| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об универсальности дзета-функций некоторых параболических форм А. Лауринчикас Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University, Vilnius, Lithuania
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9650 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеПусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})= \biggl\{\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\colon a,b,c,d\in \mathbb Z,\, ad-bc=1\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– полная модулярная группа. Функция $\mathcal{F}(z)$, аналитическая в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} z>0$ и для всех $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in \operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$ удовлетворяющая функциональному уравнению с некоторым $\kappa\in 2\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}\biggl(\frac{az+b}{cz+d}\biggr)= (cz+d)^\kappa \mathcal{F}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
называется модулярной формой веса $\kappa$. В этом случае $\mathcal{F}(z)$ в бесконечности имеет разложение в ряд Фурье
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}(z)=\sum_{m=-\infty}^\infty c(m) \mathrm{e}^{2\pi i m z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если коэффициенты Фурье $c(m)$ равны нулю для всех $m\leqslant 0$, то $\mathcal{F}(z)$ называется параболической формой веса $\kappa$. Дополнительно потребуем, чтобы форма $\mathcal{F}(z)$ была собственной функцией всех операторов Гекке
$$
\begin{equation*}
T_m \mathcal{F}(z)=m^{\kappa-1}\sum_{\substack{a,d>0 \\ ad=m}} \frac{1}{d^\kappa} \sum_{b({\mathrm{mod}}\, d)} \mathcal{F}\biggl(\frac{az+b}{d}\biggr), \qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $c(1)\neq 0$, поэтому после нормирования можем считать, что $c(1)=1$. Итак, в дальнейшем будем считать, что $\mathcal{F}(z)$ – нормированная параболическая собственная форма Гекке веса $\kappa$. Для изучения коэффициентов Фурье $c(m)$ Э. Гекке ввел дзета-функцию (или $L$-функцию)
$$
\begin{equation*}
\zeta(s,\mathcal{F})=\sum_{m=1}^\infty \frac{c(m)}{m^s}, \qquad s=\sigma+it, \quad \sigma> \frac{\kappa+1}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
которая имеет аналитическое продолжение до целой функции. Ввиду мультипликативности коэффициентов функция $\zeta(s, \mathcal{F})$ в полуплоскости $\sigma>(\kappa+1)/2$ имеет эйлерово произведение по простым числам
$$
\begin{equation*}
\zeta(s,\mathcal{F})= \prod_p \biggl(1-\frac{\alpha(p)}{p^s}\biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{\beta(p)}{p^s}\biggr)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\alpha(p)$ и $\beta(p)$ – сопряженные комплексные числа такие, что $\alpha(p) +\beta(p)= c(p)$. Известно, что функция $\zeta(s, \mathcal{F})$ является универсальной в смысле Воронина, открывшего (см. [1]) универсальность дзета-функции Римана $\zeta(s)$. Грубо говоря, теорема Воронина утверждает, что всякая аналитическая и не имеющая нулей в полосе $\{s\in \mathbb C\colon 1/2<\sigma<1\}$ функция равномерно на компактных подмножествах этой полосы приближается сдвигами $\zeta(s+i\tau)$, $\tau\in \mathbb R$. Пусть $D_{\mathcal{F}}=\{s\in \mathbb C\colon \kappa/2<\sigma<(\kappa+1)/2\}$, $\mathcal{K}_{\mathcal{F}}$ – класс компактных подмножеств полосы $D_{\mathcal{F}}$, обладающих связным дополнением, а $H_{0\mathcal{F}}(K)$, $K\in \mathcal{K}_{\mathcal{F}}$, – класс непрерывных, не имеющих нулей в $K$ и аналитических внутри $K$ функций. Тогда универсальность функции $\zeta(s, \mathcal{F})$ описывается следующей теоремой (см. [2]). Теорема 1. Пусть $K\in \mathcal{K}_{\mathcal{F}}$ и $f(s)\in H_{0\mathcal{F}}(K)$. