| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Собственные циклические симметрии многомерных цепных дробей И. А. Тлюстангеловab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 9, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9690e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеДля понятия классической цепной дроби действительного числа известно несколько обобщений, одно из которых основывается на геометрической интерпретации цепной дроби, предложенной Ф. Клейном (см. [1]). А именно, пусть $l_1,\dots,l_n$ – одномерные подпространства пространства $\mathbb{R}^n$, линейная оболочка которых совпадает со всем $\mathbb{R}^n$. Тогда гиперпространства, натянутые на всевозможные $(n-1)$-наборы из этих подпространств, разбивают $\mathbb{R}^n$ на $2^n$ симплициальных конусов. Будем обозначать множество этих конусов через Симплициальный конус с вершиной в начале координат $\mathbf{0}$ будем называть иррациональным, если линейная оболочка любой его гиперграни не содержит целых точек, кроме начала координат $\mathbf{0}$. Определение 1. Пусть $C$ – иррациональный конус, $C \in \mathcal{C}(l_1, \dots, l_n)$. Выпуклая оболочка $\mathcal{K}(C)=\operatorname{conv}(C\,{\cap}\,\mathbb{Z}^{n}\setminus\{\mathbf{0}\} )$ и его граница $\partial(\mathcal{K}(C))$ называются соответственно полиэдром Клейна и парусом Клейна, соответствующими конусу $C$. Объединение всех $2^n$ парусов называется $(n-1)$-мерной цепной дробью. Классическая теорема Лагранжа (см. [2], [3]) о цепных дробях утверждает, что число $\alpha$ является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда цепная дробь числа $\alpha$ периодична начиная с некоторого момента. Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа основывается на том факте, что вектор $(1, \alpha)$ является собственным вектором некоторого оператора $\operatorname{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ с различными вещественными собственными значениями в том и только том случае, если число $\alpha$ – квадратичная иррациональность (см., например, [4]). Данное утверждение обобщается естественным образом на случай произвольного $n$. Напомним, что оператор из $\operatorname{GL}_{n}(\mathbb{Z})$ с вещественными собственными значениями, характеристический многочлен которого неприводим над $\mathbb{Q}$, называется гиперболическим. Определение 2. Пусть $l_1,\dots,l_n$ – собственные подпространства некоторого гиперболического оператора $A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$. Тогда $(n-1)$-мерная цепная дробь $\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ называется алгебраической. Мы будем также говорить, что эта дробь ассоциирована с оператором $A$, и писать $\operatorname{CF}(A)=\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$. Множество всех $(n-1)$-мерных алгебраических цепных дробей будем обозначать $\mathfrak{A}_{n-1}$. Упомянутое выше обобщение выглядит следующим образом (подробности см., например, в [5]). Предложение 1. Числа $1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ образуют базис некоторого вполне вещественного расширения $K$ поля $\mathbb{Q}$ тогда и только тогда, когда вектор $(1,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ является собственным для некоторого гиперболического оператора $A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$. При этом векторы $(1,\sigma_i(\alpha_1),\dots,\sigma_i(\alpha_{n-1}))$, $i=1,\dots,n$, где $\sigma_1(=\operatorname{id}),\sigma_2,\dots,\sigma_n$ – все вложения $K$ в $\mathbb{R}$, образуют собственный базис оператора $A$. Будем называть группой симметрий алгебраической цепной дроби $\operatorname{CF}(A)=\operatorname{CF}(l_1,\dots,l_n)$ множество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A)) =\bigl\{ G\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}) \mid G(\operatorname{CF}(A))=\operatorname{CF}(A) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соображений непрерывности ясно, что для каждого $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ однозначно определена перестановка $\sigma_G$ такая, что И обратно, если для $G\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ существует такая перестановка $\sigma_{G}$, что выполняются соотношения (1.1), то $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$. Определение 3. Оператор $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ такой, что $\sigma_G=\operatorname{id}$, будем называть симметрией Дирихле дроби $\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_{n-1}$. Определение 4. Оператор $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$, не являющийся симметрией Дирихле, будем называть палиндромической симметрией дроби $\operatorname{CF}(A)$. Если множество палиндромических симметрий цепной дроби непусто, то такую цепную дробь будем называть палиндромичной. Определение 5. Симметрия $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ называется циклической, если $\sigma_G$ – циклическая перестановка. Очевидно, что все циклические симметрии цепной дроби $\operatorname{CF}(A)$ являются палиндромическими симметриями этой цепной дроби. Определение 6. Палиндромическая симметрия $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$ называется собственной, если у оператора $G$ существует неподвижная точка на некотором парусе цепной дроби $\operatorname{CF}(A)$. Палиндромическая симметрия $G\in\mathrm{Sym}_{\mathbb{Z}}(\operatorname{CF}(A))$, не являющаяся собственной, называется несобственной. Пусть $\partial(\mathcal{K}(C))$ – один из $2^n$ парусов цепной дроби $\operatorname{CF}(A)$. В силу теоремы Дирихле об алгебраических единицах все симметрии Дирихле цепной дроби $\operatorname{CF}(A)$ образуют группу и у этой группы есть подгруппа, относительно действия которой на парусе $\partial(\mathcal{K}(C))$ возникает компактная фундаментальная область (см., например, [5], [6]). Таким образом, можно говорить о периоде паруса $\partial(\mathcal{K}(C))$. В настоящей работе нас будут интересовать собственные циклические симметрии $\operatorname{CF}(A)$. Для $n=2$, т.е. для одномерных цепных дробей, палиндромичность напрямую связана с симметричностью периодов обыкновенных цепных дробей квадратичных иррациональностей. Критерий симметричности периода цепной дроби квадратичной иррациональности восходит к результатам Э. Галуа [7], А. М. Лежандра [8], О. Перрона [9] и М. Крайтчика [10]. В работе [4] дано геометрическое доказательство этого критерия. При этом приходится рассматривать как собственные, так и несобственные симметрии. Однако при $n=3$ любая палиндромичная цепная дробь обладает собственной циклической симметрией (см. [5]). В упомянутых работах [4] и [5] доказываются следующие критерии наличия собственных циклических симметрий у алгебраических цепных дробей. Предложение 2. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2)\in\mathfrak{A}_1$, и пусть подпространство $l_1$ порождено вектором $(1, \alpha)$. Тогда $\operatorname{CF}(l_1, l_2)$ имеет собственную циклическую симметрию в том и только том случае, если существует такое алгебраическое число $\omega$ степени $2$ со своим сопряженным $\omega'$, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: (a) $(1, \alpha) \sim(1,\omega)\colon \operatorname{Tr}(\omega)=\omega+\omega'=0$; (b) $(1, \alpha) \sim(1,\omega)\colon \operatorname{Tr}(\omega)=\omega+\omega'=1$. Предложение 3. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3)\in\mathfrak{A}_2$, и пусть подпространство $l_1$ порождено вектором $(1, \alpha, \beta)$. Тогда $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3)$ имеет собственную циклическую симметрию в том и только том случае, если существует такое алгебраическое число $\omega$ степени $3$ со своими сопряженными $\omega'$ и $\omega''$, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: (a) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, \omega')\colon \operatorname{Tr}(\omega)=\omega+\omega'+\omega''=0$; (b) $(1, \alpha, \beta)\sim(1, \omega, \omega')\colon \operatorname{Tr}(\omega)=\omega+\omega'+\omega''=1$. При выполнении утверждения (a) или (b) кубическое расширение $\mathbb{Q}(\alpha, \beta)$ будет нормальным. В этих формулировках $\mathbf v_1\sim\mathbf v_2$ для векторов из $\mathbb{R}^n$ означает существование такого оператора $X\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ и такого ненулевого $\mu\in\mathbb{R}$, что $X\mathbf v_1=\mu\mathbf v_2$. § 2. Формулировки основных результатовПервым результатом настоящей работы является доказательство существования палиндромичных цепных дробей в произвольной размерности. Теорема 1. Для любого целого $n > 1$ существует $(n-1)$-мерная цепная дробь $\operatorname{CF}(A)$, обладающая собственной циклической палиндромической симметрией. Второй результат настоящей работы обобщает предложения 2 и 3 на случай $n=4$. Теорема 2. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3$, и пусть подпространство $l_1$ порождено вектором $(1, \alpha, \beta, \gamma)$. Пусть $K=\mathbb{Q}(\alpha, \beta, \gamma)$. Тогда $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4)$ имеет собственную циклическую симметрию в том и только том случае, если $K$ – циклическое расширение Галуа степени $4$, группа Галуа которого порождается вложением $\sigma$, и существует такое алгебраическое число $\omega \in K$ степени $4$, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: Теорему 1 мы докажем в § 3, а в § 4 докажем теорему 2. Замечание. В размерностях $n=2, 3$ все палиндромические симметрии цепной дроби $\operatorname{CF}(A)$ являются циклическими симметриями этой цепной дроби, поэтому в формулировках предложений 2 и 3 термин “циклическая” можно заменить на термин “палиндромическая”. В размерности $n=4$ это уже не так. Однако полная классификация палиндромических симметрий слишком громоздка для настоящей статьи. Этому вопросу будет посвящено отдельное исследование. § 3. Существование палиндромических симметрий для конечных вполне вещественных циклических расширений ГалуаЗдесь и далее будем обозначать через $\operatorname{N}(\alpha)$ и $\operatorname{Tr}(\alpha)$ соответственно норму $\operatorname{N}_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)$ и след $\operatorname{Tr}_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)$ алгебраического числа $\alpha$. Если задана дробь $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)=\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_{n-1}$, то будем считать, что подпространство $l_1$ порождается вектором $\mathbf l_1=(1,\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1})$ (данное допущение корректно в силу предложения 1). Тогда из предложения 1 следует, что числа $1,\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1})$ над $\mathbb{Q}$ и каждое $l_i$ порождается вектором $\mathbf l_i=(1,\sigma_i(\alpha_1), \dots, \sigma_i(\alpha_{n-1}))$, где $\sigma_1(=\operatorname{id}),\sigma_2, \dots, \sigma_n$ – все вложения $K$ в $\mathbb{R}$. Рассмотрим матрицу вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 0 & \mu_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mu_{2} & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots &\dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \mu_{n-1} \\ \mu_{n} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Лемма 1. Пусть $G$ – циклическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n) \in\mathfrak{A}_{n-1}$ и матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_{1}, \dots, \mathbf{l}_{n}$ имеет вид (3.1). Тогда $G$ является собственной циклической симметрией дроби $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$ в том и только том случае, если $\mu_{1}\mu_{2}\dotsb\mu_{n}=1$. Доказательство. Пусть $G$ является собственной циклической симметрией дроби $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$. Тогда существуют такие числа $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \dots, \varepsilon_{n}$ из множества $\{-1, 1\}$, что и выполняются неравенства Стало быть, $\mu_{1}\mu_{2}\dotsb\mu_{n} > 0$, а значит, $\mu_{1}\mu_{2}\dotsb\mu_{n} =1$.
