| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Формы поверхностей дель Пеццо степеней А. В. Зайцев Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9686e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПоверхностью дель Пеццо называется гладкая проективная поверхность $X$, антиканонический класс которой обилен. Группы автоморфизмов поверхностей дель Пеццо над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль были полностью описаны в работе И. В. Долгачева и В А. Исковских [1] в процессе исследования конечных подгрупп в группе бирациональных автоморфизмов проективной плоскости. Над произвольными полями есть лишь частичные результаты про автоморфизмы поверхностей дель Пеццо, ознакомиться с ними можно в статье И. В. Долгачева и В. А. Исковских [2] и в статье Е. А. Ясинского [3] (см. также [4]). В идеале хотелось бы получить полное описание возможных групп автоморфизмов поверхностей дель Пеццо над данным полем подобно тому, что было сделано в одномерном случае в работах [5] и [6], или хотя бы описание групп, действующих на поверхностях дель Пеццо минимально ввиду возможных приложений к классификации конечных подгрупп в группе бирациональных автоморфизмов плоскости над произвольными полями. Степенью поверхности дель Пеццо называется индекс самопересечения канонического класса $K_X$. Этот индекс может принимать целые значения от 1 до 9. В настоящей работе исследуются поверхности дель Пеццо степеней 5 и 6 над различными полями. В случае алгебраически (или сепарабельно) замкнутого поля поверхность дель Пеццо степени $d$ либо изоморфна $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, либо получается раздутием проективной плоскости в $9 - d$ точках общего положения. В частности, для $d=5, 6$ эти поверхности единственны с точностью до изоморфизма. В случае произвольного поля $K$ появляется дополнительный инвариант в виде действия группы Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K )$ на графе $(-1)$-кривых. Как раз этот инвариант будет изучаться в настоящей работе. Рассмотрим произвольное поле $K$. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 5 над $K$. Группа Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K )$ действует на графе $(-1)$-кривых автоморфизмами. Группа автоморфизмов этого графа изоморфна симметрической группе $\mathfrak{S}_5$, см. [7; § 8.5.4], так что мы получаем гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
h\colon\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)\to\mathfrak{S}_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот же гомоморфизм соответствует действию перестановками группы Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$ на пяти структурах расслоения на коники, имеющихся на $X$. Пусть $H$ – подгруппа в $\mathfrak{S}_5$, обозначим через $[H]$ ее класс сопряженности. Понятно, что класс сопряженности не определяется классом изоморфизма, например, подгруппа $\langle (12)\rangle$ не сопряжена подгруппе $\langle (12)(34)\rangle$ (для наглядности все классы сопряженности выписаны в начале § 2). Определение 1.1. Поверхность дель Пеццо степени $5$, для которой $\operatorname{Im}{h}\in [H]$, назовем поверхностью дель Пеццо степени $5$ типа $[H]$. Отметим, что класс изоморфизма поверхности дель Пеццо степени 5, вообще говоря, не определяется ее типом, см. замечание 3.3. Классификация поверхностей дель Пеццо степени 5 над полями нулевой характеристики с точностью до изоморфизма описана в [8; теорема 3.1.3]; см. также [9; предложение 4.7, (iv)]. В этой работе будет доказана следующая теорема. Теорема 1.2. Над полем $K$ существует поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ тогда и только тогда, когда существует расширение Галуа полей $L\supset K$, группа Галуа которого изоморфна $H$. Для некоторых важных типов полей теорема 1.2 дает простое необходимое и достаточное условие существования поверхности дель Пеццо степени 5 данного типа. Следствие 1.3. Пусть $\mathbb{F}$ – числовое поле. Тогда над $\mathbb{F}$ существуют поверхности дель Пеццо степени 5 всех типов. Следствие 1.4. Пусть $\mathbb{F}$ – конечное поле. Тогда над $\mathbb{F}$ существует поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ тогда и только тогда, когда $H$ – циклическая группа. Отметим, что для полей нулевой характеристики теорема 1.2 может быть выведена из более точного результата [8; теорема 3.1.3]. Мы же доказываем ее другим способом при помощи более элементарного и более геометрического подхода, который работает для произвольных полей, в частности несовершенных. Кроме того, преимуществом более грубой классификации, которую дает теорема 1.2, является то, что именно в таких терминах удобно описывать группы автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 5. Вторым основным результатом этой работы является классификация групп автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 5 в зависимости от их типа. Напомним, что над алгебраически замкнутым полем группа автоморфизмов поверхности дель Пеццо степени 5 изоморфна группе $\mathfrak{S}_5$. Теорема 1.5. Группа автоморфизмов поверхности дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ изоморфна централизатору подгруппы $H$ в группе $\mathfrak{S}_5$. Явный список групп автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 5 можно найти в § 8. Также отметим, что теорема 1.5 позволяет получить для каждой подгруппы $G\subset\mathfrak{S}_5$ критерий существования $G$-минимальной поверхности дель Пеццо степени 5 над данным полем (напомним, что поверхность дель Пеццо $X$ с действием группы $G$ называется $G$-минимальной, если $\operatorname{rkPic}(X)^G\,{=}\,1$). А именно, в работе будет доказано следующее предложение. Предложение 1.6. Пусть дана подгруппа $G\subset\mathfrak{S}_5$. Над полем $K$ существует $G$-минимальная поверхность дель Пеццо степени $5$ тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий. 1. Группа $G$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. 