| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Энтропия унитарного оператора на К. А. Афонин, Д. В. Трещёв Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9679e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть $\mathcal X$ – непустое множество и $\mathcal B$ – $\sigma$-алгебра подмножеств $X\subset\mathcal X$. Рассмотрим пространство с мерой $(\mathcal X,\mathcal B,\mu)$, где $\mu$ – вероятностная мера: $\mu(\mathcal X)=1$. Рассмотрим гильбертово пространство $\mathcal H=L^2(\mathcal X,\mu)$, на котором скалярное произведение и норма заданы стандартным образом:
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle=\int_\mathcal X f\overline g \, d\mu, \qquad \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ – пространство ограниченных линейных операторов на $\mathcal{H}$. Обозначим через $\|W\|$ операторную норму оператора $W\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$: Для каждой функции $g\in L^\infty(\mathcal X,\mu)$ обозначим через $\widehat g$ оператор умножения на $g$, т.е.
$$
\begin{equation}
\widehat g \colon \mathcal H\to\mathcal H, \qquad \mathcal H\ni f \mapsto \widehat g f=g \cdot f.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В частности, если $X\in\mathcal B$, то $\widehat{\bf 1}_X$ – оператор умножения на индикатор ${\bf 1}_X$ множества $X$. Будем говорить, что набор множеств $\chi=\{Y_1,\dots,Y_J\}$ является (конечным измеримым) разбиением (пространства $\mathcal X$), если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Y_j\in\mathcal B, \qquad\mu\biggl(\mathcal X\setminus \bigcup_{1\leqslant j\leqslant J} Y_j\biggr)=0, \qquad \mu(Y_j\cap Y_k)=0 \\ \text{для всех }\ j,k\in\{1,\dots,J\}, \qquad k\ne j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Назовем $\kappa=\{X_1,\dots,X_K\}$ подразбиением разбиения $\chi=\{Y_1,\dots,Y_J\}$, если для каждого $k\in\{1,\dots,K\}$ найдется такое $j\in\{1,\dots,J\}$, что $\mu(X_k\setminus Y_j)=0$. Для двух произвольных разбиений $\chi=\{Y_1,\dots,Y_J\}$ и $\kappa=\{X_1,\dots,X_K\}$ положим
$$
\begin{equation*}
\chi\vee\kappa=\{Y_j\cap X_k\}_{j=1,\dots,J,\, k=1,\dots,K}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\chi\vee\kappa$ также является разбиением. Пусть $W$ – ограниченный оператор на $\mathcal H$. Для каждого разбиения $\chi=\{Y_1,\dots,Y_J\}$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal M_\chi(W)=\sum_{j=1}^J \mu(Y_j) \| W \widehat{\bf 1}_{Y_j} \|^2.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
В работе [28] было введено определение $\mu$-нормы1 Напомним, что оператор $U$ называется изометрическим (изометрией), если он сохраняет скалярное произведение:
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle=\langle Uf,Ug\rangle, \qquad f,g\in\mathcal H.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $U$ называется унитарным, если он является изометрическим и обратимым. Если $W\in\mathcal L(\mathcal H)$, $Y\in\mathcal B$ и оператор $U$ изометричен, то
$$
\begin{equation*}
\|W \widehat{\bf 1}_Y\| \leqslant \|W\|, \qquad \|UW\|=\|W\|, \quad \| \widehat{\bf 1}_Y\|=1 \quad\text{(если $\mu(Y)>0$)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем очевидные свойства $\mu$-нормы:
$$
\begin{equation}
\|\operatorname{id}\|_\mu=1, \qquad \|W\|_\mu\leqslant\|W\|,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
\|\lambda W\|_\mu=|\lambda|\,\|W\|_\mu \quad\text{для каждого }\ \lambda\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation}
\|W\|_\mu=\|UW\|_\mu \quad \text{для каждой изометрии }\ U;
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
$\mu$-норма вводится с целью распространения метрической энтропии (энтропии Колмогорова–Синая) на случай квантовых систем. В связи с определением $\mu$-нормы отметим, что для случая конечных множеств $\mathcal X$ с мерой $\mu$, равномерно распределенной по точкам, имеется ряд публикаций (см. [7], [16]–[18]), в которых изучается вопрос о том, насколько малой может быть величина $\|W\widehat{\bf 1}_Y\| / \|W\|$ для различных подмножеств $Y\subset\mathcal X$. При этом обычно требуется, чтобы оператор $W$ действовал из $L^2(\mathcal X,\mu)$ в конечномерное пространство существенно меньшей размерности. Пусть $F\colon\mathcal X\to\mathcal X$ – эндоморфизм (сохраняющее меру преобразование) вероятностного пространства $(\mathcal X,\mathcal B,\mu)$. Это означает, что для каждого $X\in\mathcal B$ множество $F^{-1}(X)$ (полный прообраз $X$) также принадлежит $\mathcal B$ и $\mu(X)=\mu(F^{-1}(X))$. Обратимый эндоморфизм называется автоморфизмом. Обозначим через $\operatorname{End}(\mathcal X)$ полугруппу всех эндоморфизмов пространства $(\mathcal X,\mathcal B,\mu)$. Приведем две стандартные конструкции, связанные с эндоморфизмом $F$. 1) Каждое такое преобразование $F$ порождает изометрический (унитарный, если $F$ является автоморфизмом) оператор $U_F$ на $\mathcal H$ (оператор Купмана):
$$
\begin{equation*}
L^2(\mathcal X,\mu)\ni f \mapsto U_F f=f\circ F, \qquad U_F=\operatorname{Koop}(F).
\end{equation*}
\notag
$$
2) Каждому $F\in\operatorname{End}(\mathcal X,\mu)$ можно сопоставить неотрицательное (возможно, равное $+\infty$) число $h_{\mu}(F)$, называемое метрической энтропией (или просто энтропией); см. [19; п. 4.3]. Можно поставить следующий вопрос. Как (некоторым “естественным путем”) определить неотрицательную функцию $\mathfrak h$, заданную на полугруппе изометрий $\operatorname{Iso}(\mathcal H)$ и принимающую значения из расширенной области вещественных чисел, такую, чтобы диаграмма была коммутативна?Напомним, как строится энтропия эндоморфизма $F$. Пусть $J_N$ – совокупность всех мультииндексов $j=(j_0,\dots,j_N)$, где компоненты $j_n$ принимают значения из множества $\{0,\dots,K\}$. Для каждого разбиения $\chi=\{X_0,\dots,X_K\}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf X_j=F^{-N}(X_{j_N})\cap \dots \cap F^{-1}(X_{j_1}) \cap X_{j_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где $j=(j_0,\dots,j_N)\in J_N$. Пусть
$$
\begin{equation*}
h_{\mu}(F,\chi,N+1) =- \sum_{j\in J_N} \mu(\mathbf X_j) \log \mu(\mathbf X_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h_\mu$ как функция последнего аргумента является субаддитивной, т.е. $h_\mu(F,\chi,n+m) \leqslant h_\mu(F,\chi,n) + h_\mu(F,\chi,m)$. Отсюда следует, что существует предел
$$
\begin{equation*}
h_\mu(F,\chi)=\lim_{n\to\infty} \frac1n h_\mu(F,\chi,n).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, энтропия определяется следующим образом: Идея состоит в том, чтобы определить энтропию унитарного оператора $U$ аналогично энтропии эндоморфизма со следующими изменениями. Множества $\mathbf X_j$ заменим операторами
$$
\begin{equation*}
\mathfrak X_j = \widehat{\bf 1}_{X_{j_N}} U \widehat{\bf 1}_{X_{j_{N-1}}} U \dotsb U \widehat{\bf 1}_{X_{j_1}} U \widehat{\bf 1}_{X_{j_0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak h(U,\chi,N+1) =- \sum_{j\in J_N} \|\mathfrak X_j\|_\mu^2 \log \|\mathfrak X_j\|_\mu^2.
\end{equation*}
\notag
$$
А далее, как и при построении энтропии Колмогорова–Синая, положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak h(U,\chi)=\lim_{n\to\infty} \frac1n \mathfrak h(U,\chi,n), \qquad \mathfrak h(U)=\sup_\chi \mathfrak h(U,\chi).
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [28] доказано, что для каждого автоморфизма $F$ выполнено равенство Прежде чем перейти к изложению основных результатов этой и некоторых предыдущих работ Д. В. Трещёва, касающихся $\mu$-нормы и ее приложений к энтропии, сделаем несколько замечаний по библиографии. Попытки переноса понятия метрической энтропии на квантовый случай предпринимались неоднократно (см. [8], [22], [23], [2], [3], [21], [13]). Контекст и подходы у различных авторов не эквивалентны. В [1] произведено сравнение некоторых из этих подходов. В статьях [2], [26], [24], [4], [20] рассмотрен конечномерный случай ($\#\mathcal X<\infty$). Наша конструкция в определенной степени использует идеи метрической энтропии бистохастического оператора (см. [9], [10]). § 2. Предыдущие результатыВ этом параграфе приводятся основные результаты работы [28]. 1. $\| \widehat{\bf 1}_X\|_\mu^2=\mu(X)$ для каждого $X\in\mathcal B$. 2. Если $\chi'$ является подразбиением разбиения $\chi$, то $\mathcal M_{\chi'}(W) \leqslant \mathcal M_\chi(W)$. Значит, величины $\mathcal M_\chi(W)$ приближают нижнюю грань (1.3) на мелких разбиениях. 3. Для двух произвольных ограниченных операторов $W_1$ и $W_2$ выполнено неравенство треугольника
$$
\begin{equation*}
\|W_1 + W_2\|_\mu \leqslant \|W_1\|_\mu + \|W_2\|_\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство совместно с равенством (1.6) означает, что $\|\cdot\|_\mu$ – полунорма на пространстве $\mathcal L(\mathcal H)$. 4. Если $F$ – автоморфизм пространства $(\mathcal X,\mathcal B,\mu)$ и $U_F=\operatorname{Koop}(F)$, то
$$
\begin{equation}
U_F \widehat{\bf 1}_X= \widehat{\bf 1}_{F^{-1}(X)} U_F \quad\text{для каждого }\ X\in\mathcal B.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для каждого $W\in\mathcal L(\mathcal H)$ Отсюда следует, что $\|U_F^{-1} W U_F\|_\mu=\|W\|_\mu$. 5. $\|\cdot\|_\mu$ является непрерывной функцией на пространстве $\mathcal L(\mathcal H)$ относительно операторной нормы $\|\cdot\|$. 6. Если мера $\mu$ не имеет атомов, то $\|W+W_0\|_\mu=\|W\|_\mu$, где $W$ – ограниченный, а $W_0$ – компактный оператор. В частности, $\mu$-норма тождественно равна нулю на пространстве компактных операторов. 7. Если $g\in L^\infty(\mathcal X,\mu)$, то $\|\widehat g\|_\mu=\|g\|$. 8. Предположим, что множество $\mathcal X$ конечно, $\mathcal X=\{1,\dots,J\}$ и мера каждой точки равна $1/J$. Тогда пространство $\mathcal H$ изоморфно пространству $\mathbb{C}^J$ со скалярным произведением $\langle f,g\rangle_J=J^{-1}\sum_{j=1}^J f(j)\overline{g(j)}$. Рассмотрим произвольный оператор $W$ на $\mathcal H$:
$$
\begin{equation*}
f\mapsto Wf, \qquad (Wf)(k)=\sum_{j=1}^J W(k,j) f(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда 9. Для каждого разбиения $\{X_1,\dots,X_K\}$ пространства $\mathcal X$ функция $\|\cdot\|_\mu^2$ аддитивна справа,
$$
\begin{equation}
\|W\|_\mu^2=\sum_{k=1}^K \|W \widehat{\bf 1}_{X_k}\|_\mu^2,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и субаддитивна слева,
$$
\begin{equation*}
\|W\|_\mu^2\leqslant \sum_{k=1}^K \| \widehat{\bf 1}_{X_k} W\|_\mu^2.
\end{equation*}
\notag
$$
10. Предположим, что $\mathcal X$ – компактное метрическое пространство и $\mu$ – борелевская мера. Обозначим через $B_r(x)\subset\mathcal X$ открытый шар с центром в точке $x$ и радиуса $r$. Тогда для каждого $x\in\mathcal X$ существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
\vartheta(x)=\lim_{\varepsilon\searrow 0} \|W \widehat{\bf 1}_{B_\varepsilon(x)}\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
причем функция $\vartheta$ измерима (является борелевской) и $\displaystyle\|W\|_\mu^2 \leqslant \int_\mathcal X \vartheta \,d\mu$. Существует пример, показывающий, что, вообще говоря, это неравенство строгое. Однако если выполнены следующие два условия.
§ 3. Основные результатыРассмотрим вероятностное пространство $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n),\mu)$, где $\mathbb{T}^n{=}\,\mathbb{R}^n/(2\pi\mathbb{Z}^n)$ – тор размерности $n\in\mathbb{N}$, $\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)$ – борелевская $\sigma$-алгебра подмножеств в $\mathbb{T}^n$ и $\mu$ – нормированная мера Лебега на $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n))$ ($d\mu=(2\pi)^{-n}dx$). В случае $n=1$ результаты, приводимые ниже, в основном были получены в работах [28] и [29]. $\bullet$ В § 4 введено банахово пространство $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ всех непрерывных на $\mathbb{T}^n$ комплексных функций с абсолютно сходящимися $n$-кратными рядами Фурье и каждому функционалу $\lambda\in (\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ поставлен в соответствие оператор свертки $\operatorname{Conv}_\lambda$, действующий на $L^2(\mathbb{T}^n)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
L^2(\mathbb{T}^n)\ni f\mapsto \operatorname{Conv}_\lambda f=g, \qquad g=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}g_ke^{i(k,\,\cdot\,)}, \quad g_k=f_k\lambda_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_k=\lambda(e^{-i(k,\,\cdot\,)})$, $k\in\mathbb{Z}^n$. Оператор $\operatorname{Conv}_\lambda$ ограничен, причем $\|\operatorname{Conv}_\lambda\|=\|\lambda\|_{\mathcal{AC}^*}=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}|\lambda_k|$. Показано (предложение 4.1), что
$$
\begin{equation*}
\|\operatorname{Conv}_\lambda\|^2_{\mu}=\rho(\lambda), \qquad \rho(\lambda)=\limsup_{\mathbf{I}}\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{k\in \mathbf{I}}|\lambda_k|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{I}$ в верхнем пределе $\limsup_{\mathbf{I}}$ пробегает направленное множество $(\mathcal P^n,\leqslant)$ (см. п. 7.2) всех целочисленных параллелепипедов $\mathcal P^n$. $\bullet$ В § 5 введен специальный класс $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, состоящий из всех ограниченных на $L^2(\mathbb{T}^n)$ операторов $W$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|W\|_{\mathcal{DT}}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\sup_{j\in\mathbb{Z}^n}|W_{k+j,j}|<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_{j,k}=\langle We^{i(k,\,\cdot\,)},e^{i(j,\,\cdot\,)}\rangle$, $j,k\in\mathbb{Z}^n$. Элемент $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ называется оператором диагонального типа. Будет доказано (теорема 5.1), что пространство $(\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n),\|\cdot\|_{\mathcal{DT}})$ является унитальной банаховой алгеброй со звездной нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{DT}}$. $\bullet$ Для каждого оператора $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ выполнены следующие неравенства (свойство (1.4) и лемма 5.2):
$$
\begin{equation*}
\|W\|_\mu \leqslant \|W\| \leqslant \|W\|_\mathcal{DT}.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ Сопоставляя оператору $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ и точке $a\in\mathbb{T}^n$ такой функционал $L_a\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, что
$$
\begin{equation*}
L_a=\sum_{l\in\mathbb{Z}^n}w_l(a)e_l^*, \qquad w_l(a)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,l-k}e^{i(k,a)},
\end{equation*}
\notag
$$
где функционалы $e^*_l$ определяются согласно (4.3), а ряд $*$-слабо сходится, мы покажем, что справедливы следующие утверждения:
$\bullet$ Пусть $W$ – ограниченный оператор на $L^2(\mathbb{T}^n)$. В § 6 мы введем усредненный след $\mathbf{T}(W)$ оператора $WW^*$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{T}(W)=\limsup_{\mathbf{I}}\frac{1}{\#\mathbf{I}} \sum_{l\in\mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n}|W_{l,j}|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы докажем, что если $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то:
$\bullet$ В § 7 введено множество $\mathcal R(\mathbb{T}^n)$ таких операторов $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, что для всякой пары $m,k\in\mathbb{Z}^n$ существует предел
$$
\begin{equation*}
\omega_{m,k}=\lim_{\mathbf{I}}\frac{1}{\# \mathbf{I}} \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} W_{l+m,j} \overline W_{l,j+k}
\end{equation*}
\notag
$$
(предел взят по направленному множеству $(\mathcal P^n,\leqslant)$). Элемент $W\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$ называется регулярным оператором. Будет доказано (лемма 7.10), что $\mathcal R(\mathbb{T}^n)$ является замкнутым конусом в пространстве $(\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n),\|\cdot\|_{\mathcal{DT}})$. $\bullet$ Мы докажем (лемма 7.11), что $\|W\|_\mu^2=\mathbf{T}(W)$ для каждого оператора $W\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$. Пусть $(\mathcal X,\mathcal B,\mu)$ – вероятностное пространство, и пусть оператор $W$ принадлежит одному из трех следующих классов:
В настоящей работе рассматриваются первые два класса операторов, а третий класс рассмотрен в работах [28] и [29]. $\bullet$ В § 8 будет построена такая переходная мера $\mu_W(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, что для всякой пары “достаточно регулярных функций” $g_1,g_2\colon \mathcal X\to\mathbb{C}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\|\widehat g_2 W\widehat g_1\|_{\mu}^2=\int_{\mathcal X}\!\int_{\mathcal X}|g_1(x_1)|^2\,|g_2(x_2)|^2\, \mu_W (x_1,dx_2)\,\mu(dx_1).
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ В § 10 доказано, что если $W=U$ и $U$ – унитарный оператор, то выполнены следующие утверждения:
$\bullet$ В § 11 каждому элементу $U\in\mathcal N$, где класс $\mathcal N$ состоит из операторов Купмана и регулярных унитарных операторов, сопоставлена величина $\mathfrak{h}(U)\in\overline{\mathbb{R}}_+$, называемая энтропией оператора $U$. Будет показано, что:
§ 4. Оператор свертки на $L^2(\mathbb{T}^n)$4.1. Вводные конструкции4.1.1. Тор, метрика и мера Лебега на тореПусть $\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n/(2\pi\mathbb{Z}^n)$ – $n$-мерный тор, $n\in\mathbb{N}$. Для каждого $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\in\mathbb{R}^n$ положим $\|\varphi\|_\infty=\max\{|\varphi_j|\mid1\leqslant j\leqslant n\}$. Рассмотрим сюръективное отображение $\pi\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{T}^n$, сопоставляющее вектору $\varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\in\mathbb{R}^n$ его факторкласс $\pi(\varphi)\in\mathbb{T}^n$. Введем на $\mathbb{T}^n$ метрику $\mathrm{dist}$, положив
$$
\begin{equation}
\mathrm{dist}(x,y)=\|x-y\|, \qquad \|x\|=\inf_{k\in\mathbb{Z}^n}\|\varphi-2\pi k\|_{\infty}, \quad x=\pi(\varphi).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Хорошо известно, что $(\mathbb{T}^n, +)$ – компактная абелева топологическая группа (топология порождается инвариантной метрикой $\mathrm{dist}$, а операция $+$ есть обычное сложение в факторпространстве $\mathbb{R}^n/(2\pi\mathbb{Z}^n)$). Для всех $a=\pi(\psi)\in\mathbb{T}^n$, $r>0$ и $k=(k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{Z}^n$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B_{r}(a)=\{x\in\mathbb{T}^n\mid\mathrm{dist}(x,a)<r\}, \\ e^{i(k,a)}=\exp\biggl\{i\sum_{j=1}^{n}k_j\psi_j\biggr\},\qquad\|k\|_1=\sum_{j=1}^{n}|k_j|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Пусть $\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)$ – борелевская $\sigma$-алгебра подмножеств в $\mathbb{T}^n$ и $\mu$ – нормированная мера Лебега на измеримом пространстве $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n))$ ($d\mu=(2\pi)^{-n}\,dx$). Всюду далее для вероятностного пространства $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n),\mu)$ мы будем использовать обозначения и понятия, введенные в § 1. Если $f\colon\mathbb{T}^n\to\mathbb{C}$ – $\mu$-интегрируемая функция на торе $\mathbb{T}^n$, то через $f_k$, $k\in\mathbb{Z}^n$, будем обозначать коэффициенты Фурье функции $f$, т.е.
