| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О весовой задаче Боянова–Чебышёва и методе Фентона для сумм сдвигов функций Б. Фаркашa, Б. Надьb, С. Д. Ревесc a School of Mathematics and Natural Sciences, University of Wuppertal, Wuppertal, Germany b Department of Analysis, Bolyai Institute, University of Szeged, Szeged, Hungary c Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9714e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОтправной точкой для наших исследований является следующая теорема Б. Д. Боянова ([6; теорема 1]). Теорема 1.1. Для заданного $n\in \mathbb{N}$ пусть $\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_n>0$ – набор из $n$ натуральных чисел. Тогда для любого заданного отрезка $[a,b]$ ($a<b$) существует единственный набор точек $x_1^* \leqslant \dots\leqslant x_n^*$ такой, что где $\|\cdot \|$ – равномерная норма на $[a,b]$. При этом $a<x_1^*<\dots<x_n^*<b$, а экстремальный многочлен $T(x):=(x-x_1^*)^{\nu_1} \dotsb (x-x_n^*)^{\nu_n}$ единственным образом определяется свойством обобщенного альтернанса: найдется такой набор точек $(t_k)_{k=0}^n$, $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$, что Этот результат охватывает, в частности, хорошо известную теорему Чебышёва об экстремальном свойстве многочленов Чебышёва, в которой $\nu_j=1$ для всех $j$. Имеется целый ряд обобщений экстремальной задачи Чебышёва на чебышёвские (хааровские) системы $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ (см. [17]); такие системы определяются тем свойством, что любой нетривиальный обобщенный полином $\sum_{j=1}^n \alpha_j \varphi_j$ по этой системе имеет не более $n$ нулей (на отрезке $[a,b]$). Тем не менее прямые попытки применить этот подход к задаче Боянова очень быстро ведут в тупик, поскольку полиномы в этой задаче не образуют линейного пространства, а число их нулей может достигать величины $\nu_1+\dots+\nu_n$. Как и в классической экстремальной задаче Чебышёва, здесь также естественно рассмотреть весовые равномерные нормы. Отметим, что $\|w f\|=C$ $\Leftrightarrow$ $- C \leqslant f(x)w(x) \leqslant C$, $x\in [a,b]$, причем по крайней мере одно из этих неравенств превращается в равенство в некоторой точке. Положим $W(x):=1/w(x)$ и рассмотрим задачу о минимизации постоянной $C$, при которой выполнено неравенство $-CW(x) \leqslant f(x) \leqslant CW(x)$, $x\in [a,b]$. Если $\nu_1=\dots=\nu_n=1$, то в этой задаче известны достаточно общие результаты даже для несимметричных весов $-C U(x) \leqslant f(x) \leqslant C V(x)$. Экстремальные многочлены для этой задачи, называемые ужами, альтернируют между этими границами, см. [19]. По поводу дальнейших деталей см., например, [9], [8], [20], [23]. В настоящей работе мы будем рассматривать только случай одинаковых верхних и нижних границ. В рамках нашего подхода это естественно, поскольку мы рассматриваем только абсолютные значения величин, а не значения со знаками. Однако если, как выше, рассматривать алгебраические многочлены, то легко проследить, какие знаки принимаются на интервалах между нулями, и тем самым восстановить исходный результат Боянова1. В этой связи упомянем только, что из нашего анализа будет следовать, что в вышеприведенной теореме Боянова можно утверждать, что (единственная) система оптимальных узлов характеризуется в терминах достижения нормы $|T(t_i)|=\|T\|$, $i=0,1,\dots,n$, на каждом из отрезков $[a,x_1^*], [x_1^*,x_2^*],\dots,[x_{n-1}^*,x_n^*], [x_n^*,b]$ в некоторых точках $t_0,t_1,\dots,t_n$. Таким образом, для характеризации в этом случае нет необходимости требовать наличия альтернанса с чередованием знаков – единственное, что на самом деле требуется, это достижение нормы. Отметим, что свойства типа альтернанса играют важную роль в теории приближений (см. работы Б. Д. Боянова и Н. Найденова [3], [4], Б. Д. Боянова и К. И. Рахмана [5], а также Г. Николова и А. Ю. Шадрина [21], [22]). Наш метод позволяет рассматривать произвольные действительные показатели $\nu_i$ в экстремальных задачах типа Боянова и тем самым изучать экстремальную задачу типа Боянова для так называемых обобщенных алгебраических полиномов (ср. c [7]). На самом деле наш подход является даже еще более общим. Отметим, что Боянов с своей работе применял классический аппроксимационный подход, основанный на идеях Чебышёва и Маркова, в котором используется локализация нулей, монотонность, перемежаемость, подсчет нулей и другие классические приемы. Отметим также, что результат Боянова ранее не обобщался на весовой случай или случай тригонометрических полиномов. В [11] авторы настоящей работы использовали подход, аналогичный применяемому здесь, для общих минимаксных задач на торе, в которых были получены аналоги теоремы Боянова для (обобщенных) тригонометрических полиномов и обобщенных алгебраических многочленов. При этом подходе отрезок поднимался на тор, причем узлам на отрезке соответствовали пары симметричных тригонометрических узлов на торе. Однако в несимметричной экстремальной задаче такой обратный переход был бы невозможен. Поэтому такой подход может быть обобщен на весовой случай, только когда веса четные относительно середины рассматриваемого отрезка. В настоящей работе постановка задачи отличается от постановки из работы [11], при этом результаты будут получены не только для четных весов. Одной из мотивацией исследования задачи на торе в [11] являлась задача поляризации (см. также [1] и [18]), мы же интересуемся иными приложениями. Минимизационную задачу Боянова можно легко свести к минимаксной задаче посредством логарифмирования:
$$
\begin{equation*}
\ln\bigl| (x-x_1)^{\nu_1} \dotsb (x-x_n)^{\nu_n}\bigr| = \sum_{j=1}^n \nu_j \ln|x-x_j|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, исходная экстремальная задача в мультипликативной форме сводится к экстремальной задаче в аддитивной форме: минимизировать выражение $\max_{[a,b]} \sum_{j=1}^n \nu_j \ln|x-x_j|$ по $x_1,\dots,x_n$ при условии, что $x_1\leqslant \dots \leqslant x_n$. Весовой вариант исходной задачи:
$$
\begin{equation*}
\text{минимизировать } \ \bigl\|(x-x_1)^{\nu_1} \dotsb (x-x_n)^{\nu_n} w(x)\bigr\|_{C([a,b])} \quad\text{по } \ x_1 \leqslant \dots \leqslant x_n .
\end{equation*}
\notag
$$
После логарифмирования (в предположении, что $w(x)\geqslant 0)$ эта задача записывается в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\text{минимизировать }\ \max_{[a,b]} \biggl(\ln w(x) + \sum_{i=1}^n \nu_i \ln|x-x_i|\biggr) \quad \text{по } \ x_1 \leqslant \dots \leqslant x_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем один наш результат в конкретном модельном случае. Теорема 1.2. Для заданного $n\in \mathbb{N}$ пусть $r_1,r_2,\dots,r_n$ – набор из $n$ положительных чисел, $[a,b]$ – невырожденный отрезок и $w$ – полунепрерывная сверху неотрицательная весовая функция на $[a,b]$, принимающая ненулевые значения по крайней мере в $n$ в точках интервала $(a,b)$ и еще в одной отличной от них точке из $[a,b]$. Тогда существует единственный набор точек $a\leqslant x_1^* \leqslant \dots\leqslant x_n^*\leqslant b$, на котором достигается решение следующей экстремальной задачи: где $\|\cdot \|$ – равномерная норма на $[a,b]$. Более того, $a<x_1^*<\dots<x_n^*<b$. При этом экстремальный многочлен $T(x):=\prod_{i=1}^n |x-x_i^*|^{r_i}$ однозначно определяется свойством обобщенного альтернанса: существует набор точек $(t_i)_{i=0}^n$, перемежающийся с набором $x_i^*$, т.е. $a\leqslant t_0<x_1^*<t_1<x_2^*<\dots<x_n^*<t_n\leqslant b$, такой, что Впервые подход с суммами сдвигов функции рассмотрел П. Фентон в [13], целью которого являлось доказательство гипотезы П. Д. Барри (1962 г.) о росте целых функций (эта гипотеза была доказана им в [12]). Несмотря на то, что выяснилось, что оригинальная задача Барри уже была решена чуть раньше А. А. Гольдбергом в [16], впоследствии Фентон c успехом применил свой метод для ряда других приложений (см. [14], [15]). Нашей целью в настоящей работе является обобщение и дальнейшее развитие оригинальных методов Фентона для сумм сдвигов заданной функции и связанных с ними минимаксных задач. Мы не будем обсуждать в этой статье возможные приложения к теории целых функций, а получим ряд приложений для теории приближений. В дополнение к обозначенным выше задачам типа Боянова мы покажем, что наш метод позволяет работать с рядом на первый взгляд не связанных с этой задачей вопросов (например, с задачей о постоянной Чебышёва для объединения $k$ отрезков). Важно отметить, что единственным ограничением, накладываемым нами на веса, является их полунепрерывность сверху, в отличие от работы [11], в которой предположение об их логарифмической вогнутости являлось ключевым. В настоящей работе наиболее интересным, на наш взгляд, результатом является теорема 4.1, поскольку в ней описывается, по-видимому, новый феномен, не изученный ранее даже в самом классическом случае – экстремальной задаче Чебышёва. Хорошо известно, что чебышёвские узлы обладают тем свойством, что для любой другой системы узлов некоторые из максимумов модуля полинома на отрезках превышают, а некоторые оказываются меньше соответствующих максимумов модуля многочлена Чебышёва (который, вследствие альтернирования, имеет точку экстремума на каждом из $n+1$ отрезков между соседними нулями и концевыми точками). Ниже мы покажем, что это свойство перемежаемости нормы максимумов на отрезках не является свойством только экстремальных чебышёвских узлов – мы покажем, что любые две системы узлов обладают таким свойством перемежаемости друг по отношению к другу. § 2. Основные определенияФункция $K\colon (-1,0)\cup (0,1)\to \mathbb{R}$ называется ядерной функцией2, если она вогнута на $(-1,0)$ и на (0,1) и при этом Указанные выше пределы существуют по предположению о вогнутости функции; также существуют односторонние пределы в точках $-1$ и $1$. Положим
$$
\begin{equation*}
K(0):=\lim_{t\to 0}K(t), \qquad K(-1):=\lim_{t\downarrow -1} K(t), \qquad K(1):=\lim_{t\uparrow 1} K(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, на отрезке $[-1,1]$ мы получаем расширенно непрерывную функцию $K\colon [-1,1]\to \mathbb{R}\cup\{-\infty\}=:\underline{\mathbb{R}}$, ограниченную сверху, т.е. $\sup K<\infty$. Отметим, что ядерная функция дифференцируема почти всюду. Ядерная функция $K$ называется строго вогнутой, если она строго вогнута на каждом из интервалов $(-1,0)$ и $(0,1)$. Функция $K$ называется монотонной3, если
$$
\begin{equation}
K \text{ монотонно убывает на } (-1,0) \text{ и монотонно возрастает } (0,1).
\end{equation}
\tag{M}
$$
Из вогнутости функции $K$ и условия монотонности (M) вытекает, что значения $K(-1)$ и $ K(1)$ также конечны. Если $K$ строго вогнута, то условие (M) влечет ее строгую монотонность:
$$
\begin{equation}
K \ \text{строго убывает на}\ [-1,0) \ \text{и строго возрастает}\ (0,1].
\end{equation}
\tag{SM}
$$
Ядерная функция $K$ называется сингулярной, если Поскольку это понятие будет играть важную роль в обозначенных выше приложениях, ниже мы будем рассматривать, как правило, только сингулярные ядерные функции.Пусть $n\in \mathbb{N}=\{1,2,\dots,\}$ фиксировано. Функция $J\colon [0,1]\to\underline{\mathbb{R}}$ называется внешней $n$-полевой функцией4 (или, если значение $n$ ясно из контекста, просто полевой функцией), если она ограничена сверху на $[0,1]$ и число точек из $[0,1]$, в которых она принимает конечные значения, больше чем $n$, где точки $0$ и $1$ считаются с весом5 $1/2$, а точки интервала $(0,1)$ – с весом $1$. Как следствие, для полевой функции6 $J$ множество $(0,1)\setminus J^{-1}(\{-\infty\})$ содержит не менее $n$ элементов, а если его мощность в точности равна $n$, то одно из значений $J(0)$ и $J(1)$ конечно. Далее, рассмотрим открытый симплекс
$$
\begin{equation*}
S:=S_n:=\bigl\{\mathbf{y} \colon \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)\in (0,1)^n, \ 0< y_1<\dots <y_n<1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а также его замыкание – замкнутый симплекс
$$
\begin{equation*}
\overline{S}:=\bigl\{\mathbf{y}\colon \mathbf{y}\in [0,1]^n,\ 0\leqslant y_1\leqslant \dots \leqslant y_n\leqslant 1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданных $n\in \mathbb{N}$, ядерной функции $K$, постоянных $r_j>0$, $j=1,\dots,n$, и полевой функции $J$, рассмотрим невзвешенную сумму сдвигов функции $K$ c коэффициентами $r_j$
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{y},t):=\sum_{j=1}^n r_j K(t-y_j), \qquad \mathbf{y}\in \overline{S}, \quad t\in [0,1],
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
а также (взвешенную) сумму сдвигов функции $K$:
$$
\begin{equation}
F(\mathbf{y},t):=J(t)+\sum_{j=1}^n r_jK(t-y_j), \qquad \mathbf{y}\in \overline{S}, \quad t\in [0,1].
