| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Каноническая геометризация ориентируемых трехмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трехмерных многогранников Н. Ю. Ероховец Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9665 
Реферативные базы данных:
    ВведениеТорическая топология (см. [1]) дает возможность строить явные примеры для глубоких результатов из разных областей математики. В нашей статье мы рассмотрим гипотезу У. П. Тёрстона о геометризации, которая окончательно была доказана Г. Я. Перельманом. Чтобы точно сформулировать результат, нам потребуются некоторые определения. Мы будем следовать изложению из книги [2]. Все точные ссылки и дополнительные детали можно найти в этой книге. Также мы рекомендуем работы [3]–[5] для углубленного знакомства с тематикой. Определение 0.1. Трехмерной геометрией называется гладкое, односвязное трехмерное многообразие $X$ с гладким транзитивным действием группы Ли $G$ при помощи диффеоморфизмов таким, что стабилизаторы всех точек компактны. Дополнительно требуется, чтобы группа $G$ была максимальной среди всех таких групп для $X$. Геометрической структурой на трехмерном многообразии $N$ (моделируемой на $X$) называется диффеоморфизм внутренности многообразия $N$ на $X/\pi$, где $\pi$ – дискретная подгруппа в $G$, действующая на $X$ свободно. У. П. Тёрстон показал, что, с точностью до некоторой эквивалентности, существует ровно восемь трехмерных геометрий, моделирующих трехмерные компактные многообразия. Это сфера $S^3$, евклидово пространство $\mathbb R^3$, пространство Лобачевского (гиперболическое пространство) $\mathbb{H}^3$, $S^2\times \mathbb R$, $\mathbb H^2\times\mathbb R$, универсальное накрытие $\widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})}$ пространства $\mathrm{SL}(2,\mathbb {R})$, а также еще две геометрии, называемые $\mathrm{Nil}$ и $\mathrm{Sol}$. Будем говорить, что многообразие $N$ имеет геометрическую структуру конечного объема, если $X/\pi$ имеет конечный объем. После работ Г. Я. Перельмана теорема о геометризации, высказанная У. П. Тёрстоном в качестве гипотезы, может быть сформулирована следующим образом (см. [2; теорема 1.9.1] и [6; введение]). Теорема 0.2 (теорема о геометрическом разложении). Пусть $N$ – замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие. Тогда существует (возможно пустой) набор попарно непересекающихся вложенных несжимаемых поверхностей $S_1,\dots,S_m$ такой, что каждая из поверхностей является тором или бутылкой Клейна и каждая компонента многообразия $N$, разрезанного вдоль $S_1\cup\dots\cup S_m$, имеет геометрическую структуру. Минимальный по включению набор определен однозначно с точностью до изотопии. Определение 0.3. Мы будем называть минимальное разложение многообразия $N$ из теоремы 0.2 просто геометрическим разложением. В работе [7] М. Дэвис и Т. Янушкевич ввели класс $n$-мерных многообразий, называемых малыми накрытиями над простыми $n$-мерными многогранниками. Каждое такое многообразие склеено из $2^n$ копий многогранника $P$ и определяется отображением $\Lambda$ из множества гиперграней $\{F_1,\dots, F_m\}$ многогранника $P$ в $\mathbb Z_2^n=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^n$ таким, что для каждой грани образы содержащих ее гиперграней линейно независимы. В [7; пример 1.21] приведен набросок доказательства того, что геометрическое разложение существует для трехмерных многообразий, реализуемых как малые накрытия над простыми трехмерными многогранниками: “$\langle\,{\dots}\,\rangle$ рассмотрим трехмерные многообразия $M^3$, которые возникают как малые накрытия над такими $P^3$. Если $P^3$ не имеет треугольных и четырехугольных граней, то из теоремы Андреева $\langle\,{\dots}\,\rangle$ следует, что он может быть реализован как прямоугольный многогранник в трехмерном гиперболическом пространстве. Тогда любое малое накрытие имеет гиперболическую структуру. Если $P^3$ не имеет треугольных граней, то $M^3$ можно разложить на многообразия Зейферта и гиперболические части, склеенные вдоль торов и бутылок Клейна, возникающих из четырехугольных граней. В частности, такое многообразие $M^3$ является асферическим. Если $P^3$ имеет треугольные грани, то $M^3$ можно разложить на такие части, склеенные вдоль проективных плоскостей. Конечно, это все соответствует гипотезе Тёрстона”. На самом деле любое отображение $\Lambda\colon \{F_1,\dots, F_m\}\to \mathbb Z_2^r$ такое, что для любой грани образы содержащих ее гиперграней линейно независимы, задает многообразие $M(P,\Lambda)$, которое мы называем многообразием, определяемым векторной раскраской $\Lambda$. Если $r=n$, то $M(P,\Lambda)$ является малым накрытием, а если $r=m$ и образы всех гиперграней линейно независимы, то $M(P,\Lambda)$ является вещественным момент-угол многообразием $\mathbb R\mathcal{Z}_P$. В настоящей работе мы решаем следующую задачу. Задача 0.4. Найти в явном виде геометрическое разложение любого ориентируемого трехмерного многообразия $M(P,\Lambda)$, определяемого векторной раскраской $\Lambda$ простого трехмерного многогранника $P$. В частности, любого ориентируемого малого накрытия и любого вещественного момент-угол многообразия над трехмерным многогранником. Ответ мы даем в теореме 4.12. Оказалось, для того чтобы найти геометрическое разложение в явном виде, нужны следующие дополнительные рассуждения. 1) Использовать $3$-пояса и $4$-пояса в дополнение к треугольным и четырехугольным граням (для симплициальных многогранников такие пояса отвечают $3$-циклам, не ограничивающим грань, и бесхордовым $4$-циклам, где “хордой” называется ребро многогранника, соединяющее две непоследовательные вершины цикла). 2) Использовать каноническое разложение простого трехмерного многогранника относительно операции связной суммы вдоль вершин на симплексы и флаговые трехмерные многогранники (т.е. простые трехмерные многогранники, которые отличны от симплекса и не имеют $3$-поясов). Оно отвечает разложению Кнезера–Милнора ориентированного трехмерного многообразия в связную сумму простых многообразий. 3) Использовать трехмерные прямоугольные (т.е. все двугранные углы между смежными гранями прямые) гиперболические многогранники конечного объема и простые многогранники, получаемые срезкой их бесконечно удаленных вершин. Последнее семейство многогранников исследовалось в [8; п. 10.3] и [9]. Вместе с кубом и пятиугольной призмой мы называем их почти погореловскими многогранниками. На основе теорем Андреева можно показать, что это в точности простые трехмерные многогранники, которые отличны от симплекса, не имеют $3$-поясов, и каждый их $4$-пояс окружает грань. 4) Найти каноническое “минимальное” разрезание флагового простого трехмерного многогранника вдоль $4$-поясов на $k$-угольные призмы, $k\geqslant 5$, и почти погореловские многогранники. Это разложение является частным случаем более общего разложения так называемого кокстеровского орбифолда в [10]. Оказывается, может быть много неэквивалентных способов разрезать флаговый многогранник вдоль $4$-поясов на почти погореловские многогранники. Такие разложения использовались в [8] (см. также [11; после теоремы 20.5.2]) для доказательства гипотезы Зингера об обнулении приведенных $l^2$-гомологий замкнутого асферического многообразия во всех размерностях, кроме средней, для специального класса трехмерных многообразий, возникающих из прямоугольных групп Кокстера. Работа [10] также мотивирована этой тематикой. Каноническое разложение флагового трехмерного многогранника отвечает $\mathrm{JSJ}$-разложению ориентированного неприводимого трехмерного многообразия $M(P,\Lambda)$. $\mathrm{JSJ}$-торы, которые, вообще говоря, определены с точностью до изотопии, отвечают “каноническим” $4$-поясам многогранника $P$ и четырехугольникам почти погореловских многогранников, которые не возникают в результате разрезания вдоль этих поясов. Каждый такой “свободный четырехугольник” почти погореловского многогранника отвечает набору попарно непересекающихся несжимаемых подмногообразий, которые являются либо торами $T^2$ (если соответствующий вектор $\Lambda_i$ не лежит в подпространстве, порожденном векторами $\Lambda_j$ соседних граней), или бутылками Клейна $K^2$ (если $\Lambda_i$ лежит в этом подпространстве), а $4$-пояс вокруг четырехугольника отвечает границам трубчатых окрестностей этих подмногообразий. Торы $T^2$ сами по себе являются $\mathrm{JSJ}$-торами, а для случая бутылок Клейна $\mathrm{JSJ}$-торами являются границы их трубчатых окрестностей. 5) Доказать, что возникающие поверхности являются несжимаемыми. Для этого мы используем ретракцию вещественного момент-угол комплекса $\mathcal{Z}_K$ на его подмножество, отвечающее полному подкомплексу $K_I$. Этот метод был рассказан автору Т. Е. Пановым (см. [1; упражнение 4.2.13] и [12; предложение 2.2]). Альтернативный подход, основанный на явном описании фундаментальных групп, можно найти в работах [13]–[15]. Для подмногообразий, отвечающих гиперграням, несжимаемость была доказана в [14; теорема 3.3]. Другой подход к этому результату представлен в [8], [16], [11] и основан на том факте, что подмногообразие, отвечающее гиперграни, является вполне геодезической гиперповерхностью в пространстве $M(P,\Lambda)$ со структурой кубического комплекса неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова и М. Л. Громова (см. [17]). Как отмечалось выше, некоторые из $\mathrm{JSJ}$-торов, отвечающих $4$-поясам вокруг четырехугольников, ограничивают ориентируемые многообразия, которые являются $I$-расслоениями над $K^2$. На этих частях можно ввести евклидову структуру бесконечного объема. Чтобы уменьшить количество геометрических частей и сделать их объем конечным, такие торы нужно заменить соответствующими бутылками Клейна. 6) В явном виде ввести геометрическую структуру на частях разрезанного многообразия. Это можно сделать, используя конструкцию А. Ю. Веснина и А. Д. Медных из работ [18]–[23], где рассматривался случай прямоугольных многогранников конечного объема в пространствах $\mathbb R^3$, $S^3$, $\mathbb{H}^3$, $S^2\times \mathbb R$ и $\mathbb{H}^2\times \mathbb R$. Векторная раскраска определяет подгруппу в прямоугольной группе Кокстера, порожденной отражениями в гранях прямоугольного многогранника. Эта подгруппа действует свободно, и пространство орбит является многообразием с геометрической структурой. В нашем случае каждый флаговый трехмерный многогранник канонически разрезается вдоль 4-поясов и свободных четырехугольников на части, гомеоморфные (с сохранением структуры граней) прямоугольным многогранникам конечного объема в перечисленных пяти геометриях. Это задает геометрическую структуру на соответствующих частях многообразия $M(P,\Lambda)$. Для геометрий $\mathbb{H}^3$ и $S^3$ два прямоугольных многогранника конечного объема комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изометричны, в то же время для $\mathbb{H}^2\times \mathbb R$, $\mathbb R^3$ и $S^2\times \mathbb R$ это не так. Простые ориентируемые трехмерные многообразия $M(P,\Lambda)$ соответствуют: 1) симплексу $\Delta^3$: $M(P,\Lambda)$ является либо сферой $S^3$, либо проективным пространством $\mathbb RP^3$; оба многообразия неприводимы; 2) треугольной призме $\Delta^2\times I$: $M(P,\Lambda)$ является либо простым многообразием $S^2\times S^1$, либо многообразием $\mathbb{R}P^3\#\mathbb{R}P^3$, которое простым не является; 3) флаговым простым трехмерным многогранникам: каждое многообразие $M(P,\Lambda)$ является асферическим (т.е. $\pi_i(M(P,\Lambda))=0$ для $i>1$), поэтому неприводимым. На ориентируемых многообразиях $M(P,\Lambda)$ или их частях мы получаем геометрические структуры конечного объема, моделируемые на следующих геометриях. $\bullet$ $S^3$: в этой геометрии $\Delta^3$ реализуется как прямоугольный многогранник (единственным образом с точностью до изометрии), а $M(P,\Lambda)$ есть $S^3$ или $\mathbb RP^3$. $\bullet$ $S^2\times \mathbb R$: в этой геометрии $\Delta^2\times I$ реализуется как прямоугольный многогранник (прямоугольная реализация $\Delta^2\subset S^2$ единственна с точностью для изометрии, а $I\subset\mathbb R$ не единственна), а $M(P,\Lambda)$ есть $S^2\times S^1$ или $\mathbb RP^3\#\mathbb RP^3$. $\bullet$ $\mathbb R^3$, $\mathbb H^2\times \mathbb R$, $\mathbb{H}^3$: флаговый простой трехмерный многогранник либо является кубом $I^3$ (т.е. $4$-призмой), либо $k$-призмой с $k\geqslant 5$, либо многогранником Погорелова (т.е. флаговым многогранником без $4$-поясов), либо не принадлежит к перечисленным классам.
В § 1 приводятся определения и основные факты о многообразиях, определяемых векторными раскрасками многогранников. В частности, в предложении 1.12 мы даем критерий того, что многообразие $M(P,\Lambda)$ ориентируемо (обобщая случай малых накрытий, рассмотренный в [24]), а в предложении 1.22 для неориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ мы строим ориентируемое двулистно накрывающее многообразие в виде $M(P,\widehat{\Lambda})$. Мы рассматриваем частично упорядоченное множество $\mathcal{F}(P)$ подгрупп $H(\Lambda)\subset \mathbb Z_2^m$, действующих свободно на $\mathbb R\mathcal{Z}_P$, и в примере 1.18 для трехмерного многогранника $P$ описываем подгруппу размерности, меньшей чем $m-3$, отвечающую максимальному элементу этого множества. В § 2 мы развиваем технику $k$-поясов простых трехмерных многогранников. Мы вводим понятия вложенного семейства поясов и отвечающего ему вложенного семейства кривых. В лемме 2.15 мы доказываем, что любое вложенное семейство поясов допускает вложенное семейство кривых, а в лемме 2.20 – что любые два вложенных семейства кривых, отвечающие одному и тому же семейству поясов, изотопны в этом классе. Мы рассматриваем операции разрезания трехмерного многогранника вдоль пояса и связной суммы двух трехмерных многогранников вдоль вершин и вдоль граней, окруженных поясами. В следствиях 2.32 и 2.34 мы доказываем, что для любого вложенного семейства $3$-поясов и любого вложенного семейства $4$-поясов существует геометрическая реализация трехмерного многогранника $P$ и набор плоскостей такие, что сечения многогранника плоскостями попарно не пересекаются, и их границы задают соответствующее вложенное семейство кривых. В § 3 мы строим разложение на простые слагаемые любого ориентируемого трехмерного многообразия $M(P,\Lambda)$. Сначала в предложении 3.6 мы представляем многообразие, отвечающее связной сумме простых трехмерных многогранников вдоль вершин, в виде связной суммы копий соответствующих многообразий и копий многообразия $S^2\times S^1$. Затем в теореме 3.12 мы доказываем основной результат параграфа. В § 4 мы доказываем основной результат статьи. Сначала в пп. 4.1 и 4.2 мы приводим общую информацию о $\mathrm{JSJ}$-разложении и геометризации. Затем в п. 4.3 на основе этой информации мы находим $\mathrm{JSJ}$-разложение и геометрическое разложение любого неприводимого ориентируемого трехмерного многообразия $M(P,\Lambda)$. Основной результат статьи – это теорема 4.12. Ее доказательство разбито на несколько шагов. Сначала в подпункте 4.3.1 мы строим каноническое разложение флагового трехмерного многогранника вдоль $4$-поясов и доказываем его единственность. Затем в подпункте 4.3.2 мы изучаем подмногообразия, отвечающие поясам и граням, окруженным поясами. В предложениях 4.23 и 4.27 мы описываем их в явном виде и доказываем, что такие подмногообразия являются несжимаемыми. В подпункте 4.3.3 мы завершаем доказательство теоремы 4.12. В предложении 4.31 мы описываем в явном виде части многообразия $M(P,\Lambda)$, отвечающие $k$-призмам, в частности, их структуры многообразия Зейферта. Затем мы доказываем, что построенное семейство торов является в точности семейством $\mathrm{JSJ}$-торов. Наконец, мы доказываем, что $M(P,\Lambda)$ не может быть $\mathrm{Sol}$-многообразием и строим явную геометризацию, используя конструкцию 4.11 А. Ю. Веснина и А. Д. Медных. § 1. Многообразия, определяемые векторными раскрасками многогранниковДля знакомства с теорией многогранников мы рекомендуем книгу [25]. В этой статье многогранником мы называем $n$-мерный комбинаторный выпуклый многогранник (в большинстве случаем $n$ будет равно $3$). Иногда мы неявно используем его геометрическую реализацию в $\mathbb R^n$, а иногда мы это специально оговариваем. В последнем случае мы называем многогранник геометрическим. Многогранник называется простым, если каждая его вершина содержится ровно в $n$ гипергранях. Пусть $\{F_1,\dots,F_m\}$ – множество всех гиперграней и $\mathbb Z_2=\mathbb Z/2\mathbb Z$. Определение 1.1. Каждому геометрическому простому многограннику $P$ можно сопоставить $n$-мерное вещественное момент-угол многообразие: где $e_1,\dots, e_m$ – базис векторного пространства $\mathbb Z_2^m$. Пространство $\mathcal{Z}_P$ было введено в [7]. Удобно представлять себе $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ как пространство, склеенное из копий многогранника $P$ вдоль гиперграней. Зафиксируем ориентацию на $P\times 0$ и на многограннике $P\times a$ зададим ту же ориентацию, если $a$ имеет четное число единичных координат, и противоположную ориентацию иначе. Многогранник $P\times a$ приклеивается к $P\times (a+e_i)$ вдоль гиперграни $F_i$. В каждой вершине многогранники сходятся, как координатные ортанты в начале координат в $\mathbb R^n$, в каждом ребре – как ортанты в координатной оси, в грани размерности $i$ – как ортанты в $i$-мерном координатном подпространстве. Таким образом, $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ имеет естественную структуру ориентированного кусочно линейного многообразия. На нем имеется естественное действие группы $\mathbb Z_2^m$, индуцированное действием этой группы на втором множителе прямого произведения. Действия базисных векторов $e_i$ можно рассматривать как отражения в гипергранях многогранника. Пример 1.2. Для $k$-угольника $P_k$ замкнутое ориентируемое двумерное многообразие $\mathbb R\mathcal{Z}_{P_k}$ гомеоморфно сфере с $g$ ручками. Род $g$ можно вычислить, используя эйлерову характеристику: Таким образом, $g=(k-4)2^{k-3}+1$. Имеется другое представление пространства $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$. Симплициальным комплексом $K$ на множестве вершин $[m]=\{1,\dots,m\}$ мы называем абстрактный симплициальный комплекс, т.е. набор подмножеств $\sigma\subset[m]$ такой, что для любых $\sigma\in K$ и $\tau\subset\sigma$ выполнено $\tau\in K$. Подмножества $\sigma\in K$ называются симплексами. Положим $D^1=[-1,1]$ и $S^0=\{-1,1\}=\partial D^1$. Имеется естественное действие группы $\mathbb Z_2^m$ на $\mathbb R\mathcal{Z}_K$, возникающее из отождествления аддитивной группы $\mathbb Z_2=\{0,1\}$ с мультипликативной группой $\{-1,1\}$, которая действует заменами знаков координат. Каждый простой многогранник $P$ отвечает симплициальному комплексу
