| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 7, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9655e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ ограниченной области $\Omega\subset{\mathbb R}^2$ класса $C^{1,1}$ рассматривается эллиптическая краевая задача Дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
Lu(x)\equiv-\sum_{i,j=1}^2(a_{ij}(x)u_{x_i})_{x_j}+c(x)u(x)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
равномерно эллиптический в области $\Omega$ с константой эллиптичности $\chi$, коэффициенты $a_{ij}\in C^1(\overline\Omega)$, $a_{ij}(x)=a_{ji}(x)$, $c\in C(\overline\Omega)$, $c(x)\geqslant 0$ в $\Omega$. Функция $g(x,u)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$, т.е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $u(x)$ композиция $g(x,u(x))$ измерима на $\Omega$. Предполагается, что для почти всех $x\in\Omega$ функция $g(x,\cdot)$ имеет конечные односторонние пределы в любой точке $u\in\mathbb R$, которые обозначаются $g(x,u-)$, $g(x,u+)$ (пределы слева и справа соответственно). Кроме того, на бесконечности нелинейность $g(x,u)$ допускает по фазовой переменной $u$ рост порядка $|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)$, где постоянные $\alpha$, $A$, $\tau$ положительные и $\tau<2$. Слабым решением задачи (1.1), (1.2) называется функция $u(x)$ из пространства $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ такая, что для любого $v\in\mathring{W}^1_2(\Omega)$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^2\int_\Omega a_{ij}(x)u_{x_i}v_{x_j}\,dx+\int_\Omega c(x)u(x)v(x)\,dx =\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Слабое решение задачи (1.1), (1.2) называется полуправильным, если для почти всех $x\in\Omega$ значение $u(x)$ является точкой непрерывности функции $g(x,\cdot)$. Приведем формулировку основного результата настоящей работы. 1) для почти всех $x\in\Omega$ верно неравенство $g(x,u-)\leqslant g(x,u+)$ и
$$
\begin{equation*}
g(x,u)\in [g(x,u-),g(x,u+)] \quad \forall\, u\in\mathbb R;
\end{equation*}
\notag
$$
2) существуют положительные константы $b$, $\alpha$, $A$, $\tau$ и $\tau<2$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
|g(x,u)|\leqslant a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau) \quad \forall\, u\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $a\in L_N(\Omega)$, $L_N(\Omega)$ – класс Орлича измеримых функций на $\Omega$, ассоциированный с $N$-функцией $N(u)$, $N(u)$ – дополнительная к $N$-функции $M(u)=|u|^{\alpha+2}\exp(|u|^s)$, $s\in (\tau,2)$ (см. ниже п. 2.1); 3) для почти всех $x\in\Omega$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^ug(x,s)\,ds\leqslant \frac{ku^2+d(x)|u|^\theta+d_1(x)}2 \quad \forall\, u\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k<\chi/\|P_1\|^2$, $\chi$ – константа эллиптичности дифференциального оператора $L$, определенного формулой (1.3), $P_1$ – оператор вложения $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ в $L_2(\Omega)$, $d\in L_{2/(2-\theta)}(\Omega)$, $0<\theta<2$, $d_1$ – суммируемая на $\Omega$ функция. Тогда задача (1.1), (1.2) имеет слабое полуправильное решение $u(x)$ из пространства $\mathring W_2^1(\Omega)$. Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 будет показано, что при выполнении условий этой теоремы интеграл $\displaystyle\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx$ в определении слабого решения задачи (1.1), (1.2) существует для любых $u,v\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$. Замечание 2. Условие 3) теоремы 1 является жестким ограничением на нелинейность $g(x,u)$, имеющую на бесконечности экспоненциальный рост. Оно не выполняется, если для некоторого $u_0>0$ функция $g(x,u)\leqslant 0$ на $\Omega\times (-\infty,-u_0]$ или $g(x,u)\geqslant 0$ на $\Omega\times [u_0,+\infty)$ и при $u\to -\infty$ и $u\to +\infty$ соответственно она имеет экспоненциальный рост. Однако если для некоторого $u_0>0$ функция $g(x,u)$ ограничена на $\Omega\times [-u_0,u_0]$, положительна на $\Omega\times (-\infty,-u_0]$ и отрицательна на $\Omega\times [u_0,+\infty)$, то для нее условие 3) теоремы 1 выполняется. Например, такой является функция Проблема существования слабых решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста изучалась в ряде работ. Укажем на статьи [1]–[6], характерные для данного направления исследований. В [1] рассматривается квазилинейное уравнение эллиптического типа с однородным граничным условием Дирихле
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}(a(x,\nabla u))=\lambda h(x)\exp(\alpha_0|u|^{n/(n-1)})+f(x,u), \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
