| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Производная функции Минковского: оптимальные оценки Д. Р. Гайфулин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 10, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9692e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Функция Минковского $?(x)$Функцию, традиционно обозначаемую как $?(x)$, впервые рассмотрел Г. Минковский в 1904 г. Это обозначение было впервые использовано в его работе [1]. Минковский построил эту функцию как пример монотонного, непрерывного и биективного отображения отрезка $[0,1]$ в себя, обладающего следующим свойством: множество алгебраических чисел степени не выше $2$ (т.е. рациональные числа и квадратичные иррациональности) переходит в множество рациональных чисел отрезка. Это свойство функции $?(x)$ становится очевидным, если рассмотреть введенное Р. Салемом в [2] равносильное определение. Именно, если
$$
\begin{equation}
x= [0; a_1,a_2,\dots,a_t,\dots]= \cfrac{1}{\displaystyle{a_1+\cfrac{1}{\displaystyle{a_2 + \dots+\cfrac{1}{\displaystyle{a_t + \displaystyle{\dotsb} }}}}}}
\end{equation}
\tag{1}
$$
— конечное или бесконечное разложение числа $x\in [0,1]$ в обыкновенную цепную дробь с натуральными неполными частными $a_1,a_2,\dots,a_t,\dots$, то
$$
\begin{equation}
?(x) =\frac{1}{2^{a_1-1}} - \frac{1}{2^{a_1+a_2-1}}+ \dots+ \frac{(-1)^{n+1}}{2^{a_1+a_2+\dots+a_n-1}}+ \dotsb.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Теперь биекция между множествами алгебраических чисел степени не выше 2 и множеством рациональных чисел сразу следует из теоремы Эйлера–Лагранжа о периодической цепной дроби. Хорошо известно, что производная $?'(x)$ (если для данного $x$ она существует) может принимать только два значения: $0$ или $+\infty$. При этом по теореме Лебега почти всюду производная равна нулю. Известно также, что в рациональных точках производная функции $?(x)$ всегда нулевая. Другие любопытные свойства функции Минковского можно найти, например, в работах [2]–[4]. 1.2. Обозначения и параметрыМы будем обозначать последовательности прописными буквами, например, $A$, $B$, $C$, а их элементы – строчными, например, $a_i$, $b_j$, $c_k$. Все последовательности в настоящей статье состоят из натуральных чисел, если не сказано иное. Для произвольной конечной последовательности $B=(b_1,b_2,\dots,b_n)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\overleftarrow{B}=(b_n,b_{n-1},\dots,b_1), \qquad S(B)=\sum_{i=1}^{n}b_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем обозначать $4_n=\underbrace{4,\dots,4}_{n \text{ чисел}}$, аналогично обозначаются другие последовательности повторяющихся чисел. Через $\langle A\rangle$ мы будем обозначать континуант от (возможно пустой) последовательности $A=(a_1,\dots,a_t)$. Эта величина определяется следующим индуктивным образом: континуант от пустой последовательности равен $1$. Континуант от последовательности из одного элемента равен этому элементу – $\langle a_1\rangle=a_1$. Далее, если $t\geqslant 2$, мы полагаем
$$
\begin{equation}
\langle a_1,a_2,\dots,a_t\rangle=a_t\langle a_1,a_2,\dots,a_{t-1}\rangle+\langle a_1,a_2,\dots,a_{t-2}\rangle.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Нетрудно видеть, что конечную цепную дробь $[0;a_1,\dots,a_t]$ можно выразить, используя континуанты:
$$
\begin{equation}
[0;a_1,\dots,a_t]=\frac{\langle a_2,\dots,a_t\rangle}{\langle a_1,a_2,\dots,a_t\rangle}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Правило (3) имеет следующее обобщение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle a_1,\dots,a_t,a_{t+1},\dots,a_s\rangle=\langle a_1,\dots,a_{t}\rangle\langle a_{t+1},\dots,a_{s}\rangle+ \langle a_1,\dots,a_{t-1}\rangle\langle a_{t+2},\dots,a_{s}\rangle \\ &\qquad =\langle a_1,\dots,a_{t}\rangle\langle a_{t+1},\dots,a_{s}\rangle(1+[0;a_{t-1},\dots,a_1][0;a_{t+2},\dots,a_s]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Более подробную информацию о свойствах континуантов можно найти в [5]. Для иррационального числа $x=[0;a_1,a_2,\dots,a_n,\dots]$ обозначим через $A_t$ последовательность его первых $t$ неполных частных, а через $S_x(t)$ их сумму: Нам также понадобятся следующие константы:
$$
\begin{equation}
\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618034, \qquad \kappa_1 = \frac{2\ln{\Phi}}{\ln{2}}\approx 1.3884838,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\lambda}= \frac{\sqrt{2}\,\lambda_4}{\lambda_5}\approx 1.1537043,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\cdot\frac{5+\sqrt{29}}{2\sqrt{29}} \bigl(1+[0;\overline{4}][0;\overline{5}]\bigr)^2 \approx 0.9982728,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\kappa_2 = \frac{4\ln\lambda_5-5\ln\lambda_4}{\ln \lambda_5-\ln\lambda_4-\ln\sqrt{2}}\approx 4.4010487,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\kappa_4 =\sqrt{\frac{\kappa_1-1}{\ln 2}}\approx 0.7486412,
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\kappa_5=\sqrt{\frac{8(\kappa_2-4)(5-\kappa_2)\ln{(\gamma^{-1})}} {\ln{\widetilde{\lambda}}}}\approx 0.152427.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Для произвольной последовательности $A$ длины $t$ обозначим
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(1)}(A):=S(A)-\kappa_1t, \qquad\varphi^{(2)}(A):=\kappa_2t-S(A).
\end{equation*}
\notag
$$
Также для иррационального числа $x=[0;a_1,\dots,a_t,\dots]$ мы будем использовать обозначения
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(1)}_{x}(t):=\varphi^{(1)}(A_t)=S_x(t)-\kappa_1t, \qquad\varphi^{(2)}_{x}(t):=\varphi^{(2)}(A_t)=\kappa_2t-S_x(t).
\end{equation*}
\notag
$$
1.3. История вопроса. Критические значенияВ [6] был доказан ряд теорем о связи величины $?'(x)$ с предельным поведением частного $S_{x}(t) /t$. Приведем две из них. Теорема A (см. [6; теорема 1]). (i) Пусть для иррационального $x$ из $(0,1)$ для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство $S_x(t)<\kappa_1t$. Тогда производная $?'(x)$ существует и равна $+\infty$. (ii) Для любого $\varepsilon>0$ существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=0$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство $S_{x}(t)<(\kappa_1+\varepsilon)t$. Теорема B (см. [6; теорема 3]). (i) Пусть для иррационального $x$ из $(0,1)$ для некоторого $\varepsilon>0$ для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство $S_x(t)>(\kappa_2+\varepsilon)t$. Тогда производная $?'(x)$ существует и равна $0$. (ii) Для любого $\varepsilon>0$ существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство $S_{x}(t)<(\kappa_2-\varepsilon)t$. Таким образом, константы $\kappa_1$ и $\kappa_2$ в теоремах A и B являются неулучшаемыми. В [6] был также поставлен вопрос о том, можно ли как-либо сравнить предельное поведение величин $S_{x}(t) $ и $\kappa_2t$ в случае, когда, наоборот, вместо равенства $?'({x})=0$ выполнено $?'({x})=+\infty$. Утверждение (ii) теоремы B показывает, что в этом случае величина
$$
\begin{equation}
\frac{\kappa_2t-S_x(t)}{t}=\frac{\varphi^{(2)}_{x}(t)}{t}
\end{equation}
\tag{13}
$$
может быть сколь угодно мала. Первый нетривиальный результат в этом направлении был получен в работе [6]. Теорема C (см. [6; теорема 4]). (i) Пусть для иррационального $x$ из $(0,1)$ производная $?'(x)$ существует и выполнено равенство $?'(x)=+\infty$. Тогда для всех достаточно больших чисел $t$ выполнена оценка (ii) Существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство В дальнейшем неравенства (14) и (15) были неоднократно усилены. Лучшие известные на настоящий момент оценки получены1 в статье [7]. Теорема D (см. [7; теорема 1.2]). (i) Пусть производная $?'(x)$ для иррационального числа $x\in (0,1)$ существует и выполнено равенство $?'(x)=+\infty$. Тогда для любого достаточно большого $t$ выполнена оценка (ii) Существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство 1.4. Равномерные и локальные оценкиВидно, что в неравенствах (14) и (15) в левых частях стоят разные величины. Если первое неравенство дает равномерную оценку величины $\varphi^{(2)}_{x}(t)$, то второе, напротив, дает ее локальную оценку. То же самое верно и для пары неравенств (16) и (17). Поэтому, если мы хотим получить точные константы в каждом из случаев, мы должны оценивать сверху и снизу как “равномерное”, так и “локальное” поведение данной величины. Для величины $\varphi^{(1)}_{x}(t) $ эта задача была решена в работе [8]. Теорема E (см. [8; теорема 1]). (i) Пусть $x=[0;a_1,\dots,a_n,\dots]$ – иррациональное число такое, что $?'(x)=0$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ для бесконечно многих $t$ выполнено (ii) Для любого $\varepsilon\,{>}\,0$ существует иррациональное число $x\,{=}\,[0;a_1,\dots,a_n,\dots]$ такое, что $?'(x)=0$ и при этом для всех достаточно больших $t$ выполнено Теорема F (см. [8; теорема 2]). (i) Пусть $x=[0;a_1,\dots,a_n,\dots]$ – иррациональное число такое, что $?'(x)=0$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ для всех достаточно больших $t$ выполнено (ii) Для любого $\varepsilon\,{>}\,0$ существует иррациональное число $x\,{=}\,[0;a_1,\dots,a_n,\dots]$ такое, что $?'(x)=0$ и при этом для бесконечно многих $t$ выполнено Отметим, что утверждение (ii) теоремы E было впервые доказано в работе [6]. 1.5. Основные результаты настоящей работыСледующие две теоремы являются аналогами теорем E и F из работы [8]. Теорема 1. (i) Рассмотрим произвольное иррациональное число $x\in(0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ для бесконечно многих $t$ выполнено (ii) Для любого $\varepsilon>0$ существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$ и для всех достаточно больших $t$ выполнено неравенство Теорема 2. (i) Рассмотрим произвольное иррациональное число $x\in(0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ для всех достаточно больших $t$ выполнено (ii) Для любого $\varepsilon>0$ существует иррациональное $x\in (0,1)$ такое, что $?'