| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Управляемость разностной аппроксимации для управляемой системы с непрерывным временем Е. Р. Аваковa, Г. Г. Магарил-Ильяевbcd a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9681e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеРабота посвящена построению дискретной управляемой системы, аппроксимирующей исходную управляемую систему с непрерывным временем, и получению достаточных условий ее локальной управляемости. Такая проблема естественно возникает при численном решении задач управления. Начнем с краткого обзора тематики, связанной с управляемостью дискретных систем. На отрезке $[t_0,T]$ рассмотрим следующую управляемую систему:
$$
\begin{equation}
\dot x=f(t,x,u(t)), \qquad u(t)\in U \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0, T],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $f\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ – отображение переменных $t$, $x$ и $u$, $U$ – непустое подмножество $\mathbb R^r$. При численном исследовании такой системы ей обычно сопоставляется для каждого $s\in \mathbb N$ некоторая дискретная систем вида
$$
\begin{equation}
x_{i+1}=f_i(x_i,u_i), \qquad u_i\in U, \quad i=0,1,\dots,s-1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Допустимой траекторией для управляемой системы (2) будем называть конечную последовательность $\overline x=(x_0,x_1,\dots,x_s)$, $x_i\,{\in}\,\mathbb R^n$, $i=0,1,\dots,s$, для которой существует конечная последовательность управлений $\overline u=(u_0,u_1,\dots,u_{s-1})$, $u_i\in\mathbb R^r$, $i=0,1,\dots,s-1$, такая, что выполнены соотношения (2). Через $\mathcal D(x_0,s)$ обозначим множество допустимых траекторий для управляемой системы (2) с начальным вектором $x_0$. В литературе подобную управляемую систему обычно рассматривают как самостоятельную, не связывая ее ни с какой управляемой системой с непрерывным временем. Для исследования управляемости системы (2) вводится следующее множество достижимости:
$$
\begin{equation*}
\mathcal R(x_0,s)=\bigl\{y\in\mathbb R^n \mid \exists\,\overline x\in \mathcal D(x_0,s)\colon x_s=y\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что управляемая система (2) локально управляема относительно допустимой траектории $\widehat{\overline x}=(\widehat x_0,\widehat x_1,\dots,\widehat x_s)$, если $\widehat x_s\in \operatorname{int}\mathcal R(\widehat x_0,s)$. Если последовательность управлений $\widehat {\overline u}=(\widehat u_0,\widehat u_1,\dots\widehat u_{s-1})$, соответствующая допустимой траектории $\widehat{\overline x}$, такова, что $\widehat u_i\in\operatorname{int}U$, $i=0,1,\dots,s-1$, то, как хорошо известно (см., например, [1]), система (2) локально управляема, если вполне управляемо ее линейное приближение. Заметим, что такие дополнительные условия на управления вполне естественны, когда $\widehat{\overline x}$ есть точка равновесия ($\widehat x_i=\widehat x_0$, $i=1,\dots,s$). В противном случае подобные условия существенно сужают класс исследуемых задач. В более сложной ситуации, когда линейное приближение системы (2) не вполне управляемо, в работе [2] получены достаточные условия локальной управляемости второго порядка системы (2) на языке индекса квадратичной формы, определенной для этой системы (отметим, что в этой работе рассматривается более общая задача, когда фазовым пространством является гладкое многообразие). В работе [3] получены достаточные условия локальной управляемости системы (2) (без предположения $\widehat u_i\in\operatorname{int}U$, $i=0,\dots,s-1$), заключающиеся в том, что для допустимой пары $(\widehat {\overline x},\widehat {\overline u})$ не должны выполняться условия дискретного принципа максимума Понтрягина с дискретной функцией Понтрягина $H_i(x_i,u_i,p_i)=\langle p_i,f_i(x_i,u_i)\rangle$. Эти условия получены при весьма обременительном предположении выпуклости множеств $f_i(x, U)=\bigl\{f_i(x,u)\in\mathbb R^n\colon u\in U\bigr\}$, $i=0,\dots,s-1$, для всех $x\in \mathbb R^{n(s+1)}$. Однако аналогичные достаточные условия локальной управляемости для управляемой системы с непрерывным временем не требуют таких предположений (см, например, [4], [5]). Покажем на простейшем примере, что требование указанной выпуклости для дискретной системы является существенным. Рассмотрим систему
$$
\begin{equation*}
x_{i+1}=x_i+s^{-1}u_i, \qquad u_i\in U=\{-1,0,1\}, \quad i=0,1,\dots,s-1, \quad x_0=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко показать, что допустимая пара $(\widehat{\overline x},\widehat{\overline u})$, где $\widehat{\overline x}=(0,\dots,0)$ и $\widehat{\overline u}=(0,\dots,0)$, не удовлетворяет условиям дискретного принципа максимума. С другой стороны, величина $|x_s|=s^{-1}\bigl|\sum_{i=0}^{s-1}u_i\bigr|$, очевидно, либо равна нулю, либо не меньше $1/s$, и тем самым множество достижимости не содержит никакого круга с центром в нуле, т.е. рассматриваемая система не локально управляема относительно нуля. В то же время ее непрерывный аналог ($\dot x=u$, $x(t_0)=0$) очевидным образом есть локально управляемая система относительно нуля. Аналогичная ситуация возникает и при исследовании дискретных задач оптимального управления. Как известно (см., например, [6]), принцип максимума для таких задач справедлив при указанном выше предположении выпуклости множеств $f_i(x, U)$. В частности, по этой причине в [7] предложен так называемый аппроксимативный принцип максимума, не требующий выполнения данных условий выпуклости. В настоящей работе предлагается другой подход к исследованию управляемости дискретных систем. Мы предполагаем, что исходной управляемой системой является система с непрерывным временем вида (1), и тогда задача состоит в построении соответствующей ей дискретной системы, определенной в моменты времени $t_0,t_1,\dots,t_s=T$, которая локально управляема относительно допустимой траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ для системы (1), т.е. $\widehat x(T)\in \operatorname{int}\mathcal R(\widehat x(t_0),s)$. При этом траекторию дискретной системы, конец которой попадает в окрестность $\widehat x(T)$, необходимо выбрать так, чтобы она как угодно мало отличалась от траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ в точках $t_0,t_1,\dots,t_s$. Работа состоит из четырех параграфов. В § 2 формулируется и доказывается основной результат. Иллюстрирующие его примеры приведены в § 3. В § 4 доказывается обобщенная теорема о неявной функции и три леммы: две леммы об аппроксимации и лемма об обратной функции. Все эти утверждения, которые, на наш взгляд, представляют и самостоятельный интерес, существенно используются при доказательстве основного результата работы. § 2. Формулировка основного результата и его доказательствоМы рассматриваем систему (1) и всюду далее предполагаем, что отображение $f$ непрерывно вместе со своей производной по $x$ на $\mathbb R\times\mathbb R^n\times \mathbb R^r$. Пространства непрерывных вектор-функций на $[t_0, T]$ со значениями в $\mathbb R^n$, абсолютно непрерывных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^n$ и существенно ограниченных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^r$ обозначаются соответственно $C([t_0,T],\mathbb R^n)$, $\operatorname{AC}([t_0,T],\mathbb R^n)$ и $L_\infty([t_0,T],\mathbb R^r)$ (если $r=1$, то пишем $L_\infty([t_0,T])$). Если пара $(x(\,\cdot\,),u(\,\cdot\,))\in \operatorname{AC}([t_0,T],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,T],\mathbb R^r)$ удовлетворяет условиям в (1), то будем говорить, что она допустима для управляемой системы (1) (слово “управляемая” далее опускаем). Функцию $x(\,\cdot\,)$ в этом случае называем допустимой траекторией для системы (1). Пусть $s\in \mathbb N$ и $h=(T-t_0)/s$, т.е. точки $t_{i+1}=t_i+h$, $i=0,1,\dots,s-1$, $t_s=T$, образуют равномерное разбиение отрезка $[t_0, T]$. Пусть $\widehat x(\,\cdot\,)$ – допустимая траектория для системы (1), $\alpha_{ik}\geqslant0$, $\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{ik}=1$, $i=0,1,\dots,s-1$, $k=1,\dots, n+1$. Сопоставим этой системе ее следующую разностную аппроксимацию:
$$
\begin{equation}
x_{i+1}=x_i+h\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{ik}f(t_{i},x_{i},u_{ik}), \qquad u_{ik}\in U, \quad i=0,1,\dots, s-1,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $x_0=\widehat x(t_0)$. Определение 1. Допустимой траекторией для управляемой системы (3) относительно траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ будем называть конечную последовательность $\overline x=(\widehat x(t_0),x_1,\dots,x_s)$, $x_i\in\mathbb R^n$, $i=1,\dots,s$, для которой существуют $\alpha_{ik}\geqslant0$, $\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{ik}=1$, и $u_{ik}\in \mathbb R^r$, $i=0,1,\dots,s-1$, $k=1,\dots, n+1$, такие, что выполнены соотношения (3). Множество всех допустимых траекторий для системы (3) обозначим через $D(\widehat x(t_0),s)$. Пусть $s\in\mathbb N$. Введем следующее множество достижимости для системы (3):
$$
\begin{equation*}
R(\widehat x(t_0),s) =\bigl\{y\in\mathbb R^n \mid \exists \,\overline x_y=(\widehat x(t_0),x_{1y},\dots,x_{sy})\in D(\widehat x(t_0),s)\colon x_{sy}=y\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2. Скажем, что дискретная управляемая система (3) локально управляема относительно допустимой для системы (1) траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$, если справедливо включение $\widehat x(T)\in\operatorname{int}R(\widehat x(t_0), s)$. Для формулировки основного результата нам понадобятся некоторые обозначения. Значение линейного функционала $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in(\mathbb R^n)^*$ на элементе $x=(x_1,\dots,x_n)^{\top}\in\mathbb R^n$ ($\top$ – символ транспонирования) обозначаем $\langle \lambda,x\rangle=\sum_{i=i}^n\lambda_ix_i$. Через $(\mathbb R^n)^*_+$ обозначим множество линейных функционалов на $\mathbb R^n$, принимающих неотрицательные значения на векторах с неотрицательными компонентами. Если $\Lambda\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ – линейный оператор, то $\Lambda^*$ обозначает сопряженный оператор к $\Lambda$. Если фиксирована пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$, то для сокращения записи пишем $\widehat f(t)=f(t,\widehat x(t),\widehat u(t))$ и аналогично для производной: $\widehat f_x(t)=f_x(t,\widehat x(t),\widehat u(t))$. Каждой конечной последовательности $\overline x=(x_0,x_1,\dots,x_s)$, $x_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1,\dots,s$, сопоставим кусочно линейную функцию $l(\overline x)\in C([t_0,T],\mathbb R^n)$ по формуле
$$
\begin{equation*}
