| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Вырождение графа, описывающего комплексную структуру А. Б. Богатырёв Институт вычислительной математики им. Г. И. Марчука Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9703e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРимановы поверхности не обязательно возникают как алгебраические кривые. Для некоторых приложений другие их представления намного более удобны. Например, поверхность можно сшить из нескольких стандартных кусков комплексной плоскости: полуплоскостей, треугольников, прямоугольников, (полу-)полос и т.д. Рубцы, остающиеся после такой “хирургии”, образуют граф, вложенный в поверхность. Идея представлять комплексные структуры и даже такие более тонкие объекты, как абелевы дифференциалы, квадратичные дифференциалы (см. [1]), включая дифференциалы Дженкинса–Штребеля, проективные структуры с ветвлением (см. [2]) и т.д., на поверхностях с помощью взвешенных графов не нова. Возможно, у истоков этой традиции стоял Феликс Кляйн (см. [3], [4]). Наиболее известными примерами такого описания являются “Детские рисунки” А. Гротендика (см. [5], [6]). Похожие конструкции использовал М. Бертола в работе по кривым Бутру [7]. Триангуляция пространства Тайхмюллера проколотой поверхности, основанная на идеях В. Тёрстона, проводилась несколькими авторами (см., например, обзор Дж. Л. Харера [8]) и была направлена на изучение геометрии пространства модулей и структуры группы классов преобразований. Критические графы квадратичных дифференциалов, появившиеся в конструкции Д. Мамфорда комплекса дуг поверхности, позднее использовал М. Концевич под названием “ленточные графы” для построения теории пересечений на пространствах модулей (см. [9]). Эта работа привела в результате к первому доказательству гипотезы Э. Виттена; см. историю вопроса в [6], [10]–[12]. Исследование отображения периодов, лежащего в основе метода чебышёвского анзаца для решения задач равномерного рационального приближения (см. [13], [14]) также основано на использовании графической техники (см. [15], [16]). Другие тесно связанные с нашим исследованием темы включают плоские поверхности (см. [17]), триангулированные поверхности (см. [18]), комплексные уравнения Пелля–Абеля (см. [19]); прочие примеры см. в [20], [21]. Графические технологии оказались весьма полезными при исследовании геометрии различных пространств модулей кривых и близких к ним структур именно на средних масштабах – в противоположность к дифференциальной и глобальным геометриям. Графы, описывающие комплексные структуры поверхности, могут менять комбинаторные свойства, например, при флип-перестройке ленточного графа. Интуитивно ясно, что комплексная структура подлежащей поверхности должна иметь непрерывный предел при стягивании ребер графа. Однако детальный математический анализ того, что происходит с модулями поверхности при таком преобразовании, насколько нам известно, еще не проводился. Отклик модулей кривой на вариации весов графа строго внутри их допустимых диапазонов изменения исследован давно. Эта зависимость вещественно аналитическая; см., например, [14], [15]. Та же задача вблизи границы множества допустимых весов намного более сложна, поскольку нужно сравнивать комплексные структуры поверхностей, склеенных по разным правилам: именно комбинаторная структура графа определяет правила склейки. В настоящей статье мы разбираем конкретный пример: пространство модулей $\mathcal H_2^1$ вещественных кривых рода $2$ с единственным вещественным овалом, снабженным ориентацией и отмеченной точной на нем, отделенной от точек ветвления. Это пространство можно разложить на девять полноразмерных клеток, перечисляемых специального вида деревьями, показанными на рис. 1. Мы рассматриваем прохождение через стенку, разделяющую две соседние клетки, при этом, приближаясь к границе раздела двух клеток