| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Прямое доказательство теоремы Шталя для некоторого класса алгебраических функций С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9649e 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1.Фундаментальная теория Шталя (см. [17], [18], [1] и имеющуюся там библиографию) о сходимости диагональных аппроксимаций Паде для многозначных аналитических функций фактически состоит из двух составляющих: геометрической и аналитической. В первой, геометрической, части доказывается, что для произвольной многозначной аналитической функции существует единственный допустимый компакт, обладающий $S$-свойством, или кратко – $S$-компакт (подробнее в том числе и о понятии допустимого компакта см. [17] и [13]). В общей теории Шталя предполагается, что множество особенностей многозначной аналитической функции имеет нулевую (логарифмическую) емкость. В настоящей работе мы ограничиваемся случаем, когда это множество особенностей конечно. Отметим, что для этого случая короткое доказательство существования $S$-компакта предложено Е. А. Рахмановым в неопубликованной работе [11] (см. также [8]). Доказательство Рахманова основано на связи между емкостью компакта и потенциалом равновесной меры компакта. Во второй, аналитической, части теории Шталя доказывается существование предельного распределения нулей полиномов Паде и сходимость по емкости соответствующих аппроксимаций Паде. Оригинальное доказательство Шталя существования предельного распределения нулей полиномов Паде основано на свойствах $S$-компакта и проводится методом от противного. В настоящей работе мы приводим более короткое, чем оригинальное, и, кроме того, прямое доказательство теоремы, составляющей вторую часть теории Шталя, для достаточно общего класса алгебраических функций, удовлетворяющих определенным ограничениям. При этом мы предполагаем, что первая, геометрическая, часть теории Шталя уже установлена, т.е. существование $S$-компакта уже доказано. В ходе доказательства мы не используем условие ортогональности, которому удовлетворяют полиномы Паде. Наше доказательство основано только на принципе максимума для субгармонических функций (ср. [10] и [15]). Приведем определение допустимого в рамках настоящей статьи класса $\mathscr F$ многозначных аналитических функций. Будем считать, что класс $\mathscr F$ состоит из таких многозначных аналитических функций $f$, что выполняются следующие условия: (I) $f$ – алгебраическая функция, все точки ветвления которой второго порядка (т.е. мы предполагаем, что все точки ветвления функции $f$ квадратичные); (II) существует росток $f_\infty\in\mathscr H(\infty)$ функции $f$ такой, что $S$-компакт Шталя для него состоит из конечного числа непересекающихся замкнутых аналитических дуг, каждая их которых содержит в точности две точки ветвления функции $f$, являющиеся концами этих дуг. При выполнении условий (I), (II) для соответствующей пары $(f,f_\infty)$ будем писать $(f,f_\infty)\in\mathscr F$. Некоторые обсуждения, связанные с этими предположениями (I), (II), приводятся ниже, в § 3 (см. также [12], [9], [10] и [6]). Отметим следующее: условие (II) означает, что компакт Шталя $S$ не содержит точек Чеботарёва (ср. [16], [2]). 1.2.Пусть $f_\infty\in\mathscr H(\infty)$ и $S=S(f_\infty)$ – $S$-компакт Шталя, соответствующий ростку $f_\infty$. Пусть $\lambda_S$ – единичная равновесная мера компакта $S$, а $V^{\lambda_S}(z)$ – соответствующий (логарифмический) потенциал меры $\lambda_S$:
$$
\begin{equation}
V^{\lambda_S}(z)=\gamma_S-g_S(z,\infty), \qquad z\in D:=\widehat{\mathbb C}\setminus S,
\end{equation}
\tag{1}
$$
$g_S(z,\infty)$ – функция Грина области Шталя $D=\widehat{\mathbb C}\setminus{S}$ с логарифмической особенностью в бесконечно удаленной точке $z=\infty$ и $\gamma_S$ – соответствующая постоянная Робена для $D$ (в точке $z=\infty$). Пусть $\mathbb P_n:=\mathbb C_n[z]$ – пространство всех алгебраических полиномов с комплексными коэффициентами степени $\leqslant\! n$. Для произвольного полинома $Q\in \mathbb C[z]$, $Q\not\equiv0$, через $\chi(Q)$ обозначим меру, считающую нули этого полинома $Q$: $\chi(Q):=\sum_{\zeta\colon Q(\zeta)=0}\delta_\zeta$, где каждый нуль полинома $Q$ считается столько раз, какова его кратность. Для произвольного ростка $f_\infty\in\mathscr H(\infty)$ и любого натурального $n$ полиномы Паде $P_n,Q_n\in\mathbb P_n$, $Q_n\not\equiv0$, определяются (не единственным образом) из следующего соотношения:
$$
\begin{equation}
R_n(z):=(Q_nf_\infty-P_n)(z)=O\biggl(\frac1{z^{n+1}}\biggr), \qquad z\to\infty;
\end{equation}
\tag{2}
$$