Если $\mu_{1}\mu_{2}\dotsb\mu_{n}=1$, то оператор $G$ имеет собственное направление, которое соответствует собственному значению $1$ и лежит внутри некоторого конуса $C \in \mathcal{C}(l_1, \dots, l_n)$. Мы будем обозначать через $\mathfrak{A}_{n-1}'$ множество всех $(n-1)$-мерных алгебраических цепных дробей, для которых поле $K$ из предложения 1 – вполне вещественное циклическое расширение Галуа. Пусть $\sigma$ – образующая группы Галуа $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$. Также мы выбираем такую нумерацию прямых $l_1, \dots, l_n$, что если через $(\mathbf l_1,\mathbf l_2, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n} )$ обозначить матрицу со столбцами $\mathbf l_1,\mathbf l_2, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n}$, то получим
$$
\begin{equation*}
(\mathbf l_1,\mathbf l_2, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n} )= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ \alpha_1 & \sigma(\alpha_1) & \dots & \sigma^{n-2}(\alpha_1) & \sigma^{n-1}(\alpha_1) \\ \alpha_2 & \sigma(\alpha_2) & \dots & \sigma^{n-2}(\alpha_2) & \sigma^{n-1}(\alpha_2) \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \alpha_{n-1} & \sigma(\alpha_{n-1}) & \dots & \sigma^{n-2}(\alpha_{n-1}) & \sigma^{n-1}(\alpha_{n-1}) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим класс $(n-1)$-мерных алгебраических цепных дробей:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{CF}=\biggl\{ \operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)\in\mathfrak{A}_{n-1}' \Bigm|\alpha_{j}=\prod_{k=0}^{j-1}\sigma^{k}(\alpha_1), \,\operatorname{N}(\alpha_1)=1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
H= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots &\dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)\in\mathfrak{A}_{n-1}$. Тогда следующие два утверждения эквивалентны: (a) $\operatorname{CF}(l_{1}, \dots, l_{n})$ принадлежит классу $\mathbf{CF}$; (b) $H$ – собственная палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$ и Доказательство. В силу леммы 1 оператор $H\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ является собственной палиндромической симметрией $\operatorname{CF}(A)$ и $\sigma_{H}=(1, 2, \dots, n-1, n)$ тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа $\mu_1,\mu_2, \dots,\mu_n$, что $\mu_1\mu_2 \dotsb \mu_n=1$ и
Пусть $\operatorname{CF}(l_{1}, \dots, l_{n}) \in \mathbf{CF}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\mathbf l_{1},\mathbf l_{2}, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n}) \\ &= { \begin{pmatrix} 1& 1 & \dots & 1 & 1 \\ \alpha_1 & \sigma(\alpha_1) & \dots& \sigma^{n-2}(\alpha_1) & \sigma^{n-1}(\alpha_1) \\ \alpha_1\sigma(\alpha_1) & \sigma(\alpha_1)\sigma^{2}(\alpha_1) & \dots& \sigma^{n-2}(\alpha_1)\sigma^{n-1}(\alpha_1) & \sigma^{n-1}(\alpha_1)\alpha_1 \\ \dots & \dots& \dots & \dots & \dots \\ \displaystyle\prod_{k=1}^{j-1}\sigma^{k-1}(\alpha_1) &\displaystyle \prod_{k=2}^{(j-1)+1}\sigma^{k-1}(\alpha_1) & \dots &\displaystyle \prod_{k=n-1}^{(j-1)+ n-2}\sigma^{k-1}(\alpha_1) &\displaystyle \prod_{k=n}^{(j-1)+n- 1}\sigma^{k-1}(\alpha_1) \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}. } \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
То есть
$$
\begin{equation*}
(\mathbf l_{1},\mathbf l_{2}, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n})=(a_{ji}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{ji}=\prod_{k=i}^{(j-1)+i-1}\sigma^{k-1}(\alpha_1)$ при $j=2, \dots, n$ и $a_{1i}=1$ для любого $i=1, \dots, n$. Стало быть,
$$
\begin{equation*}
H(\mathbf l_{1},\mathbf l_{2}, \dots, \mathbf l_{n-1}, \mathbf l_{n}) =\bigl(\alpha_1\mathbf{l}_2, \sigma(\alpha_1)\mathbf{l}_3, \dots, \sigma^{n-2}(\alpha_1)\mathbf{l}_{n}, \sigma^{n-1}(\alpha_1)\mathbf{l}_1\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $H$ – собственная палиндромическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$ и $\sigma_{H}=(1, 2, \dots, n-1, n)$.
Обратно, предположим, что $H$ – собственная палиндромическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n)$ и $\sigma_{H}=(1, 2, \dots, n-1, n)$. Тогда поскольку выполняется соотношение (3.2), имеем
$$
\begin{equation*}
H\mathbf{l}_1=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \dots \\ \alpha_{n-1} \\ 1 \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha_1) \\ \dots \\ \sigma_{2}(\alpha_{n-2}) \\ \sigma_{2}(\alpha_{n-1}) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_2=\alpha_1, \qquad\alpha_2=\alpha_1\sigma_{2}(\alpha_1), \qquad\alpha_3=\alpha_1\sigma_{2}(\alpha_2)=\alpha_1\sigma_{2}(\alpha_1)\sigma^{2}_{2}(\alpha_1), \qquad \dots, \\ \alpha_{n-1}=\alpha_1\sigma_{2}(\alpha_1)\cdots\sigma^{n-2}_{2}(\alpha_1), \qquad 1= \alpha_1\sigma_{2}(\alpha_1)\cdots\sigma^{n-1}_{2}(\alpha_1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $i=2, \dots, n-1$ в силу соотношения (3.2) имеем
$$
\begin{equation*}
H\mathbf{l}_i=\begin{pmatrix} \sigma_{i}(\alpha_1) \\ \sigma_{i}(\alpha_2) \\ \dots \\ \sigma_{i}(\alpha_{n-1}) \\ 1 \end{pmatrix}=\mu_{i+1}\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{i+1}(\alpha_1) \\ \dots \\ \sigma_{i+1}(\alpha_{n-2}) \\ \sigma_{i+1}(\alpha_{n-1}) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\mu_{i+1}=\sigma_{i}(\alpha_1)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma_{i+1}(\alpha_1)= \frac{\sigma_{i}(\alpha_2)}{\sigma_{i}(\alpha_1)}=\sigma_{i}(\sigma_{2}(\alpha_1)), \\ \sigma_{i+1}(\alpha_2)= \frac{\sigma_{i}(\alpha_3)}{\sigma_{i}(\alpha_1)}=\sigma_{i}(\sigma_{2}(\alpha_2)), \\ \dots, \\ \sigma_{i+1}(\alpha_{n-1})= \frac{1}{\sigma_{i}(\alpha_1)}=\sigma_{i}(\sigma_{2}(\alpha_{n-1})). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя индукцию, получаем
$$
\begin{equation*}
\sigma_{i+1}(\alpha_1)= \sigma_{2}^{i}(\alpha_1), \qquad\sigma_{i+1}(\alpha_2)= \sigma_{2}^{i}(\alpha_2), \qquad \dots, \qquad \sigma_{i+1}(\alpha_{n-1})= \sigma_{2}^{i}(\alpha_{n-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\operatorname{CF}(l_1, \dots, l_n) \in \mathbf{CF}$, так как числа $1,\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}$ образуют базис поля $K$.