$$
\begin{equation*}
K_P=\biggl\{\sigma\subset [m]\colon \bigcap_{i\in \sigma}F_i\ne\varnothing\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфному граничному комплексу $\partial P^*$ двойственного симплициального многогранника. Из этого гомеоморфизма следует, что топологический тип пространства $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ не зависит от геометрической реализации многогранника $P$. Доказательство (набросок доказательства предложения 1.4). Рассмотрим барицентрическое вложение $b\colon P\to [0,1]^m$, которое определяется как отображение, линейное на симплексах барицентрического подразбиения многогранника $P$ и принимающее на вершинах этого разбиения значения Обозначим через $[0,1]^P$ образ этого вложения. Тогда гомеоморфизм $\mathbb R\mathcal{Z}_P\to \mathbb{R}\mathcal{Z}_{K_P}$ задается как $(x,a)\to a(b(x))$, где $a(b(x))$ – результат действия элемента $a\in\mathbb Z_2^m$ на $b(x)\in [0,1]^P\subset \mathbb{R}\mathcal{Z}_{K_P}$. Доказательство окончено. Рассмотрим многообразия, получаемые как пространства орбит свободных действий подгрупп $H\subset\mathbb Z_2^m$ на $\mathbb R\mathcal{Z}_P$. Каждая подгруппа в $\mathbb Z_2^m$ изоморфна $\mathbb Z_2^{m-r}$ для некоторого $r$ и может быть задана как ядро эпиморфизма $\Lambda\colon\mathbb Z_2^m\to\mathbb Z_2^r$. Такое отображение однозначно определяется образами $\Lambda_i\in\mathbb Z_2^r$ всех векторов $e_i\in\mathbb Z_2^m$, отвeчающих гиперграням $F_i$, $i=1,\dots,m$. Можно показать (см. [1]), что действие подгруппы $H(\Lambda)\subset \mathbb Z_2^m$ на $\mathbb R\mathcal{Z}_P$ свободно тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\text{для любой вершины $F_{i_1}\cap\dots\cap F_{i_n}$ многогранника $P$} \\ &\qquad \text{векторы $\Lambda_{i_1},\dots,\Lambda_{i_n}$ линейно независимы.} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{$*$}
$$
Определение 1.5. Мы называем отображение $\Lambda\colon \{F_1,\dots,F_m\}\to \mathbb Z_2^r$ такое, что образы $\Lambda_j$ гиперграней $F_j$ порождают $\mathbb Z_2^r$ и выполнено условие ($*$) векторной раскраской ранга $r$. Замечание 1.6. Иногда мы будем также называть векторной раскраской ранга $r$ отображение $\Lambda\colon \{F_1,\dots,F_m\}\to \mathbb Z_2^s$, $s\geqslant r$, удовлетворяющее условиям ($*$) и $\dim\langle\Lambda_1,\dots,\Lambda_m\rangle=r$. Замечание 1.7. Понятие векторной раскраски не является новым. Оно неявно использовалось, например в [19], [20], [7], [27]. Аналогия между отображениями $\{F_1,\dots,F_m\}\to \mathbb Z_2^r$ и раскрасками гиперграней многогранника рассматривалась в [28]. В частности, в [28] имеется понятие линейно независимой раскраски, эквивалентное нашему понятию векторной раскраски. Для $r=n$ такое понятие использовалось уже в [24]. Если все векторы $\Lambda_1,\dots, \Lambda_m$ принадлежат множеству $\{e_1,\dots,e_r\}$, образующему базис в $\mathbb Z_2^r$, то многообразия, определяемые такими раскрасками, изучались в [29]. Обозначим через $M(P,\Lambda)$ пространство орбит $\mathbb R\mathcal{Z}_P/H(\Lambda)$ свободного действия подгруппы, отвечающей векторной раскраске ранга $r$. Если отождествить $\mathbb Z_2^m/\operatorname{Ker}\Lambda$ с $\mathbb Z_2^r$ при помощи отображения $\Lambda$, то
$$
\begin{equation*}
M(P,\Lambda)=P\times \mathbb Z_2^r/\sim, \quad\text{где }\ (p,a)\sim(q,b) \quad\Longleftrightarrow\quad p=q, \quad a-b\in\langle \Lambda_i\colon p\in F_i\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, пространство $M(P,\Lambda)$ имеет структуру кусочно линейного многообразия, склеенного из $2^r$ копий многогранника $P$. На нем определено действие группы $\mathbb Z_2^r$, пространство орбит которого совпадает с $P$. Определение 1.8. Мы называем $M(P,\Lambda)$ многообразием, определяемым векторной раскраской $\Lambda$ многогранника $P$. Пример 1.9. Для $r=m$ и отображения $\Lambda_i=e_i$ многообразие $M(P,E)$ совпадает с $\mathbb R\mathcal{Z}_P$. Для $r=n$ отображение $\Lambda$, удовлетворяющее условию ($*$), называется характеристической функцией, а многообразие $M(P,\Lambda)$ – малым накрытием многогранника $P$. Предложение 1.10. Для векторных раскрасок $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ рангов $r_1$ и $r_2$ многогранника $P$ подгруппа $H(\Lambda_1)$ содержится в $H(\Lambda_2)$ тогда и только тогда, когда существует сюръекция $\Pi\colon\mathbb Z_2^{r_1}\to \mathbb Z_2^{r_2}$ такая, что $\Pi \circ \Lambda_1=\Lambda_2$. Доказательство. Подгруппа $H(\Lambda_1)$ содержится в $H(\Lambda_2)$ тогда и только тогда, когда каждая строка матрицы $\Lambda_2$ со столбцами $\Lambda_{2,i}$ является линейной комбинацией строк матрицы $\Lambda_1$. Это эквивалентно существованию сюръекции $\Pi\colon\mathbb Z_2^{r_1}\to \mathbb Z_2^{r_2}$ такой, что $\Pi(\Lambda_{1,i})=\Lambda_{2,i}$ для всех $i=1,\dots,m$. Предложение доказано. Следствие 1.11. Подгруппы $H(\Lambda_1)$ и $H(\Lambda_2)$ совпадают тогда и только тогда, когда существует изоморфизм $\Pi\colon \mathbb Z_2^{r_1}\to\mathbb Z_2^{r_2}$ такой, что $\Pi\circ\Lambda_1=\Lambda_2$. Если $H(\Lambda_1)\subset H(\Lambda_2)$, то $M(P,\Lambda_2)$ является пространством орбит свободного действия группы $H(\Lambda_2)/H(\Lambda_1)$ на $M(P,\Lambda_1)$, в частности имеется накрытие $M(P,\Lambda_1)\to M(P,\Lambda_2)$ со слоем $H(\Lambda_2)/H(\Lambda_1)$. Следующий результат является обобщением результата из работы [24], который касается только малых накрытий. Предложение 1.12. Пусть векторы $\Lambda_{j_1}, \dots, \Lambda_{j_r}$ образуют базис пространства $\mathbb Z_2^r$. Тогда многообразие $M(P,\Lambda)$ ориентируемо тогда и только тогда, когда каждый вектор $\Lambda_i$ является суммой нечетного числа этих векторов. Доказательство. Для того чтобы многообразие $M(P,\Lambda)=P\times \mathbb Z_2^r/\sim$ было ориентируемо, необходимо и достаточно задать такие ориентации многогранников $P\times a$, $a\in\mathbb Z_2^r$, чтобы для любых $a$ и $i$ многогранники $P\times a$ и $P\times (a+\Lambda_i)$, граничащие по $F_i\times a$, имели противоположные ориентации. Если задать ориентацию многогранника $P\times 0$ и переходить только через гиперграни $F_{j_1},\dots,F_{j_r}$, мы можем попасть комбинациями таких переходов в любую копию $P\times a$ и тем самым зададим в ней ориентацию. Она будет такой же, как у $P\times 0$, тогда и только тогда, когда $a$ является суммой четного числа векторов $\Lambda_{j_l}$. Тогда ориентации многогранников $P\times a$ и $P\times (a+\Lambda_i)$ противоположны тогда и только тогда, когда $\Lambda_i$ является суммой нечетного числа векторов $\Lambda_{j_l}$. Предложение доказано. Из теоремы о четырех красках следует, что над любым трехмерным многогранником существует малое накрытие. А именно, пусть грани трехмерного многогранника $P$ раскрашены в четыре цвета таким образом, что смежные грани имеют разный цвет. Сопоставим первым трем цветам базисные векторы $e_1$, $e_2$, $e_3\in\mathbb Z_2^3$, а четвертому цвету – вектор $e_1+e_2+e_3$. Так как любые три из этих четырех векторов линейно независимы, мы получаем характеристическую функцию. Следствие 1.13 (см. [24]). Трехмерное малое накрытие $M(P,\Lambda)$ ориентируемо тогда и только тогда, когда соответствующая ему характеристическая функция отвечает раскраске не более чем в четыре цвета. Замечание 1.14. Для ограниченных прямоугольных гиперболических многогранников ориентируемость многообразий, отвечающих раскраскам не более чем в четыре цвета, упоминается уже в [19], [20]. Максимальная размерность подгрупп в $\mathbb Z_2^m$, действующих свободно на $\mathbb R\mathcal{Z}_P$, называется вещественным числом Бухштабера $s_{\mathbb R}(P)$ (см. [27], [28], [30], [31]). Легко видеть, что $1\leqslant s_{\mathbb R}(P)\leqslant m-n$. Вышеизложенные аргументы показывают, что $s_{\mathbb R}(P)=m-3$ для любого простого трехмерного многогранника. Рассмотрим все подгруппы в $\mathbb Z_2^m$, действующие свободно на $\mathbb R\mathcal{Z}_P$. Они образуют частично упорядоченное множество $\mathcal{F}(P)$ по отношению к включению. В процессе обсуждения этой статьи с В. М. Бухштабером возникли следующие естественные вопросы. Вопрос 1.16. Найти множество (или мультимножество) целых чисел, состоящее из рангов подгрупп, лежащих в $\mathcal{F}(P)$. Вопрос 1.17. Вычислить минимальный ранг $m(P)$ подгрупп, которые являются максимальными элементами в $\mathcal{F}(P)$. Эти вопросы приводят к новым комбинаторным инвариантам, обобщающим вещественное число Бухштабера. Из определения следует, что число $s_{\mathbb R}(P) $ равно максимуму всех элементов (мульти)множества из вопроса 1.16. В следующем примере показано, что число $m(P)$ может быть меньше чем $s_{\mathbb R}(P)$. В частности, оно несет в себе дополнительную информацию о комбинаторике многогранника $P$. Пример 1.18 (ориентируемое многообразие, отвечающее максимальное подгруппе размерности, меньшей чем $m-n$). На рис. 1 представлена диаграмма Шлегеля трехмерного ассоциэдра $As^3$. Этот многогранник можно реализовать как трехмерный куб $I^3$ с тремя срезанными попарно перпендикулярными непересекающимися ребрами. Диаграмма Шлегеля – это комплекс из многогранников, который получается, если спроектировать граничный комплекс многогранника на одну из его гиперграней из точки, лежащей снаружи многогранника близко к этой гиперграни. Также на рис. 1 представлена векторная раскраска $\Lambda$ ранга $4$. Из предложения 1.12 следует, что $M(As^3,\Lambda)$ – ориентируемое многообразие, склеенное из $16$ копий многогранника $As^3$. Пусть имеется сюръекция $\Pi\colon \mathbb Z_2^4\to\mathbb Z_2^3$ такая, что $\Pi\Lambda$ снова удовлетворяет условию ($*$). Так как векторы $\Pi(e_1)$, $\Pi(e_2)$ и $\Pi(e_3)$ соответствуют граням, сходящимся в вершине многогранника $As^3$, эти векторы образуют базис в $\mathbb Z_2^3$. С другой стороны, вектор $\Pi(e_4)$ должен быть отличен $\Pi(e_1)$, $\Pi(e_2)$, $\Pi(e_3)$, и $\Pi(e_1)+\Pi(e_2)+\Pi(e_3)$, так как эти векторы отвечают граням, смежным с четырехугольниками, соответствующими вектору $\Pi(e_4)$. Также $\Pi(e_4)$ отличен от $\Pi(e_1)+\Pi(e_2)$, $\Pi(e_2)+\Pi(e_3)$ и $\Pi(e_3)+\Pi(e_1)$, так как эти векторы являются суммами векторов, отвечающих граням, вместе с одним из этих четырехугольников сходящимся в некоторой вершине. Также $\Pi(e_4)\ne 0$ по свойству ($*$). Таким образом, в $\mathbb Z_2^3$ нет вектора, который можно было бы выбрать в качестве образа вектора $e_4$. Следовательно, $H(\Lambda)$ – максимальная свободно действующая подгруппа в $\mathbb Z_2^m$ для $As^3$. Замечание 1.19. Для простого трехмерного многогранника $P$ максимальные элементы множества $\mathcal{F}(P)$ имеют важное значение благодаря следующему факту (см. [2; теорема 1.9.3]). Пусть $N$ – замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие, $p\colon \widehat{N}\to N$ – конечнолистное накрытие и $S_1,\dots, S_m$ – торы и бутылки Клейна в геометрическом разложении многообразия $N$ в теореме 0.2. Тогда многообразие $\widehat{N}$ неприводимо и связные компоненты прообраза $p^{-1}(S_1\sqcup\dots\sqcup S_m)$ задают геометрическое разложение для $\widehat{N}$. В нашем случае каждое многообразие $M(P,\Lambda)$ накрывается многообразием $\mathbb R\mathcal{Z}_P$ и накрывает $M(P,\Lambda')$, где $H(\Lambda')$ – максимальный элемент в $\mathcal{F}(P)$. Однако мы не будем пользоваться последним накрытием, поскольку случай многообразия $\mathbb R\mathcal{Z}_P$ более простой и удобнее изучать накрытие $\mathbb R\mathcal{Z}_P\to M(P,\Lambda)$. Предложение 1.20. Пусть $\Lambda_{i_1},\dots,\Lambda_{i_r}$ – базис пространства $\mathbb Z_2^r$, где $\Lambda$ – векторная раскраска ранга $r$ простого $n$-мерного многогранника $P$. Подгруппа $H(\Lambda)$ отвечает максимальному элементу в $\mathcal{F}(P)$ тогда и только тогда, когда для любого $j=1,\dots,r$ и любого отображения $\Pi_{j,a}\colon \mathbb Z_2^r\to \mathbb Z_2^{r-1}$, определяемого как Доказательство. Если композиция $\Pi_{j,a}\circ \Lambda$ удовлетворяет условию ($*$)
, то подгруппа $H(\Lambda)\subset H(\Pi_{j,a}\circ \Lambda)$ не максимальна. С другой стороны, если подгруппа $H(\Lambda)$ не максимальна в $\mathcal{F}(P)$, она лежит в свободно действующей подгруппе ранга $\dim H(\Lambda)+1$. Это отвечает сюрьекции $\varphi\colon \mathbb Z_2^r\to\mathbb Z_2^{r-1}$ такой, что $\varphi\circ\Lambda$ удовлетворяет условию ($*$). Тогда $r-1$ из векторов $\varphi(\Lambda_{i_1}),\dots,\varphi (\Lambda_{i_r})$ образуют базис в $\mathbb Z_2^{r-1}$ и имеется автоморфизм $A$ пространства $\mathbb Z_2^{r-1}$ такой, что $A\,{\circ}\, \varphi=\Pi_{j,a}$ для некоторых $j$, $a$. Тогда $\Pi_{j,a}\circ \Lambda$ также удовлетворяет условию ($*$). Предложение доказано. Конструкция 1.21 (ориентируемое двулистное накрытие). Пусть $M(P,\Lambda)$ – неориентируемое многообразие и $\Lambda_{j_1},\dots,\Lambda_{j_r}$ – базис в $\mathbb Z_2^r$. Далее мы рассматриваем координаты в этом базисе. Имеем включение $\mathbb Z_2^r\subset \mathbb Z_2^{r+1}$ как подмножества элементов, у которых последняя координата равна нулю. Тогда $\Lambda_{j_1},\dots,\Lambda_{j_r}$, $e_{r+1}=(0,\dots,0,1)$ – базис в $\mathbb Z_2^{r+1}$ и есть сюръекция $\Pi\colon \mathbb Z_2^{r+1}\to\mathbb Z_2^r$, задаваемая как $\Pi(\Lambda_{j_s})=\Lambda_{j_s}$, $s=1,\dots,r$, $\Pi(e_{r+1})=\Lambda_{i_0}$, где вектор $\Lambda_{i_0}$ имеет четное число ненулевых координат. Тогда $\operatorname{Ker} \Pi=\langle e_{r+1}+\Lambda_{i_0}\rangle$. Рассмотрим отображение $\widehat{\Lambda}\colon \{F_1,\dots,F_m\}\to \mathbb Z_2^{r+1}$, Предложение 1.22. Для неориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ отображение $\widehat{\Lambda}$ является векторной раскраской (ранга $r+1$) и $M(P,\widehat{\Lambda})$ – ориентируемое двулистное накрытие. Доказательство. Докажем, что $\widehat{\Lambda}$ удовлетворяет условию ($*$). Действительно, если $F_{i_1}\cap\dots\cap F_{i_n}$ – вершина, то векторы $\Lambda_{i_1},\dots,\Lambda_{i_n}$, $e_{r+1}+\Lambda_{i_0}$ линейно независимы. Для нетривиальной линейной зависимости $\mu_1\widehat{\Lambda}_{i_1}+\dots+\mu_n\widehat{\Lambda}_{i_n}=0$ имеем где $p_1,\dots,p_l\in\{i_1,\dots, i_n\}$ – индексы векторов с четным числом ненулевых координат. В частности, $\mu_1=\dots=\mu_n=0$. Противоречие.