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ Здесь $\operatorname{meas} A$ обозначает меру Лебега измеримого множества $A\subset \mathbb R$. Теорема 1 является теоремой универсальности непрерывного характера для $\zeta(s, \mathcal{F})$, поскольку $\tau$ в $\zeta(s+i\tau, \mathcal{F})$ может принимать любые значения из промежутка $[0,T]$. Также существует дискретный вариант теоремы 1. Через $\# A$ обозначим мощность множества $A$. Пусть $h>0$ – любое фиксированное число. Теорема 2 (см. [3]). Пусть $K\in \mathcal{K}_{\mathcal{F}}$ и $f(s)\in H_{0\mathcal{F}}(K)$. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ Здесь $N$ пробегает множество $\mathbb N_0=\mathbb N\cup\{0\}$. Теоремы 1 и 2 показывают, что существует бесконечно много сдвигов $\zeta(s+i\tau, \mathcal{F})$ и $\zeta(s+ikh, \mathcal{F})$ соответственно, приближающих каждую функцию класса $H_{0\mathcal{F}}$. К сожалению, ни одно такое значение $\tau$ и $k$ не известно. В настоящей статье получим, что существует абсолютно сходящийся в полуплоскости $\sigma> \kappa/2$ ряд Дирихле, зависящий от $T$ и $N$ соответственно, для которого имеют место утверждения теорем 1 и 2. Пусть $\theta>0$ – фиксированное число, $u>0$, а
$$
\begin{equation*}
v_u(m)= \exp\biggl\{-\biggl(\frac{m}{u}\biggr)^\theta\biggr\}, \qquad m\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим ряд
$$
\begin{equation*}
\zeta_u(s,\mathcal{F})= \sum_{m=1}^\infty \frac{c(m) v_u(m)}{m^s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из известной формулы Меллина
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi i} \int_{b-i\infty}^{b+i\infty} \Gamma(z) a^{-z} \, \mathrm{d} z= \mathrm{e}^{-a}, \qquad a,b>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Gamma(z)$ – гамма-функция Эйлера, получаем, что при любом $A>0$
$$
\begin{equation}
v_u(m)= \frac{1}{2\pi i} \int_{A\theta-i\infty}^{A\theta+i\infty} \frac{1}{\theta} \Gamma\biggl(\frac{z}{\theta}\biggr) \biggl(\frac{m}{u}\biggr)^{-z}\, \mathrm{d} z\ll_{u}m^{-A}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Эта оценка вместе с оценкой
$$
\begin{equation}
c(m) \ll m^{\kappa/2-1/2+\varepsilon} \quad \forall\, \varepsilon>0
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
доказывает абсолютную сходимость ряда $\zeta_u(s, \mathcal{F})$ при любых значениях $\sigma$. Через $\mathcal{B}(\mathbb X)$ обозначим борелевское $\sigma$-поле множества $\mathbb X$, через $\mathbb P$ – множество всех простых чисел и $\gamma= \{ s\in \mathbb C\colon |s|=1\}$. Пусть где $\gamma_p=\gamma$ для всех $p\in \mathbb P$. В силу теоремы Тихонова с топологией произведения и операцией поточечного умножения бесконечномерный тор $\Omega$ является компактной топологической абелевой группой. Поэтому на $(\Omega, \mathcal{B}(\Omega))$ может быть определена вероятностная мера Хаара $m_H$. Получаем вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), m_H)$. Через $\omega(p)$ обозначим $p$-ю компоненту элемента $\omega\in \Omega$, $p\in \mathbb P$, через $H(D_\mathcal{F})$ – пространство аналитических в $D_\mathcal{F}$ функций, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах, и на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), m_H)$ определим $H(D_\mathcal{F})$-значный случайный элемент:
$$
\begin{equation*}
\zeta(s, \omega, \mathcal{F}) =\prod_{p\in \mathbb P} \biggl(1-\frac{\alpha(p)\omega(p)}{p^s} \biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{\beta(p)\omega(p)}{p^s} \biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P_{\zeta,\mathcal{F}}$ – распределение случайного элемента $\zeta(s, \omega, \mathcal{F})$, т.е.
