| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Распределение последовательностей Коробова–Главки А. А. Илларионов Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9697e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $N$ – натуральное число и $a_1, \dots, a_s$ – целые числа. Для приближенного вычисления кратных интегралов по квадратурным формулам на единичном $s$-мерном кубе $[0, 1]^s$ Н. М. Коробов (см. [1]) и Е. Главка (см. [2]) (независимо) предложили использовать сетки вида
$$
\begin{equation*}
K_N(a)=\biggl\{ \biggl( \biggl\{\frac{a_1k}{N}\biggr\},\dots, \biggl\{\frac{a_sk}{N}\biggr\} \biggr)\colon k=1,\dots,N\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта идея оказалась плодотворной. Она породила целое направление на стыке теории чисел и вычислительной математики (см. [3]–[5]). Напомним, что отклонение $D(X)$ конечного множества $X\subset [0,1)^s$ от равномерного распределения определяется формулой
$$
\begin{equation*}
D(X)=\sup_{\Pi} \biggl| \frac{\# (X\cap \Pi)}{\# X}-\operatorname{meas} \Pi \biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где точная верхняя грань берется по всем параллелепипедам $\Pi=[x_1,x_1') \times \dots \times [x_s,x_s')$ таким, что $0\leqslant x_j < x_j'<1$, $j=1,\dots,s$. Здесь и ниже $\# X$ – мощность множества $X$. С теоретической и практической точек зрения разумно конструировать последовательности с небольшим отклонением (см. [3]–[5]). Если $s=1$ и $\operatorname{\textrm{нод}} (a_1,N)=1$, то $D(K_N(a_1))=1/N$. Исследование величины $D(K_N(a))$ значительно усложняется при $s\geqslant 2$. Хорошо известная верхняя оценка
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D^{(s)}_N \equiv \min_{a\in \mathbb Z_N^s} D(K_N(a)) \underset{s}\ll \frac{\ln^s N}{ N}
\end{equation*}
\notag
$$
была получена Н. М. Коробовым (см. [3]) для простого $N$ и Х. Нидерайтером (см. [6]) для любого целого $N>1$. Г. Ларчер (см. [7]) доказал, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D^{(2)}_N \ll \frac{\ln N}{\varphi(N)} \ln\ln N ,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(N)$ – функция Эйлера. Наилучшая верхняя оценка была получена В. А. Быковским (см. [8]). Она имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D^{(s)}_N \underset{s}\ll \frac{\ln ^{s-1} N}{N} \ln\ln N.
\end{equation*}
\notag
$$
Есть основания полагать, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D^{(s)}_N \underset{s}\gg \frac{\ln ^{s-1} N}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $s=2$ это неравенство вытекает из теоремы Шмидта (см. [9]). При $s>2$ наилучшая нижняя оценка следует из результатов работы [10]. Она имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D^{(s)}_N\underset{s}\gg\frac{(\ln N)^{(s-1)/2+\eta(s)}}{N} \quad \text{при }\ s\geqslant 3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta(s)$ – положительная постоянная, зависящая только от $s$. Для любого $x\in \mathbb Z^s$ пусть и для любого $a\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}$ положим где минимум берется по всем нетривиальным решениям $x\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}$ сравненияПараметр $q_N(a)$ был введен Н. С. Бахваловым (см. [11]) и Е. Главкой (см. [2]). Он характеризует “иррегулярность” последовательности $K_N(a)$. Например, справедливы такие оценки (см. [5; п. 5.1]):
$$
\begin{equation}
\frac{1}{q_N(a)} \underset{s}\ll D(K(a,N)) \underset{s}\ll \frac{\ln^s N}{q_N(a)}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Поэтому разумно выбирать точки $a\in \mathbb Z^s$ с большим $q_N(a)$. Согласно теореме Минковского о выпуклом теле $q_N(a) \leqslant N/2$ (см. [5; п. 5.1]). Возьмем любое число $a_1\in \mathbb Z$ такое, что $\operatorname{\textrm{нод}} (a_1,N)=1$. Пусть $a_1/N=[b_0;b_1,\dots,b_k]$ – разложение рационального $a_1/N$ в непрерывную дробь ($b_j$ – неполные частные). Хорошо известно (см. [5; теорема 5.17]), что
$$
\begin{equation}
q_N(a) \asymp N \Bigl( \max_{1\leqslant i\leqslant k} b_i \Bigr)^{-1} \quad\text{при }\ a=(a_1,1).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Н. М. Коробовым, а также другими математиками неоднократно высказывалось предположение, что для некоторой абсолютной константы $C$ для любого натурального $N$ найдется $a_1$, $\operatorname{\textrm{нод}} (a_1, q)=1$, такое, что для всех $j$ выполнено $b_j \leqslant C$. Это предположение широко известно под названием “гипотеза Зарембы” и до сих пор не доказано. Если гипотеза Зарембы верна, то согласно (1.3) Однако наилучшая известная оценка имеет вид
$$
\begin{equation*}
\max_{a\in \mathbb Z^s} q_N(a) \underset{s}\gg \frac{N}{\ln^{s-1} N} \qquad (s\geqslant 2).
\end{equation*}
\notag
$$
Она доказана Н. С. Бахваловым (см. [11]) и (независимо) Е. Главкой (см. [12]) для простого $N$ и С. К. Зарембой (см. [13]) для произвольного целого $N>1$. Основные результаты настоящей работы заключаются в следующем. Пусть $\mathbb Z_N$ – полная, а $\mathbb Z^*_N$ – приведенная система вычетов по модулю $N$. Теорема 1. Пусть $s\,{\geqslant}\, 3$, $N\,{\in}\,\mathbb N$, $\lambda\,{\in}\, [1,+\infty)$, причем $N\,{>}\,1$, $\ln \lambda \ll_s \ln\ln N$. Тогда Следствие 1. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда Теорема 2. Для любого целого $s\geqslant 3$ существует положительная постоянная $C(s)$, зависящая только от $s$, такая, что если $N\in \mathbb N$, $\lambda\in [1,+\infty)$, причем $N\geqslant 3$, $\ln\lambda \ll_s \ln\ln N$, то Доказательства теорем 1, 2 основаны на неравенствах Маркова и Чебышёва. Следствие 1 следует из теоремы 1 и соотношений (1.2). При доказательстве теоремы 2 важную роль также играет неравенство Быковского для $D(K_N(a))$ (см. [8; теорема 1] или оценку (5.3) ниже). Из теоремы 2 и следствия 1 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\ln^{s-1} N}{N\ln\ln N} \underset{s}\ll D(K_N(a)) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N
\end{equation*}
\notag
$$
для “почти всех” $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$. Замечание 1. В приводимых ниже доказательствах условие $s>2$ существенно. Пусть $s=2$. Тогда (1.5) следует из результатов работы [14]. Согласно (1.3) и [15; теорема 1] Замечание 2. Теорема 2 была доказана автором в [16] для простого $N$. Случай составного $N$ оказался значительно более сложным. Замечание 3. Для $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_s) \in \mathbb R^s$, $n\in \mathbb N$, положим Оставшаяся часть статьи состоит из четырех параграфов. В § 2 выводятся асимптотические формулы для количества решений некоторых сравнений. Эти результаты используются в § 3 для исследования распределения решений сравнения (1.1). Доказательство теоремы 1 приводится в § 4, а теоремы 2 – в § 5. § 2. Количество решений некоторых сравненийЦелью этого параграфа является доказательство следствий 2 и 3. Используем следующие обозначения. Запись
$$
\begin{equation*}
f(x) \ll g(x) \quad (\text{либо } f(x)=O(g(x))) \quad \text{при }\ x\in X
\end{equation*}
\notag
$$
означает, что существует абсолютная постоянная $C>0$ такая, что $|f(x)| \leqslant C \cdot g(x)$ при всех $x\in X$. Если $C$ зависит от параметра $\theta$, то пишем $f(x) \ll_{\theta} g(x)$ (либо $f(x)=O_\theta(g(x))$). Запись $f\asymp g$ означает, что $f\ll g\ll f$. Для любых $n\in \mathbb Z$ и $m \in \mathbb N$ положим
$$
\begin{equation*}
\delta_m(n)=\begin{cases} 1, & \text{ если } n\equiv 0 \pmod m, \\ 0, & \text{ если } n\not\equiv 0 \pmod m. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $e(z)=e^{2\pi i z}$ для всех $z\in \mathbb C$. Хорошо известны следующие формулы:
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in \mathbb Z_N} e\biggl(\frac{mn}{N}\biggr)=N \delta_N(m),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{n\in \mathbb Z_N^*} e\biggl(\frac{mn}{N}\biggr)=N \sum_{d\mid N} \frac{\mu(d)}{d}\delta_{N/d}(m).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь и далее $\mu(d)$ – функция Мёбиуса; $N\in \mathbb N$, $N\geqslant 3$. Если $\Omega\subset \mathbb R^s$, то – сумма по всем $x\in \mathbb Z^s\cap \Omega$ таким, что $x\neq 0$.Через $a\cdot x$ обозначаем стандартное скалярное произведение векторов $a$ и $x$. Лемма 1 (см. [8; лемма 10]). Пусть $s\geqslant 2$, $l\in \mathbb Z$, $P_1,\dots,P_s \in [1,N]$. Тогда Лемма 2. Если $P\in \{1,2,\dots, N\}$, $c\in \mathbb Z$, то где Доказательство. Определим функцию по формуле
$$
\begin{equation*}
\chi(t)=\begin{cases} 1, & \text{ если } t\in [P,2P), \\ 0, & \text{ если } t \not\in [P,2P). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя дискретное преобразование Фурье, получаем
$$
\begin{equation*}
\chi(t)=\sum_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{kt}N\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
F(k)=\frac{1}{N} \sum_{P\leqslant n< P+N} \chi(n) e\biggl(-\frac{kn}N\biggr) =\frac{1}{N} \sum_{P\leqslant n< 2P} e\biggl(-\frac{kn}N\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F(0) = \frac{P}{N}, \\ |F(k)| =\frac{1}{N}\biggl|\frac{1- e(-kP/N)}{1-e(-k/N)}\biggr| =\frac{1}{N}\biggl|\frac{\sin(\pi P k/N)}{\sin(\pi k/N)} \biggr| \leqslant\frac{1}{2|k|}, \qquad k\neq 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{t=P}^{2P-1} \delta_N(t+c) &=\sum_{t=P}^{P+N-1}\chi(t) \delta_N(t+c) =\sum_{t=P}^{P+N-1} \sum_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{kt}{N}\biggr) \delta_N(t+c) \\ &=\sum_{-N/2<k\leqslant N/2} F(k)\sum_{t\in \mathbb Z_N} e\biggl(\frac{kt}{N}\biggr) \delta_N(t+c) \\ &=\sum_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{-ck}{N}\biggr) =\frac{P}{N}+\mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{-kc}{N}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Для любых $s\geqslant 2$, $l\in \mathbb Z$, $P=(P_1,\dots,P_s)\in \mathbb N^s$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_N^{(s)}(P;l)=\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \sum_{P_1\leqslant x_1< 2 P_1}\dotsb \sum_{P_s\leqslant x_s< 2 P_s} \delta_N(a\cdot x-l).