Лемма 2 доказана. Доказательство теоремы 1. Для начала докажем существование конечного вполне вещественного циклического расширения Галуа степени $n$ поля $\mathbb{Q}$. В силу теоремы Дирихле об арифметической прогрессии существует такое простое $p$, что $p\equiv 1\pmod {2n}$. Пусть $\zeta_{p}$ – корень степени $p$ из единицы и $E= \mathbb{Q}(\zeta_{p})$.
Заметим, что $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})= \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$. Рассмотрим поле $K_0=\mathbb{Q}(\zeta_{p}+\zeta^{-1}_{p})$. Тогда $K_0$ – конечное вполне вещественное расширение поля $\mathbb{Q}$ степени $(p-1)/2$ (см. [11]) и $[E:K_0]=2$, поскольку $x^2-(\zeta_{p}+\zeta^{-1}_{p})x+1$ – минимальный многочлен для $\zeta_{p}$ над $K_0$. Поскольку группа $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ является циклической, то все ее подгруппы нормальны, более того, все факторгруппы $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ по подгруппам $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ циклические, а значит, $K_0$ – циклическое расширение Галуа поля $\mathbb{Q}$ в силу основной теоремы теории Галуа. Поскольку $n$ делит $(p-1)/2$, то циклическая группа $\operatorname{Gal}(K_0/\mathbb{Q})$ содержит подгруппу $F$ индекса $n$. Пусть $K=K_{0}^{F}$. Вновь применяя основную теорему теории Галуа, получаем, что $K$ – циклическое расширение Галуа поля $\mathbb{Q}$, $[K:\mathbb{Q}]=[\operatorname{Gal}(K_{0}/\mathbb{Q}):F]=n$. При этом поле $K \subset K_{0}$ – вполне вещественное расширение поля $\mathbb{Q}$. Пусть $K$ – конечное вполне вещественное циклическое расширение Галуа степени $n$ поля $\mathbb{Q}$, а $\sigma$ – порождающий элемент группы Галуа этого расширения. По теореме о нормальном базисе существует набор чисел
$$
\begin{equation*}
\omega,\ \ \sigma(\omega), \ \ \dots, \ \ \sigma^{n-1}(\omega),
\end{equation*}
\notag
$$
который является базисом расширения $K$. Тогда набор чисел $1,{\sigma(\omega)}/{\omega}, \dots, {\sigma^{n-1}(\omega)}/{\omega}$ также образует базис расширения $K$. Стало быть, в силу предложения 1 вектор $(1, {\sigma(\omega)}/{\omega}, \dots, {\sigma^{n-1}(\omega)}/{\omega})$ является собственным для некоторого гиперболического оператора $A\in\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$. Заметим, что для любого $j=2, \dots, n-1$
$$
\begin{equation*}
\frac{\sigma(\omega)}{\omega}\sigma\biggl(\frac{\sigma(\omega)}{\omega}\biggr) \sigma^{2}\biggl(\frac{\sigma(\omega)}{\omega}\biggr)\cdots\sigma^{j-1} \biggl(\frac{\sigma(\omega)}{\omega}\biggr) =\frac{\sigma^{j}(\omega)}{\omega},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\operatorname{N}(\sigma(\omega)/\omega)=1$. Таким образом, $\operatorname{CF}(A) \in \mathbf{CF}$. Для завершения доказательства достаточно применить лемму 2.
Теорема 1 доказана. § 4. Палиндромические симметрии в случае $n=4$Отныне будем считать, что $n=4$, т.е. будем рассматривать трехмерные цепные дроби. Напомним, что множество всех трехмерных алгебраических цепных дробей мы обозначаем через $\mathfrak{A}_3$. Далее, как и в § 3, будем считать, что если задана дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3, l_4)\in\mathfrak{A}_3$, то подпространство $l_i$ порождается вектором $\mathbf l_i$, первая координата которого равна $1$, где $i=1,2,3,4$. Пусть $G$ – циклическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3, l_4)\in\mathfrak{A}_3$. Изменив при необходимости нумерацию подпространств $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$, можно рассмотреть такие вещественные числа $\mu_{1}$, $\mu_{2}$, $\mu_{3}$, $\mu_{4}$, что матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_{1}$, $\mathbf{l}_{2}$, $\mathbf{l}_{3}$, $\mathbf{l}_{4}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \mu_{1} \\ \mu_{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mu_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mu_{4} & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Лемма 1 в случае $n=4$ при изменении нумерации подпространств $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$ приобретает следующий вид. Следствие. Пусть $G$ – циклическая симметрия $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3, l_4)\in\mathfrak{A}_3$ и матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_{1}$, $\mathbf{l}_{2}$, $\mathbf{l}_{3}$, $\mathbf{l}_{4}$ имеет вид (4.1). Тогда $G$ является собственной циклической симметрией дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2, l_3, l_4)$ в том и только том случае, если $\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\mu_{4}=1$. Лемма 3. Пусть $G$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3, l_4)\in\mathfrak{A}_3$. Тогда собственные значения оператора $G$ равны $1$, $-1$, $i$ и $-i$. Более того, собственные подпространства $l_{+}$ (соответствующее собственному значению $1$), $l_{-}$ (соответствующее собственному значению $-1$) и $L$ (соответствующее собственным значениям $i$ и $-i$) являются рациональными. В частности, подпространство $L$ не содержит собственных для $G$ одномерных подпространств и для любого $\mathbf v \in L$ верно, что $G^2({\mathbf v})=-\mathbf v$. Доказательство. Изменив при необходимости нумерацию подпространств $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$, можно считать, что в силу приведенного следствия существуют такие вещественные числа $\mu_{1}$, $\mu_{2}$, $\mu_{3}$, $\mu_{4}$, что $\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\mu_{4}=1$ и матрица оператора $G$ в базисе $\mathbf{l}_{1}$, $\mathbf{l}_{2}$, $\mathbf{l}_{3}$, $\mathbf{l}_{4}$ имеет вид (4.1). Так как $\chi_{G}(x)=x^4-\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\mu_{4}$, то собственные значения оператора $G$ равны $1$, $-1$, $i$ и $-i$, а значит, у $G$ есть ровно два одномерных собственных подпространства и двумерное инвариантное подпространство, которое не содержит собственных для $G$ одномерных подпространств. Обозначим через $l_{+}$ рациональное одномерное собственное подпространство оператора $G$, соответствующее собственному значению $1$, через $l_{-}$ – рациональное одномерное собственное подпространство оператора $G$, соответствующее собственному значению $-1$, а через $L$ – двумерное инвариантное подпространство, соответствующее собственным значениям $i$ и $-i$. Покажем, что подпространство $L$ рационально.
Поскольку $l_{-}+l_{+}+L=\mathbb{R}^{4}$, то для любого вектора $\mathbf v \in \mathbb{R}^{4}$ существуют такие единственные векторы $\mathbf{p}(\mathbf v, l_{-})\in l_{-},\mathbf{p}(\mathbf v, l_{+}) \in l_{+}$ и $\mathbf{p}(\mathbf v, L) \in L$, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\mathbf v=\mathbf{p}(\mathbf v, l_{-})+\mathbf{p}(\mathbf v, l_{+})+\mathbf{p}(\mathbf v, L).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathbf{p}(G^{2}(\mathbf{v}), L)=\mathbf{p}(-\mathbf v, L)$, $\mathbf{p}(G^{2}(\mathbf{v}), l_{-})= \mathbf{p}(\mathbf v, l_{-})$ и $\mathbf{p}(G^{2}(\mathbf{v}), l_{+})=\mathbf{p}(\mathbf v, l_{+})$ для любого вектора $\mathbf v \in \mathbb{R}^{4}$. Таким образом, для любой точки $\mathbf{z} \in \mathbb{Z}^{4} \setminus (l_{+} +l_{-})$ ненулевые целочисленные векторы $\mathbf{z}-G^{2}(\mathbf{z})$ и $G(\mathbf{z})-G^{3}(\mathbf{z})$ лежат в двумерном подпространстве $L$. Эти два целочисленных вектора неколлинеарны, поскольку $G(\mathbf{z})-G^{3}(\mathbf{z})= G(\mathbf{z}-G^{2}(\mathbf{z}))$ и подпространство $L$ не содержит собственных для оператора $G$ одномерных подпространств. Итак, мы показали, что подпространство $L$ рационально. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть $G$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3, l_4)\in\mathfrak{A}_3$. Тогда существуют $\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2,\mathbf{z}_3,\mathbf{z}_4 \in \mathbb{Z}^4$ такие, что и выполняется хотя бы одно из следующих семи утверждений:
Доказательство. Будем называть плоскость рациональной, если множество содержащихся в нем целых точек является (аффинной) решеткой ранга, равного размерности этой плоскости.