$$
\begin{equation*}
P_{\zeta, \mathcal{F}}(A)= m_H \bigl\{ \omega\in \Omega\colon \zeta(s, \omega, \mathcal{F})\in A\bigr\}, \qquad A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F})).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что произведение для $\zeta(s, \omega, \mathcal{F})$ для почти всех $\omega\in \Omega$ сходится равномерно на компактных множествах полосы $D_\mathcal{F}$. В настоящей статье докажем следующие теоремы универсальности для функции $\zeta_u(s,\mathcal{F})$. Теорема 3. Предположим, что $u_T\to \infty$ при $T\to\infty$. Пусть $K\in \mathcal{K}_{\mathcal{F}}$ и $f(s)\in H_{0\mathcal{F}}(K)$. Тогда для всех $\varepsilon>0$, за исключением самое большее счетного множества значений, существует предел Дискретный случай является более сложным ввиду зависимости от арифметики числа $h$. Говорим, что $h$ – число типа 1, если для всех $m\in \mathbb Z\setminus \{0\}$ число $\exp\{ (2\pi m)/h\}$ иррационально. В противном случае $h$ называется числом типа 2. Пусть $\Omega_h$ – замкнутая подгруппа группы $\Omega$, порожденная элементом $(p^{-ih}\colon p\in \mathbb P)$. Продолжим $\omega(p)$, $p\in \mathbb P$, на множество $\mathbb N$ при помощи формулы
$$
\begin{equation*}
\omega(m)= \mathop{\prod_{p^l\mid m}}_{p^{l+1}\nmid m} \omega^l(p), \qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $h$ – число типа 2, то существует наименьшее значение $m_0\in \mathbb N$ такое, что $\exp\{(2\pi m_0)/h\}= a/b$ для $a,b\in \mathbb N$. Известно (см. [4], [3]), что
$$
\begin{equation*}
\Omega_h= \begin{cases} \Omega, & \text{если $h$ типа 1}, \\ \{\omega\in \Omega\colon \omega(a)= \omega(b)\}, & \text{если $h$ типа 2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем, что на $(\Omega_h, \mathcal{B}(\Omega_h))$ существует вероятностная мера Хаара $m_H^h$, а дискретная теорема универсальности для функции $\zeta_u(s, \mathcal{F})$ имеет следующий вид. Теорема 4. Предположим, что $u_N\to \infty$ при $N\to\infty$, а $h>0$ – фиксированное число. Пусть $K\in \mathcal{K}_{\mathcal{F}}$ и $f(s)\in H_{0\mathcal{F}}(K)$. Тогда для всех $\varepsilon>0$, за исключением самое большее счетного множества значений, существует предел Доказательства теорем 3 и 4 используют вероятностные предельные теоремы в пространстве аналитических функций, а также близость функций $\zeta_u(s,\mathcal{F})$ и $\zeta(s,\mathcal{F})$. § 2. Приближение в среднемНапомним метрику в пространстве $H(D_\mathcal{F})$. Существует последовательность $\{K_l\colon l\in \mathbb N\}$ компактных подмножеств полосы $D_\mathcal{F}$ такая, что $K_l\,{\subset}\, K_{l+1}$ для всех $l\in \mathbb N$, и если $K\,{\subset}\, D_\mathcal{F}$ – компактное множество, то $K\,{\subset}\, K_l$ при некотором $l$. Например, можем брать последовательность вложенных замкнутых прямоугольников. Тогда
$$
\begin{equation*}
\rho(g_{1},g_{2})=\sum_{l=1}^{\infty}2^{-l}\frac{\sup_{s\in K_l}|g_{1}(s)-g_{2}(s)|}{1+\sup_{s\in K_l}|g_{1}(s)-g_{2}(s)|}, \qquad g_1, g_2 \in H(D_\mathcal{F}),
\end{equation*}
\notag
$$
является метрикой в $H(D_\mathcal{F})$, индуцирующей топологию равномерной сходимости на компактах. Доказательство. В силу определения метрики $\rho$ достаточно для всякого компактного множества $K\subset D_\mathcal{F}$ доказать равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^T \sup_{s\in K}\bigl|\zeta(s+i\tau, \mathcal{F})- \zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F})\bigr|\, \mathrm{d} \tau =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.1) находим, что при $\alpha>1/2$ имеет место представление где Пусть $K\subset D$ – компактное множество. Тогда найдется $\varepsilon>0$ такое, что $\kappa/2 +2\varepsilon\leqslant \sigma \leqslant (\kappa+1)/2-\varepsilon$ для всех $s= \sigma+it\in K$. Положим Тогда (2.1) и теорема о вычетах влекут за собой для всех $s\in K$ равенство
