| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Изометричное вложение ограниченных метрических пространств в класс Громова–Хаусдорфа А. О. Ивановabc, А. А. Тужилинa a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет) c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9729e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеСравнение метрических пространств представляет несомненный интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения. Один из возможных подходов к этой общей задаче состоит в использовании некоторой функции расстояния между метрическими пространствами: чем меньше “похожи друг на друга” два метрических пространства, тем больше расстояние между ними. Выбор той или иной функции расстояния и конкретного класса рассматриваемых пространств зависит, вообще говоря, от специфики задачи. В настоящий момент, по-видимому, наиболее часто в этих целях используется расстояние Громова–Хаусдорфа. История этого расстояния восходит к работам Феликса Хаусдорфа. В 1914 г. он ввел в рассмотрение неотрицательную симметричную функцию на парах подмножеств метрического пространства $X$, равную точной нижней грани вещественных чисел $r$ таких, что одно подмножество содержится в $r$-окрестности другого и наоборот, и изучил ее свойства, см. [1]. Эта функция, как несложно проверить, удовлетворяет неравенству треугольника, и, более того, является метрикой на семействе всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $X$. Позже Д. Эдвардс в [2] и, независимо, М. Громов в [3] перенесли конструкцию Хаусдорфа на случай пары произвольных метрических пространств, используя их изометричные вложения во всевозможные объемлющие пространства, см. формальное определение ниже. Полученная в результате функция называется сегодня расстоянием Громова–Хаусдорфа. Отметим, что эта функция также симметрична, неотрицательна и удовлетворяет неравенству треугольника. Кроме того, она всегда равна нулю на паре изометричных пространств, поэтому такие пространства обычно отождествляют в этом контексте. С другой стороны, расстояние Громова–Хаусдорфа может быть бесконечным, а также может обращаться в нуль на неизометричных пространствах. Тем не менее если ограничить рассмотрения семейством $\mathcal{M}$ классов изометрии компактных метрических пространств, то расстояние Громова–Хаусдорфа будет удовлетворять всем аксиомам метрики. Соответствующее метрическое пространство $\mathcal{M}$ называется пространством Громова–Хаусдорфа. Геометрия этого пространства оказывается весьма сложной и активно изучается. Хорошо известно, что $\mathcal{M}$ линейно связно, является польским (т.е., напомним, полным и сепарабельным), геодезическим (см. [4]), а также $\mathcal{M}$ не является ограниченно компактным и не имеет нетривиальных симметрий (см. [5]). Подробное введение в геометрию расстояния Громова–Хаусдорфа можно найти в книгах [6; гл. 7] и [7]. Случай произвольных метрических пространств также представляет большой интерес. Многие авторы в этом случае используют ту или иную модификацию расстояния Громова–Хаусдорфа. Например, рассматривают пространства с отмеченными точками, см. [8] и [9]. При этом предполагается, что при изометричных вложениях в объемлющие пространства отмеченные точки совмещаются. В настоящей работе мы продолжаем изучать свойства классического расстояния Громова–Хаусдорфа на метрических классах $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $\mathcal{B}$, состоящих из представителей классов изометрии всех метрических пространств и соответственно всех ограниченных метрических пространств. Здесь термин “класс” понимается в смысле аксиоматики фон Неймана–Бернайса–Гёделя (NGB). На собственном классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ удается, см. [10], корректно определить расстояние Громова–Хаусдорфа и построить аналог метрической топологии, опираясь на так называемую фильтрацию множествами, см. ниже. В работе [10] были также определены непрерывные кривые в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и показано, что расстояние Громова–Хаусдорфа является внутренней обобщенной полуметрикой как на $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, так и на $\mathcal{B}$, т.е. расстояние между любыми двумя точками равно точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти точки. В работах [11] и [12] изучалась геометрия компонент линейной связности класса $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ (одной из таких компонент является класс $\mathcal{B}$), а также доказана линейная связность сфер в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, в $\mathcal{B}$, и в $\mathcal{M}$ в некоторых частных случаях. Также в работе [12] введено понятие пространства общего положения и описаны некоторые их свойства, см. ниже. В настоящей работе изучается геометрия достаточно малой окрестности пространства общего положения. Показано, см. теоремы 1 и 2, что такие окрестности изометричны шарам в метрическом пространстве $\mathbb{R}^\mathcal{N}$ с метрикой, равной точной верхней грани разностей координат (здесь $\mathcal{N}$ – подходящее кардинальное число). Эти результаты позволяют построить изометричное вложение произвольного ограниченного пространства в класс Громова–Хаусдорфа, см. теорему 3. Отметим, что вопрос о вложимости неограниченного пространства в класс Громова–Хаусдорфа остается открытым. § 1. Основные определения и предварительные результатыПусть $X$ – произвольное множество. Через $\#X$ будем обозначать мощность множества $X$, а через $\mathcal{P}_0(X)$ – множество всех его непустых подмножеств. Функцией расстояния на множестве $X$ будем называть каждое симметричное отображение $d\colon X\times X\to[0,\infty]$, равное нулю на парах одинаковых элементов. Если $d$ удовлетворяет неравенству треугольника, то $d$ называется обобщенной полуметрикой. Если, кроме того, $d(x,y)>0$ для всех $x\ne y$, то $d$ называется обобщенной метрикой. Наконец, если $d(x,y)<\infty$ для всех $x,y\in X$, то такую функцию расстояния называют метрикой, а иногда, чтобы подчеркнуть ее отличие от обобщенной метрики, – конечной метрикой. Множество $X$, на котором задана (обобщенная) (полу-)метрика, называется (обобщенным) (полу-)метрическим пространством. Нам также понадобятся следующие простые свойства метрик. Предложение 1. Имеют место следующие утверждения. (1) Нетривиальная неотрицательная линейная комбинация двух метрик, заданных на произвольном множестве, является метрикой. (2) Положительная линейная комбинация метрики и псевдометрики, заданных на произвольном множестве, является метрикой. Если $X$ – множество с некоторой функцией расстояния, то, как правило, это расстояние между точками $x$ и $y$ будем обозначать через $|xy|$. В случае, когда необходимо уточнить, что расстояние между $x$ и $y$ считается именно в $X$, будем писать $|xy|_X$. Далее, если $\gamma\colon [a,b]\to X$ – непрерывная кривая в $X$, то ее длина $|\gamma|$ определяется как точная верхняя грань “длин вписанных ломаных”, т.