| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О приложениях роста в М. В. Лямкин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9707e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНапомним гипотезу Зарембы, которой посвящено наше исследование. Любое рациональное число $r$ можно единственным образом представить в виде цепной дроби
$$
\begin{equation*}
r=b_0+\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\dots+\cfrac{1}{b_k}}},
\end{equation*}
\notag
$$
где число $b_0$ – целое, а $b_1, \dots, b_k$ – натуральные. Числа $b_0, b_1, \dots, b_k$ называются неполными частными цепной дроби числа $r$. С. Заремба предположил следующее. Гипотеза 1. Для любого натурального $q$ существует такое $a \in \mathbb{N}$, $a < q$, $(a, q)=1$, что все неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены некоторой абсолютной константой $M$. Существуют различные варианты этой гипотезы. В оригинале она сформулирована с $M=5$. Мы будем обозначать через $\mathcal{Q}_M$ множество таких натуральный чисел $q$, что для некоторого натурального $a$, взаимно простого с $q$, все неполные частные дроби $a/q$ ограничены числом $M$. В этих терминах гипотеза Зарембы утверждает, что $\mathbb{N}=\mathcal{Q}_5$. Д. Хенсли предположил (см. [7] и [8]), что для достаточно больших $q$ неполные частные можно ограничить числом $2$. В той же работе [7] он доказал версию гипотезы Зарембы, которую мы формулируем в упрощенном виде. Теорема 1. Пары остатков по любому простому модулю $p$ числителей и знаменателей дробей $a/q$, $q \leqslant Q$, с ограниченными неполными частными цепной дроби числом $M$ распределены асимптотически равномерно по $\mathbb{F}_p^2$ при $Q \to \infty$. Таким образом, для каждого простого $p$ и натурального $u\,{\in}\, \{0, 1, 2, \dots, p-1 \}$ найдется $q \in \mathcal{Q}_M\colon q \equiv u\pmod{p}$. В настоящей работе мы докажем, что в тех же ограничениях можно дополнительно потребовать $q=O_\varepsilon(p^{2+\varepsilon})$. Еще один результат, тесно связанный с гипотезой Зарембы, доказали Ж. Бурган и А. Конторович (см. [1]). Они установили, что все натуральные числа лежат в $\mathcal{Q}_M$ для некоторого $M$ асимптотически почти наверное, более точно, верна следующая теорема. Другой подход к целому ряду похожих задач связан с применением аффинного решета, которое обобщается на случай полугрупп. О последних результатах в этой области см. [15]. О методе решета в целом см. обзор [13]. В 2020 г. И. Д. Шкредов доказал в [20] следующую оценку на $q$ в зависимости от $p$ в случае $u=0$, улучшив показатель степени от 30 (как это было в [17]) до $1+\varepsilon$. Теорема 3. Пусть $\varepsilon > 0$ и $p$ – простое число. Тогда существуют $q=O(p^{1+\varepsilon})$, $q \equiv 0\pmod{p}$, и $a < q$, $(a, q)=1$, такие, что все неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены константой $M$, зависящей только от $\varepsilon$. Развивая подход из [20], мы доказываем следующий результат. Теорема 4. Для всякого $\varepsilon > 0$ найдется константа $M=M(\varepsilon)$ такая, что для любого простого $p$ и $u \in \{ 0, 1, \dots, p-1 \}$ существуют $q=O_\varepsilon( p^{2+\varepsilon})$, $q \equiv u \ (\operatorname{mod}p)$, и $a \in \mathbb{N}$ такие, что $(a, q)=1$ и все неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены сверху числом $M$. Более того, если числа $u=u(p), v=v(p)$ растут достаточно медленно при увеличении $p$, то можно найти такую дробь $a/q$, что $a \equiv v\pmod{p}$, $q \equiv -u \pmod{p}$, сохранив оценку на $q$. Теорема 5. Пусть имеется $\varepsilon > 0$. Тогда найдутся $\varepsilon_1 > 0$, $ M > 0$, зависящие только от $\varepsilon$, такие, что для любых существуют $a, q \in \mathbb{N}\colon q=O_\varepsilon(p^{2+\varepsilon})$, $q \equiv -u \pmod{p}$, $a \equiv v \pmod{p}$, $(a, q)=1$ и все неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены сверху числом $M$. Перед тем как доказывать сформулированные выше теоремы 4, 5, мы проиллюстрируем наши методы на более простом известном примере (см., например, [17; теорема 2]). А именно, теперь зафиксируем $M=2$ и попробуем получить оценку на $q \in \mathcal{Q}$, $q \equiv u \pmod{p}$. Теорема 6. Существует абсолютная константа $C > 0$ такая, что для любого простого $p$ и $u \in \{ 0, 1, \dots, p-1 \}$ существуют $q=O(p^C)$, $q \equiv u \pmod{p}$ и $a \in \mathbb{N}$ такие, что $(a, q)=1$ и все неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены двойкой. Мы приведем новое доказательство этой теоремы, используя следующий факт, справедливый для подмножеств $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ произвольного вида, вместо работы с конкретными порождающими множествами. Важным здесь будет являться одно наблюдение о росте в подгруппе $\mathcal{B}\,{\subset}\, \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ матриц вида $\begin{pmatrix} \lambda &u \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix}$ (см. лемму 7). Теорема 7. Пусть $c \in \mathbb{F}_p$ произвольное и $A \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ таково, что $A \nsubseteq \mathcal{B}$ и $|A| \gg p^{1+\delta}$. Тогда для всех $n \gg 1/\delta$: 1.1. Необходимые определенияВначале напомним стандартную терминологию аддитивной комбинаторики. Пусть $G$ – группа и $A, B \subset G$ – конечные непустые подмножества. $\bullet$ Мы обозначаем характеристическую функцию $A \colon G \to \{ 0, 1 \}$ множества $A$ той же буквой. $\bullet$ Произведение Минковского $AB=\{ x \in G\mid \exists\, a \in A,\ \exists\, b \in B\colon x=ab \}$. Аналогично определяются кратные произведения, например $A^3=AAA$. Кроме того, $A^{-1}=\{ a' \in G\mid \exists\, a \in A\colon a'=a^{-1} \}$. $\bullet$ Для $n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}_n$ положим $e_n(x)=\exp(2\pi i x/n)$. $\bullet$ Для каждого простого $p$ выберем некоторый первообразный корень $\xi$. Тогда для каждого $x \in \mathbb{F}_p^*$ существует единственное число $\operatorname{ind}x\in \{ 0, 1, \dots p-2 \}$: $x=\xi^{\operatorname{ind}x}$, которое называется индексом элемента $x$. Для любых комплексных матриц $X, Y \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{C})$ используем обозначения: $\bullet$ $\langle X, Y \rangle=\operatorname{tr}(XY^*)$ – скалярное произведение Гильберта–Шмидта; $\bullet$ $\|X\|=\sqrt{\langle X, X\rangle}$; $\bullet$ $\|X\|_{\mathrm{op}}=\max_{v \neq 0}(|Xv|/|v|)$ – операторная норма (здесь $|\cdot|$ – евклидова норма). Для произвольной конечной группы $G$ введем следующие обозначения из теории представлений и анализа Фурье на группах (см. [18]). $\bullet$ $\widehat G$ – некоторое максимальное множество неприводимых попарно неизоморфных унитарных представлений группы $G$. $1 \in \widehat G$ – единичное представление. Для $\rho \in \widehat G $ обозначим через $ d_\rho$ размерность представления $\rho$. $\bullet$ $\forall\, f, h \in L_2(G), g \in G\colon (f * h)(g)=\sum_{t \in G}f(t)h(t^{-1}g)$ – свертка. $\bullet$ $\widehat f(\rho)=\sum_{g \in G}f(g)\rho(g)$, $f \in L_2(G)$, $\rho \in \widehat G$ – преобразование Фурье. $\bullet$ $\|A\|_{\mathrm{op}}=\max_{\rho \neq 1}\|\widehat A(\rho)\|_{\mathrm{op}}$ – максимум операторных норм коэффициентов Фурье подмножества $A$ некоторой группы. $\bullet$ $d_{\min}=d_{\min}(G)$ – минимальная размерность нетривиального неприводимого представления $G$. По теореме Фробениуса (см., например, [18; гл. 1, § 5])