с разных сторон, мы единообразно описываем стягивание двух типов ребер. Оказывается, что естественные модули кривых, задаваемые положениями их точек ветвления, ведут себя непрерывно, но не гладко по отношению к определяемым весами графа координатам в каждой из клеток. На границе раздела клеток возникает корневая особенность. В частности, основной результат дает обоснование отношениям соседства для клеточного разбиения в комбинаторной теории модулей. Часто это делается на интуитивном уровне (особенно физиками) без углубленного анализа, который, как мы увидим, может быть не так прост. Основной используемый нами метод исследования – это квазиконформные (см. [22]) деформации абелевых интегралов. Мы упростили технику, использованную в гл. 5 книги [14]. Квазиконформный подход является традиционным и универсальным инструментом изучения различных систем координат в пространствах модулей, включая окрестность особых точек замены координат. Выбор пространства $\mathcal H_2^1$ как объекта изучения до известной степени произволен: оно не элементарно, но и не слишком сложно. Также важно, что это пространство возникает при решении некоторых прикладных задач (см. [23], [24], [14]). Основные идеи нашего подхода можно перенести и на более сложные случаи, включающие, например, слияние простых нулей выделенного дифференциала. БлагодарностиАвтор благодарит участников семинара А. Гончара по Комплексному анализу (МИАН им. В. А. Стеклова) и семинара Г. Шабата “Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями” (МГУ имени М. В. Ломоносова) за обсуждение и конструктивную критику настоящей работы. Особая благодарность – профессору Хартмуту Мониену (Университет Бонна), привлекшему внимание автора к работам Ф. Клейна [3], [4]. Также автор благодарит анонимных рецензентов, благодаря которым удалось сделать изложение работы более понятным. § 2. Предварительные рассмотрения и основной результатВ этом параграфе мы напоминаем определение пространства модулей вещественных кривых рода $2$ с единственным ориентированным овалом и отмеченной точкой на нем, даем описание элементов этого пространства взвешенными графами и формулируем основной результат работы. 2.1. Пространство модулейВ пространстве гладких вещественных кривых рода $2$ с одним вещественным овалом есть две компоненты: гиперэллиптическая инволюция $J$ (действующая на каждой рассматриваемой кривой) либо сохраняет ориентацию овала, либо меняет ее. Обозначим $\mathcal H_2^1$ пространство модулей кривых $M$ из второй компоненты, которые мы дополнительно снабдим ориентацией вещественного овала и отмеченной точкой “$\infty$” (в дальнейшем используется без кавычек) на нем. Мы требуем, чтобы эта отмеченная точка не была неподвижной для действия $J$. Это пространство модулей используется для анализа задачи о наилучшем многочлене устойчивости (см. [14], [23], [24]), включая и задачу о многочлене с демпфированием. Всякий элемент из $\mathcal H_2^1$ допускает нормированную аффинную модель
$$
\begin{equation}
M=M(\mathsf E):= \biggl\{(x,w)\in\mathbb{C}^2\colon w^2=(x^2-1) \prod_{s=1}^2(x-e_s)(x-\overline{e}_s) \biggr\}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
с точками ветвления $e_1\neq e_2$ из открытой верхней полуплоскости $\mathbb{H}$. Ее множество ветвления $\mathsf E=\{\pm1, e_s,\overline{e}_s\}_{s=1,2}$ имеет зеркальную симметрию: $\mathsf E=\overline{\mathsf E}$. Гиперэллиптическую и антиконформную инволюции этой кривой определим как $J(x,w):=(x,-w)$ и $\overline{J}(x,w):=(\overline{x},\overline{w})$ соответственно. Отмеченная точка $\infty $ вещественного овала соответствует $(x,w)=(+\infty,+\infty)$ в естественной двухточечной компактификации аффинной кривой (2.1). Пространство $\mathcal H_2^1$ таких кривых параметризовано положением их точек ветвления $e_1$, $e_2$ в открытой верхней полуплоскости $\mathbb{H}$, которые различны, но не упорядочены. Таким образом, для пространства модулей $\mathcal H_2^1$ возникает модель $(\mathbb{H}^2\setminus\{\mathrm{diagonal}\})/\mathrm{permutation}$, которая показывает, что $\dim\mathcal H_2^1=4$ и $\pi_1(\mathcal H_2^1)=Br_2=\mathbb{Z}$. 