Рассмотрим подпространства $l_{+}$, $l_{-}$ и $L$ из леммы 3 и положим $S= l_{-}+L$. Обозначим через $S_1$ ближайшую к $S$ рациональную гиперплоскость, параллельную $S$ и не совпадающую с $S$ (любую из двух). Тогда $G(S_1)=S_1$. Также обозначим через $\mathbf{p}$ точку пересечения гиперплоскости $S_1$ и $l_{+}$, а через $l$ и $\pi$ прямую и плоскость, проходящие через точку $\mathbf{p}$ и параллельные $l_{-}$ и $L$ соответственно. Тогда в силу леммы 3 $G(\mathbf{p})=\mathbf{p}$, $G(\mathbf{v}-\mathbf{p})=\mathbf{p}-\mathbf{v}$ для любого вектора $\mathbf v \in l$ и $G^{2}(\mathbf{v}-\mathbf{p})=\mathbf{p}-\mathbf{v}$ для любого вектора $\mathbf v \in \pi$. Поскольку подпространство $L$ не содержит собственных для $G$ одномерных подпространств, то для произвольной точки $\mathbf{v} \in \pi \setminus l$ четырехугольник $\mathrm{conv}(\mathbf{v}, G(\mathbf{v}), G^{2}(\mathbf{v}), G^{3}(\mathbf{v}))$ является параллелограммом, диагонали которого пересекаются в точке $\mathbf{p}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}+G^{2}(\mathbf{v}))=\frac{1}{2}(G(\mathbf{v})+G^{3}(\mathbf{v}))$. Обозначим через $Q$ рациональную плоскость, ближайшую к $\pi$, лежащую в гиперплоскости $S_1$, параллельную $\pi$ и не совпадающую с $\pi$. Поскольку $G(\mathbf{v}-\mathbf{p})=\mathbf{p}-\mathbf{v}$ для любого вектора $\mathbf v \in l$, то $R=G(Q)$ и $Q$ – рациональные плоскости, ближайшие к $\pi$ и равноудаленные от нее, лежащие в гиперплоскости $S_1$ по разные стороны от $\pi$, параллельные $\pi$ и не совпадающие с $\pi$. Положим $\mathbf{p}^{Q}=Q \cap l$ и $\mathbf{p}^{R}=R \cap l$. Построим точки $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{3}$, $\mathbf{z}_{4}$ при помощи следующей итерационной процедуры. Возьмем произвольную целочисленную точку $\mathbf{v}_{1,1} \in Q \setminus l$. Введем обозначения $\mathbf{v}_{1,2}=G(\mathbf{v}_{1,1})$, $\mathbf{v}_{1,3}=G^{2}(\mathbf{v}_{1,1})$, $\mathbf{v}_{1,4}=G^{3}(\mathbf{v}_{1,1})$. Пусть точки $\mathbf{v}^{\pi}_{1,1}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{1,2}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{1,3}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{1,4}$ – проекции, параллельные $l$, на плоскость $\pi$ точек $\mathbf{v}_{1,1}$, $\mathbf{v}_{1,2}$, $\mathbf{v}_{1,3}$, $\mathbf{v}_{1,4}$ соответственно. Также обозначим через $\mathbf{v}^{R}_{1,1}$ и $\mathbf{v}^{R}_{1,3}$ проекции, параллельные $l$, на плоскость $R$ точек $\mathbf{v}_{1,1}$ и $\mathbf{v}_{1,3}$, а через $\mathbf{v}^{Q}_{1,2}$ и $\mathbf{v}^{Q}_{1,4}$ – проекции, параллельные $l$, на плоскость $Q$ точек $\mathbf{v}_{1,2}$ и $\mathbf{v}_{1,4}$. По доказанному выше множество $\Delta^{\pi}_{1}=\mathrm{conv}(\mathbf{v}^{\pi}_{1,1}, \mathbf{v}^{\pi}_{1,2}, \mathbf{v}^{\pi}_{1,3}, \mathbf{v}^{\pi}_{1,4})$ является параллелограммом, диагонали которого пересекаются в точке $\mathbf{p}=\frac{1}{4}(\mathbf{v}_{1,1}\,{+}\,\mathbf{v}_{1,2}\,{+}\,\mathbf{v}_{1,3}\,{+}\, \mathbf{v}_{1,4})$. Таким образом, множества $\Delta^{Q}_{1}=\mathrm{conv}(\mathbf{v}_{1,1}, \mathbf{v}^{Q}_{1,2}, \mathbf{v}_{1,3}, \mathbf{v}^{Q}_{1,4})$ и $\Delta^{R}_{1}= \mathrm{conv}(\mathbf{v}^{R}_{1,1}, \mathbf{v}_{1,2}, \mathbf{v}^{R}_{1,3}, \mathbf{v}_{1,4})$ также являются параллелограммами. Заметим, что $\mathbf{p}^{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_{1,1}+\mathbf{v}_{1,3})$ и $\mathbf{p}^{R}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_{1,2}+\mathbf{v}_{1,4})$. Предположим, мы построили параллелограммы $\Delta^{\pi}_{j}$, $\Delta^{Q}_{j}$ и $\Delta^{R}_{j}$. Если на плоскостях $Q$ и $R$ существует целая точка, не совпадающая с точками $\mathbf{p}^{Q}$, $\mathbf{p}^{R}$ и ни с какой из вершин параллелограммов $\Delta^{Q}_{j}$ и $\Delta^{R}_{j}$ и при этом лежащая в одном из этих параллелограммов (без ограничения общности – внутри $\Delta^{Q}_{j}$), то обозначим ее через $\mathbf{v}_{j+1,1}$. Введем обозначения $\mathbf{v}_{j+1,2}\,{=}\,G(\mathbf{v}_{j+1,1})$, $\mathbf{v}_{j+1,3}\,{=}\,G^{2}(\mathbf{v}_{j+1,1})$, $\mathbf{v}_{j+1,4}\,{=}\,G^{3}(\mathbf{v}_{j+1,1})$. Пусть точки $\mathbf{v}^{\pi}_{j+1,1}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{j+1,2}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{j+1,3}$, $\mathbf{v}^{\pi}_{j+1,4}$ – проекции, параллельные $l$, на плоскость $\pi$ точек $\mathbf{v}_{j+1,1}$, $\mathbf{v}_{j+1,2}$, $\mathbf{v}_{j+1,3}$, $\mathbf{v}_{j+1,4}$ соответственно. Также обозначим через $\mathbf{v}^{R}_{j+1,1}$ и $\mathbf{v}^{R}_{j+1,3}$ – проекции, параллельные $l$, на плоскость $R$ точек $\mathbf{v}_{j+1,1}$ и $\mathbf{v}_{j+1,3}$, а через $\mathbf{v}^{Q}_{j+1,2}$ и $\mathbf{v}^{Q}_{j+1,4}$ – проекции, параллельные $l$, на плоскость $Q$ точек $\mathbf{v}_{j+1,2}$ и $\mathbf{v}_{j+1,4}$. Определим параллелограммы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta^{\pi}_{j+1} &=\mathrm{conv}(\mathbf{v}^{\pi}_{j+1,1}, \mathbf{v}^{\pi}_{j+1,2}, \mathbf{v}^{\pi}_{j+1,3}, \mathbf{v}^{\pi}_{j+1,4}), \\ \Delta^{Q}_{j+1} &=\mathrm{conv}(\mathbf{v}_{j+1,1}, \mathbf{v}^{Q}_{j+1,2}, \mathbf{v}_{j+1,3}, \mathbf{v}^{Q}_{j+1,4}), \\ \Delta^{R}_{j+1} &=\mathrm{conv}(\mathbf{v}^{R}_{j+1,1}, \mathbf{v}_{j+1,2}, \mathbf{v}^{R}_{j+1,3}, \mathbf{v}_{j+1,4}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\mathbf{p}=\frac{1}{4}(\mathbf{v}_{j+1,1}+\mathbf{v}_{j+1,2} +\mathbf{v}_{j+1,3}+\mathbf{v}_{j+1,4})$, $\mathbf{p}^{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_{j+1,1}+\mathbf{v}_{j+1,3})$ и $\mathbf{p}^{R}= \frac{1}{2}(\mathbf{v}_{j+1,2}+\mathbf{v}_{j+1,4})$.
