Математический сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математический сборник, 2022, том 213, номер 7, страницы 121–138
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9655
(Mi sm9655)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста

В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb

a Челябинский государственный университет
b Санкт-Петербургский государственный университет
Список литературы:
Аннотация: Изучается эллиптическая краевая задача с разрывной нелинейностью экспоненциального роста на бесконечности. Вариационным методом получена теорема существования слабого полуправильного решения исследуемой задачи. Полуправильность решения означает, что его значения почти всюду в области, в которой рассматривается краевая задача, являются точками непрерывности нелинейности по фазовой переменной. Вариационный подход в настоящей работе базируется на понятии квазипотенциального оператора, в отличие от традиционного, где используется обобщенная производная Кларка.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова: эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность, экспоненциальный рост, полуправильное решение, вариационный метод.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 20-41-740003
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Челябинской области в рамках научного проекта № 20-41-740003.
Поступила в редакцию: 16.08.2021 и 17.03.2022
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 7, Pages 1004–1019
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9655e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: Primary 35J20; Secondary 35R05

§ 1. Введение

В ограниченной области $\Omega\subset{\mathbb R}^2$ класса $C^{1,1}$ рассматривается эллиптическая краевая задача

$$ \begin{equation} Lu(x)=g(x,u(x)), \qquad x\in\Omega, \end{equation} \tag{1.1} $$
$$ \begin{equation} u(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega. \end{equation} \tag{1.2} $$
Дифференциальный оператор
$$ \begin{equation} Lu(x)\equiv-\sum_{i,j=1}^2(a_{ij}(x)u_{x_i})_{x_j}+c(x)u(x) \end{equation} \tag{1.3} $$
равномерно эллиптический в области $\Omega$ с константой эллиптичности $\chi$, коэффициенты $a_{ij}\in C^1(\overline\Omega)$, $a_{ij}(x)=a_{ji}(x)$, $c\in C(\overline\Omega)$, $c(x)\geqslant 0$ в $\Omega$. Функция $g(x,u)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$, т.е. для любой измеримой на $\Omega$ функции $u(x)$ композиция $g(x,u(x))$ измерима на $\Omega$. Предполагается, что для почти всех $x\in\Omega$ функция $g(x,\cdot)$ имеет конечные односторонние пределы в любой точке $u\in\mathbb R$, которые обозначаются $g(x,u-)$, $g(x,u+)$ (пределы слева и справа соответственно). Кроме того, на бесконечности нелинейность $g(x,u)$ допускает по фазовой переменной $u$ рост порядка $|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)$, где постоянные $\alpha$, $A$, $\tau$ положительные и $\tau<2$.

Слабым решением задачи (1.1), (1.2) называется функция $u(x)$ из пространства $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ такая, что для любого $v\in\mathring{W}^1_2(\Omega)$ выполняется равенство

$$ \begin{equation*} \sum_{i,j=1}^2\int_\Omega a_{ij}(x)u_{x_i}v_{x_j}\,dx+\int_\Omega c(x)u(x)v(x)\,dx =\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx. \end{equation*} \notag $$

Слабое решение задачи (1.1), (1.2) называется полуправильным, если для почти всех $x\in\Omega$ значение $u(x)$ является точкой непрерывности функции $g(x,\cdot)$.

Приведем формулировку основного результата настоящей работы.

Теорема 1. Предположим, что

1) для почти всех $x\in\Omega$ верно неравенство $g(x,u-)\leqslant g(x,u+)$ и

$$ \begin{equation*} g(x,u)\in [g(x,u-),g(x,u+)] \quad \forall\, u\in\mathbb R; \end{equation*} \notag $$

2) существуют положительные константы $b$, $\alpha$, $A$, $\tau$ и $\tau<2$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$ справедлива оценка

$$ \begin{equation} |g(x,u)|\leqslant a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau) \quad \forall\, u\in\mathbb R, \end{equation} \tag{1.4} $$
где $a\in L_N(\Omega)$, $L_N(\Omega)$ – класс Орлича измеримых функций на $\Omega$, ассоциированный с $N$-функцией $N(u)$, $N(u)$ – дополнительная к $N$-функции $M(u)=|u|^{\alpha+2}\exp(|u|^s)$, $s\in (\tau,2)$ (см. ниже п. 2.1);

3) для почти всех $x\in\Omega$ имеет место неравенство

$$ \begin{equation*} \int_0^ug(x,s)\,ds\leqslant \frac{ku^2+d(x)|u|^\theta+d_1(x)}2 \quad \forall\, u\in\mathbb R, \end{equation*} \notag $$
где $k<\chi/\|P_1\|^2$, $\chi$ – константа эллиптичности дифференциального оператора $L$, определенного формулой (1.3), $P_1$ – оператор вложения $\mathring{W}^1_2(\Omega)$ в $L_2(\Omega)$, $d\in L_{2/(2-\theta)}(\Omega)$, $0<\theta<2$, $d_1$ – суммируемая на $\Omega$ функция.

Тогда задача (1.1), (1.2) имеет слабое полуправильное решение $u(x)$ из пространства $\mathring W_2^1(\Omega)$.

Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 будет показано, что при выполнении условий этой теоремы интеграл $\displaystyle\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx$ в определении слабого решения задачи (1.1), (1.2) существует для любых $u,v\in \mathring{W}^1_2(\Omega)$.

Замечание 2. Условие 3) теоремы 1 является жестким ограничением на нелинейность $g(x,u)$, имеющую на бесконечности экспоненциальный рост. Оно не выполняется, если для некоторого $u_0>0$ функция $g(x,u)\leqslant 0$ на $\Omega\times (-\infty,-u_0]$ или $g(x,u)\geqslant 0$ на $\Omega\times [u_0,+\infty)$ и при $u\to -\infty$ и $u\to +\infty$ соответственно она имеет экспоненциальный рост. Однако если для некоторого $u_0>0$ функция $g(x,u)$ ограничена на $\Omega\times [-u_0,u_0]$, положительна на $\Omega\times (-\infty,-u_0]$ и отрицательна на $\Omega\times [u_0,+\infty)$, то для нее условие 3) теоремы 1 выполняется. Например, такой является функция

$$ \begin{equation*} g(x, u)= \begin{cases} \operatorname{sgn}u+u^2e^{|u|}, & u\leqslant 0, \\ \operatorname{sgn}u-u^2e^{|u|}, & u\geqslant 0. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Отметим, что такая функция $g(x,u)$ удовлетворяет и условиям 1)–2) теоремы 1.

Проблема существования слабых решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста изучалась в ряде работ. Укажем на статьи [1]–[6], характерные для данного направления исследований.

В [1] рассматривается квазилинейное уравнение эллиптического типа с однородным граничным условием Дирихле

$$ \begin{equation} -\operatorname{div}(a(x,\nabla u))=\lambda h(x)\exp(\alpha_0|u|^{n/(n-1)})+f(x,u), \qquad x\in\Omega, \end{equation} \tag{1.5} $$
$$ \begin{equation} u(x)=0, \qquad x\in\partial\Omega, \end{equation} \tag{1.6} $$
в ограниченной области $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) с гладкой границей $\partial\Omega$. Предполагается, что $a(x,t)$ удовлетворяет условиям Лере–Лионса роста, коэрцитивности и монотонности, причем существует каратеодориева функция $A(x,t)$ такая, что $a(x,t)=\nabla_t A(x,t)$. Функция $f(x,s)$ суперпозиционно измеримая на $\Omega\times\mathbb R$ (такая функция может иметь разрывы по $s$), неубывающая по $s$ на $\mathbb R$, $f(x,0)=0$ на $\Omega$ и $f(x,s)$ по $s$ может иметь экспоненциальный критический рост, т.е. существует $\alpha_0>0$ такое, что $\lim_{|s|\to\infty}(|f(x,s)|/\exp(\alpha|s|^{n/(n-1)}))=0$, если $\alpha>\alpha_0$, и этот предел равен $+\infty$, если $\alpha<\alpha_0$. Параметр $\lambda$ положительный, функция $h\in L_q(\Omega)$, $q>1$, $h(x)\geqslant 0$ почти всюду на $\Omega$ и $h(x)>0$ на множестве ненулевой меры из $\Omega$.