2. Группа $G$ тривиальна и существует расширение Галуа полей $L\supset K$ такое, что группа $\operatorname{Gal} (L/K)$ изоморфна подгруппе в $\mathfrak{S}_5$ и содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. По аналогии с поверхностями дель Пеццо степени 5 можно определить тип поверхности дель Пеццо степени 6, определенной над полем $K$: это класс сопряженности образа группы $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ в группе $\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, подробнее см. § 9. Как следствие теоремы 1.2 мы докажем следующую теорему. Теорема 1.7. Над полем $K$ существует поверхность дель Пеццо степени $6$ типа $[H]$ тогда и только тогда, когда существует расширение Галуа полей $L\supset K$, группа Галуа которого изоморфна $H$. План работы таков. В § 2 мы соберем некоторые общие утверждения. В § 3 и § 4 рассмотрим способы построения поверхностей дель Пеццо степени 5. В § 5 сформулируем и докажем ключевые леммы для доказательства теоремы 1.2. В § 6 и § 7 докажем теорему 1.2 для бесконечных и для конечных полей соответственно. Затем, в § 8 мы докажем теорему 1.5 и предложение 1.6. И, наконец, в § 9 докажем теорему 1.7. В работе будут использоваться следующие обозначения. Пусть $X$ – алгебраическое многообразие над полем $K$ и $L\supset K$ – расширение полей. Тогда через $X_L$ обозначим расширение скаляров $X$ с $K$ на $L$. Через $\overline{K}$ обозначим алгебраическое замыкание поля $K$, а через $K^{\mathrm{sep}}$ обозначим сепарабельное замыкание. § 2. Предварительные сведенияВ этом параграфе мы соберем некоторые (хорошо известные) общие утверждения, на которые впоследствии будет удобно ссылаться. Но сначала перечислим все классы сопряженности подгрупп в группе $\mathfrak{S}_5$ и зафиксируем обозначения: – класс $[e]$ тривиальной подгруппы; – класс $[\langle(1,2)\rangle]$ подгруппы порядка 2, порожденной транспозицией; – класс $[\langle(1,2)(3,4)\rangle]$ подгруппы порядка 2, порожденной перестановкой, являющейся произведением двух непересекающихся транспозиций; – класс $[\langle(1,2),(3,4)\rangle]$ подгруппы порядка 4, порожденной парой непересекающихся транспозиций; – класс $[\langle(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\rangle]$ подгруппы порядка 4, порожденной двумя различными перестановками, каждая из которых является произведением двух непересекающихся транспозиций; – классы $[\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}]$, $[\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}]$, $[\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}]$ и $[\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}]$ циклических подгрупп порядка 3, 4, 5 и 6; – классы $[\mathrm{D_4}]$, $[\mathrm{D_5}]$ подгрупп диэдра из 8 и 10 элементов; – два класса $[\langle(1,2,3),(1,2)\rangle]$ и $[\langle(1,2,3),(1,2)(4,5)\rangle]$ подгрупп, изоморфных $\mathfrak{S}_3$; – класс $[\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$ подгруппы, изоморфной прямому произведению $\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$; – классы $[\mathfrak{A}_4]$, $[\mathfrak{A}_5]$ знакопеременных подгрупп степеней 4 и 5; – классы $[\mathfrak{S}_4]$, $[\mathfrak{S}_5]$ симметрических подгрупп степеней 4 и 5; – класс $[\mathrm{GA}(1,5)]$ группы $\mathrm{GA}(1,5)\simeq\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Всего 19 классов. Замечание 2.1. Максимальные по включению подгруппы в $\mathfrak{S}_5$, не содержащие элемент порядка $5$, – это $\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ и $\mathfrak{S}_4$. Лемма 2.2. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо над полем $K$. Тогда любая $(-1)$-кривая на $X_{\overline{K}}$ определена над $K^{\mathrm{sep}}$. Доказательство. Пусть $\mathcal{H}$ – схема Гильберта $(-1)$-кривых на поверхности дель Пеццо степени 5. Докажем, что эта схема гладкая. Для этого посчитаем касательное пространство в точке $[l]\in\mathcal{H}$, соответствующей $(-1)$-кривой $l\simeq\mathbb{P}^1$. Как известно, см. [10; гл. VI, § 4, теорема 4], касательное пространство $T_{[l]}\mathcal{H}$ изоморфно $H^0(l,\mathcal{N}_{l/X})$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
T_{[l]}\mathcal{H}\simeq H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, схема $\mathcal{H}$ гладкая. Поэтому $K^{\mathrm{sep}}$-точки плотны в $\mathcal{H}_{\overline{K}}$, см. [11; лемма 056U]. Но $\mathcal{H}_{\overline{K}}$ конечная, следовательно, все точки схемы $\mathcal{H}_{\overline{K}}$ определены над $K^{\mathrm{sep}}$. Лемма доказана. Лемма 2.3. Пусть дано поле $K$. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ над $K$. Тогда существует расширение Галуа полей $L\supset K$, группа Галуа которого изоморфна $H$, и каждая $(-1)$-кривая на $X_{\overline{K}}$ определена над $L$. Доказательство. Перейдем к сепарабельному замыканию нашего поля. Из леммы 2.2 мы знаем, что каждая $(-1)$-кривая на $X_{\overline{K}}$ определена над $K^{\mathrm{sep}}$. В таком случае группа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$ действует на графе $(-1)$-кривых автоморфизмами, из этого действия получаем гомоморфизм $h\colon\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)\to\mathfrak{S}_5$. Обозначим через $G$ ядро этого гомоморфизма. Положим $L=(K^{\mathrm{sep}})^G$. Тогда $L\supset K$ – конечное расширение Галуа с группой Галуа $\operatorname{Gal}(L/K)\simeq H$, см. [11; теорема 0BML]. А поскольку каждая $(-1)$-кривая инвариантна относительно действия группы $G$, то каждая $(-1)$-кривая на $X_{\overline{K}}$ определена над $L$. Лемма доказана. Определение 2.4. Пусть дано поле $K$. Набор различных $K$-точек проективной плоскости $\mathbb{P}^2_K$ назовем точками общего положения, если никакие три из них не лежат на одной прямой. Лемма 2.5. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени $d\leqslant 5$ над полем $K$. Тогда естественное действие группы $\operatorname{Aut}(X)$ на графе $(-1)$-кривых поверхности $X_{K^{\mathrm{sep}}}$ автоморфизмами эффективно. Доказательство. Покажем, что действие эффективное. Обозначим ядро этого действия через $G$. Тогда существует $G$-эквивариантный морфизм стягивающий $9 - d\geqslant 4$ непересекающихся $(-1)$-кривых. Образом этих $9 - d$ кривых будут $9 - d$ точек общего положения. Но группа автоморфизмов проективной плоскости, оставляющих на месте четыре точки общего положения, тривиальна. Значит, $G$ тривиальна и действие эффективное. Лемма доказана. Обозначим через $\Gamma$ граф пересечения $(-1)$-кривых поверхности дель Пеццо степени 5 над алгебраически замкнутым полем. Граф $\Gamma$ является кнезеровским графом $\mathrm{KG}_{5,2}$, рис. 1. То есть его вершины соответствуют двухэлементным подмножествам пятиэлементного множества. Ребро между двумя вершинами проведено тогда и только тогда, когда соответствующие двухэлементные подмножества не пересекаются. Его группа автоморфизмов изоморфна группе перестановок $\mathfrak{S}_5$. Следствие 2.6 (см. [7; теорема 8.5.8] или [12; предложение 3.4]). Группа автоморфизмов поверхности дель Пеццо степени 5 вкладывается в группу перестановок $\mathfrak{S}_5$. Следующая лемма понадобится нам в § 9 при доказательстве теоремы 1.7. Лемма 2.7. Пусть $\Gamma$ – граф $(-1)$-кривых на поверхности дель Пеццо степени 5. Пусть $G\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ – подгруппа в $\mathrm{Aut}(\Gamma)\simeq\mathfrak{S}_5$. Тогда существует вершина $v$ графа, инвариантная относительно действия группы $G$. Доказательство. Сначала заметим, что у графа $\Gamma$ есть вершина, инвариантная относительно действия группы $G'=\langle(1,2,3), (1,2), (4,5)\rangle$. Действительно, таковой является вершина, соответствующая подмножеству $\{4,5\}$, см. рис. 1. Группы $G$ и $G'$ сопряжены в $\mathfrak{S}_5$, т.е. существует перестановка $\sigma\in\mathfrak{S}_5$ такая, что $G'=\sigma^{-1} G\sigma$. Отсюда видно, что вершина, соответствующая подмножеству $\{\sigma(4),\sigma(5)\}$, инвариантна относительно действия группы $G$. Лемма доказана. Аналогичными рассуждениями доказывается следующая лемма. Лемма 2.8. Пусть $\Gamma$ – граф $(-1)$-кривых на поверхности дель Пеццо степени 5. Пусть $G$ – подгруппа в $\mathrm{Aut}(\Gamma)\simeq\mathfrak{S}_5$. Предположим, что не существует $G$-инвариантного набора вершин графа $\Gamma$, никакие две из которых не соединены ребром. Тогда $G$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Доказательство. Предположим, что $G$ не содержит элемент порядка $5$, можно считать, что $G$ максимальная с таким свойством. Тогда по замечанию 2.1 $G\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ или $G\simeq\mathfrak{S}_4$. В первом случае по лемме 2.7 есть $G$-инвариантная вершина, во втором случае найдется $G$-инвариантный набор из четырех вершин, никакие две из которых не соединены ребром. Получили противоречие, значит, группа $G$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Лемма доказана.
§ 3. Построение поверхностей дель Пеццо степени $5$. Первая конструкцияВ этом параграфе мы построим поверхности дель Пеццо степени $5$ некоторых типов, раздувая проективную плоскость в замкнутом множестве. От этого замкнутого множества требуется, чтобы после перехода к сепарабельному замыканию оно являлось объединением четырех точек общего положения. Пример 3.1. Поверхность типа $[e]$ можно построить над любым полем $K$. Для этого выберем четыре точки общего положения на проективной плоскости $\mathbb{P}^2_K$ (такие существуют даже над полем из двух элементов). Раздувая плоскость в выбранной четверке точек, мы получим поверхность дель Пеццо степени $5$. Причем все $(-1)$-кривые построенной поверхности определены над $K$, значит, группа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K )$ действует на графе $(-1)$-кривых тривиально. Следовательно, построенная поверхность имеет тип $[e]$. Пример 3.2. Поверхность типа $\langle[(1,2)]\rangle$ может быть построена уже не над любым полем. Пусть нам дано поле $K$ и дано расширение Галуа полей $L\supset K$ с группой Галуа, изоморфной $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Обозначим через $\omega$ элемент, порождающий расширение $L\supset K$. Через $\overline{\omega}$ обозначим образ $\omega$ при действии нетривиальным элементом группы Галуа $\operatorname{Gal}(L/K)$. Рассмотрим четверку точек, лежащих в проективной плоскости $\mathbb{P}^2_{K^{\mathrm{sep}}}$: Замечание 3.3. Существуют неизоморфные поверхности дель Пеццо степени $5$ одинакового типа. Действительно, рассмотрим поле $K$, у которого существуют два различных квадратичных расширения Галуа $L\supset K$ и $L'\supset K$. Для каждого расширения можно построить поверхность типа $[\langle(1,2)\rangle]$ способом, описанным в примере 3.2. Получившиеся поверхности дель Пеццо степени 5 имеют одинаковый тип, но не являются изоморфными. Пример 3.4. Воспользуемся обозначениями примера 3.2 и рассмотрим четверку точек, лежащих в проективной плоскости $\mathbb{P}^2_{K^{\mathrm{sep}}}$: Данная четверка образует замкнутое множество, определенное над $K$. Раздувая проективную плоскость $\mathbb{P}^2_{K}$ в этом замкнутом множестве, мы получим поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[\langle(1,2)(3,4)\rangle]$. Пример 3.5. Пусть нам дано поле $K$ и тройка точек общего положения на проективной плоскости $\mathbb{P}^2_{K^{\mathrm{sep}}}$, инвариантная относительно действия группы $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$. Пусть также известно, что образ действия группы $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K)$ в группе перестановок этих трех точек изоморфен $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Добавим к этой тройке $K$-точку такую, чтобы получившаяся четверка точек была в общем положении над $K^{\mathrm{sep}}$ (в качестве такой $K$-точки подойдет любая, так как исходные три точки находились в общем положении над $K^{\mathrm{sep}}$ и переставлялись по циклу, т.