| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) О точной теореме Бэра–Сузуки для Н. Янa, Чж. Уa, Д. О. Ревинbc, Е. П. Вдовинbc a Jiangnan University, Wuxi, P. R. China b Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск c Новосибирский национальный исследовательский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9698e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ работе рассматриваются только конечные группы и под термином “группа” подразумевается конечная группа. Всюду через $\pi$ обозначено некоторое подмножество множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел. Конечная группа называется $\pi$-группой, если все простые делители ее порядка принадлежат $\pi$. Используются стандартные обозначения: через $\mathrm{O}_\pi(G)$ обозначается $\pi$-радикал группы $G$, т.е. ее наибольшая нормальная $\pi$-подгруппа; если $M$ – подмножество группы $G$, то через $\langle M\rangle$ обозначается подгруппа, порожденная $M$. Теорема Бэра–Сузуки – классический результат в теории конечных групп, вошедший во многие монографии и учебники, например, [1; теорема 39.6], [2; гл. A, (14.11)], [3; гл. 3, теорема 8.2], [4; теорема 2.12], [5; теорема 6.7.6]. Теорема Бэра–Сузуки. Пусть $p$ – простое число, $G$ – конечная группа и $x\in G$. Тогда $x\in \mathrm{O}_p(G)$, если и только если $\langle x_1,x_2 \rangle$ – $p$-группа для любых элементов $x_1,x_2\in G$, сопряженных с $x$. Теорема впервые была доказана Р. Бэром (см. [6]) и передоказана М. Сузуки (см. [7]). Короткое доказательство, основанное на теореме Силова, найдено в работе Дж. Алперина и Р. Лайонса [8]. Еще одно короткое доказательство, вытекающее из общих фактов о субнормальных подгруппах конечных групп, предложил Х. Виланд (см. [9]). Нетривиальной в этой теореме является часть “если”. Ее ценность понятна из следующих соображений. Для класса сопряженности $D$ группы $G$ условие $D\subseteq \mathrm{O}_p(G)$ равносильно тому, что $\langle D\rangle$ – $p$-подгруппа. Поскольку класс $D$ может быть сколь угодно велик, проверка последнего условия может быть затруднительна. Теорема Бэра–Сузуки показывает, что достаточно протестировать подгруппы, порожденные подмножествами из $D$ ограниченной мощности, а именно мощности 2. Эта теорема служит одновременно признаком непростоты группы и инструментом локального анализа. Она применяется в теории разрешимых групп (см. [2]), а также сыграла важную роль в классификации конечных простых групп1. Теорема Бэра–Сузуки имеет несколько эквивалентных формулировок. Наряду с приведенной наиболее известна формулировка, дающая полностью аналогичный критерий для принадлежности элемента нильпотентному радикалу (иначе, подгруппе Фиттинга) группы. Обобщения и аналоги этой теоремы, в том числе для бесконечных групп, исследовались многими авторами; см., например, [8], [9], [12]–[29]. Такого рода аналоги часто также называют теоремами Бэра–Сузуки или теоремами типа Бэра–Сузуки. Так, Н. Гордеевым, Ф. Груневальдом, Б. Кунявским и Е. Плоткиным (см. [14]–[16]) и независимо П. Флавеллом, С. Гэстом и Р. Гуралником (см. [17], [12]) доказана теорема Бэра–Сузуки для разрешимого радикала, утверждающая, что если любые четыре элемента из класса сопряженности в конечной группе порождают разрешимую подгруппу, то весь класс содержится в разрешимом радикале группы. Причем уменьшить данное число не только до двух, но даже до трех элементов нельзя, и в этом смысле полученная в процитированных работах теорема Бэра–Сузуки для разрешимого радикала является точной. Вопрос о том, для каких еще радикалов конечной группы справедлива теорема Бэра–Сузуки, поставлен в [15; проблема 1.16]. В теории групп нередко важные результаты удается получить, если вместо простого числа $p$ рассматривать некоторое множество $\pi$ простых чисел, а вместо $p$-подгрупп – $\pi$-подгруппы (ср., например, классические теоремы Силова в [30] и Холла в [31]; см. также [3; теоремы 1.2.9 и 6.4.3]). Поэтому естественно попытаться получить теорему Бэра–Сузуки для $\pi$-радикала, при необходимости увеличив по сравнению с оригинальной теоремой Бэра–Сузуки число сопряженных элементов, порождающих тестируемые подгруппы. В [32; теорема 1.2] авторами доказано, что для любого $\pi\subseteq \mathbb{P}$ всегда найдется неотрицательное целое число $m=m(\pi)$ такое, что в произвольной группе $G$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\mathrm{O}_\pi(G)=\{x\in G\mid \langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle\text{ - } \pi\text{-группа для любых } g_1,\dots, g_m\in G\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наименьшее такое $m$ согласно [15; определение 1.15] называется шириной Бэра–Сузуки класса $\pi$-групп и обозначается $\operatorname{BS}(\pi)$. Кроме того, доказано (см. [32; теорема 1.3]), что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \textit{если }\ \varnothing\ne\pi\ne \mathbb{P} \quad\textit{и }\ r=r(\pi)=\min\mathbb{P}\setminus\pi, \\ \textit{то }r-1\leqslant \operatorname{BS}(\pi)\leqslant \max\{11, 2(r-2)\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нижнюю оценку для $\operatorname{BS}(\pi)$ в последнем неравенстве можно получить из следующего утверждения2: если $r\geqslant 3$, то в симметрической группе $S_r$ любые $r-2$ транспозиции порождают $\pi$-подгруппу; при этом $\mathrm{O}_\pi(S_r)=1$ (см. [32; предложение 1.1]). Данная оценка демонстрирует, что ширина Бэра–Сузуки класса $\pi$-групп может быть сколь угодно большой для подходящего $\pi$. В то же время для любого $\pi$ эта ширина конечна3, и возникает вопрос, каково ее точное значение? Высказано предположение (см. [32; гипотеза 1]), что $\operatorname{BS}(\pi)$ в большинстве случаев совпадает с нижней оценкой $r-1$. Более точно, стоит вопрос о справедливости следующего утверждения. Гипотеза 1 (см. [32]). Пусть $\pi$ – собственное подмножество множества всех простых чисел и $r$ – наименьшее простое число, не входящее в $\pi$. Тогда Если бы гипотезу 1 удалось подтвердить, ее можно было бы рассматривать как точную теорему Бэра–Сузуки для $\pi$-радикала: ее справедливость означала бы, что $\operatorname{BS}(\pi)=r-1$, если $r\geqslant 5$. Для $r=2$ гипотеза верна, как следует из результата В. Н. Тютянова [29] (см. также [24; теорема 1]); при этом если $\pi\ne\varnothing$, то $\operatorname{BS}(\pi)=2$. Насколько точной могла бы быть оценка в гипотезе 1 при $r=3$, видно из следующего: ясно, что $\operatorname{BS}(\pi)\geqslant 2$; для $\pi=\{2\}$ имеем $r=3$ и по теореме Бэра–Сузуки $\operatorname{BS}(\pi)=2<3$; в то же время есть примеры множеств $\pi$ с $r=3$ и таких, что $\operatorname{BS}(\pi)\ne 2$ (см. [24; пример 2]). Результаты из [24] сводят гипотезу к изучению так называемых почти простых групп. Чтобы сформулировать утверждение о почти простых группах, которое гарантировало бы справедливость гипотезы 1, напомним обозначения, введенные Р. Гуралником и Я. Сакслом в [33] и авторами в [32]. Определение 1. Пусть $L$ – неабелева простая группа, $r$ – простой делитель ее порядка и $x\in\operatorname{Aut}(L)$ – ее неединичный автоморфизм. Мы отождествляем $L$ c подгруппой $\operatorname{Inn}(L)$ в $\operatorname{Aut}(L)$. Из определения видно, что если $\alpha(x,L)$ и $\beta_r(x,L)$ определены, то С учетом имеющейся редукции к почти простым группам и результатов для $r=2$ (см. [29], [24]) справедливость гипотезы 1 была бы установлена, если бы удалось доказать следующее утверждение. Гипотеза 2 (см. [32]). Пусть $r$ – нечетное простое число. Предположим, что для конечной неабелевой простой группы $L$ выбран простой делитель $s$ ее порядка, причем $s=r$, если $r$ делит $|L|$, и $s>r$ в противном случае. Тогда для любого автоморфизма $x$ простого порядка группы $L$. Здесь простота порядка $x$ эквивалентным образом заменяет a priori более широкое предположение $x\ne1$. Гипотеза 2 подтверждена для случаев, когда $L$ – знакопеременная (см. [32; предложение 1.5]) или спорадическая (см. [34; теорема 1]) группа. Основной результат настоящей статьи состоит в том, что гипотеза 2 верна для двух серий простых классических групп лиева типа, а именно для простых линейных и унитарных групп. Теорема 1. Пусть $r$ – нечетное простое число. Пусть $L=L_n(q)$ или $L=U_n(q)$ – конечная простая линейная или унитарная группа, $x\in \operatorname{Aut}(L)$ – элемент простого порядка. Пусть также простой делитель $s$ порядка группы $L$ выбран так, что $s=r$, если $r$ делит $|L|$, и $s> r$ в противном случае. Тогда для любого автоморфизма $x$ простого порядка группы $L$. Гипотеза 2 пока не доказана и не опровергнута для симплектических, ортогональных групп и исключительных групп лиева типа. Тем не менее известно (см. [32; теорема 1.4]), что для любой неабелевой конечной простой группы $L$, порядок которой делится на $r\in\mathbb{P}$, величина $\beta_r(x,L)$ ограничена числом $\max\{11,2(r- 2)\}$, зависящим только от $r$ и не зависящим от самой группы $L$ (в отличие от величины $\alpha(x,L)$, которая может быть сколь угодно большой для подходящих группы $L$ и ее автоморфизма $x$). В доказательстве теоремы 1 мы в целом следуем схеме рассуждений, примененной при работе с классическими группами в работе [32]. Доказательство ведется одновременной для $L_n(q)$ и $U_n(q)$ индукцией по размерности $n$ векторного пространства, ассоциированного с группой. Сначала изучаются случаи, когда $n\leqslant 3$ или $n=4$ и $q=2,3,5$. Общий случай распадается на два подслучая. Либо удается показать, что $x$ в группе $L$ индуцирует нетождественный автоморфизм на некоторой $x$-инвариантной секции, изоморфной $L_k(q')$ или $U_k(q')$ для $k<n$ и такой, что ее порядок делится на $s$, после чего применяется предположение индукции. Либо оказывается, что сама размерность $n$ ограничена в терминах $r$. В последнем случае часто, хотя далеко не всегда, оказывается достаточно оценки из [33] (см. также табл. 1), ограничивающей $\alpha(x,L)$, а следовательно, и $\beta_s(x,L)$, функцией от $n$. Ситуации, возникающие для автоморфизма $x$, разбиваются на два больших блока: либо $x$ является внутренне-диагональным (возможные случаи перечислены в лемме 10), либо $x$ оказывается полевым, графовым или графово-полевым по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов. К сожалению, для получения более тонкой по сравнению с теоремой 1.4 из [32] оценки, которую требует гипотеза 2, результатов из [33] часто недостаточно и приходится разбирать большое количество весьма непростых исключительных случаев. Разбору наиболее принципиальных случаев для внутренне-диагонального автоморфизма $x$ посвящены леммы 13 и 14. Сложным оказывается также разбор случаев, перечисленных в лемме 16, когда $x$ – графовая инволюция, особенно для относительно небольшой размерности, при которой число $\alpha(x,L)$ слишком велико по сравнению с $n$. При этом группы $L_4(q)$ и $U_4(q)$ оказывается удобно рассматривать как ортогональные группы $O^\pm_6(q)$, а секции, на которых $x$ индуцирует нетождественный автоморфизм, оказываются изоморфными $O_4^-(q)\cong L_2(q^2)$ и в наиболее тонком случае $O_5(q)\cong S_4(q)$ (леммы 17 и 26). С помощью теоремы 1 и результатов из [24], [32], [34] получаем следующее утверждение, частично подтверждающее гипотезу 1. Теорема 2. Пусть $\pi$ – некоторое множество простых чисел и $r$ – наименьшее простое число, не лежащее в $\pi$. Положим Тогда для любой конечной группы $G$, всякий неабелев композиционный фактор которой изоморфен спорадической, знакопеременной, линейной или унитарной группе. Авторы надеются, что дальнейшее изучение гипотезы 2 позволит доказать точную теорему Бэра–Сузуки для $\pi$-радикала в полном объеме. Можно также ожидать, что получение неулучшаемых оценок для $\beta_r(x,L)$ будет представлять интерес и вне исследования теорем типа Бэра–Сузуки. Во всяком случае оценки на $\alpha(x,L)$, полученные в [33], и их последующие уточнения находят весьма обширные применения. § 2. Предварительные результаты2.1. Теоретико-групповые обозначения, редукция к почти простым группам и другие общие леммыИспользуются стандартные для теории групп обозначения (см. [1], [3], [35]), а также обозначения из “Атласа конечных групп” [36]. Так, если $G$ – группа и $x,g\in G$, то $x^g=g^{-1}xg$ и $[x,g]=x^{-1}x^g$. Также для группы $G$ через $\mathrm{O}_\infty(G)$, $\operatorname{Z}(G)$, $\operatorname{F}(G)$, $\operatorname{F}^*(G)$, $\Phi(G)$, $G'=[G,G]$ и $G^{\infty}=\mathrm{O}^{\infty}(G)$ обозначены разрешимый радикал, центр, подгруппа Фиттинга, обобщенная подгруппа Фиттинга, подгруппа Фраттини, коммутант и последний член ряда коммутантов (разрешимый корадикал) группы $G$ соответственно. Также для натурального числа $n$ и для группы $G$ через $\pi(n)$ и $\pi(G)$ обозначены множества всех простых делителей чисел $n$ и $|G|$ соответственно. Для подмножества $\pi$ множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел полагаем $\pi'=\mathbb{P}\setminus\pi$. Пусть $\mathrm{O}^\pi(G)$ – $\pi$-корадикал группы $G$, т.е. наименьшая по включению нормальная подгруппа, факторгруппа по которой является $\pi$-группой. Подгруппу $\mathrm{O}^\pi(G)$ можно трактовать также как подгруппу, порожденную всеми $\pi'$-подгруппами. Множество нетривиальных элементов группы $G$ обозначаем как $G^\sharp$. Следуя [24], используем следующее обозначение. Пусть $\pi$ – некоторое множество простых чисел, $m$ – неотрицательное целое число. Для группы $G$ будем писать $G\in{{\mathscr B}{\mathscr S}}_{\pi}^{m}$, если