функция $R_n(z)$ называется функцией остатка, $[n/n]_{f_\infty}:=P_n/Q_n$ – $n$-й диагональной аппроксимацией Паде функции $f_\infty$. Имеет место следующий результат (см. [17], [18], а также [1]). Теорема. Пусть $(f,f_\infty)\in\mathscr F$. Тогда при $n\to\infty$ Сходимость $\xrightarrow{*}$ понимается как $*$-слабая сходимость в пространстве мер. Сходимость $\xrightarrow{\mathrm{cap}}$ внутри $D$ означает сходимость по емкости на компактных подмножествах области $D$ (см. п. 2.5). Отметим, что существование $S$-компакта для ростка $f_\infty$ в случае $(f,f_\infty)\in\mathscr F$ следует уже из работы [11], в которой рассмотрен более частный случай, чем в теории Шталя. Из доказательства приведенной теоремы вытекает (см. неравенство (18)) Следствие. При $(f,f_\infty)\,{\in}\,\mathscr F$ последовательности $\{n-\operatorname{deg}{Q_n}\}$, $\{n-\operatorname{deg}{P_n}\}$ ограниченные. Из этого результата вытекает справедливость в классе $\mathscr F$ одной из гипотез Гончара, связанных с аппроксимациями Паде; см. [1; гл. 1, § 6, гипотеза 6.7]. БлагодарностьАвтор выражает искреннюю признательность рецензенту за сделанные замечания, которые позволили устранить пробелы в доказательствах и улучшить изложение результатов работы. § 2. Доказательство теоремы2.1.Для двух заданных положительных последовательностей $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$ соотношение $\alpha_n\asymp \beta_n$ будет означать, что $0<C_1\leqslant \alpha_n/\beta_n\leqslant C_2<\infty$ для $n=1,2,\dots$ и некоторых постоянных $C_1$, $C_2$, не зависящих от $n$. Для двух последовательностей $\{\alpha_n(z)\}$ и $\{\beta_n(z)\}$ функций, голоморфных в некоторой области $\Omega$, соотношение $\alpha_n\asymp\beta_n$ будет означать, что для каждого компакта $K\subset\Omega$ и $n=1,2,\dots$ соотношение $0<C_1\leqslant |\alpha_n(z)/\beta_n(z)|\leqslant C_2<\infty$ выполняется равномерно по $z\in K$, при этом постоянные $C_1,C_2$ зависят от $K$, но не зависят от $n$. Очевидно, что для таких пар числовых и функциональных последовательностей выполняется предельное соотношение $|\alpha_n/\beta_n|^{1/n}\to1$ при $n\to\infty$. Поскольку $(f,f_\infty)\in\mathscr F$, то для $S$-компакта Шталя имеем $S=S(f)=\bigsqcup_{j=1}^p S_j$, где $S_j=\operatorname{arc}(a_{2j-1},a_{2j})$. Положим $w^2=\prod_{j=1}^p(z-a_{2j-1})(z-a_{2j})$. Тогда двулистная риманова поверхность (РП) $\mathfrak R_2(w)$ функции $w$ является РП, ассоциированной в соответствии с теорией Шталя с ростком $f_\infty\in\mathscr H(\infty)$ функции $f$, $(f,f_\infty)\in\mathscr F$. Точка $\mathbf z$ на РП $\mathfrak R_2(w)$ задается парой $(z,w)$, $\mathbf z=(z,w)$. Риманову поверхность $\mathfrak R_2(w)$ можно рассматривать как двулистное разветвленное накрытие сферы Римана $\widehat{\mathbb C}$ . Соответствующая каноническая проекция $\pi$, $\pi\colon\mathfrak R_2(w)\to\widehat{\mathbb C}$, задается соотношением $\pi(\mathbf z)=z$. Пусть $\boldsymbol\Gamma:=\pi^{-1}(S)$. Тогда $\boldsymbol\Gamma$ делит $\mathfrak R_2(w)$ на две области. Будем называть эти области (открытыми) листами РП $\mathfrak R_2(w)$. Функция $w$ – однозначная функция на этой РП и принимает значения противоположных знаков на двух листах. Обозначим через $\mathfrak R_2^{(0)}$ тот лист РП $\mathfrak R_2(w)$, на котором $w(z)/z^{p}\to1$ при $z\to\infty$. Будем называть его нулевым листом. Другой лист этой РП мы будем обозначать через $\mathfrak R^{(1)}_2$ и называть первым листом РП $\mathfrak R_2(w)$. Итак, мы получаем, что $\mathfrak R_2(w)=\mathfrak R_2^{(0)}\sqcup\boldsymbol\Gamma\sqcup\mathfrak R_2^{(1)}$. Точки на двух различных листах РП $\mathfrak R_2(w)$ мы будем обозначать через $z^{(j)}$, $j=0,1$. Очевидно, что $\pi(\mathfrak R_2^{(j)})=D$. Следуя традиции, мы будем отождествлять нулевой лист $\mathfrak R_2^{(0)}$ с областью Шталя $D=\widehat{\mathbb C}\setminus{S}$, а точку $\infty^{(0)}$ – с точкой $\infty$ и рассматривать росток $f_\infty$ как росток $f_{\infty^{(0)}}$, заданный на РП $\mathfrak R_2(w)$. В общем случае двулистная РП $\mathfrak R_2(w)$ не совпадает с РП функции $f$, и поэтому функция $f$ не является однозначной на $\mathfrak R_2(w)$. Но поскольку $(f,f_\infty)\in\mathscr F$, то росток $f_{\infty^{(0)}}$ можно однозначно продолжить из бесконечно удаленной точки $\infty^{(0)}$ на весь нулевой лист $\mathfrak R^{(0)}_2$ и даже немного больше, а именно в некоторую окрестность $V^{(0,1)}$ компакта $\boldsymbol\Gamma$, $V^{(0,1)}\cap\mathfrak R_2^{(1)}\neq\varnothing$ (в дальнейшем мы будем считать эту окрестность достаточно малой). Поскольку $\pi(\boldsymbol\Gamma)=S$ – компакт Шталя, то (см. [17], [11]) функцию Грина $g_S(z,\infty)$ области $D$ можно поднять на РП $\mathfrak R_2(w)$ как функцию $g(\mathbf z)$ точки $\mathbf z$ на $\mathfrak R_2(w)$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