Слабым решением задачи (1.5), (1.6) называется функция $u\in\mathring{W}^1_n(\Omega)$ такая, что

$$ \begin{equation*} \int_\Omega a(x,\nabla u)\cdot\nabla v\,dx\,{=}\,\lambda\int_\Omega h(x)\exp(\alpha_0|u|^{n/(n-1)})v\,dx+\int_\Omega f(x,u)v\,dx \quad \forall\, v\,{\in}\,\mathring{W}^1_n(\Omega). \end{equation*} \notag $$

При сделанных предположениях в [1] устанавливается существование неотрицательного слабого решения для достаточно малых значений параметра $\lambda$. Доказательство сводится к проверке условий общей теоремы С. Карла и С. Хейккиля о существовании неподвижной точки у монотонного оператора в полуупорядоченном банаховом пространстве. Приведем ее формулировку.

Теорема 2 (см. [7; следствие 2.2]). Пусть $E$ – банахова полурешетка и пространство $E$ рефлексивное. Тогда для произвольных шара $B\subset E$ и монотонного отображения $S\colon B\to B$ оператор $S$ имеет неподвижную точку.

Банахово пространство $E$ с отношением частичного порядка $\leqslant$ называется банаховой полурешеткой, если для любых $x,y\in E$ существуют $\sup\{x,y\}$, $\inf\{x,y\}$ и дополнительно $\|x^\pm\|\leqslant \|x\|$ для любого $x\in E$. Монотонность в теореме 2 понимается в смысле полуупорядоченности: для любых $x$, $y\in B$ таких, что $x\leqslant y$ следует $Sx\leqslant Sy$. Здесь $x^+=\sup\{0,x\}$, $x^-=-\inf\{0,x\}$.

Заметим, что пространство $\mathring{W}^1_n(\Omega)$ с естественным отношением частичного порядка удовлетворяет условиям теоремы 2. При операторной постановке задачи (1.5), (1.6) по существу используются неравенство Трудингера–Мозера (см. [8]) и теоремы вложения пространств $\mathring{W}^1_n(\Omega)$ в пространства Орлича (см. [9]).

В [2] устанавливается существование слабого решения уравнения

$$ \begin{equation} -\operatorname{div} (|\nabla u|^{n-2}\nabla u)+V(x)|u|^{n-2}u=g(x,u)+\lambda h(x) \end{equation} \tag{1.7} $$
в пространстве ${\mathbb R}^n$ ($n\geqslant 2$) для достаточно малых значений положительного параметра $\lambda$. Потенциал $V(x)$ может менять знак; нелинейность $g(x,u)$, неубывающая по $u$, может иметь критический экспоненциальный рост и быть разрывной по $u$. Решения рассматриваются в пространстве
$$ \begin{equation*} X=\biggl\{u\in W^1_n({\mathbb R}^n)\colon \int_{{\mathbb R}^n}V^+(x)|u|^n\,dx<\infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
с нормой
$$ \begin{equation*} \|u\|=\biggl(\int_{{\mathbb R}^n}\bigl (|\nabla u|^n+V^+(x)|u|^n\bigr)\,dx\biggr)^{1/n}, \end{equation*} \notag $$
где $V^+=\max\{V,0\}$.

Слабым решением уравнения (1.7) называется функция $u\in X$, для которой

$$ \begin{equation*} \int_{{\mathbb R}^n}|\nabla u|^{n-2}\nabla u\nabla v\,dx+\int_{{\mathbb R}^n}V(x)|u|^{n-2}uv\,dx= \int_{{\mathbb R}^n}g(x,u)v\,dx+\lambda\langle h,v\rangle \quad \forall\, v\in X, \end{equation*} \notag $$
где $\langle h,v\rangle$ – значение $h\in X^*$ на $v\in X$ ($X^*$ – сопряженное с $X$ пространство).

Доказательство теоремы существования слабого решения в [2], как и в [1], сводится к проверке выполнения условий теоремы 2 в пространстве $X$ с использованием версии неравенства Трудингера–Мозера для всего пространства.

В [3] рассматривается обобщение уравнения (1.7) в ${\mathbb R}^n$. Оно получается заменой дифференциальной части (1.7) на $-\operatorname{div}(a(x,\nabla u))$, нелинейности $g(x,u)$ на $Q(x)f(u)$, где $Q(x)$ может быть неограниченной по $x$, а неубывающая функция $f(u)$ – разрывной и иметь критический экспоненциальный рост. Здесь $a(x,t)$ удовлетворяет тем же условиям, что и в [1], с заменой $\Omega$ на ${\mathbb R}^n$. Получено достаточное условие существования слабого решения из пространства $X$ (определение $X$ см. выше) при достаточно малых значениях параметра $\lambda$. Доказательство, как в [1] и [2], сводится к проверке выполнения условий теоремы 2 для операторной постановки задачи (1.7) в пространстве $X$.

В [4] рассматривается аналог уравнения из [3] с монотонной нелинейностью критического экспоненциального роста на компактном римановом многообразии без края, а в [5] – на некомпактном римановом многообразии размерности $n\geqslant 2$. С помощью теоремы 2 получены теоремы существования слабых решений в пространстве, которое вводится аналогично определению пространства $X$.

В работе [6] реализуется вариационный подход. Рассматривается включение

$$ \begin{equation} -\Delta u+V(x)u-\varepsilon h(x)\in\partial_t F(x,u), \qquad x\in {\mathbb R}^2, \end{equation} \tag{1.8} $$
где $\varepsilon\,{>}\,0$, $V$ – непрерывная функция, для которой $V(x)\,{\geqslant}\, V_0$ на ${\mathbb R}^2$, $V_0$ – положительная константа, причем $V^{-1}\,{\in}\, L_1({\mathbb R}^2)$, $h\,{\in}\, (W^1_2({\mathbb R}^2))^*$ и $\displaystyle 0\,{<}\int_{{\mathbb R}^2}h(x)\,dx\,{<}\,{+}\infty$, $\displaystyle F(x,t)=\int_0^t f(x,s)\,ds$, $f(x,s)$ – разрывная функция с экспоненциальным критическим ростом по $s$, $\partial_t F(x,t)$ – обобщенная производная Кларка от $F(x,t)$ по $t$. Предполагается, что $\underline f(x,t):=\lim_{\eta\to t}\inf f(x,\eta)$, $\overline f(x,t):=\lim_{\eta\to t}\sup f(x,\eta)$ суперпозиционно измеримые на ${\mathbb R}^2\times\mathbb R$ и существует $t_0\geqslant 0$ такое, что $f(x,t)=0$, если $t<t_0$, и $f(x,t)>0$, если $t>t_0$, для любого $x\in\mathbb R^2$. Задача (1.8) рассматривается в гильбертовом пространстве
$$ \begin{equation*} E=\biggl\{u\in W^1_2({\mathbb R}^2)\colon \int_{{\mathbb R}^2}V(x)u^2(x)\,dx<+\infty\biggr\} \end{equation*} \notag $$
со скалярным произведением
$$ \begin{equation*} (u,v)=\int_{{\mathbb R}^2}\bigl(\nabla u\nabla v+V(x)u(x)v(x)\bigr)\,dx. \end{equation*} \notag $$

Обобщенным слабым решением задачи (1.8) называется функция $u\in E$ такая, что найдется $z(x)\in [\underline f(x,u(x)),\overline f(x,u(x))]$ почти всюду на ${\mathbb R}^2$ и

$$ \begin{equation*} (u,v)-\int_{{\mathbb R}^2}z(x)v(x)\,dx-\varepsilon\int_{{\mathbb R}^2}h(x)v(x)\,dx=0 \end{equation*} \notag $$
для любого $v\in E$, причем $\operatorname{mes}\{x\in {\mathbb R}^2\colon u(x)>t_0\}\neq 0$.

