in\mathbb{T}^d$. 2.6. Теорема вложения Соболева при $s=d/2$Следующий результат – это вариант хорошо известного неравенства Мозера–Трудингера (см. [42]); этот результат был независимо установлен Юдовичем (см. [44]) и в более явной форме Похожаевым (см. [28]). Результат Трудингера указывает, что пространство Соболева $W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)$ вложено в пространство Орлича $\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)$ (см. также теорему 2.2 ниже). Подробное доказательство можно найти в [23; лемма 2.2] и [27]. Далее через $\exp(L_2)$ будем обозначать пространство Орлича, ассоциированное с функцией Орлича $t\to e^{t^2}-1$, $t>0$. 2.7. Однородные полунормы на пространствах СоболеваНам также потребуются однородные полунормы Соболева. При $s=m\in\mathbb{Z}_+$ они задаются формулой
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{m,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}^2 =\sum_{|\alpha|_1=m}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s\notin\mathbb{Z}_+$, $m=\lfloor s\rfloor$, то используется формула
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}^2 =\sum_{|\alpha|_1=m}\int_{\Pi}\int_{\Pi}\frac{|(\nabla^{\alpha}u)(x) -(\nabla^{\alpha}u)(y)|^2}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}\,d\nu(x)\,d\nu(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\leqslant \|u\|_{W^{s,2}(\Pi)}, \qquad u\in W^{s,2}(\Pi).
\end{equation*}
\notag
$$
Когда $s$ – целое число, следующее утверждение – это теорема 1.1.16 в [25]. В [36] Соломяк использовал его (для четной размерности $d$ и для $s=d/2$) без доказательства или ссылки. Доказательство, приведенное далее, предложено Г. Розенблюмом (по его словам, данный результат – это часть фольклора петербургской школы). Доказательство Розенблюма проще, чем наш оригинальный аргумент, и включено здесь с его любезного разрешения. Теорема 2.3. Пусть $d\in\mathbb{N}$, и пусть $\Pi=(-\pi,\pi)^d$. Если $u\in W^{s,2}(\Pi)$, $s>0$, ортогонально (в $L_2(\Pi)$) каждому полиному степени строго меньше чем $s$, то Доказательство. Мы докажем утверждение только для нецелых $s$. Положим $m=\lfloor s\rfloor$.
Предположим противное и выберем последовательность $(u_k)_{k\geqslant0}\subset W^{s,2}(\Pi)$ такую, что: 1) $\|u_k\|_{W^{m,2}(\Pi)}=1$ для каждого $k\geqslant0$; 2) $\|u_k\|_{W^{s,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\to0$ при $k\to\infty$; 3) $\langle u_k,p\rangle_{L_2(\Pi)}=0$ для каждого $k\geqslant0$ и для каждого полинома $p$ степени $m$. В частности, для каждого $\alpha$ с $|\alpha|_1=m$ имеем
$$
\begin{equation}
\|\nabla^{\alpha}u_k\|_{W^{s-m,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}\to0, \qquad k\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Важно помнить, что $W^{s,2}(\Pi)$ компактно вложено в $W^{m,2}(\Pi)$ (этот фундаментальный факт следует, например, из теоремы 3.27 в [26]). Переходя к подпоследовательности, если нужно, мы можем предполагать, что $u_k\to u_{\infty}$ в $W^{m,2}(\Pi)$. Для каждого $\alpha$ с $|\alpha|_1=m$ имеем $\nabla^{\alpha}u_k\to \nabla^{\alpha}u_{\infty}$ в $L_2(\Pi)$. Переходя к подпоследовательности, если нужно, мы можем предполагать, что $\nabla^{\alpha}u_k\to \nabla^{\alpha}u_{\infty}$ почти всюду. Зафиксируем $\alpha$ с $|\alpha|_1=m$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_k(x,y)=\frac{(\nabla^{\alpha}u_k)(x)-(\nabla^{\alpha}u_k)(y)}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}, \qquad x,y\in\Pi, \\ v_{\infty}(x,y)=\frac{(\nabla^{\alpha}u_{\infty})(x) -(\nabla^{\alpha}u_{\infty})(y)}{|x-y|_2^{d+2(s-m)}}, \qquad x,y\in\Pi. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем, что $v_k\to v_{\infty}$ почти всюду. С другой стороны, (2.3) означает, что $v_k\to0$ в $L_2(\Pi\times\Pi)$. Получается, что $v_{\infty}=0$. Поэтому $\nabla^{\alpha}u_{\infty}$ – константа.
Поскольку $\nabla^{\alpha}u_{\infty}$ постоянна для каждого $\alpha$ с $|\alpha|_1=m$, то $u_{\infty}$ – это полином степени не выше $m$. Пусть $p$ – полином степени не выше $m$. Поскольку отображение
$$
\begin{equation*}
f\to \langle f,p\rangle_{L_2(\Pi)}, \qquad f\in W^{m,2}(\Pi),
\end{equation*}
\notag
$$
– это непрерывный линейный функционал на $W^{m,2}(\Pi)$, то
$$
\begin{equation*}
\langle u_k,p\rangle_{L_2(\Pi)}\to \langle u_{\infty},p\rangle_{L_2(\Pi)}, \qquad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако по выбору $u_k$ таковы, что
$$
\begin{equation*}
\langle u_k,p\rangle_{L_2(\Pi)}=0, \qquad k\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого полинома $p$ степени не выше $m$. Учитывая, что $u_{\infty}$ – это полином степени $m$, получаем $u_{\infty}=0$. Поэтому $u_k\to0$ в $W^{m,2}(\Pi)$, что противоречит выбору $\|u_k\|_{W^{m,2}(\Pi)}=1$ при всех $k\geqslant0$.
Теорема 2.3 доказана. § 3. Теорема Соломяка о покрытияхФормально теорема 3.1 далее новая. Однако ее утверждение содержится в явной форме в статье [36]. Напомним, что $\mathbb{T}^d$ снабжен нормированной мерой Хаара $\nu$. Для функции Орлича $\Phi$ и для $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$ положим
$$
\begin{equation*}
J_f^{\Phi}(A)=\nu(A)\bigl\|\sigma_{1/\nu(A)}\mu(f|_A)\bigr\|_{L_{\Phi}}, \qquad A\subset\mathbb{T}^d, \quad \nu(A)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение технически проще (хотя и эквивалентно), чем данное в [36] (см. там формулы (4) и (13)). Везде в настоящей статье мы рассматриваем тор $\mathbb{T}^d$ как декартово произведение $d$ экземпляров одномерного тора $\mathbb{T}^1$, а куб в $\mathbb{T}^d$ – как декартово произведение дуг одинаковой длины. Теорема 3.1. Пусть $L_{\Phi}$ – это сепарабельное пространство Орлича на $(0,1)$. Для каждого $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$ и для каждого $n\in\mathbb{N}$ существуют $m(n)\leqslant c_dn$ и коллекция $(\Pi_k)_{k=1}^{m(n)}$ торических кубов в $\mathbb{T}^d$ таких, что: Следующая лемма демонстрирует тот факт, что каждое пространство Орлича дистрибутивно вогнуто (подробное обсуждение этого понятия содержится в [2]). Использование этого понятия – главное отличие нашего доказательства от имеющегося в [36]. Обозначим дизъюнктную сумму функций $(x_i)_{i\in\mathbb{I}}$ как $\bigoplus_{i\in\mathbb{I}}x_i$. Лемма 3.1. Пусть $\Phi$ – функция Орлича, и пусть $L_{\Phi}$ – соответствующее пространство Орлича на $(0,1)$ или на $(0,\infty)$. Имеем для каждой последовательности $(f_k)_{k\geqslant1}\subset L_{\Phi}$ и для каждой последовательности скаляров $(\lambda_k)_{k\geqslant1}\subset(0,1)$ таких, что $\sum_{k\geqslant1}\lambda_k=1$. Доказательство. Для определенности мы рассмотрим пространство на $(0,\infty)$. Пусть $\Psi$ – это дополнительная функция Орлича. Имеем (см. [20; равенство (9.24)]) Здесь
Выберем $g_k\in L_{\Psi}$ такую, что $\|g_k\|_{L_{\Psi}}\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\langle f_k,g_k\rangle\geqslant\frac12\|f_k\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k\geqslant1}\lambda_k\|f_k\|_{L_{\Phi}} & \leqslant 2\sum_{k\geqslant1}\lambda_k\langle f_k,g_k\rangle=2\sum_{k\geqslant1}\langle \sigma_{\lambda_k}f_k,\sigma_{\lambda_k}g_k\rangle \\ &=2\biggl\langle \bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}f_k,\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\rangle\leqslant 4\biggl\|\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}f_k\|_{L_{\Phi}}\| \bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\|_{L_{\Psi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\|g_k\|_{L_{\Psi}}\leqslant1$, то $\|\Psi(g_k)\|_1\leqslant1$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\|\Psi\biggl(\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr)\biggr\|_1 =\sum_{k\geqslant1}\|\Psi(\sigma_{\lambda_k}g_k)\|_1 =\sum_{k\geqslant1}\lambda_k\|\Psi(g_k)\|_1\leqslant1, \\ \biggl\|\bigoplus_{k\geqslant1}\sigma_{\lambda_k}g_k\biggr\|_{L_{\Psi}}\leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя эти оценки, получаем требуемое утверждение.
