| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Точные неравенства типа Бернштейна для мультипликаторов Фурье–Данкля О. Л. Виноградов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9724e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Обзор результатовКлассические точные неравенства
$$
\begin{equation}
\|f^{(r)}\|\leqslant\biggl(\frac{\sigma}{2\sin(\sigma h/2)}\biggr)^{r}\|\delta_h^rf\|, \qquad 0<h<\frac{2\pi}{\sigma},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\|\delta_u^rf\|}{\sin^r(\sigma u/2)} \leqslant\frac{\|\delta_h^rf\|}{\sin^r(\sigma h/2)}, \qquad 0<u<h<\frac{2\pi}{\sigma},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
для целых функций экспоненциального типа и, в частности, для тригонометрических многочленов (см., например, [1; п. 84 и Д.2.53] и [2; пп. 4.8.2, 4.8.6]) играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь $r\in\mathbb N$, $\sigma>0$, $f$ – целая функция типа не выше $\sigma$, ограниченная на $\mathbb R$,
$$
\begin{equation*}
\delta_h^rf(x)=\sum_{k=0}^{r}(-1)^kC_r^k f\biggl(x+\frac{(r-2k)h}2\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– центральная разность $r$-го порядка функции $f$, $\|f\|=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|$. Неравенство типа (1.1) впервые было установлено С. Н. Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов (см. [3] и комментарии в том же томе), затем – для целых функций экспоненциального типа (см. [4]). Неравенство типа (1.2) (для тригонометрических многочленов) было установлено М. Риссом в [5] (см. также [6]–[8]), неравенство типа (1.3) – Р. Боасом в [9]. Аналогичные неравенства верны и в пространствах $L_p$ на оси и на периоде. В терминах преобразований Фурье операторы дифференцирования и разности являются мультипликаторами. Метод получения неравенств для операторов такого вида, основанный на интерполяционных формулах, предложен П. Сайвиным в [10] и вошел в [2; п. 4.8.61] и [11; п. 3.2]. Впоследствии он был развит в работе [12] для тригонометрических многочленов и в [13] для целых функций экспоненциального типа. В настоящей работе рассматриваются аналогичные вопросы для операторов, которые задаются с помощью множителей в терминах преобразования Фурье–Данкля, в том числе для степеней оператора Данкля $\Lambda$ и обобщенных разностей. По аналогии с мультипликаторами Фурье такие операторы естественно называть мультипликаторами Фурье–Данкля. Для них строятся интерполяционные формулы типа формулы Сайвина, из которых затем выводятся неравенства типа (1.1)–(1.3) в пространствах $L_p$ со степенным весом. Поскольку на множестве четных функций оператор $\Lambda^2$ совпадает с оператором Бесселя, неравенства для степеней последнего получаются как частные случаи. Для равномерной нормы аналоги неравенств (1.1)–(1.3) оказываются точными. В частности, доказываются точные неравенства типа (1.1) для операторов $\Lambda^r$, $r\in\mathbb N$. При четных $r$ эти точные неравенства были ранее получены в [14], порядковые неравенства типа (1.1)–(1.3) – в [15], [16], порядковые неравенства типа (1.1) при произвольном $r\in\mathbb{N}$ – в [17]. Более ранние результаты для оператора Бесселя см. в [18], [19]. В § 2 излагаются предварительные сведения об операторах Данкля и связанных с ними операторах преобразования. В § 3 описывается общая схема построения интерполяционных формул и вывода из них неравенств, а затем обсуждаются условия точности. Приложениям общей схемы к конкретным операторам посвящен § 4, там же даются более подробные комментарии к отдельным неравенствам. 1.2. ОбозначенияВ дальнейшем $\mathbb C$, $\mathbb R$, $\mathbb R_+$, $\mathbb Z$, ${\mathbb Z}_+$, $\mathbb N$ суть множества комплексных, вещественных, неотрицательных вещественных, целых, неотрицательных целых, натуральных чисел. Всюду в работе, если не оговорено противное, будем считать, что $\alpha>-1/2$. В случае $\alpha=-1/2$ сдвиг, разность, свертку и другие объекты мы будем называть обычными или классическими и упоминать этот случай для сравнения результатов. Чаще всего мы будем опускать индекс $\alpha$ в обозначениях величин. Если из контекста не следует противное, пространства функций могут быть как вещественными, так и комплексными. Пространства функций обозначаются так: $C(E)$, $\mathrm{CB}(E)$, $C^{(r)}(E)$ и $L_1(E)$ – множества непрерывных, непрерывных ограниченных, $r$ раз непрерывно дифференцируемых и суммируемых на множестве $E$ функций соответственно; $L_{p,\alpha}$ при $p\in[1,+\infty)$ – пространство измеримых на $\mathbb R$ функций $f$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,\alpha}=\biggl(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
$L_{\infty,\alpha}=L_{\infty}$ – пространство существенно ограниченных на $\mathbb R$ функций с $\mathrm{vrai\,sup}$-нормой $\|\cdot\|_{\infty,\alpha}=\|\cdot\|_{\infty}$; равномерная норма непрерывной функции обозначается так же; $\mathbf E_{\sigma}$ – множество целых функций экспоненциального типа не выше $\sigma$, $\mathbf B_{\sigma}=\mathrm{CB}(\mathbb R)\cap \mathbf E_{\sigma}$, $L_{p,\alpha,\sigma}=L_{p,\alpha}\cap \mathbf E_{\sigma}$. Если $A$ – оператор, то $\mathcal D(A)$ и $\mathcal R(A)$ – его область определения и множество значений (образ); $\lfloor x\rfloor$ и $\{x\}$ – целая и дробная части числа $x$, $x^{\langle r\rangle }=|x|^r\operatorname{sign}x$;
$$
\begin{equation*}
f_c(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad f_s(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
– четная и нечетная части функции $f$. В точках устранимого разрыва функции доопределяются по непрерывности; в других случаях символ $0/0$ понимается как $0$. Пустая сумма считается равной нулю, а пустое произведение – единице; $\sum_{k\in\mathbb Z}c_k=\lim_{N\to\infty} \sum_{k=-N}^{N}c_k$. Говорят, что последовательность $\{c_k\}_{k\in\mathbb Z}$ знакочередуется, если существует такое $\varepsilon\in\mathbb C\setminus\{0\}$, что $\varepsilon(-1)^kc_k\geqslant0$ при всех $k\in\mathbb Z$.
