| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Тонкие исключительные множества проблем Варинга–Гольдбаха для квадратов и кубов простых чисел С. Хань, Х. Лю School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University, Jinan, P.R. China
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9689e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеЗнаменитая проблема Варинга со смешанными степенями связана с разрешимостью уравнения в натуральных числах $n_1, \dots, n_s$ для достаточно большого целого числа $n$, где $k_1, \dots, k_s$ – целые числа и $k_s\geqslant \dots\geqslant k_2 \geqslant k_1\geqslant 2$. Результаты такого рода малоизвестны. Подробности см. в [1]–[4].В 1969 г. Вон (см. [5]) доказал, что любое достаточно большое целое число $n$ можно представить в виде суммы двух квадратов и четырех кубов натуральных чисел, установив, что
$$
\begin{equation}
\Xi(n)=\frac{\Gamma^2(3/2)\Gamma^4(4/3) }{\Gamma(7/3)} \mathfrak{S}^*(n)n^{4/3}+ O(n^{4/3-1/48+\varepsilon}),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\Xi(n)$ – количество представлений числа $n$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, n_1^{2}+n_2^{2}+n_3^{3}+n_4^{3}+n_5^{3}+n_6^3, \\ \mathfrak{S}^*(n)=\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^{6}}\sum_{\substack{a=1 \\ (a, q)=1}}^{q} \biggl(\sum_{r_{1}=1}^{q}e\biggl(\frac{ar_{1}^{2} }{q}\biggr)\biggr)^{2} \biggl(\sum_{r_{2}=1}^{q}e\biggl(\frac{ar_{2}^{3} }{q}\biggr)\biggr)^{4}e \biggl(-\frac{an}{q}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Под влиянием работ Виноградова [6] и Хуа [7] многие исследователи стали изучать проблему Варинга–Гольдбаха, ограничиваясь простыми числами $p_1, \dots, p_s$ вместо натуральных чисел $n_1, \dots, n_s$ и накладывая некоторые локальные условия на $n$. Принимая во внимание результат Вона, разумно предположить, что каждое достаточно большое четное целое число $n$ можно представить в виде суммы двух квадратов и четырех кубов простых чисел, т.е. Сейчас эта гипотеза выглядит недосягаемой. Однако некоторые близкие вопросы в этом направлении были изучены. Обозначим через $P_r$ почти простое число с не более чем $r$ простыми множителями с учетом кратности. Под влиянием работ Брюдерна [8], [9], в которых сочетались методы решета и метод Харди–Литтлвуда, Кай (см. [10]) доказал, что все достаточно большие четные числа $n$ можно представить в виде где $x$ – число типа $P_3$.Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathscr{E}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon 2\mid n, \, n\neq p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{3} +p_{4}^{3}+p_{5}^{3}+p_{6}^{3}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Пусть $E(N)$ обозначает мощность множества $\mathscr{E}\cap(0,N]$. Недавно Ю. Х. Лю (см. [11]) рассмотрел множество исключительных значений для представления (1.3) и доказал, что для любого $\varepsilon>0$ В настоящей статье мы улучшим полученный выше результат Лю, установив следующую теорему. Для сравнения: $1/4=0.25$, а $1/12=0.0833\dots$ . Легко видеть, что теорема 1 улучшает результат Лю в 3 раза. Также интересно рассмотреть вариант задачи с заменой одного квадрата простого числа в (1.3) кубом простого числа, т.е.