Лемма 3.1 доказана. Следующая лемма показывает субаддитивность функции $J_f^{\Phi}$. Она следует из леммы 3.1. Лемма 3.2. Пусть $\Phi$ и $f$ такие же, как в теореме 3.1. Если $(A_k)_{k=0}^n$ – это произвольное измеримое по Лебегу разбиение $\mathbb{T}^d$, то Доказательство. Положим $\lambda_k=\nu(A_k)$, $1\leqslant k\leqslant n$, так что $\sum _{k=1}^n \lambda_k=1$, и пусть
$$
\begin{equation*}
f_k=\sigma_{\lambda_k^{-1}}\mu(f|_{A_k}), \qquad 1\leqslant k\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(f)=\mu\biggl(\bigoplus_{k=1}^n\sigma_{\lambda_k}f_k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 3.1 имеем
Лемма доказана. Снабдим $\sigma$-алгебру всех измеримых по Лебегу множеств в $\mathbb{T}^d$ обычной метрикой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dist}(A_1,A_2)=\nu(A_1\bigtriangleup A_2), \qquad A_1, A_2\subset \mathbb{T}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь симметрическая разность задается формулой
$$
\begin{equation*}
A_1\bigtriangleup A_2=(A_1\setminus A_2)\cup(A_2\setminus A_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Для данной функции $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$ определим функцию $F_f\colon [0,1]\to\mathbb{R}_+$, полагая
$$
\begin{equation*}
F_f(t)=2\|\mu(f)\chi_{(0,t)}\|_{L_{\Phi}}+2t^{1/2}\|f\|_{L_{\Phi}} +4t^{1/2}\|\sigma_{1/(2t^{1/2})}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}, \qquad t\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее утверждение немного усиливает лемму 4 из [36] и приспосабливает ее к случаю $\mathbb{T}^d$. Лемма 3.3. Пусть $L_{\Phi}$ – это сепарабельное5 пространство Орлича на $(0,1)$. Для каждого $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$ отображение $A\to J_f^{\Phi}(A)$ непрерывно в метрике $\operatorname{dist}$. Более точно, для любых измеримых множеств $A_1,A_2\subset\mathbb{T}^d$ имеем Доказательство. Зафиксируем $\epsilon\,{\in}\,(0,1)$ и считаем, что $\nu(A_1\,{\bigtriangleup}\, A_2)\,{<}\,\epsilon^2$. Рассмотрим следующие два логически возможных случая.
Случай 1. Пусть $\nu(A_1)>\epsilon$ и $\nu(A_2)>\epsilon$. Положим $A_3=A_1\cup A_2$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\nu(A_1)\leqslant\nu(A_3)\leqslant (1+\epsilon)\nu(A_1), \qquad \nu(A_2)\leqslant \nu(A_3)\leqslant (1+\epsilon)\nu(A_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство треугольника, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_f^{\Phi}(A_3) &=\nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_3})\|_{L_{\Phi}} \\ &\leqslant \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_2\setminus A_1})\|_{L_{\Phi}}+\nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_2\setminus A_1})\|_{L_{\Phi}}\leqslant \|f|_{A_2\setminus A_1}\|_{L_{\Phi}}\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}, \\ \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_3)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}\leqslant \nu(A_3)\|\sigma_{1/\nu(A_1)}\mu(f|_{A_1})\|_{L_{\Phi}}=\frac{\nu(A_3)}{\nu(A_1)}\cdot J_f^{\Phi}(A_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\nu(A_3)<(1+\epsilon)\nu(A_1)$, получаем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant J_f^{\Phi}(A_3)-J_f^{\Phi}(A_1)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}} +\epsilon \cdot J_f^{\Phi}(A_1)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}+\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, имеем
$$
\begin{equation*}
0\leqslant J_f^{\Phi}(A_3)-J_f^{\Phi}(A_2)\leqslant \|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_{L_{\Phi}}+\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|J_f^{\Phi}(A_1)-J_f^{\Phi}(A_2)|\leqslant 2\|\mu(f)\chi_{(0,\epsilon^2)}\|_E+2\epsilon\|f\|_{L_{\Phi}}\leqslant F_f(\epsilon^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где последняя оценка следует из определения $F_f$. Доказательство в случае 1 завершено.
Случай 2. Пусть $\nu(A_1)\leqslant\epsilon$ или $\nu(A_2)\leqslant\epsilon$. Поскольку $\nu(A_1\bigtriangleup A_2)<\epsilon^2$, получаем, что одновременно $\nu(A_1)\leqslant2\epsilon$ и $\nu(A_2)\leqslant2\epsilon$. По определению $J_f^{\Phi}$ получаем
$$
\begin{equation*}
J_f^{\Phi}(A_k)\leqslant 2\epsilon\|\sigma_{1/(2\epsilon)}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}, \qquad k=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|J_f^{\Phi}(A_1)-J_f^{\Phi}(A_2)|\leqslant 4\epsilon\|\sigma_{1/(2\epsilon)}\mu(f)\|_{L_{\Phi}}\leqslant F_f(\epsilon^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство в случае 2 завершено.
Лемма 3.3 доказана. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [15; приложение B] или [11; теорема II.18.1], где похожий результат установлен для покрытий замкнутыми кубами). Отметим, что рассуждения из [11] продолжаются практически дословно на случай покрытий, рассматриваемых здесь. Лемма 3.4 (лемма Безиковича о покрытиях). Для каждого $x\in\mathbb{T}^d$ пусть $\Pi_x\subset \mathbb{T}^d$ – это открытый торический куб с центром в $x$. Существуют число $c_d\in\mathbb{N}$ и подмножества $(S_l)_{l=1}^{c_d}$ в $\mathbb{T}^d$ такие, что: Здесь константа $c_d$ зависит от $d$ и не зависит от системы $(\Pi_x)_{x\in\mathbb{T}^d}$. Доказательство теоремы 3.1 повторяет приведенное в [36], но покрывает случай произвольной размерности $d$. Г. Розенблюм сообщил нам, что идея использовать покрытия вместо разбиений (в отличие от предшествующих работ Бирмана и Соломяка) принадлежит ему. В [36] (см. также более раннюю книгу [8]) лемма о покрытиях с доказательством Розенблюма была заменена леммой Безиковича о покрытиях. Доказательство теоремы 3.1. Зафиксируем $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$. Пусть $\Pi_{x,t}$ – открытый куб с центром в $x\in \mathbb{T}^d$ и стороной $t\in (0,1)$. По лемме 3.3 функция непрерывна. По теореме о промежуточном значении существует $t=t(x)$ такое, что Положим $\Pi_x=\Pi_{x,t(x)}$, $x\in\mathbb{T}^d$. Рассмотрим покрытие $\{\Pi_x\}_{x\in \mathbb{T}^d}$. Пусть $c_d\in\mathbb{N}$ и множества $(S_l)_{l=1}^{c_d}$ получены из леммы 3.4. Рассмотрим произвольное конечное подмножество $A_l\subset S_l$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\{\Pi_x\}_{x\in A_l}\cup\biggl\{\bigcap_{x\in A_l}(\Pi_x)^c\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
является разбиением $\mathbb{T}^d$. По (3.1) и лемме 3.2 имеем Иными словами, $|A_l|\leqslant 4n$ для каждого конечного подмножества $S_l$. Таким образом, само множество $S_l$ конечно и $|S_l|\leqslant 4n$.
