| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Уточнение теоремы Хис-Брауна о квадратичных формах С. Г. Влэдуцab, А. В. Дымовcde, С. Б. Куксинfgc, А. Майоккиh a Aix-Marseille Université, CNRS, I2M UMR 7373, Marseille, France b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва c Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва e Сколковский институт науки и технологий, г. Москва f Université Paris Cité, Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG, Paris, France g Российский университет дружбы народов, г. Москва h Università degli Studi di Milano-Bicocca, Milano, Italy
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9711e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Постановка задачи и результатыРассмотрим невырожденную квадратичную форму с целыми коэффициентами на $\mathbb R^d$, $d\geqslant 4$, Можно считать, что матрица $A$ невырожденная симметричная с целыми элементами, а ее диагональные элементы четны. Если $F$ знакоопределенная, то для $t\in \mathbb R$ квадрика
$$
\begin{equation}
\Sigma_t=\{\mathbf z\colon F^t(\mathbf z)=0\}, \qquad F^t=F-t,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
есть либо эллипсоид, либо пустое множество. В знаконеопределенном случае $\Sigma_t$ – неограниченная гиперповерхность в $\mathbb R^d$, гладкая для $t\ne0$, а $\Sigma_0$ – конус с особенностью в начале координат. Пусть $\mathbb Z^d_L$ – решетка малого периода $L^{-1}$,
$$
\begin{equation*}
\mathbb Z^d_L:=L^{-1} \mathbb Z^d, \qquad L\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $w$ – регулярная вещественная функция на $\mathbb R^d$; это означает, что $w$ и ее преобразование Фурье $\widehat w(\xi)$ являются непрерывными функциями, которые достаточно быстро убывают на бесконечности:
$$
\begin{equation}
|w(\mathbf z)| \leqslant C |\mathbf z|^{-d-\gamma}, \qquad |\widehat w( \mathbf \xi)| \leqslant C |\xi|^{-d-\gamma}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
для некоторого $\gamma>0$. Наша цель – изучить поведение рядов
$$
\begin{equation*}
N_L(w; A, m):=\sum_{\mathbf z \in \Sigma_m \cap \mathbb Z^d_L} w(\mathbf z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $m\in \mathbb R$ таково, что ${L^2m}$ является целым числом1. Пусть Тогда, очевидно, Мы также будем писать Для изучения $N_L(w;A,m)$ мы используем круговой метод в виде, предложенном Хис-Брауном (см. [1]). Наши обозначения немного отличаются от тех, которые используются в [1]. А именно, при масштабировании $z=z'/L$, $z'\in \mathbb Z^d$, мы интересуемся подсчетом (с весами) решений уравнения $F(z')=mL^2$, $z'\in \mathbb Z^d$, в то время как Хис-Браун записывает уравнение как $F(z')=m$, $z'\in \mathbb Z^d$, так что его $m$ соответствует нашему $L^2m$. Начнем с ключевого результата, который выражает дискретный аналог дельта-функции Дирака на $\mathbb Z$, т.е. функцию $\delta\colon \mathbb Z\to\mathbb R$:
$$
\begin{equation*}
\delta(n):=\begin{cases} 1 & \text{для } n=0, \\ 0 & \text{для }n\neq 0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
через своего рода представление Фурье. Этот результат восходит по крайней мере к У. Дьюку, Дж. Фридлендеру и Х. Иванецу (см. [2]; ср. также [3]), и мы формулируем его в форме, приведенной в [1; теорема 1]; по сути он заменяет тривиальное тождество используемое в обычном круговом методе. В приведенной ниже теореме для $q\in {\mathbb N}$ через $e_q$ обозначается экспоненциальная функция $e_q(x):=e^{2\pi i x/q}$, а $\sum_{a(\operatorname{mod}q)}^* $ обозначает суммирование по вычетам $a$ с $(a,q)=1$, т.е. по всем целым числам $a\in [1, q-1]$, взаимно простым с $q$. Теорема 1.1. Для любого $Q\geqslant1$ существуют $c_Q>0$ и гладкая функция $ h(x, y)\colon \mathbb R_{>0}\times \mathbb R\mapsto \mathbb R$ такие, что Поскольку $N(\widetilde w;A, t)$ можно записать как $\sum_{\mathbf z\in\mathbb Z^d} \widetilde w(\mathbf z) \delta (F^t(\mathbf z))$, теорема 1.1 позволяет представить ряд $N(\widetilde w;A, t)$ в виде повторной суммы. Преобразуя эту сумму с использованием формулы суммирования Пуассона, как в [1; теорема 2], мы приходим к следующему результату2. Теорема 1.2 (см. [1; теорема 2]). Для любой регулярной функции $\widetilde w$, любого $t$ и любого $Q\geqslant 1$ имеем Мы используем теорему 1.2 для анализа суммы $N(w_L;A, L^2 m)\,{=}\,N_L(w;A, m)$ при больших $L$, выбирая $\widetilde w=w_L$, $t=L^2m$ и $Q=L\geqslant1$ и явно оценивая главные и остаточные члены по $L$ в $S_q(\mathbf c)$ и $I^0_q(\mathbf c)$. Результат будет сформулирован в терминах интеграла
$$
\begin{equation}
\sigma_{\infty}(w)=\sigma_{\infty}(w; A,t)=\int_{\Sigma_t} w(\mathbf z)\mu^{\Sigma_t}\,(d\mathbf z)
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
(сингулярного при $t=0$). Здесь
$$
\begin{equation*}
\mu^{\Sigma_t}(d\mathbf z)=|\nabla F(\mathbf z) |^{-1}\,dz|_{\Sigma_t}= |A\mathbf z|^{-1}\,dz|_{\Sigma_t},
\end{equation*}
\notag
$$
где $dz|_{\Sigma_t}$ – элемент объема на $\Sigma_t$, индуцированный стандартной евклидовой структурой на $\mathbb R^{d}$, а $A$ – симметричная матрица из уравнения (1.1). Для регулярных функций $w$ этот интеграл сходится (см. § 7). При записи асимптотики для $N_L(w;A, m)$ нам понадобятся следующие величины, в определениях которых $p$ пробегает все простые числа и $c\in\mathbb Z^d$:
$$
\begin{equation}
\sigma_p^\mathbf c=\sigma_p^\mathbf c(A,{L^2m}):=\sum_{l=0}^\infty p^{-dl}S_{p^l}(\mathbf c; A,{L^2m}), \qquad \sigma_p:=\sigma_p^{\mathbf 0},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $S_1\equiv 1$,
$$
\begin{equation*}
\sigma^*_\mathbf c(A):=\prod_p (1-p^{-1})\sigma_p^\mathbf c(A,0), \qquad \sigma^*(A):=\sigma^*_{\mathbf 0}(A)=\prod_p(1-p^{-1}) \sigma_p(A,0),
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец,
$$
\begin{equation}
\sigma(A,{L^2m})=\prod_p\sigma_p^{\mathbf 0}(A,{L^2m})= \prod_p\sigma_p(A,{L^2m}).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Произведения в приведенных выше формулах берутся по всем простым числам. В асимптотиках, в которые будут входить эти величины, они ограничены равномерно по $L$ (см. теоремы 1.3 и 1.4, а также предложение 1.6). Для функции $f\in C^k(\mathbb R^d)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\| f\|_{n_1, n_2}=\sup_{\mathbf z\in \mathbb R^d} \max_{|\alpha|_1\leqslant n_1} |\partial^\alpha f(\mathbf z)| \langle \mathbf z\rangle^{n_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_1 \in \mathbb N \cup \{0\}$, $n_1\leqslant k$ и $ n_2\in \mathbb R$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\langle \mathbf x\rangle:=\max\{1,|\mathbf x|\} \quad \text{для }\ \mathbf x\in \mathbb R^l, \quad l\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и $|\alpha|_1 \equiv \sum\alpha_j $ для любого целочисленного вектора $\alpha \in (\mathbb N\cup\{0\})^d$. Через $\mathcal C^{n_1,n_2}(\mathbb R^d)$ обозначим линейное пространство $C^{n_1}$-гладких функций $f\colon\mathbb R^d\to \mathbb R$, удовлетворяющих $\|f\|_{n_1,n_2}<\infty$. Заметим, что если $w\in \mathcal C^{d+1,d+1}( \mathbb R^d)$, то функция $w$ регулярна, поэтому применима теорема 1.2. Действительно, первое соотношение в (1.3) очевидно. Для доказательства второго соотношения в (1.3) заметим, что для любого целочисленного вектора $\alpha \in (\mathbb N\cup\{0\})^d$ имеем
$$
\begin{equation*}
\xi^\alpha \widehat w(\xi)=\biggl( \frac{i}{2\pi}\biggr)^{|\alpha|_1} \widehat{\partial_\mathbf x^\alpha w}(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Но если $|\alpha|_1 \leqslant d+1$, то $|\partial_\mathbf x^\alpha w| \leqslant C \langle \mathbf x\rangle^{-d-1}$, поэтому $\partial_\mathbf x^\alpha w$ является $L_1$-функцией. Таким образом, ее преобразование Фурье $ \widehat{\partial_\mathbf x^\alpha w}$ – ограниченная непрерывная функция для каждого $|\alpha|_1 \leqslant d+1$, и второе соотношение в (1.3) также выполняется. Теперь сформулируем наши основные результаты. Сначала рассмотрим случай $d\geqslant 5$. Теорема 1.3. Предположим, что $d\geqslant5$. Тогда для любого $0<\varepsilon\leqslant1$ существуют положительные константы $K_1(d,\varepsilon)$, $K_2(d,\varepsilon)$ и $K_3(d,\varepsilon)$, где $K_2(d,\varepsilon)\leqslant K_3(d,\varepsilon)$, такие, что если $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^{d})\cap \mathcal C^{0,K_3}(\mathbb R^{d})$ и действительное число $m$ удовлетворяет ${L^2m} \in \mathbb Z$, то где константа $C$ зависит от $d$, $\varepsilon$, $m$ и $A$. Константа $\sigma(A,L^2m)$ ограничена равномерно по $L$ и $m$. В частности, если $\varepsilon=1/2$, то можно взять $K_1=2d(d^2+d-1)$, $K_2=4(d+1)^2+3d+1$ и $K_3=K_1+3d+4$. Обратимся теперь к случаю $d=4$, ограничившись ситуацией, когда $m=0$. Теорема 1.4. Предположим, что $d=4$ и $m=0$. Тогда для любого $0<\varepsilon < 1/5$ существуют положительные константы $K_1(\varepsilon)$ и $K_2(\varepsilon)$ такие, что для $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^d)$ Если $\eta(0)\sigma^*(A)=0$, то асимптотика (1.13) вырождается. Сходным образом (1.12) также вырождается в верхнюю границу на $N_L$, если только мы не знаем, что $\sigma(A,L^2m)$ допускает подходящую положительную нижнюю оценку для всех $L$. К счастью, требуемые нижние оценки часто выполняются (см. ниже предложение 1.6). Теоремы 1.3 и 1.4 уточняют теоремы 5–7 из [1] в трех отношениях:
Эти улучшения имеют для нас решающее значение, поскольку в нашей работе [6], посвященной проблеме волновой турбулентности, две приведенные выше теоремы используются в ситуации, когда $w(0) \ne0$ и носитель $w$ не компактен. Похожая модификация метода Хис-Брауна была получена в [7; § 5] для работы над задачей усреднения, связанной с вопросами, рассмотренными в [6]. Помимо волновой турбулентности и усреднения, замена сумм по целым точкам квадрики интегралами с тщательной оценкой остатков используется в теории Колмогорова–Арнольда–Мозера для уравнений в частных производных (см., например, [8; неравенство (C.2)]). Публикации [6]–[8] появились недавно. Нам представляется, что в наши дни, когда исследователи в области УрЧП и динамических систем все чаще сталкиваются со сложными нелинейными явлениями с резонансами, необходимость работать с асимптотиками (1.12), (1.13) и их вариациями будет расти. В настоящей статье используются только элементарные сведения из теории чисел и, таким образом, она доступна читателям-аналитикам. Отметим, что в статьях [9] и [10] суммы $N_L(w; A, m)$ рассматриваются для четных и нечетных размерностей $d$ соответственно, без ограничения $w(0)\ne 0$, и в более общем контексте, чем наши теоремы 1.3 и 1.4. Однако в силу этой общности соответствующие константы в асимптотических (по $L$) формулах в [9] и [10] определяются весьма неявным образом (например, вопрос об их занулении совершенно нетривиален). Связь этих констант с сингулярными интегралами типа (1.9) и зависимость остатков в асимптотике от весовой функции $w$, играющие ключевую роль в приложениях к аналитическим проблемам, остаются неясными. Еще одна особенность работ [9], [10] заключается в использовании довольно продвинутой адельной техники, что затрудняет применение результатов и методов настоящей работы читателями, не обладающими серьезной теоретико-числовой подготовкой. Замечание 1.5. 1) Теорема 1.3 является уточнением теоремы 5 из [1], а теорема 1.4 уточняет теоремы 6 и 7 из [1]. В [1] также содержится некоторая информация об асимптотическом по $L$ поведении сумм $N_L(w; A, m)$ при $d=4$, $m\neq 0$ и $d=3$, $m=0$. Поскольку наше доказательство теорем 1.3 и 1.4 основано на идеях из [1], дополненных теоремой 7.3, справедливой для $d\geqslant3$, то, вероятно, наш подход позволяет обобщить вышеупомянутые результаты из [1] для $d=3,4$ на случай $w\in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^d)$ с подходящими $K_1, K_2$. 2) В настоящей работе зависимость констант в оценках от $m$ равномерна на компактных интервалах, а зависимость от оператора $A$ выражается только через нормы $A$ и $A^{-1}$. 3) Значения констант $K_j(d, \varepsilon)$ в (1.12), приведенные в теореме 1.3, далеки от оптимальных, и мы не ставили перед собой цель оптимизировать их. 4) Так как доказательство теорем основано на представлении (1.6), то функция $w$ должна быть регулярной (см. (1.3)), что верно, если $w\in\mathcal C^{d+1,d+1}$; это включение выполняется при достаточно больших константах $K_1, K_2$. Например, это верно для $K_1$ и $ K_2$, фигурирующих в последней строке формулировки теоремы 1.3. 1.1.1. Краткое обсуждение доказательствМы приводим полностью только доказательство теоремы 1.3, которое напоминает доказательство теоремы 5 из [1] с дополнительным контролем зависимости констант от $w$. Существенное отличие от аргументации Хис-Брауна проявляется в § 3 и § 4, где мы не предполагаем, что функция $w$ обращается в нуль вблизи начала координат, тогда как последнее предположение имеет решающее значение при анализе интегралов в [1; §§ 6, 7]. Чтобы справиться с этой трудностью, которая становится очевидной, например, в предложении 3.8, нам приходится исследовать гладкость в нуле функции и ее убывание на бесконечности. Соответствующий анализ выполнен в § 7. Там с использованием методов, разработанных в [11] для изучения интегралов (1.9), доказывается, что функция (1.15) является $(\lceil d/2\rceil-2)$-гладкой, но при четном $d$ ее производная порядка $d/2-1$ может иметь логарифмическую особенность в нуле. Также в § 7 мы оцениваем скорость убывания функции (1.15) на бесконечности.Доказательство теоремы 1.4 сходно с доказательством теорем 6 и 7 из [1], дополненным предложением 3.8, которое основано на результате из § 7. Поэтому мы ограничиваемся лишь наброском доказательства теоремы, приведенным в п. 1.3 в параллель со схемой доказательства теоремы 1.3, в котором мы указываем основные различия между двумя доказательствами. При выводе теоремы 1.4 мы используем без доказательства некоторые результаты из [1] (а именно леммы 30 и 31). 1.1.2. Нижние оценки констант в асимптотикеОбсудим теперь нижние оценки констант $\sigma(A, L^2m)$ и $\sigma^*(A)$ из теорем 1.3 и 1.4 (см. теоремы 4, 6 и 7 из [1]). Предложение 1.6. (i) Если $d\geqslant 5$, то существуют положительные постоянные $c(A)<C(A)$ такие, что $0<c(A)\leqslant \sigma(A, L^2m)\leqslant C(A)<\infty $ для любой невырожденной матрицы $A $ равномерно по $L$ и $m$. (ii) Если $d=4$ и $m=0$, то $\sigma^*(A)>0 $ для любой невырожденной матрицы $A$ такой, что соответствующее уравнение $2F(\mathbf z)=A \mathbf z\cdot \mathbf z=0$ имеет нетривиальные решения в каждом p-адическом поле (в частности, это верно, если уравнение имеет нетривиальное решение в ${\mathbb Z^4}$). Мы не доказываем этот результат, а лишь отмечаем, что его обоснование использует уточнение вычисления во второй части доказательства леммы 2.3. В то время как лемма дает верхнюю границу искомой величины, более тщательный анализ позволяет также установить заявленные нижние границы. В п. 8.2 мы даем по существу полное вычисление, доказывающее предложение 1.6 в случае простейшей квадратичной формы $F=\sum_{i=1}^{d/2} x_iy_i$, $ d=2s\geqslant 4$ и $m=0$. Доказательство предложения для произвольного $A$ может следовать той же схеме с заменой явных формул некоторыми общими результатами (например, леммой Гензеля). 1.1.3. Неоднородные квадратичные многочленыРассмотрим теперь неоднородный квадратичный полином $\mathcal F$, однородная компонента степени 2 которого равна $F$ в (1.1):
$$
\begin{equation*}
\mathcal F(\mathbf z)=\frac12 A\mathbf z\cdot \mathbf z +\mathbf z_* \cdot\mathbf z +\tau, \qquad \mathbf z_*\in \mathbb R^d, \quad \tau \in R,
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующее множество $\Sigma^\mathcal F=\{\mathbf z\colon \mathcal F(\mathbf z)=0\}$; положим
$$
\begin{equation*}
N_L(w; \mathcal F)=\sum_{\mathbf z \in \Sigma^\mathcal F\cap \mathbb Z^d_L} w(\mathbf z).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak z=A^{-1}\mathbf z_*, \qquad \mathbf z'=\mathbf z+\mathfrak z, \qquad m=\frac12 \mathfrak z\cdot A\mathfrak z- \tau
\end{equation*}
\notag
$$
и предположим4, что $\mathfrak z\in \mathbb Z^d_L$ и $ L^2 \tau \in\mathbb Z$. Тогда условия ${L^2m}\in\mathbb Z$, $\mathbf z'\in\mathbb Z^d_L$ равносильны условиям $\mathbf z \in\mathbb Z^d_L$ и $\mathcal F(\mathbf z)=F( \mathbf z') -m$. Полагая $ w^\mathfrak z(\mathbf z')=w(\mathbf z'-\mathfrak z)$, получаем $N_L(w; \mathcal F)=N_L(w^\mathfrak z; A,m)$. При этом
$$
\begin{equation*}
\sigma_\infty(w^\mathfrak z; A,m)=\int_{\Sigma_m} w^\mathfrak z(\mathbf z') \, \frac{d\mathbf z'|_{\Sigma_m}}{|\nabla F(\mathbf z')|} =\int_{\Sigma^\mathcal F} w(\mathbf z)\, \frac{d\mathbf z|_{\Sigma^\mathcal F}}{|\nabla \mathcal F(\mathbf z)|}=: \sigma_\infty(w; \mathcal F),
\end{equation*}
\notag
$$
и мы приходим к следующему следствию из теоремы 1.3. Следствие 1.7. Если $d\geqslant5$, квадратичная форма $F$ такая же, как в теореме 1.3, $\mathcal F$ – неоднородная квадратичная форма, определенная выше, а $L$ удовлетворяет условиям $\mathfrak z:=A^{-1} \mathbf z_* \in \mathbb Z^d_L$, $\tau L^2\in\mathbb Z$, то для любого $0<\varepsilon\leqslant1$ и $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^{d})\cap \mathcal C^{0,K_3}(\mathbb R^{d})$ имеем Здесь константы $K_1$, $K_2$, $K_3$ зависят от $d$ и $\varepsilon$, а $C$ зависит от $d$, $\varepsilon$, $A$ и $\tau$, $|\mathbf z_*|$. Обозначения 1.8. Мы пишем $A \lesssim_{a,b} B$, если $A\leqslant C B$, где константа $C$ зависит от $a$ и $b$. Аналогично, $O_{a,b}( \|w\|_{m_1, m_2}) $ обозначает величину, ограниченную по модулю величиной $C(a,b) \|w\|_{m_1, m_2}$. Зависимость от матричных норм $\|A\|$, $\|A^{-1}\|$ и от размерности $d$ не указывается, так как большинство наших оценок зависит от этих величин. Всегда предполагается, что функция $w$ принадлежит пространству $\mathcal C^{m,n}(\mathbb R^d)$ с достаточно большими $m$, $n$. Если в формулировке утверждения используется норма $\|w\|_{a,b}$, то предполагается, что $w\in\mathcal C^{a,b}(\mathbb R^d)$. Мы обозначаем $e_q(x)=e^{2\pi ix/q}$ и пишем $e_1(x)=:e(x)$. Через $ \lceil \cdot \rceil$ обозначается функция $\lceil x \rceil=\min_{n\in\mathbb Z}\{n\geqslant x\}$. Через $\mathbb N$ обозначается множество натуральных чисел ($\geqslant 1$). 1.2. Схема доказательства теоремы 1.3Пусть $d\geqslant5$. Как уже обсуждалось, если $w$ удовлетворяет условиям теоремы с достаточно большими константами $K_i$, то функция $w$ регулярна в смысле п. 1.1, и поэтому применима теорема 1.2. Тогда согласно (1.6) и (1.4)
$$
\begin{equation}
N_L(w; A, m)=c_LL^{-2}\sum_{\mathbf c\in \mathbb Z^{d}}\sum_{q=1}^\infty q^{-d}S_q(\mathbf c) I_q(\mathbf c),
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
где сумма $S_q(\mathbf c)=S_q(\mathbf c;A,L^2m)$ задается выражением (1.7) с $t={L^2m}$, а интеграл $I_q(\mathbf c)$ – выражением (1.8) с $\widetilde w=w_L$, $Q=L$ и $t={L^2m}$,
$$
\begin{equation}
I_q(\mathbf c; A,m,L) :=\int_{\mathbb R^{d}} w\biggl(\frac{\mathbf z}{L}\biggr)h\biggl(\frac qL, \frac{F^{L^2m}(\mathbf z)}{L^2}\biggr) e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c)\,d\mathbf z.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Обозначая
$$
\begin{equation*}
n(\mathbf c;A,m,L)=\sum_{q=1}^\infty q^{-d} S_q(\mathbf c) I_q(\mathbf c),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
N_L(w;A,m)=c_L L^{-2}\sum_{\mathbf c\in\mathbb Z^{d}} n(\mathbf c).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого $\gamma_1 \in (0,1/2)$ ряд $N_L$ записывается в виде
$$
\begin{equation}
N_L(w;A, m)=c_L L^{-2}\bigl(J_0 + J_{<}^{\gamma_1} + J_{>}^{\gamma_1}\bigr),
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где
$$
\begin{equation}
J_0:=n(0), \qquad J_<^{\gamma_1}:=\sum_{\mathbf c\ne 0,\,|\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} n(\mathbf c) , \qquad J_>^{\gamma_1}:=\sum_{|\mathbf c|> L^{\gamma_1}} n(\mathbf c).