в ограниченной области $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) с гладкой границей $\partial\Omega$. Предполагается, что $a(x,t)$ удовлетворяет условиям Лере–Лионса роста, коэрцитивности и монотонности, причем существует каратеодориева функция $A(x,t)$ такая, что $a(x,t)=\nabla_t A(x,t)$. Функция $f(x,s)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$ (такая функция может иметь разрывы по $s$), неубывающая по $s$ на $\mathbb R$, $f(x,0)=0$ на $\Omega$ и $f(x,s)$ по $s$ может иметь экспоненциальный критический рост, т.е. существует $\alpha_0>0$ такое, что $\lim_{|s|\to\infty}(|f(x,s)|/\exp(\alpha|s|^{n/(n-1)}))=0$, если $\alpha>\alpha_0$, и этот предел равен $+\infty$, если $\alpha<\alpha_0$. Параметр $\lambda$ положительный, функция $h\in L_q(\Omega)$, $q>1$, $h(x)\geqslant 0$ почти всюду на $\Omega$ и $h(x)>0$ на множестве ненулевой меры из $\Omega$. Слабым решением задачи (1.5), (1.6) называется функция $u\in\mathring{W}^1_n(\Omega)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega a(x,\nabla u)\cdot\nabla v\,dx\,{=}\,\lambda\int_\Omega h(x)\exp(\alpha_0|u|^{n/(n-1)})v\,dx+\int_\Omega f(x,u)v\,dx \quad \forall\, v\,{\in}\,\mathring{W}^1_n(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
При сделанных предположениях в [1] устанавливается существование неотрицательного слабого решения для достаточно малых значений параметра $\lambda$. Доказательство сводится к проверке условий общей теоремы С. Карла и С. Хейккиля о существовании неподвижной точки у монотонного оператора в полуупорядоченном банаховом пространстве. Приведем ее формулировку. Теорема 2 (см. [7; следствие 2.2]). Пусть $E$ – банахова полурешетка и пространство $E$ рефлексивное. Тогда для произвольных шара $B\subset E$ и монотонного отображения $S\colon B\to B$ оператор $S$ имеет неподвижную точку. Банахово пространство $E$ с отношением частичного порядка $\leqslant$ называется банаховой полурешеткой, если для любых $x,y\in E$ существуют $\sup\{x,y\}$, $\inf\{x,y\}$ и дополнительно $\|x^\pm\|\leqslant \|x\|$ для любого $x\in E$. Монотонность в теореме 2 понимается в смысле полуупорядоченности: для любых $x$, $y\in B$ таких, что $x\leqslant y$ следует $Sx\leqslant Sy$. Здесь $x^+=\sup\{0,x\}$, $x^-=-\inf\{0,x\}$. Заметим, что пространство $\mathring{W}^1_n(\Omega)$ с естественным отношением частичного порядка удовлетворяет условиям теоремы 2. При операторной постановке задачи (1.5), (1.6) по существу используются неравенство Трудингера–Мозера (см. [8]) и теоремы вложения пространств $\mathring{W}^1_n(\Omega)$ в пространства Орлича (см. [9]). В [2] устанавливается существование слабого решения уравнения
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div} (|\nabla u|^{n-2}\nabla u)+V(x)|u|^{n-2}u=g(x,u)+\lambda h(x)
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
в пространстве ${\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) для достаточно малых значений положительного параметра $\lambda$. Потенциал $V(x)$ может менять знак; нелинейность $g(x,u)$, неубывающая по $u$, может иметь критический экспоненциальный рост и быть разрывной по $u$. Решения рассматриваются в пространстве
$$
\begin{equation*}
X=\biggl\{u\in W^1_n({\mathbb R}^n)\colon \int_{{\mathbb R}^n}V^+(x)|u|^n\,dx<\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой
$$
\begin{equation*}
\|u\|=\biggl(\int_{{\mathbb R}^n}\bigl (|\nabla u|^n+V^+(x)|u|^n\bigr)\,dx\biggr)^{1/n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $V^+=\max\{V,0\}$. Слабым решением уравнения (1.7) называется функция $u\in X$, для которой
$$
\begin{equation*}
\int_{{\mathbb R}^n}|\nabla u|^{n-2}\nabla u\nabla v\,dx+\int_{{\mathbb R}^n}V(x)|u|^{n-2}uv\,dx= \int_{{\mathbb R}^n}g(x,u)v\,dx+\lambda\langle h,v\rangle \quad \forall\, v\in X,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle h,v\rangle$ – значение $h\in X^*$ на $v\in X$ ($X^*$ – сопряженное с $X$ пространство). Доказательство теоремы существования слабого решения в [2], как и в [1], сводится к проверке выполнения условий теоремы 2 в пространстве $X$ с использованием версии неравенства Трудингера–Мозера для всего пространства. В [3] рассматривается обобщение уравнения (1.7) в ${\mathbb R}^n$. Оно получается заменой дифференциальной части (1.7) на $-\operatorname{div}(a(x,\nabla u))$, нелинейности $g(x,u)$ на $Q(x)f(u)$, где $Q(x)$ может быть неограниченной по $x$, а неубывающая функция $f(u)$ – разрывной и иметь критический экспоненциальный рост. Здесь $a(x,t)$ удовлетворяет тем же условиям, что и в [1], с заменой $\Omega$ на ${\mathbb R}^n$. Получено достаточное условие существования слабого решения из пространства $X$ (определение $X$ см. выше) при достаточно малых значениях параметра $\lambda$. Доказательство, как в [1] и [2], сводится к проверке выполнения условий теоремы 2 для операторной постановки задачи (1.7) в пространстве $X$. В [4] рассматривается аналог уравнения из [3] с монотонной нелинейностью критического экспоненциального роста на компактном римановом многообразии без края, а в [5] – на некомпактном римановом многообразии размерности $n\geqslant 2$. С помощью теоремы 2 получены теоремы существования слабых решений в пространстве, которое вводится аналогично определению пространства $X$. В работе [6] реализуется вариационный подход. Рассматривается включение
$$
\begin{equation}