$$
\begin{equation}
d_{\min}(\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p))=\frac{p-1}{2}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Напомним классические неравенства (см. [11]):
$$
\begin{equation}
\| XY\| \leqslant \|X\|_{\mathrm{op}} \,\|Y\|, \qquad \|X\|_{\mathrm{op}} \leqslant \|X\|.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Кроме того, для нормы Гильберта–Шмидта также справедливо неравенство Коши–Буняковского В центре нашего внимания будет группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Определим некоторые подмножества $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$: $\bullet$ $\mathcal{B}=\mathcal{B}(p)=\biggl\{ \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \Bigm| a, b, d \in \mathbb{F}_p \biggr\}$ – борелевская подгруппа; $\bullet$ $\mathcal{U}=\mathcal{U}(p)=\biggl\{ \begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)\Bigm| b \in \mathbb{F}_p \biggr\}$ – унипотентная подгруппа; $\bullet$ для любого $p$ зафиксируем некоторый квадратичный невычет $\varepsilon \in \mathbb{F}_p$ и определим $K_\varepsilon=K_\varepsilon (p)=\biggl\{ \begin{pmatrix}x & \varepsilon y \\ y & x\end{pmatrix}\in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)\Bigm| x^2-\varepsilon y^2=1 \pmod{p} \biggr\}$ – циклическая подгруппа; $\bullet$ $\Omega_c=\biggl\{ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \Bigm| a, b, d \in \mathbb{F}_p \biggr\}$ – множество матриц вида $\begin{pmatrix}* & * \\ c & *\end{pmatrix}$ из $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$; $\bullet$ $\Omega^a_c=\biggl\{ \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \Bigm| b, d \in \mathbb{F}_p \biggr\}$ – множество матриц вида $\begin{pmatrix}a & * \\ c & *\end{pmatrix}$ из $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$; $\bullet$ $E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ – единичная матрица. Наконец, воспроизведем терминологию цепных дробей (см. [10]). $\bullet$ Для $b_0 \in \mathbb{Z}$, $b_1, \dots, b_k \in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
[b_0; b_1, \dots, b_k]=b_0+\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\dots+ \cfrac{1}{b_k}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ Пусть $r \in \mathbb{Q}$. Тогда существуют единственные $k=k(r)$, $b_0=b_0(r)$, $b_1=b_1(r), \dots, b_k=b_k(r) > 1$ такие, что $r= [b_0; b_1, \dots, b_k]$. Кроме того, числитель и знаменатель подходящих дробей будем обозначать $p_t=p_t(r)$, $q_t=q_t(r)$, $t=0, \dots, k$. Таким образом, ${p_t}/{q_t}=[b_0; b_1, \dots, b_t]$. $\bullet$ Для $Q, M \in \mathbb{N}$ обозначим $F_M=\{ r \in \mathbb{Q} \cap (0, 1)\mid\forall\, i\ b_i(r) \leqslant M \}$ – множество дробей с неполными частными ограниченными $M$. Также
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_M(Q)=\biggl\{ \frac{p}{q} \in F_M\Bigm| (p, q)=1, \ q < Q \biggr\}, \\ \mathcal{Q}_M=\biggl\{ q \in \mathbb{N} \Bigm| \exists\, p\colon (p, q)=1,\ \frac{p}{q} \in F_M\biggr \}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, гипотеза Зарембы утверждает, что для некоторого $M$ выполнено $\mathcal{Q}_M=\mathbb{N}$. Напомним формулы, связывающие числители и знаменатели подходящих дробей (см. [10; теоремы 1, 2, 6]). Первая из них является ключевой для нас, поскольку выражает определитель матрицы $\begin{pmatrix} p_{t-1} & p_t \\ q_{t-1}& q_t \end{pmatrix}$ из числителей и знаменателей подходящих дробей: Закон образования подходящих дробей:
$$
\begin{equation}
p_t=b_t p_{t-1}+p_{t-2},\qquad q_t=b_t q_{t-1}+q_{t-2}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Для отношений числителей и отношений знаменателей подходящих дробей выполнены следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\frac{q_t}{q_{t-1}}=[b_t; b_{t-1}, \dots, b_1],\qquad \frac{p_t}{p_{t-1}}=[b_t; b_{t-1}, \dots, b_2].
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Будем использовать стандартные символы Виноградова $\ll$ и $\gg$, а также терминологию Ландау $O$, $o$. Пишем $f \asymp g$, если $f \ll g$, $ g \ll f$. Кроме того, записи $\ll_l$, $\gg_l$, $\asymp_l$ означают, что неравенства выполнены с точностью до мультипликативных констант, которые зависят только от $l$. 1.2. Рост в $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ и анализ ФурьеПриведем базовые формулы анализа Фурье в конечных неабелевых группах (см., например, [18]). Пусть $f, g \in L_2(G)$ – функции на группе, $|G| < \infty$. Тогда справедливы формулы
$$
\begin{equation}
\langle f, f \rangle=\sum_{x \in G}|f(x)|^2=\frac{1}{|G|}\sum_{\rho \in \widehat G} d_\rho \|\widehat f(\rho)\|^2,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$$
\begin{equation}
\langle f, g \rangle=\sum_{x \in G}f(x) \overline{g(x)}=\frac{1}{|G|}\sum_{\rho \in \widehat G} d_\rho \langle \widehat f(\rho), \widehat g(\rho) \rangle,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
$$
\begin{equation}
\forall\, g \in G\colon f(g)=\frac{1}{|G|}\sum_{\rho \in \widehat G} d_\rho \langle \widehat f(\rho), \rho(g^{-1}) \rangle.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Формула (1.7) известна как равенство Парсеваля, (1.8) – формула Планшереля, (1.9) – формула обращения. Отметим еще одно важное равенство: Если $f$ и $g$ – характеристические функции множеств $A$ и $B$, то $(f*g)(x)$ равно числу представлений $x=ab$, $a \in A$, $b \in B$. Таким образом, носитель свертки совпадает с произведением Минковского множеств. Это свойство определяет важную роль методов анализа Фурье в аддитивной комбинаторике. Докажем классическую лемму анализа Фурье в конечных группах. Лемма 1. Пусть $G$ – конечная группа, $X \subset G$ и $\rho$ – неприводимое унитарное представление $G$ размерности $d$. Тогда $\|\widehat X(\rho)\|_{\mathrm{op}} \leqslant \|\widehat X(\rho)\| \leqslant \sqrt{|X|\,|G|/d}$. Доказательство. Выберем некоторую полную систему неприводимых унитарных попарно неизоморфных представлений $\widehat G$ такую, что $\rho \in \widehat G$. По формуле Парсеваля (1.7) откуда после перенесения множителей и извлечения корня сразу получаем заявленное. Лемма доказана. Как известно, аналитические методы позволяют получать