| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О структуре спектра несамосопряженного оператора Дирака А. С. Макин МИРЭА — Российский технологический университет, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9709e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеОдним из важных классов обратных спектральных задач является задача о восстановлении системы дифференциальных уравнений по спектральным данным. Наиболее исследованными являются задачи для операторов Дирака и типа Дирака. В частности, для канонической системы Дирака на конечном интервале где $\mathbf{y}=\operatorname{col}(y_1(x),y_2(x))$,
$$
\begin{equation*}
B=\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}, \qquad V(x)=\begin{pmatrix} p(x)&q(x) \\ q(x)&-p(x) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
указанные задачи хорошо изучены, когда оператор является самосопряженным. В случае краевых условий Дирихле или Неймана восстановление непрерывного потенциала по двум спектрам было осуществлено в [1]. Аналогичные результаты для оператора Дирака с суммируемым потенциалом были установлены в [2]. Для неразделяющихся краевых условий, включая периодические, антипериодические и квазипериодические, сформулированные выше задачи были решены в [3], [4]. В несамосопряженном случае задача о восстановлении потенциала $V(x)$ по спектральным данным является значительно более сложной, так как многие методы, успешно используемые для изучения самосопряженных операторов, неприменимы. Например, характеристика спектров периодической (антипериодической) краевой задачи для оператора (1.1) дана в [3] в терминах специальных конформных отображений, которые не существуют для комплекснозначных потенциалов, а свойство перемежаемости собственных значений соответствующих задач Дирихле и Неймана, которое часто используется для доказательства разрешимости основного уравнения, теряет смысл в комплексном случае. Обратные задачи для несамосопряженных дифференциальных систем первого порядка были рассмотрены в [5], [6]. Среди недавних публикаций отметим [7]. В настоящей работе изучается система Дирака (1.1), где комплекснозначные функции $p$, $q$ принадлежат $L_2(0,\pi)$ $(V\in L_2(0,\pi))$, с двухточечными краевыми условиями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U_1(\mathbf{y})= a_{11}y_1(0)+a_{12}y_2(0)+a_{13}y_1(\pi)+ a_{14}y_2(\pi)=0, \\ U_2(\mathbf{y})= a_{21}y_1(0)+a_{22}y_2(0)+a_{23}y_1(\pi)+ a_{24}y_2(\pi)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где коэффициенты $a_{ij}$ являются произвольными комплексными числами, а строки матрицы
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} &a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} &a_{24} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
линейно независимы. Основной целью является изучение строения спектра задачи на собственные значения для системы (1.1) с краевыми условиями типа (1.2) и негладким комплекснозначным потенциалом $V(x)$. Обозначим через $\|\mathbf{f}\|=(|f_1|^2+|f_2|^2)^{1/2}$ норму произвольного вектора $\mathbf{f}=\operatorname{col}(f_1,f_2)\in\mathbb{C}^2$ и положим $\langle \mathbf{f},\mathbf{g}\rangle=f_1\overline g_1+f_2\overline g_2$, а через $\|W\|= \sup_{\|\mathbf{f}\|=1}\|W\mathbf{f}\|$ обозначим норму произвольной матрицы $W$ размера $2\times2$. Обозначим через $L_{2,2}(a,b)$ пространство двумерных вектор-функций $\mathbf{f}(t)=\operatorname{col}(f_1(t),f_2(t))$ с нормой $\displaystyle\|\mathbf{f}\|_{L_{2,2}(a,b)}=\biggl(\int_a^b\|\mathbf{f}(t)\|\,dt\biggr)^{1/2}$ и через $L_{2,2}^{2,2}(a,b)$ пространство матриц-функций $W(t)$ размера $2\,{\times}\,2$ с нормой $\displaystyle\|W\|_{L_{2,2}^{2,2}(a,b)}=\biggl(\int_a^b\|W(t)\|\,dt\biggr)^{1/2}$. Оператор $\mathbb{L}\mathbf{y}=B\mathbf{y}'+V\mathbf{y}$ будем рассматривать как линейный оператор в пространстве $L_{2,2}(0,\pi)$ с областью определения $D(\mathbb{L})=\{\mathbf{y}\in W_1^1[0,\pi]\colon \mathbb{L}\mathbf{y}\,{\in}\, L_{2,2}(0,\pi), U_j(\mathbf{y})=0,\, j=1,2\}$. Обозначим через
$$
\begin{equation}
E(x,\lambda)=\begin{pmatrix} c_1(x,\lambda)&-s_2(x,\lambda) \\ s_1(x,\lambda)&c_2(x,\lambda) \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
матрицу фундаментальной системы решений уравнения (1.1) с краевыми условиями $E(0,\lambda)=I$, где $I$ – единичная матрица, и через $E_0(x,\lambda)$ фундаментальную систему решений невозмущенного уравнения $B\mathbf{y}'=\lambda\mathbf{y}$ с краевыми условиями $E_0(0,\lambda)=I$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
E_0(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \cos\lambda x&-\sin\lambda x \\ \sin\lambda x&\cos\lambda x \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что элементы матрицы $E(x,\lambda)$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
c_1(x,\lambda)c_2(x,\lambda)+s_1(x,\lambda)s_2(x,\lambda)=1,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
справедливым при любых $x$, $\lambda$. Собственные значения задачи (1.1), (1.2) являются корнями характеристического уравнения где
$$
\begin{equation*}
\Delta(\lambda)= \biggl|\begin{matrix} U_1(E^{[1]}(\,\cdot\,,\lambda)) &U_1(E^{[2]}(\,\cdot\,,\lambda)) \\ U_2(E^{[1]}(\,\cdot\,,\lambda)) &U_2(E^{[2]}(\,\cdot\,,\lambda)) \end{matrix} \biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
