| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об арф-инвариантах в коразмерности 1 в группе Уолла диэдральной группы П. М. Ахметьевab, Ю. В. Мурановc a Московский институт электроники и математики им. А. Н. Тихонова – Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" г. Москва b Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н. В. Пушкова Российской академии наук, г. Троицк, Москва c University of Warmia and Mazury in Olsztyn, Olsztyn, Poland
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9716e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $M^n$ – замкнутое гладкое (кусочно линейное ($\mathrm{PL}$), топологическое) многообразие размерности $n$ с фундаментальной группой $\pi=\pi_1(M)$, на которой определен характер ориентации $w$, являющийся гомоморфизмом $w$ : $\pi\,{\to}\, \{\pm\}$. Одной из основных проблем геометрической топологии является задача нахождения многообразий заданной категории, которые просто гомотопически эквивалентны $M$. Если многообразие $M$ гладкое, то уже для односвязного многообразия $M$ задача является исключительно трудной. По поводу определения арф-инварианта и связи задачи с фундаментальными проблемами в теории гомотопий см. [1], [2]. Простая гомотопическая эквивалентность $f\colon X^n\to M^n$ в гладком случае называется гомотопическим сглаживанием (гомотопической триангуляцией в кусочно линейном случае). Два гомотопических сглаживания (триангуляции) $f_i\colon X_i\to M$ ($i=1,2$) эквивалентны, если существует такой диффеоморфизм (кусочно линейный изоморфизм) $g\colon X_1\to X_2$, что отображения $f_1$ и $f_2\circ g$ гомотопны. Множество классов эквивалентности гомотопических сглаживаний (триангуляций) многообразия $M$ обозначается $hS(M)$ ($hT(X)$). При $n\geqslant 5$ множество $hT(M^n)$ входит в точную последовательность Браудера–Новикова–Уолла–Сулливана теории перестроек
$$
\begin{equation}
\dots\to L_{n+1}(\pi_1(M))\xrightarrow{\nu} hT(X)\to [M, G/\mathrm{PL}]\xrightarrow{\theta} L_n(\pi_1(M)),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в которой $G/\mathrm{PL}$ является слоем естественного отображения классифицирующих пространств $\mathrm{BPL}\to \mathrm{BG}$, $[M, G/\mathrm{PL}]$ – множество гомотопических классов отображений из $M$ в $G/\mathrm{PL}$, a $L_{*}(\pi_1(M))$ – группы Уолла, зависящие от группы с ориентацией $(\pi_1(M), w)$ и $n\bmod 4$ (см. [3], [4]). Отметим, что группы препятствий к перестройкам $L_*(\pi_1(M), w)$ не зависят от рассматриваемой категории многообразий. В дальнейшем мы будем работать в категории кусочно линейных многообразий и при рассмотрении групп Уолла $L_*(\pi)$ всегда предполагать, что на группе $\pi$ задан гомоморфизм ориентации. Отображение $f\colon X^n\to M^n$ многообразий одинаковых размерностей называется нормальным, если нормальное расслоение к $X$ индуцировано некоторым расслоением $\xi$ многообразия $M$. Множество классов нормальной кобордантности нормальных отображений в многообразие $M$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством $[M, G/\mathrm{PL}]$. Отображение $\theta$ в (1.1) задает препятствие к перестройке нормального отображения в многообразие $M$ до простой гомотопической эквивалентности, и в образе $\theta$ могут лежать только элементы, реализуемые нормальными отображениями замкнутых многообразий. Любой элемент группы Уолла $L_n(\pi_1(M), w)$ может быть реализован препятствием к перестройке нормального отображения с краем, которое на краю является простой гомотопической эквивалентностью (см. [3]). Эта конструкция используется для определения отображения $\nu$ в (1.1), которое является действием группы $L_{n+1}(\pi_1(M^n))$ на множество $hT(X)$ (см. [3]). Пусть $x\in L_{n+1}(\pi_1(M^n))$. Для любой гомотопической триангуляции $f\colon X\to M^n$ существует нормальное отображение $F\colon W\to M^n\times I$ многообразий с краем, где $\partial W= \partial_0W\cup \partial_1W$, $\partial_0W=X$, $F|_{\partial_0W}=f$, а $F|_{\partial_1W}\colon \partial_1W\to X\times \{1\}$ – простая гомотопическая эквивалентность. При этом препятствие к перестройке отображения $F$ до простой гомотопической эквивалентности равно $x\in L_{n+1}(\pi)$. Таким образом, $\nu(f)=F|_{\partial_1W}\colon \partial_1W\to X\times \{1\}$ – гомотопическая триангуляция, полученная действием $x$ на триангуляцию $f$. Если элемент $x\in L_{n+1}(\pi_1(M^n))$ действует тривиально на некоторую триангуляцию $f\colon X^n\to M^n$, то он реализуется нормальным отображением замкнутых многообразий (см., например, [5; введение], [6; § 2]). Следовательно, элементы, которые не реализуются нормальными отображениями замкнутых многообразий (не лежат в