| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Феномен продолжения Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях С. В. Феклистов Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 12, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9677e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ классической теореме Гартогса утверждается, что для каждой области $W\subset\mathbb C^{n}$, $n>1$, и каждого компакта $K\subset W$ таких, что $W\setminus K$ связно, гомоморфизм ограничения
$$
\begin{equation*}
H^{0}(W,\mathcal{O})\to H^{0}(W\setminus K, \mathcal{O})
\end{equation*}
\notag
$$
является изоморфизмом. Возникает естественный вопрос: верно ли аналогичное утверждение для комплексных аналитических пространств? Определение 1. Будем говорить, что некомпактное связное комплексное аналитическое пространство $X$ допускает феномен Гартогса, если для каждой области $W\subset X$ и каждого компакта $K\subset W$ таких, что $W\setminus K$ связно, гомоморфизм ограничения является изоморфизмом. В этой или похожих формулировках данный феномен интенсивно изучался в различных ситуациях, включая многообразия Штейна, $(n-1)$-полные нормальные комплексные многообразия и т.д., см. [2]–[6], [10], [11], [16], [20], [22], [26], [27]. Целью настоящей работы является изучение феномена Гартогса в почти однородных алгебраических многообразиях. Пусть $X$ – комплексное аналитическое многообразие (т.е. приведенное, неприводимое комплексное аналитическое пространство) и $G$ – связная комплексная группа Ли, действующая голоморфно на $X$. В этом случае $X$ называется комплексным аналитическим $G$-многообразием. Комплексное аналитическое $G$-многообразие $X$ называется почти однородным, если $X$ имеет открытую $G$-орбиту $\Omega$, см. [1]. К примеру, торические многообразия, орисферические многообразия, многообразия флагов (и вообще сферические многообразия) являются почти однородными алгебраическими многообразиями. В контексте торических многообразий феномен Гартогса был изучен в [12], [18], [19]. Мы будем следовать подходу, восходящему к работе Серра [23]. Получен результат о занулении когомологий для некоторого класса комплексных аналитических многообразий. Теорема 1. Пусть $X$ – некомпактное комплексное аналитическое многообразие, удовлетворяющее следующим свойствам: 1) $X$ допускает открытое вложение (не обязательно с плотным образом) $X\hookrightarrow X'$ в некоторое комплексное аналитическое многообразие $X'$ с $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$; 2) $X$ допускает компактное исчерпание $\{V_n\}$ со связными дополнениями $X\setminus V_n$. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$. Теорема 1 применяется к нормальным некомпактным комплексным аналитическим многообразиям, которые обладают некоторыми свойствами, связанными с их компактификациями. Введем следующее определение. Определение 2. Некомпактное комплексное аналитическое многообразие $X$ называется $(b,\sigma)$-компактифицируемым, если оно допускает компактификацию $X'$ со следующими свойствами: 1) $X'$ является компактным комплексным аналитическим многообразием; 2) $X'\setminus X$ является собственным аналитическим подмножеством и имеет $b$ связных компонент; 3) $\dim_{\mathbb C} H^{1}(X',\mathcal{O})=\sigma$. Если $X$ – нормальное (соответственно алгебраическое), тогда требуется чтобы $X'$ также было нормальным (соответственно алгебраическим). Если $X$ – $G$-многообразие, тогда требуется чтобы $X'$ также было $G$-многообразием и компактифицирующее отображение было $G$-эквивариантным. Отметим, что число $\sigma$ называется иррегулярностью $X'$ (см. [15] в контексте проективных поверхностей). Число $b$ связано с числом $e(X)$ топологических концов $X$ (см. [21] о топологических концах и [27] о связи с феноменом Гартогса). А именно, $b\leqslant e(X)$. В настоящей статье рассматривается случай $b=1$ и $\sigma=0$. Это означает, что $X'\setminus X$ является связным и $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$. Для $(1,0)$-компактифицируемого комплексного аналитического многообразия $X$ существует канонический изоморфизм
$$
\begin{equation*}
H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})/\mathbb C,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z=X'\setminus X$ и $i\colon Z\hookrightarrow X'$ – замкнутое вложение. Теперь пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие, где $G$ действует алгебраически на $X$, пусть $X'$ – соответствующая компактификация $X$. Обозначим через $\mathcal{G}(X')$ множество $G$-стабильных простых дивизоров на $X'$ и определим
$$
\begin{equation*}
Y:=X'\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X'),D\subset X} D.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что множество $\{D\in\mathcal{G}(X')\mid D\subset X\}$ может оказаться пустым. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор с решеткой характеров $\mathfrak X(T)$, решеткой однопараметрических подгрупп $\mathfrak X^{*}(T):=\operatorname{Hom}(\mathfrak X(T),\mathbb{Z})$ и множеством доминантных характеров $\mathfrak X_{+}(T)$. В предложении 2 доказывается, что алгебра регулярных функций $\mathbb C[Y]$ является плотным подпространством топологического векторного пространства $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ (с топологией прямого предела). Отсюда следует, что $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\,{=}\,0$ тогда и только тогда, когда $\mathbb C[Y]=\mathbb{C}$. Так как $G$ действует алгебраически на $Y$, $\mathbb C[Y]$ является представлением группы $G$. Определим весовой моноид многообразия $Y$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{+}(Y):=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X_{+}(T)\mid \mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\neq 0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}:=\bigl\{f\in\mathbb C[Y]\mid \exists\,\lambda\in\mathfrak X(T)\colon b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}$. Получаем следующий весовой критерий. Теорема 2. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\Lambda_{+}(Y)=0$, и $\mathbb C[Y]^{B}=\mathbb C$. В настоящей статье рассматриваются так называемые сферические $G$-многообразия. Они являются почти однородными алгебраическими $G$-многообразиями, где $G$ – комплексная редуктивная группа, причем борелевская подгруппа $B\subset G$ действует на $X$ с открытой орбитой. Пусть $X$ – сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$. Определим весовую решетку следующим образом:
$$
\begin{equation*}
M:=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X(T)\mid \mathbb C(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $M$ является подрешеткой в решетке характеров $\mathfrak X(T)$. Пусть $M_{\mathbb R}:=M\otimes\mathbb R$. Обозначим через $\mathcal{B}(Y)$ множество всех $B$-стабильных простых дивизоров на $Y$. Каждый $B$-стабильный дивизор $D\in \mathcal{B}(Y)$ определяет дискретное нормирование
$$
\begin{equation*}
v_{D}\colon \mathbb C(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $v_{D}(f)$ – порядок нулей или полюсов $f$ на $D$. В свою очередь, нормирование $v_{D}$ определяет точку в двойственной весовой решетке $a_{D}\in N:=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$ по формуле $\langle a_{D},\lambda\rangle:=v_{D}(f)$ для $f\in \mathbb C(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$. Определим следующий конус в пространстве $N_{\mathbb R}$:
$$
\begin{equation*}
C:=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем следующий выпукло-геометрический критерий феномена Гартогса. Следствие 1. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $C=N_{\mathbb R}$. Заметим, что данный критерий может также быть сформулирован в терминах цветных вееров. Вкратце, каждое сферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ кодируется цветным веером – набором строго выпуклых конусов в вещественном векторном пространстве с общей вершиной, которые могут пересекаться только вдоль общих граней. Подробнее см. § 6 ниже или [13], [28]. Пусть $X_{\Sigma}$ – сферическое многообразие с цветным веером $\Sigma$. Через $|\Sigma|$ обозначим носитель цветного веера $\Sigma$, через $\overline{N_{\mathbb R}\setminus |\Sigma|}$ обозначим замыкание множества $N_{\mathbb R}\setminus |\Sigma|$ в $N_{\mathbb R}$. Пусть $\mathcal{V}(\Omega)$ – конечно порожденный выпуклый рациональный конус в $N_{\mathbb{Q}}=N\otimes\mathbb{Q}$ всех $G$-инвариантных нормирований (см. [13; § 4, 10] или § 6), а через $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ обозначим конус порожденный множеством $\mathcal{V}(\Omega)$ в $N_{\mathbb{R}}$. Пусть $\mathcal{B}(\Omega)$ – множество всех простых $B$-стабильных дивизоров на $\Omega$. Заметим, что некомпактное сферическое многообразие $X_{\Sigma}$ является $(1,0)$-компактифицируемым тогда и только тогда, когда $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ – связное множество (см. лемму 4). Получаем следующий основной результат. Теорема 3. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда В частности, пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$. Пусть $U$ – унипотентный радикал борелевской подгруппы $B$, $S$ – множество простых корней относительно $B$ и $S^{\vee}$ – множество двойственных простых корней. Пусть $H$ – стабилизатор некоторой точки $o\in\Omega$, причем $H\supset U^{-}$. Рассмотрим параболическую подгруппу $P\supset B$ такую, что $P^{-}=N_{G}(H)$. Напомним, что параболические подгруппы, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу $B$, параметризуются подмножествами простых корней $I\subset S$. Пусть $I$ – подмножество $S$, соответствующее параболической подгруппе $P$. Инъективное отображение $\iota\colon M_\mathbb R\hookrightarrow \mathfrak X(T)\otimes\mathbb R$ индуцирует сюръективное отображение
$$
\begin{equation*}
\iota^{*}\colon \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb R\twoheadrightarrow N_{\mathbb R}:=N\otimes\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем следующее Следствие 2. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда где $(S\setminus I)^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in S\setminus I\}$. § 2. Когомологический критерий феномена ГартогсаВ настоящей работе рассматриваются только приведенные, неприводимые комплексные аналитические пространства (т.е. комплексные аналитические многообразия). Ж.-П. Серр доказал, что неособые многообразия Штейна допускают феномен Гартогса, используя тривиальность группы когомологий с компактными носителями $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})$, где $\mathcal{O}$ – пучок голоморфных функций (см. [23]). Подробнее о группах когомологий с компактными носителями пучков см. в [6]. В настоящей работе рассматривается некоторый класс комплексных аналитических многообразий, для которого условие тривиальности группы $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})$ является необходимым и достаточным для феномена Гартогса. Теорема 4. Пусть $X$ – некомпактное комплексно аналитическое многообразие, удовлетворяющее следующим свойствам: 1) $X$ допускает открытое вложение (не обязательно с плотным образом) $X\hookrightarrow X'$ в некоторое комплексное аналитическое многообразие $X'$ с $H^{1}(X',\mathcal{O})\,{=}\,0$; 2) $X$ допускает компактное исчерпание $\{V_n\}$ со связными дополнениями $X\setminus V_n$. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$. Доказательство. Во-первых, предположим $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$. Пусть $W\,{\subset}\, X$ – область и $K\subset W$ – компакт, причем $W\setminus K$ – связно. Отметим, так как $X$, $W$, $W\setminus K$ – связные множества, то $X\setminus K$ также является связным.
