Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2023, том 214, номер 5, страницы 18–68
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9711
(Mi sm9711)
 

Уточнение теоремы Хис-Брауна о квадратичных формах

С. Г. Влэдуцab, А. В. Дымовcde, С. Б. Куксинfgc, А. Майоккиh

a Aix-Marseille Université, CNRS, I2M UMR 7373, Marseille, France
b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
c Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
e Сколковский институт науки и технологий, г. Москва
f Université Paris Cité, Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG, Paris, France
g Российский университет дружбы народов, г. Москва
h Università degli Studi di Milano-Bicocca, Milano, Italy
Список литературы:
Аннотация: В своей статье 1996 г. о квадратичных формах Хис-Браун разработал версию кругового метода для подсчета числа точек пересечения неограниченной квадрики с решеткой короткого периода, когда каждой точке придан вес, и аппроксимировал эту величину интегралом от весовой функции по некоторой мере на квадрике. При этом весовая функция предполагается $C_0^\infty$-гладкой и обращающейся в нуль вблизи сингулярности квадрики. В настоящей работе допускается, чтобы весовая функция была конечно гладкой, не занулялась на сингулярности и имела некоторое явное убывание на бесконечности.
В статье используется только элементарная теория чисел и она доступна для читателей без серьезных теоретико-числовых знаний.
Библиография: 15 названий.
Ключевые слова: круговой метод, квадратичная форма, квадрика, суммирование по квадрике.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 20-41-09009
Министерство образования и науки Российской Федерации МК-1999.2021.1.1
075-15-2022-1115
Исследование А. В. Дымова в §§ 1–7 выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 20-41-09009, https://rscf.ru/project/20-41-09009/, а в § 8 – в рамках Программы Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых (грант № МК-1999.2021.1.1). Исследования С. Б. Куксина и А. Майокки выполнены при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (мегагрант, соглашение № 075-15-2022-1115).
Поступила в редакцию: 17.12.2021 и 29.12.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages 627–675
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9711e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 11E20, 11P55

§ 1. Введение

1.1. Постановка задачи и результаты

Рассмотрим невырожденную квадратичную форму с целыми коэффициентами на $\mathbb R^d$, $d\geqslant 4$,

$$ \begin{equation} F(\mathbf z)=\frac12 A \mathbf z\cdot \mathbf zc. \end{equation} \tag{1.1} $$
Можно считать, что матрица $A$ невырожденная симметричная с целыми элементами, а ее диагональные элементы четны. Если $F$ знакоопределенная, то для $t\in \mathbb R$ квадрика
$$ \begin{equation} \Sigma_t=\{\mathbf z\colon F^t(\mathbf z)=0\}, \qquad F^t=F-t, \end{equation} \tag{1.2} $$
есть либо эллипсоид, либо пустое множество. В знаконеопределенном случае $\Sigma_t$ – неограниченная гиперповерхность в $\mathbb R^d$, гладкая для $t\ne0$, а $\Sigma_0$ – конус с особенностью в начале координат.

Пусть $\mathbb Z^d_L$ – решетка малого периода $L^{-1}$,

$$ \begin{equation*} \mathbb Z^d_L:=L^{-1} \mathbb Z^d, \qquad L\geqslant 1, \end{equation*} \notag $$
и пусть $w$ – регулярная вещественная функция на $\mathbb R^d$; это означает, что $w$ и ее преобразование Фурье $\widehat w(\xi)$ являются непрерывными функциями, которые достаточно быстро убывают на бесконечности:
$$ \begin{equation} |w(\mathbf z)| \leqslant C |\mathbf z|^{-d-\gamma}, \qquad |\widehat w( \mathbf \xi)| \leqslant C |\xi|^{-d-\gamma} \end{equation} \tag{1.3} $$
для некоторого $\gamma>0$. Наша цель – изучить поведение рядов
$$ \begin{equation*} N_L(w; A, m):=\sum_{\mathbf z \in \Sigma_m \cap \mathbb Z^d_L} w(\mathbf z), \end{equation*} \notag $$
где $m\in \mathbb R$ таково, что ${L^2m}$ является целым числом1. Пусть
$$ \begin{equation*} w_L(\mathbf z) :=w\biggl(\frac{\mathbf z}{L}\biggr). \end{equation*} \notag $$
Тогда, очевидно,
$$ \begin{equation} N_L(w; A, m)=N_1(w_L;A, L^2m)=: N(w_L;A, L^2m) . \end{equation} \tag{1.4} $$
Мы также будем писать
$$ \begin{equation*} N_L(w;A):=N_L(w;A,0),\qquad N(w_L;A):=N(w_L;A,0). \end{equation*} \notag $$
Для изучения $N_L(w;A,m)$ мы используем круговой метод в виде, предложенном Хис-Брауном (см. [1]). Наши обозначения немного отличаются от тех, которые используются в [1]. А именно, при масштабировании $z=z'/L$, $z'\in \mathbb Z^d$, мы интересуемся подсчетом (с весами) решений уравнения $F(z')=mL^2$, $z'\in \mathbb Z^d$, в то время как Хис-Браун записывает уравнение как $F(z')=m$, $z'\in \mathbb Z^d$, так что его $m$ соответствует нашему $L^2m$.

Начнем с ключевого результата, который выражает дискретный аналог дельта-функции Дирака на $\mathbb Z$, т.е. функцию $\delta\colon \mathbb Z\to\mathbb R$:

$$ \begin{equation*} \delta(n):=\begin{cases} 1 & \text{для } n=0, \\ 0 & \text{для }n\neq 0, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
через своего рода представление Фурье. Этот результат восходит по крайней мере к У. Дьюку, Дж. Фридлендеру и Х. Иванецу (см. [2]; ср. также [3]), и мы формулируем его в форме, приведенной в [1; теорема 1]; по сути он заменяет тривиальное тождество
$$ \begin{equation*} \delta(n)=\int_0^1 e^{2\pi i\alpha n}\,d\alpha, \end{equation*} \notag $$
используемое в обычном круговом методе. В приведенной ниже теореме для $q\in {\mathbb N}$ через $e_q$ обозначается экспоненциальная функция $e_q(x):=e^{2\pi i x/q}$, а $\sum_{a(\operatorname{mod}q)}^* $ обозначает суммирование по вычетам $a$ с $(a,q)=1$, т.е. по всем целым числам $a\in [1, q-1]$, взаимно простым с $q$.

Теорема 1.1. Для любого $Q\geqslant1$ существуют $c_Q>0$ и гладкая функция $ h(x, y)\colon \mathbb R_{>0}\times \mathbb R\mapsto \mathbb R$ такие, что

$$ \begin{equation} \delta(n)=c_QQ^{-2}\sum_{q=1}^{\infty}\, \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod} q)} e_q(an) h\biggl(\frac qQ,\frac n{Q^2}\biggr). \end{equation} \tag{1.5} $$
Константа $c_Q$ удовлетворяет условию $c_Q=1+O_N(Q^{-N})$ для любого $N>0$, а функция $h$ такова, что $h(x,y)\leqslant c/x$ и $h(x,y)=0$ при $x>\max(1,2|y|)$ (так что для каждого $n$ сумма в (1.5) содержит лишь конечное число ненулевых членов).

Поскольку $N(\widetilde w;A, t)$ можно записать как $\sum_{\mathbf z\in\mathbb Z^d} \widetilde w(\mathbf z) \delta (F^t(\mathbf z))$, теорема 1.1 позволяет представить ряд $N(\widetilde w;A, t)$ в виде повторной суммы. Преобразуя эту сумму с использованием формулы суммирования Пуассона, как в [1; теорема 2], мы приходим к следующему результату2.

Теорема 1.2 (см. [1; теорема 2]). Для любой регулярной функции $\widetilde w$, любого $t$ и любого $Q\geqslant 1$ имеем

$$ \begin{equation} N({\widetilde w}; A, t)=c_QQ^{-2}\sum_{\mathbf c\in \mathbb Z^{d}}\sum_{q=1}^\infty q^{- d} S_q(\mathbf c) I^0_q(\mathbf c), \end{equation} \tag{1.6} $$
где
$$ \begin{equation} S_q(\mathbf c)=S_q(\mathbf c;A,t) :=\mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod}q)} \sum_{\mathbf b(\operatorname{mod} q)} e_q\bigl(aF^t(\mathbf b) + \mathbf c\cdot \mathbf b\bigr), \end{equation} \tag{1.7} $$
$$ \begin{equation} I^0_q(\mathbf c)=I^0_q(\mathbf c; A,t,Q) :=\int_{\mathbb R^{d}} {\widetilde w}(\mathbf z)h \biggl(\frac qQ,\frac{F^t(\mathbf z)}{Q^2}\biggr) e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c)\,d\mathbf z. \end{equation} \tag{1.8} $$

Мы используем теорему 1.2 для анализа суммы $N(w_L;A, L^2 m)\,{=}\,N_L(w;A, m)$ при больших $L$, выбирая $\widetilde w=w_L$, $t=L^2m$ и $Q=L\geqslant1$ и явно оценивая главные и остаточные члены по $L$ в $S_q(\mathbf c)$ и $I^0_q(\mathbf c)$. Результат будет сформулирован в терминах интеграла

$$ \begin{equation} \sigma_{\infty}(w)=\sigma_{\infty}(w; A,t)=\int_{\Sigma_t} w(\mathbf z)\mu^{\Sigma_t}\,(d\mathbf z) \end{equation} \tag{1.9} $$
(сингулярного при $t=0$). Здесь
$$ \begin{equation*} \mu^{\Sigma_t}(d\mathbf z)=|\nabla F(\mathbf z) |^{-1}\,dz|_{\Sigma_t}= |A\mathbf z|^{-1}\,dz|_{\Sigma_t}, \end{equation*} \notag $$
где $dz|_{\Sigma_t}$ – элемент объема на $\Sigma_t$, индуцированный стандартной евклидовой структурой на $\mathbb R^{d}$, а $A$ – симметричная матрица из уравнения (1.1). Для регулярных функций $w$ этот интеграл сходится (см. § 7).

При записи асимптотики для $N_L(w;A, m)$ нам понадобятся следующие величины, в определениях которых $p$ пробегает все простые числа и $c\in\mathbb Z^d$:

$$ \begin{equation} \sigma_p^\mathbf c=\sigma_p^\mathbf c(A,{L^2m}):=\sum_{l=0}^\infty p^{-dl}S_{p^l}(\mathbf c; A,{L^2m}), \qquad \sigma_p:=\sigma_p^{\mathbf 0}, \end{equation} \tag{1.10} $$
где $S_1\equiv 1$,
$$ \begin{equation*} \sigma^*_\mathbf c(A):=\prod_p (1-p^{-1})\sigma_p^\mathbf c(A,0), \qquad \sigma^*(A):=\sigma^*_{\mathbf 0}(A)=\prod_p(1-p^{-1}) \sigma_p(A,0), \end{equation*} \notag $$
и, наконец,
$$ \begin{equation} \sigma(A,{L^2m})=\prod_p\sigma_p^{\mathbf 0}(A,{L^2m})= \prod_p\sigma_p(A,{L^2m}). \end{equation} \tag{1.11} $$
Произведения в приведенных выше формулах берутся по всем простым числам. В асимптотиках, в которые будут входить эти величины, они ограничены равномерно по $L$ (см. теоремы 1.3 и 1.4, а также предложение 1.6).

Для функции $f\in C^k(\mathbb R^d)$ обозначим

$$ \begin{equation*} \| f\|_{n_1, n_2}=\sup_{\mathbf z\in \mathbb R^d} \max_{|\alpha|_1\leqslant n_1} |\partial^\alpha f(\mathbf z)| \langle \mathbf z\rangle^{n_2}, \end{equation*} \notag $$
где $n_1 \in \mathbb N \cup \{0\}$, $n_1\leqslant k$ и $ n_2\in \mathbb R$. Здесь
$$ \begin{equation*} \langle \mathbf x\rangle:=\max\{1,|\mathbf x|\} \quad \text{для }\ \mathbf x\in \mathbb R^l, \quad l\in \mathbb N, \end{equation*} \notag $$
и $|\alpha|_1 \equiv \sum\alpha_j $ для любого целочисленного вектора $\alpha \in (\mathbb N\cup\{0\})^d$.

Через $\mathcal C^{n_1,n_2}(\mathbb R^d)$ обозначим линейное пространство $C^{n_1}$-гладких функций $f\colon\mathbb R^d\to \mathbb R$, удовлетворяющих $\|f\|_{n_1,n_2}<\infty$.

Заметим, что если $w\in \mathcal C^{d+1,d+1}( \mathbb R^d)$, то функция $w$ регулярна, поэтому применима теорема 1.2. Действительно, первое соотношение в (1.3) очевидно. Для доказательства второго соотношения в (1.3) заметим, что для любого целочисленного вектора $\alpha \in (\mathbb N\cup\{0\})^d$ имеем

$$ \begin{equation*} \xi^\alpha \widehat w(\xi)=\biggl( \frac{i}{2\pi}\biggr)^{|\alpha|_1} \widehat{\partial_\mathbf x^\alpha w}(\xi). \end{equation*} \notag $$
Но если $|\alpha|_1 \leqslant d+1$, то $|\partial_\mathbf x^\alpha w| \leqslant C \langle \mathbf x\rangle^{-d-1}$, поэтому $\partial_\mathbf x^\alpha w$ является $L_1$-функцией. Таким образом, ее преобразование Фурье $ \widehat{\partial_\mathbf x^\alpha w}$ – ограниченная непрерывная функция для каждого $|\alpha|_1 \leqslant d+1$, и второе соотношение в (1.3) также выполняется.

Теперь сформулируем наши основные результаты. Сначала рассмотрим случай $d\geqslant 5$.

Теорема 1.3. Предположим, что $d\geqslant5$. Тогда для любого $0<\varepsilon\leqslant1$ существуют положительные константы $K_1(d,\varepsilon)$, $K_2(d,\varepsilon)$ и $K_3(d,\varepsilon)$, где $K_2(d,\varepsilon)\leqslant K_3(d,\varepsilon)$, такие, что если $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^{d})\cap \mathcal C^{0,K_3}(\mathbb R^{d})$ и действительное число $m$ удовлетворяет ${L^2m} \in \mathbb Z$, то

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\bigl| N_L(w{; A, m})- \sigma_\infty(w)\sigma(A, L^2m) L^{d-2} \bigr| \nonumber \\ &\qquad\qquad \leqslant C L^{d/2+\varepsilon}\bigl(\|w\|_{K_1,K_2}+\|w\|_{0,K_3}\bigr), \end{aligned} \end{equation} \tag{1.12} $$
где константа $C$ зависит от $d$, $\varepsilon$, $m$ и $A$. Константа $\sigma(A,L^2m)$ ограничена равномерно по $L$ и $m$. В частности, если $\varepsilon=1/2$, то можно взять $K_1=2d(d^2+d-1)$, $K_2=4(d+1)^2+3d+1$ и $K_3=K_1+3d+4$.

Обратимся теперь к случаю $d=4$, ограничившись ситуацией, когда $m=0$.

Теорема 1.4. Предположим, что $d=4$ и $m=0$. Тогда для любого $0<\varepsilon < 1/5$ существуют положительные константы $K_1(\varepsilon)$ и $K_2(\varepsilon)$ такие, что для $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^d)$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\bigl| N_L(w ;A,0 )-\eta(0) \sigma_\infty(w)\sigma^*(A) L^{d-2}\log L - \sigma_1(w;A,L)L^{d-2} \bigr| \\ &\qquad\leqslant C_0 L^{d-2-\varepsilon}\|w\|_{K_1,K_2}, \end{aligned} \end{equation} \tag{1.13} $$
где константа $C_0$ зависит от $\varepsilon$ и $A$. Константа $\eta(0)$ равна 1, если определитель $\det A$ представляет собой квадрат целого числа, и равна 0 в противном случае. Независимая от $L$ константа $\sigma^*(A)$ конечна, а константа $\sigma_1$ допускает оценку
$$ \begin{equation*} |\sigma_1(w;A,L)| \leqslant C_0 \|w\|_{K_1,K_2} \end{equation*} \notag $$
равномерно по $L$. В случае квадратного определителя $\det A$, когда $\eta(0)=1$, она задается формулой (1.24). В случае неквадратного определителя $\det A$, когда $\eta(0)=0$ и член $\sigma_1(w;A,L)L^{d-2}$ дает асимптотику суммы $N_L$, константа $\sigma_1(w;A,L)$ не зависит от $L$ и имеет вид
$$ \begin{equation} \sigma_1(w;A)= \sigma_\infty(w)L(1,\chi)\prod_p(1-\chi(p)p^{-1})\sigma_p(A,0) , \end{equation} \tag{1.14} $$
где $\chi$ – символ Якоби $\biggl(\dfrac{\det A}{*}\biggr)$ и $L(1,\chi)$ – значение $L$-функции Дирихле в единице3.

Если $\eta(0)\sigma^*(A)=0$, то асимптотика (1.13) вырождается. Сходным образом (1.12) также вырождается в верхнюю границу на $N_L$, если только мы не знаем, что $\sigma(A,L^2m)$ допускает подходящую положительную нижнюю оценку для всех $L$. К счастью, требуемые нижние оценки часто выполняются (см. ниже предложение 1.6).

Теоремы 1.3 и 1.4 уточняют теоремы 5–7 из [1] в трех отношениях:

Эти улучшения имеют для нас решающее значение, поскольку в нашей работе [6], посвященной проблеме волновой турбулентности, две приведенные выше теоремы используются в ситуации, когда $w(0) \ne0$ и носитель $w$ не компактен. Похожая модификация метода Хис-Брауна была получена в [7; § 5] для работы над задачей усреднения, связанной с вопросами, рассмотренными в [6]. Помимо волновой турбулентности и усреднения, замена сумм по целым точкам квадрики интегралами с тщательной оценкой остатков используется в теории Колмогорова–Арнольда–Мозера для уравнений в частных производных (см., например, [8; неравенство (C.2)]). Публикации [6]–[8] появились недавно. Нам представляется, что в наши дни, когда исследователи в области УрЧП и динамических систем все чаще сталкиваются со сложными нелинейными явлениями с резонансами, необходимость работать с асимптотиками (1.12), (1.13) и их вариациями будет расти. В настоящей статье используются только элементарные сведения из теории чисел и, таким образом, она доступна читателям-аналитикам.

Отметим, что в статьях [9] и [10] суммы $N_L(w; A, m)$ рассматриваются для четных и нечетных размерностей $d$ соответственно, без ограничения $w(0)\ne 0$, и в более общем контексте, чем наши теоремы 1.3 и 1.4. Однако в силу этой общности соответствующие константы в асимптотических (по $L$) формулах в [9] и [10] определяются весьма неявным образом (например, вопрос об их занулении совершенно нетривиален). Связь этих констант с сингулярными интегралами типа (1.9) и зависимость остатков в асимптотике от весовой функции $w$, играющие ключевую роль в приложениях к аналитическим проблемам, остаются неясными. Еще одна особенность работ [9], [10] заключается в использовании довольно продвинутой адельной техники, что затрудняет применение результатов и методов настоящей работы читателями, не обладающими серьезной теоретико-числовой подготовкой.

Замечание 1.5. 1) Теорема 1.3 является уточнением теоремы 5 из [1], а теорема 1.4 уточняет теоремы 6 и 7 из [1]. В [1] также содержится некоторая информация об асимптотическом по $L$ поведении сумм $N_L(w; A, m)$ при $d=4$, $m\neq 0$ и $d=3$, $m=0$. Поскольку наше доказательство теорем 1.3 и 1.4 основано на идеях из [1], дополненных теоремой 7.3, справедливой для $d\geqslant3$, то, вероятно, наш подход позволяет обобщить вышеупомянутые результаты из [1] для $d=3,4$ на случай $w\in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^d)$ с подходящими $K_1, K_2$.

2) В настоящей работе зависимость констант в оценках от $m$ равномерна на компактных интервалах, а зависимость от оператора $A$ выражается только через нормы $A$ и $A^{-1}$.

3) Значения констант $K_j(d, \varepsilon)$ в (1.12), приведенные в теореме 1.3, далеки от оптимальных, и мы не ставили перед собой цель оптимизировать их.

4) Так как доказательство теорем основано на представлении (1.6), то функция $w$ должна быть регулярной (см. (1.3)), что верно, если $w\in\mathcal C^{d+1,d+1}$; это включение выполняется при достаточно больших константах $K_1, K_2$. Например, это верно для $K_1$ и $ K_2$, фигурирующих в последней строке формулировки теоремы 1.3.

1.1.1. Краткое обсуждение доказательств

Мы приводим полностью только доказательство теоремы 1.3, которое напоминает доказательство теоремы 5 из [1] с дополнительным контролем зависимости констант от $w$. Существенное отличие от аргументации Хис-Брауна проявляется в § 3 и § 4, где мы не предполагаем, что функция $w$ обращается в нуль вблизи начала координат, тогда как последнее предположение имеет решающее значение при анализе интегралов в [1; §§ 6, 7]. Чтобы справиться с этой трудностью, которая становится очевидной, например, в предложении 3.8, нам приходится исследовать гладкость в нуле функции

$$ \begin{equation} t \mapsto \sigma_\infty (w;A, t) \end{equation} \tag{1.15} $$
и ее убывание на бесконечности. Соответствующий анализ выполнен в § 7. Там с использованием методов, разработанных в [11] для изучения интегралов (1.9), доказывается, что функция (1.15) является $(\lceil d/2\rceil-2)$-гладкой, но при четном $d$ ее производная порядка $d/2-1$ может иметь логарифмическую особенность в нуле. Также в § 7 мы оцениваем скорость убывания функции (1.15) на бесконечности.

Доказательство теоремы 1.4 сходно с доказательством теорем 6 и 7 из [1], дополненным предложением 3.8, которое основано на результате из § 7. Поэтому мы ограничиваемся лишь наброском доказательства теоремы, приведенным в п. 1.3 в параллель со схемой доказательства теоремы 1.3, в котором мы указываем основные различия между двумя доказательствами. При выводе теоремы 1.4 мы используем без доказательства некоторые результаты из [1] (а именно леммы 30 и 31).

1.1.2. Нижние оценки констант в асимптотике

Обсудим теперь нижние оценки констант $\sigma(A, L^2m)$ и $\sigma^*(A)$ из теорем 1.3 и 1.4 (см. теоремы 4, 6 и 7 из [1]).

Предложение 1.6. (i) Если $d\geqslant 5$, то существуют положительные постоянные $c(A)<C(A)$ такие, что $0<c(A)\leqslant \sigma(A, L^2m)\leqslant C(A)<\infty $ для любой невырожденной матрицы $A $ равномерно по $L$ и $m$.

(ii) Если $d=4$ и $m=0$, то $\sigma^*(A)>0 $ для любой невырожденной матрицы $A$ такой, что соответствующее уравнение $2F(\mathbf z)=A \mathbf z\cdot \mathbf z=0$ имеет нетривиальные решения в каждом p-адическом поле (в частности, это верно, если уравнение имеет нетривиальное решение в ${\mathbb Z^4}$).

Мы не доказываем этот результат, а лишь отмечаем, что его обоснование использует уточнение вычисления во второй части доказательства леммы 2.3. В то время как лемма дает верхнюю границу искомой величины, более тщательный анализ позволяет также установить заявленные нижние границы.