е. никакая из трех прямых, проходящих через две из трех точек не может содержать $K$-точку). Полученная четверка точек образует замкнутое множество, определенное над $K$. Раздувая проективную плоскость $\mathbb{P}^2_{K}$ в этом замкнутом множестве, мы получим поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}]$. Замечание 3.6. С помощью этой конструкции можно построить поверхности дель Пеццо степени 5 только типа $[H]$, где $H$ содержится в $G\subset\mathfrak{S}_5$, $G\simeq S_4$. § 4. Построение поверхностей дель Пеццо степени $5$. Вторая конструкцияРассмотрим произвольное поле $K$. Пусть $C$ – гладкая коника в проективной плоскости $\mathbb{P}^2_{K}$, содержащая $K$-точку. Предположим, что на $C$ нашлась пятерка $K^{\mathrm{sep}}$-точек $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$, инвариантная относительно действия группы $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$. Поскольку указанная пятерка точек инвариантна относительно действия группы $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$, то объединение этих пяти точек является замкнутым множеством $Z$, определенным над $K$. Раздуем плоскость $\mathbb{P}^2_{K}$ в множестве $Z$ и стянем собственный прообраз коники $C$. Мы получим поверхность $X$, являющуюся поверхностью дель Пеццо степени $5$. Впоследствии в § 7 мы увидим, что эта конструкция дает все возможные типы поверхностей дель Пеццо степени $5$, за исключением поверхности типа $[e]$ над полями из двух и трех элементов. Из этой конструкции видно, что группа $\mathfrak{S}_5$ изоморфно отображается в группу автоморфизмов графа $(-1)$-кривых на $X_{K^{\mathrm{sep}}}$. Переставляя пять указанных точек на конике, мы переставляем десять прямых, соединяющих эти точки, и, как следствие, мы переставляем $(-1)$-кривые на поверхности раздутия с сохранением пересечений, т.е. получаем автоморфизм графа. Единственная перестановка точек, которая действует тривиально, это тождественная перестановка. Таким образом, указанное действие задает изоморфизм группы $\mathfrak{S}_5$ с группой автоморфизмов графа $(-1)$-кривых. Замечание 4.1. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени $5$ над полем $K$. Как известно, поверхность $X$ имеет $K$-точку, см., например, [12]. Предположим, что нашлась $K$-точка, не лежащая на $(-1)$-кривых (такая $K$-точка найдется всегда, если поле $K$ бесконечно, поскольку в этом случае $K$-точки на $X$ плотны по Зарисскому (ср. с доказательством [12; теорема 4.4]), но, например, на поверхности дель Пеццо степени 5 типа $[e]$ над полем из двух элементов такой точки нет). Тогда описанная выше конструкция обратима. А именно, можно раздуть точку, не лежащую на $(-1)$-кривых, получить $X'$ – поверхность дель Пеццо степени $4$. На $X'_{K^{\mathrm{sep}}}$ найдется пятерка не пересекающихся $(-1)$-кривых, инвариантная относительно действия группы $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ (она состоит ровно из $(-1)$-кривых, пересекающих исключительную кривую $l$ раздутия $X'\to X$). Следовательно, определено стягивание $X'$ на $\mathbb{P}^2_K$, причем образом $l$ является рациональная коника. Данное соображение доказывает, что над бесконечным полем любая поверхность дель Пеццо степени $5$ может быть получена описанной конструкцией. Еще это соображение можно использовать для альтернативного доказательства необходимого условия в теореме 1.2 над бесконечными полями (ср. [13; § 10]). § 5. Точки аффинной прямой и действие группы ГалуаКак мы только что увидели, чтобы построить поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$, достаточно предъявить пятерку точек на конике, перестановки которых под действием группы Галуа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K)$ образуют подгруппу $R\subset{\mathfrak{S}_5}$, $R\in [H]$. Ввиду того, что коника, имеющая $K$-точку, изоморфна проективной прямой, нам достаточно предъявлять эту пятерку точек на $\mathbb{P}^1$ и на самом деле даже на аффинной прямой $\mathbb{A}^1$. Посмотрим, какие бывают наборы точек на аффинной прямой с точки зрения действия на них группы Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$. Идея доказательства следующей леммы была взята из ответа Дж. Рауса в обсуждении [14] на сайте https://mathoverflow.net. Лемма 5.1. Пусть даны натуральное число $n$, группа $G$ и транзитивное действие группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots n\}$. Пусть также дано расширение Галуа полей $L\supset K$ с группой Галуа, изоморфной $G$. Обозначим через $H$ стабилизатор элемента $1$ в $G$ и рассмотрим поле $M=L^H$. Тогда верны следующие утверждения. 1. Расширение $M\supset K$ имеет степень $n$. 2. Существует элемент $\beta_1\in M$ такой, что $M=K(\beta_1)$. 3. Пусть $\mu(x)$ – минимальный многочлен элемента $\beta_1$ над $K$. Тогда действие группы Галуа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K)$ на корнях многочлена $\mu(x)$ эквивалентно действию группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots, n\}$. 4. Можно занумеровать корни $\beta_1$, $\beta_2$, $\dots$, $\beta_n$ многочлена $\mu(x)$ таким образом, чтобы для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ было выполнено равенство $g(\beta_i)=\beta_{g(i)}$. Доказательство. Степень расширения $M\supset K$ вычисляется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[M:K]=\frac{[L:K]}{[L:M]}=\frac{|\operatorname{Gal} (L/K)|}{|\operatorname{Gal} (L/M)|}=\frac{|G|}{|H|}=n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку расширение полей $L\supset K$ сепарабельно, то и расширение $M\,{\supset}\, K$ сепарабельно. Тогда по теореме о примитивном элементе (см. [15; § 46]) расширение $M\supset K$ простое, т.е. $M= K(\beta_1)$. Таким образом, утверждения 1 и 2 доказаны.