В [6] дополнительно накладываются следующие ограничения:

1) на поведение функции $f(x,t)$ вблизи нуля (оно автоматически выполняется, если $t_0$, фигурирующее выше, положительно);

2) существует $\tau>2$ такое, что $\tau F(x,t)\leqslant\underline f(x,t)t$ для всех $t\geqslant t_0$ и $x\in {\mathbb R}^2$;

3) существуют $p>2$ и $\mu>0$, для которых $F(x,t)\geqslant\mu(t^p-t^p_0)$ для всех $t\geqslant t_0$ и $x\in {\mathbb R}^2$.

Заметим, что условия на нелинейность, перечисленные выше, выполняются, если

$$ \begin{equation*} f(x,t)\equiv f(t)=2H(t-a)t^p \exp(t^2) \end{equation*} \notag $$
для всех $t\in\mathbb R$. Здесь $a\geqslant 0$, $H(s)=0$ при $s\leqslant 0$ и $H(s)=1$ при $s>0$ (функция Хевисайда).

При выполнении указанных выше условий в [6] доказывается существование двух решений включения (1.8) с помощью вариационного принципа Экланда и теоремы о горном перевале для недифференцируемых функционалов при достаточно малых $\varepsilon$, $t_0$ и достаточно большом $\mu$ в условии 3).

Для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями полуправильные решения введены М. А. Красносельским и А. В. Покровским в работе [10]. В [11] ими получена теорема существования полуправильного решения эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью методом верхних и нижних решений. Более общие результаты были получены авторами настоящей статьи в [12]. Абстрактные теоремы в данном направлении доказаны в [13]. Укажем на последние публикации [14]–[20] о полуправильных решениях. Отметим, что в перечисленных работах [10]–[20] уравнения с нелинейностями экспоненциального роста не рассматривались.

В настоящей работе приводится достаточное условие существования полуправильного решения задачи (1.1), (1.2) с разрывной нелинейностью, допускающей экспоненциальный рост по фазовой переменной (теорема 1). При этом не предполагается, что нелинейность $g(x,s)$ неубывающая по $s$ (ключевое требование в работах [1]–[5]) и что для некоторого $t_0$ функция $g(x,s)=0$ при $s<t_0$ и $g(x,s)>0$ при $s>t_0$ (одно из предположений в [6]). Кроме того, при доказательстве теоремы 1 используется вариационный подход, базирующийся на понятии квазипотенциального оператора (см., например, [21]–[23]), в отличие от традиционного, где используется обобщенная производная Кларка. Одна из последних работ, где он был применен, [20].

§ 2. Предварительные сведения

2.1. Пространства Орлича

Необходимые в дальнейшем понятия и факты о пространствах Орлича взяты из [24].

Непрерывная выпуклая функция $M(u)$ на $\mathbb R$ называется $N$-функцией, если она четная и удовлетворяет условиям $\lim_{u\to 0}M(u)/u\,{=}\,0$, $\lim_{u\to\infty}M(u)/u\,{=}\,{+}\infty$.

Примерами $N$-функций являются функции $\varphi(u)=\exp(u^2)-1$ и $\psi(u)=|u|^{\alpha+2}\exp(|u|^s)$, где $\alpha$ и $s$ – положительные константы.

Дополнительной к $N$-функции $M(u)$ называется преобразование Лежандра этой функции $N(u)=\max\{|u|t-M(t)\colon t\geqslant 0\}$. Заметим, что $N(u)$ является $N$-функцией. Функции $M$, $N$ называют взаимно дополнительными или сопряженными.

Говорят, что $N$-функция $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если для достаточно больших $u$ верно неравенство $M(lu)\leqslant m(l)M(u)$, где $l$ может быть любым числом, большим единицы. Заметим, что функции, удовлетворяющие $\Delta_2$-условию, растут не быстрее степенных. В частности, функции $\varphi(u)$ и $\psi(u)$, определенные выше, не удовлетворяют $\Delta_2$-условию. Возникает естественный вопрос: как проверить, будет ли дополнительная к $M(u)$ функция $N(u)$ удовлетворять $\Delta_2$-условию. Оказывается, что для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали $l>1$ и $v_0\geqslant 0$ такие, что $M(v)\leqslant M(lv)/(2l)$ для всех $v\geqslant v_0$ (см. [24; гл. I, § 4, теорема 4.2]). Отсюда немедленно следует, что дополнительные к $\varphi(u)$ и $\psi(u)$ функции удовлетворяют $\Delta_2$-условию.

При доказательстве теоремы 1 нам понадобится следующее неравенство:

$$ \begin{equation} N^{-1}(v)M^{-1}(v)\geqslant v \quad \forall\, v>0, \end{equation} \tag{2.1} $$
где $M$ и $N$ – взаимно дополнительные функции, а $M^{-1}$ и $N^{-1}$ – обратные к ним функции.

Пусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$ и $M(u)$ – $N$-функция. Классом Орлича, ассоциированным с $M(u)$, называется множество

$$ \begin{equation*} L_M(\Omega)=\biggl\{u\colon \Omega\to {\mathbb R} \text{ - измеримая: } \rho(u,M)=\int_\Omega M(u(x))\,dx<\infty\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
При этом функции, отличающиеся на множестве нулевой меры, не различаются. В случае, где это не может вызывать недоразумений, вместо $L_M(\Omega)$ используется обозначение $L_M$.

Класс Орлича – это выпуклое множество, которое содержит все ограниченные измеримые функции. Его элементы являются суммируемыми функциями, но не всякая суммируемая функция принадлежит $L_M$.

Класс Орлича $L_M$ является линейным пространством тогда и только тогда, когда $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию.

Пусть $M(u)$ и $N(v)$ – взаимно дополнительные $N$-функции. Положим

$$ \begin{equation*} L_M^*(\Omega)=\biggl\{u\colon \Omega\to {\mathbb R} \text{ - измеримая: } (u,v)=\int_\Omega u(x)v(x)\,dx<\infty\ \forall\, v\in L_N(\Omega)\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
При этом, как и при определении классов Орлича, функции, отличающиеся на множестве меры нуль, не различаются. Там, где это не может вызвать недоразумений, вместо $L_M^*(\Omega)$ используется обозначение $L_M^*$.

Множество $L_M^*(\Omega)$ является линейным пространством и совпадает с линейной оболочкой $L_M(\Omega)$. На нем задается норма Орлича с помощью равенства

$$ \begin{equation*} \|u\|_M=\sup\biggl\{\biggl|\int_\Omega u(x)v(x)\,dx\biggr|\colon \rho(v,N)\leqslant 1\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Построенное нормированное пространство полное, его обозначают $L_M^*(\Omega)$ и называют пространством Орлича, ассоциированным с $N$-функцией $M(u)$.