2.2. Выделенный дифференциалНа всякой кривой $M$ пространства модулей есть единственный абелев дифференциал третьего рода $d\eta_M$ с двумя простыми полюсами: в выделенной точке $\infty$ и ее инволюции $J\infty$, с вычетами $-1$ и $+1$ и чисто мнимыми периодами (см. [14; п. 2.1.3]). Для алгебраической модели (2.1) кривой $M$ дифференциал принимает вид где точками обозначен линейный многочлен от переменной $x$. Нетрудно проверить, что условия нормировки влекут вещественность этого дифференциала, т.е. $\overline{J}d\eta_M=\overline{d\eta_M}$. Другими словами, многочлен в числителе формулы (2.2) имеет вещественные коэффициенты. Важным следствием этого факта (см. [14], [13]) является обнуление периодов дифференциала по четным 1-циклам (т.е. сохраняющимся при отражении $\overline{J}$), поскольку они являются и вещественными, и мнимыми одновременно. Именно в терминах этого дифференциала выражаются решения различных задач равномерного полиномиального приближения (см. [14]):
$$
\begin{equation*}
P_n(x)=\cos\biggl(ni\int_{(1,0)}^{(x,w)}\,d\eta_M\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при дополнительном требовании $\displaystyle\int_{H_1(M,\mathbb{Z})}\,d\eta_M\subset\frac{2\pi i}n\mathbb{Z}$, которое означает, что все периоды абелева интеграла соизмеримы с периодами косинуса, а следовательно, гарантирует, что левая часть равенства – это многочлен. Классические формулы для многочленов Чебышёва и Золотарёва являются частными случаями этого представления. 2.3. Глобальная функция шириныПредположим, что $M(\mathsf E)\in\mathcal H_2^1$ и $d\eta_M$ – как и ранее, выделенный дифференциал на кривой $M$. Можно проверить, что из условий нормировки дифференциала $d\eta_M$ следует, что функция ширины (Width function)
$$
\begin{equation}
W(x):=\biggl|\operatorname{Re}\int_{(1,0)}^{(x,w)}\,d\eta_M\biggr|, \qquad x\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
удовлетворяет таким свойствам:
Проясним последнее свойство. Поскольку дифференциал $d\eta_M$ нечетен по отношению к гиперэллиптической инволюции на $M$, то величина $W(e_s)$ равна половине модуля вещественной части некоторого периода дифференциала. По определению все периоды чисто мнимые. Линии уровня функции $W$ образуют вертикальное слоение квадратичного дифференциала $(d\eta)^2$, в то время как линии наискорейшего спуска функции ширины являются его горизонтальными траекториями. 2.4. Построение графа $\Gamma(M)$Каждой кривой $M$ нашего пространства модулей мы сопоставим взвешенный планарный граф $\Gamma=\Gamma(M)$, составленный из конечного числа отрезков вертикального и горизонтального слоений (см. [1]) квадратичного дифференциала $(d\eta_M)^2$, рассматриваемого на плоскости переменной $x$. Граф $\Gamma(M)$ является объединением “вертикального” подграфа $\Gamma_ {\rule{.5mm}{2.mm}} $ и “горизонтального” подграфа $\Gamma_ {\rule{2.mm}{.5mm}} $; см. примеры допустимых, т.е. полученных по некоторой кривой $M$, графов на рис. 1 и рис. 2. Определение 1. Вертикальные ребра графа – это дуги нулевого множества функции ширины $W(x)$; они являются отрезками вертикального слоения $d\eta_M^2< 0$ и не ориентированы. Горизонтальные ребра графа – это все отрезки горизонтального слоения $(d\eta_M)^2>0$ (или линии наискорейшего спуска для $W(x)$), соединяющие седловые точки функции $W$ с ее множеством нулевого уровня (случайно они могут проходить и через прочие седловые точки). Горизонтальные ребра ориентированы в направлении роста функции $W(x)$. Всякое ребро вне зависимости от типа снабжено весом, равным его длине в метрике $ds=|d\eta_M|$ квадратичного дифференциала. Вершины