| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Функтор Н. В. Волосова Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9674 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеНастоящая работа посвящена структурам, занимающим промежуточное положение между классическими и квантовыми (операторными) нормированными пространствами, – так называемым $\mathbf L$-пространствам. Впервые объекты этого типа были рассмотрены А. Ламбертом в его докторской диссертации [1]. В то время как в теории квантовых пространств рассматриваются удовлетворяющие определенным условиям (аксиомам Руана) последовательности норм на пространствах матриц с элементами из некоторого нормированного пространства (см. [2]), Ламберт предложил наделять нормами не матрицы, а столбцы, состоящие из элементов нормированного пространства. Требования, наложенные Ламбертом на эти нормы (аксиомы сжимаемости и выпуклости), формулировались в терминах пространств $\ell_2^n$ и позволяли рассматривать полученные объекты как размножения линейных пространств с помощью $\ell_2^n$. Впоследствии рядом авторов были изучены более общие $p$-мультинормированные пространства, введенные с помощью пространств $\ell_p^n$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ (см. [3]–[6]). А. Я. Хелемским было предложено дальнейшее обобщение этой конструкции (см. [7], [8]): в качестве базовых были рассмотрены пространства $L_p(X,\mu)$ для произвольных измеримых пространств. Это стало возможно благодаря “бескоординатному” подходу к тому, что считать размножением нормированного пространства (систематическое изложение этого подхода для операторных пространств содержится в [9]). В бескоординатном изложении квантовые пространства описываются с помощью задания не последовательности норм на пространствах $M_n(E)$ матриц с элементами из нормированного пространства $E$, а одной нормы (конечно, удовлетворяющей определенным условиям) на тензорном произведении $\mathcal F\otimes E$ этого пространства с пространством $\mathcal F$ ограниченных конечномерных операторов на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве. Соответственно $p$-мультинормированные пространства в аналогичных терминах можно определить через задание нормы на тензорном произведении линейного пространства с $\ell_p$. Следующий шаг – переход от $\ell_p$ к произвольным $L_p(X,\mu)$ – ведет к понятию $\mathbf L$-пространства. Наиболее интересны из таких пространств те, для которых выполнен аналог аксиомы выпуклости – так называемая $p$-выпуклость (рассмотренные в работе Ламберта [1] пространства обладают этим свойством для $p=2$). Например, в [8] построено тензорное произведение в категории $p$-выпуклых $\mathbf L$-пространств, имеющее удобный вид для определенного класса множителей: “$p$-выпуклое” тензорное произведение пространств $L_q(Y_1,\nu_1)$ и $L_q(Y_2,\nu_2)$ (где $1/p+1/q=1$), рассмотренных с так называемой минимальной $\mathbf L$-нормой, равно $L_q(Y_1\times Y_2, \nu_1\times \nu_2)$. В настоящей работе предложен способ преобразования произвольного $\mathbf L$-пространства в $p$-выпуклое. В качестве сопутствующего результата мы получаем конструкцию $\mathbf L$-пространства с максимальной $p$-выпуклой нормой, что можно считать отдаленным обобщением максимальных $\ell_2$-пространств, рассмотренных Ламбертом в [1]. БлагодарностьАвтор выражает благодарность А. Я. Хелемскому за полезные советы и обсуждения. § 2. Основные понятияИзложение в данном параграфе