$E^{[k]}(x,\lambda)$ – $k$-й столбец матрицы (1.3). Обозначим через $J_{ij}$ определитель, составленный из $i$-го и $j$-го столбцов матрицы $A$. Обозначим $J_0=J_{12}+J_{34}$, $J_1=J_{14}-J_{23}$, $J_2=J_{13}+J_{24}$. Хорошо известно, что характеристическая функция $\Delta(\lambda)$ задачи (1.1), (1.2) может быть приведена к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta(\lambda) &=J_{12}+J_{34}+J_{14}c_2(\pi,\lambda)-J_{23}c_1(\pi,\lambda)-J_{13}s_2(\pi,\lambda) -J_{24}s_1(\pi,\lambda) \\ &=\Delta_0(\lambda)+\int_0^\pi r_1(t)e^{-i\lambda t}\,dt+\int_0^\pi r_2(t)e^{i\lambda t}\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где функция
$$
\begin{equation}
\Delta_0(\lambda)=J_0+J_1\cos\pi\lambda-J_2\sin\pi\lambda=J_0+\frac{J_1+iJ_2}{2}\,e^{i\pi\lambda} +\frac{J_1-iJ_2}{2}\,e^{-i\pi\lambda}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
является характеристической функцией невозмущенной задачи
$$
\begin{equation}
B\mathbf{y}'=\lambda\mathbf{y}, \qquad U(\mathbf{y})=0,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
а функции $r_j$ принадлежат $L_2(0,\pi)$, $j=1,2$. Краевые условия (1.2) могут быть разделены на четыре основных типа. Определение 1. Краевые условия (1.2) называются регулярными, если и усиленно регулярными, если дополнительно выполняется неравенство Определение 2. Краевые условия (1.2) называются регулярными, но не усиленно регулярными, если справедливо (1.8), но (1.9) не имеет места, т.e. Определение 3. Краевые условия (1.2) называются нерегулярными, если Определение 4. Краевые условия (1.2) называются вырожденными, если Обозначим $c_j(\lambda)=c_j(\pi,\lambda)$, $s_j(\lambda)=s_j(\pi,\lambda)$, $j=1,2$. Обозначим также через $\mathrm{PW}_\sigma$ класс целых функций $f(z)$ экспоненциального типа, не превосходящего $\sigma$, таких, что $\|f\|_{L_2(R)}<\infty$. Известно (см. [8]), что функции $c_j(\lambda)$, $s_j(\lambda)$ допускают представление
$$
\begin{equation}
c_j(\lambda)= \cos\pi\lambda+g_j(\lambda), \qquad s_j(\lambda)=\sin\pi\lambda+h_j(\lambda),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $g_j,h_j\in \mathrm{PW}_\pi$, $j=1,2$. Лемма (см. [3]). Целые функции $u(\lambda)$ и $v(\lambda)$ допускают представления Сходимость бесконечных произведений понимается в смысле главного значения. § 2. Характеристическая функцияВ настоящей работе мы будем изучать задачу (1.1), (1.2) при выполнении условий
$$
\begin{equation}
J_{13}\ne J_{24}, \quad J_{14}=0, \quad J_{13}\ne0, \quad J_{24}\ne0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Соотношениям (2.1) удовлетворяет широкий класс краевых условий, например: – условия, задаваемые матрицей
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} a_1&b_1&c_1 &d_1 \\ 0&b_2&c_2 &0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_1d_1b_2c_2\ne0$, $ b_2d_1\ne -a_1c_2$, в том числе усиленно регулярные, если
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1&1&1 &1 \\ 0&1&2 &0 \end{pmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ регулярные, но не усиленно регулярные, если
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1&1&1+\sqrt{2} &1 \\ 0&1&2 &0 \end{pmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ нерегулярные, если
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1&1&3-i &1 \\ 0&1&2 &0 \end{pmatrix};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ вырожденные, если
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 1&1&\dfrac{1+3i}{2}&2 \\ 0&2&1 &0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим систему Дирака (1.1), (1.2), (2.1). Из (1.5), (1.6) следует, что характеристическая функция $\Delta(\lambda)$ этой задачи может быть приведена к виду
$$
\begin{equation}
\Delta(\lambda)=J_0-J_{23} c_1(\lambda)-J_{13}s_2(\lambda)-J_{24}s_1(\lambda)=\Delta_0(\lambda)+f(\lambda),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\Delta_0(\lambda)=J_0-(J_{13}+J_{24})\sin\pi\lambda-J_{23} \cos\pi\lambda$, $f\in \mathrm{PW}_\pi$. Справедливо и обратное утверждение. Теорема 1. Для любой функции $f\in\mathrm{PW}_\pi$ существует потенциал $V\in L_2(0,\pi)$ такой, что для характеристической функции $\Delta(\lambda)$ задачи (1.1), (1.2), (2.1) с потенциалом $V(x)$ справедливо равенство (2.2). Доказательство. Пусть $f$ – произвольная функция из класса $\mathrm{PW}_\pi$. Из теоремы Пэли–Винера и [9; лемма 1.3.1] следует, что Пусть $\{\lambda_n\}$, $n\in\mathbb{Z}$, – некоторая строго монотонно возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая следующим условиям: которые назовем условиями $(*)$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
c(\lambda)=\prod_{n=-\infty}^\infty \frac{\lambda_n-\lambda}{n-1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенной выше леммы следует, что где $g\in \mathrm{PW}_\pi$. Из теоремы Пэли–Винера и [9; лемма 1.3.1] следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{|\lambda|\to\infty}e^{-\pi |{\operatorname{Im}\lambda}|}g(\lambda)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
|c(\lambda)|\geqslant c_0e^{\pi |{\operatorname{Im}\lambda}|}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$(c_0>0)$ при $|{\operatorname{Im}\lambda}|\geqslant M$, где $M$ – некоторое достаточно большое число.