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, $\mathcal A_N^{(s)}(P;l)$ – это количество решений $(a,x)\in (\mathbb Z_N^*)^s\,{\times}\, \mathbb Z^s$ задачи
$$
\begin{equation*}
a_1x_1+\dots+a_s x_s \equiv l \pmod N, \qquad P_j\leqslant x_j< 2P_j, \quad j=1,\dots, s.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\tau(N)=\sum_{d\mid N} 1$ – количество натуральных делителей числа $N$. Лемма 3. Пусть $s\geqslant 2$, $l\in \mathbb Z$, $P=(P_1,\dots,P_s) \in \mathbb N^s$, причем $P_j\leqslant N$, $j=1,\dots, s$. Тогда Доказательство. Не умаляя общности, считаем, что $P_1\,{=}\max\{P_1,\dots, P_s\}$.
Пусть $s=2$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_N^{(2)}(P;l)=\sum_{a_1,a_2\in \mathbb Z_N^*} \sum_{P_1\leqslant x_1 < 2P_1}\sum_{P_2\leqslant x_2 < 2P_2} \delta_N(x_1+a_2x_2 -a_1 l).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 2
$$
\begin{equation*}
\sum_{P_1 \leqslant x_1 < 2P_1} \delta_N(x_1+a_2 x_2 -l a_1) =\frac{P_1}{N}+\mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{k(-a_2 x_2+a_1 l)}{N}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $|F(k)| \leqslant 1/|2k|$. Значит,
$$
\begin{equation}
\mathcal A_N^{(2)}(P;l)=\frac{\varphi^2(N)}{N} P_1P_2+S,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{P_2\leqslant x_2< 2P_2} \sum_{a_1,a_2\in \mathbb Z_N^*} \mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) e\biggl(\frac{-ka_2 x_2}{N}\biggr)e\biggl(\frac{k a_1 l}{N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя по $a_2\in \mathbb Z_N^*$, имеем (см. (2.2))
$$
\begin{equation*}
S=N \sum_{P_2\leqslant x_2< 2P_2}\sum_{a_1\in \mathbb Z_N^*} \sum_{d\mid N} \frac{\mu(d)}{d} \mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } F(k) \delta_{N/d}(kx_2) e\biggl(\frac{k a_1 l}{N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая неравенства $|F(k)|\leqslant |2k|^{-1}$, $|e(z)|\leqslant 1$, $|\mu(d)|\leqslant 1$, приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
|S| \leqslant N\varphi(N) \sum_{d\mid N} \frac{1}{d}\sum_{P_2\leqslant x_2< 2P_2} \mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } \frac{\delta_{N/d}(k x_2)}{2|k|}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $r=\operatorname{\textrm{нод}} (x_2, N/d)$, то
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum}'}_{-N/2 < k\leqslant N/2 } \frac{\delta_{N/d}(k x_2)}{2|k|} \leqslant\sum_{1\leqslant k \leqslant N/2} \frac{\delta_{N/dr}(k)}{k} \leqslant\frac{dr}{N} \sum_{1\leqslant k'\leqslant dr/2} \frac{1}{k'} \ll \frac{dr}{N}\ln N.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\ll \varphi(N) \ln N \sum_{d\mid N} \sum_{P_2\leqslant x_2 < 2 P_2} \operatorname{\textrm{нод}} \biggl(x_2, \frac Nd\biggr) \\ &\ll\varphi(N) \ln N \sum_{d\mid N} \sum_{r\mid (N/d)} r \sum_{P_2\leqslant x_2 < 2 P_2} \delta_r(x_2) \\ &\ll\varphi(N) \ln N \sum_{d\mid N} \sum_{r\mid (N/d)} P_2 \leqslant\varphi(N) P_2 \tau^2(N)\ln N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнее неравенство и (2.4), заключаем, что
$$
\begin{equation}
\mathcal A_N^{(2)}(P;l)=\frac{\varphi^2(N)}{N} P_1P_2 +O\bigl( \varphi(N) P_2 \tau^2(N)\ln N\bigr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Пусть теперь $s\geqslant 3$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_N^{(s)}(P;l)=\sum_{a_3,\dots, a_s \in \mathbb Z_N^*} \sum_{\substack{P_j\leqslant x_j < 2 P_j\\ 3\leqslant j\leqslant s}} \mathcal A_N^{(2)}(P_1,P_2; l -a_3 x_3 -\dots-a_s x_s).
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (2.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_N^{(s)}(P;l)=\biggl(\frac{\varphi^2(N)}{N} P_1P_2 +O\bigl( \varphi(N) P_2 \tau^2(N)\ln N\bigr)\biggr) \varphi^{s-2}(N) P_3\dotsb P_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Следствие 2. Пусть $s\geqslant 2$, $l\in \mathbb Z$, $P=(P_1,\dots,P_s) \in \mathbb N^s$, причем Тогда Следствие 2 вытекает из леммы 3 и хорошо известной оценки Возьмем любые $f,g\in \mathbb Z$, $P=(P_1,\dots,P_s)\in \mathbb N^s$, $Q=(Q_1,\dots,Q_s)\in \mathbb N^s$. Пусть $\mathcal B^{(s)}_N(P,Q;f,g)$ – это количество наборов $(a,x,y) \in (\mathbb Z_N^*)^s\times \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s$ таких, что
$$
\begin{equation}
a_1 x_1+\dots+a_s x_s \equiv f \pmod N, \qquad a_1 y_1+\dots+a_s y_s \equiv g \pmod N,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
$$
\begin{equation}
P_j\leqslant x_j < 2P_j, \quad Q_j\leqslant y_j < 2Q_j, \qquad j=1,\dots,s,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
\text{векторы $x$, $y$ линейно независимы над $\mathbb R$.}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Наша цель – получить асимптотическую формулу для $\mathcal B^{(s)}_N(P,Q;f,g)$. Пусть $\widehat{\mathcal B}^{(s)}_N(P,Q;f,g)$ – это количество наборов $(a,x,y) \in (\mathbb Z_N^*)^s\times \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s$, удовлетворяющих (2.7), (2.8), а также дополнительному условию
$$
\begin{equation}
x_i y_j \neq x_j y_i \quad \text{для всех }\ 1\leqslant i < j \leqslant s.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Лемма 4. Пусть $f,g\in \mathbb Z$, $P,Q \in \mathbb N^3$, причем $P_j,Q_j\leqslant N$, $j=1,2,3$. Тогда Доказательство. Достаточно доказать, что количество наборов $(a,x,y) \in (\mathbb Z_N^*)^3\times \mathbb Z^3\times \mathbb Z^3$, удовлетворяющих (2.7)–(2.9) (при $s=3$) и условию не больше, чем
Пусть
$$
\begin{equation}
r_x=\frac{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,x_2)}{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,x_2,y_1,y_2)}, \qquad r_y=\frac{\operatorname{\textrm{нод}} (y_1,y_2)}{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,x_2,y_1,y_2)}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Тогда $\operatorname{\textrm{нод}} (r_x,r_y)=1$. Согласно (2.11), (2.12) Используя (2.13) и (2.7), получаем
$$
\begin{equation}
a_3 (r_y x_3-r_x y_3) \equiv l \pmod N, \qquad P_3 \leqslant x_3 < 2P_3, \quad Q_3 \leqslant y_3 < 2Q_3,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $l=r_y f -r_x g$. Из (2.13), (2.9) вытекает неравенство
1. Возьмем любые взаимно простые $r_x,r_y\in \mathbb N$. Пусть $G(r_x,r_y)$ – количество наборов $(a_3,x_3,y_3)$, удовлетворяющих условиям (2.14), (2.15). Докажем, что
$$
\begin{equation}
G(r_x,r_y) \ll (r_y P_3+r_x Q_3) \tau(N) \min\{P_3,Q_3\}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Не умаляя общности, считаем, что $P_3\geqslant Q_3$.