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Из предложения 5.1 (являющегося модификацией лемм 19 и 25 из [1]) следует, что
$$
\begin{equation*}
|J_>^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m} \|w\|_{N_0,2N_0+d+1}
\end{equation*}
\notag
$$
с $N_0:=\lceil d+(d+1)/\gamma_1 \rceil$ (см. следствие 5.2). В предложении 6.1 мы, следуя леммам 22 и 28 из [1], показываем, что
$$
\begin{equation}
|J_<^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m} L^{d/2+2+\gamma_1(d+1)} \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N+3d+4}\bigr) ,
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
где $\overline N=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d$. Для анализа члена $J_0$ запишем его в виде $J_0=J_0^++J_0^-$, где
$$
\begin{equation}
J^+_0:=\sum_{q>\rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0), \qquad J_0^-:=\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d} S_q(0) I_q(0),
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
с $\rho=L^{-\gamma_2}$ для некоторого $0<\gamma_2<1$, подлежащего определению. Лемма 4.2, представляющая собой комбинацию лемм 16 и 25 из [1], модифицированных с использованием результатов из § 7, влечет оценку
$$
\begin{equation*}
|J_0^+|\lesssim L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-1)}|w|_{L_1} \lesssim L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-1)}\|w\|_{0,d+1} .
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в лемме 4.3, являющейся комбинацией леммы 13 и упрощенной леммы 31 из [1] с результатами из § 7, устанавливается, что $J_0^- $ равно
$$
\begin{equation*}
L^{d} \sigma_\infty(w) \sigma(A,{L^2m}) + O_{\gamma_2,m}\bigl( (\|w\|_{d/2-2,d-1} +\|w\|_{0,d+1}) L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-2)}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (1.9) и (1.11)). Тождество (1.18) вместе с приведенными выше оценками дает желаемый результат, если положить $\gamma_2=\varepsilon/{(d/2-1)}$ и $\gamma_1=\varepsilon/(d+1)$. Равномерная по $L$ и $m$ ограниченность произведения $\sigma(A,L^2m)$ следует из леммы 2.3. 1.3. Схема доказательства теоремы 1.4В этом пункте мы предполагаем, что $d=4$ и $m=0$. Доказательство проводится точно так же, как в п. 1.2, вплоть до формулы (1.20), недостаточно точной для случая $d=4$, в котором ее правую часть следует заменить на
$$
\begin{equation}
\biggl|J_<^{\gamma_1}- L^d\sum_{\mathbf c\neq 0}\eta(\mathbf c){\sigma^*_\mathbf c(A) \sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A,L)\biggr|\lesssim_{\gamma_1} L^{7/2+(d+4)\gamma_1}\|w\|_{\widetilde K_1,\widetilde K_2}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
для подходящих констант $\widetilde K_1, \widetilde K_2$. Здесь члены $\sigma^*_\mathbf c(A)$ определяются в (1.10), члены ${\sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A)$ задаются формулой
$$
\begin{equation}
{\sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A,L):=L^{-d} \sum_{q=1}^\infty q^{-1}I_q(\mathbf c;A,0,L) ,
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
а константы $\eta(\mathbf c)\in\{0,1\}$ определены в лемме 8.1. В частности, $\eta(0)=1$, если определитель $\det A$ является квадратом целого числа, и $\eta(0)=0$ в противном случае. Доказательство оценки (1.22) использует лемму 8.1 (лемма 30 из [1]), включая лишь незначительные модификации рассуждений из [1], и мы оставляем его читателю. Оценку для $J_0$ также приходится уточнять, и это делается в п. 8.1. Мы рассматриваем только случай, когда определитель $\det A$ является квадратом целого числа, в частности, $\eta(0)=1$. Противоположный случай может быть получен незначительной модификацией предыдущего, следующей работе [1] (см. обсуждение в п. 8.1). В предложении 8.3, являющемся комбинацией лемм 13, 16 и 31 из [1], модифицированной с использованием предложения 3.8, мы доказываем, что в случае квадратного определителя $\det A$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_0&=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A)L^d\log L + K(0)L^d \\ &\qquad + O_{\varepsilon}\bigl(L^{d-\varepsilon} \bigl(\|w\|_{d/2-2,d-1}+\|w\|_{0,d+1}\bigr)\bigr) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $K(0)=K(0;w,A)$ определена в п. 8.1.1. Тождество (1.18) вместе с приведенными выше оценками снова дает желаемый результат, если мы выберем $\gamma_1=(1/2-\varepsilon)/(d+4)$ и положим
$$
\begin{equation}
\sigma_1(w;A,L):=K(0)+ \sum_{\mathbf c\neq 0}\eta(\mathbf c) \sigma^*_\mathbf c(A) \sigma_{\infty}^\mathbf c(w;A,L) .
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
Конечность произведений $\sigma^*_\mathbf c(A)$ следует из леммы 8.2, а заявленная в теореме оценка для константы $\sigma_1(w;A,L)$ установлена в п. 8.1.3.
§ 2. Суммы $S_q$Мы начинаем доказательство теоремы 1.3, следуя схеме, предложенной в п. 1.2. В части утверждений, составляющих доказательство, ограничение $d\geqslant5$ не используется, и далее мы всегда указываем реальные требования к $d$. Напомним, что зависимость констант, возникающих в оценках, от $d$ и $A$ явно не указывается (см. обозначения 1.8). В настоящем параграфе мы анализируем суммы входящие, в частности, в определения сингулярных рядов $\sigma(A,{L^2m})$ и $\sigma_p(A,{L^2m})$.Лемма 2.1 (см. [1; лемма 25]). Для любого $d\geqslant 1$ выполнена оценка равномерно по $\mathbf c\in\mathbb Z^{d}$. Доказательство. Согласно (1.7) и неравенству Коши–Буняковского
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |S_q(\mathbf c)|^2 &\leqslant \phi(q) \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod}q)} \biggl|\sum_{\mathbf b(\operatorname{mod} q)} e_q(aF^{L^2m}(\mathbf b) + \mathbf c\cdot \mathbf b) \biggr|^2 \\ &=\phi(q) \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod} q)} \sum_{\mathbf u,\mathbf v(\operatorname{mod}q)} e_q\bigl(a(F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v)) + \mathbf c\cdot (\mathbf u-\mathbf v)\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\phi(q)$ — функция Эйлера. Поскольку $F^t(\mathbf z)=\frac12 A\mathbf z\cdot\mathbf z -t$, то
$$
\begin{equation*}
F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v) =(A\mathbf v)\cdot \mathbf w+ F(\mathbf w) =\mathbf v\cdot A\mathbf w + F(\mathbf w).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно
$$
\begin{equation*}
e_q\bigl(a(F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v)) + \mathbf c\cdot (\mathbf u-\mathbf v)\bigr) =e_q\bigl(aF(\mathbf w) + \mathbf c\cdot \mathbf w\bigr)e_q(a\mathbf v\cdot A\mathbf w).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство показывает, что суммирование по $\mathbf v$ в (2.1) может дать ненулевой вклад, только если каждая компонента вектора $A\mathbf w$ делится на $q$. Это свойство выполняется не более чем для конечного числа $N$ векторов $\mathbf w$, зависящего только от $\det A$. Следовательно, В следующем следствии мы замечаем, что лемма 2.1 влечет конечность сумм $\sigma^{\mathbf c}_p$, определенных в (1.10). Напомним, что $\sigma(A,L^2m)=\prod_p \sigma_p(A,L^2m)$ (см. (1.11)). Лемма 2.3. При $d\geqslant5$ для любого $1\leqslant X \leqslant\infty$ выполнено Доказательство. Докажем сначала следующее свойство мультипликативности тригонометрических сумм: если $(q,q')=1$ (см. [1; лемма 23]). По определению
$$
\begin{equation*}
S_{qq'}(0)= \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod} qq')} \sum_{\mathbf v(\operatorname{mod} qq')} e_{qq'}(aF^{L^2m}(\mathbf v)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(q,q')=1$, мы можем заменить суммирование по $a$ ${(\operatorname{mod} qq')}$ двойным суммированием по $a_q \ (\operatorname{mod}q)$ и по $a_{q'}\ (\operatorname{mod}q')$, записав $a=qa_{q'}+q'a_q$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S_{qq'}(0)= \mathop{{\sum}^*}_{a_q(\operatorname{mod} q)}\, \mathop{{\sum}^*}_{a_{q'}(\operatorname{mod} q')} \sum_{\mathbf v(\operatorname{mod} qq')} e_{q}(a_qF^{L^2m}(\mathbf v) ) e_{q'}(a_{q'}F^{L^2m}(\mathbf v) ) .
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь заменим суммирование по $\mathbf v\ (\operatorname{mod} qq')$ двойным суммированием по $\mathbf v_q\ (\operatorname{mod}q)$ и по $\mathbf v_{q'}\ (\operatorname{mod}q')$, записав $\mathbf v= q\overline q \mathbf v_{q'} + q'{\overline q}' \mathbf v_q$, где $\overline q$ и ${\overline q}'$определяются из соотношений $q\overline q=1\ (\operatorname{mod} q')$ и $q'{\overline q}'=1\ (\operatorname{mod} q)$. Тогда мы получаем
$$
\begin{equation*}
F^{L^2m}(\mathbf v)=q^2\overline q^2F(\mathbf v_{q'}) + q'^2{\overline q}'^2F(\mathbf v_{q}) + q\overline qq'{\overline q}' A\mathbf v_{q'}\cdot \mathbf v_q -{L^2m} ,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
e_q(a_qF^{L^2m}(\mathbf v))=e_q(a_qq'^2{\overline q}'^2 F(\mathbf v_q) -a_q{L^2m})=e_q (a_q F^{L^2m} (\mathbf v_q))
\end{equation*}
\notag
$$
по определению ${\overline q}'$ и поскольку $e_q(q N)=1$ для любого целого числа $N$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
e_{q'}(a_{q'}F^{L^2m}(\mathbf v))= e_{q'}(a_{q'} F^{L^2m}(\mathbf v_{q'})) .
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем (2.2).Теперь заметим, что в силу леммы 2.1
$$
\begin{equation}
\sum_{q\geqslant X}q^{-d} |S_q(0)|\lesssim \sum_{q\geqslant X}q^{-d/2+1} \lesssim X^{-d/2+ 2}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Согласно (2.2) и определению $\sigma$
$$
\begin{equation*}
\sigma=\lim_{n\to\infty} \sigma^n, \qquad \sigma^n=\prod_{p\leqslant n}\sum_{l=0}^n p^{-dl}S_{p^l}(0)= \sum_{q\in P_{n}} q^{-d}S_q(0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ – простые числа, а $P_{n}$ обозначает множество натуральных чисел $q$, разложение которых на простые множители имеет вид $q=p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}$, где $2\leqslant p_1 <p_2<\dots <p_m\leqslant n$, $k_j\leqslant n$ и $m\geqslant0$ ($m=0$ соответствует $q=1$). Так как любое $q\leqslant n$ принадлежит $P_n$, то согласно (2.3)
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{q\in P_{N}} q^{-d}S_q(0) - \sum_{q\leqslant X} q^{-d}S_q(0)\biggr| \lesssim X^{-d/2 +2} \quad \forall\, N\geqslant X
\end{equation*}
\notag
$$
для любого конечного $X>0$. Переходя в этой оценке к пределу при $N\to\infty$, получаем требуемое утверждение для случая $X<\infty$. После этого для случая $X=\infty$ оно следует очевидным образом.
Лемма 2.3 доказана. § 3. Сингулярные интегралы $I^0_q$3.1. Свойства функции $h(x,y)$В этом пункте, следуя [1; § 3], мы строим и исследуем функцию $h(x,y)\in C^\infty(\mathbb R_>,\mathbb R)$ из теоремы 1.1. Рассмотрим функцию $w_0\in C_0^\infty(\mathbb R)$,
$$
\begin{equation}
w_0(x)=\begin{cases} \exp\biggl(\dfrac1{x^2-1}\biggr), & \text{если }|x|<1, \\ 0, & \text{если }|x|\geqslant 1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обозначим $\displaystyle c_0:=\int_{-\infty}^{\infty}w_0(x)\,dx$ и введем сдвинутую весовую функцию которая, разумеется, принадлежит классу $C^\infty_0(\mathbb R)$. Очевидно, $ 0\leqslant \omega\leqslant 4e^{-1}/c_0$, носитель $\omega$ равен $[1/2,1]$ и $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\omega(x)\,dx=1$. Определим искомую функцию $h\colon\mathbb R_{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R$ в терминах $\omega$, а именно равенством где
$$
\begin{equation}
h_1(x):=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{xj}\omega(xj), \qquad h_2(x,y):=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{xj}\omega \biggl(\frac{|y|}{x j}\biggr) .