Положим $\Pi_k=\Pi_{x,t(x)}$, где индекс $k$ заменяет пару $(l,x)$, когда $x\in S_l$. Как следует из изложенного выше, существует самое большее $4c_dn$ различных индексов $k$. Теорема 3.1 доказана. § 4. Доказательство теоремы 1.1Следующий факт считается стандартным и приводится только потому, что у нас нет подходящей ссылки. Утверждение состоит в том что однородные полунормы Соболева “хорошо ведут себя” при растяжениях. Факт 4.1. Пусть $\Pi=(-\pi\epsilon,\pi\epsilon)^d$, $0<\epsilon\leqslant 1$. Имеем В частности, Доказательство следующей леммы распространяет лемму 2 из [36] на случай произвольной размерности; в доказательсте критически важен факт 4.1. Лемма 4.1. Пусть $d\in\mathbb{N}$. Пусть $\Pi\subset\mathbb{T}^d$ – это открытый торический куб. Пусть $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$, и пусть $f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$. Для каждого $u\in W^{d/2,2}(\Pi)$, ортогонального (в $L_2(\Pi)$) каждому полиному степени $<d/2$, имеем Доказательство. Без потери общности считаем, что $\Pi=(-\pi\epsilon,\pi\epsilon)^d$. Применяя растяжение, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi}|f|\cdot |u|^2\,d\nu=\epsilon^d\int_{\mathbb{T}^d}|\sigma_{1/\epsilon}f|\cdot |\sigma_{1/\epsilon}u|^2\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства Гёльдера (см., например, [21; теорема II.5.2]) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}F|G|^2\,d\nu\leqslant c_{\mathrm{abs}}\|F\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\||G|^2\|_{\exp(L_1)(\mathbb{T}^d)}= c_{\mathrm{abs}}\|F\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\|G\|_{\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)}^2
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $F\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$ и для всех $G\in\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi}|f|\cdot |u|^2\,d\nu\leqslant c_{\mathrm{abs}} \epsilon^d\|\sigma_{1/\epsilon}f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)}\| \sigma_{1/\epsilon}u\|_{\exp(L_2)(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $\sigma_{1/\epsilon}u$ ортогонально каждому полиному степени $<d/2$ на $\mathbb{T}^d$. По теореме 2.2 и теореме 2.3 имеем По определению $J_f^{\Phi}$ Комбинируя три последние оценки, получаем требуемое утверждение.
Лемма 4.1 доказана. Следующий факт также стандартный и приводится для удобства читателя, поскольку у нас нет подходящей ссылки. Факт 4.2. Пусть $\Pi\,{\subset}\,\mathbb{T}^d$ – открытый торический куб, и пусть $P\colon L_2(\Pi)\,{\to} L_2(\Pi)$ – это проектор на подпространство, порожденное полиномами степени $< d/2$. (i) Для каждого $u\in L_2(\Pi)$ функция $u\,{-}\,Pu$ ортогональна (в $L_2(\Pi)$) каждому полиному $v$ степени $<d/2$. (ii) Для каждого $u\in W^{d/2,2}(\Pi)$ имеем $\|u-Pu\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}=\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi)}$. Лемма 4.2. Пусть $(\Pi_k)_{k=1}^K$ – это последовательность открытых торических кубов в $\mathbb{T}^d$. Предположим, что каждая точка в $\mathbb{T}^d$ принадлежит самое большое $C$ кубам из $\Pi_k$, $1\leqslant k\leqslant K$. Имеем Здесь константа $c_{d,s}$ зависит только от $d$ и $s$ и не зависит от последовательности $(\Pi_k)_{k=1}^K$. Доказательство. Шаг 1. Предположим, что $s$ целое. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2=\sum_{|\alpha|_1\leqslant s}\sum_{k=1}^K\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению (для всех $\alpha\in\mathbb{Z}^d_+$ с $|\alpha|_1\leqslant s$) Поэтому где константа $c_{d,s}$ зависит только от $d$ и $s$.
Шаг 2. Предположим, что $s\in(0,1)$. Идентифицируем $\mathbb{T}^d$ и $(-\pi,\pi)^d$. Для $1\leqslant k\leqslant K$ зафиксируем точку $t^k\in\mathbb{T}^d$ так, что куб $t^k+\Pi$ евклидов. В силу определения пространства Соболева на евклидовом кубе имеем
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2=\|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2 +\int_{t^k+\Pi_k}\int_{t^k+\Pi_k}\frac{|u(x-t^k)-u(y-t^k)|^2}{|x-y|_2^{d+2s}}\,d\nu(x)\,d\nu(y).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению расстояния6 на торе имеем
$$
\begin{equation*}
|x-y|_2\geqslant \operatorname{dist}(x,y), \qquad x,y\in t^k+\Pi_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant \|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2+\|v_s\|_{L_2(\Pi_k\times\Pi_k)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
v_s(x,y)=\frac{u(x)-u(y)}{\operatorname{dist}(x,y)^{d/2+s}}, \qquad x,y\in\mathbb{T}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{L_2(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2, \qquad \sum_{k=1}^K\|v_s\|_{L_2(\Pi_k\times\Pi_k)}^2\leqslant C^2\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2+C^2\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2.1
$$
\begin{equation*}
\|v_s\|_{L_2(\mathbb{T}^d\times\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c''_{d,s}\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $c_{d,s}''$ зависит только от $d$ и $s$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}^2+c''_{d,s}C^2\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 3. Пусть теперь $s$ произвольное нецелое. По определению пространства Соболева на кубе
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2\leqslant\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2+\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря шагу 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря шагу 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^K\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\Pi_k)}^2\leqslant C\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)}+c''_{d,s-\lfloor s\rfloor}C^2\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^K\|u\|_{W^{s,2}(\Pi_k)}^2 &\leqslant c'_{d,\lfloor s\rfloor}C\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2+C\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{L_2(\mathbb{T}^d)} \\ &\qquad +C^2\sum_{|\alpha|_1=\lfloor s\rfloor}\|\nabla^{\alpha}u\|_{W^{s-\lfloor s\rfloor,2}(\mathbb{T}^d)}^2\leqslant c_{d,s}C^2\|u\|_{W^{s,2}(\mathbb{T}^d)}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.2 доказана. Следующее утверждение было доказано Соломяком для четных $d$ (см. [36; теорема 1]). Мы докажем его для произвольных размерностей. Лемма 4.3. Пусть $d\in\mathbb{N}$. Пусть $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$, и пусть $0\leqslant f\in L_{\Phi}(\mathbb{T}^d)$. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ существует оператор $K_n\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ такой, что $\operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn$ и Операторы $K_n,K_n^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ продолжаются до ограниченных операторов $K_n,K_n^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d)$. Доказательство. Пусть $(\Pi_k)_{1\leqslant k\leqslant m(n)}$ – это последовательность торических кубов, построенная в теореме 3.1. Как обычно, $\chi_{\Pi_k}$ – характеристическая функция множества $\Pi_k$, $1\leqslant k\leqslant m(n)$.
