| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Геометрия расстояния Громова–Хаусдорфа на классе всех метрических пространств С. И. Борзовa, А. О. Ивановbcd, А. А. Тужилинb a ООО "Пайрус", г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет) d Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9651 
Реферативные базы данных:
     ВведениеГеометрия “гиперпространств” или пространств подмножеств играет существенную роль как в теоретических исследованиях, так и в многочисленных приложениях таких, как сравнение и распознавание образов, чем привлекает внимание ученых самых разных специальностей на протяжении многих лет. Один из естественных подходов к изучению таких пространств – определить на них функцию расстояния как меру непохожести соответствующих объектов. Так, в 1914 г. Ф. Хаусдорф (см. [1]) ввел в рассмотрение неотрицательную симметричную функцию на парах непустых подмножеств метрического пространства $X$, равную точной нижней грани таких чисел $r$, что первое множество содержится в $r$-окрестности второго, и наоборот. Эта функция удовлетворяет неравенству треугольника и превращает семейство замкнутых ограниченных подмножеств $X$ в метрическое пространство. Позднее Д. Эдвардс (см. [2]) и независимо М. Громов (см. [3]) обобщили конструкцию Хаусдорфа на класс всех метрических пространств, используя их изометрические вложения во всевозможные объемлющие пространства (см. определение ниже). Полученная функция называется расстоянием Громова–Хаусдорфа. Отметим, что это расстояние также симметрично, неотрицательно и удовлетворяет неравенству треугольника, хотя может равняться бесконечности. Между изометричными пространствами расстояние Громова–Хаусдорфа всегда равно нулю, что мотивирует переход к рассмотрению классов изометрии метрических пространств. Однако оно может быть нулевым и между неизометричными пространствами, например, между отрезком $[0,1]$ и интервалом $(0,1)$. Тем не менее если ограничиться семейством $\mathcal M$ классов изометрии всех компактных метрических пространств, то расстояние Громова–Хаусдорфа будет удовлетворять всем аксиомам метрики. Множество $\mathcal M$ вместе с расстоянием Громова–Хаусдорфа называется пространством Громова–Хаусдорфа. Геометрия этого метрического пространства весьма нетривиальна и активно изучается в последнее время. Хорошо известно, что $\mathcal M$ – линейно связное, польское (т.е. полное и сепарабельное) геодезическое пространство (см. [4]), а также что $\mathcal M$ не является ограниченно компактным и не имеет нетривиальных симметрий (см. [5]). Подробное введение в геометрию пространства Громова–Хаусдорфа можно найти в [6; гл. 7] или в [7]. В не менее интересном некомпактном случае обычно рассматривают не расстояние Громова–Хаусдорфа, а некоторую модифицированную, пунктированную сходимость, а именно, пространства пунктируют, т.е. выбирают в каждом из них по точке, и сходимость сводят к сходимости шаров одинаковых радиусов с центрами в этих точках. С помощью такой сходимости определяют, например, касательный и асимптотический конусы с вершинами в данной точке пространства. Отметим также, что в некоторых современных работах (например, в [8]) были предложены функции расстояния, которые задают пунктированную сходимость как сходимость в смысле этого расстояния. Более того, на классе пунктированных ограниченно компактных пространств такие расстояния оказываются метриками. В настоящей статье мы будем изучать расстояние Громова–Хаусдорфа на классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, в его исходном определении. Здесь термин “класс” понимается в смысле аксиоматики фон Неймана–Бернайса–Гёделя, с помощью которой удается корректно определить расстояние на этом собственном классе. Тем не менее породить на собственном классе метрическую топологию, как это всегда стандартным образом делается на обычных множествах при наличии расстояния, уже нельзя (см. подробности ниже). Эту проблему удается обойти с помощью фильтрации по мощностям. В результате мы определим непрерывные кривые на $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и покажем, что расстояние Громова–Хаусдорфа является внутренней обобщенной полуметрикой, т.е. расстояние между точками равно точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти точки. Разработанная техника применяется к исследованию геометрии так называемых метрических сегментов в классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$. Метрический сегмент понимается как класс, составленный из всех точек, расположенных между данными двумя (которые называются концами этого метрического сегмента). Мы покажем, что метрические сегменты также могут быть собственными классами, а не множествами. Кроме того, изучается возможность продолжить метрический сегмент (до метрического сегмента) за один из его концов. Эта задача оказалась очень нетривиальной, и полного решения даже в пространстве Громова–Хаусдорфа $\mathcal M$ до сих пор нет. Ключевым результатом здесь является теорема 5, в которой приводится некоторое достаточное условие непродолжаемости метрического сегмента за один из его концов. В заключительном § 4 собраны многочисленные примеры. Отметим любопытный пример 3, основанный на теореме Хадвигера, решающей проблему Борсука в частном случае. В завершение этого параграфа показано, что ни один метрический сегмент, концы которого – ограниченные метрические пространства, не может быть продолжен до бесконечности в обе стороны. § 1. Необходимые определения и предварительные результатыВ данном параграфе приведены необходимые определения и результаты из метрической геометрии, геометрии расстояния Громова–Хаусдорфа, теории фон Неймана–Бернайса–Гёделя. Здесь мы также построим аналог метрической топологии на собственных классах, на которых задана функция расстояния, в предположении существования так называемой фильтрации множествами (см. ниже). 1.1. Функции расстоянияПусть $X$ – произвольное множество. Через $\#X$ будем обозначать мощность множества $X$, а через $\mathcal P_0(X)$ – множество всех его непустых подмножеств. Функцией расстояния на множестве $X$ будем называть каждое симметричное отображение $d\colon X\times X\to[0,\infty]$, равное нулю на парах одинаковых элементов. Если $d$ удовлетворяет неравенству треугольника, то $d$ называется обобщенной полуметрикой. Если, кроме того, $d(x,y)>0$ для всех $x\ne y$, то $d$ называется обобщенной метрикой. Наконец, если $d(x,y)\,{<}\,\infty$ для всех $x,y\in X$, то такую функцию расстояния называют метрикой, а иногда, чтобы подчеркнуть ее отличие от обобщенной метрики, – конечной метрикой. Множество $X$, на котором задана (обобщенная) (полу)метрика, называется (обобщенным) (полу)метрическим пространством. Если $X$ – пространство с некоторой функцией расстояния, то, как правило, это расстояние между точками $x$ и $y$ будем обозначать через $|xy|$. Далее, если $\gamma\colon [a,b]\to X$ – непрерывная кривая в $X$, то ее длина $|\gamma|$ определяется как точная верхняя грань “длин вписанных ломаных”, т.