$$
\begin{equation*}
\mathrm{O}_\pi(G)=\{x\in G\mid \langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle\text{ - } \pi\text{-группа для любых } g_1,\dots, g_m\in G\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма описывает строение минимального контрпримера к гипотезе 1. Лемма 1 (см. [24; лемма 7]). Пусть $\mathscr{X}$ – класс конечных групп, замкнутый относительно взятия нормальных подгрупп, гомоморфных образов и расширений и содержащий все $\pi$-группы. Допустим, $\mathscr{X}\nsubseteq\mathscr{BS}_{\pi}^{m}$ для некоторого натурального $m\geqslant 2$ и группа $G\in\mathscr{X}\setminus\mathscr{BS}_{\pi}^{m}$ выбрана так, что ее порядок является наименьшим. Тогда группа $G$ содержит подгруппу $L$ и элемент $x$ такие, что: 1) $L\trianglelefteq G$; 2) $L$ является неабелевой простой группой; 3) $L$ не является $\pi$- или $\pi'$-группой; 4) $\operatorname{C}_G(L)=1$; 5) любые $m$ сопряженных с $x$ элементов порождают $\pi$-группу; 6) $x$ имеет простой порядок, принадлежащий $\pi$; 7) $G=\langle x, L\rangle$. Лемма 2 (см. [24; теорема 1]). Если $2\not\in\pi$, то $\mathscr{BS}_\pi^2$ совпадает с классом всех конечных групп. Лемма 3 (см. [37; лемма 15]). Пусть $G$ – группа и $x\in\operatorname{Aut}(G)$ – автоморфизм, порядок которого равен степени простого числа $p$. Положим $M=\operatorname{C}_G(x)$ и допустим, что $p$ делит $|G:M|$ и либо $M=\operatorname{N}_G(M)$, либо $\operatorname{Z}(M) =1$. Тогда $x$ нормализует, но не централизует некоторую подгруппу в $G$, сопряженную с $M$. В индукционных рассуждениях будут использоваться следующие две очевидные леммы. Лемма 4. Пусть $L$ – неабелева простая группа и $x\in \operatorname{Aut}(L)^\sharp$. Предположим, что $x$ оставляет инвариантными некоторую подгруппу $H$ и ее нормальную подгруппу $N$ и индуцирует на $\overline{H}=H/N$ нетождественный автоморфизм, который мы обозначим через $\overline{x}$. Допустим, группа $\overline{H}$ неабелева простая и ее порядок делится на простое число $r$. Тогда Лемма 5. Пусть $L$ – неабелева конечная простая группа, $x,y\in \operatorname{Aut}(L)^\sharp$. Предположим, что $y\in \langle x^{g_1},\dots,x^{g_k}\rangle$ для некоторых $g_1,\dots,g_k\in L$. Тогда для любого простого делителя $r$ порядка группы $L$. 2.2. Обозначения и предварительные сведения, касающиеся классических группПри работе с классическими группами мы используем обозначения из [38] и [36]. Используя лиевскую нотацию, мы следуем [39]. Везде далее предполагается, что $q$ – степень фиксированного простого числа $p$, через $F=\mathbb{F}_q$ обозначено конечное поле порядка $q$. Напомним, что для векторного пространства $V$ над полем $F$ символ $V^\sharp$ обозначает множество всех ненулевых векторов этого пространства. Для вектора $v\in V$ и элемента $g\in \operatorname{GL}(V)$ образ $v$ под действием $g$ обозначен через $vg$. Если же $v\in V$ и $g\in \operatorname{GL}(V)$, то $[v,g]=vg-v$. Для подгруппы $G\leqslant\operatorname{GL}(V)$ положим $[v,G]=\langle [v,g]\mid g\in G\rangle_F$. Заметим, что, поскольку $[v,G]=\langle vg-vh\mid g,h\in G\rangle_F$, подпространство $[v,G]$ пространства $V$ является $G$-инвариантным. Если пространство $V$ снабжено невырожденной билинейной, эрмитовой или квадратичной формой, то мы будем говорить, что подпространство $U$ пространства $V$ невырожденно, если ограничение соответствующей формы на $U$ невырожденно, и будем говорить, что $U$ вполне изотропно, если ограничение на него соответствующей формы тождественно нулевое. Образ в группе $\operatorname{PGL}_n(q)$ матрицы $(a_{ij})\in\operatorname{GL}_n(q)$, заданной своими элементами, будем обозначать с помощью тех же элементов, заключенных в квадратные скобки: $[a_{ij}]$. Далее через $\tau$ будем обозначать автоморфизм группы $\operatorname{GL}_n(q)$, действующий по правилу где ${}^\top$ – символ транспонирования матрицы. Через $\varphi_{p^m}$ обозначен автоморфизм группы $\operatorname{GL}_n(q)$, действующий по правилу Теми же символами $\tau$ и $\varphi_{p^m}$ мы обозначаем индуцированные $\tau$ и $\varphi_{p^m}$ автоморфизмы групп $\operatorname{SL}_n(q)$, $\operatorname{PGL}_n(q)$ и $\operatorname{PSL}_n(q)$. В частности, если $q=p^k$ и $r$ делит $k$, то $\varphi_{q^{1/r}}$ – полевой автоморфизм порядка $r$.Как правило, мы отождествляем группу $\operatorname{PSU}_n(q)$ с $\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_{\operatorname{PGL}_n(q^2)}(\tau\varphi_{q}))$. Как обычно, при изучении линейных и унитарных групп мы будем часто использовать унифицированное обозначение $\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$, полагая
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSL}_n^{+}(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad \operatorname{PSL}_n^{-}(q)=\operatorname{PSU}_n(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом определены $\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$, $\operatorname{GL}^\varepsilon_n(q)$ и $\operatorname{SL}^\varepsilon_n(q)$. Следуя [36], мы используем также краткую нотацию
$$
\begin{equation*}
L_n(q)=L_n^+(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad U_n(q)=L_n^-(q)=\operatorname{PSU}_n(q).
\end{equation*}
\notag
$$
При использовании лиевской нотации мы считаем, что
$$
\begin{equation*}
A_{n-1}(q)=A_{n-1}^+(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad {}^2A_{n-1}(q)=A_{n-1}^-(q)=\operatorname{PSU}_n(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $E_t$ обозначается единичная $(t\times t)$-матрица, а символом $A\otimes B$ – кронекерово произведение матриц $A$ и $B$. Применительно к автоморфизмам групп лиева типа мы будем использовать следующую терминологию, близкую к принятой в [39] и несколько отличающуюся от принятой в [40]. Понятия внутренне-диагонального автоморфизма в [40] и [39] совпадают и не отличаются от используемого нами. В [39; определение 2.5.10] введены подгруппы $\Phi_K$ и $\Gamma_K$ в группе автоморфизмов произвольной группы лиева типа $K$. Для групп лиева типа мы будем использовать обычно букву $L$, поэтому соответствующие подгруппы будем обозначать через $\Phi_L$ и $\Gamma_L$. Эти подгруппы можно отождествить соответственно с группами полевых и графовых автоморфизмов группы $L$ в смысле [40]. Через $\widehat{L}$ обозначается группа внутренне-диагональных автоморфизмов группы $L$. Применительно к линейным и унитарным группам скажем об автоморфизмах более подробно. В случае, когда $L=\operatorname{PSL}^\varepsilon_n(q)$, имеем $\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$. Лемма 6 (см. [39; теорема 2.5.12]). Пусть ${\mathbb F}_q$ – поле порядка $q=p^k$, $n\geqslant 2$ и $L=A_{n-1}^\varepsilon(q)$. Тогда $\operatorname{Aut}(L)$ является расщепляемым расширением группы $\widehat{L}$ с помощью абелевой группы $\Phi_L\Gamma_L$. При этом $\Phi_L\Gamma_L\cong \Phi_L\times \Gamma_L$, а группы $\Phi_L$ и $\Gamma_L$ циклические. Если $\varepsilon=+$, то $|\Phi_L|=k$, а $|\Gamma_L|=2$ при $n>2$ и $|\Gamma_L|=1$ при $n=1$. Если же $\varepsilon=-$, то $|\Phi_L|=2k$, а $|\Gamma_L|=1$. Для линейной простой группы $L$ автоморфизм $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus\widehat{L}$ будем называть:
Пусть $L$ – унитарная простая группа. Пусть $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus\widehat{L}$. Автоморфизм $x$ будем называть:
Заметим, что так определенные понятия полевого и графово-полевого по модулю $\widehat{L}$ автоморфизма $x$ группы $L$ совпадают с понятиями полевого и графово-полевого автоморфизма в [39; определение 2.5.13] соответственно в случае, когда $\langle x\rangle\cap \widehat{L}=1$ (в частности, когда $x$ имеет простой порядок). Следующая лемма содержит информацию о параметре $\alpha(x,L)$, где $x$ – автоморфизм простого порядка классической простой группы $L$, взятую из [33]. Лемма 7. Пусть $S$ – простая классическая группа и $x\in \operatorname{Aut} L$ – элемент простого порядка. Тогда $\alpha(x,L)$ удовлетворяет условию, указанному в последнем столбце таблицы 1. Доказательство следующего утверждения можно извлечь из общего доказательства теорем 4.1–4.4 в [33]. Более точно, в [33] это утверждение доказано для линейных групп на с. 534, для унитарных – на с. 536, для симплектических – на с. 538 и для ортогональных – на с. 539. Лемма 8. Пусть $L$ – простая классическая группа и $x\in \widehat{L}$ – нетривиальный элемент простого порядка, индуцированный неприводимым полупростым элементом соответствующей $L$ группы подобий. Тогда $\alpha(x,L)\leqslant 3$. Лемма 9. Пусть $L=L_2(q)$ и $r\in \pi(L)$ – нечетное число, не делящее $q$. Тогда для любой инволюции $x\in\widehat{L}$ выполнено $\beta_r(x,L)=2$. Доказательство. Из условия следует, что $r$ делит $q-\varepsilon$ для некоторого $\varepsilon=\pm1$. Допустим сначала, что $x\in L$. Поскольку все инволюции в $L$ сопряжены (если $q$ четно, это следует из теоремы Силова, равенства $L=\widehat{L}$ и хорошо известного факта, что нормализатор силовской 2-подгруппы в $L$ является группой Фробениуса с ядром порядка $q$ и дополнением порядка $q-1$, регулярно действующим на неединичных 2-элементах силовской 2-подгруппы, а если $q$ нечетно; см. [39; теорема 4.5.1 и таблица 4.5.1]), мы можем считать, что $x$ содержится в подгруппе диэдра $D$ порядка $q-\varepsilon$ или $2(q-\varepsilon)$ в зависимости от четности $q$ и инвертирует все элементы единственной подгруппы $\langle y\rangle$ порядка $r$ в группе $D$ (см. [5; утверждение 1.6.9]). Тогда элемент имеет порядок $r$ и $\beta_r(x,L)=2$, как и утверждается.
Если $x\notin L$, то $q$ нечетно. Все инволюции в $\widehat{L}\setminus L$ сопряжены элементами из $L$, как следует из [39; теорема 4.5.3 и таблица 4.5.2], причем сопряжены с инволюцией из подгруппы диэдра $\widehat{D}$ порядка $2(q-\varepsilon)$, которая инвертирует элементы единственной подгруппы $\langle y\rangle$ порядка $r$ в группе $\widehat{D}$. Рассуждая, как и в предыдущем случае, получаем требуемое. Лемма доказана. Лемма 10. Пусть $\Delta=\Delta(V)$ – группа всех подобий конечномерного векторного пространства $V$, снабженного невырожденной или тривиальной билинейной или эрмитовой формой. Пусть $x\in\Delta$ – элемент примарного порядка, образ которого в группе $\Delta(V)/\operatorname{Z}(\Delta(V))$ имеет простой порядок. Тогда имеет место один из следующих случаев: 1) элемент $x$ унипотентен и стабилизирует подпространство размерности $1$; 2) форма тривиальна, элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантными два дополняющих друг друга ненулевых подпространства; 3) форма невырожденна, элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантными собственное ненулевое невырожденное подпространство и ортогональное дополнение к нему; 4) форма невырожденна, ее индекс Витта равен $\frac{1}{2}\dim V$ (в частности, размерность $V$ четна), элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантным максимальное вполне изотропное подпространство; 5) $x$ полупрост и действует неприводимо на $V$. Доказательство. Элемент $x$ либо унипотентен, либо полупрост. В первом случае пусть $l$ – наименьшее натуральное число такое, что $(x-1)^l=0$. Тогда $(x-1)^{l-1}\ne 0$ и существует вектор $v\in V$ такой, что Таким образом, для ненулевого вектора $u=v(x-1)^{l-1}$ выполнено $ux=u$. Значит, $\langle u\rangle$ – одномерное $x$-инвариантное подпространство, т.е. верно 1).