Так как расширение $L\supset K$ нормально, то корни многочлена $\mu(x)$ лежат в поле $L$. Значит, группа Галуа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/L)$ действует на корнях тривиально, и все нетривиальное действие происходит из группы $\operatorname{Gal} (L/K)\simeq G$. Действие группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots, n\}$ эквивалентно действию на левых смежных классах по подгруппе $H$. Покажем, что и действие группы $G$ на корнях $\mu(x)$ эквивалентно действию на смежных классах по той же самой группе $H$. Обозначим через $S$ стабилизатор корня $\beta_1$. Поскольку действие группы $G$ на корнях многочлена $\mu(x)$ транзитивно (действительно, мы можем переводить корень $\beta_1$ в любой из корней многочлена $\mu(x)$), то $[G:S]=n$. Поскольку $\beta_1$ лежит в поле $L^H$, то подгруппа $H$ содержится в подгруппе $S$, а учитывая, что индекс подгруппы $H$ в группе $G$ также равен $n$, мы делаем вывод, что $H=S$. Действие группы $G$ на корнях многочлена $\mu(x)$ эквивалентно действию $G$ на левых смежных классах по подгруппе $H$, и это доказывает утверждение 3. Занумеруем классы смежности $H_1=H$, $H_2$, $\dots$, $H_n$ таким образом, чтобы для любого $i\in\{1,2,\dots,n\}$ класс $H_i$ переводил элемент 1 в элемент $i$, в этой нумерации для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ выполнено равенство $gH_i=H_{g(i)}$. Теперь занумеруем корни следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta_2=h_2(\beta_1),\qquad h_2\in H_2; \\ \beta_3=h_3(\beta_1),\qquad h_3\in H_3; \\ \dots \\ \beta_n=h_n(\beta_1),\qquad h_n\in H_n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что во введенных обозначениях для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ выполнено равенство $g(\beta_i)=\beta_{g(i)}$, тем самым утверждение 4 доказано.
Лемма доказана. Определение 5.2. Пусть $G$ – подгруппа симметрической группы $\mathfrak{S}_n$. Назовем сложностью $c(G)$ группы $G$ максимальное число орбит одинаковой длины при действии $G$ на множестве $\{1,2,\dots, n\}$. Лемма 5.3. Пусть даны два натуральных числа $n$ и $k$, группа $G$, вложенная в $\mathfrak{S}_n$, сложности $k$. Пусть дано поле $K$, в котором не меньше $k+1$ элементов. Если существует расширение Галуа $L\supset K$ с группой Галуа, изоморфной $G$, то на аффинной прямой над $L$ найдется набор из $n$ точек $\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\}$ такой, что для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ выполнено равенство $g(\beta_i)=\beta_{g(i)}$. Доказательство.
Будем доказывать индукцией по количеству орбит действия группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots,n\}$.
База: одна орбита. Так как орбита всего лишь одна, то $G$ – транзитивная подгруппа, и искомый набор точек мы уже умеем предъявлять. Действительно, в качестве таких точек подойдут корни многочлена $\mu(x)$, определенного в лемме 5.1. Шаг: пусть мы умеем предъявлять искомый набор для действия c $m$ орбитами, предъявим набор для действия с $m + 1$ орбитами. Итак, пусть под действием группы $G$ множество $\{1,2,\dots,n\}$ распадается на $m+1$ орбит. Выберем одну из орбит наименьшей длины – $\{i_1, i_2,\dots, i_l\}$, здесь $l$ – длина выбранной орбиты. На множестве $\{i_1, i_2,\dots, i_l\}$ группа $G$ действует транзитивно, поэтому согласно базе индукции найдется набор из $l$ точек $\{\beta'_{i_1},\beta'_{i_2},\dots,\beta'_{i_l}\}$ на аффинной прямой над $L$ таких, что для любого $g\in G$ и для любого $s\in\{1,2,\dots, l\}$ выполнено равенство $g(\beta' _{i_s})=\beta'_{g(i_s)}$. Причем можно считать, что $\beta'_{i_1}$ отлична от нуля (это всегда так, если $l > 1$, если же $l=1$, то в качестве $\beta'_{i_1}$ можно взять 1). Теперь рассмотрим множество $\{1,2,\dots,n\}\setminus\{i_1, i_2,\dots, i_l\}$, обозначим его $\{j_1, j_2,\dots, j_{n - l}\}$. На множестве $\{j_1, j_2,\dots, j_{n - l}\}$ группа $G$ действует с $m$ орбитами, значит, по предположению индукции найдется набор из $n - l$ точек $\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$ на аффинной прямой над $L$ таких, что для любого $g\in G$ и для любого $s\in\{1,2,\dots, n-l\}$ выполнено равенство $g(\beta_{j_s})=\beta_{g(j_s)}$. Предположим, получилось так, что $\{\beta'_{i_1},\beta'_{i_2},\dots,\beta'_{i_l}\}\subset\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$, а нам нужен набор из $n$ различных точек. Заметим, что для любого $a\in K$ множество $\{a\beta'_{i_1}, a\beta'_{i_2},\dots, a\beta'_{i_l}\}$ тоже удовлетворяет необходимому условию, а именно, для любого $g\in G$ и для любого $s\in\{1,2,\dots, l\}$ выполнено равенство $g(a\beta'_{j_s})=a\beta'_{g(j_s)}$. Таким образом, нам достаточно найти такой ненулевой скаляр $a\in K$, что $a\beta'_{i_1}\notin\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$, тогда
$$
\begin{equation*}
\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}\cap\{a\beta'_{i_1}, a\beta'_{i_2},\dots, a\beta'_{i_l}\}=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае набор $\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}\cup\{a\beta'_{i_1}, a\beta'_{i_2},\dots, a\beta'_{i_l}\}$ подойдет в качестве искомого набора.