Дифференцируя (2.4), получаем
$$
\begin{equation}
\dot c(\lambda)=-\pi\sin\pi \lambda+\dot g(\lambda).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Так как функция $\dot g$ принадлежит $\mathrm{PW}_\pi$, то согласно [3] имеем где Из последнего равенства и определения чисел $\lambda_n$ следует, что где Отсюда следует, что при всех достаточно больших по абсолютной величине четных $n$ имеет место неравенство $\dot c(\lambda_n)>0$. Легко видеть, что для всех $n\in\mathbb{Z}$ справедливо неравенство $\dot c(\lambda_n)\dot c(\lambda_{n+1})<0$. Отсюда вытекает, что при всех $n$ Заметим, что из (2.7) следует
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\dot c(\lambda_n)}=\frac{(-1)^n}{\pi}+\sigma_n,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\alpha=-J_{13}, \quad \beta=-J_{24}, \quad\gamma=-J_{23}, \quad u_+(\lambda)=(\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda+f(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что Рассмотрим уравнение Оно имеет корни
$$
\begin{equation*}
s_n^\pm=\frac{u_+(\lambda_n)\pm\sqrt{u_+^2(\lambda_n)-4\alpha\beta}}{2\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее равенство выражение для $u_+(\lambda_n)$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_n^\pm &=\frac1{2\alpha}\bigr((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda_n+\gamma \cos\pi\lambda_n+f(\lambda_n)\bigl) \\ &\qquad \pm\frac1{2\alpha}\bigl(((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda_n+\gamma\cos\pi\lambda_n+f(\lambda_n))^2-4\alpha\beta\bigr)^{1/2} \\ &=\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda_n+\gamma \cos\pi\lambda_n+f(\lambda_n)\bigr) \\ &\qquad \pm\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha-\beta)^2+2(\alpha +\beta)\sin\pi\lambda_n(\gamma \cos\pi\lambda_n+f(\lambda_n)) \\ &\qquad\qquad+(\gamma \cos\pi\lambda_n+f(\lambda_n))^2-(\alpha +\beta)^2\cos^2\pi\lambda_n\bigr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F^\pm(\lambda) &=\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda+f(\lambda)\bigr) \\ &\qquad\pm\frac1{2\alpha}\bigl(((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma\cos\pi\lambda+f(\lambda))^2-4\alpha\beta\bigr)^{1/2} \\ &=\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda+f(\lambda)\bigr) \\ &\qquad\pm\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha-\beta)^2+2(\alpha +\beta)\sin\pi\lambda(\gamma \cos\pi\lambda+f(\lambda)) \\ &\qquad\qquad+(\gamma \cos\pi\lambda+f(\lambda))^2-(\alpha +\beta)^2\cos^2\pi\lambda\bigr)^{1/2}, \\ F_0^\pm(\lambda) &=\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda\bigr) \\ &\qquad\pm\frac1{2\alpha}\bigl(((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma\cos\pi\lambda)^2-4\alpha\beta\bigr)^{1/2} \\ &=\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda\bigr) \\ &\qquad\pm\frac1{2\alpha}\bigl((\alpha-\beta)^2+(\alpha +\beta)\gamma \sin\pi\lambda\cos\pi\lambda+(\gamma^2-(\alpha +\beta)^2)\cos^2\pi\lambda\bigr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим также через $\Gamma(z,r)$ круг с центром в точке $z$ радиуса $r$. Далее рассмотрим ряд случаев. 1) $\operatorname{Im}({\beta}/{\alpha})\ne0$. Пусть прямая $l_0$ проходит через точки $-1$ и ${\beta}/{\alpha}$, а прямая $l$ проходит через начало координат и параллельна $l_0$. Очевидно, существует число $\varepsilon_0$ такое, что круги $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$ и $\Gamma({\beta}/{\alpha},\varepsilon_0)$ лежат строго по одну сторону от прямой $l$. Из (2.3) и (2.10) следует, что существует нечетное положительное $\widetilde N$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F^\pm(\lambda)-F_0^\pm(\lambda)|<\frac{\varepsilon_0}2
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для любого $\lambda$, если $|\lambda|\geqslant\widetilde N-1$, $\lambda=k-1/2$, $k\in \mathbb Z$. Из (2.10) вытекает, что существует $0<\delta_0<1/4$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F_0^\pm(\lambda)-F_0^\pm(\lambda+z)|<\frac{\varepsilon_0}2
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
при $\lambda=\pm(\widetilde N-1/2)$, $|z|<\delta_0$. Определим последовательность $\{\lambda_n\}$, $n\in \mathbb Z$, следующим образом: $\lambda_n=n-1/2$, если $n\geqslant\widetilde N+1$, и пусть $\lambda_n=\widetilde N-1/2+\epsilon_n$, где $0<\epsilon_1<\dots<\epsilon_{\widetilde N}<\delta$, если $n=1,\dots, \widetilde N$, $\lambda_n=-\lambda_{-n+1}$. Очевидно, $\{\lambda_n\}$ удовлетворяет условиям $(*)$. Легко видеть, что если $n\geqslant \widetilde N+1$ или $n\leqslant -\widetilde N$, то все числа $s_n^+$ лежат внутри круга $\Gamma(1,\varepsilon_0)$, если $n$ нечетно, а все числа $s_n^-$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$, если $n$ четно. Пусть $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, и $s_n=s_n^-$, если $n$ четно, следовательно, числа $(-1)^ns_n$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$.
Пусть $-\widetilde N+1\leqslant n\leqslant\widetilde N$, тогда из (2.12), (2.13) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|F^\pm(\lambda_n)-F_0^\pm\biggl(\widetilde N-\frac12\biggr)\biggr|<\varepsilon_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что в силу нечетности $\widetilde N$ все числа $s_n^+$ лежат внутри круга $\Gamma(1,\varepsilon_0)$, а все числа $s_n^-$ лежат внутри круга $\Gamma({\beta}/{\alpha},\varepsilon_0)$. Положим $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, тогда числа $(-1)^ns_n$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$. Пусть $s_n=s_n^-$, если $n$ четно, тогда числа $(-1)^ns_n$ лежат внутри круга $\Gamma({\beta}/{\alpha},\varepsilon_0)$, Таким образом, все числа $(-1)^ns_n$, $n\in \mathbb Z$, лежат строго по одну сторону от прямой $l$.
2) $\operatorname{Im}(\beta/\alpha)=0$, $\operatorname{Re}(\beta/\alpha)<0$. Очевидно, существует число $\varepsilon_0$ такое, что круги $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$ и $\Gamma(\beta/\alpha,\varepsilon_0)$ лежат строго левее мнимой оси. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, то все числа $(-1)^ns_n$ лежат строго левее мнимой оси. 3) $\operatorname{Im}(\beta/\alpha)=0$, $\operatorname{Re}(\beta/\alpha)>0$. Обозначим $\widetilde \alpha=\alpha\overline\alpha$, $\widetilde \beta=\beta\overline\alpha$, $\widetilde \gamma=\gamma\overline\alpha$, $\widetilde f(\lambda)=\overline\alpha f(\lambda)$, тогда $\widetilde \alpha>0$, $\widetilde \beta>0$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_n^\pm &=\frac1{2\widetilde\alpha}\bigl((\widetilde\alpha +\widetilde\beta)\sin\pi\lambda_n+\widetilde\gamma \cos\pi\lambda_n+\widetilde f(\lambda_n)\bigr) \\ &\qquad \pm\frac1{2\widetilde\alpha}\bigl(((\widetilde\alpha +\widetilde\beta)\sin\pi\lambda_n+\widetilde\gamma\cos\pi\lambda_n+\widetilde f(\lambda_n))^2-4\widetilde\alpha\widetilde\beta\bigr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
R^\pm=\frac{\widetilde\gamma\pm\sqrt{\widetilde\gamma^2-4\widetilde\alpha\widetilde\beta}} {2\widetilde\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, $R^+R^->0$, следовательно, $\operatorname{Im}R^+\operatorname{Im}R^-<0$ или $\operatorname{Im}R^+=0=\operatorname{Im}R^-=0$.