Количество $a_3\in \mathbb Z_N^*$, удовлетворяющих условиям (2.14) для заданных $x_3,y_3$, не больше, чем $d=\operatorname{\textrm{нод}} (N, r_yx_3 -r_x y_3)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
G(r_x,r_y) \leqslant\sum_{d\mid N, \, d\leqslant 2 (r_yP_3+r_x Q_3)} d S(d),
\end{equation*}
\notag
$$
где $S(d)$ – количество пар $(x,y)\in \mathbb Z^2$ таких, что
$$
\begin{equation}
r_y x-r_x y \equiv 0 \pmod d, \qquad P_3 \leqslant x < 2P_3, \quad Q_3 \leqslant y < 2Q_3.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Используя (2.17) и условие $\operatorname{\textrm{нод}} (r_x,r_y)=1$, получаем, что $y$ кратно $\operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d)$. Так как $Q_3 \leqslant y < 2Q_3$, то количество таких $y$ не больше, чем $2Q_3 / \mathrm{\textrm{нод}} (r_y,d)$. Если $y$ фиксированно, то количество $x$, удовлетворяющих (2.17), не больше, чем $P_3 \operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d) d^{-1}+1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
S(d) \leqslant\frac{2Q_3}{\operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d)} \biggl(\frac{P_3}{d} \operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d)+1\biggr) =\frac{2P_3 Q_3}{d}+\frac{2Q_3}{\operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(r_x,r_y) &\leqslant\sum_{\substack{d\mid N \\ d\leqslant 2 (r_yP_3+r_x Q_3)}} d \biggl(\frac{2P_3 Q_3}{d}+\frac{2Q_3}{\operatorname{\textrm{нод}} (r_y,d))}\biggr) \\ &\leqslant 2P_3 Q_3 \tau(N)+4 (r_y P_3+r_x Q_3)\tau(N) Q_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (2.16) доказано.
2. Пусть $L=L(a_3,x_3,y_3,r_x,r_y)$ – количество наборов $(a_1,a_2, x_1,x_2,y_1,y_2) \in (\mathbb Z_N^*)^2\times \mathbb Z^4$, удовлетворяющих условиям (2.7), (2.8), (2.11), (2.12), при заданных $a_3$, $x_3$, $y_3$, $r_x$, $r_y$. Согласно (2.13) где $z_1,z_2\in \mathbb Z$. Используя (2.7), (2.8), получаем соотношения
$$
\begin{equation}
r_x (a_1 z_1+a_2 z_2) \equiv f-a_3 x_3, \quad r_y (a_1 z_1+a_2 z_2) \equiv g-a_3 y_3 \pmod N,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
\max\biggl\{ \frac{P_j}{r_x}, \frac{Q_j}{r_y} \biggr\} \leqslant z_j < 2 \min\biggl\{ \frac{P_j}{r_x}, \frac{Q_j}{r_y} \biggr\}, \qquad j=1,2.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Так как $\operatorname{\textrm{нод}} (r_x,r_y)=1$, то из (2.18) вытекает сравнение где $l_0$ – некоторое целое, зависящее только от $r_x$, $r_y$, $f-a_3x_3$, $g-a_3 y_3$. Таким образом, $L$ не больше, чем количество $(a_1,a_2,z_1,z_2)\in (\mathbb Z_N^*)^2\times \mathbb Z^2$, удовлетворяющих условиям (2.19), (2.20). Применяя лемму 1, получаем оценку
$$
\begin{equation}
L \leqslant 4 \varphi(N) \min\biggl\{ \frac{P_1}{r_x}, \frac{Q_1}{r_y} \biggr\}\min\biggl\{ \frac{P_2}{r_x}, \frac{Q_2}{r_y} \biggr\} \leqslant 4\varphi(N) \frac{P_1 Q_2}{r_x r_y}.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
3. Пусть $H(r_x,r_y)$ – количество наборов $(a,x,y)$, удовлетворяющих условиям (2.7)–(2.9), (2.11), (2.12), при заданных $r_x$, $r_y$. Учитывая (2.16), (2.21), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag H(r_x,r_y) &\ll G(r_x,r_y)\cdot L \ll (r_y P_3+r_x Q_3) \tau(N) \min\{P_3,Q_3\} \varphi(N) \frac{P_1 Q_2}{r_x r_y} \\ &=\tau(N) \varphi(N) \min\{P_3,Q_3\} P_1 Q_2 \biggl(\frac{P_3}{r_x}+\frac{Q_3}{r_y}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$$
\begin{equation*}
1\leqslant r_x < R_x=2 \min\{P_1,P_2\}, \qquad 1\leqslant r_y < R_y=2 \min\{Q_1,Q_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих соотношений и (2.22) следует, что количество решений задачи (2.7)–(2.9), (2.11) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{1\leqslant r_x < R_x} \sum_{1\leqslant r_y < R_y} H(r_x,r_y) \\ &\qquad\ll\tau(N) \varphi(N) \min\{P_3,Q_3\} P_1 Q_2 \sum_{1\leqslant r_x < R_x}\sum_{1\leqslant r_y<R_y} \biggl(\frac{P_3}{r_x}+\frac{Q_3}{r_y}\biggr) \\ &\qquad\ll\tau(N) \varphi(N) \min\{P_3,Q_3\} P_1 Q_2 (P_3 R_y \ln R_x+Q_3 R_x \ln R_y) \\ &\qquad\ll\tau(N) \varphi(N) \ln N \frac{P_1P_2P_3Q_1Q_2Q_3}{\min\{P_1,P_2,P_3,Q_1,Q_2,Q_3\}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. Лемма 5. Пусть $f,g\in \mathbb Z$, $P,Q \in \mathbb N^3$, причем $P_j,Q_j\leqslant N$, $j=1,2,3$. Тогда где Доказательство. Не умаляя общности, считаем, что $P_1 \leqslant Q_1$, $P_2 \leqslant Q_2$.