в основном следует работе [8], в которой описываемые ниже структуры впервые были введены с той степенью общности и в том виде, в котором они рассматриваются в настоящей статье. Пусть $X$ – сепарабельное пространство с мерой, обладающее следующим свойством: его можно представить в виде дизъюнктного объединения подпространств $X_1$ и $X_2$, которые изоморфны ему как пространства с мерой. Это условие эквивалентно тому, что $X$ либо не содержит атомов, либо содержит их бесконечное число. Такие пространства с мерой мы будем называть удобными. Пространство $L_p(X)$ $p$-интегрируемых функций на $X$ ($1\leqslant p\leqslant\infty$) будем обозначать $\mathbf L$. Пусть $E$ – нормированное пространство. Рассмотрим тензорное произведение $\mathbf LE=\mathbf L\otimes E$, в записи его элементарных тензоров знак тензорного произведения тоже будем опускать: $fx=f\otimes x$. $\mathbf LE$ является левым модулем над алгеброй $\mathcal B(\mathbf L)$ ограниченных операторов на $\mathbf L$ относительно внешнего умножения, определенного на элементарных тензорах как $A\cdot fx=(Af)x$. Пространство $E$ называется $\mathbf L$-пространством, если на $\mathbf LE$ введена норма $\|\,{\cdot}\,\|$ такая, что этот модуль сжимающий, т.е. для всех $A\in\mathcal B(\mathbf L)$, $u\in\mathbf LE$ выполнено $\|A\cdot u\|\leqslant\|A\|\,\|u\|$, и $\|fx\|=\|f\|\,\|x\|$ для всех $f\in\mathbf L$, $x\in E$ (под $\|f\|$ подразумевается норма пространства $\mathbf L$, под $\|x\|$ – норма пространства $E$). Такую норму на $\mathbf LE$ будем называть квантованием нормы пространства $E$ или $\mathbf L$-нормой на $E$, а соответствующее $\mathbf L$-пространство – квантованием пространства $E$. В $\mathcal B(\mathbf L)$ рассмотрим семейство проекторов $\mathcal P=\{P_Y|Y\subset X\}$ на пространства функций с носителем $Y\subset X$ ($P_Yf=\chi_Yf$, где $\chi_Y$ – характеристическая функция множества $Y$). Будем называть проекторы $P_{Y_1},P_{Y_2}\in\mathcal P$ ортогональными, если $P_{Y_1}P_{Y_2}=P_{Y_2}P_{Y_1}=0$ (это выполнено, если $Y_1\cap Y_2$ имеет меру $0$). Проектор $P\in\mathcal P$ называется носителем элемента $u\in\mathbf LE$, если $P\cdot u=u$. $\mathbf L$-пространство $E$ называется $p$-выпуклым, а его $\mathbf L$-норма – $p$-выпуклой или $p$-нормой, если для любых $u,v\in\mathbf LE$ с ортогональными носителями выполнено для $p=\infty$Рассмотрим вопрос о наименьшей и наибольшей из всех $p$-норм на $E$. На $\mathbf LE$ определены нормы $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ инъективного и $\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}$ проективного тензорных произведений. Напомним, что где супремум берется по всем парам ограниченных линейных функционалов $g\in\mathbf L^*$ и $h\in E^*$ с $\|g\|\leqslant1$, $\|h\|\leqslant1$, а
$$
\begin{equation*}
\|u\|^{\mathrm{pr}}=\inf\sum_{k=1}^n\|f_k\|\,\|x_k\|,
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем представлениям $u\in\mathbf LE$ в виде $u=\sum_{k=1}^nf_kx_k$, $f_k\in\mathbf L$, $x_k\in E$. Нормы инъективного и проективного тензорных произведений являются соответственно наименьшей и наибольшей среди всех кросс-норм (т.