| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Представление инвариантных подпространств в пространстве Шварца Н. Ф. Абузяроваab a Башкирский государственный университет, г. Уфа b Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9687e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $(a,b)$ – конечный или бесконечный интервал вещественной прямой, $\mathcal E(a,b) =C^{\infty} (a,b)$ – пространство Шварца, наделенное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств $C^k [a_k,b_k]$, где $[a_1,b_1]\Subset [a_2,b_2]\,{\Subset}\, {\dotsb}$ – какая-нибудь последовательность отрезков, исчерпывающая $(a,b)$. Известно, что $\mathcal E(a,b)$ – рефлексивное пространство Фреше. Обозначим через $W$ замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования $D={\mathrm{d}}/{\mathrm{d}t}$ (короче, $D$-инвариантное) подпространство этого пространства. Напомним, что резидуальный промежуток $I_W$ подпространства $W$ определяется как минимальный из всех относительно замкнутых в $(a,b)$ непустых промежутков $I$ со свойством: $W_{I}\subset W$, где
$$
\begin{equation}
W_I=\{ f\in\mathcal E(a,b)\colon f^{(k)}(t)=0,\ t\in I, \ k=0,1, 2, \dots\}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Существование $I_W$ впервые было установлено в [1; теорема 4.1]; этот факт также нетрудно вывести из общей двойственной схемы, примененной нами при исследовании задачи спектрального синтеза для оператора дифференцирования в $\mathcal E (a,b)$ (см. [2], [3; § 2]). Пусть $\Lambda$ – последовательность кратных точек комплексной плоскости с единственной предельной точкой в бесконечности и $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ – последовательность экспоненциальных одночленов, построенная по множеству показателей $(-\mathrm i\Lambda)$: точке $\lambda\in\Lambda$, которая встречается в этой последовательности $k$ раз, соответствует набор функций $e^{-\mathrm{i}\lambda t },te^{-\mathrm{i}\lambda t},\dots,t^{k-1}e^{-\mathrm{i}\lambda t }$. Напомним, что радиус полноты $\rho (\Lambda)$ последовательности $\Lambda$ – это инфимум множества положительных чисел $d$ таких, что система функций $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E (-d,d)$. Если $\rho (\Lambda)<(b-a)/2$, то в $\mathcal E(a,b)$ имеются нетривиальные $D$-инвариантные подпространства $W$, для которых спектр сужения оператора дифференцирования $D\colon W\to W$ дискретен и равен $(-\mathrm{i}\Lambda )$. В этом случае запас всех экспоненциальных одночленов, содержащихся в $W$, есть $\operatorname{Exp} (\Lambda)$. Резидуальный промежуток $I_W$ каждого такого подпространства $W$ удовлетворяет соотношению $|I_W|\geqslant 2 \rho (\Lambda )$, где $|I_W|$ – длина $I_W$. Задача спектрального синтеза для оператора дифференцирования в пространстве Шварца сформулирована в [1; § 6] в виде вопроса о справедливости представления
$$
\begin{equation}
W=\overline{\operatorname{span} \operatorname{Exp} (\Lambda) +W_{I_W}},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\operatorname{span} X$ – линейная оболочка множества $X\subset\mathcal E(a,b)$. Такое представление $D$-инвариантного подпространства $W$ выступает в роли обобщения равенства
$$
\begin{equation}
W= \overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
которое означает, что подпространство $W$ допускает спектральный синтез в классическом смысле. Причиной рассмотрения для $D$-инвариантных подпространств слабого спектрального синтеза (1.2) вместо классического (1.3) является наличие в $\mathcal E(a,b)$ подпространств вида $W_I$ (очевидно, $D$-инвариантных, нетривиальных при $I\neq (a,b)$ и не содержащих экспоненциальных одночленов). Результаты о спектральном синтезе в слабом смысле (1.2) собраны в следующем утверждении. Теорема A (см. [2; следствия 2, 3], [4; теоремы 1.1–1.3]). Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$. 1) Если $|I_W| >2\rho (\Lambda)$, то $W$ допускает слабый спектральный синтез (1.2). 2) Если $|I_W|<2 \rho (\Lambda)$, то $W=\mathcal E(a,b)$. 3) Среди $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\rho (\Lambda)$ имеются как подпространства, допускающие слабый спектральный синтез (1.2), так и не допускающие его. Из теоремы A следует, что $D$-инвариантное подпространство $W$ с конечным спектром допускает слабый спектральный синтез (1.2). Более того, в этом случае $W$ есть прямая сумма (алгебраическая и топологическая) конечномерного подпространства $\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)$ и резидуального подпространства $W_{I_W}$:
$$
\begin{equation}
W=\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda) \oplus W_{I_W},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
(см. [1; предложение 6.1]). Версия слабого спектрального синтеза (1.2) служит вариантом обобщения (1.4) на случай бесконечного дискретного спектра. С другой стороны, в [1; § 6] сформулирован вопрос о справедливости представления в виде прямой (алгебраической и топологической) суммы
$$
\begin{equation}
W=\overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)} \oplus W_{I_W}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
для $D$-инвариантного подпространства $W$ с бесконечным дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным промежутком $I_W$. Однако авторы работы [1] указали, что не знают ответа на этот вопрос. Нам удалось выяснить, что условия справедливости (1.5) для нетривиального $D$-инвариантного подпространства с бесконечным дискретным спектром аналогичны по форме условиям допустимости слабого спектрального синтеза (1.2), приведенным в теореме A. При этом вместо радиуса полноты $\rho(\Lambda )$ нужно использовать другую характеристику последовательности $\Lambda$. Определение этой новой характеристики $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$ дается в § 2. Часть результатов о представлении (1.5) была анонсирована нами недавно в [5]. Параграфы 2 и 3 настоящей работы содержат, в том числе, их развернутое изложение, с полными доказательствами и сопутствующими замечаниями. В заключительном § 4 обсуждаются пограничные ситуации и примеры, иллюстрирующие их, а также свойства $D$-инвариантных подпространств, представимых в виде прямой суммы (1.5). § 2. Формулировка основных результатов2.1. Вспомогательные сведенияНапомним, что алгебра Шварца $\mathcal P$ определяется как образ сильного сопряженного $\mathcal E'$ к пространству $\mathcal E=C^{\infty} (\mathbb R)$ при преобразовании Фурье–Лапласа $\mathcal F$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal P=\mathcal F (\mathcal E'), \quad \text{где }\ \mathcal F (S)=S(e^{-\mathrm itz}), \quad S\in\mathcal E'.