$$
\begin{equation*}
f_k=\int_{\mathbb{T}^n}f(x)e^{-i(k,x)}\,\mu(dx), \qquad f\in L^1(\mathbb{T}^n), \quad k\in\mathbb{Z}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
4.1.2. Три пространства и сопряженные к ним1) Обозначим через $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ множество всех непрерывных на $\mathbb{T}^n$ комплексных функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье, т.е. $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ состоит из функций $f$ вида
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}f_ke^{i(k,x)}, \qquad \|f\|_{\mathcal{AC}}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|f_k|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ является коммутативной банаховой алгеброй относительно обычных поточечных операций и нормы $\|\cdot\|_{\mathcal{AC}}$. Более того, введя на $l^1(\mathbb{Z}^n)$ в качестве произведения операцию свертки $*$, получим, что отображение $ f\mapsto \{f_k\}_k$ является изометрией, сохраняющей произведения, т.е. является изоморфизмом между алгебрами $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ и $l^1(\mathbb{Z}^n)$. 2) Пусть $i_1$ и $i_2$ – естественные вложения $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ в $C(\mathbb{T}^n)$ и $C(\mathbb{T}^n)$ в $L^2(\mathbb{T}^n)$ соответственно. Из неравенств
$$
\begin{equation*}
\|i_1(\cdot)\|_C\leqslant\|\cdot\|_{\mathcal{AC}},\qquad \|i_2(\cdot)\|\leqslant \|\cdot\|_C
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что операторы $i_1$ и $i_2$ непрерывны. 3) Пусть $\mathcal{V}(\mathbb{T}^n)$ – одно из трех банаховых пространств: $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ либо $C(\mathbb{T}^n)$, либо $L^2(\mathbb{T}^n)$. Заметим, что линейная оболочка множества $\{e^{i(k,\,\cdot\,)}\mid k\in\mathbb{Z}^n\}$ плотна в $\mathcal{V}(\mathbb{T}^n)$, причем если $\mathcal{V}(\mathbb{T}^n)=\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ либо $\mathcal{V}(\mathbb{T}^n)=L^2(\mathbb{T}^n)$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}=f \quad\text{при }\ f\in \mathcal{V}(\mathbb{T}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. ряд в левой части равенства сходится по норме $\|\cdot\|_\mathcal V$ к $f$. Или, другими словами, где
$$
\begin{equation*}
S_N(f)=\sum_{\|k\|_\infty\leqslant N}f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}, \qquad N\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$ и для каждого функционала $\lambda\in(\mathcal V(\mathbb{T}^n))^*$ положим $\lambda_k:=\lambda(e^{-i(k,\,\cdot\,)})$. 4) Пусть $i_1^*$ и $i_2^*$ – сопряженные операторы к операторам $i_1$ и $i_2$ соответственно. Поскольку $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ плотно в $C(\mathbb{T}^n)$ и $C(\mathbb{T}^n)$ плотно в $L^2(\mathbb{T}^n)$, то $i_1^*$ и $i_2^*$ – такие непрерывные инъективные операторы, что $i_1^*f=f|_{\mathcal{AC}}\in (\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ при $f\in (C(\mathbb{T}^n))^*$ и $i_2^*g=g|_{C}\in (C(\mathbb{T}^n))^*$ при $g\in (L^2(\mathbb{T}^n))^*$. Таким образом, возникают непрерывные вложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (L^2(\mathbb{T}^n))^*\xrightarrow[]{i_2^*}(C(\mathbb{T}^n))^* \xrightarrow[]{i_1^*}(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*, \\ (L^2(\mathbb{T}^n))^*\xrightarrow[]{i^*}(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*, \quad\text{где }\ i=i_2i_1, \quad i^*=i^*_1i^*_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
5) Введем на пространстве $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ операцию свертки и покажем, что по отношению к сверточному умножению пространство $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ является коммутативной банаховой алгеброй, изометрически изоморфной алгебре $l^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$, на которой умножение определяется покомпонентно. Для этого понадобится предварительная подготовка. (a) Поскольку банаховы пространства $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ и $l^1(\mathbb{Z}^n)$ изометрически изоморфны, то отображение
$$
\begin{equation*}
\Psi\colon(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*\to l^\infty(\mathbb{Z}^n), \qquad \Psi\lambda:=\{\lambda(e^{-i(k,\,\cdot\,)})\}_{k}=\{\lambda_{k}\}_{k},
\end{equation*}
\notag
$$
является изометрическим изоморфизмом. Для каждого функционала $\lambda\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ ряд $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\lambda_ke_k^*$ $*$-слабо сходится к $\lambda$, где
$$
\begin{equation}
e_k^*(f):=f_{-k}=\int_{\mathbb{T}^n}f(x)e^{i(k,x)}\,\mu(dx), \qquad f\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
В дальнейшем мы будем писать равенство $\lambda=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\lambda_ke_k^*$, имея в виду, что ряд в правой части этого равенства $*$-слабо сходится к $\lambda$. (b) Определим семейство непрерывных автоморфизмов $F_x$, $x\in\mathbb{T}^n$, вероятностного пространства $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n),\mu)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
F_x\colon \mathbb{T}^n\to \mathbb{T}^n, \qquad F_x(y)=x+y, \quad x,y\in\mathbb{T}^n.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Заметим, что $f\circ F_x\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ при $f\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ и $x\in\mathbb{T}^n$, ибо $(f\circ F_x)_k=e^{i(k,x)}f_k$ для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$. Пусть $\lambda\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$. Для всякой функции $f\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ определим функцию $\overline\lambda f$ формулой $\overline\lambda f(x)=\lambda(f\circ F_x)$ для каждого $x\in\mathbb{T}^n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\overline\lambda f(x) =\lambda\biggl(\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}e^{i(k,x)}f_k e^{i(k,\,\cdot\,)}\biggr) =\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}e^{i(k,x)}f_k\lambda_{-k}, \qquad x\in\mathbb{T}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\overline\lambda f\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Поэтому отображение $\overline\lambda\colon f\mapsto \overline\lambda f$ является непрерывным оператором на $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, причем $\|\overline\lambda\|_{\mathcal{AC}\to\mathcal{AC}} =\|\Psi\lambda\|_\infty=\|\lambda\|_{\mathcal{AC}^*}$. Операцию свертки введем, следуя определению $19.1$, данному в [15; гл. V, § 19]. Сверткой функционалов $\lambda^1$ и $\lambda^2$, принадлежащих пространству $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, называется композиция $\lambda^1\circ \overline {\lambda^2}$, которая обозначается через $\lambda^1*\lambda^2$. Из определения свертки сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\lambda^1*\lambda^2\in (\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*, \qquad \Psi(\lambda^1*\lambda^2)=\{\Psi\lambda^1\}\cdot\{\Psi\lambda^2\}:=\{\lambda^1_{k}\lambda^2_{k}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ является коммутативной банаховой алгеброй по отношению к свертке $*$. 4.1.3. Оператор сверткиСначала введем два изометрических изоморфизма, отождествляющих пространство $L^2(\mathbb{T}^n)$ с пространствами $l^2(\mathbb{Z}^n)$ и $(L^2(\mathbb{T}^n))^*$, а именно:
Пусть $\lambda=\sum\lambda_ke_k^*\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, $f=\sum f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}\in L^2(\mathbb{T}^n)$ и $M_{\Psi\lambda}$ – диагональный оператор:
$$
\begin{equation*}
M_{\Psi\lambda}\colon l^2(\mathbb{Z}^n)\to l^2(\mathbb{Z}^n), \qquad M_{\Psi\lambda}\{\alpha_k\}=\{\lambda_k\alpha_k\}, \quad \{\alpha_k\}\in l^2(\mathbb{Z}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\Psi(\lambda*i^*Lf)=M_{\Psi\lambda}(\mathcal F f)=\{\lambda_kf_k\}_{k}\in l^2(\mathbb{Z}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\operatorname{Conv}_\lambda:=\mathcal F^{-1}\circ M_{\Psi\lambda}\circ \mathcal F$ и $\lambda*f:=\operatorname{Conv}_\lambda f$. Непосредственно проверяется равенство $i^*L(\lambda*f)=\lambda*i^*Lf$, которое означает, что
$$
\begin{equation}
(L(\lambda*f))\big|_{\mathcal{AC}}=\lambda* (Lf)|_{\mathcal{AC}}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Таким образом, $\lambda*f$ – такая функция из $L^2(\mathbb{T}^n)$, для которой справедливо равенство (4.5), а $\mathrm{Conv}_\lambda$ – такой ограниченный оператор на $L^2(\mathbb{T}^n)$, что
$$
\begin{equation}
L^2(\mathbb{T}^n)\ni f\mapsto \operatorname{Conv}_\lambda f=g, \qquad g=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}g_ke^{i(k,\,\cdot\,)}, \quad g_k=f_k\lambda_k.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Кроме того, в силу изометричности $\mathcal F$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\|\mathrm{Conv}_\lambda\|=\|M_{\Psi\lambda}\|_{l^2\to l^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\|\mathrm{Conv}_{\lambda}\|=c_{\lambda}, \qquad c_{\lambda}=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}|\lambda_k|.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Оператор $\mathrm{Conv}_{\lambda}$ назовем оператором свертки, а функцию $\lambda*f=\operatorname{Conv}_\lambda f$ назовем сверткой функционала $\lambda\in (\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ с функцией $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$. Примеры. 1. Если $g,f\in L^2(\mathbb{T}^n)$, то 2. Если $\lambda_1,\lambda_2\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, то
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Conv}_{\lambda_1}\operatorname{Conv}_{\lambda_2} =\operatorname{Conv}_{\lambda_1*\lambda_2} =\operatorname{Conv}_{\lambda_2*\lambda_1} =\operatorname{Conv}_{\lambda_2}\operatorname{Conv}_{\lambda_1}\!.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Если $\delta_a$ – функция Дирака в точке $a\in\mathbb{T}^n$, то для каждой функции $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\delta_a*f:=\delta_a|_{\mathcal{AC}}*f=f\circ F_{-a},
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_{-a}$ – автоморфизм, определяемый согласно (4.4). Таким образом, оператор свертки $\operatorname{Conv}_{\delta_a}$ совпадает с оператором Купмана $U_{F_{-a}}$ и, в частности, $\operatorname{Conv}_{\delta_0}{=}\,\operatorname{id}$. 4. Если $\lambda=\sum\lambda_ke_k^*\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, то
$$
\begin{equation*}
\lambda*(e^{i(m,\,\cdot\,)})=\lambda_m e^{i(m,\,\cdot\,)} \quad\text{для каждого }\ m\in\mathbb{Z}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Для всяких $\lambda\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ и $m\in\mathbb{Z}^n$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda * (e^{i(m,\,\cdot\,)} f)=e^{i(m,\,\cdot\,)} \bigl( (\lambda\circ\widehat{e^{-i(m,\,\cdot\,)}}) * f\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где оператор $\widehat{e^{-i(m,\,\cdot\,)}}$ определяется согласно (1.1) при $g=e^{-i(m,\,\cdot\,)}$. 4.1.4. Оценка коэффициентов Фурье Лемма 4.1. Пусть $ f=\sum_{k \in \mathbb{Z}^n}f_ke^{i(k,\,\cdot\,)} \in L^2(\mathbb{T}^n)$ и $Y=B_\varepsilon (a)$, где $a\in\mathbb{T}^n$, $\varepsilon>0$. Если $g=\widehat{\bf 1}_Y f=\sum_{k \in \mathbb{Z}^n}g_ke^{i(k,\,\cdot\,)}$, то для всех $m,l\in\mathbb{Z}^n$ Доказательство. Положим $h=g - e^{i(m,\cdot-a)}g=\widehat{\bf 1}_Y(1-e^{i(m,\cdot-a)})\cdot f$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|h\|^2 &=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{Y}|1 - e^{i(m,x-a)}|^2\,|f(x)|^2\,dx \\ &\leqslant\| \widehat{\bf 1}_Y(1-e^{i(m,\cdot-a)})\|_{\infty}^2\,\|f\|^2 \leqslant\|m\|_1^2\varepsilon^2\|f\|^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно (4.8). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\| \widehat{\bf 1}_Y(1 - e^{-i(l,\cdot-a)}) \|^2 =\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{Y} |1 - e^{-i(l,x-a)} |^2\,dx\leqslant\frac{1}{(2\pi)^n}\|l\|_1^2\varepsilon^2(2\varepsilon)^n,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |g_m - e^{i(l,a)}g_{m+l} | &= \biggl|\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{Y} \bigl(f(x)e^{-i(m,x)} - f(x)e^{-i(m+l,x)}e^{i(l,a)}\bigr)\,dx\biggr| \\ &\leqslant\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{Y} \bigl| (1 - e^{-i(l,x-a)})f(x) \bigr|\,dx \\ &\leqslant \| \widehat{\bf 1}_Y (1 - e^{-i(l,x-a)}) \|\,\|f\|\leqslant\frac{\varepsilon^{n/2+1}}{\pi^{n/2}}\|l\|_1\,\|f\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, выполнено (4.9). Для доказательства (4.10) рассмотрим скалярное произведение
$$
\begin{equation*}
\langle h,g\rangle=\langle g, g\rangle- e^{-i(m,a)}\langle g, e^{-i(m,\,\cdot\,)}g\rangle=\|g\|^2 - \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}e^{-i(m,a)}g_k\overline g_{k+m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Коши–Буняковского и неравенство (4.8), имеем
$$
\begin{equation*}
|\langle h,g\rangle|\leqslant\|h\|\cdot\|g\|\leqslant\|m\|_1\varepsilon\|f\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. имеет место оценка (4.10). Лемма доказана. 4.1.5. Целочисленные параллелепипеды и верхний предел $\rho(\lambda)$Рассмотрим следующие объекты:
Для каждого функционала $ \lambda=\sum\lambda_ke_k\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ положим
$$
\begin{equation}
\rho(\lambda)= \lim_{N\to\infty}\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}_N^n}\rho_{\mathbf{I}}(\lambda), \qquad \rho_{\mathbf{I}}(\lambda)= \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{k\in \mathbf{I}}|\lambda_k|^2.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Из включения $\mathcal{P}_{N+1}^n\subset\mathcal{P}_N^n$ следует, что последовательность
$$
\begin{equation*}
\rho_N=\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}_N^n}\rho_{\mathbf{I}}(\lambda), \qquad N\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
не возрастает и ограничена снизу. Значит, предел в (4.11) существует и конечен. 4.2. Вычисление $\|\mathrm{Conv}_\lambda \widehat{\bf 1}_{B_\varepsilon(a)}\|$Лемма 4.2. Если $\lambda=\sum\lambda_ke_k^*\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, то для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ и для каждого $\varepsilon>0$ справедливо равенство где $B_\varepsilon=B_\varepsilon(0)$. Доказательство. Применяя равенство (2.1) при $X=B_\varepsilon(a)$ и $F=F_a$ (см. (4.4)), имеем
$$
\begin{equation*}
U_{F_a}\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}(a)}=\widehat{\bf 1}_{F_{-a}B_{\varepsilon}(a)}U_{F_a}=\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}(a)-a}U_{F_a}=\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}}U_{F_a}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее равенство выполнено в силу инвариантности метрики $\mathrm{dist}$). Тогда, учитывая примеры 2 и 3 из п. 4.1.3, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\operatorname{Conv}_\lambda \widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}(a)}\| &=\|\operatorname{Conv}_\lambda U_{F_{-a}}\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}}U_{F_a}\| =\|\operatorname{Conv}_{\lambda*\delta_a}\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}}U_{F_a}\| \\ &=\|U_{F_{-a}}\operatorname{Conv}_\lambda\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}}U_{F_a}\| =\|\operatorname{Conv}_\lambda\widehat{\bf 1}_{B_{\varepsilon}}\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Пусть $K^*$ – компакт в сильной топологии 2 пространства $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$. Лемма 4.3. $\mathrm{(a)}$ Семейство функций $\{\rho_{\mathbf{I}}\}_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}$ равностепенно непрерывно на компакте $K^*$. $\mathrm{(b)}$ Функции $\rho_N=\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal P^n_N}\rho_{\mathbf{I}}$, $N\in\mathbb{N}$, и $\rho$ непрерывны на $K^*$, причем имеет место равномерная сходимость: Лемма 4.4. Для каждого $\gamma > 0$ найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для каждого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ и для всех $\lambda\in K^*$, $a\in\mathbb{T}^n$ и $f \in L^2(\mathbb{T}^n)$ выполнено неравенство где $Y=B_\varepsilon(a)$. Доказательство леммы 4.3. Компакт $K^*$ ограничен, т.е. найдется такое $r>0$, что $\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}|\lambda_k|=\|\lambda\|_{\mathcal{AC}^*}\leqslant r$ для каждого $\lambda\in K^*$. Тогда для всякой пары функционалов $\lambda_1,\lambda_2\in K^*$ и для каждого параллелепипеда $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$ откуда следует утверждение $\mathrm{(a)}$. Из $\mathrm{(a)}$ следует, что последовательность функций $\{\rho_N\}$ равностепенно непрерывна на $K^*$, откуда получаем, что функция $\rho$ непрерывна на $K^*$. Значит, последовательность $\{\rho_N,\,N\in\mathbb{N}\}$ непрерывных на компакте $K^*$ функций поточечно убывает к непрерывной функции $\rho$. Тогда по теореме Дини (см., например, [6; теорема 1.7.10]) эта последовательность сходится равномерно к $\rho$ на $K^*$. Лемма доказана. Доказательство леммы 4.4. Из леммы 4.2 следует, что достаточно рассмотреть случай $a=0$. Возьмем произвольное $\sigma >0$. Согласно утверждению $\mathrm{(b)}$ леммы 4.3 существует натуральное число $M'=M'(\sigma)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\rho_{\mathbf{I}}( \lambda) \leqslant \rho( \lambda) + \sigma \quad\text{для всех }\ \lambda\in K^*, \quad \mathbf{I}\in\mathcal{P}^{n}_{M'}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Пусть $\varepsilon>0$, $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ и $\mathbf{I}=\mathbf{I}_B$, где $B$ – натуральное число, удовлетворяющее неравенству $2B+1\geqslant M'$. Положим
$$
\begin{equation*}
Y=B_\varepsilon, \qquad g=\widehat{\bf 1}_Yf, \qquad G= \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I}}e^{i(l,\,\cdot\,)}g=\frac{1}{\#\mathbf{I}} \sum_{k\in\mathbb{Z}^n,\,l\in \mathbf{I}}g_{k-l}e^{i(k,\,\cdot\,)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_k$, $k\in\mathbb{Z}^n$, – коэффициенты Фурье функции $g$. Применяя неравенство треугольника и неравенство (4.8) при $a=0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|g-G\| \leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in \mathbf{I}}\|g-e^{i(l,\,\cdot\,)}g\| \leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in \mathbf{I}}\|l\|_1\varepsilon \|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $ l=(l_1,\dots,l_n)\in\mathbf{I}$, то $\|l\|_1=\sum_{j=1}^n|l_j|\leqslant nB$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\|g-G\|\leqslant nB\varepsilon\|f\|, \qquad\| \lambda * g - \lambda * G\|\leqslant r nB\varepsilon\|f\|,