е. величин $\sum_i|\gamma(t_i)\gamma(t_{i+1})|$, где супремум берется по всевозможным конечным разбиениям $a=t_1<\dots<t_k=b$ отрезка $[a,b]$. Функция расстояния на $X$ называется внутренней, если расстояние между любыми его точками $x$ и $y$ равно точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти точки. Кривая $\gamma$, длина которой отличается от $|xy|$ не более чем на $\varepsilon$, называется $\varepsilon$-кратчайшей. Если для каждой пары точек $x$ и $y$ пространства $X$ существует кривая, длина которой равна точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти точки, и равна $|xy|$, то расстояние называется строго внутренним, а пространство $X$ – геодезическим. Пусть $X$ – метрическое пространство. Для каждых $A,B\in\mathcal{P}_0(X)$ и $x\in X$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |xA|=|Ax|=\inf\bigl\{|xa|\colon a\in A\bigr\}, \qquad |AB|=\inf\bigl\{|ab|\colon a\in A,\,b\in B\bigr\}, \\ d_H(A,B)=\max\Bigl\{\sup_{a\in A}|aB|, \,\sup_{b\in B}|Ab|\Bigr\}=\max\Bigl\{\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}|ab|,\,\sup_{b\in B}\inf_{a\in A}|ba|\Bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $d_H\colon \mathcal{P}_0(X)\times\mathcal{P}_0(X)\to[0,\infty]$ называется расстоянием Хаусдорфа. Хорошо известно, см. например [6] или [7], что $d_H$ является метрикой на подсемействе $\mathcal{H}(X)\subset\mathcal{P}_0(X)$ всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств $X$. Пусть $X$ и $Y$ – метрические пространства. Тройку $(X',Y',Z)$, состоящую из метрического пространства $Z$ и двух его подмножеств $X'$ и $Y'$, изометричных соответственно $X$ и $Y$, назовем реализацией пары $(X,Y)$. Расстоянием $d_{GH}(X,Y)$ по Громову–Хаусдорфу между $X$ и $Y$ назовем точную нижнюю грань чисел $r$, для которых существует реализация $(X',Y',Z)$ пары $(X,Y)$ такая, что $d_H(X',Y')\leqslant r$. Отметим, что расстояние Громова–Хаусдорфа может принимать как конечные, так и бесконечные значения, а также всегда удовлетворяет неравенству треугольника, см. [6] или [7]. Кроме того, это расстояние равно нулю на каждой паре изометричных пространств, поэтому в силу неравенства треугольника расстояние Громова–Хаусдорфа не зависит от выбора представителей из классов изометрии. Имеются примеры неизометричных метрических пространств, между которыми расстояние Громова–Хаусдорфа равно нулю, см., например, [13]. Так как на каждом множестве можно определить некоторую метрику, например, положив все расстояния между разными точками равными $1$, то представители классов изометрии образуют собственный класс, который, наделенный расстоянием Громова–Хаусдорфа, мы обозначим через $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$. Здесь мы используем понятие класс в смысле теории множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя (NBG). Напомним, что в NBG все объекты, аналоги обычных множеств, называются классами. Классы бывают двух типов: множества, т.е. классы, являющиеся элементами других классов, и собственные классы – все оставшиеся классы. Пример собственного класса – класс всех множеств. Для классов определены многие стандартные операции, например, пересечение, дополнение (для каждого класса существует класс, состоящий в точности из тех множеств, которые не входят в первый), прямое произведение, отображения и др. Такие понятия как функция расстояния, (обобщенная) полуметрика и (обобщенная) метрика определяются стандартным образом для каждого класса, как являющегося множеством, так и собственного, поскольку для них определены прямые произведения и отображения. Однако прямой перенос других определений, таких как, например, топология, на случай собственных классах не всегда возможен. В работе [10] предлагается следующая конструкция. Для каждого класса $\mathcal{C}$ рассмотрим “фильтрацию” на подклассы $\mathcal{C}_n$, каждый из которых состоит из всех элементов $\mathcal{C}$, имеющих мощность не большую чем $n$, где $n$ – кардинальное число. Напомним, что элементами класса являются множества и, значит, для них определено понятие мощности. Класс $\mathcal{C}$, для которого все подклассы $\mathcal{C}_n$ являются множествами, назовем классом, фильтрующимся множествами. Очевидно, если класс $\mathcal{C}$ является множеством, то он фильтруется множествами. Итак, пусть $\mathcal{C}$ – некоторый класс, фильтрующийся множествами. Говоря, что этот класс удовлетворяет тому или иному свойству, мы будем иметь в виду следующее: это свойство имеет место в каждом множестве $\mathcal{C}_n$. Приведем некоторые примеры. $\bullet $ Пусть на $\mathcal{C}$ задана функция расстояния, тогда она индуцирует “обычную” функцию расстояния на каждом множестве $\mathcal{C}_n$. Таким образом, на каждом $\mathcal{C}_n$ определены и являются множествами все соответствующие понятия метрической геометрии, например, открытые шары. Последнее позволяет задать на $\mathcal{C}_n$ метрическую топологию $\tau_n$, взяв эти шары в качестве базы. Ясно, что если $n\leqslant m$, то $\mathcal{C}_n\subset\mathcal{C}_m$, и топология $\tau_n$ на $\mathcal{C}_n$ индуцирована из $\tau_m$. $\bullet $ Более общо, под топологией на классе $\mathcal{C}$ будем понимать такое сопоставление каждому $\mathcal{C}_n$ некоторой топологии $\tau_n$, для которого выполняется условие согласования: если $n\leqslant m$, то $\tau_n$ – топология на $\mathcal{C}_n$, индуцированная топологией $\tau_m$. Класс с введенной на нем топологией будем называть топологическим классом. $\bullet $ Наличие топологии на топологическом классе $\mathcal{C}$ позволяет определить непрерывные отображения из некоторого топологического пространства $Z$ в $\mathcal{C}$. Заметим, что в соответствии с аксиомами NBG для произвольного отображения $f\colon Z\to\mathcal{C}$ из множества $Z$ в класс $\mathcal{C}$ образ $f(Z)$ является множеством, все элементы из $f(Z)$ – также множества, их объединение $\bigcup f(Z)$ – множество некоторой мощности $n$, поэтому каждый элемент из $f(Z)$ имеет мощность не большую чем $n$ и потому $f(Z)\subset\mathcal{C}_n$. Отображение $f$ назовем непрерывным, если $f$ непрерывно как отображение из $Z$ в $\mathcal{C}_n$. Из условия согласования вытекает, что для каждого $m\geqslant n$ отображение $f$ также является непрерывным отображением из $Z$ в $\mathcal{C}_m$, а также для каждого $k\leqslant n$ такого, что $f(Z)\subset\mathcal{C}_k$, отображение $f|_{\mathcal{C}_k}$ непрерывно1. $\bullet $ Предыдущие рассмотрения позволяют определить непрерывные кривые в топологическом классе $\mathcal{C}$. $\bullet $ Пусть на классе $\mathcal{C}$ задана функция расстояния и соответствующая ей топология. Будем говорить, что эта функция расстояния внутренняя, если она удовлетворяет неравенству треугольника и для любых элементов из $\mathcal{C}$, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, это расстояние равно точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти элементы. $\bullet $ Пусть задана последовательность $\{X_i\}$ элементов класса $\mathcal{C}$, на котором задана некоторая топология. Так как семейство $\{X_i\}_{i=1}^\infty$ является образом отображения $\mathbb{N}\to\mathcal{C}$, $i\mapsto X_i$, и $\mathbb{N}$ – множество, то в силу сказанного выше все семейство $\{X_i\}$ лежит в некотором $\mathcal{C}_m$. Тем самым определено понятие сходимости последовательности в топологическом классе: она сходится, если это имеет место в некоторой, а значит, и в каждой топологии $\tau_m$ такой, что $\{X_i\}\subset\mathcal{C}_m$. Основными примерами классов будут для нас определенный выше класс $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, а также класс $\mathcal{B}$, состоящий из представителей классов изометрий всех ограниченных метрических пространств. Отметим, что $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$ и $\mathcal{B}_n$ являются множествами для любого кардинального числа $n$. Наиболее хорошо изученным подмножеством в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ является множество компактных метрических пространств, которое называется пространством Громова–Хаусдорфа и часто обозначается через $\mathcal{M}$. Хорошо известно (см. [6], [7], [4]), что ограничение расстояния Громова–Хаусдорфа на $\mathcal{M}$ является внутренней метрикой, а само пространство $\mathcal{M}$ – польское и геодезическое. В работе [10] показано, что расстояние Громова–Хаусдорфа как на классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, так и на классе $\mathcal{B}$, является внутренним. Как правило, вычислить расстояние Громова–Хаусдорфа между конкретными метрическими пространствами очень тяжело, и к настоящему времени оно известно лишь для немногих пар пространств, см. например [14]. Наиболее полезным для конкретных вычислений является другое (эквивалентное) определение расстояния Громова–Хаусдорфа, которое мы сейчас приведем, см. детали в [6] или [7]. Напомним, что отношением между множествами $X$ и $Y$ называется каждое подмножество декартова произведения $X\times Y$. Таким образом, $\mathcal{P}_0(X\times Y)$ – это множество всех непустых отношений между $X$ и $Y$. Определение 1. Для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $\sigma\in\mathcal{P}_0(X\times Y)$ назовем искажением $\operatorname{dis}\sigma$ отношения $\sigma$ величину Отношение $R\subset X\times Y$ между множествами $X$ и $Y$ называется соответствием, если ограничения на $R$ канонических проекций $\pi_X\colon (x,y)\mapsto x$ и $\pi_Y$: $(x,y)\mapsto y$ сюръективны. Отметим, что соответствия – это в точности многозначные сюръективные отображения. Для соответствия $R\subset X\times Y$ и $x\in X$ положим $R(x)=\{y\in Y\colon (x,y)\in R\}$ и будем называть $R(x)$ образом элемента $x$. Множество всех соответствий между $X$ и $Y$ обозначим через $\mathcal{R}(X,Y)$. Хорошо известен следующий результат. Нам понадобятся следующие оценки, которые легко проверить с помощью утверждения 1. Обозначим через $\Delta_1$ одноточечное метрическое пространство. Для топологических пространств $X$ и $Y$ будем рассматривать $X\times Y$ как топологическое пространство со стандартной топологией декартова произведения. Тогда имеет смысл говорить о замкнутых отношениях и соответствиях. Соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$ назовем оптимальным, если $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{dis} R$. Множество всех оптимальных соответствий между $X$ и $Y$ обозначим через $\mathcal{R}_{\mathrm{opt}}(X,Y)$. Утверждение 3 (см. [15], [16]). Для любых $X,Y\in\mathcal{M}$ существует замкнутое оптимальное соответствие, а также реализация $(X',Y',Z)$ пары $(X,Y)$, на которой достигается расстояние Громова–Хаусдорфа между $X$ и $Y$. Утверждение 4 (см. [15], [16]). Для любых $X,Y\in\mathcal{M}$ и каждого замкнутого оптимального соответствия $R\in\mathcal{R}(X,Y)$ семейство $R_t$, $t\in[0,1]$, компактных метрических пространств такое, что $R_0=X$, $R_1=Y$, а при $t\in(0,1)$ пространство $R_t$ – это множество $R$ с метрикой является кратчайшей кривой в $\mathcal{M}$, соединяющей $X$ и $Y$, причем длина этой кривой равна $d_{GH}(X,Y)$. Пусть $X$ – метрическое пространство и $\lambda>0$ – вещественное число. Обозначим через $\lambda X$ метрическое пространство, полученное из $X$ умножением всех расстояний на $\lambda$, т.е. $|xy|_{\lambda X}=\lambda|xy|_X$ для любых $x,y\in X$. Если пространство $X$ ограничено, то для $\lambda=0$ положим $\lambda X=\Delta_1$. Утверждение 5. Для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $\lambda>0$ выполнено $d_{GH}(\lambda X,\lambda Y)=\lambda\,d_{GH}(X,Y)$. Если $X,Y\in\mathcal{B}$, то это же равенство верно и при $\lambda=0$. Утверждение 6. Пусть $X\in\mathcal{B}$ и $\lambda_1,\lambda_2>0$. Тогда $2d_{GH}(\lambda_1 X,\lambda_2 X)=|\lambda_1-\lambda_2|\operatorname{diam} X$. Замечание 1. Если $\operatorname{diam} X=\infty$, то утверждение 6, вообще говоря, не верно. Например, пусть $X=\mathbb{R}$. Пространство $\lambda\mathbb{R}$ изометрично $\mathbb{R}$ при любом $\lambda>0$, поэтому $d_{GH}(\lambda_1\mathbb{R}, \lambda_2\mathbb{R})=0$. § 2. Пространства общего положенияПусть $I$ – произвольное множество мощности $n\geqslant2$ (не обязательно конечной). Через $\mathcal{N}=I^{(2)}$ обозначим семейство всевозможных двухэлементных подмножеств множества $I$. Элемент $\{i,j\}\in\mathcal{N}$ будем обозначать как $ij$, так и $ji$. Отметим, что мощность $N$ множества $\mathcal{N}$ равна $n$, если и только если $n$ – конечно и равно $3$, или же если $n$ бесконечно. Пусть $\mathbb{R}^\mathcal{N}$ – множество всех вещественных функций на $\mathcal{N}$, рассматриваемое как линейное пространство. Для $v\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ через $v_{ij}=v_{ji}$ будем обозначать числа $v(ij)=v(ji)$ – координаты вектора $v$. Вектор $v\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ назовем метрическим или просто метрикой, если $v_{ij}>0$ при всех $ij\in\mathcal{N}$ (положительная определенность), а также $v_{ij}+v_{jk}\geqslant v_{jk}$ при всех $ij,jk,ik\in\mathcal{N}$ (неравенства треугольника). Подмножество $C_n\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$, состоящее из всех метрик, будем называть метрическим конусом. Это название оправдано тем, что множество $C_n$ инвариантно при умножении на положительные числа. Пусть $X$ – произвольное метрическое пространство мощности $n$ и $\eta\colon I\to X$ – некоторая биекция. Эти биекции будем называть нумерациями $X$, а множество всех таких биекций обозначим $B(X)$. Положим $\rho_X^\eta(ij)=|\eta(i)\eta(j)|$, тогда в силу свойств метрики имеем $\rho_X^\eta\in C_n$. Функцию $\rho_X^\eta$ назовем вектором расстояний пространства $X$, соответствующим нумерации $\eta$. Обратно, для вектора $v\in C_n$, множества $Z$, равномощного $I$, и нумерации $\eta\colon I\to Z$ множества $Z$, функция на $Z\times Z$, равная нулю на диагонали $\{(z,z)\}_{z\in Z}$ и сопоставляющая каждой паре $(z,z')$, $z\ne z'$, число $v_{\eta^{-1}(z)\eta^{-1}(z')}$, является метрикой, причем $v=\rho_Z^\eta$. Таким образом, конус $C_n$ состоит в точности из векторов расстояний всевозможных метрических пространств мощности $n$, построенных по всевозможным нумерациям точек этих пространств. Замечание 2. Если для конечного $n$ в качестве $I$ взять $\{1,\dots,n\}$ и каждому подмножеству $\{i,j\}\subset I$, $i\ne j$, поставить в соответствие базисный вектор $e_{ij}=e_{ji}$ пространства $\mathbb{R}^N$, то получим естественное отождествление пространства $\mathbb{R}^N$ и $\mathbb{R}^\mathcal{N}$. Наделим $\mathbb{R}^\mathcal{N}$ расстоянием, положив $|vw|=\frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}|v_{ij}-w_{ij}|$ для каждых $v,w\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$. Это расстояние является обобщенной метрикой. Вектор $v\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ назовем ограниченным, если существует число $c>0$, для которого $|v_{ij}|<c$ для всех $ij\in\mathcal{N}$. В противном случае, вектор $v$ назовем неограниченным. Легко видеть, что свойство векторов из $\mathbb{R}^\mathcal{N}$ находиться на конечном расстоянии друг от друга, т.е. иметь ограниченную разность, является отношением эквивалентности. Классы этой эквивалентности будем называть облаками. Облако, содержащее начало координат $0\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$, состоит из всех ограниченных векторов и будет обозначаться через $\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$. Ясно, что $\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$ является линейным подпространством в $\mathbb{R}^\mathcal{N}$, и на нем расстояние до $0$ равно половине $\sup$-нормы2 $\|v\|_\infty=\sup_{ij\in\mathcal{N}}|v_{ij}|$. Опишем, как выглядят остальные облака. Предложение 2. Каждое облако, отличное от $\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$, является аффинным подпространством вида $v+\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$, где $v$ – некоторый неограниченный вектор. Если $v$ – неограниченный вектор, то для каждого $\lambda\ne 1$, векторы $v$ и $\lambda v$ лежат в разных облаках. Доказательство. Для доказательства первого утверждения заметим, что условие равносильно ограниченности вектора с координатами $v_{ij}-w_{ij}$, т.е. условию $v-w\in\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$.
Докажем теперь второе утверждение. Пусть $v\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ – неограниченный вектор, тогда существует последовательность $v_{i_kj_k}$, стремящаяся к бесконечности. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
2|(\lambda v)v|\geqslant|\lambda-1|\cdot|v_{i_kj_k}|\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось.
Предложение доказано. Пусть $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}\subset\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ состоит из всех метрических пространств мощности $n$. Как было отмечено выше, $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$ является множеством, а значит, множеством также является и $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}\subset\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$. Как и в случае конечных пространств, для $C_n\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$ определим отображение $\pi\colon C_n\to\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$, положив $\pi(v)$ равным единственному входящему в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$ представителю класса изометрии метрического пространства $I$ мощности $n$, в котором $v_{ij}=|ij|$, $i,j\in I$, $i\ne j$, а все $|ii|$ равны нулю. Отображение $\pi$ будем называть канонической проекцией. Предложение 3. Отображение $\pi\colon C_n\to\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$ является $1$-липшицевым, т.е. Доказательство. Если $v,w\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ лежат в одном облаке, то положим $X=\pi(v)$, $Y=\pi(w)$, и пусть $\eta\in B(X)$, $\mu\in B(Y)$ – нумерации, для которых $v=\rho_X^{\eta}$ и $w=\rho_Y^{\mu}$. Далее, положив $x_i=\eta(i)$ и $y_i=\mu(i)$, зададим биективное соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$ так: $R=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^n$, тогда что и требовалось.
Если же $|vw|=\infty$, то утверждение также имеет место, не зависимо от того, чему равно $d_{GH}(\pi(v),\pi(w))$. Предложение доказано. Пусть $\mathcal{B}_{[n]}$ обозначает множество всех ограниченных пространств мощности $n$. Предложение 4. Имеем $\pi(C_n\cap\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty)=\mathcal{B}_{[n]}$. Более того, для любого облака $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$, отличного от $\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$, выполняется $\pi(C_n\cap\mathcal{A})\cap\mathcal{B}_{[n]}=\varnothing $. Доказательство. Ограниченность метрического пространства $X$ равносильна ограниченности в совокупности всех расстояний и, значит, всех компонент вектора $\rho^\eta_X$ для произвольной нумерации $\eta\in B(X)$. Предложение доказано. Замечание 3. Облака, отличные от $\mathbb{R}^\mathcal{N}_\infty$, могут отображаться в одно и то же облако в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$. Действительно, пусть $X=\mathbb{N}$ – множество всех натуральных чисел с естественным расстоянием. Обозначим $\nu$ биективное отображение множества $A=\{2^{n-1}\}_{n\in\mathbb{N}}$ на множество $B\subset\mathbb{N}$ нечетных чисел: $\nu(2^{n-1})=2n-1$. Пусть $\mu\colon \mathbb{N}\setminus A\to\mathbb{N}\setminus B$ – произвольная биекция. Обозначим $\eta\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ нумерацию, совпадающую с $\nu$ на $A$ и с $\mu$ на $\mathbb{N}\setminus A$. Пусть $\mathrm{id}\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ – тождественная нумерация. Положим $v=\rho_\mathbb{N}^{\mathrm{id}}$ и $w=\rho_\mathbb{N}^\eta$. Тогда поэтому $v$ и $w$ лежат в разных облаках соответствующего пространства $\mathbb{R}^\mathcal{N}$, но отображаются в одно и то же облако в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[\aleph_0]}$, где $\aleph_0$ – счетный кардинал. Возникает следующий естественный вопрос: верно ли, что если два равномощных метрических пространства $X$ и $Y$ находятся на конечном расстоянии Громова–Хаусдорфа, то между ними существует биекция с конечным искажением? Иными словами, верно ли, что для некоторых нумераций $\eta\in B(X)$ и $\mu\in B(Y)$ векторы $\rho^\eta_X$ и $\rho^\mu_Y$ находятся на конечном расстоянии? Следующий пример показывает, что это не так. Примеры 1. Пусть $X=\{2^n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}$ и $Y=X\cup\{2^n+1\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}$. Рассмотрим соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$ вида $\{(2^n,2^n),(2^n,2^n+1)\}_{n\in\mathbb{N}}$, тогда $\operatorname{dis} R=1$, так что $d_{GH}(X,Y)<\infty$. Пусть $R'\in\mathcal{R}(X,Y)$ – произвольная биекция. Тогда для каждого $k\in\mathbb{N}$ существуют такие $(2^m,2^n),(2^p,2^n+1)\in R'$, что $m,n,p>k$. Так как $R'$ биективно, то $p\ne m$, откуда $\operatorname{dis} R'\geqslant|2^p-2^m|-1\geqslant2^{\min(p,m)}-1\to\infty$ при $k\to\infty$. Таким образом, для каждой биекции $R'$ выполняется $\operatorname{dis} R'=\infty$. Чтобы корректно перенести на случай бесконечных пространств понятия так называемых граничных и внутренних пространств (ср. с [17]), а также пространств общего положения, нам понадобится ввести ряд числовых характеристик метрических пространств. Пусть $X$ – метрическое пространство, $\#X\geqslant3$. Обозначим через $S(X)$ множество всех биекций множества $X$ на себя, и через $\operatorname{id}\in S(X)$ – тождественную биекцию. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s(X)&=\inf\bigl\{|xx'|\colon x\ne x',\ x,x'\in X\bigr\}, \\ t(X)&=\inf\bigl\{|xx'|+|x'x''|-|xx''|\colon x\ne x'\ne x''\ne x,x,x',x''\in X\bigr\}, \\ e(X)&=\inf\bigl\{\operatorname{dis} f\colon f\in S(X),\ f\ne\operatorname{id}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Метрическое пространство $M\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, $\#M\geqslant3$, назовем пространством общего положения, если все три его характеристики $s(M)$, $t(M)$ и $e(M)$ положительны. Замечание 4. Положительность первой характеристики $s(M)$ означает, что расстояния между разными точками в $M$ отделены от нуля, в частности, пространство $M$ дискретно. Пространства $M$, у которых $s(M)>0$, назовем вполне дискретными. Вторая характеристика $t(M)$ показывает, насколько все треугольники в $M$ далеки от вырожденных. Пространства $M$, у которых $t(M)>0$, назовем вполне невырожденными. Наконец, третья характеристика $e(M)$ отвечает за степень несимметричности пространства $M$. Пространства $M$, у которых $e(M)>0$, назовем вполне несимметричными. Итак, пространства общего положения – это одновременно вполне дискретные, вполне невырожденные и вполне несимметричные метрические пространства. Замечание 5. Конечные метрические пространства общего положения рассматривались ранее в работе авторов [17] и А. Филина [18]. Первые попытки изучать пространства общего положения произвольной мощности были предприняты в дипломной работе А. Филина (им доказано несколько пунктов из теоремы 1 и аналог предложения 5). Нетрудно построить пример метрического пространства $M$ общего положения любой конечной мощности $n\geqslant3$. Для этого мы можем начать с симплекса $\Delta_n$ и ко всем его расстояниям прибавить разные вещественные числа, по модулю меньшие чем $1/3$. Тогда $s(M)>2/3$, $t(M)>0$ и $e(M)>0$, так что $M$ – пространство общего положения. Покажем теперь, как построить метрические пространства общего положения произвольной бесконечной мощности. Эта конструкция была предложена Константином Шрамовым. Конструкция 1. Пусть $X$ – произвольное бесконечное множество. Напомним, что каждое множество может быть вполне упорядочено, т.е. существует линейный порядок, в котором каждое подмножество содержит наименьший элемент. Легко проверить, см., например [19; гл. 2], что не существует биекций, отличных от тождественного отображения и сохраняющих полный порядок. Фиксируем на $X$ какой-нибудь полный порядок и обозначим его через $<$ . Рассмотрим ориентированный граф $G_o$ на множестве вершин $X$, в котором ребра – это все упорядоченные пары $(x,y)$, где $x<y$. Из сказанного выше вытекает, что единственным автоморфизмом графа $G_o$ является тождественное отображение. Построим теперь новый ориентированный граф $H_o$, заменив каждое ребро $e=(x,y)$ графа $G_o$ на три вершины $u_e$, $v_e$, $w_e$ и четыре ребра $(x,u_e)$, $(u_e,v_e)$, $(v_e,y)$, $(v_e,w_e)$ (рис. 1). Пусть $H$ – соответствующий $H_o$ неориентированный граф. Покажем, что у графа $H$ не существует нетривиальных автоморфизмов. Отметим, что $X$ – это в точности все вершины в $H$, имеющие бесконечную степень, поэтому каждый автоморфизм $\nu$ графа $H$ переводит $X$ в себя. Пусть $e=(x,y)$ – ребро графа $G_o$. Мы покажем, что $(\nu(x),\nu(y))$ также является ребром графа $G_0$. Предположим противное, т.е. ребром графа $G_0$ является пара $f=(\nu(y),\nu(x))$. Автоморфизм $\nu$ переводит путь $xu_ev_ey$ в графе $H$ в путь $\nu(x)\nu(u_e)\nu(v_e)\nu(y)$. Так как в $H$ имеется единственный путь длины $3$, соединяющий $\nu(x)$ и $\nu(y)$, и этот путь есть $\nu(y)u_fv_f\nu(x)$, то получаем $\nu(v_e)=u_f$ и $\nu(u_e)=v_f$. Однако вершина $v_e$ имеет степень $3$ в графе $H$, а вершина $u_f$ – степень $2$, противоречие. Таким образом, $(\nu(x),\nu(y))$ – ребро графа $G_o$. Итак, ограничение каждого автоморфизма $\nu$ графа $H$ на $X$ сохраняет порядок, поэтому в силу сказанного выше ограничение $\nu$ на $X$ – тождественное отображение. Но тогда вершины путей $xu_ev_ey$ также неподвижны и, значит, $w_e$ тоже переходят в себя. Пусть $V$ – множество вершин графа $H$. Заметим, что для бесконечного $X$ множество $V$ равномощно $X$. Зададим на $V$ метрику, положив расстояние между разными несмежными вершинами равным $1$, а между смежными равным $1+\varepsilon$, где $0<\varepsilon<1$. Ясно, что $s(V)=1$ и $t(V)=1-\varepsilon>0$. Заметим, что искажение каждой биекции множества $V$ на себя, не являющейся автоморфизмом графа $H$, равно $\varepsilon$, поэтому в силу отсутствия у $H$ нетождественных автоморфизмов заключаем, что $e(V)=\varepsilon$, следовательно, $V$ – пространство общего положения. В следующей теореме мы собрали ряд свойств вполне дискретных пространств. Теорема 1. Пусть $M\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ – вполне дискретное метрическое пространство, т.е. $\#M\geqslant3$ и $s(M)>0$. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,s(M)/2]$. Тогда для каждого пространства $X\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ такого, что $r:=d_{GH}(M,X)<\varepsilon$, выполняются следующие утверждения. (1) Существует соответствие $R\in\mathcal{R}(M,X)$, у которого $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$. (2) Для каждого такого соответствия $R$, если $i,j\in M$, $i\ne j$, то $R(i)\cap R(j)=\varnothing $, так что семейство $D_R=\{X_i:=R(i)\}_{i\in M}$ является разбиением пространства $X$. (3) Для любых $i,j\in M$, $i\ne j$, и произвольных $x_i\in X_i$ и $x_j\in X_j$ выполняется $\bigl||x_ix_j|-|ij|\bigr|<2\varepsilon$. (4) При всех $i\in M$ имеем $\operatorname{diam} X_i<2\varepsilon$. (5) Если $\varepsilon\leqslant s(M)/4$, то разбиение $D_R$ однозначно определено, т.е. если $R'\in\mathcal{R}(M,X)$ таково, что $\operatorname{dis} R'<2\varepsilon$, то $D_{R'}=D_R$. (6) Если пространство $M$ еще и вполне несимметрично, т.е. $e(M)>0$, и, кроме того, $\varepsilon\leqslant s(M)/4$ и $\varepsilon<e(M)/4$, то соответствие $R\in\mathcal{R}(M,X)$, у которого $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$, определено однозначно, и, значит, $R$ – оптимальное соответствие. Доказательство. (1) Так как то существует соответствие $R\in\mathcal{R}(M,X)$, для которого $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$.