е. величин $\sum_i|\gamma(t_i)\gamma(t_{i+1})|$, где супремум берется по всевозможным конечным разбиениям $a=t_1<\dots<t_k=b$ отрезка $[a,b]$. Пусть $x,y\in X$ и $|xy|<\infty$. Говорят, что $z\in X$ лежит между $x$ и $y$, если $|xz|+|zy|=|xy|$. Если при этом $|xz|>0$ и $|zy|>0$, то говорят, что $z$ лежит строго между $x$ и $y$. Множество всех $z$, лежащих между $x$ и $y$, назовем метрическим сегментом и обозначим через $[x,y]$. Метрический сегмент назовем невырожденным, если $|xy|>0$. Определение 1. Будем говорить, что метрический сегмент $[x,y]$ продолжается за точку $y$, если существует точка $z\in X$ такая, что $[x,z]$ содержит $y$ и $|yz|>0$. Замечание 1. Если $|xy|=0$, то любая точка $z$, для которой $|zx|>0$, а значит, и $|zy|=|zx|>0$, продолжает метрический сегмент и за $x$, и за $y$. Нас в основном будет интересовать продолжаемость невырожденных метрических сегментов. Пусть $X$ – метрическое пространство. Для каждых $A,B\in\mathcal P_0(X)$ и $x\in X$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |xA|=|Ax|=\inf\bigl\{|xa|\colon a\in A\bigr\}, \qquad |AB|=\inf\bigl\{|ab|\colon a\in A,\,b\in B\bigr\}, \\ d_H(A,B)=\max\Bigl\{\sup_{a\in A}|aB|,\,\sup_{b\in B}|Ab|\Bigr\} =\max\Bigl\{\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}|ab|,\,\sup_{b\in B}\inf_{a\in A}|ba|\Bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $d_H\colon \mathcal P_0(X)\times\mathcal P_0(X)\to[0,\infty]$ называется расстоянием Хаусдорфа. Хорошо известно (см. [6]), что $d_H$ является метрикой на подсемействе $\mathcal H(X)\subset\mathcal P_0(X)$ всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств $X$. Пусть $X$ и $Y$ – метрические пространства. Тройку $(X',Y',Z)$, состоящую из метрического пространства $Z$ и двух его подмножеств $X'$ и $Y'$, изометричных соответственно $X$ и $Y$, назовем реализацией пары $(X,Y)$. Расстоянием $d_{GH}(X,Y)$ по Громову–Хаусдорфу между $X$ и $Y$ назовем точную нижнюю грань чисел $r$, для которых существует реализация $(X',Y',Z)$ пары $(X,Y)$ такая, что $d_H(X',Y')\leqslant r$. Отметим, что расстояние Громова–Хаусдорфа может принимать как конечные, так и бесконечные значения, а также всегда удовлетворяет неравенству треугольника; см. [6]. Кроме того, это расстояние равно нулю на каждой паре изометричных пространств, поэтому в силу неравенства треугольника расстояние Громова–Хаусдорфа корректно определено на классах изометрии метрических пространств: оно не зависит от выбора представителей этих классов. Имеются примеры неизометричных метрических пространств, между которыми расстояние Громова–Хаусдорфа зануляется. Так как на каждом множестве можно определить некоторую метрику, например, положив все расстояния между разными точками равными $1$, то классов изометрии метрических пространств по крайней мере “столько же”, сколько и всех возможных множеств, т.е. все эти классы не образуют множество, а образуют класс, который вместе с расстоянием Громова–Хаусдорфа мы обозначим через $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$. Здесь мы используем понятие класс в смысле системы аксиом фон Неймана–Бернайса–Гёделя ($\mathrm{NBG}$) теории множеств. 1.2. Аксиомы фон Неймана–Бернайса–Гёделя, функция расстояния и топология на собственном классеВ $\mathrm{NBG}$ все объекты, аналоги обычных множеств, называются классами. Классы бывают двух типов: множества и собственные классы. Пример собственного класса – класс всех множеств. В соответствии с конструкцией Гёделя отличить множество от собственного класса можно так: для множества всегда существует класс, содержащий это множество в качестве элемента. Для собственного класса такого класса не существует. Таким образом, элементы каждого класса – это множества. Для классов определены многие стандартные операции, например, пересечение, дополнение (для каждого класса существует класс, состоящий в точности из тех элементов, которые не входят в первый), прямое произведение, отображения и др. Теорема фон Неймана утверждает, что класс является собственным, если и только если его можно отобразить сюръективно на класс всех множеств. Такие понятия, как функция расстояния, (обобщенная) полуметрика и (обобщенная) метрика, определяются стандартным образом для каждого класса, как являющегося множеством, так и собственного, поскольку для них определены прямые произведения и отображения. Однако с определением других структур на собственных классах могут возникнуть сложности. Так, например, если пытаться определить топологию на некотором собственном классе $\mathfrak C$ обычным образом, то, с одной стороны, класс $\mathfrak C$ должен быть элементом топологии, но тогда, с другой стороны, $\mathfrak C$ должен быть множеством. Чтобы обойти эту проблему, мы для каждого класса $\mathfrak C$ будем рассматривать фильтрацию на подклассы $\mathfrak C_n$, каждый из которых состоит из всех элементов $\mathfrak C$, имеющих мощность не больше $n$, где $n$ – кардинальное число. Напомним, что элементами класса являются множества и, значит, для них определено понятие мощности. Основными примерами классов будут для нас определенный выше класс $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, а также класс $\mathcal B$, состоящий из всех ограниченных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. Отметим, что $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$ и $\mathcal B_n$ являются множествами для любого кардинального числа $n$. Действительно, семейство всех кардиналов, не превосходящих данного, представляет собой множество, а для каждого кардинала $n$ семейство всех классов изометричности метрических пространств мощности $n$ “не больше”, чем множество всех подмножеств в $X\times X\times R$, где $X$ – произвольное множество мощности $n$. Класс $\mathfrak C$, для которого все подклассы $\mathfrak C_n$ являются множествами, назовем классом, фильтрующимся множествами. Очевидно, если класс $\mathfrak C$ является множеством, то он фильтруется множествами. Итак, пусть $\mathfrak C$ – некоторый класс, фильтрующийся множествами. Говоря, что этот класс удовлетворяет тем или иным свойствам, мы будем иметь в виду следующее: каждое из этих свойств имеет место в каждом множестве $\mathfrak C_n$. Приведем некоторые примеры. $\bullet$ Пусть на $\mathfrak C$ задана функция расстояния, тогда она индуцирует обычную функцию расстояния на каждом множестве $\mathfrak C_n$. Таким образом, на каждом $\mathfrak C_n$ определены и являются множествами все соответствующие понятия метрической геометрии (см. выше), например открытые шары. Последнее позволяет задать на $\mathfrak C_n$ метрическую топологию $\tau_n$, взяв эти шары в качестве базы. Ясно, что если $n\leqslant m$, то $\mathfrak C_n\subset\mathfrak C_m$ и топология $\tau_n$ на $\mathfrak C_n$ индуцированная из $\mathfrak C_m$. $\bullet$ Более общо, под топологией на классе $\mathfrak C$ будем понимать такое сопоставление каждому $\mathfrak C_n$ некоторой топологии $\tau_n$, для которого выполняется условие согласования: если $n\leqslant m$, то $\tau_n$ – топология на $\mathfrak C_n$, индуцированная из $\mathfrak C_m$. $\bullet$ Наличие топологии на классе $\mathfrak C$ позволяет определить, например, непрерывные отображения из некоторого топологического пространства $Z$ в класс $\mathfrak C$. Заметим, что в соответствии с аксиомами $\mathrm{NBG}$ для произвольного отображения $f\colon Z\to\mathfrak C$ из множества $Z$ в класс $\mathfrak C$ образ $f(Z)$ является множеством, все элементы из $f(Z)$ – также множества, их объединение $\bigcup f(Z)$ – множество некоторой мощности $n$, поэтому каждый элемент из $f(Z)$ имеет мощность не больше $n$, и потому $f(Z)\subset\mathfrak C_n$. Отображение $f$ назовем непрерывным, если $f$ непрерывно как отображение из $Z$ в $\mathfrak C_n$. Из условия согласования вытекает, что для каждого $m\geqslant n$ отображение $f$ также является непрерывным отображением из $Z$ в $\mathfrak C_m$, а также для каждого $k\leqslant n$ такого, что $f(Z)\subset\mathfrak C_k$, отображение $f|_{\mathfrak C_k}$ непрерывно. $\bullet$ Предыдущие рассмотрения позволяют определить непрерывные кривые в классе $\mathfrak C$, наделенном некоторой топологией. $\bullet$ Пусть на классе $\mathfrak C$ задана функция расстояния и соответствующая ей топология. Будем говорить, что эта функция расстояния внутренняя, если она удовлетворяет неравенству треугольника, и для любых элементов из $\mathfrak C$, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, это расстояние равно точной нижней грани длин кривых, соединяющих эти элементы. Ниже мы покажем, что расстояние Громова–Хаусдорфа как на классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, так и на классе $\mathcal B$ является внутренним. 1.3. Свойства расстояния Громова–ХаусдорфаНаиболее хорошо изученным подмножеством в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ является множество классов изометрии компактных метрических пространств, которое называется пространством Громова–Хаусдорфа и часто обозначается через $\mathcal M$. Хорошо известно (см. [6], [4]), что ограничение расстояния Громова–Хаусдорфа на $\mathcal M$ является метрикой, а само пространство $\mathcal M$ – польским и геодезическим. Отметим, что для упрощения обозначений удобно не различать классы изометрии метрических пространств и конкретных их представителей. Выше мы уже пользовались таким соглашением, определяя $\mathcal B$ как класс ограниченных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. Ниже мы неоднократно будем использовать это отождествление и будем, например, писать $X\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, а понимать под $X$ конкретное метрическое пространство. Как правило, вычислить расстояние Громова–Хаусдорфа между конкретными метрическими пространствами очень тяжело, и к настоящему времени оно известно лишь для немногих пар пространств; см., например, [9]. Наиболее полезным для конкретных вычислений является другое (эквивалентное) определение расстояния Громова–Хаусдорфа, которое мы сейчас приведем. Напомним, что отношением между множествами $X$ и $Y$ называется каждое подмножество декартова произведения $X\times Y$. Таким образом, $\mathcal P_0(X\times Y)$ – это множество всех непустых отношений между $X$ и $Y$. Определение 2. Для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $\sigma\in\mathcal P_0(X\times Y)$ назовем искажением отношения $\sigma$ величину Отношение $R\subset X\times Y$ между множествами $X$ и $Y$ называется соответствием, если ограничения на $R$ канонических проекций $\pi_X\colon (x,y)\mapsto x$ и $\pi_Y$: $(x,y)\mapsto y$ сюръективны. Отметим, что неформально можно представлять соответствия как многозначные биективные отображения. Множество всех соответствий между $X$ и $Y$ обозначим через $\mathcal R(X,Y)$. Теорема 1 (см. [6]). Для любых $X,Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ имеем Нам также понадобятся следующие оценки, которые легко проверить с помощью теоремы 1. Обозначим через $\Delta_1$ одноточечное метрическое пространство. Для топологических пространств $X$ и $Y$ будем рассматривать $X\times Y$ как топологическое пространство со стандартной топологией декартова произведения. Тогда имеет смысл говорить о замкнутых отношениях и соответствиях. Соответствие $R\in\mathcal R(X,Y)$ назовем оптимальным, если $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{dis} R$. Множество всех оптимальных соответствий между $X$ и $Y$ обозначим через $\mathcal R_{\mathrm{opt}}(X,Y)$. Подмножество в $\mathcal R_{\mathrm{opt}}(X,Y)$, состоящее из всех замкнутых оптимальных соответствий, обозначим через $\mathcal R_{\mathrm{opt}}^c(X,Y)$. Теорема 2 (см. [10], [11]). Для любых $X,Y\in\mathcal M$ существуют замкнутое оптимальное соответствие, а также реализация $(X',Y',Z)$ пары $(X,Y)$, на которой достигается расстояние Громова–Хаусдорфа между $X$ и $Y$. Теорема 3 (см. [10], [11]). Для любых $X,Y\in\mathcal M$ и каждого $R\in\mathcal R^c_{\mathrm{opt}}(X,Y)$ семейство $R_t$, $t\in[0,1]$, компактных метрических пространств такое, что $R_0=X$, $R_1=Y$, а при $t\in(0,1)$ пространство $R_t$ – это множество $R$ с метрикой является кратчайшей кривой в $\mathcal M$, соединяющей $X$ и $Y$, причем длина этой кривой равна $d_{GH}(X,Y)$. Нам также будут полезны следующие обозначения. Пусть $X$ – произвольное множество и $1<m\leqslant\#X$ – кардинальное число. Через $\mathcal C_m(X)$ обозначим семейство всевозможных покрытий множества $X$ его $m$ непустыми подмножествами, а через $\mathcal D_m(X)$ – семейство всевозможных разбиений $X$ на $m$ непустых подмножеств. Очевидно, $\mathcal D_m(X)\subset\mathcal C_m(X)$. Если $X$ – метрическое пространство, то для любого $D=\{X_i\}_{i\in I}\in\mathcal C_m(X)$ положим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{diam} D=\sup_{i\in I}\operatorname{diam} X_i, \qquad \alpha(D)=\inf\bigl\{|X_iX_j|\colon i\ne j\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а также
$$
\begin{equation*}
d_m(X)=\inf_{D\in\mathcal D_m(X)}\operatorname{diam} D, \qquad \alpha_m(X)=\sup_{D\in\mathcal D_m(X)}\alpha(D).
\end{equation*}
\notag
$$