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $r=\sup_{\lambda\in K^*}\| \lambda\|_{\mathcal{AC}^*}$. Рассмотрим квадрат нормы свертки $ \lambda*G$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| \lambda * G\|^2 &=\frac{1}{(\#\mathbf{I})^2}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}| \lambda_k|^2\sum_{l\in\mathbf{I},\,s\in \mathbf{I}}g_{k-l}\overline g_{k-s} \\ &=\frac{1}{(\#\mathbf{I})^2}\sum_{m\in2\mathbf{I}}\sum_{\substack{l\in\mathbf{I},\\l\in (\mathbf{I}+m)}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|\lambda_{k+l}|^2 g_{k}\overline g_{k+m} \\ &=\sum_{m\in \mathbf{J}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(m)\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}(\lambda) g_k\overline g_{k+m}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{J}=J\times\dots\times J, \qquad J=[-2B,2B]\cap\mathbb{Z}, \qquad\mathbf{I}_{k,m}= I_{k_1,m_1}\times\dots\times I_{k_n,m_n}, \\ I_{k_j,m_j}=\begin{cases} [k_j+m_j-B, k_j+B]\cap\mathbb{Z},&\text{если }\ m_j\geqslant 0, \\ [k_j-B, k_j+m_j+B]\cap\mathbb{Z},&\text{если }\ m_j < 0, \end{cases} \qquad \mathbf{b}(m)=\frac{\# \mathbf{I}_{k,m}}{(\#\mathbf{I})^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \# \mathbf{I}_{k,m}=\prod_{j=1}^{n}(2B+1-|m_j|), \qquad \rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda)\leqslant r^2, \\ \mathbf{b}(m)=b(m_1)\dotsb b(m_n), \quad\text{где }\ b(q)=\frac{2B+1-|q|}{(2B+1)^2}, \quad q\in J, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation}
\sum_{q\in J} b(q)=1, \quad \sum_{m\in\mathbf{J}}\mathbf{b}(m)=1, \qquad b(q)>0, \quad\mathbf{b}(m)>0.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Положим $\mathbf{S}=S\times\dots\times S$, где $S=[-(2B+1-M'),2B+1-M']\cap\mathbb{Z}$. Тогда $S\subset J$, $\mathbf{S}\subset\mathbf{J}$ и
$$
\begin{equation*}
b(q)<\frac{M'}{(2B+1)^2}, \quad\text{если }\ q\in J\setminus S.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, согласно (4.14) ${\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda)\leqslant \rho( \lambda)+\sigma}$ для всех $a\in\mathbb{T}^n$, $k\in\mathbb{Z}^n$ и $m\in\mathbf{S}$. Из равенства (4.16) следует, что $ \| \lambda * G\|^2\leqslant\Delta_1+\Delta_2$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1&=\sum_{m\in \mathbf{S}} \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(m)\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda) |g_k|\,|g_{k+m}|, \\ \Delta_2&=\sum_{m\in \mathbf{J}\setminus\mathbf{S}} \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(m)\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda)| g_k|\,|g_{k+m}|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (4.17), имеем
$$
\begin{equation*}
\Delta_1=\sum_{m\in \mathbf{S}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(m)\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda) |g_k|\,|g_{k+m}|\leqslant(\rho( \lambda)+\sigma)\|g\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, Представим множество $\mathbf{J}\setminus\mathbf{S}$ в виде объединения
$$
\begin{equation*}
\mathbf{J}\setminus\mathbf{S}=\bigcup_{r=1}^{n}H_r, \qquad H_r=\{m=(m_1,\dots,m_n)\in\mathbf{J}\mid m_r\in J\setminus S\}, \quad r=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее оценим сумму:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{m\in \mathbf{J}\setminus\mathbf{S}}\mathbf{b}(m) &\leqslant\sum_{r=1}^{n} \sum_{m\in H_r}\mathbf{b}(m)=\sum_{r=1}^{n}\sum_{m_1\in J}\dotsb\sum_{m_r\in J\setminus S}\dotsb\sum_{m_n\in J}b(m_1)\dotsb b(m_n) \\ &=\sum_{r=1}^{n}\sum_{m_1\in J}b(m_1)\dotsb\sum_{m_r\in J\setminus S}b(m_r)\dotsb\sum_{m_n\in J}b(m_n) \\ &\leqslant \sum_{r=1}^{n}2(M'-1)\frac{M'}{(2B+1)^2}=\frac{2M'(M'-1)n}{(2B+1)^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
И тогда получаем оценку для $\Delta_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_2 &=\sum_{m\in \mathbf{J}\setminus\mathbf{S}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(m)\rho_{\mathbf{I}_{k,m}}( \lambda) |g_k|\,|g_{k+m}|\leqslant r^2\|g\|^2\sum_{m\in \mathbf{J}\setminus\mathbf{S}}\mathbf{b}(m) \\ &\leqslant \frac{2M'(M'-1)r^2n}{(2B+1)^2}\|f\|^2\leqslant \frac{2M'r^2n}{2B+1}\|f\|^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
(последнее неравенство получено из условия $2B+1\geqslant M'$). Таким образом, применяя неравенства (4.18) и (4.20), имеем Наконец, из соотношения
$$
\begin{equation*}
\| \lambda*g\|^2\leqslant \| \lambda*g- \lambda*G\|^2+2\| \lambda*G\|\cdot\| \lambda*g- \lambda*G\|+\| \lambda*G\|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и оценок (4.15), (4.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\| \lambda*( \widehat{\bf 1}_Yf)\|\leqslant \Bigl(\rho( \lambda)+\sigma+\alpha_1+\alpha_2^2+2\alpha_2\sqrt{\rho( \lambda)}+2\alpha_2\sqrt{\sigma+\alpha_1}\Bigr)\|f\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_1=\alpha_1(M',B)=2M'r^2 n/(2B+1)$, $\alpha_2=\alpha_2(\varepsilon, B)=rnB\varepsilon$. Заметим, что числа $\sigma>0$ и $\varepsilon>0$ были выбраны произвольно, $M'=M'(\sigma)$ зависит только от $\sigma$, а число $B\in\mathbb{N}$ любое, удовлетворяющее неравенству $2B+1\geqslant M'$. Кроме того, $\alpha_1(M',B)\to0$ при $B\to\infty$ и $\alpha_2(\varepsilon, B)\to0$ при $\varepsilon\to0$ для каждого $B$. Данное замечание завершает доказательство леммы 4.4. Лемма 4.5. Если $\lambda=\sum\lambda_ke_k^*\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, то для каждого числа $\gamma>0$ и для каждой функции $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ существует такое $m\in\mathbb{Z}^n$, что Доказательство. Считаем, что $\rho(\lambda)\ne0$ (иначе утверждение леммы очевидно). Пусть $\sigma_1>0$ и $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$. Для каждого $N\in\mathbb{N}$ положим $S_N=\sum_{k\in\mathbf{I}}f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}$, где $\mathbf{I}=\mathbf{I}_N$. Поскольку $\|S_N-f\|\to0$ при $N\to\infty$, то найдется такое $N\in\mathbb{N}$, что $\|f-S_N\|\leqslant\sigma_1\|f\|$. Поэтому Для каждого $m\in\mathbb{Z}^n$ рассмотрим непрерывный оператор $T_m=\mathrm{Conv}_{\lambda}\widehat{e^{i(m,\,\cdot\,)}}$. Так как $\|\widehat{e^{i(m,\,\cdot\,)}}\|=\|e^{i(m,\,\cdot\,)}\|_\infty=1$, то
$$
\begin{equation*}
\|T_m(f)-T_m(S_N)\|=\|T_m(f-S_N)\|\leqslant\|\mathrm{Conv}_{\lambda}\|\cdot\|f-S_N\|\leqslant c_{\lambda}\sigma_1\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, Следовательно, для каждого $m\in\mathbb{Z}^n$ выполнены оценки Возьмем произвольные $0<\sigma_2< \rho(\lambda)$ и $0<\sigma_3 <1$. Тогда согласно (4.11) найдутся такие $M\in\mathbb{N}$, $\mathbf{J}\in\mathcal{P}^n_M$, для которых справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\rho_{\mathbf{J}}(\lambda) > \rho(\lambda) - \sigma_2, \qquad \frac{N}{M}<\sigma_3.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Из равенства (4.24) получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{m\in\mathbf{J}}\|T_m(S_N)\|^2=\sum_{m\in \mathbf{J}}\sum_{l\in \mathbf{I}}|\lambda_{m+l}f_l|^2=\|S_N\|^2\sum_{m\in \mathbf{J}}|\lambda_m|^2 + \Delta,
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta &= \sum_{m\in \mathbf{J}}\sum_{l\in \mathbf{I}}|\lambda_{m+l}f_l|^2 - \sum_{m\in \mathbf{J}}\sum_{l\in \mathbf{I}}|\lambda_{m}f_l|^2 \\ &=\sum_{l\in \mathbf{I}}|f_l|^2\biggl(\sum_{m\in (\mathbf{J}+l)}|\lambda_m|^2-\sum_{m\in \mathbf{J}}|\lambda_m|^2\biggr) \\ &=\sum_{l\in \mathbf{I}}|f_l|^2\biggl(\sum_{m\in (\mathbf{J}+l)\setminus\mathbf{J}}|\lambda_m|^2 -\sum_{m\in \mathbf{J}\setminus(\mathbf{J}+l)}|\lambda_m|^2\biggr)=\Delta_1-\Delta_2, \\ \Delta_1&=\sum_{l\in \mathbf{I}}|f_l|^2\biggl(\sum_{m\in (\mathbf{J}+l)\setminus\mathbf{J}}|\lambda_m|^2\biggr), \qquad \Delta_2=\sum_{l\in \mathbf{I}}|f_l|^2\biggl(\sum_{m\in \mathbf{J}\setminus(\mathbf{J}+l)}|\lambda_m|^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Оценим $\Delta_1$. Заметим, что для каждого $l=(l_1,\dots,l_n)\in\mathbf{I}$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathbf{J}+l)\setminus\mathbf{J}=\bigcup_{r=1}^{n}H_r, \\ H_r=\{m=(m_1,\dots,m_n)\in(\mathbf{J}+l)\mid m_r\notin J_r\}, \qquad r=1,\dots,n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $J_1,\dots, J_n$ – отрезки целых чисел такие, что $\mathbf{J}=J_1\times\dots\times J_n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{m\in (\mathbf{J}+l)\setminus\mathbf{J}}|\lambda_m|^2 &\leqslant \sum_{r=1}^{n}\sum_{m_1\in (J_1+l_1)}\dotsb\sum_{m_r\in (J_r+l_r)\setminus J_r}\dotsb\sum_{m_n\in (J_n+l_n)}c^2_{\lambda} \\ &=c^2_{\lambda}\sum_{r=1}^{n}|l_r|\prod_{\substack{j=1\\ j\ne r}}^{n}\#J_j=c^2_{\lambda}\sum_{r=1}^{n}\frac{|l_r|}{\# J_r}\#\mathbf{J}\leqslant nc^2_{\lambda}\frac{N}{M}\#\mathbf{J}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство вытекает из того, что $|l_r|\leqslant N$ и $\# J_r\geqslant M$ для всех $r=1,\dots,n$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\Delta_1\leqslant nc^2_{\lambda}\frac{N}{M}\#\mathbf{J}\|S_N\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичная оценка справедлива и для $\Delta_2$. Тогда, учитывая соотношения (4.28) и (4.26), имеем
$$
\begin{equation*}
|\Delta|\leqslant \Delta_1+\Delta_2\leqslant 2nc^2_{\lambda}\frac{N}{M}\#\mathbf{J}\|S_N\|^2\leqslant 2nc^2_{\lambda}\sigma_3\#\mathbf{J}\|f\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.27) следует, что существует такое $m_0\in \mathbf{J}$, что
$$
\begin{equation*}
\|T_{m_0}(S_N)\|^2 \geqslant \|S_N\|^2\rho_{\mathbf{J}}(\lambda)+ \frac{\Delta}{\#\mathbf{J}}\geqslant \|S_N\|^2\rho_{\mathbf{J}}(\lambda) - 2nc^2_{\lambda}\sigma_3\|f\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, применяя неравенства (4.23), (4.25) и (4.26), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\lambda *(e^{i(m_0,\,\cdot\,)}f)\|^2 &\geqslant \|f\|^2\bigl((1-\sigma_1)^2(\rho(\lambda) - \sigma_2) - 2nc^2_{\lambda}\sigma_3\bigr) \\ &=\|f\|^2\bigl(\rho(\lambda)-(\rho(\lambda)\sigma_1(2-\sigma_1)+\sigma_2(1-\sigma_1)^2+2nc^2_{\lambda}\sigma_3)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось заметить, что числа $\sigma_1>0$, $0<\sigma_2<\rho(\lambda)$ и $0<\sigma_3<1$ были выбраны произвольно. Лемма 4.5 доказана. Следствие 4.1. Если $\lambda=\sum\lambda_ke^*_k\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, то для каждой точки $a\in \mathbb{T}^n$ 4.3. $\mu$-норма оператора свертки Доказательство. Положим $W:=\mathrm{Conv}_\lambda $. По следствию 4.1
$$
\begin{equation*}
\vartheta(a)=\lim_{\varepsilon \searrow 0} \|W \widehat{\bf 1}_{B_\varepsilon(a)}\|^2=\rho(\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$, поэтому функция $\vartheta$ непрерывна на торе $\mathbb{T}^n$. Кроме того, из лемм 4.4 и 4.5 следует, что выполнено свойство C2, указанное в п. 10 из § 2. Поэтому, применяя утверждение, сформулированное в том же пункте, получаем равенства Предложение доказано. § 5. Операторы диагонального типа5.1. Определение и свойстваРассмотрим оператор $W$, принадлежащий пространству $\mathcal L(L^2)$ ограниченных операторов на $L^2(\mathbb{T}^n)$. Если $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$, то
$$
\begin{equation*}
Wf=F, \quad F_j=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{j,k}f_k, \qquad f=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}, \quad F=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}F_j e^{i(j,\,\cdot\,)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_{j,k}=\langle We^{i(k,\,\cdot\,)},e^{i(j,\,\cdot\,)}\rangle$. Положим $c_k= \sup_{j\in\mathbb{Z}^n}|W_{k+j, j}|$, $k\in\mathbb{Z}^n$. Последовательность $\{c_k\}_{k\in\mathbb{Z}^n}$ назовем мажорирующей последовательностью оператора $W$. Определение 5.1. Оператор $W$ будем называть оператором диагонального типа, если $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k=\mathbf{c}<\infty$. Обозначим через $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ множество всех операторов диагонального типа и положим Заметим, что если $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то $|W_{j,k}|\leqslant c_{j-k}$ для всех $j,k\in\mathbb{Z}^n$.Пусть $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$ обозначим через $\Lambda_k$ такие непрерывные функционалы на пространстве $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, что где функционалы $e_j^*$, $j\in\mathbb{Z}^n$, задаются согласно (4.3), а ряд сходится $*$-слабо на $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$. Так как $\|\mathrm{Conv}_{\Lambda_k}\|=c_k$ (см. (4.7)), то ряд $\sum\widehat{e^{i(k,\,\cdot\,)}}\operatorname{Conv}_{\Lambda_k}$ сходится абсолютно в пространстве $\mathcal L(L^2)$ и, значит, существует ограниченный оператор $\widetilde W$ такой, что $\widetilde W=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\widehat{e^{i(k,\,\cdot\,)}} \operatorname{Conv}_{\Lambda_k}$, причем для всяких $j,m\in\mathbb{Z}^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{W}_{j,m} &=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\bigl\langle e^{i(k,\,\cdot\,)}(\Lambda_k*e^{i(m,\,\cdot\,)}), e^{i(j,\,\cdot\,)}\bigr\rangle \\ &=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle W_{k+m,m}e^{i(k+m,\,\cdot\,)}, e^{i(j,\,\cdot\,)}\rangle=W_{j,m} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(второе равенство выполнено в силу (5.1) и примера 4 из п. 4.1.3). Следовательно,
$$
\begin{equation}
W=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\widehat{e^{i(k,\,\cdot\,)}}\operatorname{Conv}_{\Lambda_k}\!.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Примеры. 1. Пусть $\lambda=\sum\lambda_ke^*_k\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$. Если $W=\mathrm{Conv}_{\lambda}$ (см. (4.6)), то для всех $j,k\in\mathbb{Z}^n$ 2. Пусть $g\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Тогда оператор $W=\widehat g$ (см. (1.1)) является оператором диагонального типа, причем $\|W\|_{\mathcal{DT}}=\|g\|_{\mathcal{AC}}$. Действительно, поскольку $W_{j,k}=g_{j-k}$, то $c_k=|g_k|$ и, следовательно, 3. Непосредственно из определения следует, что $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ – линейное пространство с нормой $\|\cdot\|_{\mathcal{DT}}$, т.е. если $W,G\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ и $\lambda\in\mathbb{C}$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda W\in\mathcal{DT}, \qquad \|\lambda W\|_{\mathcal{DT}}=|\lambda|\,\| W\|_{\mathcal{DT}}, \\ (W+G)\in\mathcal{DT}, \qquad \|W+G\|_{\mathcal{DT}}\leqslant \|W\|_{\mathcal{DT}}+\|G\|_{\mathcal{DT}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, кроме того, если $\|W\|_{\mathcal{DT}}=0$, то $W=0$. 4. Если $W\in \mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то и $W^*\in \mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, причем $\|W^*\|_{\mathcal{DT}}=\|W\|_{\mathcal{DT}}$. В самом деле, из равенства $W^*_{j,k}=\overline W_{k,j}$ (для всех $j,k\in\mathbb{Z}^n$) следует, что $c^{*}_k=c_{-k}$, $k\in\mathbb{Z}^n$, где $\{c^{*}_k\}$ и $\{c_k\}$ – мажорирующие последовательности операторов $W^{*}$ и $W$ соответственно. Лемма 5.1. Если $W',W''\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то $W'W''\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, причем Доказательство. Пусть $\{c'_{k}\}$, $\{c''_k\}$ и $\{c_k\}$ – мажорирующие последовательности операторов $W'$, $W''$ и $W'W''$ соответственно. Тогда для всех $j,l\in\mathbb{Z}^n$ Следовательно, где $\mathbf{c}'=\|W'\|_{\mathcal{DT}}$, $ \mathbf{c}''=\|W''\|_{\mathcal{DT}}$. Лемма доказана. Доказательство. Пусть $\{c_k\}$ – мажорирующая последовательность оператора $W$. Для каждой функции $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Wf\|^2 &=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}\biggl| \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{j,k}f_k\biggr|^2= \sum_{j,k,l\in\mathbb{Z}^n}W_{j,k}\overline W_{j,l}f_k\overline f_l \\ &\leqslant \sum_{j,k,l\in\mathbb{Z}^n}|W_{j,k} W_{j,l}f_k f_l| \leqslant\sum_{k,l\in\mathbb{Z}^n}\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}c_{j-k}c_{j-l}|f_k f_l| \\ &= \sum_{k,l\in\mathbb{Z}^n}A_{k-l}|f_k f_l|=\sum_{s,l\in\mathbb{Z}^n}A_{s}|f_{s+l} f_l|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_s=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}c_{j}c_{j+s}$. Применяя соотношение $\sum_{s\in\mathbb{Z}^n} A_s= \sum_{s,j\in\mathbb{Z}^n}c_{j}c_{j+s}=\mathbf{c}^2$ и неравенство Коши–Буняковского, получаем оценку для каждой $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$. Лемма доказана. Каждому ограниченному оператору $W$ поставим в соответствие последовательность $\mathbf{W}$ элементов из $l^{\infty}=l^\infty(\mathbb{Z}^n)$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{W}\colon\mathbb{Z}^n\to l^{\infty}, \qquad \mathbf{W}(k)=\{x(k,j)\}_{j\in\mathbb{Z}^n}, \quad x(k,j)=W_{k+j,j}, \quad k,j\in\mathbb{Z}^n.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Ясно, что $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{W}\in l^1(\mathbb{Z}^n, l^{\infty})$ (см. определение 5.1), причем если $W$ – оператор диагонального типа, то
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf{W}\|_1=\sum_{k\in \mathbb{Z}^n}\|\mathbf{W}(k)\|_{\infty}=\sum_{k\in \mathbb{Z}^n}\sup_{j\in \mathbb{Z}^n}|x(k,j)|=\sum_{k\in \mathbb{Z}^n}c_k=\|W\|_{\mathcal{DT}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{c_k\}$ – мажорирующая последовательность $W$. Таким образом, отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}\colon\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)\to l^1(\mathbb{Z}^n, l^{\infty}), \qquad \mathcal{J}W=\mathbf{W},
\end{equation*}
\notag
$$
является изометрическим оператором. Лемма 5.3. Нормированное пространство $(\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n), \|\cdot\|_{\mathcal{DT}})$ банахово. Доказательство. Пусть $\{W_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ – фундаментальная последовательность в пространстве $(\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n), \|\cdot\|_{\mathcal{DT}})$. Тогда в силу изометричности оператора $\mathcal J$ последовательность $\{\mathcal{J}W_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ фундаментальна в пространстве $l^1(\mathbb{Z}^n, l^{\infty})$. Из полноты пространства $l^{\infty}$ следует, что пространство $l^1(\mathbb{Z}^n, l^{\infty})$ банахово (см. [11; теорема III.6.6]), поэтому существует элемент $\mathbf{S}\in l^1(\mathbb{Z}^n, l^{\infty})$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\lim_{m\to\infty}\|\mathcal{J}W_m-\mathbf{S}\|_1 =\lim_{m\to\infty}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\|\mathcal{J}W_m(k)-\mathbf{S}(k)\|_{\infty} \\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{k\in \mathbb{Z}^n}\sup_{j\in \mathbb{Z}^n}|x_m(k,j)-s(k,j)|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_m(k,j)=(W_m)_{k+j,j}$, $ \mathbf{S}(k)=\{s(k,j)\}_{j\in\mathbb{Z}^n}$. Тогда Из леммы 5.2 следует, что операторы $W_m$, $m\in\mathbb{N}$, образуют фундаментальную последовательность по операторной норме $\|\cdot\|$ и, следовательно, сходятся по этой норме к некоторому (линейному ограниченному) оператору $W$. Тогда $(W_m)_{j,k}\xrightarrow[]{}W_{j,k}$ при $m\to\infty$ для всех $j,k\in\mathbb{Z}^n$, откуда, учитывая (5.4), получаем равенство $\mathbf{W}=\mathbf{S}$, где $\mathbf{W}$ определяется согласно (5.3). Поэтому $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, $\mathcal{J}W=\mathbf{W}$, причем
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\|W_m-W\|_{\mathcal{DT}}=\lim_{m\to\infty}\|\mathcal{J}W_m-\mathcal{J}W\|_1=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Приведенные выше примеры и леммы можно объединить в следующую теорему. Теорема 5.1. Пространство $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ является унитальной звездной банаховой алгеброй со звездной нормой 3 $\|\cdot\|_{\mathcal{DT}}$. Приведем пример, показывающий, что $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ не является $C^*$-алгеброй (о $C^*$-алгебрах см., например, [14; гл. IV, § 7]). Пусть $n=1$. Рассмотрим оператор $W=\widehat g$ из примера 2 данного пункта с функцией Очевидно, что $W^*(f)=\overline gf$ и $W^{*}Wf=\overline g gf=|g|^2f$. Так как $|g(x)|^2=-e^{-2ix}+3-e^{2ix}$, то
$$
\begin{equation*}
\|W^{*}W\|_{\mathcal{DT}}=5\ne9=\|W\|^2_{\mathcal{DT}}.