Покажем, что в базисе $\widehat{\Lambda}_{j_1}=\Lambda_{j_1},\dots,\widehat{\Lambda}_{j_r}=\Lambda_{j_r}$, $\widehat{\Lambda}_{i_0}=e_{r+1}$ каждый вектор $\widehat{\Lambda}_i$ имеет нечетное число ненулевых координат. Действительно, если $\Lambda_i$ имеет нечетное число ненулевых координат в базисе $\Lambda_{j_1},\dots,\Lambda_{j_r}$, то $\widehat{\Lambda}_i=\Lambda_i$ и для него утверждение доказано. Если $\Lambda_i$ имеет четное число ненулевых координат в базисе $\Lambda_{j_1},\dots,\Lambda_{j_r}$, то
$$
\begin{equation*}
\widehat{\Lambda}_i=\Lambda_i+(e_{r+1}+\Lambda_{i_0})=(\Lambda_i+\Lambda_{i_0})+e_{r+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот вектор имеет четное число ненулевых координат, отвечающих первым $r$ базисным векторам, и одну – вектору $e_{r+1}$. Утверждение доказано. Таким образом, $M(P,\widehat{\Lambda})$ – ориентируемое многообразие. Кроме того, $\Pi(\widehat{\Lambda}_i)=\Lambda_i$ для всех $i$ согласно конструкции. Таким образом, $H(\widehat{\Lambda})\subset H(\Lambda)$ – подгруппа индекса $2$, и $M(P,\Lambda)$ – факторпространство свободно действующей на $M(P,\widehat{\Lambda})$ инволюции. Эта инволюция меняет ориентацию, иначе $M(P,\Lambda)$ ориентируемо. Для каждого многогранника в разбиении многообразия $M(P,\Lambda)$ многообразие $M(P,\widehat{\Lambda})$ имеет два многогранника с противоположными ориентациями, отображаемые на него при накрытии. Это в точности конструкция ориентируемого двулистного накрытия. Предложение доказано. § 2. Пояса и операции с трехмерными многогранниками2.1. Пояса и семейства трехмерных многогранниковОпределение 2.1. $k$-поясом трехмерного многогранника называется циклическая последовательность из $k$ граней, в которой смежными являются последовательные грани и только они и никакие три грани не имеют общей вершины. $k$-пояс называется тривиальным, если он окружает грань. Из кусочно линейных версий теорем Жордана и Шенфлиса следует, что любая кусочно линейная простая замкнутая кривая на поверхности трехмерного многогранника разделяет сферу $\partial P$ на две компоненты связности $\partial P\setminus\gamma=C_1\sqcup C_2$ такие, что граница каждой компоненты $C_i$ совпадает с $\gamma$ и существует кусочно линейный гомеоморфизм замыкания $\overline{C_i}$ на некоторый многоугольник, отображающий кривую $\gamma$ на его границу. Для $k$-пояса $\mathcal{B}$ множество $|\mathcal{B}|=\bigcup_{F_i\in \mathcal{B}}F_i\subset \partial P$ топологически является цилиндром, ограниченным двумя простыми реберными циклами, каждый из которых также ограничивает топологический диск снаружи пояса. Определение 2.2. Каждому $k$-поясу $\mathcal{B}$ простого трехмерного многогранника $P$ сопоставим кусочно линейную простую замкнутую кривую $\gamma(\mathcal{B})\subset\operatorname{int}|\mathcal{B}|\subset\partial P$, состоящую из отрезков, соединяющих середины ребер пересечения каждой грани пояса со следующей и предыдущей гранями. Будем называть кривую $\gamma(\mathcal{B})$ средней линией пояса $\mathcal{B}$. Определение 2.3. Простой многогранник $P$ называется флаговым, если любой набор его попарно пересекающихся гиперграней $F_{i_1},\dots,F_{i_k}$ имеет непустое пересечение $F_{i_1}\cap\dots\cap F_{i_k}\ne \varnothing$. Можно показать, что простой трехмерный многогранник является флаговым тогда и только тогда, когда он отличен от симплекса $\Delta^3$ и не имеет $3$-поясов. Также можно показать, что любой флаговый трехмерный многогранник имеет $m\geqslant6$ граней, и если их ровно шесть, то многогранник комбинаторно эквивалентен кубу $I^3$. Из результатов работ А. В. Погорелова [32] и Е. М. Андреева [33] следует, что простой трехмерный многогранник $P$ реализуется в пространстве Лобачевского (гиперболическом пространстве) $\mathbb H^3$ как ограниченный многогранник с прямыми двугранными углами тогда и только тогда, когда $P$ отличен от симплекса $\Delta^3$ и не имеет $3$- и $4$-поясов. Более того, реализация единственна с точностью до изометрии. Такие многогранники называются многогранниками Погорелова. Как отмечается в [7], малые накрытия над ограниченными прямоугольными многогранниками в пространстве Лобачевского имеют естественную гиперболическую структуру. Такие многообразия были ранее построены А. Ю. Весниным и А. Д. Медных в [18]–[20] (см. конструкцию 4.11) как обобщения многообразия Ф. Лёбелля. Из результатов Дж. Д. Биркгофа [34] следует, что проблема четырех красок сводится к раскраскам граней многогранников Погорелова, у которых каждый $5$-пояс тривиален. Следствие 2.4. Теорема о четырех красках эквивалентна тому, что любой трехмерный ограниченный прямоугольный многогранник в пространстве Лобачевского, у которого любой $5$-пояс окружает грань, допускает ориентируемое малое накрытие. В нашей статье важную роль играет семейство почти погореловских многогранников. Оно состоит из простых трехмерных многогранников $P\ne \Delta^3$, у которых нет $3$-поясов и любой $4$-пояс тривиален. Комбинаторика и гиперболическая геометрия этого семейства изучались в работе [9]. Следующий факт можно вывести непосредственно из определения. Предложение 2.5. Куб $I^3$ ($4$-призма) и $5$-призма – единственные почти погореловские многогранники, у которых есть смежные четырехугольники. Все остальные почти погореловские многогранники не имеют смежных четырехугольников, а число их граней не меньше девяти. Из результатов Е. М. Андреева (см. [33], [35]) следует, что почти погореловские многогранники отвечают прямоугольным многогранникам конечного объема в $\mathbb H^3$ (термин прямоугольный означает, что все двугранные углы между гранями, пересекающимися по ребрам, возможно имеющим вершины на бесконечности (так называемые идеальные вершины), равны ${\pi}/{2}$). Такие многогранники могут иметь $4$-валентные вершины на бесконечности, при этом все собственные вершины имеют валентность $3$. Два прямоугольных многогранника конечного объема в $\mathbb H^3$ можно совместить изометрией пространства тогда и только тогда, когда они комбинаторно эквивалентны (см. [36; гл. 5, п. 2.1]). Предложение 2.6 (см. [8; теорема 10.3.1], а также [9; теорема 6.5]). Срезка $4$-валентных вершин задает биекцию между прямоугольными многогранниками конечного объема в $\mathbb{H}^3$, определенными с точностью до изометрии пространства, и комбинаторными типами почти погореловских многогранников без смежных четырехугольников. Более того, она индуцирует биекцию между бесконечно удаленными вершинами прямоугольного многогранника и четырехугольниками соответствующего почти погореловского многогранника. Трехмерный ассоциэдр $As^3$ является единственным почти погореловским многогранником с $m=9$ (см. [9]). Он отвечает прямоугольной бипирамиде над треугольником. У этой бипирамиды есть две собственные вершины валентности $3$ и три бесконечно удаленные вершины валентности $4$. Недавние результаты об объемах прямоугольных гиперболических многогранников можно найти в [37]–[39]. В [15] изучается вопрос о прямоугольных гиперболических структурах тел с ручками, имеющих простую структуру граней. 2.2. Вложенные семейства поясов и кривыхВ этом пункте мы разовьем технику, позволяющую работать с семействами поясов. Определение 2.7. Пусть $P$ – простой трехмерный многогранник. Мы называем два пояса $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ совместимыми, если средняя линия $\gamma(\mathcal{B}_2)$ лежит в замыкании связной компоненты множества $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B}_1)$. Замечание 2.8. Это определение можно эквивалентно переформулировать в терминах двойственного симплициального многогранника $P^*$. Пояс $\mathcal{B}$ многогранника $P$ отвечает бесхордовому циклу $c(\mathcal{B})$ в $P^*$, который не ограничивает грань, где “хорда” – это ребро многогранника, соединяющее две вершины цикла, не являющиеся последовательными. Пояса $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ совместимы тогда и только тогда, когда $c(\mathcal{B}_2)$ лежит в замыкании связной компоненты множества $\partial P^*\setminus c(\mathcal{B}_1)$. Так как $P$ и $P^*$ имеют комбинаторно эквивалентные барицентрические подразбиения, $\partial P^*$ можно комбинаторно реализовать в барицентрическом подразбиении границы $\partial P$: вершина $\{i\}$ в $P^*$ отвечает барицентру грани $F_i$ в $P$, ребро $\{i,j\}$ – кривой, состоящей из двух отрезков, соединяющих центр ребра $F_i\cap F_j$ с барицентрами граней $F_i$ и $F_j$, а треугольник $\{i,j,k\}$ – объединению шести треугольников с общей вершиной $F_i\cap F_j\cap F_k$. Тогда кривая $\gamma(\mathcal{B})$ изотопна $c(\mathcal{B})$ в этой реализации. Лемма 2.9. Два пояса $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ совместимы тогда и только тогда, когда компонента дополнения $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B}_2)$ лежит в компоненте дополнения $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B}_1)$. Доказательство. Пусть кривая $\gamma_1=\gamma(\mathcal{B}_1)$ делит $\partial P$ на две компоненты $C_1$ и $C_2$, кривая $\gamma_2=\gamma(\mathcal{B}_2)$ – на $D_1$ и $D_2$, и $\gamma_2\subset\overline{C_1}$. Компонента $C_2$ линейно связна и не пересекает $\gamma_2$, поэтому $C_2$ лежит в $D_1$ или $D_2$, скажем в $D_2$. Тогда $D_1\cap \overline{C_2}=\varnothing$. В частности, $D_1\subset C_1$. С другой стороны, если $D_1\subset C_1$, то $\gamma_2=\partial D_1\subset \overline{C_1}$. Лемма доказана. Cледуя обозначениям в доказательстве, если $D_1\subset C_1$, то $C_2\cap \overline {D_1}=\varnothing$. В частности, $C_2\subset D_2$. Таким образом, понятие совместимости симметрично по отношению к кривым $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Лемма 2.10. Если пояса $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ не совместимы, то каждый из них содержит две грани, лежащие в замыканиях разных компонент связности дополнения ко второму поясу в $\partial P$. Доказательство. Пусть $\gamma_1=\gamma(\mathcal{B}_1)$ разделяет $\partial P$ на две компоненты связности $C_1$ и $C_2$, и $\gamma_2=\gamma(\mathcal{B}_2)$. Если пояса не совместимы, то $\gamma_2$ имеет точки и в $C_1$, и в $C_2$. Каждое звено ломаной $\gamma_2$ соединяет центры несмежных ребер некоторой грани $F_i$ пояса $\mathcal{B}_2$. Пусть такое звено $E_2$ содержит точку в $C_1$. Если $F_i$ не принадлежит $\mathcal{B}_1$, то $F_i\subset C_1$. Если принадлежит, то в грани $F_i$ имеется также звено $E_1$ ломаной $\gamma_1$. Так как эти звенья не совпадают (иначе $E_2\subset \gamma_1$ не может иметь точки в $C_1$), либо звено $E_2$ не пересекает $E_1$, либо пересекает $E_1$ трансверсально, либо звенья имеют единственную общую вершину. Во всех случаях $E_2$ имеет вершину в $C_1$. Эта вершина является центром ребра пересечения грани $F_i$ с некоторой гранью $F_j\in \mathcal{B}_2$. Грань $F_j$ имеет точку в $C_1$, смежна с $F_i$ и не следует за ней в $\mathcal{B}_1$. Поэтому $F_j\notin \mathcal{B}_1$, и $F_j\subset C_1$. Аналогично можно найти грань в $\mathcal{B}_2$, лежащую в $C_2$. Доказательство окончено. Определение 2.11. Мы будем называть вложенным семейством поясов набор поясов, в котором любые два пояса совместимы. Следствие 2.12. Для любого трехмерного простого многогранника все его $3$-пояса образуют вложенное семейство (возможно пустое). Доказательство. Если $3$-пояса $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ не совместимы, то $\mathcal{B}_1$ имеет две грани в замыканиях разных связных компонентах дополнения $\partial P\setminus|\mathcal{B}_2|$. Поэтому эти две грани не пересекаются. Противоречие. Следствие доказано. Определение 2.13. Будем называть вложенным семейством кривых набор кусочно линейных простых замкнутых кривых $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B})$, биективно соответствующих поясам $\mathcal{B}$ из вложенного семейства и удовлетворяющих следующим условиям: 1) звенья каждой кривой $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B})$ биективно соответствуют граням пояса $\mathcal{B}$ и каждое звено соединяет две точки из относительных внутренностей (разных) ребер пересечения соответствующей грани с соседними гранями пояса; 2) кривые попарно не пересекаются; Для каждой вершины $v$ ребра $F_i\cap F_j\subset P$ и пояса $\mathcal{B}$, содержащего $F_i$ и $F_j$, имеется единственная связная компонента $C_v(\mathcal{B})$ дополнения $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B})$, содержащая $v$. Предложение 2.14. Для любого вложенного семейства кривых и ребра $E$ многогранника $P$, содержащего точки $v_p\in\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_p)$ и $v_q\in\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_q)$, вершина $v$ ребра $E$ ближе к $v_p$, чем к $v_q$, тогда и только тогда, когда $C_v(\mathcal{B}_p)\subset C_v(\mathcal{B}_q)$. Доказательство. Пусть $C_v(\mathcal{B}_p)\subset C_v(\mathcal{B}_q)$, но вершина $v$ ближе к $v_q$. Рассмотрим отрезки ломаных $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_p)$ и $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_q)$, лежащие на одной грани и начинающиеся в $v_p$ и $v_q$. Если их другие концы $v_p'$ и $v_q'$ лежат на одном ребре, то для этого ребра снова его вершина $v'\in C_{v'}(\mathcal{B}_p)=C_v(\mathcal{B}_p)\subset C_v(\mathcal{B}_q) =C_{v'}(\mathcal{B}_q)$ ближе к $v'_q$, чем к $v_p'$, так как кривые не пересекаются. Возьмем следующие отрезки. Так как кривые отвечают различным совместимым поясам, после нескольких шагов мы придем к двум отрезкам на одной грани, начинающимся на одном ребре, но заканчивающимся на разных ребрах этой грани. Более того, для начального ребра снова его вершина $\widehat{v}\in C_{\widehat{v}}(\mathcal{B}_p)\subset C_{\widehat{v}}(\mathcal{B}_q)$ ближе к вершине кривой $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_q)$. Конечное ребро для отрезка кривой $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_p)$ лежит в $C_{\widehat{v}}(\mathcal{B}_q)$, а конечное ребро отрезка кривой $\widetilde{\gamma}(\mathcal{B}_q)$ лежит в $\partial P\setminus \overline{C_{\widehat{v}}(\mathcal{B}_p)}$. Тогда эти отрезки должны пересекаться. Противоречие. Предложение доказано. Определение 2.16. Назовем вложенное семейство поясов цилиндрическим, если существуют его упорядочение $\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_N$ и выбор связных компонент $C(\mathcal{B}_i)$ дополнения $\partial P\setminus \gamma(\mathcal{B}_i)$ такие, что $C(\mathcal{B}_i)\subset C(\mathcal{B}_{i+1})$ для $i=1,\dots,N-1$. Лемма 2.17. Для любого вложенного семейства поясов и ребра $F_i\cap F_j$ подсемейство поясов, содержащих $F_i$ и $F_j$, является цилиндрическим. Доказательство. Пояс $\mathcal{B}$ содержит $F_i$ и $F_j$ тогда и только тогда, когда кривая $\gamma(\mathcal{B})$ содержит середину ребра $F_i\cap F_j$. Кроме того, вершины $v$ и $w$ ребра $F_i\cap F_j$ лежат в разных связных компонентах дополнения $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B})$. Так как $v\notin C_w(\mathcal{B})$, имеем $C_v(\mathcal{B})\not\subset C_w(\mathcal{B}')$ для любых двух поясов $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}'$, содержащих $F_i$ и $F_j$. Так как пояса совместимы, $C_v(\mathcal{B})\subset C_v(\mathcal{B}')$ или $C_v(\mathcal{B}')\subset C_v(\mathcal{B})$. Тогда нужное нам упорядочение поясов задается включением множеств $C_v(\mathcal{B})$. Лемма 2.17 доказана. Конструкция 2.18. Для вложенного семейства поясов и произвольного ребра $F_i\cap F_j$ многогранника $P$ возьмем его вершину $v$ и рассмотрим упорядочение поясов, содержащих грани $F_i$ и $F_j$, по включению компонент $C_v(\mathcal{B})$. Расположим на внутренности ребра $F_i\cap F_j$ в том же порядке в направлении от $v$ ко второй вершине различные точки, соответствующие этим поясам (например, можно разделить ребро $F_i\cap F_j$ этими точками на равные части). Для каждого пояса $\mathcal{B}$ заменим его среднюю линию $\gamma(\mathcal{B})$ на кусочно линейную кривую $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$, состоящую из отрезков в гранях пояса, соединяющих выбранные точки на ребрах пересечения грани с соседними гранями пояса. Лемма 2.19. Для любых двух поясов $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ из вложенного семейства поясов кривые $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}_1)$ и $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}_2)$ не пересекаются. Доказательство. Предположим, что кривые $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}_1)$ и $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}_2)$ имеют общую точку. Из конструкции следует, что эти кривые не проходят через вершины многогранника и не имеют общих точек на его ребрах. Поэтому их общая точка являются внутренней для некоторой грани $F_i$. В частности, она является пересечением некоторых звеньев $\widehat{E_1}$ и $\widehat{E_2}$ этих кривых, лежащих в $F_i$. Если концы этих звеньев лежат на четырех различных ребрах, то соответствующие кривые $\gamma(\mathcal{B}_1)$ и $\gamma(\mathcal{B}_2)$ пересекаются трансверсально, что приводит к противоречию. Таким образом, концы звеньев лежат либо на трех, либо на двух различных ребрах грани $F_i$. Для кривых $\gamma(\mathcal{B}_1)$ и $\gamma(\mathcal{B}_2)$ соответствующие звенья $E_1$ и $E_2$ либо имеют единственную общую точку, либо совпадают. Без ограничения общности предположим, что для вершины $v$ ребра многогранника $P$, содержащего общий конец звеньев $E_1$ и $E_2$, выполнено $C_v(\mathcal{B}_1)\subset C_v(\mathcal{B}_2)$. В первом случае вторая вершина звена $E_1$ лежит в $C_v(\mathcal{B}_2)$. После сдвига первый конец звена $\widehat{E_1}$ лежит ближе к $v$, чем соответствующий конец звена $\widehat{E_2}$, а другие концы этих звеньев остаются на тех же ребрах, что и раньше. Тогда $\widehat{E_1}\cap \widehat{E_2}=\varnothing$. Во втором случае для обоих ребер грани $F_i$, содержащих вершины звеньев $E_1$ и $E_2$, их вершины $v$ и $v'$ лежат в $C_{v'}(\mathcal{B}_1)=C_v(\mathcal{B}_1)\subset C_v(\mathcal{B}_2)=C_{v'}(\mathcal{B}_2)$. Следовательно, после сдвига звенья $\widehat{E_1}$ и $\widehat{E_2}$ не пересекаются. Лемма 2.19 доказана. Это завершает доказательство леммы 2.15. Лемма 2.20. Любые два вложенных семейства кривых, отвечающих одному и тому же вложенному семейству поясов, изотопны в классе вложенных семейств кривых. Доказательство. Действительно, кривые определены однозначно последовательностями соответствующих точек на всех ребрах многогранника. Согласно предложению 2.14 на каждом ребре порядки точек, отвечающих разным поясам, одинаковы. Поэтому мы можем совместить наборы точек на каждом ребре при помощи изотопии. Лемма доказана. 2.3. Операции на многогранникахКонструкция 2.21. Для любого $k$-пояса $\mathcal{B}$ простого трехмерного многогранника $P$ определена операция разрезания многогранника вдоль этого пояса. Чтобы определить ее комбинаторно, возьмем кусочно линейную замкнутую кривую, состоящую из отрезков, соединяющих внутренние точки ребер пересечения грани пояса с соседними гранями этого пояса, например кривую $\gamma(\mathcal{B})$. Разрежем поверхность многогранника вдоль этой кривой и получим два топологических диска, разбитых на многоугольники. Заклеим каждый диск многоугольником вдоль границы. Получим два разбиения сферы на многоугольники. При помощи теоремы Штейница легко показать (см. [26; лемма 2.28], [40; предложение B.1], [41; утверждение 5.1.1]), что каждое разбиение комбинаторно эквивалентно границе простого многогранника. Обозначим эти многогранники $P_1$ и $P_2$. Они отличны от симплекса, поскольку никакие три грани пояса не имеют общей вершины. Многогранник $P_i$ имеет грани трех типов: 1) грани, отвечающие граням $F_a$ многогранника $P$, лежащим в связной компоненте $C_i(\mathcal{B})$ дополнения $\partial P\setminus \gamma(\mathcal{B})$, отвечающей $P_i$; обозначим их $\widehat{F_a}$; 2) грани, отвечающие граням $F_a\in \mathcal{B}$; обозначим их также $\widehat{F_a}$. 