графа $\Gamma$ включают все конечные точки дивизора квадратичного дифференциала $({d\eta_M})^2$, рассматриваемого на плоскости, а также $\Gamma_ {\rule{.5mm}{2.mm}} \cap\Gamma_ {\rule{2.mm}{.5mm}} $ – проекции седловых точек функции $W$ на множество ее нулей вдоль горизонтальных слоев. Замечание 1. Вместо приписывания длин горизонтальным ребрам удобнее хранить значения функции ширины $W(x)$ в седловых точках: длина горизонтального ребра равна приращению функции ширины вдоль него. Из поведения траекторий квадратичного дифференциала (см. [1]) вблизи особых точек сразу следует, что кратность вершины $V$ графа в дивизоре дифференциала $(d\eta_M)^2$ равна комбинаторной величине
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ord} (V):= d_ {\rule{.5mm}{2.mm}} (V)+2d_{\mathrm{in}}(V)-2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $d_ {\rule{.5mm}{2.mm}} $ есть степень вершины по отношению к вертикальным ребрам, а $d_{\mathrm{in}}$ равно числу входящих горизонтальных ребер. Точки ветвления кривой $M$ соответствуют вершинам $V$ с нечетным значением $\operatorname{ord}(V)$ и все находятся на вертикальной компоненте $\Gamma_ {\rule{.5mm}{2.mm}} $ графа (см., например, рис. 2). Взвешенный планарный граф можно по приведенному выше рецепту сопоставить любой (вещественной) гиперэллиптической кривой с отмеченной точкой на ней (на овале); см. [19]. Полученные таким образом графы можно описать аксиоматически: есть пять ограничений на комбинаторику и веса графа, которые перечислены явно в [15], [14] и которые полностью их характеризуют. Аксиомы можно актуализировать при помощи комбинаторного алгоритма, перечисляющего все допустимые графы. 2.5. Координатное пространство графаОказывается, что в пространстве модулей $\mathcal H_2^1$ есть только девять структурно устойчивых типов графов $\Gamma$, не меняющих свою комбинаторику при малом возмущении кривой $M(\mathsf E)$; они перечислены, например, в [16]. Два таких графа $\Gamma_+$ и $\Gamma_-$ показаны на рис. 2, a, b. Допустимые независимые веса заметают четырехмерное пространство $\mathcal A[\Gamma]$, называемое координатным пространством графа. Эти пространства допускают явное описание (см. [15], [14]):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal A[\Gamma_-]=\bigl\{(H_1,H_2,W_1,W_2)\in\mathbb{R}_+^4\colon 2(H_1+H_2)<\pi;\, W_1<W_2\bigr\}, \\ \mathcal A[\Gamma_+]=\bigl\{(H_0,H_1,H_2,W)\in\mathbb{R}_+^4\colon H_0+2(H_1+H_2)<\pi\bigr\}, \qquad \mathbb{R_+}:=(0,\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Всякое координатное пространство есть внутренность произведения симплекса, заметаемого переменными $H$ на конус, заметаемый переменными $W$. Наряду со структурно устойчивыми графами $\Gamma$ есть и множество промежуточных неустойчивых, подобных графу $\Gamma_0$, показанному на рис. 3. Его координатное пространство имеет коразмерность 1 в пространстве модулей $\mathcal H_2^1$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal A[\Gamma_0]=\bigl\{(H_1,H_2,W)\in\mathbb{R}_+^3\colon 2(H_1+H_2)<\pi\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и служит границей между координатными пространствами $\Gamma_\pm$ при вложении их всех в пространство модулей. Каждый из графов $\Gamma_-$, $\Gamma_0$, $\Gamma_+$ с весами из соответствующего координатного пространства можно реализовать как граф единственной кривой из пространства модулей $\mathcal H_2^1$ (см. [15], [14]). Риманову поверхность $M$ можно склеить из конечного числа полос способом, определяемым комбинаторикой и весами графа. Детальная инструкция по сборке дана, например, в [14]–[16]. К сожалению, этот подход к восстановлению кривой нельзя назвать эффективным и он не дает каких-то количественных характеристик вложения координатного пространства в пространство модулей. Мы будем в дальнейшем использовать более гибкие и конструктивные методы, связанные