Предположим, что не нашлось такого ненулевого скаляра $a\in K$, что $a\beta'_{i_1}\notin\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$, значит, верно обратное – для любого ненулевого скаляра $a\in K$ элемент $a\beta'_{i_1}$ содержится в $\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$. По условию леммы мы знаем, что в поле $K$ имеется хотя бы $k$ ненулевых скаляров. Значит, множество $\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}$ содержит хотя бы $k$ элементов, пропорциональных $\beta'_{i_1}$. Каждый из этих элементов лежит в своей уникальной орбите длины $l$, значит, среди орбит действия группы $G$ на множестве $\{j_1, j_2,\dots, j_{n - l}\}$ есть хотя бы $k$ орбит длины $l$. Следовательно, среди орбит действия группы $G$ на всем множестве $\{1,2,\dots,n\}$ есть хотя бы $k+1$ орбит длины $l$, что противоречит условию $c(G)=k$. Итак, мы доказали, что найдется такой ненулевой скаляр $a\in K$, что
$$
\begin{equation*}
\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}\cap\{a\beta'_{i_1}, a\beta'_{i_2},\dots, a\beta'_{i_l}\}=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\beta_{i_1}=a\beta'_{i_1}, \quad\beta_{i_2}= a\beta'_{i_2}, \quad\dots, \quad\beta_{i_l}=a\beta'_{i_l},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда множество
$$
\begin{equation*}
\{\beta_{j_1},\beta_{j_2},\dots,\beta_{j_{n-l}}\}\cup\{\beta_{i_1},\beta_{i_2},\dots,\beta_{i_l}\}=\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
подходит, т.е. для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ выполнено равенство $g(\beta_i)=\beta_{g(i)}$.
Лемма 5.3 доказана. Следствие 5.4. Пусть даны два натуральных числа $n$ и $k$, группа $G$, вложенная в $\mathfrak{S}_n$, сложности $k$. Пусть дано поле $K$, в котором не меньше $k+1$ элементов. Если существует расширение Галуа $L\supset K$ с группой Галуа, изоморфной $G$, то на аффинной прямой над $K^{\mathrm{sep}}$ найдется набор из $n$ точек, действие группы Галуа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K)$ на которых эквивалентно действию группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots,n\}$. Доказательство. Воспользуемся леммой 5.3 и получим набор точек $\{\beta_1, \beta_2, \dots,\beta_n\}$ на $\mathbb{A}^1_L$, в частности на $\mathbb{A}^1_{K^{\mathrm{sep}}}$. Из условия, что для любого $g\in G$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ выполнено равенство $g(\beta_i)=\beta_{g(i)}$, немедленно следует, что действия группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots,n\}$ и на множестве $\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\}$ эквивалентны.
Для любого $i\in\{1,2,\dots, n\}$ элемент $\beta_i$ лежит в поле $L$, значит, действие группы $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ на множестве $\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\}$ индуцировано с действия группы $\operatorname{Gal}(L/K)\simeq G$ при помощи гомоморфизма $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)\to \operatorname{Gal}(L/K)$, следовательно, оно эквивалентно действию группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots,n\}$. Следствие 5.5. Утверждение следствия 5.4 остается верным, если заменить аффинную прямую на проективную. Действительно, воспользуемся следствием 5.4, а затем вкладываем аффинную прямую в проективную. Следствие 5.6. Пусть даны два натуральных числа $n$ и $k$, группа $G$, вложенная в $\mathfrak{S}_n$, сложности $k$. Пусть дано поле $K$, в котором не меньше $k+1$ элементов. Если у поля $K$ есть расширение Галуа с группой Галуа, изоморфной $G$, то на проективной плоскости $\mathbb{P}^2_{K^{\mathrm{sep}}}$ найдется гладкая коника $C$ и набор из $n$ точек на $C$, инвариантный относительно действия группы $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$, такой, что действие группы Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$ на этом наборе эквивалентно действию группы $G$ на множестве $\{1,2,\dots,n\}$. Действительно, воспользуемся следствием 5.5 и изоморфно вложим проективную прямую в проективную плоскость в качестве гладкой коники. § 6. Реализация типов поверхностей дель Пеццо степени $5$ над бесконечными полямиТеперь все готово, чтобы доказать теорему 1.2 о реализации поверхностей дель Пеццо степени 5 различных типов над бесконечными полями. Доказательство теоремы 1.2. Доказательство необходимости приведено в лемме 2.3. Сразу отметим, что в лемме 2.3 нет никаких ограничений на исходное поле, поэтому на самом деле необходимость доказана и для конечных полей тоже.
Теперь докажем достаточность условия. Нам дана подгруппа $H\subset\mathfrak{S}_5$ и известно, что поле $K$ обладает расширением Галуа $L\supset K$ c группой Галуа, изоморфной $H$. Хотим построить поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$. Для этого воспользуемся следствием 5.6 для случая $n=5$, $k= c(H)$, $G=H$ и конструкцией, описанной в § 4. Полученная поверхность будет поверхностью дель Пеццо степени 5 типа $[H]$. Теорема доказана. Доказательство следствия 1.3. Достаточно доказать, что для любой подгруппы $H\subset\mathfrak{S}_5$ существует расширение Галуа полей $\mathbb{F}'\supset\mathbb{F}$ с группой Галуа, изоморфной $H$, и воспользоваться теоремой 1.2 для доказанного случая бесконечного поля.
Отметим, что все подгруппы группы $\mathfrak{S}_5$ являются разрешимыми за исключением $\mathfrak{A}_5$ и $\mathfrak{S}_5$. Наличие расширения Галуа числового поля с заданной разрешимой группой Галуа доказывается в работе И. Р. Шафаревича [16; теорема 7]. О наличии расширений Галуа числового поля с группами Галуа, изоморфными $\mathfrak{A}_5$ и $\mathfrak{S}_5$, можно прочитать в статье [17; § 1]. § 7. Реализация типов поверхностей дель Пеццо степени $5$ над конечными полямиНа самом деле случай конечного поля не сильно отличается от случая бесконечного поля. Например, для полей имеющих семь или больше элементов доказательство теоремы 1.2 дословно совпадает с доказательством из предыдущей главы. В случае полей из двух, трех, четырех и пяти элементов есть некоторые нюансы, однако теорема остается верной. Доказательство теоремы 1.2 (конечное поле). Доказательство необходимого условия теоремы для конечных полей, как уже обсуждалось, исчерпывается леммой 2.3, поэтому сразу перейдем к достаточности.