§ 2. Предварительные сведения2.1. Гармонический анализ, порожденный операторами ДанкляДифференциально-разностные операторы $\Lambda$, действующие по формуле называются операторами Данкля. Эти операторы (причем в многомерном случае) введены Ч. Данклем в серии работ, из которых укажем на [20].Если функция $f$ дважды дифференцируема и четна, то $\Lambda^2f=Lf$, где $L$ – оператор Бесселя: Порожденный оператором Данкля гармонический анализ функций, заданных на $\mathbb R$, является распространением гармонического анализа, порожденного оператором Бесселя, с множества четных функций (или, что равносильно, с множества функций, заданных на ${\mathbb R}_+$). Напомним некоторые сведения о гармоническом анализе, порожденном оператором Данкля.Нормированная функция Бесселя $j_{\alpha}$ определяется степенным рядом:
$$
\begin{equation*}
j_{\alpha}(z)= \Gamma(\alpha+1)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\alpha+1)} \biggl(\frac{z}{2}\biggr)^{2k}, \qquad z\in\mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Это четная целая функция экспоненциального типа $1$. Определим функции $\varphi_{y}$ и $e_{y}$ формулами
$$
\begin{equation*}
\varphi_{y}(x)=j_{\alpha}(yx), \qquad e_{0}=1, \qquad e_{y}=\varphi_{y}+\frac{1}{iy}\varphi'_{y}, \quad y\ne0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функцию $e_{y}$ можно выразить через сами функции Бесселя:
$$
\begin{equation*}
e_{y}(x)= j_{\alpha}(yx)+ \frac{i}{2(\alpha+1)}yx\,j_{\alpha+1}(yx).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $y\in\mathbb C$ функция $\varphi_{y}$ есть единственное решение задачи Коши (см., например, [21; п. 1.2.2]) а функция $e_{y}$ – единственное решение задачи (см., например, [22; лемма 1]) В классическом случае $\alpha=-1/2$ функции $\varphi_y$ и $e_y$ суть косинусы и экспоненты: Прямое и обратное преобразования Фурье–Данкля функций из $L_{1,\alpha}$ определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal Ff(y) =\int_{\mathbb R}f(t)e_{-y}(t) |t|^{2\alpha+1}\,dt, \\ \mathcal F^{-1}g(x) = \frac{1}{(2^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1))^2}\int_{\mathbb R}g(y)e_{y}(x)|y|^{2\alpha+1}\,dy. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f,\mathcal F\in L_{1,\alpha}$ и $f$ непрерывна, то верна формула обращения ${\mathcal F}^{-1}{\mathcal F}f=f$; см. [23; теорема 4.20]. Обозначим через ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ множество функций $f$, представимых в виде где $\rho$ – функция ограниченной вариации, или, что равносильно, борелевский заряд на $[-\sigma,\sigma]$. Трактуя заряд $\rho$ как распределение, по теореме единственности для обратного преобразования Фурье–Данкля (см. [24; лемма 3.3] и [25; теорема 4.5]) получаем, что заряд $\rho$ определяется функцией $f$ однозначно. Обозначим его $\rho(f)$. Так как $e_y\in \mathbf E_y$ и $|e_y|\leqslant1$ при всех $y$, имеем ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}\subset{\mathbf B}_{\sigma}$. Если $f\in L_{1,\alpha,\sigma}$, то по теореме Пэли–Винера (см. [25; теорема 4.5]) $\mathcal Ff=0$ вне $[-\sigma,\sigma]$ и верна формула обращения (2.1), в которой
$$
\begin{equation*}
d\rho(f,y)=\mathcal Ff(y) \frac{|y|^{2\alpha+1}\,dy}{(2^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1))^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем $L_{1,\alpha,\sigma}\subset{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$. Для функции $f\in C^{(\infty)}(\mathbb R)$ определим функцию двух переменных $Tf$ как единственное решение задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения (см., например, [22; теорема 5]). Здесь через $\Lambda_x$ и $\Lambda_y$ обозначен оператор $\Lambda$, применяющийся по первому и второму аргументу, т.е. $\Lambda_xv(x,y)=\Lambda v(\cdot,y)(x)$, $\Lambda_yv(x,y)=\Lambda v(x,\cdot)(y)$. Наряду с $Tf(x,y)$ будем писать также $T^yf(x)$. Оператор $T^y$ называется оператором обобщенного сдвига, порожденным оператором $\Lambda$.В частности, $T^0f=f$, $T^ye_u=e_ye_u$. Известно (см. [24; теорема 2.4], а также [26]), что при $x,y\ne0$ оператор $T$ представляется в виде
$$
\begin{equation}
Tf(x,y)=\int_{\mathbb R} f(z)W(x,y,z)|z|^{2\alpha+1}\,dz,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
причем ядро $W$ обладает свойствами: $W(x,y,\cdot)\in L_{1,\alpha}$, $W(x,y,z)=0$ при $|z|\notin\bigl[\bigl||x|-|y|\bigr|,\,|x|+|y|\bigr]$. Явный вид ядра $W$ нам далее не понадобится. Если $y\in\mathbb R\setminus\{0\}$, а функция $f$ локально суммируема с весом $|\cdot|^{2\alpha+1}$, то правая часть (2.2) существует при почти всех $x$ (см. [26; следствие 5]). Поэтому формулой (2.2) оператор $T$ распространяется на класс таких функций. Перечислим некоторые свойства оператора $T$. T1. Если $y\in\mathbb R$, $p\in[1,+\infty]$, а $f\in L_{p,\alpha}$, то $T^yf\in L_{p,\alpha}$. Если $f\in \mathrm{CB}(\mathbb R)$, то $Tf\in \mathrm{CB}(\mathbb R^2)$ и, в частности, $T^yf\in \mathrm{CB}(\mathbb R)$. Свойство T1 для $L_{p,\alpha}$ можно найти в [27; лемма 1], для $\mathrm{CB}(\mathbb R)$ – в [24; теорема 3.1], в обоих случаях – в [26; теорема 4 и следствие 6]. T2. Если $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$, то $T^hf\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ и $d\rho(T^hf,y)=e_y(h)\,d\rho(f,y)$. Для доказательства достаточно подставить (2.1) в (2.2) и поменять порядок интегрирования. В литературе известно равенство $\mathcal FT^hf=e_h\cdot\mathcal Ff$ для функций $f$ из $L_{1,\alpha}$ (в частности, из класса Шварца $\mathcal S$) или $L_{2,\alpha}$ (см., например, [28; формула (4.2)] и [29; формула (2.25)]). Однако операторы $\mathcal F$ и $T^y$ можно обычным способом определить на пространстве умеренных распределений $\mathcal S'$ (для преобразования Фурье–Данкля это сделано, например, в [25], [29], [17], а для обобщенного сдвига – в [17]); при этом равенство, очевидно, остается верным. Свойство T2 – его частный случай (напомним, что $e_y(h)=e_h(y)$). T3. Если $y\in\mathbb R$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha}$, то
$$
\begin{equation}
\|T^yf\|_{p,\alpha}\leqslant2^{|1-2/p|}\|f\|_{p,\alpha},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|T^yf\pm T^{-y}f\|_{p,\alpha}\leqslant2\|f\|_{p,\alpha}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Свойство T3 в полном объеме доказано в [26; теоремы 3, 4 и следствие 4]. Для дальнейшего принципиально (по крайней мере при $p=+\infty$) выполнение неравенств (2.4) именно с константой $2$. В отличие от обычного сдвига, оператор $T^y$ не является положительным при $y\ne0$ и тем самым его норма как оператора из $L_{\infty}$ в $L_{\infty}$ больше $1$. Это усложняет ситуацию по сравнению с классическим случаем. Однако, как и в классическом случае, среднее $\square_{y}=(T^y+T^{-y})/2$ оказывается положительным оператором и имеет единичную норму, а норма обобщенной разности $T^y-T^{-y}$ не превосходит 2 (в [26; замечание 7] доказана точность последнего неравенства при $p=1,+\infty$). Оператор $\square_{y}$ введен другим способом в [30; формула (14)], там же получено его интегральное представление (отличающееся от полусуммы выражений в (2.2) заменой переменной), доказана положительность и оценена норма. В [15; теорема 3.1] аналогичная оценка получена в многомерном случае. В [26] неравенства (2.3) и (2.4) доказаны (в одномерном случае) для обобщенного сдвига, порожденного дифференциально-разностными операторами более общего вида. 2.2. Абсолютно монотонные функцииПри определении абсолютной монотонности и логарифмической абсолютной монотонности мы ограничимся функциями, заданными на промежутке вида $[0,b\rangle \subset\mathbb R$, где $b\in(0,+\infty]$. Определение. Функция $f$ называется абсолютно монотонной на промежутке $[0,b\rangle $, если $f$ раскладывается на $[0,b\rangle $ в степенной ряд с неотрицательными коэффициентами: Функция $f$ называется логарифмически абсолютно монотонной на промежутке $[0,b\rangle $, если $f$ непрерывна на $[0,b\rangle $, дифференцируема на $[0,b)$, $f>0$ и функция $(\ln f)'$ абсолютно монотонна на $[0,b)$. По поводу равносильных определений абсолютной монотонности см. [31]. Абсолютно монотонные и логарифмически абсолютно монотонные функции играют важную роль в теории вероятностей; эти вопросы подробно разобраны в [32]. В [12], [13], [33] свойство абсолютной монотонности применялось к усилению точных неравенств для производных и разностей тригонометрических многочленов и целых функций экспоненциального типа. Нам понадобятся следующие свойства абсолютно монотонных функций. M1. Логарифмически абсолютно монотонная функция абсолютно монотонна. M2. Если функция $f$ абсолютно монотонна на $[0,b\rangle $ и четна, то она неотрицательна и выпукла вниз на $\langle -b,b\rangle $. M3. Если функция $f$ логарифмически абсолютно монотонна на $[0,b\rangle $, то при любом $r>0$ функция $f^r$ логарифмически абсолютно монотонна на $[0,b\rangle $. M4. Если функция $f$ логарифмически абсолютно монотонна на $[0,b\rangle $, а $\beta> \alpha>0$, то функция $z\mapsto f(\beta z)/f(\alpha z)$ логарифмически абсолютно монотонна на $[0,b/\beta\rangle $. Доказательства этих свойств элементарны; см. также [33]. Лемма 1. Если $\alpha\geqslant-1/2$, то функция $1/j_{\alpha}$ логарифмически абсолютно монотонна на промежутке $[0,\tau_1)$, где $\tau_{1}$ – первый положительный нуль функции $j_{\alpha}$. Доказательство. Функция Бесселя $j_{\alpha}$ раскладывается в бесконечное произведение:
$$
\begin{equation*}
j_{\alpha}(x)=\prod_{s=1}^{\infty}\biggl(1-\frac{x^2}{\tau_s^2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau_s$ – все положительные нули функции $j_{\alpha}$, занумерованные в порядке возрастания; см., например, [34; п. 15.41]. Ясно, что $j_{\alpha}>0$ на $(-\tau_1,\tau_1)$. Остается записать $j_{\alpha}$ в знаменатель и воспользоваться логарифмической абсолютной монотонностью каждого сомножителя:
Лемма доказана. Замечание 1. Другой способ доказательства леммы 1 – вывести из дифференциального уравнения Бесселя рекуррентное соотношение для тейлоровских коэффициентов функции $\ln(1/j_{\alpha})$. Если $\alpha=-1/2$, то $j_{\alpha}(x)=\cos{x}$, и утверждение леммы известно (см. [33]). 2.3. Оператор преобразования (сплетающий оператор)В дальнейшем нам понадобится разложить заданную на отрезке $[-\sigma,\sigma]$ функцию $g$ в ряд типа Шлёмильха:
$$
\begin{equation}
g(y)=\sum_{l\in\mathbb Z}c_l e_{y}\biggl((l+\theta)\frac{\pi}{\sigma}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
с дополнительным условием Для этого удобно использовать оператор преобразования. Теория рядов Шлёмильха изложена в [34; гл. 19]. Отметим, что единственности разложения (2.5), вообще говоря, нет. Однако, как легко увидеть из свойства P2 далее, при фиксированном $\theta$ и дополнительном условии (2.6), если разложение существует, то оно единственно. Разложение в ряд Шлёмильха применялось при доказательстве неравенств типа Бернштейна в [19], а некоторые разложения вида (2.5) – в [17]. В теории разложений Фурье–Бесселя широко применяется оператор Пуассона
$$
\begin{equation}
Rf(y)= \frac{2\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+1/2)\sqrt{\pi}} \int_{0}^{1}f(yt)(1-t^2)^{\alpha-1/2}\,dt;
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
см., например, [35] и [21; гл. 2]. Индекс $\alpha$ мы, как обычно, опускаем. В теории разложений Фурье–Данкля аналогичную роль играет оператор $P$, определяемый равенством
$$
\begin{equation}
Pf(y)=Rf_c(y)+\frac{1}{y}R\bigl(x\mapsto x f_s(x),y\bigr).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Тем самым на четных функциях $P=R$. Операторы $P$ введены Данклем в [36; теорема 5.1]. Области определения не только операторов $R$ и $P$, но и функций, к которым они применяются, можно выбирать по-разному. Для нас будет важна возможность применять их к функциям, заданным не только на $\mathbb R_+$ или $\mathbb R$, но и на ограниченном промежутке. Оператор $R$ применяется к функциям $f$, заданным на промежутке вида $[0,b\rangle $, где $b\in(0,+\infty]$, или к четным функциям $f$, заданным на симметричном промежутке $\langle -b,b\rangle $. В первом случае договоримся продолжать функцию четно. Оператор $P$ применяется к функциям $f$, заданным на симметричном промежутке $\langle -b,b\rangle $. Определение (2.7) имеет смысл для локально суммируемой функции $f$. Чтобы определение (2.8) имело смысл, достаточно считать, что функции $f_c$ и $x\mapsto xf_s(x)$ локально суммируемы. Функции $Rf$ и $Pf$ оказываются определены на том же промежутке, что и $f$. Если функция $f$ локально суммируема (из этого условия очевидно следует локальная суммируемость функций $f_c$ и $x\mapsto xf_s(x)$), то
$$
\begin{equation*}
Pf(y)=\frac{\Gamma(\alpha+1)} {\Gamma(\alpha+1/2)\sqrt{\pi}} \int_{-1}^{1}f(yt)(1-t^2)^{\alpha-1/2}(1+t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем известные факты об обращении операторов $R$ и $P$ на классах суммируемых функций. Не умаляя общности, будем считать, что $b\in(0,+\infty)$, $\mathcal D(R)=L_1[0,b]$, $\mathcal D(P)=\bigl\{f\colon f_c\in L_1[-b,b], \,x\mapsto xf_s(x)\in L_1[-b,b]\bigr\}$. В силу произвольности параметра $b$ результаты автоматически распространяются на локально суммируемые функции. Оператор Пуассона выражается через оператор дробного интегрирования Римана–Лиувилля (мы пользуемся обозначениями из [37])
$$
\begin{equation*}
I^{\gamma}_{0+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\gamma)} \int_{0}^{x}(x-t)^{\gamma-1}f(t)\,dt, \qquad \gamma>0, \quad x>0,
\end{equation*}
\notag
$$
формулой
$$
\begin{equation}
Rf(y)= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi}}y^{-2\alpha} I^{\alpha+1/2}_{0+} \biggl(\frac{f(\sqrt{\cdot}\,)}{\sqrt{\cdot}},y^2\biggr), \qquad y>0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Это легко проверить, сделав замену переменных. Оператор $I^{\gamma}_{0+}$, заданный на множестве $L_1[0,b]$, инъективен (см. [37; лемма 2.5]). Суммируемость функции $f$ равносильна суммируемости функции $f(\sqrt{\cdot}\,)/\sqrt{\cdot}$ . Поэтому в силу формулы (2.9) оператор $R$ инъективен. Применяя это утверждение к четной и нечетной частям функции, получаем, что и оператор $P$ инъективен. В [37; теорема 2.3] описан образ оператора Римана–Лиувилля; описание дается в терминах свойств дробных интегралов. Сопоставив эту теорему с формулой (2.9), можно описать образ оператора Пуассона $\mathcal R(R)$. По формуле (2.8) включение $g\in\mathcal R(P)$ равносильно паре включений $g_c\in\mathcal R(R)$, $y\mapsto yg_s(y)\in\mathcal R(R)$. Явное описание образов этих операторов нам не понадобится. Обратный оператор $R^{-1}$ находится с помощью дробного дифференцирования (см. [37; теорема 2.4]) и формулы (2.9). Его явное выражение содержится в [37; формула (18.17)], где надо положить $a=0$, $\sigma=2$, $\eta=-1/2$ и заменить $\alpha$ на $\alpha+1/2$. Если $g\in\mathcal R(R)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^{-1}g(x) &=\frac{2\sqrt{\pi}x}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(1-\{\alpha+1/2\})} \nonumber \\ &\qquad\times \biggl(\frac{d}{dx^2}\biggr)^{\lfloor\alpha+1/2\rfloor+1} \int_{0}^{x} (x^2-y^2)^{-\{\alpha+1/2\}}y^{2\alpha+1}g(y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
При $\alpha=k+1/2$, $k\in\mathbb Z_+$, формула (2.10) упрощается:
$$
\begin{equation}
R^{-1}g(x)= \frac{\sqrt{\pi}x}{\Gamma(\alpha+1)} \biggl(\frac{d}{dx^2}\biggr)^{k+1}(x^{2k+1}g(x)).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Рассматривая отдельно четную и нечетную части функции, получаем выражение обратного оператора $P^{-1}$: если $g\in\mathcal R(P)$, то