с квазиконформными отображениями. В работе [16] утверждается, что вложение координатного пространства положительной коразмерности такого, как $\mathcal A[\Gamma_0]$, совпадает с непрерывным продолжением вложения подходящего полноразмерного многогранника $\mathcal A[\Gamma]$ на его грани. Здесь мы показываем справедливость этого утверждения в частном случае. Вложение координатного пространства в пространство модулей (см. [14], [15]) в нашем случае задается парой комплекснозначных вещественно аналитических функций $e_s(H,W)$, $s=1,2$, определенных внутри многогранника $\mathcal A[\Gamma]$ и задающих зависимость дивизора ветвления кривой $M$ от весов графа $\Gamma$. В настоящей работе мы исследуем поведение этих функций вблизи границы $\{W_1=W_2\}$ координатного пространства $\mathcal A[\Gamma_-]$, а также вблизи границы $\{H_0=0\}$ многогранника $\mathcal A[\Gamma_+]$. 2.6. Основной результатРассмотрим произвольную точку $A^0:=(H_1,H_2,W)$ в координатном пространстве $\mathcal A[\Gamma_0]$ коразмерности 1 и ее малое смещение $\delta A:=(\delta H_1,\delta H_2,\delta W)$ в этом пространстве. “Поперечное” смещение в соседние полноразмерные пространства $\mathcal A[\Gamma_\pm]$ будем описывать (малой) положительной величиной $h$, которая вместе с касательным сдвигом $\delta A$ определяет две точки:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A[\Gamma_-]\ni A^- &=(H_1^-,H_2^-,W_1^-,W_2^-) \\ &:=(H_1+\delta H_1,\,H_2+\delta H_2,\,W+\delta W-2h^3,\,W+\delta W+2h^3), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal A[\Gamma_+]\ni A^+ &=(H_0^+,H_1^+,H_2^+,W^+) \\ &:=(2h^3,\,H_1+\delta H_1 -2h^3,\,H_2+\delta H_2+2h^3,\,W+\delta W). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Каждой из точек $A^\pm$ координатных пространств соответствует нормированный дивизор ветвления $\mathsf E\in\mathcal H_2^1$, содержащий две точки $e$ в верхней полуплоскости. Теорема. Смещение точки ветвления $e$, вызванное касательным смещением $\delta A$ и поперечным смещением $h$, допускает асимптотическое представление Замечание 2. (i) Вложение координатного пространства в пространство модулей содержит корневую особенность $(H_0)^{2/3}$ в случае пространства $\mathcal A[\Gamma_+]$ и $(W_2-W_1)^{2/3}$ для пространства $\mathcal A[\Gamma_-]$ вблизи соответствующих границ многогранников и, в частности, вложение не является непрерывно дифференцируемым вплоть до границы. (ii) Два интеграла вокруг полюса $z$ в формуле (2.6) можно явно вычислить вычетами:
$$
\begin{equation}
\int_C d\eta^e=2\pi i\biggl(\frac{\Omega'(z)}{3\alpha^3}-\frac{4\beta^4\Omega(z)}{9\alpha^6}\biggr), \qquad \int_C y(x)\,d\eta^e=2\pi i\frac{\Omega(z)}{3\alpha^2},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где является коэффициентом квадратичного дифференциала $d\eta_M\,d\eta^e$ и $\alpha>0$, $\beta$ суть коэффициенты разложения $\eta_M(x)=W+\alpha^3(x-z)^3+\beta^4(x-z)^4+\dotsb$. (iii) Техника, используемая при доказательстве нашей теоремы, может быть с минимальными изменениями распространена на описание вырождения графа $\Gamma$, связанного со слиянием двух простых нулей выделенного дифференциала, также и в случае высшего рода $g$. Другие типы вырождений, например, слияние двух точек ветвления (с падением рода кривой) или слияние нуля $d\eta$ с точкой ветвления, требуют более глубокой модификации метода и будут рассмотрены в дальнейших работах. § 3. Доказательство основного результатаПлан доказательства нашей теоремы следующий: мы рассматриваем выделенный абелев интеграл на невозмущенной кривой $M$, отвечающей выбранной точке $A^0$ из координатного пространства неустойчивого графа $\Gamma^0$. Для его однозначности на комплексной плоскости мы вводим три разреза, попарно соединяющие точки ветвления кривой. Далее при достаточно малых касательном $\delta A$ и поперечном $h$ смещениях мы строим явно (а) малую деформацию $\eta^\pm(x)$ функции $\eta_M$ и (б) новую глобальную координату $\xi(x)$ в комплексной плоскости такие, что $\eta^\pm$, рассматриваемая как функция новой переменной, будет выделенным абелевым интегралом модифицированной кривой $M^\pm$, отвечающей точке $A^\pm$ координатного пространства устойчивого графа $\Gamma_\pm$. Формула Альфорса (3.4) для инфинитезимальной квазиконформной деформации (см., например, [22; гл. V]) дает асимптотические формулы (2.6) для смещений точек ветвления $e\in\mathsf E$ кривой. Приступаем к поэтапному выполнению этого плана.3.1. Абелев интегралИнтеграл $\eta:=\eta_M$ от выделенного дифференциала на выбранной кривой $M$, отвечающей точке $A^0$ координатного пространства $\mathcal A[\Gamma_0]$ коразмерности 1, является локально однозначной функцией переменной $x$, за исключением бесконечности и точек из $\mathsf E$, где он имеет ветвления. Мы вводим три непересекающихся разреза $B_j$, $j=0,1,2$, попарно соединяющие точки ветвления. Один из разрезов проходит через бесконечность, и мы обозначаем две его части $B_0^-$ и $B_0^+$, как на рис. 3, b. Абелев интеграл допускает выделение однозначной ветви $\eta(x)$ в остающейся трехсвязной области (штанах) на плоскости комплексной переменной $x$. В самом деле, базис гомологий штанов (скажем, циклы $C_1$ и $C_2$) поднимается до набора четных циклов кривой $M$, которые по определению сохраняются при действии отражения $\overline{J}$. Интеграл от вещественного дифференциала $d\eta_M$ по четному циклу вещественный (в силу зеркальной симметрии) – с одной стороны – и чисто мнимый (в силу нормировки) – с другой стороны, а значит, равен нулю. Заметим, что сумма граничных значений абелева интеграла $\eta$ локально постоянна на каждом разрезе, поскольку выделенный дифференциал $d\eta_M$ нечетен по отношению к гиперэллиптической инволюции $J$. Значения этих постоянных являются чисто мнимыми из-за выбранной нормировки $d\eta_M$. Их несложно вычислить, поскольку мы можем восстановить значения интеграла во всех значимых точках кривой, если известны веса графа $\Gamma^0$ (это вычисление требует тщательного учета знаков):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \eta(e_1)=\eta(\overline{e_1})=iH_1, \qquad \eta(e_2)=\eta(\overline{e_2})=-iH_2, \\ \eta(1)=0, \qquad \eta(z)=W, \qquad \eta(-1)=i\pi. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
3.2. Деформация абелева интегралаМы рассмотрим две гладких деформации абелева интеграла $\eta$, вызванных смещением $\delta A:= (\delta H_1,\delta H_2,\delta W)$ в пространстве $\mathcal A[\Gamma_0]$ и поперечным смещением $h>0$, соответствующим выбору знака $\pm$ в следующей формуле:
$$
\begin{equation}
\eta^\pm(x):=\eta(x) -i\sum_{s=1,2}(-1)^s\delta H_s\rho_s(x)+(\delta W \pm 3h^2y(x))\rho(x).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Здесь $0\leqslant\rho_s(x)\leqslant1$ – это гладкая вещественная срезающая функция, равная $1$ в окрестности дуги $B_s$ и тождественно равная нулю снаружи несколько большей окрестности той же дуги; $\rho(x)$ – срезающая функция, равная $1$ в окрестности двойного нуля $z$ выделенного дифференциала $d\eta_M$. Носители разных срезающих функций не пересекаются. Вещественная координата $y(x)=\alpha(x-z)+\dotsb$ в окрестности точки $z$ определена в формулировке нашей теоремы. 3.3. Новая глобальная координатаПусть $\xi(x)=\xi(x;\delta A, h, \pm)$ является решением уравнения Бельтрами $\xi_{\overline{x}}=\mu(x)\xi_x$ с коэффициентом $\mu(x):=\eta^\pm_{\overline{x}}/\eta^\pm_x$, гомеоморфным во всей плоскости и фиксирующим ее три точки $x=\pm1,\infty$. Носитель коэффициента Бельтрами $\mu$ состоит из трех кольцевых областей, окружающих разрезы $B_1$, $B_2$ и двойной полюс $z$ дифференциала $d\eta^e$. Без потери общности мы предполагаем, что значения каждой срезающей функции $\rho_*(x)$ совпадают в комплексно сопряженных точках. Это влечет зеркальную симметрию коэффициента Бельтрами: $\mu(\overline{x})=\overline{\mu}(x)$. Поскольку нормирующее множество $x=\pm1,\infty$ для решения вещественно, новая переменная $\xi(x)$ будет также зеркально симметричной (вещественной). 