l(\overline x)(t)=x_i+\frac{t-t_i}{h}(x_{i+1}-x_i), \qquad t\in [t_i,t_{i+1}], \quad i=0,1,\dots,s-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ допустима для системы (1). Через $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ обозначим множество ненулевых функций $p(\,\cdot\,)\in \operatorname{AC}([t_0, T],(\mathbb R^n)^*)$, удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\dot p(t) =-p(t)\widehat f_x(t), \\ &\max_{u\in U}\bigl\langle p(t),f(t,\widehat x(t),u)\bigr\rangle=\langle p(t), \widehat f(t)\rangle \quad\text{для п.в. }\ t\in[t_0, T]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Заметим, что данные соотношения представляют собой условия принципа максимума Понтрягина с функцией Понтрягина $H(t)=\bigl\langle p(t), f(t,x(t),u(t))\bigr\rangle$. Основным утверждением настоящей работы является следующая Теорема 1. Пусть $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ – допустимая пара для системы (1) и $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))=\varnothing$. Тогда найдется $s_0\in\mathbb N$ такое, что для всех $s\geqslant s_0$ дискретная управляемая система (3) локально управляема относительно траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$. Более того, для любой окрестности $V$ функции $\widehat x(\,\cdot\,)$ в $C([t_0,T],\mathbb R^n)$ найдется окрестность вектора $\widehat x(T)$ такая, что для всех $s\geqslant s_0$ в любую точку этой окрестности можно попасть концом допустимой для дискретной системы (3) траектории $\overline x=(\widehat x(t_0),x_{1},\dots,x_{s})$, для которой $l(\overline x)\in V$. Мы будем доказывать вторую часть теоремы, поскольку первая часть является очевидным ее следствием. Но сначала докажем одно предложение, которое характеризует пустоту множества $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ в других терминах. Предварительно дадим некоторые определения и сформулируем одно утверждение. Всюду далее слова “окрестность $\mathcal O(x)$” означают “окрестность $\mathcal O(x)$ точки $x$”, а $0_{\mathbb R^m}$ – нуль в $\mathbb R^m$. Ниже, для сокращения записи, вместо $\widehat x(\,\cdot\,)$, $\widehat u(\,\cdot\,)$ и т.д. будем часто писать $\widehat x$, $\widehat u$ и т.д. Пусть $N>1$ и $\widehat{\overline \alpha}=\widehat{\overline \alpha}(N)=(1,0, \dots,0)$ – элемент $(L_\infty([t_0, T]))^{N}$, где первая функция равна тождественно единице, остальные функции – нулевые. Лемма 1 (лемма об уравнениях в вариациях). Пусть $\widehat u\in L_\infty([t_0, T],\mathbb R^r)$, $\widehat x$ – решение уравнения определенное на $[t_0, T]$, $N>1$ и $\overline v=(v_1,\dots,v_{N-1})\in (L_\infty([t_0, T],\mathbb R^r))^{N-1}$. Тогда найдется такая окрестность $\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})\subset(L_\infty([t_0, T]))^{N}$, что для всех $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_N)\in \mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$ существует единственное решение $x(\,\cdot,\overline\alpha; \overline v)$ задачи Коши определенное на $[t_0, T]$. Отображение $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$, как отображение в $C([t_0, T],\mathbb R^n)$, непрерывно дифференцируемо. Если $\widehat{x}^{\,'}(\overline v)$ – производная этого отображения в точке $\widehat{\overline \alpha}$, то для любого $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_N)\in(L_\infty([t_0, T]))^N$ функция $z=\widehat{x}^{\,'}(\overline v)\overline\alpha$ – решение уравнения в вариациях на отрезке $[t_0, T]$.Эта лемма является частным случаем леммы $2$ из работы авторов [8] при $k=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal U=\bigl\{u\in L_\infty([t_0, T],\mathbb R^r)\colon u(t)\in U\text{ п.в. на }[t_0, T]\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и для любого $k\in\mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_k=\bigl\{\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in (L_\infty([t_0,T]))^k \colon \overline\alpha(t)\in\Sigma^k\text{ п.в. на } [t_0,T]\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma^k=\bigl\{\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \mathbb R_+^k \colon \sum_{i=1}^k\alpha_i=1\bigr\}$. Открытый шар в нормированном пространстве $Z$ с центром в точке $z$ радиуса $r>0$ обозначаем через $U_Z(z,r)$. Предложение 1. Если $\Lambda(\widehat x,\widehat u)\,{=}\,\varnothing$, то найдутся $\widehat N\,{>}\,1$, $\overline v\,{=}\,(v_1,\dots,v_{\widehat N-1})\,{\in} \mathcal U^{\widehat N-1}$ такие, что Доказательство. Обозначим через $M(\overline v)$ множество в фигурных скобках, и пусть $\mathcal V$ – множество всех наборов $\overline v=(v_1,\dots,v_{N-1})\in \mathcal U^{N-1}$, $N>1$. Докажем сначала, что если $\Lambda(\widehat x,\widehat u)=\varnothing$, то
Будем доказывать от противного: предполагая, что включение (9) не выполняется, покажем, что $\Lambda(\widehat x,\widehat u)\ne\varnothing$. Предварительно докажем, что множество справа в (9) выпукло. Действительно, обозначим это множество через $M$ и пусть $y_i\in M$, $\beta_i>0$, $i=1,2$ и $\beta_1+\beta_2=1$. Надо показать, что $\beta_1y_1+\beta_2y_2\in M$. Так как $y_i\in M$, то $y_i=(\widehat{x}^{\,'}(\overline v_i)\overline\alpha_i)(T)$ для некоторых $\overline v_i=(v_{i1},\dots,v_{i(N_i-1)})\in\mathcal U^{N_i-1}$ и $\overline\alpha_i=(\alpha_{i1}-1,\alpha_{i2},\dots,\alpha_{iN_i})\in \mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline \alpha}(N_i)$, $i=1,2$. Согласно лемме 1 функции $z_i=\widehat{x}^{\,'}(\overline v_i)\overline\alpha_i$, $i=1,2$, удовлетворяют уравнению (7). Тогда функция $z=\beta_1z_1+\beta_2z_2$, удовлетворяет на $[t_0, T]$, очевидно, следующему уравнению:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot z &=\widehat f_x(t)z+\bigl(\beta_1\alpha_{11}(t)+\beta_2\alpha_{21}(t)-1\bigr)\widehat f(t) \\ &\qquad +\sum_{i=2}^{N_1}\beta_1\alpha_{1i}(t)f\bigl(t,\widehat x(t),v_{1(i-1)}(t)\bigr) \\ &\qquad +\sum_{i=2}^{N_2}\beta_2\alpha_{2i}(t)f\bigl(t,\widehat x(t),v_{2(i-1)}(t)\bigr), \\ &\qquad\qquad z(t_0)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение совпадает с уравнением в вариациях, которому удовлетворяет функция $\widehat{x}^{\,'}(\overline v)\overline\alpha$, где $\overline v=(\overline v_{1}, \overline v_2)$, а $\overline\alpha=(\beta_1\alpha_{11}+\beta_2\alpha_{21}-1,\, \beta_1\alpha_{12},\dots,\beta_1\alpha_{1N_1}, \beta_2\alpha_{22},\dots, \beta_2\alpha_{2N_2})$, и тем самым в силу единственности решения линейного уравнения $z=\widehat{x}^{\,'}(\overline v)\overline\alpha$. Легко видеть, что $\overline\alpha\in\mathcal A_{N}-\widehat{\overline \alpha}(N)$, где $N=N_1+N_2$, и поэтому $z(T)\in M(\overline v)\,{\subset}\, M$. Но тогда $\beta_1y_1+\beta_2y_2=\beta_1z_1(T)+\beta_2z_2(T)=z(T)\in M$ и, значит, множество $M$ выпукло. Если включение (9) не выполняется, то согласно теореме отделимости найдется ненулевой вектор $\lambda\in(\mathbb R^n)^*$ такой, что
$$
\begin{equation}
\bigl\langle\lambda, \,(\widehat{x}^{\,'}(\overline v)(\overline\alpha-\widehat{\overline \alpha}(N)))(T)\bigr\rangle\geqslant0
\end{equation}
\tag{10}
$$
для всех $N>1$, $\overline v=(v_1, \dots,v_{N-1})\in\mathcal V$ и $\overline\alpha\in\mathcal A_N$.
Пусть $p$ – решение задачи Коши Так как $\lambda\ne0$, то $p$ – ненулевая функция.Ограничимся в (10) наборами $\overline v$, состоящими только из одного элемента: $\overline v=v\in\mathcal U$, т.е. $N=2$ и $\widehat{\overline \alpha}=\widehat{\overline \alpha}(2)=(0,1)$. Производная $\widehat{x}^{\,'}(v)\overline\alpha$ для любого $\overline\alpha=(\alpha_1,\alpha_{2})\in(L_\infty([t_0, T]))^{2}$ согласно (7) удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \dot{\widehat{x}^{\,'}}(v)\overline\alpha =\widehat f_x(t)\widehat{x}^{\,'}(v)\overline\alpha+\alpha_1(t)\widehat f(t) +\alpha_{2}(t)f\bigl(t,\widehat x(t),v(t)\bigr), \\ \bigl(\widehat x(v)\overline\alpha\bigr)(t_0)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Пусть $\overline\alpha=(1/2,1/2)\in \mathcal A_{2}$. Из (10)–(12) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant-\bigl\langle p(T), (\widehat{x}^{\,'}(v)(\overline\alpha-\widehat{\overline \alpha}))(T)\bigr\rangle \\ &=-\int_{t_0}^{T}\bigl(\langle p(t),(\dot {\widehat{x}^{\,'}}(v)(\overline\alpha-\widehat{\overline \alpha}))(t)\rangle +\langle \dot p(t), (\widehat{x}^{\,'}(v)(\overline\alpha-\widehat{\overline \alpha}))(t)\rangle\bigr)\,dt \\ &=-\int_{t_0}^{T}\biggl\langle p(t),-\frac12\widehat f(t)+\frac12 f(t,\widehat x(t),v(t)\biggr\rangle\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{T}\bigl\langle p(t),f(t,\widehat x(t),v(t)\bigr\rangle\,dt \leqslant \int_{t_0}^{T}\bigl\langle p(t),\widehat f(t)\bigr\rangle\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $v\in\mathcal U$. Отсюда уже стандартным образом следует справедливость условия максимума в (4), что вместе с (11) доказывают непустоту множества $\Lambda(\widehat x,\widehat u)$. Таким образом, если $\Lambda(\widehat x,\widehat u)=\varnothing$, то справедливо включение (9). Покажем, что из него следует включение (8).
Из (9) следует, что существует $n$-мерный симплекс $S\subset M$ такой, что $0\in\operatorname{int}S$ и тем самым $U_{\mathbb R^n}(0,\rho)\subset S$ для некоторого $\rho>0$. Пусть $e_1,\dots,e_{n+1}$ – вершины $S$. Тогда $e_i=(\widehat{x}^{\,'}(\overline v_i)\overline\alpha_i)(T)$ для некоторых $\overline\alpha_i\in \mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline \alpha}(N_i)$ и $\overline v_i\in\mathcal U^{N_i-1}$, $i=1,\dots, n+1$. Согласно лемме 1 функции $z_i=\widehat{x}^{\,'}(\overline v_i)\overline\alpha_i$, $i=1,\dots,n+1$, удовлетворяют соответствующим уравнениям в вариациях (см. (7)). Пусть $y\in U_{\mathbb R^n}(0,\rho)$. Тогда $y=\sum_{i=1}^{n+1}\beta_ie_i$ для некоторых $\beta_i>0$ таких, что $\sum_{i=1}^{n+1}\beta_i=1$. Далее, рассуждая так же, как и выше, получаем, что $y=(\widehat{x}^{\,'}(\overline v)\overline\alpha)(T)$, где $\overline v=(\overline v_1,\dots,\overline v_{n+1})$, а $\overline\alpha=(\beta_1\alpha_{11}+\dots+\beta_{n+1}\alpha_{(n+1)1}-1, \beta_1\alpha_{12},\dots,\beta_1\alpha_{1N_1},\dots,\beta_{n+1}\alpha_{(n+1)2},\dots, \beta_{n+1}\alpha_{(n+1)N_{n+1}})$. Так как это верно для любого $y\in U_{\mathbb R^n}(0,\rho)$, а набор $\overline v$ (содержащий $\widehat N- 1$ элемент, $\widehat N=\sum_{i=1}^{n+1}N_i-n$) не зависит от $y$, то включение (8) доказано. Предложение доказано. Доказательство теоремы 1. Поскольку $\Lambda(\widehat x,\widehat u)=\varnothing$, то справедливо утверждение предложения 1. Пусть $\overline v=(v_1,\dots,v_{\widehat N-1})\in \mathcal U^{\widehat N-1}$ из этого предложения и функция $x(\,\cdot,\overline\alpha)=x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ из леммы 1, соответствующая данному $\overline v$, определенная для всех $\overline\alpha\in\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$, $\widehat{\overline \alpha}=\widehat{\overline \alpha}(\widehat N)$.