$$
\begin{equation}
P^{-1}g(x)=R^{-1}g_c(x)+\frac{1}{x}R^{-1}\bigl(y\mapsto yg_s(y),x\bigr).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Равенства (2.10) и (2.11) хорошо известны. При $\alpha\in(-1/2,1/2)$ правая часть (2.10) определяет оператор Сонина (согласно терминологии, принятой, например, в [38]; терминология в [35] несколько отличается). В [35; § 9] формулы (2.10) и (2.11) выведены для четных функций $g\in C^{(k+1)}(\mathbb R)$ (в равносильном виде), а в [21; теорема 2.1.2] – для четных функций $g\in C^{(\infty)}(\mathbb R)$. Формула (2.12) получена в [22; замечание 2] и [25; замечание 3.4] для функций $g\in C^{(\infty)}(\mathbb R)$. Отметим, что в [21; формула (2.1.32)] и [22; замечание 1.1.b] коэффициент в формуле (2.11) указан с ошибкой. Из негладких функций в этой работе оператор $P^{-1}$ будет применяться только к линейным комбинациям функций вида $y\mapsto|y|^r\psi_1(y)$ и $y\mapsto y^{\langle r\rangle }\psi_2(y)$, где $r\geqslant0$, а $\psi_1$, $\psi_2$ – четные бесконечно дифференцируемые функции. Принадлежность таких функций множеству $\mathcal R(P)$ очевидна, так как по формуле Тейлора они представляются в виде суммы нескольких одночленов (не обязательно с целыми показателями) и достаточно гладкого остатка. Замечание 2. Функции $R^{-1}g$ и $P^{-1}g$ определены с точностью до эквивалентности. Договоримся, что если в классах эквивалентности имеется непрерывный представитель, то под $R^{-1}g$ и $P^{-1}g$ понимается именно он. Перечислим еще несколько свойств операторов $P$, которые для удобства ссылок снабдим номерами. P1. Если $u,y\in\mathbb R$, то $P(\exp(iu\cdot),y)=e_{y}(u)$. Это основное свойство оператора преобразования. Оно следует из формулы Пуассона для бесселевых функций; см., например, [21; формула (2.1.15)] и [24; лемма 2.1]. P2. Если
$$
\begin{equation}
\sum_{l\in\mathbb Z}|c_{l}|<+\infty, \qquad f(x)=\sum_{l\in\mathbb Z}c_{l}e^{i((l+\theta)\pi/\sigma)x},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
то
$$
\begin{equation*}
Pf(y)= \sum_{l\in\mathbb Z}c_{l}e_{y}\biggl((l+\theta)\frac{\pi}{\sigma}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Свойство P2 вытекает из P1. Согласно P2 представимость функции $g$ в виде (2.5) с условием (2.6) равносильна включению $g\in P(A_{\theta})$, где $A_{\theta}$ – множество функций $f$ вида (2.13). Подставляя $x=\sigma$ в (2.13), получаем
$$
\begin{equation}
e^{-i\theta\pi}P^{-1}g(\sigma)=e^{i\theta\pi}P^{-1}g(-\sigma).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Отсюда следует необходимое условие разложимости $|P^{-1}g(\sigma)|=|P^{-1}g(-\sigma)|$. Если оно выполнено и при этом $P^{-1}g(\sigma)\ne0$, то параметр $\theta$ определяется из уравнения (2.14) однозначно по модулю $1$ (замена $\theta$ на $\theta+1$ соответствует сдвигу индекса суммирования). Ввиду ортогональности системы экспонент коэффициенты $c_l$ при фиксированном $\theta$ однозначно определяются равенством
$$
\begin{equation*}
c_l=\frac{1}{2\sigma}\int_{-\sigma}^{\sigma} P^{-1}g(t)e^{-i((l+\theta){\pi}/{\sigma})t}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим их $c_l^{(\theta)}(g)$. P3. Справедливы равенства
$$
\begin{equation}
P\bigl(t\mapsto |t|^r,y\bigr) =\frac{\Gamma((r+1)/2)\Gamma(\alpha+1)} {\sqrt{\pi}\, \Gamma(r/2+\alpha+1)}|y|^r, \qquad r>-1,
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
$$
\begin{equation}
P\bigl(t\mapsto t^{\langle r\rangle },y\bigr) =\frac{\Gamma(r/2+1)\Gamma(\alpha+1)} {\sqrt{\pi}\, \Gamma((r+3)/2+\alpha)}y^{\langle r\rangle }, \qquad r>-2.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Эти формулы легко получаются сведением интегралов к бета-функции. При $r\in\mathbb Z_+$ они имеются в [36; теорема 5.1]. P4. Если $R\in(0,+\infty]$ и то
$$
\begin{equation}
Pf(y)=\sum_{k=0}^{\infty}b_kc_{k}y^k, \qquad |y|<R,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где
$$
\begin{equation}
b_k=\begin{cases} \dfrac{\Gamma((k+1)/2)\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi}\, \Gamma(k/2+\alpha+1)}, &k\textit{ четно}, \\ \dfrac{\Gamma(k/2+1)\Gamma(\alpha+1)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma((k+3)/2+\alpha)}, &k\textit{ нечетно}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Радиусы сходимости рядов (2.17) и (2.18) равны. Действительно, для любого $b\in(0,R)$ ряд (2.17) равномерно сходится на отрезке $[-b,b]$. Поэтому оператор $P$ можно применить к сумме ряда почленно, после чего воспользоваться свойством P3. Последовательность $\{b_k\}$ имеет степенное убывание, что влечет равенство радиусов сходимости. Замечание 3. Как видно из формулы (2.19) и признака Абеля, если $R\,{<}\,{+}\infty$ и ряд (2.17) сходится в точке $R$ или $-R$, то это же верно и для ряда (2.18). Обратное неверно. Свойство P4 дает выражение обратного оператора $P^{-1}$ в терминах степенных рядов и наряду с формулами (2.10)–(2.12) может использоваться для приближенных вычислений. Из свойства P4 сразу следует такое наблюдение. P5. Аналитичность функций $f$ и $Pf$ на $(-R,R)$ равносильна. Оператор $P$ сохраняет знак тейлоровских коэффициентов с центром в нуле. В частности, операторы $P$ и $P^{-1}$ переводят абсолютно монотонные на $[0,R)$ функции в абсолютно монотонные. § 3. Точные неравенства общего вида для целых функций экспоненциального типаПусть $\lambda,\mu\in C[-\sigma,\sigma]$ и на множестве ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ функций вида (2.1) заданы операторы
$$
\begin{equation}
Uf(x) =\int_{-\sigma}^{\sigma} \lambda(y)e_{y}(x)\,d\rho(f,y),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
Vf(x) =\int_{-\sigma}^{\sigma} \mu(y)e_{y}(x)\,d\rho(f,y).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Ясно, что $U,V\colon {\mathbf V}_{\alpha,\sigma}\to{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$. Нас будет интересовать неравенство вида
$$
\begin{equation}
\|Uf\|_{p,\alpha}\leqslant M\|Vf\|_{p,\alpha}, \qquad f\in {\mathbf V}_{\alpha,\sigma},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и наилучшая постоянная $M$ в этом неравенстве. 3.1. Оценки сверху Лемма 2. 1. Пусть $\sigma>0$, $\theta\in\mathbb R$, $\mu\in C[-\sigma,\sigma]$, 2. Если, кроме того, $p\in[1,+\infty]$, $Vf\in L_{p,\alpha}$, то $Uf\in L_{p,\alpha}$ и Если при этом или то Доказательство. 1. Подставляя в формулу (3.1) разложение функции $g$ в ряд и интегрируя ряд почленно, что законно в силу его равномерной сходимости, приходим к равенству (3.4):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Uf(x)&=\int_{-\sigma}^{\sigma} \sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g)e_{y} \biggl((l+\theta)\frac{\pi}{\sigma}\biggr)e_{y}(x)\,d\rho(Vf,y) \\ &=\sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g)\int_{-\sigma}^{\sigma} e_{y}(x)\,d\rho(T^{(l+\theta)\pi/\sigma}Vf,y) =\sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g)T^{(l+\theta)\pi/\sigma}Vf(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2. В силу неравенства (2.3) ряд в правой части (3.4) сходится по норме пространства $L_{p,\alpha}$, откуда следуют включение $Uf\in L_{p,\alpha}$ и оценка (3.6). Докажем (3.9). В случае (3.7) имеем $c_{-l}^{(0)}(g)=c_{l}^{(0)}(g)$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
Uf(x)=c_0^{(0)}(g)Vf(x)+\sum_{l=1}^{\infty}c_l^{(0)}(g) (T^{l\pi/\sigma}+T^{-l\pi/\sigma})Vf(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (3.8) имеем $c_{-l-1}^{(1/2)}(g)=-c_{l}^{(1/2)}(g)$, откуда получаем
$$
\begin{equation*}
Uf(x)= \sum_{l=0}^{\infty}c_l^{(1/2)}(g) (T^{(l+1/2)\pi/\sigma}-T^{-(l+1/2)\pi/\sigma}) Vf(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Остается воспользоваться неравенствами (2.4).