(x)=+\infty$ и для бесконечно многих $t$ выполнено неравенство Заметим, что как и в теоремах E и F, оптимальные константы в теоремах 1 и 2 различаются ровно два раза. Это связано с тем, что в два раза различаются соответствующие константы в леммах 18 и 21, которые будут доказаны ниже. § 2. Сведение к континуантам специального видаПусть существует число $x=[0;a_1,a_2,\dots,a_t,\dots]$, для которого выполнено $?'(x)=+\infty$. Это число мы будем считать зафиксированным до конца § 3. Соответствующую последовательность из первых $t$ неполных частных $x$ – $(a_1,a_2,\dots,a_t)$ – мы будем всегда обозначать $A_t$. До конца § 2 мы также будем использовать следующее обозначение: если $B_t$ – последовательность из $t$ элементов и $\nu\leqslant t$, то $B_{\nu}$ – ее подпоследовательность, составленная из первых $\nu$ членов. Нижеприведенное вспомогательное утверждение (см. [7; лемма 2.2]) является основным инструментом исследования производной $?'(x)$. Лемма 1. (i) Если для произвольного иррационального числа $x\in(0,1)$ выполнено то $?'(x)=+\infty$. (ii) Если для произвольного иррационального числа $x\in(0,1)$ выполнено $?'(x)=+\infty$, то Ключевая идея доказательства оценок (т.е. первых утверждений теорем 1 и 2 состоит в следующем. Пусть, к примеру, не выполнено первое утверждение теоремы 2. Это значит, что существует число $\varepsilon>0$ такое, что для бесконечно многих $t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}\varphi^{(2)}_{x}(u)=\max_{u\leqslant t}\varphi^{(2)}_{x}(A_u) \leqslant\biggl(\frac{\kappa_5}{2}-\varepsilon\biggr)\sqrt{t}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Как утверждает следующая лемма, можно без ограничения общности считать, что континуант $\langle A_t\rangle$ состоит из достаточно длинных последовательностей четверок и пятерок. Лемма 2 (см. [7; лемма 6.2]). Пусть число $U$ – фиксированный параметр2. Пусть $x=[0;a_1,a_2,\dots,a_t,\dots]$ – иррациональное число, для которого $?'(x)=+\infty$. Пусть условие (26) выполнено для некоторого достаточно большого $t$. Тогда для $t'=[t-t^{2/3}]$ существует континуант $\langle D_{t'}\rangle=\langle d_1,d_2,\dots, d_{t'}\rangle$, обладающий следующими свойствами. 1. $D_{t'}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
( 5_{m_1},4_{n_1},\dots,5_{m_i},4_{n_i},\dots,5_{m_{\sigma}},4_{n_{\sigma}}),
\end{equation}
\tag{27}
$$
причем в каждом из двух наборов чисел $(m_1, m_2,\dots,m_{\sigma})$ и $(n_1, n_2,\dots,n_{\sigma})$ найдется не более одного числа, не превосходящего $U$. 2. Для любого $\nu\leqslant t'$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{\nu})}} \geqslant C(U) \min\biggl(\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_x(\nu)}},\, (1.05)^\nu\biggr)>1,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $C(U)$ – не зависящая от $x$ константа. 3. Имеет место неравенство Далее схема доказательства будет состоять в следующем. Из леммы 1 и неравенства (28) следует, что для бесконечно многих $t'$ выполнено
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{t'}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{t'})}}>1.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Напомним, что $S(D_{t'})=\kappa_2t'-\varphi^{(2)}(D_{t'})$, поэтому из (29) мы получаем нижнюю оценку на $S(D_{t'})$. В сочетании с тем, что для континуанта вида (27) можно написать очень точную верхнюю оценку, мы придем к противоречию с (30). Цель этого параграфа – предположив, что неверна оценка (22) в теореме 1, доказать аналогичное лемме 2 утверждение, заменив в п. 3 величину $\max\varphi^{(2)}$ на $\varphi^{(2)}$. Итак, пусть существует число $\varepsilon>0$ такое, что для любого достаточно большого $t$ выполнено 2.1. Локальные максимумыНазовем число $\nu\in\mathbb{N}$ локальным максимумом $x$, если
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}_{x}(\nu)>\max\bigl(\varphi^{(2)}_{x}(\nu+1), \varphi^{(2)}_{x}(\nu-1)\bigr).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Легко видеть, что $\nu$ является локальным максимумом тогда и только тогда, когда $a_{\nu}\leqslant 4$ и $a_{\nu+1}\geqslant 5$. Аналогично определяется локальный максимум для произвольной конечной последовательности $B_t$ c единственным отличием: при $\nu=t$ условие (32) заменяется на $\varphi^{(2)}(B_{\nu-1})<\varphi^{(2)}(B_{\nu})$. Без ограничения общности можно полагать, что у числа $x$ бесконечно много локальных максимумов. Действительно, если все $a_i$, начиная с некоторого, больше либо равны $5$, то в силу первого утверждения теоремы B $?'(x)=0$, и мы сразу получаем противоречие. Если же все $a_i$, начиная с некоторого, меньше либо равны $4$, то утверждения теорем 1 и 2, очевидно, выполнены. Лемма 3. Пусть неравенство (31) выполнено для всех достаточно больших $t$, являющихся локальными максимумами. Тогда оно выполнено для всех достаточно больших $t$. Доказательство. Предположим противное, пусть для бесконечно многих $u$ выполнено
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}_{x}(u)=\kappa_2u-S_x(u)\geqslant(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{u}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Пусть $u$ не является локальным максимумом. Это возможно в двух случаях. Во-первых, может быть выполнено $a_u\geqslant 5$, во-вторых, $a_u\leqslant 4$, но при этом $a_{u+1}\leqslant 4$. В первом случае получаем, что
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(2)}_{x}(u-1)>\varphi^{(2)}_{x}(u)\geqslant (\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{u}>(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{u-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $u-1$ – локальный максимум, то мы пришли к противоречию с условием (31). Если нет, то $a_{u-1}\geqslant 5$ и далее рассуждаем по индукции, пока не встретим локальный максимум.
Рассмотрим второй случай. Пусть $v$ – ближайший к $u$ справа локальный максимум. Тогда для любого $\nu$ такого, что $u\leqslant\nu\leqslant v$ выполнено $a_{\nu}\leqslant 4$. Заметим, что если неравенство (33) выполнено для некоторого $u=\nu$ и $a_{\nu+1}\,{\leqslant}\, 4$, то это же неравенство выполнено для $u=\nu+1$. Действительно, пусть неравенство (33) для $u=\nu+1$ не выполнено, т.е.
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}_{x}(\nu+1)=\kappa_2(\nu+1)-S_x(\nu+1)<(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{\nu+1}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Вычтем из этого неравенства (33) для $u=\nu$, получим
$$
\begin{equation}
0.4<\kappa_2-a_{\nu+1}<(\kappa_5-\varepsilon)\bigl(\sqrt{\nu+1}-\sqrt{\nu}\,\bigr).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Поскольку правая часть (35) стремится к 0 с ростом $\nu$, приходим к противоречию. Отсюда, неравенство (33) выполнено для локального максимума $v$, и мы получили противоречие с условием леммы. Лемма доказана. 2.2. Единичные вариации и сохранение локальных максимумовЛемма 4. Пусть неравенство (31) выполнено для всех достаточно больших $t$. Тогда существует $T=T(x)$ такое, что для любого $s\geqslant T$ среднее арифметическое неполных частных на отрезке $(a_T,\dots,a_s)$ больше либо равно $4$. Доказательство. Будем рассуждать от противного. Построим растущие последовательности $t_i$ и $s_i$ следующим образом. Положим $t_1=1$. Далее предположим, что для некоторого $i\geqslant1$ число $t_i$ уже определено. Тогда выберем число $s_i$ таким, чтобы на отрезке $(a_{t_i},a_{t_i+1},\dots,a_{s_i})$ среднее арифметическое неполных частных было меньше $4$. Наконец, положим $t_{i+1}=s_i+1$. Из построения видно, что при каждом $i$ среднее арифметическое на отрезке $(a_1,a_2,\dots,a_{s_i})$ меньше $4$. Это означает, что $\varphi^{(2)}_{x}(s_i)>(\kappa_2-4)s_i$, что, очевидно, противоречит условию (31). Лемма доказана. Поскольку $T$ из предыдущей леммы есть абсолютная константа, зависящая только от $x$, без ограничения общности будем в дальнейшем полагать, что $T= 1$. Из доказанной леммы можно вывести следующее очевидное следствие. Следствие 1. В условиях леммы 4 для любого $j\in\mathbb{N}$ такого, что $a_j\leqslant 3$ найдется $i<j$ такое, что $a_i\geqslant 5$. Действительно, для доказательства достаточно применить лемму 4 к отрезку $(a_1,a_2,\dots,a_j)$. Назовем единичной вариацией первого типа следующее преобразование континуанта:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \langle A_t\rangle &=\langle a_1,a_2,\dots,a_i,\underbrace{4,4,\dots,4}_{m \text{ чисел}},a_j,a_{j+1},\dots,a_t\rangle \\ &\to\langle a_1,a_2,\dots,a_i-1,\underbrace{4,4,\dots,4}_{m \text{ чисел}},a_j+1,a_{j+1},\dots,a_t\rangle=\langle A'_t\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $a_i\geqslant 5$, $a_j\leqslant 3$, $m\geqslant 0$. Обозначим элементы $\langle A'_t\rangle$ через $a'_1,a'_2$ и т.д. При этом $a'_i=a_i-1$, $a'_j=a_j+1$, $a'_k=a_k$ при $k\ne \{ i,j\}$. Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 4. Пусть в последовательности $(a_1,a_2,\dots,a_t)$ есть элементы, меньше либо равные $3$. Тогда выполнено следующее. 1. Для континуанта $\langle A_t\rangle$ существует единичная вариация первого типа. 2. В результате применения единичной вариации первого типа на любом начальном отрезке континуанта $\langle A'_t\rangle$ среднее арифметическое неполных частных по прежнему будет больше либо равно $4$. 3. Если $\nu_0$ – локальный максимум $A'_t$, то эта же точка является локальным максимумом $A_t$. Кроме того, $\varphi^{(2)}(A'_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(A_{\nu_0})$. 4. Для всякого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство Доказательство. Для доказательства п. 1 рассмотрим наименьшее $j$ такое, что $a_j\leqslant 3$ и наибольшее $i<j$ такое, что $a_i\geqslant 5$. По следствию 1 такое $i$ существует. Тогда заметим, что если $j\ne i+1$, то для всех $k$ между $i$ и $j$ выполнено $a_k\geqslant 4$ в силу минимальности $j$. С другой стороны, $a_k\leqslant 4$ в силу максимальности $i$. Первое утверждение леммы доказано.