В п. 8.2 мы даем по существу полное вычисление, доказывающее предложение 1.6 в случае простейшей квадратичной формы $F=\sum_{i=1}^{d/2} x_iy_i$, $ d=2s\geqslant 4$ и $m=0$. Доказательство предложения для произвольного $A$ может следовать той же схеме с заменой явных формул некоторыми общими результатами (например, леммой Гензеля).

1.1.3. Неоднородные квадратичные многочлены

Рассмотрим теперь неоднородный квадратичный полином $\mathcal F$, однородная компонента степени 2 которого равна $F$ в (1.1):

$$ \begin{equation*} \mathcal F(\mathbf z)=\frac12 A\mathbf z\cdot \mathbf z +\mathbf z_* \cdot\mathbf z +\tau, \qquad \mathbf z_*\in \mathbb R^d, \quad \tau \in R, \end{equation*} \notag $$
и соответствующее множество $\Sigma^\mathcal F=\{\mathbf z\colon \mathcal F(\mathbf z)=0\}$; положим
$$ \begin{equation*} N_L(w; \mathcal F)=\sum_{\mathbf z \in \Sigma^\mathcal F\cap \mathbb Z^d_L} w(\mathbf z). \end{equation*} \notag $$
Обозначим
$$ \begin{equation*} \mathfrak z=A^{-1}\mathbf z_*, \qquad \mathbf z'=\mathbf z+\mathfrak z, \qquad m=\frac12 \mathfrak z\cdot A\mathfrak z- \tau \end{equation*} \notag $$
и предположим4, что $\mathfrak z\in \mathbb Z^d_L$ и $ L^2 \tau \in\mathbb Z$. Тогда условия ${L^2m}\in\mathbb Z$, $\mathbf z'\in\mathbb Z^d_L$ равносильны условиям $\mathbf z \in\mathbb Z^d_L$ и $\mathcal F(\mathbf z)=F( \mathbf z') -m$. Полагая $ w^\mathfrak z(\mathbf z')=w(\mathbf z'-\mathfrak z)$, получаем $N_L(w; \mathcal F)=N_L(w^\mathfrak z; A,m)$. При этом
$$ \begin{equation*} \sigma_\infty(w^\mathfrak z; A,m)=\int_{\Sigma_m} w^\mathfrak z(\mathbf z') \, \frac{d\mathbf z'|_{\Sigma_m}}{|\nabla F(\mathbf z')|} =\int_{\Sigma^\mathcal F} w(\mathbf z)\, \frac{d\mathbf z|_{\Sigma^\mathcal F}}{|\nabla \mathcal F(\mathbf z)|}=: \sigma_\infty(w; \mathcal F), \end{equation*} \notag $$
и мы приходим к следующему следствию из теоремы 1.3.

Следствие 1.7. Если $d\geqslant5$, квадратичная форма $F$ такая же, как в теореме 1.3, $\mathcal F$ – неоднородная квадратичная форма, определенная выше, а $L$ удовлетворяет условиям $\mathfrak z:=A^{-1} \mathbf z_* \in \mathbb Z^d_L$, $\tau L^2\in\mathbb Z$, то для любого $0<\varepsilon\leqslant1$ и $w \in \mathcal C^{K_1,K_2}(\mathbb R^{d})\cap \mathcal C^{0,K_3}(\mathbb R^{d})$ имеем

$$ \begin{equation*} \bigl| N_L(w; \mathcal F) - \sigma_\infty(w; \mathcal F)\sigma(A, L^2 m) L^{d-2} \bigr| \leqslant C L^{d/2+\varepsilon}\bigl(\|w\|_{K_1,K_2}+\|w\|_{0,K_3}\bigr). \end{equation*} \notag $$
Здесь константы $K_1$, $K_2$, $K_3$ зависят от $d$ и $\varepsilon$, а $C$ зависит от $d$, $\varepsilon$, $A$ и $\tau$, $|\mathbf z_*|$.

Обозначения 1.8. Мы пишем $A \lesssim_{a,b} B$, если $A\leqslant C B$, где константа $C$ зависит от $a$ и $b$. Аналогично, $O_{a,b}( \|w\|_{m_1, m_2}) $ обозначает величину, ограниченную по модулю величиной $C(a,b) \|w\|_{m_1, m_2}$. Зависимость от матричных норм $\|A\|$, $\|A^{-1}\|$ и от размерности $d$ не указывается, так как большинство наших оценок зависит от этих величин.

Всегда предполагается, что функция $w$ принадлежит пространству $\mathcal C^{m,n}(\mathbb R^d)$ с достаточно большими $m$, $n$. Если в формулировке утверждения используется норма $\|w\|_{a,b}$, то предполагается, что $w\in\mathcal C^{a,b}(\mathbb R^d)$.

Мы обозначаем $e_q(x)=e^{2\pi ix/q}$ и пишем $e_1(x)=:e(x)$. Через $ \lceil \cdot \rceil$ обозначается функция $\lceil x \rceil=\min_{n\in\mathbb Z}\{n\geqslant x\}$. Через $\mathbb N$ обозначается множество натуральных чисел ($\geqslant 1$).

1.2. Схема доказательства теоремы 1.3

Пусть $d\geqslant5$. Как уже обсуждалось, если $w$ удовлетворяет условиям теоремы с достаточно большими константами $K_i$, то функция $w$ регулярна в смысле п. 1.1, и поэтому применима теорема 1.2. Тогда согласно (1.6) и (1.4)

$$ \begin{equation} N_L(w; A, m)=c_LL^{-2}\sum_{\mathbf c\in \mathbb Z^{d}}\sum_{q=1}^\infty q^{-d}S_q(\mathbf c) I_q(\mathbf c), \end{equation} \tag{1.16} $$
где сумма $S_q(\mathbf c)=S_q(\mathbf c;A,L^2m)$ задается выражением (1.7) с $t={L^2m}$, а интеграл $I_q(\mathbf c)$ – выражением (1.8) с $\widetilde w=w_L$, $Q=L$ и $t={L^2m}$,
$$ \begin{equation} I_q(\mathbf c; A,m,L) :=\int_{\mathbb R^{d}} w\biggl(\frac{\mathbf z}{L}\biggr)h\biggl(\frac qL, \frac{F^{L^2m}(\mathbf z)}{L^2}\biggr) e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c)\,d\mathbf z. \end{equation} \tag{1.17} $$
Обозначая
$$ \begin{equation*} n(\mathbf c;A,m,L)=\sum_{q=1}^\infty q^{-d} S_q(\mathbf c) I_q(\mathbf c), \end{equation*} \notag $$
получаем
$$ \begin{equation*} N_L(w;A,m)=c_L L^{-2}\sum_{\mathbf c\in\mathbb Z^{d}} n(\mathbf c). \end{equation*} \notag $$
Тогда для любого $\gamma_1 \in (0,1/2)$ ряд $N_L$ записывается в виде
$$ \begin{equation} N_L(w;A, m)=c_L L^{-2}\bigl(J_0 + J_{<}^{\gamma_1} + J_{>}^{\gamma_1}\bigr), \end{equation} \tag{1.18} $$
где
$$ \begin{equation} J_0:=n(0), \qquad J_<^{\gamma_1}:=\sum_{\mathbf c\ne 0,\,|\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} n(\mathbf c) , \qquad J_>^{\gamma_1}:=\sum_{|\mathbf c|> L^{\gamma_1}} n(\mathbf c). \end{equation} \tag{1.19} $$
Из предложения 5.1 (являющегося модификацией лемм 19 и 25 из [1]) следует, что
$$ \begin{equation*} |J_>^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m} \|w\|_{N_0,2N_0+d+1} \end{equation*} \notag $$
с $N_0:=\lceil d+(d+1)/\gamma_1 \rceil$ (см. следствие 5.2). В предложении 6.1 мы, следуя леммам 22 и 28 из [1], показываем, что
$$ \begin{equation} |J_<^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m} L^{d/2+2+\gamma_1(d+1)} \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N+3d+4}\bigr) , \end{equation} \tag{1.20} $$
где $\overline N=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d$.

Для анализа члена $J_0$ запишем его в виде $J_0=J_0^++J_0^-$, где

$$ \begin{equation} J^+_0:=\sum_{q>\rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0), \qquad J_0^-:=\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d} S_q(0) I_q(0), \end{equation} \tag{1.21} $$
с $\rho=L^{-\gamma_2}$ для некоторого $0<\gamma_2<1$, подлежащего определению. Лемма 4.2, представляющая собой комбинацию лемм 16 и 25 из [1], модифицированных с использованием результатов из § 7, влечет оценку
$$ \begin{equation*} |J_0^+|\lesssim L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-1)}|w|_{L_1} \lesssim L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-1)}\|w\|_{0,d+1} . \end{equation*} \notag $$
Наконец, в лемме 4.3, являющейся комбинацией леммы 13 и упрощенной леммы 31 из [1] с результатами из § 7, устанавливается, что $J_0^- $ равно
$$ \begin{equation*} L^{d} \sigma_\infty(w) \sigma(A,{L^2m}) + O_{\gamma_2,m}\bigl( (\|w\|_{d/2-2,d-1} +\|w\|_{0,d+1}) L^{d/2+2+\gamma_2(d/2-2)}\bigr) \end{equation*} \notag $$
(см. (1.9) и (1.11)). Тождество (1.18) вместе с приведенными выше оценками дает желаемый результат, если положить $\gamma_2=\varepsilon/{(d/2-1)}$ и $\gamma_1=\varepsilon/(d+1)$. Равномерная по $L$ и $m$ ограниченность произведения $\sigma(A,L^2m)$ следует из леммы 2.3.

1.3. Схема доказательства теоремы 1.4

В этом пункте мы предполагаем, что $d=4$ и $m=0$. Доказательство проводится точно так же, как в п. 1.2, вплоть до формулы (1.20), недостаточно точной для случая $d=4$, в котором ее правую часть следует заменить на

$$ \begin{equation} \biggl|J_<^{\gamma_1}- L^d\sum_{\mathbf c\neq 0}\eta(\mathbf c){\sigma^*_\mathbf c(A) \sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A,L)\biggr|\lesssim_{\gamma_1} L^{7/2+(d+4)\gamma_1}\|w\|_{\widetilde K_1,\widetilde K_2} \end{equation} \tag{1.22} $$
для подходящих констант $\widetilde K_1, \widetilde K_2$. Здесь члены $\sigma^*_\mathbf c(A)$ определяются в (1.10), члены ${\sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A)$ задаются формулой
$$ \begin{equation} {\sigma_{\infty}^\mathbf c}(w;A,L):=L^{-d} \sum_{q=1}^\infty q^{-1}I_q(\mathbf c;A,0,L) , \end{equation} \tag{1.23} $$
а константы $\eta(\mathbf c)\in\{0,1\}$ определены в лемме 8.1. В частности, $\eta(0)=1$, если определитель $\det A$ является квадратом целого числа, и $\eta(0)=0$ в противном случае. Доказательство оценки (1.22) использует лемму 8.1 (лемма 30 из [1]), включая лишь незначительные модификации рассуждений из [1], и мы оставляем его читателю.

Оценку для $J_0$ также приходится уточнять, и это делается в п. 8.1. Мы рассматриваем только случай, когда определитель $\det A$ является квадратом целого числа, в частности, $\eta(0)=1$. Противоположный случай может быть получен незначительной модификацией предыдущего, следующей работе [1] (см. обсуждение в п. 8.1). В предложении 8.3, являющемся комбинацией лемм 13, 16 и 31 из [1], модифицированной с использованием предложения 3.8, мы доказываем, что в случае квадратного определителя $\det A$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0&=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A)L^d\log L + K(0)L^d \\ &\qquad + O_{\varepsilon}\bigl(L^{d-\varepsilon} \bigl(\|w\|_{d/2-2,d-1}+\|w\|_{0,d+1}\bigr)\bigr) , \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где константа $K(0)=K(0;w,A)$ определена в п. 8.1.1. Тождество (1.18) вместе с приведенными выше оценками снова дает желаемый результат, если мы выберем $\gamma_1=(1/2-\varepsilon)/(d+4)$ и положим
$$ \begin{equation} \sigma_1(w;A,L):=K(0)+ \sum_{\mathbf c\neq 0}\eta(\mathbf c) \sigma^*_\mathbf c(A) \sigma_{\infty}^\mathbf c(w;A,L) . \end{equation} \tag{1.24} $$
Конечность произведений $\sigma^*_\mathbf c(A)$ следует из леммы 8.2, а заявленная в теореме оценка для константы $\sigma_1(w;A,L)$ установлена в п. 8.1.3.

§ 2. Суммы $S_q$

Мы начинаем доказательство теоремы 1.3, следуя схеме, предложенной в п. 1.2. В части утверждений, составляющих доказательство, ограничение $d\geqslant5$ не используется, и далее мы всегда указываем реальные требования к $d$. Напомним, что зависимость констант, возникающих в оценках, от $d$ и $A$ явно не указывается (см. обозначения 1.8).

В настоящем параграфе мы анализируем суммы

$$ \begin{equation*} S_q(\mathbf c)=S_q(\mathbf c; A, L^2m), \end{equation*} \notag $$
входящие, в частности, в определения сингулярных рядов $\sigma(A,{L^2m})$ и $\sigma_p(A,{L^2m})$.

Лемма 2.1 (см. [1; лемма 25]). Для любого $d\geqslant 1$ выполнена оценка

$$ \begin{equation*} |S_q(\mathbf c;A,L^2m)|\lesssim q^{d/2+1} \end{equation*} \notag $$
равномерно по $\mathbf c\in\mathbb Z^{d}$.

Доказательство. Согласно (1.7) и неравенству Коши–Буняковского
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag |S_q(\mathbf c)|^2 &\leqslant \phi(q) \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod}q)} \biggl|\sum_{\mathbf b(\operatorname{mod} q)} e_q(aF^{L^2m}(\mathbf b) + \mathbf c\cdot \mathbf b) \biggr|^2 \\ &=\phi(q) \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod} q)} \sum_{\mathbf u,\mathbf v(\operatorname{mod}q)} e_q\bigl(a(F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v)) + \mathbf c\cdot (\mathbf u-\mathbf v)\bigr), \end{aligned} \end{equation} \tag{2.1} $$
где $\phi(q)$ — функция Эйлера. Поскольку $F^t(\mathbf z)=\frac12 A\mathbf z\cdot\mathbf z -t$, то
$$ \begin{equation*} F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v) =(A\mathbf v)\cdot \mathbf w+ F(\mathbf w) =\mathbf v\cdot A\mathbf w + F(\mathbf w). \end{equation*} \notag $$
Соответственно
$$ \begin{equation*} e_q\bigl(a(F^{L^2m}(\mathbf u)-F^{L^2m}(\mathbf v)) + \mathbf c\cdot (\mathbf u-\mathbf v)\bigr) =e_q\bigl(aF(\mathbf w) + \mathbf c\cdot \mathbf w\bigr)e_q(a\mathbf v\cdot A\mathbf w). \end{equation*} \notag $$
Последнее равенство показывает, что суммирование по $\mathbf v$ в (2.1) может дать ненулевой вклад, только если каждая компонента вектора $A\mathbf w$ делится на $q$. Это свойство выполняется не более чем для конечного числа $N$ векторов $\mathbf w$, зависящего только от $\det A$. Следовательно,
$$ \begin{equation*} |S_q(\mathbf c)|^2 \lesssim \phi(q) \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod}q)} \sum_{\mathbf v(\operatorname{mod} q)} 1 \leqslant\phi^2(q)q^{d}. \end{equation*} \notag $$

В следующем следствии мы замечаем, что лемма 2.1 влечет конечность сумм $\sigma^{\mathbf c}_p$, определенных в (1.10).

Следствие 2.2. При $d\geqslant 5$ для каждого простого числа $p$ выполнено

$$ \begin{equation*} |\sigma^{\mathbf c}_p(A, L^2m)|\lesssim 1. \end{equation*} \notag $$

Напомним, что $\sigma(A,L^2m)=\prod_p \sigma_p(A,L^2m)$ (см. (1.11)).

Лемма 2.3. При $d\geqslant5$ для любого $1\leqslant X \leqslant\infty$ выполнено

$$ \begin{equation*} \sum_{q\leqslant X}q^{-d} S_q(0)=\sigma(A,L^2m) +O(X^{-d/2+2}). \end{equation*} \notag $$
В частности, $\sigma(A,L^2m)=\sum_{q=1}^\infty q^{-d} S_q(0) $, так что $|\sigma(A,L^2m)|\lesssim 1$ в силу леммы 2.1.

Доказательство. Докажем сначала следующее свойство мультипликативности тригонометрических сумм:
$$ \begin{equation} S_{qq'}(0)=S_q(0) S_{q'}(0), \end{equation} \tag{2.2} $$
если $(q,q')=1$ (см. [1; лемма 23]). По определению
$$ \begin{equation*} S_{qq'}(0)= \mathop{{\sum}^*}_{a(\operatorname{mod} qq')} \sum_{\mathbf v(\operatorname{mod} qq')} e_{qq'}(aF^{L^2m}(\mathbf v)). \end{equation*} \notag $$
Если $(q,q')=1$, мы можем заменить суммирование по $a$ ${(\operatorname{mod} qq')}$ двойным суммированием по $a_q \ (\operatorname{mod}q)$ и по $a_{q'}\ (\operatorname{mod}q')$, записав $a=qa_{q'}+q'a_q$. Тогда
$$ \begin{equation*} S_{qq'}(0)= \mathop{{\sum}^*}_{a_q(\operatorname{mod} q)}\, \mathop{{\sum}^*}_{a_{q'}(\operatorname{mod} q')} \sum_{\mathbf v(\operatorname{mod} qq')} e_{q}(a_qF^{L^2m}(\mathbf v) ) e_{q'}(a_{q'}F^{L^2m}(\mathbf v) ) . \end{equation*} \notag $$
Теперь заменим суммирование по $\mathbf v\ (\operatorname{mod} qq')$ двойным суммированием по $\mathbf v_q\ (\operatorname{mod}q)$ и по $\mathbf v_{q'}\ (\operatorname{mod}q')$, записав $\mathbf v= q\overline q \mathbf v_{q'} + q'{\overline q}' \mathbf v_q$, где $\overline q$ и ${\overline q}'$определяются из соотношений $q\overline q=1\ (\operatorname{mod} q')$ и $q'{\overline q}'=1\ (\operatorname{mod} q)$. Тогда мы получаем
$$ \begin{equation*} F^{L^2m}(\mathbf v)=q^2\overline q^2F(\mathbf v_{q'}) + q'^2{\overline q}'^2F(\mathbf v_{q}) + q\overline qq'{\overline q}' A\mathbf v_{q'}\cdot \mathbf v_q -{L^2m} , \end{equation*} \notag $$
так что
$$ \begin{equation*} e_q(a_qF^{L^2m}(\mathbf v))=e_q(a_qq'^2{\overline q}'^2 F(\mathbf v_q) -a_q{L^2m})=e_q (a_q F^{L^2m} (\mathbf v_q)) \end{equation*} \notag $$
по определению ${\overline q}'$ и поскольку $e_q(q N)=1$ для любого целого числа $N$. Аналогично,
$$ \begin{equation*} e_{q'}(a_{q'}F^{L^2m}(\mathbf v))= e_{q'}(a_{q'} F^{L^2m}(\mathbf v_{q'})) . \end{equation*} \notag $$
Таким образом, мы получаем (2.2).

Теперь заметим, что в силу леммы 2.1

$$ \begin{equation} \sum_{q\geqslant X}q^{-d} |S_q(0)|\lesssim \sum_{q\geqslant X}q^{-d/2+1} \lesssim X^{-d/2+ 2}. \end{equation} \tag{2.3} $$
Согласно (2.2) и определению $\sigma$
$$ \begin{equation*} \sigma=\lim_{n\to\infty} \sigma^n, \qquad \sigma^n=\prod_{p\leqslant n}\sum_{l=0}^n p^{-dl}S_{p^l}(0)= \sum_{q\in P_{n}} q^{-d}S_q(0), \end{equation*} \notag $$
где $p$ – простые числа, а $P_{n}$ обозначает множество натуральных чисел $q$, разложение которых на простые множители имеет вид $q=p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}$, где $2\leqslant p_1 <p_2<\dots <p_m\leqslant n$, $k_j\leqslant n$ и $m\geqslant0$ ($m=0$ соответствует $q=1$). Так как любое $q\leqslant n$ принадлежит $P_n$, то согласно (2.3)
$$ \begin{equation*} \biggl|\sum_{q\in P_{N}} q^{-d}S_q(0) - \sum_{q\leqslant X} q^{-d}S_q(0)\biggr| \lesssim X^{-d/2 +2} \quad \forall\, N\geqslant X \end{equation*} \notag $$
для любого конечного $X>0$. Переходя в этой оценке к пределу при $N\to\infty$, получаем требуемое утверждение для случая $X<\infty$. После этого для случая $X=\infty$ оно следует очевидным образом.

Лемма 2.3 доказана.

§ 3. Сингулярные интегралы $I^0_q$

3.1. Свойства функции $h(x,y)$

В этом пункте, следуя [1; § 3], мы строим и исследуем функцию $h(x,y)\in C^\infty(\mathbb R_>,\mathbb R)$ из теоремы 1.1. Рассмотрим функцию $w_0\in C_0^\infty(\mathbb R)$,

$$ \begin{equation} w_0(x)=\begin{cases} \exp\biggl(\dfrac1{x^2-1}\biggr), & \text{если }|x|<1, \\ 0, & \text{если }|x|\geqslant 1. \end{cases} \end{equation} \tag{3.1} $$
Обозначим $\displaystyle c_0:=\int_{-\infty}^{\infty}w_0(x)\,dx$ и введем сдвинутую весовую функцию
$$ \begin{equation*} \omega(x)=\frac{4}{c_0}w_0(4x-3), \end{equation*} \notag $$
которая, разумеется, принадлежит классу $C^\infty_0(\mathbb R)$. Очевидно, $ 0\leqslant \omega\leqslant 4e^{-1}/c_0$, носитель $\omega$ равен $[1/2,1]$ и $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\omega(x)\,dx=1$.

Определим искомую функцию $h\colon\mathbb R_{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R$ в терминах $\omega$, а именно равенством

$$ \begin{equation*} h(x,y) :=h_1(x)-h_2(x,y), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation} h_1(x):=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{xj}\omega(xj), \qquad h_2(x,y):=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{xj}\omega \biggl(\frac{|y|}{x j}\biggr) . \end{equation} \tag{3.2} $$
Для любой фиксированной пары $(x,y)$ каждая из двух сумм по $j$ содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых. Следовательно, функция $h$ гладкая.

В [1; § 3] показано, как вывести5 теорему 1.1 из определения (3.2). Мы же ограничиваемся формулировкой некоторых свойств функции $h$, доказанных в [1; § 4]. В частности, они влекут, что при малых $x$ функция $h(x,y)$ ведет себя как дельта-функция в точке $y$.