Понадобится следующая лемма. Лемма 1. Пусть $K\subset X$ – компактное множество такое, что $X\setminus K$ связно. Если $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})=0$, то гомоморфизм ограничения $H^{0}(X,\mathcal{O})\,{\to}\, H^{0}(X\setminus K,\mathcal{O})$ является изоморфизмом. Доказательство. Рассмотрим следующую точную последовательность групп когомологий (см. [6]):
Очевидно, $H^{0}_{K}(X,\mathcal{O})=0$. Таким образом, гомоморфизм ограничения $R_{K}$ инъективен. Напомним, что если $S,T\subset X$ – компактные множества и $S\subset T$, тогда существует канонический гомоморфизм $\phi_{ST}\colon H^{1}_{S}(X,\mathcal{O})\to H^{1}_{T}(X,\mathcal{O})$. Более того, существует канонический изоморфизм (см. [6])
$$
\begin{equation*}
\varinjlim_{S} H^{1}_{S}(X,\mathcal{O})\cong H^{1}_{c}(X,\mathcal{O}),
\end{equation*}
\notag
$$
где индуктивный предел взят по семейству всех компактных подмножеств $S$ в $X$ (или по кофинальной части этого семейства).
Для $f\in H^{0}(X\setminus K,\mathcal{O})$ рассмотрим $ F_{K}(f)\in H^{1}_{K}(X,\mathcal{O})$. Так как $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})= 0$, существует компакт $K'\subset X$ такой, что $K\subset K'$ и $\phi_{KK'}(F_{K}(f))\,{=}\,0$. Следующая диаграмма является коммутативной: Откуда следует, что $F_{K'}(f|_{X\setminus K'})\,{=}\,0$. Таким образом, существует $g\,{\in} H^{0}(X,\mathcal{O})$ такое, что $g|_{X\setminus K'}=f|_{X\setminus K'}$. Напомним, что $X\setminus K$ является связным множеством. Используя теорему единственности, получаем $g|_{X\setminus K}\,{=}\,R_{K}(g)\,{=}\,f$. Лемма доказана. Далее, имеем следующую коммутативную диаграмму для четверки подмножеств $K\subset W\subset X\subset X'$: Из леммы 1 следует, что гомоморфизм ограничения $R_2$ является изоморфизмом. Так как $X\cap (X'\setminus K)=X\setminus K$, то $R_{1}$ является изоморфизмом. Так как $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то $H^{1}_{K}(X',\mathcal{O})=0$. Используя свойство вырезания (см. [6]), получаем, что $H_{1}$ и $H_{2}$ являются каноническими изоморфизмами. Поэтому $H^{1}_{K}(W,\mathcal{O})=0$, и гомоморфизм ограничения $R_{3}$ является изоморфизмом. Теперь предположим, что $X$ допускает феномен Гартогса. В частности, гомоморфизм ограничения $H^{0}(X,\mathcal{O})\to H^{0}(X\setminus V_{n},\mathcal{O})$ является изоморфизмом, где $\{V_{n}\}$ – компактное исчерпание $X$ со связным дополнением $X\setminus V_n$ для каждого $n$. Имеем следующую коммутативную диаграмму для тройки подмножеств $V_{n}\subset X\subset X'$: Так как $R_{2}$ является изоморфизмом, то $R_1$ также изоморфизм. Так как $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то $H^{1}_{V_{n}}(X,\mathcal{O})\cong H^{1}_{V_{n}}(X',\mathcal{O})=0$. По предположению $\{V_{n}\}$ – компактное исчерпание $X$. Следовательно, $H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\cong \varinjlim_{n} H^{1}_{V_n}(X,\mathcal{O})=0$. Теорема 4 доказана. Пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое комплексное аналитическое многообразие, $X'$ – соответствующая компактификация $X$, и пусть $Z:=X'\setminus X$. Получаем Следствие 3. Нормальное $(1,0)$-компактифицируемое комплексное аналитическое многообразие допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда где $i\colon Z\hookrightarrow X'$ – замкнутое вложение. Доказательство.