-\Delta u+V(x)u-\varepsilon h(x)\in\partial_t F(x,u), \qquad x\in {\mathbb R}^2,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\varepsilon\,{>}\,0$, $V$ – непрерывная функция, для которой $V(x)\,{\geqslant}\, V_0$ на ${\mathbb R}^2$, $V_0$ – положительная константа, причем $V^{-1}\,{\in}\, L_1({\mathbb R}^2)$, $h\,{\in}\, (W^1_2({\mathbb R}^2))^*$ и $\displaystyle 0\,{<}\int_{{\mathbb R}^2}h(x)\,dx\,{<}\,{+}\infty$, $\displaystyle F(x,t)=\int_0^t f(x,s)\,ds$, $f(x,s)$ – разрывная функция с экспоненциальным критическим ростом по $s$, $\partial_t F(x,t)$ – обобщенная производная Кларка от $F(x,t)$ по $t$. Предполагается, что $\underline f(x,t):=\lim_{\eta\to t}\inf f(x,\eta)$, $\overline f(x,t):=\lim_{\eta\to t}\sup f(x,\eta)$ суперпозиционно измеримые на ${\mathbb R}^2\times\mathbb R$ и существует $t_0\geqslant 0$ такое, что $f(x,t)=0$, если $t<t_0$, и $f(x,t)>0$, если $t>t_0$, для любого $x\in\mathbb R^2$. Задача (1.8) рассматривается в гильбертовом пространстве
$$
\begin{equation*}
E=\biggl\{u\in W^1_2({\mathbb R}^2)\colon \int_{{\mathbb R}^2}V(x)u^2(x)\,dx<+\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(u,v)=\int_{{\mathbb R}^2}\bigl(\nabla u\nabla v+V(x)u(x)v(x)\bigr)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Обобщенным слабым решением задачи (1.8) называется функция $u\in E$ такая, что найдется $z(x)\in [\underline f(x,u(x)),\overline f(x,u(x))]$ почти всюду на ${\mathbb R}^2$ и
$$
\begin{equation*}
(u,v)-\int_{{\mathbb R}^2}z(x)v(x)\,dx-\varepsilon\int_{{\mathbb R}^2}h(x)v(x)\,dx=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $v\in E$, причем $\operatorname{mes}\{x\in {\mathbb R}^2\colon u(x)>t_0\}\neq 0$. В [6] дополнительно накладываются следующие ограничения: 1) на поведение функции $f(x,t)$ вблизи нуля (оно автоматически выполняется, если $t_0$, фигурирующее выше, положительно); 2) существует $\tau>2$ такое, что $\tau F(x,t)\leqslant\underline f(x,t)t$ для всех $t\geqslant t_0$ и $x\in {\mathbb R}^2$; 3) существуют $p>2$ и $\mu>0$, для которых $F(x,t)\geqslant\mu(t^p-t^p_0)$ для всех $t\geqslant t_0$ и $x\in {\mathbb R}^2$. Заметим, что условия на нелинейность, перечисленные выше, выполняются, если для всех $t\in\mathbb R$. Здесь $a\geqslant 0$, $H(s)=0$ при $s\leqslant 0$ и $H(s)=1$ при $s>0$ (функция Хевисайда).При выполнении указанных выше условий в [6] доказывается существование двух решений включения (1.8) с помощью вариационного принципа Экланда и теоремы о горном перевале для недифференцируемых функционалов при достаточно малых $\varepsilon$, $t_0$ и достаточно большом $\mu$ в условии 3). Для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями полуправильные решения введены М. А. Красносельским и А. В. Покровским в работе [10]. В [11] ими получена теорема существования полуправильного решения эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью методом верхних и нижних решений. Более общие результаты были получены авторами настоящей статьи в [12]. Абстрактные теоремы в данном направлении доказаны в [13]. Укажем на последние публикации [14]–[20] о полуправильных решениях. Отметим, что в перечисленных работах [10]–[20] уравнения с нелинейностями экспоненциального роста не рассматривались. В настоящей работе приводится достаточное условие существования полуправильного решения задачи (1.1), (1.2) с разрывной нелинейностью, допускающей экспоненциальный рост по фазовой переменной (теорема 1). При этом не предполагается, что нелинейность $g(x,s)$ неубывающая по $s$ (ключевое требование в работах [1]–[5]) и что для некоторого $t_0$ функция $g(x,s)=0$ при $s<t_0$ и $g(x,s)>0$ при $s>t_0$ (одно из предположений в [6]). Кроме того, при доказательстве теоремы 1 используется вариационный подход, базирующийся на понятии квазипотенциального оператора (см., например, [21]–[23]), в отличие от традиционного, где используется обобщенная производная Кларка. Одна из последних работ, где он был применен, [20]. § 2. Предварительные сведения2.1. Пространства ОрличаНеобходимые в дальнейшем понятия и факты о пространствах Орлича взяты из [24]. Непрерывная выпуклая функция $M(u)$ на $\mathbb R$ называется $N$-функцией, если она четная и удовлетворяет условиям $\lim_{u\to 0}M(u)/u\,{=}\,0$, $\lim_{u\to\infty}M(u)/u\,{=}\,{+}\infty$. Примерами $N$-функций являются функции $\varphi(u)=\exp(u^2)-1$ и $\psi(u)=|u|^{\alpha+2}\exp(|u|^s)$, где $\alpha$ и $s$ – положительные константы. Дополнительной к $N$-функции $M(u)$ называется преобразование Лежандра этой функции $N(u)=\max\{|u|t-M(t)\colon t\geqslant 0\}$. Заметим, что $N(u)$ является $N$-функцией. Функции $M$, $N$ называют взаимно дополнительными или сопряженными. Говорят, что $N$-функция $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если для достаточно больших $u$ верно неравенство $M(lu)\leqslant m(l)M(u)$, где $l$ может быть любым числом, большим единицы. Заметим, что функции, удовлетворяющие $\Delta_2$-условию, растут не быстрее степенных. В частности, функции $\varphi(u)$ и $\psi(u)$, определенные выше, не удовлетворяют $\Delta_2$-условию. Возникает естественный вопрос: как проверить, будет ли дополнительная к $M(u)$ функция $N(u)$ удовлетворять $\Delta_2$-условию. Оказывается, что для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали $l>1$ и $v_0\geqslant 0$ такие, что $M(v)\leqslant M(lv)/(2l)$ для всех $v\geqslant v_0$ (см. [24; гл. I, § 4, теорема 4.2]). Отсюда немедленно следует, что дополнительные к $\varphi(u)$ и $\psi(u)$ функции удовлетворяют $\Delta_2$-условию. При доказательстве теоремы 1 нам понадобится следующее неравенство: где $M$ и $N$ – взаимно дополнительные функции, а $M^{-1}$ и $N^{-1}$ – обратные к ним функции.Пусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$ и $M(u)$ – $N$-функция. Классом Орлича, ассоциированным с $M(u)$, называется множество