g(z^{(0)})=g_S(z,\infty), \qquad g(z^{(1)})=-g(z^{(0)})<0.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем мы предполагаем, что открытое множество $V^{(0,1)}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\partial V^{(0,1)}\cap\mathfrak R_2^{(1)}=\{z^{(1)}\colon g_S(z,\infty)=\log{R}\}, \qquad R>1.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $R>1$ такое, что число связных компонент множества $\{z^{(1)}$: $g_S(z,\infty)= \log{R}\}$ равно числу связных компонент компакта $S$. Пусть $\mathfrak D:=\mathfrak R_2^{(0)}\cup V^{(0,1)}$ – область на РП $\mathfrak R_2(w)$, и будем считать $R>1$ таким, что росток $f_{\infty^{(0)}}$ продолжается в область $\mathfrak D$ как мероморфная (однозначная аналитическая) функция $f(\mathbf z)$, $f\in\mathscr M(\mathfrak D)$. Тогда функция $R_n(z)$ также продолжается в область $\mathfrak D$ как мероморфная функция $R_n(\mathbf z)$. Пусть $q_m(z)=z^m+\dotsb$ – полином, нули которого совпадают с проекциями полюсов функции $f(\mathbf z)$, лежащих в области $\mathfrak D$, причем $q_m$ такой, что функции $\widetilde{f}:=q_mf$ и $q_mR_n$ – голоморфные функции в области $\mathfrak D$. В дальнейшем мы считаем, что $n>m$. Наконец, без ограничения в общности будем считать, что $S\ni0$. Это условие носит чисто технический характер: при его выполнении функция $g_S(z,\infty)-\log|z|$ непрерывная в любой области $\{z\colon g_S(z,\infty)>\log\rho\}$, $\rho>1$ (см. соотношение (35)). Следуя традиции, мы отождествляем в дальнейшем нулевой лист $\mathfrak R_2^{(0)}=\mathfrak R_2^{(0)}(w)$ римановой поверхности $\mathfrak R_2(w)$ с “физической” расширенной комплексной плоскостью $\widehat{\mathbb C}$, разрезанной по дугам, составляющим компакт Шталя $S$. Введенные в этом пункте обозначения используются на рис. 1. 2.2.Для произвольного $\rho\in(1,R)$, где $R$ было зафиксированно выше, обозначим через $\Gamma^{(1)}_\rho$ множество точек $z^{(1)}$ таких, что $g_S(z,\infty)=\log\rho$ при $z^{(1)}\in\Gamma^{(1)}_\rho$. Очевидно, что $g(z^{(1)})=-\log\rho$ при $z^{(1)}\in\Gamma^{(1)}_\rho$. Множество $\Gamma^{(0)}_\rho$ определяется аналогично: на этом множестве $g(z^{(0)})=\log\rho$. Положим $\Gamma_\rho:=\pi(\Gamma^{(0)}_\rho)=\pi(\Gamma^{(1)}_\rho)$. Для $\rho\in(1,R)$ обозначим через $D^{(1)}_\rho$ подобласть области $\mathfrak D$ с границей $\partial D^{(1)}_\rho=\Gamma^{(1)}_\rho$, $\infty^{(0)}\in D^{(1)}_\rho$. Подобным образом определим область $D^{(0)}_\rho\subset\mathfrak D$, $\partial D^{(0)}_\rho=\Gamma^{(0)}_\rho$, $\infty^{(0)}\in D^{(0)}_\rho$. Положим
$$
\begin{equation}
u_n(\mathbf z):=\log|q_m(z)R_n(\mathbf z)|+(n+1-m)g(\mathbf z), \qquad \mathbf z\in\mathfrak D.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Функция $u_n$ – субгармоническая функция в области $\mathfrak D$. Следовательно, по принципу максимума для субгармонических функций для любого $\rho\in(1,R)$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
u_n(\mathbf z)\leqslant\max_{\boldsymbol\zeta\in\Gamma^{(1)}_\rho}u_n(\boldsymbol\zeta), \qquad \mathbf z\in D^{(1)}_\rho.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Непосредственно из (5) и (6) вытекает, что при $\mathbf z\in\Gamma_\rho^{(0)}$ и $\boldsymbol\zeta\in\Gamma_\rho^{(1)}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\rho^{n+1-m} \bigl|R_n(z^{(0)})q_m(z)\bigr|\leqslant\frac1{\rho^{n+1-m}} \max_{\zeta\in\Gamma_\rho}\bigl|R_n(\zeta^{(1)})q_m(\zeta)\bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
\bigl|R_n(z^{(0)})q_m(z)\bigr|\leqslant\frac1{\rho^{2n+2-2m}} M_{n,1}(\rho), \qquad z\in\Gamma_\rho,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где мы положили
$$
\begin{equation*}
M_{n,1}(\rho):=\max_{z\in\Gamma_\rho}|R_n(z^{(1)})q_m(z)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношений (5) и (6) вытекает, что при $1<\rho_1<\rho_2<R$
$$
\begin{equation}
M_{n,1}(\rho_1)\leqslant\biggl(\frac{\rho_1}{\rho_2}\biggr)^{n-m+1}M_{n,1}(\rho_2).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Нетрудно видеть, что выполняется следующее тождество:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R_n(z^{(0)}) &=Q_n(z)f(z^{(0)})-P_n(z) \\ &=Q_n(z)f(z^{(1)})-P_n(z)+Q_n(z)[f(z^{(0)})-f(z^{(1)})] \notag \\ &=R_n(z^{(1)})+Q_n(z)[f(z^{(0)})-f(z^{(1)})], \qquad z\in \Gamma_\rho. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Из (7) и (8) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\max_{z\in \Gamma_\rho}|Q_n(z)[f(z^{(0)})-f(z^{(1)})]q_m(z)| =M_{n,1}(\rho)(1+\varepsilon_n), \qquad \varepsilon_n\to0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
В дальнейшем в этом параграфе мы будет рассматривать только такие $\rho\in (1,R)$, что $|q_m(z)[f(z^{(0)})-f(z^{(1)})]|\geqslant C(\rho)>0$ при $z\in\Gamma_\rho$ (очевидно, что $f(z^{(0)})-f(z^{(1)})\not\equiv0$). Положим Тогда из (10) вытекает, что Так как $\operatorname{deg}{Q_n}\leqslant{n}$, то из леммы Бернштейна–Уолша вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
|Q_n(z)|\leqslant e^{n g_{\Gamma_{\rho_1}}(z,\infty)}m_n(\rho_1), \qquad z\in\Gamma_{\rho_2}, \quad \rho_2>\rho_1,
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $g_{\Gamma_{\rho_1}}(z,\infty)$ – функция Грина области $g_S(z,\infty)>\log\rho_1$. Очевидно, что $g_{\Gamma_{\rho_1}}(z,\infty)=g_S(z,\infty)-\log\rho_1$. Из (13) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