Во-первых, имеем следующую точную последовательность (см. [7; гл. II, § 10.3]):
Так как $H^{0}_{c}(X,\mathcal{O})=0$, $H^{0}(X',\mathcal{O})=\mathbb C$ и $H^{1}(X',\mathcal{O})=0$, то
$$
\begin{equation*}
H^{1}_{c}(X,\mathcal{O})\cong H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})/\mathbb C.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $U\subset X'$ – связная открытая окрестность $X$. Так как $U$ является также нормальным пространством, $Z$ – тонкое множество в $U$, то из критерия связности [14; утверждение 13.8] получаем, что $U\setminus Z$ является связным множеством. Таким образом, множество $V=X'\setminus U$ компактно в $X$ и дополнение $X\setminus V$ связно. Последовательность убывающих связных окрестностей $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ множества $Z$ со свойствами $\overline{U_{n+1}}\subset U_{n}$ и $\bigcap_{n}U_{n}=Z$ индуцирует последовательность компактных множеств $\{V_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ в $X$, которая является исчерпанием $X$, причем $X\setminus V_{n}$ связно. Существование упомянутой выше последовательности $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ следует из метризуемости $X'$. Действительно, пусть $\rho$ – метрика, согласованная с топологией $X'$. Определим открытые множества следующим образом:
$$
\begin{equation*}
U_{n}:=\biggl\{x\in X'\biggm| \inf_{z\in X'\setminus X}\rho(z,x)<\frac{1}{n}\biggr\}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последовательность $\{U_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет свойствам $\overline{U_{n+1}}{\kern1pt}{\subset}{\kern1pt} U_{n}$ и $\bigcap_{n}\!U_{n}{\kern1pt}{=}{\kern1pt}Z$. Следствие доказано. К примеру, пусть $X$ – нормальное некомпактное алгебраическое $G$-многообразие и $G$ – комплексная линейная алгебраическая группа, действующая алгебраически на $X$. Из результата Сумихиро [25; теорема 3] следует, что существует $G$-эквивариантная компактификация $X'$ многообразия $X$ (т.е. $X$ вкладывается как открытое подмножество в некоторое нормальное компактное алгебраическое многообразие $X'$ c заданным на нем алгебраическим действием группы $G$, которое продолжает алгебраическое действие группы $G$ на $X$). Предположим, помимо нормальности и алгебраичности, что $G$-многообразие $X$ является $(b, 0)$-компактифицируемым с $b \geqslant 1$. Если $b>1$, то аналитическое множество $Z=X'\setminus X$ несвязно. Однако существует $G$-инвариантное открытое по Зарисскому подмногообразие $X''\subset X'$ такое, что $X\subset X''$ и $X'\setminus X''$ связно (т.е. $X''$ является $(1,0)$-компактифицируемым). В этом случае, если $X''$ допускает феномен Гартогса, то $X$ тоже. § 3. Почти однородные $G$-многообразияПусть $X$ – комплексное аналитическое многообразие (т.е. приведенное, неприводимое комплексное аналитическое пространство) и $G$ – связная комплексная группа Ли, голоморфно действующая на $X$. В этом случае $X$ называется комплексным аналитическом $G$-многообразием. Определение 3. Комплексное аналитическое $G$-многообразие $X$ называется почти однородным, если $X$ содержит открытую $G$-орбиту $\Omega$. Заметим, что открытая $G$-орбита $\Omega$ в почти однородном комплексном аналитическом $G$-многообразии $X$ является единственной и связной, кроме того $E:=X\setminus \Omega$ является собственным аналитическим подмножеством (см. [1; § 1.7, предложение 4]). Основным объектом настоящей работы являются нормальные $(1,0)$-компактифицируемые почти однородные комплексные алгебраические $G$-многообразия (см. определение 2), где $G$ – редуктивная комплексная группа Ли. Напомним, что связная комплексная группа Ли $G$ называется редуктивной, если $G$ имеет компактную вещественную форму $K$ (т.е. $K$ является компактной вещественной подгруппой Ли группы $G$ и $\operatorname{Lie}(K)\otimes\mathbb C=\operatorname{Lie}(G)$). Данное определение тесно связано с соответствующим определением для связных линейных алгебраических групп. Напомним, что связная линейная алгебраическая группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Связная редуктивная линейная алгебраическая группа над полем $\mathbb C$ является редуктивной в смысле первого определения. Обратно, каждая связная редуктивная комплексная группа Ли $G$ допускает единственную структуру редуктивной линейной алгебраической группы. Таким образом, можно рассматривать подалгебру регулярных функций $\mathbb C[G]$ в алгебре голоморфных функций $H^{0}(G,\mathcal{O})$. Из следствия 3 видим, что необходимо изучить пространство $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$. В случае, когда $G$ является редуктивной группой Ли, применяется теорема Хариш-Чандры (см. § 4). Завершим этот параграф доказательством предложения о существовании системы окрестностей множества $Z:=X'\setminus X$ с некоторыми хорошими свойствами. Напомним, что $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})=\varinjlim_{U\supset Z}H^{0}(U,\mathcal{O})$, но индуктивный предел можно брать по кофинальной системе окрестностей множества $Z$. Пусть $X$ – произвольное комплексное аналитическое многообразие, $K$ – компактная группа Ли, действующая голоморфно на $X$, и $Z$ – связное компактное $K$-инвариантное аналитическое множество в $X$. Предложение 1. Существует такая кофинальная система окрестностей $\{U_{n}\}_{n=1}^\infty$ множества $Z$, что каждое $U_{n}$ является $K$-инвариантным открытым множеством. Доказательство. Заметим, что $X$ метризуемо. Пусть $\rho$ – метрика, согласованная с топологией $X$. Пусть $\mu$ – мера Хаара на компактной группе Ли $K$. Определим Очевидно, $\rho_K$ является метрикой. Так как $\mu$ лево-право-инвариантна, то
Пусть $U$ – относительно компактная окрестность множества $Z$. Так как $\rho(k.x,k.y)$ есть непрерывная функция на компакте $K\times\overline{U}\times\overline{U}$, то $\rho_{K}(x,y)$ непрерывна на $U\times U$ относительно изначальной топологии на $X$. Отметим, что функция расстояния $\operatorname{dist} (x, Z):=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,z)$ является непрерывной функций на $U$. Пусть $U_{n}:=\bigl\{x\in U\mid \operatorname{dist} (x, Z)<{1}/{n}\bigr\}$, $n\in \mathbb{N}$. Это открытая окрестность множества $Z$ относительно изначальной топологии на $X$. Далее, для всех $x\in U_{n}$ и для всех $k\in K$ имеем
$$
\begin{equation*}
\inf_{z\in Z}\rho_{K}(k.x,z)=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,k^{-1}.z)=\inf_{z\in Z}\rho_{K}(x,z)<\frac{1}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого следует, что $U_n$ является $K$-инвариантной окрестностью $Z$. Теперь пусть $V$ – произвольная окрестность $Z$. Так как существует $n$ такое, что ${1}/{n}<\inf_{z\in Z,\,x\in X\setminus V}\rho_{K}(x,z)$, то $U_{n}\subset V$. Предложение 1 доказано. Следовательно, $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})=\varinjlim_{U_n}H^{0}(U_n,\mathcal{O})$, где индуктивный предел взят по системе окрестностей $\{U_n\}_{n=1}^\infty$ множества $Z$, причем $U_{n}$ являются $K$-инвариантными. § 4. Теорема Хариш-Чандры и ее приложенияВначале напомним необходимые сведения из теории представлений компактных групп Ли (см. [1], [24]). Пусть $F$ – пространство Фреше над полем $\mathbb C$, пусть $K$ – компактная группа Ли и – непрерывное представление (т.е. $\rho$ – гомоморфизм из $K$ в группу обратимых непрерывных линейных операторов пространства $F$, причем отображение $K\,{\to}\, F$, $k\mapsto \rho(k)f$ непрерывно для каждого $f\in F$).Определим следующие $K$-инвариантные подпространства в $F$. Пусть $\widehat{K}$ – множество всех классов эквивалентности конечномерных неприводимых линейных представлений группы $K$. Каждому $\delta\in \widehat{K}$ соответствует непрерывный линейный оператор
$$
\begin{equation*}
E_{\delta}\colon F\to F, \qquad E_{\delta}(f):=\int_{K}\overline{\chi_{\delta}(k)}\rho(k)f\,d\mu(k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_{\delta}$ – характер представления из класса $\delta$. Имеют место следующие свойства операторов $E_{\delta}$ (см. [1; § 5.1, теорема 3]): 1) каждый $E_{\delta}$ является непрерывным проектором; 2) $E_{\delta}E_{\delta'}=0$, если $\delta\neq\delta'$; 3) $\rho(k)E_{\delta}=E_{\delta}\rho(k)$ для $k\in K$. Пусть $F_{\delta}:=E_{\delta}(F)$. Отметим, что для каждого $\delta\in\widehat{K}$ множество $F_{\delta}$ является замкнутым $K$-инвариантным подпространством $F$ и $F^{0}=\bigoplus_{\delta\in\widehat{K}}F_{\delta}$. Более того, $F_{\delta}$ является изотипной компонентой $F$ типа $\delta$ (т.е. $F_{\delta}$ состоит из таких векторов $F$, чья орбита содержится в конечномерном $K$-подмодуле изоморфном $mV_{\delta}$; см. [1; § 5.1, теорема 4]). Для каждого дифференцируемого вектора имеется представление в виде ряда; данный ряд сходится абсолютно относительно каждой непрерывной полунормы в $F$. Это так называемая теорема Хариш-Чандры, см. [1; § 5.1, теорема 5]. Теорема 5. Для каждого вектора $f\in F^{\infty}$ имеет место где сходимость является абсолютной относительно каждой непрерывной полунормы в $F$. Пусть $X$ – комплексное аналитическое $K$-многообразие и $K$ – связная компактная группа Ли, действующая голоморфно на $X$. Тогда имеем линейное представление $K$ в пространстве Фреше $F=H^{0}(X,\mathcal{O})$. В этом случае $F=F^{\infty}$, см. [1; § 5.2, предложение]. Пусть $G$ – связная редуктивная группа Ли с вещественной компактной формой $K$. Пусть $\Omega$ – комплексное алгебраическое однородное $G$-многообразие и $\mathbb C[\Omega]$ – алгебра регулярных функций на $\Omega$. Пусть $W\subset \Omega$ – $K$-инвариантная область. Предложение 2. Для каждого $f\in H^{0}(W,\mathcal{O})$ имеет место где сходимость является абсолютной относительно каждой непрерывной полунормы в $H^{0}(W,\mathcal{O})$, причем $E_{\delta}f\in \mathbb C[\Omega]$. Доказательство см. [1; § 5.3, теорема 2]. Другими словами, алгебра $\mathbb C[\Omega]$ всюду плотна в $H^{0}(W,\mathcal{O})$. Пусть $G$ и $K$, как выше, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное комплесное алгебраическое $G$-многообразие. Пусть $X'$ – соответствующая $G$-эквивариантная компактификация $X$ и $Z:=X'\setminus X$. Обозначим через $\mathcal{G}(X')$ множество $G$-стабильных простых дивизоров на $X'$, пусть
$$
\begin{equation*}
Y:=X'\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X'),\,D\subset X} D.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $Y$ является открытым по Зарисскому алгебраическим подмногообразием в $X'$, которое является нормальным почти однородным комплексным алгебраическим $G$-многообразием. Обозначим через $\mathbb C[Y]$ алгебру регулярных функций на $Y$. Отметим, что $\{D\in\mathcal{G}(X'),\,D\subset X\}$ может оказаться пустым множеством; в этом случае $Y=X'$ и $\mathbb C[Y]=\mathbb C$. Векторное пространство $H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ имеет естественную структуру топологического векторного пространства (а именно, на нем есть топология прямого предела). Доказательство. Из предложения 1 следует, что существует кофинальная система окрестностей $\{U_n\}$ множества $Z$, причем каждое $U_{n}$ является $K$-инвариантным.