$$
\begin{equation*}
L_M(\Omega)=\biggl\{u\colon \Omega\to {\mathbb R} \text{ - измеримая: } \rho(u,M)=\int_\Omega M(u(x))\,dx<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом функции, отличающиеся на множестве нулевой меры, не различаются. В случае, где это не может вызывать недоразумений, вместо $L_M(\Omega)$ используется обозначение $L_M$. Класс Орлича – это выпуклое множество, которое содержит все ограниченные измеримые функции. Его элементы являются суммируемыми функциями, но не всякая суммируемая функция принадлежит $L_M$. Класс Орлича $L_M$ является линейным пространством тогда и только тогда, когда $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию. Пусть $M(u)$ и $N(v)$ – взаимно дополнительные $N$-функции. Положим
$$
\begin{equation*}
L_M^*(\Omega)=\biggl\{u\colon \Omega\to {\mathbb R} \text{ - измеримая: } (u,v)=\int_\Omega u(x)v(x)\,dx<\infty\ \forall\, v\in L_N(\Omega)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, как и при определении классов Орлича, функции, отличающиеся на множестве меры нуль, не различаются. Там, где это не может вызвать недоразумений, вместо $L_M^*(\Omega)$ используется обозначение $L_M^*$. Множество $L_M^*(\Omega)$ является линейным пространством и совпадает с линейной оболочкой $L_M(\Omega)$. На нем задается норма Орлича с помощью равенства
$$
\begin{equation*}
\|u\|_M=\sup\biggl\{\biggl|\int_\Omega u(x)v(x)\,dx\biggr|\colon \rho(v,N)\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Построенное нормированное пространство полное, его обозначают $L_M^*(\Omega)$ и называют пространством Орлича, ассоциированным с $N$-функцией $M(u)$. Отметим два важных для дальнейшего неравенства:
$$
\begin{equation}
\|u\|_M\leqslant\rho(u,M)+1\quad \forall\, u\in L_M;
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
если $\|u\|_M\leqslant 1$, то $u\in L_M$ и В пространстве $L_M^*$ можно ввести эквивалентную норме Орлича норму Люксембурга:
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{(M)}=\inf\biggl\{m\colon \rho\biggl(\frac um,M\biggr)\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она связана с нормой Орлича неравенствами Замыкание в $L_M^*$ множества ограниченных функций обозначается через $E_M$. Если $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $E_M=L_M^*=L_M$. В общем случае пространство $E_M^*$, сопряженное с $E_M$, совпадает с $L_N^*$ с нормой Люксембурга, где $N(u)$ – дополнительная к $M(u)$ функция. Перейдем к теоремам вложения Трудингера для пространств Орлича. Говорят, что $N$-функция $M_1(u)$ растет существенно быстрее $N$-функции $M(u)$, если при любом положительном $\lambda$ имеем $\lim_{u\to\infty}M(\lambda u)/M_1(u)=0$. Следуя [9], будем в этом случае писать $M\prec M_1$. Легко проверить, что для определенных выше функций $\varphi(u)$ и $\psi(u)$ верно соотношение $\psi\prec\varphi$. Имеет место Теорема 3 (см. [9; теорема 2]). Пусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$, удовлетворяющая условию конуса. Тогда соболевское пространство $W^k_p(\Omega)$, где $n=kp$, непрерывно вложено в пространство Орлича $L_\Phi^*(\Omega)$, где $\Phi(t)=\exp(|t|^{n/(n-1)})-1$. Более того, для любой $N$-функции $\gamma(t)$ такой, что $\gamma\prec\Phi$, вложение в $L_\gamma^*(\Omega)$ компактно. Данная теорема понадобится нам в двумерном случае при $k=1$ и $p=2$. 2.2. Квазипотенциальные операторыПусть $E$ – вещественное банахово пространство, $E^*$ – сопряженное с $E$ пространство. Через $\langle z,x \rangle$ будем обозначать значение функционала $z\in E^*$ на элементе $x\in E$. Далее оператор $T$ действует из $E$ в $E^*$. Функционал $f\colon E\to\mathbb R$ называется дифференцируемым по Гато в точке $x\in E$, если найдется $y\in E^*$ такой, что для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to 0}(f(x+th)-f(x))/{t}=\langle y,h \rangle$. При этом $y$ называют производной Гато функционала $f$ в точке $x$ и обозначают $f'(x)$. Оператор $T$ называется потенциальным, если существует дифференцируемый по Гато функционал $f$ на $E$, для которого $f'(x)=Tx$ для любого $x\in E$. Такой функционал называют потенциалом оператора $T$. Оператор $T$ называется радиально суммируемым, если для любых $x$, $h\in E$ функция $\langle T(x+th),h \rangle$ суммируема на $[0,1]$. Оператор $T$ называется радиально непрерывным в точке $x\in E$, если для любого $h\in E$ справедливо равенство $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th),h \rangle=\langle Tx, h\rangle$. Элемент $x\in E$ называется точкой разрыва оператора $T$, если найдется $h\in E$, для которого либо $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th), h\rangle$ не существует, либо $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th), h\rangle\neq\langle Tx, h\rangle$. Радиально суммируемый оператор $T$ называется квазипотенциальным (см. [25; гл. 5, § 17, определение 17.15]), если существует функционал $f\colon E\,{\to}\,{\mathbb R}$, для которого верно равенство