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Для любой фиксированной пары $(x,y)$ каждая из двух сумм по $j$ содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых. Следовательно, функция $h$ гладкая. В [1; § 3] показано, как вывести5 теорему 1.1 из определения (3.2). Мы же ограничиваемся формулировкой некоторых свойств функции $h$, доказанных в [1; § 4]. В частности, они влекут, что при малых $x$ функция $h(x,y)$ ведет себя как дельта-функция в точке $y$. Лемма 3.1 (см. [1; лемма 4]). Выполнены следующие соотношения: 1) $h(x,y)=0$ при $x\geqslant 1$ и $|y|\leqslant x/2$; 2) если $x\leqslant 1$ и $|y|\leqslant x/2$, то $h(x,y)=h_1(x)$ и для любого $m\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial^m h(x,y)}{\partial x^m} \biggr| \lesssim_m \frac{1}{x^{m+1}};
\end{equation*}
\notag
$$
3) если $|y|\geqslant x/2$, то для любых $m,n\geqslant 0$ Лемма 3.2 (см. [1; лемма 5]). Пусть $m,n,N\geqslant 0$. Тогда для любых $x$, $y$ Лемма 3.2 с $m=n=N=0$ немедленно влечет Лемма 3.4 (см. [1; лемма 6]). Пусть $ X\in \mathbb R_{>0}$ и $0<x<C\min\{1,X\}$ для какой-нибудь постоянной $C>0$. Тогда для всех $N\geqslant0$ Лемма 3.5 (см. [1; лемма 8]). Пусть $X\in \mathbb R_{>0}$ и $n\in \mathbb N$. Пусть также $x<C\min\{1, X\} $ для некоторого $C>0$. Тогда Результаты, сформулированные выше, используются в доказательстве ключевой леммы 9 работы [1], которую мы уточняем следующим образом. Лемма 3.6. Рассмотрим функцию $f\in \mathcal C^{M-1,0}(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)$, $M\geqslant 1$, такую, что ее $(M-1)$-я производная $f^{(M\,{-}\,1)}$ абсолютно непрерывна на $[-1,1]$, и пусть $0<x\leqslant C$ для некоторой постоянной $C>0$. Тогда для произвольных $0\,{<}\,\beta\,{\leqslant}\, 1$ и $N\geqslant 0$ где $X:=\min\{1,x/\beta\}$. Доказательство. Согласно лемме 3.2 с $m=n=0$ для любого $N\geqslant 0$ выполнено $|h(x,y)| \lesssim_N (x^N+\beta^N)x^{-1}$, если $|y|\geqslant X$. Следовательно, “хвост” интеграла $\displaystyle\int fh \,dy$ может быть ограничен следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl|\int_{|y|\geqslant X} f(y) h(x,y) \, dy\biggr| \\ &\qquad\lesssim_N (x^N+\beta^N)x^{-1} \int_{|y|\geqslant X} |f(y)|\,dy \lesssim_N(x^N+\beta^N)x^{-1} |f|_{L_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Для анализа интеграла по промежутку $|y|<X$ мы используем разложение Тейлора функции $f(y)$ в нуле:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{-X}^X f(y) h(x,y) \, dy \\ &\qquad=\sum_{j=0}^{M-1} \frac{f^{(j)}(0)}{j!}\int_{-X}^X y^j h(x,y)\, dy + O_M\biggl(\frac{X^{M}}{x} \int_{-X}^{X}|f^{(M)}(y)|\,dy\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где мы также использовали следствие 3.3. Далее мы применяем лемму 3.4, в которой $N$ заменено на $N+1$, и находим, что
$$
\begin{equation}
f(0) \int_{-X}^X h(x,y)\, dy=f(0) + O_{N,C}\biggl(\|f\|_{0,0}\biggl(Xx^{N} +\frac{x^{N+1}}{X^{N+1}}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
в то время как согласно лемме 3.5 для любого $j>0$ выполнено
Объединяя соотношения (3.4)–(3.7), мы получаем искомую оценку. Действительно, поскольку $X\leqslant x/\beta$, то член $O_M$ в (3.5) ограничен аналогичным членом в (3.3). Кроме того, так как $(x/X)^{N+1}=\max(x^{N+1},\beta^{N+1})\lesssim_{C} Cx^N +\beta^N$, то выражения в скобках из (3.6) и (3.7) удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation*}
Xx^{N} +\frac{x^{N+1}}{X^{N+1}}\lesssim_{C} x^N + \beta^N.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы использовали соотношение $X\leqslant 1$.
Лемма доказана. Лемма 3.6 нужна для доказательства теоремы 1.4, в то время как для доказательства теоремы 1.3 достаточно ее следующей упрощенной версии. Следствие 3.7. Допустим, что интегрируемая функция $f$ лежит в классе $\mathcal C^{M,0}(\mathbb R)$, ${M}\in \mathbb N$, и $0<x\leqslant C$ для некоторой постоянной $C>0$. Тогда для любого $0<\delta <1$ Доказательство. Желаемое утверждение следует из леммы 3.6, если выбрать $\beta=x^{\delta/(M+1)}$ при $x\leqslant 1$ и $\beta=1$ при $x>1$. Действительно, в этом случае для $ 0<x\leqslant1$ имеем $x^M \beta^{-(M+1)}=x^{M-\delta}$ и Для $1\leqslant x\leqslant C$ имеем $x^M \leqslant C^\delta x^{M-\delta}$, так что, взяв $N=0$, получаем Теперь требуемое утверждение следует из полученных соотношений.
Следствие доказано. 3.2. Асимптотика интеграла $I_q(0)$В дальнейшем будет удобно записать интеграл $I_q(\mathbf c; A, L^2m)$ в виде где
$$
\begin{equation}
\widetilde I_q (\mathbf c)=\widetilde I_q (\mathbf c; A,m,L)= \int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z)h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr) e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L)\,d\mathbf z.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Следующее предложение заменяет леммы 11, 13 и теорему 3 из [1]. В отличие от тех результатов, мы не предполагаем, что $0\notin\operatorname{supp} w$. Поскольку при $\mathbf c=0$ экспонента $e_q$ в определении интеграла $I_q(\mathbf c)$ равна 1, мы можем рассматривать $I_q(0)$ как функцию вещественного аргумента $q\in\mathbb R$, что мы и делаем в предложении ниже (это нам понадобится в п. 8.1). Предложение 3.8. Предположим, что $q\in\mathbb R$ и $q\leqslant C L$ для некоторой постоянной $C> 0$. a) Если $d\geqslant5$ и ${\mathbb N}\ni {M}< d/2-1$, то для произвольного $\delta>0$
$$
\begin{equation}
I_q(0;A, m, L) =L^{d} \sigma_\infty(w;A,m) +O_{m, {M},C,{\delta}}\bigl(q^{M-\delta} L^{d-{M}+{\delta}} \| w\|_{M,d+1}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
b) Если $d=4$, $\mathbb N \ni {M}\leqslant d/2-1$ и $m=0$, то для произвольных $0<\beta\leqslant 1$ и $N\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_q(0; A,0,L) &=L^{d} \sigma_\infty(w; A,0) + O\biggl(\beta^{-{M}-1}q^{M}L^{d-{M}}\biggl\langle \log\biggl(\frac{q}{L\beta}\biggr)\biggr\rangle \| w\|_{M,d+1}\biggr) \\ &\qquad + O_{C,N}\bigl((q^NL^{d-N}+\beta^N)(\|w\|_{M-1,d+1} + Lq^{-1}\|w\|_{0,d+1})\bigr) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Доказательство. Пусть $d\geqslant{4}$. Применяя формулу Кронрода–Федерера (см. [12; п. 3.2.4]), мы представляем интеграл в (3.9) с $c=0$ как интеграл по гиперповерхности $\Sigma_t$:
$$
\begin{equation}
\widetilde I_q(0)=\int_\mathbb R \mathcal I(m+t) h\biggl(\frac qL,t\biggr)\, dt, \qquad \mathcal I(t)=\int_{\Sigma_t} w(\mathbf z)\mu^{\Sigma_t}(d\mathbf z),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где мера $\mu^{\Sigma_t}$ совпадает с мерой из (1.9). Согласно теореме 7.3
$$
\begin{equation}
\| \mathcal I\|_{k, \widetilde K} \lesssim_{k, K, \widetilde K} \| w\|_{k,K}, \quad\text{если }\ \widetilde K < \frac{K+2-d}2, \quad K>d,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
а $ k< d/2-1$. Обозначим $f^m(y)=\mathcal I(m+y)$. Тогда $\| f^m\|_{k,\widetilde K} \lesssim_{m, \widetilde K} \| \mathcal I \|_{k,\widetilde K}$, и согласно (3.13)
Для доказательства формулы (3.10) мы применяем следствие 3.7 с $f=f^m$ и $x=q/L$ к первому интегралу в (3.12). Заметим, что $ f^m(0)=\mathcal I(m)=\sigma_\infty(w; A,m)$. Тогда, используя (3.13) с $\widetilde K=0$, $ K=d+1$ и $k=M$ вместе с (3.14), мы получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde I_q(0)=\sigma_\infty(w) +O_{M, m,C, \delta} \bigl( q^{M-\delta} L^{-M+\delta}\| w\|_{M, d+1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно (3.10).
Чтобы доказать (3.11), мы применяем лемму 3.6 к интегралу в (3.12) с $m=0$ и получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\mathbb R \mathcal I(t) h(x,t)\,dt &=\mathcal I(0) + O_{M}\biggl(\beta^{-M-1}x^{M} \biggl(\frac1X\int_{-X}^{X}|\mathcal I^{(M)} (t)|\,dt\biggr)\biggr) \\ &\qquad +O_{C,N}\bigl((x^N+\beta^N)(\|\mathcal I\|_{M-1,0} +x^{-1} |\mathcal I |_{L_1})\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x=q/L$ и $ X=\min\{1,x/\beta\}$. Теорема 7.3 с $k=M$ и $M=d+1$ влечет
$$
\begin{equation*}
\int_{-X}^{X}|\mathcal I^{(M)}(t)|\,dt \lesssim X\langle \log X\rangle \|w\|_{M,d+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя оценка вместе с (3.13) и (3.14) влечет (3.11).
Предложение 3.8 доказано. § 4. Член $J_0$В этом параграфе доказывается следующее предложение, в котором мы анализируем член $J_0$, определенный в (1.19). Доказательство. Запишем $J_0$ в виде (1.21). Тогда неравенство влечет, что достаточно обосновать приведенные ниже леммы 4.2 и 4.3, в которых мы оцениваем члены $J_0^+$ и $J_0^-$.
Предложение доказано. Доказательство. Согласно лемме 2.1 имеем $|S_q(0)|\lesssim q^{d/2+1}$, так что
$$
\begin{equation*}
|J_0^+|\lesssim\sum_{q>L^{1-\gamma_2}} q^{-d/2+1}I_q(0).
\end{equation*}
\notag
$$
Записывая интеграл $I_q$ в виде (3.8), согласно следствию 3.3 находим, что Следовательно,
Лемма доказана. Доказательство. Подставляя (3.10) с $C=1$ в определение члена $J_0^-$, получаем, что $J_0^-=I_A+I_B$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_A :=L^{d}\sigma_\infty(w)\sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}} q^{-d}S_q(0), \\ |I_B|\lesssim_{M,\delta,m}L^{d-M+\delta}\|w\|_{M,d+1} \sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}}S_q(0) q^{-d+M} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $M< d/2-1$ и произвольного $\delta>0$. Лемма 2.3 влечет равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}} q^{-d}S_q(0)=\sigma(A,L^2m) + O(L^{(-d/2+2)(1-\gamma_2)}),
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
I_A=L^{d}\sigma_\infty(w)\sigma(A,L^2m) + O(\sigma_\infty(w) L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2-2)}),
\end{equation*}
\notag
$$
в то время как $|\sigma_\infty(w)|=|\mathcal I(m)|\leqslant \|\mathcal I\|_{0,0}\leqslant\|w\|_{0,d+1}$ ввиду (3.13). С другой стороны, лемма 2.1 влечет неравенство Выбирая $M=\lceil d/2\rceil -2$ и $\delta=\gamma_2/2$, находим
Лемма доказана. § 5. Член $J_>^{\gamma_1}$В этом параграфе мы оцениваем член $J_>^{\gamma_1}$, определенный в (1.19). Ключевой момент доказательства состоит в адаптации леммы 19 из [1] для нашего случая. Напомним обозначение (3.8). Доказательство. Положим $f_q(\mathbf z):=w(\mathbf z)h(q/L,F^m(\mathbf z))$. Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{i}{2\pi}\,\frac{q}{L} |\mathbf c|^{-2}( \mathbf c\cdot \nabla_{\mathbf z})e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L) =e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L),
\end{equation*}
\notag
$$
то, интегрируя по частям $N$ раз в интеграле (3.9), мы находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, | \widetilde I_q(\mathbf c)| &\leqslant \biggl(\frac{q}{2\pi L} |\mathbf c|^{-2}\biggr)^N \int_{\mathbb R^{d}} \bigl|( \mathbf c\cdot \nabla_{\mathbf z})^N f_q(\mathbf z)\bigr|\,d\mathbf z \\ &\lesssim_{N} \biggl(\frac qL\biggr)^N |\mathbf c|^{-N} \\ &\qquad\times \sum_{0\leqslant n\leqslant N}\int_{\mathbb R^{d}}\max_{0\leqslant l\leqslant n/2} \biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr| |\mathbf z|^{n-2l} \bigl|\nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr|\,d\mathbf z, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\dfrac{\partial}{\partial y} h$ обозначает производную функции $h$ по второму аргументу.
Предположим сначала, что $q\leqslant L$. Тогда согласно лемме 3.2 с $N=0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max_{0\leqslant l\leqslant n/2}\biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr|\, |\mathbf z|^{n-2l} \bigl| \nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr| \\ &\qquad\leqslant \biggl(\frac Lq\biggr)^{n+1}\langle \mathbf z\rangle^{-d-1} \|w\|_{N-n,n+d+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $n\leqslant N$, мы получаем (5.1). Пусть теперь $q>L$. Тогда согласно п. 1) леммы 3.1 функция $h$ не зануляется, только если Для таких $\mathbf z$ и для $l\leqslant n$ п. 3) леммы 3.1 влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr)\biggr| \lesssim_{n-l} \frac Lq\frac{1}{|F^m(\mathbf z)|^{n-l}} \lesssim_{n-l}\biggl(\frac{L}{q}\biggr)^{n-l+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max_{0\leqslant l\leqslant n/2} \biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr| \,|\mathbf z|^{n-2l} \bigl|\nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr| \\ &\qquad\lesssim\max_{0\leqslant l\leqslant n}\frac{(L/q)^{n-l+1}}{\langle \mathbf z\rangle^{2(N-n+l)}} \,\frac{\|w\|_{N-n,2N-n+d+1}}{\langle\mathbf z\rangle^{d+1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $q/L \lesssim_m\langle\mathbf z\rangle^2$ ввиду (5.2), то первая дробь последнего неравенства ограничена величиной $(L/q)^{N+1}$, и мы снова получаем (5.1).
Предложение 5.1 доказано. В качестве следствия находим оценку на $J_>^{\gamma_1}$. Следствие 5.2. Член $J_>^{\gamma_1}$, определенный в (1.19) с $\gamma_1\in(0,1)$ и $d\geqslant3$, удовлетворяет неравенству где $N_0:=\lceil d+(d+1)/\gamma_1\rceil$. Доказательство. Обозначая $l^1$-норму через $|\cdot |_1$, по определению $J_>^{\gamma_1}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |J_>^{\gamma_1}| &\lesssim \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{-d}\sup_{|\mathbf c|_1=s}|S_q(\mathbf c)| |I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{1-d/2}L^d\sup_{|\mathbf c |_1=s} |\widetilde I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim_{N,m} \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{-d/2} s^{-N} L^{d+1}\|w\|_{N,2N+d+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где второе неравенство следует из леммы 2.1, а третье – из предложения 5.1. Сумма по $q$ ограничена константой. Выбирая $N=N_0$, получаем
Следствие доказано. § 6. Член $J^{\gamma_1}_<$6.1. ОценкаНаша следующая (и последняя) задача состоит в оценке члена $J^{\gamma_1}_<$ из (1.18). Предложение 6.1. Для любых $d\geqslant3$ и $\gamma_1\in(0,1/2)$ где $\overline N=\overline N(d,\gamma_1):=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d$. Предложение 6.1 следует из леммы 6.2, являющейся модификацией леммы 22 в [1] и доказанной в п. 6.2. Лемма 6.2. Для любых $d\geqslant 3$ и $\mathbf c\ne 0$ Доказательство предложения 6.1. Согласно лемме 2.1
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |J^{\gamma_1}_<| &\lesssim \sum_{\mathbf c\ne 0,\,|\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} \sum_{q=1}^\infty q^{-d}q^{d/2+1} |I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim L^{d\gamma_1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)| \sum_{q=1}^\infty q^{-d/2+1} \\ &=L^{d\gamma_1} \biggl(\sum_{q<L} + \sum_{q\geqslant L}\biggr) q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)|=J_{-} + J_{+}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_- &:=L^{d\gamma_1} \sum_{q<L} q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)|, \\ J_+&:=L^{d\gamma_1} \sum_{q\geqslant L} q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}}|I_q(\mathbf c)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 3.3 вместе с (3.8), (3.9) влечет так что
$$
\begin{equation*}
J_{+}\lesssim L^{d\gamma_1} L^{d+1} |w|_{L_1} \sum_{q\geqslant L} q^{-d/2} \lesssim L^{d\gamma_1 + d/2+2} |w|_{L_1}\lesssim L^{d\gamma_1 + d/2+2} \|w\|_{0,d+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, так как $|\mathbf c|\geqslant 1$, то из леммы 6.2 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_{-} &\lesssim_{\gamma_1,m} L^{d\gamma_1} L^{d/2+1+\gamma_1}\bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N +3d+4}\bigr)\sum_{q< L} q^{-\gamma_1} \\ &\leqslant \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N+3d+4}\bigr) L^{\gamma_1(d+1)+d/2+2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. 6.2. Доказательство леммы 6.26.2.1. Применение обратного преобразования ФурьеЗаметим, что доказательство нетривиально только при $q\lesssim L|\mathbf c|$: действительно, для любого $\alpha>0$ оценка (6.1) влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
|I_q(\mathbf c)| \lesssim_\alpha L^d|w|_{L_1} \lesssim_{\alpha} L^d \biggl(\frac{L|\mathbf c|}{q}\biggr)^{-d/2+1+\gamma_1} |w|_{L_1}, \quad \text{если } \ q\geqslant \alpha L |\mathbf c|,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $|\mathbf c|\geqslant 1$ и $-d/2+1+\gamma_1<0$. Теперь остается снова использовать неравенство $|w|_{L_1}\lesssim \|w\|_{0,d+1}$.Выберем достаточно малое $\alpha=\alpha(d,\gamma_1, A) \in(0,1)$ и допустим, что $q< \alpha L|\mathbf c|$. Рассмотрим функцию $w_2(x)=1/(1+x^2)$ и положим
$$
\begin{equation}
\widetilde w(\mathbf z):=\frac{w(\mathbf z)}{w_2(F^m(\mathbf z))}={w(\mathbf z)} (1+F^m(\mathbf z)^2).