§ 2. Расстояние Громова–Хаусдорфа является внутреннимПусть $\mathfrak C$ – некоторый класс, фильтрующийся множествами, на котором задана функция расстояния, удовлетворяющая неравенству треугольника, $x,y\,{\in}\,\mathfrak C$, $|xy|<\infty$, и $\gamma$ – кривая в $\mathfrak C$, соединяющая $x$ и $y$. Кривую $\gamma$ назовем $\varepsilon$-кратчайшей для $x$ и $y$, если $0\leqslant|\gamma|-|xy|\leqslant\varepsilon$. Легко видеть, что функция расстояния на классе $\mathfrak C$, удовлетворяющая неравенству треугольника, является внутренней, если и только если для каждой пары элементов из $\mathfrak C$, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, и каждого $\varepsilon>0$ найдется $\varepsilon$-кратчайшая для этой пары. Мы используем это соображение для доказательства следующей теоремы. Теорема 4. Пусть $X$ и $Y$ – произвольные метрические пространства, для которых $d_{GH}(X,Y)<\infty$. Пусть $R\in\mathcal R(X,Y)$ – произвольное соответствие такое, что Тогда семейство $R_t$, $t\in[0,1]$, метрических пространств, где $R_0=X$, $R_1=Y$, а при $t\in(0,1)$ пространство $R_t$ – это множество $R$ с метрикой является $\varepsilon$-кратчайшей кривой в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, соединяющей $X$ и $Y$. Более того, если $X$ и $Y$ – ограниченные пространства, то все $R_t$ – также ограниченные пространства, т.е. $R_t$ – это $\varepsilon$-кратчайшая в $\mathcal B$. Доказательство. Положим $n=\#R$ и рассмотрим следующие соответствия $R_X\subset X\times R$ и $R_Y\subset R\times Y$ между $X$ и $R_t$ и между $R_t$ и $Y$: Тогда $\operatorname{dis} R_X=t\operatorname{dis} R$ и $\operatorname{dis} R_Y=(1-t)\operatorname{dis} R$. Далее, рассмотрим тождественное соответствие между пространствами $R_t$ и $R_s$, $s,t\in(0,1)$, и получим, что $2d_{GH}(R_t,R_s)\leqslant|t-s|\operatorname{dis} R$. Положим $\gamma(t)=R_t$. Из сказанного выше вытекает, что $\gamma$ – непрерывное отображение из $[0,1]$ в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}_n$, т.е. $\gamma$ – непрерывная кривая в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$. Кроме того, $2|\gamma|\leqslant\operatorname{dis} R$, поэтому $|\gamma|\leqslant d_{GH}(X,Y)+\varepsilon$ и, значит, $\gamma$ является $\varepsilon$-кратчайшей, соединяющей $X$ и $Y$. Осталось заметить, что $\operatorname{diam} R_t\leqslant\max\{\operatorname{diam} X, \operatorname{diam} Y\}$, поэтому если $X,Y\in\mathcal B$, то и $R_t\in\mathcal B$ при всех $t$. Теорема доказана. Следствие 2. Расстояние Громова–Хаусдорфа на классе $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ является внутренней обобщенной полуметрикой, а на классе $\mathcal B$ – внутренней конечной полуметрикой. Построенную в теореме 4 $\varepsilon$-кратчайшую кривую будем называть линейной. Замечание 2. Из доказательства теоремы 4 следует, что линейная $\varepsilon$-кратчайшая кривая, соединяющая метрические пространства $X$ и $Y$, находящиеся на конечном расстоянии Громова–Хаусдорфа, является липшицевой кривой в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, причем одна из ее констант Липшица равна $d_{GH}(X,Y)+\varepsilon$. § 3. Метрические сегменты и их продолжаемостьНачнем с описания простейших свойств $\varepsilon$-кратчайших в обобщенном полуметрическом пространстве $\mathfrak C$, где $\mathfrak C$ – некоторый класс, фильтрующийся множествами. Лемма 1. Пусть $x,y\in\mathfrak C$, $|xy|<\infty$, $\gamma$ – некоторая $\varepsilon$-кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, а $w$ – произвольная точка кривой $\gamma$. Тогда отрезки $\gamma_{xw}$ и $\gamma_{wy}$ кривой $\gamma$ между точками $x$, $w$ и $w$, $y$ соответственно являются $\varepsilon$-кратчайшими для своих концевых точек и выполнено неравенство $|xw|+|wy|-|xy|\leqslant\varepsilon$. Доказательство. Действительно, по определению $\varepsilon$-кратчайшей в силу аддитивности длины кривой и неравенства треугольника имеем Заметим, что выражения в скобках неотрицательны, поэтому каждое из них не превосходит $\varepsilon$, тем самым $\gamma_{xw}$ и $\gamma_{wy}$ являются $\varepsilon$-кратчайшими. Далее, что и завершает доказательство леммы. Объединение двух $\varepsilon$-кратчайших в общем случае, конечно, не является $\varepsilon$-кратчайшей. Однако имеет место следующий результат. Лемма 2. Пусть $x,y\in\mathfrak C$, $|xy|<\infty$, и точка $w\in\mathfrak C$ лежит между точками $x$ и $y$. Тогда объединение $\varepsilon$-кратчайшей $\gamma_{xw}$ для $x$, $w$ и $\delta$-кратчайшей $\gamma_{wy}$ для $w$, $y$ соответственно является $(\varepsilon+\delta)$-кратчайшей для $x$, $y$. Доказательство. Действительно, обозначим через $\gamma_{xy}$ объединение кривых $\gamma_{xw}$ и $\gamma_{wy}$. Тогда что и требовалось. Из лемм 1 и 2 получаем следующую оценку. Следствие 3. Пусть $x,y\in\mathfrak C$, $|xy|<\infty$, и точка $w\in\mathfrak C$ лежит между точками $x$ и $y$. Пусть $\gamma_{xw}$ и $\gamma_{wy}$ – $\varepsilon$-кратчайшие кривые, соединяющие $x$, $w$ и $w$, $y$ соответственно. Тогда для любых точек $p$ из $\gamma_{xw}$ и $q$ из $\gamma_{wy}$ выполнено неравенство $|pw|+|wq|-|pq|\leqslant2\varepsilon$. Перечислим некоторые свойства метрических сегментов. Замечание 3. Если пространство $\mathfrak C$ геодезическое, то продолжаемость метрического сегмента $[x,y]$ за $y$ равносильна тому, что существует точка $z\in\mathfrak C$ такая, что каждая кратчайшая кривая, соединяющая $x$ и $y$, содержится в некоторой кратчайшей, соединяющей $x$ и $z$. Замечание 4. Если $\mathfrak C$ – собственный класс, то метрический сегмент тоже может оказаться собственным классом. В качестве примера рассмотрим пространство $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и метрический сегмент $[\Delta_1,\Delta_n]$ в нем, где $\Delta_n$ – это метрическое пространство мощности $n$, все ненулевые расстояния в котором равны $1$. Легко проверить, что кривая $\gamma(t)$, $t\in[0,1]$, где $\gamma(0)=\Delta_1$ и $\gamma(t)=t\Delta_n$ при остальных $t$, является кратчайшей кривой, соединяющей $\Delta_1$ и $\Delta_n$. Здесь и далее через $\lambda\Delta_n$ обозначено метрическое пространство мощности $n$, все ненулевые расстояния в котором равны $\lambda$, т.е. полученное из $\Delta_n$ растяжением в $\lambda$ раз. Рассмотрим пространство $Z=\frac12\Delta_n$ и заменим одну его точку $z\in Z$ непустым множеством $A$ произвольной мощности. Фиксируем положительное $\varepsilon<1/2$. На полученном множестве $Z'=(Z\setminus\{z\})\sqcup A$ доопределим расстояние, положив $|aa'|=\varepsilon$ и $|az'|=|zz'|=1/2$ для любых различных $a,a'\in A$ и любого $z'\in Z\setminus\{z\}$. Легко проверить, что $d_{GH}(Z',\Delta_1)=d_{GH}(Z,\Delta_1)$ и $d_{GH}(Z',\Delta_n)=d_{GH}(Z,\Delta_n)$, поэтому любое такое пространство $Z'$ лежит между $\Delta_1$ и $\Delta_n$, т.е. принадлежит метрическому сегменту $[\Delta_1,\Delta_n]$. Так как мощность пространства $Z'$ произвольна, то $[\Delta_1,\Delta_n]$ – это собственный класс. Замечание 5. В работе О. Борисовой [12] показано, что если метрический сегмент в $\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ содержит хотя бы одно метрическое пространство, расположенное на ненулевом расстоянии от концов сегмента, то этот сегмент сам является собственным классом. Пусть $X\in\mathcal B$ и $C=\{X_i\}_{i\in I}$ – покрытие $X$ непустыми подмножествами. Будем говорить, что $\{X_i\}_{i\in I}$ – покрытие множествами меньшего, чем $X$, диаметра, если $\operatorname{diam} C<\operatorname{diam} X$. Лемма 4. Пусть $X\in\mathcal B$ и $C_X=\{X_i\}_{i\in I}$ – покрытие $X$ непустыми подмножествами меньшего, чем $X$, диаметра. Положим $\delta_X=\operatorname{diam} X-\operatorname{diam} C_X\,{>}\,0$. Тогда любое $Y\in\mathcal B$ такое, что $d_{GH}(X,Y)<\varepsilon=\delta_X/5$, имеет аналогичное представление, т.