$$
\begin{equation}
f(x+h)-f(x)=\int^1_0\langle T(x+th), h\rangle\, dt \quad \forall\, x, h\in E.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
При этом $f$ называют квазипотенциалом оператора $T$. Заметим, что если $T$ – потенциальный и радиально непрерывный на $E$, а $f$ – его потенциал, то для всех $x$, $h\in E$ имеем
$$
\begin{equation*}
f(x+h)-f(x)=\int_0^1\frac{d}{dt}f(x+th)\,dt=\int_0^1\langle T(x+th),h\rangle \,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако квазипотенциальный оператор может быть разрывным. Например, если $E=\mathbb R$, $Tx=\operatorname{sgn}x$, $f(x)=|x|$, то равенство (2.4) выполняется и $T$ разрывен в точке $x=0$. Для того чтобы сформулировать вариационный принцип, который используется при доказательстве теоремы 1, нам понадобится еще одно важное понятие. Элемент $x\in E$ называется регулярной точкой оператора $T$, если для некоторого $h\in E$ верно неравенство $\lim_{t\to +0}\sup\langle T(x+th), h\rangle<0$. Справедлива Теорема 4 (см. [23; теорема 1]). Пусть $x\in E$ – точка минимума квазипотенциала $f$ локально ограниченного оператора $T\colon E\to E^*$, причем точки разрыва оператора $T$ регулярны. Тогда $x$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tx=0$. Приведем достаточное условие регулярности точек разрыва оператора $T$ из [22]: если для любых $x$, $h\in E$ существует неположительный предел $\lim_{t\to +0}\langle T(x+th)-Tx,h\rangle$, то все точки разрыва оператора $T$ регулярны. Докажем это. Пусть $x$ – точка разрыва оператора $T$. По условию для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to +0}\langle T(x+th),h\rangle$, который не превосходит $\langle Tx,h\rangle$. Поскольку $x$ – точка разрыва, то найдется $z\in E$ такое, что $\lim_{t\to +0}\langle T(x+tz),z\rangle<\langle Tx,z\rangle$. В противном случае $x$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$. Далее, если $\langle Tx,z\rangle\leqslant 0$, то в силу последнего неравенства $\lim_{t\to +0}\langle T(x+tz),z\rangle<0$ и, значит, $z$ – регулярная точка оператора $T$. Если $\langle Tx,z\rangle>0$, то существует $\lim_{t\to +0}\langle T(x+t(-z)),-z\rangle\leqslant \langle Tx,-z\rangle =-\langle Tx,z\rangle<0$. Следовательно, $x$ – регулярная точка оператора $T$. Дадим еще один полезный для дальнейшего результат. Теорема 5 (см. [26]). Пусть $T=T_1+T_2$, где $T_1$ – монотонный оператор (т.е. $\langle T_1u-T_1v,u-v\rangle\geqslant 0$ для любых $u,v\in E$), $T_2$ – компактный (т.е. ограниченные множества из $E$ переводит в предкомпактные в $E^*$), причем операторы $T_i$, $i=1,2$, квазипотенциальные. Тогда квазипотенциал $f$ оператора $T$ слабо полунепрерывен снизу на $E$ (т.е. для любых $x\in E$ и слабо сходящейся последовательности $(x_n)\subset E$ к $x$ имеем $\lim_{n\to\infty}\inf f(x_n)\geqslant f(x))$. § 3. Доказательство теоремы 1Пусть $E=\mathring{W}^1_2(\Omega)$, $E^*=W^{-1}_2(\Omega)$. Пространство $E$ рефлексивно, гильбертово, со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(u,v)=\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\,dx \quad \forall\, u,v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
которое индуцирует норму $\|u\|=\sqrt{(u,u)}$. Определим на $E$ операторы $T_i$, $i=1,2$, равенствами
$$
\begin{equation*}
\langle T_1u,v\rangle=\sum_{i,j=1}^2\int_\Omega a_{ij}(x)u_{x_i}v_{x_j}\,dx+\int_\Omega c(x)u(x)v(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $u$, $v\in E$. При доказательстве теоремы 1 будем придерживаться нижеследующего плана, состоящего из пяти пунктов. 1) Устанавливается ограниченность, квазипотенциальность и монотонность оператора $T_1$. 2) Доказывается квазипотенциальность и компактность оператора $T_2$. В силу теоремы 5 из пп. 1) и 2) следует, что квазипотенциал $J(u)$ оператора $T=T_1-T_2$ слабо полунепрерывен снизу на $E$. 3) Доказывается коэрцитивность функционала $J(u)$, т.е. $\lim_{\|u\|\to\infty}\!J(u)\,{=}\,{+}\infty$. Поскольку слабо полунепрерывный снизу и коэрцитивный в рефлексивном банаховом пространстве функционал достигает глобального минимума (см. [25; гл. III, § 9, замечание 9.1]), то существует $u_0\in E$, для которого $J(u_0)=\inf\{J(u)\colon u\in E\}$. 4) Доказывается, что точки разрыва оператора $T$ регулярны. Для этого проверяется выполнение условий признака регулярности точек разрыва для оператора $T$. Формулировка и доказательство этого признака приведены в п. 2.2. Из теоремы 4 следует, что $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tu_0=0$. По определению оператора $T$ функция $z(x)\in E$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда $Tz=0$. Поэтому $u_0(x)$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2). 5) Доказывается, что из радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$ следует равенство нулю меры множества $U=\{x\in\Omega\colon u_0(x)$ – точка разрыва функции $g(x,\cdot)\}$. Таким образом, $u_0(x)$ – слабое полуправильное решение задачи (1.1), (1.2). На этом доказательство теоремы 1 завершается. Перейдем к реализации данного плана доказательства теоремы 1. Оператор $T_1$ – линейный, ограниченный и самосопряженный (т.е. $\langle T_1 u,v\rangle=\langle T_1v,u\rangle$). Поскольку $c(x)\geqslant 0$ на $\Omega$, то