Пусть теперь элемент $x$ полупрост. Если он неприводим, то верно 5). Если форма тривиальна, то по теореме Машке (см. [35; теорема (1.9)]) верно 2). Поэтому считаем, что $x$ приводим и форма невырожденна. Пусть $U$ – собственное ненулевое $x$-инвариантное подпространство. Элемент то $x$ стабилизирует ортогональное дополнение $U^\perp$. Если $U$ невырожденно, то $U\cap U^\perp=0$ и $U^\perp$ – дополнение к $U$ в $V$, тем самым верно 3). Если $U$ не является невырожденным, то его радикал ${\operatorname{rad}U=U\cap U^\perp}$ – собственное ненулевое вполне изотропное $x$-инвариантное подпространство. Можно, таким образом, считать $U$ вполне изотропным. Если $\dim U<\frac{1}{2}\dim V$, то $U<U^\perp$, $U=\operatorname{rad}U^\perp$ и по теореме Машке $U^\perp$ обладает $x$-инвариантным дополнением $W$ к $U$, причем $W\cong U^\perp/U$ невырожденно, т.е. имеет место 3). Если же $\dim U=\frac{1}{2}\dim V$, то выполнено 4). Лемма доказана. Лемма 11 (см. [33; лемма 2.2]). Пусть $L$ – простая группа лиева типа, $G = \widehat{L}$ и $x\in G^\sharp$. Тогда выполнены следующие утверждения. 1) Если элемент $x$ унипотентный, то пусть $P_1$ и $P_2$ – различные параболические максимальные подгруппы в $G$, содержащие общую подгруппу Бореля, и $U_1$, $U_2$ – унипотентные радикалы подгрупп $P_1$ и $P_2$ соответственно. Тогда элемент $x$ сопряжен с элементом из $P_i\setminus U_i$ для $i = 1$ или $i = 2$. 2) Если элемент $x$ полупростой, то допустим, что $x$ содержится в некоторой параболической подгруппе группы $G$. Если ранг группы $L$ не меньше 2, то существует параболическая максимальная подгруппа $P$ c дополнением Леви $J$ такая, что элемент $x$ сопряжен с некоторым элементом из $J$, не централизующим никакую из (возможно, разрешимых) компонент Леви группы $J$. Лемма 12. Пусть $\mathbb{F}_q$ – поле нечетной характеристики $p$ и $\beta\in\mathbb{F}^*_q$. Обозначим через $\mathbb{F}_{q_0}$ подполе в $\mathbb{F}_q$, порожденное $\beta^3$. Рассмотрим в $\operatorname{SL}_2(q)$ элементы Тогда подгруппа $H=\langle x,y \rangle$ группы $\operatorname{SL}_2(q)$ либо изоморфна $\operatorname{SL}_2(q_0)$, либо $q_0=9$ и $H$ изоморфна подгруппе в $\operatorname{SL}_2(q_0)$, образ которой в $\operatorname{PSL}_2(q_0)$ изоморфен $A_5$, а сама $H$ содержит подгруппу, изоморфную $\operatorname{SL}_2(3)$. В частности, $H$ всегда содержит подгруппу, изоморфную $\operatorname{SL}_2(p)$, и в ней матрицу которая является единственным элементом порядка $2$ группы $\operatorname{SL}_2(q)$. Доказательство. Рассмотрим матрицу
$$
\begin{equation*}
g=\begin{pmatrix} 1 & {} \\ {} & \beta^2 \end{pmatrix}\in \operatorname{GL}_2(q)
\end{equation*}
\notag
$$
и подгруппу $H^g=\langle x^g,y^g\rangle\cong H$. Непосредственными вычислениями убеждаемся, что
$$
\begin{equation*}
x^g=\begin{pmatrix} 1 & {} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad y^g=\begin{pmatrix} 1 & \beta^3 \\ {} & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из [3; гл. 2, теорема 8.4] следует, что подгруппа $H^g$, а значит, и $H$, такая, как утверждается в лемме.
Лемма доказана. Лемма 13. Пусть $V$ – пространство с невырожденной эрмитовой формой над полем $F=\mathbb{F}_{q^2}$ нечетной размерности $\dim V=n\geqslant 5$. Тогда для унипотентного элемента $x\in\operatorname{SU}(V)$ простого порядка имеет место один из следующих случаев: 1) $x$ стабилизирует невырожденное подпространство размерности $1$; 2) $x$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство и индуцирует на нем нетождественное преобразование; 3) $q$ нечетно и существует сопряженный с $x$ элемент $x^g$ такой, что в подгруппе $\langle x, x^g\rangle$ некоторая инволюция стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство и индуцирует на нем нескалярное преобразование. Доказательство. Для $\alpha\in F=\mathbb{F}_{q^2}$ положим $\overline{\alpha}=\alpha^q$.
В [41; предложение 2.2] найдены представители классов сопряженности унипотентных элементов группы $\operatorname{SU}(V)\cong\operatorname{SU}_n(q)$. Известно, что с точностью до сопряженности элементом из $\operatorname{GU}(V)$ унипотентному элементу $x$ соответствует однозначно с точностью до перестановки слагаемых определенное разбиение и соответствующее ему разложение пространства $V$ в сумму попарно ортогональных невырожденных $x$-инвариантных подпространств $V_1,\dots,V_s$ таких, что $\dim V_t=n_t$ для $t\in\{1,\dots,s\}$, и действие $x$ на $V_t$ задается следующим образом.Зафиксируем $\beta,\gamma\in F^*$ так, что $\beta+\overline{\beta}=0$ и $\gamma+\overline{\gamma}=-1$. Если $n_t=2k$ для некоторого $k=k(t)$, то в $V_t$ существует упорядоченный базис такой, что
$$
\begin{equation*}
(e_i^t,e_j^t)=(f_i^t,f_j^t)=0, \quad (e_i^t,f_j^t)=\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,k,
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^t_ix&=e^t_i+\dots+e^t_k+\beta f^t_k \quad\text{для всех }\ i=1,\dots,k, \\ f^t_ix&=f^t_i- f^t_{i-1} \quad\text{для всех }\ i=2,\dots,k, \\ f^t_1x&=f^t_{1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $n_t=2k+1$, $k=k(t)$, то в $V_t$ существует упорядоченный базис такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (e_i^t,e_j^t)=(f_i^t,f_j^t)=(e_i^t,d^t)=(f_i^t,d^t)=0, \\ (d^t,d^t)=1,\qquad (e_i^t,f_j^t)=\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,k, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^t_ix&= e^t_i+\dots+e^t_k+d^t+\gamma f^t_k \quad\text{для всех }\ i=1,\dots,k, \\ d^tx&=d^t- f^t_{k}, \\ f^t_ix&=f^t_i- f^t_{i-1} \quad\text{для всех }\ i=2,\dots,k, \\ f^t_1x&=f^t_{1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что случай 1), т.е. существование одномерного $x$-инвариантного невырожденного подпространства, равносилен тому, что $n_t=1$ для некоторого $t\in\{1,\dots,s\}$. Поэтому считаем, что $n_t>1$ для всех $t$. Поскольку $n$ нечетно, некоторое $n_t$ также нечетно и для него $n_t\geqslant 3$. Теперь из того, что $x$ имеет порядок $p$, где $p$ – характеристика поля, заключаем, что $p>2$. В самом деле, при $p=2$ элемент $x^2$ нетождественно действует на $V_t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^t_kx^2 &=(e^t_k+d^t+\gamma f_k^t)x=e_k^t+d^t+\gamma f_k^t+d^t+f_k^t+\gamma(f_k^t+f) \\ &=e_k^t+f_k^t+\gamma f\ne e_k^t, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $f=0$, если $k=1$, и $f=f^t_{k-1}$ в противном случае.
Обозначим через $U$ подпространство, порожденное всеми $f^t_i$, где $t=1,\dots,s$, $i=1,\dots, k(t)$. Ясно, что $U$ вполне изотропно и $x$-инвариантно. Предположим, что ровно одно слагаемое в сумме $n_1+\dots+n_s$ нечетно. Тогда подпространство $U$ является максимальным вполне изотропным. При этом если $k=k(t)>1$ для некоторого $t\in\{1,\dots,s\}$, то из равенства следует, что $x$ действует на $U$ нетождественно, т.е. имеет место случай 2) леммы. Поэтому мы можем считать, что Так как $n\geqslant 5$, мы видим, что $s\geqslant 2$ и $n_1=2$. Рассмотрим элемент $g\in \operatorname{GL}(V)$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e^1_1g=\beta^{-1}f^1_1, \qquad f^1_1g=-\beta e_1^1, \\ e^t_1g=e^t_1, \quad f^t_1g=f^t_1 \quad\text{при }\ t>1, \\ d^sg=d^s, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где, как и выше, $\beta\in F^*$ и $\beta+\overline{\beta}=0$. Тогда, как легко проверить, $g\in\operatorname{SU}(V)$ и матрицы элементов $x$ и $x^g$ в базисе
$$
\begin{equation*}
e^1_1,f^1_1,e^2_1,f^2_1,\dots, e^{s-1}_1,f^{s-1}_1,e^{s}_1,d^s,f^{s}_1
\end{equation*}
\notag
$$
имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & \beta & & & & & & & & \\ & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & \beta & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & \beta & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & 1 & \gamma \\ & & & & & & & & 1 & -1 \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & & & & & & & & & \\ -\beta^2 & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & \beta & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & \beta & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & 1 & \gamma \\ & & & & & & & & 1 & -1 \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно, где элементы $\beta$ и $\gamma$ из $F$ выбраны описанным выше способом. Далее, рассмотрим подгруппу Тогда $H$ – подгруппа в группе $K$ всех блочно-диагональных матриц вида где $A\in\operatorname{SL}_2(q^2)$, a $B$ – произвольная унитреугольная матрица над $\mathbb{F}_{q^2}$ порядка $n-2$. Рассмотрим также эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\overline{\phantom{G}}\colon K\to \operatorname{SL}_2(q^2),
\end{equation*}
\notag
$$
действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} A & {} \\ {} & B \end{pmatrix}\mapsto A.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\overline{(x^g)}{}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & {} \\ \beta^2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \overline{x}= \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ {} & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, как следует из леммы 12, подгруппа
$$
\begin{equation*}
\overline{H}=\overline{\langle(x^g)^{-1},{x} \rangle} \leqslant\overline{K}=\operatorname{SL}_2(q^{{2}})
\end{equation*}
\notag
$$
содержит единственный элемент $\overline{y}$ порядка 2 группы $\operatorname{SL}_2(q^{{2}})$, и это матрица Возьмем его прообраз $y$ в $H$ также порядка $2$. Тогда матрица $y$ в базисе
$$
\begin{equation*}
e^1_1,f^1_1,e^2_1,f^2_1,\dots, e^{s-1}_1,f^{s-1}_1,e^{s}_1,d^s,f^{s}_1
\end{equation*}
\notag
$$
имеет вид5
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} -1 & & & & & & & & & \\ & -1 & & & & & & & & \\ & & 1 & * & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & * & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & * & * \\ & & & & & & & & 1 & * \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
и векторы $f_1^1,f_1^2,\dots, f_1^{s-1}, f^s_1$ будут собственными для $y$:
$$
\begin{equation*}
f_1^1y=-f^1_1,\qquad f_1^ty=f_1^t \quad\text{при }\ t>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, максимальное вполне изотропное подпространство инвариантно относительно элемента $y$, и на $U$ этот элемент индуцирует нескалярное преобразование. Таким образом, имеет место случай 3).
Покажем, наконец, что если среди $n_1,\dots, n_s$ более одного нечетного числа, то снова имеет место случай 2). Не умаляя общности, можем считать, что нечетными будут числа $n_1,\dots, n_{s'}$, а числа $n_{s'+1},\dots, n_s$ будут четными, причем, поскольку $n$ нечетно, число $s'$ также нечетно. Рассмотрим ортогональное дополнение $U^\perp$ к $U$. Оно $x$-инвариантно, и из того, что $\operatorname{codim} U^\perp=\dim U=n-\dim U^\perp$ совпадает с числом векторов $e_i^t$, $t=1,\dots,s$, $i=1,\dots, k_t$, следует
$$
\begin{equation*}
U^\perp=\langle d^{t'}, f_i^t\mid t'=1,\dots,s', \ t=1,\dots,s,\ i=1,\dots, k_t\rangle_F.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим $(s'-1)/2$ пар векторов $(d^1,d^2),\dots,(d^{s'-2},d^{s'-1})$. Возьмем одну такую пару $(d^{t'},d^{t'+1})=(d,d')$ и построим по ней пару $(a,b)=(a^{t'},b^{t'})$ по следующему правилу. Возьмем $\mu\in \mathbb{F}_{q^2}$ таким, что $\mu\overline{\mu}=-1$, и положим Так как $(d,d')= 0$ и $(d,d)=(d',d')=1$, имеем и аналогично $(b,b)=0$. Заметим, что т.е. $x$ индуцирует тождественное преобразование факторпространства
$$
\begin{equation*}
(\langle d,d'\rangle_F+U)/U=(\langle a,b\rangle_F+U)/U.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь понятно, что является максимальным вполне изотропным подпространством пространства $V$, которое к тому же $x$-инвариантно. При этом
$$
\begin{equation*}
a^1x=(d^1+\mu d^2)x=d^1+\mu d^2 - f^1_{k(1)}-\mu f^1_{k(2)}\ne d^1+\mu d^2= a^1,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $x$ действует на $W$ нетождественно, и имеет место случай 2).