Лемма 3.1 (см. [1; лемма 4]). Выполнены следующие соотношения:

1) $h(x,y)=0$ при $x\geqslant 1$ и $|y|\leqslant x/2$;

2) если $x\leqslant 1$ и $|y|\leqslant x/2$, то $h(x,y)=h_1(x)$ и для любого $m\geqslant 0$

$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial^m h(x,y)}{\partial x^m} \biggr| \lesssim_m \frac{1}{x^{m+1}}; \end{equation*} \notag $$

3) если $|y|\geqslant x/2$, то для любых $m,n\geqslant 0$

$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial^{m+n} h(x,y)}{\partial x^m\,\partial y^n} \biggr| \lesssim_{m,n} \frac{1}{x^{m+1}|y|^n}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 3.2 (см. [1; лемма 5]). Пусть $m,n,N\geqslant 0$. Тогда для любых $x$, $y$

$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial^{m+n} h(x,y)}{\partial x^m\,\partial y^n} \biggr|\lesssim_{N,m,n} \frac{1}{x^{1+m+n}}\biggl(\delta(n)x^N + \min\biggl\{1,\biggl(\frac{x}{|y|}\biggr)^N\biggr\} \biggr). \end{equation*} \notag $$

Лемма 3.2 с $m=n=N=0$ немедленно влечет

Следствие 3.3. Для любых $x,y\in\mathbb R_>\times\mathbb R$ имеет место оценка

$$ \begin{equation*} |h(x,y)|\lesssim \frac 1x. \end{equation*} \notag $$

Лемма 3.4 (см. [1; лемма 6]). Пусть $ X\in \mathbb R_{>0}$ и $0<x<C\min\{1,X\}$ для какой-нибудь постоянной $C>0$. Тогда для всех $N\geqslant0$

$$ \begin{equation*} \int_{-X}^X h(x,y)\,dy=1 + O_{N,C}(Xx^{N-1}) + O_{N,C}\biggl(\frac{x^N}{X^N} \biggr). \end{equation*} \notag $$

Лемма 3.5 (см. [1; лемма 8]). Пусть $X\in \mathbb R_{>0}$ и $n\in \mathbb N$. Пусть также $x<C\min\{1, X\} $ для некоторого $C>0$. Тогда

$$ \begin{equation*} \biggl|\int_{-X}^X y^nh(x,y)\,dy \biggr|\lesssim_{N,C} X^n\biggl(Xx^{N-1} +\frac{x^N}{X^N} \biggr). \end{equation*} \notag $$

Результаты, сформулированные выше, используются в доказательстве ключевой леммы 9 работы [1], которую мы уточняем следующим образом.

Лемма 3.6. Рассмотрим функцию $f\in \mathcal C^{M-1,0}(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)$, $M\geqslant 1$, такую, что ее $(M-1)$-я производная $f^{(M\,{-}\,1)}$ абсолютно непрерывна на $[-1,1]$, и пусть $0<x\leqslant C$ для некоторой постоянной $C>0$. Тогда для произвольных $0\,{<}\,\beta\,{\leqslant}\, 1$ и $N\geqslant 0$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \int_\mathbb R f(y) h(x,y) \, dy &=f(0) + O_{M}\biggl(\frac{x^{M}}{\beta^{M+1}} \frac{1}{X}\int_{-X}^{X}|f^{(M)}(y)|\,dy\biggr) \\ &\qquad+O_{N,C}\bigl((x^N+\beta^N)(\|f\|_{M-1,0}+x^{-1} |f|_{L_1})\bigr), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3} $$
где $X:=\min\{1,x/\beta\}$.

Доказательство. Согласно лемме 3.2 с $m=n=0$ для любого $N\geqslant 0$ выполнено $|h(x,y)| \lesssim_N (x^N+\beta^N)x^{-1}$, если $|y|\geqslant X$. Следовательно, “хвост” интеграла $\displaystyle\int fh \,dy$ может быть ограничен следующим образом:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\biggl|\int_{|y|\geqslant X} f(y) h(x,y) \, dy\biggr| \\ &\qquad\lesssim_N (x^N+\beta^N)x^{-1} \int_{|y|\geqslant X} |f(y)|\,dy \lesssim_N(x^N+\beta^N)x^{-1} |f|_{L_1}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.4} $$
Для анализа интеграла по промежутку $|y|<X$ мы используем разложение Тейлора функции $f(y)$ в нуле:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{-X}^X f(y) h(x,y) \, dy \\ &\qquad=\sum_{j=0}^{M-1} \frac{f^{(j)}(0)}{j!}\int_{-X}^X y^j h(x,y)\, dy + O_M\biggl(\frac{X^{M}}{x} \int_{-X}^{X}|f^{(M)}(y)|\,dy\biggr), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.5} $$
где мы также использовали следствие 3.3. Далее мы применяем лемму 3.4, в которой $N$ заменено на $N+1$, и находим, что
$$ \begin{equation} f(0) \int_{-X}^X h(x,y)\, dy=f(0) + O_{N,C}\biggl(\|f\|_{0,0}\biggl(Xx^{N} +\frac{x^{N+1}}{X^{N+1}}\biggr)\biggr), \end{equation} \tag{3.6} $$
в то время как согласно лемме 3.5 для любого $j>0$ выполнено
$$ \begin{equation} \biggl| \frac{f^{(j)}(0)}{j!}\int_{-X}^X y^j h(x,y)\, dy\biggr| \lesssim_{N,j,C} \|f\|_{j,0}X^j\biggl(Xx^{N} +\frac{x^{N+1}}{X^{N+1}}\biggr). \end{equation} \tag{3.7} $$

Объединяя соотношения (3.4)(3.7), мы получаем искомую оценку. Действительно, поскольку $X\leqslant x/\beta$, то член $O_M$ в (3.5) ограничен аналогичным членом в (3.3). Кроме того, так как $(x/X)^{N+1}=\max(x^{N+1},\beta^{N+1})\lesssim_{C} Cx^N +\beta^N$, то выражения в скобках из (3.6) и (3.7) удовлетворяют неравенству

$$ \begin{equation*} Xx^{N} +\frac{x^{N+1}}{X^{N+1}}\lesssim_{C} x^N + \beta^N. \end{equation*} \notag $$
Здесь мы использовали соотношение $X\leqslant 1$.

Лемма доказана.

Лемма 3.6 нужна для доказательства теоремы 1.4, в то время как для доказательства теоремы 1.3 достаточно ее следующей упрощенной версии.

Следствие 3.7. Допустим, что интегрируемая функция $f$ лежит в классе $\mathcal C^{M,0}(\mathbb R)$, ${M}\in \mathbb N$, и $0<x\leqslant C$ для некоторой постоянной $C>0$. Тогда для любого $0<\delta <1$

$$ \begin{equation*} \int_\mathbb R f(y) h(x,y) \, dy=f(0) + O_{M,C,\delta}\bigl(x^{M-\delta}(\|f\|_{M,0}+|f|_{L_1})\bigr). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Желаемое утверждение следует из леммы 3.6, если выбрать $\beta=x^{\delta/(M+1)}$ при $x\leqslant 1$ и $\beta=1$ при $x>1$. Действительно, в этом случае для $ 0<x\leqslant1$ имеем $x^M \beta^{-(M+1)}=x^{M-\delta}$ и
$$ \begin{equation*} (x^N+\beta^N) x^{-1} \leqslant 2\beta^N x^{-1} \leqslant 2 x^{M-\delta}, \quad\text{если } \ N\geqslant N_\delta=\frac{(M-\delta +1)(M+1)}{\delta}. \end{equation*} \notag $$
Для $1\leqslant x\leqslant C$ имеем $x^M \leqslant C^\delta x^{M-\delta}$, так что, взяв $N=0$, получаем
$$ \begin{equation*} (x^N+1)=2 \leqslant 2x^{M-\delta}. \end{equation*} \notag $$
Теперь требуемое утверждение следует из полученных соотношений.

Следствие доказано.

3.2. Асимптотика интеграла $I_q(0)$

В дальнейшем будет удобно записать интеграл $I_q(\mathbf c; A, L^2m)$ в виде

$$ \begin{equation} I_q(\mathbf c)=L^{d} \widetilde I_q(\mathbf c), \end{equation} \tag{3.8} $$
где
$$ \begin{equation} \widetilde I_q (\mathbf c)=\widetilde I_q (\mathbf c; A,m,L)= \int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z)h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr) e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L)\,d\mathbf z. \end{equation} \tag{3.9} $$

Следующее предложение заменяет леммы 11, 13 и теорему 3 из [1]. В отличие от тех результатов, мы не предполагаем, что $0\notin\operatorname{supp} w$. Поскольку при $\mathbf c=0$ экспонента $e_q$ в определении интеграла $I_q(\mathbf c)$ равна 1, мы можем рассматривать $I_q(0)$ как функцию вещественного аргумента $q\in\mathbb R$, что мы и делаем в предложении ниже (это нам понадобится в п. 8.1).

Предложение 3.8. Предположим, что $q\in\mathbb R$ и $q\leqslant C L$ для некоторой постоянной $C> 0$.

a) Если $d\geqslant5$ и ${\mathbb N}\ni {M}< d/2-1$, то для произвольного $\delta>0$

$$ \begin{equation} I_q(0;A, m, L) =L^{d} \sigma_\infty(w;A,m) +O_{m, {M},C,{\delta}}\bigl(q^{M-\delta} L^{d-{M}+{\delta}} \| w\|_{M,d+1}\bigr). \end{equation} \tag{3.10} $$

b) Если $d=4$, $\mathbb N \ni {M}\leqslant d/2-1$ и $m=0$, то для произвольных $0<\beta\leqslant 1$ и $N\geqslant 0$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag I_q(0; A,0,L) &=L^{d} \sigma_\infty(w; A,0) + O\biggl(\beta^{-{M}-1}q^{M}L^{d-{M}}\biggl\langle \log\biggl(\frac{q}{L\beta}\biggr)\biggr\rangle \| w\|_{M,d+1}\biggr) \\ &\qquad + O_{C,N}\bigl((q^NL^{d-N}+\beta^N)(\|w\|_{M-1,d+1} + Lq^{-1}\|w\|_{0,d+1})\bigr) . \end{aligned} \end{equation} \tag{3.11} $$

Доказательство. Пусть $d\geqslant{4}$. Применяя формулу Кронрода–Федерера (см. [12; п. 3.2.4]), мы представляем интеграл в (3.9) с $c=0$ как интеграл по гиперповерхности $\Sigma_t$:
$$ \begin{equation} \widetilde I_q(0)=\int_\mathbb R \mathcal I(m+t) h\biggl(\frac qL,t\biggr)\, dt, \qquad \mathcal I(t)=\int_{\Sigma_t} w(\mathbf z)\mu^{\Sigma_t}(d\mathbf z), \end{equation} \tag{3.12} $$
где мера $\mu^{\Sigma_t}$ совпадает с мерой из (1.9). Согласно теореме 7.3
$$ \begin{equation} \| \mathcal I\|_{k, \widetilde K} \lesssim_{k, K, \widetilde K} \| w\|_{k,K}, \quad\text{если }\ \widetilde K < \frac{K+2-d}2, \quad K>d, \end{equation} \tag{3.13} $$
а $ k< d/2-1$. Обозначим $f^m(y)=\mathcal I(m+y)$. Тогда $\| f^m\|_{k,\widetilde K} \lesssim_{m, \widetilde K} \| \mathcal I \|_{k,\widetilde K}$, и согласно (3.13)
$$ \begin{equation} | f^m|_{L_1}=| \mathcal I |_{L_1} \lesssim \| \mathcal I \|_{0, 4/3} \lesssim \| w\|_{0, d+1}. \end{equation} \tag{3.14} $$

Для доказательства формулы (3.10) мы применяем следствие 3.7 с $f=f^m$ и $x=q/L$ к первому интегралу в (3.12). Заметим, что $ f^m(0)=\mathcal I(m)=\sigma_\infty(w; A,m)$. Тогда, используя (3.13) с $\widetilde K=0$, $ K=d+1$ и $k=M$ вместе с (3.14), мы получаем

$$ \begin{equation*} \widetilde I_q(0)=\sigma_\infty(w) +O_{M, m,C, \delta} \bigl( q^{M-\delta} L^{-M+\delta}\| w\|_{M, d+1}\bigr), \end{equation*} \notag $$
что эквивалентно (3.10).

Чтобы доказать (3.11), мы применяем лемму 3.6 к интегралу в (3.12) с $m=0$ и получаем

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\mathbb R \mathcal I(t) h(x,t)\,dt &=\mathcal I(0) + O_{M}\biggl(\beta^{-M-1}x^{M} \biggl(\frac1X\int_{-X}^{X}|\mathcal I^{(M)} (t)|\,dt\biggr)\biggr) \\ &\qquad +O_{C,N}\bigl((x^N+\beta^N)(\|\mathcal I\|_{M-1,0} +x^{-1} |\mathcal I |_{L_1})\bigr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $x=q/L$ и $ X=\min\{1,x/\beta\}$. Теорема 7.3 с $k=M$ и $M=d+1$ влечет
$$ \begin{equation*} \int_{-X}^{X}|\mathcal I^{(M)}(t)|\,dt \lesssim X\langle \log X\rangle \|w\|_{M,d+1}. \end{equation*} \notag $$
Последняя оценка вместе с (3.13) и (3.14) влечет (3.11).

Предложение 3.8 доказано.

§ 4. Член $J_0$

В этом параграфе доказывается следующее предложение, в котором мы анализируем член $J_0$, определенный в (1.19).

Предложение 4.1. Пусть $d\geqslant5$. Тогда для произвольного $0<\gamma_2<1$

$$ \begin{equation*} \bigl|J_0-L^{d}\sigma_\infty(w)\sigma(A,L^2m)\bigr| \lesssim_{\gamma_2,m}L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2-1)} \|w\|_{\lceil d/2\rceil-2,d+1}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Запишем $J_0$ в виде (1.21). Тогда неравенство
$$ \begin{equation*} |w|_{L_1}\lesssim \|w\|_{0,d+1} \end{equation*} \notag $$
влечет, что достаточно обосновать приведенные ниже леммы 4.2 и 4.3, в которых мы оцениваем члены $J_0^+$ и $J_0^-$.

Предложение доказано.

Лемма 4.2. Пусть $w\in L_1(\mathbb R^{d})$ и $d\geqslant3$. Тогда

$$ \begin{equation*} |J_0^+|\lesssim L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2 -1)}|w|_{L_1} \end{equation*} \notag $$
для любого $\gamma_2\in(0,1)$.

Доказательство. Согласно лемме 2.1 имеем $|S_q(0)|\lesssim q^{d/2+1}$, так что
$$ \begin{equation*} |J_0^+|\lesssim\sum_{q>L^{1-\gamma_2}} q^{-d/2+1}I_q(0). \end{equation*} \notag $$
Записывая интеграл $I_q$ в виде (3.8), согласно следствию 3.3 находим, что
$$ \begin{equation*} |I_q(0)|\lesssim \frac{L^{d+1}}{q} |w|_{L_1}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |J_0^+| &\lesssim L^{d+1}|w|_{L_1} \sum_{q>L^{1-\gamma_2}} q^{-d/2} \\ &\lesssim L^{d+1}|w|_{L_1}L^{(-d/2+1)(1-\gamma_2)} =L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2-1)}|w|_{L_1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Лемма доказана.

Лемма 4.3. Пусть $d\geqslant5$. Тогда для любого $\gamma_2\in(0,1)$

$$ \begin{equation*} J_0^-=L^{d}\sigma_\infty(w)\sigma(A,L^2m) + O_{\gamma_2,m}\bigl( L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2-2)}\|w\|_{\lceil d/2\rceil-2,d+1} \bigr). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Подставляя (3.10) с $C=1$ в определение члена $J_0^-$, получаем, что $J_0^-=I_A+I_B$, где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, I_A :=L^{d}\sigma_\infty(w)\sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}} q^{-d}S_q(0), \\ |I_B|\lesssim_{M,\delta,m}L^{d-M+\delta}\|w\|_{M,d+1} \sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}}S_q(0) q^{-d+M} \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
для $M< d/2-1$ и произвольного $\delta>0$. Лемма 2.3 влечет равенство
$$ \begin{equation*} \sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}} q^{-d}S_q(0)=\sigma(A,L^2m) + O(L^{(-d/2+2)(1-\gamma_2)}), \end{equation*} \notag $$
так что
$$ \begin{equation*} I_A=L^{d}\sigma_\infty(w)\sigma(A,L^2m) + O(\sigma_\infty(w) L^{d/2+2 +\gamma_2(d/2-2)}), \end{equation*} \notag $$
в то время как $|\sigma_\infty(w)|=|\mathcal I(m)|\leqslant \|\mathcal I\|_{0,0}\leqslant\|w\|_{0,d+1}$ ввиду (3.13). С другой стороны, лемма 2.1 влечет неравенство
$$ \begin{equation*} |I_B|\lesssim_{M,\delta,m}L^{d-M+\delta}\|w\|_{M,d+1} \sum_{q\leqslant L^{1-\gamma_2}}q^{-d/2+1+M}. \end{equation*} \notag $$
Выбирая $M=\lceil d/2\rceil -2$ и $\delta=\gamma_2/2$, находим
$$ \begin{equation*} |I_B|\lesssim_{\delta,m} \|w\|_{\lceil d/2\rceil-2,d+1} L^{d/2+2+\delta}\ln L \lesssim_{\gamma_2,m}\|w\|_{\lceil d/2\rceil-2,d+1}L^{d/2+2 +\gamma_2}. \end{equation*} \notag $$

Лемма доказана.

§ 5. Член $J_>^{\gamma_1}$

В этом параграфе мы оцениваем член $J_>^{\gamma_1}$, определенный в (1.19). Ключевой момент доказательства состоит в адаптации леммы 19 из [1] для нашего случая. Напомним обозначение (3.8).

Предложение 5.1. Для всех $d\geqslant 1$, $ N>0$ и $\mathbf c\ne 0$ имеем

$$ \begin{equation} |\widetilde I_q(\mathbf c)|\lesssim_{N,m} \frac Lq |\mathbf c|^{-N}\|w\|_{N,2N+d+1} . \end{equation} \tag{5.1} $$

Доказательство. Положим $f_q(\mathbf z):=w(\mathbf z)h(q/L,F^m(\mathbf z))$. Так как
$$ \begin{equation*} \frac{i}{2\pi}\,\frac{q}{L} |\mathbf c|^{-2}( \mathbf c\cdot \nabla_{\mathbf z})e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L) =e_q(-\mathbf z\cdot \mathbf c L), \end{equation*} \notag $$
то, интегрируя по частям $N$ раз в интеграле (3.9), мы находим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, | \widetilde I_q(\mathbf c)| &\leqslant \biggl(\frac{q}{2\pi L} |\mathbf c|^{-2}\biggr)^N \int_{\mathbb R^{d}} \bigl|( \mathbf c\cdot \nabla_{\mathbf z})^N f_q(\mathbf z)\bigr|\,d\mathbf z \\ &\lesssim_{N} \biggl(\frac qL\biggr)^N |\mathbf c|^{-N} \\ &\qquad\times \sum_{0\leqslant n\leqslant N}\int_{\mathbb R^{d}}\max_{0\leqslant l\leqslant n/2} \biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr| |\mathbf z|^{n-2l} \bigl|\nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr|\,d\mathbf z, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\dfrac{\partial}{\partial y} h$ обозначает производную функции $h$ по второму аргументу.

Предположим сначала, что $q\leqslant L$. Тогда согласно лемме 3.2 с $N=0$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\max_{0\leqslant l\leqslant n/2}\biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr|\, |\mathbf z|^{n-2l} \bigl| \nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr| \\ &\qquad\leqslant \biggl(\frac Lq\biggr)^{n+1}\langle \mathbf z\rangle^{-d-1} \|w\|_{N-n,n+d+1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Так как $n\leqslant N$, мы получаем (5.1). Пусть теперь $q>L$. Тогда согласно п. 1) леммы 3.1 функция $h$ не зануляется, только если
$$ \begin{equation} 2|F^m(\mathbf z)| >\frac qL . \end{equation} \tag{5.2} $$
Для таких $\mathbf z$ и для $l\leqslant n$ п. 3) леммы 3.1 влечет неравенство
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL,F^m(\mathbf z)\biggr)\biggr| \lesssim_{n-l} \frac Lq\frac{1}{|F^m(\mathbf z)|^{n-l}} \lesssim_{n-l}\biggl(\frac{L}{q}\biggr)^{n-l+1}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\max_{0\leqslant l\leqslant n/2} \biggl|\frac{\partial^{n-l}}{\partial y^{n-l}} h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) \biggr| \,|\mathbf z|^{n-2l} \bigl|\nabla_{\mathbf z}^{N-n} w(\mathbf z)\bigr| \\ &\qquad\lesssim\max_{0\leqslant l\leqslant n}\frac{(L/q)^{n-l+1}}{\langle \mathbf z\rangle^{2(N-n+l)}} \,\frac{\|w\|_{N-n,2N-n+d+1}}{\langle\mathbf z\rangle^{d+1}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Так как $q/L \lesssim_m\langle\mathbf z\rangle^2$ ввиду (5.2), то первая дробь последнего неравенства ограничена величиной $(L/q)^{N+1}$, и мы снова получаем (5.1).

Предложение 5.1 доказано.

В качестве следствия находим оценку на $J_>^{\gamma_1}$.

Следствие 5.2. Член $J_>^{\gamma_1}$, определенный в (1.19) с $\gamma_1\in(0,1)$ и $d\geqslant3$, удовлетворяет неравенству

$$ \begin{equation*} |J_>^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m}\|w\|_{N_0,2N_0+d+1}, \end{equation*} \notag $$
где $N_0:=\lceil d+(d+1)/\gamma_1\rceil$.

Доказательство. Обозначая $l^1$-норму через $|\cdot |_1$, по определению $J_>^{\gamma_1}$ имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |J_>^{\gamma_1}| &\lesssim \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{-d}\sup_{|\mathbf c|_1=s}|S_q(\mathbf c)| |I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{1-d/2}L^d\sup_{|\mathbf c |_1=s} |\widetilde I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim_{N,m} \sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1}\sum_{q=1}^\infty q^{-d/2} s^{-N} L^{d+1}\|w\|_{N,2N+d+1}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где второе неравенство следует из леммы 2.1, а третье – из предложения 5.1. Сумма по $q$ ограничена константой. Выбирая $N=N_0$, получаем
$$ \begin{equation*} L^{d+1}\sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{d-1} s^{-N} \leqslant L^{d+1}\sum_{s\geqslant L^{\gamma_1}} s^{-1 - (d+1)/\gamma_1} \lesssim 1. \end{equation*} \notag $$

Следствие доказано.

§ 6. Член $J^{\gamma_1}_<$

6.1. Оценка

Наша следующая (и последняя) задача состоит в оценке члена $J^{\gamma_1}_<$ из (1.18).

Предложение 6.1. Для любых $d\geqslant3$ и $\gamma_1\in(0,1/2)$

$$ \begin{equation*} |J_<^{\gamma_1}|\lesssim_{\gamma_1,m} L^{d/2+2+\gamma_1(d+1)} \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N + 3d+4}\bigr) , \end{equation*} \notag $$
где $\overline N=\overline N(d,\gamma_1):=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d$.

Предложение 6.1 следует из леммы 6.2, являющейся модификацией леммы 22 в [1] и доказанной в п. 6.2.

Лемма 6.2. Для любых $d\geqslant 3$ и $\mathbf c\ne 0$

$$ \begin{equation*} |I_q(\mathbf c)|\lesssim_{\gamma_1,m}L^{d/2+1+\gamma_1} \biggl(\frac{q}{|\mathbf c|}\biggr)^{d/2-1-\gamma_1} \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N+3d+4}\bigr), \end{equation*} \notag $$
где $\overline N$ и $\gamma_1$ те же, что и в предложении 6.1.