Для доказательства п. 2 заметим, что если $k\geqslant j$ или же $k<i$, то в результате преобразования (36) среднее арифметическое на отрезке $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ не изменится. Если же $i\geqslant k<j$, то, как легко видеть, в результате преобразования (36) среднее арифметическое на отрезке $(a_1,a_2,\dots,a_{i-1})$ не изменится и останется больше либо равным $4$. В то же время на отрезке $(a_i-1,a_{i+1},\dots,a_k)$ все элементы больше либо равны $4$. Следовательно, среднее арифметическое на отрезке $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ в результате применения преобразования (36) останется не меньше $4$. Для доказательства п. 3 напомним, что $\nu_0$ является локальным максимумом $A'_t$ тогда и только тогда, когда $a'_{\nu_0}\leqslant 4$ и $a'_{\nu_0+1}\geqslant 5$. Пусть $\nu_0$ не является локальным максимумом $A_t$. То есть либо $a_{\nu_0}\geqslant5$, либо $a_{\nu_0+1}\leqslant 4$. Рассмотрим первый случай, когда $a_{\nu_0}=5$ и $a'_{\nu_0}=4$, т.е. $\nu_0=i$ в преобразовании (36). Как несложно видеть, в этом случае $a'_{\nu_0+1}\leqslant 4$, что сразу приводит нас к противоречию. Во втором случае мы имеем $a_{\nu_0+1}=4$, но $a'_{\nu_0+1}=5$, т.е. $\nu_0+1=j$ в (36), чего не может быть в силу того, что $a_j\leqslant 3$. Осталось проверить, что $\varphi^{(2)}(A'_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(A_{\nu_0})$. Но при $\nu_0<i$ или $\nu_0 \geqslant j$ это равенство очевидно, а на участке $(a_i,\dots,a_{j-1})$ нет локальных максимумов $A'_t$. Третье утверждение леммы доказано. Наконец, докажем п. 4. Очевидно, что при $\nu<i$ неравенство (37) превращается в равенство. При $\nu\geqslant j$ легко видеть, что $S_a(\nu)=S_{a'}(\nu)$, но при этом $\langle A'_{\nu}\rangle>\langle A_{\nu}\rangle$ по лемме 6.1 из [7] . В случае, когда $i\leqslant\nu<j$, мы воспользуемся оценкой (см., например, [7; формула (2.4)]), верной для произвольных конечных последовательностей натуральных чисел $A$ и $B$:
$$
\begin{equation}
\frac{a}{a+1}\leqslant\frac{\langle A,a,B \rangle}{\langle A,a+1,B \rangle}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Из нее вытекает, что ${\langle A'_{\nu}\rangle}/{\langle A_{\nu}\rangle}\geqslant{4}/{5}$. При этом ${\sqrt{2}^{\,S_a(\nu)}}/{\sqrt{2}^{\,S_{a'}(\nu)}}=\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2}\cdot{4}/{5}>1$, четвертое утверждение леммы доказано.
Лемма доказана. Многократно применяя лемму 5 до тех пор, пока в континуанте не останется неполных частных, меньших $4$, мы приходим к следующему утверждению. Лемма 6. Пусть выполнены условия леммы 4. Тогда для любого достаточно большого $t$ существует континуант $\langle B_t\rangle=\langle b_1,b_2,\dots,b_t\rangle$, удовлетворяющий следующим условиям. 1. Все элементы $\langle B_t\rangle$ больше либо равны $4$. 2. Для всякого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle B_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_b(\nu)}}\geqslant\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{a}(\nu)}}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
3. Если $\nu_0$ – локальный максимум $B_t$, то эта же точка является локальным максимумом $A_t$. Кроме того, $\varphi^{(2)}(B_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(A_{\nu_0})$. Назовем континуант $\langle X_t\rangle=\langle x_1,x_2,\dots,x_t\rangle$ сбалансированным справа, если для всякого $s\leqslant t$ на отрезке $(x_s,x_{s+1},\dots,x_t)$ среднее арифметическое неполных частных не превосходит $5$. Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 4. Тогда для бесконечно многих $t$ континуант $\langle A_t\rangle$ является сбалансированным справа. Кроме того, если $\langle A_t\rangle$ сбалансирован справа, то таковым является и континуант $\langle B_t\rangle$, полученный в лемме 6. Доказательство. Докажем первое утверждение леммы от противного. Пусть существует $T$ такое, что для всех $t>T$ континуант $\langle A_t\rangle$ не является сбалансированным. Выберем $t=10T$. Построим убывающие последовательности $s_i$, $t_i$ следующим образом: $t_1=t$, а $s_i$ – наименьшее число такое, что на отрезке $(a_{s_i},a_{s_i+1},\dots,a_{t_i})$ среднее арифметическое больше $5$. Наконец, $t_{i+1}=s_i-1$. Легко видеть, что если $t_i>T$, то соответствующее $s_i$ существует. Разумеется, рано или поздно описанная индуктивная процедура завершится, и мы получим $s_n<T$. Из построения ясно, что на отрезке $(a_{s_n},a_{s_n+1},\dots,a_t)$ среднее арифметическое неполных частных больше $5$. С другой стороны, на отрезке $(a_1,a_2,\dots,a_{s_n-1})$ его можно тривиально оценить снизу единицей. Следовательно, для любого достаточного большого $t$ выполнено $S(A_t)=S_x(t)>4.5t$. По первому утверждению теоремы B это означает, что $?'(x)=0$, и мы пришли к противоречию.
Докажем теперь п. 2. Пусть для любого $s<t$ среднее арифметическое неполных частных на участке $(a_s,a_{s+1},\dots, a_t)$ не превосходит $5$. Докажем, что среднее арифметическое на участке $(b_s,b_{s+1},\dots, b_t)$ не превосходит $5$. Достаточно показать, что утверждение остается верным после каждого преобразования (36). Будем рассуждать по индукции от $s$. Пусть $s=t$. То есть $a_t\leqslant 5$ и нам надо показать, что $a'_t\leqslant 5$. Это утверждение напрямую следует из того, что преобразование (36) увеличивает неполное частное только в том случае, если оно не превосходит $3$. Пусть теперь среднее арифметическое на участке $(a'_s,a'_{s+1},\dots, a'_t)$ не превосходит $5$, но на участке $(a'_{s-1},a'_s,a'_{s+1},\dots, a'_t)$ оно становится больше $5$. Это означает, что $a'_{s-1}\geqslant 6$, а значит, и $a_{s-1}\geqslant 6$. Поскольку среднее арифметическое на участке $(a_{s-1},a_s,a_{s+1},\dots, a_t)$ не превосходит $5$, это означает, что для преобразования (36) выполнено $i<s-1<j$, поскольку в результате преобразования (36) сумма неполных частных на данном участке уменьшилась. Но в этом случае по определению (36) мы имеем $a_{s-1}=4$. Противоречие, лемма доказана полностью. Назовем единичной вариацией второго типа следующее преобразование континуанта:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \langle B_t\rangle &=\langle b_1,b_2,\dots,b_i,\underbrace{5,5,\dots,5}_{m \text{ чисел}},b_j,b_{j+1},\dots,b_t\rangle \\ &\to \langle b_1,b_2,\dots,b_i-1,\underbrace{5,5,\dots,5}_{m \text{ чисел}},b_j+1,b_{j+1},\dots,b_t\rangle=\langle B'_t\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
где $b_i\geqslant 6$, $b_j=4$, $m\geqslant 0$. Обозначим элементы $\langle B'_t\rangle$ через $b'_1$, $b'_2$ и т.д. При этом $b'_i=b_i-1$, $b'_j=b_j+1$, $b'_k=b_k$ при $k\ne \{ i,j\}$. Лемма 8. Пусть $\langle B_t\rangle$ – сбалансированный справа континуант, полученный в лемме 6. Пусть в $\langle B_t\rangle$ есть элементы, большие либо равные $6$. Тогда выполнено следующее. 1. Для континуанта $\langle B_t\rangle$ существует единичная вариация второго типа. 2. Полученный в результате применения единичной вариации второго типа континуант $\langle B'_t\rangle$ остается сбалансированным справа. 3. Если $\nu_0$ – локальный максимум $B'_t$, то эта же точка является локальным максимумом $B_t$. Кроме того, $\varphi^{(2)}(B'_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(B_{\nu_0})$. 4. Для всякого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство Доказательство. Доказательства первого, второго и четвертого утверждений леммы полностью аналогичны доказательствам соответствующих утверждений леммы 5. Докажем утверждение 3.