е. норм, удовлетворяющих условию $\|f\otimes x\|=\|f\|\,\|x\|$) на тензорном произведении нормированных пространств. Норма инъективного тензорного произведения на $\mathbf LE$ всегда является $p$-выпуклой $\mathbf L$-нормой (см. [8]), а значит, это и есть минимальная (наименьшая среди всех $p$-норм на $E$) $p$-норма. Что же касается нормы проективного тензорного произведения, то она всегда является $\mathbf L$-нормой, но при $p>1$ не всегда $p$-выпуклой (см. [8]), поэтому вопрос о максимальной (наибольшей среди всех $p$-норм) $p$-норме на $E$ требует дальнейшего рассмотрения. Его решение является одним из результатов настоящей работы. Теперь определим для $\mathbf L$-пространств подходящий класс линейных операторов. Пусть $E$, $F$ – это $\mathbf L$-пространства, $T\colon E\to F$ – линейный оператор. Его размножением называется
$$
\begin{equation*}
T_\infty=\mathbf 1_{\mathbf L}\otimes T\colon\mathbf LE\to\mathbf LF\colon f\otimes x\mapsto f\otimes Tx.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $T$ называется вполне ограниченным, если $\|T_\infty\|<\infty$ (любой вполне ограниченный оператор является ограниченным и $\|T\|\leqslant\|T_\infty\|$). Категорию $\mathbf L$-пространств с морфизмами – вполне ограниченными операторами – будем обозначать $\mathfrak{L}$, а ее подкатегорию $p$-выпуклых $\mathbf L$-пространств с морфизмами – вполне ограниченными операторами – будем обозначать $\mathfrak{L_p}$. Мы построим функтор из $\mathfrak{L}$ в $\mathfrak{L}_p$, тождественный на $\mathfrak{L}_p$. § 3. РезультатыПусть $E$ – это $\mathbf L$-пространство с $\mathbf L$-нормой $\|\cdot\|$. Мы опишем конструкцию, “превращающую” эту норму в $p$-выпуклую. Для $u\in\mathbf LE$ положим для $p=\infty$ положим здесь инфимум берется по всем представлениям $u=A\cdot\sum u_i$, где $A\in\mathcal B(\mathbf L)$, а элементы $u_i$ (конечное число слагаемых) имеют попарно ортогональные носители. Доказательство. Сначала докажем, что $\|\cdot\|_p$ – это $p$-выпуклая преднорма на $\mathbf LE$. Равенство $\|Cu\|_p=|C|\|u\|_p$ для произвольной константы $C\in\mathbb C$ очевидно. Для доказательства неравенства треугольника и $p$-выпуклости нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. 1. Пусть $A,B\in\mathcal B(\mathbf L)$, $AP=A$, $BQ=B$ для каких-то ортогональных проекторов $P$, $Q$. Тогда 2. Пусть $A,B\in\mathcal B(\mathbf L)$ и $P_1AP_2=A$, $Q_1BQ_2=B$ для проекторов $P_1$, $P_2$, $Q_1$, $Q_2$ таких, что $P_1\perp Q_1$, $P_2\perp Q_2$. Тогда Доказательство. 1. Рассмотрим функцию $f\in\mathbf L$. Можно считать, что справедливо $P\cup Q=\mathbf 1_{\mathbf L}$ (в противном случае возьмем, например, вместо $P$ проектор $P\,{\cup}\,(\mathbf 1_{\mathbf L}\,{-}\,Q$)); тогда $\|f\|^p=\|Pf\|^p+\|Qf\|^p$.
Имеем $(A+B)f=A(Pf)+B(Qf)$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &\leqslant\|A\|\,\|Pf\|+\|B\|\,\|Qf\| \\ &\leqslant(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q}(\|Pf\|^p+\|Qf\|^p)^{1/p} =(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q}\|f\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $p=\infty$ соответствующее неравенство $\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$ очевидно. 2. Рассмотрим функцию $f\in\mathbf L$. Можно считать, что $P_2\cup Q_2=\mathbf 1_{\mathbf L}$; тогда $\|f\|^p=\|P_2f\|^p+\|Q_2f\|^p$ (для $p=\infty$ имеем $\|f\|=\max\{\|P_2f\|,\|Q_2f\|\}$). Имеем $(A+B)f=A(P_2f)+B(Q_2f)$, кроме того, $A(P_2f)$ и $B(Q_2f)$ имеют ортогональные носители, а значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &=(\|A(P_2f)\|^p+\|B(Q_2f)\|^p)^{1/p}\leqslant(\|A\|^p\|P_2f\|^p+\|B\|^p\|Q_2f\|^p)^{1/p} \\ &\leqslant\max\{\|A\|,\|B\|\}(\|P_2f\|^p+\|Q_2f\|^p)^{1/p}=\max\{\|A\|,\|B\|\}\|f\|; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &=\max\{\|A(P_2f)\|,\|B(Q_2f)\|\}\leqslant\max\{\|A\|\,\|P_2f\|,\|B\|\,\|Q_2f\|\} \\ &\leqslant\max\{\|A\|,\|B\|\}\max\{\|P_2f\|,\|Q_2f\|\}=\max\{\|A\|,\|B\|\}\|f\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Предложение 1. Пусть $u,v\in\mathbf LE$. Тогда $\|u+v\|_p\leqslant\|u\|_p+\|v\|_p$. Если при этом $u$ и $v$ имеют ортогональные носители, то для $p=\infty$ Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$. Пусть $u=A\cdot\sum u_i$, $v=B\cdot\sum v_j$ – такие представления, что