\end{equation*}
\notag
$$
Топология и линейная структура в $\mathcal P$ индуцированы из $\mathcal E'$. Известно также, что $\mathcal P$ есть индуктивный предел счетной последовательности банаховых пространств $\{ P_k\}$, где пространство $P_k$ состоит из всех целых функций $\varphi$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\| \varphi\|_k =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k e^{k|{\operatorname{Im}z}|}}, \qquad k=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, в частности, следует, что $\mathcal P$ – локально выпуклое пространство типа $(\mathrm{LN}^*)$ (см. [6]). Кроме того, операция умножения функций непрерывна в $\mathcal P$, т.е. $\mathcal P$ – топологическая алгебра. Для произвольного промежутка $I\subset \mathbb R$ введем пространство $\mathcal P(I)$, ассоциированное с $I$. Это пространство определяется как индуктивный предел последовательности банаховых пространств $\widetilde{P}_k$. В свою очередь, пространство $\widetilde{P}_k$, $k=1,2,\dots$, состоит из всех целых функций $\varphi$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\| \varphi\|_{I,k} =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k\exp (dy^{+}-cy^{-})}, \qquad y^{\pm}=\max\{ 0,\pm y\}, \quad z=x+\mathrm{i} y,
\end{equation*}
\notag
$$
в случае, когда $I=[c,d]$. Если же, скажем, $I=[c,b)$, то $\widetilde{P}_k$ – пространство целых функций, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\| \varphi\|_{I,k} =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k\exp (d_ky^{+}-cy^{-})}, \qquad y^{\pm}=\max\{ 0,\pm y\}, \quad z=x+\mathrm{i} y,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c<d_1<\dots < d_{k}\nearrow b$, $k\to\infty$. Для промежутков $I$ другого вида все определения даются с очевидными изменениями. Вложения $\widetilde{P}_k\subset \widetilde{P}_{k+1}$ вполне непрерывны, поэтому $\mathcal P(I)$ – локально выпуклое пространство типа $(\mathrm{LN}^*)$. Кроме того, $\mathcal P(I)$ – топологический модуль над кольцом многочленов $\mathbb C[z]$. Алгебра Шварца $\mathcal P$ есть $\mathcal P(\mathbb R)$. Для произвольного промежутка $I\subset\mathbb R$ обозначим через $\mathcal E(I)$ пространство всех бесконечно дифференцируемых на $I$ функций, снабженное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств, аналогично тому, как это было сделано выше для случая $ I=(a,b)$. Например, если $I=[c,d]$, то $\mathcal E(I)$ – проективный предел банаховых пространств $C^k[c,d]$; если $I=[c,d)$, $d<+\infty$, то $\mathcal E(I)$ – проективный предел банаховых пространств $C^k[c,d_k]$, где $c<d_k\nearrow d$, при $k\to\infty$. Пространство $\mathcal E(I) $ и всякое его замкнутое подпространство $W$, снабженное индуцированной из $\mathcal E(I)$ топологией, являются рефлексивными пространствами Фреше. Сильное сопряженное к $\mathcal E(I)$ пространство $\mathcal E'(I)$ состоит из всех распределений $S\in\mathcal E'$, носители которых лежат в $I$. При этом согласно теореме Пэли–Винера–Шварца (см. [7; теорема 7.3.1]) Пусть $W\subset \mathcal E (I)$ – $D$-инвариантное подпространство. Его аннуляторный подмодуль $\mathcal J$ в $\mathcal P(I)$ определяется формулой $\mathcal J=\mathcal F (W^0)$, где
$$
\begin{equation*}
W^0=\{ S\in\mathcal E' (I)\colon S(f)=0\ \forall\, f\in W\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть последовательность $\Lambda\subset\mathbb C$ такова, что система функций $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E(I)$. Положим
$$
\begin{equation}
E(\Lambda, I)=\overline{\operatorname{span}\operatorname{Exp} (\Lambda)}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
(замыкание берется в пространстве $\mathcal E(I)$). Ясно, что $E(\Lambda,I)$ – нетривиальное $D$-инвариантное подпространство в $\mathcal E(I)$, допускающее спектральный синтез. Через $\mathcal J(\Lambda, I)$ обозначим совокупность всех функций $\varphi\in\mathcal P(I)$, обращающихся в нуль на $\Lambda$. Легко видеть, что $\mathcal J(\Lambda, I)$ – локализуемый подмодуль в $\mathcal P(I)$ (см. [8; § 1]). Из двойственной схемы, подробно изложенной нами в [2], [3], следует, что $\mathcal J(\Lambda, I)$ – аннуляторный подмодуль подпространства $E(\Lambda,I)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
(E(\Lambda,I) )^0=\{ S\in\mathcal E' (I)\colon S(f)=0\ \forall\, f\in E(\Lambda,I) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сильное сопряженное к пространству Фреше $E(\Lambda, I)$ есть факторпространство $\mathcal E' (I)/(E(\Lambda,I) )^0 $. Преобразование Фурье–Лапласа $\mathcal F$ позволяет реализовать его как факторпространство целых функций $\mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)$. 2.2. Характеристика $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ и основные результатыДля комплексной последовательности $\Lambda$ через $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda)$ будем обозначать ее плотность Берлинга–Мальявена (см., например, [9; IX.D.2]). Согласно хорошо известной теореме Берлинга–Мальявена о радиусе полноты [9; X.B.3] имеет место равенство Из этого равенства и теоремы Пэли–Винера–Шварца следует, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=+\infty$, если $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой функции $\varphi\in\mathcal P$; в противном случае плотность $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)$ есть инфимум множества всех положительных чисел $c$ таких, что в алгебре $\mathcal P$ имеется функция $\varphi$ экспоненциального типа $\pi c$, обращающаяся в нуль на $\Lambda$.Напомним, что функция $\varphi\in\mathcal P$ называется медленно убывающей (“slowly decreasing function”), если существует $ a>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\forall\, x\in\mathbb R\ \exists\, x'\in\mathbb R\colon |x-x'|\leqslant a\ln(2+|x|), \ |\varphi (x')|\geqslant (2+|x'|)^{-a}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Для дальнейших рассмотрений заметим, что условие (2.2) может быть заменено на следующее, эквивалентное ему, но более общее по форме:
$$
\begin{equation}
\forall\, x\in\mathbb R \quad \exists\, z'\in\mathbb C\colon |x-z'|\leqslant a\ln(2+|x|), \quad |\psi (z')|\geqslant (a+|z'|)^{-a}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(см. [10; § 3]). Медленное убывание $\psi\in\mathcal P$ равносильно тому, что главный идеал, алгебраически порожденный этой функцией в $\mathcal P$, замкнут (см. [10]). Приведем еще одно эквивалентное определение из работы [11]: функция $\varphi\in\mathcal P$ медленно убывающая, если существует постоянная $a_0>0$ такая, что выполнены оба следующих условия: (SD1) каждая связная компонента $L_{\alpha}$ множества
$$
\begin{equation}
L(\varphi, a_0) =\{ z\colon \ln|\varphi (z)|< -a_0 (|{\operatorname{Im}z}|+ \ln (2+|z|))\}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
относительно компактна; (SD2) для любой связной компоненты $L_{\alpha}$ множества $ L(\varphi, a_0)$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
|{\operatorname{Im} \zeta}|+ \ln (2+|\zeta|)\leqslant a_0 (|{\operatorname{Im}z}|+ \ln (2+|z|)), \qquad \zeta, z\in L_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для последовательности $\Lambda\subset \mathbb C$ такой, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<+\infty$, введем еще одну характеристику, которую обозначим $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$. Если $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции $\varphi\in\mathcal P$, то полагаем $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=+\infty$. В противном случае $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ по определению есть инфимум множества всех положительных чисел $c$ таких, что в алгебре $\mathcal P$ имеется медленно убывающая функция экспоненциального типа $\pi c$, равная нулю на $\Lambda$. Как уже было сказано во введении, в вопросе о представлении $D$-инвариантного подпространства с бесконечным дискретным спектром в виде прямой суммы (1.5) величина $\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ играет роль, аналогичную роли радиуса полноты $\rho (\Lambda)$ в теореме A. Теорема 1. I. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$, причем $|I_W|<+\infty$. 1) Если $|I_W|>2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ и выполнены оба соотношения
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{|\lambda_j|}<+\infty, \qquad \varliminf_{j\to\infty} \frac{\operatorname{Im} \lambda_j}{|\lambda_j|}>-\infty,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
то $W$ имеет вид (1.5). 2) Обратно, пусть $W$ имеет вид (1.5). Тогда $|I_W|\geqslant 2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$. При этом если $I_W\Subset (a,b)$, то справедливы оба неравенства (2.5). Если же включение $I_W\subset (a,b)$ не компактно и точка $a$ (либо $b$) – граничная для $I_W$, то справедливо первое (соответственно, второе) из соотношений (2.5). II. Среди $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$ имеются подпространства, как допускающие представление (1.5), так и не допускающие его. Для $D$-инвариантных подпространств с дискретным спектром и резидуальным промежутком бесконечной длины имеет место критерий. Теорема 2. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W =(-\infty,d]$ (либо $I_W=[c,+\infty )$). Представление (1.5) для подпространства $W$ верно тогда и только тогда, когда $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и выполнено первое (соответственно второе) из соотношений (2.5). Следствие 1. Пусть $W$ – $D$-инвариантное подпространство пространства $\mathcal E(a,b)$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$. Если $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=+\infty$, то представление (1.5) не имеет места. § 3. Доказательство теорем 1 и 23.1. Сведение к двойственной интерполяционной задачеРассмотрим в пространстве $\mathcal E(a,b)$ нетривиальное $D$-инвариантное подпространство $W$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda) $ и резидуальным промежутком $I_W$. Пусть $U\colon E(\Lambda, (a,b))\to E(\Lambda, I_W)$ – оператор сужения, ставящий в соответствие каждой функции $f\in E(\Lambda, (a,b))$ ее сужение на промежуток $I_W$; здесь подпространство $E(\Lambda,I_W)$ определяется формулой (2.1) по последовательности $\Lambda $ и промежутку $I_W$. Предложение 1. Для того чтобы $D$-инвариантное подпространство $W$, допускающее слабый спектральный синтез (1.2), представлялось в виде прямой суммы (1.5), необходимо и достаточно, чтобы оператор сужения был линейным топологическим изоморфизмом. Доказательство. Заметим, что в силу хорошо известного результата о единственности периодического в среднем продолжения функции (см. [12; § 1], [13; § 9]) подпространство $W_{I_W}\cap E(\Lambda, (a,b))$ тривиально. Следовательно, алгебраическая сумма подпространств $W_{I_W}$ и $E(\Lambda, (a,b))$ прямая. Если эта сумма совпадает с подпространством $W$, то она необходимо будет и топологической. Действительно, в этом случае соответствие $(f_1,f_2) \to f_1+f_2$ определяет непрерывное отображение пространства Фреше $W_{I_W}\times E(\Lambda, (a,b))$ на пространство Фреше $W$ и поэтому представляет собой изоморфизм (алгебраический и топологический) этих пространств. Перейдем к доказательству достаточности. Функция $f\in \mathcal E(a,b)$ принадлежит подпространству $W$ в том и только в том случае, когда ее сужение $f|_{I_W}$ на промежуток $I_W$ есть элемент подпространства $E(\Lambda, I_W)$ (см. [1; предложение 6.2]). Поэтому, учитывая сюръективность оператора сужения $U$, для любой $f\in W$ можем найти функцию $f_1\in E(\Lambda, (a,b))$, удовлетворяющую соотношению $f|_{I_W}=f_1|_{I_W}$. Ясно, что тогда
$$
\begin{equation*}
f_2=f-f_1\in W_{I_W},\quad f=f_1+f_2\in E(\Lambda, (a,b))\oplus W_{I_W}.
