| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О метрических свойствах П. В. Парамоновabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Санкт-Петербургский государственный университет c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9676 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеС историей вопроса можно ознакомиться в работах [1]–[3]. Пусть
$$
\begin{equation*}
L_N(\mathbf x)=\sum_{i, j=1}^N c_{i j} x_{i} x_{j}, \qquad \mathbf x=(x_1, \dots, x_N) \in \mathbb R^N,
\end{equation*}
\notag
$$
– произвольный однородный полином второго порядка в $\mathbb R^N$ ($N \in \{2, 3, \dots\}$ фиксируется) с постоянными комплексными коэффициентами $c_{i j}=c_{ji}$, удовлетворяющий условию эллиптичности $L_N(\mathbf x)\neq 0$ при всех $\mathbf x \neq 0$. Полиному $L_N(\mathbf x)$ соответствует эллиптический дифференциальный оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_N=\sum_{i, j=1}^N c_{i j}\,\frac{\partial^2}{\partial x_{i}\, \partial x_{j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример: полиному $L_N(\mathbf x)=\sum_{n=1}^N x_n^2$ соответствует лапласиан $\Delta_N$ в $\mathbb R^N$. Пусть $E$ – непустое подмножество в $\mathbb R^N$. Напомним обозначения: $\|f\|_E$ – равномерная ($\sup$-) норма ограниченной (комплекснозначной) функции $f$ на $E$; $\omega_E(f, r)$ – модуль непрерывности ограниченной функции $f$ на $E$ (при $E=\mathbb R^N$ пишем $\|f\|$ и $\omega (f, r)$ соответственно); $\mathrm{BC}(E)$ (соответственно $C(E)$) – пространство всех непрерывных и ограниченных (соответственно непрерывных) функций на $E$ с нормой $\|\cdot\|_E$ (топология в $C(E)$ для некомпактных $E$ использоваться не будет). Для открытого множества $U \neq \varnothing$ через $C_0(U)$ (соответственно $C^{\infty}_0(U)$) обозначается подпространство в $\mathrm{BC}(U)$ (соответственно в $C^{\infty}(U)$) функций с компактными носителями в $U$. Для открытого множества $U \neq \varnothing$ в $\mathbb R^N$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_{\mathcal L_N}(U)=\bigl\{ f \in C^2(U)\mid \mathcal L_N f (\mathbf x)=0\ \forall\, \mathbf x \in U\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции этого класса назовем $\mathcal L_N$-аналитическими в $U$. Хорошо известно, что $\mathcal A_{\mathcal L_N}(U)\subset C^{\infty}(U)$ (см., например, [4; теорема 4.4.1]). Обозначим через $\Phi_{\mathcal L_N} (\mathbf x)$ стандартное (при $N\geqslant 3$ однородное порядка $2- N$) фундаментальное решение для уравнения $\mathcal L_N u=0$ в $\mathbb R^N$ (при $N\geqslant 3$ оно определяется однозначно, см., например, [4; теорема 7.1.20] или [5; с. 161]). При $N \geqslant 3$ назовем $C\mathcal L_N$-емкостью непустого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^N$ (в классе непрерывных функций) значение
$$
\begin{equation}
\kappa_{\mathcal L_N} (E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E,\, \Phi_N * T \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3),\, \|\Phi_N * T\| \leqslant 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где этот $\sup$ берется по всем указанным распределениям $T$, $*$ – оператор свертки, $\langle T,\varphi \rangle$ – действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^{\infty}(\mathbb R^N)$, $\operatorname{Spt} (T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$. При $E=\varnothing$ полагаем $\kappa_{\mathcal L_N}(E)=0$. В терминах указанных емкостей в работе [3] получены критерии равномерной приближаемости функций решениями уравнений $\mathcal L_N u=0$ на компактах в $\mathbb R^N$ ($N \geqslant 3$). Свойствам этих емкостей посвящен § 3 работы [6]. В размерности $N=2$ возникает своя специфика. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal L_2=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation*}
\notag
$$
– эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, и пусть $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – корни соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$. Свойство эллиптичности оператора $\mathcal L_2$ эквивалентно условиям $\lambda_1, \lambda_2 \notin \mathbb R$. Говорят, что оператор $\mathcal L_2$ является сильно эллиптическим, если мнимые части корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ имеют разные знаки. В работе [7] установлена следующая теорема. Пусть эллиптический оператор $\mathcal L_2$ в $\mathbb R^2$ не является сильно эллиптическим, $X$ – произвольный (непустой) компакт в $\mathbb R^2$, $f \in C(X)$. Тогда $f$ равномерно на $X$ с любой точностью приближается функциями, $\mathcal L_2$-аналитическими в (каждая в своей) окрестности компакта $X$, если и только если $f$ является $\mathcal L_2$-аналитической на его внутренности $X^{\circ}$. Для всякого сильно эллиптического оператора $\mathcal L_2$ эта теорема уже неверна. В работе [8] соответствующие критерии приближаемости даны в терминах $C\mathcal L_2$-емкостей, однако сами эти емкости остались неизученными, за исключением гармонического случая $\mathcal L_2=\Delta_2$ (см. [2]). Нашей целью является обобщение основных результатов из [2] на все сильно эллиптические операторы $\mathcal L_2$. Всюду далее $\mathbf x=(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3$, $\mathbf x'=(x_1, x_2) \in \mathbb R^2$. Для открытого шара $B=B(\mathbf x_0, r)$ (с центром $\mathbf x_0$ и радиусом $r$) в $\mathbb R^3_\mathbf x$ через $B'$ обозначается открытый круг $B'(\mathbf x'_0, r)$ (с центром $\mathbf x'_0$ и радиусом $r$) в $\mathbb R^2_{\mathbf x'}$. Фиксируем произвольный сильно эллиптический оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal L'=\mathcal L_2=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathbb R^2$. По [6; лемма 2.1] оператор
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\mathcal L_3=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_3^2}=:\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} x_{i} x_{j}
\end{equation*}
\notag
$$
является эллиптическим оператором в $\mathbb R^3$. Напомним, что всякое фундаментальное решение $\Phi'(\mathbf x')=\Phi_{\mathcal L'} (\mathbf x')$ для оператора $\mathcal L'$ имеет вид (см., например, [9])
$$
\begin{equation}
\Phi'(\mathbf x')=k_0\log|\mathbf x'|+\Psi_0(\mathbf x'),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $k_0=k_0(\mathcal L') \in \mathbb C \setminus \{0\}$, а $\Psi_0$ – некоторая однородная порядка $0$ функция класса $C^{\infty}(\mathbb R^2 \setminus \{\mathbf 0\})$, однозначно определенная с точностью до аддитивной постоянной. В дальнейшем мы фиксируем ту единственную $\Psi_0$, для которой
$$
\begin{equation}
\|\Psi_0\|_{\mathbb R^2\setminus \{\mathbf 0\}} =\inf_{c \in \mathbb C}\bigl\{\|\Psi_0+c\|_{\mathbb R^2\setminus \{\mathbf 0\}}\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и соответствующее ей фундаментальное решение $\Phi'$. При $\delta>0$ нам также потребуется другое фундаментальное решение
$$
\begin{equation*}
\Phi'_{\delta}(\mathbf x')=\Phi'\biggl(\frac{\mathbf x'}{\delta}\biggr) =\Phi'(\mathbf x')-k_0 \log(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $B'=B'(\mathbf x'_0, R)$ – круг и $E'$ – непустое ограниченное множество, лежащее в круге $(1/2) B'=B'(\mathbf x'_0, R/2)$. По определению $C\mathcal L'$-емкостью множества $E'$ в $B'$ называется величина
$$
\begin{equation}
\kappa'_{B'}(E')=\sup_{T'} \bigl\{|\langle T', 1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T') \subset E',\, \Phi'_R * T' \in C(\mathbb R^2), \,\|\Phi'_R * T'\|_{B'} \leqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Нетрудно видеть (см. предложение 2.2), что для любых рассматриваемых объектов в предыдущем определении, для всякого сдвига $Q$ и для всякой гомотетии $P$ в $\mathbb R^2$ имеем
$$
\begin{equation}
\kappa'_{B'}(E')=\kappa'_{P(B')}(P(E'))=\kappa'_{Q(B')}(Q(E')).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Так, для $\mathcal L'=\Delta_2$ в $\mathbb R^2$ имеем $k_0=1/(2\pi)$, $\Psi_0 \equiv 0$. При этом (как будет показано в предложении 2.1) $\kappa'_{B'(\mathbf 0', 1)}(E')=2\pi \kappa_2(E')$, где $\kappa_2(E')$ – гармоническая (винеровская) емкость в $\mathbb R^2$, определяемая для множеств $E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2)$ так:
$$
\begin{equation}
\kappa_2(E')=\sup_{\mu} \biggl\{\int d\mu \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E', \,\log|\mathbf x'| * \mu \in C(\mathbb R^2),\,-\log|\mathbf x'| * \mu \leqslant 1 \biggr\},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