3.1) $\operatorname{Im}R^+\operatorname{Im}R^-<0$. В этом случае
$$
\begin{equation}
\widetilde\gamma^2-4\widetilde\alpha\widetilde\beta\ne0.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Пусть для определенности $\operatorname{Im}R^+>0$, тогда $\operatorname{Im}R^-<0$. Из (2.14) следует, что существует $\varepsilon_1>0$ такое, что круги $\Gamma(R^+,\varepsilon_1)$ и $\Gamma(R^-,\varepsilon_1)$ лежат строго по разные стороны от некоторой прямой $l$, проходящей через начало координат и отличной от вещественной оси. Очевидно, что существует число $\varepsilon_2$, где $0<\varepsilon_2<\varepsilon_1$, такое, что круг $\Gamma(-1,\varepsilon_2)$ не пересекается с $l$, следовательно, круг $\Gamma(-1,\varepsilon_2)$ расположен строго по одну сторону от прямой $l$. Из (2.3) и (2.10) вытекает, что существует нечетное положительное число $\widehat N$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F^\pm(\lambda)-F_0^\pm(\lambda)|<\frac{\varepsilon_1}2
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
для любого $\lambda$, если $|\lambda|\geqslant\widehat N-1$, $\lambda=k-1/2$, $k\in \mathbb Z$. В силу (2.14) существует $0<\delta_1<1/4$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F_0^\pm(\lambda-F_0^\pm(\lambda+z)|<\frac{\varepsilon_2}2,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
если $\lambda=\pm(\widehat N-1)$, $|z|<\delta_1$.
Определим последовательность $\{\lambda_n\}$, $n\in \mathbb Z$, следующим образом: $\lambda_n=n-1/2$, если $n\geqslant\widetilde N+1$, и пусть $\lambda_n=\widehat N-1+\epsilon_n$, где $0<\epsilon_1<\dots<\epsilon_{\widehat N}<\delta_1$, если $n=1,\dots, \widehat N$, $\lambda_n=-\lambda_{-n+1}$. Очевидно, что $\{\lambda_n\}$ удовлетворяет условиям $(*)$. Легко видеть, что если $n\geqslant \widetilde N+1$ или $n\leqslant -\widetilde N$, то все числа $s_n^+$ лежат внутри круга $\Gamma(1,\varepsilon_1)$, если $n$ нечетно, а все числа $s_n^-$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_1)$, если $n$ четно. Положим $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, и $s_n=s_n^-$, если $n$ четно, следовательно, числа $(-1)^ns_n$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_1)$. Пусть $-\widetilde N+1\leqslant n\leqslant\widetilde N$, тогда из (2.15), (2.16) следует, что
$$
\begin{equation*}
|F^\pm(\lambda_n)-F_0^\pm(\widehat N-1)|<\varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда числа $s_n^+$ принадлежат $\Gamma(R^+,\varepsilon_1)$, а числа $s_n^-$ принадлежат $\Gamma(R^-,\varepsilon_1)$. Предположим, например, что круг $\Gamma(R^-,\varepsilon_1)$ лежит по одну сторону от прямой $l$ с кругом $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$. Положим $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, и $s_n=s_n^-$, если $n$ четно, тогда все числа $(-1)^ns_n$, $n\in \mathbb Z$, лежат строго по одну сторону от прямой $l$. 3.2) $\operatorname{Im}R^+=\operatorname{Im}R^-=0$. Очевидно, что существует число $\varepsilon_3>0$ такое, что круг $\Gamma(-1,\varepsilon_3)$ лежит строго ниже прямой $l_1\colon y=-x$, причем круг $\Gamma\Bigl(i\sqrt{{\widetilde\beta}/{\widetilde\alpha}},\varepsilon_3\Bigr)$ лежит строго выше прямой $l_1$, а круг $\Gamma\Bigl(-i\sqrt{{\widetilde\beta}/{\widetilde\alpha}},\varepsilon_3\Bigr)$ лежит строго ниже $l_1$. Очевидно, что ${\widetilde\gamma}/{\widetilde\alpha}$ вещественно, следовательно, $\widetilde\gamma$ вещественно. Рассмотрим уравнение
$$
\begin{equation*}
(\widetilde\alpha +\widetilde\beta)\sin t+\widetilde\gamma \cos t=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\widetilde\alpha +\widetilde\beta\ne0$, оно имеет корни $t_n=- \operatorname{arctg} ({\widetilde\gamma}/(\widetilde\alpha +\widetilde\beta))+\pi n$, где $n\in \mathbb Z$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
h_0=\frac{- \operatorname{arctg} (\widetilde\gamma/(\widetilde\alpha +\widetilde\beta))}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.3) и (2.10) вытекает, что существует положительное $\widehat N$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F^\pm(\lambda)-F_0^\pm(\lambda)|<\frac{\varepsilon_3}2
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
для любого $\lambda$, если $|\lambda|\geqslant\widetilde N-1$, $\lambda=k-1/2$, $k\in \mathbb Z$, или $\lambda_n=\widehat\lambda=t_{\widehat N-1}/\pi$, а также существует $\delta_3>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
|F_0^\pm(\lambda)-F_0^\pm(\lambda+z)|<\frac{\varepsilon_3}2,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
если $\lambda=\pm \widehat \lambda$, $|z|<\delta$.