Лемма 13 доказана. Лемма 14. Пусть имеет место одно из утверждений: Пусть знак $\varepsilon\in\{+,-\}$ показывает, какое из данных утверждений имеет место, и пусть $F=\mathbb{F}_q$ при $\varepsilon=+$ и $F=\mathbb{F}_{q^2}$ при $\varepsilon=-$, а $n=\dim V$. Допустим, подгруппы $L_U\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(U)$ и $L_W\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(W)$ неприводимы, и определим естественным образом $L=L_U\times L_W$ как подгруппу в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$. Предположим, что элемент $x\in L$ таков, что его естественная проекция на $L_U$ действует неприводимо на $U$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Существует элемент $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ такой, что подгруппа $G=\langle L,x^g\rangle$ неприводимо действует на $V$. 2) Предположим, что $\dim U\leqslant\dim W$ и $\operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant L_W\leqslant\operatorname{GL}^\varepsilon(W)$. Тогда либо элемент $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ можно выбрать так, что подгруппа $G\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(V)$, определенная в 1), примитивна, либо $(n,q)\in\{(4,2),(4,3)\}$ и мощность системы импримитивности группы $G$, определенной в 1), равна $4$. 3) Допустим, $(n,q)\notin\{(4,2),(4,3),(4,5)\}$, $|x|$ – простое число и элемент $x$ при $\varepsilon=+$ не имеет собственных векторов, a при $\varepsilon=-$ не имеет невырожденных собственных векторов. Пусть $U$ является $x$-инвариантным подпространством наименьшей размерности, $t=\operatorname{codim} U$. Положим Тогда некоторые $m+1$ элементов, сопряженных с $x$ посредством элементов из $\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$, порождают подгруппу, содержащую одну из подгрупп: Доказательство. Покажем сначала, что
Действительно, предположим, что собственное подпространство $X$ пространства $V$ является $L$-инвариантным. Поскольку $2\leqslant \dim U\leqslant \dim W$ и подгруппы $L_U$ и $L_W$ неприводимы на соответствующих подпространствах, для любых $u\in U^\sharp $ и $w\in W^\sharp$ справедливы равенства $[u,L_U]=U$ и $[w,L_W]=W$. Пусть $v\in X^\sharp$. Тогда вектор $v$ единственным образом представим в виде $v=u+w$, где $u\in U$ и $w\in W$. Если $u\ne 0$, то в силу неприводимости группы $L_U$ имеем Следовательно, если $u\ne 0$, то $X$ содержит $U$. Аналогичные рассуждения показывают, что если $w\ne 0$, то $X$ содержит $W$. Утверждение $(*)$ доказано.Далее, мы утверждаем, что Действительно, выберем в $U$ и $W$ базисы $e_1,\dots,e_s$ и $f_1,\dots,f_t$ соответственно, которые в случае $(-)$ будут ортонормированными. Поскольку $s=\dim U\geqslant 2$, утверждение $(**)$ выполнено для элемента $g\in\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$, определенного равенствами
$$
\begin{equation*}
e_ig=e_i \quad\text{при }\ i<s, \qquad f_ig= f_i \quad\text{при }\ i<t, \qquad e_sg=- f_t, \qquad f_tg= e_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что подгруппа $G=\langle L,x^g\rangle$ неприводима. Допустим, $X$ – собственное ненулевое $G$-инвариантное подпространство. Тогда оно является $L$-инвариантным, а значит, либо $X=U$, либо $X=W$. С другой стороны, $Ug$ – это $x^g$-инвариантное $x^g$-неприводимое подпространство, значит, $Ug\cap X$ также является $x^g$-инвариантным, что противоречит $x^g$-неприводимости подпространства $Ug$. Утверждение 1) доказано. Прежде чем доказывать утверждение 2), сделаем очевидное замечание: выбор элемента $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ в доказательстве утверждения 1) можно при необходимости скорректировать так, что пара подпространств $\{U,W\}$ не будет системой импримитивности для группы $G$. Предположим, что $m>1$ и $V_i^y\in\Omega:=\{V_1,\dots, V_m\}$ для любых $i\in\{1,\dots,m\}$ и $y\in G$, т.е. $\Omega$ – система импримитивности для группы $G$. Наша цель – показать, что $m=n=4$ и $q\leqslant 3$.Из неприводимости группы $G$ заключаем также, что $G$ действует транзитивно на $\Omega$, в частности, все $V_i$ изометричны и их размерности одинаковы. Пусть $\dim V_i=k$. Поскольку сумма элементов любой $L$-орбиты на $\Omega$ инвариантна относительно $L$, из утверждения $(*)$ заключаем, что либо $L$ действует транзитивно на $\Omega$, либо имеется ровно две $L$-орбиты на этом множестве, сумма элементов одной из которых равна $U$, а другой $W$. Легко видеть, что случай нетранзитивного действия $L$ на $\Omega$ эквивалентен существованию $V_i\in\Omega$ такого, что $V_i\leqslant W$. Заметим, что в этом случае $\{V_j\mid V_j\leqslant W\}$ – система импримитивности для групп $L$ и $L_W$ на $W$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant L_W\leqslant\operatorname{GL}^\varepsilon(W),
\end{equation*}
\notag
$$
как в утверждении 2). Тогда группа $L_W$ примитивна и, значит, $W$ совпадает с $V_i$. При этом как следует из $(*)$. Учитывая, что получаем $m=2$ и $\Omega =\{U,W\}$. Но мы считаем, что, $\{U,W\}$ не является системой импримитивности для группы $G$.
Рассмотрим случай, когда $L$ транзитивна на $\Omega$. Пусть обозначает проекцию на $W$ параллельно $U$. Тогда $vy\omega=v\omega y$ для любых $v\in V$ и $y\in L$. В частности, $L_W$ транзитивно действует на $\Omega\omega=\{V_i\omega\mid i=1,\dots,m\}$ и размерности всех проекций $V_i\omega$ одинаковы. Обозначим их через $k'$.Рассмотрим сначала случай $(+)$. Группа $\operatorname{SL}(W)$ действует транзитивно на подпространствах пространства $W$ одинаковых размерностей. Поскольку $\operatorname{SL}(W)\leqslant L_W$, множество $\Omega\omega$ совпадает с множеством $k'$-мерных подпространств пространства $W$, которых заведомо не меньше, чем одномерных. Таким образом, если $\dim W=t$, то
$$
\begin{equation*}
m=|\Omega|\geqslant |\Omega\omega|\geqslant \frac{q^t-1}{q-1}\geqslant 2^t-1\geqslant 2^{n/2}-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $m<n$, то $m=n/k\leqslant n/2$. Из условия следует, что $n\geqslant 4$, но при таких $n$ неравенство $n/2\geqslant 2^{n/2}-1$ неверно. Поэтому $m=n$. При $n>4$ нарушается неравенство
$$
\begin{equation*}
n\geqslant 2^{t}-1, \quad\text{где }\ t\geqslant \frac n2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $n=4$. Наконец, неравенство
$$
\begin{equation*}
4=n\geqslant \frac{q^t-1}{q-1}\geqslant \frac{q^{n/2}-1}{q-1}=q+1
\end{equation*}
\notag
$$
означает, что $q\leqslant 3$.
Тем самым, 2) в случае $(+)$ доказано. Отметим, что число $(q^t-1)/(q-1)$ одномерных подпространств $t$-мерного пространства $W$ над $\mathbb{F}_q$, как правило, совпадает со степенью $\mu(\operatorname{SL}_t(q))$ минимального подстановочного представления группы $\operatorname{SL}(W)=\operatorname{SL}_t(q)$; см. [42]. Разбирая случай $(-)$, исключим сначала возможность $t=3$. Для этого детально рассмотрим действие $\operatorname{SU}(W)$ непосредственно на $\Omega\omega$ при $t=3$. При всех других $t$ мы воспользуемся информацией о степенях минимальных подстановочных представлений $\mu(\operatorname{SU}_t(q))$ группы $\operatorname{SU}_t(q)$, вычисленных в той же работе [42]. Пользуемся также цепочкой неравенств
$$
\begin{equation*}
2t\geqslant n\geqslant m=|\Omega|\geqslant |\Omega\omega|\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q)),
\end{equation*}
\notag
$$
которые имеют место аналогично случаю $(+)$.
Пусть $t=3$. По лемме Витта любые два изометричных подпространства пространства $W$ некоторый элемент $\operatorname{SU}(W)$ переводит друг в друга. Размерность вполне изотропных подпространств в $W$ не превосходит $[3/2]=1$. Вычисляя число соответствующих подпространств как индекс стабилизатора одного из них в группе $\operatorname{SU}(W)$, заключаем, что, вопреки неравенству $2t\geqslant |\Omega\omega|$, имеет место один из следующих случаев:
Из [42; таблица 1] с учетом изоморфизма $\operatorname{SU}_2(q)\cong \operatorname{SL}_2(q)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(\operatorname{SU}_t(q)) =\begin{cases} 2, &\text{если } (t,q)=(2,2), \\ 3, &\text{если } (t,q)=(2,3), \\ 5, &\text{если } (t,q)=(2,5), \\ 7, &\text{если } (t,q)=(2,7), \\ 6, &\text{если } (t,q)=(2,9), \\ 11, &\text{если } (t,q)=(2,11), \\ q+1, &\text{если } t=2, \ q\ne 2,3,5,7,9, 11, \\ 2, &\text{если } (t,q)=(3,2), \\ 50, &\text{если } (t,q)=(3,5), \\ q^3+1, &\text{если } t=3, \ q\ne 2,5, \\ (q+1)(q^3+1), &\text{если } t=4, \\ \displaystyle\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)}, &\text{если } t>4. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы предполагаем, что $(t,q)\notin\{(2,2),(2,3)\}$, так как в противном случае $(n,q)\in\{(4,2),(4,3)\}$ и $m=n$, как в заключении утверждения 2). Если $t=2$ и $q\in\{5,7,9,11\}$, то $\mu(\operatorname{SU}_t(q))>4=2t$, вопреки неравенству $2t\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q))$. Если же $q\ne 5,7,9,11$, то снова Случай $t=3$ исключен выше. При $t=4$ снова имеем
$$
\begin{equation*}
\mu(\operatorname{SU}_t(q))=(q+1)(q^3+1)\geqslant (2+1)(2^3+1)=27>8=2t.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, исключим случай $t>4$. При четном $t=2d>4$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(\operatorname{SU}_t(q)) &=\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)} \\ &=(q^{t-1}+1)\sum_{i=0}^{d-1}q^{2i}\geqslant d(2^{t-1}+1)>t\cdot 2^{t-2}>2t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При нечетном $t=2d+1>4$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(\operatorname{SU}_t(q)) &=\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)} \\ &=(q^{t}+1)\sum_{i=0}^{d-1}q^{2i}\geqslant d(2^t+1)>(t-1)\cdot 2^{t-1}>2t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Всюду получаем противоречие с неравенством $2t\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q))$. Утверждение 2) доказано полностью.
Докажем 3). Пусть $x=x_Ux_W$, где $x_U\in \operatorname{GL}^\varepsilon(U)$ и $x_W\in \operatorname{GL}^\varepsilon(W)$. Так как элемент $x$ полупростой, имеет простой порядок и при $\varepsilon=+$ не имеет собственных векторов, a при $\varepsilon=-$ не имеет невырожденных собственных векторов в $V$, получаем Мы не будем предполагать, что группа $L$ уже дана, но построим ее для элемента $x$ специальным образом, после чего убедимся, что она удовлетворяет условию леммы.Из условия ясно, что $t\geqslant n/2\geqslant 2$. Так как $x$ – полупростой элемент и $(n,q)\notin\{(4,2),(4,3),(4,5) \}$, по лемме 7 существуют $m$ элементов $g_1,\dots,g_m\in \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
L_W:=\langle x_W^{g_1}, \dots, x_W^{g_m}\rangle\geqslant \operatorname{SL}^\varepsilon(W).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $L_W=\langle \operatorname{SL}^\varepsilon(W), x_W\rangle$. Положим
$$
\begin{equation*}
L_U:=\langle x_U\rangle, \qquad L:=\langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $L\leqslant L_U\times L_W$ и проекции $L$ на сомножители $L_U$ и $L_W$ сюръективны. Чтобы показать, что $L$ удовлетворяет условию леммы, осталось установить, что $L$ совпадает с $L_U\times L_W$.
Во-первых, заметим, что $x_W\in \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$; в частности, $L_W=\operatorname{SL}^\varepsilon(W)$. Это следует из того, что порядок образа элемента $x_W$ в факторгруппе $\operatorname{GL}^\varepsilon(W)/\operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ делит $(|x|, q-\varepsilon)=1.$ Далее, рассмотрим канонический эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\phi\colon {L_U\times L_W}\to ({L_U\times L_W})\,/\,\Phi({L_U\times L_W}).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $L_U$ – группа простого порядка, $L_W\cong \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$, и по известным свойствам подгруппы Фраттини (см. [2; гл. A, лемма (9.4)]) имеем
$$
\begin{equation*}
\Phi({L_U\times L_W})=\Phi(L_U)\times \Phi(L_W)=\Phi(L_W)=\operatorname{Z}(L_W).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $L^\phi$ изоморфна подгруппе в $\mathbb{Z}_{|x|}\times L_n^\varepsilon(q)$, проекции которой на каждый из сомножителей сюръективны. Но $L^\phi$ обладает композиционными факторами, изоморфными $\mathbb{Z}_{|x|}$ и $L_n^\varepsilon(q)$, поэтому откуда получаем $L=L_U\times L_W$.
Теперь по доказанным утверждениям 1) и 2) леммы существует $g\in\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ такой, что группа
$$
\begin{equation*}
G:=\langle L, x^{g}\rangle=\langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m},x^{g}\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
неприводима и примитивна как подгруппа в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$. Так как $\operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant G$, группа $G$ содержит длинную корневую подгруппу группы $\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$. Пусть $R$ – нормальное замыкание в $G$ этой корневой подгруппы. Ввиду того, что подгруппа $G$ примитивна, подгруппа $R$ неприводима. В частности, $\mathrm{O}_p(R)=1$. Теперь, как вытекает из [43; теорема II], группа $R$ изоморфна одной из групп, указанных в утверждении 3) (для случая, когда $\varepsilon=+$, можно воспользоваться также результатами работ [44], [45]).