Для краткости положим $\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N=\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N(P,Q;f,g)$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N =\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{\substack{P_3\leqslant x_3 < 2P_3 \\ Q_3\leqslant y_3 < 2Q_3}} \sum_{a_1,a_2,a_3\in \mathbb Z_N^*}\delta_N(a\cdot x-f)\delta_N(a\cdot y-g)+O(\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\xi=\mathcal B^{(3)}_N(P,Q;f,g)-\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N(P,Q;f,g),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} (\dots)$ – сумма по всем $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb Z$, удовлетворяющим условиям
$$
\begin{equation*}
P_j \leqslant x_j < 2P_j, \quad Q_j \leqslant y_j < 2Q_j, \qquad x_1y_2 \neq x_2 y_1,
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N=O(\xi) +\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{\substack{P_3\leqslant x_3 < 2P_3 \\ Q_3\leqslant y_3 < 2Q_3}} \sum_{a_1,a_2,a_3\in \mathbb Z_N^*} \delta_N (a_1 x_1+a_2 x_2+x_3-f a_3) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times \delta_N (a_1 y_1+a_2 y_2+y_3-g a_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 2, получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{Q_3\leqslant y_3 < 2Q_3} \delta_N (a_1 y_1+a_2 y_2+y_3-g a_3) \\ &\qquad=\frac{Q_3}{N}+\mathop{{\sum}'}_{-N/2< k\leqslant N/2} F(k) e\biggl( \frac{k(g a_3-a_1 y_1-a_2 y_2)}{N}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|F(k)| \leqslant |2k|^{-1}$. Значит,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N=\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_1,a_2,a_3\in \mathbb Z_N^*} \frac{Q_3}{N}\delta_N (a_1 x_1+a_2 x_2+x_3-f a_3) \\ &\qquad\qquad+S+O(\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &=\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} \mathop{{\sum}'}_{-N/2<k\leqslant N/2} F(k) S_1(k), \\ S_1(k)&=\sum_{a_1,a_2\in \mathbb Z_N^*} e\biggl( \frac{k(g a_3-a_1 y_1-a_2 y_2)}{N}\biggr) \delta_N (a_1 x_1+a_2 x_2+x_3-f a_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $x_1$, $x_2$ заданы, то количество пар $(y_1,y_2)\in \mathbb Z^2$, удовлетворяющих условиям $x_1 y_2 \neq x_2 y_1 $, $Q_j \leqslant y_j < 2Q_j$, $j=1,2$, равно $Q_1Q_2+O(\min\{Q_1,Q_2\})$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_1,a_2,a_3\in \mathbb Z_N^*} \frac{Q_3}{N}\delta_N (a_1 x_1+a_2 x_2+x_3-f a_3) \\ &\qquad=\mathcal A^{(3)}_N (P;f) \frac{Q_1Q_2Q_3}{N} \biggl( 1+O\biggl(\frac{1}{\max\{Q_1,Q_2\}}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнюю формулу, соотношение (2.24) и леммы 3, 4, получаем
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N=\frac{\varphi^3(N)}{N^2} P_1P_2P_3 Q_1Q_2Q_3+S+O(\mathcal R^{(3)}_N(P,Q)).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Осталось оценить величину $S$. Согласно (2.1)
$$
\begin{equation*}
\delta_N (a_1 x_1+a_2 x_2+x_3-f a_3) =\frac{1}{N} \sum_{n\in \mathbb Z_N} e\biggl(\frac{a_1x_1+a_2x_2+x_3-f a_3}{N} n\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_1(k) =\frac{1}{N} \sum_{n\in \mathbb Z_N} \sum_{a_1,a_2\in \mathbb Z_N^*} e\biggl(\frac{x_3n+(g k-f n)a_3}{N}\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad\times e\biggl(\frac{x_1n-y_1k}{N}a_1\biggr)e\biggl(\frac{x_2n-y_2k}{N}a_2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Просуммируем по $a_1$, $a_2$, используя (2.2). В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(k) &=N \sum_{n\in \mathbb Z_N}\sum_{d_1,d_2\mid N} \frac{\mu(d_1) \mu(d_2)}{d_1d_2} \, e\biggl(\frac{x_3n+(g k-f n)a_3}{N}\biggr) \\ &\qquad\qquad\times\delta_{N/d_1}(x_1n-y_1k)\delta_{N/d_2}(x_2n-y_2k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней формулы и определения $S$ следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S &=N\sum_{d_1,d_2\mid N} \frac{\mu(d_1) \mu(d_2)}{d_1d_2} \mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} S_2, \\ S_2&=\mathop{{\sum}'}_{-N/2< k \leqslant N/2} \sum_{n\in \mathbb Z_N} F(k)e\biggl(\frac{x_3n+(g k- f n)a_3}{N}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \delta_{N/d_1}(x_1n-y_1k)\delta_{N/d_2}(x_2n-y_2k). \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
1. Оценим сумму $S_2$. Если $\delta_{N/d_1}(x_1n-y_1k)\delta_{N/d_2}(x_2n-y_2k)=1$, то
$$
\begin{equation}
d_1x_1 n \equiv d_1 y_1 k \pmod{N}, \qquad d_2x_2 n \equiv d_2 y_2 k \pmod{N}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Поэтому где
$$
\begin{equation*}
D=x_1y_2-x_2y_1, \qquad d_0=\frac{d_1 d_2}{\operatorname{\textrm{нод}} (d_1,d_2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть множество $\Lambda$ состоит из пар $(n,k)\in \mathbb Z^2$, удовлетворяющих (2.27). Оно является двумерной целочисленной решеткой. Поэтому найдутся $\alpha, \gamma \in \mathbb N$, $\beta\in \mathbb Z$ такие, что $(\alpha,0)$, $(\beta,\gamma)$ – базис $\Lambda$ (см. [18; гл. 1]), т.е.
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\{(\alpha n'+\beta k',\gamma k')\colon n',k'\in \mathbb Z\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r=\operatorname{\textrm{нод}} (N,d_1 x_1, d_2 x_2)$. Используя (2.27), (2.28) и условия $(\alpha,0)\in \Lambda$, $(\beta,\gamma)\in \Lambda$, получаем соотношения
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{N}{r}, \qquad \gamma \quad \text{кратно }\ \frac{N}{\operatorname{\textrm{нод}} (N,d_0 D)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2 &=\mathop{{\sum}'}_{-N/(2\gamma)< k'\leqslant N/(2\gamma)}\sum_{n'=0}^{r-1} F(\gamma k') e\biggl(\frac{x_3(\alpha n'+\beta k')}{N}\biggr)e\biggl(\frac{g \gamma k' -f(\alpha n'+\beta k')}{N}a_3\biggr) \\ &=\mathop{{\sum}'}_{-N/(2\gamma)< k'\leqslant N/(2\gamma)} F(\gamma k') e\biggl(\frac{x_3\beta+(g\gamma -f\beta)a_3}{N} k'\biggr) \sum_{n'=0}^{r-1} e\biggl(\frac{x_3 -f a_3}{r}n'\biggr) \\ &=r \delta_r(x_3-f a_3)\mathop{{\sum}'}_{-N/(2\gamma)< k'\leqslant N/(2\gamma)} F(\gamma k') e\biggl(\frac{x_3\beta+(g\gamma -f\beta)a_3}{N} k'\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя оценки
$$
\begin{equation*}
|F(\gamma k')| \leqslant\frac{1}{2|\gamma k'|}, \qquad \gamma \geqslant \frac{N}{\operatorname{\textrm{нод}} (N,d_0 D)}, \qquad |e(z)|\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
|S_2| \leqslant r \delta_r(x_3-f a_3) \sum_{1\leqslant k' \leqslant N/(2\gamma)} \frac{1}{\gamma k'} \ll \frac{r \delta_r(x_3-f a_3)}{N} \operatorname{\textrm{нод}} (N,d_0 D) \ln N.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
2. Теперь оценим сумму $\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2}\sum_{x_3,a_3} S_2$. Рассмотрим сравнение $x_3 \equiv f a_3 \pmod r$. Если $x_3$ фиксированно, то количество $a_3\in \mathbb Z_N$ таких, что $x_3 \equiv f a_3 \pmod r$, не больше, чем $N \operatorname{\textrm{нод}} (f,r)/r$. Кроме того, $x_3$ делится на $\operatorname{\textrm{нод}} (f,r)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} r\delta_r(x_3-f a_3) \ll N \operatorname{\textrm{нод}} (f,r) \sum_{\substack{P_3\leqslant x_3 < 2P_3 \\ x_3 \equiv 0 \ (\operatorname{mod}{\operatorname{\textrm{нод}} (f,r)})}} 1 \ll NP_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (2.29), имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} S_2 \ll P_3 \operatorname{\textrm{нод}} (N,d_0 D) \ln N.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $D=x_1 y_2 -x_2 y_1$, $d_0=d_1 d_2 (\operatorname{\textrm{нод}} (d_1,d_2))^{-1}$, $d_0\mid N$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2}\sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3} \sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} S_2 \ll P_3 d_0 \ln N \mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2} \operatorname{\textrm{нод}} \biggl (\frac{N}{d_0}, x_1y_2-x_2 y_1\biggr) \\ &\qquad\leqslant P_3 d_0 \ln N \sum_{q\mid (N/d_0)} q S_3(q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где $S_3(q)$ – количество наборов $(x_1,x_2,y_1,y_2)\in \mathbb Z^4$ таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, x_1 y_2 \equiv x_2 y_1 \pmod q, \qquad x_1y_2 \neq x_2 y_1, \\ P_j\leqslant x_j < 2P_j, \quad Q_j\leqslant y_j < 2Q_j, \qquad j=1,2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Положим Тогда $t\in \mathbb Z$, причем $1\leqslant |t| \leqslant 4(P_1Q_2+P_2 Q_1) q^{-1}$. Напомним, что $Q_j\geqslant P_j$, $j= 1,2$. Если $x_1$, $x_2$, $t$ заданы, то количество пар $(y_1,y_2)\in \mathbb Z^2$, удовлетворяющих (2.31), (2.32), не больше, чем
$$
\begin{equation*}
O\biggl(\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,x_2) \min\biggl\{\frac{Q_1}{P_1}, \frac{Q_2}{P_2}\biggr\} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_3(q) &\ll \sum_{1\leqslant |t| \leqslant 4(P_1Q_2+P_2 Q_1) q^{-1}} \sum_{\substack{P_1 \leqslant x_1 < 2P_1 \\ P_2 \leqslant x_2 < 2P_2}} \operatorname{\textrm{нод}} (x_1,x_2) \min\biggl\{\frac{Q_1}{P_1}, \frac{Q_2}{P_2}\biggr\} \\ &\ll\frac{P_1 Q_2+P_2 Q_1}{q}\min\biggl\{\frac{Q_1}{P_1}, \frac{Q_2}{P_2}\biggr\} \sum_{1\leqslant u \leqslant 2 \min\{P_1,P_2\}}\, \sum_{\substack{P_1 \leqslant x_1 < 2P_1 \\ P_2 \leqslant x_2 < 2P_2}} u\delta_u(x_1)\delta_u(x_2) \\ &\ll \frac{P_1 Q_2+P_2 Q_1}{q}\min\{Q_1 P_2,Q_2 P_1\} \sum_{1\leqslant u \leqslant 2N} \frac{1}{u} \ll \frac{P_1P_2 Q_1Q_2}{q}\ln N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (2.30), получаем
$$
\begin{equation*}
\mathop{\widetilde{\sum}}_{x_1,x_2,y_1,y_2}\, \sum_{P_3\leqslant x_3 < 2P_3}\, \sum_{a_3 \in \mathbb Z_N^*} S_2 \ll P_1P_2P_3Q_1Q_2 d_0 \tau\biggl(\frac{N}{d_0}\biggr) \ln^2 N.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Из последней оценки, условия $d_0=d_1 d_2/ \operatorname{\textrm{нод}} (d_1,d_2)$ и (2.26) следует, что
$$
\begin{equation*}
S \ll N\sum_{d_1,d_2 \mid N} \frac{P_1P_2P_3Q_1Q_2 d_0 \tau(N/d_0) \ln^2 N }{d_1 d_2} \leqslant N P_1P_2P_3 Q_1 Q_2 (\ln N)^2 \tau^3(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства осталось применить (2.25).