$$
\begin{equation*}
a=\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\Bigl(\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|v\|_p+\varepsilon;
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
a=\|A\|\max\{\|u_i\|\}\leqslant\|u\|_\infty+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\max\{\|v_i\|\}\leqslant\|v\|_\infty+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножив и разделив оператор $A$ и $\sum u_i$ на одно и то же число, можно добиться, чтобы выполнялось
$$
\begin{equation*}
\|A\|=a^{p/(p+q)}, \quad \Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}=a^{q/(p+q)},\quad\text{где }\ \frac1{p}+\frac1{q}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично можно считать, что Для $p=\infty$ соответственно Напомним, что рассматриваемое измеримое пространство $X$ удобное, т.е. представляется в виде дизъюнктного объединения $X_1$ и $X_2$ так, что $X_1$, $X_2$ и $X$ изоморфны как пространства с мерой. Тогда $L_p(X_1)$ и $L_p(X_2)$ изометрически изоморфны $\mathbf L$, а $\mathbf L=L_p(X_1)\oplus_p L_p(X_2)$. Соответствующие изоморфизмы обозначим $i_1\colon \mathbf L\to L_p(X_1)$ и $i_2\colon \mathbf L\to L_p(X_2)$. Для функции $f\in\mathbf L$ будем обозначать через $f^{(1)}$ функцию, которая на $X_1$ равна $i_1(f)$, а на $X_2$ равна нулю, а через $f^{(2)}$ будем обозначать функцию, которая на $X_2$ равна $i_2(f)$, а на $X_1$ равна нулю. Также для $w=\sum f_ix_i\in\mathbf LE$ обозначим $w^{(1)}=\sum f^{(1)}_ix_i$, $w^{(2)}=\sum f^{(2)}_ix_i$. Таким образом, для $k=1,2$ имеем $w^{(k)}=(j_k\circ i_k)\cdot w$, где $j_k$ – вложение $L_p(X_k)$ в $\mathbf L$, поэтому С другой стороны, $w=i_k^{-1}P_k\cdot w^{(k)}$, где $P_k$ – проекция $\mathbf L$ на $L_p(X_k)$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\|w\|\leqslant\|i_k^{-1}P_k\|\,\|w^{(k)}\|=\|w^{(k)}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\|w\|=\|w^{(1)}\|=\|w^{(2)}\|$. Для оператора $M\in\mathcal B(\mathbf L)$ обозначим через $M^{(1)}$ оператор, который на $L_p(X_1)$ действует как $Mi_1^{-1}$, а на $L_p(X_2)$ как нулевой, т.е. при отождествлении $\mathbf L=L_p(X_1)\oplus_p L_p(X_2)$ равен $Mi_1^{-1}\oplus\mathbf 0$, аналогично $M^{(2)}=\mathbf 0\oplus Mi_2^{-1}$. В таких обозначениях получаем представление
$$
\begin{equation*}
u+v=(A^{(1)}+B^{(2)})\cdot\Bigl(\sum u_i^{(1)}+\sum v_j^{(2)}\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Носители всех $u_i^{(1)}$ и $v_j^{(2)}$ попарно ортогональны. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u+v\|_p &\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\Bigl(\sum\|u_i^{(1)}\|^p+\sum\|v_j^{(2)}\|^p\Bigr)^{1/p} \\ &=\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p+\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\|u+v\|_\infty\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\} =\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\sum\|u_i\|^p=a^{pq/(p+q)}=a,\qquad \sum\|v_j\|^p=b^{pq/(p+q)}=b.