Лемма 14 доказана. Лемма 15 (см. [39; предложение 4.9.1]). Пусть $L={}^d\Sigma(q)$ – простая группа лиева типа над полем ${\mathbb F}_q$, где $\Sigma$ – неприводимая корневая система, $d$ – либо пустой символ, либо $2$ (т.е. ${}^d\Sigma(q)\ne{}^3D_4(q)$). Пусть $x$ и $y$ – автоморфизмы группы $L$, имеющие один и тот же простой порядок, и допустим, что $x$ и $y$ являются одновременно полевыми или графово-полевыми автоморфизмами по модулю группы $\widehat{L}$. Тогда подгруппы $\langle x\rangle$ и $\langle y\rangle$ в $\operatorname{Aut}(L)$ сопряжены элементом из $\widehat{L}$. Если $x$ – полевой автоморфизм, то Если же $x$ – графово-полевой автоморфизм и ${}^d\Sigma\in\{A_{n-1},D_{n}\}$, то $|x|=2$ и $\operatorname{C}_{L}(x)={}^2\Sigma(q^{1/2})$. Лемма 16. Пусть $L=L_n^\varepsilon(q)$ – простая проективная специальная линейная или унитарная группа и $n\geqslant 4$, и мы рассматриваем графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции в группе автоморфизмов группы $L$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Если $n$ нечетно, то все графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции сопряжены относительно $\widehat{L}$ и каждая такая инволюция нормализует в $L$ некоторую подгруппу $K$, изоморфную $\operatorname{SL}^\varepsilon_{n-2}(q)$, и индуцирует нетривиальный автоморфизм на $K/\operatorname{Z}(K)$. 2) Если $n$ четно, а $q$ нечетно, то существует три класса $\widehat{L}$-сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций, и для их представителей $x_0$, $x_+$, $x_-$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\operatorname{F}^*(C_L(x_\delta))\cong \begin{cases} S_n(q), &\textit{если } \delta=0, \\ O^+_n(q), &\textit{если } \delta=+, \\ O^-_n(q), &\textit{если } \delta=-. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Элемент $x_\delta$ нормализует подгруппу $K_{\delta}$ в $L$, которая является образом относительно естественного гомоморфизма подгруппы вида
$$
\begin{equation*}
\bigl(\operatorname{GL}_m^\varepsilon(q)\times \operatorname{GL}_{n-m}^\varepsilon(q)\bigr) \cap \operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)
\end{equation*}
\notag
$$
из $\operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)$, где
$$
\begin{equation*}
m=\begin{cases} 2 & \textit{при } (\varepsilon,\delta)\in \{(+,0),(+,+),(-,+),(-,-)\}, \\ 1 & \textit{при } (\varepsilon,\delta)\in \{(+,-),(-,0)\}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и $x_\delta$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на той компоненте факторгруппы $K_{\delta}/\operatorname{Z}(K_{\delta})$, которая изоморфна $\operatorname{PSL}_{n-m}^\varepsilon(q)$. 3) Если оба числа $n$ и $q$ четны, то существует два класса $\widehat{L}$-сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций. Для любой инволюции $x$ в группе $L$ имеется $x$-инвариантная подгруппа $K$, для которой $K/\operatorname{Z}(K)\cong\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$, и $x$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на $K/\operatorname{Z}(K)$. Доказательство. Графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции содержатся в смежном классе $\widehat{L}\tau$ (см. начало п. 2.2). Информацию о классах $\widehat{L}$-сопряженности таких инволюций, их числе, представителях и централизаторах можно найти в [37; лемма 10].
Если $q$ нечетно, то все инволюции в $\widehat{L}\tau$ сопряжены с $\tau$ посредством элементов из $\widehat{L}$. Поэтому мы можем считать, что $x=\tau$. Тогда $x$ нормализует подгруппу $K$ в $L$, которая является образом в $\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$ подгруппы вида
$$
\begin{equation*}
\bigl(\operatorname{GL}_{n-1}^\varepsilon(q)\times \operatorname{GL}_1^\varepsilon(q)\bigr)\cap \operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)
\end{equation*}
\notag
$$
и состоит из образов матриц вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} A&0 \\ 0&(\det A)^{-1} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $A$ пробегает $ \operatorname{GL}^\varepsilon_{n-1}(q)$ и нормализует подгруппу $K^{\infty}\cong \operatorname{SL}_{n-1}^\varepsilon(q)$. Ясно, что $x=\tau$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на $K^{\infty}/Z(K^{\infty})\cong \operatorname{PSL}^\varepsilon_{n-1}(q)$. Утверждение 1) доказано.
Рассмотрим случай, когда $n$ четно, а $q$ нечетно. При $\varepsilon=-$ доказательство утверждения о существовании требуемой подгруппы $K_\delta$ см. в [46; с. 288] и [47; с. 43]. Поэтому мы считаем, что $\varepsilon=+$. В этом случае (см. [46; с. 285]) элемент $x$ сопряжен посредством элемента из $\widehat{L}$ с одной из трех попарно несопряженных инволюций $x_0$, $x_+$, $x_-$, индуцированных на $L$ образами произведений
$$
\begin{equation*}
J^0\tau,J^+\tau,J^-\tau\in \langle\operatorname{GL}_n(q),\tau\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно, где:
При этом централизаторы элементов $x_\delta$ такие, как указано в утверждении 2). Покажем, что $x_\delta$ нормализует некоторую подгруппу $K_\delta$ такую, как указано в 2). Элементы $J^-$ и $\tau$, а значит, и их произведение $J^-\tau$ нормализуют подгруппу вида
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{GL}_{n-1}(q)\times \operatorname{GL}_1(q))\cap \operatorname{SL}_n(q)
\end{equation*}
\notag
$$
группы $\operatorname{SL}_n(q)$, поэтому $x_-$ нормализует подгруппу $K_-$, которая определена так же, как подгруппа $K$ в доказательстве утверждения 1), и понятно, что $x_-$ индуцирует на $K_-$ неединичный автоморфизм. Для случая, когда $x$ сопряжен с $x_-$, утверждение 2) доказано. Элементы $J^0\tau$ и $J^+\tau$ нормализуют подгруппу в $\operatorname{GL}_n(q)$, состоящую из блочно-диагональных матриц вида где $A\in \operatorname{GL}_{n-2}(q)$, $B\in\operatorname{GL}_2(q)$. Пересекая ее с $\operatorname{SL}_n(q)$ и рассматривая образ этого пересечения в $\operatorname{PSL}_n(q)$, получим группу $K_0=K_+$, инвариантную относительно $x_0$ и $x_+$ и такую, как указано в утверждении 2), c $m=2$. Утверждение 2) доказано.Наконец, рассмотрим случай, когда $q$ и $n$ четны. Здесь в соответствии с [37; замечание 11] и [47; лемма 3.7] при $\varepsilon=-$ мы будем рассматривать $\operatorname{GL}^\varepsilon_n(q)=\operatorname{GU}_n(q)$ как группу матриц относительно некоторого упорядоченного базиса $e_1, \dots, e_m, f_m, \dots, f_1$ тех линейных преобразований векторного пространства размерности $n =2m$ над полем $\mathbb{F}_{q^2}$, которые сохраняют эрмитову форму $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$, определенную равенствами
$$
\begin{equation*}
(e_i, e_j) =(f_i, f_j) =0, \quad (e_i, f_j) =\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (см. [37; лемма 10]) у группы $L$ имеется ровно два класса $\widehat{L}$-сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ автоморфизмов порядка $2$, и некоторые их представители индуцированы элементами:
Пусть вначале $\varepsilon=+$. Тогда $\tau$, $J^0$ и $t$ нормализуют в $\operatorname{SL}_n(q)$ подгруппу всех блочно-диагональных матриц вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} A & {} \\ {}& B \end{pmatrix}, \quad \text{где }\ A\in \operatorname{GL}_2(q), \quad B\in\operatorname{GL}_{n-2}(q), \quad \det A\cdot\det B=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Образ этой подгруппы в $\operatorname{PSL}_n(q)$ содержит нормальную подгруппу $K\cong \operatorname{SL}_{n-2}(q)$, инвариантную относительно автоморфизмов, индуцированных $\tau$ и $J^0t\tau$, причем оба автоморфизма нетривиальны на $K/\operatorname{Z}(K)$.
Пусть теперь $\varepsilon=-$. Элемент $t_0$ в группе $\operatorname{GL}_n(q^2)$ централизует $\langle\tau,\varphi_q\rangle$-инвариантную подгруппу $G^*$, состоящую из матриц вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & & \\ {}& A & \\ {} & & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{где } \ A\in \operatorname{SL}_{n-2}(q^2),
\end{equation*}
\notag
$$
и централизует в ней каждую подгруппу. В ней подгруппа $K^*=C_{G^*}(\tau\varphi_q)\cong \operatorname{SU}_{n-2}(q)$ инвариантна относительно $\varphi_q$ и $t_0$ и содержится в $\operatorname{SU}_n(q)$. Элементы $\varphi_q$ и $t_0\varphi_q$ нормализуют в $\operatorname{SU}_n(q)$ подгруппу
$$
\begin{equation*}
N_{\operatorname{SU}_n(q)}(K^*)\cong (\operatorname{GU}_{n-2}(q)\times\operatorname{GU}_2(q))\cap\operatorname{SU}_n(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $K$ образ в группе $\operatorname{PSL}_n(q^2)$ подгруппы $K^*$. Ясно, что $K\leqslant \operatorname{PSU}_n(q)$. Элементы $\varphi_q$ и $t_0\varphi_q$ индуцируют на изоморфных группах $K^*/\operatorname{Z}(K^*)$ и $K/\operatorname{Z}(K)\cong \operatorname{PSU}_{n-2}(q)$ нетривиальные автоморфизмы с согласованным действием.
Лемма 16 доказана. Ввиду того, что в случае графового по модулю $\widehat{L}$ автоморфизма $x$ группы $L=L_n^\pm(q)$ при $n=4$ оценка на $\alpha(x,L)$ является нерегулярной (см. лемму 7), нам при $n=4$ понадобится дополнительная информация о подгруппах в $L$, нормализуемых, но не централизуемых $x$. Эту информацию дает следующая лемма, в которой мы пользуемся известными изоморфизмами $L_4^\pm(q)\cong O_6^\pm(q)$; см. [38; предложение 2.9.1]. Лемма 17. Пусть $V$ – векторное пространство над полем $\mathbb{F}_q$ нечетного порядка, $\dim V=6$ и $V$ снабжено невырожденной симметрической билинейной формой знака $\varepsilon\in\{+,-\}$. Пусть $\mathrm{O}$ – группа изометрий пространства $V$, $\Delta$ – его группа подобий, $\operatorname{SO}$ – группа элементов из $\mathrm{O}$ c определителем $1$, $\Omega=\mathrm{O}'=\Delta'$. Пусть обозначает канонический эпиморфизм. Пусть $L=\overline{\Omega}=O_{2n}^\varepsilon(q)$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Канонический графовый автоморфизм $\overline{\gamma}$ группы $L$ содержится в $\overline{\mathrm{O}}\setminus \overline{\operatorname{SO}}$, а группа $\overline{\Delta}$ совпадает с $\langle\widehat{L},\overline{\gamma}\rangle$. 2) Все графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции являются образами инволюций из $\Delta$. 3) Имеется три класса $\widehat{L}$-сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций с представителями $\overline{\gamma}_1=\overline{\gamma}$, $\overline{\gamma}_2$ и $\overline{\gamma}_{2}'$, где $\gamma_i$ для каждого $i=1,2$ – инволюция в $\mathrm{O}$, у которой собственное значение $-1$ имеет кратность $2i-1$, а $\gamma_{2}'$ – инволюция в $\Delta\setminus \mathrm{O}$, у которой кратность собственного значения $-1$ равна $3$. При этом каждая инволюция $\overline{\gamma}_1$ и $\overline{\gamma}_2$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$, изоморфную $O_{5}(q)\cong S_4(q)$, а инволюция $\overline{\gamma}_{2}'$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$, изоморфную $O_{4}^-(q)\cong L_2(q^2)$. Доказательство. Все утверждения леммы, кроме существования подгрупп, нормализуемых, но не централизуемых соответствующими инволюциями, следуют6 из [39; теоремы 4.5.1, 4.5.2, таблицы 4.5.1, 4.5.2 и замечание 4.5.4].