(2) Если существует $x\in X$ такой, что $x\in R(i)\cap R(j)$, $i\ne j$, то $\#R^{-1}(x)>1$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dis} R\geqslant\operatorname{diam} R^{-1}(x)\geqslant s(M)\geqslant2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
противоречие. Следовательно, различные $X_i:=R(i)$ не пересекаются и образуют разбиение $\{X_i\}_{i\in M}$ пространства $X$.
(3) Так как $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$, то для любых $i,j\in M$, $i\ne j$, и произвольных $x_i\in R(i)$, $x_j\in R(j)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl||x_ix_j|-|ij|\bigr|\leqslant\operatorname{dis} R<2\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
(4) Так как $\operatorname{dis} R\,{<}\,2\varepsilon$, то для каждого $i\,{\in}\, M$ выполняется $\operatorname{diam} X_i\,{\leqslant}\operatorname{dis} R\,{<}\,2\varepsilon$. (5) Если $\varepsilon\leqslant s(M)/4$ и $R'\in\mathcal{R}(M,X)$ – еще одно соответствие, для которого $\operatorname{dis} R'<2\varepsilon$, то $\{X'_i:=R'(i)\}_{i\in M}$ – также некоторое разбиение $X$, удовлетворяющее перечисленным выше свойствам. Если $D_R\ne D_{R'}$, то или существует $X'_i$, пересекающий одновременно некоторые неравные $X_j$ и $X_k$, или существует $X_i$, пересекающий одновременно некоторые неравные $X'_j$ и $X'_k$. Действительно, если такого $X'_i$ не существует, то каждый $X'_i$ содержится в некотором $X_j$, поэтому $\{X'_p\}$ является подразбиением $\{X_q\}$. Так как эти разбиения не совпадают, то некоторый элемент $X_i$ содержит сразу несколько разных $X'_j$ и $X'_k$. Итак, без ограничения общности предположим, что $X'_i$ пересекает одновременно некоторые неравные $X_j$ и $X_k$. Выберем произвольные $x_j\in X_j\cap X'_i$ и $x_k\in X_k\cap X'_i$. Тогда
$$
\begin{equation*}
2\varepsilon>\operatorname{diam} X'_i\geqslant|x_jx_k|>|jk|-2\varepsilon\geqslant s(M)-2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $\varepsilon>s(M)/4$, противоречие.
(6) Пусть, как и в предыдущем пункте, $R'\in\mathcal{R}(M,X)$ удовлетворяет $\operatorname{dis} R'<2\varepsilon$, тогда, как было показано, $D_R=D_{R'}$. Осталось проверить, что $X_i=X'_i$ при каждом $i\in M$. Предположим противное, т.е. существует нетривиальная биекция $\sigma\colon M\to M$, для которой $X_i=X'_{\sigma(i)}$. По условию, $\operatorname{dis}\sigma\geqslant e(M)>4\varepsilon$. Последнее означает, что существуют такие $i,j\in M$, для которых Положим $p=\sigma(i)$, $q=\sigma(j)$ и выберем произвольные $x_i\in X_i=X'_p$ и $x_j\in X_j=X'_q$. Тогда
$$
\begin{equation*}
4\varepsilon\,{<}\,\bigl||pq|-|ij|\bigr|\,{=}\,\bigl||pq|-|x_ix_j|+|x_ix_j|-|ij|\bigr|\,{\leqslant}\, \bigl||pq|-|x_ix_j|\bigr|+\bigl||x_ix_j|-|ij|\bigr|\,{<}\,2\varepsilon+2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
противоречие. Тем самым, мы доказали, что соответствие $R$, искажение которого достаточно близко к $2d_{GH}(M,X)$, определено однозначно. Отсюда вытекает оптимальность $R$.
Теорема доказана. Определение 2. Семейство $\{X_i\}$ из теоремы 1 назовем каноническим разбиением пространства $X$ относительно $M$. Предложение 5. Пусть $M$ – вполне дискретное метрическое пространство, т.е. $\#M\geqslant3$ и $s(M)>0$. Выберем любое $\varepsilon\in(0,s(M)/8]$. Тогда для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, удовлетворяющих $d_{GH}(M,X)<\varepsilon$ и $d_{GH}(M,Y)<\varepsilon$, однозначно определены соответствующие канонические разбиения $\{X_i\}_{i\in M}$ и $\{Y_i\}_{i\in M}$ относительно $M$ и существует соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$, удовлетворяющее $\operatorname{dis} R<4\varepsilon$, причем для каждого такого соответствия имеется биекция $\sigma\colon M\to M$ такая, что $R$ представимо в виде $R=\bigsqcup_{i\in M}R_i$ для некоторых $R_i\in\mathcal{R}(X_i,Y_{\sigma(i)})$. Доказательство. По неравенству треугольника $d_{GH}(X,Y)\,{\leqslant}\, d_{GH}(X,M)+d_{GH}(M,Y)<2\varepsilon$, откуда и вытекает существование $R$.
Далее, выберем произвольные $x,x'\in X_i$, и $y\in R(x)$, $y'\in R(x')$ и покажем, что $y$ и $y'$ принадлежат одному и тому же $Y_j$. Предположим противное, т.е. $y\in Y_j$ и $y'\in Y_k$ для некоторых $j\ne k$. Тогда по теореме 1
$$
\begin{equation*}
|xx'|\leqslant\operatorname{diam} X_i<2\varepsilon,\qquad |yy'|>|jk|-2\varepsilon\geqslant s(M)-2\varepsilon\geqslant6\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\operatorname{dis} R\geqslant\bigl||xx'|-|yy'|\bigr|>4\varepsilon$, противоречие.