Пусть $\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\subset\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$ – окрестность из леммы 3. Уменьшая ее, можно считать, что отображение $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha)$ ограничено на $\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})$. Воспользуемся леммой 4 об обратной функции в ситуации, когда $X=(L_\infty([t_0, T]))^{\widehat N}$, $K=\mathcal A_{\widehat N}$, $\widehat w=\widehat{\overline \alpha}$, $W=\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})$ и $\widehat \Phi\colon W\to\mathbb R^{n}$ – отображение $\overline\alpha\mapsto x(T,\overline\alpha)$. Ясно, что включение (8) равносильно тому, что $0\in\operatorname{int}\widehat\Phi'(\widehat w)(K-\widehat w)$ и тем самым все предположения леммы 4 выполнены. Пусть $s_0\in\mathbb N$ таково, что для всех $s\geqslant s_0$ определены согласно лемме 3 отображения $\overline\alpha\mapsto x_s(\,\cdot,\overline\alpha)=x_s(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ (где $\overline v$ – тот же набор, что и выше), принадлежащие пространству $C(W\cap K,\, C([t_0, T],\mathbb R^n))$ и сходящиеся в нем к отображению $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha)$ при $s\to\infty$. Тогда для указанных $s$ определены непрерывные отображения $\Phi_s\colon W\cap K\to\mathbb R^{n}$ по формуле которые принадлежат $C(W\cap K,\,\mathbb R^{n})$ и сходятся в этом пространстве к отображению $\overline\alpha\mapsto \widehat\Phi(\overline\alpha)=x(T,\overline\alpha)$ при $s\to\infty$.Пусть $V$ – окрестность функции $\widehat x(\,\cdot\,)$, и пусть $\varepsilon\,{>}\,0$ таково, что выполнено $U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(\widehat x(\,\cdot\,),\varepsilon)\,{\subset}\, V$. В силу сказанного для всех $s\,{\geqslant}\,s_0$ (увеличим, если нужно, $s_0$) и $\overline\alpha\in W\cap K$ справедливо неравенство $\|x_s(\,\cdot,\overline\alpha)\,{-}\,x(\,\cdot,\overline\alpha)\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}\,{<}\,\varepsilon/2$. Далее, так как отображение $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha)$ непрерывно в точке $\widehat{\overline \alpha}$, то существует такое $\delta_0>0$, что $\|x(\,\cdot,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}<\varepsilon/2$ при $\|\overline\alpha-\widehat{\overline \alpha}\|_{(L_\infty([t_0, T]))^{\widehat N}}<\delta_0$. Отсюда получаем, что если $s\geqslant s_0$ и $\overline\alpha\in W\cap K$ таковы, что выполнено неравенство $\|\overline\alpha\,{-}\,\widehat{\overline \alpha}\|_{(L_\infty([t_0, T]))^{\widehat N}}<\delta_0$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|x_s(\,\cdot,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,T],\mathbb R^n)}\leqslant\|x_s(\,\cdot,\overline\alpha)-x(\,\cdot,\overline\alpha)\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)} \\ &\qquad\qquad +\|x(\,\cdot,\overline\alpha)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Пусть константы $r_0$ и $\gamma$ из леммы 4. Выберем $r\in(0,r_0]$ так, чтобы $\gamma r<\delta_0$. Тогда увеличивая, если необходимо, $s_0$, для всех $s\,{\geqslant}\, s_0$ получим, что справедливо включение $\Phi_s\in U_{C(W\cap K,\,\mathbb R^{n})}(\widehat \Phi,r)$. Фиксируем произвольное $s\geqslant s_0$. Пусть $y\in U_{\mathbb R^{n}}(\widehat x(T),r)$ ($\widehat x(T)=\widehat\Phi(\widehat w)$). Если $g_{s}(y)=g_{\Phi_s}(y)\in W\cap K$ – соответствующий элемент из леммы 4, то ее утверждения для данного $y$ состоят в том, что (обозначим $g_{s}(y)=\overline\alpha_y$)
$$
\begin{equation}
x_s(T,\overline\alpha_y)=y, \qquad \|\overline\alpha_y-\widehat{\overline \alpha}\|_{(L_\infty([t_0, T]))^{\widehat N}}\leqslant\gamma r.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Величина справа в неравенстве меньше $\delta_0$, и поэтому вместе с (13) получаем, что
$$
\begin{equation}
\|x_s(\,\cdot,\overline\alpha_y)-\widehat x(\,\cdot\,)\|_{C([t_0,T],\mathbb R^n)}<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть $F_s\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_{\widehat N} \to C([t_0, T],\mathbb R^n)$, $s\in\mathbb N$, – отображения, определенные в лемме 2, где $x_0=\widehat x(t_0)$ и $\overline u=(\widehat u,\overline v)$. В лемме 3 доказано, что для каждого $s\geqslant s_0$ функция $x_s(\,\cdot,\overline\alpha_y)$ является решением уравнения $F_s(x,\overline\alpha_y)(t)=0$ при всех $t\in[t_0, T]$, т.е.
$$
\begin{equation}
F_s\bigl(x_s(\,\cdot,\overline\alpha_y),\overline\alpha_y\bigr)(t)=0, \qquad t\in[t_0, T].
\end{equation}
\tag{16}
$$
В частности, $F_s(x_s(\,\cdot,\overline\alpha_y),\overline\alpha_y)(t_i) =y_s(x_s(\,\cdot,\overline\alpha_y),\overline\alpha_y)(t_i)=0$, $i=0,1,\dots,s-1$ (см. (42)), или, обозначая $x_{sy}(t)=x_s(t,\overline\alpha_y)$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
x_{sy}(t_i) =\widehat x(t_0)+\sum_{m=0}^{i-1}\int_{t_m}^{t_{m+1}} f\bigl(t_m,x_{sy}(t_m),u_s(\overline\alpha_y)(t)\bigr)\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
$i=0,1,\dots,s-1$ (сумма отсутствует, если $i=0$), где $u_s(\overline\alpha)=u_s(\overline\alpha;\overline u)$ – построенная в лемме 2 (для каждого $s\in \mathbb N$) кусочно постоянная функция на $[t_0,T]$, которая на подподотрезке $\Delta_{ik}(s)$ длины $\lambda^s_{ki}h$ ($h=(T-t_0)/s$ и $\sum_{k=1}^{p_s}\lambda^s_{ki}=1$) подотрезка $[t_i,t_{i+1}]$ равна (с точностью до значений на концах) $u_k^s\in U$, $i=0,\dots,s-1$.
Тогда из последнего равенства следует, что $x_{sy}(t_{0})=\widehat x(t_0)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag x_{sy}(t_{i+1}) &=x_{sy}(t_i)+\int_{t_i}^{t_{i+1}}f\bigl(t_i,x_{sy}(t_i),u_s(\overline\alpha_y)(t)\bigr)\,dt \\ &=x_{sy}(t_i)+h\sum_{k=1}^{p_s}\lambda^s_{ki}f\bigl(t_i,x_{sy}(t_i), u_{k}^s\bigr), \qquad i=0,1,\dots,s-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Сумма справа в (17) для каждого $i$ принадлежит выпуклой оболочке множества $f(t_i,x_{sy}(t_i),U)=\bigl\{f(t_i,x_{sy}(t_i),u)\in\mathbb R^n\colon u\in U\bigr\}$. Следовательно, по теореме Каратеодори о выпуклой оболочке найдутся числа $\alpha_{ik}\geqslant0$, $k=1,\dots,n+1$, $\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{ik}=1$, и управления $u_{ik}\in U$, $k=1,\dots,n+1$ (зависящие от $y$ и $s$), такие, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{p_s}\lambda^s_{ki}f(t_i,x_{sy}(t_i), u_{k}^s)=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_{ik}f(t_i,x_{sy}(t_i), u_{ik}), \qquad i=0,1,\dots,s-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначая $x_{iy}=x_{sy}(t_i)$, $i=0,1,\dots,s$, получаем из (17) и последнего равенства, что $\overline x_y=(\widehat x(t_0), x_{1y},\dots,x_{sy})$ – допустимая траектория для системы (3). Из (15), очевидно, следует, что кусочно линейная функция $l(\overline x_y)$ принадлежит $U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(\widehat x(\,\cdot\,),\varepsilon)\subset V$. Далее, $x_{sy}=x_s(T,\overline\alpha_y)=y$ в силу (14) и это верно для любого $y\,{\in}\, U_{\mathbb R^{n}}(\widehat x(T),r)$ и $s\geqslant s_0$. Таким образом, для данной окрестности $V$ траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ найдено $s_0$ такое, что для любого $s\geqslant s_0$ мы попадаем в любую точку $y$ некоторой окрестности $\widehat x(T)$ концом допустимой для системы (3) траектории $\overline x_y=(\widehat x(t_0), x_{1y},\dots,x_{sy})$, которая принадлежит $V$. Этим доказана вторая часть теоремы 1, из которой, как уже было сказано, непосредственно следует ее первая часть. § 3. ПримерыПример 1. Рассмотрим управляемую систему Пусть $s\in \mathbb N$ и $h=h(s)=1/s$, т.е. точки $t_{i+1}=t_i+h$, $i=0,1,\dots,s-1$, $t_0= 0$, $t_s=1$, образуют равномерное разбиение отрезка $[0, 1]$. Соответствующую разностную аппроксимацию системы (18) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
x_{1i}=h\sum_{j=0}^{i-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}u_{jk}, \qquad i=1,\dots,s,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\alpha_{jk}\geqslant0$, $\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}=1$ и $u_{jk}\in U$, $j=0,1,\dots,s-1$, $k=1,2,3$. Пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$, где $(\widehat x_1(\,\cdot\,),\widehat x_2(\,\cdot\,))=(0,0)$ и $\widehat u(\,\cdot\,)=0$, допустима для системы (18). Управляемость этой системы будем исследовать относительно нулевой траектории $\widehat x(\,\cdot\,)=0$. В данном случае $\Lambda(0,0)$ (см. (4)) есть множество таких ненулевых функций $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,), p_2(\,\cdot\,))$, что
$$
\begin{equation*}
\dot p_1(t)=-p_2(t), \quad \dot p_2(t)=0, \qquad \max_{u\in U}p_1(t)u=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0, 1].
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее равенство $u=-1$ и $u=1$, получаем, что $p_1(\,\cdot\,)=0$. Но тогда $p_2(\,\cdot\,)=0$ и, значит, $\Lambda(0,0)=\varnothing$. Следовательно, для рассматриваемой здесь системы справедливы утверждения теоремы 1. Пример 2. Рассмотрим управляемую систему Пара $(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,)$, где $\widehat x(t)=(\widehat x_1(t),\widehat x_2(t))=(t,t)$ и $\widehat u(t)=1$, $t\in[0,1]$, допустима для системы (22). Управляемость этой системы будем исследовать относительно траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$. Справедливо следующее предложение. Предложение 2. Для локальной управляемости системы (23)–(25) относительно траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ необходимо и достаточно, чтобы $c<-2$. Доказательство. Необходимость. Докажем от противного. Пусть $c\,{\geqslant}\,{-}2$. Покажем, что в этом случае система (23)–(25) не локально управляема относительно $\widehat x(\,\cdot\,)$. Для этого достаточно показать, что в любой окрестности вектора $(0,0,1,1)$ есть точки, в которые нельзя попасть ни при каком $s$.
Пусть последовательности $x_{1i}$ и $x_{2i}$, $i=1,\dots,s$, удовлетворяет соотношениям (23), (24) для некоторых $\alpha_{jk}\geqslant0$, $\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}=1$, и $u_{jk}\in U$, $j=0,1,\dots,s-1$, $k=1,2,3$, и при этом $x_{10}=x_{20}=0$, $x_{1s}=1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_{2s} &=h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}u^3_{jk} =h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}(1+(u_{jk}-1))^3 \\ &=h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}+ 3h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}(u_{jk}-1) \\ &\qquad+h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}(u_{jk}-1)^2(2+u_{jk})\geqslant1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку в правой части первое слагаемое, очевидно, равно единице, второе равно нулю в силу того, что $x_{1s}=h\sum_{j=0}^{s-1}\sum_{k=1}^3\alpha_{jk}u_{jk}=1$, а третье слагаемое неотрицательно, так как по предположению $u_{jk}\geqslant-2$ для всех $j=0,1,\dots,s-1$ и $k=1,2,3$. Следовательно, в точку $(0,0,1,1-\varepsilon)$ ни для какого $\varepsilon>0$ попасть нельзя.
Достаточность. Пусть $c<-2$. Локальную управляемость системы (23)–(25) относительно траектории $\widehat x(\,\cdot\,)$ докажем, опираясь на теорему 1. Множество $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$ (см. (4)) в данном случае – семейство ненулевых функций $p(\,\cdot\,)=(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot p_1(t)=0, \qquad \dot p_2(t)=0, \\ \max_{u\in [c,+\infty)}\bigl(p_1(t)u+p_2(t)u^3\bigr)=p_1(t)+p_2(t) \quad\text{для п.в. }\ t\in[0, 1]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(p_1(\,\cdot\,),p_2(\,\cdot\,))\in\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$. Ясно, что функции $p_1(\,\cdot\,)$ и $p_2(\,\cdot\,)$ суть константы. Из условия максимума следует, что $p_2\leqslant0$. Если $p_2=0$, то $p_1\ne0$, и тогда функция $u\mapsto p_1u$ должна достигать максимума в единице на $[c,+\infty)$ (как это требует условие максимума), что, очевидно, невозможно. Следовательно, $p_2<0$. Если при этом $p_1\leqslant0$, то функция $f(u)=p_1u+p_2u^3$ монотонно убывает и поэтому также не может достигать максимума в единице на $[c,+\infty)$.