образе $\theta$ в (1.1)), действуют нетривиально на любую триангуляцию многообразия $M^n$. В случае конечной фундаментальной группы задача нахождения образа отображения $\theta$ сводится к аналогичной задаче для конечных $2$-групп (см. [7]). Эффективным инструментом, позволяющим доказать нереализуемость элементов групп Уолла конечных $2$-групп, являются инварианты Браудера–Ливси, которые запрещают расщепление простой гомотопической эквивалентности вдоль одностороннего подмногообразия (см. [5], [8]–[12]). Вкратце напомним основные понятия задачи расщепления вдоль одностороннего подмногообразия, необходимые для понимания основных результатов настоящей работы. Пара замкнутых многообразий $(M, N)$ называется парой Браудера–Ливси, если $N^{n-1}$ является односторонним подмногообразием коразмерности 1, $n\geqslant 5$, и вложение $N^{n-1}\to M^n$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Пусть $U$ обозначает трубчатую окрестность $N$ в $M$ с границей $\partial U$. Рассмотрим следующий квадрат $F$ фундаментальных групп: с естественными отображениями. В квадрате $F$ все группы снабжены ориентацией, верхнее горизонтальное отображение является изоморфизмом ориентированных групп, вертикальные отображения – вложения индекса 2, а гомоморфизмы ориентации на группах $\pi_1(X)=\pi^+$ и $\pi_1(Y)=\pi^-$ совпадают на образах вертикальных отображений и различны вне этих образов. В дальнейшем мы не будем указывать ориентацию “$+$”, если это не приводит к недоразумению.Простая гомотопическая эквивалентность $f\colon X\to M$ расщепляется вдоль подмногообразия $N$, если она гомотопна отображению $g \colon X\to M$, которое трансверсально к $N$ с $Y = g^{-1}(N)$, и ограничения
$$
\begin{equation*}
g|_Y\colon Y\to N, \qquad g|_{(X \setminus Y)}\colon X\setminus Y\to M\setminus N
\end{equation*}
\notag
$$
являются простыми гомотопическими эквивалентностями. Группы препятствий к расщеплению в данном случае называются группами Браудера–Ливси и обозначаются $LN_{n-1}(\rho\to \pi)$. Эти группы функториально зависят от пары $(\rho\to \pi)$ и $(n-1)\bmod 4$. Для пары Браудера–Ливси, заданной квадратом $F$, имеет место коса точных последовательностей, связывающая группы Браудера–Ливси и группы Уолла (см. [3], [4], [11], [13]), В диаграмме (1.2) отображение $i_*\colon L_*(\rho)\to L_*(\pi)$ индуцировано вложением, а отображение $i^!_-\colon L_*(\pi^-)\to L_*(\rho)$ является трансфером. Отображение $\partial $ является композицией отображения трансфера и скейлинга, а отображение $c^-$ является композицией отображения индуцирования и скейлинга. Эти отображения будут определены алгебраически в § 2. Строки диаграммы (1.2) являются цепными комплексами, и отображение $\Gamma $ задает изоморфизм групп гомологий в соответствующих членах диаграммы. Для $x\in L_{n}(\pi)$ элемент $\partial (x)\in LN_{n-2}(\rho\to \pi)$ называется (первым) инвариантом Браудера–Ливси. Если $\partial (x)\ne 0$, то элемент $x$ не реализуется нормальным отображением замкнутых многообразий (см. [10]). Пусть $\partial x=0$ в (1.2). Рассмотрим диаграмму которая состоит их двух строк диаграммы (1.2) и двух строк аналогичной диаграммы для группы $\pi^-$. Если $\partial (x)=0$, то определен задаваемый $x$ класс гомологий $[x]$ в члене $L_n(\pi)$ верхней строки. Если этот класс не нулевой, то можно рассмотреть множество $\partial^- \Gamma[x]\subset LN_{n-3}(\rho\to \pi^-)$. Это множество называется вторым инвариантом Браудера–Ливси. Если $0\notin [x]$, то элемент $x$ не реализуется нормальным отображением замкнутых многообразий (см. [11]). Итерируя эту конструкцию, мы получаем восьмистрочную диаграмму, которую можно продолжить в вертикальном направлении простым повторением в силу 4-периодичности групп Уолла (см. [5], [12]).Определение (см. [5], [12]). Элемент $x\in L_n(\pi)$ называется элементом первого типа относительно подгруппы $\rho\in \pi$ индекса 2, если на некотором шаге итераций класс $\partial^{\pm}\Gamma^k[x]$ не содержит нуль. Элемент $x\in \operatorname{Ker} \partial$, не являющийся элементом первого типа, называется элементом второго типа, если $0\notin \Gamma^k[x]$ при всех $k\geqslant 0$. В противном случае элемент $x\in L_n(\pi)$ называется элементом третьего типа. Теорема 1 (см. [5], [12]). Элементы первого и второго типов не реализуются нормальными отображениями замкнутых многообразий. Классификация по типам позволяет во многих случаях описать образ отображения $\theta$ в точной последовательности (1.1) (см. [5], [12], [14]). Так, например, в [5; § 7] доказано, что для элементарной 2-группы $\pi$ с произвольной ориентацией нормальными отображениями замкнутых многообразий