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
p(t):=\int_{-\infty}^{+\infty} w_2(v) h\biggl(\frac{q}{L},v\biggr) e(-tv) \,dv, \qquad e(x):=e_1(x)= e^{2\pi i x}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Это преобразование Фурье функции $w_2(\cdot)h(q/L,\cdot)$. Тогда, выражая $w_2 h$ через $p$ с помощью обратного преобразования Фурье и записывая $w(\mathbf z)=\widetilde w(\mathbf z)w_2(F^m(\mathbf z))$, получаем
$$
\begin{equation*}
w(\mathbf z)h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) =\widetilde w(\mathbf z)\int_{-\infty}^{+\infty} p(t)e(t F^m(\mathbf z))\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя это выражение в (3.9), находим
$$
\begin{equation*}
\widetilde I_q(\mathbf c)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(t)e(-tm)\biggl(\int_{\mathbb R^{d}} \widetilde w(\mathbf z) e\bigl(tF(\mathbf z)-\mathbf u\cdot \mathbf z\bigr)\,d\mathbf z \biggr)\,dt, \qquad \mathbf u:=\frac{\mathbf cL}{q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что поскольку $q<\alpha |\mathbf c| L $. Обозначим $W_0(x)=c_0^{-d}\prod_{i=1}^{d}w_0(x_i)$ (см. (3.1)). Тогда $W_0\in C_0^\infty (\mathbb R^d)$, $W_0\geqslant0$ и
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} W_0=[-1, 1]^d \subset \{ x \in \mathbb R^d\colon |x| \leqslant \sqrt{d} \}, \qquad \int_{\mathbb R^d} W_0(x)\,dx=1.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Положим $\delta=| \mathbf u|^{-1/2} < \sqrt\alpha$ и запишем $\widetilde w$ в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde w(\mathbf z)=\delta^{-d} \int_\mathbb R^d W_0\biggl( \frac{\mathbf z-\mathbf a}{\delta}\biggr) \widetilde w(\mathbf z)\,d\mathbf a.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначив $\mathbf b:=(\mathbf z-\mathbf a)/\delta$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
|\widetilde I_q(\mathbf c)| \leqslant \int_{\mathbb R^{d}}\int_{-\infty}^{+\infty} |p(t)|\,|I_{\mathbf a,t}|\, dt\,d\mathbf a,
\end{equation*}
\notag
$$
где ввиду (6.4)
$$
\begin{equation*}
I_{\mathbf a,t}:=\int_{\{ |\mathbf b| \leqslant \sqrt{d}\}} W_0(\mathbf b) \widetilde w(\mathbf z)e(tF(\mathbf z) - \mathbf u\cdot\mathbf z)\,d\mathbf b, \qquad \mathbf z:=\mathbf a+\delta\mathbf b.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим показатель экспоненты в интеграле $ I_{\mathbf a,t}$:
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf b)=f_{\mathbf a,t}(\mathbf b):=tF(\mathbf a+ \delta\mathbf b) - \mathbf u\cdot (\mathbf a+ \delta\mathbf b).
\end{equation*}
\notag
$$
На следующем шаге мы оцениваем интеграл $I_{\mathbf a,t}$, рассматривая $(\mathbf a,t)$ как параметр. Для этого введем еще один параметр $R$, удовлетворяющий неравенству точное значение которого будет выбрано позже.Далее мы разделяем два случая: 1) параметр $(\mathbf a,t)$ лежит в “хорошей” области $S_R$, где
$$
\begin{equation*}
S_R=\biggl\{ ( \mathbf a,t)\colon |\nabla f(0)|=\delta |t A\mathbf a - \mathbf u| \geqslant R\biggl\langle \frac{t}{|\mathbf u |}\biggr\rangle =R\langle \delta^2t\rangle \biggr\};
\end{equation*}
\notag
$$
2) параметр $(\mathbf a,t)$ лежит в “плохом” множестве ${S_R}^c= (\mathbb R^d \times \mathbb R) \setminus S_R$. 6.2.2. Интеграл по области $S_R$Рассмотрим сначала интеграл по множеству $S_R$. Доказательство. Положим $\mathbf l:=\nabla f(0)/|\nabla f(0)|$ и $\mathcal L=\mathbf l\cdot \nabla_\mathbf b$. Тогда для $(\mathbf a,t)\in S_R$ и $|\mathbf b|\leqslant \sqrt{d}$ (см. (6.4))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\mathcal L f(\mathbf b)| &=\biggl|\mathcal L f(0) +\delta^2 t \nabla f(0)\cdot\frac{A\mathbf b}{|\nabla f(0)|}\biggr| \\ &\geqslant|\nabla f(0)| - \delta^2|t||A\mathbf b| \geqslant R\langle\delta^2 t \rangle - \delta^2|t|\,\|A\| \frac{R}{2\|A\|} \nonumber \\ &\geqslant \frac12 R\langle\delta^2 t \rangle\geqslant \frac R2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
В силу тождества $(2\pi i \mathcal L f(\mathbf b))^{-1} \mathcal L e(f(\mathbf b))= e(f(\mathbf b))$ находим, что $N$-кратное интегрирование по частям в интеграле $ I_{\mathbf a,t}$ влечет оценку
$$
\begin{equation*}
|I_{\mathbf a,t}| \lesssim_{N} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N} \biggl|\mathcal L^{N-k} \widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\frac{\bigl(\mathcal L^2f(\mathbf b)\bigr)^k}{\bigl(\mathcal L f(\mathbf b)\bigr)^{N+k}}\biggr| ,
\end{equation*}
\notag
$$
где мы использовали соотношение $\mathcal L^m f(\mathbf b)=0$ при $m\geqslant 3$. Так как $|\mathcal L^2f(\mathbf b)|\leqslant \delta^2|t||\mathbf l\cdot A\mathbf l|\leqslant\delta^2|t|\|A\|$, то ввиду (6.6) имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\mathcal L^2 f(\mathbf b)}{\mathcal L f(\mathbf b)}\biggr| \leqslant\frac{\delta^2|t|\,\|A\|}{\frac12 R\langle\delta^2 t \rangle} =\frac{2\|A\|}{R}\leqslant \frac{1}{\sqrt{d}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, используя соотношение
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1}{\mathcal L f(\mathbf b)}\biggr|\leqslant\frac2R,
\end{equation*}
\notag
$$
имеющее место в силу (6.6), находим
$$
\begin{equation*}
|I_{\mathbf a,t}| \lesssim_{N} R^{-N} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N}\bigl|\mathcal L^{k} \widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, обозначая через $\mathbf 1_{S_R}$ индикаторную функцию множества $S_R$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R^{d}}|I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{S_R}\,d\mathbf a &\lesssim_{N} R^{-N}\int_{\mathbb R^{d}} \Bigl(\langle\mathbf a\rangle^{d+1} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N}\bigl|\mathcal L^k\widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\bigr| \Bigr)\, \frac{d\mathbf a}{\langle\mathbf a\rangle^{d+1}} \\ & \lesssim_{N} R^{-N}\|\widetilde w\|_{N,d+1} \lesssim_{N,m} R^{-N}\|w\|_{N,d+5} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $t$. Поэтому левая часть неравенства (6.5) удовлетворяет соотношению
Для завершения доказательства леммы нам остается показать, что Ввиду леммы 3.2 с $N=2$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial^k}{\partial v^k} h(x,v)\biggr| \lesssim_k x^{-k-1}\min\biggl\{1,\frac{x^2}{v^2}\biggr\}, \qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и согласно следствию 3.3 $|h(x,v)|\lesssim x^{-1}$. Тогда интегрирование по частям в (6.3) показывает, что для любого $M\geqslant 0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |p(t)| & \lesssim_M |t^{-M}| \biggl(\int_{-\infty}^\infty|w_2^{(M)}(v)|x^{-1}\,dv \\ &\qquad+ \max_{1\leqslant k \leqslant M}\int_{-\infty}^\infty|w_2^{(M-k)}(v)|x^{-k-1}\min\biggl\{1,\frac{x^2}{v^2}\biggr\}\,dv\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x:=q/L$. Записывая последний интеграл в виде суммы $\displaystyle \int_{|v|\leqslant x} + \int_{|v|>x}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{|v|\leqslant x}=x^{-k-1}\int_{|v|\leqslant x} |w_2^{(M-k)}(v)|\,dv \lesssim_{M} x^{-k}, \\ \int_{|v|>x}=x^{-k+1}\int_{|v|>x} \frac{ |w_2^{(M-k)}(v)|}{v^2}\,dv \lesssim_{ M} x^{-k}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого $M\geqslant 0$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} |p(t)| &\lesssim_M \biggl(\frac{q}{L}|t|\biggr)^{-M}, &\quad &\text{если }\ \frac qL <1 , \\ |p(t)| &\lesssim_M \biggl(\frac{q}{L}\biggr)^{-1} |t|^{-M}, &\quad &\text{если }\ \frac qL \geqslant 1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Выбирая $M=2$ при $|t|>\langle L/q \rangle$ и $M=0$ при $|t|\leqslant \langle L/q \rangle$, получаем (6.8).
Лемма 6.3 доказана. 6.2.3. Интеграл по области ${S_R}^c$Теперь мы исследуем интеграл по “плохому” множеству ${S_R}^c$. Лемма 6.4. Для любых $d\geqslant 1$, $1\leqslant R\leqslant |\mathbf u|^{1/3}$ и $0<\beta<1$ где $K(d,\beta)=d+\lceil d^2/(2\beta)\rceil+4$. Доказательство. На множестве ${S_R}^c$ мы используем для интеграла $I_{\mathbf a, t}$ тривиальную верхнюю оценку Включение $(\mathbf a,t)\in {S_R}^c$ влечет, что интегрирование по $d \mathbf a$ при фиксированном $t$ проводится лишь по области, где $|A\mathbf a - t^{-1}\mathbf u| \leqslant ({R}/{\delta |t|}) \langle t / |\mathbf u| \rangle$, так что
Допустим сначала, что $|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}$. Так как $|\mathbf u| >1$, то, разделяя случаи $|t| \leqslant |\mathbf u|$ и $|t| \geqslant |\mathbf u|$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{R}{\delta|t|}\biggl\langle \frac{t}{|\mathbf u|} \biggr\rangle \leqslant R|\mathbf u|^{-1/2+\beta/d}.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Ввиду (6.10)–(6.12) имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\mathbb R^{d}} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\, d\mathbf a\biggr| \lesssim R^{d}|\mathbf u|^{-d/2+\beta} \|\widetilde w\|_{0,0}.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Поскольку $|F^m(\mathbf z)|\lesssim_m \langle \mathbf z \rangle^2$, то по определению (6.2) функции $\widetilde w$ мы имеем $\|\widetilde w\|_{0,0}\lesssim_m \|w\|_{0,4}$. Тогда левая часть неравенства (6.13) удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb R^{d}} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\, d\mathbf a\biggr|\lesssim_m {R^{d}}|\mathbf u|^{-d/2+\beta} \| w\|_{0,4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что согласно (6.8)
$$
\begin{equation*}
\int_{|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}} |p(t)|\,dt \lesssim \frac{L}{q}\leqslant|\mathbf u|,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}}\biggl(\int_{\mathbb R^{d}} |p(t)|\, |I_{\mathbf a, t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \,d\mathbf a \biggr) dt \nonumber \\ &\qquad\qquad \lesssim_mR^{d}|\mathbf u|^{-d/2+1+\beta} \| w\|_{0,4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Пусть теперь $|t| \leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}$. Тогда правая часть неравенства (6.11) ограничена величиной $\|A^{-1} \| {R}/{(\delta |t|)}$, так что $|\mathbf a|\gtrsim |A^{-1}\mathbf u|/|t|- \|A^{-1} \| {R}/{(\delta |t|)}$. Ввиду соотношений $|A^{-1}\mathbf u|\geqslant C_A|\mathbf u|$ и $R\leqslant | \mathbf u |^{1/3}$ получаем
$$
\begin{equation*}
|\mathbf a|\gtrsim_A \frac{|\mathbf u|- R C'_A\sqrt{|\mathbf u|}}{|t|}\geqslant (1-C'_A|\mathbf u|^{-1/6})\frac{|\mathbf u|}{|t|} \geqslant \frac12\,\frac{|\mathbf u|}{|t|}\geqslant \frac 12 |\mathbf u|^{\beta/d},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_A'=C_A^{-1}\|A^{-1}\|$, так как $|\mathbf u|^{-1}\leqslant \alpha$, если $\alpha$ настолько мало, что $1-C'_A\alpha^{1/6}\geqslant 1/2$. Тогда $1\lesssim |\mathbf a|/|\mathbf u|^{\beta/d}$ на ${S_R}^c$, так что
$$
\begin{equation*}
\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \lesssim |\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} |\mathbf a|^{d^2/(2\beta)-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и мы получаем из (6.10), что для таких $t$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{\mathbb R^d} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \,d\mathbf a\biggr| &\lesssim |\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} \int_{\mathbb R^{d}} |\mathbf a|^{d^2/(2\beta)-1} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}|\widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)|\, d\mathbf a \\ &\lesssim_m|\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} \|w\|_{0,K(d,\beta)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $K(d,\beta)=d+\lceil d^2/(2\beta)\rceil+4$. С другой стороны, согласно (6.9) с $M=0$
$$
\begin{equation*}
\int_{|t|\leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}}|p(t)|\,dt \lesssim |\mathbf u|^{1-\beta/d},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation}
\int_{|t|\leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}} \biggl(\int_{\mathbb R^{d}}|p(t)| |I_{\mathbf a, t}| \mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\,d\mathbf a\biggr)\,dt \lesssim_m|\mathbf u|^{-d/2+1} \| w\|_{0,K(d,\beta)}.
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
Собирая вместе оценки (6.14) и (6.15), получаем искомое утверждение. Лемма 6.4 доказана. 6.2.4. Окончание доказательстваЧтобы завершить доказательство леммы 6.2, мы объединяем леммы 6.3 и 6.4 и находим, что
$$
\begin{equation*}
|\widetilde I_q(\mathbf c)|\lesssim_{N,m} \biggl(\frac Lq R^{-N} +R^{d} |\mathbf u|^{-d/2+1+\beta}\biggr)\bigl( \|w\|_{N,d+5}+\|w\|_{0,K(d,\beta)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\gamma_1\in (0,1/2)$, $\beta=\gamma_1/2$, $R=|\mathbf u|^{\gamma_1/(2d)}\leqslant|\mathbf u|^{1/3}$ и выберем $N=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d>0$ (заметим, что $R \geqslant \alpha^{-\gamma_1/(2d)}\geqslant 2\|A\|\sqrt{d}$, если $\alpha$ настолько мало, что утверждение леммы 6.3 выполняется). Тогда
$$
\begin{equation*}
K(d,\beta)=N+3d+4, \qquad R^{-N}\leqslant|\mathbf u|^{-d/2+\gamma_1}\leqslant |\mathbf c| \biggl(\frac{L|\mathbf c|}{q}\biggr)^{-d/2+\gamma_1} ,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $|\mathbf c|\geqslant 1$. Более того,
$$
\begin{equation*}
R^d |\mathbf u|^{-d/2+1+\beta}=|\mathbf u|^{-d/2+1+\gamma_1} =\biggl(\frac{L|\mathbf c|}q\biggr)^{-d/2+1+\gamma_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6.2 доказана. § 7. Интегралы по квадрикамНаша цель в этом параграфе – изучить интегралы $\mathcal I(t;w)$ по квадрикам $\Sigma_t$. Мы начнем со случая квадратичных форм $F$, записанных в удобной нормальной форме (теорема 7.1), и покажем позже (теорема 7.3), как свести общие интегралы $\mathcal I(t;w)$ к интегралам, соответствующим таким квадратичным формам. В этом параграфе мы предполагаем, что и не применяем жирный шрифт для обозначения векторов, поскольку большинство переменных, которые мы здесь используем, являются векторами.7.1. Квадратичные формы в нормальной формеНа
$$
\begin{equation*}
\mathbb R^{d}=\mathbb R^n_u\times \mathbb R_x^{d_1}\times \mathbb R_y^{d_1}=\{z=(u,x,y)\},\quad\text{где }\ d\geqslant3,\quad n\geqslant 0, \quad d_1\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
рассмотрим квадратичную форму
$$
\begin{equation}
F(z)=\frac12|u|^2+x\cdot y=\frac12 Az\cdot z, \qquad A(u,x,y)=(u,y,x).
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Заметим, что $A$ – ортогональный оператор, $|Az|=|z|$. Как и в п. 1.1, мы рассматриваем квадрики $\Sigma_t=\{z\colon F(z)=t\}$, $t\in\mathbb R$. Заметим, что при $t\neq 0$ $\Sigma_t$ является гладкой гиперповерхностью, а $\Sigma_0$ – это конус с особенностью в нуле. Обозначим элемент объема на $\Sigma_t$ (на $\Sigma_0\setminus\{0\}$, если $t=0$), индуцированный из $\mathbb R^{d}$, как $dz|_{\Sigma_t}$ и положим (см. ниже обсуждение этой меры при $t=0$). Для $k_*\in \mathbb N\cup\{0\}$ и функции $f$ на $\mathbb R^{d}$, удовлетворяющей мы будем изучать интегралы
$$
\begin{equation}
\mathcal I(t)=\mathcal I(t;f)=\int_{\Sigma_t} f(z)\mu^{\Sigma_t}(dz).