Отметим два важных для дальнейшего неравенства:

$$ \begin{equation} \|u\|_M\leqslant\rho(u,M)+1\quad \forall\, u\in L_M; \end{equation} \tag{2.2} $$
если $\|u\|_M\leqslant 1$, то $u\in L_M$ и
$$ \begin{equation} \rho(u,M)\leqslant \|u\|_M. \end{equation} \tag{2.3} $$

В пространстве $L_M^*$ можно ввести эквивалентную норме Орлича норму Люксембурга:

$$ \begin{equation*} \|u\|_{(M)}=\inf\biggl\{m\colon \rho\biggl(\frac um,M\biggr)\leqslant 1\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Она связана с нормой Орлича неравенствами
$$ \begin{equation*} \|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_M\leqslant 2\|u\|_{(M)}. \end{equation*} \notag $$
Замыкание в $L_M^*$ множества ограниченных функций обозначается через $E_M$. Если $M(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $E_M=L_M^*=L_M$. В общем случае пространство $E_M^*$, сопряженное с $E_M$, совпадает с $L_N^*$ с нормой Люксембурга, где $N(u)$ – дополнительная к $M(u)$ функция.

Перейдем к теоремам вложения Трудингера для пространств Орлича.

Говорят, что $N$-функция $M_1(u)$ растет существенно быстрее $N$-функции $M(u)$, если при любом положительном $\lambda$ имеем $\lim_{u\to\infty}M(\lambda u)/M_1(u)=0$. Следуя [9], будем в этом случае писать $M\prec M_1$.

Легко проверить, что для определенных выше функций $\varphi(u)$ и $\psi(u)$ верно соотношение $\psi\prec\varphi$.

Имеет место

Теорема 3 (см. [9; теорема 2]). Пусть $\Omega$ – ограниченная область в ${\mathbb R}^n$, удовлетворяющая условию конуса. Тогда соболевское пространство $W^k_p(\Omega)$, где $n=kp$, непрерывно вложено в пространство Орлича $L_\Phi^*(\Omega)$, где $\Phi(t)=\exp(|t|^{n/(n-1)})-1$. Более того, для любой $N$-функции $\gamma(t)$ такой, что $\gamma\prec\Phi$, вложение в $L_\gamma^*(\Omega)$ компактно.

Данная теорема понадобится нам в двумерном случае при $k=1$ и $p=2$.

2.2. Квазипотенциальные операторы

Пусть $E$ – вещественное банахово пространство, $E^*$ – сопряженное с $E$ пространство. Через $\langle z,x \rangle$ будем обозначать значение функционала $z\in E^*$ на элементе $x\in E$. Далее оператор $T$ действует из $E$ в $E^*$.

Функционал $f\colon E\to\mathbb R$ называется дифференцируемым по Гато в точке $x\in E$, если найдется $y\in E^*$ такой, что для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to 0}(f(x+th)-f(x))/{t}=\langle y,h \rangle$. При этом $y$ называют производной Гато функционала $f$ в точке $x$ и обозначают $f'(x)$.

Оператор $T$ называется потенциальным, если существует дифференцируемый по Гато функционал $f$ на $E$, для которого $f'(x)=Tx$ для любого $x\in E$. Такой функционал называют потенциалом оператора $T$.

Оператор $T$ называется радиально суммируемым, если для любых $x$, $h\in E$ функция $\langle T(x+th),h \rangle$ суммируема на $[0,1]$.

Оператор $T$ называется радиально непрерывным в точке $x\in E$, если для любого $h\in E$ справедливо равенство $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th),h \rangle=\langle Tx, h\rangle$.

Элемент $x\in E$ называется точкой разрыва оператора $T$, если найдется $h\in E$, для которого либо $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th), h\rangle$ не существует, либо $\lim_{t\to 0}\langle T(x+th), h\rangle\neq\langle Tx, h\rangle$.

Радиально суммируемый оператор $T$ называется квазипотенциальным (см. [25; гл. 5, § 17, определение 17.15]), если существует функционал $f\colon E\,{\to}\,{\mathbb R}$, для которого верно равенство

$$ \begin{equation} f(x+h)-f(x)=\int^1_0\langle T(x+th), h\rangle\, dt \quad \forall\, x, h\in E. \end{equation} \tag{2.4} $$
При этом $f$ называют квазипотенциалом оператора $T$.

Заметим, что если $T$ – потенциальный и радиально непрерывный на $E$, а $f$ – его потенциал, то для всех $x$, $h\in E$ имеем

$$ \begin{equation*} f(x+h)-f(x)=\int_0^1\frac{d}{dt}f(x+th)\,dt=\int_0^1\langle T(x+th),h\rangle \,dt. \end{equation*} \notag $$
Однако квазипотенциальный оператор может быть разрывным. Например, если $E=\mathbb R$, $Tx=\operatorname{sgn}x$, $f(x)=|x|$, то равенство (2.4) выполняется и $T$ разрывен в точке $x=0$.

Для того чтобы сформулировать вариационный принцип, который используется при доказательстве теоремы 1, нам понадобится еще одно важное понятие.

Элемент $x\in E$ называется регулярной точкой оператора $T$, если для некоторого $h\in E$ верно неравенство $\lim_{t\to +0}\sup\langle T(x+th), h\rangle<0$.

Справедлива

Теорема 4 (см. [23; теорема 1]). Пусть $x\in E$ – точка минимума квазипотенциала $f$ локально ограниченного оператора $T\colon E\to E^*$, причем точки разрыва оператора $T$ регулярны. Тогда $x$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tx=0$.

Приведем достаточное условие регулярности точек разрыва оператора $T$ из [22]: если для любых $x$, $h\in E$ существует неположительный предел $\lim_{t\to +0}\langle T(x+th)-Tx,h\rangle$, то все точки разрыва оператора $T$ регулярны. Докажем это. Пусть $x$ – точка разрыва оператора $T$. По условию для любого $h\in E$ существует $\lim_{t\to +0}\langle T(x+th),h\rangle$, который не превосходит $\langle Tx,h\rangle$. Поскольку $x$ – точка разрыва, то найдется $z\in E$ такое, что $\lim_{t\to +0}\langle T(x+tz),z\rangle<\langle Tx,z\rangle$. В противном случае $x$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$. Далее, если $\langle Tx,z\rangle\leqslant 0$, то в силу последнего неравенства $\lim_{t\to +0}\langle T(x+tz),z\rangle<0$ и, значит, $z$ – регулярная точка оператора $T$. Если $\langle Tx,z\rangle>0$, то существует $\lim_{t\to +0}\langle T(x+t(-z)),-z\rangle\leqslant \langle Tx,-z\rangle =-\langle Tx,z\rangle<0$. Следовательно, $x$ – регулярная точка оператора $T$.

Дадим еще один полезный для дальнейшего результат.

Теорема 5 (см. [26]). Пусть $T=T_1+T_2$, где $T_1$ – монотонный оператор (т.е. $\langle T_1u-T_1v,u-v\rangle\geqslant 0$ для любых $u,v\in E$), $T_2$ – компактный (т.е. ограниченные множества из $E$ переводит в предкомпактные в $E^*$), причем операторы $T_i$, $i=1,2$, квазипотенциальные. Тогда квазипотенциал $f$ оператора $T$ слабо полунепрерывен снизу на $E$ (т.е. для любых $x\in E$ и слабо сходящейся последовательности $(x_n)\subset E$ к $x$ имеем $\lim_{n\to\infty}\inf f(x_n)\geqslant f(x))$.