\end{equation*}
\notag
$$
5.2. Вычисление $\mu$-нормыПусть $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Для всяких $a\in\mathbb{T}^n$ и $k\in\mathbb{Z}^n$ рассмотрим непрерывный на пространстве $\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ функционал $\Lambda_{a,k}=e^{i(k,a)}(\Lambda_k\circ \widehat{e^{i(k,\,\cdot\,)}})$, где $\Lambda_k$ определяется согласно (5.1). Поскольку $\|\Lambda_{a,k}\|_{\mathcal{AC}^*}= c_k$ и $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k<\infty$, то найдется такой функционал $L_a\in (\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$, что
$$
\begin{equation}
L_a=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\Lambda_{a,k}, \qquad \operatorname{Conv}_{L_a}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\operatorname{Conv}_{\Lambda_{a,k}}, \quad a\in\mathbb{T}^n
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
(ряды сходятся по нормам $\|\cdot\|_{\mathcal{AC}^*}$ и $\|\cdot\|$). Заметим, что для всех $a\in\mathbb{T}^n$ и $l\in\mathbb{Z}^n$ выполнены следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\operatorname{Conv}_{L_a}\|=\|L_a\|_{\mathcal{AC}^*}\leqslant \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\|\Lambda_k\|_{\mathcal{AC}^*}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k=\mathbf{c}, \\ L_a(e^{-i(l,\,\cdot\,)})=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}e^{i(k,a)}\Lambda_k (e^{i(k-l,\,\cdot\,)})=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,l-k}e^{i(k,a)}, \\ \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|W_{l,l-k}|\leqslant\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k=\mathbf{c}, \quad\text{где }\ \mathbf{c}=\|W\|_{\mathcal{DT}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
L_a=\sum_{l\in\mathbb{Z}^n}w_l(a)e_l^*, \qquad w_l(a)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,l-k}e^{i(k,a)}, \quad w_l\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n),
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
и, кроме того,
$$
\begin{equation}
|w_l(a)|\leqslant\|w_l\|_{\mathcal{AC}}\leqslant\mathbf{c} \quad\text{для всех }\ l\in\mathbb{Z}^n, \quad a\in\mathbb{T}^n.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Лемма 5.4. Пусть $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Тогда отображение $a\mapsto L_a$ из метрического пространства4 $(\mathbb{T}^n,\mathrm{dist})$ в нормированное пространство $((\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*, \|\cdot\|_{\mathcal{AC}^*})$ непрерывно. Доказательство. Сначала докажем, что семейство функций $\{w_l\}_{l\in\mathbb{Z}^n}$ равностепенно непрерывно. Действительно, из (5.6) следует, что для всякой пары точек $a,b\in\mathbb{T}^n$ и для каждого $l\in\mathbb{Z}^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |w_l(a)-w_l(b)| &=\biggl|\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,l-k}(e^{i(k,a)}-e^{i(k,b)})\biggr| \\ &\leqslant \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k|e^{i(k,a)}-e^{i(k,b)}|=\Sigma_1+\Sigma_2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_1=\sum_{k\in\mathbf{I}_K}c_k|e^{i(k,a)}-e^{i(k,b)}|, \quad \Sigma_2=\sum_{k\notin\mathbf{I}_K}c_k|e^{i(k,a)}-e^{i(k,b)}|, \qquad K\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Sigma_1\leqslant \mathrm{dist}(a,b)\sum_{k\in\mathbf{I}_K}\|k\|_1c_k\leqslant Kn\mathbf{c}\cdot\mathrm{dist}(a,b), \\ \Sigma_2 \leqslant 2\sigma_0(K), \qquad \sigma_0(K)=\sum_{k\notin\mathbf{I}_K}c_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, если $\mathrm{dist}(a,b)<\gamma$ при $\gamma>0$, то Заметим, что $\sigma_0(K)\to0$ при $K\to\infty$, ибо $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k=\mathbf{c}<\infty$. Поэтому для каждого $\varepsilon>0$ найдутся $K\in\mathbb{N}$ и $\gamma>0$ такие, что $2\sigma_0(K)<\varepsilon/{2}$ и $Kn\mathbf{c}^2\gamma<{\varepsilon}/{2}$. Следовательно, если $\mathrm{dist}(a,b)<\gamma$, то Таким образом, функции $w_l$, $l\in\mathbb{Z}^n$, равностепенно непрерывны. Из (5.6) следует, что для всякой пары точек $a,b\in\mathbb{T}^n$ справедливо равенство $\|L_a-L_b\|_{\mathcal{AC}^*}=\sup_{l\in\mathbb{Z}^n}|w_l(a)-w_l(b)|$, откуда в силу равностепенной непрерывности семейства функций $\{w_l\}$ получаем, что отображение $a\mapsto L_a$ непрерывно. Лемма доказана. Рассмотрим функции $a\mapsto\rho(L_a)$ и $a\mapsto\rho_{\mathbf{I}}(L_a)$, задаваемые согласно (4.11):
$$
\begin{equation}
\rho(L_a)=\lim_{N\to\infty}\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}_N^n}\rho_{\mathbf{I}}(L_a), \qquad \rho_{\mathbf{I}}(L_a)= \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in \mathbf{I}}|w_l(a)|^2, \quad \mathbf{I}\in\mathcal{P}^n.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Из леммы 5.4 следует, что множество $\{L_a\mid a\in\mathbb{T}^n\}$ компактно в сильной топологии пространства $(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$. Поэтому, применяя лемму 4.3, получаем, что выполнена следующая Лемма 5.5. Предположим, что $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Тогда последовательность $\{\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^{n}_{N}}\rho_{\mathbf{I}}(L_a)\}_{N\in\mathbb{N}}$ непрерывных на $\mathbb{T}^n$ функций равномерно сходится к функции $\rho(L_a)\in C(\mathbb{T}^n)$. Лемма 5.6. Пусть $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Тогда для каждого $\sigma>0$ найдется такое $\varepsilon_0=\varepsilon_0(\sigma)>0$, что для всех $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$, $ a\in\mathbb{T}^n$ и $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ выполнено неравенство где $Y=B_\varepsilon(a)\subset\mathbb{T}^n$. Доказательство. Пусть $\sigma>0$, $\varepsilon>0$, $Y=B_\varepsilon(a)$, $a\in\mathbb{T}^n$, $f\in L^2(\mathbb{T}^n)$ и $g=\widehat{\bf 1}_Yf$. Поскольку $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k<\infty$, то найдется $K=K(\sigma)$ такое, что $\sum_{k\notin\mathbf{I}_K}c_k<\sigma$. Из равенства (5.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to\infty}\|W_N g-Wg\|=0, \quad\text{где }\ W_N=\sum_{k\in\mathbf{I}_N}\widehat {e^{i(k,\,\cdot\,)}}\operatorname{Conv}_{\Lambda_k}\!.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|Wg-W_Kg\| &=\biggl\| \sum_{k\notin\mathbf{I}_K}e^{i(k,\,\cdot\,)}(\Lambda_k*g)\biggr\|\leqslant \sum_{k\notin\mathbf{I}_K}\|\Lambda_k*g\| \\ &\leqslant \sum_{k\notin\mathbf{I}_K}c_k\|g\|\leqslant\sigma\|f\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_Kg =\sum_{k\in \mathbf{I}_K}\bigl(e^{i(k,a)}\Lambda_k\widehat {e^{i(k,\,\cdot\,)}}\bigr)*(e^{i(k,\cdot-a)}g)=L_{a,K}*g+\Delta, \\ L_{a,K}=\sum_{k\in\mathbf{I}_K}\Lambda_{a,k}, \qquad \Lambda_{a,k}=e^{i(k,a)}\Lambda_k\widehat {e^{i(k,\,\cdot\,)}}, \\ \Delta=W_Kg-L_{a,K}*g=\sum_{k\in\mathbf{I}_K}\Lambda_{a,k}*((e^{i(k,\cdot-a)}-1)g). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|\mathrm{Conv}_{\Lambda_{a,k}}\|=\|\Lambda_{a,k}\|_{\mathcal{AC}^*}=c_k$, то, применяя неравенство (4.8), имеем
$$
\begin{equation}
\|\Delta\|\leqslant\sum_{k\in\mathbf{I}_K}c_k\|(e^{i(k,\cdot-a)}-1)g\| \leqslant\sum_{k\in\mathbf{I}_K}c_k\|k\|_1\varepsilon\|f\|\leqslant\varepsilon Kn\mathbf{c}\|f\|.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Из (5.5) следует, что $\|L_{a,N}*g-L_a*g\|\to0$ при $N\to\infty$, откуда получаем Положив $\varepsilon_0={\sigma}/(Kn\mathbf{c})$, получаем утверждение данной леммы. Доказательство. Из леммы 5.6 следует, что:
– во-первых, в силу следствия 4.1 для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ существует предел $\vartheta(a)=\lim_{\varepsilon\searrow 0}\|W\widehat{\bf 1}_{B_\varepsilon(a)}\|^2= \rho(L_a)$, причем по лемме 5.5 функция $\vartheta$ непрерывна на торе $\mathbb{T}^n$; – во-вторых, в силу леммы 4.4 (в которой в качестве компакта $K^*$ выступает множество $\{L_a\mid a\in\mathbb{T}^n\}$) и леммы 4.5 выполнено свойство C2 (см. п. 10 в § 2). Поэтому
$$
\begin{equation*}
\|W\|^2_\mu= \int_{\mathbb{T}^n}\rho(L_a)\,\mu(da)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{T}^n}\rho(L_a)\,da.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. § 6. $\mu$-норма и усредненный след6.1. Определение $\mathbf{T}(W)$Пусть $W$ – ограниченный оператор на пространстве $L^2(\mathbb{T}^n)$. Положим
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}(W)=\lim_{M\to\infty}\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^{n}_{M}}\mathbf{T}(\mathbf{I}, W), \qquad \mathbf{T}(\mathbf{I}, W)= \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n}|W_{l,j}|^2.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}(\mathbf{I}, W)=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n}W_{l,j}W^{*}_{j,l}=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I}}(WW^*)_{l,l}.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Доказательство. Пусть $\sigma>0$. Из леммы 5.5 и из (6.1) следует, что существуют $M=M(\sigma)\in\mathbb{N}$ и $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^{n}_M$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\rho(L_a)>\rho_{\mathbf{I}}(L_a)-\frac{\sigma}{2} \quad\text{для всех }\ a\in\mathbb{T}^n, \qquad \mathbf{T}(\mathbf{I}, W)>\mathbf{T}(W)-\frac{\sigma}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, согласно (5.6)
$$
\begin{equation*}
|w_l(a)|^2=\sum_{j,k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,j}\overline W_{l,k}e^{i(k-j,a)} \quad\text{для всех }\ l\in\mathbb{Z}^n, \quad a\in\mathbb{T}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, учитывая предложение 5.1, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|W\|^2_\mu &=\int_{\mathbb{T}^n}\rho(L_a)\,\mu(da)\geqslant\int_{\mathbb{T}^n} \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j, k\in\mathbb{Z}^n}W_{l,j}\overline W_{l,k}e^{i(k-j,a)}\,\mu(da) - \frac{\sigma}{2} \\ &=\mathbf{T}(\mathbf{I}, W)-\frac{\sigma}{2}>\mathbf{T}(W)-\sigma, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу произвольности $\sigma>0$ заключаем, что $\|W\|_{\mu}\geqslant \mathbf{T}(W)$. Предложение доказано. Предложение 6.2. Пусть $ F\in\mathrm{Aut}(\mathbb{T}^n, \mu)$, и пусть $g_0,\dots, g_K\in L^{\infty}(\mathbb{T}^n, \mu)$, где $K\in\mathbb{N}$. Если $W=\widehat g_K U_F \widehat g_{K-1}\dotsb U_F \widehat g_0$, то Доказательство. Так как $U_F^*=U_{F^{-1}}$ и $(\widehat g_k)^*=\widehat{\overline g}_k$ для каждого $k=0,\dots,K$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W^*=\widehat {\overline g}_0 U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_1 \dotsb U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_K, \\ WW^{*}=\widehat g_K U_F \widehat g_{K-1} \dotsb U_F \widehat g_0\widehat {\overline g}_0 U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_1 \dotsb U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_K. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $W_K:=WW^{*}$. Докажем, что для каждой функции $f\in L^{2}(\mathbb{T}^n, \mu)$ выполнено равенство Доказательство проведем индукцией по $K\in\mathbb{N}$. 1. База индукции. При $K=1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_1(f)&=\widehat g_1 U_F \widehat g_0\widehat {\overline g}_0 U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_1(f) =\widehat g_1 U_F \widehat g_0\widehat {\overline g}_0\bigl((\overline g_1\circ F^{-1})(f\circ F^{-1})\bigr) \\ &=\widehat g_1 U_F(|g_0|^2(\overline g_1\circ F^{-1})(f\circ F^{-1})) =\widehat g_1(|g_0\circ F|^2 \overline g_1 f) \\ &=|g_1|^2\,|g_0\circ F|^2 f. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2. Шаг индукции. Пусть (6.3) верно для $K$. Для $K+1$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{K+1}(f)&=\widehat g_{K+1} U_F W_K U_{F^{-1}} \widehat {\overline g}_{K+1}(f) \\ &=\widehat g_{K+1} U_F W_K \bigl(({\overline g}_{K+1}\circ F^{-1})(f\circ F^{-1})\bigr) \\ &=\widehat g_{K+1} U_F\bigl(|g_K|^2\,|g_{K-1}\circ F|^2\dotsb |g_0 \circ F^K|^2 ({\overline g}_{K+1}\circ F^{-1})(f\circ F^{-1}) \bigr) \\ &=\widehat g_{K+1}(|g_K\circ F|^2\,|g_{K-1}\circ F^2|^2\dotsb |g_0 \circ F^{K+1}|^2{\overline g}_{K+1}f) \\ &=|g_{K+1}|^2\,|g_K\circ F|^2|g_{K-1}\circ F^2|^2\dotsb |g_0 \circ F^{K+1}|^2 f, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где третье равенство следует из предположения индукции для $K$. Из (6.3) следует, что для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (WW^{*})_{k,k} &=\langle WW^{*}(e^{i(k,\,\cdot\,)}),e^{i(k,\,\cdot\,)}\rangle \\ &=\int_{\mathbb{T}^n}|g_K|^2 \,|g_{K-1}\circ F|^2\dotsb |g_0 \circ F^K|^2\,d\mu=\|W\|_{\mu}^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее равенство будет доказано позже, см. предложение 8.1), откуда с учетом (6.2) и (6.1) получаем $\mathbf{T}(W)=\mathbf{T}(\mathbf{I},W)=\|W\|_{\mu}^2$. Предложение доказано. 6.2. Умножение на унитарный операторПредложение 6.3. Предположим, что $W,U\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Если $U$ – унитарный оператор, то Доказательство. Положим $W'=WU$, $W''=UW$. Так как $W$ и $U$ – операторы диагонального типа, то $W',W''\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$.
Поскольку $U^{-1}=U^*$, то что с учетом (6.2) доказывает первое равенство данного предложения.Теперь докажем второе. Для каждого $l\in\mathbb{Z}^n$ выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}|W''_{l,j}|^2=\sum_{m,r,j\in\mathbb{Z}^n}U_{l,m}W_{m,j}\overline U_{l,r} \overline W_{r,j}=\sum_{m,r,j\in\mathbb{Z}^n}U_{l,m}U^{-1}_{r,l}W_{m,j}\overline W_{r,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$. Представим $\mathbf{T}(\mathbf{I},W)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{T}(\mathbf{I},W) =\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,m,r,j\in\mathbb{Z}^n} \delta_{r,l}\delta_{l,m}W_{m,j}\overline W_{r,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{c_k\}_{k\in\mathbb{Z}^n}$ и $\{d_k\}_{k\in\mathbb{Z}^n}$ – мажорирующие последовательности операторов $W$ и $U$ соотвественно. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, м |\mathbf{T}(\mathbf{I},W'')-\mathbf{T}(\mathbf{I},W)| &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\biggl|\sum_{l\in\mathbf{I},\,m,r,j\in\mathbb{Z}^n} (U^{-1}_{r,l}U_{l,m}-\delta_{r,l}\delta_{l,m})W_{m,j}\overline W_{r,j}\biggr| \\ &\leqslant \sum_{m,r,j\in\mathbb{Z}^n}\biggl|\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I}} (U^{-1}_{r,l}U_{l,m}-\delta_{r,l}\delta_{l,m})\biggr|c_{m-j}c_{r-j}=\Delta, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Delta=\sum_{m,r\in\mathbb{Z}^n}\Gamma_{m,r}\widehat c_{m-r}, \\ \Gamma_{m,r}=\biggl|\frac{1}{\#\mathbf{I}} \sum_{l\in\mathbf{I}}(U^{-1}_{r,l}U_{l,m}-\delta_{r,l}\delta_{l,m})\biggr|, \qquad \widehat c_{p}=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}c_{p+j}c_{j}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\sum_{p\in\mathbb{Z}^n}\widehat c_{p}=\mathbf{c}^2$ при $ \mathbf{c}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}c_k$. Возьмем произвольное $\sigma>0$. Так как $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}d_k=\mathbf{d}<\infty$, то найдется $M=M(\sigma)\in\mathbb{N}$ такое, что где $\mathbf{I}_M=I_M\times\dots\times I_M$, $I_M=[-M,M]\cap\mathbb{Z}$. Пусть теперь $\mathbf{I}=I_1\times\dots\times I_n\in\mathcal{P}_{N}^{n}$, $ N>2M+1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}_M^{+}=\{k\in\mathbb{Z}^n\mid(\mathbf{I}_M+k)\cap \mathbf{I}\ne\varnothing \}, \qquad \mathbf{I}_M^{-}=\{k\in\mathbb{Z}^n\mid (\mathbf{I}_M+k)\subset \mathbf{I}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $e_{j}=\sum_{m\in\mathbb{Z}^n}d_m\widehat c_{m-j}$, $j\in\mathbb{Z}^n$. Тогда $\sum_{j\in\mathbb{Z}^n} e_{j}=\mathbf{d}\mathbf{c}^2$. Заметим, что $\Delta=\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_1 &=\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\notin \mathbf{I}_M^{+}}\Gamma_{m,r}\widehat c_{m-r}, \\ \Delta_2 &=\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\in \mathbf{I}_M^{-}}\Gamma_{m,r}\widehat c_{m-r}, \\ \Delta_3 &=\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\in \mathbf{I}_M^{+}\setminus \mathbf{I}_M^{-}}\Gamma_{m,r}\widehat c_{m-r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала оценим $\Delta_1$:
$$
\begin{equation*}
\Delta_1\leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\notin \mathbf{I}_M^+}\sum_{l\in\mathbf{I}}d_{r-l}d_{m-l}\widehat c_{m-r} =\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{r\notin \mathbf{I}_M^+,\, l\in\mathbf{I}}d_{r-l}e_{r-l}\leqslant \mathbf{d}\mathbf{c}^2\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки $\Delta_2$ заметим, что $\sum_{l\in\mathbb{Z}^n}U^{-1}_{n,l}U_{l,m}=\delta_{n, m}=\sum_{l\in\mathbb{Z}^n}\delta_{n, l}\delta_{l, m}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_2&=\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\in\mathbf{I}_M^-}\biggl|\frac{1}{\#\mathbf{I}} \sum_{l\in\mathbf{I}}(U^{-1}_{r,l}U_{l,m}-\delta_{r,l}\delta_{l,m})\biggr|\widehat c_{m-r} \\ &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{m\in\mathbb{Z}^n, \,r\in\mathbf{I}_M^-} \biggl|\sum_{l\in\mathbb{Z}^n \setminus\mathbf{I}}U^{-1}_{r,l}U_{l,m}\biggr|\widehat c_{m-r} \\ &\leqslant\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\in\mathbf{I}_M^-,\, l\in\mathbb{Z}^n\setminus\mathbf{I}}d_{r-l}d_{m-l}\widehat c_{m-r} \\ &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{r\in\mathbf{I}_M^-,\, l\in\mathbb{Z}^n\setminus\mathbf{I}}d_{r-l}e_{r-l} \leqslant\sum_{m\in\mathbb{Z}^n\setminus\mathbf{I}_M}d_me_m \leqslant\mathbf{d}\mathbf{c}^2\sigma. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, оценим $\Delta_3$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_3&\leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{m\in\mathbb{Z}^n,\, r\in \mathbf{I}_M^+\setminus\mathbf{I}_M^-}\sum_{l\in\mathbf{I}}(d_{r-l}d_{m-l} +\delta_{r,l}\delta_{l,m})\widehat c_{m-r} \\ &\leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{r\in \mathbf{I}_M^+\setminus\mathbf{I}_M^-,\, l\in\mathbf{I}}(d_{r-l}e_{r-l}+\delta_{r,l}\widehat c_{l-r}) \\ &\leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{r\in \mathbf{I}_M^+\setminus\mathbf{I}_M^-}(\mathbf{d}\mathbf{c}^2+\mathbf{c}^2)\leqslant \frac{n2^{n+1}M}{N}(\mathbf{d}^2+1)\mathbf{c}^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство следует из того, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{I}_M^+\setminus\mathbf{I}_M^-=\bigcup_{q=1}^{n}H_q, \\ H_q=\{k=(k_1,\dots,k_n)\in\mathbf{I}_{M}^{+}\mid (I_M+k_q)\nsubseteq I_q \}, \\ \frac{|H_q|}{\#\mathbf{I}}\leqslant\frac{4M}{\# I_q}\prod_{j=1,\,j\ne q}^{n}\biggl(1+\frac{2M}{\# I_j}\biggr)\leqslant\frac{2^{n+1}M}{N} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $q=1,\dots,n$. Итак, мы доказали, что для каждого $\sigma>0$ существует натуральное число $M=M(\sigma)$ такое, что для всех $N>2M+1$ и $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^{n}_{N}$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|\mathbf{T}(\mathbf{I},W'')-\mathbf{T}(\mathbf{I},W)|\leqslant 2\mathbf{d}\mathbf{c}^2\sigma+\frac{n2^{n+1}M}{N}(\mathbf{d}^2+1)\mathbf{c}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в этом неравенстве к верхней грани по $\mathbf{I}\in \mathcal{P}^{n}_{N}$ и к пределу при $N\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
|\mathbf{T}(W'')-\mathbf{T}(W)|\leqslant 2\mathbf{d}\mathbf{c}^2\sigma
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого $\sigma>0$. Следовательно, $\mathbf{T}( W'')=\mathbf{T}(W)$. Предложение 6.3 доказано. § 7. Регулярные операторы7.1. Направленности в метрических пространствахВ этом пункте мы приведем некоторые основные определения и утверждения о направленностях в метрических пространствах (см. [6; п. 1.9, (i)], [11; п. I.7], [12; п. 1.6]). Частично упорядоченное множество $(\Sigma,\leqslant)$ называется направленным, если для всяких $\sigma_1,\sigma_2\in \Sigma$ найдется такой элемент $\sigma_3\in\Sigma$, что $\sigma_1\leqslant \sigma_3$ и $\sigma_2\leqslant \sigma_3$. Отображение $f\colon \Sigma\to X$ направленного множества $\Sigma$ в множество $X$ называется направленностью в $X$. Всюду далее вместо $f$ будем писать $\{x_\sigma\}_{\sigma\in \Sigma}$, где $x_\sigma=f(\sigma)$. Направленность $\{x_\sigma\}_{\sigma\in \Sigma}$ в метрическом пространстве $(X,\rho)$ называется сходящейся к элементу $x\in X$, если для каждого $\varepsilon>0$ найдется такой индекс $\sigma_0$, что $\rho(x_\sigma,x)<\varepsilon$ для всех $\sigma\in \Sigma$ с $\sigma_0\leqslant \sigma$. Обозначение: $\lim_{\sigma}x_\sigma=x$. Зададим отношение порядка $\preceq$ на множестве $\mathbb{R}_{>0}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_1\preceq\varepsilon_2, \quad\text{если }\ \varepsilon_1\geqslant\varepsilon_2, \quad \varepsilon_1,\varepsilon_2\in\mathbb{R}_{>0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предел (если он существует) направленности $\{x_\varepsilon\}_\varepsilon\colon (\mathbb{R}_{>0},\preceq)\to (X,\rho)$ в метрическом пространстве $(X,\rho)$ будем обозначать через $\lim_{\varepsilon\searrow0}x_\varepsilon$. Например, в п. 10 из § 2 $\vartheta(x)$ является пределом направленности $\bigl\{\|W \widehat{\bf 1}_{B_\varepsilon(x)}\|^2\bigr\}_{\varepsilon}$. Направленность $\{x_\sigma\}_{\sigma\in \Sigma}$ в метрическом пространстве $(X,\rho)$ называется фундаментальной, если для каждого $\varepsilon>0$ существует такой элемент $\sigma_0\in \Sigma$, что $\rho(x_{\sigma'},x_{\sigma''})<\varepsilon$, если $\sigma_0\leqslant \sigma'$ и $\sigma_0\leqslant \sigma''$. Если $\{x_\sigma\}_{\sigma\in \Sigma}$ – ограниченная направленность в $\mathbb{R}$, то направленность $\{\sup_{\xi\geqslant \sigma}x_{\xi}\}_{\sigma\in \Sigma}$ имеет предел, равный $\inf_{\sigma\in \Sigma}\sup_{\xi\geqslant \sigma}x_{\xi}$. Такой предел называется верхним пределом направленности $\{x_\sigma\}_{\sigma\in \Sigma}$ и обозначается через $\limsup_{\sigma}x_\sigma$. Заметим, что если $\lim_{\sigma}x_\sigma=x$, то $\limsup_{\sigma}x_\sigma=x$. Лемма 7.1 (см., например, [11; лемма I.7.5]). Каждая фундаментальная направленность в полном метрическом пространстве имеет предел. Лемма 7.2 (см. [11; лемма I.7.6]). Пусть $\Sigma$, $ \Gamma$ – направленные множества. Предположим, что $X$ – полное метрическое пространство, а отображение $h\colon \Sigma\times \Gamma\to X$ удовлетворяет двум условиям: Тогда существуют пределы и эти пределы равны между собой.Следствие 7.1. Пусть $(E,\|\cdot\|)$ – банахово пространство, и пусть $S$ – непустое множество. Рассмотрим отображение $a\colon S\times\mathbb{Z}^n\to E$ такое, что $\|a(s,k)\|\leqslant b_k$ для всех $s\in S$, $ k\in\mathbb{Z}^n$. Предположим, что $n$-кратный ряд $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}b_k$ сходится. Тогда функциональные ряды сходятся равномерно на $S$. Кроме того, если $S$ – направленное множество и для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$ существует предел $\lim_{s}a(s,k)=a_k$, то кратный ряд $\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}a_k$ сходится абсолютно, причем 7.2. Частичный порядок на $\mathcal{P}^n$Зададим на множестве $\mathcal{P}^n$ (см. п. 4.1.5) отношение частичного порядка $\leqslant$, полагая