3.4. Ключевое наблюдениеМы утверждаем, что возмущенная функция $\eta^\pm(x(\xi))$, рассматриваемая как функция от новой глобальной переменной $\xi$, является выделенным абелевым интегралом некоторой возмущенной кривой $M^\pm$, дивизор ветвления которой $\mathsf E^\pm:=\xi(\mathsf E;\delta A,h,\pm)$ параметрически зависит от величин сдвигов. Во-первых, мы проверяем, что $\eta^\pm$ – голоморфная функция от переменной $\xi$ вне системы разрезов $\xi(B_s)$, $s=0,1,2$. В самом деле, обратное отображение также квазиконформно с коэффициентом Бельтрами $\nu(\xi)$, удовлетворяющим соотношению (см. [22]) получаемому дифференцированием тождества $\xi(x(\xi))=\xi$. Теперь
$$
\begin{equation*}
\eta^\pm_{\overline{\xi}}=\eta^\pm_x x_{\overline{\xi}}+\eta^\pm_{\overline{x}} \overline{x}_{\overline{\xi}}= \eta^\pm_x(x_{\overline{\xi}}+\mu(x)\overline{x}_{\overline{\xi}})=\eta^\pm_x(x_{\overline{\xi}}-\nu(\xi)x_\xi)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий шаг состоит в проверке того, что граничные значения функции $\eta^\pm$ на берегах разрезов в сумме дают чисто мнимую постоянную, свою для каждого разреза. Это ясно видно из формулы (3.2): искомая постоянная равна $-2i(H_s+\delta H_s)(-1)^s$ для разреза $B_s$, $s=1,2$, равна нулю для $B_0^+$ и равна $i\pi$ для $B_0^-$. Из этого наблюдения следует, что $(d\eta^\pm)^2$ является рациональным квадратичным дифференциалом на сфере переменной $\xi$, с простыми полюсами в точках множества $\xi(\mathsf E)$ и двойным полюсом на бесконечности. Вычет дифференциала $d\eta^\pm$ в бесконечности тот же, что и для дифференциала $d\eta_M$ на невозмущенной кривой. Мнимость найденных выше постоянных влечет нужную вещественную нормировку нового дифференциала. 3.5. Инфинитезимальная деформацияМы используем формулу Альфорса (см. [22; гл. V]) для бесконечно малой квазиконформной деформации, чтобы получить главный член в асимптотике деформации дивизора ветвления $\mathsf E$. Для начала оценим коэффициент Бельтрами, дифференцируя явное выражение (3.2) для деформации абелева интеграла и сохраняя только ведущие члены деформации:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \eta^\pm_{\overline{x}}=-i\sum_{j=1,2}(-1)^j\delta H_j \rho_{j\overline{x}}(x) + (\delta W\pm 3h^2 y(x)) \rho_{\overline{x}}(x), \\ \notag \eta^\pm_x=\eta_x-i\sum_{j=1,2}(-1)^j\delta H_j \rho_{jx}(x) + (\delta W\pm 3h^2 y(x)) \rho_x(x)\pm3\rho h^2 y_x(x), \\ \mu(x)=-i\sum_{j=1,2}(-1)^j\frac{\rho_{j\overline{x}}(x)}{\eta_x}\delta H_j + \frac{\rho_{\overline{x}}(x)}{\eta_x}(\delta W\pm3h^2y(x)) + O\bigl(|\delta A|^2+ h^4+|\delta A|h^2\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
с равномерно ограниченным остаточным членом на носителе коэффициента $\mu$. Для каждой точки ветвления $e\in\mathsf E$ имеем выражение для ее сдвига, вызванного изменением модулей в неустойчивом координатном пространстве и поперечным сдвигом в устойчивое пространство:
$$
\begin{equation}
2\pi i\delta e= \int_{\operatorname{Supp}\mu} \frac{e^2-1}{x^2-1}\,\frac{\mu(x)}{x-e} \,dx\wedge\overline{dx} +O(\|\mu\|^2_\infty).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Подставляя приближенное выражение для $\mu(x)$ из формулы (3.3) в последнюю формулу и используя интегрирование по частям, мы сводим указанное выражение к
$$
\begin{equation*}
2\pi i\delta e^\pm=\int_{\partial\operatorname{Supp}\mu} i\sum_{j=1,2}(-1)^j\delta H_j\rho_j(x)\,d\eta^e- (\delta W\pm3y(x)h^2)\rho(x)d\eta^e+O(\dots),
\end{equation*}
\notag
$$
где мероморфный дифференциал
$$
\begin{equation*}
d\eta^e:=(e^2-1)\frac{(x-\overline{e})(x-e')(x-\overline{e'})\,dx}{(x-z)^2w}, \qquad e'\in\mathsf E\setminus\{\pm1,e\},