нетривиальные результаты только для достаточно больших подмножеств группы. Приведем простое доказательство из [17] следующей теоремы, которая приводит достаточное условие роста произведения трех множеств до всей группы при достаточно больших мощностях множеств. Это частный случай результата Гауэрса (см. [5; теорема 3.3]) Теорема 8. Если $X, Y, Z \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ таковы, что то $XYZ=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Доказательство. Достаточно доказать для произвольного $g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, что $(X*Y*Z)(g) \neq 0$. Применим формулу обращения (1.9):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |G|(X*Y*Z)(g) &= \sum_{\rho \in \widehat G}d_U\langle \widehat{(X*Y*Z)}(\rho), \rho(g^{-1})\rangle \\ & =\bigl|X\|Y\|Z\bigr|+\sum_{\rho \in \widehat G \setminus \{ 1 \}}d_\rho\bigl\langle \widehat X(\rho) \widehat Y(\rho) \widehat Z(\rho), \rho(g^{-1})\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим модуль суммы, используя неравенства (1.2), (1.3) и равенство $\|\rho(g)\|_{\mathrm{op}}=1$:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{\rho \in \widehat G \setminus \{ 1 \}}d_\rho\bigl\langle \widehat X(\rho) \widehat Y(\rho) \widehat Z(\rho), \rho(g^{-1})\bigr\rangle \biggr|\leqslant \|X\|_{\mathrm{op}} \sum_{\rho \in \widehat G \setminus \{ 1 \}}d_\rho \|Y(\rho)\|\,\|Z(\rho)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим неравенство Коши–Буняковского, равенство Парсеваля, а также оценку из леммы 1:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|X\|_{\mathrm{op}} \sum_{\rho \in \widehat G \setminus \{ 1 \}}d_\rho \|Y(\rho)\|\,\|Z(\rho)\| \leqslant \sqrt{\frac{|X| \,|G|}{d_{\min}}} \biggl(\sum_{\rho \neq 1}d_\rho \|Y(\rho)\|^2 \sum_{\rho \neq 1}d_\rho \|Z(\rho)\|^2\biggr)^{1/2} \\ &\qquad < \sqrt{\frac{|X| \,|Y|\, |Z|\, |G|^3}{d_{\min}}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что при $|X|\,|Y|\,|Z| \geqslant 2q^3(q+1)^3(p-1)^2$ выполнено $\sqrt{\|X| \,|Y|\, |Z|\, |G|/d_{\min}} \leqslant |X| \,|Y|\, |Z|$, откуда получаем $(X*Y*Z)(g) \neq 0 $, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается следующий факт (см [17; лемма 4]). Теорема 9. Пусть $X_1, X_2, \dots, X_n \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, $|X_1|\, |X_2| \dotsb |X_n| \gg_n p^{2n+2}$. Тогда $X_1 X_2 \dotsb X_n=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. 1.3. Цепные дроби с ограниченными неполными частнымиМы будем активно пользоваться известными оценками на $|F_M(Q)|$ через размерность Хаусдорфа $\omega_M$ множества $F_M$. Сформулируем результат из [9]. Лемма 2. В обозначения выше имеем $|F_M(Q)|\asymp_M Q^{2\omega_M}$, причем $\omega_M \to 1$ при $ M \to \infty$. Нам также потребуется приближенное значение $\omega_2$, посчитанное в [12]: Свяжем теперь цепные дроби с группой $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, как это делали раньше, например, в [1], [20] и [17]. Пусть простое $p$ и число $Q < p$ – параметры. Каждое $r \in F_M(Q)$ представим в виде подходящей дроби $r={p_k}/{q_k}= [0; b_1, \dots, b_k]$ и определим матрицу $g(r)=\begin{pmatrix} p_{k-1} &p_k\\ q_{k-1} &q_k\end{pmatrix} \in \mathrm{GL_2}(\mathbb{F}_p)$. Легко доказать, что
$$
\begin{equation}
g(r)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & b_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1& b_2\end{pmatrix} \dotsb \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & b_k\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Поскольку $Q < p$, то отображение $g$ инъективно. В силу (1.4) $g(r) \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ $\Leftrightarrow$ $2 \mid k$. Мы отбросим все такие $r$, что $k(r)$ нечетно и будем работать с оставшимися, не слишком уменьшая размер множества. Действительно, если обозначить
$$
\begin{equation*}
F_M^{\mathrm{even}}(Q)=\biggl\{ \frac{p}{q} \in F_M\colon (p, q)=1, \ q \leqslant Q, \ k\biggl(\frac{p}{q}\biggr) \ \vdots \ 2 \biggr\} \subset F_M(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
то мы получим неравенство $|F_M^{\mathrm{even}}(Q)| \geqslant |1/(M+1)F_M(Q)|$, поскольку если $p_{2k+1}/(q_{2k+1}) \notin F_M^{\mathrm{even}}(Q)$, то оно восстанавливается по предыдущей подходящей дроби из $F_M^{\mathrm{even}}$ и последнему неполному частному, которое может принимать $M$ значений, поскольку $g\biggl(\dfrac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}\biggr)=g\biggl(\dfrac{p_{2k}}{q_{2k}}\biggr)\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & b\end{pmatrix}$ для некоторого $b \in \{ 1, 2, \dots, M \}$. Значит (см. лемму 2), Соответственно, определим
$$
\begin{equation}
A=A_M(Q)=g(F_M^{\mathrm{even}}(Q)) \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
и будем далее работать с этим множеством. Наконец, отметим, что если произведение множеств $A_M(Q_1), A_M(Q_2), \dots, A_M(Q_n)$ пересекает некоторое подмножество $\Omega \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, то из этого можно получить включение в $\Omega$ по модулю $p$ матрицы $\begin{pmatrix} p_{s-1} &p_s\\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix}$, составленной из числителей и знаменателей подходящих дробей рационального числа ${p_s}/{q_s}$, у которого неполные частные ограничены $M$, причем $q_s$ можно оценить через $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$. Об этом говорит следующая лемма. Лемма 3. Пусть для некоторого $g=\begin{pmatrix} \alpha& \beta \\ \gamma &\delta\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ и множеств $A_M(Q_1), A_M(Q_2), \dots, A_M(Q_n)$ имеем $g \in A_M(Q_1)A_M(Q_2)\dotsb A_M(Q_n)$. Тогда существует пара чисел $a, q \in \mathbb{N}$ такая, что причем неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены $M$. Аналогичное утверждение будет верно, если заменить $a=\alpha \pmod{p}$, $q= \gamma\pmod{p}$ на $a=\beta \pmod{p}$, $q=\delta\pmod{p}$. Доказательство. Пусть для матриц ${\begin{pmatrix}p_{k_i-1} &p_{k_i} \\ q_{k_i-1} &q_{k_i}\end{pmatrix}}{\in}\, A_M(Q_i)$, $i\,{\in}\, \{ 1, 2, \dots, n \}$, верно при этом $p_{k_i}/q_{k_i}=[0; b_1^i, \dots, b_{k_i}^i]$ (здесь индекс мы пишем сверху). Рассмотрим теперь произведение указанных выше матриц как матриц над $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$:
Несложные неравенства для элементов матриц позволят установить Кроме того, из (1.15) следует
$$
\begin{equation*}
p_s \equiv \beta \pmod {p}, \qquad q_s \equiv \delta \pmod{p},
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
\frac{p_s}{q_s}=[0; b_1^1, \dots, b_{k_1}^1, b_1^2, \dots, b_{k_2}^2, \dots b_1^k, \dots, b_{k_n}^n ],
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, ${p_s}/{q_s} \in F_M$, поскольку все числа $b_i^j$ ограничены $M$.