а $\sup$ берется по всем указанным неотрицательным борелевским мерам $\mu$, и последнее неравенство справедливо во всем $\mathbb R^2$. Данное определение эквивалентно определению винеровской емкости, приведенному в [10; гл. II, § 4], поскольку условие непрерывности потенциала в (1.6) можно опустить, см. доказательство леммы 2.3 ниже. Напомним (см. [10; гл. 2, § 4]), что
$$
\begin{equation}
\kappa_2(B'(\mathbf 0', r))=\frac{1}{\log(1/r)}, \qquad r \in \biggl(0, \frac12\biggr).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
В предложении 2.2 доказывается, что для всех множеств $E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2)$) имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa'_{B'(\mathbf 0', 1)}(E')\geqslant A_0 \kappa_2(E'),
\end{equation*}
\notag
$$
где $A_0 > 0$ зависит только от $\mathcal L'$. В качестве следствия из этого утверждения и [11; следствие 3.1] в предложении 2.3 мы получаем точные оценки снизу емкостей $\kappa'_{B'(\mathbf 0', 1)}(E')$ через обхваты по Хаусдорфу. Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть $E'\subset B'(\mathbf x'_0, R/2)$, $E=E'\times [-R, R]_{x_3}$. Тогда справедливы оценки где $\kappa(E)=\kappa_{\mathcal L_3}(E)$ для оператора $\mathcal L_3=\mathcal L$, а $A_1 > 1$ зависит только от $\mathcal L'$. Эта теорема доказывается в § 3. Там же приводится ее следствие (теорема 3.1) для задач теории равномерных приближений функций решениями уравнений $\mathcal L'v=0$ на компактах в $\mathbb R^2$. § 2. Предварительные сведения и некоторые оценкиПусть $\mathcal L$ – введенный выше эллиптический оператор в $\mathbb R^3$, $\Phi=\Phi_\mathcal L$ – его фундаментальное решение (класса $C^{\infty}(\mathbb R^3\setminus \{\mathbf 0\})$, однородное порядка $-1$), $\delta > 0$, $B=B(\mathbf a, \delta)$, $\psi \in C^{\infty}_0(B)$. Оператор
$$
\begin{equation*}
g \to V_{\psi}(g)=\Phi*(\psi \mathcal L g), \qquad g \in \mathrm{BC}(B),
\end{equation*}
\notag
$$
называется локализационным оператором (типа) Витушкина, соответствующим оператору $\mathcal L$ и индекс-функции $\psi$ (см. [12], [5]). При этом распределение $\psi \mathcal L g$ предполагается равным нулю вне $\operatorname{Spt}(\psi)$. Следующее свойство этого оператора хорошо известно (см., например, [6; лемма 2.2]). Лемма 2.1. В указанных обозначениях оператор $V_{\psi}$ непрерывен из $\mathrm{BC}(B)$ в $\mathrm{BC}(\mathbb R^3)$. Точнее, найдется константа $A_2=A_2(\mathcal L)\in (0,+\infty)$ c условиями $V_{\psi} (g) \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3)$ и для всех $g \in \mathrm{BC}(B)$. Кроме того, $\mathcal L V_{\psi}(g)=\psi \mathcal L g$ (т.е. оператор $V_{\psi}$ “локализует” $\mathcal L$-особенности функции $g$ на носителе $\operatorname{Spt}(\psi) \subset B$). Нам понадобится аналогичное определение для двумерного случая. Пусть $\delta >0$, $B'=B(\mathbf a', \delta)$, $\psi \in C^{\infty}_0(B')$. Локализационный оператор
$$
\begin{equation*}
g \to V'_{\psi \delta}(g)=\Phi'_{\delta}*(\psi \mathcal L' g), \qquad g \in \mathrm{BC}(B'),
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует оператору $\mathcal L'$, кругу $B'$ и индекс-функции $\psi$. Свойства непрерывности этого оператора выглядят следующим образом (см. [9; лемма 2.5]). Лемма 2.2. Оператор $V'_{\psi \delta}$ непрерывен из $\mathrm{BC}(B')$ в $\mathrm{BC}(B')$. Точнее, найдется константа $A_3=A_3(\mathcal L')\in (0,+\infty)$ c условиями $V'_{\psi \delta} (g) \in C(\mathbb R^2)$ и для всех $g \in \mathrm{BC}(B')$. Кроме того, $\mathcal L' V'_{\psi \delta}(g)=\psi \mathcal L' g$. Предложение 2.1. Пусть $\mathcal L'=\Delta_2$ в $\mathbb R^2$. Тогда $k_0=1/(2\pi)$, $\Psi_0 \equiv 0$. При этом для любого множества $E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2)$ имеем Доказательство. То, что в данном случае $\Phi'(\mathbf x')=(2\pi)^{-1}\log|\mathbf x'|$, хорошо известно. При $r>0$ положим $B'_r=B'(\mathbf 0', r)$ и Докажем сначала, что $\kappa'(E') \geqslant 2\pi \kappa_2(E')$. Пусть $\mu$ – произвольная положительная мера из определения (1.6) и $f=\Phi'*\mu$. Тогда, очевидно, $f \geqslant -1/(2\pi)$ на $\mathbb R^2$ (и, следовательно, на $B'_1$). Поскольку (ввиду (1.6) и (1.7)) $\|\mu\|\leqslant 1/\log 2$, имеем при любом $\mathbf x'\in \partial B'_1$
$$
\begin{equation*}