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Отметим, что функции $J$ и $ K$ являются, вообще говоря, несобственными поточечно ограниченными сверху функциями, т.е. они могут принимать значение $-\infty$, но не $+\infty$. Поэтому сумма сдвигов функции $K$ определена корректно. Далее, если $g,h \colon A \to \underline{\mathbb{R}}$ – расширенно непрерывные функции на некотором топологическом пространстве $A$, то их сумма также является расширенно непрерывной функцией. Как следствие, $f\colon \overline{S} \times [0,1] \to \underline{\mathbb{R}}$ также расширенно непрерывна. Отметим, что при любом $\mathbf{y}\in \overline{S}$ функция $f(\mathbf{y},\cdot)$ конечна на $(0,1)\setminus \{y_1,\dots, y_n\}$, при этом $f(\mathbf{y},0)=-\infty$, только если $y_j=0$ при некотором $j$ (откуда следует, что $y_1=0$) и $K(0)=-\infty$ или если $y_j=1$ при некотором $j$ (так что $y_n=1$) и $K_j(-1)=-\infty$. Аналогичный результат верен и в случае, когда $f(\mathbf{y},1)=-\infty$. По предположению7 относительно функции $J$ имеем $F(\mathbf{y},\cdot)\not\equiv-\infty$, т.е. $\sup_{t\in[0,1]}F(\mathbf{y},t)>-\infty$. Далее, для любых фиксированных $\mathbf{y} \in \overline{S}$ и $t\ne y_1,\dots,y_n$ существует открытая (в $\overline{S}$) окрестность $\mathbf{y} \in \overline{S}$, где функция $f(\cdot,t)$ вогнута (и, следовательно, непрерывна). Действительно, в качестве такой окрестности достаточно рассмотреть $B(\mathbf{y},\delta):=\{\mathbf{x}\in \overline{S}\colon \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|<\delta\}$, где $\delta:=\min_{j=1,\dots,n} |t-y_j|$ и $\|\mathbf{v}\|:=\max_{j=1,\dots,n} |v_j|$. Определим множество точек сингулярности полевой функции $J$ следующим образом: где, напомним, мощность множества $X^c:=[0,1]\setminus X$ (при описанном выше подсчете числа точек с весом) превосходит $n$. В частности, $X\neq [0,1]$.Положим $y_0:=0$, $y_{n+1}:=1$ и для $\mathbf{y}\in \overline{S}$ и $j\in \{0,1,\dots, n\}$ определим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_j(\mathbf{y}):=[y_j,y_{j+1}], \qquad m_j(\mathbf{y}):=\sup_{t\in I_j(\mathbf{y})} F(\mathbf{y},t), \\ \overline{m}(\mathbf{y}):=\max_{j=0,\dots,n} m_j(\mathbf{y})=\sup_{t\in [0,1]}F(\mathbf{y},t), \qquad \underline{m}(\mathbf{y}):=\min_{j=0,\dots,n} m_j(\mathbf{y}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно сказанному выше значение $\overline{m}(\mathbf{y})=\sup_{t \in [0,1]} F(\mathbf{y},t) \in \mathbb{R}$ конечно при любом $\mathbf{y}\in \overline{S}$. С другой стороны, $m_j(\mathbf{y})=-\infty$, если и только если $F(\mathbf{y},\cdot)|_{I_{j}(\mathbf{y})}\equiv -\infty$; в этом случае $I_{j}(\mathbf{y})$ называется отрезком сингулярности (для заданной системы узлов). Если найдется индекс $j\in \{0,1,\dots,n\}$ такой, что $m_j(\mathbf{y})=-\infty$, то $\mathbf{y}$ называется сингулярной системой узлов. Система узлов $\mathbf{y}\in \partial S= \overline{S}\setminus S$ называется вырожденной. Поскольку по предположению мы рассматриваем только сингулярные ядерные функции, то каждая вырожденная система узлов является сингулярной и, далее, для невырожденной системы узлов $\mathbf{y}$ равенство $m_j(\mathbf{y})=-\infty$ выполнено, если и только если $\operatorname{rint} I_j(\mathbf{y})\subseteq X$, где $\operatorname{rint}$ обозначает относительную внутренность подмножества отрезка $[0,1]$. Ниже нам потребуется следующий результат, доказанный в [10; лемма 3.3]: если функция $K$ сингулярна, то функция $m_j$ расширенно непрерывна. Этот факт на первый взгляд неочевиден, поскольку функция $J$ произвольна. Предложение 2.1. Пусть $K$ – сингулярная ядерная функция и $J$ – произвольная $n$-полевая функция. Тогда при любом $j\in \{0,1,\dots, n\}$ функция расширенно непрерывна, $\overline{m},\underline{m}\colon \overline{S}\to \underline{\mathbb{R}}$ – расширенно непрерывные функции, а $\overline{m}$ – непрерывная функция, принимающая всюду конечные значения. Замечание 2.1. Для сингулярной ядерной функции $K$, $n$-полевой функции $J$, системы узлов $\mathbf{w}\in\overline{S}$ и $k\in \{0,\dots,n\}$, если отрезок $I_k(\mathbf{w})$ вырожден или сингулярен, то $m_k(\mathbf{w})=-\infty$, так что $m_k(\mathbf{w})<\overline{m}(\mathbf{w})$. Нашей основной целью является изучение следующих минимаксной и максиминной задач:
$$
\begin{equation}
M(S):=\inf_{\mathbf{x}\in S}\overline{m}(\mathbf{x})=\inf_{\mathbf{x}\in S}\max_{j=0,1,\dots,n}m_j(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
m(S):=\sup_{\mathbf{x}\in S}\underline{m}(\mathbf{x})=\sup_{\mathbf{x}\in S}\min_{j=0,1,\dots,n}m_j(\mathbf{x}).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Для этих задач важную роль будет играть множество точек регулярности
$$
\begin{equation}
Y:=Y_n=\bigl\{\mathbf{y}\in S\colon m_j(\mathbf{y})\neq-\infty,\ j=0,1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Так как $J$ – $n$-полевая функция, то $Y\neq \varnothing$, откуда непосредственно вытекает, что
$$
\begin{equation*}
m(Y):=\sup_{\mathbf{x}\in Y}\underline{m}(\mathbf{x})=\sup_{\mathbf{x}\in S}\underline{m}(\mathbf{x}) =m(S) =\sup_{\mathbf{x}\in \overline{S}}\underline{m}(\mathbf{x}) =:m(\overline{S}).
\end{equation*}
\notag
$$
Попутно мы получим (см. теорему 3.1 ниже), что также имеет место следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation*}
M(Y):=\inf_{\mathbf{x}\in Y}\overline{m}(\mathbf{x})=\inf_{\mathbf{x}\in S}\overline{m}(\mathbf{x})=M(S) =\inf_{\mathbf{x}\in \overline{S}}\overline{m}(\mathbf{x}) =:M(\overline{S}).
\end{equation*}
\notag
$$
На самом деле для сингулярной строго вогнутой ядерной функции $K$ и полунепрерывной сверху $n$-полевой функции $J$ имеется единственный узел $\mathbf{w}\in \overline{S}$ такой, что $\overline{m}(\mathbf{w})=M(S)$. В действительности $\mathbf{w}\in Y$, при этом $\mathbf{w}$ является единственной системой узлов из $\overline{S}$ такой, что $\underline{m}(\mathbf{w})=m(S)$ (см. следствие 3.2). Для доказательства этих результатов нам потребуется ряд вспомогательных утверждений. Если ядерная функция $K$ сингулярна (что является основным предположением настоящей работы), то
$$
\begin{equation}
Y=\bigl\{\mathbf{y}\in S\colon \operatorname{rint} I_j(\mathbf{y})\not\subseteq X,\ j=0,1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В этом случае из (2.8) вытекает, что множество точек регулярности является открытым подмножеством симплекса $S$, так что $S=Y$, если и только если $X$ имеет пустую внутренность. Мы также рассмотрим вектор-функцию максимумов на отрезках
$$
\begin{equation*}
\mathbf{m}(\mathbf{w}):=(m_0(\mathbf{w}),m_1(\mathbf{w}),\dots,m_n(\mathbf{w})) \in \underline{\mathbb{R}}^{n+1}, \qquad \mathbf{w} \in \overline{S},
\end{equation*}
\notag
$$
и разностную функцию максимумов на отрезках (или просто разностную функцию)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Phi(\mathbf{w}) & :=(m_1(\mathbf{w})-m_0(\mathbf{w}), m_2(\mathbf{w})-m_1(\mathbf{w}),\dots, m_n(\mathbf{w})-m_{n-1}(\mathbf{w}) ) \\ & =:(\Phi_1(\mathbf{w}),\dots,\Phi_n(\mathbf{w})) \in [-\infty,\infty]^{n}, \qquad \mathbf{w}\in Y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Отметим, что функция $\mathbf{m}\colon \overline{S}\to \underline{\mathbb{R}}^{n+1}$ расширенно непрерывна, поэтому $\Phi\colon Y{\to} \mathbb{R}^n$ также непрерывна по предложению 2.1. Одним из ключевых фактов для нашего анализа является следующая теорема, представляющая собой весьма специальный случай основного результата работы [10] (см. [10; следствие 2.2]). Теорема 2.1. Пусть $n\in \mathbb{N}$, $r_1,\dots, r_n>0$, сингулярная ядерная функция $K$ строго монотонна (см. (SM)), $J$ – произвольная $n$-полевая функция, и пусть $F$ – взвешенная сумма сдвигов функции $K$ (см. (2.3)). Тогда сужение на $Y$ разностной функции (2.9) – локально билипшицев гомеоморфизм между $Y$ и $\mathbb{R}^n$. Отметим, что этот результат содержит в качестве частного случая нетривиальное утверждение, что множество $Y\subseteq S$ является (одно)связной областью. § 3. Леммы о возмущенииОдин вариант следующего утверждения содержится в [11; лемма 11.5] (см. также [25; лемма 10, с. 1069]). Аналогичный, чуть более простой результат был установлен П. Фентоном в [13] (хотя он его и не сформулировал явно; см. обсуждение в [13] вокруг формулы (15)). Лемма 3.1 (лемма о возмущении интервалов). Пусть $K$ – ядерная функция. Пусть также $0<\alpha<a<b<\beta<1$ и $p, q >0$. Положим a) Если функция $K$ удовлетворяет условию (M) и $\mu\geqslant 1$, то при любом $t\in [0,\alpha]$ b) Если функция $K$ удовлетворяет условию (M) и $\mu\leqslant 1$, то неравенство (3.2) выполнено при любом $t\in [\beta,1]$. c) Если $\mu=1$, то независимо от того, удовлетворяет $K$ условию (M) или нет, неравенство (3.2) выполнено при любом $t\in [0,\alpha] \cup [\beta,1]$. d) Если ядерная функция является строго вогнутой, то выполнены утверждения a), b) и c), при этом неравенство в (3.2) является строгим. e) Если функция $K$ удовлетворяет условию (M), то при любом $t\in [a,b]$ при этом неравенство является строгим, если функция $K$ строго монотонна. Доказательство. Сгруппировав члены в (3.2) и поделив на $q(\beta-b)$, мы получаем эквивалентное неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{p(a-\alpha)}{q(\beta-b)} \frac{K(t-\alpha)-K(t-a)}{a-\alpha} \leqslant \frac{K(t-b)-K(t-\beta)}{\beta-b}.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем это неравенство в виде $\mu c \leqslant C$, где величина $\mu$ определена в (3.1) и Величины $c$ и $C$ являются тангенсами углов наклона секущих, соединяющих значения ядерной функции $K$ в точках $t-a$, $ t-\alpha$ и $t-\beta$, $t-b$ соответственно. Отметим, что $t-\beta < t-b < t-a < t-\alpha$; при этом все эти точки лежат на отрезке $[0,1]$, если $t\in [\beta,1]$, и лежат на отрезке $[-1,0]$, если $t\in[0,\alpha]$. Как следствие, эти точки лежат на одном и том же отрезке вогнутости функции $K$, а угол наклона предыдущей секущей больше, чем угол наклона секущей справа от нее. Поэтому $c \leqslant C$. В частности, при $\mu=1$ мы сразу получаем утверждение c), при этом неравенство в нем является строгим, если функция $K$ строго вогнута, поскольку в этом случае имеет место даже неравенство $c<C$.