Лемма доказана. Следствие 1. 1. Пусть $\sigma>0$, $\theta\in\mathbb R$, 2. Если, кроме того, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha}$, то $Uf\in L_{p,\alpha}$ и
$$
\begin{equation*}
\|Uf\|_{p,\alpha}\leqslant 2^{|1-2/p|} \biggl(\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\theta)}(\lambda)|\biggr) \|f\|_{p,\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если при этом выполнено условие (3.7) или (3.8), то Для доказательства достаточно положить $\mu\equiv1$ в лемме 2. Во многих случаях утверждения леммы 2 и следствия 1 выполняются на классе ${\mathbf B}_{\sigma}$, более широком, чем ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$. Будем говорить, что последовательность функций $f_n$, заданных на $\mathbb R$, ограниченно локально равномерно сходится к функции $f$, если $f_n\to f$ равномерно на любом отрезке и функции $f_n$ ограничены общей постоянной. Будем говорить, что оператор $V\colon {\mathbf B}_{\sigma}\to \mathrm{CB}({\mathbb R})$ замкнут относительно ограниченной локально равномерной сходимости, если для любых функций $f_n$, $f$ из ${\mathbf B}_{\sigma}$ и $h$ из $\mathrm{CB}({\mathbb R})$ из того, что последовательность $f_n$ ограниченно локально равномерно сходится к $f$, а последовательность $Vf_n$ ограниченно локально равномерно сходится к $h$, следует, что $h=Vf$. Примерами операторов, замкнутых относительно ограниченной локально равномерной сходимости, помимо непрерывных операторов из $\mathrm{CB}({\mathbb R})$ в $\mathrm{CB}({\mathbb R})$, служат операторы дифференцирования $D^r$, а значит, и операторы $\Lambda^r$ и $L^r$, $r\in\mathbb N$. Лемма 3. Для всякой функции $f\in{\mathbf B}_{\sigma}$ существует последовательность функций $f_n$ из $L_{1,\alpha,\sigma}$ (и тем самым из ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$) такая, что $f_n\to f$ равномерно на любом отрезке и $\|f_n\|_{\infty}\leqslant\|f\|_{\infty}$. Для построения такой последовательности достаточно рассмотреть функции
$$
\begin{equation*}
h_{\varepsilon}(t)=f\biggl(\biggl(1-\frac{\varepsilon}{\sigma}\biggr)t\biggr)\biggl( \frac{N}{\varepsilon t}\sin\frac{\varepsilon t}{N}\biggr)^N,\qquad \varepsilon\in(0,\sigma),
\end{equation*}
\notag
$$
которые принадлежат $L_{1,\alpha,\sigma}$, если $N>2\alpha+2$, и положить $f_n=h_{\varepsilon_n}$, $\varepsilon_n\to0+$. Лемма 4. Пусть оператор $U\colon {\mathbf B}_{\sigma}\to \mathrm{CB}({\mathbb R})$ на функциях из ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ задается формулой (3.1) и замкнут относительно ограниченной локально равномерной сходимости. Тогда в условиях следствия 1 требование $f\in{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ можно заменить на $f\in{\mathbf B}_{\sigma}$. Доказательство. Пусть $f\in{\mathbf B}_{\sigma}$. Обозначим через $h(x)$ сумму ряда в правой части (3.10). По лемме 3 подберем последовательность функций $f_n$ из ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ такую, что $f_n\to f$ равномерно на любом отрезке и $\|f_n\|_{\infty}\leqslant\|f\|_\infty$. Тогда
Докажем, что $Uf_n\to h$ равномерно на любом отрезке $[-a,a]$; тогда по замкнутости $U$ можно будет заключить, что $Uf=h$. Зафиксировав $\varepsilon>0$, найдем такое $N\,{\in}\,\mathbb N$, что $\sum_{|l|>N}|c_l^{(\theta)}(\lambda)|\,\|f\|_{\infty}\,{<}\,{\varepsilon}/{8}$, и обозначим $a_N\,{=}\,a+(|\theta|+N)\pi/\sigma$. Поскольку ядро оператора $T^y$ обнуляется при $|z|>|x|+|y|$, для всех $x\in[-a,a]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|Uf_n(x)-h(x)| \\ &\qquad \leqslant 2\sum_{|l|>N}|c_l^{(\theta)}(\lambda)|\,\|f_n-f\|_{\infty} +\sum_{l=-N}^{N}|c_l^{(\theta)}(\lambda)|\,\bigl|T^{(l+\theta)\pi/\sigma}(f_n-f)(x)\bigr| \\ &\qquad\leqslant 4\sum_{|l|>N}|c_l^{(\theta)}(\lambda)|\,\|f\|_{\infty}+ 2\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\theta)}(\lambda)| \max_{[-a_N,a_N]}|f_n-f|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается воспользоваться равномерной сходимостью $f_n$ к $f$ на $[-a_N,a_N]$ и подобрать такое $n_0$, что для всех $n$, больших $n_0$, второе слагаемое меньше ${\varepsilon}/{2}$.
Лемма доказана. Замечание 4. В условиях следствия 1 равенство (3.10) служит естественным способом продолжения оператора $U$ на множество ${\mathbf B}_{\sigma}$. Лемма 5. Пусть $\sigma>0$, $\theta,\beta\in{\mathbb R}$, Доказательство. Возьмем последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\subset{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$, которая ограниченно локально равномерно сходится к $f\in{\mathbf B}_{\sigma}$. По лемме 2
$$
\begin{equation*}
Uf_n(x)=\sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g) T^{(l+\theta)\pi/\sigma}Vf_n(x),
\end{equation*}
\notag
$$
а по лемме 4 последовательность $Vf_n$ ограниченно локально равномерно сходится к $Vf$ и $Vf\in{\mathbf B}_{\sigma}$. Остается повторить рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 4, заменив $\lambda$ на $g$, $f_n$ на $Vf_n$, $f$ на $Vf$.
Лемма доказана. Й. П. Ли, Ч. М. Су и В. И. Иванов доказали в [17; теорема 5.5], что если $\lambda\in C^{(\infty)}(\mathbb{R})$ и функция $\lambda$ полиномиального роста, то для любых $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$ и $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$ верно разложение где коэффициенты $d_k$ зависят от $\sigma$. В общем случае это разложение отличается от равенства (3.10), но для четных и нечетных функций $f$ с ним совпадает, поскольку тогда $d_{2k-1}=0$ или $d_{2k}=0$. Как частный случай получается (см. [17; теорема 5.6]) формула
$$
\begin{equation*}
\Lambda f(x)=\frac{(2\alpha+2)\sigma}{\pi^2}\sum_{l\in\mathbb Z}\frac{(-1)^l}{(l+1/2)^2}T^{(l+1/2)\pi/\sigma}f(x),
\end{equation*}
\notag
$$
которая при $\alpha=-1/2$ превращается в известное тождество М. Рисса для производной. 3.2. Оценки снизуВ этом пункте при $p=+\infty$ мы в некоторых случаях оценим точную константу снизу и установим точность неравенств. Лемма 6. Пусть $p=+\infty$, в условиях леммы 2 или леммы 5 последовательность $\{c_l^{(\theta)}(g)\}$ знакочередуется, и пусть найдется функция $f^{*}_{\sigma}\in \mathbf B_{\sigma}$ такая, что Доказательство. Действительно, Отсюда получаем что и доказывает лемму. Уравнение (3.11) разрешимо тривиальным образом, если оператор $V$ тождественный. Однако во многих важных примерах функция $\mu$ обращается в нуль, что препятствует обратимости оператора $V$. Следующая лемма показывает, что если $\mu\ne0$ почти везде на $[-\sigma,\sigma]$, то уравнение (3.11) разрешимо в некотором приближенном смысле, и этого достаточно для оценки снизу. Лемма 7. Пусть $p=+\infty$, в условиях леммы 2 или леммы 5 последовательность $\{c_l^{(\theta)}(g)\}$ знакочередуется и $\mu\ne0$ почти везде на $[-\sigma,\sigma]$. Тогда точная константа в неравенстве (3.6) не меньше, чем $\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\theta)}(g)|$. Тем самым неравенство (3.9) точное. Доказательство. Обозначим $h(x)=\cos(\sigma x-\theta\pi)$. По лемме 3 построим функции $h_{\varepsilon}\in L_{1,\alpha,\sigma}$ такие, что $\|h_{\varepsilon}\|_{\infty}\leqslant\|h\|_{\infty}$ и $h_{\varepsilon}\to h$ при $\varepsilon\to0+$ равномерно на любом отрезке.
Пусть $E$ – множество нулей функции $\mu$ на $[-\sigma,\sigma]$. Для каждого $n\in\mathbb N$ построим такое открытое множество $G_n\supset E$, мера которого меньше $1/n$. Положим $H_{n,\varepsilon}(y)={\mathcal F}h_{\varepsilon}(y)$ при $y\in \mathbb R\setminus G_n$, $H_{n,\varepsilon}(y)=0$ при $y\in G_n$. Тогда $H_{n,\varepsilon}\to {\mathcal F}h_{\varepsilon}$ в $L_{1,\alpha}$, и потому ${\mathcal F}^{-1}H_{n,\varepsilon}\to h_{\varepsilon}$ равномерно на $\mathbb R$ при $n\to\infty$. Теперь положим
$$
\begin{equation*}
f_{n,\varepsilon}(x) =\frac{1}{(2^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1))^2}\int_{-\sigma}^{\sigma} \frac{H_{n,\varepsilon}(y)}{\mu(y)}e_y(x)|y|^{2\alpha+1}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Это определение корректно, поскольку функция ${H_{n,\varepsilon}}/{\mu}$ ограничена. Тогда $f_{n,\varepsilon}\in \mathbf V_{\alpha,\sigma}$ и $Vf_{n,\varepsilon}={\mathcal F}^{-1}H_{n,\varepsilon}$.