\end{equation*}
\notag
$$
Необходимость. В силу цитированных в начале доказательства результатов о единственности периодического в среднем продолжения оператор сужения (3.1) – алгебраический и топологический мономорфизм. Для любой функции $f_0\in E(\Lambda, I_W)$ ее произвольное гладкое продолжение $f$ на интервал $(a,b)$ принадлежит $W$ согласно [1; предложение 6.2]. Поэтому $f=f_1+f_2$, где $f_1\in E(\Lambda, (a,b))$, $f_2\in W_{I_W}$. Откуда выводим, что $f_0=U(f_1)$. Таким образом, $U$ есть линейное непрерывное отображение пространства Фреше $E(\Lambda, (a,b))$ на пространство Фреше $E(\Lambda, I_W)$. Следовательно, это отображение – линейный топологический изоморфизм. Предложение доказано. Рассмотрим два промежутка $I$, $\widetilde{I}\subset\mathbb R$, $I\subset \widetilde{I}$, и оператор
$$
\begin{equation*}
U^*\colon \mathcal E' (I)/(E(\Lambda,I) )^0 \to\mathcal E' (\widetilde{I})/(E(\Lambda,\widetilde{I}) )^0,
\end{equation*}
\notag
$$
сопряженный к оператору сужения $U\colon E(\Lambda,\widetilde{I}) \to E(\Lambda, I)$. Преобразование Фурье–Лапласа естественным образом определяет поднятие сопряженного оператора
$$
\begin{equation*}
\widehat{U}\colon \mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)\to \mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}),
\end{equation*}
\notag
$$
действующее по правилу: каждому классу смежности
$$
\begin{equation*}
[\psi]\in \mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I), \qquad\psi\in \mathcal P(I),
\end{equation*}
\notag
$$
ставится в соответствие класс смежности
$$
\begin{equation*}
\widehat{U} ([\psi] )\in \mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}), \qquad \widehat{U} ([\psi] )=\bigl\{\Psi=\psi+\Phi\colon \Phi\in \mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}) \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [14; следствие из теоремы 7] оператор сужения $U\colon E(\Lambda,\widetilde{I}) \to E(\Lambda, I)$ является линейным топологическим изоморфизмом тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\widehat{U} (\mathcal P(I)/\mathcal J(\Lambda, I)) =\mathcal P(\widetilde{I})/\mathcal J(\Lambda, \widetilde{I}).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В этом случае и оператор $\widehat{U}$ – линейный топологический изоморфизм. Равенство (3.2) эквивалентно тому, что для любой функции $\Psi\in\mathcal P(\widetilde{I})$ найдется $\psi\in\mathcal P(I)$ со свойством: $(\Psi -\psi)\in \mathcal J(\Lambda, \widetilde{I})$, т.е. $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda )$. Сформулируем результат проведенного рассуждения в виде предложения. Предложение 2. Оператор сужения $U$, действующий из $E(\Lambda,\widetilde{I})$ в $E(\Lambda, I)$, является линейным топологическим изморфизмом тогда и только тогда, когда разрешима следующая интерполяционная задача: для любой функции $\Psi \in\mathcal P(\widetilde{I})$ существует функция $\psi\in\mathcal P(I)$ такая, что разность $(\Psi-\psi )$ обращается в нуль на $\Lambda$. В дальнейшем изложении мы будем называть интерполяционную задачу из предложения 2 интерполяционной задачей на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$. Предложение 3. Для того чтобы $D$-инвариантное подпространство $W$, определенное соотношением (1.2), представлялось в виде прямой суммы (1.5), необходимо и достаточно, чтобы была разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P(I_W)$. Это утверждение есть следствие предложений 1 и 2. 3.2. Решение интерполяционной задачи для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$Всюду далее $I=\langle c,d\rangle$ – конечный или бесконечный промежуток, где “ $\langle$ ” может быть как круглой “ ( ”, так и квадратной “ [ ” скобкой, аналогичный смысл имеет “ $\rangle$ ”. Теорема 3. Пусть последовательность $\Lambda=\{\lambda_j\}$ и промежуток $I=\langle c,d\rangle$ таковы, что экспоненциальная система $\operatorname{Exp} (\Lambda)$ не полна в $\mathcal E(I)$. I. 1) Если $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<|I|$ и выполнены оба соотношения (2.5), то интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. 2) Предположим, что $|I|=+\infty$, $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и выполнено первое или второе из соотношений (2.5) в зависимости от вида промежутка: $I=(-\infty, d\rangle$ или $I=\langle c,+\infty )$ соответственно. Тогда интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. II. Предположим, что существует промежуток $\widetilde{I}\supset I$ со свойством: разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$. Тогда $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)\leqslant |I|$. Если же дополнительно
$$
\begin{equation*}
d\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I}) \quad (\textit{или }\ c\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})),
\end{equation*}
\notag
$$
то выполнено первое (соответственно второе) из соотношений (2.5). Доказательство. I. 1) Согласно условию существуют медленно убывающая функция $\varphi\in\mathcal P(I)$, обращающаяся в нуль на $\Lambda$, и постоянная $M_0>0$ такая, что множество $\Lambda$ содержится в криволинейной полосе
$$
\begin{equation*}
S=\bigl\{z=x+\mathrm{i} y \colon |y|\leqslant M_0\ln (2+|x|), \ x\in\mathbb R\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая (2.2), нетрудно вывести, что найдется $A_1>0$ со свойством:
$$
\begin{equation*}
\forall\, \lambda_j\in\Lambda \quad \exists\, x_j\in\mathbb R\colon |\lambda_j-x_j|\leqslant A_1\ln (2+|x_j|), \quad |\varphi (x_j)|\geqslant (2+|x_j|)^{-A_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему об оценке снизу модуля аналитической функции в круге к функции $f_j={\varphi}/{\varphi (x_j)}$ и кругу $|z-x_j|\leqslant 2A_1\ln (2+|x_j|)$, находим окружность $C_j$ с центром в точке $x_j$ и радиуса такую, что причем постоянная $A_0\geqslant 0$ не зависит от $j$ (а точка $\lambda_j$, очевидно, лежит внутри $C_j$). Пусть $K_j$ – открытый круг с границей $C_j$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal K=\bigcup_j K_j, \qquad \mathcal C=\bigcup_j C_j, \qquad \widetilde{\mathcal U} =\mathcal K\setminus\mathcal C.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\widetilde{\mathcal U}$ состоит из счетного числа относительно компактных связных компонент $U_k$. При этом, вообще говоря, не все $U_k\subset\widetilde{\mathcal U}$ имеют с $\Lambda$ непустое пересечение. Определим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal U=\bigcup_{U_k\cap \Lambda\neq \varnothing} U_k;
\end{equation*}
\notag
$$
и для произвольного $A> A_0$ положим
$$
\begin{equation*}
S_A=\{ z\in\mathbb C\colon |\varphi (z)|< (2+|z|)^{-A}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $S_A\subset\mathcal U$. Из включений $ \varphi$, $\varphi'={\mathrm{d}\varphi}/{\mathrm{d}z}\in\mathcal P(I)$ (последнее вытекает из теоремы Бернстейна, см. [15; гл. 11]) следует существование постоянной $M_1>0$ такой, что
$$
\begin{equation}