3) новая грань $F$, отвечающая многоугольнику, приклеенному вдоль своей границы к $\gamma(\mathcal{B})$. Замечание 2.22. Из леммы 2.20 следует, что корректно определена операция разрезания простого трехмерного многогранника вдоль вложенного семейства поясов. Лемма 2.23. Грани $\widehat{F_{a_1}},\dots,\widehat{F_{a_k}}$ пересекаются в $P_i$ тогда и только тогда, когда соответствующие грани $F_{a_1},\dots,F_{a_k}$ пересекаются в $P$. Доказательство. Если грани $F_{a_1},\dots,F_{a_k}$ пересекаются в $P$, рассмотрим это пересечение. Оно является либо вершиной, либо ребром. Если соответствующие грани $\widehat{F_{a_1}},\dots,\widehat{F_{a_k}}$ не пересекаются, то эта вершина или ребро лежит вне $\overline{C_i(\mathcal{B})}$. Это возможно, только если все грани $F_{a_1},\dots,F_{a_k}$ принадлежат $\mathcal{B}$. Тогда $k=2$ и $F_{a_1}$, $F_{a_2}$ – последовательные грани в $\mathcal{B}$. Тогда $F_{a_1}\cap F_{a_2}$ пересекает $\gamma(\mathcal{B})$. Противоречие. С другой стороны, в конструкции многогранника $P_i$ не возникают новые пересечения старых граней, т.е. если $F_{a_1},\dots,F_{a_k}$ не пересекаются в $P$, то $\widehat{F_{a_1}},\dots,\widehat{F_{a_k}}$ не пересекаются в $P_i$. Лемма доказана. Лемма 2.24. Для каждого многогранника $P_i$, $i=1,2$, его $3$-пояса взаимно однозначно соответствуют $3$-поясам многогранника $P$, состоящим из граней, представленных в $P_i$. (Эквивалентно, $3$-поясам $\mathcal{L}$ многогранника $P$ с $\gamma(\mathcal{L})\subset \overline{C_i(\mathcal{B})}$.) Это соответствие сохраняет свойство пояса быть тривиальным, кроме случая, когда пояс вокруг $F$ отвечает нетривиальному $3$-поясу $\mathcal{B}$. Доказательство. Сначала докажем, что $3$-пояса многогранника $P$, состоящие из граней, представленных в $P_i$, действительно являются в точности $3$-поясами $\mathcal{L}$ многогранника $P$ с $\gamma(\mathcal{L})\subset \overline{C_i(\mathcal{B})}$. В самом деле, если $\mathcal{L}$ состоит из граней, представленных в $P_i$, то центры ребер пересечения его последовательных граней лежат в $\overline{C_i(\mathcal{B})}$. Поэтому $\gamma(\mathcal{L})\subset \overline{C_i(\mathcal{B})}$. И наоборот, если $\gamma(\mathcal{L})\subset \overline{C_i(\mathcal{B})}$, то центры ребер пересечения последовательных граней пояса $\mathcal{L}$ лежат в $\overline{C_i(\mathcal{B})}$. Из этого следует, что все грани пояса $\mathcal{L}$ представлены в $P_i$. Грань $F$ не принадлежит никакому $3$-поясу. Иначе этот пояс будет иметь вид $(F,\widehat{F_a},\widehat{F_b})$, где $F_a, F_b\in\mathcal{B}$. Тогда $F_a\cap F_b\ne\varnothing$ и $F_a$, $F_b$ – последовательные грани пояса $\mathcal{B}$. В частности, $F_a\cap F_b$ – ребро, пересекающее кривую $\gamma(\mathcal{B})$, и точка пересечения отвечает вершине $F\cap\widehat{F_a}\cap\widehat{F_b}$. Соотвествие $\widehat{\mathcal{L}}=(\widehat{F_a},\widehat{F_b},\widehat{F_c})\leftrightarrow (F_a,F_b,F_c)=\mathcal{L}$ между $3$-поясами многогранника $P_i$ и $3$-поясами многогранника $P$, состоящими из граней, представленных в $P_i$, следует из леммы 2.23. Если пояс $\widehat{\mathcal{L}}$ окружает грань $\widehat{F_d}$, то $\mathcal{L}$ окружает $F_d$. Если $\widehat{\mathcal{L}}$ окружает треугольник $F$, то этот пояс отвечает нетривиальному $3$-поясу $\mathcal{B}$. Если $3$-пояс $\mathcal{L}$, состоящий из граней, представленных в $P_i$, окружает грань $F_d$ многогранника $P$, то $F_d$ также представлена в $P_i$. Иначе $\mathcal{L}$ может быть только поясом $\mathcal{B}$, а он нетривиален. Также $F_d$ не принадлежит $\mathcal{B}$, так как пояс не может содержать треугольник. Таким образом, $\widehat{\mathcal{L}}$ окружает $\widehat{F_d}$. Лемма доказана. Следствие 2.25. Любой $3$-пояс многогранника $P$, отличный от $\mathcal{B}$, соответствует $3$-поясу ровно одного из многогранников $P_1$ и $P_2$. Доказательство. Действительно, так как $3$-пояса образуют вложенное семейство, любой $3$-пояс многогранника $P$ состоит из граней, представленных одновременно в одном из многогранников $P_1$ и $P_2$. Если все его грани представлены одновременно в $P_1$ и $P_2$, то пояс совпадает с $\mathcal{B}$. Следствие доказано. Конструкция 2.26. Пусть заданы простые трехмерные многогранники $P_1$ и $P_2$ с выбранными гранями $F_i$ и $F_j$, окруженными $k$-поясами с одинаковым $k$. Тогда определена операция связной суммы многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль $k$-угольных граней. Результатом является простой трехмерный многогранник $P$ такой, что $\partial P$ комбинаторно получается из $\partial P_1$ и $\partial P_2$ удалением внутренностей выбранных граней, склейкой получающихся дисков, разбитых на многоугольники, вдоль граничных $k$-циклов и удалением возникающего $k$-цикла. Из теоремы Штейница следует (см. [40; предложение B.1], [41; утверждение 5.1.1]), что $P$ действительно является простым трехмерным многогранником. Операция зависит от отождествления границ выбранных граней. Она обратна к операции разрезания многогранника вдоль пояса. Следствие 2.27. Любой $k$-пояс $\mathcal{B}$ простого трехмерного многогранника $P$ отвечает разложению этого многогранника в связную сумму некоторых многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль $k$-угольных граней. Это следствие конструкции 2.21. Определение 2.28. Связная сумма простых трехмерных многогранников $P$ и $Q$ вдоль вершин $v\in P$ и $w\in Q$ – это многогранник $P\#_{v,w}Q$, который получается срезкой вершин $v$ и $w$ и взятием связной суммы вдоль возникающих треугольников. Операция связной суммы вдоль вершин задает $3$-пояс на возникающем многограннике. Замечание 2.29. Из теоремы Штейница следует, что для $3$-пояса $\mathcal{B}$ в конструкции 2.21 каждый многогранник $P_i$ допускает сжатие треугольника, полученного из пояса, в точку так, что получается новый трехмерный многогранник $Q_i$. Тогда $P$ является связной суммой многогранников $Q_1$ и $Q_2$ вдоль вершин. Топологически многогранники $Q_1$ и $Q_2$ получаются из $P$ разрезанием вдоль средней линии пояса и стягиванием возникающих треугольников в точки. В частности, каждый треугольник многогранника $P\ne\Delta^3$ отвечает связной сумме многогранника $Q$, у которого этот треугольник стянут, с симплексом вдоль вершин. Следствие 2.30. Пусть простой трехмерный многогранник $P$ является связной суммой многогранников $Q_1$ и $Q_2$ вдоль вершин. Тогда для каждого многогранника $Q_i$, $i=1,2$, его $3$-пояса взаимно однозначно соответствуют $3$-поясам многогранника $P$, отличным от возникающего $3$-пояса и состоящим из граней, представленных в $Q_i$. Доказательство. Это вытекает из следствия 2.25. А именно, так как грань $F$ не может принадлежать никакому $3$-поясу многогранника $P_i$, стягивание этой грани в точку преобразует $3$-пояса многогранника $P_i$, отличные от пояса вокруг $F$, в $3$-пояса многогранника $Q_i$. С другой стороны, многогранник $P_i$ получается из $Q_i$ при помощи срезки вершины. Легко видеть, что эта операция преобразует $3$-пояса в $3$-пояса. Следствие доказано. Теперь рассмотрим геометрическую реализацию связной суммы двух простых трехмерных многогранников вдоль треугольников и четырехугольников. Нам это потребуется в дальнейшем. Для треугольников результат проще. Предложение 2.31. Пусть $P$ и $P'$ – геометрические простые трехмерные многогранники, отличные от симплекса, и $F_i$, $F_j'$ – их треугольные грани. Выберем отождествление граней $F_i$ и $F_j'$ как комбинаторных многоугольников. Тогда с точностью до проективных преобразований многогранники $P$ и $P'$ можно склеить вдоль конгруэнтных граней $F_i$ и $F_j'$ согласно комбинаторному отождествлению так, что в результате получится геометрический трехмерный многогранник $Q$ с $3$-поясом вместо этих граней. Доказательство. Рассмотрим три ребра многогранника $P$, пересекающие грань $F_i$ по вершинам. Каждая пара этих ребер лежит в одной плоскости, поэтому все эти ребра либо параллельны, либо содержащие их прямые пересекаются в общей точке. В последнем случае точка не принадлежит многограннику, иначе $P=\Delta^3$. Тогда существует проективное преобразование, переводящее эту точку на бесконечность, а многогранник $P$ – в ограниченный многогранник. В новом многограннике все три ребра параллельны. При помощи аффинного преобразования мы можем сделать их перпендикулярными к $F_i$, а саму грань правильным треугольником. Применяя к $P'$ такие же преобразования и, возможно, отражение, мы можем склеить получающиеся многогранники вдоль конгруэнтных граней согласно комбинаторному отождествлению. Предложение доказано. Следствие 2.32. Для любого семейства $\mathcal{F}$ $3$-поясов простого трехмерного многогранника $P$ существует геометрическая реализация многогранника $P$ и семейство плоскостей, взаимно однозначно соответствующих поясам, такие, что кривые пересечения плоскостей с $\partial P$ образуют вложенное семейство кривых, отвечающее $\mathcal{F}$. Доказательство. Действительно, по следствию 2.12 $\mathcal{F}$ является вложенным семейством поясов. Из лемм 2.15 и 2.20 следует, что это семейство однозначно определяет разложение многогранника $P$ в связную сумму многогранников вдоль треугольников. Эти операции могут быть закодированы при помощи дерева, в котором вершины отвечают многогранникам, а ребра – парам отождествляемых треугольников. Возьмем произвольные геометрические реализации этих многогранников. Начиная с любой вершины этого дерева как корня и применяя проективные преобразования с использованием предложения 2.31, мы можем склеить один за другим все многогранники согласно комбинаторным отождествлениям их треугольников. Многогранник, который получится в результате, комбинаторно эквивалентен $P$, а отождествляемые треугольники отвечают его плоским сечениям, причем эти сечения попарно не пересекаются. Следствие доказано. В случае связной суммы вдоль четырехугольных граней ситуация немного более сложная. Пусть $P$ – простой геометрический трехмерный многогранник в $\mathbb R^3\subset \mathbb RP^3$ и $F_i$ – его четырехугольная грань, окруженная $4$-поясом $(F_j,F_k,F_l,F_r)$. Тогда любые три из четырех плоскостей $\pi_j=\operatorname{aff}(F_j)$, $\pi_k=\operatorname{aff}(F_k)$, $\pi_l=\operatorname{aff}(F_l)$ и $\pi_r=\operatorname{aff}(F_r)$ не содержат общую прямую в $\mathbb RP^3$. Имеются две возможности: либо эти плоскости содержат общую точку в $\mathbb RP^3$, либо нет. В первом случае с точностью до проективного преобразования можно считать, что эта точка лежит на бесконечности. Тогда четыре плоскости в $\mathbb R^3$ ограничивают бесконечный цилиндр над гранью $F_i$, который вместе с одной точкой в $\mathbb R P^3$ делится гранью $F_i$ на две четырехугольные пирамиды. Назовем пирамиду, содержащую $P$, внутренней пирамидой, отвечающей $F_i$, а вторую пирамиду – внешней. Добавление внешней пирамиды к $P$ превращает его в многогранник, который комбинаторно получается из $P$ стягиванием грани $F_i$ в точку. Во втором случае четыре плоскости находятся в общем положении в $\mathbb RP^3$, и, с точностью до проективного преобразования, они ограничивают симплекс в $\mathbb R^3$, содержащий $P$. Плоскость $\pi_i=\operatorname{aff} (F_i)$ разделяет этот симплекс на два многогранника, комбинаторно эквивалентных треугольной призме. Эти призмы имеют общий четырехугольник $F_i$ и являются “перекрученными”, т.е. основания одной призмы соединяются вдоль ребер с боковыми гранями другой. Назовем призму, содержащую $P$, внутренней призмой, отвечающей $F_i$, а вторую призму – внешней. Имеется две возможности: грани $F_j$ и $F_l$ отвечают основаниям либо внутренней, либо внешней призмы. В первом случае добавление внешней призмы к многограннику $P$ превращает его в многогранник, который комбинаторно получается из $P$ сжатием четырехугольника $F_i$ в ребро, “параллельное” $F_i\cap F_j$ и $F_i\cap F_l$, а во втором случае – $F_i\cap F_k$ и $F_i\cap F_r$. Каждая из этих трех возможностей является проективным инвариантом геометрического многогранника $P$. Предложение 2.33. Пусть $P$ и $P'$ – геометрические простые трехмерные многогранники и $F_i$, $F_j'$ – их четырехугольные грани, окруженные поясами. Выберем отождествление граней $F_i$ и $F_j'$ как комбинаторных многоугольников. Тогда с точностью до проективных преобразований многогранники $P$ и $P'$ можно склеить вдоль конгруэнтных граней $F_i$ и $F_j'$ согласно комбинаторному отождествлению так, чтобы получился геометрический трехмерный простой многогранник $Q$ с $4$-поясом вместо этих граней, тогда и только тогда, когда либо обе грани $F_i$ и $F_j'$ отвечают четырехугольным пирамидам, либо треугольным призмам, причем внутренние призмы “перекручены” относительно отождествления их четырехугольников. Доказательство. Из описанных выше рассуждений следует, что если после проективных преобразований мы можем склеить многогранники вдоль конгруэнтных граней, то либо обе грани $F_i$ и $F_j'$ отвечают четырехугольным пирамидам и внутренняя пирамида одного многогранника отождествляется с внешней пирамидой другого, либо обе грани отвечают треугольным призмам и внутренняя призма одного многогранника отождествляется с внешней призмой другого. В частности, внутренние призмы перекручены при отождествлении их граней. С другой стороны, если $F_i$ и $F_j'$ отвечают пирамидам, то существуют проективные преобразования, при которых эти грани становятся конгруэнтными квадратами, перпендикулярными смежным граням, и мы можем склеить многогранники, следуя комбинаторному отождествлению граней, возможно после отражения одного из многогранников. Если $F_i$ и $F_j'$ отвечают перекрученным призмам, то, пользуясь классическими фактами, что любые две комбинаторные треугольные призмы проективно эквивалентны [25; упражнение 6.24], и группа симметрий прямой треугольной призмы с правильным основанием действует транзитивно на парах (четырехугольник, его ребро, перпендикулярное основанию), можно найти проективное преобразование, переводящее внутреннюю призму, отвечающую $F_i$, во внешнюю призму, отвечающую $F_j'$, и сохраняющее комбинаторное отождествление этих граней. Доказательство окончено. Следствие 2.34. Для любого вложенного семейства $4$-поясов $\mathcal{F}$ простого трехмерного многогранника $P$ существуют геометрическая реализация этого многогранника и семейство плоскостей, взаимно однозначно отвечающих поясам такие, что кривые пересечения плоскостей с $\partial P$ образуют вложенное семейство кривых, отвечающее $\mathcal{F}$. Доказательство. Из лемм 2.15 и 2.20 следует, что семейство $\mathcal{F}$ однозначно определяет разложение многогранника $P$ в связную сумму многогранников вдоль четырехугольных граней. Эти операции можно закодировать при помощи дерева $T$, вершины которого отвечают многогранникам, а ребра – парам отождествляемых четырехугольников. Выберем любую вершину дерева $T$ в качестве корня и возьмем любую геометрическую реализацию соответствующего многогранника $Q$. Так как он простой, существует сколь угодно малая деформация определяющих неравенств такая, что новая реализация имеет тот же комбинаторный тип и все плоскости, содержащие грани, находятся в общем положении, т.е. любая точка в $\mathbb R^3$ лежит не более чем в трех таких плоскостях. Тогда каждый четырехугольник в $Q$ отвечает внутренней треугольной призме. Рассмотрим ребро дерева $T$, соответствующее отождествлению четырехугольника $F_i$ многогранника $Q$ с четырехугольником $F_j'$ другого многогранника $R$. Согласно предложению 2.33, чтобы сделать это отождествление геометрическим после проективных преобразований, нужно реализовать многогранник $R$ таким образом, чтобы его внутренняя треугольная призма была перекручена при отождествлении. Снова реализацию можно привести в общее положение. Так как грань $F_j'$ окружена поясом, из теоремы Штейница следует (см. [9; теорема 11.4]), что оба многогранника, возникающие из $R$ при сжатии грани $F_j'$ в ребро одним из двух возможных способов, существуют. Срезая возникшие ребра, получаем две реализации многогранника $R$, у которых внутренние призмы, отвечающие грани $F_j'$, перекручены при отождествлении их граней. Таким образом, одна из этих реализаций удовлетворяет нашему требованию. Повторяя такие рассуждения для каждого нового ребра дерева $T$, в конце мы получим многогранник, комбинаторно эквивалентный $P$. В этом многограннике отождествленные четырехугольники соответствуют попарно не пересекающимся плоским сечениям. Следствие доказано.