Последовательность троек $(\Delta^{\pi}_{j}, \Delta^{Q}_{j}, \Delta^{R}_{j})$ конечна. Пусть $(\Delta^{\pi}_{k}, \Delta^{Q}_{k}, \Delta^{R}_{k})$ – последний ее элемент. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{z}_{1}= \mathbf{v}_{k,1}, \qquad \mathbf{z}_{2}=\mathbf{v}_{k,2}, \qquad \mathbf{z}_{3}=\mathbf{v}_{k,3}, \qquad \mathbf{z}_{4}= \mathbf{v}_{k,4}, \\ \mathbf{z}^{\pi}_{1}=\mathbf{v}^{\pi}_{k,1}, \qquad \mathbf{z}^{\pi}_{2}=\mathbf{v}^{\pi}_{k,2}, \qquad \mathbf{z}^{\pi}_{3}=\mathbf{v}^{\pi}_{k,3}, \qquad \mathbf{z}^{\pi}_{4}=\mathbf{v}^{\pi}_{k,4}, \\ \mathbf{z}^{R}_{1}=\mathbf{v}^{R}_{k,1}, \qquad \mathbf{z}^{R}_{3}=\mathbf{v}^{R}_{k,3}, \qquad \mathbf{z}^{Q}_{2}=\mathbf{v}^{Q}_{k,2}, \qquad \mathbf{z}^{Q}_{4}=\mathbf{v}^{Q}_{k,4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что множество $(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}$ совпадает с одним из множеств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl\{\mathbf{p}, \, \mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4} \bigr\},\qquad \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}_{4}\bigr\}, \\ \biggl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1}}{2}\biggr\}, \\ \bigl\{\mathbf{p}, \, \mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{1}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{2}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{3}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{4}\bigr\}, \\ \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}\bigr\}, \qquad \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}\bigr\}, \\ \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{1}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{2}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{3}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{4}\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для начала покажем, что
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k}\cap \mathbb{Z}^{4}) \subset \biggl\{\mathbf{p}, \mathbf{z}^{\pi}_{1}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{2}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{3}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{4}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1}}{2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что это не так. Без ограничения общности будем считать, что существует целая точка $\mathbf{w}$, лежащая в параллелограмме $\mathrm{conv}\bigl(\mathbf{z}^{\pi}_{1}, (\mathbf{z}^{\pi}_{1}+ \mathbf{z}^{\pi}_{2})/2, \mathbf{p}, (\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2\bigr)$ и не совпадающая ни с какой вершиной этого параллелограмма. Если $\mathbf{w}$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $\mathrm{conv}\bigl(\mathbf{z}^{\pi}_{1}, (\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2})/2, \mathbf{p}, (\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2\bigr)$, то целая точка $\mathbf{z}_{1}+ (G(\mathbf{w})-\mathbf{w})$, не совпадающая с точкой $\mathbf{p}^{Q}$ и ни с какой из вершин параллелограмма $\Delta^{Q}_{k}$, лежит в параллелограмме $\Delta^{Q}_{k}$. Если же $\mathbf{w}$ не является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $\mathrm{conv}\bigl(\mathbf{z}^{\pi}_{1}, (\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2})/2, \mathbf{p}, (\mathbf{z}^{\pi}_{4}+ \mathbf{z}^{\pi}_{1})/2\bigr)$, то целая точка $\mathbf{z}_{1}+(G^{2}(\mathbf{w})-\mathbf{w})$, не совпадающая с точкой $\mathbf{p}^{Q}$ и ни с какой из вершин параллелограмма $\Delta^{Q}_{k}$, также лежит в параллелограмме $\Delta^{Q}_{k}$. В обоих случаях получаем противоречие с построением тройки параллелограммов $(\Delta^{\pi}_{k}, \Delta^{Q}_{k}, \Delta^{R}_{k})$.
A. Предположим, что плоскость $\pi$ рациональная. Покажем, что этот случай разбивается на четыре принципиально разных случая. A.1. Предположим, что $\mathbf{p} \in \mathbb{Z}^{4}$. В таком случае каждая из точек $\mathbf{z}^{R}_{1}$, $\mathbf{z}^{R}_{3}$, $\mathbf{z}^{Q}_{2}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4}$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Ни одна из точек $(\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{3}\,{+}\,\mathbf{z}^{\pi}_{4})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{4}\,{+}\,\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2$ не принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$, так как в противном случае середины сторон параллелограммов $\Delta^{Q}_{k}$ и $\Delta^{R}_{k}$ принадлежат решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Теперь рассмотрим следующие два случая: A.1.1 (соответствует утверждению 1)). Пусть $\mathbf{p}^{Q} \notin \mathbb{Z}^{4}$, а значит, и $\mathbf{p}^{R} \notin \mathbb{Z}^{4}$. Так как $\mathbf{p} \in \mathbb{Z}^{4}$, то никакая из точек $\mathbf{z}^{\pi}_{1}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{2}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{3}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{4}$ не принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}= \bigl\{\mathbf{p}, \, \mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{3}$, $\mathbf{p}= \frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4})$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 1); рис. 1.
A.1.2 (соответствует утверждению 4)). Пусть $\mathbf{p}^{Q}{\in}\,\mathbb{Z}^{4}$, а значит, и $\mathbf{p}^{R}{\in}\,\mathbb{Z}^{4}$. Так как $\mathbf{p} \in \mathbb{Z}^{4}$, то каждая из точек $\mathbf{z}^{\pi}_{1}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{2}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{3}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{4}$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}=\bigl\{\mathbf{p}, \, \mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{1}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{2}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{3}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{4} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{p}_{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3})$, $\mathbf{p}=\frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4})$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 4); рис. 2. A.2. Предположим, что $\mathbf{p} \notin \mathbb{Z}^{4}$. Теперь рассмотрим следующие два случая. A.2.1 (соответствует утверждению 3)). Каждая из точек $(\mathbf{z}^{\pi}_{1}+ \mathbf{z}^{\pi}_{2})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. В этом случае каждая из точек $\mathbf{p}^{Q}$, $\mathbf{p}^{R}$, $ \mathbf{z}^{R}_{1}$, $ \mathbf{z}^{R}_{3}$, $\mathbf{z}^{Q}_{2}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4}$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$ и никакая из точек $\mathbf{z}^{\pi}_{1}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{2}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{3}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{4}$ не принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4} =\biggl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \\ &\qquad\qquad \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4}}{2}, \, \frac{\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1}}{2}\biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов
$$
\begin{equation*}
\mathbf{z}_{1}, \quad\frac{\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2}}{2}= \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}), \quad\mathbf{p}^{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3}), \quad\frac{\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1}}{2}=\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{4})
\end{equation*}
\notag
$$
образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 3); рис. 3. A.2.2 (соответствует утверждению 7)). Никакая из точек $(\mathbf{z}^{\pi}_{1}+ \mathbf{z}^{\pi}_{2})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4})/2$, $(\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2$ не принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Допустим, что никакая из точек $\mathbf{z}^{R}_{1}$, $\mathbf{z}^{R}_{3}$, $\mathbf{z}^{Q}_{2}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4}$ не принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$. Пусть $\mathbf{r}$ – некоторый вектор, соединяющий две целые точки из плоскостей $\pi$ и $Q$ соответственно (такой вектор существует, поскольку по предположению плоскость $\pi$ рациональная). Рассмотрим набор $\mathbf{z}_{3}- \mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{4}-\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{r}$, который является базисом решетки $\mathbb{Z}^{4}$. При этом первые две координаты точки $\mathbf{z}_{1}$ в рассматриваемом базисе имеют вид $(0, 0)$, точки $\mathbf{z}_3$ – вид $(1, 0)$, точки $\mathbf{z}^{Q}_{4}$ – вид $(1/2, 1/2)$, а точки $\mathbf{z}^{Q}_{2}$ – вид $(1/2, -1/2)$. Предположим, что $(z_1, z_2)$ – первые две координаты точки $\mathbf{z}_{4}$. Тогда первые две координаты точки $\mathbf{z}_2$ имеют вид $(z_1, z_{2}-1)$, точки $\mathbf{z}^{R}_{1}$ – вид $(z_{1}-1/2, z_{2}-1/2)$, а точки $\mathbf{z}^{R}_{3}$ – вид $(z_{1}+1/2, z_{2}- 1/2)$. Отсюда следует, что первые две координаты точки $(\mathbf{z}^{\pi}_{1}+\mathbf{z}^{\pi}_{2})/2$ имеют вид $(z_{1}/2, (z_{2}-1)/2)$, точки $(\mathbf{z}^{\pi}_{2}+\mathbf{z}^{\pi}_{3})/2$ – вид $((z_{1}+1)/2, (z_{2}-1)/2)$, точки $(\mathbf{z}^{\pi}_{3}+\mathbf{z}^{\pi}_{4})/2$ – вид $((z_{1}+1)/2, z_{2}/2)$, а точки $(\mathbf{z}^{\pi}_{4}+\mathbf{z}^{\pi}_{1})/2$ – вид $(z_{1}/2, z_{2}/2)$. Из соображений четности получаем противоречие с допущением. Итак, каждая из точек $\mathbf{z}^{R}_{1}$, $\mathbf{z}^{R}_{3}$, $\mathbf{z}^{Q}_{2}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4}$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, каждая из точек $\mathbf{z}^{\pi}_{1}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{2}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{3}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{4}$ принадлежит решетке $\mathbb{Z}^{4}$, а поскольку $\mathbf{p} \notin \mathbb{Z}^{4}$, то $\mathbf{p}^{Q} \notin \mathbb{Z}^4$ и $\mathbf{p}^{R} \notin \mathbb{Z}^4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}=\bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{1}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{2}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{3}, \, \mathbf{z}^{\pi}_{4}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{3}$, $\mathbf{z}^{\pi}_{1}= \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2})+\frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{4}-\mathbf{z}_{3}-\mathbf{z}_{2})$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 7); рис. 4. B. Предположим, что $\pi$ не является рациональной плоскостью. Покажем, что этот случай разбивается на три принципиально разных случая. B.1 (соответствует утверждению 5)). Предположим, что $\mathbf{p}^{Q} \in \mathbb{Z}^{4}$, а значит, и $\mathbf{p}^{R} \in \mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}= \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}, \, \mathbf{p}^{Q}, \, \mathbf{p}^{R}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{p}^{Q}=\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3})$, $\mathbf{p}^{R}=\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{4})$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 