$$
\begin{equation*}
n=p_{1}^{2}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}+p_{6}^{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
В 2014 г. Кай (см. [12]) доказал, что любое достаточно большое четное число $n$ можно представить в виде где $x$ – число типа $P_{36}$. Позже почти простое число $P_{36}$ было улучшено до $P_{6}$ Ли и Чжаном (см. [13]). Положим
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_1=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon 2\mid n,\, n\neq p_{1}^{2}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}+p_{6}^{3}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Пусть $E_1(N)$ обозначает мощность множества $\mathscr{E}_1\cap(0,N]$. Применяя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, можно доказать следующую теорему. Мы установим теоремы 1 и 2 методом Харди–Литтлвуда. При этом мы воспользуемся результатами работ Кавады и Вули [14] (см. леммы 1–3 ниже) и Чжао [15] (см. лемму 9). В отличие от работы [11], мы сначала рассматриваем проблему Варинга–Гольдбаха, связанную с теоремами 1 и 2, но для меньшего количества слагаемых. Мы установим результат об исключительном множестве для этой проблемы Варинга–Гольдбаха с меньшим количеством слагаемых. Затем с помощью рассуждений из работ [14] и [15] мы сможем улучшить наш результат. В связи с тем, что доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, мы приводим лишь набросок ее доказательства в § 5. В § 2 дается доказательство теоремы 1. В § 3 и § 4 мы приводим некоторые леммы и доказательство предложения 2 соответственно. Обозначения. В статье символ $p$ с нижним индексом или без него всегда обозначает простое число. Символ $\varepsilon$ обозначает достаточно малую положительную постоянную, не обязательно одну и ту же в каждом случае. Мы используем обозначение $\chi \ (\operatorname{mod} q)$ для характеров Дирихле по модулю $q$, а $\chi^{0}\ (\operatorname{mod} q)$ обозначает главный характер. Выражения $f(x)\ll g(x)$ и $f(x)\asymp g(x)$ означают, что $f(x)=O(g(x))$ и $f(x)\ll g(x)\ll f(x)$ соответственно; $d(n)$ – функция делителей. Буква $c$ с нижними или верхними индексами или без них всегда обозначает положительную постоянную. Как обычно, мы сокращаем $e^{2\pi ix}$ и $\log N$ до $e(x)$ и $L$ соответственно. § 2. Предварительные и общие сведения о методеЧтобы разъяснить следующие ниже леммы 1–3, нам необходимо ввести еще некоторые обозначения. Пусть $N$ – достаточно большое натуральное число, и пусть $\mathbf{A}$ является подмножеством $\mathbb{N}$. Через $\overline{\mathbf{A}}$ обозначим дополнение $\mathbb{N}\setminus \mathbf{A}$ к $\mathbf{A}$ в $\mathbb{N}$. Для интервала $(a, b]$ общего вида обозначим через $(\mathbf{A})_{a}^{b}$ множество $\mathbf{A}\cap(a, b]$ и через $|\mathbf{A}|_{a}^{b}$ – мощность этого множества. Пусть $|\overline{\mathbf{A}}|_{a}^{b}$ – количество натуральных чисел в интервале $(a,b]$, не принадлежащих $\mathbf{A}$. Для $\mathbf{A},\mathbf{B}\subseteq\mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}\pm\mathbf{B}=\bigl\{a\pm b\colon a\in\mathbf{A},\ b\in\mathbf{B}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $k\in\mathbb{N}$ подмножество $\mathbf{Q}$ множества $\mathbb{N}$ назовем подмножеством $k$-х степеней высокой плотности, если: (i) $\mathbf{Q}\subseteq\{n^{k},\ n\in\mathbb{N}\}$; (ii) $|\mathbf{Q}|_{0}^{N}>N^{1/k-\varepsilon}$. При $\theta>0$ множество $\mathbf{R}\subseteq\mathbb{N}$ имеет по