реализуются все элементы третьего типа групп Уолла $L_*(\pi)$ и только они. В [5; введение] приводится формулировка гипотезы Моргана–Пардона, согласно которой в группах Уолла конечной 2-группы нормальными отображениями замкнутых $\mathrm{PL}$-многообразий реализуются только “арф-инварианты в различных коразмерностях” (определение дано в [5; § 6], cм. также [12; § 4]). Эти инварианты задаются элементами третьего типа. Основными результатом настоящей работы являются теорема 3 и следствие из § 3, в которых доказано, что в группе Уолла $L_3(D_3)$ диэдральной группы порядка $8$ с тривиальной ориентацией существует элемент $x$ третьего типа, который не реализуется нормальным отображением замкнутых $\mathrm{PL}$-многообразий и, следовательно, действует нетривиально на любую гомотопическую триангуляцию замкнутого $\mathrm{PL}$-многообразия размерности $4k\,{+}\,2$ с тривиальной ориентацией. Более того, для любого замкнутого $\mathrm{PL}$-многообразия $M^{4k+ 3}$ ($4k\,{+}\,3\,{\geqslant}\, 6$) c $\pi_1(M)=D_3$ существует такая пара Браудера–Ливси $(M^{4k+ 3}, N^{4k+2})$, что в двустрочной диаграмме для этой пары определяемый классом $[x]\subset L_3(D_3)$ класс гомологий $\Gamma [x]\in L_2(D_3^-)= L_2(\pi_1(N^{4k+2}))$ является арф-инвариантом в коразмерности 1. Следовательно, по гипотезе Моргана–Пардона элемент $x$ должен был бы реализовываться нормальным отображением замкнутых многообразий. Таким образом, результат о нереализуемости элемента $x$ опровергает известную гипотезу Моргана–Пардона. В теореме 4 доказана нетривиальность кручения Хассе–Витта единственного нетривиального элемента группы Браудера–Ливси $LN_3(\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2\to D_3^-)$ в группе $Wh_2( \mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2)$. В § 4 обсуждаются геометрические вопросы, связанные с результатом теоремы 4. § 2. Алгебраические свойства групп Браудера–ЛивсиНапомним алгебраическое описание групп Браудера–Ливси, являющихся группами Уолла кольца $\mathbb Z\pi$ с антиструктурой, и дадим алгебраическое определение отображений в диаграмме (1.3) (см. [15], [16]). Пусть $R$ – произвольное кольцо с единицей. Антиструктурой называется тройка $(R,\alpha, u)$, где $u$ является обратимым элементом кольца $R$, а $\alpha$ – антиавтоморфизм кольца $R$, удовлетворяющий условиям $\alpha(u)=u^{-1}$, $\alpha^2(x)= uxu^{-1}$ для любого элемента $x\in R$. Антиавтоморфизм $\alpha$ индуцирует инволюцию на группе $K_1(R)$, и для любой инвариантной относительно этой инволюции подгруппы $X\in K_1(R)$ определены группы Уолла $L_n^X(R,\alpha, u)$, зависящие только от антиструктуры $(R,\alpha, u)$, $X\in K_1(R)$ и $n\bmod 4$. Пусть $\pi$ – группа с гомоморфизмом ориентации $w$. На групповом кольце $\mathbb Z\pi$ определена инволюция $x\to \overline{x}$, заданная формулой
$$
\begin{equation*}
\overline{\sum n_g\cdot g}=\sum n_g\cdot w(g)g^{-1} \quad\text{для }\ n_g\in \mathbb Z, \quad g\in \pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Подгруппа $\{\pm \pi\}\subset K_1(\mathbb Z\pi)$ является инвариантной относительно этой инволюции. Тройка $(\mathbb Z\pi, ^-, 1)$ является антиструктурой, и, следовательно, определены группы Уолла $L_n^{\{\pm\pi\}}(\mathbb Z\pi, ^-, 1)$. Для четного $n$ группы Уолла $L_n^{\{\pm\pi\}}(\mathbb Z\pi, ^-, 1)$ совпадают с группами препятствий к перестройкам $L_n(\mathbb Z\pi)$, а в случае $n=2k+1$ группа $L_{2k+1}(\mathbb Z\pi)$ получается факторизацией группы $L_{2k+1}^{\{\pm\pi\}}(\mathbb Z\pi,^-, 1)$ по подгруппе $\mathbb Z/2$ (см. [17]). Отметим, что данная подгруппа $\mathbb Z/2$ функториально приходит из группы $L_{2k+1}^{\{\pm 1\}}(\mathbb Z, \operatorname{Id}, 1)$. Теорема 2 (см. [11; теорема 2], [3]). Пусть $(\pi, w)$ – группа с гомоморфизмом ориентации, $\rho\to \pi$ – вложение индекса 2, $t\in \pi\setminus \rho$. Имеет место изоморфизм где $\alpha(x)=t^{-1}\overline{x}t$. В нечетных размерностях правую часть необходимо профакторизовать по подгруппе $\mathbb Z/2$ аналогично случаю нечетномерных групп Уолла. Пусть $(R,\alpha, u)$ – антиструктура и $v\in R$ – обратимый элемент. Определим скейлинг антиструктуры $(R,\alpha, u)$ как антиструктуру $(R, \beta, w)$, где $\beta(x)=v\alpha(x)v^{-1}$, $w=v\alpha(v^{-1})u$. Скейлинг порождает изоморфизм между категориями квадратичных форм над данными антиструктурами и, следовательно, изоморфизм $L$-групп $ (R,\alpha, u) \xrightarrow{v} (R, \beta, w)$, также называемый скейлингом (см. [18]). Для вложения $\rho\to \pi$ индекса 2 определено естественное вложение антиструктур $(\mathbb Z\rho, \alpha, u)\to (\mathbb Z\pi, \alpha, u)$, где $u=-w(t)t^{-2}$. Обозначим через $\gamma$ автоморфизм $\gamma(x+yt)=x-yt$, $x,y\in \mathbb Z\rho$, кольца $\mathbb Z\pi$. Определена антиструктура $(\mathbb Z\pi, \widetilde{\alpha}, \widetilde{u})$ c $\widetilde{\alpha}(x+yt)= t[\gamma\alpha(x+yt)]t^{-1}$, $\widetilde{u}=-t\alpha(t^{-1})u$, которая получается из антиструктуры $(\mathbb Z\pi, \gamma\alpha, u)$ скейлингом на элемент $t$ (см. [18; с. 352]). При этом имеет место изоморфизм групп Уолла от антиструктур $(\mathbb Z\pi, \alpha, u)$ и $(\mathbb Z\pi, \gamma\widetilde{\alpha}, -\widetilde{u})$. Теперь мы можем описать отображения $\partial$ и $c$ в диаграмме (1.3) на языке колец с антиструктурами. Пусть $t\in \pi\setminus \rho$. Отображение $\partial$ является композицией
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &L_n^{\{\pm \pi\}}(\mathbb Z\pi, ^-, 1)\xrightarrow{t^{-1}} L_n^{\{\pm \pi\}}(\mathbb Z\pi, \alpha, w(t)t^{-2}) \\ &\qquad \xrightarrow{\cong} L_{n-2}^{\{\pm \pi\}}(\mathbb Z\pi, \alpha, -w(t)t^{-2})\xrightarrow{i^!} L_{n-2}^{\{\pm \rho\}}(\mathbb Z\rho, \alpha, -w(t)t^{-2}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\alpha(x)=t^{-1}\overline{x}t$, изоморфизм между группами Уолла следует из более общего изоморфизма $L_n(R,\alpha, u)\cong L_n(R, \alpha, -u)$, имеющего место для произвольных антиструктур (см. [18; с. 350]), а отображение $i^!$ является трансфером. Аналогично, отображение $c$ является композицией
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &LN_n(\rho\to \pi^-)=L_{n}^{\{\pm \rho\}}(\mathbb Z\rho,\alpha, -w(t)t^{-2}) \\ &\qquad \xrightarrow{i_*} L_n^{\{\pm \pi\}}(\mathbb Z\pi, \gamma\alpha, -w(t)t^{-2})\xrightarrow{t} L_{n}^{\{\pm \pi\}}(\mathbb Z\pi, ^-, 1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $i_*$ индуцировано вложением, и гомоморфизм ориентации на двух нижних группах изменен вне подгруппы $\rho$ в силу автоморфизма $\gamma$.
§ 3. Двустрочная диаграмма Харшиладзе для случая диэдральной группы $D_3$ порядка 8Для случая диэдральной группы из восьми элементов напомним основные факты о двустрочной диаграмме Харшиладзе (см. [5], [19]), которая задается строками косы (1.2). Обозначим через $\mathbf D=D_3$ диэдральную группу порядка $8$, которая задана копредставлением
$$
\begin{equation}
\{\mathbf a,\mathbf b\mid [\mathbf b,\mathbf a]=\mathbf b^2,\, \mathbf a^2=\mathbf b^4=1\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обозначение $D_3$ связано с тем, что эта группа включена в бесконечную серию $2$-групп, как в [20]. В группе $\mathbf D$ рассмотрим следующие подгруппы:
$$
\begin{equation*}
\{\mathbf a,\mathbf a\mathbf b^2=\dot{\mathbf a}\} = \mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}, \qquad \{\mathbf a\mathbf b=\mathbf d, \mathbf a\mathbf b^3=\dot{\mathbf d}\} = \mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}, \qquad \{\mathbf b\} = \mathbb I_{\mathbf b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\mathbb I_{\mathbf b}\cong \mathbb Z/4$ – циклическая группа порядка $4$. Лемма. Подгруппы $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$ и $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ изоморфны $\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$ и, следовательно, являются подгруппами индекса 2 в группе $\mathbf D$. Существует инволютивный автоморфизм $\chi\colon \mathbf D \to \mathbf D$, тождественный на подгруппе $\mathbb I_{\mathbf b}$, такой, что $\chi(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})=\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$. Доказательство. Рассмотрим единичный координатный квадрат $K$ на евклидовой плоскости, вершины которого обозначим через $A_1=(1,1)$, $A_2=(-1,1)$, $A_3=(-1,-1)$, $A_4=(1,-1)$. В группе $O(2)$ рассмотрим подгруппу, состоящую из перемещений евклидовой плоскости, которые переводят квадрат в себя. Обозначим эту группу движений квадрата через $\mathbf D' \subset O(2)$. Понятно, что группа $\mathbf D'$ состоит из восьми элементов: поворотов квадрата на угол ${k\pi}/{2}$, $k=0,1,2,3$, симметрий относительно координатных осей и симметрий относительно биссектрис координатных углов, проходящих через пару центрально-симметричных вершин квадрата. Повороты образуют циклическую подгруппу $\mathbb Z/4$, образующую которой определим поворотом на угол ${\pi}/{2}$ против часовой стрелки: и обозначим через $\mathbf b'$. Симметрию относительно горизонтальной (соответственно вертикальной) координатной оси обозначим через $\mathbf d'$ (соответственно через $\dot{\mathbf d}'$), симметрию относительно биссектрисы, проходящей через $(A_1,A_3)$ (соответственно через $(A_2,A_4)$), обозначим через $\mathbf a'$ (соответственно через $\dot{\mathbf a}'$).