По формуле (3.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{\varepsilon\to0+}\lim_{n\to\infty}|Uf_{n,\varepsilon}(0)| &= \lim_{\varepsilon\to0+}\lim_{n\to\infty}\biggl| \sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g) Vf_{n,\varepsilon}\biggl(\frac{(l+\theta)\pi}{\sigma}\biggr)\biggr| \\ &=\lim_{\varepsilon\to0+}\biggl|\sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g) h_{\varepsilon}\biggl(\frac{(l+\theta)\pi}{\sigma}\biggr)\biggr| \\ &=\biggl|\sum_{l\in\mathbb Z}c_l^{(\theta)}(g) h\biggl(\frac{(l+\theta)\pi}{\sigma}\biggr)\biggr| =\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\theta)}(g)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оба раза перейти к пределу можно по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Далее, что доказывает лемму. Объединим результаты в следующей теореме. Теорема 1. Пусть $\sigma>0$, $g\in C[-\sigma,\sigma]\cap\mathcal R(P)$, выполнено условие (3.7) или (3.8), функция $P^{-1}g$ непрерывна, последовательность $\{c_l^{(\theta)}(g)\}$ знакочередуется, $\mu\in C[-\sigma,\sigma]$, $\lambda(y)=g(y)\mu(y)$ при $|y|\leqslant\sigma$, операторы $U$ и $V$ определены формулами (3.1) и (3.2). 1. Если $p\in[1,+\infty]$, $f\in{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$, $Vf\in L_{p,\alpha}$, то $Uf\in L_{p,\alpha}$ и
$$
\begin{equation}
\|Uf\|_{p,\alpha}\leqslant |P^{-1}g(\sigma)| \, \|Vf\|_{p,\alpha}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
2. Если $\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\beta)}(\mu)|<+\infty$ при некотором $\beta\in{\mathbb R}$, а операторы $U,V$: ${\mathbf B}_{\sigma}\to \mathrm{CB}({\mathbb R})$ на функциях из ${\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ задаются формулами (3.1) и (3.2) и замкнуты относительно ограниченной локально равномерной сходимости, то условие $f\in{\mathbf V}_{\alpha,\sigma}$ в утверждении 1 можно заменить на $f\in{\mathbf B}_{\sigma}$. 3. Если $\mu\ne0$ почти везде на $[-\sigma,\sigma]$, то при $p=+\infty$ неравенство (3.12) точное. Доказательство. 1. Поскольку функция $P^{-1}g$ непрерывна, а ее коэффициенты Фурье знакочередуются, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду (см., например, [12; замечание 4] и [13; лемма 6]):
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\mathbb Z} c_l^{(\theta)}(g)e^{i((l+\theta)\pi/\sigma) x}= P^{-1}g(x), \qquad |x|\leqslant\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $x=\sigma$, находим
$$
\begin{equation*}
\sum_{l\in\mathbb Z}|c_l^{(\theta)}(g)| =\biggl|\sum_{l\in\mathbb Z}(-1)^lc_l^{(\theta)}(g)\biggr|=|P^{-1}g(\sigma)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается применить лемму 2.
2, 3. Утверждение 2 теоремы следует из леммы 5, а утверждение 3 – из леммы 7. Теорема доказана. Замечание 5. Если $\theta=0$, функция $g$ четна, а функция $P^{-1}g$ непрерывна, неотрицательна и выпукла вниз на $[-\sigma,\sigma]$, то $(-1)^lc_l^{(0)}(g)\geqslant0$ при всех $l\in{\mathbb Z}_+$; см., например, [2; п. 4.8.61]. Замечание 6. Как показывает доказательство леммы 7, в случае (3.7) неравенство (3.12) точное на множестве четных функций, а в случае (3.8) – на множестве нечетных функций. Замечание 7. Если $p\,{=}\,2$, операторы $U$ и $V$ заданы формулами (3.1) и (3.2), $g\in L_{\infty}[-\sigma,\sigma]$, $\lambda=g\mu$, то точная константа в неравенстве (3.3) равна § 4. Приложения4.1. Неравенства типа БернштейнаПри $r>0$, $\beta\in\mathbb R$ определим операторы $\Lambda^{r,\beta}$ – аналоги операторов дифференцирования Вейля–Надя (см., например, [40; п. 3.6]). Ограничимся их определением на классах $\mathbf B_{\sigma}$. Пусть $\sigma>0$, функция $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ задана формулой (2.1). Положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{r,\beta}f(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y}|y|^r e_{y}(x)\,d\rho(f,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что это определение можно распространить на классы $\mathbf B_{\sigma}$ по формуле (3.10). Для этого положим
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y}|y|^r= \cos\frac{\beta\pi}{2}|y|^r+i\sin\frac{\beta\pi}{2}y^{\langle r\rangle }.
\end{equation*}
\notag
$$
По формулам (2.15) и (2.16) функция $P^{-1}\lambda$ имеет тот же вид: Определим параметр $\theta$ формулой (2.14) с заменой $g$ на $\lambda$. Функция $x\mapsto e^{-(i\theta\pi/\sigma)x}P^{-1}\lambda(x)$, продолженная с периодом $2\sigma$, имеет ограниченную вариацию и принадлежит некоторому классу Липшица. Поэтому (см. [41; теорема 6.3.6]) она раскладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье по системе $\{e^{(il\pi)/\sigma)x}\}_{l\in\mathbb Z}$, что равносильно разложимости функции $P^{-1}\lambda$ в абсолютно сходящийся ряд Фурье (2.13) на отрезке $[-\sigma,\sigma]$. Тем самым условия следствия 1 выполнены. Легко видеть, что определение корректно в следующем смысле: если $f\in\mathbf B_{\sigma}$, а $\sigma_1>\sigma$, то определения $\Lambda^{r,\beta}f$ с параметрами $\sigma$ и $\sigma_1$ совпадают. Рассмотрев четные и нечетные $r$ по отдельности, легко проверить, что при $\beta=r\in\mathbb N$ будет
$$
\begin{equation*}
e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y}|y|^r=(iy)^r, \qquad \Lambda^{r,\beta}f=\Lambda^{r}f.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому и при нецелом $r$ оператор $\Lambda^{r,r}$ можно считать $r$-й степенью оператора $\Lambda$. Это определение аналогично определению дробной производной Вейля–Надя и совпадает с ним в безвесовом случае $\alpha=-1/2$. Аналогично, при $r\in\mathbb N$, $\beta=r-1$ будет
$$
\begin{equation*}
e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y}|y|^r=(-i\operatorname{sign}y)(iy)^r,
\end{equation*}
\notag
$$
и потому $\Lambda^{r,r-1}f$ можно рассматривать как аналог $r$-й производной тригонометрически сопряженной функции. На множестве четных функций оператор $D^{r,0}$ совпадает с оператором $(-L)^{{r}/{2}}$, построенным в [19] тоже с использованием интерполяционных формул. В [16; § 3] были построены дробные степени оператора $-\Lambda^2$, действующие в пространствах Лизоркина обобщенных функций. Если трактовать функции из $\mathbf B_{\sigma}$ как обобщенные, то оператор $D^{r,0}$ действует на них так же, как и оператор $(-\Lambda^2)^{{r}/{2}}$ из [16]. Теорема 2. Пусть $r\geqslant1$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$. Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1 Тогда $g(y)=|y|^r$. По формуле (2.15) функция $P^{-1}g$ отличается от $g$ лишь постоянным множителем; она четна, неотрицательна и выпукла вниз на $[-\sigma,\sigma]$. По замечанию 5 ее коэффициенты Фурье знакочередуются. По формуле (2.15) точная константа равна
Теорема доказана. По замечанию 6 теорема 2 дает точное неравенство для степеней оператора Бесселя на множестве четных функций. Теорема 3. Пусть $r\geqslant1$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$. Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=i|y|^r\operatorname{sign}y, \qquad\mu(y)=1, \qquad\theta=\frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $g(y)=i|y|^r\operatorname{sign}y$. По формуле (2.16) функция $P^{-1}g$ отличается от $g$ лишь постоянным множителем. Знакочередование ее коэффициентов Фурье известно (см. [42]). По формуле (2.16) точная константа равна