Лемма 5 доказана. Лемма 6. Пусть $s\geqslant 3$, $f,g \in \mathbb Z$, $P,Q\in \mathbb N^s$, причем $P_j,Q_j \leqslant N$, $j=1,\dots,s$. Тогда где Доказательство. Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \mathcal B^{(s)}_N(P,Q;f,g)-\sum_{a_4,\dots,a_s\in \mathbb Z_N^*} \sum_{\substack{P_j \leqslant x_j < 2P_j \\ 4\leqslant j\leqslant s}}\, \sum_{\substack{Q_j \leqslant y_j< 2Q_j \\ 4\leqslant j\leqslant s}} \widehat{\mathcal B}^{(3)}_N(\widetilde P, \widetilde Q; \widetilde f, \widetilde g) \leqslant\xi_s,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi_s=\mathcal B^{(s)}_N (P,Q;f,g)-\widehat{\mathcal B}^{(s)}_N (P,Q;f,g), \qquad \widetilde P=(P_1,P_2,P_3), \qquad \widetilde Q=(Q_1,Q_2,Q_3), \\ \widetilde f=f-a_4x_4-\dots-a_sx_s, \qquad \widetilde g=g-a_4y_4-\dots-a_sy_s. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 5, получаем асимптотическую формулу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal B^{(s)}_N(P,Q;f,g) &=\frac{\varphi^s(N)}{N^2} P_1\dotsb P_sQ_1\dotsb Q_s \\ &\qquad+O\bigl(\mathcal R^{(3)}_N(\widetilde P, \widetilde Q) \varphi^{s-3}(N) P_4\dotsb P_s Q_4\dotsb Q_s\bigr)+O (\xi_s) \\ &=\frac{\varphi^s(N)}{N^2} P_1\dotsb P_sQ_1\dotsb Q_s+O(\xi_s)+O(\mathcal R^{(s)}_N( P, Q)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось оценить $\xi_s$. Возьмем любой набор $(a,x,y)$, удовлетворяющий условиям (2.7)–(2.9). Если $x_iy_j=x_j y_i$, то существует номер $l\in\{1,\dots,s\} \setminus\{i,j\}$ такой, что $x_i y_l \neq x_l y_j$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\xi_s=\mathcal B^{(s)}_N (P,Q;f,g)-\widehat{\mathcal B}^{(s)}_N (P,Q;f,g) \leqslant\sum_{1\leqslant i < j\leqslant s} \sum_{\substack{1\leqslant l \leqslant s \\ l\neq i,j}} \mathcal C_{i,j,l},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal C_{i,j,l}=\mathcal C_{i,j,l}(N;P,Q;f,g)$ – количество наборов $(a,x,y)\in (\mathbb Z_N^*)^s \times \mathbb Z^s \times \mathbb Z^s$, для которых выполняются (2.7), (2.8) и $x_i y_j=x_jy_i$, $x_i y_l \neq x_ly_i$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal C_{i,j,l} \leqslant \sum_{\substack{a_k \in \mathbb Z_N^*,\, P_k\leqslant x_k < 2P_k,\, Q_k\leqslant y_k < 2Q_k \\ 1\leqslant k\leqslant s,\, k\neq i,j,k}} \bigl( \mathcal B^{(3)}_N( P', Q'; f', g') -\widehat{\mathcal B}^{(3)}_N( P', Q'; f', g')\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P'=(P_i,P_j,P_l), \qquad Q'=(Q_i,Q_j,Q_l), \\ f'=f- \sum_{k\neq i,j,l} a_k x_k, \qquad g'=g- \sum_{k\neq i,j,l} a_k y_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 4 вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal C_{i,j,l}\ll \frac{P_1\dotsb P_sQ_1\dotsb Q_s}{\min\{P_i,P_j,P_l,Q_i,Q_j,Q_l\}} \tau(N) \varphi^{s-2}(N) \ln N \leqslant\mathcal R_N^{(s)}(P,Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\xi_s \ll_s \mathcal R^{(s)}_N (P,Q)$.
Лемма 6 доказана. Используя лемму 6 и оценку (2.6), мы получаем следующий результат. Следствие 3. Пусть $s\geqslant 3$, $f,g \in \mathbb Z$, $P,Q\in \mathbb N^s$, причем Тогда § 3. Распределение решений сравнения (1.1)Целью этого параграфа является доказательство следствий 4 и 5. Пусть Из известной оценки вытекает, чтоПусть $\mathbb Z_+=\mathbb N\cup\{0\}$. Для любого $k=(k_1,\dots, k_s) \in \mathbb Z_+^s$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Pi_k=\{x\in \mathbb Z^s\colon 2^{k_j} \leqslant |x_j| < 2^{k_j+1},\ j=1,\dots,s\}, \\ |k|_1=k_1+\dots+k_s, \qquad |k|_\infty=\max_{1\leqslant j \leqslant s} k_j, \qquad |k|_*=\min_{1\leqslant j \leqslant s} k_j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любых $R>1$ и $a\in \mathbb Z^s$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Upsilon_N(R)&=\{k\in \mathbb Z_+^s\colon |k|_1 \leqslant\log_2 R, \ |k|_*\geqslant h\}, \\ V(a)&=\sum_{k\in \Upsilon_N(R)} \sum_{x\in \Pi_k} \delta_N(a\cdot x), \\ \mu_s(N,R)&=\frac{1}{\varphi^s(N)} \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} V(a), \\ \sigma_s^2(N,R)&=\frac{1}{\varphi^s(N)} \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} (V(a)-\mu_s(N,R))^2 \\ &=\frac{1}{\varphi^s(N)} \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} V^2(a)-\mu_s^2(N,R). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7. Пусть $s\geqslant 2$, $R\in (1,+\infty)$, причем $\ln N \ll_s \ln R \leqslant\ln N$. Тогда Если дополнительно $s\geqslant 3$, то Доказательство. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s}\sum_{x\in \Pi_k} \delta_N(a\cdot x)=2^s \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \sum_{\substack{2^{k_j}\leqslant x_j < 2^{k_j+1} \\ 1\leqslant j\leqslant s}} \delta_N(a\cdot x) =2^s \mathcal A_N^{(s)}(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эту формулу и следствие 2, получаем асимптотическое равенство
Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k\in \mathbb Z^s_+,\, |k|_1 \leqslant\log_2 R} 2^{|k|_1} =\sum_{0\leqslant k_0 \leqslant\log_2 R} 2^{k_0} \sum_{k_1+\dots+k_s=k_0} 1=\sum_{0\leqslant k_0 \leqslant\log_2 R} 2^{k_0} C^{s-1}_{k_0+s} \\ &=\sum_{0\leqslant k_0 \leqslant\log_2 R} \frac{2^{k_0}}{(s-1)!} ( k_0^{s-1}+O_s (k_0^{s-2})) =\frac{2R \log_2^{s-1} R}{(s-1)!}+O_s (R \log_2^{s-2} R). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь и ниже $C_n^k$ – биномиальный коэффициент. Используя соотношение (3.2), получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{|k|_1 \leqslant\log_2 R,\, |k|_* \leqslant h} 2^{|k|_1} \underset{s}\ll h R \ln^{s-2} R \ll \frac{R \ln^{s-1} N}{\ln\ln N}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Согласно (3.6), (3.7)
$$
\begin{equation}
\sum_{k\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1} =\frac{2 R \log_2^{s-1} R}{(s-1)!}+O_s\biggl(\frac{R \ln^{s-1} N}{\ln\ln N}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Асимптотическая формула (3.3) вытекает из (3.5), (3.8).