Легко понять, что элементы $\mathbf b'$, $\mathbf a'$ в группе $\mathbf D'$ подчиняются тем же соотношениям (3.1), что и элементы $\mathbf b$, $\mathbf a$ соответственно в группе $\mathbf D$. Поэтому определен изоморфизм $\mathbf D' \to \mathbf D$. При этом изоморфизме элемент $\mathbf d'$ (соответственно элемент $\dot{\mathbf d}'$) переходит в $\mathbf d$ (соответственно в $\dot{\mathbf d}$). Поэтому можно писать $\mathbf D$ вместо $\mathbf D'$, $\mathbf b$ вместо $\mathbf b'$ и т.д. Докажем, что $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$ изоморфна $\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$. Действительно, эта подгруппа является группой симметрии плоскости относительно координатных осей, преобразования симметрий инволютивны и коммутируют. Докажем, что $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ изоморфна $\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$. Действительно, это группа симметрий плоскости относительно биссектрис координатных углов. Определим автоморфизм $\psi\colon \mathbf D \to \mathbf D$ как автоморфизм внешнего сопряжения подгруппы $\mathbf D \subset O(2)$ поворотом $\tau$-плоскости на угол ${\pi}/{4}$ по часовой стрелке: Понятно, что $\psi(\mathbf d)=\mathbf a$, $\psi(\dot{\mathbf d})=\dot{\mathbf a}$ и $\psi(\mathbf b)=\mathbf b$. Поэтому $\psi(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})=\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$ и $\psi\vert_{\mathbb I_{\mathbf b}}=\operatorname{Id}$.Рассмотрим группу $\mathbf D$ с характером ориентации $w\colon \mathbf D \to \mathbb Z/2$. Если характер ориентации нетривиален, то он однозначно характеризуется своим ядром, которое является подгруппой индекса $2$ в $\mathbf D$. Пусть $\pi$ – некоторая подгруппа индекса 2 в группе $\mathbf D$. Обозначим через $\mathbf D^-_{\pi}$ группу с характером ориентации $w$, который нетривиален вне $\pi$. Существует лишь три нетривиальных характера ориентации на группе $\mathbf D$, соответствующих определенным выше подгруппам индекса 2. Таким образом, мы получаем следующие группы с ориентацией: $\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$, $\mathbf D^-_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$, $\mathbf D^-_{\mathbf b}$. Обозначим через $\mathbf D^+$ группу $\mathbf D$ с тривиальным характером ориентации. В случае необходимости отметить тривиальность характера ориентации на подгруппе $\pi$, мы будем писать $\pi^+$. Характер ориентации на группе $\mathbf D$ очевидно индуцирует характер ориентации на ее подгруппе. В дальнейшем мы также будем рассматривать такие ориентации для указанных выше подгрупп группы $\mathbf D$. Пусть $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^-$ обозначает группу с нетривиальным характером ориентации, который нетривиален на каждой из образующих $\mathbf a,\dot{\mathbf a}$. Этот характер ориентации на $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^-$ может быть индуцирован как из характера ориентации на группе $\mathbf D^-_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$, так и из характера ориентации на группе $\mathbf D^-_{\mathbf b}$. Из характера ориентации на группе $\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ рассматриваемый характер ориентации на $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^-$ индуцирован быть не может. Характер ориентации на $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}^-$ может быть индуцирован как из характера на $\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$, так и из характера на $\mathbf D^-_{\mathbf b}$, но при этом не может быть индуцирован из характера на $\mathbf D_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}^-$, поскольку в этом случае индуцируется тривиальный характер на $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$. Аналогично, характер на $\mathbb I_{\mathbf b}^-$ может быть индуцирован как из характера на $\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$, так и из характера на $\mathbf D^-_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$. Тривиальный характер на подгруппе $\mathbb I_{\mathbf b}$ индуцируется из характера на $\mathbf D_{\mathbf b}^-$ и из характера на $\mathbf D^+$. Пусть $i\colon \pi \to \mathbf D$ – вложение индекса 2, $w\colon \pi\to \mathbb Z/2$ – характер ориентации на подгруппе $\pi$, $t\in \mathbf D\setminus \pi$. Пусть $\mathbf D^-_{\pi}$ обозначает группу $\mathbf D$ с характером ориентации $w$, совпадающим с $w$ на подгруппе $\pi$, для которого $w(t)=-1$, а $\mathbf D^+_{\pi}$ обозначает группу $\mathbf D$ с характером ориентации, совпадающим с $w$ на подгруппе $\pi$, для которого $w(t)=1$. Определены группы Браудера–Ливси $LN_{n}(\pi \to \mathbf D^{\pm}_{\pi})$ ($n=0,1,2,3 \ \operatorname{mod} 4$), и двустрочная диаграмма в (1.3) имеет следующий вид: Геометрически диаграмма (3.2) соответствует гомотопической $\mathrm{PL}$-триангуляции (или гомотопическому сглаживанию) ориентированного многообразия $M^{n}$ высокой размерности с $\pi_1(M)=\mathbf D^+_{\pi}$ (нас будет интересовать случай $\dim(M)+ 1=n+1=3\ \operatorname{mod} 4$) c выделенным односторонним подмногообразием
$$
\begin{equation}
M^{n} \supset N_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
коразмерности $1$, фундаментальный класс которого реализует класс когомологий, двойственный в смысле Пуанкаре коциклу, заданному гомоморфизмом $\mathbf D \to \mathbb Z/2$ с подгруппой $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$. Таким образом, пара $(M, N)$ является парой Браудера–Ливси. Дополним пару $(M, N)$ до цепочки односторонних подмногообразий:
$$
\begin{equation}
M^{n} \supset M_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1} \supset K^{n-2}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
в которой подмногообразие $K^{n-2}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ выделено в $M_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1}$ той же подгруппой $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$. Пара $(N,K)$ также является парой Браудера–Ливси, и поскольку характеры ориентации складываются, то фундаментальная группа $\pi_1(K)$ совпадает с $\mathbf D$ и имеет такой же характер ориентации, что и $\pi_1(M)$. Отметим, что выбор второго подмногообразия в цепочке (3.4) не влияет на результат, полученный в следствии (см. далее). Это подмногообразие можно выбрать по-другому, при помощи подгруппы $\mathbb I_{\mathbf b}$ или $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$. В первом случае для подгруппы $\mathbb I_{\mathbf b}$ получается цепочка односторонних подмногообразий
$$
\begin{equation}
M^{n} \supset N_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1} \supset K_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}^{n-2}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
В случае подгруппы $\mathbb I_{\mathbf d \times \dot{\mathbf d}}$ получается цепочка односторонних подмногообразий
$$
\begin{equation}
M^{n} \supset N_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1} \supset K_{\mathbf b}^{n-2}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Ниже мы рассмотрим случай (3.4), а в оставшихся случаях вычисления полностью аналогичны. Мы получаем следующую диаграмму: в которой $\mathbf D^+=\mathbf D^+_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$, $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ имеет тривиальный характер ориентации и элемент $\mathbf b$ принадлежит $\mathbf D^+\setminus \mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$. Группы и отображения, входящие в диаграмму (3.7), известны из работ [19], [20], [17], [21; с. 527], [22]. Поскольку обозначения в этих работах отличаются от обозначений, введенных выше, мы опишем связь между группами Уолла и Браудера–Ливси в различных обозначениях. В обозначениях Уолла и [19], [20], [22] имеем Ориентация $w\colon D_3\to \mathbb Z/2$ на группе $D_3$ в работе [17] задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_3^{+,+} &\colon \quad w(x)=w(y)=1, \\ D_3^{-,+} &\colon \quad w(x)=-1, \quad w(y)=1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. первый символ “$\pm$” соответствует значению $w$ на образующей $x$, а второй – на образующей $y$. Мы отождествляем $D_3$ и $\mathbf D$, отождествляя образующие $b$ и $x$, $a$ и $y$. Таким образом, получаем отождествление $\mathbf D^+=D_3^{+,+}$ и $\mathbf D_{\mathbf a\times\dot{\mathbf a}}^-=D_3^{-,+}$ групп с ориентацией. Следовательно, согласно [17] имеем
С точностью до изоморфизма групп с ориентацией существуют только две ориентированные группы, $[\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2]^+$ и $[\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2]^-$. Согласно [19] имеем
Пусть $\sigma_1, \sigma_2$ – образующие группы Уолла $\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2$. Вложение групп $i$ : $[\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2]^{+}\to D_3^{\pm, +}$, при котором $i(\sigma_1)=x^2$, $i_1(\sigma_2)=y$, $w(x)=\pm 1$, $w(y)=1$, изоморфно вложению $\mathbb I_{\mathbf a\times \dot{\mathbf a}}\to \mathbf D_{\mathbf a\times \dot{\mathbf a}}^{\pm}$. Согласно [22] имеем
Таким образом, диаграмма (3.7) имеет следующий вид: Теорема 3. a) Гомологии в среднем члене второй строки диаграммы (3.8) изоморфны $\mathbb Z/2$. b) Элемент $x \in L_3(\mathbf D^+)$ в нетривиальном классе группы гомологий второй строки не реализуется нормальным отображением замкнутых многообразий. Доказательство. Утверждение а) использует изоморфизм из [20; с. 247], вычисления отображений в [22; случай С] и приведенные выше результаты о группах Уолла и Браудера–Ливси, поскольку вторая строка диаграммы (3.8) может быть записана в виде
Утверждение b) вытекает из [20; теорема 5]. Действительно, согласно этому результату в группе $L_3(\mathbf D^+)$ реализуются замкнутыми многообразиями элементы из подгруппы индекса $4$. Элементы из образа левого гомоморфизма верхней строки диаграммы (3.9) образуют подгруппу индекса $4$, элементы которой реализуются нормальными отображениями замкнутых многообразий. Поэтому элемент $x$ не реализуется. Теорема доказана. Следствие. Элемент $x \in L_3(\mathbf D^+)$ является элементом третьего типа (арф-инвариантом в коразмерности $1$) относительно любой системы подмногообразий, задаваемой системой подгрупп, начинающейся с подгруппы $\mathbb I_{\mathbf a\times \dot{\mathbf a}}$. Доказательство. Пусть $\pi \subset \mathbf D_{\mathbf a\times\dot{\mathbf a}}^-$ – ориентированная подгруппа индекса $2$ в ориентированной группе $ \mathbf D_{\mathbf a\times\dot{\mathbf a}}^-$. Тогда индуцированное вложение
$$
\begin{equation*}
\mathbb Z/2=L_{2}(\pi) \to L_{2}(\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) =\mathbb Z/2,
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующее отображению $L_{2}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) \xrightarrow{i_{\ast}} L_{2}(\mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})$ в диаграмме (3.8), является изоморфизмом, поскольку сохраняет арф-инвариант.