5); рис. 5. B.2. Предположим, что $\mathbf{p}^{Q} \notin \mathbb{Z}^{4}$, а значит, и $\mathbf{p}^{R} \notin \mathbb{Z}^{4}$. Это предположение дает два следующих случая. B.2.1 (соответствует утверждению 6)). Предположим, что $\mathbf{z}^{Q}_{2} \in \mathbb{Z}^{4}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4} \in \mathbb{Z}^{4}$, $\mathbf{z}^{R}_{1} \in \mathbb{Z}^{4}$ и $\mathbf{z}^{R}_{2} \in \mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}= \bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}^{Q}_{2}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}^{Q}_{4}, \, \mathbf{z}^{R}_{1}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}^{R}_{3}, \, \mathbf{z}_{4}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{3}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4}= \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4}-\mathbf{z}_{2})$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 6); рис. 6. B.2.2 (соответствует утверждению 2)). Предположим, что $\mathbf{z}^{Q}_{2} \notin \mathbb{Z}^{4}$, $\mathbf{z}^{Q}_{4} \notin \mathbb{Z}^{4}$, $\mathbf{z}^{R}_{1} \notin \mathbb{Z}^{4}$ и $\mathbf{z}^{R}_{2} \notin \mathbb{Z}^{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\Delta^{\pi}_{k} \cup \Delta^{Q}_{k} \cup \Delta^{R}_{k}) \cap \mathbb{Z}^{4}=\bigl\{\mathbf{z}_{1}, \, \mathbf{z}_{3}, \, \mathbf{z}_{2}, \, \mathbf{z}_{4}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и набор векторов $\mathbf{z}_{1}$, $\mathbf{z}_{2}$, $\mathbf{z}_{3}$, $\mathbf{z}_{4}$ образует базис решетки $\mathbb{Z}^{4}$, а значит, выполняется утверждение 2); рис. 7. Лемма 4 доказана. Если задана дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)=\operatorname{CF}(A)\in\mathfrak{A}_3$, будем считать, что подпространство $l_1$ порождается вектором $\mathbf l_1=(1,\alpha,\beta,\gamma)$. Тогда из предложения 1 следует, что числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$ над $\mathbb{Q}$ и каждое $l_i$ порождается вектором $\mathbf l_i=(1,\sigma_i(\alpha),\sigma_i(\beta), \sigma_i(\gamma))$, где $\sigma_1(=\operatorname{id})$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, $\sigma_4$ – все вложения $K$ в $\mathbb{R}$. То есть если через $(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3,\mathbf l_4)$ обозначить матрицу со столбцами $\mathbf l_1$, $\mathbf l_2$, $\mathbf l_3$, $\mathbf l_4$, получим
$$
\begin{equation*}
(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3,\mathbf l_4)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \sigma_2(\alpha) & \sigma_3(\alpha) & \sigma_4(\alpha) \\ \beta & \sigma_2(\beta) & \sigma_3(\beta) & \sigma_4(\beta) \\ \gamma & \sigma_2(\gamma) & \sigma_3(\gamma) & \sigma_4(\gamma) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что через $\mathfrak{A}_{3}'$ мы обозначили множество всех трехмерных алгебраических цепных дробей, для которых поле $K$ из предложения 1 – вполне вещественное циклическое расширение Галуа. Пусть $\sigma$ – образующая группы Галуа $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$. Также мы выбрали такую нумерацию прямых $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$, что если через $(\mathbf l_1,\mathbf l_2, \mathbf l_3, \mathbf l_4 )$ обозначить матрицу со столбцами $\mathbf l_1$, $\mathbf l_2$, $\mathbf l_3$, $\mathbf l_4$, то
$$
\begin{equation*}
(\mathbf l_1,\mathbf l_2, \mathbf l_3, \mathbf l_4 )= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \alpha & \sigma(\alpha) & \sigma^{2}(\alpha) & \sigma^{3}(\alpha) \\ \beta & \sigma(\beta) & \sigma^{2}(\beta) & \sigma^{3}(\beta) \\ \gamma & \sigma(\gamma) & \sigma^{2}(\gamma) & \sigma^{3}(\gamma) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим классы трехмерных алгебраических цепных дробей:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{CF}_1 &=\bigl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \mid \beta= \sigma(\alpha),\ \gamma=\sigma^{2}(\alpha), \ \operatorname{Tr}(\alpha)=0 \bigr\}, \\ \mathbf{CF}_2 &=\bigl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \mid \beta= \sigma(\alpha) ,\ \gamma=\sigma^{2}(\alpha), \ \operatorname{Tr}(\alpha)=1 \bigr\}, \\ \mathbf{CF}_3 &=\bigl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \mid \beta= \sigma(\alpha) ,\ \gamma=\sigma^{2}(\alpha), \ \operatorname{Tr}(\alpha)=2 \bigr\}, \\ \mathbf{CF}_4 &=\biggl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \Bigm| \beta= \sigma(\alpha),\ \gamma=\frac{\alpha+\sigma^{2}(\alpha)}{2}, \ \operatorname{Tr}(\alpha)=0 \biggr\}, \\ \mathbf{CF}_5 &=\biggl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \Bigm| \beta= \sigma(\alpha) ,\ \gamma=\frac{\alpha+\sigma^{2}(\alpha)}{2}, \ \operatorname{Tr}(\alpha)=2 \biggr\}, \\ \mathbf{CF}_6 &=\biggl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \Bigm| \beta= \sigma(\alpha) ,\ \gamma=\frac{\alpha+\sigma^{2}(\alpha)+1}{2}, \ \operatorname{Tr}(\alpha)=0 \biggr\}, \\ \mathbf{CF}_7 &=\biggl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \Bigm| \beta= \sigma(\alpha) ,\ \gamma=\frac{\alpha+\sigma^{2}(\alpha)+1}{2}, \ \operatorname{Tr}(\alpha)=2 \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что все дроби из классов $\mathbf{CF}_{i}$ палиндромичны для каждого $i=1,\dots, 7$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad G_{2}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \\ G_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad G_{4}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 &0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \\ G_{5}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad G_{6}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \\ G_{7}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5. Пусть $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3$ и $i\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Тогда цепная дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$ принадлежит классу $\mathbf{CF}_{i}$ в том и только том случае, если $G_{i}$ – ее собственная циклическая симметрия. Доказательство. В силу приведенного следствия оператор $G\in\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$ является собственной циклической симметрией дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$ тогда и только тогда, когда с точностью до перестановки индексов существуют такие действительные числа $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$, $\mu_4$, что $G(\mathbf l_1,\mathbf l_2,\mathbf l_3,\mathbf l_4)=(\mu_2\mathbf l_2,\mu_3\mathbf l_3,\mu_4\mathbf l_4,\mu_1\mathbf l_1)$ и $\mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\mu_{4}=1$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{1}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ -\alpha - \sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) \end{pmatrix}, \qquad G_{1}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ -\sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) \end{pmatrix}, \\ G_{1}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ -\sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) - \alpha \end{pmatrix}, \qquad G_{1}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ -\sigma^{3}(\alpha) - \alpha - \sigma(\alpha) \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{1}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{1}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{1}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{1}\mathbf{l}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ \gamma \\ -\alpha-\beta-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad\gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad- \alpha-\beta- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{1}\mathbf{l}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ -\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad\sigma_{3}(\alpha)=\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=- \alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \\ \sigma_{3}(\gamma)=\alpha=-\beta-\gamma-(- \alpha-\beta-\gamma)=\sigma_{2}(- \alpha-\beta- \gamma)=\sigma^{2}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{1}\mathbf{l}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad\sigma_{4}(\alpha)=- \alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)= \sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)=\alpha=-\beta-\gamma-(- \alpha-\beta- \gamma)=\sigma_{2}(-\alpha-\beta-\gamma)= \sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)= \beta =\sigma_{2}(\alpha)=\sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad\operatorname{Tr}(\alpha)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4)\,{\in}\, \mathbf{CF}_{1}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{2}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ 1 -\alpha - \sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) \end{pmatrix}, \qquad G_{2}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ 1 -\sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) \end{pmatrix}, \\ G_{2}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ 1 -\sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) - \alpha \end{pmatrix}, \qquad G_{2}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ 1 -\sigma^{3}(\alpha) - \alpha - \sigma(\alpha) \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{2}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{2}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{2}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{2}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ \gamma \\ 1-\alpha-\beta-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad\gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad 1-\alpha-\beta- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{2}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ 1-\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad\sigma_{3}(\alpha)=\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=1-\alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \\ \sigma_{3}(\gamma)=\alpha=1 -\beta-\gamma-(1-\alpha-\beta-\gamma)=\sigma_{2}(1-\alpha-\beta- \gamma)=\sigma^{2}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{2}\mathbf{l}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1-\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=1-\alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)= \sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)=\alpha=1-\beta-\gamma-(1-\alpha-\beta- \gamma)=\sigma_{2}(1-\alpha-\beta-\gamma)= \sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)= \beta =\sigma_{2}(\alpha)=\sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4)\,{\in}\, \mathbf{CF}_{2}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{3}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{3}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ 2 -\alpha - \sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) \end{pmatrix}, \qquad G_{3}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ 2 -\sigma(\alpha) - \sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) \end{pmatrix}, \\ G_{3}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ 2 -\sigma^{2}(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha) - \alpha \end{pmatrix}, \qquad