Меняя местами $X$ и $Y$, заключаем, что для любых $(x,y),(x',y')\in R$ точки $x$ и $x'$ лежат в одном элементе канонического разбиения $\{X_i\}$, если и только если точки $y$ и $y'$ лежат в одном и том же элементе канонического разбиения $\{Y_i\}$, что и завершает доказательство. Предложение 6. Пусть пространство $M\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ – вполне дискретное и вполне несимметричное, т.е. $\#M\geqslant3$, $s(M)>0$ и $e(M)>0$. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,s(M)/8]$ такое, что $\varepsilon<e(M)/8$. Тогда для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, удовлетворяющих $d_{GH}(M,X)<\varepsilon$, $d_{GH}(M,Y)<\varepsilon$, однозначно определены соответствующие канонические разбиения $\{X_i\}_{i\in M}$ и $\{Y_i\}_{i\in M}$ относительно $M$ и существует соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$, удовлетворяющее $\operatorname{dis} R< 4\varepsilon$, причем все такие $R$ представимы в виде $R=\bigsqcup_{i\in M}R_i$ для некоторых $R_i\in\mathcal{R}(X_i,Y_i)$. Доказательство. Из предложения 5 следует, что существует соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$, удовлетворяющее $\operatorname{dis} R<4\varepsilon$, и для каждого такого соответствия существуют биекция $\sigma\colon M\to M$ и $R_i\in\mathcal{R}(X_i,Y_{\sigma(i)})$ такие, что $R=\bigsqcup_{i\in M}R_i$. Мы должны доказать, что $\sigma$ – тождественное отображение.
Предположим противное, тогда $\operatorname{dis}\sigma\geqslant e(M)>8\varepsilon$, поэтому существуют $i,j\in M$ такие, что для $k=\sigma(i)$ и $l=\sigma(j)$ выполняется $\bigl||ij|-|kl|\bigr|>8\varepsilon$. Но по условию для любых $x_i\in X_i$, $x_j\in X_j$, $y_k\in R(x_i)\subset Y_k$, $y_l\in R(x_j)\subset Y_l$ выполняется $\bigl||y_ky_l|-|kl|\bigr|<2\varepsilon$, $\bigl||x_ix_j|-|ij|\bigr|<2\varepsilon$, $\bigl||x_ix_j|-|y_ky_l|\bigr|\leqslant\operatorname{dis} R<4\varepsilon$. Из сказанного выше получаем следующую оценку: противоречие. Предложение доказано.Теорема 2. Пусть $n\geqslant3$ – кардинальное число, $I$ – множество мощности $n$, $\mathcal{N}=I^{(2)}$ – множество всех двухэлементных подмножеств $I$, $C_n\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$ – метрический конус, а $\pi\colon C_n\to\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$ – каноническая проекция. Предположим, что $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$ содержит вполне дискретное и вполне несимметричное пространство $M$, и пусть $w\in\pi^{-1}(M)$. Выберем $\varepsilon\in(0,s(M)/8]$ такое, что $\varepsilon<e(M)/8$, и пусть $U_\varepsilon(w)\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$ – соответствующий открытый шар в $\mathbb{R}^\mathcal{N}$. Тогда ограничение канонической проекции $\pi$ на $U_\varepsilon:=U_\varepsilon(w)\cap C_n$ изометрично. Доказательство. Пусть $w=\rho^\eta_M$ для некоторой нумерации $\eta\in B(M)$. Для $i\in I$ положим $m_i=\eta(i)$.
Выберем произвольные $a,b\in U_\varepsilon$, и пусть $X=\pi(a)$, $Y=\pi(b)$. Так как отображение $\pi$ в силу предложения 3 является $1$-липшицевым, то $d_{GH}(X,M)\leqslant|aw|\,{<}\,\varepsilon$ и $d_{GH}(Y,M)\,{\leqslant}\,|bw|\,{<}\,\varepsilon$, поэтому в силу теоремы 1 для пространств $X$ и $Y$ однозначно определены соответствующие канонические разбиения $\{X_i\}_{m_i\in M}$ и $\{Y_i\}_{m_i\in M}$. Пусть $R_X\in\mathcal{R}(M,X)$ и $R_Y\in\mathcal{R}(M,Y)$ – соответствия, удовлетворяющие $\operatorname{dis} R_X<2\varepsilon$, $\operatorname{dis} R_Y<2\varepsilon$ и задающие эти разбиения. По теореме 1 соответствия $R_X$ и $R_Y$ однозначно определены и оптимальны, т.е. $2d_{GH}(M,X)=\operatorname{dis} R_X$ и $2d_{GH}(M,Y)=\operatorname{dis} R_Y$. Для $x\in\mathbb{R}^\mathcal{N}$ положим $s(x)=\inf_{ij\in \mathcal{N}} x_{ij}$. Заметим, что $s(X)=s(a)\geqslant s(w)-2\varepsilon=s(M)-2\varepsilon\geqslant6\varepsilon$ и аналогично $s(Y)\geqslant6\varepsilon$. С другой стороны, по теореме 1 $\operatorname{diam} X_i<2\varepsilon$ и $\operatorname{diam} Y_i<2\varepsilon$ при всех $m_i\in M$, поэтому все $X_i$ и $Y_i$ – одноточечные, т.е. $X_i=\{x_i\}$ и $Y_i=\{y_i\}$. Таким образом, $R_X=\{(m_i,x_i)\}_{i\in I}$ и $R_Y=\{(m_i,y_i)\}_{i\in I}$. По предложению 6 существует соответствие $R\in\mathcal{R}(X,Y)$, удовлетворяющее $\operatorname{dis} R<4\varepsilon$, и каждое такое соответствие имеет вид $R=\bigsqcup_{m_i\in M}R_i$, где $R_i\in\mathcal{R}(X_i,Y_i)$. Так как $X_i$ и $Y_i$ – одноточечные, то $R$ – биекция, состоящая из всех пар $(x_i,y_i)$. Таким образом, $R$ определено однозначно. Следовательно, если соответствие из $\mathcal{R}(X,Y)$ имеет искажение меньше $4\varepsilon$, то оно совпадает с $R$, поэтому $R$ – оптимальное соответствие, и, значит, $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{dis} R$. Заметим, что отображение $\eta_X\colon i\mapsto x_i$ и $\eta_Y\colon i\mapsto y_i$ являются нумерациями $X$ и $Y$. Таким образом, определены векторы $\rho_X:=\rho^{\eta_X}_X$ и $\rho_Y:=\rho^{\eta_Y}_Y$ из конуса $C_n$. Покажем, что $a=\rho_X$ и $b=\rho_Y$. Для этого отметим сначала, что $|aw|<\varepsilon$ и
$$
\begin{equation*}
|\rho_Xw|=\frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}\bigl||x_ix_j|-|m_im_j|\bigr|=\frac12\operatorname{dis} R_X=d_{GH}(M,X)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\eta'_X$ – нумерация $X$, отличная от $\eta$, а $\rho'_X:=\rho^{\eta'_X}_X$, то $|\rho_X\rho'_X|=\frac12\operatorname{dis}\sigma_X$ для не тождественной биекции $\sigma_X\colon X\to X$, соответствующей перенумерации, т.е. $\sigma_X=\eta'_X\circ\eta^{-1}_X$. Пусть $\sigma_X(x_i)=x_{i'}$. Тогда определена соответствующая биекция $\sigma_M\colon M\to M$, $\sigma_M\colon m_i\mapsto m_{i'}$. По условию, $\operatorname{dis}\sigma_M\geqslant e(M)>8\varepsilon$. Но тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\rho'_Xw| &=\frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}\bigl||x_{i'}x_{j'}|-|m_im_j|\bigr| \,{=}\,\frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}\bigl||x_{i'}x_{j'}|\,{-}\,|m_{i'}m_{j'}|\,{+}\,|m_{i'}m_{j'}| \,{-}\,|m_im_j|\bigr| \\ &\geqslant \frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}\bigl||m_{i'}m_{j'}|-|m_im_j|\bigr| -\frac12\sup_{ij\in\mathcal{N}}\bigl||x_{i'}x_{j'}|-|m_{i'}m_{j'}|\bigr| \\ &=\frac12(\operatorname{dis}\sigma_M-\operatorname{dis} R_X)>\frac12(8\varepsilon-2\varepsilon)=3\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, каждая точка из $\pi^{-1}(X)$, отличная от $\rho_X$, лежит вне $U_\varepsilon$. Аналогично для $Y$.