\end{equation*}
\notag
$$
был определен в формулировке нашей теоремы и порядок величины остаточного члена тот же, что и в (3.3). Значение каждой срезающей функции $\rho_*$ равно 1 ровно на одном контуре из шести, которые ограничивают носитель коэффициента Бельтрами, и исчезает на остальных пяти, поэтому смещение точек ветвления принимает вид (2.6). 3.6. Новый взвешенный графНесложно построить граф $\Gamma$, отвечающий деформации (3.2) выделенного абелева интеграла, в невозмущенной координате $x$. Значения функции ширины $W(x)=\operatorname{Re}\eta^\pm(x)$ изменены только в окрестности точки $z$, следовательно, вертикальная часть $\Gamma_ {\rule{.5mm}{2.mm}} $ графа не меняется. Горизонтальная часть немного изменится, поскольку деформация расщепляет двойную критическую точку $z$ на две простых. Чтобы найти нули возмущенного дифференциала $d\eta^\pm$, мы используем локальную координату $y$ в окрестности двойного нуля $z$ невозмущенного дифференциала $d\eta_M$. Считая, что $\rho=1$, в этой окрестности получаем для интеграла представление $\eta^\pm=W+\delta W+ y^3\pm 3h^2y$. Для достаточно малого $h>0$ нули $y=\pm h$ (для деформации помеченной “$-$”) или $y=\pm ih$ (для деформации с отметкой “$+$”) дифференциала $d\eta^\pm$ лежат в той же окрестности двойного нуля с координатой $y(z)=0$. Проводя изолинии функции $\operatorname{Im}\eta^\pm$, проходящие через найденные критические точки, до их пересечения с $\Gamma_ {\rule{.5mm}{2.mm}} $, мы видим, что граф, сопоставленный новой кривой $M^\pm$, совпадает (топологически) с $\Gamma_\pm$. Критические значения деформированного абелева интеграла вместе со значениями в прочих значимых точках позволяют восстановить веса графа $\Gamma_\pm$. Возьмем, к примеру, деформацию “$+$”. Для произвольной точки $A^+\,{=}\,(H_0^+,H_1^+, H_2^+,W^+)\in\mathcal A[\Gamma_+]$ критические значения функции $\eta_M^+$, определенной вне системы разрезов, гомотопных дугам $B_s$, $s=0,1,2$, равны $W^+\pm iH_0^+$. Значения $\eta_M^+$ в точках ветвления $e_1,e_2$ равны $i(H_0^++H_1^+)$ и $i(H_0^+-H_2^+)$ соответственно; ср. с (3.1). Вычисления принимают во внимание то, что ветви выделенного дифференциала вне графа $\Gamma_+$ и вне системы разрезов $B_s$ различаются самое большее знаком. Сравнение значений, взятых явно из (3.2), например, критических значений функции $\eta^+(\pm ih)=W\,{+}\,\delta W\,{\pm}\, 2ih^3$, показывает, что новая кривая $M^+$ имеет координаты
$$
\begin{equation*}
A^+=(2h^3,\, H_1+\delta H_1 -2h^3, \,H_2+\delta H_2+2h^3,\, W+\delta W)
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $\mathcal A[\Gamma_+]$. Похожие вычисления для случая деформации “$-$” приводят нас к точке (2.4) координатного пространства $\mathcal A[\Gamma_-]$. Теорема доказана. § 4. ЗаключениеМы исследовали зависимость положения точек ветвления кривой от длины исчезающего ребра графа, описывающего комплексную структуру поверхности. Для нахождения асимптотики вложения многогранника $\mathcal A[\Gamma^\pm]$ в пространство модулей кривых вблизи его грани, отвечающей стягиванию ребра, мы модифицировали технологию квазиконформных деформаций абелевых интегралов, разработанную в [14; гл. 5]. Оказалось, что исследуемая зависимость имеет “каспидальную” особенность по отношению к исчезающей поперечной координате в многограннике и является гладкой по отношению ко всем касательным координатам. Все постоянные в полученной асимптотике даны в явно контролируемой форме как периоды определенного абелева интеграла. Члены высшего порядка в разложении (2.6) также могут быть явно вычислены и будут предъявлены в дальнейшем. Схожие разложения можно дать и в окрестности “внешних” граней координатного пространства $\mathcal A[\Gamma_\pm]$, отвечающих слиянию двух точек ветвления.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|