f(\mathbf x')=(2\pi)^{-1}\int_{B'_{1/2}}\log|\mathbf x'-\mathbf y'|\,d\mu(\mathbf y') \leqslant \frac{1}{2\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается воспользоваться определением (1.4) для круга $B'_1$. Докажем неравенство $\kappa'(E') \leqslant 2\pi \kappa_2(E')$. Пусть $\kappa'(E')>0$, иначе доказывать нечего. Фиксируем любое $\varepsilon \in (0,1)$ и возьмем распределение $T'$ из (1.4) с условием $\alpha:=\langle T', 1\rangle=(1-\varepsilon)\kappa'(E')>0$. При этом мы можем считать, что $T'$ вещественно. Функция $g=-\log|\mathbf x'|*T'=-2\pi \Phi'*T'$ является гармонической в окрестности множества $\mathbb R^2\setminus B'_1$, не превосходит $2\pi$ на $B'_1$, причем при $|\mathbf x'|\to+\infty$ имеет отрицательную главную часть $-\alpha \log|\mathbf x'|$. Следовательно, $-\log|\mathbf x'|*T' \leqslant 2\pi$ всюду в $\mathbb R^2$. Остается воспользоваться утверждением следующей леммы 2.3. К сожалению, автору не удалось найти прямую ссылку на указанный в ней известный ранее факт. Как правило, он устанавливается для случая мер, а не распределений, и в размерностях не ниже трех. Идея доказательства этой леммы предложена М. Я. Мазаловым. Лемма 2.3. В (1.6) получается такой же $\sup$, если вместо положительных мер $\mu$ брать произвольные вещественные распределения $T'$, а вместо ${\displaystyle\int d\mu}$ взять $\langle T', 1\rangle$. Доказательство. Ясно, что достаточно провести доказательство для компактов $E'$. Пусть, от противного, найдется вещественное распределение $T'$ с условиями $\operatorname{Spt}(T')\subset E'$, $g=-\log|\mathbf x'|*T' \in C(\mathbb R^2)$, $g(\mathbf x')\leqslant 1$ всюду в $\mathbb R^2$ и $\langle T', 1\rangle=\kappa_2(E')+\alpha$ при некотором $\alpha >0$. Из $C$-свойства Лузина следует (см. [10; теорема 1.8]), что в определении (1.6) можно опустить свойство непрерывности потенциала $\log|\mathbf x'| * \mu$. Отсюда легко установить, что найдется компакт $K$ с гладкой границей и условиями $E' \subset K \subset B'_{1/2}$ и $\kappa_2(K)<\kappa_2(E')+\alpha$. Пусть $\nu$ – равновесная мера на $K$ (см. [10; гл. 2, § 4, теорема $2.6'$]) и $\Omega$ – неограниченная компонента множества $\mathbb R^2\setminus K$, так что $\mathbb R^2 \setminus B'_{1/2} \subset \Omega$. Хорошо известно, что потенциал $f=-\log|\mathbf x'|*\nu$ непрерывен на $\overline{\Omega}$ и равен $1$ на $\partial \Omega$ (это следует из связи $f$ c функцией Грина области $\Omega$, см. [13; гл. 7, § 3]). Поскольку при $|\mathbf x'| \to+\infty$ функция $f(\mathbf x')$ имеет порядок $-(\log|\mathbf x'|) \|\nu\|$ и $\|\nu\|=\kappa_2(K)<\kappa_2(E')+\alpha$, а функция $g(\mathbf x')$ имеет порядок $-(\log|\mathbf x'|) \langle T', 1\rangle$ и $\langle T', 1\rangle=\kappa_2(E')+\alpha$, из принципа максимума в $\Omega \cap B'_R$ (при достаточно больших $R$) получаем неравенство
Пусть теперь $T'_1$ – произвольное распределение в $B'_{1/2}$ с потенциалом $g_1=-\log|\mathbf x'|*T'_1$, и пусть $r\in (1/2, 1)$. Утверждается, что тогда
$$
\begin{equation}
\langle T'_1, 1\rangle=\biggl(2\pi r \log\frac1r\biggr)^{-1}\int_{\partial B'_r} g_1(\mathbf x')\,d\ell_{\mathbf x'},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $d\ell$ – элемент длины дуги на $\partial B'_r$. Для доказательства (2.4) удобно воспользоваться комплексной формой записи векторов в $\mathbb R^2$. Сначала докажем (2.4) для случая $T'_1=\delta_a$, где $a \in B'_{1/2}$ и $\delta_a$ – единичная мера в точке $a$. Иными словами, $g_1 (z)=-\log|z-a|$. Пусть $b=r^2/{\overline a}$ – точка, симметричная точке $a$ относительно окружности $\partial B'_r$. Тогда для всякого $z=re^{i\theta} \in \partial B'_r$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{|z-a|}{|z-b|}=\frac{|re^{i\theta}-a|}{|re^{i\theta}-r^2/{\overline a}|}=\frac{|a|\,|re^{i\theta}-a|}{r|{\overline a} e^{i\theta}-r|}=\frac{|a|}{r},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $g_1 (z)=-\log|z-a|=-\log|z-b|-\log|a|+\log(r)$, и по теореме о среднем для гармонических функций получаем:
$$
\begin{equation*}
(2\pi r)^{-1}\int_{\partial B'_r} g_1(z) d\ell_z=g_1(0)=-\log|b|-\log|a|+\log(r)=-\log(r),