Итак, $p_1>0$, $p_2<0$. Так как функция $f$ достигает максимума в единице, то из равенства нулю ее производной в этой точке следует, что $p_1=-3p_2$ и тем самым $f(1)=p_1+p_2=-2p_2$. Функция $f$ обращается в нуль в точке ${-}\sqrt{3}$, монотонно убывает на $({-}\infty, {-}{\kern-0.8pt}\sqrt{3}\,]$, равна $-2p_2$ в точке $-2<-\sqrt{3}$, и, значит, в точке $c<-2$ ее значение больше чем $-2p_2$. Но это противоречит тому, что максимум $f$ достигается в единице. Следовательно, при $c<-2$ никакая ненулевая пара $(p_1,p_2)$ не принадлежит $\Lambda(\widehat x(\,\cdot\,),\widehat u(\,\cdot\,))$, и нужное утверждение теперь сразу следует из теоремы 1. Предложение доказано. § 4. ПриложениеВведем следующие определения. Пусть $\mathcal M$ – топологическое пространство, $Z$ – нормированное пространство. Обозначим через $C(\mathcal M, Z)$ пространство непрерывных отображений $G\colon \mathcal M\to Z$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|G\|_{C(\mathcal M, Z)}=\sup_{x\in \mathcal M}\|G(x)\|_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $X$ и $Y$ – нормированные пространства, $\Sigma$ – топологическое пространство и $M$ – непустое подмножество $X$. Обозначим через $C^1_x(M\times\Sigma, Y)$ сужение на $M\times\Sigma$ множества отображений $F\colon X\times\Sigma\to Y$, непрерывных вместе со своей производная по $x$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{C^1_x(M\times\Sigma,\, Y)}=\|F\|_{C(M\times\Sigma,\, Y)}+\|F_x\|_{C(M\times\Sigma, \,\mathcal L(X,Y))},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal L(X,Y)$ – пространство линейных непрерывных операторов из $X$ в $Y$. Теорема 2 (обобщенная теорема о неявной функции). Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, $\Sigma$ – метрическое пространство, $\widehat \sigma\in \Sigma$, $Q$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$, $V$ – окрестность точки $\widehat x\in Q$, $\widehat F\in C^1_x((V\cap Q)\times\Sigma,\, Y)$, $\widehat F(\widehat x,\widehat \sigma)=0$ и оператор $\Lambda=\widehat F_x(\widehat x,\widehat \sigma)$ обратим. Пусть далее $\{L_s\}_{s\in \mathbb N}$ – последовательность дополняемых подпространств в $Y$, $\{P_s\}_{s\in \mathbb N}$ – соответствующая последовательность непрерывных проекторов на $L_s$ такая, что $\sup_{s\in\mathbb N}\|P_s\|<\infty$ и $N_s=\Lambda^{-1}(L_s)$, $s\in\mathbb N$. 1) Тогда найдутся число $r>0$, окрестности $V_0\subset V$ и $U_0$ точек $\widehat x$ и $\widehat \sigma$ такие, что если отображения $\widehat F$ и $F_s\in U_{C_x^1((V\cap Q)\times\Sigma,\,L_s)}(P_s\widehat F,r)$ при некотором $s\,{\in}\,\mathbb N$ таковы, что $x-\Lambda^{-1}\widehat F(x,\sigma)\in Q$ для всех $(x,\sigma)\in (V_0\cap Q)\times U_0$ и $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\sigma)\,{\in}\, Q$ для всех $(x,\sigma)\in (V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$, то существуют непрерывные отображения $g_{\widehat F}\colon U_0\to V_0\cap Q$ и $g_s=g_{F_s}\colon U_0\to V_0\cap Q\cap(\widehat x+N_s)$, обладающие тем свойством, что
$$
\begin{equation}
\widehat F(g_{\widehat F}(\sigma),\sigma)=0, \qquad F_s(g_{s}(\sigma),\sigma)=0
\end{equation}
\tag{26}
$$
для всех $\sigma\in U_0$ и при этом $g_{\widehat F}(\widehat \sigma)=\widehat x$. 2) Равенства $\widehat F(x,\sigma){\kern1pt}{=}{\kern1pt}0$ и $F_s(x,\sigma){\kern1pt}{=}{\kern1pt}0$ на $(V_0\,{\cap}\, Q){\kern1pt}{\times}{\kern1pt} U_0$ и $(V_0\,{\cap}\, Q\,{\cap}\,(\widehat x+N_s))\times U_0$ возможны соответственно лишь тогда, когда $x=g_{\widehat F}(\sigma)$ и $x=g_{s}(\sigma)$. 3) Существуют константа $c>0$ и окрестность $U'_0\subset U_0$ точки $\widehat \sigma$ такие, что справедливо неравенство Доказательство. Для каждого $\delta>0$ такого, что $U_{X\times\Sigma}((\widehat x,\widehat \sigma),\delta)\subset V\times\Sigma$, положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \beta_1(\delta) = \sup_{(x,\sigma)\in U_{X\times \Sigma}((\widehat x,\widehat \sigma), \delta)}\|\widehat{F}_x(x,\sigma)- \Lambda \|, \\ \beta_2(\delta) = \sup_{(x,\sigma)\in U_{X\times \Sigma}((\widehat x,\widehat \sigma), \delta)}\|\widehat{F}(x,\sigma)\|_Y. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $a=\|\Lambda^{-1}\|$, $b=\sup_{s\in\mathbb N}\|P_s\|$, и пусть константы $r>0$, $\delta_1\geqslant\delta_2\geqslant\delta_3> 0$ удовлетворяют следующим условиям:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \varepsilon (r,\delta_1) < \frac{1}{a}, \qquad \frac{a}{(1-\varepsilon (r,\delta_1)a)}\bigl(r +b\beta_2(\delta_2)\bigr)+ \delta_2 < \delta_1, \\ \frac{a}{(1-\varepsilon(r,\delta_1)a)}\bigl(r+b\beta_2(\delta_3)\bigr)<\delta_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\varepsilon (r,\delta_1)=3r + b\beta_1(\delta_1)$ (очевидно, такие константы всегда найдутся).
Положим $V_0=U_X(\widehat x,\delta_1)$, $U_0=U_\Sigma(\widehat \sigma,\delta_2)$, и пусть $s\in\mathbb N$ таково, что $F_s\in U_{C^1_x((V\cap Q)\times\Sigma,\, L_s)}(P_s\widehat F,r)$. Докажем, что для любых $x,x'\in V_0\cap Q$ и $\sigma\in U_0$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
\bigl\|F_s(x,\sigma)-F_s(x',\sigma)-P_s\Lambda(x-x')\bigr\|_{Y} \leqslant \varepsilon(r,\delta_1)\|x-x'\|_{X}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Действительно, во-первых ($F_{sx}$ – частная производная $F_s$ по $x$),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|F_{sx}(x,\sigma)-F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)\|\leqslant\|F_{sx}(x,\sigma)-P_s\widehat F_x(x,\sigma)\| \\ &\qquad\qquad +\|P_s\widehat F_x(x,\sigma)-P_s\Lambda\| +\|F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)-P_s\Lambda\|<2r+b\beta_1(\delta_1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Далее, множества $V_0$ и $Q$ выпуклы, поэтому если $x,x'\,{\in}\, V_0\cap Q$, то $x_\theta=(1-\theta)x+\theta x'\in V_0\cap Q$ для $\theta\in[0,1]$. По теореме о среднем, примененной к отображению $x\to F_s(x,\sigma)-F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)x$, где $\sigma\in U_0$, получаем, учитывая (30) и выбор $F_s$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|F_s(x,\sigma)-F_s(x',\sigma)- P_s\Lambda(x-x')\bigr\|_{Y} \\ &\qquad \leqslant\bigl\|F_s(x,\sigma)-F_s(x',\sigma) -F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)(x-x')\bigr\|_{Y} \\ &\qquad \qquad+\bigl\|F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)(x-x')-P_s\Lambda(x-x')\bigr\|_Y \\ &\qquad \leqslant\sup_{\theta\in[0,1]}\bigl\|F_{sx}(x_\theta,\sigma)-F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)\bigr\|\, \|x-x'\|_{X}+\bigl\|F_{sx}(\widehat x,\widehat \sigma)-P_s\Lambda\bigr\|\,\|x-x'\|_X \\ &\qquad <\bigl(2r+b\beta_1(\delta_1)\bigr)\|x-x'\|_{X}+r\|x-x'\|_X=\varepsilon (r,\delta_1)\|x-x'\|_X, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (29) доказано.
Пусть $(x,\sigma)\in (V'_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$, где $V'_0=U_X(\widehat x,\delta_2)$, и $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\sigma)\in Q$ при всех $(x,\sigma)\in (V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$. Рассмотрим последовательность (модифицированный метод Ньютона)
$$
\begin{equation}
x_n=x_{n-1}-\Lambda^{-1}F_s(x_{n-1},\sigma), \quad n\in\mathbb N, \qquad x_0=x.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Покажем, что эта последовательность принадлежит $V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$ и фундаментальна. Первое доказываем по индукции. Ясно, что $x_0\in V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$. Пусть $x_k\in V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$, $1\leqslant k\leqslant n$. Покажем, что $x_{n+1}\in V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$. Применяя к обеим частям (31) оператор $\Lambda$, получим Заметим, что так как $x_n-x_{n-1}\in N_s$, то $\Lambda(x_n-x_{n-1})\in P_sY$ и, значит, $\Lambda(x_n-x_{n-1})=P_s\Lambda(x_n-x_{n-1})$. Учитывая это и используя последовательно (31), (32), (29), а затем итерируя процедуру, будем иметь (для краткости $\varepsilon=\varepsilon(r,\delta_1)$ и, напомним, $a=\|\Lambda^{-1}\|$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|x_{n+1}-x_n\|_X &\leqslant a\|F_s(x_n,\sigma)\|_Y=a\bigl\|F_s(x_n,\sigma)-F_s(x_{n-1},\sigma) -P_s\Lambda(x_n-x_{n-1})\bigr\|_Y \\ &\leqslant \varepsilon a\|x_n-x_{n-1}\|_X \leqslant\dotsb\leqslant(\varepsilon a)^n\|x_1-x\|_X. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Далее по неравенству треугольника, по формуле для суммы геометрической прогрессии, используя (33), (31) и учитывая выбор $F_s$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|x_{n+1}-\widehat x\|_X \leqslant\|x_{n+1}-x\|_X+\|x-\widehat x\|_X \\ \notag &\qquad\leqslant \|x_{n+1}-x_n\|_X+\dots+\|x_1-x\|_X +\|x-\widehat x\|_X \\ \notag &\qquad\leqslant \bigl((\varepsilon a)^n+(\varepsilon a)^{n-1}+\dots+1\bigr)\|x_1-x\|_X+\|x-\widehat x\|_X \\ \notag &\qquad< \frac{a}{1-\varepsilon a}\|F_s(x,\sigma)\|_Y+\|x-\widehat x\|_X \\ \notag &\qquad \leqslant \frac{a}{1-\varepsilon a}\bigl(\|F_s(x,\sigma)-P_s\widehat F(x,\sigma)\|_Y +\|P_s\widehat F(x,\sigma)\|_Y\bigr)+\|x-\widehat x\|_X \\ &\qquad <\frac{a}{1-\varepsilon a}(r+b\beta_2(\delta_2))+\delta_2<\delta_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
т.е. $x_{n+1}\in V_0$.
По предположению индукции $x_n\in V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$, поэтому $x_{n+1}=x_n-\Lambda^{-1}F_s(x_n,\sigma)\in Q$ и $x_{n+1}=x_n-\Lambda^{-1}F_s(x_n,\sigma)\in \widehat x+N_s+N_s=\widehat x+N_s$. Следовательно, вся последовательность $\{x_n\}$ принадлежит $V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$. Используя (33) и рассуждая, как в предыдущем неравенстве, будем иметь для всех $n,l\in\mathbb N$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|x_{n+l}-x_n\|_X &\leqslant\|x_{n+l}-x_{n+l-1}\|_X+\dots+\|x_{n+1}-x_n\|_X \\ &\leqslant\bigl((\varepsilon a)^{n+l-1}+\dots+(\varepsilon a)^n\bigr)\|x_1-x\|_X < \|x_1-x\|_X (\varepsilon a)^{n-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
т.е. последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна.
Функции $x_n$ определены на $(V'_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$. Пусть $(x,\sigma)\in (V'_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$. Положим $\widetilde g_s(x,\sigma)=\widetilde g_{F_s}(x,\sigma)=\lim_{n\to\infty}x_n$. Из (34) следует, что $\widetilde g_s(x,\sigma)\in V_0$. Так как множество $Q\cap(\widehat x+N_s)$ замкнуто (подпространство $L_s$ дополняемо и поэтому, по определению, замкнуто, а $N_s$ – прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении $\Lambda^{-1}$), то $\widetilde g_s(x,\sigma)\in Q\cap(\widehat x+N_s)$, и тем самым определено отображение $\widetilde g_s\colon (V'_0\cap Q\cap(\widehat x+N_s))\times U_0\to V_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s)$. Переходя к пределу в (32) при $n\,{\to}\,\infty$, приходим к равенству $F_s(\widetilde g_s(x,\sigma),\sigma)\,{=}\,0$ для любых $(x,\sigma)\in (V'_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$. Покажем, что $\widetilde g_s(x,\sigma)=\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)$ для таких $(x,\sigma)$. Действительно, в силу (29) (учитывая, что $\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)\in N_s$ и тем самым $\Lambda(\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma))=P_s\Lambda(\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma))$) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\|\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)\bigr\|_X =\bigl\|\Lambda^{-1}\Lambda(\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma))\bigr\|_X \\ \notag &\qquad\leqslant a\bigl\|\Lambda(\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma))\bigr\|_Y \\ \notag &\qquad =a\bigl\|F_s(\widetilde g_s(x,\sigma),\sigma)-F_s(\widetilde g_s(\widehat x,\sigma),\sigma) -P_s\Lambda(\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)\bigr\|_Y \\ &\qquad\leqslant \varepsilon a\bigl\|\widetilde g_s(x,\sigma)-\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)\bigr\|_X, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
и поскольку $\varepsilon a<1$, то $\widetilde g_s(x,\sigma)=\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)$.