\end{equation*}
\notag
$$
Для операторов $A^{(1)}$ и $B^{(2)}$ выполнено $A^{(1)}=A^{(1)}P_{X_1}$ и $B^{(2)}=B^{(2)}P_{X_2}$, где $P_{X_1}$ и $P_{X_2}$ – проекторы на $L_p(X_1)$ и $L_p(X_2)$ соответственно. Поскольку эти проекторы ортогональны, то по п. 1 леммы 1 получаем
$$
\begin{equation*}
\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\leqslant(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q} =(a^{pq/(p+q)}+b^{pq/(p+q)})^{1/q}=(a+b)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\|u+v\|_p\leqslant(a+b)^{1/q}(a+b)^{1/p}=a+b\leqslant\|u\|+\|v\|+2\varepsilon$. Для $p=\infty$ мы положили $\max\{\|u_i\|\}=\max\{\|v_j\|\}=1$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u+v\|_\infty &\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\} =\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\} \\ &\leqslant\|A\|+\|B\|=a+b\leqslant\|u\|+\|v\|+2\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь элементы $u,v\in\mathbf LE$ имеют ортогональные носители $P$ и $Q$, а $u=A\cdot\sum u_i$, $v=B\cdot\sum v_j$ – такие представления, что
$$
\begin{equation*}
a=\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\Bigl(\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|v\|_p+\varepsilon;
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
a=\|A\|\max\{\|u_i\|\}\leqslant\|u\|_\infty+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\max\{\|v_j\|\}\leqslant\|v\|_\infty+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно считать, что $PA=A$, $QB=B$, и, разделив и умножив операторы $A$, $B$ и элементы $\sum u_i$, $\sum v_j$ на подходящие коэффициенты, можно добиться, чтобы выполнялось $\|A\|=\|B\|=1$. Снова воспользуемся представлением
$$
\begin{equation*}
u+v=(A^{(1)}+B^{(2)})\cdot\Bigl(\sum u_i^{(1)}+\sum v_j^{(2)}\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае для операторов $A^{(1)}$ и $B^{(2)}$ выполнены условия п. 2 леммы 1 (с $P_1=P$, $Q_1=Q$, $P_2=P_{X_1}$, $Q_2=P_{X_2}$), поэтому $\|A^{(1)}+B^{(2)}\|=\max\{\|A^{(1)}\|, \|B^{(2)}\|\}=1$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u+v\|_p &\leqslant\Bigl(\sum\|u_i^{(1)}\|^p+\sum\|v_j^{(2)}\|^p\Bigr)^{1/p} \\ &=\Bigl(\sum\|u_i\|^p+\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}=(a^p+b^p)^{1/p}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u+v\|_\infty &\leqslant\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\}=\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\} \\ &=\max\bigl\{\max\{\|u_i\|\},\max\{\|v_j\|\}\bigr\}=\max\{a,b\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем, что $\|\cdot\|_p$ – это $\mathbf L$-норма на $E$. Покажем, что для любого $B\in\mathcal B(\mathbf L)$ и $u\in\mathbf LE$ выполнено $\|B\cdot u\|_p\leqslant\|B\|\,\|u\|_p$. Для любого представления $u=A\cdot\sum u_i$ рассмотрим соответствующее представление $B\cdot u=BA\cdot\sum u_i$. Так как $\|BA\|\leqslant\|B\|\,\|A\|$, то
$$
\begin{equation*}
\|BA\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|B\|\,\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к инфимуму по таким представлениям, получаем доказываемое утверждение. Для случая $p=\infty$ оно доказывается аналогично. Предложение 1 доказано. Для доказательства теоремы 1 осталось показать, что $\|fx\|_p=\|f\|\,\|x\|$. По ходу этого доказательства мы покажем, что $\mathbf L$-нормы, уже являющиеся $p$-выпуклыми, при применении к ним описанного преобразования не изменяются. Доказательство. Для любой $\mathbf L$-нормы $\|\cdot\|$ на $E$ и всех $u\in\mathbf LE$ выполнено $\|u\|_p\leqslant\|u\|$, так как $u$ можно представить в виде $u=\mathbf 1_{\mathbf L}\cdot u$. Если же $\|\cdot\|$ $p$-выпукла, то для любого представления $u=A\cdot\sum u_i$, где $u_i$ имеют попарно ортогональные носители, выполнено а значит, $\|u\|\leqslant\|u\|_p$. Для случая $p=\infty$ доказательство аналогично.