G_{3}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ 2 -\sigma^{3}(\alpha) - \alpha - \sigma(\alpha) \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{3}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{3}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{3}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{3}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ \gamma \\ 2-\alpha-\beta-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad \gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad 2-\alpha-\beta- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{3}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ 2-\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad \sigma_{3}(\alpha)=\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=2-\alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \\ \sigma_{3}(\gamma)=\alpha=2-\beta-\gamma-(2 -\alpha-\beta -\gamma)=\sigma_{2}(2-\alpha-\beta- \gamma)=\sigma^{2}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{3}\mathbf{l}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 2-\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=2-\alpha-\beta-\gamma=\sigma_{2}(\gamma)= \sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)=\alpha=2-\beta-\gamma-(2 -\alpha-\beta -\gamma)=\sigma_{2}(2-\alpha-\beta-\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)= \beta=\sigma_{2}(\alpha)=\sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{3}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{4}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{4}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ -\dfrac{\alpha + \sigma^{2}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{4}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ -\dfrac{\sigma(\alpha) + \sigma^{3}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \\ G_{4}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ -\dfrac{\sigma^{2}(\alpha) + \alpha}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{4}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ -\dfrac{\sigma^{3}(\alpha) + \sigma(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{4}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{4}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{4}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{4}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ -\alpha+2\gamma \\ -\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad - \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad - \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{4}\mathbf{l}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -\alpha+2\gamma \\ -\beta-2\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad \frac{\alpha+\sigma_{3}(\alpha)}{2}=\gamma, \sigma_{3}(\alpha)=- \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=- \beta-2\gamma= \sigma_{2}(-\alpha+2\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \qquad \sigma_{3}(\gamma)=\gamma= \sigma_{2}(-\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{4}\mathbf{l}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -\beta- 2\gamma \\ \alpha \\ -\gamma \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=- \beta- 2\gamma=\sigma_{2}(-\alpha)+\sigma_{2}(2\gamma)=\sigma_{2}(-\alpha+2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)= \alpha=2\gamma-\sigma_{2}(\beta) =\sigma_{2}(-2\gamma-\beta)= \sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)=-\gamma=\sigma_{2}(\gamma) = \sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{4}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{5}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{5}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \dfrac{2 - \alpha - \sigma^{2}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{5}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \dfrac{2 - \sigma(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \\ G_{5}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ \dfrac{2 - \sigma^{2}(\alpha) - \alpha}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{5}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ \dfrac{2 - \sigma^{3}(\alpha) - \sigma(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{5}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{5}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{5}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{5}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ -\alpha+2\gamma \\ 1-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad - \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad 1- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{5}\mathbf{l}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -\alpha+2\gamma \\ 2-\beta-2\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad \frac{\alpha+\sigma_{3}(\alpha)}{2}=\gamma, \sigma_{3}(\alpha)=- \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=2-\beta-2\gamma= \sigma_{2}(-\alpha+2\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \qquad \sigma_{3}(\gamma)=\gamma=\sigma_{2}(1- \gamma)=\sigma^{2}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{5}\mathbf{l}_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 2-\beta- 2\gamma \\ \alpha \\ 1 -\gamma \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=2-\beta- 2\gamma=\sigma_{2}(-\alpha)+\sigma_{2}(2\gamma)=\sigma_{2}(-\alpha+2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)= \alpha=2\gamma-\sigma_{2}(\beta) =\sigma_{2}(2-2\gamma-\beta)= \sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)=1 -\gamma=\sigma_{2}(\gamma) = \sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{5}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{6}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{6}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \dfrac{1 - \alpha - \sigma^{2}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{6}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \dfrac{1 - \sigma(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \\ G_{6}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ \dfrac{1 - \sigma^{2}(\alpha) - \alpha}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{6}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ \dfrac{1 - \sigma^{3}(\alpha) - \sigma(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{6}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{6}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{6}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{6}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ -1-\alpha+2\gamma \\ 1-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad -1-\alpha+2\gamma =\sigma_{2}(\beta), \qquad 1- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{6}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ -1-\alpha+2\gamma \\ 1-\beta-2\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad \frac{\alpha+\sigma_{3}(\alpha)+1}{2}=\gamma, \sigma_{3}(\alpha)=-1- \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=1-\beta-2\gamma=-1 -\beta+(2-2\gamma)=\sigma_{2}(-1 -\alpha+2\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \\ \sigma_{3}(\gamma)=\gamma=\sigma_{2}(1-\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{6}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 1-\beta- 2\gamma \\ \alpha \\ 1-\gamma \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=1-\beta- 2\gamma=-1 -\beta+(2-2\gamma)= \sigma_{2}(-1 -\alpha+2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)=\alpha=1 -(-1 -\alpha+2\gamma)-(2- 2\gamma)=\sigma_{2}(1 -\beta-2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)=1- \gamma=\sigma_{2}(\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{6}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Пусть $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{7}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_{7}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma(\alpha) \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \dfrac{3 - \alpha - \sigma^{2}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{7}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{2}(\alpha) \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \dfrac{3 - \sigma(\alpha) - \sigma^{3}(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \\ G_{7}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ \sigma^{3}(\alpha) \\ \alpha \\ \dfrac{3 - \sigma^{2}(\alpha) - \alpha}{2} \end{pmatrix}, \qquad G_{7}\mathbf{l}_4= \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \sigma(\alpha) \\ \dfrac{3 - \sigma^{3}(\alpha) - \sigma(\alpha)}{2} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $G_{7}(\mathbf{l}_1, \mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4) = (\mathbf{l}_2, \mathbf{l}_3, \mathbf{l}_4, \mathbf{l}_1)$. Следовательно, $G_{7}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Обратно, предположим, что $G_{7}$ – собственная циклическая симметрия цепной дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$. Тогда существует такое $\mu_2$, что с точностью до перестановки индексов
$$
\begin{equation*}
G_{7}\mathbf{l}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ -1-\alpha+2\gamma \\ 2-\gamma \end{pmatrix}=\mu_2\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{2}(\alpha) \\ \sigma_{2}(\beta) \\ \sigma_{2}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\mu_2=1, \qquad \beta=\sigma_{2}(\alpha), \qquad-1-\alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta), \qquad 2- \gamma=\sigma_{2}(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_3$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{7}\mathbf{l}_2= \begin{pmatrix} 1 \\ -1-\alpha+2\gamma \\ 3-\beta-2\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}=\mu_3\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{3}(\alpha) \\ \sigma_{3}(\beta) \\ \sigma_{3}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_3=1, \qquad \frac{\alpha+\sigma_{3}(\alpha)+1}{2}=\gamma, \qquad \sigma_{3}(\alpha)=-1- \alpha+2\gamma=\sigma_{2}(\beta)=\sigma^{2}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{3}(\beta)=3-\beta-2\gamma=-1 -\beta+(4-2\gamma)=\sigma_{2}(-1 -\alpha+2\gamma)=\sigma^{2}_{2}(\beta), \\ \sigma_{3}(\gamma)=\gamma=\sigma_{2}(2-\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\gamma). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует $\mu_4$ такое, что
$$
\begin{equation*}
G_{7}\mathbf{l}_3= \begin{pmatrix} 1 \\ 3-\beta- 2\gamma \\ \alpha \\ 2- \gamma \end{pmatrix}=\mu_4\begin{pmatrix} 1 \\ \sigma_{4}(\alpha) \\ \sigma_{4}(\beta) \\ \sigma_{4}(\gamma) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_4=1, \qquad \sigma_{4}(\alpha)=3-\beta- 2\gamma=-1 -\beta+(4-2\gamma)= \sigma_{2}(-1 -\alpha+2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\alpha), \\ \sigma_{4}(\beta)=\alpha=3 -(-\alpha+2\gamma-1)-(4- 2\gamma)=\sigma_{2}(3 -\beta-2\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\beta), \\ \sigma_{4}(\gamma)=2- \gamma=\sigma_{2}(\gamma)=\sigma^{3}_{2}(\gamma), \qquad \operatorname{Tr}(\alpha)=2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $\operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4) \in \mathbf{CF}_{7}$, так как числа $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ образуют базис поля $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta, \gamma)$.