|\varphi (z)|\leqslant (2+|z|)^{M_1}, \quad |\varphi ' (z)|\leqslant (2+|z|)^{M_1} \quad \forall\, z\in \overline{\mathcal U}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Учитывая оценку (3.3) для $|\varphi '|$ и то, что диаметр каждой связной компоненты $U_k\subset \mathcal U$ есть величина $O(\ln |z|)$ для всех $z\in U_k$ при $k\to\infty$, нетрудно вывести существование постоянной $A'>A_0$ со свойством: для всех $U_k$ расстояние от множества $U_k\cap S_{A'}$ до границы множества $ U_k$ не меньше, чем $\sup_{z\in U_k} (2+|z|)^{-A'}$. Построим функцию $\eta, $ бесконечно дифференцируемую во всей комплексной плоскости, равную нулю вне множества $\mathcal U$ и единице на множестве $\mathcal U\cap S_{A'}$, такую, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial\eta (z)}{\partial\overline z} \biggr|\leqslant (2+|z|)^{M_2}, \qquad z\in\mathbb C,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где постоянная $M_2>0$ не зависит от $z$ (см. [16; гл. I, § 1]). Рассмотрим произвольную функцию $\Psi\in\mathcal P$. Положим $v=-\Psi \varphi^{-1}\,{\partial\eta}/{\partial\overline{z}}$. Принимая во внимание внутреннее описание алгебры $\mathcal P$, свойства функций $\varphi$, $\eta$ (в том числе, оценку (3.4)), выводим, что $v\in C^{\infty} (\mathbb C)$ и где $M_3$ – положительная постоянная. Согласно хорошо известному результату Л. Хермандера [17; теорема 4.4.2], существует бесконечно дифференцируемая в $\mathbb C$ функция $u$, удовлетворяющая уравнению причем
$$
\begin{equation}
|u(z)|\leqslant (2+|z|)^{M_4}, \qquad z\in\mathbb C,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $M_4$ – положительная постоянная. Функция $\psi=\varphi u+\Psi\eta$ есть искомое решение интерполяционной задачи. Действительно, $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$, так как $\varphi (\Lambda )=0$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \psi}{\partial \overline{z}} =\varphi \frac{\partial u}{\partial \overline{ z}}+\Psi\frac{\partial\eta}{\partial\overline z }=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $\psi$ – целая функция. Заметим, что $\mathcal U\subset\widetilde{S}$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\{z=x+\mathrm{i} y \colon |y|\leqslant \widetilde{M}_0\ln (2+|x|)\},
\end{equation*}
\notag
$$
$\widetilde{M}_0$ – положительная постоянная. Далее, а функция $\Psi$ имеет в криволинейной полосе $\widetilde{S}$ степенной рост. Отсюда, учитывая (3.5), выводим, что $\psi\in\mathcal P(I)$. 2) Для определенности будем считать, что $I=(-\infty, d\rangle$. Пусть последовательность $\Lambda$ удовлетворяет первому из соотношений (2.5) и $\varphi\in\mathcal P(I)$ – медленно убывающая функция, обращающаяся в нуль на $\Lambda$. Нам понадобится специальное разбиение комплексной плоскости на две неограниченные области, $G_+$ и $G_{-}$, первая из которых содержит открытую верхнюю полуплоскость, а вторая, соответственно, содержится в открытой нижней полуплоскости. Для построения этого разбиения воспользуемся определением (2.2) медленно убывающей функции, замечая, что в нем можно без потери общности заменить неравенство $|x-x'|\leqslant a \ln(2+|x|)$ на неравенство $|x-x'|\leqslant a \ln(2+|x'|)$. Для каждой точки $x\in\mathbb R$ найдем точку $x'\in\mathbb R$, как в (2.2), и применим теорему об оценке снизу модуля аналитической функции к функции $f_x={\varphi}/{\varphi (x')}$ в круге $|z-x'|\leqslant 2a\ln (2+|x'|)$. Получим оценку
$$
\begin{equation}
|\varphi (z)|\geqslant (2+|z|)^{-a'}, \qquad z\in C_x,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где постоянная $a'$ не зависит от $x$, $C_x$ – окружность с центром в точке $x'$ и радиуса Пусть $K_x$ – открытый круг с границей $C_x$, $I_x=K_x\cap \mathbb R$. Выделим из покрытия $\{I_x\}_{x\in\mathbb R}$ вещественной прямой счетное локально конечное подпокрытие $\{ I_{x_j}\}$: $\bigcup_{j}I_{x_j}=\mathbb R$. Нетрудно видеть, что из отрезков дуг окружностей $C_{x_j}, $ принадлежащих нижней полуплоскости, можно составить непрерывную кривую $\Gamma$, которая разделяет комплексную плоскость на две неограниченные области $G_+$ и $G_{-}$. Воспользуемся версией определения медленно убывающей функции, состоящей в совокупности требований (SD1), (SD2) (см. п. 2.2). Без ограничения общности можем считать, что фигурирующая в (SD1) и (SD2) положительная постоянная $a_0$ удовлетворяет неравенству $a_0\geqslant a'$, где $a'$ – постоянная из оценки (3.6). Ясно, что множество $L(\varphi,a_0)$, определенное формулой (2.4), центрировано с последовательностью нулей функции $\varphi$: оно содержит все нули функции $\varphi $ и каждая связная компонента $L_{\alpha}$ этого множества содержит хотя бы один нуль функции $\varphi$. Положим $\Lambda_+=\Lambda\cap G_+$, $\Lambda_{-}=\Lambda\setminus\Lambda_+$. Обозначим через $\mathcal L_+$ объединение множества тех связных компонент $L_{\alpha}\subset L(\varphi,a_0)$, для которых а через $\mathcal L_{-}$ – объединение тех $L_{\alpha}\subset L(\varphi,a_0)$, для которых Оценка (3.6) выполнена всюду на $\Gamma$ – общей границе областей $G_+$ и $G_{-}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_+\subset G_+, \qquad \mathcal L_{-}\subset G_{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая сказанное выше и то, что для $\Lambda$ выполнено первое из соотношений (2.5), будем рассуждать аналогично тому, как это было сделано в п. 1) настоящего доказательства при построении функции $\eta$. При этом связные компоненты $U_k$ множества $\mathcal U$ заменяем на связные компоненты $L_{\alpha}$ множества $ \mathcal L_{+}$. В результате проведенных рассуждений найдем постоянную $a_1>a_0$ и бесконечно дифференцируемую во всей комплексной плоскости функцию $\eta_{+}$, равную нулю вне множества $\mathcal L_{+}$ и единице на множестве $\mathcal L_{+}\cap L (\varphi, a_1)$ и удовлетворяющую оценке
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial\eta_{+} (z)}{\partial\overline z}\biggr|\leqslant (2+|z|)^{b_1}, \qquad z\in\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_1$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$. Далее, принимая во внимание условие (SD2), так как $\varphi'\in\mathcal P(I)$, выводим существование постоянной $a_2>a_0$ со свойством: для каждой компоненты $L_{\alpha}\subset \mathcal L_{-}$ расстояние от множества $L_{\alpha}\cap L(\varphi, a_2)$ до границы множества $L_{\alpha}$ не меньше, чем
$$
\begin{equation*}
\sup_{z\in L_{\alpha}} \exp \bigl(-a_2(|{\operatorname{Im}z}|+\ln (2+|z|))\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_2$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$. Отсюда следует, что существует функция $\eta_{-}$, бесконечно дифференцируемая во всей комплексной плоскости, равная нулю вне множества $\mathcal L_{-}$ и единице на множестве $\mathcal L_{-}\cap L (\varphi, a_2)$ и такая, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial\eta_{-}(z)}{\partial\overline z}\biggr|\leqslant \exp (b_2(|{\operatorname{Im}z}|+\ln (2+|z|))) \qquad z\in\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_2$ – положительная постоянная, не зависящая от $z$. Пусть $\Psi\in\mathcal P$ – произвольная функция. Верны оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\Psi (z)|\leqslant (2+|z|)^M, \qquad z\in\mathcal L_{+}, \\ |\Psi (z)|\leqslant (2+|z|)^{M}e^{M|{\operatorname{Im}z}|}, \qquad z\in\mathcal L_{-}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $M>0$ – не зависящая от $z$ постоянная. Положим
$$
\begin{equation*}