Теорема доказана. Сформулируем отдельно непосредственный аналог неравенства Бернштейна, т.е. неравенство для целых степеней оператора $\Lambda$. Следствие 2. Пусть $r\in\mathbb N$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$. Тогда При четном $r$ следствие 2 вытекает из теоремы 2, а при нечетном $r$ – из теоремы 3. Для четных функций неравенство (4.3) и его точность при $p=+\infty$ доказал С. С. Платонов в [19; теорема 1.3]. Ранее при целых и полуцелых $\alpha$ этот результат в других терминах (а именно, в виде неравенства Бернштейна для оператора Лапласа в $\mathbb R^n$, где $\alpha=n/2-1$) получил А. И. Камзолов в [18]. В [14] доказано неравенство (4.2) и его точность при $p=+\infty$ и четных $r$. (Константы в [14] записаны в виде $\binom{2s}{s}^{-1}4^s\binom{s+\alpha}{s}$, где $s=r/2$.) Там же содержится сводка известных результатов о константах в неравенствах типа Бернштейна. Неравенство (4.2) с неточной константой установлено в [17; теорема 2.3]. Порядковые оценки вида (4.1), в том числе для нецелых $r$, получены в [16; следствие 5.3]. Ранее для четных функций (т.е. для степеней оператора $-L$, не обязательно целых) они были получены в [19; теорема 3.4], а для четных $r$ (т.е. для целых степеней оператора $-\Lambda^2$) – в [15; теорема 7.3]. 4.2. Неравенства типа Рисса и БоасаИмеется несколько не совпадающих друг с другом естественных способов определения аналогов классических разностных операторов. Главная причина несовпадения в том, что операторы обобщенного сдвига не обладают групповым свойством, т.е. $T^{u}T^{v}\ne T^{u+v}$. Как правило, в классическом случае центральные разности оказываются удобнее разностей вперед или назад. Поэтому и обобщения мы построим по аналогии с центральными разностями. Определим центральную разность первого порядка с шагом $h$ равенством $\delta_h=T^{h/2}-T^{-h/2}$, и пусть $\delta_h^r$ при $r\in\mathbb Z_+$ – $r$-я степень оператора $\delta_h$. По свойству T2, если функция $f\in \mathbf V_{\alpha,\sigma}$ задана формулой (2.1), то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_h^rf(x) &=\int_{-\sigma}^{\sigma}\biggl(e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr) -e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr)^re_{y}(x)\,d\rho(f,y) \\ &=\int_{-\sigma}^{\sigma} \biggl(\frac{ihy}{2(\alpha+1)}j_{\alpha+1}\biggl(\frac{hy}{2}\biggr)\biggr)^r e_{y}(x)\,d\rho(f,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Распространим определение на нецелые $r$, как это было сделано для производных. При $r>0$, $h,\beta\in\mathbb R$ определим операторы $\delta^{r,\beta}_h$ – разностные аналоги операторов дифференцирования Вейля–Надя. Ограничимся их определением на классах $\mathbf B_{\sigma}$, причем лишь при $|h|<2\tau_1/\sigma$, где $\tau_1$ – первый положительный нуль функции $j_{\alpha+1}$. Пусть $\sigma>0$, функция $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ задана формулой (2.1). Положим
$$
\begin{equation*}
\delta^{r,\beta}_hf(x)= \int_{-\sigma}^{\sigma} e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}hy} \biggl|e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr)-e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr|^re_{y}(x)\,d\rho(f,y).
\end{equation*}
\notag
$$
На классы $\mathbf B_{\sigma}$ определение распространяется по формуле (3.10), что обосновывается так же, как и для операторов дифференцирования. Рассмотрев отдельно четные и нечетные $r$, легко проверить, что при $\beta=r\in\mathbb N$, $|y|\leqslant\sigma$, $|h|<2\tau_1/\sigma$ будет
$$
\begin{equation*}
e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}hy} \biggl|e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr)-e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr|^r =\biggl(e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr)-e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr)^r.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\delta^{r,r}_h=\delta^r_h$ при $r\in\mathbb N$. Примем это равенство за определение разности $\delta^r_h$ и при нецелом $r$. Другая аналогия с классическими разностями приводит к следующему определению. При $r\in\mathbb Z_+$, $h\in\mathbb R$ положим
$$
\begin{equation*}
\delta_{r,h}=\sum_{j=0}^{r}(-1)^{r-j}C_{r}^{j}T^{(j-r/2)h}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для функций $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ вида (2.1) будет
$$
\begin{equation*}
\delta_{r,h}f(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\psi_r(hy)e_{y}(x)\,d\rho(f,y),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\psi_r(t)=\sum_{j=0}^{r}(-1)^{r-j}C_{r}^{j} e_t\biggl(j-\frac{r}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
При четном $r=2m$ имеем
$$
\begin{equation*}
\delta_{2m,h}=\sum_{j=0}^{2m}(-1)^{j}C_{2m}^{j}T^{(j-m)h}= \sum_{l=-m}^{m}(-1)^{m-l}C_{2m}^{m-l}T^{lh}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $\delta_{2,h}=T^h-2I+T^{-h}$, а для функций $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ вида (2.1) будет
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_{2,h}f(x) &=\int_{-\sigma}^{\sigma}\bigl(e_y(h)-2+e_y(-h)\bigr)e_{y}(x)\,d\rho(f,y) \\ &=2\int_{-\sigma}^{\sigma}\bigl(j_{\alpha}(hy)-1\bigr)e_{y}(x)\,d\rho(f,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разность $\delta_{2,h}$ с точностью до постоянного множителя совпадает с разностью $\Delta^2_h$, целые степени которой использовались в [15], а для четных функций – ранее в [19]: $\Delta^2_h=-\frac 12\delta_{2,h}$ и, следовательно, $\Delta_h^{2m}=(-2)^{-m}\delta_{2,h}^{m}$ при всех $m\in\mathbb Z_+$. При сопоставлении результатов следует иметь в виду разницу в обозначениях: в [15; формула (6.5)] и [19; формула (1.6)] разность $\Delta_h^{2m}$ обозначалась $\Delta_h^{m}$. В [16; формула (3.9)] были определены (и обозначены $\Delta_h^{r}$) степени оператора $\Delta^2_h$ с показателем ${r}/{2}>0$, не обязательно целым, а именно
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\delta}_h^r=(\Delta^2_h)^{r/2}= \sum_{s=0}^{\infty}(-1)^sC_{r/2}^{s}(\square_h)^s, \qquad \square_{h}=\frac{T^h+T^{-h}}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в безвесовом случае для нечетных $r$ оператор $\widetilde{\delta}_h^r$ не сводится к классической разности порядка $r$. Легко видеть, что если функция $f\in\mathbf V_{\alpha,\sigma}$ задана формулой (2.1), то
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\delta}_h^rf(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\bigl(1-j_{\alpha}(hy)\bigr)^{r/2} e_{y}(x)\,d\rho(f,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|j_{\alpha}(t)|<1$ при всех $t\in\mathbb R\setminus\{0\}$, степень под знаком интеграла вещественна. Из непрерывности оператора $\widetilde{\delta}_h^r$ следует, что для $f\in\mathbf B_{\sigma}$ верна формула (3.10), в которой нужно взять $\theta=0$. Замечание 8. Верны очевидные равенства $\delta^r_{-h}=(-1)^r\delta^r_{h}$ ($r\in\mathbb Z_+$), $\delta_{r,-h}=(-1)^r\delta_{r,h}$ ($r\in\mathbb Z_+$), $\widetilde{\delta}_{-h}^r=\widetilde{\delta}_{h}^r$ ($r>0$). Они позволяют, не умаляя общности, при оценках норм рассматривать только положительные $h$. Исследовались и другие операторы разностного типа (см., например, [15; формулы (6.6) и (6.7)], [17; формула (2.8)] и [19; формула (4.1)]). С точки зрения точных оценок типа М. Рисса (1.2) и Р. Боаса (1.3) удобнее всего устроены разности $\delta^r_h$. Теорема 4. Пусть $r>0$, $\beta\in\mathbb R$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $\tau_1$ – первый положительный нуль функции $j_{\alpha+1}$, $0<h<2\tau_1/{\sigma}$, Доказательство. Положим в теореме 1 $\theta=0$,
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y}|y|^r, \qquad \mu(y)=e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y} \biggl|e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr)- e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr|^r.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ${\lambda}/{\mu}=g$. Функция $g$ четна. По лемме 1 и свойству M3 она логарифмически абсолютно монотонна на полуинтервале $[0,{2\tau_1}/{h})$, содержащем отрезок $[0,\sigma]$. По свойству P5 функция $P^{-1}g$ абсолютно монотонна на том же промежутке и четна. По свойству M2 и замечанию 5 коэффициенты Фурье последней знакочередуются. Остается применить теорему 1.