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Далее, если $T'_1$ – конечная мера на $B'_{1/2}$, то для завершения доказательства (2.4) остается применить теорему Фубини в правой части равенства (2.4), подставив вместо $g_1$ соответствующий интеграл (свертку). В общем случае следует предварительно воспользоваться методом регуляризации (подробности см. в окрестности формул (3.1) и (3.2) в § 3, только надо сделать аналогичные действия в $\mathbb R^2$). Наконец, применяя равенство (2.4) для распределений $\nu$ и $T'$, ввиду (2.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\langle \nu-T'_1, 1\rangle=\biggl(2\pi r \log\frac1r\biggr)^{-1} \int_{\partial B'_r} (f(\mathbf x')- g(\mathbf x'))\,d\ell_{\mathbf x'} \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к противоречию. Предложение 2.2. Для всякого рассматриваемого оператора $\mathcal L'$: (1) для любого $B'=B'(\mathbf x'_0, R)$, $E' \subset (1/2) B'$, для всякой гомотетии $P$ и сдвига $Q$ в $\mathbb R^2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa'_{B'}(E')=\kappa'_{P(B')}(P(E'))=\kappa'_{Q(B')}(Q(E'));
\end{equation*}
\notag
$$
(2) для любого множества $E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2)$ справедливы оценки где $A_0 > 0$ зависит только от $\mathcal L'$. Доказательство. Докажем (1) для случая гомотетии $P$ с коэффициентом $p>0$ (утверждение про сдвиг $Q$ очевидно). Каждому распределению $T'$, удовлетворяющему условиям определения (1.4) для $E'$ в $B'(\mathbf x'_0, R/2)$, можно взаимно однозначно сопоставить распределение $PT'$, действующее по формуле
$$
\begin{equation*}
\langle PT'(\mathbf x'), \psi(\mathbf x') \rangle =\langle T'(\mathbf y'), \psi(P(\mathbf y'))\rangle, \qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb R^2),
\end{equation*}
\notag
$$
которое удовлетворяет условиям определения (1.4) для $PE'$ в $B'(P(\mathbf x'_0), pR/2)$. При этом $\langle T', 1\rangle=\langle PT', 1\rangle$ и (1) доказано. Установим (2). Для выбранной $\Psi_0$ в (1.3) положим $I=\|\Psi_0\|$. Пусть $\mu$ удовлетворяет условиям определения (1.6). Тогда из доказательства предложения 2.1 следует, что $\|\log(\mathbf x')*\mu\|_{B'_1}\leqslant 1$, откуда сразу получаем оценку $\|\Phi'*\mu\|_{B'_1}\leqslant |k_0|+I\|\mu\|$. Следовательно, $\kappa'(E')=\kappa'_{B'_1}(E')\geqslant \|\mu\|/(|k_0|+I\|\mu\|)$. Остается $\|\mu\|$ устремить к $\kappa_2(E')$ и воспользоваться неравенством $\kappa_2(E')\leqslant \kappa_2(B'_{1/2})=1/\log(2)$. В качестве $A_0$ тогда можно взять $(|k_0|+I/\log(2))^{-1}$. Предложение доказано. Если в определении (1.4) вместо распределений $T'$ брать положительные меры $\mu$ (ограничимся случаем $\mathbf x'_0=\mathbf 0'$, $R=1$), то возникает еще одна полезная в приложениях емкость ($E' \subset B'_{1/2}$)
$$
\begin{equation}
\kappa'_+(E')=\sup_{\mu} \biggl\{\int d\mu \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E',\,\Phi' * \mu \in C(\mathbb R^2),\,\|\Phi' * \mu\|_{B'_1} \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Предложение 2.3. Найдутся $r_0=r_0(\mathcal L')\in (0, 1/2]$ и $A'_0=A'_0(\mathcal L') > 0$ такие, что для всех $E' \subset B'(\mathbf 0', r_0)=:B'_{r_0}$ справедливы оценки При $\mathcal L'=\Delta_2$ имеем $r_0=1/2$ и $\kappa'_+(E')=2\pi \kappa_2(E')$. Доказательство. Левая оценка доказывается как часть (2) в предложении 2.2. Докажем правую оценку. Пусть $\mu$ – произвольная положительная мера из определения (2.5). Достаточно показать, что $f=-\log(\mathbf x')*\mu$ удовлетворяет оценке $f(\mathbf x') \leqslant A'_0$ на $\mathbb R^2$. Более того, по принципу максимума вне $B'_{1/2}$ (ввиду $f(\infty)\leqslant 0$) оценку $f(\mathbf x') \leqslant A'_0$ достаточно доказать на $B'_{1/2}$. Пусть, как и ранее в (1.2), $\Phi'(\mathbf x')=k_0\log|\mathbf x'|+\Psi_0(\mathbf x')$, $I=\|\Psi_0\|$. Тогда ввиду имеем $\|\mu\|\leqslant 1/(|k_0|\log(1/r_0)-I)$. Фиксируя далее $r_0 < \exp(-I/|k_0|)$, находим при $\mathbf x'\in B'_{1/2}$: При $\mathcal L'=\Delta_2$, когда $k_0=1/(2\pi)$ и $I=0$, можно взять $r_0=1/2$; при этом $f(\mathbf x')\leqslant 2\pi$ в $B'_{1/2}$, что и требовалось. Предложение доказано. Поскольку емкость $\kappa_2$ полуаддитивна (т.е. $\kappa_2(E'_1\cup E'_2)\leqslant \kappa_2(E'_1)+\kappa_2(E'_2)$ для всех $E'_1$ и $E'_2$ в $B'_{1/2}$), из предложения 2.3 вытекает важное свойство субаддитивности емкостей $\kappa'_+$. Точнее, найдутся (указанная выше) $r_0$ и $A=A(\mathcal L')\geqslant 1$ такие, что для всех $E'_1$ и $E'_2$ в $B'_{r_0}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\kappa'_+(E'_1\cup E'_2)\leqslant A(\kappa'_+(E'_1)+\kappa'_+(E'_2)).