\eta=\eta_++\eta_-, \qquad v=-\Psi \varphi^{-1}\frac{\partial\eta}{\partial\overline{z}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из всего вышесказанного вытекает, что функция $v$ бесконечно дифференцируема в $\mathbb C$ и найдется постоянная $C_0>0$ со свойством: где $p$ – субгармоническая функция, определенная формулой
$$
\begin{equation*}
p(z):=\begin{cases} C_0\ln (2+|z|),&\operatorname{Im} z\geqslant 0, \\ -C_0\operatorname{Im} z+C_0\ln (2+|z|),&\operatorname{Im} z <0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме Хермандера [17; теорема 4.4.2] существует бесконечно дифференцируемое в $\mathbb C$ решение $u$ уравнения удовлетворяющее оценке
$$
\begin{equation*}
|u(z)|\leqslant \mathrm{const} \exp\{p(z)+\mathrm{const}\, \ln (2+|z|)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в п. 1) настоящего доказательства, рассмотрим функцию $\psi=\varphi u+\Psi\eta$ и убедимся в том, что $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$ и $\psi\in\mathcal P(I)$. II. Пусть $\varepsilon_0=\operatorname{dist} (I,\partial\widetilde{I})$. Фиксируем произвольное $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$, для которого существует точка $a_{\varepsilon}\in \widetilde{I}\setminus I$ такая, что $\operatorname{dist}(a_{\varepsilon}, I)<\varepsilon$. Предположим для определенности, что $a_{\varepsilon}\geqslant d$. Это соответствует случаю $d\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})$. Согласно условию, для функции $\Psi (z)=\exp\{-\mathrm{i} a_{\varepsilon}z\}$ найдется функция $\psi\in \mathcal P(I) $ такая, что функция $\Phi:=\Psi-\psi$ обращается в нуль на множестве $\Lambda$. Для $\psi$ имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\ln |\psi (z)| \leqslant d_1 y + M_{\psi}\ln (2+|x|), \quad z=x+\mathrm{i}y\quad \text{при } \ y>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_{\psi}>0$ и либо $d_1<d$, либо можно выбрать $a_{\varepsilon}> d$, т.е. в любом случае $a_{\varepsilon }-d_1>0$. Поэтому найдутся постоянные $M_0>0$, $r_0>0$, зависящая только от $M_0, $ $y_0>0$, зависящая только от $M_0$ и $r_0$, такие, что для всех
$$
\begin{equation*}
z\in \{z=x+\mathrm{i}y\colon |x|\geqslant r_0,\ y\geqslant M_0\ln |x|\} \cup\{z=x+\mathrm{i}y\colon |x|\leqslant r_0,\ y\geqslant y_0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $\Phi$ – медленно убывающая функция. Более того, все нули этой функции, за исключением, быть может, конечного их числа, принадлежат множеству
$$
\begin{equation*}
\bigl\{z=x+\mathrm{i}y\colon y\leqslant \max(y_0,\, M_0 \ln (|x|+2)), \ x\in\mathbb R \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, выполнено первое из соотношений (2.5). Домножая $\Phi$ на подходящий экспоненциальный множитель $\exp(-\mathrm{i}c_0z)$, получим медленно убывающую функцию экспоненциального типа, не превосходящего $(|I|+\varepsilon)/2$. Учитывая произвольность $\varepsilon$, заключаем, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda )<+\infty$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda ) \leqslant |I|$. Если имеет место включение $c\in (\widetilde{I}\setminus I)\cup (I\setminus\partial \widetilde{I})$, то, проводя аналогичные рассуждения с $a_{\varepsilon}\leqslant c$, можно показать, что выполнено второе из соотношений (2.5). Теорема 3 доказана. Замечание 1. Из доказательства п. II теоремы 3 видим, что если для последовательности $\Lambda $ выполнены соотношения (2.5) и $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<\infty$, то для любого $\varepsilon >0$ найдется медленно убывающая функция экспоненциального типа, не превосходящего $\pi (D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)+\varepsilon)$ такая, что соотношения вида (2.5) справедливы для всего ее нулевого множества $\Lambda'\supset\Lambda$. Замечание 2. Из доказательства теоремы 3 также видно, что интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ будет разрешима в случае, когда последовательность $\Lambda$ удовлетворяет (2.5) и более слабому требованию, чем условие $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<|I|$, а именно такому: подмодуль $\mathcal J(\Lambda,I)$ содержит медленно убывающую функцию. Простейшая ситуация, реализующая последнее замечание, возникает, если $\Lambda$ совпадает с нулевым множеством какой-либо медленно убывающей функции экспоненциального типа $\sigma$ и $I$ – отрезок длины $2\pi\sigma$. Действительно, в этом случае $2\pi D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=|I|$. Ниже, в п. 4.3, мы проиллюстрируем замечание 2 более интересным примером, в котором $2\pi D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<|I|$, $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=|I|$ и в подмодуле $\mathcal J(\Lambda,I)$ имеется медленно убывающая функция. А в п. 4.4 будет приведен пример, показывающий, что из неравенства $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)\leqslant |I|$ не всегда следует существование медленно убывающей функции в нетривиальном подмодуле $J(\Lambda,I)$. Комбинируя пп. I и II теоремы 3, получаем такое утверждение. Следствие 2. Предположим, что для заданного промежутка $I$ найдется промежуток $\widetilde{I}\supset I$ такой, что разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ и, дополнительно, выполнены оба соотношения (2.5) в случае, если $|I|<\infty$. Тогда разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$. Из утверждения II теоремы 3 следует, что дополнительное требование о соотношениях (2.5) в следствии 2 выполняется автоматически в случае, когда $I$ компактно принадлежит $\widetilde{I}$. Если же вложение $I\subset \widetilde{I}$ не компактно, то без предположения о справедливости (2.5) верно следующее, более слабое, утверждение. Предложение 4. Предположим, что вложение $I\subset\widetilde{I}$ не компактно и $|\widetilde{I}|<\infty$. Если разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$, то разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P (\widetilde I_{\infty})$ и $\mathcal P(I)$, где $\widetilde I_{\infty}$ – луч, содержащий промежуток $\widetilde{I}$ и имеющий с $I$ общую граничную точку. Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что $I=[c,b)$, $\widetilde{I}\,{=}\,(a,b)$. Тогда $\widetilde{I}_{\infty} =(-\infty,b)$. Положим $\sigma_0=c-a$ и покажем, что для любого $\sigma\in (0,\sigma_0)$ разрешима интерполяционная задача на $\Lambda $ для пространств $\mathcal P (a',b)$ и $\mathcal P (I)$, где $a'=a-\sigma$. Пусть $c'=c-\sigma$, $b'=b-\sigma $ и $\Phi\in \mathcal P (a',b)$ – произвольная функция. Напишем представление
$$
\begin{equation}