Докажем, что инволюции $\gamma_i$, $i=1,2$, нескалярно действуют на некотором невырожденном подпространстве $U$ пространства $V$ таком, что $\dim U=5$. Поскольку $\gamma_i$ – изометрия, подпространства $V_+$ и $V_-$, состоящие из собственных векторов с собственными значениями $1$ и $-1$ соответственно, ортогональны друг другу и $V= V_+\oplus V_-$. Поэтому $V_+$ и $V_-$ – невырожденные $\gamma_i$-инвариантные подпространства, на каждом из которых $\gamma_i$ действует скалярно. Пусть $u\in V_+$ – невырожденный вектор. Тогда подпространство $W=u^\perp$ является $\gamma_i$-инвариантным невырожденным дополнением к $\langle u\rangle$. Поскольку $\dim V_+=6\,{-}\,2i\,{+}\,1>1$, преобразование $\gamma_i$ имеет на $W$ оба собственных значения, $1$ и $-1$, и действует на $W$ нескалярно. Значит, $\overline{\gamma}_i$ нормализует, но не централизует образ коммутанта группы изометрий пространства $W$, изоморфный $O_{5}(q)$. Согласно [39; таблица 4.5.1] централизатор $\overline{\gamma}_{2}'$ в $\widehat{L}$ изоморфен некоторой группе автоморфизмов группы $O_{4}^-(q)\cong L_2(q^2)\cong O_3(q^2)$, содержащей эту группу, имеет тривиальный центр и четный индекс в $\widehat{L}$. Из леммы 3 заключаем, что $\overline{\gamma}_{2}'$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$, изоморфную $O_{4}^-(q)$. Лемма доказана. Лемма 18 (см. [32; лемма 2.18]). Пусть $L$ – простая классическая группа или знакопеременная группа и $r$ – нечетное простое число, не делящее порядок группы $L$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Если $L=A_n$, то $r\geqslant n+1$ и $n\leqslant r-1$. 2) Если $L=L_n(q)$, то $ r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$. 3) Если $L=U_n(q)$, то $ r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$. 4) Если $L=S_{n}(q)$, то $r\geqslant n+3$ и $n\leqslant r-3$. 5) Если $S=O_{n}(q)$, $n$ нечетно, то $r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$. 6) Если $S=O^+_{n}(q)$ или $S=O^-_{n}(q)$, $n$ четно, то $r\geqslant n+1$ и $n\leqslant r-1$ соответственно. 7) Если $L=L_n(q^2)$, то $r\geqslant 2n+3$ и $n\leqslant (r-3)/2$. Лемма 19. Пусть $L=L_n^\varepsilon(q)$ и $x$ – автоморфизм нечетного простого порядка группы $L$. Тогда имеет место одно из следующих утверждений. 1) Существует элемент $g\in L$ такой, что подгруппа $\langle x,x^g\rangle$ неразрешима. 2) $q=3$, $x$ – трансвекция и существуют $g_1,g_2\in L$ такие, что подгруппа $\langle x,x^{g_1},x^{g_2}\rangle$ неразрешима. 3) $\varepsilon=-$, $q=2$, $x$ – псевдоотражение порядка $3$ и существуют $g_1,g_2,g_3\in L$ такие, что подгруппа $\langle x,x^{g_1},x^{g_2},x^{g_3}\rangle$ неразрешима. Доказательство следует из [17; теорема A*]. Лемма 20 (см. [32; предложение 2]). Пусть $L=A_n$, $n\geqslant 5$, $r\leqslant n$ – нечетное простое число и $x\in \operatorname{Aut} (L)$ – элемент простого порядка. Тогда: 1) $\beta_{r}(x,L)=r-1$, если $x$ – транспозиция; 2) справедливо одно из утверждений (a) $\beta_{r}(x,L)\leqslant r-1$, (b) $r=3$, $n=6$, $x$ – инволюция, не лежащая в $S_6$, и $\beta_{r,L}(x)= 3$. Лемма 21 (см. [34; теорема 1]). Пусть $r$ – нечетное простое число. Пусть $L$ – одна из $26$ спорадических простых групп. Пусть также простой делитель $s$ порядка группы $L$ выбран так, что $s=r$, если $r$ делит $|L|$, и $s> r$ в противном случае. Тогда для любого автоморфизма $x$ простого порядка группы $L$. § 3. Доказательство теоремы 1Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько случаев. Начнем с разбора случаев малой размерности, которые рассматриваются в серии последовательных лемм. Затем рассмотрим внутренне-диагональные автоморфизмы $x$, которые допускают естественное действие на ассоциированном векторном пространстве. Мы рассмотрим отдельно ситуации, когда $x$ стабилизирует одномерное подпространство так называемого унаследованного типа (в частности, здесь будет полностью разобран случай, когда автоморфизм $x$ индуцирован унипотентным элементом) и когда $x$ – полупростой элемент, не стабилизирующий такие одномерные подпространства. И наконец, разберем ситуации, когда автоморфизм $x$ является полевым, графово-полевым или графовым по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов. 3.1. Случаи малой размерностиЛемма 22. Теорема 1 справедлива, если $L\in\{L^\pm_4(2),L^\pm_4(3),L^\pm_4(5)\}$. Доказательство. Пусть $L=L_4^\varepsilon(q)$, где $\varepsilon\in\{+,-\}$ и $q\in\{2,3,5\}$. Теорема 1 верна для группы $L=L_4(2)\cong A_8$ в силу леммы 20, поэтому считаем, что $(\varepsilon,q)\ne(+,2)$.
Рассмотрим случай $r=3$. Тогда $s=r=3$. О ситуации, когда $|x|=2$, см. замечание в конце доказательства леммы, а здесь будем считать, что $|x|>2$. По лемме 19 за исключением случая, когда $L=U_4(2)$, а $x$ – псевдоотражение порядка $3$ (и мы можем это исключение не рассматривать), некоторые два или три сопряженных с $x$ элемента порождают неразрешимую группу. Рассматриваемая группа $L$ не имеет секций, изоморфных простым группам Сузуки, поэтому из теоремы Томпсона–Глаубермана (см. [48; гл. II, следствие 7.3]) следует, что порядок неразрешимой подгруппы в $L$ делится на 3. Таким образом, во всех случаях $\beta_3(x,L)\leqslant 3$. Считаем теперь, что $r\geqslant 5$. По лемме 7 имеем $\alpha(x,L)\leqslant 4$, за исключением следующих случаев:
Отсюда вытекает справедливость леммы при $r>5$, а также, кроме перечисленных исключительных случаев, при $r=5$. Рассмотрим оставшиеся исключения, считая, что $r=5$. Так как $5$ делит $|L|$, имеем $s=5$. Пусть $L=L_4^\pm(5)$ и $x$ – графовая инволюция по модулю $\widehat{L}$. Тогда согласно лемме 16, 2) элемент $x$ нормализует некоторую подгруппу $K$ группы $L$ такую, что $K/\operatorname{Z}(K)\cong L_2^\pm(5)\cong A_5$ или $K/\operatorname{Z}(K)\cong L_3^\pm(5)$ и $x$ индуцирует на $K/\operatorname{Z}(K)$ нетривиальный автоморфизм $y$. Отсюда и из лемм 4, 7 и 20 заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\beta_5(x,L)\leqslant\beta_5(y,K/\operatorname{Z}(K))\leqslant 4=5-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x$ – графовый автоморфизм группы $L_4(3)$ по модулю внутренне-диагональных автоморфизмов и $|x|=2$. В таблице характеров группы $\operatorname{Aut}(L_4(3))$ из [36] этому случаю соответствуют инволюции классов сопряженности $2D$, $2E$, $2F$ и $2G$, причем классы $2D$ и $2F$ переставляются диагональным автоморфизмом, поэтому $2E$ можно не рассматривать. Воспользуемся известным фактом из теории характеров, утверждающим, что для данных элементов $a,b$ и $c$ группы $G$ число $\operatorname{m}(a,b,c)$ пар $(u,v)\in a^G\times b^G$ таких, что $uv=c$, может быть найдено из таблицы характеров по формуле
$$
\begin{equation*}
\operatorname{m}(a,b,c)=\frac{|a^G|\,|b^G|}{|G|}\sum_{\chi\in\operatorname{Irr}(G)} \frac{\chi(a)\chi(b)\overline{\chi(c)}}{\chi(1)};
\end{equation*}
\notag
$$
см. [35; упражнение (3.9)]. Используя таблицу характеров из [36] соответствующего расширения $L_4(3)$, убеждаемся7, что в каждом из классов $2F$ и $2G$ существует пара элементов, произведение которых принадлежит классу $5A$ и имеет порядок $5$ (более точно, $\operatorname{m}(2F,2F,5A)=\operatorname{m}(2G,2G,5A)=20$). Поэтому $\beta_5(x,L)=2$, если $x$ – инволюция из классов $2F$ и $2G$. Также в классе $2A$, состоящем из внутренних инволюций, есть пара элементов, произведение которых принадлежит $5A$, так как $\operatorname{m}(2A,2A,5A)=5$. При этом каждый элемент из $2A$ является произведением двух инволюций из $2D$, поскольку $\operatorname{m}(2D,2D,2A)=2$. Следовательно, для инволюции $x$ из $2D\cup 2E$ имеем $\beta_5(x,L)\leqslant 4=5-1$.
Аналогично рассмотрим оставшиеся случаи. $\bullet$ $L=U_4(2)$, $x$ – трансвекция (класс $2A$):
$$
\begin{equation*}
\operatorname{m}(2A,2A,2B)=2, \quad \operatorname{m}(2B,2B,5A)=5 \quad\Longrightarrow \quad \beta_5(x, U_4(2))\,{\leqslant}\, 4, \quad\text{если }\ x\in 2A.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ $L=U_4(2)$, $x$ – графовая по модулю $\widehat{L}$ инволюция (классы $2C$, $2D$):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{m}(2C,2C,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(2))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2C; \\ \operatorname{m}(2D,2D,2B)=2, \quad\operatorname{m}(2B,2B,5A)=5\quad\Longrightarrow \quad \beta_5(x, U_4(2))\,{\leqslant}\, 4,\quad\text{если } x\,{\in}\, 2D. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ $L=U_4(3)$, $x$ – графовая по модулю $\widehat{L}$ инволюция (классы $2D$, $2E$, $2F$):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{m}(2D,2D,2A)=2, \quad \operatorname{m}(2A,2A,5A)=5\quad\Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))\,{\leqslant}\, 4, \quad\text{если } x\,{\in}\, 2D; \\ \operatorname{m}(2E,2E,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2E; \\ \operatorname{m}(2F,2F,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2F. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом при помощи таблиц характеров в [49] рассматриваются внутренние инволюции $x$ при $s=3$ и доказывается, что $\beta_3(x,L)=2.$
Лемма 22 доказана. Лемма 23. Теорема 1 справедлива, если $L= L_2(q)$. Доказательство. Ведем индукцию по $q$. Справедливость теоремы 1 в группах $L_2(4)$, $L_2(5)$ и $L_2(9)$ следует из леммы 20 и изоморфизмов $L_2(4)\cong L_2(5)\cong A_5$ и $L_2(9)\cong A_6$. Поэтому считаем, что $q\ne 4,5,9$.
Если $x$ не является полевым автоморфизмом порядка $2$, то в силу леммы 7 для любого простого делителя $s$ порядка группы $L$ имеем откуда следует утверждение леммы. В частности, лемма верна, если $q$ – простое число.Предположим теперь, что $|x|=2$ и автоморфизм $x$ полевой по модулю $\widehat{L}$. Рассмотрим $\varphi=\varphi_{q^{1/2}}$ – канонический полевой автоморфизм порядка 2, индуцированный отображением
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} u&v \\ w&z \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} u^{q^{1/2}}&v^{q^{1/2}} \\ w^{q^{1/2}}&z^{q^{1/2}} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в $\langle \widehat{L},\varphi\rangle$ подгруппы $\langle x\rangle$ и $\langle \varphi\rangle$ сопряжены относительно $\widehat{L}$ по лемме 15, можно считать, что $x=\varphi$. Так как $q\ne 9$, по лемме 7 имеем $\beta_s(x,L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant 4$. Поэтому для любого $r\geqslant 5$ справедливо утверждение теоремы 1.
Предположим, $r=3$. Тогда $r$ делит порядок $L$ и $s=r=3$. Кроме того, по лемме 15
$$
\begin{equation*}
\operatorname{PSL}_2(q^{1/2})\leqslant \operatorname{C}_L(x)\leqslant \operatorname{PGL}_2(q^{1/2})
\end{equation*}
\notag
$$
и $\operatorname{C}_L(x)$ – подгруппа четного индекса в $L$. Она почти проста, так как $q\ne 4,9$, и, следовательно, $\operatorname{Z}(\operatorname{C}_L(x))=1$. По лемме 3 элемент $x$ нормализует, но не централизует некоторую подгруппу, сопряженную с $\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x))\cong L_2(q^{1/2})$. Остается воспользоваться предположением индукции.
Лемма доказана. Лемма 24. Теорема 1 справедлива, если $L= U_3(q)$. Доказательство. Из леммы 7 следует, что $\alpha(x,L)\leqslant 3$, за исключением случая, когда $q=3$, $|x|=2$ и $\alpha(x,L)=4$. Поэтому откуда следует лемма для $r>3$ и, более того, кроме случая, когда $s=r=3$, $L=U_3(3)$ и $|x|=2$.
Для разбора последнего случая воспользуемся таблицей характеров группы $U_3(3)$ и ее группы автоморфизмов из [36]. В $U_3(3)$ все инволюции образуют один класс сопряженности $2A$, а все не внутренние – класс $2B$. Рассуждая, как в заключительной части леммы 22, и используя GAP (см. [49]), находим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{m}(2A,2A,3B)=3 \quad \Longrightarrow\quad \beta_3(y, U_3(3))= 2, \quad\text{если } \ y\in 2A; \\ \operatorname{m}(2B,2B,3A)=36 \quad \Longrightarrow\quad\beta_3(y, U_4(3))= 2, \quad\text{если } \ y\in 2B. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 25. Теорема 1 справедлива, если $L=L_3(q)$. Доказательство. Пусть вначале автоморфизм $x$ не является графово-полевым по модулю $\widehat{L}$. В силу леммы 7 имеем $\alpha(x,L)\leqslant 3$. Значит, для любого простого делителя $s$ порядка группы $ L$ справедливо неравенство $\beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 3$, откуда следует утверждение леммы.