Пусть $\nu_0$ – локальный максимум $B'_t$, но при этом не является локальным максимумом $B_t$. То есть выполнено $b'_{\nu_0}\leqslant 4$ и $b'_{\nu_0+1}\geqslant 5$, но при этом либо $b_{\nu_0}\geqslant5$, либо $b_{\nu_0+1}\leqslant 4$. Рассмотрим первый случай $b_{\nu_0}=5$ и $b'_{\nu_0}=4$, т.е. $\nu_0=i$. Это невозможно, поскольку $b_i\geqslant 6$. Во втором случае мы имеем $b_{\nu_0+1}=4$, но $b'_{\nu_0+1}=5$ и получаем, что $\nu_0+1=j$. Но в этом случае, как легко видеть, $b'_{\nu_0}\geqslant 5$, что противоречит тому, что $\nu_0$ есть локальный максимум $B'_t$. Докажем теперь, что $\varphi^{(2)}(B'_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(B_{\nu_0})$. Рассуждение абсолютно аналогично доказательству соответствующего утверждения в лемме 6. При $\nu_0<i$ или $\nu_0 \geqslant j$ доказываемое равенство очевидно, а на участке $(b_i,\dots,b_{j-1})$ нет локальных максимумов $B_t$. Лемма доказана. Многократно применяя лемму 8 до тех пор, пока в континуанте не останется неполных частных, больших $5$, мы приходим к следующему утверждению, которое подводит итог п. 2.2. Лемма 9. Пусть выполнены условия леммы 4. Тогда для бесконечно многих $t$ существует континуант $\langle C_t\rangle=\langle c_1,c_2,\dots,c_t\rangle$, удовлетворяющий следующим условиям. 1. Все элементы $\langle C_t\rangle$ равны $4$ и $5$. 2. Для всякого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_c(\nu)}}\geqslant\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S_{a}(\nu)}}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
3. Если $\nu_0$ – локальный максимум $C_t$, то эта же точка является локальным максимумом $A_t$. Кроме того, $\varphi^{(2)}(C_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(A_{\nu_0})$. 2.3. Отражения и двусторонняя леммаВ предыдущем пункте мы перевели произвольный континуант $\langle A_t\rangle$, удовлетворяющий условиям леммы 4, в континуант $\langle C_t\rangle$, состоящий из четверок и пятерок. В этом пункте мы переведем $\langle C_t\rangle$ в новый континуант $\langle D_t\rangle$, состоящий из достаточно длинных последовательностей вида $4,4,\dots,4$ и $5,5,\dots,5$. Для того чтобы перевести $\langle C_t\rangle$ в $\langle D_t\rangle$ мы будем пользоваться преобразованием, которое будем называть отражением. Оно определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\langle C_t\rangle=\langle \overbrace{c_1,\dots,5}^{P}, \overbrace{4_n,5_m}^{{\overrightarrow{Q}}},\overbrace{4,\dots,c_{t}}^{R}\,\rangle\to\langle \overbrace{c_1,\dots,5}^{P},\overbrace{5_m,4_n}^{\overleftarrow{ Q}},\overbrace{4,\dots,c_{t}}^{ R}\,\rangle=\langle C'_t \rangle,
\end{equation}
\tag{43}
$$
где $m\geqslant 1, n\geqslant 1$. Заметим, что согласно [9; основная лемма], преобразование (43) увеличивает континуант $\langle C_t\rangle$. Также легко видеть, что для всех $\nu\leqslant t$ выполнено $S(C'_{\nu})\geqslant S(C_{\nu})$. Лемма 10. Пусть выполнены условия леммы 4. Пусть $U$ – фиксированное натуральное число. Тогда для бесконечно многих $t$ существует континуант $\langle D_t\rangle=\langle d_1,d_2,\dots,d_t\rangle$, удовлетворяющий следующим условиям. 1. $D_{t}$ имеет вид (27), причем $m_i \geqslant U, n_i\geqslant U$ для всех $i\geqslant 2$. 2. Существует зависящая только от $U$ константа $F(U)$ такая, что для всякого $\nu\leqslant t$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{\nu})}}\geqslant F(U)\frac{\langle A_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(A_{\nu})}}.
\end{equation}
\tag{44}
$$
3. Если $\nu_0$ – локальный максимум $D_t$, то эта же точка является локальным максимумом $A_t$. Кроме того, $\varphi^{(2)}(D_{\nu_0})=\varphi^{(2)}(A_{\nu_0})$. Доказательство. Докажем индукцией по $U$. Случай $U=1$ является, очевидно, тавтологией. Пусть все $m_i$ и $n_i$ при $i\geqslant 2$ больше либо равны $U$. Наша цель – добиться, чтобы под действием преобразований вида (43) континуант $\langle C_t\rangle$ перешел в континуант, где все $m_i$ и $n_i$ при $i\geqslant 2$ были бы больше либо равны $U+1$. Для этого нам потребуются две цепочки преобразований. Прежде всего, добьемся, чтобы выполнялось $m_i\geqslant U+1$ для всех $i\geqslant 2$. Найдем наибольшее $i\geqslant2$ такое, что $m_i=U$. Рассмотрим отражение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \langle C_t\rangle &=\langle \overbrace{c_1,\dots,5_{m_{i-1}}}^{P}, \overbrace{4_{n_{i-1}},5_{m_i}}^{{Q}},\overbrace{4_{n_i},\dots,c_t}^{R}\, \rangle \\ &\to\langle \overbrace{c_1,\dots,5_{m_{i-1}}}^{P}, \overbrace{5_{m_i},4_{n_{i-1}}}^{\overleftarrow{Q}},\overbrace{4_{n_i},\dots,c_t}^{R}\, \rangle =\langle C'_t\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Очевидно, что $m_i+m_{i-1}\geqslant 2U\geqslant U+1$. Очевидно, что свойство $n_j\geqslant U$ для всех $j$ при применении преобразования (45) сохраняется. Повторяя преобразование (45) мы добьемся, чтобы все $m_i$ были не меньше $U+1$ при $i\geqslant 2$. Абсолютно аналогично мы добьемся, чтобы все $n_i$ были не меньше $U+1$ при $i\geqslant 2$. Таким образом, применяя описанные цепочки преобразований $U$ раз, можно привести континуант $\langle C_t\rangle$ к виду (27), для которого будет выполнено первое утверждение леммы. Осталось проверить, что полученный таким образом континуант удовлетворяет второму и третьему утверждениям леммы.
Докажем второе утверждение. Легко видеть, что если элемент $c_\nu$ в преобразовании (45) попадет на участок $P$ или $R$, то $\langle C'_{\nu}\rangle\geqslant\langle C_{\nu}\rangle$ и $S(C'_{\nu})=S(C_{\nu})$. Если же $\nu$ попало на участок $Q$, то легко видеть, что С другой стороны, поскольку $\langle C'_{\nu}\rangle\geqslant\langle C_{\nu}\rangle$, получаем оценку
$$
\begin{equation}
\frac{\langle C'_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(C'_{\nu})}} \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}^{\,U}}\biggl(\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(C_{\nu})}}\biggr).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Далее, очевидно, что каждое $\nu$ может попасть на участок $Q$ лишь по одному разу в первой и второй цепочках преобразований. Как уже было показано, чтобы привести континуант $\langle C_t\rangle$ к виду (27) потребуется не более $U$ пар цепочек преобразований. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{\nu})}} \geqslant \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}^{\,U}}\biggr)^{2U}\biggl(\frac{\langle C_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(C_{\nu})}}\biggr).
\end{equation}
\tag{47}
$$
Второе утверждение леммы доказано.
Третье утверждение леммы напрямую следует из вида преобразования (43). Действительно, если $\nu_0$ – локальный максимум $C'_t$, то поскольку $c'_{\nu_0}=4$ и $c'_{\nu_0+1}=5$, можно сразу сделать вывод, что $\nu_0$ не лежит в $\overleftarrow{Q}$ и не является последним элементом $P$. Следовательно, $c_{\nu_0}=4$ и $c_{\nu_0+1}=5$, т.е. $\nu_0$ – локальный максимум $C_t$. Из того, что $\nu_0$ не лежит в $\overleftarrow{Q}$ также следует, что $S(C'_{\nu})=S(C_{\nu})$. Лемма полностью доказана. В дальнейшем без ограничения общности будем полагать, что $m_i \geqslant U$, $n_i\geqslant U$ в (27) для всех $i$. Объединяя леммы 3 и 10, мы получаем следующее утверждение, которое является аналогом леммы 2. Это утверждению подводит итог применению рассмотренных выше преобразований. Лемма 11. Пусть $U$ – фиксированный параметр. Пусть $x$ – иррациональное число, для которого выполнено $?'(x)=+\infty$. Пусть существует положительное $\varepsilon$ такое, что для любого достаточно большого $t$ выполнено 1. Для всех $\nu$ таких, что $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено
$$
\begin{equation}
\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_\nu)}} >1.
\end{equation}
\tag{49}
$$
2. Для всех $\nu$ таких, что $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено Доказательство. Первый пункт сразу следует из стремления ${\langle A_{t}\rangle}/{\sqrt{2}^{\,S(A_{t})}}$ к бесконечности и лемм 1 и 10. Доказательство второго пункта также не представляет сложности. Из леммы 3 следует, что неравенство (50) достаточно проверить только для локальных максимумов $D_t$. Из третьего утверждения леммы 10 мы знаем, что если $\nu_0$ – локальный максимум, то выполнено Лемма доказана.