Определим последовательность $\{\lambda_n\}$, $n\in \mathbb Z$, следующим образом: $\lambda_n=n\,{-}\,1/2$ при $n\,{\geqslant}\,\widetilde N\,{+}\,1$, а если $1\,{\leqslant}\, n\,{\leqslant}\,\widehat N$, то $\lambda_n\,{=}\,\widehat\lambda\,{+}\,\epsilon_n$, где $0<\epsilon_1<\dots<\epsilon_{\widehat N}<\min(\delta,1/2-h_0)$, $\lambda_n=-\lambda_{-n+1}$. Очевидно, $\{\lambda_n\}$ удовлетворяет условиям $(*)$. Легко видеть, что если $n\geqslant \widetilde N+1$ или $n\leqslant -\widetilde N$, то все числа $s_n^+$ лежат внутри круга $\Gamma(1,\varepsilon_0)$, если $n$ нечетно, а все числа $s_n^-$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$, если $n$ четно. Положим $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, и $s_n=s_n^-$, если $n$ четно, следовательно, числа $(-1)^ns_n$ лежат внутри круга $\Gamma(-1,\varepsilon_0)$. Пусть $-\widetilde N+1\leqslant n\leqslant\widetilde N$, тогда $s_n^+\in\Gamma(i\sqrt{\beta/\alpha}, \varepsilon_2)$, $s_n^-\in\Gamma(-i\sqrt{\beta/\alpha}, \varepsilon_2)$. Пусть $s_n=s_n^+$, если $n$ нечетно, и $s_n=s_n^-$, если $n$ четно. Тогда все числа $(-1)^ns_n$ лежат строго ниже прямой $l$. Так как (см. [10]) $\{f(\lambda_n)\}\in l_2$, то из определения чисел $s_n$ следует, что всегда где $\{\vartheta_n\}\in l_2$. Из определения чисел $s_n$ и (2.8) также следует, что все числа $z_n=s_n/{\dot c(\lambda_n)}$ во всех случаях лежат строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, а из (2.9) и (2.19) вытекает, что где $\{\rho_n\}\in l_2$. Пусть $\beta_n=s_n-\sin\pi\lambda_n$, тогда из (2.19) следует, что $\{\beta_n\}\in l_2$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
h(\lambda)=c(\lambda)\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\beta_n}{\dot c(\lambda_n)(\lambda-\lambda_n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [11; теорема 28] функция $h$ принадлежит $\mathrm{PW}_\pi$ и $h(\lambda_n)=\beta_n$. Обозначим $s(\lambda)=\sin\pi\lambda+h(\lambda)$, тогда $s(\lambda_n)=s_n\ne0$, следовательно, функции $s(\lambda)$ и $c(\lambda)$ не имеют общих корней.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
Y_0(x,\lambda)= \begin{pmatrix} \cos\lambda x \\ \sin\lambda x \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [7] было установлено, что система векторов $Y_0(x,\lambda_n)$, $n\in\mathbb{Z}$, полна в $L_{2,2}(0,\pi)$. Обозначим
$$
\begin{equation}
F(x,t)=-\sum_{n=-\infty}^\infty \biggl(\frac{s_n}{\dot c(\lambda_n)}\bigl(Y_0(x,\lambda_n) Y_0^T(t,\lambda_n)\bigr)+\frac{1}{\pi}Y_0\biggl(x,n-\frac12\biggr) Y_0^T\biggl(t,n-\frac12\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Из [12] и (2.20) следует, что
$$
\begin{equation*}
\|F(\cdot,x)\|_{L_{2,2}^{2,2}(0,\pi)}+\|F(x,\cdot)\|_{L_{2,2}^{2,2}(0,\pi)}<C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C$ не зависит от $x$. Докажем, что для каждого $x\in[0,\pi]$ однородное уравнение
$$
\begin{equation}
\mathbf{f}^T(t)+\int_0^x\mathbf{f}^T(s)F(s,t)\,ds=0,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $\mathbf{f}(t)=\operatorname{col}(f_1(t),f_2(t))$, $\mathbf{f}\in L_{2,2}(0,x)$, $\mathbf{f}(t)=0$ при $x<t\leqslant\pi$, имеет только тривиальное решение. Умножая уравнение (2.22) на $\overline{\mathbf{f}^T(t)}$ и интегрируя полученное уравнение на отрезке $[0,x]$, получаем
$$
\begin{equation}
\|\mathbf{f}\|^2_{L_{2,2}(0,x)}+\int_0^x\biggl\langle\int_0^x\mathbf{f}^T(s)F(s,t)\,ds, \overline{\mathbf{f}^T(t)}\biggr\rangle\, dt=0.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Исходя из равенства (2.21), несложными вычислениями находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbf{f}^T(s)F(s,t) \\ \notag &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty \biggl\{z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns\cos\lambda_nt+f_2(s)\sin\lambda_ns\cos\lambda_nt, \\ \notag &\qquad\qquad f_1(s)\cos\lambda_ns\sin\lambda_nt +f_2(s)\sin\lambda_ns\sin\lambda_nt\bigr] \\ \notag &\qquad +\frac{1}{\pi}\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t+f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t, \\ \notag &\qquad\qquad f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\biggr\}\biggr\} \\ \notag &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty \biggl\{z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns\cos\lambda_nt+f_2(s)\sin\lambda_ns\cos\lambda_nt\bigr] \\ \notag &\qquad+\frac{1}{\pi}\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t+f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr], \\ \notag &\qquad\qquad z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns\sin\lambda_nt+f_2(s)\sin\lambda_ns\sin\lambda_nt\bigr] \\ &\qquad+\frac{1}{\pi} \biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr) s\sin\biggl(n-\frac12\biggr)t +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\biggr\}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Подставляя правую часть (2.24) во второй член в левой части (2.23), преобразуя повторные интегралы в произведения интегралов и используя вещественность всех чисел $\lambda_n$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^x\biggl\langle \int_0^x \mathbf{f}^T(s)F(s,t)\,ds,\overline{\mathbf{f}^T(t)}\bigg\rangle \,dt \\ &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty\int_0^x\biggr(\int_0^x\biggl\{z_n\bigl[f_1(s) \cos\lambda_ns\cos\lambda_nt+f_2(s)\sin\lambda_ns\cos\lambda_nt\bigr] \\ &\quad\qquad +\frac{1}{\pi}\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t \\ &\quad\qquad +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\biggr\}\,ds\biggr)\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad +\sum_{n=-\infty}^\infty\int_0^x\biggr(\int_0^x \biggl\{z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns\sin\lambda_nt+f_2(s)\sin\lambda_ns\sin\lambda_nt\bigr] \\ &\quad\qquad +\frac{1}{\pi} \biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t \\ &\quad\qquad+f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\biggr\}ds\biggr)\overline{f_2(t)}\,dt\biggr\} \\ &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns +f_2(s)\sin\lambda_ns\bigr]\,ds\int_0^x\cos\lambda_nt\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad +\frac{1}{\pi}\int_0^x\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\biggr]\,ds\biggr) \\ &\quad\qquad\qquad\times\int_0^x\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad +\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns+f_2(s)\sin\lambda_ns\bigr]\,ds \int_0^x\sin\lambda_nt\overline{f_2(t)}\,dt \\ &\quad\qquad\qquad +\frac{1}{\pi} \int_0^x\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\biggr]\,ds \\ &\quad\qquad\qquad\qquad\times\int_0^x\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_2(t)}\,dt \biggr)\biggr\} \\ &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x z_n[f_1(s)\cos\lambda_ns +f_2(s)\sin\lambda_ns]\,ds\int_0^x\cos\lambda_nt\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad+\int_0^x z_n\bigl[f_1(s)\cos\lambda_ns+f_2(s)\sin\lambda_ns\bigr]\,ds\int_0^x \sin\lambda_nt\overline{f_2(t)}\,dt\biggr) \\ &\quad\qquad +\frac{1}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s \\ &\quad\qquad +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\biggr]\,ds\int_0^x \cos\biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad+\int_0^x\biggl[f_1(s)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)s +f_2(s)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)s\biggr]\,ds \\ &\quad\qquad\qquad\times\int_0^x\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_2(t)}\,dt \biggr)\biggr\} \\ &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x z_n[f_1(t)\cos\lambda_nt +f_2(t)\sin\lambda_nt]\,dt\int_0^x\cos\lambda_nt\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad+\int_0^x z_n\bigl[f_1(t)\cos\lambda_nt+f_2(t)\sin\lambda_nt\bigr]\,dt \int_0^x\sin\lambda_nt\overline{f_2(t)}\,dt\biggr) \\ &\quad\qquad+\frac{1}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\biggr(\int_0^x\biggl[f_1(t)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t \\ &\quad\qquad+f_2(t)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\,dt\int_0^x\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_1(t)}\,dt \\ &\quad\qquad+\int_0^x\biggl[f_1(t)\cos nt+f_2(t)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\,dt\int_0^x\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\overline{f_2(t)}\,dt\biggr)\biggr\} \\ &=-\biggl\{\sum_{n=-\infty}^\infty z_n\int_0^x [f_1(t)\cos\lambda_nt+f_2(t)\sin\lambda_nt]\,dt \\ &\quad\qquad\qquad\times \int_0^x\bigl[\overline{f_1(t)}\cos\lambda_nt+\overline{f_2(t)}\sin\lambda_nt\bigr]\,dt \\ &\quad\qquad+\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\pi}\int_0^x\biggl[f_1(t)\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t+f_2(t)\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\,dt \\ &\quad\qquad\qquad\times \int_0^x\biggl[\overline{f_1(t)}\cos \biggl(n-\frac12\biggr)t+\overline{f_2(t)}\sin \biggl(n-\frac12\biggr)t\biggr]\,dt\biggr\} \\ &=-\sum_{n=-\infty}^\infty z_n\biggl|\int_0^x\langle\mathbf{f}(t),Y_0(t,\lambda_n)\rangle \,dt\biggr|^2-\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\pi}\biggl|\int_0^x\biggl\langle \mathbf{f}(t),Y_0\biggl(t,\biggl(n-\frac12\biggr)\biggr)\biggr\rangle \,dt\biggr|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства Парсеваля вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{f}\|^2_{L_{2,2}(0,x)} =\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\pi}\biggl|\int_0^x\biggl\langle \mathbf{f}(t),Y_0\biggl(t,\biggl(n-\frac12\biggr)\biggr)\biggr\rangle \,dt\biggr|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\sum_{n=-\infty}^\infty z_n\biggl|\int_0^x\langle \mathbf{f}(t),Y_0(t,\lambda_n)\rangle\, dt\biggr|^2=0.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Так как для любого $n$ все числа $z_n$ расположены строго по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, то из (2.25) вытекает, что $\displaystyle\int_0^x\langle \mathbf{f}(t),Y_0(t,\lambda_n)\rangle \,dt=0$. Отсюда и из полноты системы векторов $\{Y_0(t,\lambda_n)\}$ в $L_{2,2}(0,\pi)$ следует, что $\mathbf{f}(t)\equiv0$.
Отсюда получаем (см. [8]), что функции $c(\lambda)$ и $-s(\lambda)$ являются элементами первой строки матрицы монодромии
$$
\begin{equation*}
\widetilde U(\pi,\lambda)= \begin{pmatrix} \widetilde c_1(\pi,\lambda) &-\widetilde s_2(\pi,\lambda) \\ \widetilde s_1(\pi,\lambda) &\widetilde c_2(\pi,\lambda) \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
задачи (1.1), (1.2), (2.1) с некоторым потенциалом $\widetilde V\in L_2(0,\pi)$, т.е.
$$
\begin{equation}
c(\lambda)=\widetilde c_1(\pi,\lambda), \qquad s(\lambda)=\widetilde s_2(\pi,\lambda).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Из (2.2) находим, что соответствующий характеристический определитель есть
$$
\begin{equation*}
\widetilde\Delta(\lambda)=J_0+\gamma \widetilde c_1(\lambda)+\alpha\widetilde s_2(\lambda)+\beta \widetilde s_1(\lambda)=J_0+(\alpha +\beta)\sin\pi\lambda+\gamma \cos\pi\lambda+\widetilde f(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde f\in \mathrm{PW}_\pi$. Из (1.4), (2.11) и (2.26) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\Delta(\lambda_n) &=J_0+\alpha\widetilde s_2(\pi,\lambda_n)+\beta \widetilde s_1(\pi,\lambda_n)=J_0+\frac{\beta}{\widetilde s_2(\pi,\lambda_n)}+\alpha\widetilde s_2(\pi,\lambda_n) \\ &=J_0+\frac{\beta}{s(\lambda_n)}+\alpha s(\lambda_n)=J_0+u_+(\lambda_n)=U(\lambda_n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что функция
$$
\begin{equation*}
\Phi(\lambda)=\frac{U(\lambda)-\widetilde\Delta(\lambda)}{c(\lambda)}=\frac{f(\lambda)-\widetilde f(\lambda)}{c(\lambda)}
\end{equation*}
\notag
$$
является целой функцией на всей комплексной плоскости. Так как
$$
\begin{equation}
|f(\lambda)-\widetilde f(\lambda)|<c_1e^{\pi|{\operatorname{Im}\lambda}|},
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
то из (2.5) вытекает, что $|\Phi(\lambda)|\leqslant c_2$, если $|{\operatorname{Im}\lambda}|\geqslant M$. Обозначим через $H$ объединение вертикальных отрезков $\{z\colon |{\operatorname{Re} z}|=n,\ |{\operatorname{Im}\lambda}|\leqslant M\}$, где $|n|=N_0\,{+}\,1, N_0+2, \dots$ . Так как функция $c(\lambda)$ является функцией типа синуса (см. [13]), то $|c(\lambda)|>\delta>0$, если $\lambda\in H$. Из последнего неравенства, (2.27) и принципа максимума модуля аналитической функции находим, что $|\Phi(\lambda)|<c_3$ в полосе $|{\operatorname{Im}\lambda}|\leqslant M$, следовательно, функция $\Phi(\lambda)$ ограниченна во всей комплексной плоскости и в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Пусть $|{\operatorname{Im}\lambda}|=M$. Тогда из (2.3) следует, что $\lim_{|\lambda|\to\infty}(f(\lambda)-\widetilde f(\lambda))=0$, следовательно, $\Phi(\lambda)\equiv0$, значит, $U(\lambda)\equiv\widetilde\Delta(\lambda)$.