m_n(\rho_2)\leqslant \biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^{n}m_n(\rho_1).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Теперь с помощью неравенств (8), (12) и (14) получаем
$$
\begin{equation}
m_n(\rho_2)\asymp \biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^n m_n(\rho_1), \qquad M_{n,1}(\rho_2)\asymp \biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^n M_{n,1}(\rho_1).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть $Q_n(z)=z^{k_n}+\dotsb$, $k_n=\operatorname{deg}{Q_n}\leqslant{n}$. Снова используя лемму Бернштейна–Уолша, получаем неравенство
$$
\begin{equation}
|Q_n(z)|\leqslant e^{k_n g_{\Gamma_{\rho_1}}(z,\infty)}m_n(\rho_1), \qquad z\in\Gamma_{\rho_2}, \quad \rho_2>\rho_1.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Из этого соотношения вытекает, что
$$
\begin{equation}
m_n(\rho_2)\leqslant\biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^{k_n}m_n(\rho_1).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Но в соответствии с (15) мы имеем $m_n(\rho_2)\asymp (\rho_2/\rho_1)^n m_n(\rho_1)$. Отсюда и из соотношения (17) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^{n}\leqslant C\biggl(\frac{\rho_2}{\rho_1}\biggr)^{k_n},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $C=C(\rho_1,\rho_2)$, $k_n\leqslant{n}$, $1<\rho_1<\rho_2$. Непосредственно из (18) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\frac{\operatorname{deg}{Q_n}}{n}=\frac{k_n}{n}\to1, \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Отметим, что соотношения (15) носят сравнительный характер в том смысле, что они сохраняются при изменении нормировки полинома $Q_n$, т.е. замены полинома $Q_n(z)=z^{k_n}+\dotsb$ на полином $c_nQ_n$, $c_n\neq0$. Ниже мы выберем для $Q_n$ некоторый аналог так называемой сферической нормировки (см. [5], [3]). 2.3.Пусть $D_\rho:=\{z\in\widehat{\mathbb C}\colon g_S(z,\infty)>\log\rho\}$, $\rho>1$, и $g_{\Gamma_\rho}(z,\infty)$ – функция Грина для области $D_\rho$. Тогда
$$
\begin{equation*}
g_{\Gamma_\rho}(z,\infty)=g_S(z,\infty)-\log\rho =\log{|z|}+\gamma_\rho+o(1)=\log|z|+\gamma_S-\log\rho+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\gamma_\rho=\gamma_S-\log\rho$. Положим
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}_n(z):=\frac1{k_n}\log|Q_n(z)|-g_{\Gamma_\rho}(z,\infty)-\frac1{k_n}\log m_n(\rho).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Так как функция $\widetilde{u}_n$ субгармоническая в области $D_\rho$ и $\widetilde{u}_n\leqslant0$ на $\Gamma_\rho$, то $\widetilde{u}_n\leqslant 0$ в $D_\rho$ и $\widetilde{u}_n(\infty)\leqslant0$. Таким образом, мы имеем $\log\rho-\gamma_S\leqslant\log m_n(\rho)^{1/k_n}$, откуда окончательно получаем неравенство
$$
\begin{equation}
m_n(\rho)^{1/k_n}\geqslant \rho e^{-\gamma_S}=\rho\operatorname{cap}(S).
\end{equation}
\tag{21}
$$
При $z\in K\Subset D_\rho$ и $\zeta\in\Gamma_\rho$ имеем по определению $g_{\Gamma_\rho}(\zeta,z)=0$. Используя свойство симметрии функции Грина относительно аргументов, получаем, что $g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)=0$ при $z\in K\Subset D_\rho$ и $\zeta\in\Gamma_\rho$. Продолжим теперь функцию $g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)$ по $\zeta$ внутрь $\Gamma_\rho$ тождественным нулем: $g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)\equiv0$ при $z\in D_\rho$ и $\zeta \in\operatorname{int} \Gamma_\rho$. Всюду в дальнейшем в этом параграфе мы рассматриваем только такие $\rho>1$, что $Q_n(z)\neq0$ при $z\in\Gamma_\rho$ и всех $n\in\mathbb N$. Пусть $Q_n(z)=\prod_{j=1}^{k_n}(z-\zeta_{n,j})$. Положим
$$
\begin{equation}
v_n(z):=\frac1{k_n}\log|Q_n(z)|-g_{\Gamma_\rho}(z,\infty)+\frac1{k_n}\sum_{j=1}^{k_n} g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta_{n,j})-\frac1{k_n}\log m_n(\rho),
\end{equation}
\tag{22}
$$
$z\in D_{\rho}$. Функция $v_n$ гармоническая в области $D_\rho$ и $v_n\leqslant0$ на $\Gamma_\rho$. Отсюда вытекает, что при $z\in \Gamma_{\rho_2}$, $\rho<\rho_2<R$, выполняется соотношение
$$
\begin{equation}
|Q_n(z)|\exp\biggl\{\sum_{j=1}^{k_n} g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta_{n,j})\biggr\} \leqslant m_n(\rho) \exp\bigl\{k_ng_{\Gamma_\rho}(z,\infty) \bigr\}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Пусть точка $z_n^*\in \Gamma_{\rho_2}$ такая, что $|Q_n(z_n^*)|=m_n(\rho_2)$. Тогда из (23) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
m_n(\rho_2)\exp\biggl\{\sum_{j=1}^{k_n}g_{\Gamma_\rho}(z_n^*,\zeta_{n,j}) \biggr\}\leqslant m_n(\rho)\biggl(\frac{\rho_2}{\rho}\biggr)^{k_n}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Наконец, из (24) и (15) мы получаем, что
$$
\begin{equation}