е. существует покрытие $C_Y=\{Y_i\}_{i\in I}$ пространства $Y$ непустыми подмножествами меньшего диаметра, причем $\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} C_Y>\varepsilon$. Доказательство. Так как $d_{GH}(X,Y)<\varepsilon$, существует $R\in\mathcal R(X,Y)$ такое, что $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$. Для каждого $i\in I$ положим $Y_i=R(X_i)$. Так как $R$ – соответствие, то $Y_i\ne\varnothing$ при каждом $i\in I$ и $C_Y:=\{Y_i\}_{i\in I}$ – покрытие $Y$ непустыми множествами. Так как $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$, $\operatorname{diam} Y_i\leqslant\operatorname{diam} X_i+\operatorname{dis} R$ и $\operatorname{diam} X\leqslant\operatorname{diam} Y+\operatorname{dis} R$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{diam} C_Y &\leqslant\operatorname{diam} C_X+\operatorname{dis} R<\operatorname{diam} C_X+2\varepsilon=\operatorname{diam} X-\delta_X+2\varepsilon \\ &=\operatorname{diam} X-3\varepsilon\leqslant\operatorname{diam} Y+\operatorname{dis} R-3\varepsilon<\operatorname{diam} Y-\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Лемма 5. Пусть $X\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $C_X=\{X_i\}_{i\in I}$ – покрытие $X$ непустыми подмножествами конечного диаметра. Тогда любое $Y\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$, находящееся от $X$ на конечном расстоянии, имеет аналогичное представление, т.е. существует покрытие $C_Y=\{Y_i\}_{i\in I}$ пространства $Y$ непустыми подмножествами конечного диаметра, причем $\operatorname{diam} C_Y\leqslant\operatorname{diam} C_X+2d_{GH}(X,Y)$. Доказательство. Пусть $d_{GH}(X,Y)<\varepsilon$, тогда существует $R\in\mathcal R(X,Y)$ такое, что $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$. Для каждого $i\in I$ положим $Y_i=R(X_i)$. Так как $R$ – соответствие, то $Y_i\ne\varnothing$ при каждом $i\in I$ и $C_Y:=\{Y_i\}_{i\in I}$ – покрытие $Y$ непустыми множествами. Так как $\operatorname{dis} R<2\varepsilon$, то $\operatorname{diam} Y_i\leqslant\operatorname{diam} X_i+\operatorname{dis} R$ и $\operatorname{diam} C_Y\leqslant\operatorname{diam} C_X+2\varepsilon$, откуда и вытекает требуемое. С помощью следующей стандартной конструкции можно перейти от покрытия к разбиению без увеличения мощности и диаметра. Конструкция 1. Пусть $X\in\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ и $C=\{X_i\}_{i\in I}$ – покрытие $X$, причем $\operatorname{diam} C<\operatorname{diam} X$. По теореме Цермело превратим множество индексов $I$ во вполне упорядоченное и положим Выбросив пустые $X'_i$, получим разбиение $D$ пространства $X$ на $m\leqslant\#I$ непустых подмножеств, причем $\operatorname{diam} D\leqslant\operatorname{diam} C<\operatorname{diam} X$. Лемма 6. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ такие, что: 1) $d:=\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} X>0$; 2) существует разбиение $D_X=\{X_i\}_{i\in I}$ пространства $X$ с $\alpha(D_X)>0$; 3) существует покрытие $C_Y=\{Y_j\}_{j\in J}$ пространства $Y$ множествами меньшего диаметра, так что $\delta_Y:=\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} C_Y>0$; 4) $\#J\leqslant\#I$. Тогда $\operatorname{diam} Y-2d_{GH}(X,Y)\geqslant\min\{d,\alpha(D_X),\delta_Y\}>0$. Доказательство. Воспользовавшись описанной выше конструкцией 1, перестроим покрытие $C_Y=\{Y_j\}$ пространства $Y$ в разбиение $D_Y=\{Y'_k\}_{k\in K}$, $\#K\leqslant\#J\leqslant\#I$, $\operatorname{diam} D_Y\leqslant\operatorname{diam} C_Y$. Пусть $\sigma\colon K\to I$ – произвольная инъекция. Рассмотрим соответствие
$$
\begin{equation*}
R=\biggl(\bigcup_{k\in K\setminus\{k_0\}}(X_{\sigma(k)}\times Y'_k)\biggr) \cup\biggl(\bigcup_{i\in I\setminus\sigma(K)}(X_i\times Y'_{k_0})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_0\in K$ – любой фиксированный элемент. Оценим искажение соответствия $R$. Так как в $R$ элементам из разных $Y'_k$ всегда соответствуют элементы из разных $X_i$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2d_{GH}(X,Y) &\leqslant\operatorname{dis} R\leqslant\max\bigl\{\operatorname{diam} X,\,\operatorname{diam} Y-\alpha(D_X),\,\operatorname{diam} D_Y\bigr\} \\ &\leqslant\max\bigl\{\operatorname{diam} Y-d,\,\operatorname{diam} Y-\alpha(D_X),\,\operatorname{diam} Y-\delta_Y\bigr\} \\ &\leqslant\operatorname{diam} Y-\min\{d,\alpha(D),\delta_Y\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Определение 3. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ такие, что $d_{GH}(X,Y)>0$. Будем называть $Y$ гиперэкстремальным по отношению к $X$, если и субэкстремальным по отношению к $X$, если Замечание 6. Если $Y$ гиперэкстремально по отношению к $X$, то по утверждению 1 расстояние $d_{GH}(X,Y)$ между $X$ и $Y$ принимает наибольшее возможное значение для пространств с такими диаметрами. Обратно, если $2d_{GH}(X,Y)=\max\{\operatorname{diam} X,\operatorname{diam} Y\}>0$ и $\operatorname{diam} Y\geqslant\operatorname{diam} X$, то $Y$ гиперэкстремально по отношению к $X$. Замечание 7. Если $Y$ субэкстремально по отношению к $X$, то $\operatorname{diam} Y>\operatorname{diam} X$ и по утверждению 1 расстояние $d_{GH}(X,Y)$ принимает наименьшее возможное значение для пространств $X$ и $Y$ с такими диаметрами. Обратно, если $2d_{GH}(X,Y)=|\operatorname{diam} X -\operatorname{diam} Y|>0$, то пространство с большим диаметром субэкстремально по отношению к пространству с меньшим. Замечание 8. По отношению к одноточечному пространству $\Delta_1$ любое отличное от $\Delta_1$ пространство $Y\in\mathcal B$ является одновременно субэкстремальным и гиперэкстремальным. Более того, если $Y$ одновременно субэкстремально и гиперэкстремально по отношению к $X$, то $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{diam} Y=\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} X$, откуда получаем $\operatorname{diam} X=0$ и, значит, $X=\Delta_1$. Определение 4. Если то $Y$ гиперэкстремально по отношению к $X$ и $X$ гиперэкстремально по отношению к $Y$. В этом случае будем говорить, что пространства $X$ и $Y$ взаимно гиперэкстремальны, а метрический сегмент $[X,Y]\subset\mathcal B$ будем называть экстремальным. Замечание 9. Из утверждения 1 следует, что пространства $X$ и $Y$ взаимно гиперэкстремальны, если и только если они – “диаметрально противоположные точки” сферы радиуса $\frac12\operatorname{diam} X$ с центром в одноточечном пространстве $\Delta_1$, т.