Рассмотрим пространство Фреше $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$. Из теоремы 5 получаем, что каждый вектор $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ имеет представление в виде ряда где сходимость является равномерной на компактах в $U_n$. Из предложения 2 получаем, что $E_{\delta}f\in \mathbb C[\Omega]$.Так как $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ и $U_{n}$ пересекает каждый простой $G$-стабильный дивизор на $Y$, то рациональная функция $E_{\delta}(f)$ не имеет полюсов на каждом $G$-стабильном дивизоре многообразия $Y$. Поэтому $E_{\delta}(f)\in \mathbb C[Y]$. Более того, $\mathbb C[Y]$ является всюду плотным подпространством в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$. Очевидно, что канонический гомоморфизм $\mathbb C[Y]\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ инъективен. Теперь пусть $[f]\in H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$. Этот элемент представляется функцией $f\in H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$ для некоторого $n$. Так как $\mathbb C[Y]$ всюду плотно в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$, существует $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb C[Y]$ такая, что $\lim_{n\to\infty}f_{n}=f$ в $H^{0}(U_{n},\mathcal{O})$. Из непрерывности канонического отображения следует, что $\lim_{n\to\infty}[f_{n}]=[f]$. Таким образом, $\mathbb C[Y]\to H^{0}(Z,i^{-1}\mathcal{O})$ имеет всюду плотный образ. Лемма доказана.Используя следствие 3 и лемму 2, получаем следующее предложение. Предложение 3. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\mathbb C[Y]=\mathbb C$. § 5. Весовой критерий феномена ГартогсаПусть $X$, $X'$, $Y$ такие, как в § 4. Необходимо изучить алгебру $\mathbb C[Y]$. Так как $G$ действует алгебраически на $Y$, то $\mathbb C[Y]$ является представлением группы $G$. Напомним некоторые факты из теории представлений редуктивных групп Ли (см. [9], [17]). Пусть $G$ – связная редуктивная комплексная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа и $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор с решеткой характеров $\mathfrak X(T)$. Для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ имеется корневое разложение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R}\mathfrak{g}_{\alpha}
\end{equation*}
\notag
$$
относительно присоединенного представления, где $R\subset \mathcal{X}(T)$ – система корней группы $G$. Пусть $R_{+}\subset R$ – множество положительных корней. Это множество однозначно определяется следующим условием:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R_{+}}\mathfrak{g}_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $S$ множество простых корней, а через $S^{\vee}$ множество двойственных простых корней (это подмножество в решетке однопараметрических подгрупп $\mathfrak X^{*}(T)$). Обозначим через $C_{+}$ доминантную камеру Вейля. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
C_{+}:=\bigl\{t\in \mathfrak X(T)\otimes\mathbb{R}\mid \langle t,\alpha^{\vee}\rangle\geqslant 0\ \forall\, \alpha\in S\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим множество доминантных характеров $\mathfrak X_{+}(T)$ как $\mathfrak X(T)\cap C_{+}$. В дальнейшем потребуются следующие факты. 1. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством $\mathfrak X_{+}(T)$ доминантных характеров и множеством $\widehat{G}$ классов изоморфизма неприводимых представлений группы $G$. 2. Для каждого рационального представления $V$ редуктивной группы $G$ (т.е. каждый вектор $v\in V$ содержится в конечномерном $G$-стабильном подпространстве, на котором $G$ действует алгебраически) имеется каноническое разложение
$$
\begin{equation*}
V\cong\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak X_{+}(T)}V_{\lambda}^{(B)}\otimes V(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где $V_{\lambda}^{(B)}:=\bigl\{v\in V\mid b.v=\lambda(b)v\bigr\}$ – множество $B$-полуинвариантов веса $\lambda$. Так как $\mathbb C[Y]$ является рациональным представлением группы $G$ (см. [9; лемма 1.5]), то каноническое разложение для $\mathbb C[Y]$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathbb C[Y]\cong\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak X_{+}(T)}\mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\otimes V(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим весовой моноид многообразия $Y$ как
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{+}(Y):=\bigl\{\lambda\in \mathfrak X_{+}(T)\mid \mathbb C[Y]_{\lambda}^{(B)}\neq 0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем следующий весовой критерий для феномена Гартогса. Теорема 6. Пусть $G$ – связная комплексная редуктивная группа Ли, пусть $X$ – нормальное $(1,0)$-компактифицируемое почти однородное алгебраическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $\Lambda_{+}(Y)=0$, и $\mathbb C[Y]^{B}=\mathbb C$. § 6. Выпукло-геометрический критерий феномена Гартогса в сферических многообразияхВ этом параграфе напомним некоторые факты из теории сферических многообразий (см. [13], [28]). Пусть $G$ – комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор. Определение 5. Почти однородное комплексное алгебраическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$ называется сферическим, если $\Omega$ содержит открытую $B$-орбиту $O$. Отметим, что открытая $B$-орбита $O$ является аффинным многообразием (см. [28; теорема 3.5]). Кроме того, нормальное алгебраическое $G$-многообразие $X$ является сферическим тогда и только тогда, когда каждая $B$-инвариантная рациональная функция на $X$ является константой (т.е. $\mathbb{C}(X)^{B}=\mathbb{C}$) (см. [13; теорема 2.8]), и тогда и только тогда, когда $X$ содержит конечное число $B$-орбит (см. [13; теорема 2.11]). С открытой орбитой $\Omega$ связывается весовая решетка
$$
\begin{equation*}
M:=\bigl\{\lambda\in \mathfrak{X}(T)\mid \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и двойственная весовая решетка $N:=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$. Также пусть $M_{\mathbb{R}}:=M\otimes\mathbb{R}$ и $N_{\mathbb{R}}:=N\otimes\mathbb{R}$. Отметим, что $M$ является подрешеткой в решетке характеров $\mathfrak{X}(T)$ тора $T$. Напомним, что $B=TU$ (здесь $U$ – унипотентный радикал группы $B$), и так как $U$ не имеет нетривиальных характеров, то $\mathfrak X(B)=\mathfrak X(T)$. Определим
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}:=\bigl\{f\in \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\mid \exists\,\lambda\in\mathfrak X(T)\colon b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда получаем изоморфизм заданный правилом $\lambda\mapsto [f]$, где $[f]$ – класс эквивалентности любого элемента
$$
\begin{equation*}
f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}=\bigl\{f\in \mathbb{C}(\Omega)\mid b.f=\lambda(b)f\ \forall\, b\in B\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть множество $Y$ такое, как в § 4. Обозначим через $\mathcal{B}(Y)$ множество всех простых $B$-стабильных дивизоров на $Y$. Заметим, что $\mathcal{B}(Y)$ является объединением множества всех простых $G$-стабильных дивизоров на $Y$ и множества всех простых $B$-стабильных, но не $G$-стабильных дивизоров на $Y$. Каждый $B$-стабильный дивизор $D\in \mathcal{B}(Y)$ определяет дискретное нормирование
$$
\begin{equation*}
v_{D}\colon \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $v_{D}(f)$ – порядок нулей или полюсов рациональной функции $f$ на $D$. Кроме того, нормирование $v_{D}$ определяет точку в двойственной весовой решетке $a_{D}\in N=\operatorname{Hom}(M,\mathbb{Z})$ по формуле $\langle a_{D},\lambda\rangle:=v_{D}(f)$ для $f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$. Определим
$$
\begin{equation*}
L:=\bigl\{\lambda\in M_\mathbb{R}\mid \langle a_{D},\lambda\rangle \geqslant 0\ \forall\, D\in\mathcal{B}(Y)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и отождествим $L$ с образом относительно инъективного отображения
$$
\begin{equation*}
\iota\colon M_{\mathbb{R}}\hookrightarrow \mathfrak{X}(T)\otimes\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем следующее описание множества $B$-полуинвариантных векторов алгебры $\mathbb C[Y]$. Лемма 3. Множество $B$-полуинвариантных векторов алгебры $C[Y]$ имеет вид В частности, получаем описание весового моноида многообразия $Y$ Доказательство. Заметим, что
Если $\lambda\in L$, то для каждого $f\in \mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}$ получаем $\langle a_{D}, \lambda\rangle\geqslant 0$ для всех $D\in \mathcal{B}(Y)$. Это дает $\mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}=\mathbb{C}[O]^{(B)}_{\lambda}$. По определению $M$ имеем $\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}\neq 0$ для всех $\lambda\in M$. Так как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}=\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\lambda\in L$, то $\mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}\neq 0$.