§ 3. Доказательство теоремы 1

Пусть $E=\mathring{W}^1_2(\Omega)$, $E^*=W^{-1}_2(\Omega)$. Пространство $E$ рефлексивно, гильбертово, со скалярным произведением

$$ \begin{equation*} (u,v)=\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\,dx \quad \forall\, u,v\in E, \end{equation*} \notag $$
которое индуцирует норму $\|u\|=\sqrt{(u,u)}$.

Определим на $E$ операторы $T_i$, $i=1,2$, равенствами

$$ \begin{equation*} \langle T_1u,v\rangle=\sum_{i,j=1}^2\int_\Omega a_{ij}(x)u_{x_i}v_{x_j}\,dx+\int_\Omega c(x)u(x)v(x)\,dx, \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation} \langle T_2u,v\rangle=\int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx \end{equation} \tag{3.1} $$
для любых $u$, $v\in E$.

При доказательстве теоремы 1 будем придерживаться нижеследующего плана, состоящего из пяти пунктов.

1) Устанавливается ограниченность, квазипотенциальность и монотонность оператора $T_1$.

2) Доказывается квазипотенциальность и компактность оператора $T_2$.

В силу теоремы 5 из пп. 1) и 2) следует, что квазипотенциал $J(u)$ оператора $T=T_1-T_2$ слабо полунепрерывен снизу на $E$.

3) Доказывается коэрцитивность функционала $J(u)$, т.е. $\lim_{\|u\|\to\infty}\!J(u)\,{=}\,{+}\infty$.

Поскольку слабо полунепрерывный снизу и коэрцитивный в рефлексивном банаховом пространстве функционал достигает глобального минимума (см. [25; гл. III, § 9, замечание 9.1]), то существует $u_0\in E$, для которого $J(u_0)=\inf\{J(u)\colon u\in E\}$.

4) Доказывается, что точки разрыва оператора $T$ регулярны. Для этого проверяется выполнение условий признака регулярности точек разрыва для оператора $T$. Формулировка и доказательство этого признака приведены в п. 2.2.

Из теоремы 4 следует, что $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$ и $Tu_0=0$. По определению оператора $T$ функция $z(x)\in E$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда $Tz=0$. Поэтому $u_0(x)$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2).

5) Доказывается, что из радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$ следует равенство нулю меры множества $U=\{x\in\Omega\colon u_0(x)$ – точка разрыва функции $g(x,\cdot)\}$. Таким образом, $u_0(x)$ – слабое полуправильное решение задачи (1.1), (1.2).

На этом доказательство теоремы 1 завершается.

Перейдем к реализации данного плана доказательства теоремы 1.

Оператор $T_1$ – линейный, ограниченный и самосопряженный (т.е. $\langle T_1 u,v\rangle=\langle T_1v,u\rangle$). Поскольку $c(x)\geqslant 0$ на $\Omega$, то

$$ \begin{equation} \langle T_1u,u\rangle\geqslant\chi \|u\|^2 \quad \forall\, u\in E, \end{equation} \tag{3.2} $$
где $\chi$ – константа эллиптичности дифференциального оператора $L$. Из (3.2) и линейности $T_1$ следует монотонность $T_1$. Оператор $T_1$ потенциальный, и его потенциал $f_1(u)=(1/2)\langle T_1u,u\rangle$ [25; гл. II, § 5, пример 5.6].

Перейдем к реализации п. 2) плана. Необходимо установить, что оператор $T_2$ действует из $E$ в $E^*$, компактный и квазипотенциальный. Предварительно докажем, что оператор Немыцкого $G(u)=g(x,u(x))$ переводит ограниченные множества из $E_M(\Omega)$ ($M(u)$ – $N$-функция из условия 2) теоремы 1) в ограниченные в $L_N^*(\Omega)$, $N(u)$ – дополнительная к $M(u)$. Как отмечалось выше, $N(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию. Поэтому $L_N^*=L_N=E_N$. Поскольку $E_M^*=L_N^*$, то в данном случае $E_M^*=E_N$. Фиксируем $r>0$. Покажем, что существуют $a_r(x)\in L_N$ и $b_r>0$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$ правая часть неравенства (1.4) в условии 2) теоремы 1 не превосходит $a_r(x)+b_rN^{-1}(M(u/r))$ для любых $u\in\mathbb R$. Действительно,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\lim_{u\to\infty}\frac{M(u/r)}{(|u|/r)|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)}= \lim_{u\to\infty}\frac{|u|^{\alpha+2}\exp(|u/r|^s)}{r^{\alpha+2}|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)}\,\frac{r}{|u|} \\ &\qquad =\lim_{u\to\infty}\frac{|u|\exp(|u/r|^s)}{r^{\alpha+1}\exp(A|u|^\tau)}=+\infty, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
так как в силу условия 2) теоремы 1 $s>\tau$. Отсюда следует существование $a_r(x)\in L_N(\Omega)$ и $b_r>1$ таких, что для почти всех $x\in\Omega$
$$ \begin{equation} a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)\leqslant a_r(x)+\frac{b_rM(u/r)}{|u|/r} \quad \forall\, u\in\mathbb R. \end{equation} \tag{3.3} $$
В силу неравенства (2.1) имеем $N^{-1}(M(u/r))\geqslant M(u/r)/(|u|/r)$ $\forall\, u\in\mathbb R$. Из чего и из (3.3) получим для почти всех $x\in\Omega$ неравенство
$$ \begin{equation*} a(x)+b|u|^\alpha \exp(A|u|^\tau)\leqslant a_r(x)+b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, показано, что для любого $r>0$ найдутся $a_r(x)\in L_N(\Omega)$ и $b_r>1$ такие, что для почти всех $x\in\Omega$
$$ \begin{equation} |g(x,u)|\leqslant a_r(x)+b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R. \end{equation} \tag{3.4} $$
Из полученного неравенства следует, что оператор Немыцкого $G$ ограничен на шаре $B_r=\{u\in E_M\colon \|u\|_M\leqslant r\}$, т.е. существует постоянная $C_r>0$ такая, что $\|Gu\|_N\leqslant C_r$ для любого $u\in B_r$. Действительно, поскольку $N(u)$ – возрастающая и выпуклая на $\mathbb R$, то для почти всех $x\in\Omega$
$$ \begin{equation*} N(g(x,u))\leqslant\frac12N(a_r(x))+\frac12N\biggl(b_rN^{-1}\biggl(M\biggl(\frac ur\biggr)\biggr)\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R. \end{equation*} \notag $$
Поскольку $N(u)$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то найдутся число $l(b_r)>0$ и $u_0> 0$ такие, что $N(b_rN^{-1}(M(u/r)))\leqslant l(b_r)N(N^{-1}(M(u/r)))=l(b_r)M(u/r)$, если $|u|\geqslant u_0$. Из чего заключаем о существовании суммируемой функции $d_r(x)$ на $\Omega$ такой, что для почти всех $x\in\Omega$
$$ \begin{equation} N(g(x,u))\leqslant d_r(x)+\frac12l(b_r)M\biggl(\frac ur\biggr) \quad \forall\, u\in\mathbb R. \end{equation} \tag{3.5} $$
Отсюда следует, что если $u(x)\in E_M$ и $\|u\|_M\leqslant r$, то в силу (3.5)
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_\Omega N(g(x,u(x))\,dx &\leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)\int_\Omega M\biggl(\frac{u(x)}r\biggr)\,dx \\ &\leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)\biggl\|\frac ur\biggr\|_M \leqslant\int_\Omega d_r(x)\,dx+\frac12l(b_r)=A_r \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
(воспользовались неравенством (2.3), поскольку $\|u/r\|_M\leqslant 1$). В силу неравенства (2.2) имеем
$$ \begin{equation} \|Gu\|_N\leqslant\int_\Omega N(g(x,u(x))\,dx+1\leqslant A_r+1, \end{equation} \tag{3.6} $$
если $u\in B_r$. Ограниченность оператора $G$ на шаре $B_r$ доказана.