определению показатель роста дополнительной плотности меньше $\theta$, если существует такое положительное число $\delta$, что $|\overline{\mathbf{R}}|<N^{\theta-\delta}$. При $q\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{a}\in \{0,1,\dots,q-1\}$ символ $\mathcal{P}_{\mathbf{a}}=\mathcal{P}_{\mathbf{a},q}$ обозначает множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\mathbf{a},q}=\{\mathbf{a}+mq\colon m\in\mathbb{Z}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы назовем множество $\mathbf{L}$ объединением арифметических прогрессий с разностью $q$, если
$$
\begin{equation*}
\mathbf{L}=\bigcup_{\mathbf{l}\in\mathfrak{L}}P_{\mathbf{l},q}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого подмножества $\mathfrak{L}$ в $\{0,1,\dots,q-1\}$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{C}\wedge\mathbf{L}\rangle_{a}^{b} =\min_{\mathbf{l}\in\mathfrak{L}}|\mathbf{C}\cap P_{\mathbf{l},q}|_{a}^{b},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{C}\subseteq\mathbb{N}$ и $a,b\in\mathbb{Z}$. Если $k\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{L}$ является объединением арифметических прогрессий с разностью $q$, то подмножество $\mathbf{Q}$ множества $\mathbb{N}$ является подмножеством высокой плотности $k$-х степеней относительно $\mathbf{L}$, если: (i) $\mathbf{Q}\subseteq\{n^{k},\ n\in\mathbb{N}\}$; (ii) $\langle \mathbf{Q} \wedge \mathbf{L} \rangle_{0}^{N} \gg_{q}N^{1/k-\varepsilon}$. При $\theta>0$ скажем, что множество $\mathbf{R}\subseteq\mathbb{N}$ имеет показатель роста дополнительной $\mathbf{L}$-плотности меньше $\theta$, если $|\overline{\mathbf{R}}\cap\mathbf{L}|_{0}^{N}<N^{\theta-\delta}$. Лемма 1 (см. [14; теорема 1.2]). Пусть $\mathbf{S}$ – подмножество квадратов высокой плотности, и пусть $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$ имеет показатель роста дополнительной плотности меньше $1$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ и достаточно большого натурального $N$, зависящего от $\varepsilon$, Лемма 2 (см. [14; теорема 2.2]). Пусть $\mathbf{L}$, $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ – объединения арифметических прогрессий с разностью $q$, где $q$ – натуральное число, и пусть $\mathbf{N}\subseteq\mathbf{L}+\mathbf{M}$. Предположим также, что $\mathbf{S}$ – подмножество квадратов высокой плотности относительно $\mathbf{L}$ и что $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$ имеет показатель роста дополнительной $\mathbf{M}$-плотности меньше $1$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ и достаточно большого натурального $N$, зависящего от $\varepsilon$, Лемма 3 (см. [14; теорема 1.3, (а)]). Пусть $\mathbf{C}$ – подмножество кубов высокой плотности, и пусть $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$ имеет показатель роста дополнительной плотности, меньший некоторого положительного $\theta$. Тогда для любых $\varepsilon>0$ и достаточно большого натурального числа $N$, зависящего от $\varepsilon$, Чтобы доказать теорему 1, мы сначала используем метод Харди–Литтлвуда для исследования проблемы представления Пусть $N$ – достаточно большое натуральное число и
$$
\begin{equation}
P=N^{3/20-2\varepsilon}, \qquad Q=N^{17/20+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
По лемме Дирихле о рациональной аппроксимации каждое число $\alpha\in[1/Q, 1+1/Q]$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\alpha=\frac{a}{q}+\lambda, \qquad |\lambda|\leqslant \frac{1}{qQ},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a$, $q$ – целые числа, причем $1\leqslant a\leqslant q\leqslant Q$ и $(a,q)=1$. Введем множества