Итак, мы показали, что из всех точек, содержащихся в $\pi^{-1}(X)$ и $\pi^{-1}(Y)$, лишь $\rho_X$ и $\rho_Y$ лежат в $U_\varepsilon$, поэтому $a=\rho_X$ и $b=\rho_Y$. Осталось заметить, что что и требовалось. Теорема доказана.Для бесконечных $n$ пространство $Z\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$, достаточно близкое к вполне дискретному и вполне несимметричному пространству $M$, может не быть вполне дискретным (раздутие точек до малых подпространств той же мощности не поменяет расстояния от $Z$ до $M$). Поэтому образ при канонической проекции окрестности $U_\varepsilon(w)\cap C_n$ из теоремы 2 не совпадает с открытым шаром $U_\varepsilon(M)\cap\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$. В случае конечных $n$ каждое такое пространство $Z\in\mathcal{M}_{[n]}$ должно состоять ровно из $n$ точек, а расстояние $d_{GH}(M,Z)$ достигаться на биекции. Эта биекция фактически переносит нумерацию с $M$ на $Z$, поэтому соответствующий $\rho_Z$ попадает в $U_\varepsilon(w)\cap C_n$ и, значит, каноническая проекция $\pi$ изометрично отображает $U_\varepsilon(w)\cap C_n$ на $U_\varepsilon(M)\cap\mathcal{M}_{[n]}$. Следствие 13. Пусть $n\geqslant3$ – натуральное число, $N=n(n-1)/2$, $C\subset\mathbb{R}^N$ – метрический конус, а $\pi\colon C\to\mathcal{M}_{[n]}$ – каноническая проекция. Пусть $M\in\mathcal{M}_{[n]}$ – вполне дискретное и вполне несимметричное пространство $M$, и пусть $w\in\pi^{-1}(M)$. Выберем $\varepsilon\in(0,s(M)/8]$ такое, что $\varepsilon<e(M)/8$, и пусть $U_\varepsilon(w)\subset\mathbb{R}^N$ – соответствующий открытый шар в $\mathbb{R}^N$. Тогда ограничение канонической проекции $\pi$ на $U_\varepsilon(w)\cap C$ изометрично. Более того, если $M$ – пространство общего положения, т.е. $t(M)$ также положительно, и $\varepsilon\leqslant t(M)/6$, то $U_\varepsilon(w)$ лежит во внутренности конуса $C$. Доказательство. Все, кроме последнего утверждения, мгновенно вытекает из теоремы 2 и рассуждений после нее. Докажем последнее утверждение.
Мы должны показать, что каждый $v\in U_\varepsilon(w)$ лежит во внутренности конуса $C$, т.е. что все координаты вектора $v$ положительны, и все неравенства треугольника строгие. Так как $|vw|<\varepsilon$, то при каждых $1\leqslant i<j\leqslant n$ выполняется $|v_{ij}-w_{ij}|<2\varepsilon$. Так как $\varepsilon\leqslant s(M)/8$, то для любых попарно различных $i,j\in\{1,\dots,n\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
v_{ij}>w_{ij}-2\varepsilon\geqslant s(M)-2\varepsilon\geqslant8\varepsilon-2\varepsilon=6\varepsilon>0,
\end{equation*}
\notag
$$
так что все координаты вектора $v$ положительны.
Далее, для любых попарно различных $i,j,k\in\{1,\dots,n\}$ имеем так что в $v$ все неравенства треугольника строгие. Следствие доказано.§ 3. Изометричное вложение ограниченного метрического пространства в класс $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$В качестве следствия из теоремы 2 мы докажем универсальность метрического класса Громова–Хаусдорфа для ограниченных метрических пространств. Теорема 3. Пусть $X$ – ограниченное метрическое пространство мощности $n$, $n\geqslant 3$. Тогда $X$ может быть изометрично вложено в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$. Доказательство. Для конечных $n$ эта теорема доказана в [20]. Поэтому будем предполагать, что $n$ – бесконечный кардинал. В этом случае, напомним, $\mathcal{N}=n$.
Фиксируем какую-нибудь нумерацию $\eta$ пространства $X$, положим $x_i=\eta(i)$ и определим отображение $f\colon X\to\mathbb{R}^n$, положив $f(x_i)_j=|x_ix_j|$. Лемма 1. Зададим на $\mathbb{R}^n$ обобщенную метрику, положив $|xy|\,{=}\sup_i|x_i\,{-}\,y_i|$. Тогда отображение $f$ изометрично. Доказательство. Действительно, с одной стороны, $\bigl||x_px_j|-|x_qx_j|\bigr|\,{\leqslant}\,|x_px_q|$ для любого $i$, поэтому а с другой стороны, равенство достигается при $j=p$ и при $j=q$, что и требовалось. Лемма доказана. Отображение $f$ называется вложением Куратовского (см. [21]), см. также примеры аналогичного использования в [22] и [20]. Так как $n$ бесконечно, можно сразу считать, что вложение Куратовского отображает $X$ в $\mathbb{R}^\mathcal{N}$. Обозначим через $d$ диаметр пространства $X$. Рассмотрим вполне дискретное и вполне несимметричное пространство $M$ такое, что $s(M)>8d$ и $e(M)\,{>}\,8d$, и пусть $w\in\pi^{-1}(M)$. Положим $Z=w+f(X)\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$. Так как сдвиги сохраняют расстояние в $\mathbb{R}^\mathcal{N}$, то $Z\subset\mathbb{R}^\mathcal{N}$ изометрично $X$. Фиксируем $\varepsilon>d$ и меньше $s(M)/8$ и $e(M)/8$. Тогда $Z\subset U_\varepsilon:=U_\varepsilon(w)\cap C_n$. Остается применить каноническую проекцию $\pi\colon U_\varepsilon\to\operatorname{\mathcal{G\!H}}_{[n]}$, которая изометрична в силу теоремы 2. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IvaTuz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|