Покажем, что задание оператора $T_2\colon E\to E^*$ равенством (3.1) корректно и установим его компактность. Выше отмечалось, что $M\prec\varphi$, где $M(u)$ – $N$-функция из условия 2) теоремы 1, $\varphi(u)=\exp(u^2)-1$. Согласно теореме 3 отсюда следует компактность вложения $W^1_2(\Omega)$ в $L_M^*(\Omega)$. Покажем, что $W_2^1(\Omega)\subset E_M$. Поскольку ограниченная область $\Omega\subset {\mathbb R}^2$ класса $C^{1,1}$, то множество $C^\infty(\overline\Omega)$ всюду плотно в $W_2^1(\Omega)$. Пространство $E_M$ является замыканием множества измеримых ограниченных функций на $\Omega$ в пространстве $L_M^*$. Следовательно, $E_M\supset C^\infty(\overline\Omega)$. Поскольку $E_M$ – замкнутое подмножество $L_M^*$, то из последнего включения следует, что $E_M\supset \overline{C^\infty(\overline\Omega)}$, где справа замыкание $C^\infty(\overline\Omega)$ в $L_M^*$. В силу компактности вложения $W_2^1(\Omega)$ в $L_M^*$ справедливо включение $\overline{C^\infty(\overline\Omega)}\supset W_2^1(\Omega)$. Из чего следует, что $E_M\supset W_2^1(\Omega)$. Поскольку $E$ – замкнутое подпространство $W_2^1(\Omega)$, то вложение $E$ в $E_M$ компактное. Обозначим оператор вложения $E$ в $E_M$ через $P$. Сопряженный с ним оператор $P^*$ осуществляет вложение $E_M^*=E_N$ в $E^*=W_2^{-1}(\Omega)$. Он компактен, поскольку компактен $P$ [27; гл. 4, § 6, теорема 3]. В силу теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала на $E_M$ [24; гл. II, § 14, теорема 14.2] для произвольных $u$, $v\in E$ имеем

$$ \begin{equation*} \int_\Omega g(x,u(x))v(x)\,dx=\langle G(Pu),Pv\rangle=\langle P^*GP(u),v\rangle. \end{equation*} \notag $$
Из чего заключаем, что $T_2u=P^*GP(u)$ для всех $u\in E$. Из этого представления $T_2$ следует его компактность, поскольку $G$ ограниченные множества из $E_M$ переводит в ограниченные в $E_M^*=E_N$ и операторы вложения $P$, $P^*$ компактные.

Осталось доказать квазипотенциальность оператора $T_2$. Для этого достаточно доказать квазипотенциальность оператора $G$. В самом деле, если $G$ квазипотенциальный и $f$ – его квазипотенциал, то

$$ \begin{equation*} f(u+h)-f(u)=\int_0^1\langle G(u+th),h\rangle \,dt \quad \forall\, u,h\in E_M. \end{equation*} \notag $$
Тогда для произвольных $u$, $h\in E$ имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &f(Pu+Ph)-f(Pu)=\int_0^1\langle G(Pu+tPh),Ph\rangle\, dt \\ &\qquad =\int_0^1\langle P^*GP(u+th),h \rangle \,dt=\int_0^1\langle T_2(u+th),h\rangle \,dt, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что означает квазипотенциальность оператора $T_2$, причем $f_2(u)=f(Pu)$ – его квазипотенциал. Докажем квазипотенциальность оператора $G$. В выкладке ниже воспользуемся тремя классическими результатами:

1) если $r(t)$ – суммируема на $[a,b]$, то функция $\displaystyle\psi(t)=\int_a^t r(s)\,ds$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$, почти всюду на $[a,b]$ функция $\psi$ дифференцируема и $\psi'(t)=r(t)$;

2) формулой Ньютона–Лейбница для абсолютно непрерывных функций;

3) теоремой Фубини (см., например, [27; гл. V, § 6, теорема 5]).

Определим на $E_M$ функционал $f$ равенством

$$ \begin{equation} f(u)=\int_\Omega dx\int_0^{u(x)}g(x,s)\,ds\quad \forall\, u\in E_M. \end{equation} \tag{3.7} $$
Имеем для произвольных $u$, $h\in E_M$
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag f(u+h)-f(u) &=\int_\Omega dx\int_{u(x)}^{u(x)+th(x)}g(x,s)\,ds \\ \notag &=\int_\Omega dx\int_0^1\frac{d}{dt}\int_0^{u(x)+th(x)}g(x,s)\,ds\,dt \\ &=\int_0^1dt\int_\Omega g(x,u(x)+th(x))h(x)\,dx=\int_0^1\langle G(u+th),h\rangle \,dt. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.8} $$
Суммируемость функции $\psi(x,t)=g(x,u(x)+th(x))h(x)$ на $\Omega\times [0,1]$ следует из неравенства Гёльдера (см. [24; гл. II, § 9, теорема 9.3]):
$$ \begin{equation*} \biggl|\int_\Omega z(x)y(x)\,dx\biggr|\leqslant \|z\|_M\, \|y\|_N \end{equation*} \notag $$
для любых $z\in L_M$ и $y\in L_N$ и оценки (3.6). Заметим, что в конечности $f$ на $E_M$ можно убедиться, проведя данную выкладку в обратном порядке при $u=0$. Из (3.8) следует квазипотенциальность $G$, и формулой (3.7) определяется его квазипотенциал. Отсюда, как отмечалось выше, следует квазипотенциальность оператора $T_2$ и $f_2(u)=f(Pu)$ – квазипотенциал оператора $T_2$. Второй пункт плана реализован.

Итак, оператор $T=T_1-T_2$ квазипотенциальный, $J(u)=(1/2)\langle T_1u,u\rangle-f(Pu)$ – его квазипотенциал.

По определению операторов $T_1$ и $T_2$ функция $z(x)\in E$ – слабое решение задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда $Tz=0$. В силу теоремы 5, поскольку оператор $T_1$ монотонный, а $T_2$ компактный, функционал $J(u)$ слабо полунепрерывен снизу на $E$.

Перейдем к п. 3) плана. Докажем коэрцитивность функционала $J(u)$, т.е. $\lim_{\|u\|\to\infty}J(u)=+\infty$. Действительно, в силу условия 3) теоремы 1 для произвольного $u\in E$ имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \notag J(u) &=\frac12\langle T_1u,u\rangle-f(Pu)\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2-\int_\Omega dx\int_0^{u(x)}g(x,s)\,ds \\ \notag &\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2-\frac12\int_\Omega \biggl(ku^2(x)+d(x)|u|^\theta+d_1(x)\biggr)\,dx \\ &\geqslant \frac{\chi-k\|P_1\|^2}{2}\|u\|^2-\frac{\|d\|_{2/(2-\theta)}}{2}\|u\|_2^\theta-\frac{\|d_1\|_1}{2}, \end{aligned} \end{equation} \tag{3.9} $$
где $\chi$ – константа эллиптичности оператора $L$, определенного формулой (1.3), $P_1$ – оператор вложения $E$ в $L_2(\Omega)$, $\|\cdot\|_s$ – норма в $L_s(\Omega)$.

В силу условия 3) теоремы 1 постоянная $\chi-k\|P_1\|^2$ положительная, кроме того, $\|u\|_2\leqslant \|P_1\|\,\|u\|$ и $0<\theta<2$. В силу (3.9) отсюда заключаем о коэрцитивности $J(u)$.