$$
\begin{equation}
\langle T_1u,u\rangle\geqslant\chi \|u\|^2 \quad \forall\, u\in E,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\chi$ – константа эллиптичности дифференциального оператора $L$. Из (3.2) и линейности $T_1$ следует монотонность $T_1$. Оператор $T_1$ потенциальный, и его потенциал $f_1(u)=(1/2)\langle T_1u,u\rangle$ [25; гл. II, § 5, пример 5.6]. Перейдем к реализации п. 2) плана. Необходимо установить, что оператор $T_2$ действует из $E$ в $E^*$, компактный и квазипотенциальный. Предварительно докажем, что оператор Немыцкого $G(u)=g(x,u(x))$ переводит ограниченные множества из $E_M(\Omega)$ ($M(u)$ – $N$-функция из условия 2) теоремы 1) в ограниченные в $L_N^*(\Omega)$, $N(u)$ – дополнительная к $M(u)$. Как отмечалось выше, $N(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию. Поэтому $L_N^*=L_N=E_N$. Поскольку $E_M^*=L_N^*$, то в данном случае $E_M^*=E_N$. Фиксируем $r>0$. Покажем, что существуют $a_r(x)\in L_N$ и $b_r>0$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$ правая часть неравенства (1.4) в условии 2) теоремы 1 не превосходит $a_r(x)+b_rN^{-1}(M(u/r))$ для любых $u\in\mathbb R$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{u\to\infty}\frac{M(u/r)}{(|u|/r)|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)}= \lim_{u\to\infty}\frac{|u|^{\alpha+2}\exp(|u/r|^s)}{r^{\alpha+2}|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)}\,\frac{r}{|u|} \\ &\qquad =\lim_{u\to\infty}\frac{|u|\exp(|u/r|^s)}{r^{\alpha+1}\exp(A|u|^\tau)}=+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как в силу условия 2) теоремы 1 $s>\tau$. Отсюда следует существование $a_r(x)\in L_N(\Omega)$ и $b_r>1$ таких, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)\leqslant a_r(x)+\frac{b_rM(u/r)}{|u|/r} \quad \forall\, u\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В силу неравенства (2.1) имеем $N^{-1}(M(u/r))\geqslant M(u/r)/(|u|/r)$ $\forall\, u\in\mathbb R$. Из чего и из (3.3) получим для почти всех $x\in\Omega$ неравенство
$$
\begin{equation*}
a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)\leqslant a_r(x)+b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, показано, что для любого $r>0$ найдутся $a_r(x)\in L_N(\Omega)$ и $b_r>1$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
|g(x,u)|\leqslant a_r(x)+b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из полученного неравенства следует, что оператор Немыцкого $G$ ограничен на шаре $B_r=\{u\in E_M\colon \|u\|_M\leqslant r\}$, т.е. существует постоянная $C_r>0$ такая, что $\|Gu\|_N\leqslant C_r$ для любого $u\in B_r$. Действительно, поскольку $N(u)$ – возрастающая и выпуклая на $\mathbb R$, то для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
N(g(x,u))\leqslant\frac12N(a_r(x))+\frac12N\biggl(b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $N(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то найдутся число $l(b_r)>0$ и $u_0> 0$ такие, что $N(b_rN^{-1}(M(u/r)))\leqslant l(b_r)N(N^{-1}(M(u/r)))=l(b_r)M(u/r)$, если $|u|\geqslant u_0$. Из чего заключаем о существовании суммируемой функции $d_r(x)$ на $\Omega$ такой, что для почти всех $x\in\Omega$
$$
\begin{equation}
N(g(x,u))\leqslant d_r(x)+\frac12l(b_r)M\biggl(\frac ur\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Отсюда следует, что если $u(x)\in E_M$ и $\|u\|_M\leqslant r$, то в силу (3.5)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\Omega N(g(x,u(x))\,dx &\leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)\int_\Omega M\biggl(\frac{u(x)}r\biggr)\,dx \\ &\leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)\biggl\|\frac ur\biggr\|_M \leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)=A_r \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(воспользовались неравенством (2.3), поскольку $\|u/r\|_M\leqslant 1$). В силу неравенства (2.2) имеем
$$
\begin{equation}
\|Gu\|_N\leqslant\int_\Omega N(g(x,u(x))\,dx+1\leqslant A_r+1,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
если $u\in B_r$. Ограниченность оператора $G$ на шаре $B_r$ доказана. Покажем, что задание оператора $T_2\colon E\to E^*$ равенством (3.1) корректно и установим его компактность. Выше отмечалось, что $M\prec\varphi$, где $M(u)$ – $N$-функция из условия 2) теоремы 1, $\varphi(u)=\exp(u^2)-1$. Согласно теореме 3 отсюда следует компактность вложения $W^1_2(\Omega)$ в $L_M^*(\Omega)$. Покажем, что $W_2^1(\Omega)\subset E_M$. Поскольку ограниченная область $\Omega\subset {\mathbb R}^2$ класса $C^{1,1}$, то множество $C^\infty(\overline\Omega)$ всюду плотно в $W_2^1(\Omega)$. Пространство $E_M$ является замыканием множества измеримых ограниченных функций на $\Omega$ в пространстве $L_M^*$. Следовательно, $E_M\supset C^\infty(\overline\Omega)$. Поскольку $E_M$ – замкнутое подмножество $L_M^*$, то из последнего включения следует, что $E_M\supset \overline{C^\infty(\overline\Omega)}$, где справа замыкание $C^\infty(\overline\Omega)$ в $L_M^*$. В силу компактности вложения $W_2^1(\Omega)$ в $L_M^*$ справедливо включение $\overline{C^\infty(\overline\Omega)}\supset W_2^1(\Omega)$. Из чего следует, что $E_M\supset W_2^1(\Omega)$. Поскольку $E$ – замкнутое подпространство $W_2^1(\Omega)$, то вложение $E$ в $E_M$ компактное. Обозначим оператор вложения $E$ в $E_M$ через $P$. Сопряженный с ним оператор $P^*$ осуществляет вложение $E_M^*=E_N$ в $E^*=W_2^{-1}(\Omega)$. Он компактен, поскольку компактен $P$ [27; гл. 4, § 6, теорема 3]. В силу теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала на $E_M$ [24; гл. II, § 14, теорема 14.2] для произвольных $u$, $v\in E$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx=\langle G(Pu),Pv\rangle=\langle P^*GP(u),v\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Из чего заключаем, что $T_2u=P^*GP(u)$ для всех $u\in E$. Из этого представления $T_2$ следует его компактность, поскольку $G$ ограниченные множества из $E_M$ переводит в ограниченные в $E_M^*=E_N$ и операторы вложения $P$, $P^*$ компактные. Осталось доказать квазипотенциальность оператора $T_2$. Для этого достаточно доказать квазипотенциальность оператора $G$. В самом деле, если $G$ квазипотенциальный и $f$ – его квазипотенциал, то
$$
\begin{equation*}
f(u+h)-f(u)=\int_0^1\langle G(u+th),h\rangle \,dt \quad \forall\, u,h\in E_M.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для произвольных $u$, $h\in E$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(Pu+Ph)-f(Pu)=\int_0^1\langle G(Pu+tPh),Ph\rangle\, dt \\ &\qquad =\int_0^1\langle P^*GP(u+th),h \rangle \,dt=\int_0^1\langle T_2(u+th),h\rangle \,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что означает квазипотенциальность оператора $T_2$, причем $f_2(u)=f(Pu)$ – его квазипотенциал. Докажем квазипотенциальность оператора $G$. В выкладке ниже воспользуемся тремя классическими результатами: 1) если $r(t)$ – суммируема на $[a,b]$, то функция $\displaystyle\psi(t)=\int_a^t r(s)\,ds$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$, почти всюду на $[a,b]$ функция $\psi$ дифференцируема и $\psi'(t)=r(t)$; 2) формулой Ньютона–Лейбница для абсолютно непрерывных функций; 3) теоремой Фубини (см., например, [27; гл. V, § 6, теорема 5]). Определим на $E_M$ функционал $f$ равенством
$$
\begin{equation}
f(u)=\int_\Omega dx\int_0^{u(x)}g(x,s)\,ds\quad \forall\, u\in E_M.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Имеем для произвольных $u$, $h\in E_M$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f(u+h)-f(u) &=\int_\Omega dx\int_{u(x)}^{u(x)+th(x)}g(x,s)\,ds \\ \notag &=\int_\Omega dx\int_0^1\frac{d}{dt}\int_0^{u(x)+th(x)}g(x,s)\,ds\,dt \\ &=\int_0^1dt\int_\Omega g(x,u(x)+th(x))h(x)\,dx=\int_0^1\langle G(u+th),h\rangle \,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Суммируемость функции $\psi(x,t)=g(x,u(x)+th(x))h(x)$ на $\Omega\times [0,1]$ следует из неравенства Гёльдера (см. [24; гл. II, § 9, теорема 9.3]):
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_\Omega z(x)y(x)\,dx\biggr|\leqslant \|z\|_M\, \|y\|_N
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $z\in L_M$ и $y\in L_N$ и оценки (3.6). Заметим, что в конечности $f$ на $E_M$ можно убедиться, проведя данную выкладку в обратном порядке при $u=0$. Из (3.8) следует квазипотенциальность $G$, и формулой (3.7) определяется его квазипотенциал. Отсюда, как отмечалось выше, следует квазипотенциальность оператора $T_2$ и $f_2(u)=f(Pu)$ – квазипотенциал оператора $T_2$. Второй пункт плана реализован. Итак, оператор $T=T_1-T_2$ квазипотенциальный, $J(u)=(1/2)\langle T_1u,u\rangle-f(Pu)$ – его квазипотенциал. По определению операторов $T_1$ и $T_2$ функция $z(x)\in E$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда $Tz=0$. В силу теоремы 5, поскольку оператор $T_1$ монотонный, а $T_2$ компактный, функционал $J(u)$ слабо полунепрерывен снизу на $E$. Перейдем к п. 3) плана. Докажем коэрцитивность функционала $J(u)$, т.е. $\lim_{\|u\|\to\infty}J(u)=+\infty$. Действительно, в силу условия 3) теоремы 1 для произвольного $u\in E$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J(u) &=\frac12\langle T_1u,u\rangle-f(Pu)\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2-\int_\Omega dx\int_0^{u(x)}g(x,s)\,ds \\ \notag &\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2-\frac12\int_\Omega \biggl(ku^2(x)+d(x)|u|^\theta+d_1(x)\biggr)\,dx \\ &\geqslant \frac{\chi-k\|P_1\|^2}{2}\|u\|^2-\frac{\|d\|_{2/(2-\theta)}}{2}\|u\|_2^\theta-\frac{\|d_1\|_1}{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\chi$ – константа эллиптичности оператора $L$, определенного формулой (1.3), $P_1$ – оператор вложения $E$ в $L_2(\Omega)$, $\|\cdot\|_s$ – норма в $L_s(\Omega)$. В силу условия 3) теоремы 1 постоянная $\chi-k\|P_1\|^2$ положительная, кроме того, $\|u\|_2\leqslant \|P_1\|\,\|u\|$ и $0<\theta<2$. В силу (3.9) отсюда заключаем о коэрцитивности $J(u)$. Слабо полунепрерывный снизу коэрцитивный функционал в рефлексивном банаховом пространстве ограничен снизу и достигает своего глобального минимума [25; гл. III, § 9, замечание 9.1]. Поэтому существует $u_0\in E$ такое, что $J(u_0)=\inf\{J(u)\colon u\in E\}$. Переходим к реализации п. 4) плана. Докажем, что все точки разрыва оператора $T$ регулярные. Тогда согласно теореме 4 $Tu_0=0$ и $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$. Достаточным условием регулярности точек разрыва оператора $T$ является справедливость неравенства $\lim_{t\to +0}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0$ $\forall\, u, h\in E$. Имеем для любых $u$, $h\in E$ и $t\in (0,1)$