Положим $g_s(\sigma)=\widetilde g_s(\widehat x,\sigma)$. Это отображение из $U_0$ в $V_0\cap Q\cap(\widehat x+N_s)$ и по доказанному $F_s(g_s(\sigma),\sigma)=0$ для всех $\sigma\in U_0$. Из (31) по индукции следует, что функции $x_n$, как функции $\sigma$, непрерывны на $U_0$. Переходя в (35) к пределу при $l\to\infty$, получаем, что отображение $\sigma\mapsto g_s(\sigma)$ есть равномерный предел непрерывных функций и, значит, само непрерывно. Тот факт, что равенство $F_s(x,\sigma)=0$ на $(V_0\cap Q\cap(\widehat x+N_s))\times U_0$ возможно лишь тогда, когда $x=g_{s}(\sigma)$, доказывается теми же рассуждениями, что и в (36). Таким образом, утверждения $1)$ и $2)$ теоремы для отображения $F_s$ доказаны. Полагая $L_s=Y$ (тем самым $P_s$ – тождественный оператор и $N_s=X$) и дословно повторяя рассуждения выше, получаем утверждения $1)$ и $2)$ теоремы (кроме равенства $g_{\widehat F}(\widehat \sigma)=\widehat x$) для отображения $\widehat F$. Докажем третье утверждение теоремы и равенство $g_{\widehat F}(\widehat \sigma)=\widehat x$. Из (34) следует, что $\|x_{n+1}-x\|_X\leqslant(a/(1-\varepsilon a))\|F_s(x,\sigma)\|_Y$. Переходя здесь к пределу при $n\to\infty$, приходим к неравенству
$$
\begin{equation}
\|g_s(\sigma)-x\|_X\leqslant \frac{a}{1-\varepsilon a}\|F_s(x,\sigma)\|_Y,
\end{equation}
\tag{37}
$$
справедливому для всех $(x,\sigma)\in (V'_0\cap Q\cap (\widehat x+N_s))\times U_0$.
Аналогично, если $L_s=Y$, то получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\|g_{\widehat F}(\sigma)-x\|_X\leqslant \frac{a}{1-\varepsilon a}\|\widehat F(x,\sigma)\|_Y,
\end{equation}
\tag{38}
$$
справедливое для всех $(x,\sigma)\in (V'_0\cap Q)\times U_0$. Отсюда при $x=\widehat x$ и $\sigma=\widehat \sigma$ следует, что $g_{\widehat F}(\widehat \sigma)=\widehat x$.
Положим $U'_0=U_{\Sigma}(\widehat \sigma,\delta_3)$, и пусть $\sigma\in U'_0$. Из (37) при $x=\widehat x$ получаем ($\widehat F(\widehat x,\widehat \sigma)=0$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|g_s(\sigma)-\widehat x\|_X\leqslant \frac{a}{1-\varepsilon a}\|F_s(\widehat x,\sigma)\|_Y \\ &\qquad \leqslant\frac{a}{1-\varepsilon a}(\|F_s(\widehat x,\sigma) -P_s\widehat F(\widehat x,\sigma)\|_Y+\|P_s\|\,\|\widehat F(\widehat x,\sigma)-\widehat F(\widehat x,\widehat \sigma)\|_Y \\ &\qquad<\frac{a}{1-\varepsilon a}(r+b\beta_2(\delta_3))<\delta_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $g_s(\sigma)\in V'_0$ и тем самым $g_s(\sigma)\in V'_0\cap Q\cap(\widehat x+N_s)$. Тогда, подставляя в (38) $x=g_s(\sigma)$ и вычитая справа под знаком нормы нулевой элемент $F_s(g_s(\sigma),\sigma)$, приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\|g_{\widehat F}(\sigma)-g_s(\sigma)\|_X\leqslant c\|\widehat F-F_s\|_{C((V\cap Q)\times\Sigma,\,Y)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c=a/(1-\varepsilon a)$, которое верно для любого $\sigma\in U'_0$ и, значит, оно равносильно неравенству (27). Теорема 2 доказана. Отметим, что доказанная теорема есть обобщение теоремы $4$ из работы авторов [8], где $L_s=Y$ для всех $s\in\mathbb N$. Перед формулировкой следующего утверждения дадим некоторые определения. Напомним, что для каждого $s\in\mathbb N$ мы полагаем $h=h(s)=(T-t_0)/s$ и $t_i=t_0+ih$, $i=0,\dots,s$, и тем самым получаем разбиение отрезка $[t_0, T]$ на $s$ подотрезков $[t_i, t_{i+1}]$ длины $h$, $i=0,\dots,s-1$. Обозначим через $L_s$ подпространство в $C([t_0, T],\mathbb R^n)$, образованное “ломаными” с узлами в точках $t_i$, $i=0,\dots,s$, т.е. такими функциями $x(\,\cdot\,)$, что если $t\in [t_0, T]$ и тем самым $t\in [t_m, t_{m+1}]$ для некоторого $0\leqslant m\leqslant s-1$, то
$$
\begin{equation*}
x(t)=x(t_m)+\frac{t-t_m}{h}\bigl(x(t_{m+1}) -x(t_m)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\operatorname{dim}L_s=s+1$. Пусть $P_s\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\to L_s$ – отображение, которое сопоставляет функции $x(\,\cdot\,)\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$ функцию из $L_s$, интерполирующую $x(\,\cdot\,)$ в точках $t_i$, $i=0,1,\dots,s$. Очевидно, что $P_s$ – непрерывный проектор и что $\|P_s\|=1$ для любого $s\in\mathbb N$. Пусть $(x,u)\in C([t_0, T],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0, T],\mathbb R^r)$ и $x_0\in\mathbb R^n$. Положим
$$
\begin{equation*}
y_s(x,u, x_0)(t_m)=x(t_m)-x_0-\sum_{i=0}^{m-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\bigl(t_{i},x(t_{i}),u(t)\bigr)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
$m=0,1,\dots,s$, где сумма отсутствует, если $m=0$. Пусть $t\in [t_0, T]$. Тогда $t\in [t_m, t_{m+1}]$ для некоторого $0\leqslant m\leqslant s-1$, и мы полагаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal F_{s}(x,u,x_0)(t) &=y_s(x,u,x_0)(t_m) \\ &\qquad +\frac{t-t_m}{h}\bigl(y_s(x,u,x_0)(t_{m+1})-y_s(x,u,x_0)(t_m)\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
т.е. $\mathcal F_{s}(x,u,x_0)(\,\cdot\,)\in L_s$. Таким образом, для каждых $x_0\in\mathbb R^n$ и $s\in\mathbb N$ определено отображение $\mathcal F_s\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0, T],\mathbb R^r)\to L_s$. Пусть $L>0$. Обозначим через $Q_L=Q_L([t_0,T],\mathbb R^n)$ совокупность липшицевых вектор-функций на $[t_0, T]$ со значениями в $\mathbb R^n$ с константой Липшица $L$. Напомним еще, что пространство $C_x^1(M\times\Sigma,\,Y)$ определено перед формулировкой теоремы 2, а множества $\mathcal U$ и $\mathcal A_k$ для любого $k\in\mathbb N$ определены перед формулировкой предложения 1. Замкнутый шар в нормированном пространстве $Z$ с центром в точке $z$ радиуса $r>0$ обозначаем через $B_Z(z,r)$. Лемма 2 (первая лемма об аппроксимации). Пусть $M$ – ограниченное множество в $C([t_0, T],\mathbb R^n)$, $N>1$, $\overline u=(u_1,\dots, u_N)\in\mathcal U^N$, $x_0\in\mathbb R^n$ и $L>0$. Тогда отображение $F\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\times(L_\infty([t_0, T]))^N\to C([t_0, T],\mathbb R^n)$, определенное для всех $t\in[t_0, T]$ формулой Кроме того, отображения $F_s$ сходятся к отображению $F$ в пространстве $C((M\cap Q_L)\times\mathcal A_N,\,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Доказательство. Сначала мы докажем, что отображения $F$ и $F_s$, $s\in\mathbb N$, принадлежат пространству $C((M\cap Q_L)\times\mathcal A_N,\,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ и что отображения $F_s$ сходятся в этом пространстве к отображению $F$ при $s\to\infty$. Затем мы покажем, что эти отображения принадлежат также и пространству $C^1_x((M\cap Q_L)\times\mathcal A_N,\,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ и в этом пространстве последовательность отображений $F_s-P_s F$ сходится к нулю при $s\to\infty$.
Ниже для сокращения будем обозначать $\mathcal M=(M\cap Q_L)\times\mathcal A_N$. 1) Отображение $F$ непрерывно на $C([t_0, T],\mathbb R^n)\times(L_\infty([t_0, T]))^N$ и ограничено на множестве $\mathcal M$ (см. аналогичные рассуждения в начале доказательства леммы 3 из работы авторов [4]). Перейдем к отображениям $F_s$, $s\in\mathbb N$. Так как $\overline u=(u_1,\dots,u_N)\in \mathcal U^N$, то существует компакт $\mathcal K\subset\mathbb R^r$ такой, что $u_i(t)\in \mathcal K\cap U$, $i=1,\dots,N$, для п.в. $t\in [t_0, T]$. Построим сначала для каждого $\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_N)\in\mathcal A_N$ последовательность кусочно постоянных управлений $u_s(\overline \alpha;\overline u)\in \mathcal U$, $s\in \mathbb N$. Пусть $s\in \mathbb N$. Фиксируем покрытие компакта $\mathcal K\subset\mathbb R^r$ открытыми шарами $\mathcal O^s_1,\dots,\mathcal O^s_{p_s}$ радиуса $1/s$ и разбиение единицы $\psi_1^s(\,\cdot\,),\dots,\psi_{p_s}^s(\,\cdot\,)$, подчиненное данному покрытию, т.е. функции $\psi_k^s(\,\cdot\,)$, $k=1,\dots,p_s$, непрерывны, носитель $\psi_k^s(\,\cdot\,)$ принадлежит шару $\mathcal O^s_k$, $0\leqslant\psi_k^s(u)\leqslant1$ и $\sum_{k=1}^{p_s}\psi_k^s(u)=1$ для всех $u\in \mathcal K$. Фиксируем элементы $u_k^s\in \mathcal O_k^s\cap U$, $k=1,\dots,p_s$. Если для некоторого $k$ пресечение $\mathcal O_k^s\cap U$ пусто, то полагаем $u_k^s=\widetilde u$, где $\widetilde u$ – элемент из $\mathcal K\cap U$, выбранный раз и навсегда. Положим $\lambda_k^s(t)=\lambda_k^s(t,\overline\alpha,\overline u)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\psi_k^s(u_i(t))$, $k=1,\dots,p_s$, $t\in[t_0, T]$. Функции $\lambda_k^s(\,\cdot\,)$ измеримы на $[t_0, T]$ и для п.в. $t\in[t_0, T]$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 0\leqslant\lambda_k^s(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\psi_k^s(u_i(t))\leqslant\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)=1, \qquad k=1,\dots,p_s, \\ \sum_{k=1}^{p_s}\lambda_k^s(t)=\sum_{i=1}^N\alpha_i(t)\sum_{k=1}^{p_s}\psi_k^s(u_i(t))=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Перед формулировкой доказываемой леммы для каждого $s\in\mathbb N$ определено разбиение отрезка $[t_0, T]$ на $s$ подотрезков $[t_i, t_{i+1}]$ длины $h=h(s)=(T-t_0)/s$, $i=0,\dots,s-1$. Положим
$$
\begin{equation}
\lambda^s_{ki}=\frac1{h}\int_{t_i}^{t_{i+1}}\lambda^s_k(t)\,dt, \qquad k=1,\dots,p_s, \quad i=0,\dots,s-1.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Ясно, что $\lambda^s_{ki}\geqslant0$ и $\sum_{k=1}^{p_s}\lambda^s_{ki}=1$, $i=0,\dots,s-1$.
Разобьем каждый подотрезок $[t_i,t_{i+1}]$ на $p_s$ последовательных подподотрезков $\Delta_{ik}(s)$ длины $\lambda^s_{ki}h$, $k=1,\dots, p_s$. Определим функцию $u_s(\overline\alpha)=u_s(\overline\alpha;\overline u)$ на $[t_0,T]$ по правилу
$$
\begin{equation*}
u_s(\overline\alpha)(t)=u_k^s, \qquad t\in \operatorname{int}\Delta_{ik}(s), \quad k=1,\dots,p_s, \quad i=0,1\dots,s-1,
\end{equation*}
\notag
$$
выбирая на концах подподотрезков любые значения для $u_s(\overline\alpha)$. Ясно, что $u_s(\overline\alpha)$ – кусочно постоянная функция и что $u_s(\overline\alpha)(t)\in \mathcal K\cap U$ для п.в. $t\in[t_0, T]$ и любого $\overline\alpha\in\mathcal A_N$.