Таким образом, пара $a=p_s$, $q=q_s$ удовлетворяет условиям и второе утверждение леммы доказано. Аналогично устанавливается ее первая часть. Лемма доказана.1.4. Решения линейных уравнений в $A$Принадлежность элементов $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ некоторым подгруппам $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ задается линейным однородным уравнением в $\mathbb{F}_p$ над элементами матрицы. Например,
$$
\begin{equation*}
g=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \mathcal{B} \quad\Longleftrightarrow \quad c=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, оценка сверху на число решений линейных уравнений над $p_{s-1}$, $q_{s-1}$, $p_s$, $q_s$ поможет нам оценить мощность пересечения $A$ с некоторыми подгруппами. Нам понадобится Лемма 4. Пусть $24Q^4 < p$, $A=A_M(Q)$ и $f$ – ненулевая линейная функция, определяемая формулой Тогда $|\{ g \in A\colon f(g)=0 \}| \leqslant M Q^{1+o(1)}$ при $p \to \infty$. Доказательство. Мы оцениваем количество решений уравнения
$$
\begin{equation}
\alpha p_{s-1}+\beta p_s+\gamma q_{s-1}+\delta q_s=0 \pmod{p}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
для $\begin{pmatrix}p_{s-1}&p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix}{\in}\, A$. Покажем, что если гиперплоскость (1.16) содержит по крайней мере три элемента множества $A$, то, рассматривая наши коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma, \delta\,{\in}\, \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ как целые числа, можно считать, что $\alpha, \beta, \gamma, \delta\,{\in}\, (-3Q^3, 3Q^3)$. Действительно, если найдутся такие три матрицы $\begin{pmatrix}p_{s_i-1}^i &p_{s_i}^i \\ q_{s_i-1}^i &q_{s_i}^i\end{pmatrix}{\in}\, A$, $i\,{\in}\, \{ 1, 2, 3 \}$, удовлетворяющие (1.16), то для любой матрицы $g=\begin{pmatrix}x &y \\ z &w\end{pmatrix}$ из $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ такой, что $ f(g)=0$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{vmatrix} p_{s_1-1}^1 & p_{s_1}^1 & q_{s_1-1}^1 & q_{s_1}^1 \\ p_{s_2-1}^2 & p_{s_2}^2 & q_{s_2-1}^2 & q_{s_2}^2 \\ p_{s_3-1}^3 & p_{s_3}^3 & q_{s_3-1}^3 & q_{s_3}^3 \\ x & y & z & w \end{vmatrix}=0.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Положив
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha'=-\begin{vmatrix} p_{s_1}^1 & q_{s_1-1}^1 & q_{s_1}^1 \\ p_{s_2}^2 & q_{s_2-1}^2 & q_{s_2}^2 \\ p_{s_3}^3 & q_{s_3-1}^3 & q_{s_3}^3 \end{vmatrix}, \qquad \beta'=\begin{vmatrix} p_{s_1-1}^1 & q_{s_1-1}^1 & q_{s_1}^1 \\ p_{s_2-1}^2 & q_{s_2-1}^2 & q_{s_2}^2 \\ p_{s_3-1}^3 & q_{s_3-1}^3 & q_{s_3}^3 \end{vmatrix}, \\ \gamma'=-\begin{vmatrix} p_{s_1-1}^1 & p_{s_1}^1 & q_{s_1}^1 \\ p_{s_2-1}^2 & p_{s_2}^2 & q_{s_2}^2 \\ p_{s_3-1}^3 & p_{s_3}^3 & q_{s_3}^3 \end{vmatrix}, \qquad \delta'=\begin{vmatrix} p_{s_1-1}^1 & p_{s_1}^1 & q_{s_1-1}^1 \\ p_{s_2-1}^2 & p_{s_2}^2 & q_{s_2-1}^2 \\ p_{s_3-1}^3 & p_{s_3}^3 & q_{s_3-1}^3 \end{vmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
мы получим новое описание данной гиперплоскости в виде (1.16), причем из явной формулы для определителей легко выводятся оценки поскольку $0 < p_{s-1}, p_s, q_{s-1}, q_s < Q$ для $\begin{pmatrix}p_{s-1}&p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix} \in A$.
Теперь заметим, что если равенство (1.16) справедливо для $\begin{pmatrix}p_{s-1} &p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix} \in A$ в $\mathbb{F}_p$, то это же равенство верно и в $\mathbb{Z}$ в силу $24Q^4 < p$ и (1.18). Поскольку $f$ – ненулевая линейная функция, то один из данных коэффициентов отличен от нуля. Мы будем считать, что $\alpha' \neq 0$, в остальных случаях рассуждения аналогичны. Тогда мы можем выразить $p_{s-1}=(1+p_sq_{s-1})/{q_s}$ и подставить в (1.16). Далее, после добавления и вычитания слагаемого ${\beta' \gamma'}/{\alpha'}$ сгруппируем подобные члены:
$$
\begin{equation}
(\beta' q_s+\alpha 'q_{s-1})(\gamma' q_s+\alpha ' p_s)=-\alpha'^2+(\beta' \gamma'- \alpha' \delta') q_s^2.
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Зафиксируем $q_s$ и покажем, как восстановить всю цепную дробь с помощью полученного равенства (1.19). Если правая часть (1.19) отлична от нуля, то мы можем представить ее в виде произведения двух целых чисел $N K$, где $N=\beta' q_s+\alpha 'q_{s-1}$, $K=\gamma' q_s+\alpha ' p_s$, не более $Q^{o(1)}$ способами, это следует из известной оценки на функцию числа делителей. В свою очередь, $p_s$ легко восстанавливается по $K$: $p_s=(K-\gamma' q_s)/\alpha$. Таким образом, не более $Q^{1+o(1)}$ элементов множества $A$ удовлетворяют (1.16), поскольку $q_s \in [0, Q-1]$.
Наконец, если правая часть (1.19) равна нулю, то либо $q_{s-1}=-({\beta'}/{\alpha'})q_s$, либо $p_s=({\gamma'}/{\alpha'}) q_s$, а по каждой из пар $(q_{s-1}, q_s), (p_{s-1}, p_s)$ можно однозначно восстановить цепную дробь по (1.6). Таким образом, в этом случае не более $2Q$ элементов множества $A$ удовлетворяют (1.16), и тем самым лемма доказана. Скажем несколько слов относительно оставшихся случаев. Если единственным ненулевым коэффициентом среди $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, $\delta'$ окажется, например, $\delta'$, то после аналогичных вычислений нам нужно будет восстанавливать цепную дробь по $p_{s-1}$, $q_{s-1}$, что в силу (1.5) можно сделать не более $M$ способами. Отсюда в заключении леммы возникает множитель $M$. Лемма доказана. Мы можем избавиться от ограничения $24Q^4 < p$ и получить более слабую оценку на количество решений уравнения $(1.16)$. Следствие 1. Пусть $Q < p$, $A=A_M(Q)$ и $f$ – ненулевая линейная функция на $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, задаваемая формулой Доказательство. Определим
$$
\begin{equation*}
A_{1/4}=A_M\biggl(\frac{1}{3}Q^{1/4}\biggr), \qquad A_{3/4}=A_M(12 M^2 Q^{3/4}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $ A=A_M(Q) \subset A_{1/4} A_{3/4}$. Заметим, что для любой матрицы $r \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ функция $f_r(g)=f(rg)$ также будет линейной и нетривиальной. Это дает нам право применить лемму 4 и записать следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\{ g \in A\colon f(g)=0 \}| &\leqslant |\{ (g, r) \in A_{1/4} \times A_{3/4}\colon f_{r^{-1}}(g)=0 \}| \\ & \leqslant |A_{3/4}| Q^{(1+o(1))/{4}} \asymp_M |A| Q^{(1-2\omega_M+o(1))/{4}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где для оценки мощности $|A_{3/4}|$ мы пользуемся асимптотической формулой (1.13), а также (1.14), из которых следует Тем самым мы доказали соотношение (1.20). Чтобы получить из него (1.21), снова воспользуемся (1.13) и (1.14):
$$
\begin{equation*}
|A| Q^{(1-2\omega_M+o(1))/{4}} \asymp_M |A|^{1-(2 \omega_M-1)/(8 \omega_M)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что при наших ограничениях $\omega_M \in (0.53, 1)$ (см. лемму 2 и соотношение (1.11)) справедливо неравенство $(2 \omega_M-1)/(8 \omega_M)>0.06/{8} > 0.005$, таким образом, мы можем положить $c_1=0.005$, хотя более точные неравенства позволяют установить $(2 \omega_M-1)/(8 \omega_M) > 0.01$. Следствие доказано. Нельзя не упомянуть здесь общие результаты о решении линейных уравнений в порождающих множествах. В статье [6] Хельфготт связал рост симметричного порождающего подмножества $C \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ с мощностью множества $|\operatorname{tr}(C)|$ (см. [6; п. 4]). Поэтому дальнейшее исследование решений линейных уравнений в порождающих множествах могло бы помочь нам лучше понять рост в $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. 