Теперь пусть $\lambda\notin L$ и предположим, что существует функция $f\in \mathbb{C}[Y]^{(B)}_{\lambda}$ такая, что $f\neq 0$. Тогда существует $D\in\mathcal{B}(Y)$ такой, что $v_{D}(f)<0$. Получили противоречие; лемма доказана. Получаем Следствие 4. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $L=0$. Переформулируем данный критерий в терминах двойственной весовой решетки $N$. Определим конус $C$ в пространстве $N_{\mathbb{R}}$ как
$$
\begin{equation*}
C:=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем следующий критерий. Следствие 5. Пусть $X$ – $(1,0)$-компактифицируемое сферическое $G$-многообразие. Тогда $X$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда $C=N_{\mathbb{R}}$. Доказательство. Так как $C^{\vee}=L$, где $C^{\vee}$ – двойственный конус к конусу $C$, то $C=N_{\mathbb{R}}$ тогда и только тогда, когда $L=0$. Следствие доказано. Данный критерий можно переформулировать в терминах цветных вееров. Во-первых, напомним определение конуса нормирований (подробности см. [13; § 4, 10] или [28; гл. 4 и приложение B]). Пусть $v\colon\mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to \mathbb{Q}$ – дискретное $\mathbb{Q}$-значное нормирование. Нормирование $v$ называется $G$-инвариантным, если $v(g.f)=v(f)$ для всех $f\in\mathbb{C}(\Omega)$ и для всех $g\in G$. Множество $G$-инвариантных нормирований поля $\mathbb{C}(\Omega)$ обозначается через $\mathcal{V}(\Omega)$. Заметим, что $G$-инвариантное нормирование $v$ определяет точку $a_{v}\in N_{\mathbb{Q}}=N\otimes\mathbb{Q}$ по формуле для некоторого $f\in \mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{\lambda}$. Можно рассматривать $\mathcal{V}(\Omega)$ как подмножество в $N_{\mathbb{Q}}$, см. [13; следствие 4.9]. Оно является конечнопорожденным выпуклым рациональным конусом полной размерности (см. [13; следствие 10.6]) и называется конусом нормирований $\Omega$. Через $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ будем обозначать конус в $N_{\mathbb{R}}$, порожденный множеством $\mathcal{V}(\Omega)$.Пусть $\mathcal{B}(\Omega)$ – множество всех простых $B$-стабильных дивизоров $\Omega$. Для каждого $D\in\mathcal{B}(\Omega)$ обозначим через $\overline{D}$ замыкание $D$ в $Y$, где множество $Y$ такое, как в § 4. Так как $v_{D}=v_{\overline{D}}$ (после отождествления $\mathbb{C}(\Omega)=\mathbb{C}(Y)$), то можно отождествить множество $\mathcal{B}(\Omega)$ с подмножеством $\{\overline{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}$ в $\mathcal{B}(Y)$. Напомним определение цветного конуса и цветного веера. Определение 6. Цветной конус – это пара $(\sigma,\mathcal{F})$, где $\sigma\subset N_{\mathbb{R}}$ и $\mathcal{F}\subset \mathcal{B}(\Omega)$, удовлетворяющая следующим свойствам: $\bullet$ $\sigma$ является выпуклым конусом, порожденным множеством $\{a_{D}\mid D\in\mathcal{F}\}$ и конечным числом элементов из $\mathcal{V}(\Omega)$; $\bullet$ относительная внутренность $\sigma$ пересекает $\mathcal{V}(\Omega)$ нетривиально; $\bullet$ $\sigma$ не содержит прямых и $0\notin \{a_{D}\mid D\in\mathcal{F}\}$. Цветная грань цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$ – это пара $(\sigma',\mathcal{F}')$ такая, что $\sigma'$ есть грань $\sigma$, относительная внутренность $\sigma'$ пересекает $\mathcal{V}(\Omega)$ нетривиально и $\mathcal{F}'=\bigl\{D\in\mathcal{F}\mid a_{D}\in \sigma'\bigr\}$. Цветной веер – это конечное множество $\Sigma$ цветных конусов со следующими свойствами: – каждая цветная грань цветного конуса из $\Sigma$ лежит в $\Sigma$; – для каждого $v\in\mathcal{V}(\Omega)$ существует не более одного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$ такого, что $v$ лежит в относительной внутренности $\sigma$. Носитель цветного веера $\Sigma$ – это множество $|\Sigma|:=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in\Sigma}\sigma$. Пусть $X$ – сферическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$. Для каждой $G$-орбиты $Y\subset X$ рассмотрим $G$-стабильное подмножество $X_{Y}:=\{x\in X\mid \overline{G.x}\supset Y\}$ (оно является $G$-стабильным открытым подмногообразием в $X$, которое содержит единственную замкнутую $G$-орбиту $Y$). Пусть $D_{1},\dots, D_{m}$ – $G$-стабильные дивизоры на $X_Y$, а $\mathcal{F}$ – множество $B$-стабильных, но не $G$-стабильных дивизоров на $X$, содержащих замкнутую орбиту многообразия $X_{Y}$. Пусть $\sigma$ – конус в $N_{\mathbb R}$, порожденный точками $a_{v}$ для $v\in\mathcal{F}$ и точками $a_{D_i}\in N$ для $i\in\{1,\dots,m\}$. Получаем цветной конус $(\sigma,\mathcal{F})$. Более того, множество цветных конусов, построенных таким образом, образует цветной веер $\Sigma_{X}$. Имеем следующую теорему Луны–Вюста о классификации $\Omega$-вложений. Теорема 7. Отображение $X\to\Sigma_X$ является биекцией между множеством классов изоморфизмы сферических $G$-многообразий (с одной и той же открытой орбитой $\Omega$) и множеством цветных вееров. Многие свойства сферических многообразий могут быть сформулированы на языке цветных вееров. Сформулируем некоторые из них. Замечание 1. Пусть $X_{\Sigma}$ – сферическое многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и цветным веером $\Sigma$. 1. Многообразие $X_{\Sigma}$ компактно тогда и только тогда, когда веер $\Sigma$ полный (т.е. $|\Sigma|\supset\mathcal{V}_{\mathbb R}(\Omega)$). 2. Существует взаимно однозначное соответствие между $G$-орбитами в $X_{\Sigma}$ и цветными конусами в $\Sigma$. 3. Если $W_1$, $W_2$ – $G$-орбиты с соответствующими конусами $(\sigma_1, \mathcal{F}_1)$, $(\sigma_2, \mathcal{F}_2)$, то $W_1 \subset \overline{W_2}$ тогда и только тогда, когда $(\sigma_2,\mathcal{F}_2)$ является цветной гранью цветного конуса $(\sigma_1,\mathcal{F}_1)$. Докажем следующую лемму. Лемма 4. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое многообразие с цветным веером $\Sigma$. Тогда $X_{\Sigma}$ является $(1,0)$-компактифицируемым тогда и только тогда, когда открытое множество $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно. Доказательство. Пусть $X_{\Sigma'}$ – соответствующая компактификация $X_{\Sigma}$. В этом случае $\Sigma\subset \Sigma'$.