§ 3. Верхние оценки3.1. Двусторонняя леммаЛеммы 2 и 11 фактически сводят исходную задачу к рассмотрению континуантов вида (27). Обозначим через $\sigma(D_t)$ количество участков $(4,4,\dots,4)$ для континуанта $\langle D_t\rangle$, имеющего такой вид. Напомним также введенные ранее константы $\widetilde{\lambda}= {\sqrt{2}\,\lambda_4}/{\lambda_5}\approx 1.1537043$ и
$$
\begin{equation*}
\gamma=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\,\frac{5+\sqrt{29}}{2\sqrt{29}}\bigl(1+[0;\overline{4}][0;\overline{5}]\bigr)^2\approx 0.9982728.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуется следующая лемма из работы [7; лемма 8.3]. Лемма 12. Пусть $\langle D_t\rangle$ – континуант, имеющий вид (27). Существует константа $\varepsilon_0=\varepsilon_0(U)>0$, стремящаяся к $0$ при стремлении $U$ к бесконечности такая, что для всех достаточно больших (в зависимости от $\varepsilon_0$) натуральных $t$ для всех целых $\nu$ из отрезка $t^{1/3}\leqslant \nu\leqslant t$ выполнено неравенство Из данной леммы уже виден путь к доказательству первых утверждений теорем 1 и 2. Пусть не выполнено неравенство (22) из первого утверждения теоремы 2. Тогда из лемм 11 и 12 мы получим, что если $?'(x)=+\infty$, то для бесконечно многих $\nu$ существует континуант $\langle D_{\nu}\rangle$, для которого выполнено
$$
\begin{equation}
(\gamma+\varepsilon_0)^{\sigma(D_{\nu})}\widetilde{\lambda}^{\varphi^{(2)}(D_{\nu})}>\frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{\nu})}}>1.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Из неравенства (52) мы получим нижнюю оценку величины $\varphi^{(2)}(D_{\nu})$, которая в силу того, что $\varphi^{(2)}(D_{\nu})<\varphi^{(2)}_x(\nu)<(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{\nu}$, будет противоречить неравенству (31), что и приведет нас к противоречию. Доказательство теоремы 1 будет устроено аналогично. Получению нижней оценки величин $\varphi^{(2)}(D_{t})$ и $\max_{\nu\leqslant t}\varphi^{(2)}(D_{\nu})$ посвящен следующий пункт. 3.2. Нижняя оценка $\varphi^{(2)}(D_{t})$Для начала введем некоторые новые параметры. Пусть $\varepsilon>0$ – фиксированное число из условия теорем 1 и 2. Пусть $\lambda=\lambda(\varepsilon)$ – произвольное рациональное число, удовлетворяющее условию $1>\lambda>1-\varepsilon^6 10^{-6}$. Нам понадобятся следующие константы. Положим
$$
\begin{equation}
M=\frac{10\ln{\varepsilon}}{\ln{\lambda}}, \qquad P=\biggl[\frac{\ln{6}}{\ln{(1+\varepsilon^2)}}\biggr]+1, \qquad N=2M(P+2).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Пусть теперь $t$ достаточно большое, чтобы было выполнено $\lambda^Nt>{t}/{\ln{t}}$ и при этом $\lambda^Nt\in\mathbb{Z}$. Обозначим $t_i=\lambda^ i t$. Назовем $i$-м блоком $B^{(i)}$ отрезок неполных частных $(d_{t_i+1},d_{t_i+2},\dots,d_{t_{i-1}})$, $1\leqslant i\leqslant N$. Обозначим $t_{N+1}=0$, тогда $B^{(N+1)}=(d_1,\dots,d_{t_N})$ есть начальный отрезок континуанта $\langle D_t\rangle$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\langle d_1,\dots,d_t\rangle=\langle B^{(1)},B^{(2)},\dots,B^{(N)}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В каждом блоке $B^{(i)}$ выберем самую длинную последовательность вида $(4,4,\dots,4)$, если таких последовательностей много, выберем самую левую из них. Обозначим через $B'^{(i)}$ начальный отрезок блока $B^{(i)}$ до начала этой последовательности, обозначим индекс последнего элемента $B'^{(i)}$ через $m'_{i}$. Определим числа $f_i$ и $f'_i$ через равенства
$$
\begin{equation}
\langle B^{(i)}\rangle=\sqrt{2}^{\,S(B^{(i)})+f_i\sqrt{t_{i-1}}}, \qquad \langle B'^{(i)}\rangle=\sqrt{2}^{\,S(B'^{(i)})+f'_i\sqrt{t_{i-1}}}.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Или, что эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \langle B^{(i)}\rangle=\sqrt{2}^{\,\kappa_2(t_{i-1}-t_i)-\varphi^{(2)}(B^{(i)})+f_i\sqrt{t_{i-1}}}, \\ \langle B'^{(i)}\rangle=\sqrt{2}^{\,\kappa_2(t_{i-1}-t'_i)-\varphi^{(2)}(B'^{(i)})+f'_i\sqrt{t_{i-1}}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{55}
$$
Лемма 13. Пусть континуант $\langle D_t\rangle$ имеет вид (27), причем для всех $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено Тогда для всех $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено $\varphi^{(2)}(D_{\nu})>0$. Доказательство. Заметим, что если континуант $\langle D_t\rangle$ имеет вид (27), то такой же вид имеет любой его начальный отрезок $\langle D_{\nu}\rangle$. Применяя для $D_{\nu}$ лемму 12, получаем Поскольку $\sigma(D_{\nu})$ – всегда положительное число, получаем, что $\varphi^{(2)}(D_{\nu})>0$. Лемма доказана. Лемма 14. Пусть выполнены условия леммы 13. Предположим, что выполнено хотя бы одно из двух утверждений: 1)
$$
\begin{equation}
\max_{u\leqslant t}\varphi^{(2)}(D_u)\leqslant\biggl(\frac{\kappa_5}{2}-\varepsilon\biggr)\sqrt{t},
\end{equation}
\tag{57}
$$
2) для всех $\nu$ таких, что $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$, выполнено
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(D_{\nu})<(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{\nu}.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Тогда для любого $i \leqslant N+1$ выполнено Доказательство. Пусть выполнено утверждение (57). Тогда в силу леммы 13 имеем
$$
\begin{equation*}
0<\varphi^{(2)}(B^{(N+1)})=\varphi^{(2)}(D_{t_N})<\biggl(\frac{\kappa_5}{2}-\varepsilon\biggr)\sqrt{t}< t^{0.9}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, в силу (92) выполнено Учитывая, что по тем же причинам получаем утверждение леммы.
Случай, когда выполнено утверждение (58), рассматривается абсолютно аналогично. Лемма доказана. Определим величину $c_k$ из следующего условия: длина самого длинного участка $(4,4,\dots,4)$ блока $B^{(k)}$ при $k\leqslant N$ равна $c_k\sqrt{t_k}$. В следующей лемме мы получим нижнюю оценку на $\varphi^{(2)}(B^{(k)})$ исходя из величины $c_k$, пользуясь леммой 12. Лемма 15. Пусть выполнены условия леммы 14. Тогда выполнено неравенство Доказательство. Поскольку в силу леммы 14 выполнено
$$
\begin{equation*}
S(B^{(k)})=\kappa_2(1-\lambda)t_k(1+o(\varepsilon^4))
\end{equation*}
\notag
$$
и длина $B^{(k)}$ равна $(1-\lambda)t_k$, несложно вывести, что общее число элементов $B^{(k)}$, равных $4$, равняется $(1-\lambda)(5-\kappa_2)t_k(1+o(\varepsilon^4))$. Отсюда, $\sigma(B^{(k)})$ можно оценить снизу следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sigma(B^{(k)})\geqslant\frac{(1-\lambda)(5-\kappa_2)\sqrt{t_k}}{c_k}(1+o(\varepsilon^4)).
\end{equation}
\tag{61}
$$
Напомним, что $\sigma(B^{(k)})$ есть количество участков $(4,4,\dots,4)$ в блоке $B^{(k)}$. Очевидно, что континуант $\langle B^{(k)}\rangle$ тоже имеет вид (27). Применяя оценку (51), получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sqrt{2}^{\,S(B^{(k)})+f_k\sqrt{t_{k-1}}} \\ &\qquad =\langle B^{(k)}\rangle\leqslant(\gamma+\varepsilon_0)^{({(1-\lambda)(5-\kappa_2)\sqrt{t_k}}/{c_k} (1+o(\varepsilon^4)))} \widetilde{\lambda}^{\varphi^{(2)}(B^{(k)})}\sqrt{2}^{\,S(B^{(k)})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
Логарифмируя (62) и учитывая, что ${t_k}/{t_{k-1}}=\lambda=1+o(\varepsilon^4)$, получаем утверждение леммы. Для начального блока $B^{(N+1)}$ нам будет достаточна тривиальная оценка из леммы 13: Оценим теперь величину $\varphi^{(2)}(B'^{(k)})$. Абсолютно аналогичные лемме 15 рассуждения дают следующую оценку:
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(B'^{(k)})\geqslant\biggl(\frac{(5-\kappa_2)S(B'^{(k)})\ln{((\gamma+\varepsilon_0)^{-1})}}{c_k\ln{\widetilde{\lambda}}\sqrt{t_{k-1}}}+f'_k\frac{\ln{\sqrt{2}}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}\sqrt{t_{k-1}}\biggr)(1+o(\varepsilon^4)).
\end{equation}
\tag{64}
$$
Нам будет достаточно ее следующего тривиального огрубления:
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(B'^{(k)})>f'_k\frac{\ln{\sqrt{2}}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}\sqrt{t_{k-1}}(1+o(\varepsilon^4)).
\end{equation}
\tag{65}
$$
Напомним, что через $m'_k$ мы обозначаем длину континуанта $\langle B^{(N+1)},\dots,B'^{(k)}\rangle$, а длина самой большой последовательности $(4,4,\dots,4)$ блока $B^{(k)}$ равна $c_k\sqrt{t_k}$. Обозначим $m_k=m'_k+c_k\sqrt{t_k}$. Нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(D_{m_k})=\sum_{i=k+1}^{N+1} \varphi^{(2)}(B^{(i)}) + \varphi^{(2)}(B'^{(k)})+(\kappa_2-4)c_k\sqrt{t_k}.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Лемма 16. Пусть выполнены условия леммы 14. Тогда для любого $k\leqslant N$ выполнено Доказательство. Применяя неравенство (56) для $\nu=m'_k$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\langle B^{(N+1)},B^{(N)},\dots,B^{(k+1)},B'^{(k)}\rangle} {\sqrt{2}^{\,S(B^{(n+1)})+\dots+S(B^{(k+1)})+S(B'^{(k)})}}>1.
\end{equation}
\tag{68}
$$
То есть, поскольку $N$ не превосходит $O(\ln{t})$, раскрываем континуант в числителе по правилу (5):
$$
\begin{equation}
\frac{\langle B_{N+1}\rangle\langle B_N\rangle\dotsb\langle B_{k+1}\rangle\langle B'_k\rangle\sqrt{2}^{\,O(\ln{t})}} {\sqrt{2}^{\,S(B_{N+1})+S(B_N)+\dots+S(B_{k+1})+S(B'_k)}}>1.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Подставляя в (69) тождества (55), получаем утверждение леммы. Лемма 17. Пусть континуант $\langle D_t\rangle$ имеет вид (27), причем для всех $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено неравенство (56). Пусть выполнено хотя бы одно из двух утверждений в формулировке леммы 14. Тогда для любого $k<N$ выполнено неравенство Доказательство. Подставляя в (66) оценки (60), (63) и (65), а также применяя лемму 16, сразу получаем искомое утверждение. 3.3. Две комбинаторные леммыОбозначим
$$
\begin{equation}
\alpha=\frac{(5-\kappa_2)\ln{((\gamma+\varepsilon_0)^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}, \qquad \eta=\frac{\kappa_2-4}{\alpha}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Неравенство (70) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(D_{m_k})\geqslant\biggl((1-\lambda)\sum_{i=k+1}^{N} \frac{(\sqrt{\lambda})^{i-k}}{c_i}+\eta c_k\biggr)\alpha\sqrt{t_k}(1+o(\varepsilon^4)).