Отметим, что такая конструкция построения функции $u_s(\overline\alpha)$ принадлежит Р. В. Гамкрелидзе (см. [9]) для так называемых обобщенных управлений (см. также работу авторов [10]). Покажем, что отображения $F_s$ непрерывны на $C([t_0, T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$. Предварительно докажем, что отображения $\overline\alpha\mapsto u_s(\overline\alpha)$, как отображения из $\mathcal A_N$ в $L_1([t_0, T],\mathbb R^r)$, непрерывны равномерно по $s\in\mathbb N$. Пусть фиксирован вектор $\widetilde {\overline\alpha}\in\mathcal A_N$, ${\overline\alpha}$ – другой вектор из $\mathcal A_N$, $\widetilde{\lambda^s_k}(\,\cdot\,)$, $\widetilde\lambda^s_{ki}$ и ${\lambda^s_k}(\,\cdot\,)$, $\lambda^s_{ki}$, $k=1,\dots,p_s$, $i=0,1,\dots,s-1$, – функции и числа, определенные выше соответственно для $(\widetilde {\overline\alpha},\overline u)$ и $({\overline\alpha},\overline u)$. Пусть $\rho>0$ такое, что $\mathcal K\subset B_{\mathbb R^r}(0,\rho)$. Чтобы не загромождать запись, считаем, что $p_s=2$, $t_0=0$ и $T=1$. Тогда на каждом подотрезке $[t_i,t_{i+1}]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{t_i}^{t_{i+1}}|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\,dt \\ &\qquad=\biggl|\int_{\widetilde\lambda^s_{1i}/s}^{\lambda^s_{1i}/s}|u^s_1-u^s_2|\,dt\biggr|\leqslant \frac{2\rho}{s}|\lambda^s_{1i}-\widetilde\lambda^s_{1i}| \\ &\qquad= \frac{2\rho}{s}\biggl|s\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sum_{j=1}^N\alpha_j(t)\psi_1^s(u_j(t))\,dt -s\int_{t_i}^{t_{i+1}}\sum_{j=1}^N\widetilde\alpha_j(t)\psi_1^s(u_j(t))\,dt\biggr| \\ &\qquad \leqslant2\rho\int_{t_i}^{t_{i+1}}\biggl(\sum_{j=1}^N|\alpha_j(t)-\widetilde\alpha_j(t)| \psi_1^s(u_j(t))\biggl)\, dt \\ &\qquad \leqslant2\rho\|\alpha-\widetilde\alpha\|_{(L_\infty([t_0, T]))^N}h(s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Складывая эти неравенства по всем $i=0,\dots,s-1$, получим, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\widetilde{\overline\alpha})(t)|\,dt\leqslant2\rho \|\alpha-\widetilde\alpha\|_{(L_\infty([t_0,T]))^N},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. отображения $\overline\alpha\mapsto u_s(\overline\alpha)$ непрерывны в точке $\widetilde{\overline\alpha}$ равномерно по $s$ и, значит, всюду на $\mathcal A_N$.
После этого замечания перейдем непосредственно к доказательству непрерывности отображений $F_s$. Пусть $(x^0,\overline\alpha^{\,0})\in C([t_0, T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$. Положим
$$
\begin{equation*}
K_1=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R^{n+1}\colon|x-x^0(t)|\leqslant\delta_1,\, t\in[t_0, T]\bigr\}\times \mathcal K, \qquad \delta_1>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $f$ и $f_x$ непрерывны на компакте $K_1$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
C_1=\max\bigl\{|f(t,x,u)|\colon (t,x,u)\in K_1\bigr\},\quad C_2=\max\bigl\{\|f_x(t,x,u)\| \colon (t,x,u)\in K_1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon>0$. Так как отображения $f$ и $f_x$ равномерно непрерывны на $K_1$, то найдется такое $0<\delta_2\leqslant\min(\delta_1,\varepsilon)$, что $|f(t,x_1, u_1)-f(t,x_2, u_2)|<\varepsilon$ и $\|f_x(t,x_1, u_1)-f_x(t,x_2, u_2)\|<\varepsilon$ для всех $(t,x_i, u_i)\in K_1$, $i=1,2$, для которых $|x_1-x_2|<\delta_2$ и $|u_1-u_2|<\delta_2$. По доказанному существует такая окрестность $\mathcal O(\overline\alpha^{\,0})$, что если $\overline\alpha\in\mathcal O(\overline\alpha^{\,0})\cap\mathcal A_N$, то $u_s(\overline\alpha)\in U_{L_1([t_0, T],\mathbb R^r)}(u_s(\overline\alpha^{\,0}),\varepsilon\delta_2)$ для всех $s\in\mathbb N$. Для каждых таких $\overline\alpha$ и $s$ положим $E_{\delta_2}=E_{\delta_2}(\overline\alpha,s)=\bigl\{t\in [t_0, T] \colon |u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\overline\alpha^{\,0})(t)|\geqslant\delta_2\bigr\}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \delta_2\operatorname{mes}E_{\delta_2} &\leqslant\int_{E_{\delta_2}}|u_s(\overline\alpha)(t)-u_s(\overline\alpha^{\,0})(t)|\,dt \\ &\leqslant\|u_s(\overline\alpha)-u_s(\overline\alpha^{\,0})\|_{L_1([t_0, T],\mathbb R^r)}<\varepsilon\delta_2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $\operatorname{mes}E_{\delta_2}<\varepsilon$.
Пусть теперь $x\in U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(x^0,\delta_2)$, $\overline\alpha\in\mathcal O(\overline\alpha^{\,0})$ и $t\in[t_0,T]$. Тогда $t\in [t_m,t_{m+1}]$ для некоторого $0\leqslant m\leqslant s-1$. По определению (см. формулировку леммы и (39))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_s(x,\overline\alpha)(t) &=\mathcal F_s\bigl(x,u_s(\overline\alpha;\overline u),x_0\bigr)(t) =y_s\bigl(x,u_s(\overline\alpha;\overline u),x_0\bigr)(t_m) \\ &\qquad +\frac{t-t_m}{h}\bigl(y_s(x,u_s(\overline\alpha;\overline u),x_0)(t_{m+1}) -y_s(x,u_s(\overline\alpha;\overline u),x_0)(t_m)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где (обозначим $y_s(x,u_s(\overline\alpha;\overline u),x_0)(t_{m})=y_s(x,\overline\alpha)(t_m)$)
$$
\begin{equation}
y_s(x,\overline\alpha)(t_m)=x(t_m)-x_0-\sum_{i=0}^{m-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\bigl(t_{i},x(t_{i}),u_s(\overline\alpha;\overline u)(t)\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Оценим разность $F_s(x,\overline\alpha)(t)-F_s(x^0,\overline\alpha^{\,0})(t)$. Пусть сначала $t=t_m$, $0\leqslant m\leqslant s-1$. Несложные вычисления показывают, что справедлива оценка ($u_s(\overline\alpha)=u_s(\overline\alpha;\overline u)$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl|F_s(x,\overline\alpha)(t_m)-F_s(x^0,\overline\alpha^{\,0})(t_m)\bigr| \leqslant|x(t_m)-x^0(t_m)| \\ \notag &\qquad\qquad +\sum_{i=0}^{m-1}\biggl(\int_{[t_i, t_{i+1}]\setminus E_{\delta_2}}\bigl|f(t_i,x(t_i),u_s(\overline\alpha)(t))-f(t_i, x^0(t_i),u_s(\overline\alpha^{\,0})(t))\bigr|\,dt \\ &\qquad\qquad +\int_{[t_i,t_{i+1}]\cap E_{\delta_2}} \bigl|f(t_i,x(t_i),u_s(\overline\alpha)(t))- f(t_i, x^0(t_i),u_s(\overline\alpha^{\,0})(t))\bigr|\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
В силу выбора $x$ ($\delta_2\leqslant\varepsilon$) первое слагаемое справа меньше $\varepsilon$. Далее, поскольку $u_s(\overline\alpha)(t)\in \mathcal K$ для п.в. $t\in[t_0, T]$, то для каждого $0\leqslant i\leqslant m-1$ выражение под знаком первого интеграла меньше $\varepsilon$ и, значит, сам интеграл не превосходит $\varepsilon h$. Второй интеграл не превосходит $2C_1\operatorname{mes}([t_i, t_{i+1}]\cap E_{\delta_2})$. Суммируя эти выражения по всем $0\leqslant i\leqslant m-1$, получим, что третье слагаемое справа в (43) не превосходит $\varepsilon (T-t_0+ 2C_1)$ и поэтому выражение слева в (43) не превосходит $\varepsilon(1+T-t_0+2C_1)$. Пусть теперь $t\in (t_m,t_{m+1})$ для некоторого $0\leqslant m\leqslant s-1$. По определению $F_s(x,\overline\alpha)(t)$ есть выпуклая комбинация значений $F_s(x,\overline\alpha)(t_m)$ и $F_s(x,\overline\alpha)(t_{m+1})$, и поэтому отсюда и из уже доказанного сразу следует, что выполнено неравенство $|F_s(x,\overline\alpha)(t)-F_s(x^0,\overline\alpha^{\,0})(t)|\leqslant \varepsilon(1+T-t_0+2C_1)$. Таким образом, отображения $F_s$ непрерывны в точке $(x^0,\overline\alpha^{\,0})$ равномерно по $s$ и тем самым это верно для любой точки из $C([t_0,T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$. Далее легко видеть, что для любых $(x,\overline\alpha)\in\mathcal M$, $s\in\mathbb N$ и $0\leqslant m\leqslant s-1$ справедлива оценка $|y_s(x,\overline\alpha)(t_m)|\leqslant \delta+|x_0|+C(T-t_0)$, а значит, справедлива и оценка $|F_s(x,\overline\alpha)(t)|\leqslant \delta+|x_0|+C(T-t_0)$ для указанных $(x,\overline\alpha)$, $s$ и любого $t\in[t_0, T]$. Таким образом, доказано, что $F_s\in C(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ для всех $s\in\mathbb N$. 2) Покажем, что отображения $F_s$ сходятся в пространстве $C(\mathcal M,C([t_0,T],\mathbb R^n))$ к отображению $F$ при $s\to\infty$. Пусть $(x,\overline\alpha)\in\mathcal M$ и $t\in[t_0,T]$. Тогда $t\in[t_m, t_{m+1}]$ для некоторого $0\leqslant m\leqslant s-1$, и мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &F_s(x,\overline \alpha)(t)-F(x,\overline\alpha)(t) =\frac{t_{m+1}-t}{h}\bigl(x(t_m)-x(t)\bigr)+\frac{t-t_m}{h}\bigl(x(t_{m+1})-x(t)\bigr) \\ \notag &\ -\sum_{i=0}^{m-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \biggl(f\bigl(\tau_{i},x(\tau_{i}),u_s(\overline\alpha)(\tau)\bigr)- \sum_{j=1}^N\alpha_j(\tau)f\bigl(\tau,x(\tau), u_j(\tau)\bigr)\biggr)\,d\tau \\ &\ -\biggl(\frac{t-t_m}{h}\int_{t_{m}}^{t_{m+1}}f\bigl(\tau_{m},x(\tau_{m}), u_s(\overline\alpha)(\tau)\bigr)\,d\tau -\sum_{j=1}^N\int_{t_m}^t\alpha_j(\tau)f\bigl(\tau,x(\tau), u_j(\tau)\bigr)\,d\tau\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Оценим слагаемые в правой части равенства. Пусть $\varepsilon>0$ и $K$ – компакт, определенный в начале доказательства. Отображение $f$ равномерно непрерывно на $K$, и поэтому найдется такое $0<\delta_0<\varepsilon$, что $|f(t',x',u')-f(t'',x'',u'')|<\varepsilon$ для всех $(t',x',u')$ и $(t'',x'',u'')$ из $K$, для которых $|t'-t''|<\delta_0$, $|x'-x''|<\delta_0$ и $|u'-u''|<\delta_0$. Пусть $s_0=s_0(\varepsilon)$ столь большое, что $h(s_0)<\min(\delta_0,\delta_0/L)$. Так как $t\in [t_m,t_{m+1}]$, то $|x(t_{m+1})-x(t)|\leqslant L|t_{m+1}-t|\leqslant L h(s_0)<\delta_0<\varepsilon$ и аналогично $|x(t_{m})-x(t)|<\varepsilon$. Следовательно, модуль суммы первых двух слагаемых справа в (44) меньше $\varepsilon$ при $s\geqslant s_0$. Оценим третье слагаемое справа (сумму интегралов). Модуль каждого интеграла под знаком суммы не превосходит величины
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\bigl(\tau_{i},x(\tau_{i}),u_s(\overline\alpha)(\tau)\bigr)\,d\tau -\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\biggl(\sum_{j=1}^{p_s}\lambda_j^s(\tau)f\bigl(\tau,x(\tau),u^s_j\bigr) \biggr)d\tau\biggr| \\ &\qquad\qquad +\biggl|\int_{t_i}^{t_{i+1}}\biggl(\sum_{j=1}^N\alpha_j(\tau)f\bigl(\tau,x(\tau), u_j(\tau)\bigr)-\sum_{j=1}^{p_s}\lambda_j^s(\tau)f\bigl(\tau,x(\tau),u^s_j\bigr)\biggr)d\tau\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Оценим эти слагаемые. Выражение под знаком нормы первого слагаемого в силу определения $u_s(\overline\alpha)$ запишем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{p_s}\int_{\Delta_{ij}(s)}f\bigl(\tau_i,x(\tau_i),u^s_j\bigr)\,d\tau-\sum_{j=1}^{p_s} \int_{t_i}^{t_{i+1}}\lambda_j^s(t)f\bigl(t,x(t),u^s_j\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Оценим сначала каждую компоненту этой разности. Пусть $f=(f_1,\dots,f_n)^{\top}$. Фиксируем $1\leqslant l\leqslant n$. По теореме о среднем для интегралов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \biggl|\sum_{j=1}^{p_s}f_l\bigl(\tau_{i},x(\tau_{i}),u^s_j\bigr)\lambda^s_{ji}h -\sum_{j=1}^{p_s}f_l\bigl(\zeta_{i},x(\zeta_{i}),u^s_j\bigr)\int_{t_i}^{t_{i+1}}\lambda^s_j(t)\,dt \biggr| \\ &\qquad \leqslant h(s)\sum_{j=1}^{p_s}\lambda^s_{ji}\bigl|f_l(\tau_{i},x(\tau_{i}),u^s_j) -f_l(\zeta_{i},x(\zeta_{i}),u^s_j)\bigr|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $\zeta_{i}\in[t_i,t_{i+1}]$. Если $s\geqslant s_0$, то $|\tau_i-\zeta_i|\leqslant h(s)\leqslant h(s_0)<\delta_0$ и $|x(\tau_i)-x(\zeta_i)|\leqslant L|\tau_i-\zeta_i|<\delta_0$. Следовательно, выражение справа в (47) не превосходит $h(s)\varepsilon$. Отсюда следует, что норма разности интегралов в (46) не превосходит $\sqrt{n}\, h(s)\varepsilon$.