Во-первых, из результата Бриона [8; следствие 1] и принципа GAGA имеем $H^{1}(X_{\Sigma'},\mathcal{O})=0$ для компактного сферического многообразия $X_{\Sigma'}$. Поэтому необходимо доказать, что $Z:=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ связно тогда и только тогда, когда $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно. Через $O(\sigma,\mathcal{F})$ обозначим $G$-орбиту, соответствующую цветному конусу $(\sigma,\mathcal{F})$. Так как $Z=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ является $G$-стабильным, то оно является объединением $G$-орбит. А именно,
$$
\begin{equation*}
Z=\bigcup_{(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma'\setminus\Sigma}O(\sigma,\mathcal{F}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $Z$ связно тогда и только тогда, когда для любых двух $G$-орбит $V=O(\sigma,\mathcal{F})$, $V'=O(\sigma',\mathcal{F}')$ таких, что $(\sigma,\mathcal{F}),(\sigma',\mathcal{F}')\in\Sigma'\setminus\Sigma$, существует последовательность $G$-орбит $\{V_{i}=O(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\}_{i=0}^{n}$ со следующими свойствами: 1) $V_0=V$, $V_{n}=V'$; 2) $(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\in\Sigma'\setminus\Sigma$; 3) $\overline{V_{i}}\cap\overline{V_{i+1}}\neq\varnothing$. Но это эквивалентно тому, что для любых двух цветных конусов
$$
\begin{equation*}
(\sigma,\mathcal{F}),(\sigma',\mathcal{F}') \in \Sigma'\setminus\Sigma
\end{equation*}
\notag
$$
существует последовательность цветных конусов $\{C_{i}=(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\}_{i=0}^{n}$ со следующими свойствами:
1) $C_0=(\sigma,\mathcal{F})$, $C_n=(\sigma',\mathcal{F}')$; 2) $C_i=(\sigma_i,\mathcal{F}_i)\in\Sigma'\setminus\Sigma$; 3) для конусов $\sigma_{i}$ и $\sigma_{i+1}$ существует цветной конус $(\sigma_{i,i+1},\mathcal{F}_{i,i+1})\in\Sigma'\setminus\Sigma$ такой, что $\sigma_{i}$ и $\sigma_{i+1}$ являются его гранями. Что в свою очередь эквивалентно тому, что множество $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ связно. Лемма доказана. Напомним,
$$
\begin{equation*}
Y=X_{\Sigma'}\setminus \bigcup_{D\in\mathcal{G}(X_{\Sigma'}),\,D\subset X_{\Sigma}} D,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{G}(X_{\Sigma'})$ – множество всех простых $G$-стабильных дивизоров на $X_{\Sigma'}$. Пусть $\mathcal{OG}_{k}(X_{\Sigma'})$ – множество всех $G$-орбит в $X_{\Sigma'}$ коразмерности $k$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OG}(X_{\Sigma'}):=\bigcup_{k=1}^{\dim X_{\Sigma'}}\mathcal{OG}_{k}(X_{\Sigma'}).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим сферическое многообразие
$$
\begin{equation*}
\widehat{Y}:=X_{\Sigma'}\setminus\bigcup_{O\in\mathcal{OG}(X_{\Sigma'}),\,\overline{O}\subset X_{\Sigma}}O,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{O}$ – замыкание $O$ в $X_{\Sigma'}$. Так как $\mathcal{G}(X_{\Sigma'})=\bigl\{\overline{O}\mid O\in \mathcal{OG}_{1}(X_{\Sigma'})\bigr\}$, то $\widehat{Y}\subset Y$ и $\operatorname{codim}(Y\setminus\widehat{Y})>1$. Поэтому $\mathbb{C}[Y]=\mathbb{C}[\widehat{Y}]$, $\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(\widehat{Y})$. Цветной веер $\Sigma_{\widehat{Y}}$ многообразия $\widehat{Y}$ получается следующим образом. Доказательство. Рассмотрим цветной конус $(\tau,\mathcal{F}')\in\Sigma'$, и пусть $O=O(\tau,\mathcal{F}')$ – соответствующая $G$-орбита. Напомним, что множество $Z=X_{\Sigma'}\setminus X_{\Sigma}$ является объединением $G$-орбит, а именно:
Получаем следующие очевидные утверждения: $(\tau,\mathcal{F}')\in \Sigma_{\widehat{Y}}$ тогда и только тогда, когда $\overline{O}\cap Z\neq\varnothing $ тогда и только тогда, когда существует цветной конус $(\sigma,\mathcal{F})\in\Sigma'\setminus\Sigma$ такой, что $(\tau,\mathcal{F}')$ является цветной гранью цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})$. Лемма доказана. Лемма 6. Справедливо равенство $|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega) =\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}.$ Доказательство. По лемме 5 получаем, что
Точка $p\in\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ принадлежит множеству $\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\{p_n\}_{n=1}^\infty$ точек $p_n\in \mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ таких, что $p_{n}\to p$ как только $n\to\infty$. Можно считать, что все $p_n$ лежат в $\sigma\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ для некоторого цветного конуса $(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma'\setminus\Sigma$. Получаем, что $p_{n}\in |\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$. Так как $|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$ замкнуто, то $p\in |\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)$. Лемма доказана. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
C=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle\subset N_{\mathbb R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем следующую лемму. Лемма 7. Справедливо равенство $C=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle. $ Доказательство. Заметим, что $\mathcal{B}(\widehat{Y})$ является объединением множества $\mathcal{G}(\widehat{Y})$ простых $G$-стабильных дивизоров на $\widehat{Y}$ и множества $\{\overline{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}$, где $\overline{D}$ – замыкание в $\widehat{Y}$ простого $B$-стабильного дивизора $D\subset \Omega$.
Через $\mathcal{F}(\widehat{Y})$ обозначим объединение всех подмножеств $\mathcal{F}\subset\mathcal{B}(\Omega)$ таких, что $(\sigma,\mathcal{F})\in \Sigma_{\widehat{Y}}$. Следовательно, получаем следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(Y)\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\widehat{Y})\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle \bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\}\cup\bigl\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\bigr\}\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, существует разложение
$$
\begin{equation*}
|\Sigma_{\widehat{Y}}|=(|\Sigma_{\widehat{Y}}|\cap\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega))\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)} =\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как множество порождающих всех цветных конусов веера $\Sigma_{\widehat{Y}}$ есть множество
$$
\begin{equation*}
\bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
то справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle|\Sigma_{\widehat{Y}}|\bigr\rangle=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}\bigr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Если луч $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle a_{D}\rangle$ пересекается с $N_{\mathbb{R}}\setminus\mathcal{V}(\Omega)$, то $D$ не является $G$-стабильным и поэтому $D\in\mathcal{F}(\widehat{Y})\subset\mathcal{B}(\Omega)$. Получаем следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle \bigl\{a_{D}\mid D\in \mathcal{G}(\widehat{Y})\cup\mathcal{F}(\widehat{Y})\bigr\}\cup\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \overline{|\Sigma_{\widehat{Y}}|\setminus\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)}\cup\{a_{D}\mid D\in\mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle \\ &=\mathbb{R}_{\geqslant 0}\bigl\langle\overline{\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|}\cup \{a_{D}\mid D\in \mathcal{B}(\Omega)\}\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Наконец, получаем следующий выпукло-геометрический критерий. Теорема 8. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное сферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $\mathcal{V}_{\mathbb{R}}(\Omega)\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда Замечание 2. Пусть $\Omega$ – некомпактное сферическое однородное $G$-многообразие. Цветным веером $\Omega$ является $\Sigma=\{(0,\varnothing)\}$. Формула 6.1. Случай орисферических многообразийВо-первых, напомним некоторые понятия и обозначения. Пусть $G$ – комплексная редуктивная группа Ли, $B\subset G$ – борелевская подгруппа, $T\subset B$ – максимальный алгебраический тор, $U$ – унипотентный радикал группы $B$ (т.е. максимальная унипотентная подгруппа в $G$). Пусть $W$ – группа Вейля группы $G$ относительно $T$, $R$ – система корней $(G,T)$, $S$ – множество простых корней относительно $B$. Группа $W$ содержит отражения $r_{\alpha}$ ($\alpha\in R$), действующие на $\mathfrak{X}(T)$ по правилу $r_{\alpha}(\lambda)=\lambda-\langle \lambda, \alpha^{\vee}\rangle\alpha$, и порождается отражениями, соответствующими простым корням. Отметим, что параболические подгруппы, содержащие данную борелевскую подгруппу $B$, параметризуются подмножествами простых корней $I\subset S$. Алгебра Ли соответствующей параболической подгруппы $P=P_{I}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Lie}(P)=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in R_{+}\cup R_I}\mathfrak{g}_{\alpha},