$$
\begin{equation*}
\zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F}) -\zeta(s+i\tau, \mathcal{F}) =\frac{1}{2\pi i} \int_{\theta_1-i\infty}^{\theta_1+i\infty} \zeta(s+z, \mathcal{F}) l_{u_T} (z) \,\frac{\mathrm{d} z}{z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что для всех $s\in K$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F}) -\zeta(s+i\tau, \mathcal{F}) \\ &\qquad =\frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon +i\tau+iv+it, \mathcal{F}\biggr) \frac{l_{u_T}(\kappa/2+\varepsilon-\sigma+iv)}{\kappa/2+\varepsilon-s+iv}\, \mathrm{d} v \\ &\qquad \ll \int_{-\infty}^\infty \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon +i\tau+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr| \sup_{s\in K}\biggl|\frac{l_{u_T}(\kappa/2+\varepsilon-s+iv)}{\kappa/2+\varepsilon-s+iv}\biggr|\, \mathrm{d} v \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
после замены $t+v$ на $v$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{T} \int_1^T \sup_{s\in K} \bigl| \zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F}) -\zeta(s+i\tau, \mathcal{F})\bigr|\, \mathrm{d} \tau \\ &\ll \int_{-\infty}^{\infty}\biggl(\frac{1}{T} \int_1^T \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon +i\tau+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2\, \mathrm{d} \tau\biggr)^{1/2} \sup_{s\in K}\biggl|\frac{l_{u_T}(\kappa/2+\varepsilon-s+iv)}{\kappa/2+\varepsilon-s+iv}\biggr|\, \mathrm{d} v. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Известно, что для $\kappa/2<\sigma<(\kappa+1)/2$ (см., например, [5])
$$
\begin{equation}
\int_0^T |\zeta(\sigma+it, \mathcal{F})|^2\, \mathrm{d} t\ll_\sigma T.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Отсюда для тех же $\sigma$ и всех $\tau\in \mathbb R$ получаем
$$
\begin{equation}
\int_1^T |\zeta(\sigma+it+i\tau, \mathcal{F})|^2\, \mathrm{d} t\ll_\sigma T(1+|\tau|), \qquad T\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Используя классическую оценку равномерную для $\sigma_1\leqslant \sigma\leqslant\sigma_2$ при любых $\sigma_1<\sigma_2$, получаем что для всех $\tau\in \mathbb R$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{l_{u_T}(\kappa/2+\varepsilon-s+iv)}{\kappa/2+\varepsilon-s+iv} &\ll_\theta u_T^{\kappa/2+\varepsilon-\sigma} \biggl|\Gamma\biggl( \frac{1}{\theta} \biggl(\frac{\kappa}{2} +\varepsilon-s+iv\biggr)\biggr) \biggr| \\ &\ll_\theta u_T^{-\varepsilon} \exp\biggl\{-\frac{c}{\theta}|v-\sigma|\biggr\} \ll_{\theta, K} u_T^{-\varepsilon} \exp\{ -c_1|v|\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Эта оценка вместе с (2.2) и (2.4) доказывает, что правая часть равенства (2.2) допускает оценку откуда и вытекает утверждение леммы. Теперь докажем дискретный аналог леммы 1. Доказательство. Аналогично случаю леммы 1 достаточно показать, что для всякого компактного множества $K\subset D_\mathcal{F}$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \sup_{s\in K}\bigl|\zeta(s+ikh, \mathcal{F})- \zeta_{u_N}(s+ikh, \mathcal{F})\bigr| =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя доказательство леммы 1, находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \sup_{s\in K} \bigl| \zeta(s+ikh, \mathcal{F}) -\zeta_{u_N}(s+ikh, \mathcal{F})\bigr| \\ &\ll \int_{-\infty}^{\infty}\biggl(\frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon +ikh+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2 \biggr)^{1/2} \sup_{s\in K}\biggl|\frac{l_{u_N}(\kappa/2+\varepsilon-s+iv)}{\kappa/2+\varepsilon-s+iv}\biggr|\, \mathrm{d} v. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Следовательно, нужна оценка для дискретного второго момента функции $\zeta(s, \mathcal{F})$. Для этой цели воспользуемся леммой Галлахера, связывающей дискретные и непрерывные вторые моменты некоторых функций (см., например, [6; лемма 4.1]). Итак, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{k=2}^N \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+ikh+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2\ll_h \int_{0}^{Nh} \biggl|\zeta \biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+i\tau+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2 \, \mathrm{d} \tau \\ &\qquad +\biggl(\int_{0}^{Nh} \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+i\tau+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2 \, \mathrm{d} \tau\int_{0}^{Nh}\biggl|\zeta'\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+i\tau+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2 \, \mathrm{d} \tau\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из (2.3) и интегральной теоремы Коши следует, что для $\kappa/2<\sigma< (\kappa+1)/2$
$$
\begin{equation*}
\int_0^T |\zeta'(\sigma+ it, \mathcal{F})|^2\, \mathrm{d} t \ll_\sigma T.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для тех же $\sigma$ и всех $\tau\in \mathbb R$
$$
\begin{equation*}
\int_0^T |\zeta'(\sigma+ it+i\tau, \mathcal{F})|^2\, \mathrm{d} t \ll_\sigma T(1+|\tau|), \qquad T\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.4) и (2.7) находим, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k=2}^N \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+ikh+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2\ll_{\varepsilon,h} N(1+|v|).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Из приближенного функционального уравнения (см. [7])
$$
\begin{equation*}
\zeta(s, \mathcal{F})= \sum_{m\leqslant (t/(2\pi))^2} \frac{c(m)}{m^s} +(-1)^{\kappa/2} (2\pi)^{2t-\kappa} \frac{\Gamma(\kappa-s)}{\Gamma(s)} +O(t^{\kappa-2\sigma}\log^2 t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\sigma-\kappa/2|\leqslant 1/2$, $t\geqslant t_0$, и (1.2) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\zeta(\sigma+it, \mathcal{F})\ll_\varepsilon |t|^{\kappa-2\sigma+1+\varepsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\kappa/2<\sigma< (\kappa+1)/2$. Поэтому при $\kappa/2<\sigma< (\kappa+1)/2$
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^1 \biggl|\zeta\biggl(\frac{\kappa}{2}+\varepsilon+ikh+iv, \mathcal{F}\biggr)\biggr|^2\ll_{\varepsilon} 1+|v|^{2+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.8), (2.5) и (2.6) получаем утверждение леммы 2. § 3. Предельные теоремыИспользуя предельные теоремы в пространстве $H(D_\mathcal{F})$ для функции $\zeta(s, \mathcal{F})$, получим аналогичные теоремы для $\zeta_u(s, \mathcal{F})$. Для множеств $A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F}))$ положим
$$
\begin{equation*}
P_{T, \mathcal{F}}(A)= \frac{1}{T} \operatorname{meas} \{\tau\in [0,T]\colon \zeta(s+i\tau, \mathcal{F})\in A\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. $P_{T, \mathcal{F}}$ при $T\to\infty$ слабо сходится к мере $P_{\zeta, \mathcal{F}}$. Кроме того, носителем меры $P_{\zeta, \mathcal{F}}$ является множество Доказательство леммы дано в [5]. Докажем аналогичное утверждение для