Для доказательства неравенства $\mu c \leqslant C$ нам достаточно проверить выполнение неравенства $\mu c \leqslant c$. Если $c\leqslant 0$, то $\mu c \leqslant c$ при $\mu\geqslant 1$, а если $c\geqslant 0$, то это неравенство выполнено при $\mu\leqslant 1$. Из монотонности, однако, следует, что $c\leqslant 0$ при $t-a$, $t-\alpha \leqslant 0$, т.е. при $t\in[0,\alpha]$, так что в этом случае достаточно требовать выполнения неравенства $\mu\geqslant 1$; аналогично, при $t\in[\beta,1]$ имеем $t-a, t-\alpha >0$ и $c\geqslant 0$, поэтому достаточно требовать выполнения неравенства $\mu\leqslant 1$. Утверждения a) и b) доказаны. Аналогичные рассуждения доказывают строгие неравенства в пп. a) и b) при строго вогнутой функции $K$. Это доказывает п. d). Утверждение e) очевидно, поскольку при условии (M) при $t\in [a,b]$ мы имеем $K(t-\alpha)\geqslant K(t-a)$, а также $K(t-\beta) \geqslant K(t-b)$; при этом неравенство является строгим, если функция $K$ строго монотонна. Лемма доказана. Далее нам потребуется простой, но важный факт. Лемма 3.2. Пусть $f, g, h\colon D \to \underline{\mathbb{R}}$ – полунепрерывные сверху функции на хаусдорфовом топологическом пространстве $D$, и пусть множества $\varnothing\neq A \subseteq B \subseteq D$ произвольны. Предположим, что Если $A\subseteq B$ – компакт, то Доказательство. Ясно, что $\sup_A (f+h) \leqslant \sup_B (g+h)$. Если $A$ компактно, то функция $f+h$ достигает максимума на $A$ в некоторой точке $a\in A$. Если $h(a)=-\infty$, то также имеем $\max_A (f+h)=f(a)+h(a)=-\infty$, что влечет строгое неравенство в (3.5), за исключением случая, когда $h+g \equiv -\infty$ на всем $B$ (и, следовательно, на $A$). В этом случае, однако, $h\equiv -\infty$ на всем $A$, поскольку из строгого неравенства в условии (3.4) вытекает, что $g>-\infty$ на $A$. Это доказывает (3.5) при $h(a)=-\infty$. Далее, если значение $h(a)>-\infty$ конечно, то $\max_A (f+h)=f(a)+h(a)<g(a)+h(a)\leqslant \sup_B (g+h)$, что доказывает утверждение и в этом случае. Лемма доказана. Замечание 3.1. Лемма 3.2 о полунепрерывных сверху функциях играет важную роль в наших последующих рассуждениях. Именно по этой причине в приводимых ниже результатах мы также предполагаем, что функция $J$ полунепрерывна сверху. Теорема 3.1 (обобщенный альтернанс для задачи минимакса). Пусть $n{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb{N}$, $K$ – сингулярная строго вогнутая строго монотонная (см. (SM)) ядерная функция, и пусть $J\colon [0,1]\to \underline{\mathbb{R}}$ – полунепрерывная сверху $n$-полевая функция. Далее, пусть взвешенная сумма сдвигов определена формулой (2.3) для коэффициентов $r_j>0$, $j=1,\dots,n$. Тогда функция $\overline{m}$ имеет минимум на $\overline{S}$ в некоторой точке $\mathbf{w}\in \overline{S}$ (так что $\mathbf{w}$ – точка минимакса), т.е. Каждая такая точка минимума $\mathbf{w}\in \overline{S}$ является точкой обобщенного альтернанса, т.е. При этом точка $\mathbf{w}$ несингулярна, т.е. лежит во множестве точек регулярности $Y$, и, в частности, в открытом симплексе $S$. Доказательство. Непрерывность $\overline{m}$ (см. предложение 2.1) влечет существование точки минимума на компакте $\overline{S}$. Пусть $\mathbf{w}\in\overline{S}$ – такая точка минимума. Докажем сначала, что $\mathbf{w}$ – точка обобщенного альтернанса, т.е. $m_j(\mathbf{w})= \overline{m}(\mathbf{w})$, $j=0,1,\dots,n$. Рассуждая от противного, предположим, что $m_j(\mathbf{w})<\overline{m}(\mathbf{w})$ при некотором $j\in \{0,1,\dots,n\}$.
Случай 1. Для начала рассмотрим случай, когда $I_j=[w_j,w_{j+1}] \subseteq (0,1)$. В нашей ситуации $0<j<n$, поскольку $w_0=0<w_j\leqslant w_{j+1} <1=w_{n+1}$. Рассмотрим следующие множества индексов $i$, для которых $w_i$ совпадает с левой (соответственно правой) концевой точкой отрезка $I_j$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}:=\{i\leqslant j\colon w_i=w_j\}, \qquad \mathcal{R}:=\{i\geqslant j+1 \colon w_i=w_{j+1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что отрезок $I_j$ может быть вырожденным, т.e. $w_j=w_{j+1}$, однако по определению индексные множества $\mathcal{L}$ и $\mathcal{R}$ не пересекаются. Далее, положим
$$
\begin{equation*}
L:=\sum_{i\in \mathcal{L}} r_i, \qquad R:=\sum_{i\in \mathcal{R}} r_i, \qquad \mathcal{I}:=\{0,\dots,n+1\} \setminus (\mathcal{L}\cup \mathcal{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Применим лемму 3.1 с $\alpha:=w_j-Rh$, $a:=w_j$, $b:=w_{j+1}$, $ \beta:=w_{j+1}+Lh$, $p:=L$, $q:=R$, где малое $h>0$ будет выбрано ниже. Поскольку в нашем случае величина $\mu$ из (3.1) равна в точности 1, то из леммы 3.1 вытекает строгое неравенство
$$
\begin{equation}
L K(t-(w_j-Rh)) + R K(t-(w_{j+1}+Lh)) < L K(t-w_j) + R K(t-w_{j+1})
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
во всех точках $t \in A :=[0,w_j-Rh] \cup [w_{j+1}+Lh,1]$.
Теперь определим новую систему узлов $\mathbf{w}'$, где $w_i':=w_i-Rh =w_j-Rh=\alpha$ при всех $i\in \mathcal{L}$, $w'_i:=w_i+Lh=w_{j+1}+Lh=\beta$ при всех $i\in\mathcal{R}$, а остальные компоненты остаются без изменения: $w'_i:=w_i$ при $i\in \mathcal{I}$. Отметим, что если $h$ меньше расстояния $\rho>0$ между множествами $\{w_i \colon i\in \mathcal{I}\}$ и $I_j$, то $0=w'_0 \leqslant \dots \leqslant w'_j < w'_{j+1} \leqslant \dots \leqslant 1$, откуда $\mathbf{w}'\in \overline{S}$. Таким образом, мы считаем в дальнейшем, что $0<h<\rho$, а также, что $h$ достаточно мало, так что неравенство $m_j(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$ по-прежнему имеет место (здесь мы воспользовались непрерывностью $m_j$; см. предложение 2.1). Для этой новой системы узлов $\mathbf{w}'$ имеем $A=[0,1]\setminus \operatorname{int} I_j(\mathbf{w}')$, при этом неравенство (3.8) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
L K(t-w'_j) + R K(t-w'_{j+1}) < L K(t-w_j) + R K(t-w_{j+1}) \quad \text{для }\ t \in A.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при добавлении $J(t) + \sum_{i\in \mathcal{I}} r_i K(t-w_i)$ к обеим частям левая часть становится равной $F(\mathbf{w}',t)$, а правая часть – равной $F(\mathbf{w},t)$.
Применяя лемму 3.2 с $A=[0,1]\setminus \operatorname{int} I_j(\mathbf{w}')$, $B:=[0,1]\setminus \operatorname{int} I_j(\mathbf{w})$ и $D=[0,1]$, мы получаем $\max_A F(\mathbf{w}',\cdot) < \max_B F(\mathbf{w},\cdot) \leqslant \overline{m}(\mathbf{w})$, за исключением того случая, когда добавленное выражение $J(t) + \sum_{i\in \mathcal{I}} r_i K(t-w_i)$ тождественно равно $-\infty$ на $A$, а в этом случае левая часть $\max_A F(\mathbf{w}',\cdot)$ также равна $-\infty$. В итоге в любом случае мы имеем $\max_A F(\mathbf{w}',\cdot)<\overline{m}(\mathbf{w})$. Поскольку $\max_{I_j(\mathbf{w}')} F(\mathbf{w}',\cdot)=m_j(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$, то $\overline{m}(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$, что противоречит выбору $\mathbf{w}$ как точки минимума функции $\overline{m}$. Это противоречие доказывает равенство $m_j(\mathbf{w})=\overline{m}(\mathbf{w})$. Случай 2. Пусть теперь $0=w_j$. Тогда $I_0=[0,w_1]\subseteq [0,w_{j+1}]=I_j$, откуда $m_0(\mathbf{w})\leqslant m_j(\mathbf{w}) <\overline{m}(\mathbf{w})$. Это влечет, что $I_0(\mathbf{w})\subseteq [0,1)$, т.e. $w_1<1$. Поэтому найдется максимальный индекс $k\leqslant n$ такой, что $w_1=w_k$ и $w_k<w_{k+1}$. (Отметим, что в нашем случае неважно, будет ли компонента с номером $0$ равной значению $w_1=\dots=w_k$.) Рассмотрим новую систему узлов $\mathbf{w}'$, в которой $w_1'=\dots=w_k'=w_1+h$ (остальные координаты не меняются). При $0<h<w_{k+1}-w_k$ новая система узлов $\mathbf{w}'$ также лежит в $\overline{S}$. Как и выше, при достаточно малых $h>0$ из непрерывности (предложение 2.1) следует, что $m_0(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$. Пусть теперь $t\in A:=[w_1+h,1]=[0,1]\setminus \operatorname{rint} I_0(\mathbf{w}')$. Из строгой монотонности (условие (SM)) и поскольку $h>0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^k r_i K(t-w_1-h) < \sum_{i=1}^k r_i K(t-w_1) \quad \text{при всех }\ t \in A.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что выражение в левой части может принимать значение $-\infty$ (в точке $t=w_1+h$), однако правая часть всегда больше чем $-\infty$ при $h>0$. После прибавления $J(t)+\sum_{i=k+1}^n r_i K(t-w_i)$ к обеим частям левая часть становится равной $F(\mathbf{w}',t)$, а правая часть – равной $F(\mathbf{w},t)$. Полагая $B:=[w_1,1]=[0,1]\setminus \operatorname{rint} I_1(\mathbf{w})$ и применяя лемму 3.2, получаем, что $\max_A F(\mathbf{w}',\cdot) \,{<}\,\max_B F(\mathbf{w},\cdot) \leqslant \overline{m}(\mathbf{w})$, кроме случая, когда левая часть равна $-\infty$; в частности, поскольку $\overline{m}(\mathbf{w})>-\infty$, в любом случае $\max_A F(\mathbf{w}',\cdot) <\overline{m}(\mathbf{w})$.
Как и выше, используя неравенство $\max_{I_1(\mathbf{w}')} F(\mathbf{w}',\cdot)=m_1(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$, получаем, что $\overline{m}(\mathbf{w}')<\overline{m}(\mathbf{w})$, что противоречит минимальности $\overline{m}(\mathbf{w})$. Как следствие, $m_0(\mathbf{w})=m_j(\mathbf{w})=\overline{m}(\mathbf{w})$. Случай 3. $w_{j+1}=1$. Этот случай полностью аналогичен случаю 2. Из рассмотрения случаев 1–3 вытекает, что $\mathbf{w}$ – точка обобщенного альтернанса, что и требуется в (3.7). Далее, если отрезок $I_k(\mathbf{w})$ сингулярен, то $m_k(\mathbf{w})=-\infty < \overline{m}(\mathbf{w})$ по замечанию 2.1, что, однако, противоречит доказанному выше наличию обобщенного альтернанса. Поэтому такое неравенство невозможно. Как следствие, $\mathbf{w} \in Y$, т.е. никакой отрезок $I_k(\mathbf{w})$ не является сингулярным. Теорема 3.1 доказана. Из соображений непрерывности и компактности следует, что функция $\underline{m}$ имеет точку максимума на $\overline{S}$. Следующий результат доказывается аналогичными рассуждениями. Теорема 3.2 (обобщенный альтернанс для задачи максимина). Пусть $n{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb{N}$, $K$ – сингулярная строго вогнутая строго монотонная (см. (SM)) ядерная функция, и пусть $J\colon [0,1]\to \underline{\mathbb{R}}$ – полунепрерывная сверху $n$-полевая функция. Далее, пусть взвешенная сумма сдвигов определена в (2.3), где $r_j>0$, $j=1,\dots,n$. Тогда если $\mathbf{y}\in\overline{S}$ – точка максимума функции $\underline{m}$ (точка максимина), т.е. $\underline{m}(\mathbf{y})=m(\overline{S}):=\max_{\overline{S}} \underline{m}$, то $\mathbf{y} \in Y\subseteq S$ и $\mathbf{y}$ – точка обобщенного альтернанса. Доказательство. По теореме 3.1 найдется точка минимакса $\mathbf{w}\in Y$. Тогда для любой точки максимина $\mathbf{y}\in\overline{S}$ имеем $\underline{m}(\mathbf{y})=m(S)\geqslant\underline{m}(\mathbf{w})=\overline{m}(\mathbf{w})=\max_{[0,1]} F(\mathbf{w},\cdot) >-\infty$. Как следствие, $m_j(\mathbf{y})>-\infty$ при любом $j=0,1,\dots,n$. Поэтому $\mathbf{y}\in Y$. По замечанию 2.1 среди отрезков $I_j(\mathbf{y})$ нет вырожденных, что упрощает ситуацию по сравнению с доказательством теоремы 3.1.
Остается доказать, что если $\mathbf{y}\in \overline{S}$ – точка максимина, то она является точкой обобщенного альтернанса, т.е. $m_j(\mathbf{y})=\underline{m}(\mathbf{y})$, $j=0,1,\dots,n$. Для доказательства теоремы предположим, рассуждая от противного, что существует индекс $j\in \{0,1,\dots,n\}$ такой, что $m_j(\mathbf{y})>\underline{m}(\mathbf{y})$. Случай 1. Пусть сначала $I_j(\mathbf{y})=[y_j,y_{j+1}] \subseteq (0,1)$. Отметим, что тогда $0<j<n$, поскольку $y_0=0<y_j< y_{j+1} <1=y_{n+1}$ (неравенство $y_j<y_{j+1}$ было доказано выше). Применим утверждение c) леммы 3.1 с $\alpha:=y_j$, $a:=y_j+h/r_j$, $b:=y_{j+1}-h/r_{j+1}$, $\beta:=y_{j+1}$, $p:=r_j$ и $q:=r_{j+1}$, где $h>0$ достаточно мало, так что $a<b$. Тогда для всех $t\in A:=[0,1] \setminus \operatorname{rint} I_j(\mathbf{y}) = \cup_{i=0, i\ne j}^n I_i(\mathbf{y})$ имеем
$$
\begin{equation}
r_j K(t-y_j) + r_{j+1} K(t-y_{j+1}) < r_j K\biggl(t-\biggl(y_j+\frac{h}{r_j}\biggr)\biggr) + r_{j+1} K\biggl(t-\biggl(y_j+\frac{h}{r_{j+1}}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Определим новую систему узлов $\mathbf{y}'$, полагая $y_j':=y_j+h/r_j$, $y_{j+1}':=y_{j+1}-h/r_{j+1}$ и оставляя прочие узлы такими же: $y'_i:=y_i$ для $i\ne j$, $j+1$. По выбору $h>0$ имеем $\mathbf{y}'\in S$. Уменьшая при необходимости $h>0$ и используя непрерывность $m_j$ (см. предложение 2.1), получаем, что $m_j(\mathbf{y}')>\underline{m}(\mathbf{y})$. Теперь при добавлении $J(t) + \sum_{i\ne j, j+1} r_i K(t-y_i)$ к обеим частям (3.9) левая часть становится равной $F(\mathbf{y},t)$, а правая – равной $F(\mathbf{y}',t)$.