Теорема 1 доказана. § 3. СпектрДополнительно к соотношениям (2.1) предположим, что краевые условия (1.2) регулярны, стало быть, согласно (1.8) Теорема 2. Для того чтобы множество $\Lambda$ являлось спектром оператора Дирака (1.1), (1.2), (2.1) с комплекснозначным потенциалом $V\in L_2(0,\pi)$, необходимо и достаточно, чтобы оно состояло из двух последовательностей собственных значений $\lambda_{n,j}$, удовлетворяющих условию где $z_j$ являются корнями уравнения а значения ветви логарифма фиксируются в полосе $\operatorname{Im} \lambda\in(-\pi,\pi]$, $\{\varepsilon_{n,j}\}\in l_2$, $j=1,2$, $n\in \mathbb{Z}$. Доказательство. Необходимость доказана в [14].
Достаточность. Пусть две последовательности $\lambda_{n,j}$ удовлетворяют условию (3.1). Очевидно, существует постоянная $M$ такая, что
$$
\begin{equation}
\sup|\varepsilon_{n,j}|<M, \qquad \sum_{j=1,2,\, n\in \mathbb Z}|\varepsilon_{n,j}|^2<M.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из [14] следует, что собственные значения задачи (1.1), (1.2), (2.1) с нулевым потенциалом $V(x)$ определяются формулами $j=1,2$, $n\in \mathbb Z$. Обозначим $t_j={\ln z_j}/(i\pi)$. По теореме Адамара характеристическая функция $\Delta_0(\lambda)$ невозмущенной задачи (1.7), (2.1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Delta_0(\lambda)=J_0-(J_{13}+J_{24})\sin\pi\lambda-J_{23}\cos\pi\lambda=c\lambda^m\prod_{(n,j)\in T_1}\frac{\lambda_{n,j}^0-\lambda}{\lambda_{n,j}^0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c\ne0$, а $T_1$ – множество пар $(n,j)$ таких, что $\lambda_{n,j}^0\ne0$. Очевидно,
$$
\begin{equation}
|\Delta_0(\lambda)|< c_1e^{\pi |{\operatorname{Im}\lambda}|}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Пусть $T_0$ – множество пар $(n,j)$ таких, что $\lambda_{n,j}^0=0$, $m$ – число элементов множества $T_0$. Из [14] следует, что $0\leqslant m\leqslant2$. Обозначим также $T=T_0\cup T_1$,
$$
\begin{equation*}
\Delta(\lambda)=c\prod_{(n,j)\in T_0}(\lambda-\lambda_{n,j})\prod_{(n,j)\in T_1}\frac{\lambda_{n,j}-\lambda}{\lambda_{n,j}^0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $f(\lambda)=\Delta(\lambda)-\Delta_0(\lambda)$. Исследование свойств функции $f(\lambda)$ основывается на следующих утверждениях.
Предложение 1. Функция $f(\lambda)$ является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего $\pi$. Доказательство. Обозначим $\Gamma$ объединение кругов $\Gamma(2n+t_j,1/4)$, $n\in \mathbb Z$. Если $\lambda\notin\Gamma$, то
$$
\begin{equation}
f(\lambda)=-\Delta_0(\lambda)\biggl(1-\frac{\Delta(\lambda)}{\Delta_0}\biggr) =-\Delta_0(\lambda)(1-\phi(\lambda)),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\phi(\lambda)=\prod_{(n,j)\in T_0}\biggl(1-\frac{\lambda_{n,j}}{\lambda}\biggr) \prod_{(n,j)\in T_1}\biggl(1+\frac{\varepsilon_{n,j}}{\lambda_{n,j}^0-\lambda}\biggr) =\prod_{(n,j)\in T}\biggl(1+\frac{\varepsilon_{n,j}}{2n+t_j-\lambda}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим функцию $\phi(\lambda)$. Обозначим $\alpha_{n,j}(\lambda)={\varepsilon_{n,j}}/(2n+t_j-\lambda)$. Из (3.2) следует, что
Легко видеть, что для всех $|n|>n_0$, где $n_0$ – достаточно большое число, справедливо неравенство для любого $\lambda\notin\Gamma$. Если $|n|\leqslant n_0$, то неравенство (3.6) имеет место для всех достаточно больших $|\lambda|$, следовательно, указанное неравенство справедливо для всех $|\lambda|\geqslant C_0$. Из (3.5), (3.6) и элементарного неравенства справедливого при $|z|\leqslant1/4$, следует, что Здесь и в дальнейшем мы выбираем ту ветвь $\ln(1+z)$, которая обращается в нуль при $z=0$. Согласно [15; гл. V, § 1, п. 72] перепишем последнее соотношение в виде
$$
\begin{equation}
|\phi(\lambda)|\leqslant\prod_T|1+\alpha_{n,j}(\lambda)|\leqslant e^{c_4}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из (3.3), (3.4), (3.8) следует, что
$$
\begin{equation}
|f(\lambda)|<c_5e^{\pi |{\operatorname{Im}\lambda}|}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
вне области $\Gamma'=\Gamma\cup\{|\lambda|<C_0\}$.