§ 3. Разложение на простые слагаемые трехмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками3.1. Общая информацияКак отмечалось ранее, в изложении фактов о трехмерных многообразиях мы следуем книге [2]. В размерности $3$ нет разницы между непрерывной, гладкой и кусочно линейной категориями. А именно, известно, что любое топологическое трехмерное многообразие (не обязательно компактное) допускает единственную кусочно линейную и единственную гладкую структуру. Топологическое действие конечной группы на замкнутом трехмерном многообразии $N$ сглаживаемо тогда и только тогда, когда оно симплициально на некоторой триангуляции этого многообразия. Определение 3.1. Топологическим двумерным подмногообразием замкнутого трехмерного топологического многообразия $N$ мы называем его подмножество $S$ такое, что для любой точки $p\in N$ существует гомеоморфизм $j\colon U\to V$ из открытой окрестности точки $p$ в $N$ на открытое множество в $\mathbb R^3$ такой, что $j(U\cap S)=V\cap (\{0\}\times \mathbb R^2)$. Топологическое двумерное подмногообразие можно заменить кусочно линейным и гладким подмногообразиями. В частности, если $N$ – топологическое замкнутое трехмерное многообразие и $S$ – его топологическое двумерное подмногообразие, то существует гладкая ($\mathrm{PL}$) структура на $N$ и гладко ($\mathrm{PL}$) вложенная двумерная поверхность $S'$ в $N$, изотопная $S$ (см. [2; п. 1.1]). Определение 3.2. Через $\nu(S)$ мы обозначаем трубчатую окрестность подмногообразия $S$ в $N$. Для поверхности $S$ в $N$ мы будем говорить, что $N\setminus\nu(S)$ – это $N$, разрезанное вдоль $S$. Для многообразий, определяемых векторными раскрасками, имеются естественно определенные структуры кусочно линейных многообразий и подмногообразий. Определение 3.3. Пусть $N_1$ и $N_2$ – ориентированные трехмерные многообразия и $B_i\subset N_i$, $i=1,2$, – вложенные замкнутые трехмерные шары, ограниченные двумерными подмногообразиями, гомеоморфными $S^2$. Для $i = 1,2$ определим на $\partial B_i$ ориентацию, индуцированную из $N_i\setminus\operatorname{int} B_i$. Для меняющего ориентацию гомеоморфизма $f \colon \partial B_1 \to \partial B_2$ многообразие $N_1\#N_2 \colon= (N_1\setminus \operatorname{int}B_1)\cup_f (N_2\setminus \operatorname{int}B_2)$ называется связной суммой многообразий $N_1$ и $N_2$. Топологический тип пространства $N_1\#N_2$ не зависит от $f$. Определение 3.4. Ориентируемое трехмерное многообразие $N$ называется простым, если его нельзя разложить в нетривиальную связную сумму двух многообразий, т.е. если $N = N_1\#N_2$, то $N_1 = S^3$ или $N_2 = S^3$. Трехмерное многообразие $N$ называется неприводимым, если любое его двумерное подмногообразие, гомеоморфное сфере, ограничивает подмножество в $N$, гомеоморфное замкнутому шару. Ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие, очевидно, является простым. Известно, что $S^2\times S^1$ является простым, но приводимым. Обратно, если $N$ – замкнутое ориентируемое простое трехмерное многообразие, то либо $N$ неприводимо, либо $N = S^2\times S^1$. Из обобщенной теоремы Шенфлиса следует, что многообразие $S^3$ неприводимо. Если $p\colon\widetilde{M}\to M$ – накрытие и $\widetilde{M}$ неприводимо, то $M$ также неприводимо (см. [42; предложение 1.6]). В частности, многообразие $\mathbb RP^3$ неприводимо. Следующая теорема была доказана в работах А. Кнезера (1929 г.), Г. Хакена (1961 г.), и Дж. Милнора (1962 г.). Теорема 3.5 (теорема о разложении на простые слагаемые; см. [2; теорема 1.2.1]). Пусть $N$ – замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие. Тогда существуют замкнутые ориентируемые простые трехмерные многообразия $N_1, \dots,N_m$ такие, что $N=N_1\#\dotsb\#N_m$. Более того, если $N=N_1\#\dotsb\#N_m$ и $N=N_1'\#\dotsb\#N_n'$, где все $N_i$ и $N_i'$ – ориентируемые простые многообразия, то $m=n$ и (возможно, после перенумерации) существуют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы $N_i\to N_i'$. 3.2. Случай многообразий, определяемых векторными раскраскамиОбозначим через $X^{\#k}$ связную сумму $\underbrace{X\#\dotsb\#X}_k$. Предложение 3.6. Пусть $P$ – связная сумма двух простых трехмерных многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль вершин, и $M(P,\Lambda)$ – ориентируемое многообразие, определяемое векторной раскраской $\Lambda$ ранга $r$. Тогда существует гомеоморфизм где $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ – индуцированные векторные раскраски рангов $r_1$ и $r_2$ соответственно. Замечание 3.7. В неориентируемом случае предложение 3.6 неверно. Причиной является то, что векторы $\Lambda_i$, $\Lambda_j$ и $\Lambda_k$, отвечающие граням $F_i$, $F_j$ и $F_k$ в $3$-поясе, могут быть линейно зависимы. Тогда отображение $\Lambda$, ограниченное на $P_1$ и $P_2$, не удовлетворяет условию ($*$). Например, для треугольной призмы $\Delta^2\times I=\Delta^3\#\Delta^3$ определим $\Lambda$ как $(1,0,0)$ на основаниях и $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(0,1,1)$ на боковых сторонах. Доказательство предложения 3.6. Рассмотрим $3$-пояс $\mathcal{B}=(F_i,F_j,F_k)$ многогранника $P$, отвечающий связной сумме $P=P_1\#P_2$. Так как грани пояса попарно смежны, векторы $\Lambda_i$, $\Lambda_j$ и $\Lambda_k$ попарно различны. Если $\Lambda_i+\Lambda_j+\Lambda_k=0$, то $\Lambda_k=\Lambda_i+\Lambda_j$, и $M(P,\Lambda)$ неориетируемо. Противоречие. Таким образом, $\Lambda_i$, $\Lambda_j$ и $\Lambda_k$ линейно независимы. В частности, индуцированные отображения $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ для многогранников $P_1$ и $P_2$ удовлетворяют условию ($*$) и являются векторными раскрасками. Пусть $\pi_i$ – линейная оболочка векторов $\Lambda_j\in V=\mathbb Z_2^r$, отвечающих граням многогранника $P_i$. Тогда $\pi_1+\pi_2=V$ и $r_i=\dim \pi_i$. Трехмерное подпространство $\pi_{\mathcal{B}}=\langle\Lambda_i,\Lambda_j,\Lambda_k\rangle$, отвечающее поясу $\mathcal{B}$, лежит в $\pi_1\cap\pi_2$. В $M(P,\Lambda)$ пояс $\mathcal{B}$ отвечает $2^r$ копиям треугольника, ограниченного в $P$ средней линией пояса $\mathcal{B}$. Эти треугольники образуют $2^{r-3}$ попарно непересекающихся сфер. Каждая сфера склеена из восьми треугольников, отвечающих многогранникам $P\times a$, у которых $a$ принадлежат одному смежному классу $x+\pi_\mathcal{B}\in V/\pi_{\mathcal{B}}$. Для многогранников $P_1$ и $P_2$ каждая вершина, участвующая в связной сумме, отвечает тетраэдру – выпуклой оболочке этой вершины и середин трех ребер ей инцидентных. В $M(P_i,\Lambda_i)$ это отвечает набору попарно непересекающихся $2^{r_i-3}$ шаров, соответствующих наборам многогранников $P_i\times a$, у которых $a$ лежит в одном смежном классе в $\pi_i/\pi_{\mathcal{B}}$. Каждый шар склеен из восьми тетраэдров. В $M(P,\Lambda)$ имеем $2^{r-r_i}$ копий многообразия $N_i$, полученного из $M(P_i,\Lambda_i)$ удалением этих шаров. Каждая копия склеена из частей многогранников $P_i\times a$, у которых $a$ принадлежат одному смежному классу в $V/\pi_i$, и ограничена $2^{r_i-3}$ сферами. Граничные сферы одной копии многообразия $N_i$, отвечающие одному смежному классу в $\pi_i/(\pi_1\cap\pi_2)$, также являются граничными компонентами одной копии многообразия $N_{2-i}$. Сферы, отвечающие разным смежным классам в $\pi_i/(\pi_1\cap\pi_2)$, являются граничными компонентами разных копий многообразия $N_{2-i}$. Действительно, если копия многообразия $N_i$ склеена из частей многогранников $P_i\times a$ с $a\in x+\pi_i$ и сферы склеены из треугольников, лежащих в многогранниках $P_i\times b$, где $b\in x+(y+\pi_{\mathcal{B}})$ для первой сферы и $x+(z+ \pi_{\mathcal{B}})$ для второй и $y-z\notin \pi_1\cap\pi_2$, то $(x+y)-(x+z)=y-z\not\in\pi_{2-i}$. Иначе, $y-z\in \pi_1\cap \pi_2$. Если мы выберем одну копию многообразия $N_1$ и одну сферу для каждого смежного класса в $\pi_1/(\pi_1\cap\pi_2)$, а также одну копию многообразия $N_2$ и одну сферу для каждого смежного класса в $\pi_2/(\pi_1\cap\pi_2)$, включая уже выбранную сферу для $N_1$, отвечающую также $N_2$, то эти сферы соответствуют связной сумме $M(P_1,\Lambda_1)^{\#2^{r-r_1}}\#M(P_2,\Lambda_2)^{\#2^{r-r_2}}$. Таких сфер $2^{r-r_1}+2^{r-r_2}-1$. Каждая оставшаяся сфера соответствует добавлению ручки, что эквивалентно связной сумме с $S^2\times S^1$. Имеется $2^{r-3}-2^{r-r_1}-2^{r-r_2}+1$ таких сфер. Доказательство окончено. Следствие 3.8. Пусть $P$ – связная сумма двух простых трехмерных многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль вершин. Тогда существует гомеоморфизм где $m_i$ – число граней многогранника $P_i$, $i=1,2$. Следствие 3.9. Пусть $P$ – связная сумма двух простых трехмерных многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль вершин и $M(P,\Lambda)$ – ориентируемое малое накрытие. Тогда существует гомеоморфизм где $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ – характеристические функции для многогранников $P_1$ и $P_2$, получаемые ограничением функции $\Lambda$. Пример 3.10. Для $P=\Delta^3$ с точностью до замены базиса в образе существуют две возможные векторные раскраски: одна ранга $4$ и одна ранга $3$. Первая из них отвечает вещественному момент-угол многообразию $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{\Delta^3}=S^3$, а вторая – единственному малому накрытию $\mathbb RP^3$. Оба многообразия неприводимы. Пример 3.11. Классифицируем ориентируемые многообразия $M(P,\Lambda)$ для $P=\Delta^2\times I$. Необходимо, чтобы векторы $\Lambda_i$, $\Lambda_j$ и $\Lambda_k$, отвечающие боковым граням призмы, были линейно независимы. Пусть векторы $\Lambda_l$ и $\Lambda_r$ отвечают основаниям. Если $\Lambda$ имеет ранг $5$, то $M(P,\Lambda)=\mathbb R\mathcal{Z}_{\Delta^2\times I}=S^2\times S^1$ – простое многообразие. Если $\Lambda$ имеет ранг $4$, то, с точностью до отражения многогранника $\Delta^2\times I$, можно считать, что векторы $\Lambda_i$, $\Lambda_j$, $\Lambda_k$ и $\Lambda_l$ образуют базис. Тогда с точностью до вращения многогранника $\Delta^3\times I$ возникают случаи: $\Lambda_r=\Lambda_l$, $\Lambda_r=\Lambda_i+\Lambda_j+ \Lambda_k$ и $\Lambda_r=\Lambda_i+\Lambda_j+\Lambda_l$. Из примера 3.10 и предложения 3.6 следует, что в этих случаях $M(P,\Lambda)$ гомеоморфно $S^3\#S^3\#(S^2\times S^1)=S^2\times S^1$, $S^3\#(\mathbb RP^3)^{\#2}\#(S^2\times S^1)^{\#0}=\mathbb RP^3\#\mathbb RP^3$, и $S^3\#S^3\#(S^2\times S^1)=S^2\times S^1$ соответственно. Если $\Lambda$ имеет ранг $3$, то $\Lambda_r=\Lambda_l=\Lambda_i+\Lambda_j+\Lambda_k$ и $M(P,\Lambda)=\mathbb RP^3\#\mathbb RP^3\#(S^2\times S^1)^{\#0}=\mathbb RP^3\#\mathbb RP^3$. Теорема 3.12. 1. Любой простой трехмерный многогранник $P$ можно разложить в связную сумму симплексов и флаговых многогранников вдоль вершин: Разложение единственно в следующем смысле: если есть другое разложение $P=Q_1'\#\dotsb\#Q_{N'}'$, то $N=N'$ и существует перенумерация многогранников и комбинаторные эквивалентности $Q_i\simeq Q_i'$, сохраняющие соответствие между многогранниками, выбранными вершинами и гранями в этих вершинах в связных суммах. 2. Ориентируемое многообразие $M(\Delta^3,\Lambda)$ есть либо $S^3$, либо $\mathbb RP^3$. Оно неприводимо. Ориентируемое многообразие $M(\Delta^2\times I,\Lambda)$ есть либо $S^2\times S^1$ (оно простое), либо $\mathbb{R}P^3\#\mathbb{R}P^3$. Для простого трехмерного многогранника $P\ne \Delta^3, \Delta^2\times I$ разложения из п. 1 и предложения 3.6 задают разложение ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ на простые слагаемые, которые являются копиями многообразия $S^2\times S^1$, копиями многообразия $\mathbb RP^3$, отвечающими симплексам с индуцированными векторными раскрасками ранга $3$, и копиями многообразий $M(Q_i,\Lambda_i)$, определяемых флаговыми простыми трехмерными многогранниками $Q_i$ с индуцированными векторными раскрасками $\Lambda_i$. Последние многообразия являются асферическими, поэтому неприводимыми. Доказательство. Вложенное семейство кривых $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$, отвечающее семейству всех $3$-поясов, задает каноническое разложение многогранника $P$ в связную сумму многогранников $P_i$ вдоль треугольных граней и многогранников $Q_i$ вдоль вершин. Из следствия 2.30 вытекает, что многогранники $Q_i$ не имеют $3$-поясов. Поэтому каждый из них является либо флаговым многогранником, либо симплексом. Докажем единственность разложения. Пусть многогранник $P$ представлен как связная сумма вдоль вершин многогранников $Q_i'$ без $3$-поясов. Каждая операция связной суммы вдоль вершин производит $3$-пояс на возникающем многограннике. Выберем на этом поясе кусочно линейную кривую, удовлетворяющую условию 1) из определения 2.13. После применения всех операций мы получаем вложенное семейство кривых. Соответствующие пояса в $P$ образуют вложенное семейство. Если в $P$ есть $3$-пояс, не лежащий в этом семействе, то согласно следствию 2.30 он отвечает $3$-поясу на одном из многогранников $Q_i'$, что является противоречием. Таким образом, все $3$-пояса многогранника $P$ принадлежат этому семейству. По лемме 2.20 вложенное семейство кривых, отвечающих многогранникам $Q_i'$, изотопно вложенному семейству кривых, отвечающих $Q_i$. Так как многогранники в каждом семействе комбинаторно получаются разрезанием многогранника $P$ вдоль кривых соответствующего семейства и стягиванием этих кривых в точки, возникает взаимно однозначное соответствие между множествами многогранников $\{Q_i\}$ и $\{Q_i'\}$, сохраняющее комбинаторную эквивалентность и соответствие вершин и сходящихся в них граней. Это завершает доказательство первого пункта теоремы. Случай многообразий $M(\Delta^3,\Lambda)$ и $M(\Delta^2\times I,\Lambda)$ покрывается примерами 3.10 и 3.11. Рассмотрим разложение, задаваемое п. 1 и предложением 3.6. Каждое многообразие в разложении есть либо $M(\Delta,\Lambda)$ (оно неприводимо), либо $S^2\times S^1$ (оно простое), либо $M(Q_i,\Lambda_i)$ для флагового многогранника $Q_i$. Для флагового многогранника $Q_i$ многообразие $\mathbb R\mathcal{Z}_{Q_i}$ асферично. Это следует из [16; теорема 2.2.5] (см. также [11; предложение 1.2.3]). Известно, что любое асферическое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие является неприводимым. Например, из [43; лемма 3.2] следует, что если замкнутое асферическое трехмерное многообразие $M$ разложено в связную сумму $M_1\#M_2$, то одно из слагаемых гомотопически эквивалентно $S^3$. Тогда из гипотезы Пуанкаре, доказанной Г. Я. Перельманом, следует, что это слагаемое гомеоморфно $S^3$. Так как каждое многообразие $M(Q_i,\Lambda_i)$ накрывается многообразием $\mathbb R\mathcal{Z}_{Q_i}$, оно также асферично и неприводимо. Теорема доказана. Следствие 3.13. Ориентируемое многообразие $M(P,\Lambda)$ над простым трехмерным многогранником $P$ является простым тогда и только тогда, кода либо $P=\Delta^3$, либо $P$ является флаговым, либо $P=\Delta^2\times I$ и $\Lambda$ имеет ранг $5$ или $4$ и каждый вектор основания не лежит в линейной оболочке векторов боковых граней. § 4. $\mathrm{JSJ}$-разложение и геометризация4.1. Общая информация о $\mathrm{JSJ}$-разложенииМногообразие Зейферта – это компактное трехмерное многообразие $N$ с фиксированным представлением в виде дизъюнктного объединения простых замкнутых кривых (называемых слоями Зейферта) таким, что каждый слой Зейферта имеет трубчатую окрестность, являющуюся стандартным расслоенным тором. Стандартный расслоенный тор отвечает паре взаимно простых чисел $(a,b)$, где $a>0$, и является тором отображения для поворота круга на угол $ {2\pi b}/{a}$, снабженным естественным разложением на окружности. Если $a=1$, то средний слой Зейферта называется регулярным, иначе особым. Трехмерное многообразие $N$ называется аторическим, если любое отображение $T\to N$ тора в $N$, индуцирующее мономорфизм $\pi_1(T)\to \pi_1(N)$, гомотопно отображению, образ которого лежит в крае многообразия $N$. Существуют ориентируемые неприводимые трехмерные многообразия, которые можно разрезать на аторические части не единственным образом (например, трехмерный тор). Однако любое компактное ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие без края или с краем, каждая связная компонента которого является тором, допускает каноническое разложение вдоль торов на аторические многообразия и многообразия Зейферта. Определение 4.1. Двумерное подмногообразие $\Sigma$ трехмерного многообразия $N$ называется несжимаемым, если каждая его компонента $\Sigma_i$ не гомеоморфна $S^2$ и $D^2$ и каждое индуцированное отображение $\pi_1(\Sigma_i)\to \pi_1(N)$ является инъективным. Следующая теорема была впервые анонсирована Ф. Вальдхаузеном (1969 г.), и доказана независимо У. Джако–П. Шаленом (1979 г.) и С. Йохансеном (1975 г., 1979 г.). Теорема 4.2 (теорема о $\mathrm{JSJ}$-разложении; см. [2; теорема 1.6.1]). Пусть $N$ – компактное ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие без края или с краем, каждая связная компонента которого является тором. Тогда существует (возможно, пустой) набор попарно непересекающихся вложенных несжимаемых торов $T_1,\dots,T_m$ такой, что каждая компонента многообразия $N$, разрезанного вдоль $T_1,\dots,T_m$, является аторическим многообразием или многообразием Зейферта. Любой такой набор торов, минимальный по включению, определен однозначно с точностью до изотопии. Определение 4.3. Торы из минимального набора в теореме 4.2 называются $\mathrm{JSJ}$-торами. Разложение многообразия $N$ на аторические компоненты и многообразия Зейферта, задаваемое этими торами, называется $\mathrm{JSJ}$-разложением. Обозначение 4.4. Обозначим через $K^2$ бутылку Клейна, а через $K^2\widetilde{\times} I$ единственное ориентируемое пространство расслоения над $K^2$ со слоем отрезок. Следующая теорема говорит, в частности, о том, что “достаточно сложное” многообразие Зейферта имеет единственную структуру такого многообразия. Теорема 4.5 (см. [2; теорема 1.5.2]). Пусть $N$ – ориентируемое трехмерное многообразие, допускающее структуру многообразия Зейферта. Если $N$ имеет нетривиальный край, то структура многообразия Зейферта на $N$ определена однозначно с точностью до изотопии тогда и только тогда, когда $N$ не гомеоморфно ни одному из следующих многообразий: $S^1\times D^2$, $T^2\times I$ и $K^2\widetilde{\times}I$. Для аддитивно записанной абелевой группы $G$ обозначим через $PG$ множество классов эквивалентности отношения эквивалентности $g\sim-g$ на $G\setminus\{0\}$, а для элемента $g\in G\setminus\{0\}$ обозначим через $[g]$ его класс эквивалентности в $PG$. Для многообразия $N$ с фиксированной структурой многообразия Зейферта и его граничного тора $T$ регулярный слой естественным образом определяет элемент $f(N,T)\in PH_1(T)$. Из теоремы 4.5 следует, что $f(N,T)$ не зависит от структуры многообразия Зейферта, если $N$ не гомеоморфно $S^1\times D^2$, $T^2\times I$ и $K^2\widetilde{\times} I$. В дальнейшем нам потребуется следующий результат. Лемма 4.6 (см. [2; лемма 1.5.3]). Пусть $N_1$ и $N_2$ – многообразия Зейферта (допускается случай $N_1=N_2$), и пусть $N_1\cup_{T_1=T_2}N_2$ – результат склеивания этих многообразий вдоль граничных торов $T_1$ и $T_2$. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) существует структура многообразия Зейферта на $N_1\bigcup_{T_1=T_2}N_2$, ограничения которой (с точностью до изотопии) совпадают с заданными структурами на $N_1$ и $N_2$; 2) $f(N_1,T_1)=f(N_2,T_2)\in PH_1(T_1)=PH_1(T_2)$. Существует критерий, показывающий, является ли набор торов в $N$ набором $\mathrm{JSJ}$-торов. Предложение 4.7 (см. [2; предложение 1.6.2]). Пусть $N$ – компактное ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие без края или с краем, каждая компонента которого является тором. Пусть $T_1,\dots,T_m$ – дизъюнктный набор вложенных несжимаемых торов в $N$. Тогда он является набором $\mathrm{JSJ}$-торов многообразия $N$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия. 1. Компоненты $M_1,\dots,M_n$ многообразия $N$, разрезанного вдоль $T_1\cup\dots\cup T_m$, являются многообразиями Зейферта или аторическими многообразиями. 2. Для любого выбора зейфертовых структур на всех зейфертовых компонентах $M_1,\dots,M_n$ выполнены следующие два условия:
3. Если одна из компонент $M_i$ совпадает с $T^2\times I$, то $m=n=1$. Чтобы отличать аторические компоненты от зейфертовых, мы будем пользоваться следующим результатом. Теорема 4.8 (см. [3; теорема 2.10]). Полное гиперболическое многообразие конечного объема не может быть многообразием Зейферта. 4.2. Связь между $\mathrm{JSJ}$-разложением и геометризациейСвязь между $\mathrm{JSJ}$-разложением и теоремой 0.2 о геометрическом разложении можно описать следующим образом. Будем называть объединение торов и бутылок Клейна из теоремы 0.2 поверхностью геометрического разложения. Предложение 4.9 (см. [2; предложение 1.9.2]). Пусть $N$ – замкнутое ориентируемое неприводимое трехмерное многообразие. 1. Если $N$ является $\mathrm{Sol}$-многообразием, то оно и так имеет геометрическую структуру, т.е. его поверхность геометрического разложения пуста. С другой стороны, $N$ имеет единственный $\mathrm{JSJ}$-тор, а именно, если $N$ – торическое расслоение, то его слой является $\mathrm{JSJ}$-тором, а если $N$ – скрученное удвоение многообразия $K^2\widetilde{\times}I$, то $\mathrm{JSJ}$-тор – это граница многообразия $K^2\widetilde{\times}I$. 2. Если $N$ не является $\mathrm{Sol}$-многообразием, обозначим через $T_1,\dots,T_m$ его $\mathrm{JSJ}$-торы. Будем считать, что они упорядочены таким образом, что торы $T_1,\dots,T_n$ не ограничивают копию многообразия $K^2\widetilde{\times}I$, а каждый из торов $T_i$, $i\in \{n+1,\dots, m\}$, ограничивает его копию $K_i\widetilde{\times}I\subset N$. Тогда поверхность геометрического разложения многообразия $N$ задается как Наоборот, если $T_1\cup\dots\cup T_n\cup K_{n+1}\cup\dots\cup K_m$ – поверхность геометрического разложения, в которой $T_1, \dots,T_n$ – торы, а $K_{n+1},\dots,K_m$ – бутылки Клейна, то $\mathrm{JSJ}$-торы задаются как где $\nu(K_i)$ – граница трубчатой окрестности подмногообразия $K_i$.Замечание 4.10. Для того чтобы пользоваться п. 1 предложения 4.9, мы не будет вдаваться в подробности о $\mathrm{Sol}$-многообразиях. Нам будет достаточно той информации, что для торического расслоения дополнение к $\mathrm{JSJ}$-тору гомеоморфно внутренности произведения $T^2\times I$, а для скрученного удвоения многообразия $K^2\widetilde{\times}I$ дополнение к $\mathrm{JSJ}$-тору состоит из двух копий внутренности многообразия $K^2\widetilde{\times}I$ (см. [2; п. 1.5]). Формулировки всех приведенных результатов и соответствующие ссылки можно найти в [2]. 4.3. Приложение к многообразиям, определяемым векторными раскраскамиТеперь на основе описанных выше общих результатов мы найдем $\mathrm{JSJ}$-разложение и геометрическое разложение любого ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$, определяемого векторной раскраской простого трехмерного многогранника. Оказывается, они отвечают каноническому разложению флагового трехмерного многогранника вдоль $4$-поясов на $k$-угольные призмы ($k$-призмы для краткости), которые отвечают зейфертовым компонентам, и почти погореловские многогранники, которые отвечают гиперболическим компонентам. $\mathrm{JSJ}$-торы, которые определены однозначно с точностью до изотопии, соответствуют этим каноническим поясам, а также “свободным четырехугольникам” почти погореловских многогранников, т.е. четырехугольникам, не окруженным каноническими $4$-поясами. Явная геометрическая структура на компонентах может быть задана при помощи конструкции, описанной А. Ю. Весниным и А. Д. Медных в серии работ [18]–[23]. Конструкция 4.11. Пусть $P$ – прямоугольный многогранник конечного объема в $\mathbb R^3$, $S^3$, $\mathbb{H}^3$, $S^2\times \mathbb R$ или $\mathbb{H}^2\times \mathbb R$, где для произведения пространств мы имеем в виду, что $P$ является произведением прямоугольных многогранников конечного объема в этих пространствах. Для $\mathbb R^3$ такой многогранник комбинаторно является кубом, для $S^3$ – симплексом, для $\mathbb{H}^3$ – почти погореловским многогранником без смежных четырехугольников, у которого все четырехугольники стянуты в точки, для $S^2\times \mathbb R$ – произведением прямоугольного треугольника и отрезка, а для $\mathbb{H}^2\times \mathbb R$ – произведением прямоугольного многоугольника конечной площади и отрезка. Многоугольник может иметь вершины на бесконечности (так называемые идеальные вершины), а для всех его собственных вершин углы между ребрами прямые. Многогранник $P$ отвечает прямоугольной группе Кокстера
$$
\begin{equation*}
\langle \rho_1,\dots,\rho_m\rangle/(\rho_1^2,\dots,\rho_m^2,\ \rho_i\rho_j=\rho_j\rho_i, \text{ если }F_i\cap F_j\ne\varnothing),
\end{equation*}
\notag
$$
причем при пересечении граней мы не учитываем точки на бесконечности. Например, для произведения прямоугольного многоугольника с вершиной на бесконечности и отрезка произведения сторон, содержащих бесконечно удаленную вершину, и отрезка являются гранями с пустым пересечением. Группа Кокстера изоморфна подгруппе $G(P)$ изометрий всего пространства, порожденной отражениями в плоскостях граней многогранника $P$, где $\rho_i$ отвечает отражению в плоскости грани $F_i$. Группа $G(P)$ действует на всем пространстве дискретно, а многогранник является фундаментальной областью, т.е. многогранники $\{gP\}_{g\in G(P)}$ заполняют все пространство и их внутренности не пересекаются. Также многогранник $P$ является пространством орбит и для каждой его точки стабилизатор порожден отражениями в плоскостях граней, содержащих эту точку (см. [36; теорема 1.2 в гл. 5]). Для отображения $\Lambda\colon\{F_1,\dots,F_m\}\to\mathbb Z_2^r\setminus\{0\}$ такого, что для любого собственного ребра $F_i\cap F_j$ и любой собственной вершины $F_i\cap F_j\cap F_k$ образы соответствующих граней линейно независимы и $\operatorname{Im} \Lambda$ порождает $\mathbb Z_2^r$, определим гомоморфизм $\varphi_{\Lambda}\colon G(P)\to \mathbb Z_2^r$ по правилу $\varphi_{\Lambda}(\rho_i)=\Lambda(F_i)$. Подгруппа $\operatorname{Ker} \varphi_{\Lambda}$ действует свободно на всем пространстве (не считая бесконечно удаленные точки), и факторпространство $N(P,\Lambda)$ является многообразием конечного объема, склеенным из $2^r$ копий многогранника. Это многообразие автоматически имеет геометрическую структуру, моделируемую на соответствующем пространстве. Если $P$ – компактный многогранник, то отображение $\Lambda(F_i)=e_i\in\mathbb Z_2^m$ задает $N(P,\Lambda)=\mathbb R\mathcal{Z}_P$, а для векторной раскраски $\Lambda$ получаем $N(P,\Lambda)=M(P,\Lambda)$. Обратный гомеоморфизм задается отображением $(p,t)\to \varphi^{-1}_{\Lambda}(t)\cdot p$. Напомним, что понятия вложенного семейства поясов, вложенного семейства кривых и разрезания многогранника вдоль пояса и вдоль вложенного семейства поясов были сформулированы соответственно в определениях 2.11, 2.13 и конструкции 2.21 вместе с замечанием 2.22. Используя эти понятия, сформулируем основной результат статьи. Теорема 4.12. Пусть $P$ – простой флаговый трехмерный многогранник, отличный от куба $I^3$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Существует единственное вложенное семейство $4$-поясов такое, что разрезание многогранника $P$ вдоль всех этих поясов дает (a) почти погореловские многогранники без смежных четырехугольников и (b) $k$-призмы, $k\geqslant 5$, причем любые две смежные призмы “перекручены”, т.е. если у двух призм есть четырехугольники, отвечающие одному и тому же поясу в $P$, то основания этих призм соответствуют разным граням пояса. Мы называем пояса из этого семейства каноническими. Мы называем четырехугольник почти погореловского многогранника свободным, если он не соответствует никакому каноническому поясу. Каждый такой четырехугольник отвечает четырехугольнику многогранника $P$, который мы тоже будем называть свободным. 2) Для любого ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ семейство канонических поясов задает $\mathrm{JSJ}$-разложение и геометрическое разложение следующим образом. (a) Существует геометрическая реализация многогранника $P$ в $\mathbb R^3$ такая, что плоские сечения канонических поясов являются попарно непересекающимися четырехугольниками, ограниченными кривыми, которые образуют вложенное семейство. (b) Удаление этих четырехугольников и всех свободных четырехугольников многогранника $P$ разбивает его на дизъюнктное объединение компонент $Q_i$, $i=1,2,\dots$ . Каждая компонента $Q_i$ гомеоморфна (с сохранением структуры граней) прямоугольному многограннику конечного объема либо в $\mathbb {H}^2\times \mathbb R$ (если $Q_i$ отвечает призме), либо в $\mathbb{H}^3$ (если $Q_i$ отвечает почти погореловскому многограннику), и имеет индуцированную векторную раскраску $\Lambda_{Q_i}$. (c) $\mathrm{JSJ}$-торы многообразия $M(P,\Lambda)$ – это связные компоненты прообразов:
(d) Торы типов (i) и (ii) и бутылки Клейна, отвечающие торам типа (iii), задают геометрическое разложение многообразия $M(P,\Lambda)$. Каждая компонента дополнения к этим поверхностям в $M(P,\Lambda)$ гомеоморфна многообразию $N(Q_i,\Lambda_i)$ и имеет геометрическую структуру конечного объема, задаваемую конструкцией 4.11. Замечание 4.13. Есть два крайних случая, когда множество канонических поясов пусто. В первом случае $P$ является $k$-призмой, $k\geqslant 4$. Ориентируемое многообразие $M(P,\Lambda)$ является замкнутым многообразием Зейферта, на котором уже существует геометрическая структура. Для $k=4$ она моделируется на $\mathbb R^3$, а для $k\geqslant 5$ – на $\mathbb H^2\times\mathbb R$. Множество $\mathrm{JSJ}$-торов в п. 2) в этом случае пусто. Во втором случае $P$ является почти погореловским многогранником без смежных четырехугольников. Если $P$ – многогранник Погорелова, то ориентируемое многообразие $M(P,\Lambda)$ является замкнутым гиперболическим многообразием, а множество $\mathrm{JSJ}$-торов в п. 2) снова пусто. Если же в $P$ есть четырехугольники, то в п. 2) каждый четырехугольник отвечает подмножеству $\mathrm{JSJ}$-торов и $M(P,\Lambda)$ разрезается на гомеоморфные компоненты с гиперболической структурой конечного объема. Замечание 4.14. Пункт 1) теоремы является частным случаем более общего разложения так называемых кокстеровских орбифолдов в [10]. Нужно взять прямоугольный кокстеровский орбифолд. Замечание 4.15. Пункт 1) эквивалентен утверждению, что многогранник $P$ можно однозначно разложить в связную сумму $k$-призм, $k\geqslant5$, и почти погореловских многогранников без смежных четырехугольников таким образом, что смежные призмы перекручены. Действительно, разрезание вдоль $4$-поясов является обратной операцией к связной сумме вдоль четырехугольников. Поэтому п. 1) автоматически задает требуемое разложение. С другой стороны, если взять набор $k$-призм, $k\geqslant 5$, и почти погореловских многогранников без смежных четырехугольников и начать применять операции связной суммы вдоль четырехугольников, учитывая правило перекрученности призм, то на каждом шаге возникающий $4$-пояс не может содержать четырехугольники. В частности, возникающие $4$-пояса образуют вложенное семейство и каждый четырехугольник нового многогранника отвечает четырехугольнику единственного слагаемого. Это ясно для случая двух многогранников. Предположим, что мы уже доказали это для каждого многогранника, получаемого как связная сумма менее чем $k$ многогранников из набора. Рассмотрим случай $k$ многогранников. Последняя связная сумма применяется к двум многогранникам $Q_1$ и $Q_2$, каждый из которых либо является многогранником из набора, либо связной суммой менее чем $k$ таких многогранников. По индукции выбранные четырехугольники многогранников $Q_1$ и $Q_2$ отвечают однозначно определенным многогранникам $P_1$ и $P_2$ из набора. Если возникающий во время последней связной суммы $4$-пояс содержит четырехугольник, то $P_1$ и $P_2$ являются призмами. Так как они перекручены, получаем противоречие. Мы докажем теорему 4.12 за несколько шагов. 4.3.1. Разложение флагового многогранникаНачнем с леммы. Лемма 4.16. Пусть простой трехмерный многогранник $P$ является связной суммой многогранников $P_1$ и $P_2$ вдоль $k$-угольников, окруженных поясами, $k\geqslant 4$. Тогда $P$ является флаговым тогда и только тогда, когда $P_1$ и $P_2$ являются флаговыми. Доказательство напрямую вытекает из леммы 2.24 и следствия 2.25. В случае $4$-поясов ситуация более сложная, чем для $3$-поясов. Средние линии $4$-поясов могут пересекаться трансверсально. Например, такие $4$-пояса есть в каждой $k$-призме, $k\geqslant 4$ (в частности, вокруг смежных четырехугольников). Как мы увидим ниже, этот пример отражает сущность проблемы в целом. Алгоритм разложения. Сначала мы алгоритмически найдем разложение из замечания 4.15 для п. 1) теоремы 4.12, а затем докажем его единственность. Шаг 1. Срежем все последовательности смежных четырехугольников. Лемма 4.17. Если вершина флагового трехмерного многогранника $P$ принадлежит трем четырехугольникам, то $P=I^3$. Доказательство. Действительно, эти три четырехугольника окружены последовательностью трех попарно смежных граней. Так как в $P$ нет $3$-поясов, они должны иметь общую вершину. Поэтому $P=I^3$. Лемма доказана. Пусть $P\ne I^3$. Тогда каждая его вершина принадлежит не более чем двум четырехугольникам. Пусть имеются два смежных четырехугольника $F_i$ и $F_j$. Если четырехугольник $F_q$ смежен с одним из них, то их ребро пересечения должно быть противоположно ребру $F_i\cap F_j$ в $F_q$. Таким образом, двигаясь в каждом направлении, мы получаем последовательность четырехугольников с “параллельными” ребрами пересечения. Эта последовательность либо замыкается в кольцо, либо останавливается в какой-то момент. В первом случае $P$ является $k$-призмой с $k\geqslant 4$. Во втором случае можно показать, что последовательность четырехугольников окружена $4$-поясом. Разрежем вдоль него и получим $k$-призму, $k\geqslant 5$, и флаговый многогранник $P_1$. Повторим рассуждения для $P_1$. Так как пояса, вдоль которых мы разрезаем, не содержат четырехугольников, все они отвечают вложенному семейству $4$-поясов в $P$. В конце мы получим многогранник $Q$ без смежных четырехугольников или $k$-призму, $k\geqslant 5$. На каждом шаге число граней уменьшается по крайней мере на один. Если $Q$ имеет только тривиальные $4$-пояса или $Q$ является $k$-призмой, переходим к шагу $3$. Иначе – к шагу $2$. Шаг 2. Разрежем флаговый трехмерный многогранник без смежных четырехугольников вдоль нетривиального $4$-пояса, не проходящего через четырехугольники. Лемма 4.18. Пусть $Q$ – флаговый трехмерный многогранник без смежных четырехугольников. Тогда либо все его $4$-пояса тривиальны, либо найдется нетривиальный $4$-пояс, не содержащий четырехугольников. Доказательство. Пусть $\mathcal{B}=(F_i,F_j,F_k,F_l)$ – нетривиальный $4$-пояс. Он содержит не более двух четырехугольников. Пусть $F_i$ – один из них. В замыкании обеих компонент дополнения $\partial Q\setminus|\mathcal{B}|$ четырехугольник $F_i$ смежен с некоторыми гранями $F_p$ и $F_q$ такими, что $(F_j,F_p,F_l,F_q)$ – $4$-пояс (каждая грань флагового трехмерного многогранника окружена поясом). Если $F_p\cap F_k\ne\varnothing$, то $F_p\cap F_k\cap F_j$ и $F_p\cap F_k\cap F_l$ – вершины и $\mathcal{B}$ – пояс вокруг $F_p$. Противоречие. Аналогично $F_q\cap F_k=\varnothing$. Таким образом, $\mathcal{B}_1=(F_p,F_j,F_k,F_l)$ – $4$-пояс и грани $F_p$, $F_j$ и $F_l$ не являются четырехугольниками. Пояс $\mathcal{B}_1$ нетривиален, иначе $\mathcal{B}$ окружает два смежных четырехугольника. Аналогично $\mathcal{B}_2=(F_q,F_j,F_k,F_l)$ является нетривиальным $4$-поясом. Если $F_k$ – четырехугольник, мы можем применить к нему аналогичные рассуждения и получить нетривиальные пояса, не содержащие четырехугольников. Лемма доказана. Таким образом, если $Q$ не является ни почти погореловским многогранником, ни $k$-призмой, мы можем разрезать его вдоль $4$-пояса, не содержащего четырехугольники, и получим два флаговых многогранника $Q_1$ и $Q_2$ с меньшим числом граней. Если один из многогранников $Q_i$ не является почти погореловским или $k$-призмой, переходим для него к шагу $1$. Если многогранник $P$ уже разрезан на почти погореловские многогранники и $k$-призмы, переходим к шагу $3$. Шаг 3. Мы разрезали многогранник $P$ вдоль вложенного семейства поясов на почти погореловские многогранники без смежных четырехугольников и $k$-призмы, $k\geqslant 5$ (случай $k=4$ невозможен, так как он отвечает разрезанию вдоль тривиального $4$-пояса). Это отвечает представлению многогранника $P$ как связной суммы соответствующих многогранников вдоль четырехугольников. Предположим, что в этом разложении две призмы склеены вдоль четырехугольников. Если при этом их основания склеены вдоль ребер, мы снова получаем призму. Удалим соответствующий пояс из вложенного семейства. Повторяя это рассуждение, мы придем к ситуации, когда все смежные призмы “перекручены”. Здесь алгоритм останавливается. Единственность разложения. Докажем, что разложение в п. 1) теоремы 4.12 единственно. Как и в случае с $3$-поясами комбинаторно мы можем представить разложение следующим образом. Для $4$-поясов возьмем кривые $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$ из конструкции 2.18. Разрежем границу $\partial P$ вдоль этих кривых и заклеим каждую кривую четырехугольником. Получим границы многогранников $R_i$. Снова для грани $F_a$ многогранника $P$ обозначим через $\widehat{F_a}$ соответствующую грань в $R_i$. Грань $\widehat{F_a}$ можно рассматривать как часть грани $F_a$, и $F_a$ состоит из таких частей. Лемма 4.19. Пусть $\mathcal{F}$ – вложенное семейство $4$-поясов флагового трехмерного многогранника $P\ne I^3$ такое, что разрезание вдоль всех этих поясов дает многогранники $R_i$, которые являются либо $k$-призмами, $k\geqslant 5$, либо почти погореловскими многогранниками без смежных четырехугольников, и соседние призмы “перекручены”. Тогда 1) любой $4$-пояс в $\mathcal{F}$ не содержит четырехугольников; 2) любой $4$-пояс в $P$ либо принадлежит семейству $\mathcal{F}$, либо совместим со всеми поясами из $\mathcal{F}$; в последнем случае он состоит из граней, представленных одновременно в единственном многограннике $R_i$, и они образуют в нем $4$-пояс. Доказательство. Если пояс $\mathcal{B}\in\mathcal{F}$ содержит четырехугольник $F_i$, то $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})\cap F_i=E$ – отрезок и любое непустое пересечение $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}')\cap F_i\ne\varnothing$ для $\mathcal{B}'\in\mathcal{F}\setminus\{\mathcal{B}\}$ является отрезком, “параллельным” $E$. Таким образом, если грань $F_i$ представлена в некотором многограннике $R_j$, то соответствующая грань $\widehat{F_i}$ также является четырехугольником. Пусть пояс $\mathcal{B}$ разделяет многогранники $R_p$ и $R_q$. Тогда в каждом из них $F_i$ отвечает четырехугольнику, смежному с четырехугольником, возникающим из $\mathcal{B}$. Следовательно, оба многогранника $R_p$ и $R_q$ являются призмами. Так как они перекручены, для одного из них $\widehat{F}_i$ является основанием и имеет более четырех сторон. Противоречие. Докажем, что $4$-пояс многогранника $P$, отличный от поясов в $\mathcal{F}$, не может быть представлен одновременно в нескольких многогранниках $R_i$ и $R_j$. Действительно, любые два многогранника в разложении разделены в $P$ кривой $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$, $\mathcal{B}\in\mathcal{F}$. Если грань представлена в обоих многогранниках, она принадлежит $\mathcal{B}$. Следовательно, пояс должен совпадать с $\mathcal{B}$. Теперь рассмотрим произвольный $4$-пояс $\mathcal{B}=(F_i,F_j,F_k,F_l)\notin\mathcal{F}$. Если $\mathcal{B}$ совместим с любым поясом в $\mathcal{F}$, то, пользуясь конструкцией 2.18 и леммой 2.19, мы можем подвинуть каждую вершину средней линии $\gamma(\mathcal{B})$ во внутренности соответствующего ребра многогранника $P$ таким образом, что новая кривая $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$ не пересекает кривые $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}')$ для всех $\mathcal{B}'\in\mathcal{F}$. В частности, она лежит во внутренности части границы $\partial P$, отвечающей некоторому многограннику $R_i$. Тогда все грани пояса $\mathcal{B}$ представлены в $R_i$. Из леммы 2.23 следует, что грани $F_a$ и $F_b$, представленные в $R_i$, смежны в $P$ тогда и только тогда, когда грани $\widehat{F_a}$ и $\widehat{F_b}$ смежны в $R_i$. Следовательно, соответствующие грани в $R_i$ также образуют $4$-пояс. Предположим, что $4$-пояс $\mathcal{B}$ не совместим с одним из поясов $\mathcal{B}'\in\mathcal{F}$, соединяющим многогранники $R_p$ и $R_q$. Тогда из леммы 2.10 следует, что после подходящей перенумерации граней $F_j$ лежит в замыкании связной компоненты дополнения $\partial P\setminus|\mathcal{B}'|$, отвечающей $R_p$, а $F_l$ – отвечающей $R_q$. Тогда $F_i$ и $F_k$ должны принадлежать $\mathcal{B}'$. Докажем, что в этом случае по крайней мере одна из граней $F_j$ и $F_l$ не пересекает одну из граней $F_i$ и $F_k$. Действительно, рассмотрим многогранник $R_p$. Если он не является призмой, то это почти погореловский многогранник без смежных четырехугольников. Тогда найдется единственный четырехугольник в $R_p$, смежный одновременно с $\widehat{F_i}$ и $\widehat{F_k}$, а именно, четырехугольник $F$, отвечающий поясу $\mathcal{B}'$. Если найдется другой четырехугольник $F'$ с этим свойством, то $(\widehat{F_i},F,\widehat{F_k},F')$ – $4$-пояс. Так как в $R_p$ все $4$-пояса тривиальны, он должен окружать четырехугольник, смежный и с $F$, и с $F'$. Противоречие. Следовательно, каждая часть границы $\partial P$, отделенная от $R_p$ кривыми $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}'')$, где $\mathcal{B}''\in \mathcal{F}\setminus\{\mathcal{B}'\}$ – $4$-пояса, представленные в $R_p$, пересекает не более одной грани из $F_i$ и $F_k$. Таким образом, если грань $F_j$ не представлена в $R_p$, она не может пересекать одновременно $F_i$ и $F_k$. Если она представлена в $R_p$, то $\widehat{F_j}$ смежна одновременно с $\widehat{F_i}$ и $\widehat{F_k}$ в этом многограннике. Последовательность $(F,\widehat{F_i},\widehat{F_j},\widehat{F_k})$ не может быть $4$-поясом, иначе он окружает четырехугольник, смежный с $F$. Следовательно, $\widehat{F_j}\cap F\ne\varnothing$. Тогда $F_j$ принадлежит $\mathcal{B}'$. Противоречие. Итак, $F_j$ не может пересекать одновременно $F_i$ и $F_k$, если $R_p$ не является призмой. Аналогично, $F_l$ не может пересекать одновременно $F_i$ и $F_k$, если $R_q$ не является призмой. Если оба многогранника $R_p$ и $R_q$ являются призмами, то в одном из них, скажем в $R_p$, $\widehat{F_i}$ и $\widehat{F_k}$ являются четырехугольниками, а в другом, соответственно $R_q$, они являются основаниями. В этом случае в $R_p$ имеется единственный четырехугольник, смежный одновременно с $\widehat{F_i}$ и $\widehat{F_k}$, а именно, четырехугольник $F$, отвечающий $\mathcal{B}'$. Следовательно, каждая из частей границы $\partial P$, отделенная от $R_p$ кривыми $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}'')$, где $\mathcal{B}''\in \mathcal{F}\setminus\{\mathcal{B}'\}$ – $4$-пояса, представленные в $R_p$, пересекает не более одной из граней $F_i$ и $F_k$. Таким образом, если грань $F_j$ не представлена в $R_p$, она не может одновременно пересекать $F_i$ и $F_k$. Если же она представлена в $R_p$, то $\widehat{F_j}$ смежна одновременно с $\widehat{F_i}$ и $\widehat{F_k}$ в этом многограннике. Тогда $\widehat{F_j}$ является базой и $F_j$ принадлежит поясу $\mathcal{B}'$. Противоречие. Лемма доказана. Пусть теперь $\mathcal{F}'$ – другое вложенное семейство $4$-поясов, разрезание вдоль которых дает многогранники $R_i'$, являющиеся либо $k$-призмами, $k\geqslant 5$, либо почти погореловскими многогранниками без смежных четырехугольников, причем соседние призмы “перекручены”. Из леммы 4.19 следует, что объединение $\mathcal{F}'\cup \mathcal{F}$ снова является вложенным семейством поясов. Используя конструкцию 2.18, мы можем выбрать вложенное семейство кривых, отвечающих $\mathcal{F}'\cup\mathcal{F}$ как расширение такого семейства для $\mathcal{F}$. Для каждого пояса $\mathcal{B}\in \mathcal{F}'\setminus\mathcal{F}$ кривая $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$ лежит на одном из многогранников $R_i$ и отвечает на нем $4$-поясу $\widehat{\mathcal{B}}$. Предположим, что $\widehat{\mathcal{B}}$ – тривиальный пояс. Он не может окружать четырехугольник, отвечающий поясу из $\mathcal{F}$, поэтому $\widehat{\mathcal{B}}$ окружает некоторый четырехугольник $\widehat{F_j}\in R_i$. Этот четырехугольник смежен только с гранями из $\widehat{\mathcal{B}}$, и все они имеют вид $\widehat{F_k}$ для некоторых граней $F_k$ многогранника $P$. Тогда $F_j$ не пересекает кривые $\widehat{\gamma}(\mathcal{B}')$, $\mathcal{B}'\in \mathcal{F}$. Следовательно, $F_j$ – это четырехугольник, так же как $\widehat{F_j}$. Тогда компонента дополнения $\partial P\setminus\gamma(\mathcal{B})$, содержащая $F_j$, не может содержать кривую $\gamma(\mathcal{B}')$ ни для какого $4$-пояса $\mathcal{B}'$ многогранника $P$. В частности, когда мы разрежем вдоль поясов из $\mathcal{F}'$, один из многогранников $R_j'$ окажется $4$-призмой, что приводит к противоречию. Таким образом, $\widehat{\mathcal{B}}$ – нетривиальный пояс. Следовательно, многогранник $R_i$ является призмой, и $\widehat{\mathcal{B}}$ содержит два основания и два четырехугольника. Рассмотрим все пояса $\mathcal{B}\in\mathcal{F}'\setminus\mathcal{F}$, отвечающие нетривиальным поясам в $R_i$. Если мы разрежем $R_i$ вдоль соответствующих кривых $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$, мы получим множество $k$-призм с $k\geqslant 5$, в котором любые две соседние призмы не перекручены. Если сделать такие разрезы для всех призм $R_i$, получим некоторое множество призм. Если добавить все почти погореловские многогранники $R_j$ без смежных четырехугольников, мы получим набор многогранников, возникающий из $P$ в результате разрезания вдоль всех кривых $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})$, $\widehat{\gamma}(\mathcal{B})\in\mathcal{F}\cup\mathcal{F'}$. Если теперь мы сделаем то же самое, начиная с семейства $\mathcal{F}'$, а затем дополняя его поясами из $\mathcal{F}\setminus\mathcal{F}'$, то мы получим то же семейство многогранников. Рассмотрим теперь две смежные призмы, отвечающие рассмотренному выше многограннику $R_i$. Для второго способа разрезания многогранника $P$ они возникают из разных призм $R_p'$ и $R_q'$, поэтому они должны быть перекручены. Противоречие. Таким образом, $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$. 4.3.2. Несжимаемые поверхности, отвечающие поясам и гранямДля подмножества $\omega\subset[m]$ симплициальный комплекс $K_{\omega}=\{\sigma\in K\colon \sigma\subset\omega\}$ называется полным (или индуцированным) подкомплексом. В $\mathbb{R}\mathcal{Z}_K$ симплексы полного подкомплекса отвечают подмножеству вида $\mathbb R\mathcal{Z}_{K_{\omega}}\times \mathbb Z_2^{m-|\omega|}$. Это дизъюнктное объединение $2^{m-|\omega|}$ копий пространства $\mathbb R\mathcal{Z}_{K_{\omega}}$. Следующий результат сообщил автору Т. Е. Панов. Лемма 4.20 (см. [1; упражнение 4.2.13], [12; предложение 2.2]). Для любого подмножества $\omega\subset[m]$ и любого элемента $a\in\mathbb Z_2^{m-|\omega|}$ существует ретракция $\mathbb R\mathcal{Z}_K\to\mathbb R\mathcal{Z}_{K_{\omega}}\times a$. Доказательство. Действительно, ретракция имеет вид Это отображение индуцировано проекцией куба $(D^1)^m$ на его грань $(D^1)^{|\omega|}\times a$. Оно отображает и по построению является непрерывным. Также оно тождественно на $\mathbb R\mathcal{Z}_{K_{\omega}}\times a$. Лемма доказана. Следствие 4.21. Для любого подмножества $\omega\subset[m]$ и любого $a\in\mathbb Z_2^{m-|\omega|}$ отображение фундаментальных групп $\pi_1(\mathbb R\mathcal{Z}_{K_\omega}\times a)\to \pi_1(\mathbb R\mathcal{Z}_K)$ инъективно. Любой $k$-пояс $\mathcal{B}$ простого трехмерного многогранника $P$ отвечает множеству $\omega(\mathcal{B})=\{i\colon F_i\in \mathcal{B}\}$. Индуцированный подкомплекс $K_{\omega(\mathcal{B})}$ в $K=\partial P^*$ является простым циклом, т.е. границей $k$-угольника. Этот $k$-угольник можно реализовать как кусочно линейное подмножество $P_k(\mathcal{B})$ в $P$, состоящее из треугольников с вершинами в барицентрах многогранника $P$, грани пояса и ребра ее пересечения с соседней гранью этого пояса. Определение 4.22. Для векторной раскраски ранга $r$ простого трехмерного многогранника $P$ и $k$-пояса $\mathcal{B}$ положим $\pi_{\mathcal{B}}=\langle \Lambda_j\colon F_j\in\mathcal{B}\rangle$ и $r(\mathcal{B})=\dim \pi_{\mathcal{B}}$. У многоугольника $P_k(\mathcal{B})$ имеется индуцированная векторная раскраска $\Lambda_{\mathcal{B}}$ ранга $r(\mathcal{B})$, $2\leqslant r(\mathcal{B})\leqslant r$. Предложение 4.23. Пусть $M(P,\Lambda)$ – многообразие, определяемое векторной раскраской $\Lambda$ ранга $r$ простого трехмерного многогранника $P$, и $\mathcal{B}$ – $k$-пояс, $k\geqslant 4$. Тогда в $M(P,\Lambda)$ копии $k$-угольника $P_k(\mathcal{B})\subset P$ образуют дизъюнктное объединение $2^{r-r(\mathcal{B})}$ несжимаемых двумерных подмногообразий $M_x(\mathcal{B})$, $x\in \mathbb Z_2^r/\pi_\mathcal{B}$, с тривиальными трубчатыми окрестностями. Каждое подмногообразие $M_x(\mathcal{B})$ гомеоморфно $M(P_k(\mathcal{B}),\Lambda_{\mathcal{B}})$ и имеет вид либо $(T^2)^{\# g}$, $g=1+(k- 4)2^{r(\mathcal{B})-3}$, либо $(\mathbb RP^2)^{\#l}$, $l=2+(k-4)2^{r(\mathcal{B})-2}$. Замечание 4.24. Для малых накрытий другой подход к несжимаемости таких подмногообразий, основанный на явном представлении фундаментальных групп, можно найти в [13]–[15]. Доказательство предложения 4.23. При гомеоморфизме $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{K_P}\simeq\mathbb R\mathcal{Z}_P$, описанном в доказательстве предложения 1.4, подпространство $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{K_{\omega(\mathcal{B})}}\times a\subset \mathbb{R}\mathcal{Z}_{K_P}$ отображается на двумерное подмногообразие $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)$ в $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ с тривиальной трубчатой окрестностью. Это подмногообразие гомеоморфно $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}$ и склеено из частей многогранников $P\times b$, где $b$ лежит в одном смежном классе в $\mathbb Z_2^m/\mathbb Z_2^{\mathcal{B}}$, отвечающим элементу $a\in\mathbb Z_2^{m-|\omega(\mathcal{B})|}$, где $\mathbb Z_2^{\mathcal{B}}=\langle e_i\colon F_i\in\mathcal{B}\rangle\subset \mathbb Z_2^m$. В $M(P,\Lambda)$ копии многоугольника $P_k(\mathcal{B})$ склеены в дизъюнктное объединение двумерных подмногообразий $M_x(\mathcal{B})$, гомеоморфных $M(P_k(\mathcal{B}),\Lambda_{\mathcal{B}})$. По построению каждое подмногообразие $M_x(\mathcal{B})$ имеет тривиальную трубчатую окрестность и склеено из $k$-угольников $P_k(\mathcal{B})\times b$, где $b$ принадлежит смежному классу $x+\pi_{\mathcal{B}}$ в $\mathbb Z_2^r/\pi_{\mathcal{B}}$. В частности, имеется $2^{r-r(\mathcal{B})}$ таких подмногообразий. Подмногообразие $M_x(\mathcal{B})$ является пространством орбит свободного действия подгруппы
$$
\begin{equation*}
H(\mathcal{B})=H(\Lambda)\cap \mathbb Z_2^{\mathcal{B}}=\operatorname{Ker}[\Lambda_{\mathcal{B}}\colon \mathbb Z_2^{\mathcal{B}}\to\mathbb Z_2^r]
\end{equation*}
\notag
$$
на $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)\subset\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ для любого $a\in \widehat{\Lambda}^{-1}(x+\pi_{\mathcal{B}})$, где $\Lambda\colon\mathbb Z_2^m\to\mathbb Z_2^r$, и $\widehat{\Lambda}$: $\mathbb Z_2^m/\mathbb Z_2^{\mathcal{B}}\to \mathbb Z_2^r/\pi_{\mathcal{B}}$. В частности, имеется накрытие $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)\to M_x(\mathcal{B})$, у которого число листов равно $|H(\mathcal{B})|=2^{k-r(\mathcal{B})}$. Согласно примеру 1.2 каждое многообразие $\mathbb R\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)$ гомеоморфно сфере с $g$ ручками, $g=(k-4)2^{k-3}+1$. Для ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ каждое подмногообразие $M_x(\mathcal{B})$ также ориентируемо, так как оно имеет тривиальную трубчатую окрестность. Таким образом, оно также является сферой с ручками. Пусть $g'$ – ее род. Из накрытия $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)\to M_x(\mathcal{B})$ следует, что $\chi(\mathbb R\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})})=|H(\mathcal{B})|\chi(M_x(\mathcal{B}))$. Тогда $2-2g=|H(\mathcal{B})|(2-2g')$ и
$$
\begin{equation*}
g'=1+\frac{g-1}{|H(\mathcal{B})|}=1+(k-4) \frac{2^{k-3}}{2^{k-r(\mathcal{B})}}=1+(k-4)2^{r(\mathcal{B})-3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если многообразие $M(P,\Lambda)$ неориентируемо, то $M_x(\mathcal{B})$ может быть как ориентируемым, так и неориентируемым. В последнем случае оно имеет вид $(\mathbb RP^2)^{\#l}$, где $2-2g=|H(\mathcal{B})|(2-l)$ и
$$
\begin{equation*}
l=2+2\frac{g-1}{|H(\mathcal{B})|}=2+2(k-4) \frac{2^{k-3}}{2^{k-r(\mathcal{B})}}=2+(k-4)2^{r(\mathcal{B})-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь докажем несжимаемость подмногообразий $M_x(\mathcal{B})$. Из следствия 4.21 вытекает, что каждое подмногообразие $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)\subset \mathbb R\mathcal{Z}_P$ является несжимаемым. Если $\Lambda$ имеет ранг $m$, то $M_x(\mathcal{B})=\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(x)$. Иначе рассмотрим коммутативные диаграммы отображений и индуцированных гомоморфизмов групп: Известно, что проекция $p\colon X\to X/G$ для свободного действия конечной группы $G$ на хаусдорфовом топологическом пространстве $X$ является регулярным накрытием, гомоморфизм $p_*\colon\pi_1(X)\to\pi_1(X/G)$ инъективен и $G\simeq \pi_1(X/G)/p_*\pi_1(X)$ (см. [44; предложение 1.40]). Это относится к отображениями $q_1$ и $q_2$. В частности, $(q_1)_*$ и $(q_2)_*$ инъективны, их образы являются нормальными подгруппами и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi_1(M_x(\mathcal{B}))/\operatorname{Im}(q_1)_*\simeq H(\mathcal{B})\simeq \mathbb Z_2^{k-r(\mathcal{B})}, \\ \pi_1(M(P,\Lambda))/ \operatorname{Im}(q_2)_*\simeq H(\Lambda)\simeq \mathbb Z_2^{m-r}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Также гомоморфизм $i_*$ инъективен по следствию 4.21. Так как гомоморфизм $j_*(q_1)_*$ инъективен, $\operatorname{Ker}j_*\cap \operatorname{Im}(q_1)_*=\{1\}$. Тогда имеется инъекция $\operatorname{Ker}j_*\to \pi_1(M_x(\mathcal{B}))/\operatorname{Im}(q_1)_*\simeq H(\mathcal{B})$. Если $k\geqslant 4$, то $\mathbb R\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a)$ – сфера по крайней мере с одной ручкой. В частности, $\chi(\mathbb R\mathcal{Z}_{P_k(\mathcal{B})}(a))\leqslant 0$. Так как $q_1$ – накрытие, $\chi(M_x(\mathcal{B}))\leqslant 0$. Это классический факт, что замкнутое двумерное многообразие с $\chi(X)\leqslant 0$ является $K(\pi,1)$-пространством, т.е. $\pi_i(X)=0$ для $i\geqslant 2$. Также известно, что каждый элемент в $\pi_1(K(\pi,1))$, где $K(\pi,1)$ – конечный клеточный комплекс, имеет бесконечный порядок [44; предложение 2.45]. Так как ядро $\operatorname{Ker}j_*$ состоит из элементов конечного порядка, оно совпадает с $\{1\}$. Это завершает доказательство предложения 4.23. Пример 4.25. Рассмотрим $4$-пояс $\mathcal{B}=(F_i,F_j,F_k,F_l)$ простого трехмерного многогранника $P$. Для четырехугольника $P_4(\mathcal{B})\simeq I\times I$ вещественное момент-угол многообразие $\mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_4}$ является тором $T^2$, склеенным из $16$ его копий. В $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ этот пояс отвечает дизъюнктному набору из $2^{m-4}$ несжимаемых торов. Для многообразия $M(P,\Lambda)$, определяемого векторной раскраской ранга $r$, возможны следующие варианты. 1. $\operatorname{rk}\Lambda_{\mathcal{B}}=4$. Тогда $M_x(\mathcal{B})\simeq \mathbb{R}\mathcal{Z}_{P_4}\simeq T^2$. 2. $\operatorname{rk}\Lambda_{\mathcal{B}}=3$. Тогда либо любые три вектора образуют базис, либо некоторые три последовательных вектора порождают двумерное пространство, а четвертый вектор не лежит в этом пространстве. Во втором случае либо два противоположных вектора совпадают, либо нет. Тогда, с точностью до симметрии четырехугольника, можно считать, что $\Lambda_i$, $\Lambda_j$ и $\Lambda_k$ – это базис и $\Lambda_l\in \{\Lambda_i+\Lambda_j+\Lambda_k,\Lambda_j,\Lambda_j+\Lambda_k\}$. Первые два случая дают $M_x(\mathcal{B})=T^2$, а последний – $M_x(\mathcal{B})=K^2$. 3. $\operatorname{rk}\Lambda_{\mathcal{B}}=2$. Тогда $\Lambda_i$ и $\Lambda_j$ образуют базис и либо $\{\Lambda_k,\Lambda_l\}=\{\Lambda_i,\Lambda_j\}$, либо $\Lambda_i+\Lambda_j\in\{\Lambda_k,\Lambda_l\}$. В первом случае $\Lambda_k=\Lambda_i$, $\Lambda_l=\Lambda_j$ и $M_x(\mathcal{B})=T^2$, а во втором случае, с точностью до симметрии четырехугольника, можно считать, что $\Lambda_k=\Lambda_i$ и $\Lambda_l=\Lambda_i+\Lambda_j$. Тогда $M_x(\mathcal{B})=K^2$. Нам понадобится рассматривать двумерные подмногообразия в $M(P,\Lambda)$, отвечающие граням простого трехмерного многогранника $P$, окруженным поясами. Определение 4.26. Пусть $F_i$ – $k$-угольная грань простого трехмерного многогранника $P$, окруженная $k$-поясом $\mathcal{B}$. Положим $\pi_{F_i}=\langle \Lambda_i\rangle+\pi_{\mathcal{B}}$ и $r(F_i)=\dim \pi_{F_i}$. Предложение 4.27. Пусть $M(P,\Lambda)$ – многообразие, определяемое векторной раскраской $\Lambda$ ранга $r$ простого трехмерного многогранника $P$, и $F_i$ – грань, окруженная $k$-поясом $\mathcal{B}$ с $k\geqslant 4$. Тогда в $M(P,\Lambda)$ копии $k$-угольника $F_i$ образуют дизъюнктный набор $2^{r-r(F_i)}$ несжимаемых двумерных подмногообразий $M_x(F_i)$, $x\in \mathbb Z_2^r/\pi_{F_i}$. Если $\Lambda_i\notin \pi_{\mathcal{B}}$, то каждое подмногообразие имеет тривиальную трубчатую окрестность с двумя компонентами границы $M_x(\mathcal{B})$ и $M_{x+\Lambda_i}(\mathcal{B})$, изотопными $M_x(F_i)$. Если $\Lambda_i\in \pi_{\mathcal{B}}$, то каждое подмногообразие имеет нетривиальную трубчатую окрестность с границей $M_x(\mathcal{B})$. Эта окрестность гомеоморфна цилиндру фактор отображения свободного действия на $M_x(\mathcal{B})$ инволюции, отвечающей вектору $\Lambda_i$. Замечание 4.28. В случае малых накрытий над трехмерными многогранниками несжимаемость подмногообразий, отвечающих граням, следует из [14; теорема 3.3]. Другой подход к этому результату представлен в [8], [16], [11] и основывается на том факте, что $M_x(F_i)$ является вполне геодезической гиперповерхностью в пространстве $M(P,\Lambda)$ со структурой кубического комплекса неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова и М. Л. Громова [17]. Доказательство предложения 4.27. В $M(P,\Lambda)$ копии грани $F_i$ склеиваются в дизъюнктный набор $2^{r-r(F_i)}$ многообразий $M_x(F)$. Каждое многообразие склеивается из копий грани $F_i$, отвечающих многогранникам $P\times b$, у которых $b$ принадлежит смежному классу $x+\pi_{F_i}\in \mathbb Z_2^r/\pi_{F_i}$. Существует кусочно линейный гомеоморфизм между частью многогранника $P$, заключенной между $P_k(\mathcal{B})$ и $F_i$, и произведением $F_i\times I$. Этот гомеоморфизм задает изотопию между $P_k(\mathcal{B})$ и $F_i$. Имеются две возможности: либо $\Lambda_i\not\in \pi_{\mathcal{B}}$, либо $\Lambda_i\in \pi_{\mathcal{B}}$. В первом случае $M_x(F_i)$ имеет тривиальную трубчатую окрестность с границей, состоящей из многообразий $M_x(\mathcal{B})$ и $M_{x+\Lambda_i}(\mathcal{B})$. В частности, все три многообразия изотопны и гомеоморфны $M(F_i,\Lambda_{\mathcal{B}})$, а $M_x(F_i)$ несжимаемо согласно предложению 4.23. Во втором случае $M_x(F_i)$ имеет нетривиальную трубчатую окрестность с границей $M_x(\mathcal{B})$. Многообразие $M_x(F_i)$ гомеоморфно факторпространству многообразия $M(F_i,\Lambda_{\mathcal{B}})$ по действию инволюции, отвечающей вектору $\Lambda_i\in\pi_{\mathcal{B}}\simeq \mathbb Z_2^{r(\mathcal{B})}$. Действие свободно, так как $\Lambda_i\notin \langle\Lambda_p,\Lambda_q\rangle$ для каждой вершины $F_i\cap F_p\cap F_q$ грани $F_i$. Тогда $M_x(F_i)$ гомеоморфно многообразию $M(F_i,\Lambda_{F_i})$, где $\Lambda_{F_i}$ – векторная раскраска, задаваемая композицией $\{F_j\colon F_j\in\mathcal{B}\}\to\pi_{\mathcal{B}}\to \pi_{\mathcal{B}}/\langle\Lambda_i\rangle$. Структура тривиального расслоения в трубчатой окрестности подмногообразия $M_x(F_i)$ задает гомеоморфизм этой окрестности и цилиндра факторотображения $M(F_i,\Lambda_{\mathcal{B}})\to M(F_i,\Lambda_{F_i})$, описанного выше. Оно отвечает отображению из границы $M_x(\mathcal{B})$ трубчатой окрестности на ее нулевое сечение $M_x(F_i)$. Это отображение гомотопно тождественному и является двулистным накрытием. Таким образом, включение $i\colon M_x(\mathcal{B})\to M(P,\Lambda)$ с точностью до гомотопии можно разложить как композицию двулистного накрытия $c\colon M_x(\mathcal{B})\to M_x(F_i)$ и включения $j\colon M_x(F_i)\to M(P,\Lambda)$. Получаем композицию гомоморфизмов
$$
\begin{equation*}
\pi_1(M_x(\mathcal{B}))\xrightarrow{c_*} \pi_1(M_x(F_i))\xrightarrow{j_*} \pi_1(M(P,\Lambda)).