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}=\bigcup_{q\leqslant P}\bigcup_{\substack{1\leqslant a\leqslant q \\ (a,q)=1}}\mathfrak{M}(q,a), \qquad \mathfrak{m} =\biggl[\frac{1}{Q},1+\frac{1}{Q}\biggr]\setminus\mathfrak{M},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}(q,a)=\biggl[\frac{a}{q}-\frac{1}{qQ},\frac{a}{q}+\frac{1}{qQ}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=2,3$ и $P_{k}=(N/16)^{1/k}$ положим
$$
\begin{equation}
f_{k}(\alpha)=\sum_{P_{k}<p\leqslant 2P_{k}}(\log p)e(p^{k}\alpha).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
r(n)=\sum_{\substack{n=p_{1}^{2}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}\\ P_{2}<p_{1}\leqslant 2P_{2}\\ P_{3}<p_{2},p_{3},p_{4}\leqslant 2P_{3}}}\prod_{j=1}^{4}\log p_{j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду ортогональности с учетом (2.2) имеем
$$
\begin{equation}
r(n)=\int_{0}^{1}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha)e(-n\alpha)\,\mathrm{d}\alpha =\biggl\{\int_{\mathfrak{M}} +\int_{\mathfrak{m}}\biggr\}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha)e(-n\alpha)\,\mathrm{d}\alpha.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Введем величину
$$
\begin{equation*}
C_{k}(\chi,a)=\sum_{h=1}^{q}\overline{\chi(h)}e\biggl(\frac{ah^{k}}{q}\biggr), \qquad C_{k}(q,a)=C_{k}(\chi^{0},a),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi\ (\operatorname{mod} q)$ – характер Дирихле и $k=2,3$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag B(n,q)=\sum_{\substack{1\leqslant a\leqslant q\\(a,q)=1}} C_{2}(q,a)C_{3}(q,a)C_{3}(q,a)C_{3}(q,a)e\biggl(-\frac{an}{q}\biggr), \\ A(n,q)=\frac{B(n,q)}{\varphi^{4}(q)}, \qquad \mathfrak{S}(n)=\sum_{q=1}^{\infty}A(n,q). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Предложение 1. Пусть величины $P$, $Q$ и множество $\mathfrak{M}$ определены в (2.1) и (2.2) соответственно. Для чисел $n\in[N/4,N]$ и любого $A>0$ имеем Доказательство предложения 1 проводится стандартным применением итерационных рассуждений Лю и Чжаня (см. [16], [17] и др.). Поэтому здесь мы опускаем это доказательство. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \mathscr{E}_{*}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv0\ (\operatorname{mod} 2),\ n\neq p_{1}^{2}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}\bigr\}, \\ \notag \mathscr{E}_{**}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv1\ (\operatorname{mod} 2),\ n\neq p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}\bigr\}, \\ E_{*}(N)=|\mathscr{E}_{*}|_{0}^{N}, \qquad E_{**}(N)=|\mathscr{E}_{**}|_{0}^{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Предложение 2. Пусть величина $E_{*}(N)$ определена в (2.9). Тогда Мы докажем это предложение в § 4. Доказательство теоремы 1. Пусть целые числа $N_{j}$ при $j>0$ определяются по следующей итерационной формуле: где $\lceil N \rceil$ обозначает наименьшее целое число, не меньшее $N$. Кроме того, пусть $J$ – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $N_{J}=2$, так что $J=O(L)$.