\Phi =\Phi_1 +\Phi_2, \qquad \Phi_1\in\mathcal P(a',b'), \quad \Phi_2\in\mathcal P(a,b).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Обоснование возможности представления (3.7) будет дано ниже. По условию для функций $\Phi_1e^{-\mathrm{i}\sigma z}$ и $\Phi_2$, принадлежащих $\mathcal P(a,b)$, в пространстве $\mathcal P(I)$ найдутся функции $\widetilde\varphi_1$ и $\varphi_2$, совпадающие с ними на множестве $\Lambda$. Далее, для функции $\psi_1 =\widetilde\varphi_1e^{\mathrm{i}\sigma z}\in\mathcal P(a,b)$ существует функция $\varphi_1\in\mathcal P(I)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\varphi_1 (\Lambda) =\psi_1 (\Lambda) =\Phi_1 (\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\varphi =\varphi_1+\varphi_2$. Видим, что $\varphi\in\mathcal P(I)$ и $\varphi (\Lambda) =\Phi (\Lambda)$. Таким образом, интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a',b)$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. Аналогично доказывается, что разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a'',b)$ и $\mathcal P(I)$, где $a'' =a'-\sigma'$, и $\sigma'$ – произвольное положительное число, меньшее $(c\,{-}\,a')$. Продолжая эти рассуждения, приходим к разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{a},b)$ и $\mathcal P(I)$ при любом конечном $\widetilde{a}$, а значит, и для пары пространств $\mathcal P(-\infty,b)$ и $\mathcal P(I)$. Для завершения доказательства осталось обосновать возможность представления (3.7) для $\Phi\in \mathcal P (a',b)$. Согласно теореме Пэли–Винера–Шварца, $\Phi\,{=}\, \mathcal F(S)$ для некоторого $S\in\mathcal E' (a',b)$. Обозначим замыкание выпуклой оболочки носителя распределения $S$ через $\operatorname{ch}\operatorname{supp} S$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ch}\operatorname{supp} S=[t_1,t_2]\subset (a',b).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(a,b')\cap (t_1,t_2)=\varnothing$, то одно из слагаемых в правой части представления (3.7) полагаем равным нулю. Менее тривиален случай, когда В этом случае, поделив, если нужно, $\Phi$ на подходящий многочлен $p$, получим функцию $\Psi =\Phi p^{-1}\in \mathcal P (a',b)$ со свойством Хорошо известно, что действие $T$ на элементы пространства $C [t_1,t_2]$ (в частности, и на функции $f\in\mathcal E(a',b)$) реализуется интегралом Стилтьеса: где $v$ – функция ограниченной вариации на отрезке $[t_1,t_2]$, зависящая от $T$ и определяемая с точностью до постоянного слагаемого. Выберем и зафиксируем точку $t_0\in (a,b')\cap (t_1,t_2)$, в которой функция $v$ непрерывна, и положим
$$
\begin{equation*}
v_1(t)=\begin{cases} v(t),&t\in [t_1,t_0], \\ v(t_0),&t\in (t_0,t_2], \end{cases} \qquad v_2=v-v_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
T=T_1+T_2, \qquad T_j(f) =\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d} v_j (t), \quad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\operatorname{ch}\operatorname{supp} T_1 \subset [t_1,t_0]\subset (a',b')$, $\operatorname{ch}\operatorname{supp} T_2 \subset [t_0,t_2]\subset (a,b)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Psi=\Psi_1+\Psi_2, \qquad \Psi_1=\mathcal F(T_1) \in\mathcal P (a',b'), \quad \Psi_2=\mathcal F(T_2) \in\mathcal P (a,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\Phi_j=\Psi_j p$, $j=1,2$, получаем искомое представление (3.7) для функции $\Phi$. Предложение доказано. Отметим, что утверждениям п. II теоремы 3 можно придать такую форму. Следствие 3. 1) Если в условиях теоремы 3 то ни при каком $\widetilde{I}\supset I$ интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ не разрешима. 2) Пусть $\Lambda$ и $I=\langle c,d \rangle$ такие же, как в теореме 3. Если для промежутка $\widetilde{I}\supset I$ выполнено или то интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$ не разрешима.Из утверждений I, 2) и II теоремы 3 получаем критерий разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$ в случае бесконечного промежутка $I$. Следствие 4. Пусть $\Lambda\subset\mathbb C$, $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda) <+\infty$, $I=( -\infty,d\rangle$ (или $I\,{=}\,\langle c,+\infty)$). Для того чтобы была разрешима интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P$ и $\mathcal P(I)$, необходимо и достаточно, чтобы $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)<+\infty $ и выполнялось первое (соответственно второе) из соотношений (2.5). 3.3. Завершение доказательства теорем 1 и 2Прежде всего заметим, что в условиях утверждения I, 1) теоремы 1 и в условиях теоремы 2 $D$-инвариантное подпространство $W$ с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda)$ и резидуальным интервалом $I_W$ имеет вид (1.2). Это следует из очевидного соотношения $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda) \leqslant D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)$ и приведенной во введении теоремы A. Поэтому справедливость п. I, 1) в теореме 1 вытекает из предложения 3 и утверждения I, 1) теоремы 3. А справедливость теоремы 2 – из предложения 3 и следствия 4. Далее, применяя предложение 3 и п. II теоремы 3 с $\widetilde{I}=(a,b)$, $I=I_W$, выводим справедливость утверждений п. I, 2) теоремы 1. Для обоснования положительной части утверждения II теоремы 1 рассмотрим распределение $S\in\mathcal E' (a,b)$, преобразование Фурье–Лапласа которого есть целая функция $\varphi=e^{\mathrm{i}\gamma z}s$, где $s (z)=\widetilde{s}(t_0z)$ при некотором $t_0>0$, а $\widetilde{s}$ – функция типа синуса. Определим $D$-инвариантное подпространство
$$
\begin{equation}
W_S =\{ f\in\mathcal E (a,b)\colon S(f^{(k)}) =0,\ k=0,1,\dots\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В [3; § 3] и [18; § 1] установлены следующие факты о подпространстве $W_S$: 1) это подпространство имеет дискретный спектр $(-\mathrm{i}\Lambda)$, где $\Lambda$ – нулевое множество функции $\varphi$; 2) резидуальный промежуток подпространства $W_S$ представляет собой отрезок $[c,d]\subset (a,b)$ длины $2\pi D_{\mathrm{BM}} (\Lambda)$; 3) $W_S$ допускает слабый спектральный синтез (1.2). В силу предложения 3 возможность представления $W_S$ в виде (1.5) равносильна разрешимости интерполяционной задачи на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P([c,d])$. Заметим, что $\mathcal J(\Lambda, [c,d]) $ – главный подмодуль, порожденный медленно убывающей функцией $\varphi$ в модуле $\mathcal P([c,d])$. Последовательность $\Lambda =\{\lambda_j\}$ совпадает, с точностью до положительного множителя, с последовательностью нулей функции типа синуса. Поэтому $\operatorname{Im} \lambda_j =O(1)$, $j\to\infty$. Согласно замечанию 2 интерполяционная задача на $\Lambda$ для пары пространств $\mathcal P(a,b)$ и $\mathcal P([c,d])$ разрешима. Приведем теперь пример $D$-инвариантного подпространства с дискретным спектром $(-\mathrm{i}\Lambda )$ и резидуальным промежутком $I_W$ длины $2\pi D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$, не допускающего представления (1.5). Пусть $T\in \mathcal E' (-\pi,\pi)$ – распределение, преобразование Фурье–Лапласа которого есть
$$
\begin{equation*}
\varphi (z)=\frac{\sin\pi z}{s_0(z)\omega (z)}, \quad\text{где }\ s_{0}(z) =\frac{\sin(\pi\sqrt{z})}{\pi\sqrt{z}}, \quad \omega(z) =\prod_{k=1}^{\infty}\biggl(1-\frac{z}{2^{2n}+1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подпространство $W_T\subset \mathcal E (-\pi,\pi)$, определенное формулой (3.8), с заменой $S$ на $T$, имеет дискретный спектр $(-\mathrm{i}\Lambda)$, где $\Lambda$ – нулевое множество функции $\varphi$. Ясно, что $\Lambda \subset\mathbb Z$ и $ D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=D_{BM }(\Lambda)=1$. С другой стороны, известно, что $W_T$ не допускает слабого спектрального синтеза (1.2) (см. [1; теорема 1.2]). Тем более, для $W_T$ не может иметь места представление (1.5).