\end{equation*}
\notag
$$
Первый гомоморфизм инъективен, так как отвечает накрытию, а композиция инъективна согласно предложению 4.23. Также $\pi_1(M_x(F_i))/\operatorname{Im}c_*\simeq \mathbb Z_2$. Таким образом, как в случае поясов, мы получаем, что $\operatorname{Ker} j_*\cap \operatorname{Im}c_*=\{1\}$. В частности, имеется вложение $\operatorname{Ker} j_*\to \pi_1(M_x(F_i))/\operatorname{Im}c_*\simeq \mathbb Z_2$. Как обсуждалось в доказательстве предложения 4.23, из этого следует, что ядро $\operatorname{Ker} j_*$ тривиально, если $\chi(M_x(F_i))\leqslant 0$. Последнее условие выполнено, так как $M_x(F_i)$ накрывается пространством $M_x(\mathcal{B})$ с неположительной эйлеровой характеристикой при $k\geqslant 4$. Предложение доказано. Пример 4.29. Если $F_i$ – четырехугольник, то, учитывая пример 4.25, возможны следующие случаи. 1. $\Lambda_i\not\in \pi_{\mathcal{B}}$. Тогда $M_x(F_i)\simeq M_x(\mathcal{B})\simeq M_{x+\Lambda_i}(F_i)$ есть либо $T^2$, либо $K_2$. Если $M(P,\Lambda)$ ориентируемо, возможен только случай $T^2$. 2. $\Lambda_i\not\in \pi_{\mathcal{B}}$. Тогда $M_x(F_i)$ имеет трубчатую окрестность с границей $M_x(\mathcal{B})$ и имеется двулистное накрытие $M_x(\mathcal{B})\to M_x(F_i)$. Возможны следующие случаи: $(M_x(\mathcal{B}), M_x(F_i))\in \{(T^2,T^2), (T^2,K^2), (K^2,K^2)\}$. Если $M(P,\Lambda)$ ориентируемо, то $M_x(\mathcal{B})\simeq T^2$, так как это подмногообразие имеет тривиальную трубчатую окрестность. Вектор $\Lambda_i$ является линейной комбинацией нечетного числа векторов из базы множества $\{\Lambda_j\colon F_j\in \mathcal{B}\}$. Поэтому соответствующая инволюция на $M_x(\mathcal{B})$ меняет ориентацию и $M_x(F_i)\simeq K^2$. 4.3.3. $\mathrm{JSJ}$-разложение и явно описываемая геометризацияЧтобы перейти к $\mathrm{JSJ}$-разложению ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$, мы сначала реализуем геометрически комбинаторное разложение из п. 1) теоремы 4.12, пользуясь следствием 2.34. Каждое плоское сечение $\widehat{P}_4(\mathcal{B})$ многогранника $P$, отвечающее поясу $\mathcal{B}$, изотопно кусочно линейному многоугольнику $P_4(\mathcal{B})$. Следовательно, соответствующие подмногообразия $\widehat{M}_x(\mathcal{B})$ и $M_x(\mathcal{B})$ изотопны в $M(P,\Lambda)$. Таким образом, в $M(P,\Lambda)$ мы получаем дизъюнктный набор несжимаемых торов $\widehat{M}_x(\mathcal{B})$, отвечающих $4$-поясам $\mathcal{B}$ из вложенного семейства, несжимаемых торов $M_x(F_i)$, отвечающих “свободным” четырехугольникам $F_i$ почти погореловских многогранников с $r(F_i)>r(\mathcal{B}(F_i))$, и несжимаемых торов $\widehat{M}_x(\mathcal{B})$, являющихся границами трубчатых окрестностей несжимаемых подмногообразий $M_x(F_i)\simeq K^2$, отвечающих “свободным” четырехугольникам $F_i$ почти погореловских многогранников с $r(F_i)=r(\mathcal{B}(F_i))$. Для $4$-пояса вокруг четырехугольника сечение $\widehat{P}_4(\mathcal{B})$ можно получить небольшим сдвигом плоскости, содержащей грань. Теперь удалим из флагового многогранника $P\ne I^3$ все сечения $\widehat{P}_4(\mathcal{B})$, отвечающие поясам из разложения п. 1) теоремы 4.12, а также все “свободные” четырехугольники почти погореловских многогранников из этого разложения. Тогда каждая компонента $Q_i$, отвечающая почти погореловскому многограннику без смежных четырехугольников $R_i$, гомеоморфна (с сохранением структуры граней) этому многограннику с удаленными четырехугольниками и прямоугольному многограннику конечного объема в $\mathbb H^3$ с удаленными вершинами на бесконечности. Реализация прямоугольного многогранника конечного объема в $\mathbb H^3$ единственна с точностью до изометрий пространства $\mathbb H^3$. Каждая компонента $Q_j$, отвечающая $k$-призме $R_j$, $k\geqslant 5$, гомеоморфна (с сохранением структуры граней) этой призме с удаленным дизъюнктным набором четырехугольников, а также прямому произведению многоугольника с удаленным набором вершин и отрезка. Многоугольник можно реализовать как прямоугольный многоугольник конечной площади в $\mathbb H^2$ с удаленными вершинами на бесконечности. Реализация не единственна. В ориентируемом многообразии $M(P,\Lambda)$ это разложение многогранника отвечает разложению многообразия на компоненты, возникающие после удаления несжимаемых торов, отвечающих поясам из п. 1), и несжимаемых торов и бутылок Клейна, отвечающих “свободным” четырехугольникам почти погореловских многогранников. Каждая компонента склеена из прямоугольных многогранников конечного объема в $\mathbb H^2\times \mathbb R$ и $\mathbb H^3$. Векторная раскраска $\Lambda$ ранга $r$ индуцирует векторную раскраску $\Lambda_{Q_i}$ каждой компоненты $Q_i$, рассматриваемой как прямоугольный многогранник конечного объема в $\mathbb H^3$ или $\mathbb H^2\times \mathbb R$. Определение 4.30. Обозначим через $\pi_{Q_i}\subset \mathbb Z_2^r$ линейную оболочку векторов $\Lambda_j$, отвечающих граням многогранника $Q_i$, и $r_i=\dim \pi_{Q_i}$. В ориентируемом многообразии $M(P, \Lambda)$ каждая компонента $M_x(Q_i)$, отвечающая $Q_i$, гомеоморфна $N(Q_i,\Lambda_{Q_i})$ и склеена из частей многогранников $Q_i\times b$, для которых $b$ принадлежит смежному классу $x+\pi_{Q_i}\in\mathbb Z_2^r/\pi_{Q_i}$. Имеется $2^{r-r_i}$ таких частей. Замыкание открытого множества $M_x(Q_i)$ в $M(P,\Lambda)$ содержит тор $\widehat{M}_y(\mathcal{B})$ из рассмотренных выше наборов тогда и только тогда, когда $\widehat{P}_4(\mathcal{B})$ лежит на границе компоненты $Q_i$ и $y+\pi_{\mathcal{B}}\subset x+\pi_{Q_i}$. Оно содержит тор или бутылку Клейна $M_y(F_j)$ из рассмотренных выше наборов тогда и только тогда, когда $F_j$ – свободный четырехугольник почти погореловского многогранника $R_i$ и $y+\pi_{\mathcal{B}}\subset x+\pi_{Q_i}$. Таким образом, мы в явном виде получили геометризацию каждой части многообразия $M(P,\Lambda)$. Теперь наша цель – доказать, что мы действительно получили геометрическое разложение из теоремы 0.2. Для этого мы будем использовать предложение 4.9. Сначала на основе предложения 4.7 мы докажем, что набор несжимаемых торов из теоремы 4.12 задает $\mathrm{JSJ}$-разложение, а потом покажем, что $M(P,\Lambda)$ не является $\mathrm{Sol}$-многообразием. Предложение 4.31. Для ориентируемого многообразия $M(P,\Lambda)$ над флаговым трехмерным многогранником $P$, отличным от $k$-призм, замыкание каждой части $M_x(Q_i)$, отвечающей $k$-призме, $k\geqslant 5$, является многообразием Зейферта с торической границей, не гомеоморфным $D^2\times S^1$, $T^2\times I$ и $K^2\widetilde{\times} I$. Более того, для любых двух частей $M_x(Q_i)$ и $M_y(Q_j)$ с общим граничным тором $T$ имеем $f(T,\overline{M_x(Q_i)})\ne f(T,\overline{M_y(Q_j)})$. Замечание 4.32. Если $P$ – $k$-призма, $k\geqslant 4$, то рассуждения, аналогичные доказательству предложения 4.31, позволяют задать структуру замкнутого многообразия Зейферта на ориентируемом многообразии $M(P,\Lambda)$. Доказательство предложения 4.31. Сначала рассмотрим случай $\Lambda=E$ и $M(P,E)=\mathbb R\mathcal{Z}_P$. Рассмотрим $k$-угольник $L$, который является основанием призмы $S=L\times I$. Имеется $l$ его ребер, отвечающих каноническим $4$-поясам многогранника $P$ (мы называем эти ребра “особыми”). Копии этого основания $L$ призмы $S$ в $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ склеиваются в несколько копий ориентируемого двумерного подмногообразия $N$, гомеоморфного сфере $S^2_{g,s}$ с $g$ ручками и $s$ дырами. Обозначим через $L'$ многоугольник, получаемый из $L$ стягиванием всех его $l$ особых ребер, и $k'=k-l$. Легко видеть, что $k'\geqslant 3$. Обозначим через $\widehat{N}\simeq S^2_g$ соответствующее многообразие с дырами. Тогда $\widehat{N}\simeq\mathbb{R}\mathcal{Z}_{L'}$. В частности, $g=1+(k'-4)2^{k'-3}$ согласно примеру 1.2. Каждое особое ребро многоугольника $L$ отвечает дизъюнктному набору $2^{k'-2}$ дыр, причем граница каждой дыры состоит из $4$ ребер. Таким образом, всего имеется $s=l2^{k'-2}$ дыр. Тогда в $\mathbb{R}\mathcal{Z}_P$ призма $S$ отвечает дизъюнктному объединению частей, гомеоморфных $S^2_{g,s}\times S^1$. Имеем $l\geqslant 2$ для $k'=3$, и $l\geqslant 1$ для $k'\geqslant 4$. Поэтому $s\geqslant 4$. Лемма 4.33. Многообразие $S^2_{g,s}\times S^1$ с $g\geqslant 0$ и $s\geqslant 3$ не может накрывать многообразие, гомотопически эквивалентное $D^2\times S^1$, $T^2\times I$ или $K^2\widetilde{\times} I$. Доказательство. Положим $X=S^2_{g,s}\times S^1$. Многообразие $S^2_{g,s}$ гомотопически эквивалентно букету $p=2g+s-1\geqslant 2$ окружностей. В частности, $\pi_1(X)=F_p\times \mathbb Z$, где $F_p$ – свободная группа с $p$ образующими, и в $\pi_1(X)$ имеется подгруппа, изоморфная $F_2$. Если $\varphi\colon X\to Y$ – накрытие, то $\varphi_*$ – инъекция и $\pi_1(Y)$ содержит подгруппу $G$, изоморфную $F_2$. Тогда $Y$ гомотопически не эквивалентно $D^2\times S^1$ и $T^2\times I$, поскольку их фундаментальные группы абелевы. Если $Y$ гомотопически эквивалентно $K^2\widetilde{\times} I$, то $\pi_1(Y)\simeq \pi_1(K^2)$, и мы будем отождествлять эти группы. Рассмотрим двулистное накрытие $\psi\colon T^2\to K^2$. Оно отвечает короткой точной последовательности $1\to\pi_1(T^2)\to \pi_1(K^2)\to \mathbb Z_2\to 1$. Так как группа $G$ не является абелевой, она не содержится в $\psi_*(\pi_1(T^2))$ и имеется короткая точная последовательность $1\to\operatorname{Im}\psi_*\cap G\to G\to \mathbb Z_2\to 1$, из которой следует, что подгруппа $\operatorname{Im}\psi_*\cap G$ имеет индекс $2$ в $G$. Тогда она отвечает двулистному накрытию $\zeta\colon Z\to S^1\vee S^1$, где пространство $Z$ связно. В этом случае $Z$ гомотопически эквивалентно букету трех окружностей и $\operatorname{Im}\psi_*\cap G\simeq F_3$. Но группа $\operatorname{Im}\psi_*\cap G$ абелева. Противоречие. Это завершает доказательство леммы 4.33. Таким образом, каждая часть многообразия $\mathbb R\mathcal{Z}_P$, отвечающая $k$-призме, не гомеоморфна $D^2\times S^1$, $T^2\times I$ или $K^2\widetilde{\times} I$, и имеет единственную структуру многообразия Зейферта по теореме 4.5. Если две части $M_1$ и $M_2$ имеют общий граничный тор $T$, они отвечают разным призмам. Так как призмы перекручены, элементы $f(T,M_1)$ и $f(T,M_2)$ в $PH_1(T^2)$ отвечают классам векторов $(1,0)$ и $(0,1)$. В частности, они разные. Теперь рассмотрим случай произвольной векторной раскраски $\Lambda$. Каждое многообразие $\overline{M_x(Q_i)}$, отвечающее $k$-призме, гомеоморфно факторпространству многообразия $S^2_{g,s}\times S^1$ по свободному действию группы, изоморфной $H(\Lambda)\cap \mathbb Z_2^{Q_i}$, где $\mathbb Z_2^{Q_i}$ – линейная оболочка базисных векторов $e_j\in\mathbb Z_2^m$, отвечающих граням многогранника $Q_i$ (напомним, что $Q_i$ получается из призмы $L\times I$ удалением четырехугольников, отвечающих каноническим поясам). Действие переводит окружности в окружности и индуцирует структуру многообразия Зейферта на $\overline{M_x(Q_i)}$. Слои снова образованы копиями отрезков $z\times I\subset L\times I$. Обозначим через $F_p$ и $F_q$ грани многогранника $P$, содержащие основания призмы. Тогда в $\overline{M_x(Q_i)}$ копии отрезков $z\times I\subset L\times I$ образуют окружности $C(z)$. 1. Если точка $z$ лежит во внутренности многоугольника $L$ или во внутренности особого ребра, то найдется окрестность $U(z)$ такая, что копии произведения $U(z)\times I$ склеиваются в прямое произведение $U(z)\times S^1$, где окружность $S^1$ склеивается из $2^{\dim \langle\Lambda_p,\Lambda_q\rangle}$ копий отрезка $I$. Следовательно, слой $C(z)$ является регулярным. 2. Если точка $z$ лежит во внутренности регулярного ребра многоугольника $L$ или является общей вершиной регулярного и особого ребра, то регулярное ребро отвечает некоторой грани $F_a$ многогранника $P$ с $\Lambda_a\notin\{\Lambda_p,\Lambda_q\}$. Так как многообразие $M(P,\Lambda)$ ориентируемо, либо $\Lambda_p=\Lambda_q$, либо $\Lambda_p\ne\Lambda_q$ и $\Lambda_a\notin\langle \Lambda_p,\Lambda_q\rangle$. В обоих случаях найдется окрестность $U(z)$ такая, что копии произведения $U(z)\times I$ склеиваются в прямое произведение $U(z)\times S^1$, где окружность $S^1$ склеивается из $2^{\dim \langle\Lambda_p,\Lambda_q\rangle}$ копий отрезка $I$. Следовательно, слой $C(z)$ является регулярным. 3. Если $z$ является общей вершиной двух регулярных ребер многоугольника $L$, то эти ребра отвечают граням $F_a$ и $F_b$ многогранника $P$ с $\Lambda_p,\Lambda_q\notin \langle \Lambda_a,\Lambda_b\rangle$. Если $\Lambda_p=\Lambda_q$, то снова $C(z)$ имеет тривиальную трубчатую окрестность. Если $\Lambda_p\ne\Lambda_q$, то $\Lambda_q=\Lambda_a+\Lambda_b+\Lambda_p$, так как многообразие $M(P,\Lambda)$ ориентируемо. В этом случае слой $C(z)$ имеет трубчатую окрестность, которая является стандартным расслоенным тором, отвечающим повороту на угол $\pi$. Из леммы 4.33 следует, что пространство $\overline{M_x(Q_i)}$ не гомеоморфно $D^2\times S^1$, $T^2\times I$ и $K^2\widetilde{\times} I$, поэтому оно имеет единственную структуру многообразия Зейферта по теореме 4.5. Если две части $M_x(Q_i)$ и $M_y(Q_j)$ имеют общий граничный тор $T$, они отвечают разным призмам. Так как призмы перекручены, из примера 4.25 нетрудно вывести, что элементы $f(T,M_1)$ и $f(T,M_2)$ в $PH_1(T^2)$ различны. Это завершает доказательство предложения 4.31. Теперь мы готовы завершить доказательство теоремы 4.12. По теореме 4.8 компоненты, отвечающие почти погореловским многогранникам без смежных четырехугольников, не могут иметь структуру многообразия Зейферта, поэтому все зейфертовы компоненты многообразия $M(P,\Lambda)$ отвечают $k$-призмам, а также бутылкам Клейна, возникающим из некоторых свободных четырехугольников почти погореловских многогранников. Компоненты второго вида имеют общую границу только с гиперболическими компонентами. Таким образом, из предложений 4.31 и 4.7 следует, что мы действительно получили $\mathrm{JSJ}$-разложение. Чтобы воспользоваться предложением 4.9, нам нужно доказать, что ориентируемое многообразие $M(P,\Lambda)$ не может быть $\mathrm{Sol}$-многообразием. Как отмечалось в этом предложении, $\mathrm{Sol}$-многообразие имеет единственный $\mathrm{JSJ}$-тор, более того, либо обе компоненты дополнения к этому тору гомеоморфны внутренности многообразия $K^2\widetilde{\times}I$, либо дополнение к тору гомеоморфно внутренности произведения $T^2\times I$. Для многообразия $M(P,\Lambda)$ гиперболические части не гомеоморфны внутренностям многообразий $K^2\widetilde{\times}I$ и $T^2\times I$, так как они не допускают структуру многообразия Зейферта. Также мы доказали, что компоненты, отвечающие $k$-призмам, гомотопически не эквивалентны $K^2\widetilde{\times}I$ и $T^2\times I$. Только часть, отвечающая бутылке Клейна, возникающей из некоторого свободного четырехугольника почти погореловского многогранника, может быть гомеоморфна внутренности многообразия $K^2\widetilde{\times}I$, но не $T^2\times I$. Но смежная с ней по тору компонента является гиперболической, что приводит к противоречию. Доказательство теоремы 4.12 окончено. Следствие 4.34. Для ориентируемых многообразий $M(P,\Lambda)$, определяемых векторными раскрасками простых трехмерных многогранников, возникают следующие пять из восьми геометрий Тёрстона: $\bullet$ $S^3$ для симплекса $\Delta^3$; $\bullet$ $S^2\times \mathbb R$ для треугольной призмы $\Delta^2\times I$; $\bullet$ $\mathbb R^3$ для куба $I^3$; $\bullet$ $\mathbb{H}^2\times\mathbb R$ для $k$-призм, $k\geqslant 5$, и частей, отвечающих им; $\bullet$ $\mathbb H^3$ для многогранников Погорелова и частей, отвечающих почти погореловским многогранникам. БлагодарностиАвтор благодарен В. М. Бухштаберу за внимание к работе, Т. Е. Панову за ценные советы и В. А. Шастину и Д. В. Гугнину за плодотворные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ero22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|