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Первая цель этого параграфа – продемонстрировать следующий результат. Теорема 7.1. Для квадратичной формы $F(z)$ из (7.1) и функции $f\in\mathcal C^{k_*,M}(\mathbb R^d)$, $M>{d}$ , рассмотрим интеграл $\mathcal I(t)=\mathcal I(t;f)$, определенный в (7.4). Тогда функция $\mathcal I(t)$ является $C^k$-гладкой, если $k< {d}/2-1$, $k\leqslant k_*$, и является $C^k$-гладкой вне нуля, если $k\leqslant \min( {d}/2-1,k_*)$. Для $ 0<|t|\leqslant 1$ имеем Пример A.3 в [13] показывает, что в общем случае логарифмический множитель нельзя удалить из правой части (7.5). Доказательство теоремы 7.1. Будем доказывать теорему в несколько шагов (пп. 7.2, 7.3). При ее доказательстве для заданного вектора $x\in \mathbb R^{d_1}$ мы рассматриваем его ортогональное дополнение в $\mathbb R^{d_1}$ – гиперпространство $x^\perp$. Мы обозначаем его элементы $\overline x$ и снабжаем $x^\perp$ мерой Лебега $d\overline x$. Если $d_1=1$, то $x^\perp$ вырождается в пространство $\mathbb R^0= \{0\}$, а $d\overline x$ – в $\delta$-меру в точке $0$. Практически это означает, что при $d_1=1$ пространства $x^\perp$ и $y^\perp$ (и интегралы по ним) исчезают из наших построений. Это упрощает случай $d_1=1$, но делает его отличным от $d_1\geqslant2$. Например, в формуле (7.8) при $d_1=1$ аффинное пространство $\sigma_t^x(u', x')$ становится точкой $(u', x', (t- \frac12 |u'|^2) |x'|^{-2} x')$, мера $d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^x}$ в (7.13) принимает вид $du\, |x|^{-1}\,dx$ и т.д. Соответственно ниже мы приводим доказательство только для $d_1\geqslant2$, оставляя случай $d_1=1$ в качестве простого упражнения для читателя. 7.2. Дезинтеграция двух мерНаша цель в этом пункте – найти удобную дезинтеграцию мер $dz|_{\Sigma_t}$ и $\mu^{\Sigma_t}$, следуя доказательству теоремы 3.6 в [11]. Напомним, что мы записываем элементы $z\in\mathbb R^d$ как $z=(u,x,y)$, где $u\in\mathbb R^d$ и $x,y\in \mathbb R^{d_1}$. Обозначим (если $t<0$, то $\Sigma_t^x=\Sigma_t$). Тогда для любого $t$ $\Sigma_t^x$ есть гладкая гиперповерхность в $\mathbb R^d$ и отображение
$$
\begin{equation}
\Pi_t^x\colon\Sigma_t^x\to\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}\setminus\{0\}, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,x),
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
является гладким аффинным евклидовым расслоением. Его слои суть
$$
\begin{equation}
\sigma^x_t(u',x'):=(\Pi_t^x)^{-1}(u',x')=\biggl( u', x', {x'}^\perp + \frac{t-\frac12|u'|^2}{|x'|^2} x'\biggr),
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
где ${x'}^\perp$ – ортогональное дополнение к $x'$ в $\mathbb R^{d_1}$. Для любого $x'\neq 0$ обозначим
$$
\begin{equation*}
U_{x'}=\biggl\{x\colon |x-x'|\leqslant \frac12 |x'|\biggr\}, \qquad U=\mathbb R^n\times U_{x'} \times \mathbb R^{d_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы построим тривиализацию расслоения $\Pi_t^x$ над $U$. Для этого зафиксируем в $\mathbb R^{d_1}$ произвольный ортонормированный репер $(e_1,\dots,e_{d_1})$ такой, что луч $\mathbb R_+ e_1$ пересекает область $U_{x'}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x_1>0 \quad \forall\, x=(x_1,\dots,x_{d_1})=:(x_1,\overline x) \in U_{x'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы хотим построить аффинный по третьему аргументу диффеоморфизм
$$
\begin{equation*}
\Phi_t\colon \mathbb R^n\times U_{x'}\times \mathbb R^{d_1-1}\to U\cap \Sigma_t
\end{equation*}
\notag
$$
вида
$$
\begin{equation}
\Phi_t(u,x, \overline \eta)=(u,x,\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)), \qquad \Phi_t^{u,x}(\overline \eta)=(\varphi_t(u,x, \overline \eta),\overline \eta) \in \mathbb R^{d_1}, \quad \overline\eta\in \mathbb R^{d_1-1}.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Легко видеть, что $\Phi_t(u,x,\overline \eta)\in \Sigma_t$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\varphi_t(u,x,\overline \eta)=\frac{t-\frac12|u|^2-\overline x\cdot\overline \eta}{x_1}.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Отображение $\overline\eta\to\Phi_t^{u,x}(\overline\eta)$ с этой функцией $\varphi_t$ аффинно и его область значений $\Phi_t$ равна $U\cap \Sigma_t$. В координатах $(u,x,\eta_1,\overline\eta)\in \mathbb R^n\times U_{x'}\times \mathbb R\times \mathbb R^{d_1-1}$ на области $U \subset\mathbb R^{d}$ гиперповерхность $\Sigma_t^x$ вложена в $\mathbb R^{d}$ как график функции $(u,x,\overline \eta)\mapsto \eta_1=\varphi_t$. Соответственно в координатах $(u,x,\overline\eta)$ на $U\cap\Sigma_t$ элемент объема на $\Sigma_t$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\overline \rho_t(u,x,\overline \eta)\,du\,dx\,d\overline \eta,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\overline \rho_t=(1+|\nabla \varphi_t|^2)^{1/2} =\biggl(1+\frac{|u|^2+|\overline \eta|^2+|\overline x|^2 + x_1^{-2}(t-\frac12 |u|^2 -\overline x\cdot \overline \eta)^2}{x_1^2}\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя от переменной $\overline \eta\in \mathbb R^{d_1-1}$ к $y=\Phi_t^{u,x}(\overline \eta) \in \sigma_t^x(u,x)$, мы заменяем $d\overline \eta$ на $|{\det\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)}|\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y$. Здесь $d_{\sigma_t^x(u,x)}y$ – мера Лебега на $(d_1-1)$-мерном аффинном евклидовом пространстве $\sigma_t^x(u,x)$ и через $\det\Phi_t^{u,x}$ обозначен определитель линейного отображения $\Phi_t^{u,x}$, рассматриваемого как линейный изоморфизм евклидова пространства $\mathbb R^{d_1-1}\,{=}\, \{\overline\eta\}$ и касательного пространства к $\sigma_t^x(u,x)$, отождествленного с евклидовым пространством $x^\perp\subset \mathbb R^{d_1}$. Соответственно элемент объема на $\Sigma_t\cap U$ можно записать как где
$$
\begin{equation*}
\rho_t(u,x,y)=\overline \rho_t(u,x,\overline \eta) |{\det\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)}|, \qquad (u,x,y) \in \Sigma_t, \quad \Phi_t^{u,x}(\overline \eta)=y.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь подсчитаем плотность $\rho_t$. Возьмем любую точку $z_*=(u_*,x_*, y_*)\in U\cap \Sigma_t $ и выберем ортобазис $(e_1,\dots,e_{d_1})$ такой, что $e_1=x_*/|x_*|$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x_*=(|x_*|,0), \quad y_*=\bigl(y_{*1}, \overline y_*\bigr), \qquad y_{*1}=\biggl(\frac{t-\frac12|u_*|^2}{|x_*|} \biggr), \quad \overline y_*\in \mathbb R^{d_1-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак (см. (7.9), (7.10)), отображение $\Phi_t$ таково, что $\Phi_t^{u_*,x_*}(\overline \eta)=(y_{*1},\overline \eta) =\widetilde y\in\sigma_t^x(u_*,x_*)$ (т.е. $\varphi_t(z_*)=y_{*1}$). В этих координатах
$$
\begin{equation*}
\rho_t(u_*,x_*,y_{*1}, \overline y_*)=\overline \rho_t(u_*,x_*, \overline y_*),
\end{equation*}
\notag
$$
что равно
$$
\begin{equation*}
\bigl(1+|x_*|^{-2}(|u_*|^2+|\overline y_*|^2 +|y_{*1}|^2)\bigr)^{1/2} =\frac{(|x_*|^2 +|u_*|^2+|\overline y_*|^2 +|y_{*1}|^2)^{1/2}}{|x_*|},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\rho_t(z_*)=|z_*|/|x_*|$. Так как $z_*$ – это любая точка в $U\cap \Sigma_t$, мы доказали следующее предложение. Предложение 7.2. Элемент объема $dz|_{\Sigma_t^x}$ относительно проекции $\Pi_t^x$ дезинтегрируется следующим образом: То есть для любой функции $f\in C_0^0(\Sigma_t^x)$ Точно так же, если мы положим $\Sigma_t^y=\{(u,x,y)\in \Sigma_t\colon y\neq 0\}$ и рассмотрим проекцию
$$
\begin{equation*}
\Pi_t^y\colon\Sigma_t^y\to\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}\setminus\{0\}, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,y),
\end{equation*}
\notag
$$
то получим
$$
\begin{equation}
dz|_{\Sigma_t^y}=du\,|y|^{-1}\,dy\,|z|\,d_{\sigma_t^y(u,y)}x.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Обозначим $\Sigma_t^0=\{(u,x,y)\in \Sigma_t\colon x=y=0\}$. Тогда $\Sigma_t\setminus \Sigma_t^0$ – гладкое многообразие и $dz|_{\Sigma_t}$ определяет на нем гладкую меру. В силу соотношений (7.11) и (7.12) функция $|z|^{-1}$ локально интегрируема на $\Sigma_t$ относительно меры $dz|_{\Sigma_t}$. Таким образом, $\mu^{\Sigma_t}$ (см. (7.2)) является корректно определенной борелевской мерой на $\Sigma_t$. Так как $|Az|=|z|$, то ввиду (7.11) и (7.12)
$$
\begin{equation}
d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^x}=du\,|x|^{-1}\,dx\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y, \qquad d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^y}=du\,|y|^{-1}\,dy\,d_{\sigma_t^y(u,y)}x.
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Мера $\mu^{\Sigma_t}$ определяет на $\mathbb R^{d}$ борелевскую меру с носителем в $\Sigma_t$. Она также будет обозначаться $\mu^{\Sigma_t}$. 7.3. Анализ интеграла $\mathcal I(t;f)$Заметим, что для любого $t$ отображение
$$
\begin{equation*}
L_t\colon\Sigma_0^x\to \Sigma_t^x, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,x,y+t|x|^{-2}x),
\end{equation*}
\notag
$$
определяет аффинный изоморфизм расслоений $\Pi_0|_{\Sigma_0^x}$ и $\Pi_t|_{\Sigma_t^x}$. Поскольку $L_t$ сохраняет меру Лебега на слоях, то в силу (7.11) оно преобразует меру $\mu^{\Sigma_0}$ в $\mu^{\Sigma_t}$. Используя (7.13), мы получаем, что для любого $t$ интеграл $ \mathcal I(t)$, определенный в (7.4), может быть записан как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal I(t;f)\int_{\Sigma_0}f(L_t(z))\mu^{\Sigma_0}(dz) \\ &\qquad=\int_{\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}} |x|^{-1}\biggl(\int_{\sigma(u,x)} f(u,x,y+t|x|^{-2}x)\,d_{\sigma^x(u,x)}y \biggr)\,du\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Здесь $\sigma(u,x):=\sigma_0^x(u,x)=x^\perp-\frac12|u|^2|x|^{-2}x$. Напомним, что $f(u,x,y)$ удовлетворяет (7.3). Взяв любую гладкую функцию $\varphi(t) \geqslant 0$ на $\mathbb R$, обращающуюся в нуль при $|t|\geqslant 2$ и равную единице при $|t|\leqslant 1$, мы запишем $f$ как
$$
\begin{equation*}
f=f_{00}+f_1,\quad \text{где}\quad f_{00}=\varphi(|(x,y)|^2)f,\quad f_{1}=(1- \varphi(|(x,y)|^2))f.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $B_r(\mathbb R^m)=\{\xi\in \mathbb R^m\colon |\xi|\leqslant r\}$ и $B^r(\mathbb R^m)=\{\xi\in \mathbb R^m\colon |\xi|\geqslant r\}$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} f_{00}\subset \mathbb R^n\times B_{\sqrt2}(\mathbb R^{2{d_1}}), \qquad \operatorname{supp} f_1\subset \mathbb R^n\times B^1(\mathbb R^{2{d_1}}).
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
Полагая $f_{11}(z)=f_1(z)(1-\varphi(4|x|^2))$, $f_{10}(z)=f_1 (z)\varphi(4|x|^2)$, мы записываем $f$ как Поскольку $(x,y)\in B^1(\mathbb R^{2{d_1}})$ влечет, что $|x|\geqslant 1/\sqrt{2}$ или $|y|\geqslant 1/\sqrt{2}$, то с учетом (7.15)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{supp} f_{11}\subset \mathbb R^n\times B^{1/2}(\mathbb R^{d_1}_x)\times \mathbb R^{d_1}_y, \\ \operatorname{supp}f_{10}\subset \mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}_x\times B^{1/\sqrt2}(\mathbb R^{d_1}_y). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Очевидно, что при $i,j=0,1$ $\|f_{ij}\|_{k,m}\leqslant C_{k,m} \|f\|_{k,m}$ для всех $k\leqslant k_*$ и $m\leqslant M$. Полагая $\mathcal I_{ij}(t)=\mathcal I(t;f_{ij})$, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal I(t;f)=\mathcal I_{00}(t)+\mathcal I_{10}(t) +\mathcal I_{11}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
7.3.1. Интеграл $\mathcal I_{00}(t)$В силу (7.14) $\mathcal I_{00}(t)$ является непрерывной функцией, и для $1\leqslant k\leqslant k_*$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \partial^k \mathcal I_{00}(t) &=\int_{\mathbb R^n}\biggl(\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})}|x|^{-1}\,dx \biggr)\,du \\ \notag &\qquad\times \int_{y\in \sigma(u,x)}\frac{d^k}{dt^k}f_{00}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \\ \notag &=\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})} |x|^{-1} \\ &\qquad\times\biggl( \int_{y\in \sigma(u,x)}d_y^k f_{00}(u,x,y+t|x|^{-2} x)[|x|^{-2}x]\,d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\,dx\,du , \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
где через $d_y^k f_{00}[|x|^{-2}x]$ обозначено применение дифференциала $d_y^k f_{00}$ к совокупности $k$ векторов, каждый из которых равен $|x|^{-2}x$. Полагая $\tau=t-\frac12|u|^2$, для $y\in\sigma(u,x)$ имеем
$$
\begin{equation}
y+t|x|^{-2} x=\overline y+\tau|x|^{-2}x \quad \text{для некоторого }\ \overline y\in x^\perp.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Таким образом, интеграл по $y$ в (7.17) можно записать как
$$
\begin{equation}
\int_{x^\perp} d_y^k f_{00}(u,x,\overline y+\tau|x|^{-2}x) [|x|^{-2}x] \,d\overline y.
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Поскольку $|\overline y+\tau x|x|^{-2}|^2=|\overline y|^2 + \tau^2|x|^{-2}$, то на носителе подынтегральной функции имеем
$$
\begin{equation}
|x|\leqslant \sqrt2, \qquad |\overline y|^2+ \tau^2 |x|^{-2} \leqslant 2.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
|\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\leqslant \sqrt 2\, |x|\leqslant 2
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
в (7.19). В силу (7.15) диаметр области интегрирования в (7.19) ограничен $\sqrt2$. Таким образом, для любого $m\geqslant 0$ интеграл (7.19) не превышает величину $C_{k,m} |x|^{-k}\langle u\rangle^{-m}\|f\|_{k,m}$. Обозначая $R=|u|$, $r=|x|$, получаем
$$
\begin{equation}
|\partial^k \mathcal I_{00}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{0}^{\sqrt2} r^{d_1-k-2} \biggl(\int_0^\infty R^{n-1}\langle R\rangle^{-M}\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r} \, dR\biggr)\,dr .
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
Если $n=0$, то интеграл по $dR$ следует убрать из правой части. Ниже мы оценим $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ отдельно для случаев $n=0$ и $n\geqslant 1$. a) Если $n=0$, то $\tau=t$, и из (7.21) получаем, что $|x|\geqslant t/\sqrt2 $, в то время как из (7.15) видим, что при $t\ne 0$ функция $\mathcal I_{00}(t)$ является $C^{k_*}$-гладкой (поскольку $f\in C^{k_*}$). Затем из (7.22) мы находим
$$
\begin{equation}
|\partial^k \mathcal I_{00}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{|t|/\sqrt2}^{\sqrt2}r^{d_1-k-2} \chi_{|t|\leqslant 2}\, dr .
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,M}, &\quad &\text{если } \ k\leqslant \min({d_1}-2, k_*), \\ |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,M}\bigl(1+\bigl|\ln |t|\bigr|\bigr), &\quad &\text{если }\ k\leqslant \min({d_1}-1, k_*) , \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
в то время как $\mathcal I_{00}(t)=0$ для $|t|\geqslant 2$. b) Если $n\geqslant 1$, то для оценки $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ разобьем интеграл для $\mathcal I_{00}(t)$ на сумму двух. А именно, для фиксированного $t\neq 0$ запишем $f_{00} $ как
$$
\begin{equation*}
f_{00}=f_{00<}+f_{00>},\quad \text{где }\ f_{00<}=f_{00}\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\varphi$ – это функция, используемая для определения функций $f_{ij}$, $0\leqslant i,j\leqslant1$. Значит,
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp} f_{00<} \subset \{2|x| \leqslant |t|\}, \qquad \operatorname{supp} f_{00>} \subset \{2\sqrt2\, |x| \geqslant |t|\}.