\end{equation}
\tag{72}
$$
Здесь мы воспользовались тем, что $t_{k+i}=\lambda^it_k$. Для окончания доказательства первых утверждений теорем 1 и 2 нам будут нужны следующие два комбинаторных утверждения из [8]. Для независимости рассуждения мы приведем здесь их полные доказательства. Лемма 18. Пусть $\eta, c_1,c_2,\dots, c_N$ – произвольные положительные действительные числа. Определим числа $\varphi_i$ по следующему правилу: Тогда выполнено следующее неравенство: Доказательство леммы 18 будет состоять из нескольких шагов. Напомним, что используемые в рассуждении константы $M$, $N$ и $P$ определяются в (53). Прежде всего, заметим следующий факт. Лемма 19. Пусть неравенство (74) не выполнено. Тогда существует число $i_1\leqslant M$ такое, что $c_i\geqslant{1}/(2\sqrt{\eta}\,)$. Кроме того, для всех $i\leqslant N$ выполнено Доказательство. Докажем от противного. Оценим $\varphi_1$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varphi_1 &\geqslant(1-\lambda)\sum_{i=1}^{N}\frac{\sqrt{\lambda}^{\,i}}{c_{i+1}}+\eta c_1\geqslant(1-\lambda)\sum_{i=1}^{M}\frac{\sqrt{\lambda}^{\,i}}{c_{i+1}}\geqslant 2\sqrt{\eta}(1-\lambda)\sum_{i=1}^{M}\sqrt{\lambda}^{\,i} \\ &= 2\sqrt{\eta}(1-\lambda)\sum_{i=1}^{\infty}\sqrt{\lambda}^{\,i}(1-\lambda^{M}) =2(1+\sqrt{\lambda})\sqrt{\eta}(1+o(\varepsilon^4))>\sqrt{8\eta}(1+o(\varepsilon^4)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
Получаем противоречие с (74). Оценка (75) следует из тривиального неравенства $\varphi_k>\eta c_k$. Лемма доказана. Лемма 20. Пусть неравенство (74) не выполнено. Тогда для любого $i_k<N-M$, $k\geqslant 1$, существует число $i_k<i_{k+1}<i_k+M$ такое, что $c_{i_{k+1}}>(1+\varepsilon^2)c_{i_k}.$ Доказательство. Докажем от противного. Пусть для всех $1\leqslant j\leqslant M$ выполнено $c_{i_k+j}<c_{i_k}(1+\varepsilon^2).$ Тогда, рассуждая аналогично (76), получаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \varphi_{i_k}\geqslant(1-\lambda)\sum_{j=1}^{M}\frac{\sqrt{\lambda}^{\,j}}{c_{i_k+j}}+\eta c_{i_k}\geqslant\frac{1-\lambda}{1+\varepsilon^2}\sum_{j=1}^{M}\frac{\sqrt{\lambda}^{\,j}}{c_{i_k}}+\eta c_{i_k} \\ &\qquad\geqslant\biggl(\frac{2}{(1+\varepsilon^2)c_{i_k}}+\eta c_{i_k}\biggr)(1+o(\varepsilon^4))\geqslant \sqrt{\frac{8\eta}{1+\varepsilon^2}}(1+o(\varepsilon^4)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{77}
$$
В последнем неравенстве (77) мы применили неравенство Коши. Таким образом, неравенство (74) выполнено и мы пришли к противоречию, лемма доказана. Теперь мы можем доказать лемму 18. Доказательство леммы 18. Будем действовать от противного. Тогда по лемме 19 найдется число $i_1<M$ такое, что $c_i\geqslant{1}/(2\sqrt{\eta}\,)$. Применяя лемму 20 $P=[{\ln{6}}/{\ln{(1+\varepsilon^2)}}]+1$ раз, получим, что число
$$
\begin{equation*}
c_{i_{P+1}}>\frac{1}{2\sqrt{\eta}}(1+\varepsilon^2)^P \eta>\frac{3}{\sqrt{\eta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем противоречие с (75). Лемма доказана. Лемма 21. Пусть $C=(c_1,c_2,\dots, c_N)$ – произвольная последовательность, состоящая из неотрицательных действительных чисел. Пусть $\eta$ – произвольное положительное число. Пусть числа $\varphi_i$ определяются по правилу (73). Зададим числа $\varphi'_i$ следующим образом: Доказательство леммы 21 будет состоять из нескольких шагов. Прежде всего, сделаем замену $d_i=\sqrt{\lambda}^{\,i}c_i$. Набор $(d_1,d_2,\dots,d_N)$ обозначим через $D$. Тогда равенство (78) превращается в
$$
\begin{equation}
\varphi'_k(D)=(1-\lambda)\sum_{i=k+1}^{N}\frac{\lambda^{i}}{d_i}+\eta d_k.
\end{equation}
\tag{81}
$$
Положим $\varphi'_{\max}(D)=\max_{1\leqslant k\leqslant N}\varphi'_k(D)$. Покажем, что
$$
\begin{equation}
\min_{D\in\mathbb{R}^N_{+}}\varphi_{\max}(D)=\sqrt{2\eta}(1+o(\varepsilon)).
\end{equation}
\tag{82}
$$
Обозначим искомый минимум (82) через $y_{\min}$. Лемма 22. Если $\varphi'_{\max}(D)=y_{\min}$, то для любого $k$ такого, что $1\leqslant k\leqslant N$, выполнено $\varphi'_k(D)=y_{\min}$. Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что $\varphi'_{\max}(D)=y_{\min}$, но для некоторого $i$ выполнено $\varphi'_i(D)<y_{\min}$. Назовем число $n$ минимизирующим, если $\varphi'_n(D)=y_{\min}$. Пусть $k$ – наибольшее не минимизирующее число. Без ограничения общности можем считать, что все $i<k$ также не являются минимизирующими. Действительно, при любом $\delta>0$ для набора при $k<i$ выполнено $\varphi'_k(D')<\varphi'_k(D)$, т.е. число $k$ не являются минимизирующим. С другой стороны, при $k>i$ выполнено $\varphi'_k(D')=\varphi'_k(D)$. Следовательно, при достаточно малом $\delta$ можно добиться, чтобы $y_{\min}\leqslant\varphi'_{\max}(D')\leqslant\varphi'_{\max}(D)=y_{\min}$, где первое неравенство следует из определения $y_{\min}$. То есть $\varphi'_{\max}(D')=y_{\min}$.
Итак, можем полагать, что число $k+1$ – наименьшее минимизирующее. Следовательно, из непрерывности можно уменьшить $d_{k+1}$ так, чтобы все $\varphi'_i(D)$ при $i<k+1$ остались бы меньше $y_{\min}$. Теперь мы перешли к набору, в котором $k+2$ – наибольшее минимизирующее число. Повторяя это рассуждение, мы придем к ситуации, когда $N$ – единственное минимизирующее число. А значит, уменьшая $d_N$, мы получим набор $D'$, для которого $\varphi'_{\max}(D')<\varphi'_{\max}(D)=y_{\min}$, и мы пришли к противоречию. Лемма доказана. Лемма 23. Существует единственный набор $D=(d_1,d_2,\dots, d_N)$ такой, что $\varphi'_{\max}(D)=y_{\min}$. Он удовлетворяет рекуррентному соотношению с начальным условием $d_1=0$. Доказательство. Воспользуемся предыдущей леммой. Заметим, что равенство $\varphi'_N(D)=y_{\min}$ приводит к линейному уравнению $\eta d_N=y_{\min}$, из которого однозначно находится $d_N$. Далее, подставляя найденное значение в уравнение $\varphi'_N(D)=y_{\min}$, находим $D_{N-1}$ и т.д. Единственность набора $D$ доказана.
Пусть $d_1>0$. Но тогда, уменьшив $d_1$, мы получили бы, что $\varphi'_1(D)$ уменьшился, но $\varphi'_{\max}(D)$ остался равным $y_{\min}$, что противоречит единственности минимума. Наконец, из равенства $\varphi'_{k+1}(D)=\varphi'_{k}(D)$, мы выводим
$$
\begin{equation}
\eta(d_{k+1}-d_k)=(1-\lambda)\frac{\lambda^{k+1}}{d_{k+1}}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Решая (84) как квадратное уравнение на $d_{k+1}$ и выбирая положительный корень, получаем тождество (83). Лемма доказана. Таким образом, $y_{\min}={d_N}/{\eta}$, где $d_N$ находится из рекуррентного уравнения (83). Домножая уравнение (83) на $\sqrt{\eta}$, мы получаем
$$
\begin{equation}
\sqrt{\eta}\,d_{k+1}=\frac{\sqrt{\eta}\,d_k+\sqrt{(\sqrt{\eta}\,d_k)^2 +4(1-\lambda)\lambda^{k+1}}}{2}.
\end{equation}
\tag{85}
$$
Из условия $d_1=0$ мы видим, что для $e_k=\sqrt{\eta}\, d_k$ выполнено
$$
\begin{equation}
e_{k+1}=\frac{e_k+\sqrt{e_k^2+4(1-\lambda)\lambda^{k+1}}}{2}.
\end{equation}
\tag{86}
$$
Обозначим3 $\delta_k=(1-\lambda)\lambda^{k}$ и $X_n=\sum_{k=1}^n\delta_n$. Лемма 24. При всех $n\geqslant 1$ выполнено $e_n<\sqrt{2X_n}$ и $e_{n+1}-e_n>\sqrt{2X_{n+2}}-\sqrt{2X_{n+1}}$. Доказательство. Первое утверждение доказывается по индукции. При $n=1$ неравенство проверяется непосредственно. В силу выпуклости функции $\sqrt{x}$ легко видеть, что что и требовалось доказать.
Докажем второе утверждение. Нетрудно видеть, что С другой стороны, в силу доказанного $\sqrt{2X_{n+2}}>\sqrt{2X_{n+1}}>e_{n+1}$, поэтому что и требовалось доказать. Лемма доказана.Теперь мы готовы доказать лемму 21. Доказательство леммы 21. По лемме 24 $\sqrt{2X_{n+1}}-e_n$ образует положительную убывающую последовательность. То есть
$$
\begin{equation*}
0\,{<}\,\sqrt{2X_N}-e_{N-1}<\sqrt{2X_2}-e_1<2\sqrt{X_2}=\sqrt{2(1-\lambda)(\lambda+\lambda^2)} <2\sqrt{1-\lambda}=o(\varepsilon^{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $2X_N=2\sum_{k=1}^N (1-\lambda)\lambda^{k}=2(1-\lambda^{N+1})=2+o(\varepsilon^5)$. Отсюда $e_{N-1}=\sqrt{2}+o(\varepsilon^{2})$. Из (86) следует, что $e_{N}$ также равно $\sqrt{2}+o(\varepsilon^{2})$. Следовательно, Лемма доказана. 3.4. Доказательство первого утверждения теоремы 1Докажем от противного. Пусть неравенство
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(2)}_x(t)=\kappa_2t-S_x(t)<(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{t}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех достаточно больших $t$. Тогда по лемме 11 для бесконечно многих $t$ существует континуант $\langle D_t\rangle$ вида (27) такой, что для всех $\nu$ при условии $\sqrt{t}<\nu\leqslant t$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\langle D_{\nu}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{\nu})}} >1, \notag \\ \varphi^{(2)}(D_\nu)<(\kappa_5-\varepsilon)\sqrt{\nu}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{90}
$$
Применяя лемму 18 к неравенству (72) получаем, что существует число ${t}/{\ln{t}}<m_k\leqslant t$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varphi^{(2)}(D_{m_k}) &\geqslant\sqrt{8\eta}\, \alpha\sqrt{t_k}(1+o(\varepsilon)) =\sqrt{8\eta}\,\alpha\sqrt{m_k}(1+o(\varepsilon)) \\ &=\sqrt{\frac{8(5-\kappa_2)(\kappa_2-4)\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}} \sqrt{m_k}(1+o(\varepsilon))=\kappa_5\sqrt{m_k}(1+o(\varepsilon)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{91}
$$
Мы получили противоречие с (90). Первое утверждение теоремы 1 доказано. 3.5. Доказательство первого утверждения теоремы 2Снова будем доказывать от противного. Пусть неравенство
$$
\begin{equation*}
\max_{u\leqslant t}\varphi^{(2)}_x(u)<\biggl(\frac{\kappa_5}{2}-\varepsilon\biggr)\sqrt{t}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для бесконечно многих $t$. Тогда по лемме 2 для бесконечно многих $t_0$ существует континуант $\langle D_{t_0}\rangle$ такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \frac{\langle D_{t_o}\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(D_{t_0})}} >1, \\ \max_{\nu \leqslant t_0}\varphi^{(2)}(D_{\nu})\leqslant\biggl(\frac{\kappa_5}{2}-\varepsilon\biggr)\sqrt{t_0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{92}
$$
Из неравенства (72) и леммы 21 следует, что для всех достаточно больших $t_0$ существуют целые числа $k$ и $m_k$, удовлетворяющие условиям $1\leqslant k\leqslant N$ и ${t_0}/{\ln{t_0}}<m_k\leqslant t_0$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\sqrt{\lambda}^{\,k}\varphi^{(2)}(D_{m_k})\geqslant\sqrt{2\eta}\, \alpha\sqrt{t_k}(1+o(\varepsilon)) =\frac{\kappa_5}{2}\sqrt{t_k}(1+o(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами,
$$
\begin{equation*}
\max_{\nu\leqslant t_0}\varphi^{(2)}(D_{\nu})\geqslant\varphi^{(2)}(D_{m_k})\geqslant\frac{\kappa_5}{2}\sqrt{t_0}(1+o(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит (92). Первое утверждение теоремы 2 доказано.