е. максимально удаленные друг от друга точки этой сферы. Если же $Y$ субэкстремально по отношению к $X$, то $Y$ – ближайшая к $X$ точка сферы радиуса $\frac12\operatorname{diam} Y$ с центром в $\Delta_1$, т.е. $X$ и $Y$ “лежат на одном радиальном луче”. Утверждение 2. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ и метрический сегмент $[X,Y]$ экстремален. Предположим, что $[X,Y]$ продолжается за $Y$ до некоторого $Z$. Тогда $Z\in\mathcal B$, $\operatorname{diam} Z>\operatorname{diam} Y$, и пространство $Z$ субэкстремально по отношению к пространству $Y$. Доказательство. Действительно, так как $Y$ по предположению лежит между $X$ и $Z$, то по определению $d_{GH}(X,Z)<\infty$, поэтому $Z\in\mathcal B$ в силу утверждения 1. Более того, $d_{GH}(X,Z)=d_{GH}(X,Y)+d_{GH}(Y,Z)$ и $d_{GH}(Y,Z)>0$ по определению продолжения, следовательно, $d_{GH}(X,Z)> d_{GH}(X,Y)$. С другой стороны, если $\operatorname{diam} Z\leqslant\operatorname{diam} Y$, то по утверждению 1 имеем а $\operatorname{diam} X=2d_{GH}(X,Y)$ в силу экстремальности сегмента $[X,Y]$, откуда получаем равенство $d_{GH}(X,Y)=d_{GH}(X,Z)$; противоречие, поэтому $\operatorname{diam} Z>\operatorname{diam} Y$. Далее, воспользовавшись тем, что $Y$ лежит между $X$ и $Z$, утверждением 1 и экстремальностью сегмента $[X,Y]$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max\bigl\{\operatorname{diam} X,\operatorname{diam} Z\bigr\} &\geqslant2d_{GH}(X,Z)=2d_{GH}(X,Y)+2d_{GH}(Y,Z) \\ &=\operatorname{diam} X+2d_{GH}(Y,Z)\geqslant\operatorname{diam} X+|\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} Z|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но так как $\operatorname{diam} Z\geqslant\operatorname{diam} Y=\operatorname{diam} X$, то левая и правая части в этой цепочке равны $\operatorname{diam} Z$, откуда получаем $2d_{GH}(Y,Z)=\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y>0$. Утверждение доказано. Лемма 7. Пусть $Y,Z\in\mathcal B$ и $Z$ субэкстремально по отношению к $Y$. Фиксируем произвольное $\varepsilon$ из интервала $(0,\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y)$ и рассмотрим линейную $\varepsilon$-кратчайшую $R_t$, соединяющую $Y$ и $Z$. Тогда Доказательство. Пусть $R\in\mathcal R(Y,Z)$ – произвольное соответствие такое, что $\operatorname{dis} R\leqslant2d_{GH}(Y,Z)+2\varepsilon$. Выберем $z,z'\in Z$ такие, что $|zz'|\geqslant\operatorname{diam} Z-\varepsilon$ и, значит, $|zz'|>\operatorname{diam} Y$. Тогда для любых $y\in R^{-1}(z)$ и $y'\in R^{-1}(z')$ имеем
$$
\begin{equation*}
\bigl||zz'|-|yy'|\bigr|\leqslant\operatorname{dis} R\leqslant2d_{GH}(Y,Z)+2\varepsilon=\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y+2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее равенство выполнено в силу субэкстремальности $Z$ по отношению к $Y$. С другой стороны, $||zz'|-|yy'||=|zz'|-|yy'|\geqslant\operatorname{diam} Z-\varepsilon-|yy'|$ в силу выбора $z$, $z'$ и $\varepsilon$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y+2\varepsilon\geqslant\operatorname{diam} Z-\varepsilon-|yy'|,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\operatorname{diam} Y-|yy'|\leqslant3\varepsilon$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{diam} R_t &\geqslant\bigl|(y,z),(y',z')\bigr|_t =(1-t)|yy'|+t|zz'| \\ &\geqslant(1-t)(\operatorname{diam} Y-3\varepsilon)+t(\operatorname{diam} Z-\varepsilon) \geqslant(1-t)\operatorname{diam} Y+t\operatorname{diam} Z-4\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Теорема 5. Пусть $X,Y\in\mathcal B$, $m$ и $n$ – кардинальные числа такие, что $1<n\leqslant\#X$, $1<m\leqslant\#Y$, и метрический сегмент $[X,Y]$ экстремален. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) существует разбиение $D_X\in\mathcal D_n(X)$, для которого $\alpha(D_X)>0$; 2) существует покрытие $C_Y\in\mathcal C_m(Y)$, для которого $\operatorname{diam} C_Y<\operatorname{diam} Y$; 3) $m\leqslant n$. Тогда метрический сегмент $[X,Y]$ не продолжается за $Y$. Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть существует метрическое пространство $Z$ такое, что $Y$ лежит между $X$ и $Z$. По утверждению 2 в этом случае $Z\in\mathcal B$ и $Z$ субэкстремально по отношению к $Y$. Следующая лемма очевидна. Лемма 8. Для любых $\delta>0$ и $d>0$ существует $\varepsilon_0>0$ такое, что неравенство выполнено при всех $\varepsilon\in[0,\varepsilon_0)$. В обозначениях леммы 8 найдем соответствующее $\varepsilon_0$ для $\delta=\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} C_Y$ и $d=2d_{GH}(Y,Z)=\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y>0$. Фиксируем произвольное
$$
\begin{equation*}
0<\varepsilon<\min\biggl\{\varepsilon_0,\frac d8,\frac\delta{20},\frac{\alpha(D_X)}4\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда по лемме 8 выполняется неравенство (1). Так как $\varepsilon<d/8$, то левая часть неравенства (1) меньше $1$, поэтому существует $s\in(0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\frac{8\varepsilon}{d}<s<\frac{\delta}{10(d+\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим любое $R\in\mathcal R(Y,Z)$, для которого $\operatorname{dis} R\leqslant2d\,{+}\,2\varepsilon$, и соответствующую линейную $\varepsilon$-кратчайшую $R_t$, $t\in[0,1]$, соединяющую $Y$ и $Z$, где $R_0=Y$, $R_1=Z$. Для выбранного выше $s$ рассмотрим $R_s$ и аналогично рассуждениям из доказательства теоремы 4 получим, что $2d_{GH}(Y,R_s)\leqslant s\operatorname{dis} R$, откуда
$$
\begin{equation*}
d_{GH}(Y,R_s)\leqslant s(2d+2\varepsilon)<\frac{\delta}{10(d+\varepsilon)}(2d+2\varepsilon)=\frac\delta5.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 4 существует покрытие $C_R$ пространства $R_s$ непустыми подмножествами меньшего диаметра, для которого $\#C_R=\#C_Y$ и $\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} C_R>\delta/5$. Так как $\operatorname{diam} Y<\operatorname{diam} Z$ и $8\varepsilon<sd$, то по лемме 7
$$
\begin{equation*}
\operatorname{diam} R_s\geqslant\operatorname{diam} Y+s(\operatorname{diam} Z-\operatorname{diam} Y)-4\varepsilon=\operatorname{diam} Y+sd-4\varepsilon>\operatorname{diam} Y+4\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу $\operatorname{diam} X=\operatorname{diam} Y$ получаем $\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} X>4\varepsilon>0$. Отсюда и из приведенных выше формул вытекает, что все условия леммы 6, примененной к паре $X$ и $R_s$, выполнены, поэтому
$$
\begin{equation*}