Следствие доказано. Теорема 4. Единственный нетривиальный элемент $y\,{\in}\, LN_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \,{\to}\, \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})$ имеет нетривиальное кручение в $Wh_2(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)$. Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм
$$
\begin{equation}
LN_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \to \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) \xrightarrow{\mathbf b \circ i_{\ast}} L_3(\mathbf D^+),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
входящий в диаграмму (3.8). Чтобы понять, как устроена группа препятствий, можно рассмотреть более простой случай $LN_3(\pi \to \pi \times \mathbb Z/2^-)$. Тогда группа препятствий соответствует препятствию к расщеплению подмногообразия $\mathbb RP^2 \times M^5 \subset \mathbb RP^3 \times M^5$ для ориентируемого многообразия $M^5$ с фундаментальной группой $\pi$. Этот случай разобран в [19; с. 827, § 2]. Группа препятствий к расщеплению изоморфна группе $L_1(\pi)$.
Согласно § 2 группа $LN_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \to \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})$ изоморфна группе Уолла кольца с антиструктурой $(\mathbb Z[\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}], \theta, u)$, где $\theta(x)=\mathbf b^{-1} x\mathbf b$ и $u=-w(\mathbf b)\mathbf b^{-2}$, поскольку $\mathbf b \in \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}\setminus \mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$. Следовательно, $u=\mathbf a\dot{\mathbf a}$ и антиавтоморфизм $\theta$ действует на образующие по формулам $\theta(\mathbf a)=\dot{\mathbf a}$, $\theta(\dot{\mathbf a})=\mathbf a$ и продолжается на все групповое кольцо по линейности. В рассматриваемом случае $\theta(\mathbf a \dot{\mathbf a})=\mathbf a \dot{\mathbf a} = (\mathbf a \dot{\mathbf a})^{-1}$ и антиавтоморфизм $\theta$ оказывается инволюцией. Отметим, что инволюция $\theta$ совпадает с автоморфизмом внешнего сопряжения в подгруппе $\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$ на элемент $\mathbf b \in \mathbf D \setminus \mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}$. Нетривиальный элемент $y$ из группы Браудера–Ливси $LN_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \to \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})$ задан матрицей автоморфизма квадратичной формы над кольцом с антиструктурой $(\mathbb Z[\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}], \theta, u)=(\mathbb Z[\mathbb Z/2\oplus \mathbb Z/2], \theta, u)$, где $\mathbf a$ и $\dot{\mathbf a}$ – образующие слагаемых $\mathbb Z/2$. В данном случае это означает, что элемент $\mathbf b^2 = \mathbf a \dot{\mathbf a} \in \mathbb Z[\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}]$ определяет обобщенный знак эрмитовости квадратичной формы над кольцом $\mathbb Z[\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}]$ с антиструктурой (см. [3; с. 160]). Матрица автоморфизма сохраняет $\mathbf a \dot{\mathbf a}$-симметрическую форму $P$:
$$
\begin{equation}
\left[\begin{matrix} 0 & \mathbf a\dot{\mathbf a} \\ 1 & 0 \end{matrix}\right\rfloor.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Матрица $A$ (c определителем $-\mathbf a \dot{\mathbf a}$) имеет вид
$$
\begin{equation}
\left[\begin{matrix} \mathbf a + \dot{\mathbf a} & \mathbf a + \dot{\mathbf a} + \mathbf a\dot{\mathbf a} \\ \dot{\mathbf a} + \mathbf a + 1 & 1 + \mathbf a + \dot{\mathbf a} + \mathbf a \dot{\mathbf a} \end{matrix}\right\rfloor.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Чтобы вычислить инвариант Хассе–Витта $LN_3(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \to \mathbf D^-_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) \to Wh_2(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)/(x + x^{\ast})$, рассмотрим соотношение которое дополним до соотношения унимодулярных матриц в результате стабилизации:
$$
\begin{equation}
\overline{A}\,\overline{P}\, \overline{A}^{\,\ast}=\overline{P}^{\,\ast}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
В этой формуле матрица $\overline{A}$ является унимодулярной матрицей высокой размерности (аналогично для других матриц), которая получается в результате стабилизации матрицы $A$ и замены $+1$ в одном из стабилизирующих диагональных элементов (условимся, поскольку все рассматриваемые матрицы имеют размер $2\times2$, что этот диагональный элемент имеет номер $3$) на элементарный элемент группового кольца, обращающий детерминант матрицы $A$. Матрица $A^{\ast}$ (аналогично для других матриц) является транспонированной матрицей $A$, поскольку в нашем случае антиавтоморфизм $\alpha$ на групповом кольце $\mathbb Z[\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2]$ тождествен. Элементы $x,x^{\ast} \in Wh_2(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)$ связаны транспонированием, а групповая операция, соответствующая дизъюнктному объединению классов стабильных матриц, записана аддитивно.