Лемма 5 доказана. Обозначим также для каждого $i=1,\dots,7$ через $\overline{\mathbf{CF}}_i$ образ $\mathbf{CF}_i$ при действии группы $\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$:
$$
\begin{equation*}
\overline{\mathbf{CF}}_i= \bigl\{ \operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3' \mid \exists\, X\in\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z}):X(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4))\in\mathbf{CF}_i \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Для дроби $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3$ выполняется условие i) теоремы 2 тогда и только тогда, когда $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$ принадлежит классу $\overline{\mathbf{CF}}_i$, где $i\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Доказательство. Для любого $X\in\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$ гиперболичность оператора $A\in\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$ равносильна гиперболичности оператора $XAX^{-1}$. При этом собственные подпространства гиперболического оператора однозначно восстанавливаются по любому его собственному вектору. Остается воспользоваться определением эквивалентности из § 1.
Лемма доказана. Теорему 2 при помощи леммы 6 можно переформулировать следующим образом. Дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3$ имеет собственную циклическую симметрию $G$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$ принадлежит одному из классов $\overline{\mathbf{CF}}_i$, где $i\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Доказательство теоремы 2. Если дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)$ принадлежит какому-то $\overline{\mathbf{CF}}_i$, то по лемме 5 она имеет собственную циклическую симметрию $G$, ибо действие оператора из $\operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$ сохраняет свойство существования у алгебраической цепной дроби собственной циклической симметрии.
Обратно, пусть дробь $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\mathfrak{A}_3$ имеет собственную циклическую симметрию $G$ с неподвижной точкой на некотором парусе $\partial(\mathcal{K}(C)) \in \operatorname{CF}(l_1, l_2, l_3, l_4)$. Рассмотрим точки $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$, $\mathbf z_4$ из леммы 4. Обозначим также через $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$, $\mathbf{e}_4$ стандартный базис $\mathbb{R}^4$. Для точек $\mathbf z_1$, $\mathbf z_2$, $\mathbf z_3$, $\mathbf z_4$ выполняется хотя бы одно из утверждений 1)–7) леммы 4. Пусть выполняется утверждение 1) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{1} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_{1}\biggl(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3, \frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4})\biggr) =(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{1}(\mathbf{z}_4)=X_{1}\biggl(4\cdot\frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1} +\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4})- \mathbf{z}_1-\mathbf{z}_2-\mathbf{z}_3\biggr) =\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3, \\ X_{1}GX_{1}^{-1}=G_{1}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{1}GX_{1}^{-1}(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1- \mathbf{e}_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{1}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{1}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_1$.
Пусть выполняется утверждение 2) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{2} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_{2}(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \mathbf{z}_3, \mathbf{z}_{4})=(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $X_{2}GX_{2}^{-1}=G_{2}$, так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
X_{2}GX_{2}^{-1}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2) =( \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{2}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{2}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_2$.
Пусть выполняется утверждение 3) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{3} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_{3}\biggl(\mathbf{z}_1, \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}), \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3}), \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{4})\biggr) =(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2 ).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{3}(\mathbf{z}_2)=X_{3}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_1 +\mathbf{z}_2)-\mathbf{z}_1\biggr)=\mathbf{e}_1+ 2\mathbf{e}_4, \\ X_{3}(\mathbf{z}_3)=X_{3}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_3)-\mathbf{z}_1\biggr) = \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_3, \\ X_{3}(\mathbf{z}_4)= X_{3}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{4})-\mathbf{z}_1\biggr) =\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2, \\ X_{3}GX_{3}^{-1}=G_{3}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
X_{3}GX_{3}^{-1}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2) =(\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{3}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{3}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_3$.
Пусть выполняется утверждение 4) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{4} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & X_{4}\biggl(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \frac{1}{2}(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_3), \frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4})\biggr) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1 -\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{4}(\mathbf{z}_3)=X_{4}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_3)- \mathbf{z}_1\biggr) =\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \\ X_{4}(\mathbf{z}_4)= X_{4}\biggl(4\cdot\frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3} +\mathbf{z}_{4})-\mathbf{z}_1-\mathbf{z}_2- \mathbf{z}_3\biggr) =\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_4, \\ X_{4}GX_{4}^{-1}=G_{4}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{4}GX_{4}^{-1}(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1 -\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_4) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1 -\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1- \mathbf{e}_2-\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{4}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{4}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_4$.
Пусть выполняется утверждение 5) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{5} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_{5}\biggl(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2, \frac{1}{2}(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_3), \frac{1}{2}(\mathbf{z}_2+\mathbf{z}_4)\biggr)=(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{5}(\mathbf{z}_3)=X_{5}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_3)-\mathbf{z}_1\biggr) =\mathbf{e}_1+ 2\mathbf{e}_3, \\ X_{5}(\mathbf{z}_4)=X_{5}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_2+\mathbf{z}_4)-\mathbf{z}_2\biggr) = \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4, \\ X_{5}GX_{5}^{-1}=G_{5}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{5}GX_{5}^{-1}(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4) \\ &\qquad=( \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{5}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{5}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_5$. Пусть выполняется утверждение 6) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{6} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
X_{6}\biggl(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_{2}, \mathbf{z}_{3}, \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4}- \mathbf{z}_{2})\biggr) =(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{6}(\mathbf{z}_4)=X_{6}\biggl(2\cdot\frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4} -\mathbf{z}_{2})- \mathbf{z}_1+\mathbf{z}_2-\mathbf{z}_3\biggr) =\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3, \\ X_{6}GX_{6}^{-1}=G_{6}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{6}GX_{6}^{-1}(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3+\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{6}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{6}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_6$. Пусть выполняется утверждение 7) леммы 4. Рассмотрим такой оператор $X_{7} \in \operatorname{GL}_4(\mathbb{Z})$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{7}\biggl(\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_{2}, \mathbf{z}_{3}, \frac{1}{2}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2})+\frac{1}{4}(\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{4}-\mathbf{z}_{3}- \mathbf{z}_{2})\biggr) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X_{7}(\mathbf{z}_4)= X_{7}\biggl(4\cdot\frac{3\mathbf{z}_1+\mathbf{z}_2-\mathbf{z}_3+\mathbf{z}_4}{4} -3\mathbf{z}_1-\mathbf{z}_2+\mathbf{z}_3\biggr) = \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \\ X_{7}GX_{7}^{-1}=G_{7}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так как по лемме 4
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &X_{7}GX_{7}^{-1}(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3) \\ &\qquad=(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_4, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3+2\mathbf{e}_4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, $X_{7}(\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)) \in \mathbf{CF}_{7}$, т.е. $\operatorname{CF}(l_1,l_2,l_3,l_4)\in\overline{\mathbf{CF}}_7$. Теорема 2 доказана. БлагодарностиАвтор выражает благодарность О. Н. Герману за постоянный интерес к настоящей работе и многочисленные, исключительно важные обсуждения результатов. Автор является победителем конкурса Junior Leader Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС” и хотел бы поблагодарить жюри и спонсоров конкурса. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tly22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|