Пусть $P_k\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ – это проектор такой, что
$$
\begin{equation*}
P_k=M_{\chi_{\Pi_k}}P_kM_{\chi_{\Pi_k}}, \qquad 1\leqslant k\leqslant m(n),
\end{equation*}
\notag
$$
и такой, что $P_k\colon L_2(\Pi_k)\to L_2(\Pi_k)$ – проектор на подпространство, порожденное полиномами степени $<d/2$.
Положим
$$
\begin{equation*}
\Delta_k=\Pi_k\setminus\bigcup_{l<k}\Pi_l, \qquad 1\leqslant k\leqslant m(n).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 3.1, (i) последовательности $(\Delta_k)_{k=1}^{m(n)}$ задают разбиение $\mathbb{T}^d$. Положим
Как следует из определения, $K_n,K_n^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ продолжаются до ограниченных операторов $K_n,K_n^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d)$. Поскольку $m(n)\leqslant c_dn$, то по теореме 3.1 получаем, что $\operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn$ (с иной константой $c_d$). Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu=\sum_{k=1}^{m(n)} \int_{\Delta_k}f|u-K_nu|^2\,d\nu=\sum_{k=1}^{m(n)}\int_{\Delta_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant \sum_{k=1}^{m(n)}\int_{\Pi_k}f |u-P_ku|^2\,d\nu.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В силу факта 4.2, (i) функция $u-P_ku$ удовлетворяет предположениям леммы 4.1. По лемме 4.1 и факту 4.2, (ii)
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu\leqslant c_d J_f^{\Phi}(\Pi_k)\cdot \|u-P_ku\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2 =c_d J_f^{\Phi}(\Pi_k)\cdot \|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя последнюю оценку с теоремой 3.1, (iii), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Pi_k}f|u-P_ku|^2\,d\nu\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\cdot \|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому по (4.1)
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant\frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}} \sum_{k=1}^{m(n)}\|u\|_{W^{d/2,2}_{\mathrm{hom}}(\Pi_k)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение теперь вытекает из леммы 4.2.
Лемма 4.3 доказана. Аппроксимация, построенная в лемме 4.3, позволяет стандартным образом получить оценку на квазинорму, как в теореме 1.1 (см. схематическое изложение в [37] и некоторые более ранние результаты, например, теорему 3.3 в [5]). Мы приводим полное доказательство для удобства читателя. Замечание 4.1. В приведенном ниже доказательстве скалярное произведение понимается в следующем смысле: пусть $\xi,\eta\in L_1(\mathbb{T}^d)$ таковы, что $\xi\overline{\eta}\in L_1(\mathbb{T}^d)$, и обозначим $\displaystyle\langle\xi,\eta\rangle=\int_{\mathbb{T}^d}\xi\overline{\eta}$. Если операторы $K,K^{\ast}\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$ продолжаются до ограниченных операторов $K,K^{\ast}\colon L_1(\mathbb{T}^d)\to L_{\infty}(\mathbb{T}^d)$, то имеем $\langle K\xi,\eta\rangle=\langle\xi,K^{\ast}\eta\rangle$ при условии, что $\xi\overline{\eta}\in L_1(\mathbb{T}^d)$. Доказательство теоремы 1.1. Без потери общности считаем, что $f\geqslant0$.
Пусть $c_d$ – константа из леммы 4.3 (можно считать, что эта константа целая). Возьмем $m\in\mathbb{N}$ такое, что $m\geqslant 3c_d$. Пусть $n\in\mathbb{N}$ таково, что $m\in[3c_dn,3c_d(n+ 1))$. Рассмотрим операторы $K_n\colon L_2(\mathbb{T}^d)\to L_2(\mathbb{T}^d)$, существование которых установлено в лемме 4.3. Имеем $\operatorname{rank}(K_n)\leqslant c_dn$ и
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu\leqslant\frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}} \|u\|_{W^{d/2,2}}^2, \qquad u\in W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Сразу имеем7
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{T}^d}f|u-K_nu|^2\,d\nu &=\langle f\cdot u,u\rangle-\langle f\cdot u,K_nu\rangle-\langle f\cdot K_nu,u\rangle+\langle f\cdot K_nu,K_nu\rangle \\ &=\langle M_fu,u\rangle-\langle K_n^{\ast}M_fu,u\rangle-\langle M_fK_nu,u\rangle+\langle K_n^{\ast}M_fK_nu,u\rangle \\ &=\langle T_nu,u\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|\langle T_nu,u\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{d/4}u\bigr\|_2^2, \qquad u\in W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению $(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{d/4}$ – биекция из $W^{d/2,2}(\mathbb{T}^d)$ в $L_2(\mathbb{T}^d)$. Поэтому имеем
$$
\begin{equation*}
|\langle T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\|v\|_2^2, \qquad v\in L_2(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|\langle (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}v,v\rangle|\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}\|v\|_2^2, \qquad v\in L_2(\mathbb{T}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $T_n$ самосопряжен, мы выводим из определения операторной нормы, что
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}T_n(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя обозначение
$$
\begin{equation*}
L_n=(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\cdot(K_n^{\ast}M_f+M_fK_n-K_n^{\ast}M_fK_n)\cdot (1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4},
\end{equation*}
\notag
$$
перепишем последнее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}-L_n\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку ранг оператора $K_n$ (и, следовательно, оператора $K_n^{\ast}$) не превышает $c_dn$, получаем $\operatorname{rank}(L_n)\leqslant 3c_dn$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\inf_{\operatorname{rank}(S)\leqslant 3c_dn}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4} M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}-S\bigr\|_{\infty}\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(3c_dn,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4})\leqslant \frac{c_d}n\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $m+1\geqslant 3c_d(n+1)$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \frac{c_d}{n}\leqslant\frac{6c_d^2}{m+1}, \\ \mu\bigl(m,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr)\leqslant \frac{6c_d^2}{m+1}\|f\|_{L_{\Phi}}, \qquad m\geqslant 3c_d. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Наконец, для $m\in\mathbb{Z}_+$, $m<3c_d$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mu\bigl(m,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr) \leqslant \mu\bigl(0,(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr) \\ &\qquad=\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty} \leqslant c_d\|f\|_{L_{\Phi}}\leqslant\frac{3c_d^2}{m+1}\|f\|_{L_{\Phi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, (4.2) также выполнено при $m<3c_d$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}\leqslant 6c_d^2\|f\|_{L_{\Phi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.1 доказана. § 5. Симметризованные оценки Соломяка для $\mathcal{L}_{1,\infty}$ в $\mathbb{R}^d$Этот параграф посвящен доказательству теоремы 1.3. 5.1. Носитель функции $f$ содержится в единичном кубеКогда носитель $f$ содержится в $(-1,1)^d$, мы можем продолжить $f$ до функции на $\mathbb{T}^d$ (например, идентифицируя $\mathbb{T}^d$ с $(-\pi,\pi)^d$ и полагая $f=0$ на $(-\pi,\pi)^2\setminus(-1,1)^d$). Лемма 5.1. Пусть $0\leqslant f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d)$ и носитель $f$ содержится в $(-1,1)^d$. Имеем8 где последовательность $a\in l_{\infty}(\mathbb{Z}^d)$ не зависит от $f$ и такова, что Нужно просто сопоставить леммы 4.5 и 4.6 из [39]. Эти леммы установлены там для куба $(0,1)^d$, но замена его на куб $(-1,1)^d$ не приводит ни к каким изменениям. Следующая лемма устанавливает утверждение теоремы 1.3 в частном случае, когда носитель $f$ содержится в кубе $(-1,1)^d$. Напомним, что $\Phi(t)=t\log(e+t)$, $t>0$. Лемма 5.2. Пусть $f\,{\in}\, L_{\infty}(\mathbb{R}^d)$, и пусть носитель $f$ содержится в $(-1,1)^d$. Имеем Доказательство. Без потери общности считаем, что $f\geqslant0$. Оператор
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}
\end{equation*}
\notag
$$
ограничен. Используя стандартные равенства
$$
\begin{equation*}
\mu(TT^{\ast})=\mu(T^{\ast}T), \qquad \|TT^{\ast}\|_{1,\infty}=\|T^{\ast}T\|_{1,\infty},
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} =\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\bigr\|_{1,\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\bigr\|_{1,\infty} =\|M_{f^{1/2}}a(\nabla_{\mathbb{T}^d})M_{f^{1/2}}\|_{1,\infty} \\ &\quad\leqslant c_d\|M_{f^{1/2}}(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2}}\|_{1,\infty} =c_d\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{T}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение теперь следует из теоремы 1.1.