Доказательство предложения 6.1. Согласно лемме 2.1
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |J^{\gamma_1}_<| &\lesssim \sum_{\mathbf c\ne 0,\,|\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} \sum_{q=1}^\infty q^{-d}q^{d/2+1} |I_q(\mathbf c)| \\ &\lesssim L^{d\gamma_1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)| \sum_{q=1}^\infty q^{-d/2+1} \\ &=L^{d\gamma_1} \biggl(\sum_{q<L} + \sum_{q\geqslant L}\biggr) q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)|=J_{-} + J_{+}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_- &:=L^{d\gamma_1} \sum_{q<L} q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}} |I_q(\mathbf c)|, \\ J_+&:=L^{d\gamma_1} \sum_{q\geqslant L} q^{-d/2+1} \max_{\mathbf c\ne0\colon |\mathbf c|\leqslant L^{\gamma_1}}|I_q(\mathbf c)|. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следствие 3.3 вместе с (3.8), (3.9) влечет
$$ \begin{equation} |I_q(\mathbf c)|\lesssim \frac{L^{d+1}}q |w|_{L_1}, \end{equation} \tag{6.1} $$
так что
$$ \begin{equation*} J_{+}\lesssim L^{d\gamma_1} L^{d+1} |w|_{L_1} \sum_{q\geqslant L} q^{-d/2} \lesssim L^{d\gamma_1 + d/2+2} |w|_{L_1}\lesssim L^{d\gamma_1 + d/2+2} \|w\|_{0,d+1}. \end{equation*} \notag $$
С другой стороны, так как $|\mathbf c|\geqslant 1$, то из леммы 6.2 получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_{-} &\lesssim_{\gamma_1,m} L^{d\gamma_1} L^{d/2+1+\gamma_1}\bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N +3d+4}\bigr)\sum_{q< L} q^{-\gamma_1} \\ &\leqslant \bigl(\|w\|_{\overline N,d+5}+\|w\|_{0,\overline N+3d+4}\bigr) L^{\gamma_1(d+1)+d/2+2}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Предложение доказано.

6.2. Доказательство леммы 6.2

6.2.1. Применение обратного преобразования Фурье

Заметим, что доказательство нетривиально только при $q\lesssim L|\mathbf c|$: действительно, для любого $\alpha>0$ оценка (6.1) влечет неравенство

$$ \begin{equation*} |I_q(\mathbf c)| \lesssim_\alpha L^d|w|_{L_1} \lesssim_{\alpha} L^d \biggl(\frac{L|\mathbf c|}{q}\biggr)^{-d/2+1+\gamma_1} |w|_{L_1}, \quad \text{если } \ q\geqslant \alpha L |\mathbf c|, \end{equation*} \notag $$
так как $|\mathbf c|\geqslant 1$ и $-d/2+1+\gamma_1<0$. Теперь остается снова использовать неравенство $|w|_{L_1}\lesssim \|w\|_{0,d+1}$.

Выберем достаточно малое $\alpha=\alpha(d,\gamma_1, A) \in(0,1)$ и допустим, что $q< \alpha L|\mathbf c|$. Рассмотрим функцию $w_2(x)=1/(1+x^2)$ и положим

$$ \begin{equation} \widetilde w(\mathbf z):=\frac{w(\mathbf z)}{w_2(F^m(\mathbf z))}={w(\mathbf z)} (1+F^m(\mathbf z)^2). \end{equation} \tag{6.2} $$
Пусть
$$ \begin{equation} p(t):=\int_{-\infty}^{+\infty} w_2(v) h\biggl(\frac{q}{L},v\biggr) e(-tv) \,dv, \qquad e(x):=e_1(x)= e^{2\pi i x}. \end{equation} \tag{6.3} $$
Это преобразование Фурье функции $w_2(\cdot)h(q/L,\cdot)$. Тогда, выражая $w_2 h$ через $p$ с помощью обратного преобразования Фурье и записывая $w(\mathbf z)=\widetilde w(\mathbf z)w_2(F^m(\mathbf z))$, получаем
$$ \begin{equation*} w(\mathbf z)h\biggl(\frac qL, F^m(\mathbf z)\biggr) =\widetilde w(\mathbf z)\int_{-\infty}^{+\infty} p(t)e(t F^m(\mathbf z))\,dt. \end{equation*} \notag $$
Подставляя это выражение в (3.9), находим
$$ \begin{equation*} \widetilde I_q(\mathbf c)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(t)e(-tm)\biggl(\int_{\mathbb R^{d}} \widetilde w(\mathbf z) e\bigl(tF(\mathbf z)-\mathbf u\cdot \mathbf z\bigr)\,d\mathbf z \biggr)\,dt, \qquad \mathbf u:=\frac{\mathbf cL}{q}. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что
$$ \begin{equation*} | \mathbf u|=\frac{|\mathbf c| L}q> \alpha^{-1} >1, \end{equation*} \notag $$
поскольку $q<\alpha |\mathbf c| L $. Обозначим $W_0(x)=c_0^{-d}\prod_{i=1}^{d}w_0(x_i)$ (см. (3.1)). Тогда $W_0\in C_0^\infty (\mathbb R^d)$, $W_0\geqslant0$ и
$$ \begin{equation} \operatorname{supp} W_0=[-1, 1]^d \subset \{ x \in \mathbb R^d\colon |x| \leqslant \sqrt{d} \}, \qquad \int_{\mathbb R^d} W_0(x)\,dx=1. \end{equation} \tag{6.4} $$
Положим $\delta=| \mathbf u|^{-1/2} < \sqrt\alpha$ и запишем $\widetilde w$ в виде
$$ \begin{equation*} \widetilde w(\mathbf z)=\delta^{-d} \int_\mathbb R^d W_0\biggl( \frac{\mathbf z-\mathbf a}{\delta}\biggr) \widetilde w(\mathbf z)\,d\mathbf a. \end{equation*} \notag $$
Обозначив $\mathbf b:=(\mathbf z-\mathbf a)/\delta$, мы получаем
$$ \begin{equation*} |\widetilde I_q(\mathbf c)| \leqslant \int_{\mathbb R^{d}}\int_{-\infty}^{+\infty} |p(t)|\,|I_{\mathbf a,t}|\, dt\,d\mathbf a, \end{equation*} \notag $$
где ввиду (6.4)
$$ \begin{equation*} I_{\mathbf a,t}:=\int_{\{ |\mathbf b| \leqslant \sqrt{d}\}} W_0(\mathbf b) \widetilde w(\mathbf z)e(tF(\mathbf z) - \mathbf u\cdot\mathbf z)\,d\mathbf b, \qquad \mathbf z:=\mathbf a+\delta\mathbf b. \end{equation*} \notag $$
Рассмотрим показатель экспоненты в интеграле $ I_{\mathbf a,t}$:
$$ \begin{equation*} f(\mathbf b)=f_{\mathbf a,t}(\mathbf b):=tF(\mathbf a+ \delta\mathbf b) - \mathbf u\cdot (\mathbf a+ \delta\mathbf b). \end{equation*} \notag $$

На следующем шаге мы оцениваем интеграл $I_{\mathbf a,t}$, рассматривая $(\mathbf a,t)$ как параметр. Для этого введем еще один параметр $R$, удовлетворяющий неравенству

$$ \begin{equation*} 1\leqslant R\leqslant |\mathbf u|^{1/3}, \end{equation*} \notag $$
точное значение которого будет выбрано позже.

Далее мы разделяем два случая:

1) параметр $(\mathbf a,t)$ лежит в “хорошей” области $S_R$, где

$$ \begin{equation*} S_R=\biggl\{ ( \mathbf a,t)\colon |\nabla f(0)|=\delta |t A\mathbf a - \mathbf u| \geqslant R\biggl\langle \frac{t}{|\mathbf u |}\biggr\rangle =R\langle \delta^2t\rangle \biggr\}; \end{equation*} \notag $$
2) параметр $(\mathbf a,t)$ лежит в “плохом” множестве ${S_R}^c= (\mathbb R^d \times \mathbb R) \setminus S_R$.

6.2.2. Интеграл по области $S_R$

Рассмотрим сначала интеграл по множеству $S_R$.

Лемма 6.3. Для любых $d\geqslant 1$, $N\geqslant 0$ и $R\geqslant 2\|A\|\sqrt{d}$

$$ \begin{equation} \int_{S_R} |p(t)| \, |I_{\mathbf a, t} | \, d\mathbf a\, dt \lesssim_{N,m} \frac{L}{q}R^{-N}\|w\|_{N,d+5}. \end{equation} \tag{6.5} $$

Доказательство. Положим $\mathbf l:=\nabla f(0)/|\nabla f(0)|$ и $\mathcal L=\mathbf l\cdot \nabla_\mathbf b$. Тогда для $(\mathbf a,t)\in S_R$ и $|\mathbf b|\leqslant \sqrt{d}$ (см. (6.4))
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag |\mathcal L f(\mathbf b)| &=\biggl|\mathcal L f(0) +\delta^2 t \nabla f(0)\cdot\frac{A\mathbf b}{|\nabla f(0)|}\biggr| \\ &\geqslant|\nabla f(0)| - \delta^2|t||A\mathbf b| \geqslant R\langle\delta^2 t \rangle - \delta^2|t|\,\|A\| \frac{R}{2\|A\|} \nonumber \\ &\geqslant \frac12 R\langle\delta^2 t \rangle\geqslant \frac R2. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.6} $$
В силу тождества $(2\pi i \mathcal L f(\mathbf b))^{-1} \mathcal L e(f(\mathbf b))= e(f(\mathbf b))$ находим, что $N$-кратное интегрирование по частям в интеграле $ I_{\mathbf a,t}$ влечет оценку
$$ \begin{equation*} |I_{\mathbf a,t}| \lesssim_{N} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N} \biggl|\mathcal L^{N-k} \widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\frac{\bigl(\mathcal L^2f(\mathbf b)\bigr)^k}{\bigl(\mathcal L f(\mathbf b)\bigr)^{N+k}}\biggr| , \end{equation*} \notag $$
где мы использовали соотношение $\mathcal L^m f(\mathbf b)=0$ при $m\geqslant 3$. Так как $|\mathcal L^2f(\mathbf b)|\leqslant \delta^2|t||\mathbf l\cdot A\mathbf l|\leqslant\delta^2|t|\|A\|$, то ввиду (6.6) имеем
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\mathcal L^2 f(\mathbf b)}{\mathcal L f(\mathbf b)}\biggr| \leqslant\frac{\delta^2|t|\,\|A\|}{\frac12 R\langle\delta^2 t \rangle} =\frac{2\|A\|}{R}\leqslant \frac{1}{\sqrt{d}}. \end{equation*} \notag $$
Тогда, используя соотношение
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{1}{\mathcal L f(\mathbf b)}\biggr|\leqslant\frac2R, \end{equation*} \notag $$
имеющее место в силу (6.6), находим
$$ \begin{equation*} |I_{\mathbf a,t}| \lesssim_{N} R^{-N} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N}\bigl|\mathcal L^{k} \widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\bigr|. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, обозначая через $\mathbf 1_{S_R}$ индикаторную функцию множества $S_R$, имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{\mathbb R^{d}}|I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{S_R}\,d\mathbf a &\lesssim_{N} R^{-N}\int_{\mathbb R^{d}} \Bigl(\langle\mathbf a\rangle^{d+1} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}\, \max_{0\leqslant k\leqslant N}\bigl|\mathcal L^k\widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)\bigr| \Bigr)\, \frac{d\mathbf a}{\langle\mathbf a\rangle^{d+1}} \\ & \lesssim_{N} R^{-N}\|\widetilde w\|_{N,d+1} \lesssim_{N,m} R^{-N}\|w\|_{N,d+5} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для каждого $t$. Поэтому левая часть неравенства (6.5) удовлетворяет соотношению
$$ \begin{equation} \int_{S_R} |p(t)| \, |I_{\mathbf a, t} | \, d\mathbf a\, dt \lesssim_{N,m} R^{-N}\|w\|_{N,d+5} \int_{-\infty}^{+\infty} |p(t)| \, dt. \end{equation} \tag{6.7} $$

Для завершения доказательства леммы нам остается показать, что

$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty|p(t)|\,dt\lesssim \frac Lq. \end{equation} \tag{6.8} $$
Ввиду леммы 3.2 с $N=2$
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{\partial^k}{\partial v^k} h(x,v)\biggr| \lesssim_k x^{-k-1}\min\biggl\{1,\frac{x^2}{v^2}\biggr\}, \qquad k\geqslant 1, \end{equation*} \notag $$
и согласно следствию 3.3 $|h(x,v)|\lesssim x^{-1}$. Тогда интегрирование по частям в (6.3) показывает, что для любого $M\geqslant 0$
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |p(t)| & \lesssim_M |t^{-M}| \biggl(\int_{-\infty}^\infty|w_2^{(M)}(v)|x^{-1}\,dv \\ &\qquad+ \max_{1\leqslant k \leqslant M}\int_{-\infty}^\infty|w_2^{(M-k)}(v)|x^{-k-1}\min\biggl\{1,\frac{x^2}{v^2}\biggr\}\,dv\biggr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $x:=q/L$. Записывая последний интеграл в виде суммы $\displaystyle \int_{|v|\leqslant x} + \int_{|v|>x}$, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_{|v|\leqslant x}=x^{-k-1}\int_{|v|\leqslant x} |w_2^{(M-k)}(v)|\,dv \lesssim_{M} x^{-k}, \\ \int_{|v|>x}=x^{-k+1}\int_{|v|>x} \frac{ |w_2^{(M-k)}(v)|}{v^2}\,dv \lesssim_{ M} x^{-k}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда для любого $M\geqslant 0$
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} |p(t)| &\lesssim_M \biggl(\frac{q}{L}|t|\biggr)^{-M}, &\quad &\text{если }\ \frac qL <1 , \\ |p(t)| &\lesssim_M \biggl(\frac{q}{L}\biggr)^{-1} |t|^{-M}, &\quad &\text{если }\ \frac qL \geqslant 1. \end{alignedat} \end{equation} \tag{6.9} $$
Выбирая $M=2$ при $|t|>\langle L/q \rangle$ и $M=0$ при $|t|\leqslant \langle L/q \rangle$, получаем (6.8).

Лемма 6.3 доказана.

6.2.3. Интеграл по области ${S_R}^c$

Теперь мы исследуем интеграл по “плохому” множеству ${S_R}^c$.

Лемма 6.4. Для любых $d\geqslant 1$, $1\leqslant R\leqslant |\mathbf u|^{1/3}$ и $0<\beta<1$

$$ \begin{equation*} \int_{{S_R}^c} |p(t)|\, |I_{\mathbf a, t}|\, d\mathbf a \,dt \lesssim_m R^{d}|\mathbf u|^{-d/2+1+\beta}\|w\|_{0,K(d,\beta)}, \end{equation*} \notag $$
где $K(d,\beta)=d+\lceil d^2/(2\beta)\rceil+4$.

Доказательство. На множестве ${S_R}^c$ мы используем для интеграла $I_{\mathbf a, t}$ тривиальную верхнюю оценку
$$ \begin{equation} |I_{\mathbf a, t}|\lesssim\max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}|\widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)|\leqslant \|\widetilde w\|_{0,0}. \end{equation} \tag{6.10} $$
Включение $(\mathbf a,t)\in {S_R}^c$ влечет, что интегрирование по $d \mathbf a$ при фиксированном $t$ проводится лишь по области, где $|A\mathbf a - t^{-1}\mathbf u| \leqslant ({R}/{\delta |t|}) \langle t / |\mathbf u| \rangle$, так что
$$ \begin{equation} \biggl|\mathbf a -\frac{A^{-1}\mathbf u}{t}\biggr|\leqslant \|A^{-1} \|\frac{R}{\delta |t|}\biggl\langle \frac{t}{|\mathbf u|}\biggr \rangle . \end{equation} \tag{6.11} $$

Допустим сначала, что $|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}$. Так как $|\mathbf u| >1$, то, разделяя случаи $|t| \leqslant |\mathbf u|$ и $|t| \geqslant |\mathbf u|$, получаем

$$ \begin{equation} \frac{R}{\delta|t|}\biggl\langle \frac{t}{|\mathbf u|} \biggr\rangle \leqslant R|\mathbf u|^{-1/2+\beta/d}. \end{equation} \tag{6.12} $$
Ввиду (6.10)(6.12) имеем
$$ \begin{equation} \biggl|\int_{\mathbb R^{d}} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\, d\mathbf a\biggr| \lesssim R^{d}|\mathbf u|^{-d/2+\beta} \|\widetilde w\|_{0,0}. \end{equation} \tag{6.13} $$
Поскольку $|F^m(\mathbf z)|\lesssim_m \langle \mathbf z \rangle^2$, то по определению (6.2) функции $\widetilde w$ мы имеем $\|\widetilde w\|_{0,0}\lesssim_m \|w\|_{0,4}$. Тогда левая часть неравенства (6.13) удовлетворяет соотношению
$$ \begin{equation*} \biggl|\int_{\mathbb R^{d}} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\, d\mathbf a\biggr|\lesssim_m {R^{d}}|\mathbf u|^{-d/2+\beta} \| w\|_{0,4}. \end{equation*} \notag $$
Учитывая, что согласно (6.8)
$$ \begin{equation*} \int_{|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}} |p(t)|\,dt \lesssim \frac{L}{q}\leqslant|\mathbf u|, \end{equation*} \notag $$
мы получаем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{|t|\geqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}}\biggl(\int_{\mathbb R^{d}} |p(t)|\, |I_{\mathbf a, t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \,d\mathbf a \biggr) dt \nonumber \\ &\qquad\qquad \lesssim_mR^{d}|\mathbf u|^{-d/2+1+\beta} \| w\|_{0,4}. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.14} $$

Пусть теперь $|t| \leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}$. Тогда правая часть неравенства (6.11) ограничена величиной $\|A^{-1} \| {R}/{(\delta |t|)}$, так что $|\mathbf a|\gtrsim |A^{-1}\mathbf u|/|t|- \|A^{-1} \| {R}/{(\delta |t|)}$. Ввиду соотношений $|A^{-1}\mathbf u|\geqslant C_A|\mathbf u|$ и $R\leqslant | \mathbf u |^{1/3}$ получаем

$$ \begin{equation*} |\mathbf a|\gtrsim_A \frac{|\mathbf u|- R C'_A\sqrt{|\mathbf u|}}{|t|}\geqslant (1-C'_A|\mathbf u|^{-1/6})\frac{|\mathbf u|}{|t|} \geqslant \frac12\,\frac{|\mathbf u|}{|t|}\geqslant \frac 12 |\mathbf u|^{\beta/d}, \end{equation*} \notag $$
где $C_A'=C_A^{-1}\|A^{-1}\|$, так как $|\mathbf u|^{-1}\leqslant \alpha$, если $\alpha$ настолько мало, что $1-C'_A\alpha^{1/6}\geqslant 1/2$. Тогда $1\lesssim |\mathbf a|/|\mathbf u|^{\beta/d}$ на ${S_R}^c$, так что
$$ \begin{equation*} \mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \lesssim |\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} |\mathbf a|^{d^2/(2\beta)-1}, \end{equation*} \notag $$
и мы получаем из (6.10), что для таких $t$
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl|\int_{\mathbb R^d} |I_{\mathbf a,t}|\mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t) \,d\mathbf a\biggr| &\lesssim |\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} \int_{\mathbb R^{d}} |\mathbf a|^{d^2/(2\beta)-1} \max_{|b_i|\leqslant 1\ \forall\, i}|\widetilde w(\delta \mathbf b +\mathbf a)|\, d\mathbf a \\ &\lesssim_m|\mathbf u|^{-d/2+\beta/d} \|w\|_{0,K(d,\beta)}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $K(d,\beta)=d+\lceil d^2/(2\beta)\rceil+4$. С другой стороны, согласно (6.9) с $M=0$
$$ \begin{equation*} \int_{|t|\leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}}|p(t)|\,dt \lesssim |\mathbf u|^{1-\beta/d}, \end{equation*} \notag $$
откуда получаем
$$ \begin{equation} \int_{|t|\leqslant |\mathbf u|^{1-\beta/d}} \biggl(\int_{\mathbb R^{d}}|p(t)| |I_{\mathbf a, t}| \mathbf 1_{{S_R}^c}(\mathbf a,t)\,d\mathbf a\biggr)\,dt \lesssim_m|\mathbf u|^{-d/2+1} \| w\|_{0,K(d,\beta)}. \end{equation} \tag{6.15} $$

Собирая вместе оценки (6.14) и (6.15), получаем искомое утверждение.

Лемма 6.4 доказана.

6.2.4. Окончание доказательства

Чтобы завершить доказательство леммы 6.2, мы объединяем леммы 6.3 и 6.4 и находим, что

$$ \begin{equation*} |\widetilde I_q(\mathbf c)|\lesssim_{N,m} \biggl(\frac Lq R^{-N} +R^{d} |\mathbf u|^{-d/2+1+\beta}\biggr)\bigl( \|w\|_{N,d+5}+\|w\|_{0,K(d,\beta)}\bigr). \end{equation*} \notag $$
Зафиксируем $\gamma_1\in (0,1/2)$, $\beta=\gamma_1/2$, $R=|\mathbf u|^{\gamma_1/(2d)}\leqslant|\mathbf u|^{1/3}$ и выберем $N=\lceil d^2/\gamma_1\rceil-2d>0$ (заметим, что $R \geqslant \alpha^{-\gamma_1/(2d)}\geqslant 2\|A\|\sqrt{d}$, если $\alpha$ настолько мало, что утверждение леммы 6.3 выполняется). Тогда
$$ \begin{equation*} K(d,\beta)=N+3d+4, \qquad R^{-N}\leqslant|\mathbf u|^{-d/2+\gamma_1}\leqslant |\mathbf c| \biggl(\frac{L|\mathbf c|}{q}\biggr)^{-d/2+\gamma_1} , \end{equation*} \notag $$
так как $|\mathbf c|\geqslant 1$. Более того,
$$ \begin{equation*} R^d |\mathbf u|^{-d/2+1+\beta}=|\mathbf u|^{-d/2+1+\gamma_1} =\biggl(\frac{L|\mathbf c|}q\biggr)^{-d/2+1+\gamma_1}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 6.2 доказана.

§ 7. Интегралы по квадрикам

Наша цель в этом параграфе – изучить интегралы $\mathcal I(t;w)$ по квадрикам $\Sigma_t$. Мы начнем со случая квадратичных форм $F$, записанных в удобной нормальной форме (теорема 7.1), и покажем позже (теорема 7.3), как свести общие интегралы $\mathcal I(t;w)$ к интегралам, соответствующим таким квадратичным формам. В этом параграфе мы предполагаем, что

$$ \begin{equation*} d\geqslant3, \end{equation*} \notag $$
и не применяем жирный шрифт для обозначения векторов, поскольку большинство переменных, которые мы здесь используем, являются векторами.