Оценим второе слагаемое в (45). В первой сумме под знаком интеграла заменим индекс $j$ на $i$ и выражение под знаком суммы умножим на величину $\sum_{j=1}^{p_s}\psi_j^s(u_i(\tau))$, которая равна единице для п.в. $t\in [t_0,T]$ и любого $i=1,\dots,N$, так что интеграл от новой суммы останется прежним. Во второй сумме вместо функции $\lambda_j^s(\,\cdot\,)$ подставим ее выражение. Тогда легко видеть, что второе слагаемое в (45) не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\int_{t_i}^{t_{i+1}}\biggl(\sum_{i=1}^N\alpha_i(\tau)\sum_{j=1}^{p_s}\psi_j^s(u_i(\tau)) \bigl|f(\tau,x(\tau),u_i(\tau))-f(\tau,x(\tau),u_j^s)\bigr|\biggr)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $s_0$ столь большое, что $2/s_0<\delta_0$. Если $1\leqslant j\leqslant p_s$ и $1\leqslant i\leqslant N$ таковы, что $u_i(\tau)\in \mathcal O_j^s\cap U$ на множестве положительной меры, то $|u_i(\tau)-u_j^s|<2/s<\delta_0$, если $s\geqslant s_0$ и, значит, $|f(\tau,x(\tau),u_i(\tau))-f(\tau,x(\tau),u_j^s)|<\varepsilon$. В противном случае соответствующее слагаемое нулевое. Таким образом, интеграл не превосходит $h(s)\varepsilon$.
Итак, в третьем слагаемом в правой части (44) норма каждого интеграла под знаком суммы не превосходит $(\sqrt{n}+1) h(s)\varepsilon$. Складывая эти неравенства по всем $0\leqslant i\leqslant m-1$, получаем, что третье слагаемое в правой части (44) не превосходит $(1+\sqrt{n})(T-t_0)\varepsilon$. Наконец, оценим четвертое слагаемое (в больших круглых скобках) в правой части (44). Пусть $\delta>0$ такое, что $M\subset B_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(0,\delta)$. Отображения $f$ и $f_x$ непрерывны на компакте $K=[t_0, T]\times B_{\mathbb R^n}(0,\delta)\times \mathcal K$. Положим $C=\max\bigl\{|f(t,x,u)| \colon (t,x,u)\in K\bigr\}$ и $C_0=\max\bigl\{\|f_x(t,x,u)\| \colon (t,x,u)\in K\bigr\}$. Каждый член четвертого слагаемого справа в (44), очевидно, не превосходит $C(t-t_m)$ и тем самым норма этого слагаемого не превосходит $2C(t-t_m)\leqslant 2 C h(s)<2C\delta_0< 2C\varepsilon$. Окончательно получаем, что норма величины слева в (44) не превосходит $(1+(1+\sqrt{n})(T-t_0)+2C)\varepsilon$, и тем самым доказано, что последовательность $F_s$ сходится к $F$ в $C(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. 3) Покажем, что отображения $F$ и $F_s$ принадлежат также и пространству $C^1_x(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$. Несложно проверить, что в любой точке $(x, {\overline\alpha})\in C([t_0, T],\mathbb R^n)\times(L_\infty([t_0, T]))^N$ отображение $F$ имеет непрерывную частную производную по $x$, которая действует по правилу
$$
\begin{equation}
F_{x}(x, {\overline\alpha})[z](t)=z(t)-\int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^N\alpha_i(\tau)f_x\bigl(\tau, x(\tau),u_i(\tau)\bigr)\biggr)z(\tau)\,d\tau
\end{equation}
\tag{48}
$$
для всех $z\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0, T]$.
Далее, для любых $(x,\overline\alpha)\in\mathcal M$, $z\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0, T]$ справедлива легко проверяемая оценка $|F_x(x,\overline\alpha)[z](t)|\leqslant (1+C_0(T-t_0))\|z\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}$. Отсюда, вместе с уже доказанным, следует, что $F\in C^1_x(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$. Перейдем к отображениям $F_s$, $s\in\mathbb N$. У каждого из них существует частная производная по $x$ в каждой точке $(x,\overline\alpha)\in C([t_0,T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$, действующая по правилу для любого $z\in C([t_0,T],\mathbb R^n)$ ($t\in[t_m,t_{m+1}]$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t) &=y_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m) \\ &\qquad+\frac{t-t_m}{h}\bigl(y_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_{m+1}) -y_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
y_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)=z(t_m)-\sum_{i=0}^{m-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f_x\bigl(t_{i},x(t_{i}),u_s(\overline\alpha)(t)\bigr)z(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство этого факта аналогично доказательству дифференцируемости отображения $F$ по $x$. Ясно, что функция $F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](\,\cdot\,)$ принадлежит $L_s$.
Проверим непрерывность производных $F_{sx}$ на $C([t_0,T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$. Пусть $\varepsilon>0$ и $(x^0,\overline\alpha^{\,0})\in C([t_0, T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$. Рассуждая точно так же, как при доказательстве непрерывности $F_s$, получим, что справедлива оценка (см. (43))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl|F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)-F_{sx}(x^0,\overline\alpha^{\,0})[z](t_m)\bigr| \\ \notag &\ \leqslant \sum_{i=0}^{m-1}\biggl(\int_{[t_i, t_{i+1}]\setminus E_{\delta_2}}\bigl\|f_x(t_i,x(t_i),u_s(\overline\alpha)(t)) -f_x(t_i,x^0(t_i),u_s(\overline\alpha^{\,0})(t))\bigr\|\,|z(t)|\,dt \\ &\ \qquad +\int_{[t_i,t_{i+1}]\cap E_{\delta_2}} \bigl\|f_x(t_i,x(t_i),u_s(\overline\alpha)(t)) - f_x(t_i,x^0(t_i),u_s(\overline\alpha^{\,0})(t))\bigr\|\,|z(t)|\,dt\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
для всех $x\in U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(x^0,\delta_2)$, $\overline\alpha\in\mathcal O(\overline\alpha^{\,0})$, $0\leqslant m\leqslant s-1$ и $z\in C([t_0,T],\mathbb R^n)$.
Далее, повторяя рассуждения, связанные с непрерывностью $F_s$, приходим к тому, что выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\bigl|F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t)-F_{sx}(x^0,\overline\alpha^{\,0})[z](t)\bigr|\leqslant \varepsilon ((T-t_0)+ 2C_2)\|z\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in [t_0, T]$ и $z\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$, и тем самым производные $F_{sx}$ непрерывны на $C([t_0, T],\mathbb R^n)\times\mathcal A_N$ равномерно по $s$.
Наконец, легко видеть, что для любых $(x,\overline\alpha)\in\mathcal M$, $s\in\mathbb N$ и $0\leqslant m\leqslant s-1$ справедлива оценка $|y_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)|\leqslant (1+C_0(T-t_0))\|z\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}$, а значит, справедлива и оценка $|F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t)|\leqslant (1+C_0(T-t_0))\|z\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}$ для указанных $(x,\overline\alpha)$, $s$ и любого $t\in[t_0, T]$. Таким образом, доказано, что $F_s\in C^1_x(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ для всех $s\in\mathbb N$. 4) Докажем, что последовательность отображений $F_s-P_s F$, $s\in\mathbb N$, сходится к нулю в пространстве $C_x^1(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$ (очевидно, что $P_s F\in C_x^1(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ для любого $s$). В п. 2) показано, что $F_s$ сходится к $F$ в пространстве $C(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Так как (для краткости $C=C(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$) $\|F_s-P_s F\|_{C}=\|P_sF_s-P_sF\|_{C}\leqslant\|F_s-F\|_{C}$, то $F_s-P_s F$ сходится к нулю в $C(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Докажем теперь, что разность $F_{sx}-P_s F_x$ стремится к нулю при $s\to\infty$ в пространстве $C(\mathcal M,\mathcal L(C([t_0, T],\mathbb R^n),C([t_0, T],\mathbb R^n)))$. Пусть $(x,\overline\alpha)\in\mathcal M$, $z\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0, T]$. Легко подсчитать, что в точках $t_m$, $m=0,\dots,s-1$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)-P_sF_{x}(x,\overline\alpha)[z](t_m) \\ &\qquad =-\sum_{i=0}^{m-1}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\biggl(f_x(t_{i},x(t_{i}),u_s(\overline\alpha)(t))- \sum_{j=1}^N\alpha_j(t)f_x(t,x(t), u_j(t))\biggr)z(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая эту разность точно так же, как третье слагаемое в правой части (44) (сумма интегралов), получим, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $s_0$ такое, что для всех $s\geqslant s_0$ справедлива оценка $|F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](t_m)-P_sF_{x}(x,\overline\alpha)[z](t_m)|\leqslant \varepsilon(1+\sqrt{n}\,)(T-t_0)\|z\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}$.
Поскольку функция $F_{sx}(x,\overline\alpha)[z](\,\cdot\,)-P_sF_{x}(x,\overline\alpha)[z](\,\cdot\,)$, очевидно, принадлежит $L_s$, то в любой точке $t\in[t_0, T]$ оценка будет такая же. Отсюда и из доказанного выше следует, что последовательность $F_s-P_s F$ сходится к нулю в $C_x^1(\mathcal M,C([t_0, T],\mathbb R^n))$ при $s\to\infty$. Лемма 2 доказана. Напомним, что множества $\mathcal U$ и $\mathcal A_k$ для любого $k\in \mathbb N$ были введены перед предложением 1, отображения $F_s$, $s\in \mathbb N$, определены в лемме 1, наборы $\overline v=(v_1,\dots,v_{N-1})$ и $\overline u'=(\widehat u,v_1,\dots,v_{N-1})$ введены перед леммой 1. Лемма 3 (вторая лемма об аппроксимации). Пусть выполнены предположения леммы 1, где $\overline v\in \mathcal U^{N-1}$, и пусть функция $x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ и окрестность $\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$ из этой леммы. Пусть, далее, в лемме 2 $x_0=\widehat x(t_0)$, $\overline u=(\widehat u, \overline v)$ и отображения $(x,\alpha)\mapsto F_s(x,\overline\alpha;\overline v)=F_s(x,\overline\alpha;\widehat x(t_0),(\widehat u,\overline v))$, $s\in\mathbb N$, из этой леммы. Тогда найдутся окрестность $\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\subset\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$ и $s_0\in\mathbb N$ такие, что для каждых $\overline\alpha\in\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N$ и $s\geqslant s_0$ существует единственная функция $x_s(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$, являющаяся решением уравнения $F_s(x,\overline\alpha;\overline v)(t)=0$, $t\in[t_0, T]$, т.е. При этом отображения $\overline\alpha\mapsto x_s(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ для всех $s\geqslant s_0$ принадлежат пространству $C(\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N,\, C([t_0, T],\mathbb R^n))$ и сходятся в нем к отображению $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ при $s\to\infty$. Доказательство. Здесь мы воспользуемся теоремой 2. Сначала несколько предварительных рассмотрений.