Лемма доказана. 5.2. Носитель функции $f$ содержится вне единичного кубаЗдесь мы рассматриваем единичный шар $\mathbb{B}^d$ в $\mathbb{R}^d$ с мерой Лебега. Лемма 5.3. Оператор является унитарным на $L_2(\mathbb{R}^d)$. Следовательно, оператор $V\colon L_1(\mathbb{R}^d)\to L_1(\mathbb{R}^d)$, определенный формулой является изометрией. Доказательство. Пусть $s_k=t_k/|t|^2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial s_k}{\partial t_l}=-\frac{2t_kt_l}{|t|^4}, \qquad k\neq l, \\ \frac{\partial s_k}{\partial t_k}=\frac{|t|^2-2t_k^2}{|t|^4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, можно выписать якобиан
$$
\begin{equation*}
J=|t|^{-2}\cdot\biggl(1-2\biggl(\frac{t_k}{|t|}\cdot\frac{t_l}{|t|}\biggr)_{1\leqslant k,l\leqslant d}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что матрица – это проектор на гильбертовом пространстве $\mathbb{C}^d$ ранга $1$. Иными словами, она эквивалентна матричной единице $E_{11}$ (т.е. матрице, у которой $(1,1)$-компонента равна $1$ и у которой все остальные компоненты равны нулю). Следовательно,
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\eta(s)\,d\nu(s)=\int_{\mathbb{R}^d}\eta\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr)\cdot |\operatorname{det}(J)(t)|\,d\nu(t)=\int_{\mathbb{R}^d}\eta\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr)\cdot |t|^{-2d}\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\eta=|\xi|^2$, мы можем записать
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}|\xi|^2(s)\,d\nu(s)=\int_{\mathbb{R}^d}|\xi|^2\biggl(\frac{t}{|t|^2}\biggr) \cdot |t|^{-2d}\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами,
$$
\begin{equation*}
\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2=\|U\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Важно отметить, что $U=U^{-1}$. Следующая лемма может быть или установлена путем прямого (длинного) вычисления, или выведена из общих геометрических результатов (см., например, [19; п. III.7]). Символ $\partial_k$ обозначает частную производную $k$-й координаты. Следствие 5.1. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ имеем Здесь полиномы $p_{\gamma}$ с $|\gamma|_1=2n$ имеют порядок $4n$ (на самом деле они являются скалярными кратными $h_{4n}$), а полиномы $p_{\gamma}$ с $|\gamma|_1<2n$ имеют порядок ниже, чем $4n$. Доказательство. По лемме 5.4 является дифференциальным оператором порядка $2$ с полиномиальными коэффициентами порядка $4$ или ниже. Следовательно, $U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nU^{-1}$ является дифференциальным оператором порядка $2n$ с полиномиальными коэффициентами порядка $4n$ или ниже. Степень полиномов $p_{\gamma}$ оценивается по правилу Лейбница.
Следствие доказано. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\mu(TSS^{\ast}T^{\ast})=\mu^2(TS)\leqslant\|S\|_{\infty}^2\mu^2(T)=\|S\|_{\infty}^2\mu(TT^{\ast}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $C^n(\mathbb{R}^d)$ – это множество всех $n$ раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций таких, что сами функции и все их производные порядка $n$ и ниже ограничены. Действительно, имеем
$$
\begin{equation*}
\partial^{\gamma}M_g=\sum_{\substack{\gamma_1+\gamma_2=\gamma\\ \gamma_1,\gamma_2\geqslant0}}c_{\gamma_1,\gamma_2} M_{\partial^{\gamma_1}g}\,\partial^{\gamma_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\partial^{\gamma}M_g(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty} \leqslant\sum_{\substack{\gamma_1+\gamma_2=\gamma\\ \gamma_1,\gamma_2\geqslant0}}|c_{\gamma_1,\gamma_2}|\, \|M_{\partial^{\gamma_1}g}\|_{\infty}\|\partial^{\gamma_2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Операторы $\partial^{\gamma_2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}$ в правой части ограничены в силу функционального исчисления. По предположению имеем
$$
\begin{equation*}
\|M_{\partial^{\gamma_1}g}\|_{\infty}\leqslant\|g\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d)},
\end{equation*}
\notag
$$
и утверждение доказано. Следующая лемма (при $z=d/4$) – это важнейший технический инструмент в доказательстве теоремы 1.3. Ее доказательство опирается на теорему Адамара о трех прямых. Лемма 5.5. Для каждой вещественнозначной $\phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d)$ оператор корректно определен и ограничен на $L_2(\mathbb{R}^d)$. Здесь $h_z(t)=|t|^z$, $t\in\mathbb{R}^d$. Доказательство. Сначала заметим, что оператор ${M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}}$ ограничен на $L_2(\mathbb{R}^d)$ (как композиция ограниченных операторов). Если $\xi\in L_2(\mathbb{R}^d)$, то $M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi$ опять принадлежит $L_2(\mathbb{R}^d)$ и, значит, является распределением умеренного роста. Следовательно, также является распределением умеренного роста. Мы намереваемся показать, что это распределение на самом деле – элемент $L_2(\mathbb{R}^d)$.
Пусть $\eta\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ (т.е. $\eta$ – это функция Шварца). Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
F\colon z\to\langle T_z\xi,\eta\rangle=\bigl\langle M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta\bigr\rangle, \qquad \operatorname{Re}(z)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция
$$
\begin{equation*}
z\to M_{h_{4z}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi, \qquad \operatorname{Re}(z)\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
является $L_2(\mathbb{R}^d)$-значной аналитической (и непрерывной на границе). Функция
$$
\begin{equation*}
z\to (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta, \qquad\operatorname{Re}(z)\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
является $L_2(\mathbb{R}^d)$-значной антианалитической (и непрерывной на границе). Таким образом, функция $F$ аналитическая и непрерывная на границе.