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с последним особый интерес представляют следующие проблемы. Задача 2.1. Верно ли, что $\kappa'$ сравнима с $\kappa'_+$? То есть найдется ли $A=A(\mathcal L')\geqslant 1$ с условиями для всех $E'$ из $B'_{1/2}$ (или хотя бы из $B'_{r_0}$)? В приложениях (например, в теореме 3.1 ниже) вместо $C\mathcal L'$-емкости (1.4) удобно пользоваться $L^{\infty}\mathcal L'$-емкостью
$$
\begin{equation*}
\gamma'_{B'}(E')=\sup_{T'} \bigl\{|\langle T', 1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T') \subset E',\, \Phi'_R * T'\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^2),\, \|\Phi'_R * T'\|_{L^{\infty}(B')} \leqslant 1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где указанные пространства $L^{\infty}$ связаны с мерой Лебега в $\mathbb R^2$. Последняя емкость удовлетворяет следующему важному свойству (которое пока не установлено для $C\mathcal L'$-емкости!). Оно доказывается аналогично [6; предложение 3.1]. Предложение 2.4. Для любого круга $B'$ и компакта $K'\subset (1/2)B'$ имеем где $U'_{\delta}(K')$ – открытая $\delta$-окрестность компакта $K'$ в $\mathbb R^2$. В случае $\mathcal L'=\Delta_2$ (как отмечено в доказательстве леммы 2.3) емкости $\gamma'_{B'}$ и $\kappa'_{B'}$ совпадают. Стандартно доказывается, что для всех $\mathcal L'$ и открытых множеств $E' \subset (1/2)B'$ имеем Следующий важный вопрос также остается пока открытым.Задача 2.3. Верно ли, что $\gamma'_{B'}$ сравнима с $\kappa'_{B'}$? Точнее, найдется ли $A=A(\mathcal L')\geqslant 1$ с условиями для всех $E'$ из $(1/2)B'$ (или хотя бы из $B'_{r_0}$)? Напомним определение $p$-мерного ($p \in (0, 2]$) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества $E'$ в $\mathbb R^2$: где нижняя грань берется по всем покрытиям $\{B'_{(j)}\}$ множества $E$ кругами (каждое $\{B_{(j)}\}$ есть не более чем счетное покрытие множества $E$ кругами $B'_{(j)}$ в $\mathbb R^2$ с радиусами $r_j$).Из предложения 2.3 и оценок, полученных В. Я. Эйдерманом в [11; следствие 3.1] для винеровской емкости $\kappa_2$ (точность указанных оценок обсуждается в [11]), непосредственно получаем следующие оценки снизу для емкостей $\kappa'_+$ (и, следовательно, $\kappa'$). Предложение 2.5. Найдется константа $A=A(\mathcal L')>1$ со следующими свойствами. Для любого $p \in (0, 2]$ и множества $E' \subset B'_{1/2}$ с условием $\kappa'_+(E') \leqslant p/A$ справедлива оценка § 3. Доказательство теоремы 1.1. Следствия Доказательство теоремы 1.1. Пусть $P$ – гомотетия в $\mathbb R^3$ с коэффициентом $p>0$. Так как фундаментальное решение $\Phi$ оператора $\mathcal L$ однородно порядка $-1$, легко показать, что $\kappa(P(E))=p\kappa(E)$ для любого ограниченного множества $E \subset \mathbb R^3$. Кроме того, при сдвигах емкости $\kappa$ и $\kappa'_{B'}(E')$ (при одном и том же сдвиге множеств $B'=B'(\mathbf x'_0, R)$ и $E'\subset (1/2) B'$) не меняются. Поэтому ввиду (1.8) без ограничения общности мы в этом доказательстве будем предполагать, что $\mathbf x'_0=\mathbf 0'$ и $R=1$. Для краткости пусть $B_{r}=B(\mathbf 0, r)$ и $B_r'=B'(\mathbf 0', r)$, $r>0$, и $\kappa'(E')=\kappa'_{B_1'}(E')$. Докажем левую оценку в (1.8). Найдем распределение $T'$ с условиями из определения (1.4) (случай $\mathbf x'_0=\mathbf 0'$ и $R=1$) и свойством $\langle T',1 \rangle=\kappa'(E')/2$. Определим $f=\Phi'*T' \in C(\mathbb R^2)$, $\|f\|_{B'_1} \leqslant 1$. Положим $F(\mathbf x',x_3)=f(\mathbf x')$. Тогда $\|F\|_{B_1}\leqslant 1$. Выберем функцию $\psi_{12} \in C^{\infty}_0(B'_{2/3})$ с условиями $0\leqslant\psi_{12}\leqslant 1$, $\psi_{12}=1$ в $B'_{1/2}$ и $\|\nabla^2\psi_{12}\|\leqslant A$. Здесь и далее параметр $A>1$, зависящий только от $\mathcal L'$, может принимать различные значения в разных соотношениях. Выберем еще функцию $\psi_3 \in C^{\infty}_0((-2/3, 2/3))$ с условиями $0\leqslant\psi_3\leqslant 1$, $\psi_3=1$ на $(-1/2, 1/2)$ и $\|\psi_3''\|\leqslant A$. Определим $\psi (\mathbf x)=\psi(\mathbf x',x_3)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3)$ при $\mathbf x\in\mathbb R^3$. Тогда $\psi \in C^{\infty}_0(B_1)$ и $\|\nabla^2 \psi\|\leqslant A$. Применим локализационный оператор Витушкина в $\mathbb R^3$, полагая $F_{\psi}\,{=}\,V_{\psi}(F)$. Тогда по лемме 2.1 имеем
$$
\begin{equation*}
\|F_\psi\|\leqslant A \|\nabla^2 \psi\| \, \|F\|_{B_1} \leqslant A^2,
\end{equation*}
\notag
$$
причем в обобщенном смысле справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal L F_{\psi}(\mathbf x',x_3)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L F(\mathbf x)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L' f(\mathbf x').