$$
\begin{equation*}
Q_{T, \mathcal{F}}(A)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{T} \operatorname{meas} \{\tau\in [0,T]\colon \zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F})\in A\}, \qquad A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Предположим, что $u_T\to\infty$ при $T\to\infty$. Тогда $Q_{T, \mathcal{F}}$ при $T\to\infty$ слабо сходится к $P_{\zeta,\mathcal{F}}$. Доказательство. Пусть случайная величина $\theta_T$ определена на некотором вероятностном пространстве с мерой $\mu$ и равномерно распределена на промежутке $[0,T]$. Определим $H(D_\mathcal{F})$-значные случайные элементы: Тогда $P_{T,\mathcal{F}}$ и $Q_{T,\mathcal{F}}$ – распределения случайных элементов $X_{T,\mathcal{F}}$ и $Y_{T,\mathcal{F}}$ соответственно. Будем пользоваться эквивалентом слабой сходимости вероятностных мер в терминах замкнутых множеств. Пусть $F\subset H(D_\mathcal{F})$ – замкнутое множество. Тогда при $\varepsilon>0$ множество $F_\varepsilon=\{ g\in H(D_\mathcal{F})\colon \rho(g, F)\leqslant \varepsilon\}$ также замкнуто. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\{Y_{T, \mathcal{F}}\in F\} \subset \{ X_{T, \mathcal{F}}\in F_\varepsilon\} \cup \{ \rho(X_{T,\mathcal{F}}, Y_{T, \mathcal{F}})\geqslant \varepsilon\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\mu\{ Y_{T, \mathcal{F}}\in F\} \leqslant \mu \{ X_{T,F}\in F_{\varepsilon}\} +\mu \{ \rho(X_{T,\mathcal{F}}, Y_{T, \mathcal{F}})\geqslant \varepsilon\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из леммы 1 следует, что
$$
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty} \mu \{\rho(X_{T,\mathcal{F}}, Y_{T, \mathcal{F}})\geqslant \varepsilon\}\leqslant \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T\varepsilon} \int_0^T \rho(\zeta(s+i\tau, \mathcal{F}), \zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F}))\, \mathrm{d} \tau=0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
Q_{T, \mathcal{F}}(F) = \mu\{ Y_{T, \mathcal{F}}\in F\},\qquad P_{T, \mathcal{F}}(F_\varepsilon) = \mu \{ X_{T,\mathcal{F}}\in F_\varepsilon\},
\end{equation*}
\notag
$$
то из (3.1) и (3.2) находим
$$
\begin{equation}
\limsup_{T\to\infty} Q_{T, \mathcal{F}}(F)\leqslant \limsup_{T\to\infty} P_{T, \mathcal{F}}(F_\varepsilon).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Однако в силу леммы 3 и эквивалента слабой сходимости вероятностных мер в терминах замкнутых множеств (см. [8; теорема 2.1]) имеем
$$
\begin{equation*}
\limsup_{T\to\infty} P_{T, \mathcal{F}}(F_\varepsilon) \leqslant P_{\zeta, \mathcal{F}}(F_\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в этом неравенстве $\varepsilon\to +0$ и принимая во внимание (3.3), получаем что означает слабую сходимость $Q_{T, \mathcal{F}}$ к $P_{\zeta, \mathcal{F}}$. Обозначим элементы множества $\Omega_h$ через $\omega_h$, их $p$-е компоненты через $\omega_h(p)$ и на вероятностном пространстве $(\Omega_h, \mathcal{B}(\Omega_h), m_H^h)$ определим $H(D_\mathcal{F})$-значный случайный элемент:
$$
\begin{equation*}
\zeta_h(s, \omega_h, \mathcal{F}) =\prod_{p\in \mathbb P} \biggl(1-\frac{\alpha(p) \omega_h(p)}{p^s}\biggr)^{-1} \biggl(1-\frac{\beta(p) \omega_h(p)}{p^s}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $P_{\zeta_h, \mathcal{F}}$ – распределение случайного элемента $\zeta_h(s, \omega_h, \mathcal{F})$, т.е.
$$
\begin{equation*}
P_{\zeta_h, \mathcal{F}}(A) = m_H^h \{ \omega_h \in \Omega_h\colon \zeta_h(s, \omega_h, \mathcal{F})\in A\}, \qquad A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F})).