Введем следующие множества:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{A}_{1}=\bigl\{p_{1}^{2}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}\bigr\}, \qquad \mathbf{S}_{1}=\{p^{2}\}, \qquad \mathbf{L}_{1}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv1\ (\operatorname{mod}{24})\bigr\}, \\ \mathbf{M}_{1}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv0\ (\operatorname{mod} 2)\bigr\}, \qquad \mathbf{N}_{1}=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv1\ (\operatorname{mod} 2)\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $\mathbf{L}_{1}$ является объединением арифметических прогрессий с разностью $24$, а $\mathbf{M}_{1}$ и $\mathbf{N}_{1}$ являются объединениями арифметических прогрессий с разностью $2$, которые удовлетворяют условию $\mathbf{N}_{1}\subseteq\mathbf{L}_{1}+\mathbf{M}_{1}$. Теперь из теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях мы выводим оценку
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{S}_{1}\wedge\mathbf{L}_{1}\rangle_{0}^{N}\gg N^{1/2}L^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $\mathbf{S}_{1}$ является подмножеством квадратов высокой плотности относительно $\mathbf{L}_{1}$. Используя предложение 2, мы получаем
$$
\begin{equation*}
|\overline{\mathbf{A}_{1}}\cap\mathbf{M}_{1}|_{0}^{N} =E_{*}(N)\ll N^{1-1/12+\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $\mathbf{A}_{1}$ имеет показатель роста дополнительной $\mathbf{M}_{1}$-плотности меньше $1$. По лемме 2 получаем
$$
\begin{equation*}
|\mathscr{E}_{**}|_{2N}^{3N}\ll N^{\varepsilon-1/2}|\mathscr{E}_{*}|_{N}^{3N} \ll N^{\varepsilon-1/2}E_{*}(3N)\ll N^{1/2-1/12+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.10) следует, что
$$
\begin{equation}
E_{**}(N)\leqslant 3+\sum_{j=1}^{J}|\mathscr{E}_{**}|_{2N_{j}}^{3N_{j}} \ll N^{1/2-1/12+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Аналогично, пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}_{2}=\bigl\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}\bigr\}, \qquad \mathbf{C}_{2} =\{p^{3}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из теоремы о простых числах мы выводим, что и, следовательно, $\mathbf{C}_{2}$ является подмножеством кубов высокой плотности. Из (2.11) получаем
$$
\begin{equation*}
|\overline{\mathbf{A}_{2}}|_{0}^{N}\ll N^{1/2-1/12+\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом, $\mathbf{A}_{2}$ имеет показатель роста дополнительной плотности меньше $1/2$. По лемме 3 и (1.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathscr{E}|_{2N}^{3N}&\ll N^{\varepsilon-1/3}|\mathscr{E}_{**}|_{2N}^{3N} +N^{\varepsilon-1}(|\mathscr{E}_{**}|_{N}^{3N})^{2} \\ &\ll N^{\varepsilon-1/3}E_{**}(3N)+N^{\varepsilon-1}E_{**}^{2}(3N) \ll N^{1/6-1/12+\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из (2.10) мы выводим оценку
$$
\begin{equation*}
E(N)\leqslant 3+\sum_{j=1}^{J}|\mathscr{E}|_{2N_{j}}^{3N_{j}}\ll N^{1/6-1/12 +\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует теорема 1.
Теорема 1 доказана. § 3. Некоторые леммы Лемма 4 (см. [18; теорема 1.1]). Пусть $\alpha$ – вещественное число, и пусть где Лемма 5. Пусть $\alpha$ – вещественное число, и предположим, что существуют такие целые числа $a\in\mathbb{Z}$ и $q\in\mathbb{N}$, что Оценка сверху для $f_{2}(\alpha)$ и $f_{3}(\alpha)$ может быть извлечена из теоремы $3$ работы Кумчева [19] и леммы 2.3 работы Чжао [20] соответственно. Введем множества
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{N}(q,a)=\biggl[\frac{a}{q}-\frac{1}{qN^{5/6}},\,\frac{a}{q}+\frac{1}{qN^{5/6}}\biggr], \qquad \mathfrak{N}=\bigcup_{q\leqslant N^{1/6}}\bigcup_{\substack{1\leqslant a\leqslant q\\ (a,q)=1}}\mathfrak{N}(q,a).