7.1. Квадратичные формы в нормальной форме

На

$$ \begin{equation*} \mathbb R^{d}=\mathbb R^n_u\times \mathbb R_x^{d_1}\times \mathbb R_y^{d_1}=\{z=(u,x,y)\},\quad\text{где }\ d\geqslant3,\quad n\geqslant 0, \quad d_1\geqslant 1, \end{equation*} \notag $$
рассмотрим квадратичную форму
$$ \begin{equation} F(z)=\frac12|u|^2+x\cdot y=\frac12 Az\cdot z, \qquad A(u,x,y)=(u,y,x). \end{equation} \tag{7.1} $$
Заметим, что $A$ – ортогональный оператор, $|Az|=|z|$. Как и в п. 1.1, мы рассматриваем квадрики $\Sigma_t=\{z\colon F(z)=t\}$, $t\in\mathbb R$. Заметим, что при $t\neq 0$ $\Sigma_t$ является гладкой гиперповерхностью, а $\Sigma_0$ – это конус с особенностью в нуле. Обозначим элемент объема на $\Sigma_t$ (на $\Sigma_0\setminus\{0\}$, если $t=0$), индуцированный из $\mathbb R^{d}$, как $dz|_{\Sigma_t}$ и положим
$$ \begin{equation} \mu^{\Sigma_t}(dz)=|Az|^{-1}\,dz|_{\Sigma_t} \end{equation} \tag{7.2} $$
(см. ниже обсуждение этой меры при $t=0$).

Для $k_*\in \mathbb N\cup\{0\}$ и функции $f$ на $\mathbb R^{d}$, удовлетворяющей

$$ \begin{equation} f\in\mathcal C^{k_*,M}(\mathbb R^d), \qquad M>{d}, \end{equation} \tag{7.3} $$
мы будем изучать интегралы
$$ \begin{equation} \mathcal I(t)=\mathcal I(t;f)=\int_{\Sigma_t} f(z)\mu^{\Sigma_t}(dz). \end{equation} \tag{7.4} $$

Первая цель этого параграфа – продемонстрировать следующий результат.

Теорема 7.1. Для квадратичной формы $F(z)$ из (7.1) и функции $f\in\mathcal C^{k_*,M}(\mathbb R^d)$, $M>{d}$ , рассмотрим интеграл $\mathcal I(t)=\mathcal I(t;f)$, определенный в (7.4). Тогда функция $\mathcal I(t)$ является $C^k$-гладкой, если $k< {d}/2-1$, $k\leqslant k_*$, и является $C^k$-гладкой вне нуля, если $k\leqslant \min( {d}/2-1,k_*)$. Для $ 0<|t|\leqslant 1$ имеем

$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} &| \partial^k\mathcal I(t)|\lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}, &\quad &\textit{если }\ k< \frac{d}2-1, \\ &| \partial^k\mathcal I(t)| \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}(1-\ln |t|), &\quad &\textit{если }\ k\leqslant \frac{d}2-1. \end{alignedat} \end{equation} \tag{7.5} $$
В то время как для $|t|\geqslant 1$, обозначая $\kappa=(M+2-d)/2$, имеем
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} |\partial^k\mathcal I(t)| &\lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}\langle t\rangle^{-\kappa}, &\quad &\textit{если }\ 1\leqslant k\leqslant \frac{d}2-1, \quad k\leqslant k_*, \\ |\mathcal I(t)| &\lesssim_{M,\kappa'}\|f\|_{0,M}\langle t\rangle^{-\kappa'} &\quad &\forall\, \kappa'<\kappa. \end{alignedat} \end{equation} \tag{7.6} $$

Пример A.3 в [13] показывает, что в общем случае логарифмический множитель нельзя удалить из правой части (7.5).

Доказательство теоремы 7.1. Будем доказывать теорему в несколько шагов (пп. 7.2, 7.3). При ее доказательстве для заданного вектора $x\in \mathbb R^{d_1}$ мы рассматриваем его ортогональное дополнение в $\mathbb R^{d_1}$ – гиперпространство $x^\perp$. Мы обозначаем его элементы $\overline x$ и снабжаем $x^\perp$ мерой Лебега $d\overline x$. Если $d_1=1$, то $x^\perp$ вырождается в пространство $\mathbb R^0= \{0\}$, а $d\overline x$ – в $\delta$-меру в точке $0$. Практически это означает, что при $d_1=1$ пространства $x^\perp$ и $y^\perp$ (и интегралы по ним) исчезают из наших построений. Это упрощает случай $d_1=1$, но делает его отличным от $d_1\geqslant2$. Например, в формуле (7.8) при $d_1=1$ аффинное пространство $\sigma_t^x(u', x')$ становится точкой $(u', x', (t- \frac12 |u'|^2) |x'|^{-2} x')$, мера $d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^x}$ в (7.13) принимает вид $du\, |x|^{-1}\,dx$ и т.д. Соответственно ниже мы приводим доказательство только для $d_1\geqslant2$, оставляя случай $d_1=1$ в качестве простого упражнения для читателя.

7.2. Дезинтеграция двух мер

Наша цель в этом пункте – найти удобную дезинтеграцию мер $dz|_{\Sigma_t}$ и $\mu^{\Sigma_t}$, следуя доказательству теоремы 3.6 в [11].

Напомним, что мы записываем элементы $z\in\mathbb R^d$ как $z=(u,x,y)$, где $u\in\mathbb R^d$ и $x,y\in \mathbb R^{d_1}$. Обозначим

$$ \begin{equation*} \Sigma_t^x=\{(u,x,y)\in \Sigma_t\colon x\neq 0\} \end{equation*} \notag $$
(если $t<0$, то $\Sigma_t^x=\Sigma_t$). Тогда для любого $t$ $\Sigma_t^x$ есть гладкая гиперповерхность в $\mathbb R^d$ и отображение
$$ \begin{equation} \Pi_t^x\colon\Sigma_t^x\to\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}\setminus\{0\}, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,x), \end{equation} \tag{7.7} $$
является гладким аффинным евклидовым расслоением. Его слои суть
$$ \begin{equation} \sigma^x_t(u',x'):=(\Pi_t^x)^{-1}(u',x')=\biggl( u', x', {x'}^\perp + \frac{t-\frac12|u'|^2}{|x'|^2} x'\biggr), \end{equation} \tag{7.8} $$
где ${x'}^\perp$ – ортогональное дополнение к $x'$ в $\mathbb R^{d_1}$. Для любого $x'\neq 0$ обозначим
$$ \begin{equation*} U_{x'}=\biggl\{x\colon |x-x'|\leqslant \frac12 |x'|\biggr\}, \qquad U=\mathbb R^n\times U_{x'} \times \mathbb R^{d_1}. \end{equation*} \notag $$

Теперь мы построим тривиализацию расслоения $\Pi_t^x$ над $U$. Для этого зафиксируем в $\mathbb R^{d_1}$ произвольный ортонормированный репер $(e_1,\dots,e_{d_1})$ такой, что луч $\mathbb R_+ e_1$ пересекает область $U_{x'}$. Тогда

$$ \begin{equation*} x_1>0 \quad \forall\, x=(x_1,\dots,x_{d_1})=:(x_1,\overline x) \in U_{x'}. \end{equation*} \notag $$
Мы хотим построить аффинный по третьему аргументу диффеоморфизм
$$ \begin{equation*} \Phi_t\colon \mathbb R^n\times U_{x'}\times \mathbb R^{d_1-1}\to U\cap \Sigma_t \end{equation*} \notag $$
вида
$$ \begin{equation} \Phi_t(u,x, \overline \eta)=(u,x,\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)), \qquad \Phi_t^{u,x}(\overline \eta)=(\varphi_t(u,x, \overline \eta),\overline \eta) \in \mathbb R^{d_1}, \quad \overline\eta\in \mathbb R^{d_1-1}. \end{equation} \tag{7.9} $$
Легко видеть, что $\Phi_t(u,x,\overline \eta)\in \Sigma_t$ тогда и только тогда, когда
$$ \begin{equation} \varphi_t(u,x,\overline \eta)=\frac{t-\frac12|u|^2-\overline x\cdot\overline \eta}{x_1}. \end{equation} \tag{7.10} $$
Отображение $\overline\eta\to\Phi_t^{u,x}(\overline\eta)$ с этой функцией $\varphi_t$ аффинно и его область значений $\Phi_t$ равна $U\cap \Sigma_t$.

В координатах $(u,x,\eta_1,\overline\eta)\in \mathbb R^n\times U_{x'}\times \mathbb R\times \mathbb R^{d_1-1}$ на области $U \subset\mathbb R^{d}$ гиперповерхность $\Sigma_t^x$ вложена в $\mathbb R^{d}$ как график функции $(u,x,\overline \eta)\mapsto \eta_1=\varphi_t$. Соответственно в координатах $(u,x,\overline\eta)$ на $U\cap\Sigma_t$ элемент объема на $\Sigma_t$ имеет вид

$$ \begin{equation*} \overline \rho_t(u,x,\overline \eta)\,du\,dx\,d\overline \eta, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \overline \rho_t=(1+|\nabla \varphi_t|^2)^{1/2} =\biggl(1+\frac{|u|^2+|\overline \eta|^2+|\overline x|^2 + x_1^{-2}(t-\frac12 |u|^2 -\overline x\cdot \overline \eta)^2}{x_1^2}\biggr)^{1/2}. \end{equation*} \notag $$
Переходя от переменной $\overline \eta\in \mathbb R^{d_1-1}$ к $y=\Phi_t^{u,x}(\overline \eta) \in \sigma_t^x(u,x)$, мы заменяем $d\overline \eta$ на $|{\det\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)}|\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y$. Здесь $d_{\sigma_t^x(u,x)}y$ – мера Лебега на $(d_1-1)$-мерном аффинном евклидовом пространстве $\sigma_t^x(u,x)$ и через $\det\Phi_t^{u,x}$ обозначен определитель линейного отображения $\Phi_t^{u,x}$, рассматриваемого как линейный изоморфизм евклидова пространства $\mathbb R^{d_1-1}\,{=}\, \{\overline\eta\}$ и касательного пространства к $\sigma_t^x(u,x)$, отождествленного с евклидовым пространством $x^\perp\subset \mathbb R^{d_1}$. Соответственно элемент объема на $\Sigma_t\cap U$ можно записать как
$$ \begin{equation*} \rho_t(u,x,y)\, du\,dx\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \rho_t(u,x,y)=\overline \rho_t(u,x,\overline \eta) |{\det\Phi_t^{u,x}(\overline \eta)}|, \qquad (u,x,y) \in \Sigma_t, \quad \Phi_t^{u,x}(\overline \eta)=y. \end{equation*} \notag $$

Теперь подсчитаем плотность $\rho_t$. Возьмем любую точку $z_*=(u_*,x_*, y_*)\in U\cap \Sigma_t $ и выберем ортобазис $(e_1,\dots,e_{d_1})$ такой, что $e_1=x_*/|x_*|$. Тогда

$$ \begin{equation*} x_*=(|x_*|,0), \quad y_*=\bigl(y_{*1}, \overline y_*\bigr), \qquad y_{*1}=\biggl(\frac{t-\frac12|u_*|^2}{|x_*|} \biggr), \quad \overline y_*\in \mathbb R^{d_1-1}. \end{equation*} \notag $$

Итак (см. (7.9), (7.10)), отображение $\Phi_t$ таково, что $\Phi_t^{u_*,x_*}(\overline \eta)=(y_{*1},\overline \eta) =\widetilde y\in\sigma_t^x(u_*,x_*)$ (т.е. $\varphi_t(z_*)=y_{*1}$). В этих координатах

$$ \begin{equation*} \rho_t(u_*,x_*,y_{*1}, \overline y_*)=\overline \rho_t(u_*,x_*, \overline y_*), \end{equation*} \notag $$
что равно
$$ \begin{equation*} \bigl(1+|x_*|^{-2}(|u_*|^2+|\overline y_*|^2 +|y_{*1}|^2)\bigr)^{1/2} =\frac{(|x_*|^2 +|u_*|^2+|\overline y_*|^2 +|y_{*1}|^2)^{1/2}}{|x_*|}, \end{equation*} \notag $$
т.е. $\rho_t(z_*)=|z_*|/|x_*|$. Так как $z_*$ – это любая точка в $U\cap \Sigma_t$, мы доказали следующее предложение.

Предложение 7.2. Элемент объема $dz|_{\Sigma_t^x}$ относительно проекции $\Pi_t^x$ дезинтегрируется следующим образом:

$$ \begin{equation} dz|_{\Sigma_t^x}=du\,|x|^{-1}\,dx\,|z|\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y. \end{equation} \tag{7.11} $$
То есть для любой функции $f\in C_0^0(\Sigma_t^x)$
$$ \begin{equation*} \int f(z)\,dz|_{\Sigma_t^x}=\int_{\mathbb R^n}\int_{\mathbb R^{d_1}} |x|^{-1}\biggl(\int_{\sigma_t^x(u,x)} |z|f(z)\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y \biggr)\,dx\, du. \end{equation*} \notag $$

Точно так же, если мы положим $\Sigma_t^y=\{(u,x,y)\in \Sigma_t\colon y\neq 0\}$ и рассмотрим проекцию

$$ \begin{equation*} \Pi_t^y\colon\Sigma_t^y\to\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}\setminus\{0\}, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,y), \end{equation*} \notag $$
то получим
$$ \begin{equation} dz|_{\Sigma_t^y}=du\,|y|^{-1}\,dy\,|z|\,d_{\sigma_t^y(u,y)}x. \end{equation} \tag{7.12} $$

Обозначим $\Sigma_t^0=\{(u,x,y)\in \Sigma_t\colon x=y=0\}$. Тогда $\Sigma_t\setminus \Sigma_t^0$ – гладкое многообразие и $dz|_{\Sigma_t}$ определяет на нем гладкую меру.

В силу соотношений (7.11) и (7.12) функция $|z|^{-1}$ локально интегрируема на $\Sigma_t$ относительно меры $dz|_{\Sigma_t}$. Таким образом, $\mu^{\Sigma_t}$ (см. (7.2)) является корректно определенной борелевской мерой на $\Sigma_t$. Так как $|Az|=|z|$, то ввиду (7.11) и (7.12)

$$ \begin{equation} d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^x}=du\,|x|^{-1}\,dx\,d_{\sigma_t^x(u,x)}y, \qquad d\mu^{\Sigma_t}|_{\Sigma_t^y}=du\,|y|^{-1}\,dy\,d_{\sigma_t^y(u,y)}x. \end{equation} \tag{7.13} $$
Мера $\mu^{\Sigma_t}$ определяет на $\mathbb R^{d}$ борелевскую меру с носителем в $\Sigma_t$. Она также будет обозначаться $\mu^{\Sigma_t}$.

7.3. Анализ интеграла $\mathcal I(t;f)$

Заметим, что для любого $t$ отображение

$$ \begin{equation*} L_t\colon\Sigma_0^x\to \Sigma_t^x, \qquad (u,x,y)\mapsto (u,x,y+t|x|^{-2}x), \end{equation*} \notag $$
определяет аффинный изоморфизм расслоений $\Pi_0|_{\Sigma_0^x}$ и $\Pi_t|_{\Sigma_t^x}$. Поскольку $L_t$ сохраняет меру Лебега на слоях, то в силу (7.11) оно преобразует меру $\mu^{\Sigma_0}$ в $\mu^{\Sigma_t}$. Используя (7.13), мы получаем, что для любого $t$ интеграл $ \mathcal I(t)$, определенный в (7.4), может быть записан как
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\mathcal I(t;f)\int_{\Sigma_0}f(L_t(z))\mu^{\Sigma_0}(dz) \\ &\qquad=\int_{\mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}} |x|^{-1}\biggl(\int_{\sigma(u,x)} f(u,x,y+t|x|^{-2}x)\,d_{\sigma^x(u,x)}y \biggr)\,du\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{7.14} $$
Здесь $\sigma(u,x):=\sigma_0^x(u,x)=x^\perp-\frac12|u|^2|x|^{-2}x$.

Напомним, что $f(u,x,y)$ удовлетворяет (7.3). Взяв любую гладкую функцию $\varphi(t) \geqslant 0$ на $\mathbb R$, обращающуюся в нуль при $|t|\geqslant 2$ и равную единице при $|t|\leqslant 1$, мы запишем $f$ как

$$ \begin{equation*} f=f_{00}+f_1,\quad \text{где}\quad f_{00}=\varphi(|(x,y)|^2)f,\quad f_{1}=(1- \varphi(|(x,y)|^2))f. \end{equation*} \notag $$
Обозначая $B_r(\mathbb R^m)=\{\xi\in \mathbb R^m\colon |\xi|\leqslant r\}$ и $B^r(\mathbb R^m)=\{\xi\in \mathbb R^m\colon |\xi|\geqslant r\}$, мы получаем
$$ \begin{equation} \operatorname{supp} f_{00}\subset \mathbb R^n\times B_{\sqrt2}(\mathbb R^{2{d_1}}), \qquad \operatorname{supp} f_1\subset \mathbb R^n\times B^1(\mathbb R^{2{d_1}}). \end{equation} \tag{7.15} $$
Полагая $f_{11}(z)=f_1(z)(1-\varphi(4|x|^2))$, $f_{10}(z)=f_1 (z)\varphi(4|x|^2)$, мы записываем $f$ как
$$ \begin{equation*} f=f_{00}+f_{11} +f_{10}. \end{equation*} \notag $$
Поскольку $(x,y)\in B^1(\mathbb R^{2{d_1}})$ влечет, что $|x|\geqslant 1/\sqrt{2}$ или $|y|\geqslant 1/\sqrt{2}$, то с учетом (7.15)
$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{supp} f_{11}\subset \mathbb R^n\times B^{1/2}(\mathbb R^{d_1}_x)\times \mathbb R^{d_1}_y, \\ \operatorname{supp}f_{10}\subset \mathbb R^n\times \mathbb R^{d_1}_x\times B^{1/\sqrt2}(\mathbb R^{d_1}_y). \end{gathered} \end{equation} \tag{7.16} $$
Очевидно, что при $i,j=0,1$ $\|f_{ij}\|_{k,m}\leqslant C_{k,m} \|f\|_{k,m}$ для всех $k\leqslant k_*$ и $m\leqslant M$.

Полагая $\mathcal I_{ij}(t)=\mathcal I(t;f_{ij})$, имеем

$$ \begin{equation*} \mathcal I(t;f)=\mathcal I_{00}(t)+\mathcal I_{10}(t) +\mathcal I_{11}(t). \end{equation*} \notag $$

7.3.1. Интеграл $\mathcal I_{00}(t)$

В силу (7.14) $\mathcal I_{00}(t)$ является непрерывной функцией, и для $1\leqslant k\leqslant k_*$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \partial^k \mathcal I_{00}(t) &=\int_{\mathbb R^n}\biggl(\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})}|x|^{-1}\,dx \biggr)\,du \\ \notag &\qquad\times \int_{y\in \sigma(u,x)}\frac{d^k}{dt^k}f_{00}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \\ \notag &=\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})} |x|^{-1} \\ &\qquad\times\biggl( \int_{y\in \sigma(u,x)}d_y^k f_{00}(u,x,y+t|x|^{-2} x)[|x|^{-2}x]\,d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\,dx\,du , \end{aligned} \end{equation} \tag{7.17} $$
где через $d_y^k f_{00}[|x|^{-2}x]$ обозначено применение дифференциала $d_y^k f_{00}$ к совокупности $k$ векторов, каждый из которых равен $|x|^{-2}x$. Полагая $\tau=t-\frac12|u|^2$, для $y\in\sigma(u,x)$ имеем
$$ \begin{equation} y+t|x|^{-2} x=\overline y+\tau|x|^{-2}x \quad \text{для некоторого }\ \overline y\in x^\perp. \end{equation} \tag{7.18} $$
Таким образом, интеграл по $y$ в (7.17) можно записать как
$$ \begin{equation} \int_{x^\perp} d_y^k f_{00}(u,x,\overline y+\tau|x|^{-2}x) [|x|^{-2}x] \,d\overline y. \end{equation} \tag{7.19} $$
Поскольку $|\overline y+\tau x|x|^{-2}|^2=|\overline y|^2 + \tau^2|x|^{-2}$, то на носителе подынтегральной функции имеем
$$ \begin{equation} |x|\leqslant \sqrt2, \qquad |\overline y|^2+ \tau^2 |x|^{-2} \leqslant 2. \end{equation} \tag{7.20} $$
В частности,
$$ \begin{equation} |\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\leqslant \sqrt 2\, |x|\leqslant 2 \end{equation} \tag{7.21} $$
в (7.19). В силу (7.15) диаметр области интегрирования в (7.19) ограничен $\sqrt2$. Таким образом, для любого $m\geqslant 0$ интеграл (7.19) не превышает величину $C_{k,m} |x|^{-k}\langle u\rangle^{-m}\|f\|_{k,m}$. Обозначая $R=|u|$, $r=|x|$, получаем
$$ \begin{equation} |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{0}^{\sqrt2} r^{d_1-k-2} \biggl(\int_0^\infty R^{n-1}\langle R\rangle^{-M}\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r} \, dR\biggr)\,dr . \end{equation} \tag{7.22} $$
Если $n=0$, то интеграл по $dR$ следует убрать из правой части. Ниже мы оценим $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ отдельно для случаев $n=0$ и $n\geqslant 1$.

a) Если $n=0$, то $\tau=t$, и из (7.21) получаем, что $|x|\geqslant t/\sqrt2 $, в то время как из (7.15) видим, что при $t\ne 0$ функция $\mathcal I_{00}(t)$ является $C^{k_*}$-гладкой (поскольку $f\in C^{k_*}$). Затем из (7.22) мы находим

$$ \begin{equation} |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{|t|/\sqrt2}^{\sqrt2}r^{d_1-k-2} \chi_{|t|\leqslant 2}\, dr . \end{equation} \tag{7.23} $$
Отсюда следует, что
$$ \begin{equation} \begin{alignedat}{2} |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,M}, &\quad &\text{если } \ k\leqslant \min({d_1}-2, k_*), \\ |\partial^k \mathcal I_{00}(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,M}\bigl(1+\bigl|\ln |t|\bigr|\bigr), &\quad &\text{если }\ k\leqslant \min({d_1}-1, k_*) , \end{alignedat} \end{equation} \tag{7.24} $$
в то время как $\mathcal I_{00}(t)=0$ для $|t|\geqslant 2$.