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(i\lambda)| &\leqslant\|M_{h_{4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-i\lambda}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\| (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-i\lambda}\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(n+i\lambda)| &\leqslant\|T_{n+i\lambda}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \|U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим для краткости $\alpha(t)=t/|t|^2$, $t\in\mathbb{R}^d$. В силу следствия 5.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n} \\ &\qquad =U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nU^{-1}\cdot UM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1}\cdot (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n} \\ &\qquad =\sum_{|\gamma|_1\leqslant 2n}\partial^{\gamma}M_{p_{\gamma}}\cdot M_{h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)}\cdot (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство следует из
$$
\begin{equation*}
UM_{h_z\phi}U^{-1}=M_{h_{-z}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)}, \qquad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\phi\mathbin{\circ}\alpha$ исчезает около $0$. Зафиксируем $\epsilon>0$ такое, что ${\phi\mathbin{\circ}\alpha=0}$ на $\epsilon\mathbb{B}^d$. Элементарное вычисление показывает, что
$$
\begin{equation*}
p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\in C^{2n}(\mathbb{R}^d\setminus\epsilon\mathbb{B}^d)
\end{equation*}
\notag
$$
и, более того,
$$
\begin{equation*}
\|p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d\setminus\epsilon\mathbb{B}^d)}\leqslant c_{n,\gamma}(1+|\lambda|)^{2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)\in C^{2n}(\mathbb{R}^d), \\ \|p_{\gamma}\cdot h_{-4n-4i\lambda}\cdot (\phi\mathbin{\circ}\alpha)\|_{C^{2n}(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_{n,\gamma,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство треугольника и факт 5.2, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|U(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^nM_{h_{4n+4i\lambda}\phi}U^{-1} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-n}\|_{\infty} \\ &\qquad \leqslant \sum_{|\gamma|_1\leqslant 2n}c_{n,\gamma}c_{n,\gamma,\phi}(1+|\lambda|)^{2n} =c_{n,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы заключаем, что
$$
\begin{equation*}
|F(n+i\lambda)|\leqslant c_{n,\phi}(1+|\lambda|)^{2n}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы утверждаем, что $F$ ограничена на полосе $\{0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n\}$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F(z)| &\leqslant\|h_{4z}\cdot\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)} \|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-z}\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\| (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{\overline{z}}\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant c_{n,\phi}'\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^n\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
G(z)=e^{z^2}F(z), \qquad \operatorname{Re}(z)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
|G(i\lambda)|\leqslant \|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad |G(n+i\lambda)|\leqslant c''_{n,\phi}\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В дополнение к этому функция $G$ ограничена на полосе ${\{0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n\}}$, поскольку функция $F$ там ограничена. Мы можем теперь применить теорему Адамара о трех прямых и получить
$$
\begin{equation*}
|G(z)|\leqslant \max\{\|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)},c'_{n,\phi}\}\cdot \|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad 0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
|F(z)|\leqslant |e^{-z^2}|\cdot \max\{\|\phi\|_{L_{\infty}(\mathbb{R}^d)},c'_{n,\phi}\}\cdot \|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\|\eta\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \qquad 0\leqslant \operatorname{Re}(z)\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, функционал
$$
\begin{equation*}
\eta\to \langle T_z\xi,\eta\rangle, \qquad \eta\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d),
\end{equation*}
\notag
$$
продолжается до ограниченного функционала на $L_2(\mathbb{R}^d)$ (и норма этого функционала ограничена сверху величиной $c_z\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}$). По лемме Рисса имеем $T_z\xi\in L_2(\mathbb{R}^d)$ и
$$
\begin{equation*}
\|T_z\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_z\|\xi\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\xi\in L_2(\mathbb{R}^d)$ выбрано произвольно, получаем, что $T_z$ корректно определен и ограничен на $L_2(\mathbb{R}^d)$.
Лемма 5.5 доказана. Утверждение леммы 5.6 имеет решающее значение в доказательстве теоремы 1.3. Лемма 5.6. Предположим, что носитель функции $f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d)$ содержится в множестве $\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d$. Имеем Доказательство. Напомним обозначение $\alpha(t)=t/|t|^2$, $t\in\mathbb{R}^d$. Имеем
Зафиксируем вещественнозначную функцию $\phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d)$ такую, что $\phi=1$ на $\mathbb{B}^d$. Поскольку носитель функции $f\mathbin{\circ}\alpha$ содержится в $\mathbb{B}^d$, получаем
$$
\begin{equation*}
f\mathbin{\circ}\alpha = (f\mathbin{\circ}\alpha)\cdot\phi=Uf\cdot h_d\phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M_{f\mathbin{\circ}\alpha} \cdot U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}U\cdot M_{f\mathbin{\circ}\alpha} \\ &\qquad=M_{Uf}\cdot M_{h_d\phi} U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}UM_{h_d\phi}\cdot M_{Uf}=TSS^{\ast}T^{\ast}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
T=M_{Uf}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}, \qquad S=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4}M_{h_d\phi}U^{-1}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя лемму 5.5 и факт 5.1, мы завершаем доказательство.
Лемма доказана. 5.3. Доказательство теоремы 1.3Доказательство следующего утверждения перенесено в § 7. Мы теперь в состоянии доказать теорему 1.3. Доказательство теоремы 1.3. Не ограничивая общности, считаем, что $f\geqslant0$. Сначала предположим, что $f\in L_{\infty}(\mathbb{R}^d)$.
Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} &=(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \\ &\qquad+(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства треугольника для квазинорм имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \leqslant2\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\qquad +2\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.6, примененной к функции $f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} M_{f\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad=\bigl\|M_{f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{f^{1/2} \chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\!\!\quad \stackrel{\text{лемма }5.6}{\leqslant} c_{\mathrm{abs}}\bigl\|M_{U(f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d})} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/2}M_{U(f^{1/2}\chi_{\mathbb{R}^d \setminus\mathbb{B}^d})}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\leqslant c_{\mathrm{abs}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{(U(f^{1/2} \chi_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}))^2}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant c_{\mathrm{abs}}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{(Vf) \chi_{\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \leqslant c_d\bigl(\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)} +\|(Vf)\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение теоремы (для ограниченных $f$) следует из утверждения 5.1.
Теперь пусть $f\in L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$ выбрана произвольным образом. Положим
$$
\begin{equation*}
f_n=f\chi_{\{|f|\leqslant n\}},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы уже установили требуемое неравенство для любой ограниченной функции (и, в частности, для $f_n$). Для каждого $n\in\mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant c_d\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу теоремы 2.3 из [23] (пространство Лоренца $\Lambda_1(\mathbb{R}^d)$ из [23] совпадает с пространством $L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)$) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}- (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{\infty} \\ &\qquad\leqslant c_d\|f-f_n\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\|f-f_n\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\to0, \qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя свойство Фату пространства $\mathcal{L}_{1,\infty}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}\leqslant c_d\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.3 доказана. § 6. Оценки Соломяка для $\mathcal{L}_{1,\infty}$ не выполняются в $\mathbb{R}^d$Этот параграф посвящен доказательству теоремы 1.2. 6.1. Простые факты, использованные в доказательствеВ лемме 6.1 далее обозначение $\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}^d}T_k$ использовано как условное обозначение элемента $\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}T_k\otimes e_k$ из алгебры фон Неймана ${B(H)\mathbin{\overline{\otimes}}l_{\infty}(\mathbb{Z}^d)}$. Здесь $e_k$ – это единичный вектор с единственной ненулевой компонентой в $k$-й позиции. Аналогично, $A^{\oplus n}$ – это условное обозначение элемента $\sum_{k=0}^{n-1}A\otimes e_k$ из алгебры фон Неймана $B(H)\mathbin{\overline{\otimes}}l_{\infty}(\mathbb{Z})$. Субмажоризация Харди–Литтлвуда определяется формулой
$$
\begin{equation*}
S\prec\prec T, \quad\text{если и только если }\ \int_0^t\mu(s,S)\,d\nu(s)\leqslant\int_0^t\mu(s,T)\,d\nu(s), \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы используем идентификацию последовательности сингулярных значений с соответствующей ступенчатой функцией. Факт 6.1. Если $(p_k)_{k\in\mathbb{Z}^d}$ – это последовательность попарно ортогональных проекторов, то Следующие факты известны. Мы включаем их доказательства для удобства читателя. Факт 6.2. Если $T\in\mathcal{L}_{2,\infty}$ и если $S\prec\prec T$, то $S\in\mathcal{L}_{2,\infty}$ и Действительно, для каждого $t>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t\mu(t,S) &\leqslant\int_0^t\mu(s,S)\,d\nu(s)\leqslant\int_0^t\mu(s,T)\,d\nu(s) \\ &\leqslant\|T\|_{2,\infty}\int_0^ts^{-1/2}\,d\nu(s)=2t^{1/2}\|T\|_{2,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поделив на $t^{1/2}$ и взяв супремум по $t>0$, получаем требуемое. Действительно, для каждого $t>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(t,A+B)\leqslant\mu\biggl(\frac{t}{2},A\biggr)+\mu\biggl(\frac{t}{2},B\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|A+B\|_{2,\infty} &\leqslant \sup_{t>0}t^{1/2}\biggl(\mu\biggl(\frac{t}{2},A\biggr) +\mu\biggl(\frac{t}{2},B\biggr)\biggr) \\ &=2^{1/2}\sup_{t>0}t^{1/2}(\mu(t,A)+\mu(t,B))\leqslant 2^{1/2}\|A\|_{2,\infty}+2^{1/2}\|B\|_{2,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\mu(A^{\oplus n})=\sigma_n\mu(A)\geqslant\sigma_n(\|A\|_{\infty}\chi_{(0,1)})=\|A\|_{\infty}\chi_{(0,n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь, первое равенство – это одно из равенств в (5) из [40]. В следующей лемме мы оцениваем произведение оператора $(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}$ с коммутатором $\bigl[M_{\phi},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]$. Лемма 6.1. Если $\phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d)$, то оператор (изначально определенный как отображение из $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ в $L_2(\mathbb{R}^d)$) продолжается до ограниченного оператора на $L_2(\mathbb{R}^d)$. Доказательство. Здесь $(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}$ – это псевдодифференциальный оператор порядка $-d/2$; $M_{\phi}$ – это псевдодифференциальный оператор порядка $0$. По теореме 2.5.1 в [32] коммутатор
$$
\begin{equation*}
\bigl[M_{\phi},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
– это псевдодифференциальный оператор порядка $-d/2-1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}\bigl[M_{\phi}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
– это псевдодифференциальный оператор порядка $0$. По теореме 2.4.2 в [32] такой оператор ограничен.