2d_{GH}(X,R_s) \leqslant\operatorname{diam} R_s-\min\bigl\{\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} X,\,\alpha(D_X),\,\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} C_R\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако каждое из трех выражений в фигурных скобках из предыдущей формулы строго больше $4\varepsilon$, значит, $2d_{GH}(X,R_s)<\operatorname{diam} R_s-4\varepsilon$. С другой стороны, $2d_{GH}(Y,R_s)\geqslant|\operatorname{diam} Y-\operatorname{diam} R_s|=\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} Y$, откуда с помощью следствия 3 и условия $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{diam} Y$ заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2d_{GH}(X,R_s) &\geqslant2d_{GH}(X,Y)+2d_{GH}(Y,R_s)-4\varepsilon \\ &\geqslant2d_{GH}(X,Y)+\operatorname{diam} R_s-\operatorname{diam} Y-4\varepsilon=\operatorname{diam} R_s-4\varepsilon; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
противоречие. Теорема доказана. Замечание 10. Может возникнуть впечатление, что формулировку теоремы 5 можно ослабить, заменив условие взаимной гиперэкстремальности пространств $X$ и $Y$ на гиперэкстремальность $Y$ по отношению к $X$. Однако если $Y$ гиперэкстремально по отношению к $X$ и выполнены условия 1)–3) теоремы 5, то пространства $X$ и $Y$ взаимно гиперэкстремальны. Действительно, если $\operatorname{diam} Y>\operatorname{diam} X$, то из леммы 6 следует неравенство $2d_{GH}(X,Y)<\operatorname{diam} Y$, которое противоречит гиперэкстремальности $Y$ по отношению к $X$, поэтому возможен только случай $2d_{GH}(X,Y)=\operatorname{diam} Y=\operatorname{diam} X$, т.е. случай взаимной гиперэкстремальности. Следствие 4. Пусть $X,Y\in\mathcal M$, пространства $X$ и $Y$ взаимно гиперэкстремальны и выполнены условия 1)–3) теоремы 5. Тогда никакая кратчайшая кривая в $\mathcal M$, соединяющая $X$ и $Y$, не продолжается за $Y$. § 4. Некоторые примерыВыше через $\Delta_1$ мы обозначили одноточечное метрическое пространство, а через $\lambda\Delta_n$ – метрическое пространство мощности $n$, все ненулевые расстояния в котором равны $\lambda$. Такие пространства называются пространствами с одним расстоянием или, для краткости, симплексами. В работе [9], которую мы уже упоминали, был получен ряд формул, позволяющих вычислять расстояния от симплексов до ограниченных метрических пространств. Мы используем эти результаты для построения примеров кратчайших, которые можно продолжить. 4.1. Продолжаемость за симплексПусть $X$ – метрическое пространство и $m$ – кардинальное число, не превосходящее $\#X$. Напомним, что выше мы определили характеристики возможных разбиений пространства $X$ на $m$ частей. В [9] получена следующая формула расстояния от $X$ до симплекса. Здесь нам понадобится частный случай этой формулы. Следствие 5. Для $X\in\mathcal B$, кардинального числа $1<m\leqslant\#X$ и $\lambda\geqslant\operatorname{diam} X+\alpha_m(X)$ имеем $2d_{GH}(\lambda\Delta_m,X)=\lambda-\alpha_m(X)$. Доказательство. Действительно, если $\lambda\,{\geqslant}\,\operatorname{diam} X\,{+}\,\alpha_m(X)$, то $\lambda\,{-}\,\alpha(D)\geqslant\lambda-\alpha_m(X)\,{\geqslant} \operatorname{diam} X\geqslant\operatorname{diam} D$ и тем более $\lambda-\alpha (D)\geqslant\operatorname{diam} X-\lambda$. Поэтому при таких $\lambda$ максимум в формуле из теоремы 6 равен $\lambda-\alpha (D)$, откуда получаем что и требовалось. Следствие 6. Для $X\in\mathcal B$, кардинального числа $1<m\leqslant\#X$ и $\lambda\geqslant\operatorname{diam} X+\alpha _m(X)$ метрический сегмент $[X,\lambda\Delta_m]$ продолжается за $\lambda\Delta_m$ до любого симплекса $\lambda'\Delta_m$, где $\lambda'>\lambda$. Доказательство. Действительно, так как $2d_{GH}(\lambda\Delta_m,\lambda'\Delta_m)=|\lambda-\lambda'|$ и по следствию 5 для любого $\lambda\geqslant\operatorname{diam} X+\alpha _m(X)$ выполнено $2d_{GH}(\lambda\Delta_m,X)=\lambda-\alpha _m(X)$, то симплекс $\lambda\Delta_m$ лежит между $X$ и $\lambda'\Delta_m$, где $\lambda'>\lambda$, что и требовалось. 4.2. Продолжаемость за субэкстремальное пространствоСледующее утверждение формализует замечание 9. Утверждение 3. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ такие, что $Y$ субэкстремально по отношению к $X$. Тогда $X$ лежит между $\Delta_1$ и $Y$. Следствие 7. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ такие, что $Y$ субэкстремально по отношению к $X$ и $X\ne\Delta_1$. Тогда метрический сегмент $[X,Y]$ продолжается и за $X$, и за $Y$. Конструкция 2. Предположим, что в пространстве $Y\in\mathcal B$ существуют точки $y_1,y_2\in Y$ такие, что $\operatorname{diam} Y=|y_1y_2|$. Для произвольных $r_1\geqslant0$ и $r_2\geqslant0$ построим двухточечное расширение $Z_{r_1, r_2}(y_1, y_2)$ пространства $Y$ так. Положим $Z\,{=}\,Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)\,{=}\,Y\sqcup\{z_1,z_2\}$ и продолжим метрику с $Y$ на $Z$ по следующему правилу: $|z_1z_2|=r_1+|y_1y_2|+r_2$, а для $y\in Y$ пусть $|yz_i|=r_i+|yy_i|$, $i=1,2$. При этом если $r_i=0$, то отождествим $z_i$ и $y_i$. Легко проверить, что $Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)$ – метрическое пространство для любых $r_1\geqslant0$ и $r_2\geqslant0$, причем Лемма 9. Предположим, что в пространстве $Y\in\mathcal B$ существуют точки $y_1,y_2\in Y$ такие, что $\operatorname{diam} Y=|y_1y_2|$, и пусть $Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)$ – построенное в конструкции 2 двухточечное расширение пространства $Y$. Тогда для кривой $\gamma(t)=Z_{r_1t,r_2t}(y_1,y_2)$, $t\in[0,1]$, выполняется при всех $t_1,t_2\in[0,1]$, поэтому $\gamma$ является кратчайшей, соединяющей $Y$ и $Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)$. В частности, полагая $r_2=0$ или $r_1=0$, получаем кратчайшую, соединяющую $Y$ с соответствующим одноточечным расширением $Z_{r_1}(y_1)$ или $Z_{r_2}(y_2)$. Доказательство. Рассмотрим соответствие $R\in\mathcal R(\gamma(t_1),\gamma(t_2))$, тождественное на множестве $Y\cup\{z_1,z_2\}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{dis} R=\max\bigl\{|t_1-t_2|r_1,\,|t_1-t_2|r_2,\,|t_1-t_2|(r_1+r_2)\bigr\}=|t_1-t_2|(r_1+r_2),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $2d_{GH}(\gamma(t_1),\gamma(t_2))\leqslant|t_1-t_2|(r_1+r_2)$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl|\operatorname{diam}\gamma(t_1)-\operatorname{diam}\gamma(t_2)\bigr| \\ &\qquad =\bigl|\operatorname{diam} Y+(r_1+r_2)t_1-\operatorname{diam} Y-(r_1+r_2)t_2\bigr|=|t_1-t_2|(r_1+r_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так что в силу утверждения 1 имеем $2d_{GH}(\gamma(t_1),\gamma(t_2))\geqslant|t_1-t_2|(r_1+r_2)$ и, значит, откуда и вытекает требуемое. Утверждение 4. Пусть $X,Y\in\mathcal B$ такие, что $Y$ субэкстремально по отношению к $X$. Предположим, что существуют $y_1,y_2\in Y$, для которых $\operatorname{diam} Y=|y_1y_2|$. Тогда метрический сегмент $[X,Y]$ продолжается за $Y$ до любого двухточечного расширения $Z:=Z_{r_1,r_2}(y_1, y_2)$ пространства $Y$. Доказательство. По лемме 9 имеем $2d_{GH}(Y,Z)=r_1+r_2$. Теперь оценим $d_{GH}(X,Z)$ с помощью утверждения 1 и неравенства треугольника: поэтому что и требовалось.