1.5. Пересечения $A$ с подгруппами $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$Цель этого пункта – доказать нетривиальную оценку на $\|A_M(Q)\|_{\mathrm{op}}$ для всех таких чисел $Q$, что $p^c < Q < p$. Нам потребуются некоторые факты о подгруппах $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Напомним классическую теорему Диксона (см. [3], [4]). Теорема 10. Пусть $H$ – некоторая максимальная по включению собственная подгруппа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Тогда $H$ изоморфна одной из следующих подгрупп: При этом изоморфизм осуществляется сопряжением. Заметим, что и диэдральная, и дициклическая подгруппы являются объединением двух смежных классов циклических подгрупп, поэтому уместно ввести в рассмотрение максимальные циклические подгруппы, какой, например, является $K_\varepsilon$. Такие подгруппы, а также борелевские подгруппы, сопряжениями элементами $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ можно привести в более удобный вид, о чем говорит, например, следующая лемма (см. [16; теорема 12, лемма 13]). Лемма 5. Пусть $H$ – некоторая максимальная по включению циклическая подгруппа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Тогда верно одно из двух утверждений: Кроме того, если $B$ – некоторая борелевская подгруппа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, то она сопряжена некоторым элементом $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ стандартной борелевской подгруппе $\mathcal{B}$. Конечная группа $G$ называется $d$-квазислучайной, если $d_{\min}(G) \geqslant d$. А. Гамбурд и Ж. Бурган показали в [2], что если в квазислучайной группе, в которой для всех порождающий множеств $X$ имеет место рост $|X^3|\,{\gg}\min(|G|, |X|^{1+c})$ для некоторой положительной константы $c$, и подмножество $A$ обладает нетривиальной оценкой сверху на пересечение с произвольным смежным классом вида $|A|^{1-\delta}$, то оно равномерно, т.е. $\|A\|_{\mathrm{op}} \ll |A|^{1-\varepsilon (\delta)}$. Сформулируем этот факт в удобном для нас виде (см. [21; теорема 49], а также теорема 13 и равенство (1.1)). Теорема 11. Пусть для некоторого $\delta > 0$ имеется непустое $A \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ такое, что для любой собственной подгруппы $H < \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ и $h \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ выполнено Тогда $\|A\|_{\mathrm{op}} \ll |A|^{1-\varepsilon (\delta)}$ для некоторого $\varepsilon (\delta) > 0$. Таким образом, чтобы доказать оценку на $\|A_M(Q)\|_{\mathrm{op}}$, нам достаточно получить оценку (1.22), что мы и сделаем в следующей лемме. Лемма 6. Пусть $H$ – произвольная собственная подгруппа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, $h \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, $c > 0$. Тогда для некоторой константы $\varepsilon=\varepsilon (c)$ имеет место оценка (1.22) для $A=A_M(Q)$, $Q \gg p^c$. Доказательство. В силу теоремы 10 и леммы 5 нам достаточно оценить $|A \cap g\mathcal{B}h|$ и $|A \cap g K_\varepsilon h|$ для произвольных матриц $g, h \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Действительно, все борелевские подгруппы $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ имеют вид $h^{-1}\mathcal{B}h$, и очевидная замена $g h^{-1}$ $\longleftrightarrow$ $g$ показывает, что $g\mathcal{B}h$ – общий вид смежных классов борелевских подгрупп. Аналогично рассуждая относительно диэдральной и дициклической подгрупп и вспоминая, что каждая из них является объединением двух смежных классов циклической подгруппы, мы убеждаемся, что достаточно оценить $|A \cap g K_\varepsilon h|$.
Начнем с борелевской подгруппы $\mathcal{B}$. Запишем $g^{-1}\,{=}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$, $h^{-1}\,{=}\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$. Тогда мощность пересечения $|A_M(Q) \cap g\mathcal{B}h|$ равна числу решений уравнения для $\begin{pmatrix}p_{s-1} &p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix}{\in}{\kern1pt} A_M(Q)$, что эквивалентно $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{s-1} &p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta\end{pmatrix} {\in}{\kern1pt} \mathcal{B}$. Напомним, что мы определили $\mathcal{B}$ как подгруппу верхнетреугольных матриц. Таким образом, нас интересует мощность пересечения $A$ с гиперплоскостью, задаваемой уравнением Поскольку матрицы $g, h$ невырождены, не все коэффициенты линейного уравнения (1.23) нулевые, и по (1.20) из следствия 1 получаем (1.22).Перейдем теперь к случаю подгруппы $K_\varepsilon$. Можно было бы получить константную оценку на $|A \cap g K_\varepsilon h|$ с помощью методов из [16], но нам хватит более слабой оценки: мы воспользуемся только равенством левого верхнего и правого нижнего элементов $K_\varepsilon$. Несложные подсчеты показывают, что условие равенства левого верхнего и правого нижнего элементов
$$
\begin{equation*}
\biggl( g^{-1}\begin{pmatrix}p_{s-1} &p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix}h^{-1}\biggr)_{11} =\biggl( g^{-1}\begin{pmatrix}p_{s-1} &p_s \\ q_{s-1} &q_s\end{pmatrix}h^{-1}\biggr)_{22},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(X)_{ij}$ – элемент и индексами $i$ и $j$ матрицы $X$, эквивалентно
$$
\begin{equation*}
(\alpha a-\beta c)p_{s-1}+(\alpha b-\beta d) q_{s-1}+(\gamma a-\delta c) p_s+(\gamma b-\delta d) q_s=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты данного уравнения являются элементами невырожденной матрицы $\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\ \gamma &-\delta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$, поэтому мы снова можем применить следствие 1 и завершить доказательство леммы. Собирая вместе теорему 11 и лемму 6, получаем Следствие 2. Пусть $Q \gg p^c$ для некоторого $c > 0$. Тогда $\|A_M(Q)\|_{\mathrm{op}} \ll_M |A_M(Q)|^{1-\varepsilon}$, где $\varepsilon$ зависит только от $c$. § 2. Приложения к гипотезе ЗарембыВ этом параграфе мы получим наши основные приложения к гипотезе Зарембы. Начнем с более простой в техническом плане теоремы 6. Затем мы перейдем к теореме 4 о существовании знаменателя цепной дроби из $F_M$ с фиксированным остатком по модулю $p$, ограниченного по порядку $p^{2+\varepsilon}$. Здесь нам понадобится следствие 2, а также сведения о росте нашего множества $A$ при домножении на $\Omega_u$ и $\mathcal{U}$, см. леммы 8 и 9. Наконец, мы установим справедливость теоремы 5, где дополним метод доказательства теоремы 4, используя идею о том, что два взаимно простых натуральных числа можно интерпретировать как последовательные знаменатели подходящих дробей некоторой цепной дроби. 2.1. Доказательство теорем 7 и 6Воспользуемся классификацией представлений $\mathcal{B}$. Далее мы будем пользоваться обозначениями из теоремы 12. Теорема 12. Существует полная система неприводимых унитарных попарно неизоморфных представлений группы $\mathcal{B}$: $\chi_a$, $a \in \mathbb{F}_p^*$, и $\pi_1, \dots, \pi_4$. При этом для всех $g=\begin{pmatrix}\lambda &u \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix}\in \mathcal{B}$ $\chi_a(g)=e_{p-1}(a \ \operatorname{ind} (\lambda))$ и $\pi_i$, $i=1,2,3,4$, имеют размерность $(p-1)/{2}$. Будем использовать результаты о росте симметричных порождающих множеств в $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, которые изначально были установлены Х. Хельфготтом в [6], а потом улучшены Э. Ковальски в [14] и далее М. Рудневым и И. Д. Шкредовым в [19]. В [19; теорема 2] авторы избавились от условия симметричности множества. Теорема 13. Пусть $X \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$, $|X| \ll p^{2+{2}/{15}}$ и $X$ порождает $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Тогда $|X^3| \gg |X|^{1+{1}/{24}}$. Отметим, что если не заботиться о точных числовых значениях, то достаточно оценки $|X^3| \gg |X|^{1+c}$ для некоторого $c > 0$, но для наглядности мы формулируем именно такой факт. Лемма 7. Пусть имеется $X \subset \mathcal{B}$, причем $|X| \geqslant 4 p^{1+{2}/{n}}$. Тогда для любого $u \in \mathbb{F}_p$ найдется $\lambda \in \mathbb{F}_p^*\colon \begin{pmatrix}\lambda &u \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix}\in X^n$. Доказательство. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl\{\begin{pmatrix}\lambda &u \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix}\Bigm|\lambda \in \mathbb{F}_p \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда нам необходимо и достаточно показать, что $X^n \cap \Gamma \neq \varnothing$. В терминах скалярного произведения функций на группе это условие можно записать как