Предположим теперь, что $x$ – графово-полевой автоморфизм по модулю $\widehat{L}$ и $|x|=2$, т.е. $\widehat{L}x=\widehat{L} \tau\varphi$, где
$$
\begin{equation*}
\tau\colon A\mapsto (A^{-1})^\top, \qquad \varphi=\varphi_{q^{1/2}}\colon (a_{ij})\mapsto (a_{ij}^{q^{1/2}}).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 15 можно считать, что $x=\tau\varphi$. В этом случае $\alpha(x,L)\leqslant 4$ согласно лемме 7, т.е. утверждение леммы справедливо для любого $r\geqslant 5$. Предположим, что $r=3$. Тогда $s=r=3$ и, как следует из леммы 15,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{C}_{\widehat{L}}(x)\cong \operatorname{PGU}_3(q^{1/2}), \qquad\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x))\cong U_3(q^{1/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x)) \leqslant \operatorname{C}_{L}(x)\leqslant C_{\widehat{L}}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
легко убедиться, что индекс $|L:\operatorname{C}_L(x)|$ четен. Кроме того, $\operatorname{Z}(\operatorname{C}_L(x))=1$. В силу леммы 3 существует подгруппа $M$ группы $L$ такая, что $M$ сопряжена с $\operatorname{C}_L(x)$ и $x$ нормализует, но не централизует $M$. Пусть $y$ – автоморфизм группы $\mathrm{O}^{p'}(M)\cong U_3(q^{1/2})$, индуцированный $x$. Остается воспользоваться леммой 24 и тем, что
$$
\begin{equation*}
\beta_3(x,L)\leqslant \beta_3(y,\mathrm{O}^{p'}(M))\leqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 26. Если $L=S_4(q)$, где $q$ нечетно, и $x\in \widehat{L}$ – инволюция, то $ \beta_5(x,L)\leqslant 4$. Доказательство. Воспользуемся изоморфизмами
$$
\begin{equation*}
L\cong O_5(q)\cong \Omega_5(q), \qquad \widehat{L} \cong \operatorname{SO}_5(q), \qquad \operatorname{GO}_5(q)=\langle -E\rangle\times \operatorname{SO}_5(q),
\end{equation*}
\notag
$$
где $E$ – единичная матрица $5\times 5$; см. [36; таблица 2], [38; предложение 2.9.1]. В соответствии с [38; предложение 2.6.1] рассмотрим пятимерное векторное пространство $V$ над $F=\mathbb{F}_q$ с определенной на нем невырожденной симметрической билинейной формой $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ и некоторым базисом $e_1,\dots,e_5$ таким, что для некоторого $\zeta\in\mathbb{F}_q^*$ выполнены равенства
Пусть $G$ – группа всех линейных преобразований $g$ пространства $V$ таких, что и отождествим $\widehat{L}$ с подгруппой $\{g\in G\mid \det g=1\}$ индекса 2 в группе $G$. Тогда $L=G'$. Дискриминант ограничения формы на $\langle e_1,e_5\rangle_F$ является квадратом в поле $F$. Выберем в подпространстве $\langle e_1,e_5\rangle_F$ ортогональные друг другу ненулевые векторы $e_1',e_5'$ так, что
$$
\begin{equation*}
(e_1',e_1')=(e_5',e_5')\notin (\mathbb{F}_q^*)^2\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
(это возможно; см. [38; замечание на с. 27 и предложение 2.5.12]). Тогда сужение формы на имеет знак $+$, а сужение на имеет знак $-$ (см. [38; предложения 2.5.12 и 2.5.13]). Обозначим для краткости полученные упорядоченные базисы следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{E}\colon e_1,e_2,e_3,e_4,e_5, \qquad\mathscr{E}'\colon e_1',e_2,e_3,e_4,e_5'.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрицы линейного преобразования $g$ пространства $V$, записанные в базисах $\mathscr{E}$ и $\mathscr{E}'$ соответственно, будем обозначать символами
Известно (см. [39; таблица 4.5.1]), что в группе $L$ имеется два класса сопряженности инволюций и еще два класса имеется в $\widehat{L}\setminus L$. Укажем их представители. Это $x_1^\square$, $x_1^\boxtimes$, $x_2^\square$ и $x_2^\boxtimes$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [x_1^\square]=[x_1^\boxtimes]'=\operatorname{diag}(-1,-1,1,1,1), \\ [x_2^\square]=[x_2^\boxtimes]'=\operatorname{diag}(-1,-1,-1,-1,1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом определенные элементы легко раскладываются в произведение отражений относительно векторов $e_i$ и $e_i'$, легко определяются их спинорные нормы, откуда заключаем, что
$$
\begin{equation*}
x_1^\square,x_2^\square\in L, \qquad x_1^\boxtimes,x_2^\boxtimes\in\widehat{L}\setminus L.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения следует, что элементы $x_1^\boxtimes$ и $x_2^\boxtimes$ стабилизируют невырожденное подпространство ограничение формы на которое имеет знак $-$. Кроме того, эти элементы индуцируют на $W'$ нескалярные преобразования $y_1$ и $y_2$, сохраняющие форму на $W'$. Поэтому если $H$ – группа изометрий пространства $W'$, то $y_1$ и $y_2$ индуцируют неединичные автоморфизмы на Порядок группы $L_2(q^2)$ делится на 5, и по лемме 23 имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_5(x_i^\boxtimes, L)\leqslant \beta_5(y_i, H'/\operatorname{Z}(H'))\leqslant 4 \quad\text{для }\ i=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, рассмотрим вложение $S_5\hookrightarrow G$, задаваемое действием группы $S_5$ на индексах векторов $e_1,\dots,e_5$. Образ подстановки $\sigma\in S_5$ обозначим через $\sigma^*$. Инволюция $\tau=(15)(24)\in A_5$ инвертирует в $A_5$ элемент $\sigma=(12345)$ порядка $5$, поэтому $\tau\tau^\sigma=\sigma^2$ – элемент порядка $5$ и $\beta_5(\tau, A_5)=2$. Из простоты группы $A_5$ следует, что $\sigma^*,\tau^*\in L$ и $\beta_5(\tau^*,L)=2$. Так как $\tau^*\in L$, инволюция $\tau^*$ сопряжена с $x_1^\square$ или $x_2^\square$, а из того, что кратность собственного значения $-1$ у преобразования $\tau^*$ равна $2$, заключаем, что $\tau^*$ сопряжена с $x_1^\square$. Таким образом, Наконец, для элементов $g=(15)(34)^*$ и $h=(25)(34)^*$ из $L$ имеем откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\beta_5(x_2^\square,L)\leqslant 2\beta_5(x_1^\square,L)= 4
\end{equation*}
\notag
$$
по лемме 5.
Лемма 26 доказана. 3.2. Доказательство теоремы 1: структура и общие замечанияМы начинаем доказательство теоремы 1. Пусть, как в условии теоремы, $L=L^\varepsilon_n(q)$ и $x\in\operatorname{Aut}(L)$ – автоморфизм простого порядка. Напомним, что $r$ – нечетное простое число и $s\in\pi(L)$ таково, что $s=r$, если $r\in\pi(L)$, и $s>r$, если $r\notin\pi(L)$. Наша цель – доказать неравенство
$$
\begin{equation}
\beta_s(x,L)\leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Ведем рассуждения индукцией по $|L|$. В силу лемм 22–25 мы можем считать, что $n\geqslant 4$ и при $n=4$ число $q$ отлично от $2$, $3$, $5$. Можно считать также, что (за исключением ситуации, когда $n=4$ и $x$ – графовый по модулю $\widehat{L}$ автоморфизм) выполнено неравенство поскольку в противном случае по лемме 7 имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_s(x, L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant n\leqslant r-1,
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (3.1) верно. Отсюда и из леммы 18 вытекает, что В пп. 3.3, 3.4 мы рассмотрим все случаи, когда $x\in\widehat{L}$, а в п. 3.5 – все случаи, когда $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus \widehat{L}$. Считаем, что $F=\mathbb{F}_q$, если $\varepsilon=+$, и $F=\mathbb{F}_{q_{}^2}$, если $\varepsilon=-$. Поскольку $x$ имеет простой порядок, в случае $x\in\widehat{L}$ элемент $x$ либо унипотентен, либо полупрост. Отождествим группу $L^\varepsilon_n(q)$ с $\operatorname{PSL}^\varepsilon(V)$, где $V$ – это $n$-мерное векторное пространство над полем $F$, снабженное в случае $\varepsilon=-$ невырожденной эрмитовой формой. Тогда $\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ и, значит, $\widehat{L}$ действует на множестве подпространств пространства $V$. Рассматривая элемент $x\in\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$, мы будем говорить, что $x$-инвариантное подпространство $U\leqslant V$ имеет унаследованный тип, если $U$ – произвольное подпространство при $\varepsilon=+$ или унипотентном $x$ и $U$ – невырожденное пространство при $\varepsilon=-$ и полупростом $x$. Пункты 3.3 и 3.4 соответствуют случаям, когда для $x$ существует и не существует одномерное подпространство унаследованного типа. Будем также говорить, что $x\in\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ действует скалярно на $x$-инвариантном подпространстве $U$, если у некоторого прообраза в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ элемента $x$ сужение на $U$ пропорционально тождественному преобразованию (эквивалентно, любое одномерное подпространство в $U$ инвариантно относительно $x$). 3.3. Внутренне-диагональный автоморфизм, стабилизирующий одномерное подпространство унаследованного типаВ этом пункте доказательства мы разберем все случаи, когда $x$ оставляет инвариантным некоторое одномерное подпространство $U$ унаследованного типа пространства $V$ (в частности, такое предположение охватывает случай, когда элемент $x$ унипотентен). Возможны следующие подслучаи: (a) $x$ унипотентен и $\varepsilon=+$; (b) $x$ унипотентен и $\varepsilon=-$; (c) $x$ полупрост и либо $\varepsilon=+$, либо $U$ невырождено. Рассмотрим случай (a). Пусть $P_1$ – стабилизатор некоторой прямой в естественном модуле, а $P_2$ – стабилизатор гиперплоскости. По лемме 11 можно считать, что $x\in P_i\setminus \mathrm{O}_p(P_i)$ для $i=1$ или $i=2$, причем элемент $x$ на компонентах фактора $P_i/\mathrm{O}_p(P_i)$ действует нескалярно. В частности, это означает, что $x\notin \mathrm{O}_\infty(P_i)$. Рассмотрим канонический эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\overline{\phantom{G}}\colon P_i\to P_i/\mathrm{O}_\infty(P_i).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\overline{x}\ne1$ и $\operatorname{F}^*(\overline{P_i})\cong L_{n-1}(q)$. Из малой теоремы Ферма и неравенства (3.2) вытекает, что $r$ делит $|L_{n-1}(q)|$, и по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x, L)\leqslant\beta_r\bigl(\overline{x}, \operatorname{F}^*(\overline{P_i})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применив предположение индукции, получаем неравенство (3.1). Для случая (a) теорема доказана. Пусть имеет место случай (b). Если $x$ стабилизирует также некоторое невырожденное одномерное подпространство пространства $V$, то справедливость теоремы 1 устанавливается повторением рассуждений для случая (a) с естественной заменой $L^+_{n-1}(q)=L_{n-1}(q)$ на $L^-_{n-1}(q)=U_{n-1}(q)$ и параболической подгруппы $P_i$ на стабилизатор невырожденного одномерного подпространства, изоморфный образу в $\operatorname{PGU}_n(q)$ подгруппы
$$
\begin{equation*}
\operatorname{GU}_1(q)\times \operatorname{GU}_{n-1}(q)\leqslant \operatorname{GU}_n(q).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в случае (b) считаем, что $x$ не стабилизирует никакое невырожденное одномерное подпространство. Рассмотрим две параболические максимальные подгруппы:
По лемме 11 для $i=1$ или $i=2$ с точностью до сопряжения элементом из $L$ имеем $x\in P_i\setminus \mathrm{O}_p(P_i)$. Как и в случае (a), имеем $x\notin \mathrm{O}_\infty(P_i)$ и рассматриваем канонический эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\overline{\phantom{G}}\colon P_i\to P_i/\mathrm{O}_\infty(P_i).