Слабо полунепрерывный снизу коэрцитивный функционал в рефлексивном банаховом пространстве ограничен снизу и достигает своего глобального минимума [25; гл. III, § 9, замечание 9.1]. Поэтому существует $u_0\in E$ такое, что $J(u_0)=\inf\{J(u)\colon u\in E\}$.

Переходим к реализации п. 4) плана. Докажем, что все точки разрыва оператора $T$ регулярные. Тогда согласно теореме 4 $Tu_0=0$ и $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$. Достаточным условием регулярности точек разрыва оператора $T$ является справедливость неравенства $\lim_{t\to +0}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0$ $\forall\, u, h\in E$. Имеем для любых $u$, $h\in E$ и $t\in (0,1)$

$$ \begin{equation*} \langle T_2(u+th)-T_2u,h\rangle=\int_\Omega g(x,u(x)+th(x))h(x)\,dx-\int_\Omega g(x,u(x))h(x)\,dx. \end{equation*} \notag $$
В силу условия 1) теоремы 1 для почти всех $x\,{\in}\,\Omega$ существует $\lim_{t\to +0}g(x,u(x)+th(x))h(x)$, который не меньше $g(x,u(x))h(x)$. Отсюда следует, что существует
$$ \begin{equation} \lim_{t\to +0}\langle T_2(u+th)-T_2u,h\rangle\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.10} $$
если обосновать возможность перехода к пределу под знак интеграла. Для того чтобы воспользоваться теоремой Лебега, необходимо доказать существование суммируемой на $\Omega$ функции $\psi(x)$ при данных $u(x)$, $h(x)$ из $E$ такой, что почти всюду на $\Omega$
$$ \begin{equation} |g(x,u(x)+th(x))h(x)|\leqslant\psi(x) \end{equation} \tag{3.11} $$
для любого $t\in (0,1)$. Возьмем $r=\bigl\||u|+|h|\bigr\|_M$. Как показано выше, найдутся $a_r(x)\in L_N$ и $b_r>1$, для которых верно неравенство (3.4) для почти всех $x\in\Omega$ и любого $u\in\mathbb R$. Положим $\psi_1(x)=a_r(x)+b_rN^{-1}(M((|u(x)|+|h(x)|)/r))$, $x\in\Omega$. В силу (3.4) и учитывая, что $N^{-1}$ и $M$ – возрастающие функции, справедливо неравенство (3.11) с $\psi(x)=\psi_1(x)|h(x)|$ для любого $t\in (0,1)$. Заметим, что $\psi_1(x)\in L_N(\Omega)$, так как
$$ \begin{equation*} N(\psi_1(x))\leqslant d_r(x)+\frac12l(b_r)M\biggl(\frac{|u(x)|+|h(x)|}{r}\biggr) \end{equation*} \notag $$
и $u(x)$, $h(x)\in E_M$. Здесь $d_r(x)$ и $l(b_r)$ те же, что в неравенстве (3.5). Поскольку $h\in L_M$, то отсюда следует суммируемость $\psi(x)$ на $\Omega$ в силу неравенства Гёльдера. Неравенство (3.10) доказано.

Из (3.10) и радиальной непрерывности $T_1$ получим, что для любых $u$, $h\in E$ справедливо неравенство $\lim_{t\to +0}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0$. Регулярность точек разрыва оператора $T$ установлена. Отсюда в силу теоремы 4 получим, что $Tu_0=0$ и $u_0$ – точка радиальной непрерывности оператора $T$.

Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно доказать, что из радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$ следует, что мера множества $U=\{x\in\Omega\colon u_0(x) \text{ - точка разрыва функции } g(x,\cdot)\}$ равна нулю (п. 5) плана). В силу условия 1) теоремы 1 множество $U$ с точностью до множества меры нуль совпадает с множеством $\{x\in\Omega\colon g(x,u_0(x)-)<g(x,u_0(x)+)\}$. Допустим, что $\operatorname{mes} U\neq 0$. Тогда найдутся $\varepsilon>0$ и $\delta>0$ такие, что мера множества $U(\varepsilon)=\{x\in\Omega\colon g(x,u_0(x)+)-g(x,u_0(x)-)>\varepsilon\}$ равна $\delta$. Положим $r=\|u_0\|_M+\|l\|_M$ ($l\equiv 1$ на $\Omega$), $\widehat{\psi}(x)=a_r(x)+b_rN^{-1}(M((|u_0(x)|+1)/r))$, $x\in\Omega$, где $a_r(x)$ и $b_r$ из неравенства (3.4). Как и при доказательстве регулярности точек разрыва оператора $T$, доказывается, что $\widehat{\psi}(x)\in L_N$ и, значит, $\widehat{\psi}(x)$ суммируема на $\Omega$.

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см. [27; гл. V, § 5, теорема 5]) существует $\nu>0$ такое, что если $\omega$ – измеримое подмножество $\Omega$ и $\operatorname{mes}\omega\leqslant\nu$, то

$$ \begin{equation*} \int_\omega\widehat{\psi}(x)\,dx<\frac{\varepsilon\delta}{8}. \end{equation*} \notag $$
Множество $U(\varepsilon)\subset\Omega$ измеримое. Поэтому найдутся замкнутое множество $F\subset U(\varepsilon)$ и открытое множество $H \supset F$ с замыканием $\overline H\subset\Omega$ такие, что $\operatorname{mes}F>\operatorname{mes} U(\varepsilon)/2=\delta/2$, а $\operatorname{mes}(H\setminus F)<\nu$ (см. [28]). Пусть $h \in C^\infty(\overline{\Omega})$ равна единице на $F$, нулю вне $H$ и $0\leqslant h(x)\leqslant 1$ при $x\in H\setminus F$ (такая функция существует в силу [29; гл. 14, § 2, лемма]). Заметим, что $h\in E$. В силу оценки (3.4) и учитывая, что функции $N^{-1}$ и $M$ возрастающие, получим, что для почти всех $x\in\Omega$ верна оценка
$$ \begin{equation} |g(x,u_0(x)+th(x))|\leqslant\widehat{\psi}(x) \end{equation} \tag{3.12} $$
для любого $t\in (-1,1)$. Из условия 1) теоремы 1 и неравенства (3.12) в силу теоремы Лебега о переходе к пределу под знак интеграла имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\lim_{t\to +0}\int_\Omega g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx \\ &\qquad=\int_F g(x,u_0(x)+)\,dx+\int_{H\setminus F}\lim_{t\to +0}g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx, \\ &\lim_{t\to -0}\int_\Omega g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx \\ &\qquad=\int_F g(x,u_0(x)-)\,dx+\int_{H\setminus F}\lim_{t\to -0}g\bigl(x,u_0(x)+th(x)\bigr)h(x)\,dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно, разность левых частей последних двух равенств больше
$$ \begin{equation*} \frac{\varepsilon\delta}{2}-2\frac{\varepsilon\delta}{8}=\frac{\varepsilon\delta}{4}>0, \end{equation*} \notag $$
что противоречит радиальной непрерывности оператора $T$ в точке $u_0$, поскольку оператор $T_1$ – радиально непрерывный. Теорема 1 доказана.