Лемма доказана. 6.2. Доказательство теоремы 1.2Следующее утверждение играет ключевую роль в доказательстве теоремы 1.2. Оно доставляет конкретный пример функции, для которой оценка в теореме 1.2 выполнена. Утверждение 6.1. Если то существует константа $c_d'$ (зависящая только от $d$, но не от $n$) такая, что Доказательство. Пусть $K=[-1/2,1/2]^d$, и пусть $p_k=M_{\chi_{k+K}}$, $k\in\mathbb{Z}^d$. Применяя факт 6.1, получаем
$$
\begin{equation*}
\bigoplus_{k\in\mathbb{Z}^d}M_{\chi_{k+K}}M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} M_{\chi_{k+K}}\prec\prec M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n\geqslant 2$ имеем
$$
\begin{equation*}
M_{\chi_{k+K}}M_{f_n}=M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n\geqslant2$ мы выводим из факта 6.2 при что
Пусть функция $\phi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^d)$ такая, что ее носитель содержится в $K$, и такая, что $\phi=1$ на $K/2$ с $\|\phi\|_{\infty}=1$. Пусть $\phi_k(t)=\phi(t-k)$, $t\in\mathbb{R}^d$. Имеем
$$
\begin{equation}
2\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty} \geqslant\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k}\biggr\|_{2,\infty}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Для $n\geqslant4$ имеем
$$
\begin{equation*}
M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}=M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}M_{\phi_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}=\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k} \\ &\qquad\qquad+ \bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} \bigl[M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обращаясь к неравенству треугольника для квазинорм (см. факт 6.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\|A+B\|_{2,\infty}\leqslant 2^{1/2}\|A\|_{2,\infty}+2^{1/2}\|B\|_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty} \\ &\qquad \leqslant 2^{1/2}\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\phi_k}\biggr\|_{2,\infty} \\ &\qquad\qquad +2^{1/2}\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d} M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}}\bigl[M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr]\biggr\|_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (6.1), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty}\leqslant 2^{3/2}\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty} \nonumber \\ &\qquad\qquad +\biggl(2\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} [M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_2^2\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Теперь мы оценим второе слагаемое в правой части (6.2):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} [M_{\phi_k},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_2^2 \\ &\qquad\leqslant \sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2}\bigr\|_2^2 \\ &\qquad\qquad\times \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}[M_{\phi_k}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\qquad= \biggl(\sum_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\bigl\|M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2}\bigr\|_2^2\biggr) \\ &\qquad\qquad\times \bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2}[M_{\phi}, (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\qquad= \bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4-1/2} \bigr\|_2^2\cdot\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{d/4+1/2} [M_{\phi},(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}]\bigr\|_{\infty}^2 \\ &\ \, \stackrel{\text{лемма }6.1}{=}\frac12(c_d')^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы оценить (снизу) левую часть (6.2), остается заметить, что операторы
$$
\begin{equation*}
\bigl\{M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\}_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}
\end{equation*}
\notag
$$
попарно унитарно эквивалентны (при помощи оператора сдвига) и, значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}M_{\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\biggr\|_{2,\infty} \stackrel{\text{факт }6.4}{\geqslant} n^{d/2}\bigl\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \bigr\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 6.1 доказано. Следующий важный результат установлен в [41; теорема 16]. Здесь
$$
\begin{equation*}
\psi(t)= \begin{cases} \dfrac1{\log(e/t)},& t\in(0,1), \\ t,& t\geqslant 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathcal{M}_{\psi}$ – это соответствующее пространство Марцинкевича (см. [21]). Доказательство теоремы 1.2. Пусть $n\geqslant 4$, и пусть $f_n$ такая же, как в утверждении 6.1. Имеем
$$
\begin{equation*}
n^{d/2}\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty}\leqslant 2^{3/2}\bigl\|M_{f_n}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{2,\infty}+c_d', \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу утверждения 6.2 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty} =\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\|_{\infty}^{1/2} \\ &\qquad\geqslant c_d^{1/2}\|\chi_{(0,n^{-d})}\|_{\mathcal{M}_{\psi}}^{1/2}\geqslant d^{1/2}c_d^{1/2} n^{-d/2}\log^{1/2}(n), \qquad n\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинация этих неравенств дает Следовательно,
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(f_n) &=\mu\biggl(\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\chi_{k+\frac1{n}\mathbb{B}^d}\biggr) =\mu\biggl(\bigoplus_{k\in\{0,\dots,n-1\}^d}\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}\biggr) \\ &=\mu\bigl(\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d}^{\oplus n^d}\bigr) =\sigma_{n^d}\mu(\chi_{\frac1{n}\mathbb{B}^d})=\mu(\chi_{\mathbb{B}^d}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mu(f_n)=\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}, \quad\|f_n\|_E=\|\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}\|_E, \qquad n\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого квазибанахова симметричного пространства $E$.