$$
\begin{equation*}
\langle T_2(u+th)-T_2u,h\rangle=\int_\Omega g(x,u(x)+th(x))h(x)\,dx-\int_\Omega g(x,u(x))h(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 1) теоремы 1 для почти всех $x\,{\in}\,\Omega$ существует $\lim_{t\to +0}g(x,u(x)+th(x))h(x)$, который не меньше $g(x,u(x))h(x)$. Отсюда следует, что существует
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to +0}\langle T_2(u+th)-T_2u,h\rangle\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
если обосновать возможность перехода к пределу под знак интеграла. Для того чтобы воспользоваться теоремой Лебега, необходимо доказать существование суммируемой на $\Omega$ функции $\psi(x)$ при данных $u(x)$, $h(x)$ из $E$ такой, что почти всюду на $\Omega$ для любого $t\in (0,1)$. Возьмем $r=\bigl\||u|+|h|\bigr\|_M$. Как показано выше, найдутся $a_r(x)\in L_N$ и $b_r>1$, для которых верно неравенство (3.4) для почти всех $x\in\Omega$ и любого $u\in\mathbb R$. Положим $\psi_1(x)=a_r(x)+b_rN^{-1}(M((|u(x)|+|h(x)|)/r))$, $x\in\Omega$. В силу (3.4) и учитывая, что $N^{-1}$ и $M$ – возрастающие функции, справедливо неравенство (3.11) с $\psi(x)=\psi_1(x)|h(x)|$ для любого $t\in (0,1)$. Заметим, что $\psi_1(x)\in L_N(\Omega)$, так как
$$
\begin{equation*}
N(\psi_1(x))\leqslant d_r(x)+\frac12l(b_r)M\biggl(\frac{|u(x)|+|h(x)|}{r}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и $u(x)$, $h(x)\in E_M$. Здесь $d_r(x)$ и $l(b_r)$ те же, что в неравенстве (3.5). Поскольку $h\in L_M$, то отсюда следует суммируемость $\psi(x)$ на $\Omega$ в силу неравенства Гёльдера. Неравенство (3.10) доказано. Из (3.10) и радиальной непрерывности $T_1$ получим, что для любых $u$, $h\in E$ справедливо неравенство $\lim_{t\to +0}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0$. Регулярность точек разрыва оператора $T$ установлена. Отсюда в силу теоремы 4 получим, что $Tu_0=0$ и $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$. Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно доказать, что из радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$ следует, что мера множества $U=\{x\in\Omega\colon u_0(x) \text{ - точка разрыва функции } g(x,\cdot)\}$ равна нулю (п. 5) плана). В силу условия 1) теоремы 1 множество $U$ с точностью до множества меры нуль совпадает с множеством $\{x\in\Omega\colon g(x,u_0(x)-)<g(x,u_0(x)+)\}$. Допустим, что $\operatorname{mes} U\neq 0$. Тогда найдутся $\varepsilon>0$ и $\delta>0$ такие, что мера множества $U(\varepsilon)=\{x\in\Omega\colon g(x,u_0(x)+)-g(x,u_0(x)-)>\varepsilon\}$ равна $\delta$. Положим $r=\|u_0\|_M+\|l\|_M$ ($l\equiv 1$ на $\Omega$), $\widehat{\psi}(x)=a_r(x)+b_rN^{-1}(M((|u_0(x)|+1)/r))$, $x\in\Omega$, где $a_r(x)$ и $b_r$ из неравенства (3.4). Как и при доказательстве регулярности точек разрыва оператора $T$, доказывается, что $\widehat{\psi}(x)\in L_N$ и, значит, $\widehat{\psi}(x)$ суммируема на $\Omega$. В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см. [27; гл. V, § 5, теорема 5]) существует $\nu>0$ такое, что если $\omega$ – измеримое подмножество $\Omega$ и $\operatorname{mes}\omega\leqslant\nu$, то
$$
\begin{equation*}
\int_\omega\widehat{\psi}(x)\,dx<\frac{\varepsilon\delta}{8}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $U(\varepsilon)\subset\Omega$ измеримое. Поэтому найдутся замкнутое множество $F\subset U(\varepsilon)$ и открытое множество $H \supset F$ с замыканием $\overline H\subset\Omega$ такие, что $\operatorname{mes}F>\operatorname{mes} U(\varepsilon)/2=\delta/2$, а $\operatorname{mes}(H\setminus F)<\nu$ (см. [28]). Пусть $h \in C^\infty(\overline{\Omega})$ равна единице на $F$, нулю вне $H$ и $0\leqslant h(x)\leqslant 1$ при $x\in H\setminus F$ (такая функция существует в силу [29; гл. 14, § 2, лемма]). Заметим, что $h\in E$. В силу оценки (3.4) и учитывая, что функции $N^{-1}$ и $M$ возрастающие, получим, что для почти всех $x\in\Omega$ верна оценка для любого $t\in (-1,1)$. Из условия 1) теоремы 1 и неравенства (3.12) в силу теоремы Лебега о переходе к пределу под знак интеграла имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to +0}\int_\Omega g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx \\ &\qquad=\int_F g(x,u_0(x)+)\,dx+\int_{H\setminus F}\lim_{t\to +0}g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx, \\ &\lim_{t\to -0}\int_\Omega g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx \\ &\qquad=\int_F g(x,u_0(x)-)\,dx+\int_{H\setminus F}\lim_{t\to -0}g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, разность левых частей последних двух равенств больше
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon\delta}{2}-2\frac{\varepsilon\delta}{8}=\frac{\varepsilon\delta}{4}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$, поскольку оператор $T_1$ – радиально непрерывный. Теорема 1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|