Пусть теперь $i\in\{0,1,\dots,n\}\setminus \{ j\}$ – произвольный индекс. Рассмотрим значения $m_i(\mathbf{y}')$ и $m_i(\mathbf{y})>-\infty$ (отметим, что точка $\mathbf{y}$ несингулярна). Применяя лемму 3.2 c $A:=I_i(\mathbf{y}) \subseteq B:=I_i(\mathbf{y}')$, получаем $-\infty < \underline{m}(\mathbf{y}) \leqslant m_i(\mathbf{y})=\max_A F(\mathbf{y},t) < \max_B F(\mathbf{y}',\cdot)= m_i(\mathbf{y}')$. Выше было показано, что $\underline{m}(\mathbf{y})<m_j(\mathbf{y}')$. Отсюда вытекает, что $\underline{m}(\mathbf{y})<m_i(\mathbf{y}')$ при всех $i\in \{0,1,\dots,n\}$, и, следовательно, $\underline{m}(\mathbf{y})<\underline{m}(\mathbf{y}')$, что противоречит максимальности $\underline{m}(\mathbf{y})$. Итак, в случае 1 имеем $m_j(\mathbf{y})=\underline{m}(\mathbf{y})$. Случай 2. Предположим, что $y_j=0$. Так как $\mathbf{y}$ – невырожденная система узлов, то $j=0$ и $I_j(\mathbf{y})=I_0(\mathbf{y})=[0,y_1]$, $y_1>0$. Определим новую систему узлов $\mathbf{y}'$ таким образом, что $y_1'=y_1-h$, оставляя остальные компоненты без изменения: $y'_i=y_i$, $i=2,\dots,n$. При $0<h<y_1$ новая система узлов $\mathbf{y}'$ также лежит в $S$. Как и выше, при достаточно малом $h>0$ из непрерывности $m_0$ (см. предложение 2.1) получаем $m_0(\mathbf{y}')>\underline{m}(\mathbf{y})$. Для произвольного $i\in\{1,2,\dots,n\}$ рассмотрим отрезки $I_i(\mathbf{y})$ и $I_i(\mathbf{y}')$. Ясно, что $I_i(\mathbf{y})\subseteq I_i(\mathbf{y}')$ и, далее, $-\infty<\underline{m}(\mathbf{y})\leqslant m_i(\mathbf{y})$. Используя строгую монотонность функции $K$, несложно проверить, что $r_1K(t-y_1) < r_1K(t-y_1+h)$ для любого $t\in I_i(\mathbf{y})$. После прибавления $J(t)+\sum_{i=2}^n r_iK(t-y_i)$ к обеим частям этого неравенства, левая часть становится равной $F(\mathbf{y},t)$, а правая – равной $F(\mathbf{y}',t)$. Применяя лемму 3.2 c $A:=I_i(\mathbf{y})$ и $B:=I_i(\mathbf{y}')$, получаем $-\infty<\underline{m}(\mathbf{y})\leqslant m_i(\mathbf{y}) <m_i(\mathbf{y}')$, $i=1,2,\dots,n$. Выше было показано, что $-\infty<\underline{m}(\mathbf{y})<m_0(\mathbf{y}')$. Отсюда имеем $\underline{m}(\mathbf{y})<\min_i m_i(\mathbf{y}')=\underline{m}(\mathbf{y}')$, что противоречит максимальности $\underline{m}(\mathbf{y})$. Итак, в этом случае $m_0(\mathbf{y})=\underline{m}(\mathbf{y})$. Случай 3. Случай $y_{j+1}=1$ полностью аналогичен случаю 2. Из случаев 1–3 получаем, что $\mathbf{y}$ – точка обобщенного альтернанса, что и требуется. Теорема 3.2 доказана. Следствие 3.1. Пусть $K$ – сингулярная (см. ($\infty$)) строго вогнутая (строго) монотонная (см. (SM)) ядерная функция и пусть $J$ – полунепрерывная сверху полевая функция. Тогда $M(S)=m(S)$ и существует единственная точка обобщенного альтернанса $\mathbf{w}\in \overline{S}$. Более того, точка $\mathbf{w}$ лежит в $Y\subseteq S$ и является единственной точкой минимакса из $\overline{S}$, т.е. $\overline{m}(\mathbf{w})=M(S)$, а также единственной точкой максимина из $\overline{S}$, т.е. $\underline{m}(\mathbf{w})=m(S)$. В частности, выполнено так называемое “сэндвич-свойство”: Доказательство. Из предыдущих двух теорем следует, что точки минимакса и точки максимина должны образовывать обобщенный альтернанс. Далее, точки из $\overline{S}\setminus Y$ не могут быть точкам обобщенного альтернанса, поскольку для вырожденных или сингулярных точек $\mathbf{x}$ выполнено $m_i(\mathbf{x})=-\infty$ при некотором $i\in \{0,1,\dots,n\}$, в то время как $\overline{m}(\mathbf{x})>-\infty$. По теореме 2.1 разностная функция $\Phi$ является гомеоморфизмом между $Y$ и $\mathbb{R}^n$. В частности, прообраз точки $\textbf{0}$ одноточечен, т.e. в $Y$ (и, следовательно, в $\overline{S}$) точка обобщенного альтернанса единственна. Как результат, точки максимина и точки минимакса (которые существуют) должны совпадать с этой точкой обобщенного альтернанса (теоремы 3.1 и 3.2). Следствие 3.2. Пусть $K$ – сингулярная (см. ($\infty$)) монотонная (см. (M)) ядерная функция и пусть $J$ – полунепрерывная сверху полевая функция. Тогда $M(S)=m(S)$ и существует система узлов $\mathbf{w}\in \overline{S}$, также лежащая в $Y$, такая, что она является точкой обобщенного альтернанса и $\underline{m}(\mathbf{w})=m(S)=M(S)=\overline{m}(\mathbf{w})$. В частности, выполнено “сэндвич-свойство”: $\underline{m}(\mathbf{x})\leqslant M(S)=m(S)\leqslant \overline{m}(\mathbf{x})$ для любой системы узлов $\mathbf{x} \in S$; при этом $M(S)=m(S)$ – единственное значение обобщенного альтернанса8. Если вдобавок ядро $K$ удовлетворяет условию (SM), то точка $\mathbf{w}$ является единственной точкой обобщенного альтернанса. Доказательство. Для доказательства сначала используем предыдущее следствие в случае, когда $J$ – указанная выше полевая функция, а ядерные функции имеют вид $K^{(\eta)}(t):=K(t)+\eta \sqrt{|t|}$. Если $\eta>0$, то $K^{(\eta)}$ строго вогнута и строго монотонна, поэтому применимо следствие 3.1, согласно которому существует система узлов $\mathbf{w}_\eta$ с требуемыми свойствами: $m^{(\eta)}(S)=M^{(\eta)}(S)=\underline{m}^{(\eta)}(\mathbf{w}_\eta)=\overline{m}^{\,(\eta)}(\mathbf{w}_\eta)$, где индекс $\eta$ означает, что соответствующие величины получены для ядерной функции $K^{(\eta)}$. Используя те же обозначения для суммы сдвигов и полагая $R:=\sum_{i=1}^n r_i$, получаем, что $F(\mathbf{x},t) \leqslant F^{(\eta)}(\mathbf{x},t) \leqslant F(\mathbf{x},t)+\eta R$ при всех $\mathbf{x} \in \overline{S}$ и $t\in [0,1]$. Также имеем $m_i(\mathbf{x})\leqslant m_i^{(\eta)}(\mathbf{x})\leqslant m_i(\mathbf{x})+\eta R$ и, следовательно, $m^{(\eta)}_i(\mathbf{x})\to m_i(\mathbf{x})$ при всех $i=0,1,\dots, n$ и $\mathbf{x}\in \overline{S}$. В силу компактности $\overline{S}$ существует сходящаяся подпоследовательность $(\mathbf{w}_{1/{k_\ell}})\subset (\mathbf{w}_{1/k})$; пусть $\mathbf{w}:=\lim_{\ell \to \infty} \mathbf{w}_{1/k_\ell}$. Далее, из непрерывности $m_i$ (см. предложение 2.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_i(\mathbf{w}) &=\lim_{\ell\to \infty} m_i(\mathbf{w}_{1/k_\ell})\leqslant \liminf_{\ell\to \infty}m_i^{(1/k_\ell)}(\mathbf{w}_{1/k_\ell})\leqslant \limsup_{\ell\to \infty}m_i^{(1/k_\ell)}(\mathbf{w}_{1/k_\ell}) \\ &\leqslant \limsup_{\ell\to \infty} \biggl(m_i(\mathbf{w}_{1/k_\ell})+\frac{R}{k_\ell}\biggr)=m_i(\mathbf{w}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что дает $\lim_{\ell\to\infty} m_i^{(1/k_\ell)}(\mathbf{w}_{1/k_\ell}) =m_i(\mathbf{w})$. Как следствие, $\mathbf{w}$ – точка обобщенного альтернанса для выбранной выше ядерной функции $K$, при этом $\mathbf{w}\in Y$. Пусть $\mathbf{x}$ – точка минимума функции $\overline{m}$ на $\overline{S}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
M(S)=\overline{m}(\mathbf{x})=\lim_{\eta\to 0} \overline{m}^{\,(\eta)}(\mathbf{x})\geqslant\limsup_{\eta\to 0} M^{(\eta)}(S)\geqslant \liminf_{\eta\to 0} M^{(\eta)}(S)\geqslant M(S),
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство обеспечивается неравенством $K^{(\eta)}\geqslant K$. Как следствие, $M(S)=\lim_{\eta\to 0} M^{(\eta)}(S)$, откуда также заключаем, что т.е. $\mathbf{w}$ – точка минимума функции $\overline{m}$. Так как для выбранной функции $K^{(\eta)}(t)$ имеем $M^{(\eta)}(S)=m^{(\eta)}(S)$, то предел существует и равен $M(S)$.
С другой стороны, $m(S)\leqslant m^{(\eta)}(S)=\underline{m}^{(\eta)}(\mathbf{w}_\eta)$, откуда
$$
\begin{equation*}
m(S)\leqslant \lim_{\eta\to 0} m^{(\eta)}(S)=\lim_{\eta\to 0}\underline{m}^{(\eta)}(\mathbf{w}_\eta) =\lim_{\ell\to \infty}\underline{m}^{(1/k_\ell)}(\mathbf{w}_{1/k_\ell}) =\underline{m}(\mathbf{w})\leqslant m(S).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\lim_{\eta\to 0} m^{(\eta)}(S)= m(S)$ и $\underline{m}(\mathbf{w})=m(S)$, т.е. $\mathbf{w}$ – точка максимума функции $\underline{m}$. Наконец, единственность точки обобщенного альтернанса при условии (SM) вытекает из теоремы 2.1. Следствие 3.2 доказано. § 4. ПеремежаемостьОсновной результат этого параграфа (теорема 4.1) показывает, что для двух различных систем узлов $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Y$ невозможно, чтобы $m_j(\mathbf{x})\leqslant m_j(\mathbf{y})$ при всех $j\in \{0,1,\dots,n\}$, т.е. мажоризация отсутствует (ср. с терминологией в [11]). Иными словами, для двух различных систем узлов $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Y$ при некоторых $i,j\in \{0,1,\dots,n\}$ имеют место противоположные неравенства $m_j(\mathbf{x})<m_j(\mathbf{y})$ и $m_i(\mathbf{x})>m_i(\mathbf{y})$ . Такое свойство мы будем называть свойством перемежаемости. Нам потребуется следующая лемма о возмущении, имеющая самостоятельный интерес. Лемма 4.1 (о возмущении максимального значения). Пусть $n\in\mathbb{N}$ – натуральное число, $r_1,\dots, r_n>0$, $J\colon [0,1]\to \underline{\mathbb{R}}$ – полунепрерывная сверху $n$-полевая функция, $K$ – ядерная функция удовлетворяющая условию монотонности (M), и пусть $F$ – взвешенная сумма сдвигов функции $K$ (см. (2.3)). Далее, пусть $\mathbf{w} \in S$ – невырожденная система узлов и $\mathcal{I}\,{\cup}\, \mathcal{J}{=}\,\{0,1,\dots,n\}$ – нетривиальное разбиение. Тогда существует система узлов $\mathbf{w}'\in S\setminus \{\mathbf{w}\}$, сколь угодна близкая к $\mathbf{w}$, такая, что
$$
\begin{equation}
F(\mathbf{w}',t)\leqslant F(\mathbf{w},t) \quad\textit{при всех }\ t \in I_i(\mathbf{w}'), \qquad I_i(\mathbf{w}')\subseteq I_i(\mathbf{w}) \quad\textit{при всех }\ i\in\mathcal{I};
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$$
\begin{equation}
F(\mathbf{w}',t)\geqslant F(\mathbf{w},t) \quad\textit{при всех }\ t \in I_j(\mathbf{w}), \qquad I_j(\mathbf{w}')\supseteq I_j(\mathbf{w}) \quad\textit{при всех }\ j\in\mathcal{J}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation}
m_i(\mathbf{w}')\leqslant m_i(\mathbf{w}) \quad\textit{при }\ i\in\mathcal{I}, \qquad m_j(\mathbf{w}')\geqslant m_j(\mathbf{w}) \quad\textit{при }\ j\in\mathcal{J}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для соответствующих максимумов на отрезках. Более того, если функция $K$ строго вогнута (и, следовательно, строго монотонна по условию (M)), то неравенства в (4.1) и (4.2) являются строгими для всех точек из отрезков, на которых $J(t)\ne - \infty$. Вдобавок неравенства в (4.3) также являются строгими при всех $k$, для которых отрезок $I_k(\mathbf{w})$ несингулярен (это выполнено, в частности, для всех индексов, для которых $\mathbf{w}\in Y$). Доказательство. Для начала отметим, что (4.3) есть тривиальное следствие неравенств (4.2) и (4.1), поэтому докажем их. Второе важное наблюдение состоит в том, что для невзвешенной суммы $f$ сдвигов функции $K$ имеем $F(\mathbf{w},t)=f(\mathbf{w},t)+J(t)$, поэтому неравенства (4.1) и (4.2) вытекают из следующих неравенств и включений:
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{w}',t)\leqslant f(\mathbf{w},t) \quad\forall \, t \in I_i(\mathbf{w}'), \qquad I_i(\mathbf{w}')\subseteq I_i(\mathbf{w}) \quad\text{при всех }\ i\in\mathcal{I};
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{w}',t)\geqslant f(\mathbf{w},t) \quad\forall \,t \in I_j(\mathbf{w}), \qquad I_j(\mathbf{w}')\supseteq I_j(\mathbf{w}) \quad\text{при всех }\ j\in\mathcal{J}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
При этом строгие неравенства во всех точках $t$, в которых $J(t)\ne-\infty$, вытекают из (4.1) и (4.2), если мы докажем строгие неравенства (4.4) и (4.5) во всех точках $t$ из указанных отрезков.