Теорема доказана. Теорема 5. Пусть $r>0$, $\beta\in\mathbb R$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $\tau_1$ – первый положительный нуль функции $j_{\alpha+1}$, $0<u<h<{2\tau_1}/{\sigma}$, Тогда В частности, При $p=+\infty$ неравенства точные. Доказательство. Положим в теореме 1 $\theta=0$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda(y) &=e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y} \biggl|e_{y}\biggl(\frac{u}{2}\biggr)-e_{y}\biggl(-\frac{u}{2}\biggr)\biggr|^r, \\ \mu(y) &= e^{(i\beta\pi/2)\operatorname{sign}y} \biggl|e_{y}\biggl(\frac{h}{2}\biggr)-e_{y}\biggl(-\frac{h}{2}\biggr)\biggr|^r. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ${\lambda}/{\mu}=g$. Функция $g$ четна. По лемме 1 и свойствам M3 и M4 она логарифмически абсолютно монотонна на полуинтервале $[0,{2\tau_1}/{h})$, содержащем отрезок $[0,\sigma]$. По свойству P5 функция $P^{-1}g$ абсолютно монотонна на том же промежутке и четна. По свойству M2 и замечанию 5 коэффициенты Фурье последней знакочередуются. Остается применить теорему 1. Теорема доказана. Напомним, что функция $\psi_r$ определена формулой (4.4). Лемма 8. Пусть $r\in\mathbb N$, $q\in(0,1)$, $g_0(z)={(iz)^r}/{\psi_r(z)}$, $g_1(z)={\psi_r(qz)}/{\psi_r(z)}$, $l=0,1$. Тогда $g_l(0)>0$, $g_l''(0)>0$. Доказательство. Имеем $\psi_r(z)=\delta_1^re_z(0)$, где $\delta_1^r$ – классическая разность. Разложение функции $e_z$ в степенной ряд имеет вид
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \psi_r(z)= \sum_{k=0}^{\infty}i^ka_kz^k\delta_1^r((\cdot)^k,0)=i^rb_rz^{r}+i^{r+2}b_{r+2}z^{r+2}+\dotsb, \qquad b_k>0, \\ g_0(z)=\frac{z^r}{b_rz^{r}-b_{r+2}z^{r+2}+\dotsb}= \frac{1}{b_r}\biggl(1+\frac{b_{r+2}}{b_r}z^2+\dotsb\biggr), \\ g_1(z)=\frac{b_r(qz)^{r}-b_{r+2}(qz)^{r+2}+\dotsb}{b_rz^{r}-b_{r+2}z^{r+2}+\dotsb}= q^r\biggl(1+\frac{b_{r+2}}{b_r}(1-q^2)z^2+\dotsb\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 6. Для любого $r\in\mathbb N$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h<{\tau}/{\sigma}$, $g(y)={(iy)^r}/{\psi_r(hy)}$. Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=(iy)^r, \qquad \mu(y)=\psi_r(hy), \qquad \theta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $g={\lambda}/{\mu}$. Обозначим $z=hy$, $g_0(z)=h^{-r}g(y)={(iz)^r}/{\psi_r(z)}$. Ясно, что функция $g_0$ не зависит от $h$, четна и аналитична в некоторой окрестности нуля, а тогда такова и функция $P^{-1}g_0$. Следовательно, при достаточно малых $b>0$ функция $g_0$ раскладывается в ряд
$$
\begin{equation*}
g_0(z)=\sum_{l\in\mathbb Z}c_{l,b}e_{z}\biggl(\frac{l\pi}{b}\biggr), \qquad |z|\leqslant b.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 8 имеем $g_0(0)>0$, $g_0''(0)>0$. По свойству P5 то же верно для функции $P^{-1}g_0$, откуда получаем, что она положительна и выпукла вниз в некоторой окрестности нуля. По замечанию 5 при достаточно малых $b$ будет $(-1)^lc_{l,b}\geqslant0$ при всех $l\in\mathbb Z$. Положим По доказанному $\tau>0$.
Возвращаясь к переменной $y$, находим
$$
\begin{equation*}
g(y)=\sum_{l\in\mathbb Z}c_{l,b}e_{y}\biggl(\frac{lh\pi}{b}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $b=\sigma h$. Тогда $b<\tau$, и потому $(-1)^lc_{l,b}\geqslant0$. Остается применить теорему 1.
Теорема доказана. Теорема 7. Для любых $r\in\mathbb N$, $q\in(0,1)$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h< {\tau}/{\sigma}$, $u=qh$, $g(y)={\psi_r(uy)}/{\psi_r(hy)}$. Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=\psi_r(uy), \qquad \mu(y)=\psi_r(hy), \qquad \theta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $g={\lambda}/{\mu}$. Обозначим $z=hy$, $g_1(z)=g(y)={\psi_r(qz)}/{\psi_r(z)}$. Ясно, что функция $g_1$ не зависит от $h$, четна и аналитична. По лемме 8 имеем $g_1(0)>0$, $g_1''(0)>0$. Доказательство завершается, как в теореме 6. Теорема 8. Для любого $r>0$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h<{\tau}/{\sigma}$, Доказательство. Положим в теореме 1
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=|y|^r, \qquad \mu(y)=(1-j_{\alpha}(hy))^{r/2}, \qquad \theta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ${\lambda}/{\mu}=g$. Обозначим $z=hy$, $g_0(z)=h^{-r}g(y)$. Функция $g_0$ не зависит от $h$, четна и аналитична. Очевидно, что $g_0(0)>0$, $g_0''(0)>0$. Доказательство завершается, как в теореме 6. Теорема 9. Для любых $r>0$, $q\in(0,1)$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h< {\tau}/{\sigma}$, $u=qh$, Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1
$$
\begin{equation*}
\lambda(y)=(1-j_{\alpha}(uy))^{r/2}, \qquad \mu(y)=(1-j_{\alpha}(hy))^{r/2}, \qquad \theta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $g=\lambda/\mu$. Обозначим $z=hy$, $g_1(z)={g(qz)}/{g(z)}$. Функция $g_1$ не зависит от $h$, четна и аналитична. Очевидно, что $g_1(0)>0$, $g_1''(0)>0$. Доказательство завершается, как в теореме 6. Порядковые оценки вида (4.5) и (4.6), в том числе для нецелых $r$, получены в [16; следствия 5.5 и 5.7]. Ранее для четных $r$ они были получены в [15; теоремы 7.5 и 7.7, замечание 6.8], а для четных функций и четных $r$ – в [19; следствия 4.1 и 4.3]. 4.3. Оценки норм разностейС точки зрения точной оценки через норму самой функции проще других оказываются устроены разности $\delta_{r,h}$. Теорема 10. Пусть $r\in\mathbb N$, $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h\leqslant\pi/\sigma$. Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Доказательство. Положим в теореме 1 $\mu(y)=1$, $\lambda(y)=g(y)=\psi_r(hy)$ (напомним, что функция $\psi_r$ определена формулой (4.4)), $\theta=0$ при $r$ четном, $\theta=1/2$ при $r$ нечетном. Имеем
$$
\begin{equation*}
P^{-1}g(x)= \sum_{j=0}^{r}(-1)^{r-j}C_{r}^{j} e^{i(j-r/2)hx} =\bigl(e^{ihx/2}-e^{-ihx/2}\bigr)^{r}= \biggl(2i\sin\frac{hx}{2}\biggr)^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Знакочередование коэффициентов Фурье этой функции хорошо известно; на нем основано неравенство (4.7) для классической разности. Случай $r=1$ см., например, в [6], [12], [13], а из него сразу следует утверждение при $r>1$, поскольку свойство знакочередования коэффициентов Фурье сохраняется при перемножении функций.
Теорема доказана. Следующие две теоремы доказываются аналогично теореме 6. Теорема 11. Для любого $r>0$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h<{\tau}/{\sigma}$, Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Порядковые оценки вида (4.8), в том числе для нецелых $r$, получены в [16; следствие 5.4]. Ранее для четных $r$ оно было получено в [15; следствие 7.4], а для четных функций и четных $r$ – в [19; следствие 4.3]. Теорема 12. Для любого $r>0$ существует такое $\tau>0$, что верно следующее утверждение. Пусть $\sigma>0$, $p\in[1,+\infty]$, $f\in L_{p,\alpha,\sigma}$, $0<h<{\tau}/{\sigma}$, Тогда При $p=+\infty$ неравенство точное. Замечание 9. Вопрос о наибольшем значении $\tau$ в теоремах 6–9, 11, 12 требует отдельного исследования. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vin23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|