\end{equation*}
\notag
$$
Для множеств $A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F}))$ положим
$$
\begin{equation*}
P_{N, h, \mathcal{F}}(A) =\frac{1}{N+1} \# \{ 0\leqslant k\leqslant N\colon \zeta(s+ikh, \mathcal{F})\in A\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [3] было получено такое утверждение. Лемма 4. $P_{N,h, \mathcal{F}}$ при $N\to\infty$ слабо сходится к мере $P_{\zeta_h, \mathcal{F}}$. Кроме того, носителем меры $P_{\zeta_h, \mathcal{F}}$ является множество $S_\mathcal{F}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
Q_{N,h, \mathcal{F}}(A)= \frac{1}{N+1} \# \{ 0\leqslant k\leqslant N\colon \zeta_{u_N}(s+ikh, \mathcal{F})\in A\}, \qquad A\in \mathcal{B}(H(D_\mathcal{F})).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедлива следующая дискретная предельная теорема. Теорема 6. Предположим, что $u_N\to \infty$ при $N\to\infty$. Тогда $Q_{N,h, \mathcal{F}}$ при $N\to\infty$ слабо сходится к мере $P_{\zeta_h, \mathcal{F}}$. Доказательство. На некотором вероятностном пространстве с мерой $\nu$ определим дискретную случайную величину $\theta_{N,h}$, имеющую распределение
$$
\begin{equation*}
\nu\{\theta_{N,h}= kh\}= \frac{1}{N+1}, \qquad k=0, 1, \dots, N.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим $H(D_\mathcal{F})$-значные случайные элементы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_{N,h, \mathcal{F}} &= X_{N,h, \mathcal{F}}(s)= \zeta(s+i\theta_{N,h}, \mathcal{F}), \\ Y_{N,h, \mathcal{F}} &= Y_{N,h, \mathcal{F}}(s)= \zeta_{u_N}(s+i\theta_{N,h}, \mathcal{F}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $P_{N,h, \mathcal{F}}$ – распределение элемента $X_{N,h, \mathcal{F}}$, а $Q_{N,h,\mathcal{F}}$ – распределение элемента $Y_{N,h,\mathcal{F}}$. Пусть $F$ и $F_\varepsilon$ – множества из доказательства теоремы 5. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
Q_{N,h, \mathcal{F}}(F)\leqslant P_{N,h, \mathcal{F}}(F_\varepsilon) +\nu\{ \rho(X_{N,h, \mathcal{F}}, Y_{N,h,\mathcal{F}})\geqslant\varepsilon\}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\lim_{N\to\infty} \nu(\{ \rho(X_{N, h, \mathcal{F}}, Y_{N, h, \mathcal{F}})\geqslant \varepsilon\} \\ &\qquad \leqslant \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \rho(\zeta(s+ikh, \mathcal{F}), \zeta_{u_N}(s+ikh, \mathcal{F}))=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Кроме того, в силу леммы 4 и эквивалента слабой сходимости вероятностных мер в терминах замкнутых множеств имеем
$$
\begin{equation*}
\limsup_{N\to\infty} P_{N,h, \mathcal{F}}(F_\varepsilon)\leqslant P_{\zeta_h, \mathcal{F}}(F_\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (3.4) и (3.5) получаем и, устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем утверждение леммы. § 4. Доказательство универсальностиВоспользуемся одним полезным свойством слабой сходимости вероятностных мер. Пусть $P$ – вероятностная мера на $(\mathbb X, \mathcal{B}(\mathbb X))$, а $v\colon \mathbb X\to \mathbb Y$ – это $(\mathcal{B}(\mathbb X), \mathcal{B}(\mathbb Y))$-измеримое отображение. Тогда мера $P$ на $(\mathbb Y, \mathcal{B}(\mathbb Y))$ индуцирует единственную вероятностную меру $P v^{-1}$,
$$
\begin{equation*}
P v^{-1}(A)= P(v^{-1}A), \qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно такое утверждение (см., например, [8]). Лемма 5. Пусть $P$ и $P_n$, $n\in \mathbb{N}$, – вероятностные меры на $(\mathbb X, \mathcal{B}(\mathbb X))$, а $v\colon \mathbb X\to\mathbb Y$ – непрерывное отображение. Если $P_n$ при $n\to\infty$ слабо сходится к $P$, то и $P_nv^{-1}$ при $n\to\infty$ слабо сходится к $Pv^{-1}$. Доказательство теоремы 3. Отображение $v\colon H(D_\mathcal{F})\to \mathbb R$, заданное формулой непрерывно. Поэтому из теоремы 5 и леммы 5 находим, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{T} \operatorname{meas}\Bigl\{ \tau\in [0,T]\colon \sup_{s\in K} |\zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F})-f(s)|\in A\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $T\to\infty$ слабо сходится к
$$
\begin{equation*}
m_H\Bigl\{ \Omega\in \Omega\colon \sup_{s\in K} |\zeta(s, \omega, \mathcal{F})-f(s)|\in A\Bigr\}, \qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb R).