\exp\biggl\{\frac1{k_n}\sum_{j=1}^{k_n}g_{\Gamma_\rho}(z_n^*,\zeta_{n,j}) \biggr\}\leqslant C(\rho,\rho_2)^{1/k_n}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Пусть теперь $\mu$, $\mu(1)=1$, – произвольная предельная точка последовательности $\{\mu_n\}$, $\mu_n=\dfrac1{k_n}\chi(Q_n)$, т.е. $\mu_n\xrightarrow{\ast}\mu$, $n\to\infty$, $n\in\Lambda\subset\mathbb N$. Будем также предполагать, что $z_n^*\to z^*\in\Gamma_{\rho_2}$ при $n\to\infty$, $n\in\Lambda$. Тогда по принципу понижения (см. [7; гл. I, § 3, теорема 1.3], [14; гл. I, теорема 6.8], [4] и лемму ниже) получаем
$$
\begin{equation}
\int g_{\Gamma_\rho}(z^*,\zeta)\,d\mu^{(\rho)}(\zeta)\leqslant 0, \qquad z^*\in\Gamma_{\rho_2}, \quad \rho_2>\rho,
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $\mu^{(\rho)}=\mu|_{\overline{D}_\rho}$. Непосредственно из (26) вытекает, что $\mu|_{\overline{D}_\rho}=0$ и, тем самым, $\operatorname{supp}{\mu}\subset\widehat{\mathbb C}\setminus D_\rho$. Так как это справедливо при всех $\rho>1$, за исключением счетного множества, то $\operatorname{supp}{\mu}\subset S$. 2.4.Итак, мы получили, что $k_n/n\to1$ и всякая предельная точка $\mu$ последовательности $\biggl\{\dfrac1{k_n}\chi(Q_n)\biggr\}$ удовлетворяет условию $\operatorname{supp}\mu\subset S$. Покажем, что $\mu=\lambda_S$. Зафиксируем теперь $\rho>1$ и положим
$$
\begin{equation}
Q^{*}_n(z):=\prod_{\zeta_{n,j}\notin D_\rho}(z-\zeta_{n,j})\cdot \prod_{\zeta_{n,j}\in D_\rho}\biggl(1-\frac{z}{\zeta_{n,j}}\biggr).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Функцию остатка, соответствующую такой нормировке полинома Паде, обозначим через $R^{*}_n$. Пусть $m^{*}_n(\rho')$ и $M^{*}_{n,1}(\rho')$, $\rho'>1$, – аналоги величин $m_n(\rho')$ для $Q_n$ и $M_{n,1}(\rho')$ для $R_n$, полученные после замены $Q_n$ на $Q^{*}_n$ и $R_n$ на $R^{*}_n$. Тогда для этих величин соотношения (15) также справедливы. Положим1
$$
\begin{equation*}
u_n(z):=\frac1{k_n}\log\frac1{|Q^{*}_n(z)|}-\frac1{k_n}\sum_{j=1}^{k_n} g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta_{n,j})+g_{\Gamma_\rho}(z,\infty), \qquad z\in D_\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\{u_n\}$ – последовательность функций, гармонических в области $D_\rho$, такая, что – гармоническая функция в области $D_\rho$ со следующими свойствами (см. (15)):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(z)=V^{\mu}(z)-V^{\lambda_S}(z)+\mathrm{const}, \\ \min_{z\in\Gamma_{\rho_1}}u(z)=\min_{z\in\Gamma_{\rho_2}}u(z) \quad\text{для всех }\ \rho_1,\rho_2>\rho. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Действительно, пусть $\chi(Q_n)=\mu_{n,1}+\mu_{n,2}$, где
$$
\begin{equation*}
\mu_{n,1}=\sum_{\zeta_{n,j}\notin D_\rho}\delta_{\zeta_{n,j}}, \qquad \mu_{n,2}=\sum_{\zeta_{n,j}\in D_\rho}\delta_{\zeta_{n,j}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу доказанного имеем при $n\to\infty$, $n\in\Lambda$,
$$
\begin{equation*}
\frac1n\mu_{n,1}\xrightarrow{*}\mu, \qquad \frac1n\mu_{n,2}\xrightarrow{*}0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)\equiv0$ при $\zeta\notin D_\rho$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{k_n}g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta_{n,j})= \int g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)\,d\mu_{n,2}(\zeta).
\end{equation}
\tag{29}
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \log\frac1{|Q^{*}_n(z)|} &=\log\frac1{|Q_n(z)|}+\prod_{\zeta_{n,j}\in D_\rho}\log|\zeta_{n,j}| \\ &=V^{\mu_{n,1}}(z)+V^{\mu_{n,2}}(z)+\int\log|\zeta|\,d\mu_{n,2}(\zeta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Пусть $\widetilde{\mu}_{n,2}$ – выметание меры $\mu_{n,2}$ из области $D_\rho$ на $\Gamma_\rho$. Тогда
$$
\begin{equation}
V^{\mu_{n,2}}(z)-\int g_{\Gamma_\rho}(z,\zeta)\,d\mu_{n,2}(\zeta) =V^{\widetilde{\mu}_{n,2}}(z)+c_n,
\end{equation}
\tag{31}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_n=-\int g_{\Gamma_\rho}(\zeta,\infty)\,d\mu_{n,2}(\zeta).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Из (29)–(32) получаем, что при $z\in D_\rho$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u_n(z) &=\frac1{k_n}V^{\mu_{n,1}}(z)+\frac1{k_n}V^{\widetilde{\mu}_{n,2}}(z) \\ &\qquad +\frac1{k_n}\int (\log|\zeta|-g_{\Gamma_\rho}(\zeta,\infty))\,d\mu_{n,2}(\zeta)+g_{\Gamma_\rho}(z,\infty). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Поскольку $k_n/n\to1$ и $\operatorname{supp}{\widetilde{\mu}_{n,2}}, \operatorname{supp}{\mu_{n,1}} \,{\subset}\,\widehat{\mathbb C}\setminus D_\rho$, то получаем, что равномерно внутри $D_\rho$ при $n\to\infty$, $n\in\Lambda$,
$$
\begin{equation}
\frac1{k_n}V^{\mu_{n,1}}(z)\to V^{\mu}(z), \qquad \frac1{k_n}V^{\widetilde{\mu}_{n,2}}(z)\to 0,
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
\frac1{k_n} \int \bigl(\log|\zeta|-g_{\Gamma_\rho}(\zeta,\infty)\bigr)\,d\mu_{n,2}(\zeta) \to0.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Теперь уже из (15) и (31)–(35) получаем (28). Из (28) вытекает, что $u(z)=\mathrm{const}$ и, таким образом, $V^\mu(z)=V^{\lambda_S}(z)$ при $z\in D$. Поскольку компакт $S$ не имеет внутренних точек, то отсюда уже окончательно получаем, что ${\mu=\lambda_S}$. Таким образом, равновесная мера $\lambda_S$ – единственная предельная точка последовательности $\dfrac1n\chi(Q_n)$. Итак, мы доказали, что для произвольного $\rho>1$ существуют следующие пределы:
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}m^{*}_n(\rho)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}M^{*}_{n,1}(\rho)^{1/n}=\rho \operatorname{cap}(S), \qquad \rho>1,
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\max_{z\in S}|Q^{*}_n(z)|^{1/n}=\operatorname{cap}(S)=e^{-\gamma_S}, \qquad \lim_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_\rho}|R^{*}_n(z^{(0)})|^{1/n}=\frac1\rho e^{-\gamma_S}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Ясно, что полученные соотношения не зависят от выбора $\rho>1$ в $*$-нормировке (27) для полинома $Q_n$. Таким образом, мы можем задать $*$-нормировку относительно фиксированного $R>1$, выбранного в п. 2.2. Этого соглашения мы придерживаемся в дальнейшем. 2.5.На основе полученного выше нетрудно доказать, что
$$
\begin{equation}
|q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/n}\xrightarrow{\mathrm{cap}} \operatorname{cap}(S) e^{-g_S(z,\infty)}, \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{38}
$$
В самом деле, пусть
$$
\begin{equation}
\widetilde{v}_n(z):=\frac1{n-m+1}\log|q_m(z)R^{*}_n(z)|+g_S(z,\infty)+\gamma_S.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Тогда для каждого $\rho>1$ функция $\widetilde{v}_n$ субгармоническая в области $D_\rho$ и из (37) вытекает, что при $z\in\Gamma_\rho$ выполняется неравенство где $C_n\to0$ при $n\to\infty$. Из (40) получаем, что при $z\in D_\rho$
$$
\begin{equation}
|q_m(z)R^{*}_m(z)|^{1/(n-m+1)}\leqslant\operatorname{cap}(S)e^{-g_S(z,\infty)}e^{C_n}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}|q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/n}\leqslant\operatorname{cap}(S)e^{-g_S(z,\infty)}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Теперь соотношение (38) можно получить из (37) и (42) с помощью теоремы о двух константах (ср. [5; § 3, п. 8, формулы (31)–(36)] и [3]). Действительно, соотношение (38) означает, что для произвольного компакта $K\subset D=\widehat{\mathbb C}\setminus{S}$ и любого $\varepsilon>0$ должно выполняться соотношение (ср. [5; § 3, п. 8, формулы (31)–(36)] и [19; теорема 1.1])
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cap}\bigl(K_{1,n}(\varepsilon)\cup K_{2,n}(\varepsilon)\bigr)\to0, \qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{1,n}(\varepsilon):&=\bigl\{z\in K\colon |q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/n}\geqslant \operatorname{cap}(S)e^{-g_S(z,\infty)+2\varepsilon}\bigr\}, \\ K_{2,n}(\varepsilon):&=\bigl\{z\in K\colon |q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/n}\leqslant \operatorname{cap}(S)e^{-g_S(z,\infty)-2\varepsilon}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства (42) вытекает, что необходимо рассмотреть только случай компакта $K_n(\varepsilon):=K_{2,n}(\varepsilon)$, т.е. доказать, что $\operatorname{cap}(K_n(\varepsilon))\to0$ при $n\to\infty$. Пусть величины $\rho_1$ и $\rho_2$, $1<\rho<\rho_1<\rho_2$, такие, что $K\subset G:=D_{\rho_2}\setminus\overline{D}_{\rho_1}$. Тогда $K_n(\varepsilon)\subset G$ при всех $n\in\mathbb N$. В дальнейшем до конца этого пункта мы будем рассматривать только такие компакты $K$, которые являются подмножествами открытого множества $G$, $K\subset G$. При этом условии свойства логарифмической емкости $\operatorname{cap}(K)$ компакта $K$ эквивалентны свойствам гриновой емкости $\operatorname{cap}_\rho(K)$ компакта $K$ по отношению к компакту $\Gamma_\rho=\partial D_\rho$ в следующем смысле: соотношение $\operatorname{cap}_\rho(K_n)\to0$ при $n\to\infty$ эквивалентно соотношению $\operatorname{cap}(K_n)\to0$ (см. [7], [14], [4] и формулу (49) ниже). Таким образом, нам необходимо доказать, что $\operatorname{cap}_\rho(K_n(\varepsilon))\to0$ при $n\to\infty$. Предположим противное, т.е. $\operatorname{cap}_\rho(K_n(\varepsilon))\geqslant\delta$ для некоторого $\delta>0$ и $n\in\Lambda$, $n\to\infty$. Так как функция $q_mR^{*}_n$ голоморфная в $D_\rho\supset K_n(\varepsilon)$, то для каждого $z\in K_n(\varepsilon)$ существует окрестность $U(z)$ точки $z$ такая, что
$$
\begin{equation*}
|q_m(\zeta)R^{*}_n(\zeta)|^{1/n}\leqslant \operatorname{cap}(S)e^{-g_S(\zeta,\infty)-\varepsilon}, \qquad \zeta\in U(z), \quad z\in K_n(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что существует компакт $F_n(\varepsilon)=\bigcup_{j=1}^N \overline{U}(z_j)$ такой, что $F_n(z)\supset K_n(\varepsilon)$, $F_n(\varepsilon)\subset G$, $F_n(\varepsilon)$ – регулярный компакт, $\operatorname{cap}_\rho(F_n(\varepsilon))\geqslant\delta>0$, $n\in\Lambda$, и
$$
\begin{equation}