b) Если $n\geqslant 1$, то для оценки $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ разобьем интеграл для $\mathcal I_{00}(t)$ на сумму двух. А именно, для фиксированного $t\neq 0$ запишем $f_{00} $ как

$$ \begin{equation*} f_{00}=f_{00<}+f_{00>},\quad \text{где }\ f_{00<}=f_{00}\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr), \end{equation*} \notag $$
а $\varphi$ – это функция, используемая для определения функций $f_{ij}$, $0\leqslant i,j\leqslant1$. Значит,
$$ \begin{equation} \operatorname{supp} f_{00<} \subset \{2|x| \leqslant |t|\}, \qquad \operatorname{supp} f_{00>} \subset \{2\sqrt2\, |x| \geqslant |t|\}. \end{equation} \tag{7.25} $$
С использованием очевидных обозначений мы имеем
$$ \begin{equation*} \mathcal I_{00}(t)=\mathcal I_{00<}(t)+\mathcal I_{00>}(t), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal I_{00<}(t) &= \int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{|t|/2}(\mathbb R^{d_1})} |x|^{-1} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u,x)\\|x|^2+|y+t|x|^{-2}x|^2\leqslant2}} f_{00<}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\, dx\,du , \\ \mathcal I_{00>}(t) &=\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})\cap B^{|t|/2\sqrt2}(\mathbb R^{d_1})}|x|^{-1} \\ &\qquad\times\biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u,x)\\|x|^2+|y+t|x|^{-2}x|^2\leqslant2}} f_{00>}(u,x,y+t|x|^{-2} x) \, d_{\sigma(u,x)}y \biggr)\,dx \,du . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим первую функцию $\mathcal I_{00<}(t)$. Заметим, что по (7.18) для $y\in \sigma(u,x)$ и $|x|\leqslant |t|/2$ (ср. (7.25))

$$ \begin{equation*} \bigl|y+t|x|^{-2}x\bigr|\geqslant |\tau|\,|x|^{-1}= \biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\,|x|^{-1}\geqslant-t|x|^{-1}>\sqrt 2 \quad \text{для }\ t<0 , \end{equation*} \notag $$
так что $\mathcal I_{00<}(t)=0$ для $t<0$. При $t>0$, выполняя замену переменных $\sqrt{t}\, u'=u$, $tx'=x$, получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathcal I_{00<}(t) &= t^{d/2-1}\int_{\mathbb R^n}\int_{B_{\sqrt2/t}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{1/2}(\mathbb R^{d_1})} |x'|^{-1} \varphi(8|x'|^2) \\ &\quad\times \biggl(\int_{\substack{y\in \sigma(u',x')\\|x'|^2t^2+|y+|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}} f_{00}(\sqrt{t}\, u',tx',y+|x'|^{-2} x')\, d_{\sigma(u',x')}y \biggr)\,dx'\, du', \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где использовано, что $\sigma(u',x')=\sigma(u,x)$. Дифференцируя по $t$, мы находим по индукции по $k$, что для любых $l$ и $k$
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{d^k}{dt^k} t^lg(\sqrt t\, u',tx') \\ &\qquad=\sum_{l_1+l_2+l_3=k}c_{l_1,l_2,l_3} t^{l-l_1-l_2/2}({u'}^{l_2}\cdot\nabla_u)^{l_2} ({x'}^{l_3}\cdot \nabla_x)^{l_3}g(\sqrt t u',tx') \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
для любой достаточно регулярной функции $g$ и подходящих констант $c_{l_1,l_2,l_3}$. Отсюда получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &|\partial^k \mathcal I_{00<}(t)| \lesssim_{k,M}\max_{l_1+l_2+l_3=k}t^{d/2-1-l_1-l_2/2} \|f\|_{k,M} \int_{\mathbb R^n}{|u'|}^{l_2} \langle u'\sqrt t\rangle^{-M} \\ &\qquad \times \int_{B_{\sqrt2/t}(\mathbb R^{d_1})\cap B_{1/2}(\mathbb R^{d_1})} |x'|^{l_3-1} \biggl( \int_{\substack{y\in \sigma(u',x')\\|x'|^2t^2+|y+|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}}\,d_{\sigma(u',x')}y \biggr)\,dx'\, du'. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Обозначая точки пространства $x^\perp$ через $\overline y$, видим, что интеграл по $d_{\sigma(u',x')}y$ не превосходит
$$ \begin{equation} \int_{\substack{\overline y\in x^\perp\\|x'|^2t^2+|\overline y+\tau'|x'|^{-2}x'|^2\leqslant2}} 1\,d\overline y, \qquad \tau'=1-\frac12|u'|^2. \end{equation} \tag{7.26} $$
В силу (7.21) на носителе подынтегральной функции $ |\tau'| \leqslant \sqrt 2\, |x'| $. Так что там
$$ \begin{equation} 1-\sqrt2\, |x'|\leqslant\frac{|u'|^2}2\leqslant 1+\sqrt2 \, |x'| . \end{equation} \tag{7.27} $$
Поскольку область интегрирования в $\overline y$ ограничена, то интеграл (7.26) ограничен константой. Так что, обозначив $|x'|=r'$, $|u'|=R'$ и используя (7.27), мы имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl|\partial^k\mathcal I_{00<}(t)\biggr| &\lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M}t^{d/2-l_1-l_2/2-1}\int_0^{1/2} {r'}^{d_1-2+l_3} \\ &\qquad\times \biggl(\int_{\sqrt2\sqrt{1-\sqrt2\, r'}}^{\sqrt2\sqrt{1+\sqrt2\, r'}} {R'}^{n-1+l_2}\langle{R'}^2t\rangle^{-M/2} \, dR' \biggr)\, dr'. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Так как $r'\leqslant 1/ 2$, то на области интегрирования
$$ \begin{equation*} \sqrt{2-\sqrt2}\leqslant R'\leqslant \sqrt{2+\sqrt2},\qquad \sqrt2\sqrt{1+\sqrt2\, r'}-\sqrt2\sqrt{1-\sqrt2 \, r'}\lesssim r'. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, интеграл по $dR'$ ограничен величиной $C \langle t\rangle^{-M/2} p'$. Поэтому
$$ \begin{equation*} |\partial^k\mathcal I_{00<}(t)| \lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M}\, t^{d/2-l_1-l_2/2-1} \langle t\rangle^{-M/2} \int_0^{1/2}{r'}^{d_1-1+l_3}\, dr'. \end{equation*} \notag $$
Отсюда следует, что при $0< t\leqslant4$ для любого $k\leqslant k_*$ и любого $d_1\geqslant 1$
$$ \begin{equation} |\partial^k\mathcal I_{00<}(t)|\lesssim_{k}\|f\|_{k,0}\, t^{d/2-k-1}. \end{equation} \tag{7.28} $$
В то время как для произвольных $t \geqslant4$ и $k\leqslant k_*$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag |\partial^k\mathcal I_{00<}(t)| &\lesssim_{k,M} \max_{l_1+l_2+l_3=k}\|f\|_{k,M,{d}}\, t^{d/2- M/2-l_1-l_2/2-1} \\ &\qquad\times\int_0^{\sqrt2/t} {r'}^{d_1-1+l_3} \, dr' \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}\, t^{-(M+2+k +2d_1-{d})/2} . \end{aligned} \end{equation} \tag{7.29} $$
Напомним, что $\mathcal I_{00<}(t)$ обращается в нуль при $t<0$.

Для $\mathcal I_{00>}(t)$ сначала заметим, что по (7.20) и (7.25) функция $\mathcal I_{00>}(t)$ обращается в нуль, если $|t|> 4$. Далее, используя индукцию по $k$, замечаем, что

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\frac{d^k}{dt^k} g(tx|x|^{-2})\biggl(1-\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\sum_{l_1+l_2+l_3=k} c_{l_1,l_2,l_3}|x|^{2(l_2-l_1)}t^{-3l_2-l_3} ((x\cdot \nabla)^{l_1}g)\,\frac{d^{l_2}}{dy^{l_2}}(1-\varphi) , \end{aligned} \end{equation} \tag{7.30} $$
где $c_{l_1,l_2,l_3}=0$, если $l_3>0$ и $l_2=0$. Поскольку $\varphi'\neq 0$ только для $|t|/(2\sqrt2)\leqslant|x|\leqslant |t|/2$, то
$$ \begin{equation*} \frac{d^{l_2}}{dy^{l_2}}(1-\varphi)t^{-3l_2-l_3}\lesssim_{l_2,l_3} |x|^{-3l_2-l_3} , \qquad l_2>0 , \end{equation*} \notag $$
так что
$$ \begin{equation*} \biggl|\frac{d^k}{dt^k} g(tx|x|^{-2}) \biggl(1-\varphi\biggl(\frac{8|x|^2}{t^2}\biggr)\biggr) \biggr| \lesssim_k |x|^{-k}\|g\|_{k,0} . \end{equation*} \notag $$
Отсюда, аналогично (7.22) и снова обозначая $|x|=r$ и $|u|=R$, получаем
$$ \begin{equation*} |\partial^k\mathcal I_{00>}(t)| \lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} \int_{|t|/(2\sqrt 2)}^{\sqrt2}r^{d_1-k-2} \biggl(\int_0^\infty R^{n-1}\langle R\rangle^{-M}\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r} \, dR \biggr)\,dr; \end{equation*} \notag $$
здесь и далее $\displaystyle\int_a^b dr=0$, если $b\leqslant a$. Так как в области интегрирования в силу соотношений (7.25) и множителя $\chi_{|\tau|\leqslant \sqrt 2\, r}$ имеем $R^2\leqslant 6\sqrt 2\, r$, то
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag |\partial^k \mathcal I_{00>}(t)| &\lesssim_{k,M,n}\|f\|_{k,M}\int_{|t|/(2\sqrt2)}^{\sqrt2}r^{d/2-k-2}\, dr \\ &\lesssim_{k,M} \begin{cases} \|f\|_{k,M} ,& k<\dfrac{d}2-1, \\ \|f\|_{k,M}(1+|{\ln|t|}|) ,& k\leqslant \dfrac{d}2-1. \end{cases} \end{aligned} \end{equation} \tag{7.31} $$

Если $k< {d}/2-1$, то по предыдущему производная $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ ограничена для всех $t$. В этом случае, модифицируя интеграл в (7.17) множителем $\chi_{|x|\geqslant\varepsilon}$, мы видим, что полученные таким образом функции $\mathcal I_{00>}^\varepsilon$, $\mathcal I_{00<}^\varepsilon $ удовлетворяют тем же оценкам, что и функции $\mathcal I_{00>}$, $\mathcal I_{00<}$ выше. Поэтому функция $\mathcal I_{00}^\varepsilon$ также им удовлетворяет. Функции $\partial^k \mathcal I_{00}^\varepsilon(t)$ с $\varepsilon>0$, очевидно, непрерывны по $t$ и сходятся к $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ равномерно на ограниченных интервалах. Отсюда следует, что последняя функция также непрерывна. Подобным образом, функция $\partial^k \mathcal I_{00}(t)$ с $k=d/2-1$ непрерывна на любом множестве $|t| \geqslant\varepsilon>0$. Поэтому она непрерывна при $t\ne0$.

7.3.2. Интеграл $\mathcal I_{11}(t)$

В силу (7.16) и аналогично (7.17), (7.19) для любого $k\leqslant k_*$ имеем

$$ \begin{equation*} \partial^k\mathcal I_{11}(t)=\int_{\mathbb R^n}\int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-1}\biggl(\int_{x^\perp} d_y^k\, f_{11}(u,x,\overline y+\tau x |x|^{-2})[x|x|^{-2}]\,d\overline y \biggr)\,dx \,du. \end{equation*} \notag $$
Легко видеть, что $\mathcal I_{11}(t)$ – это $C^k$-гладкая функция, а поскольку $M>{d}$ и $\bigl|\overline y+\tau x|x|^{-2}\bigr|\geqslant |\overline y|$, то
$$ \begin{equation} |\partial^{k}\mathcal I_{11} (t)|\lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M} \quad \forall \, t. \end{equation} \tag{7.32} $$
Пусть теперь $|t|\geqslant 1$. Запишем $\partial^k\mathcal I_{11}$ в виде
$$ \begin{equation} \partial^k\mathcal I_{11}(t)=\int_{\mathbb R^n} \int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-k-1} \int_{x^\perp} \Phi_k(\overline z)\,d\overline y \,dx\, du, \end{equation} \tag{7.33} $$
где $\overline z=(u,x,\overline y)$, $\overline y\in x^\perp$, и
$$ \begin{equation} |\Phi_k(\overline z)| \lesssim_{k} \|f\|_{k,M} \langle \widehat z\rangle^{-M}, \qquad\widehat z=(u,x,\overline y+\tau x|x|^{-2}). \end{equation} \tag{7.34} $$
Очевидным образом,
$$ \begin{equation} |\widehat z|\geqslant |\overline z|, \qquad |\widehat z|\geqslant 2^{-1/2} \bigl( |\overline z| + |\tau| |x|^{-1}\bigr). \end{equation} \tag{7.35} $$

Отдельно мы рассматриваем случаи $n\geqslant 1$ и $n=0$.

1) Пусть $n\geqslant 1$.

(a) Сначала проинтегрируем в (7.33) по $u$ в сферическом слое

$$ \begin{equation*} O:=\biggl\{u\colon |\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\leqslant\frac12 t\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Он пуст, если $t<0$, а при $t\geqslant 0$ имеем $O=\{u\colon t \leqslant |u|^2\leqslant 3t\}$. В силу (7.34) и первого соотношения в (7.35) при $t\geqslant0$ часть интеграла в (7.33) с $u\in O$ ограничена величиной
$$ \begin{equation*} K :=C_k\|f\|_{k,M} \int_O \int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-k-1} \int_{x^\perp} \bigl( |t|+|x|^2+|\overline y|^2\bigr)^{-M/2}\,d\overline y\, dx\, du. \end{equation*} \notag $$
Так как $\displaystyle\int_O 1\,du\leqslant Ct^{n/2}$, то, полагая $r=|x|$, $|t|+r^2=T^2$ и $R=|\overline y|/T$, получаем
$$ \begin{equation*} K \lesssim_{k}\|f\|_{k,M}t^{n/2} \int_{1/2}^{\infty}r^{d_1-2-k}T^{d_1-1-M} \int_0^\infty R^{d_1-2}(1+R^2)^{-M/2}\,dR\, dr. \end{equation*} \notag $$
Интеграл по $dR$ ограничен, поскольку $M>d_1$, так что
$$ \begin{equation*} K \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}t^{n/2}\int_{1/2}^{\infty}r^{d_1-2-k} (|t|+r^2)^{(d_1-1-M)/2}\,dr. \end{equation*} \notag $$
Вспоминая, что мы рассматриваем случай $t\geqslant 1$, положим $r=\sqrt{t}\, l$. Тогда
$$ \begin{equation*} K\lesssim_{kM}\|f\|_{k,M}t^{(n+1+d_1-2-k+d_1-1-M)/2} \int_{t^{-1/2}/2}^\infty l^{d_1-2-k} (1+l^2)^{(d_1-1-M)/2}\,dl . \end{equation*} \notag $$
Поскольку $M>2d_1$, то интеграл по $l$ сходится, и мы получаем
$$ \begin{equation*} K \lesssim_{k,M}\|f\|_{k,M}|t|^{-(M+2-{d}+k)/2}|t|^{\max(0, k+1-d_1)/2} Y(t), \end{equation*} \notag $$
где $ Y=\ln t$, если $k=d_1-1$, и $ Y=1$ в противном случае. Тогда в случае $ Y=1$ компонента (7.33), соответствующая интегрированию по $u\in O$, ограничена величиной
$$ \begin{equation} C(k, M,d)\|f\|_{k,M}|t|^{- \kappa}, \qquad \kappa=\frac{M+2-{d}}2, \end{equation} \tag{7.36} $$
для всех $ |t|\geqslant 1$, так как $\max(0,k+1-d_1)\leqslant k$. При $ Y=\ln t$ такая же оценка верна и в случае $d_1\geqslant 2$, поскольку $\max(0, k+1-d_1)< k$. В случае, когда $d_1=1$ и $ Y=\ln t$ (т.е. $k=0$), мы получаем (7.36) с $\kappa$, замененным любым $\kappa'<\kappa$ (и с константой $C$, зависящей от $\kappa'$).

(b) Теперь рассмотрим интеграл по $u\in O^c=\mathbb R^n\setminus O$. В этой области

$$ \begin{equation*} |\tau|=\biggl|t-\frac12|u|^2\biggr|\geqslant \frac12 |t|. \end{equation*} \notag $$
Тогда по неравенствам (7.34) и (7.35) имеем
$$ \begin{equation*} |\Phi_k(\overline z) | \lesssim_{k}\langle(u,\overline y)\rangle^{-M},\qquad |\Phi_k(\overline z) |\lesssim_{k}(|t||x|^{-1} +|x|)^{-M}. \end{equation*} \notag $$
Пусть $M=M_1+M_2$ для некоторых $M_j\geqslant 0$. Тогда часть интеграла (7.33), отвечающая $u\in O^c$, ограничена величиной
$$ \begin{equation*} C\|f\|_{k,M} \int_{|x|\geqslant 1/2} |x|^{-1-k}(t|x|^{-1}+|x|)^{-M_1} \biggl(\int_{\mathbb R^n}\int_{x^\perp} \langle(u,\overline y)\rangle^{-M_2}\,d\overline y \,du \biggr)\,dx. \end{equation*} \notag $$
Выбирая $M_2=n+{d_1}-1+\gamma$ с $0<\gamma<1$ (тогда $M_1, M_2>0$, так как $M>d$), получаем, что интеграл по $du\,d\overline y$ ограничен $C(\gamma)$ для любого $\gamma$. Поскольку по неравенству Юнга6
$$ \begin{equation*} (A+B)^{-1}\leqslant C_aA^{-a}B^{a-1}, \qquad 0<a<1, \end{equation*} \notag $$
для любых $A,B>0$, то
$$ \begin{equation*} (t|x|^{-1}+|x|)^{-M_1}\leqslant C_a|x|^{(2a-1)M_1}|t|^{-aM_1}\quad\text{для }\ 0<a<1. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, приведенный выше интеграл ограничен величиной
$$ \begin{equation*} C(\gamma)\|f\|_{k,M}|t|^{-aM_1}\int_{|x|\geqslant 1/2}|x|^{-1-k+bM_1}\,dx, \qquad b=2a-1 \in (-1, 1) . \end{equation*} \notag $$
Обозначим $b_*=(1+k-d_1)/{M_1}$. Тогда для $b=b_*$ показатель степени для $|x|$ в приведенной выше формуле равен $-{d_1}$ и $b_*>-1$, если $\gamma$ достаточно мало, так как $M>d$. Замечая, что
$$ \begin{equation*} a(b_*)M_1=\frac{b_*+1}2M_1=\frac{M+2+k-{d} -\gamma}2= \kappa +\frac{k}2 - \frac\gamma2 \end{equation*} \notag $$
($\kappa$ определено в (7.36)), мы видим, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\text{часть интеграла (7.33), соответствующая }u\in O^c, \notag \\ \notag &\text{ограничена величиной } (7.36), \text{ при }k\geqslant1, \\ &\text{а при }k=0 \ - \ (7.36) \text{ с заменой }\kappa\text{ любым }\kappa'<\kappa. \end{aligned} \end{equation} \tag{7.37} $$

2) Теперь пусть $n=0$. Тогда

$$ \begin{equation} |\partial^k\mathcal I_{11}(t)|\leqslant \int_{|x|\geqslant 1/2} |x|^{-1-k} \int_{x^\perp} \Phi_k(\overline z) \, d\overline y\, dx , \qquad \overline z=(x,\overline y), \end{equation} \tag{7.38} $$
где $|\Phi_k(\overline z) |\lesssim_k\langle \widehat z\rangle^{-M}$ с $ \widehat z=(x,\overline y\,{+}\, tx|x|^{-2})$. Дословно повторяя шаг 1), (b) с $n=0$, мы получаем, что для $|t|\geqslant 1$ интеграл в (7.38) также может быть оценен величиной (7.36). Напомним, что при $|t|\leqslant 1$ производная $\partial^k\mathcal I_{11}(t)$ оценена в (7.32).

7.3.3. Интеграл $\mathcal I_{10}(t)$

Теперь мы используем вторую дезинтеграцию в (7.13) вместо первой. Так как в силу (7.16) на носителе подынтегральной функции $|y|\geqslant 1/\sqrt 2$, то, повторяя использованное выше рассуждение и при этом меняя местами $x$ и $y$, мы получаем, что $\mathcal I_{10}(t)$ удовлетворяет тем же оценкам, что и $\mathcal I_{11}(t)$.

7.3.4. Завершение доказательства теоремы 7.1

Наконец:

По причине, объясненной в конце п. 7.3.1, задействованные производные являются непрерывными функциями.

Теорема 7.1 доказана.

7.4. Линейные преобразования квадрик

В этом пункте мы обозначаем через $C_0$ пространства непрерывных функций с компактным носителем.

В $\mathbb R^{d}=\{z\}$ рассмотрим квадратичную форму с действительными коэффициентами7 $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ сигнатуры $(n_0, n_+, n_-)$ такой, что $ n_0=0$, $n_+ \geqslant n_-=: d_1\geqslant1$. Обозначим $n=n_+ - n_-$.

Используя стандартную диагональную нормальную форму для симметричной квадратичной формы, мы строим линейное преобразование

$$ \begin{equation*} L\colon \mathbb R^{d} \to \mathbb R^{d}, \qquad z \mapsto Z=(u,x,y), \quad u\in \mathbb R^n, \quad x, y\in \mathbb R^{d_1}, \end{equation*} \notag $$
такое, что $Q(L(z))=F(z)$, где $Q(Z)=\frac 12 |u|^2 + x\cdot y$. Рассмотрим соответствующие квадрики $\Sigma^Q_t=\{Z\colon Q(Z)=t\} $, $\Sigma^F_t=\{z\colon F(z)=t\}$ и $\delta$-меры $\mu^Q_t$, $\mu^F_t$ на них (см., например, [14; п. II.7]):
$$ \begin{equation} \langle \mu^Q_t, f^Q \rangle =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac1{2\varepsilon} \int_{t-\varepsilon \leqslant Q(Z) \leqslant t+\varepsilon} f^Q(Z)\, dZ, \end{equation} \tag{7.39} $$
$$ \begin{equation*} \langle \mu^F_t, f^F \rangle =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac1{2\varepsilon} \int_{t-\varepsilon \leqslant F(z) \leqslant t+\varepsilon} f^F(z)\, dz, \end{equation*} \notag $$
где $f^Q, f^F \in C_0(\mathbb R^d)$ и $\langle \mu, f\rangle$ обозначает интеграл от функции $f$ по мере $\mu$. Тогда $\mu^Q_t$ и $\mu^F_t$ – это борелевские меры в $\mathbb R^d$ с носителями соответственно в $\Sigma_t^Q$ и $\Sigma_t^F$, и для функций $f^Q \in C_0(\Sigma_t^Q\setminus\{0\})$ и $f^F \in C_0(\Sigma_t^F\setminus \{0\})$ мы имеем
$$ \begin{equation*} \langle \mu^Q_t, f^Q \rangle=\int_{\Sigma^Q_t} \frac{f^Q(Z)}{|\nabla Q(Z)|}\, dZ|_{\Sigma^Q_t}, \qquad \langle \mu^F_t, f^F \rangle=\int_{\Sigma^F_t} \frac{f^F(z)}{|\nabla F(z)|}\, dz|_{\Sigma^F_t}. \end{equation*} \notag $$
Здесь $dZ|_{\Sigma^{Q}_t}$ (соответственно $dZ|_{\Sigma^{F}_t}$) – элемент объема на $\Sigma^{Q}_t\setminus\{0\}$ (на $\Sigma^{F}_t\setminus\{0\}$), индуцированный из $\mathbb R^{d}$ (см. [14]). Пусть теперь $f^F=f^Q \circ L$. Тогда интеграл в (7.39) равен
$$ \begin{equation*} \int_{t-\varepsilon \leqslant Q(Z) \leqslant t+\varepsilon} f^Q(Z)\, dZ=|{\det L}| \int_{t-\varepsilon \leqslant F(z) \leqslant t+\varepsilon} f^F(z)\, dz, \end{equation*} \notag $$
поэтому, переходя к пределу, получаем
$$ \begin{equation} L \circ (|{\det L}| \mu_t^F)=\mu_t^Q. \end{equation} \tag{7.40} $$
Таким образом, чтобы исследовать функцию
$$ \begin{equation} t\mapsto \mathcal I^F(t;f)=\langle \mu^F_t, f\rangle, \qquad \mu^F_t=| \nabla F(z)|^{-1}dz|_{\Sigma^F_t}, \end{equation} \tag{7.41} $$
мы можем использовать любую линейную систему координат в $\mathbb R^{d}$, так как, меняя координаты, мы лишь изменяем функцию $\mathcal I^F$ умножением на постоянный множитель.