Далее выпишем разложение на элементарные матрицы (любым способом) для $\overline{A}$, $\overline{P}$ (и соответствующие сопряженные для $\overline{A}^{\,\ast}$, $\overline{P}^{\,\ast}$). Вычисления очень простые, их достаточно проводить над кольцом $\mathbb Z/2[\mathbb Z/2 \,{\times}\, \mathbb Z/2]$. Подставим произведение в (3.14); вычислим символ в $K_2(\mathbb Z/2[\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2])$, который, очевидно, равен $\langle \mathbf a + \dot{\mathbf a} + \mathbf a\dot{\mathbf a};\mathbf a \dot{\mathbf a}\rangle$. Действительно, над кольцом $\mathbb Z/2[\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2]$ соотношение (3.13) приводится элементарными преобразованиями к соотношению $CDC^{-1}D^{-1}=E$, где
$$
\begin{equation}
C=\left[ \begin{matrix} \mathbf a\dot{\mathbf a} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \mathbf a\dot{\mathbf a} \end{matrix} \right\rfloor,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
D=\left[ \begin{matrix} \mathbf a + \dot{\mathbf a} + \mathbf a\dot{\mathbf a} & 0 & 0\\ 0 & \dot{\mathbf a} + \mathbf a + 1 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf a\dot{\mathbf a} \end{matrix} \right\rfloor.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
В [23], доказано, что построенный элемент из $K_2(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)$ не равен нулю и не выражается через символы $\langle \pm p_1;\pm p_2 \rangle$, где $p_1,p_2 \in \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$. Группа $Wh_2(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)$ вычислена в [24]. Кручение Хассе–Витта определено, вообще говоря, с точностью до произвола в разложении матриц в (3.14) на элементарные; в рассматриваемом случае эта неоднозначность не проявляется, поскольку все элементы в $Wh_{2}(\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2)$ имеют порядок $2$. Теорема 4 доказана. § 4. ОбсужденияГеометрическая сторона результата, полученного в теореме 4, требует дальнейшего исследования. По смыслу задачи образ $z=\mathbf b \circ i_{\ast}(y) \in L_3(\mathbf D^+)$ нетривиального элемента $y \in LN_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \to \mathbf D^{-}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}})=\mathbb Z/2$ ненулевой, но лежит в образе гомоморфизма $L_{3}(\mathbb I_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) \xrightarrow{i_{\ast}} L_3(\mathbf D^+)$. Элемент $y$ также действует на тождественную гомотопическую триангуляцию $M^n$, $n \equiv 3 \pmod{4}$ (как элемент из группы препятствий к расщеплению вдоль $N_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}^{n-1} \times I \subset M^n \times I$), и задает гомотопическую триангуляцию $\nu(y) \in hT(M^{n} \times \{1\})$. Рассмотрим
$$
\begin{equation}
(M^n,N^{n-1}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}}) = (M^{n-2}_1 \times D^2, N_{1}^{n-3} \times D^2),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $(M^{n-2}_1,N_{1}^{n-3})$ – пара многообразий, которая стабилизируется до пары (3.3) многообразий с краем путем умножения на $2$-диск. Подмногообразие $N^{n-3}_1 \times D^2 \subset M^{n-2}_1\times D^2$ представляет собой $2$-параметрическое семейство подмногообразий над диском. Рассуждая, как в [25], можно показать, что гомотопическая триангуляция подмногообразия $M^{n-2}_1 \times D^2 \times \{1\}$, которая на крае $M^{n-2}_1 \times S^1 \times \{1\}$ является $\mathrm{PL}$-гомеоморфизмом, обязательно имеет критические точки в $2$-параметрическом семействе прообразов подмногообразия $N^{n-3}_1 \times D^2 \times \{1\}$. Поэтому элемент $\nu(y) \in hT(M^{n} \times \{1\})$ ненулевой. Но такого не может случится, если образ $z=\mathbf b \circ i_{\ast}(y) \in L_3(\mathbf D^+)$ является нулевым, поскольку иначе гомотопическое сглаживание $\nu(z) \in hT(N^{n-1}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} \times \{1\})$ оказалось бы тождественным и прообраз многообразия $N^{n-1}_{\mathbf a \times \dot{\mathbf a}} = N_1^{n-3} \times D^2 \times \{1\}$ расслаивался бы над $D^2$. В то время как по теореме 4 на прообразе рассматриваемого многообразия обязательно нашлись бы критические точки при проекции на диск. Результат был представлен на семинаре, посвященном 85-летию профессора А. В. Чернавского. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AkhMur23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|