\end{equation*}
\notag
$$
где $R_I\subset R$ – подсистема корней, порожденная множеством $I$. Существует однозначно определенное разложение Леви $P=P_{u}\leftthreetimes L$, где $P_{u}$ – унипотентный радикал $P$, а $L=L_{I}\subset P_{I}$ – однозначно определенная подгруппа Леви, содержащая максимальный тор $T\subset B$. Система корней $(L_{I},T)$ есть $R_{I}$. Противоположная параболическая подгруппа $P^{-}=P^{-}_{I}\supset B^{-}$, соответствующая $I$, пересекает $P_{I}$ по подгруппе $L_I$ и имеет разложение Леви $P^{-}=P^{-}_{u}\leftthreetimes L$, где $P_{u}^{-}$ – унипотентный радикал группы $P^{-}$. Напомним определение орисферического многообразия. Определение 7. Однородное $G$-многообразие $\Omega$ называется орисферическим, если стабилизатор некоторой точки в $\Omega$ содержит максимальную унипотентную подгруппу группы $G$. Нормальное почти однородное комплексное алгебраическое $G$-многообразие с открытой орбитой $\Omega$ называется орисферическим, если $\Omega$ является орисферическим. Заметим, что орисферическое многообразие является сферическим в смысле определения 5. Пусть $H$ – стабилизатор некоторой точки $o\in \Omega$; тогда $G/H\,{\cong}\,\Omega$, $g\mapsto g.o$. Можно считать, что $H\supset U^{-}$. Из [28; лемма 7.4] имеем, что $H=P^{-}_{u}\leftthreetimes L_{0}$ для некоторой параболической подгруппы $P\supset B$ (а именно, $P$ такая, что $P^{-}=N_{G}(H)$) с подгруппой Леви $L\supset L_{0}\supset L'$ (где $L'$ – коммутаторная подгруппа группы $L$) и унипотентным радикалом $P_u$ группы $P$. Можно также считать, что $L\supset T$. Инъективное отображение $\iota\colon M_\mathbb R\hookrightarrow \mathfrak X(T)\otimes\mathbb R$ индуцирует сюръективное отображение
$$
\begin{equation*}
\iota^{*}\colon \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb R\twoheadrightarrow N_{\mathbb R}:=N\otimes\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним некоторые факты об орисферических однородных $G$-многообразиях (см. [28; § 28.1]). Замечание 3. Справедливы следующие утверждения: $\bullet$ $M\cong\mathfrak X(A)$, где $A\cong P^{-}/H\cong L/L_0\cong T/(T\cap L_0)$; $\bullet$ $\mathcal{V}(\Omega)=N_{\mathbb{Q}}$; $\bullet$ $B$-стабильные дивизоры на $\Omega$ имеются вид $D_{\alpha}=\overline{Br_{\alpha}o}$, $\alpha\in S\setminus I$, где $I\subset S$ – множество простых корней группы $L$. Кроме того, $\iota^{*}(\alpha^{\vee})=a_{D_{\alpha}}$. Таким образом, получаем следующий выпукло-геометрический критерий для орисферических многообразий. Следствие 6. Пусть $X_{\Sigma}$ – некомпактное орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega$ и с цветным веером $\Sigma$ таким, что $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma|$ является связным множеством. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда где $(S\setminus I)^{\vee}=\{\alpha^{\vee}\mid\alpha\in S\setminus I\}$. Замечание 4. Используя следствие 6 или замечание 2 получаем, что каждое орисферическое однородное $G$-многообразие $\Omega$ ранга больше $1$ допускает феномен Гартогса. Для орисферических однородных $G$-многообразий $\Omega$ ранга $1$ имеем два случая. Если $\iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\neq\{0\}$, то всегда существует сферическое вложение $X\supset\Omega$, причем $N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma_{X}|$ связно и $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\langle\overline{N_{\mathbb{R}}\setminus |\Sigma_{X}|}\cup \iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})\rangle=N_\mathbb{R}$. В этом случае, так как $X$ допускает феномен Гартогса, то $\Omega$ тоже допускает феномен Гартогса. Если $\iota^{*}((S\setminus I)^{\vee})=\{0\}$, то $\Omega=\mathbb{C}^{*}\times\Omega_0$, где $\Omega_{0}$ является компактным сферическим однородным $G$-многообразием (а именно, $\Omega_0\cong G/P^{-}$). В этом случае $\Omega$ не допускает феномен Гартогса. Замечание 5. Из замечаний 2 и 4 получаем, что каждое некомпактное сферическое однородное $G$-многообразие допускает феномен Гартогса, за исключением $\mathbb{C}^{*}\times G/P^{-}$. Для $\Omega=G/U^{-}$ имеем $I=\varnothing$ и $N=\mathfrak{X}^{*}(T)$. Получаем Следствие 7. Пусть $X_{\Sigma}$ – орисферическое $G$-многообразие с открытой $G$-орбитой $\Omega=G/U^{-}$ и цветным веером $\Sigma$, причем $(\mathfrak{X}^{*}(T)\otimes\mathbb{R})\setminus |\Sigma|$ связно. Тогда $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда § 7. ПримерыВ этом параграфе рассматриваются примеры орисферических многообразий с открытой орбитой $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*})/U^{-}$, где $U^{-}$ – максимальная унипотентная подгруппа в $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$, состоящая из нижнетреугольных матриц с единицами на диагонали. 7.1. Некоторые вычисления для $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*})/U^{-}$Рассмотрим
$$
\begin{equation*}
G=\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix} \Biggm| a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть
$$
\begin{equation*}
B=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix} \Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующие подгруппы в $G$: $\bullet$ максимальный тор
$$
\begin{equation*}
T=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ противоположная борелевская подгруппа
$$
\begin{equation*}
B^{-}=\left\{\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\Biggm| a_{11}a_{22}=1 ,\,a_{33}\in\mathbb{C}^{*}\right\};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ максимальная унипотентная подгруппа
$$
\begin{equation*}
U=\left\{\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\right\};
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ противоположная максимальная унипотентная подгруппа
$$
\begin{equation*}
U^{-}=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{21} & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathfrak X(T)=\mathbb{Z}^{2}$. Обозначая $t=\begin{pmatrix} t_{1} & 0 & 0\\ 0 & t_{2} & 0\\ 0& 0 & t_{3} \end{pmatrix}$, получаем, что каждый характер $\lambda\in\mathfrak X(T)$ задается по правилу $\lambda(t)=t_{1}^{l}t_{3}^{m}$ для некоторого $(l,m)\,{\in}\, \mathbb{Z}^{2}$. Для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ имеем корневое разложение
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}\oplus\mathfrak{g}_{\alpha_{21}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bullet$ $\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\mathbb{C}E_{12}$, $E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $\alpha_{12}\in\mathfrak X(T)$ задается по формуле
$$
\begin{equation*}
\alpha_{12}(t)=t_{1}^{2}, \text{ т.е. } \alpha_{12}=(2,0);
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ $\mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\mathbb{C}E_{21}$, $E_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $\alpha_{21}\in\mathfrak X(T)$ задается по формуле
$$
\begin{equation*}
\alpha_{12}(t)=t_{1}^{-2}, \text{ т.е. } \alpha_{21}=(-2,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Система корней $G$ есть $R=\{\alpha_{12},\alpha_{21}\}$. Так как $\operatorname{Lie}(B)=\mathfrak{t}\oplus \mathbb{C}E_{12}$, то подмножество простых корней относительно $B$ есть $S=\{\alpha_{12}\}$. Группой Вейля группы $G$ относительно $T$ является $W=N_{G}(T)/T=\{e, r_{12}\}$, где $r_{12}$ – отражение, представляющееся матрицей $U=E_{12}-E_{21}+E_{33}\in N_{G}(T)$. Теперь рассмотрим однородное $G$-многообразие $G/U^{-}$. Имеем изоморфизм $\phi\colon G/U^{-}\cong \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}$, индуцированный отображением
$$
\begin{equation*}
G\to \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}, \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0& 0 & a_{33} \end{pmatrix}\mapsto (a_{12},a_{22},a_{33}).