Предложение доказано. Второй вспомогательный, но важный и сам по себе результат, которым мы воспользуемся для завершения доказательства теоремы 1, заключается в том, что описываемое преобразование $\mathbf L$-норм сохраняет полную ограниченность линейных операторов между $\mathbf L$-пространствами. Лемма 2. Пусть $T\colon E\to F$ – вполне ограниченный оператор между $\mathbf L$-пространствами $E$ и $F$. Тогда Доказательство. Пусть $u\in\mathbf LE$,
$$
\begin{equation*}
u=A\cdot\sum_i u_i, \quad u_i=\sum_j f_{ij}x_{ij}, \qquad \|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $T_\infty u=A\cdot\sum T_\infty u_i$, при этом элементы $T_\infty u_i$ имеют ортогональные носители. А значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_\infty u\|_p &\leqslant\|A\|\Bigl(\sum\|T_\infty u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|A\|\Bigl(\sum(\|T_\infty\|\,\|u_i\|)^p\Bigr)^{1/p} \\ &\leqslant\|T_\infty\|\,\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|T_\infty\|(\|u\|+\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для случая $p=\infty$ доказательство аналогично. Лемма доказана. Рассмотрим размножение тождественного оператора на $E$: тождественный оператор $I_\infty\colon\mathbf LE\to\mathbf L\otimes_i E$ из $\mathbf LE$ с нормой $\|\cdot\|$ в это же пространство, снабженное нормой инъективного тензорного произведения $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$. Норма $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ – это $\mathbf L$-норма, минимальная среди всех $\mathbf L$-норм пространства $E$ (и вообще всех кросс-норм на $\mathbf LE$). Значит, $\|I_\infty\|\leqslant1$, и по лемме 2 $\|u\|_p\geqslant\|u\|^{\mathrm{inj}}_p$. Но норма $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ $p$-выпукла (см. [8]), следовательно, по предложению 2 $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}=\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}_p$. Таким образом, $\|u\|_p\geqslant\|u\|^{\mathrm{inj}}$, в частности, $\|fx\|_p\geqslant\|fx\|^{\mathrm{inj}}=\|f\|\,\|x\|$. Неравенство $\|fx\|_p\leqslant\|f\|\,\|x\|$ следует из того, что $fx$ можно представить в виде $\mathbf 1_{\mathbf L}\cdot fx$, а $\|fx\|=\|f\|\,\|x\|$. Таким образом, $\|fx\|_p=\|f\|\,\|x\|$. Доказательство теоремы 1 завершено. Итак, любой $\mathbf L$-норме на нормированном пространстве $E$ мы поставили в соответствие $p$-выпуклую $\mathbf L$-норму на $E$, причем $p$-выпуклые $\mathbf L$-нормы при этом преобразовании не изменились (предложение 2). Мы также доказали, что вполне ограниченные операторы между $\mathbf L$-пространствами остаются вполне ограниченными, если рассматривать их как операторы между теми же пространствами с соответствующими $p$-выпуклыми $\mathbf L$-нормами (лемма 2). Таким образом, отображение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{Ob}\mathfrak L\to\mathrm{Ob}\mathfrak{L_p}\colon(E,\|\cdot\|)\mapsto(E,\|\cdot\|_p), \qquad \mathrm{Hom}_{\mathfrak L}(E,F)\to\mathrm{Hom}_{\mathfrak{L_p}}(E,F)\colon T\mapsto T
\end{equation*}
\notag
$$