Приступим к доказательству оценки (3.4). Положим где множество $W_s''$ состоит из пар $(x,y)\in \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s$ таких, что $x,y$ линейно зависимы над $\mathbb R$. Положим
$$
\begin{equation*}
S=\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \sum_{k,n\in \Upsilon_N(R)} \sum_{\substack{x\in \Pi_k, y\in \Pi_n\\ (x,y)\in W_s''}} \delta_N(a\cdot x)\delta_N(a\cdot y).
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что Возьмем любую пару $(x,y)\in W_s''$, удовлетворяющую условиям $x\in \Pi_k$, $y\in \Pi_n$, где $n,k\in \Upsilon_N(R)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,\dots,x_s)}{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,\dots,x_s,y_1,\dots,y_s)}, \qquad\beta=\frac{\operatorname{\textrm{нод}} (y_1,\dots,y_s)}{\operatorname{\textrm{нод}} (x_1,\dots,x_s,y_1,\dots,y_s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\operatorname{\textrm{нод}} (\alpha,\beta)=1$. Поскольку $x$, $y$ линейно зависимы,
$$
\begin{equation*}
\frac{x_j}{\alpha}=\frac{y_j}{\beta}=z_j, \qquad j=1,\dots, s,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_j\in \mathbb Z$. Не умаляя общности, будем считать, что $\alpha\geqslant \beta$. Следующие соотношения очевидны:
$$
\begin{equation*}
\frac{2^{k_j}}{\alpha} \leqslant |z_j| < \frac{2^{k_j+1}}{\alpha}, \quad j=1,\dots, s, \qquad \alpha \leqslant\max_{k\in \Upsilon_N(R)} \min_{1\leqslant j\leqslant s} 2^{k_j+1} \leqslant 2R.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S\ll \sum_{1\leqslant\beta \leqslant\alpha \leqslant 2 R} S_1(\alpha,\beta), \\ S_1(\alpha,\beta)=\sum_{k\in \Upsilon_N(R)}\, \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s}\, \sum_{2^{k_j} \alpha^{-1} \leqslant |z_j| < 2^{k_j+1}\alpha^{-1}} \delta_N(\alpha a\cdot z)\delta_N(\beta a\cdot z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\operatorname{\textrm{нод}} (\alpha,\beta)=1$, то $\delta_N(\alpha a\cdot z) \delta_N(\beta a\cdot z)=\delta_N(a\cdot z)$. Используя лемму 3, соотношения (2.6), (3.6) и условие $2^{|k|_*} \geqslant 2^h=\tau^3(N)\ln^{s+2} N$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(\alpha,\beta) & \underset{s}\ll \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} \mathcal A^{(s)}_N(2^{k_1}\alpha^{-1},\dots, 2^{k_s}\alpha^{-1};0) \\ &\underset{s}\ll\sum_{k \in \Upsilon_N(R)} \biggl(\frac{\varphi^s(N) 2^{|k|_1} }{ N \alpha^s} +\frac{\varphi^{s-1}(N) 2^{|k|_1} \tau^2(N) \ln N}{ 2^{|k|_*} \alpha^{s-1}} \biggr) \\ &\underset{s}\ll\frac{\varphi^s(N)}{N} \biggl(\frac{1}{\alpha^s} +\frac{1}{\alpha^{s-1} \ln N}\biggr) \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1} \\ &\underset{s}\ll{} \frac{\varphi^s(N)}{N} \biggl(\frac{1}{\alpha^3} +\frac{1}{\alpha^{2}\ln N}\biggr) R\log_2^{s-1} R. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней оценки, (3.3) и предположения $\ln N \asymp_s \ln R$ вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\underset{s}\ll \frac{\varphi^s(N)}{N} R\log_2^{s-1} R \sum_{1\leqslant\beta \leqslant\alpha \leqslant 2R} \biggl(\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\alpha^2 \ln N}\biggr) \\ &\underset{s}\ll\frac{\varphi^s(N)}{N} R\log_2^{s-1} R \underset{s}\ll \varphi^s(N) \mu_s(N,R). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство (3.9) доказано.
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} V^2(a)=\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} \sum_{x\in \Pi_k} \delta_N(a\cdot x) \sum_{n\in \Upsilon_N(R)} \sum_{y\in \Pi_n} \delta_N(a\cdot y).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом соотношения (3.9) получаем асимптотическую формулу
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\varphi^s(N)}\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} V^2(a) =S_2+O_s(\mu_s(N,R)),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_2=\frac{1}{\varphi^s(N)}\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s}\, \sum_{k,n\in \Upsilon_N(R)}\, \sum_{\substack{x\in \Pi_k, y\in \Pi_n \\ (x,y)\in W_s'}} \delta_N(a\cdot x)\delta_N(a\cdot y).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко заметить, что
$$
\begin{equation*}
S_2=\frac{2^{2s}}{\varphi^s(N)} \sum_{k,n\in \Upsilon_N(R)} \mathcal B^{(s)}_N (2^{k_1},\dots, 2^{k_s}, 2^{n_1},\dots, 2^{n_s};0,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя следствие 3, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_2 &=\frac{2^{2s}}{N^2} \sum_{k,n\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1+|n|_1} \bigl(1+O_s( \ln^{-(s-1)}N)\bigr) \\ &=\biggl(\frac{2^{s}}{N} \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1}\biggr)^2 \bigl(1+O_s(\ln^{-(s-1)}N)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего соотношения и (3.10), (3.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma_s^2(N,R) &=\frac{1}{\varphi^s(N)}\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} V^2(a)-\mu_s^2(N,R) \\ &=\biggl(\frac{2^{s}}{N} \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1}\biggr)^2 \bigl(1+O_s(\ln^{-(s-1)}N) -(1+O_s(\ln^{-(s-1)}N))^2\bigr) \\ &\qquad+O_s(\mu_s(N,R)) \\ &\underset{s}\ll \frac{1}{N^2 \ln^{s-1} N }\biggl(\sum_{k\in \Upsilon_N(R)} 2^{|k|_1}\biggr)^2+\mu_s(N,R). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (3.6), (3.3) и условия $\ln N \ll_s \ln R \leqslant\ln N$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sigma_s^2(N,R) \underset{s}\ll \frac{1}{N^2 \ln^{s-1} N } (R \ln^{s-1} R)^2+\mu_s(N,R) \ll \mu_s(N,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 7 доказана. Замечание 4. Пусть $X$ – конечное множество из $(0,+\infty)$ и Для любого вещественного $\lambda>0$ справедливо неравенство Чебышёва Из неравенства Чебышёва и леммы 7 вытекает следующий результат. Следствие 4. Пусть $s\geqslant 3$, $R\in (1,+\infty)$, причем $\ln N \ll_s \ln R \leqslant\ln N$. Тогда для любого вещественного $\xi>0$ Определим множество
$$
\begin{equation*}
\Omega_N(R)=\Bigl\{x\in \mathbb Z^s\colon H(x) \leqslant R, \, \min_{1\leqslant j\leqslant s} |x_j| \geqslant 2\tau^3(N) \ln^{s+2} N\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation}
\Omega_N(R) \subset \bigcup_{k\in \Upsilon_N(R)} \Pi_k.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat \mu=\widehat \mu (N,R,s)=\frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{R \log_2^{s-1} R}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 5. Пусть $s\geqslant 3$, $\eta_0 \in (1,+\infty)$, $R\in (1,+\infty)$, причем $\ln N \ll_s \ln R \leqslant\ln N$. Тогда для любого вещественного $\eta\geqslant \eta_0$ Доказательство. Согласно (3.3) существует натуральное $N_0$, зависящее только от $s$ и $\eta_0$, такое, что Не умаляя общности, считаем, что $N\geqslant N_0$.