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
С использованием очевидных обозначений мы имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal I_{00}(t)=\mathcal I_{00<}(t)+\mathcal I_{00>}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal I_{00<}(t) &= \int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{|t|/2}(\mathbb R^{d_1})} |x|^{-1} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u,x)\\|x|^2+|y+t|x|^{-2}x|^2\leqslant2}} f_{00<}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\, dx\,du , \\ \mathcal I_{00>}(t) &=\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})\cap B^{|t|/2\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})}|x|^{-1} \\ &\qquad\times\biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u,x)\\|x|^2+|y+t|x|^{-2}x|^2\leqslant2}} f_{00>}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\,dx \,du . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим первую функцию $\mathcal I_{00<}(t)$. Заметим, что по (7.18) для $y\in \sigma(u,x)$ и $|x|\leqslant |t|/2$ (ср. (7.25))
$$
\begin{equation*}
\bigl|y+t|x|^{-2}x\bigr|\geqslant |\tau|\,|x|^{-1}= \biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\,|x|^{-1}\geqslant-t|x|^{-1}>\sqrt 2 \quad \text{для }\ t<0 ,
\end{equation*}
\notag
$$
так что $\mathcal I_{00<}(t)=0$ для $t<0$. При $t>0$, выполняя замену переменных $\sqrt{t}\, u'=u$, $tx'=x$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal I_{00<}(t) &= t^{d/2-1}\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2/t}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{1/2}(\mathbb R^{d_1})} |x'|^{-1} \varphi(8|x'|^2) \\ &\quad\times \biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u',x')\\|x'|^2t^2+|y+|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}} f_{00}(\sqrt{t}\, u',tx',y+|x'|^{-2} x')\, d_{\sigma(u',x')}y \biggr)\,dx'\, du', \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где использовано, что $\sigma(u',x')=\sigma(u,x)$. Дифференцируя по $t$, мы находим по индукции по $k$, что для любых $l$ и $k$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d^k}{dt^k} t^lg(\sqrt t\, u',tx') \\ &\qquad=\sum_{l_1+l_2+l_3=k}c_{l_1,l_2,l_3} t^{l-l_1-l_2/2}({u'}^{l_2}\cdot\nabla_u)^{l_2} ({x'}^{l_3}\cdot \nabla_x)^{l_3}g(\sqrt t u',tx') \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой достаточно регулярной функции $g$ и подходящих констант $c_{l_1,l_2,l_3}$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\partial^k \mathcal I_{00<}(t)| \lesssim_{k,M}\max_{l_1+l_2+l_3=k}t^{d/2-1-l_1-l_2/2} \|f\|_{k,M} \int_{\mathbb R^n}{|u'|}^{l_2} \langle u'\sqrt t\rangle^{-M} \\ &\qquad \times \int_{B_{\sqrt2/t}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{1/2}(\mathbb R^{d_1})} |x'|^{l_3-1} \biggl( \int_{\substack{y\in \sigma(u',x')\\|x'|^2t^2+|y+|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}}\,d_{\sigma(u',x')}y \biggr)\,dx'\, du'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая точки пространства $x^\perp$ через $\overline y$, видим, что интеграл по $d_{\sigma(u',x')}y$ не превосходит
$$
\begin{equation}
\int_{\substack{\overline y\in x^\perp\\|x'|^2t^2+|\overline y+\tau'|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}} 1\,d\overline y, \qquad \tau'=1-\frac12|u'|^2.
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
В силу (7.21) на носителе подынтегральной функции $ |\tau'| \leqslant \sqrt 2\, |x'| $. Так что там
$$
\begin{equation}
1-\sqrt2\, |x'|\leqslant\frac{|u'|^2}2\leqslant 1+\sqrt2 \, |x'| .
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
Поскольку область интегрирования в $\overline y$ ограничена, то интеграл (7.26) ограничен константой. Так что, обозначив $|x'|=r'$, $|u'|=R'$ и используя (7.27), мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\partial^k\mathcal I_{00<}(t)\biggr| &\lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M}t^{d/2-l_1-l_2/2-1}\int_0^{1/2} {r'}^{d_1-2+l_3} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{\sqrt2\sqrt{1-\sqrt2\, r'}}^{\sqrt2\sqrt{1+\sqrt2\, r'}} {R'}^{n-1+l_2}\langle{R'}^2t\rangle^{-M/2} \, dR' \biggr)\, dr'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $r'\leqslant 1/ 2$, то на области интегрирования
$$
\begin{equation*}
\sqrt{2-\sqrt2}\leqslant R'\leqslant \sqrt{2+\sqrt2},\qquad \sqrt2\sqrt{1+\sqrt2\, r'}-\sqrt2\sqrt{1-\sqrt2 \, r'}\lesssim r'.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, интеграл по $dR'$ ограничен величиной $C \langle t\rangle^{-M/2} p'$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
|\partial^k\mathcal I_{00<}(t)| \lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M}\, t^{d/2-l_1-l_2/2-1} \langle t\rangle^{-M/2} \int_0^{1/2}{r'}^{d_1-1+l_3}\, dr'.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при $0< t\leqslant4$ для любого $k\leqslant k_*$ и любого $d_1\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
|\partial^k\mathcal I_{00<}(t)|\lesssim_{k}\|f\|_{k,0}\, t^{d/2-k-1}.
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
В то время как для произвольных $t \geqslant4$ и $k\leqslant k_*$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\partial^k\mathcal I_{00<}(t)| &\lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M,{d}}\, t^{d/2- M/2-l_1-l_2/2-1} \\ &\qquad\times\int_0^{\sqrt2/t} {r'}^{d_1-1+l_3} \, dr' \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}\, t^{-(M+2+k +2d_1-{d})/2} . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
Напомним, что $\mathcal I_{00<}(t)$ обращается в нуль при $t<0$. Для $\mathcal I_{00>}(t)$ сначала заметим, что по (7.20) и (7.25) функция $\mathcal I_{00>}(t)$ обращается в нуль, если $|t|> 4$. Далее, используя индукцию по $k$, замечаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{d^k}{dt^k} g(tx|x|^{-2})\biggl(1-\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\sum_{l_1+l_2+l_3=k} c_{l_1,l_2,l_3}|x|^{2(l_2-l_1)}t^{-3l_2-l_3} ((x\cdot \nabla)^{l_1}g)\,\frac{d^{l_2}}{dy^{l_2}}(1-\varphi) , \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
где $c_{l_1,l_2,l_3}=0$, если $l_3>0$ и $l_2=0$. Поскольку $\varphi'\neq 0$ только для $|t|/(2\sqrt2)\leqslant|x|\leqslant |t|/2$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{d^{l_2}}{dy^{l_2}}(1-\varphi)t^{-3l_2-l_3}\lesssim_{l_2,l_3} |x|^{-3l_2-l_3} , \qquad l_2>0 ,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{d^k}{dt^k} g(tx|x|^{-2}) \biggl(1-\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr)\biggr) \biggr| \lesssim_k |x|^{-k}\|g\|_{k,0} .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, аналогично (7.22) и снова обозначая $|x|=r$ и $|u|=R$, получаем
$$
\begin{equation*}
|\partial^k\mathcal I_{00>}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{|t|/(2\sqrt 2)}^{\sqrt2}r^{d_1-k-2} \biggl(\int_0^\infty R^{n-1}\langle R\rangle^{-M}\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r} \, dR \biggr)\,dr;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и далее $\displaystyle\int_a^b dr=0$, если $b\leqslant a$. Так как в области интегрирования в силу соотношений (7.25) и множителя $\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r}$ имеем $R^2\leqslant 6\sqrt 2\, r$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\partial^k \mathcal I_{00>}(t)| &\lesssim_{k,M,n}\|f\|_{k,M}\int_{|t|/(2\sqrt2)}^{\sqrt2}r^{d/2-k-2}\, dr \\ &\lesssim_{k,M} \begin{cases} \|f\|_{k,M} ,& k<\dfrac{d}2-1, \\ \|f\|_{k,M}(1+|{\ln|t|}|) ,& k\leqslant \dfrac{d}2-1. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
Если $k< {d}/2-1$, то по предыдущему производная $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ ограничена для всех $t$. В этом случае, модифицируя интеграл в (7.17) множителем $\chi_{|x|\geqslant\varepsilon}$, мы видим, что полученные таким образом функции $\mathcal I_{00>}^\varepsilon$, $\mathcal I_{00<}^\varepsilon $ удовлетворяют тем же оценкам, что и функции $\mathcal I_{00>}$, $\mathcal I_{00<}$ выше. Поэтому функция $\mathcal I_{00}^\varepsilon$ также им удовлетворяет. Функции $\partial^k \mathcal I_{00}^\varepsilon(t)$ с $\varepsilon>0$, очевидно, непрерывны по $t$ и сходятся к $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ равномерно на ограниченных интервалах. Отсюда следует, что последняя функция также непрерывна. Подобным образом, функция $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ с $k=d/2-1$ непрерывна на любом множестве $|t| \geqslant\varepsilon>0$. Поэтому она непрерывна при $t\ne0$. 7.3.2. Интеграл $\mathcal I_{11}(t)$В силу (7.16) и аналогично (7.17), (7.19) для любого $k\leqslant k_*$ имеем
$$
\begin{equation*}
\partial^k\mathcal I_{11}(t)=\int_{\mathbb R^n}\int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-1}\biggl(\int_{x^\perp} d_y^k\, f_{11}(u,x,\overline y+\tau x |x|^{-2})[x|x|^{-2}]\,d\overline y \biggr)\,dx \,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $\mathcal I_{11}(t)$ – это $C^k$-гладкая функция, а поскольку $M>{d}$ и $\bigl|\overline y+\tau x|x|^{-2}\bigr|\geqslant |\overline y|$, то
$$
\begin{equation}
|\partial^{k}\mathcal I_{11} (t)|\lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M} \quad \forall \, t.
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
Пусть теперь $|t|\geqslant 1$. Запишем $\partial^k\mathcal I_{11}$ в виде
$$
\begin{equation}
\partial^k\mathcal I_{11}(t)=\int_{\mathbb R^n} \int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-k-1} \int_{x^\perp} \Phi_k(\overline z)\,d\overline y \,dx\, du,
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
где $\overline z=(u,x,\overline y)$, $\overline y\in x^\perp$, и
$$
\begin{equation}
|\Phi_k(\overline z)| \lesssim_{k} \|f\|_{k,M} \langle \widehat z\rangle^{-M}, \qquad\widehat z=(u,x,\overline y+\tau x|x|^{-2}).
\end{equation}
\tag{7.34}
$$
Очевидным образом,
$$
\begin{equation}
|\widehat z|\geqslant |\overline z|, \qquad |\widehat z|\geqslant 2^{-1/2} \bigl( |\overline z| + |\tau| |x|^{-1}\bigr).
\end{equation}
\tag{7.35}
$$
Отдельно мы рассматриваем случаи $n\geqslant 1$ и $n=0$. 1) Пусть $n\geqslant 1$. (a) Сначала проинтегрируем в (7.33) по $u$ в сферическом слое
$$
\begin{equation*}
O:=\biggl\{u\colon |\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\leqslant\frac12 t\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Он пуст, если $t<0$, а при $t\geqslant 0$ имеем $O=\{u\colon t \leqslant |u|^2\leqslant 3t\}$. В силу (7.34) и первого соотношения в (7.35) при $t\geqslant0$ часть интеграла в (7.33) с $u\in O$ ограничена величиной
$$
\begin{equation*}
K :=C_k\|f\|_{k,M} \int_O \int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-k-1} \int_{x^\perp} \bigl( |t|+|x|^2+|\overline y|^2\bigr)^{-M/2}\,d\overline y\, dx\, du.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\displaystyle\int_O 1\,du\leqslant Ct^{n/2}$, то, полагая $r=|x|$, $|t|+r^2=T^2$ и $R=|\overline y|/T$, получаем
$$
\begin{equation*}
K \lesssim_{k}\|f\|_{k,M}t^{n/2} \int_{1/2}^{\infty}r^{d_1-2-k}T^{d_1-1-M} \int_0^\infty R^{d_1-2}(1+R^2)^{-M/2}\,dR\, dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл по $dR$ ограничен, поскольку $M>d_1$, так что
$$
\begin{equation*}
K \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}t^{n/2}\int_{1/2}^{\infty}r^{d_1-2-k} (|t|+r^2)^{(d_1-1-M)/2}\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая, что мы рассматриваем случай $t\geqslant 1$, положим $r=\sqrt{t}\, l$. Тогда
$$
\begin{equation*}
K\lesssim_{kM}\|f\|_{k,M}t^{(n+1+d_1-2-k+d_1-1-M)/2} \int_{t^{-1/2}/2}^\infty l^{d_1-2-k} (1+l^2)^{(d_1-1-M)/2}\,dl .
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $M>2d_1$, то интеграл по $l$ сходится, и мы получаем
$$
\begin{equation*}
K \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}|t|^{-(M+2-{d}+k)/2}|t|^{\max(0, k+1-d_1)/2} Y(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $ Y=\ln t$, если $k=d_1-1$, и $ Y=1$ в противном случае. Тогда в случае $ Y=1$ компонента (7.33), соответствующая интегрированию по $u\in O$, ограничена величиной
$$
\begin{equation}
C(k, M,d)\|f\|_{k,M}|t|^{- \kappa}, \qquad \kappa=\frac{M+2-{d}}2,
\end{equation}
\tag{7.36}
$$
для всех $ |t|\geqslant 1$, так как $\max(0,k+1-d_1)\leqslant k$. При $ Y=\ln t$ такая же оценка верна и в случае $d_1\geqslant 2$, поскольку $\max(0, k+1-d_1)< k$. В случае, когда $d_1=1$ и $ Y=\ln t$ (т.е. $k=0$), мы получаем (7.36) с $\kappa$, замененным любым $\kappa'<\kappa$ (и с константой $C$, зависящей от $\kappa'$). (b) Теперь рассмотрим интеграл по $u\in O^c=\mathbb R^n\setminus O$. В этой области
$$
\begin{equation*}
|\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\geqslant \frac12 |t|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по неравенствам (7.34) и (7.35) имеем
$$
\begin{equation*}
|\Phi_k(\overline z) | \lesssim_{k}\langle(u,\overline y)\rangle^{-M},\qquad |\Phi_k(\overline z) |\lesssim_{k}(|t||x|^{-1} +|x|)^{-M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $M=M_1+M_2$ для некоторых $M_j\geqslant 0$. Тогда часть интеграла (7.33), отвечающая $u\in O^c$, ограничена величиной
$$
\begin{equation*}
C\|f\|_{k,M} \int_{|x|\geqslant 1/2} |x|^{-1-k}(t|x|^{-1}+|x|)^{-M_1} \biggl(\int_{\mathbb R^n}\int_{x^\perp} \langle(u,\overline y)\rangle^{-M_2}\,d\overline y \,du \biggr)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $M_2=n+{d_1}-1+\gamma$ с $0<\gamma<1$ (тогда $M_1, M_2>0$, так как $M>d$), получаем, что интеграл по $du\,d\overline y$ ограничен $C(\gamma)$ для любого $\gamma$. Поскольку по неравенству Юнга6 для любых $A,B>0$, то
$$
\begin{equation*}
(t|x|^{-1}+|x|)^{-M_1}\leqslant C_a|x|^{(2a-1)M_1}|t|^{-aM_1}\quad\text{для }\ 0<a<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, приведенный выше интеграл ограничен величиной
$$
\begin{equation*}
C(\gamma)\|f\|_{k,M}|t|^{-aM_1}\int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-1-k+bM_1}\,dx, \qquad b=2a-1 \in (-1, 1) .