является функтором из $\mathfrak{L}$ в $\mathfrak{L_p}$. Покажем, что применение описанного преобразования к норме проективного тензорного произведения дает максимальную, т.е. наибольшую среди всех $p$-выпуклых норм, $p$-выпуклую норму на $E$ (полученная в результате конструкция является отдаленным обобщением максимальных пространств Ламберта, определенных в [1; п. 2.1.2]). А именно, пусть $\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}$ – норма проективного тензорного произведения на $\mathbf LE$ (как было упомянуто выше, она является $\mathbf L$-нормой, но не обязательно $p$-выпуклой; см. [8]). Тогда $\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}_p$ является $p$-выпуклой $\mathbf L$-нормой. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\|u\|^{\mathrm{pr}}_p=\inf\|A\|\Bigl(\sum(\|u_i\|^{\mathrm{pr}})^p\Bigr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по представлениям $u=A\cdot\sum u_i$ таким, что $u_i$ имеют ортогональные носители; для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\|u\|^{\mathrm{pr}}_\infty=\inf\|A\|\max\{\|u_i\|^{\mathrm{pr}}\}
\end{equation*}
\notag
$$
по всем таким представлениям. Предложение 3. Пусть $\|\cdot\|$ – $p$-выпуклая $\mathbf L$-норма на $E$. Тогда для всех $u\in\mathbf LE$ выполнено $\|u\|\leqslant\|u\|^{\mathrm{pr}}_p$. Доказательство. По определению $\|u\|^{\mathrm{pr}}_p=\inf\|A\|(\sum(\|u_i\|^{\mathrm{pr}})^p)^{1/p}$, где инфимум берется по представлениям $u=A\cdot\sum u_i$ таким, что $u_i$ имеют ортогональные носители, а $\|u\|_p=\inf\|A\|(\sum\|u_i\|^p)^{1/p}$, где инфимум берется по таким же представлениям. Поскольку $\|\cdot\|\leqslant\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}$, для каждого такого представления имеем Переходя к инфимумам, получаем $\|u\|_p\leqslant\|u\|^{\mathrm{pr}}_p$. Но поскольку $\|\cdot\|$ $p$-выпукла, получаем $\|\cdot\|=\|\cdot\|_p$, откуда следует доказываемое утверждение. Для случая $p=\infty$ доказательство аналогично. Предложение доказано. Будем называть $\mathbf L$-пространство $E$ с построенной максимальной $p$-выпуклой $\mathbf L$-нормой максимальным $p$-выпуклым квантованием нормированного пространства $E$. Максимальное $p$-выпуклое квантование обладает следующим свойством (ср. с аналогичным свойством автоматической полной ограниченности для операторов между квантовыми пространствами в случае, когда первое из них рассматривается с максимальным квантованием; см. [9; предложение 2.2.8]). Теорема 2. Пусть $E$ – это нормированное пространство, рассмотренное с максимальной $p$-выпуклой $\mathbf L$-нормой $\|\cdot\|=\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}_p$, $F$ – некоторое $p$-выпуклое $\mathbf L$-пространство, $T\colon E\to F$ – ограниченный оператор. Тогда Доказательство. Пусть $u\in\mathbf LE$, $u=A\cdot\sum_i u_i$, элементы $u_i=\sum_j f_{ij}x_{ij}$ имеют попарно ортогональные носители,
$$
\begin{equation*}
\|A\|\Bigl(\sum_i\Bigl(\sum_j\|f_{ij}\|\,\|x_{ij}\|\Bigr)^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $T_\infty u=A\cdot\sum_i\sum_j f_{ij}Tx_{ij}$, при этом элементы $\sum_j f_{ij}Tx_{ij}$ имеют ортогональные носители. А значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_\infty u\| &\leqslant\|A\|\Bigl(\sum_i\Bigl\|\sum_jf_{ij}Tx_{ij}\Bigr\|^p\Bigr)^{1/p} \leqslant\|A\|\Bigl(\sum_i\Bigl(\sum_j\|f_{ij}\|\,\|Tx_{ij}\|\Bigr)^p\Bigr)^{1/p} \\ &\leqslant\|A\|\Bigl(\sum_i\Bigl(\sum_j\|f_{ij}\|\,\|T\|\,\|x_{ij}\|\Bigr)^p\Bigr)^{1/p} \\ &=\|T\|\,\|A\|\Bigl(\sum_i\Bigl(\sum_j\|f_{ij}\|\,\|x_{ij}\|\Bigr)^p\Bigr)^{1/p} \\ &\leqslant\|T\|(\|u\|+\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для случая $p=\infty$ доказательство аналогично. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vol22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|