\end{equation*}
\notag
$$
Изоморфизм $\phi$ является $G$-эквивариантным относительно действия $G$ на $G/U^{-}$ левыми умножениями и стандартного действия $G$ на $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}$. При помощи изоморфизма $\phi$ $B$-орбиты многообразия $G/U^{-}$ описываются следующим образом: – единственный $B$-стабильный дивизор
$$
\begin{equation*}
D_{12}=\{(x_{1},x_{2},w)\in \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*})\mid x_{2}=0\};
\end{equation*}
\notag
$$
– открытая $B$-орбита
$$
\begin{equation*}
O=\{(x_{1},x_{2},w)\in \mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}\mid x_{2}\neq0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим весовую решетку. Алгебра регулярных функций на $\Omega$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}[\Omega]=\mathbb{C}[\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\} \times\mathbb{C}^{*}]=\bigoplus_{(i,j,k)\in(\mathbb{Z}_{\geqslant0})^{2} \times\mathbb{Z}}\mathbb{C}x_{1}^{i}x_{2}^{j}w^{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда следует, что $x_{2}^{l}w^{-m}\in\mathbb{C}(\Omega)^{(B)}_{(l,m)}$, где $\lambda=(l,m)\in \mathfrak X(T)=\mathbb{Z}^{2}$. Значит, $M=\mathfrak X(T)$ (заметим, что этот факт также следует из замечания 3; в этом случае $P=B$, $H=U^{-}$ и $A\cong T$). Заметим, что $B$-стабильный дивизор $D_{12}$ определяет дискретное нормирование
$$
\begin{equation*}
v_{12}\colon \mathbb{C}(\Omega)\setminus\{0\}\to\mathbb{Z}
\end{equation*}
\notag
$$
и точку $a_{D_{12}}\in N$ по формуле $\langle a_{D_{12}},(l,m)\rangle:=v_{D_{12}}(x_{2}^{l}w^{-m})=l$. Это означает, что $a_{D_{12}}=(1,0)$. Пусть $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – стандартное скалярное произведение в $\mathfrak X(T)\otimes\mathbb{R}$. Двойственный простой корень $\alpha_{12}^{\vee}\in \mathfrak X^{*}(T)\otimes\mathbb{R}$ определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\langle\alpha_{12}^{\vee},\lambda\rangle=\frac{2(\alpha_{12},\lambda)}{(\alpha_{12},\alpha_{12})}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\lambda\in\mathfrak X(T)$. Отсюда следует, что $\alpha_{12}^{\vee}=(1,0)$. Таким образом, $\alpha_{12}^{\vee}=a_{D_{12}}$ (на самом деле, это также следует из замечания 3). 7.2. $(\mathrm{SL}(2)\times \mathbb C^{*})/U^{-}$-вложенияИз следствия 7 получаем следующий критерий. Следствие 8. Пусть $X_{\Sigma}$ – орисферическое многообразие с открытой орбитой $(\mathrm{SL}(2)\times\mathbb C^{*})/U^{-}$ и цветным веером $\Sigma$, причем $\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|$ связно. Тогда многообразие $X_{\Sigma}$ допускает феномен Гартогса тогда и только тогда, когда Теперь построим примеры орисферических многообразий и соответствующие цветные вееры. Замечание 6. Стандартное действие $G=\mathrm{SL}(2)$ на $\mathbb{C}^{2}$ индуцирует действие $\mathrm{SL}(2)$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^{2}=\mathbb{P}(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^{2})$, которое задается по формуле Через $B$ обозначим подгруппу в $G$, состоящую из верхнетреугольных матриц. Заметим, что $G$-орбиты этого действия устроены следующим образом: $\bullet$ $G$-орбита $H_{\infty}=\{[z_{0}:z_{1}:z_2]\in\mathbb{P}^{2}\mid z_{0}=0\}$. Это единственный $G$-стабильный дивизор; $\bullet$ $G$-орбита $H_{0}=\{[1:0:0]\}$; $\bullet$ открытая $G$-орбита $\mathbb{P}^{2}\setminus(H_{\infty}\cup H_{0})\cong\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}$. Также имеем $B$-стабильный, но не $G$-стабильный дивизор
$$
\begin{equation*}
H_{12}=\bigl\{[z_{0}:z_{1}:z_2]\in\mathbb{P}^{2}\mid z_{2}=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что открытая $B$-орбита есть $\mathbb{P}^{2}\setminus(H_{\infty}\cup H_{0}\cup H_{12})\cong\mathbb{C}^{2}\setminus\{x_{2}=0\}$ (где $x_{2}=z_2/z_0$). Замечание 7. Рассмотрим торическое действие тора $\mathbb{C}^{*}$ на $\mathbb{P}^{1}$, которое задается по формуле В этом случае, имеем следующие $\mathbb{C}^{*}$-орбиты: $\bullet$ открытой $\mathbb{C}^{*}$-орбитой является $\mathbb{P}^{1}\setminus\{[1:0],[0:1]\}\cong\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus\{w=0\}$ (где $w=w_1/w_0$); $\bullet$ $\mathbb{C}^{*}$-дивизоры суть $[1:0]$, $[0:1]$. Теперь рассмотрим компактное многообразие $X'=\mathbb{P}^{2}\times\mathbb{P}^{1}$, на котором действует $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}.\bigl([z_{0}:z_{1}:z_{2}],[w_{0}:w_{1}]\bigr) \\ &\qquad =\bigl([z_{0}:(a_{11}z_{1}+a_{12}z_{2}):(a_{21}z_{1}+a_{22}z_{2})],[w_{0}:a_{33}w_{1}]\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае открытой $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-орбитой является $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times\mathbb{C}^{*}\cong \mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}/U^{-}$, а открытой $B$-орбитой является $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(x_{2}=0)\}\times\mathbb{C}^{*}$. Имеем следующие малые $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-орбиты: $\bullet$ 0-мерные $H_{0}\times[1:0]$, $H_{0}\times[0:1]$; $\bullet$ 1-мерные $H_{\infty}\times [1:0]$, $H_{\infty}\times [0:1]$, $H_{0}\times\mathbb{C}^{*}$; $\bullet$ 2-мерные $H_{\infty}\times\mathbb{C}^{*}$, $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times[1:0]$, $\mathbb{C}^{2}\setminus\{(0,0)\}\times[0:1]$. Кроме того, имеем следующие $B$-стабильные дивизоры: $\bullet$ $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильные дивизоры $D_{\infty}:=H_{\infty}\times\mathbb{P}^{1}$, $D_{10}:=\mathbb{P}^{2}\times[1:0]$, $D_{01}:=\mathbb{P}^{2}\times[0:1]$; $\bullet$ не $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильный дивизор $D_{12}:=H_{12}\times\mathbb{P}^{1}$. Вычислим точки $a_{D_\infty}$, $a_{D_{10}}$, $a_{D_{01}}$, $a_{D_{12}}$ в $N=\mathbb{Z}^{2}$, соответствующие $B$-стабильным дивизорам $D_{\infty}$, $D_{10}$, $D_{01}$, $D_{12}$. Рассмотрим характер $\lambda=(l,m)\in M=\mathbb{Z}^{2}$. Получаем следующее: $\bullet$ $\langle a_{D_\infty},(l,m)\rangle=v_{D_{\infty}}(x_{2}^{l}w^{-m}) =v_{D_{\infty}}(({z_2}/{z_0})^{l}w^{-m})=-l$, поэтому $a_{D_\infty}=(-1,0)$; $\bullet$ $\langle a_{D_{10}},(l,m)\rangle=v_{D_{10}}(x_{2}^{l}w^{-m})=v_{D_{10}}(x_2^{l}({w_1}/{w_0})^{-m})=m$, поэтому $a_{D_{10}}=(0,1)$; $\bullet$ $\langle a_{D_{01}},(l,m)\rangle=v_{D_{01}}(x_2^{l}({w_1}/{w_0})^{-m})=-m$, поэтому $a_{D_{10}}=(0,-1)$; $\bullet$ $\langle a_{D_{12}},(l,m)\rangle=v_{D_{12}}(x_{2}^{l}w^{-m})=v_{D_{12}}(({z_2}/{z_0})^{l}w^{-m})=l$, поэтому $a_{D_{12}}=(1,0)=\alpha_{12}^{\vee}$. Таким образом, получаем цветной веер $\Sigma'$ многообразия $X'$, состоящий из следующих цветных конусов (рис. 1): $\bullet$ 0-мерный конус $((0,0),\varnothing)$; $\bullet$ 1-мерные конусы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (0,-1)\rangle, \varnothing), \\ (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (0,1)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0)\rangle, D_{12}); \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\bullet$ 2-мерные конусы имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0),(0,1)\rangle, \varnothing),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (-1,0),(0,-1)\rangle, \varnothing), \\ (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0), (0,1)\rangle, D_{12}),\qquad (\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle (1,0), (0,-1)\rangle, D_{12}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим выпукло-геометрический критерий (см. следствие 8) к некомпактным орисферическим многообразиям $X$, полученным из $X'$ удалением некоторых $\mathrm{SL}(2)\times\mathbb{C}^{*}$-стабильных дивизоров. $\bullet$ Для $X:= X'\setminus D_{\infty}\cong \mathbb{C}^{2}\times\mathbb{P}^{1}$ получаем цветной веер $\Sigma$, как на рис. 2. Так как $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle\overline{\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|}\cup\{\alpha_{12}^{\vee}\}\rangle=\mathbb{R}^{2}$, то $X$ допускает феномен Гартогса. $\bullet$ Для $X:= X'\setminus D_{10}\cong \mathbb{P}^{2}\times\mathbb{C}^{1}$ получаем цветной веер $\Sigma$, как на рис. 3. Так как $\mathbb{R}_{\geqslant0}\langle\overline{\mathbb{R}^{2}\setminus |\Sigma|}\cup\{\alpha_{12}^{\vee}\}\rangle\neq\mathbb{R}^{2}$, то $X$ не допускает феномен Гартогса. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fek22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|