\end{equation*}
\notag
$$
Если обозначить
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_{1}=\mathfrak{m}\cap\mathfrak{N}, \qquad \mathfrak{m}_{2}=\mathfrak{m}\setminus\mathfrak{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то получим Доказательство. Для $\alpha\in \mathfrak{m}_{1}$ имеем
$$
\begin{equation*}
1 \leqslant a \leqslant q \leqslant N^{1/6}, \qquad |q \alpha-a| \leqslant N^{-5/6}, \quad (a,q)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\alpha\notin \mathfrak{M}$, то либо $q>P$, либо $|q\alpha-a|>Q^{-1}$. Применяя лемму 4, получаем оценку сверху для $f_{3}(\alpha)$. Лемма доказана. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
1 \leqslant a \leqslant q \leqslant N^{1/2}, \qquad|q \alpha-a| \leqslant N^{-1/2}, \quad(a, q)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\alpha\in\mathfrak{m}_{2}=\mathfrak{m}\setminus\mathfrak{N}$, то либо $q>N^{1/6}$, либо $N|q\alpha-a|>N^{1/6}$. Применяя лемму 5, получаем оценки сверху для $f_{2}(\alpha)$ и $f_{3}(\alpha)$. Лемма доказана. Мы можем вывести этот результат из леммы Хуа. Мы также можем извлечь его из леммы $2.6$ работы Чжао [21]. Лемма 9 (см. [15; лемма 3.1]). При $k\geqslant 3$ пусть $\mathscr{M}$ – объединение интервалов $\mathscr{M}(q,a)$, где Лемма 10. Для $\gamma\in\mathbb{R}$ введем функцию Мы можем получить эту лемму, взяв $k=3$ и $P=Q=P_{3}$ в лемме $2.2$ работы Чжао [15]. § 4. Доказательство предложения 2В этом параграфе мы приведем доказательство предложения 2. Пусть
$$
\begin{equation*}
U(-\alpha)=\sum_{n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}}e(-n\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что для всех $n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}$ в силу (2.4) выполнено $r(n)=0$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0&=\sum_{n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}}r(n) =\sum_{n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}}\int_{0}^{1}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha) e(-n\alpha)\,\mathrm{d}\alpha \\ &=\biggl\{\int_{\mathfrak{M}}+\int_{\mathfrak{m}}\biggr\}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha) U(-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Применяя предложение 1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathfrak{M}}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha)U(-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha =\sum_{n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}} \int_{\mathfrak{M}}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha)e(-n\alpha)\,\mathrm{d}\alpha \\ &\qquad =\sum_{n\in(\mathscr{E}_{*})_{0}^{N}}\biggl\{\frac{1}{54}\mathfrak{S}(n)\mathfrak{J}(n) +O(N^{1/2}L^{-A})\biggr\} \gg E_{*}(N)N^{1/2-\varepsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (4.1) это дает
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\mathfrak{m}}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha) U(-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\biggr|\gg E_{*}(N)N^{1/2-\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
С другой стороны, по неравенству Коши
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl|\int_{\mathfrak{m}}f_{2}(\alpha)f_{3}^{3}(\alpha)U(-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\biggr| &\ll\biggl(\int_{\mathfrak{m}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{6}(\alpha)| \,\mathrm{d}\alpha\biggr)^{1/2} \biggl(\int_{\mathfrak{m}}|U(-\alpha)|^{2}\,\mathrm{d}\alpha\biggr)^{1/2} \\ &\ll \biggl(\int_{\mathfrak{m}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{6}(\alpha)| \,\mathrm{d}\alpha\biggr)^{1/2}E_{*}^{1/2}(N). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}(t)=\int_{\mathfrak{m}_{2}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{t}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha, \qquad 1\leqslant t\leqslant 6.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая
$$
\begin{equation*}
g(\alpha)=f_{3}(\alpha), \qquad h(\alpha)=f_{3}(-\alpha), \qquad G(\alpha)=|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{4}(\alpha)|
\end{equation*}
\notag
$$