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $b_*=(1+k-d_1)/{M_1}$. Тогда для $b=b_*$ показатель степени для $|x|$ в приведенной выше формуле равен $-{d_1}$ и $b_*>-1$, если $\gamma$ достаточно мало, так как $M>d$. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
a(b_*)M_1=\frac{b_*+1}2M_1=\frac{M+2+k-{d} -\gamma}2= \kappa +\frac{k}2 - \frac\gamma2
\end{equation*}
\notag
$$
($\kappa$ определено в (7.36)), мы видим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\text{часть интеграла (7.33), соответствующая }u\in O^c, \notag \\ \notag &\text{ограничена величиной } (7.36), \text{ при }k\geqslant1, \\ &\text{а при }k=0 \ - \ (7.36) \text{ с заменой }\kappa\text{ любым }\kappa'<\kappa. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.37}
$$
2) Теперь пусть $n=0$. Тогда
$$
\begin{equation}
|\partial^k\mathcal I_{11}(t)|\leqslant \int_{|x|\geqslant 1/2} |x|^{-1-k} \int_{x^\perp} \Phi_k(\overline z) \, d\overline y\, dx , \qquad \overline z=(x,\overline y),
\end{equation}
\tag{7.38}
$$
где $|\Phi_k(\overline z) |\lesssim_k\langle \widehat z\rangle^{-M}$ с $ \widehat z=(x,\overline y\,{+}\, tx|x|^{-2})$. Дословно повторяя шаг 1), (b) с $n=0$, мы получаем, что для $|t|\geqslant 1$ интеграл в (7.38) также может быть оценен величиной (7.36). Напомним, что при $|t|\leqslant 1$ производная $\partial^k\mathcal I_{11}(t)$ оценена в (7.32). 7.3.3. Интеграл $\mathcal I_{10}(t)$Теперь мы используем вторую дезинтеграцию в (7.13) вместо первой. Так как в силу (7.16) на носителе подынтегральной функции $|y|\geqslant 1/\sqrt 2$, то, повторяя использованное выше рассуждение и при этом меняя местами $x$ и $y$, мы получаем, что $\mathcal I_{10}(t)$ удовлетворяет тем же оценкам, что и $\mathcal I_{11}(t)$. 7.3.4. Завершение доказательства теоремы 7.1Наконец:
По причине, объясненной в конце п. 7.3.1, задействованные производные являются непрерывными функциями. Теорема 7.1 доказана. 7.4. Линейные преобразования квадрикВ этом пункте мы обозначаем через $C_0$ пространства непрерывных функций с компактным носителем. В $\mathbb R^{d}=\{z\}$ рассмотрим квадратичную форму с действительными коэффициентами7 $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ сигнатуры $(n_0, n_+, n_-)$ такой, что $ n_0=0$, $n_+ \geqslant n_-=: d_1\geqslant1$. Обозначим $n=n_+ - n_-$. Используя стандартную диагональную нормальную форму для симметричной квадратичной формы, мы строим линейное преобразование
$$
\begin{equation*}
L\colon \mathbb R^{d} \to \mathbb R^{d}, \qquad z \mapsto Z=(u,x,y), \quad u\in \mathbb R^n, \quad x, y\in \mathbb R^{d_1},
\end{equation*}
\notag
$$
такое, что $Q(L(z))=F(z)$, где $Q(Z)=\frac 12 |u|^2 + x\cdot y$. Рассмотрим соответствующие квадрики $\Sigma^Q_t=\{Z\colon Q(Z)=t\} $, $\Sigma^F_t=\{z\colon F(z)=t\}$ и $\delta$-меры $\mu^Q_t$, $\mu^F_t$ на них (см., например, [14; п. II.7]):
$$
\begin{equation}
\langle \mu^Q_t, f^Q \rangle =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac1{2\varepsilon} \int_{t-\varepsilon \leqslant Q(Z) \leqslant t+\varepsilon} f^Q(Z)\, dZ,
\end{equation}
\tag{7.39}
$$
$$
\begin{equation*}
\langle \mu^F_t, f^F \rangle =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac1{2\varepsilon} \int_{t-\varepsilon \leqslant F(z) \leqslant t+\varepsilon} f^F(z)\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f^Q, f^F \in C_0(\mathbb R^d)$ и $\langle \mu, f\rangle$ обозначает интеграл от функции $f$ по мере $\mu$. Тогда $\mu^Q_t$ и $\mu^F_t$ – это борелевские меры в $\mathbb R^d$ с носителями соответственно в $\Sigma_t^Q$ и $\Sigma_t^F$, и для функций $f^Q \in C_0(\Sigma_t^Q\setminus\{0\})$ и $f^F \in C_0(\Sigma_t^F\setminus \{0\})$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\langle \mu^Q_t, f^Q \rangle=\int_{\Sigma^Q_t} \frac{f^Q(Z)}{|\nabla Q(Z)|}\, dZ|_{\Sigma^Q_t}, \qquad \langle \mu^F_t, f^F \rangle=\int_{\Sigma^F_t} \frac{f^F(z)}{|\nabla F(z)|}\, dz|_{\Sigma^F_t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $dZ|_{\Sigma^{Q}_t}$ (соответственно $dZ|_{\Sigma^{F}_t}$) – элемент объема на $\Sigma^{Q}_t\setminus\{0\}$ (на $\Sigma^{F}_t\setminus\{0\}$), индуцированный из $\mathbb R^{d}$ (см. [14]). Пусть теперь $f^F=f^Q \circ L$. Тогда интеграл в (7.39) равен
$$
\begin{equation*}
\int_{t-\varepsilon \leqslant Q(Z) \leqslant t+\varepsilon} f^Q(Z)\, dZ=|{\det L}| \int_{t-\varepsilon \leqslant F(z) \leqslant t+\varepsilon} f^F(z)\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому, переходя к пределу, получаем Таким образом, чтобы исследовать функцию
$$
\begin{equation}
t\mapsto \mathcal I^F(t;f)=\langle \mu^F_t, f\rangle, \qquad \mu^F_t=| \nabla F(z)|^{-1}dz|_{\Sigma^F_t},
\end{equation}
\tag{7.41}
$$
мы можем использовать любую линейную систему координат в $\mathbb R^{d}$, так как, меняя координаты, мы лишь изменяем функцию $\mathcal I^F$ умножением на постоянный множитель. 7.5. Знакоопределенные формыНаконец, рассмотрим случай, когда $n_0=0$ и $\min(n_+, n_-)=0$, т.е. когда форма $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ является знакоопределенной и невырожденной. Предположим для определенности, что $n_-=0$. Тогда существует линейное преобразование $L$ такое, что $F(z)=Q(L(z))$, где $Q(Z)=\frac12|Z|^2$, $Z\in \mathbb R^d$. Теперь квадрика $\Sigma_t$ сводится к пустому множеству при $t<0$, поэтому функция $\mathcal I^F(t)$ (см. (7.41)) обращается в нуль при $t<0$. Вычисления из п. 7.4 остаются верными и в этом случае, поэтому (7.40) и замена координат $Z=\sqrt{2t}\, Z'$ показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathcal I^F(t;f) &=C(d,L) t^{-1}\int_{|Z|=\sqrt{2t} } f^Q( Z)\mu_{S^{d-1}_{\sqrt{2t}} }(dZ) \\ &=C(d,L) t^{d/2-1}\int_{|Z'|=1} f^Q(\sqrt{2 t}\, Z')\mu_{S_1^{d-1}}(dZ'), \end{aligned} \\ t > 0, \quad f^Q=f\circ L^{-1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu_{S_r^{d-1}}$ – элемент объема на $(d-1)$-сфере радиуса $r$. Из этого соотношения мы сразу получаем, что для любого $k\leqslant \min(d/2-1,k_*)$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |\partial^k\mathcal I^F(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,0}, &\quad &\text{если }\ 0\leqslant t\leqslant1, \\ |\partial^k\mathcal I^F(t)| &\lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} t^{-(M+2+k-d)/2}, &\quad &\text{если }\ t\geqslant1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
7.6. Общий результатСоберем полученные результаты в следующем утверждении. Теорема 7.3. Рассмотрим любую невырожденную квадратичную форму $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ на $\mathbb R^{d}$, $d\geqslant 3$, и функцию $f\in\mathcal C^{k_*,M}(\mathbb R^d)$, $M>{d}$. Тогда соответствующий интеграл (см. (7.41)) удовлетворяет утверждениям теоремы 7.1. Доказательство. i) Если $n_+\geqslant n_-$, то линейной заменой переменных можно привести $F$ к нормальной форме (7.1), где $d_1\geqslant0$. Теперь утверждение следует из рассуждений в пп. 7.4, 7.5 и теоремы 7.1.
ii) Если $n_->n_+$, то квадратичная форма $-F$ является такой, как в i), и утверждение снова справедливо, так как очевидным образом Теорема доказана. § 8. Приложения8.1. Член $J_0$: случай $d=4$В этом пункте мы исследуем асимптотическое поведение члена $J_0$ из (1.19) в случае, когда Далее в этом пункте мы всегда предполагаем выполненным (8.1).8.1.1. Предварительные результаты и определенияНам понадобятся леммы 30 и 31 из [1], ограниченные на случай $m=0$ и $d=4$, формулировку которых мы приведем ниже без доказательства. Напомним, что константы $\sigma^*_\mathbf c(A)$ определены в (1.10), а $\sigma^*(A)=\sigma^*_{\mathbf 0}(A)$. Положим $\alpha:=7/2$ и напомним (8.1). Лемма 8.1 (см. [1; лемма 30]). Для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$ где $\eta(\mathbf c)=1$, если $\mathbf c\cdot A^{-1}\mathbf c=0$ и одновременно $\det A$ является квадратом целого числа, и $\eta( \mathbf c)=0$ в противном случае. Кроме того, $|\sigma_\mathbf c^*(A)|\lesssim_{\varepsilon} 1+|\mathbf c|^\varepsilon$, если $\eta(\mathbf c)\neq 0$. Лемма 8.2 (см. [1; лемма 31]). Если определитель $\det A$ является квадратом целого числа, то для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$ где $\widehat C_A$ – константа, зависящая только от $A$. В противном случае, когда $\det A$ не является квадратом целого числа, для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$ имеем где $\chi$ – символ Якоби $\biggl(\dfrac{\det A}{*}\biggr)$, а $L(1,\chi)$ – $L$-функция Дирихле. Далее нам понадобится следующая конструкция. Для $r\in\mathbb R_{>0}$ положим
$$
\begin{equation}
I^*(r) :=\widetilde I_{rL}(0)=\int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z)h(r,F^0(\mathbf z))\,d\mathbf z.
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Рассмотрим функцию $K(\rho;w,A)$, $\rho\in\mathbb R_{>0}$, заданную равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(\rho) &:=\eta(0)\sigma^*(A)\biggl( \sigma_\infty(w;A,0)\log \rho \nonumber \\ &\qquad +\int_{\rho}^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr\biggr) +\sigma_\infty(w;A,0)\widehat C_A, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
где постоянная $\eta(0)$ определена в лемме 8.1, а $\widehat C_A$ — в лемме 8.2. Заметим, что функции $I^*(r)$ и $K(\rho)$ не зависят от $L$. Покажем, что функция $K(\rho)$, $\rho>0$, продолжается по непрерывности в точку $\rho=0$. Действительно, для $0<\rho_1<\rho_2\leqslant 1$
$$
\begin{equation}
K(\rho_2)-K(\rho_1)=\eta(0)\sigma^*(A)\biggl( \sigma_\infty(w;A,0) \log\frac{\rho_2}{\rho_1} - \int_{\rho_1}^{\rho_2}r^{-1}I^*(r)\,dr\biggr).
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
Используя равенство $I^*(r)=L^{-d} I_{rL}(0)$ (см. (3.8)), запишем член $I^*(r)$ из (8.5) в форме, найденной в предложении 3.8, b). Тогда $I^*(r)$ принимает вид правой части (3.11), разделенной на $L^d$, где $q=rL$. Ведущий член полученной формулы для $I^*(r)$ равен $\sigma_\infty(w;A,0)$, так что соответствующий интеграл $\displaystyle\int_{\rho_1}^{\rho_2} r^{- 1}\sigma_\infty\,dr$ в (8.5) сокращает первый член в скобках в (8.5). Тогда, полагая $M=d/2-1$, $\beta=r^{\overline \gamma}$, $\overline\gamma=\gamma/d$ и $0< \gamma<1$ в упомянутой формуле для $I^*(r)$, полученной из (3.11), мы находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |K(\rho_2)-K(\rho_1)| &\lesssim_{N} \|w\|_{d/2-1,d+1}\int_{\rho_1}^{\rho_2} \bigl(r^{(1-\overline \gamma)d/2-2}\langle \log r\rangle+ r^{N-2}+r^{\overline \gamma N-2}\bigr)\,dr \\ &\lesssim_\gamma\rho_2^{d/2-1-\gamma}\|w\|_{d/2-1,d+1} . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство получено выбором достаточно большого $N=N(\gamma)$ и следует из соотношения
$$
\begin{equation*}
r^{d/2(1-\overline \gamma)-2}\langle \log r\rangle \lesssim_\gamma r^{d/2(1-\overline \gamma)-2 - \gamma/2}=r^{d/2 -2 - \gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $K(\rho)$ продолжается в точку $\rho=0$ по непрерывности и
$$
\begin{equation}
| K(\rho)- K(0)|\lesssim_{\gamma}\rho^{d/2-1-\gamma} \|w\|_{d/2-1,d+1} .
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Отсюда следует, что функция $K$ является гёльдеровой в нуле с показателем $(d/2-1-\gamma)$ для любого $\gamma>0$. 8.1.2. Оценка члена $J_0$Материал этого пункта связан с § 13 в [1]. Мы ограничиваемся случаем, когда определитель $\det A$ является квадратом целого числа, так что, в частности, $\eta(0)=1$. Это предположение используется только в доказательстве леммы 8.5, когда применяется лемма 8.2. Случай определителя, не являющегося квадратом, проще и получается аналогично с помощью второго пункта леммы 8.2. Предложение 8.3. Предположим, что определитель $\det A$ является квадратом целого числа. Тогда для любого $0<\varepsilon<1/5$ Доказательство. Запишем член $J_0$ в форме (1.21), $J_0=J^+_0+J^-_0$, где
$$
\begin{equation*}
J^+_0:=\sum_{q>\rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0), \qquad J_0^-:=\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\rho\leqslant 1$. Требуемое утверждение следует из приведенных ниже лемм 8.4 и 8.5. Напомним, что $\alpha=7/2$.
Лемма 8.4. Пусть $w\in L_1(\mathbb R^{d})$. Тогда для любых $\gamma>0$, $\rho\leqslant 1$ и $L$, удовлетворяющих соотношению $\rho L>1$, Доказательство. Для простоты мы обозначаем $I_q:=I_q(0)$ и $S_q:=S_q(0)$. Напомним формулу суммирования по частям для последовательностей $(f_q)$ и $(g_q)$:
$$
\begin{equation*}
\sum_{m<q\leqslant n} f_q (g_q-g_{q-1})=f_ng_n-f_{m+1}g_{m} - \sum_{m<q<n} (f_{q+1 }-f_q)g_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем произвольное $R\in\mathbb N$ и запишем эту формулу с $m=R$, $n=2R$, $f_q=q^{-d}I_q$ и $g_q=\sum_{R< q'\leqslant q} S_{q'}$, так что $g_R=0$ и $S_q=g_q-g_{q-1}$ при $q>R$. Получим
$$
\begin{equation}
\sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d}S_qI_q=(2R)^{-d}I_{2R} \sum_{R< q\leqslant 2R} S_q- \sum_{R< q< 2R}\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q) \sum_{R< q'\leqslant q} S_{q'} ,
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
где для последовательности $(a_q)$ мы обозначили $\widetilde\partial_q a_q:=a_{q+1}-a_q$. Согласно (3.8), (3.9)
$$
\begin{equation*}
I_q=L^{d}\int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z) h\biggl(\frac qL,F^0(\mathbf z)\biggr)\,d\mathbf z.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
|I_q|\lesssim \frac{L^{d+1}}{q} |w|_{L_1}, \qquad |\partial_q I_q|\lesssim \frac{L^{d+1}}{q^2} |w|_{L_1} ,
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
где первая оценка получается из следствия 3.3, а вторая – из леммы 3.2 с $m= 1$, $n=N=0$. Таким образом, $|\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q)|\lesssim L^{d+1}q^{-d-2} |w|_{L_1}$. Согласно (8.2), где $\varepsilon$ заменено на $\gamma$, для $R'\leqslant 2R$ имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{R< q\leqslant R'} S_{q}=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{R< q\leqslant R'}q^{d-1} + O_{\gamma}(R^{\alpha+\gamma}),
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
где мы напоминаем, что $\sigma_{\mathbf 0}^*(A)=\sigma^*(A)$. Рассмотрим правую часть тождества (8.7) как линейный функционал $G((S_q))$ на пространстве последовательностей $(S_q)$. Тогда, вставляя формулу (8.9) в правую часть (8.7), мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{R< q\leqslant 2R}q^{-d}S_qI_q=\eta(0)\sigma^*(A) G\bigl((q^{d-1})\bigr) \\ &\qquad\qquad+ O_\gamma\biggl( L^{d+1}|w|_{L_1}\biggl(R^{-d-1+\alpha +\gamma} + \sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d-2+\alpha+\gamma}\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
где член $O_\gamma$ получается из (8.8) и оценки для $\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q)$ выше заменой сумм $\sum S_q$, $\sum S_{q'}$ в правой части (8.7) на $O_{\gamma}(R^{\alpha+\gamma})$. Согласно формуле суммирования по частям (8.7) с $S_q$, замененным на $q^{d-1}$, имеем $\sum_{R< q\leqslant 2R}q^{-d}q^{d-1}I_q=G((q^{d-1}))$. Тогда согласно (8.10)
$$
\begin{equation*}
\sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d}S_qI_q=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-1}I_q +O_\gamma\bigl(L^{d+1}R^{-d-1+\alpha +\gamma} |w|_{L_1}\bigr) .
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $R_l=\lfloor 2^l\rho L \rfloor$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_0^+ &=\sum_{l=0}^\infty\sum_{R_l<q \leqslant R_{l+1}}q^{-d}I_qS_q \\ &=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q + O_\gamma\biggl( \rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma}|w|_{L_1}\sum_{l=0}^\infty 2^{-l(d+1-\alpha-\gamma)}\biggr) \\ &=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q +O_\gamma\bigl(\rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma}|w|_{L_1}\bigr) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается сравнить сумму $A:=\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q$ с интегралом Так как $L^dI^*(r)=I_{rL}$, то при замене переменной интегрирования $r$ на $q=rL$ интеграл $B$ принимает вид Тогда
$$
\begin{equation}
|A-B|\leqslant \biggl|\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q - \int_{\lfloor \rho L\rfloor +1 }^\infty q^{-1}I_{q}\,dq\biggr| + \biggl|\int_{\rho L}^{\lfloor \rho L\rfloor +1 } q^{-1}I_{q}\,dq\biggr|.
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
В силу (8.8) имеем $|q^{-1}I_{q}|\lesssim q^{-2}L^{d+1}|w|_{L^1}$ и $|\partial_q (q^{-1}I_{q})|\lesssim q^{-3}L^{d+1}|w|_{L^1}$. Таким образом, оба слагаемых из правой части (8.11) ограничены выражением
Лемма 8.4 доказана. Напомним, что постоянная $\widehat C_A$ введена в формулировке леммы 8.2. Лемма 8.5. Пусть определитель $\det A$ является квадратом целого числа. Тогда для любых $\gamma>0$, $N>1$, $\rho\leqslant 1$ и $L$, удовлетворяющих соотношению $\rho L>1$, Доказательство. Вставляя равенство (3.11) из предложения 3.8, b) с $M= d/2- 1= 1$ и $\beta=1$ в определение члена $J_0^-$, находим где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_A :=L^{d}\sigma_\infty(w)\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0), \qquad I_B:=\sum_{q\leqslant\rho L}S_q(0) q^{-d} (f_q+g_q) , \\ |f_q|\lesssim q L^{d-1}\biggl\langle\log\frac{q}{L}\biggr\rangle \|w\|_{d/2-1,d+1} , \\ |g_q|\lesssim_{N}(q^NL^{d-N}+1)Lq^{-1}\|w\|_{0,d+1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 8.2
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0)=\sigma^*(A)\log(\rho L) +\widehat C_A+O_{\gamma}((\rho L)^{\alpha+\gamma-d}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
I_A=L^{d}\sigma_\infty(w)\bigl(\sigma^*(A)\log(\rho L) +\widehat C_A\bigr) + O_{\gamma}(\sigma_\infty(w)L^{\alpha+\gamma}\rho^{\alpha+\gamma-d}),
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation}
|\sigma_\infty(w)|=|\sigma_\infty(w;A,0)|=|\mathcal I(0)| \leqslant \|\mathcal I\|_{0,0}\lesssim_A\|w\|_{0,d+1}
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
ввиду (3.13). С другой стороны, лемма 2.1 вместе с равенством $d=4$ влекут соотношение для $N\geqslant 2$. Требуемое утверждение следует из полученных оценок на $I_A$ и $I_B$.