Далее, в случае строгих неравенств в (4.4) и (4.5) при всех $t$ для несингулярных отрезков $I_k(\mathbf{w})$ это влечет строгость неравенств также в (4.3) (для соответствующих $k$; и при всех $k$, если $\mathbf{w}\in Y$). Для доказательства можно воспользоваться леммой 3.2 с $\{f,g\}=\{f(\mathbf{w},\cdot),f(\mathbf{w}',\cdot)\}$, $h=J$ и $\{A,B\}=\{I_k(\mathbf{w}),I_k(\mathbf{w}')\}$. Перейдем теперь к основной части доказательства. Установим (4.1), (4.2), (4.4) и (4.5) индукцией по $n$ для любой $n$-полевой функции и любой ядерной функции. Если $n=1$ и $\mathcal{I}=\{0\}$, $\mathcal{J}=\{1\}$, то $\mathbf{w}'=(w_1')=(w_1+h)$, а если $\mathcal{J}=\{0\}$, $\mathcal{I}=\{1\}$, то $\mathbf{w}'=(w_1')=(w_1-h)$ при любом $0<h<\min(w_1,1-w_1)$. Для доказательства требуется лишь монотонность (соответственно строгая монотонность) ядерной функции. Это непосредственно влечет (4.4) и (4.5), откуда вытекают (4.1) и (4.2). Пусть теперь $n>1$. Шаг индукции. Предположим, что требуемое утверждение верно для $\widetilde{n}:=n-1$ при любом выборе ядерной функции и $\widetilde{n}$-полевой функции. Случай 1. Если хотя бы одно из множеств разбиения $\mathcal{I}, \mathcal{J}$ содержит соседние индексы $k, k+1$, то рассмотрим ядерную функцию $\widetilde{K}:=K$, $\widetilde n$-полевую функцию $\widetilde{J}:=K(\cdot-w_k)$, и пусть теперь сумма $\widetilde F$ сдвигов функции $\widetilde K$ образована $\widetilde{n}=n-1$ сдвигами по системе узлов
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{w}}:=(w_1,w_2,\dots,w_{k-1},w_{k+1},\dots,w_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Формально индексы здесь меняются: $\widetilde{w}_\ell=w_\ell$ при $\ell=1,\dots,k-1$, но $\widetilde{w}_\ell=w_{\ell+1}$ при $\ell=k,\dots,n$, а $k$-я координата пропущена.
Изменим индексы соответствующим образом: индекс $k$ исключается (но соответствующее индексное множество $\mathcal{I}$ или $\mathcal{J}$ непусто, поскольку оно содержит $k+1$), после чего уменьшим на 1 все индексы $\ell$, большие $k$. Таким образом, мы получаем индексные множества:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{\mathcal{I}} &:=\{i \in \mathcal{I}\colon i<k\} \cup \{i-1 \colon i\in \mathcal{I},\ i>k\}, \\ \widetilde{\mathcal{J}}&:=\{j \in \mathcal{J}\colon j<k\} \cup \{j-1\colon j\in \mathcal{J},\ j>k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\widetilde{F}(\widetilde{\mathbf{w}},t)=f(\mathbf{w},t)$ при всех $t\in [0,1]$, при этом
$$
\begin{equation*}
I_\ell(\widetilde{\mathbf{w}})= \begin{cases} I_\ell(\mathbf{w}), &\text{если }\ \ell <k, \\ I_k(\mathbf{w})\cup I_{k+1}(\mathbf{w}), &\text{если }\ \ell =k, \\ I_{\ell+1}(\mathbf{w}), &\text{если }\ \ell >k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Если система узлов $\mathbf{w}'$ близка к $\mathbf{w}$, то аналогичное соответствие имеет место для $\mathbf{w}' \in S^{(n)}$ и $\widetilde{\mathbf{w}}'\in S^{(\widetilde{n})}$ (где $S^{(n)}$ и $S^{(\widetilde{n})}$ – симплексы соответствующей размерности). Ниже мы будем использовать такое соответствие только для ${\mathbf w}'$ при $w'_k=w_k$. В этом случае, так как $k$ и $k+1$ лежат в одном и том же индексном множестве $\mathcal{I}$ или $\mathcal{J}$, легко видеть, что включение $I_i(\widetilde{\mathbf{w}}') \subseteq I_i(\widetilde{\mathbf{w}})$ при всех $i\in \widetilde{\mathcal{I}}$ эквивалентно включению $I_i(\mathbf{w}')\subseteq I_i(\mathbf{w})$ при всех $i\in {\mathcal{I}}$, а включение $I_j(\widetilde{\mathbf{w}}') \supseteq I_j(\widetilde{\mathbf{w}})$ при всех $j\in \widetilde{\mathcal{J}}$ эквивалентно включению $I_j(\mathbf{w}')\supseteq I_j(\mathbf{w})$ при всех $j\in {\mathcal{J}}$. Теперь (4.4) и (4.5) вытекают в рассматриваемом случае из индуктивного предположения. Как указано выше, это влечет также (4.1) и (4.2).
Случай 2. Остается рассмотреть случай, когда $\mathcal{I}, \mathcal{J}$ не содержат соседних индексов. В этом случае $\mathcal{I}$ и $\mathcal{J}$ образуют дизъюнктное разбиение множества $\{0,1,\dots,n\}$ на соответственно четные и нечетные числа, не превосходящие $n$. Предположим, что $\mathcal{I}=(2\mathbb{N}_0+1) \cap \{0,1,\dots,n\}$ и $\mathcal{J}=2\mathbb{N}_0 \cap \{0,1,\dots,n\}$ (противоположный случай рассматривается аналогично). Отметим, что здесь важной является невырожденность $\mathbf{w} \in S$. По этой причине для любого достаточно малого $\delta>0$ мы можем сдвинуть любою компоненту $w_\ell$ на расстояние $\delta$ таким образом, чтобы возмущенная система узлов $\mathbf{w}'$ также лежала в $S$. Зафиксируем такое $\delta>0$ и рассмотрим возмущения $\mathbf{w}'$ системы узлов $\mathbf{w}$, лежащие на расстоянии $\delta$ от нее. Новая возмущенная система узлов $\mathbf{w}'$ с произвольным $h$, $0<h<\delta/\max\{r_1,\dots, r_n\}$, имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbf{w}':=(w_1',\dots,w_n'), \quad \text{где } \ w'_\ell:=w_\ell-(-1)^\ell \frac{1}{r_\ell} h, \quad \ell=1,2,\dots,n.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Ясно, что $I_j(\mathbf{w}') \supseteq I_j(\mathbf{w})$ при всех $j\in \mathcal{J}$, и $I_i(\mathbf{w}') \subseteq I_i(\mathbf{w})$ при всех $i\in \mathcal{I}$.
Теперь рассмотрим отрезок с четным индексом $I_{2k}(\mathbf{w})=[w_{2k},w_{2k+1}]$ (в этом случае $2k \in \mathcal{J}$). Наши измененные узлы теперь можно сгруппировать как пары измененных узлов $w_{2\ell-1},w_{2\ell}$ (среди узлов $w_1,\dots w_{2k}$ и далее среди узлов $w_{2k+1},\dots, w_{2\lfloor n/2\rfloor}$) плюс измененный узел $w_n$ в случае нечетного $n$. Теперь пары всегда меняются таким образом, что отрезки между ними уменьшаются, причем в точности, как указано в лемме 3.1. Применим эту лемму к каждой паре таких узлов с $a=w'_{2\ell-1}$, $b=w'_{2\ell}$, $\alpha=w_{2\ell-1}$, $\beta=w_{2\ell}$, $p=r_{2\ell-1}$ и $q=r_{2\ell}$. Тогда для любой такой пары измененных узлов имеем
$$
\begin{equation}
r_{2\ell-1}K(t-w'_{2\ell-1})+r_{2\ell}K(t-w'_{2\ell})\geqslant r_{2\ell-1}K(t-w_{2\ell-1})+r_{2\ell}K(t-w_{2\ell})
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
для $t$ вне окруженного интервала $(w_{2\ell-1},w_{2\ell})$. Отметим, что $I_{2k}(\mathbf{w})$, и, как следствие, любое $t \in I_{2k}(\mathbf{w})$ всегда находится вне окруженных интервалов. Поэтому (4.7) выполнено. Если теперь остался непарный узел, то $n$ нечетно, соответствующий узел $w_n$ увеличивается, откуда по монотонности мы заключаем, что $K(t-w_n')=K(t-w_n-h/r_n)\geqslant K(t-w_n)$ для $t\in I_{2k}(\mathbf{w})$. Таким образом, для $\eta:=1$ при нечетных $n$ и при $\eta:=0$ для четных $n$ мы показали, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f(\mathbf{w},t)& = \sum_{\ell=1}^{\lfloor n/2\rfloor } \bigl(r_{2\ell-1}K(t-w_{2\ell-1})+r_{2\ell}K(t-w_{2\ell})\bigr) + \eta K(t-w_n) \\ &\leqslant \sum_{\ell=1}^{\lfloor n/2\rfloor } \bigl(r_{2\ell-1}K(t-w_{2\ell-1}')+r_{2\ell}K(t-w_{2\ell}')\bigr) + \eta K(t-w_n') =f(\mathbf{w}',t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
При этом данные неравенства являются строгими в случае строго монотонной (и, следовательно, строго вогнутой) функции $K$. Итак, (4.5) доказано со строгим неравенством в соответствующих случаях.
Утверждение (4.4) доказывается аналогичной группировкой измененных узлов, в которых сначала изменяется один узел $w_1$, потом – пары узлов $w_{2\ell}, w_{2\ell+1}$ при $\ell=1,\dots,\lfloor (n-1)/2\rfloor$, а потом ещё один узел $w_n$ в случае четного $n$. Лемма 4.1 доказана. Теорема 4.1 (о перемежаемости). Пусть $n\in\mathbb{N}$, $r_1,\dots, r_n>0$, $K$ – сингулярная (см. ($\infty$)), строго вогнутая (строго) монотонная (см. (SM)) ядерная функция и пусть $J\colon [0,1]\to \underline{\mathbb{R}}$ – полунепрерывная сверху $n$-полевая функция. Тогда для двух систем узлов $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Y$ мажоризация невозможна, т.е. покоординатное неравенство $\mathbf{m}(\mathbf{x})\leqslant \mathbf{m}(\mathbf{y})$ может иметь место, только если $\mathbf{x}=\mathbf{y}$. Доказательство. Предположим, что мажоризация имеет место для двух систем узлов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in Y$, т.е. пусть, скажем, $\mathbf{m}(\mathbf{x})\leqslant \mathbf{m}(\mathbf{y})$ в том смысле, что $m_i(\mathbf{x})\leqslant m_i(\mathbf{y})$ при $i=0,1,\dots,n$. Нам требуется показать, что в этом случае $\mathbf{x}=\mathbf{y}$.
Для начала отметим, что если $\mathbf{m}(\mathbf{x})=\mathbf{m}(\mathbf{y})$, то, конечно, $\Phi(\mathbf{x})=\Phi(\mathbf{y})$, откуда по теореме 2.1 (о гомеоморфизме, в которой накладывается условие ($\infty$)) возможен только случай $\mathbf{x}=\mathbf{y}$. Итак, предположим, что $\mathbf{m}(\mathbf{x})\ne\mathbf{m}(\mathbf{y})$. Тогда найдется индекс $i$ такой, что $m_i(\mathbf{x})<m_i(\mathbf{y})$. Введем следующие “максимальную” и “минимальную” функции расстояния
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d(\mathbf{z},\mathbf{y}):=\max_{i=0,1,\dots,n} (m_i(\mathbf{y})-m_i(\mathbf{z})), \\ \rho(\mathbf{z},\mathbf{y}):=\min_{i=0,1,\dots,n} (m_i(\mathbf{y})-m_i(\mathbf{z})). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\rho(\mathbf{z},\mathbf{y})\leqslant d(\mathbf{z},\mathbf{y})$. При этом $0\leqslant \rho(\mathbf{z},\mathbf{y})$, если и только если $\mathbf{m}(\mathbf{z})\leqslant \mathbf{m}(\mathbf{y})$, а для $d_0:=d(\mathbf{x},\mathbf{y})$ имеем $d_0>0$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
Z:=\bigl\{\mathbf{z}\in \overline{S} \colon \mathbf{m}(\mathbf{z})\leqslant \mathbf{m}(\mathbf{y}),\ d(\mathbf{z},\mathbf{y})\leqslant d_0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\mathbf{x} \in Z$, откуда $Z \ne \varnothing$. По предложению 2.1 функции расстояния $d(\cdot,\mathbf{y})$ и $\rho(\cdot,\mathbf{y})$ (расширенно) непрерывны на $\overline{S}$ и непрерывны на $Y$. На самом деле точка $\mathbf{z}\in Z$ не может быть сингулярной, поэтому $Z\subseteq Y$, а на $Y$ определенные выше функции расстояния непрерывны. Далее, множество $Z$ замкнуто и, следовательно, компактно как пересечение лебеговых множеств непрерывных функций (см. предложение 2.1).