$$
\begin{equation*}
I_1\times\dots\times I_n\leqslant J_1\times\dots\times J_n, \quad \text{если }\ \#I_k\leqslant \#J_k \quad\text{для каждого }\ k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $(\mathcal{P}^n,\leqslant)$ является направленным множеством. Лемма 7.3. Пусть $\{x_{\mathbf{I}}\}_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}$ – направленность в $\mathbb{C}$. (a) $\lim_{\mathbf{I}}x_{\mathbf{I}}=x$ тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon>0$ найдется такое $N\in\mathbb{N}$, что $|x_{\mathbf{I}}-x|<\varepsilon$ для всех $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n_{N}$. (b) Если $\lim_{\mathbf{I}}x_{\mathbf{I}}=x$, то $\lim_{N\to\infty}x_{\mathbf{I}_N}=x$. (c) Если $\{x_{\mathbf{I}}\}_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}$ – ограниченная направленность в $\mathbb{R}$, то $\limsup_{\mathbf{I}}x_{\mathbf{I}}=\lim_{N\to\infty}\sup_{\mathbf{I} \in\mathcal{P}^n_{N}}x_{\mathbf{I}}$. 7.3. Определение регулярного оператораОпределение 7.1. Оператор $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ назовем регулярным оператором, если для всяких $m,k\in\mathbb{Z}^n$ существует предел Обозначим через $\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ множество всех регулярных операторов. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\omega_{\mathbf{I},0,0}=\mathbf{T}(\mathbf{I},W), \quad\omega_{0,0}=\mathbf{T}(W), \quad\text{если }\ W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Так как мера $\#$ на $\mathbb{Z}^n$ инвариантна относительно сдвигов, то для каждого $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$ выполнено равенство $\omega_{\mathbf{I},m,k}=\overline\omega_{\mathbf{I}+m,-m,-k}$, из которого следует утверждение леммы. Лемма 7.5. Предположим, что $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$. Тогда для каждого $m\in\mathbb{Z}^n$ ряд $\sum_{ k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{m,k}$ сходится абсолютно, причем Доказательство. Пусть $m\in\mathbb{Z}^n$. Из соотношений
$$
\begin{equation*}
|\omega_{\mathbf{I},m,k}|\leqslant\frac{1}{\# \mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n}c_{l+m-j}c_{l-j-k}=\sum_{ j\in\mathbb{Z}^n}c_{j+m}c_{j-k}, \qquad\sum_{ k,j\in\mathbb{Z}^n}c_{j+m}c_{j-k}=\mathbf{c}^2
\end{equation*}
\notag
$$
и из следствия 7.1 получаем, что ряды $\sum_{ k\in\mathbb{Z}^n}|\omega_{\mathbf{I},m,k}|$, $\sum_{ k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{\mathbf{I},m,k}$ сходятся равномерно на $\mathcal{P}^n$, причем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{\mathbf{I}}\sum_{ k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{\mathbf{I},m,k} =\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},m,k} =\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{m,k}, \\ \lim_{\mathbf{I}}\sum_{ k\in\mathbb{Z}^n}|\omega_{\mathbf{I},m,k}| =\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\lim_{\mathbf{I}}|\omega_{\mathbf{I},m,k}| =\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|\omega_{m,k}|\leqslant\mathbf{c}^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Пусть $W\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$, $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$ и $m\in\mathbb{Z}^n$. Для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ положим
$$
\begin{equation}
v_{\mathbf{I},m}(a)= \sum_{l\in \mathbf{I}} \frac{w_{l+m}(a) \overline w_l(a)}{\# \mathbf{I}},
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
$$
\begin{equation}
v_m(a) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \omega_{m,k} e^{i(m+k, a)},
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где функции $w_l$ определяются согласно (5.6). Заметим, что $v_{\mathbf{I},m}\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ и $v_{m}\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, ибо $w_l\in \mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ для каждого $l\in\mathbb{Z}^n$, и по лемме 7.5 Доказательство. Пусть $m\in\mathbb{Z}^n$, $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$ и $a\in\mathbb{T}^n$. Из (7.2) и (5.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
v_{\mathbf{I},m}(a)=\frac1{\#\mathbf{ I}} \sum_{l\in \mathbf{I},\,k,j\in\mathbb{Z}^n}W_{l+m,l+m-k+j} \overline W_{l,l+j} e^{i(k, a)}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{\mathbf{I},m,k-m} e^{i(k, a)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{\mathbf{I}}\|v_{\mathbf{I},m}-v_m\|_{\mathcal{AC}} &=\lim_{\mathbf{I}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}|\omega_{\mathbf{I},m,k-m}-\omega_{m,k-m}| \\ &=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\lim_{\mathbf{I}}|\omega_{\mathbf{I},m,k}- \omega_{m,k}|=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Заметим, что
$$
\begin{equation}
| v_{\mathbf{I},m}(a)|\leqslant\mathbf{c}^2, \qquad | v_{m}(a)|\leqslant\mathbf{c}^2
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
для всех $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$, $m\in\mathbb{Z}^n$, $a\in\mathbb{T}^n$. 7.4. Примеры регулярных операторовЛемма 7.7. Если $g\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, то $\widehat g\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$, причем Доказательство. Пусть $\{g_k\}_{k\in\mathbb{Z}^n}$ и $\{\mathbf{g}_k\}_{k\in\mathbb{Z}^n}$ – последовательности коэффициентов Фурье функций $g$ и $|g|^2$ соответственно. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf{g}_k=\langle g,ge^{i(k,\,\cdot\,)}\rangle=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}g_j\overline g_{j-k} \quad\text{для каждого }\ k\in\mathbb{Z}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, взяв произвольные $m,k\in\mathbb{Z}^n$, для каждого $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\omega_{\mathbf{I},m,k}=\frac{1}{\# \mathbf{I}} \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n}g_{l+m-j}\overline g_{l-j-k} =\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}g_{j+m}\overline g_{j-k}=\mathbf{g}_{m+k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, существует предел $\omega_{m,k}=\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},m,k}=\mathbf{g}_{m+k}$, откуда следует регулярность оператора $\widehat g$. Кроме того, согласно (7.3) для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$. Лемма доказана. Пусть $\lambda=\sum\lambda_ke_k^*\in(\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n))^*$ и $W=\operatorname{Conv}_\lambda$. Поскольку $W_{j,k}=\delta_{j,k}\lambda_k$, то
$$
\begin{equation}
\omega_{\mathbf{I},m,k}=\frac{1}{\# \mathbf{I}} \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} \delta_{l+m,j}\delta_{l,j+k}\lambda_j \overline \lambda_{j+k}=\frac{\delta_{m,-k}}{\# \mathbf{I}} \sum_{l\in \mathbf{I}}\lambda_{l+m}\overline\lambda_l
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
для всех $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$, $m,k\in\mathbb{Z}^n$. Лемма 7.8. Для каждой точки $x\in\mathbb{T}^n$ оператор $\operatorname{Conv}_{\delta_x}$ принадлежит классу $\mathcal R(\mathbb{T}^n)$, причем Доказательство. Поскольку $(\delta_x)_k=\delta_x(e^{-i(k,\,\cdot\,)})=e^{-i(k,x)}$ для каждого $k\in\mathbb{Z}^n$, то, учитывая (7.5) (при $\lambda=\delta_x)$, получаем, что $\omega_{\mathbf{I},m,k}=\delta_{m,-k}e^{-i(m,x)}$ для всех $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$, $m,k\in\mathbb{Z}^n$. Поэтому существует предел
$$
\begin{equation*}
\omega_{m,k}=\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},m,k}=\delta_{m,-k}e^{-i(m,x)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. по определению 7.1 $\operatorname{Conv}_{\delta_x}\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$, причем согласно (7.3) $v_m(a)=e^{-i(m,x)}$ для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$. Лемма доказана. В следующей лемме рассматривается оператор свертки специального вида в случае окружности ($n=1$). Лемма 7.9. Пусть $t\in\mathbb{R}$, $ \lambda_k=e^{itk^2}$ при $k\in\mathbb{Z}$ и $\lambda=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lambda_ke^*_k$. Тогда $\operatorname{Conv}_\lambda\in\mathcal R(\mathbb{T})$, причем Доказательство. Из формулы (7.5) следует, что для всех $I\in\mathcal P$, $m,k\in\mathbb{Z}$. Поэтому для всяких $m,k\in\mathbb{Z}$ существует предел откуда получаем утверждение данной леммы. 7.5. Замкнутость $\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ относительно нормы $\|\cdot\|_{\mathcal{DT}}$Если $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$, то для каждого $\lambda\in\mathbb{C}$ оператор $W'=\lambda W$ является регулярным, ибо
$$
\begin{equation*}
\omega'_{\mathbf{I},m,k}=|\lambda|^2\omega_{\mathbf{I},m,k}, \quad \omega'_{m,k}=|\lambda|^2\omega_{m,k} \quad\text{для всех }\ m,k\in\mathbb{Z}^n, \quad \mathbf{I}\in\mathcal{P}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где величины $\omega'_{\mathbf{I},m,k}$, $\omega'_{m,k}$ определяются согласно (7.1). Значит, регулярные операторы образуют конус в пространстве $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Лемма 7.10. Конус $\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ замкнут в банаховом пространстве $\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Доказательство. Пусть последовательность операторов $\{W_p\}_{p\in\mathbb{N}}$ в $\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ сходится по норме $\|\cdot\|_{\mathcal{DT}}$ к некоторому оператору $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Фиксируем произвольные $m,k\in\mathbb{Z}^n$. Если мы докажем, что
$$
\begin{equation}
\lim_{p\to\infty}\sup_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}| (\omega_p)_{\mathbf{I},m,k} - \omega_{\mathbf{I},m,k}|=0,
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
то оператор $W$ окажется регулярным. В самом деле, предположим, что выполнено (7.6), т.е. последовательность $\{(\omega_p)_{\mathbf{I},m,k}\}_{p\in\mathbb{N}}$ сходится к $\omega_{\mathbf{I},m,k}$ равномерно на $\mathcal{P}^n$. Так как для каждого $p\in\mathbb{N}$ существует предел $\lim_{\mathbf{I}}(\omega_p)_{\mathbf{I},m,k}=(\omega_p)_{m,k}$, то по лемме 7.2 существуют повторные пределы $\lim_{p\to\infty}(\omega_p)_{m,k}$, $\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},m,k}$, и они равны. Таким образом, для произвольных $m,k$ направленность $\{\omega_{\mathbf{I},m,k}\}_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}$ имеет предел, что и означает регулярность оператора $W$. Теперь докажем (7.6). Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Так как
$$
\begin{equation*}
\|W_p-W\|_{\mathcal{DT}}\xrightarrow[p\to\infty]{}0, \qquad \bigl|\|W_p\|_{\mathcal{DT}}-\|W\|_{\mathcal{DT}}\bigr|\xrightarrow[p\to\infty]{}0,
\end{equation*}
\notag
$$
то существует такое число $N=N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$, что если $p>N$, то
$$
\begin{equation}
\|W_p-W\|_{\mathcal{DT}}<\varepsilon, \qquad \bigl|\|W_p\|_{\mathcal{DT}}-\|W\|_{\mathcal{DT}}\bigr|<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Из (7.1) следует, что для каждого $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} |(\omega_p)_{\mathbf{I},m,k} - \omega_{\mathbf{I},m,k}| &=\frac1{\# \mathbf{I}}\biggl| \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} ((W_p)_{l+m,j} (\overline W_p)_{l,j+k}- W_{l+m,j} \overline W_{l,j+k})\biggr| \\ &\leqslant \frac1{\# \mathbf{I}}(\Sigma_1 + \Sigma_2), \end{split} \\ \Sigma_1=\sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} |(W_p)_{l+m,j} ( (\overline W_p)_{l,j+k} - \overline W_{l,j+k})|, \\ \Sigma_2=\sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} |( (W_p)_{l+m,j} - W_{l+m,j}) \overline W_{l,j+k}|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (c_p)_k=\sup_{j\in\mathbb{Z}^n} |(W_p)_{k+j,j}|, \qquad c_k=\sup_{j\in\mathbb{Z}^n} |W_{k+j,j}|, \\ d_k=\sup_{j\in\mathbb{Z}^n} |(W_p)_{k+j,j} - W_{k+j,j}|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\{(c_p)_k\}$, $\{c_k\}$ и $\{d_k\}$ – мажорирующие последовательности операторов $W_p$, $W$ и $W_p-W$ соответственно. Тогда, учитывая неравенства (7.7), получаем оценки
$$
\begin{equation*}
\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}d_k=\|W_p-W\|_{\mathcal{DT}}<\varepsilon, \qquad \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}(c_p)_k=\|W_p\|_{\mathcal{DT}}<\varepsilon +\mathbf{c},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p>N$ и $\mathbf{c}=\|W\|_{\mathcal{DT}}$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1&\leqslant \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} (c_p)_{l+m-j} d_{l-j-k}\leqslant \# \mathbf{I} (\varepsilon +\mathbf{c}) \varepsilon, \\ \Sigma_2&\leqslant \sum_{l\in \mathbf{I},\,j\in\mathbb{Z}^n} d_{l+m-j} c_{l-j-k}\leqslant \# \mathbf{I} \mathbf{c} \varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с учетом (7.8) имеем
$$
\begin{equation*}
| (\omega_p)_{\mathbf{I},m,n} - \omega_{\mathbf{I},m,n} |<(2\mathbf{c}+\varepsilon)\varepsilon \quad\text{для всех }\ p>N(\varepsilon), \qquad \mathbf{I}\in\mathcal{P}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, выполнено равенство (7.6). Лемма 7.10 доказана. 7.6. $\mu$-норма регулярного оператора Доказательство. Пусть $a\in\mathbb{T}^n$. Из соотношений (5.8) и (7.2) следует, что $\rho_{\mathbf{I}}(L_a)=v_{\mathbf{I},0}(a)$ для каждого $\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n$. Кроме того, по лемме 7.6 Поэтому $v_0(a)=\rho(L_a)$. Для каждого $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{\mathbb{T}^n}v_{\mathbf{I},0}(a)\,\mu(da) -\int_{\mathbb{T}^n}v_{0}(a)\,\mu(da)\biggr| &\leqslant \int_{\mathbb{T}^n}|v_{\mathbf{I},0}(a)-v_{0}(a)|\,\mu(da) \\ &\leqslant \|v_{\mathbf{I},0}-v_0\|_{C}\leqslant \|v_{\mathbf{I},0}-v_0\|_{\mathcal{AC}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя предложение 5.1, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|W\|_{\mu}^2 &=\int_{\mathbb{T}^n}v_{0}(a)\,\mu(da) =\lim_{\mathbf{I}}\int_{\mathbb{T}^n}v_{\mathbf{I},0}(a)\,\mu(da) \\ &=\lim_{\mathbf{I}}\int_{\mathbb{T}^n}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{\mathbf{I},0,k} e^{i(k, a)}\,\mu(da) =\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},0,0}=\omega_{0,0}=\mathbf{T}(W). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Из предложения 6.3 и леммы 7.9 вытекает Следствие 7.2. Пусть $W,U\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, причем $U$ – унитарный, а $W$ и $WU$ – регулярные операторы. Тогда § 8. Мера, связанная с оператором8.1. Переходные мерыПриведем определение переходной меры и формулировку одной леммы, которая будет использована в дальнейшем (см. [5; т. 2, п. 10.7]). Пусть $(\mathcal X_1,\mathcal B_1)$ и $(\mathcal X_2,\mathcal B_2)$ – два произвольных измеримых пространства. Функция $ P(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathcal X_1\times\mathcal B_2\to\mathbb{R}$ называется переходной мерой для этой пары пространств, если выполнены следующие условия:
Переходная мера $ P(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ называется переходной вероятностью, если для каждого $x\in\mathcal X_1$ мера $ P(x,\,\cdot\,)$ является вероятностной. Теорема 8.1 (см. [5; теорема 10.7.2]). Пусть $ P(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – переходная вероятность для пространств $(\mathcal X_1,\mathcal B_1)$ и $(\mathcal X_2,\mathcal B_2)$, и пусть $\mu$ – вероятностная мера на $\mathcal B_1$. Тогда на $(\mathcal X_1\times\mathcal X_2,\mathcal B_1\otimes\mathcal B_2)$ существует такая вероятностная мера $\nu$, что Кроме того, если функция $f=f(x_1,x_2)$ является $\nu$-интегрируемой, то для $\mu$-п.в. $x_1\in\mathcal X_1$ функция $x_2\mapsto f(x_1,x_2)$ интегрируема по мере $P(x_1,\,\cdot\,)$, функция $\displaystyle x_1\mapsto\int_{\mathcal X_2}f(x_1,x_2)\,P(x_1,dx_2)$ интегрируема по мере $\mu$, причем 8.2. Оператор КупманаПусть $(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mu)$ – произвольное вероятностное пространство. Предложение 8.1. Пусть $F\in\mathrm{Aut}(\mathcal{X}, \mu)$ и $g_0,\dots, g_K\in L^{\infty}(\mathcal{X}, \mu)$ при $K\in \mathbb{N}$. Тогда Доказательство. Положим Необходимо доказать, что $\|W\|_{\mu}=\|g\|$. Рассмотрим несколько случаев. (a) Если $g_k=\mathbf{1}_{Y_k}$ и $Y_k\in\mathcal{B}$ для каждого $k=0,\dots,K$, то (8.1) следует из п. 1 и п. 4 в § 2 (см. также доказательство следствия 2.5 в [28]). (b) Пусть теперь $g_k$, $k=0,\dots,K$, – простые $\mathcal B$-измеримые функции. Тогда существует такое разбиение $\{Y_1,\dots, Y_J\}$ пространства $\mathcal{X}$, что $g_k\,{=}\sum_{j=1}^{J}g_{k, j}\mathbf{1}_{Y_j}$. Применяя (2.1), имеем
$$
\begin{equation*}
W=\sum_{j_0,\dots,j_K} g_{K,j_{K}} g_{K-1,j_{K-1}} \dotsb g_{0,j_{0}} \widehat{\bf 1}_{Y_{j_{K}}} \widehat{\bf 1}_{F^{-1}(Y_{j_{K-1}})} \dotsb \widehat{\bf 1}_{F^{-K}(Y_{j_{0}})} U_F^K.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $Y_{j_K,\dots,j_0} :=Y_{j_K} \cap F^{-1}(Y_{j_{K-1}}) \cap \dots \cap F^{-K}(Y_{j_0})$. Так как множества $ Y_{j_K,\dots,j_0}$ образуют разбиение $\mathcal{X}$, то, применяя свойства (2.2) и (2.3) полунормы $\|\cdot\|_{\mu}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|W\|_{\mu}^2 &=\|WU_{F^{-K}}\|_{\mu}^2=\biggl\|\sum_{j_0,\dots,j_K} g_{K,j_K} g_{K-1,j_{K-1}} \dotsb g_{0,j_0} \widehat{\bf 1}_{Y_{j_K,\dots,j_0}}\biggr\|_{\mu}^2 \\ &=\sum_{j_0,\dots,j_K} |g_{K,j_K}|^2\, |g_{K-1,j_{K-1}}|^2 \dotsb |g_{0,j_0}|^2\,\| \widehat{\bf 1}_{Y_{j_K,\dots,j_0}}\|_{\mu}^2 \\ &=\sum_{j_0,\dots,j_K} |g_{K,j_K}|^2 \,|g_{K-1,j_{K-1}}|^2 \dotsb |g_{0,j_0}|^2 \mu({Y_{j_K,\dots,j_0}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, поскольку $g=\sum_{j_0,\dots,j_K} g_{K,j_K} g_{K-1,j_{K-1}} \dotsb g_{0,j_0}\mathbf{1}_{Y_{j_K,\dots,j_0}}$ и система функций $\bigl\{\mathbf{1}_{Y_{j_K,\dots,j_0}}\bigr\}$ ортогональна в $L^2(\mathcal{X}, \mu)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|^2&= \sum_{j_0,\dots,j_K} |g_{K,j_K}|^2\, |g_{K-1,j_{K-1}}|^2 \dotsb |g_{0,j_0}|^2\,\|\mathbf{1}_{Y_{j_K,\dots,j_0}}\|^2 \\ &=\sum_{j_0,\dots,j_K} |g_{K,j_K}|^2 \,|g_{K-1,j_{K-1}}|^2 \dotsb |g_{0,j_0}|^2 \mu({Y_{j_K,\dots,j_0}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\|W\|_{\mu}^2=\|g\|^2$. (c) Рассмотрим общий случай $\{g_k\}\subset L^{\infty}(\mathcal{X}, \mu)$. Для каждого $k=0, \dots, K$ найдется такая последовательность простых $\mathcal B$-измеримых функций $\{\varphi_{k,m}\}_{m\in\mathbb{N}}$, что $\varphi_{k,m}\xrightarrow[]{L^{\infty}}g_k$ при $m\to\infty$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\|\varphi_{k,m}\circ F^{K-k}-g_k\circ F^{K-k}\|_\infty=0, \qquad \lim_{m\to\infty}\|\widehat {\varphi}_{k,m}-\widehat g_k\|=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $k=0,\dots,K$. Так как пространства $L^{\infty}(\mathcal{X}, \mu)$ и $\mathcal L(\mathcal H)$ (множество всех ограниченных операторов на $\mathcal H=L^2(\mathcal X,\mu)$) являются банаховыми алгебрами, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{m\to\infty}\bigl\|\varphi_{K,m}(\varphi_{K-1,m}\circ F)\dotsb (\varphi _{0,m} \circ F^K)-g_K (g_{K-1}\circ F)\dotsb (g_0 \circ F^K)\bigr\|_\infty=0, \\ \lim_{m\to\infty}\bigl\|\widehat \varphi_{K,m} U_F \widehat \varphi_{K-1,m}\dotsb U_F \widehat \varphi_{0,m}-\widehat g_K U_F \widehat g_{K-1}\dotsb U_F \widehat g_0\bigr\|=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, поскольку $\mu$-норма мажорируется операторной нормой (см. (1.4)), то, учитывая п. (b) текущего доказательства, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widehat g_K U_F \widehat g_{K-1}\dotsb U_F \widehat g_0\|_{\mu}^2 &=\lim_{m\to\infty}\|\widehat \varphi_{K,m} U_F \widehat \varphi_{K-1,m}\dotsb U_F \widehat \varphi_{0,m}\|^2_\mu \\ &=\lim_{m\to\infty}\bigl\|\varphi_{K,m}(\varphi_{K-1,m}\circ F)\dotsb (\varphi _{0,m} \circ F^K)\bigr\|^2 \\ &=\bigl\|g_K (g_{K-1}\circ F)\dotsb (g_0 \circ F^K)\bigr\|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 8.1 доказано. 8.3. Мера, связанная с оператором КупманаРассмотрим вероятностное пространство $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$. Пусть $\delta(x,\,\cdot\,)$ – мера Дирака в точке $x\in\mathcal{X}$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\delta(x,B)=\mathbf{1}_B(x)= \begin{cases} 1,& x\in B, \\ 0,& x\notin B, \end{cases} \qquad B\in\mathcal{B}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $F\in\mathrm{Aut}(\mathcal X,\mu)$, и пусть $U=U_F$. Зададим переходную меру $\mu_{U}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$: $\mathcal X\times\mathcal B\to\mathbb{R}_+$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mu_U(x,B):=\delta(F^{-1}(x),B)=\mathbf{1}_{F(B)}(x) \quad\text{при }\ x\in\mathcal X, \quad B\in\mathcal B.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 8.1. Переходную меру $\mu_U(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ назовем мерой, связанной с оператором Купмана $U=U_F$. Лемма 8.1. Предположим, что $F\in\mathrm{Aut}(\mathcal{X},\mu)$ и $g_0,\dots,g_K\in L^{\infty}(\mathcal X,\mu)$. Тогда Доказательство. Обозначив через $I$ повторный интеграл в правой части доказываемого равенства, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I&=\int_{\mathcal X}|g_0(x_0)|^2\int_{\mathcal X}\dotsi\int_{\mathcal X}|g_K(x_K)|^2\,\delta(F^{-1}(x_{K-1},dx_K)\dotsb\mu(dx_0) \\ &=\int_{\mathcal X}|g_0(x_0)|^2\int_{\mathcal X}\dotsi\int_{\mathcal X}|g_{K-1}(x_{K-1})|^2\,|g_K\circ F^{-1}(x_{K-1})|^2 \\ &\qquad\times \delta(F^{-1}(x_{K-2},dx_{K-1})\dotsb\mu(dx_0) \\ &=\dots=\int_{\mathcal X}|g_0(x_0)|^2\,|g_1\circ F^{-1}(x_0)|^2\dotsb|g_K\circ F^{-K}(x_{0})|^2\,\mu(dx_0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав замену $x=F^{-K}(x_0)$ в последнем интеграле и учитывая, что преобразование $F$ сохраняет меру $\mu$, получим, что $I$ совпадет с интегралом, стоящим в правой части равенства (8.1). Лемма доказана. 8.4. Мера, связанная с регулярным оператором Лемма 8.2. Пусть $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ (см. определение 7.1) и $a\in\mathbb{T}^n$. Каждому числу $\varepsilon>0$ поставим в соответствие функцию $f_{a,\varepsilon}\in L^2(\mathbb{T}^n)$ и функционал $F_{a,\varepsilon}\in (C(\mathbb{T}^n))^*$ такие, что Доказательство. Введем для краткости следующие обоначения: Заметим, что для каждого $\varepsilon>0$
$$
\begin{equation}
\|F_\varepsilon\|_{C^*}=\int_{\mathbb{T}^n}|L_a*f_\varepsilon|^2\,d\mu\leqslant\|\mathrm{Conv}_{L_a}\|^2\leqslant\mathbf{c}^2,
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
т.е. направленность $\{F_\varepsilon\}_\varepsilon$ (см. п. 7.1) ограничена в сильной топологии пространства $(C(\mathbb{T}^n))^*$. Кроме того, линейная оболочка множества функций $E=\{e^{-i(m,\,\cdot\,)}\mid m\in\mathbb{Z}^n\}$ плотна в $C(\mathbb{T}^n)$. Поэтому по критерию $*$-слабой сходимости для существования $*$-слабого предела (8.3) достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\lim_{\varepsilon\searrow0}\xi_{\varepsilon, m}=v_m(a)e^{-i(m,a)} \quad\text{для каждого }\ m\in\mathbb{Z}^n.