$$
\begin{equation}
\langle \underbrace {X*X*\dots *X}_n, \Gamma \rangle \neq 0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для всех нетривиальных одномерных представлений $\chi_a, a \in \mathbb{F}_p^* \setminus \{ 0 \}$ (см. лемму 12), поскольку элемент $a \lambda$ пробегает в точности $\mathbb{F}_p^*$, имеем Используя тождество Планшереля (1.8) и равенство (2.2), получаем
$$
\begin{equation*}
\langle \underbrace {X*X*\dots *X}_n, \Gamma \rangle=\frac{1}{|\mathcal{B}|}\biggl( (p-1)|X|^n +\sum_{i=1}^4\frac{p-1}{2}\langle (\widehat X (\pi_i))^n, \Gamma(\pi_i)\rangle \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
здесь мы выделили главный член, соответствующий $\rho=1$. Нам теперь осталось оценить правую часть полученного равенства так, чтобы вся сумма была отлична от 0. Применяя несколько раз (1.2), (1.3) и оценку из леммы 1, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{p-1}{2}\biggl|\sum_{i=1}^4\langle (\widehat X (\pi_i))^n, \Gamma(\pi_i)\rangle \biggr| \leqslant 4 \frac{p-1}{2}\biggl(\frac{2|X|\,|\mathcal{B}|}{p-1}\biggr)^{n/2}\sqrt{\frac{2|\Gamma|\,|\mathcal{B}|}{p-1}} \\ &\qquad =2^{(n+1)/{2}+1}(p-1)^{{3}/{2}}p^{(n+1)/{2}} |X|^{{n}/{2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось использовать неравенство $|X| \geqslant 4 p^{1+{2}/{n}}$, из которого теперь вытекает
$$
\begin{equation*}
\frac{p-1}{2}\biggl| \sum_{i=1}^4\langle (\widehat X (\pi_i))^n, \Gamma(\pi_i)\rangle \biggr| < (p-1)|X|^n,
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет (2.1) и завершает доказательство леммы. Докажем теперь теорему 7. Доказательство теоремы 7. Зафиксируем некоторый элемент $u_0 \in \mathbb{F}_p$ и докажем, что при $n \gg {1}/{\delta}$ в множестве $A^n$ будет содержаться элемент вида $\begin{pmatrix}* &* \\ -u_0 &*\end{pmatrix}$, т.е. $A^n \cap \Omega_{-u_0} \neq \varnothing$. Обозначим $\Omega:=\Omega_{-u_0}$. В силу теоремы 10 мы можем рассмотреть два случая.
Случай 1. $A$ не порождает всю группу $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ и $A \subset \mathcal{B}_g:=g^{-1}\mathcal{B}g$ для некоторого $g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Поскольку $A \nsubseteq \mathcal{B}$, имеем $g \notin \mathcal{B}$ и $g$ раскладывается как
$$
\begin{equation*}
g=b \omega \begin{pmatrix}1 &v \\ 0 &1\end{pmatrix}, \qquad b \in \mathcal{B}, \qquad \omega=\begin{pmatrix}0 &1\\ -1 &0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что для всех $g \notin \mathcal{B}$ такое представление существует и, более того, единственно. Таким образом, любой элемент $\mathcal{B}_g$ единственным образом представляется в виде произведения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix}-v &-1 \\ 1 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda &u \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 &1 \\ -1 &-v\end{pmatrix} \\ &\qquad=\begin{pmatrix}\lambda^{-1}+uv &-\lambda v+v^2 u+\lambda^{-1}v \\ -u &\lambda-uv\end{pmatrix}, \qquad \lambda \in \mathbb{F}_p^*, \quad u \in \mathbb{F}_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Иначе говоря,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_g=\biggl\{ \begin{pmatrix}\lambda^{-1}+uv &-\lambda v+v^2 u+\lambda^{-1}v \\ -u &\lambda-uv\end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \mathbb{F}_p^*, u \in \mathbb{F}_p \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\Gamma:=\Omega \cap \mathcal{B}_g=\biggl\{ \begin{pmatrix}\lambda^{-1}+u_0v &-\lambda v+v^2 u_0+\lambda^{-1}v \\ -u_0 &\lambda-u_0v\end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \mathbb{F}_p^* \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим автоморфизм $\psi\colon g \mapsto \begin{pmatrix}0 &1 \\ -1 &-v\end{pmatrix} g \begin{pmatrix}-v &-1 \\ 1 &0\end{pmatrix}$. Тогда $\psi(A) \subset \mathcal{B}$ и
$$
\begin{equation*}
\Gamma':=\psi(\Gamma)=\biggl\{\begin{pmatrix}\lambda &u_0 \\ 0 &\lambda^{-1}\end{pmatrix} \Bigm| \lambda \in \mathbb{F}_p^* \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь мы можем применить лемму 7 для $n=2/\delta$, и тем самым первый случай разобран. Заметим, что наши рассуждения означают следующее: пересечение $\mathcal{B}$ с $\Omega_{-u_0}$ совпадает с $\Gamma'$ с точностью до некоторого внутреннего автоморфизма $\mathcal{B}$.
Случай 2. Осталось рассмотреть множество $A$, которое порождает всю группу $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. Здесь достаточно константной оценки на $n$, которая не зависит от $\delta$. Действительно, так как $|A| \gg p$, то в силу теоремы 13 возведение множества $A$ в куб увеличивает мощность в $Cp^{{1}/{24}}$ раз (где $C$ – абсолютная константа), и тогда для степени $A^{3^k}$ для некоторой абсолютной константы $k$ мы можем утверждать, что $|A^{3^k}| \gg p^{2+{1}/{15}}$, и тогда по теореме 9 получаем $A^{30\cdot 3^k}=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$. В частности $A^n \cap \Omega_{-u_0} \neq \varnothing$. Теорема доказана. Сделаем несколько замечаний по поводу только что доказанной теоремы. Ясно, что множество $A$, удовлетворяющее условиям теоремы 7, содержит также элемент вида $\begin{pmatrix}* &b \\ * &*\end{pmatrix}$ для всех $b$ (если $A$ не состоит целиком из нижнетреугольных матриц). Этого вытекает из того, например, что отображение $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}d &-c\\ -b &a\end{pmatrix}$ является внутренним автоморфизмом $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ при сопряжении на $\omega=\begin{pmatrix}0 &1 \\ -1 &0\end{pmatrix}$. Заметим также, что в общем случае преодолеть барьер $p^2$, если мы ищем в $A^n$ элемент, например, вида $\begin{pmatrix}-1 &*\\ * &*\end{pmatrix}$, нельзя. Действительно, пусть уравнение $x^2=-1 \pmod{p}$ не имеет решений в $\mathbb{F}_p$. Тогда подгруппа
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\begin{pmatrix}\lambda^2 &u \\ 0 &\lambda^{-2}\end{pmatrix} \biggm|\lambda \in \mathbb{F}_p^*, \ u \in \mathbb{F}_p \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет размер ${p(p-1)}/{2}$ и не содержит элементов рассматриваемого вида. Теперь мы можем легко доказать теорему 6. Доказательство теоремы 6. Положим $Q=p$. Тогда $A=A_2(p)$ имеет мощность $|A| \gg_M p^{1.06}$ в силу (1.11) и (1.13). По теореме 7 найдется $C\colon A^C \cap \Omega_c \neq \varnothing$. Остается применить лемму 3. Теорема доказана. Заметим, что в вышедоказанной теореме 6 мы можем положить $C=30 \cdot 3^{17}$, поскольку
$$
\begin{equation*}
\omega_2 \biggl(\frac{25}{24}\biggr)^{17}>2+\frac{1}{15}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эту константу нетрудно улучшить. 2.2. Доказательство теоремы 4Для доказательства теоремы 4 мы должны воспользоваться спецификой множества $A$. Для этого докажем несколько лемм. Доказательство. Запишем произведение
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &u\\ 0 &1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p_{k-1} &up_{k-1}+p_k \\ q_{k-1} &uq_{k-1}+q_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x &y\\ z &t\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
По $x$, $y$, $z$, $t$ восстанавливаются $p_{k-1}$ и $q_{k-1}$, а по ним, в свою очередь, элементы $p_k$ и $q_k$ не более чем $M$ способами в силу (1.6). Наконец, по этим данным можно восстановить элемент $u=(y-p_k) / p_{k-1}$. Отметим, что $Q < p$, поэтому все числители и знаменатели подходящих дробей отличны от нуля. Таким образом, матрицы $\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} \in A$ и $\begin{pmatrix} 1 &u\\ 0 &1\end{pmatrix} \in \mathcal{U}$ восстанавливаются по матрице $\begin{pmatrix}x &y\\ z &t\end{pmatrix}$ не более чем $M$ способами, и мы доказали первую часть леммы.