Здесь мы приходим к ключевому моменту наших рассуждений. А именно, функция расстояния $\rho(\cdot,\mathbf{y})$ максимзируется на компакте $Z$. Конечно, на $Z$ функция $\rho(\cdot,\mathbf{y})$ ограничена сверху величиной $d_0$. Пусть $\mathbf{z}_0\in Z$ – точка максимума $\rho(\cdot,\mathbf{y})$. Положим $\rho_0:=\rho(\mathbf{z}_0,\mathbf{y})\leqslant d_0$. Покажем, что разность $m_i(\mathbf{y})-m_i(\mathbf{z}_0)$ равна постоянной величине $\rho_0$ при всех $i=0,1,\dots,n$. Действительно, если это не так, то по лемме 4.1 мы можем изменить $\mathbf{z}_0$, получив другую систему узлов $\mathbf{w}$ с бо́льшим значением $\rho$. Изложим эту идею подробнее. Предположим, рассуждая от противного, что $\mathbf{m}(\mathbf{y})-\mathbf{m}(\mathbf{z}_0)\ne \rho_0 \textbf{1}$. Отметим, что в этом случае $\rho_0<d_0$, поскольку в случае равенства $\rho_0=d_0$ мы имеем $\mathbf{m}(\mathbf{z}_0)=\mathbf{m}(\mathbf{y})-d_0\textbf{1} =\mathbf{m}(\mathbf{y})-\rho_0\textbf{1}$, что противоречит предположению. Определим индексные множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{I}:=\{i \in \{0,1,\dots,n\}\colon m_i(\mathbf{z}_0)=m_i(\mathbf{y})-\rho_0\}, \\ &\mathcal{J}:=\{j \in \{0,1,\dots,n\}\colon m_j(\mathbf{y})-d_0 \leqslant m_j(\mathbf{z}_0)< m_j(\mathbf{y})-\rho_0 \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку разность $m_i(\mathbf{y})-m_i(\mathbf{z}_0)$ непостоянна по $i$, оба индексных множества $\mathcal{I}$ и $ \mathcal{J}$ непусты. Далее, поскольку $\mathbf{z}_0 \in Z$, имеем $m_k(\mathbf{z}_0)\in [m_k(\mathbf{y})-d_0,m_k(\mathbf{y})-\rho_0]$ при всех $k=0,1,\dots,n$. Как следствие, объединение $\mathcal{I}\cup\mathcal{J}$ образует нетривиальное разбиение множества $\{0,1,\dots,n\}$. Таким образом, мы можем применить лемму 4.1 к этим индексным множествам и к несингулярной невырожденной точке $\mathbf{z}_0$, что дает нам другую систему узлов $\mathbf{w}\in Y\setminus \{\mathbf{z}_0\}$, которую можно выбрать произвольно близко к $\mathbf{z}_0$, при этом $m_i(\mathbf{w})<m_i(\mathbf{z}_0)$ при $i\in \mathcal{I}$ и $m_j(\mathbf{w})>m_j(\mathbf{z}_0)$ при $j\in\mathcal{J}$. Так как $m_j(\mathbf{z}_0)<m_j(\mathbf{y})-\rho_0$ при $j\in \mathcal{J}$, то из непрерывности функций $m_i$ (предложение 2.1) вытекает, что если точка $\mathbf{w}$ достаточна близка к $\mathbf{z}_0$, то $m_j(\mathbf{w})<m_j(\mathbf{y})-\rho_0 $ при всех $j\in\mathcal{J}$. Конечно, для таких индексов $j\in \mathcal{J}$ неравенство $m_j(\mathbf{w})\geqslant m_j(\mathbf{y})-d_0$ также остается верным, поскольку $m_j(\mathbf{w})> m_j(\mathbf{z}_0) \geqslant m_j(\mathbf{y})-d_0$ при $j\in\mathcal{J}$.
Применяя аналогичный аргумент с возмущением, мы получаем, что $m_i(\mathbf{w})<m_i(\mathbf{z}_0)=m_i(\mathbf{y})-\rho_0$ при всех $i\in\mathcal{I}$, откуда по непрерывности следует, что неравенство $m_i(\mathbf{w})\geqslant m_i(\mathbf{y})-d_0$ также выполнено в некоторой малой окрестности точки $\mathbf{z}_0$. (Здесь, помимо непрерывности, мы также воспользовались неравенством $0<d_0-\rho_0$.) Таким образом, $\mathbf{w} \in Z$, но при этом $m_k(\mathbf{w})<m_k(\mathbf{y})-\rho_0$ при всех $k=0,1,\dots,n$. Однако отсюда следует неравенство $\rho(\mathbf{w},\mathbf{y})>\rho_0$, противоречащее тому, что в точке $\mathbf{z}_0$ функция $\rho(\cdot,\mathbf{y})$ достигает максимума на $Z$. Это доказывает, что в $\mathbf{z}_0 \in Z$ координаты $\mathbf{m}(\mathbf{z}_0)$ отстоят от соответствующих координат $\mathbf{m}(\mathbf{y})$ на постоянную величину $\rho_0$, т.е. $m_k(\mathbf{z}_0)=m_k(\mathbf{y})-\rho_0$, $k=0,1,\dots,n$. Как следствие, мы нашли две точки $\mathbf{y}$ и $\mathbf{z}_0$ из $Y$ c равными векторами разности, т.е. $\Phi(\mathbf{y})=\Phi(\mathbf{z}_0)$. По теореме 2.1 функция $\Phi$ инъективна, откуда $\mathbf{z}_0=\mathbf{y}$. Отсюда следует, что $\rho_0=0$, поэтому максимум $\rho$-расстояния между точками множества $Z$ и точкой $\mathbf{y}$ (и, как следствие, максимум $\rho$-расстояния от точки $\mathbf{y}$ до любой системы узлов $\mathbf{z} \in Z$) может быть только равным нулю (поскольку $\rho(\cdot,\mathbf{y})\geqslant 0 $ на $Z$). Таким образом, любая точка $\mathbf{z}\in Z$ является точкой максимума $\rho$-расстояния, при этом $\rho(\mathbf{z},\mathbf{y})=\rho_0=0$ при всех $\mathbf{z}\in Z$. Аналогичное рассуждение применимо к любой точке $\mathbf{z} \in Z$, выбираемой в качестве точки $\mathbf{z}_0$ в предыдущем рассуждении, откуда следует, что $Z=\{\mathbf{y}\}$. Наконец, так как $\mathbf{x}\in Z$, то $\mathbf{x}=\mathbf{y}$, что и требуется. Теорема 4.1 доказана. Замечание 4.1. Аналогичные результаты об отсутствии мажоризации достаточно редки (ср., например, с теоремой 1 из монографии [24; с. 17]). Если ядерная функция $K$, а также внешняя полевая функция $J$ являются гладкими, то можно рассмотреть якобиан отображения $\Phi$ (разностной вектор-функции максимумов на отрезках). В доказательстве теоремы 2.1 (о гомеоморфизме), т.е., по сути, теоремы 2.1 из [10], показано, что эта матрица обладает свойством диагонального преобладания. Матрицы с диагональным преобладанием также называются $P$-матрицами (по поводу дальнейших деталей см, например, [2; с. 134–137]). Таким образом, выполнены условия упомянутой выше теоремы 1 из работы [24]. Однако, эта теорема слабее, чем наша – в теореме 1 из [24] утверждается отсутствие мажоризации только в случае, когда соответствующие узлы из $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ упорядочены единообразно, т.е. $x_i\leqslant y_i$, $i=1,\dots,n$. В нашей теореме об отсутствии мажоризации для любых систем узлов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in Y$ бо́льшая общность утверждения достигнута за счет специальной конструкции, в которой отображение $\Phi$ формируется из разностей максимумов на некоторых отрезках сдвигов функций, удовлетворяющих нашим условиям. Следствие 4.1. Рассмотрим классическую задачу Чебышёва, поставленную почти $200$ лет назад. Пусть $K(t):=\ln|t|$ и $J(t)\equiv 0$ (выполнены условия строгой вогнутости и монотонности). Тогда для любых двух систем узлов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S$ найдутся индексы $0\leqslant i\ne j \leqslant n$ такие, что На рис. 1 изображены графики $|(x-0.915)(x-0.634)(x-0.22)(x-0.05)|$ (серый) и $|(x-0.965)(x-0.4)(x-0.25)(x-0.035)|$ (черный) на $[0,1]$ с точками в локальных максимумах; ср. следствие 4.1. Замечание 4.2. По-видимому, приведенный выше общий результат не отмечался ранее даже в классической ситуации. Частный случай, когда одна из систем узлов (скажем, $\mathbf{x}$) является экстремальной (альтернирующей) системой узлов $\mathbf{w}$, хорошо известен и может быть отнесен к фольклору. Однако, сравнение произвольных пар систем узлов оказывается более сложным и, насколько авторам известно, по этой теме ничего не было опубликовано. Следствие 4.2 (теорема об отсутствии мажоризации). Пусть $K$ – сингулярная (см. ($\infty$)) монотонная (см. (M)) ядерная функция, а $J$ – полунепрерывная сверху полевая функция. Тогда между любыми двумя системами узлов $\mathbf{x},\mathbf{y} \in Y$ невозможна строгая мажоризация $m_i(\mathbf{x})>m_i(\mathbf{y})$, $i=0,1,\dots,n$. Доказательство. Как и в доказательстве следствия 3.2, рассмотрим модифицированные ядерные функции $K^{(\eta)}(t):=K(t)+\eta \sqrt{|t|}$. Эти ядерные функции строго вогнуты и строго монотонны. Пусть $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \overline{S}$. Тогда, как в вышеприведенном доказательстве, при $\eta\downarrow 0$ имеем $\mathbf{m}^{(\eta)}(\mathbf{x})\to \mathbf{m}(\mathbf{x})$ и $\mathbf{m}^{(\eta)}(\mathbf{y})\to \mathbf{m}(\mathbf{y})$. Как следствие, если $\mathbf{m}(\mathbf{x}) > \mathbf{m}(\mathbf{y})$, то $\mathbf{m}^{(\eta)}(\mathbf{x}) > \mathbf{m}^{(\eta)}(\mathbf{y})$ при достаточно малом $\eta>0$, что невозможно по теореме 4.1, поскольку по условию $\mathbf{x} \ne \mathbf{y}$. Поэтому неравенство $\mathbf{m}(\mathbf{x}) > \mathbf{m}(\mathbf{y})$ не выполняется ни для какой пары $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Y$. Следствие 4.3. Пусть $K$ – сингулярная (см. ($\infty$)) монотонная (см. (M)) ядерная функция и $J$ – полунепрерывная сверху полевая функция. Пусть также $\mathbf{x},\mathbf{y}\in Y$ таковы, что $\underline{m}(\mathbf{x})=m(S)=M(S)= \overline{m}(\mathbf{y})$. Тогда найдется такой индекс $j\in \{0,1,\dots,n\}$, что § 5. Обсуждение условийВ этом параграфе мы приводим примеры, показывающие существенность налагаемых условий. В частности, мы показываем существенность условий монотонности и строгой вогнутости, несмотря на то, что, на первый взгляд, эти условия могут показаться ненатуральными или не необходимыми. Эти примеры также показывают большую общность наших утверждений, в которых, например, не предполагается выполнение условий гладкости. Пример 5.1 (необходимость сингулярности). Пусть $n=2$, $J(t):=8 \sqrt{1-t} $ и $K(t):=\sqrt{t+4}$ при $t\in [0,1]$ и $K(t):=K(-t)$ при $t\in[-1,0)$. Тогда $J$ – вогнутая полевая функция, $J\in C^\infty([0,1])$, $K\in C^{\infty}([-1,1]\setminus\{0\})$ – строго вогнутая ядерная функция, при этом функция $K$ монотонна (см. (M)), но ни одна из функций $J$ и $K$ не удовлетворяет условию ($\infty$). Имеем $M(S)=m(S)=-4$, а на $\overline{S}$ имеется единственный альтернанс, единственная система минимаксных узлов и единственная система максимальных узлов, при этом все они совпадают с узлом $(0,0)\in\partial S$. Иными словами, все заключения теоремы верны, за исключением того, то эта точка экстремума и обобщенного альтернанса лежит не в $S$, а на границе $\partial S$. Ключевое наблюдение здесь состоит в следующем: $\dfrac{d}{dt}F(\mathbf{y},t) <0$ при всех $\mathbf{y}\in S$ и $t\in [0,1]$. Как следствие,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m_0(\mathbf{y}) &=\max\{F(\mathbf{y},t)\colon 0\leqslant t\leqslant y_1\} =F(\mathbf{y},0)=8+\sqrt{4+y_1}+ \sqrt{4+y_2}, \\ m_1(\mathbf{y}) &=F(\mathbf{y},y_1) =8\sqrt{1-y_1}+2+\sqrt{4+y_2-y_1}, \\ m_2(\mathbf{y}) &=F(\mathbf{y},y_2) =8\sqrt{1-y_2}+\sqrt{4+y_2-y_1}+2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем $m_0(\mathbf{y})\geqslant m_1(\mathbf{y})$, при этом неравенство превращается в равенство, если и только если $y_1=0$. Аналогично, $m_1(\mathbf{y})\geqslant m_2(\mathbf{y})$, при этом неравенство превращается в равенство, если и только если $y_1=y_2$. Кроме того, $\overline{m}(\mathbf{y})=m_0(\mathbf{y})$ и $\underline{m}(\mathbf{y})=m_2(\mathbf{y})$. Ясно, что значение $m_0(\mathbf{y})$, $y\in\overline{S}$, минимально, если и только если $\mathbf{y}=(0,0)$, а $m_2(\mathbf{y})$ максимально, если и только если $\mathbf{y}=(0,0)$. Как следствие, $M(\overline{S})=m(\overline{S})=-4$, при этом это значение достигается только в точке $\mathbf{y}=(0,0)$ и в $\overline{S}$ имеется единственный альтернанс, а именно, $\mathbf{y}=(0,0)$. Рассмотрим следующую ядерную функцию $L_a(t):= \min(0,\ln|t/a|)$. Пример 5.2 (необходимость монотонности). Пусть $n=1$, $J(t):=\sqrt{t}$ и $K(t):=L_{0.1}(t) + 1-2t^2$. Отметим, что $J$ – строго вогнутая полевая функция, а $K$ – строго вогнутая ядерная функция, при этом функция $K$ сингулярна, но не удовлетворяет условиям монотонности (M) и (SM). В этом случае глобальный минимум $M(S)$ функции $\overline{m}$ достигается только в точке $\mathbf{y}=(y_1)=(0)$, поэтому множество $I_0$ вырождено и $\mathbf{y}\in \partial S$. Также отметим, что $m_0(\mathbf{y})=-\infty$ и $m_1(\mathbf{y})=F(0,1/4)=11/8$. Ясно, что $F(\mathbf{y},\cdot)$ не имеет обобщенного альтернанса. Действительно, если $0<y_{1}\leqslant 1/2$, то $\overline{m}(\mathbf{y})\geqslant F(y_{1},y_{1}+1/4)=\sqrt{y_{1}+ 1/4}+7/8>1/2+7/8=11/8$, а если $1/2< y_{1}\leqslant 1$, то $\overline{m}(\mathbf{y})\geqslant F(y_{1},y_{1}-1/4)=\sqrt{y_{1}-1/4} + 7/8 >11/8$. Поэтому минимальное значение $\overline{m}(\mathbf{y})=11/8$ достигается только в точке $\mathbf{y}=(y_{1})=(0)$. Пример 5.3 (необходимость строгой монотонности и вогнутости). Пусть число $a$, $0<a<e/(1+e)$, произвольно. Положим $K(t):=L_a(t)$, и пусть $n=1$. Предположим, что число $b\in(0,1)$ таково, что $(a<)1-a/e<b<1$. Пусть $J$ – характеристическая функция отрезка $[b,1]$. Тогда имеют место следующие утверждения: a) $\mathbf{m}(\mathbf{x})=(0,0)$, если и только если $\mathbf{x}=(x)$, $x=1-a/e$, и эта точка является единственной точкой обобщенного альтернанса для $F$, при этом $m(S)=M(S)=0$; b) тем не менее $\underline{m}(\mathbf{x})=0$ при всех $a\leqslant x \leqslant 1-a/e$, откуда минимум $\underline{m}(\mathbf{x})=m(S)=0$ достигается не только на узле обобщенного альтернанса, но и на других неальтернансных узлах; c) в частности, на $Y$ имеет место мажоризация. Отметим, что ядерная функция $K$ вогнута и монотонна, но не строго вогнута и не строго монотонна. На рис. 2 изображены графики суммы сдвигов.  