Возьмем любое $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$, удовлетворяющее условию
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in \Omega_N(R)} \delta_N (a\cdot x) \geqslant \eta \widehat \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.11), получаем
$$
\begin{equation*}
V(a) \geqslant \sum_{x\in \Omega_N(R)} \delta_N(a\cdot x) \geqslant \eta \widehat \mu \geqslant \eta \mu_s(N,R) \biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\eta_0}\biggr) > \mu_s(N,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |V(a)-\mu_s(N,R)| &=V(a)-\mu_s(N,R) \geqslant \eta \widehat \mu- \widehat \mu \biggl(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\eta_0}\biggr)^{-1} \\ &=\eta \widehat \mu \biggl(1-\frac{2\eta_0}{\eta (\eta_0+1)}\biggr) \geqslant \eta \widehat \mu \biggl(1- \frac{2}{\eta_0+1}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следствию 4 количество таких $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$ не больше, чем
$$
\begin{equation*}
O_s\biggl(\varphi^s(N) \frac{R \ln^{s-1} N}{N} \biggl(\eta\widehat \mu \biggl(1- \frac{2}{\eta_0+1}\biggr) \biggr)^{-2} \biggr) =O_{s,\eta_0} \biggl(\varphi^s(N)\frac{N}{\eta^2 R \ln^{s-1} N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие доказано. § 4. Доказательство теоремы 1 Доказательство. Из доказательства теоремы 2 в [8] следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \mathop{{\sum}'}_{H(x)\leqslant R} \delta_N(a\cdot x)=\sum_{t=2}^s 2^t C^t_s \varphi^{s-t}(N) E_N^{(t)}(R),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
E_N^{(t)}(R)=\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^t} \sum_{x\in \mathbb N^t,\, H(x)\leqslant R} \delta_N(a\cdot x) \underset{t}\ll \varphi^{t-1}(N) R \ln^{t-1} R.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \mathop{{\sum}'}_{H(x)\leqslant R} \delta_N(a\cdot x)=2^s E_N^{(s)}(R)+O_s (\varphi^{s-2}(N) R \ln^{s-2} R).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Легко заметить, что
$$
\begin{equation}
E_N^{(s)}(R) \leqslant\sum_{k\in \mathbb Z^s_+,\, |k|_1 \leqslant\log_2 R} \mathcal A^{(s)}_N(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0)=S_1+S_2,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1 &=\sum_{|k|_1 \leqslant\log_2 R,\, |k|_\infty \geqslant h} \mathcal A^{(s)}_N(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0), \qquad h=\log_2 (\tau^3(N) \ln^{s+2} N), \\ S_2 &= \sum_{|k|_1 \leqslant\log_2 R,\, |k|_\infty < h} \mathcal A^{(s)}_N(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из следствия 2 и оценки (3.6) вытекает, что
$$
\begin{equation}
S_1 \underset{s}\ll \frac{\varphi^s(N)}{N} \sum_{|k|_1 \leqslant\log_2 R} 2^{|k|_1} \underset{s}\ll \frac{\varphi^s(N)}{N} R \log_2^{s-1} R.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Используя лемму 1 и неравенство (3.2), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_2 &\leqslant 2^s \varphi^{s-1}(N) \sum_{|k|_1 \leqslant\log_2 R,\, |k|_\infty \leqslant h} 2^{|k|_1} \underset{s}\ll \varphi^{s-1}(N) R h^{s-1} \\ &\underset{s}\ll\varphi^{s-1}(N) R \biggl(\frac{\ln N}{\ln\ln N}\biggr)^{s-1} \ll \frac{\varphi^s(N)}{N} R \frac{\ln^{s-1} N}{(\ln\ln N)^{s-2}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Оценка (4.1) следует из (4.2)–(4.5).
Лемма 8 доказана. Доказательство теоремы 1. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\#\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s \colon q_N(a) \leqslant R\} \leqslant\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \mathop{{\sum}'}_{H(x)\leqslant R} \delta_N(a\cdot x).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 8, в которой $R=N (\lambda \ln^{s-1} N)^{-1}$, получаем
Осталось оценить количество $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$ таких, что $q_N(a) \geqslant N \lambda (\ln N)^{1-s}$. Положим
$$
\begin{equation*}
R=\lambda \frac{N}{2^s\ln^{s-1} N}, \qquad \xi=\frac{\mu_s(N,R)}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем любое $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$ такое, что Если $x\in \bigcup_{k\in \Upsilon_N(R)} \Pi_k$, то
$$
\begin{equation*}
H(x)=|x_1\dotsb x_s| \leqslant 2^{s+|k|_1} \leqslant 2^s R=\lambda\frac{N}{\ln^{s-1} N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $a\cdot x \not\equiv 0 \pmod N$, $\delta_N(a\cdot x)=0$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl| \sum_{k\in \Upsilon_N(R)} \sum_{x\in \Pi_k} \delta_N(a\cdot x) -\mu_s(N,R) \biggr|=\mu_s(N,R) \geqslant \frac{\mu_s(N,R)}{2}=\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя следствие 4 и оценку (3.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\varphi^s(N)}\cdot\# \biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s \colon q_N(a) > \lambda\frac{N}{\ln^{s-1} N}\biggr\} \\ &\qquad \underset{s}\ll \frac{R \ln^{s-1} N}{\xi^2 N} =\frac{4R \ln^{s-1} N}{\mu_s^2(N,R) N} \\ &\qquad\underset{s}\ll \frac{N R \ln^{s-1} N}{ (R \ln^{s-1} R)^2} =\frac{1}{\lambda} \biggl(\frac{\ln N}{\ln R} \biggr)^{2(s-1)} \underset{s}\ll \frac{1}{\lambda}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. Доказательство следствия 1. Используя (1.2), получаем, что $q_N(a) \gg_s D(K_N(a))^{-1}$. Поэтому следствие 1 вытекает из теоремы 1.
§ 5. Доказательство теоремы 2Пусть $\Gamma$ – решетка из $\mathbb R^s$, т.е. $\Gamma$ – дискретная аддитивная подгруппа группы $(\mathbb R^s,+)$. Ненулевой узел $u\in \Gamma$ называется относительным минимумом $\Gamma$, если не существует другого ненулевого узла $v\in \Gamma\setminus\{0\}$ такого, что причем хотя бы одно из этих неравенств строгое. Через $\mathfrak M(\Gamma)$ будем обозначать множество относительных минимумов решетки $\Gamma$.Для любого $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$ положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma_N(a)=\{x\in \mathbb Z^s\colon a\cdot x \equiv 0\ (\operatorname{mod} N)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы Минковского о выпуклом теле вытекает, что
$$
\begin{equation}
H(u) \leqslant N \quad \text{для всех }\ u\in \mathfrak M(\Gamma_N(a)).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Теорема 3 (см. [8; теорема 1]). Пусть $s\geqslant 2$, $N\in \mathbb N$, $a\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}$. Тогда Согласно (5.1), (5.2) существует положительная постоянная $C_0(s)$, зависящая только от $s$, такая, что
$$
\begin{equation}
D(K_N(a)) \leqslant C_0(s)\mathop{{\sum}'}_{H(x)\leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Для любого $T\in [1,N]$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Theta_N(T) &=\biggl\{x\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}\colon \frac{N}{T} \leqslant H(x)\leqslant N\biggr\}, \\ \Theta'_N(T) &=\Bigl\{x\in \Theta_N(T)\colon \min_{1\leqslant j \leqslant s} |x_j| \geqslant 2\tau^3(N) \ln^{s+2} N\Bigr\}, \\ \Theta''_N(T) &=\Theta_N(T)\setminus \Theta'_N(T). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Возьмем любое $t\in\{2,\dots,s\}$. Согласно [8; лемма 13]
$$
\begin{equation*}
\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^t} \sum_{NT^{-1} \leqslant |x_1 \cdots x_t| \leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \underset{t}\ll \frac{\varphi^t (N) \ln^{t-1} N}{N} \ln T \ll \frac{\varphi^t(N) \ln^{t-1} N}{N} \ln\ln N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому левая часть (5.4) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
G(N,T)+O_s \biggl(\frac{\varphi^{s-1} (N) \ln^{s-2} N}{N} \ln \ln N\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
G(N,T)=\sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \sum_{\substack{x\in \Theta''_N(T) \\ x_1 \dotsb x_s \neq 0}} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \underset{s}\ll \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s}\, \sum_{\substack{x\in \mathbb N^s,\, NT^{-1}\leqslant H(x)\leqslant N\\ x_1 \leqslant 2^h}} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
и $h=\log_2 (2\tau^3(N) \ln^{s+2} N)$. Нетрудно доказать, что
$$
\begin{equation*}