7.5. Знакоопределенные формы

Наконец, рассмотрим случай, когда $n_0=0$ и $\min(n_+, n_-)=0$, т.е. когда форма $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ является знакоопределенной и невырожденной. Предположим для определенности, что $n_-=0$. Тогда существует линейное преобразование $L$ такое, что $F(z)=Q(L(z))$, где $Q(Z)=\frac12|Z|^2$, $Z\in \mathbb R^d$. Теперь квадрика $\Sigma_t$ сводится к пустому множеству при $t<0$, поэтому функция $\mathcal I^F(t)$ (см. (7.41)) обращается в нуль при $t<0$. Вычисления из п. 7.4 остаются верными и в этом случае, поэтому (7.40) и замена координат $Z=\sqrt{2t}\, Z'$ показывают, что

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathcal I^F(t;f) &=C(d,L) t^{-1}\int_{|Z|=\sqrt{2t} } f^Q( Z)\mu_{S^{d-1}_{\sqrt{2t}} }(dZ) \\ &=C(d,L) t^{d/2-1}\int_{|Z'|=1} f^Q(\sqrt{2 t}\, Z')\mu_{S_1^{d-1}}(dZ'), \end{aligned} \\ t > 0, \quad f^Q=f\circ L^{-1}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\mu_{S_r^{d-1}}$ – элемент объема на $(d-1)$-сфере радиуса $r$. Из этого соотношения мы сразу получаем, что для любого $k\leqslant \min(d/2-1,k_*)$
$$ \begin{equation*} \begin{alignedat}{2} |\partial^k\mathcal I^F(t)| &\lesssim_{k} \|f\|_{k,0}, &\quad &\text{если }\ 0\leqslant t\leqslant1, \\ |\partial^k\mathcal I^F(t)| &\lesssim_{k,M} \|f\|_{k,M} t^{-(M+2+k-d)/2}, &\quad &\text{если }\ t\geqslant1. \end{alignedat} \end{equation*} \notag $$

7.6. Общий результат

Соберем полученные результаты в следующем утверждении.

Теорема 7.3. Рассмотрим любую невырожденную квадратичную форму $F(z)=\frac12 Az \cdot z$ на $\mathbb R^{d}$, $d\geqslant 3$, и функцию $f\in\mathcal C^{k_*,M}(\mathbb R^d)$, $M>{d}$. Тогда соответствующий интеграл

$$ \begin{equation*} \mathcal I^F(t;f)=\langle \mu^F_t, f\rangle \end{equation*} \notag $$
(см. (7.41)) удовлетворяет утверждениям теоремы 7.1.

Доказательство. i) Если $n_+\geqslant n_-$, то линейной заменой переменных можно привести $F$ к нормальной форме (7.1), где $d_1\geqslant0$. Теперь утверждение следует из рассуждений в пп. 7.4, 7.5 и теоремы 7.1.

ii) Если $n_->n_+$, то квадратичная форма $-F$ является такой, как в i), и утверждение снова справедливо, так как очевидным образом

$$ \begin{equation*} \mathcal I^{-F}(t;f)=\mathcal I^F (-t;f) . \end{equation*} \notag $$

Теорема доказана.

§ 8. Приложения

8.1. Член $J_0$: случай $d=4$

В этом пункте мы исследуем асимптотическое поведение члена $J_0$ из (1.19) в случае, когда

$$ \begin{equation} d=4, \qquad m=0. \end{equation} \tag{8.1} $$
Далее в этом пункте мы всегда предполагаем выполненным (8.1).

8.1.1. Предварительные результаты и определения

Нам понадобятся леммы 30 и 31 из [1], ограниченные на случай $m=0$ и $d=4$, формулировку которых мы приведем ниже без доказательства. Напомним, что константы $\sigma^*_\mathbf c(A)$ определены в (1.10), а $\sigma^*(A)=\sigma^*_{\mathbf 0}(A)$. Положим $\alpha:=7/2$ и напомним (8.1).

Лемма 8.1 (см. [1; лемма 30]). Для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$

$$ \begin{equation} \sum_{q\leqslant X} S_q(\mathbf c; A,0)=\eta(\mathbf c)\sigma_\mathbf c^*(A)\sum_{q\leqslant X}q^{d-1} + O_{\varepsilon}(X^{\alpha+\varepsilon} (1+|\mathbf c|)) , \end{equation} \tag{8.2} $$
где $\eta(\mathbf c)=1$, если $\mathbf c\cdot A^{-1}\mathbf c=0$ и одновременно $\det A$ является квадратом целого числа, и $\eta( \mathbf c)=0$ в противном случае. Кроме того, $|\sigma_\mathbf c^*(A)|\lesssim_{\varepsilon} 1+|\mathbf c|^\varepsilon$, если $\eta(\mathbf c)\neq 0$.

Лемма 8.2 (см. [1; лемма 31]). Если определитель $\det A$ является квадратом целого числа, то для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$

$$ \begin{equation*} \sum_{q\leqslant X} q^{-d}S_q(0; A,0)=\sigma^*(A)\log X + \widehat C_A + O_{\varepsilon} (X^{\alpha + \varepsilon -d}) , \end{equation*} \notag $$
где $\widehat C_A$ – константа, зависящая только от $A$. В противном случае, когда $\det A$ не является квадратом целого числа, для любых $\varepsilon>0$ и $X\in\mathbb N$ имеем
$$ \begin{equation*} \sum_{q\leqslant X} q^{-d}S_q(0; A,0)=L(1,\chi)\prod_p (1-\chi(p)p^{-1})\sigma_p(A,0) + O_{\varepsilon}(X^{-1/2+\varepsilon}) , \end{equation*} \notag $$
где $\chi$ – символ Якоби $\biggl(\dfrac{\det A}{*}\biggr)$, а $L(1,\chi)$ – $L$-функция Дирихле.

Далее нам понадобится следующая конструкция. Для $r\in\mathbb R_{>0}$ положим

$$ \begin{equation} I^*(r) :=\widetilde I_{rL}(0)=\int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z)h(r,F^0(\mathbf z))\,d\mathbf z. \end{equation} \tag{8.3} $$
Рассмотрим функцию $K(\rho;w,A)$, $\rho\in\mathbb R_{>0}$, заданную равенством
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, K(\rho) &:=\eta(0)\sigma^*(A)\biggl( \sigma_\infty(w;A,0)\log \rho \nonumber \\ &\qquad +\int_{\rho}^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr\biggr) +\sigma_\infty(w;A,0)\widehat C_A, \end{aligned} \end{equation} \tag{8.4} $$
где постоянная $\eta(0)$ определена в лемме 8.1, а $\widehat C_A$ — в лемме 8.2. Заметим, что функции $I^*(r)$ и $K(\rho)$ не зависят от $L$.

Покажем, что функция $K(\rho)$, $\rho>0$, продолжается по непрерывности в точку $\rho=0$. Действительно, для $0<\rho_1<\rho_2\leqslant 1$

$$ \begin{equation} K(\rho_2)-K(\rho_1)=\eta(0)\sigma^*(A)\biggl( \sigma_\infty(w;A,0) \log\frac{\rho_2}{\rho_1} - \int_{\rho_1}^{\rho_2}r^{-1}I^*(r)\,dr\biggr). \end{equation} \tag{8.5} $$
Используя равенство $I^*(r)=L^{-d} I_{rL}(0)$ (см. (3.8)), запишем член $I^*(r)$ из (8.5) в форме, найденной в предложении 3.8, b). Тогда $I^*(r)$ принимает вид правой части (3.11), разделенной на $L^d$, где $q=rL$. Ведущий член полученной формулы для $I^*(r)$ равен $\sigma_\infty(w;A,0)$, так что соответствующий интеграл $\displaystyle\int_{\rho_1}^{\rho_2} r^{- 1}\sigma_\infty\,dr$ в (8.5) сокращает первый член в скобках в (8.5). Тогда, полагая $M=d/2-1$, $\beta=r^{\overline \gamma}$, $\overline\gamma=\gamma/d$ и $0< \gamma<1$ в упомянутой формуле для $I^*(r)$, полученной из (3.11), мы находим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |K(\rho_2)-K(\rho_1)| &\lesssim_{N} \|w\|_{d/2-1,d+1}\int_{\rho_1}^{\rho_2} \bigl(r^{(1-\overline \gamma)d/2-2}\langle \log r\rangle+ r^{N-2}+r^{\overline \gamma N-2}\bigr)\,dr \\ &\lesssim_\gamma\rho_2^{d/2-1-\gamma}\|w\|_{d/2-1,d+1} . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее неравенство получено выбором достаточно большого $N=N(\gamma)$ и следует из соотношения
$$ \begin{equation*} r^{d/2(1-\overline \gamma)-2}\langle \log r\rangle \lesssim_\gamma r^{d/2(1-\overline \gamma)-2 - \gamma/2}=r^{d/2 -2 - \gamma}. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, $K(\rho)$ продолжается в точку $\rho=0$ по непрерывности и
$$ \begin{equation} | K(\rho)- K(0)|\lesssim_{\gamma}\rho^{d/2-1-\gamma} \|w\|_{d/2-1,d+1} . \end{equation} \tag{8.6} $$
Отсюда следует, что функция $K$ является гёльдеровой в нуле с показателем $(d/2-1-\gamma)$ для любого $\gamma>0$.

8.1.2. Оценка члена $J_0$

Материал этого пункта связан с § 13 в [1]. Мы ограничиваемся случаем, когда определитель $\det A$ является квадратом целого числа, так что, в частности, $\eta(0)=1$. Это предположение используется только в доказательстве леммы 8.5, когда применяется лемма 8.2. Случай определителя, не являющегося квадратом, проще и получается аналогично с помощью второго пункта леммы 8.2.

Предложение 8.3. Предположим, что определитель $\det A$ является квадратом целого числа. Тогда для любого $0<\varepsilon<1/5$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0&=\sigma_\infty(w;A,0)\sigma^*(A)L^d\log L + K(0;w,A) L^d \\ &\qquad+ O_{\varepsilon}(L^{d-\varepsilon} (\|w\|_{d/2-1,d-1}+\|w\|_{0,d+1})). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Запишем член $J_0$ в форме (1.21), $J_0=J^+_0+J^-_0$, где
$$ \begin{equation*} J^+_0:=\sum_{q>\rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0), \qquad J_0^-:=\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0) I_q(0), \end{equation*} \notag $$
а $\rho\leqslant 1$. Требуемое утверждение следует из приведенных ниже лемм 8.4 и 8.5. Напомним, что $\alpha=7/2$.

Лемма 8.4. Пусть $w\in L_1(\mathbb R^{d})$. Тогда для любых $\gamma>0$, $\rho\leqslant 1$ и $L$, удовлетворяющих соотношению $\rho L>1$,

$$ \begin{equation*} \biggl|J_0^+-L^d\eta(0)\sigma^*(A)\int_{\rho}^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr\biggr| \lesssim_{\gamma} (\rho^{\alpha+\gamma-d-1} L^{\alpha+\gamma} + \rho^{-2}L^{d-1})|w|_{L_1}. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Для простоты мы обозначаем $I_q:=I_q(0)$ и $S_q:=S_q(0)$. Напомним формулу суммирования по частям для последовательностей $(f_q)$ и $(g_q)$:
$$ \begin{equation*} \sum_{m<q\leqslant n} f_q (g_q-g_{q-1})=f_ng_n-f_{m+1}g_{m} - \sum_{m<q<n} (f_{q+1 }-f_q)g_q. \end{equation*} \notag $$
Выберем произвольное $R\in\mathbb N$ и запишем эту формулу с $m=R$, $n=2R$, $f_q=q^{-d}I_q$ и $g_q=\sum_{R< q'\leqslant q} S_{q'}$, так что $g_R=0$ и $S_q=g_q-g_{q-1}$ при $q>R$. Получим
$$ \begin{equation} \sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d}S_qI_q=(2R)^{-d}I_{2R} \sum_{R< q\leqslant 2R} S_q- \sum_{R< q< 2R}\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q) \sum_{R< q'\leqslant q} S_{q'} , \end{equation} \tag{8.7} $$
где для последовательности $(a_q)$ мы обозначили $\widetilde\partial_q a_q:=a_{q+1}-a_q$. Согласно (3.8), (3.9)
$$ \begin{equation*} I_q=L^{d}\int_{\mathbb R^{d}} w(\mathbf z) h\biggl(\frac qL,F^0(\mathbf z)\biggr)\,d\mathbf z. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} |I_q|\lesssim \frac{L^{d+1}}{q} |w|_{L_1}, \qquad |\partial_q I_q|\lesssim \frac{L^{d+1}}{q^2} |w|_{L_1} , \end{equation} \tag{8.8} $$
где первая оценка получается из следствия 3.3, а вторая – из леммы 3.2 с $m= 1$, $n=N=0$. Таким образом, $|\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q)|\lesssim L^{d+1}q^{-d-2} |w|_{L_1}$. Согласно (8.2), где $\varepsilon$ заменено на $\gamma$, для $R'\leqslant 2R$ имеем
$$ \begin{equation} \sum_{R< q\leqslant R'} S_{q}=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{R< q\leqslant R'}q^{d-1} + O_{\gamma}(R^{\alpha+\gamma}), \end{equation} \tag{8.9} $$
где мы напоминаем, что $\sigma_{\mathbf 0}^*(A)=\sigma^*(A)$. Рассмотрим правую часть тождества (8.7) как линейный функционал $G((S_q))$ на пространстве последовательностей $(S_q)$. Тогда, вставляя формулу (8.9) в правую часть (8.7), мы имеем
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sum_{R< q\leqslant 2R}q^{-d}S_qI_q=\eta(0)\sigma^*(A) G\bigl((q^{d-1})\bigr) \\ &\qquad\qquad+ O_\gamma\biggl( L^{d+1}|w|_{L_1}\biggl(R^{-d-1+\alpha +\gamma} + \sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d-2+\alpha+\gamma}\biggr)\biggr), \end{aligned} \end{equation} \tag{8.10} $$
где член $O_\gamma$ получается из (8.8) и оценки для $\widetilde\partial_q(q^{-d}I_q)$ выше заменой сумм $\sum S_q$, $\sum S_{q'}$ в правой части (8.7) на $O_{\gamma}(R^{\alpha+\gamma})$. Согласно формуле суммирования по частям (8.7) с $S_q$, замененным на $q^{d-1}$, имеем $\sum_{R< q\leqslant 2R}q^{-d}q^{d-1}I_q=G((q^{d-1}))$. Тогда согласно (8.10)
$$ \begin{equation*} \sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-d}S_qI_q=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{R< q\leqslant 2R} q^{-1}I_q +O_\gamma\bigl(L^{d+1}R^{-d-1+\alpha +\gamma} |w|_{L_1}\bigr) . \end{equation*} \notag $$
Обозначая $R_l=\lfloor 2^l\rho L \rfloor$, мы получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0^+ &=\sum_{l=0}^\infty\sum_{R_l<q \leqslant R_{l+1}}q^{-d}I_qS_q \\ &=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q + O_\gamma\biggl( \rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma}|w|_{L_1}\sum_{l=0}^\infty 2^{-l(d+1-\alpha-\gamma)}\biggr) \\ &=\eta(0)\sigma^*(A)\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q +O_\gamma\bigl(\rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma}|w|_{L_1}\bigr) . \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Остается сравнить сумму $A:=\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q$ с интегралом
$$ \begin{equation*} B:=L^d\int_{\rho}^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr. \end{equation*} \notag $$
Так как $L^dI^*(r)=I_{rL}$, то при замене переменной интегрирования $r$ на $q=rL$ интеграл $B$ принимает вид
$$ \begin{equation*} \int_{\rho L}^\infty q^{-1}I_{q}\,dq. \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation} |A-B|\leqslant \biggl|\sum_{q> \rho L} q^{-1}I_q - \int_{\lfloor \rho L\rfloor +1 }^\infty q^{-1}I_{q}\,dq\biggr| + \biggl|\int_{\rho L}^{\lfloor \rho L\rfloor +1 } q^{-1}I_{q}\,dq\biggr|. \end{equation} \tag{8.11} $$
В силу (8.8) имеем $|q^{-1}I_{q}|\lesssim q^{-2}L^{d+1}|w|_{L^1}$ и $|\partial_q (q^{-1}I_{q})|\lesssim q^{-3}L^{d+1}|w|_{L^1}$. Таким образом, оба слагаемых из правой части (8.11) ограничены выражением
$$ \begin{equation*} (\rho L)^{-2} L^{d+1}|w|_{L^1}=\rho^{-2}L^{d -1}|w|_{L^1}. \end{equation*} \notag $$

Лемма 8.4 доказана.

Напомним, что постоянная $\widehat C_A$ введена в формулировке леммы 8.2.

Лемма 8.5. Пусть определитель $\det A$ является квадратом целого числа. Тогда для любых $\gamma>0$, $N>1$, $\rho\leqslant 1$ и $L$, удовлетворяющих соотношению $\rho L>1$,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0^- &=L^{d}\sigma_\infty(w;A,0)\bigl(\sigma^*(A)\log(\rho L) +\widehat C_A\bigr) \\ &\qquad + O_{\gamma,N}\bigl((\rho^{\alpha+\gamma-d}L^{\alpha+\gamma} +L^d(\rho\log L+\rho^{N-1} +L^{1-d}))\|w\|_{d/2-1,d+1}\bigr). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Вставляя равенство (3.11) из предложения 3.8, b) с $M= d/2- 1= 1$ и $\beta=1$ в определение члена $J_0^-$, находим
$$ \begin{equation*} J_0^-=I_A+I_B, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, I_A :=L^{d}\sigma_\infty(w)\sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0), \qquad I_B:=\sum_{q\leqslant\rho L}S_q(0) q^{-d} (f_q+g_q) , \\ |f_q|\lesssim q L^{d-1}\biggl\langle\log\frac{q}{L}\biggr\rangle \|w\|_{d/2-1,d+1} , \\ |g_q|\lesssim_{N}(q^NL^{d-N}+1)Lq^{-1}\|w\|_{0,d+1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Согласно лемме 8.2
$$ \begin{equation*} \sum_{q\leqslant \rho L} q^{-d}S_q(0)=\sigma^*(A)\log(\rho L) +\widehat C_A+O_{\gamma}((\rho L)^{\alpha+\gamma-d}). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} I_A=L^{d}\sigma_\infty(w)\bigl(\sigma^*(A)\log(\rho L) +\widehat C_A\bigr) + O_{\gamma}(\sigma_\infty(w)L^{\alpha+\gamma}\rho^{\alpha+\gamma-d}), \end{equation*} \notag $$
при этом
$$ \begin{equation} |\sigma_\infty(w)|=|\sigma_\infty(w;A,0)|=|\mathcal I(0)| \leqslant \|\mathcal I\|_{0,0}\lesssim_A\|w\|_{0,d+1} \end{equation} \tag{8.12} $$
ввиду (3.13). С другой стороны, лемма 2.1 вместе с равенством $d=4$ влекут соотношение
$$ \begin{equation*} |I_B|\lesssim\sum_{q\leqslant \rho L}q^{-1}(|f_q|+|g_q|) \lesssim_{N} L^d\bigl(\rho\log L + \rho^{N-1}+L^{1-d}\bigr)\|w\|_{d/2-1,d+1} \end{equation*} \notag $$
для $N\geqslant 2$. Требуемое утверждение следует из полученных оценок на $I_A$ и $I_B$.

Лемма доказана.

Завершим доказательство предложения 8.3. Ведущий член в $J_0$ дается суммой ведущих членов в формулах для $J_0^+$ и $J_0^-$ из лемм 8.4 и 8.5. Поскольку $\eta(0)=1$, эта сумма принимает вид

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, & L^d\sigma^*(A)\biggl(\int_\rho^\infty r^{-1}I^*(r)\,dr + \sigma_\infty(w)\log(\rho L)\biggr) + L^d\sigma_\infty(w) \widehat C_A \\ &\qquad=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A) L^d\log L +K(0) L^{d} + O_\gamma\bigl(L^{d}\rho^{d/2-1-\gamma}\|w\|_{d/2-1,d+1}\bigr), \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где в последнем равенстве мы использовали (8.4) и (8.6). Таким образом,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0 &=\sigma_\infty(w)\sigma^*(A)L^d\log L + K(0) L^d+ O_{\gamma,N}\bigl((\rho^{\alpha+\gamma-d-1}L^{\alpha+\gamma} + \rho^{-2}L^{d-1} \\ &\qquad+L^d(\rho^{d/2-1-\gamma}+\rho\log L +\rho^{N-1}+L^{1-d}))\|w\|_{d/2-1,d+1}\bigr) , \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
так как $|w|_{L_1}\lesssim\|w\|_{0,d+1}$. Выбирая $\rho=L^{-1/5}$, $N=2$ и используя равенство $d=4$, получаем желаемое утверждение.

Предложение 8.3 доказано.

8.1.3. Оценка члена $\sigma_1(w;A,L)$

В этом пункте мы находим верхнюю оценку для члена $\sigma_1$ второго порядка малости в асимптотике теоремы 1.4.

В случае, когда определитель $\det A$ не является квадратом целого числа, $\sigma_1$ дается формулой (1.14) и требуемая оценка проста. Действительно, согласно лемме 8.2 произведение $\prod_p(1-\chi(p)p^{-1})\sigma_p(A,0)$ конечно (и не зависит от $L $). С другой стороны, согласно (8.12) $|\sigma_\infty(w;A,0)|\lesssim \|w\|_{0,d+1}$. Таким образом,

$$ \begin{equation*} |\sigma_1(w;A,L)|\lesssim \|w\|_{0,d+1}. \end{equation*} \notag $$

В случае, когда $\det A$ является квадратом целого числа, $\sigma_1$ задается формулой (1.24) и требуемая оценка менее тривиальна.