Пусть $C_E$ – модуль вогнутости $E$ (т.е. константа в квазинеравенстве треугольника). Выберем последовательность $\{n_k\}_{k\geqslant1}$ такую, что
$$
\begin{equation}
\bigl(d^{1/2}c_d^{1/2} \log^{1/2}(n_k)-c_d'\bigr)_+^2\geqslant k^3C_E^k, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Положим Мы утверждаем, что $f\in E$. Действительно, в силу квазинеравенства треугольника имеем
$$
\begin{equation*}
\|f\|_E\leqslant\sum_{k\geqslant1}C_E^k\|k^{-2}C_E^{-k}f_{n_k}\|_E =\sum_{k\geqslant1}k^{-2}\|f_{n_k}\|_E=\frac{\pi^2}{6}\cdot \|\chi_{(0,\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d))}\|_E.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку каждая функция $f_{n_k}$ положительна, получаем
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4} \geqslant k^{-2}C_E^{-k} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_{n_k}}(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\geqslant k^{-2}C_E^{-k}\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_{f_{n_k}} (1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По (6.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad\geqslant k^{-2}C_E^{-k}\cdot \bigl(d^{1/2}c_d^{1/2} \log^{1/2}(n_k)-c_d'\bigr)_+^2 \stackrel{(6.4)}{\geqslant}k^{-2}C_E^{-k}\cdot k^3C_E^k=k, \qquad k\geqslant1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство показывает, что
$$
\begin{equation*}
(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^d})^{-d/4}\notin\mathcal{L}_{1,\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.2 доказана. § 7. Доказательство утверждения 5.1В этом параграфе мы упростим выражения, использованные в доказательстве теоремы 1.3. Наши рассуждения продолжают использовавшиеся в теореме 3.1 из [33]. Доказательство. Без потери общности считаем, что $f\geqslant0$. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\log(1+|s|)\,d\nu(s)\leqslant 1, \qquad \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)}\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению (2.1) нормы Орлича последнее неравенство эквивалентно
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(s))\,d\nu(s)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\Phi(t)\geqslant t$, $t>0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\,d\nu(s)\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит (здесь использована конкретная форма функции $\Phi$, а также выражение для якобиана инверсии, подсчитанное в лемме 5.3),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{B}^d}\Phi((Vf)(u))\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{B}^d}\Phi\biggl(|u|^{-2d}f\biggl(\frac{u}{|u|^2}\biggr)\biggr)\,d\nu(u) \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(|s|^{2d}f(s))|s|^{-2d}\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\cdot \log(e+|s|^{2d}f(s))\,d\nu(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \log(e+|s|^{2d}f(s)) &\leqslant 1+\log(1+|s|^{2d})+\log(1+f(s)) \\ &\leqslant 1+2d\log(1+|s|)+\log(e+f(s)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{B}^d}\Phi((Vf)(t))\,d\nu(t) &\leqslant \int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\,d\nu(s) +2d\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}f(s)\log(1+|s|)\,d\nu(s) \\ &\qquad+\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(s))\,d\nu(s)\leqslant 1+2d+1=2d+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7.1 доказана. Доказательство. Положим для краткости $g=Vf$ и заметим, что $f=Vg$. Без потери общности считаем, что $f\geqslant0$. Утверждение однородно. Поэтому достаточно его доказать для случая, когда правая часть равна $1$. Иными словами, мы предполагаем, что Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}\Phi(f(u))\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}M \biggl(|u|^{-2d}g\biggl(\frac{u}{|u|^2}\biggr)\biggr)\,d\nu(u) \\ &\qquad =\int_{\mathbb{B}^d}\Phi(|s|^{2d}g(s))|s|^{-2d}\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{B}^d}g(s)\cdot \log(e+|s|^{2d}g(s))\,d\nu(s) \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbb{B}^d}g(s)\cdot \log(e+g(s))\,d\nu(s)\leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Доказательство. Положим для краткости $g=(Vf)\chi_{\mathbb{B}^d}$ и заметим, что $f= Vg$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s) =\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|s|^{-2d}\, \biggl|g\biggl(\frac{s}{|s|^2}\biggr)\biggr|\log(1+|s|)\,d\nu(s) \\ &\qquad=\int_{\mathbb{B}^d}|g(u)|\log\biggl(1+\frac1{|u|}\biggr)\,d\nu(u) =\int_{\mathbb{B}^d}|g(u)|\,|h(u)|\,d\nu(u), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $h(u)=\log(1+1/|u|)$, $u\in\mathbb{B}^d$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s) \leqslant\int_0^{\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d)}\mu(t,g)\mu(t,h)\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mu(t,h)=\log\biggl(1+\biggl(\frac{t}{\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d)}\biggr)^{-1/d}\biggr), \qquad 0<t<\operatorname{Vol}(\mathbb{B}^d),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mu(t,h)\leqslant c_d\biggl(1+\log_+\biggl(\frac1t\biggr)\biggr), \qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\, d\nu(s)\leqslant c_d\int_0^{\infty}\mu(t,g)\biggl(1+\log_+\biggl(\frac1t\biggr)\biggr)\,d\nu(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Справа стоит норма $\|g\|_{\Lambda_1}$, где $\Lambda_1$ – это пространство Лоренца из [23]. Поскольку пространство Орлича $L_{\Phi}$ совпадает с пространством Лоренца $\Lambda_1$, мы получаем требуемое утверждение.
Лемма 7.3 доказана. Доказательство утверждения 5.1. По лемме 7.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)} &\leqslant (2d+2)\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)} +(2d+2)\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,ds \\ &\leqslant (2d+2)\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+(2d+2)\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant (2d+3)\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, применяя неравенство треугольника и лемму 7.2, получаем
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d)}\leqslant \|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}+\|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 7.3 имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{B}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\leqslant c_d\|Vf\|_{L_{\Phi}(\mathbb{B}^d)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}+\int_{\mathbb{R}^d}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s) \\ &\qquad \leqslant (1+c_d)\bigl(\|f\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)} +\|(Vf)\chi_{\mathbb{B}^d}\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^d)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя полученные неравенства, мы завершаем доказательство.
Утверждение 5.1 доказано. § 8. Доказательство теоремы 1.3 при $d=2$Этот параграф содержит короткое доказательство теоремы 1.3 при $d=2$. Доказательство передано нам профессором Р. Франком и приводится здесь с его любезного разрешения. Для (возможно, неограниченного) самосопряженного оператора $S$ мы обозначим через $N(I,S)$ число собственных значений $S$ в интервале $I$. Это число считается равным $+\infty$, если спектр $S$ на $I$ отличен от дискретного. Доказательство базируется на основном результате из [33], который мы запишем следующим образом. Строго говоря, правая часть этого неравенства в [33] записана как
$$
\begin{equation*}
1+\|f\|_{L_{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^2)}+\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s),
\end{equation*}
\notag
$$
где Эта величина эквивалента той, которая стоит в правой части утверждения теоремы, поскольку функции Орлича $\Phi$ и $\mathcal{B}$ эквивалентны при больших значениях $t$. Спектральные оценки для оператора Шрёдингера и оценки Соломяка связаны посредством принципа Бирмана–Швингера. Абстрактная форма принципа Бирмана–Швингера, пригодная для наших целей, содержится, например, в [35; предложение 7.2] (или в [29; предложение 2.3], или в [10; лемма 1.4]). Теорема 8.2. Пусть $T$ – положительный самосопряженный оператор и его обратный ограничен. Пусть $V$ положителен и ограничен. Предположим, что $V^{1/2}T^{-1/2}$ компактен. Тогда Теперь мы можем доказать главный результат этого параграфа. Доказательство теоремы 1.3 при $d=2$. Предположим без потери общности, что функция $f\geqslant0$ имеет компактный носитель и ограничена. Требуемая аппроксимация, позволяющая получить результат в полной общности, дословно повторяет рассуждения в доказательстве теоремы 1.3.
Пусть $t>0$. По теореме 2.3 из [23] имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f (1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr\|_{\infty}\leqslant c_1\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Немного более слабая оценка, которая тем не менее достаточна для доказательства теоремы 1.3, может также напрямую быть выведена из [36] и [33]. Поэтому
$$
\begin{equation*}
N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
как только
Предположим теперь, что В силу принципа Бирмана–Швингера и теоремы 8.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad=N\bigl((1,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_{t^{-1}f}(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad= N\bigl((-\infty,0),1-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) =N\bigl((-\infty,-1),-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) \\ &\qquad\leqslant N\bigl((-\infty,0),-\Delta_{\mathbb{R}^d}-M_{t^{-1}f}\bigr) \\ &\qquad\leqslant 1+\frac{c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предположения на $t$ имеем
$$
\begin{equation*}
1\leqslant \frac{c_1}{t}\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad\leqslant \frac{c_1+c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая оценки из предыдущих параграфов, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &N\bigl((t,\infty),(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr) \\ &\qquad \leqslant \frac{c_1+c_2}{t}\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr), \qquad t>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $t=\mu(n,A)-\epsilon$, заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{t>0}tN((t,\infty),A)\geqslant \sup_{n\geqslant0}\sup_{\epsilon>0}\, (\mu(n,A)-\epsilon) N\bigl((\mu(n,A)-\epsilon,\infty),A\bigr) \\ &\qquad \geqslant\sup_{n\geqslant0}\mu(n,A)N\bigl((\mu(n,A)-0,\infty),A\bigr) \geqslant\sup_{n\geqslant0}\, (n+1)\mu(n,A)=\|A\|_{1,\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы мы можем заключить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}M_f(1-\Delta_{\mathbb{R}^2})^{-1/2}\bigr\|_{1,\infty} \\ &\qquad \leqslant (c_1+c_2)\biggl(\|f\|_{L_{\Phi}(\mathbb{R}^2)} +\int_{\mathbb{R}^2}|f(s)|\log(1+|s|)\,d\nu(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.3 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SukZan22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|