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что слабая сходимость вероятностных мер на $(\mathbb R, \mathcal{B}(\mathbb R))$ эквивалентна слабой сходимости соответствующих функций распределения. Следовательно, получаем, что функция распределения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{T} \operatorname{meas}\Bigl\{ \tau\in [0,T]\colon \sup_{s\in K} |\zeta_{u_T}(s+i\tau, \mathcal{F})-f(s)|<\varepsilon\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $T\to\infty$ слабо сходится к функции распределения
$$
\begin{equation}
m_H\Bigl\{ \Omega\in \Omega\colon \sup_{s\in K} |\zeta(s, \omega, \mathcal{F})-f(s)|< \varepsilon\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Поскольку слабая сходимость функций распределения определяется как сходимость к предельной функции во всех ее точках непрерывности, а множество точек разрыва функции распределения самое большее счетно, то существование предела (4.1) в теореме доказано. Остается доказать, что величина (4.1) положительна. Поскольку $f(s)\neq 0$ на множестве $K$, то ввиду теоремы Мергеляна о приближении аналитических функций многочленами (см. [9]) существует многочлен $p(s)$ такой, что
$$
\begin{equation}
\sup_{s\in K} \bigl|f(s)- \mathrm{e}^{p(s)}\bigr|< \frac{\varepsilon}{2}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Тогда $\mathrm{e}^{p(s)}$ не равно нулю и ввиду леммы 1 является элементом носителя меры $P_{\zeta, \mathcal{F}}$. Отсюда в силу свойств носителя получаем
$$
\begin{equation}
m_H\biggl\{ \omega\in \Omega\colon \sup_{s\in K} \bigl| \zeta(s, \omega, \mathcal{F})-\mathrm{e}^{p(s)}\bigr|< \frac{\varepsilon}{2}\biggr\}>0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Однако если $\omega\,{\in}\, \{ \omega\,{\in}\, \Omega\colon \sup_{s\in K} | \zeta(s, \omega, \mathcal{F})-\mathrm{e}^{p(s)}|\,{<}\, \varepsilon/2\}$, то в силу (4.2) $\omega\in \{ \omega\in \Omega\colon\sup_{s\in K}| \zeta(s, \omega, \mathcal{F})-f(s)|< \varepsilon\}$. Поэтому неравенство (4.3) и монотонность меры доказывают положительность (4.1). Теорема доказана. Доказательство теоремы 4. Применим ту же самую схему, что и при доказательстве теоремы 3. Из теоремы 6 и леммы 5 следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{N+1} \# \Bigl\{ 0\leqslant k\leqslant N\colon \sup_{s\in K} |\zeta_{u_N} (s+ikh, \mathcal{F}) -f(s)|\in A\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to\infty$ слабо сходится к
$$
\begin{equation*}
m_H^h\Bigl\{ \omega_h \in \Omega_h\colon \sup_{s\in K} |\zeta_h(s, \omega_h, \mathcal{F})-f(s)|\in A\Bigr\}, \qquad A\in \mathcal{B}(\mathbb R).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что функция распределения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{N+1} \# \Bigl\{ 0\leqslant k\leqslant N\colon \sup_{s\in K} |\zeta_{u_N} (s+ikh, \mathcal{F}) -f(s)|< \varepsilon\Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to\infty$ слабо сходится к функции распределения
$$
\begin{equation}
m_H^h\Bigl\{ \omega_h \in \Omega_h\colon \sup_{s\in K} |\zeta_h(s, \omega_h, \mathcal{F})-f(s)|<\varepsilon\Bigr\}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
во всех ее точках непрерывности. Положительность последней функции следует из теоремы Мергеляна и леммы 3. Теорема доказана. Замечание. Предположим, что $u_T\to\infty$ при $T\,{\to}\,\infty$ ($u_N\,{\to}\,\infty$ при $N\,{\to}\,\infty$). Пусть $K$ – любое компактное множество полосы $D_\mathcal{F}$, а $f(s)$ – аналитическая и не имеющая нулей в $D_\mathcal{F}$ функция. Тогда имеет место утверждение теоремы 3 (теоремы 4). В самом деле, в теоремах 3 и 4 условие $K\subset \mathcal{K}$ используется только из-за применения теоремы Мергеляна. Если функция $f(s)$ удовлетворяет условиям замечания, то $f(s)\in S_\mathcal{F}$ и положительность (4.1) и (4.4) вытекает автоматически из свойств носителя. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lau22} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|