G(N,T) \underset{s}\ll \sum_{k} \sum_{\substack{2^{k_j}\leqslant x_j < 2^{k_{j+1}} \\ 1\leqslant j\leqslant s}} \sum_{a\in (\mathbb Z_N^*)^s} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \leqslant \sum_{k} \frac{1}{2^{|k|_1}} \mathcal A_N^{(s)}(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sum_k$ – сумма по $k\in \mathbb Z^s_+$ таким, что $k_1 \leqslant h$, $\log_2(NT^{-1})-s \leqslant |k|_1 \leqslant\log_2 N$. Так как $|k|_1 \geqslant \log_2(N T^{-1})-s$, $T\leqslant\sqrt N$, то
$$
\begin{equation*}
\max_{1\leqslant j\leqslant s} k_j \geqslant \frac{|k|_1}{s} \geqslant \frac{\log_2 N}{2s} -1, \qquad \max\{2^{k_1},\dots, 2^{k_s}\} \geqslant \frac{N^{1/(2s)}}{2} \underset{s}\gg \tau^3(N) \ln^{s+2} N.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последние соотношения и следствие 2, получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_N^{(s)}(2^{k_1},\dots, 2^{k_s};0) \underset{s}\ll \frac{\varphi^s(N)}{ N} 2^{|k|_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{N}{\varphi^s(N)} G(N,T) &\underset{s}\ll \sum_{k} 1 =\sum_{\log_2(NT^{-1})-s \leqslant k_0 \leqslant\log_2 N}\, \sum_{k_1+\dots+k_s=k_0,\, k_1 \leqslant h} 1 \\ &\underset{s}\ll h \log_2^{s-2} N \sum_{\log_2(NT^{-1})-s \leqslant k_0 \leqslant\log_2 N} 1 \ll h (\log_2 N)^{s-2} \log_2 T. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (3.1), заключаем, что
Лемма 9 доказана. Замечание 5. Пусть $X$ – конечное множество из $(0,+\infty)$, $\mu$ – среднее арифметическое чисел из $X$. Для любого $\eta> 0$ выполняется неравенство Маркова Следствие вытекает из неравенства Маркова и леммы 9. Лемма 10. Пусть $s\,{\geqslant}\, 3$, $\gamma_0\,{\in}\, (1,+\infty)$, $T\,{\in}\, (1,+\infty)$, причем $\ln\ln N\,{\ll_s}\, \ln T \leqslant\ln N$. Тогда для любого $\gamma\geqslant \gamma_0$ Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_j = \frac{2^{j} N}{2^{[\log_2 T]}}, \qquad 0\leqslant j\leqslant [\log_2 T], \\ \Theta_j=\biggl\{x\in \mathbb Z^s\colon \frac{R_j}{2} < H(x)\leqslant R_j, \ \min_{1\leqslant j\leqslant s} |x_j| \geqslant 2\tau^3(N) \ln^{s+2} N \biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\Theta'_N(T) \subset \bigcup_{0\leqslant j\leqslant\log_2 T} \Theta_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим где $m$ – абсолютная постоянная такая, что $\sum_{j\geqslant 0} (j+m)^{-2} < 1$. Тогда
Пусть $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$, причем
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in \Theta'_N(T)} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant 3\gamma \frac{2^{s+1}}{(s-1)!}\frac{\log_2^{s-1} N}{N} \log_2T.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует номер $j$, удовлетворяющий условию
$$
\begin{equation}
\sum_{x\in \Theta_j} \delta_N(a\cdot x) > \eta_j \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{R_j \log_2^{s-1} R_j}{N},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\eta_j=\gamma \lambda_j/2$. Действительно, в противном случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{x\in \Theta'_N(T)} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} &\leqslant\sum_{0\leqslant j \leqslant\log_2 T} \sum_{x\in \Theta_j} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \\ &\leqslant\sum_{0\leqslant j \leqslant\log_2 T} \frac{2}{R_j} \cdot \eta_j \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{R_j \log_2^{s-1} R_j}{N} \\ &\leqslant\gamma \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{\log_2^{s-1} N}{N} \sum_{0\leqslant j \leqslant\log_2 T} \lambda_j \\ &< 3\gamma \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{\log_2^{s-1} N}{N} \log_2 T. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.7) вытекает, что левая часть (5.6) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\varphi^s(N)} \sum_{0\leqslant j\leqslant\log_2 T} L_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_j$ – количество $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$, для которых выполняется неравенство (5.7).
Поскольку $\ln T \gg_s \ln\ln N$, без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\log_2 T}{2((\log_2 T)^{1/3}+m)^2} \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\text{если }\ j> (\log_2 T)^{1/3}, \quad\text{то }\ \eta_j=\gamma \geqslant \gamma_0, \\ &\text{если }\ j\leqslant (\log_2 T)^{1/3}, \quad\text{то }\ \eta_j=\frac{\gamma \log_2 T}{2(j+m)^2} \geqslant \frac{\gamma \log_2 T}{2((\log_2 T)^{1/3}+m)^2} \geqslant \gamma\geqslant \gamma_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\Theta_j \subset \Omega_N(R_j)$ (определение множества $\Omega_N(R)$ дано в § 3). Поэтому из (5.7) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in \Omega_N(R_j)} \delta_N(a\cdot x) \geqslant\sum_{x\in \Theta_j} \delta_N(a\cdot x) >\eta_j \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \frac{R_j \log_2^{s-1} R_j}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя следствие 5, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{L_j}{\varphi^s(N)} \underset{s,\gamma_0} \ll \frac{N}{\eta_j^2 R_j \ln^{s-1} N} =\frac{4\cdot 2^{[\log_2 T]}}{\gamma^2 \lambda_j^2 2^{j} \ln^{s-1} N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, левая часть (5.6) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\varphi^s(N)} \sum_{0\leqslant j\leqslant\log_2 T} L_j &\underset{s,\gamma_0}\ll \frac{T}{\gamma^2 \ln^{s-1} N} \sum_{0\leqslant j \leqslant\log_2 T}\frac{1}{ \lambda_j^2 2^{j}} \\ &\leqslant \frac{T}{\gamma^2 \ln^{s-1} N} \biggl( \sum_{j\geqslant 0} \frac{(j+m)^4}{2^j \log_2^2 T} +\sum_{j> (\log_2 T)^{1/3}} \frac{1}{4\cdot 2^j} \biggr) \\ &\ll \frac{T}{\gamma^2 (\ln N)^{s-1} (\log_2 T)^2} . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10 доказана. Доказательство теоремы 2. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T=\lambda (\ln N)^{s-1} \ln\ln N, \\ \mu_0=\frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N, \qquad \widetilde \mu=3 \frac{2^{s+1}}{(s-1)!} \,\frac{\log_2^{s-1} N}{N} \log_2 T. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\ln \lambda\ll_s \ln\ln N$, то $\ln T \asymp_s \ln\ln N$. Следовательно, $\widetilde \mu \ll_s \mu_0$, т.е. существует положительная постоянная $C_1(s)$, зависящая только от $s$, такая, что $\widetilde \mu \leqslant C_1(s) \mu_0$. Пусть $C(s)=3 C_0(s)C_1(s)$, где $C_0(s)$ – постоянная из неравенства (5.3).
Если $a\in (\mathbb Z_N^*)^s$ и $D(K_N(a)) \geqslant \lambda C(s) \mu_0$, то согласно (5.3)
$$
\begin{equation*}
\mathop{{\sum}'}_{H(x) \leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant \frac{1}{C_0(s)} D(K_N(a)) \geqslant \frac{\lambda C(s) \mu_0}{ C_0(s)}=3 \lambda C_1(s)\mu_0 \geqslant 3\lambda \widetilde \mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому количество $a\,{\in}\, (\mathbb Z_N^*)^s$, удовлетворяющих условию $D(K_N(a))\,{\geqslant}\, \lambda C(s) \mu_0$, не больше, чем
$$
\begin{equation*}
M=\biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon \mathop{{\sum}'}_{H(x) \leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant 3\lambda \widetilde \mu\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что $M\leqslant M_1+M_2+M_3$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_1 &=\biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon q_N(a) \leqslant\frac{N}{T}\biggr\}, \\ M_2 &=\biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon \sum_{x\in \Theta'_N (T)} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant 2\lambda \widetilde \mu\biggr\}, \\ M_3 &=\biggl\{a\in (\mathbb Z_N^*)^s\colon \sum_{x\in \Theta''_N (T)} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant \lambda \widetilde \mu\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему 1, лемму 10 (с $\eta_0=2$) и следствие 6, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_1 &\underset{s}\ll\frac{\varphi^s(N)}{\lambda \ln\ln N}, \\ M_2 &\underset{s}\ll\varphi^s(N)\frac{ T}{\lambda^2 (\ln N)^{s-1} (\ln T)^2}=\varphi^s(N)\frac{\ln\ln N}{\lambda \ln^2 T} \underset{s}\asymp \frac{\varphi^s(N)}{\lambda \ln\ln N}, \\ M_3 &\underset{s}\ll\varphi^s(N) \frac{\ln^{s-1} N}{N \ln\ln N}\, \frac{\ln T}{\lambda \widetilde \mu} \underset{s}\ll \frac{\varphi^s(N)}{\lambda \ln\ln N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ill22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|