§ 4. Дальнейшие свойства представимых в виде прямой суммы $D$-инвариантных подпространств и характеристики $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$4.1. Пример $D$-инвариантного подпространства вида (1.5) с конечным некомпактным резидуальным промежутком, спектр которого не удовлетворяет одному из соотношений (2.5)Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi (z) =\frac{s(-\mathrm{i} z)\, \sin\pi z }{s(z)}, \quad \text{где }\ s(z)= \prod_{k=1}^{\infty}\biggl( 1-\frac{z}{2^k}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нулевое множество этой функции
$$
\begin{equation*}
\mathcal M =\bigl(\mathbb Z\setminus \{2^k\}_{k=1}^{\infty}\bigr)\cup \{2^k\mathrm{i}\}_{k=1}^{\infty}
\end{equation*}
\notag
$$
не удовлетворяет первому из соотношений (2.5) и удовлетворяет второму. Считающая функция $\nu$ последовательности $\mathcal M$ имеет асимптотику Используя известную технику из теории целых функций (см., например, [15; III.3.5]), нетрудно проверить, что оценки
$$
\begin{equation}
A\ln^2(2+ |z|)-B_{\delta}\ln (2+|z|)\leqslant\ln |s(z)|\leqslant A\ln^2(2+ |z|)+B_{\delta}\ln (2+|z|)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
справедливы для любого достаточно малого $\delta>0$ вне кружков $|z-2^{k}|< \delta$, $k=1,2,\dots$ . Здесь $A =(\ln 2)^{-1}$, а положительная постоянная $B_{\delta} $ зависит только от $\delta$. Хорошо известно, что при любом достаточно малом $\delta>0$ будет
$$
\begin{equation}
\ln |{\sin\pi z}| =\pi|{\operatorname{Im}z}| + O(1), \quad |z|\to\infty, \quad |z-k|\geqslant\delta, \quad k\in\mathbb Z.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Из (4.1) и (4.2) следует, что
$$
\begin{equation}
\pi |{\operatorname{Im}z}|-C_{\delta}\ln (2+|z|)\leqslant\ln |\varphi (z)|\leqslant \pi|{\operatorname{Im}z}|+C_{\delta}\ln (2+|z|)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
для всех $z$, удовлетворяющих неравенствам $|z-\mu_j|\geqslant \delta$, $\mu_j\in\mathcal M$, где $\delta>0$ достаточно мало. Следовательно, $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)=1$. Положим $I=[-\pi,\pi+\varepsilon )$, $\varepsilon >0$. Так как последовательность $\mathcal M$ не удовлетворяет первому из соотношений (2.5), интерполяционная задача на $\mathcal M$ не разрешима для пары пространств $\mathcal P(\widetilde{I})$ и $\mathcal P(I)$, где $\widetilde{I}$ – любой промежуток, содержащий отрезок $\overline{I}=[-\pi, \pi+\varepsilon ]$. Тем не менее интерполяционная задача на $\mathcal M$ для пары пространств $\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon )$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. Докажем это. Будем рассуждать по схеме доказательства п. I, 2) теоремы 3. В силу оценок (4.3) и оценки сверху для $\ln |\varphi' (z)|$, вытекающей из теоремы Бернстейна, можем построить бесконечно дифференцируемую в $\mathbb C$ функцию $\eta $ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta (z)= \begin{cases} 0, &z\notin{\displaystyle\bigcup_{j} K(\mu_j,2\delta)}, \\ 1, &z\in{\displaystyle\bigcup_{j} K(\mu_j,\delta)}, \end{cases} \\ \biggl|\frac{\partial\eta}{\partial\overline z} \biggr|\leqslant a_0, \qquad z\in\mathbb C, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_0>0$ не зависит от $z$ и $K(\mu,r) =\{z\colon |z-\mu|\leqslant r\}$. Пусть $\Psi\in\mathcal P (-\infty,\pi+\varepsilon )$. Положим
$$
\begin{equation*}
v=-\Psi \varphi^{-1}\frac{\partial\eta}{\partial\overline{z}}, \qquad p(z)= C_0\ln (2+|z|),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_0$ – положительная постоянная. Из сказанного выше следует, что
$$
\begin{equation*}
v\in C^{\infty} (\mathbb C), \qquad ve^{-p}\in L^2 (\mathbb C)
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно большом значении $C_0>0$. По теореме Хермандера [17; теорема 4.4.2] существует решение уравнения бесконечно дифференцируемое в $\mathbb C$ и удовлетворяющее оценке
$$
\begin{equation*}
|u(z)|\leqslant \mathrm{const}\exp\bigl(p(z)+\mathrm{const}\,\ln (2+|z|)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\psi=\varphi u+\Psi\eta$. Легко видеть, что $\Psi (\Lambda) =\psi (\Lambda)$ и $\psi\in\mathcal P(I)$. С учетом произвольности выбора $\Psi\in\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon)$ отсюда заключаем, что интерполяционная задача на $\mathcal M$ для пары пространств $\mathcal P(-\infty, \pi+\varepsilon)$ и $\mathcal P(I)$ разрешима. 4.2. О разложении в ряд со скобками из экспоненциальных многочленовИз результатов работ [10] и [11], замечания 2 и следствия 2, а также предложения 3 вытекают дополнительные свойства элементов $D$-инвариантного подпространства, представимого в виде прямой суммы (1.5). Теорема 4. Пусть $D$-инвариантное подпространство $W\subset\mathcal E(a,b)$ имеет вид (1.5) и выполнено хотя бы одно из условий $|I_W|=+\infty$ или (2.5). Тогда существует разбиение последовательности $\Lambda$ на попарно не пересекающиеся конечные подмножества $\Lambda_k$, $k=1,2,\dots$, такое, что любая функция $f\in W$ единственным образом представляется в виде суммы $f=f_1+f_2$, где $p_j$ – многочлены, причем внешняя сумма (по $k$) для $f_2$ сходится в топологии пространства $\mathcal E (\mathbb R)$. Доказательство. По условию каждая функция $f\in W$ допускает единственное представление
$$
\begin{equation}
f=f_1+f_2, \qquad f_1\in W_{I_W}, \quad f_2 \in E(\Lambda, (a,b)).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Используя п. I, 2) теоремы 1, теорему 2, п. I, 2) теоремы 3 и предложение 3, выводим, что, во-первых, функция $f_2$ из (4.5) единственным образом продолжается до функции $F_2\in E(\Lambda,\mathbb R)$, во-вторых, существует медленно убывающая функция $\psi\in\mathcal P(a,b)$, равная нулю на множестве $\Lambda$. Здесь мы также принимаем во внимание выполнение хотя бы одного из условий $|I_W|=+\infty$ или (2.5). Из факта существования в $\mathcal P(a,b)$ медленно убывающей функции, обращающейся в нуль на $\Lambda$, согласно [10; теорема 3.1] (см. также [11; теорема 9]), следует, что функция $F_2$ представляется в виде ряда (4.4), сходящегося в $\mathcal E(\mathbb R)$. Теорема доказана. Замечание 3. Если в условиях теоремы 4 промежуток $I_W$ и интервал $(a,b)$ имеют общую конечную граничную точку, например, $I_W =[c,b)$, то подпространство $W$ состоит из сужений на $(a,b)$ функций из $D$-инвариантного подпространства $\widetilde{W}\subset \mathcal E (a,+\infty)$, причем Замечание 4. Если $D$-инвариантное подпространство $W\subset\mathcal E(a,b)$ имеет вид (1.5), а вложение $I_W\subset (a,b)$ не компактно и $|I_W|<+\infty$, то, как показывает пример из п. 4.1, вообще говоря, одно из соотношений (2.5) может не выполняться. Пусть, например, $I_W=[c,b)$. В этом случае согласно предложениям 3 и 4 гарантировано лишь продолжение функции $f_2$ из (4.5) до периодической в среднем функции на луче $(-\infty,b)$, т.е. до элемента пространства $E(\Lambda, (-\infty, b))$. И, значит, вообще говоря, не применима [10; теорема 3.1] о представлении функций, периодических в среднем на всей прямой, в виде ряда из экспоненциальных полиномов. Однако, анализируя доказательство этой теоремы, можно усмотреть, что в условиях настоящего замечания периодическое в среднем продолжение на луч $(-\infty,b)$ функции $f_2$ раскладывается в ряд из экспоненциальных полиномов, сходящийся со скобками в пространстве $\mathcal E (-\infty, b-d)$ при достаточно большом $d>0$. С другой стороны, анализ того же доказательства показывает, что в некоторых случаях $d$ может оказаться равным $0$. В частности, это справедливо для функций из $D$-инвариантного подпространства, рассмотренного в п. 4.1. Сделанные замечания подводят к следующим вопросам о разложении элементов $D$-инвариантных подпространств в ряд из экспоненциальных многочленов: при каких условиях каждая функция из подпространства $E(\Lambda, (a,b))$ или $E(\Lambda, I_W)$ представляется в виде такого ряда, сходящегося при некоторой группировке его членов в топологии пространства $\mathcal E(a,b)$ или соответственно пространства $\mathcal E(I_W)$? Этим вопросам эквивалентны более общие, чем рассмотренные в настоящей работе, интерполяционные задачи на $\Lambda$ для пространств $\mathcal P(a,b) $, $\mathcal P (I_W)$. Изучать их мы планируем в другом месте. 4.3. Возможные соотношения между плотностями $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)$ и $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$В работе [5] нами был приведен пример последовательности $\Lambda$, для которой