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Ниже приводится доказательство (8.6). Пусть $\ f_{\varepsilon}=\sum_k f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}$, $f_k=(f_\varepsilon)_k$, $k\in\mathbb{Z}^n$. Тогда $ L_a*f_{\varepsilon}=\sum_k w_k(a)f_ke^{i(k,\,\cdot\,)}$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\xi_{\varepsilon, m}=\langle e^{-i(m,\,\cdot\,)}(L_a*f_{\varepsilon}), L_a*f_{\varepsilon}\rangle=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}w_{k+m}(a)\overline w_k(a)f_{k+m}\overline f_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathbf{I}=\mathbf{I}_B$, $B\in\mathbb{N}$ (см. п. 4.1.5). Положим
$$
\begin{equation}
\widetilde\xi_{\varepsilon, m}=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\sum_{l',l''\in\mathbf{I}}w_{k+m}(a)\overline w_k(a)\frac{f_{k+m+l'}\overline f_{k+l''}}{(2B+1)^{2n}}e^{i(l'-l'',a)}.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Используя оценку (5.7), неравенство Коши–Буняковского и неравенство (4.8), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\xi_{\varepsilon, m}-\widetilde\xi_{\varepsilon, m}| \leqslant \sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\sum_{l',l''\in\mathbf{I}}|w_{k+m}(a)\overline w_k(a)|\frac{|f_{k+m}\overline f_k-f_{k+m+l'}\overline f_{k+l''}e^{i(l'-l'',a)}|}{(2B+1)^{2n}} \\ &\qquad\leqslant\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\sum_{l',l''\in\mathbf{I}}\mathbf{c}^2 \frac{|f_{k+m}-f_{k+m+l'}e^{i(l',a)}|\cdot|f_k|+|f_{k+m+l'}| \cdot|f_k-f_{k+l''}e^{i(l'',a)}|}{(2B+1)^{2n}} \\ &\qquad\leqslant\frac{2\mathbf{c}^2}{(2B+1)^n}\sum_{l\in\mathbf{I}} \|f_{\varepsilon}\|\cdot\|f_{\varepsilon}-e^{-i(l,\cdot-a)}f_{\varepsilon}\| \leqslant \frac{2\mathbf{c}^2}{(2B+1)^n}\|f_{\varepsilon}\|^2\varepsilon \sum_{l\in\mathbf{I}}\|l\|_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|l\|_1\leqslant nB$ при $l\in\mathbf{I}$, то в итоге получаем неравенство
$$
\begin{equation}
|\xi_{\varepsilon, m}-\widetilde\xi_{\varepsilon, m}|\leqslant 2\mathbf{c}^2\|f_{\varepsilon}\|^2nB\varepsilon.
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Сделаем в (8.7) замену $l=l'$, $u=k+l'$, $ s=l'-l''$. Тогда, учитывая (7.2), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\xi_{\varepsilon, m} &=\sum_{s\in2\mathbf{I}}\sum_{\substack{l\in\mathbf{I}\\l\in(\mathbf{I}+s)}} \sum_{u\in\mathbb{Z}^n}w_{u+m-l}(a)\overline w_{u-l}(a)\frac{f_{u+m}\overline f_{u-s}}{(2B+1)^{2n}}e^{i(s,a)} \\ &=\sum_{s\in\mathbf{J}}\sum_{u\in\mathbb{Z}^n}v_{\mathbf{I}_{u,s}, m}(a)b_sf_{u+m}\overline f_{u-s}e^{i(s,a)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где, как и в доказательстве леммы 4.4,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{J}=J\times\dots\times J, \qquad J=[-2B,2B]\cap\mathbb{Z}, \qquad\mathbf{I}_{u,s}= I_{u_1,s_1}\times\dots\times I_{u_n,s_n}, \\ I_{u_j,s_j}=\begin{cases} [u_j+s_j-B, u_j+B]\cap\mathbb{Z},&\text{если $s_j\geqslant 0$}, \\ [u_j-B, u_j+s_j+B]\cap\mathbb{Z},&\text{если $s_j < 0$}, \end{cases} \qquad \mathbf{b}(s)=\frac{\# \mathbf{I}_{u,s}}{(\#\mathbf{I})^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\sum_{s\in\mathbf{J}}\mathbf{b}(s)=1$ (см. (4.17)). Пусть $\sigma>0$. Из леммы 7.6 следует, что найдется такое $Q_m=Q_m(\sigma)\in\mathbb{N}$, что
$$
\begin{equation}
|v_{\mathbf{C},m}(a)-v_{m}(a)|<\sigma \quad\text{для каждого }\ \mathbf{C}\in\mathcal{P}^n_{Q_m}.
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Пусть теперь $2B+1>Q_m$. Положим $\mathbf{S}=S\times\dots\times S$, $ S=[-(2B+1-Q_m), 2B+1-Q_m]\cap\mathbb{Z}$. Тогда $\widetilde\xi_{\varepsilon, m}=\Sigma_1+\Sigma_2+\Sigma_2$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1&=\sum_{s\in\mathbf{J},\,u\in\mathbb{Z}^n}v_{m}(a)\mathbf{b}(s)f_{u+m}\overline f_{u-s}e^{i(s,a)}, \\ \Sigma_2&=\sum_{s\in\mathbf{S},\,u\in\mathbb{Z}^n}(v_{\mathbf{I}_{u,s}, m}(a)-v_m(a))\mathbf{b}(s)f_{u+m}\overline f_{u-s}e^{i(s,a)}, \\ \Sigma_3&=\sum_{ s\in\mathbf{J}\setminus\mathbf{S},\,u\in\mathbb{Z}^n}(v_{\mathbf{I}_{u,s}, m}(a)-v_m(a))\mathbf{b}(s)f_{u+m}\overline f_{u-s}e^{i(s,a)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенства (7.4) и (4.10), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bigl|\Sigma_1-v_m(a)e^{-i(m,a)}\|f_\varepsilon\|^2\bigr| \\ &\qquad=\biggl|v_{m}(a)e^{-i(m,a)}\sum_{s\in\mathbf{J}}\mathbf{b}(s)\sum_{u\in\mathbb{Z}^n} (f_{u+m}\overline f_{u-s}e^{i(m+s,a)}-\|f_{\varepsilon}\|^2)\biggr| \\ &\qquad\leqslant\mathbf{c}^2\varepsilon\|f_{\varepsilon}\|^2\sum_{s\in\mathbf{J}}\mathbf{b}(s) (\|m\|_1+\|s\|_1) \\ &\qquad\leqslant\mathbf{c}^2\varepsilon\|f_{\varepsilon}\|^2(\|m\|_1+2Bn). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Если $s\in\mathbf{S}$, то $\mathbf{I}_{u,s}\in\mathcal{P}^n_{Q_m}$ для каждого $u\in\mathbb{Z}^n$, поэтому, учитывая (8.9), получаем оценку
$$
\begin{equation}
|\Sigma_2|\leqslant \sum_{s\in\mathbf{S},\,u\in\mathbb{Z}^n}\sigma\mathbf{b}(s)|f_{u+m}|\, |f_{u-s}|\leqslant\sigma\|f_\varepsilon\|^2.
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sum_{s\in\mathbf{J}\setminus\mathbf{S}}\mathbf{b}(s)\leqslant\frac{2Q_m(Q_m-1)n}{(2B+1)^2}
\end{equation*}
\notag
$$
(данное неравенство получается заменой $M'$ на $Q_m$ в соотношении (4.19)), то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\Sigma_3| &\leqslant2\mathbf{c}^2\sum_{ s\in\mathbf{J}\setminus\mathbf{S},\,u\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{b}(s)|f_{u+m}|\,| f_{u-s}| \\ &\leqslant2\mathbf{c}^2\sum_{ s\in\mathbf{J}\setminus\mathbf{S}}\mathbf{b}(s)\|f_{\varepsilon}\|^2\leqslant 4n\mathbf{c}^2\frac{Q_m(Q_m-1)}{(2B+1)^2}\|f_{\varepsilon}\|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Так как $\|f_{\varepsilon}\|=1$, то с учетом неравенств (8.8), (8.10)–(8.12) получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
|\xi_{\varepsilon, m}-e^{-i(m,a)}v_{m}(a)|\leqslant \mathbf{c}^2(4nB+\|m\|_1)\varepsilon+\sigma+4n\mathbf{c}^2\frac{Q_m(\sigma)(Q_m(\sigma)-1)}{(2B+1)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
которое верно для всех $\sigma>0$, $\varepsilon>0$, и $B>(Q_m(\sigma)-1)/2$. Таким образом, (8.6) доказано. Полученный функционал $F_a$ не зависит от семейства функций $f_\varepsilon$, $\varepsilon>0$, удовлетворяющих (8.2), ибо величины $F_a(e^{-i(m,\,\cdot\,)})=v_m(a)e^{-i(m,a)}$, $m\in\mathbb{Z}^n$, не зависят от этого семейства. Наконец, оценка (8.4) вытекает из (8.5) и определения $*$-слабой сходимости. Лемма 8.2 доказана. Пусть, как и ранее, $\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)$ – борелевская $\sigma$-алгебра подмножеств на торе $\mathbb{T}^n$, а $\mu$ – нормированная мера Лебега на измеримом пространстве $(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n))$. Обозначим через $\mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$ класс всех комплексных борелевских мер. Известно (см., например, [5; т. 1, теорема 4.6.1]), что $\mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$ является банаховым пространством относительно нормы $\|\cdot\|$, заданной равенством $\|\nu\|=|\nu|(\mathbb{T}^n)$, где $|\nu|$ – полная вариация меры $\nu\in \mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$. Поскольку $\mathbb{T}^n$ – компактное хаусдорфово пространство, то по теореме Рисса о представлении линейного функционала (см., например, [11; теорема IV.6.3]) между пространствами $C^{*}(\mathbb{T}^n)$ и $\mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$ существует изометрический изоморфизм, при котором соответственные элементы $F\in C^{*}(\mathbb{T}^n)$ и $\nu\in \mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
F(\varphi)=\int_{\mathbb{T}^n}\varphi(x)\,\nu(dx), \qquad \varphi\in C(\mathbb{T}^n).
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
Пусть $W\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$. По лемме 8.2 для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ существует и единственный функционал $F_a$, удовлетворяющий (8.3). А каждому из функционалов $F_a$, $a\in\mathbb{T}^n$, соответствует такая мера $\nu_a\in\mathcal M(\mathbb{T}^n)$, что $F_a$ и $\nu_a$ связаны равенством (8.13). Каждая из мер $\nu_a$, $a\in\mathbb{T}^n$, неотрицательна, поскольку $F_{a,\varepsilon}(\varphi)\geqslant0$ для всех $\varphi\in C(\mathbb{T}^n),\varphi\geqslant0$ и $\varepsilon>0$. Таким образом, получена функция
$$
\begin{equation}
\mu_W(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathbb{T}^n\times\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)\to \mathbb{R}_+, \qquad \mu_W(a,B):=\nu_a(B).
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
Следующая лемма показывает, что эта функция является переходной мерой. Лемма 8.3. Для каждого множества $B\in\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)$ функция $a\mapsto \mu_W (a,B)$ является борелевской. Доказательство. Для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ и для всякой функции $\varphi\in C(\mathbb{T}^n)$ положим $H_{\varphi}(a):=F_a(\varphi)$. Заметим, что функции $H_{e^{-i(m,\,\cdot\,)}}$, $m\in\mathbb{Z}^n$, непрерывны на $\mathbb{T}^n$, ибо $H_{e^{-i(m,\,\cdot\,)}}(a)=v_m(a)e^{-i(m,a)}$ для всех $a\in\mathbb{T}^n$, $m\in\mathbb{Z}^n$. Пусть $\varphi\in C(\mathbb{T}^n)$. Найдется такая последовательность функций $\varphi_k$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\|\varphi_k-\varphi\|_{C}=0, \qquad \varphi_k\in\mathrm{span}\{e^{i(m,\,\cdot\,)}\mid m\in\mathbb{Z}^n\}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $H_{\varphi_{k}}(a)\to H_{\varphi}(a)$ при $k\to\infty$ для каждого $a\in\mathbb{T}^n$. Так как каждая из функций $H_{\varphi_{k}}$ непрерывна, то функция $H_{\varphi}$ является борелевской. Пусть $F$ – замкнутое множество в метрическом пространстве $(\mathbb{T}^n,\mathrm{dist})$ (см. (4.1)). Для $x\in\mathbb{T}^n$ и $k\in\mathbb{N}$ положим
$$
\begin{equation}
f_k(x)=\frac{\mathrm{dist}(x,\mathbb{T}^n\setminus G_k)}{\mathrm{dist}(x,\mathbb{T}^n\setminus G_k)+\mathrm{dist}(x,F)}, \qquad G_k=\biggl\{y\in\mathbb{T}^n\Bigm| \mathrm{dist}(y,F)<\frac{1}{k}\biggr\},
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
где $\mathrm{dist}(x,A):=\inf\{\mathrm{dist}(x,y)\mid y\in A\}$ – расстояние от точки $x$ до множества $A$. Легко проверить следующие утверждения:
Тогда, применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, имеем
$$
\begin{equation*}
H_{f_k}(a)=\int_{\mathbb{T}^n}f_k(x)\, \mu_W (a,dx)\to \mu_W (a,F) \quad\text{при }\ k\to\infty
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$. Так как $H_{f_k}$, $k\in\mathbb{N}$, – борелевские функции, то функция $ \mu_W (\,\cdot\,,F)$ тоже является борелевской. Теперь рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{E}=\bigl\{B\in\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)\mid\, \text{функция } \mu_W (\,\cdot\,,B)\text{ является борелевской}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим через $\mathcal{F}$ множество всех замкнутых подмножеств в $\mathbb{T}^n$. Так как $\mathcal{F}$ и $\mathcal{E}$ являются $\pi$- и $\lambda$-системами соответственно, причем $\mathcal{F}\subset\mathcal{E}$, то наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\mathcal{F}$, совпадает с $\mathcal{E}$ (см. [25; гл. 2, § 2, определение 2 и теорема 2]), т.е. $\mathcal{B}(\mathbb{T}^n)=\mathcal{E}$. Лемма 8.3 доказана. Определение 8.2. Переходную меру $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, заданную согласно (8.14), назовем мерой, связанной с регулярным оператором $W$. Каждой мере $\nu\in \mathcal{M}(\mathbb{T}^n)$ поставим в соответствие (кратный) ряд Фурье
$$
\begin{equation*}
\nu\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\nu_ke^{i(k,x)}, \qquad \nu_k=\int_{\mathbb{T}^n}e^{-i(k,x)}\,\nu(dx), \quad k\in\mathbb{Z}^n
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [27; гл. VII]). По лемме 8.2 переходная мера $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, связанная с регулярным оператором $W$, такова, что для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$
$$
\begin{equation}
\mu_W (a,\,\cdot\,)\sim\sum_{m\in\mathbb{Z}^n}(v_m(a)e^{-i(m,a)})e^{i(m,x)}.
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
Примеры. 1. Пусть $g\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. По лемме 7.7 оператор $\widehat g$ регулярен, причем с учетом (8.16) для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ и для каждого $m\in\mathbb{Z}^n$ выполнено равенство $(\mu_{\widehat g}(a,\,\cdot\,))_m=e^{-i(m,a)}|g(a)|^2$. Значит, где $\delta(a,\,\cdot\,)$ – мера Дирака в точке $a$. 2. Пусть $x\in\mathbb{T}^n$. Если $W=\operatorname{Conv}_{\delta_x}$, то по лемме 7.8 имеем $W\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$ и $(\mu_W(a,\,\cdot\,))_m=e^{-i(m,x+a)}$ для всех $a\in\mathbb{T}^n$ и $m\in\mathbb{Z}^n$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\mu_W(a,\,\cdot\,)=\delta(x+a,\,\cdot\,)=\delta(F_x(a),\,\cdot\,),
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_x$ – автоморфизм, определяемый согласно (4.4). Следующая лемма устанавливает связь между мерой, связанной с регулярным оператором, и $\mu$-нормой этого оператора. Замечание 8.1. Поскольку $\operatorname{Conv}_{\delta_x}=U_{F_{-x}}$, то оператору свертки $\operatorname{Conv}_{\delta_x}$ можно сопоставить связанную с оператором Купмана $U_{F_{-x}}$ переходную меру $\delta(F^{-1}_{-x}(\cdot),\,\cdot\,)$. Так как $F^{-1}_{-x}=F_x$, то согласно примеру 2 переходные меры, указанные в определениях 8.1 и 8.2, совпадают. Лемма 8.4. Пусть $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ и $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – переходная мера, связанная с $W$. Тогда Доказательство. Из (8.16) следует, что
$$
\begin{equation*}
\mu_W (a,\mathbb{T}^n)=\int_{\mathbb{T}^n}\, \mu_W (a,dx)=v_0(a)=\rho(L_a).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить предложение 5.1. Лемма доказана. § 9. Операторы $W\widehat g$, $\widehat g W$ и $\widehat g_2 W \widehat g_1$Напомним, что в п. 7.2 мы ввели на множестве $\mathcal{P}^n$ отношение частичного порядка $\leqslant$, относительного которого $\mathcal{P}^n$ стало направленным множеством. Предел направленности $\{x_{\mathbf{I}}\}_{\mathbf{I}\in\mathcal{P}^n}$ в метрическом пространстве $X$ будем, как и ранее, обозначать через $\lim_{\mathbf{I}}x_{\mathbf{I}}$. 9.1. Оператор $W\widehat g$ Лемма 9.1. Пусть $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ и $g\in \mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Тогда оператор $\widetilde W:=W\widehat g$ является регулярным, причем Доказательство. Так как $W\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$ и $\widehat{g}\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то $\widetilde W \in \mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Обозначим через $\widetilde \omega_{\mathbf{I},m,k}$ величины (7.1) для оператора $\widetilde W$. Зафиксируем произвольные $m,k\in\mathbb{Z}^n$ и покажем, что где $\mathbf{g}_q$, $q\in\mathbb{Z}^n$, – коэффициенты Фурье функции $|g|^2$. Так как
$$
\begin{equation*}
\mathbf{g}_q=\int_{\mathbb{T}^n}|g(x)|^2 e^{-(q,x)}\,\mu(dx)=\langle g, ge^{i(q,\,\cdot\,)}\rangle=\sum_{p\in\mathbb{Z}^n}g_p\overline g_{p-q}, \qquad g_p=\langle g, e^{i(p,\,\cdot\,)}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
то по определению величин $\widetilde \omega_{\mathbf{I},m,k}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\omega_{\mathbf{I},m,k} &= \frac1{\# \mathbf{I}} \sum_{r,s,j\in\mathbb{Z}^n,\,l\in \mathbf{I}} W_{l+m,r} g_{r-j} \overline W_{l,s} \overline g_{s-j-k} \\ &= \frac1{\# \mathbf{I}} \sum_{r,q\in\mathbb{Z}^n,\,l\in \mathbf{I}}W_{l+m,r}\overline W_{l,r+k-q} \mathbf{g}_q \\ &=\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{g}_q\omega_{\mathbf{I},m,k-q}=\sum_{q\in\mathbb{Z}^n} f_{\mathbf{I},q}, \quad\text{где }\ f_{\mathbf{I},q}:=\mathbf{g}_q\omega_{\mathbf{I},m,k-q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $q\in\mathbb{Z}^n$ и для всякого $\mathbf{I}\in\mathcal P^n$ имеем
$$
\begin{equation*}
|f_{\mathbf{I},q}|\leqslant |\mathbf{g}_q|\frac{1}{\# \mathbf{I}}\sum_{ r\in\mathbb{Z}^n, l\in\mathbf{I}}c_{l+m-r}c_{l-r+q-k} =\sum_{s\in\mathbb{Z}^n}|\mathbf{g}_q| c_{s+m}c_{s+q-k}:=h_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}h_q\leqslant\mathbf{c}^2\mathbf{g}<\infty \quad\text{при }\ \mathbf{g}=\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}|\mathbf{g}_q|<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, согласно следствию 7.1 кратный ряд $ \sum_{q}f_{\mathbf{I},q}$ сходится равномерно на $\mathcal{P}^n$ и (в силу регулярности оператора $W$) существует предел
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\omega}_{m,k}=\lim_{\mathbf{I}} \widetilde\omega_{\mathbf{I},m,k}= \lim_{\mathbf{I}}\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}f_{\mathbf{I},q} =\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{g}_q\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},m,k-q} =\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{g}_q\omega_{m,k-q},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde {W}\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$. Тогда для каждого $m\in\mathbb{Z}^n$ определена функциия $\widetilde{v}_m\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, задаваемые формулой (7.3), причем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{v}_m(a) &=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \sum_{q\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{g}_q\omega_{m,k-q} e^{i(m+k, a)} \\ &=\sum_{q\in\mathbb{Z}^n}\mathbf{g}_qe^{i(q,a)}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \omega_{m,p} e^{i(m+p, a)} =|g(a)|^2v_m(a) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой точки $a\in\mathbb{T}^n$. Лемма доказана. Предложение 9.1. Предположим, что $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ и $g\in \mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Если $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ и $\mu_{\widetilde W} (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – меры, связанные с операторами $W$ и $\widetilde W=W\widehat g$ соответственно (см. определение 8.2), то Доказательство. Из леммы 9.1 и соотношения (8.16) следует, что для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$ коэффициенты Фурье мер $|g(a)|^2 \mu_W (a,\,\cdot\,)$, $\mu_{\widetilde W} (a,\,\cdot\,)$ совпадают, и, следовательно, эти меры равны. Для доказательства равенства (9.2) необходимо применить лемму 8.4. Предложение доказано. Рассмотрим регулярный оператор $W$, $\mathcal{DT}$-норма которого равна $\mathbf{c}$, и обозначим через $\mu_0$ меру, заданную плотностью $v_0$ относительно меры $\mu$. Если $f\in L^1(\mathbb{T}^n, \mu)$, то, применяя (7.4) и учитывая неотрицательность функции $v_0$, имеем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}^n}|f(a)|\,\mu_0(da)=\int_{\mathbb{T}^n}|f(a)|v_0(a)\,\mu(da)\leqslant \mathbf{c}^2\int_{\mathbb{T}^n}|f(a)|\,\mu(da),
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
откуда следует, что $L^p(\mathbb{T}^n, \mu)\subset L^p(\mathbb{T}^n, \mu_0)$ при $1\leqslant p<\infty$, причем $\|\cdot\|_{L^p(\mu_0)}\leqslant \mathbf{c}^2\|\cdot\|_{L^p(\mu)}$, и, в частности,
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L^2(\mu_0)}\leqslant \mathbf{c}^2\|f\|, \qquad f\in L^2(\mathbb{T}^n,\mu).