|q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/(n-m+1)}\leqslant \operatorname{cap}(S)e^{-g_S(z,\infty)-\varepsilon}, \qquad z\in F_n(\varepsilon), \quad n\in\Lambda.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Поскольку функция $q_m(z)R^{*}_n(z)$ голоморфная в $G\supset K$, то неравенство (43) по принципу максимума выполняется и в полиномиальной оболочке компакта $F_n(\varepsilon)$. Таким образом, мы можем считать, что компакт $F_n(\varepsilon)$ не разделяет комплексную плоскость. Положим $D_n(\varepsilon):=D_\rho\setminus F_n(\varepsilon)$. Тогда $D_n(\varepsilon)$ – это область с границей $\partial D_n(\varepsilon)=\Gamma_\rho\cup\partial F_n(\varepsilon)$. Пусть $\omega_n(z)$ – гармоническая мера множества $\partial F_n(\varepsilon)$ относительно $\Gamma_\rho$, т.е. функция $\omega_n(z)$ гармоническая в области $D_n(\varepsilon)$, $\omega_n(z)$ непрерывная на замыкании $\overline{D}_\rho(\varepsilon)$ и $\omega_n(z)\equiv 0$ при $z\in\Gamma_\rho$, $\omega_n(z)\equiv1$ при $z\in\partial F_n(\varepsilon)$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w_n(z) &:=\frac1{n-m+1}\log|q_m(z)R^{*}_n(z)| \nonumber \\ &\qquad +g_S(z,\infty)+\gamma_S-\eta(1-\omega_n(z))+\varepsilon\omega_n(z), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
где $\eta>0$ – произвольное положительное число. Из (42) и (43) вытекает, что для $n\in\Lambda$, $n\geqslant n_0(\eta)$, справедливо неравенство Зафиксируем $\rho_3>\rho_2$. Из (44) и (45) получаем, что для $n\geqslant n_0$
$$
\begin{equation}
|q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/(n-m+1)}\leqslant \frac1{\rho_3}e^{-\gamma_S}e^{\eta(1-\omega_n(z))-\varepsilon\omega_n(z)}
\end{equation}
\tag{46}
$$
равномерно по $ z\in\Gamma_{\rho_3}$. Для произвольного компакта $K\subset G$ положительной емкости $\operatorname{cap}(K)>0$ и произвольной единичной меры $\mu$ с носителем на $K$, $\operatorname{supp}(\mu)\subset K$, определим гринов потенциал меры $\mu$ относительно области $D_\rho$ следующим образом: Так как $\operatorname{cap}(K)>0$, то существует единственная единичная мера $\lambda_K$ с носителем на $K$ такая, что
$$
\begin{equation}
G_{\lambda_K}(z)=\mathrm{const}=\gamma_\rho(K) \quad\text{квазивсюду на }\ K.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Поскольку $\operatorname{cap}(K)>0$, то постоянная $\gamma_\rho(K)$ конечная, и поэтому величина положительная. Так как компакт $F_n(\varepsilon)$ регулярный и $\operatorname{cap}_\rho(F_n(\varepsilon))\geqslant\delta>0$, то $G_{\lambda_{F_n(\varepsilon)}}(z)\equiv\gamma_\rho(F_n(\varepsilon))$ на $\partial F_n(\varepsilon)$ и $\gamma_\rho(F_n(\varepsilon))\leqslant\log(1/\delta)$ для $n\in\Lambda$. Отсюда вытекает следующее представление для гармонической меры $\omega_n(z)$, введенной выше:
$$
\begin{equation}
\omega_n(z)=\frac1{\gamma_\rho(F_n(\varepsilon))}G_{\lambda_{F_n(\varepsilon)}}(z), \qquad z\in D_\rho(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
m:=\min_{z\in\Gamma_{\rho_3},\, \zeta\in\overline{G}} g_{D_\rho}(z,\zeta)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda_{F_n(\varepsilon)}(1)=1$, то
$$
\begin{equation}
\min_{z\in\Gamma_{\rho_3}}\omega_n(z)\geqslant\frac{m}{\gamma_\rho(F_n(\varepsilon))} \geqslant\frac{m}{\log(1/\delta)}=:m_0>0.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Из (46) и (51) вытекает, что равномерно по $z\in D_{\rho_3}$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
|q_m(z)R^{*}_n(z)|^{1/(n-m+1)}\leqslant \frac1{\rho_3}e^{-\gamma_S}e^{\eta-\varepsilon m_0}, \qquad z\in\Gamma_{\rho_3}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Поэтому для $\rho_3$ таких, что $q_m(z)\neq0$ на $\Gamma_{\rho_3}$, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to\infty}\max_{z\in\Gamma_{\rho_3}}|R^{*}_n(z)|^{1/n}\leqslant \frac1{\rho_3}e^{-\gamma_S}e^{\eta-\varepsilon m_0}, \qquad z\in\Gamma_{\rho_3},
\end{equation}
\tag{53}
$$
где $\varepsilon>0$, $m_0>0$ фиксированно и $\eta>0$ произвольное. Устремляя теперь в (53) $\eta$ к нулю, мы получаем противоречие с (37). Так как $\dfrac1n\chi(Q_n)\to\lambda_S$, то внутри $D$
$$
\begin{equation}
|Q_n(z)|^{1/n}\xrightarrow{\mathrm{cap}} e^{-V^{\lambda_S}(z)}, \qquad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Из (38) и (54) вытекает соотношение (4). Теорема доказана. § 3. Приложение3.1.На самом деле класс допустимых многозначных аналитических функций, для которых справедливо приведенное выше доказательство теоремы, существенно шире, чем класс $\mathscr F$ алгебраических функций, удовлетворяющих условиям (I) и (II) из приведенного выше определения. В частности, предложенный здесь подход дает нужный результат и для некоторого класса аналитических функций, порожденных обратной функцией Жуковского. Более точно, пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi(z):=z+(z^2-1)^{1/2}, \quad\text{где }\ z\in\widehat{\mathbb C}\setminus\Delta, \quad \Delta=[-1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и выбрана такая ветвь функции $(\cdot)^{1/2}$, что $\varphi(z)/z\to2$ при $z\to\infty$. Пусть $1<A<B<\infty$ и $a:=(A+1/A)/2$, $b:=(B+1/B)/2$. Тогда функция