$$
\begin{equation*}
D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)=0, \qquad D_{\mathrm{sd}}(\Lambda) =\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта последовательность состоит из точек $j^2$, каждая взята с кратностью $[\ln^{3/2}j]$, $j=2,3,\dots$ . Здесь будет показано, что для любого $\delta\in (0,1)$ существует последовательность $\Lambda$, удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation*}
0<D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)<\delta, \qquad D_{\mathrm{sd}}(\Lambda) =1.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта последовательность служит нетривиальной иллюстрацией к замечанию 2. Фиксируем $M_0\in\mathbb N$, $M_0>\delta^{-1}$, и положим $\Lambda =\Lambda'\cup \Lambda''$, где $\Lambda'=\{\pm kM_0\}_{k=1}^{\infty}$, $\Lambda''=\bigcup_{j=0}^{\infty}\Lambda''_j$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Lambda''_0 =\{ k_0M_0+1, \ k_0M_0+2,\dots, k_0M_0+[\ln^3(k_0M_0)]\}, \\ \Lambda''_j =\{ k_jM_0+1, \ k_jM_0+2,\dots, k_jM_0+[\ln^3(k_jM_0)]\}, \\ k_j =\biggl[\frac{2^{k_{j-1}M_0}}{M_0}\biggr]+1, \qquad j=1,2,\dots, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при этом натуральное число $k_0$ выбирается столь большим, что
$$
\begin{equation*}
\Lambda'\cap\Lambda''=\varnothing, \qquad\Lambda'_{j}\cap\Lambda'_{j+1}=\varnothing, \quad j=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь, например, на результаты работы [9; IX.D], нетрудно убедиться в том, что $D_{\mathrm{BM}}(\Lambda)={1}/{M_0}$. Также ясно, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda)\leqslant 1$, так как $\Lambda$ – подмножество нулей медленно убывающей функции ${\sin\pi z}/(\pi z)$, принадлежащей $\mathcal P([-\pi,\pi])$. Покажем, что $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\sigma<\pi$. Предположим противное: пусть $\varphi$ – медленно убывающая функция экспоненциального типа $\sigma<\pi$ такая, что $\varphi (\Lambda) =0$. В силу замечания 1, сделанного нами выше, в п. 3.2, и [19; лемма 1], можем считать, что нулевое множество $Z_{\varphi}$ функции $\varphi$ лежит на вещественной оси. Введем обозначения: $\mathcal M=Z_{\varphi}\setminus \Lambda$, $n_{Z_{\varphi}} (t)$ – число точек последовательности $Z_{\varphi }$ в промежутке $(0,t]$, $t>0$, и $(-n_{Z_{\varphi}} (t))$ – число точек последовательности $Z_{\varphi }$ в промежутке $[t,0)$, $t<0$. Аналогичный смысл имеют обозначения $n_{\Lambda} (t)$, $n_{\mathcal M} (t)$. Согласно [19; теорема 1] должно выполняться соотношение
$$
\begin{equation}
n_{Z_{\varphi}} (t)-\gamma t=O(\ln^2|t|), \qquad |t|\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $\gamma =\sigma/\pi \in (M_0^{-1},1)$. Полагая
$$
\begin{equation*}
\widetilde t_j=k_jM_0, \qquad t_j=k_jM_0+[\ln^3(k_jM_0)], \quad j=0, 1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
можем написать
$$
\begin{equation}
n_{\Lambda} (\widetilde t_j) =\frac{1}{M_0}\widetilde t_j +O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
$$
\begin{equation}
n_{\Lambda} ( t_j) =\frac{1}{M_0}\widetilde t_j +[\ln^3(\widetilde t_j)]+O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation*}
n_{\mathcal M} (\widetilde t_j) = \biggl(\gamma-\frac{1}{M_0}\biggr)\widetilde t_j +O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (4.8) выводим, что
$$
\begin{equation*}
n_{Z_{\varphi}} (t_j)\geqslant \gamma \widetilde t_j +[\ln^3(\widetilde t_j)]+O(\ln^2\widetilde t_j), \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так как, очевидно, $n_{Z_{\varphi}} (t_j)=n_{\Lambda} (t_j)+n_{\mathcal M} (t_j)$ и $n_{\mathcal M} (t_j)\geqslant n_{\mathcal M} (\widetilde t_j)$. Принимая во внимание определения $\widetilde t_j$ и $t_j$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
n_{Z_{\varphi}} (t_j)\geqslant \gamma t_j + (1-\gamma )[\ln^3t_j]+O(\ln^2t_j), \qquad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречит оценке (4.6). 4.4. (Не)достижимость инфимума в определении $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)$В предыдущем пункте и в замечании 2 мы выяснили, что между достаточным и необходимым для разрешимости интерполяционной задачи условиями $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) <|I|$ и $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ имеется “положительный зазор”, включающий в себя следующее промежуточное условие: существует медленно убывающая функция $\varphi$, экспоненциальный тип которой не превосходит $|I|/2$, такая, что $\varphi(\Lambda )=0$. Это условие является достаточным для разрешимости соответствующей интерполяционной задачи. Очевидно, что неравенство $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ также вытекает из этого условия. В связи с вышесказанным возникает естественный вопрос: следует ли из неравенства $2\pi D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) \leqslant |I|$ существование медленно убывающей функции, экспоненциальный тип которой не превосходит $|I|/2$, и которая равна нулю на $\Lambda$? Сейчас мы покажем, что ответ на этот вопрос отрицательный. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\Phi (z)=\frac{\sqrt{z}\sin \pi z}{\sin\pi\sqrt{z}}+\frac{\sin\pi z}{s(z)},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $s (z)=\prod_{k=1}^{\infty}( 1-{z}/{2^{k}})$. Ясно, что $\Phi\in\mathcal P$ и ее экспоненциальный тип равен $\pi$, а множество нулей $\Lambda$ этой функции удовлетворяет условию $D_{\mathrm{BM}} (\Lambda ) =1$. Наша цель – доказать, что $D_{\mathrm{sd}} (\Lambda) =1$, но при этом $\Lambda$ не является нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\pi$. Напомним хорошо известные факты об асимптотическом поведении функций $\sin\pi z$ и ${\sin\pi\sqrt{z}}/{\sqrt{z}}$. При любом достаточно малом фиксированном $\delta>0$ имеем
$$
\begin{equation}
\ln |\sin\pi z|=\pi|{\operatorname{Im}z}| + O(1), \qquad |z|\to\infty, \quad |z-k|\geqslant\delta, \quad k\in\mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
\ln\biggl|\frac{\sin\pi\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\biggr|= O(1), \qquad x\to+\infty, \quad |x-k^2|\geqslant \delta, \quad k=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
\ln\biggl|\frac{\sin\pi\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\biggr|= \pi \sqrt{|x|}+ O(1), \qquad x\to -\infty.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Принимая во внимание оценки (4.1) для функции $\ln |s|$, а также соотношения (4.10)–(4.12), нетрудно вывести, что функция $|\Phi |$ ограничена сверху и снизу положительными постоянными на полуоси $[0,\infty)$, но она убывает быстрее любой функции $|x|^{-n}$, $n=1,2,\dots$, при $x\to -\infty$. Поэтому $\Phi$ не является медленно убывающей функцией. Пусть для некоторой $\Psi\in\mathcal P$ частное $\Psi/\Phi $ есть целая функция минимального типа при порядке 1. Тогда в силу (4.1), (4.10)–(4.12) порядок функции $\Psi/\Phi $ во всей плоскости равен 0. Учитывая, что на положительной полуоси эта функция имеет полиномиальный рост, заключаем, что $\Psi/\Phi$ – многочлен. Поэтому $\Lambda$ не может быть нулевым подмножеством никакой медленно убывающей функции экспоненциального типа $\pi$. С другой стороны, для произвольного $\varepsilon\in (0,1)$ положим Используя (4.1) и (4.9)–(4.12), нетрудно проверить, что $\Phi\omega_{\varepsilon} $ – медленно убывающая функция экспоненциального типа $\pi (1+\varepsilon)$. Учитывая произвольность $\varepsilon>0$, заключаем, что $D_{\mathrm{sd}}(\Lambda)=1$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Abu22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|