Список литературы

1. M. de Souza, E. de Medeiros, U. Severo, “On a class of quasilinear elliptic problems involving Trudinger–Moser nonlinearities”, J. Math. Anal. Appl., 403:2 (2013), 357–364  crossref  mathscinet  zmath
2. M. de Souza, E. de Medeiros, U. Severo, “On a class of nonhomogeneous elliptic problems involving exponential critical growth”, Topol. Methods Nonlinear Anal., 44:2 (2014), 399–412  crossref  mathscinet  zmath
3. M. de Souza, “Existence of solutions to equations of $N$-Laplacian type with Trudinger–Moser nonlinearities”, Appl. Anal., 93:10 (2014), 2111–2125  crossref  mathscinet  zmath
4. M. de Souza, “On a class of nonhomogeneous elliptic equation on compact Riemannian manifold without boundary”, Mediterr. J. Math., 15:3 (2018), 101, 11 pp.  crossref  mathscinet  zmath
5. M. de Souza, “On a class of nonhomogeneous elliptic equations on noncompact Riemannian manifolds”, Complex Var. Elliptic Equ., 64:3 (2019), 386–397  crossref  mathscinet  zmath
6. C. O. Alves, J. A. Santos, “Multivalued elliptic equation with exponential critical growth in $\mathbb R^2$”, J. Differential Equations, 261:9 (2016), 4758–4788  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
7. S. Carl, S. Heikkilä, “Elliptic problems with lack of compactness via a new fixed point theorem”, J. Differential Equations, 186:1 (2002), 122–140  crossref  mathscinet  adsnasa
8. J. Moser, “A sharp form of an inequality by N. Trudinger”, Indiana Univ. Math. J., 20:11 (1971), 1077–1092  crossref  mathscinet  zmath
9. N. S. Trudinger, “On imbeddings into Orlicz spaces and some applications”, J. Math. Mech., 17:5 (1967), 473–483  mathscinet  zmath
10. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями”, Докл. АН СССР, 226:3 (1976), 506–509  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Krasnosel'skii, A. V. Pokrovskii, “Regular solutions of equations with discontinuous nonlinearities”, Soviet Math. Dokl., 17:1 (1976), 128–132
11. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями”, Докл. РАН, 342:6 (1995), 731–734  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Krasnosel'skii, A. V. Pokrovskii, “Elliptic equations with discontinuous nonlinearities”, Dokl. Math., 51:3 (1995), 415–418
12. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических спектральных задач с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 206:9 (2015), 121–138  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “The existence of semiregular solutions to elliptic spectral problems with discontinuous nonlinearities”, Sb. Math., 206:9 (2015), 1281–1298  crossref  adsnasa
13. М. А. Красносельский, А. В. Лусников, “Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 34–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Krasnosel'skii, A. V. Lusnikov, “Regular fixed points and stable invariant subsets of monotone operators”, Funct. Anal. Appl., 30:3 (1996), 174–183  crossref
14. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование двух нетривиальных решений в задачах на собственные значения для уравнений с разрывными правыми частями при достаточно больших значениях спектрального параметра”, Матем. сб., 208:1 (2017), 165–182  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Existence of two nontrivial solutions for sufficiently large values of the spectral parameter in eigenvalue problems for equations with discontinuous right-hand sides”, Sb. Math., 208:1 (2017), 157–172  crossref  adsnasa
15. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование трех нетривиальных решений эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью в случае сильного резонанса”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 247–261  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Existence of three nontrivial solutions of an elliptic boundary-value problem with discontinuous nonlinearity in the case of strong resonance”, Math. Notes, 101:2 (2017), 284–296  crossref
16. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О свойствах спектра эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. сб., 210:7 (2019), 145–170  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Properties of the spectrum of an elliptic boundary value problem with a parameter and a discontinuous nonlinearity”, Sb. Math., 210:7 (2019), 1043–1066  crossref  adsnasa
17. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 168–184  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “On a class of elliptic boundary-value problems with parameter and discontinuous non-linearity”, Izv. Math., 84:3 (2020), 592–607  crossref  adsnasa
18. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О существовании трех нетривиальных решений резонансной эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью”, Дифференц. уравнения, 56:7 (2020), 861–871  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “On the existence of three nontrivial solutions of a resonance elliptic boundary value problem with a discontinuous nonlinearity”, Differ. Equ., 56:7 (2020), 831–841  crossref
19. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических систем с разрывными нелинейностями”, Матем. заметки, 110:2 (2021), 239–257  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Existence of semiregular solutions of elliptic systems with discontinuous nonlinearities”, Math. Notes, 110:2 (2021), 226–241  crossref
20. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Вариационный метод для эллиптических систем с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 212:5 (2021), 133–152  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Variational method for elliptic systems with discontinuous nonlinearities”, Sb. Math., 212:5 (2021), 726–744  crossref  adsnasa
21. В. Н. Павленко, “О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами”, Докл. АН СССР, 204:6 (1972), 1320–1323  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, “On the solvability of some nonlinear equations with discontinuous operators”, Soviet Math. Dokl., 13 (1972), 846–850
22. В. Н. Павленко, “Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами”, Вестник ЧелГУ, 1994, № 2, 87–95  mathnet  mathscinet  zmath
23. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами”, Сиб. матем. журн., 42:4 (2001), 911–919  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Existence of a ray of eigenvalues for equations with discontinuous operators”, Siberian Math. J., 42:4 (2001), 766–773  crossref
24. М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, М., 1958, 271 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. A. Krasnosel'skii, Ya. B. Rutickii, Convex functions and Orlicz spaces, P. Noordhoff Ltd., Groningen, 1961, xi+249 с.  mathscinet  zmath
25. М. М. Вайнберг, Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, Наука, М., 1972, 416 с.  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. M. Vainberg, Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations, Halsted Press (A division of John Wiley & Sons), New York–Toronto, ON; Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem–London, 1973, xi+356 с.  mathscinet  zmath
26. В. Н. Павленко, “Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами”, Дифференц. уравнения, 24:8 (1988), 1397–1402  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, “Existence theorems for elliptic variational inequalities with quasipotential operators”, Differ. Equ., 24:8 (1988), 913–916
27. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 3-е изд., Наука, М., 1972, 496 с.  zmath; нем. пер.: A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Reelle Funktionen und Funktionalanalysis, Hochschulbücher für Math., 78, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1975, 534 pp.  mathscinet  zmath
28. В. Н. Павленко, “Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1973, № 6, 21–29  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. N. Pavlenko, “The existence of solutions for nonlinear equations with discontinuous monotone operators”, Moscow Univ. Math. Bull., 28:6 (1974), 70–77
29. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, т. 2, Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Мир, М., 1966, 1063 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators, т. II, Spectral theory. Self adjoint operators in Hilbert space, Intersci. Publ. John Wiley & Sons, New York–London, 1963, ix+859–1923+7 с.  mathscinet  zmath

Образец цитирования: В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста”, Матем. сб., 213:7 (2022), 121–138; V. N. Pavlenko, D. K. Potapov, “Semiregular solutions of elliptic boundary-value problems with discontinuous nonlinearities of exponential growth”, Sb. Math., 213:7 (2022), 1004–1019
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot22}
\by В.~Н.~Павленко, Д.~К.~Потапов
\paper Полуправильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями экспоненциального роста
\jour Матем. сб.
\yr 2022
\vol 213
\issue 7
\pages 121--138
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9655}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9655}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461460}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1004P}
\transl
\by V.~N.~Pavlenko, D.~K.~Potapov
\paper Semiregular solutions of elliptic boundary-value problems with discontinuous nonlinearities of exponential growth
\jour Sb. Math.
\yr 2022
\vol 213
\issue 7
\pages 1004--1019
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9655e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992267100004}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165933499}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm9655
  • https://doi.org/10.4213/sm9655
  • https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i7/p121
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математический сборник Sbornik: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:306
    PDF русской версии:16
    PDF английской версии:51
    HTML русской версии:133
    HTML английской версии:68
    Список литературы:68
    Первая страница:10
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024