$$
\begin{equation}
\mathfrak f:= \mathfrak f(z;\Delta):=\biggl[\biggl(A-\frac1{\varphi(z)}\biggr)\biggl(B-\frac1{\varphi(z)}\biggr)\biggr]^{1/2}
\end{equation}
\tag{55}
$$
– алгебраическая функция четвертого порядка, все точки ветвления которой квадратичные, $\Sigma(\mathfrak f)=\{\pm1,a,b\}$ – соответствующее множество точек ветвления функции $\mathfrak f(z;\Delta)$. Из условия выбора ветви функции $(\cdot)^{1/2}$ вытекает, что $\mathfrak f_\infty\in\mathscr H(\widehat{\mathbb C}\setminus\Delta)$ и компакт Шталя для $\mathfrak f_\infty$ совпадает с отрезком $[-1,1]$, $S(\mathfrak f_\infty)=[-1,1]$. Пусть теперь $\varphi_{\Delta_j}(z)$ – обратная функция Жуковского для отрезка $\Delta_j:=[\alpha_j,\beta_j]$, $j=1,\dots,m$, $\Delta_j\cap \Delta_k=\varnothing$, $j\neq k$. Положим
$$
\begin{equation}
\mathfrak f(z):=\prod_{j=1}^m {\mathfrak f}(z;\Delta_j),
\end{equation}
\tag{56}
$$
где каждая функция $\mathfrak f(z;\Delta_j)$ определяется представлением вида (55) с заменой $\varphi$ на $\varphi_{\Delta_j}$, а $A$ и $B$ на некоторые $A_j$ и $B_j$. Если все отрезки вещественные, $\Delta_j\subset\mathbb R$, $j=1,\dots,m$, то компакт Шталя имеет следующий вид: $S(\mathfrak f)=\bigsqcup_{j=1}^m\Delta_j$. Так как все функции из класса $\mathbb C(z,\mathfrak f)$ удовлетворяют условию (II) из определения класса $\mathscr F$, то наш подход справедлив и для ростка $f_\infty$ произвольной функции $f$ из класса $\mathbb C(z,\mathfrak f)$. Другой допустимый и нетривиальный класс многозначных аналитических функций возникает при условии, что по крайней мере одна из точек ветвления $\alpha_j,\beta_j$, $j=1,\dots,m$, не принадлежит вещественной прямой. Можно также обобщить представление (55) следующим образом. Положим
$$
\begin{equation}
{\mathfrak f}(z;\Delta):=\prod\biggl(A-\frac1{\varphi(z)} \biggr)^\alpha\biggl(B-\frac1{\varphi(z)}\biggr)^\beta \dotsb\biggl(C-\frac1{\varphi(z)}\biggr)^\gamma,
\end{equation}
\tag{57}
$$
где $\alpha,\beta,\dots,\gamma\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$, $\alpha+\beta+\dots+\gamma\in\mathbb Z$. Тогда мы получим класс функций $\mathbb C(z,\mathfrak f)$, который не является подклассом $\mathscr F$, но для которого доказательство теоремы, приведенное в § 2, остается справедливым. 3.2.Пусть $D\subset\widehat{\mathbb C}$, $D\neq\widehat{\mathbb C}$, – регулярная область, $g_D(\zeta,z)$, $z,\zeta\in D$, – функция Грина области $D$ с логарифмической особенностью в точке $\zeta=z$. Для произвольной (положительной борелевской) меры $\mu$ определим гринов потенциал $G_D(z;\mu)$ меры $\mu$ относительно области $D$:
$$
\begin{equation*}
G_D(z;\mu):=\int g_D(\zeta,z)\,d\mu(\zeta), \qquad z\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Лемма. Пусть $K\subset D$ – компакт, $\{z_n\}_{n\in\mathbb N}\subset K$ – некоторая последовательность точек такая, что $z_n\to z^*$ при $n\to\infty$, и $\{\mu_n\}$ – некоторая последовательность мер такая, что $\operatorname{supp}\mu_n\subset\overline{D}$ и $\mu_n\to\mu$ при $n\to\infty$, $\mu(1)=1$. Тогда Доказательство. Так как $K\subset D$, то при всех $z\in K$ и любом достаточно малом $\varepsilon>0$, $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, $\varepsilon_0=\varepsilon_0(K)$, линия уровня $L_\varepsilon:=\{\zeta\colon g_D(\zeta,z)= 1/\varepsilon\}$ есть замкнутая аналитическая кривая, окружающая точку $z$ и такая, что $g_D(\zeta,z)> 1/\varepsilon$ внутри $L_\varepsilon$ и $g_D(\zeta,z)<1/\varepsilon$ вне $L_\varepsilon$.
Пусть $D_\varepsilon\ni z$ – область с границей $\partial D_\varepsilon=L_\varepsilon$. Для $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ положим (ср. [7; гл. I, § 3, п. 7])
$$
\begin{equation*}
g^{(\varepsilon)}_D(\zeta,z):= \begin{cases} g_D(\zeta,z),& z\in D\setminus D_\varepsilon, \\ \dfrac1\varepsilon,& z\in D_\varepsilon. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G^{(\varepsilon)}_D(z;\mu):=\int g^{(\varepsilon)}_D(\zeta,z)\,d\mu(\zeta), \\ G^{(\varepsilon)}_D(z;\mu_n):=\int g^{(\varepsilon)}_D(\zeta,z)\,d\mu_n(\zeta), \qquad n=1,2,\dotsc\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда получаем, что для произвольного фиксированного $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ семейство функций $\{G^{(\varepsilon)}_D(z;\mu_n)\}_{n\in\mathbb N}$ равностепенно непрерывное при $z\in K$. Кроме того, при любом фиксированном $z\in K$ функции $g^{(\varepsilon)}_D(\zeta,z)$ и $G^{(\varepsilon)}_D(z;\mu)$ монотонно возрастают при $\varepsilon\to0$. Таким образом, имеем
$$
\begin{equation}
G^{(\varepsilon)}_D(z^*,\mu)=\lim_{n\to\infty}G^{(\varepsilon)}_D(z_n;\mu_n) \leqslant \varliminf_{n\to\infty}G_D(z_n,\mu_n).
\end{equation}
\tag{59}
$$
Из (59) по теореме Лебега о монотонной сходимости при $\varepsilon\to0$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
G_D(z^*;\mu)\leqslant\varliminf_{n\to\infty}G_D(z_n;\mu_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|