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, $i=1$, т.е. $x$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство $W$ и индуцирует на нем нетождественное преобразование. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{F}^*(\overline{P_1})\cong L_{[n/2]}(q^2), \quad\text{причем }\ \overline{x}\in \operatorname{F}^*(\overline{P_1})^\sharp.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (3.2) и малая теорема Ферма показывают, что $r$ делит $|L_{[n/2]}(q^2)|$, поскольку
$$
\begin{equation*}
2\biggl[\frac{n}{2}\biggr]\geqslant n-1\geqslant r-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь лемма 4 в сочетании с предположением индукции дает
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant \beta_r\bigl(\overline{x},\operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr) \leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, $i=2$. Тогда $\operatorname{F}^*(\overline{P_2})\cong U_{n-2}(q)$, причем $\overline{x}\in \operatorname{F}^*(\overline{P_1})^\sharp$. Если $r$ делит $|U_{n-2}(q)|$, то снова в соответствии с леммой 4 имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant \beta_r\bigl(\overline{x},\operatorname{F}^*(\overline{P_2})\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда по предположению индукции получаем неравенство (3.1). Поэтому, разбирая оставшиеся подслучаи случая (b), считаем, что число $r$ не делит $|U_{n-2}(q)|$, а это по лемме 18 влечет неравенство $r\geqslant n$. Поэтому $n=r$ в силу неравенства (3.2). В частности, $n$ нечетно и $n\geqslant 5$. В соответствии с леммой 13 имеет место один из следующих подслучаев:
Как и выше, пусть $P_1$ – стабилизатор максимального вполне изотропного подпространства $W$, и мы рассматриваем канонический эпиморфизм
$$
\begin{equation*}
\overline{\phantom{G}}\colon P_1\to P_1/\mathrm{O}_\infty(P_1).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\operatorname{F}^*(\overline{P_1})\cong L_{[n/2]}(q^2)=L_{(r-1)/2}(q^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Инволюция $\overline{y}$ нормализует, но не централизует эту подгруппу, индуцируя на $L_{(r-1)/2}(q^2)$ внутренне-диагональный автоморфизм. Из малой теоремы Ферма следует, что $r$ делит а значит, делит $|\operatorname{F}^*(\overline{P_1})|$. Если $n=r=5$, то $\dim W=(r-1)/2=2$. По лемме 9 в этом случае
$$
\begin{equation*}
\beta_r(y,L)\leqslant\beta_r(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1}))=2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, учитывая, что $y\in\langle x,x^g\rangle$, по лемме 5 получаем т.е. доказываемая теорема верна. Пусть $n=r>5$. Тогда $r\geqslant 7$, $\dim W=(r-1)/2\geqslant 3$ и по лемме 7 с учетом того, что $\overline{y}$ – внутренне-диагональная инволюция группы $L_{(r-1)/2}(q^2)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_r(y,L)\leqslant\beta_r\bigl(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr)\leqslant \alpha\bigl(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr)\leqslant \frac{r-1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем Случай (b) разобран полностью. Рассмотрим случай (c), когда полупростой элемент $x$ стабилизирует одномерное подпространство $U$, которое невырожденно в случае $\varepsilon=-$. Пусть $W$ – $x$-инвариантное дополнение к $U$, причем $W\perp U$, если $\varepsilon=-$. Не умаляя общности рассуждений, мы можем считать, что прообраз элемента $x$ в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ действует нескалярно на $W$. В самом деле, если $x$ действует скалярно на $W$, то $W$ состоит из собственных векторов прообраза $x^*$ элемента $x$ в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$, причем, поскольку $x\ne 1$, собственное значение $\lambda$, которому соответствуют векторы из $W$, отлично от собственного значения $\mu$, которому соответствуют векторы из $U$. Выберем в $W$ одномерное подпространство $U_0$ (невырожденное, если $\varepsilon=-$; такая возможность выбрать $U_0$ гарантирована леммой Витта) и рассмотрим $x$-инвариантное (ортогональное при $\varepsilon=-$) дополнение $W_0$ к $U_0$. Так как $n\geqslant 4$, среди собственных значений ограничения $x^*$ на $W_0$ присутствуют как $\lambda$, так и $\mu$, и тем самым $x^*$ действует на $W_0$ нескалярно, мы можем заменить $U$ на $U_0$, а $W$ на $W_0$. Теперь элемент $x$ содержится в образе в $\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$ подгруппы вида
$$
\begin{equation*}
\operatorname{GL}^\varepsilon_1(q)\times \operatorname{GL}_{n-1}^\varepsilon(q)
\end{equation*}
\notag
$$
и индуцирует неединичный автоморфизм $\overline{x}$ на единственном неабелевом композиционном факторе $L^\varepsilon_{n-1}(q)$ этого образа. Как и при рассмотрении случая (a), на основании леммы 18 и неравенства (3.2) заключаем, что $r$ делит $|L^\varepsilon_{n-1}(q)|$, откуда по лемме 4 и предположению индукции выводим неравенство (3.1). Для случая (c) теорема доказана. 3.4. Внутренне-диагональный автоморфизм, не стабилизирующий одномерных подпространств унаследованного типаЗдесь мы рассмотрим все случаи, когда полупростой элемент $x\in\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ не имеет инвариантных одномерных подпространств унаследованного типа. Если $x$ действует неприводимо на $V$, то
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant 3\leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу леммы 8. Поэтому считаем, что $V$ обладает собственным ненулевым $x$-инвариантным подпространством. Сведем ситуацию к случаю, когда это подпространство унаследованного типа и, следовательно, размерности $\geqslant 2$, чтобы затем воспользоваться леммой 14. По лемме 10, если у $x$ нет собственных инвариантных подпространств унаследованного типа, то $\varepsilon=-$, $n$ четно и $x$ стабилизирует вполне изотропное подпространство $U$ размерности $n/2$. Так как элемент $x$ полупрост, по теореме Машке $x$ стабилизирует также некоторое вполне изотропное подпространство $W$ той же размерности и такое, что Если $x$ действует скалярно на обоих подпространствах $U$ и $W$, возьмем ненулевые векторы $u\in U$ и $w\in W$ такие, что $(u,w)\ne 0$. Для прообраза $x^*\in \operatorname{GL}^-(V)$ элемента $x$ подпространства $U$ и $W$ являются пространствами собственных векторов, причем, поскольку $x^*\notin \operatorname{Z}(\operatorname{GL}^-(V))$, векторы $u$ и $w$ отвечают разным собственным значениям. Тем самым, $\langle u,w\rangle_F$ – собственное $x$-инвариантное подпространство унаследованного типа. Предположим, что $x$ действует нескалярно на $U$ или $W$. Тогда $x^*$ содержится в стабилизаторе в $\operatorname{GL}^-(V)$ этого подпространства, изоморфном $\operatorname{GL}_{n/2}(q^2)$, элемент $x$ содержится в образе $H$ этого стабилизатора в $\widehat{L}=\operatorname{PGU}(V)$ и индуцирует неединичный автоморфизм $\overline{x}$ на $H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)\cong L_{n/2}(q^2)$. Далее, как обычно, из неравенства (3.2) и леммы 18 заключаем, что $r$ делит $|L_{n/2}(q^2)|$ и неравенство (3.1) верно по предположению индукции и в силу неравенства
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant\beta_r(\overline{x},H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если же $x$ действует скалярно как на $U$, так и на $W$, то на $\langle u,w\rangle_F$ элемент $x$ действует нескалярно, что нам и требовалось. Итак, до конца данного пункта считаем, что $x\in \widehat{L}$ – полупростой элемент, $U$ – ненулевое $x$-инвариантное подпространство унаследованного типа наименьшей размерности (в частности, $x$ действует неприводимо на $U$) и $W$ – $x$-инвариантное подпространство также унаследованного типа, дополняющее $U$ до $V$. При этом
$$
\begin{equation*}
\dim U\geqslant 2, \qquad t=\dim W=n-\dim U\geqslant \dim U.
\end{equation*}
\notag
$$
Элемент $x$ действует нескалярно на $W$ и поэтому индуцирует неединичный автоморфизм $\overline{x}$ группы $\operatorname{PSL}^\varepsilon(W)\cong L^\varepsilon_t(q)$. Если $r$ делит $|L^\varepsilon_t(q)|$, то по предположению индукции из неравенства
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant\beta_r(\overline{x},L^\varepsilon_t(q))
\end{equation*}
\notag
$$
следует справедливость неравенства (3.1). Поэтому считаем, что $r$ не делит $|L^\varepsilon_t(q)|$, в частности, $r\geqslant 5$. По лемме 18 выполнено неравенство Из леммы 14 следует, что если
$$
\begin{equation*}
m=\begin{cases} t&\text{при }t>2, \\ 3&\text{при }t=2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
то некоторые $m+1$ элементов, сопряженных с $x$ посредством элементов из $L$, порождают подгруппу $H$ в $L$, в которой содержится нормальная подгруппа из следующего списка:
Отсюда с учетом неравенства (3.2) и леммы 18 заключаем, что порядок подгруппы $H$ делится на $r$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)\leqslant m+1= \begin{cases} t+1\leqslant r-1 & \text{ при } t>2, \\ 4=5-1\leqslant r-1 & \text{ при } t=2. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматриваемый случай разобран полностью. 3.5. Полевые, графово-полевые и графовые автоморфизмыРассмотрим в группе $\operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)$ подгруппу $H$, состоящую из матриц вида где $A$ пробегает группу $\operatorname{SL}_{n-1}^\varepsilon(q)$, и образ $K$ подгруппы $H$ в $L_n^\varepsilon(q)$. Ясно, что $K/\operatorname{Z}(K)\cong L_{n-1}^\varepsilon(q)$. Из неравенства (3.2) и леммы 18 следует, что $r$ делит $|L_{n-1}^\varepsilon(q)|$. Ясно также, что $H$ и $K$ инвариантны относительно автоморфизмов $\varphi_{p^m}$ и $\tau$, причем $y$ индуцирует на $K/\operatorname{Z}(K)$ нетождественный автоморфизм $\overline{y}$ в каждом из следующих случаев:
В силу лемм 15 и 16, если автоморфизм $x$ является полевым или графово-полевым по модулю $\widehat{L}$ или же $n$ нечетно и $x$ является графовым по модулю $\widehat{L}$, то подгруппа $\langle x\rangle$ сопряжена относительно $\widehat{L}$ с $\langle y\rangle$ для одного из упомянутых $y$. По предположению индукции из соотношений
$$
\begin{equation*}
\beta_r(x,L)=\beta_r(y,L)\leqslant \beta(\overline{y}, K/\operatorname{Z}(K))
\end{equation*}
\notag
$$
выводим для этих случаев неравенство (3.1). Остается, таким образом, рассмотреть случай, когда $n$ четно и $x$ является графовым по модулю $\widehat{L}$. При четных $n>4$ из неравенства (3.2) следует, что Это же неравенство верно, если $n=4$ и $r=3$. В этих случаях лемма 18 влечет, что порядки групп $L_{n-1}^\varepsilon(q)$ и даже $L_{n-2}^\varepsilon(q)$ делятся на $r$. Из леммы 16 вытекает, что любой графовый по модулю $\widehat{L}$ автоморфизм $x$ группы $L$ нормализует, но не централизует подгруппу $H$ в $L$ такую, что $H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)$ изоморфна $L_{n-1}^\varepsilon(q)$ или $L_{n-2}^\varepsilon(q)$. Применяя предположение индукции к автоморфизму, индуцированному $x$ на $H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)$, получаем справедливость неравенства (3.1).Осталось рассмотреть случай, когда $n=4$ и $r>3$. Так как $\alpha(x,L)\leqslant 6$, по лемме 7 при $r\geqslant 7$ имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 6=7-1\leqslant r-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому считаем, что $r=5$, откуда получаем, что $r$ делит $|L|$ и $s=r$. За исключением случая, когда $q$ нечетно, а графовая по модулю $\widehat{L}$ инволюция $x$ сопряжена с $x_-$ (см. лемму 16), мы видим, что представители классов сопряженности графовых инволюций, указанные в доказательстве леммы 16, централизуют в $\operatorname{Aut}(L)$ элемент $\varphi=\varphi_p$ (см. начало п. 2.2), и можем $L$ заменить на простую группу $\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(\varphi))\cong L^\varepsilon_4(p)$, на которой эти представители индуцируют графовую инволюцию того же типа по модулю внутренне-диагональных автоморфизмов. Поэтому можно считать, что: Так как случаи $q=2,3,5$ уже рассмотрены в лемме 22, считаем, что в любом случае $q$ нечетно и $q\geqslant 7$. Воспользуемся изоморфизмом и рассмотрим $L$ как проективную ортогональную группу, а элемент $x$ как графовую по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов инволюцию в этой группе. По лемме 17 инволюция $x$ нормализует, но не централизует в $L$ подгруппу $H$, изоморфную либо $O_5(q)\cong S_4(q)$, либо $O_4^-(q)\cong O_3(q^2)\cong L_2(q^2)$, и в обоих случаях $|H|$ делится на 5.Если $H\cong S_4(q)$, то $\operatorname{Aut}(H)=\widehat{H}$, поэтому $x$ индуцирует на $H$ внутренне-диагональный автоморфизм $\overline{x}$, по леммам 4 и 26 имеем
$$
\begin{equation*}
\beta_5(x,L)\leqslant \beta_5(\overline{x},H)\leqslant 4=5-1.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $H\cong L_2(q^2)$ требуемый результат дают те же рассуждения со ссылкой на лемму 9. Теорема 1 полностью доказана. § 4. Доказательство теоремы 2Пусть собственное подмножество $\pi$ множества всех простых чисел содержит по крайней мере два различных элемента. Пусть $r$ – наименьшее простое число, не принадлежащее $\pi$, и
$$
\begin{equation*}
m= \begin{cases} r, & \text{если } r\in\{2,3\}, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Допустим, теорема 2 неверна. По лемме 2 имеем $r\geqslant 3$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{F}=\mathscr{S}\cup \{A_n\mid n\geqslant 5\} &\cup \bigl\{L^\varepsilon_n(q)\mid n\geqslant 2, \ \varepsilon=\pm,\ q\text{ - степень простого числа} \\ &\qquad \text{и } (\varepsilon, n,q)\ne(\pm,2,2), (\pm,2,3), (-,3,2) \bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{S}$ – множество из 26 спорадических групп. Рассмотрим в качестве класса $\mathscr{X}$ класс всех конечных групп, у которых любой неабелев композиционный фактор либо изоморфен группе из $\mathscr{F}$, либо является $\pi$-группой. Тогда $\mathscr{X}\setminus \mathscr{BS}_\pi^m\ne\varnothing$, поскольку включение $\mathscr{X}\subseteq \mathscr{BS}_\pi^m$ означало бы справедливость доказываемой теоремы. В соответствии с леммой 1 группа $G$ наименьшего порядка из $\mathscr{X}\setminus \mathscr{BS}_\pi^m$ содержит нормальную неабелеву простую подгруппу $L$ и элемент простого порядка $x$ со следующими свойствами:
Пусть $s$ – наименьший простой делитель $|L|$, не принадлежащий $\pi$. Тогда либо $r$ делит $|L|$ и $s=r$, либо $r$ не делит $|L|$ и $s>r$. Согласно теореме 1 и леммам 20 и 21 выполнено неравенство т.е. существуют элементы $g_1,\dots,g_m\in L$ такие, что $|\langle{ x^{g_1},\dots,x^{g_m}}\rangle|$ делится на $s$. Но тогда $\langle{ x^{g_1},\dots,x^{g_m}}\rangle$ не является $\pi$-подгруппой, вопреки тому, что любые $m$ сопряженных с $x$ элементов порождают $\pi$-подгруппу.Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YanWuRev23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|