Вторая часть может быть установлена аналогично: запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 &u\\ 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_{k-1}+uq_{k-1} &p_k+uq_k \\ q_{k-1} &q_k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x &y\\ z &t\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
По $x$, $y$, $z$, $ t$ восстанавливаются $q_{k-1}$, $q_k$, а по ним, в свою очередь, элементы $p_{k-1}$, $p_k$ в силу соотношения (1.6), что однозначно задает $u$. Лемма доказана. Доказательство. Докажем только первое неравенство, поскольку второе устанавливается аналогично. Пусть $\begin{pmatrix}p_{t-1} &p_t \\ q_{t-1} &q_t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x &y \\ z &w\end{pmatrix}$. Достаточно показать, что по правой части не более $QM$ способами восстанавливаются $p_k$, $q_k$. Если расписать произведение матриц, то равенство левых элементов даст
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} ap_{t-1}+cp_t=x, \\ aq_{t-1}+cq_t=z. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Домножим эти два равенства на $q_{t-1}$, $p_{t-1}$ и запишем разность:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &ap_{t-1}q_{t-1}+cp_tq_{t-1}-aq_{t-1}p_{t-1}-cq_tp_{t-1}=xq_{t-1}-zp_{t-1} \\ &\qquad \Longleftrightarrow\quad -c=xq_{t-1}-zp_{t-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что оба числа $x$, $z$ не могут равняться нулю одновременно, поэтому если без ограничения общности считаем $x \neq 0$,то для $p_{t-1}$ есть не более $Q$ значений, по каждому из которых можно вычислить $q_{t-1}=(-c+zp_{t-1})/x$, а по $p_{t-1}$, $q_{t-1}$ элементы $p_t$, $q_t$ восстанавливаются не более $M$ способами в силу (1.6). Матрица $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \Omega_c$ определяется теперь однозначно. Лемма доказана. Теперь мы готовы доказать теорему 4. Доказательство теоремы 4. Можно считать, что $p \gg_\varepsilon 1$, поскольку для малых $p=O_\varepsilon(1)$ работают более простые рассуждения: по теоремам 9 и 13 можем записать $A_M(p)^k=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ для $k=O(1)$ и, значит, мы имеем
Далее, обозначим где число $M$ выберем позднее. Заметим, что если $AA_\varepsilon A \cap \Omega_u \neq \varnothing$, то по лемме 3 найдется искомая дробь $a/q \in F_M$ со свойствами
$$
\begin{equation*}
q \equiv u\pmod{p}, \qquad (a, q)=1, \qquad q \leqslant 4 p^2 p^\varepsilon=O(p^{2+\varepsilon}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, нам достаточно доказать, что $AA_\varepsilon A \cap \Omega_u \neq \varnothing$. Поскольку $\Omega_u\mathcal{U}=\Omega_u$, то мы можем переписать это соотношение как
$$
\begin{equation}
E=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &1\end{pmatrix} \in \Omega_{-u} AA_\varepsilon A \mathcal{U}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Рассмотрим функцию $f=(\Omega_{-u} A) * A_\varepsilon * (A \mathcal{U})$. Тогда включение (2.5) равносильно $f(E) \neq 0$. Запишем формулу обращения, выделив главный член и применив сразу формулу (1.10):
$$
\begin{equation}
|G|f(E)=|\Omega_{-u} A| \,|A_\varepsilon|\, |A \mathcal{U}|+\sum_{\rho \neq 1} d_\rho \bigl\langle \widehat{ (\Omega_{-u} A)}(\rho) * \widehat{A_\varepsilon}(\rho) * \widehat{(A \mathcal{U})} (\rho), \rho(E) \bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Теперь оценим сумму остальных слагаемых. Заметим, что $\rho (E)$ является единичной матрицей. Применим (1.2) и неравенство Коши–Буняковского, чтобы выделить множитель $\|A_\varepsilon\|_{\mathrm{op}}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{\rho \neq 1} d_\rho \bigl\langle \widehat{ (\Omega_{-u} A)}(\rho) * \widehat{A_\varepsilon}(\rho) * \widehat{(A \mathcal{U})} (\rho), \rho(E) \bigr\rangle \leqslant \|A_\varepsilon\|_{\mathrm{op}}\sum_{\rho}d_\rho\| \widehat{\Omega_{-u} A}\| \,\|\widehat{A \mathcal{U}}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова используя неравенство Коши–Буняковского, а затем равенство Парсеваля (1.7), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\rho}d_\rho\| \widehat{\Omega_{-u} A}\| \,\|\widehat{A \mathcal{U}}\| \leqslant \biggl( \sum_{\rho}d_\rho\| \widehat{\Omega_{-u} A}\|^2\biggr)^{1/2} \biggl( \sum_{\rho}d_\rho \|\widehat{A \mathcal{U}}\|^2\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \sqrt{|G|\,|\Omega_{-u} A|}\sqrt{|G|\,|A \mathcal{U}|}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
\sum_{\rho}d_\rho\| \widehat{\Omega_{-u} A}\| \,\|\widehat{A \mathcal{U}}\| \leqslant \sqrt{|G|\,|\Omega_{-u} A|}\sqrt{|G|\,|A \mathcal{U}|}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
По следствию 2 найдется $\varepsilon'=\varepsilon'(\varepsilon)\colon \| A_\varepsilon \|_{\mathrm{op}} \ll |A_\varepsilon|^{1-\varepsilon'}$.