Обозначим
$$
\begin{equation*}
D=\bigcup_{(n,j)\in T}\biggl[2n+\operatorname{Re}t_j-\frac 14,\, 2n+\operatorname{Re}t_j+\frac14\biggr], \qquad D_0=(0,2)\setminus D.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что множество $D_0$ является объединением конечного числа интервалов, сумма длин которых не менее $1$. Пусть $x_0$ – середина одного из этих интервалов. Тогда все точки $x_0\,{+}\,2k$, $k\in \mathbb Z$, лежат вне множества $D$. В частности, неравенство (3.9) справедливо, если $\lambda$ принадлежит прямым $\operatorname{Im}\lambda=\pm \widehat C_0$, где $\widehat C_0=C_0+|t_1|+|t_2|+1$, и вертикальным отрезкам с вершинами в точках $(x_0+2k, -\widehat C_0)$, $(x_0+2k, \widehat C_0)$, где $|2k-1|>C_0$, $k\in\mathbb{Z}$. Согласно принципу максимума неравенство (3.9) имеет место на всей комплексной плоскости, следовательно, функция $f(\lambda)$ является целой функцией экспоненциального типа, не превышающего $\pi$.
Предложение 1 доказано. Обозначим
$$
\begin{equation*}
W(\lambda)=\ln\phi(\lambda)=\sum_{(n,j)\in T}\ln(1+\alpha_{n,j}(\lambda)),
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation}
f(\lambda)=-\Delta_0(\lambda)\bigl(1-e^{W(\lambda)}\bigr).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Оценим функцию $W(\lambda)$, если $\lambda\notin\Gamma'$. Из (3.2), (3.6), (3.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |W(\lambda)| &\leqslant\sum_{(n,j)\in T}|{\ln(1+\alpha_{n,j}(\lambda))}| \\ &\leqslant\frac{2M}{|\lambda|}+ \sum_{n=-\infty}^\infty \biggl(\frac{|\varepsilon{_n,1}|^2+|\varepsilon_{n,2}|^2}{10M}+ \frac{10M}{|2n-\lambda|^2}\biggr) \\ &\leqslant\frac{2M}{|\lambda|}+\frac{1}{10}+20M\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+ |{\operatorname{Im}\lambda}|^2} \\ &\leqslant\frac{2M}{|\lambda|}+\frac{1}{10}+20M\biggl(\frac{2}{|{\operatorname{Im}\lambda}|^2} +\int_1^\infty\frac{dx}{x^2+|{\operatorname{Im}\lambda}|^2}\biggr) \\ &\leqslant\frac{2M}{|{\operatorname{Im}\lambda}|} +\frac{1}{10}+20M\biggl(\frac{2}{|{\operatorname{Im}\lambda}|^2} +\frac{\pi}{2|{\operatorname{Im}\lambda}|}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства вытекает, что если $|{\operatorname{Im}\lambda}|\geqslant M_1=10(\pi+2+22M)+\widehat C_0$. Из элементарного неравенства справедливого при $|z|\leqslant1/4$, получаем неравенство $|1-e^{W(\lambda)}|\leqslant2|W(\lambda)|$. Из последнего неравенства и (3.3), (3.10) находим, что для $\lambda\in l$, где $l$ – прямая $\operatorname{Im}\lambda=M_1$. Докажем, что Из элементарного неравенства $|{\ln(1+z)-z}|\leqslant|z|^2$, справедливого при $|z|\leqslant1/2$, получаем где $|r(z)|\leqslant|z|^2$, следовательно, где
$$
\begin{equation*}
S_1(\lambda)=\sum_{n=-\infty}^\infty (\alpha_{n,1}(\lambda)+\alpha_{n,2}(\lambda)), \qquad |S_2(\lambda)|\leqslant\sum_{n=-\infty}^\infty (|\alpha_{n,1}(\lambda)|^2+|\alpha_{n,2}(\lambda)|^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно,
$$
\begin{equation}
|W(\lambda)|\leqslant|S_1(\lambda)|+|S_2(\lambda)|.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Положим $(m=1,2)$. Вначале рассмотрим интеграл $I_1$. Из [16] вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_1 &=\int_l\,\biggl|\sum_{n=-\infty}^\infty \biggl(\frac{\varepsilon_{n,1}}{2n+t_1-\lambda} +\frac{\varepsilon_{n,2}}{2n+t_2-\lambda}\biggr)\biggr|^2\,d\lambda \\ \notag &\leqslant 2\biggl(\int_l\,\biggl|\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_{n,1}}{2n+t_1-\lambda}\biggr|^2\,d\lambda+ \int_l\,\biggl|\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_{n,2}}{2n+t_2-\lambda}\biggr|^2\,d\lambda\biggr) \\ &=2\biggl(\int_{l_1}\biggl|\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_{n,1}}{2n-\lambda}\biggr|^2\,d\lambda+ \int_{l_2}\biggl|\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{\varepsilon_{n,2}}{2n-\lambda}\biggr|^2\,d\lambda\biggr) <\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $l_j$ являются прямыми $\operatorname{Im}\lambda=M_1-t_j$, $j=1,2$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
|S_2(\lambda)|\leqslant\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{|\varepsilon_{n,1}|^2}{|2n+t_1-\lambda|^2}+\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{|\varepsilon_{n,2}|^2}{|2n+t_2-\lambda|^2}\leqslant c_7,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_2 &\leqslant c_7 \int_l\biggl(\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{|\varepsilon_{n,1}|^2}{|2n+t_1-\lambda|^2}+\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{|\varepsilon_{n,2}|^2}{|2n+t_2-\lambda|^2}\biggr)\,d\lambda \\ & \leqslant c_8\sum_{n=-\infty}^\infty (|\varepsilon_{n,1}|^2+|\varepsilon_{n,2}|^2) \int_{\widetilde l}\frac{d\lambda}{|2n-\lambda|^2} \leqslant c_9\sum_{n=-\infty}^\infty (|\varepsilon_{n,1}|^2+|\varepsilon_{n,2}|^2)\leqslant c_{10}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\widetilde l=l_1\cup l_2$. Из (3.14)–(3.16) вытекает (3.13). Из (3.12), (3.13) и [12; гл. 3, п. 3.2.2] следует, что Предложение 2 доказано. Таким образом, функция $\Delta(\lambda)$ удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и, стало быть, существует потенциал $V\in L_2(0,\pi)$ такой, что спектр соответствующей задачи(1.1), (1.2), (2.1) определяется формулой (3.1). Теорема 2 доказана. БлагодарностьАвтор выражает глубокую благодарность рецензенту за ценные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mak23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|