Рис. 2.Графики $J(t)+K(t-x)$ при $a=1/4$, $b=0.955671$ и $x=0.775$ (черный), $x=0.907$ (пунктир) и $x=0.946$ (штриховая линия); см. пример 5.3.  Рис. 3.Графики функций максимумов на отрезках $m_0(x)$ (сплошная линия) и $m_1(x)$ (штриховая линия); cм. пример 5.3. Действительно9, функция $F(x,\cdot)$ не может быть положительной на $[0,x]$. Если $x\leqslant b$, то $J(x)= 0$ и $L_a(x)\leqslant 0$. Если $b\leqslant x \leqslant 1$, то по монотонности $L_a$, максимум функции $F(x,\cdot)$ на $[0,x]$ достигается или в точке $b$ или в точке $0$. Значение в точке $b$ равно $L_a(b-x)+1\leqslant L_a(b-1)+1 <\ln|(a/e)/a|+1=0$. Значение функции в точке $0$ равно $F(x,0)\leqslant 0$; при этом, поскольку неравенство $x\geqslant a$ также выполнено, то $L_a(0-x)=0$, откуда $F(x,0)=0$. Как следствие, $m_0(x)\leqslant 0$. Отметим, что $m_0(0)=-\infty$ и $m_0$ строго возрастает на $[0,a]$. Если $a\leqslant x\leqslant b$, то $F(x,t)$ монотонно убывает на $t\in[0,x]$ и $F(x,0)=0$, откуда $m_0(x)= 0$. Если $b\leqslant x \leqslant 1$, то $F(x,t)$ монотонно убывает на $t\in[0,b]$ и также монотонно убывает на $t\in[b,x]$. При этом $F(x,0)=0$ и $F(x,b)=1+L_a(b-x)\leqslant 1+L_a(b-1)\leqslant 1+\ln|(1-b)/a|\leqslant 0$, откуда мы также имеем $m_0(x)=F(x,0)=0$. Таким образом, $m_0(x)\leqslant 0$ при всех $x$, а $m_0(x)=0$ в точности при $a\leqslant x\leqslant 1$. Рассмотрим теперь функцию $m_1$. Функция $J$ монотонно возрастает, и $L_a(\,{\cdot}\,{-}\,x)$ также монотонно возрастает на $[x,1]$, откуда $m_1(x)=F(x,1)=1+L_a(1-x)$. Если $0\leqslant x \leqslant 1-a$, то $L_a(1-x)=0$, откуда $m_1(x)=1$; а если $1-a < x \leqslant 1$, то $L_a(1-x)=\ln((1-x)/a)$, откуда $m_1(x)=\ln((1-x)/a)+1 <1$. В итоге $m_1(x)=1$ при $x\in [0,1-a]$, что влечет строгое убывание $m_1$ на $[1-a,1]$ от значения $1$ до $-\infty$, при этом значение $0$ достигается только в точке $x=1-a/e$. Путем сравнения этих случаев для разных диапазонов изменения $x$ мы получаем, что $m_0(x)=m_1(x)$, если и только если $m_0(x)=0$ и $m_1(x)=0$, что, в свою очередь, имеет место в точности при $x=1-a/e$ (рис. 3). Как следствие, точка обобщенного альтернанса единственна. При этом, если $0\leqslant x\leqslant 1-a/e$, то $\underline{m}(x)=0$.  Рис. 4.Графики функций $F(\mathbf{x},t)$ при $\mathbf{x}=(a-\delta,a+\delta)$: a – для $a=1/4$, $\delta=(\sqrt{82}-1)/90$ (черный) и $a=55/100$ (серый); b – для $a=45/100$, $\delta=15/100$ (черный) и $\delta=25/100$ (серый); см. пример 5.4. Пример 5.4 (необходимость монотонности). Пусть и $J(t):=0$. Функция $K$ строго вогнута, не не монотонна. Положим $n=2$. Тогда: a) имеется несколько систем альтернансных узлов, при этом значение $\overline{m}$ в них одинаково; b) имеется единственная система минимаксных узлов; c) имеются несколько систем максиминных узлов; d) имеет место строгая мажорируемость. Для начала отметим, что $K(t)\leqslant 0$ при $t\in[-1,1]$. Этот результат непосредственно вытекает из того, что $\ln|10 t|= \ln(10(1-|t|)/9)$, если и только если $t=1/10$, при этом $K(1/10)=0$, $K$ строго монотонно возрастает на $[0,1/10]$ и строго монотонно убывает на $[1/10,1]$. Запишем узлы следующим образом: $\mathbf{x}=(a-\delta,a+\delta)$, где $a:=(x_1+x_2)/{2}$ и $\delta:=(x_2-x_1)/{2}$. По условию $0\leqslant a-\delta\leqslant a+\delta\leqslant 1$; иными словами, $0\leqslant a \leqslant 1$ и $0\leqslant \delta \leqslant a,1-a$. Отметим, что
$$
\begin{equation*}
m_1(\mathbf{x})=\sup\{F(\mathbf{x},t)\colon a-\delta\leqslant t \leqslant a+\delta\}=F(\mathbf{x},a),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
m_1(\mathbf{x})=\begin{cases} 2\ln(10\delta), & \text{если } 0\leqslant \delta\leqslant \dfrac{1}{10}, \\ 2\ln\dfrac{10(1-\delta)}{9}, & \text{если } \dfrac{1}{10}\leqslant \delta. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $m_1(\mathbf{x})\leqslant 0$, причем $m_1(\mathbf{x})= 0$, если и только если $\delta=1/10$. Если $t\in[a+\delta,1]$, то нам нужно рассмотреть следующие три случая в зависимости от величины $t$ (при этом отрезок $a+\delta\leqslant t \leqslant a-\delta+0.1$ может оказаться пустым), полагая $u=t-a$, $\delta\leqslant u \leqslant 1-a$ (рис. 4):
$$
\begin{equation*}
F(\mathbf{x},t)= \begin{cases} \ln \bigl(100 (u-\delta)(u+\delta)\bigr), & \text{если } \delta\leqslant \dfrac{1}{20}, \quad \delta\leqslant u \leqslant \dfrac{1}{10} -\delta, \\ \ln \biggl(\dfrac{100}{9}(1-(u+\delta))(u-\delta)\biggr), & \text{если } \dfrac{1}{10}-\delta \leqslant u \leqslant \delta +\dfrac{1}{10}, \\ \ln \biggl(\dfrac{100}{81}(1-(u+\delta))(1-(u-\delta))\biggr), & \text{если } \delta +\dfrac{1}{10}\leqslant u \leqslant 1-a. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что первое выражение строго возрастает по $u$, а третье выражение строго убывает по $u$. Поэтому $m_2(\mathbf{x})$ совпадает с максимумом второго выражения. Отсюда несложно выводится, что второе выражение строго возрастает по $u$, если $\delta+0.1 \leqslant 1/2$, а если $\delta+0.1>1/2$, то в точке $u=1/2$, т.е. при $t=a+1/2$, второе выражение имеет строгий локальный максимум. Как следствие,
$$
\begin{equation*}
m_2(\mathbf{x})= \begin{cases} F\biggl(\mathbf{x}, a+\delta+\dfrac{1}{10}\biggr)=\ln\biggl(1-\dfrac{20}{9}\delta\biggr), & \text{если } \delta+\dfrac{1}{10}\leqslant \dfrac12, \\ F\biggl(\mathbf{x}, \dfrac12+a\biggr) = \ln \biggl(\dfrac{100}{9} \biggl(\dfrac{1}{2}-\delta\biggr)^2\biggr), & \text{если } \dfrac{4}{10} \leqslant \delta \leqslant \dfrac12. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для нахождения обобщенного альтернанса мы сравним значения $m_1(\mathbf{x})$ и $m_2(\mathbf{x})$ в трех случая в зависимости от величины $\delta$. Эти величины равны, если и только если $\delta=\delta_0:=(\sqrt{82}-1)/90 \approx 0.0895$. Поэтому любой набор $\mathbf{x}=(a-\delta_0, a+\delta_0)$, $a\in[\delta_0+1/10, 1-\delta_0-1/0]$ является обобщенным альтернансом. Далее, $\overline{m}(\mathbf{x})\leqslant 0$ и $\overline{m}(\mathbf{x})= 0$, если и только если $\mathbf{x}=(a-\delta, a+\delta)$ и $\delta=0$ или $\delta=1/10$. Также отметим, что обе функции $m_1(\mathbf{x})$ и $m_2(\mathbf{x})$ строго убывают при (не слишком большом) $\delta\geqslant 1/10$. Это указывает на наличие строгой мажорируемости (для некоторых конфигураций). § 6. Приложения6.1. Задача Боянова на отрезкеРассмотрим множество приведенных “обобщенных алгебраических многочленов” (ср. [7; приложение A4, с. 392]) степени $\mathbf r:=(r_1,\dots,r_n)$, где $r_1,\dots,r_n>0$ – заданные положительные показатели:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]:=\biggl\{ P\colon P(t)=\prod_{j=1}^n |t-x_j|^{r_j},\ t \in [a,b],\ a\leqslant x_1\leqslant\dots\leqslant x_n\leqslant b \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $w\colon I\to [0,\infty)$ – полунепрерывная сверху весовая функция, не обращающаяся в нуль по крайней мере в $n+1$ точках на отрезке $I:=[a,b]$ (как и выше, концевые точки отрезка $a$ и $b$ считаются с весом $1/2$). Введем весовую равномерную норму по формуле $\|f\|_w:=\|fw\|_\infty:=\sup_I |f|w$. Экстремальная задача Боянова для обобщенных алгебраических многочленов заключается в нахождении обобщенного алгебраического многочлена $P\in \mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]$ наименьшей возможной нормы $\|P\|_w$. Если такой экстремальный многочлен существует, то он называется многочленом Боянова–Чебышёва. Тогда $\|P\|_w=\min_{Q \in \mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]} \|Q\|_w$. На самом деле, как и в классическом случае, имеются две формулировки экстремальной задачи, поскольку можно ставить и задачу “без ограничений”, в которой не предполагается, что нули многочлена лежат на отрезке $[a,b]$. Однако здесь важно, что порядок нулевых множителей совпадает с порядком заданных показателей $r_j$, поэтому для произвольно расположенных комплексных нулей “правильным классом” является следующий:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\mathbf r}:=\biggl\{\prod_{j=1}^n |t-(x_j+iy_j)|^{r_j} \colon -\infty < x_1\leqslant\dots\leqslant x_n<\infty,\ y_1,\dots,y_n \in \mathbb{R} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, постоянную Боянова–Чебышёва (с ограничениями) мы определяем по формуле $R_{\mathbf r}^w[a,b]:=\min_{Q \in \mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]} \|Q\|_w$, а постоянную Боянова–Чебышёва без ограничений – по формуле $C_{\mathbf r}^w[a,b]:=\min_{Q \in \mathcal{P}_{\mathbf r}} \|Q\|_w$. Как и в классическом случае, легко проверяется, что, хотя формально в определении $C_{\mathbf r}^w[a,b]$ инфимум берется по бо́льшему множеству, имеет место равенство $C_{\mathbf r}^w[a,b]=R_{\mathbf r}^w[a,b]$. Вместе с тем, экстремальные многочлены могут существовать только в классе $\mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]$. Дадим более точную формулировку по сравнению с теоремой 1.2. Теорема 6.1. Для заданного $n\in \mathbb{N}$ пусть $r_1,r_2,\dots,r_n>0$ – набор из $n$ положительных чисел, $[a,b]$ – невырожденный отрезок, и $w$ – полунепрерывная сверху неотрицательная весовая функция на $[a,b]$, принимающая ненулевые значения более чем в $n$ (с учетом соглашения о весах точек из § 2) точках на отрезке $[a,b]$. Тогда $C_{\mathbf r}^w[a,b]=R_{\mathbf r}^w[a,b]$; при этом существует единственный экстремальный обобщенный многочлен Чебышёва–Боянова $P$ из класса $\mathcal{P}_{\mathbf r}[a,b]$. Такой обобщенный алгебраический многочлен имеет вид где система узлов $\mathbf{x}^*:=(x_1^*,\dots,x_n^*)$, $a<x_1^*<\dots<x_n^*<b$, определяется единственным образом следующим свойством обобщенного альтернанса: существует набор из $n+1$ точек $a \leqslant t_0<t_1<t_2<\dots<t_{n-1}<t_n\leqslant b$, перемежающийся с точками $x_i^*$, т.е. $a\leqslant t_0<x_1^*<t_1<x_2^*<\dots<x_n^*<t_n\leqslant b$, такой, что При этом, если вдобавок функция $w$ логарифмически вогнута, то единственный экстремальный обобщенный многочлен Чебышёва–Боянова $P$ определяется единственным образом из того свойства, что существует набор из $n+1$ точек $a \leqslant t_0<t_1<t_2<\dots<t_{n-1}<t_n\leqslant b$, для которого выполнено (6.2). Замечание 6.1. Отметим, что теорема 13.7 из работы [11] охватывает этот результат в невесовом случае. Также отметим, что здесь мы не рассматриваем знаки, но в случае, когда $r_j\in \mathbb{N}$, легко получить аналогичный результат со знаками. Также отметим, что на самом деле множителям типа $|t|^r$ можно назначать знаки произвольным образом, например, рассматривая $|t|^r\operatorname{sign} t$ или в случае, когда $r\in \mathbb{N}$, $|t|^r (\operatorname{sign} t)^r$. В этом случае несложно видеть, что получающаяся задача со знаками эквивалентна задаче с модулями. Это показывает, что нужным свойством экстремального многочлена является не смена знаков, а достижение минимальной нормы. Доказательство теоремы 6.1. Используя линейную замену переменных, мы можем считать, что $[a,b]=[0,1]$. Пусть $K:=\ln|\cdot|$, $J:=\ln w$. Ясно, что $K$ – сингулярная строго вогнутая строго монотонная ядерная функция, а $J$ – $n$-полевая функция. После логарифмирования исходная экстремальная задача минимизации нормы $\|P\|_w$ становится эквивалентной минимаксной задаче $M(S)$ минимизации супремума $\sup F(\mathbf{x},\cdot)$, в которой константы $r_j>0$, $j=1,\dots,n$, составляющие $\mathbf r$, фиксированы.