§ 4. Построение примеров4.1. Доказательство второго утверждения теоремы 14.1.1. Блоковая структураВ этом пункте мы явно построим цепную дробь для иррационального числа $x$ такого, что $?'(x)=+\infty$ и при для всех достаточно больших $t$ этом выполнено неравенство (23). Прежде всего, зададим положительную константу
$$
\begin{equation}
c_0:=\sqrt{\frac{2(5-\kappa_2)\ln({\gamma^{-1})}}{(\kappa_2-4) \ln{\widetilde{\lambda}}}}=\frac{\kappa_5}{2(\kappa_2-4)},
\end{equation}
\tag{93}
$$
которая будет играть ключевую роль в наших построениях. Лемма 25. Для любого достаточно большого натурального числа $s_{k}$ существуют натуральные числа $s_{k+1}$, $L^{(4)}_k$ и $L^{(5)}_k$, удовлетворяющие следующим условиям: Доказательство. Первое и второе неравенства в (94) означают, что числа $ L^{(4)}_k$ и $L^{(5)}_k$ пробегают промежуток длины $\sim \sqrt{s_k}$. Напомним, что $\varepsilon$ – абсолютная константа, зафиксированная в формулировке доказываемой теоремы. Следовательно, при достаточно большом $s_k$ линейная форма попадет в любой промежуток, длина которого фиксирована. Существование числа $s_{k+1}$, удовлетворяющего условиям (94), очевидно. Достаточно рассмотреть ближайшее к ${s_0}/{\lambda^{k+1}}$ целое число, кратное $L^{(4)}_k+L^{(5)}_k$. Лемма доказана. Назовем блоком $C^{(k)}$, где $k\geqslant 0$, последовательность
$$
\begin{equation}
C^{(k)}=\bigl(4_{L^{(4)}_k},5_{L^{(5)}_k},4_{L^{(4)}_k},5_{L^{(5)}_k},\dots,4_{L^{(4)}_k}, 5_{L^{(5)}_k}\bigr)
\end{equation}
\tag{95}
$$
длины $s_{k+1}-s_k$. Она состоит из $(s_{k+1}-s_k)/(L^{(4)}_k+L^{(5)}_k)\in\mathbb{N}$ последовательностей $(4_{L^{(4)}_k},5_{L^{(5)}_k})$. Обозначим через $C^{(-1)}$ последовательность $5_{s_0-1}$. Наконец, положим
$$
\begin{equation}
x:=[0;C^{(-1)},C^{(0)},C^{(1)},\dots,C^{(k)},\dots]:=[0;a_1,a_2,\dots,a_t,\dots],
\end{equation}
\tag{96}
$$
где бесконечная последовательность блоков $C_k$ определяется по правилам (95) и (94). Осталось показать, что построенное таким образом иррациональное число $x$ удовлетворяет условию второго утверждения теоремы 1. 4.1.2. $?'(x)=+\infty$Напомним, что $A_{\nu}=(a_1,a_2,\dots,a_{\nu})$ – последовательность из $\nu$ первых неполных частных иррационального числа $x$. Введем функцию
$$
\begin{equation*}
f_x(t)=\frac{\langle A_t \rangle}{\sqrt{2}^{\,S_x(t)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из леммы 1 и ограниченности неполных частных $x$ следует, что если то $?'(x)=+\infty$. Также легко заметить, что $f_x(t)>f_x(t-1)$ при $a_{t}=4$ и $f_x(t)<f_x(t-1)$ при $a_{t}=5$. Поэтому достаточно рассматривать только такие $t$, что $a_{t}=5$, $a_{t+1}=4$. Из неравенства $\langle A,B\rangle>\langle A\rangle\langle B\rangle$ следует, что достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\frac{\bigl\langle 4_{L^{(4)}_k},5_{L^{(5)}_k}\bigr\rangle}{\sqrt{2}^{\,L^{(4)}_k+L^{(5)}_k}}>1+\delta
\end{equation}
\tag{97}
$$
для некоторого $\delta>0$ при всех $k\geqslant 1$. Обозначим континуант в числителе (97) через $\langle E\rangle$. К нему можно применить оценку из леммы 12, принимая во внимание, что $\sigma(E)=1$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(2)}(E)=\frac{\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}} \biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}+o(\varepsilon^2)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (94). Следовательно,
$$
\begin{equation}
\frac{\langle E\rangle}{\sqrt{2}^{\,S(E)}} >(\gamma-\varepsilon_0)\widetilde{\lambda}^{\ln(\gamma^{-1})(1+{\varepsilon}/{8} +o(\varepsilon^2))/\ln{\widetilde{\lambda}}}= \frac{\gamma-\varepsilon_0}{\gamma^{1+\varepsilon/8+o(\varepsilon^2)}}.
\end{equation}
\tag{98}
$$
Поскольку при данном $\varepsilon$ величина $\varepsilon_0$ может быть сделана сколь угодно малой, правая часть (98) строго больше 1. Отсюда величина $f_x(t)$ стремится к бесконечности, а значит, и $?'(x)=+\infty$. 4.1.3. Выполнение неравенства (23)Для завершения доказательства второго утверждения теоремы 1 нам осталось показать, что неравенство (23) выполнено для всех достаточно больших $t$. По лемме 3 достаточно показать это неравенство для всех $t$ таких, что $a_t=4$, но $a_{t+1}=5$. Для формулировки следующей леммы введем обозначение $s'_k=s_k+L^{(4)}_k$. Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{s'_k})= (\kappa_2-4)L^{(4)}_k+\sum_{i=-1}^{k-1}\varphi^{(2)}(C^{(i)}).
\end{equation}
\tag{100}
$$
Оценим сверху величину $\varphi^{(2)}(C^{(i)})$ при $i\geqslant 0$. В силу (94) имеем
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(C^{(i)})=\frac{s_{i+1}-s_i}{L^{(4)}_i+L^{(5)}_i}\, \frac{\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}} \biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}+o(\varepsilon^2)\biggr).
\end{equation}
\tag{101}
$$
Далее, поскольку
$$
\begin{equation}
\frac{s_{i+1}-s_i}{L^{(4)}_i+L^{(5)}_i}=\frac{s_{i+1}(1-\lambda)(5-\kappa_2)} {c_0\sqrt{s_i}}(1+o(\varepsilon^2))=\frac{\sqrt{s_{i}}\,(1-\lambda)(5-\kappa_2)} {c_0}(1+o(\varepsilon^2)),
\end{equation}
\tag{102}
$$
получаем оценку
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(C^{(i)})=\frac{\sqrt{s_{i}}\,(1-\lambda)(5-\kappa_2)}{c_0}\, \frac{\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}\biggl(1+\frac{\varepsilon}{8} +o(\varepsilon^2)\biggr).
\end{equation}
\tag{103}
$$
Заметим также, что поскольку $(1-\lambda)=o(\varepsilon^5)$, то выполнено Суммируя оценки (103) в (101) и убирая члены меньших порядков в $o(\varepsilon^2)$, получаем
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{s'_k})= \biggl((\kappa_2-4)c_0+\biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}\biggr) \frac{(1-\lambda)(5-\kappa_2)}{c_0}\,\frac{\ln{(\gamma^{-1})}} {\ln{\widetilde{\lambda}}}\sum_{i=0}^{k-1}\sqrt{\lambda}^{\,i}\biggr) \sqrt{s_k}(1+o(\varepsilon^2)).
\end{equation}
\tag{105}
$$
Заменяя $\sum_{i=0}^{k-1}\sqrt{\lambda}^{\,i}$ бесконечной суммой, получаем
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{s'_k})<\biggl((\kappa_2-4)c_0+ \biggl(1+\frac{\varepsilon}{4}\biggr)\frac{2(5-\kappa_2)}{c_0}\, \frac{\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}}\biggr)\sqrt{s_k}.
\end{equation}
\tag{106}
$$
Наконец, подставляя $c_0$ из (93), получаем что и требовалось доказать. Таким образом, мы показали, что если $t$ таково, что $a_t$ – последний элемент в первом участке $4_{L^{(4)}_k}$ блока $C^{(k)}$, то для данного $t$ неравенство (23) выполнено. В силу леммы 3 осталось рассмотреть случай, когда $a_t$ – последний элемент в произвольном участке $4_{L^{(4)}_k}$ блока $C^{(k)}$. Обозначим через $F$ последовательность $(5_{L^{(5)}_k}, 4_{L^{(4)}_k})$. Доказательство. В случае, когда $n=0$, утверждение сразу следует из леммы 26. В остальных случаях получаем
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}\bigl(C^{(-1)},C^{(0)},C^{(1)},\dots,C^{(k-1)},4_{L^{(4)}_k}, \underbrace{F,F,\dots,F}_{n \text{ раз}}\, \bigr)=\varphi^{(2)}(A_{s'_k})+n\varphi^{(2)}(F).