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $T=\mathcal L F_{\psi}$. Ясно, что $\operatorname{Spt} T\subset E$, $F_{\psi}=\Phi*T$ и $\|F_{\psi}\| \leqslant A^2$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A^2 \kappa(E) &\geqslant \langle T, 1\rangle=\langle \psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L' f(\mathbf x'),1\rangle \\ &=\langle T',1\rangle \int_{-1}^1\psi_3(x_3)\,dx_3 \geqslant 2^{-1} \kappa'(E'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда что и требовалось. Теперь установим правое неравенство в (1.8). Имеем $E \subset B'_{1/2}\times [-1,1] \subset B_{5/4}$. По определению емкости $\kappa(E)$ найдется распределение $T$ с (компактным) носителем $\operatorname{Spt}(T)\subset K \subset E$ (где $K=K'\times [-R,R]$ – компакт) такое, что функция $F=\Phi*T \in C(\mathbb R^3)$, $\|F\|\leqslant 1$ и $\langle \mathcal L F, 1\rangle=\langle T, 1\rangle=\kappa(E)/2$. Фиксируем некоторую функцию $\varphi_1 \in C^{\infty}_0(B_1)$ с условиями $0 \leqslant \varphi_1\leqslant 1$, $\displaystyle\int_{B_1}\varphi_1(\mathbf x)\, d\mathbf x=1$, $\|\nabla^2\varphi_1\|\leqslant A$. При $\varepsilon>0$ положим $\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)=\varepsilon^{-3}\varphi_1(\mathbf x/\varepsilon)$, так что $\displaystyle\int_{B_{\varepsilon}}\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)\, d\mathbf x=1$ и $\|\nabla^2\varphi_{\varepsilon}\|\leqslant A/\varepsilon^2$. Пусть $T_{\varepsilon}=T*\varphi_{\varepsilon}$, $F_{\varepsilon}=F*\varphi_{\varepsilon}=\Phi*T_{\varepsilon}$. Распределение $T_{\varepsilon}$ – регулярно, т.е. имеет вид
$$
\begin{equation}
\langle T_{\varepsilon}, \psi \rangle =\int h_{\varepsilon}(\mathbf x) \psi (\mathbf x)\,d \mathbf x, \qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb R^N),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $h_{\varepsilon} \in C^{\infty}_0(\mathbb R^3)$ – (вообще говоря) комплекснозначная функция. Кроме того,
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^3} h_{\varepsilon}(\mathbf x) d \mathbf x=\langle T_{\varepsilon}, 1 \rangle =\langle T, \varphi_{\varepsilon}*1 \rangle=\langle T, 1 \rangle=\frac{\kappa(E)}2.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
При $0<\varepsilon < 3/2-5/4=1/4$ определим $G_{\varepsilon}(\mathbf x)=F_{\varepsilon}(\mathbf x)-F_{\varepsilon}(\mathbf x-(3,0,0))$. Эта функция является $\mathcal L$-аналитической вне множества $U_{\varepsilon}(K\cup K_3)$, где $K_3=\{\mathbf x+(3,0,0)\mid \mathbf x \in K\}$ и $U_{\varepsilon}(Q)$ – $\varepsilon$-окрестность множества $Q$ в $\mathbb R^3$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
g_{\varepsilon}(\mathbf x)=\int_{-\infty}^{+\infty} G_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t)\,dt.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Равномерная сходимость последнего интеграла на компактах в $\mathbb R^3$ следует из стандартных оценок (см., например, [6; (2.6) и лемма 2.3]):
$$
\begin{equation*}
|G_{\varepsilon}(\mathbf x)|\leqslant\frac{A}{|\mathbf x|^2+1},
\end{equation*}
\notag
$$
причем функция $g_{\varepsilon}(\mathbf x)=g_{\varepsilon}(\mathbf x')$ не зависит от $x_3$ и является $\mathcal L'$-аналитической вне множества $U'_{\varepsilon}(K'\cup K'_3)$ (последнее следует из равномерной сходимости на компактах частичных сумм в интеграле (3.3) и теореме [4; теорема 4.4.2] о пределе $\mathcal L$-аналитических функций), где $K'_3=\{\mathbf x'+(3,0)\mid \mathbf x' \in K'\}$. Откуда находим
$$
\begin{equation*}
|g_{\varepsilon}(\mathbf x')|\leqslant \frac{A}{\sqrt{|\mathbf x'|^2+1}}\leqslant A.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal L' g_{\varepsilon}(\mathbf x') &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal L G_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(h_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t) -h_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0), x_3+t)\bigr)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h_{\varepsilon}(\mathbf x', t)- h_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0), t) \bigr)\,dt =: h'_{\varepsilon}(\mathbf x')-h'_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь возьмем функцию $\psi \in C^{\infty}_0(B'_1)$ с условиями $0 \leqslant \psi \leqslant 1$, $\psi=1$ в $B'(\mathbf 0', 3/4)$ и $\|\nabla^2 \psi\|\leqslant A$, и рассмотрим локализацию
$$
\begin{equation*}
f_{\varepsilon}=V_{\psi 1} g_{\varepsilon}=\Phi'*(\psi \mathcal L' g_{\varepsilon})=\Phi'*(\psi (\mathbf x') (h'_{\varepsilon}(\mathbf x')-h'_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0))= \Phi'*(h'_{\varepsilon}).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 2.2 мы получаем $\|f_{\varepsilon}\|_{B'_1} \leqslant A$. При этом $\operatorname{Spt}(h'_{\varepsilon}) \subset U'_{\varepsilon}(E')$ и
$$
\begin{equation*}
\langle h'_{\varepsilon}, 1 \rangle =\int_{\mathbb R^3} h_{\varepsilon}(\mathbf x)\,d\mathbf x=\frac{\kappa(E)}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, при $\varepsilon \to 0$ имеем $G_{\varepsilon}(\mathbf x) \to G(\mathbf x)=F(\mathbf x)-F(\mathbf x-(3,0,0))$ равномерно на $\mathbb R^3$, $\displaystyle g_{\varepsilon}(\mathbf x') \to g(\mathbf x')=\int_{-\infty}^{+\infty} G(\mathbf x', t)\,dt $ равномерно на $\mathbb R^2$ и, следовательно, $f_{\varepsilon}(\mathbf x') \to f(\mathbf x')$ равномерно на компактах в $\mathbb R^2$, где функция $f$ непрерывна на $\mathbb R^2$, $\mathcal L'$-аналитична вне $K'$ и $\|f\|_{B'_1} \leqslant A$. Фиксируем $\psi_1 \in C^{\infty}_0(2B'_1)$ с условием $\psi_1 \equiv 1$ на $B'_1$, тогда