в лемме 9, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathscr{J}(6) &=N^{1/3}\mathscr{J}_{0}^{1/4} \biggl(\int_{\mathfrak{m}_{2}}|f_{2}^{4}(\alpha)f_{3}^{8}(\alpha)|\, \mathrm{d}\alpha\biggr)^{1/4}\mathscr{J}^{1/2}(5) +N^{7/24+\varepsilon}\mathscr{J}(5) \\ &=:H_{1}+H_{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathscr{J}_{0}=\sup_{\beta\in[0,1)}\sum_{q\leqslant P_{3}^{3/4}} \sum_{\substack{1\leqslant a\leqslant q\\ (a,q)=1}}\int_{\mathscr{M}(q,a)} \frac{\omega_{3}^{2}(q)|h^{2}(\alpha+\beta)|}{(1+P_{3}^{3}|\alpha-a/q|)^{2}}\,\mathrm{d}\alpha, \\ \mathscr{M}(q,a)=\bigl\{\alpha\colon |q\alpha-a|\leqslant P_{3}^{-9/4}\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись леммой 10, получим
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}_{0}\ll \mathcal{L}(\gamma)\ll P_{3}^{2}N^{-1+\varepsilon} \ll N^{-1/3+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Для $\mathscr{I}(5)$ по неравенству Коши и лемме 8 имеем
$$
\begin{equation}
\mathscr{J}(5)\leqslant \mathscr{J}^{1/2}(6) \biggl(\int_{\mathfrak{m}_{2}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{4}(\alpha)| \,\mathrm{d}\alpha\biggr)^{1/2}\ll N^{2/3+\varepsilon}\mathscr{J}^{1/2}(6).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
К интегралу в (4.4) применим лемму 7, что дает
$$
\begin{equation}
\int_{\mathfrak{m}_{2}}|f_{2}^{4}(\alpha)f_{3}^{8}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha \ll \mathscr{J}(6)\sup_{\alpha\in\mathfrak{m}_{2}}f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{2}(\alpha) \ll N^{107/72+\varepsilon}\mathscr{J}(6).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Из (4.5)–(4.7) мы выводим оценку
$$
\begin{equation}
H_{1}\ll N^{275/288+\varepsilon}\mathscr{J}^{1/2}(6).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (4.6) следует, что Подставляя (4.8) и (4.9) в (4.4), мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\mathscr{J}(6)\ll N^{{275}/{288}+\varepsilon}\mathscr{J}^{1/2}(6) +N^{{23}/{24}+\varepsilon}\mathscr{J}^{1/2}(6).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому Применяя леммы 6 и 8 для оценки $\displaystyle\int_{\mathfrak{m}_{1}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3} ^{6}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha$, получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathfrak{m}_{1}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{6}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha \ll\sup_{\alpha\in\mathfrak{m}_{1}}|f_{3}^{2}(\alpha)| \int_{0}^{1}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{4}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha \ll N^{{28}/{15}+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Из (3.2), (4.10) и (4.11) выводим оценку
$$
\begin{equation}
\int_{\mathfrak{m}}|f_{2}^{2}(\alpha)f_{3}^{6}(\alpha)|\,\mathrm{d}\alpha \ll N^{{23}/{12}+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Подставляя (4.2) и (4.12) в (4.3), мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{*}(N)N^{1/2-\varepsilon}\ll (N^{{23}/{12} +\varepsilon})^{1/2}E_{*}^{1/2}(N), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что Это завершает доказательство предложения 2.
§ 5. Схема доказательства теоремы 2Аналогично доказательству теоремы 1 мы доказываем теорему 2. Сначала рассмотрим кубическую проблему Варинга–Гольдбаха представления целого числа в виде Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathscr{E}_{2} &=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon n\equiv 1\ (\operatorname{mod} 2),n\not\equiv 0, \pm2\ (\operatorname{mod} 9), n\not\equiv 0\ (\operatorname{mod} 7), \\ &\qquad n\neq p_{1}^{3}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $E_{2}(N)$ обозначает мощность множества $\mathscr{E}_{2}\cap(0,N]$. Чжао (см. [15]) доказал, что Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbf{A}=\bigl\{p_{1}^{3}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}+p_{5}^{3}\bigr\}, \qquad \mathbf{S}=\{p^{2}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказательству теоремы 1 получаем
$$
\begin{equation*}
|\overline{\mathbf{A}}|_{0}^{N}\ll N^{1-1/12+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 1
$$
\begin{equation*}
|\mathscr{E}_1|_{2N}^{3N}\ll N^{1/2-1/12+\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где множество $\mathscr{E}_1$ определено в (1.5). Из (2.10) следует, что
$$
\begin{equation*}
E_{1}(N)\ll \sum_{j=1}^{J}|\mathscr{E}|_{2N_{j}}^{3N_{j}} \ll N^{1/2-1/12+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство теоремы 2. БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензентам за многочисленные полезные комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{HanLiu23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|