Пусть $\mathcal K$ – компакт, определенный в начале доказательства леммы 2, $\delta> 0$, $K_0=\bigl\{(t,x)\in \mathbb R\times\mathbb R^n \colon |x-\widehat x(t)|\leqslant\delta,\,t\in[t_0, T]\bigr\}\times \mathcal K$, где $\widehat x$ – решение уравнения (5), $C_0=\max\bigl\{|f(t,x,u)| \colon (t,x,u)\in K_0\bigr\}$ и $C_1=\max\bigl\{\|f_x(t,x,u)\|$: $(t,x,u)\in K_0\bigr\}$. Поскольку $\widehat x$ – решение уравнения (5), то для любых $t',t''\in[t_0, T]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|\widehat x(t')-\widehat x(t'')|\leqslant \biggl|\int_{t'}^{t''}\bigl|f(t,\widehat x(t),\widehat u(t))\bigr|\,dt\biggr|\leqslant C_0|t'-t''|,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. функция $\widehat x$ липшицева с константой Липшица $C_0$.
Пусть $F\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\times(L_\infty([t_0, T]))^N\to C([t_0, T],\mathbb R^n)$ – отображение, которое введено в лемме 2 (см. (40)), где $x_0=\widehat x(t_0)$ и $\overline u=\overline u'$ (далее зависимость $F$ от этих фиксированных параметров не отмечаем). Это отображение непрерывно вместе со своей частной производной по $x$. То, что $\widehat x$ – решение уравнения (5), равносильно, очевидно, равенству $F(\widehat x,\widehat{\overline \alpha})=0$. Оператор $\Lambda=F_x(\widehat x,\widehat{\overline \alpha})$, действующий по правилу (см. (48))
$$
\begin{equation*}
F_{x}(\widehat x, \widehat{\overline \alpha})[z](t)=z(t)-\int_{t_0}^t f_x\bigl(\tau, \widehat x(\tau),\widehat u(\tau)\bigr)z(\tau)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $z\in C([t_0, T],\mathbb R^n)$ и $t\in[t_0, T]$, обратим. Это следует из разрешимости задачи Коши для соответствующего линейного уравнения при любых начальных условиях.
Положим
$$
\begin{equation*}
L=\max(L_0+2C_1\|\widehat x\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)},L_0+2C_0),
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_0=C_1(2\delta+\|\Lambda^{-1}\|(\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0,T],\mathbb R^n)}+|\widehat x(t_0)|+(T-t_0)C_0)+C_0$.
Напомним, что $Q_L$ – совокупность липшицевых вектор-функций на $[t_0, T]$ со значениями в $\mathbb R^n$ и с константой Липшица $L$. Легко проверить, что это выпуклое замкнутое множество в $C([t_0, T],\mathbb R^n)$. Пусть в теореме 2 $X=Y=C([t_0, T],\mathbb R^n)$, $\Sigma=\mathcal A_N$, $\widehat \sigma=\widehat{\overline \alpha}$, $\widehat x=\widehat x(\,\cdot\,)$, $Q=Q_{L}$ (очевидно, что $\widehat x\in Q$), $V=U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)$ и $\widehat F=F$. В лемме 2 в качестве ограниченного множества $M$ возьмем множество $U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)$. Тогда ясно, что отображение $\widehat F$ принадлежит пространству $C^1_x=C^1_x((U_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}(\widehat x,\delta)\cap Q_L)\times\mathcal A_N,\,C([t_0, T],\mathbb R^n))=C^1_x((V\cap Q)\times\Sigma, Y)$. Напомним, что подпространства $L_s$ в $C([t_0, T],\mathbb R^n)$, $s\in\mathbb N$, образованные ломаными с узлами в точках $t_i=t_0+ih$, $i=0,1,\dots,s$, где $h=(T-t_0)/s$, и непрерывные проекторы $P_s\colon C([t_0, T],\mathbb R^n)\to L_s$, $\|P_s\|=1$, были определены перед формулировкой леммы 2. Так как подпространства $L_s$ конечномерны, то они дополняемы. В лемме 2 были определены отображения $F_s$ из $ C^1_x$, $s\in\mathbb N$, которые принадлежат $L_s$ (где также $x_0=\widehat x(t_0)$, $\overline u=\overline u'$ и зависимость от этих фиксированных параметров не отмечаем). Пусть $r>0$ и окрестности $V_0\subset V$ и $U_0\subset \mathcal A_N$ точек $\widehat x$ и $\widehat{\overline \alpha}$ из утверждения теоремы 2. В п. 4) доказательства леммы 2 установлено, что последовательность отображений $F_s-P_s\widehat F$ сходится к нулю в пространстве $C_x^1$ при $s\to\infty$. Отсюда и так как, очевидно, $F_s-P_s\widehat F\in L_s$, следует существование такого $s_0\in\mathbb N$, что для всех $s\geqslant s_0$ справедливо включение $F_s\in U_{C_x^1((V\cap Q)\times\Sigma,\,L_s)}(P_s\widehat F,r)$. Проверим, что $x-\Lambda^{-1}\widehat F(x,\overline\alpha)\in Q_{L}$ и $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)\in Q_{L}$ соответственно при всех $(x,\overline\alpha)\in(V_0\cap Q_{L})\times U_0$ и $(x,\overline\alpha)\in(V_0\cap Q_{L}\cap(\widehat x+N_s))\times U_0$, $s\in\mathbb N$. То, что $x-\Lambda^{-1}\widehat F(x,\overline\alpha)\in Q_{L}$ доказано в лемме $4$ из работы авторов [8] и поэтому останавливаться на этом не будем. Покажем, что $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)\in Q_{L}$. Положим $z_1=x-\widehat x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)$. Тогда $\Lambda z_1=\Lambda(x-\widehat x)-F_s(x,\overline\alpha)$ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &z_1(t)-\int_{t_0}^tf_x\bigl(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u(\tau)\bigr)z_1(\tau)\,d\tau \\ &\qquad =x(t)-\widehat x(t) -\int_{t_0}^tf_x\bigl(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u(\tau)\bigr)\bigl(x(\tau)-\widehat x(\tau)\bigr)\,d\tau -F_s(x,\overline\alpha)(t) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
для всех $t\in[t_0, T]$.
Обозначим через $G=G_s(x,\overline \alpha)$ функцию справа в (51). Эта функция принадлежит $L_s$, поскольку $x\in \widehat x+N_s$, то $z_1\in N_s$ и, значит, $\Lambda z_1=G\in L_s$. Докажем, что $G$ – липшицева функция. Оценим сначала норму разности ее значений в соседних узлах. Несложные вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(t_{m})-G(t_{m+1}) &=-\widehat x(t_{m})+\widehat x(t_{m+1}) +\int_{t_m}^{t_{m+1}} f_x\bigl(t,\widehat x(t),\widehat u(t)\bigr)(x(t) \\ &\qquad -\widehat x(t))\,dt-\int_{t_m}^{t_{m+1}}f\bigl(t_m,x(t_m),u_s(\overline\alpha)(t)\bigr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выше было установлено, что $\widehat x$ – липшицева функция с константой Липшица $C_0$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
|G(t_{m})-G(t_{m+1})|\leqslant C_0h+C_1\delta h+C_0h=(2C_0+C_1\delta)h=D_1h.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $G\in L_s$, то в точке $t\in[t_m,t_{m+1}]$
$$
\begin{equation*}
G(t)=G(t_m)+\frac {t-t_m}{h}\bigl(G({t_{m+1}})-G(t_{m})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $t',t''\in [t_m,t_{m+1}]$ и $t'<t''$. Тогда из последних неравенств получаем, что
$$
\begin{equation*}
|G(t')-G(t'')|\leqslant\frac {t''-t'}{h}|G({t_{m}})-G(t_{m+1})|\leqslant D_1(t''-t').
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $t'\in [t_m,t_{m+1}]$, $t''\in [t_l,t_{l+1}]$ и $l\geqslant m$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|G(t')-G(t'')| \leqslant |G(t')-G(t_{m+1})|+|G(t_{m+1})-G(t_{m+2})|+\dotsb \\ &\qquad\qquad +|G(t_{l-1})-G(t_{l})|+|G(t_l)-G(t'')| \\ &\qquad\leqslant D_1(t_{m+1}-t'+t_{m+2}-t_{m+1}+\dotsb +t_l-t_{l-1}+t''-t_l)=D_1(t''-t'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, функция $G$ липшицева с константой Липшица $D_1$.
Вернемся к соотношению (51). Оценим норму $z_1$. Так как для любых $m$ и $s$ (см. (42))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |y_s(x,\overline\alpha)(t_m)| &\leqslant\delta+\|\widehat x\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}+|\widehat x(t_0)|+mhC_0 \\ &\leqslant \delta+\|\widehat x\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)} +|\widehat x(t_0)|+(T-t_0)C_0=D_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то $|F_s(x,\overline\alpha)(t)|\leqslant D_2$ для любого $t\in [t_0,T]$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|z_1\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}\leqslant\delta+\|\Lambda^{-1}\|\, \|F_s(x,\overline\alpha)\|_{C([t_0, T],\mathbb R^n)}\leqslant \delta+\|\Lambda^{-1}\|D_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из (51) и липшивости $G$ следует, что
$$
\begin{equation*}
|z_1(t')-z_1(t'')|\leqslant C_1\bigl(\delta+\|\Lambda^{-1}\|D_2\bigr)|t'-t''|+D_1|t'-t''|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)=z_1+\widehat x$, то функция $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)$ липшицева с константой Липшица $C_1(\delta+\|\Lambda^{-1}\|D_2)+D_1 +C_0=L_0+2C_0\leqslant L$ и, значит, $x-\Lambda^{-1}F_s(x,\overline\alpha)\in Q_L$.
Все предположения теоремы 2 выполнены. Следовательно, существует единственное отображение $g_{\widehat F}\colon U_0\to V_0\cap Q_{L}$ и для каждого $s\geqslant s_0$ единственное отображение $g_s\colon U_0\to V_0\cap Q_{L}\cap(\widehat x+N_s)$, для которых $\widehat F(g_{\widehat F}(\overline\alpha),\overline\alpha)(t)=0$ и $F_s(g_s(\overline\alpha),\overline\alpha)(t)=0$ при всех $\overline\alpha\in U_0$ и $t\in[t_0, T]$, и при этом отображения $g_{\widehat F}$ и $g_s$ непрерывны. Уменьшая окрестность $U_0$, можно считать, что $U_0=\mathcal O_1(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N$, причем $\mathcal O_1(\widehat{\overline \alpha})\subset\mathcal O(\widehat{\overline \alpha})$. Тогда в силу единственности $g_{\widehat F}(\overline\alpha)$ совпадает с сужением $x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ на $\mathcal O_1(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N$. Кроме того, согласно теореме 2 существует окрестность $U'_0\subset U_0$ точки $\widehat{\overline \alpha}$ (которая, можно считать, имеет вид $\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N$, где $\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\subset \mathcal O_1(\widehat{\overline \alpha})$) и константа $c>0$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\|x-x_s\|_{C(\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N,\, C([t_0, T],\mathbb R^n))}\leqslant c\|\widehat F-F_s\|_{C((V\cap Q)\times\Sigma,\, C([t_0, T],\mathbb R^n))},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x$ и $x_s$ – соответственно отображения $\overline\alpha\mapsto x(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)$ и $\overline\alpha\mapsto x_s(\,\cdot,\overline\alpha;\overline v)=g_s(\overline\alpha)$.
Согласно лемме 2 величина справа стремится к нулю при $s\to\infty$, и, следовательно, $x_s\to x$ при $s\to\infty$ в метрике $C(\mathcal O_0(\widehat{\overline \alpha})\cap\mathcal A_N,\, C([t_0, T],\mathbb R^n))$. Лемма 3 доказана. Лемма 4 (лемма об обратной функции). Пусть $X$ – банахово пространство, $K$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$, $W$ – окрестность точки $\widehat w\in K$ и $\widehat\Phi\colon W\to\mathbb R^m$. Тогда если выполнены условия: 1) $\widehat \Phi\in C(W\cap K,\,\mathbb R^m)$, 2) $\widehat \Phi$ непрерывно дифференцируемо в точке $\widehat w$, 3) $0\in\operatorname{int}\widehat \Phi'(\widehat w)(K-\widehat w)$, то найдутся константы $r_0>0$ и $\gamma>0$ такие, что для любых $r\in(0,r_0]$, $\Phi\in U_{C(W\cap K,\,\mathbb R^m)}(\widehat \Phi,r)$ и $y\in U_{\mathbb R^m}(\widehat \Phi(\widehat w),r)$ существует элемент $g_\Phi(y)\in W\cap K$, удовлетворяющий соотношениям Эту лемму здесь не доказываем, так как она представляет собой специальный случай более общего утверждения, доказанного в работе авторов [8]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvaMag22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|