Выше мы отмечали, что $C_{\mathbf r}^w[0,1]=R_{\mathbf r}^w[0,1]$. Также заметим, что $R_{\mathbf r}^w[0,1]=\exp(M(S))$. Теперь применение следствия 3.1 дает характеризацию экстремальных обобщенных многочленов. Для доказательства последнего утверждения отметим, что по предположению функция $J$ является вогнутой, поэтому функция $F(\mathbf{x}^*,\cdot)$ строго вогнута на каждом $I_j(\mathbf{x}^*)$. Поэтому узлы и точки максимума $t_0,\dots,t_n$ (определенные единственным образом вследствие строгой вогнутости) перемежаются, и потому применима установленная выше характеризация экстремальных обобщенных многочленов. Теорема доказана. Пусть $Q_\mathbf{x}$ – обобщенный алгебраический многочлен такой, что $Q_\mathbf{x}(t):=\prod_{j=1}^n |t-x_j|^{r_j}$. Сказанное выше позволяет дать более точное понимание задачи Боянова–Чебышёва. Полагая $M_j(\mathbf{x}):=\max_{I_j(\mathbf{x})} |Qw|$, мы приходим к следующему свойству перемежаемости: для любых допустимых систем узлов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in Y$ найдутся индексы $i$ и $k$ такие, что $M_i(\mathbf{x})<M_i(\mathbf{y})$ и $M_k(\mathbf{x})>M_k(\mathbf{y})$; в частности, для любой системы узлов $\mathbf{x}\ne \mathbf{x}^*$ найдутся индексы $i$ и $k$ такие, что $M_i(\mathbf{x})<C_{\mathbf r}^w[a,b]$ и $M_k(\mathbf{x})>C_{\mathbf r}^w[a,b]$. Как следствие, постоянные Чебышёва ограничены сверху и снизу максимумами на отрезках для произвольной системы узлов, т.е. $\min_{i=0,\dots n} M_i(\mathbf{x}) <C_{\mathbf r}^w[a,b] < \min_{k=0,\dots n} M_k(\mathbf{x})$. Отметим, что приведенные выше рассуждения позволяют обобщить задачу Боянова–Чебышёва не только на случай обобщенных алгебраических многочленов с весом, но и на гораздо более общую ситуацию, в которой $|t|$ заменятся на произвольные логарифмически вогнутые монотонные множители $G(t)$ (ситуация c $K(t):=\ln G(t)$ вместо $\ln |t|$ является более общей). 6.2. Сравнение постоянных Чебышёва для объединения отрезковПроведенное выше обсуждение различных вариантов постоянной Чебышёва может показаться тривиальным, но если мы рассмотрим случай невыпуклых множеств, то различие между постоянными Чебышёва с ограничениями и без ограничений станет существенным. Пусть $E \subset \mathbb{R}$ – компакт и $w\geqslant 0$ – вес. Как и выше, определим постоянную Боянова–Чебышёва с ограничениями формулой $R_{\mathbf r}^w(E):=\min_{Q \in \mathcal{P}_{\mathbf r}(E)} \|Q\|_w$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\mathbf r}(E):=\biggl\{ P\colon P(t)=\prod_{j=1}^n |t-x_j|^{r_j},\,t \in E,\ x_1,\dots,x_n\in E\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $C_{\mathbf r}^w(E):=\min_{Q \in \mathcal{P}_{\mathbf r}} \|Q\|_w$ – постоянная Боянова–Чебышёва без ограничений. Нашей целью является доказательство следующей теоремы. Теорема 6.2. Пусть $k, n\in \mathbb{N}$, пусть $a_1<b_1<a_2<b_2<\dots<a_k<b_k$ – произвольные действительные числа, $E:=\bigcup_{\ell=1}^k [a_\ell,b_\ell]$ и $\mathbf r\in (0,\infty)^n$ – произвольная система показателей. Тогда постоянные Чебышёва с ограничениями и без ограничений удовлетворяют следующему неравенству: где $C(k,\mathbf r):=2^{\max\{ r_{i_1}+\dots+r_{i_{k-1}}\colon 1\leqslant i_1<\dots<i_{k-1}\leqslant n\}}$. В частности, если $\mathbf r:=\mathbf 1$, т.е. $\mathcal{P}_{\mathbf r}=\mathcal{P}^1_n$ – семейство абсолютных значений приведенных обыкновенных алгебраических многочленов степени $n$, то независимо от значения $n$. Доказательство. Как и выше, легко видеть, что для постоянной Чебышёва без ограничений достаточно рассмотреть многочлены, все корни $x_j$ которых лежат в замкнутой выпуклой оболочке $E^*:=\operatorname{con} E= [a_1,b_k]$ множества $E$. Так как множество $E^*$ компактно и вес $w$ полунепрерывен сверху, то существует экстремальный многочлен $P\in \mathcal{P}_{\mathbf r}(E^*)$, для которого $C_\mathbf r^w(E)=\|P\|_w$ $(:= \max_E |Pw|)$. Построим многочлен $Q\in \mathcal{P}_{\mathbf r}(E)$, $\|Q\|_w \leqslant C(k,\mathbf r) \|P\|_w$, с помощью которого мы получим требуемую оценку $R_\mathbf r^w(E)\leqslant C(k,\mathbf r) \|P\|_w= C(k,\mathbf r) C_\mathbf r^w(E)$ при минимизации по $\mathcal{P}_{\mathbf r}(E)$.
Для удобства предположим, что $E\subset [0,1]$ и, более того, считаем, что $a_1=0$ и $b_k=1$. Положим $K(t):=\ln|t|$, $J(t):=\ln (w\chi_E)$, где весовая функция $w$ задана на всем $\mathbb{R}$, a $\chi_E$ – характеристическая функция множества $E$ (эта функция полунепрерывна сверху). Ясно, что для любого многочлена $Q_\mathbf{x}(t) \in \mathcal{P}_{\mathbf r}(E^*)$ с набором корней $\mathbf{x} \in E^*=[0,1]$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\ln \|Q_{\mathbf{x}}\|_w = \max_{t\in [0,1]} \biggl(J(t)+\sum_{j=1}^n r_jK(t-x_j)\biggr) =\max_{t\in [0,1]} F(\mathbf{x},t) = \overline{m}(\mathbf{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, в частности, минимальность нормы $\|P\|_w$ по всем выборам наборов нулей $\mathbf{x} \in E^*=[0,1]$ дает равенство $P=Q_{\mathbf{w}}$ с некоторой точкой минимакса $\mathbf{w} \in \overline{S}$ функции $F$. В теореме 3.1 выше было показано, что $\mathbf{w} \in Y$ для строго вогнутой и сингулярной ядерной функции $K$, удовлетворяющей условию строгой монотонности (SM). Поскольку на дополнительных интервалах $J_\ell:=(b_\ell,a_{\ell+1})$, $\ell=1,k-1$, характеристическая функция $\chi_E$ обращается в нуль, имеем $J=-\infty$, а подынтервалы таких дополнительных интервалов состоят из сингулярных точек. Поэтому никакое из множеств $I_i(\mathbf{w})$ не может быть подынтервалом этих дополнительных интервалов, так как функция $\mathbf{w}$ несингулярна. Иными словами, в таком дополнительном интервале находится не более одного $w_i\in J_\ell$.
Для построения требуемых $Q_\mathbf{x}$ (т.е. соответствующего $\mathbf{x}$, где $x_i\in E$ при всех $i$) и $F(\mathbf{x},\cdot)$ рассмотрим такую систему узлов $\mathbf{x}$, что $x_i=w_i$ при $w_i\in E$ и $x_i=b_\ell$ или $x_i=a_{\ell+1}$ (в зависимости от того, какая из этих точек лежит ближе к $w_i$) при $w_i\in J_\ell$ (и, скажем, $x_i:=b_\ell$ при $w_i=(b_\ell+a_{\ell+1})/2$, т.е. если точка расположена посередине). Сравним сумму сдвигов функций для $\mathbf{w}$ и $\mathbf{x}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf{x},t)-f(\mathbf{w},t)=\sum_{i\ w_i\notin E} \bigl( r_iK(t-x_i)-r_iK(t-w_i) \bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $i$ таково, что $w_i\notin E$, то $w_i\in J_\ell=(b_\ell,a_{\ell+1})$ при некотором $1\leqslant \ell\leqslant k-1$, а при $t\in E$ выполнено или неравенство $t\,{\leqslant}\, b_{\ell}$, или неравенство $t\,{\geqslant}\, a_{\ell+1}$. В случае, когда $x_i=b_{\ell}$, при всех $0\leqslant t\leqslant b_\ell$ по монотонности имеем $K(t- x_i)<K(t-w_i)$. Далее предположим, что $a_{\ell+1}\leqslant t \leqslant 1$. Тогда по построению $K(t- x_i)=\ln(t-x_i)=\ln(t-w_i+(w_i-x_i))\leqslant \ln (2(t-w_i)) = \ln2+K(t-w_i)$ для $t-w_i\geqslant a_{\ell+1}-w_i \geqslant (a_{\ell+1}-b_\ell)/2\geqslant w_i-x_i$. Как следствие, $K(t- x_i)\leqslant \ln 2 +K(t-w_i)$ при всех $t\in E$. Такие же рассуждения устанавливают аналогичное неравенство при $x_i=a_{\ell+1}$. Складывая эти неравенства при всех таких $i$, что $w_i\notin E$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf{x},t)-f(\mathbf{w},t)=\sum_{i\ w_i\notin E} r_i \ln2 \leqslant \ln C(k,\mathbf r) \quad \forall\, t \in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Как следствие, $F(\mathbf{x},t) \leqslant \ln C(k,\mathbf r) + F(\mathbf{w},t)$ во всех точках $t\in [0,1]$, в которых $J(t)\ne -\infty$. Однако, если $t\notin E$, то добавление $J(t)=-\infty$ делает бесконечными правую и левую части: $F(\mathbf{x},t)=F(\mathbf{w},t)=-\infty$, поэтому в этом случае вышеприведенное неравенство имеет вид $-\infty\leqslant-\infty$ и остается верным. Наконец, после взятия максимума получаем $\overline{m}(\mathbf{x})\leqslant \overline{m}(\mathbf{w})+\ln C(k,\mathbf r)$. Теорема 6.2 доказана. БлагодарностиАвторы глубоко благодарны В. В. Арестову, В. И. Бердышеву и M. В. Дейкаловой за предоставление ссылок и советы по классическим источникам по задачам типа Чебышёва и задачам, связанных с частными максимумами функций. Также авторы хотели бы отметить плодотворную атмосферу ежегодных Школ С. Б. Стечкина, представляющих собой идеальный формат для представления и обсуждения наших всё новых и новых результатов в компании благородных и профессиональных математиков. Авторы благодарны участникам Школы за полезные комментарии и обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{FarNagRev23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|