Лемма доказана. Завершим доказательство предложения 8.3. Ведущий член в $J_0$ дается суммой ведущих членов в формулах для $J_0^+$ и $J_0^-$ из лемм 8.4 и 8.5. Поскольку $\eta(0)=1$, эта сумма принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & L^d\sigma^*(A)\biggl(\int_\rho^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr + \sigma_\infty(w)\log(\rho L)\biggr) + L^d\sigma_\infty(w) \widehat C_A \\ &\qquad=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A) L^d\log L +K(0) L^{d} + O_\gamma\bigl(L^{d}\rho^{d/2-1-\gamma}\|w\|_{d/2-1,d+1}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем равенстве мы использовали (8.4) и (8.6). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_0 &=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A)L^d\log L + K(0) L^d+ O_{\gamma,N}\bigl((\rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma} + \rho^{-2}L^{d-1} \\ &\qquad+L^d(\rho^{d/2-1-\gamma}+\rho\log L +\rho^{N-1}+L^{1-d}))\|w\|_{d/2-1,d+1}\bigr) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $|w|_{L_1}\lesssim\|w\|_{0,d+1}$. Выбирая $\rho=L^{-1/5}$, $N=2$ и используя равенство $d=4$, получаем желаемое утверждение. Предложение 8.3 доказано. 8.1.3. Оценка члена $\sigma_1(w;A,L)$В этом пункте мы находим верхнюю оценку для члена $\sigma_1$ второго порядка малости в асимптотике теоремы 1.4. В случае, когда определитель $\det A$ не является квадратом целого числа, $\sigma_1$ дается формулой (1.14) и требуемая оценка проста. Действительно, согласно лемме 8.2 произведение $\prod_p(1-\chi(p)p^{-1})\sigma_p(A,0)$ конечно (и не зависит от $L $). С другой стороны, согласно (8.12) $|\sigma_\infty(w;A,0)|\lesssim \|w\|_{0,d+1}$. Таким образом, В случае, когда $\det A$ является квадратом целого числа, $\sigma_1$ задается формулой (1.24) и требуемая оценка менее тривиальна. Доказательство. Поскольку $\eta(\mathbf c)$ принимает значения $0$ или $1$, то согласно определению (1.24) члена $\sigma_1$ имеем
Сначала оценим член $K(0)$. Согласно (8.6) С другой стороны, произведение $\sigma^*(A)$ не зависит от $L$ и в силу леммы 8.2 ограничено. Тогда согласно определению (8.4) функции $K(\rho)$
$$
\begin{equation*}
|K(1)|\lesssim \int_1^\infty r^{-1} |I^*(r)|\, dr + |\sigma_\infty(w;A,0)\widehat C_A|.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду определения (8.3) интеграла $I^*(r)$ и следствия 3.3
$$
\begin{equation*}
|I^*(r)|\lesssim r^{-1 }|w|_{L_1}\lesssim r^{-1}\|w\|_{0,d+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с учетом (8.12) $|K(1)|\lesssim \|w\|_{0,d+1}$, так что в силу (8.14)
Теперь оценим члены $\sigma_\infty^\mathbf c(w)$, определенные в (1.23):
$$
\begin{equation*}
\sigma_\infty^\mathbf c(w)=L^{-d}\sum_{q=1}^\infty q^{-1} I_q(\mathbf c;A,0,L)=Y_1(\mathbf c) + Y_2(\mathbf c),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
Y_1=L^{-d} \sum_{q=1}^{L|\mathbf c|^{-M}}q^{-1}I_q(\mathbf c), \qquad Y_2=L^{-d} \sum_{q>L|\mathbf c|^{-M}}q^{-1}I_q(\mathbf c),
\end{equation*}
\notag
$$
а $M\in\mathbb N$ будет выбрано позже. Используя равенство $d=4$, согласно лемме 6.2 имеем
$$
\begin{equation*}
|Y_1(\mathbf c)|\lesssim_\gamma L^{-1+\gamma}|\mathbf c|^{-1+\gamma}C(w) \sum_{q=1}^{L|\mathbf c|^{-M}} q^{-\gamma}\lesssim|\mathbf c|^{-(1-\gamma)(M+1)}C(w),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C(w):=\|w\|_{\overline N,d+5} + \|w\|_{0,\overline N+3d+4}$. С другой стороны, согласно предложению 5.1
$$
\begin{equation*}
|I_q(\mathbf c)|\lesssim_N L^{d+1}q^{-1}|\mathbf c|^{-N}\| w\|_{N,2N+d+1}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $N\in\mathbb N$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|Y_2(\mathbf c)|\lesssim_N L|\mathbf c|^{-N}\|w\|_{N,2N+d+1} \sum_{q>L|\mathbf c|^{-M}} q^{-2} \lesssim |\mathbf c|^{-N+M} \|w\|_{N,2N+d+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
|\sigma_\infty^\mathbf c(w)|\lesssim_{\gamma,N} \bigl(|\mathbf c|^{-(1-\gamma)(M+1)} + |\mathbf c|^{-N+M}\bigr) \bigl(\|w\|_{\overline N,\overline N+3d+4} + \|w\|_{N,2N+d+1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 8.1 $|\sigma_\mathbf c^*(A)|\lesssim_\gamma 1+ |\mathbf c|^\gamma$ при $\eta(\mathbf c)=1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{\mathbf c \ne 0\colon \eta(\mathbf c)=1} |\sigma_\mathbf c^*(A) \sigma_\infty^\mathbf c(w)|\lesssim_{\gamma,N} \|w\|_{\overline N,\overline N+3d+4} + \|w\|_{N,2N+d+1},
\end{equation*}
\notag
$$
если $M$ и $N-M$ достаточно велики, а $\gamma$ достаточно мало. Выбирая $M=d$, $N=2d+1$ и $\gamma=1/(d+3)$, получаем Вместе с (8.13) и (8.15) это влечет требуемое утверждение.
Предложение 8.6 доказано. 8.2. Константы $\sigma(A,0)$ и $\sigma^*(A)$Ясно, что теорема 1.3 (или 1.4) дает приближение к ряду $N_L(w;A,m)$ через сингулярный интеграл $\sigma_\infty(w)$, только если сингулярный ряд $\sigma(A,m)$ (или $\sigma^*(A)$) строго положителен. В действительности известно, что сингулярный ряд строго положителен при очень общих условиях, а именно для неособых форм любой степени, имеющих неособые решения в $\mathbb R$ и в каждом $p$-адическом поле (при условии, что ряд абсолютно сходится); см., например, [15; § 7]. Однако поскольку наиболее интересный случай в приложении к математической физике – это случай квадратичной формы (8.16) $F_d(x,y)$ ниже, мы даем в этом пункте прямой элементарный вывод оценки констант $\sigma(A, 0)$ при $d\geqslant 5$ и $\sigma^*(A)$ при $d=4$ независимо от общей теории. Таким образом, в этом пункте мы рассматриваем случай квадратичной формы
$$
\begin{equation}
F(x,y)=\sum_{i=1}^{d/2} x_iy_i=: F_d(x,y), \quad \text{где }\ d=2s\geqslant 4,
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
а $x=(x_1,\dots,x_{s})$, $y=(y_1,\dots,y_{s})$. Цель этого пункта – вычислить константы $\sigma(A, 0)$ при $d\geqslant 5$ и $\sigma^*(A)$ при $d=4$. Ниже мы используем обычную запись для делимости (или неделимости) на $m$ целочисленного вектора $s$ (например, $2\mid (8,6)$ и $2\nmid (8,7)$). Ввиду определений (1.10), (1.11) сперва нам необходимо вычислить константы $\sigma_p(A,0)$. Для простых $p$ и $k\in\mathbb N$ рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
S_p(k)=\{(x,y)\ \operatorname{mod} p^{k}\colon F_d(x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{k} \}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим $ N_p(k):=\sharp S_p(k)$. Заметим, что множество $S_p(k)$ и константа $N_p(k)$ зависят от $d$. Константы $\sigma_p$ можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\sigma_p(d):=\sigma_p(A,0)=\lim_{k\to \infty}\frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}}.
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
Это соотношение приводится в [1; с. 199] без доказательства; мы даем его элементарный вывод в конце этого пункта. Пусть $ {\mathcal N}_p(d):=N_p(1)$ – количество $\mathbb F_p$-рациональных точек на гиперповерхности $\{F_d=0 \ \operatorname{mod} p\}$. Доказательство. Для $j=0,1, \dots, k$ определим $S_p(k,j)$ как множество пар $(x,y) \in S_p(k)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
(x,y)=p^j (x',y')\ \operatorname{mod}p^k, \quad\text{где }\ p \nmid (x',y').
\end{equation*}
\notag
$$
Так, $S_p(k,0)=\{(x,y) \in S_p(k)\colon p \nmid (x,y) \}$ и $S_p(k,k)=\{(0,0)\}$. Множества $S_p(k,j)$ и $S_p(k,j')$ с $j\ne j'$ не пересекаются; обозначая ${N}_p(k,j)=\sharp{S}_p (k,j)$, имеем В частности, ${N}_p(1,0)={\mathcal N}_p-1$, так как ${N}_p(1,1)=1$. Мы утверждаем, что и поэтому
Используем индукцию по $k$. Пусть $k=2$ и $(x,y) \in {S}_p(2,0)$. Выразим $(x,y)$ в виде $(x_0+pa, y_0+pb)$ с $(x_0, y_0)$, $(a,b) \in \mathbb F_p^d$. Тогда $p\nmid (x_0,y_0)$, поэтому $(x_0,y_0)\in{S}_p(1,0)$. Зафиксируем теперь любые $(x_0, y_0)\in {S}_p(1,0)$ и найдем $(a,b)\in \mathbb F_p^{d}$ такие, что $(x_0+pa, y_0+pb)\in {S}_p(2,0)$. Поскольку $p^2 F(a,b)=0 \ \operatorname{mod}p^2$ и $p\nmid(x_0,y_0)$, то из соотношения $F(x,y)=0\ \operatorname{mod}p^2$ следует нетривиальное линейное уравнение на $(a,b) \in \mathbb F_p^d$. Таким образом, каждый вектор $(x_0,y_0) \in S_p(1,0)$ порождает ровно $p^{d-1}$ векторов $(x,y)\in {S}_p(2,0)$, что доказывает формулу для $k=2$. Этот аргумент остается в силе для любых $k\geqslant 2$, если мы представим $(x,y)\ \operatorname{mod} p^{k}$ в виде $(x_0+p^{k-1}a, y_0+p^{k-1}b)$ с $(x_0, y_0)\in\mathbb F_{p^{k-1}}^d$ и $(a,b) \in \mathbb F_p^d$. Пусть теперь $(x,y)\in {S}_p(k,j)$ с $j\geqslant 1$. Тогда $(x,y)=p^{j}(x',y')\ \operatorname{mod} p^k$, где $p \nmid (x',y')$ и $(x',y')$ удовлетворяет $p^{2j}F(x',y')=0\ \operatorname{mod}p^k$. Таким образом, $(x',y')\in {S}_p(k\,{-}\,2j,0)$, если $j\leqslant (k\,{-}\,1)/2$, т.е. $j\leqslant \lfloor(k\,{-}\,1)/2\rfloor=: j_k$. Пусть теперь $(x,y)\in {S}_p(k,j)$ с $j\geqslant 1$. Тогда $(x,y)=p^{j}(x',y')\ \operatorname{mod} p^k$, где $p \nmid (x',y')$ и $(x',y')$ удовлетворяет $p^{2j}F(x',y')=0\ \operatorname{mod} p^k$. Таким образом, $(x',y')\in {S}_p(k-2j,0)$, если $j\leqslant (k-1)/2$, т.е. $j\leqslant \lceil(k-1)/2\rceil:=j_k$. Соответствие $(x,y) \mapsto (x',y')$ является корректно определенным отображением из ${S}_p(k,j)$ в ${S}_p(k-2j,0)$. Действительно, если $(x_1, y_1)\sim(x,y)$ в $ {S}_p(k,j)$, то $p^{k-j} \mid((x'_1, y'_1) - (x',y'))$, поэтому $(x'_1, y'_1) \sim (x',y')$ в $S_p(k-2j,0)$. Поскольку это отображение, очевидно, сюръективно, то получаем биекцию ${S}_p(k,j)$ на ${S}_p(k-2j,0)$, из которой с учетом (8.19) следует
$$
\begin{equation*}
{N}_p(k,j)={N}_p(k-2j,0)=({\mathcal N}_p-1) p^{(d-1)(k-2j-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
По (8.19) эта формула верна и при $j=0$. Любая пара $(x,y)$ такая, что $p^{j} | (x,y)$ с $j\geqslant j_k+1$, удовлетворяет соотношению $F(x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{k}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{j={j_k+1}}^{k} {N}_p(k,j)=\sharp\{(x,y)\ \operatorname{mod}p^k\colon (x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{j_k+1}\}=p^{d(k-j_k-1)}\leqslant p^{dk/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
N_p(k)=(\mathcal N_p-1p^{(d-1)(k-1)} \sum_{j=0}^{j_k}p^{-2 j (d-1)}+O(p^{dk/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\sigma_p=\lim_{k\to \infty}\frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}}=({\mathcal N}_p-1) p^{1-d } \sum^{\infty}_{j=0} p^{-2 j(d-1)} =\frac{p^{1-d } ({\mathcal N}_p-1 ) }{1-p^{2 -2d}} ,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (8.18).
Лемма 8.7 доказана. Продолжаем вычислять константы для ${\mathcal N}_p(d)$, используя индукцию по $d/2= s$. При $d=2$ имеем ${\mathcal N}_p(2)=\sharp\{(x,y) \in \mathbb F_p^2\colon xy=0\ \operatorname{mod} p\}=2p-1$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal N}_p(d+2) &=\sharp \{\text{решения с } x_{s+1}=0\}+\sharp \{ \text{решения с } x_{s+1}\ne 0\} \\ &=p{\mathcal N}_p(d )+(p-1)p^{d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для любого четного $d=2s\geqslant2$ так что
$$
\begin{equation*}
\sigma_p(d)=\frac{1+p^{1-s}-p^{-s}-p^{1-d}}{1-p^{2-2d}} =\frac{(1+p^{1-s})(1-p^{-s})}{1-p^{2-2d}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по формуле Эйлера $\prod_p (1-p^{-l})=1/\zeta(l)$ для любого $l>1$, то в случае $d=4$ из (1.11) и найденной формулы для $\sigma_p(d)$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\sigma(A,0;d=4)=\prod_{p}\sigma_p(4)=\frac{\zeta(6)}{\zeta(2) }\prod_{p}(1+p^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это произведение не сходится, но
$$
\begin{equation*}
\sigma^*{(A;d=4)}=\prod_{p}(1-p^{-1})\sigma_p(4) =\frac{\zeta(6)}{\zeta(2)^2}=\frac{4\pi^2}{105}\simeq 0.376
\end{equation*}
\notag
$$
сходится. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma{(A,0;d=6)} &=\frac{\zeta(2)\zeta(10) }{\zeta(3)\zeta(4)}\simeq 1.265, \\ \sigma{(A,0;d=8)} &=\frac{\zeta(3)\zeta(14) }{\zeta(4)\zeta(6)}\simeq 1.092, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а произведение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 <\sigma(A,0;d) &=\frac{\zeta(s-1)\zeta(2d-2)}{\zeta(s)\zeta(d-2)} \\ &=\frac{(1+2^{1-s})(1+2^{2-4s})}{(1+2^{-s})(1+2^{2-2s})}+ o(1)=1+ o(1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
стремится к 1, когда $d=2s\geqslant 10$ растет. Чтобы завершить вычисление констант, осталось доказать (8.17). По определению (1.10)
$$
\begin{equation*}
\sigma_p=\sum_{t=0}^\infty p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_{p^t}(\mathbf 0)=\mathop{{\sum}^*}_{a \,(\operatorname{mod}p^t)}\, \sum_{\mathbf b\,(\operatorname{mod}p^t)} e_{p^t}(aF(\mathbf b)) .
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $ p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=1$ при $t=0$, а для $t=1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p^{-d}S_{p}(\mathbf 0) &=p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p)} e_{p}(aF({\mathbf b})) \\ &=p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p),\, p|F({\mathbf b}) }1+p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p),\,p\nmid F({\mathbf b}) }e_{p}(aF({\mathbf b})) \\ &=p^{-d}(p-1){\mathcal N}_p(d)+p^{-d}(-1)(p^d-{\mathcal N}_p(d)) \\ &=p^{1-d} {\mathcal N}_p(d)-1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку для любых $n,m\neq 0$ таких, что $(m,n)=1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{t=0}^1 p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=p^{1-d} N_p(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим доказательство по индукции, предполагая, что для $k\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\sum_{t=0}^k p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=p^{(1-d)k}N_{p}(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
S_{p^{k+1}}(\mathbf 0)= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod}p^{k+1})}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p^{k+1})} e_{p^{k+1}}(aF(\mathbf b))=\Sigma_1 + \Sigma_2+ \Sigma_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Sigma_1 &:=\mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod} p^{k+1})}\, \sum_{p^{k+1}|F({\mathbf b})}1=p^{k}(p-1)N_{p}(k+1), \\ \Sigma_2&:= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod} p^{k+1})}\, \sum_{F({\mathbf b})=lp^k}e_{p}(al) =-p^{k}(p^dN_{p}(k)-N_{p}(k+1)), \\ \Sigma_3&:= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod}p^{k+1})}\, \sum_{s=0}^{k-1} \, \sum_{F({\mathbf b})=lp^s}e_{p^{k+1-s}}(al)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.21}
$$
с ненулевым $l=l(b) $ таким, что $p\nmid l$. Равенства (8.21) получаются при последовательном применении (8.20). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{S_{p^{k+1}}(\mathbf 0)}{p^{d(k+1)}} =\frac{p^{k+1}N_p(k+1)- p^{d+k}N_p(k)}{p^{d(k+1)}} =\frac{N_p(k+1)}{p^{(d-1)(k+1)}} - \frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}},
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает шаг индукции и доказывает (8.17). БлагодарностьАвторы выражают благодарность профессору Д. Р. Хис-Брауну за ценные советы, касающиеся его статьи [1].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VlaDymKuk23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|