Предложение 8.6. Предположим, что $\det A$ — квадрат целого числа. Тогда

$$ \begin{equation*} |\sigma_1(w;A,L)|\lesssim \|w\|_{\widetilde N,\widetilde N+3d+4}, \quad\textit{где }\ \widetilde N:=d^2(d+3)-2d. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Поскольку $\eta(\mathbf c)$ принимает значения $0$ или $1$, то согласно определению (1.24) члена $\sigma_1$ имеем
$$ \begin{equation} |\sigma_1(w)|\leqslant |K(0)| + \sum_{\mathbf c \ne 0\colon \eta(\mathbf c)=1} |\sigma_\mathbf c^*(A) \sigma_\infty^\mathbf c(w)|. \end{equation} \tag{8.13} $$

Сначала оценим член $K(0)$. Согласно (8.6)

$$ \begin{equation} |K(1)-K(0)|\lesssim \|w\|_{d/2-1,d+1}. \end{equation} \tag{8.14} $$
С другой стороны, произведение $\sigma^*(A)$ не зависит от $L$ и в силу леммы 8.2 ограничено. Тогда согласно определению (8.4) функции $K(\rho)$
$$ \begin{equation*} |K(1)|\lesssim \int_1^\infty r^{-1} |I^*(r)|\, dr + |\sigma_\infty(w;A,0)\widehat C_A|. \end{equation*} \notag $$
Ввиду определения (8.3) интеграла $I^*(r)$ и следствия 3.3
$$ \begin{equation*} |I^*(r)|\lesssim r^{-1 }|w|_{L_1}\lesssim r^{-1}\|w\|_{0,d+1}. \end{equation*} \notag $$
Тогда с учетом (8.12) $|K(1)|\lesssim \|w\|_{0,d+1}$, так что в силу (8.14)
$$ \begin{equation} |K(0)|\lesssim \|w\|_{d/2-1,d+1}. \end{equation} \tag{8.15} $$

Теперь оценим члены $\sigma_\infty^\mathbf c(w)$, определенные в (1.23):

$$ \begin{equation*} \sigma_\infty^\mathbf c(w)=L^{-d}\sum_{q=1}^\infty q^{-1} I_q(\mathbf c;A,0,L)=Y_1(\mathbf c) + Y_2(\mathbf c), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} Y_1=L^{-d} \sum_{q=1}^{L|\mathbf c|^{-M}}q^{-1}I_q(\mathbf c), \qquad Y_2=L^{-d} \sum_{q>L|\mathbf c|^{-M}}q^{-1}I_q(\mathbf c), \end{equation*} \notag $$
а $M\in\mathbb N$ будет выбрано позже. Используя равенство $d=4$, согласно лемме 6.2 имеем
$$ \begin{equation*} |Y_1(\mathbf c)|\lesssim_\gamma L^{-1+\gamma}|\mathbf c|^{-1+\gamma}C(w) \sum_{q=1}^{L|\mathbf c|^{-M}} q^{-\gamma}\lesssim|\mathbf c|^{-(1-\gamma)(M+1)}C(w), \end{equation*} \notag $$
где $C(w):=\|w\|_{\overline N,d+5} + \|w\|_{0,\overline N+3d+4}$. С другой стороны, согласно предложению 5.1
$$ \begin{equation*} |I_q(\mathbf c)|\lesssim_N L^{d+1}q^{-1}|\mathbf c|^{-N}\| w\|_{N,2N+d+1} \end{equation*} \notag $$
для каждого $N\in\mathbb N$. Тогда
$$ \begin{equation*} |Y_2(\mathbf c)|\lesssim_N L|\mathbf c|^{-N}\|w\|_{N,2N+d+1} \sum_{q>L|\mathbf c|^{-M}} q^{-2} \lesssim |\mathbf c|^{-N+M} \|w\|_{N,2N+d+1}. \end{equation*} \notag $$
Таким образом,
$$ \begin{equation*} |\sigma_\infty^\mathbf c(w)|\lesssim_{\gamma,N} \bigl(|\mathbf c|^{-(1-\gamma)(M+1)} + |\mathbf c|^{-N+M}\bigr) \bigl(\|w\|_{\overline N,\overline N+3d+4} + \|w\|_{N,2N+d+1}\bigr). \end{equation*} \notag $$
Согласно лемме 8.1 $|\sigma_\mathbf c^*(A)|\lesssim_\gamma 1+ |\mathbf c|^\gamma$ при $\eta(\mathbf c)=1$. Поэтому
$$ \begin{equation*} \sum_{\mathbf c \ne 0\colon \eta(\mathbf c)=1} |\sigma_\mathbf c^*(A) \sigma_\infty^\mathbf c(w)|\lesssim_{\gamma,N} \|w\|_{\overline N,\overline N+3d+4} + \|w\|_{N,2N+d+1}, \end{equation*} \notag $$
если $M$ и $N-M$ достаточно велики, а $\gamma$ достаточно мало. Выбирая $M=d$, $N=2d+1$ и $\gamma=1/(d+3)$, получаем
$$ \begin{equation*} \overline N=d^2(d+3)-2d. \end{equation*} \notag $$
Вместе с (8.13) и (8.15) это влечет требуемое утверждение.

Предложение 8.6 доказано.

8.2. Константы $\sigma(A,0)$ и $\sigma^*(A)$

Ясно, что теорема 1.3 (или 1.4) дает приближение к ряду $N_L(w;A,m)$ через сингулярный интеграл $\sigma_\infty(w)$, только если сингулярный ряд $\sigma(A,m)$ (или $\sigma^*(A)$) строго положителен. В действительности известно, что сингулярный ряд строго положителен при очень общих условиях, а именно для неособых форм любой степени, имеющих неособые решения в $\mathbb R$ и в каждом $p$-адическом поле (при условии, что ряд абсолютно сходится); см., например, [15; § 7]. Однако поскольку наиболее интересный случай в приложении к математической физике – это случай квадратичной формы (8.16) $F_d(x,y)$ ниже, мы даем в этом пункте прямой элементарный вывод оценки констант $\sigma(A, 0)$ при $d\geqslant 5$ и $\sigma^*(A)$ при $d=4$ независимо от общей теории.

Таким образом, в этом пункте мы рассматриваем случай квадратичной формы

$$ \begin{equation} F(x,y)=\sum_{i=1}^{d/2} x_iy_i=: F_d(x,y), \quad \text{где }\ d=2s\geqslant 4, \end{equation} \tag{8.16} $$
а $x=(x_1,\dots,x_{s})$, $y=(y_1,\dots,y_{s})$. Цель этого пункта – вычислить константы $\sigma(A, 0)$ при $d\geqslant 5$ и $\sigma^*(A)$ при $d=4$. Ниже мы используем обычную запись для делимости (или неделимости) на $m$ целочисленного вектора $s$ (например, $2\mid (8,6)$ и $2\nmid (8,7)$).

Ввиду определений (1.10), (1.11) сперва нам необходимо вычислить константы $\sigma_p(A,0)$. Для простых $p$ и $k\in\mathbb N$ рассмотрим множество

$$ \begin{equation*} S_p(k)=\{(x,y)\ \operatorname{mod} p^{k}\colon F_d(x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{k} \} \end{equation*} \notag $$
и обозначим $ N_p(k):=\sharp S_p(k)$. Заметим, что множество $S_p(k)$ и константа $N_p(k)$ зависят от $d$. Константы $\sigma_p$ можно переписать в виде
$$ \begin{equation} \sigma_p(d):=\sigma_p(A,0)=\lim_{k\to \infty}\frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}}. \end{equation} \tag{8.17} $$
Это соотношение приводится в [1; с. 199] без доказательства; мы даем его элементарный вывод в конце этого пункта.

Пусть $ {\mathcal N}_p(d):=N_p(1)$ – количество $\mathbb F_p$-рациональных точек на гиперповерхности $\{F_d=0 \ \operatorname{mod} p\}$.

Лемма 8.7. Для любого простого числа $p$

$$ \begin{equation} \sigma_p(d)=\frac{\mathcal N_p(d) -1 }{p^{d-1}-p^{1-d}}. \end{equation} \tag{8.18} $$

Доказательство. Для $j=0,1, \dots, k$ определим $S_p(k,j)$ как множество пар $(x,y) \in S_p(k)$ таких, что
$$ \begin{equation*} (x,y)=p^j (x',y')\ \operatorname{mod}p^k, \quad\text{где }\ p \nmid (x',y'). \end{equation*} \notag $$
Так, $S_p(k,0)=\{(x,y) \in S_p(k)\colon p \nmid (x,y) \}$ и $S_p(k,k)=\{(0,0)\}$. Множества $S_p(k,j)$ и $S_p(k,j')$ с $j\ne j'$ не пересекаются; обозначая ${N}_p(k,j)=\sharp{S}_p (k,j)$, имеем
$$ \begin{equation*} S_p (k)=\bigcup^k_{j=0} {S}_p (k, j), \qquad N_p (k)=\sum^{k}_{j=0} {N}_p(k,j). \end{equation*} \notag $$
В частности, ${N}_p(1,0)={\mathcal N}_p-1$, так как ${N}_p(1,1)=1$. Мы утверждаем, что
$$ \begin{equation*} {N}_p(k,0)={N}_p(k-1,0) p^{(d-1)}, \end{equation*} \notag $$
и поэтому
$$ \begin{equation} {N}_p(k,0)={N}_p(1,0) p^{(d-1)(k-1)} =({\mathcal N}_p-1) p^ {(d-1)(k-1)}. \end{equation} \tag{8.19} $$

Используем индукцию по $k$. Пусть $k=2$ и $(x,y) \in {S}_p(2,0)$. Выразим $(x,y)$ в виде $(x_0+pa, y_0+pb)$ с $(x_0, y_0)$, $(a,b) \in \mathbb F_p^d$. Тогда $p\nmid (x_0,y_0)$, поэтому $(x_0,y_0)\in{S}_p(1,0)$.

Зафиксируем теперь любые $(x_0, y_0)\in {S}_p(1,0)$ и найдем $(a,b)\in \mathbb F_p^{d}$ такие, что $(x_0+pa, y_0+pb)\in {S}_p(2,0)$. Поскольку $p^2 F(a,b)=0 \ \operatorname{mod}p^2$ и $p\nmid(x_0,y_0)$, то из соотношения $F(x,y)=0\ \operatorname{mod}p^2$ следует нетривиальное линейное уравнение на $(a,b) \in \mathbb F_p^d$. Таким образом, каждый вектор $(x_0,y_0) \in S_p(1,0)$ порождает ровно $p^{d-1}$ векторов $(x,y)\in {S}_p(2,0)$, что доказывает формулу для $k=2$. Этот аргумент остается в силе для любых $k\geqslant 2$, если мы представим $(x,y)\ \operatorname{mod} p^{k}$ в виде $(x_0+p^{k-1}a, y_0+p^{k-1}b)$ с $(x_0, y_0)\in\mathbb F_{p^{k-1}}^d$ и $(a,b) \in \mathbb F_p^d$.

Пусть теперь $(x,y)\in {S}_p(k,j)$ с $j\geqslant 1$. Тогда $(x,y)=p^{j}(x',y')\ \operatorname{mod} p^k$, где $p \nmid (x',y')$ и $(x',y')$ удовлетворяет $p^{2j}F(x',y')=0\ \operatorname{mod}p^k$. Таким образом, $(x',y')\in {S}_p(k\,{-}\,2j,0)$, если $j\leqslant (k\,{-}\,1)/2$, т.е. $j\leqslant \lfloor(k\,{-}\,1)/2\rfloor=: j_k$. Пусть теперь $(x,y)\in {S}_p(k,j)$ с $j\geqslant 1$. Тогда $(x,y)=p^{j}(x',y')\ \operatorname{mod} p^k$, где $p \nmid (x',y')$ и $(x',y')$ удовлетворяет $p^{2j}F(x',y')=0\ \operatorname{mod} p^k$. Таким образом, $(x',y')\in {S}_p(k-2j,0)$, если $j\leqslant (k-1)/2$, т.е. $j\leqslant \lceil(k-1)/2\rceil:=j_k$.

Соответствие $(x,y) \mapsto (x',y')$ является корректно определенным отображением из ${S}_p(k,j)$ в ${S}_p(k-2j,0)$. Действительно, если $(x_1, y_1)\sim(x,y)$ в $ {S}_p(k,j)$, то $p^{k-j} \mid((x'_1, y'_1) - (x',y'))$, поэтому $(x'_1, y'_1) \sim (x',y')$ в $S_p(k-2j,0)$. Поскольку это отображение, очевидно, сюръективно, то получаем биекцию ${S}_p(k,j)$ на ${S}_p(k-2j,0)$, из которой с учетом (8.19) следует

$$ \begin{equation*} {N}_p(k,j)={N}_p(k-2j,0)=({\mathcal N}_p-1) p^{(d-1)(k-2j-1)}. \end{equation*} \notag $$

По (8.19) эта формула верна и при $j=0$.

Любая пара $(x,y)$ такая, что $p^{j} | (x,y)$ с $j\geqslant j_k+1$, удовлетворяет соотношению $F(x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{k}$. Таким образом,

$$ \begin{equation*} \sum_{j={j_k+1}}^{k} {N}_p(k,j)=\sharp\{(x,y)\ \operatorname{mod}p^k\colon (x,y)=0\ \operatorname{mod} p^{j_k+1}\}=p^{d(k-j_k-1)}\leqslant p^{dk/2}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} N_p(k)=(\mathcal N_p-1p^{(d-1)(k-1)} \sum_{j=0}^{j_k}p^{-2 j (d-1)}+O(p^{dk/2}). \end{equation*} \notag $$
Тогда
$$ \begin{equation*} \sigma_p=\lim_{k\to \infty}\frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}}=({\mathcal N}_p-1) p^{1-d } \sum^{\infty}_{j=0} p^{-2 j(d-1)} =\frac{p^{1-d } ({\mathcal N}_p-1 ) }{1-p^{2 -2d}} , \end{equation*} \notag $$
откуда следует (8.18).

Лемма 8.7 доказана.

Продолжаем вычислять константы для ${\mathcal N}_p(d)$, используя индукцию по $d/2= s$. При $d=2$ имеем ${\mathcal N}_p(2)=\sharp\{(x,y) \in \mathbb F_p^2\colon xy=0\ \operatorname{mod} p\}=2p-1$. Далее,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, {\mathcal N}_p(d+2) &=\sharp \{\text{решения с } x_{s+1}=0\}+\sharp \{ \text{решения с } x_{s+1}\ne 0\} \\ &=p{\mathcal N}_p(d )+(p-1)p^{d}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поэтому для любого четного $d=2s\geqslant2$
$$ \begin{equation*} {\mathcal N}_p(d)=p^{d-1}+p^{s} -p^{s-1}, \end{equation*} \notag $$
так что
$$ \begin{equation*} \sigma_p(d)=\frac{1+p^{1-s}-p^{-s}-p^{1-d}}{1-p^{2-2d}} =\frac{(1+p^{1-s})(1-p^{-s})}{1-p^{2-2d}}. \end{equation*} \notag $$

Так как по формуле Эйлера $\prod_p (1-p^{-l})=1/\zeta(l)$ для любого $l>1$, то в случае $d=4$ из (1.11) и найденной формулы для $\sigma_p(d)$ получаем, что

$$ \begin{equation*} \sigma(A,0;d=4)=\prod_{p}\sigma_p(4)=\frac{\zeta(6)}{\zeta(2) }\prod_{p}(1+p^{-1}). \end{equation*} \notag $$
Это произведение не сходится, но
$$ \begin{equation*} \sigma^*{(A;d=4)}=\prod_{p}(1-p^{-1})\sigma_p(4) =\frac{\zeta(6)}{\zeta(2)^2}=\frac{4\pi^2}{105}\simeq 0.376 \end{equation*} \notag $$
сходится. Далее,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sigma{(A,0;d=6)} &=\frac{\zeta(2)\zeta(10) }{\zeta(3)\zeta(4)}\simeq 1.265, \\ \sigma{(A,0;d=8)} &=\frac{\zeta(3)\zeta(14) }{\zeta(4)\zeta(6)}\simeq 1.092, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
а произведение
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, 1 <\sigma(A,0;d) &=\frac{\zeta(s-1)\zeta(2d-2)}{\zeta(s)\zeta(d-2)} \\ &=\frac{(1+2^{1-s})(1+2^{2-4s})}{(1+2^{-s})(1+2^{2-2s})}+ o(1)=1+ o(1) \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
стремится к 1, когда $d=2s\geqslant 10$ растет.

Чтобы завершить вычисление констант, осталось доказать (8.17). По определению (1.10)

$$ \begin{equation*} \sigma_p=\sum_{t=0}^\infty p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0), \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation*} S_{p^t}(\mathbf 0)=\mathop{{\sum}^*}_{a \,(\operatorname{mod}p^t)}\, \sum_{\mathbf b\,(\operatorname{mod}p^t)} e_{p^t}(aF(\mathbf b)) . \end{equation*} \notag $$
Заметим, что $ p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=1$ при $t=0$, а для $t=1$ получаем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, p^{-d}S_{p}(\mathbf 0) &=p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p)} e_{p}(aF({\mathbf b})) \\ &=p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p),\, p|F({\mathbf b}) }1+p^{-d}\sum_{a=1 }^{p-1}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p),\,p\nmid F({\mathbf b}) }e_{p}(aF({\mathbf b})) \\ &=p^{-d}(p-1){\mathcal N}_p(d)+p^{-d}(-1)(p^d-{\mathcal N}_p(d)) \\ &=p^{1-d} {\mathcal N}_p(d)-1, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку
$$ \begin{equation} \sum_{a=1 }^{m-1}e_{m}(an)=-1 \end{equation} \tag{8.20} $$
для любых $n,m\neq 0$ таких, что $(m,n)=1$. Поэтому
$$ \begin{equation*} \sum_{t=0}^1 p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=p^{1-d} N_p(1). \end{equation*} \notag $$

Продолжим доказательство по индукции, предполагая, что для $k\geqslant 1$

$$ \begin{equation*} \sum_{t=0}^k p^{-dt}S_{p^t}(\mathbf 0)=p^{(1-d)k}N_{p}(k). \end{equation*} \notag $$
Имеем
$$ \begin{equation*} S_{p^{k+1}}(\mathbf 0)= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod}p^{k+1})}\, \sum_{\mathbf b\, (\operatorname{mod}p^{k+1})} e_{p^{k+1}}(aF(\mathbf b))=\Sigma_1 + \Sigma_2+ \Sigma_3, \end{equation*} \notag $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \Sigma_1 &:=\mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod} p^{k+1})}\, \sum_{p^{k+1}|F({\mathbf b})}1=p^{k}(p-1)N_{p}(k+1), \\ \Sigma_2&:= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod} p^{k+1})}\, \sum_{F({\mathbf b})=lp^k}e_{p}(al) =-p^{k}(p^dN_{p}(k)-N_{p}(k+1)), \\ \Sigma_3&:= \mathop{{\sum}^*}_{a\, (\operatorname{mod}p^{k+1})}\, \sum_{s=0}^{k-1} \, \sum_{F({\mathbf b})=lp^s}e_{p^{k+1-s}}(al)=0 \end{aligned} \end{equation} \tag{8.21} $$
с ненулевым $l=l(b) $ таким, что $p\nmid l$. Равенства (8.21) получаются при последовательном применении (8.20).

Таким образом,

$$ \begin{equation*} \frac{S_{p^{k+1}}(\mathbf 0)}{p^{d(k+1)}} =\frac{p^{k+1}N_p(k+1)- p^{d+k}N_p(k)}{p^{d(k+1)}} =\frac{N_p(k+1)}{p^{(d-1)(k+1)}} - \frac{N_p(k)}{p^{(d-1)k}}, \end{equation*} \notag $$
что завершает шаг индукции и доказывает (8.17).

Благодарность

Авторы выражают благодарность профессору Д. Р. Хис-Брауну за ценные советы, касающиеся его статьи [1].

Список литературы

1. D. R. Heath-Brown, “A new form of the circle method, and its application to quadratic forms”, J. Reine Angew. Math., 1996:481 (1996), 149–206  crossref  mathscinet  zmath
2. W. Duke, J. Friedlander, H. Iwaniec, “Bounds for automorphic $L$-function”, Invent. Math., 112:1 (1993), 1–8  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
3. H. Iwaniec, “The circle method and the Fourier coefficients of modular forms”, Number theory and related topics (Bombay, 1988), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., 12, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1989, 47–55  mathscinet  zmath
4. Ж.-П. Серр, Курс арифметики, Мир, М., 1972, 184 с.  mathscinet  zmath; пер. с фр.: J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, Le Mathématicien, 2, Presses Univ. de France, Paris, 1970, 188 pp.  mathscinet  zmath; англ. пер.: J.-P. Serre, A course in arithmetic, Grad. Texts in Math., 7, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1973, viii+115 с.  crossref  mathscinet  zmath
5. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., Наука, М., 1983, 240 с.  mathscinet; англ. пер.: A. A. Karatsuba, Basic analytic number theory, Reprint of the 1st ed., Springer-Verlag, Berlin, 2012, xiii+222 с.  crossref  mathscinet  zmath
6. A. Dymov, S. Kuksin, A. Maiocchi, S. Vlăduţ, The large-period limit for equations of discrete turbulence, arXiv: 2104.11967
7. T. Buckmaster, P. Germain, Z. Hani, J. Shatah, “Effective dynamics of the nonlinear Schrödinger equation on large domains”, Comm. Pure Appl. Math., 71:7 (2018), 1407–1460  crossref  mathscinet  zmath
8. H. L. Eliasson, B. Grébert, S. B. Kuksin, “KAM for the nonlinear beam equation”, Geom. Funct. Anal., 26:6 (2016), 1588–1715  crossref  mathscinet  zmath
9. J. R. Getz, “Secondary terms in asymptotics for the number of zeros of quadratic forms over number fields”, J. Lond. Math. Soc. (2), 98:2 (2018), 275–305  crossref  mathscinet  zmath
10. T. H. Tran, Secondary terms in asymptotics for the number of zeros of quadratic forms, arXiv: 1910.14530
11. A. Dymov, S. Kuksin, “Formal expansions in stochastic model for wave turbulence. 1: Kinetic limit”, Comm. Math. Phys., 382:2 (2021), 951–1014  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
12. I. Chavel, Riemannian geometry. A modern introduction, Cambridge Stud. Adv. Math., 98, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, xvi+471 pp.  crossref  mathscinet  zmath
13. A. Dymov, S. Kuksin, A. Maiocchi, S. Vlăduţ, Some remarks on Heath-Brown's theorem on quadratic forms, arXiv: 2104.11794
14. А. Я. Хинчин, Математические основания статистической механики, Гостехиздат, М.–Л., 1943, 128 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. I. Khinchin, Mathematical foundations of statistical mechanics, Dover Publications, Inc., New York, NY, 1949, viii+179 с.  mathscinet  zmath
15. B. J. Birch, “Forms in many variables”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 265:1321 (1962), 245–263  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa

Образец цитирования: С. Г. Влэдуц, А. В. Дымов, С. Б. Куксин, А. Майокки, “Уточнение теоремы Хис-Брауна о квадратичных формах”, Матем. сб., 214:5 (2023), 18–68; S. G. Vlăduţ, A. V. Dymov, S. B. Kuksin, A. Maiocchi, “A refinement of Heath-Brown's theorem on quadratic forms”, Sb. Math., 214:5 (2023), 627–675
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VlaDymKuk23}
\by С.~Г.~Влэдуц, А.~В.~Дымов, С.~Б.~Куксин, А.~Майокки
\paper Уточнение теоремы Хис-Брауна о квадратичных формах
\jour Матем. сб.
\yr 2023
\vol 214
\issue 5
\pages 18--68
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9711}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9711}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4662649}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1540.11028}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..627V}
\transl
\by S.~G.~Vl{\u a}du\c t, A.~V.~Dymov, S.~B.~Kuksin, A.~Maiocchi
\paper A~refinement of Heath-Brown's theorem on quadratic forms
\jour Sb. Math.
\yr 2023
\vol 214
\issue 5
\pages 627--675
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9711e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001095751800002}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85171261972}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9711
  • https://doi.org/10.4213/sm9711
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i5/p18
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:524
    PDF русской версии:35
    PDF английской версии:77
    HTML русской версии:242
    HTML английской версии:199
    Список литературы:42
    Первая страница:17
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024