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
Предложение 9.2. Предположим, что $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ и $g\in L^{\infty}(\mathbb{T}^n)$. Тогда выполнено равенство (9.2). Доказательство. Для каждого $N\in\mathbb{N}$ и для каждой точки $x\in\mathbb{T}^n$ положим $S_N(x):=\sum_{k\in\mathbf{I}_N}g_ke^{i(k,x)}$, где $\{g_k\}$ – коэффициенты Фурье функции $g$. Очевидно, что $S_N\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$, причем $S_N\xrightarrow[N\to\infty]{L^2}g$. Докажем, что выполнены следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\|W\widehat g\|^2_\mu=\lim_{N\to\infty}\|W\widehat S_N\|^2_\mu=\int_{\mathbb{T}^n}\!\int_{\mathbb{T}^n}|g(a)|^2\, \mu_W (a,dx)\,\mu(da).
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bigl|\|W\widehat S_N\|_\mu-\|W\widehat g\|_\mu\bigr|\leqslant \|W(\widehat S_N-\widehat g)\|_\mu\leqslant\|W\|\,\|\widehat S_N-\widehat g\|_\mu, \\ \|\widehat S_N-\widehat g\|_\mu=\| S_N- g\|\xrightarrow[N\to\infty]{}0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует первое из равенств (9.5). Докажем второе. Из предложения 9.1, определения меры $\mu_0$ и оценки (9.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{N\to\infty}\|W\widehat S_N\|^2_\mu &=\lim_{N\to\infty}\int_{\mathbb{T}^n}|S_N(a)|^2 \mu_W (a,\mathbb{T}^n)\,\mu(da) \\ &=\lim_{N\to\infty}\int_{\mathbb{T}^n}|S_N(a)|^2v_0(a)\,\mu(da) =\lim_{N\to\infty}\|S_N\|^2_{L^2(\mu_0)} \\ &=\|g\|^2_{L^2(\mu_0)} =\int_{\mathbb{T}^n}\!\int_{\mathbb{T}^n}|g(a)|^2\, \mu_W (a,dx)\,\mu(da). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение доказано. 9.2. Оператор $\widehat g W$Лемма 9.2. Пусть $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$, и пусть $g\in \mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Тогда оператор $\widetilde W:=\widehat g W$ является регулярным, причем если $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ и $ \mu_{\widetilde W} (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – меры, связанные с операторами $W$ и $\widetilde W$ соответственно, то Доказательство. Так как $W$, $\widehat{g}\in\mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$, то $\widetilde W \in \mathcal{DT}(\mathbb{T}^n)$. Обозначим через $\widetilde \omega_{\mathbf{I},m,k}$ величины (7.1) для оператора $\widetilde W$. Покажем, что для всех $m,k\in\mathbb{Z}^n$ где $\{g_q\}_{q\in\mathbb{Z}^n}$ – последовательность коэффициентов Фурье функции $g$. По определению величин $\widetilde \omega_{\mathbf{I},m,k}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde \omega_{\mathbf{I},m,k} &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j,r,s\in\mathbb{Z}^n} g_{l+m-r}W_{r,j}\overline{g}_{l-s}\overline{W}_{s,j+k} \\ &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I},\,j,r,s\in\mathbb{Z}^n} g_{m-r}\overline{g}_{-s}W_{r+l,j}\overline{W}_{s+l,j+k} \\ &=\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{j,r,s\in\mathbb{Z}^n,\,l\in(\mathbf{I}+s)} g_{m-r}\overline{g}_{-s}W_{r-s+l,j}\overline{W}_{l,j+k} \\ &=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_{m-r}\overline{g}_{-s}\omega_{\mathbf{I}+s, r-s, k}=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}f_{\mathbf{I},r,s}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
где $ f_{\mathbf{I},r,s} :=g_{m-r}\overline{g}_{-s}\omega_{\mathbf{I}+s,r-s,k}$. Положим $\mathbf{c}_g:=\|g\|_{\mathcal{AC}}=\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}|g_j|$. Для произвольных $r,s\in\mathbb{Z}^n$ имеем
$$
\begin{equation*}
|\omega_{\mathbf{I}+s,r-s,k}|\leqslant \frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{j\in\mathbb{Z}^n,\,l\in(\mathbf{I}+s)}c_{r-s+l-j}c_{l-j-k} =\frac{1}{\#\mathbf{I}}\sum_{l\in\mathbf{I}}\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}c_{r+l-j}c_{l+s-j-k},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, | f_{\mathbf{I},r,s} |\leqslant|g_{m-r}||g_{-s}|\sum_{j\in\mathbb{Z}^n}c_{r+j}c_{s+j-k}:=h_{r,s}, \\ \sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}| f_{\mathbf{I},r,s} | \leqslant\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}h_{r,s}\leqslant\mathbf{c}_{g}^2\mathbf{c}^2<\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, кратный ряд (9.7) сходится равномерно на $\mathcal{P}^n$. Кроме того, если $r,s$ – фиксированные элементы пространства $\mathbb{Z}^n$, то (в силу регулярности оператора $W$) существуют пределы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I}+s,r-s,k} =\lim_{\mathbf{I}}\omega_{\mathbf{I},r-s,k}=\omega_{r-s,k}, \\ \lim_{\mathbf{I}} f_{\mathbf{I},r,s} =g_{m-r}\overline{g}_{-s}\omega_{r-s,k}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по следствию 7.1 существует предел
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\omega}_{m,k}=\lim_{\mathbf{I}}\widetilde{\omega}_{\mathbf{I},m,k} =\lim_{\mathbf{I}}\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n} f_{\mathbf{I},r,s}=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}\lim_{\mathbf{I}} f_{\mathbf{I},r,s}=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_{m-r}\overline{g}_{-s}\omega_{r-s,k},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$. Теперь докажем равенство (9.6). Пусть $a\in\mathbb{T}^n$. Так как ряд Фурье меры $ \mu_{\widetilde W} (a,\,\cdot\,)$ имеет вид $\sum_{m\in\mathbb{Z}^n}(\widetilde v_m(a)e^{-i(m,a)})e^{i(m,x)}$ (см. (8.16)), то, учитывая (7.3), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_{\widetilde W} (a,\mathbb{T}^n) &=\widetilde{v}_0(a)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\widetilde{\omega}_{0,k}e^{i(k,a)} \\ &=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_{-r}\overline{g}_{-s}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\omega_{r-s,k}e^{i(k,a)} =\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_{-r}\overline{g}_{-s}v_{r-s}(a)e^{i(s-r,a)} \\ &=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_{r}\overline{g}_{r-s}v_{-s}(a)e^{i(s,a)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для каждой точки $x\in\mathbb{T}^n$ кратный ряд $\sum_{s,r\in\mathbb{Z}^n}g_r\overline g_{r-s}e^{i(s,x)}$ сходится абсолютно и равен $|g(x)|^2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{T}^n}|g(x)|^2\, \mu_W (a,dx) &=\sum_{s,r\in\mathbb{Z}^n}g_r\overline g_{r-s}\int_{\mathbb{T}^n}e^{i(s,x)}\, \mu_W (a,dx) \\ &=\sum_{r,s\in\mathbb{Z}^n}g_r\overline g_{r-s}v_{-s}(a)e^{i(s,a)}= \mu_{\widetilde W} (a,\mathbb{T}^n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 9.2 доказана. Применяя леммы 8.4 и 9.2, получаем Предложение 9.3. Предположим, что $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$ и $g\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Если $ \mu_W (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – мера, связанная с оператором $W$, то 9.3. Оператор $\widehat g_2 W \widehat g_1$Из предложения 9.1 и леммы 9.2 следует Предложение 9.4. Пусть $W\in\mathcal{R}(\mathbb{T}^n)$, и пусть $g_1,g_2\in \mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$. Тогда оператор $\widetilde W:=\widehat g_2 W\widehat g_1$ является регулярным, причем § 10. Марковский операторРассмотрим вероятностное пространство $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal N_1:=\{U_F\mid F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)\}, \\ \mathcal N_2:=\{U\in \mathcal R(\mathcal X)\mid U \text{ - унитарный оператор}\}, \quad\text{если } \mathcal{X}=\mathbb{T}^n, \\ \mathcal N:=\mathcal N_1\cup\mathcal N_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10.1. Пусть $\mu_U(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – переходная мера (см. определения 8.1 и 8.2), связанная с оператором $U\in\mathcal N$. Тогда т.е. $\mu_U(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ является переходной вероятностью. Доказательство. Рассмотрим два случая. (a) Если $U=U_F$, где $F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)$, то для каждой точки $x\in\mathcal X$
$$
\begin{equation*}
\mu_U(x,\mathcal X):=\delta(F^{-1}(x),\mathcal X)={\bf 1}_{F(\mathcal X)}(x)={\bf 1}_{\mathcal X}(x)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
(b) Пусть $U$ – такой унитарный оператор на $L^2(\mathbb{T}^n)$, что $U\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$. Применяя предложение 9.4 при $g={\bf 1}_X$, $X\in\mathcal B(\mathbb{T}^n)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^n}{\bf 1}_X(a)\mu_U (a,\mathbb{T}^n)\,\mu(da)=\|U\widehat {\bf 1}_X\|_{\mu}^2=\int_{\mathbb{T}^n}{\bf 1}_X(a)\,\mu(da)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого множества $X\in\mathcal B(\mathbb{T}^n)$ (второе равенство следует из соотношения (1.7) и из п. 1 в § 2). Следовательно, $\mu_U(a,\mathbb{T}^n)=1$ для $\mu$-п.в. $a\in\mathbb{T}^n$. Кроме того, в силу (8.16) $\mu_U(\,\cdot\,,\mathbb{T}^n)=v_0$. Поскольку функция $v_0$ непрерывна на $\mathbb{T}^n$, то $\mu_U(a,\mathbb{T}^n)=1$ для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$. Лемма доказана. Пусть $U\in\mathcal N$. Так как $\mu_U(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – переходная вероятность, то по теореме 8.1 на измеримом пространстве $(\mathcal X\times\mathcal X,\mathcal B\otimes\mathcal B)$ существует такая вероятностная мера $\nu$, что
$$
\begin{equation}
\nu(B_1\times B_2)=\int_{B_1}\mu_U(x,B_2)\,\mu(dx), \qquad B_1,B_2\in\mathcal B.
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Положим $\mathcal{Z}_\mu:=\{C\subset\mathcal{X}\mid \exists\, D\in\mathcal{B} \colon C\subset D\text{ и }\mu(D)=0\}$. Обозначим через $\mathcal{B}_\mu$ пополнение $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}$ по мере $\mu$, т.е. $\mathcal{B}_\mu$ есть совокупность множеств вида $X\cup C$, где $X\in\mathcal{B}$ и $C\in\mathcal{Z}_\mu$. Продолжение меры $\mu$ на $\sigma$-алгебру $\mathcal{B}_\mu$ задается формулой $\overline{\mu}(X\cup C)=\mu(X)$. Введем координатные отображения $p_j\colon\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to \mathcal{X}$, положив
$$
\begin{equation*}
p_j(x_1,x_2)=x_j, \qquad x_j\in\mathcal{X}, \quad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10.2. Пусть $U\in\mathcal N$ и $\nu$ – мера на $(\mathcal X\times\mathcal X,\mathcal B\otimes\mathcal B)$, задаваемая согласно (10.1). Тогда для каждой $\mu$-интегрируемой функции $f\colon\mathcal X\to\mathbb{C}$ функции $f\circ p_1$ и $f\circ p_2$ $\nu$-интегрируемы, причем Доказательство. Пусть сначала $f$ – $\mathcal B$-измеримая функция. Очевидно, что функции $f\circ p_1$ и $f\circ p_2$ являются $\mathcal{B}\otimes \mathcal{B}$-измеримыми. Интегрируемость же этих функций и равенства (10.2) достаточно проверить для неотрицательной функции $f$. А поскольку для $f\geqslant0$ найдется такая последовательность простых неотрицательных $\mathcal B$-измеримых функций ${f_m}$, что $f_m(x)\uparrow f(x), m\to\infty$, для всех $x\in\mathcal{X}$, то мы ограничимся рассмотрением индикаторов множеств, принадлежащих $\sigma$-алгебре $\mathcal B$, т.е. далее предполагаем, что $f=\mathbf{1}_X$ при $X\in\mathcal{B}$. В этом случае сразу получаем, что функции $f\circ p_1$ и $f\circ p_2$ $\nu$-интегрируемы, ибо они совпадают с индикаторами множеств $p_1^{-1}(X)$ и $p_2^{-1}(X)$ соответственно, а мера $\nu$ вероятностна. Причем равенство (10.2) запишется в виде Рассмотрим отдельно два случая. (a) Если $U=U_F$, $F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)$, то
$$
\begin{equation*}
\nu(B_1\times B_2)=\int_{B_1}\delta(F^{-1}(x),B_2)\,\mu(dx)=\int_{B_1}{\bf 1}_{F(B_2)}(x)\,\mu(dx)=\mu(B_1\cap F(B_2))
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $B_1,B_2\in\mathcal B$. Тогда $\nu(X\times \mathcal X)=\mu(X)=\mu(F(X))=\nu(\mathcal X\times X)$, что и требовалось. (b) Пусть теперь $(\mathcal X,\mathcal B)=(\mathbb{T}^n,\mathcal B(\mathbb{T}^n))$, и пусть $U$ – унитарный регулярный оператор. Согласно лемме 10.1 $\mu_{U}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – переходная вероятность, поэтому
$$
\begin{equation*}
\nu(p_1^{-1}(X))=\int_{X}\mu_U(x,\mathbb{T}^n)\,\mu(dx)=\int_{X}\mu(dx)=\mu(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливость первого из равенств (10.3) в случае $\mathrm{(b)}$ установлена. Докажем второе. Сначала заметим, что если $g\in\mathcal{AC}(\mathcal{\mathbb{T}}^n)$, то из предложения 9.3 и следствия 7.2 получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^n}\!\int_{\mathbb{T}^n}|g(x)|^2\,\mu_U(a,dx)\,\mu(da)=\|\widehat g U\|_{\mu}^2=\|\widehat g\|_{\mu}^2=\|g\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\|g\circ p_2\|_{L^2(\nu)}=\|g\|$. Докажем это равенство для непрерывной функции $g$. Если $g\in C(\mathbb{T}^n)$, то существует такая последовательность функций $g_m$, что $g_m\in\mathrm{span}\{e^{i(k,\,\cdot\,)}\mid k\in\mathbb{Z}^n\}$ и $\|g_m-g\|_C\to0$. Поэтому $\|g_m\circ p_2-g\circ p_2\|_C\to0$, и, следовательно, так как $\nu$ и $\mu$ – вероятностные меры, то
$$
\begin{equation*}
\|g\circ p_2\|_{L^2(\nu)}=\lim_{m\to\infty}\|g_m\circ p_2\|_{L^2(\nu)}=\lim_{m\to\infty}\|g_m\|=\|g\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $X$ – замкнутое множество в пространстве $\mathbb{T}^n$. Найдется такая последовательность непрерывных функций $f_m$, что $0\leqslant f_m(x)\leqslant 1$ для всех $m\in\mathbb{N}$, $x\in\mathbb{T}^n$ и $f_m(x)\to\mathbf{1}_X(x)$ при $m\to\infty$ для каждой точки $x\in\mathbb{T}^n$ (такие функции задаются согласно (8.15)). То же самое верно с заменой функций $f_m$ на $f_m\circ p_2$ и $\mathbf{1}_X$ на $\mathbf{1}_{p_2^{-1}(X)}$. Применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu(X)&=\lim_{m\to\infty}\int_{\mathbb{T}^n}f_m(x)\,\mu(dx) =\lim_{m\to\infty}\|f_m\|^2=\lim_{m\to\infty}\|f_m\circ p_2\|^2_{L^2(\nu)} \\ &=\lim_{m\to\infty}\int_{\mathbb{T}^n\times\mathbb{T}^n}f_m\circ p_2\,d\nu=\nu(p_2^{-1}(X)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal{B}$ – наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все замкнутые множества, то второе равенство в (10.3) верно для всякого $X\in\mathcal{B}$. Таким образом, справедливость (10.3) в случае $\mathrm{(b)}$ установлена. Обобщим доказанное на случай $\mu$-интегрируемой функции $f$. Как и выше, достаточно рассмотреть индикаторы $\mu$-измеримых множеств. Таким образом, считаем, что $f=\mathbf{1}_E$, $E\in\mathcal{B}_\mu$. Для $E$ найдутся такие множества $X\in\mathcal{B}$ и $C\in\mathcal{Z}_\mu$, что $E=X\cup C$, причем $C\subset D$ для некоторого $D\in\mathcal{B}$ c $\mu(D)=0$. Тогда $p_j^{-1}(E)=p_j^{-1}(X)\cup p_j^{-1}(C)$, $ p_j^{-1}(C)\subset p_j^{-1}(D)$ и $p_j^{-1}(X),p_j^{-1}(D)\in \mathcal{B}\otimes \mathcal{B}$ при $j=1, 2$. Поэтому, учитывая (10.3), получаем, что
$$
\begin{equation*}
p_j^{-1}(C)\in\mathcal{Z}_\nu, \qquad p_j^{-1}(E)\in (\mathcal{B}\otimes \mathcal{B})_\nu, \qquad \overline\nu\circ p_1^{-1}(E)=\overline\mu(E)=\overline\nu\circ p_2^{-1}(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 10.2 доказана. Лемма 10.3. Если $U\in\mathcal N$, то для всякой $\mu$-интегрируемой функции $f$ справедливы следующие утверждения. (a) Для $\mu$-п.в. $x_1$ функция интегрируема по мере $\mu_U(x_1,\,\cdot\,)$, функция интегрируема по мере $\mu$, причем
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal{X}}\!\int_{\mathcal{X}}f(x_2)\,\mu_U(x_1,dx_2)\,\mu(dx_1)=\int_{\mathcal{X}}f\,d\mu.