\end{equation}
\tag{108}
$$
Поскольку в силу (94) $\varphi^{(2)}(F)>0$, достаточно показать (108) для $n=(s_{k+1}-s_k)/(L^{(4)}_k+L^{(5)}_k)$. Заметим, что в этом случае $(\underbrace{F,F,\dots,F}_{n \text{ раз}})=C^{(k)}$. Подставляя в (108) оценки (99) и (104), получаем
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}\bigl(C^{(-1)},C^{(0)},C^{(1)},\dots,C^{(k-1)},4_{L^{(4)}_k}, \underbrace{F,F,\dots,F}_{n \text{ раз}}\, \bigr) <\biggl(\kappa_5+\frac{\varepsilon}{4}+\varepsilon^4\biggr)\sqrt{s_{k}}.
\end{equation}
\tag{109}
$$
Что и требовалось доказать. Лемма полностью доказана, а вместе с ней окончено и доказательство второго утверждения теоремы 1. 4.2. Доказательство второго утверждения теоремы 2В этом пункте мы явно построим цепную дробь для иррационального числа $x=[0;a_1,a_2,\dots, a_t,\dots]$ такого, что $?'(x)=+\infty$ и при этом для бесконечно многих $t$ будет выполнено неравенство (25). Конструкция будет похожа на доказательство теоремы 1, однако несколько сложнее. 4.2.1. СуперблокиНапомним, что число $N$ определяется в (53). Зафиксируем произвольное число $S_0$ из условия $S_0(1-\lambda)^N\lambda^N>S_0/\ln{S_0}$. Определим числа $S_i$ по правилу $S_i=[{S_{i-1}}/{\lambda^N}]$. Для всех $i\geqslant 0$ положим $s^{(i)}_0=S_i$. Напомним, что числа $d_1,d_2,\dots, d_N$ находятся по правилу (80), где $\eta$ задано в (71). Однако, нам будет удобным положить $d_1=d_2=\sqrt{{(1-\lambda)\lambda}/{\eta}}=o(\varepsilon^5)$, оставив остальные члены последовательности неизменными. Лемма 28. Для любого числа $s^{(i)}_{k}$, где $0\leqslant k<N$, $i\geqslant 1$, существуют натуральные числа $s^{(i)}_{k+1}$, $L^{(4,i)}_k$ и $L^{(5,i)}_k$, удовлетворяющие следующим условиям: Доказательство абсолютно аналогично доказательству леммы 25. Приступим теперь к построению цепной дроби иррационального числа $x$. Назовем блоком $i$-го уровня $C^{(i)}_k$, где $i\geqslant 0$, $1\leqslant k\leqslant N$, последовательность
$$
\begin{equation}
C^{(i)}_k=\bigl(4_{L^{(4,i)}_k},5_{L^{(5,i)}_k},4_{L^{(4,i)}_k},5_{L^{(5,i)}_k}, \dots,4_{L^{(4,i)}_k},5_{L^{(5,i)}_k}\bigr)
\end{equation}
\tag{111}
$$
длины $s^{(i)}_{k}-s^{(i)}_{k+1}$. Назовем для каждого $i\geqslant 0$ суперблоком $\mathcal{C}^{(i)}$ последовательность всех блоков $i$-го уровня:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}^{(i)}=(C^{(i)}_N,C^{(i)}_{N-1},\dots,C^{(i)}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, определим число $x$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
x=[0;\mathcal{C}^{(-1)},\mathcal{C}^{(0)},\mathcal{C}^{(0)},\dots,\mathcal{C}^{(n)},\dots]).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь начальный суперблок $\mathcal{C}^{(-1)}$ имеет вид $5_{S^{(0)}_N}$. Таким образом, построение иррационального числа $x$ полностью описано. Доказательство того факта, что $?'(x)=+\infty$ полностью аналогично соответствующему доказательству из п. 4.1.2: из (110) сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\bigl\langle 4_{L^{(4,i)}_k},5_{L^{(5,i)}_k}\bigr\rangle}{\sqrt{2}^{\,L^{(4,i)}_k+L^{(5,i)}_k}}>1+\delta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta$ – положительная константа, не зависящая от $i$ и $k$. Осталось показать выполнение неравенства (25). 4.2.2. Выполнение неравенства (25)В этом подпункте мы покажем, что неравенство (25) выполнено для всех $S_i$ при $i\geqslant 0$. Докажем вначале это утверждение для $i=0$. Нам необходимо показать, что для любого $\nu\leqslant S_0$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\varphi^{(2)}(A_{\nu})\leqslant\biggl(\frac{\kappa_5}{2}+\varepsilon\biggr)\sqrt{S_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $A_{\nu}=(a_1,a_2,\dots,a_{\nu})$ – первые $\nu$ неполных частных числа $x$. Как уже было сказано, достаточно рассмотреть случай, когда $a_{\nu}=4$ и $a_{\nu+1}\,{=}\,5$. Прежде всего, докажем аналог леммы 26. Введем для его формулировки обозначение $s'^{(0)}_k=s^{(0)}_k+L^{(4,0)}_k$. Доказательство. Из (110) легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varphi^{(2)}(A_{s'^{(0)}_k})=\varphi^{(2)}(\mathcal{C}^{(-1)})+(\kappa_2-4)L^{(4,0)}_k +\sum_{i=N}^{k+1}\varphi^{(2)}(C^{(0)}_i) \\ &\qquad<(\kappa_2-4) d_k\sqrt{S_0}(1+\varepsilon^4) +\frac{\ln{(\gamma^{-1})}}{\ln{\widetilde{\lambda}}} \biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}+o(\varepsilon^2)\biggr) \sum_{i=N}^{k+1}\frac{s^{(0)}_{i}-s^{(0)}_{i+1}}{L^{(4,0)}_i+L^{(5,0)}_i}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{113}
$$
Далее, поскольку
$$
\begin{equation}
\frac{s^{(0)}_{i}-s^{(0)}_{i+1}}{L^{(4,0)}_i+L^{(5,0)}_i}= \frac{\lambda^i(1-\lambda)(5-\kappa_2)}{d_i}\sqrt{S_0}(1+o(\varepsilon^2)),
\end{equation}
\tag{114}
$$
получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varphi^{(2)}(A_{s'^{(0)}_k}) &< \biggl(d_k+\biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}\biggr)\frac{(1-\lambda)(5-\kappa_2) \ln{(\gamma^{-1})}}{(\kappa_2-4)\ln{\widetilde{\lambda}}} \sum_{i=N}^{k+1}\frac{\lambda^{k-i}}{d_i}\biggr) \\ &\qquad\times(\kappa_2-4)\sqrt{S_0}(1+o(\varepsilon^2)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{115}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\alpha=\biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}\biggr) \frac{(5-\kappa_2)\ln{(\gamma^{-1})}}{(\kappa_2-4)^2\ln{\widetilde{\lambda}}} =\biggl(1+\frac{\varepsilon}{8}\biggr)\frac{\kappa_5^2}{8(\kappa_2-4)}, \qquad \eta=\frac{1}{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (115) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{s'^{(0)}_k})<\biggl(\eta d_k+(1-\lambda)\sum_{i=N}^{k+1}\frac{\lambda^{k-i}}{d_i}\biggr) (\kappa_2-4)\alpha\sqrt{S_0}(1+o(\varepsilon^2)).
\end{equation}
\tag{116}
$$
Отсюда в силу леммы 21 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \varphi^{(2)}(A_{s'^{(0)}_k}) &<\sqrt{2\eta}(\kappa_2-4)\alpha\sqrt{S_0}(1+o(\varepsilon)) \\ &=(\kappa_2-4)\sqrt{2\alpha}\sqrt{S_0}(1+o(\varepsilon))< \biggl(1+\frac{\varepsilon}{4}\biggr)\frac{\kappa_5}{2}\sqrt{S_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{117}
$$
Что и требовалось доказать. Для формулировки следующей леммы обозначим $F=(5_{L^{(5,0)}_k}, 4_{L^{(4,0)}_k})$. Доказательство полностью аналогично доказательству леммы 27. Таким образом, неравенство (25) выполнено для $t=S_0$. Рассуждая абсолютно аналогично, можно показать, что для любого $n\geqslant 0$ выполнено
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(\mathcal{C}^{(n)})\leqslant \biggl(\frac{\kappa_5}{2}+\frac{\varepsilon}{4}\biggr)\sqrt{S_n}.
\end{equation}
\tag{119}
$$
Покажем теперь выполнения неравенства (25) для $t=S_n$ при $n\geqslant 1$. Рассуждая аналогично случаю $n=0$, получим, что достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{\nu})\leqslant \biggl(\frac{\kappa_5}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\biggr)\sqrt{S_n},
\end{equation}
\tag{120}
$$
где $S_{n-1}<\nu\leqslant S_n$ и
$$
\begin{equation*}
A_{\nu}=\bigl(\mathcal{C}^{(-1)},\mathcal{C}^{(0)},\dots, \mathcal{C}^{(n-1)},C^{(n)}_N,C^{(n)}_{N-1},\dots,C^{(n)}_{k+1},4_{L^{(4,n)}_k}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $0\leqslant k<N$. Распишем $\varphi^{(2)}(A_{\nu})$ в виде суммы
$$
\begin{equation}
\varphi^{(2)}(A_{\nu})=\sum_{i=-1}^{n-1}\varphi^{(2)}(\mathcal{C}^{(i)}) +\sum_{i=N}^{k+1}\varphi^{(2)}(C^{(n)}_i)+(\kappa_2-4)L^{(4,n)}_k.
\end{equation}
\tag{121}
$$
Первую сумму в (121) оценим, пользуясь (119):
$$
\begin{equation}
\sum_{i=-1}^{n-1}\varphi^{(2)}(\mathcal{C}^{(i)})<\sum_{i=0}^{n-1}\varphi^{(2)} (\mathcal{C}^{(i)})\leqslant \sqrt{S_n}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\lambda}^{\,Ni}< \sqrt{S_n}\sum_{i=1}^{\infty}\sqrt{\lambda}^{\,Ni}= \sqrt{S_n} o(\varepsilon^4).
\end{equation}
\tag{122}
$$
Абсолютно аналогично лемме 29 вторая половина суммы (121) оценивается как
$$
\begin{equation}
\sum_{i=N}^{k+1}\varphi^{(2)}(C^{(n)}_i)+(\kappa_2-4)L^{(4,n)} \leqslant\biggl(\frac{\kappa_5}{2}+\frac{\varepsilon}{4}\biggr)\sqrt{S_n}.
\end{equation}
\tag{123}
$$
Подставляем оценки (122) и (123) в (121), получаем, что неравенство (120) выполнено при всех $n\geqslant 1$. Второе утверждение теоремы 2 полностью доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gay22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|