$$
\begin{equation*}
\langle h'_{\varepsilon}, 1 \rangle=\langle \mathcal L'f_{\varepsilon}, 1\rangle=\langle \mathcal L'f_{\varepsilon}, \psi_1\rangle=\langle f_{\varepsilon}, \mathcal L'\psi_1\rangle\to \langle f, \mathcal L'\psi_1\rangle=\langle \mathcal L'f, 1\rangle \geqslant \frac{\kappa(E)}2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по определению емкости $\kappa'(E')$, имеем
$$
\begin{equation*}
A \kappa'(E') \geqslant |\langle \mathcal L' f, 1 \rangle|= \frac{\kappa(E)}2,
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы 1.1. Из теоремы 1.1 и оценки [6; предложение 3.2 (1)] непосредственно вытекает следующая оценка сверху для емкости $\kappa'_{B'(\mathbf x'_0, R)}$. В работе [6; следствие 1.1] получен следующий критерий (индивидуальной) равномерной приближаемости $\mathcal L'$-аналитическими функциями. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\rho >0$ и $X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3}$. Для любой функции $f \in C_0(\mathbb R^2)$ следующие условия эквивалентны: (a) найдется последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{+\infty}$ функций, каждая из которых является $\mathcal L'$-аналитической (в своей) окрестности компакта $X'$, с условием $f_n \to f$ равномерно на $X'$; (b) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega (r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для всякого открытого шара $B$ в $\mathbb R^3$ с центром $\mathbf a=(\mathbf a', 0)$ и радиусом $r$ имеем ($\lambda B=B(\mathbf a, \lambda r)$):
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{1}{\pi r^2} \int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'-\mathbf a')+(1+c_{22})(|\mathbf x'- \mathbf a'|^2-r^2)}{\sqrt{r^2-|\mathbf x'-\mathbf a' |^2}} \,d\mathbf x' \biggr| \leqslant\omega (r) \kappa (\lambda B \setminus X).
\end{equation*}
\notag
$$
Если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)=A\omega (f, r)$. Здесь $L'$ – символ оператора $\mathcal L'$, а емкость $\kappa$ определяется оператором $\mathcal L$ (см. (1.1) для $N=3$, $\mathcal L=\mathcal L_3$), $A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty)$. Из этого утверждения и теоремы 1.1 вытекает следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$. Для любой функции $f \in C_0(\mathbb R^2)$ следующие условия эквивалентны: ($\mathrm a'$) найдется последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{+\infty}$ функций, каждая из которых является $\mathcal L'$-аналитической (в своей) окрестности компакта $X'$, с условием $f_n \to f$ равномерно на $X'$; ($\mathrm b'$) найдутся $\lambda \geqslant 1$ и функция $\omega (r) \to 0$ при $r \to 0$ такие, что для всякого открытого круга $B'=B'(\mathbf a', r)$ имеем ($\lambda B'=B(\mathbf a', \lambda r)$)
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{1}{\pi r^2} \int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'-\mathbf a')+(1+c_{22})(|\mathbf x'- \mathbf a'|^2-r^2)}{\sqrt{r^2-|\mathbf x'-\mathbf a' |^2}} \,d\mathbf x' \biggr| \leqslant\omega (r)r\kappa'_{2\lambda B'} (\lambda B' \setminus X').
\end{equation*}
\notag
$$
Если условие ($\mathrm a'$) выполнено, то ($\mathrm b'$) имеет место при $\lambda=1$ и $\omega (r)=A\omega (f, r)$, $A=A(\mathcal L') \in (0,+\infty)$. Доказательство. В условиях и обозначениях этих двух критериев достаточно ограничиться случаями $2\lambda r < \rho$. При этом
$$
\begin{equation*}
\lambda B \setminus X \subset (\lambda B' \setminus X')\times (-r, r) \subset 2\lambda B \setminus X,
\end{equation*}
\notag
$$
и эквивалентность условий $(\mathrm b')$ и $(\mathrm b)$ (сформулированного выше критерия) следует из теоремы 1.1. Теорема 3.1 доказана. Теорема 3.1 является аналогом известного критерия А. Г. Витушкина [12; гл. IV, § 2, теорема 2] для равномерных рациональных аппроксимаций, а также критерия М. Я. Мазалова [8; теорема 4]. Из теоремы 3.1 так же, как из [8; теорема 4], стандартно вытекает следующий критерий приближаемости для классов функций. Следствие 3.2. Пусть $X'$ – компакт в $\mathbb R^2$. Следующие условия эквивалентны: (1) для любой функции $f \in C(X')\cap \mathcal A_{\mathcal L'}((X')^{\circ})$ найдется последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{+\infty}$ функций, каждая из которых является $\mathcal L'$-аналитической (в своей) окрестности компакта $X'$, с условием $f_n \to f$ равномерно на $X'$; (2) для всякого круга $B'$ имеем $\kappa'_{2B'} (B' \setminus (X')^{\circ})=\kappa'_{2B'} (B' \setminus X')$; (3) найдется $\lambda \geqslant 1$ такая, что для всякого открытого круга $B'=B'(\mathbf a', r)$ имеем $\kappa'_{2B'} (B' \setminus (X')^{\circ}) \leqslant A\kappa'_{2\lambda B'} (\lambda B' \setminus X')$. Автор глубоко благодарен рецензентам за их труд по ознакомлению с этой статьей и ряд полезных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|