Замечание 11. В утверждении 4 метрический сегмент $[X,Y]$ может быть продолжен за $Y$ разными способами: и до $Z_r(y_0)$, и до $Z_r(y_1)$, и до $Z_{r_1, r_2}(y_1,y_2)$. Поэтому если, скажем, $X,Y\in\mathcal M$, где каждая пара точек соединяется кратчайшей, то каждая кратчайшая, соединяющая $X$ и $Y$, в точке $Y$ может ветвиться по аналогии с тем, как это происходит в вершине конуса с полным углом при вершине, большим $2\pi$. В частности, это имеет место для $X=\Delta_1$ и стандартной радиальной кратчайшей вида $t\mapsto tY$, $t\in[0,1]$. Замечание 12. Если ограничиться рассмотрением пространства $\mathcal M$ метрических компактов, то для каждых $X,Y\in\mathcal M$, удовлетворяющих условиям утверждения 4, и каждого $r>0$ всякая кратчайшая, соединяющая $X$ с $Y$, продолжается за $Y$ до любого пространства $Z$ из пересечения сферы $S_1(\Delta_1)$ с центром в $\Delta_1$ и радиусом $(1/2)\operatorname{diam} Y+r/2$ со сферой $S_2(Y)$ с центром в $Y$ и радиусом $r/2$. В частности, в этом пересечении лежат все одноточечные расширения пространства $Y$ с параметром $r$ и все его двухточечные расширения с параметрами $r_1$, $r_2$, где $r_1+r_2=r$. Доказательство следующей леммы получается тривиальной модификацией доказательства леммы 9. Лемма 10. Предположим, что в пространстве $Y\in\mathcal B$ существуют точки $y_1,y_2\in Y$ такие, что $\operatorname{diam} Y=|y_1y_2|$, и пусть $Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)$ – построенное в конструкции 2 двухточечное расширение пространства $Y$. Тогда для любых $0\leqslant s_1\leqslant r_1$ и $0\leqslant s_2\leqslant r_2$ выполняется Из леммы 10 вытекает следующий результат. Утверждение 5. Пусть $Y$ и $Z_{r_1,r_2}(y_1,y_2)$ такие же, как в лемме 10, а $r(t)$ и $s(t)$ – неотрицательные монотонно возрастающие непрерывные функции от $t\in I$, где $I$ – конечный или бесконечный промежуток. Тогда кривая $\gamma(t)=Z_{r(t),s(t)}(y_1,y_2)$ является кратчайшей. 4.3. Примеры непродолжающихся сегментовС помощью теоремы 5 можно построить примеры не продолжающихся метрических сегментов и кратчайших. Пример 1. Пусть $X=\lambda\Delta_n$ и $Y=\lambda \Delta_m$ – пространства с одним расстоянием, причем $1<m<n$. Тогда метрический сегмент $[X,Y]$ не может быть продолжен за $Y$. Действительно, $2d_{GH}(X,Y)=\lambda=\operatorname{diam} X=\operatorname{diam} Y$, поэтому пространства $X$ и $Y$ экстремальны по отношению друг к другу. Далее, $X$ и $Y$ разбиваются на $n$ и соответственно $m$ одноточечных подмножеств нулевого диаметра, поэтому при $m<n$ мы находимся в условиях теоремы 5. Нам понадобится еще одно простое следствие из теоремы 6; см. [9]. Следствие 8. Пусть $X$ – ограниченное метрическое пространство, $1<m\leqslant\#X$ и $\alpha _m(X)=0$. Тогда Пример 2. Пусть теперь $X=\Delta_2$ – пространство, состоящее из двух точек на расстоянии $1$, а $Y=[0,1]$ – отрезок длины $1$. Тогда $\alpha _2(Y)=0$, $d_2(Y)=1/2$, поэтому $2d_{GH}(\Delta_2,Y)=1$ по следствию 8. Как мы уже видели (см. следствие 6), метрический сегмент $[X,Y]$ продолжается за симплекс $X$. С другой стороны, пространства $X$ и $Y$ взаимно экстремальны. Представим симплекс $X$ в виде объединения двух его точек, а отрезок $Y$ в виде объединения двух отрезков $Y_1=[0,1/2]$ и $Y_2=[1/2,1]$. Из теоремы 5 следует, что $[X,Y]$ не продолжается за $Y$. Пример 3. Пример 2 может быть обобщен следующим образом. Пусть теперь $X=\Delta_k$ – симплекс, состоящий из $k$, $1<k<\infty$, элементов, а $Y$ – замкнутое выпуклое тело диаметра $1$ с гладкой границей в $(k-1)$-мерном пространстве. Тогда $\alpha _k(Y)=0$ и метрический сегмент $[X,Y]$ продолжается за симплекс $X$. По теореме Хадвигера (см. [13]) пространство $Y$ можно покрыть $k$ подмножествами диаметра меньше $1$, поэтому $d_k(Y)<1$, откуда получаем $2d_{GH}(\Delta_k,Y)=1$ по следствию 8. Значит, пространства $X$ и $Y$ взаимно экстремальны. Представим симплекс $X$ в виде объединения его точек, а $Y$, как и выше, покроем $k$ подмножествами диаметра меньше $1$, тогда применима теорема 5 и $[X,Y]$ не продолжается за $Y$. 4.4. Непродолжаемость в обе стороны до бесконечностиВ этом пункте мы покажем, что никакой метрический сегмент в пространстве $\mathcal B$ ограниченных метрических пространств не может быть продолжен до бесконечности в обе стороны. Начнем со следующей леммы. Лемма 11. Никакой метрический сегмент $[X_1,X_2]\subset\operatorname{\mathcal{G\!H}}$ длины $s$ не содержится внутри шара радиуса $s$ с центром в одноточечном пространстве $\Delta_1$. Доказательство. По утверждению 1 имеем $2s\leqslant\max\{\operatorname{diam} X_1,\operatorname{diam} X_2\}$, и так как $2d_{GH}(\Delta_1,X_i)=\operatorname{diam} X_i$, то расстояние от $\Delta_1$ до одного из $X_i$ не меньше, чем $s$, что и требовалось. Утверждение 6. Пусть $Z\in\mathcal B$ – внутренняя точка $\varepsilon$-кратчайшей кривой $\gamma$. Тогда по крайней мере один из концов кривой $\gamma$ содержится в шаре радиуса $R=\operatorname{diam} Z+\varepsilon$ с центром в одноточечном пространстве $\Delta_1$. Доказательство. Пусть $\varepsilon$-кратчайшая $\gamma$ соединяет точки $X_1$, $X_2$ и обе эти точки лежат вне шара радиуса $R$ с центром в $\Delta_1$. Тогда на отрезке кривой $\gamma$ между $Z$ и $X_i$, $i=1,2$, найдется точка $Y_i$, лежащая на сфере $S$ некоторого радиуса $R'>R$ с центром в $\Delta_1$. Следовательно, $\operatorname{diam} Y_i=2R'$, $i=1,2$, и $2d_{GH}(Y_i,Z)\geqslant\operatorname{diam} Y_i-\operatorname{diam} Z=2R'-\operatorname{diam} Z$, $i=1,2$. Далее, отрезок $\gamma$ между $Y_1$ и $Y_2$ тоже является $\varepsilon$-кратчайшей, поэтому по лемме 1 С другой стороны, $d_{GH}(Y_1,Y_2)\leqslant\frac12\max\{\operatorname{diam} Y_1,\operatorname{diam} Y_2\}=R'$, откуда получаем $R<R'\leqslant\operatorname{diam} Z+\varepsilon$; противоречие. Следствие 9. Никакой метрический сегмент $[X_1,X_2]\subset\mathcal B$ не может быть продолжен до бесконечности за оба своих конца. Доказательство. Предположим противное; тогда для произвольного $\varepsilon\,{>}\,0$ и каждого $i=1,2$ существует продолжение $Y_i$ некоторого метрического сегмента $[X_1,X_2]$ за конец $X_i$ такое, что $d_{GH}(X_i,Y_i)>\max\{\operatorname{diam} X_1,\operatorname{diam} X_2\}+\varepsilon$. По определению продолжения $Y_i\in\mathcal B$, $i=1,2$. По следствию 2 существуют $(\varepsilon/3)$-кратчайшие кривые между $Y_1$ и $X_1$, между $X_1$ и $X_2$, между $X_2$ и $Y_2$. По лемме 2 объединение этих трех кривых является $\varepsilon$-кратчайшей кривой между $Y_1$ и $Y_2$, внутри которой содержатся $X_1$ и $X_2$. По утверждению 6 один из концов этой кривой, т.е. одна из точек $Y_i$, скажем $Y_1$, содержится в шаре радиуса $\max\{\operatorname{diam} X_1,\operatorname{diam} X_2\}+\varepsilon$ с центром в $\Delta_1$, т.е. $\operatorname{diam} Y_1\leqslant2\max\{\operatorname{diam} X_1,\operatorname{diam} X_2\}+2\varepsilon$. По утверждению 1 противоречие.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BorIvaTuz22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|