\end{equation}
\tag{10.4}
$$
(b) Если $f=0$ ($\mu$-п.в.), то Доказательство. Пункт $\mathrm{(a)}$ следуют из леммы 10.2 и из теоремы 8.1. Докажем утверждение $\mathrm{(b)}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde f(x_1):=\int_{\mathcal{X}}f(x_2)\,\mu_U(x_1,dx_2), \qquad x_1\in\mathcal{X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдется такое множество $X\in\mathcal{B}$, что $f(x)=0$ при $x\in X$ и $\mu(\mathcal{X}\setminus X)=0$. Тогда, положив $X'=\mathcal{X}\setminus X$, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathcal{X}}\mu_U(x_1,X')\,\mu(dx_1)=\nu(\mathcal{X}\times X')=\nu(p_2^{-1}(X'))=\mu(X')=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу неотрицательности функции $\mu_U(\,\cdot\,,X')$ получаем $\mu_U(x_1,X')=0$ для $\mu$-п.в. $x_1\in\mathcal{X}$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\widetilde f(x_1)=\int_{X}f(x_2)\,\mu_U(x_1,dx_2)+\int_{X'}f(x_2)\,\mu_U(x_1,dx_2)=0 \quad\text{для $\mu$-п.в. }\ x_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теорема 10.1. Предположим, что $U\in\mathcal N$. Из леммы 10.3 следует, что корректно определен линейный оператор Этот оператор ограничен, причем и $T_U$ является марковским оператором, т.е. выполнены следующие свойства: Доказательство. Свойство $\mathrm{(a)}$ очевидно. Свойство $\mathrm{(b)}$ следует из леммы 10.1, поскольку $T_U\mathbf{1}_{\mathcal{X}}=\mu_U(\,\cdot\,,\mathcal X)$. Если $f\in L^1(\mathcal{X},\mu)$, то свойство $\mathrm{(c)}$ следует из равенства (10.4). Равенство (10.6) следует из свойства $\mathrm{(b)}$ и следующих соотношений:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_Uf\|_1&=\int_{\mathcal{X}}\biggl|\int_{\mathcal{X}}f(x_2)\,\mu_U(x_1,dx_2)\biggr|\, \mu(dx_1)\leqslant\int_{\mathcal{X}}\!\int_{\mathcal{X}}|f(x_2)|\,\mu_U(x_1,dx_2)\,\mu(dx_1) \\ &=\int_{\mathcal{X}}T_U|f|\,d\mu=\int_{\mathcal{X}}|f|\,d\mu=\|f\|_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Замечание 10.1. Если $U=U_F$ при $F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)$, то для каждой функции $f\in L^1(\mathcal X,\mu)$ § 11. Энтропия унитарного оператора11.1. Вводные конструкцииI. Пусть $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$ – произвольное вероятностное пространство. Для всякого конечного набора разбиений $\xi_1,\dots,\xi_m$ (при $m\in\mathbb{N}$) положим
$$
\begin{equation*}
\bigvee_{s=1}^{m}\xi_s:=\bigl\{X_1\cap\dots\cap X_m\mid X_1\in\xi_1,\dots,X_m\in\xi_m\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждому разбиению $\xi$ поставим в соответствие величину $h_{\mu}(\xi)$: Если $F$ – эндоморфизм пространства $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$, то величина $h_\mu(F,\xi,m)$, введенная в § 1, представляется в следующем виде:
$$
\begin{equation}
h_{\mu}(F,\xi,m)=h_{\mu}\biggl(\bigvee_{i=0}^{m-1}F^{-i}\xi\biggr),
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
где $F^{-i}\xi:=\{F^{-i}X\mid X\in\xi\}$, $i=0,1,2\dots$ . Известно, что функция $h_\mu$ обладает следующими свойствами: II. Введем следующие объекты. $\bullet$ Для каждого натурального $m$ обозначим через $\mathcal{B}^{m}$ наименьшую $\sigma$-алгебру пространства $\mathcal{X}^{m}$, порожденную “прямоугольниками” вида
$$
\begin{equation*}
X_1\times\dots\times X_{m}, \quad\text{где }\ X_s\in\mathcal{B}, \quad s=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ Обозначим через $\mathcal{X}^{\infty}$ множество всех последовательностей $x=(x_1, x_2, x_3,\dots)$ таких, что $x_s\in\mathcal{X}$ для $s\in\mathbb{N}$. Определим координатные отображения $p_s\colon \mathcal{X}^{\infty}\to\mathcal{X}$, положив
$$
\begin{equation*}
p_s(x)=x_s, \quad\text{где }\ s\in\mathbb{N},\quad x\in\mathcal{X}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $C_m(B)=\{x\in\mathcal{X}^{\infty}\mid (x_1,\dots,x_m)\in B\}$ будем называть цилиндром с основанием $B\in\mathcal{B}^{m}$. Введем цилиндрическую $\sigma$-алгебру $\mathcal{B}^{\infty}$ как наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую совокупность всех цилиндров. III. Пусть $U\in\mathcal N$, где, как и в § 10, класс $\mathcal N$ состоит из операторов Купмана и регулярных унитарных операторов. Напомним, что для оператора $U$ определена переходная мера $\mu_U$ (см. определения 8.1 и 8.2), которая по лемме 10.1 является переходной вероятностью. Опираясь на теорему 8.1, для каждого числа $m\in\mathbb{N}$ можно ввести такую вероятностную меру $\nu_{m}$ на пространстве $(\mathcal{X}^{m},\mathcal{B}^{m})$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nu_{m}\biggl(\prod_{s=1}^{m}X_s\biggr) &= \int_{X_1}\!\int_{X_2}\cdots\int_{X_{m-1}}\!\int_{X_{m}}\mu_U(x_{m-1}, dx_{m}) \\ &\qquad\times\mu_U(x_{m-2},dx_{m-1})\dotsb\mu_U(x_1,dx_2)\,\mu(dx_1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_s\in\mathcal{B}$, $s=1,\dots,m$ (мера $\nu_1$ совпадает с $\mu$, а мера $\nu_2$ совпадает с мерой $\nu$, которая удовлетворяет равенству (10.1)). Ясно, что меры $\nu_{m}$, $m\in\mathbb{N}$, удовлетворяют условию согласованности: $\nu_{m+1}(B\times\mathcal{X})=\nu_{m}(B)$ для каждого $B\in\mathcal{B}^m$. Для каждого конечного набора $\mathbf{G}=(g_1,\dots,g_m)$, состоящего из функций $g_s\in L^{\infty}(\mathcal{X},\mu)$, $s=1,\dots,m$, при $m\geqslant1$, положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_U(\mathbf{G}):=\int_{\mathcal{X}}g_1(x_1)\!\int_{\mathcal{X}}g_2(x_2) \cdots\!\int_{\mathcal{X}}g_m(x_m)\,\mu_U(x_{m-1},dx_{m})\dotsb\mu_U(x_1,dx_2)\,\mu(dx_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\displaystyle \mathcal{I}_U(\mathbf{G})=\int_{\mathcal{X}^{m}}g\,d\nu_{m}$, где $g(x_1,\dots,x_m)=g_1(x_1)\dotsb g_m(x_m)$. Примеры. 1. Пусть $U=U_F$, где $F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)$. Напомним, что в этом случае $\mu_U(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)=\delta(F^{-1}(\cdot),\,\cdot\,)$. Из леммы 8.1 следует, что для всех функций $g_0,\dots,g_K\in L^\infty(\mathcal X,\mu)$ и для каждого $K\in\mathbb{N}$. 2. Если $U\in\mathcal R(\mathbb{T}^n)$, то согласно предложению 9.4 для всякой пары функций $g_1,g_2\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$.Вернемся к общему случаю, при котором $U\in\mathcal N$. Из определения марковского оператора $T_U$ (см. (10.5)) легко получить следующую формулу:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{I}_U(\mathbf{G})=\int_{\mathcal{X}}\widehat g_1T_U\widehat g_2T_U\dotsb T_U\widehat g_{m-1}T_U\widehat g_m (\mathbf{1}_{\mathcal{X}})\,d\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой следует равенство
$$
\begin{equation}
\nu_{m}\biggl(\prod_{s=1}^{m}X_s\biggr)=\int_{\mathcal{X}} \widehat{\bf 1}_{X_1}T_U \widehat{\bf 1}_{X_2}T_U\dotsb T_U \widehat{\bf 1}_{X_{m-1}}T_U \widehat{\bf 1}_{X_m} (\mathbf{1}_{\mathcal{X}})\,d\mu.
\end{equation}
\tag{11.5}
$$
По теореме Ионеску Тулчи (см. [5; т. 2, следствие 10.7.4] или [25; гл. 2, § 9, теорема 2]) на измеримом пространстве $(\mathcal{X}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty})$ существует единственная вероятностная мера $\nu_{\infty}$, удовлетворяющая равенству
$$
\begin{equation*}
\nu_{\infty}(C_m(B))=\nu_{m}(B), \qquad B\in\mathcal{B}^{m}, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что для каждого $m\in\mathbb{N}$ и для всякого $B\in\mathcal{B}^{m}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\nu_{\infty}(C_m(\mathcal{X}\times B))=\nu_{\infty}(C_m(B)).
\end{equation}
\tag{11.6}
$$
Действительно, пусть $X_1,\dots,X_m\in\mathcal{B}$. Применяя формулу (11.5) и учитывая, что $ \widehat{\bf 1}_{\mathcal{X}}=\mathrm{id}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nu_{m+1}\biggl(\mathcal{X}\times\prod_{s=1}^{m}X_s\biggr) &=\int_{\mathcal{X}}T_U \widehat{\bf 1}_{X_1}T_U\dotsb T_U \widehat{\bf 1}_{X_{m-1}}T_U \widehat{\bf 1}_{X_m} (\mathbf{1}_{\mathcal{X}})\,d\mu \\ &=\int_{\mathcal{X}} \widehat{\bf 1}_{X_1}T_U\dotsb T_U \widehat{\bf 1}_{X_{m-1}}T_U \widehat{\bf 1}_{X_m} (\mathbf{1}_{\mathcal{X}})\,d\mu =\nu_{m}\biggl(\prod_{s=1}^{m}X_s\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(второе равенство выполнено в силу свойства $\mathrm{(c)}$ оператора $T_U$ (см. теорему 10.1)). Следовательно, равенство (11.6) имеет место при $B=X_1\times\dots\times X_m$, а значит, и для всякого $B\in\mathcal{B}^{m}$. Заметим, что из соотношения (11.6) следует, что
$$
\begin{equation*}
\nu_{\infty}(p_s^{-1}(X))=\mu(X), \qquad s\in\mathbb{N}, \quad X\in\mathcal{B}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, взяв произвольное разбиение $\chi\,{=}\,\{X_1,\dots,X_J\}$ пространства $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$, получим, что для каждого $s\,{\in}\,\mathbb{N}$ набор множеств $p_s^{-1}\chi\,{:=}\,\{p_s^{-1}(X_1),\dots,p_s^{-1}(X_J)\}$ является разбиением пространства $(\mathcal{X}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},\nu_{\infty})$. IV. В пространстве $\mathcal{X}^{\infty}$ бесконечных последовательностей можно ввести преобразование сдвига
$$
\begin{equation}
Q\colon \mathcal{X}^{\infty}\to \mathcal{X}^{\infty}, \qquad Qx=x', \quad \text{где }\ x'_s=x_{s+1}, \quad s\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{11.7}
$$
Из соотношения (11.6) следует, что $Q$ – эндоморфизм вероятностного пространства $(\mathcal{X}^{\infty},\mathcal{B}^{\infty},\nu_{\infty})$. 11.2. Определение энтропии унитарного оператораВ этом пункте рассматриваются вероятностное пространство $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$ и унитарный оператор $U$ такой, что $U\in\mathcal N$. Для произвольных чисел $m,J\in\mathbb{N}$ обозначим через $\mathcal{S}_{m,J}$ семейство всех отображений $\sigma\colon\{1,\dots,m\}\to\{1,\dots,J\}$. Пусть $\chi=\{X_1,\dots,X_J\}$ – разбиение пространства $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$, и пусть $\sigma\in \mathcal{S}_{m,J}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{G}_{\sigma}=\mathbf{G}_{\sigma}(\chi) =(\mathbf{1}_{X_{\sigma(1)}},\dots,\mathbf{1}_{X_{\sigma(m)}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathcal{I}_U(\mathbf{G}_{\sigma})=\nu_{m}(X_{\sigma(1)}\times\dots\times X_{\sigma(m)})$ и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_U(\mathbf{G}_{\sigma})=\nu_\infty \biggl(\bigcap_{s=1}^{m}p_s^{-1}(X_{\sigma(s)})\biggr).
\end{equation}
\tag{11.8}
$$
Для каждого $m\in\mathbb{N}$ и для произвольного разбиения $\chi=\{X_1,\dots,X_J\}$ пространства $\mathcal{X}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}(U,\chi,m)=-\sum_{\sigma\in\mathcal{S}_{m,J}}\mathcal{I}_U(\mathbf{G}_{\sigma})\log \mathcal{I}_U(\mathbf{G}_{\sigma}), \qquad \mathbf{G}_{\sigma}=\mathbf{G}_{\sigma}(\chi).
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (11.8) следует, что $\mathfrak{h}(U,\chi,m)=h_{\nu_{\infty}}\bigl(\bigvee_{s=1}^{m}p_s^{-1}\chi\bigr)$, где функция $h_{\nu_\infty}(\cdot)$ определяется согласно (11.1) в случае вероятностного пространства $(\mathcal X^\infty,\mathcal B^\infty,\nu_\infty)$. Кроме того, так как для каждого неотрицательного целого $i$ выполнено равенство $p_1\circ Q^i=p_{i+1}$, где $Q$ определяется согласно (11.7), то
$$
\begin{equation*}
h_{\nu_{\infty}}\biggl(\bigvee_{s=1}^{m}p_s^{-1}\chi\biggr) =h_{\nu_{\infty}}\biggl(\bigvee_{i=0}^{m-1}Q^{-i}(p_1^{-1}\chi)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, с учетом (11.2)
$$
\begin{equation}
\mathfrak{h}(U,\chi,m)=h_{\nu_{\infty}}(Q,p_1^{-1}\chi,m).
\end{equation}
\tag{11.9}
$$
Из равенства (11.9) и свойств (11.3) и (11.4) следует справедливость следующих лемм. Лемма 11.1. Если $\chi$ – разбиение пространства $\mathcal{X}$, то для всяких натуральных чисел $m_1$ и $m_2$ выполнено неравенство Лемма 11.2. Предположим, что $m\in\mathbb{N}$ и $\kappa$, $\chi$ – разбиения пространства $\mathcal{X}$. Если $\kappa$ является подразбиением $\chi$, то Из леммы 11.1 получаем, что существует конечный неотрицательный предел
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}(U,\chi)=\lim_{m\to\infty}\frac{1}{m}\mathfrak{h}(U,\chi,m) =\inf_{m\geqslant1}\frac{1}{m}\mathfrak{h}(U,\chi,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 11.1. Энтропией унитарного оператора $U\in\mathcal N$ называется величина где верхняя грань берется по всем конечным разбиениям $\chi$ пространства $(\mathcal{X},\mathcal{B},\mu)$. Из леммы 11.2 следует, что функция $\mathfrak{h}(U,\chi)$ приближается к верхней грани $\mathfrak{h}(U)$ при измельчении разбиения $\chi$. Из построения энтропии $\mathfrak{h}$ следует, что справедлива следующая лемма. Лемма 11.3. Пусть операторы $U_1$ и $U_2$ принадлежат классу $\mathcal N$. Если $\mu_{U_1}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)=\mu_{U_2}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$, то $\mathfrak{h}(U_1)=\mathfrak{h}(U_2)$. 11.3. Примеры вычисления энтропии11.3.1. Энтропия оператора КупманаПусть $F\in\operatorname{Aut}(\mathcal X,\mu)$, $U=U_F$, и пусть $\chi=\{X_1,\dots,X_J\}$ – разбиение пространства $\mathcal X$. Из определения $\mathcal I_U$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal I_U(\mathbf{G}_\sigma)=\mu\biggl(\bigcap_{i=0}^{m-1}F^{-i}(X_{\sigma(m-i)})\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $m\in\mathbb{N}$ и $\sigma\in\mathcal S_{m,J}$. Поэтому $\mathfrak{h}(U,\chi,m)=h_{\mu}(F,\chi,m)$ и, следовательно, где $h_\mu(F)$ – энтропия Колмогорова–Синая автоморфизма $F$. В частности, $\mathfrak{h}(U_{\operatorname{id}})=h_\mu(\operatorname{id})=0$. 11.3.2. Энтропия оператора $\widehat g$Пусть $g\in\mathcal{AC}(\mathbb{T}^n)$ и $|g|=1$. Из леммы 7.7 следует, что $\widehat g$ – унитарный регулярный оператор. Кроме того, согласно примеру 1 из п. 8.4 $\mu_{\widehat g}(a,\,\cdot\,)=\delta(a,\,\cdot\,)$ для каждой точки $a\in\mathbb{T}^n$, откуда по лемме 11.3 получаем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}(\widehat g)=\mathfrak{h}(U_{\operatorname{id}})=h_\mu(\operatorname{id})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
11.3.3. Энтропия оператора $\operatorname{Conv}_{\delta_x}$Пусть $x\in\mathbb{T}^n$. Из леммы 7.8 и из равенства $\operatorname{Conv}_{\delta_x}=U_{F_{-x}}$ следует, что $\operatorname{Conv}_{\delta_x}$ – унитарный регулярный оператор, причем
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{h}(\operatorname{Conv}_{\delta_x})=h_\mu(F_{-x})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
11.3.4. Энтропия пропагатора ШрёдингераПропагатор Шрёдингера $U$ свободной частицы на окружности имеет вид
$$
\begin{equation}
U=\operatorname{Conv}_\lambda, \qquad \lambda=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\lambda_ke^*_k, \quad \lambda_k=e^{itk^2},
\end{equation}
\tag{11.10}
$$
где $t\in\mathbb{R}$. Согласно лемме 7.9 $U$ – такой унитарный регулярный оператор, что
$$
\begin{equation*}
v_m(a)=e^{itm^2}\delta_{tm,\pi\mathbb{Z}} \quad\text{для всех }\ m\in\mathbb{Z}, \quad a\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 11.1. Энтропия оператора (11.10) вычисляется следующим образом: где $(p,q)$ – наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$. Доказательство. Будем отождествлять окружность $\mathbb{T}=\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$ с полуинтервалом $[0,2\pi)$. Рассмотрим три случая.
1) Если $t/\pi \in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, то для каждого $m\in\mathbb{Z}$ функция $v_m$ тождественно равна $\delta_{m,0}$. Поэтому, учитывая (8.16), получаем, что для каждой точки $a\in \mathbb{T}$ мера $\mu_U(a,\,\cdot\,)$ совпадает с нормированной мерой Лебега $\mu$ на $\mathcal B(\mathbb{T})$. Далее, возьмем разбиение
$$
\begin{equation}
\chi_J=\{X_1,\dots,X_J\}, \qquad X_j=\biggl[\frac{2\pi(j-1)}{J},\frac{2\pi j}{J}\biggr), \quad j=1,\dots,J,
\end{equation}
\tag{11.11}
$$
и для всяких $m\in\mathbb{N}$ и $\sigma\in\mathcal S_{m,J}$ рассмотрим набор функций $\mathbf{G}_\sigma=\mathbf{G}_{\sigma}(\chi_J)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal I_U(\mathbf{G}_\sigma)= \frac1{(2\pi)^m} \int_{\mathbb{T}^m} {\bf 1}_{X_{\sigma(1)}}(x_1) \dotsb {\bf 1}_{X_{\sigma(m)}}(x_m)\, dx_m\dotsb dx_1 = J^{-m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\mathfrak{h}(U,\chi_J,m)=m\log J$, откуда следует, что $\mathfrak{h}(U,\chi_J)=\log J$ и, следовательно, $\mathfrak{h}(U)=\infty$. 2) Пусть теперь $t/\pi=p / q$, где $p\in\mathbb{Z}$, $ q\in\mathbb{N}$, $ (p,q)=1$, и пусть одно из чисел $p$ или $q$ четно. В этом случае согласно (8.16) для каждой точки $a\in\mathbb{T}$ последовательность коэффициентов Фурье меры $\mu_U(a,\,\cdot\,)$ совпадает с последовательностью $\{e^{-ima}\delta_{m,q\mathbb{Z}}\}_{m\in\mathbb{Z}}$, откуда получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\mu_U(a,\,\cdot\,)=\frac{1}{q}\sum_{s=0}^{q-1}\delta\biggl(a+\frac{2\pi s}q,\,\cdot\,\biggr), \qquad a\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\xi$ – произвольное разбиение пространства $(\mathbb{T},\mathcal B(\mathbb{T}),\mu)$ и $T\colon \mathbb{T}\to\mathbb{T}$ – поворот окружности на угол $2\pi/q$: Рассмотрим разбиение где $\chi_q$ определяется согласно (11.11) (при $J=q$).Тогда $\chi$ обладает следующими свойствами:
Таким образом, $\chi$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\chi=\{X_{jk}\}_{1\leqslant j\leqslant J,\, 0\leqslant k\leqslant q-1}, \qquad X_{j,k}=T^{k}(X_{j,0}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $m\in\mathbb{N}$ и $\sigma\colon \{1,\dots,m\}\to \{1,\dots,J\}\times\{0,\dots,q-1\}$. Представим отображение $\sigma$ в виде диагонали двух отображений $\sigma'\in\mathcal S_{m,J}$ и $\sigma''\in\mathcal S_{m,q}$:
$$
\begin{equation*}
\sigma(r)=(\sigma'(r),\sigma''(r)), \qquad \sigma'(r)\in \{1,\dots,J\}, \quad \sigma''(r)\in \{0,\dots,q-1\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $r=1,\dots,m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{I}_U(\mathbf{G}_\sigma) &=\int_{\mathbb{T}}\!\dotsi\!\int_{\mathbb{T}}{\bf 1}_{X_{\sigma(1)}}(x_1)\dotsb{\bf 1}_{X_{\sigma(m)}}(x_m)\,\mu_U(x_{m-1},dx_{m})\dotsb\mu(dx_1) \\ &=q^{1-m}\sum_{0\leqslant s_2,\dots,s_{m}\leqslant q-1}\mu\bigl(T^{-s_2-\dots-s_m}(X_{\sigma(m)})\cap\dots\cap T^{-s_2}(X_{\sigma(2)})\cap X_{\sigma(1)}\bigr) \\ &=\begin{cases} q^{1-m}\mu(X_{\sigma'(1),0}), & \text{если } \sigma'(m)=\dots=\sigma'(1), \\ 0& \text{в противном случае}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak h(U,\chi,m) &=- q^{m} \sum_{j=1}^J \frac{\mu(X_{j,0})}{q^{m-1}}\log \frac{\mu(X_{j,0})}{q^{m-1}} \\ &=- q \sum_{j=1}^J \mu(X_{j,0})\log \mu(X_{j,0})+q \sum_{j=1}^J \mu(X_{j,0})\log q^{m-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\sum_{j=1}^J\mu(X_{j,0})=1/q$, то $\mathfrak h(U,\chi)=\log q$. Таким образом, для каждого разбиения $\xi$ построено такое его подразбиение $\chi$, что $\mathfrak h(U,\chi)=\log q$. Поэтому, применяя лемму 11.2, получаем, что $\mathfrak h(U)=\log q$. 3) Наконец, предположим, что $t/\pi=p / q$, где $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$, $(p,q)=1$, и каждое из чисел $p$ и $q$ нечетно. В этом случае согласно (8.16) для каждой точки $a\in\mathbb{T}$ последовательность коэффициентов Фурье меры $\mu_U(a,\,\cdot\,)$ совпадает с последовательностью $\{e^{i\pi m/q}e^{-ima}\delta_{m,q\mathbb{Z}}\}_{m\in\mathbb{Z}}$, откуда получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\mu_U(a,\,\cdot\,)=\frac{1}{q}\sum_{s=0}^{q-1}\delta \biggl(a+\frac{2\pi s}q-\frac\pi q,\,\cdot\,\biggr), \qquad a\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дальнейшие рассуждения аналогичны случаю 2). Предложение 11.1 доказано.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AfoTre22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|