Итак, пусть нам дана подгруппа $H\subset\mathfrak{S}_5$ и известно, что поле $K$ обладает расширением Галуа $L\supset K$ c группой Галуа, изоморфной $H$. Хотим построить поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$. Надо разобрать пять случаев. 1. $|K| > c(H)$. Воспользуемся следствием 5.6 для случая $n=5$, $k=c(H)$, $G=H$ и конструкцией построения, описанной в § 4. Полученная поверхность будет поверхностью дель Пеццо степени 5 типа $[H]$. 2. $|K|=5=c(H)$. Из равенства $c(H)=5$ следует, что группа $H$ тривиальна. Построение поверхности дель Пеццо степени 5 типа $[e]$ описано в примере 3.1. 3. $|K|=4\leqslant c(H)$. Из неравенства $c(H)\geqslant 4$ следует, что группа $H$ тривиальная. Построение поверхности дель Пеццо степени 5 типа $[e]$ описано в примере 3.1. 4. $|K|=3\leqslant c(H)$. Из неравенства $c(H)\geqslant 3$ следует, что $H$ либо тривиальная, либо порядка 2, порожденная транспозицией. Построения поверхностей дель Пеццо степени 5 типа $[e]$ и типа $[\langle(1,2)\rangle]$ описаны в примерах 3.1 и 3.2. 5. $|K|=2\leqslant c(H)$. Так как $H$ – группа Галуа конечного расширения конечного поля, то группа $H$ циклическая. Неравенству $c(H)\geqslant 2$ удовлетворяют следующие циклические подгруппы:
Теперь все случаи разобраны, и тем самым теорема 1.2 доказана в максимальной общности без каких-либо ограничений на исходное поле. § 8. Группы автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени $5$После того, как мы разобрались с критериями существования поверхностей дель Пеццо степени 5 различных типов над данным полем, естественно задаться вопросом о группе автоморфизмов этих поверхностей. Обозначим через $X$ поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ над полем $K$. Мы уже не раз отмечали, что группа $\operatorname{Gal} ( K^{\mathrm{sep}}/K)$ действует на графе $(-1)$-кривых автоморфизмами, соответствующий гомоморфизм в группу $\mathfrak{S}_5$ мы обозначали через $h$. По лемме 2.5 группа $\operatorname{Aut}(X)$ тоже действует на графе $(-1)$-кривых автоморфизмами. Обозначим соответствующий гомоморфизм в группу $\mathfrak{S}_5$ через $\psi$, из следствия 2.6 мы помним, что $\psi$ – инъекция. Лемма 8.1. Подгруппа $\psi(\operatorname{Aut}(X))$ лежит в централизаторе подгруппы $h(\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K))$. Доказательство. Автоморфизмы поверхности $X$ коммутируют с действием группы Галуа $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ на этой поверхности. Из этого следует, что подгруппы $\psi(\operatorname{Aut}(X))$ и $h(\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K))$ коммутируют, т.е. $\psi(\operatorname{Aut}(X))$ лежит в централизаторе подгруппы $h(\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K))$. Лемма доказана. Обозначение 8.2. Пусть $H$ – подгруппа в группе $G$. Централизатор группы $H$ в группе $G$ будем обозначать $C_G(H)$. Теперь все готово для доказательства теоремы 1.5. Доказательство теоремы 1.5. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H]$ над полем $K$. Без ограничения общности можно считать, что $h(\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K))=H$. Из леммы 8.1 мы знаем, что $\psi(\operatorname{Aut}(X))\subset C_{\mathfrak{S}_5}(H)$. Осталось показать, что эти группы на самом деле совпадают.
Рассмотрим перестановку $\sigma\in C_{\mathfrak{S}_5}(H)$. Поскольку каждая $(-1)$-кривая на $X_{\overline{K}}$ определена над $K^{\mathrm{sep}}$, то существует такой автоморфизм $f$ поверхности $X_{K^{\mathrm{sep}}}$, что $\psi(f)=\sigma$. Через $l_1$, $l_2$, $\dots$, $l_{10}$ обозначим $(-1)$-кривые поверхности $X_{K^{\mathrm{sep}}}$. Тот факт, что $\sigma$ лежит в централизаторе подгруппы $H$, означает, что для любого $\gamma\in\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ и для любого $i\in\{1,2,\dots, 10\}$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
f(\gamma(l_i))=\gamma(f(l_i))=\gamma(f)(\gamma(l_i)),
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\gamma(f)$ – автоморфизм, являющийся результатом действия элемента $\gamma$ на автоморфизме $f$. Из того, что множество $\{\gamma(l_i)\}_{i=1,2,\dots,10}$ совпадает с множеством $\{l_i\}_{i=1,2,\dots,10}$, мы делаем вывод, что автоморфизмы $f$ и $\gamma(f)$ индуцируют один и тот же автоморфизм графа $(-1)$-кривых. Тогда по лемме 2.5 эти автоморфизмы совпадают:
Поскольку выписанное равенство верно для любого $\gamma\in\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$, то, пользуясь равенством мы заключаем, что $f$ определен над $K$. Следовательно, каждая перестановка $\sigma\in C_{\mathfrak{S}_5}(H)$ реализуется автоморфизмом поверхности $X$, т.е. $\psi(\operatorname{Aut}(X))=C_{\mathfrak{S}_5}(H)$. Пользуемся инъективностью $\psi$ и получаем требуемый результат $\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{\mathfrak{S}_5}(H)$. Теорема доказана.Следствие 8.3. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 5. Тогда в зависимости от типа $X$ имеет следующие группы автоморфизмов, представленные в табл. 1. Таблица 1
Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 1.5 и посчитать централизаторы $C_{\mathfrak{S}_5}(H)$ для всех типов поверхностей. Напомним, что поверхность дель Пеццо $X$ с действием группы $G$ называется $G$-минимальной, если $\operatorname{rkPic}(X)^G=1$. Лемма 8.4 (ср. [1; теорема 6.4]). Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 5 над полем $K$, и пусть дана подгруппа $G\subset\operatorname{Aut}(X)\subset\mathfrak{S}_5$. Поверхность $X$ является $G$-минимальной тогда и только тогда, когда группа $\Delta$, порожденная группой $G$ и образом группы $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ при гомоморфизме $h$, содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Доказательство. Рассмотрим точную последовательность групп (см. [18; упр. 3.3.5, (iii)]):
$$
\begin{equation*}
0\to \operatorname{Pic}(X)\to \operatorname{Pic}(X_{K^{\mathrm{sep}}})^{\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)}\to \operatorname{Br}(X)\to \operatorname{Br}(K(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, поскольку на $X$ есть $K$-точка (см., например, [12]), то последний гомоморфизм является вложением, следовательно, Переходя к $G$-инвариантам, получаем изоморфизм:
Теперь, если $X$ является $G$-минимальной, то по лемме 2.8 подгруппа $\Delta$ содержит группу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Наоборот, если подгруппа $\Delta$ содержит группу $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, то $\operatorname{rk}(\operatorname{Pic}(X_{K^{\mathrm{sep}}})^{\Delta})=1$, поскольку пятимерное представление группы $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ над $\mathbb{Q}$, имеющее одномерное тривиальное подпредставление, либо само тривиально (это не так в нашем случае), либо содержит ровно одно одномерное тривиальное подпредставление. То есть $X$ является $G$-минимальной. Лемма доказана. Из леммы 8.1 и леммы 8.4 получаем следствие. Следствие 8.5. Группа автоморфизмов минимальной поверхности дель Пеццо степени 5 либо тривиальна, либо изоморфна $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Теперь докажем предложение 1.6. Доказательство предложения 1.6. Докажем необходимость. Пусть известно, что над полем $K$ существует $G$-минимальная поверхность дель Пеццо степени $5$. Из леммы 8.4 мы знаем, что тогда группа $\Delta$, порожденная группой $G$ и образом группы $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ при гомоморфизме $h$, содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Поскольку подгруппы $G\subset\mathfrak{S}_5$ и $ h(\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K))\subset\mathfrak{S}_5$ коммутируют, то существует сюръективный гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
p\colon G\times h(\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K))\twoheadrightarrow\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, либо группа $G$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, либо $h(\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K))$ содержит подгруппу, изоморфную $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. В первом случае выполняется условие 1 предложения 1.6. Во втором случае по теореме 1.2 выполняется условие 2. Более того, по теореме 1.5 в этом случае $G$ содержится в централизаторе $C_{\mathfrak{S}_5}(h(\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)))$, который в свою очередь содержится в централизаторе $C_{\mathfrak{S}_5}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})\simeq\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Если при этом не выполнено условие 1, т.е. $G$ не содержит $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, то $G$ тривиальна.
Теперь докажем достаточность. Предположим, что выполнено условие 1. Тогда $G$-минимальной поверхностью дель Пеццо степени 5 будет поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[e]$, которая по теореме 1.2 существует над любым полем. Для этой поверхности $G$-минимальность следует из леммы 8.4. Предположим что выполнено условие 2. Тогда по теореме 1.2 над $K$ существует поверхность $X$ дель Пеццо степени 5 типа $[\operatorname{Gal} (L/K)]$. По лемме 8.4 поверхность $X$ будет $G$-минимальной относительно действия тривиальной группы $G$. § 9. Классификация поверхностей дель Пеццо степени $6$Рассмотрим произвольное поле $K$. Пусть $X$ – поверхность дель Пеццо степени 6 над $K$. Группа Галуа $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K )$ действует на графе $(-1)$-кривых автоморфизмами. Поскольку группа автоморфизмов графа $(-1)$-кривых поверхности $X_{K^{\mathrm{sep}}}$ изоморфна группе $\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, см. [7; теорема 8.4.2], мы получаем гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
h\colon\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)\to\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $H$ – подгруппа в $\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, обозначим через $[H]$ ее класс сопряженности. Определение 9.1. Поверхность дель Пеццо степени 6, для которой $\operatorname{Im}{h}\in [H]$, назовем поверхностью дель Пеццо степени $6$ типа $[H]$. Из определения легко видеть, что существует всего десять типов поверхностей дель Пеццо степени 6, а именно: $[e]$, $[\langle((1,2),0)\rangle]$, $[\langle((1,2),1)\rangle]$, $[\langle(\mathrm{id},1)\rangle]$, $[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$, $[\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}]$, $[\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}]$, $[\langle((123),0), ((12),0)\rangle]$, $[\langle((123),0), ((12),1)\rangle]$, $[\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$, ср. с [19; рис. 1]. Доказательство теоремы 1.7. Доказательство необходимого условия абсолютно аналогично доказательству необходимого условия теоремы 1.2. Поэтому сразу перейдем к достаточности.
Нам дана подгруппа $H\subset\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ и известно, что поле $K$ обладает расширением Галуа $L\supset K$ c группой Галуа, изоморфной $H$. Хотим построить поверхность дель Пеццо степени $6$ типа $[H]$. Для этого мы сначала построим поверхность дель Пеццо степени $5$ соответствующего типа. Рассмотрим вложение
$$
\begin{equation*}
i\colon\mathfrak{S}_3\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathfrak{S}_5.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $G$ образ гомоморфизма $i$, положим $H'=i(H)$ и построим поверхность дель Пеццо степени 5 типа $[H']$. Существование такой поверхности гарантировано теоремой 1.2. Поскольку $H'$ – подгруппа в $G$, то по лемме 2.7 найдется вершина $v$ графа $\Gamma$, инвариантная относительно действия группы $H'$. Значит, $(-1)$-кривая, соответствующая вершине $v$, инвариантна относительно действия группы $\operatorname{Gal} (K^{\mathrm{sep}}/K)$, т.е. определена над $K$. Стягивая эту $(-1)$-кривую, мы получим поверхность дель Пеццо степени $6$ типа $[H]$. Теорема доказана. С классификацией рациональных поверхностей дель Пеццо степени $6$ (в частности, $G$-минимальных) над совершенными полями и их группами автоморфизмов можно ознакомиться в [19; § 4].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zai23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|