Теперь нам достаточно доказать
$$
\begin{equation*}
|A_\varepsilon|^{2\varepsilon'}\,|\Omega_{-u} A| \,|A \mathcal{U}| \geqslant p^6 > |G|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
так как тогда из равенства (2.6) и неравенства (2.7) будет следовать $f(E) \neq 0$. Нетрудно проверить, что $|\Omega_{-u}| \geqslant p(p-1) \geqslant{p^2}/{2}$. По леммам 8, 9 имеем
$$
\begin{equation*}
|\Omega_{-u} A| \,|A \mathcal{U}| \geqslant \frac{p^2}{2M}|A|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в силу леммы 2 выберем $M$ так, чтобы было выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega_M(1+\varepsilon \varepsilon ') > 1+\frac{\varepsilon \varepsilon'}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для некоторой константы $C_\varepsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
|A_\varepsilon|^{\varepsilon'}\,|A| \geqslant C_\varepsilon p^{2+\varepsilon \varepsilon'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собирая все вместе, получаем
$$
\begin{equation*}
|A_\varepsilon|^{2\varepsilon'}\,|\Omega_{-u} A|\, |A \mathcal{U}| \geqslant C_\varepsilon p^{6+2\varepsilon \varepsilon'} \geqslant p^6,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку, как мы уже говорили выше, простое число $p$ можно считать достаточно большим. Теорема 4 тем самым доказана. 2.3. Доказательство теоремы 5Для доказательства теоремы 5 нам потребуется еще одна лемма (ср. с леммой 9). Лемма 10. Пусть $u, v \in \mathbb{Z}$ таковы, что $0 < u < v$, $2vQ < p$ и $(u, v)=1$. Тогда $|( \Omega_{-u}^v)^{-1}A_M(Q)|=p|A_M(Q)|$. Доказательство. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_{-u}^v=\biggl\{\begin{pmatrix}v &* \\ -u &*\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \biggr\}, \qquad ( \Omega_{-u}^v)^{-1}=\biggl\{\begin{pmatrix}* & *\\ u & v\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что отображение $\psi\colon A_M(Q) \to \mathbb{F}_p^2$, определяемое формулой
$$
\begin{equation}
\psi\colon \begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}u p_{t-1}+vq_{t-1} &up_t+vq_t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
инъективно. В силу (1.6) подберем рациональное число $r \in (0, 1)$ такое, что его подходящие дроби ${n_{t-1}}/{m_{t-1}}$, ${n_t}/{m_t}$ обладают свойствами Запишем рассматриваемые числа в виде цепных дробей
$$
\begin{equation}
\frac{n_t}{m_t}=[0; a_1, \dots, a_t], \qquad \frac{p_k}{q_k}=[0; b_1, \dots, b_k], \qquad \frac{n_{t+k}}{m_{t+k}}=[0; a_1, \dots a_t, b_1, \dots b_k].
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В последнем случае мы объединили две записи наших цепных дробей и так построили число ${n_{t+k}}/{m_{t+k}}$. Покажем, что если
$$
\begin{equation*}
\psi\biggl(\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix}\biggr)=\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
то матрица $\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} \in A_M(Q)$ восстанавливается по паре чисел $x$, $y$ однозначно. Поскольку $u p_{t-1}+vq_{t-1} \leqslant 2aQ < p$, то мы имеем равенство $u p_{t-1}+vq_{t-1}=x$ в $\mathbb{Z}$, и аналогично $up_t+vq_t=y$. В силу построения дроби ${n_{t+k}}/{m_{t+k}}$ из равенств (2.9) и определения функции $\psi$ по формуле (2.8) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \begin{pmatrix}n_{t+k-1} &n_{t+k} \\ m_{t+k-1} &m_{t+k}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}n_{t-1} &n_t \\ m_{t-1} &m_t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} \\ &\qquad = \begin{pmatrix}n_{t-1} &n_t \\ u &v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}* & *\\ x & y\end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $m_{t+k-1}=x, m_{t+k}=y$. Значит, по $x$, $y$ можно восстановить все неполные частные $a_1, \dots, a_t, b_1, \dots, b_k$, а значит, и прообраз $\begin{pmatrix}p_{k-1} &p_{k} \\ q_{k-1} &q_{k}\end{pmatrix}$ пары $x$, $y$, т.е. $\psi$ – инъекция.
Теперь заметим, что множество $( \Omega_{-u}^v)^{-1}$ инвариантно при домножении на $\mathcal{U}$ слева: Тогда Таким образом, необходимо и достаточно доказать, что $\begin{pmatrix}v^{-1} & 0\\ u &v\end{pmatrix}A_M(Q)$ пересекается с каждым из классов сопряженности $\mathcal{U}g, g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ по не более чем одному элементу. Поскольку $\mathcal{U}\begin{pmatrix}x &y\\ z &t\end{pmatrix}=\biggl\{ \begin{pmatrix}* & *\\ z &t\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \biggr\}$ определяется однозначно двумя нижними элементами, а пары из таких элементов различны в силу инъективности $\psi$, то лемма доказана.Наконец, докажем последнюю теорему 5. Метод доказательства очень похож на то, что мы только что проделали, поэтому некоторые детали опустим. Доказательство теоремы 5. Обозначим
$$
\begin{equation*}
A=A_M(Q), \qquad A_\varepsilon=A_M(p^\varepsilon), \qquad Q=p^{1-\varepsilon_1},
\end{equation*}
\notag
$$
параметры $\varepsilon_1$ и $M$ выберем позднее. Нужно показать
$$
\begin{equation*}
AA_\varepsilon A \cap \Omega_{-u}^v \neq \varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу $\Omega_{-u}^v\mathcal{U}=\Omega_{-u}^v$ мы можем переписать это соотношение как
$$
\begin{equation}
E \in ( \Omega_{-u}^v )^{-1} AA_\varepsilon A \mathcal{U}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Рассмотрим функцию $f=(( \Omega_{-u}^v )^{-1} A) * A_\varepsilon * (A \mathcal{U})$. Тогда включение (2.10) равносильно $f(E) \neq 0$. По следствию 2 найдется
$$
\begin{equation*}
\varepsilon'=\varepsilon'(\varepsilon)\colon \quad \| A_\varepsilon \|_{\mathrm{op}} \ll |A_\varepsilon|^{1-\varepsilon'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\varepsilon_1={\varepsilon \varepsilon'}/{2}$. Поскольку мы можем применить те же рассуждения, что и в теореме 4, нам достаточно установить оценку
$$
\begin{equation*}
|A_\varepsilon|^{2\varepsilon'}\,|( \Omega_{-u}^v )^{-1} A|\, |A \mathcal{U}| \geqslant p^6 > |G|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
По леммам 8 и 10 имеем
$$
\begin{equation*}
|( \Omega_{-u}^v )^{-1} A|\, |A \mathcal{U}| \geqslant \frac{p^2}{M}|A|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в силу леммы 2 выберем параметр $M$ так, чтобы имело место неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega_M\biggl(1+\frac{\varepsilon \varepsilon'}{2}\biggr) > 1+ \frac{\varepsilon \varepsilon'}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для некоторой константы $C_\varepsilon$ имеем Собирая все неравенства вместе, получаем поскольку число $p$ можно считать достаточно большим. Тем самым теорема доказана. Заметим, что мы выбираем $\varepsilon_1$ в зависимости от $\varepsilon$. К сожалению, наш метод не позволяет заменить $\varepsilon_1$ на какую-то абсолютную константу, например, $1/2$. Все дело в том, что в таком случае в лемме 10 нам бы пришлось брать $v \asymp p^{1/2}$, $Q\asymp p^{1/2}$, и тогда мы бы получили $|( \Omega_{-u}^v)^{-1}A_M(Q)|=p|A_M(Q)| \ll p^2$, что является слишком маленькой мощностью подмножества группы для применения анализа Фурье. В силу теоремы 5 мы можем утверждать, что для любого достаточно большого простого числа $p$ найдутся взаимно простые натуральные числа $a$ и $q$ такие, что неполные частные цепной дроби $a/q$ ограничены абсолютной константой, и при этом, скажем, Сформулируем гипотезу Виноградова о наименьшем квадратичном вычете.Гипотеза 2. Для любого $\varepsilon > 0$ и достаточно большого простого числа $p$ найдется квадратичный вычет $a$ такой, что $({a}/{p})=1$ и $a < p^\varepsilon$. Если справедлива гипотеза Виноградова, то мы можем найти и такую пару чисел $a, q$, что
$$
\begin{equation*}
(a, q)=1, \qquad \biggl( \frac{a}{p} \biggr)=1, \qquad q=1-a \pmod{p}, \qquad \frac{a}{q} \in F_M.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lya22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|